İktisatçılar için Matematik

ANKARA ÜNİVERSİTESİ SİYASAL BİLGİLER FAKÜLTESİ YAYINLARI N O : 461

ATATÜRK'ÜN 100. DOĞUM YILINA ARMAĞAN No. 4

HASAN ERSEL

İktisatçılar için

Matematik

ANKARA ÜNIVERSITESI SIYASAL BILGILER FAKÜLTESI Y A Y ı N L A R N O : 4 6 1

ATATÜRK'ÜN 100. DOĞUM YILINA ARMAĞAN No. 4

HASAN ERSEL

iktisatçılar için

Matematik

ZEYNEP'e

A N K A R A Ü N İ V E R S İ T E S İ B A S I M E V İ — A N K A R A " 1 9 8 1

Ö N S Ö Z \

Bu kitap iktisatçılar için yazılmıştır. Amaç, okuyucuyu bir yandan ikti-satta gerekli bazı matematiksel yöntemlerle tanıştırmak, öte yandan da ma-tematiksel düşünmeye alıştırarak doğrudan matematik kitaplarından yarar-lanabilir duruma gelmesine yardım etmektir.

Kitap, okuyucunun lise matematiği ve giriş düzeyinde iktisat bildiği var-sayımı üzerine kurulmuştur. Basit ve matematiksel düşünmeyi öğretici olduğu ölçüde teoremlerin kanıtlarına yer verilmiştir. Ele alınan konularda derinleş-mek isteyen okuyucular için her bölüm sonunda çeşitli düzeylerde kaynaklar verilmiştir. Son olarak, kitabın iktisatçılar için düşünülmüş olması nedeniyle bir yandan iktisat ile ilgili alıştırmalar ve uygulamalara hemen her bölümde yer verilmiş, öte yandan da 16., 20. ve 24. bölümlerde dduğu gibi matematik-sel iktisadın bazı yöntem sorunlarının ana çizgileri ile ele alınması yoluna gi-dilmiştir.

Kitap 1974'den bu yana Siyasal Bilgiler Fakültesinde vermiş olduğum matematik derslerinden kaynaklanmaktadır. Bu süre içinde kitabın bazı bö-lümleri sınırlı sayıda çoğaltılmıştı. Bunlara ilişkin olarak öğrencilerimden, arka-daşlarım Cem Somel (SBF) ve Doç. Dr. Nuri Yıldırım''dan (SBFj bazı eleştiri-ler aldım. Dr. Haluk Erlat (ODTÜ) 21. Bölüm üzerinde eleştirilerde bulundu. Doç. Dr. Yılmaz Akyüz (SBF) ile kitabın tüm yapısını defalarca tartışmak fırsatını elde ettim. Ayrıca kendisi kitabın basımı boyu her aşamasında bana yardım etti. Kitabın bir kısmının düzeltmelerini Esin Yalçın yaptı. Başta sayın Faruk Çınar ve sayın Ali Tekbaş olmak üzere Ankara Üniversitesi Ba-sımevi çalışanları basım süresince büyük emek harcadılar, olağanüstü sabır ve hoşgörü gösterdiler. Kendilerine teşekkürlerimi sunmayı bir borç biliyorum.

Kitapta kalan tüm hatalardan sadece ve sadece ben sorumluyum. Umu-dum, okuyucuların bunları düzeltmemde bana yardımcı olmalarıdır.

Eylül 1980 SBF, Ankara

III

Kitapta Çok Kullanılan Bazı Mantıksal Simgeler ve Karşılıkları

=> ise

o Ancak ve ancak (a.v.a.)

V Tüm

3 Vardır

-3- Öyle ki

İ Ç İ N D E K İ L E R

Sayfa

ÖNSÖZ :'.'. 1 1 1

1. GİRİŞ: İKTİSATTA MATEMATİĞİN ROLÜ 1

2. MANTIKSAL TEMELLER 5

2.1. Bazı Temel Mantıksal Kavramlar 5 2.2. Çıkarım ve Mantıksal İçerme 15 2.3. Matematiksel Kanıtlama Yöntemleri 17

Alıştırmalar 21 Kaynaklar 22

3. KÜME KURAMI 23

3.1. Cantor'un Küme Kuramı 23 3.2. Küme İşlemleri 26 3.3. Venn Çizgeleri 27 3.4. Küme Cebiri , . . . . 27


4. BAĞINTI VE İŞLEV 33

4.1. Sıralanmış İkililer 33 4.2. Bağıntılar ve özellikleri 34 4.3. Bağıntı Türleri 36 4.4. İşlev 37


VII

Sayfa 5. İŞLEMLER VE MATEMATİKSEL YAPILAR 42

5.1. İkili İşlemler , 42 5.2. Matematiksel Yapılar 44


6. DOĞRUSAL CEBİR 51

6.1. İktisatta Doğrusal Bağıntılar 51 6.2. Yöneyler ye Yöney İşlemleri 54 6.3. Yöney Uzayları 60 6.4. Doğrusal Bağıntılar ve Taban 63


7. DOĞRUSAL DÖNÜŞTÜRMELER YE DİZEYLER 68

7.1. Doğrusal Dönüştürmeler ye özellikleri 68 7.2. Doğrusal Dönüştürmelerin Dizey Gösterimi 72 7.3. Dizey İşlemleri 73 7.4. Bazı Dizeyler 79 7.5. Dizeylerin Bölüntülenmesi 83


8. BELİRTEN VE İZ 89

8.1. Belirtenin Hesaplanması 89 8.2. Belirtenlere İlişkin Bazı özellikler 93 8.3. İz 97


9. BASİT İŞLEMLER, AŞAMA VE EVRİK DİZEY 99

9.1. Basit İşlemler 99 9.2. Aşama 103 9.3. Evrik Dizey 108


VIII

10. DOĞRUSAL DENKLEM DİZGELERİ YE ÇÖZÜMLERİ . . . . 111

10.1. Doğrusal Denklem Dizgeleri 111 10.2. Doğrusal Denklem Dizgelerinin Çözümü 112 10.3. Doğrusal Denklem Dizgelerinin Çözömü İçin Yöntem . . . . 121 10.4. Cramer Kuralı 125


11. ÖZGÜL DEĞERLER, ÖZGÜL YÖNEYLER, KÖŞEGENLEŞ-TİRME YE KARESEL BİÇİMLER 129 11.1. özgül Değerler ve özgül Yöneyler 129 11.2. Benzerlik Dönüştürmeleri ve Köşegenleştirme 136 11.3. Karesel Biçimler 141 11.4. Doğrusal Kısıtlar Altında Karesel Biçimler 146 11.5. Kesin ve Yarıkesin Dizeylerin Bazı özellikleri 148


12. EKSİ OLMAYAN KARE DİZEYLER 152 12.1. Leontief'in Girdi-Çıktı Modeli 152 12.2. Eksi Olmayan Kare Dizeyler 154 12.3 Perron-Frobenius Teoremleri 159 12.4. Leontief Modelinin Çözümü 161


13. DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER VE DIŞ BÜKEY KÜMELER . . . 172 13.1. Doğrusal Eşitsizlikler 172 13.2. R" İçindeki Kümelere İlişkin Bazı özellikler 175 13.3. Dışbükey Kümeler 177 13.4. Çok Yüzeyli Kümeler ve Uç Noktalar 183

Kaynaklar 185

14. EREY VE SÜREKLİLİK 187 14.1. Erey 187 14.2. Süreklilik 194


IX

Sayfa 15. TÜREV 200

15.1. Bir Eğrinin Eğimi, Türev ve Türevlenebilirlik 200 15.2. Tek Değişkenli İşlevlerde Türev Alma Kuralları 206 15.3. Çok Değişkenli İşlevlerde Türev 212 15.4. Türevsel, Toplam Türevsel ve Toplam Türev • . . . . 221 15.5. Yöney Değerli İşlevler, Jacobi Dizeyi ve İşlevsel Bağımsızlık . . 226 15.6. örtük İşlevler, örtük İşlev Teoremi ve Evrik İşlev Teoremi . . . 231


15. BÖLÜME EK: Dizeylerin Türevlenmesine İlişkin Bazı Kurallar . . 245

16. İKTİSATTA KARŞILAŞTIRMALI DURAĞAN YÖNTEM . . . . 248

16.1. İktisatta Durağan Yöntem ya da Denge Çözümlemesi . . . . 248 16.2. İktisatta Karşılaştırmalı Durağan Yöntem 252 16.3. Nitel Hesap ve İktisatta Karşılaştırmalı Durağan Yöntem . . . . 262 16.4. Karşılaştırmalı Durağan Bilginin Kaynakları 268

Alıştırmalar 269 Kaynaklar . . . i 270

17. ENİYİLEME SORUNU I: KISITSIZ ENİYİLEME 271 17.1. Uç Değer Kavramı ve Türleri 271 17.2 Seriler, Üs Serileri ve Taylor Teoremi 277 17.3. Tek Bağımsız Değişkenli Türevlenebilir İşlevlerde Yerel İç

Uç Noktanın Bulunması Sorunu 285 17.4. n-Bağımsız Değişkenli Türevlenebilir İşlevlerde Yerel İç Uç

Noktanın Bulunması Sorunu 293 17.5. Tümel Uçların Bulunması: Dışbükey ve İçbükey İşlevler . . . . 299


18. ENİYİLEME SORUNU II: EŞİTLİK KISITLARI ALTINDA ENİYİLEME 305

18.1. Eşitlik Kısıtları Altında Eniyileme Sorunu 305 18.2. Bir Eşitlik Kısıtı Altında Eniyileme 309 18.3. Birden Çok Eşitlik Kısıtı Altında Eniyileme 317


X

Sayfa

19. ENYİLEME SORUNU III: EKSİ OLMAMA VE EŞİTSİZLİK KISITLARI ALTINDA ENİYİLEME 326

19.1. Eksi Olmama Kısıtlarının Varlığı Halinde Eniyileme 326

19.2. Eşitsizlik Kısıtlarının Varlığı Halinde Eniyileme 331

19.3. Kuhn-Tucker Gerekli Koşulları 336

19.4. Lagrange'gil Eğer Noktaları, Yeterli Koşullar 346

19.5. Türevlenebilirlik Koşulunun Kaldırılması: Matematiksel Programlama 349 Alıştırmalar 350 Kaynaklar 351

20. İKTİSATTA ENİYİLEME SORUNLARI VE KARŞILAŞTIR-MALI DURAĞAN YÖNTEM 352

20.1. Eniyileme Sprunlarına Karşılaştırmalı Durağan Yöntemin Uygulanması 352

20.2. Eniyileme Sorununa Karşılaştırmalı Durağan Yöntemin Uygulanmasına Örnek: Maliyet Enazlaması 357

20.3. Zarf Teoremi ve Karşılaştırmalı Durağan Yöntem 359 20.4. ZarfTeoreminin Uygulanmasına Örnek: Viner-Wong Teoremi. 361


21. TÜMLEV 366

21.1. Alan Kavramı 366 21.2. Tümlev Kavramı 370 21.3. Tümlev ile Türev Arasındaki Bağıntı 376 21.4. Tümlevlenebilirlik ve Tümlevleme Kuralları 377 21.5. Bazı Tümlev Alma Yöntemleri 381 21.6. Düzensiz Tümlev 386 21.7. Katlı Tümlev 389 21.8. Tümlevde Değişken Değiştirme 390 21.9. Tümlevin İktisatta Kullanılışına Örnekler 392


XI

Sayfa 22. TÜREVSEL DENKLEMLER 396

22.1. Türevsel Denklem Kavramı ve Türleri 396 22.2. Birinci Sıra Türevsel Denklemler 398 22.3. İkinci Sıra Türevsel Denklemler 410 22.4. Sabit Katsayılı Birinci Sıra Doğrusal Türevsel Denklem Diz-

geleri 420 Alıştırmalar 431 Kaynaklar 433

23. FARK DENKLEMLERİ 435

23.1. Kesikli Zaman ve Fark Kavramları, İşlemleyiciler 435 23.2. Doğrusal Fark Denklemleri 438 23.3. Birinci Sıra Sabit Katsayılı Doğrusal Fark Denklemleri 441 23.4. n-inci Sıra Sabit Katsayılı Doğrusal Fark Denklemleri . . . 446 23.5. Birinci Sıra Sabit Katsayılı Doğrusal Fark Denklemi Dizgeleri. 454


24. KARARLILIK 463

24.1. Lyapunov'un Kararlılık Kuramı 464 24.2. Doğrusal Türevsel Denklem Dizgelerinde Kararlılık 472 24.3. Doğrusal Fark Denklemi Dizgelerinde Kararlılık 475 24.4. İktisatta Karşılaştırmalı Durağan Çözümlemede Kararhlığın

Görevi: Samuelson'un Karşdama İlkesi 478 Alıştırmalar 484 Kaynaklar 485

İNGİLİZCE BAZI TERİMLER VE TÜRKÇE KARŞILIKLARI . . . 487

DİZİN 492

XII

GİRİŞ, İKTİSATTA MATEMATİĞİN ROLÜ

1.

Bölüm

Son 30 yıllık dönemin iktisat yazınına bir göz atacak olursak gittikçe yay-gınlaşan ve yoğunlaşan bir matematik kullanma eğilimini kolayca saptayabi-liriz. Bu eğilim kendisini artık o denli güçlü kabul ettirmiştir ki hemen hemen hiç bir çağdaş iktisatçı, matematikten yararlanmaksızın, iktisat kuramında ya da uygulamalı iktisatta bir şeyler yapmayı aklından geçirmemektedir. Üs-telik bu eğilim çeşitli iktisat okullarını da sarmış durumdadır. Zon zamanlar-da bu eğilim açısından Neoklasik, Marx'çı ve Keynes'çi iktisatçılar arasında bu açıdan bir fark kalmamış gibidir. Farklı tür ve düzeyde olsa da tüm ikti-sat okulları bugün matematik yöntemleri kullanmaktadır.

İktisatta matematik kullanımı bir taraftan yaygınlaşırken öte yandan da hızla yoğunlaşmaktadır. Yani iktisat için gerekli olan matematik giderek ma-tematiğin derinliklerine uzanmağa başlamış ve hatta matematiğin sınırlarım zorlamağa başlamıştır. Bu da iktisadın gerektirdiği matematiğin de üretil-mesine yol açan bir süreci başlatmıştır. Nitekim, 1974 yıbndan bu yana çık-makta olan "Journal of Matematical Economics" adlı dergi, temelde bu işlevi üstlenmiş bir yayın organı niteliğindedir.

İktisatta matematikten yararlanılması yeni bir olay değildir. 1711'de bir İtalyan papazı olan Giovanni Ceva para üzerine yazdığı bir yazıda, cebir-sel ifadeler kullanmış ve böylece iktisatta matematik kullanan ilk kişi unva-nını kazanmıştır. Ceva'nın yazısından sonra D. Bernoulli'nin (1738) faydanın incelenmesine türevsel hesabı sokması, H. Lyold adlı bir İngiliz subayının para üzerine yaptığı deneme (1771), ünlü Alman iktisatçısı J.H. von Thünen'in (1826) kuruluş yeri kuramlarına öncülük eden yapıtı W. Whelwell'in "Siya-sal İktisadın Bazı Doktrinlerinin Matematiksel Sunumu" (1829) başlığını ta-şıyan yazıları gibi, yer yer matematik kullanan çalışmalar ortaya çıkmıştır. Bu dönem için matematiksel iktisadın "emekleme çağı" deyiminin kullanıl-ması doğru olabilir.

Matematiksel iktisadın ortaya çıkışı ise A. Cournot ile olmuştur. Onun, "Reserches sur les Principles Mathematiques de la Theorie des Richessea"

1

(1838) adlı yapıtında değer, istem, sunum, fiyat, tekel, rekabet, oligopol ve vergi gibi konular matematiksel modeller kurularak incelenmişti. Bu nedenle de A. Cournot "matematiksel iktisadın babası" olarak kabul edilmiştir. Aslın-da bu kitap 1870 yılına kadar pekilgi uyandırmıştır. Bu tarihte bir yandan S. Jevons öte yandan L. Walras kitabı keşfetmişler ve önemini ısrarla vurgula-mışlardır. Bu kişilerin öncülük ettiği neoklasik okul (marjinalistler) türevsel hesabı iktisatta yoğun bir biçimde uygulamağa başlamıştır.

XX. yüzyılda matematiğin iktisatta kullanımını etkileyen bir ikinci bo-yut daha ortaya çıkmıştır. Bu da bilgisayarların ve ona bağlı olarak hesap-lama yöntemlerinin geliştirilmesidir. Bu gelişmelerin sonucunda iktisatta göz-lenebilen nicel büyüklükler ile hesap yapma ve istatistiksel yöntemlerden yararlanarak öngörmeye yönelik çalışmalar giderek yaygınlaşmağa başlamış-tır. Bu çalışmalar Ekonometri adını alan bir dalın doğmasına yol açmıştır.

Diğer taraftan XX. yüzyılda iktisat kuramında matematik kullanılması süreci de hızla gelişmiştir. Özellikle K.J. Arrow, G. Debreu ve L. McKenzie gibi iktisatçıların genel denge kuramı1 üzerindeki çalışmaları, türevsel ve tüm-levsel hesabın dışında birçok yeni matematik dalın iktisada kazanılmasına yol açmıştır.

Matematik, iktisada neler kazandırmıştır? Bunun yanı sıra iktisatta ma-tematik kullanırken hangi noktalara dikkat etmelidir? Bu sorunlar özellikle 1950'lerde yoğun olarak tartışılmıştır.2 Matematik de gelişen ve kendi temel-lerini araştıran bir disiplin olduğuna göre, iktisatta matematik kullanıldığı sürece, yani sonsuza dek, bu tartışmalar büyük bir olasılıkla sürüp gidecektir. Ancak bu tartışmaların özü hiç bir zaman "iktisatta matematik kullanılsın mı kullanılmasın mı?" biçiminde anlaşılmamalıdır. Özellikle son zamanlarda ik-tisatta matematik kullanma eğiliminin geri dönülmezliği iyice belirginleştik-ten sonra, bu tür tartışmalar, sadece bir yöntem olarak matematikten nasıl iyi yararlanılabileceği sorusu ile sınırlı olarak anlam taşımaktadır.

Matematiğin, iktisatta kullanılmasının en önemli katkısı, kendi biçimsel yapışmdan kaynaklanmaktadır. Matematikte akd yürütmeyi sağlayabilmek için tüm varsayımların belirtik (explicit) olarak ortaya konması gerekir. Oy-sa, sözcüklerle yapılan tartışmalarda bazı varsayımlar atanabilmektedir. Nitekim iktisatta birçok anlaşmazlık bu noktadan, yani bazı örtük (implicit) varsayımların varlığından, kaynaklanmıştır. Matemağin bir ikinci kat-kısı da varsayımlardan sonuca gidişte mantık hatası yapılmamasını sağla-masıdır. Matematiksel çıkarımların izlenmesi ve dolayısı ile hataların saptan-

1 Genel denge kuramı ve bu konunun matematiği için Tuncer BULUTAY: Genel Denge Kuramı, SBF Yayım, No. 434, Ankara, 1980 başvurulabilir.

2 Bu konuda Tuncer BULUTAY: "İktisatta Matematik" SBF DERGİSİ Cilt X I X , Yıl 1965-Sayı 3-4, s.1-10 ve orada verilen kaynaklara başvurulabilir.

2

ması sözcüklerle yapılan akıl yürütmelere oranla daha kolaydır. Bu da mate-matiğin iktisatta doğru düşünmeyi kolaylaştırma katkısı olarak nitelendiri-lebilir.

Son olarak insan beyninin bir özelliği de matematik gibi bir yardımcıyı gerekli kılmaktadır. İnsan beyni aynı anda çok sayıda değişkeni ele alıp bun-lar arasındaki bağıntıları inceleyebilecek kadar güçlü değildir. Oysa, mate-matikten yararlanıldığında bu olanaklıdır. Matematiğin bu gücü, özellikle ik-tisat gibi çok sayıda değişkene sık sık başvurmak durumunda kalan bir bilim alanı için önemli bir katkı olmaktadır.

Matematiğin bu yararlarının yanı sıra dikkatli kullanılmaması duru-munda bazı sakıncaları da söz konusu olabilir. Bunlardan ilki, matematiği yeterince bilmemek ve anlamamaktan kaynaklanan bir yanlıştır. Bu da ma-tematiksel açıdan kanıtlanan bir sonucun doğruluğunu kabul etme eğilimidir. Matematik bir akıl yürütme yöntemidir. Bir sonucun matematiksel yöntemle doğruluğunun kanıtlanması, başta yapılan varsayımlarla tutarlılığının gös-terilmesi anlamına gelir. Bilim alanında önem taşıyan "ele alman olayı açık-layabilme" bağlamında "doğru" ya da "doğru kabul edilen" sonuçtur. Yu-karıdaki açıklamalardan da çıkarılabileceği üzere matematiksel kanıtlama bize bunu vermez. Bu ikisinin karıştırılması nedeniyle çoğu kez "matematiksel olarak kanıtlandığı üzere" biçiminde bir nitelendirmeyle matematiksel doğ-ruluk bilimsel doğruluk yerine geçirilmektedir. Ancak iktisatçılar matematik öğrendikçe bu yönde yanlışlara düşmekten uzaklaşmışlardır.

İktisatta matematik kullanırken unutulmaması gereken bir özellik, ik-tisadin toplumsal bir bilim olduğu, bu nedenle iktisadi çözümlemede kullanı-lan değişkenlerin içi boş, basit simgeler olmayıp, ele alman soruna ilişkin so-yutlamalar sonunda ortaya çıkan kavramları gösterdikleridir. Böyle olunca da bu değişkenlerin karmaşık, yer yer bulanık ve ölçülemeyen şeyleri ifade etmek-te olduklarına dikkat etmek gerekir. Bunları matematiksel simge ve bağıntı-lar biçiminde ifade ettiğimizde, zorunlu olarak, değişkenleri kandi içlerinde dondurmak ve sanki iyi tanımlanmış, değişmez şeylermiş gibi düşünmek ge-rekmektedir. Böylece değişkenlerin nitel özelliklerinin değişmez olduğu-nun varsayılması durumu oraya çıkmaktadır. Bu varsayım ise, toplumsal bir bilim olan iktisat açısından önem taşıyan bir boyutun ihmal edilmesi anlamına gelmektedir.

Bazan iktisatta yukarıda değinilen, ve bir anlamda kaçınılmaz olan, simgeleştirme ve nitol değişmelerden arıtma sürecinin de ötesine gidilmekte ve matematiksel uygunluk ayracı iktisadi geçerliğin önüne geçebilmektedir. Bu durumda matematiksel açıdan güzel, tutarlı sonuçlar alınabilmekte, fakat bunun fiyatı iktisadi açıdan anlamlı varsayımlardan vazgeçilmesi olduğun-

3

dan, yapılan çaba bir matematiksel alıştırma yapmanın öte&ine geçememek-tedir.

Çağımızın iktisatçısı için açık olan yol ise, burada çok kaba çizgilerle değinilen yöntem sorunlarına dikkat etmek koşulu altında matematik öğren-mek gibi görünmektedir. Bu kitabın amacı ise böyle bir çabaya giriş yapmak-tır.

4

MANTIKSAL TEMELLER

2. Bölüm

Herhangi bir iktisadi olayı açıklamak istediğimizi düşünelim. Bunun için, bizce, önemli olan değişkenleri seçmemiz ve bunlar arasında bazı bağlan-tılar varsaymamız gerekmektedir. Bu model kurma aşamasından sonra, var-sayımlarımızın mantıksal sonuçlarını bulmak için akıl yürütmemiz gerekecek-tir. İşte burada önemli olan, akıl yürütme sürecinin hatasız, yani mantıksal açıdan tutarlı olmasının sağlanmasıdır. Matematik bize, büyük ölçüde bu nok-tada yardımcı olmaktadır.

Bu bölümde mantıksal tutarlılık konusunun kavranmasına yardımcı olmak üzere bazı mantıksal kavramları ele alıyor, ve bu yolla matematiğin, iktisatta bu yöndeki işlevinin daha iyi anlaşılmasını sağlamağa çalışıyoruz.

2.1. Bazı Temel Mantıksal Kavramlar Bir konuyu anlatabilmek için tümcelere başvururuz. Tümce türlerinden

birisi de haber ileten tümcelerdir. Bunlara Haber Tümcesi denir. Örneğin "Ma-tematik dersini beraber yapacağız" gibi. Bazı haber tümceleri ya doğru ya da yanlış olarak nitelendirilebilirler. Bunlara önerme (Proposition) denir. Biz, bir önermeyi, p, q, r gibi küçük harflerle göstereceğiz.

Açıktır ki günlük dilde, pek çok önerme "belli bir yorum yapılmadıkça" kendiliğinden doğru ya da yanlış olarak nitelenemez. Bu nedenle bir önerme denildiğinde, belli bir yorumlama halinde belli bir doğruluk taşıyan tümce anlaşılmalıdır1. ÖRNEKLER: (1) Türkiye'de 1950 seçimlerini Demokrat Parti kazanmış-tır. (Tarihsel bir olgu, yorumlamaya gerek yok).

(2) Türkiye ekonomisi son günlerde kötüye gidiyor, (Doğruluğu ve yan-lışlığı, Türkiye ekonomisinin durumunun ve kötünün ne olduğunun yorum-lanmasına bağlıdır.)

Yukarıda değinilen "Doğru" ya da "Yanlış" nitelemelerine Doğruluk De-ğeri (Truth Value) denilir. Doğruluk değerlerini biz sırasıyla D ve Y simgele-riyle göstereceğiz. Bazı kaynaklarda yine sırasıyla 1 ve 0 da kullanılmaktadır.

1 Bu nokta için GRUNBERG -ONART-BATUHAN (1976, s. 9) başvurulabilir.

5

ÖRNEKLER : 1) İstanbul 1979 da Türkiye'nin en kalabalık şehiri idi (D) 2) Türkiye 1970'de dünyada adam başına geliri en düşük olan ülke idi. (Y) 3) Siyasal Bilgiler Fakültesi Ankara'dadır. (D) Bir önerme verildiğinde, bunun yanlış olduğunu ileri süren bir başka öner-

me düşünebiliriz. Bu önermeye ilkinin Değili (Negation) denir ve bu türde önerme elde etmeğe de Değilleme adı verilir, p bir önerme olduğunda bunun değili '—'p ile gösterilir.

ÖRNEK: p = Yarın okula gideceğim <—' p = Yarın okula gitmeyeceğim.

Bu bilgilerin ışığında bir önerme ile değilinin doğruluk değerlerini aşağı-daki çizelgede gösterebiliriz.

(2.1.1)

Bu çizelgeden de görüleceği üzere p ve ~ p önermeleri herhangi bir du-rumda aynı doğruluk değerini alamazlar. Bu iki önerme mantıksal anlamda çelişkilidir1.

Günlük hayatımızda çoğu kez "Enflasyon şiddetleniyor ve maaşım yetmiyor" gibi ifadelere başvururuz. Dikkat edilirse bu ifade "Enflasyon şid-detleniyor" ile "maaşım yetmiyor" önermelerinin "ve" bağlacı ile birleştiril-mesinden oluşmaktadır. Bu örnekte olduğu gibi bazı önermelerin "değil, ve, veya" gibi önerme eklemleriyle birleştirilmesinden oluşan önermelere Rileşik önerme (Compound Proposition) denir. Böyle bir önermeyi oluşturan öner-melere de Ana Bileşen denir.

ÖRNEKLER: 1) "Gelir artıyor ve işsizlik düşüyor" 2) "Ülke ekonomisi durgunluğa gidecek veya dış ödeme açığı büyüyecek" 3) "Fiyatlar yükseliyor ve ücretler artmıyor"

1 Günlük dilde "çelişki" adım aldığı halde, mantıksal anlamda çelişki olmayan bir olay daha var-dır. Bu ise aynı durumda her iki önermenin de doğru olmasının olanaksız, fakat her ikisinin de yanlış olabileceği durumdur. Örneğin:

1) İnsanın geliri artınca patates tüketimi artar. 2) însamn geliri artınca patates tüketimi azalır. Bunların her ikisi birden doğru olamaz. Ama her ikisi birden yanlış olup, insanın geliri artınca

patates tüketimi değişmeyebilir.

p p

D Y

Y D

6

Biz, bir bileşik önermeyi ana bileşenleri cinsinden P «= P (p, q , . . . ) biçi-minde ifade etmek yoluna gideceğiz. Şimdi bazı temel bileşik önerme türlerini ele alıp bunların mantıksal özelliklerini incelemeğe çalışabm.

TANIM 2.1.1: Ana bileşenlerinin ancak tümü doğru olduğunda, doğru olan bir birleşik önermeye Tümel Evetleme (Conjunction) denir. Bu tür bile-şik önermenin ana eklemi (main connective) /\ ile gösterilir. Böyle olunca, genel olarak P (p, q,. . . ,r) bileşik önermesi bir tümel evetleme ise bu p A q . . . . A r biçiminde gösterilir. Böyle bir bileşik önermenin doğruluk çizelgesi

(2.1.2.)

p q r p A q A ••• • Ar D D D D Y D D Y D Y D Y

Y Y Y Y

biçiminde ifade edilir. Sadece ikili eklem olduğunda ise, bu çizelge

P q p A q D D D D Y Y Y D Y Y Y Y

biçiminde basitleşir. ÖRNEK: "Fiyatlar artacak ve tüketim harcamaları azalacak" bileşik önermesinde "ve" bir ikili tümel evetleme eklemidir. TANIM 2.1.2: Ana bileşenlerinden en az birisi doğru olduğunda doğru olup, ancak tüm ana bileşenler yanlış olduğunda yanlış olan bileşik önermeye Tikel Evetleme (Disjunction) denir. Bu tür bileşik önermelerin ana eklemi V ile gösterilir. Bu durumda

P(p, q, . . . . , r) = p V q • •. . V r ise, bu bileşik önermenin doğruluk çizelgesi

(2.1.4)

P q .... r p V q . . . . V r D D D D Y D D D D Y D D

Y Y Y Y

biçiminde ifade edilir. Sadece ikili eklem olduğunda ise bu,

7

(2.1.5)

biçiminde basitleşir.

ÖRNEK: "Fiyatlar düşecek veya parasal ücretler artacak" bileşik öner-mesinde "veya" bir ikili tikel evetleme eklemidir.

Bu belirli biçimlerin ötesinde A ı V önerme eklemleriyle üretilen bi-leşik önermelerin de hangi koşullarda doğru ya da yanlış olduğunu bulabilmek üzere, yukarıdaki yolla, doğruluk çizelgeleri hazırlanır. Bu yapılan işleme Doğruluk Değeri Çözümlenmesi denir. ÖRNEK: p A (p V önermesinin doğruluk çizelgesini kuralım ve doğ-ruluk değeri çözümlemesini yapalım:

p q P V q P A (P V q) D D D D D Y D D Y D D Y Y Y Y Y

Görüldüğü gibi, bu örneğimizde bileşik önermenin doğruluk değeri p ana bileşeninkinin aynı çıktı. Açıktır ki bu genelde doğru olmayan özel bir durum-dur.

Bilim alanında ya da günlük konuşma sırasında oluşturduğumuz öner-melerin doğruluğu ya da yanlışlığı, aslında görgül'(amprik) bir sorundur. Man-tık bize bu konuda yol göstermez. Örneğin "fiyatlar artarsa gerçek ücretler düşer" önermesinin doğru olup olmadığı ele alınan ekonomideki parasal üc-retlerin belirlenme biçimine bağlıdır. Eğer parasal ücretler gerçek ücreti de-ğiştirmeyecek bir kural yardımıyla belirleniyorsa (örneğin parasal ücretler fiyat düzeyine bağlı olarak değişiyorsa) bu önerme doğru değildir. Buna kar-şılık işçi ile işveren arasındaki anlaşma, fiyat düzeyinden bağımsız olarak bir parasal ücret saptanması sonucu doğuruyorsa, yukarıdaki önerme doğrudur. Bu örnekten de açıkça görülebileceği gibi, verilen önermenin doğru ya da yan-lış olduğuna karar verebilmek için görgül, bilimsel vs. türlerinde bilgilere ge-rek vardır. Bunlar olmaksızın, doğruluk konusunda bir karara varamayız.

Ancak iki tür önerme vardır ki, bunların doğruluk değeri görgül olgular-dan bağımsız olarak saptanabilir. Bunlar Belit (Axiom) ve Doğrusal Geçerli önerme (Totoloji) adlarını alırlar.

P pVq D D D D Y D Y D D Y Y Y

8 ı

Önce Beliti ele alalım, Euklides (Öklid)'den bu yana, uzun bir süre, belit denildiğinde "doğruluğu apaçık önermeler" anlaşılırdı. Bu doğruluğu apaçık önermeler, doğruluğu apaçık olmayan önermelerin türetilmesinde kullanılırdı. Bugün modern mantıkçılar ve matematikçiler bu tanımı benimsemiyorlar ve bıinun yerine beliti "ilgilenilen alanda ilginç mantıksal ya da matematiksel ya-pılar oluşturabilmek için temel malzeme olarak kullanılan ve bu nedenle doğ-ru kabul edilen önermeler" biçiminde tanımlıyorlar. Böylece farklı belitler ile farklı mantıksal yapılar kurulabiliyor. Her yapı için de başta kabul edilen belitler, tanım gereği doğru oluyor.

İkinci ele alacağımız kavram Doğrusal Geçerli Önerme ve ona bağlı ola-rak da Çelişik Önermedir.

TANIM 2.1.3: Ana bileşenlerinin doğruluk değeri ne olursa olsun daima doğru olan bileşik önermelere, Doğrusal Geçerli Önerme denir. ÖRNEK: p V önermesinin doğruluk çizelgesini yapalım.

p ~ p p V ~ p D Y D

Y D D

Görüldüğü gibi bu önerme bir doğrusal geçerli önermedir.

TANIM 2.1.4: Ana bileşenlerinin doğruluk değeri ne olursa olsun, daima yanlış olan bileşik önermelere Çelişik Önerme (Contradictory Proposition) denir.

ÖRNEK: p A ~ P önermesinin doğruluk çizelgesini yapalım.

P '—' p P A ~ P D Y Y

Y D Y

Doğrusal geçerli önermeler ile çelişik önermeler arasında yakın bir bağın-tı vardır. Bunu aşağıdaki teorem ile ifade edebiliriz.

TEOREM 2.1.1: P (p, q , r) bir doğrusal geçerli önerme ise (p, q, , r) bir çelişik önermedir.

ÖRNEK: (p V ~ p) nin bir doğrusal geçerli önerme olduğunu görmüştük, ~ (p V -—' p) iso, aşağıdaki doğruluk çizelgesinden de görüleceği üzere bir çe-lişik önermedir.

9

p '—' p P V ~ p ~ (p V ~ p) D Y D Y

Y D D Y

Doğrusal geçerli önermelere ilişkin bir önemli özellik de aşağıdaki teorem ile verilmektedir. TEOREM 2.1.2: F (p, q, , r) bir doğrusal geçerli önerme ve F t (p, q,

, r), F2 (p, q, , r) F r (p, q, . . . . . , r ) bir dizi bileşik önerme olsun. Bu durumda F (Fj, F2, , F r) de bir doğrusal geçerli öner-medir. ÖRNEK: F(p, q) = p V ~ (p A q), F, (p, q) = p A q ve F 2 = ( P V q) olsun. Bu durumda:

F (Fj, F2) = F ((p A q), (p V q)) = (p A q) V ~ ((p A q) A (P V q)) olacaktır.

Şimdi F (Fj, F2) nin doğruluk çizelgesini oluşturalım.

P q (p A q) (pVq) (p A q) A (p V q) ~(pAq)A(pVq) F(F„F2)

D D D D D Y D D Y Y D Y D D Y D Y D Y D D Y Y Y Y Y D D

görüldüğü gibi, F (F15 F2) de bir doğrusal geçerli önermedir. Bu teorem, doğrusal geçerli önerme biçimindeki bir mantıksal kalıba

oturtulan herhangibir dizi bileşik önermenin de doğrusal geçerli önerme oluş-turacağını göstermektedir. Bu bize, bir önermeler dizisinin hangi koşullarda doğrusal geçerli önerme verdiğini gösterdiği için önemlidir. TANIM 2.1.4: F, (p, q, . . . , r ) ve F2 (p, q, . . . , r ) bileşik önermelerinin gerçeklik değerleri özdeş ise bunlara Mantıksal Denk (Logically Equivalent) denir ve F, (p,q,. . . , r) = F2 (p, q, . . ., r) biçiminde gösterilir.

ÖRNEK: Fı = ~ (p A ıj) ve F2 = ~ p V ~ q olsun. Bu iki bileşik önermenin mantıksal denk olup olmadığını anlayabilmek için, bunların doğ-ruluk değeri çizelgesini kuralım:

P q pAq F: . <~p f 2

D D D Y Y Y Y D Y Y D Y D D Y D Y D D Y D Y Y Y D D D D

10

Çizelgeden de görüldüğü üzere Fj ve F2 nin sütunları (column) aynıdır. Bu nedenle Fx s F2 diyebiliriz.

Bu açıklamalardan sonra önermeler cebirinin temel kurallarını bir çizelge biçiminde verelim. Bu çizelgede p, q, r herhangi bir önermeyi, y daima yanlış olan ve d ise daima doğru olan önermeyi göstermektedir.

ÖNERMELER CEBİRİNİN KURALLARI

1. DENK GÜÇLÜLÜK (Idempotence) YASALARI

(la) p V p = p \ (1b) p A P = P

2. ORTAKLAŞTIRICILIK (Associativity) YASALARI

(2a) (p V q) V r = p V (q Vr) (2b) (p A q) A r = P A (q A *)

3. YERDEĞİŞTİRİCİLİK (Ccmmutativity) YASALARI

(3a) p V q = q V p (3b) p A q = q A P

4. DAĞITICILIK (Distributivity) YASALARI

(4a) P V (qA r) = (pV q)A(p Vr) (4b) P A (qVr) = (pAq) V(pAr)

5. ÖZDEŞLİK (Identity) YASALARI (5a) P V y = p (5b) p A d = P

(6a) p V d = d • (6b) p A y = y

6. TÜMLEME (Complement) YASALARI (7a) p V ~ p = d (7b) p A ~ P = y

(8a) '—' '—' p = p (8b) '—' d = y '—' y = d

7. DE MORGAN YASALARI • (9a) ~ (p V q) = ~ P A ~ q (9b) ~ (p A q) = ~ P V—q

Gerek matematik ve gerekse bilim alanında birçok önerme "Eğer p ise q dır" biçiminde oluşturulmaktadır. Örneğin "Eğer para sunumu kısılırsa fiyat artış hızı düşer" önermesini düşünelim. Burada p = "para sunumu kı-sılır" ve q == "fiyat artış hızı düşer" biçiminde ifade edilirse, bu yukarıda veri-len kalıba uyan bir bileşik önerme niteliği taşımaktadır. Bu tür önermeleri aşağıdaki biçimde tanımlayabiliriz: TANIM 2.1.5: F (p, q) bir bileşik önerme, p bunun ön bileşeni ve q ard bileşeni olsun. Eğer, ancak p doğru ve q yanlış olduğunda F (p, q) yanlış ise

bu tür bir bileşik önermeye Koşullu Önerme (Conditional Proposition) denir. Bu tür önermelerin ana eklemi => simgesiyle gösterilir.

Bu tanıma göre bir koşullu önermenin doğruluk çizelgesi:

p q p =» q D D D D Y Y Y D D Y Y D

biçimindedir.

Gerek iktisatta (ve diğer bilimlerde) gerekse matematikde ileri sürülen birçok teorem koşullu önerme kalıbında olduğundan bu önerme türü üzerin-de biraz daha duralım. Önce p => q önermesinin sözcüklerle nasıl ifade edile-bileceğine bakalım, p => q önermesi aşağıdaki almaşık, eşlenik, biçimlerde ifa-de edilebilir:

i) p ise q dır.

ii) p ancak eğer q ise

iii) p, q yı içerir.

iv) p, q için yeterli koşuldur.

v) q, p için gerekli koşuldur.

Biz burada bu beş ifadenin son ikisi üzerinde durmaya çalışalım, p ise q dır biçiminde bir önermenin anlamı, eğer p => q doğru ise, p doğru olduğun-da q mutlaka doğrudur anlamına gelir ..Ancak bu durumda q, p doğru olmasa da doğru olabilir. Bu nedenle p, q için bir Yeterli Koşuldur (Sufficient Condition) denir. Buna karşılık q, p için bir Gerekli Koşuldur (Necessery Condition). Çün-kü p => q doğru olduğunda, p doğru kabul edilir ise q doğru kabul edilmek zo-rundadır.

ÖRNEK: "Devlet harcamalarının yer aldığı basit Keynes'çi modelde ya-tırımlar artarsa gelir artar" önermesinde p = yatırımlar artar ve q = gelir artar olsun. Bu p => q biçiminde bir önermedir. Sözkonusu Keynes'çi modelde bu önermenin doğru olduğunu biliyoruz. Yani bu tür bir modelde p doğru olduğunda q doğrudur. Ya da başka bir deyişle q, p için gereklidir. Buna karşılık, aynı modelde kamu harcamalarındaki bir artış da geliri artıracağın-dan p yanlış olduğunda bile q doğru olabilir. Dolayısı ile p, q için bir yeterli koşuldur. Nitekim Y gelir, C tüketim, I yatırım ve G kamu harcamalarını gösterdiğinde basit Keynes'çi modeli

12

Y = C + I + G

C = cY O < c < 1

I !

G = Ğ

biçiminde yazabiliriz. Burada I ve G yatırımların ve kamu harcamalarının dışsal (exegenous), yani modelin dışında belirlenmiş değişkenler olduğunu sim-gelemektedir. Modelin son üç denklemini birincide yerine koyarsak

Y = cY + 1 + Ğ

olacağından, denge geliri

Y" = - j ^ (î + Ğ)

olacaktır. Şimdi yatırımın A I kadar arttığını kabul edelim. (A I > O). Bu durumda yeni denge geliri Y*

Y ^ - î ^ d + A I + Ğ ) = + Ğ ) + T ^ A I

Y* = Ye + - i - A l 1—c

Ya da Y* — Ye = —i— A l > 0 1—c

olacak, yani denge gelir düzeyi artacaktır. O halde yatırım, arttığında gelir, bu model çerçevesinde mutlaka artacaktır. Buna karşılık, kamu harcamala-larmda da AG kadar bir artış olduğunda yine denge gelirinin

Ye — Ye = - J - AG > 0 1—c

biçiminde artacağını gösterebiliriz. O halde gelirin artması için yatırımların artması yeterli fakat gerekli olmayan bir koşuldur.

Şimdi yeni bir tanım verelim:

TANIM 2.1.6: p q önermesi verilsin. Bu durumda q => p önermesine bunun Karşıtı (Converse), ~ p => ~ q önermesine Evriği (Inverse) ve -— q => >—' p önermesine de Ters Karşıtı (Contra Positive) denir.

Tanım 2.1.6'da verilen kavramların doğruluk değerleri aşağıdaki çizel-gede verilmektedir:

13

p q p=>q q=>p ~ p = > q => ı—p D D D D D D D Y Y D D Y Y D D Y Y D Y Y D D D D

Çizelgeden de kolaylıkla görülebileceği üzere aşağıdaki teorem doğrudur. TEOREM 2.1.3: Bir koşullu önerme ile bunun ters karşıtı mantıksal denk-tir.

Bu teorem bize ileride kanıtlamaya ilişkin kuralları tartışırken yararlı olacaktır.

Gerek iktisatta (ve diğer bilimlerde) ve gerekse matematikte bazan "an-cak ve ancak p ise q dır biçiminde önermeler yer almaktadır. TANIM 2.1.7: Ancak iki ana bileşeninin birden aynı doğruluk değerini taşıması durumunda doğru olan bileşik önermeye Karşılıklı Koşullu Önerme (Biconditional Proposition) denir ve p o q biçiminde gösterilir. Bu önerme-nin doğruluk çizelgesi ise

P q p <s> q D D D D Y Y Y D Y Y Y D

biçimindedir, Bu tür önermeler koşullu önermelere oranla çok daha güçlü bir nitelik

taşımaktadır. Nitekim burada, p, q için hem gerekli ve hem de yeterlidir. (Ne-cessary and SufficientJ. Yani q nm doğru olması ancak p doğru olduğunda söz konusudur. q, p doğru olmadığında doğru olamaz. q doğru ise p mutlaka doğ-rudur. ÖRNEK: "Basit miktar kuramında ancak ve ancak para sunumu art-tığında fiyatlar artar". Bu önermenin anlamı para sunumundaki artışın fiyat artışına yol açtığı ve başka hiç bir koşulun fiyat artışına yol açmayacağıdır. Basit miktar kuramında

MV = PY Miktar denklemi M = Ms Para miktarı = para sunumu Y = Y Ulusal gelir düzeyi, sabit. V = V Paranın devir hızı, sabit.

olduğundan

14

M's = M1 = M" + AM biçiminde para sunumu arttığında, miktar denkleminin sağlanabilmesi için sağ tarafta da birşeylerin artması gerekmektedir. Oysa ulusal gelir düzeyi sabit kabul edildiğinden, bu durumda tek artabilecek olan fiyat düzeyi, P, olmak-tadır. Yani

(M° + AM) V = (P° + AP) Y olacaktır. Böylelikle para sunumunda bir artış olduğunda fiyatlar genel dü-zeyinde de bir artış olacağını göstermiş oluyoruz. Diğer taraftan aynı bağıntı-ları kullanarak, fiyatlar genel düzeyinde bir artış olmuşsa, V nin sabit olması nedeniyle, para sunumunun artmış olduğu da gösterilebilir. Böylece basit miktar kuramı çerçevesinde, para sunumundaki artış, fiyatlar genel düzeyi-nin yükselmesi için gerekli ve yeterli koşul olmaktadır.

2.2. Çıkarım ve Mantıksal İçerme

Önce Çıkarım (Argument) kavramını tanımlayalım: TANIM 2.2.1: Öncüller adı verilen bir Pj, P 2 , . . . ,P n önermeler derle-minden sonuç (hüküm, coııclusion) adı verilen bir diğer önermenin elde edil-mesine Çıkarım denir ve bu P„ P2 . . . , P n I- Q biçiminde gösterilir.

Bir çıkarım ancak ve ancak tüm öncüller doğru olduğunda sonuç doğru ise doğrudur.

Bu tanımlamadan anlaşılacağı üzere çıkarım bir önermedir ve dolayısı ile doğruluk değeri vardır. Doğru olan bir çıkarıma Geçerli (Valid), yanlış olan bir çıkarıma ise Geçersiz (Fallacy) denir. ÖRNEK 1:

P, = P Pj = p => q

Q = q şimdi bu çıkarımın geçerli olup olmadığını saptayalım. Bunun için bu çıka-rımın doğruluk çizelgesini kuralım:

p p => q q D D D D Y Y Y D D Y D Y

Dikkat edilirse bu çıkarımda tüm öncüller sadece birinci satırda doğrudur. Bu durumda sonuç da doğru olduğundan, bu geçerli bir çıkarımdır.

15

ÖRNEK 2:

P, = p => q

P2 = q Q = p

olduğunda acaba P,, P2 I— Q çıkarımı geçerli midir ? Yine bu çıkarımın doğruluk çizelgesini çıkaralım:

p => q q P D D D Y Y D D D Y D Y Y

Dikkat edilirse bu çıkarımda birinci ve üçüncü satırlarda tüm öncüller doğrudur. Oysa üçüncü satırda sonuç yanlıştır. Bir çıkarımın geçerli olabil-mesi için tüm öncüller doğru olduğunda sonucun doğru olması gerektiğine göre, bu çıkarım geçerli değildir.

Bu açıklamalar ve örneklerden de görülebileceği üzere bir çıkarımda tüm öncüllerin (P,, P2 , . . ., Pn) doğru olması demek Pj /\ P2 . . . . P„ önermesi-nin doğru olması anlamına gelir. O halde geçerli çıkarımı saptayabilmek için bir başka yol daha ileri sürülebilir.

TEOREM 2.2.1: P, A P2 A P„ => Q b i r doğrusal geçerli önerme ise P15 P2, . . . ., P n H Y çıkarımı geçerlidir.

ÖRNEK 1:

Pı = P p2 = p => q Q = q

P q p => q p A (p => q) [P A (p => q)] => q D D D D D D Y Y Y D Y D D Y D Y Y D Y D

16

ÖRNEK 2: p ı = p => q P2 = q => r Q = p => r

p q r (p=>q) (q=>r) (p=>r) (p=>q) A

(q=>r) [(P=>q) A (q=»r) ]

=> (PAr) D D D D D D D D D D Y D Y Y Y D D Y D Y D D Y D D Y Y Y D Y Y D Y D D D D D D D Y D Y D Y D Y D Y Y D D D D D D Y Y Y D D D D D

2.3. Matematiksel Kanıtlama Yöntemleri

Matematikte kanıtlama yapmak, verilen öncüllerden belli bir sonucun mantıksal olarak türetilebileceğini göstermek demektir. Bu yaklaşıma mate-matiği bir araç olarak kullanan bilim dallarında da başvurulmaktadır.

İktisatta, özellikle XX. yüzyılın ikinci yarısından bu yana matematik yöntemi çok yoğun olarak kullanılmaktadır. Bunun doğal sonucu olarak da İktisat yazını bir sürü "kanıt" ile doluşmuş durumdadır. Bu kanıtların ne an-lama geldiğini doğru değerlendirebilmek için, bunların matematiksel kanıtlar olduğu noktasını gözden uzak tutmamak gerekir. Yani bu kanıtlar, sadece ele alınan modelin çerçevesi içinde tutarlılığı ortaya koyabilirler. Bunun öte-sinde, bu tür kanıtlara dayanılarak elde olunan sonuçların "doğruluğu" ya da "geçerliği" ileri sürülemez.

Matematik ve matematikten yararlanan bilim dallarında teoremler ya koşullu önerme ya da karşılıklı koşullu önerme biçiminde ortaya konulmakta-dır. Her iki tür teorem de aynı temel kanıtlama yöntemlerinden yararlanıla-rak kanıtlanmaktadır. Bu nedenle, biz, önce koşullu önerme biçiminde oluş-turulan teoremlerin temel kanıtlama yöntemlerini ele alalım. Sonra da karşı-lıklı koşullu önerme biçiminde ortaya konulan teoremlerde ortaya çıkan özel durumu belirterek, bu bölümü bitirelim:

TANIM 2.3.1: p => q biçiminde bir önermeyi kanıtlamak için, p doğru kabul edilir ve q'nun doğruluğu gösterilir. Bu yönteme Doğrudan Kanıtlama denir. ÖRNEK: Y gelir, C tüketim, I yatırım ve (c) marjinal tüketim eğilimini göstersin. Aşağıdaki üç denklemlerden oluşan modele

17

basit Keynes'çi model diyelim. Y = C + I Y > ,0, C > 0, I > 0

C = c Y 0 < c < I

I = î Şimdi şu aşağıdaki önermeyi kanıtlayalım. "Basit Keynes'çi modelde

yatırımlar artınca denge gelir düzeyi artar". Dikkat edilirse p = "yatırımlar artar'" q = "denge gelir düzeyi artar", biçiminde gösterilirse, bu önerme p => q biçimindedir, şimdi bunun doğru olduğunu görmek için,

I* = î + Al , A l > O diyelim ve yatırım I ve I* olduğunda denge gelir düzeylerini bulalım.

Denge gelir düzeyi her üç denklemi de sağlayan gelir düzeyidir. Bu ne-denle modelin ikinci ve üçüncü denklemlerini birincide yerine koyalım.

Y = c Y + î elde ederiz. Bu durumda aradığımız denge gelir düzeyi

1 1 - c I

biçiminde elde edilir. Şimdi yatırımların I* düzeyine arttığını düşünelim. Bu durumda yeni denge geliri

Y* ^ T *

1 - c olacaktır. Bu ise

Y * < = =• t ~ T ( I + A I > = T = T 1 + T = T a 1

V . - Y, + A l 1 — c

ya da

Y*e - Y c = t - L - A l

biçiminde yazılabilir. Varsayımlarımız gereği 0 < c < 1 ve A l > 0 olduğundan

A l > 0 1 — c

dir. Bu nedenle de Y% - Y e > 0

ya da

18

Y* > Y -1 e ^ x e

yazılabilir. (i.K.y

TANIM 2.3.2: p ile ~ q den bir çelişki elde edilerek p => q önermesi ka-nıtlanabilir. Bu yönteme Dolaylı Kanıtlama ya da "saçmaya indirgeme" anlamına gelen "reductio ad absürdüm" yöntemi denir.

ÖRNEK: Yine basit Keynes'çi gelir modelini ele alalım ve "Basit Key-nes'çi modelde yatırımlar artınca denge gelir düzeyi artar" teoremini kanıt-layalım. Burada q = "denge gelir düzeyi artar" önermesinin değili >—' q = "den-ge gelir düzeyi artmazadır.

Bu ise

Y = — ! — A l < 0 1—c

olması demektir. A l > 0 olduğuna göre bu ancak ve ancak c > 1 ise olabilir. Oysa bu, modelin 0 < c < 1 varsayımı ile çelişir. O halde p ve ~ q bize bir çelişki vermektedir. O halde p => q kanıtlanmıştır.

Burada izlediğimiz yöntemin adımlarını şöyle özetleyebiliriz. i) Ulaşılmak istenen sonucun değili yeni bir önerme olarak ele alınır. ii) Yerilen önermeler ile bu yeni önerme birarada ele alınarak bir çelişki

elde edilmeğe çalışılır. iii) İstenen sonuç başlangıçtaki öncüllerden elde edilmiş bir mantıksal

sonuç olarak ortaya konur. TANIM 2.3.3: (TEOREM: 2.1.3) ü kullanarak bir koşullu önermeyi kanıt-lamak için bunun ters karşıtı kanıtlanabilir. Bu Olmayana Ergi Yöntemi adını alır. ÖRNEK: Yine basit Keynes'çi gelir modelimizi ele alalım. Basit "Key-nes'çi modelde yatırımlar artınca denge gelir düzeyi artar" önermesini ka-nıtlayalım. Bu önermenin ters karşıtı ~ q ~ p = "Basit Keynes'çi model-de denge gelir düzeyi artmazsa yatırımlar artmaz" biçimindedir.

Y = — î — A I

olduğundan 0< c < 1 varsayımı altında AY ^ 0 ise A l ^ 0 dır.

1 (Î.K.) İşte kanıtlandı ifadesinin kısaltılmış gösterimidir. Kanıtlamanın bittiğini göstermek için kullanılmaktadır. Latinceden alman "Quand Erat Demonstrandum" (ki kanıtlanacak olandı) ifadesinin baş harflerine (Q.E.D.) ingilizce, Fransızca kaynaklarda bu amaçla başvurulmaktadır. Burada Teo Grunberg'i izleyerek, bu ifadenin Türkçesinı kullanmak yoluna gidilmiştir.

19

Bu yönteme p => q önermesini doğrudan kanıtlamanın zor olması halinde başvurulur.

TANIM 2.3.4: p => q önermesinin, doğru olması halinde doğru kabul edi-len bir sonuçla çelişme olduğu gösterilerek, p => q nın doğru olamayacağının kanıtlanması yöntemine Çelişki Bulma denir.

Dikkat edilirse bu yöntem bundan öncekilerden farklı olarak olumsuz bir yöntemdir. Yani birşeyin olamayacağını göstermeğe yarar. ÖRNEK: Yine basit Keynes'çi gelir modelini ele alalım ve aşağıdaki önermeyi düşünelim. "Basit Keynes'çi modelde yatırımlar azaldığında denge gelir düzeyi artar".

olduğuna göre A l < 0 olduğunda AY > 0 olabilmesi ancak ve ancak 1—c < 0 ya da c > 1 olması halinde söz konusudur, ki bu marjinal tüketim eğiliminin sıfır ile bir arasında olacağı varsayımı ile çelişir.

Bazı özel mantıksal yapılar sözkonusu olduğunda başvurulan başka kanıt-lama yöntemleri de vardır. (Karşı örnek göstermek, varlık çözümü gibi). An-cak bunları özellikleri nedeniyle burada incelemek ycluna gitmiyoruz.

Karşılıklı koşullu önerme biçimindeki teoremler için ise hem p => q ve hem de q => p önermelerinin kanıtlanması gerekir.

ÖRNEK: "Basit Keynes'çi modelde ancak ve ancak yatırım artarsa, denge gelir düzeyi artar'". Dikkat edilirse bu önerme p <=> q biçimindedir. Ka-nıtlama yöntemi şudur:

(1) p => q: "Basit Keynes'çi modelde yatırım artarsa denge gelir düzeyi artar"

olduğundan A l > 0 ise 1 —c > 0 olduğundan AY > 0 olur. (2) q => p "Basit Keynes'çi modelde denge düzeyi gelir artarsa yatırım artar"

(I.K.)

AY

Y \ - Y e

Y*c — Y e > 0 ise — > 0 olduğundan I 1 »

rımlar artar.

20

ALIŞTIRMALAR:

A.2.1: p = "Ücretler artıyor" ve q = "Fiyatlar artıyor" olsun. Aşağıdaki sim-gesel ifadelerin karşılıklarını yazın.

i) ~ p

ü) (P A q) iii) (q V ~ p) iv) p a ~ q) v) ( ~ ~ q)

vi) q A P) vii) q ,V ~ p)

A.2.2: Aşağıdaki önermelerin doğruluk değeri çizelgelerini kurun.

i) ~ p A q ii) ~ (p V ~ q) iii) (p V r) A (q V ~ r) iv) ~ (p V ~ q) A P V r)

A.2.3: p V ~ (p A q) önermesi bir doğrusal geçerli önerme midir?

A.2.4: (p A i) A ~ (p V q) önermesinin bir çelişki olduğunu gösterin.

A.2.5: Aşağıdaki önerme çiftleri mantıksal denk midir?

İ) (p A q) A r ve p A (q A R ) ii) ~ (p A q) v e ~ P V ~ q

iii) ~ ( p v q) V P A q) ve ~ p

A.2.6: önermeler cebiri kurallarından yararlanarak aşağıdaki ifadeleri basit-leştirin.

İ) (P V q) ~ p

ü) p v (P A q) iii) ~ ( P V q) V p A q) iv) Tüm SBF öğrencilerinin tembel olmadığı veya derslere devam ettik-

leri doğru değildir.

v) Ancak ve ancak matematik dersine çok çakşılırsa işletme iktisadın-dan sınıf geçileceği doğru değildir.

2 1

A.2.7: Aşağıdaki mantıksal denklikleri gösterin.

i) p =*• (q A r) = (p q) A (P => r) ü) (p => q) A (q => p) = p «> q

iii) p=t .q = ~ - p V q A.2.8: Aşağıdaki çıkarımlar geçerli midir?

i) p ~ q: r => q; r h p ii) Ücretler artarsa, fiyatlar artacaktır.

Ücretler artmadı.

Fiyatlar artmadı

iii) Ekonominin büyüme hızı artarsa dış açık artar. Dış açık artmadı.

Ekonominin büyüme hızı artmadı. A.2.9: Aşağıdaki önermelerin karşıt, evrik ve ters karşıtlarını yazın.

i) Tüketicilerin geliri artarsa, tüketiciler her maldan daha çok alırlar. ii) Üretici kârını ençoklamak (maximize) istiyorsa, marjinal hasılatını

marjinal maliyetine eşitler. A.2.10: p o q önermesinin p => q önermesini mantıksal içerdiğini gösterin.

KAYNAKLAR

C.B. ALLENDOERFER - C.O. OAKLEY (1963): Principles of Mathematics, 2 and Ed. Mc Graw Hill New York, (s.1-47).

H. BATUHAN - T. GRUNBERG: (1970) Modern Mantık, O.D.T.Ü. Fen ve Edebiyat Fakültesi Ya-yım No: 17, Ankara.

T. GRUNBERG (1970): Symbolic Logic Fol I, (2 nd Printing) 1972, Fol II O.D.T.Ü. Fen ve Edebiyat Fakültesi Yayını No. 16 Ankara.

T. GRUNBERG - A. ONART - H. BATUHAN (1976): Modern Mantık ve Uygulamaları, M.E.B

Devlet Kitapları, İstanbul, (Özellikle s. 1-125).

P. SUPPES - S. HILL (1964): First Course In Mathematical Logic, Blaisdell, Mass., (Özellikle, s. 110-179).

C. YILDIRIM: (1976) 100 Soruda Mantık El Kitabı, Gerçek Yayınevi, istanbul, (özellikle, s. 147-192).

22

K Ü M E K U R A M I

3. Bölüm

Bu bölümde modern matematiğin temelini oluşturan küme kuramına bir giriş yapmağa çalışacağız. Küme "iyi tanımlanmış birşeyler topluluğu" olarak tanımlanabilir. Küme kavramı eskiden beri matematikçilerce bilini-yor ve hatta küme kuramının bazı kavramları örtük olarak kullanılıyordu. Ancak XIX. yüzyılda Georg Cantor (1845-1918) kümeyi matematik kuramı-nın bir parçası haline getirmeyi başardı, ve tüm matematiği bu kavram üzerine kuran çalışmaları başlattı. Bu kadar basit bir kavramın modern matematiği nasıl olup da temellendirdiği, bizim buradaki amacımızı aşan, başlı başına il-ginç bir konudur.

3.1. Cantor'un Küme Kuramı

Cantor'a göre, "Küme, sezgimize ya da bilgimize dayanarak bir bütün olarak anlayabileceğimiz belirli, ayırdedilebilir herhangi bir nesneler toplu-luğudur" (STOLL, 1963, s. 2). Bu tanımın üzerinde biraz duralım. Görüldüğü gibi bu tanımda herhangi bir şeyler topluluğu (masanın üzerindeki kağıtlar, Türkiye'deki tüketiciler, evredeki yıldızlar, x2 -f~ y2 — 9 denklemini sağlayan gerçel sayılar v.s.) küme olarak düşünülebilmektedir. Ayrıca Cantor'un bu tanımına göre, bir kümenin öğelerinin açık bir biçimde gösterilmesi de gerek-memektedir. Böyle bir topluluğun düşünülebilir olması yeterlidir. Bu neden-le, söz konusu tanım, uzaydaki tüm yıldızlar ya da ~'~x2 y2 — 9 denklemini sağlayan tüm gerçel sayılar" gibi sonsuz öğesi olan kümeleri de kapsayabil-mektedir. Bu tanımın kümeden istediği bir özellik de küme öğelerinin birbir-lerinden ayırd edilebilir olmasıdır. Bu nedenle bir küme içinde birbirilerinden ayırd edilemeyen öğeler olamaz. Bu durumda {2,2} kümesi {2} kümesiyle aynı-dır. Çünkü 2 sayısının kendisinden ayırd etme olanağı yoktur. Cantor'un tanı-mının son özelliği bir nesnenin bir küme içinde olup olmadığının belirlenebilir olması gerekmektedir. Yani bu tanıma göre bir nesne ya bir küme içindedir, ya da değildir.

23

Küme bu biçimde tanımlandığında, herhangi bir kümeyi göstermenin iki yolu söz konusu olmaktadır. Bunlardan ilki kümenin öğelerini ikincisi ise kümenin içindeki öğelerin ortak ayırd edici özelliklerini belirtmekdir.

ÖRNEK:

Fenerbahçe futbol takımının oyuncuları kümesini (FB) göstermek ısti-yelım. İlk yol saymaktır.

FB = {İvançeviç, , Cemil} İkinci yol ise ortak ayırd edici özelliği belirtmekdir: FB = x Fenerbahçe Futbol takımı oyuncusudur} Bir kümeyi öğelerinin ortak ayırd edici özelliklerine dayanarak tanım-

lamanın yararı, öğe sayısı sayılabilse bile çok büyük olan kümeler ve öğeleri sayılamayan kümeler söz konusu olduğunda ortaya çıkmaktadır, örneğin Türkiye ekonomisindeki tüketiciler kümesinin öğeleri sayılabilir, hatta, sonlu sayıda olmasına karşılık, sayma işlemi pratik olarak anlamsız olacağı için bu kümeyi ortak ayırd edici özelliği ile tanımlamak anlam kazanmakta-dır. Buna karşılık x2 J2 — 9 denklemini sağlayan gerçel sayılar kümesinin sonsuz öğesi vardır. Bu nedenle söz konusu kümeleri, öğelerini saymak ye-rine aşağıdaki biçimde göstermek yoluna gidilir:

A = \x: x Türkiye ekonomisi içinde yer alan bir tüketicidir}. B = [x, y: x2 y1 = 9; x, y- gerçel sayıdır}

Görüldüğü gibi küme kavramının ilk karşımıza çıkan özelliği bir nes-nenin bir kümenin içinde olması, onun bir öğesi olması bağıntısıdır. Bu bağıntı e simgesi ile gösterilir, a e A yazıldığında bu a, A kümesinin bir öğesidir an-lamına gelir, a £ A ise a, A kümesinin bir öğesi değildir, demektir, örneğin Cemil e FB, fakat Yasin $ FB dir.

Bir kümenin öğesi olma bağıntısı tanımlandığında, kümenin tüm öğeleri sayılarak kümenin kendisi de tanımlanabilir. Bunun dayanağı Cantor un Kaplamsallık Beliti (Axiom of Extension) olmaktadır. Bu belit şöyle ifade edilebilir.

Kaplamsallık Beliti: İki küme ancak ve ancak aynı öğelere sahip-lerse eşittirler. İki kümenin eşit olması A = B, olmaması ise A=/= B biçiminde gösterilir.

Eğer bir kümenin tüm öğeleri diğer bir kümenin de öğeleri ise, ilk küme ikincisinin Alt Kümesidir (Subset) denir. Eğer ikinci kümenin en az bir öğesi birinci kümenin öğesi değilse, ilk küme ikincinin Öz Alt Kümesidir (Proper Subset) denir. Alt küme olma S simgesiyle gösterilir A, B nin alt

24

kümesidir denildiğinde bu A £ B biçiminde ifade edilir. Öz alt küme olma bağıtısı da c: simgesiyle gösterilir.

ÖRNEK 1:

A= {1,2,3,4,5}, B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ise A <= B

ÖRNEK 2: A = {x: Ankara da yaşayan ve 5000 TL. üzerinde aylık gelir kazanan

TC vatandaşları}. B = {a;: Türkiye de yaşayan ve 5000 TL. üzerinde aylık gelir kazanan

TC vatandaşları} A <= B alt küme olma bağıntısı aşağıdaki özellikleri gösterir. a) A £ A Her küme kendisini alt kümesidir. b) A £ B ve B £ C ise A £ C dir. c) A £ B ve B £ A ise A = B dir.

TANIM 3.1.1: Hiç bir öğesi olmayan kümeye Boş küme (Null Set) denilir ve 0 simgesiyle gösterilir.

ÖRNEK 1:

Boş kümeyi tanımlayan bir örnek 0 — {x: x ^ x] kümesidir.

ÖRNEK 2: A = İlkokul mezunu olmayan SBF öğrencileri} = 0

TEOREM 3.1.1: Boş küme her kümenin alt kümesidir. KANIT: 0 nın A nın alt kümesi olmaması a.v.a. (ancak ve ancak) 0 içinde olduğu halde A içinde yer almayan bir öğenin var olması halinde olanaklıdır. Oysa 0 nın hiç bir öğesi olmadığına göre bu koşul sağlanamaz. O halde 0 £ A bağıntısı tüm A 1ar için geçerlidir. (İ.K.) SONUÇ 3.1.1.1: Boş küme birtekdir (unique). KANIT: 0, ve 0 2 iki boş küme olsun. Teorem 3.1.1. gereği 0 , £ 0 2 ve 0! £ 02 yazılabileceğinden, alt küme olma bağıntısının c özelliği kul lanılarak 0, = 0 2 yazılabilir. (İ.K.)

TANIM 3.1.2: Herhangi bir konuda ilgilendiğimiz tüm nesneleri içeren kümeye Evrensel Küme denir ve U simgesiyle gösterilir.

Evrensel kümeye bir örnek verelim. Türkiye de üniversite öğrencileri üzerine bir araştırma yapılmak istensin. Bu durumda evrensel küme Türkiye -deki tüm Üniversite öğrencileri olacaktır.

25

TANIM 3.1.3: Bir kümenin tüm alt kümelerinden oluşan kümeye, söz konusu kümenin Üs Kümesi (Power Set) denilir ve A kümesi konusu olduğunda bu kümenin Üs kümesi P(A) ile (ya da 2A ile) gösterilir. Eğer A kümesinin N tane öğesi varsa P(A) kümesinin 2N tane öğesi vardır.

ÖRNEK: A= {1,2,3} olsun. P(A) = {0,{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1*2,3})

3.2. Küme İşlemleri

Sayılarla nasıl toplama, çarpma gibi işlemler yapabiliyorsak, kümeler ile de bazı işlemler yapmak olanaklıdır. Bu bölümde, temel küme işlemlerini tanımlıyacak ve anlamları üzerinde duracağız. TANIM 3.2.1: Öğeleri ya A ya da B (ya da her ikisinin) öğeleri olan kümeye A ve B kümelerin Birleşimi (Union) denir ve

A U B = {*: x e A ve /veya x e B) biçiminde gösterilir.

ÖRNEK 1:

A = {1, 2, 3, 4} ve B= {5, 6} A U B == {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ÖRNEK 2: C= {3, 7, 9, 11}, D = {1, 2, 3, 4,5, 6,7} ise C U D= {1,2,3,4,5,6,7,9,11} TANIM 3.2.2; Öğeleri hem A ve hem de B kümelerinin öğeleri olan kümeye A ve B kümelerinin Kesişimi (Intersection) denir ve A u B = {*: x e A ve x e B} biçiminde gösterilir.

ÖRNEK:

A= SBF deki kız öğreciler kümesi B= SBF Maliye ve İktisat Bölümü Öğrencileri A U B= SBF Maliye ve İktisat Bölümündeki kız öğrenciler TANIM 3.2.3: A n B = 0 ise A ve B Ayrıktır (Dbjoint), A n B ^ 0 ise A ve B Kesmiyorlar denir. TANIM 3.2.4:' Eğer bir küme derleminde (collecuion) herbir farklı küme çifti ayrık ise, bu derleme Ayrık Derlem (Disjoint Collection) denir.

TANIM 3.2.5: Bir A kümesinin Bölüntülemesi, (Partition) A kümesinin boş olmayan ve ayrık alt kümelerinden oluşan ve A nın her bir öğesinin bu kümelerden birine (dolayısı ile sadece birine) ait olduğu bir ayrık derlemdir.

26

Bu tanımı simgesel olarak şöyle ifade edebiliriz. Bir A kümesinin bölüntülemesi A nın alt kümelerinden oluşan ve aşağı-

daki koşulları sağlayan bir B kümesidir: i) V i, j el için Ai U As = 0 veya AK = Ay 1= Dizin Kümesi

ii) A = u A.x

ÖRNEK: A= {1,2,3,4,6,7} olsun A nın bir bölüntülemesi {1}, {2,3}, {4,7}, {5,6} küme-lerinden oluşur. TANIM 3.2.6: A'nm -Salt Tümleyeni (Complemeııt) Ac = {x: x $ A} biçi-minde tanımlanır. A 'nın B kümesine göre, Göreli Tümleyeni, (Relative Comp-lement) B fi Ac biçiminde tanımlanır ve B eksi A biçiminde okunur, bu ifade B-A— {*: x e B ve x £ A) biçiminde tanımlanır. Bu kavrama Küme Farkı (Set Difference) de. denilmektedir.

ÖRNEK :

A= {1,2,3,4,5,6} ve B= {1,3,7,8,9} olsun A-B= {2,4,5,6} B-A= {7,8,9} TANIM 3.2.7: A ve B kümelerinin Bakışımlı Farkı (Symmetric Difference) A A B= (A-B) U (B-A) olarak tanımlanır. ÖRNEK: Yukarıda verilen örnekte A A B= {2,4,5,6,7,9} olmaktadır.

3.3. Veıın Çizgeleri:

Kümeler ile ilgili işlemleri görmede kolaylık sağlayan bir araç Venn Çiz-geleridir. J. Yenn (1834-1923) tarafından ilk kez önerilen bu araçda, her bir küme bir daire ile ve evrensel küme de bir dikdörtgen ile gösterilir. Böylece çeşitli küme işlemlerinin ne anlama geldiği gözle görülebilir. Yenn çizgeleri bazı sonuçları görmede kolaylık sağladığı için çok yararlıdır. Ancak, bunlar kanıtlama aracı olarak kullanılamazlar. Şekil 3.3.1. de s. 28 Yenn Çizgeleri yolu ile bazı küme işlemleri gösterilmiştir. Taralı alanlar işlem sonucunda ortaya çıkan kümeyi belirlemektedirler.

3.4. Küıııe Cebiri

Kümeler ile işlem yapabilmek için fi, U , c ve e simgelerini belli bir dizge içinde kullanan bir yaklaşımın geliştirilmesi gerekmektedir. İşte bu yaklaşıma Küme Cebiri denir. Bu yolla daha karmaşık küme bağıntılarını çözmek olanaklı hale gelmektedir. Biz, burada küme kuramının bazı temel sonuçlarını bir teorem biçiminde özetlemekle yetiniyoruz.

2 7

TEOREM 3.4.1: a ) A - A = 0 2 ) A - 0 = A 3a) A u B = B u A) 3b) A n B— B n a\ (Commutativity) 4a) ^ U ( B U C ) = ( . 4 U B ) U C ) .

4b) A n(B nC) = (A nB) nC \ 0 r t a k l a ş t m c ı l l k ( A s s o c ı a t l v l t y )

5a) A n(Bu C)= (A f)B)u (A nC) ) , 5b) A U (B n C) = (A U B) n (A u C) S D a ğ l t ı c ı l l k ( D l s t r ı b u t i v l t y )

6a) İ U 0 = ^ 6b) n U = A

7a) Û U 7b) A f]Ac = 0

8) (A n B= A) => A c B 9 ) ( i U jB= B) => A <= B

10) ( 4° C Bc) B CZ A

11) = A

Şekil 3.3.1

28

12a) A U A = A 12b) A f)A — A Denkgüçlülük(Idempotance) 13a) Au U = U 13b) A n 0 = 0

14a) Au (A f\B) = A 14b) Af] (A[J B)= A Emme (Absorbtion) 15a) (A U B)c = Ac Ç]BC 15b) (A f)B)c = ACU Ac (De Morgan)

KANIT:

Bu teoremin tümünü kanıtlamak yoluna gitmeyeceğiz. Sadece küme ku-ramında nasıl kanıtlama yapılacağına örnek olmak üzere 5b) ve 15a) yı ka-nıtlıyalım.

ı

5b) nin kanıtlanması: x e A U (B n C) olsun. Bu takdirde x e A veya x e B f)C dir. x e A ise xe A u B ve x e Au C dir. Dolayısıyla x e (A U B) n (A U C) yazılabilir. x e B H C ise x eB ve xeC dir. Dolayısıyla x eA u BvexeA u C yazılabilir. O halde x e (A u B) n (Û C) dir. Bunun anlamı (1) A U (B U C) U (A U B) U (A ü C)dır. Şimdi x e (A U B) D (A fi C) varyasayalım. Bunun anlamı xe(A U B) ve xe(A U C) dir. xeAuB=>xe A veya x e B x e (A u C) => x e A veya x e C 0 halde mantık bilgilerimizden [(x e A) V(* e B)] A [{xeA) V (x e C)] yazabiliriz. Bu durumda önermeler cebirinin dağıtıcılık yasalarından (4a) ye dayanarak

x e A V {x e B f\ x e C) yazabiliriz. Yani

[(* e A) V {x e (B (] C) 1=> a; e A u ( n BC) o halde (2 ) ( İUB) n ( i ü C ) c i u ( B n C ) yazabiliriz. (1) vc (2) den ( i u B ) n ( i u C ) = i u ( B n C )

yazabiliriz. (İ.K.)

29

15a/nın kanıtlanması x e (A<=B)C olsun. 0 halde x $ (A U B); x <£ A ve x £ B dır.

Bu ise, x $ A, x e Ac ve x £ B, x e Bc anlamına gelir. Buradan da * e Ac n Bc elde edilir. Böylece, (x e (A U B)c) => (x e (Ac f)Bc)) yazılabilir. O halde, (1) (A[j B)c cAc n £ c dir. Diğer taraftan, y e (Ac fi Bc) olsun. Bu ise y e A" ve y e Bc olması demektir. y e A° ise y $ A ve y e Bc de y $ B anlamına gelir, y $ A ve y $ B ise y $ (A u B) olması, bu d a y e ( İ U B)c olması demekıir. O halde (y e (Ac n Bc) ) => (y e (A U B)c) yazılabilir. Buradan da, (2) Ac nBc<=(Av B)c yazabiliriz. (1) ve (2) ise Ac n Bc = (A U B ) c

sonucunu verir. (l.K.)

ALIŞTIRMALAR:

A.3.1: Aşağıdaki kümeleri ortak ayırd edici özelliklerini yazarak gösteriniz. a) Bodrum'lu balıkçılar b) 1 den 5 e kadar tam sayılar c) Türkçe ders kitapları d) Tüm kesirler e) Asya ülkeleri f) Marjinal tüketim eğiliminin alabileceği sayısal değerler. A.3.2: Yukarıdaki alıştırmada verilen örneklerden hangileri sayılarak gösterilebilir, hangileri gösterilemez? Neden? A. 3.3: Aşağıdaki kümelerin tüm alt kümelerini ve üs kümelerini yazınız. a) A = {1, 2, 3, 4} b) B = {0} c; C = {0} d) D = (Ahmet, Ali, Ayşe, Gülten) A.3.4: Küme kuramında kümelerin öğelerinin sıralanmasının önemli olma-dığı ifade edilmektedir. Bu sonuca Kaplamsallık Belitine dayanarak nasıl varabilirsiniz ? Gösterin.

30

A.3.5: Aşağıdaki kümeler verilmiş olsun: A= {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {2, 4, 6, 8} i) A (]B ii) A[) B iii) A-B iv) B-A v) A AB bulun ve bunları Yenn çizgeleriyle ifade edin. A. 3.6: A, B ve C üç küme olsun. A U B u C; A n B n C; (A\J B) ()C; (A nC)U B; (B f|C)U A ifadelerini Yenn çizgeleriyle gös-terin. A.3.7:A= {1, 2, 3, 4, 5}, B= {2, 4, 6, 8}, C= {1, 3, 5, 7, 9} olduğunda (A n B)-C; (A- C)-B; (A u B)- C; (Bu C)-A; B-(A nC); ' CA(AnB); (B\J C) AC işlemlerinin sonuçlarını bulun ve bu işlemleri Verin çizgeleri ile ifade edin. A.3.8: Aşağıdaki sonuçların doğruluğunu kanıtlayınız. a) (A-B)f]B= 0

b) (A- B) c A n B c) i n ( B n C ) s Au B

d) i u ( B n C ) # ( i u B ) n C

A.3.9: Aşağıdaki kümeler verilsin. U: Üniversite öğrencileri A: Ankara Üniversitesi öğrencileri B: Üniversitede okuyan kız öğrenciler C: Üniversitede temel bilim alanında okuyan öğrenciler D: Üniversite 1. sınıfta okuyan öğrenciler a) Aşağıdaki kümelerin neyi gösterdiklerini yazın. ı)AnB i i ) ^n ( -Bu C) iii) B - D iv) BAD v) A n B n c vi) (A nB) u (C nD) b) Aşağıdaki ifadeleri yukarıda verilen kümeler ve küme işlemleri ile gös-terin: i) Ankara Üniversitesi öğrencisi olup temel bilim alanında okumayan öğren-ciler. ii) Ankara Üniversitesinde temel bilim alanında okuyan 1. sınıf öğrencileri iii) Ankara Üniversitesinde okumayan kız öğrenciler iv) Üniversitede birinci sınıfta olmayan temel bilim öğrencileri v) Ankara Üniversitesinde okuyan kız öğrenciler temel bilim alanında değil-dirler.

31

vi) Ankara Üniversitesi birinci sınıfında okuyan öğrenciler temel bilim ala nında okuyan kız öğrencilerdir.

KAYNAKLAR

T. KARAÇAY (1975): Soyut Matematiğe Giriş, M.E.B. Basımevi, İstanbul.

S.E. LIPSCHUTZ (1964): Set Theory and Related Topics, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill, New York.

R. STOLL (1963): Set Theory and Logic, Freeman, San Fransisco.

32

4. Bölüm

BAĞINTI VE İŞLEV

Bu bölümde gerek salt matematikde ve gerekse uygulamalı matematikde (örneğin, matematiksel iktisatta) çok kullanılan Bağıntı (Relation) ve îşlev (Function) kavramlarını, küme kuramından hareketle geliştireceğiz. Bu yak-laşımın izlenmesinin nedeni, küme kuramının matematiğin temelini oluştur-madaki yerini görebilmek ve mantıksal bütünlüğü sağlayabilmektir. Ancak bunu yapabilmek için daha önce, sıralanmış ikili ve Kartesgil çarpım küme-rini tanımlayacağız. Bundan sonra bağıntı ve son olarak da işlev kavramı üzerinde duracağız.

4.1. Sıralanmış İkililer:

Kümelerin belirlenmesinin öğelerin sıralanmalarından bağımsız olduğunu daha önce belirtmiştik. Nitekim {1,2,3,4} = {1,2,4,3,} = {1,2,2,4,4,3} yazılabiliyordu. Oysa bazı hallerde öğelerin sıralanması önem kazanabilir. Örneğin, Kartesgil düzlemde bir A noktasının yeri, X ve Y eksenlerine A noktasından inilen dikmelerin başlangıç noktasına olan uzaklıklarıyla belir-lenir. (Şekil 4.1.1) de görüleceği üzere bu uzaklıkları ifade eden sayıların ya-

A

2 —,A(1,2)

1 j 1 B (2,1)

1 2 Şekil 4.1.1

33

zılma sırasının değişmesi halinde, X ve Y eksenleri üzerinde işaretlenen uzak-lıklar ve ona bağlı olarak da noktanın yeri değişecektir. Demek ki burada sı-ralama önem taşımaktadır. TANIM 4.1.1: Sırasının önem taşıdığı iki öğeli kümelere. Sıralı İkili (Ordeı-ed Pair) denir ve (a, b) biçiminde gösterilir. Belit (İkililerin Eşitliği): (a, b) ve (c, d) iki sıralı ikili olsun, ancak ve ancak (a.v.a.) a = c ve b=d ise (a, b) sıralı ikilisi (c, d) sıralı ikilisine eşittir. TANIM 4.1.2: Sıralı üçlü (a, (b, c) ) biçiminde bir sıralı ikilidir. Bu yolla sıralı n-li tanımlanabilir.

Sıralı ikili kavramı iki kümenin Kartes'gil çarpımını tanımlamağa olanak sağlar. TANIM 4.1.3: A ve B kümelerinin Kartes^gil çarpımı birinci terimi A, ikinci terimi B kümesinden olmak üzere seçilen tüm sıralı ikililerden oluşan bir küme olup A x B = {(a, b); a e. A ve b e B} biçiminde gösterilir. ÖRNEK 1. A= {1, 2, 3} ve B= {a, b} olduğunda A x B = {(l,a), (1,6), (2,o), (2,6), (3,«), (3, b)} dir. ÖRNEK 2. A= {1, 2} olsun. A x A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

Bu örnekte görüldüğü gibi A x A (ki çoğu zaman A1 biçiminde gösteri-lir) A nın öğeleri arasındaki tüm olanaklı çiftleri göstermektedir. TANIM 4.1.4: n artı bir tam sayı olsun, n tane kümenin Kartes'gil çarpımı Al x. . . x An = {(«j, az «J : «, e A, ve a2 e A2 ve. . . . ve a„ e A„j biçiminde gösterilir. Eğer Vi,j için A, = Aj ise bu çarpım An biçi-minde de gösterilir.

4.2. Bağıntılar ve özellikleri

Sıralı ikili, Kartesgil çarpım kümesi kavramlarına dayanarak, şimdi, Bağıntı (Relation) kavramını tanımlıyabiliriz. TANIM 3.2.1: AxB Kartes'gil çarpım kümesinin her (3 alt kümesine A dan B ye bir İkili Bağıntı (Binary Belation) denir. Eğer bağıntı AxA üzerinde tanımlanmışsa, buna A da (A üzerinde) bir bağıntı denir, a e A ve b e B ise (a, b) çiftinin [3 bağıntısı içinde olduğu a (3 b ya da (a, h) e (3 biçiminde gösterilir.

Tanımı dikkatle incelersek, bu kavramın günlük hayatta kullandığımız anlamda olduğu ve iki kümenin öğeleri arasındaki bağıntıyı gösterdiğini

34

kolayca görürüz. Örneğin "Ahmet, Mehmet in babasıdır" dediğimizde bu Ahmet ile Mehmet arasında "baba olma" bağıntısını tanımlamış oluyor. Bu bağıntı insanlar kümesi üzerinde tanımlanmıştır. Böylece bağıntı kavramının günlük dilde kullanılana çok benzediğini görüyoruz. Şimdi bir örnek vererek sayı kümeleri üzerinde bir bağıntıyı görmeğe çalışalım.

ÖRNEK: A= {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 4, 6} olsun. Bu durumda AxB= {(1,2;, (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,2), (3,4), (3,6), ^4,2), (4,4), (4,6)} olur. Ş = {(1,2), v2,2), (3,2), (4,2)} kümesi A dan B ye bir bağıntıdır.

Bağıntıların hepsi bir birinin aynı değildir. Günlük hayattan bir örnek vermek gerekirse, baba olma bağıntısı ile arkadaş olma bağıntısı farklıdır.' Ni-tekim Ahmet Mehmet'in babaüdır, dediğimizde bundan Mehmet'in Ahmet'in babası olamayacağını kolaylıkla çıkarabiliriz. Oysa Ayşe Ali'nin arkadaşıdır dediğinjizde, Ali'nin de Ayşe'nin arkadaşı olduğunu düşünürüz. Demek ki bu iki bağıntı türü birbirinden farklı özellikler taşımaktadır. İşte bu farklılık-ları dizgesel bir bütünlük içinde ele alabilmek için bağıntıların taşımaları söz konusu olabilecek temel özellikler üzerinde duracağız.

TANIM 4.2.2; A herhangi bir küme ve S, A üzerinde tanımlanmış bir bağıntı olsun. Eger V a e A için (a, a) e f} ise, Yansımalı (Reflexive) bir bağıntıdır denir.

Yukarıdaki tanıma koşut olarak Yansımasız (İrreflexive) bir bağıntı ise V a e A için (a, a) £ (3 özelliğini sağlayan bir (3 bağıntısıdır.

ÖRNEK 1: Doğal sayılar kümesi üzerinde " = " bağıntısı yansımalıdır.

ÖRNEK 2\ A= {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde "küçük olma" (<) bağıntı-sını tanımlayalım. Acıktır ki bu küme içindeki hiç bir öğe kendinden küçük olmadığı için, < yansımasız bir bağıntıdır. TANIM 4.2.3: A herhangi bir küme ve [3, A üzerinde laııımlanmış bir bağıntı olsun. Eğer (a, b) e A olduğunda (o, 6)e(3=> (6, a)e(3 ise (3 Bakı-şımlı (Symmetric) bir bağıntıdır. ÖRNEK: A= {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerindeki (3 = {(1, 1), (1, 3), (3, 1)} bağıntısı bakışımlıdır.

Bakışımlı bağıntı tanımına dayanarak iki özellik daha tanımlayabiliriz: TANIM 4,2.4: A herhangi bir küme ve (3, A üzerinde tanımlanmış bir bağın-tı olsun. Eğer («, b) e A olduğunda (a, b) e (3 (b, a) $ (3 ise, Bakışımsız (Nonsymmetrie) bir bağıntıdır.

35

ÖRNEK: p İnsanlar kümesi üzerinde tanımlanmış "baba olma" bağıntısı olsun, p Bakışımsızdır. Çünkü Ahmet Mehmet'in babası ise Mehmet Ahmet'-in babası olamaz. Yani (Ahmet, Mehmet) e 3 => (Mehmet; Ahmet) £ (3 TANIM: 4.2.5: A herhangi bir küme ve p, A üzerinde tanımlanmış bir bağın-tı olsun. Eğer (a, b) e A olduğunda, [(o, b) e p =*> {b, o) e [3 ]«-» a=b ise p Ters Bakışımlı (Anti Symmetric) bir bağıntıdır.

ÖRNEK: p, alt küme olma bağıntısı olsun. 3. Bölümden anımsanacağı üzere i ç B v e B ç A ise A—B dir. Bunun dışında da alt küme olma bağın-tısı iki yönlü olarak geçerli değildir.

TANIM: 4.2.6: A herhangi bir küme ve p, A üzerinde tanımlanmış bir bağın-tı olsun. Eğer a, b, c e A olduğunda, (a, b) e p ve (b, c) e p => (o, c) e p ise P Geçişli (Transitive) bir bağıntıdır.

ÖRNEK: N+ sayma sayıları kümesi olsun. Bunun üzerinde tanımlanan bü-yük olma, bağıntısı geçişlidir.

TANIM: 4.2.7: A bir küme ve p, A üzerinde tanımlanmış bir bağmtı olsun. Eğer a, b, c e A olduğunda (a, b) e p ve (b, c) e p => (o, c) £ p ise p Geçişsiz (Intransitive) bir bağıntıdır.

ÖRNEK: İnsanlar kümesi üzerinde tanımlanan "baba olma" bağıntısı geçiş-sizdir. Çünkü Ahmet Mehmet'in babası ve Mehmet de Ali'nin babası ise Ah-met Ali'nin babası değil dedesi olur.

TANIM: 4.2.8: A herhangi bir küme p, A üzerinde tanımlanmış bir bağıntı olsun. Eğer, V (o, b) e A için a # b olduğunda ya (a,b) e p veya (b,a) e p ise Bağlaşık (Connected) birbağntıdır denir.(Bu bağıntıya bazen, Tam "complete" de denilmektedir. Eğer a b koşulu kaldırılırsa, bu takdirde ulaşılan bağın-tıya da Güçlü Bağlaşık (Strongly Connected) Bağıntı denilmektedir).

ÖRNEK:

N+ , sayma sayıları kümesi üzerinde "büyük olma" bağıntısı bağlaşık, "eşit ya da büyük olma" ise güçlü bağlaşık bir bağıntıdır.

4.3. Bağıntı Türleri

Yukarıda verilen örneklerden de anlaşılabileceği gibi, bir bağıntının tüm özellikleri birden sağlaması gerekmez. Bunların bir kısmını sağlayan bir kısmını sağlamayan bağıntılar söz konusudur. Bağıntıları özelliklere göre adlandırmak bu konunun incelenmesinde kolaylık sağlayan bir yol olmaktadır.

TANIM 4.3.1: A kümesi üzerinde tanımlanan bir p bağıntısı yansıtıcı, bakı-şımlı ve geçişli ise buna Denklik Bağıntısı (Equivalence Relation) denir.

36

ÖRNEK: N+ üzerinde " = " (eşitlik) bir denklik bağıntısıdır. Çünkü V a eN+ için a—a dır (yansıma), a, b e N+ için a=b => b=a dır. (bakışımiıbk) Niha-yet V a, b, c e N+ için a=b ve 6=c => a=c dir (geçişlilik).

Diğer bağıntı türlerine geçmeden önce denklik bağmtısıyla yakından ilgili bir başka kavrama kısaca değinmekte yarar vardır. TANIM 4.3.2: D,A üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. Her bir x e A öğesi için, Ak = {y: y e A ve (ac, y) e D} kümesini tanımlayalım. Ax kümesine x öğesinin D ye göre Denklik Sınıfı (Equivalence Class) denir. A kümesinin, D denklik bağıntısı altında tüm denklik sınıflarından oluşan E kümesi, A küme-sinin bir bölüntülemesidir. ÖRNEK: Bir tüketicinin tüketebileceği tüm mal bileşimlerinden oluşan kümeye tüketim kümesi diyelim. Bu mal bileşimleri arasında eş fayda sağ-layan bileşimler bir denklik bağıntısıyla ilışkilendirilmişlerdir. Bu bağıntı bize farksızlık eğrilerini verir. Tüm farksızlık eğrileri tüketicinin tüketim kü-mesi üzerinde tanımlanmış "eş fayda sağlama" denklik bağıntısına göre denk-lik sınıflarıdır. Yukarıda verilen tanımın son tümcesi (ki aslında bir teorem-dir) gereği, bunlar tüketim kümesinin bir bölün!ülemesini oluştururlar, yani kesişmezler.

İkinci bir tür bağıntı da sıralama bağıntısıdır. Burada bir küme içinde yer alan öğelerin birbirlerine göre durumları karşılaştırılmaktadır. TANIM 4.3.3: Yansımalı, ters bakışımlı ve geçişli bir bağmtıya Sıralama (Ordering) bağıntısı denir. ÖRNEK: N+ üzerinde (<) bağıntısı bir sıralamadır. Buna Doğal Sıralama da denir. Sıralama bağıntısının özellikle ileri iktisat kuramında çok önemli yeri olan çeşitli türleri vardır. Ancak, bunları bu kitabın dışında bırakıyoruz.

4.4. İşlev Bu alt bölümün amacı İşlev (Function) kavramını küme kuramsal bir

yaklaşımla tanımlamağa çalışmaktır. TANIM 4.4.1: A kümesinden B kümesine, tanımlanan bir f bağmtısı

i) (Va e A) (3 b e B) e (a, b) e / ıi) (Va, b,c) [(a,b) e / ve (a,c) e / ] => b=c

koşullarını sağlıyorsa, buna, İşlev (Function) denir. Burada A kümesine, f nin Önalanı (Domain) denir. ÖRNEK: A = {p: Patates fiyatı, TL} ve B= {q: Patates istem miktarı, kg} olsun. Bu durumda patates istem miktarları ile patates fiyatları arasında "her fiyata karşılık olan patates istem miktarı" biçiminde bir işlev oluştura-biliriz. İktisat derslerinden de ammsanabileceği üzere buna İşlem İşlevi

3 7

(Demand Function) denilmektedir. Bu işlev bize herhangi bir patates fiyatına karşıhk gelen birtek patates istem miktarını vermektedir.

TANIM 4.4.2: / : A->B bir işlev olsun. f(a) = {6: 6 e S ve b=f(a); a e A} kümesine, anın / altında Görüntüsü (Image) ve B* = U f(a) — f (A) küme-sine de f nin Ar dalanı (Range) denir. a e A

TANIM 4.4.3: Eğer/: A-+B işlevinde f(A) c= B ise / İçine (Into, înjeetive) işlev admı alır.

TANIM 4.4.4: Eğer / : A-+B için f(A) = B ise, / örten (Onto, Surjective) bir işlevdir. TANIM 4.4.5: Eğer / : A->-B işlevinde Va,6 e A ve a ^ b olduğunda f(a) ^ f(b) ise, Bire bir (one-to-one) işlevdir denir.

TANIM 4.4.6: / : A->-B hem bire bir ve hem de örten ise buna 1-1 örten (one to one onto) bir işlev denir. TANIM 4.4.7: / : A^B ve g: B-+C işlevleri verilsin. Va e A için (go/) («) = g O f(a) biçiminde verilen g o / : A->C işlevine Bileşke İşlev denir.

TANIM 4.4.8: / : A->A bir işlev olsun. Eğer V a e A için /(a) = a ise buna Birim İşlev (Unit Function) denir ve IA ile gösterilir.

TANIM 4.4.9:/: A-+B işlevi 1-1 ve örten ise, / - l O f= IA v e / O / - 1 = IA özel liklerini sağlayan bir f-1: B-+A işlevi vardır. Buna / nin Evrik İşlevi (Inverse Function) denir.

ÖRNEK:

/: x + 1 X = {*:-<*< 1, x e R} Y = {y: 0 < y, < 2, y e R}

/ 1-1 ve örtendir.

/-» = y—1

f'1 Of = (*+l) " 1 = * e X /-'./ = IA

fO /- 1 - (y-1) -1 = y. e y /. /-' = IA

ALIŞTIRMALAR:

^ . 4 . 1 . A= {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} ve C = {*, y } olsun

i) AxB ii) BxA iii) AxBxC iv) (A u B) xC v) (Bu C) x A iv) AxA vii) C4

kümelerini buluruz.

38

A.4.2: (4* + 3_y, 6) ve (18, x-2y) sıralı ikilileri eşit ise x ve y'nin değerleri nedir ?

A.4.3: A<= B ve Cc D ise A x C cz BxD olduğunu gösterin. A.4.5: A= {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılar-dan hangileri yansımalıdır? i) p, = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 4)}

ii) p2 = {(1,1), (2,2), (3,1), (4,1), (3,3), (4,2), (4,4)} İÜ) p3 = {(1,2), (3,1), (4,4), (3,3), (3,2), (1,4), (2,1)} İv) p4 = {(1,2)} v) p5 = {AxA}

A.4.6: A= {1, 2, 3} kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılar-dan hangileri yansımasızdır. i) Ş, = {(1,2), (2,1), (3,2), (3,3), (2,3)} ii) p2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1;, (3,2)}

İÜ) p3 = 1(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1)} iv) p4 = {A x A} v) p5 = {(1,2)}

A.4.7; A — {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangileri bakışımlıdır ? i) p, = {(1,2), (2,1), (3,1), (1,3)}

ii) p2 = {(1,3), (4,1), (3,2), (2,3), (1,2), (3,4)} İÜ) p3 = {(1,4)} iv) p4 = {A x A} v) P5 = {(1,1)}

A.4.8: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılar-dan hangileri ters bakışımlıdır, hangileri ters bakışımlı değildir.

i) p, = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4j, (3,1), (1,3)} ii) p2 = {A x A}

iii) p3 = {(3,4)} iv) p4 = {(3,3)} v) p5 = {(1,1)}, (2,2)}

A.4.9: A — {1,2,3,4} kümesi üzerinde verilen aşağıdaki bağıntılardan hangileri geçişlidir?

39

i) p, = {(1,2), (3,4)} ii) p2 = {(1,2), (1,1)} iii) p, = {(1,2), (2,1)} iv) p4 = {(A x A)} v) = {(1,2)} A.4.10: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde aşağıda verilen bağıntılardan han-gileri A dan A'ya işlevdir? i) p, = {(1,1), (1,2), (4,3), (2,3), (3,1)} ii) p2 = {(1,3), (3,4), (4,1)}

iii) p, = {A x A} ıv) p, = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3)} v) p5 = {(1,3), (1,2), (1,3), (1,4, (1,5)} A.4.11 : f: A~>B bir sabit işlev (eonstant function) olsun, [Not: sabit işlev görüntü kümesi birtek öğeden oluşan işlevdir]. Böyle bir işlev bire bir olabilir mi?

A.4.12 :

A = [x: -1 ^ x 1, x e R} kümesi verilsin. Aşağıdaki verilen A dan A ya işlevlerin hangileri örtendir? i) f(x) = x2 ii) g («) = x3 İii) lı(x) = sin x iv) k (x) = 0,5 x v) m (x) = x A.4.13: A— {*: -1 ^ i ^ 1, JC E R} R = { y ı O g y g l j e R } ve C= {y: y e R} ve f(x) : A-+B = 0.5 *2

g(x) : B^C = + 3y + 1 olsun. i) gof: A->C bileşke işlevi bulun

ii) / , g ve gof in görüntü kümelerini bulun. A.4.14: f: R^R işlevi f(x) = 2 Xz + 8 biçiminde olsun. Bunun evrik işlevinin formülünü bulunuz. A.4.15. f: A-+B, g: BÂ iki eşleme ve g o / = Ia olsun. Aşağıdaki ifadelerin hangileri doğru, hangileri yanlıştır.

40

i) g = r ii) / örtcıı bir eşlemedir. iii) / birebir eşlemedir. iv) g örten bir eşlemedir, v) g birebir eşlemedir.

KAYNAKLAR

C.B. ALLENDOERFER - C.O. OAKLEY (1963): Principles of Mathematics, 2nd Ed„ Mc Graw Hıll,

New York (özellikle s.187-218).

T. KARAÇAY (1975): Soyut Matematiğe Giriş, M.E.B. Basımevi, İstanbul (özellikle, s. 51-57, 62-104).

B. ROBERTS - D.L. SCHULZE (1973): Modern Mathematics and Economic Analysis, W.W. Norton,

New York, (özellikle, s. 14-29). M.E. YAARI (1971): Linear Algebra For Social Sciences, Prentice Hail, Englewood Cliffs, N.J., (özellik-

le, s. 8-23).

41

İŞLEMLER VE MATEMATİKSEL YAPILAR

5. Bölüm

Bu bölüm ile giriş ana bölümümüzün sonuna geliyoruz. Bu bölümün amacı şimdiye kadar üzerinde durduğumuz küme kuramı ile bundan sonra ele ala-cağımız "Doğrusal Cebir" arasında bir bağıntı kuramaktır. Her ne kadar burada ele aldığımız konular ileri iktisat kuramında doğrudan kullanılmak-taysa da, biz bunlara girmeyip, sadece bu köprü olma işlevi ile kendimizi sı-nırlamağa çakşacağız. Böyle olunca, bu bölüm özünde, I.ise I modern mate-matik bilgilerinin yinelenmesinden öteye geçmeyecektir. Bu bölümde, önce matematiksel işlem kavramının genel bir tanımını yapacağız, sonra bazı önemli matematiksel yapıları ele alıp bunların özelliklerini kısaç? tartışacağız.

5.1. İkili işlemler

TANIM 5.1.1: A bir küme olsun. f: AxA-+A biçimindeki bir işleve İkili İşlem (Bınary Operation) denir. İkili işlemi simgesi ile gösterelim.

Tanımından da anlaşılacağı üzere ikili işlem, herhangi bir (o, b) e AxA sıralı çiftine bir tek c e A öğesini eşleyen bir işlevdir.

ÖRNEK: A = R olsun. A üzerinde tanımlanan toplama işlemi, ( + ) , bir ikili işlemdir. Çünkü herhangi bir gerçel sayı çifti için bunların toplamı da bir gerçel sayıdır.

İkili işlem kavramından hareketle daha genel işlemler de tanımlanabilir. TANIM 5.1.2: A bir küme olsur.

/: AxA x x A->A = A"-+A biçimindeki bir işleve n-li İşlem (n-ary Operation) denir.

Biz bu kitapta sadece ikili işlemlerle ilgileneceğiz. Diğer taraftan da ko-laylık olması için bunlara da sadece işlem diyeceğiz.

İşlemleri gösterdikleri özelliklere göre isimlendirmek olanaklıdır. Bu açı-dan şu önemli işlemleri tanımlayabiliriz:

TANIM 5.1.3: A kümesi ve bunun üzerinde tanımlanmış bir * işlemini (A, *) ikilisi , ile gösterelim. Eğer V a, b e A için a * b — b * a ise, * Yerdeğiştirmeli (Commutative) bir işlemdir.

42

ÖRNEK: i) Tamsayılar kümesi üzerinde toplama işlemi yer değiştirmelidir. Çünkü

a, b tamsayı olduklarında a -\-b = b-\-a dır.

ii) Kesirler kümesi üzerinde bölme işlemi yer değiştirmeli değildir.

Çünkü ^ (a b ise) dir.

TANIM 5.1.4: (A, *) verilsin. Va, b, c eA için (a*b) *c = a * (b*c) ise, *, Ortaklaştırıcı (Associative) bir işlemdir. ÖRNEK: Artı kesirler kümesi üzerinde çarpma işlemi ortaklaştırıeıdır. Çünkü a, b, c e Q+ olduğunda a x (6 x c) = (a x b) xc dir. TANIM 5.1.5: Bir A kümesi ve bunun üzerinde tanımlanmış * ve © işlemleri verilsin. Bunu (A, *, ©) ile gösterelim. Eğer a,b, c e A olduğunda a * (b©c) = (o * b) © (a * c) ise * işleminin O işlemi ile Soldan Dağılma (Left Distri-butive) özelliği vardır. Eğer (a © b) * c = (o * c) 0 (b * c) ise * işleminin © işlemi ile Sağdan Dağılma (Right Distributive) özelliği vardır. Eğer * hem sağdan ve hem de soldan sağılma özelliği gösteriyorsa * işleminin Dağılma özelliği vardır.

ÖRNEK: Tamsayılar kümesi, I, üzerinde çarpma işlemi toplama işlemine göre dağılma özelliği gösterir. Çünkü a, b, c, e 1 olduğunda. a x (6-j-c) = a x 6 + a x c soldan dağılıma 1

(a-\-b) x c = rtxc + b x c sağdaıı dağılıma özellikleri sağlanır. TANIM 5.1.6: (A, *) verilsin. V a e A için IA * a —a* IA — a özelliğini sağlayan bir J A e A öğesi varsa buna * ikili işlemine göre A kümesinin Birim Öğesi (Identity, (Unit, Neatral) Element) denir. ÖRNEK: Gerçel sayılar kümesi, R, üzerinde tanımlanan çarpma işlemi için, 1 (bir) birim öğedir. TANIM 5.1.7: (A, *) verilsin. V a e A için 0A x a = a x 0A = 0A özelliğini sağlayan 0 A e A öğesi varsa, buna * ikili işlemine göre A kümesinin Sıfır Öğesi (Zero Element) ya da Boş öğesi (Null Element) denir. ÖRNEK: Gerçel sayılar kümesi, R, üzerinde tanımlanan çarpma işlemi için, 0, boş öğedir. TANIM 5.1.8: (A, *) verilsin. Herhangi bir a e A öğesine karşılık gelen ve a *a 1 = a*a-i=IA özelliğini sağlayan bir a - 1 e A öğesine a'nın Evriği (Inverse) denir.

43

ÖRNEK: Tamsayılar kümesi üzerinde tanımlanan toplama işlemi için x bir tamsayı olduğunda -x bunun evriğidir. Çünkü x + (-*) = 0 = (-*) 4- x dir. 0 ise * +0 = 0 = x koşulunu sağladığı için birim öğedir.

5.2. Matematiksel Yapılar

Matematikte büyük ölçüde kümelerin yapısıyla ilgililenilir. Kümelerin yapısı denildiğinde de bir kümenin öğeleri arasındaki bağmtdar, bu öğeler üzerinde hangi işlemlerin yapılabileceği konuları anlaşılır. Böylece kümeler ve üzerlerinde tanımlanan matematiksel yapıyı birer yapıyı, daha doğru bir ifade ile, matematiksel yapıyı tanımlarlar. O halde aşağıdaki tanımı verebi-liriz. TANIM 5.2.1: Üzerinde bir ya da daha çok sayıda ikili işlem tanımlanan bir kümeye Matematiksel (ya da Cebirsel) yapı (ya da Dizge) denir. Bir ma-tematiksel yapıyı, tanımlandığı küme ve üzerinde tanımlanan işlemleri de be-lirterek (A; *, O, 0, . . . ) biçiminde göstereceğiz.

Matematiksel yapıları taşıdıkları özelliklere göre sınıflamak ve incele-mekle uğraşan matematik dalına Soyut Cebir (Abstract Algebra) denir. Biz, burada, bu dalın içine girecek değiliz. Amacımız, bazı çok temel matematiksel yapıları basitten karmaşığa doğru tanıtarak bazı örnekler verip, bunları so-mutlaştırmağa çalışmaktır. Böylece bundan sonra ele alacağımız doğrusal cebir denilen matematiksel yapının özellikleri daha belirgin bir biçimde ortaya çıkmış olacaktır.

Konuya en basit matematiksel yapılardan başlayalım. Bunlar, üzerinde tek işlem tanımlanmış yapılardır. TANIM 5.2.2: A boş olmayan herhangi bir küme olsun. A üzerinde * işlemini tanımlayalım. (A, *) matematiksel yapısına. Öbeksi (Groupoid) denir. ÖRNEK: (N,+) bir öbeksidir. Çünkü iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. Buna karşılık (N, -) bir öbeksi değildir. Çünkü iki doğal sayının farkı bir eksi tamsayı olabilir.

TANIM 5.2.3: (A, *) bir öbeksi olsun. Eğer * işlemi ortaklaştırıcı yani a,b,c E A olduğunda a * (b * c) = (a* b) *c ise, (A,*) bir Yarı Öbek (S emi Group) adını alır. ÖRNEK: Tamsayılar kümesi (Z) üzerinde çarpma işlemini tanımlayalım.( Z, x) bir yarı öbektir. Çünkü a, b, c e Z ise ox (bxc)= (axb) x c dir.

Buna karşılık, (Z,-) bir yarı öbek değildir. Çünkü genellikle (a-b)~c # a-(b-c) dir. TANIM 5.2.4: Bir (A, *) yarı öbeğinin * işlemi için birim öğesi varsa buna Birimli Yarı Öbek (Monoid) denir.

44

ÖRNEK: P(A), A kümesinin güç kümesi olsun. P(A) üzerinde birleşim, U , işlemini tanımlayalım. (P(A), U) birimli yarı öbektir. Burada 0, U işlemi için birim öğe rolünü oynar. Bu özelliği gösterelim.

A(, Aj, Ak<= A olsun. O halde güç kümesinin tanımı gereği At, Aj, Ak <= P(A) dır. Diğer taraftan Teorem 3.5.1/4 a dan

Â, u (Aj u Ak) = (A, u AJ u Ak

olduğundan, (P(A), U ) bir yarı öbektir. 0 her kümenin alt kümesi olduğundan 0 <=A ve dolayısı ile 0 e P(A) dır. Diğer taraftaa >/Ai e A için A£u 0 =*= 0 u At = Aı olduğundan 0, U işlemi için birim öğedir. O halde (P(A),U ) birimli yarı öbektir. TANIM 5.2.5: (A, *) bir birimli yarı öbek olsun. Eğer bu yarı öbeğin her öğesinin * işlemine göre evrik öğesi varsa, (A, *) bir Öbektir (Group).

Öbek önemli bir matematiksel yapıdır. Bu nedenle bir öbeğin sağlaması gereken özellikleri anımsamayı kolaylaştırmak için bir kez daha sayalım:

(A, #) bir öbek ise i) Va, b e A için a * b e A dır. Yani (A, *), * işlemi için kapalıdır.

ii) * ortaklaştırıcı bir işlemdir. iii) A içinde * işlemi için bir birim öğe vardır. iv) Va e A için * işlemine göre bi a - ' evrik öğesi vardır.

ÖRNEK: (A, #) matematiksel yapısı verilsin. Bu yapıda A= {(a, b): a, b e R, a ^ 0}

kümesi olsun. * işlemi ise (a, b) * (c, d) = (ac, bc d)

biçiminde tanımlansın. Şimdi bu yapının bir öbek olup olmadığını anlayalım. i) İşlem sonunda çıkan (ac, bc-\-d) yine bir sıralı ikilidir. O halde (A, *),

* işlemi için kapalıdır. ii) * işleminin ortaklaştırıcı olup olmadığını araştıralım:

[(a,b) * (c,d) ] * (e, / ) = (ac, bc +d) * (e,f)

= ((ac)e, ((bc+d) e)+f) = (a(ce), b(ce) + (de+f) — (a,b) * (ce, de + /) = (a,b) * [(c,<Z) * (e,/)]

o halde * ortaklaştırıcıdır.

45

iii) Birim öğe olup olmadığını arayalım (1, 0) * (a, b) = (1. a, Oo + b) = (a, b)

= K b) * (1, 0) olduğuna dikkat edilirse, birim öğe vardır ve bu (1, 0) dir.

iv) Evrik öğe olup olmadığını araştıralım.

(a,b)J±,- -)=(«• - , - - - ) = (!, 0) \ a a / \ a a a /

= ( _ L , _ ±-).{a,b) \ a a /

olduğundan bir evrik öğe de vardır. O halde (A, *) bir öbektir. TANIM 5.2.6: (A, *) bir öbek olsun. Eğer * işlemi aynı zamanda yer-değiştirieilik özelliği de taşıyorsa, bu öbeğe Yerdeğiştirmeli Öbek (Commu-tative Group) ya da bu kavramı ilk kez ortaya atan Norveç'li matematikçi Niels Abel'in adına gönderme yaparak Abel Öbeği denir.

I ÖRNEK:

A — {0,1,2,3} kümesi ve bu küme üzerinde tanımlanan * işleminde oluşan bir (A, *) matematiksel yapısı verilsin. * işlemi ise bu kümede yer alan her-hangi iki öğenin toplanıp dörde bölünmesi halinde kalan sayıyı versin. Örneğin 3ve 2 yi alalım.

3 * 2 = 1 dir. Çünkü 3 +2 = 5 eder. 5 i 4 e böldüğümüzde geriye bir kalır. O halde * işlemini aşağıdaki tablo ile gösterebiliriz.

* I 0 1 2 3

0 1 0 1 2 3 I I 1 2 3 0 2 1 2 3 0 1 3 1 3 0 1 2

NOT: 0+1 = 1 eder. Birde dört sıfır kez var. Geriye 1 kalır. Şimdi (A, *) matematiksel yapısının bir Abel öbeği oluşturduğunu gö-

relim: i) Tablodan da görüldüğü üzere A içindeki hangi sayı çiftini alırsak ala-

lım sonuç yine A içindeki bir sayıdır. O halde *, A üzerinde kapalıdır. ii) * ortaklaştırıcıdır. Çünkü (a * b) * c = a * (b * c) olduğunu her

sayı üçlüsü için gösterebiliriz.

46

Örneğin a = 1 b= 2 c = 3 olsun. (o * b) = (1 * 2) = 3

(a * i») * c = (1 * 2) * 3 = 3 * 3 = 2 (b * c) = (2 * 3) = 1 a * ( 6 * c ) = l * ( 2 * 3 ) = l * l = 2

iii) Dikkat edilirse bu yapıda 0 birim öğedir. Çünkü A içindeki tüm tüm o' 1ar için

a * 0 = 0 * o = o iv) Her öğenin evriği vardır:

0 * 0 = 0 1 * 3 = 0 2 * 2 = 0

3 * 1 = 0 v) * işlemi yer değiştirmelidir. Çünkü VaÔj e A için

a; * dj = a,j * at dir.

O halde (A, *) bir Abel öbeğidir. Şimdi de üzerinde iki işlem tanımlanmış matematiksel yapılara geçelim.

Burada tüm bu tür yapıları tanımlamak yerine bizim için önemli olanları tanımlamakla yetineceğiz. TANIM 5.2.7: (A, *, ©) bir matematiksel yapı olsun. Eğer

i) (A, *) bir Abel öbeği ii) (A, ©) bir yarı öbek

iii) ©, yani yarı öbek işlemi, *, yani öbek işlemi, üzerinde dağıtıcı ise, (A, *,©) bir Halkadır (Ring). Bir halkanın sağladığı özellikleri bir liste halinde, verirsek 1) A, * işlemine göre kapalıdır. 2) a, b e A ise a * b = b * o 3) a, b, c e A ise (o * b) * c = a * (b * c) 4) 3IA G A a eA => a * IA = IA * a = a. 5) Va e A için 3o_1 eA -b- a * a~l = IA

6) A, O işlemine göre kapalıdır. 7) a, b, c e A ise (aQb) ©c = a© (bQc) 8) o, b, c A ise a© (b* c) = (aQb) * (aQc)

(b*c) Qa=bQa*bQc

47

ÖRNEK: (Z, + , x) bir Halkadır. Çünkü kolayca görülebileceği üzere tamsayılar üzerinde yukarıdaki sekiz koşul sağlanır. TANIM 5.2.8: (A, *, ©) bir halka olsun.

i) (A, O) bir yer değiştirmeli yarı öbek ise (A, *, ©) bir Yerdeeiştirmeli Halka adını alır. ii) (A, 0 ) bir birim öğeli yarı öbek ise (A, *, ©) Birim Öğeli Halka (Ring With Identity) adını alır.

ÖRNEK: A— {/: / : R~>R} olsun. Yani A gerçel sayılardan gerçel sayılara olan tüm işlevlerin oluşturduğu bir küme olsun. (A, + , O) matematiksel yapısını tanımlıyahm. Burada, f,g e A ve x e R olduğunda

(/ + g) (*) = /(*) + g .(*) ( fOg) (*) = f(x) O g(x) ise (A, x, O) birim öğeli halka olduğu gösterilebilir. Burada birim öğe

h (x) = 1 * 6 R biçiminde bir sanit işlevdir. TANIM 5.2.9: (A, *, ©) birim öğeli ve yerdeğiştirmeli bir halka olsun. Eğer

i) (A, *), birim öğesi IA* olan bir Abel öbeği ii) (A- {IA«}, 0 ) birim öğesi IA© olan bir Abel öbeği ve

iii) Va, b, c e A için

a 0 (b * c) = (a © b) * [a © c)

ise, A bir Alan (Field) adını alır.1

1 I ÖRNEK: (R, -f"» x) bir alandır. Çünkü (R, +) birim öğesi 0 olan bir Abel öbeğidir. (R-{0}, x) ise birim öğesi 1 olan bir Abel öbeğidir. Nihayet o, b, c e R olduğunda a x; (6+c) = a x 6 + a x c dir.

