Imersão Matemática – Geometria Plana www.gieducacional.com.br 1 1. (Unicamp) Considere o quadrado de lado a 0 exibido na figura abaixo. Seja A(x) a função que associa a cada 0 x a a área da região indicada pela cor cinza. O gráfico da função y A(x) no plano cartesiano é dado por a) b) c) d) 2. (Unesp) Na figura, o losango FGCE possui dois lados sobrepostos aos do losango ABCD e sua área é igual à área indicada em verde. Se o lado do losango ABCD mede 6 cm, o lado do losango FGCE mede a) 2 5 cm. b) 2 6 cm. c) 4 2 cm. d) 3 3 cm. e) 3 2 cm. 3. (Unicamp) Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que AB 2 cm, BC 1cm e CD 5 cm. Então, o ângulo θ é igual a a) 15 . b) 30 . c) 45 . d) 60 . 4. (Unesp) Uma peça circular de centro C e raio 12 cm está suspensa por uma corda alaranjada, perfeitamente esticada e fixada em P. Os pontos T e Q são de tangência dos segmentos retilíneos da corda com a peça, e a medida do ângulo agudo ˆ TPQ é 60 . Desprezando-se as espessuras da corda, da peça circular e do gancho que a sustenta, calcule a distância de P até o centro C da peça. Adotando 3,1 π e 3 1,7 nas contas finais, calcule o comprimento total da corda. 5. (Fuvest) O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB 3 e BC 4. O ponto P pertence ao lado BC e BP 1. Os pontos R, S e T pertencem aos lados AB, CD e AD, respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo a AB.
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Imersão Matemática Geometria Plana - gieducacional.com.br · Imersão Matemática – Geometria Plana 3 Se o total da área decorada com cada um dos dois tipos de papel é a mesma,
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Imersão Matemática – Geometria Plana
www.gieducacional.com.br 1
1. (Unicamp) Considere o quadrado de lado a 0
exibido na figura abaixo. Seja A(x) a função que
associa a cada 0 x a a área da região indicada
pela cor cinza.
O gráfico da função y A(x) no plano cartesiano é
dado por
a)
b)
c)
d) 2. (Unesp) Na figura, o losango FGCE possui dois
lados sobrepostos aos do losango ABCD e sua área
é igual à área indicada em verde.
Se o lado do losango ABCD mede 6 cm, o lado do
losango FGCE mede
a) 2 5 cm.
b) 2 6 cm.
c) 4 2 cm.
d) 3 3 cm.
e) 3 2 cm.
3. (Unicamp) Considere o triângulo retângulo ABD
exibido na figura abaixo, em que AB 2 cm,
BC 1cm e CD 5 cm. Então, o ângulo θ é igual a
a) 15 . b) 30 . c) 45 . d) 60 . 4. (Unesp) Uma peça circular de centro C e raio
12 cm está suspensa por uma corda alaranjada,
perfeitamente esticada e fixada em P. Os pontos T e
Q são de tangência dos segmentos retilíneos da
corda com a peça, e a medida do ângulo agudo ˆTPQ
é 60 .
Desprezando-se as espessuras da corda, da peça circular e do gancho que a sustenta, calcule a
distância de P até o centro C da peça. Adotando
3,1π e 3 1,7 nas contas finais, calcule o
comprimento total da corda. 5. (Fuvest) O retângulo ABCD, representado na
mesa de bilhar com formato circular, recebe uma tacada e se desloca em um movimento retilíneo. A
bola atinge a borda no ponto R e é refletida
elasticamente, sem deslizar. Chame de Q o ponto da
borda diametralmente oposto a P e de θ a medida do
ângulo QPR.
a) Para qual valor de , após a primeira reflexão, a
trajetória da bola será paralela ao diâmetro PQ?
b) Para qual valor de , após a primeira reflexão, a
trajetória da bola será perpendicular a PQ?
c) Supondo agora que 30 60 , encontre uma
expressão, em função de , para a medida a do
ângulo agudo formado pela reta que contém P e Q
e pela reta que contém a trajetória da bola após a primeira reflexão na borda.
