-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
153
9- Intervalos de confianza
9.1 Introduccin
Se ha visto como construir a partir de una muestra aleatoria un
estimador puntual de un parmetro
desconocido. En esos casos necesitbamos dar algunas
caractersticas del estimador, como por
ejemplo si era insesgado o su varianza.
A veces resulta ms conveniente dar un intervalo de valores
posibles del parmetro desconocido,
de manera tal que dicho intervalo contenga al verdadero parmetro
con determinada probabilidad.
Especficamente, a partir de una muestra aleatoria se construye
un intervalo ( )21 , donde los extremos 1 y 2 son dos estadsticos,
tal que ( )( ) = 1, 21P donde es el parmetro desconocido a estimar
y es un valor real entre cero y uno dado de antemano. Por ejemplo
si
05.0= , se quiere construir un intervalo ( )21 , tal que ( )( )
95.0, 21 =P , o escrito de otra forma ( ) 95.0 21 = P Esta
probabilidad tiene el siguiente significado: como 1 y 2 son
estadsticos, los valores que
ellos toman varan con los valores de la muestra, es decir si
nxxx ,...,, 21 son los valores medidos de
la muestra entonces el estadstico 1 tomar el valor 1 y el
estadstico 2 tomar el valor 2 . Si
medimos nuevamente la muestra obtendremos ahora valores ,,
2
,
1 ,...,, nxxx y por lo tanto 1 toma-
r el valor ,
1 y el estadstico 2 tomar el valor ,
2 , diferentes en general de los anteriores. Esto
significa que si medimos la muestra 100 veces obtendremos 100
valores diferentes para 1 y 2 y por lo tanto obtendremos 100
intervalos distintos, de los cuales aproximadamente 5 de ellos
no
contendrn al verdadero parmetro.
Al valor 1 se lo llama nivel de confianza del intervalo. Tambin
se suele definir como nivel de confianza al ( ) %1001 La
construccin repetida de un intervalo de confianza para se ilustra
en la siguiente figura
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
154
9.2 Intervalo de confianza para la media de una distribucin
normal, varianza conocida.
El mtodo general para construir intervalos de confianza es el
siguiente llamado mtodo del pivo-
te:
Supongamos el siguiente caso particular, sea ( )nXXX ,...,, 21
una muestra aleatoria de tamao n de una v.a. X donde ),(~ 2NX , 2
conocido, se quiere construir un intervalo de confianza para de
nivel 1 . Supongamos 05.0= .
1- tomamos un estimador puntual de , sabemos que X= es un
estimador con buenas propie-dades.
2- a partir de X= construimos el estadstico
n
XZ
= . Notar que Z (pivote) contiene al ver-
dadero parmetro y que bajo las condiciones dadas )1,0(~ NZ 3-
como conocemos la distribucin de Z, podemos plantear: hallar un
nmero z tal que
( ) 95.0= zZzP Por la simetra de la distribucin normal estndar
podemos escribir
( ) ( ) ( ) ( ) 95.012 === zzzzZzP ( ) 975.0= z 96.1=z
Por lo tanto ( ) 95.096.196.196.196.1 =
=
n
XPZP
Despejamos :
95.096.196.196.196.1
96.196.196.196.1
=
+=
=
=
=
nX
nXPX
nX
nP
nX
nP
n
XP
Entonces
95.096.1;96.196.196.1 =
+=
+
nX
nXP
nX
nXP
Es decir el intervalo de confianza para es
+
nX
nX
96.1;96.1 y tiene nivel de confian-
za 0.95 o 95%.
Aqu n
X
96.1 1 = y n
X
96.1 2 +=
Repetimos el procedimiento anterior y construimos un intervalo
de confianza para con nivel de confianza 1
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
155
1-Partimos de la esperanza muestral =
=n
iXn
X11
1 para una muestra aleatoria ( )nX,...,X,X 21 de
tamao n. Sabemos que es un estimador insesgado y consistente de
.
2-Construimos el estadstico
N~n/
XZ
= (0,1)
La variable aleatoria Z cumple las condiciones necesarias de un
pivote
Para construir un intervalo de confianza al nivel de confianza
1- partiendo del pivote Z, comen-
zamos por plantear la ecuacin
( ) = zZzP 1- ,
donde la incgnita es el nmero real z.
Si reemplazamos la v.a. Z por su expresin tenemos:
=
+=
=
n
zX
n
zXP
n
zX
n
zPz
n/
XzP 1-
Multiplicando todos los miembros de la desigualdad por -1 (el
orden de los miembros se invierte)
llegamos a:
=
+
n
zX
n
zXP 1-
Evidentemente, si definimos
+=
=
nzX
nzX
2
1
, hemos construido dos estadsticos 1 y 2 tales que ( )= 21 P 1-
,
es decir hemos construido el intervalo de confianza bilateral
deseado [ ]21 , . Todos los elemen-tos que forman los estadsticos 1
y 2 son conocidos ya que el nmero z verifica la ecuacin anterior,
es decir (ver figura):
z
2
z 2
z
2
2
2
zz =
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
156
( ) ( ) ( )zzzZzP = =1- donde ( )z es la Fda para la v.a. N~Z
(0,1)
Recordando que ( ) ( )zz = 1 , esta ecuacin queda: ( ) ( )zz = (
) 12 z =1- , o bien (ver figura anterior),
( )2
1
z = o de otra forma 2
)(
=> zZP .
Al valor de z que verifica esta ecuacin se lo suele indicar
2
z . En consecuencia, el intervalo de
confianza bilateral al nivel de significacin 1- queda:
[ ]
+=
nzX
nzX
22
21 ,,
En consecuencia:
Ejemplo:
Un ingeniero civil analiza la resistencia a la compresin del
concreto. La resistencia est distribui-
da aproximadamente de manera normal, con varianza 1000 (psi)2.
Al tomar una muestra aleatoria
de 12 especmenes, se tiene que 3250=x psi. a) Construya un
intervalo de confianza del 95% para la resistencia a la compresin
promedio.
b) Construya un intervalo de confianza del 99% para la
resistencia a la compresin promedio.
Compare el ancho de este intervalo de confianza con el ancho
encontrado en el inciso a).
