Inducción Matemática/Mat-021 Página 1 Eleazar Madariaga -UTFSM Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Matemática I (Mat-021) Problemas Resueltos de Inducción Matemática [email protected]____________________________________________________________ Tema : -Inducción (Primer y segundo PIM) Dificultad: : Simple : Intermedio : Desafiante : Nivel Certamen UTFSM __________________________________ En cada uno de los siguientes problemas demuestre, usando inducción, que el enunciado es verdadero para todo : Problema nº 1: 1234 1 2 Solución: Sea : 1234 Probemos para 1 1: 1 Es verdad, es decir, se cumple: 1234 H.I (Hipótesis Inductiva) Pero, quiero demostrar para 1;
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Problema nº 8: Demuestre que la suma de los ángulos de un polígono convexo de � lados es 180�� � 2 Solución: Notemos que los polígonos tienen por lo menos 3 lados, por lo que debemos demostrar lo propuesto para � 4 3. Claramente para � � 3 se cumple (es un triangulo).Entonces ya tenemos nuestra (H.I), de modo que asumamos como verdadero y demostremos para � � 1. Es decir, debemos demostrar que la suma es: 1806�� � 1 � 27 � 180�� � 1 (T.I) Consideremos un polígono convexo de � lados, entonces para formar uno convexo de � � 1 lados basta tomar un punto P en alguna de las regiones (zonas achuradas) que se determinan por la prolongación de los lados del polígono original (sin considerar las mismas rectas).
Des esta manera, la suma de los ángulos de este nuevo polígono va a ser la suma de todos los ángulos del polígono original más 8, 9, :. Notemos que 8, 9, : son los ángulos de un triangulo, entonces: 8 � 9 � : � 180° Finalmente la suma de los ángulos de un polígono de � � 1 lados es:
Problema nº 9: Determine la falla del método de inducción en la demostración de: % � � � La formula ;�� � �� � � � 41 proporciona solo números primos. Solución: Definición Número Primo: Un número natural ; < 1 es primo si y solo si, sus únicos factores son exactamente ; y 1. De acuerdo con esto, basta tomar � � 41 � ;�41 � 41� que
Problema nº 11: Demuestre mediante inducción la “Desigualdad de Bernouilli”. Esto es si @ 4 �1, entonces % � � �, se cumple que: �1 � @ � 4 1 � �@ Solución: Sea la proposición:
����: �1 � @ � 4 1� �@ , con @ < 1 > ��1 : �1 � @ � 4 1 � 1 · @ , entonces ��1 es verdadera >> Supongamos ahora que, dado un natural �, ��� también es cierto: �1 � @ � 4 1 � �@ (H.I) Entonces debemos probar que ��� � 1 se cumple: �1 � @ ��� 4 1 � �� � 1 @ (T.I) En efecto. Como �1 � @ 4 0 , tenemos: �1 � @ �1 � @ � 4 �1 � �@ �������������
Problema nº 12: Se define la sucesión �@� como sigue: @� � 1 @��� � @� � �2� � 1 ; � 4 1
a) Escriba los primeros 5 términos de la sucesión. b) Conjeture una expresión para el termino general @�. c) Demuestre por inducción su conjetura de la parte anterior.
Solución: a) @� � 1 @� � @� � �2 � 1 � 2 @� � @� � �4 � 1 � 5 @� � @� � �6 � 1 � 10 @� � @� � �8 � 1 � 17 b) La formula que parece emanar de los casos anteriores es:
Problema nº 14: Demostrar por inducción que 8�� � 9�� es divisible por 8 � 9. Solución: La proposición es cierta para � � 1 , ya que: 8�·� � 9�·� � 8� � 9� � �8 � 9 · �8 � 9 Supongamos ahora que 8�� � 9�� es divisible por 8 � 9. Queremos
demostrar que también 8������ � 9������ es divisible por 8 � 9
Problema nº 18: Un polinomio de chebyshev esta definido por la siguiente relación de recurrencia: N O��8 � 1O��8 � 8O��8 � 28 · O����8 � O����8 , � 4 2P Demuestre que para la función coseno, las formulas de ángulos múltiples se pueden expresar mediante este polinomio, es decir, pruebe que: cos��T � O��KHLT Así por ejemplo: cos�1 · T � O��KHLT � KHLT
Solución:
Demostrare por Inducción > U � 1 , es verdadero (demostrado en el ejemplo)
Asumimos: >> cos�UT � O��KHLT , U V � (H.I)
Por demostrar, para U � � � 1: >>> cos��� � 1 T � O����KHLT (T.I) >B Dem: O����KHLT � 2KHLT · O��KHLT � O����KHL � 2KHLT · KHL�T � cos ��� � 1 T ������������������� � �!�"�#$ %& �.
Definimos el subconjunto de �: X � Y� � �: cos��W � ��1 �Z Y aplicamos el Principio de Inducción Matemática para demostrar que X � � > Como cos�W � �1 se tiene que 1 � X y en consecuencia X [ \
Supongamos que � � X, es decir: >> cos��W � ��1 � (H.I)
Por demostrar que � � 1 � X, esto es: >>> cos��� � 1 W � ��1 ��� (T.I)
Para demostrar que (H.I) implica (T.I) basta recordar la ley del coseno de la suma de ángulos: cos�8 � 9 � cos�8 cos�9 � L)��8 L)��9 y que cos�W � �1 y L)��W � 0. En efecto: >B Dem: cos��W � W � cos��W �����
Problema nº 26: La sucesión de Fibonacci se define recursivamente como: h i� � 0i� � 1i��� � i� � i��� , % � � �P Demuestre % � � � j Y0Z i� � 1√5 kE1 � √52 F� � E1 � √52 F�l
Solución: i� de la definición recursiva es 0, veamos que sucede con la formula i� � 1√5 kE1 � √52 F� � E1 � √52 F�l i� � 1√5 61 � 17 � 0 Lo cual es verdadero, así que asumimos i� � 1√5 kE1 � √52 F� � E1 � √52 F�l … �_. G
Por lo tanto i��� � 1√5 kE1 � √52 F� E1 � √52 F � E1 � √52 F� E1 � √52 Fl i��� � 1√5 kE1 � √52 F��� � E1 � √52 F���l �
Problema nº 27: Considere la siguiente figura:
En ella hay 2� resistencia n. Sea n� la resistencia total del circuito entre A y B cuando hay 2� resistencias n. Conjeture y pruebe por inducción una formula general para calcular n�.
Solución: Si calculamos con los primeros valores de �, vamos a tener:
Ahora, para poder conjeturar un formula general, necesitamos conocer la sucesión de Fibonacci que se define recursivamente por: N J� � 1J� � 1 J��� � J� � J���, �*� P Si calculamos para los primeros valores, tenemos: J� � 2 J� � 13 J� � 3 J� � 21 J� � 5 J� � 34 J� � 8 Y si notamos en nuestras resistencias calculadas anteriormente, podemos deducir que: n� � n2 � J�J� n n� � 35n � J�J� n n� � 813n � J�J� n n� � 2134n � J�J� n
Lo anterior nos da para conjeturar que: n� � J����J�� n … �_. G Ahora, debemos demostrar a partir de nuestra hipótesis de inducción (H.I) que: n� � J����J���� n … �O. G
Dem:
Si hay 2� � 2 resistencias, entonces hay dos resistencias más que en el primer caso. De ellas hay una que se agrega en serie y la otra en paralelo.