III.- CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN ESTACIONARIO EN FUNCIÓN DE DOS O MAS VARIABLES http://libros.redsauce.net/ III.1.- MÉTODO ANALÍTICO En los casos de conducción de calor estudiados se ha supuesto que la distribución de temperaturas era función de una sola variable, (sistemas unidimensionales), en régimen estacionario. En el presen- te capítulo vamos a estudiar la conducción térmica en función de dos o más variables independientes en régimen estacionario, y aunque las soluciones analíticas obtenidas para estos casos tengan muy poco valor práctico, se incluyen para hacer resaltar las técnicas matemáticas que han de utilizarse en casos más complejos y de mayor utilidad que se abordarán en el régimen transitorio. Cuando se tenga más interés en los resultados finales que en el desarrollo matemático de las solu- ciones, la obtención de éstas en algunos problemas de importancia práctica se han conseguido con ayuda de gráficas relativamente sencillas. Conducción en régimen permanente en placas rectangulares.- Vamos a estudiar en primer lugar la conducción en régimen permanente de una placa rectangular como la representada en la Fig III.1. Para calcular la distribución de temperaturas en la placa utilizaremos coordenadas cartesianas, considerando como plano (x,y) el de la placa y como origen de coordenadas el vértice. Supondremos que no existe conducción en la dirección z, normal a la placa; ésto se cumplirá si la placa tiene una gran longitud en esta dirección, sólido infinito, de forma que no se produzcan efectos de borde L >> b; L >> a, o que éstos efectos sean despreciables, o si las caras x, y están aisladas térmi- camente. La ecuación de conducción del calor para el régimen permanente, en coordenadas cartesianas y dos dimensiones es ∂ 2 T ∂x 2 + ∂ 2 T ∂y 2 = 0 , que es una ecuación diferencial lineal a la que se puede aplicar el principio de superposición. La solución de la ecuación anterior se obtiene suponiendo que la distribución de temperaturas se puede expresar como el producto de dos funciones, cada una de las cuales depende solamente de una de III.-47
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III.- CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN ESTACIONARIO EN
FUNCIÓN DE DOS O MAS VARIABLES
http://libros.redsauce.net/
III.1.- MÉTODO ANALÍTICO
En los casos de conducción de calor estudiados se ha supuesto que la distribución de temperaturas
era función de una sola variable, (sistemas unidimensionales), en régimen estacionario. En el presen-
te capítulo vamos a estudiar la conducción térmica en función de dos o más variables independientes
en régimen estacionario, y aunque las soluciones analíticas obtenidas para estos casos tengan muy
poco valor práctico, se incluyen para hacer resaltar las técnicas matemáticas que han de utilizarse en
casos más complejos y de mayor utilidad que se abordarán en el régimen transitorio.
Cuando se tenga más interés en los resultados finales que en el desarrollo matemático de las solu-
ciones, la obtención de éstas en algunos problemas de importancia práctica se han conseguido con
ayuda de gráficas relativamente sencillas.
Conducción en régimen permanente en placas rectangulares.- Vamos a estudiar en primer
lugar la conducción en régimen permanente de una placa rectangular como la representada en la Fig
III.1.
Para calcular la distribución de temperaturas en la placa utilizaremos coordenadas cartesianas,
considerando como plano (x,y) el de la placa y como origen de coordenadas el vértice.
Supondremos que no existe conducción en la dirección z, normal a la placa; ésto se cumplirá si la
placa tiene una gran longitud en esta dirección, sólido infinito, de forma que no se produzcan efectos
de borde L >> b; L >> a, o que éstos efectos sean despreciables, o si las caras x, y están aisladas térmi-
camente.
La ecuación de conducción del calor para el régimen permanente, en coordenadas cartesianas y
dos dimensiones es
∂2T∂x2 + ∂
2T∂y2 = 0 , que es una ecuación diferencial lineal a la que se puede aplicar
el principio de superposición.
La solución de la ecuación anterior se obtiene suponiendo que la distribución de temperaturas se
puede expresar como el producto de dos funciones, cada una de las cuales depende solamente de una de
III.-47
las variables independientes; es decir, que si
X(x) es únicamente función de x Y(y) es únicamente función de y
, podemos suponer que
la temperatura viene dada por: T = X ( x ) Y ( y )
Sustituyendo este valor en la ecuación diferencial de partida y ordenando la expresión resultante,
se tiene:
Y ∂
2 X∂x2 + X ∂
2Y∂y2 = 0 ; - 1
X ∂2 X∂x 2 = 1
Y ∂2Y∂y2
Como cada miembro de esta ecuación depende sólo de una variable, los dos miembros tienen que
ser iguales a una constante λ2 por lo que se puede poner:
- 1
X ∂2 X∂x 2 = 1
Y ∂2Y∂y2 = λ2
sistema que es equivalente al de las dos ecuaciones diferenciales siguientes:
∂2 X∂x2 + λ 2 X = 0
∂2Y∂x 2 - λ2Y = 0
⇒ cuyas soluciones son:
Y = B1 Sh (λ y) + B2 Ch (λ y )X = B3 sen (λ x ) + B4 cos (λ x )
por lo que la distribución de temperaturas es:
T = {B1 Sh (λ y ) + B2 Ch (λ y )} { B3 sen (λ x ) + B4 cos (λ x )}
en la que λ y las B son constantes que hay que determinar mediante las condiciones de contorno.
Placa rectangular con una distribución de temperatura dada en una arista y nula en
las demás.- Consideremos la placa rectangular de la Fig III.2 de dimensiones respectivas a y b, se-
gún los ejes x e y.
Fig III.1 Fig III.2
Se puede suponer que la temperatura es nula en los bordes (x = 0), (x = a), (y = 0) y variable en el
borde (y = b), que se puede representar como f(x) en el campo 0 ≤ x ≤ L, de forma que se opera como si
fuese conocida. La anulación de la temperatura en los otros bordes no es esencial, pues basta conque
se mantenga constante, tal como Tc, por lo que el problema se puede reducir al expuesto anteriormen-
te mediante la superposición de una constante -Tc a toda la configuración.
Las condiciones de contorno que han de aplicarse a la ecuación general para la determinación de
las constantes son, Fig III.2, las siguientes:III.-48
Para:
x = 0 , T = 0 ; x = a, T = 0y = 0 , T = 0 ; y = b, T = f ( x )
La aplicación de las condiciones
y = 0, T = 0 ⇒ B2= 0x = 0, T = 0 ⇒ B4= 0
⇒ que la ecuación general se reduzca a:
T = B1 Sh (λ y ) B3 sen (λ x ) = B Sh (λ y ) sen (λ x )
en la que B sustituye al producto: B = B1 B3
La aplicación de la condición: x = a, T = 0 ⇒ 0 = B Sh (λ y ) sen (λ a )
Para que esta ecuación se cumpla para todos los valores de y, es necesario que: sen (λ a ) = 0 , que
se satisface para: λ = 0, πa,
2 πa
, ... y, en general, por: λn= π n
a, siendo n = 0, 1, 2,...