7. (Fuvest) São dadas três circunferências de raio r,
duas a duas tangentes. Os pontos de tangência são
1P , 2P e 3P .
Calcule, em função de r,
a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira;
b) a área do hexágono não convexo cujos lados são
os segmentos ligando cada ponto 1P , 2P e 3P aos
dois vértices do triângulo T mais próximos a ele. 8. (Unicamp) A figura abaixo exibe um quadrilátero
ABCD, onde AB AD e BC CD 2 cm.
A área do quadrilátero ABCD é igual a
a) 22 cm .
b) 22 cm .
c) 22 2 cm .
d) 23 cm .
9. (Unesp) Renata pretende decorar parte de uma
parede quadrada ABCD com dois tipos de papel de
parede, um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto prevê que a parede seja dividida
tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é igual
a
a) 1 2 3
b) 2 2 3
c) 2 3
d) 1 3
e) 4 3 10. (Unesp) Uma mesa de passar roupa possui
pernas articuladas AB e CD, conforme indica a
figura. Sabe-se que AB CD 1m, e que M é ponto
médio dos segmentos coplanares AB e CD. Quando
a mesa está armada, o tampo fica paralelo ao plano
do chão e a medida do ângulo ˆAMC é 60 .
Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e
da espessura do tampo e adotando 3 1,7, a altura
do tampo dessa mesa armada em relação ao plano do chão, em centímetros, está entre a) 96 e 99.
b) 84 e 87.
c) 80 e 83.
d) 92 e 95.
e) 88 e 91.
11. (Fuvest) Os pontos A, B e C são colineares,
AB 5, BC 2 e B está entre A e C. Os pontos C
e D pertencem a uma circunferência com centro em
A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento
BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P
a interseção de r com AD. Então, AP BP vale a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 12. (Fuvest) Na figura, o retângulo ABCD tem lados
de comprimento AB 4 e BC 2. Sejam M o ponto
médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os
segmentos AM e AC interceptam o segmento BN
nos pontos E e F, respectivamente.
A área do triângulo AEF é igual a
a) 24
25
b) 29
30
c) 61
60
d) 16
15
e) 23
20
13. (Fuvest) Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O
primeiro voa diretamente para o norte, até atingir o paralelo de Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade. a) Desprezando as variações de altitude, qual avião
terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique sua resposta.
b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a Terra seja esférica.
Note e adote:
cos 56 0,56; sen 56 0,83; cos 16 0,96; sen 16 0,28
Latitude e longitude de Brasília: 16 S e 48 W
Latitude e longitude de Moscou: 56 N e 37 E
Raio da Terra: 6.400 km
14. (Unicamp) Considere o triângulo exibido na figura
15. (Fuvest) Na figura abaixo, a circunferência de
centro em O e raio r tangencia o lado BC do
triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta AB no
ponto E. Os pontos A, D e O são colineares,
AD 2r e o ângulo ACO é reto. Determine, em
função de r,
a) a medida do lado AB do triângulo ABC;
b) a medida do segmento CO.
16. (Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de
raio r que tangencia internamente um setor circular de
raio R e ângulo central .θ
a) Para 60 ,θ determine a razão entre as áreas do
círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r. 17. (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.
A medida do ângulo θ é igual a
a) 105 . b) 120 .
c) 135 . d) 150 . 18. (Unicamp) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m2. b) 2,0 m2. c) 1,5 m2. d) 3,5 m2. 19. (Fuvest) Uma circunferência de raio 3 cm está
inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB AC.
A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O
comprimento de BC é, portanto, igual a a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm 20. (Unicamp) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com
comprimento de 1cm e um lado com comprimento de
xcm.
a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.
21. (Fuvest) Uma das piscinas do Centro de Práticas
Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) 1.600 m2 b) 1.800 m2 c) 2.000 m2 d) 2.200 m2 e) 2.400 m2 22. (Unesp) Uma semicircunferência de centro O e
raio r está inscrita em um setor circular de centro C e
raio R, conforme a figura.
