III. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL CUERPO RÍGIDO Resultantes de los sistemas de fuerzas paralelas Antes de abordar la composición de sistemas de fuerzas paralelas, tendremos que estudiar el concepto de momento de una fuerza, que nos servirá para determinar la posición de las fuerzas, y las características de los pares de fuerzas ( 1 ). Momento de una fuerza El concepto de momento es antiquísimo, pues nació entre los griegos. Nos aproximaremos a él mediante el caso de la balanza de platillos. Esque- máticamente, una balanza consiste en una barra muy ligera, articulada en su centro y en cuyos extremos se colocan sendos pesos. Supongamos que cada brazo de la balanza mida 20 cm y que los pesos sean de 5 kg, como se muestra en la figura. Supongamos que cada brazo de la balanza mida 20 cm y que los pesos sean de 5 kg, como se muestra en la figura. ( 1 ) Algunos textos constriñen el uso de la palabra “resultante” a la fuerza única que es capaz de producir los mismos efectos externos que un siste- ma de fuerzas concurrentes. Lo cual trae consigo muchas complicaciones, pues a veces el sistema equivalente más simple es un par de fuerzas, y se- ría incorrecto decir que el sistema correspondiente no tiene resultante, pues se entendería que está en equilibrio.
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III. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS
DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL
CUERPO RÍGIDO
Resultantes de los sistemas de fuerzas paralelas
Antes de abordar la composición de sistemas de fuerzas paralelas,
tendremos que estudiar el concepto de momento de una fuerza, que nos
servirá para determinar la posición de las fuerzas, y las características de
los pares de fuerzas (1).
Momento de una fuerza
El concepto de momento es antiquísimo, pues nació entre los griegos.
Nos aproximaremos a él mediante el caso de la balanza de platillos. Esque-
máticamente, una balanza consiste en una barra muy ligera, articulada en
su centro y en cuyos extremos se colocan sendos pesos. Supongamos que
cada brazo de la balanza mida 20 cm y que los pesos sean de 5 kg, como
se muestra en la figura. Supongamos que cada brazo de la balanza mida 20
cm y que los pesos sean de 5 kg, como se muestra en la figura.
(1) Algunos textos constriñen el uso de la palabra “resultante” a la fuerza
única que es capaz de producir los mismos efectos externos que un siste-
ma de fuerzas concurrentes. Lo cual trae consigo muchas complicaciones,
pues a veces el sistema equivalente más simple es un par de fuerzas, y se-
ría incorrecto decir que el sistema correspondiente no tiene resultante, pues
se entendería que está en equilibrio.
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido
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Los cuerpos están en equilibrio
y es evidente que si quitáramos el
cuerpo de la derecha, la barra gi-
raría alrededor de un eje horizon-
tal que pasara por la articulación
O.
Si en vez del cuerpo de 5 kg,
dispusiéramos de un cuerpo de
10 y quisiéramos equilibrar la ba-
lanza, tendríamos que colocar el
nuevo cuerpo a una distancia de
10 cm de la articulación; y si el
cuerpo fuera de 20 kg, tendría
que colocarse a sólo 5 cm de O.
Estos casos, que se pueden comprobar fácilmente, muestran que el
producto peso por brazo se mantiene constante, en este caso 100 kg ∙ cm,
y los efectos son los mismos. Esos efectos son lo que llamamos momentos
de fuerzas.
El momento de una fuerza es la tendencia a girar alrededor de un eje
que la fuerza produce sobre un cuerpo
Momento de una fuerza respecto a un punto
El momento de una fuerza respecto a un punto es el momento de la
fuerza respecto a un eje que pasa por el punto y es perpendicular al plano
que contiene la línea de acción de la fuerza y el punto.
En el caso de las fuerzas coplanares que es el que nos ocupa en este
momento, más que considerar el eje alrededor del cual se produciría la ten-
dencia a girar, nos importa fijar la atención en el punto del plano que se in-
tersecta con dicho eje.
El momento de una fuerza F respecto a un punto O se calcula multi-
plicando la magnitud de la fuerza por la distancia de su línea de acción al
punto. Se simboliza MOF = Fd. El sentido del momento es de la máxima
importancia; siempre se debe indicar si se trata de una tendencia girar en el
sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario.
