Incertitude, risque et apprentissage ECO8071 – Charles Séguin Inspiré en partie de notes de Larry Karp et Christian Traeger 1
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Incertitude, risque et apprentissageECO8071 – Charles SéguinInspiré en partie de notes de Larry Karp et Christian Traeger
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L’INCERTITUDE, qu’est-ce?Ne pas connaître la valeur d’un élément?
Ne pas connaître la probabilité d’un événement?
Ne pas avoir conscience de la possibilité d’un événement?
Un exemple : lancer une pièce de monnaie en l’air Qu’est-ce qui est incertain? Est-ce risqué?
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CATÉGORISATION de l’incertain Incertitude :
Je connais toutes les possibilités;
Je représente la vraisemblance de leur occurrence par des probabilités.
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CATÉGORISATION de l’incertain Incertitude
Ambiguïté et flou : Je connais toutes les
possibilités; Je ne peux représenter la
vraisemblance de leur occurrence par des probabilités uniques.
?
?
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CATÉGORISATION de l’incertain Incertitude
Ambiguïté et flou
Inconscience : Je ne connais pas toutes
les possibilités.
Nous allons nous concentrer sur l’incertitude.
?
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INCERTITUDE et RISQUELancer une pièce est-il risqué?
Parier sur le résultat du lancé d’une pièce est-il risqué?
Il y a risque lorsque l’objectif (utilité, profit, etc.) d’un agent est incertain.
L’incertitude d’un élément affectant l’utilité d’un agent expose cet agent au risque.
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REPRÉSENTATION de l’incertitudeVariable aléatoire :
Une variable dont les valeurs possibles sont associées à des probabilités.
Probabilité : Nombre entre 0 et 1 qui mesure la vraisemblance; La somme des probabilités des valeurs d’une variable aléatoire est
1.
Pile ou face :
Parier 100 $ sur pile :
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DISTINCTIONS importantes ou non
Incertitude Fondamentale :
La variable est aléatoire indépendamment de la perception de l’agent;
(Purement) stochastique.
Perceptive : Certaines limitations de
l’agent rendent la variable aléatoire;
Incertitude (propre).
Probabilité Objective :
Tirée de données statistiques ou d’un raisonnement logique.
Subjective : Représente les croyances
de l’agent; Il peut y avoir des
probabilités subjectives différentes pour le même événement.
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ESPÉRANCE et UTILITÉ ESPÉRÉE Espérance :
Somme des valeurs d’une variable aléatoire pondérée par leurs probabilités;
Pari :
Utilité espérée : Somme de l’utilité des
valeurs d’une variable aléatoire pondérée par leurs probabilité
Pari :
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APPRENTISSAGEConcept dynamique;
Consiste à mettre à jour les probabilités d’une variable aléatoire avec des informations nouvelles;
Après que la pièce soit retombée : Quels sont les probabilités? Vas-tu parier 100 $ sur pile?
L’apprentissage peut influencer une décision risquée.
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TYPES d’Apprentissage Surprise (Naïf) :
L’apprentissage n’est pris en compte qu’une fois qu’il s’est produit.
Anticipé (Sophistiqué) : L’apprentissage est pris
en compte avant qu’il se produise.
Passif : L’apprentissage est
exogène aux décisions de l’agent.
Actif : L’apprentissage est
affecté par les décision de l’agent.
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Un exemple simple (décision binaire)2 périodes;
Décision : construire un barrage ou pas (irréversible);
Bénéfices : un barrage génère des bénéfices de 10M $ par période;
Coûts : un barrage dénature la rivière sur laquelle il est construit, ce qui génère des coûts incertains de 3M $ ou 35M $ avec probabilités égales (peu importe le moment de construction);
L’objectif du décideur est de maximiser l’espérance des bénéfices nets des coûts.
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Exemple simpleSANS APPRENTISSAGE Doit-on construire et quand?
Construire
oui
nonConstruire
Déjà fait
oui
non
Période 1 Période 2 Bénéfices nets espérées
14Exemple simple
AVEC APPRENTISSAGE ANTICIPÉ Si j’anticipe que je vais connaître la valeur des coûts avec
certitude à la période 2?
Construire
oui
nonApp.
Déjà fait
Période 1 Période 2 Bénéfices nets
35
3
Cons.
Cons.
oui
nonoui
non
App.
35
3 Déjà fait
Espérance
15Exemple simple
apprentissage NON-anticipéQue se passe-t-il à la période 1 si le décideur n’anticipe pas
qu’il apprendra la vraie valeur des dommages à la rivière?
