ﻞﻣﺎﻜﺘﻟا§لتكامل والتفاضل.pdf1 ﻞﻣﺎﻜﺘﻟا ﻲﺋاﺪﺘﺑا ناﺮﺘﻗا ﮫﻧا sl ناﺮﺘﻗﻻا ﻦﻋ لﻮﻘﻧ fh ةﺮﺘﻔﻟا

1

التكامل لیكن ق اقتران متصل على الفترة : تعریف f h نقول عن االقتران s l انھ اقتران ابتدائي

لالقتران ق اذا تحقق s r s l الجل كل f h s نتیجة كل اقتران من الشكل [ s l s g ھو اقتران ابتدائي لالقتران ق

نا ندعو االقتران حاصب [ s l s g معكوسة المشتقة لالقتران s r مثال االقتران 31 s s s l القتران ھو معكوس لمشتقة ا 2s s3 s r

الن s r s l واالقتران 2s s3 s r متصل على ح دعى االقترانن s l القتران معكوسة لمشتقة ا s r رة على الفت f h

لقتران بالتكامل غیر المحدد ل s rب ویرمز لھ s] s R s l

التكامل غیر المحدد إشارة وندعو s r االقتران المكامل s] العنصر التفاضلي نتائج

١- [ s l s] s l

٢- ]s r s] s r

s]

) كذلك االشتقاق واالقتران االبتدائي متعاكستان (التكامل والتفاضل عملیتان متعاكستان : مثال

اذا كان 21 s3 s s] s r جد 2 r 2 r نشتق الطرفین : الحل

2 ] ]1 s3 s s] s r

s] s]3 s2 s r

1 3 2 2 2 r

2 s r

2 2 r

اذا كان : مثال 2 31 sh s s] s2 s r وكان 5 1 r 2 r

و h جد قیمة 4 r 0 r الحل نشتق الطرفین نجد

2

2

sh2 s3 s2 s r

1 h2 1 3 1 2 1 rh2 3 2 5

h 2

نكامل الطرف االول نجد

2

2 3

2 3 2

2 3 2

1 s2 s s] s2 s r

1 s2 s s s r

1 02 0 0 0 r1 0 r

2

2

s4 s3 s2 s r

4 4 4 3 4 2 4 r

56 4 r

جدول التكامالت

1 kk

2 2

2 2

[ s] 0

[ sh s]h

s1 k [ h s] sh

1 k

[ s s]s

[ s s]s

[ s s]s s] s

[ s s]s s] s

[ s s]s s

[ s s]s s

s s

i

[ i s] i

1[ s s]

s

i 271828 لھ في یدعى العدد النیبري ویرمز

)(e المراجع

تكتب الجذور والكسور كقوى األس فیھا عدد نسبي :مالحظة k

ii kf f و kk1 ff

ذلك أمكن إذا مجموع إلى كما یحول حاصل الضرب

قواعد التكامل غیر المحدد

s] s r h s] s rh

s] s i s] s r s] s i s r 2

h ثابت حقیقي

3

التالیةاالقتران اوجد تكامل كل من :تدریبات

43

3122

12

2

725

525

52 133 3

3

4 2 3

5 33 12 22 2

[ s2 s]2

s[ 2 s] s2

4

s[ s] s s]s3

2s 2[ 2 s] s2 s]

1 s

s[ s] s s] s7

5

s2 s2[ s] s2 s] ss2 s]5 s

31

[ s s s2 s] s4 s 22

s s[ 2 s] s s2 s] s 2s5 32 2

[ s

12

23 5 2 4 2

22

2

2

2 22

22

s2s2 s2 s] s 2 s]s

2 1[ s s s s] 1 s2 s s] 1 s

3 51 s4 s

[ s4 s s] 4 s s]22 s

s s[ s s]s s] 2

2 2

[ s s2 s] s 2

1 1 1 1[ s s]s s] s]

2 2 s 2 s2 1s ss]s 4 s] s]1s

4

2

2 2

2

s 1s] s ss s2 22 2

[ s s 4 [ s s 4 s] 1 s 4

4

)تغیر المتحول ( التعویض التكامل ب احدھما مشتق اآلخر من الشكل ن قد یكون لدینا تكامل اقتران ھو حاصل ضرب اقترانیی :مالحظة

ks] s r s r

ھنا نفرض s r w اذا w]s r

s] وبالتالي s] s r w]

1 k

k kw[ w] w s] s r s r

1 k

على كل من ةوتطبق ھذه الطریق

w s r

i

2

2

[ i s] i s r

s r[ w s]

s r

s r[ s]w

2s r

[ w s] s r s r

[ w s] s r s r

[ w s] s r s r

[ w s] s r s r

[ w s] s r s r s r

[ w s] s r s r s r

حیث s r w )األولى س من الدرجة أساسيشرط ب( وتطبق على كل من

1 kk

2

2

w[ s] f sh

1 k h1

[ w s] f shh1

[ w s] f shh1

[ w s] f shh

1[ w s] f sh

h1

[ w s] f sh f shh

1[ w s] f sh f sh

h

5

w F sH

i

1[ i s] I

h1 1

[ f sh s]h f sh

من االقترانات المركبة مثل وتطبق على كل s is i i s i s i s i s i s i s i

مالحظة من اجل تكامل حاصل ضرب نسبتین مثلثیتین نستخدم قوانین التحویل من ضرب الى مجموع وھي

