AHAJU13A I 3A 11H<I>OPMATI11.IAPE 1 22. cpe6pyap 2011. IIorJiaBJLe 1 PEAJIHM BPOJEBM 1. OcHOBHe oco6HHe cKyrra peaJIHHX 6pojeBa R Y OBOj TaqKll Hajrrpe neMO HaBeCTll aKCllOMe CKyrra peaJIHllX 6pojeaa ll HajBaJKHllje OC06MHe KOje CJie,n;e ll3 OBllX aKCllOMa. Ilo,n; cKyrroM peaJIHllX 6pojeaa rro,n;pa3yMeBaMo 6MJIO KOjM cKyrr R y KOMe cy ,n;eqmHMCaHe orrepan;Mje ca6Hpaiba 11: MHOJKeiLa, 11: peJian;Mja rropeTKa TaKo ,n;a cy 3a,n;oao.n:,eHe cJie,n;ene aKCMOMe. A'X:cuoMe ca6upa7ba. (I.l) 3a rrpoH3BOJLHe eJieMeHTe x, y E R aaJKM x + y = y + x. (1.2) 3a rrpoH3BOJLHe eJieMeHTe x, y, z E R aaJKM (x + y) + z = x + (y + z). (1.3) IlocTojM eJieMeHT 0 E R TaKaB ,n;a je x + 0 = x 3a caaKo x E R. (1.4) 3a caaKM eJieMeHT x E R rrocTojM eJieMeHT y = -x E R TaKaB ,n;a je X+ y = 0. A'X:cuoMe Mno::xce'lba. (ILl) 3a rrpOM3BOJbHe eJieMeHTe x, y E R aaJKM x · y = y · x. (II.2) 3a rrpOH3BOJbHe eJieMeHTe x, y, z E R aaJKM (x · y) · z = x · (y · z). (II.3) IIocTojM eJieMeHT 1 E R pa3Jill'IllT o,n; 0, TaKaB ,n;a je 1 · x = x 3a caaKo x E R.
185
Embed
IIorJiaBJLe PEAJIHM BPOJEBM - alas.matf.bg.ac.rsalas.matf.bg.ac.rs/~mi10103/predavanja/_a1/Analiza I - Aleksandar Torgasev.pdf · AHAJU13A I 3A 11HOPMATI11.IAPE 1 22. cpe6pyap
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
rrpM G:eMy 6poj p E Z lf 6poj q E N. IlpMTOM o6MG:HO rrpeTIIOCTaBJLaMo ,n;a je
pa3JIOMaK p/ q pe,n;yKoBaH, Tj. ,n;a He rrocTojM 6poj k KOjlf MCTOBpeMeHo ,n;eJIM
6pojeBe p M q.
CKyrr CBHX pa:o;MoHaJIHHX 6pojeBa ce 03HaG:aBa ca Q. IloKa3yje ce
,n;a CKYII ( Q, +, ·) rrpe,n;CTaBJLa ype l)eHO IIOJLe, a JIM He 3a,ll;OBOJLaBa aKClfOMY
HerrpeKM,n;HOCTH (IV), rra j e Q =!= R. TaKo ce HarrpMMep rroKa3yj e ,n;a j e 6poj
../2 peaJiaH aJIM Hlfj e pa:o;MoHaJiaH 6poj.
BpojeBH H3 cKyrra R ""- Q Ha3MBajy ce upa~uona.n,nuM. OcMM Tora, MOJKe
ce IIOKa3aTH ,n;a je CKYII CBHX pa:o;HOHaJIHHX 6pojeBa Q npe6pojuB y CMHCJiy
,n;a ce CBH IheroBH eJieMeHTH Mory rropel)aTM y je,n;aH 6ecKoHaG:aH HH3. 3a
CKYII CBlfX MpaD;lfOHaJIHlfX 6pojeBa ce IIOKa3yje ,n;a HeMa OBY OC06MHy.
3. AKo je ,n;aJLe A rrpoM3BOJLaH Herrpa3aH rro,n;cKyrr peaJIHHX 6pojeBa,
Ta,n;a ce OH Ha3MBa ozpanu"le'HUM ca zop1be cmpane aKo rrocTojM 6poj b E R TaKaB ,n;a je 3a cBaKo x E A McrrylbeHo x ~ b.
CKyrr A Ha3MBa ce ozpanu"le'HUM ca 001be cmpane aKo rrocTojxr HeKo c E R TaKo ,n;a je 3a CBaKo x E A xrcrry!heHo x 2: c.
CKyrr A ~ R Ha3MBa ce ozpanu"le'HUM aKo je orpaHMG:eH H ca roplbe H ca
,n;olbe CTpaHe, ,n;aKJie rrocToje peaJIHlf 6pojeBM b, c TaKBH ,n;a je 3a cBaKo x E A lfCIIylbeHO C ~ X ~ b.
AHAJB13A I 3A MH<I>OPMAT1·f4APE 5
AKo je cKyrr A orpaHH"t!eH ca roplbe cTpaHe, Ta,n;a ce csaKH 6poj bE R TaKas ,n;a j e
x~b (x E A)
Ha3HBa MajopanmoM cKyrra A.
CJIH"t!HO ce ,n;eqmHmrre 11: Munopanma rrpOH3BOJbHOr CKyrra A orpaHH"tieHor
ca ,n;olbe CTpaHe.
AKo je A~ R rrpOH3BOJbaH Herrpa3aH cKyrr orpaHH"t!eH ca roplbe cTpaHe,
Ta,n;a ce peaJiaH 6poj s =sup A Ha3HBa cynpeMyMoM Tor cKyrra aKo je s je,n;Ha
MajopaHTa Tor cKyrra, 11: 3a csaKy ,n;pyry MajopaHTY b HCTor cKyrra saam ,n;a
je s ~ b. llaKJie, cyrrpeMyM cKyrra A, yKOJIHKO rrocTojH, rrpe,n;cTaBJba HajMalby
MajopaHTY TOr CKyrra.
TEOPEMA 1. Ilpou3BOJban nenpa3an cnyn A C R ozpanu"ten ca zop1be
cmpane uMa cynpeMyM .
.lloRa3. l!oKa3 OBOr TBptJeiba Ce MOJ-Ke ll3BeCTll IIpllMeHOM aKCllOMe
HerrpeKH,n;HOCTH. AKo ca B 03Ha"tiHMo cKyrr CBHX MajopaHaTa cKyrra A, Ta,n;a
cy cKyrroBH A 11: B Herrpa3Hll 11: samH ,n;a j e x ~ y 3a rrpoH3BOJbHe eJieMeHTe
x E A 11: y E B. CTora Ha ocHosy aKCHOMe HerrpeKH,n;HOCTll rrocTojH peaJiaH
6poj z TaKas ,n;a je x ~ z ~ y 3a cse 6pojese x E A H y E B. CTora je 6poj z
O"t!HrJie,n;Ho HajMallia MajopaHTa cKyrra A, rra je z = sup A. D
IlpHTOM Tpe6a HarJiaCHTll ,n;a cy, 3a rrpOH3BOJbaH Herrpa3aH cKyrr A orpaHH"t!eH ca ropllie CTpaHe, Moryna o6a cJiy"tiaja ,n;a cyrrpeMyM s =sup A E
A Kao 11: ,n;a s ~A. Ha rrpHMep aKo je cKyrr A= {0 ~ x ~ 1}, Ta,n;a jesup A= 1
H 6poj 1 E A, a aKo je A= {x:O < x < 1}, Ta,n;a je supA = 1H osaj 6poj
He rrpHrra,n;a cKyrry A. AKo 6poj sup A E A, oH,n;a ce OH Ha3HBa Ma'/'CcuMyMoM
cKyrra A 11: 03Ha"tiasa ce ca max A.
liaJbe, aKo je A ~ R rrpOH3BOJbaH cKyrr orpaHH"t!eH ca ,n;ollie CTpaHe,
Ta,n;a ce MOJ-Ke aHaJiorHo ,n;oKa3aTH ,n;a rrocTojH Iberosa Hajsena MHHopaHTa.
0Ha ce 03Ha"tiaBa ca r = inf A 11: Ha3HBa ce unrfiuMyMoM cnyna A. liaKJie, Ha
ocHosy ,n;e<f>HHHD;Hje, TO je peaJiaH 6poj r TaKas ,n;a je x 2:: r 3a csai<o x E A, ll 3a CBaKy ,n;pyry MllHOpaHTY m OBOr CI<yrra BaJ-Kll ,n;a je r 2:: m.
llpHTOM je Tai<otie Moryn cJiy"tiaj ,n;a 6poj r E A I<ao 11: cJiy"tiaj ,n;a 6poj
r ~ A. AI<o 6poj inf A E A, Ta,n;a ce OH Ha3HBa MU'I-£UMYMOM rrocMaTpaHor
ci<yrra.
113 rrpeTxo,n;HHX ,n;e<f>HHHD;Hj a rroce6Ho cJie,n;H ,n;a csaKH orpaHH"t!eHH He
rrpa3aH CI<yrr A ~ R rroce,n;yje cyrrpeMyM ll HH<f>HMYM y CI<yrry R.
6 AHAJil13A I 3A l1H<I>OPMA TJ1qAPE
lla.n.e HaBO,.ll;IfMO j om HeKe rrocJie,n:ui(e aKCHOMe HerrpeKH,n:HOCTH. CJie,n:e
l'i.a TeopeMa Ha3HBa ce ApxuMeooeo.M oco6uno.M cKyrra R.
TEOPEMA 2. Ax:o cy a u b npOU380Jb'HU noJUmUB'HU 6pojeeu, maoa nocmoju jeoan jeouncmeenu npupooan 6poj n max:ae oa je (n- 1) a :::; b < n a.
Ha ocHoBy oBe TeopeMe JiaKo ce ,n:oKa3yjy cJie,n:el'i.e rrocJie,n:ui(e HaBe,n:eHe
TeopeMe.
IIOCJIEJD1UA. (a) 3a npouJBOJban noJUmuean 6poj c nocmoju npupooan 6poj n max:ae oa je 1/n <c.
(6) Ax:o je X 2: 0 u Ja ceax:u npupooan 6poj n Ba'JICU X < 1/n, maoa je X= 0.
(I() 3a npouJBOJb'He pea.11,ne 6pojeee a u b max:ee oa je a < b, nocmoju 6ap jeOa'H pat~UO'Ha./l,a'H 6poj X max:a8 Oa je a < X < b.
CJie,n:el'i.a TeopeMa Ha3HBa ce TeopeMOM o rrocTojalhy n-Tor KopeHa H3
IIpOH3BOJI.HOr II03HTHBHOr 6poja.
TEOPEMA 3. 3a npouJBOJba'H noJumuean 6poj x u npupooan 6poj n
nocmoju u mo jeouncmeenu noJUmuean 6poj y max:ae oa je yn = x.
Jlo:Ka3. HeKa je A = {z E R: z 2: 0, zn :::; X}. CKyrr A je Herrpa3aH H
orpaHH"t!eH ca roplhe CTpaHe ( 6pojeM max{1, x}), rra Ha ocHoBy TeopeMe 1
rrocToju KOHa"tiaH cyrrpeMyM y = sup A. IIpuToM je O"t!HrJie,n:Ho y > 0. lla.rr,e
neMO ,ll;OKa3aTH ,n:a je yn = x. Hajrrpe rrpeTIIOCTaBHMO ,n:a je yn < x. AKO
03Ha"t!HMO c = X- yn, Ta,n:a je c > 0. 0CHM TOra, IIpHM€THMO ,n:a 3a CBaKO h
3aTBOp8HHM, a k'IHT8pBaJIH (a, +oo) ¥I ( -OO, b) OTB0p8HHM. l1HT8pBaJI ( -OO,
+oo) = R CMaTpa ce ¥I OTBOpeHHM H 3aTBopeHHM.
AKo cy a H b KOHaqHH 6pojeBH, Ta,n;a cy HHTepBaJIH o6JIHKa [a, b], [a, b), (a, b] ¥I (a, b) oqHrJie,n;Ho orpaHHqeHH CKYITOBH jep cy ca ,n;olbe CTpaHe orpaHH
qeHH KOHaqHHM 6pojeM a, a Ca rOpibe CTpaHe KOHaqHHM 6pojeM b. l1HT8pBaJIH
o6JIHKa [a, +oo), (a, +oo), ( -oo, b], ( -oo, b) H ( -oo, +oo) = R cy oqHrJie,n;Ho
HeorpaHHqeHH CKYITOBH.
IIo.n; uH.mepea.!tOJU ITo,n;pa3yMeBaMo HHTepBaJI 6HJIO Kor o.n; HaBe,n;eHHX
06JIHKa, a OB,n;e ITO KOHB8HD;Hj¥I ITpH,n;O,n;ajeMO H ITpa3aH CKyiT, KOjH TaKOlje
CMaTpaMO k'IHT8pBaJIOM.
10 AHAJU13A I 3A MH<I>OPMA TJ1qAPE
Ilo.n O'K:O.I!U'HOM Tal!Ke x E R rro,n;pa3yMeBaMo 6HJIO KOjH HHTepBaJI o6-
(-oo,b), IIpH "t.IeMy je b 6HJIO KOjH peaJiaH 6poj.
IIo.n; O'K:O.I!U'HOM ma"t'K:e oo, rro.n;pa3yMaBaMo 6HJIO KOjH cKyrr o6JIHKa !xi 2: a, Tj. CKYII (-oo,a]U[a,+oo), HJIH 6HJIO KOjH CKYII 06JIHKa !xi> a, IIpH ll8MY
je a 6HJIO KOjH HeHeraTHBaH 6poj.
AHAJH13A I 3A MH<I>OPMA TM1.JAPE 11
IIorJiaBJLe 2
HM30BM PEAJIHMX BPOJEBA
1. HH30BH H onep~Hje Ha~ HH30BHMa
Y OBOj Ta"tJKH IIOCMaTpaneMO HH30Be peaJIHHX 6pojeBa, KOje neMO KpaT
KO Ha3HBaTH H.U3oBu.Ma. CBaKH peaJiaH HH3 ,n;aKJie rrpe,n;cTaBJLa H3BecHo rrpec
JIHKaBa:Eua a: N H R cKyrra rrpHpo,n;HHX 6pojeBa N y cKyrr peaJIHHX 6pojeBa.
06H"tJHO ce 3a cBaKo n E N rrmrre a(n) = an, H peaJiaH 6poj an Ha3HBa ce
n-THM "tJJiaHoM HH3a. CaM HH3 ce OH,n;a o6H"tJHO 03Ha"tJaBa ca (an) (n E N), rroHeKa,n; ca {an: n EN}, rroHeKa,n; ca {a1, a2, .. . }, HJIH je,n;HOCTaBHO ca {an}·
Kao mTo je II03HaTo, Ha,n; rrpOH3BOJLHHM HH30BHMa Mory ce BpmHTH
o,n;peljeHe orrepa:o;Hje. TaKo aKo je (an) (n E N) rrpOH3BOJLaH peaJiaH HH3, 3a
06JIHKa an+ bn, Tj. 36Hp n-THX "tJJiaHOBa ,LI;Ba IIOJia3Ha HH3a.
McTO TaKo, rro,n; pa3JIHKOM HH30Ba (an) H (bn) rro,n:pa3yMeBaMo HH3 (anbn), H lberoB n-TH "tJJiaH je o6JIHKa an- bn, Tj. pa3JIHKa n-THX "tJJiaHOBa ,n:Ba
Ilo,n; KOJIH"t!HHKOM HH30Ba (an), (bn) rro,n;pa3yMeBaMo HH3 (an/bn) "tJHjH je
n-TH "tJJiaH je,n;HaK an/bn, ,n;aKJie KOJIH"t!HHK n-THX "tJJiaHOBa HH30Ba (an) H (bn), no,n: ,n:o,n;aTHOM npeTIIOCTaBKOM ,n;a je bn =/:- 0 3a cBaKo n E N.
12 AHAJU13A I 3A HH<I>OPMATH"Y:APE
HcTO TaKo, MOJKe ce IIOCMaTpani ll penurrpOl.IHa Bpe,.nHOCT 1/an Hll3a an
rro..n rrpeTrrOcTaBKOM ..na j e an =/= 0 3a CBaKo n E N.
HarroMeHHMO jorn ..na ce Hll3 (an) Ha3HBa ozpauu"te'Hu.M ca oo'lbe cmpaue aKo rrocToju peanaH 6poj a TaKaB ..na je 3a cBaKo n E N ucrryH>eHo an 2 a, 3aTHM ozpauu"teuu.M ca zop1be cmpa'He aKo rrocToju peanaH 6poj f3 TaKaB ..na je
3a cBaKo n E N ucrryH>eHo an :::; /3, ll ozpauu"teuu.M aKo je orpaHwieH ll ca
ropH>e ll ca ,.noH>e CTpaHe.
MoJKe ce JiaKo BH,.neTH ..na je Hll3 (an) orpaHH1IeH aKo H caMo aKo CBH
HH3 an KOjH Team Ka je,n;HOM o,n; H3pa3a oo, ±oo TaKot)e ce rroHeKa,n;
Ha3:H:Ba KOHBepreHTHHM, aJIH Ce OH,L(a KOHBepreHI(Hja Ka 00, O,L(HOCHO Ka +oo HJIH Ka -OO CTpHKTHO HarJiaiiiaBa, ,n;a 6H Ce jaCHO pa3JIHKOBaJia 0,1:( yo6w:ra
jeHe KOHBepreHI(Hje Ka KOHaqHoj rpaH:H:qHoj Bpe,n;HOCTH.
CTAB 3. A-x:o zpa'HU"{'Ha apeihwcm 'HU3a nocmoju u npeiJcmaa.!ba 'X:D'H.a"{a'H
HMa ,n;Be pa3JIHq:H:Te rpaH:H:qHe Bpe,n;HOCTH a H b. Ta,n;a je c = ~!a- bl > 0.
CTora rrocTojH rrpHpo,n;aH 6poj n 1 TaKaB ,n;a je !an - a! < c 3a cBe rrpHpO,L(He
6pojeBe n ~ n 1, H rrpHpo,n;aH 6poj n 2 TaKaB ,n;a je !an- bl < c 3a CBe rrpHpo,n;He
6pojeBe n ~ n 2. O,n;aB,n;e cJie,n;H ,n;a rrocTojH 6ap je,n;aH rrpHpo,n;aH 6poj n > n1, n2 TaKaB ,n;a je !an- a! < c H !an- bl < E, o,n;aKJie ,n;o6:H:jaMo ,n;a je
<f>YHKI(llje "no ra"tiKaMa" rj. Ha cJie,n;enl1 Ha"I.II1H:
(1 0)
(20)
(30)
( 40)
(50)
(! ± g)(x) = f(x) ± g(x);
(Jg)(x) = f(x)g(x);
( /_) (x) = f(x); g g(x)
(af)(x) = af(x);
( J) ( x) = f tx) '
3a CBaKo xED. KoJII1"1.IHI1K (3°) .n;e<f>I1HI1CaH je caMO aKo je g(x) ::/= 0 3a cBaKo
xED, a peD;I1IIpO"tiHa Bpe,n;HOCT 1/ f(x) caMo aKo je f(x) ::/= 0 3a cBaKo xED.
2. HeKe BpcTe peaJIHHx ci>YH:Kil.Hja
PeaJIHa <f>yHKD;llj a f : D H R .n;e<f>I1Hl1CaHa Ha HeKOM CKyrry D ~ R Ha3I1Ba
ce 'IW'/-iCma'/-im?-iOM Ha TOM CKyrry aKO IIOCTOjl1 peaJiaH 6poj C TaKaB ,n;a je j(x) = c 3a cBaKo x E R. Ta.n;a rrmneMo f(x) = konst Ha cKyrry D .
.llaJI:.e rrperrrocraBI1MO .n;a je ,n;oMeH D <f>YHKI(llje f ( x) CI1MeTpi1"tiaH y
o,n;Hocy Ha 0, rj . .n;a 113 x E D CJie,n;11 .n;a 11 cyrrporHa ra"I.!Ka -x E D. Ta.n;a
ce <f>YHKD;llja y = f(x) Ha3l1Ba nap?-ioM aKo je 3a cBaKo x E D 11crrylheHo
f( -x) = f(x), 11 '1-ienap?-ioM aKo je 3a cBaKo xED llcrrylheHo f( -x) = - f(x). TaKo cy <f>yHKI(llje sin x 11 x 2n+l ( n E N) HerrapHe, a <f>YHKI(llje cos x 11
x 2n (n E N) rrapHe.
HarroMeHI1MO .n;a ce JiaKo MOIKe BI1.n;er11 .n;a j e rpa<f>I1K rra pHe <f>YHKI(llj e
CI1MeTpi1"tiaH y O,IJ;HOCy Ha y-ocy, a rpa<f>I1K HerrapHe <f>yHKI(llje CI1MeTpi1"tiaH y
O.n;HOCY Ha KOOp,Il;I1HaTHI1 IIO"tleTaK.
0CI1M TOr a, HaiiOMeHI1MO ,n;a Ce CBaKa peaJIHa <f>yHKI(llj a y = j (X) ,n;e<f>I1-
HI1CaHa Ha HeKOM ,IJ;OMeHy D KOjl1 je CI1MeTpi1"1.IaH y O,IJ;HOCY Ha 0, MOIKe IIpi1Ka-
HOMa Qn(x) Ha3:H:Bajy ce CU'H2yAap'HU.M ma'l.(.'X;a.Ma <flYHKI(Mje f(x).
(2)
(3°) - EKCIIOHeHI(MjaJIHa <flyHKI(Mja je 6:H:JIO KOja <flyHKI(Mja 06JIHKa
y =ax '
IIpll "t.JeMy je a > 0 ll a # 1, ll OHa je ,n;e<flMHMCaHa ll II03llTllBHa 3a CBaKO
peaJIHO X. Bpoj a Ha3HBa ce OC'HOBO.M IIOCMaTpaHe <flyHKI(Hje.
