Il campo elettrico

1

Il campo elettrico

221

r

qqkF

2q

=> Otteniamo un campo che descrive solo l’effetto della carica q1

Lo chiamiamo campo elettrico,

Ci immaginiamo la piccola “carica di prova” "0" 2 q

E

Direzione di : verso la carica negativa

-E

e dividiamo il campo di forza

per la “carica di prova”

2qFE

Viene misurato in Newton al CoulombC

N

2

"0" 2 qPer essere più precisi, vuol dire che q2 è molto piccolo paragonato con q1

Le particelle elementari non solo hanno un momento angolare ben definito, ma una carica elettrica ben definita, la loro carica è “quantizzata”

L’elettrone ha carica “– e”, con Ce 19106,1

Il quark u ha

Il quark d ha

equ 32eqd 3

1

Il protone (u,u,d) ha carica

Il neutrone (u,d,d) ha carica

eeee 31

32

32

031

31

32 eee

E anche la carica si conserva, esempio ee

3

Legge di Gauss

A

areaA

A

Precedentemente abbiamo considerato la densità delle line di campo in funzione della distanza da una carica per ottenere la legge di Coulomb.

L’argomento può essere generalizzato in forma matematica:

Elemento di superficie con vettore

normale sulla superficie e

Il flusso del campo attraverso questo elemento di superficie èE

AE

Per una superficie “grande”, composta da tanti elementi, si applica AE

4

Per superficie chiuse,

A

sfera

punta verso l’esternoA

In generale, la direzione di dipende dalla direzione della curva, che definisce la superficie

A

curva che definisce la superficie

A

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Superficie gaussiana di forma cilindrica, l’asse del cilindo sia parallelo al campo. Campo elettrico uniforme E.

Quanto vale il flusso del campo elettrico per questa superficie chiusa?

cba

AdEAdEAdEAdE

AEdAEdAEAdEa

)180cos( 0

AEdAEAdEc

)0cos( 0

0)90cos( 0 dAEAdEb

00 AEAE

6

idAAd

Cubo gaussiano in campo elettrico non uniforme

(E in N/C, x in m)

Quanto vale il flusso elettrico attraverso la faccia di destra, quella di sinistra e quella superiore?

jixE

0.40.3

Faccia di destra:

Flusso attraverso la faccia destra:

idAAd

dAdA

dAxdAxijdAiidAx

idAjixAdEd

0.90.30.3

0.300.30.40.3

0.40.3

CmNmC

Nd

22 360.40.9

7

Faccia sinistra

CmNCmNs22 120.30.4

idAAd

Faccia superiore

CmNdAdAjjdAjidAx

jdAjixa

2160.40.400.40.3

0.40.3

jixE

0.40.3

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Legge di Gauss (una delle leggi di Maxwell) :

Il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa (moltiplicato con 0) è uguale alla carica, q, racchiusa all’interno della superficie.

qAdE

0 "" Significa un integrale su una superficie chiusa,

anche chiamata “superficie gaussiana”

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Cinque pezzi di plastica carichi e una moneta elettricamente neutra. Una superficie gaussiana S.

Qual è il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie, se

q1=q4=+3.1nC, q2=q5=-5.9nC, q3=-3.1nC

da int00 qAdE

CmN

mNC

CCCqqqq 2

2212

999

0

321

0

int 670)(1085.8

101.3109.5101.3

10

Se scegliamo come superficie una sfera con raggio r, e al centro la carica q, otteniamo:

qrEdAEAdE 2000 4

204

1

r

qE

Legge di Coulomb

Per configurazioni geometriche diverse si sceglie una diversa superficie guassiana, così che il problema diventa il più semplice possibile.