Para cada valor de n se obtiene un valor de λ que proporciona una solución diferente de la ecua-
ción:
T = B Sh (λ y ) sen (λ x )
por lo que la solución general será la suma de todas estas soluciones parciales, por lo que:
T =
n=0
∞
∑ Bn Sh (λn y) sen (λn x)
en la que Bn representa la constante B para cada una de las soluciones.
Para: n = 0 ⇒ λn = 0, por lo que el primer sumando de la serie se anula, obteniéndose:
T =
n=1
∞
∑ Bn Sh (λn y) sen (λn x)
La aplicación de la condición, y = b, T= f(x), conduce al cálculo de Bn
T = f(x) =
n=1
∞
∑ Bn Sh (λn b) sen (λn x), con λn= π na , n = 0, 1, 2, 3, ... ; 0 ≤ x ≤ a
En una serie infinita de funciones: sen (λ1x), sen (λ2 x), sen (λ3x ), ... , sen (λn x ), ..., éstas son orto-
gonales, cuando se cumple que:
0
a
∫ sen(λ ix) sen(λ j x) dx = 0, con: i ≠ j
y tiene un valor determinado en un instante considerado.
Por lo tanto, si la serie:
T = f(x) =
n=1
∞
∑ Bn Sh (λn b) sen (λn x) = B1 Sh (λ1b) sen (λ 1x) + ... + Bn Sh (λnb) sen (λn x)
es convergente e integrable, y la multiplicamos por sen (λnx), se obtiene:
0
a
∫ f(x) sen (λn x) dx = B1 Sh (λ1b) 0
a
∫ sen (λ1x) sen (λn x) dx + ... + Bn Sh (λn b) 0
a
∫ sen2(λn x) dx + ...
Por definición de ortogonalidad se hacen cero todas las integrales del segundo miembro, menos la
III.-49
correspondiente al coeficiente Bn por lo que:
Bn Sh (λn b) = 0
a
∫ f(x) sen (λn x) dx
0
a
∫ sen 2(λnx) dx = 2
a 0
a
∫ f(x) sen(λn x) dx
por lo que la expresión de la distribución de temperaturas toma la siguiente forma:
T = 2a
n=1
∞
∑Sh (λn y)Sh (λnb) sen(λn x)
0
a
∫ f(x) sen(λn x) dx = 2a
n=1
∞
∑Sh π n y
aSh π n b
a
sen π n xa
0
a
∫ f(x) sen π n xa dx
El calor que atraviesa una superficie se determina a partir de la ecuación de Fourier, particulari-
zando para dicha superficie e integrando a lo largo de ella.
Para el caso particular del calor transmitido a través de la superficie (x = 0), por unidad de longi-
tud, perpendicular al plano (x, y), se tiene:
Qx=0=
y=0
b
∫ k ∂T(x , y)
∂x 〉x=0 dy =
= y=0
b
∫ {- 2 ka
n=1
∞
∑Sh π n y
aSh π n b
a
cos π n xa π n
a 0
a
∫ f(x) sen π n xa dx + f(x) sen π n x
a sen π n xa }x=0 dy =
= y=0
b
∫ - 2 ka
n=1
∞
∑Sh π n y
aSh π n b
a
π na
0
a
∫ f(x) sen π n xa dx〉 dy =
= - 2 ka
n=1
∞
∑Ch π n y
a)0b
π na
Sh π n ba
π na
0
a
∫ f(x) sen π n xa dx = - 2 k
a n=1
∞
∑Ch π n b
a - 1
Sh π n ba
0
a
∫ f(x) sen π n xa dx
Placa con un borde a temperatura uniforme.- En el caso particular Fig III.3 de que el borde
(y = b) se mantenga a temperatura constante, f(x) = T0, y teniendo en cuenta que:
0
a
∫ T0 sen π n xa dx =
T0 aπ n {1 - (-1)n }
la ecuación anterior se convierte en:
TT0
= 2 n=1
∞
∑Sh π n y
aSh π n b
a
1 - (-1)n
π n sen π n xa = 4
n=1,3,..
∞
∑ Sh π n y
aSh π n b
a
sen π n x
aπ n
que permite calcular la temperatura en cualquier punto de la placa.
En la Fig III.5 se representa la forma de las isotermas de una placa rectangular calentada por un
borde.
- Si el borde caliente es la base inferior, y los demás están a T = 0, la solución se encuentra cam-
biando y por (b - y):
TT0
= 4n=1,3,
∞
∑ Sh π n (b - y)
aSh π n b
a
sen π n x
aπ n
III.-50
Fig Fig III.3 Fig III.4
Fig III.5.- Isotermas de una placa rectangular con un borde caliente
- Si el borde caliente es el correspondiente a (x = a) y los demás están a T = 0, la solución se en-
cuentra cambiando y por x ; x por y ; a por b ; b por a:
TT0
= 4n=1,3,
∞
∑ Sh π n x
bSh π n a
b
sen π n y
bπ n
- Si el borde caliente es el correspondiente a (x = 0) y los demás están a T = 0, la solución se en-
cuentra cambiando en el caso anterior, x por (a - x):
TT0
= 4n=1,3,
∞
∑ Sh π n (a - x)
bSh π n a
b
sen π n y
bπ n
Placa rectangular con distribución de temperaturas en dos bordes opuestos.- La placa rec-
tangular con distribución de temperaturas en dos bordes opuestos se puede reducir al caso anterior
mediante una simple superposición. Consideremos, por ejemplo, el caso que se presenta en la Fig
III.4, en el que la placa tiene la distribución,
T = f ( x ), para ( y = b )T = ϕ ( x ), para ( y = 0 )
.
Si se mantienen los otros bordes a T = 0, se tiene:
∂2T∂x2 + ∂
2T∂y2 = 0 ; Para:
y = b , T = f ( x ) y = 0 , T = ϕ ( x )
; x = 0 , T = 0 x = a , T = 0
Debido al carácter lineal de la ecuación diferencial se puede reducir a dos sistemas más sencillos,
definiendo u y v de modo que: T = u + v
Los símbolos u y v se emplean para designar las soluciones de los dos sistemas siguientes:
∂2u∂x2 + ∂
2u∂y2 = 0 ; Para:
y = b ; u = f ( x ) y = 0 ; u = 0
; x = a ; u = 0 x = 0 ; u = 0{
∂2v∂x2 + ∂
2v∂y2 = 0 ; Para:
y = b ; v = 0 y = 0 ; v = ϕ( x )
; x = 0 ; v = 0 x = a ; v = 0
La solución del sistema de la primera de estas ecuaciones es:
u = 2a
n=1
∞
∑Sh π n y
aSh π n b
a
sen π n xa
0
a
∫ f(x) sen π n xa dx
III.-51
Si:
f(x) = T0 ; u = 4 T0n=1,3...