AKo rrpeTrrocTaBMMo ,n;a je oHa Ben ,n;e<flMHMCaHa 3a Bpe,n;HoCTH a > 1, Ta,n;a Ce OHa 3a Bpe,n;HOCTH a < 1 ,n;e<flHH:Hme Ca ax = ( ~) -x. l[aJl>e neMO
yKpaTKO OIIMCaTH KaKO je OHa ,n;e<flHHMCaHa 3a Bpe,n;HOCTll OCHOBe a > 1.
AKo je apryMeHT x pai(MOHaJiaH 6poj (x E Q), Tj. x = p/ q (p E Z, q E N), Ta,n;a je Ha ocHoBy ,n;e<fl:H:HMI(Mje ax = aP/q = f((iP = (aP)l/q. AKo je x E R
AHAJU13A I 3A I1H<I>OPMAT:Vf4APE 29
IIpOIBBOJI>aH :apan;:aOHaJiaH 6poj, Ta.IJ;a MOJK€MO .IJ;a IIOCMaTpaMO CKYIIOBe A = { ar I r E Q, r < x} :a B = { ar I r E Q, r > x}. KaKo ce MOJKe JiaKo BH.IJ;eT:a .IJ;a j e
cKyrr A orpaH:a'ieH ca ropH>e CTpaHe, a cKyrr B orpaH:a'ieH ca .IJ;OH>e cTpaHe,
rrocToje KOHa'iHH sup A = a :a inf B = {3 :a rrp:aTOM je a :::; {3. lllTaa:ame,
HMje TemKo BM,n;eTM ,n;a je rrp:aTOM a = {3. Ta.n;a ,n;eqmHMmeMo ax = a = {3, M
<fJYHKD;Mja ax Ha3MBa Ce €KCIIOHeHD;MjaJIHOM <fJYHKIJ;MjOM Ca OCHOBOM a.
HeKo 6 = 6(M) > 0 TaKo ,n;a je f(x) > M, o,n;HOCHO f(x) < -M, o,n;HOCHO
Jj(x)J > M 3a o,n;roBapajyne Bpe,n;HOCTH x.
HT,L{.
joM.
TaKo j e HarrpHMep
. 1 hm- = oo, x-+OX
. 1 hm -1 I= +oo, x-+0 X
CBe rrpeTxo,n;He ,n;eqmHHn;Hje ce Mory o6je,n;HHHTH cJie,n;enoM ,n;eqnmHn;H-
AKo je x0 E R* TaqKa HaroMHJiaBaH>a cKyrra D, Ta,n;a ce 6poj A E
R Ha3HBa rpaHHqHoM Bpe,n;Homny <PYHK:u;:aje j(x) y TaqK:a xo aKo 3a cBaKy
OKOJIHHY V(A) Ta"t.IKe A rrocToj:a HeKa OKOJIHHa U(x0 ) TaqKe xo TaKBa ,n;a je
j(x) E V(A) 3a cBe Bpe.n;HOCTH x E D n U(x0 ) (x :/= x0 ).
TaKol;)e ce MOiKe roBopHTH :a o rpaHwmoj Bpe,n;HOCTH <flyHKD;Hje y = f(x) H aKO KO):( ,n;e<flHHHCalba Te Bpe,n;HOCTH Y3HMaMO y 063Hp CaMO IbeHe Bpe,n;HOCTH
x Koje cy Bene o.n: xo (,n;aKJie HaJia3e ce ",n;ecHo" o,n; TaqKe x0 ), o,n;HOCHO
MaH>e o,n; x 0 (.n;aKJie HaJia3e ce "JieBo" o.n: TaqKe x 0 ). O,n;roBapajyne rpaHHqHe
Bpe,n;HOCTH ce Ta.n;a 03HaqaBajy pe.n;oM ca
lim f(x), Tj. ca f(xo + 0), x-+xo+O
O):(HOCHO ca
lim f(x), Tj. ca f(xo- 0). x-+xo-0
rpaHHqHe Bpe,n;HOCTH j(xo + 0) H j(xo- 0), aKO OHe IIOCTOje, Ha3HBajy
ce jom :a .!!eeo.M u dec'HO.M zpa'HU"i'HO.M eped'Howfiy <PYHKD;Hje f(x) y TaqKH xo, HJIH jed'Hocmpa'Hu.M zpa'HU"i'HU.M eped'Hocmu.Ma.
Herrocpe,n;HO ce MOiKe ,n;oKa3aTH ,n;a je lim f(x) = A aKo H caMo aKo X-+Xo
je lim f(x) = lim f(x) = A. CTora rroce6Ho, aKo je <PYHKD;Hja f(x) x-+xo+O x-+xo-0
,n;e<flHHHCaHa 6ap y je,n;HOj TaqKH X < Xo H 6ap y je,n;HOj TaqKH X > Xo, H TaqKa
40 AHAJII13A I 3A I1H<I>OPMATI1"4APE
x0 je Ta"t!Ka HaraM:H:JiaBaH>a cKyna D, Ta,n;a rpaH:H:"t!Ha ape,n;HaCT cf>yHKUMje f(x) y Ta"t!K:H: Xo E R* nacTaj:H:, aKa 11: CaMa aKa nacTaj:H: JI8Ba 11: ,n;ecHa rpaH:H:"t!Ha
ape,n;HaCT y Taj Ta"t!KM, 11: aHe cy Mel)yca6Ha je,n;HaKe. AKa cf>YHKU:H:ja f(x) H:H:j e ,n;ecf>:H:H:H:caHa H:H: y j e,n;Haj Ta"t!K:H: x < x 0 , aHa nace,n;yj e a,n;raaa paj yny
Xo E R*, 01-tiJa je ma rf;y1-t~'4uja ozpaNU"te'l-ta y 1-te~oj o~O.!tU'I-lU ma"t~e x 0.
AKa j e peaJIHa cf>YHKU:H:j a w ( x) ,n;ecf>:H:H:H:CaHa Ha HeKaM cKyny D ~ R* 11:
Ta"t!Ka x0 E R* je Ta"t!Ka HaraM:H:JiaBaH>a CKyna D, Ta,n;a ce Kame ,n;a je w(x) 6ec~o'l-ta"t'l-to .Ma.lta ee.!tU"tU'I-ta Ka,n;a x --t x0 aKa je lim w(x) = 0.
X-tXQ
Mame ce JiaKa BM,n;eT:H: ,n;a j e 3a peaJIHY cflyHKU:H:j y f ( x) ,n;ecfl:H:H:H:CaHy Ha
HeKaM CKyny D lim f(x) =A, np11: "t!eMy je A KaHa"tiaH 6paj aKa 11: caMa aKa x-+xo
je f(x)- A 6ecKaHa"tiHa MaJia aeJI:H:"t!:H:Ha Ka,n;a x --t x0 . TaKal)e, aKa je w1(x) 6ecKaHa"t!Ha MaJia B8JI:H:"t!:H:Ha Ka,n;a X --t Xo ,n;ecfl:H:H:H:CaHa Ha CKyny D1 11: w2(x) 6eCKaHa"t!Ha MaJia B8JI:H:"t!:H:Ha Ka,n;a X --t Xo ,n;ecfl:H:H:H:CaHa Ha CKyny D2, Ta,n;a Cy
wl(x) ± w2(x) 6eCKOHa"t!Ha MaJie B8JI:H:"t!:H:He Ha CKyrry Dl n D2.
AHAJU13A I 3A l1H<I>OPMATI11.1APE 41
Haj3a,n;, aKo je w(x) 6ecKoHa-qHo Mana Bemp.nma Ka,n;a x --7 x 0 ,n;eqni
mrcaHa Ha HeKOM cKyrry D, a <f>YHKu;uja cp(x) je orpaHwieHa Ha HeKoj OKOJIHHH
U(x0 )\{x0 } Ta't.IKe x0 , Ta,n;a je w(x)cp(x) TaKol)e 6ecKOHa"t.IHO Mana Ka,n;a x --7 xo.
CTAB 4. A1eo y ma't?CU x0 nocmoje ?CO'tta'tne zpanu'tne epeanocmu
lim f(x) u lim g(x), maaa ma1eo1je nocmoje u zpanu'tne epeanocmu lim [o:f(x) x-+xo x-+xo x-+xo
± ,Bg(x)] (o:, ,8 E R), lim j(x)g(x) u lim f(x)/ g(x), u eaJICe c.lleaene jea-x-+xo x-+xo
na?Cocmu:
(1 0)
(20)
(30)
lim [ 0: j (X) + ,8 g (X)] = 0: lim f (X) + ,8 lim g (X) x-+xo x-+xo x-+xo
HarroMeHHMO ocuM Tora ,n;a rrpeTxo,n;HH cTaB Ba>Ku u 3a je,n;HOCTpaHe
rpaHH't.!He Bpe,n;HOCTH <f>YHKD;Hja j(x) ll g(x), a HCTO TaKO ll aKO je Ta't.!Ka Xo = -00, +oo, 00. Ho Tpe6a HaiiOMeHyTH ,n;a je,n;HaKOCT (1 °) y OIIIIITeM CJiy"t.Iajy He
Ba>Ku aKo ,n;orrycTHMO ,n;a rpaHH't.!He Bpe,n;HOCTH A u B Y3HMajy u Bpe,n;HOCTH
oo, -oo u +oo.
IIpuMeHOM MaTeMaTH't.!Ke HH,1J;YKD;Hje ce ca,n;a naKo MO>Ke ,n;oKa3aTH ,n;a
Ba>Ku cne,n;enu cTaB.
CTAB 5. A1eo je k npou3Bo.!ba'H npupoaan 6poj, rfiyn?Cv,uje !I (x), ... , fk(x) cy aerjuNucane na ucmoM c1eyny D ~ R*, u nocmoje ?Cona'tne zpanu'tne epea
nocmu lim fi(x) = Ai (i = 1, ... 'k), maaa BaJICe jeana?Cocmu X-+Xo
k k k k
lim L o:di(x) = L o:iAi, X-+Xo
i=l i=l
lim IT fi(x) =IT Ai. X-+Xo
i=l i=l
42 AHAJH13A I 3A 11H<I>OPMAT11qAPE
O,n;aB,n;e rroce6Ho cne,n;H ,n;a, aKo rrocTojH KOHaqHa rpaHHqHa Bpe,n;HOCT
CTAB 7. A?Co je lim f(x) = B u lim g(x) = C npu "'.e.My je B < C x-txo x-+xo
(BE R, c E R*), maoa nocmoju U38eC'Ha O'K:O.!LU'Ha U(xo) ma"'.?Ce Xo ma'K:ea oa je f(x) < g(x) Ja cee epeo'Hocmu U(x0 ) \ {x0 }. IIoce6'Ho je y 'He?Coj ma'K:eoj O?CO.!LU'HU
ucny1be'Ho f(x) <C.
CTAB 8. A'K:o ¢Y'H?C'l{uje f(x) u g(x) u.Majy zpa'HU"'.'He epeo'Hocmu y ma"'.'K:U
Xo, u y 'He?Coj O'X:O.II.U'HU U(xo)\{xo} ucny1be'Hojef(x):::; g(x), maoaje lim f(x):::; x-txo
lim g(x). x-+xo
HarroMeHHMO ,[(a lfCKa3 OBOr CTaBa IIOCe6HO Baam aKO je y IIOCMaTpaHoj
OKOJIHHH HcrrylheHo f(x) < g(x). Tpe6a HarroMeHyTH .na H3 ycJIOBa f(x) < g(x) y IIOCMaTpaHOj OKOJIHHH y OillTeM CJiy"tiajy He CJie,[(H ,[(a je lim j(x) <
x-txo lim g(x), Ben caMo Heje.nHaKocT :::;.
X-+Xo
44 AHAJH13A I 3A YIH<POPMATYI"Y:APE
CTAB 9. IIpemnocmaBU.MO oa cy f(x), g(x) u h(x) mpu pea.rt'H.e rfty'H'K:V,Uje
oerftu'H.uca'He 'H.a 'H.e'K:o.M c'K:yny D, xo je ma"'.'K:a 'Hazo.Mu.rtaea'/ba c'K:yna D u 'H.a 'H.e'K:oj
o'K:o.rtu'Hu U(xo) \ {xo} ma"'.'K:e xo ucny'lbe'Ho je f(x)::::; g(x)::::; h(x). A'K:o je npumo.M
lim f(x) = lim h(x) = B, x-+xo x-+xo
npu "'.e.My je BE R*, maoa je u lim g(x) =B. X-+Xo
HanoMeHHMO ,L(a ce CTaB 9 aeoMa qecTo KOpHCTH y peaJmoj aHaJIH3H.
Y CJie,L(ena "t.IeTHpH TBp1)eH>a 10, 11, 12 H 13 HaBO,L(HMO H3BeCHa yon
illTelba CTaBa 4.
CTAB 10. A'K:o je zpa'HU"'.'Ha epeO'H.ocm lim f(x) = A 6ec'K:o'H.a"'.'Ha y X-+Xo
C.MUC.rty oa je A jeOa'H. 00 cu.M6o.rta oo, -oo, +oo, maoa 3a 6u.rto 'K:Oju 'K:O'Ha"'.a'H
rrojaM yBeK ce Be3yje 3a je,nHy o.n; Ta"tlaKa +oo, -oo, a Hajrrpe neMo ra yBeCTH
3a Ta"t!KY +oo. IIpeTrrocTaBHMO Hajrrpe .n;a je <f>yHKuuja f(x) .n;e<f>HHHCaHa Ha HeKOM HH
TepBaJiy [a, +oo). Ta.n;a ce rrpaBa y = px + q Ha3uBa acuMnmomoM <f>YHKUHje
j(x) y Ta"t!KH +oo aKO Balf\H peJiaUHja
(13) lim [f(x)- px- q] = 0. x-++oo
50 AHAJUI3A I 3A Ir1H<I>OPMATJr1qAPE
llpyrHM pe~mMa, aKo ce cpyHK:o;Hja f(x) Mo>Ke HarmcaTH y o6JIHKY
f(x) = px + q + o(1),
Ka.n;a x ---1- + oo.
IlOTIIYHO CJilf-qHQ Ce .n;ecpHHHme H aCHMIITOTa cpyHKD;Hje f(x) y Ta-qKlf
-OO, aKO OHa IIOCTOjH.
Tpe6a HarroMeHyTH .n;a HeKe cpyHK:o;Hje y Ta-qKH +oo HMajy a HeKe HeMajy
aCHMIITOTe.
IlpHMep. <l>yHKD;Hja
1 f(x) = x + 2 +-
X (x ~ 1),
HMa aCHMIITOTY y =X+ 2 y Ta-qKH +oo, a cpyHKD;Hja
f(x) = x2 (x ~ 0)
HeMa aCHMIITOTY y Ta-qKlf +oo, jep je 3a IIpOH3BOJLHe Bpe.n;HOCTH rrapaMeTapa
p, q E R HcrrylheHo:
lim [x2 - px- q] = lim x2 (1- pjx- qjx2
) = x-t+oo x-t+oo
= ( lim x 2)( lim (1- pjx- qjx2
)) = x-t+oo x-t+oo
= (oo) · 1 = oo. 0
Tpe6a HarroMeHyTH .n:a aKo H3BecHa cpyHK:o;Hja f(x) HMa acHMIITOTY y
Ta-qKH +oo, TO He 3Ha-q:H .n;a OHa HMa aCHMIITOTy H y Ta-qKlf -00.
AKo cpyHK:o;Hja f(x) HMa acHMIITOTY y Ta-qKH +oo, Ta aCHMIITOTa Ha3HBa
ce xopu3oHma.lt'HOM aKo je napaMeTap p = 0, Tj. aKo Ba>KH
lim f(x) = q, x-t+oo
H 'IWCOM (y y>KeM CMHCJiy) aKO je p =j:. 0. Y mHpeM CMHCJiy, H KOCe H XOpH-
30HTaJIHe aCHMIITOTe Ha3HBajy Ce je.n;HHM HMeHOM 'K:OCe aCUMnmome.
Q-qlfrJie)l;HO je .n;a cpyHKD;Hje KOje cy .n;ecpHHHCaHe CaMO Ha HeKOM KOHa-q
HOM HHTepBaJiy (a, b) peaJIHe OCe, He MOry HMaTH KOCe HJIH XOpH30HTaJIHe
aCHMIITOTe.
AHAJU13A I 3A VIH<I>OPMATVI"Y:APE 51
CTAB 17. <Py'H'X:'IJ,Uja f(x) -x;oja je oerjJU'HUCa'Ha 'Ha '1-te'X:O.M U'HmepBa./l,y
[a, +oo) u.Ma acu.Mnmomy y ma"l.'X:U +oo a-x;o u ca.Mo a-x;o nocmoje 'X:O'Ha"l.'He zpa'HU"l.
'He epeo'Hocmu
(14)
(15)
H
p = lim f(x)' :z:-++oo X
q = lim [f(x)- px]. :z:-++oo
IlpHMep. Yol:IHMO <f>yHKD;Hjy f(x) = t + 1) (x =I= 0; 2). Ta.n;a je xx-2
. f(x) . x 3 + 1 p= hm --= hm =1
:z:-++oo X :z:-++oox2(x-2) '
l. [f ( ) ] l' [ x3 + 1 J l' 2x2 + 1 q = 1m X - X = 1m ( ) - X = 1m ( ..,., = 2, :z:-++oo :z:-++oo X X- 2 :z:-++oo X X-
na je npaBa y =X+ 2 aCHMITTOTa <f>yHKD;Hje j(x) Ka.n;a X--+ +oo. TaKolje ce JiaKo .n;oKa3yje .n;a je HCTa npaBa acHMITTOTa <f>yHKD;Hje f(x)
Ka.n;a x --+ - oo. Haae.n;eHa <f>YHKD;Hja o{.mrJie.n;Ho HMa H .n;Be BepTHKaJIHe acHMnToTe x = 0
H X= 2. 0
4. BecKoHatiHO MaJie neJIH"tiHHe
<l>yHKD;Hja j(x) .n;e<f>HHHCaHa y H8KOj OKOJIHHH Ta{.IKe Xo, OCHM 8B8HTy
aJIHO y TOj Tal:IKH, Ha3IIBa C8 6eC'X:O'Ha"l.'HO .AW./I,O.M Be./I,U"l.U'HO.M y OKOJIHHH Tal:IK8
xo aKo Ba:lim lim:z:-+:z:o f(x) = 0. Ta.n;a o6Hl:IHO nHrneMo f(x) = o(l).
CTAB 18. Ba-::xcu jeO'I-ta'X:ocm lim:z:-+:z:o f(x) = A, ca 'X:O'Ha"l.'HU.M 6poje.M A, a-x;o u ca.Mo a-x;o je rfiy'H'X:'IJ,Uja g(x) = f(x)- A 6ec-x;o'Ha"l.'HO Ma.11,a ee./I,U"l.U'Ha -x;aoa
X--+ XQ.
1IoKa3 OBor TBpljeH>a je Henocpe.n;aH.
HeKa cy .n;aJLe j (X), g (X) 6eCKOHal:IHO MaJie B8JIH11HH8 Ka.n;a X --+ XQ, H
HeKa llOCTOjH rpaHHl:IHa Bpe.n;HOCT
r lf(x)l = k:::; +oo. :z:~~o jg(x)j
Ta.n;a ce 3a k E (0, +oo) KalKe .n;a cy f(x) H g(x) 6ecKoHal:IHO MaJie BeJIH
l:IHHe ucmoz peoa Ka.n;a x--+ xo.
52 AHAJU13A I 3A MH<I>OPMATM"Y:APE
AKO je k = 0, Ta,I(a ce KalKe ,I(a cpyHKD;Mja j(x) HMa BUULU peiJ O,L( cpyHKD;Hje
g(x) Ka,I(a X --+ XQ, a aKO je k = +oo ,I(a cpyHKD;Mja g(x) U.Ma BUULU peiJ O,L(
cpyHKD;Mje j(x) Ka,I(a X--+ XQ. llpMTOM ce 3a k = 0 rmme f(x) = o(g(x)) Ka.na x --+ x0, a 3a k = +oo
rmme ce g(x) = o(f(x)) Ka.na x--+ xa. AKo je k = 1 Ta.na ce cpyHKD;Hje f(x) 11: g(x) Ha3MBajy e-x:euea.t~,enmnu.M
IlpHMep. BeJIM'IHHe sin x 11: x cy eKBMBaJieHTHe 6ecKoHa"tiHO MaJie BeJIM
'IHHe Ka,I(a X --+ 0 .