Şimdi bu bilgilerimizin ışığında bundan sonra ele alacağımız önemli matematiksel yapılara girelim. Bunların özelliği iki farklı matematiksel ya-pıyı kapsayan yeni bir matematiksel yapı oluşturmalarıdır.

TANIM 5.2.10: i) Öğelerine yöney denilen bir (V, +) Abel öbeği,

ii) Öğelerine sayıl (scalar) denilen bir (F, + , x) alanı

iii) Aşağıdaki özellikleri taşıyan ve öbek ile alanı ilişkilendiren bir O sayıl çarpma işlemi

1 Türkçe kaynaklarda cisim de deniliyor.

48

a) V c e F ve x e V için c Q x e V (3) c2 e F ve x e V için

(c, + c2) © * = (c, © *) + (c2 0 x)

r) (c! o cz) o * = c ı o (c2 o *) 0) c O (x+y) = (c o x) + (c © y) Â) Jp, alanın birim öğesi olduğunda,

7f 0 x — x verilsin. Bu üç bileşenden oluşan ((F, +), (F, x), ©) matematiksel yapısına Yöney Uzayı (Yector Space) ya da Doğrusal Uzay (Linear Space) denir. TANIM 5.2.11: L bir küme olsun. Bunun üzerinde çarpma ve toplama işlemleri tanımlanmış olsun. Ayrıca L nin öğeleri ile bir F alanının öğelerinin sayıl çarpımı da tanımlansın.

Eğer i) L, toplama ve sayıl çarpım işlemleri altında F üzerinde bir yöney uzayı,

V(F), ise ii) Çarpma işlemi ortaklaştırıcı ise

iii) Çarpma işlemi, toplama işlemi üzerinde hem sağ ve hem de sol dağıtıcı ise iv) L nin çarpmalı birim öğesi varsa v) Va, p e L ve k e F için (fca) p = a {k (3) = k (afi) ise, L, F üzerinde

bir Doğrusal Cebir (Linear Algebra) dir, denir. ÖRNEK: Bundan sonra ele alacağımız yöney uzayları üzerindeki tüm doğ-rusal düştürmeler cebiri bir doğrusal cebirdir.

ALIŞTIRMALAR:

A.5.1: Z t tek tam sayılardan oluşan küme olsun. (Z t ,+) bir öbeksi midir? A.5.2: A— {0,1} olsun. (A, *) matematiksel yapısının özellikleri aşağıdaki çizelgede verildiği gibi olsun:

* 0 1 0 0 0 1 1 1

(A, *) nın bir yarı öbek olduğunu gösterin. A.5.3: Bir boş olmayan A kümesi verilsin. Bunun üs kümesini 2A ile gös-terelim. (2A, U ) ve (2A, n) matematiksel yapılarının birer birimli yarı öbek olduklarını gösterin.

49

A.5.4: Bir boş olmayan A kümesi verilsin. Bunun üs kümesini 2A ile gös-terelim. A bakışımlı fark işlemini gösterdiğinde (2A, A) nm bir Abel öbeği olduğunu gösterin. A.5.5. Bir boş olmayan A kümesi verilsin. Bunun üs kümesini 2A ile gös-terelim. (2A, A, H) matematiksel yapısının bir halka olduğunu gösterin. A.5.6. A— RxR, gerçel sayıların sıralanırış ikililerinden oluşan bir küme olsun. A üzerinde toplama ve çarpma işlemlerinin

(a, b) + (c,d) = (a+c,b=d) (a,6)x(c,d) = (ac-db,ad-\-bd)

biçiminde tanımlayalım. (A,-|-,x) matematiksel yapısının bir alan olduğunu gösterin.

KAYNAKLAR

D.M. BURTON (1965): Arı Introduction to Abstract Mathematical Systems, Addison Wesley, Reading, Massachusetls.

I.N. HERSTEIN (1975): Topics in Algebra, 2nd. Ed., J. Wiley and Sons, New York.

J.B. FRALEIGH (1967): A First Course in Abstract Algebra, Addison Wesley, Reading, Massaehusetts,

T. KARAÇAY (1975): Soyut Matematiğe Giriş, M.E.B. Basımevi, İstanbul, (özellikle s. 105-112).

B. ROBERTS - D.L. SCHULZE (1973): Modern Mathematics and Economic Analysis, W.W. Norton, New York, (özellikle s. 29-35).

I

5 0

DOĞRUSAL CEBİR

6. Bölüm

Bundan önce ele aldığımız matematiksel yapılardan birisi, iktisat kura-mında çok kullanılması nedeniyle büyük önem taşımaktadır. Bu da "Yöney Uzayı" dır. Bu bölümde bu bölümde bu matematiksel yapıyı ele alacak ve izleyen bölümlerde de bu konuda bazı geliştirmeler yapacağız. Bunu yap-madan önce, bu yapının iktisatta niçin bu kadar önemli olduğunu anlayabil-mek için, "doğrusal bağıntılar" ve bunların iktisattaki önemi üzerinde biraz durmakta yarar görüyoruz.

6.1. İktisatta Doğrusal Bağıntılar

İktisatta da, diğer birçok bilim dalında yapıldığı üzere, bir kuram ge-liştirmek için uygun matematiksel yöntemlerden yararlanılarak bir model oluşturma yoluna gidilir. Bu model, ele alınan konunun kuram açısından önemli bağıntılarının soyutlanması demektir. Bu önemli bağıntılar da işlev-ler ile gösterilir. Daha önceki bilgilerimizden de kolaylıkla çıkarabileceğimiz üzere değişkenler arasındaki bağıntıları çeşitli türde işlevler ile gösterebiliriz, (doğrusal, karesel; logaritmik, trigonometrik vs). Bunlar özgül biçimlendir-meler ortaya çıkarırlar. Örneğin "C = 2 + log Y" denildiğinde tüketim "C" ile gelir "Y" arasındaki bağıntının yukarıda verilen özgül biçimde olduğu anlaşılır. Oysa çoğu kez kuramcı için modelin denklemlerini bu derece özgül biçimde ortaya koyabilmesi olanaksızdır. Bu durumda ya işlevsel ifadeler genel gösterim biçiminde bırakılır (örneğin C= f(Y) gibi) ya da bir genel işlev türünden olduğu varsayımı yapılır. Burada genel işlev türü derken, tüm işlevleri bazı temel başlıklar etrafında toplayabileceğimiz varsayımın-dan hareket ediyoruz. Böyle toplamlar çeşitli ayırtkanlara göre yapılabilir, (cebirsel -cebirsel olmayan işlevler, tek değişkenli, çok değişkenli işlevler vs. gibi). Biz burada doğrusal ve doğrusal olmayan işlevler ayrımını yapacağız. y= /(*,, ., . . ., xn) işlevinin bir doğrusal doğrusal işlev olması, a,, . . . . , an bir sabit sayılar derkemi olduğunda, söz konusu işlevin

(6.1.1) y= a, *,+.... + an xn

51

biçiminde yazılabileceği anlamına gelir. Dikkat edilirse bu işlev de değişken-leri tümü sadece birinci dereceden olup, değişkenlerin çarpımlarından oluşan ifadeler yer almamakladır1.

Bıına karşılık doğrusal olmayan işlevler denildiğinde

J = logx (6.1.2) y = e"

y = ax} + bx1 -f c x + d y = a ^ ^ j l a2 x\ + a3 x2

2

gibi işlevler anlaşılır. Eğer bir kuramcı modelini genel işlevsel bağıntılar halinde oluşturmakla

yetinmek istemiyor ve yapacağı bazı işlemlerle bulacağı sonuçlarla ilgileni-yorsa bu takdirde uygun bir işlev türü seçerek modelinde kullanabilir. İşte bu noktada doğrusal işlevler iktisatta (ve diğer bazı bilim dallarında da) en çok başvurulan türü oluşturmaktadır.

Kuşkusuz ki gerçek hayatta, değişkenlerin birbirlerini doğrusal olarak bağlı oldukları her zaman kabul edilebilir bir sav değildir. Buna rağmen doğ-rusal modellere olan bu rağbet, iki temel neden ile açıklanabilir. Bunlardan ilki gerçek dünyada doğrusal olmayan bir ilişki olsa bile bunun ne tür bir doğrusal olmama olduğunun çoğu kez belirlenememesidir. Bu durumda son-suz sayıdaki almaşıklar içinden rastgele bir doğrusal olmayan biçim seçmek yerine, bilinmeyen bir doğrusal olmayan biçime doğrusal bir işlev ile yaklaşma yolunun seçilmesi daha savunulur nitelikte olacaktır. îkincı temel neden, doğrusal işlevlere ilişkin matematiksel tekniklerin gerek model kurmada ve gerekse bundan sonra yapılabilecek hesaplarda büyük kolaylık sağlayacak yönde geliştirilmiş olmaları ve bunları kullanmanın kolaylığıdır.

Ancak bu nedenlerle doğrusal işlevler kullanırken bunların özelliklerini de dikkate almak gerekir. Doğrusallık varsayımının bir işleve yükseldiği en önemli özellikler Doğrusal Tektürellik (Linear Homogeneity) ve Toplamsallık (Additivity) dir. Bu varsayımların anlamlarını şöyle açıklıyabiliriz: Doğrusal Tektürellik eğer x değişkeni y üzerinde a etkisi yaratıyorsa, x değişkeninin miktarını k kadar artırdığımızda y üzerindeki etkinin ka olması demektir. Toplamsallık ise xt değişkeni y üzerinde a, ve x2 değişkeni a2 etkisi yapıyorsa bu iki değişkeninin birden etkisinin a1 + a2 olmasıdır,

ÖRNEK: Aşağıdaki üretim işlevi verilsin: Q = aK + bL

1 y = a -f b* işlevine Doğrusallık Koruyan (Afifine) işlev denir. Bunun doğrusal işlevden farkı sabit terimi içermesidir.

52

Burada Q üretim miktarı, K sermaye miktarı ve L emek miktarını gös-termektedir. Şimdi bu işlev üzerinde doğrusal işlevlerin taşıdığı özellikleri görelim. Önce toplanabilirliği ele alalım:

Yukarıda verilen üretim işlevi iki firma için geçerli olsun. Birinci firma Kt kadar sermaye, L, kadar emek kullanıp kadar üretim yapsm. İkinci firma için bunlara karşılık olan değerler ise sırasıyla Kj, L, ve Q, olsun.

Bu durumda iki firmanın birden yaptığı üretimi bulabm. Q, = aKx + bL, Q2 = aK2 + bL2

olduğundan, 4

Q = Q, + Qa = iaKı + bL,) + (aK2 + bL2) = (aK, + aK7) + (6L, + bL2) = a {Kt + KJ +b L2)

bulunur. Dikkat edilirse bulunan sonuç şu anlama gelmektedir: Üretim iş-levi aynı olan iki firmanın toplam üretimini bulabilmek için, iki firmanm toplam sermaye ve emek miklarları bulunmalı ve bunlar üretim işlevinde yerlerine konulmadığıdır. Bunu sağlayan özellik toplamsallıktır.

Diğer taraftan firmalardan birinin kullandığı sermaye ve emek miktar-larını k kadar değiştirdiğini varsayalım, (k > 0, eğer 0 < k < 1 ise firma kul-landığı girdi miktarlarını azaltmakta, fe> 1 ise artırmaktadır.) Bu durumda:

a (fcK) + b (fcL) = feoK + kbL = fc(oK + bL) = kQ

olacaktır. Görüldüğü gibi üretim de k defa artmıştır. Bunu sağlayan da doğ-rusal tektürellik özelliğidir.

İktisatta Eşanlılık (Simultaneity) olgusu incelenilirken doğrusal cebir önemli bir alet olarak ortaya çıkmaktadır. Eşanklık değişkenlerin birbirlerini karşılıklı olarak etkilemesi demektir. Bu nedenle de eşanlılık olgusunun varlığı bir değişme sonunda bir değişkenin hangi yöne ve ne kadar değişeceğinin sap-tanabilmesi için tüm değişkenler arasındaki karşılıklı bağıntıların bilinmesini gerektirir.

ÖRNEK: Aşağıda basit bir makroiktisat modeli verilmekledir. i ) Y = C + J + G Ulusal Gelir Eşitliği

ii) C = aY + bW Tüketim işlevi 0 < o < l ; 6 > 0 iii) 1 = dr + eY Yatırım işlevi d< 0; e > 0

Burada Y ulusal geliri, C tüketim i, I yatırımı, G devlet harcamalarmı W serveti ve r ise faiz haddini göstermektedir. Modelde G, W ve r dışarıdan

53

verilmektedir. Model bu değişkenler dışarıdan verildiğinde (yani değerleri önceden saptandığında) Y, C ve I değişkenlerinin hangi değerleri alacağını bize göstermektedir. Ancak dikkat edilirse, bu değişkenler birbirlerini de etkilemektedir. Y hem ii) ve hem de iii) de yer almakta, buna karşılık I de C de i) de yer alarak Y yi etkilemektedir. îşte bu eşanlılık olgusudur.

6.2. Yöneyler ve Yöney İşlemleri Yöney (vector) kavramı çözümlemesel geometri ve mekanikte çok

önemli yer tutar. Zaten bu kavramın matematiğe girişi de bu nedenle olmuştur1. Beşinci bölümde yöney uzaylarında söz ettik ve yöneyi bu matematiksel

yapının bir öpesi olarak tanımladık. Bu anlamda yöney bir sıralanmış n-lidr ve sıra biçiminde gösterildiğinde

(6.2.1) x = (*„ . . . . , xn) yazılır, buna satır (row) yöney denir. Bir yöney sütun (column) biçiminde

x,

(6.2.2) x =

gösterilir. Bir yöneyde yer alan öğe sayısı o yöneyin boyutunu verir. Örneğin x = (3. 2, 8) yönevinin boyutu 3 dür.

Tüm n- boyutlu yöneylerden oluşan derleme (ya da kümeye) re-lilerden oluşan uzay ya da kısaca Yöney Uzayı (Vector Space) denir.

Yöneylere ilişkin bu temel bilgileri verdikten sonra, yöneyler üzerinde tanımlanan bazı işlemleri ele alalım:

x, »-İi bir sütun yöney olsun. x'in öğelerini bir satır biçiminde yazılma-sıyla ulaşılan yöneye x in devriği (transpose) denir ve x' ile gösterilir.

ÖRNEK:

x =

1 3 4

olsun. Bu durumda x' = (1,3,4) olur.

1 Lagrange, 1788 de "Mechanique Analytique" adlı yapıtım yayınladı. Bu yapıt, mekanikte çö-zümlemesel yöntemlerin büyük katkılar yapabileceğini gösteren ilk kaynakdır. Daha sonra W.R. Hamil-ton (1805-1865) "Theory of Quaternions" adlı yapıtında cebir ve fiziği anlamayı kolaylaştıran yeni bir yöntem önerdi. J.W. Gibbs ve O. Heaviside adlı matematikçiler ise bu yöntemi yöney cebiri biçiminde geliştirdiler.

54

x ve y n- boyutlu iki yöney olsun. Ancak ve ancak bu iki yöneyın tüm öğeleri karşılıklı olarak eşit ise bu iki yöney birbirine eşittir. Yöney eşitliği x = y biçiminde gösterilir.

ÖRNEK:

' y, yı

- ~3 _ _ J î olsun. Yukarıdaki tanıma göre (6.2.3) x = y o (*, = y,) ve (x2 = y2) ve {x3 = y3) demektir.

Burada önemli olan nokta, iki yöneyin eşitliğinden söz edebilmek için, hem yöneylerin her ikisinin de satır ya da sütun olması ve hem de boyut-larının aynı olması gereğidir. Bu koşulları sağlamayan yöneylerin eşitliğinden söz edilemez.

İki yöneyin toplanması, yine aynı boyutlu yöneyler için söz konusu olan bir işlemdir. Bu işlem yöneylerin karşılık olan öğelerinin toplanması yoluyla başarılır.1

(6.2.4)*' +y'= (*„*2, • • • ,*„) +(yj,y2,.. ,y„) = (*a +y2,x, +y2,.. ,xn +y„) ÖRNEK,:

- 3 ~ " 6 " ~ 3 ~ - 6 ~ - 9 -

X = 4 7 = 1 ise x + y = 4 + - 1 = 3 _ 7 _ 9 _ 7 9 16

ÖRNEK 2: (iktisat) Bir ekonomide iki tüketici (1, 2) ve iki mal (peynir, ekmek) olsun. Birinci

tüketicinin aldığı peynir miktarını x„ ekmek miktarını x2 ile gösterelim. Ayııı şeyleri ikinci tüketici için sırasıyla y1 ve y3 ile gösterelim. Bu durumda tüketicinin satın aldıkları mal demektlerini sırasıyla x '= {x^x2) ve y '= (yI5y2) yöneyleriyle göstrelim. Bu durumda tüm ekonomide satın alman peynir ve ekmek miktarlarını x' + y '= + y„ x2-\-y2) yöneyini hesapbyarak buluruz.

Bir yöneyin bir sayı ile çarpılması o yöneyin tüm öğelerinin sözkonusu sayıyla çarpılması demektir. Buna sayıl ile çarpım denir, a bir sayıl ve x' bir satır yöney olduğunda (6.2.5) ax' = (ax1, ax2, ..., axn) dir.

1 Yöney işlemlerini gösterirken, yerden artırım sağlayabilmek için, işlemleri satır yöneyler ile gös-teriyoruz. Ancak bunlar, sütun yöneyler ile de yapılabilir. Nitekim bazı örneklerde bu yola gidilmektedir.

55

ÖRNEK 1: Bir tüketici geçen yıl 2500 TL, kira ve 5000 TL, gıda harcaması yap-

mıştır. Geçen seneden bu yana tüm mallarını fiyatları iki kat artmışsa bu tüketicinin kira ve gıda harcamaları da 2x = 2(2500,5000) = (5000, 10000) biçiminde bir yön ey verecektir.

Yöney toplamı ve bir yöneyin bir sayıl ile çarpımına ilişkin verdiğimiz bu bilgilere dayanarak yöney farkını da x-f- (-1) y=x-y biçiminde tanımlı-yabiliriz. Tanımdan da anlaşılacağı üzere iki yöneyin farkı yöneylerin karşı-bkb olan öğelerinin farklarının alınmasıyla bulunur. İki yöneyin farkının bulunması için gerekli koşullar iki yöneyin toplamı için aranan koşulların ay-nısıdır.

ÖRNEK 2: x '= (1,1,1) ve y' =(1,3,2) olsun bu durumda x '-y '=x'+(-l)y ' = (1,1,1)+(-1) (1,3,2) = (1,1,1)+ (-l,-4,-2)=(0,-2,-l) biçiminde elde edilir. Görüldüğü gibi yöney farkı işlemi, yöneylerin karşı gelen öğelerinin farkının hesaplanmasıyla bulunmaktadır.

Bu noktada yöney toplamı ve yöneyin sayı ile çarpımı işlemlerinin gös-terdiği özellikleri topluca görmekte yarar var: Bunun için 0n ' = (0,...,0) yöneyini tanımhyalım ve buna sıfır yöney adını verelim, a, b sayı ve x,y ve z ise n boyutlu yöneyler olsun:

1) x + y = y + x

2) (x + y) + z = x + (y+z) 3) x + 0„ = 0„ + y = x 4) x + (-x) = 0„

(6.2.6) 5) a (x + y) = ax + ay 6) (a + b) x • — ax + 6x 7) a (bx) = (ab) x 8) ix = x Kanıtlamaksızın sıraladığımız bu özellikler ile yöney uzayı kavramı

arasındaki bağıntıyı ileride kuracağız. Şimdi ise, yukarıda tanımladığımız işlemlerin geometrik olarak ne anlama

geldiklerini iki boyutlu bir uzayda (yani düzlem üzerinde) görmeğe çalışalım. Eğer istenirse, bu kavramların üç boyutlu uzayda da ele alınıp bazı yararlı geometrik gösterimler elde edilebileceği açıktır. Biz şimdilik konuyu iki bo-yutta sınırlamayı yeğliyoruz.

Geometrik olarak yöney, adının da anıştıracağı gibi, başlangıç noktasından başlayıp, üzerinde tanımlandığı uzay içindeki bir noktaya, giden yönlendirilmiş bir doğru parçası olarak tanımlanır. Böyle olunca, bir yöneyi gittiği noktayla ilişkilendirip tanımlayabiliriz, örneğin x = (3, 4) yöneyi

56

biçiminde gösterilir. Burada yöneyin yönünü göstermek üzere bir ok konu-lmuştur.

Bir yöneyin diğer bir yöney ile toplanması geometrik açıdan bu iki yö-neyin kenarlarını oluşturdukları koşutken arın (paraleogram) köşegeninin bulunması demektir. Bu köşegen iki yöneyin toplamını verir.

Bir yöneyin bir artı sayı ile çarpılması halinde yöneyin yönü aynı kalır fakat boyu değişir. Eğer yöney 0 ile 1 arasında bir sayı ile çarpılmış ise boyu kısalır, 1 den büyük bir sayı ile çarpılmışsa boyu uzar. Yöneylerin eksi bir sayıyla çarpılması halinde bu söylenenler yine doğru olmakla beraber, yönü de değişmektedir.

57

Bu konuda bir örnek olmak üzere R2 üzerinde tanımlanmış x = (2,3) yöneyini sırasıyla 2, 0.5, -2 ve -0.5 ile çarpalım. Sonuçlar aşağıdaki (Şekil 6.2.3) de gösterilmektedir.

58

(Şekil 6.2.3)

İki yöney arasında tanımlanabilecek bir başka işlem de yöneylerin sa-yıl çarpımı, (scalar product) ya da içsel çarpımıdır (inner product). Bu çarpma işlemi aynı sayıda öğesi olan, yani boyutları aynı olan, bir satır ve bir sütun yöney arasında tanımlanmıştır. Burada dikkat edilmesi gereken nokta çarpma işleminde önce genel yöneyin satır, sonrakinin sütun yöney olmaları gereğidir. Bu durumda x ve y yöneylerinin sayıl çarpımı

(6.2.7) x'.y = S xt yt= y, + *2 y2 + . . . + *„ y„ i=ı

biçiminde tanımlanır.1 İki yöneyin (sayıl) çarpımı bir sayıldır.

ÖRNEK 1:

x = (1, 2, 3) ve y

x'y = (1, 2, 3)

I r 3 olsun. 4

1x1 + 2x3 + 3x4 = 1+6+12 = 19

ÖRNEK 2: p' = (pn p 2 , . . . , p„) bir tüketicinin tükettiği malların fiyat-larını gösteren yöney x = (x,, x2,. . . ,xn) ise tüketicinin tüketim sepeti, yani her maldan ne kadar tükettiğini gösteren yöney olsun. Eğer tüketicinin geliri Y ise, tüketicinin en çok geliri kadar harcama yapabileceğini varsayarasak tüketicinin tüketim sepetini kayıtlayan bütçe sınırını p'x ^ Y biçiminde ifade edebiliriz.

x, y, z re-boyutlu üç yöney, a bir sayıl (scalar) olsun. Bu durumda sayıl çarpım işlemi aşağıdaki özellikleri gösterir.

i) x'y = y'x (yer değiştiricilik) ii) x'(y+z) = x'y + x'z (dağıtıcılık)

(6.2.8.)

iii) o (x'y) = (ax') y = x'ay (tektürellik) iv) x' x > 0, x ^ 0„ ise v) x'x = 0, x = 0n ise

vi) (x'y)2 = (x'x) (y'y) Cauchy-Bunyakovskii-Schwartz eşitsizliği

Bir yöneyi, bittiği nokta ile ifade ettiğimizi belirtmiştik. Bittiği yerin başlangıç noktasına olan uzaklığı ise yöneyin Boyunu (Length) verir. Bu uzak-lık, yani yöneyin boyu ise,

1 - y ifadesinde çarpma işlemini gösteren noktaya gerek duyulmaksızın x' y yazılabilir.

59

(6.2.9) ||x|| == = = J İ x2£

biçiminde gösterilir. Bir yöneyin boyu aşağıdaki özellikleri sağlar,

i) ||x II > 0 X ^ 0„ ise ii) ||x || = 0 x = 0„ ise

iii) ||cx | = |c|. |x | c bir sayıl ise (6.2.10)

iv) ||x'.y|| = |x |. ||y |j (Cauchy-Bunyakovskii-Scbwartz eşitsizliği) v) ||x + y|| = ||x||. + ||y|| (Üçgen eşitsizliği) vi) ||x - y | (İki yöney arasındaki uzaklık)

Yöneyin boyu kavramı yerine özellikle daha ileri düzeydeki matematik kaynaklarda yöneyin Düzgüsii (Norm) denilmektedir. ÖRNEK: x = (1, 3, 4) verilsin, Bu, yöneyin boyunu (düzgüsünü) bulalım.

= ( 1 + 9 + 16)1/2 = (26)1/2 = 5.1

Eğer x ve y yöneylerinin sayıl çarpımı sıfır, yani x'y=0, ise x ve y yöney-leri birbirlerine Dikeydir (Orthogonal) denir. Diğer taraftan y # 0n olduğunda, (6.2.11) t = (x'.y)/(y'.y) büyüklüğünü tanımlıyalım. Bu durumda ty yöneyine x'in y üzerindeki İz-düşümü (Projection) denir. x, y ^ 0n ise x ile y arasındaki açı (16.2.12) 6 = arc cos x'.y/ ||x||. ||y || ya da (6.2.13) cosd = (x.'.y)/||x||. \\y\\ biçiminde tanımlanır.

6.3. Yöney Uzayları

Yöney işlemlerine ilişkin bir önceki alt bölümde geliştirdiğimiz konuların ışığında yine yöney uzayı kavramında dönelim ve buradan türetebileceği-miz bazı önemli konuları ele alalım.

Hatırlanacağı üzere yöney uzayı dediğimiz yöneylerden oluşan ve üze-rinde toplama ve bir sayıl ile çarpma işlemlerinin tanımlandığı bir küme anlaşılıyordu. Yine hatırlamak amacıyla yöney uzayına ilişkin temel belit-leri şöyle ifade edebiliriz:

= (x'.x)1/2 = [(1, 3, 4)

60

Vn bir yöney uzayı, x, y, z e Vn ve a,b e R olsun. 1 . x + y = y + x 2. (x + y) + z — x + (y + z) ortaklaştırıcıhk

3. 30„ e V„ a- 0„ + x = x + 0„ = x 4. X 6 Vn İçin 3-xeF„ a- x -f (-x) = (-x) + x = 0„ 5. (a +6) x = ax bx 6. o(x+y) = ox -f ay 7. abx = a.(bx) 8. lx = x Bu koşulları sağlıyan yöney uzayına Gerçel Yöney Uzayı (Real Vector

Space) denir. Burada gerçelliği sağlayan a, b e R olmasıdır. Eğer a, b e C yani karmaşık sayı olsalardı, söz konusu matematiksel yapıya Karmaşık Yöney Uzayı denilirdi. N

ÖRNEK: (Rn, + ,.) bir yöney uzayıdır. Yöney uzaylarının sağladığı bazı temel özellikler şöyle özetlenebilir: 1. x, y e Vn ise 3* u e V„ 3- x + y = u 1

2. x e Vn, a e R olsun i) a. 0„ = 0„

ii) 0.x = 0„ iii) o.x = 0„ => (a=0) veya (x = 0„) 3. x e Vn ise (-1) x = -x e Vn

Yöney uzaylarına ilişkin bir önemli kavram da Alt Uzaydır (Sub Space) V bir yöney uzayı ve H £ V olsun. H eğer aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa H, V yöney uzayının bir alt uzayıdır.

i) x, y e H ise x -f y e H ii) x e H ve a e R ise ax e , H

ÖRNEK: Daha önce de belirtildiği üzere (R3, -f-, .) bir yöney uzayıdır. Bu uzayı aşağıdaki Şekil 6.3.1 de (s. 62) gösterelim.

ı Burada xy düzleminde olan yöneylerin oluşturduğu küme bir alt uzaydır. Herhangi bir yöney uzayının en az iki alt uzayı vardır. Bunlardan birisi

sıfır alt uzay olup sadece sıfır yöneylerden oluşur. Diğeri ise söz konusu yöney uzayındaki tüm öğeleri içeren alt uzaydır. Bunların dışındaki alt uzaylara

1 Burada 3* "birtek vardır" karşılığında kullanılmaktadır.

61

öz altuzay denir. Alt uzaylara ilişkin şu önemli sonuçları belirtelim. H, V nin bir alt uzayı ise

1. 0„ e H 2. x e H (-1) x = -x e H

3. H, V üzerinde tanımlanmış toplama ve sayıl ile çarpma işlemleri altında bir yöney uzayıdır.

Eğer bir yöney uzayı içindeki herhangi bir y yöneyi aynı olan uzayda yer alan belli bir yöney kümesinin, diyelim ki x,, . . .,x„, öğeleri cinsinden y = A, X J + . . . + «„ x „ biçiminde yazılabiliyorsa, y, X „ . . . x„ yöneylerinin Doğrusal Bileşimidir (Linear Combination) denir.

ÖRNEK:

y= (3, 5, 10), x,= (1, 0, 0), x 2 = (0, 1, 0) ve x 3 = (0, 0, 1) olsun

y= 3x„ + 5 x 2 + 10x3 dir. Doğrusal bileşim kavramını kullanarak alt uzaylar başka bir yoldan

şöyle tanımlanabilir: V bir yöney uzayı, H <= Folsun ve Xı, . . ., x„ e H olduğunda bunların herhangi bir doğrusal bileşimi de H içindeyse, H bir alt uzaydır.

62

Doğrusal bileşimler kullanılarak bir yöney uayının alt uzaylarını oluş-turmak olunuklidir. Bunun için yeni bir kavramına tanımlanmasına gerek var. Bu da Yayılım (Span) adını alıyor. V bir yöney uzayı ve H a V oldu-ğunda H nin öğelerinin doğrusal bileşimi olarak yazılabilen tüm yöneylerden oluşan kümeye H nın yayılımı denir ve Y(H) ile gösterilir. Yayılım kavramı-nın neyi gösterdiğini daha somut bir biçimde görebilmek için aşağıdaki şekili ele alalım:

Burada a, b e R3 uzayında eş doğrusal olmayan (non-collinear)1 iki yöneydir. Bunların yayılımı ise tüm doğrusal bileşimleri olduğuna göre, bu, başlangıç noktasından geçen ve bu iki yöney tarafından gelirlenen şekildeki düzlem olacaktır.

Bu bilgiler bize, yayılımın da bir yöney uzayı olduğunu göstermektedir.

6.4. Doğrusal Bağıntılar ve Taban Bu başlık altında ileride bize çok gerekecek olan iki yönemli kavramı

inceliyoruz.

TANIM 6.4.1: Eğer x İ5 . . . , x„ yöney kümesi ancak ve ancak aı = a2 = ... = an = 0 olduğunda o, x, -)- ..'. + «,, x„ = 0„ sonucunu veriyor-

1 Yani aynı doğru üzerinde olmayan iki yöney. x = (2, 3) ve y = (4, 6) eşdoğrusal yöneylerdir. Çünkü aynı ışın (başlangıç noktasından geçen doğru) üzerinde yer alırlar.

63

sa, Doğrusal Bağımsızdır (Linearly Independent) aksi halde Doğrusal Bağım-lıdır denir. Bu tanımın ışığında bizim için çok önemli olacak olan aşağıdaki teoremi kanıtlayalım;

TEOREM 6.4.1: Ancak ve ancak bir yöney kümesi doğrusal bağımlı ise bunlardan birisi ötekilerin doğrusal bileşimi biçiminde yazılabilir. KANIT: x',. . ., x" bir yöney kümesi olsun.

xk — 2 a ; x' i = 1,2,... fc-1, fe+1, ..., n i=£k

I ise

2 a ;x' - x" = 0„

yazılabilir. an = -1 olduğuna göre, en az bir katsayı sıfırdan farklı olduğu halde, sonuç sıfır yöney çıkatığına göre, bunlar doğrusal bağımlıdır.

Şimdi X1, . . ., x" yöneylerinin doğrusal bağımlı olduklarını varsayalım. Yani

2 0 ; x< = 0„ i=l

olsun O halde ak xk + S a; xl = 0„

i^k

yazılabilir. Bu durumda da -ak xk = 2 at xk i^k

olacağından her iki tarafı da (- a k ^ O'a bölelim)

xfc = — 2 Ofx' = 2 JÜL.) x '= 2 {i,x' ak i^k i /k \ ak ' i / k

Yani bu yöneylerden birisini ötekilerin doğrusal bileşimi biçiminde yazmak olanaklıdır. (I.K.) •

Doğrusal bağımsızlık ve bağımlılık kavramlarının 3-boyutlu geometride ne anlama geldiklerini anlamak için aşağıdaki şekiller yardımcı olabilir. İlk şekilde yer alan yöneyler doğrusal bağımlıdır. Çünkü düzlemde yer almakta-dırlar. Buna karşılık ikinci şekildeki yöneyler doğrusal bağımsızdır. ÖRNEK: Yayılım ve doğrusal bağımsızlık konularında önemli bir örnek, R" içinde e,, e2. . ., en yöneyleri kümesidir. Burada e ; i- inci bileşeni bir, diğer tüm bileşenleri ise sıfır olan yöneydir. Önce bu yöney kümesinin doğrusal

64

(Şekil 6.4.1)

bağımsız olduğunu gösterelim. Tanım gereği bu yöneylerin doğrusal bileşimi şöyle yazılır.

~ 1 " ~ 0 ~ _ Q _ - 0 -0 1 0 0 0 0 0 0

«1 • + a2 ..+ an = •

o 0 _ ı 0 _

Bu İse a.v.a. aşağıdaki koşul sağlanırsa sıfır yöneye eşit olabilir.

«1 - 0 -a.

=

0

- an - _ 0 _

Yani at — a2 — . . . = an = 0 olmalıdır. 0 halde bu yöneyler doğrusal bağımsızdır.

İkinci olarak e„ . . . , e„ yöneylerinin Rn i yaydıklarını gösterebiliriz. Bunun için x e Rn ise,

x ı - 1 - - 0 - - 0

0 1 0 x = • +x2 • • +*« •

- x n - _ 0 _ _ 0 _ _ 1 yazılabileceğinden,

x = x, e ı + x2e2 ... + xne,

65

olur. Bu yolla tüm x yöneyleri ej,. . . ,e„ in doğrusal bileşimi olarak yazıla-bileceğinden bu yöneylerin Rn i yaydıkları gösterilmiş olur.

TANIM 6.4.2: V bir yöney uzayı ve Xı,. . . , x„, V içinde bir yöney derlemi olsun. Eğer:

i) Xı, . .. ,xn doğrusal bağımsız bir yöney derlemi ve ii) Xı, ...,x„ V yi yayıyor ise

bu yöney derlemi, V için bir Taban (Basis) oluşturuyor denir. ÖRNEK: eı, .. ., en, R", için bir taban oluşturur. Buna ölçün taban (Standart Basis) denir. Çözümlemesel geometride kullandığımız eksenler bu tabanın yöneyleridir.

TANIM 6.4.3: Bir yöney uzayının herhangi bir tabanı içindeki yönty sa-yısına, sözkonusu yöney uzayının Boyutu (Dimension) denir. Eğer bir yöney uzayını sonlu sayıda yöney ile yaymak olanaklı ise buna Sonlu Boyuılu (Fi-nite Dimensional) yöney uzayı denir.

V

V bir yöney uzayı olsun. Bu yöney uzayının boyutu n ise, biz bunu boy (V) = n biçiminde göstereceğiz.

ALIŞTIRMALAR

A.6.1: Aşağıdaki ifadeleri açık olarak yazın

i) İ a, ii) E jaJ iii) £ (a,.+ bj) j-1 j-ı J-1

5 6 10

iv) S bj aj v) r aJ vi) r (-l)1J+l(a2j+bJ+2) j-ı J" ı J= 1

3 3

vii) E E atj i=ı J—ı

A.6.2: Aşağıdaki yöneyler verilsin

x' = (1, 3, 7), y' = (1, 6, 8), z' = (6, 2, 1)

i) x+y ii) x' + y' iii) x' y iv) 3x -f 6y - 2z v) (x'.y) z hesaplayın. A.6.3: x' =(1, 9, 7, 13) yöneyinin boyunu (düzgüsünü) hesaplayın. A.6.4: (2, 3, 1), (1, 0, 4), (2, 4, 1), (0,3,2) yöneylerinin doğrusal bağımlı olduklarını gösterin.

66

A.6.5: x' =(3, 8, 1) ve y' = (4, 6, 2) yöneyleri arasındaki açının cosinus'unu bulun. A.6.6: Aşağıdaki yöney derlemlerinden hangileri tüm üç boyutlu yöney -lerden oluşan yöney uzayı için bir taban oluşturur.

i) (1, 0, 1), (2, 0, 1), (0, 0, 1)

ii) (2, 1, 4), (1, 1, 1)

iii) (1, 2, 1), (1, 3, 0), (0, 1,-1)

A.6.7 : (3, 8,1) ve (2,1,1) yöneylerinin yaydığı yöney uzayının boyutu nedir ?

A.6.8: Aşağıdaki doğrusal olmayan üretim işlevi verilsin.

Q = aK2 + bL2 a > 0, b >o

Burada Q çıktığı, K sermayeyi ve L emeği simgelemektedir. Bu işlevin doğ-rusal tektürellik ve toplamsallık özelliklerini taşıyıp taşımadığını inceleyin.

KAYNAKLAR

S. AYDIN - A. DEMİRALP (1975): Analize Giriş, Cilt 2. Başarı Yayınları, İstanbul, s. 183-217.

T. BULUTAY (1965): Doğrusal Programlama-Giriş, SBF Yayını, Ankara, s. 32-38.

N.V. EFIMOV - E.R. ROZENDORN (1975): Linear Algebra and Multi-Dimensional Geometry, MIR

Publishers, Moscow, s. 15-51.

G. HADLEY (1961): Linear Algebra, Addison Wesley, Reading, Mass., s. 17-59.

S. LANG (1971): Linear Algebra, 2 nd. Edition, Addison Wesley, Reading, Mass., s. 3-58.

H. SCHNEIDER - G.P.BARKER (1968): Malrices and Linear Algebra, Holt Rinehart and Winston,

New York, s. 92-135.

B. VINOGRADE (1967): Linear and Matrix Algebra, D.C. Heath and Company, Boston, s. 106-125.

M.E. YAARI (1971): Linear Algebra for Social Sciences, Prentice Hail, Englewood Cliffs, N.J., s. 32-55.

67

DOĞRUSAL DÖNÜŞTÜRMELER VE DIZEYLER

7. Bölüm

Bu bölümde doğrusal dönüştürmeleri ve dizeyleri (matrix) Rn uzayında ele alacağız. Konuyla Rn uzayıyla kısıtlamamızın temel neden, ilerideki açık-lamalarımızın büyük çoğunluğunun bu uzaya dayanmasıdır.

7.1. Doğrusal Dönüştürmeler ve özellikleri

TANIM 7.1.1: Bir yöney uzayıp uzayında diğerine tanımlanan bir işlev, T: V ->- W aşağıdaki koşulları sağlıyor ise buna Doğrusal Dönüştürme (Linear Transformation) denir.

i) Vx, y 6 V için T (x+y) = T (x) + T (y)

ii) Vx e V ve a e R için T (ox) = a T (x)

ÖRNEK: Doğrusal denklemler bir doğrusal dönüştürmedir. V= Rn ve W= R m alalım. T: R n Rm doğrusal dönüştürmesi,

n

Ji = S alk xk i = 1, ..., m k= ı

doğrusal denklemlerine göre x' = (xı..., xn) e Rn yöneyini y '=(y] . . . , ym) G R m yöneyi üzerine eşler.

Doğrusal dönüştürmelerin özellikleri şöyle ifade edilebilir: T: I7-* 1Folsun. Oj,, V yöney uzayının, 0W ise W yöney uzayının sıfır öğesi olduğunda:

1. T (0„) = 0W

2. T (ax + fey) = oT (x) + bT(y)

3. T ^ İ aixi ^ = İ at T(x)

Bu temel özellikleri sağlayan bir doğrusal dönüştürmenin nasıl oluştu-rulabileceği sorusu, aşağıdaki teorem ile yanıtlanabilir:

68

TEOREM 7.1.1: V bir yöney uzayı, ve x1 ; . . . , xn de Fiçin bir taban olsun. Diğer taraftan W başka bir yöney uzayı ve yx...,y„, W içinde herhangi n tane yöney olsun. Bu durumda; T (xj) = y{ i=1, ..., n biçiminde birtek doğrusal dönüştürme vardır. Ayrıca, a15 . . . , an sayılar olduğundan T(a1x1 + o 2 x 2 + . . . + a„x„) = o, y, + . . . + a„y„ olur. KANIT: LANG (1971, s. 94) TANIM 7.1.2: T: V~>W bir doğrusal dönüştürme olsun. A (T) = {y: y e W ve bazı x e F için y = T(x)} kümesine T'nin Ardaları Uzayı (Range Space) denir. Ardalan uzayı TF'nin bir alt uzayıdır ve Boy A (T) < Boy (W) dir. Bu uzay F içindeki herhangi bir yöneyin görüntüsü olan ve W içinde yer alan yöneyleri verir. Diğer taraftan

B(T) = {x: x e F ve T(x) = 0W} kümesine de T'nin Boş Uzayı (Null space) denir. TANIM 7.1.3: Bir doğrusal dönüştürmenin ardalan uzayının boyutuna sözkonusu doğrusal dönüştürmenin Aşaması (Rank) denir ve o (T) ile gösterilir. Boş uzayın boyutuna ise bu dönüştürmenin Boşluğu (Nullity) denir ve &(T) ile gösterilir.

Bu kavramları kullanarak doğrusal dönüştürmelere ilişkin aşağıdaki temel sonuçları yazabiliriz. TEOREM 7.1.2: T: F W bir doğrusal dönüştürme olsun. Ancak ve an-cak B(T) = 0 yani, 6(T) = 0 ise, T birebirdir. KANIT: O'NAN (1971, s. 221). TEOREM 7.1.3: T: F->JFbir doğrusal dönüştürme olsun, a (T) +6(T) = Boy V dir. KANIT: O'NAN, (1971, s. 221). NOT: Boy V = Boy W ve T: V-+W ise, ancak ve ancak T örten olduğunda birebirdir.

Şimdi yeni bir kavrama geçelim. F den JF'a olan tüm doğrusal dönüş-türmeler kümesine L(F, W) diyelim. Doğrusal dönüştürmelerin tanımından S, T e L(V, W) ise (S + T), cT e L(V,W) olacağını çıkarabiliriz. Ayrıca bu işlemlerin tanımlanmasıyla L(V, W) bir doğrusal uzay (yöney uzayı) olur. Bu uzayda sıfır dönüştürme sıfır öğe ve (-1) T de T nin eksisi rolünü oynar.

U, Fve W üç yöney uzayı, T: U-+V, S: F-^JFolduğunda S ve T dönüştür-melerinin bileşkesi SQT: U->W biçiminde tanımlanır, ve SoT(x) = S(T(x) ), x e U dır. Aşağıdaki şekilde bileşke dönüştürmenin ne anlama geldiği gös-terilmektedir.

69

B 6

3

2

1 2 3 ^ - >

Şekil 7.1.1

y— /(*) = 3 * -f 2 biçiminde bir işlev olduğunda biz x= f'1 (y) = f evrik işlevini tanımlayabiliyorduk. Şimdi bu işlemi doğrusal dönüştürmeler için yapmaya çalışalım: Bunun için önce bir tanım verelim: I: V-+V, I(x) = x, x e V dönüştürmesine özdeşlik Dönüştürmesi (Identitiy Transfor-mation) denir.

Şimdi yukarıda veriğimiz örnekteki / ve f~ l işlevlerinin bileşkesini bu-lalım:

Görüldüğü gibi bu bileşke bir özdeşlik dönüştürmesini vermektedir.

Şimdi bu noktada daha genel bir soru soralım. Acaba bir T doğrusal dönüştürmesi sözkonusu olduğunda, bununla bileşkesi bir özdeşlik dönüş-türmesi verebilecek bir başka dönüştürme (evrik dönüştürme) tanımlıyabi-lirmiyiz? Ancak burada dikkat edilmesi gereken bir nokta bileşkenin yer değiştirmeli (commutative) olmaması (yani/ o / - 1 ^ f~'öf) nedeniyle, önce sağ ve sol evriklerin tanımlanması ve bunların varlık koşullarının bulunması gerektiğidir.

TANEM 7.1.4: V, W yöney uzayları ve T: V-> W doğrusal dönüştürmesi verilsin. S: T (F) -> V dönüştürmesi eğer,

sağlıyor ise, yani SQT = I„ ise, T nin Sol Evriği (Left Inverse) adını alır.

for = 3 a y - §) + 2= y

S (T(x)) = x, V x e V

70

m

Diğer taraftan R: T (F)-*F doğrusal dönüştürmesi eğer, T (R (Y) ) = y, ye T(F) koşulunu, yani ToR = I T ( K ) sağlıyor ise, T nin Sağ Evriği (Right Inverse) adını alır.

NOT: Bu tanımda Iy, V üzerine, I T ( K ) ise T( V) üzerinde özdeşlik dönüş-türmesidir. ÖRNEK: Sol evriği olmayıp iki sağ evriği olan bir işlev:

V = {1,2} ve W— {0} T: ise T(l) = T(2) = 0 olsun. Bu işlevin iki sağ evriği R: JT-+V

(R (0) = 1) ve R': (R (0) = 2) olmaktadır. Buna karşılık bu iş-levin sol evriği yoktur. Nitekim

1= S(T (1)) = S(0) ve 2= S (T) (2)) = S (0) dir. Dolayısı ile bir işlevin sol evrikleri olmayabilir, ayrıca sağ evrik de birtek

olmak zorunda değildir. Buna karşılık her işlevin en az bir sağ evriği vardır. Sağ evriğin bir tek olmamasına yol açan T (V) içindeki veri bir y üzerine

eşlenen ve V içinde yer alan birden fazla x in var olmasıdır. Bu açıklamaların ışığında, kanıtlamaksızın şu önemli sonucu ifade ede-

edebiliriz. Bir dönüştürmenin sol evriği var ve birtek ise, bu aynı zamanda sağ evriğidir. Bu takdirde de buna sözkonusu dönüştürmenin evriği denir. Biçimsel bir tanım vermek gerekirse, KANIT 7.1.5: T: V -* W, V üzerinde 1-1 olsun. T'nin birtek sol evriği T - 1

olsun. Bu takdirde bildiğimiz üzere, bu aynı zamanda sağ evriği de vermekte-dir. Bu koşul sağlanıyorsa T evrilebilir bir işlevdir denir, ve T - 1 'e de T'nin evriği denir.

Şimdi sonlu boyutlu bir yöney uzayı düşünelim ve bunun bir tabanını ele alalım. Bu tabanda yer alan öğelerden başka bir yöney uzayına bir doğru-sal dönüştürme tanımlayabiliriz, işte bu doğrusal dönüştürme aşağıdaki teoremde verilen temel özellikleri göfterir ve bunlar bundan sonra ele ala-cağımız konular açısından da önemlidir. TEOREM 7.1.4: Vn, re- boyutlu bir yöney uzayı ve (eı,...en), Vn için bir tasan olsun. Bu durumda (u l 5 . . . ,u„) de W içinde herhangi n nokta olduğunda T(et) = ıi/t, k = 1, ...,re biçiminde ancak ve ancak birtek T: V->W doğ-rusal dönüştürmesi vardır ve bu dönüştürme V nin herhangi bir öğesini,.

x= S xkek k-ı

olduğunda, T(x)= S xkuk k=l

biçiminde eşler.

71

KANIT: APOSTOL (1969, Vol II, s. 44)

7.2. Doğrusal Dönüştürmelerin Dizey Gösterimi T: V->-JV bir doğrusal dönüştürme ve Boy (V) = n, Boy (W) =m olsun.

{e15 . . . , e„} V için, {w„... ,wm} de W için birer taban olsunlar. Bu durumda herhangi bir ek e V öğesinin T doğrusal dönüştürmesi altındaki görüntüsü, T(efc), IF uzayının tabanındaki öğelerin doğrusal bileşimi olarak bir tek biçimde gösterilebilir. Bunu

(7.2.1) T (efc)= S tlk w, ı=ı

k= 1, . . n

ile ifade edelim. Burada {tlfc, . . . tmk}, T (ek) nın, {Wj, mış tabanına göre bileşenleridir. Bu sıralanmış m- liyi

wm} sıralan-

(7.2.2;

»i k

- lmk

biçiminde bir sütun yöney olarak gösterelim. Her bir T(ek) 1, . . . , n için böyle bir yöney yazabiliriz. Bu yöneyleri yan yana koyalım. Elde ettiğimiz yöney sıralamasını

(7.2.3) T =

• t„ biçiminde gösterelim. TANIM 7.2.1: (7.2.3) de verilen biçimde sayıların satırlar ve sütunlar biçiminde sıralanmasına Dizey (Matrix) denir. Bir dizey genellikle bir büyük harf (A, B vs) ve sırasıyla satır ve sütun sayısını gösteren iki sayı ile ifade edilir.

örneğin A m x n ile m satırı ve n sütunu olan bir A dizeyi anlaşılır. Bu kitapta, dizeyler ya bu yolla gösterilecek ya da bir dizeyi Ayırtkan öğesi (Cha-racteristic Element) belirterek ifade edilecektir. Bu ikinci gösterimde, bir dizey

A = ( a i j )m x n

biçiminde ifade edilecektir. Bu açıklamalardan anlaşılacağı üzere n-boyutlu bir yöney uzayma her-

hangi bir doğrusal dönüştürme, yukarıda belirtilen özellikleri taşıyan bir dizey ile gösterilebilir. Öte yandan bize herhangi bir dizey verildiğinde, veri bir taban için buna karşılık gelen bir tek doğrusal dönüştürme vardır.

72

Doğrusal dönüştürmeler ile dizeyler arasındaki bu bağıntıyı akkmızda tutarak, dizeylerin özelliklerinin incelenmesine geçebiliriz. Bu özellikler aynen doğrusal dönüştürmelere de yansıyacaktır.

7.3. Dizey işlemleri Bu başlık altında dizeylere ilişkin bazı temel işlemlerin neler olduğunu

ve bunların nasıl yapıldığını görmeye çalışacağız, önce iki dizeyin eşit ol-masının ne anlama geldiğini görelim. TANIM: 7.3.1: A=- (au) ve B= (bu) iki dizey olsun. Eğer:

i) A ve B dizeyleri aynı sayıda satır ve sütuna sahiplerse ve ii) Bu iki dizeyin karşılıklı tüm öğeleri eşit ise, yani

Vi,7 için au = bu

A ve B dizeyleri eşittir denir. Satır ve sütun sayıları eşit olan dizeyler toplanabilirler.

TANIM 7.3.2: A ve B dizeyleri m x n olsunlar, Bunların toplamı C = A + B

dizeyi olup, C = (ctJ) mxn olduğunda, ctJ = au + btj dir.

ÖRNEK:

A=

A+B=

2

1

2

1

-3

4

-3

4

B=

+ 3

-4

1

6

3 1

-4 6

" 5 - 2

-3 10 Bireylerin toplanması işlemi ortaklaştırıcı ve yer değiştirmelidir. Yani,

(7.3.1) (A+B) + C = A + (B+C) ve A+B = B+A A= (a j J)m x n olsun. -A = (-a tj) m x n dizeyine A dizeyinin eksisi denir ve

A + (-A) = Omxf! verir. Burada O m x n ya sıfır da boş dizey adını alır. Bu dizeyin tüm öğeleri sıfırdır. Bu yolla bir dizeylerin birbirlerinden çıkarılması işlemini tanımlayabiliriz. A dizeyinden B dizeyini çıkartmak demek A dizeyi ile B dizeyinin eksisini toplamak demektir. Yani

(7.3.2) A - B = A + (-B)

ÖRNEK:

A= 4

6 B=

7 3

A-B =

A-B =

1

2

-5

-1

3

1 2

O

4

6 2

5 Bir dizeyin bir sayıl (scalar) ile çarpılması, söz konusu dizeyin her öğe-sinin o sayıl ile çarpılması demektir, k bir sayıl ve A = (a(J) bir dizey ise feA = (kaİJ) dir.

ÖRNEK:

k— 3 ve A =

olsun

kA =

1

3

3

9

2

4

6

12

Dizey işlemlerinden, iki dizeyin birbiriyle çarpımı, biraz daha karışık bir işlem niteliği gösterir. Bu nedenle, bu konuya girebilmek için önce iki yöneyin sayıl çarpımı işlemini tekrar düşünelim. Bir satır yöneyi 1 xra, bir sütun yöneyi de rexl dizey olarak düşünebiliriz. Böyle olduğunda (7.3.3) a' = (a, a j vi b = " b,

olduğunda, _ K _

(7.3.4) a'b = a, 6, . . . + an bn = S at bt ı-=ı

oluyordu. Şimdi bu noktayı biraz daha geliştirelim, ve o' yerine \ m i n dizeyiııi yazalım. Bu takdirde A m x n dizeyinin bml yöneyi ile çarpımı Ab = c m x l biçiminde mxl bir yöney olup bunun i'inci öğesi

(7.3.5) c, = S a, ,b j-ı

ij"J

olur. Dikkat edilirse bu işlemin yapılabilmesi ancak ve ancak A dizeyinin sütun sayısının b yöneyinin öğe sayısına eşit olması halinde olanakhdır. ÖRNEK:

A.b= 2

3

A =

1

1

2

3

3

2 b =

2 1 3

2 1 3

2 (2) + 1(1) + 3(3) -

_ 2 (3) + 1(1) + 2(3) _

74

" 4 + 1 + 9 ~ 14 ~

_ 6 + 1 + 6 _ _ 13 _ Şimdi de bir d ' u m satır yöneyi ile A dizeyini ön çarpalım: d ' l x m Amx(1 = s,. Ulaşılan satır yöneyinin j'inci öğesi

S d, a,, = s, i - ı 1 3

olur. Dikkat edilirse bu çarpımın yapılabilmesi için A'nın satır sayısının d'nin öğe sayısına eşit olması gerekir.

ÖRNEK:

d' = (1, 4) A =

d' A = (1,4) = (2 + 12, 2 + 4, 3 + 8) = (14, 6, 11)

2 1 3

3 1 2 2 1 3

3 1 2 Şimdi A dizeyini n sütun yöney biçiminde ifade edelim.

Yani, (7.3.6) A= (a„ a2, . . . , a„) Burada,

(7.3.7) _ amJ-

A'nın j— inci sütununu vermektedir.

Bu durumda: (7.3.8) d' A = d'(a„ . . . , an) == (â\ a„ d'2 a2, . . . , d'„ a„) olmaktadır. Yöneylerin sayıl (ya da nokta) çarpımından hatırlanacağı üzere nacağı üzere

d aj = 2 d, a t J (7.3.9)

idi. Diğer taraftan A' nın i'inci satırını a1 ile gösterirsek

aJb a2b

(7.3.10) Ab

a m b

75

biçiminde yazılabilir. Bu durumda A m x n ve B m x r iki dizey olduğunda, bun-ların çarpımı, C= A.B, A'yı satır ve B'yi sütun yöneyler biçiminde ifade ederek

(7.3.11) C== (K l>2v, br)

biçiminde yazılabilir. Dikkat edilirse bu yöneylerin öğe sayıları eşit olup, n dir. Bu durumda yukarıdaki çarpım işlemi almışık olarak,

(7.3.12) C=

" a'B a2B

amB = (Ab„...,Abr) =

a 'bı . . . a 'b,

a m bı . . . amb.

biçiminde yazılabilir. Görüldüğü üzere bu durumda C dizeyinin ayırtkan öğesi

(7.3.13) tk a ; b" jS au BJK

biçiminde ortaya çıkar. Buraya kadar yapılan açıklamaların ışığı altında iki dizeyin çarpılabil-

mesi için aşağıdaki koşulun sağlanabilmesi gerekir.

Çarpma için uyumluluk koşulu: A ve B dizeylerinin A. B biçiminde çarpı-labilmesi (A nin B yi önden, ya da aynı anlama gelmek üzere B nin A'yı ard-dan çarpması) için A ve B dizeylerinin Uyumlu Olması (Conformable) gerekir. Bunun anlamı ise, A'nın sütun sayısının B'nin satır sayısına eşit olmasıdır. TANIM 7.3.3: A m x ı i ve B m x r dizeyleri uyumluluk koşulunu sağlasınlar. Bu iki dizeyin çarpımı olan diğer C m x r olup, bu dizey satır sayısını öndeki dizey-den sütun sayısını ise arkadaki dizeyden alır. Bu dizeyin ayırtkan öğesi ise

;ik = 2 a i j bJk i = 1, . . . , m ve fc= 1,.

olacaktır. ÖRNEK: İki dizeyi çarparken ne yapılması gerektiğini düşünmenin en basit yolu aşağıdaki şekillerle özetlenmeğe çabşılan yöntemdir. (Bunu, SCWARTZ, 1961, s. 30-31 den alıyoruz)

A ve B dizeyleri verilsin. Bunların A.B çarpımını bulalım. Bu iki dizeyin A. B çarpımı için uyumlu olduklarını varsayalım. Bu iki dizeyi aşağıdaki şekilde olduğu gibi yerleştirelim. Çarpımın sonucunu verecek olan C dizeyini de A'-nın sağına ve B nin altma gelecek biçimde yerleştirelim.

7 6

[ B ] [ A ] [ t ]

Şimdi de C dizeyinin öğelerinin nasıl bulunacağını görelim. Hatırlana-cağı üzere c f j , A'nın i'inci satırı ile B'nin j'inci sütunun çarpılmasıyla elde ediliyordu.

Yani, şekil üzerinde j

B

Burada yapılan A'nın i'inci satırının öğelerini B'nin j'inci sütununun öğeleri ile çarpımından elde edeceğimiz terimleri toplamak ve bu toplamı C'-nin i'inci fatırıyla j-inci sütununun kesiştiği noktadaki (i, j)'inci öğe olarak yazmaktır. Bu işlemi tüm i ve j 1er için yinelediğimizde, A.B hesaplanmış olur.

ÖRNEK:

B= 3 1 0

2 0 0

4 1 1

i) A nın sütun sayısı, 3, B nin satır sayısına, 3, eşit olduğu için, bu iki dizey A.B biçiminde çarpma işlemi için uyumludur.

. ii) i= 1, 2; k= 1,2,3; j= 1,2,3,4 olsun. C = A.B dersek C = {cu)2x4 olup bunun 8 tane öğesi vardır. Bunları sırasıyla hesaplıyalım.

= S a 'lfc bkl = («11, «12, «lî)

= 6 + 1 + + 0 = 7

3

S k—ı

"l k

*11

21 _ K _

= (2, 1, 3)

bk2 = («11» «12» «n) _ b23 _

- (2, 1, 3)

77

Cn = S alk bk} = (on, o12, a13) (c-ı

= 4 + 0 + 0 = 4

c14 = S a u f»M = (au , o12, a13J fc=ı

8 + 1 + 3 = 12

c21 = S a2k bki = (o21, a22 , a23) k—ı

3 + 3 + 0 = 6

c22 = S a2k bk2 = (a21, o22, a23)

= 1 + 6 + 1 = 8

C23 = 2 «2fc = («21, «22, »23) k-ı

= 2 + 0 + 0

S a2k bk* — ( « 2 1 ' « 2 2 ' « 2 3 ) fc=l

= 4 + 3 + 1 = 8

Bu durumda

7 7 5

6 8 2 bulunur.

"33 _

(2, 1, 3)

L &34 _

(2, 1, 3)

_ K _

= (1, 3, 1)

_ b23

32

= (1, 3, 1)

(1, 3, 1)

_ K,

= (1, 3, 1)

2 0 0

4 1 1

3 1 0

t

1 2

1

2 O' 0

4 1 1

12

8

İki dizeyin birbirleriyle çarpılmasında dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta, genellikle A.B A.B olmasıdır. Bu özelliği iki örnek yardımıyla açıkkyalım.

78

ÖRNEK 1:

A = B= (3, 2)

İki yöney (ya da sırasıyla 2x1 ve 1x2 dizeyler) olsun.

A.B -(3, 2) = 3

9

2

6

B.A = (3, 2) = 3 + 6 = 9

Görüldüğü gibi A.B ve B.A çarpımları çok farkh sonuçlar vermektedir.

ÖRNEK 2:

A =

A.B =

3 2

1

2 1

B 3

4 "" 3 ~ ~ 6 + 4 ~ " 10 ~

_ 4 _ _ 9 + 8 _ _ 1? _ olduğu halde, B.A uyumsuz olduğu için çarpma işlemi tanımlanamaz.

Görüldüğü gibi dizeylerin çarpımında yer değiştirme özelliği yoktur. Oysa, dizey çarpımı dağılma ve ortaklaştırıcılık özelliklerini sağlar. Yani uyumlu A, B ve C dizeyleri için,

A. (B+C) = A.B + A.C

A. (B.C) = (A.B) .C = A.B.C dir. Son olarak, A.B = 0 m x n ise bu zorunlu olarak A= O m x k veya B—Okxn

olması anlamına gelmez.

ÖRNEK: ~ 3 0 ~ ~ 0 0 ~ ~ 0 0 ~

_ 4 0 _ 2 1 _ _ 0 0 _

7.4. Bazı Dizeyler

Bazı dizeyler sağladıkları özel koşullar nedeniyle ayırd edici isimler alır. TANIM 7.4.1: Bir dizeyin sıra sayısı sütun sayısına eşit ise buna Kare Dizey (Square Matrix) denir. Bir kere dizeyin satır sayısına bu dizeyin Sırası (Order) denir.

79

ÖRNEK:

A=

3

1

6

2

3

1

1

4

1 ise, A kare bir dizeydir ve 3. sıradandır. TANIM 7.4.2: Ana köşegeninde yer alan tüm öğeleri bir olup bunun dı-şındaki öğeleri sıfır olan kare dizeye Birim Dizey (Unit Matrix) denir, n-inci sıradan bir birim dizey

1 i = i (Sü) Su =

o ı*j biçiminde ifade edilir. Bu dizey, dizey cebirinde birim öğe rolünü oynamak-tadır. Yani, An x n bir dizey olduğunda A.I = I.A = A dır.

Diğer taraftan I„ = (eı,...,e„) biçiminde birim sütun yöneyler cinsin-den gösterilebilir.

ÖRNEK: ~ 1 0 0 - — - 1 - - 1 - - 0 -

= 0 1 0 = 0 1 0 0 0 1 - 0 - - 0 - - 1 -

— (ei» e2' e3)

TANIM 7.4.3: Herhangi bir X sayısı için s = (X sfJ) = X ı„

biçiminde bir kare dizeye Sayıl Dizey (Scalar Matrix) denir.

ÖRNEK: 2 0 0

0 2 -

0

o o 2

= 2 0 1 o

= 2.1,

TANIM 7.4.4: D = (XiSjJ) biçimindeki bir kare dizeye Köşegen Dizeye (Diagonal Matrix) denir.

Dikkat edilirse köşegen dizeyin sayıl dizeyden farkı, burada \ nin i ile, yani satır sayısı değiştikçe, değişebilmesidir.

ÖRNEK:

D = 0 2 0

0 0 7

Xı = 3, X2 = 2, — 7

80

TANIM 7.4.5: Bir A dizeyinin i- inci satırının i-'inci sütun olması biçi-minde satır ve sütunlarının yer değiştirmesiyle elde edilen dizeye A'ıım Devriği (Transpose) denir. Eğer A = ( a i j ) m x n ise A'nın devriği A'(aİJ)nxm biçiminde ifade edilir.

ÖRNEK :

A = 2

4 A'-

4 9 7

Devrik dizey aşağıdaki özellikleri gösterir: 1. C = A + B ise C = A' + B' dir. 2. D = AB ise D' = (A.B)' = B'.A 3. (A r A 2 . . . .An)' = A ' n . . . .A ' j . A\ (2'nin genelleştirilmesi) 4. (A')' = A 5. I ' == I

TANIM 7.4.6: A = A' ise A Bakışımlı (Symmetric) bir dizeydir.

ÖRNEK: 2 1 3

A = dizeyi bakışımlıdır.

~ 0 -3 -2 " A = 3 0 -4

2 4 0

1 4 6 3 6 1

TANIM 7.4.7: A=-A' ise A Çarpık Bakışımlı (Skew Symmetric) bir dizeydir.

ÖRNEK:

dizeyi çarpık bakışımlıdır.

SONUÇ 7.4.1: Her hangi bir kare dizey, bir bakışımlı ve bir de çarpık bakışımlı dizeyin toplamı olarak gösterilebilir. KANIT : A bir kare dizey olsun.

A = A + (1 / 2) A' -(1 / 2) A' yazılabilir. Diğer taraftan

A = (1 / 2) A + (1 / 2) A olarak ifade edilebileceğinden A = (1/2) A + (1/2) A' + (1/2) A - (1/2) A'

= (1/2) (A+A') + (1/2) (A-A') yazılabilir.

8 1

Ab = (1/2) (A+A') ve A, = (1/2) (A-A') diyelim. A = Ab + A t dir. Oysa Ab, bakışımlıdır. Çünkü, A'b = (1/2) (A + A')' = 1/2 (A' + A) = Ab

diğer taraftan, A, de çarpık bakışımlıdır. Çünkü, (A,)' = (1/2) (A-A')' = (1/2 (A' - A) = - (1/2) (A-A') = A,

(l.K.) ÖRNEK:

olsun. " 2 -4 7 ""

A = 3 1 9 8 6 9

- (A+A') = -

4 -1 15

~ 2

3 _ 8

-1 2

15

- ^ - ( A - A ' ) = 4 -

-4 1 6

15 15 18

7 9 9

+ ' 2 -4

7

3 1 9

2 - i 7 l - i ı ? £ 7 i 7 i 9

8 6

9

= Ah

2 -4 7 " - 2 3 8 ~ 3 • 1 9 — -4 1 6 8 6 9 7 9 9

A b + A t : -1 2

4

J7_ 2

2 _3_ '2

= A,

+ 0 —

— 0

82

2 -4 3 1 8 6

6 9 9

= A

TANIM 7.4.8: A = {au)nxn dizeyinin öğeleri eğer i > j olduğunda atj = 0 ise, bu dizeye Üst Üçgen (Upper Triangular) dizey; i < j olduğunda atJ — 0 ise bu dizeye do Alt Üçgen (Lower Triangular) dizey denir.

ÖRNEK: ~ 3 2 1 4 "

A - 0 4 2 1 0 0 1 4

_ 0 0 0 2 __ - 6 0 0 0 ~

B = 3 4 0 0 2 1 4 0 1 3 4 5

7.5. Dizeylerin Bölüntülenmesi

Üst üçgen dizey

Alt üçgen dizey

Bazı koşullarda bir dizeyin öğelerinin tümü değil ve fakat bir alt kümesi ilgi konusu olabilir. Ayrıca bu tip alt kümelendirme yoluyla bazı işlemlerin yapılması daha kolaylaşabilir. Bu kolaylaştırma kendisini aşağıdaki biçim-lerde gösterir.

a) Satır ve sütun sayısı çok fazla olan dizeylerin daha kolay ifade edil-mesini sağlar.

b) Ele alınan ana dizeyin ilgilenilen yapısını ortaya koymayı kolaylaş-tırır.

c) Hesaplamaların yapılmasında kolaylık sağlanır TANIM 7.5.1: A m x n bir dizey olsun. Bu dizeyin sadece k m) satırı ve s(^n) sütundan oluşan A p x s dizeye, Anın Alt Dizeyi (Sub Matrix) denir.

ÖRNEK:

_ 31 33 olsun. A'nın son iki sütunu ve son satırın atılmasıyla ulaşılan A1^,. dizeyi, A nın bir altdizeyi olup,

22 _ dir. Dizeylerin bölüntülenmesi yöntemi ile bir dizeyi alt dizeyleri cinsinden ifade etmek olanaklı hale gelir.

83

ÖRNEK:

A = *2l 22 " 2 3 24 flit ûll öl» öl _ a21 _ "31 "32 "33 "34

Bölüntülemenin işlem yapmayı kolaylaştırdığını görebilmek için, toplama ve dizey çarpımı işlemlerinin bölüntülenmiş dizeylerde nasıl yapılabileceğini görelim:

i) TOPLAMA

A — ^mzn _ A 2 î *-22 _

D _ mxn

®ıı

_ B 2 1

B,

B, bölüntülenmiş iki dizey olsun. Eğer bunların alt dizeyleri toplama işlemi için uyumlu ise,

A„ + B u

A21 + B21

A + B ==

yazılır.

ii) ÇARPMA

Amx„ ve B„xr dizeyleri

A = .

A12 + Bj

A22 + B2

B B,

B,

B,

B, biçiminde bölüntülenmiş olsun. Eğer bu dizeylerin alt dizeyleri de çarpma işlemi açısından uyumlu ise, bu çarpım,

C=A.B=

ÖRNEK

A4X5 —

Bc

A n B u + A12 B?ı A n b 1 2

- A21 B„ + A22 B2ı A 21

b 1 2

" 3 1 2 4 5 1 2 0 1 2 0 1 0 4 1

_ 2 1 0 1 0

2 1 3 ~ 4 1 6 1 0 0 1 4 0 1 1

22

22 22 _

84

dizeyleri verilsin. C= A.B dizeyini bulalım. Görüldüğü gibi biz bu dizeyleri bir aşamada çarpmağa kalksak, bu çok zor olacaktır. Çünkü dizeylerin satır ve sülün sayısı çoktur. Bu nedenle bu dizeyleri uygun bir biçimde bölüntü-lemok daha anlamlı olacaktır. A dizeyini aşağıdaki biçimde bölüntüleyelim.

A ıı

A21 =

B dizeyini ise,

B,

B21 =

3

1

0

2

2

4

1

0

0

2

0

o

o

B12 =

B22 =

A12 — 4

1

4

1

5

2

1

0

3 6 0

biçiminde bölüntüleyelim. Dikkat edilirse bu bölüntülemenin yapılmasında, bölüntülenmiş dizeylerin çarpımı formülünde yer alan alt dizey çarpımlarının tanımlanabilir olmasının sağlanması yoluna gidilmiştir. Eğer buna dikkat edilmezse alt dizeylerin çarpımı tanımlanamaz. Bu da bölüntüleme işlemini anlamsız kılar. Bu durumda,

C = A.B = 12

_C 2 1

düzeyinde

Cn

0

c„ =

" u B u + A22 B21

3 1 2

1 2

12 17

10 6

^11 ®12 + -12 ®22

3 1 2

1 2

J 2 1 ~ ~ 4 5 ~ 0 1 ~ 4 1 + 1 2 _ 1 2 _ o ı _

" 3 " 6 +

_ 0 _

4

1

" 4 ~

_ 1 _

8 5

~ 15 ~ ~ 21 " - 36 ~ + =

_ 15 _ 6 _ _ 21 _ C2, = Ajj B n + \ 2 B21

O

2

4

8

1 O

1 O

1

3

2 4 1

+ O

o

1 1 2

5

1

+

C22 — A21B12 + A22 B21

~ 0 1 0 - " 3 = 6

_ 2 1 0 - _ 0

" 6 " • 17 - - 23 ~ = +

_ 1 2 _ 4 _ _ 16 _

+

4

1

4

8

4

1

olacağından ~ 12 17 36 ~

10 6 21 4 6 23 8 4 16

ALIŞTIRMALAR:

A. 7.1:

i) A =

ii) A=

iii) A =

4

5

7

-9

- 8

1

1

0

6

4

1

0

0

0

4

1

4 -5

6 2

5 -3 " 1 2

-6 4 7 11

x =

2 1 1 4 1 8

4

2

1 3 4 1

8 6

Ax, hesaplanabildiği hallerde, hesaplayın.

A.7.2: ~ an an 3 o21

A= _ a2 l 9 an

6 1 6„ B =

7

3

ve A = B ise, bunıın ne anlama geldiğini açıklayın.

A.7.3:

A=

C=

3

2

2

1

1

1

1

2

2

4

1

2

B

4

3

2 4 6

D

1 1

- 8

3 2 1 6

3 1 9 1 1 4 1

2 3 1 2

i) A + B, A+C, A+D, B+C, B+D, C+D toplamlarından, yapıla-bilir olanları yapın.

iı) AB, AC, AD, BC, BD, CD, BA, CA, DA, CB, DB, DC çarpımlarından yapılabilir olanları yapın.

A. 7.4: Bir şirketin beş fabrikası vardır. Bu fabrikalarda kullanılan girdi miktarlarının eksi, çıktı mikl arlarının artı işaretli gösterilmesi yoluyla ula-şılan girdi çıktı dizeyi aşağıda verilmiştir.

FABRİKALAR

1 2 3 4 5

MAL 1 0

-1 /2

- 2

3 1

0 -1 /2

1 1

- 2

1 - 2

-1 Bu malların fiyatları ise, birinci mal 3 TL. ikinci mal 4 TL. ve üçüncü mal ise 6 TL. biçiminde tam rekabetçi bir piyasada belirlenmektedir.

a) Dizey işlemlerinden yararlanarak, bu firmanın toplam kârını bulun.

b) Şirket acaba, fabrikalarından bir kısmını kapatarak kârını artırabilir mi? Bunun nedenini açıklayınız.

87

KAYNAKLAR

T.M. APOSTOL (1969): Calculus, Vol 2, 2nd Editıon, Xerox, Mass., özellikle s. 31-48.

S. AYDIN - A. DEMIRALP (1975): Analize Giriş: Cilt 2, Başarı Yayınlan, istanbul, s. 261-312.

T. BULUTAY (1965): Doğrusal Programlama - Giriş, S.B.F. Yayını, Ankara, özellikle, s. 4-17.

ö . HÜSEYİN - E. SEZER (1977): Matrisler ve Türevsel Denklemler, ODTÜ Yayını, Ankara, s. 1-17.

S. LANG (1971): Linear Algebra, Second Edition, Addison Wesley, Mass. s. 83-130.

M. O'NAN (1971): Linear Algebra, Harcourt Brace Jovanovich, New York, s. 21-66 ve s. 193-225.

J.T. SCHWARTZ (1961): Introduction to Matrices and Vectors, McGraw Hill, New York s. 1-55.

88

BELİRTEN VE İZ

8. Bölüm

Bu bölümde dizeylere ilişkin iki sayıl işlev kavramını ele alıyoruz.

8.1. Belirtenin Hesaplanması

A n x n bir kare dizey olduğunda, A'nın öğelerinin işlevi olan bir ]A| sayısı vardır ve buna Belirten (Determinant) denir. (Burada, |. | simgesini belirten için kullanıyoruz, düzgü ya da salt değer anlamına gelmemektedir. Ancak biz genellikle Bel (A) ifadesini, A'nın belirteni anlamına kullanacağız. Bazı kaynaklarda da Def(A) kullanılmaktadır.) TANIM 8.1.1: re- inci sıradan bir A= (atJ) dizeyinin i-inci satır ve j-inci sütununun dışarıda bırakılmasıyla ulaşılan (re-1) x (re-I) dizeye AtJ diyelim. Bu dizeyin belirtenine, A dizeyinin au öğesinin Alt Belirteni (Minör) denir ve Bel (AtJ) biçiminde gösterilir.

ÖRNEK:

Bel (A)= 3 8 8

23" 6 Bel (A2j)=

TANIM 8.1.2: Bir A dizeyinin a t j öğesinin Eşçarpanı (Cofactor) (_l)i+i Bel (Aıj) biçiminde tanımlanır. Eşçarpan işaretlendirilmiş alt belirten demektir.

ÖRNEK:

Bel (A) = 3 7 8 6

8 7

olsun. ai2 nin eşçarpanı (~1)2+2.

Buna karşılık a2 2 nin eşçarpanı ise 8 9

(-1)2+2 1

9

7

6

7

6 TANIM 8.1.3: (LAPLACE AÇINIMI) n-inci sıradan bir A= (atJ) dize-yinin belirteni i-inci satırdan açıldığında

Bel (A) = 2 ou(-l) '+ J Bel (Au)

olarak elde edilir. Eğer açılma j- inci sütundan yapılırsa, belirten

Bel (A) = £ al} (-1) Bel (Au)

olarak elde odilir. Hangi satır ya da sütunun seçileceğine karar verebilmek için, içinde en

çok sıfır bulunan satır ya da sütunun en büyük kolaylık sağlayan olacağına dikkat etmek gerekir. Eğer dizeyin satır ya da sütunları bu açıdan anlamlı bir farkklık göslermiyorlarsa, yine kolaylık açısından, birinci satırın seçilmesi yoluna gidilebilir.

ÖRNEK:

Bu örnekte 2 inci ve 3 üncü sıradan dizeylerin belirtenlerini yukarıda verilen yönteme uygun olarak hesaplama yoluna gideceğiz. Bu hesaplamalar sonucunda ortaya çıkacak olan formüller bu boyutlardaki dizeylerin kolay hesaplama yolları olarak kullanılabilir.

i) 2x2 bir dizeyin belirteninin hesaplanması

«11 «12

«21 «22 _ olsun. Birinci sıradan bu dizeyi açalım.

A u = a22 , A12 = a2l olduğundan

Bel (A)— (-1)1+' (on) (o22) + (-1)»+» (a12) (o21)

= o,, a, «12 «21

ii) 3x3 bir dizeyin belirteninin hesaplanması

13 « 2 3

« 3 3

olsun.

9 0

Birinci sıradan

Bel (Au) =

Bel (Ai2) =

Bel (A13) =

23 31 " 2 3

22 "31

Bel (A) = (-1)'+' an (a22 a33- a23 a32) -f (-1) , + 2 a12 (a2l a33-a31 a23) + H ) 1 + 3 « 1 3 ( « 2 1 « 3 2 - « 2 2 « 3 l i

Bel (A)= an a22 a33 - au a23 a32 - a12 a2l a33+ a12 a3t ai3 + ol3 o2l o32 - al3 a22 a31

NOT: 3x3 Dizeylerin belirtenini bulabilmek için kolay bir yol daha vardır. "SARRUS KURALI" adını alan bu yol şöyle özetlenebilir:

i) Belirteni bulunacak dizeyi yazın « 1 1 « 1 2 « 1 3

« 2 1 « 2 2 « 2 3

« 3 1 «32 « 3 3

ii) Sözkonusu dizeyin ilk iki satırını tekrar, dizeyin en altına yazın.

«11 » 1 2 « 1 3

« 2 1 « 2 2 « 2 3

«31 « 3 2 « 3 3

«11 « 1 2 « 1 3

« 2 1 « 2 2 « 2 3

iii) Böylece ulaşılan genişletilmiş dizeyin sol üst köşesindeki an öğesin-den aşağıya sağ alta doğru, o33 e giden köşegeni çizin. Aynı işlemi o21 den a13 'e ve o3I den a23 e tekrarlayın. Bundan sonra sağ üst köşeye geçin ve a13 -a3l, «23 ~«ıı v e «33 -«2i köşegenlerini çizin. Bu durumda aşağıdaki şekli elde ederiz.

9 1

iv) Şimdi sol üst köşeden başlayarak köşegenin birleştirdiği öğelerin çarpımlarını yazabm.

21 . a 32 13

. a, Aynı işlemi sağ üst köşeden başlıyarak yineliyelim.

a 33 a 12 a '21 v) Soldan sağ alta giden köşegenler ile birleştirilen öğelerin çarpımların-

dan oluşan terimleri toplayalım, ve sağ üstten sol alt giden köşegenlerin bir-leştirdiği öğelerin çarpımlarından oluşan terimlerin toplamını bundan çı-karakm. Bu bize Bel (A) yı verecektir. Çünkü bu ifade

( « 1 1 «12 « 3 3 + ° 2 1 « 3 2 « 1 3 + « 3 1 « 1 2 « 2 3 ) " ( « 1 3 « 2 2 « 3 1 + « 2 3 « 3 2 « 1 1 + « 3 3 « 1 2 « 2 l )

= Bel (A) dir.

ÖRNEK:

A= 1 0 1

1 0 1

2

1 .1

Bel (A) =

2 1 4

dizeyinin belirtenini bulalım.

1 0 1

3 2

1

bulmamız gerekiyor

3 2 1

1 0

2 1

3 2

iii)

92

iv) 1 x 1 x 1 = 1 0 x 4 x 3 = 0 1 x 2 x 2 = 4

+

t 1 x 1 x 1 = -3 ( - 1 ) x 2 x l x l = - 2

( 1 x 2 x 0 = 0 ' +

-5 Bel (A) = 5 - 5 = 0

8.2. Belirtenlere İlişkin Bazı özellikler

Bu bölümde bilertenlerin bazı temel özellikleri kamtlanmaksızm verile-cektir.

ÖZELLİK 8.2.1: Bir dizeyin belirteni sözkonusu dizeyin devriğinin belir-tenine eşittir. Yani Bel (A) = Bel (A')

"" 2. 3 ~ " 2 1 ~ A = ise A'= olur

_ 1 4 _ _ 3 4 _ Bel (A) = 2.4 - 3.1 = 8 - 3 = 5

3.1 = 8 - 3 Bel (A') = 2.4 ÖZELLİK 8.2.2: Bir dizeyin iki satırının (ya da iki sütununun) yeri değiş-tirilirse, bu dizeyin belirtenin salt değeri aynı kalır, fakat işareti değişir.

3 2 0

2 1 1

Şimdi bir B dizeyi tanımlıyalım. Bunun A dan tek farkı A'nın birinci ve ikinci sütunlarının yer değiştirmesiyle elde edilmiş olması, olsun. Bu durumda B dizeyi

B

Bel (A) = 1 (2-0) - 3(1-1) + 2(0-2) = 2-4 = - 2

Bel (B) = 3(1-1) - 1(2-0) + 2(2-0) = - 2 + 4 = 2

ÖZELLİK 8.2.3: Bir kare dizeyde iki satır ya da iki sütun birbirinin aynı ise, bu dizeyin belirteninin değeri sıfırdır.

J

93

ÖRNEK:

A =

Dikkat edilirse A dizeyinin birinci ve üçüncü sıraları birbirinin aynıdır. Şimdi Bel (A) hesaplıyalım. Bel (A) = 2(2-3) - 3(3-2) + 1 (9-4) = - 2 - 3 + 5 = 0

ÖZELLİK 8.2.4: Bir belirtenin herhangi bir satırı (ya da sütunu) bir sayı ile çarpılırsa, elde edilen sonuç, belirtenin değerinin o sayı ile çarpılmasına eşittir.

ÖRNEK:

A = 2 3 4

0 4 1

B 2 6 4

1 2 4

0 8 1

dikkat edilirse, A ve B dizeyleri arasındaki tek fark ikinci satırlarının farklı olmasından ibarettir. Bu da B nin ikinci satırındaki öğelerin onlara karşılık gelen A daki öğelerin iki katı olmaları biçimindedir. Bu durumda

Bel (A)= 2(1-8) -1(3-16) + 0(6-4) = - 14 + 13 = - 1 Bel (B)= 2(2-16) - 1 (6-32) + 0(12-8) = - 28+26 = - 2

ÖZELLİK 8.2.5: Bir belirtenin açınımında başka bir sütun ya da satırın eşçarpanları kullanılırsa sonuç sıfır çıkar.

ÖRNEK:

2 4 1

A dizeyinin belirtenini birinci satırından açalım. Fakat, bunu yaparken, ikinci satırın öğelerinin eşçarpanlarmı kullanalım.

(1) x (-l)2+ı x (2-1) = -1(2-1) = -1 (2) x (-1)2+2 x (1-2) = 2(1-2) = -2 (1) x (-1)2+3 x (1-4) = -(1-4) = 3 (-1) + (-2) + 3 = 0

ÖZELLİK 8.2.6: Bir belirtende bir satırın (ya da sütunun) öğelerine başka bir satırın (ya da sütunun) karşılık gelen öğelerinin katları eklenir, ya da çıkarılırsa, belirtenin değeri değişmez.

9 4

ÖRNEK:

A = 2 1 3

3 1 2

1 1 O

olsun. B dizeyini de şöyle oluşturalım. A dizeyinin ikinci sütununun tüm öğe-lerini 2 ile, üçüncü satırın tüm öğelerini 3 ile çarpıp birinci satıra ekliyelim. Bu yani B dizeyinin birinci satırını versin. Bu dizeyin ikinci ve üçüncü saiı-ları ise A dizeyininkilerin aynı olsun. Bu durumda yeni B dizeyi

2 + (2x1) + (3x3) 3 + (2x1) + (3x2) 1 + (2x1) + (3x0) B =

B =

1 0

13 1 3

11 1 2

3 1 0

olacaktır. Bu durumda

Bel (A) = 2 (0-2) - 3 (0-3) + 1(2-3) = - 4+9-1 = 4 Bel (B) = 13 (0-2) -11(0-3) + 3(2-3) = -26 + 33-3 = 4 bulunur. ÖZELLİK 8.2.7: Herhangi bir belirtende bir satırın (ya da bir sütunun) her bir öğesi " m sayıda" terimin toplamından (farkmdan) oluşmuş ise, bu belirten her bir öğesi tek bir terimden oluşan "m" sayıda belirtenin toplamına (farkına) eşittir.

ÖRNEK:

A =

olsun.

X1 X2 ~ X3

3 1

2*, + İx2 + 4*3 2

1

x, - 4*2 + 1 0

Bel (A) = (x, + x2- x3) (0-1) - (2 *, + 3x2 + 4 *,) (0-1) + - 4 *2 + x3) (3-2)

= -(*! + *2 ~ + (2*1 + 3*! + 3*2 + 4*,) + [xl - 4X2 +*3) = (-*, + 2*, + *,) + [x2 + 3*2 - 4*2) + (4*3 + *3 + *3)

Bel (A) = 2*, - 2*2 + 6*3

bulunur.

95

Yukarıda verilen sonuca göre Bel (A) = Bel (A,) + Bel (A2) + Bel (A3J

biçiminde yazılabilmelidir. Burada

*ı 2xt *, Bel (A,) = 3 2 1

1 1 0 * 2 3*2 -4X2

Bel (A2) = 3 2 . 1 1 1 1

4*3 *3 Bel (A,) = 3 2 1

1 1 0 olmaktadır. Bel (Aı) = *, (0-1) - 2*ı (0-1) - *, (3-2)

= - XY + 2*.! + xl • = 2XL

Bel (A2) = *2 (0-1) - (3*2 (0-1) - 4*2- (3-2) = -x2 + 3*2 - 4X2 - = -2X2

Bel (A,) = —Xj (0-1) - 4*3 (0-1) + *3 (3-2) = *3 + 4*3 + X3 = 6*3

olduğundan Bel (A) = 2xl - 2 * 2 + 6 *3

bulunur. ÖZELLİK 8.2.8: Aynı boyutlu iki kare dizeyin çarpımının belirteni, belir-tenlerinin çarpımlarına eşittir. Yani, A ve B nxn dizeyler olduklarında Bel (A.B) = Bel (A). Bel (B) dir.

ÖRNEK:

A = 2 3

1 1 Bel (A) = 2 - 3 = - 1 Bel (A). Bel (B) = - 2

B 4 2

1 1 Bel (B) = 4 - 2 = 2

96

A.B = 2 3 ~ ~ 4 2 " " 1 1 7

1 1 _ _ 1 1 _ 5 3 Bel (A.B) = 33 - 35 = - 2

8.3. İz

Bir kare dizeyin İzi (Traee) denildiğinde ana köşegeninde yer alan öğeleri-nin toplamı anlaşılır.

TANIM 8.3.1: A = (a,j)nxn bir kare dizey olsun. A'nın izi

İz (A) = S aH İ = 1

dir. TEOREM 8.3.1: A = (au)nsn ve B = (btJ)mn olsun. İz (A+B)

= İz (A) + İz (B) İz (A.B) = İz (B.A)

dir. KANIT: DHRYMES (1978, s. 24).

ALIŞTIRMALAR

A.8.1 : Aşağıdaki dizeylerin belirtenlerinin değerini bulun.

A = 1 2 3

1 4 2

B 0 1 2

3 4

11 c =

A.8.2: Aşağıdaki dizeyin belirteninin değerini bulun.

A = 3 4 1 0

1 1 2 2

2 2 4 0

1 3 3 4

A.8.3: Aşağıdaki dizeyler verilsin.

2 4 6

B 4 3 2

1 0 4

2 3 4

İz (A), İz (B), İz (A.B), İz (BA), İz (A+B) İz (B-A) bulun.

0 7 0 3 0 1

9 7

KAYNAKLAR

S. AYDIN - A. DEMlRALP (1975): Analize Giriş, Cüt 2, Başarı Yayınları, İstanbul, s. 313-332.

H.G. CAMPBELL (1965): An Introduction To Matrices, Vectors and Linear Programming, Appleton-

Century-Crofts, New York, 76-92.

P.J. DHRYMES (1978): Mathemalics For Econometrics, Sprınger Verlag, New York, s. 25-31.

A. ESİN - E. AĞLI (1978): Genel Matematik, AÎTÎA Yayını, s. 285-336.

ö . HÜSEYİN - E. SEZER (1977): Matrisler ve Türevsel Denklemler, ODTÜ Yayını, Ankara, s. 19-38.

98

/

BASİT İŞLEMLER, AŞAMA VE EVRİK DİZEY

9. Bölüm

Bu bölümde sırasında basit işlemler, aşama ve bir kare dizeyin evriğini bulma üzerinde duracağız.

9.1. Basit İşlemler

Dizeylerin sıraları üzerinde yapılan bazı işlemler, bu dizeylerin bazı özel-liklerini değiştirmeyip, bunları korurlar. Bu tip işlemler, bu nedenle, ele alman dizeylerin yapılarını basitleştirerek bazı bilgilerin daha kolay elde edilmesine olanak sağlamaktadır. TANIM 9.1.1: Bir dizey üzerinde Basit Satır işlemleri (Elementary Row Operationr) denildiğinde,

i) İki satırın yer değiştirmesi ii) Bir satırın sıfır dışı bir payıyla çarpılması iii) i -inci satırın yerine i-inci satır ile j(j i) inci satırın k katının top-

lamının konulması işlemleri anlaşılır. Herhangi bir A dizeyini de bu işlemlerin yapılması, sözkonusu dizeyin "uygun" bir başka dizey ile önçarpılması yoluyla sağlanır.

NOT: Yukarıda tanımlanan basit sıra işlemleri, sütunlar üzerinde de yapıla-bilir. Bu işlemlere Basit Sütün İşlemleri denir. Basit sütün işlemleri de ele alman dizeyin "uygun" bir dizey ile ardçarpımı ile elde edilir. Biz, bu kitapta sıra işlemlerine dayanarak konuları anlatacağız. Ancak tüm anlatılanların uygun değiştirmelerle sütun işlemleri biçiminde de yapılabileceğini unut-mamak gerekir.

ÖRNEK 1:

" 3 6 7 ~ A 8 1 2

2 1 1

99

dizeyinde 3 üncü ve 2 inci satırların yerlerini değiştirelim. Bunun için A'yı aşağıdaki dizey ile çarpmak uygun olur.

E t = ~ 1 0 0 -0 0 1

_ 0 1 0 _ - 1

\

0 0 -E1A = 0 0 1

_ 0 1 0 _

ÖRNEK 2: - 3 1 -

A "'= 6 4 7 8 _

3 8 2

6 1 1

7 - - 3 6 7 ~ 2 = 2 1 1 1 8 1 2

dizeyinin ikinci satırını 4 ile çarpalım. Bunun için aşağıdaki dizey ile A'nm önçarpılması uygun olur.

~ 1 0 0 ~ E! = 0 4 0

_ 0 0 1 _ - 1 0 0 -

EıA = 0 4 0 _ 0 0 1 _

ÖRNEK 3: - 3 1 2 -

A = 2 1 8 _ 1 4 6 _

~ 3 1 ~ - 3 1 6 4 — 24 16 7 8 7 8

dizeyinin 2 inci satırının 3 katmı birinci satıra ekleyelim. Bunun içia aşağıdaki dizey ile A'nın önçarpılması uygun olur.

~ 1 3 0 -Eı = 0 1 0

_ 0 0 1 _ - 1 2 0 -

E.A == 0 1 0 0 0 1

- 3 2

1

1 1 4

2 8 6

100

6 2

1

4 1 4

25 8 6

Herbirisi birer sıra işlemini veren Ej, E2, E3, gibi dizeylere, Basit Dizey-ler (Elementary Matrices) denir. TANIM 9.1.2: Eğer bir A dizeyine bir dizi basit satır işlemi uygulandığında bir B dizeyi elde ediliyorsa A dizeyi B ye Satır Denktir (RowEquivalent) denir ve A ~ B biçiminde gösterilir. Bu (9.1.1.) B= P.A P = ESES_, . . . . Eı biçiminde gösterilen bir işlemdir. Satır denkliği bir denklik bağıntısıdır.

ÖRNEK:

4 3 4

2

1 2

olsun. Bu dizey üzerinde aşağıdaki basit satır işlemleri dizisini tanımlıyalım. i) İkinci satırın üç katının birinci satırdan çıkarılması

ii) Yeni ulaşılan birinci satırın 3 üncü satıra eklenmesi

i r EjA = ~ 1 -3 0

0 1 0 _ 0 0 1

~-3 -5 -1 . 2 3 1

1 4 2

3 2

1

4 3 4

2

1 2

ii) E2(EjA)

E2EjA

1 0 0 _ ~ -3 -5 -1 -

0 1 0 2 3 1 1 0 1 _ 1 4 2 _

-3 -5 1 _

2 3 1 - 2 1 1

TANIM 9.1.2: Aşağıdaki yapıyı taşıyan dizeylere Satır Basamak Dizeyi (Row Echelon Matrix) denir.

101

i) k > O için ilk k satırda bir ya da birden çok sıfır dışı öğe vardır. ii) Böyle bir satır için, soldan itibaren ilk sıfır dışı öğe bire eşittir.

iii) Dizeyin satırları öyle düzenlenmiştir ki, her satırın ilk sıfır dışı öğesi, daima daha üslteki satırın ilk sıfır dışı öğesinin sağındaki bir sütun-tadır.

iv) İlk k satırdan sonra gelen satırların tüm öğeleri sıfırdır.

ÖRNEK: Aşağıdaki dizeyler, satır basamak dizeyidirler.

A =

Bu noktada çok işimize yarayabilecek bir teoremi yazalım. TEOREM 9.1.1: Herhangi bir A dizeyi için, A dizeyini bir satır basmak dizeyine dönüştüren bir basit satır işlemleri dizisi bulunabilir. KANIT: Örneğin MILLS (1970, s. 87)

Bu teoremin dikkat edilmesi gereken özelliği, böyle bir satır işlemler di-zisinin bulunabileceğini söylemesine karşılık bunun bir tek olduğunu söy-lememesidir. Nitekim bu sonucu veren bir çok satır işlemler dizisi bulunabilir.

- 1 2 • 2 1 - ~ 0 0 1 2 4 0 0 1 3 0 0 0 1 4

B = 0 0 0 1

B = 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

ÖRNEK:

3 1 2

2

2 0

dizeyini satır basamak dizeyine dönüştürelim.

1. Üçüncü satırdan birinci satırı çıkaralım. - 1 0 0 ~ " 3 2 2 " ~ 3 2 2 ~

EjA = 0 1 0 1 1 2 = 1 1 2 _ -1 0 1 _ _ 2 1 0 _ -1 -1 -2 _

2. Yeni ulaşılan dizeyin üçüncü satırına ikinci satırını ekleyelim. - 1 0 0 ~ " 3 2 2 ~ ~ 3 2 2

E2(E,A) 0 1 0 1 1 2 = 1 1 1

-0 1 1 _ _ 2 1 0 _ 0 0 0 _

102

3. Yeni ulaşılan dizeyin birinci satırını J ile çarpakm.

E3(E2E1A<) - 1 0 0

0 1 0 0 0 1

3 2 2 1 1 2 0 0 0

2 2 â ~ 1 2 2 0 0 0

Basit işlemler ve basamak dizeyi bize bir dizeyin yöneylerinin doğrusal bağımsızlığını saptamada büyük yararı olan aletlerdir. Bu konunun önemi ise Evrik Dizey kavramını ele aldığımızda ortaya çıkacaktır.

9.2. Aşama

Bir dizeyi incelediğimizde bunun sıralarına ilişkin en önemli özellik bu sıraların doğrusal bağımsız olup olmadıkları sorununda düğümlenmektedir. Bu bölümde bu konuyu ele almağa yönelik bazı temel kavramları inceliy eceğiz.

TANIM 9.2.1: Bir dizeyin Aşaması (Rank) o dizey içindeki ençok (maxi-mum) doğrusal bağımsız yöney sayısıdır. Aşamayı a (A) biçiminde göstere-ceğiz. TEOREM 9.2.1 Bir dizeyin ençok doğrusal bağımsız satır sayısı, ençok doğrusal bağımsız sütun sayısına eşittir.

KANIT: Örneğin D.C. MURDOCH, (1957, s. 41-2)

O halde a (Amx„) ^ e.a. (m,n) (e.a. = en az)

TEOREM 9.2.2: A ve B, A.B biçiminde çarpımı tanımlanabilen iki dizey olsun. Bu durumla a(A.B) < e.a. (a(A), a(B) ) dir.

KANIT: Örneğin, MILLS, (1970, s. 96-7).

TANIM 9.2.2: A n-inci sıradan (yani n x n) bir kare dizey olsun. Eğer A'nın aşaması n den küçük ise bu dizeye Tekil (Singular), ti'e eşitse Tekil Değil (Nonsingular) denir.

TÖREM 9.2.3: Tekil bir dizeyin belirteni sıfıra eşittir.

KANIT: Örneğin, GLAISTER (1972, s. 46) TEOREM 9.2.4: A dizeyinin aşaması k olsun. B ise tekil olmayan bir dizey olsun. Bu durumda A ile B nin çarpımından oluşan dizeyin aşaması k dir. KANIT: Örneğin, MILLS (1970, s. 98).

Şimdi bir dizeyin aşamasının nasıl bulunabileceği konusunda bize yol gösterebilecek bazı teoremleri görelim. TEOREM 9.2.5: Bir A dizeyi üzerine bir basit işlem uygulandığında bir başka B dizeyi elde edilsin. Bu duruda a(A) = a(B) dir. KANIT: Örneğin, MILLS (1970, s. 98).

103

Bu teoremin bize sağladığı kolaylık şudur: Bir dizeyin aşamasını bulmak istediğimizde bu dizeyin yapısını daha kolay görmemizi sağlayaçak olan basit işlemler yaparak yeni dizeyler elde ederiz. Bu dizeylerin özellikleri bunların başladığımız dizey ile aynı aşamayı koruyor olmalarıdır.

Şimdi verilecek teorem ise, basamak dizeyin bize bu konuda sağladığı kolaylıkları göstermektedir. TEOREM 9.2.6: Bir A dizeyi verilsin. A'ya bir dizi basit işlemin uygulan-masıyla elde edilen bir basamak dizeyinin aşaması, A'nııı aşamasına eşittir. KANIT: Örneğin,: MILLS, (1970, s. 99) TEOREM 9.2.7: Herhangi bir dizi basit satır işlemini gösteren bir dizey tekil değildir. KANİT: Örneğin, MILLS (1970, s. 99):

Bu teoremlerin ışığında işimizi çok kolaylaştıraçak olan aşağıdaki teo-rem kanıtlanabilir. TEOREM 9.2.9: Bir basamak dizeyin aşaması, sıfır dışı öğelerinin yer al-dığı satır sayısına eşittir. KANIT: Örneğin, MILLS, (1970, s. 99).

Bu teoremler bize bir dizeyin aşamasını bulabilmek için izleyebileceği-miz yolun ne olacağı konusunda aşağıdaki çizgede özetlenen bilgileri ver-mektedir.

Bir Dizeyin Aşamasını

Bulma Yöntemi

Dizey Kare ise Dikdörtgen Dikey ise

i i Dikey Tekil Dizey Tekil Değil ise ise

I 1 I i I

Aşaması Boyutuna Satır basamak eşittir biçimini bul

I Sıfır dışı öğelerin yer aldığı satır yöney sayısını bul. Aşama bu sayıya eşittir.

Şimdi bir dizeyin aşamasını bulmada kullanılabilecek bir yöntemi ge-liştirelim Bu yöntem, bir aşamasında, burada ilgilendiğimiz satır basamak biçimine ulaşılmasını sağlamaktadır. Ancak, biz burada bu yöntemi, ileride doğrusal denklem dizgelerinin çözümünde de kullanmak üzere, Satır En Basit Biçimine (Bow Canonical Form) varacak biçimde sunacağız.

104 /

A= (au)mxn x = ve b= mxl olduğunda bir doğrusal denklemler dizgesini

(9.2.1) A x == b

biçiminde ifade ederiz.

TANIM 9.2.2: A= {au)mxn ve C= (cu)mxn olsun. Eğer C, A'ya satır denk bir satır basamak dizey ve C'nin sıfır olmayan tüm satırlarında sıfır olma-yan ilk öğe, içinde bulunduğu sütunun sıfır olmayan öğesi ise C dizeyine A'nın Satır En Basit Biçimi (Row Canonical Form) denir.

Bir dizeyin satın en basit biçimini hesaplayabilmek için aşağıdaki aşa-malı yönteme başvurulur.

AŞAMA 1: A dizeyinin sıfırdan farklı öğesi olan ilk sütununa diyelim. Eğer bu sıfırdan farklı öğe birinci satırda değilse, bunun birinci satıra gele-bilmesi için satırların yeri değiştirilir. Böylece «ı^ ^ 0 olur.

AŞAMA 2: Her i > 1 ( i= 2, . . . m) için i-inci satır (R() yerine - \ Rj + Rf yazılır.

AŞAMA 3: A dizeyinin birinci satırı dışarıda bırakılarak oluşturulan alt dizey için 1. ve 2. aşamalar yinelenir. Bu süreç de, dizeyin m- 1 satırı için yinelenir. AŞAMA 3b: Eğer istenirse bu yolla ulaşılan dizeyin her satırı soldan itibaren ilk sıfır olmayan öğesinin değerine bölünerek, Satır Basamak Dizey elde edilir. AŞAMA 4: Aşamada ulaşılan dizeyin k-ıncı satırı yerine

. R, + % R * k = 1 / . . i - 1 yazılır. Bu işlem i-2 den başlayarak i = r ye kadar sürdürülür. Burada r, satır basamak dizeyinde sıfır dışı öğelerinin yer aldığı satır sayısıdır. Yani bundan sonraki n-k satır sıfır yöneydir. Böylelikle A dizeyinin sıfır yöney olmayan satırlarının ilk sıfır dışı öğelerinin (seçkin öğe) bulundukları sütunda sıfır dışı tek öğe olmaları sağlanır.

AŞAMA 5: Sıfır dışı öğelerin yer aldığı her satırda Rt yerine a ~ l tj R; ya-zılarak seçkin öğelerin bir değerini almaları sağlanır.

ÖRNEK 1:

0 2 1 3

A = 3 4 2 2 1 3 1 4

105

AŞAMA 1: Bu dizeyde ji = 1 dir. Ancak birinci satır ve birinci sütundaki eğe sıfır olduğu için, ikinci satır ile birinci satırın yerini değiştirelim.

~ 3 4 2 2 ~ 0 2 1 3

_ 1 3 1 4 _

AŞAMA 2: i — 2 için R2 yerine

/ — a2l i?, + an R2

= -0 (3, 4, 2,2) + 3 (0, 2, 1, 3) = (0, 6, 3, 9)

i = 3 için R} yerine — a31 Rt + an R}

= - 1(3, 4, 2, 2) + 3 (1, 3, 1, 4) = (-3,4, -2, -2) + (3, 9, 3, 12) = (0, 5, 1, 10) yazalım. O balde yeni dizey

~ 3 . 4 2 2 ~ 0 6 3 9

_ 0 5 1 10 _ AŞAMA 3. Birinci satırı atarsak geriye

~ 0 6 3 9 _ 0 5 1 10 _

dizeyi kalır. Burada j\ = 2 dir. O halde, bu dizeyde, R2 yerine - a22 Rt + al2 R2

yazalım. - 5 (0, 5, 3, 9) + 6 (0, 5, 1, 10) - (0, -30, -15, -45) + (0, 30, 6, 60) = (0, 0, -9, 15) Bu sonuç, dizeyiminin üçüncü satırını vermektedir. Böylece, dizey

3 4 2 2 ~ 0 6 3 9 0 0 -9 15

biçimini aldı.

106

AŞAMA 3b: Şimdi eğer istersek A dizeyinin satır basamak biçimini bula-biliriz. Birinci satırı 3'e ikinci satırı 6 ya ve üçüncü satırı -9 a bölersek:

~ 1 O

O

1

O

I

1 - -S-15 9

satır basamak biçimini verir. Dikkat edilirse, burada satır olmayan satır yöney sayısı 3 dür. O halde bu dizeyin aşaması da 3 dür.

AŞAMA 4: k = 1 için önce i—2 alalım.

— a!2 R 2 + a22 R ı = -4(0, 6, 3, 9) + 6 (3, 4, 2, 2)

= (0,-24, -12, -36) + (18, 24, 12, 12)

= (18, 0, 0, -24) Şimdi bu ulaştığımız yeni birinci sırayı yerine koyarak dizeyimizi yeniden

yazalım. 18 0 0 -24 ~ 0 6 3 9 0 0 -9 15

Bu defa fe=l ve i— 3 alarak işlemi bu dizey üzerinde yerinden yapahm.

- ai3 B3 + a3 3 RJ / = - 0 (0, 0, -9, 15) + (-9) (18, 0, 0, -24) = (-162, 0, 0, 216)

Ulaştığımız dizey "-162 0 0 216

0 6 3 9 _ 0 0 - 9 15

oldu. Şimdi ise k=2 ve i= 3 alalım ve R2 yerine R3 + a 33 R 2

= (-3) (0, 0, -9, 15) + (-9) (0, 6, 3, 9)

= (0, 0, 27, -45) + (0, -54, -27, -81)

= (0, -54, 0, -126)

1 0 7

Bu durumda da ~ -162 0 0 216 ~

0 -54 0 126 0 0 -9 15 _

elde edilir. AŞAMA 5. Birinci satırı -162; ikinci satırı

- 1 0 0 - 4 / 3 -0 1 0 +7/3 0 0 1 —5/3

_ 0 0 1 -5/3 _ istenilen en basit biçimi verir.

9.3. Evrik Dizey

Bu başlık altmda, kare dizeylerin evriğini bulma sorununu ele ak-yoruz. Doğrusal dönüştürmeleri ele alırken (7. Bölüm) evrik kavramına değin-miştik. Yine o bölümden hatırlanacağı üzere, her doğrusal dönüştürmeyi belli bir tabana göre bir dizey ile ifade etme olanağı vardı. Bu durumda evrik dönüştürmeyi de gösteren bir dizey vardır ve buna Evrik Dizey (Inverse Matrix) denir.

TANIM 9.3.1: A n x n , tekil olmayan bir dizey olsun.

A .A - 1 = A - 1 . A = I„

koşulunu sağlayan A - 1 dizeyine, A nın Evrik Dizeyi denir. TEOREM 9.3.1: Ancak ve Ancak Anxn dizeyi tekil değilse, yani Bel (A) # 0 ise, bu dizeyin evriği A - 1 vardır, birtekdir ve

1 A - 1 = Bt (A) Bel (A)

biçiminde hesaplanır. Burada Bt(A), A nın Bitişik Dizeyi (Adjoint Matrix) olup, A'nm öğelerinin yerine kendi eşçarpanlarınm konulmasıyla elde edilen dizeyin devriğine eşittir. KANIT: MURDOCH (1957, s. 61)

Evrik dizeye ilişkin bazı özellikleri şöyle sayabiliriz. i) Bel (A) = 0 ise A - 1 yoktur. / ii) (A - 1 ) - 1 = A

iii) (AB)"1 = B - 1 A - 1

108

iv) (AT 1 = (A-')'

v) Bel (A-1) = Bel (A)

ÖRNEK:

1 3 2

0 1 1

dizeyinin evriğini bulun. Önce Bel (A) bulalım. Bel (A) = 1 (2-1) - 2(3-2) + 0(3-4) 1-2 = -1 # O

O halde bu dizeyin evriği vardır.

Bel (An) =

Bel (A12) =

Bel (Al3) =

Bel (A21) =

Bel (A,2) =

Bel (A23) =

Bel (A31) =

Bel (A32) =

Bel (A33) =

Bt (A) =

A-1 = Bel (A)

2 1 1 1 f— 2-1 = 1 (-1)1+1 Bel (Au) = 1

3 1 2 1 = 3-2 = 1 (-1 )^Bel (A12) = -1

3 2 2 1 = 3-4 = -1 (-1)1+3 Bel (Al3) = -1

2 0 1 1 = 2-0 = 2 H)2+1 Bel (A21) = -2 1 0 2 1 = 1-0 = 1 H ) 2 + 2 Bel (A22) = 1

1 2 2 1 = 1-4 = -3 (-1)2+3 Bel (A23) = 3

2 0 2 1 = 2-0 = 2. (-1)3+1 Bel (A31) = 2

1 0 3 1 = 1-0 = 1 (-1)3+2 BeZ (A32) = -1 1 2 3 3 = 2-6 - -4 (-l)3

+3 Bel (A33) = -4

1 - 2 2 ~ -1 1 -1 -1 3 -4 _

- Bt (A) -L- Bt (A) = — Bt (A)

109

A-1 = = -1

1 1

2

-1 -3

- 2

1 4

Bazı hallerde evriği bulunacak dizeyin boyutunun çok büyük olması bu işlemin elektronik hesaplayıcılarda bile, yapılmasını olanaksız ya da güç kılabilir Bu takdirde dizeyin bölüntülenmesi yoluna başvurulur. Böyle bir A dizeyini -

A = "11 12 A A •™l21 22 biçiminde bölüntülediğimizi ve Bel (Au) ^ 0 ve Bel (An -A,, A22

1 A21) ^ 0 olduğunu varsayarsak

(Au A12 A22 1 A21) 1 (Aj, A12 A22

1 A2I) 1 A12A2

_ A22 1 A 2 1 (A,j-A12 A22

1 A21) 1 A22 1 (1+A21 (An-A2 2

1 A2i) >A12A22

istenilen evrik dizeyi verir.

ALIŞTIRMALAR: A. 9.1 : Aşağıdaki dizeylerin satır basamak biçimini ve en basit biçimini bulun.

i) A=

iii) C=

1 2 0 1 4 0 1

3 1 1 3 2

2 4

2 0 3 1 6 1 3

ii) B=

iv) E =

- 1 3 1 4 ~ 2 1 0 3

_ 0 2 1 4 _ ~ 3 2 1 -

0 2 2 0 0 1

A.9.2: A.9.1 de verilen dizeylerin aşamalarını bulun. A.9.3: A.9.1 de verilen dizeylerinin hangilerinin evriği vardır? Bu evrik dizeyleri bulun.

KAYNAKLAR

Ş. GLEISTER (1972): Mathematical Methods For Economists, Gray Mills, London.

G. HEAL - G. HUGHES - R. TARLING (1974): Linear Algebra And Linear Economics, Macmillan, London, s. 70-89.

Ö. HÜSEYİN - E. SEZER (1977): Matrisler ve Türevsel Denklemler, ODTÜ Yayını, Ankara, s. 39-58.

H. KASNAKOĞLU (1979): Linear Algebra, ESA Working Paper No. 7, ODTÜ, Ankara, Bölüm VI, VII.

H.G. MILLS (1970): Linear Algebra For Social Sciences, George Ailen and Unwin, London, s. 80-101.

D.C. MURDOCH (1957): Linear Algebra For Undergraduates, J. Wiley, New York.

B. NOBLE (1969): Applied Linear Algebra, Prentice Hail, Englewood Cliffs, N.J . , s. 127-154.

110

10. Bölüm

DOĞRUSAL DENKLEM DİZGELERİ VE ÇÖZÜMLERİ

Bu bölümde doğrusal denklem dizgelerini tanımlayacak ve bunların çözümlerinin bulunması sorunu üzerinde durmağa çalışacağız,

10.1. Doğrusal Denklem Dizgeleri

Önce "doğrusal denklem dizgesi" ile ne anlaşıldığını bir tanım vererek belirtelim.

TANIM 10.1.1:

«11 «1 + «12 *2 + • • • • + «in xn = bl

(10.1.1) a21 Xl + a2lx2 + + a2n xn = b2

«ml x ı "İ" «m2 X2 + • • • • "f" «mn xn

biçiminde doğrusal denklemlerden oluşan bir dizgeye, m denklemli n bilin-meyenli doğrusal denklemler dizgesi denir. (10.1.1) de Xjler bilinmeyenleri, a,, ve 1er de verilmiş katsayıları göstermektedir. Eğer

(10.1.2) A= _ "ml

lln

(10.1.3) b = - b,

ve (10.1.4) x =

111

biçiminde tanımlarsak, (10.1.1) de verilen doğrusal denklemler dizgesini (10.1.5) Ax = b biçiminde yazabiliriz. TANIM 10.1.2: Ax = b doğrusal denklem dizgesinde b = 0m , yani m-boyutlu sıfır yöney ise, buna Tektürel Dizge (Homogenous System) denir. Her Ax = b, b ^ 0m doğrusal denklem dizgesine karşılık gelen bir tek-türel dizge vardır.

Bir doğrusal denklemler dizgesi verildiğinde, akla gelen ilk soru bu diz-genin Tutarlı (Consistent) olup olmadığı, yani bu dizgede yer alan tüm denk-lemleri aynı anda sağlayan bir x*, yöneyinin olup olmadığıdır. TANIM 10.1.3: Ax = b, b e Rm , aij e R bir doğrusal denklem dis-gesi olsun. Bu durumda

kümesine Ax = b doğrusal denklemler dizgesinin Çözüm Kümesi (Solution Set) denir. Bu kümenin öğesine ise verilen doğrusal denklemler dizgesinin Çözümü (Solution) denir.

O halde bir doğrusal denklemler dizgesinin çözümünün var olup olmadığını araştırmak için tutarlılık koşullarını görmek gerekmektedir.

10.2. Doğrusal Denklem Dizgelerinin Çözümü

Bir doğrusal denklem dizgesinin çözümü sorunu, birbirini mantıksal olarak izleyen üç alt soruna ayrılabilir. Bunlardan ilki, verilen bir doğrusal denklemler dizgesinin çözümünün var olup olmadığı, ikincisi, eğer varsa bunun Birtek (Unique) olup olmadığı ve üçüncüsü ise çözümün nasıl bulunabilece-ğidir. Bu alt bölümde sözkonusu sorunlardan ilk ikisi üzerinde duracağız.

Önce çözümün varlığı sorununu ele alalım. Bu açıdan bir doğrusal denk-lemler dizgesinin ya bir çözümü vardır, yani dizge tutarlıdır, ya da yoktur, yani dizge tutarsızdır. Dizge tutarlı, yani çözüm varsa, bu defa çözümün bir tek olup olmadığı sorunu ortaya çıkacaktır. O halde bir doğrusal denklemler diz-gesinin çözümüne ilişkin mantıksal durumlar aşağıdaki biçimde özetlenebilir.

(10.1.6) C = {x | x e R", Ax = b}

DOĞRUSAL DENKLEMLER DİZGESİ

TUTARLI (ÇÖZÜM VAR, C j i 0)

TUTARSIZ (ÇÖZÜM YOK, C = 0 )

Bir tek çözüm var

Sonsuz çözüm var

(C kümesi tek öğeli)

(C kümesi sonsuz öğeli)

112

Bu sonuçların hangisine varılacağını belirleyen ise, doğrusal denklem dizgesinin yapısının, ya da bunu belirleyen dizeyin, taşıdığı özelliklerdir.

Şimdi iki denklemli ve iki bilinmiyenli doğrusal denklem dizgelerinden örnekler alarak, yukarıda özetlenen durumların geometrik anlamlarını ortaya koymaya çalışalım.