∞
∑ Sh π n y
aSh π n b
a
sen π n x
aπ n
Mediante el cambio de variable (y’ = b - y) la solución anterior se aplica a la segunda ecuación, que-
dando:
v = 2a
n=1
∞
∑Sh π n (b - y)
aSh π n b
a
sen π n xa
0
a
∫ f(x) sen π n xa dx
La solución de la ecuación
∂2T∂x2 + ∂
2T∂y2 = 0 , con sus condiciones de contorno, es la suma de las an-
teriores:
T = 2a
n=1
∞
∑sen π n x
aSh π n b
a
( Sh π n y
a + Sh
π n (b - y)a
) 0
a
∫ f(x) sen π n xa
dx
Distribución de temperaturas en mas de una superficie de contorno.- Una generalización
para cuando varias superficies tengan temperaturas diferentes, como es el caso de la placa que se pro-
pone en la Fig III.6 con diferentes condiciones de contorno, la ecuación diferencial de la distribución
de temperaturas es:
∂2T∂x2 + ∂
2T∂y2 = 0 ; Para:
y = b ; T = f2 ( x ) y = 0 ; T = T2
; x = 0 ; T = T1 x = a ; T = f1( y )
que se transforma, restando a todas las caras T1, en:
∂2Φ∂x 2 + ∂
2Φ∂y 2 = 0 ; Para:
y = b ; Φ = f2 ( x ) − T1 y = 0 ; Φ = T2- T1
; x = 0 ; Φ = 0 x = a ; Φ = f1 ( y)- T1
Este sistema se puede descomponer en otros tres de la forma:
∂2Φ1∂x 2 +
∂2Φ1∂y2 = 0 ; Para:
y = b ; Φ1 = 0 y = 0 ; Φ1 = T2 - T1
; x = 0 ; Φ1= 0 x = a ; Φ1 = 0
Fig III.6.- Distribución de temperaturas en más de una superficie de contorno
III.-52
∂2Φ 2∂x2 +
∂2Φ 2∂y2 = 0 ; Para:
y = b ; Φ 2 = 0 y = 0 ; Φ 2 = 0
; x = 0 ; Φ2 = 0 x = a ; Φ 2 = f1(y) - T1
∂2Φ 3∂x2 +
∂2Φ3∂y 2 = 0 ; Para:
y = b ; Φ3 = f2(x) - T1 y = 0 ; Φ3 = 0 ;
x = 0 ; Φ 3 = 0 x = a ; Φ3 = 0
por cuanto sumando dichos sistemas de ecuaciones se recompone el sistema inicial
∂2Φ∂x 2 + ∂
2Φ∂y 2 = 0
con: Φ ( x , y ) = Φ1 ( x, y ) + Φ 2 ( x, y ) + Φ 3 ( x, y) , y la distribución de temperaturas:
T( x, y) = T1+ Φ1( x, y) + Φ 2( x, y) + Φ3 ( x , y )
como suma de soluciones que hemos analizado anteriormente.
Condición de contorno de convección.- Cuando exista convección en una o en varias caras del
sólido se efectúa un análisis similar al visto anteriormente; si a través de la cara (x = a) existe un in-
tercambio térmico con un fluido exterior a TF, se tienen las siguientes condiciones de contorno:
∂2Φ∂x 2 + ∂
2Φ∂y 2 = 0 ; Para:
y = b ; Φ = 0 y = 0 ; Φ = 0 ;
x = 0 ; Φ = 0
x = a ; - k dΦ(xy)dx
〉x=a= hC(T1- TF)
Se resuelven matemáticamente las expresiones resultantes y las constantes A1, A2, B1, B2 y λ, de
las que sólo son independientes cuatro de ellas, en función de la nueva condición de unicidad. Final-
mente se superponen las soluciones y se calcula la distribución final de las temperaturas reales.
Conducción en un cilindro circular de longitud finita.- Vamos a estudiar la conducción esta-
cionaria de un cilindro sólido de longitud finita L y radio exterior R, en dos dimensiones espaciales,
tal como el de la Fig III.8.
Si la distribución de temperaturas es función de la coordenada radial r, y de la axial z, T= T(r,z), e
independiente de la coordenada circunferencial y suponiendo existe una simetría axial para las condi-
ciones de contorno, la ecuación de conducción general en coordenadas cilíndricas, se reduce a:
1r ∂∂r ( r ∂T
∂r ) + ∂2T∂z 2 = 0 ; ∂
2T∂r 2 + 1
r ∂T∂r + ∂
2T∂z 2 = 0
Este caso es un problema de conducción bidimensional, aunque las condiciones de contorno sean
independientes de la coordenada; la distribución de temperaturas es la solución general de la ecua-
ción anterior.
Mediante un método similar buscamos una solución de la forma: T = R( r ) Z( z ) , siendo R(r) y Z(z)
función de las variables r y z respectivamente; sustituyendo en:
Fig III.7 Fig III.8
III.-53
∂2T∂r 2 + 1
r ∂T∂r + ∂
2T∂z 2 = 0
y ordenándola en r y z, se obtiene: 1R ∂
2 R∂r 2 + 1
r 1R ∂R
∂r = - 1Z ∂
2Z∂z2 , en la que el miembro de la derecha
es función de z y el de la izquierda de r.
Como los dos miembros son iguales y función de diferentes variables, ambos habrán de ser iguales
a una constante - λ2, obteniéndose así un sistema de dos ecuaciones diferenciales:
1R ∂
2 R∂r 2 + 1
r 1R ∂R
∂r = - 1Z ∂
2Z∂z2 = - λ2
∂2 R∂r 2 + 1
r ∂R∂r
+ λ2 R = 0
∂2 Z∂z 2 - λ 2Z = 0
⇒
R = B1 J0 (λ r ) + B2 Y0 ( λ r ) Z = B3 Sh (λ z ) + B4 Ch (λ z )
La primera de estas ecuaciones es la función de Bessel de orden cero, mientras que la segunda
conduce a funciones hiperbólicas; las expresiones J0(λr) y Y0(λr), son las funciones de Bessel de prime-
ra y segunda especie, respectivamente, y orden cero.