Esempio:

11

Simmetria cilindrica (“carica uni-dimensionale”)

Una superficie gaussiana a forma di cilindro avvolge una sezione di una lunghissima bacchetta cilindrica, carica uniformemente (carica positiva)

Carica per lunghezza h

r

E

EA

hrEAdE 200

La carica racchiusa è: h hhrE 20

rrE

1

2 0

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Lamina carica (positivo) (“carica bi-dimensionale”)

E

E

A

A

++

Con densità di carica superficiale (carica per unità di area)

qAdE

0 diventa AAEAE 002

E

0-dim: 1-dim: 2-dim: costante2

1

r r

1

13

qrEAdE 200 4

2

04 r

qE

00 AdE

Sezione diametrale di un guscio sferico sul quale è distribuita

uniformemente una carica q, con due superfici gaussiane:

Per S2 (r>R):

Visto da fuori (r>R), non importa se la carica è puntiforme,

o se distribuita uniformemente

Per S1 (r<R): la carica racchiusa, q, e’ 0 0 E

Simmetria sferica

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Potenziale (elettrico)

rdrFPPEfP

Pifipot

)(),(

Sia dato un campo :

fP

iP

Epot dipende solo da P0 e P, non dalla

strada che prende il punto

Per esempio )(rF

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qFE

Nel precedente abbiamo detto: se una carica, q, sente una forza F in un campo elettrico, il campo elettrico sarà:

rdFEfP

Pipot

In corrispondenza all’energia potenziale

Possiamo definire il potenziale fra due punti:

rdrEVfP

Pi

)(

fP

iP

L’unita’ di misura è Joule diviso Coulomb, che viene chiamato “Volt”

C

JV

1

11

16

rdFPPEfP

Pifipot

,Invece di

Possiamo scrivere semplicemente E , e così anche per

qFE

rdFEfP

Pipot

rdrEV

fP

Pi

)(

considerando

Si può esprimere VqE

Spesso , e anche in seguito viene semplicemente dato un punto di

riferimento, e si scrive per semplicità invece di V

V

V

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Energie molto piccole spesso vengono misurate in eV (elettronvolt):

1 eV = energia corrispondente al lavoro richiesto per spostare una carica elementare e (elettrone o protone) attraverso una differenza di potenziale di 1 V.

JCJCVeeV 1919 1060.1)1()1060.1(11

Spostare una carica q per una differenza di potenziale V, richiede (o libera) energia Vq

18

Punti nello spazio che hanno lo stesso potenziale formano una

superficie equipotenziale

=> Carica si può spostare senza lavoro

Percorso non importa,

importano solo Pi, Pf

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Muovere una carica nel camp elettrico senza scambiare energia vuol dire: rdE

cosi che 0 rdE

Superficie equipotenziali sono perpendicolari a

e alle linee di forza

E

Linee di forza (viola), sezioni trasversali di superfici equipotenziali (gialle)

Campo uniforme Campo carica puntiforme Dipolo elettrico

20

rd

Eq

0

+

-

21

Due punti (iniziale e finale, sulla stessa linie di campo), campo elettrico uniforme

Si trovi la differenza di potenziale Vf-Vi, muovendo una carica di prova dal punto iniziale al punto finale lungo un percorso parallelo alla direzione di campo

f

i

if sdEVV

dsEdsEsdE cos

f

i

f

i

f dsEsdEViV

dEdsEVVf

i

if

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Si trovi ora la differenza di potenziale Vf-Vi spostando la carica di prova dal punto iniziale al punto finale lungo il percorso passante per il punto c

:ci sdE

0 ic VV

:fc

f

c

f

c

f

csf dsEdsEsdEVV 00 45cos45cos

045sin)( dfcl

dEdE

VV sf

00

45cos45sin

Come primo

23

Potenziale dovuto a una carica puntiforme

R

if drEVV2

04 r

qE

R

q

r

qdr

r

qV

RR

00

20 4

11

4

1

40

R

qV

04

1

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Capacità elettricaUn sistema che permette di portare una grande quantità di cariche vicino ad un altro insieme di cariche si chiama “Condensatore elettrico”.

