ﺔﯿﺋﺎﻳﺰﯿﻔﻟا مﻮﻠﻌﻟا ﻚﻠﺴﻣ ﺔﯿﻋارﺰﻟا مﻮﻠﻌﻟا …xyzmaths.e-monsite.com/medias/files/ex-2sc-tous.pdf · proverbe. c’est en s’entraînant

األستاذ : عثماني نجیب http:// xyzmaths.e-monsite.com

المملكة المغربیةوزارة التربیة الوطنیة

األكادیمیة الجھویة للتربیة والتكوین للجھة الشرقیة

-وجدة- النیابة اإلقلیمیة

جمیع دروس تمارين بحلول لالتجريبیة مستوى السنة الثانیة باك شعبة العلوم

مسلك علوم الحیاة و األرضمسلك العلوم الفیزيائیةمسلك العلوم الزراعیة

إعداد : نجیب عثماني)لثانوي تأھیلي الدرجة الممتازة(أستاذ ا

2017/2016السنة الدراسیة :

« c’est en forgeant que l’on devient forgeron » dit unproverbe.

c’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et

exercices que l’on devient un mathématicien

األستاذ : عثماني نجیب1mmonsite.co-http:// xyzmaths.eص

بما یلي :الدالة العددیة المعرفة على fلتكن :1تمرین

2 4; 2.2

2 4

xf x xx

f

0في النقطة fأدرس اتصال الدالة 2x

الجواب : 2 2 2

2 2 2 2

2 24 2lim lim lim lim2 2 2x x x x

x xx xf xx x x

2

lim 2 4 2x

x f

ومنھf: 0دالة متصلة عند 2x

بما یلي :الدالة العددیة المعرفة على fلتكن :2تمرین

3 1 , 11

1 4

xf x xx

f


الجواب : 3 3

1 1

1lim lim1x x

xf xx

نعلم أن : 3 3 2 2a b a b a ab b

ومنھ : 2 23 3

1 1 1

1 1 11lim lim lim1 1x x x

x x xxf xx x

2 2

1 1lim lim 1 1 3 1x x

f x x x f

0غیر متصلة عند :دالةfومنھ 1x : 0أو متقطعة عند 1x بما یلي :الدالة العددیة المعرفة على fلتكن :3تمرین

3 8 , 22

2 12

xf x xx

f


الجواب : 3 3

2 2

2lim lim2x x

xf xx


ومنھ : 2 2

2 2

2 2 2lim lim

2x xx x x

f xx

2 2

2 2lim lim 2 2 12 1x x

f x x x f

0دالة متصلة عند :fومنھ 1x الدالة العددیة المعرفة بما یلي :fلتكن :4تمرین

2

; 0.

0 0

xf x xx

f

أكتب صیغة الدالة دون استعمال رمز القیمة المطلقة.1أحسب .2

00

limxx

f x

و 0

0

limxx

f x

0عندمتصلة fھل.3 0x ؟)1الجواب :

2

2

; 0

; 0

xf x xxxf x xx

یعني

; 0

; 0

f x x x

f x x x

2( 0 0

lim lim 0 0x x

f x x f

0على الیمین عند متصلة fومنھ 0x

0 0lim lim 0 0x x

f x x f

0على الیسار عند متصلة fومنھ 0x علىمتصلة على الیمین و متصلة fأن الحظن)3

0عند الیسار 0x 0عند متصلة fومنھ :نقول 0x

الدالة العددیة المعرفة بما یلي :fلتكن :5تمرین

3

sin 2 2, 0

1, 0

xf x xx

f x x x x

في النقطة على الیمین و على الیسارfأدرس اتصال الدالة .1

0 0x 0متصلة في النقطة fھل الدالة .2 0x ؟

الجواب : 30 0 0 1 1f 1(

0 0 0

sin 2 sin 2lim lim 2 lim 2 2 2 1 2 02x x x

x xf xx x

0

lim 0 0x

f x f

0على الیمین عند غیر متصلة fومنھ 0x 3

0 0lim lim 1 1 0x x

f x x x f

0على الیسار عند متصلة fومنھ 0x الیسارعلىمتصلة على الیمین و متصلة غیرfأنالحظن)2

0عند 0x 0عند غیر متصلة fومنھ : 0x

الدالة العددیة المعرفة على بما یلي :fلتكن :6تمرین

2 2 3, 23 , 21

f x ax x xxf x xx

0النقطة متصلة في fعلما أن الدالة aحدد العدد الحقیقي 2x

الجواب : 22 2 2 2 3 4 7f a a 0النقطة متصلة في fنعلم أن : 2x

0عند الیسارعلىمتصلة على الیمین و متصلة fومنھ 2x

أكاديمیة الجھة

الشرقیة

االتصال:تمارین محلولةالثانیة باك علوم فیزیائیة وعلوم الحیاة المستوى :

العلوم الزراعیةوواألرضاألستاذ:نجیب عثماني


اذن :

2

2

lim 2

lim 2x

x

f x f

f x f

اذن :2

3lim 4 71x

x ax

أدرس اتصال الدوال المعرفة كالتالي::7تمرین 4 6 9f x x x ,

56 73

x xg xx

sin 2cosh x x x متصلة على حدودیة اذندالة fالجواب :

gمجموعة تعریفھامتصلة علىاذنجذریةدالةgنحدد مجموعة تعریف الدالة

/ 3 0gD x x 3 0x 3یعنيx : ومنھ 3gD

متصلة علىدالةgوبالتالي 3gD hعلى مكونة من دوال متصلة دالةاذنh متصلة على

أدرس اتصال الدوال المعرفة كالتالي::8تمرین1( 2 16 1f x x x 2( 23 12 1

xg xx x

3( 3 9h x x

متصلة على حدودیة اذندالة f)1الجواب :2(gمجموعة تعریفھامتصلة علىاذنجذریةدالة

gنحدد مجموعة تعریف الدالة 2/ 2 1 0gD x x x

22 1 0x x نحل المعادلة باستعمال الممیز2a 1وb 1وc

2 22 4 1 4 2 1 1 8 9 3 0b ac فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما: بما أن

1 2bx

a 2و 2

bxa

1

1 9 1 3 4 12 2 4 4

x

و

21 3 2 12 2 4 2

x

1ومنھ: ;12g

D

1متصلة علىدالةgوبالتالي ;12g

D

3(hمجموعة تعریفھامتصلة علىاذنجذریةدالة / 3 9 0hD x x

3 9 0x 3یعنيx ومنھ 3,hD متصلة علىدالةhوبالتالي 3,hD أحسب النھایات التالیة ::9تمرین

0limcos

sin 3xx

x

2و 2

3 1lim sin4 1x

x xx

4و 1lim3x

xx

الجواب :0 0

3limcos limcossin 3 sin 3x x

x xx x

نعلم أن : 0

sinlim 1x

axax

: اذن0

lim 1sinx

axax

ومنھ : 0

3lim cos cos 1sin 3x

xx

2 2

2 2

3 1 2lim sin lim sin in4 1 4 4 2x x

x x x sx x

نعلم أن : 4 1 4lim lim 4

3x xx x

x x

اذن : 4 1lim 4 2

3xx

x

في كل حالة fبالدالة Iحدد صورة المجال :10تمرین

من الحاالت التالیة:1. 2;3I و 5 1f x x 2. 5; 3I و 2f x x3. 3,1I و ;1J و 1;K و 1

1f x

x

)1أجوبة : 5 1f x x f متصلة علىحدودیة اذندالة: اذن متصلة على 2;3I

5 1 5 0f x x على قطعاوتزایدیة ومنھI 2;3 2 ; 3 11;14f I f f f

2( 2f x xf متصلة على حدودیة اذندالة: اذن متصلة على 5; 3I

2 2 0f x x x : ألن 5; 3x 5یعني 3x وبالتالي :Iعلى قطعاتناقصیةومنھ

5; 3 3 ; 5 9;25f I f f f 3( 1

1f x

x

fمجموعة تعریفھامتصلة علىاذنجذریةدالةfنحدد مجموعة تعریف الدالة

/ 1 0fD x x 1 0x 1یعنيx : ومنھ 1fD متصلة علىدالةfومنھ 1fD

على كل المجاالت التالیة:متصلةدالةfوبالتالي 3,1I و ;1J و 1;K

2 2

11 1 01 1 1

xf x

x x x

قطعاتناقصیةومنھ

1

1

3,1 lim ; 3xx

f I f f x f

1 1

1 1

1lim lim1x xx x

f xx

و 134

f ومنھ 1;4

f I

1

1

; 1 l i m ; l i mx xx

f J f f x f x

لدینا lim 0x

f x

: ومنھ ;1 ;0f J f 1;K

1

1

1; lim ; lim 0;x x

x

f K f f x f x

في كل حالة من fبالدالة Iحدد صورة المجال :11تمرینالحاالت التالیة:

1. 1;2I 2;J 4 1f x x 2. 2,6I 1و;

2J

1 ;2

K 1

2 1xf xx

)1أجوبة : 4 1f x x

0


f متصلة على حدودیة اذندالة: اذن متصلة على 1;2I 4 1 4 0f x x ومنھfعلى قطعاتناقصیةI

1; 2 2 ; 1 7; 3f I f f f 2; lim ; 2

xf J f f x f

lim lim 4 1x x

f x x

:ومنھ 2; ; 7f J f 2( 1

2 1xf xx

مجموعة تعریفھامتصلة علىاذنجذریةدالة

fنحدد مجموعة تعریف الدالة

/ 2 1 0fD x x 2 1 0x یعني12

x : ومنھ

12f

D

ومنھf1متصلة علىدالة2f

D

على كل المجاالت التالیة:متصلةدالةfوبالتالي 2,6I 1و;

2J

1 ;2

K

2 2

1 2 1 1 2 11 1 02 1 2 1 2 1

x x x xxf xx x x

قطعاتزایدیةومنھ 1 52, 6 2 ; 6 ;3 11

f I f f f

12

12

1; l i m ; l i m2 x x

x

f J f f x f x

لدینا 1lim lim2 2x xxf xx

و 12

12

limx

x

f x

ومنھ : 1 ;2

f J 1 ;2

K 12

1 1; lim ; lim ;2 2xx

f K f f x f x

:Iالتالیة تقبل حال على األقل في المجال ةبین أن المعادل:12تمرین4 2 4 1 0x x x 0;1I