Por consiguiente, aplicando las definiciones de R y de Z de la ecuación, T = R(r) Z(z), la solución de
la ecuación en coordenadas cilíndricas se puede expresar en la forma:
T = { B1 J0 (λ r ) + B2 Y0 (λ r )} { B3 Sh (λ z ) + B4 Ch (λ z )}
Si en el cilindro de la Fig III.8 se mantienen todas las superficies a temperatura nula, excepto en
la base superior del cilindro (z = L) donde supondremos una temperatura f(r), la ecuación que propor-
ciona la distribución de temperaturas a través del cilindro se obtiene teniendo en cuenta las siguien-
tes condiciones:
Para: z = 0, T = 0
Para: z = L, T = f(r)
Para: r = R, T = 0
Para: r = 0, la temperatura debe ser finita en r = 0, por lo que Y0(0)→ -∞, para (λ r→ 0), es decir, B2 = 0
- Por la condición (z = 0, T = 0) se tiene, B4 = 0, quedando: T = B J0 (λ r ) Sh (λ z )
- La aplicación de la condición (r = R, T = 0) exige que: 0 = B J0 ( λ R) Sh (λ z )
y para que esta condición pueda ser satisfecha por todos los valores de (λ R) comprendidos entre 0 y L,
es necesario que:
J0 ( λn R) = 0
Las tablas de valores de J0(λ R) indican que J0 toma valores nulos según una sucesión de valores
de (λn R) que difieren entre sí una cantidad que tiende a 2 π conforme λn R →∞; por consiguiente, hay
un número infinito de valores de λ que satisfacen J0(λn R) = 0.
Tabla III.1.- Valores de las funciones de Bessel J0(x)= 0 y J1(x)= 0
Fig III.9.- Distribución axial de la temperatura en un cilindro sólido de longitud finita
III.-56
cero en la superficie lateral, que se puede encontrar sumando dos soluciones de la forma de la ecua-
ción anterior.
En la Fig III.9 se ha representado la distribución de la temperatura en el eje, r = 0, para el cilin-
dro sólido calentado a temperatura constante en una base y en las dos bases; la solución se consigue
por superposición a partir del primer caso.
DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN SECCIONES RECTANGULARES
a) Rectángulo infinito con distribución de temperatura inicial en, x = 0
x = 0 ; −∞ < y < +∞ ; T = f(y)x = a ; −∞ < y < +∞ ; T = 0
T(x,y) = 12 a
-∞
+∞
∫ f(y) sen π xa
dy
cos π (a - x)a + Ch π (x - y)
a
..................................................................................................................................................................................b) Rectángulo semiinfinito con distribución de temperatura inicial en, y=0
x = 0 ; 0 < y < ∞ ; T = 0x = a ; 0 < y < ∞ ; T = 0y = 0 ; 0 < x < a ; T = f (x)
T(x,y) = 2a
n =0
∞
∑ sen (λ n x) e - (λ ny)0
a
∫ f (x) sen (λ n x) dx
con λ n raíces de, λ n = π na
Para: f(x) = Φ0 ; Φ(x,y) = 4 Φ0π
n=0
∞
∑sen(λ 2 n+1 x) e- λ2 n+1 y
2n + 1 ; λ 2 n+1 = π (2 n + 1)a
..................................................................................................................................................................................c) Rectángulo semiinfinito con distribución de temperaturas en la base, con convección lateral en una cara y con aislamiento en la otra cara
x = 0 ; 0 < y < ∞ ; ∂T∂x 〉x=0 = 0
y = 0 ; 0 < x < a ; T = f (x)
x = a ; 0 < y < ∞ ; ∂T∂x
〉x=a = a1T = - hCk T
T(x,y) = 2 n=1
∞
∑(λn
2 + a12 ) e− (λ nx)
a (λn2 + a12 ) + a1
cos (λn x) 0
a
∫ f(x) cos (λ n x) dx
Para, f(x) = Φ 0 ; Φ(x,y)Φ0
= 2 n=1
∞
∑a1 e - λ ny
a(λ n2 +a1
2 ) + a1 cos (λ nx)
cos (λ na)..................................................................................................................................................................................
III.-57
con λ nraíces de: λntg (λ na) = a1 = - hC
k
d) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior
x = 0 ; 0 < y < b ; T = 0x = a ; 0 < y < b ; T = 0y = 0 ; 0 < x < a ; T = f(x)y = b ; 0 < x < a ; T = 0
T(x,y) = 2a
n=1
∞
∑ Sh{λ n (b - y)}Sh(λnb) sen(λ n x)
0
a
∫ f (x) sen (λ n x) dx
Para, f(x) = Φ 0 ; Φ(x,y)Φ0
= 4π
n=1,3,5..
∞
∑Sh{λ n (b − y)}
Sh(λ nb) sen (λ nx)n
..................................................................................................................................................................................e) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior, convección en una de las caras y aisla-miento en la otra.
x = 0 ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=0 = 0
x = a ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=a = a1T = - hC
k Ty = 0 ; 0 < x < a ; T = f(x)y = b ; 0 < x < a ; T = 0
T(x,y) = 2 n=1
∞
∑(λn
2 + a12 ) cos (λn x)
a (λn2 + a12 ) + a1
Sh{λn (b - y)}Sh(λ n b)
0
a
∫ f(x) cos (λ nx) dx
Para, f(x) = Φ 0 ; Φ(x,y)Φ0
= 2 a1 n =1
∞
∑Sh{λ n (b − y)}
cos (λ na) Sh(λ n b) cos (λ nx)a (λ n
2 + a12 ) + a1
..................................................................................................................................................................................f) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior, convección en una de las caras y en la base superior y aislamiento en la otra.
x = 0 ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=0 = 0
x = a ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=a = a1T = -
h Ck T
y = 0 ; 0 < x < a ; T = f(x)
y = b ; 0 < x < a ; ∂T∂y
〉y=b = a 1T = - h Ck T
T(x,y) = 2 n =1
∞
∑(λ n
2 + a12 ) cos (λ nx)
a (λ n2 + a1
2 ) + a1 λ n Ch{λ n (b - y)} + a1 Sh{λ n (b - y)}
λ n Ch(λ n b) + a1 Sh(λ nb) 0
a
∫ f(x) cos (λ nx) dx
con λ nraíces de, λ ntg (λ na) = a1 = - hCk
Para, f(x) = Φ 0 ; Φ(x,y)Φ0
= 2 a1 n =1
∞
∑λ n Ch {λ n (b − y)} + a1 Sh{λ n (b − y)}cos (λ na) {λ n Ch (λ nb) + a1 Sh{λ nb)} cos (λ nx)
a (λ n2 + a1
2 ) + a1..................................................................................................................................................................................g) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior, convección en una de las caras y aisla-miento en la otra cara y en la base superior.