La “capacità elettrica” del condensatore indica, “quanta carica” si può immagazzinare in certe condizione (da definire):

Un condensatore viene detto carico, se i suoi piatti possiedono cariche uguali e di segno opposto +q e –q. Però si fa riferimento alla carica di un condensatore, dicendo che è q il valore assoluto di queste cariche sui piatti. (q non è la carica netta per il condensatore nel suo complesso, che è nulla)

V

qC

1 farad= 1F =

1 Coulomb/Volt = 1 C/V

25

26

Calcolare la capacità elettrica (condensatore piano):

qAdE

0Legge di Gauss:

:E

campo elettrico tra i piatti

AdE

AEq 0

a) Differenza di potenziale: dEdsEsdEV

b) Campo elettrico:

d

A

dE

AE

V

qC

00

La costante 2

2120 1085.8

mNC

Si può anche scrivere come m

pFm

F 85.81085.8 120

V

qC

27

Condensatori in serie e in parallelo

condensatore equivalente:

Tre condensatori in parallelo:

Condensatori collegati in parallelo: la differenza di potenziale, applicata al loro insieme, è la stessa differenza di potenziale applicata a ognuno di essi. La carica totale q immagazzinata nei condensatori è la somma delle cariche acquistate da ciascuno di essi.

Più condensatori in parallelo equivalgono a uno unico condensatore che abbia carica pari alla carica totale dei condensatori dati e la medesima loro differenza di potenziale.

significa: VCq 11 VCq 22 VCq 33

VCCCqqqq 321321

321 CCCV

qCeq In generale:

n

jjeq CC

1

28

Tre condensatori collegati in serie:

Condensatori sono in serie : la differenza di potenziale V applicata alla combinazione di condensatori stabilisce su di essi una carica q identica per tutti. La differenza di potenziale V applicata al complesso è la somma della differenza presenti su ogni condensatore.

condensatore equivalente:

Più condensatori in serie equivalgono a un unico condensatore che abbia la medesima carica dei condensatori date e una differenza di potenziale pari alla somma delle loro differenze di potenziale.

11 C

qV

22 C

qV

33 C

qV

321321

111

CCCqVVVV

321

1111

CCCV

qCeq

321

1111

CCCCeq

n

j jeq CC 1

11

29

Due condensatori di 0.2 nF sono collegati in serie ed il loro complesso in parallelo con un condensatore di 100 nF. Calcolare la capacità elettrica equivalente.

C1 = C2 = 0.2 nF e C3 = 100 nF.

La capacità equivalente C12 dei due condensatori in serie risulta

1/C12 = 1/C1 + 1/C2 = (C1 + C2)/(C1 *C2) da cui

C12 = (C1 *C2)/(C1 + C2) = 100 nF .

La capacità equivalente complessiva CT è data dalla relazione CT = C12+C3=200 nF

C1 C2

C3

30

VqE usando E chiamando la differenza di potenziale per brevità V invece di V vediamo:

Con la differenza di potenziale fra i piatti

portando una carica addizionale dq, richiede il lavoro

C

qV

C

qdqVdq

Se portiamo cariche nel condensatore, cominciando da un condensatore scarico (q=0), il lavoro da fare è:

C

qdqq

C

q

2

1 2

0

Data la conservazione di energia, questo è il lavoro immagazzinato come energia potenziale nel condensatore

VqVC 212

21

energia potenziale nel condensatore

31

Un condensatore di 60 F viene caricato a 12V. a) Quanto vale la carica sul condensatore? b) Quanta energia è accumulata nel condensatore?

a) In base alla definizione di capacità la carica sul condensatore è:

b) L’ energia accumulata è:

o invece:

CVFCVQ 720)12)(60(

JVCQVW 4320)12)(720(2

1

2

1

JVFCVW 4320)12)(60(2

1

2

1 22

32

vuotor CC

Se si riempie lo spazio tra i piatti di un condensatore con un materiale isolante,

La capacità aumenta,

Il fattore di aumento viene chiamato r – costante dielettrica relativa

(relativa al vuoto con r=1)

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