5 kg 10 kg
O
20 cm 10 cm
20 cm
O
20 cm
5 kg 5 kg
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido
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MAQ = 80(0.4) ; MAQ = 32 kg ∙ m ⤸
MBQ = 80(0.4) ; MBQ = 32 kg ∙ m ⤸
Nótese que la línea de acción de Q es vertical y pasa por C, de modo
que su distancia perpendicular al punto B es de 0.4 m, exactamente igual
que su distancia a la articulación A. Los momentos no dependen del pun-
to de aplicación de la fuerza, sino de su línea de acción.
MCQ = 0
MBQ = 80(0.4); MBQ = 32 kg ∙ m ⤹
MAP = 340AB̅̅ ̅̅ = 340(8.5);
MAP = 2890 lb ∙ ft ⤸
MCP = 340BC̅̅̅̅ = 340(8.5);
MCP = 2890 lb ∙ ft ⤹
Para calcular el momento de P con respecto a D, prolongamos su línea de
acción y levantamos una perpendicular que pase por D.
Ejemplo. Calcule el momento que la
fuerza Q de 80 kg produce respecto a cada
uno de los puntos, A, B, C y D de la
ménsula de la figura.
Q = 80
kg
0.4 m
0.3
m
A
B
C D
0.4 m
Ejemplo. Diga qué momento produ-
ce la fuerza P de 340 lb con respecto a
cada una de las articulaciones A, B, C, D
y E de la armadura en cantilíver que se
muestra en la figura.
P = 340#
7.5´
8´
A
B
D E
7.5´
C
8
15
17
A
C
D
8.5
7.5
4
A
B
E
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido
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Por semejanza de triángulos
OA̅̅ ̅̅
8.5=17
15; OA̅̅ ̅̅ =
8.5(17)
15
OD̅̅ ̅̅ = 15 − OA̅̅ ̅̅ = 15 − 8.5(17)
15=80.5
15
d
OD̅̅ ̅̅=15
17; d =
15
17(80.5
15) =
80.5
17
MDF = 340 (80.5
17)
MDF = 1610 lb ∙ ft ⤹
Teorema de Varignon (o teorema de momentos)
Sea una fuerza cualquiera F aplicada en el punto A y sea O un punto
respecto al cual se quiere calcular el momento de la fuerza.
Elegiremos un sistema de refe-
rencia cuyo eje de las yes tenga la
dirección AO, y un eje de las equis
perpendicular a él. Descompondre-
mos la fuerza F en dos componen-
tes cualesquiera C1 y C2. Puesto que
F es resultante de estas dos fuerzas
componentes
R =∑Fx
F cos γ = C1 cos α + C2 cos β
Multiplicaremos cada uno de los términos por la distancia OA, de mo-
do que no se altere la igualdad.
F(OA̅̅ ̅̅ ) cos γ = C1(OA̅̅ ̅̅ ) cos α + C2(OA̅̅ ̅̅ ) cos β
β
α
γ
C1
C2
O
x
y
A
F
P = 340
A
B
O D
d
α α
15
17
α
8
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido
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Levantaremos una perpendi-
cular a cada una de las líneas de
acción de las fuerzas que pase
por O. Cada una de esos seg-
mentos, que denominaremos d,
d1 y d2, forman con el eje de
las yes los ángulos , y ,
respectivamente..Observamos
que d = (OA) cos γ,.que.d1 =(OA) cos α y que d2 =(OA) cos β.
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior tenemos
Fd = C1d1 + C2d2
es decir,
MOF = MOC1 +MOC2
que es el teorema de Varignon, y que podemos enunciar de la siguiente
manera: el momento de una fuerza respecto a un punto es igual a la suma
de los momentos de sus componentes respecto al mismo punto.
Obtenemos las componentes horizontal y vertical de la fuerza.
FH = 4200 (√3
2) = 2100√3
4200 N 30°
20 mm A
50 mm
Ejemplo. Utilizando el teorema de
Varignon, calcule el momento de la fuer-
za de 4200 N con respecto al empotra-
miento A.
β
α
γ
C1
C2
O
x
y
A
F
20
50
A
FV
FH
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido
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FV = 4200 (1
2) = 2100
MAF = MAFH +MAFV
MAF = 2100√3(20) − 2100(50) MAF = −32300 N ∙ mm
MAF = 32.3 N ∙ m ⤸
Como hemos considerado positivo el momento en sentido antihorario
y el resultado es negativo, el momento de la fuerza tiene sentido horario.