1] [ ] [ ] [

21

] [ ] [ ] [21

] [ ] [ ] [21] [ ] [ ] [2

الزاویة من اجل تكامالت مربعات النسب المثلثیة نستخدم قوانین ضعفي2 2

2 2

[2 [ [[

2 2 2[2 [ [

[2 2 2

جد التكامالت اآلتیة : تدریبات

42 2 3

2 2 2 3

5 2 3 54

5 2

2

6 2 65

s] s2 s 1 s3 s 1

1s] s2 s w] s] s6 s3 w] 1 s3 s w

3

1 s3 s w 1 1[ [ w] w

15 5 3 3

s] 1 s s 2

1s]s w] s]s2 w] 1 s w

21 s w 1

[ [ w] w12 12 2

6

2

122

2

2

12 1

22

ss] 3

1 ss

s] 1 s s s]1 s

1s]s w] s]s2 w] 1 s w

2

w1 1[ [ [ w] w1 s w 1 2 2

2

1010 5 2

910

9

3 2

2

23

2 32

2

2

2

i i

1 1s] 1 s s] s] 4

1 s 1 s2 ss] w] 1 s w

1 w[ [ w] w

91 s 91 s2

s] 51 s s

s] 1 s2 w] 1 s s w

1 w 1[ [ w] w w]2 w1 s s 2

3 s2s] 6

1 s3 ss] 3 s2 w] 1 s3 s w

1[ 1 s3 s [ w w]

w

كل اقتران كسري البسط فیھ مشتق المقام تكاملة لوغاریتم القیمة المطلقة للمقام سندرسھ بشكل