نضع :الجواب : 4 2 4 1f x x x x المعادلة تصبح : 0f x

f متصلة على حدودیة اذندالة: اذن متصلة على 0;1I 0 1f و 1 5f : اذن 0 1 0f f

فان المعادلة مبرھنة القیم الوسیطیةومنھ حسب 0f x تقبل حالعلى األقل في المجال 0;1I

بین أن المعادالت التالیة تقبل حال على األقل في المجال :13تمرینI: في الحاالت التالیة1.1sin 0

3x ;0

6I

2.cos x x 0;I نضع :) 1الجواب : 1sin

3f x x

المعادلة تصبح : 0f x f دالة متصلة على: 0;اذن متصلة على

6I

10 03

f 1و 1 1 06 2 3 6

f

اذن: 0 06

f f

فان المعادلة مبرھنة القیم الوسیطیةومنھ حسب 0f x Iتقبل حال على األقل في المجال

2 (cos x x یعنيcos 0x x نضع : cosf x x x : المعادلة تصبح 0f x

f دالة متصلة على: اذن متصلة على 0;I 0 1 0f و 1 0f : اذن 0 0f f فان المعادلة مبرھنة القیم الوسیطیةومنھ حسب 0f x

Iتقبل حال على األقل في المجال:Iالتالیة تقبل حال وحیدا في المجال ةبین أن المعادل:14تمرین

3 2 1 0x x 1;0I نضع :الجواب : 3 2 1f x x x

المعادلة تصبح : 0f x f متصلة على حدودیة اذندالة: اذن متصلة على 1;0I

0 1 0f و 1 2 0f : اذن 0 1 0f f

3 22 1 3 2 0f x x x x ومنھf دالة متصلةمجال القطعا على تزایدیة 1;0I

فان المعادلة مبرھنة القیم الوسیطیةومنھ حسب 0f x Iوحیدا في المجال تقبل حالبین أن المعادالت التالیة تقبل حال وحیدا :15تمرین

في الحاالت التالیة :Iفي المجال 1.4 2 3 0x x 1 ; 2

2I

2.32 3 20 0x x 2; 1I نضع :) 1الجواب : 4 2 3f x x x

المعادلة تصبح : 0f x f متصلة على حدودیة اذندالة: 1اذن متصلة على ; 2

2I

1 31 02 16

f

و 2 1 2 0f :اذن 1 2 02f f

4 32 3 4 2 0f x x x x : 1ألن ; 22

x 1مجال القطعا على تزایدیةدالة متصلة fومنھ ; 2

2I

فان المعادلة مبرھنة القیم الوسیطیةومنھ حسب 0f x Iوحیدا في المجال تقبل حال

نضع :) 2 32 3 20f x x x المعادلة تصبح : 0f x

f متصلة على حدودیة اذندالة:اذن متصلة على 2; 1I 1 15 0f و 2 2 0f : اذن 2 1 0f f

3 22 3 20 6 3 0f x x x x مجال القطعا على تزایدیةدالة متصلة fومنھ 2; 1I

فان المعادلة مبرھنة القیم الوسیطیةومنھ حسب 0f x Iوحیدا في المجال تقبل حالكالتالي:المعرفة على الدوالأدرس اتصال :16تمرین

1( 3 1 sinh x x x x 2( 3sin 1h x x x


اذن ھي دالة على ھي مجموع دالتین متصلتینh)1أجوبة :على متصلة

2(hعلى ھي مركب دالتین متصلتین على اذن ھي دالة متصلة

3 1f x x x و sing x xh g f

الدالة العددیة المعرفة بما یلي :fلتكن :17تمرین 32

xf xx

وحدد جدول تغیرات fالدالة تغیراتأدرس.1على المجال fقصور الدالةgبین أن الدالة .2 2;I

یجب تحدیدهJتقبل دالة عكسیة معرفة على مجال 1gحدد الدالة العكسیة .3 للدالةf لكلx منJ

)1أجوبة : 32

xf xx

fنحدد مجموعة تعریف الدالة / 2 0fD x x

2 0x 2یعنيx : ومنھ 2fD

32

xf xx

نستعمل القاعدة التالیة : 2

u u v uvv v

2 2 2

3 2 3 2 1 2 1 33 5 02 2 2 2

x x x x x xxf xx x x x

2(gقصور الدالةھيf على المجال 2;I على المجال دالة متصلة gھومن 2;I

g المجال تزایدیة قطعا على 2;I 1gتقبل دالة عكسیة gومنھ معرفة على

:مجال 2; ;1J f I f 3( g y x

y I

1y g x

x f I

2;

g y x

y

3یعني 2

y xy

یعني 3 2y x y

2یعني 3y xy x یعني 1 2 3y x x 2یعني 3

1xy

x

ومنھ : 1 2 31xg x

x

ومنھ :

1

1

: ;1 2;2 3........1

gxx g x

x

الدالة العددیة المعرفة بما یلي :fلتكن :18تمرین 3 21

xf xx

fوحدد جدول تغیرات fأدرس الدالة .1على المجال fقصور الدالةgبین أن الدالة .2 ; 1I

یجب تحدیدهJتقبل دالة عكسیة معرفة على مجال 1gحدد الدالة العكسیة .3 للدالةf لكلx منJ

)1أجوبة : 3 21

xf xx

fنحدد مجموعة تعریف الدالة / 1 0fD x x

1 0x 1یعنيx : ومنھ 1fD

3 21

xf xx


u uv uvv v

2 2 2

3 2 1 3 2 1 3 1 1 3 23 2 1 01 1 1 1


النھایات التالیة:حسبن1

3 2lim1x

xx

و1

3 2lim1x

xx

3و 2lim1x

xx

3و 2lim1x

xx

1lim 3 2 1x

x

و1

lim 1 0x

x

ومنھ : 1

lim 1 0x

x

: و بالتالي

1

3 2lim1x

xx

و 1

lim 1 0x

x

: و بالتالي

1

3 2lim1x

xx

3 2 3lim lim 3

1x xx xx x

3و 2 3lim lim 3

1x xx xx x

2(gقصور الدالةھيf على المجال ; 1I على المجال دالة متصلة gومنھ ; 1I

g المجال تزایدیة قطعا على ; 1I 1gتقبل دالة عكسیة gومنھ معرفة على

:مجال ; 1 3;J f I f 3( g y x

y I

1y g x

x f I

; 1

g y x

y

3یعني 21

y xy

یعني 3 2 1y x y

3یعني 2y xy x یعني 3 2y x x 2یعني

3xy

x

ومنھ : 1 23xg x

x

ومنھ :

1

1

: 3; ; 12........

3

gxx g x

x

1الدالة العددیة المعرفة على fلتكن :19تمرین ;2

I بما یلي : 2 1f x x

تقبل دالة عكسیة معرفة على مجالfبین أن الدالة .1Jیجب تحدیده

1fحدد الدالة العكسیة .2 للدالةf لكلx منJ


أرسم المنحني .3 fC الممثل للدالةf و المنحني 1fC 1fالممثل للدالة في نفس المعلم المتعامد الممنظم , ,o i j

1)1أجوبة : ;2f

D I f 1على المجال دالة متصلة ;

2I

2 1 12 1 02 2 1 2 1

xf x x

x x

f 1المجال تزایدیة قطعا على ;2

I

1fتقبل دالة عكسیة fومنھ معرفة:على مجال 1 ; 0;

2J f I f

2( f y xy I

1y f x

x f I

0;

f y x

y

2یعني 1y x 22یعني 1y x

22یعني 1y x یعني2 12

xy : ومنھ 2

1 12

xf x

ومنھ :

1

21

1: 0; ;2

1........2

f

xx f x

1fمنحنى الدالة ) 3 ھو مماثل منحنى الدالةfyبالنسبة للمستقیم : xفي معلم متعامد ممنظم

بما یلي :الدالة العددیة المعرفةfلتكن :20تمرین 2

21xf x

x

على المجال fقصور الدالةgولتكن 0;I fحدد مجموعة تعریف الدالة .1یجب Jتقبل دالة عكسیة معرفة على مجال gبین أن الدالة .2

تحدیده1gحدد الدالة العكسیة .3 للدالةf لكلx منJ

الجواب :fنحدد مجموعة تعریف الدالة )1

2/1 0fD x x

21 0x 2یعني 1x لیس لھا حل في: ومنھfD 2(fمجموعة تعریفھامتصلة علىاذنجذریةدالة

متصلة على :gاذن 0;I

2 2 2 22

2 22

1 1

1 1

x x x xxg xx x

2 2

2 22 2

2 1 2 2 01 1

x x x x xg xx x

0;x

g المجال تزایدیة قطعا على 0;I 1gتقبل دالة عكسیة gوبالتالي

:معرفة على مجال 0; 0;1J f I g ألن :

2 2

2 2lim lim lim 11x x xx xf x

x x

3( g y xy I

1y g x

x g I

0;1

f y x

y

یعني 2

21y x

y

یعني 2 21x y y

2یعني 2xy y x یعني 2 1y x x 2یعني1 1

x xyx x

یعني 1

xyx

أو 1

xyx

وبما أننا نعلم أن : 0;1y

موجب ومنھ : yاذن : 1

xyx

ومنھ : 11

xg xx

ومنھ :

1

1

: 0;1 0;

........1

g

xx g xx

أحسب وبسط التعابیر التالیة :)21:1تمرین

33 2و 2 4 2

57375 3

5

9632 2 5123

A 3 3 155

15

2 16 4 2256

B

52 129 4

173

27 81 9

3C

56

2

2 12800000027

D

5قارن :)2 7و 2 3المعادالت التالیة :حل في )35أ) 3 4 2x (ب 25 55 6 0x x 5النھایات التالیة :أحسب )4 3