ÖRNEK 1: (Birtek çözüm) 1 2 - X1 ~ 4 -

3 2 _ _ 6 _ ( 1 0 . 2 . 1 )

doğrusal denklemler dizgesi verilsin. Biz bu dizgeyi

(10.2.2)

biçiminde yazabiliriz. Görüldüğü gibi (10.2.2) de verilen

~ 1 " ~ 2 ~ - 4 ~ Xı + * 2 =

_ 3 _ _ 2 _ _ 6 _

~ 4 ~ " 1 ~ - 2 ~ ifadenin anlamı

_ 6 _ yöneyinin

_ 3 _ ve

_ 2 _ yöneylerinin bir doğ

rusal bileşimi olduğudur. Anımsanacağı üzere

4

ve

doğrusal bağımsız olduklarında

yöneyleri

yöneyi bunların doğrusal bileşimi

olarak birtek biçimde gösterilebilecek, yani (10.2.2) i veren birtek (x{, x2) çifti olacaktır. Nitekim bu örnekte, bu koşul

2 sağlandığından x1

olmaktadır.

1 ve *2 = —

Şimdi bu sonucun geometrik olarak ne anlama geldiğini görelim. Aşağı-daki Şekil 10.2.1 (s. 114) de A1 noktası _

3 4

yöneyini, A2 noktası yöneyini göstermektedir. B noktası ise

yöneyini vermektedir. Eğer A2 yöneyini -—- ile çarparsak A/ nok-

tasını elde ederiz. Koşutkenar yöntemini Uygularsak At ile A2' yöneylerijiin toplamının B yöneyine eşit olduğunu görürüz. Dikkat edilirse bu sonucu sağ-layan özellik, B yöneyinin Aı ve A2 yöneyleri arasında yer almasıdır.

113

Diğer taraftan verilen doğrusal denklemler dizgesini (10.2.3) x, + 2x2 = 4 (10.2.4) 3*, + 2X2 = 6 biçiminde yazar ve bu denklemleri x2) uzayında (çözüm uzayı) çizersek Şekil 10.2.2 yi elde ederiz. (10.2.3) den I ile ifade edilen doğruyu, (10.2.4)

114

Bu iki doğrunun kesiştiği A noktası = 1 x2 — -g- vermektedir.

Bu nokta iki denklemi birden sağlamaktadır ve ele aldığımız örnekte birtektir. ÖRNEK 2: (Sonsuz Çözüm) j

~ 2 1 ~ - 6 -

_ 1 2 _ _ *2 - _ 3 _ (10.2.5)

olsun. Bu doğrusal denklemler dizgesini de

- 2 ~ - 4 - ~ 6 ~ (10.2.6)

_ ı _ + _ 2 _

-

_ 3 _

biçiminde ifade edebiliriz. Kartes'gil eksenler üzerinde bu yöneyleri ifade eder-sek Şekil 10.2.3 ü elde ederiz.

Şekil 10.2.3

Bu şekilde Aı noktası yöneyini, A2 noktası '4

2 yoneyını ve

B noktası da yöneyini ifade etmektedir. Dikkat edilirse her üç yö-

115

yi de başlangıç noktasından çıkan aynı ışın üzerinde yer almaktadırlar1. Bu durumda At ve A2 yöneylerinin sonsuz sayıda doğrusal bileşimi B yöneyini verebilecektir.

Nitekim bu doğrusal dnklemler dizgesinin denklemlerini (10.2.7) 2x, + 4 x2 = 6 (10.2.8) X\ + 2 ^ = 3 biçiminde yazarsak x2) çözüm uzayında bunlar aşağıdaki Şekil 10.2.4 de verilen tek bir doğruyu verecektir. Bu doğru üzerindeki tüm noktalar hem (10.2.7) yi ve hem de (10.2.8) i sağladığı için bu doğrusal denklemler dizgesi-nin sonsuz çözümü vardır.

ÖRNEK 3: (Çözüm Yok) - 3 2 ~ *1 - 4 -

_ 6 4 _ _ * 2 - _ 3 _ olsun. Bu doğrusal denklemler dizgesini

_ 3 ~ ~ 2 - _ 4 ~ (10.2.10)

_ 6 _ *ı +

_ 4 _ *2 =

_ 3 _

1 Bu özelliği taşıyan yöneylere eşdoğrusal (collinear) denir.

116

biçiminde ifade edebiliriz. Dikkat edilirse Ax =

yöneyleri doğrusal bağımlıdırlar. Bu nedenle B =

ların doğrusal bileşimi olarak ifade etmek olanaksızc de bu durum görülmektedir.

- 3 - ~ 2 ~ = ve A2 =

_ 6 _ _ 4 _

yöneyini bun-

ır. Nitekim Şekil 10.2.5

Şekil 10.2.5 den de görüleceği üzere koşutkenar yöntemi ile As ve A2 ye dayanarak B'nin elde edilmesi olanaksızdır.

Bu olgunun (x„ x2) çözüm uzayındaki görünümü ise, verilen doğrusal denklemler dizgesi (10.2.11) 3 x, + 2 x2 = 4 (10.2.12) 6 x, + 4 x2 = 3 biçiminde yazıldığında, (10.2.11) veren doğru I ile, (10.2.12) veren doğru II ile gösterilerek Şekil 10.2.6 (s. 118) dan izlenebilir. Görüldüğü üzere I ve II iki koşut doğrudur yani bunların her ikisini de ayni anda sağlayan bir (xt,x2) çifti yoktur.

Bu örneklerden de açıkça görüleceği üzere ulaşılan farklı sonuçların nedeni, katsayılar dizeyinin yapısından kaynaklanmaktadır. Şimdi bu farklılıklara yol açan özelliklerin neler olduğunu görelim.

1 1 7

Şekil 10.2.6

TANEM 10.2.1: Ax = b bir doğrusal denklem dizgesi olsun. A6 = (A : b) dizeyine Genişletilmiş Dizey (Augmented Matrix) denir.

ÖRNEK:

{

3 4 1

2 3 4

xı ~ 6 ~ x2 = . 8 x3

. 8 _ _ _ 1 _

doğrusal denklem dizgesinde genişletilmiş dizey

a6 = 3 4 1

2 3 4

1 2 7

6 8 1

dir.

TEOREM 10.2.1: A x = b, A = {au)mxn bir doğrusal denklem dizgesi olsun. A.v.a. a(A) = a(Ab) ise, bu dizge tutarlıdır, yani, çözümü vardır.

KANIT: (HADLEY (1961, s. 68) den alınmıştır). A'nm içindeki her belirten Ab içinde de yer aldığından, a (A) a(Afc) dir. Ayrıca a(Ab) o(A) + 1 dir. Bu durumda iki olasılık söz konusudur.

118

ı

i) a (A) > a (Aö) ii) a (A) = a (Ab)

şimdi bunlardan ilkini ele alalım. a(A) <a(Ab) olsun. ap A'nın j'inci sütun yöne-yini göstersin. Bu durumda . . . , an,b yöneylerinden oluşan derlem doğrusal

„ ™ . . . . . . . bağımsızdır. 0 halde S x• a• = b biçiminde yazabileceğimiz Xj 1er t=ı

yoktur. Yani Ax = b dizgesini sağlayan bir x yöneyi bulunamaz, dizge tutarsızdır. İkinci durumu ele alalım. a(A) = a(Ab) = k olsun. Bu takdirde a ı . . . , an,b yöneyleri doğrusal bağımlıdır, ve Ab nin her sütunu A'nın k ba-ğımsız sütununun doğrusal bileşimi olarak ifade edilebilir. Bunları A'nın ilk

n k sütunu olarak kabul edelim. Öyleyse S Xj&j = b yazabiliriz. O halde,

Ax = b dizgesini sağlayan en az bir x yöneyi vardır. (İ.K.)

Şimdi tutarlı bir doğrusal denklemler dizgesini ele aldığımızda karşılaşa-bileceğimiz alt durumları gözden geçirelim.

TEOREM 10.2.3: Ax = b, A = [atJ)mxn olsun.

i) a (Ab) = a(A)=n ise (yani A nın ve Ab nin aşaması, bilinmeyen sayı-sına eşit ise)söz konusu denklem dizgesinin birtek çözümü vardır.

ii) a (Ab) = a (A) = k < n ise, bu denklem dizgesinin sonsuz sayıda çözümü vardır. KANIT: NOBLE (1969, s. 91).

Bu teoremin bir benzeri, tektürel doğrusal denklemler dizgesi için de verilebilir. TEOREM 10.2.3: Ax = 0 m tektürel doğrusal denklemler dizgesi her zaman tutarlıdır.

i) Eğer a(A) = n ise dizgenin birtek çözümü vardır. O da x=0 I1 yöneyidir.

ii) Eğer a(A) — k < re ise, dizgenin sonsuz sayıda sıfır dışı çözümü vardır.

KANIT: NOBLE (1969, s. 91)

Diğer taraftan bir doğrusal denklemler dizgesinin çözümü ile bu dizgeye karşılık gelen tektürel dizgenin çözümü arasında da bir bağıntı vardır. Bu da aşağıdaki teoremde özetlenmektedir. TEOREM 10.2.4: Ax = b dizgesinin belli bir çözümü x 0 olsun. Eğer u bu dizgeye karşılık olan Ax= 0m tektürel dizgesinin bir çözümü ise z= x 0 + u da Ax = b dizgesinin bir çözümüdür.

119

KANIT: (Bu kanıt NOBLE (1969, s. 92) den alınmıştır), z = x 0 + u olsun. Az = A(x„ -(- u) = Ax0 -f Au = b + 0m =b. O halde z de bu dizge-nin bir çözümüdür. Şimdi z, Ax = b dizgesinin bir çözümü olsun. Yani Az = b. Diğer taraftan Ax0 = b dir. Bu iki bağıntıdan, Az - Ax0 = A (z"xo) = 0m

yazabiliriz. O halde xQ, Ax = 0m tektürel dizgesinin bir çözümüdür. Buna u diyelim. u= z- xQ olduğundan z = xD -)- u dur. O halde z bir çözüm ise bu xQ -f u biçiminde olmahdır. (Î.K)

Tutarlı doğrusal denklem dizgelerine ilişkin olarak buraya kadar anlatılan-ların, bir de denklem ve bilinmeyen sayılarının farklılaşması durumunda ne anlama geldiğini görelim. Anımsanacağı üzere A= (fflİJ)mx„ ise, burada m denklem sayısını, re ise bilinmeyen sayısını göstermektedir. Bu durumda, tu-tarlı bir doğrusal denklemler dizgesinde eğer

i) m = re ise; a(A) = re olduğunda birtek, a(A) < re olduğunda ise sonsuz çözüm vardır.

ii) m < re ise; a(A) şS m < re olacağından bir tek çözüm bulmak olanak-sızdır. Bu durumda a(A) < re olacağından sonsuz çözüm vardır1.

iii) m> re ise yine a(A) = re olduğunda birtek, «(A) < re olduğunda ise sonsuz çözüm olacaktır.

Diğer taraftan bir doğrusal denklemler dizgesi tutarsız ise, bunun anlamı, söz konusu dizgedeki tüm denklemleri eşanlı sağlayan hiç bir x çözümün bu-lunamayacağıdır. Ancak bu durumda da farklı özellikler ortaya çıkmaktadır. Bunları da şöyle özetleyebiliriz. Eğer «(A) ^ a(A : b) ve

i) m— re ise, a(A) = 1 olduğunda çözüm yoktur. Buna karşılık 1 < a(A) < n ise, doğrusal denklem dizgesindeki m-a (A) sayıda denklem dı-şarıda birakılarak geri kalan denklemlerden oluşan tutarlı bir dizge elde edilebilir. Bu durumda, n-a (A) = m-a(A) değişkenin değeri dışarıdan belirlenerek, geri kalan değişkenler için çözüm elde edilebilir.

ii) m < re ise yine (i) de belirtilen durumlar ortaya çıkar.

1 Eğer bu durumda o (A) —m (denklem sayısı) ise, A'nın herhangi bir mxm, tekil olmayan alt dizeyi seçilebilir. Bu alt dizeyin sütunlarına karşılık gelmeyen n-m değişkenin değerleri sıfıra eşitlenir ve geri kalan doğrusal denklemler dizgesinin çözümü bulunursa, buna Temel Çözüm (Basic Solution) denir. Bu yolla değeri sıfırdan farklı olarak bulunan değişkenlere Temel Değişkenler (Basic Variables) denir. Bu çözümün önemi, söz konusu mx.m alt dizeyin sütunlarının R m için bir taban oluşturmasıdır, m denklendi ve n bilinmeyenli bir doğrusal denklemler dizgesinin

N = LJ m ! (n-m) !

olanaklı temel çözümü vardır.

120

iii) m > n ise a(A) = n olması olanağı vardır. Bu durumda, yine m-n kadar denklem atılarak tutarlı bir doğrusal denklemler dizgesine ulaşı-labilir. Ancak bu kez çözüm birtekdir. Oysa (i) ve (ii) de birtek çözüm bulümak olanaksızdır.

10.3. Doğrusal Denklem Dizgelerinin Çözümü için Yöntem

Yukarıda anlatılanlarnı ışığında bir doğrusal denklem dizgesinin çözü-münü bulabilmek için ne yapılabileceği aşağıdaki gibi sıraya sokulabilir:

1. Önce denklem dizgesinin tutarlı olup olmadığı incelenir. Bunun için de aşama koşulunun sağlanıp sağlanmadığına bakılır. Yani, a(A) = a(A : b) olup olmadığı araştırdır. Bunun için A ve Ab dizeylerinin aşamalarının bulunması gerekir. Bunun için de daha önce de gördüğümüz üzere basit iş-lemlerden yararanabiliriz.

2. Bir doğrusal denklem dizgesinin tutarlı olduğu saptandığında, bu, sözkonusu dizgenin en az bir gözümü olduğu anlamına gelecektir. Burada ortaya çıkan ikinci sorun çözümün birtek mi yoksa sonsuz mu olduğunun saptanmasıdır.

Eğer bir A m x n x = b dizgesinde, A dizeyinin aşaması, k ise, bunun an-lamı sözkonusu dizgedeki denklemlerin k tanesinin doğrusal bağımsız olma-sıdır. Kolaylık olması için ilk k denklemin doğrusal bağımsız olduğunu var-sayalım. A dizeyinde de bu doğrusal bağımsız denklemlerin katsayılarından oluşan alt dizeyi A* ile gösterelim. Bu durumda diğer denklemler, A dizeyinin ilk k sırasının doğrusal bileşimleri olmaktadır. Bunlarm katsayılarından oluşan alt dizeyi de Ad* ile gösterelim. O halde

A = A*

A * Ad

biçiminde yazılabilir. Buna koşut olarak b yöneyini de alt yöneylere bölün-tüleyelim.

b= burada b*, kxl ve hd*, (n-fc)xl

yöneylerdir. O halde ele aldığımız bu doğrusal denklemler dizgesini:

(10.3.1) A *

— Ad

X =

_ V

ya da

1 2 1

(10.3.2) A* x = b* (10.3.3) Ad* x = bd* biçiminde yazabiliriz.

Tanım gereği (İ0.3.2)'nin herhangi bir çözümü (10.3.3)'ü de sağlayaca-ğından, sorun (10.3.2)'nin çözümünü bulmak biçimine dönüşmektedir. Şim-di A* in aşaması fc olduğuna göre, bu dizey içinde k sütun doğrusal ba-ğımsızdır. Bunları ilk k sütun kabul edelim. Bu durumda (10.3.4) A* = [A! V ] yazabiliriz. Burada Aı* = (atJ)kxk ve Bel (Aı*) ^ 0 olur. A2 ise kx(n-k) dır. x yöneyini de bu bölüntülemeyle uyumlu olarak

(10.3.5) x = Xl

biçiminde yazalım.

Burada x15 kul ve x2 ise (n-k) xl yöneylerdir. O halde, (10.3.6) [Aı A2*] X ı

_ -»-2 _ yazılabilir Buradan (10.3.7) A,* x, + A2* X2 = b* elde edilir, a (Aı*) = k olduğundan Aı* -1 vardır. O halde, (10.3.8) = A*- 1 b* - A,*-1 A2*x2

(10.3.9) X l - A l * _ l b * _ A ı * _ ! A _ * X 2 -

_ X 2 _ - X 2

yazılır. Demek ki, x2 verildiğinde Xı bulunabilir. Her x2 için bir Xı yöneyi bulunabileceğinden, dizgenin sonsuz çözümü vardır.

Burada özel bir hale dikkat etmek gerekir. Eğer k=n, yani A* nm aşa-ması bilinmeyen sayısına eşit ise, (10.3.10) A* x = b olacağından (10.3.11) x = A*"'b biçiminde bir tek çözüm bulunur.1

1 Açıktır ki A m x „ olduğunda a (A) ŞS e. a. (m, n) olduğundan a (A) = n olabilmesi için m > n olmalıdır, m = n ise A bir kare dizeyidir ve Bel (A) ^ 0 dır. m > n ise, dizgede bilin-meyen sayısından fazla denklem vardır ve bunların doğrusal bağımlı olan m-n tanesi ihmal edilerek birtek çözüm bulunabilir.

122

Görüldüğü gibi bu yöntem ile bir doğrusal denklem dizgesinin çözümünün var olup olmadığı ve varsa ne olduğu bulunabilir.

Şimdi de 9. Bölümde gördüğümüz, satır en basit biçimini bulma yön-teminden yararlanarak bir doğrusal denklemler dizgesinin çözümünün nasıl bulunacağını bir örnek yardımıyla görelim. Bu örnekte sözü edilen aşamalar 9.2 de verilen yaklaşımı izlemektedir.

ÖRNEK:

2 x2 + x}

3 xt + 4 z2 + 2*j xt + 3 x2 + x3

Bu dizgeyi.

3 2

4

0 3 1

2 4 3

" xı ~ 3 ~ X2 = 2

- *3 _ 4

biçiminde yazabiliriz. Genişletilmiş dizey

(A i b)= 0 3 1

2 4 3

olup, 9.2 de örnek olarak verilen ve en basit biçiminin bulunması istenen dizeydir. Anımsanacağı üzere en basit biçim

1 1 0

0 1 0

0 0 1

4/3 7/3

-5/3 _ çıkmıştı. Bu dizeyin verdiği benzer doğrusal denklemler dizgesi ise

x, = -4/3 x2 = 7/3 x3 - -5/3

olacağmdan istenilen çözüm bulunur.

ÖRNEK 2: 3%, x2 + = 2

2xt + x2 -[" 3x3 = 6 5*! 4- 2X2 4- 7*3 = 8

dizgesini çözelim. Genişletilmiş dizey

123

(A :b)= 3 2 5

4 3 7

2 ~ 6 8

olacak.

AŞAMA 1. Gereksiz j\ = 1 ve atJ ^ o

AŞAMA 2. i=2 için R1 yerine -a21 Rj + au R3

= -2 (3, 1, 4, 2) + 3 (2, 1, 3, 6) = (-6, -2, -8, -4) + (6, 3, 9, 18) = (0, 1, 1, 14)

i = 3 için R3 yerine -o3ı Rı + o» R3

= -5 (3, 1, 4, 2) + 3 (5, 2, 7, 8) = (-15, -5, -20, -10) + (15, 6, 21, 24) = (o, 1, 1, 14)

3 0 0

4 1 1

2 14 14

AŞAMA 3. Birinci satırı atarsak geri kalan dizeyde jı = 2 dir. Burada R3 yerine

- ai2 R2 + a22 R3

= - 1(0, 1, 1, 14) + 1 (0, 1, 1, 14) = (0, 0, 0, 0)

yazalım. O halde dizeyimiz. 1 1 0

4 1 0

2 14 0

biçimini aldı. (Aşama 3b ye gerek yok)

AŞAMA 4. k = 1 için önce i=2 alabm. - a12 R2 + a2 2 Rj

= - 1 (0, 1, 1 14) + 1 (3, 1, 4, 2) = (0, -1, -1, -14) + (3, 1,4, 2)

124

(3, O, 3, -12)

yeni dizey

~ 3 O

_ O

0 1 O

3 -12 -1 14 O O

Dikkat edilirse R3 = (O, O, O, 0) olduğundan bundan sonraki hesaplamalara gerek yok,

AŞAMA 5. Birinci satırı 3 e bölelim.

Yeni doğrusal denklem dizgesi

Xl + = -4

x2 -j- x} = 14 olur.

X\ = a dersek (1 de diyebi'irdik)

Xı = 14-a

x\ -j- 14 - a = -4

xı = -13 + a

bulunur. Yani çözüm yöneyi (-18 + a, a, 14-a) dır.

10.4. Cramer Kuralı

Ax = b bir doğrusal denklem dizgesi ve A n x n olsun. Eğer a(A) = n ise bu dizgenin bir tek çözümü olduğunu biliyoruz. Bu çözüme x* = («ı*, . . . xk*, ... xn*) diyelim. Bazı hallerde biz bu çözüm yöneyinin tümünü değil, fa-kat bir öğesinin değerini, diyelim ki xkVyı, bulmak isteyebiliriz. İşte bu halde tüm yöneyi hesaplamaksızın, sadece ilgilenilen bu değişkenin çözüm değeri-ni bulmak için Cramer kuralı denilen aşağıdaki yöntemden yararlanılır.

TEOREM 10.4.1: (CRAMER KURALI) A x = b, A = (au)n%„ ve Bel (A) 0 olsun. Bu durumda bu doğrusal denklem dizgesinin çözüm yö-neyinin fe-mcı öğesi

~ 1 0 1 o

1 1 o

-4 -14 0

o o

125

* t =

«11 • K aı,k+ı • • • • « 1 n

«21 • • « 1 , * _ 1 K «2,fc+l • • • • « 1 n

a n l . . . «n,fc—1 K an,k+l • • « m ı

«11 • • «ı,fc-ı « 1 k « ı , f c + ı ' • • • « İ n

«21 " a2,k-l «2 k «2,fc+l • • • • • «2«

nl n>k—l nk ln,k+1

biçiminde elde edilir. KANIT: HÜSEYÎN -SEZER (1977, s. 35-36)

Cramer kuralını sözle ifade edelim. x*k,jı bulmak için A dizeyinin Ze-ıncı

sütunu yerine b yöneyi konularak elde edilen dizeyin belirteni, A'nın belir-tenine bölünür.

ÖRNEK: 3 xl + 2 x2 + x} = 4 6 xx - f 8 x2 -f- 4*3 = 1

x —3 x>2 —• 5 " doğrusal denklem dizgesinin çözüm yöneyin deki **2 bulalım.

- 3 2 1 ~ ~ 4 ~ A= 6 8 4 ve b= 1

_ 1 3 0 _ _ 5 _ olduğundan

4 1 5 _5_

6

elde edilir.

ALIŞTIRMALAR A.10.1 : Aşağıdaki doğrusal denklem dizgelerini çözün.

i) 3*j -f 2*2 + 4*3 ii) 3*j + 6*2 - * 3 = 4

126

6*. 4X2 -)- 8*3 = 4 — x2 + 3*3 = 4 —r *j | 3*3 = 8

İv) *J - *3 = O *j + 2*2 - 3*3 = O 5*! - 5*3 = O

2*j + 6X2 + *3 = -1 iii) 4*t + 6*2 4- 7*3 = 9

*ı - *2 + 3x3 = -3

7 2*t 4- 3*2 4- — *3 = -3

v) 6 *, 4- 3 *, 4- 2*3 - 4*4

3 *J + 8 *2 4" 2*3 - *4

vi) xx — 3*2 — 6*3 = 1 - *x 4" 3*2 4" 4*4 = 4 5*! + 4*2 + 8 *3 = 1

xj #2 4 — 5

A.10.2: Aşağıdaki doğrusal denklem dizgesi verilsin. Cramer kuralından yararlanarak *2 yi bulun.

8

5

11

3*3 = 1 3 *j 4- 4*2 2 *j + *2 4" 6*3 = 4

*, - *2 4- 4*3 = 3 A. 10.3: Bir ekonomide üç mal olsun. Bu malların istem işlevleri

q/ = 60 - ZPa - 2 p„ + P c

qbd = 40 - 2pa - 3pb 4- 2p c

q * = 35 - P a - pb - 2 P c

ve sunum işlevleri ie

qa° =20+4 pa

qbs = 4 + 5 pb

= 8 + 4 p c

biçiminde verilsin. Burada qad, qb

d, qcd sırasıyla a, b ve c mallarının istem

miktarlarını, qbs qb

s ve qcs de sırasıyla a, b ve c mallarının sunum miktar-

larını; pa, pb ve pc ise bu malların fiyatlarını göstermektedir. i) Bu mallar arasında "ikame edicilik" ve "tamamlayıcılık" bağıntı-

larından hangisi söz konusudur? Niçin?

127

ii) Bu ekonomide dengede, mal fiyatlarının ne olaeağmı bulun. A. 10.4: Aşağıdaki ulusal gelir belirlenmesi modeli verilmiş olsun. Y = c+ I+ G+(X- E) c = 100 + 0.8 (Y-T) I = 0 , 2 7 - 2 1 T = ıo +o.ı y E = 15 + 0.3 y G = T X = 30 Md = 0.45 y — 1.2 i AF = 40 M" = M5

Burada Y ulusal geliri, I yatırımı, G kamu harcamalarını, X dışsal ola-rak verilmiş kabul edilen dışsatımı, E dış alımı, T vergiyi, i faiz oranını, Md

para istemini, Ms para sunumunu simgelemektedir. i) Bu modelde verilen deklemleri yorumlayın.

ii) Bu modeldeki değişkenlerin denge değerlerini hesaplayın.

KAYNAKLAR

S. AYDIN - A. DEMİRALP (1975): Analize Giriş, Cilt 2, Baş an Yayınlan, İstanbul s. 333-354.

N.V. EFIMOV - E.R. ROZENDORN (1975): Linear Algebra and Multi - Dimensional Geometry,

MIR Publishers, Moscow, s. 70-107.

G. HADLEY (1961): Linear Algebra, Addison Wesley, Mass, s. 162-187.

Ö. HÜSEYİN - E. SEZER (1977): Matrisler ve Türevsel Denklemler, ODTÜ Yayını, Ankara, s. 59-69.

H. KASNAKOĞLU (1979): Linear Algebra, ESA Working Paper No.7, ODTÜ, Ankara, (I.Bölüm),

B. NOBLE (1969): Applied Linear Algebra, Prentice Hail, Englewood Clıffs, N.J. s. 62-94.

128

11. Bölüm

ÖZGÜL DEĞERLER, ÖZGÜL YÖNEYLER, KÖŞEGENLEŞTİRME VE KARESEL BİÇİMLER

Bu bölümde şu soruyu yanıtlamağa çalışacağız. T: R"-»-R" bir doğrusal dönüştürme olsun. Acaba, R" içinde bu doğrusal dönüştürmeyi bir köşegen dizey ile ifade edebilecek bir B tabanı bulabilir miyiz P Bu soruyu başka bir biçimde de ifade edebiliriz. Her doğrusal dönüştürme bir dizey ile ifade edile-bildiğine göre, yukarıdaki sorunun anlamı "T doğrusal dönüştürmesini ifade eden A dizeyine benzer bir köşegen dizey bulabilir miyiz?" olmaktadır.

Bu soruyu yanıtlamak için önce, bu konuda ve ilerideki iktisat uygula-malarımızda çok yararlanacağımız özgül değer ve kökleri ele alacağız. Bundan sonra köşegenleştirme konusunu inceliyeeeğiz.

11.1. Özgül Değerler ve Özgül Yöneyler

TANIM 11.1.1: Vn bir yöney uzayı ve F bir alan olsun. I: Vn-*Vn, Falanı üzerinde Vn yöney uzayında bir doğrusal işlemleyici (operatör) (yani Vn den kendi içine bir doğrusal dönüştürme) olduğunda

T (v) = Âv koşulunu sağlayan X e F sayılına, T'nin Özgül "Değeri ve v e Vn, v # 0„ yöneyine ise T'nin özgül Yöneyi denir.1 T'nin tüm özgül yöneylerinden oluşan kümeye de T'nin İzgesi (Spectrum; denir. TEOREM 11.1.1: T: Vn-*Vn bir doğrusal işlemleyici ve X, T'nin bir özgül değeri olsun. X ile ilişkili T'nin tüm özgül yöneylerinden oluşan küme F'niıı bir alt uzayını oluşur. Buna, X'nın Özgül Uzayı (Eigenspace) denir. KANIT: (KLEIN (1973, s. 280), x, y e Vx olsun. Tanım gereği T(x) = X x ve T(y) = X y dir. O halde a, b e F için T(ax + by) =aT(x) +

1 Burada özgül yöney (değer) İngilizcedeki Characteristic vector (value) deyiminin karşılığı ola-rak kullanılmıştır. İngilizcede ayrıca proper vector, latent vector, eigen vector ile proper value, latent value, latent root, latent number, characteristic number, eigen value deyimlerine de rastlanmaktadır. GANTMACHER (1959, s. 69).

129

bT(y) = aXx -f 6Xy = X (ax + 6y) dir. O halde ax + by e dir. a=b ise 0nx + 0n y e F^ olduğunda, bir yöney uzayıdır. (İK.)

Bu temel teoremlere dayanarak, biz, her doğrusal eşlemenin bir dizey, ve doğrusal işlemleyicinin ise bir kare dizey ile gösterileceğini hatırlayarak aşağıdaki tanımı verip bundan sonraki çözümlememizi tamamen dizeyler üzerinde sürdürebiliriz. TANIM 11.1.2: A= (a İ J)n x n , olduğunda Ax = Xx denklemini sağlayan bir x (x 0„) yöneyi ve bir X sayılı varsa bunlara sırasıyla A'nın Özgül Yöneyi ve özgül Değeri denir. A'nın tüm özgül yöneylerinden oluşan kümeye, A'nın Izgesi denir.

Dikkat edilirse yukarıdaki tanıma uygun bir sonuç bulabilmek için ya-pılan işlem (11.1.1) Ax - Xx = (A- X I) x = 0„ tektürel dizgesinin çözümünü bulmaktadır. 10. Bölümden hatırlanacağı üzere a(A- XI) = n ise bu dizgenin birtek çözümü vardır o da x = 0„ dir. O halde sıfır dışı bir çözüm bulmanın yolu a(A - X I) < n olmasıdır. Bu halde de

(11.1.2) Bel (A- XI) =

olacaktır.

12 a22-X = 0

Bu belirtenin açınımı X cinsinden re-inci dereceden bir çok terimli (poly-nom) verir. Bunu (11.1.3) Bel (A-XI) = (-1)" X" + 6, X""1 + . . . + &„_! X + bn = 0 biçiminde ifade ederiz. Burada 6ı, bn, A'nın asal alt dizeylerinin belir-tenlerinin toplamlarıdır. TANIM 11.1.3: A n-inci sıradan bir dizey olsun. Bel (A- X I), A'nın Öz-gül Çok Terimlisi ve Bel (A-X I) = 0 ise A'nın Özgül Denklemi adını alır.

A'nın özgül denkleminin çözümü, X„.. .,Xn biçiminde, birbirinden farklı olması zorunlu olmayan, n kök verecektir. Bunlar A dizeyinin özgül değerleri-dir. A'nın özgül köklerinin hepsi farklı ise bunlara Yalın (Distinct) denir, fcğer bir kök h kere tekrarlıyorsa buna da Çarpımı h (Multiplicty h) denir.

Özgül değerlere ilişkin bazı sonuçlar: SONUÇ 11.1.1: A ve A' nin özgül değerleri aynıdır. SONUÇ 11.1.2: A= (aİJ)nx>h a(A)= k < n ise A'nın n-k özgül değeri sıfırdır. SONUÇ 11.1.3: Üçgen ya da köşegen dizeylerin özgül değerleri, bunlarm ana köşegenlerinde yer alan öğelerdir.

130

Â dizeyinin özgül değerlerini bulduktan sonra bunlara karşılık olan özgül yöneyler de şöyle bulunur.

Xt, A'nın bir özgül değeri olsun. Bunu (11.1.4.) (A- X,I ) x= 0„

denkleminde yerine koyalım. Bel (A- XtI) = 0„ olduğundan, bunu sağlayan x 0„, yöney sayısı sonsuzdur. Eğer a(A- X,I) = k ise, n-k bilinmeyenin değerini biz sabit alır ve dizeyi kalan k değişken için çözebiliriz. Böylece, X,'e karşılık gelen X1 özgül yöneyini buluruz. Dikat edilirse, X1, (A- X, I) x = 0„ dizgesinin çözümü ise, a bir sayıl olduğunda ax' de bir çözümdür. O halde bir özgül değere karşılık gelen sonsuz sayıda, fakat doğrusal bağımlı, özgül yöney vardır.

NOT: Eğer, bir özgül değere sonsuz sayıda özgül yöneyin karşılık gelmesi karışıklık yaratıyorsa "Normalleştirilmiş özgül yöney" tanımlamak yoluna

gideriz. Burada x, A'nın herhangi bir özgül yöneyi olduğunda a = — , . x İr II

seçersek (|x ||, x yöneyinin boyu)

(11.1.5)»,=

elde ederiz. ||x, || = 1 olduğundan bu normalleştirilmiş özgül yöneydir. Bütün sorunumuzu buna dayanarak çözebiliriz.

A ile A'nın özgül değerleri aynı olmasına karşılık özgül yöneyleri aynı değildir. A'nın özgül yöneylerini

(11.1.6) (A' - X I) y" = 0„ denkleminden elde ederiz. Bu denklemi dizey konusundaki bilgilerinize da-yanarak (11.1.7) y (A - X I) = 0', biçiminde yazabiliriz. 11.1.4 ü sağlayan x yöneyine A'nın Sağ Taraf Özgül Yöneyi ve 11.1.7'yi sağlayan y yöneyine de A'nın Sol Taraf Özgül Yöneyi denir. Dikkat edilirse x bir sütun yöney, y ise bir satır yöneydir.

TEOREM 11.1.2: A= (au)„xn dizeyinin n özgül değeri, X,, . . . , X„ yalın olsun. O halde A dizeyinin, n tane doğrusal bağımsız özgül yöneyi vardır.

KANİT: HEAL - HUGHES-TARLING (1974, s. 93), PASINETTI (1977, s. 259-60) bakılabilir.

Teorem 11.1.2 nin koşullarının sağlandığı bir dizeyde sağ taraf özgül yöneyleri ile sol taraf özgül yöneyleri arasında aşağıda özetlenen ilişki vardır.

131

SONUÇ 11.1.3: A= (ajj)„xn v e A'nın özgül yöneyleri bağımsız olsun,

A'nın satır özgül yöneyi herhangi bir başka sütun özgül yöneyine dikeydir (yani sayıl çarpımları sıfıra eşit). KANIT: Xk, k=l, . .., n, A'nın özgül değerleri olsun.

(11.1.8) Axk = lkxk k= 1, ..., n ifadelerinin tümünü (11.1.9) AX=X A

biçiminde ifade edebiliriz. Burada X = (x\ . . .,x*, . . . , xn); yani k ıncı sütü nu xfc olan dizey ve

X1,

0 0. ., x" doğrusal bağımsızsa a(X) = n olduğundan X - 1 vardır. 11.1.9 un

her iki tarafını X - 1 ile çarparsak (11.1.10) A = X - 1 AX buluruz. Diğer taraftan y1, . . ., y", A'nın sol taraf özgül yöneyleri olduğunda (11.1.11) yk A— \ yk, k= 1, ... n yazılabileceğinden Y= (y1, . . . , yk, ..., y") denirse (11.1.12) YA =• AY yazılabilir. Yine a(Y) = n olduğundan Y-1 vardır ve (11.1.13) A = Y AY"1

yazılabilir. Şimdi (11.1.10) ile (11.1.13) karşılaştırırsak (11.1.14) Y= X"1

ve buradan da (11.1.15) YX = I sonucunu elde ederiz. Bunu açık olarak yazarsak

olacağından yl . xJ' = 0 y1' . xJ' = 1 elde edilir.

, X») - 1 0 0~ , X») 0 1 0

Ö 6 . . .i

i * İ i = j

(I.K.)

132

Şimdi özgül değer ve köklere ilişkin bazı temel sonuçları bir teorem bi-çiminde, kanıtlamaksızm sunalım. TEOREM 11.1.3: A= (a l 7)n x n olsun. X,; i= 1, ..., n de bu dizeyin özgül değerleri olsun.

i) Bel (A) = n"_ Xf

-, i = 1 " dir. ii) A 1 varsa, özgül değerleri "i

iii) x, A'nın Xk özgül değerine karşılık gelen özgül yöney olsun. O halde, x, aynı zamanda A" (n bir sayı) dizeyinin özgül değeri olan X"k ya karşılık gelen özgül yöneydir.

iv) A'nın özgül çok terimlisi

Bel (A- XI) = (-1)" X" + bx X"-1 + . . . + *>„_, X + bn = 0 ise (_!)« A» + b, A»-1 + , . . + bn_, A + bn = Onx„

dir. Buna CAYLEY-HAMILTON TEOREMİ denir. ÖRNEK: [Özgül değer ve yöneylerin bulunması]

1 4

1-X 2

4 3-X A- XI =

Bel (A-XI) = (1- X) (3- X) - 8 = X2 -4 X -5 = (X-5) (X + 1)

0 halde iki özgül değer var. \ = 5 ve = - 1 Xr == 5 (A- XI) da yerine koyabm ve denklemimizi yazalım.

(A- 51) = ~ -4 4 -

2 -2 _

(A-5I) x = _ -4 4 "

_ 2 -2 _ - _

=

- 0 -

_ o _ -4 xt + 4 x2 = 0

2 x1 — 2 x2 = 0

Bel -4 4

2 - 2

a<A) = 1 dir. O halde xl

8-8 = 0 olduğundan

1 alalun.

1 3 3

- 4 + 4*2 = O 2 — 2X2 = O

olacağından x2 = 1 bulunur. Yani X, = 5'e karşıbk gelen özgül yöney

ırl —

Xl

1 1

-1 için

( A + I ) = ve

(A + I) x

dır.

2 2

4 4

- 2 4 _ Xı ~ 0 ~

_ 2 4 _ -X2 - _ 0 _

= 8 - 8 = 0 2 4

2 4 olduğundan

2 + 4 *2 = 0 2 + 4 *2 = 0

dizgesini çözebilmek için yine X\ = 1 alırsak 2 + 4 x 2 = 0

2 + 4*2 = 0

olacağından x2 — - bulunur. O halde

X2 = -1 e karşılık gelen özgül yöney 1

X2 = _ -1/2 _ dir.

Şimdi ise A'nın sol taraf özgül yöneylerini bulalım Xı = 5 için 4

M Jı + 2 4 y, - 2 y2) = (0, 0) (Jn y2)

-4y, - 2y2 = 0 4yr - 2y2 = o y t = 1 dersek

-4 + 2y2 = 0

- 2

1 3 4

4 - 2y2 = O olacağından y2= 2 bulunur. Xj e karşılık gelen özgül yöney y2 = (1, 2) dir. Xt = - 1 için

2 4 (jı> Jl) = (2y, + 2y2; 4y, + 4y2) = (0, 0)

2jı + 2y2 = 0 4 J ı + 4y2 = 0

yx = 1 alırsak 2 + 2y2 = 0 4 + 4yt =; 0

olacağından y2 — -1 bulunur. Böyle olunca X2 = -1 'e karşıbk gelen özgül yöney y2 = (1, -1) dir.

Dikkat edilirse

1 ' = 1 + 2 ( - 4 - ) = 1-1 = 0 y l x2 = (i, 2)

y2 X 1 = ( 1 , - 1 )

_ -1/2 _ ~ 1

1 1

= 1 - 1 = 0

Bel (A) = 4

2 3 X[ = 5„ X2 = -1 olduğuna göre

= 3-8 = - 5

Xr X2 = -5 görüldüğü gibi Bel (A) = Xj . X2

3 -4 " A - 1 = -5

A"1 =

-2 1

- -3/4 4/5 ~

_ 2 /5 -1/5 _

3

( A - - X I ) =

- X _4_

5

- X

1 3 5

Bel (A- XI) = ( - A - - x) ( - 4 - - x ) - 8 25 = O

3 , 3 X 1 ~2T ^ 5 ^ ~5~ + x 25 = O

A t A 5 5

~ 2

4(- 4-4) — v = T- (- 4 + 4) ~ 4 ; 0 halde V- 4- di'-

Eğer ele aldığımız A dizeyi bakışımlı ise, bunun özgül değer ve yöneyleri bazı özellikler gösterir. TEOREM 11.1.4: A= (a1J)„In gerçel bakışımlı bir dizey ise bunun özgül değerleri gerçeldir. KANIT: HEAL-HUGHES -TARLING (1974, s. 99) veya KLEIN (1973, s. 290). TEOREM 11.1.5: A= (a i ;)„xn gerçel bakışımlı bir dizey olsun. A'nın farkb özgül değerlerine karşılık gelen özgül yöneyleri dikeydir. KANIT: HEAL-HUGHES-TARLING (1974, s. 100) veya KLEIN (1973, s. 290).

11.2. Benzerlik Dönüştürmeleri ve Köşegenleştirme TANIM 11.2.1: Eğer A ve B dizeyleri arasında P 1 AP=B biçiminde bir bağıntının kurulmasını sağlayan bir P tekil olmayan dizeyi varsa, A, B'ye Benzerdir (Similar) denir ve A ~ B biçiminde gösterilir.

1 3 6

TEOREM 11.2.1: i) Benzer dizeylerin özgül denklemleri ve özgül değerleri aynıdır.

ii) P"1 AP = B ve x, A'nın bir özgül yöneyi ise P - 1 x de B'nin bir özgül yöneyidir. KANIT: NOBLE, (1969, s. 345) den alınmıştır.

i) Bel P 1 Bel P = Bel (P"1 P) = Bel (I) = 1 olduğuna göre Bel(B- X I) = Bel. (P^1 AP - XI) = Bel (P - 1 AP- XP"1 P)

= Bel P 1 (A- XI) P = Bel P 1 Bel (A- XI). Bel P = Bel (A-XI). Bel P 1 . Bel P = Bel (A- XI)

ii) Ax == Xx olsun. Biz bunu A.I.x= Xx ve I = P.P""1

biçiminde yazarsak, A.P.P-1 x = Xx

bulunuz. Her iki tarafı da P - 1 ile çarpalım. P - 1 AP. P~> x = P"1 Xx ya da (P_ 1 AP) (P_ 1 x) = X (P_1x) P _ 1 AP = P olduğuna göre B(P_Ix) = X (P~'x) dir.

P 'x ^ 0„ olduğuna göre bu bir özgül yöneydir. (x ^ 0„ idi çünkü, A'nm özgül yöneyidir. P - 1 tekil olmayan bir dizey dir.) TEOREM 11.2.2: A = ( a u ) n x n dizeyinin re tane doğrusal bağımsız özgül yöneyi varsa A A dir. Burada A = (Xi)nx„ yani ana köşegeninde A'nm özgül değerleri olan bir köşegen dizeydir. KANIT: Bu teoremin anlamı verilen koşullarda P ' A P = A yazılabileceğidir.

Diyelim ki xı, xn A'nın re doğrusal bağımsız özgül yöneyi olsun. P = [xı, . . . , x„] diyelim. (1) AP = [Axı, . . . , Ax„] = [Xı x„ . . . , X„ x„] = PA Burada

~ Xt 0 A = Köşg. (X,)

_ 0 Xn P'nin sütunları doğrusal bağımsız olduğu için P 1 varaır. (AP) i P - 1 ile ard çarparsak

P 1 AP = A buluruz. (Î.K.)

137

O halde bu teoremden şu temel sonuçları çıkarabiliriz.

i) Eğer n boyutlu bir kare dizeyin, A, doğrusal bağımsız özgül yöney sayısı n ise, bu dizey köşegenleştirilebilir

ii) Ulaşılan köşegen dizeyin, ana köşegeninde A'nın özgül değerleri, köşegenleştiren P dizeyinde ise, A'nın özgül yöneyleri yer alır.

Bu noktada, akla şu soru gelebilir. Acaba bir dizeyin özgül yöneyleri ne zaman doğrusal bağımsızdır? Aşağıdaki teorem bunu yanıtlamaktadır. TEOREM 11.2.3: A = (au)nKn dizeyinde;

i) Yalın özgül değerlere karşılık gelen, özgül yöneyler doğrusal bağım-sızdır.

ii) A'nın n yalın özgül değeri varsa, bunların herbiriyle ilişkili bir tane olmak üzere tam n tane doğrusal bağımsız özgül yöneyi vardır. KANIT: (NOBLE 1969, s. 281-2 den) alınmıştır.

i) A'nın özgül değerleri Xı, . . . , Xs ve bunlara karşılık gelen özgül yöney-ler ise sırasıyla Xı, . . . , xs olsun. x£'ler doğrusal bağımlı olsun ve bunun doğru olduğu en küçük sayı s olsun o halde

« ı s ı + a ı X ı + + a s x s = 0 n

yazabiliriz, s, doğrusal bağımlılığın geçerli olduğu en küçük sayı olduğuna göre, Vi için oc£ ^ 0 dır. Şimdi bu denklemi A ile çarpalım.

aı Axı + a2Ax2 + . . . . + a s Axs = 0„ Axj = X; Xj olduğunu hatırlarsak

aı Xı xı + aı Xı xı + + a s Xs xs = 0„

Eğer herhangi bir X£ = 0 ise, bu takdirde, bu denklemden s-1 özgül yöney arasında doğrusal bağımlılık olduğunu söyleyebiliriz. Oysa s bu bağıntının geçeli olduğu en küçük sayı olarak kabul edildiği için, bu olamaz. O halde V i için Xj ^ 0 dır. Bu durumda birinci denklemi Xj ile çarpıp ikinciden çıkaralım.

aı (Xı - Xı) xı + + a s (Xs - Xı) xs = 0„ buluruz, i = 2, ..., s için X£ - Xı i=- 0 olduğuna göre, (Xj'leri yalın kabul etmiştik). Bunun anlamı, s-1 özgül yöneyin doğrusal bağımlı olması denktir ki, bu varsayıma ters düşmektedir. Yani yine bir çelişki vardır. O halde Xj'-ler doğrusal bağımsızdır.

ii) Xı, . . . , X„'e karşdık gelen n tane xı, . . . , xn özgül yöneyi vardır. Diye-lim ki X; ye karşıhk gelen bir başka özgül yöney var. Buna u diyelim, x., — ., xn doğrusal bağımsız olduğuna göre (i) den n x 1 sütun yöneyler için bir uzayı yayarlar. Dolayısı ile

138

(•) » = Pl »1 + P2 «2 + • • • • + P„ X„ yazabiliriz. Her iki tarafı A ile çarpalım

Au = Şı Axı + P2 Axı -f- -f p„ Ax„ olur. Axj - Xx( ve Au = X; u olduğu hatırlanırsa (* *) Xu = p„ X, X j + jî2 X2 x 2 + + P„ X„ x„ elde ederiz. (*)'i X(

ile çarpıp (* *) den çıkarırsak, 0„ = p. (Xı - Xf) x, + . . . . + P„ (X„ - Xj) x„ elde ederiz. X;'ler doğrusal bağımsız olduğuna göre, i -inci hariç tüm 1er sıfırdır, (i-inci terim (X; - Xt) olduğu için bu P( + 0 iken de sıfırdır,)

O halde u = p, x t

olup, x;'ye doğrusal bağımhdır. (I.K.) İktisatta zaman zaman önemli rol oynayan gerçel bakışımlı dizeylere

ilişkin sonuçları bir teorem biçiminde özetleyerek bu konuyu bitirelim. TEOREM 11.2.4: A = ( a u ) n x n bir gerçel bakışımlı dizey olsun.

i) Bu dizeyin özgül değerleri gerçeldir. ii) A'nın farklı özgül değerlerine karşıbk gelen özgül yöneyleri dikeydir.

iii) Bu dizey daima köşegenleştirilebilir.

ÖRNEK: (Köşegenleştirme) ~ 4 1 2

A = 0 2 1 _ 0 0 1

dizeyi verilsin. Bunun özgül değerlerini bulalım. ~ 4-X 1 2

A- XI = 0 2-X 1 _ 0 0 1-X

olduğundan Bel (A- XI) = (4- X) (2- X) (1 - X) elde edilecektir. Bu nedenle bu dizeyin özgül değerleri Xı = 4, X2 = 2 X3 = 1 dir.

Şimdi bu özgül değerlere karşılık gelen özgül yöneyleri bulalım. Xı = 4 için

1 3 9

- 0 1 (A-4I)x = 0 -2

_ 0 0 olduğundan

*2 "I" 2*3 = = 0

2*2 + *3 = = 0

2

1 -3

- 0 -

*2 = 0

_*3_ _ 0 _

- 3*3 = O

elde edilir. x1 = 1 dersek aradığımız özgül yöney

r ı ~ o o

olacaktır. X2 = 2 için

2

1 -1

olduğundan 2*1 + *3 + *3 = 0

*3 = 0 -*3 = 0

elde edilir. *ı = 1 dersek aradığımız özgül yöney 1

-2 0

X3 = 2 için

~ 2 1 (A- 21) x = 0 1

0 0

*ı ' - 0 * 2 = 0

*3 _ _ 0

~ 3 1 2 ~ " *1 ~ - 0 (A-3I) x = 0 1 1 * 2 = 0

_ 0 0 0 _ _ *3 _ _ 0 olduğundan

3 *x + *2 + *3 0

*2 + *3 = 0

elde edilir. x3 — 1 dersek

140

elde edilir. Görüldüğü üzere verilen A dizeyi 3x3 dür ve 3 yalın özgül değeri vardır.

O halde Teorem 11.2.3 gereği bunun 3 doğrusal bağımsız özgül yöneyi vardır. Ayrıca Teorem 11.2.2 den A dizeyinin köşegenleştirilebilir olduğu sonucunu da çıkarıyoruz. A'nın özgül yöneylerini kullanarak

P 1 0 o

0 - 2

1

0 -1 1

dizeyini yazalım. Bunun evriği

P-1 = 1 0 0

0 1

-1

o -1

2

- 4 0 o

o 0 1

olup

P 1 AP =

elde edilir.

11.3. Karesel Biçimler

Doğrusal cebir bazan doğrusal olmayan matematik sorunların çözü-münde de önemli bir rol oynar. Karesel biçimler bu konuda önemli bir örnektir. TANIM 11.3.1: A= (a0)nxn, x e Rn olsun.

Q (x, x) = x' Ax işlevine Karesel Biçim (Quadratic Form) denir. Dikkat edilirse Q (x, x) işle-vini açık bir biçimde yazarsak bu

Q(x, x) = an x\ + al2 x, *2 + a l 3 x, x3 + .. . -f aln xt xn

+ «21 X2 Xl + U22 x22 + fl23 *2*3 +• • • + a2n X2Xn

+ am xn *ı + Xn2 xn X2 + «r,3 xn x i + + am x\

sonucunu verir.

ÖRNEK:

Q(x,x) = (*, x3)

olsun.

3 1 4 ~ xi 2 1 6 X2 1 3 7 - X3

141

Q (x,x) = 3x21 + Sj x2 -f 4x1 x}

+ 2x2 x , + X22 + 6X2 X3

+ *3 xl 4- 3*3 x2 4- 7*23

= 3*2j 4- *22 + 7*2

3 4- 3*j x2 • 4- 5*j *3 4- 9x2 x}

bulunur. Dikkat edilirse bir karesel biçimde her x} teriminin kat sayısı

aij + aji biçiminddier. Bu nedenle

bU = bJi = («ü + aJi) f * J

ba = an biçiminde yeniden katsayıları tanımlayarak, aynı karesel biçim bir bakışımlı dizeyle ilişkilendirilebilir.

ÖRNEK:

Yukarıdaki örneği alalım. Q(*j x2) = 3 x\ 4- x2

2 4- 7 x2i + 3 xlxl + 5*j x, + 9 x2 x3

3= a12 4- a21 olduğuna gare bi2 = (o12 4- o21) = 1.5

5 = «13 + «3i olduğuna göre b13 = (o13 4- a3l) = 2,5

9 = «23 + «32 olduğuna göre 623 = (a23 4- a32) = 4.5

B = 3 1.5 2.5 1.5 1 4.5 2.5 1.5 7 yazılabilir.

Karesel biçimlerde ilgilendiğimiz önemli bir konu, bunların hangi işareti taşıdıklarıdır. İşte bunu belirlemede özgül değerlerden yararlanabiliriz. TANIM 11.3.2:

i) V x ^ 0„ için Q (x, x) > 0 ise Q (x,x) Kesin Artıdır. (Positive Definite)

ii) V x ^ 0„ için Q (x,x) < 0 ise Q (x,x) Kesin Eksidir. (Negative Definite)

iiij Vx için Q(x,x) ^ 0 ise Q (x,x) Yarı Kesin Artıdır. (Positive Semi Definite)

142

iv) V x için Q (x,x) şS O ise Q (x,x) Yarı Kesin Eksidir. (Negative Semi Definite) TEOREM 11.3.1: A= (aij)nxn gerçel, bakışımlı bir dizey, Q (x,x) = x'Ax, x e Rn ve Xı, . . . , Xn, A'nın özgül değerleri olsun.

i) A.v.a. A'nın özgül değerleri artı ise Q(x,x) kesin artıdır. ii) A.v.a. A'nın tüm özgül değerleri eksi ise Q (x,x) kesin eksidir.

iii) A.v.a A'nın tüm özgül değerleri eksi değilse Q(x,x) yarı kesin artıdır. iv) A.v.a. A'nın tüm özgül değerleri artı değilse, Q(x,x) yarı kesin eksidir.

KANIT: Teorem 11.1.5 den, gerçel bakışımlı bir dizeyin farklı özgül yöney-Ierinin dikey olduklarını ve Teorem 11.2.4 den, böyle bir dizeyin köşegen-leştirilebileceğini biliyoruz. Yani A gerçel bakışımlı bir dizey ise öyle bir dikey (yani sütunlarının sayıl çarpımı sıfır olan ve dolayısı ile devriği evri-ğine eşit olan) bir C dizeyi vardır ki

C 1 AC = C'AC W D D = Köşg (Xf) i=l, ... , n.

Diğer taraftan, C tekil olmadığına göre, x ^ 0 için x'Ax > 0 ifadesi x=Cy alınırsa y ^ 0 için y'C'AC y >0

ifadesine denktir. Ancak C'AC = D olduğuna göre, bu da

y'Dy = £ X2j y2f

i=ı

ifadesine eşit olacağından, her dört önermenin de doğruluğu ortaya çıkar. Bu teoremden de görüldüğü üzere bir Q ^x,x) karesel biçiminin işareti

ile bu karesel biçimi belirleyen A dizeyinin özellikleri arasında yakın bir bağıntı vardır. Nitekim karesel biçimleri betimlemek için kullanılan, kesin artı (eksi) vs. gibi deyimler A dizeyi için de kullanılır.

Şimdi bir karesel biçimin ya da onu belirleyen A dizeyinin kesinlik öz-elliklerinin basıl saptanabileceğini görelim. Bunun için önce sık sık başvura-cağımız bazı kavramları tanımlıyalım.

TANIM 11.3.3: A= (au)nsn ve a r = {i„.. .,ir}, 1 £ i, £ . . â S i, ^ n koşulunu sağlayan, r farklı tamsayı olsun. Bu durumda

B = (Km) = ( a İ k İm)

ile tanımlanan dizeye, A'nın r-ıncı sıradan Asal Alt Dizeyi (Principal Sub-matrix) ve bu dizeyin belirtenine de Asal Alt Belirten (Principal Minör) denir.

Başka bir deyişle, bir alt dizeyin satır dizinleri, sütun dizinlerine eşit ise, buna asal alt dizey denilmektedir.

1 4 3

ÖRNEK 1:

A = 22 hi »33 »43

24

olsun. {»„ . . . . , ,»,} = {2, 4} diyelim.

B = (bkm) = («i* i j dediğimizde ik = 2,4 ve im = 2,4 olacağından

B =

olacaktır.

ÖRNEK 2:

A =

-K 24

_ "31 32

U13 »32 33 _

dizeyinin birinci sıra asal alt dizeyleri a u , an ve a1 3 dır. İkinsi sıra asal alt dizeyleri ise

ve »33 _

dır

TANIM 11.3.3: A= (a t J)n x n ve ffr = {1,2 . . . , r} olsun. Bu durumda, Ta-nım 11.3.3: deki yöntemle belirlenen alt dizeye A'nın r-mcı sıradan öncü Asıl Alt Dizeyi (Leading Principal Matrix) denir. Bu dizeyin belirtenine de A'nın r-ıncı sıradan öncü Asal Alt Belirten (Leading Principal Minör) denir.

ÖRNEK:

A = 23 _ «31 "32 "33-

olsun. A'nın birinci sıra öncü asal alt dizeyi (an), ikinci sıra öncü asal alt dizeyi

dir.

TEOREM 11.3.2: A= (au)nxn bir gerçel, bakışımlı dizey olsun. Ancak ve ancak A dizeyinin tüm öncü asal alt belirtenleri artı, yani

144

o„>0, >0, " 2 2 23

*33 _

>0

ise A, bir Kesin Artı (Positive Definite) dizeydir. KANIT: HÜSEYİN -SEZER (1977, s. 101-102) bakılabilir. NOT: Bu teoremi, birçok kitap (örneğin MURATA (1977, s. 57) asal alt belirtenler cinsinden vermektedir. Bu tür bir teorem özellikle yarı kesin artı olma durumuyla karşılaştırma için daha elverişli olmasına karşın, yukarıdaki sonuç uygulama açısından daha kolaylıkla sınanabilir niteliktedir. TEOREM 11.3.3: A= (a lV)n)[n bir gerçel bakışımlı dizey olsun. Ancak ve ancak

« u « 1 2 an «12 « 1 3

>0, « 2 . « 2 2 « 2 3 < o, « 2 ! « 2 2 ° 3 1 «32 « 3 3

«1! <0 :

. . . . , ( - i ) n f :" >o

ise, A bir Kesin Eksi (Negative Definite) dizeydir.

TEOREM 11.3.4: A= {<ıij)nxn bir gerçel bakışımlı dizey olsun. Ancak ve ancak, A'nın tüm asal alt belirtenleri eksi değil, yani,

« ( i ^ o, ^ o

> 0

1k]

*ik 1jk lkk

^ 0

i, j, k e {1, n]

ise, A bir Yarı Kesin Artı (Positive Semi Definite) dizeydir. KANIT: Örneğin MURATA (1977, s. 60) bakılabilir. SONUÇ: 11.3.4/1: A= {a İ J)nxn bir gerçel bakışımlı dizey olsun. Ancak ve ancak

an ^ 0, *jı

2; 0 a,

akt

İj Ijj lkJ

*ik 2jk ^ 0,

, (-1)" ^ 0 i,j,k e {1 n}

se, A bir Yarı Kesin Eksi (Negative Semi Definite) dizeydir. NOT: Teorem 11.3.4 ve Sonuç 11.3.4./I de asal alt belirtenler yerine öncü asal alt belirtenlerin yazılamayacağını unutmamak gerekir.

145

NOT 2: Bir karesel biçim ya da onu belirleyen dizey burada özelliklerden hiç-birini taşımıyorsa buna Belirli Olmayan (Indefirite) Dizey (ya da) Karesel Biçim, denir.

NOT 3: Dikkat edilirse Teorem 11.3.2 - Teorem 11.3.4 de A dizeyinin ba-kışımlı olması gereklidir. Burada akla şu soru gelebilir. Acaba bakışımlı ol-mayan dizeyler için böyle bir sınıflama yapılabilir mi? Bu soruyu olumlu yanıtlamak olanaı vardır. Bu konu Kesinmisi Aıtı (Eksi) [Quasi Definite] dizeyler başiığı altında bazı kaynaklarda yer almakta ve iktisatta kararlılık çözümlemelerinde kullanılmaktadır. [ Örneğin MURATA (1977, s. 61-2). ve bu kitabın 24. Bölümü]

11.4. Doğrusal Kısıtlar Altında Karesel Biçimler

Bu bölümde B= (t£ j)m x„, m < n,a (B) = m ve A = (a;J)nxn gerçel ba-kışımlı dizeyleri verildiğinde

(11.4.1) B x = 0

(11.4.2) x'x = 1

kısıtları altında

(11.4.3) Q (x,x) = x' Ax karesel biçiminin kesin artı (ya da eksi) olup olmadığını nasıl saptayabile-ceğimiz sorunu üzerinde duralım. Bu konuyu, G. DEBREU (1952) ve D. Mc FADDEN (1978) dayanarak ve sadece asal alt belirtennlere ilişkin sonuç-ları aktarmakla yetinerek özetleyeceğiz.

Burada A r r , A dizeyinin ilk r satır ve sütunundan oluşan alt dizeyi, gös-tersin. Aynı biçimde B m r da B dizeyinin ilk m satır ve r sütunundan oluşan alt dizey olsun. TANIM 11.4.1: Tüm x # 0 için,

i) Eğer Bx = 0, x'x = 1 koşulları altında x'Ax > 0 ise A, Bx = 0, x'x = 1 kısıtı altında kesin artıdır denir.

ii) Eğer Bx = 0, x'x = 1 koşulları altında x'A x > 0 ise A, Bx = 0, x'x = 1 kısıtı altında kesin eksidir denir.

iii) Eğer Bx = 0, x'x = 1 koşulları altında x'Ax 0 ise A, Bx = O, x'x = 1 kısıtı altında yarı kesin artıdır denir.

iv) Eğer Bx = 0, x'x = 1 koşulları altında x'Ax ^ 0 ise A, Bx = 0, x'x = 1 kısıtı altında yarı kesin eksidir, denir. TEOREM 11.4.1: A= (a„)nxB bakışımlı bir dizey ve B= (bu)mxnise a(B) = m, m < n olan bir dizey olsun.

1 4 6

i) Ancak ve ancak

A r - ( - l )m Bel T>

- m x r

B',

0„ > O, r = m + İ , . . . , n

ise Bx = O x'x = 1 koşulu altında x'Ax>0 dır.

ii) Ancak ve ancak

A r = (-l) r Bel 1»

— m x r

B„

0„ < 0, r = m -\-l, ..., n

' « ı r a —

ise Bx = 0, x'x = 1 koşulu altında x'Ax < 0 dır.

KANIT: DEBREU (1952 s. 297-298), MC FADDEN (1978, s. 371-3)

Özel bir durum olarak m= 1 yani B dizeyi bir lxn yöney (b) ise, Teorem 11.4.1 den şu sonucu çıkarabiliriz.

SONUÇ 11.4.1/1 A= (a 0 ) n x n bakışımlı bir dizey ve b' = (bj)lxn bir yöney olsun.

i) Ancak ve ancak

A r - Bel l»rM 0

< 0 2, ..., n

b'x = 0 ve x'x = 1 koşulu altında x'Ax > 0 dır.

ii) Ancak ve ancak

Ar = (~l)r Bel _ b r x l 0

> 0 t = 2, ..., n

ise b'x = 0 ve x'x = 1 koşulu altında x'Ax < 0 dir.

ÖRNEK: - 1 0 0 -

A = 0 1 0 0 0 1

b' - (1, 2, 3) olsun

A 2 = Bel 0 1 2

1 2

0

= - 5 < 0

1 4 7

A, = Bel 0 1 O 2

1 2 3 O

= - 14 < O

olduğundan Ar < 0, Ar = 2, 3 yazılabilir. O halde b'x 0, x'x = 1 koşulu altında x'Ax > 0 dır.

11.5. Kesin ve Yarıkesin Dizeylerin Bazı özellikleri

Bir dizeyin işaretinin kesin ya da yarı kesin olarak belirleyebilirsek, bu bilgi bize sözkonusu dizeyin diğer bazı özelliklerini de saptayabilme ola-nağı verir. Bu özellikleri iki teorem biçiminde özetleyelim.

TEOREM 11.5.1. A = ( a u ) n x n bir gerçel bakışımlı dizey olsun. Eğer A kesin artı ise

i) A dizeyinin tüm gerçel özgül değerleri artıdır.

ii) o(A) = n dir.

iii) Bel (A) > 0 ve İz (A) > 0 dır.

KANIT: DHRYMES (1978, s. 68-71)

SONUÇ 11.5.1/1. A= (a İ J)n x n gerçel bakışımlı dizeyi kesin eksi ise

i) A dizeyinin tüm gerçel özgül değerleri eksidir.

ii) a(A) = n dir.

iii) Bel (A) < 0 ve /z (A) < 0 dır.

TEOREM 11.5.2: A= (a^)nx„ bir gerçel bakışımlı dizey olsun. Eğer A yarı kesin artı ise

i) A dizeyinin tüm gerçel özgül değerleri eksi değildir.

ii) a(A) < n

iii) Bel (A) = 0 ve İz (A) ^ 0 dır.

KANIT: DHRYMES (1978, s. 68-71).

SONUÇ 11.5.2/1: A= {au)nx„ gerçel bakışımlı dizeyi yarı kesin eksi ise

i) A dizeyinin tüm gerçel özgül değeri artı değildir.

ii) a(A) < n

iii) Bel (A) = 0 ve İz (A) ^ 0 dır.

1 4 8

ÖRNEK:

A =

olsun.

-1

1

1

- 2

-2-X

. Ü„ = - 1 ve Bel (A) = 2-1 = 1

olduğu için A kesin eksi bir dizeydir. _ -1 -X 1

i) (A- XI) = _ 1

olduğundan (1 + X) (2 + X) -1 = 0 yazdabilir. Buradan da

X 2 + 3 X + 1 = 0 elde edileceğinden

-3 + V5~ ^ Aı = S = -3 + 2.236 - 0.382

X3 = -3- V 5 -3 - 2.236 = - 2 . 6 1 8

olduğu açıktır. O balde

bulunur. Yani her iki özgül değer de eksidir. ~ 1 0 _

ii) A dizeyinin en basit biçimi _ 0 1 _

bu dizeyin aşaması ikidir. Yani boyutuna eşittir,

iii) Bel (A) = 2- 1 = 1 > 0

İs (A) = (-1) + (-2) = 2 < 0 dır.

ALIŞTIRMALAR:

A. 11.1 : Aşağıdaki dizeylerin özgül değerleri ile sağ ve sol özgül yöneylerini bulun.

~ 2 ı - " 3 0 0 ~ i) A = ii) B = 0 4 0

_ i 4 _ ii) B =

_ 0 0 0 _ _ 1 4 1 ~ - 1 2 1 -

iii) C = 2 1 1 iv) D = 0 2 3 2 8 2

iv) D = 0 0 1

149

A. 11.2 : Yukarıdaki A. 11.1 de verilen dizeylerin özgül değerlerine dayanarak belirtenlerini, evriklerinin özgül değerlerini bulun.

A. 11.3: Aşağıdaki gerçel bakışımlı dizey verilsin

A -1 3 2

Bu dizeyi köşegenleştirin.

A. 11.4: Aşağıdaki karesel biçimleri dizey gösterimi biçiminde yazın.

i) Ql Xl) = *1 *2 - X \ + ii) Q2 (xt, X2) = x\ + 3 *2 - *2

2

iii) Q3 x2, *3) = x\ + *22 + 3x2

3 - x1 x2 - 8 x1 x3

iv) Q4 (xv x2, X}, X4) = x\ - X32 + 6X2

4 + 3*, x2 - 2x2 x} + x2x} - 4*ı x,

A. 11.5: Aşağıdaki dizeylerin işaret açısından özelliklerini belirleyin.

i)

ü)

iii)

iv) 0 2 1

1 5 1

1 ~

-4 2 1 O

2 1 4

1 0 1

A. 11.6: Q (xl,x2) — 3x} x2 -f 2x22 + 4x2x3 -f 4x3

karesel biçimi üzerinde 2xt + x2 + 3 x} = 1 kısıtı konulduğunu düşü-nelim. Bu durumda sözkonusu karesel biçimin işaret kesinliğini belirleyin. A. 11.7: A. 11.5 de verilen dizeylerin özgül değerleri, aşamaları, belirtenleri ve izleri baklanda besap yapmadan ne söyleyebilirsiniz?

KAYNAKLAR

G. D E B R E U (1952): "Definite and Semidefinite Quadratic Forms" Econometrica, 20, s. 295-300.

P.J. DHRYMES (1978): Mathematics For Econometrics, Springer Verlag, New York, s. 68-71.

F.R. GANTMACHER (1959): The Theory of Matrices, Vol I, Chelsea Publishing Co., New York.

G. HEAL, G. HUGHES, R. TARLING (1974): Linear Algebra And Linear Economics, MacMillan, Lon-don s. 90-109.

150

ö . HÜSEYİN, E. SEZER (1977): Matrisler ve Türevsel Denklemler, ODTÜ Yayını, Ankara, s. 70-91.

E. KLEİN (1973): Mathematical Methods In Theoretical Economics, Academic Press, New York, s.

279-300.

D. Mc F A D D E N (1978): "Definite Quadratic Fonns Subject to Constraints" M. FUSS ve D. Mc FAD-DEN'in derlediği Production Economics: A Dual Approach To Theory And Applications, Vol I, North Holland, Amsterdam, adlı kitap içinde, s. 365-382.

Y. MURATA (1977): Mathematics For Stability And Optimization Of Economic Systems, Academic

Press, New York, s. 13-20.

B. NOBLE (1969): Applied Linear Algabra, Prentice Hail, Englewood Cliffs, N.J. , s. 274-311.

L.L. PASINETTI (1977): Lectures On The Theory Of Production, MacMillan, London s. 226-277.

1 5 1

EKSİ OLMAYAN KARE DİZEYLER

12. Bölüm

Bu bölümde matematiksel iktisatta çok başvurulan bir dizey türü olan eksi olmayan kare dizeyleri ele alacağız. Konunun önemini göstermek üzere, önce, Leontif'in girdi-çıktı modelini kısaca görerek, bundan sonra da söz konusu dizeylerin matematiksel özelliklerini ve bu bağlamda büyük önem taşıyan Perron-Frobenius teoremlerini ele alacağız.

12.1. Leontief'in Girdi Çıktı Modeli Bir ekonomide n tane mal olsun. Her mal bir üretim kesimince ve yalnız

o kesimce üretiliyor olsun. Üretilen malların ise iki biçimde kullanılabildiğini düşünelim. Bir mal ya herhangi bir mahn (kendisi dahil) üretiminde girdi olarak kullanılsın, ya da tüketime ayrılsın. Bunları sırasıyla "endüstriler arası istem" ve "sonul istem" olarak isimlendirelim.

x, i- malından toplam üretilen miktar, xtJ i-malındaıı j malının üretimi için kuİlandan miktar, yt i-malından tüketime ayrılan mik+ar ve p[ i-malının fiyatını göstersin.

Bu varsayımlar altında dengede bir maldan üretilen miktar endüstrile-rarası kullanım ile sonul istemin toplamına eşit olacaktır. Yani

(*ıı + «w + + xın) + Jı = *ı (12.1.1) (*21 + *2 2 + + x2n) +y2 = x

(*„1 + xm + + xnn) + Jn = *„ yazılabilecektir.

Leontief modelinde yapılan bir varsayım da, birim çıktı başına kullanı-lan her girdinin sabit bir büyüklük olduğudur. Bu varsayımı

(12.1.2) au = -^L i,j = 1, ...., n XJ

biçiminde ifade edebiliriz. Bu durum da (12.1.1) yerine

152

a, + «12 *2 + 12 ~2 "*22 X2 a,, x2 +

+ «ı» xn + J- = *ı + «2n *„ + J2 = X2

(12.1.3)

« » 1 * ı + « « * 2 + • • • • + « „ „ + yn = Xn Dikkat edilirse bu varsayımlar altında alj katsayıları eksi olamaz. Eğer i malı bir girdi olarak j malının üretiminae kullanıyorsa bunu ifade eden atJ katsayısı artı, kullanılmıyorsa sıfırdır. O halde (12.1.3) de verilen doğrusal denklemler dizgesi (12.1.4) atJ > 0 , j = 1, . . . n koşullarını sağlayan bir (12.1.5) A= (««)„ dizeyi

(12.1.6) y = * _ yn _

sonul istem sütun yöneyi ve x

(12.1.7) x = '

üretim miktarları sütun yöneyi tanımlandığında (12.1.8) Ax + y = x biçiminde ifade edilebilir. Bu denklemlere Leontief modelinin "Miktar Diz-gesi" denir.

Diğer taraftan A dizeyinin j-inci sütununu a' ile gösterelim.

(12.1.9) aJ = 'U hi

Bu sütun bir birim j malı üretebilmek için gerekli girdi miktarlarını vermek-tedir. Bu durumda bir birim j malı üretebilmek için gerekli girdilerin maliyeti (12.1.10) Cj = P l o,j + p2 a2j + .... + pn anj = p'aJ

biçiminde ifade edilebilir. Burada (12.1.11) p' = ( p p . . . . , P n )

Mal fiyatları satır yöneyidir. Şimdi de (12.1.12) vj = P j - C j

tanımhyalım vj bir birim j— malı üretildiğinde ortaya çıkan "katma değeri" göstermektedir. Bu büyüklük ilkesel girdiler (emek, sermaye ve toprak) ara-sında bölüşülecek miktarı vermektedir. Bu durumda

153

n (12.1.13) P j = p' a ' + vj j= 1, . biçiminde yazılabilir. Eğer (12.1.14) v' = ( , v n ) dersek, tüm dizgeyi (12.1.15) p' = p' A + v' biçiminde yazabiliriz. Bu denklemlere de Leontief modelinin "Fiyat DizgesiV denir.

Görüldüğü üzere bu modelde denge üretim miktarlarının bulunması için (12.1.8) den ve denge fiyatlarının bulunması için ise (12.1.15) den yararlanmak gerekmektedir. Her iki sorunun çözülebilmesi ise A dizeyinin taşıdığı özel-liklere bağbdır. Şu anda A dizeyinin tüm öğelerinin eksi olmayan gerçel sayı-lar olduğunu biliyoruz. Acaba bu bilgi bize çözüme ulaşmada bir yarar sağlar mı? Şimdi bunu görelim.

12.2. Eksi Olmayan Kare Dizeyler TANIM 12.2.1: A= (au)nxn bir dizey olsun.

i) Eğer atJ 0, i, j= 1, ..., n ise A bir Eksi Olmayan (Nonnegative) kare dizeydir. Böyle bir dizeyi A Şî On x n biçiminde göstereceğiz.

ii) Eğer, A dizeyinin her bir sütun ve satırında en az bir öğesi artı ve diğer öğeler eksi değil ise, bu bir Yarı Artı (Semi Positive) kare dizeydir.1

Böyle bir dizeyi A ^ On x n biçiminde göstereceğiz. iii) Eğer, A dizeyinin tüm öğeleri artı ise, bu bir Artı (Positive) kare dizey-

dir. Böyle bir dizeyi A > On x n göstereceğiz.

ÖRNEK: - 1 0 0 ~

i) A = 0 0 0 _ 0 0 0 _

bir eksi olmayan kare dizeydir. " 2 0 0 ~

ii) A = 0 1 0 _ 0 1 0 _

Bir yarı artı kare dizeydir. - 1 3 1

iii) A = 4 2 7 1 4 4

ise artı kare dizeydir. 1 Bu tanım HEAL - HUGHES - TARLING (1974, s. 110) dan alınmıştır.

1 5 4

TANIM 12.2.2: A= (atj)nxn Ve J = {1, re} olsun. Eğer J'nin 1= {/„ I2}

biçiminde ve i e Iv j e I2 olduğunda atj = 0 sonucunu veren biç bir bölün-tülemesi yoksa, A bir Ayrıştırılamaz (Indecomposable) [ya da İndirgenemez (Irreducible) ] dizeydir denir. Eğer böyle bir bölüntüleme varsa A bir Ayrış-tırılabilir (Decomposable) [ya da İndirgenebilir (Reducible)] dizeydir. Eğer, ayrıştırılabilir bir dizeyde j e I2 ve i e II olduğunda, a]i — 0 ise, bu Ta-mamen Ayrıştırılabilir (Completely Decomposable) bir dizeydir.

ÖRNEK 1:

1 4 8 4

3 1 6 3

4 7 2 0

2 3 1 2

dikkat edilirse A'yı nasd bölüntülersek bölüntülüyelim verilen koşulu sağ-layamayız. O halde A ayrıştırılamaz bir dizeydir.

ÖRNEK 2: 1 3 0 0

4 2 0 0

6 -3 1 1

1= {1, 2, 3, 4} ve I, = {3, 4} I 2 = {1, 2}

alalım, i e I t ve j e I 2 alırsak bu bize o3 kat edilirse bunların hepsi sıfır olduğu için, A ayrıştırılabilir bir dizeydir.

°42 öğelerini verecektir. Dik-

ÖRNEK 3:

A = 1 9 0 0

2 4 0 0

0 o 8 6

0 0 1 3

1= {1, 2, 3, 4} I, = {3, 4}

alalım. Dikkat edilirse a, h = {1, 2}

'3i — °4i = °32 — a42 = 0 olduğundan bu dizey

ayrıştırılabilirdir. Ayrıca a l 3 = a1 4 = o23 = o24 = 0 olduğundan, tama-men ayrıştırılabilir bir dizeydir.

Bu örneklerden de görüleceği üzere ayrıştırılabilir bir dizey

(12.2.1) A = O,

155

biçiminde ifade edilebilir. Burada A n ve A22 kare dizeylerdir. (Aynı boyutta olmaları gerekli değildir). 0 2 1 ise dikdörtgen bir sıfır dizeydir. Tümüyle ayrış-tırılabilir bir dizey ise

~ An 0,2 (12.2.2) A =

- ^21 ^2 2 ya da daha genel olara

(12.2.3) A = A„ A Ou A

_ <>fcl O biçiminde gösterilebilir.

Şimdi aşağıda verilen dizeye bakalım.

k 2

o l k -02* A Akk -

(12.2.4) A = 1 0 2 0

3 6 1 4

8 0 4 0

7 3 6 1

_ 1 8 3 7 2 4 1 6 0 0 6 3 0 0 4 1

Bu dizey ilk bakışta ayrıştırılabilir dizey görünümünde değildir. Oysa bu dizeyin 2. ve 3 sütunlar ile 2. ve 3. satırlarını yer değiştirirsek,

(12.2.5) A =

dizeyini elde ederiz ki bu ayrıştırılabilir bir dizeydir. O halde sorumuzu biraz değişik ifade edersek, amacımız daha iyi ortaya çıkar. Acaba ele aldığımız herhangi bir dizeyin hem sütun ve hem de satırlarını değiştirerek (12.1.1) ya da (12.1.2) biçimine dönüştürebilir miyiz? Bu başarılabiliyorsa A sırasıyla ayrıştırılabilir ya da tamamen ayrıştırılabilir bir dizeydir. Aksi halde ayrış-tırdamazdır.

Şimdi bu kavramların ve yapılan dönüştürme işleminin ne olduğunu daha iyi anlayabilmek için bir doğrusal denklemler dizgesini, A x = b, alalım ve A dizeyinin ayrıştırdabilir olduğunu kabul edelim. x ve b yöneylerini de A'-nın bölüntülemesine uygun bir biçimde bölüntüleyelim. Örneğin A = (o İ J)n x n ise, burada

A A 11 A12

x ı " " 1»! " (12.2.6)

_ O u A22 _ _ X2 _ Au = (aıj)mxmı • 22 — (°ij) (n-m> x {n—m) Xj = mxl, x2 = (n-nı) xl bj = mxi; b2 = (n m) xl olacaktır. Bu dizgeyi:

156

(12.2.7) x ı = b ı A22 X1 = b2

~ A n Ol, - x ı " bı "

_ o u A„ _ _ X2 - - b2 _

biçiminde yazabiliriz. Dikkat edilirse bu yazış biçiminin bize gösterdiği, bu dizeydeki değişkenlerin bir kısmının (x2 alt yöneyi içinde olanlar) çözüm değerlerinin, geri kalanlardan (xt alt yöneyi içinde olanlar) bağımsız olduğu fakat bu geri kalanların çözüm değerlerinin, öncekilere bağlı olduğudur.

Yani bu dizgede x2 yöneyi içinde olanlar x5 yöneyi içinde olanlardan ba-ğımsızdır. Oysa x i içinde olan değişkenler ise x2 içinde olanlara bağlıdır.

A, Tamamen ayrıştırılabilir bir dizey olsa idi, bu dizeyi

(12.2.8)

biçiminde yazabileceğimiz için (12.2.9) A n X l = b,

A x — h

22 — 12 bulacaktı. Bu halde ise x1 ve x2 birbirlerinden bağımsız olacaklardı.

Nihayet A ayrıştırılamaz olsaydı, dizgedeki her değişken diğerlerini doğrudan ya da dolaylı olarak etkiliyor olacaktı.

Şimdi A dizeyimiz (12.2.4) deki gibi olsun. Yapılan dönüştürme sonu-cunda ulaşılan dizeyi, aslında bir doğrusal denklem dizgesi söz konusu ol-duğunda, bu dizgedeki denklemlerin ve değişkenlerin yerlerinin değiştiril-mesinden ibarettir. Yani dizgenin niteliği değişmemektedir. A'yı (12.2.4) de verilen dizey ve b' = (3, 6, 7, 1) alırsak Ax = b dizgesini

xt + 3 *2 + 8 + 7 x4 = 3 6 x2 -f- 3 x. = 6

2 xt + x2 -f 4 x3 + 6 x4 = 7 4 *2 + x4 = 1

biçiminde yazabiliriz. A da (12.2.5) de belirtilen dönüştürmeyi yaptığımızda (b yöneyinde de uygun değişikliği beraberinde yaparsak) ulaşacağımız dizge:

+ 8 + 3 x2 + 7 = 3 2 xt + 4 x3 + -f 6 = 7

6 x2 x4 = 6

4 x, 4 x4

biçiminde olacaktır. Bu ise, görüldüğü gibi aynı dizgenin farklı bir sırayla yazılmasından ibarettir.

157

TANIM 12.2.3: Her sütun ya da satırında bir adet bir sayısı olup diğer bütün öğeleri sıfır olan dizeye Yerdeğiştirme Dizeyi (Permutation Matrix) denir. SONUÇ 12.2.1: P bir yerdeğiştirme dizeyi ise P - 1 = P' dir. Yani P dikeydir.

ÖRNEK:

P = 0 1 0

1 o o

bir yerdeğiştirme dizeyidir.

P' 0 1 0

PP PP'

1 0 1

I dir.

0 0 1

0 0 1

olup

SONUÇ 12.2.2: Herhangi bir A dizeyini, bir yerdeğiştirme dizeyi ile önçar-parsak bu işlem, A'nın satırlarda yer değiştirmeye yol açar. Eğer bir A dizeyini bir yerdeğiştirme dizeyi ile ardçarparsak bu işlem söz konusu A dizeyinin sü-tunlarında yer değiştirmeye yol açar.

ÖRNEK 1:

A = 3 1 4

1 2 0

2 3 6

A'nın 3 üncü ve 2. satırlarının yerini değiştirelim.

P. =

P,A

1 0 o 3 4 0

0 0 1 1 0 1

0 1 o 2 6 0

Şimdi A'nın 1 ve 2 ci sütunlarının yerini değiştirelim.

A-ı =

A P , =

0 1 0 1 2 0

1 o o 3 3 4

0 0 1 2 2 6

SONUÇ 12.2.3: Yukarıdaki örneklerden de anlaşılacağı üzere yer değiştirme dizeyi birim dizey üzerinde,- yapılmak istenen yerdeğiştirmeler yapılarak elde edilir.

158

Şimdi tanımımızı, yer değiştirme dizeyini kullanarak yineliyelim.

TANIM 12.2.4: A = (atJ)nlin olsun. Eğer

PAP ~ A A

/»•U _ o21 A22 _

sonucunu veren bir P yerdeğiştirme dizeyi varsa, A bir ayrıştırdabilir (indir-genebilir) dizeydir. Eğer

PAP A n 0 1

- ®21 ^22 -sonucunu veren (1) bir P yerdeğiştirme dizeyi varsa A bir tamamen ayrıştı-rılabilir dizeydir.

Eğer böyle bir P, yerdeğiştirme dizeyi tanımlanamıyorsa, A bir ayrış-tırılamaz (indirgenemez) dizeydir. SONUÇ 12.2.4: Bir artı dizey tanımı gereği ayrıştırılamaz dizeydir. Eksi olmayan ayrıştırılamaz bir dizey ise ya artıdır ya da yarı artıdır.

12.3. Perron-Frobenius Teoremleri I

Bu alt bölümde eksi olmayan kare dizeylerin özgül değer ve yöneylerine ilişkin bazı temel sonuçları veren ve Perron-Frobenius teoremleri üzerinde kısaca duracağız. Matematiksel iktisatta çok kullanılan bu teoremleri kanıt-lamaksızın vermekle yetineceğiz. TEOREM 12.3.1: A = ( a u ) n x n bir eksi olmayan ayrıştırılamaz dizey olsun. Bu durumda, A dizeyinin aşağıdaki özellikleri gösteren ve bu dizeyin Perron-Frobenius Kökü adını alan bir özgül değeri, XPF (A), vardır.

i) XP F (A) > 0 dır ve yalındır. Ayrıca j= 1, için XPF(A) > ajj dir. Eşitlik ancak n=l ise geçerlidir.

ii) XpF(A) ya karşılık gelen sağ ya da sol özgül yöney artıdır ve bir sayıl çarpım dışında bir tekdir. A'nın hiçbir başka özgül değeriyle ilişkili bir yarı-artı özgül yöney yoktur.

iii) X, A dizeyinin herhangibir özgül değeri olsun. O halde X gŞ XPF(A) dır. Ayrıca X ^ apf (A) ve herhangi bir k, k e {1, , n] için akk > 0 ise X < },pf(A) dır.

iv) A'nın herhangibir öğesi artarsa XPF(A) artar. v) Eğer (i.> Xpf(A) ise ([il- A)-1 > Onx„ dir. vi) A;, A um herhangibir asal alt dizeyi olsun. O halde XPjr(A) > XPF(A£)

dir.

159

KANIT: Bu teoremin kanıtı için KEMP-KIMURA (1978, s. 82-3); MUBATA (1977, s. 111-115) ya da TAKAYAMA (1974, s. 373-375) bakılabilir.

Şimdi de A dizeyinin ayrıştırılamaz olması koşulunu kaldıralım. Bu durumda Teorem 12.3.1 de ulaşılan bazı sonuçlar değişecektir. TEOREM 12.3.2. A = (a ; j)„xn bir eksi olmayan dizey olsun. Bu durum A dizeyinin aşağıdaki özellikleri gösteren ve bu dizeyin Perron Frobenius Kökü adını alan bir özgül değeri, h P F (A), vardır.

i) XPF(A) ^ o iii) X, A dizeyinin herhangibir özgül değeri ise XPF(A) > |X| dır. iv) A'nın herhangibir öğesi arttığında },pF (A) azalmaz. v) |X > XPF(A) ise ([J.I-A)-1 > 0BX„ dır. vi) A;, A'nın herhangibir asal alt dizeyi olsun. O halde XPJ,,(A) XPj r(A j) dir.

KANIT: (Teorem 12.3.1) de verilen kaynaklara bakılabilir. Teorem 12.3.1 ile Teorem 12.3.2 arasındaki farklar aşağıdaki dört nok-

tada toplanabilir. A eksi olmayan bir dizey olduğu halde ayrıştırılamaz de-ğilse,

i) X P F ( A ) sıfır olabilir.1

ii) XPF(A) ya karşılık gelen özgül yöneylerin bazı (tümü değil) öğeleri sıfır olabilir.

iii) XPF(A) ya karşıhk gelen özgül yöneyler doğrusal bağımsız olabilir. iv) X P F ( A ) nın yalın kök olması gekmez. v) A'nın XPF (A) dışındaki özgül değerleriyle ilişkili yarı artı özgül

yöneyler olabilir. SONUÇ 12.3.2/1 : A = («;j),lx„ eksi olmayan bir dizey olsun. O halde

i ) X P F ( A ) = X P F ( A ' )

ii) a e R + olduğunda (12.3.1) XPF(aA) = ocXpf(A)

iii) m bir artı tamsayı olduğunda (12.3.2) XPF(Am) = XpF(A)'"

Bu konuyu son bir teorem daha vererek bitirelim:

TEOREM 12.3.3. A = (a t J ) n x n bir eksi olmayan dizey olsun. a j , A'nın j— inci sütun yöneyi ve a ; ise i-inci satır yöneyini göstersin. 1B X 1 ile sütun top-lama yöneyini gösterelim. O halde

1 Böyle bir olasılık olmasına rağmen, özellikle iktisatta karşılaşılan sorunlar açısından bu üzerin-de durmağa değer bir sonuç değildir. Çünkü, KEMP-KIMURA (1978, s. 85) tarafından gösterildiği üze-re, bu ancak ve ancak An O n x n ise geçerlidir.

160

(12.3.3) e.a. (afl) ^ Xpr(A) 5Ş e.ç (atl)

ve (12.3.4) e.a. (l 'a j) ^ XPF(A) ^ e.ç. ( l 'a j)

l^jŞÎn lŞijŞa» dir.

KANIT: NIKAIDO (1968, s. 108), NIKAIDO (1970, s. 138-9) veya PASI-NETTI (1977, s. 274). 12.4. Leontief Modelinin Çözümü

Altbölüm 12.1 de Leontief modelinin miktar dizgesini

(12.4.1) x = Ax + y

ve fiyat dizgesini de

(12.4.2) p' = p'A + v'

biçiminde elde etmiştik. Bu denklemlerin çözümü denildiğinde y > 0 dışarı-dan verildiğinde (12.4.1) i sağlayan bir x*, rexl yöneyinin bulunması ve v' > 0 dışarıdan verildiğinde (12.4.2) yi sağlayan bir p*', lan yöneyinin bulunması anlaşılmaktadır.

Bu sorunun anlamlı çözümü olup olmadığını araştırırken, doğal ki, ilk sınaması gereken, çözümün birtekliğidir. (12.4.1) i

(12.4.3) ,(I-A) x = y biçiminde yazabiliriz. 10. Bölümdeki tartışmalardan anımsanacağı üzere, y dışarıdan verildiğinde böyle bir dizgenin çözümünün olabilmesi için

(12.4.4) a(I-A) = a (I-A i y) ve çözümün bir tek olabilmesi için ise (12.4.5) a(I-A) = n koşullarının sağlanması gerekir.

Önce (12.4.4) ele alalım. (I-A; y) bir nx(ra+l) dizeydir. O halde bu dizeyin aşaması, tanım gereği

(12.4.6) a(I-A: y) ^ e.a. (w,n+l) = n

dir. Diğer taraftan a(I-A), I-A dizeyindeki doğrusal bağımsız yöney sayısmı verir. Bu modelde, her sütun yöney, farklı bir malın girdi gereklerini göster-diğine göre, bu yöneylerin birbirlerinden farklı olacakları, aralarında bir doğrusal bağıntı olmayacağı varsayılabilir. Bu ise o(I-A) = n olması demektir. Bu iki koşul sağlandığında (12.4.1) in birtek çözümü vardır. O da

161

(12.4.7) x* = (I-A)-1 y ile gösterilir. Aynı mantıklama ile (12.4.2) nin de bir tek çözümü olduğu ve ve bunun (12.4.8) p*' = v' (I-A)-1

olduğu gösterilebilir. Ancak bu sonuçlar bir iktisatçı için tümüyle rahatlatıcı nitelikte değildir.

Çünkü gerek (12.4.7) ve gerekse (12.4.8), y ve v' yöneyleri yarı artı olsalar bile x* ve p*' yöneylerinin eksi olmayacaklarını söylememektedir. Oysa eksi üretim miktarı ya da eksi fiyatın iktisat açısından anlamı olmadığı açıktır. O halde, Leontief modelinin çözümü dediğimizde x* ^ 0 ve p*' Şî 0 koşullarının da sağlanmasını istiyoruz.

Acaba A'nm eksi olmayan bir kare dizey ve y ile v' eksi olmayan yöney-ler olmasına dayanarak bu sonuçlara ulaşma olanağı var mıdır? (12.4.3) ü denklemleri için açıp yazarsak

n (12.4.9) xt - S atj Xj = y, i=1, , n

j=ı

elde ederiz. Dikkat edilirse, bu, k bir sayı olduğunda

n (12.4.10) kxt - S atJ x} = y f i=1, , n

biçiminde yazılabilen daha genel bir doğrusal denklemler dizgesinin, k=l için özel halidir. (12.4.10) da verilen dizgeyi

(12.4.11) jtdİJXj = yi i ,n

biçiminde yazabiliriz. Burada (12.4.12) du = k Su - au

olup ( 1 i = İ

(12.4.13) Sjj- = f 0 i ^ j

biçiminde ifade edilen Kronecker Deltasıdır. Dikkat edilirse a;j- Sî 0 olduğu için, bu modelde i j için dtj 0 dır.

Şimdi aşağıdaki teoremi ele alalım.

TEOREM 12.4.1: (HAWKINS-SIMON KOŞULU) D = (dtj)nxn, dtJ ^ 0, i # j olsun. O halde aşağıdaki dört ifade aynı

anlama gelir:

162

i) Herhangi bir veri b > O yöneyi için öyle bir x > O yöneyi vardır ki Dx = b dır. Buna eşlenik olmak üzere, Dx > O eşitsizliğinin bir artı çözümü varaır.

ii) d n > 0 , dn

dn

>0, d, > O,.

Bel (D; > O iii) Herhangibir b > O için Dx = b doğrusal denklemler dizgesinin eksi

olmayan bir çözümü vardır. iv) D < > On!!n dir.

KANIT: NIKAIDO (1968, s. 90-93), TAKAYAMA (1974. s. 383-384), MU-RATA (1977, s. 52-53) de Hawkins-Simon Koşulunun çeşitli kanıtları yer alıyor. Burada aktarıldığı biçimdeki ifadenin kanıtı da KEMP-KIMURA (1978, s. 9) da verilmektedir. SONUÇ 12.4.1/1: TEOREM 12.4.1 de D dizeyinin ayrıştırılamaz olduğu da varsayılırsa iii) ve iv) de verilen ifadeler şöyle güçlendirilebilir. iii') Herhangibir b > 0 için Dx = b doğrusal denklemler dizegesinin artı bir çözümü vardır. iv') D 1 > 0„x„ dir. SONUÇ 12.4.1/2: Hawkins-Simon koşulları sağlandığında, D dizeyinin tüm alt belirtenleri artıdır. NIKAIDO (1968, s. 90-92). NOT: Genellikle, Hawkins-Simon koşulu denildiğinde Teorem 12.4.1 deki i) ve ii) arasındaki bağıntı anlaşılır.

Şimdi Leontief modeline dönelim. Leontief modelinde k = 1 olduğuna göre Hawkins Simon koşulu (12.4.14) 1 - an > 0 ya da a u < 1

1 - «ıı - «n (12.4.15)

1 - a, = ( l - « l l ) ( 1 « 2 ? ) « 1 2 « 2 1 > 0

(12.4.16) Bel (I-A) > 0 olması anlamına gelecektir.

Şimdi iki mallı bir Leontief modelini ele alıp Hawkins-Simon koşulunun ne anlama geldiğini, daha yakından görmeğe çalışalım. Bunun için (12.4.14) ve (12.4.15) i birarada ele alalım. (12.4.14) den an < 1 olduğuna göre bu bilgi (12.4.15) de yerine konursa a22 < 1 elde edilecektir. O halde HaVkins-Simon koşulunun sağlanması için önce her iki maldan kendilerinin bir birim üretil-

1 6 3

meleri için gereken miktarın bir birimden az olması gerekmektedir. Bunun anlamı, bir ton kömür elde etmek için kömür kullanılacaksa, bunun bir tondan az olması demektir.

Ancak bu koşulun sağlanması, Hawkins-Simon koşulunun sağlanması için gerekli olmasına rağmen yeterli değildir. Dikkat edilirse birinci maldan bir birim üretildiğinde bunun an kadarı birinci malın kendi üretiminde a12 kadarı da ikinci maldan üretiminde kullanılmaktadır. Eğer geriye hiç birinci mal kalmıyorsa bu

(12.4.17) an + a12 = 1 ya da /

(12.4.18) o12 = 1- o n

olması demektir. Bu sonucu ikinci mal için de yazarsak

(12.4.19) a21 + a22 = 1 ya da (12.4.20) o21 = 1- a22

elde ederiz. (12.4.18) ve (12.4.20) yi (12.4.15) de yerine koyarsa

(12.4.21) (l-an) (l-o22) - ( l -o n ) (l-o22) = 0 elde ederiz. O halde ya (12.4.22) « u + a1 2 <1 ya da (12.4.23) «12 + a22 <1

olması halinde, (12.4.15) deki koşul an < 1 ve a2 2 < 1 olduğunda sağlanacak-tır. Bunun anlamı ise Hawkins-Simon koşulunun sağlanması içiıı her iki maldan bir birim üretebilmek için o malların kendilerinden kullanılması gereken miktarın bir birimden az olması ve mallardan en az birisinin, üretim aracı olarak kullanıldığı miktarın üzerinde üretilebiliyor, olmasıdır. Bu ne-denle, söz konusu koşula Leontief modelinin İşleyebilirlik (Workability) ya da Yaşayabilirlik (Viability) koşulu denir.

Şimdi de (12.4.2) yi ele alalım ve (12.4.24) p'(I-A)' = v' biçiminde yazalım. Bu doğrusal denklemler dizgesini açık olarak biçiminde

(12.4.25) P j - S a t j P i = V j j= 1, n 1=1

yazabiliriz. Yine v > 0 için p' > 0 olması için Hawkins-Simon koşulunun

1 6 4

sağlanması gerekir. Dikkat edilirse burada S aijpi birim üretim başına i _ ı

girdi maliyeti, vj birim üretim başına katma değer olduğu için (12.4.25) birim başına net kazancın katma değere eşit olduğunu vermektedir. Bu durumda fiyat dizgesinin eksi olmayan fiyatlar cinsinden çözümünün bulun-ması, kârlılığın sağlanması demektir. Bu nedenle, bu koşullara Leontief mo-delinin Kârlılık (Profitability) koşulları denir.

Şimdi iki mallı bir ekonomide Hawkins-Simon koşulunun ne anlama gel-diğini geometrik olarak görmeye çalışalım. İki kesimli bir modelde

(12.4.26) A =

ise

(12.4.27) I-A =

olacaktır.

(12.4.28) a1 =

diyelim. Açıktır ki a1 (i= 1,2) i-inci endüstrisinin bir birim i-malı üretebilmesi için gerekli girdi-çıktı ilişkisini göstermektedir.

Şekil 12.4.1 (s. 166) de A ve B noktaları sırasıyla aj ve a2 yöneylerini göster-sin. C noktası da sonul istem yöneyini, y, versin. Bu durumda (I-A) x = y = a1 + a2 x2 yazılabilecektir.

A' = a1 xx ve B' = a2 x2 ise, koşut kenar kuralı ile C noktası buluna-bilir.

Şimdi 6 açısına bakalım. Bu açı OA ve OB ışınları arasmdaki açıdır. Bu açı 180 dereceden az oldukça ikisi aynı anda sıfıra eşit olmayan öyle xl >0 ve x2 > 0 büyüklükleri bulabiliriz ki <Xj X l ve <x.1 x2 noktalarının toplamı veri-len C noktasını (ya da y sonul istemini) verir. Böylece herhangi bir veri y > 0 sonul istem yöneyi için (1-A) x = y eşitliği sağlanır.

Bu iki doğru arasında 180' den az açı olması ise ancak ve ancak OA doğrusunun eğiminin, OB doğrusundan daha az olması ile olanaklıdır. Bu ise

l - a n -«12

_ «2! 1 «22 _

- l - a n -ve a2 =

- l - a 1 2

- -°21 _ _ 1 «22 -

(12.4.29) l - a u

< 1 -a,

olması demektir. Şekli çizerken zaten a,; < 1, a n < 1 varsaydığımız için bu koşul

165

Şekil 12.4.1

(12.4.30) ( l -a n ) ( l-aM) - al2 a21 > 0

biçimini alacaktır ki bu da HAWKINS-SIMON koşuludur.

ÖRNEK: E. ÖNEY, İktisadi Planlama, s. 115 de Türkiye'nin 1968 girdi-çıktı

tablosundan elde ettiği dört kesimli modelde ulaştığı çıktı katsayılarını ver-mektedir.

Tarım Madencilik İmalat S. Hizmetler Tarım 0.2159 0.0173 0.1365 0.0049 Madencilik 0.0003 0.0034 0.0300 0.0075 İmalat Sanayii 0.0462 0.1737 0.2713 0.1348 Hizmetler 0.0438 0.1035 0.1258 0.1017

Acaba bu ekonomi, 1968 yılı için yaşayabilirlik koşulunu sağlıyor mu? Yerilen bilgi bize katsayılar dizeyini oluşturmamıza olanak vermektedir.

0.2159 0.0003 0.0462 0.0438

0.0173 0.0034 0.1737 0.1035

0.1365 0.0300 0.2713 0.1258

0.0049 0.0075 0.1348 0.1017

166

Buradan

I-A = • 0.7841 -0.0003 -0.0462 -0.0438

-0.0173 0.9966

-0.1737 -0.1035

-0.1365 -0.0300

0.7287 -0.1258

-0.0049 -0.0075 -0.1348

0.8983

Elde edilir. Şimdi bu dizeyin Hawkins-Simon koşullarını sağlayıp sağlamadı-ğını irdeliyelim. (1) 0.7841 > 0

(2)

(3)

0.7841 -0.0003

-0.0173 0.9966 (0.7841) (0.9966)-(0.0173) (0.0003)

= 0.7814 - 0.0000 = 0.7814 > 0

0.7814 -0.0003 -0.0462

-0.0173 0.9966

-0.1737

-0.1365 -0.0300

0.7287

= (0.7814) [(0.9966) (0.7287) - (0.0300) (0.1737)]

+ (0.0173) [-(0.0003) (0.7287) - (0.0300) (0.0462)] - (0.1365) [(0.003) (0.1737) + (0.9966) (0.0462)] = (0.7814) (0.7262 - 0.0052) + (0.0173) (-0.0002 - 0.0014)

- (0.1365) (0.0001 + 0.0460) = (0.7814) (0.7210) — (0.0173) (0.0016) - (0.1365) (0.0461) = 0.5634 - 0.0000 - 0.0063

= 0. 5571 > 0.

0.7841 - 0.0173 - 0.1365 (4) - 0.0003 0.9966 - 0.0300 (4)

- 0.0462 - 0.1737 0.7287 - 0.0438 - 0.1035 - 0.1258

0.9966 - 0.0300 - 0.0075 = 0.7841 - 0.1737 0.7287 - 0.1348

- 0.1035 - 0.1258 0.8983 - 0.0003 - 0.0300 - 0.0075

+ 0.0173 - 0.0462 0.7287 - 0.1348 + 0.0173 - 0.0438 - 0.1258 0.8983

- 0.0003 - 0.9966 - 0.0075 — 0.1365 - 0.0462 - 0.1737 - 0.1348

- 0.0438 - 0.1035 0.8983 - 0.0003 0.9966 - 0.0300

+ 0.0049 - 0.0462 - 0.1737 0.7287 - 0.0438 - 0.1035 - 0.1258

0.0049 0.0075 0.1348 0.8983

1 6 7

= (0.7841) (0.6421) + (0.0173) (-0.0474) -(0.1365) (-0.0472) + (0.0049) (0.0376)

= 0.5035 - 0.0008 + 0.0064 + 0.0002 = 0.5081 > 0

O halde Hawkins Simon koşulu sağlanıyor. Yani bu katsayıların belir-lediği ekonomi, üretim aracı olarak kullandığının ötesinde çıktı elde edebilir.

îşleyebilirlik ve kârlılık için daha basit bir göstergeyi aşağıdaki teorem-den çıkarabiliriz.

TEOREM 12.4.2: (BRAUER-SOLOW KOŞULU) A= ( a u ) n x n Leontief modelindeki girdi katsayıları dizeyi olsun. Bu

dizeyin j— inci sütunundaki öğelerin toplamını

(12.4.3.1) l'aJ = £ «,,

i =cl

ile i-inci satırdaki öğelerin toplamını ise

(12.4.32) a. 1 = 2 au

ile gösterelim. Eğer (12.4.33) 1' a j < 1 ; = J , ,n veya (12.4.34) ajl < 1 i=l, ,n ise Leontief modeli çalışabilirlik ve kârlılık koşullarını sağlar.

KANIT: SOLOW (1952) veya NIKAIDO (1968, s. 94)

ÖRNEK: Türkiye'nin 1968 yılı girdi çıktı çizelgesinden elde edilen katsa-yılardan

axl = 0.3746 l'a1 = 0.3062 a2l = 0.0412 l'a2 = 0.02979 a3l = 0.6260 l'a3 = 0.5636 a4l = 0.3748 l'a4 = 0.2489

elde edilir. Görüldüğü üzere bu sonuç Brauer-Solow koşulunu sağlamaktadır. Yani 1968 yılında Türkiye ekonomisini, bu giıdi-çıktı modeli ile ifade etti-ğimizi varsayarsak, ekonominin çalışabilirlik ve kârhlık özelliklerini taşıdığını söyleyebiliriz.

1 6 8

Son olarak da Leontief modelinin sonuçlarının iktisadi anlamlılığı için Perron-Frobenius köküne ilişkin özellikleri ortaya koymağa çalışalım. Çalı-şabilirlik ve kârklık koşullarını sağlayan bir girdi çıktı katsayıları dizeyi, Brauer-Solow koşulunu sağlayacaktır. Bu bilgi Teorem 11.3.3 ile birleştiril-diğinde

yazabiliriz. Bunu yazabilmemizin nedeni A eksi olmayan bir kare dizey olduğu için hiçbir satır ya da sütun toplamının eksi olamayacağı özelliği ile Brauer-Solow koşulunun sağlandığı varsayımlarıdır.

Şimdi eğer A ayrıştırılamaz bir dizey varsayılırsa, Teorem 12.3.1 / v den, apf(A) < 1 olduğu için

yazabiliriz. Bu durumda y > 0 için,

(12.4.37) x = (I-A)'1 y > 0

ve aynı yolla, v' > 0 için

(12.4.38) p' — v' (I-A) -1 > 0

elde edilir.

Eğer A ayrıştırılabilir bir dizey ise, bu defa Teorem 12.3.2/ v den, XPF (A) < 1 olduğu için,

yazabiliriz. Yine y > 0 olduğunda

(12.4.40) x = (I - A)?1 y > 0

ve aynı yolla v' > 0 için

(12.4.41) p' = v' (I - A) - 1 > 0'

elde edilir.

ALIŞTIRMALAR

A.12.1 :

Bir ekonomiyi üç kesime bütüncülleştirdiğimizi ve bu çerçeve içinde aşağıdaki girdi-çıktı katsayıları dizeyine ulaştığımızı varsayalım.

(12.4.35) 0 < XPİ,(A) < 1

(12.4.36) (I-A) -1 > O, nxn

(12.4.39) (I-A)"1 â O,

- 0.3 A = 0.1

0.2

0 .2 0 . 6 0 . 1

0.3 -0.4 0.2

1 6 9

i) Bu ekonomi yapılabilirlik ve kârlılık özellikleri göstermekte midir? ii) Bir birim birinci mal üretmek için 0.3 birim, bir birim ikinci mal

üretmek için 0.2 birim ve bir birim üçüncü mal üretmek için 0.2 birim emek gerektiğini varsayalım. Ekonomideki tüm emek sunumu 50 birim olsun. Bu durum da y' = (40, 50, 30) biçimindeki bir sonul istemi karşılamak olanaklı mıdır?

iii) Bu ekonomide her üç kesimde aynı anda elde edilebilecek ençok eşdenli kâr oranını bulun.

A. 12.2: Aşağıdaki eksi olmayan kare dizeylerin Perron Frobenius köklerini bulun

i) - 1 _ 0

0 -1 _

ii) - 3 _ 2

1 ~ 0 _

iii) " 2 _ 1

0 -3 _

iv) ~ 1 4

2 ~ 1

A. 12.3 : Yukarıda (A.12.2) de verilen dizeylerin Perron Frobenius köküne kar-şılık gelen sağ ve sol özgül yöneyleri bulun.

A. 12.4: Bir ekonominin üretim teknolojisi aşağıdaki girdi katsayıları dizeyi ile verilsin

0.2 A =

0.1

0.2 0.3

Bu ekonomide fiyatların

p' = p' A (ı + r) + w a0

denklemine göre belirlendiği varsayalım Burada p' = (p^ p2) fiyat yöneyinı, r kâr oranını, w ise ücreti göstermektedir. aQ = (0.2, 0.1) emek katsayıları yöneyidir.

i) Bu ekonomide gerçekleştirilebilecek en çok eşdenli kâr oranını bulun

ii) İşçilerin ücretinin geçimlik düzeyde olduğunu varsayalım. Geçimlik ücret sepeti ise 1 birim birinci mal ve 0,5 birim ikinci maldan oluşsun. Mallardan birisinin fiyatını bire eşitleyerek, malların göreli fiyatını ve kâr oranını bulun. iii) Bu ekonomide teknolojik gelişme olduğunu ve bunun sonunda, ikinci malın üretiminde kullanılan birinci mal miktarınm 0.1 olduğunu, diğer kat-

1 7 0

sayıların değişmediğini varsayalım. Bu ekonomide sağlanabilecek en çok eşdenli kâr oranı bü durumda değişir mi ? Değişir ise artar mı azalır mı, niçin ?

(i ve iii şıklar, SBF 1980-0cak, lisans

dönem sonu sorusu)

KAYNAKLAR

D. HAWKINS - H.A. SIMON (1949): "Note Some Conditions of Macroeconomic Stability" Economet-rica, 17, s. 245-248.

G. HEAL, G. HUGHES, R. TARLING (1974): Linear Algebra and Linear Economics, Macmillan, Lon-don, s. 110-32.

M.C. KEMP - Y. KIMURA (1978): Inlroduction to Mathematical Economics, Springer Verlag, New York, s. 74-85.

Y. K E P E N E K (1977): Türkiye İmalat Sanayiinin Üretim Yapısı, ODTÜ Yayını, Ankara.

U. KORUM (1963): Input-Output Analizi, SBF Yayını, Ankara.

Y. MURATA (1977): Mathematics for Stability and Optimization of Economic Systems, Academic Press, New York, s. 105-114.

H. NIKAIDO (1968): Convex Structures and Economic Theory, Academic Press, New York.

H. NIKAIDO (1970): Introduction to Sets and Mappings In Modern Economics, North Holland, Ams-terdam.

E. ÖNEY (1977): İktisadi Planlama, SBF Yayını, Ankara.

L.L. PASINETTI (1977): Lectures on the Theory of Production, Macmillan, London, s. 54-70.

E. SENETA (1973): Non Negative Matrices, George Ailen and Unwin, London, Bölüm I.

R. S0LOW (1952): "On the Structnre of Linear Models", Econometrica, 20, s. 29-46.

A. TAKAYAMA (1974): Mathematical Economics, Dryden Press, Hinsdale, Illinois, s. 359-396.

171

13. Bölüm

DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER VE DIŞ BÜKEY KÜMELER *

Doğrusal eşitsizlikler ve dışbükey kümeler modern matematiksel iktisatta çok başvurulan kavramlardır. Bu bölümün amacı bu kavramları tanımlamak ve bazı çok temel özellikleri ortaya koymaktan ibarettir.

13.1. Doğrusal Eşitsizlikler TANIM 13.1.1: Aşağıda verilen türde bir ifadeye Doğrusal Eşitsizlik (Linear Inequality) denir. (13.1.1) a'x = o ( x, + "2 x2 + + a„ x„ ^ /». m doğrusal eşitsizlikten oluşan n bilinmeyenli bir dizeygeye, Doğrusal Eşit-sizlik Dizgesi denir ve

«ıı x ı + + a l n x„ g

«tı x ı + + «İn x r ^ b ! (13.1.2)

«mı x ı + + amn x„ ^ bm

biçiminde ya da dizey terimleriyle (13.1.3) A x b biçiminde gösterilir. Burada A = (a u ) m K n , x = (*j)„xl ve b = (b t)m x l dir.

Bu bölümde (13.1.3) ide verilen doğrusal eşitsizlik dizgeleri üzerinde duracağız, iki temel sorunu çözmeğe çalışacağız. Bunlardan ilki bu dizgenin bir çözümünün var olması koşullarının saptanmasıdır, ikinci sorun ise, bu dizgenin eksi olmayan bir çözümünün varlığı koşullarının saptanmasıdır.

Bu konuya yaklaşabilmek için doğrusal denklem dizgelerine dönelim ve aşağıdaki önemli teoremi görelim. TEOREM 13.1.1: (GALE) A = (a0.)mx„, b = (6 i)m x l , x = (*,)„xı, y' = ( y i ) l x m olsun. Aşağıdaki iki doğrusal denklem dizgesini ele alalım:

* Bu bölüm kitabın bütünlüğü bozulmaksızın atlanabilir.

172

1. Az = b

2. y'A = o lx„ y'b = 1

Bu durumda ya (1) in bir çözümü vardır ya da (2) nin, ancak her ikisinin birden çözümü olamaz. KANIT: GALE (1960, s.41)

Bu teorem bize bir doğrusal denklem dizgesinin çözümü olmasının hangi koşula bağlı olduğunu göstermektedir.

Şimdi de bir doğrusal denklem dizgesinin eksi olmayan çözümü olması koşulunu inceleyelim.

TEOREM 13.1.2: (FARKAS-MINKOWSKI) A = ( a u ) m x n , b= (ft;)mxl, x = (Xj)nxl olsun. Bu durumda Ax = b (b # 0m) dizgesinin bir eksi olma-yan çözümü, x > 0,„ olması ancak ve ancak y'A > 0„ doğrusal eşitsizlik dizgesinin herhangibir çözümünün y'b > 0 koşulunu sağlaması halinde olanaklıdır.

KANIT: GALE (1960, s. 44-46) ve KEMP-KIMURA (1978, s. 3). Bu koşulun sezgisel anlamını görebilmek için A = (a 0 ) 2 x 3 alalım. A'nın

sütunlarını a j , j— 1,2,3 ile gösterelim. Bu durumda

(13.1.4) y'A = y'(a\ a2, a3) ^ (0, 0, 0) olacağından bu (13.1.5) y'ai ^ 0 j= 1, 2, 3 olması demektir.

Diğer taraftan 6. Bölümden anımsanacağı üzere, (6.2.13); sıfır olmayan iki yöney arasındaki açının cosinüsü

(13.1.6) cos 0 = X y

x • IH denklemi ile bulunuyordu. Tanım gereği ||x j|, ||y || > 0 olduğuna göre cos 0'reın. işareti x'y sayıl çarpımına bağlıdır. Diğer taraftan trigonometri bilgileri-mizden anımsayacağımız üzere bir açı 90° den büyük ise bunun cosinüsü eksi (yani x'y < 0), 90° den küçük ise bunun cosinüsü artı (yani x'y >0) ve son olarak 90° ise cos 0 = 0, (yani x'y = 0) olur.

(13.1.5) den y' ile a J arasındaki açının 90° den büyük olmadığını (ve -90° az olmadığını) görüyoruz. Şimdi aşağıdaki Şekil 13.1.1 e bakahm. c1 ve c3, sırasıyla a1 ve a3 yöneylerine dik açı yapacak biçimde çizilmiştir. Bu durumda c1 O c3 konisi1 y'a3 > 0 tüm j 1er için sağlayan y' yöneylerinin yer

1 Koniyi bu bölümde biraz ileride tanımlaycağız.

173

alacağı bölgeyi vermektedir. Bu bölgedeki herhangi bir y' yöneyi için y'b > O olabilmesi için b yöneyinin a, O a1 konisi içinde yer alması gereklidir.

Şekil 13.1.1

Şimdi de bu teoremlerin doğrusal eşitsizlik dizgelerindeki karşılıklarını saptayalım. Önce bir doğrusal eşitsizlik dizgesinin çözümünün varlığı koşulunu verelim. TEOREM 13.1.3: A = ( a u ) m x n , b = (6 ;)m x l , x = (xj)nxl olsun. Bu durumda ya

Ax > b

doğrusal eşitsizlik dizgesinin bir çözümü vardır, ya da

y'A = olxm y' b = ı

doğrusal denklemler dizgesinin bir eksi olmayan çözümü vardır.

KANIT: GALE (1960, s. 47) ve MURATA (1977, s. 284)

Şimdi de bir doğrusal denklem dizgesinin eksi olmayan çözümünün varlığı koşuluna bakalım.