.llaJI.e je x3 = o(x) Ka.na x--+ 0, jep je
x3 - = x 2 --+ 0 (x--+ 0). X
CJIM'IHO je x = o(JX) Ka.na x--+ 0 (x > 0), jep je
X JX = Vx--+ 0 (x--+ 0). 0
AHAJU13A I 3A HH<I>OPMATHqAPE 53
Ilor.rraBJ.Le 5
HEIIPEKHllHOCT ~YHKUHJA
1. JleQlHHHn_Hja H OCHOBHe OC06HHe
HerrpeKn,n;HOCT <J>yHK:o;nja crra,n;a y je,n;aH o,n; ocHOBHllX rrojMoBa MaTe
MaTllt.IKe aHaJiu3e.
llpeTIIOCTaBllMO ,n;a je peaJIHa <J>yHKD;llja f(x) ,n;eqmHHCaHa Ha HeKOM
Herrpa3HOM cKyrry D c R u ,n;a Tat.IKa x0 E D. lloce6Ho je OH,n;a xo KOHat.IaH
peanaH 6poj. Ta,n;a ce <PYHK:o;nja f(x) Ha3nBa nenper;;uih-to.M y ma"ir;;u xo aKo
3a CBaKO c > 0 IIOCTOjll HeKO 5 = 5(c) > 0 TaKO ,n;a je
(1) lf(x) - f(xo) I < c
3a cBaKo x E D 3a Koje je jx- xol < 5 . .llaKJie, Ha OCHOBY rop:a,e ,n;e<J>llHllD;llje HerrpeKll,ll;HOCT <J>yHKD;llje ,n;e<J>u
HllilleMO CaMO y Tat.IKaMa CKyrra D, KOje OCllM TOra MOpajy 6llTll KOHat.IHe, aJill
IIpllTOM He MOpajy 6llTll Tat.IKe HarOMllJiaBalba TOr CKyrra. Ha IIpllMep, aKO je
Tat.IKa xo E D ll30JIOBaHa Ta-qKa cKyrra D, Ta,n;a je <J>yHKu;nja f(x) Ot.IHrne,n;Ho
HerrpeKll,ll;Ha y CBaKOj TaKBOj Tat.IKll. llpllTOM o,n;rOBapajyfia rpaHllt.IHa Bpe,n;
HOCT lim f(x) Ot.IllrJie,IJ;HO He IIOCTOjll. X~Xo
AKo je Ta"tJ:Ka Xo ED Tat.IKa HaroMnJiaBa:a,a cKyrra D, Ta,n;a je ot.Iurne,n;Ho
<J>yHKD;llja f(x) HerrpeKll,ll;Ha y Tat.IKH Xo aKO ll CaMO aKO je rpam:It.IHa Bpe,n;HOCT
(2) lim f(x) = f(xo). X~XQ
Ta,n;a, Ha ocHoBy o,n;roBapajyher cTaBa o rpaHH"t!HllM Bpe,n;HOCTHMa He
rrocpe,n;Ho cne,n;u ,n;a je <J>yHKD;nja f(x) HerrpeKn,n;Ha y Tat.IKll x0 aKo u caMo aKo
54 AHAJII13A I 3A HH«<>OPMATHl..IAPE
3a cBaKI1 HH3 (xn) CD Koju TeiKH Ka Ta"t!KH xo (xn =I= xo, n EN), O,II.roBapajynu
HH3 Bpe,II.HOCTH j(xn) -+ j(xo) ·
Ha ocHoBy rrpeTXO,II.He ,II.eqmHu:o;uje Herrocpe,II.HO ce BH,II.H ,II.a je Ha rrpu
Mep, cBaKa KOHCTaHTHa <f>yHK:o;uja f(x) = c ,II.e<f>uHHCaHa Ha HeKOM cKyrry D HerrpeKH,II.Ha y CBHM CBOjHM Ta"tiKaMa, 3aTHM ,II.a je CBaKa peaJIHa <f>yHKD;Hja
j(x) ,II.e<f>HHHCaHa Ha HeKOM KOHa"tiHOM CKyrry D = {x1, ... , Xn} HerrpeKH,II.Ha, :11
,II.a je cBaKH peaJiaH HH3 x: N H R je,II.Ha HerrpeKH,II.Ha <f>yHK:o;uja Ha cKyrry N. KaCHHje neMO BH,II.eTH ,II.a cy OCHM TOra CBe eJieMeHTapHe <f>yHKD;Hje
HerrpeKH,II.He y CBHM Ta"t!KaMa y KOjHMa cy ,II.e<f>HHHCaHe. 0BO je YTOJIHKO
3Ha"tiajHHje illTO y rrpaKTH"t!HOM pa,II.y HajBHille HaHJia3HMO Ha eJieMeHTapHe
<f>yHKD;Hje.
Ha ,II.aJLe, rrpeTrrocTaBJLaMo ,II.a je peaJIHa <f>YHK:o;uja f(x) ,II.e<f>uHucaHa
Ha HeKOM Herrpa3HOM cKyrry D :11 .n;a Ta"tiKa x0 E D; rroce6Ho je OH.n;a yBeK xo KOHa"tiaH peaJiaH 6poj.
PenH neMO ,n;aJLe ,II.a je <f>yHKD;Hja f(x) 'Henper.;uiJna ca iJec'He cmpane y
ma"'.r.;U Xo aKO 3a CBaKO c > 0 IIOCTOjH HeKO c5 = c5(c) > 0 TaKO ,n;a je Heje,n;HaKOCT
(1) HCIIyH.eHa 3a CBaKO X E D 3 KOje je 0 < X- Xo < c5. J1 OB,n;e cy IIOHOBO
Moryna .n;Ba cJiy-qaja: rrpBH, ,II.a je xo H30JIOBaHa Ta"tiKa cKyrra D'to = { x E
D: x ~ x 0}, a ,II.pyru ,II.a je xo Ta"t!Ka HaroMuJiaBaH.a cKyrra D'to, Ka,II.a je
ropH.H ycJIOB eKBHBaJieHTaH ca ycJIOBOM .n;a j e
lim f(x) = f(xo), x-+xo+O
TJ. f(xo + 0) = f(xo). CJIH"t!HO ce ,II.e<f>uHume u HerrpeKH,II.HOCT ca JieBe CTpaHe y Ta"t!KH xo. Q-qurJie,II.HO je <f>YHKD;Hja j(x) HerrpeKH,II.Ha y Ta"t!KH Xo aKO :11 CaMO aKO
je OHa HCTOBpeMeHO HerrpeKH,II.Ha C JieBa :11 C ,II.eCHa y IIOCMaTpaHOj Ta"t!KH.
ci>yHKD;Hja f(x) .n;e<f>uHucaHa Ha HeKOM CKyrry DC R Ha3HBa ce 'Henper.;uiJ
'HOM 'Ha moM cr.;yny aKo je oHa HerrpeKH,n;Ha y CBaKoj Ta"t!KH cKyrra D. AKo je
D =I( a, b) (a< b) rrpOH3BOJLaH HHTepBaJI peaJIHe oce, Ta.n;a ce <f>yHKn;uja f(x) Ha3HBa Ce HerrpeKH)J;HOM Ha D aKO je HerrpeKH)J;Ha y CBaKOj Ta"t!KH X TOr HH
TepBaJia. AKo je <f>yHKn;uja f(x) HerrpeKu,II.Ha Ha HHTepBaJiy D :11 Do je 6uJio
KOjH IIO,II.HHTepBaJI HHTepBaJia D, Ta,II.a HeiiOCpe,n;HO CJie)J;H ,n;a je <f>yHKD;Hja
f ( x) HerrpeKH,II.Ha :11 Ha HHTepBaJiy Do. CKyrr CBHX peaJIHHx <f>YHKD;Hja f(x) Koje cy .n;eqmHucaHe H HerrpeKH,II.He
Ha HeKOM Herrpa3HOM cKyrry D ~ R 03Ha"tiaBa ce ca C(D). Iloce6Ho, aKo
je D = [a, b], Ta,II.a ce o.n;roBapajynn cKyrr 03Ha"tiaBa ca C[a, b]. Q-qurJie.n;Ho,
peaJIHa <f>YHKD;Hja f E C[a, b] aKo u caMo aKo je HerrpeKH,II.Ha y cBaKoj Ta"t!KH
AHAJU13A I 3A MH~OPMATM"4APE 55
x E (a, b), 3aniM HerrpeKM,n:Ha ca ,n:ecHe CTpaHe y Ta"t:J:KM a M HerrpeKM,n:Ha ca
JieBe CTpaHe y Ta"t:J:KM b. OcMM Tora, HarroMeHMMO ,n:a ce peaJIHa cpyHKD;Mja f(x) ,n:ecpMHMCaHa Ha
HeKOM 3aTBOpeHOM MHTepBaJiy [a, b] peaJIHe OCe (a < b) Ha3MBa iJeo no iJeo
nenpe~uiJnOM Ha TOM MHTepBaJiy, aKO IIOCTOjM KOHa"t:J:HO MHOrO Ta"t:J:aKa a = Xo < Xl < · · · < Xn = b IIOCMaTpaHOr MHTepBaJia TaKBMX ,n:a je cpyHKD;Mja
j(x) HerrpeKM,L(Ha Ha CBMM OTBOpeHMM MHTepBaJIMMa (Xj-l, Xj) (j = 1, ... , n) M
CaaKa Ta"t:J:Ka rrpeK:a,n:a x 0 cpyHKn;:aje f(x) Koja HMje rrpae apcTe Ha3HBa
Ce npe~uiJOM iJpyze Bpcme HaBe,n:eHe cpyHKD;Hje.
IlpHMep. 3a Xea:acaj,n:oay cpyHKn;:ajy
x(x) = { 0, 1,
x<O
x~O
HMaDeMO ,n:a je X(-0) = 0 H X(+O) = 1, rra je Xo = 0 Ta"t:J:Ka rrpeKH,L(a IIpBe
BpCTe. Y CBMM OCTaJIHM Ta"t:J:KaMa OBa cpyHKD;Hja 6:ane HerrpeKH,L(Ha.
3a cpyHKD;Hjy j(x) ,n:ecpHHHCaHy Ca
{ x,
f(x) = 2, x¥=1
x=1
Ta"t:J:Ka Xo = 1 6:ane Ta"t:J:Ka OTKJIOihHBOr rrpeKH,L(a. 0
CJie,n:en:a cTaB Herrocpe,n:Ho cJie,n:H H3 o,n:roaapajyn:ax cTaaoaa o rpaHH"t:J:
HOJ Bpe,n:HOCTH.
56 AHAJH13A I 3A l1H~OPMATI1LIAPE
CTAB 1. A11:o je ¢yn11:u,uja f(x) nenpe11:uona y ma"t11:U x0, maoa nocmoju
'He1'i:a 01\:0AU'Ha U(xo) me ma"t1\:e ma11:Ba oa je ¢Y'H1'i:U,Uja f(x) 02pa'HU"te'Ha 'Ha C1'i:yny
D n U(xo). A11:o je npumo.M f(xo) =I= 0, maoa nocmoju 'He1\:a 01\:0AU'Ha U(xo) ma"t1\:e Xo
ma11:Ba oa 'Ha C1'i:yny D n U(xo) ¢Y'H1'i:U,Uja f(x) UMa ucmu 3'Ha11: 1\:ao u peaAa'H 6poj
f(xo).
CTAB 2. A11:o cy ¢Y'H11:U,Uje f(x) u g(x) nenpe11:UO'He y ma"t1\:U Xo, maoa cy
u ¢yn11:U, uje
af(x) + j3g(x) (a, j3 E R), f(x)g(x),
ma11:o!je nenpe11:uone y moj ma"t11:U.
f(x) g(x)
(g ( xo) =I= 0)
1I.m~a3. lloKa3atieMo Ha rrp:aMep rrpBM ,n;eo cTaBa, ,n;oK rrpeocTaJia ,n;Ba
,n;eJia rrperryrriTaMo "t!MTaouy.
AKo je a= j3 = 0, Ta,n;a je a f(x) +/3 g(x) 0-cf>yHKII.Mja, Koja je O"t!MrJie,n;Ho
HerrpeKM,IJ;Ha y CBMM Ta"tiKaMa.
llaJbe rrpeTrrocTaBMMO ,n;a je a, j3 =!= 0. Ta,n;a 3a rrpo:a3BOJI.HO c > 0
IIOCTOjM HeKa OKOJIMHa U1 Ta"t!Ke TaKBa ,n;a je lf(x)- j(xo)l < c/2lal 3a X E D n U1, M HeKa OKOJIMHa U2 MCTe Ta"t!Ke TaKBa ,n;a je lg(x)- g(xo)l < c/21/31 3a
X ED n u2. Ta,n;a je u = ul n u2 OKOJIMHa Ta"t!Ke Xo TaKBa ,n;a je
Ia f(x) + f3 g(x)-a f(xo)- f3 fg(xo)l :s; ialif(x)- f(xo)l + if3ilg(x)- g(xo)l < c c
< ial 2jaj + j3 21/31 =c.
CTora je :a cf>YHKII.Mja a f(x) + /3 g(x) HerrpeK:a,n;Ha y Ta"t!KM x0 •
AKo je je,n;aH o,n; 5pojeBa a, /3 je,n;HaK HYJIM, a ,n;pyr:a pa3JIM"t!MT o,n; HyJie,
,II;OKa3 ce M3BO,Il;M CJIM"t!HO. 0
CTAB 3. A11:o je ¢yn11:U,uja f(x) nenpe11:uona y ma"t11:U xo, a ¢Y'H1'i:U,Uja g(y) nenpe11:UO'Ha y ma"t11:U Yo = j(xo), maiJa je U CAO:)fee'Ha ¢Y'H1'i:U,Uja h(x) = g(f(x)) nenpe11:uona y ma"t11:U xo.
CJie,n;en:a cTaB ce o,n;Hoc:a Ha HerrpeK:a,n;HOCT MHBep3He cf>YHKII.:aje Herrpe
KM,n;He cf>yHKII.Mje. l1aKO je OBO y CyiiiTMHM je,n;HOCTaBaH CTaB, OH je M3y3eTHO
¥I 3a ape,.n;HOCT¥1 a E (0, 1). CTora je oHa HerrpeK¥I,n;Ha 3a cae ape,IUIOCT¥1 a> 0
(a =f. 1). 0c¥IM Tora, KaKo ce 3a a = 1 Y3¥IMa ,n;a je F = x 3a caaKo x E R, CJI8,11;¥1 ,n;a je lf>YHKD;l'lja ax H8IIp8K¥1,1l;Ha Ha :o;eJioj peaJIHOj OC¥1 3a CBe Bpe,.n;HOCT¥1
a> 0. D
CTAB 6. JI ozapuma.Mc1w ¢y'Hr.:v,uja y = logax (x > 0) je 'Henper.:uiJ'Ha 'Ha
u'Hmepea.Jty (O,+oo), 3a cear.:o a> 0, a =/:.1.
lloKa3. KaKo je !f>yHKD;¥Ija f(x) =ax HerrpeK¥I,ll;Ha 3a rrp0¥13BOJI:.HO a> 0,
cTporo pacTyna 3a a > 1 ¥I cTporo orra,n;ajyna 3a a< 1, ¥I !f>yHK:O:¥Ija y = logax
je ¥1HB8p3Ha lf>yHKD;l'lja lf>yHKD;l'lje ax ,n;elf>¥IH¥1CaHa Ha ¥1HT8pBaJiy (0, +oo), Ha
OCHOBY CTaaa 4 o ¥IHBep3HOj if>YHKD;¥Ij¥I cJie,.n;¥1 ,n;a je !f>YHK:O:¥Ija y = logax
HerrpeK¥I,n;Ha Ha ¥IHTepaaJiy (0, +oo). D
CTAB 7. <Py'Hr.:v,uja f(x) = xP (p E R) je 'Henper.:uiJ'Ha 'Ha V,e.JtOM U'Hmep
ea.Jty (0, +oo).
lloKa3. KaKo je f(x) = xP = epln x ¥I !f>YHK:O:¥Ije ex, pln x cy HerrpeK¥I,n;He,
CJI8,11;¥1 ¥1 ,n;a j e lf>yHKD;l'lj a y = xP H8IIp8K¥1,1l;Ha Ha ¥1HT8pBaJiy ( 0, +oo) 3a CBaKO
pER. D
0c¥IM Tora, 3a Bpe,.n;HOCT¥1 p E No, !f>yHK:O:¥Ija y = xn je ,n;e!f>¥IH¥ICaHa 3a
IIp0¥13BOJI:.HO peaJIHO X. 0Ha je Ta,n;a, KaO liiTO CMO B¥1,11;8JI¥1 y rrpeTXO,ll;HOM
rrorJiaa.rr.y, HerrpeK¥I,n;Ha Ha :o;eJioj peaJIHoj rrpaaoj. MrraK, rroHOB¥IneMo Taj
arc ctg x HerrpeKH.n;Ha Ha HHTepBaJiy ( -oo, +oo). D
CTAB 11. @yn'K:v,uja ar sh x je nenpe11:uiJna na v,e.!/,oj npaeoj R, ¢yn11:v,uja ar ch x (noJUmuena zpana) je nenpe11:uiJna na unmepea.!/,y [1, +oo), ¢yn11:v,uja ar th x je nenpe11:uiJna na unmepea.!/,y ( -1, 1), a ¢ynr;;v,uja ar cth x je nenpe11:uiJna
na ynuju unmepea.!/,a (-oo,-1) U (1,+oo).
Jimca3. (a) <l}yHKD;Hja ar sh X je HHB€p3Ha <f>yHKD;Hja <f>yHKD;Hje j(x) =
sh X, H KaO IIITO je II03HaTO Ba)KH je,n:HaKOCT:
ar sh x = ln (x + V x2 + 1) (x E R).
KaKo je KOMII03MD;Hja HerrpeKH,n:HHX <f>YHKD;Hja HerrpeKH.n;Ha <f>YHKD;Hja,
cJie.n;H H .n:a j e <f>yHKD;Hj a ar sh x HerrpeKM,n:Ha Ha n;eJioj peaJIHOj rrpaBoj R.
(6) <l}yHKn;nja arch x je .n;B03Ha"t.J:Ha <f>yHKD;Hja H H:.eHe o6e rpaHe ,n:e<f>H
HHCaHe cy ca
±ln (x+ Vx2 -1) (x 2: 1),
a II03MTHBHa rpaHa ca
ar ch x = ln (x + V x2 + 1) (x 2: 1).
KaKo cy cBe <f>YHKD;Mj e ln x, x, x 2 + 1, JX HerrpeKH,n:He, Herrocpe,n:Ho cJie,n:H
H .n:a je <f>yHKD;Hja ar ch x TaKolje HerrpeKM,n:Ha.
AHAJIH3A I 3A HH<I>OPMATHl.JAPE
(u) KaKo je .n:aJI.e 1 1+x
ar th x = -ln --2 1- x'
61
H OBa cpyHKUHja .n:ecpHHHCaHa je 3a Jxl < 1, H8IIOCpe.n;HO CJI8,1l;H ,[(a je H cpyHKUHja
ar th X H8IIp8KH,[(Ha Ha HHT8pBaJiy ( -1, 1).
(.n:) KaKo je Haj3a.n:
ar cth x = ~ ln x + 1 2 X -1'
H OBa cpyHKD;Hja je .n:ecpHHHCaHa Ha YHHjH HHT8pBaJia ( -oo, -1) U (1, +oo),
H8IIOCp8,1l;HO CJI8,1l;H ,[(a je H cpyHKUHja ar cth X HerrpeKH,[(Ha Ha YHHjH HHT8pBaJia
( -oo, -1) U (1, +oo). 0
KaKo cy Ha ocHoay CTaaoaa 5, 6, 7 H 8, ocHOBHe eJieMeHTapHe cpyHKUHje
ax, logax, xP H sin x HerrpeKH,[(He, Herrocpe):(Ho .n;o6Hj aMo cJie.n:eny orrrnTy Teo
peMy.
TEOPEMA 1. Cea11:a eJLeMe'Hmap'Ha rfiy'H'K:'IJ,Uja je 'Henpe'K:UO'Ha 'Ha cea11:oM
U'HmepeaJLy I 11:oju je Y'K:Jby"',e'H y 'lbe'H npupoo'Hu ooMe'H.
flaJI.e neMO KaO IIpHMepe H3pa~yHaTH jom H8KOJIHKO Ta6JIH~HHX rpaHH
~HHX Bpe.n;HOCTH.
(3)
IIpHMepH. 1. 3a cea11:o a> 0 (a=/= 1) ea:J~Cu jeo'Ha'K:ocm
HManeMo .n:a j e
1 loga(1 + x) = logae = ln a· lim x
x~O
loga(1 + x) = ~ loga(1 + x) = loga(1 + x)llx, X X
H KaKo (1+x) 11x--+ e Ka.n:a x--+ 0, H cpyHKUHja logax je HerrpeKH):(Ha, .n;o6HjaMo
.n:a je 1
. loga(1 + x) = loga lim(1 + x)llx = logae = ln a. hm x x~o x~O
2. 3a cea11:o a > 0 (a =!= 1) ea:J~Cu jeo'Ha'K:ocm
(4) ax -1
lim = ln a. x~O X
62 AHAJIM3A I 3A MH<I>OPMATM"Y:APE
3aMCTa, aKO YB8,li;8MO CMeHy X = loga (1 + y), Tj. 1 + y = ax, O,li;HOCHO
y =ax - 1, MManeMo .n;a x-+ 0 aKo M caMo aKo y-+ 0. O.n;aB,n;e je
l. ax- 1 l" y lm = lm -~=-
x-+0 X y-+0 loga (1 + y) 1 1
limy-+O loga (Hy) = log = ln a. y ae
3. )Jo?ca3ane.MO oa 3a cea'K:O p E R ea:J~Cu jeO'Ha'K:ocm
(5) lim (1 +x)P -1 x-+0 X = p.
3aMCTa, KaKO je
(1 + x)P- 1 8pln (Hx)- 1 pln (1 + x)
X pln(1+x) x
M pln (1 + x) -+ 0 Ka,n;a x-+ 0, .n;o6MjaMo ,n;a je
. (1+x)P-1 . epln(Hx)_1. pln(1+x) hm = hm · hm -----'-x-+0 X x-+0 p ln (1 + x) x-+0 X
l. eY - 1
1. ln ( 1 + x)
=p lm lm = y-+0 y x-+0 X
= p ·1·1 = p. D
3. <PyH:KD;_Hje aenpe:KH,D;He Ha 3aTBOpeHOM HHTepBaJiy
<l>yHKUMje HerrpeKM,li;H8 Ha OrpaHM~eHMM M 3aTBOp8HMM MHTepBanMMa
llOCe,n;yjy M3B8CHe OC06MH8 KOjMMa Ce M3,ll;Bajajy 0,11; <jlyHKUMja HerrpeKM,ll;HMX
Ha ,n;pyrMM BpCTaMa MHTepBana MRM CKYITOBa. HaBemfieMO 6ap ,li;B8 TaKBe
oco6MHe.