III.-58
con λ nraíces de, λ n = π na
con λ nraíces de, λntg (λna) = a1 = - hCk
x = 0 ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=0 = 0
x = a ; 0 < y < b ; ∂T∂x 〉x=a = a1T = - hC
k Ty = 0 ; 0 < x < a ; T = f(x)y = b ; 0 < x < a ; ∂T
∂y 〉y=b = 0
T(x,y) = 2 n =1
∞
∑(λ n
2 + a12 ) cos (λ nx)
a (λ n2 + a1
2 ) + a1 Ch{λ n (b - y)}
Ch(λ nb) 0
a
∫ f(x) cos (λ nx) dx
con λ nraíces de, λ ntg (λ na) = a1 = - hCk
Para, f(x) = Φ 0 ; Φ(x,y)Φ0
= 2 a1n =1
∞
∑Ch {λ n (b − y)}
cos (λ na) Ch (λ nb) cos (λ nx)a (λ n
2 + a12 ) + a1
DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN PARALELEPÍPEDOS
a) Paralelepípedo con una cara a T0 y el resto a T = 0.
x = 0 ; x = a ; T = 0y = 0 ; T = 0y = b ; T = T0z = 0 ; z = c ; T = 0
T(x,y,z) = 16 T0 n=0
∞
∑m=0
∞
∑ Sh (α y)Sh (α b) Sh (ηmz)
ηm Sh (λ n x)
λ n
ηm = (2m +1) πc ; λm = (2n +1) π
a ; α2 = λ n2 + ηm
2
..................................................................................................................................................................................b) Paralelepípedo con una cara a T0 y la opuesta a T1
x = 0 ; x = a ; T = 0y = 0 ; T = T1y = b ; T = T0z = 0 ; z = c ; T = 0
ηm = (2m +1) πc ; λm = (2n +1) π
a ; α2 = λ n2 + ηm
2
..................................................................................................................................................................................c) Paralelepípedo con una cara a T0 y convección en las demás
y = 0 → T = T0 ; y = b → ∂T∂y
〉 y=b = a1
x = 0 →∂T∂x
〉 x=0 = − a1 ; x = a →∂T∂x
〉 x=a = a1
z = 0 →∂T∂z 〉 z= 0 = − a1 ; z = c →
∂T∂z 〉 z= c = a1
T(x,y,z) = 4 a12 T0
n =1
∞
∑m=1
∞
∑ a1 Sh {α(b - y)} + α Ch (b - y){a1 Sh (α b) + α Ch (α b)} cos (λ na) cos (ηmc) cos (λ n x) cos (ηmz)
{a (λ n2 + a1
2 ) + a1} {c (ηm2 + a1
2 ) + a1}
ηm = (2m + 1) π c ; λn = (2n + 1) π
a ; α2 = λn2 + ηm2
con λ n y ηmraíces de: λn tg(λn a ) = a1 ; ηmtg (ηm c) = a1
∑ T1 Sh {α(b − y)} + T0 Sh (α y)Sh (α b) Sh (ηm z)
ηm Sh (λ nx)
λ n
DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN CILINDROS
a) Cilindro semiinfinito con distribución de temperatura inicial en la base
z = 0 ; 0 < r < R ; T = f ( r)
r = R ; 0 < z < ∞ ; T = 0
T(r,z) = 2R2
n=1
∞
∑J0 (λ nr)J1
2 (λ nR) e- (λn z)0
R
∫ r f(r) J 0 (λ nr) dr ; J 0 (λ nR) = 0
Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r,z) = 2 Φ0R
n=1
∞
∑J 0 (λ n r) e- λn z
λ n J1 (λ n R)..................................................................................................................................................................................b) Cilindro finito con distribución de temperaturas en su base
z = 0 ; 0 < r < R ; T = f (r )r = R ; 0 < z < ∞ ; T = 0z = L ; 0 < z < L ; T = 0
T(r,z) = 2R2
n=1
∞
∑J0 (λ nr) Sh{λ n (L−z)}
J 12 (λ nR) Sh(λ nL)
0
R
∫ r f(r) J 0 (λ n r) dr ; J 0 (λ n R) = 0
Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r ,z) = 2 Φ0 n=1
∞
∑J 0 (λ nr) Sh {λ n (L - z)}
(λ nR) J1(λ nR) Sh (λ n L)..................................................................................................................................................................................c) Cilindro finito con distribución de temperaturas lateral
z = 0 ; 0 < r < R ; T = 0r = R ; 0 < z < b ; T = f (z)z = L ; 0 < z < L ; T = 0
T(r,z) = 2L
n=1
∞
∑I0 ( π n r
L ) sen ( π n zL )
I0 ( π n RL )
0
L
∫ f(z) sen ( π n zL ) dz
Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r,z) = 4 Φ 0π
n =1
∞
∑I0 ( (2 n + 1) π r
L )
I0 ( (2 n + 1) π RL )
sen ( (2 n + 1) π z
L )2 n + 1
..................................................................................................................................................................................d) Cilindro semiinfinito con distribución de temperaturas en la base y convección lateral
z = 0 ; 0 < r < R ; T = f (r )
r = R ; 0 < z < L ; ∂T∂r
〉r=R = a1 T = − h Ck T
T(r,z) = 2R2
n=1
∞
∑λ n
2 J 0 (λ n r) (λ n
2 + a12 ) J 0
2 (λ nR) e- (λ nz) 0
R
∫ r f(r) J 0 (λ n r) dr
con λ nraíces de: a1 J0 (λ nR) = λ nJ1(λ nR) ; J 0 (λ nR)J1(λ n R) =
λ na1
= R λ nR hC
k
= R λ n
Bi
Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r ,z) = 2 Φ0π n=1
∞
∑λ n J1 (λ n r) J1(λ nR) (λ n
2 + a12 ) J0
2 (λ nR) e- (λ n z)
III.-60
e) Cilindro finito con distribución de temperaturas en la base inferior, convección en la base superior y convec-ción lateral
z = 0 ; 0 < r < R ; T = f (r )
r = R ; 0 < z < L ; ∂T∂r
〉 r=R = a1 T = − h Ck T
z = L ; 0 < r < R ; ∂T∂z
〉z=L = a1 T = − h Ck
T
T(r,z) = 2R2
n=1
∞
∑λ n
2 J 0 (λ n r) (λ n
2 + a12 ) J 0
2 (λ nR) λ n Ch{(λ n (L - z)} + a1 Sh{(λ n (L - z)}λ n Ch(λ nL) + a1 Sh(λ n L)
0
R
∫ r f(r) J 0 (λ nr) dr
con λ nraíces de: a1 J0 (λ nR) = λ nJ1(λ nR) ; J 0 (λ nR)J1(λ n R) =
λ na1
= R λ nR hC
k
= R λ n
Bi
Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r ,z) = 2 a1 Φ0R
n=1
∞
∑J 0 (λ n r)
(λ n2 + a1
2 ) J 0 (λ n R) λ n Ch{(λ n (L - z)} + a1 Sh{(λ n (L - z)}λ n Ch(λ n L) + a1 Sh(λ nL)
..................................................................................................................................................................................f) Cilindro finito con distribución de temperaturas en la base inferior, la base superior aislada térmicamente y convección lateral
z = 0 ; 0 < r < R ; T = f (r )
r = R ; 0 < z < L ; ∂T∂r 〉 r=R = −
hCk T
z = L ; 0 < r < R ; ∂T∂r
〉z=L = 0
T(r,z) = 2R2
n=1
∞
∑λ n
2 J 0 (λ n r) (λ n
2 + a12 ) J 0
2 (λ n R) Ch{(λ n (L - z)}Ch(λ nL)
0
R
∫ r f(r) J 0 (λ nr) dr
con λ nraíces de: a1 J0 (λ nR) = λ nJ1(λ nR) ; J 0 (λ nR)J1(λ n R) =
λ na1
= R λ nR hC
k
= R λ n
Bi
Para, f(r) = Φ0 ; Φ(r,z) = 2 a1 Φ0R
n=1
∞
∑λ n J 0 (λ n r)
(λ n2 + a1
2 ) J 0 (λ n R) Ch{(λ n (L - z)}Ch(λ nL)
DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN TUBOS
a) Tubo finito con distribución de temperatura inicial en la base y cero en el resto
r = Re ; 0 < z < L ; T = 0r = Ri ; 0 < z < L ; T = 0z = 0 ; R i < r < Re ; T = f( r)z = L ; R i < r < Re ; T = 0
T(r,z) = π2
2 n=1
∞
∑λ n
2 J02 (λ nRe ) C0 (λ n r)
J 02 (λ nR i ) - J 0
2 (λ nR e ) Sh{(λ n (L - z)}Sh(λ nL)
Ri
Re
∫ r f(r) C0 (λ n r) dr
C0(λn r) = J0(λn r) Y0(λn Ri) - J0(λn Ri) Y0(λn r) con λ nraíces de: J 0 (λ nR e ) Y0 (λ nRi ) - J 0 (λ nRi ) Y0 (λ nRe ) = 0..................................................................................................................................................................................b) Tubo finito con distribución de temperaturas en su base inferior, 0 en la superior, y Te y Ti en las laterales, ex-terior e interior, respectivamente.