Solucin:
La v. a. de inters es Xi: resistencia a la compresin del
concreto en un espcimen i
Tenemos una muestra de 12=n especmenes. Asumimos que ),(~ 2NX i
para 12,...,3,2,1=i con 1000
2 = a) Queremos un intervalo de confianza para de nivel 95%. Por
lo tanto 05.0=
El intervalo a utilizar es
+
nzX
nzX
22
, .
Buscamos en la tabla de la normal estndar el valor de
96.1025.02
== zz
Reemplazando:
=
+ 89227.3267,10773.3232
12
100096.13250,
12
100096.13250
b) repetimos lo anterior pero ahora 01.0=
Si ( )nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de tamao n de una
v.a. X donde ),(~ 2NX , 2 conocido, un intervalo de confianza para
de nivel 1 es
+
nzX
nzX
22
, (8.1)
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
157
El intervalo a utilizar es
+
nzX
nzX
22
, .
Buscamos en la tabla de la normal estndar el valor de
58.2005.02
== zz
Reemplazando:
=
+ 55207.3273,44793.3226
12
100058.23250,
12
100058.23250
La longitud del intervalo encontrado en a) es: 35.78454
La longitud del intervalo encontrado en b) es: 47.10414
Notar que la seguridad de que el verdadero parmetro se encuentre
en el intervalo hallado es ma-
yor en el intervalo b) que en el a), pero la longitud del
intervalo b) es mayor que la del intervalo a).
Al aumentar el nivel de confianza se perdi precisin en la
estimacin, ya que a menor longitud
hay mayor precisin en la estimacin.
En general la longitud del intervalo es n
zL
2
2=
Notar que:
a) si n y estn fijos, a medida que disminuye tenemos que 2
z aumenta, por lo tanto L
aumenta.
b) si y estn fijos, entonces a medida que n aumenta tenemos que
L disminuye.
Podemos plantearnos la siguiente pregunta relacionada con el
ejemplo anterior: qu tamao n de
muestra se necesita para que el intervalo tenga nivel de
confianza 95% y longitud la mitad de la
longitud del intervalo hallado en a)?
Solucin: el intervalo hallado en a) tiene longitud 35.78454, y
queremos que el nuevo intervalo
tenga longitud 17.89227 aproximadamente. Planteamos:
89227.171000
96.1289227.172 2/ =nn
zL
Despejando n :
4889227.17
100096.12
2
nn
O sea, hay que tomar por lo menos 84 especmenes para que el
intervalo tenga la longitud pedida.
En general, si queremos hallar n tal que ln
zL =
2
2 , donde l es un valor dado, entonces
despejando n
2
2
2
l
z
n
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
158
Si estimamos puntualmente al parmetro con X estamos cometiendo
un error en la estimacin
menor o igual a n
zL
2
2= , que se conoce como precisin del estimador
Ejemplo: Se estima que el tiempo de reaccin a un estmulo de
cierto dispositivo electrnico est
distribuido normalmente con desviacin estndar de 0.05 segundos.
Cul es el nmero de medi-
ciones temporales que deber hacerse para que la confianza de que
el error de la estimacin de la
esperanza no exceda de 0.01 sea del 95%?
Nos piden calcular n tal que 01.02
2
=n (muestra grande) por lo tanto el intervalo buscado es
+
nzX
nzX
22
,
Puesto que 1-=0.95 025.02
05.095.01 ===
De la tabla de la normal estandarizada obtenemos 025,0z =1.96.
Entonces reemplazando:
+
100
496.1,
100
496.1 XX
Para el valor particular x =501.2 tenemos el intervalo
Para muestras tomadas de una poblacin normal, o para muestras de
tamao 30n , de una poblacin cualquiera, el intervalo de confianza
dado anteriormente en (8.1), proporciona buenos
resultados.
En el caso de que la poblacin de la que se extrae la muestra no
sea normal pero 30n , el ni-vel de confianza del intervalo (8.1) es
aproximadamente 1 . Pero para muestras pequeas tomadas de
poblaciones que no son normales no se puede garanti-
zar que el nivel de confianza sea 1 si se utiliza (8.1).
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
159
=
+=
+ 0.502,4.500
10
496.12.501,
10
496.12.501
496.1,
100
496.1
nxx .
Al establecer que
05024500 .,. es un intervalo al 95% de confianza de estamos
diciendo que
la probabilidad de que el intervalo
05024500 .,. contenga a es 0.95. O, en otras palabras, la
probabilidad de que la muestra aleatoria ( )nX,...,X,X 21 tome
valores tales que el intervalo aleato-
rio
+
100
496.1,
100
496.1 XX defina un intervalo numrico que contenga al parmetro
fijo
desconocido es 0.95.
9.3 - Intervalo de confianza para la media de una distribucin
normal, varianza desconocida
Nuevamente como se trata de encontrar un intervalo de confianza
para nos basamos en la espe-
ranza muestral =
=n
iXn
X11
1 que sabemos es un buen estimador de . Pero ahora no
podemos
usar como pivote a
n/
XZ
=
porque desconocemos y una condicin para ser pivote es que,
excepto por el parmetro a esti-
mar ( en este caso ), todos los parmetros que aparecen en l
deben ser conocidos. Entonces pro-
ponemos como pivote una variable aleatoria definida en forma
parecida a Z pero reemplazando
por un estimador adecuado.
Ya vimos que la varianza muestral definida
( )2
11
2
1
1=
=n
i XXn
S ,
donde X es la esperanza muestral, es un estimador insesgado de
la varianza poblacional ( )XV , es decir, ( ) ( ) 22 XVSE == n .
Entonces estimamos con S y proponemos como pivote a la va-riable
aleatoria
n/S
XT
= .
Pero para poder usar a T como pivote debemos conocer su
distribucin.
Se puede probar que la distribucin de T es una distribucin
llamada Student con parmetro n-1.
Nota: Una v.a. continua tiene distribucin Student con k grados
de libertad, si su f.d.p. es de la
forma
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
160
( )
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
161
=
+
n
StX
n
StXP 1-
Evidentemente, si definimos
+=
=
n
StX
n
StX
2
1
, hemos construido dos estadsticos 1 y 2 tales que ( )= 21 P 1-
,
veamos quien es el nmero t que verifica la ecuacin, es decir
(ver figura):
( ) ( ) ( )tFtFtTtP = =1- donde ( )tF es la Fda para la v.a. T
1nt .