2lim 24x

x

3و 5 3lim 2 4x

x x x

و3

0

1 1limx

xx

أجوبة :1( 33 2 2 2و 84 2 42 2 2

57 35 3 95 9 9375 3 545

96 9632 2 512 2 2 2 2 2 2 3233

A

2 2 2 2 4A

5 64 23 6 1 5 3 1 55

1 5 1 5

2 1 6 4 2 2 2 2 22 5 6 2 5 6

B


1 4 2 1 1 4 1 1 2323 8 153 5 6 15 3 5 3 15 1515 15 15

8 815 815 15

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

B

2 1 55 22 1

3 4 29 4 2 1 52 39 4

17 17 173 3 3

3 3 327 81 9 3 3 3

3 3 3C

2020 17 33

13 3 3173

3 3 3 3 33

C

5 5 7 6 6 6 612 266 6 662 2 6 63

2 128000000 2 2 10 10 102 227 3 33

D

6

62 26610 10 402 23 3 3

D

5:مقارنة) 2 7و 2 n:القاعدةنطبق3 m m nx x 7 5 57 353 3 243 7و 5 75 352 2 128

35:لدینا 35243 128: 243ألن 128: 57ومنھ 3 25أ))3 3 4 2x یعني 5 55 3 4 2x

3یعني 4 32x 3یعني 36x 12یعنيx : ومنھ 12S

ب) 25 55 6 0x x 5نضع x X2المعادلة تصبح : 5 6 0X X

1aنحل المعادلة باستعمال الممیز 5وb 6وc 22 4 5 4 1 6 25 24 1 0b ac

فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما: بما أن

1 2bx

a 2و 2

bxa

15 1 6 32 1 2

x

و 2

5 1 4 22 1 2

x

5ومنھ: 2x 5أو 3x یعني 5 55 2x أو 5 55 3x

32xعنيی 243أوx : ومنھ 32;243S 4 (5 55 3 3 55 5

2lim 24 2 24 8 24 32 2 2x

x

3 35 3 5 3lim 2 4 limx x

x x x x

نحتفظ بأكبر درجة فقط3

0

1 1 0lim0x

xx

ش غ م

نعلم أن : 3 3 2 2a b a b a ab b اذن :

2

23 3 33

20 0 23 3

1 1 1 1 1 11 1lim lim1 1 1 1

x x

x x xxx x x x

3 333

2 20 0 02 23 3 3 3

1 11 1 1 1lim lim lim1 1 1 1 1 1 1 1

x x x

xx xx x x x x x x

3

20 0 23 3

1 1 1 1 1lim lim1 1 1 1 31 1 1 1x x

xx x x

3)أحسب وبسط:22:1تمرین 534

1024 3200000

64 252 18A

5قارن :) 2 4و 4 33قارن :) 3 5وقارن:13و 28 15151و 23

أجوبة :1(

103 510 10 53 5 3

41 134 34 6 8 234 2

1024 3200000 2 2 10 2 2 10 2064 252 18 2 2 2 3 2 2 3 2

A

5:مقارنةأ))2 4و 4 3

n:نطبق القاعدة m m nx x 4 5 45 204 4 4096 4و 5 5 204 3 3 243

20:لدینا 20406 243: 406ألن 243: 5ومنھ 44 33:ب)مقارنة 13و 28

n:نطبق القاعدة m m nx x 2 3 3 6213 13 13 2197 6و 23 628 28 784

6:لدینا 62197 784: 2197ألن 784313ومنھ : 28

5:ج)مقارنة 15151و 2315 35 1523 23 12167 5و منھ 1523 151

nأكتب على شكل جذر من الرتبة :23تمرین342 ǃ

272

أجوبة :3

4 3 442 2 8 2

7 27 772

1 12 242

)أحسب وبسط التعابیر التالیة :24:1تمرین 315 5 3 5

5

3 9 9

3A

و

334

5

9 3 9

8 1 3B

المعادالت التالیة :حل في )2

3)أ 1 3x ب(2 13 37 8 0x x

أحسب النھایات التالیة :)35 5 2lim 1

xx x

و

3

1

1lim1x

xx

و 30

sinlim1 1xx

x )1أجوبة :

311 1

5 2 51 5 331 5 5 3 5

155

3 3 33 9 9

3 3A

1 2 3 1 2 33 3 5 3 3 5

1 15 5

3 3 3 3

3 3A

8

8 1 373 37153 5 15

15

3 3 3 33

A

0


1 1 12 44 63 34 2

1 11 15 4 45 58 8

3 39 3 9 3 3

81 3 3 3 3 3B

34 4 1 11 4 55 32 233 3125 5 8 8 5 40 40 402 28

4 15 8

3 3 3 3 3 3 3 33 3

B

23

40 23403 3B

3)أ)2 1 3x یعني 3 33 1 3x 1یعني 27x 28xیعني : ومنھ 28S

)ب2 13 37 8 0x x یعني

21 13 37 8 0x x

نضع 13x X: 2المعادلة تصبح 7 8 0X X

1aنحل المعادلة باستعمال الممیز 7وb 8وc 22 4 7 4 1 8 49 32 81 0b ac

فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما: بما أن

1 2bx

a 2و 2

bxa

17 9 16 82 1 2

x

و 2

7 9 2 12 1 2

x

ومنھ: 13 8x أو

13 1x

:المعادلة13 1x لیس لھا حل في

نأخذ فقط اذن13 8x تعني

3133 8x

512xتعني

ومنھ : 512S أحسب النھایات التالیة :)3

5 55 2 5lim 1 limx x

x x x

3

1

1lim1x

xx


اذن :

223 3 3

3

21 1 23 3

1 1 11lim lim1 1 1 1

x x

x x xxx x x x

333

3

2 21 1 12 23 3 3 3

11 1lim lim lim1 1 1 1 1 1 1

x x x

xx xx x x x x x x

3

21 1 23 3

1 1 1 1lim lim1 1 1 1 1 31 1

x x

xx x x

223 3

230 0 23 3 3

sin 1 1 1 1sinlim lim1 1 1 1 1 1 1 1

x x

x x xxx x x x

223 3

3 30 3

s i n 1 1 1 1l i m

1 1x

x x x

x

2 23 30

s i n 1 1 1 1l i mx

x x x

x

2 23 30 sinlim 1 1 1 1 1 3 3x x x xx المعادالت التالیة :حل في :25تمرین

1 (5 32x 2 (7 128x 3 (4 3x 4 (6 8x

5)1األجوبة : 32x :0اذنx 5ومنھ : 32x 5یعني 52x 2یعنيx : ومنھ 2S

2 (7 128x :0اذنx 7ومنھ : 128x 7یعني 72x 2یعنيx

ومنھ : 2S 3 (4 3x 4یعني 3x 4أو 3x

ومنھ : 4 43; 3S 4 (6 8x 8 0 6و 0x :ومنھS

0

« c’est en forgeant que l’ondevient forgeron » dit un proverbe.

c’est en s’entraînantrégulièrement aux calculs etexercices que l’on devient un

monsite.com-http:// xyzmaths.eاألستاذ: نجیب عثماني 1

المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :1تمرین 25f x x0عند fباستعمال التعریف أدرس اشتقاق الدالة 1x

الجواب : 22

1 1 1

5 11 5 5lim lim lim1 1 1x x x

xf x f xx x x

2 2

1 1 1

5 1 5 1 1lim lim lim5 1 5 2 10

1 1x x xx x x

xx x

0قابلة لالشتقاق عند :fومنھ 1x

1

1lim 10 1

1xf x f

fx

0وھو العدد المشتق عند 1x

المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :2تمرین. قابلة لالشتقاق عند fباستعمال التعریف بین أن الدالة .1.عند fحدد معادلة المماس للمنحنى الممثل للدالة .2

)1الجواب : 22 2 2 2 1 1f 2 2

2 2 2

2 2 1 1 2lim lim lim2 2 2x x x

f x f x x x xx x x

2 2

2lim lim 2

2x xx x

xx

0قابلة لالشتقاق عند :fومنھ 1x

2 2f 0وھو العدد المشتق عند 2x 2( 0 0 0y f x f x x x

2 3 1 2 2 2 2 2y x y x y f f x االشتقاق على الیسار–االشتقاق على الیمین :3تمرین

المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة

)عند على الیمینfقابلیة اشتقاق الدالة ( أحسب .1

)على الیسارعندfقابلیة اشتقاق الدالة ( أحسب .2

؟قابلة لالشتقاق عند fھل الدالة .3.على الیمین عند fمماس لمنحنى للدالة حدد معادلة لنصف .4.على الیسار عند fلمنحنى للدالة مماس حدد معادلة لنصف .5؟كیف نسمي النقطة .6

الجواب :

3

3

; 0

; 0

f x x x x

f x x x x

و 30 0 0 0f

1( 23

2

0 0 0 0

10 0lim lim lim lim 1 10 0x x x x

x xf x f x x xx x x

0على الیمین عند قابلة لالشتقاق fومنھ 0x و 1 0df

0وھو العدد المشتق على الیمین عند 0x

2( 23

2

0 0 0 0

10 0lim lim lim lim 1 10 0x x x x

x xf x f x x xx x x

0على الیسار عند قابلة لالشتقاق fومنھ 0x و 1 0gf 0وھو العدد المشتق على الیسار عند 0x

3(f 0عند على الیساروعلى الیمین قابلة لالشتقاق 0x : ولكن

0 0d gf f 0عند غیر قابلة لالشتقاق fومنھ : 0x

.على الیمین عند fلدالة امنحنىمماس معادلة لنصف )4 0 0 0dy f x f x x x

: 0 1 0 0 0 0d dy x y x y f f x .عند الیسارعلى fلدالة امنحنىمماس معادلة لنصف )5

0 0 0gy f x f x x x : 0 1 0 0 0 0g gy x y x y f f x

لدینا )6 0 0d gf f : النقطة 0; 0A fتسمى نقطة مزواةالمعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :4تمرین 2 1f x x

على الیمین عند fأدرس قابلیة اشتقاق الدالة .1على الیسار عند fأدرس قابلیة اشتقاق الدالة .2؟قابلة لالشتقاق عند fھل الدالة .3.على الیمین عند fلدالة امماس منحنى حدد معادلة لنصف .4.على الیسار عند fلدالة امماس منحنى حدد معادلة لنصف .5؟كیف نسمي النقطة .6

الجواب : 2 1f x x : 2ندرس اشارة 1x : 21 1 1 1 0 1 0x ǃǐ x x x x

ومنھ :

2

2

1; ; 1 1;

1 ; 1;1

f x x x

f x x x

و 21 1 1 0f

1( 21 1 0 1

1 1 11 0lim lim lim lim 1 21 1 1x x x x

f x f x xx xx x x

0على الیمین عند قابلة لالشتقاق fومنھ 1x و 2 1df 0وھو العدد المشتق على الیمین عند 1x

2( 2

1 1 1 1

1 01 1 1lim lim lim lim 1 2

1 1 1x x x xxf x f x x

xx x x

0على الیسار عند قابلة لالشتقاق fومنھ 1x و 2 1df

0وھو العدد المشتق على الیسار عند 1x

2 2 1f x x x

0 2x

0 2x

3f x x x

0

0lim

0xf x fx

0 0x

0

0lim

0xf x fx

0 0x

0 0x

0 0x

0 0x

0, 0A f

0 0x

0 0x

0 1x

0 1x

0 1x

0 1x

0 1x 1, 1A f


الشرقیة

االشتقاق:تمارین محلولةالثانیة باك علوم فیزیائیة وعلوم الحیاة المستوى :