r = Re ; 0 < z < L ; T = Ter = Ri ; 0 < z < L ; T = Tiz = 0 ; R i < r < Re ; T = f( r)z = L ; R i < r < Re ; T = 0
III.-61
T(r,z) = π2
2 n=1
∞
∑λ n
2 J02 (λ nRe ) C0 (λ n r)
J 02 (λ nR i ) - J 0
2 (λ nR e ) Sh{(λ n (L - z)}Sh(λ nL)
Ri
Re
∫ r f(r) C0 (λ n r) dr +
+ π2
2 n=1
∞
∑λ n
2 J02 (λ nRe ) C0 (λ n r)
J 02 (λ nR i ) - J 0
2 (λ nR e ) 〈 Sh(λ nz)λ n
2 Sh(λ nL) 2 Te {Ch(λ nL) - 1} J 0 (λ n Ri )π J0 (λ nRe )
con λ nraíces de: J 0 (λ nR e ) Y0 (λ nRi ) - J 0 (λ nRi ) Y0 (λ nRe ) = 0..................................................................................................................................................................................c) Tubo finito con distribución de temperaturas en la base inferior, cero en la base superior y superficie lateral ex-terior y aislada térmicamente en la superficie lateral interior
r = Re ; 0 < z < L ; T = 0
r = Ri ; 0 < z < L ; ∂T∂r〉 r=R i
= 0
z = 0 ; R i < r < Re ; T = f( r)z = L ; R i < r < Re ; T = 0
´ (λn Ri) Y0(λn r) con λ nraíces de: J 0 (λ nR e ) Y0
' (λ nRi ) - J 0' (λ nRi ) Y0 (λ nR e ) = 0
..................................................................................................................................................................................d) Tubo finito con temperatura cero en las bases superior, inferior y superficie lateral interior y distribución de temperaturas en la superficie lateral interior
r = Ri ; 0 < z < L ; T = 0r = Re ; 0 < z < L ; T = f( x)z = 0 ; R i < r < Re ; T = 0z = L ; R i < r < Re ; T = 0
T(r,z) = 2L
n=1
∞
∑K 0(λ nr) I0 (λ nRi ) - K 0 (λ nRi ) I0 (λ nr)
K0 (λ nRe ) I0 (λ n Ri ) - K 0 (λ n Ri ) I0 (λ nRe ) sen (λ nz) 0
L
∫ f(z) sen(λ nz) dz
con λ nraíces de: λ n = π nL
..................................................................................................................................................................................e) Tubo finito con distribución de temperatura en la base inferior, temperatura cero en la base superior, convec-ción en la superficie lateral interior y aislamiento térmico en la superficie lateral exterior.
r = Ri ; 0 < z < L ; ∂T∂r 〉 r=R e
= a 1T
r = Re ; 0 < z < L ; ∂T∂r 〉 r=R e
= 0z = 0 ; R i < r < Re ; T = f( r)z = L ; R i < r < Re ; T = 0
T(r,z) = π2
2 n=1
∞
∑λ n
2 {λ n J 0' (λ nRi ) + a1 J 0 (λ n Ri )}2 N 0 (λ n r)
{λ n J0' (λ nRi ) + a1 J 0 (λ nRi )}2 - (λ n
2 +a12 ) J0
' (λ n Re) Sh{λ n (L - z)}
Sh(λ nL) R i
Re
∫ r f(r) N 0 (λ nr) dr
N0(λn r) = J0(λn r) Y0´ (λn Ri) - J0
´ (λn Ri) Y0(λn r)
con λ nraíces de: {λ nY0' (λ nRi ) + a1 Y0 (λ n Ri )} J 0
' (λ n Re ) - {λ n J0' (λ nRi ) + a1 J0 (λ nRi )} Y0
' (λ nRe ) = 0..................................................................................................................................................................................f) Tubo finito con distribución de temperatura en la base inferior, temperatura cero en la base superior, convec-ción en la superficie lateral exterior y aislamiento térmico en la superficie lateral interior.
III.-62
r = Ri ; 0 < z < L ; ∂T∂r 〉 r=R e
= 0
r = Re ; 0 < z < L ; ∂T∂r 〉 r=R e
= a 1Tz = 0 ; R i < r < Re ; T = f( r)z = L ; R i < r < Re ; T = 0
T(r,z) = π2
2 n=1
∞
∑λ n
2 {λ n J 0' (λ nR e ) + a1 J0 (λ nR e)}2 N 0 (λ nr)
{λ n J0' (λ nRe ) + a1 J0 (λ nRe )}2- (λ n
2 + a12 ) J0
'2 (Ri ) Sh{λ n (L - z)}
Sh(λ n L) Ri
Re
∫ r f (r) N 0 (λ n r) dr
N0(λn r) = J0(λn r) Y0´ (λn Ri) - J0
´ (λn Ri) Y0(λn r)
con λ nraíces de: Y0' (λ nRi ) {λ n J 0
' (λ nRe ) + a1 J0' (λ nRe )} - J 0
' (λ nR i ) {λ n Y0' (λ nRe ) + a1 Y0 (λ nRe )} = 0
σt, es la sección eficaz microscópica de fisión, en barniosν, es el nº de neutrones producidos por cada neutrón absorbido en una reacción de fisión
α, es la relación de secciones eficaces microscópicas de captura/fisiónη, es el número de neutrones producidos por fisión por cada neutrón absorbido en el combustible
Los reactores regeneradores, producen isótopos fisibles por captura de neutrones, que es superior
a la de isótopos fisibles y fisionables consumidos; un reactor de este tipo produce no sólo energía, sino
también combustible fisible para alimentar otros reactores.