Por la simetra de la distribucin t de Student se deduce
fcilmente de la figura anterior que
( ) ( )tFtF = 1 , entonces:
( ) ( )tFtF = ( ) 12 tF =1- , o bien (ver figura anterior),
( )2
1
tF = .
Al valor de t que verifica esta ecuacin se lo suele indicar
1,
2n
t . En consecuencia, el intervalo de
confianza bilateral al nivel de significacin 1- queda:
+
n
StX
n
StX
nn 1,2
1,2
, con 2
11,
2
=
n
tF .
En consecuencia:
Si ( )nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de tamao n de una
v.a. X donde ),(~ 2NX , 2 desconocido, un intervalo de confianza
para de nivel 1 es
+
n
StX
n
StX
22
, (8.2)
2
t 2
t
libertad de grados 4=k
2
2
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
162
Ejemplo:
Se hicieron 10 mediciones sobre la resistencia de cierto tipo de
alambre que dieron valores
1021 x,...,x,x tales que =
==10
1
481010
1
i
i .xx ohms y ( )=
=10
2
9
1
!i
i xxS = 1.36 ohms. Supngase
que X~N(,2). Se desea obtener un intervalo de confianza para la
esperanza poblacional al 90 %.
Tenemos que = 9001 . = 10. 05.02/ = De la Tabla de la t de
Student tenemos que 8331.19,05.0 =t . Entonces el intervalo de
confianza
buscado es:
+=
+
10
36.18331.148.10,
10
36.18331.148.10,
1,2
1,2 n
StX
n
StX
nn
Esto es: [ ]27.11 ,69.9 .
9.4 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias,
varianzas conocidas
Supongamos que tenemos dos variables aleatorias independientes
normalmente distribuidas:
( )( )
2
222
2
111
,N~X
,N~X y suponemos que las varianzas 21 y
2
2 son conocidas.
Sean adems
( )111211 n
X,...,X,X una muestra aleatoria de tamao 1n de 1X
( )222221 n
X,...,X,X una muestra aleatoria de tamao 2n de 2X .
Deseamos construir un intervalo al nivel de confianza 1 para la
diferencia de esperanzas
21 . Ya sabemos cul es la distribucin del promedio de variables
aleatorias normales independientes:
Si la muestra aleatoria se toma de una distribucin normal, 2 es
desconocido y el tamao de la
muestra grande, entonces se puede probar que al reemplazar por
S, el estadstico
( )10,Nn/S
XZ
= aproximadamente
y puedo construir el intervalo para como antes:
+
n
SzX
n
SzX
22
, , pero su nivel es aproximadamente 1
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
163
=
=
=
=
2
1
1 2
2
222
2
2
1 1
2
111
1
1
1
1
n
i
i
n
i
i
n
,N~X
nX
n
,N~X
nX
Consideremos ahora la diferencia 21 XXY = . Si 1X y 2X tienen
distribucin normal y son in-dependientes, su diferencia tambin es
normal, con esperanza igual a la diferencia de las esperan-
zas y la varianza es la suma de las varianzas:
+
2
2
2
1
2
12121 ,N~
nnXX
.
Por lo tanto
( ) ( )1,0N~
2
2
2
1
2
1
2121
nn
XXZ
+
= , es decir, tiene distribucin normal estandarizada.
La v.a. Z cumple con toda las condiciones para servir de pivote
y construiremos nuestro intervalo
en forma anloga a cmo hicimos en los casos anteriores:
Comenzamos por plantear la ecuacin
( ) = zZzP 1- , donde la incgnita es el nmero real z.
Reemplazamos la v.a. Z por su expresin y tenemos sucesivamente
(multiplicando por n/ y
restando X ):
( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
+++=
=
++=
+
12
2
2
1
2
12121
2
2
2
1
2
121
2
2
2
1
2
12121
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2121
nnzXX
nnzXXP
nnzXX
nnzPz
nn
XXzP
Multiplicando todos los miembros de la desigualdad por -1 (el
orden de los miembros se invierte)
llegamos a:
( ) =
+++ 1
2
2
2
1
2
12121
2
2
2
1
2
121
nnzXX
nnzXXP
Evidentemente, si definimos
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
164
+=
+=
,
2
2
2
1
2
1212
2
2
2
1
2
1211
nnzXX
nnzXX
habremos construido dos estadsticos 1 y 2 tales que ( )( )= 2211
P 1- , es decir habremos construido el intervalo de confianza
bilateral deseado [ ]21 A,A . Todos los elementos que forman los
estadsticos 1 y 2 son conocidos ya que el nmero z verifica la
ecuacin anterior, es decir:
( ) ( ) ( )zzzZzP = =1- donde ( )z es la Fda para la v.a. N~Z
(0,1)
o bien, segn vimos:
( )2
1
z = que anotamos 2
z
En consecuencia, el intervalo de confianza bilateral al nivel de
significacin 1- queda:
+++
2
2
2
1
2
1
2
21
2
2
2
1
2
1
2
21 ,nn
zXXnn
zXX
Por lo tanto
Ejemplo:
Se utilizan dos mquinas para llenar botellas de plstico con
detergente para mquinas lavaplatos.
Se sabe que las desviaciones estndar de volumen de llenado son
10.01 = onzas de lquido y 15.02 = onzas de lquido para las dos
mquinas respectivamente. Se toman dos muestras aleato-
rias, 121 =n botellas de la mquina 1 y 102 =n botellas de la
mquina 2. Los volmenes prome-dio de llenado son 87.301 =x onzas de
lquido y 68.302 =x onzas de lquido. Asumiendo que ambas muestras
provienen de distribuciones normales
Construya un intervalo de confianza de nivel 90% para la
diferencia entre las medias del volumen
de llenado.
Solucin:
Como 90.01 = entonces 10.0=
Si 1X y 2X son dos variables aleatorias independientes
normalmente distribuidas:
( )2111 ,N~ X , ( )2222 ,N~ X y suponemos que las varianzas 21 y
22 son conocidas. Un intervalo de confianza para la diferencia 21
de nivel 1 es
+++
2
2
2
1
2
1
2
21
2
2
2
1
2
1
2
21 ,nn
zXXnn
zXX
r
(8.3)
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
165
Por lo tanto 65.105.02
== zz
El intervalo ser ( ) ( )
+++
10
15.0
12
10.065.168.3087.30;
10
15.0
12
10.065.168.3087.30
2222
O sea
281620.0;09837.0
Si se conocen las desviaciones estndar y los tamaos de las
muestras son iguales (es decir
nnn == 21 ), entonces puede determinarse el tamao requerido de
la muestra de manera tal que la longitud del intervalo sea menor
que l
( )22
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
+
+=l
z
nlnn
zL
Ejemplo:
De una muestra de 150 lmparas del fabricante A se obtuvo una
vida media de 1400 hs y una des-
viacin tpica de 120 hs. Mientras que de una muestra de 100
lmparas del fabricante B se obtuvo
una vida media de 1200 hs. y una desviacin tpica de 80 hs.