TEOREM 13.1.4: A= (a u ) m x „ , b= (6 i)m x l , x = (*J-)„X1 olsun. Bu du-mm da ya

1 7 4

Ax ^ b dizgesinin bir eksi olmayan çözümü vardır, ya da

y' a ^ o lxm y b < 0

doğrusal eşitsizlik dizgesinin bir eksi olmayan çözümü vardır. KANIT: GALE (1960, s. 47-48, MURATA (1977, s. 284)

13.2. R" İçindeki Kümelere İlişkin Bazı Özellikler Bu alt bölümde n- boyutlu gerçel sayılar uzayının alt kümelerine ilişkin

bazı özellikler üzerinde duracağız. R", gerçel sayıları ifade eden R kümesinin n- kez kendisiyle Kartes'gil çarpımıyla elde edilmektedir. Geometrik olarak R gerçel doğruyu, R2 gerçel düzlemi verir. R" içindeki herhangi bir öğe gerçel sayılardan oluşan re-boyutlu bir yöneydir.

Şimdi x°sR" noktasını alalım ve bunun çok yakında yer alan diğer noktaları betimlemeğe çalışalım. TANIM 13.2.1: x°£Rn ve s > 0 olsun. O halde (13.2.1) N(x°, £) = {x[ || x-x° || < e } kümesine x° noktasının z-yöresi (e- neighborhood) denir. ÖRNEK: Aşağıdaki ŞEKİL 13.2.1. de görüldüğü üzere x° noktasının e-yöresi,

Şekil 13.2.1

175

TANIM 13.2.2: A <= R» olsun. Eğer herhangibir s > 0 için bir x° s A noktasında (13.2.2) N(x°, e) <= A koşulu sağlanıyorsa, x A'nın içindedir denir. A' nın için yer alan tüm öğelerden oluşan kümeye A'nın İçi (Interior) adı verilir ve İç (A) ile gösterilir. TANIM 13.2.3: A <=- R" olsun. x s A noktasının tüm e > 0 için s-yöresinin içinde hem A kümesine ait olan, hem de A kümesine ait olmayan noktalar varsa, x, A kümesinin bir Sınır Noktasıdır (Boundary Point) denir.

'nın tüm sınır noktalarından oluşan kümeye A' nın Sınırı adı verilir ve S (A) ile gösterilir. ÖRNEK: Aşağıdaki Şekil 13.2.2. de X1 noktası bir iç nokta, x 2 noktası bir sınır noktasıdır.

— — X1

Şekil 13.2.2

TANIM 13.2.4: A <=• R" olsun. Ancak ve ancak lç{A) = A ise, A bir Açık Kümedir, (Open Set), ÖRNEK: A — '{x\a < x < b, xeR} <= R olsun. A açık bir kümedir. Çünkü, İç (A) = \x \a < x <b, xe R} dır. Bu kümeye Açık Aralık (Open Inter-val) denir. Açık aralık (a, b) ile gösterilir. TANIM 13.2.5: A <= R" olsun. Ancak ve ancak S (A) <= A ise, A bir Kapalı Kümedir (Olosed Set).

176

ÖRNEK: A = {at'| a x <*b, t e R } c R olsun. A kapalı bir kümedir. Çünkü S(A) — {a, 6} dir. Yani sınır "a" ve " t" noktalarından oluşmakta-dır. Bu noktalar da A kümesinin içindedirler. Bu kümeye Kapalı Aralık (Closed Interval) denir ve [a,fe] ile gösterili.

TANIM 13.2.6: ^ c R » V e r > 0 olsun. Ancak ve ancak Va e A için ]|a | < r, ise, A bir Sınırlı Kümedir (Bounded Set).

TANIM: 13.2.7: Kapalı ve sınırlı bir kümeye Topak (Compact) küme denir.

TANIM 13.2.8: A <= R», ve x° e R" olsun. Eğer Va e A için a ^ x° A kümesi Alttan Sınırlıdır (Bounded From Below) denir. Eğer Va e A için a < x° ise A kümesi Üstten Sınırlıdır (Bounded From Above) denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki Şekil 13.2.3-a'da alttan sınırlı ve 13.2.3-b' de ise üstten sınırlı birer küme gösterilmektedir.

13.3. Dışbükey Kümeler

Bu alt bölümde özellikle eniyileştirme kuramında çok başvurulan dış-bükey kümeler üzerinde duracağız.

TANIM 13.3.1: A <= R", (^ ^ 0 ) olsun. Eğer Va„a2 e A ve X e [0,1] için Âa, -(- (1—X) a2 e A ise A bir Dışbükey Kümedir (Convex Set). Eğer Xe (0,1) için Xa, + (1-X) a2 e A ise A bir Kesin Dış Bükey Kümedir (Strictly Convex Set).

ÖRNEK: Aşağıdaki ŞEKlL 13.3.1 de sırasıyla dışbükey, kesin dışbükey ve dışbükey olmayan kümeler görülmektedir.

TEOREM 13.3.1: iki dışbükey kümenin kesişimi bir dışbükey kümedir.

(b)

Şekil 13.2.3

177

DIŞBÜKEY KÜME KFMN DIŞBÜKEY KÜME

Şekil 13.3.1

DIŞBÜKEY OLMAYAN KUME

KANIT: Aı ve A2 iki dışbükey küme olsun. Diğer taraftan, A = Aı fi A2 diyelim, a,, a2 e A ise tanım gereği a15 a2 e Ax ve a„ a2 e A2 dir. Ax ve A2 dışbükey olduklarına göre Xe [0,1] için,

Xa, + (1- X) a2 e A t

Xa, (1- X) a2 e At dir.

O halde Xa, + (1- X) a2 e A

dir. / ! (I.K.) Bu teoremden aşağıdaki sonucu kolaylıkla çıkarabiliriz:

SONUÇ 13.3.1/1: Herhangi bir sayı da dışbükey kümenin kesişimi de bir dış bükey kümedir.

TANIM: 13.3.2: Av A2 <= R" içinde iki küme olsun. Bu iki kümenin toplamı

At -f- A2 = {a e R"| a = a, + a„ aj e Al ve aı e A2j biçiminde tanımlanır.

TEOREM 13.3.2: iki dışbükey kümenin toplamı bir dışbükey kümedir. KANİT: A:, A2 <= R" dışbükey kümeler olsun. A — Aı + A2; a, a1 e A

olsun. X e [0,1] ve a,, a', e Ax ve a„ a'2 e At için Xa + (1-X) a

1 == X(a, + a2) + (1-X) (a\ + a'2)

= Xa, + (1-X) a'j + Xa2 + (1-X) a'2

yazabiliriz. Ancak a, + (1-X) a,' e A,

ve »2 + *2 e A 2

olduğundan

178

a + (1-A )a' 6 A

dır. Yani A dışbükeydir.

TANIM 13.3.3: p, x e R", a 6 R olsun. (13.3.1) D(p,x) = {x e R"| p'x = a, p # 0„} kümesine R" içinde ta-nımlanmış bir Çoklu Düzlem (Hyperplane) denir. D(p, x) bir dışbükey kü-medir. p yöneyine çoklu düzlemin Normali denir.

ÖRNEK 1: p' = (3, 2), x e R2 <x = 12 olsun.

D(p,x) = {(x„ x2)| 3x, + 2x2 = 12} R2 üzerinde tanımlanmış bir çoklu düzlemdir. Bu çoklu düzlem, aşağıdaki

R3 de bir çoklu düzlem, bir düzlem verecektir.

Diğer taraftan D(p,x) i tanımlarken a = 0 alınırsa normal yöneyin çoklu düzlemdeki tüm yöneylere dikey olduğunu görürüz.

ÖRNEK 2: (Tüketicinin Bütçe Denklemi) Bir tüketicinin gelirini Y ile ifade edelim. Tüketicinin bütçe denklemi,

onun her maldan tükettiği miktarların parasal değerlerinin toplamının, gelirine eşit olduğu noktalardan oluşan kümedir. Fiyatlar eksi olmayan sayılar oldu-

179

ğundan p e R+" dır1, x e R+" da, tüketicinin lıer bir maldan tükettiği miktar-ları göstersin. O halde bütçe denklemi

£(p, x) = {x e R+" |p'x = Y, p e R+"} çoklu düzlemi ile gösterilir. TANIM 13.3.4: D(p,x), R" üzerinde tanımlanmış bir çoklu düzlem olsun. (13.3.2) D(p,x)_ = {x G R"| p'x < a} ve (13.3.3) D(p,x)+ = {x e R"| p' x > a} kümelerine, -D(p,x) çoklu düzleminin oluşturduğu Açık Yarı Uzaylar (Open Half Spaces) denir. Açık Yarı uzay bir açık kümedir. ÖRNEK: Aşağıdaki Şekil 13.3.3. de, D(p,x)+, D(p,x)_ doğrusunun üstünde ka-lan fakat D(p,x) e eşit olmayan tüm noktaları; D(p,x)_ ise aynı koşul altında

Şekil 13.3.3

TANIM 13.3.5: D(p,x), R" üzerinde tanımlanmış bir çoklu düzlem olsun. (13.3.4) D(p,x)_ = {x e R" | p'x ^ a } ve

1 PgR"+ dediğimizde bu p > 0„ anlamına gelmektedir. Yani bazı fiyatlar sıfır olabilir. R n + n- boyutlu gerçel uzayın eksi olmayan kısmıdır. Biz R " + + ile n - boyutlu gerçel uzayan artı kısmını göstereceğiz.

180

(13.3.5) J5(p,x)+ = {x eR»| p'x ^ a} kümelerine, D(p,x) çoklu düzleminin oluşturduğu Kapalı Yarı Uzaylar (Closed Half Spaees) denir. Kapalı yarı uzay bir kapak kümedir.

ÖRNEK: Tüketicinin bütçe denklemi ile oluşturulan aşağıdaki küme bir kapalı yarı uzaydır.

B(p,x) = {x e R% ] p'x < Y, p G R"+} Bu küme bize, tüketicinin elindeki geliri ile veri fiyatlardan alabileceği tüm mal bileşimlerini vermektedir. ÖZELLİK 13.3.1: Açık ve kapalı yarı uzaylar birer dış bükey kümedir.

ÖZELLİK 13.3.2: D(p,x)+ n D(p,x)_ = D(p,x) TANIM 13.3.6: A c R» olsun. Eğer A bir D(p,x) çoklu düzlemi tara-fından belirlenen iki kapalı yarı uzaydan birisinin alt kümesi ise, D(p,x), A nın Sınırlayıcı Çoklu Düzlemidir (Bounding Hyperplane) denir. Eğer A bir D (p,x) çoklu düzlemi taralından belirlenen iki açık yarı uzaydan biri-sinin alt kümesi ise D(p,x) A' nın Ayırıcı Çoklu Düzlemidir (Seperating Hy-perlane).

ÖRNEK: Aşağıdaki Şekil 13.3.4 de A kümesi D(p,x)_ içinde olduğundan D (p,x), A için bir sınırlayıcı çoklu düzlemdir. Dikkat edilirse A c: D (p,x)_ olduğundan, D (p,x) aynı zamanda ayrıcı çoklu düzlemdir.

Şekil 13.3.4

181

TANIM 13.3.7: A <= R», (A ^ 0) bir kapalı küme ve D(p,x) A için bir sınırlayıcı çoklu düzlem olsun. Eğer A ile D(p,x) in S(y4) üzerinde bir or-tak noktaları varsa, D (p,x), A için bir Destekliyici Çoklu Düzlemdir (Support-ing Hyperlane)1

ÖRNEK: Aşağıdaki Şekil 13.3.5 de A kümesi D(p,x)+ içindedir ve A ile D(p,x) in S(A) üzerinde ortak noktalan vardır. Bu nedenle D(p,x) A için bir destekleyici çoklu düzlemdir.

TANIM 13.3.8: A,, A2, <= R» iki boş olmayan küme ve D (p,x) = {x | p'x = a x e R"} bir çoklu düzlem olsun. Eğer (13.3.6) V x e Aı için p'x < a

(13.3.7) V x e A2 için p'x > a

ise D (p,x) çoklu düzlemi Al ve A2 kümelerini Ayırmıştır denir. Eğer (13.3.6) ve (13.3.7) deki eşitsizlikler, kesin eşitsizlik ise D (p,x), A{ ve A2 yi Kesin Ayır-mıştır denir.

Şimdi bazı önemli teoremleri ele alarak bu tanımlanan çoklu düzlem-lerin varlığını görelim. Önce ayrıcı çoklu düzlemin varlığı konusunu ele ala-lım:

1 Destekleyici çoklu düzlem, bir kümeye teğet olma fikrinin biçimlendirilmesidir.

Şekil 13.3.5 ,

182

TEOREM 13.3.9: A <= R", kapalı dışbükey ve boş olmayan bir küme ve x° G R" olsan. O halde ya x° e A dır, veya öyle bir D (p,x) çoklu düzlemi vardır ki x° G D (p,x) dir ve D (p,x) A için bir ayırıcı çoklu düzlemdir. KANIT: KLEIN (1973, s. 326) veya BAZARAA-SHETTY (1979, s. 45)

ikinci olarak destekleyici çoklu düzlemin varlığını gösterelim: TEOREM 13.3.10: A <c R" bir kapalı, dışbükey ve boş olmayan küme a° G S(A) olsun. O halde ^4'nm a° noktasında enaz bir destekleyici çoklu düz-lemi vardır. KANIT: KLEIN (1973 s. 326-7)

Bu iki teoremin ışığında aşağıdaki genel teorem verilebilir. TEOREM 13.3.11: (MINKOWSKI) A <= R" bir kapalı dışbükey ve boş olmayan küme ve x° e R" olsun. O halde ya x° e lç{A) dır veya ^4'nın öyle bir sınırlayıcı çoklu düzlemi D (p,x), vardır ki x° G D (p,x) dir. KANIT: KARLIN (1959, I. s. 398)

Şimdi de iki dışbükey kümeyi ayıran bir çoklu düzlem olduğunu görelim: TEOREM 13.3.12: AX, A2 <= R" boş olmayan dışbükey kümeler ve İç (AJ c: 1Ç(A2) = 0 olsun. O halde öyle bir p # 0n yöneyi ve a sayısı vardır ki

Va, G AX için p'a, 2; a ve

Va, G A2 için p'a2 5Ş a. olur. D (p,x) = {x|p'x = a, a e R"} çoklu düzlemine de ayırıcı çoklu düzlem denir. KANIT: HEAL-HUGHES-TARLING (1974, s. 20-21)

Aşağıdaki Şekil 13.3.6 da (s. 184) bu teoremin ne anlama geldiği görül-mektedir.

Bu teoremin iktisatta birçok önemli uygulaması olduğunu da belirtelim1. 13.4. Çok Yüzeyli Kümeler ve Uç Noktalar Bir yarı uzayan bir dışbükey küme olduğunu görmüştük. Bu durumda

R" içindeki m yarı uzayın kesişimi de bir dışbükey kümedir. Bu özelliği ta-şıyan kümeleri aşağıdaki biçimde tanımlayabiliriz. TANIM 13.4.1: A = (au)mxn, b = (6,)mM olsun. Bu durumda (13.4.1) S = {x|Ax< b, x GR"} kümesi bir dışbükey küme olup, m yarı uzayın kesişimini ifade etmektedir. S kümesine Çok Yüzeyli Küme (Polyhedral Set) denir.

1 Bu teoremden genel denge kuramına ilişkin tartışmalarda yararlanılmaktadır. Bu konuda T. BULUTAY (1979)a bakılabilir.

183

Şekil 13.3.6

Dikkat edilirse (13.4.1) deki genel ifade

S = {x | Ax < b}'

(13.4.2) S = {x| Ax = b, x > 0„}

S = {x| Ax > b, x > 0„}

gibi durumları da içermektedir. Şimdi bir de Uç Nokta (Extreme Point ) kavramını tanımlayalım:

TANIM 13.4.2: i c R» ( i ^ 0) bir dışbükey küme ve a e A olsun. Eğer Va,, a, e A ve (0,1) için

(13.4.3) a = Xa, + (1- X) a2 => a = a, = a2

ise a bir uç noktadır.

ÖRNEK: Aşağıdaki Şekil 13.4.1 de üç dışbükey küme ve bunların uç nok-taları gösterilmektedir.

Şimdi, uç noktalara ilişkin önemli bir. genel teoremi verebiliriz.

TEOREM 13.4.1: A c: R" kapalı, dışbükey ve alttan sınırlı bir küme ve D (p,x), ^'nın a° noktasında bir destekliyici çoklu düzlemi olsıın. O halde D(p,x) bir uç noktayı içerir.

KANIT: KLEIN (1973, s. 331)

184

IA) UÇ NOKTALAR La.b.c.d.el

CB) UÇ NOKTALARta.b.cl

Şekil 13.4.1

CO UÇ NOKTALAR (Tüm Çember)

Şimdi bir çok yüzeyli kümenin uç noktalarını nasıl niteliyeb ileceğim izi görelim.

TEOREM 13.4.2: S = .{x|Ax = bm , x > 0, x e R*}, A = (au)mxn, o(A) = m, b=(6 ; ) m x l , bir çok yüzeyli küme olsun. Ancak ve ancak A dizeyi

x x ı - AR'b -

- X 2 - 0 . Ar1 b > o„ sağlayacak biçimde (Aj,A2) biçiminde bölüntülenebiliyorsa, x, S'nin bir uç noktasıdır.

KANIT: BAZARAA-SHETTY (1979, s. 56-57)

SONUÇ 13.4.2.1: Bir çok yüzeyli kümenin uç noktaları sonlu sayıdadır.

Şimdi de herhangi bir boş olmayan çok yüzlü kümenin en az bir uç nok-tası olacağını görelim.

TEOREM 13.4.3: S = {x| Ax = b, x > 0n} A = (« İ J )m x n , a(A) = m, b = (bı)mxl olsun. S kümesinin en az bir uç noktası vardır. KANİT: BAZARAA-SHETTY (1979, s. 58)

Bu sonuçlarm doğrusal programlama sorunun çözümünü bulmada baş-vurulan simplex yönteminin temelinde yatmaktadır.

KAYNAKLAR

M.S. BAZARAA - C.M. SHETTY (1979): Nonlinear Programming, Addison Wesley, Reading, Massac-husetts.

T. BULÜTAY (1979): Genel Denge Kuramı, A.Ü.-SBF Yayınları No: 434, Ankara (Bu kaynakta, bir taraftan dışbükey kümeler ve ilgili kavramlar Matematikte Ek'de, (s. 338-342, 350-356 arasında) incelenmekte diğer taraftan genel denge kuramında bunlardan nasıl yararlanıldığı esas metinde gösterilmektedir).

D. GALE (1960): The Theory of Linear Economic Models, Mc Graw Hill, New York.

185

S. KARLIN (1959): Mathematical Methods and Theory in Games, Programming and Economics, Vol I,

Pergamon Press, London.

E. KLEIN (1973): Mathematical Methods of Theoretical Economics, Academic Press, New York.

M. MARCUS - H. MlNC (1964): A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, Allyn and Bacon,

Boston, (özellikle, s. 93-120)

Y. MURATA (1977): Mathematics for Stability and Optimization of Economics Systems, Academic Press,

New York.

A.W. ROBERTS - D.E. VARBERG (1973): Convex Functions, Academic Press, New York (özellikle 3 ncü ve 6 mcı bölümler).

A. TAKA YAMA (1974): Mathematical Economics, Dryden Press, Hinsdale, Illinois.

J.E. WOODS (1978): Mathematical Economics, Longman, London (özellikle s. 222-228).

186

EREY VE SÜREKLİLİK

14. Bölüm

Bu bölümde' türevsel hesabın temelinde yatan iki önemli kavram olan erey (limit) ve süreklilik (continuity) üzerinde duracağız.

14.1 Erey

Erey kavramını görebilmek için önce Diziyi (Sequence) tanımlayalım. TANIM: 14.1.1: xn e R olduğunda (14.1.1.) x2, xn, biçiminde gerçel sayıların ardışık biçimde sıralanmasına bir Sonsuz Dizi (Infinite Sequence) denir ve bu

(14.1.2) {*X=ı = x n . *„,•••• biçiminde gösterilir. (14.1.2) de yer alan xn sayılarına, dizinin öğeleri denir.

Bir diziyi oluşturmak için izlenen yol dizinin n- inci öğesini betimleyen bir kural vermektir.

ÖRNEK 1: xn = — olsun.

ÖRNEK 2: x = -Ü-L n

i " - 1 r - 1 o 1 a n _ ı > \ n L r 2 ' ' 3 ' " ' " - i

Ancak her diziyi böyle basit bir kural ile ifade edemeyebiliriz. Nitekim aşağıdaki örneklerde sadece n- inci öğüsinin betimlenmesiyle oluştu rulama-yan diziler verilmektedir.

1 8 7

ÖRNEK 3: {*X« 1 = .{1. 2' 3» 5 ' s ' 13> 21» 3 4 ' ••••} dizisini aşağıdaki kural ile oluşturabiliriz.

= = 1

1 — xn + *„_ı W >2

Bu yolla ulaşılan sayı dizisine Fibanocci Sayıları denir.

ÖRNEK 4:

dizisini aşağıdaki kural ile oluşturabiliriz. xn = n n tek sayı ise n tek sayı ise

xn = n çift sayı ise rı çift sayı ise

Dizileri, işlev kavramından da yararlanarak almaşık bir biçimde de tanım-layabiliriz: TANIM 14.1.2: önalanı sayma sayıları (sıfır dışındaki doğal sayılar) olan bir işlev tanımlayalım. Bu işlevi

biçiminde gösterilebilir. Bir dizinin öğeleri gerçel ya da karmaşık sayılar olabilir.

TANIM 14.1.3: {xn}~1 dizisinde Vra e {1 00} için \xn\ ^ M, M < 00 ise, bu dizi Sınırlıdır (Bounded) denir.

Bu tanımın anlamı, verilen bir dizinin tüm öğelerinin boyu 2M olan bir aralıkta yer alacaklarıdır. Aşağıdaki Şekil 14.1,1de bir smırlıdiziverilmektedir.

(14.1.3) xu = f(n) n e N - {0} biçiminde yazabiliriz. Bu durumda bir sonsuz dizi (14.1.4) {*„} = {/„} n e {!,. . . . ,c0} ve bir sonlu dizi de

(14.1.5) {*„} = ,/„} n e {1, N}

ÖRNEK 1:

olsun. Bu dizici açarsak

188

«xr

2m<

- 1 —

Şekil 14.1.1

x„ = _3_ T 5 '

elde edilir. Bu durumda M = 1 alalım.

H ) - ' ( + r ) | s ı

olduğundan bu dizi sınırlıdır.

xn = W"=ı

dizisi ise smırsızdır. Çünkü bu dizinin tüm öğelerinin salt değerlerini aşan sonlu bir sayı yoktur.

TANIM 14.1.4: {xn} bir dizi ve s>0 olsun. Eğer Vn > N için

(14.1.6) \xn - L | <s

sağlayan bir L sayısı varsa, {xn} dizisi Yakınsaktır (Convergent) denir. Bura-daki L sayısına da, söz konusu dizisinin Ereyi (Limit) adı verilir. Bu özellik (14.1.7) Erey xn = L

n-*co biçiminde ifade edilir.

189

Eğer bir dizi yakınsamıyorsa, buna Iraksak Dizi (Divergent Sequence) deııir.

Iraksak dizilerin ereyleri eksi ya da artı sonsuzdur. Ancak bir dizinin ereyinin olmaması için mutlaka çok büyük terimleri olması gerekmez. Örneğin aşağıdaki diziyi ele alalım.

(14.1.8) {*„}' = {(-1)"} = {-1, +1, -1, . . . . } şimdi bu dizinin bir ereyi olduğunu varsayalım. Yani

Erey xn = L, L e R. O halde, örneğin n > N için öyle bir s sayısı ol-

malıdır ki

(14.1.9) |(-1)" - L | < s

yazılabilmelidir. Kolaylık olsun diye E = -İ— alalım.

Eğer n çift sayı ise, (14.1.9) dan

(14.1.10) |1 - L | <

elde edilir. Eğer n tek sayı ise

(14.1.11) | -1 - L | = | -\l+L) | = |1 +L | < ~

olması gerekir. Bu ise bir çelişkidir1. Şimdi bu özellikleri taşıyan dizileri tanımlıyalım.

TANIM 14.1.5: dizisi ıraksasın. Ancak ıraksama ne artı sonsuza, ne de eksi sonsuza doğru olsun. Bu durumda söz konusu dizi Salınır (Oscilate) denir.

Dizilere ilişkin bu açıklamaların amacı, işlevlerde erey konusunu ele almayı kolaylaştırmaktır. Dizinin özel bir işlev türü olduğu gözönüne akn-dığında, bu genelleştirme daha açık olarak ortaya çıkacaktır.

Ancak, önce, bize yardımcı olacak bir başka kavramı yeniden tanımlı-yalım. TANIM 14.1.6: Bir p noktasını orta nok*a alan herhangi bir açık aralığa Yöre (neighborhood) denilir. Bu herhangi bir r yarı çapın içine p'ye uzaklığı ı den az olan tüm noktaların oluşturduğu küme olup

1 Bunun bir çelişki doğurduğunu şöyle gösterebiliriz. 1 1 2 — 121 — |1+11 = |1+L + 1—L\ ^ ]1+L1 + |1-L[ < + — = 1

O halde 2 2 2 < 1

ki bu bir çelişkidir.

190

N (p,r) = {x\ p-r < x < p+r} = {x\ - r < x-p < r} = M l*-p| <

biçiminde gösterilir. Şimdi bir işlevin ereyini tanımlayabiliriz.

TANIM 14.1.7: / işlevi (a, b) açık aralığı üzerinde tanımlansın, c e (a,6) olsun, (c noktasında / tanımlanmamış olabilir) L e R olduğunda Erey f (x) = L ifadesine / (x) in x, c ye gittiğinde Erey denir.

Şimdi bu tanımı daha biçimsel bir anlatımla yineliyelim. İV, (L,s), L noktasının s yarı çaplı bir yöresi; N2 (c, 8) ise c noktasının S yarı çaplı bir yöresi olsun. E r e y /(*) = L o 3 İV, (L, e ) ve İV2 (c, 8) e- * e İV2 (c, S), x ^ c ise

/(*) e İV, (L, e) yani - c| < 8 => | /(*) - L | <e ise Erey f(x) = L dir.

x-*c

Aşağıdaki şekilde bu tanımın ne anlama geldiği gösterilmektedir.

Şekil 14.1.2

191

Görüldüğü gibi x e Nı (c, S) oldukça f(x) e Nı (L, s) olmaktadır. O halde c noktasında Erey f (x) = L dir.

x-*c

Oysa aşağıdaki şekilde bu durum yoktur. l

N]CLV0 |

Nf(L2.E) |

-"""frîa

> X

Şekil 14.1.3

Dikkat edilirse bu şekilde N2 (c, 8) içinde x değiştikçe f(x)'in aldığı de-ğerler x, c nin solunda ya da sağında olmasına göre çok farklılaşmaktadır. Yani bunların bir N(L, s) aralığının içinde yer almaları olanaksızdır. İşte bu durumda f(x) in c noktasında ereyi yoktur denir.

Ancak şekli biraz daha dikkatle incelersek x < c olduğunda, yani c'nin solundan c ye doğru yaklaştığımızda bu değerler için erey tanımını sağlayan bir aralık belirlemek olanaklıdır, Aynı biçimde x > c olduğunda da erey tanımını sağlayan bir başka aralık belirlenebilir. İşte bu kavramlara / (at) in Tek Taraflı Ereyleri denir. Şimdi bu kavramı tanımlıyalım: TANIM 14.1.8 s Bir işlevin, f(x), c noktasında tek taraflı ereyleri şöyle tanım-lanır. Sağdan erey Erey f(x) = Ll o f(x) e N\ (L„ e) x e N2 (c, 8), x >c. x—c+

Soldan erey: Erey f(x) = L, o f(x) e N\ (L2, s) x e N2 (c, S), * < c. X -*c—

192

ÖRNEK: /(*) = [*]

olsun. Burada [x], at'e eşit ya da küçük olan en büyük tanmsayıdır. Örneğin *= 1,222414 ise [*] = 1 dir. 2,999988 ise [x] = 2 dir. Şimdi c herhangi bir tam sayı olsun.

Bu durumda x < c olduğunda x e N2 (c, S) ise f(x) — c-1 dir. x > c olduğunda at e N2 (c, S) ise f(x) = c dir. O halde Erey f(x) = c-1 x->c—

Ereyf(x) = c x->c+

dir. Bu tanımlar ve örnekten de görülebileceği üzere bir işlevin ereyinin bu-

lunabilmesi için sağ taraf ve sol taraf ereylerinin eşit olması gerekir. Şimdi ereyin bulunmasına ilişkin bazı temel sonuçları kanıtlamaksızın

bir teorem biçiminde verelim.

TEOREM 14 .1 .1 :

1. f(%) = k sabit işlevinin c noktasında ereyi Erey k = k dir i-C

2. f(*) = x, özdeşlik işlevinin c noktasında ereyi Erey x — c dir. x->c

3. f(x) ve g (x) aşağıdaki özellikleri olan işlevler olsun: Erey f(x) = A

Erey g(x) = B X->c

O halde 3a) Erey [/(*) + g(*)] = A + B

3b) Erey [/(*) - g(x)] = A-'B x—*c

3c) Erey /(o). g(x) = A.B x-c

3d) Erey - M - = - A . B * 0 ise, * - > c g(x) 15

193

KANIT: Örneğin S. LANG (1968, s. 39-40).

ÖRNEK 1:

Erey (3 *2 + 6x -1) = 3(3)2 + 6(3) -1 = 8 1 + 18 - 1 = 98

ÖRNEK 2: Erey 3 * ' 1 - 3 ( 1 ) - 1 _ J L = _ J L

X2 -6 (l)2 -6 -5 5

14.2. Süreklilik

Yukarıda erey kavramını ele alırken, /(x) işlevinin ereyinin aradığı c noktasında gösterdiği özelliklerle hiç ilgilenmedik. Hatta tanımımızı verirken f(x) in bu noktada tanımlanmamış olabileceğini de belirtmiştik. Şimdi bu durumu biraz kısıthyalım ve /(x) in erey noktasmda bazı yeni koşulları da sağladığını açıkça varsayalım. Bu durumda daha küçük bir işlev ailesi elde edilecektir. Ancak söz konusu kısıtlamaların uygun bir biçimde konulması halinde bu işlev ailesi ile çok daha fazla bilgi verici işlemler yapılabilir. îşte bu uygun kısıtlımalar aşağıdaki tanımda verilmekte ve ulaşılan işlev ailesi tanımlanmaktadır.

TANIM 1 4 . 2 . 1 : / ( * ) işlevi verilsin.

i) f(*), c noktasında tanımlanıyorsa

ii) Erey f(x) = f(c) ise x->c

f(x), x=c noktasında Süreklidir (Continous) denir.

Bu durumda |x - c| < S, yani x e Nı(c,8) olduğunda \f(x) - / ( c ) | <s, yani /(*) e IV, (f(c), s) dir. f(x), tanımlandığı tüm x değerleri için süreklilik özelliği gösteriyorsa, sörekli bir işlevdir. ÖRNEK 1: f(x) = x, x e R, her yerde süreklidir.

ÖRNEK: 2 f(x) = [x]. Bu işlev c'nin tamsayı olmadığı her noktada süreklidir. Buna karşılık

c tam sayı olduğunda sürekli değildir. Çünkü c'nin tam sayı olduğu nokta-larda/^) "in ereyi yoktur. Sağ ve sol ereylerin, bu noktalarda eşit olmadığını daha önce görmüştük. İşte bu nedenle doğan süreksizliğe, Sıçrama Süreksiz-liği denir. Ancak dikkat edilirse her c tamsayısı için Erey f (*) = c olduğu

194

için bu işlev c noktasında Sağdan süreklidir. Buna karşılık soldan sürekli değildir. O halde bir işlevin bir noktada sürekli olması için hem sağdan ve hem de soldan sürekli olması gerekir. ÖRNEK: f(x) = x2, x = 2 noktasında sürekli midir? i) f(x) in x = 2 noktasında tanımlandığını varsayalım, ii) Erey f(x) = (2)2 = 4

x-*2

M = 4 Erey f(x) = /(2)

olduğundan bu işlev x — 2 noktasında süreklidir. Buraya kadar olan açıklamalardan, bir işlevin çizgesinin kesintisiz bir

eğri ile gösterilebilmesi halinde sözkonusu işleve sürekli diyebileceğimiz sez-gisel olarak ortaya çıkmaktadır. Ancak aşağıdaki örnekten de görülebileceği üzere her süreKİi işlevi çizgesel olarak gösteremeyebiliriz. ÖRNEK: SOKOLNIKOFF (1939, s. 33)

f(x) = x sin — x ^ 0 x = 0 x = 0

olsun. Sin sınırlı bir işlevdir. Bu nedenle x

Erey x sin —— = 0 *-o x olur. Ancak biz bu işlevin çizgesini elde etmeğe çalışırsak, 0 noktasına yaklaş-tıkça, sonsuz sık bir biçimde salınacağından bunu çizemeyiz. Ancak, bu işlevi sürekli olarak tanımlamamıza engel olmamaktadır.

Şimdi de sürekli işlevlere ilişkin bazı temel özellikleri, kanıtlamaksızm bir dizi teorem biçiminde görelim. TEOREM 14.2.1: f(x) ve g(x), c noktasında sürekli işlevler olsun. O halde

i )/(*) + g(*) ii) /(*) - g(x) iii; /(*) — g(*) .

iv) g (c) ^ 0 ise f(*) g(*)

c noktasında süreklidirler.

195

KANIT: Tanımın uygulanmasıyla elde edilir.

TEOREM 14.2.2: X, Y e R;/ : X Y, g: Y - > R olsun.

x e X ve y0=f(x0) olsun./, noktasında veg, y 0 noktasında sürekli olsunlar. O halde, gOf, xa noktasında süreklidir. Yani sürekli işlevlerin bileşkesi süreklidir.

KANIT: LANG (1968, s, 52).

TEOREM 14.2.3: (BOLZANO TEOREMİ), f(x), [a,b] kapalı aralığmdaki her noktada sürekli ve/(a) ile/(6) nin işaretleri ters olsun. (Yani birisi artı ise öte-kisi eksi olsun). O halde (a,b) açık aralığında en az bir tane öyle c noktası vardır ki, bu noktada/(c) = 0 dır.

KANIT: APOSTOL (1967, Vol I, s. 143-4)

Bu teoremi şeki üzerinde gösterebiliriz. Aşağıdaki şekilde c noktasının bir tane olması hali gösterilmiştir.

Görüldüğü gibi f(x) sürekli olduğu için en az bir kere, yatay ekseni kes-mek zorundadır. TEOREM 14.2.4: (UÇ DEĞER TEOREMİ) f(xj, [a,b] kapalı aralığı üzerinde sürekli olsun. O halde öyle bir c e [a,6] noktası vardır ki bu noktada f(c) Sş f(x) V.Y e [a,6] dir. Yani bu bir ençok (maximum) noktasıdır. Yine öyle bir de [o, b] noktası vardır ki bu noktada f(x) 7> f(d) V x e [a, b] dir. Bu da enaz (minimum) noktasıdır. KANIT: LANG (1968, s. 52)

196

TEOREM 14.2.5: (ARA DEĞER TEOREMİ) f(x), [0,6] kapalı aralığı üzerinde sürekli bir işlev, A = /(a), B = f(b) ve C £ (A,B) olsun. O halde 3 c e (a,b) e- f(c). = C. KANIT: LANG, (1968, s, 53). ÖRNEK: Sürekliliğe ilişkin bu teoremleri kullanarak, özellikle ileri iktisat kurammda çok başvurulan bir teoremin özel bir halini kanıtlayalım. TEOREM: /(*), [0, 1] aralığı üzerinde sürekli ve V * e [0,1] için f(x)e [0,1] olsun. O halde en az öyle bir c £ [0,1] noktası vardır ki,/(c) = c dir.

Önce teoremin ne anlama geldiğini anlayabilmek için aşağıdaki şekilde bakalım.

Şekil 14.2.2 j

Bu şekilde bir kare görülüyor. Gerek eni ve gerekse boyu 1 ahnmış, x e [0,1] olduğunda teoremin varsayımı gereği f (x) e [0,1] oluyor. Şekilde sol alt köşeden sağ üst köşeye giden köşegen yatay (ve dikey) eksen ile 45° açı yap-maktadır. Dolayısı ile bu eksen üzerinde x = f(x) dir. Teoremin önermesi, tüm [0,1 ] arahğı üzerinde tanımlanmış sürekli bir işlevin bu ekseni en az bir kez keseceğidir. Bunu kanıthyabilmek için

8 (*) = /(*) " * diyelim ve g(x1) ile g(x2) gibi işaretleri garklı iki nokta seçelim. Bu durumda Bolzano Teoremini (Teorem 14.2.3) kullanarak 3 c e (xt, x2) s-g(c) =f(c) - c = 0 olacağı sonucunu elde ederiz. O halde bu c noktasında (noktalarında) /(c) = c dir.

1 9 7

Kanıtladığımız bu teoremin genel hali BROUWER TEOREMİ adını alır. Bu teorem özellikle bir denklem dizgesinin çözümünün varlığını kanıt-lamada çok önem taşır. İktisatta da genel dengenin varlığının kanıtlanmasında kullanılmaktadır.

ALIŞTIRMALAR:

A. 14.1 : Aşağıdaki işlevlerin ereylerini bulun.

i) Erey 6x X~*2

ii) Erey (3x - 1)

.... x2 - 6x m) Erey X->4 X —

iv) Erey (*3 + 3 x2 - 2x - 17)

A.14.2. Erey f(x) = 20 ve Erey g(x) = 4

i) Erey f(x) g (x) nedir?

ii) Erey I&L- nedir? s(x)

A.14.3. y= î(xv xn) = /(x) çok değişkenli bir işlev, İV, (L, e), L nokta-sının bir e yarı çaplı yöresi N2 (x0, 8) ise xQ noktasının S yarı çaplı yöresi olsun.

| | x - x 0 f <S =>[/(*)-L| < s

Yani

x e İV (xQ,S), x jt x„ olduğunda/(x) e İV, (L, s) ise, f işlevinin x-*x0 olu-ğunda ereyi L dir, denir. (COURANT-JOHN, 1974, II, s. 19)

Bu tanımın ışığında aşağıdaki işlevlerin ereylerini bulun.

i) Eı ey 3x,x2 X -»2 1 * "»4

2

ii) Erey x21 x2

z - 3 x2 x -M ı * -»2 2

198

.... 3 xl2 - 6 x2 uı) Erey / , _\2

X -2 (T, "t" *2) 1

* -*2 2

A.14.4 Erey ^ = —

olduğunu gösterin.

[Yol gösterme: (1- \/z) (1 + V») = 1-* dir.]

KAYNAKLAR

T.M. APOSTOL (1967): Calculus, Vol. 1, 2 nd Ed. Xerox, Waltram, Mass., s. 126-155.

S. A Y D I N (1974): Analize Giriş, Cilt I, Başarı Yayınları, İstanbul, s. 96-127.

R. COURANT - F. JOHN (1974): Introduction to Calculus and Analysis, Vol, 2, John Wiley, NewYork,

s. 19-22.

A. ESÎN - E. AĞLI (1978): Genel Matematik AİTİA Yayını, 8, s. 94-126.

S. LANG (1968): Analysis I, Addison Wesley, Readıng, Mass., s. 30-55.

S.M. NIKOLSKY (1977): A Course of Mathematical Analysis, Vol I, MIR Publishers, Moscon-, s. 68-112.

G. SABAN (1971): Analiz Dersleri, Cilt I, I .Ü.Fen Fakültesi yayını, sayı 108, İstanbul s. 267-286.

G.B. THOMAS (1968): Calculus and Analytic Geometry, 4 th ed. Addison Wesley, Reading, Mass., s. 43 -

65.

1 9 9

15. Bölüm

T Ü R E V

Bu bölümde iktisadi çözümlemelerde çok başvurulan türev kavramına ve bu kavrama ilişkin kuramsal sorunlara değineceğiz. Altbölüm 15.1de tür-evin ne olduğu, türevlenebilirliğin ne anlama geldiği üzerinde durulacaktır. Altbölüm 15.2 de tek değişkenli işlevlerde türev alma kuralları ve bazı temel teoremler üzerinde durulacak, izleyen altbölümde ise bunlar çok değişkenli işlevlere genellenecektir. Altbölüm 15.4 de türevsel (differential) ve toplam türev kavramları incelenecektir. Alt bölüm 15.5. de ise yöney değerli işlevlerde türev sorununa giriş yapılacak, bu bölüm örtük işlevler konusunun incelen-mesiyle bitirilecektir.

15.1. Bir Eğrinin Eğimi, Türev ve Türevlenebilirük

Türev kavramına varabilmek için geometrik bir kavramdan bir eğrinin eğiminden, yararlanalım. Aşağıdaki şekli ele alabm.

y

- > X

Şekil 15.1.1

2 0 0

A noktasının konsayıları (coordinates) (x\, Xı) ve B noktasının konsayıları (x2, y2) olsun. x2 - Xı — A*, y2 ~ yı = Ay diyelim

A noktasıyla B noktasını birleştiren doğru parçasının eğimi, bilindiği üzere

Tan x = " * = -^L x2 - x1 A* Şimdi A noktasını sabit tutalım; ve B noktasını f(x) üzerinde A ya doğru

hareket ettirelim. Bu durumda şekilden de izlenebileceği üzere eğim değişe-cektir. Ancak bu değişme B noktası A ya yaklaştıkça giderek azalacak ve so-nunda sabit bir erey değere yaklaşacaktır, işte bu değere "A noktasında f(x)'e teğet olan doğrunun eğimi" ya da kısaca "/(*) in A noktasında eğimi" denir.

Şimdi bu açıklamalarımızı simgelerle ifade ederek bu kavramı türev kavramı ile ilişkilendirelim. B nin konsayıları Şekil 15.1 den de izlenebiline-ceği üzere x2 = xl + A*, y2 = y, + A y biçiminde ifade edilebilir. B noktasının A ya yaklaşmasının x in sıfıra gitmesi ile eş anlamlı olduğuna da dikkat edilirse, yukarıda betimlenen süreç

Erey * ~ * = Erey (y' + = Erey + aA*}

biçiminde gösterilebilir.

TANIM 15.1.1: y= f(x) işlevini ve bu işlevin önalanı içinde yer alan bir xx noktasını düşünelim.

Erey / (*. +. A«) - f(«.) A*-o A* y = / (x) işlevinin Xı noktasındaki Türevi (Derivative) denir. Eğer xx nokta-sında bu erey tanımlanabiliyorsa, f(x), x1 noktasında Türevlenebilir (Differen-tiable) denir. Eğer / 'nin önalanındaki her noktada bu türev tanımlanabili-yorsa, f türevlenebilir bir işlevdir.

Dikkat edilirse türev bağımsız değişkendeki, y, değişme miktarının, ba-ğımlı değişkendeki değişme miktarına, x, oranıdır. O halde x deki değişmeyi birim kabul edersek, türev y deki, yani bağımlı değişkendeki değişme oranını verecektir. NOT: Türev çeşitli biçimlerde gösterilir, y = f(x) işlevinin türevi

dy

— , /' (x), y', Dxy ifadelerinden birisine başvurularak gös-

terilebilir. Biz bu kitapta ilk iki gösterimi kullanacağız. O halde 2 0 1

ÖRNEK 1: y— /(*) — 4 *2 , x ^ O işlevinin türevini *jX

yukarıda verilen tanıma uygun olarak bulalım.

/ (* + A») = 4(* + A*)2 - 3 ( x A x ) = 4 *2 + A* + 4

(A*)2 1

f(x) = 4x2

3x + 3 A*

1 3x

/ ( * + A*) -f(x) = 8* A* + 4(A*)2 - 3 , + 3 A , + - 3 ^

3 A*

= 8* A* + 4 ( A *) 2 + 9 > ( x % A x )

= A* (8, + 4A») + g x { x \ A x )

her iki tarafı A*'e bölelim. f(x + A*) - f(x) = 8 x + İ A x + Ax 3*2 + 3* A*

/'(*) = Erey /(* + x] ~ / (*) = £ r e j ( 8 * + 4 A* + 3*2 + 3*A*

8 * + 0 + o , 1 n = 8* + 1 3 * 2 + 0 ' 3*2

ÖRNEK 2: Bir firmanın maliyet işlevini düşünelim. Bu işlevi C = f(Q) bi-çiminde yazalım. Burada C toplam maliyeti, Q ise üretilen miktarı göstersin. Şimdi üretilen miktarda küçük bir artışın maliyetleri ne kadar artırdığı soru-

dC sunu soralım. Yukarıdaki kavramsal geliştirmenin ışığında bunun • ^ ile ifade edilen büyüklük olduğunu kolayca görürüz. Diğer taraftan iktisat kura-mından da biz bunun marjinal maliyet olduğunu biliyoruz. O halde bize bir toplam maliyet işlevi verildiğinde marjinal maliyeti bulabilmek için söz ko-nusu işlevin türevini bulmamız gerekmektedir. NOT: Aynı açıklamanın marjinal hasılat, marjinal fayda için de geçerli oldu-ğu açıktır.

202

Türevlenebilirlik ile süreklilik arasında bir bağıntı vardır. Bu çok önemli bağıntıyı bir teorem olarak ifade edelim. TEOREM 15.1.1: y = f(x) işlevi xa noktasında türevlenebiliyorsa sürek-lidir. Buna karşılık /(*)'in x 0 noktasında sürekli olması türevlenebilir olması için yeterli değildir. KANIT: Bu teoremin ilk kısmının tam bir kanıtı için örneğin R. G. BARTLE (1964, s. 229)'a bakılabilir. Biz burada daba sezgisel fakat anlaşılması kolay bir kanıt vermekle yetiniyoruz.

y = f(x) işlevinin xQ noktasındaki türevi tanım gereği

f'(x0) = Erey = Erey ~ ^ Ax->0 A * X~*Xq X — x0

biçiminde yazılabilir. Diğer taraftan herbangi bir sayının sıfır olmayan bir sayı ile çarpılıp bölünmesi halinde işareti değişmeyeceğinden

/(*) - /(*o) = r y -yazabiliriz. Şimdi bu son ifadenin ereyini bulalım.

Erey [/(*) - /(*„)] = Erey f~ / ( j ~ f (x°] (x - *0)~|

Burada *„'ın bir sabit olduğu gözönüne alınırsa

Erey [/(*) - /(*„)] = Erey [/(*) - /(*„)] x~x0 x->xa

olacağından

Erey [ü>tzJM ( x _ Xo)l = Erey (fW~f(*A Erey (x - xa) x->x0 L x — x0 J x->x0 \ x — Xa / = /'(«o) [Erey (x - *„)]

x-xa

= / ' ( * o ) ( * o - * o ) = 0

buluruz. O halde, bu bulgumuzu yerine koyarsak Erey f(x) - f(xa) = 0 x->xa

Yani

Erey f(x) = f(x0) x->xa

buluruz. Bu da f (*)Jin xQ noktasında sürekli olması demektir.

203

Teoremin ikinci kısmı ise bir karşı örnek verilerek kanıtlanabilir. Nite-kim ünlü Alman matematikçisi Kari Weierstrass (1815-1897), Berlin Bilimler Akademisinde, 18 Temmuz 1872'de okuduğu notta, önalanmda, alabileceği her değer için sürekli olduğu halde hiçbir noktasında türevlenemeyen

F(*) = S 6" cos (a" n x) 0 < b < 1 n"° a tek sayı

işlevini sunarak, bu özelliği göstermiş ve matematik dünyasını da şaşkınlığa boğmuştu.1

Burada biz yine basit bir karşı örnek vererek teoremin doğruluğunu gös-termek yoluna gideceğiz. Aşağıdaki işlevi ele alalım.

y = [« — 61 + 4 * e R Bu işlevin çizgesi aşağıda gösterildiği gibi olup A = (6, 4) noktası dışın-

daki noktalarda, bu işlevin hem sürekli ve hem de türevlenebilir olduğu açık-tır. Ancak A noktasında durum o kadar açık değildir.

y A

Aİ6.4J

Şekil 15.1.2

Nitekim biraz dikkatle incelersek, A noktasında /(*) in sürekli fakat tü-revlenebilir olmadığını görürüz. A noktası/(*) in önalanı içindedir. Diğer ta-raftan

1 EDVARD GOURSAT: A Course in Mathematical Analysis: Vol I, Applications to Geometry, Expansion in Series Definite Integrals, Derivatives and Differentials, İngilizeeye çeviren E.R. Hedrick, 1905 (Dover Baskısı, 1959), s. 423-425.

2 0 4

Erey \x — 61 + 4 = 4

ve Erey — 6 | + 4 = 4

olduğundan bu noktada ereyi vardır ve bu Erey \x — 6| + 4 = 4 X-*6

sonucunu verir. Diğer taraftan /(6) = 16 - 61 + 4 = 4

olduğundan

Erey f(x) = f (6) X-+6 /

yazabiliriz. O halde f{x), x0 = 6 noktasında süreklidir.

Şimdi xa — 6 n o k t a s ı n d a i n türevlenebilir olup olmadığına bakalım. Hatırlanacağı üzere x0 = 6 noktasında f (x) in türevlenebilir olması demek

EreyM^fB = Erey l « - 6 | + 4 - 4 = l « - 6 |

X->6 x — O x->6 X — O x->6 X — 6

ereyinin bu noktada tanımlanabilmesi demektir. Bu ise xB = 6 noktasında _ ^ ifadesinin sağ ve sol taraf ereylerinin birbirlerine eşit olması

halinde olanaklıdır. Şimdi bu ereyleri bulalım. Sağ taraf ereyi

I* — 61 Erey -1 — x~6+ x — b olup, bu durumda x > 6 olduğundan | x — 6 | — x — 6 olacağından

-^F-Şr = - F ı r = 1 X-+6+ X — O X — O

elde edilir. Sol taraf ereyine gelince I* - 61

Erey J- J-X -*6— X O biçiminde tanımlandığı ve x < 6 olduğundan \x — 61 = 6 — x — — (x—6) olup

Erey '* ~ = ~ 6 ) = -1 * — 6 * — 6

205

elde edilir. O halde xa noktasında, bu sağ ve sol taraf ereyler eşit olmadığından, f(x) türevlenemez.

(Î.K.) Demek ki süreklilik, türevlenebilirlik için gerek fakat yeterli olmayan bir

koşuldur.

15.2. Tek Değişkenli işlevlerde Türev Alma Kuralları Bu bölümde kanıtlamaksızın bazı temel türev alma kurallarını vermekle

yetinecek ve bazı örnekler yapacağız:1

TEOREM 15.2.1: y = f(x) türevlenebilir bir işlev olsun. (1) f(x) = k, k bir sabit ise f'(x) = 0 dır. (2) f(x) = x ise f'(x) = 1 dir. (3) f(x) = x", n bir sayı ise f'(x) = nxn~l dir. (4) f(x) = k x" ise f'(x) = kn xn_1 dir. (5) f(x) = e* ise f'(x) = ex dir.

Burada e, özel bir sayıdır, e sayısı şöyle tanımlanır. n

e = 4 ) = 2 ' 71828

(6) f(x) = enx, n bir sayı ise f'(x) = nenx

(7) f(x) = kx, k bir sabit ise, f'(x) — kx Ln x Burada Ln x = Loge x, olup *'in e tabanına göre logaritması, ya da doğal

logaritmasıdır. (8) f(x) =x Loga x ise f'(x) = Loga e

Burada Loga e, e'in a tabanına göre logaritmasıdır. Burada a herhangi bir sayıdır. Bilindiği gibi genellikle a = 10 alınmaktadır.

(9) f(x) = Ln x ise f'(x) = ar1

(10) f(x) = Sin x ise f'(x) = Cos x (11) f(x) = Cos x ise f'(x) = —Sin x (12) f(x) = Tan x ise f'(x) = Sec2x

Burada Sec x = —— dir. Cos x

1 Bizim bu kitapta başvurmadığımız bazı başka ifadelerin türevlerinin neye eşit olduğu konusun-da örneğin The Chemical Rubber Company: Standard Mathematical Tables, X I X . Baskı, 1971, s. 386-9 bakılabilir. Türev sonuçlarının kanıtlanması için de örneğin G.B. THOMAS (1968), s. 66-105 bakılabi-lir.

206

(13) f(x) = Cot x ise f'(x) = Csc2 x

Burada Csc x — —j— dir. Sın x

(14) f(x) = Sec x ise f'(x) = Tan x. Sec x (15) f(x) = Csc x ise f'(x) = —Cot x. Csc x Şimdi de aynı x değişkeninin türevlenebilir işlevleri olan farklı işlevleri

ele alıp bunların toplamı, çarpımı ve bölümünün türevlerinin nasıl bulunaca-ğını görelim. TEOREM 15.2.2:

i) f(x) ve g(*), -t'in iki ayrı türevlenebilir işlevi olsun.

[/(*) T «(*)] = /'(*) T g'(*) ii) /,(*), , fn (x) n tane türevlenebilir işlev olsun.

-A [ f ı ( x ) T . . . . T /„(*)] = f\(X) + T fn (*)

iii) /(x) ve g(x) x'in türevlenebilir iki işlevi olsun.

[/(*)•«(*)] =/'<*)•«(*) + G'(*)-M

iv) /,(*), . . .,/„(*), *'in n tane türevlenebilir işlevi olsun. •

[/,(*) -M • • -M ı = F» • IM -M*) • • • M ı + A(*)-[/i(*)- •••• / » ] +•

+ / '»(*)•[/, (*) •/,(*) /»-ıM] v) /(*) ve g(x) *'in türevlenebilir iki işlevi olsun.

d r /(*) T = /'(*) g(x) - g'(x) f(x) dx L g(x) J [g(x)Y

KANIT: Bu teoremin kanıtı için örneğin APOSTOL, (1967, vol I, s. 164-5) bakılabilir.

ÖRNEK l : y = 3 * 3 + 6 x 2 — 4 * -f 7 olsun. Biz bunu f(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + f4(x) /,(*) = 3*\ f2(x) = 6x\ f3(x) = - 4x, /,(*) = 7 biçiminde ifade edebiliriz. Teorem 15.2.2 ii den

207

~dT /<*> = -TX- /.<*> + fM + m + sr /«(«> olacağından

d y - 9 + 12 * - 4

dx bulunur. O halde buradan bir çok terimlinin türevinin, her bir teriminin türevi-nin toplam (ya da farkına) eşit olacağı sonucuna varabiliriz. ÖRNEK 2: f(x) = (3x2 + 6x - 1) (2x - 1) olsun.

g(x) = 3x2 + 6x — 1 ve h(x) = 2x — 1 dersek f(x) = g(x). h(x) olur ve g'(x) = 6x + 6, h'(x) = 2

olduğundan

= (6x+ 6) (2x—1) + 2(3*2 + 6*—1) = 18 *

2 + 18 *-8

dx

ÖRNEK 3: f(x) = 3*2 + 6* - 3

J y ' 6 *

3— 3 *

2 + 4*—1

g(x) = 3 x2 + 6x - 3 h(x) = 6x3 — 3x2 + 4x — 1 dersek

g'(x) . h(x) - h'(x) g(x) M =

sağın

/'(*) =

[M*)]2

olacağından (6 * + 6) (6*

3 - 3*

2 + 4* - 1 ) - (18 *

2- 6 * + 4 ) (3*

2+6*-3)

(6x3 - 3 x2 + 4*-l)2

— 1 8 *4 - 7 2 *

3 + 84 *

2 — 24* + 6

(6 *3 - 3 *

2 + * - l)

2

Şimdi türevlere ilişkin bir dizi önemli teoremi görelim. TEOREM 15.2.3: (ROLLE TEOREMİ) y = / (*) işlevi [a, ft] kapalı aralı-ğının her noktasında sürekli ve (a, b) açık aralığının her noktasında türev-lenebilir olsun. Ayrıca/(a) = f(b) olsun. O halde (a,b) açık aralığı içinde en az bir noktada, c noktası, f'(c) = 0 dır. KANIT: APOSTOL, (1967, Vol I, s. 184).

Aşağıdaki şekilde c noktasında /'(c) = 0 dır. Bu teoremin daha genel bir hali ise "ortalama değer teoremi" adını alır.

TEOREM 15.2.4: (ORTALAMA DEĞER TEOREMİ) y = f(x) işlevi [a, b] kapalı aralığının her noktasında sürekli ve (a, b) açık aralığının her nokta-sında türevlenebilir olsun. Bu durumda

2 0 8

f(b) - f(a) = f'(c) (b - a) koşulunu sağlayan en az bir c 6 (a, b) noktası vardır. KANIT: APOSTOL, (1967, Yol I, s. 185)

Şimdi vereceğimiz teoremde ise bir işlev türü tanımlıyoruz. TEOREM 15.2.5: y = f (x) işlevi [a, b ] kapalı aralığının her noktasında türevlenebilir olsun. Bu durumda

i) V x e (a, b) içinf'(x) > 0 ise,/, [a, b] üzerinde Kesin Artan (Strictly Inc-reasing) bir işlevdir.

ii) V x e (o, b) için f'(x) < 0 ise, / , [a, 6] üzerinde Kesin Azalan (Strictly Decreasing) bir işlevdir.

iii) V x e (o, b) için f'(x) = 0 ise,/, [a, 6] üzerinde Sabit (Constant) bir işlev-dir.

KANIT: i) x0 < xx ve a < x„ < x, olsun. [ xQ, kapalı aralığı için ortalama değer

teoremini uygularsak

/(*,) - f(*o) = /'(<•) (*, —*o) O < C <

2 0 9

f'(c) > O ve xx — x0 > O olduğunda f(xl) > f(xa) dır.

ii) Aynı durumda/'(c) < 0 i s e / ^ ) <f(x0) dır.

iii) Eğer bu koşullarda f'(c) = 0 olursa/(*,) = / (*„ ) olacağı ve bu tüm [a,b) aralığında geçerli olacağı için f sabit bir işlevdir. (t.K.)

NOT: [o, b] üzerinde kesin artan (azalan) işlev deyimi yerine [o, b] üze-rinde tekdüze artau (azalan) işlev de denilmektedir.

Şimdi vereceğimiz teorem ise bir işlevin evriğinin türevi ile işlevin kendi türevi arasındaki bağıntıyı vermektedir:

TEOREM 15.2.6: y = f(x), [a, b] kapalı aralığında kesinlikle artan (aza-lan) bir işlev ve x = g(y) bu işlevin evriği olsun. Bu durumda herhangi bir xa e (a, b) noktasına karşılık gelen yQ = f(xa) noktasında g'(y0) vardır ve sıfır değildir. Ayrıca,

dx 1 1 = 8 M = -Fr-r = , - r — dır. dy f'(x) , dy \

{ dx )

KANIT: G.B. THOMAS (1968, s. 77).

ÖRNEK: ac' e R

verilsin

= 9 + 1 dir. dx

Dikkat edilirse x eksi bir gerçel sayı olsa bile karesi artıdır. Ayrıca x — 0

d\

olduğunda ^ = l'dir. O halde

d y > 0 * £ R

dx yazabiliriz, y — f(x) kesin artan, (tekdüze artan) bir işlevdir. Bu durumda

dx 1 1 giy) — dy s dy/dx 9 x2 +1

bulunur. TEOREM 15.2.7: (ZİNCİR KURALI) y = f(x) v e ı = g(z) türevlenebilir işlevler olsun. Bu durumda h = f Q g bileşke işlevinin türevi

210

dh df dx dz dx ' dz

biçiminde bulunur.1

KANİT: G.B. THOMAS (1968, s. 89). ÖRNEK 1: y = 3x2 + 6 * + 1 ve * = 4 z2 - 3 z + 2 olsun. Bu durumda zincir kuralından yararlanarak,

-J- = (& x + 6) (8 z - 3)

bulunur. Sonucu sadece z cinsinden ifade etmek istersek

= [6 (4z2 - 3z + 2) + 6] [8 z - 3] dz

= 192 z3 - 72 z2 + 198 z — 54 bulunur. ÖRNEK 2: Bir firmanın maliyet işlevi

C = / ( 0 = W + 6<? + 4 biçiminde olsun. Burada Q üretilen mal miktarını göstermektedir. Firmanın girdi olarak sadece emek (L) kullandığını varsayalım. Bu durumda firmanın üretim işlevi

Q = 5L2 + 3L - 1 biçiminde verilsin. Bu durumda firmanın kullandığı emek miktarında bir bi-rim artış olursa firmanın ürettiği malın maliyetinde ne kadar değişme olur?

Bu soruda C = f(Q) ve Q = g(L) iki işlevin bileşkesinden oluşan C = h (L) = f O g işlevinin türevini bulmak gerekmektedir. Zincir kuralından

dC dC_ jlQ_ dL dQ dL

= (6 Q + 6) (10 L + 3) = (18 L2 + 36 L + 30) (10 L + 3) = 180 L3 + 414 L2 + 408 L + 90

bulunur. Dikkat edilirse, bir işlevin türevi alındığında ortaya çıkan ifade bir işlev-

dir. Bu işlevin de türevlenebilir olması halinde, bunun türevlerine ilk işlevin

. . . . . . . . d2 y ikinci türevi denir ve y = f(x) olduğunda ikinci türev ——,f", y",D2

xy

1 Buna "işlevin işlevi" kuralı da denir.

211

simgelerinden birisi ile gösterilir. Biz daha çok ilk iki simgeye başvuracağız. Bu yolu sürdürerek bir işlevin n-inci türevi de tanımlanabilir.

Birinci türev nasıl bir işlevin değişme oranını (eğimini) ölçerse, ikinci tü-rev de bir işlevin eğiminin değişme oranını yani esas işlevdeki değişme oranının değişme oranını ölçer.

Bir işlevin ilk iki türevinin işaretinin belli yönde olması halinde bu işlev-ler hakkında oldukça bilgi sahibi oluruz. Bu konuda karşılaşılabilecek temel durumlar ve bunların yorumu aşağıdaki Tablo 15.1 de verilmiştir.

TABLO 1S.1

Durum /'(s) /"<*) M (i) > 0 < 0 Azalan oranda artıyor

(«) > 0 = 0 Sabit oranda artıyor

(iü) > 0 > 0 Artan oranda artıyor

(iv) < 0 < 0 Artan oranda azalıyor

(v) < 0 = 0 Sabit oranda azahyor (vi) < 0 > 0 Azalan oranda azalıyor

(vii) = 0 = 0 Sabit

Aşağıdaki Şekil 15.2.2 de bu tabloda verilen işlevlere birer örnek gösteril-mektedir.

Türev işlevinin taşıdığı özelliklerden birisi de, bu işlevin sürekli olup ol-madığıdır. Eğer bir işlevin birinci türevi sürekli bir işlev veriyorsa, buna C1

sınıfı içinde yer alan işlev denir. Eğer bir işlevin hem birinci ve hem de ikinci türevi sürekli ise bu C2 sınıfı içinde yer alır. Sonsuz sıradan türevi alındığında yine sürekli türevi olan işlevlere C0 0 içinde yer alıyor ya da düzgün (smooth) işlev denir, [y = ex gibi]. Bu kitapta ele alacağımız konular için, genellikle C2 içinde olan işlevlere başvurmak yeterli olacaktır.

15.3. Çok Değişkenli İşlevlerde Türev

Şimdiye kadar ele aldığımız işlevlerde bir açıklayıcı değişken olduğunu varsaymıştık. Bu bölümde bu kısıtlamayı kaldırıyor ve açıklayıcı değişken sayısının n tane olduğunu (n Şg 2) varsayıyoruz. Böyle bir işlev, genel olarak (15.3.1) y = / (*„ *„ , *„)

biçiminde ifade edilebilir. Burada, x = (*,, xn) e R" varsayılmaktadır.

TANIM 15.3.1: y = , xn) olsun. 8 y _ E Ay = E f(«p •. ,xt +A* ; , • • ,*.)-/(*!,•• ,*„) Sxt Ax, A * ; A * j

ifadesine y'nin x j 'ye göre Birinci Sıra Tikel Türevi (partial derivative) denir.

212

(Vii)

Şekil 15.2.2

213

Burada ———1 diğer tüm bağımsız değişkenler (açıklayıcı değişkenler) sabit 8xt

tutulduğunda, i^'deki değişmeye göre y'de meydana gelen değişme oranını gösterir.

Bir işlevin tüm açıklayıcı değişkenlerine göre tikel türevlerinden oluşan yöneye ise Eğim (Gradient) denir ve

V f = (-£ â L _ J L \ V 8XL ' 8X2 ' ' 8xn )

biçiminde gösterilir. Tikel türev abnanın kuralları, diğer değişkenlerin sabit kabul edilmesi

dışında, daha önce gördüğümüz türev kurallarının aynısıdır.

ÖRNEK: y = 3 x2 x2

2 + 6 x2 — 8 x2 — 3 x22

-J2L = 6 x 2 x2 + 6 - 6 *2

Çok değişkenli bir işlevin bir noktada tikel türevlerinin var olması, bu , işlevin o noktada türevlenebilirliği için gerekli ancak yeterli değildir. Yeterlik

koşulu aşağıdaki teoremde verilmektedir. TEOREM 15.3.1: y = /(*„ ..., xn) işlevininin xQ = (*°„ x°n) noktasında türevlenebilir olması için bu işlevin tüm tikel türevlerinin x0 'ın bir IV(x0, S) yöresi içinde tanımlanmış ve ayrıca xQ noktasında sürekli olmaları yeterlidir. KANIT: TAYLOR-MANN (1972, s. 212-4)

Daha önceki tartışmalardan da hatırlanacağı üzere, türev işlevi de türev-lenebilirlik özelliği gösterebilir. Böyle olduğunda tikel türevin de türevleri ahnabilir. Bunlara ikinci sıra tikel türevler denir.

y = f (rıtj,... .,xn) işlevinin xi,ye göre tikel türevini -—•— ile göste-

dxi relim. Bu tikel türev işlevinin x/ye göre tikel türevi,/'nin bir ikinci sıra tikel

82f türevi olup j ¥= i olduğunda — — biçiminde gösterilir. Buna Çapraz uXj CX £

Türev (Cross Derivative) denir. Eğer i = j ise bu ifade a 2 / 8x2

biçiminde yazılır.

1 d / biçiminde de ifade edilir. Ayrıca yxi ) biçiminde de ifade edilebilmektedir. Bu kitapta 8xi

I L - ya da gösterimlerine başvurulacaktır.

8X; 8x: 2 1 4

Dikkat edilirse n bağımsız değişkeni olan bir işlevin n1 tane ikinci sıra ti-kel türevi vardır ve bunlar (i, j) dizin çiftine göre sıralanmaktadırlar. Bu ne-denle biz bu ikinci sıra tikel türevleri aşağıdaki biçimde bir dizey olarak ifade edebiliriz.

H,

82f e2f s2f 8x 2 8xt 8X2 8xl 8xn

s2f 82f 82f 8x2 8x , 8x2 8X2 8xn

82f 82f 82f a». 2

Bu dizeye / işlevinin HESSE DlZEYl1 denir. Bu dizeyin öğelerinin ala-cağı değerler, söz konusu ikinci sıra tikel türevlerin hangi noktada değerlen-dirildiklerine bağlıdır.

ÖRNEK: y = 3 x,3 +6 x2 x.2 + 4 x2

3

işlevi verilsin. i) Bu işlevin tüm birinci ve ikinci sıra tikel türevlerini bulabm. ii) Eğim yöneyini yazakm.

iii) Hesse dizeyini oluşturalım ve x° = 2 x2° = 1 noktasında değerlen-direlim.

i) y = / (*„ *2) = 3 V + 6 X2 X2 + 4 x23

işlevinin birinci sıra tikel türevleri 0/ 8x, = 9 x2 + 12 X l f - = 12 *2 + 12 x2*

İkinci sıra tikel türevler. 82f

8x2 18 x, + 12 x2: 82f

8X22 = 12 x2 + 24 x2

82f 8X2 fix,

24 x, x2, 82f 8XJ 8X2

24 x t x2

1 Ludwig Otto Hesse (1811-1874) bir Alman matematikçisidir.

215

ii) Eğim yöneyi y / = (9 *,2 + 12 xtx2 12 *,2 *2 -f 12 *22)

iii) Hesse Dizeyi

H,

18 xx + 12 x2 24 xy x2

24 xx x2 12 x? + 24 x2

xl° — 2 x2° — 1 noktasında değerlendirirsek.

H, (2, 1) = 48

72

72

72

TEOREM 15.3.2: (YOUNG TEOREMİ) y = /(*, xn) e C2 olsun. (Yani/'nin birinci ve ikinci sıra tikel türevleri sürekli kabul edilsin). O balde

a2/ a2/ dxl dXj 8xj 8xj Vı, j 6 {1 71}

olur. KANIT: Örneğin SOKOLNIKOFF (1939, s. 87-9).

Bu önemli teorem bize / e C2 olduğunda H/nin bakışımlı bir dizey ola-cağını vermektedir.

Şimdi aşağıdaki sorunu ele alalım.

y =/'(*! » xn) v e

= gı (h, O

= gl (*1 U

Xn — gn fa' ••••» 'm) olsun. Acaba dy/dtj nasıl hesaplanabilir? Bu sorun zincir kurabnın tikel tü-revlere genelleştirilmesinden ibarettir. Aşağıdaki teorem bize bunun yanıtını vermektedir.1

TEOREM 15.3.3: y = /(*, *„) vexl = gi (t„ ...,tm),i=l, m birinci türevleri sürekli işlevler olsun. Bu durumda

dy _ " dy 3x, ~8tj i = 1 ~8x7 ' dtj

biçiminde bulunur.

i , . . . , m

X Bu işleme toplam türev alma da denilmektedir.

2 1 6

KANIT: THOMAS (1968, s. 513-515)

ÖRNEK: 1

y = 3 x 2 + 6 z, z2 — 2 x22

= 6 t 2 — 3 t, t2 + t, 2 t, t2

2 + t

gy _ _dy_ ay a*, at, — ~ât7

8Y = 6 + 6 **

- S r = 6 - 4 *2

- i - = 12 t, at,

2

at,

= (6 + 6 *2) (12 t, - t2) + (6 - 4 *2) (1 - 2 t\)

ve x2 nin karşılıklarını (t,, t2, t3) cinsinden yerine koyalım.

= (6 t,2 - 18 t, t2 + 6 t3 + 6 t, - 12 t, t / + 6 t32) (12 t, - t2)

+ 6 t,2 - 18 t, t2 + 6 t3 - 4 t, + 8 t, t2 - 4 t32) (1—2t2

2)

ÖRNEK 2:

Bir ekonomide sağlık hizmetlerinin kamusal denetim altında olduğunu düşünelim. Sağhk hizmetlerini sürdüren birimler, kısaca hastahaneler, sağlık hizmetleri fiyatmı

(1) P = g («, C) > 0 % < o

işlevine göre saptamaktadırlar. Burada w ortalama ücret olup, hastahanelerin tek maliyet kalemi olarak varsayılmaktadır. G ise devlet bütçesini göster-mektedir. Devlet bu ekonomide hastahanelerin giderlerini karşdamak için bütçeden yardım yapmaktadır. Bu denklem sağhk hizmetleri fiyatının ücret arttıkça artacağını, bütçeden alman katkı arttıkça azalacağını göstermektedir.

2 1 7

Diğer taraftan bu ekonomideki kişilerin harcanabilir geliri, Y, de W ve G'nin işlevidir.

(2) Y = M " . C) > 0 I I < 0.

Burada da kişilerin ücretleri arttıkça harcanabilir gelir artmakta, devlet büt-çesinin artması ise iktisadi büyümenin olmadığı ve tüm devlet harcamalarının vergiler ile karşılandığı varsayımları altında kişisel harcanabilir gelirin azal-masına yol açmaktadır.

Nihayet sağlık hizmetleri istemi ise

(3) Q = / (p, Y) < 0 > 0

Bu ise tipik bir istem işlevi olup sağlık hizmetlerinin fiyatı arttıkça istemin düşüp gelir arttıkça istemin artacağını göstermektedir.

Bir araştırmacı ekonometrik teknikler yardımıyla bu işlevleri kestirmeğe çalışmış ve (1') p = 3 to2 - G3

(2') Y = 4 w2 - 8 G2

(3') Q = 5 P + 3 Y + Y2

sonuçlarına ulaşmıştır. Burada w: saat başına TL, G ise milyar TL. olarak ölçülmüştür.

Bu bilgileri alan hükümet elindeki iki politika değişkeni olan w ya da G den birisini değiştirerek, insanların sağlık hizmetlerine olan istemini artırmak istemektedir, w — 1, G — 1 kabul edersek, devlet bu değişkenlerden hangisini arttırarak (siyasal açıdan ücretin düşürülmesiyle bütçenin azaltılmasının olanaksız olduğunu varsayalım) bu amacına ulaşabilir?

YANIT:

Soru ^ iie ^^ n i n işaretini belirlemeği gerektirmektedir. dw dG Q = f(p, Y) p — g (w, G) Y = h (w, G) olduğuna göre

8Q 8Q 8p • + •

8Q 8Y dw 8p 8w • + • 8Y 8w 8Q 8Q 8p + • 8Q 8Y 8G 8p 8G + • 8Y 8G

işlevlerden

218

8<> — — 5 3 + 2 y 8p 8Y 8P = 6 » = — 3 G2 0M7 Ö G

= O W -R-RR— = 16 G 8ıv 8G

Elde edilir, yerine koyarsak

= ( - 5 ) (6w) + (3+2Y) (8w) = -6w + 16 Yw

Y'nin karşılığını (2') den yerine koyarsak 8Q

= 64 w2 - 128 w G2 - 6 w 8w Elde edilir, w = 1, G — 1 yazılırsa

S - = 64 - 128 - 6 = - 70 < 0 8w

elde edilir, öte yandan

= (—5) ( - 3 G2) + (3 + 2Y) (-16G)

Y yerine (2') den karşılığı konursa

= 15 G2 - 48 G - 128 w2 G + 256 G3

8G elde edilir w = G = 1 yazarsak 8G = 15-48 - 128 + 256 = 95 > 0

bulunur. O halde ücret oranını değiştirmeme koşulu altında, bütçe ödeneklerini artırsak, bu, ekonomide sağlık hizmetlerine olan istemi artıracaktır.

Bu alt bölümde son olarak Tektürel (Homogenous) işlevler konusunu ele alacağız.

TANIM 15.3.2: Eğer y = f(x{, . . . . , xn) işlevinde herhangi bir X > 0 sayısı için/(X xv , X xn) = Xk f(xl>...., xn) özelliği sağlanıyorsa, / işlevi k- inci dereceden tektürel dir denir.

Tektürel işlevler için aşağdaki önemli teorem geçerlidir. TEOREM 15.3.4. (EULER TEOREMİ): y = /(%,,...., xn) e C1 ve / , k- inci dereceden tektürel ise

2 1 9

n s ~~J~7 Xİ = k.f(xı,....,xn)

KANIT: TAYLOR -MANN (1972, s. 184). s

Bu teoremin karşıtı da doğrudur. TEOREM 15.3.5: y = f(xl, xn) e Cl olsun. Eğer

n 8f

S — xt = k.f (xv xn) ise, / fc-ıncı dereceden tektüreldır.

ÖRNEK: y = f(xn xı) = S*!2 + 6 *2 + 4 x2

2

/(X*x, X*2) = 3(XaCj)2 + 6(X*,) (X*2) + 4(X*2)2

= X2 + X2 6 z2 + X2 4 *2

= X2 [3 + 6 *2 + 4 x2] = X2 /(*,, x,) O halde 2 inci dereceden tektüreldir.

8 f ~ 6*, + 6*2 İ = 6xt + 8X2 8xt

1 ' 2 8X2

4 dft W , S{

L X t = " ^ r x ı + " ^ r X z

= (6 xt + 6 x2) xt 4- (6 xx -f 8 *2) x 2

= 6 X* 6 xx x2 + 6 xx x2 8 x2z

= (x* + 12 x^x2 + 8 x 22 = 2(3 x 2 4" 4- W )

= 2 / (*,. XJ ÖRNEK 2: Bu teorem neoklasik bölüşüm kuramının temel önermesinin ka. nıtlanmasmda çok önemli bir rol oynamaktadır. Şimdi örnek olarak bunu görelim. Neoklasik kuramda üretim işlevi girdiler ile çıktı arasındaki bir ma-tematiksel bağıntıdır. Toprak ihmal edilirse, üretim için gerekli olan temel gir-diler emek (L) ve sermayedir, (K). Bu durumda neoklasik üretim işlevi

Q — f (K, L) biçiminde yazıbr. sermayenin marjinal fiziksel ürününü, 8K

ise emeğin marjinal fiziksel ürününü vermektedir. Çünkü her iki türev

de, karşılık geldiği girdinin miktarında küçük bir artış olduğunda çıktıda meydana gelecek artma oranını göstermektedir.

2 2 0

Diğer taraftan neoklasik kuramda ölçeğe göre sabit getiri varsayılmakta-dır. Bunun anlamı ise bütün girdiler aynı oranda artırıldığında üretimin de bu oranda artmasıdır. Simgesel olarak bu Q = f (XK, İL) = X/ (K, L) biçiminde yazılabilir. O halde neoklasik kuram üretim işlevinin birinci dere-ceden tektürel olmasını gerektirmektedir.

Şimdi elde edilen toplam ürünün emek ve sermaye arasında nasıl bölü-neceğini inceleyelim. Sermaye sahipleri, sermayeleri üzerinden belli bir miktar kâr jı elde edeceklerdir. Eğer kâr oranı r ile gösterilirse bu kâr ti — tK olacaktır. Diğer taraftan ücret oranı w ise toplam ödenecek ücret W = wL olacaktır. O halde elde edilen üründen kâr ve ücret olarak yapılacak ödeme-lerin toplamı rK -f~ wL olacaktır. Ancak ortada bir soru kalmaktadır. Acaba bu ödemeler toplam üretim değerini aşarsa ne olacaktır ? Ya da bu büyüklü-ğün altında kalırsa, geri kalan kime ait olacaktır ?

İşte bu noktada Euler Teoremi işe yaramaktadır. Birinci dereceden tek-türel işlevler için sözkonusu teorem

" 8f

E -d-x< = f(x> o olduğunu ifade etmektedir. Bunu neoklasik üretim işlevine uygularsak

Q = -2L- K + JL- L = rK + wL

yazılabilir. Yani her girdi sahibi, girdisinin marjinal katkısını, girdisinin hiz-met ücreti olarak ahrsa toplam üretim tümüyle bu girdi sahipleri arasında bölüşülmüş olacaktır. Böylece, bu tanımlanan koşullar altında neoklasik mar-jinal verimliliğe dayalı bölüşüm kuramı belirli sonuç verebilmektedir.

15.4. Türevsel, Toplam Türevsel ve Toplam Türev „ Ay • • •

y = f(x) işlevinin türevini A* 0 olduğunda • ifadesinin ulaş-A*

tığı değer olarak tanımlamış ve bunu dy /dx ile göstermiştik. Hatırlanacağı üzere türev bize z'de çok küçük bir değişme olduğunda y de meydana gelecek değişme oranını vermekteydi.

Şimdi şu soruyu soralım: Acaba x, /\x kadar arttığında y deki artış mik-tarı ne kadar olacaktır ? Açıktır ki bunu bulmanın yolu y' = f (x + A %) ve y = f(x) olduğunda y' — y = f(x + A*) — f(x) hesaplamaktır. Özellikle/(*)

221

doğrusal olmadığında bu hesap oldukça güç olabilir. O zaman acaba bu değiş-meye, en yakın doğrusal yaklaşımın ne olacağını bulmağa çalışmak anlamlı olacaktır. Bunun ne anlama geldiğini görebilmek için aşağıdaki şekil 15.4.l'e bakalım.

Şekil 15.4.1

^ " - ® T A * = - 3 5 - A B = B C

x, x0 dan x1,e gittiğinde y, y c dan yj'e gitmektedir.

Biz bu değişmeyi / üzerinde izlemek yerine / ' in (x0, y0) noktasmdaki teğeti üzerinde izlersek

A y* = y* - y„ = / ' (*„) (*, - *„) büyüklüğünü elde ederiz. Dikkat edilirse ulaşılan Ay* ^ Ay dir. Ancak yine şekil üzerinde gözlenebileceği üzere A* küçüldükçe bu iki büyüklük arasın-daki fark azalacaktır. Bu durumda da (15.4.1) dy = f'(x) dx yazılabilecektir. (15.4.1) de verilen ifadeye / işlevinin Türevseli denir. Böylece türevsel kavramının bir işleve en iyi doğrusal yaklaşımdan türetildiğini gör-

222

müş olduk. Bu kavram, n açıklayıcı değişkenli işlevlere de genelleştirilerbilir. y = /(*!> xn) olduğunda

(15.4.2) dy = - -M- dx, + - g - dx2 +....+ dxn

biçimindeki en iyi doğrusal yaklaşıma / işlevinin Toplam Türevseli (Total Dif-ferential) denir. Dikkat edilirse bu büyüklük tüm açıklayıcı değişkenlerde mey-dana gelen küçük artışların, y üzerindeki toplam etkisini vermektedir.

Türevselin hesaplanmasında başvurulabilecek bazı temel kurallar aşağı-da bir teorem biçiminde verilmektedir. TEOREM 15.4.1: f (ac, . . . , xn) ve g(xv . . . ,*„) işlevleri ile c sayısı verilsin.

(1) d(cf) = c df = c ( £ J L dx)j

(2) d(f») = df = nf~x (İ JL- dx^j

(4) d(f±g) '= df±dg = İ - ^ ~ i=ı cxi

S/ - 1

dxt 11

4- S i—l 8xt dxt

sf dxt

dxl) + f ( i

(6)

Eğer / j , . . . . , / m gibi m tane işlev söz konusu ise (4) ve (5) genelleştirilebilir. (4') d(f, ± f 2 ± ... ± f j = dfl±df2± ... ± dfm

(50 d(ft . f2..,fm) = (f2. / , . . . / J d/, + ( / , . / 3 . . . f j df2 +

+ (/l • • • fm-, ) dfm

= ( / , . . fj ( i • / , •••/»)( â - f r ^ ) +••• . . . . +(f1.L...fm-1)(î %rdxl)

223

ÖRNEK: y = x2 + 3 x1 x2 + x2 nin toplam türevselini bulalım. Bunu iki yoldan yapabiliriz. Önce kuralların nasıl kullanıldığını görebilmek için uzun yolu izleyelim:

/, = xı, fz = 3 x2, fı = x23 dersek y — h +ft + Â

olacağından (4') den dy = df + df2 + df3

olacaktır. Diğer taraftan g, = x t dersek f — g 2 olacağından (2) den d/, = d(g,2) = 2g, dgj yazılabilecektir. dgt = dxx olduğundan

df = d(g2) = 2gl dg{ = 2x, d*, yazılabilir.

fz = 3 &>< g2 = = xr h2 — xz dersek dg2 = h2 dhl \ dh2 — x2 dx, + xx dx2 olacak ve df2 = 3 (x2 dXj + x, bulunacaktır. Nihayet u ~ x2 dersek f3 = u3 yazılabileceğinden df = d (u3) = 3 n2 du = 3 x2

2 dx2 olacaktır. Tümünü yerine koyarsak df — 2 xx dxt + 3(Z2 + xı dx2) 4- 3 x2 dx2

ya da df = {2 xi 4 - 3 x2) dx1 + (3 xt + 3 x2) dx2

bulunur. Açıktır ki, bu örnekteki gibi basit bir işlevde tüm bu kuralları izlemek ge-

reksiz bir uzatmaya yol açmaktadır. Oysa 15.4.2 yi kullanarak aynı sonucu daha kolayca elde edebiliriz. Nitekim

y = x2 4- 3 *2 4- x2

olduğuna göre Cy f-;y

d y = dxı + d * 2

olacaktır Burada

İ - = 2 + 1

ve = + 3 *2

olduğundan

224

dy = (2 + x?) dx{ + (*, + 3 x22) dx2

elde edilir. Birinci sıra türevseldeki değişme miktarlarını da ikinci sıra türevsel verir.

TANIM 15.4.1: y = f (x) işlevi verilsin. Bu işlevin birinci sıra türevseli

(15.4.3) dy = /'(*) dx = d x

ve'ikinci sıra türevseli de

(15.4.4) d (dy) = dy = (dxf = f" (dx)2

biçiminde tanımlanır. Eğer y — /(*,, . . . , xn) ise bu işlevin birinci sıra toplam türevseli,

(15.4.5) dy = S S - dx. i=ı 8 x t

1

ve ikinci sıra türevseli ise

(15.4.6) <Py = i l ^ L - (dxl} (dxj}

biçiminde tanımlanır.

ÖRNEK:

y = 3 x2 + 6 x2 + 6 xt X2 işlevinin birinci ve ikinci sıra toplam türevsellerini bulalım.

dy = -Ş— dXl + JŞ— dx2 = (6*, + 6 x2) dXi + (6 + 12 x2) dx2

D2Y = - Ç r + « « + ^ + 82f 82f Young Teoremi gereği ——^— = ——~— olduğundan

^ = -W{dXıY + 2 ( d * ı } w + ~ £ r bulunur. Bu örnekte de d2y = 6 (dxj2 + 12 (dxj (dx2) + 12 (dx2)2

Toplam türevsel bir işlevin açıklayıcı değişkenleri arasında bir (ya da bir kaç) bağıntı olduğunda, bu bağıntıyı da besaba katarak tikel türevin bulun-masını sağlamada kullandır. Bunu bir örnekle görelim.

225

y = / ( * ! > *2> *3> X a )

Xl = g(X3, XJ x2 = h(x3, *4)

olsun. Şimdi ey / bulmak isteyelim. Dikkat edilirse, g ve h işlevleri ne-deniyle x4 deki bir değişme bir taraftan doğrudan y'yi etkilerken öteki taraf-tan da dolaylı olarak xx ve x2 yi değiştirerek y'yi etkilemektedir.

Bu etkilerin tümünü görebilmek için y'nin toplam türevselini bulalım.

d y = J £ - dx> + ^ r dx> + - î r dx> + Sr dx< diğer taraftan dxx ve dx2 de g ve h işlevlerinin toplam türevselinden

d x > = d x > + d x *

dx - - İ*L- dx 4- J ^ L . dx dx2 - — d*3 + — dx4

biçiminde elde edilecektir. x3 sabit kabul edildiğine göre dx3 = 0 alındığında ve dxx ile dx2 nin karşılıkları yerine konulduğunda

T - dy dx, , dy dx2 dy d y = d x < + ü t d x * + " İ T

bulunur. Bu ifadenin her iki tarafını dx, e bölersek

dy dx4

dy dxx dy &x2 ^ dy dxx dx4 dx2 cx4 dx4

dx= 0 elde edilir. Bu yolla ulaşılan tikel türeve bazı yazarlar karşılıklı etkileri de he-saba kattığını belirtmek üzere Tikel Toplam Türev de demektedir. (Örneğin CHIANG, 1974, s. 214).

15.5. Yöney Değerli İşlevler, Jacobi Dizeyi ve İşlevsel Bağımsızlık Doğrusal cebir konusunu ele aldığımızda T: R" -> Rm biçimindeki doğru-

sal dönüştürmeleri ele almıştık. Hatırlanacağı üzere bunlar yx = axx xx + ax2 x2 +....+ am xn

y2 = a2x xx + a22 x2 +....+ a2n xn

(15.5.1)

ym = amı xı + ««12 X2 + • • • • + amn Xn ya da A = (au) m x n , y - (yt) mxx x = (Xj)nxx olduğunda (15.5.2) y = Ax

226

biçiminde ifade ediliyordu. Şimdi yine R" den Rm e bir dönüştürme tanımla-yalım fakat doğrusal olma kaydını kaldıralım. Bu durumda (15.5.3) y = F (x) y e R", x e R» yazabiliriz. Burada F, bileşkenleri (/,, . . . . , fm) olan bir dönüştürme olup, belirtik biçimde yazıldığında

J ı = f ( x p '

xn) \ J-l — f 2 (* ı» x n )

(15.5.4) J m ~ fm ( * p

Xn) olacaktır. (15.5.3) ün türevselini (15.5.4) ü kullanarak şöyle ifade edebiliriz.

_L_ ^ 8f dx dy, =

dy2 =

8xı Jf 8x,

dx. +

dx, +

+ +

8xn

Jk 8x„

dx„

(15.5.5)

dy„ Zfm 8xx ~ 1 dx. + + _Şfm

8x„ dx„

Bunu dizeyler olarak ifade edersek (15.5.6) dy = J dx yazabiliriz. Burada

" dy, Axy

dy = *

, dx = •

dym dxn

af 8f

8x, 8x,

olup, J dizeyine F karşılamasının Jacobi Dizeyi1 denir.

8f 8xı dx2 8Xn

8(/p • • 1

af af af 8(Xl, .. 8Xl 8x2 8xn

afm afm afn 8x„

1 Cari Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) bir Alman matematikçisidir.

227

ÖRNEK: y, = 3 x2 + 6 Xt x2 — x2 y2 = x2 — xt x2 + 6 x2

işlevleri bir F: R2 R? dönüştürmesinin bileşenlerini versin. Bu dönüştür menin Jacobi dizeyini bulalım.

8yt 8xı

= 6 + 6 x2 8y, 8x2

- 6 xt 1

8y2 8x j = 2 s, - *2 8X2

= — + 12 x2

~ 6 — - 6 x2 6 xx - 1 ~

= ~ *2 — x, + 12 x2

NOT 1: Jacobi dizeyinin k— ıncı sırası y / k ' yı yani/fc'nın eğim yöneyini verir. NOT 2: F: R'" -> R" doğrusal bir dönüştürme olduğunda Jacobi dizeyi, söz konusu dönüştürmeyi veren A dizeyine özdeştir.

NOT 3: F: R"-e R" olduğunda Jacobi dizeyi kare dizey olur. Bu durumda söz konusu dizeyin belirtenine Jacobi Belirteni denir.

Jacobi belirteninin önemli bir kullanım alanı doğrusal olmayan fakat türevlenebilir bir denklem dizgesinde yer alan denklemler arasında bağımlı-lık olup olmadığının saptanmasıdır. İşlevsel Bağımlılık denilen özellik, doğ-rusal denklem dizgelerindeki Doğrusal Bağımlılık kavramına karşılık gelmek-tedir. TANIM 15.5.1: y, = / , (xp x2) ve y2 = f2 (x,, x2) iki sürekli türevlenebilir işlev olsun. Eğer

F r / ı x2), f2 {X i , x2)] = o biçiminde bir F işlevi tanımlanabiliyorsa, / , ve f2 İşlevsel Bağımlıdır (Func-tionally Dependent) denir.

Bu tanımın ışığında işlevsel bağımlılığın nasd saptanacağını aşağıdaki teorem göstermektedir.

TEOREM 15.5.1: y, = /, (xv x2), y2 = f2 (*,, x2) sürekli türevlenebilir, işlevler olsun, F sürekli bir işlev ve F ^ 0 olduğunda

F t/ı (»,. *2). / 2 (*„ - 0

Bel (J) = 8 (/r /2) 8 (xx,x2)

= 0 dır.

228

KANIT: TAYLOR- MANN (1972, s. 270) Bu teoremin sorusunu ters çevirirsek, bunu da kısmen karşılayan bir teo-

rem verilebilir. TEOREM 15.5.2: y t — / , ( ^ x2) ve y2 = f2 *,) sürekli türevlenebilir

işlevler olsun ve (ac,0, x2°) noktasının bir yöresinde Bel (J) =r

kabul edelim. Ayrıca (A;,0 , X°) noktasında

»f. - o „„

d(x„ x2) = o

8x, ^ 0 ya da

dx, # 0 olsun. y ° = / , (a^0, *2°) diyelim. O

"1 ^ 2 halde (x°, x2°) yöresinde f7 (*„ x2) = O (/, (*,, *2)) ya da

^ [ / • ( * P * 2 ) , / 2 ( * P *2)1 = ® ( İ > p *2)) - /2(*p *2) - o yazılabileceğinden, ve f2 işlevsel bağımbdır. KANIT: TAYLOR -MANN (1972, s. 271)

Dikkat edilirse bu teorem, Teorem 15.5.l'in tam tersi değildir. Çünkü Teo-rem 15.5.1 bir bölge için geçerli olduğu halde, bu teorem bir noktanm yöre-sinde geçerli, "yerel" bir sonuç verebilmektedir.

Bu iki teoremde verilen sonuçlar n değişkenli m işlev için genelleştirile-bilir. TEOREM 15.5.3: / , (*„ *„), /,(*„ . . . , *„), . . . , /„(* , , ...xn) sürekli türevlenebilir işlevler ve m < n olsun. (i) Bu işlevlerin işlevsel bağımlı olması

F [/, (*,, . ..,*„), ...,fm (*„ ...,*„)] = 0 biçiminde bir işlevin tanımlanabilir olması gerekir. Bunun için 1 den n'e kadar n sayı içerisinden seçilebilecek tüm £,, . . . , im biçiminde m farklı dizinler için

8 (/p •> fm) 8 (Xi, Xt2

xim) olmasına denktir.

0

(ii) (» ,V . . . . , x°n) noktasının bir N . . . , x°„), S] yöresini alalım. 1 den n'e kadar n sayı içerisinden seçilebilecek tüm i,, . . . im biçimindeki m farklı dizinler için, N , x°n), S] yöresi içinde

3(/P fj = 0 ve «(/P • • • 1 fm-1) xO

= 0 ve 8(xtı, .. ., X, ) ' lm- V

* 0

2 2 9

ise , /p . . . . fm işlevsel bağımlıdır ve bir F işlevi için F [/ t , . . . ,fm ] = O ya da bir G işlevi için

fm — & (/ı' • • • ' fm-1) yazdabilir.

NOT: Teorem 15.5.3 ün (i) şıkkı W. KAPLAN, (1952 s. 135) e dayanılarak

oluşturulmuştur, ii) Şık ise J.E. MARSDEN (1974, s. 243) e dayanılıp birinci şıkdakine koşut olarak değiştirilerek ifade edilmiştir. İkinci kaynakta her iki önerme iri — n için kanıtlanmaktadır.

ÖRNEK: y, — 3 x2 + 2 x,2

y2 = 4 x2 + 12 x2 x2 + 9 x2 x2

işlevlerinin (x°, x°) = (1,1) noktası yöresinde işlevsel bağımlı olup olmadık-larını saptayalım.

• i r = 3 ^ + 4 — 3 x 0*„ 1

- J ^ - = 18 x, x2 + 36 x2 x2 + 16 x,3 8x, 18 + 12 x (

3

_8y±_ öx,

JZL 8x,

3 + 4 = 7 # 0 (1)1>

= 3 ^ 0

Â) 8(xv x2)

3 x2 + 4 i j 3

18 x,x2 + 36 x,2 x2 + 16 x,3 18 x2x2 + 12 x,3

= 54 X,2X22 + 108 x,3x2 + 48 x * - (54 x,2 + 36 x,3x2 + 72 x,3 x2

+ 48 x4,) = 0

O halde bu noktanın yöresinde / 2 = ® (f) yazılabilir. Bu işlevler işlevsel bağımlıdır.

(Dikkat edilirse bu noktada # 0 ve S / 2 ^ 0 dir. Yani 8x. 8x,

/ı = ¥ (fi) de yazılabilir).

230

15.6. örtük İşlevler, Örtük İşlev Teoremi ve Evrik İşlev Teoremi Aşağıdaki işlevi ele alalım.

(15.6.1) y = f(x) = 4 x2

Bu işlev açıkça y'nirı x'in işlevi olduğunu göstermektedir. Bu tür işlevlere Belirtik İşlev (Explicit Function) denir. Biz bu işlevi (15.6.2) F (x, y) = y — 4 x2 = 0 biçiminde de yazabiliriz. Bu ise (15.6.1) in Örtük İşlev (Implicit Function) biçiminde ifade edilmesidir. Bu örneğimizde verilen örtük işlevden, belirtik bir işlev çıkartabilmektedir. Oysa örneğin F (x, y) = x2 + y2 — 2 x y = 0 ifadesinden böyle bir sonuç elde edemeyiz. O halde genel bir ifade ile (15.6.3) F (y, x,, . . . . , xn) = 0 biçimindeki bir örtük işlevin hangi koşullar altında belirtik bir işlev verebile. ceğini ve bu belirtik işlevin hangi özelliklerini taşıyacağını saptayabilmek önem kazanmaktadır. Aşağıdaki teorem bizi bu konuda aydınlatmaktadır:

TEOREM 15.6.1 (BİRİNCİ ÖRTÜK İŞLEV TEOREMİ):

F(y, xr xn), (y°, x°, , xn°) e R ^ 1 noktasının bir yöresinde 8F

tanımlanmış olsun. Ayrıca F(y°, x°,..., x°) = 0 ve —— (y° x°,

..., xn°) ^ 0 kabul edelim. F(y, x,, . . . , xn) işlevinin tanımlandığı yöre içinde yer alan n + 1 boyutlu kutuya benzer bir bölge tanımlayalım. Burada 1*1 — x ° I < At; . . . ; \xn — Xn°\ < A„; \y—y° | < C olsun. Bu kutunun

ilk n boyutundan oluşan bölgeye de B diyelim. Bu bölge, xx, . . . , xn değiş-kenlerinin tanımlandığı uzayın içinde yer almaktadır. Bu durumda, aşağıdaki sonuçlar geçerlidir.

(i) Herhangi bir (*,, . ..,*„) e ö için öyle birtek y vardır ki [ y — y° | < C ve F ( j , xv ... xn) = 0 dır. Yani F (y, ..., xn) işlevi sağlanır ve y, xt, ..., xn

,e bağlıdır. Bu bağlılığı y = f xn)

biçiminde gösterelim. (ii) / işlevi B içinde süreklidir.

(iii) / 'nin sürekli birinci sıra türevleri vardır ve bunlar 8 F(y, Xl ,..., *„)

3/(«p xn) 8_Xı 1 n 8xt' 8 F (y, •..., xn)

8y biçiminde bulunur.

231

KANIT: TAYLOR -MANN (1972, s. 236-9)

Bu teoremin anlamını ortaya koyabilmek için iki değişkene indirgeyerek geometriden yararlanalım.

F (y, x) = 0 olsun. Bu işlevin çizgesi aşağıdaki şekildeki gibi olsun.

Şekil 15.6.1

önce, M noktasını ele alalım. x0'ın yarı çapı A olan yöresi 2A boyunda, x ek-seni üzerinde işaretlenen aralıktır, y'nin yarı çapı C olan yöresi ise, y ekseni üze. rinde işaretlenen 2C boyundaki aralıktır. x, x0'ın yöresi içinde olduğunda, dikkat edilirse |y — y 0 [ < C olmaktadır. M noktasındaki teğety eksenine koşut olma-

8F

dığına göre, bu noktada —— ^ 0 dır. O halde bu noktada teoremin ko-

şulları sağlanmaktadır. Yaniy = f(x) yazılabilir. Oysa N noktasında durum 8F . ... böyle değildir. Çünkü —— = 0 dır ve zjin B yöresi içinde yer alan herhangi

bir xk noktasında birden çok y değeri karşılık gelmektedir.

232

ÖRNEK: F (y, xr xı) = 2 xı y3 — x! xz — x2 y2

olsun. (y°, x°, x°) = (1, 1,1) yöresi içinde bunu belirtik olarak y = f(xv biçiminde yazabilir miyiz? 8f/8x1 ve 8f/8x2 bulun.

F (y°, V , V ) = 2 - 1 - 1 = 0

8F 6 s,2 y2 - *2 — 2 *2

2 y

6 - 1 - 1 = 4 / 0

8y

8 F (y°, V , *2°) 8y

olduğuna göre y = / (*, , z2) belirtik işlevi tanımlanabilir.

df 4 y3 — *2 y 8xx 6 *,2 y2 — x i x2 — 2 *2

2 y 8 f _ — x, y — 2 x2 y2

8*2 6 y2 — *2 — 2 * 22 y

Şimdi sorumuzu biraz daha genelleştirelim. Acaba hangi koşullar altında ( jp •••• ' Jm' X\1 • • • • xn) = 0

F2 (?ı *!,....*„) = 0 (15.6.4)

Fm ( jp Jm) *p ••••) = 0 biçiminde bir örtük işlevler dizgesi

Jl = f (*l* Xn) y2 = / 2 (*P > xn)

(15.6.5)

Jm ~ fm (xı» xn) biçiminde ifade edilebilir? Bu sorunun yanıtını aşağıdaki teorem bize ver-mektedir.

TEOREM 15.6.2: (İKİNCİ ÖRTÜK İŞLEV TEOREMİ)

F (y, x) yöney değerli işlevi verilsin. Burada y e Rm ve x e R" dir. Bu işlevin açık yazımı bize m denklemli m + re bilinmiyenli bir denklemler dizgesi vere-cektir. Bu dizge

Fı (y> x ) = ( jp • • • j m ; *ı. • • • *•) = o F2 (y, x) = F2 (y,,

F,n (y, x ) = Fm ( jp

•' Jm' *P •••••> xn) — ®

biçiminde ifade edilebilir. Şimdi •' Jm' *ı» • • •' *«) — 0

2 3 3

(y0> xo) — Jı »•••» ym°i *ı° ^n0) e R m + n

noktasını ele alalım. İV, [(y0, x„), S] bu noktanın bir yöresi olsun. a) (y, x) 6 AT, [(y0, x0), S] olduğunda

Fj (x, y) e C1 i = 1, m olsun. Yani tüm işlevler sürekli türevlenebilir olsun. b) (y0, x0) noktasında

Fİ (y0» xo) = 0 i = 1, m olsun.

8 , FJ Bel 8 (Ji' . ym) * o

(y0. *o)

m m

Yani F'nin Jacobi dizeyinin belirteni (yQ, xG) noktasında sıfır olmasın. Bu koşullar, sağlandığında xQ = (x,°, . ..., x°) noktasının öyle bir N2

(x0,<5) yöresi vardır ki x e N2 (x0, 8) olduğunda, x = (xl, xn); yi = fi (*ı. ••••» xn) i = 1, •••• m

tek değerli ve sürekli işlevleri tanımlanabilir. Bu işlevler ayrıca aşağıdaki koşulları sağlarlar.

(i) Ji° = fi ( V - - • •> V ) = / i ( x o) i = 1, m (ii) x* e N (x0, e) ise Ft (x*, f( (x*)) = 0 i = 1, (iii) x e N (x0, s) olduğunda /£(x) i = 1,

fîf işlevleri türevlenebilirdir ve . k = ..., n aşağıdaki

8xk

denklemler dizgesinin birtek çözümü olarak elde edilir. m 8F, 8Fi 8 Ft . , S - . i- = — ı = 1, .... m

J=l 8yt 8xk 8xk KANIT: TAYLOR -MANN (1972, s. 360-365)

Bu teorem bir yandan oldukça karışık bir görünümü olması, öte yandan matematikse] iktisatta oynadığı önemli rol nedeniyle üzerinde biraz daha durmayı gerektirmektedir. Teoremin ne anlama geldiğinin anlaşılabilmesi için aşağıdaki noktaların vurgulanmasında yarar vardır.

i) Bu teorem, bir örtük işlevler dizgesinin belli süreklilik ve işlevsel ba-ğımsızlık koşullarını sağladığı bir noktanın yöresinde belirtik işlevler dizge-sine dönüştürülebileceğini söylemektedir. Yani "yerel" bir teoremdir. Üstelik, geçerli olduğu yörenin, büyük bir olasılıkla çok küçük olmakla birlikte, bo-yutlarını da bilmek olanaksızdır. 234

ii) Teorem, (i) deki kısıtlamalar altında bile bize belirtik işlevlerin, iş-levsel biçimlerini verememektedir. Yani, bu teoreme dayanılarak belirtik iş-levler değil, ancak bunların türevleri saptanabilmektedir.

iii) Bu teoreme uygun olarak belirtik işlevlerin türevlerini bulabilmek için şöyle bir yol izlenmektedir. Örtük işlevlerden oluşan dizgemizi N\ [(y0, x0), S] aralığında tekrar yazalım.

Fı (>ı. Jm> *ı> > *„) = 0 Fı (yu • • ym, Xı, , *„) = o

(15.6.6)

Fm (yı, ym, xu *„) = o Şimdi bu işlevlerin herbirinin toplam türevselini bulabm.

= * + - + - § - + - Ş - «*> + * " 0

(15.6.7)

, 8 F , „ _ , 8Fm , 8Fm , 8Fm , -

Diğer taraftan örtük işlev teoremini sağlayan koşullar altında

Vl — fl (Xf> xn) Vl — f2 (*ı> • • •» xn)

(15.6.8)

Jm = fm (xı' • • •' Xfi) belirtik işlevlerin yazılabileceğini biliyoruz. Bunların toplam türevsellerini alırsak

«fc = + -g- dx2 + ....+ _|L dxn

dym = -£=-«**, + ^ d x 2 + . . . . + dxn

dfı dx{ + Vı öx1

dx{ + 8X2

SF2 dx, + & 8x,

+ 8X2

Sfm - dxl + Sfm 8x j

- dxl + 8X2

2 3 5

elde edilir. Şimdi sadece xfc'mn değiştiğini, diğerlerinin sabit kaldığını var-sayarak tüm denklem dizgesinin xk ya göre türevini bulabm. (15.5.9) dan

dy, = Jf— dxk = - p - dxk Sxk Sxk

(15.6.10)

^ _ J n = i t <*** = -g- **

d x ı = <&*_ı = dxk+l = != dxn = 0 elde edilir. (15.6.7) de de = . . . = dxk_1 = dxk+l = — = dxn — alınır ve (15.6.10) yerine konursa

ey, 0*fc * 3ym 0*fc * 8xk *

8F, dy, T , 0F, 0ym , , öF, , 8y, 8xk " • 6ym * k

8F„ dy. _ , 0Fm 0ym , , 0Fm . . - -ırr5- -TZ- dxk +• • • + -^T- dxk + -d*- dx* = 0

0y, 8xk k ' 8ym 8xk * 0*, it

(15.6.10) da ulaşılan ifadenin her iki tarafını da dxk ya bölelim ve 8Flldxk terimlerini sağ tarafa alalım.

dFx _ 0F, gyw _ afi dxk

<*fi dxk

(15.6.12)

dF_

fyl 8xk

8F2 8yx 8xk

8Fm 8Jl

8ym 8xk 8xk

8F2 8ym 8FZ

8ym 8xk 8xk

8F„ m

8ym 8Fm

dxk 0y, 8xk 8ym 8xk 8x, k

dF elde edilir. Burada 1 , xk dışındaki tüm diğer Xj değişkenleri sabit tu-dxk

2 3 6

tulduğunda xk daki değişine nedeniyle F f de meydana gelen toplam (Doğru-dan ve dolaylı) değişme oranını vermektedir. Bu dizgeyi dizey terimleriyle

8F, 0F, ' fyl " aF, 8xk 8xk

8F2 8F2 fyi 8F2

8yx 8xk 8xk

8F„, m

8Fm in

8ym 8Fm 8y, fym _ _ 8 X k .

biçiminde gösterebiliriz. Bu dizgeden de aranılan türevler 0J ı 8Fİ aF, -1

' 8 F ~

8xk 8 y ı 8xk

fym 8F m

8Fm İti 8Fm m

_ 8 X k _ 8ym 8ym 8xk ^ biçiminde elde dilir. Dikkat edilirse bu evrik dizeyin bulunabilmesi için

(15.6.15)

Öy,

8F„

İh d>'m

8F„

* 0

d y i .

olmalıdır. Bu da zaten örtük işlev teoreminde verilen < ı 5 « « > B " * 0

koşuludur. 8 y • Bu koşul da sağlandığında ' J bulunmak istenirse (15.6.13) e S xk

Cramer kurab uygulanarak istenen sonuç bulunabilir.

ÖRNEK:

F l = y? + y 22 + *2 = 0

Fj = Jı y2 + *ı2 + *J = 0

237

aF, ~foT

8F2

fo, = J2

8F, fo:

8F\ fo2

- = 2y,

Jl

Bel 8( Ft, F2) 8(yv yı).

2 y, y2

2 y2

Jl = 2 ^ - 2 y /

O halde ly, I # |y,| oldukça Bel ^ ^ 0 dır. 1 1 1 1 1 8(y^ y2)

Bunun böyle olduğunu kabul edelim ve

8\ 8\ ' ve „ hesaplayalım. 8xl 8x,

fol ete,

fo2

yı

y2

y2

yı

8Ft 8x,

olduğundan

fo,

8 F 2

8x, 2

8x,

8y2 8x,

2 Jı2 2 y2

y ı

L - J 2

elde edilir. Buradan da

fol y? ^ Ti 2 y,2 - 2 y2

-1 — —

8 Fı 8x j

8F2 8x j

_ _

-2y2

2jı L 2

fo2 8xx

bulunur.

-4 yt + xt x2 2 yı2 - 2 y2

2

238

Şimdi şu soruyu yanıtlamağa çalışalım. Acaba hangi koşullar altında y = f(x) işlevi verildiğinde biz buna dayanarak x = g(y) biçiminde bir işlev tanımlayabiliriz. Başka bir deyişle, hangi koşullar altında / işlevinin evriğini bulabiliriz P

Önce bu konuyu y, x e R olduğunda ele alalım.

TEOREM 15.6.3: (BİRİNCİ EVRİK İŞLEV TEOREMİ) y — f(x): R -»• R olsun./ e C' ve/ 'nin x0 noktasındaki türevi,

df (x ) — ^ 0 ise, x0'm bir N (AÎ0, S) yöresi içinde / evrilebilir, yani x = g(y)

ya da

* = /-1 (y) yazılabilir. Daha önce de görüldüğü üzere / _ 1 ' in türevi

d/"1 (y) dy df(x)

y = f (x) d x

biçiminde ortaya çıkar.

KANIT: Örneğin, G. SABAN, (1972, s. 104)

Dikkat edilirse bu teorem evrik işlevin belirtik olarak bulunabileceğini söylememektedir. Teoremin tek söylediği belli koşullar sağlandığında böyle bir evrik işlevin var olduğunun söylenebileceğidir. Şimdi bu sonucu / : R" -»• R" biçimindeki eşlemelere genelleyelim.

TEOREM 15.6.4: (İKİNCİ EVRİK İŞLEV TEOREMİ) A <=• R" bir açık küme vef:Ac R" R" olsun/ e C1 varsayalım. / eş-

lemesini

Jı — fı > • • • , Xn) yı = fı (Xı' • • •' xn)

(15.6.17; i : yn

= fn K •>••••> xn) işlevler dizgesiyle gösterebiliriz. / e C1 varsayımı tüm bu işlevlerin sürekli birinci sıra türevleri olduğu anlamına gelir. (15.6.17) de verilen dizgenin xD = (xj°, . . . . , xn°) noktasındaki Jacobi dizeyini

0(jı> yn) (15.6.18) J(/(x0)) = 8(Xl°, ...., xn°)

239

ile gösterelim, ve Bel [J (/(x0))] + O varsayalım, Bu durumda x 0 noktasının öyle bir iV(x0, S) yöresi ve/(x0)'ın öyle bir M ( / ( x j , s) yöresi vardır ki i) f(M) — N y e M olduğunda

ii) X = /-i (y): M - N ve /-> e C1

üi) J t / - 1 M 1 = [J /(X)]-1

KANIT: J.E. MARSDEN: (1974, s. 230-233) Örnek olmak üzere n = 2 alalım.

(15.6.19) y, = / , (x„ x2) y2

= fı ( x i ' x2 )

olsun.

(15.6.20) Bel [J (/(x))] = Bel g / 0

ise evrik işlev teoreminin sağlandığı koşullarda

(15.6.21) = g, (y,, y2) = gl (jl> yi)

yazılabilir, g, ve g2 işlevlerini belirleyememekle beraber bu işlevlerin türev-lerini elde edebiliriz. Bunlara

(15.6.22)

(15.6.23)

(15.6.24)

(15.6.25)

dXl 1 fo2 fol - Bel [J (/(x))] 8X2

e*, - 1 fol fo2 Bel [J (/(x))] 8X2

8x2 — 1 fo2 fol Bel [J (/(x))] 8xx

dx2 1 fol fo2 Bel [3 (/(x))] 8xt

denklemlerine göre elde edilir.

ALIŞTIRMALAR: A.15.1: Aşağıdaki işlevlerin türevlerini bulun ve verilen noktada değerlendi-rin.

y = 3 x2 + 6 x — 3 x = 1 2 x — 1

X- - 6 X2 + 4 ıı) y = —f z X = 0

240

iii) y = (3 * - 2)2 (6 *3 - 8*2)3 x = 2 iv) y — exp [6 x2 3 x — 1] x = 1 v ) y — (C°s x ) (sinx)

A. 15.2: A. 15.1 de verilen işlevlerin ikinci türevlerini bulun. A. 15.3: Aşağıdaki çok değişkenli işlevlerin tikel türevlerini bulun.

i) y = 3 xx 2 x2 -f- 6 xx x2 — Xj3

... 3 x. x~, Xy~ İl) y = 1 -6 x, x2 — xx

2

iii) y = (3 * 2 — 6 x2) (z , 3 - 1) iv) y — 3 Xj x2 x3 — Xj} — 2 x2 — 3 x3 3

v) y = exı + x2 A.15.4: A. 15.3 de verilen işlevlerin ikinci sıra tikel türevlerini bulun, eğim yöneyini ve Hesse dizeyini yazın.

A.15.5: "/, g gerçel değerli iki işlev, a e R olsun. Eğer f(a) = g(a) = 0

/'(*) ve Erey —,, . tanımlanabiliyorsa

* - « S (*)

Erey = Erey g{x) g'(x)

dir." Bu sonuca UHopital Kuralı denir. Bu kural/(a) = g(a) — co olduğu hallderde de geçerlidir. L'Hopital ku-

ralına dayanarak aşağıdaki işlevlerin ereylerini bulun.

V T T ^ - ( ı + i) Erey

ii) Erey X W 2 X2 1

A. 15.6: Bir firmanın istem işlevi Qd = 220 - p2

biçiminde olsun. Burada Qd firmanın ürettiği maldan istenen miktar, p ise bu malın fiyatıdır. Firmanın Q" = 50 olduğunda marjinal hasılatını bulun.

A.15.7: Aşağıdaki işlevlerin toplam türevlerini bulun.

241

i) y = x2 x2 — 3 xL — 3 x2

xt — 6 — t x2 = 2 - 3 t2

ii) y = x2 x2 + 3 xt x2

x, — 2 x2 +3 --

1 iii) y =

dy dt

dy dx2

— 9

2 x,2 + x,2

xi = Ln 5t t3 dy

— ? 2 1 — t dt iv) y = x,2 + x2 + x, x,

= 100 — 2 t, + t2

x2 = 20 - t 2 — 3 t2 — = ?

v) y = 2 x, ex2 + x2 e2*ı

8r __ 9 8y

st, et2

i , - 2 ( l t2 = ? - İ L . = ? 0», 0t2

2 h A. 15.8 : Aşağıdaki işlevlerin tektürel olup olmadıklarını, tektürel iseler tek-türellik derecelerini bulun.

. X, X, X , 2

ı) y = x, + x2

ii) y = x, x2 — x23 + x, x2

2

iii) J = V X , 2 X ,

. . x.2 2 x, x2 lv) y = — 3 x 1 a2

v ) y = 4 r + • ^ X , 2

2 ""1 A.15.9 : Aşağıdaki üretim işlevleri iktisat kuramında ve uygulamasında en çok kullanılanlardır. Bunların doğrusal tektürel (birinci dereceden tektürel) işlev-ler olduğunu ve Euler teoremini sağladıklarını gösteriniz,

i) Cobb - Douglas Q = A K* Ll~* A > 0, 0 < a < 1

242

ii) CES (Arrow-Chenery-Minlıas-Solow)

Q = A [8 K-P + (1 - 8) L - P ] " İ

A > O, O < 8 < 1, p > — 1

iii) VES (LU)

Q = A [tf-P + (1 - 8)v L~PJ P

A > O, O < 8 < 1, p > - 1 9 > O, c > O

iv) YES (Revankar) Q = AK"-«P> [ L + ( p- 1) K]s? A > 0 , 0 < 8 < 1 , O < 0 p < l

Bu işlevler de Q üretimi, K sermayeyi ve L de emeği ifade etmektedir. A.15.10: Aşağıdaki işlevlerin birinci ve ikinci sıra toplam türevsellerini bu-lun.

i) y = *2 2

» 2

ii) y = xt x2 x3 — X,2

... + x22

m) y =

, 2 "2

X j 3 Xj #2 iv) y = - 1) (*, + 2)2

A.15.11. Aşağıdaki işlevlerin, işlevsel bağımlı olup olmadıklarını bulun. , İ) Vl = 3 Xl X2 — 2 X2

y2 = x2 - 3 *2 ( V , * 2 ° ) = (L 1)

İİ) Jl = V + 2 X2 J2 = Xl + 4 Xl X2 + 4 Xl X2

A.15.12: F(x, y) = 0 bir örtük işlev olsun 1. Örtük işlev teoreminin koşulla-rının sağlandığı bir yörede

dy _ _ 8F/8x ~dx 8F\8y

olduğunu kabul edelim. Zincir kuralından yararlanacak

+ dly _ _ 1 r/ 8F\ / 82F\ (8F\ ( 8 F \ ( 8 F \

İh2 / 8F y L\ 8y ) \ 8x2 ) \ 8x ) \ 8y ) \ 8x 8y )

olduğunu gösterin.

243

KAYNAKLAR

T.M. APOSTOL (1967): Calculus, Vol I, 2nd Ed . Xerox Wal tam, Mass.

A.C. CHIANG (1974): Fundamental Methods of Mathematical Economics, 2nd Ed. , Mc Graw Hill e. 135-242.

R. COURANT - F . J O H N (1974): Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 2, J o h n Wiley, New York

s. 218-229 ve s. 241-277.

W. KAPLAN (1952): Advanced Calculus, Addison Wesley, Reading, Mass., (Sixth Print ing, 1971), s.

132-136.

J . E . MARSDEN (1974): Elementary Classical Analysis, W . H . Freeman and Co., San Fransisco, s. 204-

249.

S.M. N I K O L S K Y (1977): A Course in Mathematical Analysis, Vol I, MIR Publishers, Moscow, s. 266-

274.

G. SABAN (1972): Analiz Dersleri, Cilt 2, Î .Ü. Fen Fakültesi Yayım, Sayı 117, i s tanbul , s. 99-107.

I . S O K O L N l K O F F (1939): Advanced Calculus, Mc Graw HU1, s. 58-98 ve s. 415-440 D.

A.E. TAYLOR - W.R. MANN (1972): Advanced Calculus, 2 nd Ed. , Xerox Collage Pub. Ler ington , Mass. s. 233-248 ve s. 352-365.

G.B. THOMAS (1968): Calculus and Analytic Geometry, 4 t h Ed . , Addison Vesley, Reading Mass., s. 66-105.

\

2 4 4

15. Bölüme Ek

DİZEYLERİN TÜREVLENMESİNE İLİŞKİN BAZI KURALLAR

Bu ekin amacı, doğrusal iktisat modellerinde ve ekonometri kuramında çok başvurulan, dizey ya da yöneylerin türevlerinin alınmasına ilişkin temel kuralları kısaca sunmaktadır. A = («u)mx„ bir dizey, a' = ( a j ) l x n bir satır yöney y = (y,)m!U ve x = (*,)„„ ise sütün, yöneyler olsun.

ÖNERME 15.E.1: y = Ax ise 0y dx

olur. ÖRNEK:

olsun.

= A

Jl ~ 2 3 - *ı

— y 2 ~~ _ 4 8 _ - _

8y_ 0x

2

4

ÖNERME 15.E.2: y

- İ L = a' 8x

olur.

ÖRNEK:

y = (3, 2)

ey

3 -

8 _

a' x ise

ex = (3,2)

245

ÖNERME 15.E.3: y = A x, x = /(z), z = (z,)r*ı olsun. Bu durumda

gy _ gy 8z 8x

8x . 8x = 'A

a x elde edilir. Burada ——, f işlevinin Jacobi dizeyidir. cz

ÖRNEK:

olsun.

" Jı . 2 , + 2 2

y = X =

_ Y 2 _ _ Sl + Z 2 2 -

3

2

4

6

ax - 1 1

az _ 1 2z,

gy ~ 3 4 ~ - 1 1 "

cz _ 2 6 _ 1 2z2 _ ÖNERME 15.E.4: y = z' A x olsun. 0 halde

gy az X Â ' 8x z A

olur.

ÖNERME 15.E.5: y = x'Ax olsun. 0 halde

gy ax

x'(A+A')

elde edilir. Eğer A bir bakışımlı dizey ise

gy ax

2x'A

olur.

ÖNERME 15.E.6: y = x'Ax olsun. 0 halde 82y = A+A'

8\ 8x' = A+A'

elde edilir. Eğer A bir bakışımlı dizey ise 82y

= 2 A 8\ 0x' = 2 A

olur.

246

7 3 +82,

8 2 +12z2

ÖNERME 15.E.7: A = ( a u ) n x n olsun.

g ^(A) _ J

8A elde edilir. ÖNERME 15.E.8: A = (a„)m x n , B = (bu)nIm

ve C = (cu)mxm olsun.

(0 ^ L _ A'

(ii) 8 ha

(r

A B C ) - A I»

ÖNERME 15.E.9: A = ( a u ) „ n olsun. g Bel (A) _

r x

elde edilir. Burada A*, A'nın öğelerinin eşçarpanlarından oluşan dizeydir. Eğer A tekil değilse

8 B ed

l l A ) = Bel (A) . (A"1)'

elde edilir. Ayrıca A bir bakışımlı dizey ise

g B es

l l A ) = 2 A* - K?g < A | I , A J

elde edilir. Burada A ( i , a ; i 'nin eşçarpanıdır.

ÖNERME 15.E.10: A = (atJ)nxn ve atJ = atJ (a) olsun. O halde

gA-1 _ _ , 8A Sa 3a

elde edilir. Burada

gA = / ga,v (q)\ ga V 0a /

dir.

KAYNAKLAR

P . J . D H R Y M E S (1978): Mathematics for Econometrics, Springer Verlag, New York. A.S. G O L D B E R G E R (1964): Econometric Theory, J . Wiley and Sons, New York. J . J O H N S T O N (1972): Eçonometric Methods, 2nd. Edition, Mc Graw Hill, New York.

247

İKTİSATTA KARŞILAŞTIRMALI DURAĞAN YÖNTEM

16. Bölüm

Bu bölümde iktisat kuramında önem taşıyan Karşılaştırmalı Durağan (Comparative Static) yöntemi ele alacağız. Bunu yaparken bir önceki bölümde ele aldığımız örtük işlev teoremine dayanacağız. Böylelikle hem bu yöntemi matematiksel bir bütünlük içinde ele alabilmiş ve hem de söz konusu teoremin anlamını daha iyi ortaya koymuş olacağız. Bu konuyu incelerken önce, denge çözümlemesi ya da iktisatta Durağan Yöntem (Static Method) konusuna deği-neceğiz. Bundan sonra karşılaştırmalı durağan yöntemin sorunsalını görecek ve bunun için uygun matematiksel yaklaşımı inceleyeceğiz. 16.1. iktisatta Durağan Yöntem ya da Denge Çözümlemesi

iktisat kuramında bir model ele alındığında akla gelen ilk soru modelin denklemlerinin tümünü sağlayan bir çözümün var olup olmadığıdır. Böyle bir çözüm bize modelin denge çözümünü, ya da dışsal koşullar veri olduğunda içsel değişkenlerinin alacağı değerler kümesini verecektir. İşte iktisat kura-mında durağan yöntem denilen yaklaşım böyle bir denge noktasının var olup olmadığı ve varsa özelliklerinin saptanması sorularını yanıtlamağa yönelmek-tedir. Bu çözümlemede zaman boyutu tamamen dışlanmakta, böylece belli bir anda veri alınan ortamda ilgilenilen değişkenlerin durumu, tıpkı bir fotoğrafta olduğu gibi saptanmaktadır.

Ele aldığımız iktisadi modeli aşağıdaki örtük denklem dizgesiyle ifade ettiğimizi varsayalım.

Fı (Jı> Jm' *ı. •••»*„) = 0 (16.1.1) F2 (y„ . . . , y m , *„ . . . , xn) = 0

Fm (y,> •••» ym> Xn) = 0

Burada yt (i=l . .,m) i- inci içsel değişkeni, Xj (j=l . .,n) ise j- inci dışsal değişkeni göstermektedir. (16.1.1) ile ifade edilen denklem dizgesine ele alman modelin Yapısal Biçimi (Structural Form) denir. Bu durumda durağan yöntemin sorunu dışsal değişkenler kümesinin belli değerler aldığı varsayımı

248

altında (16.1.1) sağlayan içsel değişkenler kümesinin öğelerinin saptanması olmaktadır. Yani, durağan yöntem, (16.1.2) (Xl°, x2°, xn°) verildiğinde

(jı *' •••••> J m* •> xı ) J xn°) = ® FJyS, , *„°) = o

(16.1.3) FJyr ' • • • •> y»ı ' ' ' -*"»!0) = ®

(16.1.4) y*, .... ym* içsel değişken değerlerinin

Ji* = f V ) Ja* = /z (xı • • • •' xn°)

(16.1.5) ym* ~ fm (Xl°- *„°)

biçiminde bulunması sorunu ile ilgilenir.

(16.1.5) ile ifade edilen denklemler dizgesine ise modelin indirgenmiş Biçi-mi (Reduced Form) denilir. Bu denklemlerin özelliği her bir içsel değişkenin, dışsal değişkenlerin işlevi olarak ifade edilmiş olmasıdır.

Dikkat edilirse bu sorun, verilmiş bir örtük işlevler dizgesindeki (yapısal biçim) bir kısım değişkenin (içsel değişkenler) diğer değişkenler (dışsal değiş-kenler) cinsinden belirtik biçimde yazılabilmesi (indirgenmiş biçim) ve bunun sonucunda ulaşılan çözüm değerlerinin ilk denklem dizgesini sağlaması biçi-minde özetlenebilir.

Biz bu konuda iki bilgiye sahibiz. (16.1.1) bir doğrusal denklemler diz-gesi olduğunda doğrusal cebire ilişkin bilgilerimize dayanarak bazı işlemler yoluyla, belli koşullar sağlandığında (I6.1.5)'e ulaşabileceğimizi gördük, ikinci olarak verilen örtük işlevler dizgesi doğrusal olmadığında biz bu işi kolayca yapabilecek durumda olmadığımızı, 15. bölümde örtük işlev teoremini ele alırken görmüştük. Teorem 15.6.2'den hatırlanacağı üzere bu halde, genel ola-rak hangi koşullar sağlandığında (16.1.1) den (16.1.5)5e geçebileceğimizi söy-leyebilmemize karşılık, bu durumda (16.1.5)'deki denklemlerin biçimlerini saptayacak durumda değiliz. ÖRNEK: Şimdi hepimizin bildiği basit sunum-istem modelini ele alarak bu anlattıklarımızın ne anlama geldiğini görelim.

İstem işlevi, sürekli türevlenebilir ve

(16.1.6) <?d = Ç* (P, Y) < 0 - 4 $ - > 0

249

biçiminde olsun'. Bu işlev istem miktarının (Qd) malın fiyatı (P) ve gelire (Y) bağlı olduğunu göstermektedir. Bağlılığın niteliği ise, denklemin yanında veri-len türevlerle gösterilmektedir. Bunlara göre sözkonusu mabn fiyatı arttıkça ondan istenen miktar azalacak, buna karşılık gelir artışı istemi artırıcı etki yapacaktır.

Sunum işlevi ise yine sürekli türevlenebilir ve

(16.1.7) = (P) > 0

biçiminde olsun. Bu işlev sunumun fiyatın artan bir işlevi olduğunu göster-mektedir. Denge koşulu ise istemin sunuma eşit olması biçiminde ortaya çı-kacaktır. O halde bu da (16.1.8) Qd = Qs

olacaktır. Bu modelde P, Qa, Qs içsel ve Y dışsal değişkenler olarak seçilmiş-tir. Modeli (16.1.1) e uygun olarak yeniden yazalım.

F, «?->, Q% P, Y) = <?d - <?" (P, Y) = 0 (16.1.9) F2 Q\ P, Y) — Qs — <?* (P) = 0

F 3 (Çd, Q% P, Y) = Qd — Qs = 0 İktisatta denge çözümlemesi Y = Y„ biçiminde verildiğinde (16.1.9) dan

Qd = / , (Ya)

(16.1.10) = f2 (Y0) P = /, (Y0)

biçiminde bir denge değerleri kümesinin bulunmasını gerektirmektedir. Oysa bizim elimizde ft,f2 ve / 3 işlevlerini saptayacak bilgi yok. Sadece

örtük işlev teoreminden (16.1.9) daki dizgenin Jacobi dizeyinin belirteni

(16.1.11)

Bel 8(^1. K F3) e«?d, Q\ P)

8F1 8F, 8F; 1 0 <?d

8Qd 8QS 8P 1 0

p

8F2 8Q*

8F2 8QS

8F2 8P — 0 1- Qs

p

0F3 8F3 8F3 ı 0 8Qd 8QS 8P

0

8Qd

~8P 8Q* ~8P < 0

1 Burada sağ tarafta yer alan ( ) d simgesi "istem işlevi" yerine kullanılmıştır. Yani Qd ile çarpılı-yor anlamına gelmez. İk t isa t ta burada olduğu gibi açıklanan değişkenin çok belirli olduğu hallerde bu, değişkeni ifade eden simgenin işlevsel bağıntıyı da göstermek üzere kullanılması yoluna gidilmektedir.

250

olduğundan ^ cQü

W < 0 ve 8QS

~8P > 0 varsa yılmıştı.)

Örtük işlev teoremine dayanarak (16.1.10) u yazabileceğimizi çıkarabiliriz. Ancak sözkonusu teorem bizi burada bırakmaktadır. Elimizdeki bilgiler bizim içsel değişkenlerin denge değerlerini saptayabilmemiz için yeterli değildir. Çünkü hatırlanacağı üzere örtük işlev teoremi bize (16.1.10) daki belirtik işlev-lerin biçimlerini verememektedir.

Eğer bize verilen bilgiler biraz daha artırılırsa örneğin (16.1.6) ve (16.1.7) deki denklemlerin biçimi belirlenebilirse biz denge değerlerini bulabiliriz. Ni-tekim bu denklemler doğrusal olduğunda denge çözümü kolaylıkla bulunabil-mektedir. Örneğin eğer modelimiz

Qd = o, P + b, Y0 a, < 0 a, > 0

6, > 0 (16.1.12) Q* = a, i

Qd = & biçiminde verilseydi, bunu düzenleyip

~ 1 0 - ~bxY0 -(16.1.13) 0 1 a2 <?

s = 0

1 - 1 0 _ P _ 0 elde eder ve Cramer kuralına başvurarak,

a2 6, Y, (16.1.14) Qd* = Qs* = a,

> 0

(16.1.15) P =

elde ederdik.

\ Ya > 0

Kolaylıkla kestirilebileceği üzere, bu modelde bile istem ve sunum işlevlerinin biçimlerinin karmaşık nitelikte olmaları halinde, denge çözümünü belirtik olarak elde etmek güçleşecektir.1 Bu noktada biz, bu daha genel du-rumları ele alabilmek için uygun matematik teknikler olduğunu belirtmekle yetiniyoruz.2

O halde, özetlemek gerekirse biz örtük işlev teoremini kullanarak ele al-dığımız bir modelde belli koşullar altında denge çözümünün varlığını göstere-bilmekteyiz. Modelin işlevlerinin biçimlerine ilişkin bilgimiz arttıkça da bu çözümü, ilke olarak, bulabiliriz. Bu söylediklerimizi genel bir matematiksel ifade ile şöyle yineleyebiliriz. Modelimiz

1 Örneğin: Qd = a, log Ç d + b, Y ve Q" = C„ + C, P + C 2 P olsaydı işimiz çok güçleşecekti. 2 Bu kitabın düzeyini çok aşan ve esas itibariyle "Sabit Nokta Teoremleri" denilen bir teorem

dizisine dayanan çözme yöntemleri için örneğin M. TODD (1976) bakılabilir.

251

Fı (Jn *ı» •••••> xn) = O F2 (Jh Jm> *r ••'••> x«) = O

(16.1.16) F m ( j l > J m > • • • • , * „ ) = O

biçiminde m denklemden oluşsun. Burada y,, . — , y m içsel değişkenleri, x t, ... ,,xn ise dışsal değişkenleri göstersin. Dışsal değişkenlerin belli veri değerler aldıklarını varsayalım. Bunu . . . . , xn°) yöneyi ile ifade edelim. Bu du-rumda örtük işlev teoremine dayanarak, bu teoremin koşulları sağlandığında içsel değişkenlerin denge değerleri

J l ° = / , (V ' x n ) (16.1.17) y2° = / 2 . . . . , xn°)

Ym" — fm(x 1 • • • • ' xn°) biçiminde sadece dışsal değişkenlerin aldığı değerlere dayanılarak bulunabilir. Ancak (16.1.7) deki belirtik işlevlerin bulunabilmesi için (16.1.6) daki modelin matematiksel yapısı hakkında daha çok bilgi gereklidir.

16.2. İktisatta Karşılaştırmalı Durağan Yöntem

Yine basit sunum - istem modelimizi ele alalım.

= Q« (P, Y„) < o > 0

(16.2.1) = Q' (P) > 0

Qd = Qs

Hatırlanacağı üzere bu modelde Ya dışsal olarak belirlenmiş gelir düzeyini gösteriyordu. Şimdi şu soruyu soralım: Acaba Y„ değişirse bu modelin içsel değişkenlerinin denge değerlerine ne olur?

Asknda bu soruyla biz yeni denge değerlerinin ne olacağını öğrenmek is-tiyoruz. Ancak, denge çözümlemesine ilişkin yukarıdaki tartışmamız, bize, bu soruyu genelde yanıtlayamayacağımızı gösterdi. Bu nedenle biz sadece denge değerlerinin hangi yönde değiştiğini saptayabilmekle yetinmekteyiz.

işte, dışsal değişkenlerdeki bir değişmenin içsel değişkenlerin denge de-ğerleri üzerindeki etkisini saptamaya yönelen iktisat dalına Karşılaştırmalı Durağan Yöntem (Comparative Static Method) denir. Bu soruyu yanıtlaya-bilmek üzere, bir içsel değişkenin, dışsal değişme karşısında ne yönde hareket edeceğinin, yani bu değişkendeki nitel değişmenin (qualitative change), belir-

2 5 2

lenebilmesi için gerekli bilgiye de Karşılaştırmalı Durağan Bilgi (Comparative Static Information) denir. Eğer tüm değişkenler için bu bilgi varsa, Tam Kar-şılaştırmalı Durağan Bilgi (Complete Comparative Static Information) var denir.

Karşılaştırmalı Durağan Yöntem bir denge noktası ile ötekisini kıyasla-mağa dayanır. Bu yapılırken de geçiş süreci ihmal edilmektedir. Bu sürecin incelenmesi ise iktisatta Devingen Yöntemin (Dynamic Method) konusunu oluşturmaktadır.

Karşılaştırmalı durağan yöntemin matematiksel temellerini incelemeden önce, bir noktayı vurgulamak gerekir. O da bu yöntemin kullanılması ve ön-göıüsel anlamı olabilmesi için başlangıçtaki denge durumu dışsal etkilerle bozulduktan sonra yeni bir dengenin kurulabilmesi gereğidir. Eğer bu koşul sağlanmazsa, yani model kararlı değilse karşılaştırılabilecek ikinci bir denge noktası olmadığından, çözümleme anlamını yitirecektir.1

Şimdi bu açıklamaların ışığı altında genel bir modelde karşılaştırmalı durağan çözümlemenin matematiksel temelini ortaya koymağa çalışalım. Burada temel matematik dayanağımız örtük işlev teoremidir.

Anımsanacağı üzere örtük işlev teoremi bir denge noktası verildiğinde, belli koşullar sağlandığında, bu noktanın bir yöresinde yeni denge noktalarına ulaşılabileceğini ve ayrıca bu denge noktalarında içsel değişkenlerin başlangıç noktasına göre ne yönde değiştiklerini saptayamaya olanak sağlayan türevlerin hesaplanabileceğini göstermekteydi.

Burada üzerinde durulması gereken önemli bir nokta; örtük işlev teore-minin bize ancak başlangıç denge noktasının pek yakınında olan bir denge nok-tası ile karşılaştırılmasına olanak sağladığı olgusudur. Yani bu bir yerel (local) teoremdir. Dışsal değişkenlerdeki büyük değişmelerin etkilerini bu teorem çerçevesinde ele almak olanaksızdır.2

Şimdi genel modelimizi tekrar yazalım. ^î' (ji' • • • •» ymı x\ı • • •x„) = o •2» (ji' •••••> ym, x\ı •••••, xn) = o

(16.2.2) - m' (jp • • •., ym, . . . ., XN) — 0

Bu modelde örtük işlev teoreminin koşullarının sağlandığını ve yt, i =» 1, ..., m, içsel değişkenleri, Xj, j — 1, ...,n ise dışsal değişkenleri gösterdiğini var-sayalım.

1 Samuelson'un Karşılama İlkesi (Correspondence Principle) adını alan bu konuya ileride (Alt bölüm 24.4) de, değineceğiz.

2 Bu konuda bazı gelişmeler olduğunu da belirtelim. Kitabın düzeyini aşan bu noktadaki geliş-meler için E . GLUSTOFF (1976) bakılabilir.

253

Başlangıç denge noktasını ( y , . . . . , ym°, x x . ..., xn°) ile gösterelim. Örtük işlev teoremine göre bu noktanın bir yöresinde

J\ ~ f ' •••••, %„) Jz = f2 (xıı • • ' •! xn)

(16.2.3) Jm = fm (XV •••••> %n)

yazılabilir, ve bunlar (16.2.2) de yerine konulduğunda, bu dizgeyi sağlarlar. Yani,

(/. (Xf • • • •' •••••> fm (*1» " y •' •*•«)' ^/ı) = 0 F2 ( / i (^ ı» • • • xn)ı •••••> fm (xf> ' • ' •» •*«)' • ' " Xn) = ®

(16.2.4) Fm (ft (xy, Xn), . . . . , fm . . . . , £„), Xt, . . . ., Xn) = 0

yazılabilir. İşte şimdi şu soruyu soralım. Acaba fc-ıncı dışsal değişkende bir değişme

olursa, bunun içsel değişkenler üzerindeki etkisi ne yönde olacaktır? Bu sorunun amacı

(16.2.5) - p - i = i, , m 8xk

ifadelerini bulmak ve bunların artı ya da eksi (ya da sıfır) olduğunu belirleye-bilmektir.

Bu soruyu yanıtlayabilmek için (16.2.4) ü gözönünde tutarak (16.2.2) nin toplam türevselini alalım.

/F 0 F l J I 8F1 J I dFi J I L 0 F W n ~ + • " + ^ T " d y m + ~8^~ d X l +• • • + "

1T7 8F2 J , , 8F2 J , 8 F ^ J , ' 0 F 2 J rt ^ 2 = -^-dy, +...+ —Ldym + - ^ d X i + . . . + — i . dx„=0 (16.2.6)

I ı-ı , 8F„ , 8Fm , 8F„, _ .

Sorumuzda sadece daki değişmenin içsel değişkenler üzerindeki etkisini ara-dığımız için (16.2.7) = = . . . = dxk_i — dxk = ...= = 0 alırsak

+ ' • • • + - ^ r - - - â r - d x ' ' 1 J m 8 x

'k

8F2 1 , 8F2 j ^ J

254

(16.2.8)

dy, +...+ -^f- dym =i - d*t

yazılabilir. Diğer taraftan (16.2.3) den dxu

(16.2.9) dyt = d*, + . . . + 4*1 - dx„ C'X„

i = 1, m

olduğundan (16.2.7) yi kullanarak

(16.2.10) dy, 8F- 8y. dxt = /' dxL i = i.

"/t </*t elde edilir. (16.2.10), (16.2.8) de yerine konulur ve her iki taraf dxk'ya bölü-nürse

(16.2.11)

SF, gy! gym 81F, gyı 8xk ' ' gy». 8xk

aF2 8y, ay m aF2 gyı ' 1 gym 8xk

8 F m

gyı

gyı g** + g^, gym 8ym

8xk 8xk

Bunu dizey terimleri ile

(16.2.12)

0yt gym

8F„

İZL 8x„

gy» gyı gym

biçiminde ifade edebiliriz. Dikkat edilirse bu

(16.2.13f A x = b biçiminde bir doğrusal denklemler dizgesidir.

Burada HFu FJ

IH 8xk

8 F„ W

8xk

A = g (yu y j

255

verilen dizgenin içsel değişkenlere göre Jacobi dizeyi olup, örtük işlev teoremi-nin varsayımı gereği tekil değildir. Diğer terimler ise

b =

olmaktadır.

Böyle olunca

°y i cx,.

Ü Ü . 8x,.

8x,.

m x 1 yöney

m x .1 yöney

hesaplamak içiıı Cramer kuralına başvurulabilir.

Şimdi bu konuda birkaç örneğe başvurarak, anlattıklarımızı biraz daha somutlaştıralım.

ÖRNEK 1: (16.2.1) 'i ele alalım ve dQd

dY bulalım.

F, = Qd - Qd (P, Y) = 0 (16.2.14) F 2 = Q» - Qs (P) = 0

F 3 = Qd — = 0 olsun.

dFr-

olup

8Fı oQ h dQd dQs + 8F<

8QS 8P dP + dY = 0 i=l,2,3

afi 8Qd

8F2 ~8Q5"

8fi 8Qd

= 1,

0,

= 1,

8F,

afi 0P

8fi

- o,

= 1,-

= - ı .

8F, 8P

BF, 8P

8F 8P

3 = 0,

8Qd

8QS

~dP~

afi 3Y

afi ' ŞY

afi

' 8Y

= 0

8Qd

8Y

= 0

yazılabilir. Diğer taraftan örtük işlev teoreminin koşulları sağlandığında

<?d = /. (Y) (16.2.15) = f2 (Y)

P = / 3 m olacağından

2 5 6

(16.2.16) dQ( id — W dY, dQ* = dY, dP = 4 i - dY dY ' ^ _ dY ' dY

yazılabilecektir.1

Bu durumda, ulaşılan sonuçlar (16.2.11) e karşılık gelen biçimde düzen-lenirse aşağıdaki dizgeye ulaşılır.

(16.2.17)

0 -

1 —

8Qd dQd 8Qd

8P dY 8Y

8Q5

P dQs

dY = — 0

0 dP 0 0 dY 0

(16.2.18)

Bu dizgenin dizeyinin belirteni ise

8Qd 8QS

8P

• •

eşittir, -ğp— < 0 ve

8P

8QS

~8P~ > 0 olduğundan

(16.2.18) işareti eksidir. O halde bu dizeyin, yani Jacobi dizeyinin, tekil olmadığını söyleyebiliriz. Bu durumda türevi bulmak için Cramer kuralından vararlanarak

(16.2.19) dQû

dY

8QA

8Y

0

0

0

1

- 1

cQd

BP

8Qs

ÖP

0

1 yazılır. Buradan da

0

1

- 1

8QÜ

~8P~

8QS

~SP~

0

1 Bu modelimizde bir tane dışsal değişken olduğundan tikel türev simgesini kul lanmamak ve (16.2.16) daki gösterimi benimsemek doğru olur.

257

(16.2.20)

8Qd 8QS

d<?d 8Y ' 8P dY 8Qd 8Q*

8P cP

8Qd 8QS

bulunur, - ^ y > 0 ve -7rp~ > 0 varsayıldığında ve (16.2.18) de bu ifa-

denin paydasının işareti eksi olduğundan (16.2.21) > 0

sonucuna varırız. O halde gelir arttığı takdirde denge istemi artacaktır.

Dikkat edilirse, bu problemi çözebilmek için I. örtük işlev teoreminden de yararlanmak olanaklıdır. (16.2.1) deki iki denklemi üçüncü denklemde yerine koyarsak

F (P, Y) = Qd (P, Y) - Qs (P) = 0 elde edilebilir.

8F 8Qd 80* - V V < 0 8P 8P 8P

olduğundan I. örtük işlev teoreminin koşulları sağlanmaktadır. O halde P = f(Y)

biçiminde bir belirtik işlev tanımlanabilir, ve

8F (P, Y) dP 8Y dY 8F (P, Y)

8P 8Qd

dP 8Y dY 8Qd 8QS

elde edilir.

> 0

8P 8P

olduğundan

258

dQd __ 8Qd dP_ { 8Qd

dY ' 8P dY 8Y

cQd

8Qd / 8Y \ dQ

8P ~8P~ elde edilir 1si, bu (16.2.20) nin aynısıdır.

ÖRNEK 2: Aşağıdaki makro ekonomik model verilsin. Y = C + I

C = f(Y, W)

(16.2.22)

I = g (Y, r)

M = h(Y, r) Bu modelde Y ulusal gelir, C tüketim I yatırım, M para miktarı, r faiz

oranı, W serveti göstermektedir. Y, C, I ve r içsel değişkenler ve W ile M dış-sal değişkenlerdir.

Şimdi ekonomide sadece para miktarında bir artış olduğunu ve bunun ulusal gelir düzeyi üzerindeki etkisinin ne olacağını araştıralım. Yani

bulmak istiyoruz.

Fj = Y — C — I = 0 F2 = C - / (Y, W) = 0 F, = / - g(Y, r) = 0 F 4 = M - h(Y, r) = 0

biçiminde yazılabilir. Böyle olunca

259

1 > Jl— > 0. -JL . 0Y ' 0JF

> 0

8Y

8h ~8Y~

> 0 ,

> o,

Sg 8r

8h ~8r~

< 0

< o

^ = # + # * + # « + t?* + SS- « yazılabilir. dPF = O olduğundan her denkleme ilişkin ilgilenilen türevler aşa-ğıdaki tablodan izlenebilir.

Denklem

Değişken F,

y 8Ft 8F, 8f 8FS 8S W* 8h

y 8Y ay 8Y 8Y 8Y 8Y 8Y

c 3 F ,

= -1 3 F 2

= 1 8F, = 0

8F4 0 c 8C

= -1 ec

= 1 8C

= 0 8C

0

I BFl = -1

w , = 0

8F3 8Ft - 0 I 81

= -1 a/

= 0 81 81

- 0

8F, = 0

8F2 - 0 8g dh

dr = 0

8r - 0

8r 8r 8r 8r

M 8Fl

= 0 8F2

= 0 — 0 8F4 - 1 M

8M = 0

8M = 0

8M — 0

8M - 1

Şimdi ulaştığımız dizgeyi yazalım.

1 - 1 - 1

(16.2.23)

dY gg

dY'

dh ~W

o

o o -

o

o

gg

dh ~~dr~

dY dM dC dM

di ~dW

dr dM — 1

Buradaki dizeye A dersek ve bu dizeyin belirtenini ikinci sütunundan açarak bulursak

Bel (A) = ( - 1 ) ( -1 ) 1+2 JL 8Y gg dY

dh

0

1

o

o

dr

dh ~dr~

260

+ (1) (~1)2 + 2

8Y

8h ~~8Y~

O

8r

8h ~8r~

ya da gerekli sadeleştirmeler yapılırsa

8f 8h_ 8h 8r Bel (A) =

(16.2.24) 8Y 8r + 8Y

8h ~8r~ +

*>g 8r

8h w

elde ederiz. Burada ilk köşeli parantez içindeki ifade artı işaretli buna karşılık ikinci köşeli parantez içindeki ifade eksi işaretlidir. O halde

» - I " ~ > ) - - [• 8g 8Y

8h ~8r~ +

8g 8h ~w

olmadıkça Bel (A) # 0 dır. (16.2.25) in sağlanmaması için hiç bir ön koşul olmadığı için, bu koşulun gerçekleştiğini varsayalım. Bu durumda Cramer ku-ralını uygularsak

(16.2.26)

ifadesinden

(16.2.26)

8Y ~8M~

0 0 0

-1

— 1 1 o o

-1 0 1 o

o o

-8gl8r -8h/8r

Bel (A)

8Y Şg_ 8r

8M Bel (A)

elde edilir. Bu ifadenin payı daima artı olduğuna göre

8g

Sg 8Y

8h ~eT +

8r 8h 8Y

olacaktır.

Görüldüğü gibi bu modeldeki karşılaştırmalı durağan bilgi, 8Y 8M

2 6 1

işaretini kesinlikle belirleyebilmek için yeterli değildir. Ancak hangi koşul altında işaretin artı, hangi koşul altmda eksi olacağını söylemekle yetinmek zorunda kalıyoruz. Bundan sonraki alt bölümde karşılaştırmalı durgun çö-zümlemede işaretin kesin belirlenebilmesi için yeterli koşulların neler olduğu üzerinde duracağız.

16.3. Nitel Hesap ve Karşılaştırmalı Durağan Yöntem (16.2.12) de verilen dizgeyi tekrar yazalım.

8FX 8F, fol 8Fı fol fom 8xk 8xk

8Fm 8Fm fom 8Fm

fol " ' fom 8xk 8xk

Yine burada da

A =

x =

8 Fı fol

fol

fol 8xu

fo» 8xk

8F1

fom

8Fm

fom

ve b =

8Ft 8xh

SFn 8XL.

olsun. O halde elimizdeki dizgeyi (16.3.2) Ax = b biçiminde yazabiliriz. Şimdi şu soruyu soralım. Acaba biz A dizeyi ile b yö-neyinin öğeleri hakkmda salt nitel bilgiye sahip olduğumuzda, yani bunlarda yer alan türevlerin sadece işaretlerini bildiğimizde; x yöneyinin öğelerinin işa-retlerini belirleyebilir miyiz ?

Önce ne demek istediğimizi bir örnekle görelim. (16.3.2) ye karşılık gelen dizgemiz

2 6 2

(16.3.3)

0F, 8Ft «Jı 8Fj 8y1 8yz 8xx 8x j

8F2 8F2 8y2 8F2

fy, dy2 8xx 8x,

biçiminde olsun. Elimizdeki nitel bilgiler ise

> 0 , <0 , i i > o 3yx 8x, (16.3.4)

0 F - > 0 , 4 ^ > 0 , 4 ^ = 0 fyı ay2 8x,

biçiminde olsun. Bu durumda artı olan türevleri (+ ) eksi olanları (—) ve sıfır olanı (0) işaretiyle gösterirsek Salt Nitel Modelimizi

+ —

ey, 8x j

+ + 8xt 0

ya da

(16.3.5) +

+ +

8yı 8Xl

8y2 0 8xt

0

. . . . . . . . . . dy biçiminde yazabiliriz. Şimdi sorumuz bu bilgilere dayanarak ve

d y 2 8x,

nin işaretlerinin belirlenip belirlenemeyeceğidir. Açıktır ki bu A 1 in

öğelerinin işaretine bağlı olacaktır.

Bel (A) = (+) (+) - ( - ) (+ ) = (+) _ ( _ ) = + olduğundan A 1 vardır.

2 6 3

A - 1 = Bel (A)

,12

er1 a" olacaktır. Evrik dizey bulma kuralları hatırlanırsa

Bel(A)

1 Bel(A)

+ olacağından

(16.3.6) A - 1 =

bulunacaktır. 0 zaman da

+ " + _

(16.3.7)

olduğundan

8yv

8x j

8x,

+ +

+

(16.3.8)

(16.3.9)

dJı 8x,

8xx

(+) ( - ) + (+) (0) < o

= (-) (-) + (+) (0) > 0

> o

elde edilir. Görüldüğü gibi bu modelde ilgilendiğimiz türevlerin işaretini be-lirleyebildik.

8F Oysa bu modelde < 0 ya da 8F2

8x, > 0 olsaydı, ilgilendiği-

miz türevlerin işaretlerini kesin belirleyemiyecektik.

Bir modelin yapısal biçiminin türevlerinin işaretlerine ilişkin bilgilerden hareketle indirgenmiş biçimin türevlerinin işaretlerinin hangi koşullar altında belirlenebileceği, iktisat yazınında yoğun bir tartışma konusu olmuştur.1 Biz burada bu tartışmaya girmeyecek sadece bu tartışmalarda ortaya atılan önem-li bir teoremi vermekle yetineceğiz.

1 Bu konuda SAMUELSON (1947), ve ALLINGHAM - MORISHIMA (1973) bakdabilir.

264

Söz konusu teoremi ifade edebilmek için önce bir tanım verelim. TANIM 16.3.1: Ax = b dizgesi verilsin. C = [A: b] diyelim. Eğer C dizeyi, sıra ya da sütunları yer değiştirilerek veya (—1) ile çarpılarak

O, O,

biçimine getirilebiliyorsa, C bölütülenebilir biçime (partitionable form) getiril-miştir, denir. Burada

a, > 0, x k eksi olmayan bir satır yöney (en az bir öğesi artı olacak) a2 < 0 l x ( n + ı _ k ) artı olmayan bir satır yöney (en az bir öğesi eksi olacak) °ı = (°) (fc-i)x(Fi+ı-t) Sıfır dizey °2 = (0) <n-ft)x(fc) Sıfır dizey Aj = (a;/) (k-i)xk

— (a,/) (n—k)x(ıı+ı—k)

A, ve A2 dizeyleri Lancaster'in II. ölçüm Biçim (Second Standard Form) dediği dizey biçimindedirler. Bu dizey biçiminde

i) au < 0 ii) atJ = 0

iii) au > 0

1 = J i > İ * < j

Bu dizeyin biçimini şöyle gösterebiliriz.

+ 0

0 0 + + +

4 -

+ +

+ _ TEOREM 16.3.1: (LANCASTER-GORMAN TEOREMİ)

A x = b modeli hakkında sadece nitel bilgilerimiz olsun. Bu model ancak C = [A : b] dizeyi bölüntülenebilir biçime sokulabilirse tam karşılaştırmalı durağan bilgi verecek biçimde çözülebilir. (Yani ancak bu koşul sağlandığında Ax = b yapısal biçiminde yer alan türevlerin işaretlerine dayanarak indirgen-miş biçimde yer alan tüm türevlerin işaretleri kesinlikle belirlenebilir).

ÖRNEK: Aşağıdaki nitel model verilsin.

2 6 5

0 0 + 0 0 0 fol 8xk

—

— 0 + 0 0 0 foi Sxk

+

— + — + + + fo3 8xk

—

0 + 0 — + + fo4 8xk

0

0 + 0 0 — + fos 8xk

0

0 + 0 0 0 — fo« 8xk

0

Şimdi bu modelden tam karşılaştırmalı bilgi alıp alamayacağımızı, yani

' i = 1, 6 türevlerinin işaretlerini belirleyip belirleyemeyeceğimizi oxk

irdeleyelim.

- 0 0 + 0 0 0 —

— 0 + 0 0 0 + — + — + ' + + —

0 + 0 — + + 0 0 + 0 0 — + 0 0 + 0 0 0 — 0

olacaktır, önce 3. sırayı (—1) ile çarpalım.

0 0 + 0 0 0 —

— 0 + 0 0 0 + + — + — — — + 0 + 0 — + t + 0 0 + 0 0 — + . 0 0 + 0 0 0 — 0

Şimdi 7. sütun ile 2. sütunun yerlerini değiştirelim.

- 0 — + 0 0 0 0 — + + 0 0 0 0 + + + ' — — — —

0 0 0 — + + + 0 0 0 0 — + + 0 0 0 0 0 — +

2 6 6 t

Şimdi de 1. satır ile 3. satırın yerini değiştirelim. ~ + + + — — — —

— + + 0 0 0 0 0 — + 0 0 0 0 0 0 0 — + + + 0 0 0 0 — + + 0 0 0 0 0 — + _

Görüldüğü gibi bu dizey Laneaster'in II. ölçün biçimindedir. 0 halde tüm indirgenmiş biçim türevlerinin işaretleri belirlenebilir.

Örnek olmak üzere hesaplayalım. Cramer kurakndan

M 8xk

0 0 — 0 0 0 — 0 + 0 0 0 — + — + + + 0 + 0 — + + 0 + 0 0 — + 0 + 0 0 0 —

0 0 + 0 0 0 — 0 + 0 0 0 — + — + + + 0 + 0 — + + 0 + 0 0 — + 0 + 0 0 0 —

olacaktır. Türevin işaretini belirleyebilmek için pay ve paydadaki belirten-lerin işaretlerini belirlemek gerekmektedir. Modelin büyüklüğü nedeniyle bu işlem uzun yer kaplamaktadır. Bu nedenle sadece paym işaretinin nasıl belir-lendiğini görelim.

Payda da yer alan belirteni birinci satırından açarak boyut indirgeme işlemine başlayalım.

— 0 0 0 0 — + + + + 0 + — + + 0 + 0 — + 0 + . 0 0 —

Bu belirteni de birinci satırından açalım. ( - ) ( - ) + + + + (+) + + + +

+ - + + + 0 - +

+ - + + + 0 - +

+ 0 0 — +- 0 0 — ulaştığımiz bu belirteni de 2. sütunundan açalım.

+ + + + + - + +

+ 0 - +

+ 0 0 -

267

( i ) 1 + 2 (+) + + + -+ O + + +

• o

- (0)]

+ +

+ + + (-)

+ + + + — + + 0 —

+ + + + — + -j- 0 —

t- [ (0) - ( = (-) {(+) [(+) - (0)] - (+) [ ( - ) - (+ ) ] + ( - ) {(+) [(+) - (0)] - (+) [ ( - ) - ( + ) ] + (+) [ (0) - ( - ) {(+) (+) - (+ ) ( - ) + (+) (+)} + ( - ) {(+) (+) - (+ ) ( - ) + (+) (+)} = ( - ) {+} + ( - ) { + } = -

Aynı yolla paydanın işareti incelenirse bu işaret -)- bulunacağından

gy3 = -8xk +

elde edilir. Yani 8y, dx t

< 0

dır.

16.4. Karşılaştırmalı Durağan Bilginin Kaynakları

Bu bölümde ele aldığımız modellerde yapısal biçimdeki türevler hakkın-da baştan varsayımlar yaptık. Bu türevlerin belli işaretler aldığını kabul ede-rek çözümlemelerimizi sürdürdük. Bu noktada akla şu soru gelebilir. Acaba biz bu işaretler hakkındaki bilgileri nereden alıyoruz P Açıktır ki bu işaretleri keyfi olarak belirleyemeyiz. Eğer böyle yaparsak, karşılaştırmalı durağan çö-zümlemelerimizin anlamı kaybolur. O halde bu işaretleri bize sağlayan kay-nakların neler olduğunu bilmek gerekir.

Samuelson, karşılaştırmalı durağan bilginin üç kaynağı olduğunu belirt-mektedir. (SAMUELSON, 1947, s. 21-23). Bunları şöyle sayabiliriz.

1) Denge noktalarının belli bir amaç işlevinin ençok (maximum) ya da enaz (minimum) durumları olmaları halinde, eniyileştirme kuramının (optimi-zation theory) bu noktalarda türevlerin alacağı işaretlere ilişkin sonuçları, karşılaştırmalı durağan yöntem için bir bilgi kaynağı olacaktır. Örneğin fir-manın kârını ençoklaştırdığı varsayımı altında bir denge noktasıyla ilgilendiği-mizde, bu noktada kâr işlevinin türevlerinin işaretinin ne olacağını bize eni-yileştirme kuramı verecektir. Bundan sonraki bölümde bu bilgilerin neler olduğu üzerinde duracağız.

268

2) Denge noktalarının kararlı (stable) olduğu varsayılarak, işlevlerin tü-revlerinin işaretleri kararlıhk kuramının (stability theory) bulgularına dayanı-larak belirlenebilir. Kitabımızın son bölümünde bu konu üzerinde duracak ve özünde devingen çözümleme olan kararlılık çözümlemesinin karşılaştırmalı durağan yöntem için sağladığı bilgilerin niteliği ve önemi konusunu ele alacağız. Samuelson'un "Karşılama İlkesi'' (Correspondance Principle) adını alan bu konu iktisat yazınında önemli tartışmalara yol açtığı için, başlı başına ilginç bir inceleme alanıdır.

3) Nihayet bazı teknolojik ve ruhbilimsel yasalara dayanılarak bazı tü-revlerin işaretleri hakkında varsayımlar yapılabilir. Örneğin azalan marjinal fiziksel Verimlilik, sabit bir toprak parçası üzerinde kullanılan değişken girdi-lerin miktarı artırılırsa, her artan birimin katkısının bir öncekinden daha az olacağı görgül olarak saptanan bir teknolojik olgudur. Bu tür bilgiler de bize ele aldığımız işlevlerin türevleri hakkında bilgi verebiliriz. Ancak bu tür öncel (a priori) bilgileri kullanırken çok dikkatli olmak gerektiği açıktır. Bu yol dik-katli kullanılmadığında, sonraki işlemlerin varacağı noktayı da belirleyebil-diğinden, bir dizi önsel varsayim yoluyla, istediğini söylemek sonucuna vara-bilir.

ALIŞTIRMALAR:

A.16.1: Aşağıdaki makro ekonomik model verilsin.

Y = c + I + G*

C = C (Y, T)

1=1 (Y, i)

T = T (Y)

Md = Md (Y, i)

Md = Ms ' Ms = M*

Burada Y ulusal geliri, I yatırımı, G* devlet harcamalarını, T vergiyi, i faiz oranmı, Md para istemini Ms para sunumunu ifade etmektedir. (Ms = M*, para sunumunun dıştan belirlenmiş bir büyüklüğe eşit olduğunu anlamına gelir). Bu modelde G* ve M* dışsal değişkenlerdir. G* veri olduğunda M* artırılırsa bunun Y ve i üzerindeki etkisinin yönünü bulun.

ac n 8C > o 8Y 8T < 0

81 ~~8Y~

dT dY

8Md

8Y

> 0

> 0

> 0

81 8İ

< 0

8Md

8İ < 0

269

A.16.2 Aşağıdaki istem sunum modelinin bir tarımsal ürüne ilişkin olduğunu düşünelim.

D = D (P, Y)

S = S (P, W)

Burada D istem miktarını, S sunum miktarını P malın fiyatını, Y gelir düzeyini've W ise hava koşullarının elverişlilik göstergesini ifade etsin. Hava koşullarının daha elverişli olmasının denge fiyatı üzerindeki etkisini bulun.

M.A. ALLINGHAM - M. MORISHIMA (1973): "Qualitativc Economics and Comparative Stat ics" M. MORISHIMA ve diğerleri: Theory of Demand: Real and Monetary, Oxford, s. 3-69.

A.C. CHIANG (1974): Fundamental Methods of Mathematical Economics, 2 nd Ed . Mc Graw Hill, New York , s. 228- 242.

E . GLUSTOFF (1976): "Differential Proporties of Functions Which are Solutions to Maximization or Minimization Problems" Journal of Economic Theory, Vol 13, s. 439-447.

B. R O B E R T S - D.L. SCHULZE (1973): Modern Mathematics and Economic Analysis, Norton, New

York , s. 308-317.

P.A. SAMUELSON (1947): Foundations of Economic Analysis, Atlıeneum New York (1965), s. 21-29.

M.J. TODD (1976): The Computation of Fixed Points and Applications, Springer Yerlag, Berlin.

KAYNAKLAR

2 7 0

ENİYİLEME SORUNU I: KISITSIZ ENİYİLEME

17. Bölüm

Bu bölümde bir işlevin ençok (maximum) ve enaz (minimum) noktaları-nın nasıl bulunacağı sorunu üzerinde duracağız. Bu, Eniyileme Sorunu (Op-timization Problem) adını alan ve birçok bilim dalının başvurduğu, önemli bir konudur. İktisatta da çoğu kez bireylerin ya da toplumun biı-şeyi eniyile-mek istediği kabul edildiği için, bu sorun, iktisat kuramında birçok konuya destek olacak niteliktedir.

Biz eniyileme sorununu iki aşamada ele alacağız. Önce ele aldığımız işlev üzerinde hiçbir kısıt olmadığını varsayacağız ve bu işlevin ençok ya da enaz noktalarını bulmağa çalışacağız. 18. Bölümde ise eşitlik kısıtları sözkonusu olduğunda eniyileme sorununu nasıl çözeceğimizi görmeğe çalışacağız. 19. Bö-lümde de eşitsizlik kısıtlarının varlığı halinde eniyileme sorununu inceleyeceğiz.

Bu bölümde izleyeceğimiz yolu ise şöyle özetleyebiliriz: 17.1. de uç değer (extreme value) kavramını tanımlayıp bunun türlerini göreceğiz, 17.2. de ise eniyileme kuramına ilişkin teoremlerin kanıtlanmasında büyük önem taşıyan Taylor teoremini inceleyeceğiz. 17.3. de birtek açıklayıcı değişken söz konusu olduğunda yerel uç değerleri nasıl bulabileceğimizi ele alacağız. 17.4. de ise bulgularımızı re- açıklayıcı değişken olması halinde genelleyeceğiz. 17.5. de ise tümel (global) uçların bulunması sorununa değineceğiz.

17.1. Uç Değer Kavramı ve Türleri

Bir işlevin Uç Değerleri (Extreme Values) denildiğinde bundan Ençok (Maximum) ve Enaz (Minimum) değerleri anlaşılır. Aşağıdaki A c R" açık kümesi üzerinde tanımlanmış gerçel değerli işlevi ele alalım:

(17.1.1) y — f (x) = /(*,, *„), X = (*„ . . . . . . x„) Şimdi bazı tanımlar verelim:

TANEVİ 17.1.1: x* e A noktasında (17.1.1) de verilen işlevin aldığı değer /(x*) olsun. Eğer V x e A için (17.1.2)/(x*) > / ( x ) ise x noktasında/'nin Zayıf, Tümel İç Ençok Değeri (Weak Global Interior Maximum) vardır. Eğer V x e A için

271

(17.1.3) /(x*) 5Ş /(x)

ise x* noktasında / 'nin Zayıf, Tümel iç Enaz Değeri (Weak Global Interior Minimum) vardır.

Aşağıdaki Şekil 17.1.1 de a 0 noktasmda/'nin zayıf tümel iç ençok değeri ve bB noktasında ise/'nin zayıf tümel iç enaz değeri vardır.

Şekil 17.1.1

Şimdi bu tanımda yer alan terimleri a0 noktasını ele alarak biraz daha açıklamağa çalışalım. a 0 , / ' n in ençok değer aldığı bir noktadır. Çünkü/işlevi, tanımlandığı (a, b) açık aralığında/(x) dan daha büyük bir değere ulaşamamak-tadır. Ancak (a) noktasının yöresindeki diğer noktalarda da / 'nin aldığı de-ğerler / (a) ya eşit olduğu için, yani /(a) bütün diğer değerlerden kesin daha yüksek olmadığından sadece bu bir zayıf ençok değerdir. /(a) ayrıca işlevin tanımlandığı tüm alanda alabileceği en yüksek değeri verdiği için tümeldir. Nihayet (a) noktası, / 'nin önalan kümesinin sınırında değil içinde yer almak-tadır. Zaten bunu garantileyebilmek için önalan bir açık küme olarak ele alın-mıştır. Bu nedenle de (o) noktasında / bir iç ençok değere ulaşmaktadır.

TANIM 17.1.2: x* e A noktasında, (17.1.1) de verilen işlevin aldığı değer /(x*) olsun. Eğer V x e A için

272

(17.1.4) /(x*) > /(x)

ise, x* noktasında/'nin Güçlü, Tümel İç Ençok Değeri (Strong Global Maxi-mum) vardır. Eğer Vx e A için (17.1.5) /(x*) < /(x) ise, x* noktasında/'nin Güçlü, Tümel İç Enaz Değeri (Strong, Global Mini-mum ) vardır.

Aşağıdaki Şekil 17.1.2 de aB noktasında / 'nin güçlü, tümel iç ençok de-ğeri ve b;ı noktasında ise / 'nin güçlü tümel iç enaz değeri vardır. Dikkat edilirse bu işlevin önalanında yer alan hiçbir noktada aldığı değer f(a0) ya eşit ya da yüksek değildir. Bu nedenle de/(a 0 ) "güçlü" sıfatını taşı-maktadır. Aynı özellik ba noktası için de geçerlidir.

TANIM 17.1.3: x* e A noktasında, (17.1.1) de verilen işlevin aldığı değer /(x*) ve x noktasının s yöresi N (x, E) olsun. Eğer V x e (N (x*, s) n A) için

(17.1.6) /(x*) ^ /(x) ise, x*, noktasında/'nin bir Zayıf, Yerel İç Ençok Değeri (Weak Local İnte-rior Maximum) vardır. Eğer V x e (x*, s) fi A) için (17.1.7) /(x*) ^ /(x)

2 7 3

ise, x*, noktasında/'nin bir Zayıf, Yerel İç Enaz Değeri (Weak Local Interior Minimum) vardır.

Aşağıdaki Şekil 17.1.3 de a0 noktasında/'nin zayıf yerel iç ençok değeri ve ba noktasında ise/'nin zayıf, yerel iç enaz değeri vardır.

Şekilden de izlenebileceği üzere a 0 noktasının bir yöresinde/(a 0) aşan bir değer veren bir nokta yoktur. Bu nedenle f{a0) zayıf, yerel, iç ençok değerdir. Ama ençok değer değildir. Çünkü/(c0) >f{a0) dır. a0 noktasına yerel ençok de-ğere ulaşılmıştır diyebilmemizin nedeni ca $ N (a0, s) olmasıdır. Aynı açıkla-b„, d„ nokta çifti için de bu kez yerel enaz değer olma özelliği açısından yapı-labilir. TANIM 17.1.4: x* e A noktasında, (17.1.1) de verilen işlevin aldığı değer /(x*) ve x* noktasının s-yöresi N (x*, e) olsun. V x e (N (x*, e) n A) için (17.1.8) /(x*) > /(x) ise, x* noktasında / 'nin bir Güçlü, Yerel İç Ençok Değeri, (Strong, Local, In-terior Maximum) vardır. Eğer V x e (N (x*, s) D A) için

(17.1.9) /(x*) > /(x) ise, x* noktasında/'nin bir Güçlü, Yerel İç Enaz Değeri (Strong, Local, Interior Minimum) vardır.

274

Aşağıdaki Şekil 17.1.4 de a0 noktasında/'nin güçlü yerel iç ençok değeri, b0 noktasında ise/'nin güçlü yerel iç enaz değeri vardır.

Şu ana kadarki tanımlamalarımızda uç değerin hep önalanm içinde yer aldığını varsaydık. Bu varsayımımızı kolaylaştırmak için de A kümesini açık küme aldık. Oysa aşağıdaki Şekil 17.1.5 i ele alahm.

Bu işlev [a, b] kapalı aralığında tanımlanmıştır. Görüldüğü üzere de b nok-tasında ençok değere ulaşmaktadır. Yani ençoklayan x değeri önalanın içinde değil sınırındadır. Bu farklı durumu aşağıdaki tanım betimlemektedir. TANIM 17.1.5: y = /(x) bir A kapalı kümesi üzerinde tanımlansın. x*, 'nin sınırı içinde bir nokta,/(x*) ise bir uç değer olsun. Buna Sınır Uç Değer (Bo-undary Extreme Value) ya da Dış Uç Değer (Exterior Extreme Value) denir.

Sınır iç değerlerin söz konusu olması, Tanım 17.1.5 den de anlaşılacağı üzere, / işlevinin önalanınm bir kapalı küme olmasına bağhdır. O halde, bir işlevin uç değerlerinin var olup olmadığının belirlenmesi ya da varsa yerinin saptanması sorunlarını tartışırken, önalanın kapalı ya da açık küme olması çok önemli değişiklikler meydana getirecektir.

Örneğin A — \x [ a < a; < b} açık kümesi üzerinde tanımlanan y = fix)-> tekdüze artan işlevini düşünelim. Bu işlev aşağıdaki Şekil 17.1.6 da gösterilmektedir.

275

y1

7f. Şekil 17.1.6

2 7 6

Bu işlevin ne bir enaz değeri, ne de bir ençok değeri vardır. Çünkü, örne-ğin, ençok değeri olup olmadığı sorununu ele aldığımızda şunu görüyoruz x, 6'ye yaklaştıkça, / tekdüze artan bir işlev olduğu için f(x) artmaktadır. An-cak A açık küme olduğu için x hiçbir zaman b değerini alamamaktadır. Bu nedenle de bu küme içinde daima elde edilen bir/(x) değerinden daha büyük bir/(tf+A*) değeri bulunabilir. Aynı biçimde x, a'ya yaklaştıkça f(x) azal-maktadır. Fakat hiçbir zaman x, a değerini alamadığı için, bu işlevin bir enaz değeri de yoktur.

Buna karşılık /'nin tanımlandığı küme, yani / 'nin önalanı, A = { x \ a ^ x - ^ b } olduğunda durum değişmekte, /(&) bu işlevin ençok değeri,/(a) ise enaz değeri olmaktadır.

17.2. Seriler, Üs Serileri ve Taylor Teoremi Bu bölümde biz işlevlerin, sadece iç ençok ya da iç enaz değerlerinin bu-

lunması sorunlarıyla ilgileneceğiz.

Aşağıdaki diziyi düşünelim. (17.2.1) «j, a2, ..., a„,

Burada a„ e R kabul edilmektedir. Bu dizinin ardışık (successive) terim-lerini toplayarak yeni diziler elde edebiliriz, örneğin aşağıdaki ardışık tikel toplamları düşünelim.

S1 = °1 S2 = a{ + a2 S} = + a2 + ai

(17.2.2) n

S „ = «ı + «2 + + an = S al - (=1

TANIM 17.2.1: Sn, (17.2.2) de tanımlanan tikel toplam olsun {Sı, Sn, } = dizisine'Soresuz Seri (Infinite Serie) ya da kısaca Seri denir.

TANIM 17.2.2: {SJ^L, bir seri olsun. Eğer (17.2.3) Erey S„ = S

sonucunu veren gerçel ya da karmaşık bir S sayısı varsa bu seriye Yakınsak Seri (Convergent Serie) denir ve S'ye de serinin toplamı adı verilr.

ÖRNEK (Geometrik Seri): 1 + * + + + x" +

serisini ele alalım. Bu serinin n— inci tikel toplamını Sn ile gösterirsek (17.2.4) S„ = 1 + z + ** + + a"-1

2 7 7

buluruz. Eğer x = 1 ise Sn =, n dir. Bu durumda seri ıraksaktır, çünkü n ->oo olduğunda Sn ->- eo olmaktadır. Şimdi * = 1 alalım. (17.2.4) ün her iki tarafını x ile çarpalım. (17.2.5) * Sn = * + & + a? + .... + xn

şimdi (17.2.4) den (17.2.5) i çıkaralım.

n—l n-ı n—l . n—l n—l Sn - xS„ = S xl — * s xl = S - S = s {xl — xi+1)

1=0 ı=o ı=o i = o ı=o

= (1—x) + (x—x2) + (x2—x3) + ...+(xn-2-xn-i) + (xn~i-xn) = 1—X+X — + *2 — Z3 +... + X"-2— X"-1 4- s " - 1 — xn

(1-*) S. .= 1 - «•

O halde

(17.2.6) S„ = | ~

elde edilir. Eğer |*| < 1 ise bu dizi yakınsak, |z | > 1 ise ıraksaktır. ]z| < 1 olduğunda Erey xn — 0 olduğundan,

n-» M

(17.2.7) Erey S„ = \x\ < 1 «-»» ı — x

bulunur.

TANIM 17.2.3: Aşağıdaki biçimdeki bir seri verilsin. (17.2.8) a0 4- o, * + a2 z2 4- 4- a„ xn 4- Bu seriye Üs Serisi (Power Series) denir.

(17.2.8) de verilen güç serisinin x — O için yakınsak olduğunu varsaya-lım. Bu takdirde x = O noktası etrafındaki bir aralıkta yer alan tüm z'ler için bu serinin yakınsayacağı gösterilebilir.1 Dolayısı ile serinin toplamı z'in bir işlevidir. Bu toplamı:

(17.2.9) f(x) = a0 + a, z + a2 x2 + a2 z 3 + . . . . + an x« + .... biçiminde gösterelim. Bu takdirde (17.2.9) da verilen seri, yakınsama aralı-ğında / işlevini temsil ediyor (represents) denir ve bu işleme / işlevinin x — O noktası etrafında güç serisi açınımı adı verilir. TEOREM 17.2.1: / işlevi, yakınsama aralığında güç serisi olarak ifade edilsin, i) S n a„ x"' x serisi de aynı arahkta yakınsar.

n = l

1 Bu konu için, örneğin T. APOSTOL (1967, Yol 1, s. 428-31) ya da I . SUVOROV (1963, s. 245-6) bakılabilir.

2 7 8

ii) / işlevinin türevi yakınsama aralığında vardır ve

•Ş- = f\x) = S nan X»-1 dir. AX N-L

KANIT: APOSTOL (1967, vol. I, s. 432-433)

Şimdi ele aldığımız işlevin güç serileri cinsinden açınımını elde etmek is-tediğimizi düşünelim. Bulmak istediğimiz, bu seride yer alan a t katsayılarının neye eşit olduğudur. Ele aldığımız f(x) işlevinin n kez türevlenebilir olduğunu düşünelim.

y = /(*) = a0 + a, X + a2x2 + a3*3 +... + an xn +

= /'(*) = «! + 2a, x + 3a3 + . . . + na„ x"~l + ...

- ğ - = /"(*) = 2 «2 + 6 o3 x + . . . + re(re-l) «„ + . . .

- ğ - = f"'(x) = 6 a3 + .... + re(re-1) (re-2) a„ + . . .

(17.2.10)

- g - = /"(#) = [re(re— 1) (n-2) . . . (2) (1)] a„

Şimdi (17.2.10) daki rs'ler yerine x = 0 koyalım. O halde /(O) = o0 /'(O) = a, /"(O) = 2 a2 /'"(O) = 6 a3

(17.2.11) /"(O) = [re(re-l) (re—2) . . . . (2) (1)] a„

Elde ederiz. Eğer re! = re(re—1) (re—2) . . . . (2) (1) dersek (17.2.11) yerine f(0) = «o AO) = /"(O) = (2!) a2 (/'"(O) ^ (3!) a3

(17.2.12) /»(O) = (re!) a„

biçiminde yazabiliriz. Buradan da aradığımız katsayıları = m = /'(O)

2 7 9

„ _ /"(O) 2 ~~ ~ 2 p

„ _ /'"(O) 3 3İ

(17.2.13)

« " n\

elde edilir. Bunları (17.2.9) da yerine koyarsak

(17.2.14) /(«) = /(O) +7'(0) + ö - ^ *> + . . . .

nl elde edilir. Görüldüğü gibi böylece bir işlevi bir güç serisinin açınımı olarak ifade etmiş olduk. (17.2.14) de verilen seriye Maclaurin Serisi denir.1

ÖRNEK: y — ex olsun. x == 0 noktasında bu işlevin Maclaurin serisi ile açı-nımını yapalım. Bu özel işlevde f(x) = f'(x)=f"(x) = /"(*) — ... = ex

olduğundan

/(O) = /'(O) = /"(O) = . . . = /"(O) — . . . = e" .= 1 elde edilir ve

/(*) = 1 + * + + - f j - + - • • • + + •••• bulunur.

Şimdi sorunumuzun biraz daha genelleştirelim ve bir işlevin herhangi bir x = x0 noktası yakınındaki açınımını bulmağa çalışalım. Bunu veren denklem

(17.2.14) f(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0) + (x-x 0 ) 2

+ + .... +J^-(x-x0)- + ....

biçimindedir. Buna Taylor Serisi ya da/(x)5in Taylor Açınımı denir.2

ÖRNEK: y — f(x) = 3 + 4 a: + 6 ^ olsun. Bh işlevin x — x0 noktasmda Taylor açınımını bulalım.

/ ' (x) = 4 + 12 x f" (*) = 12

1 Colin Maclaurin (1698-1746) bu seriyi ilk kez or taya a tan îskoçyalı matematikçidir. 2 Brook Taylor (1685-1731) bu seriyi ilk kez ortaya a tan İngiliz matematikçisidir.

2 8 0

/ " ' ( * ) = . . . . = /•(«) = . . . . = o olduğundan

f(x0) = 3 + 4xa + 6 f'(x0) = 4 + 12 * 0

f" («„) = 12 elde edilir ve

f(x) = f(x0) + /'(*„) (*-*„) + (*-* 0 ) 2 den

12 /(*) = (3+4 + 6x\) + (4 + 12*„)(*-*„) + — (*-* 0 ) 2

bulunur. Gerekli sadeleştirmeler yapdırsa

/(*) = 3 + 4 x + 4 x2

elde edilir.

Bu örnekden de görüldüğü üzere n- inci dereceden bir çok terimli, Taylor açınımı yoluyla bir başka n-inci dereceden çok terimli ile ifade edilebilir. An-cak, bu yaklaşımın işlerse! anlamlılığı, herhangi bir işleve n-inci dereceden birçok terimli ile yaklaşmak istediğimizde ortaya çıkmaktadır.

Açıktır ki, herhangi bir işleve belirleyeceğimiz bir n tamsayısı için, re-mel dereceden birçok terimli ile yaklaşmak, Taylor serisinin n + 1 ve daha son-raki terimlerinin ihmal edilmesi anlamına gelmektedir. 0 zaman şu soru önem kazanmaktadır. Acaba bir işleve n-inci dereceden birçok terimli ile yaklaştı-ğımızda ne kadar hata yapıyoruz?

Bu hatanın ne kadar olduğunu anlayabilmek için çok terimlinin n + 1 inci ve sonraki terimlerinin toplamını Rn ile ifade edersek,

(17.2.15) /(«) = Sn + Rn

yazabiliriz. Burada Sn, x = x0 etrafında f(x) işlevinin Taylor açınımının ilk n terimini göstermektedir. f(x) 'e Sn ile anlamlı bir biçimde yaklaşıp yaklaşama-dığımız ise, sözkonusu Taylor serisinin yakınsak olup olmadığına bağlıdır. Bu ise (17.2.16) f(x) = Erey S„

n-> co olması demektir. 0 halde (17.2.15)'den, (17.2.16)'nın geçerli olabilmesi için, (17.2.17) Erey R„ = 0

n->» olması gerektiği ortaya çıkar. Rê kalan (remainder) denir.

281

Bu koşulu sağlayan kalanın ne olacağı konusunda Cauclıy, Lagrange gibi bazı matematikçiler çeşitli ifadeler önermişlerdir. Biz burada bunlarm sezgisel olarak en basiti olan Lagrange tipi kalanı ele almakla yetinecek, diğerlerini ihmal edeceğiz.1

Lagrange tipi kalan,

(17.2.18) Rn = f^ (c) ( ^ " j 1 x.<c<.x

biçiminde ifade edilir.2

Şimdi kanıtlamaksızm, TAYLOR TEOREMİ adı verilen aşağıdaki teoremi ele alalım. TEOREM (17.2.2): (TAYLOR TEOREMİ) y = f(x) gerçel değerli bir işlev ve bunun ilk ra-|-l (n > 0) türevi [a, 6] kapalı aralığında sürekli olsun. Bu durum-da söz konusu işlevin x0 e [a, b] noktasının bir yöresindeki değeri, Lagrange tipi kalan varsayıldığında,

(17.2.19 a) f(x) = /(*„) + f'(x0) (x-x0) + - Ö ü L (x-xoy +

/"(*-) / . ı f"+1(c) + —rfr {x~x°)n + { x - x ° y

biçiminde bulunur. Burada x0 < c < x dir. Eğer x — x0 + h ve 0 < 6 < 1 ise: c = x0 -r 6h dersek, (17.2.19 a) yerine

(17.2.19 b) f(x) = f(x0) +f'(Xo) h + -Ç^L h2 +

+ h\ n + (n+1)! ft

yazılabilir. (17.2.19 a) ve (17.2.19 b) aynı sonucun iki ayrı biçimde ifadesinden ibarettir.

KANIT: PANİK (1976, s. 84-85) ÖRNEK:

y = f(x) = eax a > x0 = 0 olsun. f'{x) = a eax, f"(x) = a2 eax, /"'(*) = a3 ea* , ,/"(*) = a" eax

x 0 = 0 noktasında bu işlev ve türevleri değerlendirirsek

1 Çeşitli kalan ifadeleri için, G.B. THOMAS (1968, s. 635-641) bakılabilir. 2 Bu ifade, sezgisel olarak, bir işleve türevi ile yaklaşmak kavramına dayanmaktadır . Bu konuda

R . F R I S C H (1966, s. 21-22) ve t a m bir kanı t için ise M.J. P A N İ K (1976, s. 88-89) bakılabilir.

282

/(O) = 1, /'(O) = a, /"(o) = a2, / '"(a) = a3 /»(O) = a"

O < c < x olduğunda, Lagrange tipi kalan, nn+1

R = pac(xn+11 " (re+1)! 6 j

olacağından « 2 « 3 « n « n + l

/(*) = ı+«* + *2 +-3J- *3 +•••+ -Jp +-(^pî)! eOC(^+1) elde edilir.

Şimdi de, Taylor teoremini re- bağımsız değişkenli işlevler için genelleşti-relim. Ele alacağımız işlevi

(17.2.20) y = /(x) = f(Xl xn)

biçiminde tanımlayalım. Bu işleve x 0 noktasının bir 2V(x0, e) yöresinde ya-kalamağa çalışacağız. Bunun için

(17.2.21) h = x - x 0 = (*,-*,". x2-x/, xn-x°n)

ifadesini tanımlarsak, / işlevinin x 0 noktasındaki j- inci sıradan türevseli

(17.2.22) * / (x0 , h) = i £ . . . . i ( 8 S t İ X t ) ^ * * ^

biçiminde elde edilir.

Diğer taraftan daha önce gördüğümüz bazı kavramlara başvurarak 0,1 ve 2. türevselleri almaşık bir biçimde de gösterebiliriz.

(17.2.23) do / (x 0 , h) = f(x0)

(17.2.24) d'J(K, h) = S % {%o) hr = V / (x0)' h R=L CXR

Burada A/(x0), / işlevinin x 0 noktasında değerlendirilmiş eğim yöneyidir. Yani:

(17.2.25) ( 4 % L . . . . . . J Ç g - )

nihayet

(17.2.26) d2 / (x„ h) = S S f / ( * o ) hr hs = h' H r (x0) h r = ı s= ı O <7

Burada da IIj (x0), / işlevinin noktasında değerlendirilmiş Hesse Dizeyidir (Hessian). Bu dizeyi:

283

(17.2.27) H, (x„) =

e2/ (*„) 02/(xof d X* 8xt 8xn

e2/(x0) 8Wo) dxn cxl 8x>

biçiminde gösterelim:

Şimdi genelleştirilmiş Taylor teoremini yazabiliriz.

TEOREM 17.2.3: (GENELLEŞTİRİLMİŞ TAYLOR TEOREMİ) y = /(x), x e R"veK c R" kapalı kümesi içinde /'nin ilk n + l (n > 0)

türevi sürekli olsun. Bu durumda herhangi bir x„ e K noktasının N (x0, (5) cK, yöresinde / işlevinin değeri

(17.2.28) /(x) = / (x 0 ) + df (x0, h) + A - cF/(x0, h) + . . . .

• • •' + d" f (x°> h ) +

biçiminde ortaya çıkar. Burada

1 (17.2.29) Rn+1 =

dir. (n+l) dn+1 f(x0 + 6 h, h) o < e < ı

KANIT: PANİK (1976, s. 92-4) Bizini ilgilendiğimiz konuların birçoğunda n = 1 seçerek Taylor teoremini

uygulamak yeterli bilgi vermektedir. Bu nedenle, söz konusu özel halde, ula-şılan sonucun ne olduğunu belirtmekte yarar var. n= 1 olduğunda (17.2.28) ve (17.2.29) birleştirildiğinde 0 < 0 < 1 için

(17.2.30) f(x) = f(x0) + df(x0, h) d* f(x0 + 6 h, h)

ya da (17.2.24) ile (17.2.26) kullanılarak

(17.2.31) /(x) = f(x0) + V /(*„) h + İ - h Uf (x0 + 0 h) h

elde edilir.

2 8 4

17.3. Tek Bağımsız Değişkenli Türevlenebilir İşlevlerde Yerel, İç Uç Noktanın Bulunması Sorunu

Bu alt bölümün başlığının uzunluğunun nedeni, ele alacağımız yöntem-lerin yanıtlayabildiği soruların kısıtlılığını baştan vurgulamaktadır. Başlıktaki terimleri kullanarak hangi sorunları dışladığımızı kısaca görelim:

a) Türevlenemeyen işlevler dışarıda bırakılmaktadır. Örneğin aşağıdaki kesikli işlevi ele alalım:

y a

3 U Şekil 17.3.1

Şekilden de açıkça görüldüğü üzeıe bu işlevi ençoklayaıı değer x=3, enazlayan değer ise x = l dir. Ancak bu işlev hiçbir noktada türevlenemediği için, bu bölümde ele alacağımız teknikler, bu durumda uç noktaları sapta-mada kullanılamaz.

b) Tümel (Global) uç noktaların bulunması sorunu dışarıda bırakılmak-tadır. Türev kavramının tanımından da anımsanacağı üzere, bu yöntem bir noktanın küçük bir yöresindeki değişmeleri ele almak için uygun bir teknik niteliğindedir. Bu nedenle de bu yolla saptadığımız uç değerin ancak küçük bir yöre için bu niteliği taşıdığını söyleyebiliriz. Bulunan uç değerin bütün-sellik niteliğini taşıması, ancak ele alman işlevin bazı başka özellikleri de taşı-dığının bilinmesi halinde olanaklıdır (Dışbükey ya da içbükey işlev olması gibi). Bunun dışında bütünsel uç değerlerin bulunması ancak bazı araştırma yöntemleri (Search Methods) kullanılarak sınama yoluyla olanaklıdır.

285

c) Son olarak, ele alacağımız yöntemler dış ya da sınır uçların bulunması konusunu da dışlamaktadır. Çünkü bu noktalarda da türevlenebilirlik ko-şulları sağlanmamaktadır.

Şimdi de bu çerçeve içinde uç değerleri nasıl saptayabileceğimizi görme-ğe çalışabm. Bunun için önce aşağıdaki teoremi ele alabm: TEOREM 17.3.1: (UÇ ÎÇİN GEREKLİ KOŞUL) y = f(x) işlevi [a, b] ka-palı aralığında tanımlansın. Ayrıca (a, b) açık aralığının içindeki herbangi bir x„ noktasının bir N(x0, 8) yöresinde f ç C' olsun. Eğer,/'nin x0 noktasında bir yerel ucu varsa / ' (x0) = 0 dır. KANIT1: Göstermek isteyeceğimiz / ' (x0) 0 ise x0 noktasında bir uç ola-mayacağıdır. f'(x0) ^ 0 ise o halde y a / ' (x0) > 0 ya da / ' (x0) < 0 dır.

Önce f'(x0) > 0 durumunu ele alalım. (17.2.19. b)Jdeki Taylor formülün-de re=0 alabm. O halde 0 < 0 < 1 ve x = x0 + h e N (x0, 8) yani ]A| < 8 olduğunda;

f(x0 + h) = •/(*„) +f'(xB + e h) h ya da f(x0 + h) - f(xB) = f'(x0 +6 h)h

elde edilir. f'(x„) > 0 olduğuna göre x, xB'a yeterince yakın olduğunda

f'(x) — f'(x0 +6 h) > 0 olacaktır. Eğer x0 <xise, h > 0 olacağından, yukarı-daki denklemden

f(x0 + h)'— f(x0) > 0 elde edilecektir. Oysa x < x0 seçersek, h < 0 olacaktır, bu durumda da xn"a ye-terince yakın bir x noktası sözkonusu olduğunda, yine/(s) = f(xa + 0 h) > 0 olacağından,

/(*„ + h) - f(x0) < 0 elde edilecektir. O halde x0 noktası bir uç nokta olamaz.

Eğer f'(x0) < 0 ise yukarıdaki yaklaşım gerekli değişikliklerle, yinelenir ve xa\n bir uç nokta olamayacağı gösterilir.

0 halde x0 bir uç nokta isef'(x0) = 0 dır. NOT: 1 - Bu teoremde f e C' varsayımının gerekliliğini göstermek için aşa-ğıdaki şekle bakalım. Görüldüğü üzere bu işlev [a, b] kapalı aralığında ta-nımlanmıştır. x„ noktasında bu işlevin bir ençok değeri, hatta tümel ençok değeri olduğu, açıktır. Ancak / işlevi x0 noktasında sürekli olduğu halde, tü-revlenebilir değildir. Çünkü

1 Bu kanıtı HANCOCK (1917-(1960), s. 1-3) , F R I S C H (1966, s. 22-3) ve P A N İ K (1976, s. 105) den yararlanarak aktarıyoruz.

286

/ - (x0) = Erey f (») = Erey f (x) = f+(xB) x ->x — x->x + o o

olduğu halde,

/_'(*.) = Erey f { x ) ~ * Erey ~ {(X"} = f+' (x0) x-*x- x — X0

x — x o

dır. Dolayısıile/e C' varsayımının kaldırılması halinde, x0 bir uç noktası olsa bile, f'(x0) = 0 koşulu sağlanmamaktadır. NOT: 2 - Diğer taraftan f'(x0) = 0 koşulu x0 noktasının bir uç nokta olması için gerekli olduğu halde yeterli değildir. Yani / ' (x0) = 0 olduğu halde, uç nokta olmayan bir nokta bulunabilir. Aşağıdaki şekil 17.3.3'a bakalım:

Şekil 17.3.3

xg noktasında, f'(x0) = 0 dır. Çünkü işlevin bu noktadaki türevi vaıay ek-sene koşuttur. Oysa x0 bir uç nokta değildir. Aşağıda da tanımlandığı üzere bu tür noktalara yatay büküm noktası (Horizontal Inflection Point) denir. TANIM 17.3.1: f(x) e C3 olsun. Eğer/, herhangi bir x0 noktasında türevini kesiyorsa, bu noktaya büküm noktası (point of inflection) denir. Türevlene-bilir işlevlerde iki tür büküm noktası vardır.

a) Yatay büküm noktası: Bu noktada f'(x0) = 0 /"(*„) = 0 ve /'"(*„) < 0 ( > 0) b) Yatay olmayan büküm noktası: Bu noktada f'(x0) j=- 0, /"(«.) = 0 ve /" ' (*.) > 0 ( ^ 0)

ÖRNEK a) f(x) = 4 (x-3) 3

f'(x) = 12 (x-3Y f"(x) = 24 («-3)

/"'(*) = 24 x = 3 noktasında

288

/ ' (3) = O / " (3) = O /'"(3) = 24 > O

olduğundan, burada bir yatay büküm noktası vardır. b) /(*) = *3 + 3 *2 — 9*+l

olsun. f (x) = 3 x 2 + 6 x - 9 f" (x) = 6 x + 6 f"'(x) = 6

* = — 1 noktasında

/ ' ( - 1 ) = 3 (-1)2 + 6 ( - 1 ) —9 = 3 - 6 - 9 = — 12 / 0

/ " ( - 1 ) = 6 ( - 1 ) + 6 = - 6 + 6 = 0

/ " ' ( - 1 ) = 6 > 0 olduğundan bir yatay olmayan büküm noktası vardır. Aşağıdaki şekil 17.3.4 de yatay olmayan bir büküm noktası gösterilmektedir.

2 8 9

TANIM 17.3.2: f(x) e C2 olsun. Eğer x0 noktasında f'(x0) = 0 ise bu noktaya durgun nokta (stationary point) denir.

Aşağıdaki şekil 17.3.5 durgun noktada karşılaşılabilinecek özellikleri gös-termektedir.

Durgun Nokta ( / ' («„) = »)

I i Yatay Büklüm Noktası Uç Noktas ı

</'<*.) = 0, /"<*„) = 0) (f\x0) = 0, /"(*„) ^ 0)

Ençok değer Noktası Enaz değer Noktası

( / ' ( * „ ) = 0 , / " K ) < 0 ) ( / ' ( * 0 ) = 0 , f " ( x a ) > 0 )

Şekil 17.3.5

Teorem 17.3.1 bize bir uç noktanın sağlaması gereken koşulu vermekle beraber, bu Uç noktanın bir ençok noktası mı yoksa bir enaz noktası mı ol-duğunu gösterememektedir. Eğer ele aldığımız işlevin C2 sınıfından olduğunu varsayarsak bu teoremin sonuçlarını güçlendirebiliriz. Aşağıdaki teorem bize bunu vermektedir.

TEOREM 17.3.2: (GÜÇLENDİRİLMİŞ GEREKLİ KOŞUL) y = f(x) gerçel değerli işlevini ele alalım. x0 noktası, / 'nin önalanında bir iç nokta olsun. x0 noktasının bir N (x0, S) yöresinde/ e C2 olsun.

Eğer:

a) x 0 noktasında/işlevinin bir yerel ençok noktası varsa,

/'(*.) = 0„ f"(x0) < 0 dır.

b) x 0 noktasında / işlevinin bir yerel enaz noktası varsa,

/'(*„) = 0, /"(*„) ^ 0 dır.

KANIT: f(x) işlevinin x0 noktası yakınında n = 1 için Taylor açınımını akr-sak, [/ı| < S için

f(*o+h) - f(x0) = f'(x0) h + f"{X° + 6 H ) h2, 0 < 6 < 1

elde ederiz.

x0 noktası bir ençoklayan ya da enazlayan nokta ise, bir uç noktadır. O halde Teorem 17.3.1 gereği f'(xa) = 0 dır.

2 9 0

Bu durumda

f(x0 + h) - f(x0) = f"{x° + 6 h ) h2

elde edilir. Eğer f(x0) ençok noktası ise

V x = x0 + h e N (x0 , S) için

f(*o + h) - f(xB) < 0

olmalıdır. Bu ise

f k + e h ) h 2 ^ Q

ya da f"(x0 + e h) < o

olması demektir. x = N (x0, S) içinde / e C2 olduğu için, bu yöre içinde işr \j"(x0 + d h)] = işr [/"(*<>)] dır1. O halde x0 ençoklayan nokta ise

f'(*o) - 0 /"(*„) ^ 0

dır. Aynı yolla x0 enazlayan nokta ise

/ ' (Xo) = 0

f"(*o) > 0 olacağı gösterilebilir. (I.K.)

/ e C2 varsaydığımızda, bir noktanın uç değer olup olmadığmı ve ençok ya da enaz değer olup olmadığını belirleyecek bir yeterli koşula da ulaşabiliriz. TEOREM 17.3.3: (YETERLİ KOŞUL) y = f(x) işlevi [a, b] kapalı aralı-ğında tanımlansın. Ayrıca (a, b) açık aralığının içindeki herhangi bir x0 nok-tasının bir N (x0, 8) yöresinde / e C2 olsun. Eğer f'(x0) = 0 ve /"(*„) ^ 0 ise, f'nin x0 noktasında bir güçlü yerel ucu vardır.

Ayrıca; (i) f'(x0) = 0,f"(x0) < 0 ise x0 noktasında güçlü yerel ençok değeri vardır.

(ii) f'(x0) = 0,f"{x0) > 0 ise x0 noktasında güçlü yerel enaz değeri vardır.

KANIT2: Yinef(x) in xg noktası yakınında n— 1 için Taylor açınımını bulalım:

1 ' 5 r /(*„)> / ( * ) işlevinin xa noktasuıdaki işareti anlamına kullanılmaktadır. 2 Bu k a m t da HANCOCK (1917, (1960), s. 4), F R I S C H (1966, s. 23-4) ve P A N İ K (1976, s. l l l ) ' e

dayanılarak verilmektedir.

291

/(*„ + h) - f(x0) = f(Xo) h + -1-/"(*„ +e fc) h-, 0<fl<ı, |fc|<8

varsayım gereği f'(x0) = O olduğundan,

f(*o +h) - f(x0) = -L. f"(x0 + 6 h) h2

bulunur. O halde

/(*. +h) - f(x0) >< o o /"(*„ + e ft) ft2 o olacaktır./" sürekli v e / " (*0) / 0 olduğundan V x e N (x, S) için f"(x) ve /"(»0) aynı işarettedir. Eğer f"(x0) < 0 ise, x=x0 + 9/ ıeN (x0, S) olduğunda

f"(x0 + 6 h) < 0 olacaktır. - İ . A2 > 0 olduğundan bu - i - / " (*„+ 0 h) hz < 0

olması anlamına gelir. 0 zaman da f(x0 -f- h) — f(x0) < 0 olur. Bu da da bir yerel ençok değer olması demektir.

Eğer f"(x0) > 0 ise, + 6 h e N (*„, S) olduğunda /"(*„ + 6 h) > 0

olacaktır. h2 > 0 olduğundan bu / " (*„ + 0 /ı) h2 > 0 olması

anlamına gelir. O zaman da/ (* 0 + h) — f(x0) > 0 olacaktır. Bu da *0 'da bir enaz değer olması demektir.

NOT: Birçok iktisatçılar için matematik kitabında, Teorem 17.3.2'deki ko-şullar "gerekli ve yeterli" olarak tanımlanmaktadır. Bu yanlıştır. Knut Syd-saeter (1974) aşağıdaki karşı örneği vermektedir.

f(x) = *2 + sin x ? 0

= 0 * = 0

/ işlevinin x = 0 noktasında bir enaz noktası olduğu halde * / 0 oldu-ğunda

f'(x) = 4 x + 2 x Sin /-İ-J _ Cos I

olduğundan x = 0 noktası yakınında / " > 0 koşulu sağlanamamaktadır.

Çünkü Cos terimi nedeniyle işlev sürekli işaret değiştirmektedir. Oysa

2 9 2

bu durum bir enaz değerin bulunmasını engellememektedir. Bu da sözkonusu teoremin, burada belirtildiği üzere, sadece bir yeterli koşul verdiğini kanıtla-maktadır.

Teorem, 17.3.3 bize/"(x0) 0 olduğunda ençok ve enaz değerlerini sap-tayabileceğimiz bir yeterli koşul kümesi vermektedir. Ancak f"(x0) = 0 ol-duğunda, ne yapabileceğimiz konusunda bu teorem bize yol göstermemekte-dir. Bu konuda bize aşağıdaki teorem yararlı olacatır.

TEOREM 17.3.4. (GENELLEŞTİRİLMİŞ YETERLİ KOŞUL) y = /(*), [a, 6] kapalı aralığında tanımlanmış gerçel değerli bir işlev olsun. xa e (a, b) noktasının bir N (x0, S) yöresinde / e C" varsayabm. / ' (x0) = f"(xe) = ....= f"-\x0) = 0 ve/» (*„) * 0 olduğunda: A) Eğer n çift sayı ise,/, x0 noktasında güçlü yerel uca ulaşır. Ayrıca

i) f"(x0) < 0 ise x 0 da bir güçlü yerel ençok değer vardır.

ii) f"(x0) > 0 ise x0 da bir güçlü yerel enaz değer vardır.

B) Eğer n, tek sayı ise, x0 noktasında bir yatay büküm noktası vardır.

KANIT: PANİK (1976, s. 117-9)

NOT: Birçok kitapta bu teorem uç değeri belirlemek için kesin ölçüt olarak sunulmaktadır, yani gerekli ve yeterli bir koşul olduğu ileri sürülmektedir. Ancak yine Knut Sydaester'in (1974) gösterdiği üzere bu da doğru değildir. Nitekim,

/"(O) = 0 n — 1, 2, . . . .

olduğu halde, x = 0 noktasında bir güçlü enaz değer vardır.

17.4. n - Bağımsız Değişkenli Türevlenebilir işlevlerde Yerel Iç Uç Noktanın

x = 0

Bulunması

293

TEOREM 17.4.1: (GEREKLİ KOŞUL) y = /(x), A c R" açık kümesi üze-rinde tanımlansm. x 0 e A noktasının bir N (x0, S) yöresinde / e C1 olsun. Eğer bu noktada bir yerel uç var ise/(x0) = 0 dır. KANIT: PANİK (1976, s. 122-3) NOT: V/(x0) = 0 olması x 0 noktasında bir uç olduğunu garantilemez. Bu sadece bir durgun nokta (stationary point) olduğunu gösterir. Durgun nokta ol-duğu halde uç nokta olmayan önemli bir nokta türü aşağıda tanımlanmaktadır. TANIM 17.4.1: y = /(x), x e R" olsun. x yöneyini x = (x1,x2),x1 eR" p x 2 eR"2, «j + n2 = n biçiminde bölüntüleyelim. Eğer x 0 = (X,0, x2°) noktası S yöre-sinde,

/ ( X j , x2°) <£ / ( V , x2°) < / ( X l « , X,) ise, yani x 0 noktası bağımsız değişkenlerin bir alt kümesi yönünden yerel en-çoklayıcı, diğer bir kısmı yönünden ise yerel enazlayıcı niteliği taşıyorsa x 0

noktası / işlevinin bir Eğer Noktasıdır (Saddle Point) denir.

Aşağıdaki şekil 17.4.1 de bir eğer noktasını görüyoruz.

Şimdi de hangi koşullar altında bir yerel ucun, ençok ya da enaz noktası olduğunu belirleyebileceğimizi görelim. TEOREM 17.4.2: (GÜÇLENDİRİLMİŞ GEREKLİ KOŞUL) y = / (x), A c R" açık kümesi üzerinde tanımlansın. x 0 8 A noktasının bir N(x0, S) c K yöresinde / e C2 olsun, h = x — x 0 olduğunda

2 9 4

A) Eğer x0 noktasında bir yerel ençok değer var ise i) A/(x0) = 0 ii) h' H / (x 0 ) h ^ 0 dır.

Bu koşulların anlamı i) / ' in x 0 noktasında değerlendirilen eğim yöneyinin bir sıfır yöney olması ve ii)/'nin x 0 noktasında değerlendirilen Hesse dizeyinin yarı kesin eksi olmasıdır.

B) Eğer x 0 noktasında bir yerel enaz değer var ise i) A/(x0) = 0 ii) h' H, (x0) h > 0 dır.

Bu koşulların anlamı i)/ 'nin x 0 noktasında değerlendirilen eğim yöneyi-nin bir sıfır yöney olması, ve ii)/'nin x 0 noktasında değerlendirilen Hesse di-zeyinin yarı kesin artı olmasıdır.1

KANIT:2

A) x 0 da/'nin bir ençok değeri var ise, A/(x„) = 0 dır. h = (x—x0) diyelim, Teoremin doğru olduğunu gösterebilmek için N (x0, S) içinde

(x* - x0), H r(x0) (x*-x0) > 0 olan bir x* noktasının olamayacağını göstermek yeterlidir. Böyle bir x* nok-tasının olduğunu varsayalım. O halde yeterince küçük öyle bir X > 0 sayısı bulabiliriz ki

X1 = x0 + X (x* - x0) e N (x0, S) yazılabilir.

0 halde x* - x° .= - İ - (x! - x0) A

yazılabileceğinden

[ - L (X1 - x o ) ] H /(x0) [ - L (X1 - x0) ] > 0

ya da

(X1 - x0) H r (x0) (X1 - x0) > 0 yazılabilir.

Diğer taraftan

/(X1) ~ / ( x 0 ) = /(x0) + J p (X1 - x0) U f (xs) (X1 - x0)

1 Bu koşulun pratikte irdelenmesinin, H / ( x Q ) ın tüm ana alt belirtenlerinin işaretlerinin belirlen-mesine bağlı olması nedeniyle, zor olduğunu belirtelim.

2 Bu kanıt J.C. MILLERON (1972)'ye dayanmaktadır.

2 9 5

Xs = x 0 + 0 (X1 — x0 )

olduğundan ve x 0 ençoklayıcı olduğundan

/ ( * ) - / ( x 0 ) = x0 ) H f ( x Q ) (X1 - x0 ) + (X1 2! O H,

[0 (x, - x0)] (x> - x0) 0'yı sıfıra çok yakın alarak ikinci terimi ihmal eder ve yukarıdaki bulgumuzla birleştirirsek

/(x>) - / (x 0 ) = - İ - (x' - x0) H, (x0) ( X 1 - x0) > 0

bulunur. Bu ise

/ ( x l ) > /(*„) anlamına gelir ki, bu x 0 ın ençoklayıcı olduğu varsayımı ile çelişir.

B) x 0 enazlayıcı ise aynı kanıtlama uygun değişiklikler yapılarak yinele-nebilir.

(I.K.) Şimdi de ençoklayıcı ve enazlayıcı noktaları saptayabilmek için başvu-

rulan önemli bir teoremi verelim. Bu teorem, yeterli koşulları sağladığı için uygulamada büyük önem taşımaktadır. TEOREM 17.4.3: (YETERLİ KOŞUL) y = /(x), x e R" işlevi A <= R» açık kümesi üzerinde tanımlansın. x e A ve x e N (x0, 8) c A olduğunda/ e C- olsun. A) i) V / (x 0 ) = 0

ii) Vh # 0 için Q (h, h) = h'H, (x0) h < 0 ise yani

e2/ 82f 8x 2 < 0, 82f

8x{2

a 2 / 8x28x1

8xx 8X2

82f 8x2

< 0,

82f 82f 82f 8x* 'âxl 8x2 8xt 8X2

82f 82f 82f 8X2 8X , 8x2 8xi 8X3

82f 82f dx3 8x, 8x} 8X2 8x2

< 0,

296

, (-1)" Bel \Hf (x0)] > O ise, x0 da bu işlevin bir güçlü yerel ençok değeri vardır. B) i) v / (x 0 ) = 0

ii) V h # O için Q (h, h) = h' (x0) h > 0 ise, yani

e 2 / s2f

82f 8xt

2 > 0 8x2

82f

8x} 8x2

8X2 8X, 82f

8x2

> 0,

82f 82f 82f 8x2 ox1 8x2 8xx 8x3

Pf e 2 / 82f 8X2 8xt 8x2 8xz 8X 3

ey 82f 8x3 8xt 8x3 8X2 8x 2

> 0, .

, Bel [H /(x0)] > 0 ise, x0 da bu işlevin bir güçlü yerel enaz değeri vardır.

KANIT: PANİK (1976, s. 126-7) NOT: Bir işlevin Hesse dizeyi sadece kesin artı ya da kesin eksi olmak zorun-da değildir. Bu durumlar dışında alabileceği almaşıklarda işlevin hangi özel-likleri göstereceği üzerinde duralım. a) Hf(x0), yarı kesin artı (eksi) ise,/'nin uç değerleri hakkında birşey söylene-mez. Hy'in yarı kesin artı (ya da eksi) olduğu noktada bir uç değer olabilir de olmayabilir de. Buna karşılık Teorem 17.4.2'den anımsanabilineceği üzere, eğer herhangi bir noktada uç değer olduğunu biliyorsak, bu noktada Hesse dizeyinin yarı kesin olacağını çıkarabiliriz. b) H /(x0) kesin olmayan bir dizey de olabilir. Yani h yöneyinin bazı değerleri için Q (h, h) — h' Hf (x0) h artı, bazı değerleri için eksi olabilir. Bu halde x 0 noktasında bir Eğer Noktası (Saddle Point) vardır.

ÖRNEK:

y = 3 x2 + 4 x2 — 2 + x, olsun. Bu işlevin enaz noktasını bulalım.

297

dy dx ı

dy dx.

= 6 x, — 2 x2 +1

= 8 x2 — 2 xı

V/ = (6 - 2 *2 + 1; 8 - 2 *,) y / = 0 o 6 a, — 2 x2 + 1 = 0 ve 8 s 2 -

0 halde 6 xx — 2 x2 — — 1 - 2 it, + 8 *2 = 0

ya da ~ 6 —2 " ~ - ı -

- 2 8 _ _ *2 - 0 _ olduğundan. Cramer kuralını uygulayarak

- 1 —2

0 8 - 8 6 - 2 44

- 2 8

6 - 1

- 2 0 - 3 6 —2 44

- 2 8

elde edilir. Diğer taraftan

d2y dx2 = 6 d2y

dx2

olduğundan

H, " 6

- 2

= 8

—2

8

d2y d2y bxx 3X2 dx2 8xi

= — 2

elde edilir. Dikkat edilirse, bu örneğimizde, Hesse dizeyinin belirteninin de-ğeri a;, ve x2 nin alabileceği değerlerden bağımsızdır.

298

= 6 > O 8xl Sx2

6 - 2

- 2 8 == 48 — 4 = 44 > O

( 8 3 \ 44"' ~ ~~44~/ n 0 ^ t a s m ^ a işlevin bir enaz nok-

tası vardır.

17.5. Tümel Uçların Bulunması: Dışbükey ve İçbükey İşlevler:

Bu alt bölümde yanıtlamağa çalışacağımız soru şudur:

Acaba hangi koşullar altında, yukarıda geliştirilen yöntemler ile saptanan uçların, tümel uç olduklarını söyleyebiliriz. Bu soruyu yanıtlayabilmek için ele alınan işlevin türü üzerinde bazı kayıtlamalar, yapılması gerekir. Belli özellikleri sağlayan işlevler için ise, yukarıdaki sonuç geçerli olacaktır.

TANIM 17.5.1: y = /(x) gerçel değerli bir işlev, x e A <= R" olsun. Eğer x° e A için

x' e A ) 0 ^ X < 1 (1—X) /(*«) + x / (x ') > / [(1-X) x 0 + X x']

(1 —X) x° + X x' e A ).

ise, / , x° e A noktasında (A'ya göre) Dışbükeydir (Convex) denir. Eğer / ,

V x e A için dışbükey ise A üzerinde dışbükeydir. Şekil 17.5.1 de dışbükey işlev görülmektedir. Dışbükey bir işlevin doğru-

sal bölümleri olabileceğine dikkat edilmelidir.

TANIM 17.5.2: y = /(x) gerçel değerli bir işlev, x e A <= R» olsun. Eğer x° e A için

x' e A ) o < x < X ( 1 — / ( X ° ) + X /(x') < / [(1-X) x" + X x']

(1—X) x" + X x' e A )

ise, / , x° e A noktasında (A'ya göre) İçbükeydir, (Concave) denir. / , V x e A için içbükey ise A üzerinde içbükeydir.

Şekil 17.5.2 de bir içbükey işlev görülmektedir, içbükey bir işlevin doğ-rusal bölümleri olabileceğine dikkat edilmelidir.

TANIM 17.5.3: y = /(x) gerçel değerli bir işlev, x e A <= R" olsun. Eğer x° e A için

299

fW

300

Şekil 17.5.2

X

X1 e A j X1 ^ x° f O < X < 1 (1-X) /(x°) + X /(X1) > / [(1—X) x° + X x>] (1—X) x° + X X1 )

ise, / , x° noktasında Kesin Dışbükeydir (Strictly Convex) denir. Eğer V x e A için/kesin dış bükey ise,/, A iizerindp kesin dışbükeydir.

Aşağıdaki şekil 17.5.3 de kesin dışbükey bir işlev görülmektedir. Dikkat edilirse, kesin dışbükey işlevde doğrusal bölümler yoktur.

X

Şekil İ7.5.3

TANIM 17.5.4: y = /(x) gerçel değerli bir işlev x e A c R" olsun. Eğer x° e A için

x l e A \

X1 # x° r 0 < X < 1 (1_X) f(x°) + X/(xO < /[(1-X) x" + X x']

x° + X X1 j ise, / , x° noktasında Kesin İçbükeydir (Strictly Concave) denir. Eğer V x e A için / kesin içbükey ise, / , A üzerinde kesin içbükeydir.

Aşağıdaki şekil 17.5.4 de kesin içbükey bir işlev görülmektedir. Dikkat edilirse, kesin içbükey işlevlerde de doğrusal bölümler yoktur.

301

— * X

Şekil 17.5.4

Bu genel tanımların ilk bakışta sorunumuzla bir ilgisi olmadığı düşünüle-bilir. Ancak, bizim ilgilendiğimiz işlevlerin C2 içinde oldukları hatırlanırsa, bu genel tanımların C2 işlevler için nasıl yapılacağının araştırılması anlam kaza-nacaktır. Bunlara ilişkin sonuçlar aşağıdaki teoremde özetlenmektedir. TEOREM 17.5.1: f e C2 olsun ve A c R" açık dışbükey kümesi üzerine de tanımlansın.

1) A.v.a. Hy (x) A üzerinde yarı kesin artı, yani Vy e R" için y' H ^ ) y > 0 ise, / , A üzerinde dışbükeydir. Buna karşılık Hy(x) A üzerinde yarı kesin eksi, yani V y e R" için y' H^ (x) y < 0 ise,/, A üzerinde içbükeydir. 2) Eğer, H/(x) A üzerinde kesin artı, yani V y e R" için y' H^ (x) y > 0 ise, bu / 'nin A üzerinde kesin dışbükey olması için yeterlidir. Aynı biçimde Hy (x) A üzerinde kesin eksi, yani V y e R" için y' H^ (x) y<0 ise, bu/ 'nin A üzerinde kesin içbükey olması için yeterlidir.

KANIT: O. MANGASARıAN (1969, s. 88-91)

NOT: Dikkat edilirse, teoremin birinci şıkkı yeterli ve gerekli koşul olduğu halde, ikinci şık sadece yeterli koşuldur. Yani bir işlevin Hesse dizeyinin kesin artı (eksi) olmadığı halde söz konusu işlev tanımlandığı açık dışbükey küme üzerinde yine de kesin dış (iç) bükey olabilir.

302

Bu tartışmalardan içbükey (kesin içbükey) bir işlevin altındaki noktaların dış bükey (kesin dış bükey) bir küme oluşturduğu, buna karşılık dış bükey (ke-sin dış bükey) bir işlevin üstündeki noktaların dış bükey (kesin dış bükey) bir küme oluşturduğu çıkarılabilir.

O halde eğer bir işlev kesin iç (dış) bükey olması için yeterli koşulu sağ-lıyorsa bu işlevin yerel enaz (ençok) değerinin aynı zamanda tümel enaz (en-çok) değeri olduğunu söyleyebiliriz. Doğal ki bu nokta birtekdir.

ALIŞTIRMALAR

A.17.1: Aşağıda verilen işlevlerin, eğer varsa uç noktalarını bulun, bunların ençok noktası mı enaz noktası mı olduklarını belirleyin.

i) y = 3 x2 x2 — 6 xt x2

ii) y = x,2 — 3 xt x2 + 3 x22 + 4 x2 x3 -f 6 x2

iii) y = 3 x2 — 4 x3

iv) y = ( * - l ) 6 (x2 - 10 x + 17) A. 17.2: Bir firmanın piyasada karşılaştığı istem işlevi

QD = - P + 2

ve maliyet işlevi de

C = - 4 Ç 2 + 8 ( ? + 2 0 olsun. Bu firmanın kârını ençoklayan üretim miktarını, ve ençok kârını bulun. A. 17.3: Bir firma üç mal üretmektedir. Bu malların istem işlevleri sırasıyla

= + 4 - P 2 + 3

V = T~ P ı R + 2

q3" = - 4 - + 4

ve maliyet işlevleri de

C = - 2 Q1Q2Q3 + 3 £ + 2 Q2 + Q3

olsun. Bu firmanın kârını ençoklayan üretim miktarlarını ve ençok kârını bulun. A.17.4: y = f(xl, x2, x3) işlevinin üçüncü sıradan türevselinin ne olduğunu bulun.

303

KAYNAKLAR T.M. APOSTOL (1967): Calculus, Vol I, 2nd Ed., Xerox, Waltam, Mass. S.

R. FRISCH (1966): Maxima and Minima: Theory and Economic Applications, D. Reidel, Dordrecht.

H. HANCOCK (1917): Theory of Maxima and Minima, Dover, New York (1960).

J.C. MILLERON (1972): "The Ex.trema of Functions of Several Variables Witlı or Without Const-

raint on the Vaıiables" E. MALINVAUD'un "Lectures on Micro-economic Theory, North

Holland, Amsterdanı, 1972 kitabında Append. ıx, s. 299-313.

O.L. MANGASARIAN (1969): Nonlinear Programming, MaGraw Hill, s. 83-91.

M.J. PANİK (1976): Classical Optimization: Foundations and Extensions, North Holland, Amsterdam.

I. SUVOROV (1963): Higher Mathematics, Peace Publishers, Moscow, s. 240-257.

K. SYDSAETER (1974): "A letter to the Editör on some Frequeııtly Occuring Errors in the Economic Literatüre Concerning Problems of Maxima and Minima", Journal of Economic Theory, Vol 9, s. 464-6.

G.B. THOMAS (1968): Calculus and Analytic Geometry, 4th Edition. Addison Wesley, Reading, Mass.

304

18. Bölüm

ENİYİLEME SORUNU II: EŞİTLİK KISITLARI ALTINUA ENİYİLEME

Bu bölümde ele alacağımız sorun 17. Bölümde incelediğimize çok benze-mektedir. Ancak burada eniyilenmek istenen f (x v . . . . ,*„) işlevinde yer alan xt, ...., xn değişkenlerinin bir ya da birden çok eşitlik ile bağıntılı olmaları durumu incelenmektedir. Altbölüm 18.1'de sorun sunulmaktadır. Altbölüm 18.2 de bir eşitlik kısıtı sözkonusu olduğunda bu sorunun çözümü ele alına-cak, Altbölüm 18.3 de ise sorun m kısıtın varlığı durumuna genelleştiri'ecektir.

18.1. Eşitlik Kısıtları Altında Eniyileme Sorunu Ele aldığımız sorunun iktisat kuramındaki önemini vurgulayabilmek için

tüketicinin dengesi konusunu ele alalım. Neoklasik iktisat kuramında tüke-ticinin sorunu veri gelirini, tüketebileceği mallar arasında, faydasını ençokla-yacak biçimde, eniyi biçimde dağıtmaktır. Bu sorunu şöyle biçimlendirebiliriz. Tüketici qv . . . ., qn mallarını tüketebilsin. Bu mallardan tükettiği miktarla-rın ona sağladığı faydayı U = U (g,, ....,</„) ile gösterelim. Malların fiyatları rekabetçi piyasada belirlenmiş ve dolayısı ile,veri olsun. Bunları ps, . . . p n ile gösterelim. Tüketicinin geliri de veri olsun, bunu da Y ile gösterelim. Bu durumda tüketicinin sorunu

(18.1.1) s Pt qt — Y

kısıtı altında (18.1.2) U (9l, qn) işlevini ençoklayan (q *, . . . . , </„*) yöneyini saptamaktır.

Bu sorunun çözülmesi için Lagrange Tekniği denilen bir matematiksel yönteme başvurulmaktadır. Şimdi bu tekniğin dayanağını basit bir çerçeve içinde açıklamağa çalışalım. Bunun için sadece iki değişkenin olduğu bir du-rumu ele alalım. Bu durumda sorun, (18.1.3) y = / (*„ x2) işlevinin

305

(18.1.4) g(Xl, x2) .= C işleviyle verilen kısıt altında ençoklanması biçiminde verilmiş olsun.1

Şimdi bu sorunu Şekil 18.1.1. üzerinde izlemeye çalışabm. KL eğrisi g(xlt x2)=Çişle vince belirlenmektedir. Bu xt ve x2 değişkenlerinin değişebilecek-leri bölgeyi belirlemektedir. Böyle olunca bu eğri boyu (xv x2) düzlemini dikey olarak kesen düzlem i le/(xp x2) işlevinin kesiştiği en yüksek nokta (y*, x*, x2*), aranılan kısıtlı ençok noktası olacaktır.

| Şekil 18.1.1

Şekil 18.1.1. de/işlevinin aynı y yüksekliğini veren yaylarını saptayalım. Bunlar şekil üzerinde A'B', A"B", A"' B'" yayları ile ifade edilmiştir. Bun-ların (xj, x2) düzlemi üzerindeki izdüşümlerini alahm. Bunlar bize eş yüksek-likleri veren xx x2 bileşimlerini vermektedir.

Şekil 18.1.2. de bu izdüşümleri daha açık bir biçimde görüyoruz. Dikkat edilirse x* noktasında, KL eğrisi ile ifade elde edilen kısıtın izin

verdiği en yüksek y düzeyine (A'" B'" eğrisi ile ifade edilen düzey, y3) varıl-maktadır. Bu nedenle, x* kısıtlı ençok noktasıdır. Şimdi bu ençok noktasının gösterdiği özellikler üzerinde biraz duralım. Açıktır ki x* noktasında (18.1.5) /(*,*, x2*) = y3

(18.1.6) g(x*, x*) = c koşulları sağlanmaktadır. Ayrıca Şekil 18.1.2 den kolaylıkla görülebileceği üzere, x* kısıtlı ençok noktası olduğunda, bu iki işlev bu noktada birbirlerine

1 Erıazlama aynı ilkelere dayandığı için, sadece bu örneği incelemek yeterli olacaktır.

306

L X, Şekil 18.1.2

teğet olmaktadırlar. Yani bu noktada bu işlevlerin eğimleri birbirine eşittir. Bunun anlamını görebilmek için her iki işlevin x* = (xx*, x2*) noktasında top-lam türevselini alalıni.

(y3 sabit olduğundan)

(18.1.8) rfc - MU d X l + y * ' dx2 = 0 OX1 OX2

(c sabit olduğundan)

O halde, x* noktasında (18.1.7) den

8X2

ve (18.1.8) den

307

(18.1.10) - p - = -dxx 8g(x*)

8X2 .

koşullarının sağlanması gerekmektedir.

(18.1.9) ve (18.1.10) bir arada

8x. 8x. (18.1.11) 1

8f(x*) 8g(x*) 8X2 8X2

(yazılabileceğinden, bunları yeniden düzenleyerek

8x. 8x0 (18.1.12) — = — = X

8g(**) %(»*) 8x | 8X2

yazabiliriz. Böyle olunca da (18.1.12)5den

?/(**) _ x JgV 8xx 8xx

(18,1.13) = 0

ve

(18.1.14) 8f(x*) , 0g(%*)

elde edilebilir. Dikkat edilirse (18.1.13) ve (18.1.14)'de yazılan koşullar,

(18.1.15) L (x, X) = f(k) - X g(x)

= f(*ı> x2) - X g(*15 x2) biçiminde bir işlevin sırasıyla xx ve x2 ye göre türevleridir. O halde, yukarıdaki kayıtlı eniyileştirme sorununun çözümü (18.1.15)'de verilen işlevin durağan noktalarının bulunması sorununa dönüştürülmüş olmaktadır.1

İşte L(x, X) ifadesine Lagrange Denklemi ve X'ya da Lagrange Çoğaltanı denir.2

1 Bazı kaynaklarda bu konuda bir hataya düşüldüğü görülmektedir. O da / ( * ) işlevinin g(x) — c koşulu altında eııçoklanması ile L(x, X) işlevinin ençoklanması arasında koşutluk kurulmasıdır. Oysa, ilk sorunun çözümü olan x* noktası, ikinci işlevin eğer noktası olabilir.

Örnek: / (*,, x2) = x2 g (*,, x2) = + * 2 = 2 Bu konuda doğru ele alınış için SYDSAETAR (1974) ve D İ X İ T (1976, s. 5 ve 61) bakılabilir.

2 Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Fransız matematikçisidir.

308

18.2. Bir Eşitlik Kısıtı Altında Eniyileme Bu bolümde ele alacağımız sorun, genel bir ifadeyle, x e R", b e R ve

f,g E C2 olduğunda (18.2.1) g(x) = g(Xl xn) = b kısıtı altında (18.2.2) / ( * ) = / ( * : ,*„) işlevini eniyilemek (ençoklamak ya da enazlamak) biçiminde ortaya koyabi-liriz. Bu soruna Birinci Klasik Programlama Sorunu (I. KPS) diyelim.

Bu sorunu çözebilmek için (18.2.1) ve (18.2.2) den yararlanarak aşağıdaki Lagrange işlevini tanımlayalım: (18.2.3) L(x, X) = f(x) + X (b—g(x)) Eğer (18.2.4) |(x) = b - g(x) dersek, (18.2.3) de verilen ifadeyi (18.2.5) L(x, X) = /(x) + X ğ(x) ya da açık olarak (18.2.6) L(*, , *„, X) = / (*„ xn) - X (b-g{xu . biçiminde yazabiliriz.

Şimdi de aşağıdaki yöney ve dizeyleri tanımlayalım:

(18.2.7) Vf(x)' = , , - g _ ) lxn yöney

(18.2.8) V I W = ( - g - - g ^

S2f . a*,2

_8g_ 8x,

Jg — )=—V«l*) ' lxrı yö: rı /

yoney

02/ 8x, 8x„

(18.2.9) H/(x) = nxn dizey

W 8x„ 8x,

e2/ 8xj

309

(18.2.10) H # M

ya da

n 8x2

n 8xj 8xn

8*ğ 8xn 8x,

82ğ

(18.2.10 a) ~ H 9 ( X ) =

82g

8x„

82g

nxn dizey

8x2 S», 8xn

82g 8xn dxl

82g 8x„

Bu durumda aşağıdaki ifadeleri tanımlayalım:

(18.2.11) Lx = X ) = V / W + XVİ(x) = V / W - XVg(x)

(18.2.12) LX = > 0 = g(x) = 6 - g(x)

(18.2.13) HÂ(x, X) = = fl>(x) + X H-(x)

= HfW ~ ^ ^ ( x ) Şimdi, bundan sonra çok başvuracağımız temel tanımı verelim:

TANIM 18.2.1: Aşağıdaki iki koşulu sağlayan (x*, X*) e R"+1 noktasına range'gil Durgun Nokta denir:

(18.2.14) X ) = /(x*) + XVg(x*) = 0

= f(x*) - XVg(x*) = 0

(18.2.15) 8 L { x * 8 : a 7 * ] = g ( x * ) = 6 - g ( x * ) = 0

3 1 0

Önce şu soruyu soralım. x*, I.KPS'nın bir çözümü olsun. Bu noktanın sağlaması gereken özellikler nelerdir? Aşağıdaki teoremler bize bu konuda yanıt getirmektedir. TEOREM 18.2.1: (I. SIRA GEREKLİ KOŞUL) x*, (18.2.1) ve (18.2.2) ile tanımlanan I. KPS'nun bir yerel çözümü olsun. x* noktasını içeren bir A c R" açık kümesi içinde/, g e C1 ve yg(x*) ^ 0„ varsayalım. O halde öyle bir X* sayısı vardır ki (x*, X*) e R"+1 bir Lagrange'il durgun noktadır. KANIT: MURATA (1977, s. 260-261) genel bir kanıt vermektedir.

Şimdi de ikinci sıra gerekli koşulları verelim. Bu koşullar/, g e C2 oldu-ğunda anlam taşımaktadır. TEOREM 18.2.2: (II. SIRA GEREKLİ KOŞULLAR) x*, (18.2.1) ve (18.2.2) ile tanımlatıan I. KPS'nun bir yerel çözümü olsun. x* noktasını içeren bir ACR" açık kümesi içinde/, g E C2 ve V G(x*) 0„ varsayalım. O halde öyle bir X* sayısı vardır ki

HL (X*, X*) ; - V g(**)

(18.2.16) Bel 0

# 0 =2, n _ - v g(x*)' :

dir. Ayrıca A) Eğer x* noktasında/(x), g(x) = b kısıtı altında bir ençok değere ulaşı-

yorsa z 0„içinz'z = 1, — Vg(x*) z = 0 kısıtı altında, z' HL (x*, X*) z < 0 dır. Yani Lagrange'gil işlevin sınırlandırılmış Hesse dizeyi, yarı kesin eksidir.

B) Eğer x* noktasında/(x), g(x) = b kısıtı altında bir enaz değere ulaşı-yorsa^ ^ 0„ için z'z = 1, — Vg(x*) z = 0 kısıtı altında, z' HL (x*, X) z > 0 dır. Yani Lagrange'gil işlevin sınırlandırılmış Hesse dizeyi yarı kesin artıdır. KANIT: PANİK (1976, s. 202-204)

Şimdi de şu soruyu sorahm. Acaba herhangi bir x* noktasının I. KPS'nun çözümü olması için yeterli koşul nedir ? Buna bağlı olarak da çözümün kısıtlı ençok değer mi yoksa kısıtlı enaz değer mi verdiğini nasıl ayırd edebiliriz. Aşa-ğıdaki teorem bu soruları yanıtlamaktadır. TEOREM: 18.2.3: (II. SIRA YETERLİ KOŞUL) x*, A c R » açık kümesi içinde bir nokta olsun. A içinde/, g e C2 kabul edelim. Eğer (x*, X*) bir Lag-range'gil durgun nokta ve

- Hjx*, x*)„ : - v g(**)r " (18.2.17) Bel

_ - v g(x*)'r : _ - v g(x*)'r : 0 ise, x* noktasında,/(x) işlevinin ğ (x) = 6 - g ( x ) = güçlü ucu vardır.