3(f 0عند على الیساروعلى الیمین قابلة لالشتقاق 1x ولكن : 1 1d gf f 0عند غیر قابلة لالشتقاق fومنھ : 1x

0على الیمین عند fلدالة امنحنىمماس معادلة لنصف )4 1x . 0 0 0dy f x f x x x

: 2 4 0 2 2 1 1 1d dy x y x y f f x .عند الیسارعلى fلدالة امنحنىمماس معادلة لنصف )5

0 0 0gy f x f x x x : 2 4 0 2 2 1 1 1g gy x y x y f f x

لدینا )6 1 1d gf f : النقطة 1; 1A fتسمى نقطة مزواةالمعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :5تمرین 2 1f x x x

fحدد مجموعة تعریف الدالة .10على الیمین عند fأدرس قابلیة اشتقاق الدالة .2 1x وأعط تأویال ھندسیا للنتیجة المحصل علیھا..3

الجواب :1( 1,fD

2( 2 2

1 1 1


f x f x x x xx x x

22 2 2

1 1 1

1 1 1lim lim lim01 1 1 1 1x x x

x x x x xx x x x x

0على الیمین عند قابلة لالشتقاق غیرfومنھ 1x یقبل نصف مماس یوازي محور األراتیب f)مبیانیا نقول ان منحنى الدالة3

في النفطة : 1; 1A f وموجھ نحو األعلىالمعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :6تمرین 1f x x x

fDحدد .1على الیمین وعلى الیسار عند fأدرس قابلیة اشتقاق الدالة .2

0 0x وأعط تأویال ھندسیا للنتائج المحصل علیھا0متصلة عند fھل الدالة .3 0x ؟0على الیسار عند fأدرس قابلیة اشتقاق الدالة .4 1x وأعط

تأویال ھندسیا للنتیجة المحصل علیھا.)1الجواب : /1 0fD x x

1 1 0x x ,1fD

2( 0 0 0

0 1 0lim lim lim 1 1 00 dx x x

f x f x x x fx x

0على الیمین عند غیر قابلة لالشتقاق fومنھ 0x

0 0 0

0 1 0lim lim lim 1 1 00 gx x x

f x f x x x fx x

0على الیسار عند قابلة لالشتقاق fومنھ 0x لدینا 0 0d gf f : ومنھf 0عند غیر قابلة لالشتقاق 0x

النقطة : 0; 0O f أي 0; 0O fھي نقطة مزواة0عند fالدالة دراسة اتصال )2 0x

0 0

lim lim 1 0 0x xf x x x f

0متصلة عند fالدالة اذن 0x

3( 1 1 1


f x f x x x xx x x

2

1 1 1

1 11 1lim lim lim1 1 1 1 1 1x x x

x x x xx x xx x x x x x

1 1

1 1lim lim01 1 1x x

x x xx x x

0عند الیسارعلى غیر قابلة لالشتقاق fومنھ 1x یقبل نصف مماس یوازي محورf)مبیانیا نقول ان منحنى الدالة4

األراتیبفي النفطة : على الیسار 1; 1A fأي 1;0Aوموجھ نحو األعلى

ألن : في كل حالة من fحدد الدالة المشتقة للدالة :7|تمرین

الحاالت التالیة : 1(2(3(

4 ( 3 214 12

f x x x 5(6 (

7 (8 (

9 (10(

11 (12 ( 12 1

f xx

13( 3 12

xf xx

14( 33 4f x x 15 ( 2 1f x x

)1أجوبة : 2 0f x 2( 3 5 3f x x 3( 10 10 1 910 10f x x x x 4( 3 2 3 1 21 14 1 4 3 2 0 12

2 2f x x x x x x x

5( 2 25 1 1 55 5f xx x x x

6 ( 1 3 36 4 6 02

xf x xxx x

7 ( 4 36 cos 3sin 6 4 sin 3cosf x x x x x x x 324 sin 3 cosf x x x x

8 ( cos 7 2 7 sin 7 2f x x x 9 ( 4 4sin 5 4 5 cos 5 4 4 cos 5 4

5 5f x x x x

10( 2 23tan 1 3 1 tan 0 3 1 tanf x x x x

نستعمل القاعدة التالیة : )11 u v u v u v cos cos cosf x x x x x x x 1 cos sin cos sinf x x x x x x x

نستعمل القاعدة التالیة : )122

1 uu u

2 22 11 2

2 1 2 1 2 1x

f xx x x

0 0x

2f x 3 5f x x 10f x x

5f xx 6 4f x x

46 cos 3sinf x x x x cos 7 2f x x

4 sin 5 45

f x x 3tan 1f x x

cosf x x x


13( 3 12

xf xx


u uv uvv v

2 2 2

3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 13 1 72 2 2 2


14( 33 4f x x : نستعمل القاعدة التالیة 1n nu nu u 3 3 1 3 1 23 4 3 3 4 3 4 3 3 3 4 9 3 4f x x x x x x

في كل حالة من الحاالت التالیة : fحدد الدالة المشتقة للدالة :8تمرین1 ( 11f x 2 ( 7 15f x x 3 ( 32f x x4 ( 4 314 1

3f x x x x 5 (

6 ( 3f xx7 ( 4 1f x x 8( cos2 3sin3f x x x

9 ( 23 2 7 1f x x x 10 ( 15 7

f xx

11 ( 2 8f x x x 12( 37

1xf x

x

13(

14( 4 32 1xf xx

15(

)1أجوبة : 11 0f x 2( 7 15 7f x x 3( 3 3 1 22 2 3 6f x x x x 4( 4 3 4 1 2 3 21 14 1 4 4 3 1 0 16 1

3 3f x x x x x x x x

5( 5 4 5 1 3 4 31 1 1 14 6 5 4 4 0 45 4 5 4

f x x x x x x x x

6( 2 23 1 1 33 3f xx x x x

7 ( 1 2 24 1 4 02

xf x xxx x

8 ( cos2 3sin3 2sin2 3 3cos3 2sin2 9cos3f x x x x x x x 9 ( 23 2 7 1f x x x

نستعمل القاعدة التالیة : u v u v u v

2 2 23 2 7 1 3 2 7 1 3 2 7 1f x x x x x x x 2 2 2 26 7 1 7 3 2 42 6 21 14 63 6 14f x x x x x x x x x

نستعمل القاعدة التالیة : )102

1 uu u

2 25 71 5

5 7 5 7 5 7x

f xx x x

11( 2 8f x x x : نستعمل القاعدة التالیة 2uuu

12( 37

1xf x

x


u u v uvv v

3 3 3 2

2 23 3 3

7 1 7 1 7 1 7 371 1 1

x x x x x x xxf xx x x

3 3 3

2 23 3

7 7 21 7 14

1 1

x x xf xx x

13( 1sin

f xx

: 2نستعمل القاعدة التالیة1 uu u

2 2sin1 cos

sin sin sinx xf x

x x x

14( 4 32 1xf xx


u uv uvv v

2 2

4 3 2 1 4 3 2 1 4 2 1 2 4 34 32 1 2 1 2 1

x x x x x xxf xx x x

2 2 2

4 2 1 2 4 3 8 4 8 6 22 1 2 1 2 1

x x x xf xx x x

نستعمل القاعدة التالیة : )15 1n nu nu u

7 7 1 62 1 7 2 1 2 1 14 2 1f x x x x x المعرفة بما یلي :نعتبر الدالة العددیة :9تمرین

2sin( 1)h x x وحدد الدالة المشتقة hأدرس اشتقاق الدالة

ھي مركب دالتین :hنالحظ أن الجواب: 2 1f x x و sing x xوh gof

ألن : h x gof x g f x cos ² 1 2 2 cos ² 1h x g f x f x x x x x

المعرفة بما یلي :نعتبر الدالة العددیة :10تمرین 2cos(2 4 1)h x x x

وحدد الدالة المشتقةhأدرس اشتقاق الدالة ھي مركب دالتین :hنالحظ أن الجواب:

22 4 1f x x x و cosg x xوh gofألن : h x gof x g f x

2cos 2 4 1 4 4h x g f x f x x x x 24 4 cos 2 4 1h x x x x

الدالة العددیة المعرفة fلتكن :11تمرینبما یلي : 3 3f x x x

وحدد جدول تغیراتھاfأدرس الدالة .1على المجال fقصور الدالةgبین أن الدالة .2 1;I

یجب تحدیدهJتقبل دالة عكسیة معرفة على مجال أحسب .3 1 0g

fDحدودیة اذن fالدالة )1أجوبة : قابلة لالشتقاق علىfاذن و 3 ² 3 3 ² 1 3 1 1f x x x x x

fاشارة ھي اشارة 1 1x x 1 1 0x x 1یعني 0x 1أو 0x 1یعنيx 1أوx

5 41 1 4 65 4

f x x x x

1sin

f xx

72 1f x x 72 1f x x

2

2

2 2 2

8 2 8 482 8 2 8 8

x x x xf x x xx x x x x x


3 3lim lim 3 limx x x

f x x x x

3 3lim lim 3 limx x x

f x x x x

على تزایدیة قطعا ومتصلة gفانgحسب جدول تغیرات الدالة )2 1;I (ألنھا دالة حدودیة)

تقبل دالة عكسیة معرفة على المجال :gومنھ 1; 2;J g I g

3( 1;

g x y

x

1

2;

x g y

y

حسب الخاصیة لدینا :

11

100

gg g

نضع : 1 0g x 0یعني ( )g x 3یعني 3 0x x یعني 2 3 0x x 0یعنيx 2أو 3 0x 0xیعني 2أو 3x 0یعنيx 3أوx 3أوx

ونعلم أن : 1;x 3: فقط اذن نأخذx اذن نجد :

1 103

gg

ونعلم أیضا أن : 3 ² 3g x x : اذن 3 3 3² 3 6g ومنھ : 1 10 6g

المعرفة كالتالي : الدوالأحسب مشتقة :12تمرین1(

570; ;x f x x 2(

250; ;x f x x

3( 30; ;x f x x

)1أجوبة :