TEOPEMA 2 (Bon:o;aHo-KomMjeBa TeopeMa). A1>:o je tfiyn'K:u,uja f(x) nenpe'K:uOna na Jameopeno.M unmepeaAy [a, b] u ea:J~Cu f(a)f(b) < 0, maoa noc
moju 6ap jeona ma"i'K:a ~ E [a, b] y 'K:ojoj je f(~) = 0, mj. 6ap jeona nyAa rfiyn'K:u,uje
f(x) y naeeoeno.M unmepeaAy.
TEOPEMA 3 (OrrmTa BonuaHo-KomMjeBa TeopeMa). A1>:o je rfiyn'K:u,uja
f(x) nenpe'K:uiJna 1-ta 3ameope1-to.M U'l-tmepeaAy [a, b], f(a) =A, f(b) = B, u C je
npouJeoJba'H 6poj UJ.Mefjy 6pojeea A u B, maoa nocmoju ma'l{'K:a c E [a, b] ma'K:ea
oa je f(c) =c.
AHAJH13A I 3A I1H<I>OPMATJ1qAPE 63
~ t (b)
0 a. b ~
t (CL)
CJIH:Ka 5.1
llm<a3. AKo je A = B, TBpl)eH>e je ot:m:rJie,n;Ho. llaJLe rrpeTrrocTaBHMO
,n;a je A < B, 6poj C je 6HJIO KOjH 6poj H3 HHTepBaJia (A, B), H yotiHMO
<jJyHKIJ;Hjy g(x) = C- J(x). Ta,n;a je g(x) HerrpeKH,n;Ha <jJyHKn;Hja Ha HHTepBaJiy
[a, b] H rrpHTOM je f(a) = C- A> 0, f(b) = C- B < 0, rra Ha OCHOBY TeopeMe 2
IIOCTOjH HeKa TatiKa C E (a, b) 3a Kojy je g(c) = 0, O,li;HOCHO j(c) =C. IloTIIYHO
CJIH't!HO ce H3BO,n;H ,n;oKa3 H y cJiytiajy ,n;a je A > B. 0
TEOPEMA 4 (BajepniTpacoBa TeopeMa). Ax:o je f(x) npou3BO.Ib'Ha
l13no.n: ¢ynKn;Hje f(x) y Ta"t.IKH x E (a, b) 03Ha"t.Iana ce jom H ca ~~. J13BO.ll: <jlyHKIJ;Hje f'(x) TaKol)e rrpe,n:cTan.n,a je,n:ny HOBY <jlyHKIJ;Hjy, KOja je
.n:ecpHHHcana na neKOM cKyrry D1 ~ D, KOjH Moa<e a H ne Mopa 6HTH je.n:naK ca
cKyrroM D, a neKa,n: Moa<e 6HTH H rrpa3aH. Ona cpynK:o;Hja na3HBa ce uJeoiJno.M
rjyHx:u,ujo.M ¢ynKn;Hj e f(x). MaKo CMO ce y rrpeTxo.n:noj .n:e¢HnHn;HjH orpaHH"t.IHJIH na x;ona"tnu omeo
P e1-tu HHTepnan D = (a, b) peanne oce, nanoMHH>eMo .n:a ce rrpeTxo,n:na .n:e<jlHHH
n;Hj a H3BO,n:a <jlyHKIJ;Hj e 6e3 HKaKBHX H3MeHa MOa<e rrpeHeTH H Ha peaJIHe <jlyHK
IJ;Hje KOje cy ,n:e<jlHHHCaHe Ha 6HJIO KaKBOM OTBOpeHOM HHTepBaJiy peaJIHe OCe,
.n:aKJie rroce6no na neorpamr"t.IeHHM HHTepnaJIHMa o6miKa (a, +oo), ( -oo, b) o.n:nocno ( -oo, +oo) = R. IIITanHme, MOIKe ce rrpeneTH H na peanne cpynKn;Hje
.n:ecpnHcane na neKOM cKyrry D ~ R KOjH 3aje.n:no ca cnaKoM cnojoM Ta"t.IKOM
xo ca,n:piKH H neKy OKOJIHHY U(xo) Te Ta"t.IKe. OnaKBH cKyrroBH na3Hnajy ce
KaCHHje neMO ,Zl;OKa3aTH H .n:a je cpyHKI(Hja XCt (x > 0) ,n:HcpepeHI(Hja-
6HJIHa Ha I(8JIOj ITOJiynpaBOj X > 0 3a CBaKH peaJiaH 6poj a, H ,n:a lb8H H3BO,Zl;
3a,Zl;OBOJI>aBa CJIW·IaH JCJIOB.
3. 3a ceax:o a > 0 (a f. 1) rftyux:v,uja ax je iJurftepeuv,uja6u.JLua ua v,e.JLoj npaeoj R, u Ja ceax:o pea.Jtuo x ea:J~Cu jeiJuax:ocm (ax)' =ax ln a .
.iloRa3. 3aHCTa, Ha OCHOBJ ,n:ecpHHHI(Hje HMall8MO ,n:a je
ax+~x - ax a~x - 1 (ax)' = lim ~ = lim ax ~
~x40 X ~x40 X a~x -1
= ax lim = axln a. ~x40 ~X
AHAJU13A I 3A MH<POPMATM"Y:APE 67
I1oce6Ho 3a a = e ,n;o6Hj aMo ,n;a j e 3a CBaKo x E R HcnyH>eHo (ex)' = ex.
4. Py'H'K:V,Uja sin X je ourftepe'Hv,uja6U.Jt'Ha 'Ha v,e.Jtoj npaeoj R, u 3a C8a'K:O
pea.Jt'HO x ea~u jeo'Ha'K:ocm (sinx)' = cosx.
,lloKa3. 3aHcTa, HManeMo ,n;a je
sin(x + .6.x)- sinx .6.x
2 cos(x +¥)sin¥ .6.x
• t::.x .6.x) sm2 cos(x + 2 . - t::.x
2
KaKo j e ca,n;a
1. sin t::.x lffi 2
t::.x-+0 t::.x = 1 ~ ' lim cos(x + .6.x) = cos x,
t::.x-+0 2 2
Herrocpe,n;Ho ,n;o6HjaMo ,n;a je
(sin x)' = lim sin ( x + .6.x) - sin x t::.x-+0 .6.x = cos x.
5. Py'H'K:V,Uja cos X je ourftepe'Hv,uja6U.Jt'Ha 'Ha v,e.Jtoj npaeoj R u 3a C8a'K:O pea.Jt'HO x ea:>~eu jeO'Ha'K:ocm (cos x )' = -sin x.
6. Py'H'K:V,Uje sh X u ch X cy ourftepe'Hv,uja6U.Jt'He 'Ha v,e.Jtoj pea.Jt'HOj npaeoj R u Ja cea'K:o pea.Jt'HO x ea~e jeO'Ha'K:ocmu (sh x)' = ch x u (ch x)' = sh x.
,llmca3. ilpHMeTHMO Hajrrpe ,n;a 3a IIpOH3BOJbHe peaJIHe 6pojeBe X l1 y
BaiKH H,IJ;eHTH"t!HOCT
sh x - sh y = 2sh x - y ch x + y 2 2 .
0Ba je.n:HaKOCT ce JiaKo npoBepaBa pa3BHjaH>eM ,n;ecHe CTpaHe je.n:HaKoc
TH l1 KOpHIIIll€Ib€M ,n;eqmHHD;Hje cpyHKD;Hja sh X l1 ch X.
68 AHAJH13A I 3A 11H<I>OPMAT:Vf4APE
113 IIOCJie,I(Jhe je,n;HaKOCTI1 ,uo611jaM0 ,ua 3a 1Ip0113BO.ll>He Bpe,n;HOCT11 X 11
D.x BaJ£11:
(sh x)' = lim sh (x + D.x) - sh x = ~x--*o D.x
2 Sh ~X Ch (X + ~X ) =lim 2 2 =
~x--*o D.x sh ~x D.x
= lim ~ 2 ch (x + -2
) = ~X--*0 T
= 1 · ch x = ch x.
Y rrpeTXO,I(HOM ,UOKa3y K0p11CTI1JI11 CMO je,n;Hy TaKot)e BaJ-KHY rpaHI1"t!HY
Bpe,n;HOCT Ha OCHOBY KOje je
1. sh x Im -- = 1.
X--*0 X
Ha11Me, 11ManeMo ,ua je
h x -x 2x 1 1. s x
1. e - e
1. e -
Im -- = Im = Im ---X--*0 X X--*0 2X X--*0 2xeX
1 e2x- 1 = lim - lim = 1 · 1n e = 1 · 1 = 1.
X--*0 eX X--*0 2X
.llaJLe IIp11MeT11MO ,n:a CJII1"t!HO 3a IIp0113BOJLHe peaJIHe 6pojeBe X 11 y BaJ£11
11,I(eHTI1"t!HOCT x-y x+y
ch x - ch y = 2sh -- sh --2 2 .
113 OBe je,n;HaKOCTI1 ,n;0611jaMO ,n;a 3a IIp0113BOJLHe Bpe,UHOCTI1 X 11 b.x BaJ£11:
(ch x)' = lim ch (x + D.x)- ch x ~x--*o D.x =
= lim 2 sh ¥ sh ( x + ¥) ~x--*o D.x =
sh ~x = lim 2 h ( D.x ~X--*0 ~X s X + 2) =
= 1 · sh x = sh x.
7. 3a npou3BO.JbHO a > 0 (a =/= 1) u ceax:o x =/= 0 rfiyHx:v,uja logalxl je
iJu¢epeHv,uja6u.!I.Ha Ha v,e.!l.oj npaeoj R ca UJY3emx:oM ma"f,x;e 0, u 3a ceax:o x =/= 0
BaJtCu jeiJHax:ocm (loga I xi)' = 1/ x1n a.
llmca3. 3ai1CTa, 3a CBaKO X > 0 11 CBaKO ,UOBOJLHO MaJIO b.x =/= 0, 11ManeMo ,ua je
loga ( x + D.x) - logax loga ~ D.x - D.x
_!_ loga ( 1 + ¥) X .a.x
X
AHAJH13A I 3A YIH<l>OPMATYit.IAPE 69
o,n;aKJie je yBol)eH>eM cMeHe Ax/x = y:
(1 )'-
1. 1loga(1+¥) _ 1
1. loga(1+y) _1
1 _ 1
ogax - 1m - Ll -- 1m -- ogae- --. Llx--tO X --'!:. X y--tO y X xln a
X
3a Bpe,n;HOCTH X < 0, ,ll;OKa3 je IIOTIIYHO CJIH"t.IaH.
Yl3 rrpeTXO,L(He j e,n;HaKOCTH IIOCe6HO 3a a = e ,n;o6111j aMO ,n;a j e 3a CBaKO
CTAB 1. ?PynK:v,uja f: (a, b) H R je ourfiepenv,uja6u.A'Ha y ma"{,r;;U X E (a, b) ar.:o u ca.Mo ar.:o nocmoju r.:oncmmi.ma A E R mar.:ea oa Ja .6.x -+ 0 ea;J~Cu paJeoj
.6.f(x) =A .6.x + o(.6.x).
Ar.:o je rfiynr.:v,uja f(x) ourfiepenv,uja6U.A1-ta y ma"{.r;;U X maoa je A= f'(x).
CTAB 2. Ar.:o je rfiynr.:v,uja f: (a, b) H R ourfiepenv,uja6U.A'Ha y ma"{.r;;U
X E (a, b) maiJa je O'Ha nenper.:uiJna y moj ma"{.r.:U.
lloRa3. AKo je <f>yHKn;:rrja f: (a, b) H R ,n;H<f>epeHn;:rrja6:rrJIHa y Ta"t.IKH
x E (a, b), Ta,n;a 3a HeKo A E R :rr ,n;OBOJI.HO MaJie Bpe,n;HOCTH .6.x BaiK:rr pa3Boj
.6.f(x) =A .6.x + .6.x o(l).
AKo .6.x-+ 0 Ta,n;a o(l) -+ 0, rra o,n;aB,n;e CJie,n;H ,n;a .6.f(x) -+ 0. CTora je
<f>yHI<D;Hja j(x) H8IIpeKH,IJ;Ha y Ta~IKH X. 0
llaJI.e neMO penH ,n;a je <f>YHKD;Hja f: (a, b) H R ourfiepenv,uja6U.A'Ha 'Ha
unmepea.Ay D = (a, b) aKo rroce,n;yje H3BO,n; y CBHM Ta"t.IKaMa HHTepBaJia D. 113
rrpeTXO,IJ;HOr CTaBa CJI8)J;H ,n;a CBaKa <f>YHKD;Hja ,n;:rr<f>epeHD;Hja6HJIHa Ha D;8JIOM
HHT8pBaJiy (a, b) MOpa 6HTH H8IIp8KH,IJ;Ha Ha TOM HHTepBaJiy.
Y O"t.IHMO ,n;aJI.e rrpo:rr3BOJI.Hy <f>yHKn;:rrj y f : (a, b) H R. AKo j e OHa ,n;:rr<f>e
peHn;:rrja6:rrJIHa y Ta"t.IKH xo E (a, b), Ta,n;a ce rrpaBa
y- f(xo) = f'(xo)(x- xo)
Ha3:rrBa man2enmo.M r.:puee y = f(x) y Ta"t.IKH P(xo, f(xo)).
l!aKJI8 1 TaHr8HTa KpHBe y = j(x) ,n;e<f>HHHCaHa je CaMO y Ta"t.IKaMa Xo E
(a, b) y Koj:rrMa je <f>yHKn;:rrja y = f(x) ,n;:rr<f>epeHn;:rrja6:rrJIHa. 0Ha rrpoJia3:rr Kpo3
Ta"t.IKY P(xo, j(xo)) Ha rpa<f>:rrKy OBe <f>yHKD;Hje, H lb8H KOe<f>:rrn;:rrjeHT rrpaBn;a
je,n;HaK je H3BO,ll.y j'(xo) Te <f>yHKD;Hje y Ta"t.IKH Xo.
IIoKa3yje ce ,n;a oBa TaHreHTa rrpe,n;cTaBJI.a rpaHH"t.IaH rroJioiKaj ce1:.1:rrn;a
PQ (Q(xo+.6.x, f(xo+.6.x)) Ka,n;a .6.x-+ 0, Ha rpa<f>:rrKy oBe <f>yHKn;:rrje. lliTaB:rr
rne, IIOKa3yje ce ,n;a OBaj rpaHH"t.IaH IIOJIOiKaj C81:.!HD;a IIOCTOjH, aKO H CaMO aKO
AHAJIH3A I 3A HH<I>OPMAT:VrtJAPE 71
je IIOCMaTpaHa <f>yHK:O:I1ja ,.n:n<f>epeH:o;I1ja6I1JIHa y Tal:JKI1 XQ.
0
0
CJIHKa 6.1
IIpHMep. AKo je HarrpnMep f(x) = sinx (0 < x < 7r/2), Ta,.n:a je f'(x) = cosx, f'(7r/4) = ../2/2, f(7r/4) = ../2/2, na je je,.n:Hal:InHa TaHreHTe y Tal:IKI1
CTAB 3. A~o je rfiy'H~'L!Uja f(x) oerfiU'HUCa'Ha 'Ha U'Hmep8aJ£y (a, b) u ourfie
pe'H'L!Uja6UJ£'Ha y ma"i~U X E (a, b), maoa je 3a cea~o a E R u rfiy'H~'L!Uja af(x) OU~epe'H'L!Uja6UJ£'Ha y moj ma"i~U U Ba'JICU jeO'Ha~ocm
(af(x))' = af'(x).
Ha ocHoBy rrpeTxo,.n:Hor TBpljelba cne.n:n .n:a je <f>YHK:o;nja f(x) .n:n<f>epeH
:o;nja6nnHa y Tal:IKI1 x E (a, b) aKo 11 caMo aKo je <f>YHK:o;nja - f(x) .n:n<f>epeH:o;I1-
ja6nnHa y Toj Tal:IKI1, 11 Ta,.n:a BaJKn (- f(x))' =- f'(x).
CTAB 4. A~o cy rfiy'H~'L!Uje f(x) u g(x) oe~U'HUca'He 'Ha U'HmepeaJ£y (a, b) u ourfiepe'H'L!Uja6UJ£'He y ma"i~U X E (a, b), maoa je u rfiy'H~'L!uja f(x) + g(x) ourfie
pe'H'L!Uja6UJ£'Ha y moj ma"i~U u eaJSCu jeo'Ha~ocm
(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x).
72 AHAJU13A I 3A l1H<I>OPMATl1qAPE
Oc:rrM Tora, H:rrje TemKo HaBecT:rr rrp:rrMep ,n;Be <flyHKo;:rrje ,n;e<fl:rrH:rrcaHe Ha
HHTepBaJiy (a, b) KOje HHCY ,n;:rr<flepeHIJ;Hja6:rrJIHe y <flHKCHpaHOj TaqK:rr X, aJIH
je lbHXOB 36:rrp ,n;:rr<flepeHn;:rrja6:rrJiaH y Toj TaqK:rr. Harrp:rrMep, aKo yoq:rrMo
KOj:rrMa je 36Hp ,[(Be <flYHKIJ;Hje ,n;:rr<flepeHIJ;Hja6:rrJIHa <flyHKIJ;Hja y IIOCMaTpaHOj
TaqKH.
Ha ocHoBy rrpeTxo,n;Ha ,n;Ba cTaBa TaKolje ,n;o6:rrjaMo ,n;a aKo cy <flyHKn;:rrje
j(x) ,n;e<flHHHCaHe Ha HHTepBaJiy (a, b) H ,n;:rr<flepeHIJ;Hja6HJIHe y TaqK:rr X, Ta,n;a
je y TOj TaqK:rr TaKOlje ,n;:rr<flepeHIJ;Hja6HJIHa H <flyHKIJ;Hja j(x) - g(x) H Baam
je,n;HaKOCT
(f(x)- g(x))' = J'(x)- g'(x).
KoM6:rrHan;:rrjoM oBa ,n;Ba CTaBa TaKolje ce JiaKo ,n;oKaJyje ,n;a aKo cy
<flYHKIJ;Hje j(x) H g(x) ,n;e<fl:rrHHCaHe Ha HHTepBaJiy (a, b) H ,n;:rr<flepeHIJ;Hja6HJIHe y
TaqK:rr x, Ta,n;a je 3a rrpo:rr3BOJDHe peaJIHe 6pojeBe a :rr f3 <flyHKn;:rrja af(x)+f3g(x) TaKolje ,n;:rrcpepeHIJ;Hja6HJIHa y TaqK:rr X H Baam je,n;HaKOCT
(af(x) + (3g(x))' = af'(x) + f3g'(x).
llp:rrMeHOM HH,L(yKIJ;Hje Ce ca,n;a rrpeTXO,L(HO TBpljeiLe MO:>Ke Herrocpe,n;HO
YOIIillTHTH Ha rrpOH3BOJLaH KOHaqaH 6poj <flyHKIJ;Hja. l!aKJie, aKO cy ft(x), ... ,
fk(X) IIpOH3BOJDHe <flyHKIJ;Hje ,n;e<flHHHCaHe Ha HHTepBaJiy (a, b) H ,n;:rr<flepeHIJ;H
ja6:rrJIHe y TaqK:rr x E (a, b), Ta,n;a je Ja rrpo:rrJBOJDHe peaJIHe 6pojeBe a1, ... , ak <flyHKn;:rrja a 1ft(x)+· · ·+akfk(x) TaKolje ,n;:rr<flepeHn;:rrja6:rrJIHa y TaqK:rr x :rr Baa<:rr
CTAB 5. A-x:o cy rfty'H'K:V,Uje f(x) u g(x) aerjJU'HUca'/-le 1-la U'Hmep8a.JLy (a, b) u aurftepeHv,uja6U.JL'/-le y ma'l.(,'K:U X E (a, b), maaa je u rfty'H'K:V,Uja f(x)g(x) aurftepe'H
v,uja6U.JL'Ha y ma'l.(,'K:U x, u aa~u jeaHa-x:ocm
(f(x )g(x) )' = !' (x )g(x) + f(x )g' (x).
llpeTXO,L(HH CTaB Ha3HBa Ce Jf aj6'HUV,08U.M npaBU.!LO.M 0 H3BO,L(y IIpOH3BO,L(a
,L(Bejy <flyHKIJ;Hja.
