III Workshop de Álgebra da UFG – CAC Raízes da Unidade Naura Delfina Vaz da Silva - [email protected] Suenir Aparecida da Silva - [email protected] Igor dos Santos Lima (Orientador) - [email protected] Resumo Este trabalho é parte do estudo da disciplina de Cálculo em uma Variável Complexa. Vamos estabelecer alguns conceitos de raízes da unidade e fazer uma ligação com a Teoria de Grupos, mostrando que o conjunto das raízes n-ésimas da unidade formam um grupo multiplicativo. Introdução Pondo = ( + ) e utilizando a fórmula De Moivre, vemos que as raízes n-ésimas da unidade são dadas por: , , , ,…, − Definição (Grupo): Seja ≠ ∅ um conjunto. Defina sobre G a seguinte operação (função): *: x → , definida por , →∗. Dizemos que , juntamente com a operação *, é um grupo se as seguintes propriedades estão satisfeitas: 1) (associatividade): ∀ , ∈ ; ∗ ∗ = ∗ ∗ 2) (elemento neutro): ∃ ∈ : ∀ ∈ ; ∗ = * = 3) (elemento inverso): ∀ ∈ , ∃ − ∈ ; * − = − * = Vamos mostrar que as raízes n-ésimas da unidade formam um grupo multiplicativo (operação denotada por *). Consideremos = , , , ,…, − . Valem as seguintes propriedades: 1) Associatividade de números complexos; 2) Existência de elemento neutro: ∗ = ∗= , ∀ ≤ t ≤ n-1; 1) Existência de elemento inverso: * − = = 1, ∀ ≤ t ≤ n-1. é um grupo abeliano, conforme definição a seguir, pois * = + = + = * . Definição (Grupo Abeliano): Seja um grupo. Dizemos que é abeliano (ou comutativo) quando ∀, ∈ tem-se ∗=∗. Para facilitar a compreensão vamos trabalhar com um subgrupo de . Definição (Subgrupo): Sejam um grupo e ⊆ um subconjunto não vazio. Dizemos que é um subgrupo de , denotado por ≤ , se , juntamente com a operação de restrita à , for um grupo. Equivalentemente, ∅≠≤⇔ for fechado para operação e para inversão. Fechado para operação: ∀ , ∈⇒ * ∈. Fechado para inversão: ∀ ∈ ⇒ − ∈. Vamos tomar n = 6. Considere o seguinte subconjunto de = , , , , , = = , , . Note que operado com ou resulta em ou , respectivamente. Além disso, ∗ = ; ∗ = ∗ = = ; ∗ = = * = ; − = , − = e − = Portanto, é fechado para operação e para inversão, logo ≤. Bibliografia DOMINGUES, Higino H. Álgebra Moderna. 4ª ed. reformada. São Paulo: Atual, 2003. BOYER, C. B. História da Matemática. Edgard Blucher, São Paulo, 1974. ÁVILA, Geraldo. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. O matemático Leonardo Euler mostrou que as equações do tipo = ω tinham n soluções dentro do conjunto dos números complexos. Vários matemáticos tentaram provar esta conjectura. Em 1746, Jean Le Rond d’Alembert publicou algo que considerou uma prova deste fato. Porém, foi Carl Friedrich Gauss, em 1799, que mostrou que tal prova era “insatisfatória e ilusória” e apresentou uma demonstração correta. Preliminares Primeiramente vamos definir alguns conceitos dos números complexos: um número complexo é um número da forma a + bi, onde a e b são números reais. o seu conjugado é da forma a – bi. e pode ser representado na forma polar: z = ( + ), onde = |z| e é o ângulo entre o eixo real e o vetor z. E agora vamos definir e mostrar uma conexão entre as Raízes da Unidade e a Teoria de Grupos. Definição (Raízes n-ésimas da Unidade): Qualquer solução da equação = é dita uma raiz n-ésima da unidade. Podemos mostrar que as raízes n-ésimas da unidade estão localizadas sobre a circunferência unitária no plano complexo e que nesse plano formam os vértices de um polígono regular de n lados. A fórmula geral da solução de = é da seguinte forma = ( + ), onde é inteiro e ≤≤−. Fórmula De Moivre: ( + ) = () + ()