Sendi
Pelengkung Tiga
BAB II PELENGKUNG TIGA SENDI
2.1
UMUM Struktur balok yang ditumpu oleh dua tumpuan dapat menahan
momen yang ditimbulkan oleh beban-beban yang bekerja pada struktur
tersebut, ini berarti sebagian dari penempangnya dimuati dengan
tekanan dan tarikan. Semakin panjang bentangan dari struktur balok
tersebut maka momen yang didukung oleh balok semakin besar,
demikian halnya semakin besar jarak antara sumbu balok dengan garis
momen maka semakin besar momen yang timbul, sedangkan momen yang
didukung oleh bagian/elemen balok tersebut tidak sama besar. Hal
ini yang mengakibatkan struktur balok tidak efektif untuk bentangan
yang panjang. Disamping itu tidak semua jenis bahan yang digunakan
untuk struktur bangunan mampu menahan beban yang besar, misalnya
beton, batu atau batu bata yang cukup getas. Untuk mengatasi momen
yang besar ini maka diusahakan supaya garis momen tersebut
mendekati sumbu balok yang berarti momen yang timbul semakin kecil,
dengan pengertian diperlukan suatu struktur yang mampu untuk
mendukung beban yang bekerja pada suatu bentangan yang besar tetapi
tidak menimbulkan momen yang besar atau dengan kata lain, membuat
struktur yang mampu mendistribusikan beban yang bekerja menjadi
beban aksial dan beban geser pada struktur tersebut (mungkin ada
momen tetapi sangat kecil). Struktur balok yang mampu untuk
menyebarkan beban tersebut yaitu menjadikan garis tekan mendekati
sumbu balok dengan membuat sumbu balok berbentuk pelengkung atau
sebuah pelengkung parabola.
MEKANIKA TEKNIK II
II-1
Sendi
Pelengkung Tiga
Pelengkung parabola, jika dibebani secara merata penuh, tidak
akan menahan momen, asalkan reaksi perletakannya mampu menghalangi
translasi/pergeseran ke semua arah (baik vertical maupun
horizontal). Oleh karena itu kedua tumpuan tersebut berupa
perletakan sendi yang masing-masing akan menghasilkan dua komponen,
yaitu RV dan RH, sehingga semuanya ada empat komponen reaksi.
Persamaan statis/kesetimbangan yang ada hanya ada tiga,yaitu M = 0,
V = 0, H = 0, karena itu struktur tersebut merupakan statis tidak
tertentu. Dengan memberi sendi pada pelengkung di antara kedua
tumpuannya dengan syarat momen di tempat sendi tersebut adalah nol.
Dengan demikian diperoleh satu buah persamaan tambahan yang dapat
digunakan untuk menghitung besarnya empat komponen reaksi
perletakan tadi. Pelengkung yang demikian disebut pelengkung tiga
sendi, dimana sendi yang ketiga biasanya ditempatkan pada puncak
pelengkung.
2.2
PELENGKUNG TIGA SENDI SIMETRIS Analisis struktur pada pelengkung
tiga sendi dengan bentuk
geometrinya simetris tetapi pembebanannya tidak harus simetris,
dapat dihitung/ diselesaikan dengan langkah-langkah perhitungan
sebagai pedoman analisis struktur pelengkung tiga sendi yang
simetris sebagai berikut : Pelengkung tiga sendi A S B seperti pada
gambar II 1(a) yang mempunyai tumpuan sama tingginya, dengan
panjang bentang P dengan jarak a dari tumpuan A. A-B sama dengan L,
puncak ketinggian sama dengan h , mendapat beban
MEKANIKA TEKNIK II
II-2
Sendi
Pelengkung Tiga
Dengan persamaan kesetimbangan : MB = 0 akan diperoleh RAV dan
dengan persamaan berikut : MB = 0 ( RAV ) ( L ) ( P ) ( L a ) = 0
P(La) RAV = -------------L MA = 0 (- RBV ) ( L ) ( P ) ( a ) = 0 Pa
RBV = -----------L MA = 0 akan didapatkan RBV sebagai
Gambar II 1 Reaksi vertikal RAV dan RBV, adalah sama seperti
pada persamaan struktur balok sederhana AB. Perhitungan momen pada
pelengkung tiga sendi sama dengan perhitungan momen pada balok
sederhana.