AHAJH13A I 3A l1H<I?OPMATI11.JAPE 73
OcVIM Tora, HVIje TernKo HaBeCTVI npVIMep ,n;Be <f>YHKD;VIje f(x) VI g(x) ,n;eqnmVIcaHe Ha VIHTepBaJiy (a, b), Koje HVICY ,n;vr<f>epeHn;VIja6VIJIHe y HeKoj Ta"t.JKVI
X E (a, b), aJIVI je H>VIXOB npOVI3BO,ll; ,ll;VIcpepeHn;VIja6VIJiaH y ITOCMaTpaHOj Ta'IKVI.
lloBOJI.HO je y3enr <jJyHKn;VIje f(x) = g(x) = lxl (x E R), Koje HVICY ,n;vr<f>epeH
n;VIj a6VIJIHe y Ta'IKVI 0, aJIVI j e H>HXOB npOVI3BO,ll; j 2 (X) = x 2, cpyHKIJ;VIj a ,ll;VIcpe
peH:o;VIja6HJIHa y Ta"t.JKH 0, VI Ha n;eJioj peaJIHOj npaBoj R. CTora npeTxo,n;HVI cTaB o6e36el)yje caMo o,n;pel)eHe ,n;oBo.n.He ycJioBe no,n;
KOjHMa je rrpOVI3BO,ll; ,ll;Be <f>yHKD;Hje ,ll;VIcpepeHn;VIja6VIJIHa cpyHKIJ;VIja y IIOCMaTpa
HOj Ta"t.JKVI.
l1CTO KaO VI 3a 36Hp cpyHKIJ;VIja, llpVIMeHOM VIH,ll;yKIJ;Hje Ce npeTXO,ll;HVI
CTaB MO}Ke yOITIIITVITVI Ha IIpOH3BOJLaH KOHa"t.JaH 6poj cpyHKIJ;VIja. llaKJie, aKO
CTAB 6. A~o cy rfiyn~v,uje f(x) u g(x) oerfiunucane na unmepeaAy (a, b), ourfiepenv,uja6UA'He y ma"i~U X E (a, b) u npumo.M je g(x) i= 0, maoa je u rfiyn~v,uja j(x)jg(x) ourfiepenv,uja6UA'Ha y moj ma"i~U U Ba'JICU jeona~ocm
(f(x))' = f'(x)g(x)- f(x)g'(x). g(x) g2(x)
TaKol)e HarrOMVIH>eMo ,n;a KOJIH'IHVIK ,n;Bejy <jJyHKn;Hja y Ta'IKVI x MO*e ,n;a
ITOCTOjVI VI aKO HVIje,n;Ha O,ll; TVIX cpyHKIJ;VIja HVIje ,ll;VIcpepeHIJ;VIja6HJIHa y TOj Ta"t.JKVI.
HanpHMep, aKo Y3MeMo ,n;a je f(x) = g(x) = l+lxl, Ta,n;a HVIje,n;Ha o,n; <jJyHKn;VIja
j(x), g(x) HVIje ,n;VI<f>epeH:o;VIja6VIJIHa y Ta"t.JKVI 0, aJIH je H>VIXOB KOJIVI'IHVIK, Tj.
cpyHKIJ;VIja
f(x) = 1 g(x)
O'IHrJie,ll;HO ,ll;VIcpepeHn;VIja6VIJIHa y Ta"t.JKVI 0.
<f>YHK:o;Hje tg x H ctg x, rra HX H30CTaBJbaMo. OcHM Tara, y .n:oKa3y o6e HaBe
.n:eHe je.L(HaKOCTH KOpHCTH Ce H je.n;Ha O,Il; OCHOBHHX peJiaD;Hje 3a XHIIep60JIH"tiKe
<f>yHKD;Hje, Ta"tiHHje H,Il;eHTH"tiHOCT ch 2x- sh 2 x = 1.
CJie.n;el'iH cTaB o.n;HOCH ce Ha H3BO.LI: CJIO)KeHe <f>yHK:o;Hje.
CTAB 7. A1eo je ¢yn1ev,uja y = f(x) i1u¢epenv,uja6u1ma y ma"{.'ICU x, a
¢yn1ev,uja z = g(y) je iJu¢epenv,uja6uAna y ma"{.'ICU y = f(x), maiJa je CAO:J1Cena
¢yn'ICv,uja z(x) = g(f(x)) iJu¢epenv,uja6uAna y ma"{.'ICU x u Ba:J1Cu
(g(f(x))' = g'(y)J'(x).
IIpHMep. 3a npou3BO.Jb'HO a E R ¢yn1ev,uja X0 je iJu¢epenv,uja6uAna na
v,eAo.M unmepeaAy (0, +oo), u ea:J1Cu jei1na1eocm
(xa)' =a xa-1.
1IoKa3. KaKO je Ha OCHOBY .n:eqmHHD;Hje X 0 = e0 In X' Ha OCHOBY CTaBa 0
H3BO.n:y CJIO)KeHe <f>yHKD;Hje, .n;o6HjaMO .n;a je
(xa)' = (ealn x)' = (eg(x))' = eg(x) g'(x) = ealn x (aln x)' = a
= X 0 (-) =a X 0
-1 . 0
X
CJie.n;el'iH cTaB o.n;HOCH ce Ha H3BO.LI: HHBep3He <f>YHK:o;Hje.
CTAB 8. He1ea je ¢yn1ev,uja y = f(x) nenpe1euiJna cmpozo .Monomona ¢yn1ev,uja y ne1eoj o'ICoAunu ma"{.'ICe x u y = f- 1(x) 1bena uneep3na ¢yn1ev,uja. A1eo
je ¢yn1ev,uja f(x) iJu¢epenv,uja6uAna y ma"{.'ICU f- 1(x) u ea:J1Cu j'(f-1 (x)) =f. 0, maiJa je ¢yn1ev,uja f- 1 (x) iJu¢epenv,uja6uAna y ma"{.'ICU x u npumo.M ea:J1Cu
u-1 (x))' = ~ - .. J ~ ~ •
Tpe6a HarroMeHyTH H .n:a rrpeTXO,Il;HO TBpl)eH>e Ba)KH H aKO je f'(f- 1x) je.n;aH O,Il; 6pojeBa 0, +0, -0, 00, +oo, -OO, a pe:o;HIIpO"tiHe Bpe.n;HOCTH OBHX 6po
AKo je cpyHK:o;H:ja f(x) ,n:H:cpepeH:o;Mja6H:JIHa y Ta"t.IKH: xo ED= (a, b), Ta,n:a
je je,n:Ha"t.IH:Ha TaHreHTe Ha KpH:Boj y = f(x) y Ta"t.IKH: P(xo, f(xo)):
y- f(xo) = !'(xo)(x- xo).
AKo yBe,n:eMo 03HaKy x- x0 = ~x, oBa je,n:Ha"t.IH:Ha rrocTaje
Y- f(xo) = f'(xo)~x = d f(xo).
CTora reoMeTpH:j CKH: ,n:H:cpepeH:o;H:j aJI d f ( x) rrpe,n:cTaBJba rrpH:pamTaj op
,LI:H:HaTe Ha rpacpH:KY ¢YHK:o;H:je y = f(x) rrpH: rrpoMeHH: apryMeHTa x o,n: Ta"t.IKe
x ,n:o Ta"t.IKe x + dx (dx = ~x).
dt I
0 .,. -,.------;< o t .AX "o AX
Cmn<a 6.4
X
CMH:cao je,n:HaKOCTH: ~x = dx je H:Ha"t.Ie y TOMe ,n:a je 3a H:,n:eHTH:"t.IHY
cpyHK:o;Mjy f(x) = x, Koja ce o6H:"t.IHO 03Ha"t.IaBa caMo ca x, O"t.IH:rJie,n:Ho H:crry
lbeHO d f(x) = dx = ~x. CTora cpopMyJie (2) H: (3) MOIKeMo ,n:a HarrH:meMo y
o6JIH:Ky:
(4)
(5)
d f(x) = !' (x) dx,
f(x + dx) ~ f(x) + !' (x) dx,
rrpH: "t.IeMy je y cpopMyJiu (4) dx rrpOH3BOJhaH peaJiaH 6poj, a y ¢opMyJiu (5) dx IIp0ll3BOJbaH ,LI:OBOJhHO MaJIH peaJiaH 6poj.
AHAJH13A I 3A MH<l>OPMATM"l!APE 83
CTAB 9. Ax:o cy !fiyux:v,uje f(x) u g(x) au!fiepeuv,uja6UJ1,1-£e y ma'lf.X:U X E
(a,b), maiJa Ba;)ICU:
(10)
(20)
(30)
d (af + {3g) = adf + {3dg (a,{3 E R),
d(f . g) = ( d f) . g + f . ( d g)'
d (f) = (d f). g- f. (d g). g g2
JIOCJI,eO'Iba jeauax:ocm Ba;)ICU noiJ npemnocmaBX:OM Oa je g(x) "/= 0.
4. Jii3BO,LJ;R mt:mer pe,rr,a
IlpeTIIOCTaBHMO ,n;a je <jlyHKII.Hja j(x) ,Il;H<jlepeHII.Hja6miHa Ha II.eJIOM llH
TepBaJiy D = (a,b), Tj. ,n;a rrocTojH o,n;roBapajyna H3BO,n;Ha <jlyHKII.Hja f'(x) (xED). AKo je <jlyHKII.Hja f'(x) ,n;H<jlepeH:a.Hja6HJIHa y Tat.IKH xED, Ta,n;a ce
H>eH ll3BO,Il; (j'(x))' y Tat.IKH X Ha3HBa Opy2UM U38000M Te <jlyHKII.Hje y Ta"t.IKH
X, ll 03Hat.IaBa ce ca j"(x). llaKJie, Ha OCHOBy ,n;eqJHHHII.Hje HMaMO ,n;a je
f"(x) = (f'(x))' = ddx (f'(x)).
CJIHt.IHO, aKo Ha neJIOM HHTepBaJiy (a, b) (HJIH 6ap y HeKoj OKOJIHHH
IIOCMaTpaHe Tat.IKe x) IIOCTOjH ,n;pyrH ll3BO,Il; j"(x) <jlyHKII.Hje j(x) H aKO je OH
,n;mpepeH:a.Hja6HJiaH y Tat.IKH x, OH,n;a ce o,n;roBapajynH H3BO,n;
f"'(x) = (f"(x))' = !!:_(f"(x)) dx
Ha3HBa mpefiUM U38000M <jlyHKII.Hje j(x) y IIOCMaTpaHOj Tat.IKH, HT,Il;.
YorrmTe, 3a 6HJIO KOjH rrpHpo,n;aH 6poj n ce ca
f(n)(x) = u<n-l)(x))' = !!:_u(n-l)(x)) dx
,n;eqJHHHme n-TH H3BO,Il; <jlyHKII.Hje j(x) y Tat.IKH X.
<l>yHKII.Hj a Koj a HMa H3BO,n; n-Tor pe,n;a Ha3HBa ce n rryTa M<jlepeH:a.Hj a-
6HJIHOM.
IlpHMep. AKo je f(x) = x3 (x E R), Ta,n;a je f'(x) = 3x2 , f"(x) = 6x, f( 3)(x) = 6 H f(n)(x) = 0 3a CBaKo x E R H n ~ 4.
HarroMeHHMO ,n;a <jlyHKII.Hj a f ( x) MOJKe 6HTH n rryTa ,n;H<jlepeH:a.Hj a6HJIHa
Ha IIOCMaTpaHOM HHTepBaJiy, a ,n;a y HeKOj Tat.IKH TOr llHTepBaJia (HJIH CBHM
H>erOBHM Tat.IKaMa) HHje n + 1 rryTa ,Il;H<jlepeHII.Hja6HJIHa.
84 AHAJII13A I 3A I1H<POPMATI1"llAPE
HarrpiiMep <f>YHK:o;IIja f(x) = x lxl je ,n:IIcflepeH:o;IIja6IIJIHa Ha IIHTepBaJiy
(-1, 1), II IIpiiTOM je f'(x) = lxl (-1 <X< 1), aJIII y Ta"tiKII 0, HeMa o,n:ro
Bapajy'fm ,n:pyrii II3BO,L{, jep cflyHKD;IIja lxl HIIje ,n:IIcflepeH:o;IIja6IIJIHa y 0.
CTAB 10. Ax:o je rjynx:'4uja f(x) n nyma iJurjJepen'4uja6u.~~,na na unmep
ea.11,y (a, b), maiJa ana uMa cee Mozyfie uJeode nuxez peda j(k)(x) (k < n) na
moM unmepea.11,y, u ceu onu npeiJcmae.!bajy nenpex:udne rjjynx:'4uje .
.IlaJbe DeMO 3a IIpOII3BOJbaH OTBOpeHII IIHTepBaJI (a, b) II IIpiipO,n:aH 6poj
n ca C(n)(a, b) 03Ha"tiiiTII CKYII CBIIX peaJIHIIX cflyHKD;IIja f(x) KOje IIMajy CBe
II3BO,L{8 f'(x), f"(x), ... , j(n)(x) Ha IIHT8pBaJiy (a, b), II IIpiiTOM je II3BO,L{ j(n)(x) TaKol)e HerrpeKII,n:Ha cflyHK:o;IIja. HaBe,n:eHa KJiaca cflyHK:o;IIja C(n) (a, b) je o,n:
II3Y38TH8 BaiKHOCTII y pa3HIIM IIpiiMeHaMa ,n:IIcflepeHD;IIjaJIHOr pa"tiyHa.
OciiM Tora, 03Ha"tiiineMo:
00
C00 (a, b)= n cCn)(a, b). n=l
.IlaKJie, MOiK8MO ,n:a Ka/KeMO ,n:a j e KJiaca C00 (a, b) CKYII CBIIX peaJIHIIX
cflyHKD;IIja ,n:ecfliiHIICaHIIX Ha IIHTepBaJiy (a, b) KOje Ha TOM IIHTepBaJiy IIMajy
H3Bo,n:e 6IIJIO KOr pe,n:a n (n E N). IIpiiTOM ycJIOB HerrpeKII,n:HOCTII KOjii ce
IIOMIIIhe KO,L{ ,n:ecfJIIHIID;IIje KJiace C(n)(a, b) He ,n:aje HIIliiTa HOBO, 3arrpaBO OH
ayTOMaD;KII CJI8,L{II II3 IIOCTOjalha Hape,n:HOr II3BO,L{a j(n+l) (x) Ha IIHTepBaJiy
(a, b). KJiaca coo (a, b) j e TaKo l)e o,n: II3y3eTHe BaiKHOCTII y rrpiiMeHaMa ,n:IIcfle
Ha3HBajy Ce je,n;HHM HMeHOM ma'tlX:a.Ma .Jl,O'K:a.Jl,'HUX ex;cmpe.My.Ma IIOCMaTpaHe
tPYHKD;Hj e.
Mo)Ke ce Herrocpe,n;Ho BH,n;eTn ,n;a je Tal.IKa x0 E (a, b) Tal.IKa JIOKaJIHOr
MaKCHMyMa tPYHKD;Hje j(x) aKO H CaMO aKO ORa rrpe,n;cTaBJLa Tal.IKY JIOKaJIHOr
MHHHMyMa tPYHKD;Hj e - j (X).
AHAJU13A I 3A HH<POPMA TH1.JAPE 87
HarrpMMep, aKo je f(x) = c rrpOM3BOJLHa KOHCTaHTHa <f>yHKUMja Ha MH
TepBaJiy (a, b), Ta.n;a je CBaKa Ta"t.IKa XQ E (a, b) Ta"t.IKa JIOKaJIHOr MaKCMMyMa
M Ta"t.IKa JIOKaJIHOr MHHyMaMa <f>yHKUMje j(x). AKo je j(x) = x 2 , Ta,n;a je Ta"t.IKa x0 = 0 je.n;uHa Ta"t.IKa JIOKaJIHOr MMHM
MyMa OBe <f>yHKUMje Ha MHTepBaJiy ( -oo, +oo), a Ta"t.IKe JIOKaJIHOr MaKCHMyMa
He IIOCTOJe.
TEOPEMA 1 (<PepMaOBa TeopeMa). Ax:o je ¢ynx:-quja f(x) oe¢unucana na unmepea/l,y (a,b), ou¢epen-quja6u/l,na y ma"ix:u x0 moz unmepea/l,a, u y moj ma"iX:U U.M.a JI,O'IWJI,HU ex:cmpe.M.y.M., maoa je j'(xo) = 0.
llm~a3. IIpeTIIOCTaBMMO Hajrrpe .n;a je Ta"t.IKa x0 E (a, b) Ta"t.IKa JIOKaJIHOr
f'eoMeTpMjCKM, <flepMaOB CTaB 3Ha"t.IM ,n;a je y CBaKOj Ta"t.IKM JIOKaJIHOr
eKCTpeMyMa <f>yHKUMje j(x) y KOjoj je <f>yHKUMja j(x) M .U.M<f>epeHUMja6MJIHa,
TaHreHTa Ha rpa<f>MKY <f>YHKUMje f(x) rrapaJieJIHa ca ocoM Ox.
~
~ ::j(?-)
0 1..
CJIHKa 7.1
88 AHAJU13A I 3A HH<T?OPMATHliAPE
HanoMeHVIMO .n:a cpyHKUVIj a f ( x) yonrnTe He Mop a 6VITVI ,n:VIcpepeHu;VIj a-
6mma y Ta'IKVI JIOKaJmor eKcTpeMyMa. Ha npVIMep, cpyHKUVIja f(x) = lxl ,n:ecpVIHVICaHa Ha VIHTepBaJiy ( -oo, +oo), liMa JIOKaJIHVI MVIHVIMJM y Ta'!KVI Xo =
0, aJIVI y Toj Ta-rKVI HVIje .L(I1:cpepeHu;VIja6mma. CTora je y rrpeTxo,n:HOM cTaBy
npeTITOCTaBKa 0 ,n:VIcpepeHIJ;VIja611:JIHOCTVI y Ta'!KVI eKCTpeMyMa HeOIIXO,L(Ha.
Ta-rKe y KOjVIMa je cpyHKUVIja f(x) .L(I1:cpepeHu;Hja6VIJIHa 11: VI3BO,n: f'(x) = 0
Ha3HBajy ce cmau,uo'Hap'HUM ma"l11:aMa cpyHKUHje f(x). CTora, aKo je cpyHKUVIja
HVIX eKCTpeMyMa TpaamMO Meljy CTaiJ;VIOHapHHM Ta'!KaMa Te cpJHKIJ;VIje. llp11:
TOM Tpe6a HarJiaCVITVI ,n:a HVIje CBaKa CTaiJ;HOHapHa Ta'!Ka cpyHKIJ;VIje VICTOBpe
MeHO 11: Ta-rKa JIOKaJIHOr eKCTpeMyMa. Ha npHMep, aKo je f(x) = x3 (lxl < 1), Ta,n:a je Ta-rKa x0 = 0 CTaUHOHapHa Ta-rKa OBe cpyHKUVIje jep je f'(x) = 3x2
IIOCJIEllllUA 1. AK:o je tjy'H'K:V,Uja f(x) outjepenv,uja6UA'Ha 'Ha omeo
pe'HOM U'HmepeaAy (a, b) U npumoM je j'(x) = 0 y CBaK:oj ma'l.(,'K:U X E (a, b), maoa
je ona K:oncmanmna ifiynK:v,uja na v,eAoM unmepeaAy (a, b).
JloKa3. IJpeTIIOCTaB:M:MO ,n;a je Xo cp:M:KC:M:paHa Ta"tJ:Ka :M:HTepBaJia (a, b) l1: X E (a, b) (x =/= Xo) je IIpOI1:3BOJIHa Ta"tJ:Ka TOr HHTepBaJia. AKO je X < Xo, Ta,n;a cpyHKD;:M:j a j (X) O"t!:M:r Jie,ll;HO 3a,ll;OBOJI.aBa yCJIOBe J1 arpaHa<OBe TeopeMe Ha
90 AHAJH13A I 3A l1H<I>OPMATI1LIAPE
3aTBOpeHoM HHTepBaJiy [x, xo]. CTora rrocToji::I Ta"t!Ka ~ E (x, x0 ) TaKBa .n:a je
f(x)- f(xo) = !'(~)(x- xo).
KaKo je !'(~) = 0, o,.n:aB,.n:e cJie,.n:I::I .n:a je f(x) = f(x 0 ).
Ha rroTrryHo CJIH"tJ:aH Ha"t!HH ,.n:oKa3yje ce .n:a je f(x) = f(x 0 ) aKo je x > xo. CTora je cpyHKI(Hja f(x) KOHCTaHTHa Ha ueJIOM HHTepBany (a, b). 0
HarroMeHI::IMO .n:a CJIH"t!HO TBp0efue Ba~I::I H 3a rrpoH3Bo~aH HHTepBaJI
R. IlpHTOM ce caMo .n:o,.n:aTHO Ko,.n: HHTepBaJia [a, b] 3aXTeBa HerrpeKI::I,I(HOCT
cpyHKI(Hje f(x) y KpajfuHM Ta"t!KaMa a H b, Ko.n: HHTepBaJia [a, b), [a, +oo)
HerrpeKI::I,.n:HOCT y Kpajfuoj Ta"t!KH a, a KO,.n: I::IHTepBaJia (a, b] H ( -oo, b] HerrpeKI::I,.n:
HOCT y KpajfuOj Ta"t!KH b.
IJpi::IMepa pa,.n:H, cpopMyJIHCaneMO Bapi::IjaHTY OBOr TBp0efua 3a OrpaHI::I
"tJ:eHI::I 3aTBOpeHH l::IHTepBaJI [a, b].
IIOCJIEllHUA 2. Ax:o je tfiyux:v,uja f(x) outfiepeuv,uja6u.;ma ua omeopeuo.M uumepeaAy (a, b) u uenpex:uoua ua 3ameopeuo.M uumepeaAy [a, b], u y ceax:oj ma"{.x;u x E (a, b) eaJICu f'(x) = 0, maoa je oua x:oucmaumua ua v,eAo.M uumep
eaAy [a, b].
IIOCJIEJU1UA 3. Ax:o cy tfiyux:v,uje f(x) u g(x) iJutjepeuv,uja6uA'He ua
omeopeuo.M uumepeaAy (a, b), u npu moM je f'(x) = g'(x) y ceax:oj ma"{.X:U x E
(a, b), maiJa je f(x) = g(x) + C 3a U3Becuy peaA'HY X:O'HCmaumy C.
Jlo:Ka3. lloBOJLHO je yo"t!HTH cpyHKI(Hjy h(x) = f(x)- g(x) H rrpHMeHI::ITH
Ce OHO 06Hl.IHO <f>OpMyJIHIII€ y CMHCJIY je,n:HOCTpaHe rpaHHl.IH€ Bpe,n:HOCTH.
TEOPEMA 4. IIpemnocmaBU.MO oa cy ¢ynx;v,uje f(x) u g(x) Henpe'K:UO'He
'Ha U'HmepBa.Jty [xo, Xo + 6) (6 > 0), Ou¢epe'HV,Uja6U.Jt'He y U'Hmepea.Jty (xo, Xo + 6), u npumo.M je g'(x) =I= 0 3a ceax;o x E (xo, xo + 6) u f(xo) = g(xo) = 0.
CTAB 2. IlpemnocmaeuMo iJa je ¢ynr;;v,uja f(x) iJu¢epenv,uja6u,//,na y unmepea,//,y (a, b) u ma"'.r;;a x0 E (a, b). Ar;;o je npumoM y ner;;oj or;;o,//,U'HU me ma"'.r;;e ucny'Rleno:
(1°) f'(x)::::; 0 (x < xo) u f'(x) 2': 0 (x > xo), maiJa je xo ma"'.r;;a ,//,Or;;a,//,'/-£02 MunuMyMa ¢ynr;;v,uje f(x).
Ar;;o je nar;; y ner;;oj or;;o,//,unu me ma"'.r;;e ucny'Rleno:
(2°) f'(x) 2': 0 (x < xo) u f'(x) ::::; 0 (x > xo), maiJa je xo ma"'.r;;a ,//,Or;;a,//,'/-£02 Mar;;cuMyMa ¢ynr;;v,uje f(x).
3a yCJIOB (1 °) 06HtrHO ce KaJKe ,n;a "lf>yHKIJ;Hj a f' (X) rrp:H: rrpOJiaCKY Kp03
TatrKy Xo Melha 3HaK O,LI; MHHYC Ka ITJiyc", a 3a YCJIOB (2°) ,n;a "lf>yHKIJ;Hja f'(x) lipll rrpOJiaCKY Kp03 TY TatrKy Me:a,a 3HaK 0,11; liJiyC Ka MHHyc".
liaKJie, aKO lf>yHKIJ;Hja f'(x) lipll rrpOJiaCKY Kp03 TatrKy Xo Melha 3HaK,
OH,n;a lf>yHKIJ;Hja f(x) HMa JIOKaJIHll €KCTpeMyM y TatiKll Xo.
98 AHAJB13A I 3A MH<I>OPMATMl.IAPE
CJI11"t!HO ce Mo:>Ke ,n:oKa3aT11 ,n:a aKo 113BO,n:Ha <f>YHKIJ;11j a f' ( x) rrp11 rrpo
nacKy Kp03 Ta"tiKY xo ue .Me1ba Jua-x:, OH,n:a <f>YHKIJ;11ja f(x) y Ta"t!K11 x0 HeMa
UHja f(x) = -x2 (x E R). Mo>Ke Ce Herrocpe,.UHO BH,.UeTH ,.ua je cpyHKUHja j(x) KOHBeKCHa Ha HHTep
BaJiy (a, b) aKO H CaMO aKO je cpyHKUHja- j(x) KOHKaBHa Ha HCTOM HHTepBaJiy.
CJIH"t.IHO je cpyHKUHja j(x) CTporo KOHBeKCHa Ha HHTepBaJiy (a, b) aKO H CaMO
aKO je cpyHKUHja - j(x) CTpOrO KOHKaBHa Ha HCTOM HHTepBaJiy.
AKo je f(x) rrpOH3BOJLHa ¢YHKunja ,.ue¢nHncaHa Ha HHTepBany (a, b) H
X1 < x2 Ta"t.J:Ke H3 OBor HHTepBana, yo"t.IHMO Ta"t.J:Ke E(xb f(xl)), F(x2, j(x2)), G(x, f(x)) Ha rpaqmKy oBe ¢YHKUHje, rrpH "t.IeMy je x = tx1 + (1- t)x2 (0 < t < 1), H Ta"t.IKY H(x, y) Ha rrpeceKy ce-qnue EF H rrpaBe x = tx1 + (1- t)x2.
Ta,.ua yCJIOB KOHBeKCHOCTH cpyHKUHje j(x) Ha HHTepBaJiy (a, b) 3Ha"t.IH ,.ua
ce 3a x = tx1 + (1 - t)x2 (0 < t < 1) Ta"t.J:Ka H(x, y) Ha ce"t.J:HUH EF HaJia3H
H3Ha,.u TatiKe G, MJIM ce eBeHTyanHo rroKnarra ca !hOM (CnHKa 7.5).
CJIH"t.IHO, ycnoB KOHKaBHOCTH ¢YHKUHje f(x) Ha HHTepBany (a, b) 3Ha"t.IH
,.ua ce 3a x = tx1 + (1- t)x2 (0 < t < 1) Ta"t.J:Ka H(x, y) Ha ce"t.IHUH EF HaJia3H
Hcrro,.u Ta"t.J:Ke G, HJIH ce eBeHTyanHo rroKnarra ca H>OM (CnHKa 7.6).
G- f:"
~I 'D '•t
13 A
A
0 Gt ~ X ~{:, ~ Ol 0.. ~ '::£- :XQ. it .·x
Cmn~e 7.5 H 7.6
AHAJI113A I 3A MHq>OPMATvP-IAPE 101
CTAB 4. IlpemnocmaBUMO oa je f(x) ourfiepeH:u,uja6UA'Ha rfiy'H'Iw,uja y U'H
mepBaAy (a,b). Taoa je o1-ta 'IW'HBe-x:c'Ha y uNmepeaAy (a,b) a-x:o u caMo a-x:o
je rfiyN-x:v,uja f' (x) pacmyfia 1-ta nocMampa'HOM U'l-tmepeaAy, u 'K:O'H'K:aB'I-ta 1-ta U'H
mepeaAy (a, b) a-x:o u caMo a-x:o je rfiyN-x:v,uja f'(x) onaoajyfia 1-ta nocMampa1-toM
01-ta je 'K:O'H'/\:aB'Ha 1-ta nocMampa'HOM U'HmepeaAy a-x:o u caMo a'/\:o ma"i-x:e
102 AHAJI113A I 3A 11H<I>OPMAT11"Y:APE
'1be'Hoz zpa¢u'K:a Hucy u;m,ao ma'll.a'K:a '1be'He ma'Hze'Hme y npouJBO.Jb'HOj ma'li.'K:u x 0 E
(a, b).
HarroMeHHMO ,n:a CJIH"t.IHO TBp})e:Eue Ba)KH H 3a CTpOrO KOHBeKCHe H 3a
CTpOrO KOHKaBHe <f>yHKD;Hje. ilpHTOM ce KO,LI; CTpOrO KOHBeKCHHX <f>yHKD;Hja
3axTeBa ,n:a j e
f(x)- f(xo)- !'(xo)(x- xo) > 0,
3a CBaKO X E (a, b) (X =/:. XQ), a KO,LI; CTpore KOHKaBHOCTH ,n:a j e
f(x) - f(xo) - !' (xo)(x- xo) < 0
3a CBaKo x E (a, b) (x =/:. xo).
1 g
0 "' h
7 a. -:f._ ~- :X. ~ ':L
CJIH:Ka 7.7
7. IIpeBojae Tat~Re <f>ymm,Hje
IIpeBojHa Ta"t!Ka (rpa<f>HKa) <f>YHKD;Hje y = f(x) je Ta"t!Ka y Kojoj KpHBa
y = j(x) Melba KOHBeKCHOCT, Tj. y HeKOM HHTepBaJiy (Xo- J11 Xo) je CTpOrO
KOHBeKCHa (HJIH CTpOrO KOHKaBHa), a y HeKOM HHTepBaJiy (xo, Xo + J2) je
CTpOrO KOHKaBHa (pecrreKTHBHO CTpOrO KOHBeKCHa).
llpHMep. AKo je f(x) = x3 HManeMo ,n:a je
f"(x) = 6x < 0 (x < 0), H f"(x) > 0 (x > 0),
rra je Ta"t.IKa xo = 0 rrpeBojHa Ta"t!Ka o,n:roBapajyne KpHBe. 0
AKo je xo rrpeBojHa Ta"t.IKa KpHBe y = f(x) H <f>yHKUHja f(x) je KJiace
C2 y HeKoj OKOJIHHH Te Ta"t!Ke, Ta,n:a ce Herrocpe,n:Ho MO)Ke ,n:oKa3aTH ,n:a je
!" (xo) = 0.
AHAJIH3A I 3A HHci>OPMA TH"Y:APE 103
O,n;aB,n;e CJie,[(l1 ,n;a rrpeBOjHe Ta"t.J:Ke <j>yHKil;I1je f(x) KOja je KJiace C2(a, b) o,n;pel)yjeMO 113Mel)y Ta"t:IaKa Te <j>yHKD;I1je y KOji1Ma je ,n;pyr11 113BO,[( je,n;HaK
HY m1. HarroMeH11MO ,n;a 113 f" ( x) = 0 He CJie,n;l1 Heorrxo,n;Ho ,n;a j e Ta"t:IKa x0
rrpeBojHa Ta"tiKa <j>yHK:O:I1je f(x). TaKo je Harrp11Mep CBaKa JII1HeapHa <j>yHK:o;11ja
rra je Tapl)elbe Tal:.IHO H 3a cJie.n;enH rrpHpo.n;HH 6poj n + 1. CTora oHo aaJKH
3a rrpOH3BOJLaH npHpo.n;aH 6poj n. D
6 BE>KBE l13 AHAJII13E I
3AJIATAK 9. Ax:o je S ~ R npou3BO.!bau uenpa3au cx:yn u a E R, oe¢uuuwu.Mo a+S = {a+xl XES}. Llox:a3amu oaje maoa sup(a+S) = a+sup s u inf(a + S) =a+ inf S.
PemeJbe. IIpeTrrocTaBHMO Hajrrpe ,n;a je sup(S) = +oo. Ta,n;a rrocToj:a
H3BeCTaH HH3 Xn E S TaKaB ,n;a Xn -t +oo. O,n;aB,n;e CJie,n;:a ,n;a 3a rrpOH3BOJI.HO
a E R, HH3 a+ Xn--+ a+ oo = +oo, o,n;aKJie je sup( a+ S) = +oo.
llaJI.e rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je sup(S) = M KOHal:IaH 6poj. Ta,n;a je 3a
rrpOH3BOJI.HO xES :acrryiheHo x:::; m. O,n;aB,n;e je a+ x:::; a+ M, rra je a+ M
j e,n;Ho roplhe orpaH:al:Ieihe cKyrra a + S. AKo j e ,n;aJI.e A < aM, CJie,n;H ,n;a j e
A-a< M, rra rrocToj:a H3BecTaH 6poj x 0 E S TaKaB ,n;a je x 0 >A-a. O,n;aB,n;e
je a+ xo > A, o,n;aKJie Herrocpe,n;Ho ,n;o6:ajaMo ,n;a je sup(a + S) = a+ M =
a+ sup(S).
llaJI.e IIOCMaTpajMO inf(S) H rrpeTIIOCTaBHMO ,n;a je Hajrrpe inf(S) = -00.
Ta,n;a rrocToj:a H3BecTaH HH3 Xn E S TaKaB ,n;a Xn -t -oo. O,n;aB,n;e CJie,n;:a ,n;a
HH3 a+ Xn -t-oo, rra je inf(a + S) = -oo =a+ oo.
Haj3a,n;, rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je inf(S) = m KOHal:IaH 6poj. Ta,n;a je 3a
cBaKo xES :acrryiheHo x 2: m. O,n;aB,n;e je a+ x 2: a+ m (xES), rra je a+ m
je,n;Ha MHHopaHTa cKyrra a+ S. AKo je ,n;aJI.e A > a+ m, Ta,n;a je A- a > m,
rra rrocToj:a H3BecTaH eJieMeHT xo E S TaKaB ,n;a je x0 > A - a. O,n;aB,n;e je
a+ x0 >A, rra je Herrocpe,n;Ho inf(a + S) =a+ m =a+ inf(S). 0
3AJIATAK 10. Hex:a je S cx:yn ceux upav,uoua.~tuux 6pojeea u3 uu
mepea.~ta (1,2). Oopeoumu supS, infS, u ucnumamu oa .~tu nocmoje maxS u
minS.
Pemelbe. OllHrJie,n;Ho je S = Q' n (1, 2), a ,n;oKa3aneMo ,n;a je supS= 2 :a inf S = 1. 3a rrpOH3BOJI.aH 6poj x E S HMaMo .n;a je x < 2, rra je x :::; 2. AKo
PemeH:.e. (a) HM3 Xn -+ 0 Ka,n:a n -+ oo aKo ll caMo aKo 3a caaKo
c > 0 rrocTojM ll3BecTaH 6poj no E N TaKaB ,n:a 3a caaKo n 2: n 0 BaiKM lxn I ::; c. Ho oaaj ycJIOB je oqMrJie,n:Ho eKBMBaJieHTaH ca rrpeTIIOCTaBKOM ,n:a Hll3
arrcoJiyTHllX ape,n:HOCTll lxn I -+ 0. (6) Y orrmTeM CJiyqajy II03HaTO je ,n:a ll3 KOHBepreHD;Mje Hll3a (xn) rrpeMa
HeKOM KOHaqHOM 6pojy a CJie,L(ll KOHBepreHD;llja Hll3a (lxnl) rrpeMa 6pojy lal. 06paTHO y OIIillTeM CJiyqajy He MOpa ,n:a 6y,n:e TaqHO illTO Ce Bll,L(ll Ha IIpllMepy
Hll3a Xn = ( -1) n. OH ,n:MBeprMpa Ma,n:a Hll3 arrcoJiyTHllX ape,n:HOCTll lxn I = 1 KOHBeprMpa. D
3A1IATAK 12. Jlox:a3amu oa 3a npou3eo.!ban pea.11,an 6poj a eaJ~Cu
(1) an
lim -1
= 0. n-+oo n.
Pemelbe. AKo 03Ha"t!HMO k = [Ia!], Ta,n;a je Ia! < k + 1, rra je 3a
rrpmBBO~Ho n 2:: k + 1 ncrrylheHo
I an I = iai· · ·Ia! = iaik . _El ... ~ < n! n! k! k + 1 n
~ (_EL__)n-k < k! k + 1 .
KaKo je q = _klal < 1 n qn-k ---+ 0 Ka,n;a n ---+ oo, jep n- k ---+ +oo, +1
rryrriTajynH ,n;a n---+ oo, Herrocpe,n;Ho cne,n;11 ,n;a je
TJ.
lim lain = 0, n-+oo n!
an lim -
1 = 0. D
n-+oo n.
3A1IATAK 13. Jlox:a3amu oa je limn-+oo y'a = 1 3a npou3eo.!ban 6poj
a> 0.
Pemelbe. AKo je a= 1, TBpl)elhe je o~nrne,n;HO Ta~Ho.
II peTrrocTaBHMO ,n;aJI.e ,n;a j e a > 1. Ta,n;a j e y'a > 1 3a cBaKn rrp11po,n;aH
6poj n, rra je a= (1 + yfa -l)n =
= 1 + n( yfa- 1) + · · · (~) ( y'a- 1)n >
>1+n(yta-1).
CTora je a- 1 > n( y'a- 1), o,n;aKne je 0 < y'a- 1 < a~l (n EN). 113 rrocne,n;Ihe Heje,n;HaKOCTH Herrocpe,n;Ho cne,n;n ,n;a je limn-+oo y'a = 1.
Haj3a,n; rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je a E (0, 1). Ta,n;a je b = 1/a > 1, rra je n(;; 1 1 . . v u, = n f1T:: = n/L' o,n;aKJie J e Ha OCHOBY rrpeTXO,IJ;HOr cJiy~aJ a
y1/a vb 1 1
• nC = - = 1. hm ya = . n![j 1 n-+oo hmn-+oo Y U
D
14 BEJKBE M3 AHAJ1M3E I
3AllA TAK 14. Jio~a3amu oa 3a cea~o a> 1 ea::xcu
lim logan = O. n-too n
Peme11>e. 3a cnaKo n 2: 2 IIManeMo ,.n;a je logan > 0, rra je II (logan)/n > 0. llaJLe yo~mMo rrpOII3BOJLHO c > 0. KaKo je a > 1 cJie,.n;II ,.n;a je ac > 1, rra je
Ha ocHony 3a,.n;aTKa 9 limn-+oo -( n) = 0. CTora rrocTojii ll3BecTaH rrpiipo,.n;aH ac n
6poj n 0 TaKaB ,.n;a je 3a cne rrpiipo,.n;He 6pojene n 2: n 0 IIcrrylbeHo n/acn :::; 1,
Tj. n::; acn. O,.n;an,.n;e ,.n;o6IIjaMo ,.n;a je logan ::; loga ( acn) =en 3a n 2: no, rra je
logan 0<--<c n - (n 2: no).
M3 rrocJie,.n;lbe Heje,.n;HaKOCTII CJie,.n;II ,.n;a je
1. logan _ O
0 lm - . n-too n
3A1I.ATAK 15. llo~a3amu oa je limn-+oo y'ri = 1.
Peme11>e. MManeMo ,.n;a je Ja cnaKII rrpiipo,.n;aH 6poj n 2: 2 IIcrrylbeHo
. 1 1 Pemelhe. KaKo Je 3a cBaKo k = 1, 2, ... ucrrylheHo k > -k, ca6u-
2 - 1 2 pa!heM ,n;o6ujaMo ,n;a je 3a cBaKo n E N ucrry!heHo
1 1 1 an > ~ + 2 · 2 + ... + 2n'
bn . b ""n 1 K . O,II;HOCHO an > 2 , llpll l:.I€MY J e n = L...,k=l k. aKO J e ,n;aJLe IT03HaTO ,n;a Hll3
bn -+ +oo Ka,n;a n -+ oo, Herrocpe,n;Ho CJie,n;u ,n;a H HH3 an -+ +oo Ka,n;a n -+ oo. CTora ITOCMaTpaHH Hll3 an HMa CaMO je,n;Hy Tal:.IKY HarOMHJiaBalba, ll TO je
Pemelhe. Kopmnl'i.e!heM ,n;eqmHHD;Hje, ,IJ;OKa3aneMO ,n;a Hll3 an -+ -()(). AKo j e M > 0 rrpoH3BOJI.aH no3HTHBaH 6poj, 36or orpaHHl:.leHOCTH cpyHKD;Hj e
cosx HMaMo ,n;a je an :=:; -fo + 5. KaKo je -fo + 5 :=:; -M 3a CBe npHpO,n;He
6pojeBe n 3a KOje je n ~ (M + 5) 2, HMaMO ,n;a je 3a Te Bpe,n;HOCTll n llCIIy!heHO
an :=:; -M. CTora Ha OCHOBY ,n;ecpHHHD;Hje Hll3 an -+ -oo. 0
Ko,n; npaKTHl:.IHOr pemaBa!ha 3a,n;aTaKa, l:.leCTO ce MOJKe KOpHCTHTH cJie,n;e
ne TBpl)elhe. IIpHTOM, aKO je (an) rrpOll3BOJLaH peaJiaH Hll3, Ta,n;a neMO ca
rop:a,e orpaHH~e:a,e rrocMaTpaHor HH3a. CTora je TaKas HH3 orpaHH~eH ca
rop:a,e CTpaHe.
BEJKBE I13 AHAJ1I13E I 19
ilOTITYHO CJill'IHO ce ,1I:OKa3yje ll ,n:a je 6:rrJIO KOjll HH3 KOjH TeJKH Ka +oo
orpaH:rr'!eH ca ,n:Oihe CTpaHe. D
3Al{ATAK 25. A-x:o HuJ an-+ +oo a 'HUJ bn je ozpaHu"ie'H, oo-x:aJamu
Oa 'HU3 an+ bn -+ +oo.
PemeH:>e. KaKo je HH3 bn orpaHH'!eH, OH Mopa 6HTH orpaHH'leH H ca
,n:OII>e CTpaHe, na nocTojH KOHa'laH 6poj m E R TaKas ,n:a je 3a cse n E N HcnyiheHo bn ~ m. AKo j e ,n:a.llie M 6HJIO KaKo semrKH IT03HTHBaH 6poj, Ta,n:a
H3 npeTITOCTaBKe ,n:a an --+ +oo Ka,n:a n --+ 00, CJie,n:H ,n:a ITOCTOjH np:rrpo,n:aH
6poj n 0 TaKas ,n:a je 3a cBe n ~ n 0 HcnyiheHo an ~ M- m. KaKo je ,n:a.llie 3a
CBe n EN HcnyiheHo M- m ~ M- bn, cne,n:H ,n:a je 3a CBe n ~no HcnyiheHo
an ~ M- bn, Tj. an + bn ~ M. CTora Ha OCHOBY ,n:eqmHH:o;:rrje cne,n:H ,n:a Hll3
an + bn -+ +oo Ka,n:a n -+ oo. D
3Al{ATAK 26. Hcnumamu ozpa'HU"ie'Hocm 'HUJa
n 3 + 1 an = - ~ _ ( n E N).