لمفص

2

2

5 s3 s

2

5 s3 s w w

s] i 3 s2 7

s] 3 s2 w] 5 s3 s w

[ i [ i w] i

3

4 43

s]s s 8

s]s w] s w

s w[ [ w] w

4 4

7

3

4 3

55 4

s]s s2 9

s]s s 2 s]s s s 2

s]s w] s w

2 w[ s [ 2 w] w 25 5

s

s w w

s] is 10

s]s w] s w

[ i [ i w] i

2 2

s]s2 11

s]s s 2

s]s w] s w

[ s [ w w]w2

1او مباشرة [ s2 s]s2

2

52

2 2

1 3 542 22 2 2

s] s 122 s

1s]s w] s]s2 w] 2 w s 2 s w21 1 1w] w4 w4 w w] 2 w s]s s2w 2 s2 2 2

3 5 72 2 2w w w

[ 4 43 5 7

2 4

2

5 54

s]s s 13

s]s w] s w

s w[ [ w] w

5 5

2 2

2

2

s] s2 1 s2 1 s 14

1s]s w] s]s4 w] s2 1 w

41 1 1

[ s2 1 [ w w] w w4 4 4

55 6 3 2

1 1 s 1 ss] 1 s s] s] s] 15

1 s 1 s 1 s2 s

s] w] 1 s w

8

5 5

6

1[ w] w s] 1 s1 s 6

2

2

22

ss] 16s

s] w]w2 s w wsw

[ 2 [ w 2 w]w 2 w]w2sw

77 7

2 2 9

2

887

s 11 1 s 1 1s] 1 s] s] 17

s ss s s1 1

s] w] 1 wss

s 1 1 w[ [ w] w

s 8 8

33 2 3 7 24 4 33 3

3 4

4 443 1333 4 3

s] s] s] 18s s s s s1 s 1 s s

s4 w] 1 s w

1 s w 1[ 3 [ 3 w] w s] s1 s16 16 4

2

2

2

s] s s 19

s]s2 w] s w1 1 1[ s [ w w]w2 2 2

s] s s 20

s]s w] s w

[ s [ w w]w

2

2

2

s] 1 s s s2 21

1 s2 w] 1 s s w

[ 1 s s [ w w]w

9

s]s2 s2 22

s]2 w] s2 w1 1[ s2 w]w w2 2

2 2

2

2 2

s] 1 s s 23

s]s2 w] 1 s w1 1[ 1 s w]w2 2

مجموع الى ضرب من االنتقال قوانین نطبق مثلثتین نسبتین ضرب حاصل

2 2

1 1s] s s5 s] s s5 s]s3 s2 24

2 21 1

[ s s55 2

1 1s] s s5 s] s s5 s]s3 s2 25

2 21 1

[ s s55 2

1 1s] s2 s6 s] s2 s6 s]s4 s2 26

2 21 1 1[ s2 s62 6 2

s ss s0 s] s] s s] s2 2 s 12 2 22 2

3

32

2

27

s 1 sw] w

2 2 2s

w2[ 4 [ 4 w]2 w2 2 23 3

1 1 1 1[ s2 s s] s2 s]s 28

4 2 2 2

10

22 4

2

22 4

1 1 1 1 1s] s2 s2 s] s2 s]s 29

4 2 4 2 21 1 3 11 11 1 1s] s4 s2 s] s4 s28 2 8 24 24 2 4

1 1 3[ s4 s2 s

32 4 81 1 1 1

[ s6 s s] s6 s]s3 3012 2 2 2

1 1 1 1 1s] s2 s2 s] s2 s]s 31

4 2 4 2 21 1 3 1[ s4 s2 s s] s432 4 8

1 3s28 2 8

الحاالت الخاصة

نطبق القاعدة

1 k

kf sh[ s] f sh

1 k h

3

4 43 3

12

312

3 22

34

4

1322

i

s] 1 s2 32

s]2 w] 1 s2 w

1 s2 w 1[ [ w] w s] 1 s2

8 8 2

s] s 1 s] 33s 1

s] w] s 1 w

2 w[ [ w] ws 1 33

21 s2 1

[ s] 1 s2 s] 346 1 s2

1 s2[ [ s] 1 s 3511 s

23 3

[ 1 s2 s] 32 1 s2

321

2

6

s] 1 1 s] 37s s1 s 1 s

s] s] 1 s1 s 1 s 1 s 1 s

11

3 52 2

3 51 32 22 2

3 2 3 2s s

2 21 s 1 s[3 5

1s] 2 s] 38s s2 2s 1 s 121s] 1 2 1s2s 1 2

2 1 2 2 1 21 1 1s s[ s] 2 1 2 1s s3 2 5 2 2

1[ i s] i 392

1[ 4 s2 s] 4 s2 402

1 1[ s6 s]s6 s]s3 s3 41

12 2

22

222

i i

i

s]s s 42

ss]s w] s] w] s w

s

s w[ [ w]w

2 2w s[ w w w] 1 w 2 w]w2 s] 43w s

[ s s

s] 4 s2 44

s]2 w] 4 s2 w

w1 1 1 w 1 1[ 4 s2 [ w w] w] w]w2 2 w w

s] s2 45

s]2 w] s2 w

1[ s22

w 1 w 1 1w] w] w]w2 2 2w w

4 42 28s] 2 s 16 s] 4 s4 s 16 s] 8 s8 s2 46 9 2 s

[9

s 2s] is 47 S

12

22 s

s]s w]w2 s] w] ws2s

w s 2w] iw2 s] is S حیث الشكل بطریقة أخرى مختلفة فقط من الحل لكن ) أجزاء (بالتجزئةھذا التكامل ھو تكامل

w w w

w w w

w w w

w w w

w w w

s s

iw i iw

i iw iw

w] i w] iw w] iw

[ i iw w] iw

[ i2 iw2 w] iw 2

[ i2 i 2s

S S

s2

s s s ss

1 i[ i i s] i i s] 48

i

2ss] is2 49

2s]s2 s]s s 2 w] s w 2 2s w s[ i w] i s] is2

2

i

s s 1[ s s] s] 50

s s

)التجزئة ( جزاء التكامل باأل

لیكن كل من s i s rشتقاق ومشتقھ متصل على الفترة اقتران قابل لال f h

r i i r i r

i r i r r i

s]i r s] i r s]r i

s] i r i r s] r i ویطبق ھذا التكامل باالجزاء على كل من

s

s 2 2 2

i F sh s s F sh s F sh

i s s s s s s

ب اقترانین فھو كل تكامل القتران ھو حاصل ضر

حول الى مجموع تاما ان ی -١

13

او ان یكون حاصل ضرب اقترانین احدھما مشتق االخر -٢

1 kks I

[ s] s I s i1 k

وھذا تكامل بالتعویض

او نستخدم التكامل باالجزاء -٣ s] i r i r s] r i ن نستطیع ان نشتق احدھما وان نجد االقتران االبتدائي لآلخر اiعلینا حین نختار االقتران ق و

)٤٧ (

w s 2

w w

w w w

w w

w] iw2 s] is

w]2 r] w2 R

i l w] i l]

w] i2 iw2 w] iw2

[ i2 iw2

S

s2s] is 1

s2 s2

s2 s2 s2 s2 s2

s] r] s r1

i l s] i l]2

1 1 1 1[ i is s] i is s] is

4 2 2 2

s4

s4 s4

s4 s4 s4 s4 s4

s] is 2

] r] s r1

i l s] i l]4

1 1[ i is s] i is s] is16 4

s 2

2

s s

s s 2 s 2

s

s s

s s s s s

s s s 2 s 2

s] i s 3

s]s2 r] s r

i l s] i l]

s] is2 i s s] i s

s] is2

s]2 g] s2 g

i t s] i t]