Halla los lmites de confianza del 95% para la diferencia las
vidas medias de las poblaciones A y
B.
Para muestras tomadas de dos poblaciones normales, o para
muestras de tamao 301 n y 302 n , de dos poblaciones cualesquiera,
el intervalo de confianza dado anteriormente en
(8.3), proporciona buenos resultados.
En el caso de que la poblacin de la que se extrae la muestra no
sea normal pero 301 n y 302 n , el nivel de confianza del intervalo
(8.3) es aproximadamente 1 .
Si las muestras aleatorias se toma de una distribucin normal,
donde 1 y 2 son desconocidos, 301 n y 302 n , entonces se puede
probar que al reemplazar 1 por S1 y 2 por S2, el esta-
dstico
)1,0()(
1
2
1
1
2
1
2121 N
n
S
n
S
XX
+
. aproximadamente
y puedo construir el intervalo para 21 como antes:
+++
1
2
1
1
2
1
2
21
1
2
1
1
2
1
2
21 ,n
S
n
SzXX
n
S
n
SzXX , (8.4)
pero su nivel es aproximadamente 1
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
166
Solucin:
Sean las variables aleatorias:
:1X duracin en horas de una lmpara del fabricante A
:2X duracin en horas de una lmpara del fabricante B
No se dice cul es la distribucin de estas variables, pero como
1501 =n y 1002 =n podemos usar el intervalo dado en (8.4)
Tenemos que 14001 =x , 12002 =x , 1201 =s y 802 =s . Adems 95.01
= 1.96z z 0.025
2
==
Entonces el intervalo es
=
++ 7922.224;2077.175100
80
150
12096.112001400;
100
80
150
12096.112001400
2222
Observacin: como este intervalo no contiene al cero, podemos
inferir que hay diferencia entre las
medias con probabilidad 0.95, es ms, podemos inferir que la
media del tiempo de duracin de las
lmparas del fabricante A es mayor que la media del tiempo de
duracin de las lmparas del fabri-
cante B con probabilidad 0.95 .
9.5 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias,
varianzas desconocidas
Nuevamente supongamos que tenemos dos variables aleatorias
independientes normalmente dis-
tribuidas:
( )( )
2
222
2
111
,N~X
,N~X y suponemos que las varianzas 21 y
2
2 son desconocidas .
Sean adems
( )111211 n
X,...,X,X una muestra aleatoria de tamao 1n de 1X
( )222221 n
X,...,X,X una muestra aleatoria de tamao 2n de 2X .
Pero ahora 1n o 2n no son mayores que 30
Supongamos que es razonable suponer que las varianzas
desconocidas son iguales, es decir
== 21 Deseamos construir un intervalo al nivel de confianza 1
para la diferencia de esperanzas
21
Sean 1X y 2X las medias muestrales y 2
1S y 2
2S las varianzas muestrales. Como 2
1S y 2
2S son
los estimadores de la varianza comn 2 , entonces construimos un
estimador combinado de 2 . Este estimador es
( ) ( )
2
11
21
2
22
2
112
+
+=
nn
SnSnS p
Se puede comprobar que es un estimador insesgado de 2 . Se puede
probar que el estadstico
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
167
( )
21
2121
11
nnS
XXT
p +
=
r
tiene distribucin Student con 221 + nn grados de libertad
Por lo tanto se plantea la ecuacin
=
++1
2,2
2,2
2121 nnnntTtP
o
( )
=
+
++1
11 2,2
21
2121
2,2
2121 nn
p
nnt
nnS
XXtP
r
Despejamos 21 y queda la expresin
=
++
++1
1111
212,
2
21
212,
2
212121 nn
Stnn
StXXP pnn
pnn
Entonces
Ejemplo:
Se piensa que la concentracin del ingrediente activo de un
detergente lquido para ropa, es afecta-
da por el tipo de catalizador utilizado en el proceso de
fabricacin. Se sabe que la desviacin es-
tndar de la concentracin activa es de 3 g/l, sin importar el
tipo de catalizador utilizado. Se reali-
zan 10 observaciones con cada catalizador, y se obtienen los
datos siguientes:
Catalizador 1: 57.9, 66.2, 65.4, 65.4, 65.2, 62.6, 67.6, 63.7,
67.2, 71.0
Catalizador 2: 66.4, 71.7, 70.3, 69.3, 64.8, 69.6, 68.6, 69.4,
65.3, 68.8
a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la
diferencia entre las medias de las concen-
traciones activas para los dos catalizadores. Asumir que ambas
muestras fueron extradas de po-
blaciones normales con varianzas iguales.
b) Existe alguna evidencia que indique que las concentraciones
activas medias dependen del cata-
lizador utilizado?
Si 1X y 2X son dos variables aleatorias independientes
normalmente distribuidas:
( )2111 ,N~ X , ( )2222 ,N~ X y suponemos que las varianzas 21 y
22 son desconocidas e iguales, es decir == 21 Un intervalo de
confianza para la diferencia 21 de nivel 1 es
nnSt nnXX
nnSt nnXX pp
21
2,2/21
21
2,2/21
11;
112121
+++ ++
(8.5)
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
168
Solucin:
Sean las variables aleatorias
:1X concentracin del ingrediente activo con catalizador 1
:2X concentracin del ingrediente activo con catalizador 2
Asumimos que ambas variables tienen distribucin normal con
varianzas iguales
Estamos e3n las condiciones para usar (8.5)
Tenemos que 22.651 =x , 42.682 =x , 444.31 =s , 224.22 =s , 1021
== nn
Calculamos ( ) ( )
4036.821010
224.29444.39
2
11 22
21
2
22
2
112 =++
=+
+=
nn
SnSnS p
Por lo tanto 89890.24036.8 ==pS
Buscamos en la tabla de la Student 060.218,025.02,
221
==+
ttnn
Entonces el intervalo es
[ ]52935.0;8706.510
1
10
189890.2060.242.6822.65;
10
1
10
189890.2060.242.6822.65
=
=
++
b) Existe alguna evidencia que indique que las concentraciones
activas medias dependen del cata-
lizador utilizado, pues el 0 no pertenece al intervalo.