La energía generada en un reactor nuclear es de tipo térmico; el combustible se encuentra conteni-
do en forma de barras o de placas, en vainas construidas con materiales poco absorbentes de neutro-
nes; como éstos producen fisiones, la distribución de focos térmicos dentro del combustible es la mis-
ma que la del flujo neutrónico en las barras o en las placas.
La velocidad de generación de calor E viene dada por la velocidad de los procesos de fisión que tie-
nen lugar en cada posición del combustible, en la forma:
E = 200 Ω f Φ ( MeV
cm3seg) = 200 ( MeV
fisión ) σ f ( cm2 ) Nf ( núcleoscm3 ) Φ (
n01
cm2 seg)
en la que:
Ωf es la sección macroscópica de fisión, de la forma, Ωf = σf . Nfσf es la sección microscópica de fisiónNf es el número de núcleos fisibles/cm3
Φ es el flujo neutrónico
n01
cm 2seg en el elemento de volumen considerado
La variación del calor generado E es consecuencia de la relación existente entre la sección micros-
cópica de fusión σf y la energía de los neutrones y la modificación del flujo neutrónico, tanto en su
composición de neutrones con mayor o menor energía (por moderación en el medio), como en las cap-
turas de neutrones productivas y no productivas en los materiales del reactor.
La generación de calor por fisiones es prácticamente instantánea extendiéndose desde los 10-14 seg
para los neutrones producidos, hasta los 10-7 seg de las radiaciones γ que acompañan al proceso de fi-
sión. La distribución de energía asignada por término medio a los distintos componentes de la fisión
viene dada en la Tabla A.2.
En un reactor nuclear, la energía generada por fisiones es del orden del 90%÷98% de la energía to-
tal, dependiendo del tipo de reactor y de la disposición de los materiales estructurales, refrigerantes y
elementos combustibles; el resto de la energía se produce por los campos de radiaciones y partículas,
así como por la moderación de neutrones en el refrigerante y materiales.
En los reactores rápidos la moderación tiene que ser mínima para obtener un espectro de neutro-
nes duro que favorezca las capturas en U238 para producir Pu239.
Las partículas y radiaciones, en sus choques, producen transformaciones fisicoquímicas y despren-
dimiento de calor; las partículas afectan a las propiedades de los materiales, mientras que el calor ge-
III.-73
nerado puede alterar las dimensiones o producir tensiones térmicas excesivas, por lo que los aspectos
térmicos de un reactor nuclear no quedan circunscritos solamente a los elementos combustibles,
(presencia de focos térmicos con generación de calor), sino que se extienden al comportamiento de los
materiales bajo irradiación, que exige el conocimiento de los flujos de partículas, sus interacciones
dentro de los materiales y su absorción en función del espesor, naturaleza y geometría.
Tabla A.2.- Energía asignada a algunos componentes de fisión
Energía cinética de fragmentos de fisión 165 MeV7 MeV7 MeV
Energía cinética de los neutrones 5 MeV6 MeV
Neutrinos 10 MeVTotal 200 MeV
Radiaciones γ instantáneas
Partículas β
Radiaciones γ de productos de fisión
Tabla A.3.- Propiedades de combustibles nucleares y vainas
Tántalo 2000 0,6Carburo de silicio (SiC) 1400-1600 1,4
Carbón, grafito 2500-3000 9,52400 10
ρE ( W mm2
m) Tmáx
Oxido de circonio (ZrO2 )
Los focos térmicos se distribuyen uniformemente en la masa del conductor y la distribución de
temperaturas es, como sabemos, una parábola, cuyo máximo se encuentra en el eje de simetría del
conductor.
Si la resistencia es función de la temperatura T, como sucede en la mayoría de los materiales, la
generación de calor no es uniforme y las distintas partes de la resistencias se comportan de forma di-
ferente:
- Si la resistencia aumenta con la temperatura se genera más calor en el centro
- Si la resistencia disminuye con la temperatura sucede lo contrario
La distribución de la corriente tiende a oponerse a este fenómeno alcanzándose una situación de
equilibrio dinámico entre corriente, temperatura y eliminación del calor generado, siendo el fenómeno
tanto más acusado, cuanto mayor es la sección de las resistencias y mayor la variación de R con T.
En los hornos, las resistencias eléctricas se instalan acoplándose a la forma de los mismos, para
así obtener los flujos térmicos deseados, siendo la radiación el mecanismo principal de transmisión de
calor a temperaturas elevadas.
III.-76
Las lámparas de rayos infrarrojos funcionan a temperaturas de 2000ºC÷3000ºC, y dirigen el calor
radiante hacia la superficie del cuerpo receptor, mediante pantallas parabólicas; este sistema es de
uso frecuente en el calentamiento de alimentos, secado de pinturas, calentamiento de láminas de dis-
tintos materiales, etc.
Las resistencias se disponen envainadas en materiales adecuados en forma de tubos, placas o
cuerpos más complicados que se adaptan a las superficies que constituyen el material a calentar. La separación entre la resistencia y la vaina se logra por medio de aislantes eléctricos en forma de
polvo comprimido (óxido de magnesia), o tubos, como en las planchas eléctricas, calentadores de in-
mersión, paneles, cintas flexibles con tejidos de materiales de sílice, etc.
b) Calentamiento por fenómenos de inducción.- La variación de un campo magnético da ori-
gen a una fuerza electromotriz e dada por la relación:
e = - d
r Φ
dt = ∫r E * dS
en la que
dr Φ
dt es la variación del flujo magnético con el tiempo
r E * es el campo eléctrico
Si la variación del flujo magnético es alterno, y tiene lugar en el seno de un material conductor:
F = F0 sen (w t)
siendo:
w = 2 π f f la frecuencia
, originándose una corriente dada por: I =
Φ0 wR2 + ( L w )2 cos ( w τ - ϕ )
con: tg ϕ = L w
R y (L w) la resistencia inductiva
La energía transformada por efecto Joule, pone de manifiesto la generación de calor E en el con-
ductor, en función de las características del campo inductor y de las propiedades del material donde
se desarrolla la corriente, es:
E = e I cos ϕ =
Φ02 w2 R
R2 + ( L w )2
efecto que es perjudicial cuando no se desea generación de calor, como sucede en las máquinas eléctri-
cas, mientras que es fundamental en el calentamiento por inducción; el conocimiento del calor genera-
do por inducción E, en cada posición del conductor, permite aplicar las ecuaciones de transmisión de
calor y conocer la distribución de temperaturas para determinadas condiciones de contorno. Hay que tener en cuenta que en el conductor se superponen campos magnéticos, eléctricos y de
temperaturas, a los que se pueden añadir el campo de esfuerzos y deformaciones por causas externas
e internas.
