Il piano fattoriale a due fattori • Esempio di piano fattoriale: il caso della progettazione robusta di batterie Tipo di Materia le Temperatura (°F) 15 70 125 1 130 155 34 40 20 70 74 180 80 75 82 58 2 150 188 136 122 25 70 159 126 106 115 58 45 3 138 110 174 120 96 104 168 160 150 139 82 60 1. Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie? 2. C’è una scelta di materiale suscettibile di dare una durata elevata, indipendentemente dalla temperatura (batteria Durata Batterie
Durata Batterie. Il piano fattoriale a due fattori. Esempio di piano fattoriale: il caso della progettazione robusta di batterie. Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie? - PowerPoint PPT Presentation
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Il piano fattoriale a due fattori
• Esempio di piano fattoriale: il caso della progettazione robusta di batterie
Tipo di Materiale
Temperatura (°F)
15 70 125
1130 155 34 40 20 70
74 180 80 75 82 58
2150 188 136 122 25 70
159 126 106 115 58 45
3138 110 174 120 96 104
168 160 150 139 82 60
1. Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie?2. C’è una scelta di materiale suscettibile di dare una durata elevata,
indipendentemente dalla temperatura (batteria robusta al temperatura)
Durata Batterie
Il piano fattoriale a due fattori
• Piano completamente causalizzato
abnababnaaanaaa
bnbbnn
bnbbnn
yyyyyyyyy
yyyyyyyyy
yyyyyyyyy
,...,,...,...,,,...,,
............
,...,,...,...,,,...,,
,...,,...,...,,,...,,
212222111211
222122222222121212211
121111212212111112111
Fattore B1 2 … b
Fat
tore
A
1
2
…
a
Osservazione generica alla k-esima replicazione: yijk
nereplicazioesima k
B Fattorelivello esimoj
A Fattorelivello esimoi
k
j
i
Il piano fattoriale a due fattori
• Piano completamente causalizzato
abnababnaaanaaa
bnbbnn
bnbbnn
yyyyyyyyy
yyyyyyyyy
yyyyyyyyy
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............
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212222111211
222122222222121212211
121111212212111112111
Fattore B1 2 … b
Fat
tore
A
1
2
…
a
Modello a fattori fissi con effetti dei trattamenti definiti come scarti dalla media generale:
colonna eriga di fattori tra einteraziondell' effetto
colonna B di Fattoredel livello esimoj del effetto
Ariga di Fattoredel livello esimoidell' effetto
generale medio effetto
ji
j
i
jijiij
ijkijijkjijiijkY
dove
,
0
0
0
11
1
1
b
j ij
a
i ij
b
j j
a
i i
Il piano fattoriale a due fattori
• L’interesse è rivolto a valutare ipotesi sull’eguaglianza di effetti di riga, colonna e di interazione
0)( un almeno:
,0)(:
:eInterazion
0 un almeno:
0...:
:colonna di Effetto
0 un almeno:
0...:
:riga di Effetto
1
0
1
210
1
210
ij
ij
i
a
i
a
H
i,jH
H
H
H
H
H0 = Nessun Effetto
H1 = Presenza Effetto
Il piano fattoriale a due fattori
abn
YYYY
bj
ai
n
YYYY
bjan
YYYY
aibn
YYYY
yyyy
y
y
y
y
a
i
b
j
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a
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ii
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ij..j.i
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i
......1 1 1...
..1.
....1 1..
....1 1..
.....
...
..
;
,...,2,1
,...,2,1 , ;
,...,2,1 , ;
,...,2,1 , ;
:mentematematica Espresso
,, ,:medie rispettive le con
niosservazio le tuttedi generale totale
esima-ijcella nella niosservazio delle totale
Bfattore del esimo-j livello col effettuate niosservazio delle totale
A fattore del esimo-i livello col effettuate niosservazio delle totale
Il piano fattoriale a due fattori
• La somma dei quadrati totale corretta può essere scritta come:
2
1 1 1 .
1 1
2
........1
2
.....1
2
.....
2
1 1 1.........
..........2
1 1 1 ...
a
i
b
j
n
k ijijk
a
i
b
j jiij
b
j j
a
i i
a
i
b
j
n
kijijkjiij
jia
i
b
j
n
k ijk
YY
YYYYnYYanYYbn
YYYYYY
YYYYYY
Giacché i sei prodotti incrociati che provengono dallo sviluppo del lato destro sono nulli, si noti che la somma dei quadrati totale è stata scomposta in una somma dei quadrati dovuta alle sole righe, alle sole colonne, all’interazione tra i fattori A e B e all’errore:
EABBAT SSSSSSSSSS
Riarrangiando
Il piano fattoriale a due fattori
• Il numero di gradi di libertà associati a ciascuna somma dei quadrati è:
1
1
11
1
1
abnTotale
nabErrore
baABeInterazion
bB
aA
libertàdiGradiEffetto
I gradi di libertà dei fattori sono pari al numero di livello meno 1. I gradi di libertà delle interazioni sono dati dal numero delle celle – 1 a cui vanno sottratti i gradi di libertà dei singoli fattori. Infine, il grado di libertà dell’errore è dato dal grado di libertà di ciascuna casella del piano sperimentale, cioè n-1, moltiplicato il numero di caselle ab.
Il piano fattoriale a due fattori
• Ciascuna somma dei quadrati divisa per i propri gradi di libertà è un quadrato medio con valore atteso E(MS) dato da (D.C. Montgomery, Progettazione ed Analisi degli Esperimenti, pp. 74-79):
2
1 1
2
2
1
2
2
1
22
1)(
1111)(
11)(
11)(
nab
SSEMSE
ba
n
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SSEMSE
b
an
b
SSEMSE
a
bn
a
SSEMSE
EE
a
i
b
jABAB
b
jBB
a
iAA
ij
j
i
Termini pari a 0 solo in caso di validità dell’ipotesi nulla H0, cioè in caso di assenza di effetti di riga, colonna e incrociati
Dimostrazione esemplificativa
Il piano fattoriale a due fattori
ti! trattameniper opera si Similmente
)(
:ha si nullo atteso valorehanno contengono che prodotti doppi i che infine, ed, erroredell' atteso valoreil nullo assunto
stato essendo termineil che presente tenendoquantità, delle atteso valoreil calcolando quadrato, al Elevando
1
1
1)(
:modello il poi, o,Sostituend
1
1
1)(
:quindi e ,/1/21
1)(
,...,2,1
,...,2,1 , ; :che presente però Tenendo
21
1
1)(
:cui da , :edefinizionPer
1)(
2
22
1 1 1 1
2
11
2
1 1 1 1
2
1
2
1 1 1 1 1
2
1
2
1
2
..1.
1 1 1
2.
2
2
1 1 1 .
2
1 1 1 .
2
.
..
.
E
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a
i
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a
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b
j
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k ijkjiji
n
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ijkjijiijk
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a
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n
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E
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j
n
k ijijkE
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Yn
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YnYnYEnab
MSE
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YYYYEnabnab
YYEMSE
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nab
SSEMSE
ijk
ijijk
ijijijk
ijijk
Il piano fattoriale a due fattori
• Per verificare la significatività di entrambi i fattori e della loro interazione è sufficiente dividere il corrispondente quadrato medio per il quadrato medio dell’errore.
• Valori elevati di tale rapporto stanno ad indicare che i dati non confermano l’ipotesi nulla H0 e che quindi vige l’ipotesi H1
Il piano fattoriale a due fattori
• Se i termini di errore ijk sono distribuiti normalmente ed indipendentemente con varianza costante 2:Origine della