[ i2 is2 s] i2 is2 s] is2

[ i2 is2 i s s] i s

14

2

2

2 2

s]s3 s 4

s] r] s r1s3 l s]s3 l]3

1 1 1 1[ s3 s3 s s]s3 s3 s s]s3 s9 3 3 3

s]s2 s 5

s]s3 s 6

s]s2 r] s r1s3 l s]s3 l]3

2 1s]s3 s s3 s s]s3 s3 3

s]s3 s

s] g] s g1

s3 t s]s3 t]3

1[ s3 s

9

2 2

1 1 13 s s]s3 s3 s s]s3 s

3 3 312 1 2 1

[ s3 s3 s s3 s s]s3 s93 3 3 3

2

2

2 2

2

s]s3 2 s 7

s] 2 s 2 r] 2 s r1s3 i s]s3 i]3

2 1s]s3 2 s s3 2 s s]s3 2 s

3 3

s]s3 2 s

1s3 t s]s3 t] s] g] 2 s g

31 1 1

s3 2 s s]s3 s3 2 s s]s3 2 s3 3 3

1s3

92 1 2

[ s3 s3 2 s s3 227 3 3

21s s]s3 2 s

3

مشتق ما بعد اللوغاریتم على ما بعد اللوغاریتم = اللوغاریتممشتق

i

s rs r

s r

15

i

2

i

22 2 2

i i i

s]s3 s 8

1 1s i s]s i] s] r] s3 r

2 ss 1 1 1 1 1[ s3 s s] s s3 s s]s3 s2 2 2 2s 2

2

2

2 2

2 2

2 2

s]s3 9s

s] s3 10

2s i s]1 i] s] s3 r] s3 r

s

s] s3 s3 s s] s3

s] s3

1s t ]1 t] s] g] s3 gs

1s s3 s s]s s3 s s] s3

s2

s] s3 s s3 s s] s3s

[ s2 s3 s s3 s s] s3

ss] 11

s

s]

2 s3 12

2

22

22 2 2

2 2

2

2

s] 1 s 13

s2s i s]1 i] s] r] 1 s r

1 ss2 s2

s] 1 s s s]s 1 s s s] 1 s1 s 1 s

s2s]

1 s

یض وھنا سنحتاج لالقتران العكسي وھو من اجل التكامل االخیر نستخدم طرقة التعو: مالحظة

خارج المنھاج ومع ذلك ساكمل التدریب 21لو كان المقام s نقسم البسط على المقام ثم نفرق الكسور سنرى ذلك فیما بعد

2w]wبفرض s] w s نعوض في التكامل

2

2 2 22

w[ w w w] 1 w w]w w]w

1 w[ w s

16

w مشكلة ان نعوض بدل ص ما یساویھاال s

s

s s

s s s

s

s s

s s s

s s s

s]s3 i 14

1s3 l s]s3 l] s] i r] i r3

1 11 s]s3 i s3 i s]s3 i

3 3

s]s3 i

1s3 t s]s3 t] s] i g] i g

31 1

2 s]s3 i s3 i s]s3 i3 3

1 1 1 1s]s3 i s3 i s3 i s]s3

3 3 3 3

s

s s s s

s s s

s s s

i

1 1 1 1s]s3 i s3 i s3 i s]s3 i

9 3 3 31 1 11

s3 i s3 i s]s3 i9 3 91 3

s3 i s3 i s]s3 i11 11

s3s]s2 i 15

w w

w

s] s2 16

s]2 iw] i s2 s2 w1w]w i2

) ١٤( ھذا االقتران في التمرین انكاملسبق ان

w w w

w

s] s2 17

1 s] 1w] i s] w] 2 i s i s2 w s2

2 s 21

w] i w s] s22

17

2

2

2

2

i

2

2

2

i

s]s s 18

s s i s]s i] s] r] s r

s s s s] s s s s s s]s s

ss] s

s1

[ s s s s s2

s s i s]s i] s] r] s r

s]s s 19

s i s]s i] s] r] s r

[ s s s s] s s s

2s]s s

s

2

s s2

ss s ss

2

iss] 201 s

1 1l s] l] s] i 1 s r] is r

1 s 1 s

i 1 sis is is[ i s] s]