2 2 517 7 7

5 57

7

2 2 2 1 2 10; ;7 7 7 7

x x x xxx

2(

2 2 315 5 5

3 35

5

2 2 2 1 2 10; ;5 5 5 5

x x x xxx

3(

32

3

10; ;3

x xx

أحسب مشتقة الدالة المعرفة كالتالي : :13تمرین 3; ² 1x f x x

:نستعمل القاعدة التالیة الجواب : 1

nn

n

u xu x

n u x

33 1 2

3 3

² 1 2² 13 ² 1 3 ² 1

x xxx x

كالتالي :المعرفة fالدالة نعتبر :14تمرین 2 2 2f x x x fDعند محدات f) أحسب نھایات fD2حدد )1

x) بین أن:f5) حدد جدول تغیرات 4أدرس تغیرات)3 3f x fDحدودیة اذن fالدالة )1:الجواب

2( 2 2lim lim 2 2 limx x xf x x x x

2 2lim lim 2 2 limx x xf x x x x

3( 2 2 2 2 2f x x x x :x 0f x 2یعني 2 0x 1یعنيx

درس اشارة : f x

:اذا كانت 1;x : فان 0f x ومنھfتزایدیھ

:اذا كانت ; 1x : فان 0f x ومنھfتناقصیة)نلخص النتائج في جدول یسمى جدول التغیرات :4

xیعني ھي قیمة دنیا للدالة 3-)5 3f x المعرفتین كالتالي : نعتبر الدالتین و :15تمرین

2 2 ; 12 5; 1

f x x x x

f x xx

و

دعلى الیمین وعلى الیسار عنأدرس قابلیة اشتقاق الدالة )1قابلة لالشتقاق ؟fھل الدالة )2عند أدرس قابلیة اشتقاق الدالة )3

الجواب :

2 2 ; 12 5; 1

f x x x x

f x xx

و 21 1 2 1 3f

1( 1 1 1 1

4 4 4 25 3 21lim lim lim lim

1 1 1 1x x x x

xf x f x x xx x x x

1 1

4 2 1 4 2 1lim lim1 1x x

x xx x x x

0على الیمین عند غیر قابلة لالشتقاق fومنھ 1x

21 1

0 2 3lim lim1 1x x

f x f x xx x

0قبیل :نحصل عن شكل غ محدد من 0

نتخلص من ال ش غ م مثال بالتعمیل ثم باالختزال:2جذرللحدودیة 1نالحظ أن : 2 3x x

1xاذن : ھي تقبل القسمة على : وباستعمال تقنیة القسمة االقلیدیة نجد أن : 2 2 3 3 1x x x x

1 1 1

0 3 1lim lim lim 3 4

1 1x x xf x f x x

xx x

0على الیسار عند قابلة لالشتقاق fومنھ 1x و 4 1gf 2(f على الیمین غیر قابلة لالشتقاق

0عند غیر قابلة لالشتقاق fومنھ : 1x

f

g

1g x x x

f0 1x

g0 0x


و )3 0 0g

1 ; 0

1 ; 0

g x x x x

g x x x x

0 0 0


0 0x x xf x f x x

xx x

0على الیمین عند قابلة لالشتقاق gومنھ 0x و 1 0df

0 0 0


0 0x x xf x f x x

xx x

0على الیسار عند قابلة لالشتقاق gومنھ 0x و 1 0gg g 0عند على الیساروعلى الیمین قابلة لالشتقاق 0x : ولكن

0 0d gg g 0عند غیر قابلة لالشتقاق gومنھ : 0x المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :16تمرین

3 23 1f x x x لیكن fC الممثل للدالةf في معلم متعامد ممنظم , ,o i j

عند محدات مجموعة التعریفfأحسب نھایات الدالة .1أدرس الفروع الالنھائیة للمنحني .2 fC الممثل للدالةfو أدرس إشارتھاfأحسب مشتقة الدالة .3.fضع جدول تغیرات الدالة .4ىأدرس تقعر المنحن.5 fC الممثل للدالةfوحدد نقط االنعطافبین أن .6 1; 1A مركز تماثل للمنحني fCحدد معادلة للمماس .7 T للمنحني fC في النقطة 1; 1A أنشئ .8 fC و T.

األجوبة : 3 23 1f x x x 1(fD ألنھا دالة حدودیة

3lim limx xf x x

و 3lim lim

x xf x x

ھي نھایة حدھا األكبر درجةوألن نھایة دالة حدودیة عند

2( 3 2lim lim lim

x x x

f x x xx x

fC بجوار األراتیبیقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محور 3 2lim lim lim

x x x

f x x xx x

fC بجوار األراتیبیقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محور

3( 3 2 23 4 3 6 3 2f x x x x x x x

2 0 3 0 3 2 0 0x ǃ ǐ x x x f x 2 0x ǃǐ x

4(

5(

3 2 23 1 3 6f x x x x x

23 6 6 6f x x x x 1 6 6 0 0x x f x

تقعر fC:موجھ نحو محور األراتیب الموجبة على المجال 1;تقعر fC:موجھ نحو محور األراتیب الموجبة على المجال ;1

التقعریمكن تلخیص النتائج في جدول 0المشتقة الثانیة تنعدم وتتغیر اشارتھا عند : 1x و لدینا 1 1f

ومنھ : 1; 1A نقطة انعطاف للمنحني fC.بین أن )ن6 1; 1A ;A a b

2فان : xأ) اذا كانت x عبارة صحیحةب)نبین أن : 2 2 2f x f x b ؟؟؟؟

3 2 3 22 2 3 2 1 3 1f x f x x x x x 2f x f x

3 2 2 3 2 2 3 22 3 2 3 2 3 2 4 1 3 1x x x x x x x 2 3 2 3 28 12 6 12 12 3 1 3 1 2 2x x x x x x x b

ومنھ 1; 1A مركز تماثل منحنى الدالةf.مركز تماثل للمنحني fC

لمعادلة لمماس )7 fC في النقطةA 0التي أفصولھا 1x 0 0 0y f x f x x x و 1 1f و 1 3f

3 2 1 3 1 1 1 1y x y x y f f x )التمثیل المبیاني للدالة 8

1g x x x

f


تمارین للبحث :المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :1تمرین

2 4 5f x x x 0على الیسار عند fأدرس قابلیة اشتقاق الدالة 1x وأعط

تأویال ھندسیا للنتیجة المحصل علیھافي كل حالة من الحاالت التالیة fحدد الدالة المشتقة للدالة :2تمرین

1 ( 5 314 13

f x x x 2 ( 22 16f x x x

3 ( 34 4cos 6sinf x x x x 4 ( 1

cos 2f x

x5 ( 2cos 4f x x

6 ( 3tan 1f x x 7( 3 25 2f x x x 8 ( 3 27f x x x 9 ( 6 sinf x x


1xf xx

على المجال fقصور الدالةgین أن الدالة .1 0;I تقبل1gدالة عكسیة معرفة على مجالJیجب تحدیده

أحسب .2 1 12

g


2

11

xf xx

على المجال fأدرس تغیرات الدالة.1 0;1I 1أحسب و2

f

المجال على fالدالةبین أن قصور .2 0;1I تقبل دالة عكسیةیجب تحدیدهJمعرفة على مجال

حدد .3 1f xأحسب .4 1 5

3f

الدالة العددیة المعرفة على fلتكن:5تمرین 0;I

بما یلي : 2 1f x x یجب Jتقبل دالة عكسیة معرفة على مجالfالدالةبین أن .1

تحدیدهأحسب 3f و 1 2f

جدو ل للدوال المشتقة لدوال اعتیادیة و العملیات حولالدوالالدوال

الدالة المشتقة الدالة

الدالة المشتقة الدالة

f

f x k 0f x

f x x 1f x

f x ax f x a

f x ax b f x a

nxxf 1nf x nx n

1f xx 2

1f xx

f x x 12f x x

xxf cos sinf x x

xxf sin cosf x x

baxxf cos sinf x a ax b

baxxf sin cosf x a ax b

tanf x x 221 1 tancosf x xx

f

tanf x x 221 1 tancosf x xx

f x u v f x u v

f x u v f x u v

.f x k u .f x k u

f x u v f x u v u v

nf x u nf x nu u

1f xu 2

uf xu

uf xv 2

u v u vf xv

f x u 2uf xu

« c’est en forgeant que l’on devientforgeron » dit un proverbe.

c’est en s’entraînant régulièrementaux calculs et exercices que l’on

devient un mathématicien

mmonsite.co-http:// xyzmath.eاألستاذ: نجیب عثماني 1

المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :1تمرین 21xf xx

fحیز تعریف الدالة fDحدد .1أحسب : .2

1limxf x

واعط تأویال مبیانیا للنتیجة

)1:الجواب / 1 0fD x x 1 1 0x x

ومنھ: 1;fD 2(

1lim 2 2xx

و

1lim 1 0x

x

:ومنھ

1limxf x

1xالمعادلةالمستقیم ذا : التأویل المبیاني مقارب للمنحنى Cیوازي محور األراتیب

المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :2تمرین 2

2

21xf xx

fحیز تعریف الدالة fDحدد .1أحسب : .2 lim

xf x

واعط تأویال مبیانیا للنتیجة

)1أجوبة : 2/ 1 0fD x x 2 2 21 1 0 1 0 1 0x x x x

1x 1أوx ومنھ 1,1 ; 1 1;1 1;fD

2( 2 2

2 2

2 2lim lim lim 21x x xx xf xx x

yالمستقیم ذا المعادلة:التأویل المبیاني aمقارب للمنحنى Cیوازي محور األفاصیل.بجوار

المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :1تمرین 2

1f x xx x

fحیز تعریف الدالة fDحدد .1بجوارfلمنحنى الدالة حدد معادلة المقارب المائل.2

)1أجوبة :أجوبة : 2/ 0fD x x x 21 0 1 0 0x ǃǐ x x x x x

نستعمل جدول االشارة :

ومنھ: ; 1 0;fD 2(

2 2

1 1f x x f x xx x x x

اذن: 2

1lim limx xf x x

x x

2limلدینا :x

x x

: اذن2

1lim 0x x x

ومنھ : lim 0xf x x

yالمستقیم ذا المعادلة: التأویل المبیاني x مقاربمائل للمنحنى Cبجوار

المعرفة fنعتبر الدالة :1تمرینكالتالي : 2 4 5f x x x

fحیز تعریف الدالة fDحدد .1أحسب :.2 lim

xf x

بجوارfلمنحنى الدالة حدد معادلة المقارب المائل.3)1أجوبة : 2/ 4 5 0fD x x x

2 2 24 4 4 1 5 16 20 36 6 0b ac لھا جذرین ھما:الحدودیةفان ھذه بما أن

14 6 10 52 1 2

x

و 2

4 6 2 12 1 2

x

ومنھ جدول االشارة :