En muchas ocasiones no es razonable suponer que las varianzas
son iguales. Si no podemos ga-
rantizar que las varianzas son iguales, para construir un
intervalo de confianza de nivel 1 para
21 utilizamos es estadstico
1
2
1
1
2
1
2121* )(
n
S
n
S
XXT
+
=
Se puede probar que *T tiene aproximadamente una distribucin
Student con grados de liber-tad donde
( )
( ) ( )11 2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
21
2
1
+
+=
n
nS
n
nS
nSnS si no es entero, se toma el entero ms prximo a
Por lo tanto planteamos la ecuacin
=
1
,2
*
,2
tTtP
Y despejando 21 el intervalo es
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
169
+++
2
2
2
1
2
1
,2
21
2
2
2
1
2
1
,2
21 ,n
S
n
StXX
n
S
n
StXX
Entonces
Ejemplo:
Una muestra de 6 soldaduras de un tipo tena promedio de prueba
final de resistencia de 83.2 ksi y
desviacin estndar de 5.2. Y una muestra de 10 soldaduras de otro
tipo tena resistencia promedio
de 71.3 ksi y desviacin estndar de 3.1. supongamos que ambos
conjuntos de soldaduras son
muestras aleatorias de poblaciones normales. Se desea encontrar
un intervalo de confianza de 95%
para la diferencia entre las medias de las resistencias de los
dos tipos de soldaduras.
Solucin:
Ambos tamaos muestrales son pequeos y las muestras provienen de
poblaciones normales. No
podemos asumir igualdad de varianzas. Entonces aplicamos
(8.6)
Tenemos que 2.831 =x , 3.712 =x , 2.51 =s , 1.32 =s , 10;6 21 ==
nn
Como 95.01 = entonces 025.02=
Adems ( )
( ) ( ) ( ) ( )718.7
9
101.3
5
62.5
10
1.3
6
2.5
11
22
222
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
21
2
1 =
+
+
=
+
+=
n
nS
n
nS
nSnS
Entonces buscamos en la tabla de la Student 365.27,025.0 =t
Por lo tanto el intervalo es
=
+++=
=
+++
43.17,37.610
1.3
6
2.5365.23.712.83;
10
1.3
6
2.5365.23.712.83
,
2222
2
2
2
1
2
1
,2
21
2
2
2
1
2
1
,2
21n
S
n
StXX
n
S
n
StXX
Si 1X y 2X son dos variables aleatorias independientes
normalmente distribuidas:
( )2111 ,N~ X , ( )2222 ,N~ X y suponemos que las varianzas 21 y
22 son desconocidas y distintas
Un intervalo de confianza para la diferencia 21 de nivel
aproximadamente 1 es
+++
2
2
2
1
2
1
,2
21
2
2
2
1
2
1
,2
21 ,n
S
n
StXX
n
S
n
StXX
(8.6)
Donde
( )
( ) ( )11 2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
21
2
1
+
+=
n
nS
n
nS
nSnS
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
170
9.6 Intervalo de confianza para 21 para datos pareados
Hasta ahora se obtuvieron intervalos de confianza para la
diferencia de medias donde se tomaban
dos muestras aleatorias independientes de dos poblaciones de
inters. En ese caso se tomaban 1n
observaciones de una poblacin y 2n observaciones de la otra
poblacin.
En muchas situaciones experimentales, existen solo n unidades
experimentales diferentes y los
datos estn recopilados por pares, esto es cada unidad
experimental est formada por dos observa-
ciones.
Por ejemplo, supongamos que se mide el tiempo en segundos que un
individuo tarda en hacer una
maniobra de estacionamiento con dos automviles diferentes en
cuanto al tamao de la llanta y la
relacin de vueltas del volante. Notar que cada individuo es la
unidad experimental y de esa unidad
experimental se toman dos observaciones que no sern
independientes. Se desea obtener un inter-
valo de confianza para la diferencia entre el tiempo medio para
estacionar los dos automviles.
En general, supongamos que tenemos los siguientes datos ( ) ( )
( )nn XXXXXX 2122122111 ,;...;,;, 1 . Las variables aleatorias 1X y
2X tienen medias 1 y 2 respectivamente. Sea jjj XXD 21 = con nj
,...,2,1= .
Entonces
( ) ( ) ( ) ( ) 212121 === jjjjj XEXEXXEDE y
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212221212121 ,2,2 XXCovXXCovXVXVXXVDV
jjjjjjj +=+==
Estimamos ( ) 21 =jDE con ( ) 211
21
1
11XXXX
nD
nD
n
j
jj
n
j
j === ==
En lugar de tratar de estimar la covarianza, estimamos la ( )jDV
con ( )=
=n
j
jD DDn
S1
2
1
1
Anotamos 21 =D y ( )jD DV=2
Asumimos que ( )2,N~ DDjD con nj ,...,2,1=
Las variables aleatorias en pares diferentes son independientes,
no lo son dentro de un mismo par.
Para construir el intervalo de confianza notar que
1/
= nD
D tnS
DT
entonces al plantear la ecuacin ( ) = tTtP 1- , deducimos que
1,
2
=n
tt
Por lo tanto el intervalo de confianza para 21 =D de nivel 1 se
obtendr al sustituir T en la ecuacin anterior y despejar 21 =D El
intervalo resultante es
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
171
+
n
StD
n
StD D
n
D
n 1,2
1,2
;
Entonces
Ejemplo:
Consideramos el ejemplo planteado al comienzo. Deseamos un
intervalo de nivel 0.90
Sean las variables aleatorias
jX 1 : tiempo en segundos que tarda el individuo j en estacionar
automvil 1 con nj ,...,2,1=
jX 2 : tiempo en segundos que tarda el individuo j en estacionar
automvil 2 con nj ,...,2,1=
Medimos estas variables de manera que tenemos las siguientes
observaciones
Automvil 1 Automvil 2 diferencia
sujeto (observacin jx1 ) (observacin jx2 ) jD
1 37.0 17.8 19.2
2 25.8 20.2 5.6
3 16.2 16.8 -0.6
4 24.2 41.4 -17.2
5 22.0 21.4 0.6
6 33.4 38.4 -5.0
7 23.8 16.8 7.0
8 58.2 32.2 26.0
9 33.6 27.8 5.8
10 24.4 23.2 1.2
11 23.4 29.6 -6.2
12 21.2 20.6 0.6
13 36.2 32.2 4.0
14 29.8 53.8 -24.0
A partir de la columna de diferencias observadas se calcula
21.1=D y 68.12=DS
Adems 771.113,05.01,
2
==
ttn
, entonces el intervalo para la diferencia 21 =D de nivel
0.90
es
=
+ 21.7;79.4
14
68.12771.121.1;
14
68.12771.121.1
Cuando las observaciones se dan de a pares ( ) ( ) ( )nn XXXXXX
2122122111 ,;...;,;, 1 , y las diferen-cias
jjj XXD 21 = son tales que ( )2,N~ DDjD para nj ,...,2,1= , un
intervalo de confianza de nivel 1 para 21 =D es
+
n
StD
n
StD D
n
D
n 1,2
1,2
; (8.7)
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
172
9.7 Intervalo de confianza para la varianza de una distribucin
normal
Supongamos que se quiere hallar un intervalo de confianza para
la varianza 2 de una distribu-cin normal.
Sea ( )nX,...,X,X 21 una muestra aleatoria de una v.a. X, donde
),(~ 2NX .
Tomamos como estimador puntual de 2 a ( )2
11
2
1
1=
=n
i XXn
S
Luego a partir de este estimador puntual construimos el
estadstico ( )
2
21
Sn
X
=
Este estadstico contiene al parmetro desconocido a estimar 2 y
tiene una distribucin conocida, se puede probar que X tiene una
distribucin llamada ji-cuadrado con n-1 grados de libertad
Observacin: Si X es una v.a. continua se dice que tiene
distribucin ji-cuadrado con k grados de
libertad si su f.d.p. es
( )
0
22
1)( 2
12
2
>
=
xex
kxf
xk
k
Notacin: X~2
k La distribucin ji-cuadrdo es asimtrica. En la figura siguiente
se grafica la densidad para diferen-
tes valores de k
10 20 30 40 50 60
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Anotaremos k,2 al cuantil de la ji-cuadrado con k grados de
libertad que deja bajo la fdp a dere-
cha un rea de , y a su izquierda un rea de 1 . Propiedades:
1- Se puede probar que si nXXX ,...,, 21 son variables
aleatorias independientes con distribucin
)1,0(N entonces 22
2
2
1 ... nXXXZ +++= tiene distribucin ji-cuadrado con n grados de
libertad.
30
15
2
=
=
=
k
k
k
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
173
2- Si nXXX ,...,, 21 son variables aleatorias independientes tal
que iX tiene distribucin ji-
cuadrado con ik grados de libertad, entonces nXXXZ +++= ...21
tiene distribucin ji-cuadrado
con k grados de libertad donde nkkkk +++= ...21
3- Si 2~ kX entonces para k grande
1,12~2 kNX aproximadamente.
Para desarrollar el intervalo de confianza planteamos hallar dos
nmeros a y b tales que
( ) = 1bXaP es decir ( )
=
1
12
2
bSn
aP
Se puede probar que la mejor eleccin de a y b es: 21,
21
=n
a y 2
1,2
=
nb
Por lo tanto
( )
=
1
1 21,
2
2
22
1,2
1 nn
SnP
y despejando 2 se llega a
( ) ( )
=
111
2
1,2
1
22
2
1,2
2
nn
SnSnP
Entonces
2
1
2
1,2
1 n
2
1,2
n
2
5=k
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
174
Observacin: un intervalo de confianza para de nivel 1 , es ( ) (
)
2
1,2
1
2
2
1,2
2 1 ;
1
nn
SnSn
Ejemplo:
Un fabricante de detergente lquido est interesado en la
uniformidad de la mquina utilizada para
llenar las botellas. De manera especfica, es deseable que la
desviacin estndar del proceso de llenado sea menor que 0.15 onzas
de lquido; de otro modo, existe un porcentaje mayor del desea-
ble de botellas con un contenido menor de detergente. Supongamos
que la distribucin del volu-
men de llenado es aproximadamente normal. Al tomar una muestra
aleatoria de 20 botellas, se ob-
tiene una varianza muestral 0153.02 =S . Hallar un intervalo de
confianza de nivel 0.95 para la verdadera varianza del volumen de
llenado.
Solucin:
La v.a. de inters es X: volumen de llenado de una botella
Se asume que ),(~ 2NX con desconocido. Estamos en las
condiciones para aplicar (8.8)
Tenemos que 95.01 = 05.0 = 91.82 19,975.02
1,2
1==
n y 85.322 19,025.0
2
1,2
==
n
Adems 0153.02 =S
Por lo tanto el intervalo es
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).03260 ;00884.0
91.8
0153.0120 ;
85.32
0153.01201 ;
12
1,2
1
2
2
1,2
2
=
=
nn
SnSn
Y un intervalo para es ( ) ( )1805.0 ;09.00326.0 ;00884.0 =
Por lo tanto con un nivel de 0.95 los datos no apoyan la
afirmacin que 15.0
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
175
Supongamos que se tienen dos poblaciones normales e
independientes con varianzas desconocidas 2
1 y 2
2 respectivamente. Se desea encontrar un intervalo de nivel 1
para el cociente de las
dos varianzas 2
2
2
1
.
Se toma una muestra aleatoria de tamao 1n de una de las
poblaciones y una muestra de tamao
2n de la otra poblacin. Sean 2
1S y 2
2S las dos varianzas muestrales.
Consideramos el estadstico
21
21
22
22
S
S
F =
Notar que F contiene al parmetro de inters 2
2
2
1
, pues 22
21
21
22
=
S
SF
Se puede probar que F tiene una distribucin llamada Fisher con
12 n y 11 n grados de libertad.