PemeH:>e. KaKo je
an= n 3 + 1 2n -7
n3 (1 + 1/n3)
2n(1 - 7 /2n) n2 1 + 1/n3
-2 1-7/2n'
lim (- n2
) = -oo, n-+oo 2
1. 1 + 1/n3
lm = 1, n-+oo 1 - 7 /2n
Hanocpe,n:HO CJie,n:H ,n:a je lim an = -oo. 1 = -oo. CTora je llOCMaTpaHH HH3 n-+oo
3AllATAK 13. Ax;o je f(x) = ~~~~ npou3BO./b'Ha pav,uo'Ha.fi,'Ha rjyHx;
v,uja, Oox;a3amu Oa je y 6U.fi,O x;ojoj 'lbe'HOj CU'HZy.fl,ap'HOj ma"1.x;U Xo Ucny'lbe'HO
lim f(x) =co. x--+xo
PemeiLe. KaKo je x0 CHHryJiapHa Ta"'4:Ka cpyHKD;Hje f(x), HMaMo ,n;a je
Q(x0 ) = 0. Ta,n;a je P(x0 ) =I= 0 jep rrpeTrrocTaBJLaMo ,n;a je pa3JIOMaK P(x)/Q(x) pe,n;yKOBaH. KaKo je Q(x0 ) = 0, rrocTojH rrpHpo,n;aH 6poj l II rroJIHHOM S(x) TaKaB ,n;a je Q(x) = (x- x0) 1S(x). Ta,n;a je 3a x =I= xo
Ka,n;a x ---+ +oo, CJie,n;n ,n;a je b = -8. CTora je y Tal.IKH +oo, o,n;roBapajyna
KOCa aCHMIITOTa y = 4x- 8.
MeTa acHMIITOTa ce ,n;o6Hja II y Tal.IKII -oo. D
3A1IATAK 27. Oopeoumu cae acu.Mnmome ¢y'Hx:v,uje
2x2+1+sinx (x#0;1). y = x -1 3x
34 BEIKBE 113 AHAJII13E I
IIorJia.BJLe 4
HEIIPEKI11IHOCT tPYHKU11JA
3A..UATAK 1. Hcnumamu Henpe~uihwcm ¢YH~v,uja
(a)
(,~)
fr(x) = sgn x; (6) j4(x) = sgn (x- x3 )
Pemelbe. (a) <PyHKD;Hj a
h(x) = sgn (1 + x2 ); (u;)
(x E R). h(x) = 1 + (sgnx) 2;
fr(x)= 0, x=O {
1, X> 0
-1, X< 0
je KaO KOHCTaHTHa, QqHrJI8,LJ;HO HerrpeKH,LJ;Ha Ha HHTepBaJIHMa (-00, 0), (O,+oo), a y TaqKH x 0 = 0 HMa rrpeKH,LJ; rrpae apcTe jep Ba)fm f(+O) = 1 =/=
f(O), !( -0) = -1 =/= f(O). (6) .liaJl>e je 3a caaKo x E R 1 + x2 2: 1, rra je h(x) = sgn (1 + x2
) = 1.
CTora j e ¢YHKD;Hj a h ( x) HerrpeKH,LJ;Ha Ha u;enoj peanHoj rrpaaoj R.
(u;) .liaJl>e je 3a caaKo x =!= 0, h(x) = 1+1 = 2, a 3a x = 0 h(O) = 1+0 = 1.
CTora je <flyHKD;Hja h(x) HerrpeKH,LJ;Ha Ha HHTepaaJIHMa ( -oo, 0), (0, +oo), a y TaqKH Xo = 0 HMa rrpeKH,LJ; IIpBe BpCTe jep je j( +0) = 2 =/= j(O) = 1, f( -0) = 2 =/= f(O) = 1.
(,n;) Ca,n;a naKo HaJia3HMO ,n;a je H3pa3 x(1 - x 2 ) rro3HTHBaH 3a ape,n;
HOCTH X 113 HHTepBaJia (-oo, -1) H (0, 1), 3aTHM je,n;HaK 0 3a X= 0, 1,-1 , H
HeraTHBaH Ha HHTepaaJIHMa ( -1, 0) H (1, +oo). CTora je
{
1,
j4(x) = sgn (x- x3) = 0,
-1,
aKO j e X < -1 HJIH 0 < X < 1
aKO j e X = 0, ± 1
aKO j e - 1 < X < 0 HJIH X > 1.
BEIKBE 113 AHAJI113E I 35
O,!J;aB,ll;e cJie,ll;M ,ll;a je cpyHK:O:Mja j4(x) HenpeKM,ll;Ha Ha MHTepBaJIMMa ( -oo,
-1), (-1,0), (0,1) M (1,+oo), a y ra"t.J:KaMa 0,±1MMa npeKM,ll;e npBe Bpcre
(3) 2 2 2 2 2 2 3 2 f (x) = 2ex (2x) + 8xex + 4x (ex )' = 4xex + 8xex + 8x ex =
= (12x + 8x3 )ex2
•
O,n;aB,n;e HaJia3HMO ,n;a je f'(O) = 0, f"(O) = 2, f(3)(0) = 0. D
3A,UATAK 7. Ar.:o je rfiy'Hr.:v,uja f(x) n nyma iJu¢epeHv,uja6uA'Ha 'Ha U'HmepeaAy D = (a, b), iJor.:aJamu iJa je rfiy'Hr.:v,uja g(x) = !(ax+ {3) (a =/:- 0) mar.;olje n nyma iJu¢epe'Hv,uja6uA'Ha 'Ha U'HmepeaAy D1 = ~D- {3, u npumoM je
g(k) (x) = ak f(k) (ax+ {3) (k=1,2, ... ,n).
Pemelhe. KaKo je cf>YHK:o;uja h(x) = ax+ {3 5ecKOHa"t!HO ,n;ucf>epeH:o;Hja-
6HJIHa Ha :o;eJIOj npaBOj R, Ha OCHOBy TeopeMe 0 ll3BO,Uy CJIOJKeHe cf>yHKD;Hje
cf>YHK:o;uja g(x) = f(ax + {3) 6une ,n;ucf>epeH:o;uja6HJIHa Ha HHTepBaJiy D 1 , u
llpHTOM Je
g'(x) =!'(ax+ {3) (ax+ {3)' =a f'(ax + {3).
42 BEIKBE 113 AHAJil13E I
Cm11.IHO je 11 cpyHK:o;Hja g'(x) ,n:HcpepeH:o;Hja6HJIHa Ha HCTOM HHTepBaJiy 11
IIpl1TOM Je
g11 (X) = o? j" ( CI.X + (3).
HacTaBJI.ajynH OBaj rrocTyrraK n rryTa, 3aKJI.yqyjeMo ,n:a je cpyHK:o;Hja
g(x) n rryTa ,n:HcpepeH:o;Hja6HJIHa Ha HHTepBaJiy D 1, 11 rrpHTOM je
g(n)(x) = Cl.n j(n)(ax + (3). 0
IIpeTrrocTaBHMO ,n:aJI.e ,n:a je cpyHK:o;Hja f(x) ,n:ecpHHHCaHa y HeKoj OKOJIHHH
Pemelhe. <I>yHK:o;Mja f(x) je O'IMrJie,n;Ho ,n;McpepeH:o;Mja6MJIHa y CBMM
Ta'IKaMa X =f. 0 I1 IIpi1TOM je
'( ) { 1, X < 0 j X = 2(x- 1), x > 0
KaKo je !( -0) = )., f( +0) = 1, y cJiy'Iajy ,n;a je ). =f. 1 cpyHK:o;Mja f(x) je rrpeKM,n;Ha y 0, rra HMje HM ,nMcpepeH:o;Mja6MJIHa y Ta'IKM 0. AKo je ). = 1, cpyHK:o;Mj a f ( x) j e HerrpeKM,n;Ha y Ta 'IKM 0. KaKo j e Ta,n;a
!~(0) = 1, !~(0) = 2,
cpyHK:o;Mja f(x) HM 3a ). = 1 HMje ,nMcpepeH:o;Mja6MJIHa y Ta'IKM 0. D
3A1IA TAK 11. .llo'K:aJamu oa je PY'H'K:V,Uja
{ x sin 1, x =f. 0
f(x) = 0, ; = 0
6eC'K:O'Ha"i'HO oupepe'HV,Uja6u.;ma y CBU.M ma"i'K:a.Ma X =f. 0, a..1U y ma"i'K:U 0 'HUje
oupepe'HV,Uja6U..1'Ha.
44 BEIKBE 113 AHAJI113E I
Peme11:.e. KaKo je j(x) eJieMeHTapHa <PYHKD;Hja .n;e<PHHHCaHa y CBHM
TaqKaMa X f 0, CJI€,IJ;H .n;a je OHa 6eCKOHaqHO ,II;H<PepeHD;Hja6:H:JIHa y CBHM
TaqKaMa HHT€pBaJia ( -00, 0) H y CBHM TaqKaMa HHTepBaJia (0, +oo). CTora
jom Tpe6a .n;oKa3aTH .n;a OHa He rroce.n;yje H3Bo.n; y TaqKH 0. KaKo je 3a 6HJIO Koje h > 0:
f (h) - f ( 0) h sin * . 1 h = h = smh,
MOiKe ce JiaKO BH,IJ;eTH .n;a .n;eCHH H3BO,IJ; OBe <PYHKD;Hje j~(O) yorrmTe He IIOCTOjH.
3a:H:CTa, aKO yoqHMO HH30B€ 6pojeBa
1 Xn = 2mr + Jr/2'
1 Yn = 2n7r- 1rj2 (n EN),
Ta.n;a OHH o6a TeiKe Ka 0 Ka.n;a n--+ oo, aJIH je
sin_..!._ = sin(2n7r + 1r /2) = 1, Xn
sin_..!._= sin(2n7r- 1rj2) = -1 (n EN), Yn
rra H3BO,IJ; j~ (0) He IIOCTOjH.
CTora <PYHKD;Hja f(x) HHje .n;H<PepeHn:Hja6HJIHa y TaqKH 0. D
3A,.UATAK 12. Jlo1-ca3amu da je rpyn11:v,uja f(x) = x lxl iJurftepenv,uja-6u.t£Ha na v,e.t£oj npaaoj R, a.t£u ne.Ma dpyzu U3Bod y ma~11:u 0.
Peme11:.e. 11ManeMo .n;a je j(O) = 0 H
{ x2, x > 0
f(x) = -x2, x < 0
rra je <PYHKD;Hja j(x) Qq:H:rJie,IJ;HO 6eCKOHaqHO ,IJ;H<PepeHD;Hja6:H:JIHa y CBHM Taq
KaMa xi= 0. IIoce6Ho HaJia3HMO .n;a je 3a x f 0:
{ 2x,
j'(x) = -2x,
llaJLe je:
x>O x<O
j' ( 0) = lim f (h) - f ( 0) = lim h 2
-0 = lim h = 0
+ h-t+O h h-t+O h h-t+O '
f~(O) = lim f(h)- f(O) = lim -h2
-0 = lim (-h)= 0.
h--t-0 h h--t-0 h h--t-0
O.n;aB.n;e cJie.n;H .n;a H3BO.n; f'(O) rrocTojH H .n;a je f'(O) = 0.
BEJKBE 113 AHAJII13E I 45
CTora MOJKeMo .n;a KaJKeMo .n;a je y rrpmi3BOJbHOj Tat.IKH x E R HcrryH>eHo
f'(x) = 2lxl.
KaKo cpyHKD;Hja lxl HHje .n;HcpepeHn;Hja6miHa y 0, cJie,n;H .n;a cpyHKD;Hja
f(x) HeMa .n;pyrH H3BO,n y Tat.IKH 0. D
3Al(ATAK 13. Jior,;a3amu oa ¢yHr,;v,uja f(x) = x 3lxl (x E R) npunaoa
r,;.aacu C3(R) \ C4(R).
Pemelbe. Yot.IHMO OIIIIITHje, cpyHKD;Hjy f(x) = xn lxl (x E R, n E N).
KaKo je
{
xn+l,x > 0
f(x) = 0, x = 0 ,
-xn+l X< 0 '
H cpyHKD;Hja xm (m E N) je .n;HcpepeHn;Hja6HJIHa 3a cBaKH rrpHpo.n;aH 6poj m,
CJie,n:H .n;a je cpyHKD;Hja f(x) ,n;HcpepeHn;Hja6HJIHa y CBaKoj Tat.IKH x f. 0. IIpHTOM
je
J'(x) = { (n+ 1)xn,x > 0 . -(n+ 1)xn,x < 0
OcHM Tora, Ha OCHOBY ,n:ecpHHHD;Hje ce JiaKo MOJKe BH,n:eTH .n;a je f'(O) = 0. CTora je f'(x) = (n + 1)xn-l lxl (x E R). O,n:aB,n:e rrpHMeHOM HH,II:yKD;Hje,
CTora je H3BO.n;Ha <flyHKIJ:Hja f'(x) HerrapHa Ha rrocMaTpaHOM HHTepBany.
Iloce6Ho je Ta,n:a f'(O) = 0.
l[aJLe IIp8TIIOCTaBHMO ,n:a j e <flyHKI(Hj a j (X) ,n:n<flepeHI(Hj a6HJIHa Ha HH
T8pBaJiy (-a, a) n HerrapHa. Ta,n:a je 3a 6Hno Kojy Ta"tiKY x 0 E (-a, a):
!'( ) _ 1. f(x)- !( -xo) _
1. - !( -x) + f(xo) _
-xo - 1m - 1m -x->-xo X - Xo x->-xo X - Xo
. !( -x)- f( -xo) . f(y)- !( -xo) =hm =hm =
-x->xo -x - ( -xo) y->xo y- ( -xo)
= !' ( -xo).
CTora je H3BO,n:Ha <flyHKUHja f'(x) rrapHa Ha rrocMaTpaHOM HHTepBany.
D
48 BE>KBE H3 AHAJIH3E I
3A1IATAK 19. A1\:o je rfiy'H1\:V,Uja f(x) iJurfiepeHv,uja6u.~~,'Ha Ha U'HmepBa.JI,y (a, b) u npumoM je f'(x) = 0 3a cBa1\:o x E (a, b), iJo1\:a3amu iJa je maiJa f(x) 1\:0'Hcma'Hm'Ha rfiy'H1\:V,Uja 'Ha nocJ.tampa'HOM U'Hmepea.~~,y.
A1\:o je rfiy'H1\:V,Uja f(x) iJeanym iJurfiepeHv,uja6U.JI,'Ha 'Ha u'Hmepea.~~,y (a, b) u npumoM je f"(x) = 0 Ja cea1\:o x E (a, b), iJo1\:a3amu iJa je maiJa f(x) .JI,U'Heap'Ha rfiy'H1\:V,Uja 'Ha uHmepea.~~,y (a, b).
Pemelhe. IIpeTIIOCTam-IMo Hajrrpe ,n;a je f'(x) = 0 3a cBaKo x E (a, b).
KaKO je OCHM TOra If H3BO)J; <f>YHKD;Hje g(x) = 0 TaKol)e H)J;eHTWIKH je,n;HaK
HYJIH Ha HHTepBaJiy [a, b], Ha OCHOBY je,n;He IIOCJie,n;mJ;e JlarpaH:>KOBe TeopeMe
CJie,n;H ,n;a je j(x)- g(x) = p KOHCTaHTHa <f>YHKD;Hja Ha HHTepBaJiy (a, b), ,n;aKJie
f(x)=p(a<x<b).
lla.Jbe rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je f"(x) = 0 Ha HHTepBaJiy (a, b). Ta,n;a je
Ha OCHOBY )J;OKa3aHOr ,n;eJia TBp 1jelha j' (X) = p KOHCTaHTHa <f>yHKD;Hj a Ha IIOC
MaTpaHOM HHTepBaJiy. AKo ,n;a.Jbe yo"t.J:HMO <f>YHKD;Hjy g(x) = px, HManeMo
,n;a je g'(x) = p, rra je f'(x) - g'(x) = (f(x) - g(x))' = 0 Ha HHTepBaJiy
3I:ITI:IBaH 6poj a TaKaB ,IJ;a j e 3HaK I:I3BO,IJ;a P' ( x) KOHCTaHTaH ( rro3I:ITI:IBaH I:IJII:I
HeraTI:IBaH) Ha cBaKOM o,IJ; I:IHTepBaJia (-oo, -a), (a,+oo), rra je IIOJII:IHOM P(x)
CTpOrO MOHOTOHa cpyHKIJ;I:Ij a Ha CBaKOM O,IJ; HaBe,IJ;eHI:IX l:IHTepBaJia. 0
3All.ATAK 25. 1Io~a3amu oa 3a cea~o X E (0, 7r/2) Ba:JICU nejeona~ocm
(1) 2x . - < smx < x. 7r
Pemelhe. Yo'II:IMO Hajrrpe cpyHKIJ;I:Ijy
f(x) = x- sinx (0 <X< 7r/2).
Ta,IJ;a je f'(x) = 1- cosx > 0 3a x E (0,7r/2), rra cpyHK:u;I:Ija f(x) cTporo
pacTe y rrocMaTpaHOM I:IHTepBaJiy. KaKo je f(O) = 0, CJie,IJ;I:I ,IJ;a je f(x) > 0 3a
X E (0,7r/2), O,IJ;aKJie CJie,IJ;I:I Heje,IJ;HaKOCT sinx <X. llaJLe yo'II:IMO cpyHK:u;Mjy
( ) . 2x
g x = smx--7r
Herrocpe,IJ;HO HaJia3I:IMO ,IJ;a je
g'(x) = cosx- ~ 7r
(0 <X< 1rj2).
(0 <X< 7r/2).
AKo ca x0 03Ha'II:IMO 6poj I:I3l:IHTepBaJia (0,7r/2) TaKaB ,IJ;aje cosx = 2/7r, Ta,IJ;a je O'II:IrJie,IJ;HO g'(x) > 0 3a x E (O,xo) I:I g'(x) < 0 3a x E (x0 ,7r/2). CTora
cpyHK:UI:Ija g(x) CTporo pacTe Ha I:IHTepBaJiy (0, x0 ) I:I CTporo orra,IJ;a Ha I:IHTep
BaJiy (x0 , 1r /2). KaKo je rrpl:ITOM g(O) = g(1r /2) = 0, o,IJ;aB,IJ;e Herrocpe,IJ;HO CJie,IJ;I:I
,IJ;a je cpyHKIJ;I:Ija g(x) > 0 Ha :u;eJIOM l:IHTepBaJiy (0,7r/2), O,IJ;aKJie ,IJ;06I:IjaMO . . 2x
rra je cpyHK:o;IIja f(x) = Jxl 3aiiCTa KOHBeKcHa Ha :o;enoj rrpaBoj R. HaiiOMeHIIMO ,n:a je OBa cpyHKD;IIja JIIIHeapHa Ha CBaKOM O.ll: IIHTepBaJia
( -OO, 0] II [0, +oo) IIOHaOC06, rra Ha CBaKOM O,n: TIIX IIO,n:IIHTepBaJia rrpe,n:CTaB.Tha
IICTOBpeMeHO II KOHBeKCHY II KOHKaBHY cpyHKD;IIjy. 0
3A.UATAK 32. Ax:o je ¢y'Hx:v,uja f(x) x:o'Heex:c'Ha 'Ha 'Hex:o.M U'Hmep
eaAy D, iJox:aJamu iJa je ¢y'Hx:v,uja af(x) x:o'Heex:c'Ha 'Ha mo.M U'HmepeaAy Ja
a 2: 0, u x:o'Hx:ae'Ha Ja a ~ 0.
Pemelhe. AKo je a = 0, Ta,n:a je cpyHK:o;IIja af(x) = 0 Ha rrocMaTpaHOM
IIHTepBaJiy, rra je OHa IICTOBpeMeHO II KOHBeKCHa II KOHKaBHa.
fla.n,e rrpeTIIOCTaBIIMO ,n:a je Cl'. > 0. 36or KOHBeKCHOCTII cpyHKD;IIje j(x), Ta,n:a 3a rrpOII3BO.ThHe Ta"l!Ke x1, x2 E D II rrapaMeTap t E (0, 1) IIMaMo .n:a je
(1) j(tx1 + (1- t)x2) ~ tj(x1) + (1- t)j(x2).
O,n:aB,n:e je
aj(tx1 + (1- t)x2) ~ atj(x1) + a(1- t)j(x2),
rra j e II cpyHKD;IIj a CY.j (X) KOHBeKCHa Ha IIHTepBaJiy D.
AKo j e a < 0 Ta,n:a II3 Hej e,n:HaKOCTII ( 1) cne,n:II .n:a j e
aj(tx1 + (1- t)x2) 2: atf(xl) + a(1- t)j(x2),
rra je cpyHK:O:IIja af(x) KOHKaBHa Ha IIHTepBany D. D
3A.UATAK 33. Jlox:aJamu iJa je J6up iJee x:o'Heex:c'He ¢y'Hx:v,uje 'Ha
U'HmepeaAy (a, b) max:olje x:o'Heex:c'Ha ¢y'Hx:v,uja 'Ha mo.M U'HmepeaAy. CAU"{'HO
meplje1be eaxu u Ja iJee x:o'Hx:ae'He, iJee cmpozo x:o'Heex:c'He x:ao u iJee cmpozo
x:o'Hx:ae'He ¢y'Hx:v, uje.
54 BEJ-KBE H3 AHAJ1H3E I
3A...UATAK 34. lfcnumamu x:o'Heex:c'Hocm u cmpozy x:o'Heex:cHocm
¢yHnv,uje y = ax2 + bx + c 3a pa3AU'l(,ume epedHocmu peaA'H02 napa.Mempa a.
Pemelbe. IIocMaTpaHa cpyHKU:IIja je KBa,n:paTHa, na je 6ecKOHRqHo ,n:II
cpepeHu;IIja6IIJIHa Ha R. IIpiiTOM je y"(x) = 2a.
AKo je a > 0, o,n:aB,n:e CJie,n:II ,n:a je f" (x) > 0 3a cBaKo x E R, na je
<flyHKII;IIja CTpOrO KOHB8KCHa, a TllMe ll KOHB8KCHa Ha II;eJIOj peaJIHOj npaBoj.
AKo je a < 0, IIMaMo ,n:a je f"(x) < 0 3a CBaKo x E R, na je cpyHKII;nja f(x)
CTpOrO KOHKaBHa, a TIIMe ll KOHKaBHa Ha II;eJIOj peaJIHOj npaBOj.