O ponto D é de tangência de BC com a
semicircunferência. Se AB s, demonstre que
R s R r r s.
23. (Fuvest)
Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A’, B’, C’ e D’, de modo que os
novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’.
Dado que AB 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB’C’; c) quadrilátero A’B’C’D’. 24. (Unicamp) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas:
20, 15 e 10. AB BC AC
a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que
3BD e traça-se o segmento DE paralelo ao lado
AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H.
b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC.
25. (Unicamp) Na figura abaixo, ABC e BDE são
triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a,
respectivamente, e o ângulo ˆCAB 30 . Portanto, o
comprimento do segmento CE é:
a) 5
a3
b) 8
a3
c) 7
a3
d) a 2 26. (Unicamp) Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km.
a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que
cos( ) 3 / 4.θ Determine a distância d entre o ponto
C e o satélite. 27. (Unesp) Um professor de geografia forneceu a
seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e
Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e
160km. Um dos alunos observou, então, que as
distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.
Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de
a) 80 2 5 3
b) 80 5 2 3
c) 80 6
d) 80 5 3 2
e) 80 7 3
28. (Fuvest) O segmento AB é lado de um hexágono
regular de área 3 . O ponto P pertence à mediatriz
de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale
2 . Então, a distância de P ao segmento AB é igual
a
a) 2
b) 2 2
c) 3 2
d) 3
e) 2 3 29. (Fuvest)
Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à
reta CD no ponto D, o qual pertence à reta AO . Além
disso, A e B são pontos da circunferência, AB 6 3
e BC 2 3 . Nessas condições, determine
a) a medida do segmento CD ;
b) o raio da circunferência; c) a área do triângulo AOB; d) a área da região hachurada na figura. 30. (Unesp) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi
sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que
cos 0,934 , onde é o ângulo Epicentro-Tóquio-
Sendai, e que 8 22 3 93,4 215 100 , a velocidade
média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600. 31. (Fuvest) As circunferências C1 e C2 estão
centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 = 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma
reta t é tangente a C1 no ponto P1, tangente a C2 no
ponto P2 e intercepta a reta 1 2O O no ponto Q. Sendo
assim, determine a) o comprimento P1P2; b) a área do quadrilátero O1O2 P2P1; c) a área do triângulo QO2P2. 32. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale
a) 1 3
b) 2 3
c) 3 3
d) 3 2 3
e) 3 3 3 33. (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A de
uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o
pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e
valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5.
b) 12,5 2 . c) 25,0.
d) 25,0 2 . e) 35,0. 34. (Fuvest) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio
de AB , N é o ponto médio de BC e 14MN4
.Então, DM é igual a
a) 2
4
b) 2
2
c) 2
d) 3 2
2
e) 5 2
2
35. (Fuvest) No triangulo ABC da figura, a mediana
AM, relativa ao lado BC, e perpendicular ao lado AB.
Sabe-se também que BC 4 e AM 1. Se α é a
medida do ângulo ABC, determine
a) sen .α
b) o comprimento AC.
c) a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB.
d) a área do triangulo AMC.
36. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é retângulo
com catetos BC 3 e AB 4. Além disso, o ponto D
pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e
de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q
deve-se jogar a bola branca? 38. (Unesp) A figura representa uma chapa de
alumínio de formato triangular de massa 1.250
gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao
lado BC e, que intercepta o lado AB em D e o lado
AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700
gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor
percentual da razão de AD por AB.
Dado: 11 3,32.
a) 88,6. b) 81,2.
c) 74,8. d) 66,4. e) 44,0.
39. (Fuvest) Na figura, os pontos A, B, C pertencem à
circunferência de centro O e BC .α A reta OC é
perpendicular ao segmento AB e o ângulo AOB
mede 3
π radianos. Então, a área do triângulo ABC
vale:
a) 2
8
α
b) 2
4
α
c) 2
2
α
d) 23
4
α
e) 2α 40. (Fuvest) Na figura, B, C e D são pontos distintos
da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a
ela. Além disso,
(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede б radianos.
Nessas condições, a medida de AB̂ O, em radianos, é