1 s 1 s 1 s 1 s

33 22

3 32 2

5322

s] s 211 s2

1 s211 s2 i s] i] s] r] s r1 s233 2

21 11 s2 1 s2 s s] s1 s23 3

1 s2 1 11 s2 s5 3 32

2

s] 22s

1 s ss]s2 s s]s s s s] 23

2 s1

s2 i s]s2 i] s] r] s r2

ثم نكمل الحل

33

s ss]s s s s] 24

s

18

3 3

22

2

2 2 2 3

s]s s i] s]s s i]s] r] s r

1 1 1 ss i

2 2 2s1 1 1 1[ s s s s]s s s s]s s s2 2 2 2

13

3

44 133 3

4 4 13 3 3

7433

s3s] s3 s] 251 s2

1 s2

3 1 s2 i s] i] s] r] s3 r1 s2 1 s248 23

3 3s] s3 s] s31 s2 1 s2 1 s2

8 8

3 31 s2[ s31 s27 8 823

3

3 3 3

43 3

4 4 44 3

4

s] 26s s

1w]w2 s] s] w] ws

2s

w]w w w2 w]w2w w s]s s

ww]w w w]w w i]w]2 r] w2 r

41 w w ww]w w2 w] w2 w]w w w24 4 4 4

1 1 3 1 w[ s4 s2 s w232 4 8 4 4

2

32 2

33 2 2 22

5 32 2

s] s 271 s

1 s2 i s] i] s]s2 r] s r1 s

3

1 s4s] 1 s s 2 s s] s1 s3 3

1 s 1 s 4 44 l s] 2 l]s] g] s g15 3 3 3

19

55 322 2

7 5 7 52 2 2 2

7 5 32 2 2 2

1 s16 4 4s] 1 s 4s s] 1 s s

45 15 3 3

1 s 1 s 1 s 1 s32 4 32 44s 4s

7 45 15 3 7 45 15 3

1 s 1 s 1 s32 4[ 4s 2 s

7 45 15 3 3

53

2 3 3

12 3 53 32

3 5 3 53 32 2 1 32 22 2

s] s 281 s

s] s3 w] 1 w 1 ws s1 1w] w 1 w s] s3 s s] s1 s 1 s3 3

1 s 1 s 2 w w 1 1[ [ 2 2 w] w w3 5 3 3 5 3 3

2 s 3s] i s 29

المحدد التكامل

لیكن ق اقتران متصل على الفترة i ] ولتكن i ] f h ولیكن s l قتران ق لال معكوسة المشتقالفترة على i ] نعرف التكامل المحدد على f h بالشكل

f

h

h l f l s] s r

fندعو h حدي التكامل المحدد ونرمز للتكامل السابق بالشكل f

hh l f l s l

اوجد: مثال

3

3 3 233

11

26 1 3 s s] s3

: اوجد 2

2

00

1 1 0 s s]s

فیما بعد نقدم خواص التكامل المحدد وتطبیقات علیھ

20

قتران اللوغاریتمياال

االقتران لیكن s

s

1

1

11 l s l s l u]

u 1 حیث s

ھذا االقتران یدعى االقتران اللوغاریتمي والذي نرمز لھ ب s وعلیھ نستنتج ان ١- 1

s s ls

الجل كل 0 s

٢- 0 1 1 l اذا s s l

د ساوي الواح ل ت ة التكام ت قیم 1واذا كان s د ل الوحی و الح ة ھ ذه المعادل ل ھ ان ح ف271828 i s وھذا ھو العدد النیبري i وكان من االفضل ان نرمز لھ ب e

i وبالتالي االقتران الناتج ھو االقتران الطبیعي لالساس ویرمز لھ ب

is s r ولھ خواص اللوغاریتم الطبیعي وھي من اجل

i i i

i i i

k

i i

i

i

0 f 0 h

f h f h

hf h

f

h K h

1 I

0 1

كذلك اللوغاریتم مضمون على اللوغاریتم مضمون مشتق یساوي لوغاریتمي اقتران مشتق

i

i

1s

ss r

s rs r

اما التكامل

i

i

1[ s s]

ss r

[ s r s]s r

سندرس التكامل بشكل مفصل

اوجد مشقة كل من : تدریبات

21

23

3 i

22 i

2 2

i i

23

3 i

23

i i

2

i

3 s3s r s s r 1

s ss2 s r 1 s s r 2

1 s1

s s s2 s r s s s r 3s

s ss r s s r 4

ss s r s s r s s r 5s

s 1 s1 s1 ss r s r 6s1 s s s 1s 1

i

ii

11 s 1 s 1 s1 s s r 1 s s r 71 1 1 s s 11 s

1 s s 1

22

االقتران االسي الطبیعي االقتران

i

p 0

s w

الفترة على تماما ھو اقتران واحد لواحد النھ متزاید 0

i

10 s 0 s

s

وبالتالي لھذا االقتران اقتران عكسي ھو االقتران االسي الطبیعي

1

i1

i

0 P

S W

wاذا

ii s s w

sنظریة مشتقة االقتران sw]i i w

s]

االثبات s

i

s

i

w s i w

wi w w 1 w s

w

مشتق s l s li s l s r i s r الطبیعي لألساسخواص القوى

0

1

1

f h f h

hf h

f

ff h h

hkhk

1 i

i i1 ii

i i i

iii

i i

i i

ویمكن ان نستنتج ان

s

is

P s s i

0 s s i

تدریبات اوجد مشتقة كل من

2 2s s s sw]i 1 s2 i w

s]

23

s2

s2

s2

i2 w]w 2i i

s]2i i

s

s s s s s

s w 31

s 1 s i s s w i ws

لتكامل ا

s s

s l s l

f sh f sh

[ i s] i

[ i s] i s l

1[ i s] ih

kتذكرة كل من التكامالت k s k

i is s s i s تكامالت باالجزاء جد التكامالت التالیة

2 2 2

2 2 2

1 s2 1 s2

s s 2 s

2 2

s s 2 s

3 3 3s s s

2

ss2 s s2 s

s2

1[ i s] i 1

21 1

[ i s] i s s] is 2

[ s i s] i 3

[ i s] i s s] is2 3

1 3 1 1[ i s] i s] i 43 s 3 s

1 1 i[ i i s] i i s] 52 i

wswاذا كان s i اثبت ان 2

2

w ws 1 w]s]1 ws s

اخذ لوغاریتم الطرفین الحل من االفضل ان ن

ws ws

i i i

2 2

2 2

2 2

2

2

w s ws w s i w s i

w 1w 1 w s ws w ws ww s

w 1 wws w s w sw

w sw 1 w wws w s

w sw 1 w 1 ws s

w sw 1w

1 ws s

24

كیف نتعامل مع الكسور اذا كان البسط مشتق المقام فان التكامل ھو لوغاریتم القیمة المطلقة للمقام -١ اذا كانت درجة البسط اكبر او تساوي درجة المقام نقسم البسط على المقام -٢ ان نحاول تفریق الكسر یا من الحاالت السابق علینا ااذا لم یكن -٣

