SISTEMAS DINÁMICOS SISTEMAS DINÁMICOS UNIDIMENSIONALES
SISTEMAS DINÁMICOS
SISTEMAS DINÁMICOS UNIDIMENSIONALES
Sistema dinámico = Recurrencia
x0 → x1 → x2 → x3 → x4········f f f f
Problemas: •Hacia donde evoluciona la órbita de x0según iteramos f.
•Como varía este comportamiento segúnvaría el punto inicial
•La ecuación de Maltusxk+1 = xk + d xk = (1+d) xk =c xk .
Solución: xk =ck x0. •La curva de Verhulst
xk+1 = xk + d xk(1- xk)=(1+d) xk - d xk2La población máxima admisible es 1 (normalizando). Si se pasa de 1 el crecimiento se hace negativo.
•La parábola logística de May
xk+1 = c(1- xk) xk.
Ejemplos de sistemas dinámicos
1,1.25,1.5625,1.953125,2.4414062,3.05175781,3.81469726,4.76837158,5.96046447,7.45058059,9.31322574,11.6415321,14.5519152,18.1898940,22.7373675,28.4217094,35.5271367,44.4089209,55.5111511,69.3889389,86.7361737,108.420217,135.525271,169.406589,211.758236,264.697796,330.872245,413.590306,516.987882,646.234853,807.793566,1009.74195,1262.17744,1577.72181,1972.15226,2465.19033,3081.48791,3851.85989,4814.82486,6018.53107,7523.16384,9403.95481,11754.9435,14693.6793,18367.0992,22958.8740,28698.5925,35873.2407,44841.5508,56051.9386,70064.9232,87581.1540,109476.442,136845.553,171056.941,213821.176,267276.471,... → ∞
Si xk+1=xk+0.25xk = 1.25xk, para x0=1 se obtieneAlgunos cálculos
1,0.75,0.5625,0.421875,0.3164062,0.23730468,0.1779785156,0.1334838867,0.1001129150,0.0750846862,0.0563135146,0.0422351360,0.0316763520,0.0237572640,0.0178179480,0.0133634610,0.0100225958,0.00751694685,0.00563771014,0.00422828260,0.00317121195,0.00237840896,0.00178380672,0.00133785504,0.00100339128,0.00075254346,0.000564407595,0.000423305696,0.000317479272,0.00023810945,0.000178582090,0.000133936568,0.00010045242,0.000075339319,0.000056504489,0.00004237836,0.000031783775,0.000023837831,0.00001787837,0.000013408780,0.000010056585,0.00000754243,0.000005656829,0.000004242621,... → 0
Si xk+1=xk-0.25xk = 0.75xk, para x0=1 se obtieneAlgunos cálculos
0.75,0.046875,0.011169433593,0.002761169336,0.0006883863201575175,0.0001719781111079343,0.0000429871336593085299989340515355,0.0000107463214414120716856412916155,0.00000268655148949688738320380729340,0.000000671636067984495416314901905875,0.000000167908904222371899660288287527,0.0000000419772190072429456256570833410,0.0000000104943043112890075109046634555,0.00000000262357605028964613324140329980,0.000000000655894010851623710396995870855,0.000000000163973502605356689231491497321,0.000000000040993375644617344918705645092,0.000000000010248343910734222017991,... → 0
Si xk+1 = 0.25 (1- xk) xk, para x0=0.75 se obtieneAlgunos cálculos
0.3333333333333333333,0.8888888888888888888,0.3950617283950617284,0.9559518366102728242,0.1684316907668762969,0.5602498252491506198,0.9854798342297872498,0.0572373222248731686, 0.2158448446775968347,0.6770233908148037284, 0.8746508764177170517,0.4385468831977460203,0.9848940577411541184,0.0595110110692731829,0.2238778025231441105,0.6950261282422087962,0.8478592372114141141,0.5159758043467725043,0.9989790947018945790,0.0040794522019108850,0.0162512410865728378,0.0639485529988756988,0.2394365422729027386,0.7284267379891967940,0.7912849014864593527,0.6606124246640946797,0.896814596174,...
Si xk+1 = 4 (1- xk) xk, para x0=1/3 se obtieneAlgunos cálculos
saltamos 1000 términos...,
0.9744108786922241935,0.0997372727138869626,0.3591589965819308070,0.9206552470247656876, 0.2921966526021334323,0.8272710752409663280, 0.5715745732424870259,0.9795083218606234410, 0.0802870770656350231,0.2953642492875672233, 0.8324968381214362733,0.5577834105569896086, 0.9866443098576095273,0.0527092627328437062,0.1997239854200150394,0.6393372602718426376, 0.9223405115997471334,0.2865139690466554279, 0.8176948583511504130,0.5962799079089698985,0.9629207173321611022,0.1428176378587095985,0.4896830407006723094,0.9995742414032640635, 0.0017023093054129675,0.0067976457937666879, 0.0270057512217166961,... → ¿?