MEKANIKA TEKNIK II
II-3
SendiMomen di C adalah :
Pelengkung Tiga
MC = RAV (x) RAH (y) tanda tergantung dari arah momen akibat RAH
Untuk mencari koordinat pada pelengkung tiga sendi yang berjarak x
meter dari tumpuan, digunakan persamaan dasar parabola : 4 h (x) (
L a ) y = --------------------L Dimana : y : tinggi titik yang
ditinjau dari tumpuan
h : tinggi puncak parabola dari tumpuanx : jarak mendatar dari
tumpuan terdekat
L : jarak mendatar dari dua buah tumpuannyaUntuk menghitung gaya
geser dan gaya normal di setiap titik pada pelengkung tiga sendi,
diperlukan kemiringan/garis singgung pada titik tersebut. Gaya
vertical V diuraikan menjadi gaya yang tegak lurus garis singgung
di titik tersebut atau gaya geser (SFV) dan gaya yang sejajar
dengan garis singgung atau gaya normal (NFV), demikian pula gaya
horizontal H diuraikan menjadi gaya geser (SFH) dan gaya normal
(NFH) seperti terlihat pada Gambar II 1(b) Uraian gaya vertikal V :
NFV sin = ------ NFV = V sin V .. (1) SFV cos = -----V Uraian gaya
horizontal H : SFV = V cos
MEKANIKA TEKNIK II
II-4
SendiSFH sin = -----H NFH cos = -----H Dari uraian persamaan
adalah : SFx = SFV SFH SFx = V cos H sin (1) dan
Pelengkung Tiga
SFH = H sin (2) NFH = H cos
(2), gaya geser pada titik ( x,y )
sedangkan gaya normal pada titik ( x,y ) adalah : NFx = NFV +
NFH NFx = V sin + H cos
Contoh
(1) : Diketahui pelengkung tiga sendi A-S-B dengan beban dan
ukuran seperti pada (9,6). Gambar II 2(a). Hitung reaksi tumpuan,
gaya geser, gaya normal dan momen di titik x
Penyelesaian
: :
Reaksi Tumpuan
Misalkan reaksi tumpuan di A dan B mempunyai arah seperti pada
gambar II 2(a) MB = 0 RAV (36) + RAH (0) (4)(18)(27) = 0 36 RAV + 0
1944 = 0 RAV = 54 T ( )
MEKANIKA TEKNIK II
II-5
Sendi
Pelengkung Tiga
MA = 0 - RBV (36) + RBH (0) + (4)(18)(9) = 0 - 36 RBV + 0 + 648
= 0 RBV = 18 T ( ) Kontrol terhadap V = 0 RAV + RBV (4)(18) = 0 54
+18 72 = 0 .ok !
Gambar II 2
Tinjau kesetimbangan bagian kiri, yaitu bagian AS MS kiri = 0
RAV (18) - RAH (8) (4)(18)(9) = 0 (54)(18) 8 RAH 648 = 0 324 8 RAH
= 0 RAH = 40,5 T ()
MEKANIKA TEKNIK II
II-6
Sendi
Pelengkung Tiga
Tinjau kesetimbangan bagian kanan, yaitu bagian BS MS kanan = 0
- RBV (18) + RBH (8) = 0 - (18)(18) + 8 RBH = 0 - 324 + 8RBH = 0
RBH = 40,5 T () Kontrol terhadap H = 0 RAH + RBH = 0
40,5 40,5 = 0 .ok ! Titik koordinat pada pelengkung tiga sendi
yang berjarak x m dari tumpuan dapat dicari dengan menggunakan
persamaan dasar parabola ; 4 h (x) ( L x ) y =
--------------------L Untuk h = 8 m dan L = 36 m, maka persamaan
parabola menjadi, 4 (8)(x) ( 36 x ) 32(x)(36 x) 2 y =
--------------------- = ---------------- = ---- ( 36x x ) (36) 1296
81
Untuk titik x = 9 m, maka nilai y : Y = dy dx 2 { (36)(9) (9) }
= 6 m 81 = 2 (36 2x) 81
MEKANIKA TEKNIK II
II-7
Sendi
Pelengkung Tiga
dy dx 4 9
x=9
=
2 2 4 { (36 2(9) } = (18) = 81 81 9 4 = 23,9625o sin = 0,4061 9
cos = 0,9138
tg =
= arctg
Pada titik x (9,6), maka gaya vertikal, gaya horizontal, gaya
geser, gaya normal dan momen adalah sebagai berikut : Gaya vertikal