: مثال 2فرق الكسر

13 s4 s

نحلل المقام 1

1 s 3 s

م نكتب الكسر بالشكل f h 1

1 s 3 s 1 s 3 s

نوحد المقامات

3 s f 1 s h 11 s 3 s 1 s 3 s

f3 h s f h f3 sf h sh1 s 3 s 1 s 3 s

ر مع البسط االول تطابق بسط الكسر االخی

2

1 11 1 1 1 14 4

1 s4 3 s 4 1 s 3 s 3 s4 s

احسب التكامل

2

i i i

1 1 1 1 1s] s] s]

1 s4 3 s 4 3 s4 s1 s 1 1 1

1 s 3 s3 s 4 4 4

2

2 22 2i i

5 s s2[ 5 s [ 5 s s] s] 1

5 s 5 s

i

s] 1 6[ s 6 6 s] 6 s] 2

s s s

i

1 1 s[ s s s] 1 s] 3

s s

1 f3 h s f h1 s0 f3 h s f h

0 f h1 f3 h

1 1h f 1 f44 4

25

i

i ii i i

1s 1s[ s s] s] s] 4s s s s

) :١(تدریب محلول 2اوجد قیمة التكامل s

s]1 s

نقسم البسط على المقام الن درجة البسط اكبر او تساوي درجة المقام

i

3 1 s3 2 s[ 1 s 3 s s] 1 s] s]

1 s 1 s 1 s

)٢ (s2

s

2 is]

1 i

نقسم البسط على المقام الن درجة البسط اكبر او تساوي درجة المقامs

s s2

s s2

s

s

1 i

1 i 2 i

i i

2 i 0

1 i 03 0 03 0 0

s2s s

s s s

3 3 2 is] s i s] 1 i s]

1 i 1 i 1 i

s لنجد

3s]

1 i

نفرض

s s

s

1 w s 1 w i w 1 iw]

s] w] s] i1 w

s

w] 1 33 s]

1 w w 1 i

تفریق كسور

f w f h f wf wh f h 3

1 w w 1 w w w 1 w 1 w w3 h 3 f,0 f h

s

s

s

3 3 3 1 3w] w] w] s]

w 1 w 1 w w 1 i1 i w

[ 3 [ 3 [ w 3 1 w 31 wi

اذا s s2

s ss s s

1 i 3 2 i[ s i s] 1 i s]

i 1 i 1 i

26

طریقة ثانیة لحساب التكامل

s s s

s s s s

s

i i 1 i 1 3s] 3 s] 3 s] 3 s]

1 i 1 i 1 i 1 i[ 1 i 3 s3

sطریقة أخرى لحساب

3s]

1 iنضرب البسط والمقام ب s i نجد

s ss

s s

i 1 i3[ i 1 3 s] 3 s]

i 1 i 1

مالحظة ھنالك اختالف فقط بالشكل بالنتیجة األخیرة وبعد التبسیط ستكون نفس الشكل () تدریب 3

32

1 ss]1 s

نفرض

2 3 3

32 2

s] w] w3 s w ws

s w

22

2

23 3 32

1 1 1 w 1 ww] w 3 w] 3 w] w3

1 w 1 w 1 w3 3

[ 1 [ 1 w w ws s s2 2

٢- 2 2

2

s ss] s]

2 s s 52 s 1 s

2w] s]s w s

1w]

2 w 1 w

f h2 w f h5 f h 12 w 1 w 2 w5 1 w 2 w 1 w

0 f h55 1f h 1 h7 1 f h27 7

1 5 1 1 1

w] w] w]2 w5 7 1 w 7 2 w 1 w5 5 1[ 2 s 5 1 s [ 2 w5 1 w7 7 7

تمارین ومسائل

s] 1

1 s 4 s

27

f4 h s f h f h 11 s 4 s 1 s 4 s 1 s 4 s

0 f h1 f4 h

1 1h f5 5

1 1 1 1 s]

s] s] 11 s 5 4 s 5 1 s 4 s4 s 1 1 1

[ [ 1 s 4 s1 s 5 5 5

2

1 s4 1 s4s] s] 2

2 s 1 s 2 s sf h2 s f h f h 1 s42 s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s

4 f h1 f h2f 1 h

23 1 1 s4

[ 2 s 3 1 s s] s] s]2 s 1 s 2 s s

مالحظة المتطابقة معادلة صحیحة من اجل كل قیم مجموعة التعویض اما المعادلة فھي صحیحة من لتعویض اجل بعض قیم مجموعة ا