La resistencia efectiva es la resistencia óhmica incrementada por efecto de la distribución de co-
rriente en los conductores.
En el caso de un conductor cilíndrico recorrido por una corriente, se forma un campo magnético
perpendicular a la dirección del campo eléctrico, con líneas que se cierran formando anillos concéntri-
cos que se extienden al exterior e interior del conductor.
En un campo alterno se producen variaciones del flujo magnético dentro del conductor dando lugar
a corrientes que se superponen a la corriente principal; el valor del flujo en el conductor viene dado III.-77
por: F =
r1
r2
∫ Bz L dr = µ µ0 L r1
r2
∫ Hz dr
y la fuerza electromotriz originada: e = - dΦdt = - µ µ0 L d
dt r1
r2
∫ Hz dr
en las que:
- Bz y Hz son la inducción e intensidad del campo
- µ es la permeabilidad relativa
- µ0 es la permeabilidad del vacío µ0 = 1,256.10-8 Wseg/cm
- L la longitud del conductor
El valor de Φ varía linealmente desde el centro si Bz es uniforme; la corriente principal y las co-
rrientes desarrolladas por la variación de Φ tienen sentido contrario cuando se está más próximo al
eje, y el mismo sentido en las proximidades de la superficie del conductor.
Este fenómeno se conoce como efecto superficie, con el resultado de una utilización deficiente del
conductor y un aumento de la resistencia; el efecto es mayor cuando aumenta la frecuencia y es apre-
ciable en conductores de pequeña sección para valores de f > 1000 ciclos/seg.
La resistencia efectiva Ref se expresa de la forma:
Ref = a R0 = a = x + 1
4 + 3 x64
x = r02 π f
µ µ0re
= ( x + 14 + 3 x
64 ) R0 = (r02 π f
µ µ0re
+ 14 +
3 r0128 π f
µ µ0re
) R0
Los conceptos expuestos son aplicables al calentamiento de la masa en presencia del campo induc-
tor y al calentamiento de los conductores de corriente del inductor.
El campo magnético es mayor en las proximidades del inductor y se superpone con los campos pro-
ducidos por elementos inductores dispuestos convenientemente, y así, en el caso de un solenoide con
espiras suficientemente próximas, si se introduce en el interior un conductor, el efecto de las corrien-
tes es uniforme en dirección axial.
En dirección radial, la distribución de corrientes generadoras de calor es exponencial y la genera-
ción de calor viene dada por una expresión de la forma:
Q = Q0 (Ch 4 π x
f µ µ0re
- cos 4 π x f µ µ0
re)
Para valores de la frecuencia f elevados, la generación de calor se admite uniforme en un espesor
e =
ρef µ µ0
, en el que se ha producido prácticamente todo el calor, viniendo e expresada en cm, si ρe
lo viene en (Ω cm2/cm), µ0 en (Ω seg/cm) y f en ciclos/seg
De la expresión del espesor e se deduce que para valores de la frecuencia y para materiales metáli-
cos a temperatura no muy alta, el calentamiento es prácticamente superficial, siendo fácil su desarro-
llo matemático con manantiales de calor puntuales, lineales o superficiales.
Los calentamientos por inducción presentan la ventaja de generar calor sin contacto físico, locali-
zado en volúmenes determinados y tiempos muy cortos.
Las frecuencias que se emplean dependen de la naturaleza de la carga y del tiempo de calenta-
miento.III.-78
1
10
100
0,1
0,01
0,001
Oxidos refractarios
Oxidos refractarios
Sales fundidas ygases ionizados
Carborundum (CSi)
Grafito (0 a 1000ºC)
Hierro (1000ºC)
Latón (800ºC)Cobre (1000ºC)Latón Cobre
Hierro (m=1000)
Fig A.2.- Valores del espesor de calentamiento en función de la frecuencia para algunos materiales más usuales
La fusión de metales se extiende desde frecuencias bajas hasta frecuencias del orden de 2.105
ciclos/seg. Cuanto menor es la frecuencia, la zona de generación en régimen transitorio es más profun-
da, añadiéndose la transmisión de calor por conducción a la zona sólida. Las frecuencias más elevadas
se utilizan para tratamientos térmicos de materiales en general, incluyendo formas simples como lá-
minas, tubos, o barras, y formas complicadas, como piezas mecanizadas, o partes de un equipo indus-
trial.
Los problemas térmicos en régimen transitorio con generación de calor y fenómenos de fusión se
complican por la presencia de una interfase sólido-líquido en movimiento.
c) Calentamiento dieléctrico.- Se produce en cuerpos no conductores y, según sus aplicaciones,
se conoce como calentamiento por onda corta, diatérmica o calentamiento electrostático.
El término calentamiento dieléctrico incluye todas las aplicaciones de generación de calor por la
polarización de la materia, en presencia de un campo eléctrico.
Cuando las placas de un condensador se someten a una corriente alterna y existe un material die-
léctrico entre las placas, se produce un desplazamiento de cargas en los elementos constituyentes del
material y por la naturaleza alterna del campo eléctrico, se originan movimientos de vaivén que pro-
ducen corrientes y generación de calor en toda la masa del dieléctrico.
- Cuando se trata de un dieléctrico perfecto, estas corrientes no se producen porque en corriente al-
terna la intensidad y la tensión están desfasadas 90º y la potencia es reactiva (ficticia)
- Si el dieléctrico no es perfecto, aparece una componente de corriente en fase con la tensión, desa-
rrollándose el calentamiento dieléctrico
Si la modificación del ángulo de fase por la presencia del dieléctrico es ϕ, el calor generado E viene
dado por la expresión:
E = V
2
Z cos ϕ , siendo:
V la caída de tensión entre los electrodos, en voltios
Z = R2 + 1(C w)2 , la impedancia del sistema
ϕ el ángulo de pérdidas dieléctricas
Para un condensador plano: C =
ε ε0 SL
III.-79
donde:
ε 0 es la constante absoluta del vacío = 0,885.10-13 F/cm), y ε es la constante relativaS es la superficie del condensador y L la distancia entre placas
Para un condensador plano, el calor generado es: E = V
2
L2 C w 1 - cos2ϕ cos ϕ ( Wcm3 )
y si cos ϕ es pequeño: E = ε ε0 E*2 2 π f cos ϕ = 5,52.10-13 ε E*2 f cos ϕ
siendo: E* = campo eléctrico = VL
, y f la frecuencia en ciclos/seg.
En la Tabla A.5 se dan los valores de ε y ϕ para distintos materiales, valores que son función de la
temperatura y, por lo tanto, de la generación de calor.
En la ecuación anterior E es función de las variables que intervienen en la misma, pero el efecto
de f sobre ε y ϕ puede ser mayor que la relación indicada.