ومنھ: ; 1 5;fD 2( 2lim lim 4 5

x xf x x x

2:لدینا 2lim 4 5 limx xx x x

ومنھ lim

xf x

3( 2

2 22

4 514 5lim lim lim

x x x

xxf x x xx xx x x

2 2

4 51limx

xxx xx

x:لدینا : ومنھx x ومنھ

2 2

2 2

4 514 5lim lim 1 1 1 1

x x

xx xx x ax x x

2 2

2

2

4 5 1 4 5 1lim 1 lim 4 5 1 lim

4 5x x x

x x x x x xf x x x x x

x x x

2 2

2 2 2 2

4 5 4 5lim lim4 5 4 51 1

x x

x x x xx xx x x xx x x x

0


الشرقیة

دراسة الدوال:تمارین محلولةالثانیة باك علوم فیزیائیة وعلوم الحیاة المستوى :



2 22 2

5 54 4 4lim lim 224 54 5 1 11 1

x x

xx x b

xxxx xx x

yھ : ومن)4 ax b 2أيy x مقارب مائل لمنحنى الدالةf

بجوار المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :1تمرین 24 2 2f x x x

و حددfDحدد.1 f xأحسب : .2 lim

xf x

2=بین : .3 limx

f xx

و أحسب : lim 2xf x x

بجوار fأستنتج معادلة المقارب المائل لمنحنى الدالة .4)1أجوبة : 2/ 4 2 2 0fD x x x

24 2 2 0x x 22 1 0x x 2 22 4 1 4 2 1 1 8 9 3 0b ac

جذرین ھما:لھا الحدودیةفان ھذه بما أن

11 3 2 1

2 2 4 2x

و

24 1

4x : ومنھ جدول االشارة

ومنھ: 1; 1 ;2f

D

1; 1 ;2

x

2

2

2 2 2

4 2 2 8 2 4 14 2 22 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2

x x x xf x x xx x x x x x

2( 2lim lim 4 2 2x xf x x x

2:لدینا 2lim 4 2 2 lim 4x x

x x x

ومنھ limxf x

3( 2

2 222 24

4 2 2lim lim limx x x

xxf x x xx xx x x

22 24

limx

xx xx

x:لدینا : ومنھx x ومنھ

2

2

2 24 2 2lim lim 4 4 2x x

xx x ax x x

2 2

2

2

4 2 2 2 4 2 2 2lim 2 lim 4 2 2 2 lim

4 2 2 2x x x

x x x x x xf x x x x x

x x x

2 2

2 2 2

4 2 2 4 2 2 2 2lim lim lim2 2 2 2 2 24 2 4 2 4 2

x x x

x x x x x

x x x x x xx x x x x x

2 2

2 22 2 2 1lim lim4 22 2 2 24 2 4 2

x x

xx x b

xx x x x

yھ: ومن)4 ax b 12أي2

y x مقارب مائل لمنحنى

بجوار fالدالة

المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :1تمرین 2f x x fحیز تعریف الدالة fDحدد .1أحسب .2 lim

xf x

بجوارfلمنحنى الدالة أدرس الفرع الشلجمي.3)1أجوبة : / 2 0fD x x

2 2 0x x ومنھ: ;2fD

2(lim 2x

x

:ومنھ limxf x

3( 2

22 2lim lim lim lim2 2x x x xxf x x x

x x x x x x

2 1 1lim lim lim 1 0 02 2x x x

f x x xx x xx x

منحنى: التأویل المبیاني C یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محوراألفاصیل بجوار

المعرفة كالتالي:fنعتبر الدالة :1تمرین 1f x x x fحیز تعریف الدالة fDحدد .1بجوارfلمنحنى الدالة أدرس الفرع الشلجمي.2

)1أجوبة : / 1 0fD x x 1 1 0x x

ومنھ: 1;fD 2(lim 1

xx

:ومنھ lim

xf x

1lim lim lim 1x x x

f x x x xx x

منحنى: التأویل المبیاني C یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محوربجواراألراتیبالدالة العددیة المعرفة بما یلي:fلتكن:1تمرین

2 1f x x x .fمجموعة تعریف الدالةDحدد)1أحسب : )2 lim

xf x

.fأدرس الفروع أالنھائیة لمنحنى الدالة )3)1أجوبة : / 2 1 0fD x x

1 2 1 02

x x

1ومنھ: ;2f

D 2( lim lim 2 1

x xf x x x

ش غ م

2 22 1lim lim 2 1 lim

x x xf x x x x x

x x

22 2 2

2 1 2 1 2 1lim lim limx x xx x x x x xx x xx x x

2

2 1lim 1xxx x

3( 22 1

2 1 2 1lim lim lim 1 lim 1x x x x

xf x x xx x xx x x x

0


2

2 1lim lim 1 1x x

f xx x x

lim 1 lim lim 2 1x x x

f x x f x x x

منحنى: التأویل المبیاني C یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ المستقیم ذوyالمعادلة x بجوارالمعرفة علىfنعتبر الدالة العددیة :1تمرین

كالتالي : 4 21 2212 3

f x x x x

أحسب .1 f x لكلx منأدرس تقعر المنحني .2 fC الممثل للدالةfمع تحدید نقطتي انعطافھ

)1الجواب :

4 2 3 31 2 1 12 4 4 1 4 112 3 12 3

f x x x x x x x x

3 21 4 1 43

f x x x x

2( 2 2 22 2 0 2 0 4 0 0x x x x f x

2 2x ǃǐ x

تقعر fC محوراألراتیب الموجبة على المجال:موجھ نحو ; 2 2;

تقعر fC:موجھ نحو محور األراتیب الموجبة على المجال 2, 2یمكن تلخیص النتائج في جدول التقعر

0المشتقة الثانیة تنعدم وتتغیر اشارتھا في : 02.; 2x x اذن ھناك نقطتي انعطاف ھما : 2; 2A f و 2; 2A f

المعرفةxللمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة :1تمرینكالتالي : 2f x x x

fحدد حیز تعریف الدالة .11بین أن المستقیم .2

2x محور تماثل للمنحنى fC الممثل للدالةf

الجواب:1( 2f x x x 2/ 0fD x x x

21 0 1 0 0x ǃ ǐ x x x x x ومنھ جدول االشارة :

ومنھ: 0,1fD

2 (x a 1یعني2

x

نبین أنھ : اذا كانت )أ 0,1x : فان 1 0,1x ؟؟؟ 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0,1x x x x

1 0,1 0 1 1x x ب)نبین أن : 1f x f x ؟؟؟؟

2 21 1 1 1 1 2f x x x x x x 2 21 1 2x x x x x f x

1ومنھ 2

x تماثل منحنى الدالةمحورf.

xللمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة :1تمرینالمعرفة كالتالي :

2

1x xf xx

بین أن .1 221

f x xx

fD

بین أن النقطة.2 1; 3 مركز تماثل منحنى الدالةf.)1الجواب :

22 1 2221 1 1x x x xx f x

x x x

2 ( 1; 3 ;a bنبین أنھ : اذا كانت )أ 1x : فان 2 1x ؟؟؟

2 2 1 1 1 1x x x x 2 1 2 1x x

ب)نبین أن : 2 6 2f x f x b ؟؟؟؟

1 14 4 1 14 2 2

f x f x x xx x

1 1 1 14 2 6 62 2 2 2x x x x

ومنھ 2; 3 مركز تماثل منحنى الدالةf.المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :1تمرین 31 4

3f x x x

fحیز تعریف الدالة fDحدد .1fأدرس زوجیة الدالة .2عند محدات fأحسب نھایات الدالة .3

fD

fأدرس الفروع الالنھایة لمنحنى الدالة .4و أدرس إشارتھاfأحسب مشتقة الدالة .5fحدد جدول تغیرات الدالة .6حدد معادلة لمماس المنحني .7 fC الممثل للدالةf في

التي أفصولھا Aالنقطة 0 1x

حدد نقط تقاطع المنحني .8 fC.الممثل للدالة مع محوري المعلما وجدتذاfالدالة فحدد مطا ری.9

أرسم المنحني .10 fC الممثل للدالةf في معلم متعامد ممنظمأجوبة : 31 4

3f x x x 1(fD ألنھا دالة حدودیة

xفان x)أ) اذا كانت 2

ب) 3 3 31 1 14 4 43 3 3

f x x x x x x x f x

دالة فردیةfومنھ

3( 3lim lim

x xf x x

و 3lim lim

x xf x x

ألن نھایة دالة حدودیة عند ماالنھایةھي نھایة حدھا األكبر درجة

4(

3

2

113lim lim lim3x x x

xf xx

x x


3

2

113lim lim lim3x x x

xf xx

x x


5( 3 2 21 14 3 4 43 3

f x x x x x


2 2 22 2 0 2 0 4 0 0x x x x f x 2 2x ǃǐ x

6(

لمعادلة لمماس )7 fC في النقطةA 0التي أفصولھا 1x 0 0 0y f x f x x x و 111

3f و 1 3f

2 113 3 1 1 1 13 3

y x y x y f f x

مع محور األفاصیلالمنحنى الممثل للدالةنقط تقاطعأ))8

:نحل فقط المعادلة 0f x 31یعني 4 03x x

21یعني 4 03

x x

0xیعني 21أو 4 03x

0xیعني 2أو 12x 0یعنيx 12أو 12x ǃ ǐ x 0xیعني 2أو 3 2 3x ǃ ǐ x

ومنھ نقط التقاطع ھم : 2 3;0A و 2 3;0B و 0;0Oاألراتیبمع محور المنحنى الممثل للدالةنقط تقاطعب)

:نحسب فقط 0f لدینا 0 0f :ومنھ نقطة التقاطع ھي 0;0O9( 162

3f ھي قیمة دنیا للدالة

1623

f ھي قیمة قصوى للدالة

)التمثیل المبیاني للدالة 10

دالة عددیة معرفة بما یلي:fلتكن:1تمرین 2 1

2x xf xx

fمجموعة تعریف الدالة fDحدد .1بحیثcوbوaحدد األعداد الحقیقیة.2

لدینا: 2cf x ax bx

f

x D

fDأحسب النھایات عند محدات .3fأدرس الفروع الالنھائیة لمنحنى الدالة .4

.)fC(تحدید معادلة المقاربات و المقاربات المائلة لبین أن النقطة.5 2; 3 مركز تماثل منحنى الدالةf.إشارتھا.حدد الدالة المشتقة و ادرس.6.fDعلىfأعط جدول تغیرات.7نقط تقاطع المنحني احداثیات حدد .8 fC.الممثل للدالة مع محوري المعلم