2

2

3 s2s] 3

s s

درجة البسط اكبر او تساوي درجة المقام نقسم البسط على المقام

2 2

2

2

s s 3 s2

s2 s23 s2

2

23 s2 3 s2s] 2 s]1 s s s s

نفرق الكسر

3

2

8 s4 ss] 4

9 s

2 3

3

s

9 s 8 s4 s

s9 s8 s13 0

3

28 s13 8 s4 ss] s s]

3 s 3 s 9 s

نفرق الكسر

28

2

2 2

2

1 2 ss] 51 2 s

w 2 s w 2 sw]w2 s]

2 1 w 1 w w w 1 ww] w] w]w21 w 1 w 1 w

w 2[ 1 s 2 w2 2 w] 2 w

2 1 w

2

2 2

2 2 2 2

ss] 64 s

w s w sw]w2 s]

4 4 4 w w2 w sw] 2 w] 2 w] w]w2 s]4 s4 w 4 w 4 w 4 w

4w] 1

2 w 2 w

تفریق كسور ثم

s3

s s2

s s

2 3 s3

2 2 s s2

is] 74 i3 i

w] s] i w i

w w] w iw] s]w4 w3 w 4 w3 w 4 i3 i

نقسم البسط على المقام ثم نفرق الكسور

2 432

2

22 2

2

2 2

s] s] s]s8

s ss s1 s s

h s[ s f h [ sf h 1s1 s1 s s 1 s s

0 f h0 [

1 f 1 h1 s]s 1 s] s]

[ 1 s s2 2 s1 s 1 s s

29

التكامل المحدد خواص التكامل المحدد

f f

h hf f f

h h h[ f [

f h h

s] s r [ s] s r[ 1

s] s i s] s r s] s i s r 2

s] s r s] s r s] s r 3

4 اذا كانت r i اقترانین قابلین للتكامل على f h وكان ایا كانت f h s فان s i s r

عندئذ [ [

f f

s] s i s] s r

ھذه الخاصة ندعوھا الحصر وھي ھامة أما الخاصة 3 ندعوھا اإلضافة وھي تستخدم في القیم المطلقة واالقتران على فترات المتشعبة

وفي حساب المساحات

h

hh f

f h

0 s] s r 5

s] s r s] s r 6

تطبیق على خاصیة الحصر یمتلك قیمة كبرى مطلقة ك وقیمة صغرى مطلقة م مالحظة اذا كان االقتران

; s r l فان s r

وھنالك نظریة تقول ان كل اقتران متصل على فترة مغلقة ھو اقتران محدود ویبلغ كل من حدیھ االعلى واالدنى

م خواص المتباینات لحصر اقتران علینا ان نستخد مثال احصر التركیب 1

2 s rs

عندما 41 s

12 s r

s1 1

1 41 s4 s

1 1 13 2 1 2 24 4 s

30

مثالاحصر التركیب s s 2 1 s r

2 1 s 2 1 2 s 2 1 s 1 P s

3 s 1

: مثال

احصر التركیب

222 s s rs 4

:الحل

2

2 2

2

40 s 22 s

0 s 4 4 s

0 s 4

احصر التركیب : مثال 0 s s rs4

0 0 0 ss2 2 4

0 1s s

تمارین ومسائل

3 3

32

2 200 0

s2 s0 s] s] h11 11 2 s

22 s 2 s

1

22 2

3 s 1 1[ s] 3 s s] s] f1 3 s 9 s6 s

0 0 00 222

1 1 1 1

s5 s] s] s] i25 s10 s5 s 5 s2

9 14 0

2 2

بین ان 1

1

4 s] s r 0

:الحل

31

2

2

22

1 1 1

1 1 11

1

211 s s r

1 s10 s 11 s2

21 21 s1 s

2 s r 1

s]2 s] s r s]1

4 s] s r 2

3

0

s] s 2

نعید تعریف

3 2 1 0 3

2 1 0 0 03

3 2 12 1 0

03

0

0 s 21 s 0 1

s 22 s 1 03 s 2 1

s]1 s]0 s]1 s]2 s] s 2

s 0 s 0 s] s 2

0 1 0 1 0 s] s 2

مالحظة ھذا التكامل یدعى التكامل المعتل ویجب ان یحل بالشكل التالي

3 2 1 0 3

f 1 h 0 ]f h ] 0 03

f 1 h 0 ] 03

0

s]1 s]0 s]1 s]2 s] s 2

f 3 0 ] 1 0 s] s 2

0 1 0 1 0 s] s 2

32

تدریب اذا كان 2

0

20 s] s2 s r

جد 2

0

s] s r3

الحل 2

0

20 s] s2 s r

2

2 2

00

20 s s] s r

2

02

02

0

20 4 s] s r

24 s] s r

72 s] s r3

مراجعة

جد التكامالت اآلتیة

33 3 3

3 123 2

22 2

2

1 s41s] s] h1 s4 1 s4 1 s436 4

21

27 13136

3 3 377 7

2 2 9

1 1 1

2

44 34 38 733 7

2

2 2 1

1 s1 1 1 s 1s] 1 s] s] f

s ss s s1 1

s] w] 1 wss

4w 3 s 2 w 1 s

3

4 1 w 1 132 w] w s] 13 8 8 s s

33

4 3 4

2 2 2

3 1 14 33 3

3 1

s] 9 s s] 9 s s]9 s [

64 1 s s18 36 9 18 s9 s9

3 3 3 3

7

1

1s] 2 s ]