^ 0 r=2,

\ 3 1 1

Ayrıca V z / 0„ için

i) z'z = 1, — V g (x*)' z = O olduğunda (18.2.17) z' H^ (x*, X*) z < 0

ise, yani Lagrange'gil işlevin sınırlandırılmış Hesse dizeyi kesin eksi ise, x* noktasında/(x) işlevi g(x) = b—g(x) = 0 kısıtı altında bir ençok değere ulaşmak-tadır. Sonuç 11.4.1 1 /I den anımsanabileceği üzere, (18.2.17)*de verilen koşul:

(18.2.18) (—l)r Bel - Hl(X*, ~k*)rr g(**)r '

- - g(**Yr 0 > 0 r = 2, . . . , n

olmasına eşleniktir. ii) z'z = 1, — V g(x*) z = 0 olduğunda

(18.2.19) z' HL (X*, X*) Z > 0

ise, yani Lagrange'gil işlevin sınırlandırılmış Hesse dizeyi kesin artı ise, x* noktasında/(x) işlevi ğ(x) = b— g(x) = 0 kısıtı altında bir enaz değere ulaş-maktadır. Yine (Sonuç 11.4.1 /l) den (18.2.19) da verilen koşulun,

(18.2.20) Bel Hl (X*, x*)rr : - v g(**)r

< o r=2, - v g(x*Yr : o

olmasına, eşlenik olduğunu söyleyebiliriz. KANIT: PANİK (1976, s. 202-204)

Lagrange işlevi özel bir koşulu sağladığında, I. sıra koşullar da yeterlik özelliğini taşır hale gelirler. Aşağıdaki teoremde bu durum belirlenmektedir. TEOREM 18.2.4. A cz R» içinde / , g e C1 olsun. Eğer x* e A noktasında

(i) v /(x*) - X* V g(x") = 0 ve

(ii) L(x, X*) = f(x) -f- X* g(x) İçbükey (dışbükey) işlev koşullarını sağ-layan bir X* sayısı varsa, x* noktasında/(x) işlevinin g(x) = b kısıtı altında bir tümel ençok (enaz) değeri vardır. NOT: Eğer/(x) içbükey (dışbükey) ve g(x) = b doğrusal ise, Lagrange'gil denklem içbükey (dışbükey) olur.

Şimdi bu teoremlere dayanarak iktisat kuramından bir örnek üzerinde duralım. ÖRNEK: (Tüketicinin faydasını ençoklaması sorunu) Sorunu basitleştirmek için, tüketicinin iki mal (qx, q2) kullandiğını ve bunların fiyatlarının (px, p2)

3 1 2

ve tüketicinin gelirinin Y olduğunu varsayakm. Bu durumda tüketicinin so-runu (18.2.21) P A l + pAl = Y kısıtı altında (18.2.22) U = U (qv g,) fayda işlevini ençoklamak biçiminde ifade edilebilir. Tüketicinin bu sorununu çözebilmek için Lagrange denklemini kurakm. (18.2.23) L(9 l , q2, X) = q2) - X [p, 9 l + p2 q2 - Y]

Teorem 18.2.1 gereği aradığımız noktanın bir Lagrange'gil durgun nok-tası olduğunu biliyoruz. O halde, gerekli koşullar

< 1 8 - 2 - 2 4 » - i T = ^ r - x = 0

<1 8-2-2 5> - S - - ^ r " 1 * - 0

(18.2.26) ~ = p,q, p, q, - V - (I

olmasıdır. (18.2.24) ve (18.2.25) den

(18.2.27)

(18.2.28) = x

oq2

elde edilecektir. Bu iki koşuldan

(18.2.29 a) f * ^ ' - = = _PL_ ya da almaşık olarak

(18.2.29 b) ^ = İ>1 i>2

elde edilir. O halde tüketici sorununu çözebilmek için mallardan elde ettiği marjinal faydaların oranını, malların fiyatlarına oranına eşitlemek zorundadır.

(18.2.27) ve (18.2.28)'den

(18.2.30) = X = J Ü & * . P1 Pz

313

elde edilebildiğine dikkat edilirse, Lagrange çoğaltanına da bir anlam verile-bileceği de ortaya çıkar. Dikkat edilirse, X, berbangi bir malın marjinal fay-dasının fiyatma oranıdır. Yani X, bir birim paranın marjinal faydasını gösterir. Buna paranın ya da gelirin marjinal faydası denir.

işte bu açıklamaya dayanarak, genelde Lagrange çoğaltanını yorum-layacak bir yaklaşım geliştirebiliriz. Genel bir I. KPS'nunu (18.2.31) g(x) = b

koşulu altında (18.2.32) /(x)

İşlevinin uç değerini bulmak biçiminde tanımlamıştık. Şimdi şu soruyu düşünelim: Acaba (18.2.31) de verilen kısıt çok küçük bir miktar oynasaydı, f işlevinin çözüm değeri üzerinde bunun etkisi ne olurdu P f (x*) çözüm değeri olsun. (18.2.31) den

(18.2.33) db = dg = y ğ(x) , h = £ (xt - Xi*) ı=ı cxt

elde edilecektir. Diğer taraftan biz uç noktayla ilgilendiğimize göre, Teorem 18.2.1 gereği

(18.2.34) - X = 0 i = l, , » oxı dxt

olmalıdır. Buradan 3fW

(18.2.35) J ğ L _ f » ! . „

elde edilecektir. Şimdi bu bilgimizi (18.2.33) de yerine koyarsak

W (18.2.36) db = S C*« - *t*) = 4 " V / ( x ) h =

elde ederiz. O halde

(18.2.37) X* = db

yazılabihr. Yani X*, 6'deki küçük bir değişmenin amaç işlevinin uç değeri, /(x*), üzerinde meydana getireceği marjinal değişikliği vermektedir. Dolayısı ile X*, sözkonusu kaydın gücünü, yani uç değeri kısıtlama yeteneğini gösteren bir ölçüdür. Örneğin X* = 0 ise, kaydın hiç bir etkisi yoktur.

314

Şimdi yine tüketicinin sorununa dönelim. Teorem 18.2.2 den ençoklama sorunu için yeterli koşulları, tüketicinin sorunu için:

(18.2.38) Bel

a217 a2 ü 8q2 a ? 1 a?.

82U a217 8q2 8q, 8g2

2

- P ı —Pa

~P ı

-P2

> 0

0 biçiminde ortaya çıkacağını görürüz. Bu belirteni açarsak

82U „ . 82U (18.2.39) - S - ( - „ f l - g - t e i ^ f â

e,," ya da

(18.2.40)

elde edilir.

82U 8q2 P2' +2

82U 8q, P1P2 —

ÖÎ2

a2 u W Pı )>°

a5. 2 p.2 > 0

(18.2.27) ve (18.2.28)'den ve p2 nin karşıkkları 8U

(18.2.41) P l 8gı X

8U_ Sİ2 (18.2.42) p 2 =

biçiminde elde edilebileceğinden bunlar (18.2.40)'da yerine konursa gerekli düzenlemelerden sonra

; ı n n ı „ J a2LT \ / 8U \2 , n 82U / 8U \/ 8U\ 82U [ 8U V „ (18.2.43) ( - - ğ ^ r ) ( - Ç - ) > 0

elde edilir. Eğer "tüketicinin doymazlığı" varsayımını yaparsak şu ana kadar geliş-

tirdiğimiz sonuçlar azalan marjinal ikame oranının varlığını kanıtlamak için yeterlidir. Şimdi bunu görelim. Tüketicinin doymazlığı varsayımı,

(18.2.44) - Ş - > 0 - Ş - > 0 8qt 8q2

olması demektir. Yani, malların marjinal faydası tüketici için daima artıdır. Marjinal ikame oranı, farksızlık eğrisinin eğimini verir ve

dq2 (18.2.45) dq,

3 1 5

biçiminde tanımlanmaktadır. Fayda işlevinin toplam türevselini ahp, fay-dadaki değişmeyi sıfıra eşitlersek

(18.2.46) dU = dqı + d î 2 = 0

yazabiliriz. Böyle olunca bir farksızlık eğrisi üzerinde 8U

( 1 8 . 2 . „ , A . - _ > 8<İ2

olacağı ortaya çıkar. Bu büyüklüğün eksi işaretli olduğu da gözönüne alınırsa, azalan marjinal ikame oranı

(18.2.48) -İ-®§- > 0

anlamına gelir. Toplam türevsele ilişkin bilgilerimizden,

(18.2.49) d>U = dq> + 2 - g L - d9l d Î 2 + ^

biçiminde tanımlanmaktadır. Fayda işlevinin toplam türevselini ahp, fayda-daki değişmeyi sıfıra eşitlersek

(18.2.46) dU = -4^- dx, + = 0

yazabiliriz. Böyle olunca bir farksızlık eğrisi üzerinde

(18.2.47) ^ d ? 1 0[//8g2

olacağı ortaya çıkar. Buradan azalan marjinal ikame oranı

(18.2.48) > 0

T biçiminde ortaya çıkmaktadır. ( 'in eksi işaretli olduğu hatırlanmalı-

m ı

dır). Toplam türevsele ilişkin bilgilerimizden 8U 8U

(18.2.49) -g-ş- - - ( - - ^ ) + - _ ( - — ) —

olduğundan

316

(18.2.50) #92 dq>

d2U / 8U \ 2 , &U_ !du\ (dU_\ _ /öt/y

(W \ / elde edilir. Doymazlık varsayımı ve (18.2.43) istenilen sonucu elde etmemize yeterlidir.

18.3. Birden Çok Eşitlik Kısıtı Altında Eniyileme

Bu alt bölümde 18.2'de ulaşılan sonuçları m (1 <m <n = bilinmeyen sa-yısı) kısıt olması haline genelleştireceğiz. Sorunumuzu şöyle tanımlayabiliriz.

/' Si — 1' • • • •) m ) EC ! olduğunda Sı W = 8ı(xr • ' xn) = bı Sl(x) = ' *».) = b2

(18.3.1)

gm(x) = ••••,*„) = bm

kısıtları altında (18.3.2)/(x) = / ( * „ . . . . , *„) işlevinin eniyilenmesi. Buna İkinci Klasik Programlama Soıunu (2. KPS) diyelim. Eğer

(18.3.3) G(x) =

ve

(18.3.4) b =

_ gm(x)

b

_ bm dersek, 2. KPS'nu daha kısa bir ifadeyle (18.3.5) G(x) = b ya da I. KPS'na koşut olarak

317

(18.3.5 a) G(x) = b - G(x) = O kısıtları altında (18.3.6) /(x)

işlevinin eniyileştirilmesi olarak ortaya konulabilir. Bu sorunu çözebilmek için de I. KPS'nunda olduğu üzere Lagrange yön-

temine başvuralım. II. KPS için Lagrange işlevi m

(18.3.7) L(xı,. ..,»„, Aı,.. .,Am) = f(xı,.. .,xn) — S bt — gt (xu.. .,*„)

biçiminde olacaktır. Görüldüğü üzere II. KPS'nunda her kısıt için ayrı bir Lagrange çoğaltanı (}H) tanımlanmaktadır. (18.3.7) deki ifadeyi daha basit olarak

(18.3.7 a) L(x, X') = /(x) - X' [b - G(x)]

biçiminde yazabiliriz. X Lagrange çoğaltanları yöneyini göstermektedir.

Şimdi aşağıdaki yöney ve dizeyleri tanımlayalım.

(18.3.8) V/(x) = ( - ! - , - g - ) l xn

8ğı Sğı

yöney

(18.3.9) 6x(x)

8x, 8x„

8xı " 8x„

ya da

(18.3.9 a) -Gx(x) =

gg, 8xt

J&L 8x„

Sgn 8x,

Şgr 8x„ mxn dizey

318

(18.3.10) Kf(x) =

82f 8x2

(18.3.11) H|.(x) =

8x„8x1

Vğj 8x j2

8xn8xj

i=1 ,. ya da

(18.3.11.a) H^.(x) =

8xn8x.

n 8x j 8xn

82f 8x2

82ği 8x18xn

8x„

S2gi 8x18xn

8x2„

nxn dizey

v nxn dizey

i = 1, i., m

Bu tanımlara dayanarak, aşağıdaki ifadeleri tanımlayalım:

(18.3.12) Lx= 8 L ^ }r ) = V/(x) + VĞx(x)

= V /(*) - X' Gx(x)

(18.3.13) hx = L i \ r ) = Ğ(x) = b - G(x)

(18.3.14) Hi(x,X') = = Bf(x) + £ X* H^(x)

319

- Hr(x) - S xt Hgl(x) 1

Şimdi II. KPS için Lagrange'gil durgun nokta kavramını genelleştirelim: TANIM 18.3.1: Aşağıdaki iki koşulu sağlayan (x*, X*) e R"+ m noktasında Lagrange'gil Durgun Nokta denir.

(18.3.15) Lx(x*, X'*) = Ü L { X " * ] = v/(x*) + Ğx(x*) = 0

= v / (x*) - X'* Ğx(x*) = 0

(18.3.16) Lx(x*, X'*) = L ( X * ; r * } = < V ) = b-G(x*) = 0

TANIM 18.3.2: Eğer (18.3.9)'da tanımlanan Gx(x) ya da (18.3.9.a)'da tanım-lanan — Gx(x) dizeyinin aşaması m (yani kısıt sayısı) ise, II. KPS,x noktasında Güçlü Çakışık Olmama, (GÇO) (Strongly Non Degenerate) koşulunu sağlıyor, denir.

Şimdi de x* noktası II. KPS'nun bir çözümü olduğunda bunun Sağlaması gereken özellikleri görelim: TEOREM 18.3.1: (I. SIRA GEREKLİ KOŞUL) Eğerx* (18.3.5) ve (18.3.6) ile tanımlanan II. KPS'nun bir yerel çözümü ve x* noktasında GÇO koşulu sağlanıyorsa, öyle bir X* yöneyi vardır ki, (x*, X*) Lagrange'gil durgun nokta-dır.

KANIT: INTRILIGATOR (1971, s. 31-33), PANİK (1976, s. 216-217) TEOREM 18.3.2: (II. SIRA GEREKLİ KOŞUL) Eğer x*, (18.3.5) ve (18. 3.6) ile tanımlanan II. KPS'nun bir yerel çözümü ise ve GÇO koşulu sağlanı-yorsa öyle bir X* yöneyi vardır ki

HL(X*, X*)Pxr : - Gx(x*)' rxm

(18.3.17) Bel

'mum

r — m -\-l,. . -,n

_ - Gx(x*) rxm ; o„ dir. Ayrıca

A) Eğer x* noktasında/(x), G(x) = b kısıtı altında bir ençok değere ulaşıyorsa V z ^ 0 için z'z = 1 ve —Gx(x*) z = 0 kısıtı altında, z'HL(x* .X*) z < 0 dır. Yani Lagrange'gil işlevin sınırlandırılmış Hesse dizeyi, yarı kesin eksidir.

B) Eğer x* noktasında /(x), G(x) = b kısıtı altında bir enaz değe-re ulaşıyorsa, Vz # 0„ için z'z = 1 ve —Gx(x*)z = 0 kısıtı altında, Z'HL (X*,X*)Z > 0 dır. Yani Lagrange'gil işlevin sınırlandırılmış Hesse dizeyi yarı kesin eksidir.

320

KANIT: PANİK (1976, s. 220-223) Şimdi de x* II. KPS'nun çözümü olması için yeterli koşulun ne olduğu

üzerinde duralım. TEOREM 18.3.3: (II. SIRA YETERLİ KOŞUL) (x*, X*), (18.3.7) ile verilen Lagrange'gil işlevin bir durgun noktası olsun. Ayrıca x* noktasında GÇO koşulunun sağlandığını varsayalım. Bu durumda eğer,

HL(X*, Â*)rxr : - G x ( x * ) ' r x m

(18.3.17) Bel 0„

0 _ — G x (x*) r x m

r = m +1, , n ise, x* noktasında/(x) işlevinin G(x) = b kısıtları altında bir uç noktası vardır.

Ayrıca V z # 0 için

i) z'z = 1 ve Gx(x*)z = 0 olduğunda

(18.3.18) z' H /(x t , X*)z < 0

' yani Lagrange'gil işlevin sınırlandırılmış Hesse dizeyi kesin eksi ise, x* nok-tasında,/(x) işlevinin, G(x) = b kısıtları altında, bir güçlü yerel ençok değeri vardır. Bölüm 11.4'deki açıklamalardan anımsanacağı üzere, (18.3.18) de ve-rilen sonuç

HL(X*, X*)r

(18.3.19) ( - l ) r Bel

- ~Gx(x*)„

r=m -j-1, ..

-Gx(x*)'r

ömxm > o

olmasına denktir.

ii) z'z = 1 ve —Gx(x*)z = 0 .olduğunda

(18.3.20) z 'H t(x\ X*)z > 0

yani sınırlandırılmış Hesse dizeyi kesin artı ise, x* noktasında/(x) işlevinin G(x) = b kısıtları altında bir güçlü yerel enaz değeri vardır. Bölüm 11.4'den anımsanacağı üzere (18.3.20)'de verilen sonuç

(18.3.21) ( - 1 )mBel

olmasına denktir.

- HL(X*, X*) r x r j Gx(x*) rxm

r—m+1, 7i

> 0

321

KANIT: PANİK (1976, s. 220-223) Teorem 18.2.4'e koşut bir durumda, I. sıra koşullar II. KPS'nun yine

yeterlik özelliğini gösterir. Bunu bir teorem biçiminde ifade edelim. TEOREM 18.3.4: A c R " içinde,/, g i e C1 olsun. (£=1, m) Eğer x* e A noktasında

(i) /(i*) - X*' Gx(x*) ve

(ii) L(x, X*) = / ( x ) — X*' [b — G(x) ] içbükey (dışbükey) işlev ise koşul-larını sağlayan bir X* yöneyi varsa, x* noktasında /(x) işlevinin G(x) = b kı-sıtı altında bir tümel ençok (enaz) değeri vardır. KANIT: MILLERON (1972, s. 308)

ÖRNEK: (18.3.22) /(*,, x2, *3) = 3 *2 — 5 X3

2

işlevinin (18.3.23) gl(Xl, x2, x3) = + *2 + 3 *3 = 10 (18.3.24) g2 (xv x2, x3) = 2 + *2 + *3 = 6

Kısıtları altında uç noktasını bulalım. Bu noktanın bir ençok değeri mi, enaz değeri mi verdiğini saptayabm.

Bu sorun için Lagrange denklemi (18.3.25) L(X1,X2,X3,\,\)=3X1X2—5X3

2+X1 (10-*,—X2—3X3) +X2(6—2*,—

. . Birinci sıra gerekli koşullardan

3 x2 — Xj — 2 X2 = 0

3 — X, — X2 = 0

— 10 *3 — 3 Xj — X2 = 0

x ı + x ı + 3 z 3 = 10

2 Xy + x2 + x3 = 6

elde edilir. (18.3.26) dan (18.3.31) X, = 3 - 2 X2

elde edilir ve (18.3.27)'de yerine konursa

322

(18.3.26)

(18.3.27)

(18.3.28)

(18.3.29)

(18.3.30)

8L oxl

8L 8X2

8L 8x3

8L 8\

8L 0X,

(18.3.32) X2 = 3 x2 — 3 elde edilir. (18.3.31) ve (18.3.32), (18.3.28)5de yerlerine konursa

(18.3.33) — 21 + 6 x2 — 10 x3 = 0 elde edilir. (18.3.33), (18.3.29) ve (18.3.30) eşanlı olarak çözülürse

(18.3.34) = J L

28 (18.3.35) *2* = -ğğ-

(18.3.36) x3* = 90 82

elde edilir. Bu sonuçlar (18.3.31) ve (18.3.32)'de yerlerine konulursa 72

» — (18.3.37) X,

(18.3.38) X2* =

82

60 82

elde edilir. Diğer taraftan 82L 8x*

82L

82L 8x2

= 0 82L

= 0

8x j 8X2

82L 8X28X3

— 10

M. -8x,.

— 2 —

= 3

= 0

8X2

8x,

82L 8X18X3

- = 0

1 —

= — 1

0*3

3fe

= - 3

olduğundan, Lagrange'gil işlevin sınırlandmlmış Hesse dizeyinin belirteni

= - 2 6

- 0 3 0 - 1 - 2 ~ 3 0 0 - 1 - 1

Bel 0 0 - 1 0 - 3 —1 — 1 - 1 - 3 0 0

_ —2 — 1 — 1 0 0 _ elde edilecektir.

323

(_l)2+t (_26) = (_1) (-26) = 26 > O olduğundan, bu işlevin ( ^ , ^ , noktasında bir ençok değere

\ o2 82 82 J

ulaştığı söylenebilecektir.

ALIŞTIRMALAR A.18.1. Aşağıdaki işlevlerin karşılarında verilen kısıtlar altında uç noktala-rını bulun. Bu uç noktaların ençok değer mi enaz değer mi olduğunu saptayın.

i) / = 3 x2 + 6 x2 Xi + x2 == 1

ii) / = 5 x2 + 6 x22 - 3 Xl x2 2 Xj -f- 3 x2 = 58

iii) f = 10 x, + 7 x2 x^4 xŞ'A = 100 A.18.2. Aşağıda verilen işlevlerin karşılarında verilen ikişer kısıt altında uç noktalarını bulun. Bu uç noktaların ençok değer mi enaz değer mi olduğunu saptayın. i ) f = * 1

2 + 2 , + *2 = 1 — x2 = — 1

ii) / = 4 x2 + 2 x22 + x2 — 4 xx x2 xx + x2 + x} = 15

2 xy — x. + 2 x 3 = 20 A.18.3. Bir mobilya firmasının biri Siteler'de diğeri ise Yeni Mahalle'de ol-mak üzere iki yapım atelyesi vardır. Bu firma 1000 oturma odası takımı yap-mak üzere bir sipariş almıştır. Mobilya firmasının sahibi, bu işin toplam mali-yetinin ne olacağını araştırmış ve bunun

C = C(qv q2) = 2 q2 + 3 q2 - 15 g, q2 + 400 biçiminde bir maliyet işlevi ile ifade edilebileceği sonucuna varmıştır. Bu iş-levde C toplam maliyeti, qt Siteler'deki atelyede yapılan oturma odası takımı sayısını, q, Yenimahalle deki atelyede yapılan oturma odası takımı sayısını göstermektedir. Fiımanın amacı bu siparişi en az maliyetle gerçekleştirmektir. Bu durumda acaba söz konusu 1000 oturma odası takımının kaçını Siteler'-deki, kaçını Yenimahalle'deki atelyesinde yaptırmalıdır?

(SBF, 1974-1975 Yaz Dönemi Sınav Sorusu) A.18.4. Bir tüketicinin fayda işlevi

U = 10 qxq2q}

olsun. Burada U faydayı, qt ( i= l , 2, 3) i - inci maldan tüketilen miktarı ifade etmektedir. Malların fiyatları sırasıyla P, = 2 TL, P2 = 1 TL, P3 = 4 TL. ve tüketicinin geliri Y = 120 TL. olduğunu varsayalım. Bu durumda tüketici dengede her maldan ne kadar alacaktır P

324

KAYNAKLAR

A. BENAVIE (1972): Mathematical Techniques For Economic Analysis, Prentice Hail, Englewood Cliffs, N.J. s. 84-117.

A.C. CHIANG (1974): Fundamental Methods of Mathematical Economics, 2nd. Edition, McGraw-Hill, New York, s. 373-424.

A.K. DIXIT (1976): Optimization in Economic Theory, Oxford University Press, Osford.

M.D. INTRILIGATOR (1971): Mathematical Optimization and Economic Theory, Prentice Hail, Engle-wood Cliffs, N.J. s. 20-43.

R.E. MİLLER (1972): Modern Mathematical Methods for Economics and Business, Holt, Rinehart and Winston Inc., New York, s. 138-153.

Y. MURATA (1977): Mathematics for Stability and Optimization of Economic Systems, Academic Press, New York.

M.J. PANİK (1976): Classical Optimization: Foundations and Extensions, North Holland, Amsterdam, s. 183-225.

E. SILBERG (1978): The Structure of Economics: A Mathematical Analysis, McGraw Hill, New York, s. 147-172.

325

19. Bölüm

ENİYİLEME SORUNU İli: EKSİ OLMAMA EŞİTSİZLİK KISITLARI ALTINOA ENİYİLEME

Bundan önceki bölümde, (18. Bölümde) eniyileme sorununu eşitlik kısıt-ları altında ele aldık. Ancak, biraz dikkatli bakıldığında 18. Bölümde geliştiri-len yaklaşımın bazı sorunları çözmede yetersiz kaldığı görülecektir, örneğin, tüketicinin sorununu ele alalım. Bu sorunun iktisadi açıdan anlamlı çözümü, dengede tüketicinin faydasını ençoklayan bir eksi olmayan tüketim yöneyinin bulunmasıdır. Tüketicinin bazı mallardan eksi miktarlarda tüketmesi sözko-nusu olamayacağına göre, tüketici ya bir malı alacaktır (q* > 0) ya da al-mayacaktır (q * = 0). Oysa 18. Bölümde geliştirilen yaklaşım bu eksi olma-ma kısıtını içermediği için, iktisaden savunulamaz nitelikte sonuçlar verebil-mektedir. Bunun yanı sıra genel olarak eşitlik kısıtları da ele alınan sorunu gereğinden çok dar bir çerçeveye sokmaktadır. Örneğin tüketicinin mallara yapacağı harcamanın tüm gelirini aşamayacağı biçiminde bir kısıt, belli du-rumlarda tüketicinin tüm gelirini tüketime ayırmaksızın dengeye ulaşabileceği durumları ele almamıza olanak sağlayacaktır. İşte modern eniyileştirme ku-ramı bu sorunlara yanıt vermeğe çalışmaktadır.

Bu bölümde önce eksi olmama kısıtları altında eniyileme sorunu ele ak-nacaktır (Alt bölüm 19.1). Bundan sonra, eşitsizlik kısıtları aynı biçimde in-celenecektir (Alt bölüm 19.2). Altbölüm 19.3'de bu iki nitelik birleştirilecek, modern eniyileme kuramının temelini oluşturan Kuhn-Tucker yaklaşımı üze-rinde durulacaktır.

19.1. Eksi Olmama Kısıtlarının Varlığı Halinde Eniyileme

Bu altbölümde, bir eniyileme sorununda, eksi olmama kısıtlarının varlığı halinde bunların getirebileceği yeni boyutların neler olduğunu görmeğe çalı-şacağız. Konuyu basite indirgeyebilmek için önce tek değişkenli bir ençoklama sorununu ele alalım. x e R olsun. Bu durumda sorun: (19.1.1) * > 0 kısıtı altmda

3 2 6

(19.1.2) e.ç. f(x)

biçiminde ifade edilebilir. Yine kolaylık olmak üzere / e C2 ve kesin içbükey varsayalım. Bu durumda sözkonusu işlevi ençoklayan x* değeri, aşağıdaki üç farklı biçimden birisi olarak ortaya çıkacaktır:

Şekil 19.1.1 de x > 0 kısıtı nedeniyle, x'in eksi değerleri dışarıda bırakıl-mış, işlev x e [0;co ] için tanımlanmıştır.

flx) flx)

(A) (B) Şekil 19.1.1

IC)

(A) durumunda, / ' i ençoklayan x* > O noktasıdır. Bu noktada (19.1.3) /'(x*) = O

olmaktadır. Dikkat edilirse, / kesin içbükey varsayıldığı için (19.1.3) gerekli ve yeterli koşuldur. Ayrıca bu koşul 17. Bölümde ele aldığımız kısıtsız eniyi-leştirme sorunundaki koşula çakışmaktadır. İşte bu tür çözümlere İç Çözüm (Interior Solution) denir.

Oysa (B) ve (C) durumlarında / işlevini ençoklayan, x* = O noktasıdır. Buna Köşe Çözümü (Corner Solution) denir.. (B) durumu ele alınırsa,/'(O) < O olduğu halde, x* — O noktası ençoklayıcıdır. Bu durumu

(19.1.4) /'(**) < 0 x* = 0 biçiminde ifade edebiliriz. (C) durumunda ise (19.1.5) f'(x*) = 0 x* = 0

koşulları sağlanmaktadır.

O halde eksi olmama kısıtının varlığı halinde, ençok değer için gerekli koşullarda bir değişiklik yapmak gerekecektir. (19.1.3) (19.1.5) de ulaşılan sonuçların ışığı altında, gerekli koşul

(19.1.6) /'(*) <: o

3 2 7

(19.1.7) xf'(x) = O biçiminde yazılabilir1.-

Şimdi de, bu sonucu cebirsel yolla n- değişkenli bir işleve genelleştirelim. Dikkat edilirse herhangi bir S e R için (19.1.8) x* > 0 <-> x* — S2 — 0 dir. S ^ 0 ise bir iççözüm, S = 0 ise bir köşe çözümü sözkonusudur.

O halde, eşitsizlik kısıtları altında ençoklama sorunu, n tane yeni değişken tanımlanarak (19.1.9) gi(Xi, St) = x, - St

2 - 0 i = 1, n kısıtları altında (19.1.10) e.c . / ( * „ ,xn) biçiminde ifade edilebilir. Dikkat edilirse böylelikle 18. Bölümde de ele aldı-ğımız kısıtb ençoklama sorununa dönüştürmüş olduk. Bu sorun için Lagrange denklemini yazarsak:

(19.1.11) L(x, S, X) = /(*,, . . . . , *„) + S \(xt - St2)

İ= 1

- = /(x) + X'(x - S'SI'„)

0

elde edilir. Burada " S,

(19.1.12) S

(19.1.13) I'„ = , n boyutlu toplama yöneyidir.

Birinci sıra gerekli koşullardan

(19.1.14) 8L 8x,

8L

8Xi

J L 8S,

+ X, = 0 i=1, ..;., n

— 2 X( Si = 0 i = l , ., n

1 Dikkat edilirse/'(**) > 0 ve x* = 0 hiçbir zaman bir ençoklayıcı nokta olamaz.

3 2 8

(19.1.16) 8L 81, = xt - Si2 = O 1 = 1, . . . ., Tl

elde edilir. Dikkat edilirse St ^ O ise, (19.1.15)'den = O elde edilir. Bu durumda

8f (19.1.14)'den — = O sonucuna ulaşılır. Bu da, bekleneceği üzere eksi

olmama koşulunun etkili olmadığı iç çözüm durumu için gerekli koşuldur. Diğer taraftan St = 0 ise (19.1.16)'dan xt = 0 olacak ve (19.1.14)'den

J L 8x t

— X4 elde edilecektir. Acaba bu durumda Xf'nin ve dolayısı ile

of 'nin işareti ne olacaktır? 8x,-

(19.1.17)

Bunun için aşağıdaki ikinci türevleri ele alalım.

82L _ 8f dxl8xj 8xi8xj

82T

(19.1.19)

(19.1.20)

(19.1.21)

82L SSıdSj

- 2 i=j

0 i^j

agi 8Xj

Sgt

l=J

8Sİ

- 2 S ; i=j

0

i,j= 1, ^

i,7=1,

i , j '= l , . . . .,n

ı,7=l, ,n

£,7=1

Bu türevlere dayanarak

(19.1.22) V(„«Sı (**> S*)' = i Vs8t) = (O-l-O ! 0...-2Si...0) ve dolayısı ile

(19.1.23) G( (x*, S*)

_ vgn(x*, S*)

- S ı

-2S„

329

(19.1.24) Hl(X*, S*, X*) =

W 8x?

8xndx, O . . .

8xl8x„

dxf - 2 X, . . O

-2X„ Elde edilecektir. Ençok değer için ikinci sıra gerekli koşullar (19.1.23)

kısıtı altında (19.1.24)'ün verdiği karesel biçimin yarı kesin eksi olması oldu-ğundan, bu durumda

(19.1.25) - ( I : Köşg ( - 2 S,))

kısıtı altında _ z 2 _

(19.1.26) (Z„ Z2)

H,

0 ( Z r Z2)

z, _ z2

= 1

_ 0„x„ _ Z 2 _ ; o

. Köşg ( - 2 Xf) _

olması gereklidir. Burada H / = ) v e K ö ? g 2 Xı) i s e köşegen ' J nxn

dizeyi ifade etmektedir. Eğer Vt için St = 0 alırsak. (19.1.25)'den

(19.1.25 a) Zj = 0„ elde edilir. Bu sonuç (19.1.26)'da yerine konursa (19.1.27) Z2 ' (Köşg ( - 2 Xj)) Z2 < 0 elde edilir ki, bu, (19.1.28) - 2 X4 Z 2 İ

2 ^ 0 i=1, n ya da (19.1.29) X; > 0 i = l , , n olması demektir. O halde bu durumda tüm Lagrange çoğaltanları eksi değildir.

Bunun sonucu olarak da St = 0, i = l , n olduğunda

(19.1.30)

olmasıdır. 8xt

- X, 0 i=1,

3 3 0

O halde, bu genel durum için gerekli koşullar

(19.1.31) -Ş— ^ 0 i=1 , n

(19.1.32) X i - f £ - = 0 »=1, n OXı

biçiminde yazdabilir. Şimdi bu açıklamalarımızı bir teorem biçiminde özetleyerek hem ençok

ve hem de enaz değer bulma sorunlarına ilişkin sonuçları yazalım: TEOREM 19.1.1: x e R", olsun.

i) x > 0 kısıtı altında/(x) işlevinin x* noktasında yerel ençok değere ulaş-ması için gerekli koşullar

/(**) < o (19.1.33) x*'A/(*•) = 0

x* > 0 olmasıdır.

ii) x > 0 kısıtı altında/(x) işlevinin x* noktasında yerel enaz değere ulaş-ması için gerekli koşullar

/(x*) > 0 (19.1.34) x*'A/(*•) = 0

x* > 0 olmasıdır.

19.2. Eşitsizlik Kısıtlarının Varhğı Halinde Eniyileme Şimdi de aşağıdaki sorunu ele alalım:

(19.2.1) g(xv x„) ^ b kısıtı altmda (19.2.2) e.ç. f(x1, , xn) Eğer (19.2.3) g(x) = ğ(xv , xn) = b — g(x„ , xn) dersek, bu sorunu (19.2.4) g(x) < 0 kısıtı altında (19.2.5) e.ç. f(x) biçiminde yazabiliriz.

3 3 1

Bu durumda, yeni bir değişken tanımlayarak (19.2.6) S2 = O - g(x) dersek, sorunumuzu (19.2.7) g(x) + S2 = O kısıtı altında (19.2.8) e.ç. / (s)1

biçiminde bir eşitlik kısıtı altında ençoklama sorununa dönüştürmüş oluruz. Bu durumda, Lagrange tekniğine başvurarak

(19.2.9) L = /(x) + X [ - g(x) - S2] dersek, birinci sıra koşullardan

(19.2.10) = - f L - X J Ş - = 0. i = l , , n o*/

(19.2.11) J L . = ğ(x) + S2 = 0

(19.2.12) = - 2 X S = 0

elde edilir. Yine S ^ 0, yani kısıt etkin değilse, (19.2.12) den X = 0 elde edilir. Bu-

nun anlamı, sorunun çözümünün bir iç ençok değer vereceğidir. O halde, yine

kısıtsız ençoklama sorununa dönülmüş olur ve (19.2.10) dan —-— = 0 8xj

j= 1, , n elde edilir.

Buna karşıhk S = 0 ise, kısıt etkindir. Bu durumda yine, Lagrange ço-ğaltanın işaretinin ne olacağım bulalım.

82L _ 82f 82g (19.2.13) 8xı8xj 8xt8xj 8xı8xj

M T

fil T (19.2.15) — - = - 2 X

olduğundan, bu sorun için ikinci sıra gerekli koşullar:

1 e .ç . / (x) ifadesini " / (x) işlevini ençokla", e.a./(x) ifadesini de "/(x) işlevini enazla" karşılığın-da kullanıyoruz.

332

- ZL

(19.2.16) - V«,S) g(**,S)

kısıtı altında

(19.2.17) (Z/, Z2) Hı(x*, S*, X*)

O (Z„ Z2) = 1

Z,

-

< o

- Z, -

_ : o

olmasıdır. (19.2.17)'yi açık olarak yazarsak, bu I

- Hı(x*, S*, X*) 0 (19.2.18) (Z'j, Z,)

_ 0 —2 X elde edilir, bu da (19.2.19) Z,' H1(x*, S*, X*) Z < 0 (19.2.20) Z2 (—2 X) Z2 < 0

A'nın işaretini belirlemek için 19.2.20'den yararlanabiliriz, çünkü bu ifa-deyi (19.2.21) - 2 X Z2

2 < 0 biçiminde yazabileceğimizden (19.2.22) X > 0 elde edilir.

Şimdi, bu sonuçtan esinlenerek, eşitsizlik kısıtı a l t ı n d a / ^ , xn) işlevinin eniyileıımesine ilişkin gerekli koşulları bir teorem olarak verelim. TEOREM 19.2.1: (GEREKLÎ KOŞUL) / (x) , g(x) gerçel değerli, sürekli tü-revlenebilir işlevleri A c R" açık kümesi üzerinde tanımlansın ve x e R" olsun.

A) Eğer x* = (xı*, , xn*) noktasında / işlevi g(x) 0) kısıtı altında ençoklanmış ise

(i) v/(**) + X* w(**) = v/(**) - «(**) = o ya da

m**) 8xj - X* 8xj = 0 7=1,

(19.2.23) (ii) X* g(x*) = X* [ 6 - g(x*)] = 0 (iii) g(x*) > 0 ya da g(x*) 0

(v) Xj* işaret yönünden kısıtsızdır. j= 1, , n

333

B) Eğer x* = (xı*, xn*) noktasında / işlevi/g(x) > b (ya da ğ(x) = b— g(x) < 0) kısıtı altında enazlanmış ise

(i) v / ( x*) + ** vl(**) = v/(x*) - ** Vg(**) = 0

ya da 8f(x*) „ 0ff(x*) _ * . .

—n—L x* —se—L = 0 ?=1 8xj 8xj

(ii) X* |(x*) = X* [b-g(x*)] = 0 (19.2.24)

(iii) ğ(x*) < 0 ya da g(x*j > b (iv) X* > 0 (v) Xj* işaret yönünden kısıtsızdır. jf=l, ,n

KANIT: PANİK (1976, s. 228-229) Şimdi bu teoremi nasıl uygulayabileceğimizi bir örnek ile görmeğe çalı-

şalım. Bunu yaparken üç aşamab bir yönteme başvuracağız. I. AŞAMA : Önce kısıtın etkin olmadığı varsayılır. Böylece X = 0 oldu-

ğunda elde edilebilecek ve (19.2.23) (ya da 19.2.24)'ü sağlayan tüm yapıla-bilir noktalar elde edilir ve amaç işlevinin, ( / ) , bu noktalardaki değerlerini hesaplanır.

II. AŞAMA: Kısıtın etkin olduğu varsayılır. Böylece X > 0 olduğunda elde edilebilecek ve (19.2.23) ya da (19.2.24)'ü sağlayan tüm yapılabilir nokta-lar elde edilir, ve amaç işlevinin, ( / ) , bu noktalardaki değerleri hesaplanır.

III. AŞAMA : Bulunmak istenen uç nokta, I. ve II. Aşamalarda elde edilen tüm noktalar karşılaştırılarak saptanır.

ÖRNEK: Sorunumuz (19.2.25) + 2 *2 < 3 kısıtı altında (19.2.26) e.ç. *2

olsun. Lagrange denklemi (19.2.27) L{xx, x2, X) = xt x2 + X [ 3 — — 2 x2] olduğundan

(19.2.28) " - g - = x 2 - X

(19.2.29) -Ş^— = - 2 X 8x2

334

(19.2.30) = - [3 - - 2 x2]

elde edilir. Teorem 19.2.Fde (19.2.23) ile verilen gerekli koşullara göre

i) — X = 0

ii) — 2 X = 0 (19.2.31) iii) X [3 - - 2 x2] = 0

iv) xx + 2 x2 — 3 < 0

v) X > 0 sağlanmalıdır.

AŞAMA I: önce kısıtın etkin olmadığı durumu ele alalım. Bu durumda xı + 2 x2 < 3 olduğundan X = 0 dır. Bu durumda (19.2.31 /i ve ii)'den x* = x * = 0 elde edilir. Bu sonuçlar (19.2.31 /iv)'de yerine konursa — 3 < 0 elde edilir. Yani bu koşul da eşitsizlik biçiminde sağlanır. Demekki x * = x* — 0 noktası, X* = 0 ile beraber tüm koşulları sağlamaktadır. O hal-de yapılabilir bir noktadır, f (0, 0) = 0 olduğundan, amaç işlevi bu noktada sıfır değere ulaşmaktadır.

AŞAMA II: Şimdi de kısıtın etkin olduğunu, yani xt — x2 = 3 oldu ğunu, kabul edelim. Bu durumda X > 0 dır. (19.2.31) /iii)'ün her iki tarafını X'ya bölebiliriz. Böylece 19.2.31 /i, ii, iii ile verilen şu üç denklemden oluşan dizeyi elde ederiz.

x2 — X = 0

(19.2.32) - X = 0

+ 2 ^ - 3 = 0

Bu dizeyinin çözümünden x*

edilir. Dikkat edilirse bu sonuçlar (19.2.31 /iv ve v)'i sağlamaktadır.

Amaç işlevinin bu noktadaki değeri ise

' ( 4 - • 4 - ) - ( 4 - ) ( i ) - 4 - -AŞAMA III: Bu sorunda iki yapılabilir çözüm elde edilmiştir. Aşama 2'de

kısıt etkin olduğunda ulaştığımız değer daha büyüktür. Bu da bize {x*, x*) = (3 /2, 3 /4) noktasının, ençoklayan nokta olduğunu düşündürmektedir. Ancak,

_3_ ~2

3 T

ve X* - -— elde 4

335

unutulmamalıdır ki, bu teorem bize sadece gerekli koşulları verdiği için, biz bu noktada işlevin bir ençok değere ulaştığını söyleyemeyiz. Bunun için yeterli koşullara da bakmak gereklidir.

Ele aldığımız sorun, kısıt etkin olduğunda

xt + 2 x2 — 3 kısıtı altında

C«Ç» Xj X biçimine dönüşmektedir. 18. Bölümden anımsanacağı üzere ençok değer için yeterli koşul Lagrange denkleminin sınırlandırılmış Hesse dizeyinin kesin eksi olmasıdır. Bu ise sorunuzda

(19.2.33) (-1)2 Bel

0 1 . 1 1 0 . 2

1 2 . 0 > 0

olması demektir. Nitekim, bu belirtenin değeri 4 olduğundan (3 /2, 3 /4) bir ençoklayıcı noktadır.

19.3. Kuhn-Tucker Gerekli Koşulları

Bu alt bölümde ise bir amaç işlevinin hem eksi olmama ve hem de eşitsiz-lik kısıtlarının varlığı halinde uç değerinin olması için gerekli koşulları veren teoremleri ele alacağız. İlk teorem bir eşitsizlik kısıtının olması durumunu ele almaktadır.

TEOREM 19.3.1: (I. KUHN-TUCKfiR TEOREMİ: GEREKLİ KOŞUL)

f (x), g(x) gerçel değerli sürekli türevlenebilir işlevler, x e R" olsun. f, g, A<= R" açık kümesi üzerinde tanımlansınlar.

A) Eğer bir x* = (atj*, , xn*) A noktasında

(19.3.1) g(x) 0 ve (19.3.2) x > 0 kısıtları altında (19.3.3) /(x) işlevi bir yerel ençok değere, ulaşıyorsa ve g(x*) = b olduğunda

336

(19.3.4) Z - {h|y f(x*)'h > O, v g(x*)' h > 0} = 0 ise1

(19.3.5 i) v / (x*) + ** V «(**) = V /(**) - ** V g(**) ^ 0 . ya da

—^j x 1

(19.3.5 ii) x*' [V/(**) + X* V K**)] = **' [V / ( x *) - ** V g(x*)] = O ya da

i v ( j j m J £ ^ y = < > J=1 \ 8xj 8xj !

NOT: Dikkat edilirse bu koşul (19.3.38. i) ile birlikte ele alındığında bu top-lamdaki herbir terimin ayrı ayrı sıfıra eşit olması anlamına gelmektedir. Bu nedenle, almaşık olarak

( 1 9 . 3 , . ü , v (JBÖ. _ x . MgL ) _ „ ,„ yazabiliriz. (19.3.5.iii) X*g(x*) = X* [ 6 - g(x*)] = 0 (19.3.5.iv) g(x*) > 0 ya da g(x*) 0 (19.3.5.vii) x* > 0

B) Eğer bir x* = (xı*, xn*) e A noktasında (19.3.6) g(x) > b ya da (19.3.6a) g(x) = b- g(x) < 0 ve

1 Bu koşul, bazı garip durumları engellemek için konmaktadır. Söz konusu durumlarda, Kuhn-Tucker koşullan gerekli olma özelliğini kaybetmektedir. Kısıl Nitelendirmesi (Constraint Qualification) adı alan bu konuyu ele almayacak, sorunlarımızda bu koşulun daima sağlandığını varsayacağız.

Ancak, aşağıdaki durumlarda bu koşulun sağlandığını belirtelim: i) Tüm kısıt işlevleri doğrusal ise,

ii) Tüm kısıt işlevleri dışbükey ve kısıt kümesinin boş olmayan içi varsa. iii) Kuhn-Tucker kısıt nitelendirmesi koşulu sağlanıyorsa, iv) Etkili kısıtların eğim yöneyleri doğrusal bağımsız ise. Bu konuda KUHN-TUCKER (1951), ARROW-HURWICZ-UZAWA (1961) önemli katkdarı

oluşturmaktadır. Konuyu etraflı ele alan bir kaynak için PETERSON (1973)*a bakılabilir. Ayrıca LAS-DON (1970, 78-82), PANİK (1976, s. 271-277) başvurulabilir.

337

(19.3.7) x > O kısıtları altında

(19.3.8) /(x)

işlevi bir yerel enaz değere ulaşıyorsa ve g(x)* = b olduğunda

(19.3.9) Z = {h|v/(x*)' b < 0, < 0} = 0 ise

(19.3.10.i) y/(x*) + X*Vg(x*) = v/(**) - X*Vg(x*) > 0 ya da

V ' ~ X* f ' > 0 j = 1 , öXj 0Xj

(19.3.10.Ü) x*'[V/(x*) + X* yg(x*)] = x*'[v/(x*) — X*yg(x ya da

| * * (Jf^L _ 8g(x*} \ - o £ X j v - s ^ r - x ) '

(19.3.5. ii) için verilen açıklama ışığında, bu da

(19.3.10.il') - X* ) = 0 j= \ OXj OXj 1

biçiminde yazılabilir. (19.3.10.İİİ) X* g(x*) = X* [b — g(x*)] = 0 (19.3.10.iv) g(x*) < 0 ya da g(x) > b (19.3.10. y) X* > 0 (19.3.10.vi) x* > 0 koşulları sağlanır.

KANIT: PANİK (1976, s. 236-238)

ÖRNEK 1: (19.3.11.a) - Xl - x2 > - 5 (19.3.ll.b) s, > 0 (19.3.11.c) x2 > 0 kısıtları altında (19.3.12) e.a. (s, - 3)2 + (x2 - 4)2 = f(xv x2) sorununu çözelim.

338

Bu sorunda Lagrange denklemi (19.3.13) L = (xx — 3 f + (x2 - 4)* + X [ - 5 + + x2] olup

(19.3.14) J L . = 2 («, - 3) + X

(19.3.15) - İ L - = 2 (x2 - 4) + X

elde edilir. I. Kuhn-Tucker teoremindeki gerekli koşullar (19.3.16.a) 2 (*, - 3). + X > 0 (19.3.16.b) 2 (x2 - 4) + X > 0 (19.3.17.a) x t [2 (x, - 3) + X] = 0 (19.3.17.b) *2 [2 (x2 — 4) + X] = 0 (19.3.18) X [ - 5 + + x2] = 0 (19.3.19) - - x2 > 5 (19.3.20) • X > 0 ^ (19.3.21.a) ^ 0 ' (19.3.21.b) *2 > 0

Şimdi de Altbölüm 19.2'de önerilen üç aşamalı yönteme başvurarak, bu sorunu çözmeye çakşalım.

AŞAMA I: X = 0, yani kısıt etkin olmasın A.I.i) X = 0, ^ 0, *2 ^ 0

Bu durumda (19.3.17.a ve b)'den xx = 3 ve x2 = 4 bulunur. Ancak bu değer-ler (19.3.19)'da yerine konursa — 7 < — 5 çıkar. O halde, bu yapılabilir bir çözüm değildir.

A.I.ii) X = 0, ^ 0, x2 = 0 Bu durumda (19.3.17.a)'dan xı = 3 elde edilir. Bu (19.3.22)'yi de sağlamakta-dır. O halde (x,*, x*) = (3, 0) yapılabilir bir çözümdür. Amaç işlevinin bu noktada vardığı değer ise (19.3.22) / (3,0) = 16 olmaktadır.

A.II.iii) X = 0, x t = 0, x2 # 0 Bu durumda (19.3.17.b)'den x2 = 4 elde edilir. Bu da (19.3.19)'u sağla-

maktadır. O halde (x*1,x2*) = (0,4) yapılabilir bir çözümdür. Amaç işlevinin bu noktada aldığı değer ise

3 3 9

(19.3.23) /(0,4) = 9 olmaktadır.

AŞAMA II: Kısıt etkin olsun, Yani X # 0 A.2.İ) X ^ 0, ± 0, x, ^ 0 Bu durumda (19.3.17.a/b) ve (19.3.18)'den

2 x. + X = 6 (19.3.24) 2 + X = 8

= 5 x, + elde edilir. Bu doğrusal denklemler dizgesinin çözümünden (»,*, x2*, X*) = (2, 3, 2) elde edilir. Bu değerler, gerekli koşulların tümünü sağlamaktadır. Amaç işlevinin bu noktada aldığı değer ise (19.3.25) / (2, 3) = (2 - 3)2 + (3 - 4)2 = 1 + 1 = 2 dir.

A.2.ii) 0, x1 ^ 0, = 0 (19.2.26) 2(«, - 3) + X = 0

X l == 5 elde edilecektir. Bu doğrusal denklemler dizgesinin çözümü = 5 ve X = — 4 verecektir. Bu ise 19.3.20 ile çeliştiğinden yapılabilir bir çözüm olamaz.

(A.2.iii) X ^ 0, = 0, x2 + 0 Bu durumda (19.3.17. b) ve (19.3.18)'den (19.3.27) 2(*2 - 4) .+ X =±= 0

= 5 elde edilecektir. Bu doğrusal denklemler dizgesinin çözümü x2 = 5 ve X = — 2 verecektir. Bu da 19.3.20 ile çeliştiğinden yapılabilir bir. çözüm olamaz.

AŞAMA III: (19.3.22), (19.3.23) ve (19.3.25)'i karşılaştırdığımızda, bun-lar arasında en az değer (19.3.25)'da elde edilendir. O halde (x,*, x:*) = (2, 3) noktası bir enazlayan olmaya adaydır. Bu noktada kısıt etkin olduğuna göre, yeterli koşulların sağlanıp sağlanmadığını eşitlik kısıtları altında eniyileştirme konusunda ele aldığımız yöntemle bulabiliriz.

Bu sorunda Lagrange denkleminin kısıtı Hesse dizeyi 2 0 1

0 2 1 (19.3.28)

olup, bunun belirteni

340

(19.3.29) Bel ~ 2 O 1

0 2 1 = - 4 1 1 O

olduğundan, *, x2*) = (2, 3) noktası, gerçekten,/ işlevini enazlar.

ÖRNEK 2 {TÜKETİCİNİN SORUNU)

Şimdi de iktisattan bir örnek ele alalım. Bunun için 18. Bölümde incele-diğimiz tüketicinin faydayı ençoklaştırması sorununu seçelim. Bu sorunun Kuhn-Tucker yaklaşımı içinde ele alınması durumunda bir kere tüketicinin bir maldan eksi miktarda tüketemeyeceği kısıtı açık olarak hesaba alınabile-cektir. İkinci olarak tüketicinin tüm gelirini tükettiği mallara harcaması koşutu da yumuşatılmakta, harcayacağı miktarın gelirini aşamayacağı biçi-mine dönüştürülmektedir. Tüketici yine iki mal (qv q2) tüketiyor, bu malların fiyatları (P15 P2) ve tüketicinin geliri (Y) veri olsun.

Bu durumda tüketicinin sorununu

(19.3.30) P l 9 l + P2q2 < Y (19.3.31) qr > 0 (19.3.32) q2 > 0 kısıtları altında (19.3.33) e.ç. U(qv q2) biçiminde ifade edebiliriz.

Lagrange denklemi

(19.3.34) L(qv q2, X) = U(qv q2) + X [Y - P, qx - P2 q2] olacağından

\ -ÜT " 1 p-

elde edilir. I. Kuhn Tucker teoremindeki gerekli koşullar

(19.3.37. a) - A P, ^ 0

(19.3.37 b) X P, < 0 dq2

3 4 1

(19.3.38a) Ç l ( - g - - X P,) = O

(19.3.38b) q2 - 1 P 2 ) = Û

(19.3.39) Y-PjÇ, - P2g2 = O (19.3.40) P 1 ? 1 + P2g2 <C Y (19.3.41) X > O (19.3.42a) > O (19.3.42b) »a > O

Önce X = O durumunu ele alalım. X = 0 olması, bütçe kısıtının etkin olmaması, yani (19.3.43) P, ? I + P 2 g2 < Y olması demektir. Bu durumda tüketici tüm gelirini bu mallara harcamamak-tadır. Daha önce de gördüğümüz üzere X, gelirin marjinal faydasını göster-mekteydi. X = 0 olduğu için gelirin marjinal faydası sıfırdır. Yani tüketicinin geliri gereksiniminden fazladır. Bu sonucu (19.3.37. a,b)'de yerine koyarsak

(19.3.44, - § Î L = - § Î L _ o

elde ederiz. Yani bu tüketici için dengede her iki malın marjinal faydası sıfır-dır. Bunun anlamı ise tüketicinin her iki mala da doymuş olmasıdır. İktisatta, bu tür bir noktaya "Mutluluk Noktası" (Bliss Point) denir.

Şimdi X ^ 0 alalım. Bu durumda da önce j , ^ 0, ç2 ^ 0 varsayalım. (19.3.38.a, b) ve (19.3.39)'dan

(19.3.45.a) = X P t

(19.3.45.b) = X P 2

(19.3.45.0) Px qt + P2 q2 = Y elde edileceğinden, sorun 18. Bölümde ele aldığımız tüketicinin sorunuyla çakışacaktır.

Diğer taraftan Â 0 olduğunda qv 0, q2 = 0 alırsak

(19.3.46) M - = P,

342

(19.3.47) 8U Sq2 < P,

elde edilecektir. (19.3.38b) ile (19.3.47)'yi birleştirirsek, bu durumun (19.3.48) q* = O sonucuyla bağdaştığını görürüz. PT > 0, P2 > 0 varsayarsak dengede

8U\dq2 (19.3.49) X = d U l 8 ^ "ı

elde edilecek, dolayısı ile

>

(19.3.50) dUjdq2 >

olacaktır. Aşağıdaki Şekil 19.3.1. de bu durum görülmektedir. Farksızlık eğri-sinin eğimi, daima bütçe doğrusunun eğiminden fazla olduğundan, denge bir köşe çözümü olarak ortaya çıkmaktadır.

U*=U(qvq2)

* >

Şekil 19.3.1

Şimdi, bu sonuçları m eşitsizlik kısıtınm varlığı durumuna genelleyelim. TEOREM 19.3.2: (II. KUHN-TUCKER TEOREMİ: GEREKLİ KOŞULLAR) /(x), gjfc), , g„,(x) gerçel değerli, sürekli türevlenebilir işlevler ve x e R" olsun. / , g l t . . . • • tâmı A c R" açık kümesi üzerinde tanımlansınlar.

3 4 3

A) Eğer bir x* = (x xn*) e A noktasında

" -

(19.3.51) G(x) = • ve b = •

- gm(x) _ _ K _ biçiminde tanımlandığında (19.3.52) G(x) 0 ve (19.3.53) x > 0 kısıtları altında (19.3.54) /(x) işlevi bir yerel ençok değere ulaşıyorsa ve (19.3.55) F = { i | gi(x*) = bt } biçiminde etkin olan kısıtların dizin kümesi olduğunda (19.3.56) Z = {h|/(x*)' h > 0; - V S i ( x * ) h > 0, i e F } = 0 ise, X, Lagrange çoğaltanları yöreyi iken: (19.3.57.İ) v / ( x * ) + VĞ(x*)X* = V/(X*) - VG(X*)^* < 0

ya da

(19.3.57.İ') g { ( x * } - S V y < 0 j—l 8xj i „ ı oxj

(19.3.57.İİ) x * [v/(x*) + V<?(x* , X*)] = x * ' [ y / ( x * ) - yG(x*)] = 0 ya da1

(19.3.57.ii') £ « / ( J f f â - f = o J=ı \ 8Xj 1 8xj ]

(19.3.57.İİİ) X*'C(x*) = 0 «-• X*' G(x*) = X*'b ya da

1 (19.3.57. i) ile (19.3.57.İİ) birleştirildiğinde, yine

(19.3.57.İİ") X:* i 8 f ^ - S 8 g i ( x , ) ) = o i = l, ,n biçiminde, n \ S xj i„ 0 X j ) eşitlik elde edilecektir.

3 4 4

(19.3.57.iii') î (gi(x*) - bt) = O İ=1

(19.3.57.iv) &(x) > O ya da G(x) O (19.3.57.Vİ) x* > O

koşulları sağlanır. B) Eğer bir x* = (x*, ,x*) e A noktasında G(x) ve b (19.3.51)'de

tanımlandığı gibi olduğunda (19.3.58) G(x) > b ya da (19.3.59) Ğ(x) = b - G(x) < 0 ve (19.3.60) x > 0 kısıtları altında (19.3.61) /(x) işlevi bir yerel enaz değere ulaşıyorsa ve (19.3.55)Jde ifade edilen F kümesi içindeki kısıtlar için

(19.3.62) Z = {h|V /(x*)'h < 0; -vg,'(x*)'h < 0, i e F} = 0

ise, (19.3.63.İ) y/(x*) + = V/(x*) - VG(X*)** > 0

ya da

(19.3.63.İ') S Mfi-L < 0 j= 1, ,n OXj 1 OXj

(19.3.63.İİ) x*' [v /(**) + X*)] = x*' [v/(**) - S/G(**)] = «

ya da1

(19.3.63.ii') £ « / ( J G î ! L - £ X/ ) = 0

1 Burada da (19.3.63.İ) ile (19-3.63.ii) birleştirildiğinde,

(19.3.63.Ü") ( 8 f - S V d g l ^ = 0 J = 1 n \ 8 xj i=ı J biçiminde n eşitlik elde edileceği unutulmamahdır.

345

(19.3.63.İİİ) X»' G(x*) = O X*' G(x) = X*' b

ya da

(19.3.63.iii') S Xf* (g,(x*) - b j = O

1=1

(19.3.63.iv) C(x) ^ b ya da G(x) = b

(19.3.63. v) X* > O

(19.3.63.vi) x* ;> O

koşulları sağlanır. KANIT: PANİK (1976, 248-250), MURATA (1977, s. 308-310)

19.4. Langrange'gil Eğer Noktaları, Yeterli Koşullar

Altı bölüm 19.3 de Kuhn-Tucker koşuları üzerinde durduk ve kısıt nitelendirilmesi koşulunun sağlanması halinde bunların uç değer için gerekli koşul niteliği taşıdığını gördük.

Bu alt bölümde ise. uç değer için yeterli koşulları elde etmeğe çakşacağız. Amacımız belli koşullar sağlandığında Kuhn-Tucker koşullarının aynı zaman-da yeterli olma özelliğini de taşıdığını göstermektir. Bu amaca ulaşabilmek için aşağıdaki sorunu ele alalım.

(19.4.1) gi(x) <: bt i=1, m

(19.4.2) x > 0

kısıtları altında

(19.4.3) e.ç. /(x)

Daha önceki bilgilerimizden, sorunun ençoklama olarak ele alınmasının genellik açısından birşey kaybettirmediğini, gerekli değişikliklerle, ulaşılan sonuçların enazlama sorunu için de geçerli olduğunu biliyoruz.

Bu sorun için Lagrange denklemi

m (19.4.4) L(x, X) = /(x) + S X( (bt - g l (x))

J-ı biçiminde yazabiliriz:

TANIM 19.4.1: V (x, X) e İV [(x0, X„), 8], x > 0, X > 0 için

(19.4.5) L(x, X0) <; L(x0, X0) < L(x0, X)

3 4 6

koşulunu sağlayan (x0, X0) e R n + m noktasına (19.4.4)'de verilen Lagrange iş-levinin Yerel Eğer Noktası denir. Eğer (19.4.5), (x, X) e Rn+m için geçerli ise bu takdirde (x0, X0) e R"+m, Lagrange işlevinin Tümel Eğer Noktası adını abr.

Dikkat edilirse bu tanımın anlamı Lagrange'gil eğer noktasında, Lagran-ge işlevinin x'e göre ençok X'ya göre ise enaz değere ulaşmasıdır. O balde (19.4.6) L(x0, X0) = e.ç. {e.a. L(x, X)}

x > 0

X > 0 yazabiliriz.

Şimdi şu soruyu soralım. Acaba bu eğer noktasını nasıl bulabiliriz ? Bu-nun için (19.4.4)Jün türevlenebilir olduğunu varsayalım ve aşağıdaki eğim yöneylerini tanımlayalım:

<19.4.7) v , İ ( I , *)• = ( J ^ J L . )

(19.4.8) L(x, X,' = ( - * - .

TEOREM 19.4.1: (KUHN-TUCKER) V x e N (x0, 8) ve V X e N (X0, S) için L ve Vx L tanımlanmış olsun.

A) (Eğer Noktası İçin Gerekli Koşul) Eğer L(x, X) işlevinin (x0, X0) e R n + m noktasında bir yerel eğer noktası varsa (19.4.9) ô)' < 0 (19.4.10) V x L(x 0 , X0)' x 0 = 0 (19.4.11) x 0 > 0 (19.4.12) V x L(x0, X0)' > 0 (19.4.13) vx L(x0, Xoy X0 = 0 (19.4.14) X0 > 0 koşulları sağlanır.

B) (Eğer Noktası İçin Yeterli Koşul) Eğer, x > 0, X > 0 olduğunda, (19.4.15) L(x, Xa) < L(x0, X0) + Vx L(x0, X0)' (x - x0) (19.4.16) L(x0, X ) ^ L(x0, X0) VX X0)' (X - X0) ise L(x, X) işlevinin (x0, X0) e R"+m noktasında bir yerel eğer noktası vardır. KANIT: KUHN-TUCKER (1951, s. 482-483), PANİK (1976, s. 256-257)

Bu teorem bize Lagrange işlevinin eğer noktasına ilişkin gerekli koşullar ile yeterli koşulları vermektedir. Acaba daha güçlü bir sonuç elde edilebilir mi P

3 4 7

Aşağıdaki teorem, bu konuda hem gerekli ve hem de yeterli koşulları ver-mektedir:1

TEOREM 19.4.2: (LAGRANGE'GİL EĞER NOKTASI İÇİN GEREKLİ VE YETERLİ KOŞUL)

m m (19.4.17) L(x, X, (i) = /(x) + S X((6( - g((x)) + S (X, ( -* , )

İ-l i=1 işlevi V(x, X, ji.) e N [(x, X, fi), 8] için tanımlansın. x > 0, X > 0, ^ > 0 ol-sun. O halde, ancak ve ancak (19.4.18) V x e N(x0, 8) için L(x0, X0, > L(x, X0, fjt0) (19.4.19) gi(x0) < i=l, , m

(19.4.20) xj > 0 7=1, n (19.4.21) V - g i (x0)] = 0 i = l , m (19.4.22) |i/ . X j = 0 j=l n

ise L(x, X, [i.) işlevinin (x0, X0, [j.0) e R"+2m noktasında bir yerel eğer noktası vardır. KANIT: LASDON (1970, s. 84-85)

Kuhn ve Tucker, yerel ençoklama sorununun çözümü ile yerel eğer nok-tası bulma sorununun çözümü arasında bir bağıntı olduğunu göstermişlerdir. Kuhn ve Tucker'in bu bağlamada iki teoremi vardır. Bunlardan ilkinde, yerel eğer noktasını sağlayan x„ yöneyinin aynı zamanda yerel ençoklama sorununu da çözeceği gösterilmektedir. Bu bir yeterli koşuldur. Buna karşılık, bazı ek koşullar da konursa, Kuhn-Tucker koşullarının eğer noktası koşullarıyla çakıştığı gösterilebilir. Şimdi bu iki teoremi verelim.

TEOREM 19.4.3: I(x, X), V (x, X) e İV [(x, X), 8] x > 0, X > 0 için tanım-lanmış olsun. V x e JV(x„, 8) için, L(x, A) da tanımlansın. Eğer (19.4.9) — (12.4.14)"ve (19.4.15) x 0 ve herhangi bir x„ için geçerli ise, x 0 yerel ençok-lama sorununu çözer. KANIT: KUHN-TUCKER (1951, s. 485), PANİK (1976, s. 259) TEOREM 19.4.4: (KUHN-TUCKER EŞLENİKLİK TEOREMİ) (19.4.1) — (19.4.3) ile verilen sorunda (19.4.23) K = {x[g;(x) < 6j, i = l , x e R"} ile tanımlansın. (13. Bölüm'den anımsanacağı üzere) K bir dışbükey kümedir.

1 LASDON (1970, a. 84-85)'de bu teoremi verirken x > 0 kısıtını koymamaktadır. Burada MARTOS (1975, s. 129-131)'deki açıklamalardan yararlanılarak, teorem bu kısıtlan da içine alacak biçimde yeniden ifade edilmiştir.

348

i) x > O için f (x) türevlenebilir ve içbükey bir işlev, ii) x > O için gı(x), i = l , ,m, türevlenebilir ve dışbükey işlevler.1

iii) 3 xx e K B- gt (xx) < 6, i = l , m olsun. Bu durumda ancak ve ancak (x0, '/.„) Teorem 19.4.l'de verilen koşulları sağlayan bir eğer noktası ise, x0 ,/(x) işlevinin tümel ençok değerini verir. KANIT: LASDON (1970, s.90-91), PANİK (1976, s.262-263) NOT: Bu teoremde tümel olma özelliği, amaç işlevinin içbükey tanımlanma-sından kaynaklanmaktadır.

Teorem 19.4.4 enazlama sorununa da uygulanabilir. Bunun için yapıl-ması gereken şey, içbükey (dış bükey) terimi yerine dış bükey (içbükey) ya-zılması ve Kuhn-Tucker enazlama koşullarına başvurulmalıdır.

Son olarak Arrow ve Enthoven'in (1961) bu sonuçları, bazı ek koşullar altında daha da genelleştirmiş olduklarını belirtelim.

19.5. Türevlenebilirlik Koşulunun Kaldırılması: Matematiksel Programlama

Bu bölümde ele alınan teoremlerin birçoğu işlevlerin türevlenebilirliği kaldırıldığında da geçerlidir. Bu özellikten de yararlanılarak, uygulamada ara-nılan uç değeri bulmaya yönelik birçok yöntem geliştirilmiştir. Bunlar Doğ-rusal Olmayan Programlama (DOP) (Nonlinear Programming) başlığı altında incelenmektedir. Bu yöntemlerin ve bunların kuramsal temellerinin incelen-mesi, bu kitabı aşan konulardır. Bunlar için örneğin Abdy-Dempster (1974), Aoki (1971), Bazaraa-Shetty (1979), Lasdon (1970), Martos (1975) ve Walsh (1975) gibi kaynaklara başvurulabilir.

Yine bu bağlamda ortaya çıkan bir özel durum, uygulama açısından çok büyük önem taşımaktadır. Bu da hem amaç ve hem de kısıt işlevlerinin doğru-sal olması durumudur. Bu sorunu A = (a ; j )m x n olduğunda, ençoklama için (19.5.1) A x 0 kısıtları altında (19.5.3) e.ç. c' x biçiminde ifade edebiliriz. Doğrusal Programlama (DP) (Linear Programming) sorunu adını alan bu özel durum, hesaplamanın göreli basitliği nedeniyle uy-gulamada yaygın bir biçimde başvurulan bir yaklaşımdır. Bu konuda da Bu-lutay (1965), Gass (1969) ve Hadley (1961)'e başvurulabilir.

1 (ii) ile verilen koşulu almaşık olarak ii') x > 0 için ğj (x), türevlenebilir içbükey işlevler biçiminde yazabiliriz. Bunu yazarken ğ (x)

= b-g (x) olması özelliğinden yararlandık. Nitekim Kuhn ve Tucker, sorunu bu biçimde sunduklarından, buna İçbükey Programlama Sorunu

(Concave Programming Problem) denilmektedir.

349

ALIŞTIRMALAR A.19.1 Aşağıdaki sorun verilsin:

x\ + 3 x2 <Ç 6

Xı + x2 > 3 X\1X2 ^ ®

kısıtları altında e.ç. z — x,2 — x2

i) Kuhn-Tucker gerekli koşullarının sağlandığını gösterin. ii) Bu koşullar aynı zamanda yeterli midir?

A.19.2. Aşağıdaki sorunu çözün 2 X! + x2 < 1

xı, x2 > 0 kısıtları altında

e.ç. z = — x,2 -f x!x2 — 2 -(- x, -f x2

A.19.3. Aşağıdaki sofunu çözün Xı -f 5 x2 12

Xl + x2 > 2 xll x2 ^ 0

kısıtları altında e.ç. z — x2 — 2xi — x2

A.19.4. 6 x2 + 5 x2 işlevini Xı + 5 x2 < 3 kısıtı altında enazlayın. A.19.5. f(x) = — x2 — x2 — x2 + 4xı + 6x2 işlevini + x2 < 2, 2*ı + 3X2 < 12 ve eksi olmama kısıtları altında ençoklayın. Ulaştığınız koşullar aynı zamanda yeterli mi? A.19.6. Bir firma tam rekabet koşulları altında tek bir malı, q, üretmektedir. Firmanın üretim teknolojisini veren üretim işlevi f(K, L) biçimindedir. Dola-yısı ile firmanın teknolojik kısı„ı

9 < f(K,L) biçiminde yazılabilmektedir. Burada K sermayeyi ve Lde emeği göstermektedir.

i) Mabn fiyatı P > 0, sermayenin faizi r > 0 ve ücret w > 0 olduğuna ve girdiler ile çıktı eksi olamayacağına göre, firmanın kârı ençoklaması soru-nunu oluşturun ve Kuhn-Tucker koşullarını yazın.

ii) Firmanın üretim yaptığı, q* > 0, varsayımı altında koşulları basit-leştirin ve yorumlayın.

350

KAYNAKLAR

P.R. A D B Y - M.A.H. DEMPSTER (1974): Introduclion to Optimization Methods, Chapman and Hail, London.

K.J. ARROW - A.C. ENTHOVEN (1961): "Quasi Concave Programming" Econometrica, Vol, 29, No: 4, October 1961, s. 779-800.

K.J. ARROW - L. HURWICZ - H. UZAWA (1961): "Constraint Qualification in Maximization Prob-lems" Naval Research Logislics Quarterly, Vol 8, No.2, June 1961, s. 175-192.

M. AOKI (1971): Introduction to Optimization Techniques, Macmillan, New York.

M.S. BAZARAA - C.M. SHETTY (1979): Nonlinear Programming, Addison Wesley, Reading, Mass.

T. BULUTAY (1965): Doğrusal Programlama, A.Ü. SBF Yayını No: 186-168, Ankara.

A.C. CHIANG (1974): Fundamental Methods of Mathematical Economics, 2nd Editıon, McGraw Hill, New York.

S.I. GASS (1969): Linear Programming, 3rd Edition, McGraıv Hill, New York.

G. HADLEY (1961): Linear Programming, Addison Wesley, Reading Mass.

G. HADLEY (1964): Nonlinear and Dynamic Programming, Addison Wesley, Reading Mass.

M.C. KEMP - Y. KIMURA (1978): Introduction to Mathematical Economics, Springer Verlag, New York.

H.W. K U H N - A.W. TUCKER (1951): "Nonlinear Programming" J. Neyman (Ed.) Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Berkeley, içinde s. 481-492. Bu yazı ayrıca P. Newman (Ed.) Readings in Mathematical Economics, Vol I, The Johns-Hop-kins Press, Baltimore, 1968, s. 3-14 arasmda yer almaktadır. -

L.S. LASDON (1970): Optimization Theory for Large Systems, Macmillan, New York.

O.L. MANGASARIAN (1969): Nonlinear Programming, McGraw Hill, New York.

B. MARTOS (1975): Nonlinear Programming, Akademiai Kiado, Budapest.

Y. MURATA (1977): Mathematics For Stability and Optimization of Economic Systems, Academic Press, New York.

M. PANİK (1976): Classical Optimization: Foundations and Extensions, North Holland, Amsterdam.

D .W. PETERSON (1973): "A Review of Constraint Çualifications in Finite Dimensional Spaces" SIAM Revieut Vol 15, No.3, July 1973, s. 639-654.

B. ROBERTS - D.L. SCHULZE (1973): Modern Mathematics and Economic Analysis, W. W. Nor-ton-New, York.

A. TAKAYAMA (1974): Mathematical Economics, Dryden Press, Hinsdale, Illinois.

G.R. WALSH (1975): Methods of Optimization, John Wiley and Sons, London.

351

20. Bölüm

İKTİSATTA ENİYİLEME SORUNLARI VE KARŞILAŞTIRMALI BURAĞAN YÖNTEM

Bu bölümde, dalıa önce üzerinde durduğumuz karşılaştırmalı durağan yöntemi, eniyileme sorunlarına uygulayacağız. Bu konuyu iktisatta ilk ele alanlar J.R.HICKS (1946) ve P.A.SAMUELSON (1947) olmuştur. 20.1Jde bu amaçla PAUWELS (1979) tarafından geliştirilen yöntem sunulmakta, (20.2.yde ise, bu, maliyet enazlaması sorununa uygulanmaktadır. (20.3)*de TAKAYAMA (1974) ve SILBERBERG (1974)'den yararlanılarak zarf teo-remi üzerinde durulmaktadır. (20.4.)'de ise, zarf teoreminin ünlü bir uygula-ması olan Viner-Wong teoremi ele alınmaktadır.

20.1. Eniyileme Sorunlarına Karşılaştırmalı Durağan Yöntemin Uygulanması

Aşağıdaki eniyileme sorununu ele alalım:

/(x, a) ve gf(x, a), i = l , ,m, XxA (XcR" ve AcR r) Kartesgil çarpım kümesi üzerinde tanımlanmış işlevler olsun.

(20.1.1) G(x, a) =

«) diyelim. Bu durumda, eniyileme sorunumuzu

(20.1.2) G(x, a) < 0

kısıtı altında

(20.1.3) e.ç. /(x, a)

biçiminde tanımlayalım. Bu sorunda

352

, a =

a ı

- xn - _ «r _

(20.1.4) x

sırasıyla karar değişkenleri ve değiştirgenler yöneyleridir. Bu sorunda / , G e C2

ve kısıtların işlevsel bağımsız ve etkin1 olduklarını varsayalım. Teorem 15.5.3'den anımsanacağı üzere, kısıtların işlevsel bağımsızlığı

(20.1.5) Gx(x, a) =

8x,

dgm 8xx

ggl 8x„

8gm 8x„

biçiminde tanımlandığında (20.1.6) a [Gx(x, a)] = m olması anlamına gelmektedir. Bu bölümde verilen ençoklama sorunu için Lag-range'gil işlev (20.1.7) L(x, a, X) = /(x, a) - X' G(x, a) biçiminde yazılabilir. Bu durumda ençoklama için Birinci sıra koşul (20.1.8) Lx(x*, a, X*) = 0 (20.1.9) — G(x*, a) = 0 sağlayan x* e R" ve X* e R'" yöneylerinin var olmasıdır. Burada Lx Lagrange işlevinin karar değişkenlerine göre eğim yöneyidir. ikinci sıra gerekli koşullar ise Gx(x*, a), (x*, a) noktasında değerlendirilmiş, kısıt yöneylerinin Jacobi di-zeyi olduğunda, z'z=l, Gx(x*, a) z = 0 koşullarını sağlayan tüm z e R", z ^ 0 yöneyleri için (20.1.10) z' Lxx(x*, a, X*) z < 0 olması, ikinci sıra yeterli koşul ise yine aynı özellikleri sağlayan tüm z e R", î / 0 yöneyleri için (20.1.11) z' Lxx(x*, a, X*) z < 0

1 DÎXİT (1976, s. 84). Böylece ele alacağımız değiştirgen değişmelerinin, etkin olan kısıtlar kü-mesini değiştirmediği durumlarla sorunumuzu sınırlamış oluyoruz. R.K. ANDERSON ve A. TAKA-YAMA (1979) karşılaştırmalı durağan çözümlemeye bu sınırları kaldırarak yaklaşmaktadırlar.

353

olmasıdır. Burada Lxx(x*, a, X*), Lagrange'gil işlevin ikinci sıra türevlerinden oluşan Hesse dizeyinin (x*, a, X*) noktasında değerlendirilmesi ile elde edil-mektedir.

Şimdi, I. sıra ve II. sıra yeterli koşullar ile (20.1.5)'in sağlandığını varsa-yakm. Bu durumda ikinci örtük işlev teoreminden, f işlevini yapılabilir değer-ler kümesi içinde ençoklayan (x*, X*) noktasını (20.1.12) x* = x(a) (20.1.13) X* = X (a) biçiminde, ilke olarak, bulabileceğimizi ve bunların a'nın bir s-yöresinde (20.1.14) LJx(a), a, X(a)] = 0 (20.1.15) G [x(a), a] = 0 koşullarını sağlayacağını biliyoruz.

Eniyileme bağlamında, karşılaştırmak durağan çözümleme, değiştirgen-lerden birisindeki değişmenin (20.1 JL4) ve (20.1.15) yoluyla x(a) ve X(a) üze-rindeki etkisinin bulunmasıyla ilgilidir. Bunun için sözkonusu denklemlerin toplam türevsellerini alalım. (20.1.16) Lxxdx + Lx(Xda + Lx?. dX = 0 (20.1.17) Gxdx + Gada + GxdX = 0 Burada Lxx , nxn; Lx0t, nxr; LxX, rexm; Gx, mxn; Gx, mxr ve Gx, mxm dizey-lerdir. (20.1.8) ve (20.1.9)'dan Gx Böylece (20.1.16) ve (20.1.17)'yi

0 ve L^ = — Gx olduğu kolayca görülür.

- G x - - dx~

- G ' x 0 _ dX _ _ Ga _ (20.1.18)

biçiminde ifade edebiliriz. Bu durumda da

dx

da

(20.1.19)

(20.1.20)

Sa

ax Sa

= / 8XJ \ \ )

= (— ) \ fa )

Jacobi dizeyleri tanımlandığında, (20.1.18)'den

G.

(20.1.21)

- G '

8x

8X Sa

elde edilir.

354

Buraya kadar yapılan varsayımlardan

Lv_ —Gv

(20.1.22) H =

dizeyi için

(20.1.23) a(H) = n + m

0

ve H'nın bakışımlı olduğu sonucuna kolayca varabiliriz. Böylece H 1 = A dizeyinin var olduğu ve bakışımlı bir dizeyin evriği de bakışımk olacağından,

(20.1.24) —G'„

~ An

A

biçiminde bölüntülendiğinde A21 = A'12, A u ve A22'nin bakışımlı dizeyler ola-caklarını söyleyebiliriz. Böylece, ulaşılan

(20.1.25)

8x 8a

8X 8a A',

Jxa

ifadesinin her iki tarafını (Lax, Ga ') ile soldan çarparsak

8x

(20.1.26) (Lax G'b) 8a

8X 8a

= - (Lax , G'a) A

J « x

G a

elde edilir. Bu durumda A bakışımlı bir dizey olduğundan, sağ taraf bakışımlı bir dizey verecektir. O halde sol taraf da bakışındı bir dizeydir.

Şimdi de Rm 'in bir doğrusal alt uzayı olan aşağıdaki kümeyi ele alahm. (20.1.27) V = {u 6 R m [ G a . u = 0}

Bu durumda u e V için aşağıdaki karesel biçime bakahm.

355

(20.1.28) u' (Lax, G'a2)

8x 8a

8X 8a

u = - u ' (Lax, G'a) A

G„

- A n A12 G'a)

_ Ga _ G'a)

A ' _ 12

A A22 _

_ Ga _ = — u' (Lax, G'a)

= u '[L a x A n L x a + G'a A' l 2 Lx» + L K x A 1 2 Ga +G'a A22 Ga]u = — u' Lax A n Lxa u

Amacımız (20.1.28) ile verilen karesel biçimin işaretini belirlemek ve bu yolla ulaşılan türevlerin işaretleri ve büyüklükleri üzerinde ne tür kayıtlar koyabileceğimizi saptamaktır. Bunun için aşağıdaki yardımcı teoreme baş-vurabiliriz: TEOREM 20.1.1: C = (cu)„xn bakışımlı bir dizey, B = (btJ)rx„ ise « (B) = r olan bir başka dizey ve

C

B

B

0 A ' - A 1 2

olsun. Eğer v'v= 1, v ^ 0 ve Bv=0 koşulunu sağlayan V v e R" için v'Av < 0 ise

a) V u E N (Au) için u 'A n u = 0 b) V u $ N (A,,) için u 'A u u < 0

olur. Burada İV (A;,), A u dizeyinin boş uzayı olup N(An) = {u e R" | A n u = 0} biçiminde tanımlanmaktadır. KANIT: PAUWELS (1979, s. 488-489)

Bizim sorunumuzda C = Lx x B = — Gx olmaktadır. O halde, Teorem 20.1.Pden V u e V için

(20.1.29) u'(L„, G'a)

8x 8a

ck 8k

u > 0

olacağı sonucuna varırız.1 Ayrıca, aynı teoreme dayanarak, V nin

1 Bu sonucu SILBERBERG (1974) farklı bir biçimde elde etmektedir. Silberberg'in bu yaklaşı-mının çeşitli uygulamaları için SILBERBERG (1978)'e bakılabilir.

356

(20.1.30) W = {u e V | L x a . u e N (An)} biçiminde bir alt uzayı tanımlandığında, Vu e W için

(20.1.31) u '(L a x ,G' a)

ve V u f f için

(20.1.32) u'(Lx, G'x)

0x ~0ÖT

cX 0a

0x

cTh_ 0a

u = 0

u < O

N (A ,), Ga'nm satır yöneyleriııce belirlendiğinden, An hesaplanmaksızm, belirlenebilir.

20.2. Eniyileme Sorununa Karşılaştırmalı Durağan Yöntemin Uygulan-masına Örnek: Maliyet Enazlaması

Bir firmanın n tane girdi (x\, . . . . , xn) kullanarak q malını ürettiğini ve üretim işlevinin q = f(xı, . . . ., xn) = /(x) olduğunu düşünelim. Girdilerin fi-yatları w' = (wı, . . . ., wn) yöneyi ile verilsin. Çıktının fiyatını da kolaylık olmak üzere bir alabın. Maliyet enazlaması sorunu, firmanın belli bir üretim ölçeğini (q°) enaz maliyetle gerçekleştirmesidir. Bu sorunu biçimsel olarak (20.2.1) /(x) = q" ya da (20.2.2) g(x, q°) = 0 kısıtı altında

« (20.2.3) e .a. w'x biçiminde ifade edebiliriz. Bu durumda Lagrange'gil işlev (20.2.4) L = w' x - X g(x, q°) olacağından birinci sıra koşullar (20.2.5) Lx = w — X gx = 0 (20.2.6) L, = g(x, q") = 0 biçiminde ortaya çıkacaktır. Bu denklemlerden (x*, X*) noktasını elde etti-ğimizi ve gx v = 0, v 'v=l koşulunu sağlayan tüm v e R" yöneyleri için

357

(20.2.7) v' L„ v > 0 yani (20.2.8) V [ - g o ] v > 0

olduğunu varsayalım.

Bu varsayımlarımız bize x*'in güçlü yerel enazlayan nokta olduğunu gös-termektedir. Bu durumda, sınırlanmış Hesse dizeyi

(20.2.9) H =

olup evrilebilir.

g X X

- —gs

-gx

o

Diğer taraftan ot = (w, q°) biçiminde tanımlarsak, girdi fiyatlarından birindeki ya da üretim ölçeğindeki bir değişmenin, girdi istemi üzerindeki et-kisini bulabiliriz. Bu durumda ilgilendiğimiz türevleri bulabilmek için önce şu tanımları yapalım.

(20.2.lO.a) Lxx = - gxx

(20.2.lO.b) -Gx = - gx

(20.2.10.c) LXA = [I„ i 0„ ]

(20.2.10.d) Ga = g a = (0n, 1) Böylece, sözkonusu türevleri

(20.2.11)

8x 8a.

8\ 8x ~g 0 0'

biçiminde bulabiliriz. Bu durumda da ilgilendiğimiz karesel biçimi belirleyen dizey

(20.2.12) (L8x, ga)

8x 8a

8\ 8a.

0

0'

8x 8x 8 w 8q°

8X 8\ 8vt 8q°

biçiminde ortaya çıkacağından

358

(20.2.13) U'

8x 8vr

8X dvr

8x ~8q°

8X 8q°

U < 0

olacaktır. Bu bakışımlı dizeyin yarı kesin eksi olması, bizim

(20.2.14)

(20.2.15)

8wj 8 x J

8wk

< 0

8wj

Sonuçlarına ulaşmamızı sağlamaktadır. Bunlardan ilki, herhangi bir girdinin fiyatı arttığında o girdiden istenen miktarın artmayacağını göster-mektedir. Bu sonuca bizi götüren de, sözkonusu dizeyin yarı kesin eksi olma-sıdır. Çünkü yarı kesin eksi dizeylerde ana köşegendeki öğeler artı olamazlar. İkinci özellik ise k-ıncı girdinin fiyatındaki değişmenin j-inci girdiden istenen miktara etkisinin y-inci girdinin fiyatındaki değişmenin fc-inci girdiden istenen miktara etkisine eşit olduğunu göstermektedir. Bunu veren ise dizeyin bakı-şımhlık özelliğidir.

Üretim işlevinin niteliği hakkında daha çok bilgimiz oldukça, karşılaş-tırmalı durağan çözümlememizi daha ileriye götürebiliriz.

20.3. Zarf Teoremi ve Karşılaştırmalı Durağan Yöntem Bu alt bölümde de, karşılaştırmalı durağan çözümlemede önemli bir yer

tutan zarf teoremini (envelope theorem) elde etmeğe çalışacağız.1 Bunun için aşağıdaki kısıtlı ençoklama sorununu ele alalım. x e R" ve ot e R r olsun. Soru-numuz, (20.3.1) G(x, a) = [gt (x, a), gm(x, «)]' = 0 kısıtları altında (20.3.2) e.ç. f(x, a) olduğunda, Lagrange'gil işlev (20.3.3) L(x, a, X) = /(x, a) + X' G(x, a) biçiminde yazılabilir. Bu durumda birinci sıra koşullardan, (20.3.4) Lx = /X(x, a) + X2 (x, «) = 0

1 Bu teoremin karşılaştırmalı durağan çözümlemede kullanılması konusunda SILBERBERG (1971, 1974, 1978) ve TAKAYAMA (1974, s. 160-165) bakılabilir.

(20.3.5) L x = G(x, a) = 0 elde edilecektir. Kolaylık olmak üzere V z ^ 0, z'z = 1 yöneylerinden (20.3.6) Gx z = 0 koşulunu sağlayanlar için (20.3.7) z'Lxxz < 0 varsayalım. Bu durumda, sözkonusu sorunun birtek tümel çözümü olduğunu biliyoruz. Bu koşullar altında da birinci sıra koşulları veren (20.3.4) ve (20.3.5) denklemlerinin Jacobi belirteni sıfırdan farklı olacağından, 2. örtük işlev teo-reminden, ilke olarak, bu sorunu çözen x* ve X* yöneyleri (20.3.8) x* = x{a) (20.3.9) X* = X (a) biçiminde elde edilir.

Şimdi bu yolla elde ettiğimiz ençoklayan x* yöneyini, amaç işlevinde ye-rine koyalım ve bunu (20.3.10) z = 0 (a) = /(x(a), a)

biçiminde ifade edelim. Dikkat edilirse 0(<x), herhangi bir a değiştirgen yö-neyi için amaç işlevinin ençok değerini vermektedir.

Şimdi bir yeni ençoklama sorunu tanımlayalım. Bu sorunda hem x ve hem de a yöneylerinin öğeleri değişken olsun. Bu sorunu (20.3.11) G(x, a) == 0 kısıtı altında (20.3.12) e.ç. F(x, a) = /(x, a) - 0 (a) biçiminde yazalım. Dikkat edilirse x ^ x* olduğunda f(x, a) < 0 (a.) ve x = x* olduğunda ise/(x, a) = 0 (a) dır. Dolayısıyla -(20.3.13) F(x, a) <Ç 0 yazabiliriz. Bu sorun için Lagrange işlevini (20.3.14) L* = F(x, a) + X' G(x, a) ya da (20.3.15) L* = f(x, <x) - 0(a) + X' G(x, a) biçiminde ifade edebiliriz. Şimdi bu sorunun birinci sıra koşullarını yazalım. x = x* olduğunda aşağıdaki eşitliklerin sağlanması gerekir: (20.3.16) Lx* = /X(x, a) + X' Gx (x, a) = 0 (20.3.17) La* = /a(x, a) - 0 a (a) + X'Ga(x, a) = 0 (20.3.18) L x = G (x, a) = 0

Dikkat edilirse (20.3.16) ve (20.3.18) sırasıyla (20.3.4) ve (20.3.5)'in ay-nısıdır. F(x, a)'nın x* noktasında bir kısıtk ençok değeri varsa bunlar sağlan-malıdır.

Şimdi (20.3.17)'ye bakalım. Bunu (20.3.19) /a(x, a) + X'Ga(x, a) = 0

biçiminde yazabiliriz. Burada sağ taraf ele aldığımız ana ençoklama sorunu-nun Lagrange işlevinin, değiştirgen yöneyi a'ya göre eğimidir. Yani x = x* noktasında (20.3.20) La (x, a, X) = 0 a (a) elde edilmektedir. Bu denklemin anlamı ise x = x* noktasında dolaylı amaç işlevinin değiştirgen yöneyine göre eğiminin, ana sorun Lagrange'gil denkle-minin değiştirgen yöneyine göre eğimine eşit olmasıdır. Bunun yorumu ise, tüm değişkenler dcğiştirgendeki değişmeye göre kendilerini ayarlayıp eniyi değerlerini aldıklarında ana sorunun amaç işlevindeki değişme oranının, x sabit olduğunda, aynı sorunun, Lagrange'gil işlevinde meydana gelen değişme oranına eşit olacağıdır. Buna Afriat-Samuelson Zarf Teoremi denir.

Bu teoremin nasıl kullanıldığını görebilmek için, şimdi sadece bir değiş-tirgenin, afc, değiştiğini varsayalım ve (20.3.21) ]afc[ = (a„. a t_1 5 a k f l , ar) ile gösterelim. Birinci sıra koşullar sağlandığında aşağıdaki iki denklemi elde ederiz. (20.3.22) z - 0 (ak, ]afc[ ) = 0

(20.3.23) 8 0 ( K f t ' K [ ) = 0 doLk

afc'yı sabit tuttuğumuzda (20.3.22) (z,]ak[) uzayında bir yüzey tanımlar. a k değiştikçe böyle bir yüzeyler ailesi elde ederiz. (20.3.22)'yi (20.3.23) ile be-raber çözdüğümüzde ise bu yüzeylerin bir zarfını, yani i) her noktasında bu ailenin en az bir eğrisine teğet olan ve ii) ailenin her eğrisine en az bir noktada teğet olan eğriyi, elde ederiz. Bu zarf eğrisi (20.3.22) ve (20.3.23)Jden afc çıka-rılarak (20.3.24) h (z, ]afe[ ) = 0 biçiminde elde edilir.

20.4. Zarf Teoreminin Uygulanmasına Örnek: Viner-Wong Teoremi

İktisatta 1930'larda yer alan Viner-Wong tartışması uzun dönem maliyet eğrileri ile kısa dönem maliyet eğrileri arasındaki bağıntı üzerine olmuştur. Bu

tartışmanın sonucu ise uzun dönem maliyet eğrisinin kısa dönem maliyet eğ-rilerinin bir zarfı olduğunu göstermiştir. Şimdi bu teoremi görelim.

Bir firmanm değişken üretim girdileri x' = (atı, , xn) yöneyi ile, fir-ma büyüklüğünü belirleyen sabit girdisi ise k ile ifade edilsin. Kolaykk olmak üzere fc'nın bir tek değişken ile ifade edilebileceğini düşünelim. Değişken gir-dilerin fiyatlarını w' = (u)ı, , wn) yöneyi ile sabit masrafları da f(k) ile gösterelim. Firmanın maliyet enazlama sorunu, üretim işlevi (20.4.1) /(x, k) = y kısıtı altında (20.4.2) e.a. w' x + /(&) biçiminde ifade edilebilir.

Bu durumda Lagrange'gil işlev (20.4.3) L = w' x +f(k) + X [y-/(x, k)] olacak ve birinci sıra koşullar, x == x* olduğunda

(20.4.4) - g - = w j - \ = 0 j—l, , n

(20.4.5) = y - /(x, k) = 0

biçiminde olacaktır. Bu durumda, sorunu çözen değerler (20.4.6) x* = *(w\ k, y) (20.4.7) X* = X (w', k, y) biçiminde elde edilecektir. Bunlardan yararlanarak dolaylı maliyet işlevini (20.4.8) C(w\ k, y) = w' *(w\ k, y) + g(k) biçiminde yazabiliriz. Diğer taraftan

<20-4-9) ^r - x

olduğu gözönüne abnırsa, (20.3.20)'yi sorunumuza uyguladığımızda

(20.4.10) g C - X (w,fe,y)

elde edilir. Bu da, X'nın kısa dönem marjinal maliyeti verdiğini göstermekte-dir. Şimdi de, zarf teoremini uygulayalım. Bunun için girdi fiyatlarını, w, sabit varsayabm.

(20.4.11) h (C, y, k) = C-C (w, y, k) = 0

362

olsun, fc-nın bir sabit değeri için h işlevinin (C-y) düzlemindeki çizgesi bir kısa dönem toplam maliyet eğrisi verecektir. Uzun dönemde ise, fe, yani firmanm ölçeği değişebilecektir. Bu durumda ise, (20.4.3)'den

< 2 ° -« 2 > - İ r - - t - " x - i - = 0

elde edilecektir. Zarf teoemi gereği

(20.4.13) M

olduğundan (20.4.10) ve (20.4.11)Jden

(20.4.14) 8 / t % * = 0

olacaktır. (20.4.10) ve (20.4.13)'den de C ile y arasında birtek bağıntı elde ede-bildiğimiz varsayımı altında, (20.4.15) C = | ( y )

biçiminde uzun dönem- maliyet eğrisini elde edebiliriz.

ALIŞTIRMALAR A.20.1. iki mal (gt ve q2) tüketen bir tüketicinin fayda işlevinin

u = U ( Ç l , q2) biçiminde olduğunu varsayalım. Tüketicinin bütçe kısıtı

P l q l + Pılı = Y olsun. Burada Pt i-inci (£=1, 2) mabn fiyatı, Yise tüketicinin geliridir. Gerekli gördüğünüz varsayımları açıkça yaparak, i) Tüketicinin faydasını ençoklama sorununu yazın. Birinci ve ikinci sıra

koşulları elde edin. ii) P/deki bir artışın q2 üzerindeki etkisini bulun. iii) Tüketicinin, ayrıca

f-ıîı + rıh = K

kısıtma göre tayınlandığım varsayarsak, K'daki bir artışın q2 üzerindeki et-kisini bulun. A.20.2. Bir firmanın iki fabrikası olsun. Bu fabrikalarından birisinde x t mab ötekisinde x2 malı üretildiğini varsayalım. Bu mallar için üretim işlevleri

= / ı LJ X2 = /2 (K2,Lz)

olsun. Burada K t ( i= l , 2) i-inci malı üretmek için kullanılan makine mikta-rını, L( ( i= l , 2) ise i-inci malı üretmek için kullanılan emek miktarını göster-sin. Firmanın elindeki makine sayısının K olduğunu, ve makinelerin bir fab-rikadan ötekisine taşınabileceğini, ancak yeni makine satın alınamayacağını varsay abın.

i) Firmanın tam rekabet koşulları altında kâr ençoklaması sorununa oluş-turun ve gerekli koşullar ile yeterli koşulları elde edin.

ii) Firmanın makine stokunda, K, bir artış olursa L, bangi yönde değişir. A.20.3. Aşağıdaki makro ekonomik modeli ele alalım.

Y = C + I + G C = c Yd

I — oı Y + Oı r M = b0 Y + bı r ' M" =' M T = t Y Yd = Y — T G = Ğ Ekonomik politikayı yürütenlerin amacı ulusal geliri, Y, olabildiğince

hedeflenen düzeye Y* yaklaştırmak, bunu yaparken de bütçe açığı olmama-sına çahşmaktır. Bu nedenle karesel amaç işlevi

W = - İ - W, (Y* - Yy + W2(Ğ — T)2

biçiminde yazılmıştır. i) iktisat politikası sorununu oluşturun. Çözüm için gerekli ve yeterli

koşulları elde edin. ii) Y*'dcki bir artışın r üzerindeki etkisinin yönü hakkında ne söyleye-

bilirsiniz.

KAYNAKLAR

S.N. AFRIAT (1971): "Theory of Maxima and the Method of Lagrange" SIAM Journal of Applied Mathematics, Vol 20, No 1, May 1971, s. 343-357.

R.K. ANDERSON - A. TAKA YAMA (1979): "Comparatıve Statics with Dıscrete Jumps in Shift Pa-

rameters, or, How to do Economics on the Saddle (-Point)" Journal of Economic Theory, Vol 21,

No 3, Dec. 1979, s. 491-509.

A. D I X I T (1976): Optimization in Economic Theory, Oxford TJniversity Press, Oxford.

J.R. HICKS (1946): Value and Capital, 2nd. Edition, Oxford University Press, Oxford.

W. PAUWELS (1979): "On Some Results in Comparative Statics Analysis" Journal of Economic

Theory, Vol, 21, No. 3, Dec. 1979, s. 483-490.

P.A. SAMUELSON (1947): Foundations of Economic Analysis, Atheneum, New York, 1965.

E. SILBERBERG (1971): "The Le Clıatelier Prineıple as a Corollary to a Ceneralized Envelope Theo-

rem" Journal of Economic Theory, Vol 3, No 2, June 1971, s. 146-155.

E. SILBERBERG (1974): "A Revision of Comparative Statics Methodology in Economics, or, How to

Do Comparative Statics on the Back of an Envelope" Journal of Economic Theory, Vol 7, No 2,

February 1974, s. 159-172.

E. SILBERBERG (1978): The Structure of Economics, Mc Graw Hill, New York.


21.

Bölüm

TÜMLEV

Bu bölümde tümlev (integral) kavramını sezgisel temellerinden hareketle tanıtmağa çalışacağız. Bölümün temel akışı, alan kavramından hareketle be-lirli tümleve ulaşma ve tümlevin türevle bağıntısının kurulmasına dayan-ır aktadır. Bundan sonra da tümleve ilişkin teknik konular incelenmekte ve bu tekniğin iktisada uygulanmasından verilen örneklerle bölüm sona ermektedir.

Bölümün bu biçimde oluşturulmasında, büyük ölçüde APOSTOL (1967, I)'deki ele alış biçimine dayanılmıştır. Bu bölüm Apostol'daki tartışmaların bir türlü özeti olarak düşünülebilir.

21.1. Alan Kavramı

X c: R2, bir düzlemde yer alan bir bölge olsun. Alan (area) denildiğinde bu kümeye bir gerçel sayı veren bir işlev anlaşılır, bu işleve de alan işlevi denir. Yani, alan işlevi (21.1.1) J[-. X - R biçimindedir. (X), X kümesinin alanı anlamına gelir.

Bir alan ile ilişkilendirilebilinin kümelere ölçülebilir (measurable) kümeler denir. Tüm ölçülebilir kümelerden oluşan kümeyi M ile gösterelim.

Şimdi R2 içinde bir dikdörtgeni düşünelim. Bunu, (21.1.2) D = {(x, y) e R2 \ a ^ x < b , c ^ y < d} biçiminde ifade edebiliriz. Aşağıdaki Şekil 21.1.1'de böyle bir dikdörtken ve-rilmektedir.

Daha önceki bilgilerimize dayanarak D dikdörtkeninin alanının a(D) = (d—c) (b—a) olduğunu söyleyebiliriz. Yine kolaylıkla çıkarabileceği-miz üzere (a=f>) ve/veya (c—d) ise D dikdörtkeninin alanı sıfırdır.

Şimdi bu bilgilerimize dayanarak, daha farklı kümelerin alanlarını nasıl tanımlayabileceğimiz üzerinde durahm. Önce aşağıdaki Şekil 21.1.2'ye baka-lım.

J ! > a b x

Şekil 21.1.1

Dikkat edilirse bu şekilde verilen H düzlemsel kümesini,

Dt = e R2 \a < x < b, O < y < f}, D2 = e R21 b < x < c, O <Ç y < e} ve D3 = {(x,y) e R2 \ c < x < d, O < y <, g} dikdört-

İçenlerinin bileşimi biçiminde ifade edebiliriz. Bu özelliği taşıyan düzlemsel kümeleri, genelde şöyle tanımlayabiliriz. TANıM 21.1.1 Tabanları «-ekseni üzerinde olan sonlu sayıda bitişik dik-dörtken derleminin bileşimine Basamak Bölgesi (Step Region) denir.

Bir basamak bölgesinin alanı, bunu oluşturan dikdörtkenlerin alanlarının toplamına eşittir. O halde B bir basamak bölgesi ve B = U " j = 1 Dt olduğunda

(21.1.3) zAiB) = £ o(A) i= 1

olacaktır. Nitekim Şekil 21.1.2'deki örnekte tAiH) = {b—a) f + (c-b) e + (d-e) g

olur. Şimdi de aşağıdaki Şekil 21.1.3'e bakalım.

Burada yer alan Y kümesini (21.1.4) Y = {(ayr) e W \ a < x < b, 0 < y < f(x)} biçiminde ifade edebiliriz. Acaba Â(Y) nasıl bulunabilir? Bir yol, bu alana basamak bölge yoluyla dışından ve içinden yaklaşmaktır. Bunun nasıl yapı-lacağı aşağıdaki Şekil 21.1.4'de görülmektedir. Şekil 21.1.4 (A)'da f(x) işlevinin altında kalan alana f_(x) basamak işlevinin al-tında kalan basamak bölge yoluyla yaklaşılmakta, Şekil 21.1.4 (B)'de ise

» y

Şekil 21.1.4

f+(x) basamak işlevinin altında kalan basamak bölge ile yaklaşılmaktadır. İşte tümlev kavramının altında bu sezgisel yaklaşım yatmaktadır. Şimdi alan kav-ramının belitsel temellerini ortaya koyalım ve tümlev ile alan arasındaki ba-ğıntıyı belirleyelim.

Alan kavramına ilişkin belitler: BELİT: 21.1.1 (Eksi Olmama) X e M için ej(X) > 0 dır. Bu belitin anlamı, herhangibir düzlemsel ölçülebilir kümenin alanının eksi olmayan bir sayı ol-duğudur. BELİT: 21.1.2 (Toplamsallık): X, Y e M ise X u Y e MveX fi Y e M'dir. Ayrıca (12.1.5) „J(Xu Y) = ?J(X) + ^(Y) - ^ X n Y ) olur. BELİT 21.1.3 (Fark): X, Y e M ve X <= Y olsun. O halde X - Y e M ve <J (Y-X) = Jl(Y) - ^(X)'dir.

Bu belitin iki önemli sonucu vardır.

i) X = Y ise Y—X = 0 olacağından ^4(0) = 0 olur. O halde boş kü-menin alanı sıfırdır.

ii) Alan eksi olmayan bir sayı olduğundan Y—X) > O'dır. Eğer X<= Y ise (21.1.6) qA(Y) = ^ (X)

olacaktır. Buna da Tekdüzelik (monotonicity) özelliği denir. Bunun anlamı bir kümenin alt kümesinin alanının kendi alanını aşamayacağıdır.

TANIM 21.1.1: X ve Y kümeleri verilsin, V ^ , x2 e X ve Vy„y2.e Yeğer X ve X kümeleri arasında flatj — x2 || = | | j , — j 2 || olacak biçimde bir, birebir kar-şılama oluşturulabiliyorsa, X ve Y birbirine uygundur (congruent) denir. BELİT 21.1.4 (Uygunluk Altında Değişmezlik) X e M ve X ile T birbirine uygun ise Y e M ve CJ(X) = ^(YJ'dir.

BELİT 21.1.5 (Ölçek Seçimi) Her D dikdörtkcni M içindedir. (21.1.2)'deki ifadeyle tanımlanan bir D dikdörtkenininin alanı (21.1.7) e/l(ö) = (b-a) (d—cji'dir. BELİT 21.1.6 (Tüketme Özelliği): A ve B iki basamak bölgesi ve Q bu ikisi arasında yer alan bir küme olsun. Yani (21.1.8) A c Q c= B Eğer, ancak ve ancak bir tane c sayısı için (21.1.8)'i sağlayan tüm A ve B'ler için (21.1.9) ^(A)^C<A(B) ise Q e M ve (Q) = C dir.

Belit 21.1.6. ölçülebilir küme kavramını basamak bölgelerinden, daha genel bölgelere genelleştirmeğe olanak sağlamaktadır. Bu soruna kesin çözümü Fransız matematikçisi H. Lebesque (1875-1941) getirmiştir.1

21.2. Tümlev Kavramı

[a, 6] cz R bir kapalı aralık olsun. Biz bu aralığı n alt aralığa bölelim. Bunun için (21.2.1) a. = x0 < Xi < < xn_1 < xn = b koşulunu sağlayacak biçimde n-1 nokta seçelim. Bu durumda

(21.2.2) B = {*„, , xn}

nokta kümesi, [a, 6] aralığının bir bölüntülemesi adını alır. B nokta kümesi-nin belirlediği n tane kapalı aralığı

(21.2.3) [x0, [«„ x2] [xk_v xk~\, ...., *„]

biçiminde gösterelim. Açıktır ki, {xk_l, xk) kapalı aralığına karşılık gelen bir de ixk-n xk) açık aralığı vardır. Bunlara sırasıyla k- ıncı kapalı (açık) aralık di-yelim.

1 Lebesque ölçümü ve tümlevi, iktisatta (örneğin genel denge knramında) kullanılmak tadır. Bu konuya ilgi duyanlar Türkçe'de KOLMOGOROV-FOMIN (1977)'e başvurabilirler. Birçok ileri matema-tiksel çözümleme kitabında bu konuya geniş yer verilmektedir, örneğin APOSTOL (1974), NIKOLSKY (1977, Cilt 2), ROYDEN (1968), R U D I N (1976) veya VULIKH (1976). Bu konuyu iktisada uygulayan bir kitap için de HILDENBRAND (1974)'e bakılabilir.

TANIM 21.2.1: F: [a, b] ->- R ve B, [a, b] aralığının bir bölüntülemesi olsun. Eğer,/, JS'nin her bir açık alt aralığında sabit ise, yani ck (k= 0,1, n— 1) birer sabit olduğunda (21.2.4) f(x) = Ck x e (xk_„ xk)

yazılabiliyorea, f(x) bir basamak işlevidir, (Step Function) denir.

U A

BASAMAK İŞLEVİ

Şekil 21.2.1

TANIM 21.3.2: Bir f(x) basamak işlevinin a'dan b'ye tümlevi (integral) Çb

f(x) dx biçiminde gösterilir ve

(21.2.5) P f(x) dx = İ Ck (xk - xk_l) aj k_l

biçiminde tanımlanır. (Bu tanın da da xB — a ve xn — b alınmıştır) Aşağıdaki Şekil 21.2.2'de bu işlemin ne anlama geldiği gösterilmektedir.

Şekilde görüldüğü üzere bir basamak işlevi bir basamak bölgesi ortaya çıkar-maktadır. İşlevin tanımlandığı önalanın bölüntülenmesi yoluyla ulaşılan dik-dörtkenlerin alanlarının toplamı da aranan tümlevi vermektedir.

Şimdi bu işlemin bazı temel özelliklerini, kanıtlamaksızın görelim. TEOREM 21.2.1 / v e g, [a, b] kapalı aralığında tanımlanmış iki basamak iş-levi olsun. O halde

c3

c5

x2 x 3 Şekil 21.2.2

\ = b

i) Toplamsallık özelliği

(21.2.6) J " [/(*) + g{x)] dx = J " f(x) dx + J " g(x) d*'dir.

ii) Tektürellik özelliği

c bir gerçel sayı olsun.

(21.2.7) j " cf(x) dx = c J" f(x) dx

iii) Tektürellik özelliği 6 6 6

(21.2.8) J [(CJ(x,) + C2g(x2)] dx = C, j f(x)dx + C2J

iv) Tümlevleme aralığına göre toplamsallık özelliği

C e (a, b) olsun. b rc rb

(21.2.9) f f(x) dx = f f(x) dx + I f(x) dx aj aj aj

v) Çeviri altında değişmezlik özelliği

c bir gerçel sayı olsun.

(21.2.10) j f(x) dx = .j f(x) dx a+c

vi) Tümlevleme aralığının genişleyip daralması özelliği: k > 0 olsun.

rkb r" (21.2.11) f(x/k) dx = k \ f{x) dx

ka "

viii) Karşılaştırma Teoremi

(21.2.12) f{x) < g(x) V x e [a, b] olduğunda

b b (21.2.13) J f(x) dx < J g(x) dx

olur. KANIT: APOSTOL (1967, Yol I, s. 71-72)'de abştırmalarda yol gösterilmek-tedir.)

Şimdi sorumuzu bir adım daba ileri götürerek, genel bir işlevin tümlevine nasıl varabileceğimizi görelim. Burada izlenen yolun özü,f(x) işlevine, bu işle-vin hem üstünden ve hem de altından basamak işlevlerle yaklaşmaktır. Aşa-ğıdaki Şekil 21.2.3'de, bunun nasıl başarıldığına bir örnek görülmektedir.

Şekil 21.2.3

Şekilde de görüldüğü üzere çizgesi/(*)'in üstünde yer alan basamak iş leve/+(*), altında yer alan basamak işleve def' (x) diyelim. Bu durumda, Teo rem 21.2.2/vii'den

(21.2.14) j f_{x) dx < J /+ (x) dx

sonucu elde edilecektir. O halde bu iki tümlev arasında yer alan bir sayı daima bulunacaktır. îşte bu sayı birtek ise, buna/(x) işlevinin [a, b] aralığında tüm-levi denir.

Ancak bu yaklaşımın geçerli olabilmesi için f(x) işlevine, üstten ve alttan basamak işlevlerle, yaklaşılabiliyor olması gereklidir. Oysa, f(x) aşağıdaki Şe-kil 21.2.4'dckine benzer biçimde sınırsız bir işlev ise, bu olanaksızdır. Bu ne-denle biz k > 0 için f(x) < k olduğunu varsayacağız.

f(x)

a b x (ÜSTTEN SINIRSIZ İŞLEV )

Şekil 21.2.4

TANIM 21.2.4 f(x), [a, b] kapalı aralığında tanımlanmış bir sınırlı işlev ve / (*) ile/+ (.T) aynı aralıkta

(21.2.15) /_(*) <: f(x) <: f+(x)

koşulunu sağlayan iki basamak işlev olsun. Eğer (21.2.15)Ji sağlayan her bir (f_(x), f'(x)) basamak işlevi çifti için

b b (21.2.16) J fjx) dx < T < J /+(*) dx

biçiminde ancak ve ancak bir tane T sayısı varsa, buna f(x) işlevinin a'dan b'ye tümlevi denir ve

b (21.2.17) T = [ f(x)

aj dx

ile gösterilir. Böyle bir T sayısı varolduğunda f (x) işlevi a, b üstünde tümlev-lenebilir denir. f(x) işlevine tümlevlenen (integrand), a, ve b'ye tümlevleme ereyleri (integration limits) ve a, b arabğına da tümlevleme aralığı (integration interval) adı verilir.

Şimdi aşağıdaki kümeleri tanımlayalım.

I (21,2.18) F_ = ]

' a. /_(*) dx [ f_(x) < f(x)

(21.2.19) = | J /+(*) dx | /+(*) > f(x)

Kümeler f(x) sınırlı varsayıldığında, boş değillerdir. Diğer taraftan aşa-ğıdaki Teorem'i gözönüne alalım: TEOREM 21.2.2. A, B c R boş olmayan iki küme olsun. Ayrıca V a e A ve V b e B için

a < b varsayalım. Bu durumda A kümesinin bir en küçük üst sınırı, Eküs A, ve B kümesinin de bir en büyük alt sınırı, Ebas B, vardır ve bu değerler

Eküs A < Ebas B eşitsizliğini sağlarlar. KANIT: APOSTOL (1967, Vol I, s. 28)

Bu teoremin ışığında (21.2.18) ve (21.2.19)'dan

r r (21.2.20) I fjx) dx < Eküs F_ < Ebas F+ < i /+(*) dx

O halde Tanım 21.2.4'e göre/(ac)'in tümlevlenebilir olması ancak ve ancak (21.2.21) Eküs F_ = Ebas F+ ise olanaklıdır. Eküs F_f(Xyin Ait Tümlevi (lower integral) ve Ebas F+ ise /(x)'in Üst Tümlevi (upper integral) adını alır. Bu açıklamalardan her sınırlı işlevin alt ve üst tümlevi olacağı ortaya çıkmaktadır.

Şimdi de bu bölüme başlarken hareket noktası olarak aldığımız-alan kav-ramı ile, ulaştığımız tümlev kavramı arasındaki bağıntıyı görelim: TEOREM 21.2.3. f(x) > 0 işlevi [a, t ] kapalı aralığında tümlevlenebilir olsun.

(i) Bu durumda (21.2.22) G = {(*,y) [ * e [a,b] ve y e [0,/(*)]} ölçülebilir bir kümedir.

(ii) Ayrıca D

(21.2.23) M = f f(x) dx aj

olur. KANIT: APOSTOL (1967, I, s. 75) ÖRNEK: y = x3 + 1, x e [0,1] olsun. Bu durumda verilen aralıkta, bu işlevin altında kalan alanı bulalım: Bu sorunda

G = {(*,y) [ x e [0,1] ve y e [0, *3 + l ]} olduğundan

zA(G) = J - 1 dx = ~ X2 + x + C ± + ı = ~ 3 3

elde edilir.

21.3. Tümlev ile Türev Arasındaki Bağıntı Bu alt bölümde tümlev kavramına bir başka yönden bakacak ve türevle

olan bağıntısını kurmağa çalışacağız. TANIM 21.3.1 F(x), türevlenebilir bir işlev olsun. Eğer

(21.3.1) J * £ L = f ( x )

ise F(x),f(x) işlevinin Ters Türevidir (antiderivative) denir. O halde bir/(x) işlevinin ters türevi, türevlendiğinde /(x)'i veren bir/(x)

işlevidir. Ancak aşağıdaki örnekten de gözleneceği gibi, ters türev işlevi bir tek değildir.

ÖRNEK:

(21.3.2) - L - (x>) - 5

olduğuna göre F(x) — xs, f(x) — 5 x4 işlevinin ters türevidir. Ancak G(x) = xs — 8 işlevini ele alalım.

(21.3.3), y = 5

olduğundan, bu da f (x) işlevinin bir ters türevidir. Yine H(x) — x5 — 21 İŞ' levini ele alsak

olduğundan bu da/(x)'in bir ters türevi olacaktır. O halde genel bir ifade ile, C bir sabit olduğunda

biçimindeki tüm işlevler, f(x) = 5 x* işlevinin ters türevidir. TANIM 21.3.2 Bir/(x) işlevinin tüm ters türevlerinden oluşan derleme f(x) işlevinin x'e göre Belirsiz Tümlevi (Indefinite integral) denir ve

biçiminde gösterilir. Bu durumda da, daha önce ele aldığımız tümleve de Belirli Tümlev (De-

finite integral) denir. Dikkat edilirse bir işlevin belirsiz tümlevi onun bir ters türevi olan bir başka işlev olduğu halde, belirli tümlev bir sayıdır.

21.4. Tiimlevlenebilirlik ve Tümlevleme Kuralları

Önce hangi tür işlevlerin tümlevlenebileceği konusunda bize yol göstere-cek bazı teoremleri kanıtlamaksızm belirtelim. TANIM 21.4.1 f(x) işlevi bir X kümesi (kapalı ya da açık arahk) üzerinde tanımlanmış olsun. Eğer V xlt x2 e X, < x2 içinf(Xl) <f(x2) ise/işlevi aza-lan,f(x1) >f(x2) ise artan işlevdir. Azalan ya da artan bir işleve tekdüze (mon-tonic) denir. Eğer, yukarıda verilen eşitsizlikler, kesin eşitsizlik biçiminde ise sözkonusu işleve kesin artan (azalan) işlev denir. Bu özellikleri taşıyan işlev-lere de kesin tekdüze işlevler denir.