PH = 3400 (8
17) = 160
PV = 340 (15
17) = 300
MDP = MDPH +MDPV
MDF = −160(4) − 300(7.5)
MAF = −640 + 2250 = −1610
MDP = 1610 lb ∙ ft ⤹
Ejemplo. Determine el momento de
la fuerza P que actúa sobre la armadura
en cantilíever del problema ya resuelto,
empleando el teorema de Varignon. P = 340#
7.5´
8´
A
B
D E
7.5´
C
17
8
15 15
8
340
4
7.5
160
300
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido
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Las componentes ortogonales de la fuerza son
QH = 260 (5
13) = 100
QV = 260 (12
13) = 240
Primera solución: descomponiendo en B
MGQ = MGQH +MGQV
MGQ = −100(6) + 240(5) MAF = −600 + 1200 = 600
MDP = 600 lb ∙ in ⤹
Segunda solución: descomponiendo la fuerza Q en el punto A
MGQ = MGQH +MGQV
MGQ = 100(6) + 0
MDP = 600 lb ∙ in ⤹
Como puede apreciarse, una buena selección del centro de momentos
facilita los cálculos.
5´´
G
5´´ A
B
6´´
6´´
Ejemplo. Calcule el momento de la
fuerza Q de 260 lb respecto al centroide
G de la sección transversal de la viga I
mostrada en la figura.
Q
13
5
12
6
5 G
QH
QV
6
G
QH
QV
A
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido
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Resultantes de sistemas de fuerzas paralelas
Consideremos dos fuerzas verticales F1 y F2 aplicadas en una viga que
deseamos reducir a una sola fuerza equivalente. Añadiremos al sistema dos
fuerzas colineales de sentido contrario de magnitud E; como se trata de un
sistema de fuerzas en equilibrio, no se alteran los efectos externos que sufre
la viga. A continuación sustituimos F1 y E por una sola fuerza R1, que es
su resultante; lo mismo hacemos con F2 y E, y las sustituimos con R2. Te-
nemos ahora un sistema de dos fuerzas concurrentes formado por R1 y R2,
las cuales podemos deslizar sobre sus líneas de acción hasta su punto de
concurrencia, en donde las compondremos para obtener la fuerza única
equivalente R que buscábamos.
De la geometría de la figura, se puede
observar fácilmente que la magnitud de R
es igual a la suma de F1 más F2. Y es evi-
dente que es paralela a las fuerzas origina-
les.
Para determinar de modo analítico la
posición de la resultante, elegiremos un
punto arbitrario O. El momento de R res-
pecto a O es igual a la suma de los mo-
mentos de R1 y R2 según lo establece el
teorema de Varignon. Además, el mome-
nto con respecto a O de R1, conforme al
mismo teorema, es igual a la suma del
momento de F1 más el momento de E,
ambos respecto al punto O. Pero el mo-
mento de R2con respecto a O es igual al
momento respecto a O de F2 menos el
momento de E respecto al mismo punto;
este momento tiene necesariamente senti-
do contrario al de la otra componente E,
pues ambas están en la misma línea de ac-
ción, pero son de sentido contrario. De to-
do lo cual resulta que
R1
R2
F1
F2
E E
β α
O
R2
β α
R1 R2 R1
R
O
R1
R2
F1
F2
E E
β α
F1
F2
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido
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MOR = MOF1 +MOF2
y con esta ecuación se puede determinar con facilidad la posición de la
resultante buscada.
Estos resultados se pueden generalizar, pues el proceso puede reite-
rarse tantas veces como se desee. Así, la resultante de un sistema de fuer-
za paralelas será otra fuerza paralela, cuya magnitud será igual a la suma
algebraica de las fuerzas del sistema; el sentido de la fuerza quedará
determinado por el signo de dicha suma algebraica. Es decir, requerimos
de las siguientes dos ecuaciones para la determinación de la resultante de
un sistema de fuerzas paralelas:
R =∑Fy
MOR =∑MOF
Elegimos un sistema de referencia como se muestra
R =∑Fy
R = 60 + 120 + 80 = 260
Elegimos el extremo A como centro de momentos y consideramos
positivos los que tienen sentido horario.
Ejemplo. La figura representa tres
cajas colocadas sobre una tarima.
Sustitúyalas por una sola que produzca
los mismos efectos externos sobre la
tarima.
60 kg 80 kg
0.6 m 0.8 m 0.7 m 0.2 m
120 kg
A B
x
y
60 120 80
0.8 A B
0.6 0.7 0.2
Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido