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Modelado de sistemas mecatrnicos
INSTITUTO TECNOLGICO DE
LA LAGUNA
MODELADO DE SISTEMAS
MECATRNICOS
EXAMEN
MODELADO DE SISTEMAS MECNICOS
ISMAEL MEDINA LPEZ
10131135
ESPECIALIDAD
ING. ELECTRNICA
CATEDRTICO
DR. FRANCISCO JURADO ZAMARRIPA
FECHA DE ENTREGA:
Torren, Coahuila de Zaragoza a 29 de noviembre de 2013
Francisco JuradoComentario en el textoCalif.:98
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Modelado de sistemas mecatrnicos
1. Introduccin.
El primer paso para el diseo de un sistema de control consiste
en obtener ecuaciones
diferenciales para todas aquellas partes del sistema que no
varan. Comnmente, las
componentes de un sistema de control incluyen elementos
elctricos, electrnicos,
mecnicos y electromecnicos. Este documento intenta proporcionar
una breve resea de
las ecuaciones que caracterizan a algunos de los componentes
comunes del sistema de
control mecnicos y sus conexiones. Muchos otros tipos de
elementos menos comunes,
hidrulicos, trmicos, neumticos, biolgicos y qumicos, pueden, en
determinado
momento, integrarse tambin en un sistema de control.
2. Sistemas Mecnicos.
Enseguida se analizaran y definirn los modelados de algunos
sistemas mecnicos y la
solucin de las ecuaciones diferenciales (EDO) en el software
Matlab. Como puede
resultar obvio, la ley que rige estos modelados es la Segunda
ley de Newton, la cual es
aplicable a cualquier sistema mecnico. Un mtodo sistemtico para
obtener ecuaciones de
arreglos como los presentes es el siguiente:
a) Se definen posiciones con sentidos direccionales para cada
masa del sistema.
b) Se dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada una de las
masas, expresando las
fuerzas que actan sobre ellas en trminos de posiciones de
masa
A continuacin, mencionaremos los ejemplos de este apartado.
2.1. Sistemas mecnicos traslacionales.
1) Sismgrafo
La figura siguiente muestra el esquema de un sismgrafo. Un
sismgrafo indica el
desplazamiento de su envoltura o gabinete con respecto al
espacio inercial. Se utiliza para
medir desplazamientos del suelo durante terremotos.
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Modelado de sistemas mecatrnicos
m
k f
xi
xo
Figura 1. Diagrama esquemtico de un sismgrafo.
Se define:
xi = desplazamiento de la envoltura o gabinete con respecto a la
masa inercial.
xo = desplazamiento de la masa m con respecto al espacio
inercial.
y = xo xi = desplazamiento de la masa m con respecto al
gabinete.
Constantes:
a. k Constante de rigidez del resorte.
b. f Constante de viscosidad o amortiguamiento.
a) Encuentre el modelo dinmico del sistema.
Partiendo del anlisis del ejemplo, Oscilador armnico.
m
c
k
x
Rigidez: fuerza Amortiguamiento: fuerza
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Tomando en cuenta la segunda ley de Newton:
Obtenemos la ecuacin de movimiento del sistema:
O bien,
Por lo tanto para el sismgrafo el modelo matemtico se desarrolla
de forma similar al
anterior. Para esto se aplica la segunda ley de Newton para la
masa m (es decir, con
respecto al desplazamiento xo - -). Las nicas fuerzas son
aquellas debidas a las
constantes k y f. Primero se considera la fuerza del resorte
sobre la masa, donde se debe
hacer notar, que esta fuerza depender de xo y xi: la fuerza es
proporcional a la distancia a
travs de la cual el resorte se ha estirado o comprimido la cual
est dada por la diferencia de
xo y xi (xo xi). As la fuerza del resorte es:
Siguiendo el mismo razonamiento para la fuerza de
amortiguamiento estar dada por:
As la ecuacin de movimiento del sismgrafo es:
O bien,
Usando la relacin y = xo xi, siendo
y
Por lo tanto :
Finalmente tenemos:
Modelo dinmico del sistema
Considerando como entrada al sistema, por lo tanto m equivale a
la fuerza que ejerce
el suelo en el sismgrafo real.
EDO de segundo orden
Escribiendo el modelo como un conjunto de dos ODEs de primer
orden (ecuaciones de
estado), y definiendo como variables de estado y .
Ecuaciones de estado
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Determinando la funcin de transferencia del sistema:
Considerando condiciones iniciales iguales acero:
= = 0 y = = 0
Nota: para pasar del dominio de la frecuencia compleja S al
dominio del tiempo t tan
solo hay que obtener la transformada inversa de cuando se es
aplicada una entrada,
ya sea por ejemplo un escaln unitario
, al sistema.
b) Usando Matlab determine la solucin de la EDO.
Respuesta temporal del sistema
Matlab permite calcular la respuesta de un sistema de cualquier
orden ante cualquier
entrada siguiendo el procedimiento general:
1) Definir un sistema con num, den, con sys=tf (num, den) o con
zpk.
2) Utilizar el comando adecuado para calcular la respuesta a la
entrada: impulse, step o
lsim.
3) Opcionalmente, puede determinarse el intervalo de tiempo
deseado (con lsim si es
necesario).
A continuacin se presentan la respuesta de salida para el modelo
matemtico del
sismgrafo a partir de diferentes entradas.
Las entradas a aplicarse son:
Escaln unitario.
Impulso unitario.
Rampa unitaria.
Funcin seno.
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Respuesta del sistema ente una entrada escaln unitario
Se definen los parmetros del sistema de la siguiente manera:
m = 0.25
f = 0.5
k = 1
Instrucciones en Matlab
Opcin 1
>> s=tf('s');
>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);
>> step(G,10)
>> grid on
Figura 2.
Opcin 2
>> syms s
>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);
>> Xi=1/s;
>> Y=G*Xi;
>> y=ilaplace(Y);
>> ezplot(y,[0 10 -1 0.4],1)
>> grid on
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Figura 3.
Opcin 3
>> num=[-0.25 0 0];
>> den=[0.25 0.5 1];
>> step(num,den)
>> grid on
Figura 4.
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Las tres opciones diferentes mostradas anteriormente demuestran
que existen varias
alternativas para encontrar la respuesta del sistema a una
entrada especfica.
Respuesta del sistema ente una entrada impulso unitario
Se definen los parmetros del sistema de la siguiente manera:
m = 0.25
f = 0.5
k = 1
Instrucciones en Matlab
Opcin 1
>> num=[-0.25 0 0];
>> den=[0.25 0.5 1];
>> impulse(num,den)
>> grid on
Figura 5.
Francisco JuradoResaltado
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Opcin 2
>> s=tf('s')
Transfer function:
s
>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);
>> impulse(G,6)
>> grid on
Figura 6.
Respuesta del sistema ente una entrada rampa unitaria
Se definen los parmetros del sistema de la siguiente manera:
m = 0.25
f = 0.5
k = 1
Instrucciones en Matlab
Opcin 1
>> syms s
>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);
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Modelado de sistemas mecatrnicos
>> Xi=1/s;
>> Xi=1/s^2;
>> Y=G*Xi;
>> y=ilaplace(Y);
>> ezplot(y,[0 20 -0.3 0.05],1)
>> grid on
Figura 7.
Opcin 2
>> s=tf('s')
Transfer function:
s
>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);
>> t=0:0.01:20;
>> u=t;
>> [y,x]=lsim(G,u,t);
>> plot(t,y)
>> grid on
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Figura 8.
Respuesta del sistema ente una entrada senoidal
Se definen los parmetros del sistema de la siguiente manera:
m = 0.25
f = 0.5
k = 1
Instrucciones en Matlab
>> s=tf('s')
Transfer function:
s
>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);
>> t=0:0.01:30;
>> u=sin(t);
>> [y,x]=lsim(G,u,t);
>> plot(t,y)
>> grid on
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Figura 9.
Representacin y anlisis del sistema por diagrama a bloques
En el entorno de Simulink se crea el siguiente esquema del
sistema representado por
diagrama a bloques. En el cual se puede observar que la seal de
entrada al sistema es un
escaln unitario (step).
Figura 10.
Step
Scope
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
-1
Gain2
4
Gain1
2
Gain
Add
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Figura 11. Formas de onda tomadas del scope. La representacin
grfica en color rojo es
la misma respuesta obtenida para los caso de la seal analizada
con solo las instrucciones
en el entorno de trabajo de matlab ante una entrada escaln
unitario (es decir, las grficas
2, 3 y 4). Se puede observar el mismo sobre impuls u un sistema
que se estabiliza en
despus de un tiempo en 0. La respuesta de posicin del sistema es
por lo tanto
subamortiguado. Las formas de onda en color cian y violeta son
otras respuestas
caractersticas del sistema, como la velocidad y aceleracin en un
instante de tiempo dado.
Francisco JuradoResaltado
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Modelado de sistemas mecatrnicos
En el caso de una rampa unitaria
Figura 12. Diagrama a bloques y formas de onda tomada del scope.
En este caso la seal
de salida roja es la misma que la obtenida mediante
instrucciones en el rea de trabajo de
Matlab, una vez ms comprobamos que el sistema responde
satisfactoriamente a nuestro
modelo el cual da como resultado una respuesta subamortiguado
ante una entrada rampa
unitaria.
Scope
Ramp
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
-1
Gain2
4
Gain1
2
Gain
Add
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Finalmente para una entrada senoidal
Figura 12. Diagrama a bloques y formas de onda tomada del
scope.
Sine Wave
Scope1
s
Integrator1
1
s
Integrator
-1
Gain2
4
Gain1
2
Gain
Add
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Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior (uso del
comando ODE45)
Para resolver el conjunto de dos ecuaciones de primer orden
acopladas, primero definimos
una funcin que calcule valores de las ecuaciones diferenciales
de primer orden:
Ecuaciones de estado
Reescribimos como:
Para el caso de una entrada escaln unitario
Funcin Matlab
function u_prime=eqns2(x,u) % EQNS2 Esta funcion calcula valores
para dos % ecuaciones de primer orden acopladas. %
u_prime(2)=-2*u(2)-4*u(1)-heaviside(x); u_prime(1)=u(2);
u_prime=u_prime'; end
Instrucciones
>> inicial=[0 0];
>> [x,num_y]=ode45('eqns2',[0 10],inicial);
>> acel=-2*num_y(:,1)-4*num_y(:,2)-heaviside(x);
>> subplot(3,1,1);
>> plot(x,num_y(:,2));
>> title('posicin');
>> ylabel('y');
>> grid on
>> subplot(3,1,2);
>> plot(x,num_y(:,1));
>> title('velocidad');
>> ylabel('y/s');
>> grid on
>> subplot(3,1,3),
>> plot(x,acel);
>> title('Aceleracin');
>> ylabel('y/s^2');
>> xlabel('Tiempo');
>> grid on
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Figura 13. Ntese la similitud de la aceleracin y posicin con las
grficas anteriores,
solo que ahora la entrada escaln no presenta una alteracin como
en los casos
anteriores. En otras palabras la entrada escaln es directa al
sistema analizado.
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Para el caso de una entrada senoidal
Funcin Matlab
function u_prime=eqns2(x,u) % EQNS2 Esta funcion calcula valores
para dos % ecuaciones de primer orden acopladas. %
u_prime(2)=-2*u(2)-4*u(1)+sin(x); u_prime(1)=u(2);
u_prime=u_prime'; end
Instrucciones
>> [x,num_y]=ode45('eqns2',[0 10],inicial);
>> acel=-2*num_y(:,1)-4*num_y(:,2)-sin(x);
>> subplot(3,1,1);
>> plot(x,num_y(:,2));
>> title('posicin');
>> ylabel('y');
>> grid on
>> subplot(3,1,2);
>> plot(x,num_y(:,1));
>> title('velocidad');
>> ylabel('y/s');
>> grid on
>> subplot(3,1,3),
>> plot(x,acel);
>> title('Aceleracin');
>> ylabel('y/s^2');
>> xlabel('Tiempo');
>> grid on
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Figura 14.