ÖRNEK: Şekil 21.4.1.

TEOREM 21.4.1 Eğer / işlevi [a,6] kapalı aralığında tekdüze ise, [o,6] üzerinde tümlevlenebilir. KANIT: Örneğin AYDIN (1974, Cilt I, s. 189-190), APOSTOL (1967, Vol.I, s.77-78)

Diğer taraftan, bu kitap çerçevesinde üzerinde çok durduğumuz sürekli işlevlerin de tümlevlenebilirlik özelliği vardır.

(21.3.4) — ^

(21.3.5) F(x) + C = x5 + C

(21.3.6)

fU) f(x)

f(x)

ARTAN İŞLEV l TEKDÜZE)

(A)

b x KESİN AZALAN ISLEV l KESİN TEKDÜZE )

(B)

b x

Şekil 21.4.1

TEOREM 21.4.2 / işlevi [a, 6] kapalı aralığının her noktasında sürekli ise, [a, 6] üzerinde tümlevlenebilir. KANIT: Örneğin AYDIN (1974, Cilt I, 190-191), APOSTOL (1967, Vol.I, s.153-154)

Şimdi de tümlevler için ortalama değer teoremini görelim. TEOREM 21.4.3: (TÜMLEVLER İÇİN ORTALAMA DEĞER TEOREMİ) Eğer/, [a, 6] kapalı aralığı üzerinde sürekli ise, herhangibir C e [a, b] için

(21.4.1) J f(x) dx = /(e) (b-a)

dır. KANIT: Örneğin AYDIN (1974, Cilt I, s. 191-192), APOSTOL (1967, Vol.I, s.154)

Şimdi de bazı temel tümlevleme kurallarını bir teorem biçiminde verelim.

TEOREM 21.4.4: f(x), g(x) sürekli işlevler, a, re, c, cf, ve c2 sabitler olsun. Bu durumda

(21.4.2) | a dx = ax + c

r xn+l (21.4.3) j x" dx = _ — + t

(21.4.4) j «-1 dx = Ln x + c

re ^

(21.4.5) | a f(x) dx = a J f(x) dx + c

(21.4.6) j [/(*) T «(*)] dx = | f(x) dx + C l T J g(x) dx + c2

r enx

(21.4.7) I e"* dx = —- + c

ÖRNEK: 1

j (3 + 4* + 3) dx = | 3*2 d* + J 4x d* + J 3 d* (21.4.6)'dan

1

3 dx — 3 ** dx 1 - 3 - J - + C,

= + C,

| 4 x dx — 4 j x dx

= 4 " T d x

= 2 x7 + C2

j 3 d* = 3 * + C3

olduğundan c = Cj + C2 + C3 dersek

J (3 + 4 * -f 3) dx = *3 + 2 *2 + 3 * + C

elde edilir.

ÖRNEK 2:

| e3x+2 dx = e3* e2 d*

e2 e

3x dx

„1X — oi 3

e3*+

2

+ c

+ c

(20.4.5)'den

(21.4.4)'den

(21.4.5)'den

(21.4.4)'den

(21.4.2)'den

(21.4.5)'den

(21.4.7)'den

Ancak bu teoremde verilen kurallar, daha karmaşık tümlevleri almak için yeterli değildir. Bunun için tümlev tablolarına başvurmak gerekir.1

Şimdi şu soruyu sorahm. Acaba belirli tümleve nasıl ulaşabiliriz. Bunu yanıtlayabilmek için ise aşağıdaki temel teoremi görelim. TEOREM 21.4.5: (TÜMLEVSEL HESABIN TEMEL TEOREMİ) y =f{x) işlevi x [o, b] kapah aralığında sürekli ve F(x), f(x)'in herhangi bir ters türevi olsun. O halde Oj e [a, b] ve 6( e [a, b] olduğunda

b

(21.4.8) J '/(*) dx = F(bt) - F K )

ı dir. KANIT: THOMAS (1968, s. 172-174)

ÖRNEK:

J (3 a* + 6 * + 4) dx = *3 + 3 + 4 x + c j

2

= [(3)3 + 3(3)

2 + 4(3) + c] - [(2)

3 + 3(2)* + 4 ( 2 ) + c ]

= (27 + 27 — 12) - (8 + 12 + 8)

= 6 6 — 2 8 = 38

Belirli tümleve ilişkin bazı özellikleri de bir teorem biçiminde verelim. TEOREM: 21.4.6: / , g [a, 6] kapalı arabğında tümlevlenebilir iki işlev o, b, c, d, k ise sabitler olsun. O halde:

(21.4.9) J /(*) dx = - J f(x) dx

a

(21.4.10) J f(x)-dx = F(a) - F(a) = 0

a < b < c < d olduğunda d b c d

(21.4.11) f f(x) dx = [ f(x) dx + | f(x) dx + [ /(*) dx aj aj bJ cj

b b

(21.4.12) j kf{x) dx == k j f(x) dx 1 örneğin S.M. SELBY (Ed.) Standard Mathematical Tables, 19 th Ed., The Chemical Rubber Co.,

Cleveland, Ohio, 1971, s. 395-453.

b b b

(21.4.13) I [/(*) + g(*)] dx = I f(x)dx± g(x) dx aj aJ aJ

ÖRNEK 1:

[ f(x) dx = f 9 (6 - 3 x) dx = 9 f (6 x2 — 3 x) dx

oJ oJ oJ

= 9 (2 - y ^ + c)]o = 9 {(2 1- + c) — O—c}

_9_

2

ÖRNEK 2:

f 9 «a dx = 3 + c T = (3 + c) - (0 + c) = 3 oJ Jo

o o — j 9 dx = - (3 X

3 + c)J = — (* + c) - (3 + c) = 3

21.5. Bazı Tümlev Alma Yöntemleri

Birçok tümlev alma sorunlarının çözümünde, tümlev tabloları da yetersiz kalaibilmektedir. Bu durumlarda, bazı yöntemlere başvurularak bir çözüme ulaşılmağa çalışılmaktadır. Biz, burada bu konuda başvurulan üç temel yön-temi ana çizgileriyle ele almakla yetineceğiz.

A) DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ: Bu yöntemin özü, tümlev işleminde

(21.5.1) J f(y) İ dx = j f(y) dy = F(y) + c

özelliğinin sağlanıyor olmasına dayanmaktadır.1 Bu zincir kuralının tünlevsel hesaptaki karşılığıdır. Bu özelliği kullanarak birçok tümlev alma işlemini kolaylaştırmak olanakhdır.

ÖRNEK: J 6 * (3 + 8) dx tümlevini bulalım. Dikkat edilirse y=3x* +8

dersek — 6*'dir. O halde dx = olacağından

1 Alt bölüm 21.8'e bakınız.

j 6x (3x2 4. 8) dx = [ 6*y = | y dy

= i r + c = 4 " ( 3 x 2 + 8 ) 2 + c

elde edilir. B) PARÇALI TÜMLEVLEME (Integration By Parts) YÖNTEMİ: Bu yöntem aşağıdaki teoreme dayanmaktadır.

TEOREM 21.5.1: f(x) ve g(x), türevlenebilir işlevler ise

(21.5.2) f f(x) g\x) dx = f(x) g(x) - J" f'(x) g(x, dx

dir. KANIT: Türevsel hesaptan

[/(*) • «(*)] = /'(*) g(*) + «'(*) /(*)

olduğunu biliyoruz. O halde

j [/'(*) g(*) + «'(*)/(*)] dx = j -L- ((/*) . g(*)) d*

olacaktır. Buradan da

j f'(x) g(x) dx + J f(x) g'(x) dx = f{x) . g(x)

ya da

j /(*) «'W d x = /(*) • «(*) - j /'(*) g(*) dx

(l.K.) elde edilir.

Eğer bize verilen bir tümlevleme sorununu bu biçime dönüştürebilirsek, (21.5.2)Jden yararlanarak çözüme ulaşabiliriz.

ÖRNEK: j İn x dx bulalım.

f(x) . g'(x) = İn x. dx diyelim. Yani/(z) = İn x ve g'(x) = 1 olsun. O halde

dx dg(x) = d( İn x) = ——

ve

dx

g(x) = j" g'(x) d x " j 1 d x == * +

olacaktır. Bu durumda (21.5.2)'den

J İn x dx = (İn ( « + 0 — j (* + c,) -

= x İn x + c, İn y dx + j — — dx J

= x İn x -f- c, İn x — x — c, İn x -)- c2

= x İn x — x -j- c2

----- x (İn x — 1) + c2 elde edilir.

C) KESİRLİ İFADELERİN TÜMLEVİ f(x) ve g(x) iki çok terimli (polynomial) olsun. Aşağıdaki ifadenin tüm-

levini nasıl bulabileceğimizi araştıralım: /(*)

(21.5.3) g(x) Bunun için cebirde kesirleri ortak paydada toplama işleminin tersini yap-

mak gerekmektedir.

ÖRNEK:

8* + 1 _ A B (*-3) (*+4) (x - 3) ' (x + 4)

biçiminde yazabilmek için A ve B ne olmalıdır? Bu A ve B'yc belirlenmemiş katsayılar (Undetermined Coefficients) denir. İçler dışlar çarpımı yaparsak

8* + 1 = A(x + 4) + B (x—3) = A x + 4A + Bx - 3B

8x + 1 = (A+B) x + (4A-3B) elde ederiz. O halde

4A — 3B = 1

denklemlerinin çözümünden aradığımız değerleri buluruz. Bu örnekte

A = — v e B = elde edilir.

f!x\ Şimdi sorunumuza dönelim. , [— kesirli işlevini tikel kesirli ifadelere

g(x) ayırmak istiyoruz. Bunun için iki koşulun sağlanması gerekir.

KOŞUL 1: /(x) çok terimlisinin derecesi g(*)'inkinden az olmamalıdır. Böyle olmadığında iki çok terimliyi birbirine bölerek

(21.5.4) M - = p (x) + <*) g(*) ' g(*)

biçiminde bir ifade elde etmek, her zaman, olanaklıdır; burada r(x)'in derecesi g(x)'den azdır.

ÖRNEK:

f(x) x* + 3 x3 + 6 a? + 1 g(x) X2 + 2 X + 1

olsun. Bu durumda x4 + 3*3 + 6 x 2 + 1

— x4 — 2x3 — x2

+ 5 x 2 + 1 — x3 — 3x2 _ x

X2 + 2x + 1 X 2 + X + 2

2x2 — X -J- 1 — 2x2 — 4x — 2

— 5x — 1 olacağından

fi*) = + , + 2 + - 5 * g(x) x2 + 2x + 1

yazdabilir. KOŞUL 2: g(x)'in tüm çarpanları bilinmelidir. Bunun uygulamada sağ-

lanması çok güç bir koşul olduğunu, çarpanlara ayırmanın bazı hallerde ko layca başarılamayacağını belirtmek gerekir. Ancak, kuramsal olarak herhangi birçok terimli gerçel doğrusal ve karesel çarpanların çarpımı olarak ifade edi-lebilir. Yani İV-inci dereceden birçok terimli

(21.5.6) g(x) = k(x—a)aı [x-b)a2 . . . ( x -n ) a „ {x2+px+q)»ı +

. . . + (x2 + vx +

biçiminde yazılabilir. Burada + a2 + . . . . + a„ + 2jjt + . . . . + 2(3m = N dir.

Bu durumda da

/(«) = A I A , , • -g(x) (x—a) ^ ( x - a ¥ " r ' " " r ( x - a ) « ı ^ ( x - 6 )

(x-6)* ' " ' 1 (X-b)a-2

CT + D, x C3L + Dfr x f-'-T X2+pX+q

E, + F t x Epm + x x2J

rvx-\-w 1 (x2+ı;x+M;).Bm

yazdabilir. Buradan da aranan (^j,. . •, Aaı, ..., B a 2 , ..., Ct, . .., C^, ö p . . . O (ip . . . , E i t . . . Eom, F„ . . . , F]im) katsayıları x'in karşı gelen üsleri-nin önündeki katsayılara eşitlenerek bulunur. Ulaşılan bu daha basit ifadelerin tümlevlerinin toplamı, aranan tümlevi verir.

ÖRNEK:

^ ^ + 4 ^ bulalım. 7x2—7x—14

Bu ifadeyi 1 f x + 4 _ 1 f x + 4

~T J X2-X-2 _ T J (x—2) (x + l)

biçiminde yazabiliriz.

+ B (*_2) (x+l) (x-2) 1 (x+l)

olduğundan * -f 4 = A{x+1) + B(x-2) x + 4 = (^+J5) x + (A-2B)

elde edilir. Buradan da A + B = 1 .4 — 2B= 4

olacağından A = 6 B = - 3

elde edilir. O halde

" + 4 d x = " T I W d x + 1 d * 1x2-70-14 7 J r—2 ' J *-f-l

olacağından

= _ L [6 İn [ x—2 | - 3 İn [ * + l | ] + İn c

1 = — İn (x-2Y ( x + i p + İn C

.1/7 I İv VI»

Cin f (»~2)« 1 L (x+ıy J (*+i)

bulunur.

21.6. Düzensiz Tümlev

Bir/işlevi a, b yarı açık arabğı içinde tanımlanmış olsun. Önce a, b yarı açık arabğınm sonlu .olduğunu düşünelim. Bu durumda / işlevi a, c, c < b kapalı aralığında tümleveniyor ve b noktasının yöresinde sınırsız olsun. Bu durumda / işlevi a, b (ya da a, b) aralığında tümlevlenemez. Ancak, eğer

(21.6.1) Erey f f(x) dx e"b aj

varsa, buna/'in o, b aralığında düzensiz tümlevi (improper integral) denir ve b

(21.6.2) f f(x) dx = Erey f~ /(*) dx aj S->b~ "J

r" yazılır. Bu duruma f(x) dx düzensiz tümlevinin varlığı ya da yakınsaması denir. Eğer bu erey yoksa sözkonusu tümlevin varolmadığı ya da ıraksadığı söylenir. Bu tanıma koşut olarak tümlevlenenin x -»• o+ gittiğinde sonsuza giden süreksizliği olduğunda, düzensiz tümlevin varlığı koşulu

b b

(21.6.3) | f(x) dx = Erey f f{x) dx aJ C-.0+ EJ

biçiminde ifade edilebilir. ÖRNEK 1: Aşağıdaki tümlevi ele alalım.

1

| *-a oJ

dx 7. > 0

Dikkat edilirse x ->- 0+ olduğunda, f(x) = işlevinin sonsuza giden sürek-sizliği vardır. Dolayısı ile tümlevlenen düzenli değildir. Şimdi bu tümlevin x-»-0+

olduğunda yakınsak olup olmadığına bakalım. Bunun için aşağıdaki ereyi ele almak gerekir.

Erey 1 ara dx = Erey • 0+ sJ £-0+ ZJ S->U ^ ü

= Erey (1 -9 . A -J-

s-»o-t

1 - c a < 1

co a > 1 Görüldüğü üzere tümlev a < 1 ise yakınsamakta, a > 1 ise ıraksamaktadır. Ayrıca a = 1 ise

dx = Erey x~l dx = Erey ( —İn e) = — ® 0 J £-»0+ eJ £-»0+

olacağından tümlev ıraksamaktadır. ÖRNEK 2: Aşağıdaki tümlevi ele alalım.

1 f - 2 ( i - * r

oJ dK

- 2 Dikkat edilirse x-*l olduğunda f(x) = işlevinin sonsuza giden

\ / l — x

bir süreksizliği vardır. Dolayısı ile tümlevlenen düzenli değildir. Şimdi bu tüm-levin olduğunda yakınsak olup olmadığına bakalım. Bunun için aşağı-daki ereyi ele almak gerekir.

Erey f - 2 ( l - * p / 2 dx = Erey 4(l-*),/2l .

E->1— OJ £ - » l - J o

Erey 4(y 1 — £ — 1) = £->1-

görüldüğü üzere, bu düzensiz tümlev yakınsaktır. Bu bağlamda ortaya çıkabilecek bir düzensiz tümlev türü de c e (a, b)

noktasında sonsuza giden Süreksizliğin olması durumunda ortaya çıkacaktır. Bu durumda da

f /(*) dx= f /(*) dx ' +. f(x) dx aj aj c. yazılabileceğinden, yukarıda gördüğümüz yaklaşık sağ taraftaki iki düzensiz tümleve uygulanır.

Şimdi de /(x) işlevinin [a, ) sonsuz yarı açık aralığı içinde tanımlan-dığını ve b < « olmak koşulu altında tüm [a, b ] sonlu kapalı aralıkları üze-rinde tümlevlenebildiğini kabul edelim. Bu durumda eğer

(21.6.3) Erey f /(*) dx (,-»+00 aJ

varsa, buna/(x) ,in [a, « ) üzerinde düzensiz tümlevi denir ve CO b

(21.6.4) f / (*) dx = Erey f f(x) dx aj !>->+«> aj

yazılır. Bu tanıma koşut olarak a -*• — » olduğunda, eğer

(21.6.5) Erey f f{x) dx

a-»—co aj

ereyi varsa, buna f(x)'in (-=»=, b] üzerinde düzensiz tümlevi denir ve

f" (21.6.6) f{x) dx = Erey i f(x) dx

—as J a->—00 aj yazılır. ÖRNEK: Aşağıdaki tümlevi ele alalım.

f+°° -

J x A dx a > O

Bu durumda ^ +co b

x~a dx — Erey dx — Erey x'~cc I LJ 6-»+co ıj 1 —« 6"++» -IL

a > 1 a—1

1 + « a < 1 olacaktır. Yani a > 1 ise tümlev yakınsak, a < 1 ise ıraksaktır.

CO

a = 1 olduğunda verilen ifade j" x~l dx biçimini alacak

r f6

x 1 dx = Erey | x 1 dx = Erey (ln b) = -j- oo lJ ı->+co l j ı-.co +

ve

6">+co

olacağından ıraksayacaktır.

ÖRNEK 2: Aşağıdaki tümlevi ele alalım.

| ex dx

Bu durumda o o o

ex dx — Erey I ex dx = Erey ex = Erey (1—e") = 1 —co J a->—co aj a-»—co Ja a-»—co

olduğundan, bu tümlev yakınsaktır.

21.7. Katlı Tümlev Bu alt bölümde birden fazla değişkenli işlevlerin tümlevlenmesi sorununa

girmeğe çalışacağız. Ancak, kolaybk açısından tüm tartışmayı iki değişkenli işlevler ile sınırlayacağız.

Özünde katlı tümlevde yapılan işlem altbölüm 21.2'de üzerinde durulan [a, b ] kapalı aralığını n boyutlu bir bölgeye genelleştirmek ve bunun üzerinde sınırlı bir f işlevini tanımlamağa dayanmaktadır. Böyle olunca iki boyutta yapılan işlem yine basamak işlevler yoluşla tanımlanan dikdörtken prizmalar yoluyla bu işlevin altında kalan oyluma ulaşmağa çalışmaktır.

Sıralı ikililere ilişkin açıklamalardan da anımsanacağı üzere [a, b] cz R ve [c,d] cz R iki kapalı aralık olduğunda, bunların Kartes'gil çarpımı (21.7.1) D = [a,b] X [c,d] = {(*,y) | [a,b] ve y e [c,d]} biçiminde bir dikdörtkendir.

Eğer [a,b] kapalı aralığını Bt = {x0, xlf x„} ve [c,d] kapalı ara-lığını da B2 = \y0, y,, y m } biçiminde bölüntülersek B = B, X B2 de D'yi mXn alt dikdörtkene bölüntüler. Bu durumda bu altdikdörtkenlerin ber-biri üzerinde sabit olan bir basamak işlevi düşünebiliriz. Bu durumda aşağı-daki tanımı yapabiliriz. TANIM 21.7.1: /(x,y), D dikdörtkeninin bir {xi_l, xt) x (yj-,, yj) açık alt dikdörtkeninde sabit ctJ değerini alan bir basamak işlev olsun. Bu durumda D üzerinde bir çift tümlev

H n m f(x, y)dxdy= S S - xi_i) (y; - y,_J

i - l J"1 biçiminde tanımlanır.

Bu durumda herhangibir D dikdörtkeni üzerinde tanımlanan bir genel f(x, y) sınırlı işlevinin çift tümlevi de yine alt ve üst tümlevler tanımlanarak ve bunlar arasında birtek sayı olması koşuluna bağlanmak suretiyle belirlenir.

Görüldüğü üzere, katlı tümlev kavramı, altbölüm 21.2'deki tartışmaya tamamen koşut bir biçimde geliştirilebilmektedir.

Bu çerçeve içinde bir önemli sonuç, katlı tümlevin hesaplanmasına ilişkin bir teoremdir. Bu teorem bir çift tümlevin iki ardışık tek boyutlu tümlev alı-narak, değerlendirilebileceğini göstermektedir.

TEOREM 21.7.1: f(x, y) işlevi D= [a, b] X [c, d] dikdörtkeni üzerinde tanımlansın ve sınırlı olsun. Ayrıca f(x, y)Jnin D üzerinde tümlevlenebilir ol-duğunu varsayalım, [c, d] içindeki herbir sabit y için u j6 f(x, y) dx tek bo-yutlu tümlevinin var olduğunu kabul edelim ve bunun değerini A (y) ile gös-terelim. Bu durumda, eğer c\d A (y) dy tümlevi varsa bu e J d

ajbf(%,y) dx dy çift tümlevine eşittir. Yani

rd rb rd rb

(21-7.3) j J f(x, y) dx dy = J J f(x, y) dx dy

KANIT: APOSTOL (1969, II, s. 358-359)

ÖRNEK: | | x2 y2 dx dy değerini bulalım.

| £ J *2 + J 2 d* J dy = | ^ - i - x3 + xy2 jj dy

= J ~ + y > d y = { ± - y + = 4 ( 2 ) + " T < 1 8 > = 4 " Bu teoremin bir sonucu da tümlevleme işleminde, hangi değişkene göre

önce tümlevleme yapılacağının önemli olmamasıdır.

21.8. Tümlevde Değişken Değiştirme

Tümlev alma yöntemlerini incelerken değişken değiştirme yönteminden nasıl yararlanabileceğimiz üzerinde durmuş, fakat bu yöntemin dayanağını açıklamayı bu altbölüme ertelemiştik. özellikle istatistikde çok kullanılan bu yöntemin katlı tümlevlerde nasıl ele alındığını da görerek, bu konuya ilişkin açıklamalarımızı bitireceğiz.

Önce tek boyutlu tümlevlerde değişken değiştirme işleminin yapılabil-mesine olanak sağlayan teoremi görelim:

TEOREM 21.8.1: f(x) işlevi x e [xv x2] kapalı arakğında sürekli, x = g (u) işlevi m e [Uj, u2] kapah aralığında tanımlanmış, ayrıca g e C1 ve xx = g(ut) ve x2 — g(u2) olsun. O halde

e*2 çU2

(21.8.1) f(x) dx = JTjJ UjJ

dır.

f { x { u ) d u

KANIT: APOSTOL (1967, I. s. 215-216) ve KAPLAN (1952, s. 199)

Şimdi de bu teoremi çift tümleve genelleyelim.

TEOREM 21.8.2: f(x, y) işlevi

(21.8.2) D, = \{x, y) [ * e [a, b] ve y e [c, d]}

ölçülebilir kümesi üzerinde tümlevlenebilir olsun.

(21.8.3.a) * = g(u, t;)

(21.8.3.6) y = h(u, t>)

birebir işlevlerinin

(21.8.4) g, h e C1

ve

(21.8.5) Bel (fr h) (u, D )

8u

8h 8u

Sg 8v

8h 8v

* 0

koşulunu sağladığını varsayalım. Bu durumda

(21.8.6) F(u, v) = f [g (x, y), h(x, y)] işlevi

(21.8.7) D2 = {(u, t) | u e [k, /] ve ve [m, n]}

kümesi üzerinde tümlevlenebilir ve d h n l

(21.8.8) | I f(x,y) dx dy = f f f[«,ı,] cj aj mj kj

eşitliği sağlanır.1

KANIT: NIKOLSKY (1977, II, s. 56-59)

(u,v) du . dv

1 Tümlev ifadesinde yer alan

göstermektedir.

6 (g, h) d (u, v)

, (21.8.5)'de verilen Jacobi belirteninin salt değerini

21.9. Tümlevin iktisatta Kullanılışına örnekler Bu alt bölümde önce belirli sonra da belirsiz tümlevin iktisada uygulan-

masına birer örnek vereceğiz. I. Tüketici Artığının Bulunması Sorunu: Bilindiği gibi bir tüketicinin

bir maldan belli bir miktar almak için ödemeğe hazır olduğu para ile piyasa dengesi sonucunda ödediği para arasındaki farka "Tüketici Artığı" denir. Ör-neğin bir tüketicinin istem işlevi (21.9.1) p = 1000 - q2 q > 0 olsun. Burada p malın fiyatını, q ise tüketicinin istem miktarını göstermekte-dir. Piyasa fiyatı p0 = 100 TL. olduğunu düşünelim. Bu durumda (21.9.1)' den, p0 yerine konulduğunda, (21.9.2) q0 = 30 bulunacaktır. Yani bu fiyattan, tüketici 30 birim mal alacaktır.

Bu tüketicinin 30 birim mal almak için ödemeğe hazır olduğu toplam para, istem işlevinin [0, 30] arasındaki tümlevine eşittir. Yani, bu tüketici

=30.000-9000=21.000 (21.9.3) f 1000-g* dq= 1000 q - 4 - T oJ 3 lira ödemeğe hazırdır. Oysa (21.9.4) p0q0 = 100 X 3* = 3000 lira ödemiştir. O halde tüketici artığı

- »o (21.9.5) D(q) dq - p°q° = 21.000 - 3000 = 18.000

oJ liradır.

II. Marjinal maliyetten toplam maliyete geçmek: Daha önce türevsel he-sapta toplam maliyetin, üretim miktarına göre türevinin marjinal makyeti verdiğini görmüştük. Şimdi sorunu tersine çevirelim. Varsayalım ki, bir firma marjinal maliyet işlevini (21.9.6) MM = 30 qz - 70 q + 24 biçiminde kestirmiş olsun. Bu durumda toplam maliyet işlevi

(21.9.7) TM = J MM dq = J 30 q* - 70 q + 24 dq

TM = 10 q3 - 35 q* -f 24 q + C biçiminde elde edilir. Burada C üretim miktarına bağlı olmayan maliyet ka-lemlerini, yani sabit maliyeti ifade eden bir sayıdır. Bu işlem, bu sayıyı belir-lemede yetersiz kalmaktadır.

ALIŞTIRMALAR

A.21.1: Aşağıdaki belirli tümlevleri hesaplayın

6 x2 dx <> r oJ

ii) j (*+l)2 dx

5x2 -)- 3x + 1 dx iii) J 4

iv) J (x-2) (x+3)

A.21.2: Aşağıdaki belirsiz tümlevleri değişken değiştirme yöntemini kulla-narak bulun.

i) J V2* + 1 dx

ii) | 2x (x2+l) dx

iii) J (x2 + l)-3 '2 dx

iv) J dx (2 + 3x)2/3

A.21.3: Aşağıdaki belirsiz tümlevleri parçalı tümlevleme yöntemi kullanarak bulun.

x2 e* dx

x İn x dx

« 1

iii) J X (x+l )" 2 dx

iv) J x2 İn 6x dx

A.21.4: Aşağıdaki tümlevleri bulun.

2* + 1 & 3x2— 27

•J + 4* — 1 (»+1)2 (x—2) d X

A.21.5: Aşağıdaki düzensiz tümlevler yakınsıyorlar mı yoksa ıraksıyorlar mır

»,r ^ • i '

/

dx

9—x2

dx

dx

iv) e -*2 dx -OO J

A.21.6: Aşağıdaki katk tümlevleri bulun,

i) | | *2 + yi + 6xy dx dy

" i d e-*+* dx dy

A.21.7: Gelir dağılımı araştırmalarında Lorenz eğrisi adı verilen bir çizgeye başvurulur, y = birikimli gelir yüzdesi ve x= birikimli nüfus yüzdesi olduğun-da Lorenz eğrisi y = f(x) biçiminde ifade edilebilir. Bir toplumda tam gelir eşitliği olduğunda y=x olacaktır. Eğer, bir ekonomide kesaplanan Lorenz eğrisi

40 , . 1 y = -n- *2 + 41 ' 4 1

biçiminde ise y = x doğrusu ile bu eğri arasında kalan alanm y = x doğrusu-nun altında kalan alana oranı olan "eşitsizlik katsayısının" değerini hesap-layın.

A.21.8: Bir malın istem işlevi p — 120 — 0.2 q olsun. Burada p malın fiyatı, q ise miktarı göstermektedir. Malın sunum işlevi ise p = 20 + q olsun. Pi-yasa dengesi oluştuğunda tüketici ve üretici artığının büyüklüğünün ne ola-cağını bulun. A.21.9: Bir genç iş aramaktadır. Başvurduğu A firmasının yöneticisi, kendi-sine verilecek ücretin firmada çalıştığı süre arttıkça değişeceğini ve bunun

WA = 25 *2 _ 7000

denklemine uygun bir biçimde olacağını söylemiştir. Burada WA, A firması-nın önerdiği ücret ve x ise çalışanın yaşıdır. Genç 20 yaşında olduğuna ve bu fiımada tekaüt olma yaşı 60 olduğuna göre x e [20, 60] dır.

Aynı soruyu B firmasına yönelten genç buradan da ücretin aynı kurallar içinde, fakat

WB = 28 ** - 9000 x e [20, 60] denklemine uygun olarak verileceğini öğrenmiştir.

i) Bu genç işe başladığında alacağı ücret hangi firmada yüksek ise ora-da işe başlamak istiyorsa, hangi firmaya başvurmahdır ?

ii) Bu gencin babası kendisine bir öğüt vermiş ve "Gelirinin her ay % 25 ini tasarruf ettiğini düşün. Tekaüt olduğunda, bu yolla edineceğin servet ne kadar büyük olursa, yaşlılığında o kadar rahat edersin. İşini seçerken buna dikkat et" demiştir. Ekonomide enflasyon olmadığı ve faiz oranının yüzde sıfır olduğu varsayımları altında bu genç babasının öğüdüne uyarsa, hangi firmaya başvurmahdır?

KAYNAKLAR

T.M. APOSTOL (1967): Calculus, Vol.I, 2 nd Ed., Xerox, Waltham, Masa. (Özellikle s. 48-87).

T.M. APOSTOL (1969): Calculus Vol, II, 2 nd Ed. Xerox, Waltham, Mass. (özellikle s. 358-416'da

katlı tümlev inceleniyor).

T.M. APOSTOL (1974): Mathematical Analysis, 2 nd. Addison Wesley, Reading Mass.

S. AYDIN (1974): Analize Giriş Cilt I: Başarı Yayınları İstanbul, (özellikle s. 177-234).

S. AYDIN - A. DEMlRALP (1975): Analize Giriş, Cilt 2, Başarı Yayınlan, İstanbul, (özellikle, s. 1-76).

W. HILDENBRAND (1974): Core and Equilibria of a Large Economy, Princeton University Press, Prin-

ceton, New Jersey.

W. KAPLAN (1952): Advanced Calculus, Addison Wesley, Reading Mass. A.N. KOLMOGOROV - S.V. FOMIN (1977): Ölçüm, Lebesque Integrali ve Hilbert Uzayları, Hacettepe

Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, Ankara (Çevirenler: T. Karaçay ve Y. Ataman).

S.M. NIKOLSKY (1977): A Course of Mathematical Analysis, Vol I ve Vol II, MIR Publishers Moscow.

H.L. ROYDEN (1968): Real Analysis, 2 nd Ed., The Macmillan Company, New York.

W. RUDIN (1976): Principles of Mathematical Analysis, 3 rd Ed., Mc Graw Hill, New York.

G.B. THOMAS (1968): Calculus and Analytic Geometry 4 th Ed., Addison Wesley, Reading, Mass.

B.Z. VULIKH (1976): A Brief Course in the Theory of Fnnctions of a Real Variable, MIR Publishers, Moscow.

TÜREVSEL DENKLEMLER

22. Bölüm

Bu bölümde devingen iktisadın önemli bir aracı olan türevsel denklem-leri ele alacağız. Doğal olarak bu çok geniş konunun, göreli olarak en basit bir kesitiyle ilgileneceğiz. Ayrıca bu bölümde temel uğraşımız, belli tür türev-sel denklemlerin çözümlerini bulmağa yönelecektir. İktisatta devingen çö-zümlemede üzerinde çok durulan "kararkbk" (stability) konusuna ise, 24. Bölümde gireceğiz.

22.1. Türevsel Denklem Kavramı ve Türleri

Türevsel denklem denildiğinde bilinmeyenleri işlevler olan bir denklem anlaşıkr. Burada temel sorun, bir denklem ile türevlerinden en az birisi hak-kında bilgi edindiğimiz bir işlevi bulmaktır. O halde türevsel denklemleri şöyle tanımlayabiliriz. TANIM 22.1.1: Bir ya da daha çok bağımlı değişkenin bir ya da daha çok sayıda bağımsız değişkene göre türevlerini içeren bir eşitliğe Türevsel Denk-lem denir. (Ö. HÜSEYİN, E. SEZER, 1977, s. 131) TANIM 22.1.2: Yukarıdaki Tanım 22.1.1'de bağımsız değişken sayısı bir ile smırlandırılmışsa, bu tür türevsel denklemlere, Bayağı Türevsel Denklemler (Ordinary Differential Equations) denir. Buna karşıbk birden çok bağımsız değişkenin ve bunların tikel türevlerinin yeraldığı türevsel denklemlere, Ti-kel Türevsel Denklemler (Partial Differential Equations) denir.

ÖRNEK:

( 2 2 - L 1 > " S 1 " + 2 + 3y = 6 t

bir bayağı türevsel denklemdir. Buna karşıbk

<22-L2> -w- " ise bir tikel türevsel denklemdir.

396

Biz bu kitapta sadece bayağı türevsel denklemleri ele alacak ve bu tek bağımsız değişkeni "zaman" olarak tanımlayacağız. Bu nedenle, bu sorun için-de bir türevsel denklemi "zamanın bir işlevi ile onun türevleri arasındaki ba-ğıntı" biçiminde ele alabiliriz. (M.BRAUN, 1975, s.l) TANIM 22.1.3: Bir türevsel denklemde en yüksek sıradan türev, denklemin sırasını (order), en yüksek sıralı türevin üssü ise denklemin derecesini (degree) verir.

ÖRNEK:

türevsel denklemi, üçüncü sıradan ve ikinci derecedendir. Bu tanımların ışığı altında, n-inci sıradan bir türevsel denklemin genel

gösterimi

( 2 1 „ > / ( „ . - £ . — biçiminde ifade edilebilir. Burada y bağımlı değişkeni t ise bağımsız değişkeni göstermektedir. TANIM 22.1.4: Bir türevsel denklemde

i) Bağımlı değişkenleri ve türev terimlerinin üsleri bir ve ii) Bağımlı değişkenlerin ya da türev terimlerinin çarpımlarından olu-

şan ifadeler yer almıyorsa buna Doğrusal Türevsel Denklem (Linear Diffe-rential Equation) denir.

ÖRNEK: Genel bir doğrusal türevsel denklemi

(22.1.4) an(t) j g j L + . . . . . . . + a l ( t ) J*- + 0«y = g(t)

biçiminde ifade edebiliriz. Burada

(22.1.5) af(t): R ^ R biçiminde, t'nin bir işlevidir. TANIM 22.1.5: Bir türevsel denklemde türev terimlerinin katsayıları, bağım-sız değişkenin işlevleri ise buna Değişken Katsayılı Türevsel Denklemler (Differential Equations with variable coefficients) denir. Buna karşıbk türev terimlerinin katsayıları sabitler ise buna Sabit Katsayılı Türevsel Denklemler (Differential Equations with constant coefficients) denir.

Şimdi de türevsel denklemlere ilişkin çözümlerin bulunmasında önemli bir rolü olan, özel bir tür türevsel denklemi tanımlayalım.

TANIM 22.1.6: Bir türevsel denklemin ker terimi ya bağımlı değişkenin ken-disini, ya da en az bir türevini içeriyorsa, sözkonusu türevsel denklem Tek-türeldir (Homogenous) denir.

ÖRNEK:

{2t) y = 0 dt3 dt2 dt v ' J

üçüncü sıradan, doğrusal, değişken katsayık ve tektürel bir türevsel denklem-dir.

Şimdi de, türevsel denklemlerin çözümüne ilişkin bazı önemli tanımları verelim:

TANIM 22 .1 .7 : / ( e,y, 4 - ; ' - g - ) - 0

türevsel denklemini ele alakm. Eğer A c R aralığında tanımlanmış bir g işlevi-nin

i, V , e R i ç i n g ( 1 ) , m .

türevleri tanımlanmış ve

H, V , . R W. / [ ,, - S ! L ] = 0 ise, g işlevi/'nin A üzerinde bir Belirtik Çözümüdür (E*plicit Solution) denir.

Diğer taraftan F(f, y) = 0 biçiminde bir bağıntı düşünelim. Eğer

dy d" y / (t, y, ^ ^ ) = 0 türevsel denkleminin bir A arabğmda

F (t,f (t)) = 0 bağıntısını sağlayan herhangi bir belirtik çözümü varsa, F (t, y) bağıntısına bu türevsel denklemin A üzerinde bir Örtük Çözümüdür denir.

Şimdi bu ön bilgilerin ışığında, en basitinden başlayarak bayağı türevsel denklemleri ele alakm:

22.2. Birinci Sıra Türevsel Denklemler Birinci sıra türevsel denklemler genel bir gösterimle

(22

biçiminde ifade edilirler. Eğer (21.2.1)'de örtük olarak verilen denklem, I. örtük işlev teoreminin

koşullarını sağhyorsa

(22.2:1.a) J V - = f ( t , y )

biçiminde yazılabilir. Burada akla gelen ilk soru, (22.2.1. a)'da verilen türevsel denklemin bir

çözümünün var olup olmadığıdır. Aşağıda kanıtlanmaksızın verilen teorem hangi koşullarda böyle bir çözümün var ve birtek olduğunu göstermektedir. TEOREM 22.2.1: (CAUCHY) (22.2.1. a)'daki f(t, y) işlevi D = {(t, y) | [t — t0 \ < o, [y — y0 | < bj ile tanımlanan kapalı bölge içinde sürekli ve V (t, y) e D için e.ç. [/(t, y)] = M olsun. Ayrıca D içinde f(t,y) Lipschitz koşulu de-nilen

I f(t,yı) -f(t,y2) I < N \yı - y* I koşulunu sağlasın. (Burada N bir artı sabittir).

O halde, (22.2.1. a)'da verilen birinci sıra açık türevsel denklemin [t —10 \

< H, H — e.a. ô, ^ aralığındaki her t değeri içiny = rp (t) biçiminde

birtek çözümü vardır ve bu çözüm y„ = <p(t0) koşulunu sağlar. KANIT: Bu teoremin kanıtlanması için örneğin ORUÇ (1976, s. 79-87) ya da ELSGOLTS (1970, s. 46-51)'e bakılabilir.

Böylece çözümün varhğı ve tekliğinin gösterilebilineceğini kabul ederek şimdi daha uygulamaya yönelik, basit konulara yönelenelim.

Birinci sıra türevsel denklemleri sağladıkları özelliklere göre aşağıdaki biçiminde tablolaştırabiliriz:

I. SIRA TÜREVSEL DENKLEMLER

A) Birinci Sıra Doğrusal B) Birinci Sıra Doğrusal Türevsel Denklemler Olmayan Türevsel Denklemler

Sabit Katsayılı Değişken Katsayılı Aynmlanabilir Tam Denklemler Denklemler

A) Önce I. sıra doğrusal türevsel denklemleri ele alalım. Bu tür denk-lemlerin çözümüne ilişkin ana kural aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

TEOREM 21.2.2: Bir, I. sıra doğrusal türevsel denklem

(22.2.2) + a (t) y = b (t)

biçiminde verilsin. Bu denklemin çözümü

(22.2.3) y(t) = exp J a(t) ) [ j exP ( " W d t ) K t f d t + c ]

olarak ifade edilebilir'. KANIT: (Burada matematiksel açıdan tam bir kanıt verme yerine, konunun anlaşılmasına yardım edecek bir yaklaşımla, teoremin kanıtlanmasına çalı-şılmaktadır. Bu kanıt BRAUN (1975 s.4-ll)'den alınmıştır.)

(21.2.2)'de verilen denkleme karşılık gelen tektürel türevsel denklem

(22.2.4) - J - + a(t) y = 0

biçimindedir. (21.2.4)'ü dJ

(22.2.5) - y - = - «W

biçiminde yazabiliriz. Diğer taraftan tanım gereği dy

(22.2.6) - İ L = | İn ly (t) |

olduğu anımsanırsa (21.2.5) ve (22.2.6)'dan

(22.2.7) -jL İn |ly(t) | = - a(t)

elde edilir. (22.2.7)'nin her iki tarafının t'ye göre tümlevini alalım.

(22.2.8) j ~ İn |y(t) | dt = J - a ( t ) dt

Buradan

(22.2.9) İn |y(t) | = - J a(t) dt + Cı

elde edilir. Her iki tarafın ters logaritmasını alırsak (22.2.10) y(t) = exp (— a(t) dt + Cı) = C exp (— a(t) dt) yazılabilir. Burada C = expCı'dir.

Diğer taraftan

(22.2.11) g(t) = y(t) exp ( j a(t) dt )

dersek, (22.2.10)'daki ifadeyi

1 Burada exp ( / (x)) = ef(x~> dir.

(22.2.12) |g(t) [ = C biçiminde yazabiliriz. Bunun anlamı g(t)'nın sabit değeri C, yani sabit, olan bir işlev olmasıdır. Bu ise ancak ve ancak g(t) sabit ise sağlanır. O halde (22. 2.12)5den (22.2.13) g(t) = C ya da

(22.2.14) y(t) = c exp J a(t) dt )

yazabiliriz. Bu sonuca (22.2A)'da verilen denklemin Genel Çözümü (General Solution) denir.

Şimdi de tek türel olmayan denkleme, (21.2.2) dönelim. Burada amacımız

(22.2.15) -ij- [h(t)] = b(t)

biçiminde bir ifade elde edip, bunun her iki tarafının türevini alarak h(t)'ye dv

ulaşmaya çalışmaktır. Ancak bu amaç açısından —~— -J- a(t) y ifadesi ol-

dukça karışık bir görünümdedir. Bu durumda, sorumuzu şöyle değiştirebiliriz. (21.2.16) ex(0 J jL- + ^(t) a ( t ) y = ^ b( t)

eşitliğini sağlayan öyle bir p(t) işlevi bulalım ki (21.2.16)'da ulaşılan ifadenin çözümü, (22.2.2)'deki denklemin de çözümü olsun. O halde sorun böyle ^(t) işlevini bulup bulamayacağımız biçimine dönüşmektedir.

önce

(22.2.17) « , ) . „ _ ,(.) + . y

olduğunu anımsarsak, ancak ve ancak

(22.2.18) = a(t) . fx(t)

ise

(22.2.19) i,(t) + «(t) fx(t) y = - J - fo (t))

biçiminde yazılabileceği ortaya çıkar. Dikkat edilirse (22.2.18), u(t) için bi-rinci sıra doğrusal tektürel bir türevsel işlev olup, çözümü (22.2.14)'den (22.2.20) u(t) = exp a(t) dt

dir. Bu ifadeye Tümlevleyen Çarpan (Integrating Factor) denir. O halde (21.2.16)'yı

(22.2.21) - A . p(t) y = /*(t) . fc(t)

biçiminde yazarsak ve her iki tarafın tümlevini alırsak

(22.2.22) /ı(t) . y = J ^ y(t) . b{t) dt + C

ya da

(22.2.23) y(t) = [ J M t ) 6 ( f ) dt + C ]

elde edilir. (22.2.20)'yi (22.2.23)'de yerine koyarsak

(22.2.24) y(t) = e*/» j a(t) dt J [ j exp ( j a(t) dt ) b(t) d t + c ]

elde ediilr.

ÖRNEK: 22.2.1 (Î.K.)

- f - + 2 y = t 2

olsun. Burada a(t) = 2 ve 6(t) = t2 dir. O halde

y(t) = e~İ2dt [ j U e İ 2 d t dt + c ]

= e - 2 ' [ J t2 e2f dt + C

elde edilir, Tümlev tablolarından

tm~' e"' dt f m a, J «" ™ r t'" e" di =

J a a J ve

t ea t dt = —i— (ot — 1) a2

olduğundan

elde edilir. Buradan da

, ( , ) = £ + C - -

sonucuna ulaşılır.

402

Çoğu defa (22.2.24) ile ulaşılan çözüm, araştırıcı için yeterli olmaktan uzaktır. Bunun nedeni, sözkonusu denklemde belirlenmemiş bir C sabitinin yer almasıdır. Dolayısı ile (22.2.24) bir çözüm işlevini değil, bir çözüm işlevleri ailesini vermektedir. C sabitinin değişik değerleri için farkk çözüm denklem-leri elde edilecektir. Bunların içinden Özel Çözüm (Specific solution) adı ve-rilen bir tanesinin seçilebilmesi için, türevsel denklemin sağlaması gereken bir başka koşulun da verilmesi gerekir. Buna Başlangıç Koşulu (Initial Condition) denir. Heılıangibir ta anında y(t0) = y0 olacağının önceden verilmesi halinde, istenilen özel çözüm aşağıdaki sonuçda verilen biçimde elde edilir. SONUÇ 22.2./1: (22.2.2)Me verilen türevsel denklemin y(t0) = y0 başlangıç koşulu altında özel çözümü

t (22.2.25) y(t) = [„(.,) y(0) + ; j M{s) b(s) ds]

o biçiminde elde edilir.

ÖRNEK 22.2.2: Örnek 21.2.Pde t 0 = 0 için y(0) = 1 başlangıç koşulu verilirse

+ i . _ 2 - ü . elde edilir.

Teorem 22.2.1'de ulaştığımız genel sonuca dayanarak I. sıra sabit kat-sayılı doğrusal türevsel denklemler için de kolayca, çözümü veren denklemi elde edebiliriz. Bunun için yapılması gereken a(t) — a ve b(t) — b almaktan ibarettir. SONUÇ 22.2./2: Bir birinci sıra sabit katsayılı türevsel denklem (22.2.26) y(t) + at = b biçiminde verilsin. Bu denklemin genel çözümü

(22.2.27) y(t) = ~ + Ce~at

ve y(t0) — y0 başlangıç koşulu verildiğinde özel çözümü

(22.2.28) y(t) = (y0 - + _L

biçiminde ortaya çıkar. B) Şimdi de I. sıra doğrusal olmayan türevsel denklemleri ele alalım.

ny TANIM 22r2.1 —z— == f(t .y) biçiminde bir birinci sıra türevsel denklemde

(22.2.29) f(t.y) = j j j L

biçiminde yazdabiliyorsa, buna Birinci Sııa Ayrımlanabilir (Seperable) Tü-revsel Deklem denir.

TEOREM 22.2.3: — = birinci sıra ayrımlanabilir türevsel denk-dt h(y) leminin çözümü

(22.2.30) H [y(t) ] = j g(t) dt + C

biçiminde elde edilir. ^

KANIT: = olduğuna göre bu

(22.2.31) h(y) = g(t)

biçiminde yazılabilir. Bu durumda bir H(y) işlevini düşünelim.

= . olduğundan = /ı(y) dersek, (22.2.31) yerine

(22.3.32) -L. H(y(t)) = g(t)

yazılabilir. Her iki tarafın t'ye göre tümlevini alırsak

(22.2.33) H [y(t) ] = J g(t) dt + C

elde edilir. (İ-K-) ÖRNEK 22.2.3

olsun. 3y2 dy = t dt


y3 + C, = - L ' t * + C2

elde edilir. C = C2 — Cx dersek J 3 = P + C

ve

404

elde edilir.

ÖRNEK 22.2.4

ey t + t3 =•• O dt

olsun. Bu ifade

A (e>«>) = . +

biçiminde yazılabilir. Sol tarafın y'ye, sağ tarafın t'ye göre tümlevlerini ala-lım.

e y ( t ) dy = (t + t3) dt

e - + Cx = + - f + C2

yine C — C2 —' Cx dersek ve ber iki tarafın doğal logaritmasını abrsak

y ( f ) = m ( i l + 4 . + c )

elde ederiz.

TANIM 22.2.2: Eğer — f(t, y) birinci sıradan türevsel denklemini

(22.2.34) M(y,t) dt + N{y,t) dy = 0 biçiminde yazabiliyorsak ve

(22.2.35) dM(y, t) = 8İV(y, ,) v ' ay dt

ise, buna Tam (earact) türevsel denklem denir. TEOREM 22.2.4: Bir tam türevsel denklemin çözümü

(22.2.36) 0(y,t) = J M(y,t) dt + J [lV(y,t) - J M(y,t) dt] dy

denkleminde bulunur.

KANIT: Eğer (22.2.34) ile verilen denklemi

(22.2.37) - L - 0 (y,t) = 0

biçiminde ifade edebilirsek, çözüm elde edebiliriz. Bu ise ancak ve ancak

(22.2.38) M(y, t) = 8 0

8t

d& (22.2.39) N(y, t) = ^

ise olanaklıdır. Bu özelliği gösterebilmek için Young Teoremine başvuralım. Anımsanacağı üzere & e C2 olduğunda, bu teoreme göre

a20 _ 820 8y St ~ 8t 8y

yazılabiliyordu. Yani, Young Teoremine göre

) - T-M(y'"- î r ( f ) - "S" olmabdır. Bu durumda (22.2.38)'den hareketle

(22.2.41) <%, t) = J M(y, t) dt + h(y)

yazılabilir. Burada h(y), sadecç y'ye bağlı olan bir işlevdir. (22.2.41)'in y'ye göre tikel türevini alahm.

(22.2.42) - j * f 8 f * '> d, + ' dy J dy dy

elde ederiz. O halde ancak ve ancak

(22.2.43) İV(y, t) = J M ( j ' l ) dt + d/,(y) y dy

ise (22.2.39) sağlanacaktır. (22.2.43)'den

(22.2.44) J ^ L = iV(y, t) - \ M ^ A d t

dh(y) elde edilir. sadece y'nin işlevi olduğundan (22.2.44)'ün sağ tara-

ay

fınında sadece y'nin işlevi olması gerekir. Bu durumda —— ^ — = 0

olduğundan

,22.2.45, - i - [ N(y, •) - | * ] _ 0

olmasını gerektirir. (21.2.45)'i açık olarak yazarsak, bu

(22.2.46) -L- i * , . - 4 . [ J J ^ İ L „ ] _ ü f c i anlamına gelir.

406

O halde

(22.2.47) h(y) = J [ N(y, t) - J 8 ^ dt ] . dy

yazılabileceğinden, bu (21.2.41)'de yerine konursa

(21.2.48) 0 (y,t) = M (y,t) dt + J [ N(y,t) - J 8 dt ] dy

(Î.K.) elde edilir.

0 (y, t) denklemini çözmek uygulamada her zaman kolay olmayabilir. Bu nedenle tam türevsel denklemlerin çözümünde aşağıdaki üç yöntemden birisine başvurulur, (BRAUN, 1975, s. 83).

I. YÖNTEM: (22.2.38)'de verilen denklem 0 (y, t)'yi sadece y'nin rast-gele bir işlevine kadar belirleyebilmektedir. Bunu (22.2.41)'den görebiliriz. O halde aranan h(y) işlevini (22.2.44)'den elde edebiliriz.

II. YÖNTEM: (22.2.39)'dan

(22.2.49) 0(y, t) = J N(y, t) dy + k (t)

elde edilir. Burada k (t), t'nin "herhangi bir işlevidir. Diğer taraftan (22.2.38) gözönününc alındığında,

(22.2.S0, M(y, •) = -L^fcJL = J JStA i y + L


(22.2.51) = M ( J î _ J N i r ^ L d y

elde edilir. III. YÖNTEM: (22.2.38) ve (22.2.39)'dan

(22.2.52) 0 (y, t) = j M(y, t) dt + h(y)

(22.2.53) 0 (y, t) = | N(y, t) dt + fc(t)

elde edilir. Buradan lı(y) ve y(t) işlevleri belirlenir.

ÖRNEK 22.2.5

3y + ef + (31 + cos y ) = 0

olsun.

40.7

M(y, t) = 3y + e' N(y, t) = 31 + cos y

olduğundan 8M _ 8N_ __ 8y ~~ 8t ~~

elde edilir. O halde öyle bir 0 (y, t) işlevi vardır ki d&

~dT ve

d& dy

olur.

= 3y + e'

= 3f + cos y

I. YÖNTEM İLE ÇÖZÜM 0 (y, i) = e' + 3ty + h(y)

yazılabileceğinden dh(y) 80 d dy dy 8y

dh(y)

(e' + 3ty)

cos y dy

elde edilir.

h(y) = J cos y dy = sin y + C

olacağından, örtük çözüm

e' -{- 3 ty + sin y = C olacaktır.

II. YÖNTEM İLE ÇÖZÜM 0 (y, t) = 3ty + sin y + k{t)

yazılabileceğinden 80 dk(t)

= 3 y + 8t J ' dt

dk{t) = e' dt

elde edilir. Bu durumda

k(t) = ef

olacağından, örtük çözüm 0 (y, t) = 3 ty + sin y e*

olacaktır.

III. YÖNTEM İLE ÇÖZÜM 0 (y, t) = e* + 3 ty + h(y) 0 (y, t) = 3 ty -f sin y + k(t)

dir. O lıalde h(y) = sin y ve k(t) = et elde edilir. Böyle olunca 0 (y, t) = e' -f 3 ty + sin y

elde edilir. Birinci Sıra Türevsel denklemlere ilişkin açıklamalarımızı, bir iktisadi

örnek vererek bitirelim: İKTİSADİ ÖRNEK: Aşağıdaki istem-sunum modelini ele alalım. Belli bir mal için (22.2.54) Qd = a - bP a, b > 0 (22.2.55) Qs = — c + dP c, d > 0 olsun. Burada Qd istem miktarını, Qs sunum miktarını, P fiyatı göstermektedir.

Daha önceki açıklamalardan anımsanacağı üzere bu malm piyasasında denge olması (22.2.56) Qd = Q° demektir. Bu durumda denge fiyatı

(22.2.57) Pe = > 0

olacaktır. Eğer herhangi bir anda piyasadaki fiyat denge fiyatına eşit değilse, den-

ge olmayacaktır. Bu durumda fiyatın dP

(22.2.58) = a (Qd - Ç») a > 0 kuralına göre değiştiğini varsayalım. Bunun anlamı, eğer o andaki piyasa fi-yatındaki istem sunumdan çok (az) ise fiyatın artacağıdır (azalacağıdır). (22.2.56) ve (22.2.57)'yi (22.2.58)'de yerine koyarsak

(22.2.59) = a (a-bP + c - dP) = a (o+c) - a (b+d)P

ya da

(22.2.60) + a (b+d)P fc= a (o+c)

elde edilir. O halde fiyatın zaman içinde nasıl hareket edeceği (22.2.60)'da veri-len I. sıradan sabit katsayılı doğrusal türevsel denklemin çözümünden elde edilir. Başlangıç anındaki fiyata P(0) dersek bu

a+c ~r

(22.2.61) P(t) = [ P(0) - - £ ± L ] exp (- «(6+d)t) ,

biçiminde bulunur. Dikkat edilirse — a (6+d) < 0 olduğundan t co olduğunda

et -)- c c.rp (— a (6-j-d)t) -»• 0 olacağından Erey p(t) — olacaktır. Buna

t-*oo b-f-a da "denge fiyatı" denir.

22.3. îkinci Sıra Türevsel Denklemler

Bir ikinci sıra türevsel denklemin genel gösterimi

biçimindedir. Eğer bu denklem I. Örtük İşlev Teoreminin koşullarını sağlı-yorsa

(22,,..> JÜl- = /( 1, y, -İL- )

biçiminde yazılabilir. Bu bölümde, bu tür türevsel denklemlerin, görece en basit biçimlerinin çözümlerinin nasıl bulunacağı üzerinde duracağız. Bunu yaparken, ikinci sıra tektürel denklemlerin çözümü olduğunu ve bu çözümün birtekliğinin gösterilebileceğini varsayacağız. Bu varsayımın dayanağı aşağı-daki teoremdir.

TEOREM 22.3.1: ^ = / ( t,y, ^ işlevi tüm değişkenlerine göre sü-

dy rekli ve y ile ^ 'ye göre Lipschitz koşulunu sağlıyor olsun. t=ta için

dy(0) -S -V,. .

y = y„ , —— = y'0 başlangıç koşulları verildiğinde bu türevsel denklemin

birtek çözümü vardır. KANIT: M. ORUÇ (1976, Bölüm 6, s. 251-265)'de bu teorem n-inci sıra tü-revsel denklemler için kanıtlanmaktadır. Burada verilen ifade ise, ikinci sıra türevsel denklemlere ayarlanmıştır.

Şimdi ikinci sıra türevsel denklemlerin en kolay çözülebilen türleri olan A) Birinci sıraya indirgenebilir denklemler ve B) İkinci sıra sabit katsayık türevsel denklemleri sırasıyla ele alalıjn.

A) Birinci Sıraya İndirgenebilir Denklemler Eğer (22.3.1)'de y değişkeni denklemin sağ tarafında açıkça yer almıyor-

sa, bu denklemi

biçiminde yazabiliriz. Bu durumda,

(22.3.3) * =

biçiminde tanımlarsak, (21.3.2) yerine dx

(22.3.4) = f(t, x) yazılabilir. Dikkat edilirse bu bir birinci sıradan türevsel denklemdir ve Alt bölüm 22.2.'de ele alman yöntemlerle çözülebilir.

ÖRNEK 22.3.1:

cPy + t dy

olsun. dt2 dt

rfy — x diyelim. Bu durumda

dx , n + tx = 0 dt

elde edilir. Bu bir ayrımlanabilir denklemdir. Çözümü

x = C, exp (- )

d\ dir. tf'in yerine ^ konursa,

İ - - ( 4 - ) elde edilir. Bu durumda da

y(t) = C, j exp jL^j td + C2

sonucuna ulaşılır.

Bu çerçeve içinde ele alabileceğimiz bir başka durumda (22.3.1)'de t de-ğişkeninin denklemin sağ tarafında açıkça yer almamasıdır. Bu durumda (22.3.1) yerine

(22.3.5) _ , ( , . . £ )

yazılabilir. Yine

(22.3.6) x d y

dt

dx x (22.3.7) = 4 - ( ± . ) = d (x) = ^

v ' dt2 dt \ dt J dt dy dt dy elde edileceğinden, (22.3.5) yerine (22.3.8) x - g - = / (y , x)

elde edilir. Bu da x,in y'nin işlevi olduğu bir birinci sıra türevsel denklemdir.

ÖRNEK:

^ _ 2y 4 - = 0 dt2 dt

olsun. Eğer dy

x = -f— dt dersek, yukarıdaki denklemi

dx „ / dx — 2yx = x ^ 2y = 0 dy J \ dy biçiminde yazabiliriz.

d\ Bu durumda x = 0 ise ^ = 0 olacağından çözüm

y = C olacaktır.

Buna karşılık dx

- = °

ise, buradan x = y 2 - f C

elde edilir. Yani

dy dt

dt =

ve

= y2 + c,

<h y2 + c ı

dy + <2

J y2 + ct

elde edilir. Tümlev tablolarından yararlanarak, bu ifadeden

ı - y

t =

VC !

1 y

tan

+

Vcı

1 ln y - V - c , y + V - c , + <2

c, > 0

c, = 0

c, < O

elde edilir. Bu denklemler çözülerek y = /(t) bulunur.

B) İkinci Sıra Sabit Katsayılı Doğrusal Türevsel Denklemler Bir ikinci sıra doğrusal türevsel denklem

(22.3.9) Sa (t) - g - + 5, (t) + ö2 (t)y = g (t) dt

biçiminde yazılabilir. Eğer bu denklemde yer alan (t) katsayıları (i=0,l,2) sabit ise buna ikinci sıra sabit katsayılı türevsel denklem denir. 30 ^ 0 oldu-ğunda, denklemin her iki tarafı fi0'a bölünerek

(22.3.10) - ^ r - + a, - J - + «2 y = g(t) dt

yazılabilir. Burada a, = / â 0 , a2 = â2 / â 0 ve g(t) = g (t) /â0 dır. Bu denk-lemde g(t) = 0 alırsak, (22.3.10j'a karşılık gelen tektürel doğrusal denklem elde edilir. Bunu

(22.3.11) dt + «2 J = 0

biçiminde ifade edelim. (22.3.10)'un çözümünü bulabilmek için (22.3.11)'in çözümünden yararlanacağız.

Ancak bu çözümü nasıl elde edeceğimizi görmeden önce, bize bu konuda ve ileride yardımcı olacak bazı kavramları ve teoremleri ele alalım.

413

TANIM 22.3.1: Aşağıda verilen

(22.3.12) D(y) = î a M ^Ç-f-

ifadesine bir Doğrusal Türevsel İşlemleyici (Linear Differential Operatör) denir. TEOREM 22.3.2: D(y) bir doğrusal türevsel işlemleyici olsun. O halde

(i) C bir sabit sayı olduğunda (22.3.13) D(cy) = c D(y) olur.

(ii) y t ve y2 iki işlev olduğunda (22.3.14) D(y, + y2) s Dfo) + D(y2) dir.

KANIT: " dn~ l y ^ — - S —

i a=0

c D(y)

i) D(cy) = S aı(t) - (cy) = c Ş 0 |(t)

(İ.K.)

ii) D(yx + y2) = S a,(t) (y, + y2)

= D(r,'l + i»(r,! SONUÇ 22.3.2/l: sabit sayı ve bir işlev olduğunda

m m (22.3.15) D ( S c(y() = S c, D(y()

i = l i= l olur. TANIM 22.3.2 y,(f), , yn(l) işlevleri t s [a, b] aralığında tanımlansın-lar. Eğer en az bir i için ct 0 olmak üzere

(22.3.16) S ct y, = 0 i—1

eşitliğini sağlayan bir ^cı, , cn} sabit sayılar derlemi varsa, {yı(t), , y„(t)} işlevleri [o, b] aralığında doğrusal bağımlıdır denir. Buna karşıkk (22.3.16) ancak ve ancak tüm i 1er için ct = 0 olduğunda geçerli ise, bu işlevler doğrusal bağımsızdır denir.

TANIM 22.3.3 y t , y„ işlevleri verilsin

Jı

(22.3.17) W[y,(t)...yn(t)] = Bel

Jı Jn fyn

dt dt dt

dt"' dt dt

Wronski Belirteni adını alır.1

TEOREM 22.3.3: Eğer y,(t), yn(t) işlevleri a < t < b aralığında doğ-rusal bağımlıysalar, bu arakkta

W [yı(t), , y„(t) ] = 0 dır. KANIT: ORUÇ (1976, s. 168-169)

Şimdi (22.3.11)'e dönelim. TEOREM 22.3.4: Eğer y„ (22.3.11)'de verilen tektürel doğrusal denklemin bir çözümü ise, c bir sabit olduğunda, cy, de bir çözümdür. KANIT: Teorem 22.3.1 /i'nin doğrudan uygulanmasıyla istenen sonuç elde edilir. TEOREM 22.3.5: y, ve y2, (22.3.11)'de verilen tektürel doğrusal denklemin iki çözümü olsunlar. Bu durumda y = y, + y2 de aynı denklemin bir çözümü-dür. KANIT: Teorem 22.3.1 /ii'nin doğrudan uygulanmasıyla istenen sonuç elde edilir. SONUÇ 22.3.4-5/1 (22.3.11)'de verilen tektürel doğrusal denklemin m tane çözümü y1 5 y m olsun. O halde bunların herhangi bir doğrusal bile-

ni şimi, E ct yt de bir çözümdür.

i-ı Şimdi bu sonuçlara dayanarak aradığımız çözümün niteliklerini daha iyi

belirleyebiliriz. TEOREM 22.3.6 Eğer yx ve y2 doğrusal bağımsız işlevleri, (22.3.11)'de veri-len tektürel doğrusal denklemin, t e [a, 6] aralığında, iki çözümü ise, yine aynı aralıkta

1 Polonyalı Matematikçi G. Wronski (1775-1853) nin adına atıf yapılmaktadır.

Jl

(22.3.18) W [yı(t), y2(t)] = Bel ^ j O d y 2 dt

KANİT: ELSGOLTS (1970, s. 104)

Şimdi de (22.3.11)'in genel çözümünü niteleyecek teoremi verelim:

TEOREM 22.3.7: (22.3.11)'deki tektürel doğrusal denklemin, t e [a, b] ara-lığmdaki genel çözümü, aynı aralıktaki bağımsız tikel çözümlerinin doğrusal bileşimidir. Yani genel çözüm, y, şöyle yazılabilir.

Burada C[ ve c2 iki sabittir.

KANIT: ELSGOLTS (1970, s. 105-106)

SONUÇ 22 .3 .7 /1 (22.3.11)'deki tektürel doğrusal deklemin ençok doğrusal bağımsız çözüm sayısı ikidir.

Şimdi (22.3.11)'de verilen denklemin çözümünün nasıl bulunacağını gö-relim. Bunun için önce aşağıdaki özelliği saptayabm.

ÖZELLİK t e [a, b] olduğunda er'' ve er2f, rx # r2 olduğunda doğrusal bağım-sızdır.

KANIT: Bu işlevlerin doğrusal bağımlı olduklarını düşünelim. O zaman öyle iki cj, c2 sayısı bulabiliriz ki, bunlardan en az birisi sıfır olmadığı halde

olacaktır, c, ^ 0 varsayalım. (22.3.20)'nin her iki tarafını eV'ye bölelim ve türevini alalım. (22.3.21) c2(r2 - r,) e V ı » = 0 elde ederiz. Bu ifadeyi de e<r2~rı> ye bölersek

elde ederiz. c2 ^ 0 ve r2 ^ r, varsaydığımıza göre bu bir çelişkidir. O halde bu iki işlev doğrusal bağımsızdır.

Şimdi de birinci sıra türevsel denklemlerde ulaştığımız sonuçlara koşut olarak (22.3.11)'in çözümünün (22.3.23) y = A ert

biçiminde olduğunu düşünelim. Burada A, r ^ 0 birer sabittir. Bu durumda

(22.3.19) y(t) = e, y,(t) + c2 y2(t) t e [a, b]

(22.3.20) c / ı ' + c2eV = 0 t e [a, 6]

(22.3.22) C l(r2 — r,) = 0

(l.K.)

(22.3.24) - g — = r A ert

(22.3.25) Jğ- — r2 A ert

olacaktır. (22.3.23) — (22.3.25)'deki ifadeler (22.3.11)'de yerine konursa (22.3.26) A ert [r2 + a,r + a2] = 0 elde edilir. A ert # 0 olduğuna göre (22.3.26) anrak ve ancak (22.3.27) r- + a,r + a2 = 0 ise sağlanır. Bu ulaşılan denkleme (22.3.11)'in Özgiil Denklemi (C.haracteristic Equation) denir.

Bilindiği gibi (22.3.27)'de verilen türde bir karesel denklemin iki kökü vardır. Bunlara r, ve r2 diyelim. Bu durumda bu iki kök de birer çözüm ve-recektir. Sözkonusu denklemin genel çözümü ise Teorem 22.3.7'ye dayanarak (22.3.28) y = c, eV + c2 er2l

biçiminde ifade edilir. Bu durumda karesel denklemlerin çözümüne ilişkin bilgilerimizden üç

farklı durumla karşılaşabileceğimizi çıkarabiliriz.

I. DURUM: Farklı Gerçel Kökler vardır, r, ^ r2 , (a2 > 4a,) Bu durumda çözüm (22.3.29) y c = A, e'ı1 + A2 e'ı' biçimindedir.

II. DURUM: Eşit Gerçel Kökler vardır, r, = r2 , (a t2 = 4a2)

Bu durumda yukarıdaki çözüm işe yaramaz. Çünkü belirlenecek katsayı sayısı iki olduğu halde, bu yol izlenirse

yc = + = (A + A) = Aj en

elde edilir. Yani bir tek katsayı kalır. Bu nedenle çözüm için y = A teTt de-nenir. Bu durumda çözüm (22.3.30) y c = (A + A2 t) e" biçiminde olacaktır1.

III. DURUM: Kökler Karmaşıktır (a2 < 4a2) Bu durumda denklemin kökleri = a 4" /Sf ve r2 — a-/3; biçiminde ola-

cağından

1 Bıınun kanıtlanması için, örneğin ORUÇ (1976, s. 205-208) bakılabilir.

ye = A, c(a+3,->' + A2 e(a-»()f = [A^* + A^'] elde edilir. Kaımasık sayının üstel işlevinin gösterilmesine ilişkin kurallardan1, bu

y c = e a t [A,(cos fit + i sin fil) + A2 (cos fit — i sin £()] yazılabileceğinden (22.3.31) yc = e°» [(/l, + A2) cos fit + (A, - sıra /ît] elde edilir. Eğer (22.3.32) C, = yi, + A2

(22.3.33) C, = i(A, - A2) biçiminde tanımlanırsa ve bunlar (21.3.21)'de yerine konursa (22.3.34) yc = e' [C, cos fit + C2 sin fit] elde edilir.

(22.3.10)'da verilen denklemi bir de denge değerinin sağlaması gerekir. Buna özel çözüm (Particular solution) denir. Denge değeri y'nin değişmeyen

dy d2y değeri olduğu için, bu durumda ——— = ^ , = 0 olmalıdır.

Bu özel çözümün nasıl bulunacağı, h(t) işlevinin niteliğine bağlıdır.

A) h(t) = C yani sabitse

(22.3.33.a) yp = a2 # 0 ise a2

ı (22.3.33.b) yp = —— t a2 = 0, ^ 0 ise

«ı

(22.3.33.c) yp = t2 a, = o, = 0 ise

elde edilir. B) h(t), t'nin bir işlevidir. Bu durumda özel çözüm bulmak için Belir-

lenmemiş Katsayılar (Undetermined Coefficrents) ya da Evrik İşlemleyiciler (Inverse Operators) yöntemlerinden birine başvurulur.2

Bu durumda (22.3.10)'da verilen bir ikinci sıra sabit katsayıb doğrusal türevsel denklemin tam çözümü (22.3.35) y = yc \ yv

biçiminde elde edilir. Bu çözümde yer alan iki katsayının belirlenmesi için ise

1 Bu konuda örneğin HÜSEYİN - SEZER (1977, s. 330) bakılabilir. 2 Bu konu için HÜSEYİN-SEZER (1977, s. 194-206) ya bakılabilir.

bize iki başlangıç koşulunun, y(0) = y0 ve ^ ^ = verilmesi

gerekir.

ÖRNEK 22.3.

dt2 dt y(0) = 9

dy (0) dt

olsun.

= 6

y = yc + yP olup

V = A = 3

yP - 1 - * yc = A; eV + A2 eV

dir. r2 + r — 6 = 0

olduğundan r, = 2 r2 = - 3

bulunur. Bu durumda yc = Ax e" + A2 e-«.

elde edilir. ve ^42'yi belirleyebilmek için başlangıç koşullarına başvurabm:

y = yc + J P = Ax e2' + A2 e-» + 3 olduğundan

y(0) = Al e2 ( 0 ) + A2 e-3 ( 0 ) + İ = Al + A2 + 3 = 3 olacaktır. Diğer taraftan

dy( 0) dt = 2A, e2(°> - 3Az e-3<0) = 2i4, - 3A2 = 6

olduğundan, elimizde + = 6

2At - 3A2 = 6

biçiminde bir doğrusal denklemler dizgesi olacaktır. Buradan Cramer ku-ralıyla A, — 4 ve = 2 elde edilir. Böylece tam çözüm

y(t) = 4e2' + 2e-3 f + 3 olacaktır. NOT: Biz bu kitapta rc-inci sıra doğrusal türevsel denklemleri ele almayaca-ğız. Bu tür türevsel denklemler bu altbölümde üzerinde durulan yöntemlerin genelleştirilmesiyle çözülürler.

22.4. Sabit Katsaydı Birinci Sıra Doğrusal Türevsel Denklem Dizgeleri

Bu alt bölümde türevsel denklem dizgelerine, bunların en basit türlerini ele alarak bir giriş yapmağa çalışacağız.

Sabit katsayılı birinci sıra doğrusal bir türevsel denklem dizgesini

-J- = «ıı. yı + an y2 + + «ı» yn +

(22.4.1) = o21 yx + a22y2 + + a2n yn + b2

- J 5 - = «„ı J ı + a«2 y 1 + + ann yn + K biçiminde yazabiliriz. Eğer

dy, «11 • • • ...aln ~ Jl ~ b ı ~ dt

y = ,A = >y - ,b =

dy„ a„, . . yn K dt

dersek, (22.4.1)'i (22.4.2) y = Ay + b biçiminde ifade edebiliriz.

Biz bu alt bölümde, tersini belirtmedikçe b yöneyini de sabitlerden oluş-muş varsayacağız. Eğer b = 0 ise, (22.4.2)'ye karşılık gelen tektürel dizgeye ulaşırız.

1 Türevsel denklem dizgelerini genelde inceleyen kaynaklara örnek olarak Türkçe'de M.ORTJÇ (1976, Bölüm 8), HÜSEYİN - SEZER (1977 Bölüm 11) bakılabilir. Bu kaynakta yer alan varlık ve teklik teoremi bundan önce verilenlerle aynı nitelikte olduğundan, yinelemekte yarar görülmemiştir.

(22.4.3) y = Ay

Daha önce de yaptığımız gibi, ilkin (22.4.3)'ün çözümüüz erinde durakm. Burada bize yardımcı olacak bazı temel tanım ve teoremleri ele alarak işe baş-layalım.

( r TANIM 22.4.1: j Ak > bir nX n dizey dizisi olsun. Ak = (atJ

k) nXn ile gös-\=0

terelim. Bu durumda i, j için

hj (22.4.4) Erey a , / = of

ise ve A = (aİJ)„xn olduğunda,

(22.4.5) Erey Ak = A )£-> CO

denir. TANIM 22.4.2: A = (a0)n ı„ dizeyinin diizgüsü (22.4.6) ||A || = S S

i=ı J=ı

biçiminde tanımlanır.1

ÖRNEK - 1 2 "

3 ^ olsun. O halde

||A || = 1 + 2 + 3 [-41 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 elde edilir.

Dizey düzgüsünün aşağıdaki özellikleri gösterdiğini kanıtlamaksızın, belirtelim.

A = («u)nx«> B = (bu)nn ve a bir sayı olduğunda (i) |ocA | = |«| . ||A |

(ü) ||A + B | < ||A | + ||B ||

A =

1 Bu düzgü tanımı için CODDINGTON - LEVINSTON (1955, s. 62) bakılabilir. Ancak dizeyler için kabul edilebilecek tek düzgünün bu olmadığını da belirtmekte yarar var . örneğin yöney-ler için kabul edilen ökl id düzgüsü, dizeylere genelleştirilebilir.

r n n * - | l / 2

Bu konuda B A R N E T T - STOREY (1970, s. 36-37)' ye ve orada verilen kaynağa bakılabilir.

(iii) İ[A - B || <; ||A | . ||B|| (iv) ||A* | < |Af

{ F TEOREM 22.4.1: Ak

( )fl=»0 Erey || Ak — A || = 0„xn k->co

özelliğini taşıyan bir dizey dizisi olsun. O halde Erey A = B *->co

sonucunu sağlayan bir B dizeyi vardır. KANIT: Ak = («,/)„,„ ve A, = (<»(/),,,„ olsun. Bu durumda

| A f t - A , | = £ İ a,/ - a,/ (=1 j-1

olacaktır. Bu dunımda Erey |Ak — A, || = 0„x„ k-»co I-.=o

olması V^ için Erey \atJ

k - a,/ \ = 0 *-» 00 1-* oo

olması demektir. Oysa Cauchy'nin gerçel sayılar dizisi için yakınsama koşu-lundan,1 bu durumda Erey aİJ

k = bİJ koşulunu sağlayan bir sayı olacağı lt->co

gösterilebilir. Eğer B = (bjj)„xn alınırsa kanıtlama başarılmış olur. (I.K.)

Şimdi herhangibir dizey dizisinde, k sonlu bir sayı olduğunda A^'yı

(22.4.7) A, = I + A + - ^ - + +

biçiminde tanımlayalım.2 Bu durumda Teorem 22.4.l'e dayanarak

(22.4.8) Erey Ak = Erey (I + A + + + = B k~* co fc-»co Z i Kı

olacağı gösterilebilir, a bir sayı olduğunda

(22.4.9) e" = 1 + o + + + +

olduğu anımsanırsa, (22.4.8)'deki ifade (22.4.9)'da benzetilerek 1 Bu konuda G. SABAN (1971, Cilt I . s. 184-186) bakılabilir. 2 Burada k\; = (1) (2) (fc-1) (fc)'dır.

(22.4.10) B = e A

biçiminde gösterilir. Buna A dizeyinin ÜsseVı (ersponential of matrix A) adı verilir.

Şimdi bu ön açıklamalardan' sonra (22.4.3)'ün çözümünün bulunmasına geçebiliriz. Bunun için daba önce izlediğimiz yönteme başvuracak ve (22.4.11) D(y) = y _ Ay doğrusal türevsel işlemleyicisini tanımlayacağız. Anımsanacağı üzere, bu iş-

/ •» \ lemleyici D ( S c; yt ) = S ci D (y() özelliğini göstermektedir.1 Diğer

\ ı=ı / i=l taraftan (22.4.3)'ün m tane çözümü verildiğinde bunların bir doğrusal bileşi-minin de çözüm olacağı, daha önce yaptığımıza koşut olarak, gösterilebilir.2

Biz bu tür tikel çözümlerden doğrusal bağımlı olmayanlar, yani, daha önce de görüldüğü üzere, bu türevsel denklemler dizgesinin çözüm yöneylerinden olu-şan Wronski belirteninin sıfır olmadığı çözümlerle ilgileneceğiz.3 Bu sorunda y p , y„ tikel çözüm yöneyleri olduğunda Wronski belirteni

(22.4.12) W [y„ , y j = Bel

y n y ı»

Vnı yrnn — olmaktadır.

Şimdi (22.4.3)'ün genel çözümünü niteleyen teoremi verelim. TEOREM 22.4.2. y = y(t), (22.4.3)'ün bir çözümü olsun. Bu durumda herhangi bir wxl , sabit c yöneyi için (22.4.13) y(t) = eA t c biçimindedir. KANIT: H.K. WILSON (1971, s. 64) TANIM 22.4.3. Sütunları (22.4.3)'ün doğrusal bağımsız çözümleri olan bir Y(t)nxn dizeyi tanımlayalım: (22.4.14) Y(t) = [y\t), y«(t)] = (yu(t))nxn

Bu dizeye Temel Dizey Çözümü (Fundamental Matrix Solutioıı) denir. (22.4.10)'a dayanarak

1 Kanı t için, örneğin, ELSGOLTS (1970, s. 191)'a bakılabüir. 2 Kanı t için, örneğin, ELSGOLTS (1970, s. 192)'a bakılabilir. 3 Kanı t için, örneğin, ELSGOLTS (1970, s. 193)'a bakılabilir.

4 2 3

(22.4.15) eA t = I + At + AH 2! + • +

AV ~kT

yazabileceğimizi biliyoruz. Ancak, sonsuza giden bu dizinin değerlendirilme-sinin çok zor olduğu açıktır. Acaba bu durumda çözümü daba kolay bir biçim-de elde edebilir miyiz ? Bu soru bizi eA t ile Y(t) dizeylerinin arasındaki bağın-tıya getirmektedir.

TEOBEM 22.4.3 Y(t), Y(t) dizeyinin t'ye göre türevi, yani

(22.4.16) Y(t) = J - Y(t) = ( - j j - y M t ) ) rı\n

olsun. i) Ancak ve ancak

(22.4.17) Y(t) = A T (t) ve t = 0 olduğunda Y dizeyini Y(O) ile gösterdiğimizde (22.4.18) Bel (Y(O)) ^ 0 ise Y(t), (22.4.3)'ün temel dizey çözümüdür.

ii) eAf, (22.4.3)'ün bir temel çözümüdür. iii) Y^t, ve Ya(t), (22.4.3)'ün iki temel çözümü olsun. O halde öyle bir

sabit C dizeyi vardır ki (22.4.19) Yj(t) = Y2(t) C olur. KANIT: BRAUN (1976, s. 478-479) TEOREM 22.4.4 Y(t), (22.4.3)'ün bir temel dizey çözümü olsun. O halde (22.4.20) eAt = Y(t) . Y(O)"1

dir. * KANIT: BRAUN (1975, s. 479)

Anımsanacağı üzere, birinci ve ikinci sıra türevsel denklemlerde, çözüm üssel işlevler olarak ortaya çıkıyordu. Burada da çözümün üssel işlevlerden oluşan bir yöney olduğunu düşünürsek, bunu

e^'ı;.

_ y„(t) _ _ extt)„ _

(22.4.21) y(t)

biçiminde ele alabiliriz. Bu durumda

= eX'v

424

(22.4.22) y(t) = dy (t) dt = Xextv

(22.4.23) Ay(t) = A(e*fv) = eXtAv olduğu gözönüne alınırsa, bunlar (22.4.3)'de yerine konulduğunda (22.4.24) e^ X . v = e' Av elde edilir. Her iki taralı eX t (^ 0) bölersek (22.4.25) Xv = Av sonucuna ulaşırız. O kaide y(t) = eXtv, ancak ve ancak X ile v, (22.4.25)'i sağlıyorsa (22.4.3)'ün çözümü olabilir. Oysa (22.4.25) i sağlayan X ve v değer-leri daha önce de gördüğümüz gibi A dizeyinin özgül değer ve özgül yöneyle-ridir. Bu durumda, A dizeyinin en çok re tane farklı özgül değeri ve bu özgül değerlerin her birisine karşıkk gelen doğrusal bağımsız özgül yöneyleri olaca-ğından, (22.4.3)'ün genel çözümü (22.4.26) y (t) „Xlt v1 -f c2 e \2t + • + c„ e biçiminde olacaktır. Burada Xf i-inci özgül değer ve v' ise i-inci özgül değere karşılık gelen özgül yöneydir.

Konuyu bir örnekle bitirmeden önce özgül değerlerin tekrarlanması ha-linde çözüme nasıl ulaşılacağında bize yardımcı olarak bir teoremi verelim. TEOREM 22.4.5. A = (a(J)„xn dizeyinin özgül değerleri Xp X„ olsun. Bu özgül değerler .sırasıyla m v , mn kez tekrarlansınlar. Bu durumda y=y(t), (22.4.3)'ün bir çözümü ise, bazı sabit cİJ yöneyleri için

(22.4.26) y(t) = 2 (crl + c r2 t + + c tm~b) r=1 r

de bir çözümdür.

KANIT: K.H. WILSON (1971, s. 66)

ÖRNEK:

y = 2 1 4

0 - 2

1

o --3

2

- 1 2 4 • y> y(0) =

olsun. Bu türevsel denklemler dizgesinin çözümünü bulahm. Önce

A =

dizeyinin özgül değerlerini ve bunlara karşılık gelen özgül yöneyleri bulahm.

2 1 4

0 - 2

1

0 -3

2

4 2 5

Bel [A - XI] Bel 2—X I 4

0 —2—X

1

O -3 2—X

= (2—X) (—2—X)(2 —X) -+- 3 = (2—X) ( - 4 + 2X —2X + X2 + 3 ) = (2—X) ( - 1 + X2) = (2—X) ( - 1 + X) (1 + X)

O halde özgül değerler X, = 2, X2 = 1 ve X3 = — l'dir. i) X, = 2 ye karşdık gelen özgül yöneyi bulalım.

- 0 0 0 - " ®n ~ ~ 0 ~ [A - 2 I] v1 = 1 - 4 - 3 « 2 , 0

_ 4 1 0 _ - «31 - _ 0 _ olduğundan = 1 alındığında

3 v,, — 17

- 1 2 17

31 — elde edilir.

ii) X2 = 1 için - 1 0 0 J

" «12 " - 0 -[A - I] v2 = 1 - 3 - 3 «22 = 0

_ 4 1 1 _ - «32 - _ 0 _ olduğundan, v22 = 1 alındığında

«12 = 0 «22 =

1

«33 = - 1 elde edilir,

iii) X3 = 1 için - 3 0 0 - " « 1 3 " - 0 -

[A + I] v3 = 1 —1 - 3 «23 = 0 _ 4 1 3 _ _ «33 _ _ 0 _

olduğundan, v33 = 1 alındığında vl3 = 0 «23 = ~ 3

«33 = 1

elde edilir.

4 2 6

Bu durumda verilen dizgenin üç doğrusal bağımsız çözümü vardır. Bun lardan oluşan temel dizey çözümü

Y(ı) 17

- 1 2 17 '

olacsktır.

Bu durumda

Y(0) =

olacağından

Y(0 ) - '=

17

- 1 2

İ T 1

34 6

- 3 9

elde edilir. Bu durumda 2

1 4

17

12 T T

0 - 2

1

0 o

e' -3e~'

0

-3e-'

e-1

-3

1

0 -3

2

—e'

34 6

- 39

JŞ_ 6

0

~2~

ı ~2

3 2

- 1 2

4 2 7

e»

-4 e 2 t - •

0 0 39 6 - i e -

3 -r ~2~ 6 4 - -

39 _Le-t 3 » 01 1 _ 0 6 2 e 2 e 2 e

34 2

aradığımız c yöneyini bulabilmek için ise y(0) = eA(0> c

özelliğinden yararlanacağız 1 O O

- 1 3 - 2 3 13 1 —2 .

olduğundan aradığımız c yöneyinin öğeleri

- 1 3 C, - 2 C2 + 3C3 = 2 13 C, + C2 - 2C3 = 4

koşulunu sağlamalıdır. Bu doğrusal denklem dizgesinin çözümünden C, = 1, C2 — —3 ve C} = 3 bulunur. Bu durumda başlangıç koşullarını sağlayan

Çözüm 2 ( 0 0

39

y>(0 =

y3(0

e6

-4 e2 t - r 5 _t • e e

34 C2« +

1 t 3 - t —— e1 ——— e 1 2 2

1 t _ı_ 1 -t ~2~ 2~ 6

3 t , 3 _» — 6 + — e

3 t 1 - t ~2~ ~~2~"

1

3

3

yl(0=

y l ( t ) = -4 e2' + ( - Ş e' + | e ' + | e ') + ( 4 ^ + T + T «"')

. 34 2 ( /39 t 3 t 9 t \ / 5 _ t 3 3 _ t \ y3(t)= T + \ T T T j + U a " - 2 e )

ya da y,(t) = e2 '

y2(t) = - 4 e2 ' - 22 c< + 13

4 2 8

= 4 e 2 ( + 4 e f - 4 bulunur.

Bu örneğimizde A dizeyinin özgül değerleri tekrarlamıyordu. Ancak bazı durumlarda tekrarlayan özgül değerler söz konusu olabilir. Aşağıda -özet-lenen yöntem, bu durumları da içerecek biçimde y = Ay denkleminin tüm doğrusal bağımsız çözümlerinin bulunmasına olanak sağlamaktadır.1

(i) A dizeyinin tüm özgül değer ve özgül yöneylerini bulun. A = (a^)nxn olduğunda eğer n tane bağımsız özgül yöney varsa, y = Ay denkleminin e' v biçiminde n tane doğrusal bağımsız çözümü vardır.

(ii) A dizeyinin k < n tane doğrusal bağımsız özgül yöneyi olsun. Bu durumda e* v biçiminde sadece k tane doğrusal bağımsız çözüm vardır. Ek çözümler bulabilmek için izlenmesi gereken yol A 'nın bir X özgül değerini seçmek ve (A — X I) v ^ 0 olduğu halde (A — X I)2 v = 0 olan tüm yöneyleri bulmaktır. Böyle bir v yöneyi için

de y = Ay denkleminin bir ek çözümüdür. (iii) Eğer hala yeterli çözüm bulunamamışsa bu defa (A — X I)2 v / 0

olduğu halde (A — X I)3 v = 0 olan tüm v yöneyleri bulunur. Böyle bir v yöneyi için

de y = Ay denkleminin bir ek çözümüdür. (iv) Bu yollar gidilerek n doğrusal bağımsız çözüm tamamlanır.

e' M g ( A - X I)t [v + t (A - XI) v]

ÖRNEK:

- 1 0 0 -x = 0 2 0 x

0 1 2 olsun.

- 1 - X 0 0 -Bel (A—XI) = Bel 0 2-X 0 = (2-X)2 (1-X)

0 1 2—X elde edilir. Burada Xj = 2 iki kez tekrarlayan özgül değerdir.

1 Bu yöntem B R A U N (1975, s. 466-467)'den alınmıştır.

4 2 9

= 2 için

(A - 21) v = -1 O O

o 0 1

o o o

o o o

olduğundan vn = O, v2l = 0, «3I = 1 elde edilir. Bu durumda - —1 0 0 - —

(A - 2I)2 v = 0 0 0 0 1 0 _

yazılarak - 1 0 0 -

= 0 0 0 0 0 0 _

elde edileceğinden vl2 — 0, 22 = 1, V32 X2 = 1 için ise

- 0 0 0 -(A - I) v = 0 1 0

0 1 1

0 0 1

12

0 o o

V,2 - 0 -V22 - 0

_ - 0

O -o o

1 elde edilir.

_ 0 _ V23 = 0

.- V33 _ 0 olduğundan vu = 1, v2} = O, v}} = O elde edilir.

Bu durumda, verilen denklemin üç doğrusal bağımsız çözümü

y2(t)

o 0 1

o o

- 0 - — - 0 - - - 1 0 0 - - 0 - -

1 = e2' 1 + 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 _

— - 0 - 7 0 " —

=5 e2' 1 + 0 1 t

y2 W o e2'

(i+O ve

" 1 ~ - e1 -e' 0 0

0 0 y3(0 =

elde edilir. Üzerinde kısaca duracağımız son bir özellik de özgül değerlerin karmaşık

sayı olarak çıkmasıdır. Eğer özgül değer A = « + i/3 gibi bir karmaşık sayı çı-karsa ve buna karşıkk gelen özgül yöney v = v1 -f i y 2 biçimindeyse, y = Ay denkleminin bu karmaşık değerli çözümü

4 3 0

(22.4.27) y'(t) = e«' [v1 cos fit - v2 sin fit] (22.4.28) y2(t) = e*' [v2 sin fit + v2 cos pt] biçiminde iki gerçel değerli çözüm verir.

b # O olduğunda, değiştirgenlerin değişimi yöntemi ile tektürel olmayan dizgenin özel çözümü bulunur. Ancak, özel bir durumda b ^ 0 ve b t'nin iş-levi değilse, bu özel çözüm (22.4.29) yp(t) = - A 1 b biçiminde olur. Böylece (22.4.30) y = Ay + b denkleminin y(0) = y0 başlangıç koşulu verildiğinde çözümü (22.4.31) y(t) = eA,(e-A(0) y0) - A"1 b biçiminde olacaktır.

ALIŞTIRMALAR

A.22.1 Aşağıdaki birinci sıra doğrusal türevsel denklemlerin çözümlerini bu-lun.

i) - 3 * = 2t

ii) - ğ - - 2 ty = t y(0) = 1

iii) - 4 y = 12 y(0) = 2

A.22.2 Aşağıdaki birinci sıra ayrımlanabilir türevsel denklemlerin çözümle-rini bulun.

i) -İL - 1 + y> y(0) - 1

ii) - t _ - J - T(0> = 2 y

iii) -4^- 4- ey cos t — 0 ' dt

A.22.3 Aşağıdaki tam denklemlerin çözümlerini bulun.

i) 4t3£t+>' + tV+» + 2t + (tV+" + 2y) — = 0 y(0) = 1

4 3 1

ii) (t2 + y) dt + (t + ey) dy = O iii) 3 y2 dy — t dt = O

A.22.4 Aşağıdaki ikinci sıra sabit katsayılı doğrusal türevsel denklemlerin verilen başlangıç koşulları altında çözümlerini bulun.

ü ) - ^ - 4 , , , ,<0) = ! J f L _ „

iii, + 6 L = - 2

A.22.5 Aşağıdaki sabit katsayılı birinci sıra doğrusal türevsel denklem diz-gesinin verilen başlangıç koşulları altında çözümünü bulun.

= 2 y, + 3 y2 + 6

4 ^ y 1 + 4 y 2 + 3

y,(0) = 1 y2(0) = 2 A.22.6 Bornova halinde domates için istem denklemi

qd = 220 - 4p +2 - J -

ve sunum denklemi ise dp

qs = 40 + 6p + 20 dt biçiminde kestirilmiş olsun. Burada qd: istem miktarını (Kg), qs: sunum mik-tarını (Kg), p: bir kg. domatesin fiyatını (TL) ve t zamanı göstermektedir.

a) Bu denklemin iktisadi anlamını belirtin. b) Bornova halinde bu mevsim başında domates fiyatı p(0) = 3 TL /kg

olsun. Ayrıca her an domates sunum ve isteminin birbirlerine eşit-lendiğini varsayahm. Bu durumda fiyatların zaman içinde nasıl ha-reket edeceğini bulun. Bu piyasada bir denge fiyatı söz konusu mu-dur? Bu fiyata doğru bir gidiş var mı?

(SBF, Haziran 1975 Sınav Sorusu)

4 3 2

A.22.7 Bir ekonomide sadece iki mal üretildiğini düşünelim. Bu malların is-tem işlevleri

qd = - 3 P, + 2P2 + 0.06 y q2

d = 5 P, - 8 P 2 + 0.03 y biçiminde olsun. Burada qd (i=l,2) i-inci maldan istenen miktar, pt (i= 1,2) i-inci malın fiyatı ve y ise geliri göstermektedir. Bu mallar için sunum istem-leri ise

= 2 + 3 P, 5/ = 0 . 5 + 2 P2

biçimindedir. Burada da qis (i=1,2) i-inci maldan sunulan miktarı göster-

mektedir. Bu ekonomide Walras'çı kaynak dağıtım sürecinin geçerli olduğunu var-

sayalım1. Bu sürecin kurallarına göre, tellal fiyatları istem fazlasına (yani is-tem ile sunum arasındaki farka) oranlı olarak değiştirmektedir. Bu modelde tellalın fiyat değiştirme kurallarının

= ° - 5 - o ^ = 0.4 (q2

d -

biçiminde olduğunu varsayalım. Ayrıca ekonomide gelir düzeyinin y = 100 TL ve başlangıç anında fiyatların p,(0) = 1, jp2(0) = 2 olduğunu kabul edelim.

i) Bu bilgilerin ışığında fiyatların zaman içinde hangi denklemlere göre değişeceğini bulun.

ii) Bu modelde denge fiyatlarını bulun. iii) Zaman içinde fiyatlar dengeye doğru gidiyorlar mı?

KAYNAKLAR

S. B A R N E T T - C. S T O R E Y (1970): Matrix Methods in Stability Theory, Barnes and Noble, New York.

M. B R A U N (1975): Differential Equations and Their Applications, Springer Verlag, Neıv York.

T. B U L U T A Y (1979): Genel Denge Kuramı, A.U. S B F Yayını , No. 434, Ankara .

E .A. COJDDINGTON - N. L E V I N S O N (1955): Theory ofOrdinary Differential Equations, McGraw Hill,

New York.

L. E L S G O L T S (1970): Differential Equations and the Calculus of Variations, M I R Publishers, MOSCOYV.

H . E R S E L (1977): Kaynak Dağıtım Süreçleri İçin Kuramsal Bir Çerçeve, S B F Yayını , No. 419, Ankara .

1 Bu konuda geniş bilgi için B U L U T A Y (1979, özellikle bö lüm 9) ve E R S E L (1977, Bölüm 3) başvurulabil ir . İ lk k a y n a k bu konuyu çok d a h a geniş bir biçimde, t ü m sorunlarını gözönüne alarak incelemektedir .

4 3 3

G. GAISDOI.FO (1971): Mathematical Methods and Models in Economic Dynamics, North Holland, Ams-

terdam (Türevsel Denklemlerin iktisada uygulanmasına ilişkin bol örnek içermektedir.)

M.W. H I R S C H - S. SMALE (1974): Differential Equations, Dynanıical Systems, and Linear Algebra,

Acadeınic Press, New York.

ü . H Ü S E Y İ N - E . S E Z E R (1977): Matrisler ve Türevsel Denklemler, ODTÜ Yayım, Ankara.

M. ORUÇ (1976): Adi Türevli Differansiyel Denklemler Dersi, A.Ü. Fen Fakültesi Yayım No 124, Mate-

matik 27, Ankara.

G. SABAN (1971): Analiz Dersleri, I , I .Ü.Fen Fakültesi Yayını No. 1680/108, İs tanbul (Dizilerde yakınsama konusu inceleniyor).

H .K. WILSON (1971): Ordinary Differential Equations, Addison Wesley, Readiııg Mass.

4 3 4

FARK DENKLEMLERİ

23. Bölüm

Bu bölümde fark denklemlerini (difference equations) ele alacağız. Bunu yaparken, türevsel denklemleri ele alışımıza koşut bir yol izleyerek, konunun iktisat açısından önemli olan kısımları üzerinde duracağız. Böylece, ilgilene-ceğimiz fark denklemleri türleri, göreli olarak basit türler olacaktır. Yine bu bölümde fark denklemlerinin sadece çözümlerinin bulunmasıyla ilgilenecek, "kararlılık" sorununu 24. Bölüme bırakacağız.

23.1. Kesikli Zaman ve Fark Kavramları, tşlemleyiciler

Türevsel denklemleri ele aldığımızda, bunların iktisâtta büyük ölçüde devingen çözümlemede kullanıldıkları ve t değişkeninin zamanı gösterdiğini belirtmiştik. Bu yaklaşımın temel özelliği zaman değişkeninin Sürekli değiş-tiğinin varsayılmasıydı. Oysa, özellikle uygulamalı çakşmalarda, zaman bir kesikli değişken (discrete variable) niteliği taşımaktadır. Yani bu varsayım altında, ele alınan bir değişken lıer zaman dönemi (period) için bir tek değer taşımakta, değişkenin değeri ancak dönem değiştiğinde, değişebilmektedir. Örneğin, Türkiye'de ulusal gelir ker yıl için kestirilmeğe çalışılır. Ulusal geliri yaratan çabalar sürekli olduğu halde, ulusal gelir bir takvim yılı için tanım-lanır. Dolayısı ile ulusal gelir, ancak tanımlandığı dönem değiştiğinde değişir, t dönemi için ulusal geliri Y (t) ile gösterirsek tüm t dönemi boyunca bu bü-yüklük aynı kalacak, ancak t + 1 dönemine girildiğinde (31 Aralık'dan 1 Ocak'a geçildiğinde) ulusal gelir değişecektir, işte devingen iktisatta bu tür yakla-şıma dönem çözümlemesi (period analysis) denir.

Dikkat edilirse bu yaklaşımın temelinde t değişkeninin iki değeri arasında sonlu fark olması yatmaktadır. Bu özelliği daha biçimsel olarak görmek için aşağıdaki işlevi ele alalım: (23.1.1) y = f(t)

Şimdi t değişkeninin A ' kadar arttığını diişünelinc ve (23.1.2) f(t + At) - f [t) = y(t + A t) - y(t) = A y(t) tanımını yapalım. Böylece ulaşılan A simgesine fark işlemleyicisi (difference operator) ve At'ye de fark aralığı (difference interval) denir.

4 3 5

Basitlik sağlamak üzere fark aralıklarının sabit olduğunu varsayalım. Böylece (23.1.3) A t = h yazabiliriz. Diğer taraftan değişkenlerimizin ölçeğini de uygun bir biçimde seçerek, (23.1.4) h = 1 alırsak, l değişkenini (23.1.5) . . . . , t, t + 1 , t + 2 , . . . . , t + n , biçiminde bir dizi olarak ifade edebiliriz. Biz bundan sonra yapacağımız çö-zümlemelerde t değişkeninin (23.1.5)Ji sağladığını varsayacağız.

Yukarıda (23.1.5) ile verilen diziye karşılık gelen kesikli değişkenin (23.1.6) y(t), y ( t+1 ) , y ( t+2) , . . . . , y(t +n) , dizisi oluşturduğunu düşünelim. (23.1.2)'de yaptığımıza benzer bir yolla, bu dizinin öğeleri arasında bağıntı kuran bazı işlemleyiciler tanımlayabiliriz. Bunlar fark denklemlerinin çözümünde işe yaradıkları için önemlidirler:

TANIM 23.1.1 (23.1.6)Jdaki dizi verildiğinde (23.1.7) Ay(t) = y(t +1) - y(t) denklemindeki A simgesine fark işlemleyicisi (difference operator) denir. (23.1.8) E y(t) — y(t + 1) denklemindeki E simgesine Kayma İşlemleyi-cisi (Shift operator) denir. (23.1.9) L y (t) = y(t — 1) denklemindeki L simgesine Gecikme İşlem-leyicisi (Lag operator) denir.

Bu tanımlara dayanarak daha üst sıradan fark, kayma ve gecikme de tanımlanabilir.

TANIM 23.1.2 n- inci fark (23.1.10) A" y(t) = A""1 y(t +1) - A"-1 y(t) biçiminde tanımlanır.

ÖRNEK: ikinci fark, bu tanıma göre,

A2 y(t) = Ay(*+1) - Ay(t) olacaktır. Burada

Ay(t+1) - y(t +2) - y(t+l) Ay(t) = y(f+l) - y(t)

olduğundan

4 3 6

AMO = y(t+2) - y(«+l) - y(t+1) + y(t) = y(t + 2) - 2 y(t +1) + y(t)

elde edilir. TANIM 23.1.3 n-inci kayma (23.1.11) E" y(t) = y(t+n) biçiminde tanımlanır. ÖRNEK: İkinci kayma

Ey(t) = y(t+2) dir. TEOREM 23.1.1 E = A — 1 dir. KANIT: A y ( t + n ) = y ( t + n + l ) — y{t+n)

= E y(t+n) - y{t+n)

y(t+n) = (E-1) y(t+n) (Î.K.) TANIM 23.1.4 n-inci gecikme (23.1.12) L" y(f) = y( t -n ) biçiminde tanımlanır. -ÖRNEK: İkinci gecikme

U y(t) = y(t 2) dir. NOT: Eğer E~1 y(t-f-l) = y(t) biçiminde kayma işlemleyicisinin evriğini ta-nımlarsak, E~~l = L olduğu açıkça görülür.

Îşlemleyicilerin, gerçel sayılara benzeyen bazı özellikleri vardır:

TEOREM 23.1.2 E ve L işlemleyicileri aşağıdaki özellikleri sağlarlar (i) E" Em = Em E" = Em+n

(ii) E~n E~m = L" Lm = E~in+m) = Ln+m

KANIT: İşlen ler yapılarak kolayca görülebilir. Îşlemleyicilerin gerçel saydarın bazı özelliklerini taşıdıklarından hare-

ketle, işlemleyicilerin işlevlerini de tanın layabiliriz.

TANIM 23.1.5 n- inci sıradan çok terimli kayma işlemleyicisi (23.1.13) f(E) = an E» + aB_ t .E"-1 + .". + a, E + a0

biçiminde birçok terimlidir. Burada a,, i=0,1, n, gerçel sayılar olup, (23.1.14) f(E) y(t) = o„ Y(t+n ) + a,,., y ( t + n - l ) + . . . +a,y(t +1) + a0y(t) dir.

4 3 7

ÖRNEK: f(E) = ZE2 + 2E + 4 olsun. f(E) . y(t) = 3y(t+2) + 2y(t+l) + y(t)

TANIM 23.1.6 n-inci sıradan çok terimli gecikme işlemleyicisi (23.1.15) f(L) = bn L" + Ln~' + + 6, L + b0

biçiminde birçok terimlidir. Burada bt, i=0, l , n, gerçel sayılar olup (23.1.16) f(L)y(t) = bny(t ?ı) + b ^ t - n + 1) + . . . + 6,y(t - 1) + 60y(t) dir. ÖRNEK: f(L). = L2 + 3L - 4

f(L) y(t) = y(t—2) + 3y(t-l) - 4y(t) TEOREM 23.1.3 /(E) ve g(E) iki çok terimli kayma işlemleyicisi olsun. 0 halde:

(i)/(£) +g{E) = g{E) +f(E) (ii) f(E) . g(E) . /(E)

dir. KANIT:: işlemler yapdarak kolayca gösterilebilir. TEOREM 23.1.4 Aşağıdaki çok terimli kayma işlemleyicisi verilsin. (23.1.17) f(E) = E" + a,(_j E"-2 + . . : . . . . , + a, E + a0

Bu durumda (23.1.18) x" + <v-, x"-> + .'.+ «, * + a0 = 0 denkleminin kökleri x p , xn ise (23.1.19) f(E) = (E—xt) (E-x2) , (E-x„) dir.

KANIT: Çok terimlilerin köklerine ilişkin özelliklerinden kolayca çıkarılabilir.

23.2. Doğrusal Fark Denklemleri (23.1.5) ve (23.1.6),da verilen dizilere dayanarak, fark denklemi (diffe-

rence equation) kavramını tanımlayabiliriz. TANIM 23.2.1. Aşağıda verilen (23.2.1) y(t) = y(0), y(l), , y(t), y(«+l), dizisinin çeşitli öğelerini birbiriyle ilişkilendiren herhangi bir işleve Bayağı Fark Denklemi (Ordinary Difference Ecjuation) denir.1 Biz bu işleve kısaca fark denklemi diyeceğiz.

1 Bu k i tap ta , tikel fark denklemi (partical difference equation) adı verilen ve birden fazla değiş-kene bağlı olan fark denklemleri üzerinde durulmayacaktır . Bu konu için, örneğin, L E V Y - LESSMAN (1961, s. 239-268)'a başvurulabilir.

4 3 8

Bir fark denkleminin fark aralıklarından en büyük olanı, fark denklemi-nin sırasını verir. Eğer bir fark denkleminde y(t-\-i) terimleri sadece doğrusal olarak giriy orlarsa, buna doğrusal fark denklemi denir.

Bir, re-inci sıra doğrusal fark denklemini,/„ (t), f0{t), g(t) sü-rekli işlevler ve fn(t) # 0 fu(t) # 0 olduğunda (23.2.2) f„(t) y(t+n) + + f0(t, y(t) = g(t) ya da

(23.2.3) fi(t+i) = M - , ,(t) = M-fn(t) m

biçiminde tanımlanarak (23.2.4) y(t+n) + /„_,(t) ( l + n - 1 ) + + /„(() y(t) = g(t) olarak ifade edilebilir.1

Eğer £==0,1, n için için/,(() = C; biçiminde sabit işlevler ise, (23. 2.2) n-iııci sıradan sabit katsayılı doğrusal fark denklemi adını alır. Eğer g(t) = 0 ise sözkonusu denkleme tektürel denir.

Şimdi doğrusal fark denklemlerinin çözümlerinin nasıl bulunacağını gö-relim. Bu amaçla türevsel denklemlerde izlediğimiz yola koşut olarak önce varlık ve birteklik teoremini verecek, sonra da sırasıyla tektürel denklemin çözümü ile genel çözümün bulunmasına ilişkin teoremleri göreceğiz. TEOREM 23.2.1: (VARLIK VE BİRTEKLİK) y(t)'nin n ardışık değeri başlangıç koşulu olarak verildiğinde (23.2.2) ya da (23.2.4) ile ifade edilen re-inci sıra doğrusal fark denkleminin birtek çözümü vardır. KANIT: KENKEL (1974, s. 84-85)

(23.2.4)'de verilen denkleme karşılık gelen tektürel denklem (23.2.5) y(t+n) + /„_t(t) y(f- re+1) + + /„(») = 0 olsun. Bu denklemin çözümleri aşağıdaki teoremde belirtilen önemli özelliği sağlarlar: TEOREM 23.2.2: y^t), ym{t): (23.2.5)'in, m çözümü olsun. O halde herhangi m tane sabi4', Cı, , cm, için

m (23.2.6) S c; yi(t)

i = 1 de bir çözümdür.

1 Bu ifadeyi biz her zaman I + n yerine t yazarak

y(<) + /„_, (0 y('-i) + + U<) y('-") = g('-») biçiminde ifade edebiliriz. Çünkü fark denklemleri, ele alınan dizinin her noktasında aynı bağıntının geçerli olduğu varsayımına dayanılarak oluşturulur.

4 3 9

s (_1

KANIT: (23.2.6)'da verilen ifadenin çözüm olduğunu gösterebilmek için (23.2.5)'de yerine konulduğunda bu denklemi sağladığını göstermek yeterlidir. Bu işlemi yaptığımızda

Wt (t+n) + /„_,(«) ( £^ ctyt (t+n-1) ) + ... + fû(t) ^ ctyAt) )

elde ederiz. Buradaki terimleri açar ve düzenlersek m Ş c, [y( (t+n) + /„_1(t) y, (t+rc-1) + + /„(t) yA i ) ] lasl ,

elde ederiz. y;(t), £—1, m, (23.2.5)'in çözümleri olduğuna göre, köşeli parantez içindeki ifade tüm i-ler için sıfırdır. Dola} ısı ile tüm toplam sıfıra

m eşittir. O halde S c( y^t) de bir çözümdür.

(Î.K.) Bu teoremin anlamı, elimizdeki tek türel denklemin sonsuz sayıda çözü-

mü olduğudur. Ancak yine bu teoremden çıkarabileceğimiz bir başka sonuç da bu çözümlerin bir kısmı diğerlerinin doğrusal bileşiminden elde edilmektedir. O halde, tüm çözümleri verebilecek, bir doğrusal bağımsız çözüm kümesi bu-lunabilirse, tektürel denklemin çözümü sorunu yanıtlanmış olacaktır. Çünkü bu durumda, Teorem 23.2.7'den, başlangıç koşulları verildiğinde, aradığımız çözümü, doğrusal bağımsız çözümlerin katsayılarını belirleyerek bulabilece-ğimizi biliyoruz.

Önce bu tektürel denklemin kaç tane doğrusal bağımsız çözümü olabile-ceğini üzerinde duralım. TEOREM 23.2.3: (23.2.5)'de verilen tektürel denklemin n tane doğrusal bağım-sız çözümü vardır. KANIT: KENKEL (1974, s. 101-102)

Şimdi doğrusal bağımsız çözümlerin hangi özelliği sağlamaları gerektiği üzerinde duralım. Anımsanacağı üzere, türevsel denklemlerde bu amaçla Wronski belirtenine başvuruluyordu. Fark denklemlerinde ise Wronski belir-teninin işlevini aşağıda tanımlanan dizeyin belirteni üstlenmektedir. TANIM: 23.2.2 yı(t),... ,yn(t), (23.2.5)'in herhangi n çözümü olsun. Bu durumda

~ yiV) y2(t) y„(t) y,(t+1) y2(f +i) y,A«+i)

(23.2.7) C(t) = .

_ y : ( t + n - ] ) y2 ( i :+n-l ) y„(f+n- l ) _ Casorati Dizeyi adını alır. Bu dizeyin belirtenine de Casorati Belirteni denir.

4 4 0

Şimdi, tektürel denklemin doğrusal bağımsız çözümlerinin sağlaması gerekli ve yeterli özelliği görelim. TEOREM 23.2.4: yı(t), y„(t), ancak ve ancak (23.2.5)'de verilen tek-türel denklemin doğrusal bağımsız çözümleri ise bunların Casorati belirteni, tüm t değerleri için, sıfırdan farklıdır. KANIT: KENKEL (1974, s. 103-105)

Bu teoremdeki özelliği taşıyan çözümler aşağıdaki tanımda verilen özel bir çözüm kümesini belirler. TANIM 23.2.3: yı(t), y„(t), (23.2.5)'de verilen tektürel denklemin n çözümü olsun. Eğer bu işlevlerin Casorati belirteni tüm t değerleri için sıfır-dan farklı ise, bunlara temel çözüm kümesi ya da temel dizge denir.

0 halde tektürel dizgenin çözümünün bulmak için temel dizgenin elde edilmesi gerekli ve yeterlidir. Bunun nasıl yapılacağını, sabit katsayılı fark denklemleri için izleyen alt bölümlerde göreceğiz. Burada üzerinde durmamız gereken son sörun ise (23.2.4)Jde verilen tektürel olmayan denklemin çözümü-nü nasıl bulac'ağımızdır.

TEOREM 23.2.5: (23.2.4)'ün herhangibir çözümü y(t), (23.2.5)'in çözümü de y(t) olsun. O halde

(23.2.8) y(t) = y(t) + y(t) de (23.2.4)'ün bir genel çözümüdür. KANIT: KENKEL (1974, s. 96)

23.3. Birinci Sıra Sabit Katsayılı Doğrusal Fark Denklemleri

Birinci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemi (23.3.1) y ( t + l ) + a ı y (t) = g(t) a, # 0 biçiminde ifade edilir. Buna karşılık gelen tektürel denklem ise (23.3.2) y(t+l) + «ı y(«) = 0 dır. Daha önce gördüğümüz genel teoremlerde tektürel denklemin bir doğru-sal bağımsız çözümü olacağı ve bir başlangıç değeri verildiğinde de bir tek çö-züm bulunacağını çıkarabiliriz. Bu çözümü bulabilmek için şöyle bir yol iz-leyelim.1 Başlangıç noktasında, yani t = 0 olduğunda, y(0) = y„ olsun.

Bu bilgiye dayanarak aşağıdaki diziyi türetebiliriz. y(l) = — a,y(0) = — aıy0

y(2) = - öıy(l) = - a, (~a,y0) = (-oı)2y<>

1 Bu yol için G. GANDOLFO (1971, s. 14-15) 'dan yararlanılmıştır.

4 4 1

j(3) = - a,y(2) = - o, {-al)2y0 = ( - a , ) 3 y0

y(t) = - a,y(t-1) = -aı(-aı)'->y0 = (-a1)'yll

0 halde, aranan çözüm (23.3.3) y(t) = y „(-«,)< Biçiminde elde edilmektedir. Bunun bir çözüm olduğunu görebilmek için (23. 3.2)'de yerine koyalım.

(23.3.4) yB y-a^ + a, y 0 ( - a , ) ' = y0 (-of ( - a , + a,) = 0 olduğundan (23.3.3) bir çözümdür. Görüldüğü üzere bir tek çözüm bulunması içiny0 başlangıç değerinin verilmesi gerekli ve yeterlidir.

(23.3.1)'de verilen tektürel olmayan denklemin genel çözümün Ln buluna-bilmesi için, (23.3.1)'in özel çözümünün, yani bu denklemi sağlayan herhangi bir çözümün elde edilmesi gerekir. Bu ise g(t) işlevinin türünün bilinmesini gerektirir. Biz, burada bu çözümü elde etmek için başvurulabilecek genel yöntemleri ele almayacağız.1 Bunun yerine, g(t)'nin bazı özel biçimlerinde çö-zümün ne olacağını belirtmekle yetineceğiz:

A) §(') — b, yani denklemin sağ tarafı bir sabit, olsun. Bu durumda

J ( ! ) = -«,y(0)+& y(2) = - a , y ( l ) +b = -a, (-a.y(O) +6) +6=( -a 1 ) 2 y(0) + (-<*,)&+& y(3 j= _ a , y ( 2 ) + 6 = - o 1 ( - o 1 y 1 +b) +6=(-a , ) 3y(0) + ( - « , ) 2 & + ( - a j b + b

y(t) = {-aıyy{0)+b (-a,)'-1 + ( - a 1 ) t - 2 + +(-«1)2 +(-«:)+!

elde edilir, a = — a dersek ve geometrik diziye ilişkin kurallardan

(23.2.5. a) 1 + a + a2 + + a L l = ] ~ a * 1 I — a

(23.2.5. b) 1 + a + a2 + . . + a*-1 '= t a = 1 olduğu anımsanırsa, aranan özel çözüm

(23.2.6. a) b [ Y + a f ] - «, / - 1

(23.2.6. b) b t — o, — — 1 elde edileceğinden, genel çözüm, gerekli düzenleme yapıldığında,

1 Bu konuda ör.ıeğin LEVY-LESSMAN (1961, s. 106-109) ya da K E N K E L (1971, s. 138-150) bakılabilir.

4 4 2

(23 .2.7. a) y{t) = [y(0) - - j L - ] (-«,)« + - j ^ - ~ «ı *

(23.2.7. h) = y(0) + bt — «, = —1 biçiminde elde edilir. Aranan çözüm yine y(0) = y 0 biçimindeki başlangıç koşulu verildiğinde, bulunur. ÖRNEK: y(0) = 4 olduğunda

y(t+1) + 2 y(t) = 3 denkleminin genel çözümünü bulalım, — a, = — 2 olduğundan

y(t) = 4 - A ( -2 ) ' + = + 1

elde edilir. B) g(t) bir üstsel işlev olsun. Bu durumda c vc k iki sabit olduğunda

(23.2.8) g{t) = c k1

yazılabilir. Özel çözüm olarak m/e"yi deneyelim. (23.3.1)'de yerine koyarsak

mk'+1 + «! mk' = ck* olacağından

fe( m& + e^nı — ck — 0 elde edilir. Bu ise k # 0 olduğunda, ancak ve ancak

(23.3.9) m ,= —r—!—

ise sağlanır. O halde özel çözüm

(23.3.10) tf.) = - J * L - k>

biçiminde olacaktır. Bu durumda aradığımız genel çözüm

(23.3.11) y(t) = y(0) (-a,)' + k

'

biçiminde elde edilir. Ancak bu yaklaşım k-{-a1 = 0 olduğunda yürümeyecektir. Bu durumda

çözüm olarak t m kl denenir. Ulaşılan özel çözüm

(23.3.12) yt = — td<

biçiminde olacağından, genel çözüm

4 4 3

(23.3.13) y(t) = y(0) (-«,)< + ( — t d '

biçiminde elde edilir. Bu durumda da y(0) = y 0 başlangıç koşulunun verilmesi durumunda

aranan çözüm bulunacaktır.