.0أعط معادلة المماس في النقطة ذات األفصول .9.fCأنشئ المنحنى.10

أجوبة : 1( / 2 0fD x x ومنھ

2 ; 2 2;fD 2)نقوم بالقسمة االقلیدیة ل 2 1x x 2علىx : فنجد

2 1 2 1 1x x x x اذن :

2 1 1 2 1 1 112 2 2 2

x x x xf x x

x x x x

1aومنھ : 1وb 1وc

3( 2

2 2

1 1lim lim2 0x x

x xf xx

و 2

2 2

1 1lim lim2 0x x

x xf xx

2

lim lim limx x x

xf x xx

و 2

lim lim limx x x

xf x xx

4(2x مقارب للمنحنى fC

112

f x xx

یعني 112

f x xx

یعني 1 1lim 1 lim 02x x

f x xx

المستقیم ومنھ

1yذا المعادلة x مقارب مائل للمنحنى fC بجوارولدینا : 1 1lim 1 lim 0

2x xf x x

x

المستقیم ومنھ

1yذا المعادلة x مقارب مائل للمنحنى fCبجوار5 ( 2; 3 ;a b

أ)نبین أنھ : اذا كانت 2x : فان 4 2x ؟؟؟ 4 4 2 2 2 2x x x x

4 2 4 2x x ب)نبین أن : 4 6 2f x f x b ؟؟؟؟

1 14 4 1 14 2 2

f x f x x xx x

1 1 1 14 2 6 62 2 2 2x x x x

ومنھ 2; 3 مركز تماثل منحنى الدالةf.6(

2

2 2

2 11 11 12 2 2

xf x x

x x x

یعني

2 2

2 2 2

2 1 2 1 2 1 1 32 2 2

x x x x xf x

x x x

اشارة f x : ھي اشارة 1 3x x 1 3 0x x 1یعني 0x 3أو 0x 1یعنيx 3أوx

جدول اإلشارة :

جدول تغیرات الدالة :)7

fCf

fCf

f

f

f


مع محور األفاصیلالمنحنى الممثل للدالةنقط تقاطعأ))8

:نحل فقط المعادلة 0f x یعني2 1 0

2x xx

2یعني 1 0x x 1aنحل المعادلة باستعمال الممیز 1وb 1وc

2 24 1 4 1 1 5 0b ac فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما: بما أن

1 2bxa

و 2 2

bxa

11 5

2x 1و

1 52

x

1ومنھ نقط التقاطع ھما: 5 ;02

A

1أو 5 ;02

B

األراتیبمع محور المنحنى الممثل للدالةنقط تقاطعب)

:نحسب فقط 0f لدینا 102

f :10ومنھ نقطة التقاطع ھي;2

C

.2معادلة المماس في النقطة ذات األفصول ) 92( 0 0 0y f x f x x x

2

0 1 0 3 3040 2

f

و 102

f

1 3 0 0 02 4

y x y f f x

)التمثیل المبیاني للدالة :10

xللمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة :1تمرینالمعرفة كالتالي : 1 1f x x

لیكن fC الممثل للدالةf في معلم متعامد ممنظم , ,o i j

حدد ب)ب)fحیز تعریف الدالة fDحدد )أ)1 limxf x

0على الیسار عند fأدرس قابلیة اشتقاق الدالة ج) 1x وأعطتأویال ھندسیا للنتیجة المحصل علیھا.

fو حدد جدول تغیرات الدالة fأدرس تغیرات الدالة )2fأدرس الفروع الالنھائیة لمنحنى الدالة )31fتقبل دالة عكسیة fالدالةبین أن أ))4 معرفة على مجالJ

یجب تحدیدهحدد ب) 1f x لكلx منJ

ج)امأل الجدول التالي

أنشئ و fCو 1fC 1الدالةمنحنىf في نفس المعلم)أ)1أجوبة : /1 0fD x x

1 1 0x x ومنھ: ;1fD

limب) 1x

x :ومنھ lim

xf x

0على الیسار عند fقابلیة اشتقاق الدالة ج)دراسة 1x :

2

1 1 1 1

11 1 1lim lim lim lim1 1 1 1 1 1x x x x

xf x f x xx x x x x x

1 11 1lim lim1 1 1x xx

x x x

0الیسار عند على غیر قابلة لالشتقاق fومنھ 1x :یقبل نصف مماس یوازي محورfومبیانیا نقول ان منحنى الدالةاألراتیب على یسار النقطة : 1; 1A f أي 1; 1A

وموجھ نحو األعلى

2( 1 11 1 0 02 1 2 1x

f x xx x

;1x

:fجدول تغیرات الدالة

3( 2

11 1 1 1 1lim lim lim lim1x x x xxf x x x

x x x x x x x

1 1 1 1 1 1 1lim lim lim 0 1 0 01 1 1x x xx x x

x x x x xx x x x

منحنى: التأویل المبیاني Cیقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محوراألفاصیل بجوار

على المجال دالة متصلة f) أ)4 ;1I وfتناقصیة قطعا1fتقبل دالة عكسیة fومنھ معرفة

:على مجال ;1 1;J f I f

)ب f y xy I

1y f x

x f I

;1

f y x

y

1یعني 1 y x

22یعني 1y x 1 1y x یعني 2 21 1y x یعني 21 1y x یعني 21 1y x 2یعني 2y x x

ومنھ : 1 2 2f x x x 1;x

4(

ج)

fCf

0

fCf

10-3-8x-1012 f x

10-3-8x f x


1fمنحنى الدالة ھو مماثل منحنى الدالةf: بالنسبة للمستقیمy xفي معلم متعامد ممنظم

المعرفة كالتالي للمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة :1تمرین : 1 1 1f x x x

لیكن fC الممثل للدالةf في معلم متعامد ممنظمfمجموعة تعریف الدالة fDحدد )1احسب :)2 lim

xf x

fأدرس الفروع الالنھائیة لمنحنى الدالة )3على الیمین عند fأدرس قابلیة اشتقاق الدالة )4بین أن : )5 3 1

2f x x 1;x

fو حدد جدول تغیرات الدالة fأدرس تغیرات الدالة )6معرفة على مجال تقبل دالة عكسیة الدالةبین أن أ))7

یجب تحدیدهمن لكل حدد ب)

:)امأل الجدول التالي8

أنشئ و fCو 1fC في نفس المعلمالدالةمنحنى)1أجوبة : 1 1 1f x x x

1 1 0x x ومنھ: 1;fD

2( lim lim 1 1 1x xf x x x

3( 1 1 1 1 1 1lim lim limx x x

f x x x x xx x x x

1 1lim 1x

xx

x x

1limألن : lim 1x x

x xx x وlim 1

xx

1وlim 0

x x

منحنى: التأویل المبیاني C یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محوربجواراألراتیب

4( 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1lim lim lim lim 1 0

1 1 1x x x xf x f x x x x

xx x x

0على الیمین عند قابلة لالشتقاق fومنھ 1x في النفطة : على الیمینیقبل نصف مماس fمبیانیا نقول ان منحنى الدالة

1; 1A

)نبین أن : 5 3 12

f x x 1;x ؟؟؟

1 1 1 1 1 1 1 1f x x x x x x x

1 2 2 1 3 31 1 1 0

2 1 2 1 2 1x x x xf x x xx x x

23 1 1 3 1

22 1

x x xf xx

1;x

6( 3 1 02xf x 1;x

على المجال دالة متصلة f)أ)7 ;1I وfتزایدیة قطعا1fتقبل دالة عكسیة fومنھ معرفة

:على مجال 1; 1;J f I f

)ب f y xy I

1y f x

x f I

1;

f y x

y

یعني 1 1 1y y x

عني 1 1 1y y x یعني 2 21 1 1y y x یعني 3 21 1y x یعني 231 1y x یعني 23 1 1y x

ومنھ : 21 3 1 1f x x 1;x 8(

x

, ,o i j

0 1x

f1f J

1f xxJ

1f

310-1x f x

310-1x71 ,80-1 f x


تمارین للبحث والتثبیتxللمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة : للبحث :1تمرین

المعرفة كالتالي : 22f x x x لیكن fC الممثل للدالةf

في معلم متعامد ممنظم , ,o i j 8بحیثi cmfحیز تعریف الدالة fDحدد )10على الیمین عند fأدرس قابلیة اشتقاق الدالة )2 0x وعلى الیسار عند

0 2x وأعط تأویال ھندسیا للنتائج المحصل علیھا1بین أن المستقیم ذا المعادلة )3

4x محور تماثل للمنحنى fC

أنشئ )4 fC الدالةبین أن قصورf 10المجال على;4

I وحدد یجب تحدیدهJتقبل دالة عكسیة معرفة على مجال 1f x

Jمن xلكل

الدالة المعرفة بما یلي:fلتكن:1تمرین 3

11

f xx

و حدد نقط انعطافھا.fالدالةىأدرس تقعر منحن

المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم :1تمرین ; ;o i j .العددیة المعرفة على بما یلي:الدالة fلتكن

3

3

2 ; 2

4 2 ; 2

f x x x x

f x x x x

2xبین أن المستقیم الذي معادلتھ محور تماثل لمنحنى الدالةf.