Si xk+1 = 4 (1- xk) xk, para x0=1/3 se obtieneAlgunos cálculos
Análisis gráfico
La órbita de cualquier punto en [0,1) tiende a 0
Sea f(x)=x2
•Empezamos en un punto p en el eje OX. •Nos movemos verticalmente hasta intersecarla gráfica de f(x)
•Nos movemos verticalmente - hacía arriba o hacía abajo - hasta intersecar la gráfica de f(x).
•Nos movemos horizontalmente hasta intersecar la diagonal y=x.
•Se repiten los pasos 3 y 4 para generar nuevos puntos.
Análisis gráfico
>analisisgrafico:=proc(f,p,n,d,e)>local p0,p1,a,l,k,b,p2;>p0:=plot([[p,0]],x=d..e,d..e,style=point,symbol=BOX);>p1:=plots[display]([plot(f,x=d..e,y=d..e,color=blue),
plot(x,x=d..e,y=d..e,color=black,linestyle=4)]):> a:=evalf(p);> l:=[[a,0]];> for k from 1 to n do;> b:=f(a);> l:=[op(l),[a,b],[b,b]];> a:=b;> od; > b:=f(a); l:=[op(l),[a,b]]: > p2:=plot(l,d..e,d..e,style=line,color=red):> plots[display]({p0,p1,p2},scaling=constrained);> end:
Análisis gráfico
Sea L:I⊂IR→IR una aplicación lineal, esto es, L(x)=a·x con a∈IR. La órbita de 1 es
La órbita de un punto genérico p es 1, a, a2, a3, a4, a5, a6, ...
p, a ·p, a2 ·p, a3 ·p, a4 ·p, a5 ·p ...
Dinámica de las aplicaciones lineales
excepto para p=0 que se tiene
Si a=1: p, p, p, p, p, p, ... → p0, 0, 0, 0, 0, 0 ... → 0
Si |a|1: p, a ·p, a2 ·p, a3 ·p, a4 ·p, a5 ·p, ... → ∞
Si a=-1: p, -p, p, -p, p, -p, ... oscilaexcepto para p=0 que se tiene
0, 0, 0, 0, 0, 0 ... → 0
Dinámica de las aplicaciones lineales
Análisis gráfico para f(x)=ax (0
Análisis gráfico para f(x)=ax (-1
Análisis gráfico para f(x)=ax (a>1)
La órbita de cualquier punto de IR tiende a en módulo a ∞
Análisis gráfico para f(x)=ax (a
Análisis gráfico para f(x)=ax (a=1)
Cualquier punto de IR es invariante
Análisis gráfico para f(x)=ax (a=-1)
El punto 0 es invariante.La órbita de cualquier punto de IR-{0} es p→-p→p
Puntos fijosSea f:I⊂IR→IR.
ξ es un punto fijo de f si f(ξ)= ξ.
Teorema. Sea f:I⊂IR→IR continua.Si la órbita de un punto converge a un punto ξ, ξ ha de ser un punto fijo.
ξ es un punto eventualmente fijo fk+1(ξ)=fk(ξ).
Puntos fijos atractivosSea f:I⊂IR→IR.
existe un entorno U de ξ tal que, para todo x∈U, lim fk(x)=ξ.(ξ atrae las órbitas de los puntos de un entorno)
ξ es un punto fijo atractivo de f si:
El conjunto {x∈I | lim fk(x)=ξ} es la cuenca de atracción de ξ.
Ejemplo de puntos fijos atractivos
f(x)=x3
La cuenca de atracción de 0 es (-1,1)
Caracterización de puntos fijos atractivos
Teorema. Si f∈C1(I) y |f´(ξ)|
Puntos fijos repulsivosSea f:I⊂IR→IR.
ξ es un punto fijo repulsivo de f si:existe un entorno U de ξ tal que, para todo x∈U-{ξ}, existe k tal que fk(x)∉U.(ξ repele las órbitas de los puntos de un entorno)
Teorema. Si f∈C1(I) y |f´(ξ)|>1 entonces ξ es un punto fijo repulsivo.
Ejemplo de punto fijo repulsivo
f(x)=x(1/3)
0 repele todos los puntos de (-1,1)
Puntos fijos indiferentesSi f∈C1(I) y ξ es un punto fijo tal que |f´(ξ)|=1 entonces x es un punto fijo indiferente.
Teorema. Si f∈C1(I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que |f´(x)|
Ejemplo de punto fijo indiferente atractivo
f(x)=x-x3
La cuenca de atracción de 0 contiene a (-1,1 )
Puntos fijos indiferentes repulsivos
Teorema. Si f∈C1(I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que |f´(x)|>1 para los x cercanos a ξ, entonces ξ es un punto fijo indiferente repulsivo.
f(x)=x+x3
Ejemplo de punto fijo indiferente repulsivo
0 repele todos los puntos de IR
Puntos fijos indiferentes
Ejercicio. ¿Qué ocurre si f∈C1(I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que f´(x)=1, 0ξ?
Puntos periódicosSea f:I⊂IR→IR.ξ es un punto periódico de f si ∃k t.q. fk(ξ)= ξSe llama periodo de ξ al menor k t.q. fk(ξ)= ξ
Todos los puntos del ciclo {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)} sonperiódicos de periodo kξ es eventualmente periódico si existen p y k tales que fk+p(ξ)= fp(ξ)
ξ es k-periódico si y solo si ξ es punto fijo de fk
Puntos periódicos atractivos (repulsivos)Sea f:I⊂IR→IR.ξ es un punto k-periódico atractivo (repulsivo) de f si y solo si ξ es un punto fijo atractivo (repulsivo) de fk.