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2) Sistema masa-resorte-amortiguador I
Considere el siguiente sistema masa-resorte-amortiguador
mostrado a continuacin:
m
y1(t)y2(t)
uk
Figura 15.
a) Verifique las ecuaciones de movimiento estn dadas por:
Solucin:
Otro ejemplo para de cmo escribir las ecuaciones dinmicas de un
sistema mecnico en
movimiento de traslacin, se considera el de la figura anterior.
Ya que el resorte se deforma
cuando est sujeto a una fuerza u(t), se deben de asignar dos
desplazamientos, y1 y y2, a los
extremos del resorte. Los diagramas de cuerpo libre del sistema
se presentan a
continuacin:
m k(y1-y2)
y2(t)
k
k(y1-y2) u(t)
y1
Por lo tanto las ecuaciones de movimiento son:
Estas ecuaciones se arreglan de nuevo como:
EDO de segundo orden
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En ecuaciones de estado, es decir, como un conjunto de 2
ecuaciones de primer orden,
definimos y
.
Ecuaciones de estado
Donde u(t) es nuestra entrada al sistema
Determinando ahora la funcin de transferencia del sistema
considerando las condiciones
iniciales iguales acero:
Funcin de transferencia
b) Usando Matlab determine la solucin de las EDO.
Respuesta temporal del sistema
Las entradas a aplicarse son:
Impulso unitario.
Rampa unitaria.
Funcin seno.
Respuesta del sistema ente una entrada impulso unitario
Se definen los parmetros del sistema de la siguiente manera:
m = 0.25
= 0.5
Instrucciones en Matlab
>> num=[0 0 1];
>> den=[0.25 0.5 0];
>> impulse(num,den)
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Modelado de sistemas mecatrnicos
>> grid on
Figura 16.
Opcin 2
>> s=tf('s')
Transfer function:
s
>> G=(1)/(0.25*s^2+0.5*s);
>> impulse(G,3)
>> grid on
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Figura 17. La respuesta obtenida para una entrada impulso
unitario es tpicamente una
respuesta crticamente amortiguada.
Respuesta del sistema ente una entrada rampa unitaria
Instrucciones en Matlab
>> syms s
>> G=(1)/(0.25*s^2+0.5*s);
>> U=1/s^2;
>> Y=G*U;
>> y=ilaplace(Y);
>> ezplot(y,[0 10 -5 5],1)
>> ezplot(y,[0 10 -5 100],1)
>> grid on
Francisco JuradoResaltado
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Figure 18.
Representacin y anlisis mediante diagrama a bloques
Figura 19.
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Figura 20. Respuesta del sistema ente una entrada impulso. Ntese
que es similar al caso
anterior.
Para el caso de una entrada senoidal
Figura 21.
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3) Sistema masa-resorte- amortiguador II
Considere el sistema masa resorte amortiguador mostrado a
continuacin:
m
z(t)
kc
Figura 22.
El sistema es excitado mediante el movimiento del soporte con
movimiento prescrito z(t).
Defina un conjunto de coordenadas suficiente para describir el
movimiento del sistema y
determine las ecuaciones de movimiento del sistema y determine
las ecuaciones de
movimiento en trminos de estas coordenadas. Determine el orden
del sistema y exprese el
modelo en forme de variables de estado. Determine la solucin del
sistema usando Matlab.
Sistema con el conjunto de coordenadas propuestas (x1 y x2)
m
z(t)
kc
x1 x2
A
Ecuaciones de movimiento del sistema.
Sistema de tercer orden
Definiendo las variables de estado como:
,
y
Francisco JuradoComentario en el textoCul es el orden del
sistema?
Francisco JuradoResaltado
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Ecuaciones de estado
Donde es la entrada al sistema.
Solucin en Matlab
Figura 23. Respuesta del sistema ante una entrada escaln
unitario con los parmetros
iguales a los anteriores casos. Para este ejemplo podemos notar
como se inicia con
desplazamiento sin alteracin y despus de un tiempo el sistema
empieza a oscilar de una
manera subamortiguado.
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Figura 24. Respuesta del sistema ante una entrada impulso. Como
se observa es
prcticamente similar a la anterior.