دالة عددیة معرفة بما یلي:fلتكن:1تمرین

3

21xf xx

fمجموعة تعریف الدالة fDحدد .1fأدرس زوجیة الدالة .2fDأحسب النھایات عند محدات .3fأدرس الفروع الالنھائیة لمنحنى الدالة .4

.)fC(تحدید معادلة المقاربات و المقاربات المائلة لبین أن النقطة.5 2; 3 مركز تماثل منحنى الدالةf.حدد الدالة المشتقة و ادرس إشارتھا..6.fDعلىfأعط جدول تغیرات.7نقط تقاطع المنحني احداثیات حدد .8 fC.الممثل للدالة مع محوري المعلم.0أعط معادلة المماس في النقطة ذات األفصول .9

.fCأنشئ المنحنى.10

mmonsite.co-.eshttp:// xyzmathاألستاذ: نجیب عثماني 1

أحسب النھایات التالیة ::1تمرین1lim 3

n n 3و

4lim 7n n4وlim 5

n n

2lim:أجوبة n n

و7

8limn n

5limو 3n

n 61وlim

2nn

9lim 2n

n

و 9

4lim 13n n

4وlim 5n

nn و

3

2 3lim 1n n n

5limو 4n

nn

حدد من بین المتتالیات التالیة المتتالیات المتقاربة::2تمرین2lim

nn

n و

2

2 5lim 2n nn 1وlim 7

nn

n

2lim:أجوبة 0n

nn متباعدة ألن اذن ھي متتالیة

نھایتھا غیر منتھیة

2

2 5lim 2 0 0 2 2n n n متقاربة ألن نھایتھا اذن ھي متتالیة

منتھیة1lim 7 0

nn

n متباعدة ألن نھایتھا اذن ھي متتالیة

غیر منتھیةأحسب النھایات التالیة : :3تمرین

2

2 2 5lim 133n n nn ,1 2lim 3 1

n n n

,2limn

n n

2

2

4 3 7lim3 5n

n nn

,lim 2n

n n

,

: أجوبة2

2 2 5lim 1 0 0 0 1 133n n nn

2limألن: 03n n2

5lim 0n n

2وlim 03n n

1 2lim 3 1 3 0 1 0 3 1 3n n n

1limألن: 0n n

2وlim 0n n

2limn

n n

: الحساب مباشرة نحصل على شكل غیرمحدد من قبیل

2lim lim 1

n nn n n n

limألن:n

n

وlim 1n

n

و2

2 2 2

22

2 2

3 7 3 74 44 3 7 4lim lim lim

5 53 5 33 3n n n

nn n n n n n

n nn n

3limألن: 0n n

2و7lim 0

n n 2و

5lim 0n n

lim 2n

n n

الحساب مباشرة نحصل على شكل

غیرمحدد من قبیل : lim 2 lim 1 2

n nn n n n

limألن:n

n

و lim 1 2n

n

و

أحسب النھایات التالیة : :4تمرین

2

15lim 73

n

n

n

,3 2lim 4 5 3 1

nn n n

3 5lim6 2 7 9n

n n n

,9 3lim3 5n

nn

,26 9lim

3 1nnn

2

5

1lim3 4n

nn n

,2

3

7 1lim14 5 9n

nn n

, 2 2lim 1 1n

n n

lim 2n

n n

,2lim 1n

n n n

: أجوبة2

15 5lim 7 33n

n

n

1limألن: 0n n

2و7lim 0

n n

3 2 3lim 4 5 3 1 lim 4n n

n n n n

نھایة متتالیة حدودیة ھي نھایة حدھا األكبر درجةألن:3 5 5lim 6 2 7 9 lim 2

n nn n n n

9 3 9 9lim lim 33 5 3 3n n

n nn n

نھایة متتالیة جذریة ھي خارج نھایة حدیھا األكبر درجة.ألن:

2 26 9 6 3 2lim lim lim lim 23 1 3 3n n n nn n n n nn n n

2 2

5 5 3

1 1lim lim lim lim 03 4n n n n

n n n nn n n n n n n n n

2 2

3 3

7 1 7 7 1lim lim lim lim 014 5 9 14 14 2n n n n

n n n nn n n n n n n

الحساب مباشرة نحصل على شكل غیرمحدد من قبیل : 2 2 2 2lim 1 1 lim 2 1 2 1 lim4

n n nn n n n n n n

limألن:n

n

2 2 2lim 2 lim lim 02 2n n n

n n n nn n

n n n n


الشرقیة

المتتالیات العددیة:تمارین محلولةالثانیة باك علوم فیزیائیة وعلوم الحیاة المستوى :



2 2

2

2 2

1 1 1lim 1 lim lim1 1n n n

n n n n n n nn n nn n n n n n

2 22 2

111 1lim lim lim

1 1 1 11 1 1 1n n n

nn n n

n n n n n nn nn n

2

11 1lim21 11 1

n

n

n n

lim[حسب النھایات التالیة ::5تمرین 2nn

,2lim3

n

n

,

lim 5 nn

lim: أجوبة 2 =+nn

:2ألن 1a

2lim =03

n

n

21ألن : 13

a

5 n: 5لیست لھا نھایة ألن:ألن 1a

أحسب النھایات التالیة : :6تمرین lim 0,7 nn

, lim 2 nn

1lim 32

nnn

, lim 2 nn

, lim 4 nn

,

5

lim4

n

nn

,

3 2lim

2

n n

nn

:أجوبة lim 0.7 =0nn

1ألن : 0.7 1a

lim 2 =+n

n:2ألن 1a و

1lim 3 02

nnn

ألن : 2 n:2لیست لھا نھایة ألن 1a

1 1lim 4 lim lim 044

nn

nn n n

11ألن : 14

a

و 5 5lim lim

44

n n

nn n

5ألن: 14

a

3 2 3 2 3lim lim lim 1 122 2 2

n n n n n

n n nn n n

أحسب النھایات التالیة : :7تمرین 43lim

nn

,

67lim

nn

,

3 15 3lim 4

nn n

:أجوبة 43lim

nn

,

67lim 0

nn

,

3 1 1 3 1 1 1 4 15 3 3 5 3 3 3 15 3lim 4 lim 1 4 lim 1 4

n n nn n n n n n n n

نعتبر المتتالیة العددیة :8تمرین nu المعرفة

1كالتالي :

0

13

0

nn

n

uuu

u

n

ونعتبر المتتالیة العددیة nv : المعرفة كالتاليn

و استنتج طبیعة المتتالیة أحسب .1 nvnبداللة nuاستنتج ثم nبداللة nvأكتب .2limأحسب:.3 nn vوlim nn u

1)1أجوبة :1

1 11 1n n n n

v vu u

1nuنعوض 1ب3

n

n

uu

فنجد: 1

31 1 1 1 21 2 21 1 2 2 2 21

3 3

nn n

n nn n n n

n n

uv v u uu u u uu u

13 2 1 1 1

2 2 2 2 2 1 2n n n

n nn n n

u u uv v ru u u

ومنھ nv: 12متتالیة حسابیة أساسھاr 0وحدھا األول : 1v

بما أن:) 2 nv: متتالیة حسابیة أساسھا12

r : 0وحدھا األول 1v

0nvفان : v nr : 1أي2nnv

1)نعلم أن : 51n n

vu

11nیعنيn

uv

1یعني 1nn

uv

1ونعلم أن : 2nnv : اذن

1 1 2 2 21 1 12 2 2 212 2

nn nu n n n n n

limب:احس)3 nn vوlim nn ulim lim 1 lim

2 2nn n nn nv

lim lim lim 12nn n n

n nun n

المتتالیة nv متباعدة و المتتالیة nuمتقاربةنعتبر المتتالیة العددیة :9تمرین nu المعرفة

1كالتالي : 0

2 13

10

n nu u

u

n

ونعتبرالمتتالیة العددیة nv المعرفة3nكالتالي : nv u n

0vو 1uأحسب .13nuبین أن : .2 n أدرس رتابة المتتالیة .3 nu1nأحسب .4

n

vv و استنتج طبیعة المتتالیة nv

nبداللة nuاستنتج وnبداللة nvأكتب .5limأحسب .6 nn vوlim nn u

11n n

vu

1n nv v


0بnنعوض )1الجواب:0فنجد: 1 0

2 2 20 20 3 231 10 1 13 3 3 3 3 3

u u : 1اذن233

u

1ب nنعوض

1فنجد : 1 12 2 23 46 46 9 551 1 13 3 3 9 9 9 9

u u : 2اذن559

u

0فنجد :0ب nنعوض 0 3 10 3 7v u

1فنجد :1ب nنعوض 123 23 9 143 33 3 3 3

v u

)نستعمل برھانا بالترجع20nأ)نتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل

0لدینا 10 3u : 0العبارة صحیحة بالنسبة ل اذنn

3nuب)نفترض أن:

1ج)نبین أن: 3nu ؟؟؟؟؟

نحسب الفرق : 12 2 23 1 3 2 33 3 3n n n n

u u u u

3nuو حسب افتراض الترجع لدینا :

3اذن : 0nu 1منھ 3 0nu :3وبالتاليnu n

)دراسة رتابة المتتالیة 3 nuنحسب :

1n nu u : وندرس اإلشارة

12 1 11 1 33 3 3n n n n n n

u u u u u u

3nuنعلم أن: n 1)اذن : 2حسب السؤال 0n nu u

ومنھ المتتالیة nuتناقصیة4(

1 1

2 2 2 6 21 3 2 33 23 3 3 2 33 3 2 2 2 3

n n n nn n

n n n n n n

u u u uv u qv u u u u u

اذن: المتتالیة nv ھندسیة أساسھا32

q 0وحدھا األول 7v

:nبداللة nvكتابة

بما أن المتتالیة nv 23ھندسیة أساسھا q0وحدھا األول 7v

27فان:3

n

nv

nبداللة nuاستنتاج 3nلدینا: nv u :3اذنn nv u :27أي 3

3

n

nu

5(2lim lim 7 03

n

nn nv

21ألن : 13

2lim lim 7 3 33

n

nn nu

نعتبر المتتالیة العددیة :10تمرین nu المعرفة1كالتالي :

0

52 3

2

nn

n

uuu

u

n

ونعتبر المتتالیة العددیة nv : 1المعرفة كالتاليnnn

uvu

n

1nuبین أن : .1 n

بین أن .2 nvمتتالیة ھندسیة وحدد أساسھا وحدھا األولnبداللة nuثم استنتج nبداللة nvأكتب .3limأحسب .4 nn vوlim nn u

)نستعمل برھانا بالترجع1أجوبة :0nأ)نتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل

لدینا 0 2 1u : 0العبارة صحیحة بالنسبة ل اذنn

1nuب)نفترض أن:

1ج)نبین أن: 1nu ؟؟؟؟؟

نحسب الفرق : 1

5 2 3 3 15 3 31 12 3 2 3 2 3 2 3

n n nn nn

n n n n

u u uu uuu u u u

1nuو حسب افتراض الترجع لدینا :

1اذن : 0nu 2و 3 0nu 1و منھ 1 0nu

1nuوبالتالي: n

2 (11

1

1nn

n

ﺔﯿﺋﺎﻳﺰﯿﻔﻟا مﻮﻠﻌﻟا ﻚﻠﺴﻣ ﺔﯿﻋارﺰﻟا مﻮﻠﻌﻟا …xyzmaths.e-monsite.com/medias/files/ex-2sc-tous.pdf · proverbe. c’est en s’entraînant

Documents