Observacin:
Sea X una variable aleatoria continua, se dice que tiene
distribucin Fisher con u grados de libertad
en el numerador y v grados de libertad en el denominador si su
fdp es de la forma
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
176
Existe la siguiente relacin entre los cuantiles de una vuF , y
de una uvF ,
uv
vuf
f,,
,,1
1
=
Planteamos la siguiente ecuacin ( ) = 1bFaP y se pede probar que
la mejor eleccin de a y b es :
1,1,2
1 12 =
nnfa y
1,1,2
12 =
nnfb
Entonces
=
1
1,1,2
2
1
2
1
2
2
2
2
1,1,2
1 1212 nnnnf
S
SfP
Despejando el cociente 2
2
2
1
queda :
=
1
1,1,2
2
2
2
1
2
2
2
1
1,1,2
12
2
2
1
1212 nnnnf
S
Sf
S
SP
Por lo tanto
20 ;15 == vu
2
2
1,1,2
1 12 nnf
1,1, 12 nnf
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
177
Ejemplo:
Una compaa fabrica propulsores para uso en motores de turbina.
Una de las operaciones consiste
en esmerilar el terminado de una superficie particular con una
aleacin de titanio. Pueden emplear-
se dos procesos de esmerilado, y ambos pueden producir partes
que tienen la misma rugosidad
superficial promedio. Interesara seleccionar el proceso que
tenga la menor variabilidad en la rugo-
sidad de la superficie. Para esto se toma una muestra de 12
partes del primer proceso, la cual tiene
una desviacin estndar muestral 1.51 =S micropulgadas, y una
muestra aleatoria de 15 partes del segundo proceso, la cual tiene
una desviacin estndar muestral 7.42 =S micropulgadas. Se desea
encontrar un intervalo de confianza de nivel 90% para el cociente
de las dos varianzas.
Suponer que los dos procesos son independientes y que la
rugosidad de la superficie est distribui-
da de manera normal.
Solucin:
Estamos en las condiciones para aplicar (8.9)
Buscamos en la tabla de la Fisher 39.058.2
11
14,11,05.0
11,14,95.01,1,
21 12
==== f
ffnn
y 74.211,14,05.01,1,
212
==
ffnn
Entonces el intervalo es
[ ]23.3 ;46.0 2.747.4
1.5 ;39.0
7.4
1.52
2
2
2
=
Como este intervalo incluye al 1, no podemos afirmar que las
desviaciones estndar de los dos
procesos sean diferentes con una confianza de 90%.
9.9 Intervalo de confianza para una proporcin
Sea una poblacin de tamao N (eventualmente puede ser infinito)
de cuyos individuos nos inter-
esa cierta propiedad A. Supongamos que la probabilidad de que un
individuo de la poblacin veri-
fique A es ( )APp = .El significado del parmetro p es, en
consecuencia, el de proporcin de indi-viduos de la poblacin que
verifican la propiedad A. Podemos definir una variable
aleatoria iX que mide a los individuos de la poblacin la
ocurrencia o no de la propiedad A .
La variable aleatoria tendr la distribucin:
Si se tienen dos poblaciones normales e independientes con
varianzas desconocidas 21 y 2
2 respectivamente, entonces un intervalo de nivel 1 para el
cociente de las dos varianzas
2
2
2
1
es
1,1,
2
2
2
2
1
1,1,2
12
2
2
1
1212
;nnnn
fS
Sf
S
S (8.9)
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
178
( )( ) ( )
( ) ( )
===
====
,100
11
pXPp
pXPp
xp
i
i
es decir, Xi es una v.a. que toma slo dos valores: 1 (si el
individuo verifica A) con probabilidad p
y 0 (cuando no verifica A) con probabilidad 1-p. Esto es
equivalente a decir que Xi tiene una distri-
bucin binomial con parmetros 1 y p: Xi ~ B(1,p).
Supongamos que consideramos una muestra aleatoria ( )nXXX ...,,
21 de tamao n . Si formamos el estadstico =X nXXX +++ ...21 , es
evidente que esta v.a. mide el nmero de individuos de la muestra de
tamao n que verifican la propiedad A. Por lo tanto por su
significado X es una v.a.
cuya distribucin es binomial con parmetros n y p: X~B(n,p). De
acuerdo con esto, la variable
aleatoria P definida: n
XP = representa la proporcin de individuos de la muestra que
verifican la
propiedad A.
Observemos que siendo Xi ~ B(1,p) es ( ) pXE i = . Y, dado que
X~B(n,p), tambin es
( ) ( ) pnpn
XEnn
XEPE ===
=11
, es decir P es un estimador insesgado de p . Esto es de
espe-
rar pues =
==n
i
iXnn
XP
1
1 .
Pero adems, es fcil ver que P es estimador consistente de p . En
efecto, tenemos que ( ) pPE = , pero tambin es
( ) ( ) ( )n
pppnp
nn
XVPV
==
=1
112
.
Deseamos construir un intervalo de confianza de p. Es razonable
basarnos en el estimador insega-
do P . Consideramos como pivote a la variable aleatoria
( )n
pp
pPZ
=
1 cuya distribucin es, para n suficientemente grande,
aproximadamente N(0,1). En
efecto:
Siendo n
X
n
X
n
XP n+++= ... 21 , es ( )
=
=
=
n
i
i pn
XEPE
1
y ( ) ( )=
=
=
n
i
i
n
pp
n
XVPV
1
1
Por lo tanto:
( )( )1,0~
1
N
n
pp
pPZ
granden
= ,
El pivote puede ponerse en una forma ms conveniente si tenemos
en cuenta que, segn vimos
recin, P es estimador consistente de p y en consecuencia, en el
denominador reemplazamos el
parmetro desconocido p por su estimador P , y se puede probar
que :
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
179
( )
=
n
PP
pPZ
1
N(0,1). aproximadamente si n es grande
Partiendo de este pivote podemos seguir los mismos pasos de los
casos anteriores para llegar al
siguiente intervalo de confianza al nivel 1 de p:
( ) ( )
+
n
PPzP
n
PPzP
1,1
22
con 2
12
=
z .
Entonces
Observaciones:
1- Este procedimiento depende de la aproximacin normal a la
distribucin binomial. Por lo tanto
el intervalo (8.10) se puede utilizar si 10 >Pn y 10)1( >
Pn , es decir, la muestra debe contener un mnimo de diez xitos y
diez fracasos.
2- La longitud del intervalo es ( )
n
PPzL
12
2
= , pero esta expresin est en funcin de P
Si nos interesa hallar un valor de n de manera tal que la
longitud L sea menor que un valor deter-
minado, podemos hacer dos cosas:
a) tomar una muestra preliminar, con ella estimar p con P y de
la expresin anterior despejar n, lo
que lleva a
( ) ( )PP
l
z
nln
PPzL 1
2
1
2
2
2
2
=
b) si no tomamos una muestra preliminar, entonces acotamos ( ) (
)5.015.01 PP , entonces
( ) ( )
2
2
22
5.015.0
21
2
=
l
z
nln
zn
PPzL
Ejemplo:
Si P es la proporcin de observaciones de una muestra aleatoria
de tamao n que verifican una
propiedad de inters, entonces un intervalo de confianza para la
proporcin p de la poblacin
que cumple dicha propiedad de nivel aproximadamente 1 es
( ) ( )
+
n
PPzP
n
PPzP
1 ,1
22
(8.10)
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
180
Un fabricante de componentes compra un lote de dispositivos de
segunda mano y desea saber la
proporcin de la poblacin que estn fallados. Con ese fin
experimenta con 140 dispositivos elegi-
dos al azar y encuentra que 35 de ellos estn fallados.
a) Calcular un intervalo de confianza del 99% para la proporcin
poblacional p.
b) De qu tamao deber extraerse la muestra a fin de que la
proporcin muestral no difiera de la
proporcin poblacional en ms de 0.03 con un 95% de confianza?
Solucin:
a) El tamao de la muestra es 140=n (muestra grande)
La proporcin muestral es 25.0140
35 ==P
El nivel de confianza es 9901 . = 010. = 00502
.= .
De la tabla de la normal estandarizada vemos que 58.2005.0 =z .
Entonces el intervalo buscado es:
( ) ( ) [ ]34441.0 ,15558.0140
25.0125.058.225.0 ,
140
25.0125.058.225.0 =
+
b) Buscamos el tamao n de la muestra tal que con un 95% de
confianza la proporcin muestral P
est a una distancia 0.03 de la proporcin poblacional p, es decir
buscamos n tal que
03.02
L , por lo tanto como 05.0= 025.0
2=
si tomamos la muestra anterior como pre-
liminar :
( ) ( ) 3333.80025.0125.003.02
96.121
22
2
2 =
=
PP
l
z
n
Por lo tanto hay que tomar una muestra de tamao por lo menos
801. como ya se tom una mues-
tra de tamao 140, hay que tomar otra adicional de tamao
661140801 = Supongamos que no tomamos una muestra inicial, entonces
directamente planteamos
1111.106703.02
96.12
2
2 =
=
l
z
n
Entonces hay que tomar una muestra de tamao 1068 por lo
menos.
9.10 Intervalo de confianza para la diferencia entre dos
proporciones
Supongamos que existen dos proporciones de inters 1p y 2p y es
necesario obtener un intervalo
de confianza de nivel 1 para la diferencia 21 pp .
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
181
Supongamos que se toman dos muestras independientes de tamaos 1n
y 2n respectivamente de
dos poblaciones.
Sean las variables aleatorias
:1X nmero de observaciones en la primera muestra que tienen la
propiedad de inters
:2X nmero de observaciones en la segunda muestra que tienen la
propiedad de inters
Entonces 1X y 2X son variables aleatorias independientes y
X1~B(n1,p1) ; X2~B(n2,p2)
Adems 1
11
n
XP = y
2
22
n
XP = son estimadores puntuales de 1p y 2p respectivamente.
Vemos que ( ) 2121 ppPPE = y ( ) ( ) ( )2
22
1
1121
11n
pp
n
ppPPV
+
=
Aplicando la aproximacin normal a la binomial podemos decir
que
( )( ) ( )
)1,0(11
2
22
1
11
2121 N
n
pp
n
pp
ppPPZ
+
= , y como en el caso de intervalo para una proporcin
estima-
mos ( ) ( )
2
22
1
11 11
n
pp
n
pp +
con
( ) ( )2
22
1
1111
n
PP
n
PP +
y entonces
( )( ) ( )
)1,0(11
2
22
1
11
2121 N
n
PP
n
PP
ppPPZ
+
= aproximadamente.
Planteamos la ecuacin ( ) ( ) ( )zzzZzP = =1- , lo que lleva
a
2
zz = , y con una deduccin anloga a las anteriores se llega al
intervalo
( ) ( ) ( ) ( )
+
+
+
2
22
1
11
2
21
2
22
1
11
2
21
11 ;11
n
PP
n
PPzPP
n
PP
n
PPzPP
Entonces
Ejemplo:
Se lleva a cabo un estudio para determinar la efectividad de una
nueva vacuna contra la gripe. Se
administra la vacuna a una muestra aleatoria de 3000 sujetos, y
de ese grupo 13 contraen gripe.
Como grupo de control se seleccionan al azar 2500 sujetos, a los
cuales no se les administra la va-
cuna, y de ese grupo 170 contraen gripe. Construya un intervalo
de confianza de nivel 0.95 para la
diferencia entre las verdaderas proporciones de individuos que
contraen gripe.
Si 1P y 2P son las proporciones muestrales de una observacin de
dos muestras aleatorias inde-
pendientes de tamaos 1n y 2n respectivamente que verifican la
propiedad de inters, entonces
un intervalo de confianza de nivel 1 aproximadamente es
( ) ( ) ( ) ( )
+
+
+
2
22
1
11
2
21
2
22
1
11
2
21
11 ;11
n
PP
n
PPzPP
n
PP
n
PPzPP (8.11)
-
Parte 2 Intervalos de confianza Prof. Mara B. Pintarelli
182
Solucin:
Sean las variables aleatorias
:1X nmero de personas que contraen gripe del grupo que recibi la
vacuna
:2X nmero de personas que contraen gripe del grupo que no recibi
la vacuna
Entonces X1~B(n1,p1) ; X2~B(n2,p2) donde 30001 =n ; 25002 =n
Adems 3000
131 =P ;
2500
1702 =P
Y 96.195.01 025.02
=== zz
Entonces
( ) ( ) ( ) ( )
=
+
+
+
=
=
+
+
+
0535222.0;0738112.02500
2500
1701
2500
170
3000
3000
131
3000
13
96.12500
170
3000
13
;2500
2500
1701
2500
170
3000
3000
131
3000
13
96.12500
170
3000
13
11 ;11
2
22
1
11
2
21
2
22
1
11
2
21n
PP
n
PPzPP
n
PP
n
PPzPP