Haj3a,n:, aKo je a = 0, ,n:o6nja ce ,n:a je cpyHKII;Hja y = bx + c JIHHeapHa
(II 3a b = 0 n 3a b f. 0), a 3a oBy cpyHKu;njy je no3HaTo ,n:a je IICTOBpeMeHo n
Bpe,n;HOCTll TMIIa 100• J e,n:aH O,LI; IbllX j e MeTO,l( ",l(OIIyHe ,l(O 1" , a ,n:pyrll MeTO,l( j e
MeTO,LI; npe,LI;CTaBJI.aiLa IIOCMaTpaHe £flyHKIJ;Hje y 06JIMKY eg(x), ,n;aKJie IIOCTyiiaK
,LI;ll3aiLa Ha CTeneH, M 3aTHM TpaJKeiLe rpaHll"t!He npe,n;HOCTll limx-+xo g(x). Y onmTeM cJiy"Y:ajy He MOJKe ce penu Koju je o,n; ona ,n;na MeTo,n;a ycnemHujn,
jep TO yneK 3aBllCll O,LI; 06JIHKa IIOCMaTpaHe £flyHKIJ;llje.
1. Ax:o je rfiy'HX:V,Uja f(x) n + 1 nyma aurfiepe'Hv,uja6UJt'Ha 'Ha U'HmepeaJty
[a, b], maaa 3a ceax;o X E (a, b] Ba'JICU rpop.MyJta
( 1) f (X) = f (a) + f' i ~) (X - a) + · · · + f ( ~~,(a) (X - a r + Rn (X),
npu "{e.My je ( )n+l
R (x) = f(n+l)(~) x- a n (n + 1)!
u ma"{x;a ~ je 'Hex:a ma"{x;a U'HmepeaJta (a, x).
BEIKBE H3 AHAJIH3E I 61
2. Ax:o je ¢ynx:71uja f(x) de¢unucana y nex:oj ox:oAunu ma<ttx:e x0 u y ma<ttx:u x0 nocmoju U3BOd f(n) (xo), wmo noce6no ma<ttu da y nex:oj ox:oAunu me ma<ttx:e
nocmoje u ceu U3Bodu do peda n- 1 Jax:Jby<ttno, mada ea:J1Cu ¢op.MyAa
(2) ~ f(k)(xo) k
f(x) = L u (x- xo) + o((x- x0 )n). k=1
<l>opMyJia (1) Ha3HBa ce TejJiopOBOM cpopMyJIOM ca ocTaTKOM y Jia
rpaHJKOBOM o6JIHKy, a cpopMyJia (2) JIOKaJIHOM TejJiopoBoM cpopMyJioM. AKa
y OBHM cpopMyJiaMa rroce6Ho y3MeMo ,.[(a je a = x 0 = 0, O,I(roBapajyne cpop-
MyJie Ha3HBajy ce MeKJiopeHOBHM cpopMyJiaMa.
AKo rroce6Ho Y3MeMo ,.[(a je cpyHKQHja f(x) je,n:Ha O,I( cpyHKD;Hja ex, sinx, cosx, (1 + x)P (p E R) H ln (1 + x), H3 JIOKaJIHHX MeKJIOpeHOBHX cpopMyJia
CJie,n;H ,n;a je f'(x) < 0 3a x > 1, rra oBa cpyHKn;Hja CTporo orra,n;a 3a x > 1,
a 36or rrapHOCTH TaKol)e H cTporo pacTe 3a x < -1. CTan;HoHapHHX Ta"tiaKa
oBa cpyHKD;Hja HeMa. O,n;aB,n;e TaKol)e 3aK.rr,y-qyjeMo ,n;a cy Ta"tiKe x = ±1 Ta"t!Ke
JIOKaJIHHX MaKCHMyMa OBe cpyHKD;Hje ll IIpHTOM je j(1) = j( -1) = J2. OcHM Tora HaJia3HMO ,n;a je
!" ( x) = J x2 + 1 - x2 I J x2 + 1 x 2 + 1
1 1
J x 2 - 1 - x 2 I J x 2 - 1
x 2 -1
(x2 + 1)3/2 + (x2 _ 1)3/2 > 0
3a X> 1 (H 3a X< -1), rra je cpyHKD;Hja j(x) KOHB8KCHa Ha D;eJIOM IIpHpO,II;HOM
,n;oMeHy. IIpeBojHHX Ta"tiaKa oBa cpyHKD;Hja HeMa.
Ha OCHOBY CBHX OBHX rro,n;aTaKa MOIKeMo rrpH6JIHIKHO ,n;a Han;pTaMo rpa
cpHK oBe cpyHKD;Hje. OH je rrp:wma3aH Ha CJIHD;H 6.2.
J'
2
f2
-3 -2 2 -~
C.mu~a 6.2
(n;) <I>yHKD;Hja f(x) = x arctgx je ,n;ecpHHHCaHa Ha n;eJioj peaJIHOj rrpaBoj
If rrapHa. CTora neMO je IIOCMaTpaTH caMO 3a Bpe,n;HOCTH X~ 0. 0"tiHrJie,n;Ho je f(O) = 0 II f(x) > 0 3a x > 0. JlaJLe je
lim f(x) = ~ lim x = +oo. x-++oo 2x-++oo
BEJKBE 113 AHAJI113E I
<l>yHKIJ;lij a j (X) j e CBY ,n;a ,Il;IIcpepeH:o;IIj aO:tUIHa II IIpiiTOM j e
!'(x) = arctgx + x ~ > 0 1+x
75
3a X > 0 II j'(O) = 0, rra je X = 0 je,n;IIHa CTaD;IIOHapHa Ta"tiKa OBe cpyHKD;IIje.
KaKo je cpyHK:o;IIja f(x) CTporo pacTyna Ha IIHTepBaJiy (0, +oo), II 36or rrap
HOCTII, CTpOrO orra,n;ajyna Ha IIHTepBaJiy (-oo,O), CJie,IJ;H ,n;a je Ta"tiKa X= 0
Ta"tiKa JIOKaJIHOr MIIHIIMyMa OBe cpyHKD;IIje. KaKO je j(x) > 0 3a X=/= 0, CJie,IJ;II
,n;a je OBa Ta"tiKa II Ta"liKa aiiCOJIYTHOr MIIHIIMyMa IIOCMaTpaHe cpyHKD;IIje.
llaJLe IIMaMo ,n;a je:
f(x) = arctgx--+ ~' (x--+ +oo), X 2
1r · 1r arctgx- 7r/2 f(x)- 2x=x(arctgx- 2)= ., ,
rra je Ha OCHOBY JIOIIIITaJIOBOr rrpaBIIJia:
lim [f(x)- 1rx] = lim x-++oo 2 x-++oo
1
1 + x2 1
x2
x2 lim = -1.
x-++oo 1 + x 2
CTora je rrpaBa y = 1rxj2-1 Koca aciiMIITOTa oBe cpyHK:o;IIje y Ta"I.IKH +oo,
II 360r rrapHOCTII OBe cpyHKD;IIje TaKol)e rrpaBa y = -1fXj2 -1 KOCa aCIIMIITOTa
OBe cpyHKD;IIje y Ta"I.IKH -00.
KaKo je ,n;aJLe
1 1 + x 2- 2x2
f"(x) = 1 + x2 + (1 + x2)2
2
1 1- x2 - + -,--------
1+x2 (1+x2)2
1 + x 2 + 1- x 2
(1 + x2)2 (1 + x2)2 > 0,
3a CBaKo x E R, cJie,n;H ,n:a je cpyHK:o;Hja f(x) CTporo KOHBeKCHa Ha :o;eJioj rrpaBoj
R. CTora oHa yorrmTe HeMa rrpeBojHIIX Ta"tiaKa.
Ha OCHOBY OBIIX IIO,ll;aTaKa, MO>Ke ce IIpii6JIII>KHO Ha:o;pTaTH rpacpiiK OBe
cpyHK:UIIje. OH je rrpe,n;cTaBJLeH Ha CJIII:UII 6.3.
76 BEIKBE l13 AHAJII13E I
;:
-3
C.TIHRa 6. 3
( ) ""' . f ( ) sin x . . ,I( '±'YHKIJ;11Ja X = Je Qq11rJie,l(HO .l(eqmH11CaHa Ha :o;eJIOJ pe-
2 + cosx aJIHoj npaBoj, HenapHa je, 11 nep110.l(11qHa ca nep110,l(OM w = 27r. Oc11M Tora
oHa j e oq11r Jie.l(HO 11 ,l(11£flepeH:o;11j a611JIHa Ha :o;eJioj peaJIHoj npaBoj. 0 ,l(aB,l(e
CJie,l(11 ,l(a je ,l(OBOJLHO 11CII11TaT11 H>eH TOK Ha 11HTepBaJiy [0, 1r], q11Me 360r O
C0611He H€IIapHOCT11 ayTOMaTCK11 .l(0611jaMO 11 H>eH TOK Ha 11HTepBaJiy [-rr, rr]. 36or OC0611He nep110)l_11qHQCT11, T11Me je IIOTIIYHO O,l(pel)eH H>eH TOK 11 3a CBe
OCTaJie Bpe.l(HOCT11 IIpOMeHJL11Be X •
.llaKJie Hajnpe IIOCMaTpaMO H>eHe Bpe,l(HOCT11 Ha 11HTepBaJiy (0, rr]. l1Ma
neMO ,l(a je j(O) = j(rr) = 0 11 j(x) > 0 3a X E (0, rr) . .llaJLe je:
j' (X) = COS X ( 2 + COS X) - sin X (- sin X) = (2 +cos x) 2
2 cos x + cos2 x + sin 2 x 2 cos x + 1
( 2 + COS X) 2 - ( 2 + COS X) 2 '
na cy CTaiJ;110HapeHe TaqKe OBe £flyHKIJ;11je O.l(pel)eHe je,l(Haq11HOM COSX = -1/2. 0.l(aB,l(e ,l(0611jaMO ,l(a je je.l(11Ha CTaiJ;110HapHa TaqKa OBe £flyHKIJ;11je Ha 11HTep
BaJiy [0, rr] TaqKa x = 2rr /3.
KaKo je ,l(aJbe f'(x) > 0 3a 0 :::; x < 2rr/3 11 f'(x) < 0 3a 2rr/3 < x :::; rr, cJie,l(11 ,l(a je £flyHK:o;11ja f(x) cTporo pacTyna Ha 11HTepBaJiy (0, 2rr/3) 11
cTporo ona,l(ajyna Ha 11HTepBaJiy (2rr /3, rr). CTora OHa y TaqK11 x0 = 2rr /3 11Ma JIOKaJIH11 MaKC11MYM y TaqK11 X= 2rr/3 11 OH 113HOC11 j(xo) = )3.
KaKo je OBa £flyHK:o;11ja nep110,l(11'!Ha 11 HeKOHCTaHTHa, MOJ-Ke ce ,l(OKa3aT11
.l(a OHa HeMa KOC11X aC11MIITOTa. Ocmvt Tora, KaKo je ,l(e£fl11H11CaHa 11 HenpeK11k
Ha Ha IJ;8JIOj peaJIHOj IIpaBOj OHa H8Ma H11 BepT11KaJIH11X aC11MIITOTa.
BEIKBE I13 AHAJII13E I 77
rpacf>HK OBe cf>YHKD;Hje je rrpe,n:cTaBJbeH Ha CJie,n:enoj CJIHIJ:H.
O,n:aKJie CJie,n:H ,n:a j e rrpaBa y = X+ 3/2 KOCa aCHMIITOTa OBe cf>yHKO:Hj e y Ta"t!KH
+oo. <l>yHKO:Hja je ,n:H<jlepeHO:Hja6HJIHa Ha n:eJIOM ,L(OMeHy H IIpHTOM je
f' (X) = 2x: 1 v 1 + X 3 .
X
78 BEJKBE 113 AHAJIM3E I
3a x > 1/2 je f'(x) > 0, a 3a x < 1/2 je f'(x) < 0, n ocnM Tora
je f'(x) = 0 3a x = 1/2, na je x = 1/2 je.n;nHa cTa:o;noHapHa Ta"tiKa .n;aTe
cpyHK:o;nje. KaKo je cpyHK:o;nja f(x) cTporo ona.n;ajyna Ha HHTepBaJiy (0, 1/2), H CTporo pacTyna Ha HHTepBaJiy (1/2, +oo), cJie.n;H .n;a je Ta"tiKa x = 1/2 Ta"tiKa
JIOKaJIHOr MHHHMyMa OBe cpyHKD;Hje. KaKO je .n;aJLe j(x) > 0 3a X > 0, CJie,IJ;H .n;a
je OBa Ta"tiKa H Ta"tiKa anCOJIYTHOr MHHHMyMa ITOCMaTpaHe cpyHKD;Hje . .ilaJLe
je
3 > 0, f"(x) = 4-H=x5=-y-1 + x
3a CBaKO X E D, O,IJ;aKJie CJie,IJ;H .n;a j e cpyHKD;Hj a CTpOrO KOHBeKCHa Ha "tiHTaBOj
o6JiaCTH D. CTora oHa HeMa npeBojHHX Ta"tiaKa.
Ha OCHOBY .n;o6HjeHHX no.n;aTaKa, MOJKe ce npH6JIHJKHO Ha:o;pTaTH rpacpHK
OBe cpyHKD;Hje (BH,IJ;eTH CJI. 6.5).
·2 -l Ol _1. l 2
2
CJmRa 6.5
X
4 5
(cp) !f?yHKD;Hja j(x) = 21/x je .n;ecpHHHCaHa 3a CBe Bpe.n;HOCTH X=/= 0, na je
lheH .n;oMeH cKyn D = R \ {0} = ( -oo, 0) U (0, +oo). !f?yHK:o;Hja HHje HH napHa
HH HenapHa H HeMa peaJIHHX HyJia jep je f(x) > 0 3a cBaKo =/= 0. lia.lhe je
lim 21/x = lim 21/x = 1 x-l--oo x-++oo '
na je y = 1 XOpH30HTaJIHa aCHMITTOTa ,IJ;aTe cpyHKD;Hje. !f?yHKD;Hja HMa H Bep
THKaJIHY aCHMITTOTy X= 0 aJIH CaMO ca .n;ecHe CTpaHe jep je:
lim 21/x = 0, lim 21/x = +oo. x-+-0 x-++0
liaTa cpyHKD;Hja je ,ll;HcpepeH:o;Hja6HJIHa Ha "tiHTaBOM ,ll;OMeHy H npHTOM je
f'(x) = -21/xln2 2 0
X
BEIKBE H3 AHAJIH3E I 79
KaKo je f'(x) < 0 3a cBaKo x =!= 0, cpyHKil;I-Ija je cTporo orra,n;ajyna Ha
l.UITaBOM ,Il;OMeHy H HeMa CTaiJ;HOHapHHX Tal.!aKa . .llaJLe HaJia3HMO ,n;a je
f"(x) = 21/x1n 2 2x + ln 2 X
KaKo je f"(x) < 0 3a x < -(ln 2)/2 n f"(x) > 0 3a x > -(ln 2)/2, ,n;aTa
cpyHKIJ;Hj a j e KOHB€KCHa Ha HHT€pBaJiy (-I~ 2, +oo), H KOHKaBHa Ha HHT€pBaJiy
( -00, - 1~ 2). Y Tal.!KH X = l~ 2 HMa rrpeBOj. Ha OCHOBy OBHX IIO,IJ;aTaKa MO/Ke
ce rrpn6JIHIKHO Ha:o;pTaTn rpacpnK oBe cpyHK:o;nje. OH je rrpnKa3aH Ha cJin:o;n
MoiKe ce JiaKo Bn,n;eTn ,n;a OBa cpyHK:o;nja HeMa peaJIHHX HyJia. 0Ha je x-2 x-2 .
II03HTHBHa 3a -- > 1, O,Il;HOCHO 3a X< -1, a HeraTHBHa 3a -- < 1, TJ. x+1 x+1
3a x > 2 . .llaJLe je
lim f(x) = 0, lim f(x) = 0, x~-oo x~+oo
rra je x-oca xopn30HTaJIHa acnMrrTOTa OBe cpyHK:o;nje. TaKol)e ce MOiKe JiaKo
BH,Il;€TH ,n;a OBa cpyHKIJ;Hja HMa H BepTHKaJIHe aCHMIITOTe, H TO cy rrpaBe X= -1
n x = 2, jep je
lim f(x) = +oo, lim f(x) = -oo. x~-1-0 x~2+0
80 BEIKBE 113 AHAJII13E I
<l>yRKUHj a f ( x )j e .IJ;HcpepeR:u;nj a6HJIRa Ra .IJ;OMeRy D, a H>eR rrpBH H3Bo.n;
rJiacn
f' (X) = , _3, , ,
OR je II03HTHBaR 3a caaKo x E D, rra cpyRK:o;Hja CTporo pacTe Ra caaKOM o.n; HRTepaaJia ( -oo, -1), (2, +oo). CTa:u;noRapRnx Ta"tmKa ReM a. llpyrn H3BO.n;
OBe cpyRKD;llj e r JiaCH
"( ) 3(1- 2x) f x = (x + 1)2(x- 1))2).
O.n;aa.n;e ce JiaKo RaJia3H .n;a je ORa KORBeKcRa Ra HRTepaaJiy ( -oo, -1), n KORKaBRa Ra HRTepaaJiy (2, +oo). IlpeaojRnx Ta"tiaKa ReMa. Ha CJIH:UH 6.7 je rrpn6JIHJKRO Ra:o;pTaR rpacpnK oae cpyRK:o;Hje. D
) r~ ____-/
-:S -5 ~ -3 -2 -1/ a/ ~ f 7 : ~ .I
-1
-2
-3
-4
CJIH:Ka 6.7
3Al{ATAK 71. Hcnumamu mo,. u nav,pmamu zparfiu,.e c:aeae1iux rfiyn,.V,UJa:
(a)
(.n;)
y = e11x- x; (6) cosx
Y = . (e) 3 + sinx'
y=x-2arctgx; (:u;) y=arth(1+2x);
y = ln ( 2 + x) - ln ( 3 - x) .
Pemelbe. (a) OcTaBJl>a ce 3a caMOCTaJiaR pa.IJ;.
(6) <l>yRK:o;nja f(x) = x- 2 arctg x je O"t!HrJie,n;Ro .n;ecpnRncaRa Ra :u;eJioj
pea;moj rrpaaoj, RerrapHa je, H 6ecKoRa"tiRO .n;HcpepeR:o;Hja6HJIRa Ra R. IlocMa
rra je 3a X E ( -1; -1/2), f"(x) < 0, H cpyHK:qHja je CTporo KOHKaBHa. 3a
X E (-1/2;0) HMaMO ,n;a je j"(x) > 0, rra je cpyHKnHja j(x) CTpOrO KOHB8KCHa.
TaqKa x = -1/2 je oqHrJie,n;Ho rrpeBojHa TaqKa oBe cpyHKnHje.
(,n;) llaTa cpyHK:qHja je oqHrJie,n;Ho ,n;ecpHHHCaHa Ha :qeJioj peaJIHoj rrpaBoj
H rrepHO,IJ;H'!Ha Ca rrepHO,IJ;OM 27r, rra j e ,Il;OBOJhHO HCIIHTa Tll IL8HO IIOHaiiiaiLe
82 BEIKBE 113 AHAJII13E I
Ha HHTepBaJiy [0, 27r]. I1MaMO ,n;a je j(O) = j(27r) = 1/3, 3aTHM j(x) > 0
3a x E (0,7r/2) U (37r/2,27r), n f(x) < 0 3a 7r/2 < x < 37r/2. IIpnTOM je
j(7r) = -1/3. K . J'( ) 3 sinx+l/3 rh • • aKo Je x = - (3+sinx) 2 , Henocpe,n;Ho CJie,n;n ,n;a 't'YHKD;HJa aKo Je
x1 E (7r,37r/2) TaKBO ,n;a je sinx = -1/3 n x2 E (37r/2,27r) TaKBO ,n;a je sinx2 = -1/3, Ta,n;a je f'(x) < 0 3a x E (O,x1), na cpyHKn;nja f(x) y HHTepBaJiy (O,x1) cTporo ona,n;a. llaJbe je 3a x E (x1, x2), f' (x) > 0, na cpyHKn;nja y HHTepBaJiy
(x 11 x2) cTporo pacTe. OcnM Tora je 3a x E (x2, 27r) ncny:a,eHo J'(x) < 0, na cpyHKn;nja y HHTepBaJiy (x2, 27r) cTporo ona,n;a. CTora OHa Ha HHTepBaJiy
[0, 27r] HMa aiiCOJIYTHH MHHHMYM y Ta-.:mn x 1 j(xl) = -../2/4 < -1/3, a y
Ta"t.J:Kll x 2 aiiCOJIYTHH MaKCHMYM j(x2) = V2/4 > 1/3.
(e) Henocpe,n;Ho ce Bn,n;n ,n;a je ,n;aTa cpyHKn;nja ,n;ecpnHncaHa 3a x > -2 n
x < 3, ,n;aKJie Ha HHTepBaJiy ( -2; 3). IIpnTOM ce JiaKo ,n;oKa3yje ,n;a je f( -2 + 0) = -00 ll j(3-0) = +oo, na cy npaBe X= -2 ll X= 3 BepTHKaJIHe aCHMIITOTe
oBe cpyHKn;nje. OcnM Tora, cpyHKn;nja f(x) HeMa Kocnx HJIH xopn30HTaJIHHX
aCHMIITOTa jep HHje ,n;ecpHHHCaHa y Ta"t.J:KaMa +oo HJIH -00. 0Ha HHje Hll
napHa HH HenapHa. llaJbe je f(x) < 0 3a x < 1/2, f(x) > 0 3a x > 1/2 n