3

نعید تعریف االقتران 3طول الدرجة g

7 6 3 7

6 3 1 1

3 s 1 21

6 s 3 1 2 s3

7 s 6 0

17 0 3 4 s]0 s]1 s]2 s] 2 s

3

109

9 9

88

8 9

9 9

s] s] ds s1 s s

1 w s w 1 s1

w] s] s] s9 w]s9

w] w] s]1 w w9 s9ws 1 s s

h w f h f h 11 w w 1 w w 1 w w

1 f 1 h,0 f h1 1 w] 1 1 1 w][ 1 w w w]9 9 1 w 9 w 9 1 w w9

1 1[ s 1 s

9 9

اذا كان 23 s2 s s] s r 2 جد 2 r

: الحل نشتق الطرفین

2 ] ]3 s2 s s] s r

s] s]2 s2 s r

2 s r

34

جد كثیر الحدود ) ٣( s r من الدرجة االولى بحیث یكون

3 1

1 1

2 s] s r 4 s] s r

الحل االقتران من الشكل f sh s r

31

113

122

11

2 s] f sh 4 s] f sh

1 12 fs sh 4 fs sh2 21 9 1 12 2 h 2 h 4 f h f h2 2 2 22 2 f 4 f2h 2 h5

5

اذا كان ) ٢ 3 3

1 1

10 s] s i2 6 s] s r جد

1

3

6 s] 4 s2 s r2 s i

:الحل

1

31 1 1

3 3 31 2

3

6 s] 4 s2 s r2 s i

6 s] 4 s2 s] s r 2 s] s i

1 3 3 1 s4 s 6 5

تدریبات )٢ جد 3 k

is] s s حسب خواص اللوغاریتم نجد

k 3 k

i is] s s3 s] s s تجزئة

35

1 k k

i

1 k 1 k k

i i

1 k 1 k2 i

1 1s i s] s i] s] r] s r

1 k s1 1 1s] s 3 s s 3 s] s s 3s 1 k 1 k

1 1[ s 3 s s 3

1 k1 k

2

is] s ]

2

2 2 2

i i i

2

i

1s i s]1 i] s]s 2 r] s r

s1

s]s s s s]s 2s s s s] ss

s2 s s2 s]s

[ s2 s s2 s s

36

المعادالت التفاضلیة

37

لیكن االقتران s r w القابل لالشتقاق مرة واحدة على األقل كل معادلة تحوي مشتقا على االقل لالقتران ق تدعى معادلة تفاضلیة

مثال 0 w w3 w معادلة تفاضلیة من المرتبة الثانیة والدرجة االولى

مثال 3 20 2 w w والدرجة الثانیة معادلة تفاضلیة من المرتبة الثالثة

الحظ ناخذ درجة اعلى مرتبة المعادالت في الكتاب كلھا نموذج فصل المتغیرات : مالحظة

مثال حل المعادلة التفاضلیة 2 2w]2 s] w w]s 2

:الحل

2 2

2 2

2 2

22

22

22

1

w]2 s] w w]s 2

s] w w]2 w]s 2

s] w w] 2 s 2

s] w]w2 s 2

s] w]w1 s 2

s] 1 w]2 ws1 1

[ s2 w

2w

[ s

حل المعادلة \

w]ss]w

[wالحل w]s ss] w]s ws] s]ww

3 3

3 3

3 3

1

s] w]s w

s w[ 2 23 3

3[ s w

2[ s w

كیلو متر على الساعة ١٠٠ كیلو غرام على خط مستقیم بسرعة ٥٠٠تتحرك سیارة كتلتھا : تدریب لوقوف السیارة م نبوتن والمطلوب إیجاد الزمن الالز٤٠٠٠ فإذا تعرضت لقوة مكابح مقدارھا

38

والمسافة المقطوعة عندئذ الحل ساوي الكتلة ضرب التسارع القوة ت

8 j j 500 4000 ثانیة تربیع/متر

0

0

8 k t

t]8

k]

k]8 t]

u k8 u1000 72e \ l20 u

3600

2

0

20 k8 ut]20 k8k]

k]20 k]k8 t]

t k20 k4 t

اذا اعتبرنا المسافة االبتدائیة لحظة الضغط على المكابح فان 00 t

2k20 k4 t

السیارة عندما تنعدم السرعة تتوقف

20 k8 u20

e25 k 0 20 k88

وھو الزمن الالزم للوقوف المسافة الالزمة للوقوف ھي

25 k

م2k20 k4 t

25 50 25 25 20 625 4 t

اعتبرنا ان الحركة خالل استخدام الكوابح ھي حركة مستقیمة متغیرة بانتظام الن التسارع ثابت

: تدریب اوجد مشتق االقتران s s s r 0 حیث s

39

نطبق خواص اللوغاریتم

ss s s s

s s

s s

s

i i s s r

i s s w

i s 1 w

s s 1 w

تدریب اوجد التكامل s

ss s s3 1

[ [ i s] i s] i s]3 3

40