ÖRNEK: y(t+l) + 2 y(t) = 6 (3)(

J( 0) = 8 Burada a, — 2, c = 6, k — 3 olduğundan

y(t) = 8 ( - 2 ) ' + ( ^ r ) W

elde edilir.

€) g(t) = a 0 + ait olsun. Bu durumda özel çözüm olarak

(23.3.14) y(t) = Y o + Y l t yi deneyelim. Bu durumda, (23.3.14)'de önerilen çözüm ^23.3.1)5de yerine

konursa

(Yo + Yı (t+1)) + «ı (Yo + V f) = Ko + «ı t ya da düzenlersek

(Yo + Yı + «ı Yo) + (Yı + «ı Yı) t = «„ + aı t elde edilir. Aradığımız y 0 ve yı katsayılarım (23.3.15.a) (l+a,J Y o + Y . = a„ (23.3.15.b) (1+a,) Y ı = aı denklemlerini eşanlı olarak çözerek buluruz.

ÖRNEK: y( t+l) + 3 y(t) = 2 + 3 t, y(0) = 2 olsun. Özel çözüm

olarak y(t) = Y o + Yı t denediğimizde (23.3.15 a/b)'den

4 Yo + Y, = 2 4 Y ı = 3

5 3

denklemleri elde edilir ve buradan da Y o = - j^- , v> = sonucuna ula-

şılır. O halde aranan genel çözüm y(t) = 2 (—3)' + A - + ± t

dir.

4 4 4

Birinci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemlerine ilişkin tartışmayı bir iktisadi örnek vererek bitirelim. İKTİSADÎ ÖRNEK: (Örümcek Ağı Teoremi) İktisat kuramı kitaplarında1

sunumun fiyat değişmelerine tepkisinin gecikmeli olduğu durumlarda, fiyat-ların zaman içinde gösterdiği hareket ele alınmakta, bu özellikten doğan dal-galanmalar incelenmektedir. Bu teoremden hareketle tarım ürünlerinin fiyat-larının başarılı bir biçimde açıklanabileceği de gösterildiği için, bu konu uy-gulamalı iktisat açısından da önem taşımaktadır.

Şimdi bu teoremi bir fark denklemi modeli olarak ifade edelim.2 Modelin temel varsayımlarını şöyle sayabiliriz.

i) Sunum tamamen beklenen fiyata bağlıdır. ii) Gerçek piyasa fiyatı, fazla istemi ortadan kaldıracak biçimde istemi

ayarlar. iii) beklenen fiyat, bir önceki denge fiyatıdır. iv) ne alıcıların ve ne de satıcıların stokları vardır. Bu durumda modeli

biçiminde yazabiliriz. Burada (23.3.16) istem denklemidir. qd(t), t dönemin-deki istemi p(t), t dönemindeki fiyatı göstermektedir. • (23.3.17) ise sunum denklemidir. qs{t), t dönemindeki sunumu; pe(t), t döneminde beklenen fiyatı göstermektedir. (23.3.18) denge koşuludur. (23.3.19) ise durağan bekleyişlerin geçerli olduğunu, yani beklenen fiyatın bir önceki dönemin denge fiyatına eşit olduğunu göstermektedir.

(23.3.16), (23.3.17) ve (23.3.19)Ju (23.3.18)'de yerine koyarsak

elde edilir. Bu bir birinci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemidir. Fark denklemleri t'nin özgül değerlerinden bağımsız olarak y(t+ i)'ler arasında bağıntı kurduklarından, yukarıdaki denklemi, bu bölümde kullandığımız

(23.3.16) q\t) = a 0 - a, p(t) (23.3.17) <f(t) = po + fr p°(t) (23.3.18) qd(t) = gs(t) (23.3.19) P

e(t) = p(t~ 1)

a „, aı > 0 P„, fiı > 0

(23.3.20) p{t) + p{t-1) = -Î2 aı aı

(23.3.21) p{t+1) + A . p ( t ) = -î» is. aı aı

biçimine dönüştürebiliriz. Dikkat edilirse, burada

1 Örneğin DİVİTÇİOĞLU (1974, s. 144-146), A L K Î N (1974, s. 55-56). 2 YAN DOORN (1975, s. 30-35).

445

(23.3.22) a, = J l a ı

(23.3.23) b = aı

olmaktadır. Acaba t co olduğunda fiyatlar nasıl hareket edecektir. Bunun için

önce y(t +1) -f- aıy(t) = 6 biçiminde bir fark denkleminin erey davranışını ele alalım. Aşağıdaki çizelgede bu yönden ortaya çıkabilecek durumlar veril-mektedir.

y(t+l) + o y(t) = b denkleminin çözümlerinin erey davranışı

aı b y(t)'nin davranışı

= - 1 b = 0 y(0)'da sabit = - 1 b > 0 -j- eo 'a ıraksar = - 1 b < 0 — co 'a ıraksar

# - 1 0 —- 'da sabit 1 +a

< 1 + <

+ oo 'a ıraksar > 1 — — co 'a ıraksar

— 1 < «1 < 0 b ' ' t —— ya yakınsar 1 -|-a

0 < aı < 1 •i salınarak , — 'ya yakınsar 1 + a = 1 + - Sonlu salınır, ıraksar > 1 + Sonsuz salınır, ıraksar

23.4. n-inci Sıra Sabit Katsayılı Doğrusal Fark Denklemleri -

Bu alt bölümde re-iııci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemlerini ele alacağız. Bu denklemlerde temel çözüm kümesinin nasıl bulunacağını gör-dükten sonra, özel bir durımı olan ikinci sıra fark denklemleri üzerinde biraz daha duracağız.

Bir, re-inci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemini (23.4.1) y(t+re) + «„_, y( t-re+l) + + a 0 y(t) = /( t ) biçiminde yazabiliriz. Bu denkleme karşılık gelen tektürel denklem ise

4 4 6

(23.4.2) y(t+n) + «,,_, y( t -re-f l ) + + a0 y(t) = O

dır. Önce (23.4.2) 'nin temel çözüm kümesinin nasıl bulunacağı üzerinde dura-lım. Bunun için kayma işlemleyicisi kullanarak, (23.4.2)'yi aşağıdaki biçimde ifade edelim.

(23.4.3) (E" + «„„, E"-1 + . + «, E + a0) y(t) = O

Bu durumda

(23.4.4) f(E) = E" + «„_, E" - 1 + + a, E + a0

dersek, (23.4.3)'ü

(23.4.5) f(E) y(t) = O

biçiminde yazabiliriz. Tüm t değerleri için, y (t) O olduğunda (23.4.5) an-cak ve ancak:

(23.4.6) f(E) = 0

ise geçerlidir. O halde Teorem 23.1.4'c dayanarak

(23.4.7) f(x) = xn + a„_l X"-1 + + o, * + a0 = 0

denkleminin köklerini bulmamız gerekmektedir. köklere ulaştığımızda, tektürel denklemin de çözümlerini elde edebileceğimizi bize aşağıdaki teorem vermektedir.

TEOREM 23.4.1: Eğer xt, (23.4.7)'nin herhangi bir kökü ise, y,(t) = x[t de

(23.4.2)'nin bir çözümüdür.

KANIT: yjt) = xi1 yt (23.4.2)'de yerine koyalım.

*,'+" + xt'+"-l'+ + a0 Xi'= x,' [Xl" + an_vx»-l+..+ a0] = V /(*<)

xt,f(x)'in bir kökü olduğuna göıef(xl) = 0 olduğundan

*î f(*ı) = 0 Şimdi de (23.4.7)'nin n tane farklı kökünün bir temel dizge oluşturduğunu

kanıtlayalım.

TEOREM 23.4.2: x„ (23.4.7)'nin re farklı kökü ise y,(t) = xlt,

i = l , re, (23.4.2) için bir temel dizge oluşturur.

KANIT: Teorem (23.4.1)'de i = l , re için y,(t) = xit nin (23.4.2)'nin çö-

zümü olduğunu kanıtlamıştık. Bu çözümlerin temel dizge oluşturduklarını görebilmek için bunların Casorati belirteninin tüm t değerleri için sıfırdan farklı olduğunu göstermek yeterlidir. Nitekim

447

Bel [C(t) ] = t+n-i x1'+n-> t+n-1

= nn xt i=, 1

ı X,

1

n " Xl { [ (xn - *«-,) (*„ - xn-2) (Xn ~ *,) ] i-1

[ (Xn-1 xn~2) ( * n - ı 3) '••(Xn-1 * ı ) ]

[(*3 - x2 ) (*j - *ı)]' K - *l]}

Bel [C(«)] = n» V n, > j (Xl - Xj) i= 1

a„ # O olduğundan ^ 0, i = l , , n, olur. Diğer taraftan herhangi bir i ve j çifti için xt X j olmadıkça, C(t) 0 olacağından, y^t) i—l, n bir temel dizge oluşturur.

ÖRNEK: Tektürel denklem

y(t+ 2) - y(t) - 6(y) = o olsun Bu durumda özgül denklem

f(x) = xi — X — 6 = 0 olacağından Xı = 3 x2 = —2 elde edilir.

3' - 2'

Bel [C(t)] =

(Î.K.)

1

- 2 y - 2'

= ( - 5 ) 3( . ( - 2 ) ' # O'dır. Çok terimlilerde köklerin herbirinin farklı olması her zaman beklenemez.

Aşağıdaki teorem tekrarlayan kökler olduğunda çözüme nasıl ulaşılacağını göstermektedir. TEOREM 23.4.3: xu xk, (23.4.7)'nin herbiri mjj—1, ,k kez tekrarlayan gerçel kökleri olduğunda (23.4.2)'nin genel çözümünü

4 4 8

(23.4.8) y(t) = 2 Pj(t) xf j=1

biçiminde ifade edebiliriz. Burada (23.4.9) Pj(t) = aj +C2J t + . ' .+ Cm j i" u ' - 1

olup Cıj ler sabitleri göstermektedir. KANIT: KENKEL (1974, s. 122-127)

Şimdi de, n=2 varsayalım ve ikinci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemlerini ele alalım. Bu özel durum için temel sonuçları da bir teorem biçiminde ifade edelim TEOREM 23.4.4: Aşağıdaki ikinci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemi verilsin. (23.4.10) y(t+2) + a, y( t+l) + a0 y(t) = g(t) Bu denkleme karşılık gelen tektürel denklemi (23.4.11) y(t+2) + oty(l+ 1) + «0y (t) = 0 biçiminde yazabiliriz. Bu durumda özgül denklem (23.4.12) + a, x' + aQ = 0 olacaktır. Bu denklemin kökleri ise,

(23.4.13) = ~ a ı + - 4 a ° . , = ~ ~ 4 a "

biçiminde elde edilecektir. Bu durumda üç olasılık söz konusudur. 1. Olasılık: a 2 — 4au > 0 ise kökler faydalı ve gerçel sayıdır. Bu du-

rumda (23.4.11)'in genel çözümü (23.4.14) y(t) = Ct x/ + C, x2' olacaktır.

2. Olasılık: a 2 — 4a0 = 0 ise kökler birbirine eşit ve gerçeldir. Bu du-rumda (23.4.11)'in genel çözümü (23.4.15) y{(t) = C, ** + C2 t x' . olacaktır.

3. Olasılık: a,2 — 4 aB < 0 ise kökler farklı ve karmaşık sayıdır. Bu du-rumda (23.4.11)'in genel çözümü (23.4.16) y(t) = r' Ct cos ıvt + C2 sin wt olacaktır. Burada r ve w aşağıdaki bağıntılarla belirlenir.

(23.4.17) r cos w = — a, <U

4 4 9

(23.4.18) r sin ıv = ~ (4 «,., - a,2) i

KANIT: GANDOI.FO (1971, s. 50-55) Şimdi bir örneğe dayanarak verilen bir ikinci sıra sabit katsayılı tektürel

fark denkleminin genel çözümünü bulalım ve başlangıç koşullarına dayanarak katsayıları belirleyelim. ÖRNEK: Aşağıdaki tektürel denklem ve başlangıç koşulları verilsin.

y(i +2 ) - 5 y(t +1) + 6 = 0 y(0) = 1, y(l) = 4 Bu durumda, özgül denklem

x2 — 5 x + 6 = 0 olacak ve bu denklemin kökleri de — 2 ve = 3 biçiminde belirlenecektir. O halde aranan genel çözüm

y(t) = C, 2' + C2 3' olacaktır. C, ve C2 sabitlerini belirlemek için başlangıç koşullarına başvuralım. t — 0 olduğunda

y(0) = C t + C2 = 1 \e ( = 1 olduğunda da

y( 1) - 2 C, + ,3 C2 = 2 elde edileceğinden aranan katsayıları bulabilmek için

cx + c, = 1 2 C, + 3 C2 = 4

denklemlerinin çözülmesi gerekmektedir. Buradan da C, = — 1 ve C, = 2 elde edilir. Böylece genel çözüm

y(t) = - 1 (2)' + 2 (3)' biçiminde elde edilir.

Daha önce de gördüğümüz üzere tektürel olmayan bir fark denkleminin çözümünü elde etmek için, tektürel denklemin çözümüne özel çözümün ek-lenmesi gerekmektedir, özel çözümün nasıl elde edilebileceği ise denklemin sağ tarafında yer alan g(t) ifadesinin niteliğine bağlıdır. Biz, yine bazı özel durumlarda çözümün ne olacağını belirtmekle yetineceğiz.

A) g(t) sabit ise: Bıı durumda bir «-inci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemi (23.4.19) y(t + n) + a, y(t + n - 1) + + a„ y{t) = k biçiminde yazılabilir. Özel çözüm olarak

4 5 0

(23.4.20) y*(t) = b deneyelim. Bunu (23.4.19)'da yerine koyarsak

(23.4.21) b = —— 4 T 1 + «ı + + «„

elde edilir. Bu sonuç 1 + a, + + a„ 0 olduğunda geçerlidir. ÖRNEK: y(t+2) - 2 y(t+l) - 3 y(t) = 4;y(0) = 1, j ( l ) = 2 olsun. Buna karşılık gelen tektürel denklem y{t +2) — 2y( t+l ) — 3 y\t) = 0 olduğundan özgül denklemi x- — 2 x — 3 = 0 biçiminde elde ederiz. Bunun kökleri ise xl = 3 ve x, = 1 olacaktır.

4 b = 1 - 2 - 3

olduğundan, çözüm yit) - c, 3' + c2\-ıy - ı

biçiminde olacaktır. y(0) = C, + C2 - 1 = 1 y( 1) = 3 C, - C2 - 1 = 2

olduğundan C,

= - 1

1 -

-1 - c 2 _

doğrusal denklemler dizgesinin eşanlı çözümünden C, = ——-4

bulunacaktır. Böylece aradığımız çözüm

y(')

ve C, = —t— 2 4

4 3' + A- ( - 1 ) ' - 1

biçiminde ortaya çıkacaktır. g(t) = k, fakat 1 + a,- + + a„ = 0 olduğunda özel çözüm için (23.4.22) Y*(t) = b' deneyelim. Bunu (23.4.19)'da yerine koyarsak

k (23.4.23) b = + «, (n- l ) + . . . , . . . + a„_x

elde edilir. Doğal ki bu de ancak n + a1 (w—1) + + a„_{ 0 ise geçer-lidir. Eğer bu koşul sağlanmazsa, bu defa

451

(23.4.24) Y*(t) = b t2

denenir ve avnı yolla

(23.4.25) b = k

n2 + Oj(ıı—l)2 + + a„_j biçiminde elde edilir. Bu yolla genel de (23.4.26) y* = btm m <. n denenir. ÖRNEK: Aşağıdaki fark denklemini ele alalım:

y(t+2) - 3 y(t+l) - 2 y(t) = 5 Tektürel denklem y(t+2) - 3 y( t+l) + 2 y(t) = 0

olduğundan özgül denklemi x2 — 3x + 2 = 0

biçiminde yazabiliriz. Bunun kökleri ise x{ = 2 ve x2 = 1 olduğundan y(t) = Cj(2)' + C2(iy = CtfY + c2

elde edilir. l + a 1 + a 2 = l — 3 + 2 = 0

olduğundan, özel çözüm için y*(t) = bt

denenir.

elde edilir. Böylece aranan çözüm

yit) = Cı(2)r + c2 - 5t biçiminde bulunur.

B) g(t) = bv' ise: Bu durumda özel çözüm olarak (23.4.27) y*(t) = Bv* denenir. Bu (23.4.19)'da yerine konursa

(23.4.28) B = —— ——b- — v' K ' v" + aı v"'1 + + a„ elde edilir. Bu ancak V + a t v"~x + v+ an 0 ise geçerlidir. Eğer bu koşul sağlanmazsa m = 2 den başlanarak

4 5 2

(23.4.29) y*(t) = Btm vt m <, n denenir. ÖRNEK: y(t+2) - 3 y ( t - l ) + 2 y(t) = 3 (4jf

olduğunda

42 — 3 (4) + 2 olacağından, aranan çözüm

y(t) = Ct(2)' + C2 + (*)' biçiminde elde edilir.

Q g(') = fct" ise özel çözüm olarak (23.4.30) y*(t) = B0 + B,t + B2t2 + + Bv t' denenir. Buradaki Bt (i=0,l, v) katsayılarına belirlenmemiş katsayılar denir ve aşağıdaki örnekteki yöntem ile bulunurlar.

ÖRNEK: y(t + 2) - 3 y{t+l) — 2 y(t) = 4t2

olsun. Bu durumda y*(t) = B0 + B1 t + B2 t2

olacaktır. Şimdi

y*(t+l) = B a + -5,(1+1) + B2(t+1)2

= (£„ + B, + B2) + (B, + 2B2) t + B2 t2

y*(t+2) = Ba + £,(1+2) + £2( t+2)2

= (B0 + 2B2 + 4B2) + (B1 + 4B2) t + B2t2

olacaktır. Bunları verilen fark denkleminde yerlerine koyarsak (B0 + 2B, + 4B2) + (Bt + 4B2) t + B2t2 - 3 (B0 + B, + £2)

- 3 (B, + 2 B2) t - 3 B2t2 - 2 B„ — 2Btt - 2 B2t2 = 4 t2

ya de, düzenlersek ( - 4 B 0 — B t + B2) + ( - 4 B, - 2 B2) t - 4 B2t2 = 4 t2

elde edilir. Bu durumda, yukarıdaki denklemin iki tarafındaki çok terimliler birbirlerine eşit olduğuna göre

—4 B0 — B1 + B2 = 0 — 4 B, — 2 Bz = 0

- 4 B2 = 4

4 5 3

elde edilir. Buradan da B, = — 1, B = — ve B 0 = —-— bulunur. O 1 o

halde özel çözüm

olacağından

y(t) = C,(2)' + C2 - + -L , - t2

elde edilir. Bu alt bölümü, iktisattan bir örnek vererek bitirelim. İKTİSADİ ÖRNEK: (Samuelson'un çoğaltan hızlandıran modeli) Sa-

muelson, yatırımların gelir değişmelerine duyarh olduğu bir ekonomide ulusal gelirin zaman içinde nasıl hareket edeceğini incelemiştir. Samuelson'un mo-deli üç denklemden oluşmaktadır: (23.4.31) C(t) = c0 + c, Y( t - l ) c0 > 0, 0 < C l < 1 (23.4.32) J(t) = y [Y(t- l ) - Y(t—2)] y > 0 (23.4.33) Y(t) = C(t) + I(t)

Burada (23.4.31) tüketim işlevidir. Tüketimin bir dönem önceki ulusal gelire bağk olduğu kabul edilmektedir. (23.4.32) ise yatırım işlevidir. Yatırım, ulusal gelirde bir dönem önce meydana gelen artışa bağlıdır. Bu bağımlılığı ise hızlandıran (accelerator) katsayısı belirlemektedir. (23.4.33) ise ulusal gelir eşitliğidir. (23.4.31) ve (23.4.32)'yi (23.4.33)'de yerine koyar ve düzenlersek (23.4.34) Y(t) - (c, + y) Y( t - l ) + y Y(t-2) = c0

elde edilir. Bu bir ikinci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemidir. Ulusal gelirin zaman içinde nasıl hareket edeceğini ise (23.4.34)'den türetilen özgül denklemin köklerinin alacağı değerler belirleyecektir. Burada önemli olan ba-ğıntının (23.4.35) A — (cı + y)2 - 4 y olduğu gözönüne alınırsa, bu hareketin niteliğini marjinal tüketim eğilimi ile hızlandıran katsayısının göreli büyüklükleri belirlemektedir.

23.5. Birinci Sıra Sabit Katsaydı Doğrusal Fark Denklemi Dizgeleri

Bu alt bölümde, fark denklemi dizgelerine bir giriş olmak üzere, birinci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemi dizgelerini ele alacağız. Bu tür ma-tematiksel yapılar bir taraftan ele alınan sorunun niteliğinden doğmakta diğer taraftan yüksek sıradan fark denklemlerini birinci sıraya indirgeyip daha ko-

4 5 4

lay çözüm elde etmek amacıyla kullanılmaktadır. Bu ikinci yola bir örnek gö-relim: İkinci sıra bir fark denklemi verilsin. (23.4.1.) Burada (23.5.2) (23.5.3) diyelim.

(23.5.4)

y(t+2) + a, y( t+l) + aB y(t) = 0

ydO = y(0 y , ( t + l ) = y2(t) = E yı(t) = y(t+l)

y2(f+l) = E(y2(t)) = E (y,(t)) = y(« + 2) = - a, y2(«)

Bu durumda (23.5.3) ve (23.5.4)'den

(23.5.5)

« o J l ( « )

-yı(t+l) - - 0 1 - ~ y,(0

_y2( '+i) _ _ an «1 _ _ y2(0 biçiminde bir birinci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemi dizgesi elde edilir. Bu yolla n-inci sıra bir fark denkleminden n bilinmeyenli bir birinci sıra fark denklemi dizgesi elde edilir.

Şimdi bu tür denklem dizgelerinin çözümünün nasıl bulunacağını göre-lim. A = ( a ; , ) n x n bir gerçel dizey, y(t)' = (y,(t), y„(t)) ve y(t+l) ' = (yı (t+1), , y„(t+l)) olsun. x(t) ise t'ye bağlı herhangi bir yöney olsun. Bu durumda bir birinci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemi dizgesini

(23.5.6) y( t+l) = Ay (t) + x(t) biçimde yazabiliriz, Buna karşılık gelen tektürel dizge ise (23.5.7) y(t+l) = Ay(t) olacaktır. Alt bölüm 23.1'deki tartışmalardan bu dizgenin bir tek çözüm' ol-duğunu çıkarabiliriz. Bunun için (23.5.6)'daki ifadenin bir n-inci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemine dönüştürülebileceğini anımsamak yeterli-dir.

O halde sorun, (23.5.6)'da verilen dizgenin çözüm kümesini bulmaktır, (23.5.6)'dan

y(l) = A y(0) + x(0)

y(2) = A y(l) + x(l) = A y(0) + A x(0) + x(l)

y(t) = A' y(0) + A'-1 x(0) + A ' - 2 x(l) + + x ( t - l ) elde edilecektir. Bu sonucu biz

4 5 5

(23.5.8) y(t) = A' y(0) + ' s A'-'-» x(i) iô

biçiminde yazabiliriz. O halde, y(0) başlangıç koşulu verildiğinde, (23.5.8) aranan çözümü vermektedir. Burada (23.5.9) y(t) = A' y(0) da (23.5.7) ile verilen tektürel dizgenin çözümüdür. Burada önemli sorun A' nin nasıl bulunacağıdır. Her ne kadar (23.5.10) A' = A x A x X A, t adet biçiminde tanımlanmaktaysa da, bu yolla doğrudan hesaplamanın olanaksız-lığı açıktır. Bu nedenle, izlenen yol A dizeyini köşegenleştirmektir. A'nm öz-gül değerlerini Xt, i= 1, , n ile gösterelim. A — kşg ( \ ) n x n ve P de sü-tünları A'nın özgül yöneylerinden oluşan bir dizey olduğunda (23.5.11) A = P"1 A P olduğunu biliyoruz. Bu durumda (23.5.12) A' = (P"1 A P) (P"1 A P) (P~> A P)

A = P 1 A' P olacağından (23.5.13; A' = P A' P 1

biçiminde elde edilecektir. Burada (23.5.14) A' = kşg ( \ ' ) n x n

olacaktır. Eğer f(t) — b biçiminde bir sabit yöney ise (23.5.8)'den

(23.5.15) s ' A'-'-1 f(i) = (I+A + +A'"1) b İ - 0

elde edilecektir. Diğer taraftan (23.5.16) (I + A + +A t _ 1 ) (I-A) = I - A ' olduğu gözönüne alınırsa (23.5.17) I + A + + A'"1 = ( I -A1 ) (I—A)-1

olacaktır. Bunu (23.5.8)'de yerine koyarsak (23.5.18) y(t) = A' y(0) + (I-A') (I-A)"1 b ve (23.5.13)'de burada yerine konulup düzenlendiğinde çözüm (23.5.19) y(t) = P A' E"1 [y(0) - (I-A)"1 b] + (I-A)""1 b biçiminde bulunacaktır.

4 5 6

ÖRNEK: Aşağıdaki birinci sıra sabit katsayılı doğrusal fark denklemi diz-gesinin çözümünü bulalım:

y,(t+l) = 6 yı(t) + 4 y2(t) + 2

y 2 ( t + 1 ) = _ y ı ( t ) + y2{t) + l

yı(0) = 4 y2( o) = 2 Bu dizgeyi

" 6 4 ~ -yı(t) +

- 2 "

y2(t+1) _ _ - ı ı _ .yjf) _ _ 1 _ biçiminde yazabiliriz. Burada

6

A =

olduğundan

Bel (A - X I) =

_ - 1

6—X

-1

4

1

4

1 - X = X2 — 7 X + 10 = 0

elde edilir. Buradan A'nın özgül değerleri Xı = 5 ve X2 = 2 biçiminde bulunur.

Xı = 5 için özgül yöney

6 - 5 4

-1 1 - 5 denklem dizgesinin çözümünden

1

- 1 / 4 biçiminde elde edilir.

X2 == 2 için özgül yöney de 6 - 2 4

*ıı - 0 -

- X21 - _ 0 _

- 1 1 - 2

denklem dizgesinin çözümünden 1

X12 - 0 -

_ X22 - _ 0 _

X2 = - 1

biçiminde elde edilir. Diğer taraftan

4 5 7

(I - A)-' =

olacağından

y ( 0) _ (I - A) -1 b =

0 1 ~

1 4

5 4

" 4 ~ - 0

_ 2 _ _ - 1 / 4

~ 4 ~ 1

_ 2 _ / _ - 7 / 4

3 -

_ 15/4 _

bulunur. O halde aranan çözüm de (23.5.19)'dan1

4 1 4 4 T (5) f - f (2)' i (5)' - i (2Y

yA*) (5)< + i - (2)' - 1 (5)< + | (2)'

3

+ 15 4

7_ ¥

biçiminde elde edilir. Yani

y ı ( t ) = 9(5)' - 7(2)' + 1

*(,) = _ (5)f + 6(2)' - - 1

ya da

yı W ~ 9 - 7 ~ - (5)' -

yM — 9

4 6 (2)' + J_ 4

olacaktır.

1 Burada P =

olduğundan

ı ı -, P ' =

- 4 / 3 4 / 3 -ve A ' =

- 5 ' » "

1/4 — 1 _ - - 1 / 3 — 4 / 3 _ _ 0 2 ' _

P A 1 P " 1 =

2' 4 4 3 3

_ _L 5* + -L 2' 3 3

elde edilir.

4 5 8

ALIŞTIRMALAR

A.23.1. Aşağıdaki birinci sıra doğrusal fark denklemlerini çözünüz. (i) y(t+l) - 3 y{t) = 6 (ii) y(t+l) + 4 y(t) = 1

8 (iii) y(t+l) - 0.2 y(t) (iv) y(t+1) + 0.3 y(t) = 1 (v) y(t +1) - 2 y(t) = 2'

(vi) y(« +1) - 3 y(t) = 3 + 2 1

J( 0) = 2 J(0) = -y(0) = 6 y( 0) = 2 y(0) = 3 y(0) = 2

A.23.2 Aşağıdaki ikinci sıra doğrusal fark denklemlerini çözünüz. (i) y(t +2) - 2 y(t+1) - 3 y(t) = 6 y(0) = 1 y(l)=2

(ii)y(t+2) - 4 y(t+l) + 4 y(t) = 3 y(0) = 3 y U ) = - l (iii) y(t +2) - y(t+l) + 3 y(t) = 4 y(0) = 2 y ( l )= l (iv) y(t +2) - 3 y(t+1) + 2 y(t) = 4 (2)' y(0) = 1 y(l)=3 (v) y(t+2) - 6 y(t +1) + 4 y(t) = - 2 ( - 4 ) ' y(0) = 2 y ( l )= l

A.23.3. Sir Roy F. Harrod, 1939'da yayımladığı bir yazı ile modern iktisadi büyüme kuramının öncüsü olmuştur.1 Harrod'un modelini şöyle basitleştı-rebiliriz.

(1) S(t) = sY(t) 0 < s < 1 (2) I(t) = b [Y(t) - Y(«—1)] b > 0 (3) S(t) = I(t) Burada S(t) artırımı, Y(t) ulusal geliri ve I(t) de yatırımı göstermektir.

(1) artırım denklemidir. Artırımın ulusal gelirin belli bir oranı olduğunu gös-termekledir. (2) hızlandıran tipi bir yatırım denklemidir. (3; ise yatırım-art-tırım eşitliğini vermektedir.

i) Bu modelde ulusal gelirin zaman içinde nasıl değişeceğini veren denk-lemi elde edin.

ii) Bu modelden iktisadi dalgalanmalar çıkarılabilir mi? iii) J(t) = b [Y(T— 1) — Y(t—2)] olsaydı yukarıdaki sorulara verdiğiniz

yanıtlar değişir miydi? A.23.4. J.S. Duesenberry2, aşağıdaki dört denkleme indirgenebilen bir büyü-me-dalgelanma modeli öne sürmüştü.

14-33. 1 R.F. H A R R O D : "An Essay in Dynamic Theory", Economic Journal, X L I X , March 1939, s.

2 J .S. D U E S E N B E R R Y : Business Cycles and Economic Groa lh, Mc Graw Hill, New York , 1958.

4 5 9

(1) I{t) = «, Y(t-1) + BıKit-l) «1 > O, Bı < o (2) C{t) = a 2 Y ( t - l ) + B2K ( t -1) O < «a < 1, B2 > O (3) K(t) = (1-8) K(t-1) + I(t) O < 8 < 1 (4; Y{t) = C(t) + J(»)

Burada I(t) yatırımı, Y(t) ulusal geliri, C(t) tüketimi, K(t) sermaye sto-kunu, 8 amortisman oranını göstermektedir.

i) Modelin denklemlerini yorumlayın ii) Ulusal gelirin zaman içindeki hareketini veren denklemi bulun.

iii) 8 == 0, B2 = 0 ve Bj = — 1 alarak ulusal gelirin zaman içinde hangi koşullar altında dalgalanmaksızın artacağını, hangi koşullar altında dalgalanmaların ortaya çıkacağını inceleyin.

A.23.5. Howard Sherman Marx'gil dalgalanmah büyüme modelleri üzerine yazdığı bir yazısında1 düşük tüketimden (under consumption) doğan krizleri betimleyebilmek için aşağıdaki modeli önermişti.

Y{t) = W(t) + P(t) Y(t) = C(t) + I(t) C(t) = JT(t-l) + a + h S ( t - l ) a > 0 0 < h < 1 W(t) = C + g Y(t) c > 0 0 < g < 1 1(0 = B [P ( t - l ) - P(f—2) ] B > 0 Bu modelde Y ulusal gelir, W toplam ücret ödemeleri P kârlar toplamı,

C tüketim, I yatırımı simgelemektedir. i) Denklemleri açıklayın ii) Ulusal gelirin büyüme denklemini elde edin. Hangi koşullarda düzgün

büyüme, hangi koşullarda dalgalanmak büyüme olacağını bulun. A.23.6. Aşağıdaki doğrusal fark denklemi dizgelerini çözün,

i) y,(t+l) = 3 yı (t) + 2 y2{t) + 6 y2(f+l) = 2 y,(t) - y2(t) + 2 yı(0) = 1 y2(0) = 2

ü) J>(*+1) = yı(t) + 3 y2(t) + 6 y 2 ( t+l) = 3 yı(t) - 1 J,(0) = 2 y2(0) = 3

1 H . S H E R M A N : "Manrist Models of Cyclical Growth" , History of Political Economy, Vol 3, Nol, Spring 1971, s. 28-55.

4 6 0

iii) j ! ( t+l) = 2 y2(t) + 1 y 2 ( t+l ) = j t(t) + 4 y,(0) = 1 y2(0) = 2

A.23.7. Leontief'in devingen girdi-çıktı modeli sermaye birikimi sürecinin, belli varsayımlar altında, içsel olarak ele alınabilmesine olanak sağladığı için, kalkınma planlamasıyla uğraşanların ilgisini çekmektedir.1 Bu modeli, en basit biçimiyle, şöyle ifade edebiliriz:

(1) x(t) = Ax(t) + Y(t) Y (t) = C(t) + I(t) I(t) = H [x(f+1) - *(»)]

H = B K Burada x üretim miktarları yöneyi, Y sonul istem yöneyi, I yatırım yö-

neyi, C tüketim yöneyi, A girdi katsayıları dizeyi, B yatırım istemlerinin ke-simler arası dağılımını veren dizey, K ise ana köşegeninde kesimsel sermaye -çıktı oranları yer alan bir köşegen dizeydir.

i) Bu modelin denklemlerini yorumlayın. ii) Bu modelin temel fark denklemini ve çözümünü bulun.

iii) A =

B =

K

x(0) =

~ 0.2 0.3 '

_ 0.4 0.1 _

- 0.6 0.3 ~

_ 0.4 0.7 _ _ 2 0 ~

_ 0 3 _ - 300 "

_ 200 C(t) c =

200

100 olsun. Bu iki kesimli modelin büyüme denklemini elde edin.

KAYNAKLAR

E. A L K İ N (1974): İktisat, 1 İF yayım, No. 341, İs tanbul .

R.G.D. A L L E N (1965): Mathematical Economics, Mac Millan, London, s. 176-208.

W. BAUMOL (1970): Economic Dynamics Mac, znd Edi t ion Mac, Millan, London, s. 151-253.

1 LANCE TAYLOR: "Theoretical Foundat ions and Tbeiı Implicat ions". C. B L I T Z E R ve diğer-leri tarafından derlenen Economy-Wide Models and Development Planning, Oxford, 1975, s. 50-59.

461

A.C. CHIANG (1974): Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc Graw-Hill, New York, s. 549-624.

T.F. D E R N B U R G - J .D. D E R N B U R G (1969): Macroeconomic Analysis, Addison Wesley, Reading

Mass, s. 114-154.

S. DIVITÇlOĞLU (1974): Mikroiktisat, l l F ya>mı, No. 332, İstanbul.

S. GOLDBERG (1958): Introduction to Difference Equations, John Wiley, New York.

J .L . K E N K E L (1974): Dynamic Linear Economic Models, Gordon and Breach, s. 1-208.

H. L E V Y - F . LESSMAN (1961): Finite Difference Equations, Mac Millan, New York.

T. SARGENT (1979): Macroeconomic Theory, Academic Press, New York, s. 171-195.

J . VAN DOORN (1975): Diseqııilibrium Economics, Macmillan, London, s. 81-90, Uygulama için t üm

kitap.

4 6 2

24. Bölüm

KARARLILIK

Bu bölümün amacı devingen iktisatta önemli bir yeri olan kararlılık (sta-bility) konusuna bir giriş yapmaktır. Bu amaçla çabamızı sadece birinci sıra özerk devingen türevsel ya da fark denklemi dizgeleri ile sınırkyoruz. Burada özerk (autonomous) deyimi, denklemlerin sağ tarafında, t değişkeninin belir-tik bir biçimde yer almadığı anlamına gelmektedir.

Birinci sıra özerk türevsel denklem dizgesini

~İÎT = '

= ' (24.0.1)

fniyıt ! Jn)

biçiminde yazabiliriz. Eğer

(24.0.2) - J î - = y.L i = l , . . . . . . . ,„

biçiminde tanımlarsak (24.0.1)'de verilen dizgeyi

(24.0.3) y — F(y(t)) biçiminde yazabiliriz.1

Bu bölümde önce Lyapunov'un kararlılık kuramını ele alıp, temel tanım-ları ve özerk dizgelere ilişkin sonuçları özetleyeceğiz. Altbölüm 24.2 ve 24.3'de

1 Eğer (24.0.1) yerine (24.0.4) y . ( ı + l ) = / ( T l ( 0 , yn(t)) i = 1 n

biçiminde bir fark denklemi dizgesi olsaydı. (24.0.3)'iin yerine (24.0.5) y ( t + l ) = F(y(ı))

yazabilirdik.

4 6 3

ise sırasıyla türevsel ve fark denklemi dizgeleri doğrusal ve sabit katsayıb olduğunda, kararlıbk için gerekli ve yeterli olan koşulları vereceğiz. Alt bö-lüm 24.4'de Samuelson'un karşılama ilkesi ele alınmakta ve bir örnek veril-mektedir.

24.1. Lyapunov'un Kararlılık Kuramı

Kararlılık, konusunu mekanikten alan bir araştırma dalıdır. Nitekim W. HAHN (1963, s.l) kararlılığı şöyle sunmaktadır:

"'Kararlılık' ve "kararsızlık' (instability) kavramları, mekanikde, bir katı kitlenin dengesini nitelemek için ortaya atılmışlardır. Eğer bir kitle yeterince küçük tüm yer değiştirmelerinden sonra başlangıçtaki durumu-nu alıyorsa denge kararlıdır. Benzer biçimde, bir hareket, küçük bozmala-ra, başlangıç değerlerinde ve değiştirgenlerdeki küçük değişmelere du-yarsızsa, kararlıdır." Rus matematikçisi Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, 1892'de verdiği

doktora tezinde türevsel denklemlerde kararlılık konusunda genel bir yaklaşım geliştirdi. Lyapunov'un ikinci yöntemi (ya da doğrudan yöntemi) adını alan bu yaklaşım, bugün bu konunun temelini oluşturmağa devam etmektedir. Lyapunov'un bu yönteminin önemli yönü, türevsel denklemlerin belirtik çözümlerinin bulunmasını gerektirmemesidir.1

Lyapunov kararlılığı şöyle tanımlamaktadır: TANIM 24.1.1 Bir devingen dizgenin bir denge noktası y* olsun. Eğer her-hangi bir s > 0 gerçel sayısı için (24.1.1) |jy° — y* || < § => ||y(f, y0) - y* || < e

koşulunu sağlayan bir S = S (e) noktası varsa y*, Lyapunov kararlıdır. Aşağıdaki ŞEKİL 24.1.1'de bu tanımm ne anlama geldiğini görüyoruz. Bu tanıma göre kararlılık, denge noktasına yeterince yakın bir yerden

başlayan bir hareketin s yarı çaplı bir yöre içinde sınırlı kalacağı, yani y*Jdan fazla uzaklaşamayacağı anlamına gelmektedir. Dikkat edilirse bu bir yerel kavramdır. Yani denge noktasının yakınında olan noktalarla ilgilidir.

iktisatta iki tür kararlılık kavramı büyük önem taşımaktadır. Bunlar yerel (local) ve tümel (global) kararlılık adını almaktadır. Şimdi bu kavram-ları ve Lyapunov kuramındaki karşılıklarını verelim.' TANIM 24.1.2. (ARROW-HURWICZ, 1958, s. 200) Bir devingen dizgenin çözümü, başlangıç noktası y0 olduğunda 0 (t, y0) olsun. Eğer y* denge nokta-sının, tüm y0 e N(y*, s) için

1 Lyapunov 'un birinci (dolaylı) yöntemi kararlıbk konusunda bir sonuca ulaşabilmek için türev-sel denklemlerin belirtik çözümlerinin bulunmasını gerektirmektedir. Lyapunov 'un çalışmaları için LYAPUNOV (1966)'a bakılabilir.

4 6 4

Şekil 24.1.1

(24.1.2) Erey 0 (t, y0) = y* t->co

koşulunu sağlayan bir N(y*, s) yöresi varsa, y*, yerel kararlıdır. TANIM 24.1.3. Bir devingen dizgenin çözümü, başlangıç noktası, y0 oldu-ğunda 0 (t, y0) olsun. Eğer y* denge noktası tüm y0'lar ve çözümler için (24.1.3) Erey 0 (t, y0) - y*

r ->»

koşulunu sağbyorsa, y* tümel kararlıdır denir. Açıktır ki tümel kararlığın ortaya çıkabilmesi için dengenin birtek olması

gerekir. Oysa bu durum iktisatta birçok kura ri sal çakşma için gereğinden çok sınırlayıcı, özel bir durumu ifade etmektedir.1 Bu nedenle tümel kararlılığa oranla daha yumuşak bir kararlılık tanımı gereklidir. TANIM 24.1.4. Bir devingen dizgenin çözümü, y0 başlangıç noktası olduğun-da, 0 (t, y0) olsun. Eğer 0 (t, y0) herhangibir denge noktasına yakınsıyorsa,

1 örneğin neoklasik genel denge kuramında dengenin birtekliği, varlığına göre çok daha kısıt-layıcı varsayımlar alt ında gösterilebilmektedir. Bu konuda BULUTAY (1979, s. 201-231)'a bakıla-bilir.

4 6 5

dizge tümel kararlıdır denir. Eğer t -> a olduğunda 0 (t, y0)'m lıer erey nok-tası bir denge ise, dizge kararlımsıdır denir.

Eğer dizge tümel kararlı ise kararlımsıdır. Tersi ancak tüm denge nok-taları birbirlerinden ayrık ise doğrudur.

Lyapunov kuramında, yukarıda verilen yerel ve tümel kararlılık kavram-larına karşılık gelen kavramlar ise aşağıda tanımlanmaktadır. TANIM 24.1.5. Bir devingen dizgenin, bir denge noktası y* olsun, (i) y*, Lyapunov kararlı ve

(ii) y* noktasına yeterince yakın bir noktadan başlayan herhangi bir hareket t -»- co olduğunda y* noktasına yakınsıyorsa,

y* (kavuşmazca) yerel kararlıdır, ya da yerel L- kararlıdır denir.1

Bu tanımda verilen kararlılık kavramı yukarıdaki yerel kararlılık kavra-mından biraz farklıdır. Yerel kararlılık, yerel L-kararlılığı anıştırır. Ancak tersi doğru değildir. Çünkü yerel L-kararlı olan bir nokta için t — co olduğu halde y* etrafında erey dalgalanmaları, gösteren, yani y* noktasına belli bir uzaklıktan daha yakma gidemeyen bir hareket sözkonusu olabilir.

Aynı biçimde, rümel kararlılığa Lyapunov kuramında şöyle bir tanım verilmektedir. TANIM 24.1.6. Bir devingen dizgenin denge noktası y* olsun.

i) y*, Lyapunov kararlı, ve ii) t -*• co olduğunda her hareket y* noktasına yakınsıyorsa, y* kavuş-

mazca tümel kararlıdır, denir. NOT: Biz sadece özerk dizgelerle ilgileneceğimiz için tekdüze (Uniform)

kararlılık ayrımı yapmadık. Bu ayrım özerk olmayan dizgeler söz konusu ol-duğunda önem taşımaktadır. Diğer taraftan iktisat yazınında "kavuşmaz" teriminin genellikle kullanılmadığını, buna karşılık matematikçilerin bunu vurguladıklarını belirtelim.

Şimdi Lyapunov'un temel teoremini görelim. Bunun için önce bazı önemli tanımları verelim: TANIM 24.1.7: f(x): R" R işlevi, eğer

i) x = 0 olduğunda f (0) = 0, ve ii) x e N (0, z), z > 0 ve x / 0 olduğunda /(x) > 0 koşullarını sağlıyor-

sa, kesin artı işlev adını alır.2

1 Bu tanım için H A H N (1963, s.6), TAKAYAMA (1974, s. 349) ve B E N A V I E (1972, s. 225)'e bakılabilir. Yerel L - kararlı deyimi K E M P - K I M U R A (1978, s. 118)'de yer almaktadır .

2 Eğer (ii) koşul için, x e N (0, e), e > 0 ve x ^ 0 olduğunda (i) / ( * ) < 0 ise kesin eksi işlev, (ii) f(x) > 0 ise

yarı kesin artı işlev / ( x ) < 0 ise yarı kesin eksi işlev denir.

4 6 6

Şimdi Lyapunov'un kuramında çok önemli bir görevi olan özel bir işlev türünü tanımlayalım: TANIM 24.1.8: Bir türevsel denklem dizgesinin denge noktası y* olsun. F(y — y*): R" -* R işlevini tanımlayalım. Bu işlev aşağıdaki özellikleri sağlasın.

(i) V kesin artı işlevdir. (ii) F'nin tüm (y; — y,*) ( i=l , re)'lere göre sürekli tikel türev-

leri vardır. (iii) |jy — y* || -* co olduğunda V -> co dır.

r \ I V V 3 V D (yı - y *) ^ AJı (ıv) —=— = S ; — ——, J l ' < 0 dır ve V ' dt g (yt - y*) dt

eşitlik ancak ve ancak tüm i- 1er ieiny, = y* olduğunda söz konusudur. Bu koşulları sağlayan V (y — y*) işlevine Lyapunov İşlevi denir. Şimdi Lyapıınov'un temel teoremini verelim:

TEOREM 24.1.1: (LYAPUNOV) y*, bir özerk türevsel denklem dizgesinin bir denge noktası olsun. Eğer bu dizge için bir Lyapunov işlevi varsa, y* ka-vuşmazca tümel kararlıdır. KANIT: Bu teoremin kanıtlanması için, örneğin, W. HAHN (1963, s. 14-15) L. ELSGLOTS (1970, s.223-294), H.K. WILSON (1971, s. 328) ya da M.W. HIRSCH-S.SMALE (1974, s. 194-195) bakılabilir. İktisatçılar için yazılmış olan kaynaklardan A.BENAVIE (1972, s. 227-230) bu teoreme ve kanıtına yer vermektedir.

Bu teorem bize kararlılık için bir yeterli koşul vermektedir. Buna karşılık teoremde gereklilik özelliği yoktur. Yani bilinen kararlılık özelliklerinden uy-gun Lyapunov işlevlerinin çıkarılabileceği söylenememektedir. Ancak daha sonra yapılan çalışmalarda bıı teoremin tersinin de doğru olduğu gösterilmiştir.1

Şimdi Lyapunov işlevinin fark denklemlerinde nasıl tanımlanacağını görelim. TANIM 24.1.92: Bir özerk fark denklemleri dizgesinde denge noktası y* olsun. V(y — y*) işlevi aşağıdaki özellikleri taşıyorsa, Lyapunov işlevi adını alır.

(i) V kesin artıdır. (ii) ||y — y* || -* co olduğunda V + co (iii) A V < 0 dır. Eşitlik ancak ve ancak

y = y* ise geçerlidir.

1 Bu konuda H A H N (1967, s. 225-257)'a bakılabilir. 2 Bu tanım GANDOLFO (1971, s. 374)'den alınmıştır.

467

O halde Teorem (24.1.1)'"in Fark denklemleri için karşıtını şöyle ifade ede-biliriz. TEOREM 24.1.2: y* bir özerk fark denklemleri dizgesinin bir denge noktası olsun. Eğer bu dizge için Tanım 24.1.9'da verilen özellikleri sağlayan bir Lya-punov işlevi varsa, y* kavuşmazca tümel kararlıdır.

NOT: Genellikten hiç bir şey kaybedilmeksizin y* = 0 alınabilir. Bu durumda y yöneyinin dengeden sapmaları ifade ettiği düşünülmelidir.

Lyapunov teoreminin uygulanmasında karşılaşılan temel sorun, Lyapu-nov işlevinin nasıl bulunacağıdır. Bu konuda genel birryaklaşım geliştirileme-miş, farklı yöntemler önerilmiştir.1 Bu yöntemlerden uygulamaya en çok yan-sıyanı Krasovskii tarafından geliştirilmiştir. Şimdi bu yöntemi ana çizgileriyle görelim.

TEOREM 24.1.3: (KRASOVSKİİ) y = F(y) türevsel denklem dizgesinin den-ge noktası y* = 0 olsun. F e C1 varsayalım. J(y), bu işlevin Jacobi dizeyi ol-duğunda

(24.1.4) J = J(y)' + J(y) kesin artı ise, denge noktası kavuşmaz kararlıdır. Bu dizgenin Lyapunov işlevi (24.1.5; V(y) = [F(y)]' [F(y)]

olup, eğer ||y || ->- co olduğunda F(y) ->- co ise denge noktası kavuşmazca tü-mel kararlıdır.

KANIT: Bu teorem KRASOVSKİİ (1963)'de yer almaktadır. Bir kanıt W. HAHN (1967, s. 270-271)'de verilmektedir. A. BENAVİE (1972, s. 237-239) göreli olarak basit bir kanıt vermektedir.

Krasovskii'nin teoreminin fark denklemleri dizgesi için de bir karşılığı vardır. Bunu ifade edebilmek için aşağıdaki tanıma bakalım:

TANIM 24.1.10 Aşağıdaki koşulları sağlayan bir f(x) işlevine Büzülme (cont-raction) denir.

(i) m = o (ii) ||/(x) || < . ||*J || * || T6 o Burada, || ||, herhangi bir düzgüyü simgelemektedir.

TEOREM 24.1.4: y(t-fl) = F(y(t)) Fark denklemleri dizgesini ele alalım, y* = 0 bu dizgenin bir denge noktası ve F(y(t)), y(t) ^ 0 ve herhangibir düzgü için, bir büzülme olsun. O halde bu denge noktası kavuşmazca tümel kararlıdır ve

1 Bu konuda G Ü R E L - LAPIDUS (1968)'e bakılabilir.

4 6 8

(24.1.6) F(y) = ||y || bu dizgenin bir Lyapunov işlevidir. KANIT:1 A. BENAYIE (1972, s. 240) ÖRNEK: Devingen dizgemiz

dyt

dt

dt

- 6 yı + y 2

= Jı — y2 — y2

olsun. Bu dizgenin y = (yı, y2) = (0, 0) noktasında bir denge durumu vardır.

— 6 y, + y2

- jı - y2

- 6

F( y) =

olduğundan

J(y) =

olacaktır. O halde

J(y) = Jiy)' + J(y) =

y2 _

ı

—1- 3 y2 -

~ - 1 2 2

2 - 2 - 6 y22 _

dir. Bu dizeyin alt belirtenleri y = 0 noktasında

- 12 < 0

- 12 (-2— 6 y22) — 4 = 24 — 4 = 20 > 0

olduğundau J(y) kesin eksidir.

Bu durumda bu dizgenin Lyapunov işlevi de

V(y) = [F(j)]' [F(y)] = C-6 y\ + y2f + (yx - j 2 - y23)2

olacaktır. ||y || -»• eo olduğunda F(y) oo olduğundan, denge noktası kavuş-mazca tümel kararlıdır.

Doğrusal devingen dizgeler sözkonusu olduğunda Lyapunov işlevine ulaşabilmek biraz daha kolaylaşmaktadır. Bu konudaki temel teoremi yine sırasıyla türevsel denklem dizgeleri ve fark denklemi dizgeleri için verelim.

1 Bu örnek G Ü R E L - L A P İ D U S (1968, s. 19)'dan alınmıştır. Aynı örnek B E N A V I E (1972, s. 241-242)'de de yer almaktadır .

4 6 9

TEOREM 24.1.5: y = Ay türevsel denklem dizgesinin Lir denge noktası y* = 0 olsun. Ancak ve ancak y # 0 için

(24.1.7) y' [BA + A'B] y < 0 özelliğini sağlayan bir bakışımlı kesin artı B dizeyi varsa, yani herhangi bir bakışımlı kesin artı Q dizeyi için, bu B dizeyi

(24.1.8) BA + A'B = - Q

cebirsel denklemler dizgesinin bir tek çözümü ise, y* kavuşmazca tümel karar-lıdır ve (24.1.9) y' B y karesel biçimi bu dizgenin bir Lyapunov işlevidir.

KANIT: GANTMACHER (1960, II. s. 187-188), W. HAHN (1967, s. 115-117), A. BENAVIE (1972, s. 233-234), Y. MUBATA (1977, s. 63).

Bu teoremin bir özel durumu B = I olduğunda ortaya çıkmaktadır. Bu-nun için aşağıdaki tanımı ele alalını:

TANIM 24.1.11: A bir gerçel dizey olsun. Ancak ve ancak

(24.1.10) x ^ 0 için x' [A+A'] x < 0

ise A, kesinimsi eksi (quasi negative definite) dizeydir. Diğer taraftan ancak ve ancak

(24.1.11) x ^ . 0 için x' [A+A'] x > 0

ise A, kesinimsi artı (quasi positive definite) dizeydir.

Bu durumda aşağıdaki sonucu yazabiliriz.

SONUÇ 24.1.5/1: Teorem 24.1.5'dc verilen türevsel denklem dizgesinde A kesinimsi eksi dizey ise, denge noktası kavuşmazca tünıel kararlıdır ve bu diz-genin Lyapunov işlevi

(24.1.12) V(y) = y'y olur.

Teorem 24.1.5'in fark denklemleri için karşılığı da aşağıda verilmektedir.

TEOREM 24.1.6:: y(t+l) = Ay(t) fark denklemleri dizgesi verilsin, y* = 0 bunun bir denge noktası olsun. Ancak ve ancak y ^ 0 için

(24.1.13) y' [A'BA - B] y < 0

özelliğini sağlayan bir bakışımlı kesin artı B dizeyi varsa, yani herhangibir bakışımlı kesin artı Q dizeyi için, bu B dizeyi

4 7 0

(24.1.14) A'RA — B = — Q cebirsel denklemler dizgesinin bir tek çözümü ise, denge noktası savuşmazca tümel kararbdır. Ve (24.1.15) y ' B y

bu dizgenin bir Lyapunov işlevidir. KANIT: W. HAHN (1963, s. 147-148)

ÖRNEK: Devingen dizgemiz aşağıdaki türevsel denklem dizgesiyle verilsin,

dy, dt d)2 dt

yı

= yl + yı

3 y2

kolayca görüleceği üzere yı = 0,y2 = 0 bu dizgenin bir denge noktasıdır. Şimdi bu noktanın kararb olup olmadığını saptayalım ve Lyapunov işlevini bulalım: Bu dizgeyi

yı

_ y2 _

2

1

.Ti

_ y2 _ biçiminde yazabiliriz. Teorem 24.1.5'deki özelliğin sağlanıp sağlanmadığını anlamak için

Q = I alalım ve

bu b

b12 b22

-2 - 3

1 1

eşitiğini kuralım. Buradan

- 4 bu + 2 b,2

- - 2 1 ~ " bu - - 1 0 + —

—3 1 _ _ b u b22 - 0 - 1

= — 1 = 0 3 bıı — bl2 — bl2

- 6 bu + 2 b12

elde ederiz. Bu dizgeyi Cramer kuralı yoluyla çözersek

3/14 —1/14 ~

— 1/14 8/14 _ x B

elde ederiz. Bu bakışımlı ve kesin artı bir dizeydir. Bu durumda Lyapunov işlevi

4 7 1

3 1 8 y' % = -J4" Jı2 - — yı y* + -Jf y?

LypanovJun kararlılık kuramına ilişkin olarak bu özet bilgilerden1 son-ra, izleyen alt bölümlerde sırasıyla doğrusal türevsel denklem dizgeleri ile doğrusal fark denklemi dizgeleri için bazı özel kararlılık koşullarını görelim.

24.2. Doğrusal Türevsel Denklem Dizgelerinde Kararhlık

Bu alt bölümde

(24.2.1) y = Ay

biçiminde bir türevsel denklem dizgesinin kararlılığı sorununu ele alacağız. Amacımız bu dizgenin kararlıbğınıbelirleyebilmek için uygulamada kolaybkla yararlanılabilecek yöntemlere ulaşmak olacaktır. Açıktır ki böyle bir dizgenin kararlılığını belirleyen A dizeyinin yapısıdır. Bu nedenle kararlılık koşulları, A dizeyinin özelliklerine bağlıdır.

Bu konudaki temel sonucu, aşağıdaki teorem ile ifade edebiliriz: TEOREM 24.2.1: (24.2.1) ile verilen türevsel denklem dizgesi ancak ve an-cak A dizeyinin tüm özgül değerlerinin gerçel kısımları eksi ise, kararlıdır. Bu özelliği sağlayan dizeylere de kararlı denir.

KANIT: MURATA (1977, s. 88-89), KEMP-KIMURA (1978, s. 120-121) ya da WOODS (1978, s. 134-136).

Dikkat edilirse bu teorem, kararlılık için gerekli ve yeterli bir koşul getir-diği için son derecede güçlüdür. Ancak, A dizeyinin boyutu büyük olduğunda, özgül değerleri bulmak çok güçleşmekte bu nedenle de teoremi bu biçimde uygulamak olanaksızlaşmaktadır. Bu nedenle özgül değerleri hesaplamaksızın, A »dizeyinin kararlıkğının saptanıp saptanamayacağı sorusu ortaya çıkmak-tadır.

Bu konuda en önemli ve genel sonuç verilen dizgenin katsayılar dizeyinin özgül denkleminden yararlanılmasına dayanmaktadır.

TEOREM 24.2.2: (ROUTH-HURWITZ) A dizeyinin özgül denklemini

(242.2) Bel (Xl-A) = X" + o„_, X""1 + + a, X + a0 = 0 biçiminde ifade edelim. Burada

1 Lyapunov 'un kararlılık kuramı matemat ikde çok yoğun bir araştırma dalıdır. Kitabın düzeyini aşan bu araştırmalar için H A H N (1963), (1967), B A R B A S H I N (1970), KRASOVSKİİ (1963), LASALLE - L E F S C H E T Z (1961), R O U C H E - H A B E T S - LALOY (1977) gibi bu konuya derinlemesi-ne inceleyen kaynaklara başvurulabilir.

4 7 2

(24.2.3.a) «„_! = S a, i-1

(24.2.3.b) a„_2 = ( - 1 ) 2 S f„/=ı KJ

a il

aJi

(24.2.3.c) a„_r = ( - l ) r S İJ fc-l ı <] < ... <fc

U aJj

aii a l j

a j i aJJ

aki a k j

aik

ajk

akk

(24.2.3.d) o 0 = ( -1 ) " Bel (A)

dir. Bu katsayıları aşağıdaki dizeyde olduğu üzere dizelim:

(24.2.4) D =

«n_ ı «1.-3 «<l_5 «n_7 0 1 «n_2 «»-6 0 0 1 «n-3 0

= 0 0 1 °n_2 0 •

. • 0

_ 0 0 0 0 a« Bu durumda (24.2.2.)Jdeki özgül denklemin tüm köklerinin gerçel kısım-

larının eksi olması için

> 0

t ö « _ 3 an-1 « n _ 3 ö « _ 5

« n _ ı > 0 , > o , 1 ° n _ 2 ® n _ 4 1 « / . _ 2

0 1 « » - I

, Bel (D) > 0

olması, gerekli ve yeterlidir.

KANIT: GANTMACHER (1960, II, s. 190-196)

ÖRNEK:

3 - 2 8 - 5

Burada

A = olsun.

«„_, = ( - 1 ) S an = ( - 1 ) (3-5) = 2 > 0 i=l

4 7 3

«„_2 = ( - 1 ) 2 Bel 3

8

- 2

- 5 = — 15 + 16 = 1

2

1

0

1 = 2 > O

olduğundan A bir kararlı dizeydir. Routh-Hurwitz teoremi, genel olma özelliği taşımasına, ayrıca gerekli ve

yeterli bir koşul vermesine rağmen, yine de dizeylerin boyutları büyüdüğünde uygulanması güç bir ayraç niteliği taşınmaktadır.1 Bu nedenle A düzeyinin bazı özellikler taşıması durumunda, kararlılığın daha kolay gösterilip gösteri-lemeyeceği araştırılmıştır. îlk sonucu aşağıdaki şu teoremden elde edebiliriz. TEOREM 24.2.3: A = (a İ J)n x n bakışımlı bir dizey olsun. Ancak ve ancak A kesin eksi bir dizey ise kararlıdır. Bu durumda, kararklık için gerekli ve yeterli koşul

« 1 1 < 0 , « 1 1 « 1 2

> o , « 1 1 « 1 2 «13

« 1 1 < 0 , > o , « 2 1 « 2 2 « 2 3 < 0 . * 9

« 2 1 « 2 2 « 3 1 « 3 2 « 3 3

,İşr Bel (A) = tsr (-1;» olmasıdır. KANIT: örneğin YAARI (1971, s. 158)'de gösterildiği üzere bir dizey ancak ve ancak tüm özgül değerleri eksi ise, kesin eksidir. Diğer taraftan (24.2.6)'da verilen özelliği gösteren dizeylere NP-dizeyi denir, örneğin MURATA (1977, s. 57)'de gösterildiği üzere, bir bakışımlı dizey ancak ve ancak NP-dizeyi ise, kesin eksidir.

Şimdi de A dizeyinin kararlılığı için yeterli koşulları görelim: Bunun için A dizeyinin yararlanılan özelliği aşağıda tanımlanmaktadır: TANIM 24.2.1. A = (au)nxn dizeyi, eğer d, > 0 ( i= l , , n) sayıları için

(24.2.7) dj \ a j j \ > S dt \al}\ j = 1, , n

koşulunu sağlıyorsa, sütun egemen köşegenlidir (column dominant diagonal) denir. Buna karşılık eğer d j > 0 (j—l, n) sayılar için

(24.2.8) |o„| . dt > £ [ojj| . dj

i* i 1 Routh-Hurwitz teoreminden hareketle daha kolay uygulanabilir bir sonuç için MURATA (1977,

s. 92)'ye bakılabilir.

4 7 4

koşulunu sağlıyorsa, satır egemen köşegenlidir (row dominant diagonal) denir. Bu özelliklerden birisini taşıyan dizey ötekisini de taşır. Dolayısı ile bu tür di-zeylere kısaca egemen köşegenli denir. TANIM 24.2.2. A = (ou)n; f î I ve IV = {1, n} olsun. J e İV, J * 0 di-zinin kümesi için j e J olduğunda (24.2.9) dj K | > 2 dt . \au\

ıeJ

koşulunu sağlayan dj > 0 (jf=l, , n) sayıları varsa, A dizeyi egeme-nimsi köşegenlidir (quasi dominant di&gonal) denir. NOT: Tanım gereği bir dizey egemen köşegenli ise aynı zamanda egemenimsi köşegenlidir.

Şimdi bu özelliği taşıyan dizeyler için bir kararlılık teoremi verelim: TEOREM 24.2.4: A = (atJ)nxn dizeyi egemenimsi köşegenli ve jr= 1, ,n için au < 0 olsun. O halde A kararlı bir dizeydir. KANIT: MURATA (1977, s. 24)

24.3. Doğrusal Faik Denklemi Dizgelerinde Kararlılık

Bir doğrusal fark denklemleri dizgesini (24.3.1) y(t+l) = A y(t) biçiminde ifade ettiğimizde, bu dizgenin kararlılığı için gerekli ve yeterli koşulu aşağıdaki teorem vermektedir.

TEOREM 24.3.1.1: (24.3.1)'de verilen doğrusal fark denklemleri dizgesi ancak 've ancak A dizeyinin özgül değerlerinin tümünün salt değeri birden az ise, kararlıdır.

KANIT: KENKEL (1974, s. 192-193), WOODS ^1978, s. 144-145; Görüldüğü gibi bu teorem de A dizeyinin tüm özgül değerlerinin hesap-

lanmasını gerektirmektedir. Dolayısı ile doğrusal türevsel denklemlerinde ka-rarlılık konusunu ele alırken değindiğimiz, uygulamaya yönelik, zorluk burada da söz konusudur. Böyle olunca akla ilk gelen, doğrusal fark denklemi dizge-leri için Routh-Hurwitz teoremine koşut bir teoremin verilip verilemeyeceği-dir. Aşağıdaki teorem bunj karşılar nitelikledir. TEOREM 24.3.1: (SCHUR-COHN): (24.3.1)'de verilen doğrusal fark denk-lemleri dizgesine karşılık gelen özgül denklem

(24.3.2) X" + «„_, X""1 + + a, X + a 0 = 0

olsun. Ancak ve ancak,

475

(24.3.3.a) Dı =

(24.3.3.b) D2 =

1 «0 > 0

«0 1

1 0 «0 «1 1 0 «0

ao 0 1 «„_ 1 «n_ı «0 0 1

> O

(24.3.3.c) Dn =

1 a„

O O

O O

1 o o

1 o„

0 1 o

o o

> 0

ise, (24.3.2)'de verilen özgül denklemin tüm köklerinin salt değerleri birden azdır.

KANIT: J. CHIPMAN (1951, s. 119-120)

Bu genel sonuçlardan sonra, daha kolay irdelenebilir kararkhk koşulla-rına ulaşabilmek için A dizeyi üzerinde bazı başka özelliklerin aranması gerek-mektedir.

Bu tür özelliklerden en önemlisi A eksi olmayan bir dizey olduğunda or-taya çıkmaktadır. Perron-Frobenius teoremine ilişkin tartışmalardan da anım-sanacağı üzere, bu tür dizeylerin salt değeri en büyük olan özgül değerinin (Perron Frobenius kökü) bazı özel durumlarda birden küçük olduğu gösteri-lebilmekteydi. işte bu koşulların sağlanması halinde, kararlılık da sağlanacak-tır. Bu nedenle söz konusu koşulları bir kez daha yazalım,1

SONUÇ 24.3.1 A eksi olmayan bir dizey olsun. Bu durumda ancak ve ancak 1—A dizeyinin öncü asal alt belirtenlerinin tümü artı ise, A bir kararb dizeydir.

Anımsanacağı üzere bu sonuç A eksi olmayan bir dizey olduğunda

1 Bu konuda GANDOLFO (1971, s. 132-133)'ya dayanıyoruz.

4 7 6

(24.3.4) 1 — an > O, a ıı > 0 , . . . , Bel(A) > O — C21 1—«22

olmasının gerekli ve yeterli olduğu anlamına gelmektedir. O halde Hawkins-Simon koşulunu sağlayan bir girdi katsayıları dizeyinin

kararlılık koşulunu da sağladığını söyleyebiliriz. Diğer taraftan eksi olmayan dizeylerin Perron-Frobenius kökünün dizeyin

sütun (ya da satır) toplamlarından enazma eşit ya da büyük ve ençoğuna eşit ya da küçük olduğunu Teorem 12.3.3.'de göstermiştik. Bu özelliğe dayanarak da bir kararlılık koşulu elde edebiliriz.

n SONUÇ 24.3.2. A bir eksi olmayan dizey olsun. SJ = l'aJ — E au bu

dizeyin j- inci sütunundaki öğelerin toplamını gösterdiğinde eğer tüm j'ler için SJ < 1 ise, A dizeyi kararlıdır.

NOT: Bu sonucu satır toplamları için aynı kısıtı koyarak y azabiliriz.

SONUÇ 24.3.3. A bir artı dizey ya da ayrıştırılmaz eksi olmayan dizey ise Sonuç 24.3.2.Jde verilen koşul; tüm j'ler için SJ < 1 ve en az bir j için SJ < 1 olması halinde, A dizeyi kararlıdır, biçimini ahr.

Bu sonuçlara benzer bir özellik daha genel dizeyler için de tanımlanabilir.

SONUÇ 24.3.4. A bir gerçel dizey olsun. A' nın j- inci sütununda yer alan öğelerin salt değerlerinin toplamını ,

(24.3.5) |S>| - 2 |o„| j= 1, , n i=l

ile gösterelim. Eğer tüm j- 1er için |SJ | < 1 ise, A dizeyi kararhdır.

KANIT: L. Mc KENZIE (1960, s. 49), herhangibir dizeyin bir özgül yöneyi n

ise [X] < e.ç. E atJ olduğunu kanıtlamıştır. Bu sonuç ise Mc Kenzie'nin i=ı

teoreminden doğrudan çıkar.

Son olarak da kararklık için iki zorunlu koşul vererek bu bölümü bitirelim.

SONUÇ 24.3.4. Eğer verilen dizge kararlı ise, A dizeyinin izinin salt değeri boyutundan küçüktür, yani

(24.3.6)

dir.

E ait >=ı

< n

477

SONUÇ 24.3.5. Eğer verilen dizge kararlı ise, A dizeyinin belirteni birden küçüktür.1

24.4. İktisatta Karşılaştırmalı Durağan Çözümlemede Kararlılığın Görevi: Samuelson'un Karşılama İlkesi

Altbölüm 16.4/de iktisatta karşılaştırmalı durağan çözümleme yapabil-mek için gerekli bilginin kaynaklarının neler olabileceği üzerinde durmuştuk. Buradan anımsanacağı üzere, Samuelson'a göre bu kaynaklardan birisi den-genin kararlılığına ilişkin bilgilerdi. Şimdi bu noktayı biraz daha açalım.

SAMUELSON (1947, s. 257-283) bu sorunu ele almaktadır. Samuelson'un yaklaşımı şöyle özetlenebilir, y = (yı, y„) değişkenleri, a = (aı, , am) ise değiştirgenleri göstersin. Bu değişkenlerin denge değerlerini veren n tane bağımsız, tutarlı ve sürekli türevlenebilir örtük işlevin var olduğunu kabul ede-lim. Bu durumda dengeyi veren denklemlerden oluşan dizgeyi

(24.4.1) /j(y, a) - 0 i = l , n

biçiminde yazabiliriz. Örtük işlev teoreminin koşulları sağlandığında, ilke ola-rak, denge değerleri (24.4.2) y* = y(<x) biçiminde bulunabilir. Karşılaştırmalı durağan çözümlemede sorun, değiştir-genlerden birisi değiştiğinde, bunun değişkenler üzerindeki etkisinin yönünü saptamaktır. (24.4.1)'deki dizgenin Jacobi dizeyini

g/, J £ _ ' tyn

(24.4.3) J(y) = i i

Sfn Sfn fyl fyn

ile gösterelim. Bu dizeyin ij- inci öğesinin eşçarpanmı (24.4.4) A ı j - (—1)İ+J' Bel (J£j) ile gösterelim. Burada J ( j , J dizeyinin i-inci satırı ve j'-inci sütunu dışa-rıda bırakılarak elde edilen alt dizeydir. Diğer taraftan (24.4.4) A = Bel (J) dersek, &-inci değiştirgendeki değişmenin i-inci değişken üzerindeki etkisini

. \ veren türevin

1 Bu sonuçların kanıtlanması için GANDOLFO (1971, s. 132 dipnota) bakılabilir.

478

• V A dv J=1 Xk

(24.4.5) - p - = v ' dak A

biçiminde elde edileceğini 16. Bölümde görmüştük. Bu türevin işaretinin belirlenebilmesi için pay ve paydada yer alan belir-

tenlerin işaretlerinin belirlenmesi gereklidir.

İşte Samuelson, (24.4.1)'de verilen dizgeye karşılık gelen devingen dizge-nin oluşturularak, denge noktasının kararlılığının gösterilmesi ya da varsayıl-ması durumunda bu belirtenlere ilişkin gerekli işaret kısıtlamalarının elde edi-lebileceğini göstermiştir. Buna Samuelson'un karşılama ilkesi (Correspondace principle) denir.

Şimdi (24.4.1)'deki denklem dizgesine karşılık gelen devingen dizgeyi

(24.4.6) = H i \ft (y, oc) ] £=1, ,n

biçiminde türe\sel denklemler ile gösterelim.1 Burada H t bir işaret koruyan işlev olup, denge noktasında (24.4.7) Ht ^ (y*, «)] = 0

s ve y = y* olduğunda

JII (24.4.8) = di > 0

dJı

özelliklerini sağlar. Şimdi (24.4.6)'da verilen türevsel denklem dizgesinin denge noktası

etrafında Taylor açınımını alalım. Bu açınımın doğrusal terimlerini aldığı-mızda

(24.4.9) J g - = H i [ f l «)] + £ (y, - yf)

ı = l , , n

elde ederiz. Tanım gereği Ht (ft (y*, a)) = 0 olduğundan bu dizgeyi

(24.4.10) * L . = d i ( î ı -2L- (y, - y,*) ) £=1, »

biçiminde yazabiliriz. Eğer 1 Devingen dizgemizi fark denklemleri cinsinden de yazabilirdik. Bu konuda örneğin BEÎNAVIE

(1972, s. 55-56)'ya bakılabilir.

4 7 9

- d, o

(24.4.11) D =

O dn

biçiminde tanımlarsak, yukarıdaki denklem dizgesini

(24.4.11) y = DJ (y - y*)

biçiminde yazabiliriz. Bu dizgenin kararlılığı DJ dizeyinin kararlı olması de inektir. Bu da DJ dizeyinin özgül denkleminin tüm köklerinin gerçel kısım larının eksi olmasını gerektirir. Altbölüm 24.2'den anımsanacağı üzere bu diz genin özgül denklemi

biçiminde yazdığımızda, Routh-Hurwitz teoreminden o„_t = tüm birinci sıra asal alt belirtenlerin toplamı a„_2 = tüm ikinci sıra asal alt belirtenlerin toplamı

a 0 = DJ dizeyinin belirteni olduğunu biliyoruz. Diğer taraftan, belirtenlere ilişkin kurallardan

(24.4.12) Bel (DJ - XI) =

belirteninden elde edilecektir. Bu özgül denklemi (24.4.13) X" + an x X""1 + + a,X + a0 = 0

n (24.4.14) Bel (DJ) = dtx


Xdn X Bel (J) = ( n dt) Bel (J)

(24.4.15)

olacaktır. Tüm d£'ler artı olduğundan bu durumda

4 8 0

(24.4.16) işr (a0) = işr [ Bel (J)] olacaktır. Routh-Hurwitz teoreminin diğer koşullarından da Ay'lerin işaret-leri belirlenebileceğinden, karşılaştırmalı durağan çözümleme için gerekli tüm bilgi kararlılık koşullarından elde edilebilecektir. ÖRNEK: Şimdi çok basit bir genel denge modelinde kararblık varsayımı ya-pıldığında, bunun karşılaştırmalı durağan çözümleme için nasıl bilgi sağladı-ğını görelim:

İki mallı bir ekonomi düşünelim, i- inci malın istem işlevi

(24.4.17) Di = Di ( P , P5 , Y) i= l ,2

olsun. Burada Dt i-inci mala olan istemi, P ; (i=l,2) i- inci malın fiyatını, Y ise, dışsal olarak verildiği varsayılan geliri ifade etmektedir. Bu işlevlere ilişkin olarak aşağıdaki varsayımları yapalım.

(24.4.18) < 0 i= l ,2

(24.4.20) > 0 i=l ,2

Bunlar sırasıyla istem eğrilerinin eksi eğilimli olduğunu, malların yerine konulabilir olduğu ve bu etkinin aynı büyüklükte olduğunu, nihayet gelir arttı-ğında her mala olan istemin artacağını ifade etmektedir.

Bu malların sunum işlevleri ise (24.4.21) S{ = S,(P,) i—1,2

biçiminde olsun. Burada Sf, i-inci maldan sunulan miktarı göstermektedir. Sunum işlevlerine ilişkin olarak da aşağıdaki varsayımı yapalım:

(24.4.22) > 0 i= l ,2

Şimdi, gelir arttığında bunun birinci mahn denge fiyatı üzerindeki etki-sinin yönünü bulmağa çalışalım. 16. Bölümden anımsanacağı üzere bu karşı-laştırmalı durağan çözümlemeyi yapabilmek için, denge noktasında, fazla is-tem işlevlerinin gelire göre toplam türevlerini elde etmek gerekir. Fazla istem işlevini, i-inci mal için

(24.4.23) 'Et(Pu P2, Y) = D, ( P , P2 , Y) - St(Pt) i=l ,2

biçiminde yazabiliriz. Bu durumda, dengede E t = 0 olacağından,

4 8 1

(24 4 24 a) JD^ İP, (MAM.*) g p -jçr + - ğ p -dSı İP\

(24.4.24.b) 8D\ dPy ~JK dY +

8D2 8P,

d y

dP2 dY

8P,

a s 2

8P,

dY

İP2 İY

+

+

s y

ao 2 ~W

yazılabilecektir. Bu denklemleri düzenler ve dizey terimleri ile ifade edersek

(24.4.25)

8Dı 8Sı BDı dPi 8D, 8P\ 8P, 8Pı dY 8Y

8D2 8D2 8S2 dP2 8D2

8P\ 8P2 8P2 d y 8Y

elde ederiz. Cramer kuralından yararlanarak aradığımız türevi

8D\ 8Dı

(24.4.26) dPL dY

8Y

8D2

dP,

8D2 ~8K

8Sı 8P,

8Dı

8D2 8Pı

8Sı 8P,

8D2 Tp;

8D2 8P,

a s 2

aP,

8Dj ~8P7

8S, 0P, r )

biçiminde elde ederiz.

Dikkat edilirse, başlangıçta yaptığımız varsayımlar ^

i=l ,2 terimlerinin işaretlerini belirlemeğe yetmediği için, bu karşılaştırmalı durağan çözümlemeyi sonuçlandıramıyoruz.

İşte bu noktada Samuelson'un karşılama ilkesine başvurahm ve bu mo-dele karşılık gelen devingen denklemleri

İP, (24.4.27) dt = E, (P„ P2, Y) = 1,2

biçiminde yazalım.1 Bu denklemlerin, P* = (Pı*, P2*) denge noktası etrafında Taylor açınımını yapar ve birinci sıra terimlerini alırsak

1 Kolaylık olmak üzere burada işaret koruyan işlev olarak, bir sabiti kullanılmıştır. Malların öl-çüldüğü birimleri uygun bir biçimde seçerek bu her zaman sağlanabilir.

4 8 2

(24.4.28.a)

(24.4.28.b)

elde ederiz.

dP, dt

dP2 dt

dPt dt

+ ( - S i - )

— P f kolaylaştırmasını kullanarak, bu dizgeyi

(24.4.29)

8 D, as, &D, aP,

8D,

aP, aP,

cDı 8S, aP, ap2 ap2

p —p * 1 r l

p —p * 2 2

biçiminde ifade edebiliriz. Şimdi p* denge noktasının kararlı olduğunu varsa-yalım. Bu durumda karşılaştırmalı durağan çözümlemede kullandığımız Ja cobi dizeyi üzerinde bazı kısıtlar koyabilir duruma gelmiş oluyoruz. Çünkü devingen dizgenin katsayı dizeyi de bu Jacobi dizeyidir. Başta yaptığımız

varsayımlar da 8D, 8P2 ~ 8P,

8D2 olduğu için, bu dizey bakışımlıdır. Bu du-

rumda Teorem 24.2.6'ya başvurarak

8S, (24.4.30) - g l

ve dolayısı ile

8D, (24.4.31)

aP,

eP,

as2 aP,

< o

o

olduğunu, ayrıca Jacobi dizeyinin belirtenininin işaretinin artı olacağını belir-leyebiliriz. Bu durumda da

(24.4.32) işr ( i ^ ) = işr - ( 8D, as, aP, aP,

+ 8D, ay ap.

olacaktır. Başta yapılan varsayımlar ile kararlılık koşulundan elde edilen so-nuçlar biraraya geldiğinde (24.4.32)'den

(24.4.33)

elde edilir.

dP t

dY > 0

483

ALIŞTIRMALAR

A.24.1. Krasovskii teoreminden yararlanarak aşağıdaki türevsel denklem diz-gelerinin kararlı olup olmadıklarını bulun.

i) = 3 y ı - 2 j 2

= - 2 y, - 3 y,2 + y2 dt

... ay ı ») - 4 - = - ^

dyı df

dy ı dt

2

= — yı + 2

İÜ) = 4 y ı _ y2 _ yl dyı ~dt

dyı , dt

dy}

= ~ Jı2 - y2 - 3 y3

dt = — 6 yı + y22 - 9 y3

A.24.2. Krasovskii Teoremi kullanarak aşağıdaki fark denklemleri dizgeleri-nin kararlı olup olmadıklarını bulun. Lyapunov işlevlerini elde edin.

i) y, (t +1) = - 2 yı(t) - 3 y2(t) y2 ( t+l) = - y,(t) - 4 y2(t)

ii) y, ( t + l ) = 2 yı(t)

y2 ( t+l) = - y,(t) - 3 y2(t)

iii) yı ( t+l) = - yı(t) + 2 y2(t) + y3(t) y2 ( t+l) = yı(t) - 3 y2(t) - y3(t)

y3 ( t+l) = - 2 yı(t) - 3 y2(t) - 4 y3(t)

A.24.3. Aşağıdaki IS — LM modeli verilsin. C == aı Yd 0 < aı < 1 I = bı Y + b2r 6ı > 0 , b2 < 0 y = Yd + T

T = I + tY 0 < t < l y = c + i

4 8 4

Md = mıY + m2r M* = M

m, > O, m2 < O

M" = Ms

Bu modelde bütüncül istemi E ile gösterelim. Mal ve para piyasalarında dengesizlik olduğunda buralardaki değişmenin

= Bt [E-Y] Bx > O

= B2 [M* — M"] B2> 0

denklemlerine göre olduğunu varsayalım. Bu modelin kararb olması için ge-rekti koşulları bulun.

KAYNAKLAR

K.J . A R R O W - H.D. BLOCK - L. H U R W I C Z (1959): "On the. Stability of Competitive Equilibrium

I I " Econometrica, 27, s. 181-202. A R R O W - H U R W I C Z (1977) içinde tekrar basılmıştır.

K . J . A R R O W - L. H U R W I C Z (1958): "On the StabUity of Competitive Equilibrium I " Economelrica

26, s. 522-552. A R R O W - H U R W I C Z (1977) içinde tekrar basılmıştır.

K . J . A R R O W - L. H U R W I C Z (1977): Studies in Resource Allocation Processes, Cambridge University

Press, Cambridge.

E.A. B A R B A S H I N (1970): Introduction to the Theory of Stability, Wolters-Noordhow, Groningen. (ileri düzeyde matemat ik kitabı).

S. B A R N E T T - C. S T O R E Y (1970): Matrix Methods in Stability Theory, Barnes and Noble, New York.

R. BELLMAN (1953): Stability Theory of Differential Equations, Dover Publications, New York (1969).

A. B E N A V I E (1972): Mathematical Techniçues For Economic Analysis, Prentice Hail, Englewood Cliffs,

N . J .

T. BULUTAY (1979): Genel Denge Kuramı, A.U. S B F Yayım, No. 434, Ankara.

J .S . CHIPMAN (1951): The Theory of Intersectoral Money Flows and Income Formation, Johns Hopkins University Press, Baltimore.

L. ELSGOLTS (1970): Differential Equations and the Calculus of Variations, H I R Publishers, Moscow.

G. GANDOLFO (1971): Mathematical Methods and Models in Economic Dynamics, Nor th Holland, Ams-

terdam.

F .R . GANTMACHER (1960, I I ) : The Theory of Matrices, Volume II, Chelsea Publishing Company, New York.

O. G Ü R E L - L. L A P I D U S (1968): "A Guide to Methods For the Generation of Liapunov Funct ions"

IBM New York Scientific Center Report No. 320-2937, March 1968.

W. H A H N (1963): Theory and Application of Liapunov's Direct Method, Prentice Hail , Englewood Cliffs.

N . J . (îleri düzeyde matemat ik kitabı).

W. H A H N (1967): Stability of Motion, Springer Verlag, Berlin, (ileri düzeyde matemat ik kitabı).

M.W. H I R S C H - S. SMALE (1974): Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Aca-

demic Press, New York.

M.C. K E M P - Y. K I M U R A (1978): Introduction to Mathematical Economics, Springer Verlag, New York.

4 8 5

J . L . K E N K E L (1974): Dynamic Linear Economic Models, Gordon and Breach, New York.

N.N. KRASOVSKII (1959): Problems of the Theory of Stability of Motion. Stanford University Press, Stanford, California. (ileri düzeyde matemat ik kitabı).

J . LA SALLE - S. L E F S C H E T S (1961): Stability By Liapunov's Direct Method With Applications, Aca-demic Press, New York.

M.A. LYAPUNOV (1966): Stability of Motion, Academic Press, New York.

Y. MURATA (1977): Mathematics for Stability and Optimization of Economic Systems, Academic Press, New York.

L.W. MC K E N Z İ E (1960): "Matrices with Dominant Diagonals and Economic Theory" K.J . ARROW-S. K A R L I N ve P . S U P P E S tarafından derlenen Mathematical Methods in the Social Sciences 1959, Stanford University Press, Stanford, California, içinde (s. 47-63).

N . R O U C H E - P . H A B E T S - M. LALOY (1977): Stability Theory by Liapunov's Direct Method, Sprin-ger Verlag, New York, (Heri düzeyde matemat ik kitabı).

P .A. SAMUELSON (194,7):Foundations of EconomicAnalysis, Atheneum, NewYork(1965).


H . K . W I L S O N (1971): Ordinary Differential Equations, Addison Wesley, Reading, Mass.

J . E . WOODS (1978): Mathematical Economics, Longman, London.

M.E. Y A A R I (1971): Linear Algebrafor Social Sciences, Prentice Hail , Englewood Cliffs, N . J .

T. YOSHIZAWA (1966): Stability Theory By Liapunov's Second Method, The Mathematical Society of J apan , Tokyo, (ileri düzeyde Matematik kitabı).

486

İKTİSATTA KULLANILAN BAZI İNGİLİZCE MATEMATİK DEYİMLERİN TÜRKÇE KARŞILIKLARI

Burada yer alan deyimler, Siyasal Bilgiler Fakültesinde yapılan "iktisat-çılar için matematik" derslerinde en çok karşılaşılan ve Türkçe karşılık bulu-nabilen sözcüklerdir. Bu nedenle, bu küçük derleme, bir tambk özelliği taşı-mamaktadır.

Bu derleme için en çok yararlanılan kaynaklar ise şunlardır:

T U N C E R BULUTAY: Genel Denge Kuramı, S B F Yayını 1979 (TB).

T E O G R U N B E R G : Mantık Terimleri Sözlüğü, Türk DU Kurumu Yayını, 1976, (T.G.)

ÖZAY H Ü S E Y İ N - E R O L S E Z E R : Matrisler ve Türevsel Denklemler, ODTÜ Yayını, 1976 (H.S).

OKTAY SİNANOĞLU: Fiziksel Kimya Terimleri Sözlüğü, Türk Dil Kurumu Yayını, 1978 (O.S.).

T Ü R K D İ L K U R U M U : Türkçe Sözlük, Türk Dil Kurumu Yayım, 1966.

4 8 7

— A —

Absolute: Salt (O.S.) Accumulation Point: Birikim Noktası Acule Angle: Dar Açı Acyclic: Devirsiz Additivity: Toplamsallık Adjoint: Bitişik, Eklenik (O.S.) Adjoint Matrix: Bitişik (eklenik) Dizey Adherence: Bitişme (T.B.) Affine: Doğrusallık Koruyan Affine Transformation: Doğrusallık Koruyan Dö-

nüştürme Affirmation: Evet leme (T.G.) Anti Symmetric: Ters Bakışımlı (T.G.) A Priori: önse l (O.S.) Argument: Çıkarım Artificial: Yapay Associative: Ortaklaştırıcı (T.G.) Asymmetric: Bakışımsız (T.G.) Asymptotic: Kavuşmaz (O.S.) Asymptotic Cone: Kavuşmaz Koni Atom: öğecik (O.S.) Atomless: Öğeciksiz Axiom: I lksav (T.G.) Belit (TDK) Axiom of Extension: Kaplamsallık Beliti Augmented: Genişletilmiş Auroled: Aylalı (eski değimle Haleli) Autonomous: öze rk Automorphism: İçdenkeşyapı Auxilary: Yardımcı

— B —

Base: Taban , Temel Basic Feasible Solulion: Temel Yapılabilir Çözüm Basis: Taban (H.S.), Temel (T.B.) Bicontinous: ikili Sürekli Bijection: T a m Eşleme (T.G.) Bilinear: İkili Doğrusal Binary: İkili Binary Operation: İkili İşlem

Border: Sınır Bordered: Sınırlanmış Boundry: Sınır Bounded: Sınırlanmış

— c — Calculus: Hesap Calculus of Variatiotfs: Değişimler Hesabı Canonical Form: E n Basit Biçim Cardinal: Sayal

Characteristic: Ayırt Edici (T.G.), özgelik (O.S.), özyapısal (H.S.)

Class: Sınıf Closure: K a p a n m a Cluster Point: Yığılma Noktası Cofactor: Eşçarpan Collection: Derlem Collinear: Eşdoğrusal Column: Sü tun

Column Dominant Diagonal: Sü tun Egemen Kö-şegenli

Commutative: Yerdeğiştirici (T.G.) Complement: Tümleyen Complete: T a m Component: Bileşen Compound Proposition: Bileşik ö n e r m e Conclusion: Çıkarım Sonucu Concentration: Derişik (O.S.) Conditional: Koşullu Conjunction: Tümel Evet leme (T.G.) Cone: Koni Connected: Bağlaşık (T.G.) Consistent: Tutar l ı Coastraint: Kısıt

Constraint Qualification: Kısıt Nitelendirmesi Contraction point: Büzülme Noktası Contrapositive: T a m Devrik Continuous: Sürekli Continuum: Süren (O.S.) Control: Denetim Convergence: Yakınsama

488

Converse: Ter» Converse Domain: Ters önalan (ardalan) Convex: Dışbükey Convex Hull: Dışbükey ö r t ü Cooperative Game: îşbirlikli Oyun Coordinate: Konsayı (O.S.) Correspondance: Karşılama, îzerge (T.G.) Counterdomain: Karşıönalan (Ardalan) Countable: Sayılabilir Cover: Kaplama

— D —

Decomposable: Ayrıştırılabilir Değilleme 6 Dense Set: Yoğun Küme Denumerable Set: Sayılandirilebilir Küme Derivative: Türev Derived Set: Türetilmiş Küme Determinant: Belirten, Belirtgen (O.S.) Diagonal: Köşegen Difference Equation: F a r k Denklemi Differential: Türevsel Differential Equation: Türevsel Denklem Differential Game: Türevsel Oyun Differentiation: Türevleme Dimension: Boyut Directional Derivative: Yönlü Türev Discrete: Kesikli Disjoint: Ayrık Disjunction: Tikel Evetleme (T.G.) Distance: Uzaklık Distinct: Yalın Distributive: Dağıtıcı Divergenet: I raksak Domain: Önalan, Tanım Bölgesi Dominant: Başat Dominant Diagonal Matrix: Başat Köşegenli Di zey Doubleton: İki Terimli Dual: iki l Dynamic: Devingen

_ E —

Ecfıelon Form: Basamak Biçimi Eigenvalue: Özgül Değer Eigenvector: Özgül Yöney Element: ö ğ e Elementary Operation: Basit iş lem Elimination Method: Eleme Yöntemi Empty Set: Boş Küme Endogenous; îçsel Enumerable Set: Sayılandırılabilir Küme

Entropy: Dağı (O.S.) Envelope Curve: Zarf Eğrisi Equality: Eşitlik Equilibrium: Denge Equivalance: Denklik Equivalance Class: Denklik Sınıfı Eous: *ogenDışsal Explicit: Açık Exponential: Üstsel Extent: Uzam (O.S.) Extention: Uzant ı Extremum: Uç

— F _

Factor: E t m e n Feasible: Yapılabilir Field: Alan (O.S.) (Lise kitaplarında Cisim deni-

liyor) Finite: Sonlu Fixed Point: Sabit Nokta Frontier: Sınır Function: işlev Functiojıal: işlevsel Functional Dependence: İşlevsel Bağımlılık

— G —

Global: Tümel (T.B.) Gradient: Eğim Gradient Vector: Eğim Yöneyi Graph: Çizge Group: Öbek Groupoid: öbeksi

— H —

Heterogenous: Çoktürel Homogenous: Tektürel (O.S.) Homomorphism: Eşyapı Hull: ö r t ü Hyperplane: Çoklu Düzlem Hypersurface: Çokluyüzey

— I — Idempotent: Denkgüçlü Identitiy: özdeşlik Identity Transformation: özdeşlik Dönüştürmesi İmage: Görüntü Implicit: ö r t ü k Indecomposable: Ayrıştırılamaz Independent: Bağımsız Indeterminate: Belirsiz

4 8 9

Index: Dizin Inequality: Eşitsizlik Inference: Çıkarım (T.G.) Infinite: Sonsuz Inner Product: İçsel Çarpım Instability: Kararsızlık, Kalımsızlık (O.S.) Integer: Tamsayı integral: Tümlev (O.S.) Integrating Factor: Tümlevleyen Çarpan Intercept: Kesi (O.S.) Interior: Iç Intersection: Kesişim Into: îçine Intransitive: Geçişsiz Inverse: Evrik Irreducible: indirgenemez Irreflexible: Yansımasız Isolated Point: Yalıtılmış Nokta Isomorphism: Denkeşyapı Iteration: Yineleme

— L —

Latent Root: Özgül Kök Lattice: ö r g ü (O.S.) Leading Principal Minör: ö n c ü Asal Alt Belirten Lexicographic Order: Sözlük Sıralaması Limit: Erey (O.S.) Linear: Doğrusal Linear Combination: Doğrusal Bileşim Linear Equation System: Doğrusal Denklem Diz-

gesi Linear Manifold: Doğrusal Büklüm (O.S.) Linear Space: Doğrusal Uzay Local: Yerel Localization: Yerseme Lower Hemi Continuity: Alt Yarı Sürekli (T.B.) Lower Semi Continuity: Aşağı Yar ı Sürekli (T.B.)

— M —

Manifold: Büklüm Mapping: Eşleme, Gönderme (O.S.) Matrix: Dizey (0-S-) Maximum: Ençok Maximize: Ençoklama Measure: Ölçü Mechanism: Işlerge Minimize: Enazlama Minimum: Enaz Moment: Kolcuk (O.S.)

Monoid: Birimli Yarı Öbek Monotone: Tekdüze

— N —

Necessary Condition: Gerekli Koşul Neighborhood: Yöre Negation: Değil, Değilleme Nilpotent: Sıfırgüçlü Noncooperative: îşbirliksiz Nonsymmetric: Bakışımsız Norm: Düzgü

Normed Space: Düzgülenmiş Uzay Nullity: Boşluk Nullspace: Boş Uzay

— O — Objective: Amaç Objective Function: Amaç İşlevi Obtuse Ângle: Geniş Açı One to One: Bire bir Onto: ö r t e n Operation: İşlem Operator: îşlemleyici Optimization: Eniyileme Optimum: Eniyi Order: Sıra Ordered Pair: Sıralı ikili Ordering: Sıralama Origin: Baş nokta Orthagonality: Dikey lik

— P —

Parallel: Koşut Parallelogram: Koşutkenar Parameter: Değiştirgen (O.S.) Partial Derivative: Tikel Türev (O.S.) Partitioning: Bölüntüleme (H.S.) Permutation: Değiş tokuşlama, yer değiştirme Phase: Evre Phase Diagram: Evre Çizgesi (ya da evre çiziti)

(O.S.) Pole: Ucay Polyhedral : Çok yüzeyli Polyhedral Cone: Çok yüzeyli koni Population: Kitle Principal Minör: Asal alt belirten Principal Submatrix: Asal alt dizey Program: Çizeyleme (O.S.) Projection: İzdüşüm

4 9 0

— Q —

Qu.aira.tic: Karesel Qualitative Calculus: Nitel Hesap Quasi: Benzer (T.B.); - tmsi Quasi Convex: Dışbükeyimsi Quasi Concave: Içbükeyimsi Quasi Dominant Diagonal: Egemenimsi Köşegenli

— R — Radius: Çap Random: Rastlansal Range: Ardalan Rank: Aşama (H.S.) Rational: Kesirsel Real: Gerçel Recession Cone: Uzaklaşma Konisi Reciprocal: Ters Reducible: İndirgenebilir Refinement: İncel tmek Reflexive: Yansımalı Relation: Bağıntı Restriction: Kısıt lama Ring: Halka Rom: Satır Row Dominant Diagonal: Satır Egemen Köşegenli

— S —

Saddle Point: Eğer Noktası Scalar: Sayıl Scalar Product: Sayıl Çarpım Semigroup: Yarı Öbek Seperable Space: Aynmlanabil i r Uzay Seperation: Ayrımlama Sequence: Dizi Serie: Seri

Shift Operatör: K a y m a İşlemleyicisi Set: Küme Simple Root: Yalın Kök Simultaneous: Eşanlı, Eşçözümlü Singular: Tekil Singleton: Tek Terimli Skevl Symmetric: Çarpık Bakışımlı Smooth: Düzgün Solution Set: Çözüm Kümesi Span: Yayılım

Spanning Set: Yayma Kümesi Spectrum: Izge (O.S.) Stability: Kararhlık, kalımlılık (O.S.) Standard: ö l çün (O.S.) Starred: Yıldızlanmış State: Duru (O.S.), D u r u m Stalio: Durağan Stationary: Durgun Steady: Tu tunur (O.S.) Steady State Solution: Tu tunur Duru Çözümü

(Tutunur Durum Çözümü) Strictly: Kesin Sufficient Condition: Yeterli Koşul Superadditive: Üs t toplamsal Supporting Hyperplane: Destekleyici Çoklu Düz-

lem Surjection: Birebir Örten Eşleme Symmetric: Bakışımlı System: Dizge

• — T —

Tangent: Teğet Tautology: Doğrusal Geçerli ö n e r m e (T.G.) Topology: l linge (O.S.) Topological Space: İlingel Uzay Total Derivative: Toplam Türev Trace: î z

Transformation: Dönüştürme, Dönüş türüm (O.S.) Dönüşüm

Transitive: Geçişli Transpose: Devrik

— V —

Unbounded: Sınırsız Uniform: Tek düze Unipotent: Tek Güçlü Union: Birleşim Unique: Birtek Unordered Pair: Sıralanmamış Çift Upper Semi Continuity: Üs t Y a n Süreklilik Upper Semi Continuity: Yukar ı Y a n Süreklilik

— V _

Variation Method: Değiştirme Yöntemi (O.S.) Vector: Yöney Vector Space: Yöney Uzayı Volume: Oylum

4 9 1

D İ 2 İ N — A —

Abel öbeği 46, 47, 48, 50 Açık Küme 176, 275, 336 Additivity Bk. Toplamsalhk Alan 48, 49, 366, 369 Alt Belirten 89, 469 Alt Dizey 83, 84, 478 Alt Küme 24, 25, 45 Alt Uzay 61, 62 Alt Tümlev 375 Ana Bileşen 6, 7 Ara Değer Teoremi 197 Aralık 176, 398

açık 176

kapal ı 177, 282, 286 Ardalan 38, 69 Ardalan Uzayı 69 Asal Alt Belirten 143, 145, 146, 480 Asal Alt Dizey 143 Aşama 69, 103, 104 Axiom Bk. Belit Axiom of Extension Bk. Kaplamsallık Beliti Ayır tkan Öğe 72, 76 Ayrık 26, 466 Ayrık Derlem 26 Aynşt ınlabi l i r Dizey 155-157, 159 Ayrıştırılamaz Dizey 155-137, 159

— B —

Bağıntı 24, 25, 33-37, 39, 51 Bağlaşık 36 Bakışımlı 35 Bakışımsız 35 Geçişli 36 Geçişsiz 36 Güçlü Bağlaşık 36 T a m 36

Ters Bakışındı 36 Yansımalı 35 Yansımasız 35

Basamak Bölgesi 368 Basit Dizey 101 Basit Satır İşlemleri 99, 102 Basit Sü tun İşlemleri 99 Başlangıç Koşulu 403, 419, 431, 439, 443, 444,

450, 456

Belirlenmemiş Katsayılar Yöntemi 383, 418, 453 Belirli Tümlev 377 Belirsiz Tümlev 377 Belirten 89-97, 440, 478, 479 Belirtik İşlev 231 Belit 8, 9, 34, 369, 370 Benzer Dizey 136, 137 Biconditional Proposition Bk. Karşılıklı Koşullu

Önerme Bileşik öne rme 6, 7, 10, 11, 14 Birim öğel i Halka 48 Birimli Yar ı Öbek 44 Birleşim 26, 45 Bitişik Dizey 108 Bolzano Teoremi 197 Boş Küme 25 Boş Uzay 69

Bölüntüleme 26, 27, 37, 83-85, 122, 155, 370, 371 Brouwer Teoremi 198 Brauer-Solow Koşulu 168, 169 Büküm Noktası 288

Y a t a y 288, 289, 290 Y a t a y olmayan 288, 289

Büzülme 468

— C — C1 Sınıfı 212 C2 Sınıfı 212 Casorati Belirteni 440, 441, 447 Casorati Dizeyi 440 Cauchy-Bunyakovski-Schwarz Eşitsizliği 59, 60 Cayley-Hamilton Teoremi 133 Complement Bk. Salt Tümleyen Compound Proposition Bk. Bileşik Önerme Conditional Proposition Bk. Koşullu Önerme

4 9 2

Conjunction Bfc. Tümel Evetleme Contradictory Proposition Bk. Çelişik ö n e r m e Contra Positive Bk. Ters Karşı t Converse Bk. Karşı t Cramer Kuralı 125, 126, 251, 257

- ç -Çapraz Türev 214 Çelişik ö n e r m e 6, 9 Çelişki Bulma 20 Çelişkili 19 Çıkarım 15

Çoklu Düzlem 179, 180, 181 Ayırıcı 181 Destekleyici 182 Sınırlayıcı 181

Çok Yüzeyli Küme 183 Çözüm Kümesi 112

— D —

Değil 19 Denklik Bağıntısı 36, 37 Denklik Sınıfı 37 Devrik 54, 81, 93 Dışbükey 299, 312, 322

Kesin 77 Dışbükey Küme 177-183 Disjoint Bk. Ayrık Disjoint Collection Bk. Ayrık Derlem Disjunction Bk. Tikel Evet leme Dizey 68, 72, 85, 421, 472

Alt Üçgen 83

Bakışımlı 81, 136, 139, 148, 246, 355, 356, 470, 474

Birim 80 Çarpık Bakışındı 81 Evrik 103, 108-110, 237 Kare 79, 89, 93, 96, 103, 104, 154 Köşegen 80, 129, 130, 137, 138, 330, 456 Satır Basamak Biçim 102, 104, 105, 107 Satır E n Basit Biçim 104, 105 Sayıl 80 Tekil 103, 104 Üst Üçgen 83

Dizeyin Üsseli 423 Dizi 187

Iraksak 190 Salınır 190 Sonsuz 187 Yakınsak 189

Doğrusal Cebir 42, 49, 51, 141, 226 Doğrusal Bağımsızlık (Bağımlılık) 64, 103, 117,

137-139, 228, 414, 416, 423, 427, 429, 440 Doğrusal Bileşim 62, 63, 415, 423, 440 Doğruluk Değeri 8, 9, 14, 15 Doğrusal Denklem Dizgesi 111-132, 172-174,

340 Doğrusal Dönüştürme 68, 69, 129 Doğrusal Eşitsizlik 172 Doğrusal Eşitsizlik Dizgesi 172, 174, 175 Doğrusal Geçerli Önerme 8, 9, 10, 16 Doğrusal Kanı t lama 17 Doğrusal Proglamlama 185, 349 Doğrusal Olmayan Programlama 349 Doğrusal Tektürel 52, 53 Doğrusal Türevsel Işlemleyicisi 414 Dolaylı Kanı t lama 19 Domain Bk. ö n Alan Dönem Çözümlemesi 435 Durağan Yöntem 248, 262, 352 Durağan Bilgi 253 Durgun Nok ta 290 Düzensiz Tümlev 386-388 Düzgü 60, 89, 421, 468

— E —

Egemen Köşegenli Dizey 475 Egemenimsi Köşegenli 475 Eğer Noktası 294, 297, 347 Eğim Yöneyi 214, 216, 283 Eksi Olmayan Kare Dizey 154, 160 E n Büyük Alt Smır (Ebas) 375 E n Küçük Üs t Sınır (Eküs) 375 Enaz Değer 272, 273, 274, 277, 291, 292, 321, 322,

331, 332 Enaz Noktası 290, 291 Ençok Değer 271, 277, 286, 291, 292, 312, 321,

322, 331, 332 Güçlü 273, 291 Tümel 271, 272, 273 Yerel 274, 290, 291, 336 Zayıf 274

Ençok Noktası 290, 291 Eniyileme 268, 271, 326, 340, 352 Equivalance Relation Bk. Denklik Bağıntısı Erey 187, 189, 191-194

Tektaraflı 192 Eşçarpan 89, 94, 478 Eş Doğrusal 63 (dipnot) Eş Doğrusal Olmayan 63

4 9 3

Euler Teoremi 219 Evrensel Küme 25, 27 Evr ik 13, 43, 71, 437

Sağ 71 Sol 70

— F —

Fallaey Bk. Geçersiz

Fark Denklemi 435-461, 464, 467, 468, 470 Bayağı 438 Doğrusal 439, 441, 445, 446, 449, 450, 454, 455, 475

Fark İşlemleyicisi Aralığı 435, 436 Funct ion Bk. İşlev

— G —

Geçerli 15 Geçersiz 15

Gecikme tşlemleyicisi 436, 438 Gerekli Koşul 12, 13, 286, 292, 294, 311, 320, 328

329, 333, 336, 464, 472, 474, 475 Genişletilmiş Dizey 91, 118 Göreli Tümleyen 27 Görüntü 38, 40

— H —

Haber Tümcesi 5 Halka 47, 48, 50 Hawkıns-Simon Koşulu 162-168, 477 Hesse Dizeyi 215, 283, 312, 321, 336, 358

Image Bk. Görüntü Intersection Bk. Kesişim Inverse Bk. Evr ik

- t -İç 176 îçsel Çarpım 59 î ç Çözüm 327 İkili Bağıntı 34 İndirgenebilir Dizey 155 İndirgenemez Dizey 155 İndirgenmiş Biçim 249 İ s tem İşlevi 37, 249 İşlem 26, 27, 42

Dağılmalı 43, 79 İkili 42 Ortaklaşt ıncı 43, 45, 46, 72, 79 Sağdan Dağılmalı 43

Soldan Dağılmalı 43 Yer Değiştirmeli 42, 46, 47, 72

İşleyebilirlik Koşulu 164 İşlev 33-41

Ar tan 377 Azalan 377 Bileşke 38, 40 Birebir 38, 40 Birim 38 Doğrusal 51, 52 Evr ik 38, 40, 231, 239, 240, 249 Örten 38, 40 Tekdüze 377 Tektürel 219

İşlevsel Bağımlılık 228 İşlevsel Bağımsızlık 226-230 İz 97

İzdüşüm 60 İzge 129, 130

— J —

Jacobi Belirteni 228, 391 Jacobi Dizeyi 226-228, 246, 354, 468, 478, 483

— K —

Kalan 281 Kapak Küme 176 Kaplamsallık Beliti 24 Kararlılık 463-484

Tümel 464, 465, 466, 467, 468, 469, 470, 471 Yerel 464, 465, 466

Kararlımsı Dizge 466 Karesel Biçim 141-148

Belirli Olmayan, Kesinimsi 146 Kesin artı 142, 143, 145, 146 Kesin Eksi 142, 143, 145, 146 Yarı Kesin Artı 142, 143, 145, 146 Yarı Kesin Eksi 143, 145, 146, 330

Kârlılık Koşulu 165

Karşılama İlkesi 269, 464, 478, 479, 482 Karşılaştırmalı Durağan Yöntem 252, 253, 359,

478, 481, 482 Karşılaştırmalı Durağan Bilgi 253, 261 Karşılıklı Koşullu ö n e r m e 14 Karşıt 13 Kartesgil Çarpım 33, 34, 175, 389 Katl ı Tümlev 389, 390 K a y m a İşlemleyicisi 436, 437, 438, 447 Kesikli değişken 435, 436 Kesin Ar tan İşlev 209, 377

4 9 4

Kesin Art ı işlev 466, 467 Kesin Azalan İşlev 209 Kesişim 26 Kısıt Nitelendirmesi 337 Klasik Programlama Sorunu

Birinci 309, 311, 314 ikinci 317, 318, 320, 321, 322

Koşullu öne rme 12, 14, 17, 20 Köşe Çözümü 327 Krasovskii Teoremi 468 Kuhn-Tucker Koşulları 336, 337, 341

— L —

Lagrange Çoğaltanı 308, 330, 332 Lagrange Denklemi 308, 334, 336, 339-341, 356 Lagrange'gil Durgun Nokta 310, 312, 320, 328 Lebesque ö l çümü 370 L 'Hopi ta l Kuralı 241 Leontief Modeli 152-154, 161-165, 168, 169, 461

F iya t Dizgesi 154, 165 Miktar Dizgesi 153

Lipschitz Koşulu 399, 410 Logically Equivalent Bk. Mantıksal Denk Lyapunov işlevi 467, 468, 469, 470, 471

— M —

Mantıksal Denk 10 Matematiksel Yapı 44, 45, 46, 48, 49 Mutluluk Noktası 342

— N — Necessary Condition Bk. Gerekli Koşul Negation Bk. Değil Nitel hesap 262-265 Normalleştiri lmiş ö z g ü l Yöney 131 N P - Dizeyi 474 Null Set Bk. Boş Küme

— O — Olmayana Ergi 19 Ordered Pair Bk. Sıralı İkili

— Ö -ö b e k 44, 45, 46 Obeksi 44 ö ğ e 24, 26, 33, 44

Birim 43-49, 80 Evr ik 43-47 Sıfır 43, 68

Ölçülebilir Küme 366, 369 ö lçün Taban 66

Önalan 37, 277 Öncü Asal Alt Belirten 144, 145, 476 ö n c ü Asal Alt dizey 144 öne rme 5-22 Önerme Eklemi 6 ö r t ü k işlev 231, 233, 478

Teoremi 231, 253, 398, 410, 478 ö z Alt Küme 24 Öz Alt Uzay 62 özdeşlik Dönüştürmesi 70 Özel Çözüm 403, 450-454 Özerk Dizge 463, 466, 467, 468 Özgül Değer 129, 130, 133, 136, 141, 143, 148,

425, 426, 429, 430, 456, 457, 472, 474, 475,

476 Özgül Denklem 130, 417, 448, 449, 452, 472, 473,

475, 476, 480 Özgül Uzay 129 özgül Yöney 129, 130, 131, 133, 141, 425, 426,

429, 430, 456, 457, 477

— P —

Part ion Bk. Bölüntüleme Perron-Frobenius Kök 159, 160, 169, 170, 476,

477 Perron-Fıobenius Teoremi 159, 476 Power Set Bk. Üskümesi Proper Set Bk. ö z a l t Küme Proposition Bk. Önerme

— R — Range Bk. Ardalan Relative Complement Bk. Göreli Tümleyen Routh-Hunvi tz Teoremi 472, 474, 475, 481, Rolle Teoremi 208

— S —

Sabit İşlev 209 Sabit Tümleyen 27 Sarrus Kuralı 91 Satır Basamak (dizey) 101, 102 Satır Denk (dizey) 101 Satır Egemen Köşegenli Dizey 475 Schur-Cohn Teoremi 475 Sayıl Çarpım 59, 75 Seriler 277

Maclaurin 280 Sonsuz 277 Taylor 277, 280, 281 Yakınsak 277, 278

495

Sıçrama Süreksizliği 194 Sınır 176 Sınır Noktası 176 Sınırlı Dizi 188 Sınırlı Küme 177

Al t tan 177 Üs t ten 177

Sıralı İkili 33, 34, 39, 45 Subset Bk. Altküme Sufficient Condition Bk. Yeterli Koşul Sürekli işlev 194, 216 Sütun Egemen Köşegenli Dizey 474

— T —

Taban 66, 69, 72 Tamamen Ayrıştınlabilir Dizey 155, 159 Taylor Açınımı 280, 281, 290, 291, 479, 482 Tekil Dizey, 103 Tektürel Dizge 112, 420, 441 Temel Çözüm 120 Temel Çözüm Kümesi 441 Temel Dizey 423, 424, 427 Ters Karşı t 13, 19 Ters Türev 376, 377 Tikel Evetleme 7 Tikel Toplam Türev 226 Tikel Türev 212, 214, 215, 216, 225 Topak Küme 177 ^ Toplam Türev 221, 481 Toplam Türevsel 221, 223, 224, 226 Toplamsalhk 52, 53 Totoloji Bk. Doğrusal- Geçerli öne rme Tümel Evetleme 7 Tümlev 366, 373-394, 400, 402 Tümlevde Değişken Değiştirme Yöntemi 390 Tümlevde Parçalı Tümlevleme 382 Tümlevde Kesirli ifadelerin Tümlevi 383 Tümlevlenebilir 375-378, 391 Tümlevlenen 375 Tümlevleme Ereyi 375 Tümlevleme Aralığı 373, 375 Tümlevleyen Çarpan 401 Türev 200-206, 376, 401 Türevlenebilirlik 200, 201, 203 Türevsel 221, 222, 227 Türevsel Denklem 396, 423, 425, 464, 467, 468,

470, 471, 479 Bayağı 396, 398 Birinci sıra 398, 399, 403, 405, 409 Değişken Katsayılı 397, 398

Doğrusal 397, 398, 431, 432, 472 Sabit Katsayıl ı 397, 403, 410, 411, 413, 418,

432 Tektürel 398, 400, 401, 411, 413, 415, 416 Tikel 396

Türevsel Denklemlerin Çözümü 397-410 Belirtik 398 Örtük 398

l Uç Değer 271, 275 Uç Değer Teoremi 196 Union Bk. Bileşim

_ Ü -

Üs Kümesi 26, 50 Üs Serisi 278 Üst Tümlev 375

— V —

Valid Bk. Geçerli Venn Çizelgeleri 27, 31 Viner-Wong Teoremi 361

— W — Wronski Dizeyi Belirteni 415, 423, 440

_ Y —

Yalın özgü l Kök 130 Yapısal Biçim 248 Y a n Öbek 44, 45, 47, 49 Y a n Uzay 181

Açık 180 Yayılım 63, 64 Yer Değiştirme Dizeyi 158 Yer Değiştirmeli Halka 48 Yer Değiştirmeli ö b e k 46 Yeterli Koşul 12, 13, 292, 293, 296, 311, 321, 464,

467, 472, 474, 475 Young Teoremi 216, 225, 406 Yöney 48, 54-60, 173, 175, 455, 456

Dikey 60 Satır 54 Sütun 54

Yöney Uzayı 49, 51, 54, 55, 60-63, 69 Yöneyin Boyu 59, 60 Yöre 175, 176, 190, 465

— Z — Zarf Teoremi 359, 361

Zincir Kuralı 210, 216

496

Fiyatı : 410 TL,

İktisatçılar için Matematik

Documents