La cuenca de atracción de {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)}es el conjunto {x∈I | lim (fk)n(x)∈ {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)}}
Si f es continua, todos los puntos del ciclo {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)} son atractivos (o repulsivos) simultáneamente.
Teorema. Si f∈C1(I) y ξ es un punto k-periódico tal que |(fk)´(ξ)|1, entonces x es un punto k-periódico repulsivo.
Puntos periódicos atractivos (repulsivos)
Ejemplo de ciclo atractivo
f(x)=-x1/3
Cuenca de atracción:IR-{0}
f(x)=-x3
Ejemplo de ciclo repulsivo
El ciclo {-1,1} repele todos los puntos deIR-{0,1,-1}
Los puntos fijos indiferentes son poco frecuentes, aunque en familias de sistemas dinámicos siempre aparecerán para alguna aplicación. Su aparición lleva emparejada cambios bruscos de comportamiento (bifurcaciones).
Bifurcaciones
Bifurcación tangente (fc(x)=x2+c).
f0.4(x)=x2+0.4
f0.25(x)=x2+0.25
Bifurcación tangente (fc(x)=x2+c).
f0.1(x)=x2+0.1
Bifurcación tangente (fc(x)=x2+c).
Bifurcación transcrítica (fc(x)=c·x·(1-x))
f0.75(x)=0.75·x·(1-x)
f1(x)=x·(1-x)
Bifurcación transcrítica (fc(x)=c·x·(1-x))
f1.5(x)=1.5·x·(1-x)
Bifurcación transcrítica (fc(x)=c·x·(1-x))
Bifurcación horca (fc(x)=c·(x+x3))
f0.7(x)=0.7·(x-x3)
f1(x)=(x-x3)
Bifurcación horca (fc(x)=c·(x+x3))
f1.3(x)=1.3·(x-x3)
Bifurcación horca (fc(x)=c·(x+x3))
Sea f:[a,b]→IR continua tal que f([a,b])⊃[a,b]. Entonces f tiene al menos un punto fijo.
a ba
b
Teorema del punto fijo
Teorema de Sarkovskii
Sea f: IR→IR continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo r.Entonces, para todo k5>7>.....>2*3>2*5>2*7>.............
.............>4*3>4*5>4*7>.....>8>4>2>1, f tiene algún punto periódico de periodo k.
Teorema de Li y Yorke (Periodo 3 implica caos).Sea f:IR→IR continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo 3. Entonces f tiene puntos periódicos de todos los periodos.
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
I1 I1
I0I0
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
Supongamos a
I1 I1
I0I0I0I0I0I0
A0
A1
An-1An-2
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
Cada par de Ai´s tienen a lo sumo un punto común
I1 I1
I0I0I0I0I0I0
A0
A1
An-1An-2
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
A lo sumo un Ai contiene a b y otro a c
I1 I1
I0I0I0I0I0I0
A0
A1
An-1An-2
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
A lo sumo un Ai contiene a b y otro a c
Existe f : IR → IR continua con un 5-ciclo sin 3-ciclos
f3([3,4])=[0,3]
f3([0,1])=[1,4]f3([1,2])=[2,4]f3([2,3])=[0,4]
Solo puede existir un 3-ciclo en [2,3] pero ahí f3 es decreciente
porque
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
Aplicaciones topológicamente conjugadasSea f:D → D un sistema dinámico.
f
D E
h
h-1
x
f (x)
Sea E otro espacioy sea h:D → E un homeomorfismo.
f
D E
h
h-1 y
h-1(y)
f h-1(y)
h f h-1(y)
g=h f h-1
Sea g:E → E, dada por g(y)=hfh-1(y).Entonces g es un sistema dinámico.
Aplicaciones topológicamente conjugadas
f
D E
h
h-1 y
h-1(y)
f h-1(y)
h f h-1(y)
g=h f h-1
Como g=hfh-1⇒gn=hfnh-1⇒la órbita de y por g es la imagen por h de la órbita de (h-1(y)) por f. Como f=h-1gh ⇒ fn=h-1gnh⇒la órbita de x por f es la imagen por h-1de la órbita de h(x) por g.
Aplicaciones topológicamente conjugadas
f
D E
h
h-1 y
h-1(y)
f h-1(y)
h f h-1(y)
g=h f h-1
Si a es un punto k-periódico de f, entonces h(a) es un punto k-periódico de g. Si además h´ no se anula en la órbita de a ⇒ (gk)´(h(a))= (fk)´(a). En particular, a y h(a) tienen el mismo carácter.
Aplicaciones topológicamente conjugadas
f
D E
h
h-1 y
h-1(y)
f h-1(y)
h f h-1(y)
g=h f h-1
Se dice que f y g sin topológicamente conjugadas e inducen dinámicas equivalentes.
Aplicaciones topológicamente conjugadas
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