Décision identique à l’absence d’apprentissage.
Est-ce toujours le cas?
Non…
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Valeur d’OPTION (quasi)Dans l’exemple précédent, l’apprentissage augmente la
valeur maximale de l’objectif (ex ante);
La différence entre la valeur de l’objectif ex ante avec apprentissage anticipé et sans apprentissage anticipé est la valeur d’option;
Dans le cas de notre exemple, la valeur d’option d’attendre d’apprendre avant de décider de construite ou non le barrage est de 2,5M $.
La valeur d’option peut-elle être négative?
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Deuxième exemple (décision CONTINUE)Un problème de changements climatiques :
Deux périodes : Niveau d’émission dans la période i : Incertitude sur les dommages : Objectif :
Quel est le niveau optimal d’émission sans apprentissage?
Réponse :
Objectif maximisé : 2,5
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Deuxième exempleAPPRENTISSAGE NON-ANTICIPÉ Décision sans apprentissage à la période 1 et décision
contingente à la période 2.
Période 1 Période 2 Objectif ex post
Objectif espéré
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Deuxième exempleAPPRENTISSAGE ANTICIPÉ Décision contingente à la période 2 utilisée pour résoudre
les émissions de la période 1.
Période 1 Période 2 Objectif espéré
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PrudenceL’anticipation de l’apprentissage ne diminue pas nécessairement
les actions irréversibles optimales précédents l’apprentissage;
Cela dépend de la nature du problème, du type d’apprentissage et de la prudence du décideur;
La prudence caractérise les préférences du décideur par rapport à un changement de niveau de risque;
Si le risque augmente dans une période, un décideur préférera transférer de la richesse vers cette période si il est prudent;
Un décideur est prudent si la troisième dérivé de sa fonction d’utilité (objectif) est positive.
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Principe de précautionQu’est-ce?
Définition de la Convention-Cadre des Nations Unies sur les Changements Climatiques : Lorsqu’il y a risque de dommages irréversibles ou importants, le
manque de certitude scientifique complète ne devrait pas justifier de repousser des mesures efficientes pour prévenir la dégradation de l’environnement.
Que pensez-vous de cette définition?
Peut-elle aider à faire des choix?
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Résolution PARTIELLE de l’incertitudeLes exemples précédents ont considérés uniquement une
résolution complète de l’incertitude.
Qu’est-ce qu’une résolution partielle?
Prenez le dernier exemple. Si au lieu d’apprendre la valeur de S, le décideur modifiait les probabilités attribués à chacune des réalisations de S.
Avec probabilités égales, le décideur peut apprendre que : a : b :
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Apprentissage ACTIFL’apprentissage est actif lorsque le décideur peut influencer
l’arrivée d’information.
Cela implique souvent un arbitrage entre quête d’information et coûts.
Revenons à notre exemple de changements climatiques (résolution complète de l’incertitude): Supposons que la résolution complète de l’incertitude est
incertaine et que cette incertitude dépend des émissions de la première période;
Avec probabilité j’apprends avec certitude la valeur de S, sinon je n’apprends rien, et .
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Incertitude avec INFÉRENCE BAYÉSIENNEThéorème de Bayes :
En mots : sachant les probabilités inconditionnelles des événements A et B, ainsi que la probabilité conditionnelle de B si A a déjà été observé, quelle est la probabilité de A conditionnelle à l’observation de B?
En math :
Pour l’apprentissage : Le décideur a ex ante une distribution a priori de la variable aléatoire; L’observation d’un signal fournira de l’information sur cette variable et
permettra d’établir une distribution a posteriori; Dans les deux premiers exemples avec distributions discrètes, le signal
donnait une information parfaite sur la variable aléatoire, ce qui impliquait une distribution a posteriori où une seule valeur avait une probabilité de 1.
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Distributions conjuguéesUn truc de modélisation pour utiliser l’inférence bayésienne,
les distributions conjuguées.
Si la probabilité postérieure appartient à la même famille que l’antérieure, cette dernière est la conjuguée de la distribution conditionnelle du signal.
Si est la conjuguée antérieure de , alors la distribution appartient à la même famille que .
Exemple : si le signal est distribué conditionnellement Poisson et que A est distribué Gamma, alors A conditionnel au signal est aussi distribué Gamma (signal dist. selon binomiale négative).
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Distributions conjuguées EXEMPLERevenons encore à l’exemple de changement climatique.
S peut prendre les valeurs entières ;
Quel est le signal?
Sur quoi apprend-t-on?
Qu’est qui est fondamentalement incertain?