dan horizontal ( Vx dan Hx ) Vx = RAV (4)(x) = 54 (4)(9) = 18 T ( )
Hx = RAH = 40 T ( ) Gaya geser ( SFx ) SFx = V cos H sin =
(18)(0,9138) (40,5)(0,4061) = 0,00135 Gaya normal ( NFx ) : 0 T
NFx = V sin + H cos = (18)(0,4061) + (40,5)(0,9138) = 44,3186 T
( tekan ) Momen ( Mx ) : Mx = (54)(9) (40,5)(6) (4)(9)(4,5) = 81
Tm
2.3
PELENGKUNG TIGA SENDI TIDAK SIMETRIS
MEKANIKA TEKNIK II
II-8
Sendi
Pelengkung Tiga
Pada pelaksanaan di lapangan, sering dihadapi persoalan struktur
yang terjadi, bahwa suatu struktur pelengkng tiga sendi yang kedua
buah tumpuannya merupakan sendi yang tidak terletak pada level atau
ketinggian yang sama, atau dengan istilah panjang batang
lengkungnya tidak sama. Pelengkung yang demikian disebut dengan
pelengkung tiga sendi yang tidak simetris. Untuk menyelesaikan
pelengkung tiga sendi yang tidak simetris, tidak dapat langsung
digunakan persamaan parabola yang ada, tetapi dengan syarat, yaitu
memperpanjang panjang lengkung yang pendek sehingga menjadi
pelengkung tiga sendi simetris (secara fiktif), seperti pada contoh
berikut :
Contoh (2) :
Diketahui sebuah pelengkung tiga sendi A-S-B dengan beban dan
ukuran seperti pada Gambar II 3(a). Hitunglah reaksi-reaksi tumpuan
serta gaya geser, gaya normal dan momen pada titik x .
MEKANIKA TEKNIK II
II-9
Sendi
Pelengkung Tiga
Gambar II - 3 Penyelesaian :
Reaksi Tumpuan : MB = 0 RAV (60) - RAH (9) (1)(40)(40) = 0 60
RAV 9 RAH = 1600 ...... (1) MS kiri = 0 RAV (40) RAH (12) -
(1)(40)(20) = 0 40 RAV 12 RAH = 800 .... Dari persamaan (1) dan
(2), maka : (1) . . . . . . . . . 60 RAV 9 RAH = 1600 (2) x 1,5 . .
. . . 60 RAV 18 RAH = 1200 ------------------------------- 9 RAH =
400 RAH = 44,44 T ( ) (2)
MEKANIKA TEKNIK II
II-10
Sendi
Pelengkung Tiga
RAV = 33,33 T ( ) V = 0 RAV (1)(40) + RBV = 0 RBV = 40 33,33 =
6,67 T ( ) H = 0 RBH + RAH = 0 RBH = 44,44 T ( ) Dengan menggunakan
persamaan parabola dasar, untuk h = 12 m, y = 9 m dan x = 60 m,
maka panjang bentang pelengkug yang simetris dapat dihitung sebagai
berikut ( Gambar II 3b ) 4 h (x) ( L x ) y = --------------------L
9 L = 2880 ( L 60 ) 4(12)(60)( L 60 ) 9 = ------------------------L
L = 320 L 19200
L 320 L + 19200 = 0 (320) (320) (4)(1)(19200) L1&2 =
-------------------------------------------------2 L1 = 240 m tidak
mungkin (tidak memenuhi)
L2 = 80 m (memenuhi)Untuk h = 12 m dan L = 80 m, maka persamaan
parabola dasar berubah menjadi : (4)(12)(x)( 80 x ) y =
-----------------------80 3840(x) 48(x) y =
--------------------6400 48(x)(80 x) y = -------------------6400 y
= 0,6 x 0,0075 x
MEKANIKA TEKNIK II
II-11
Sendiy/x = 0,6 0,015 x
Pelengkung Tiga
Untuk x = 20 m, lihat Gambar II 3(b) maka, nilai y adalah: y =
0,6 x 0,0075 x y = (0,6)(20) 0,0075 (20) = 9 m titik X (20 , 9)
Nilai y/x atau garis singgung pada titik X (20 , 9) adalah : y/x =
0,6 0,015 (20) y/x = 0,3 atau tg = 0,3 = 16 41 sin = 0,2873 cos =
0,9578 Besarnya gaya vertikal V dan gaya horizontal H pada titik X
dapat dihitung : V = 33,33 (1)(20) = 13,33 T ( ) H = 44,44 T ( )
Setelah gaya vertikal dan gaya horizontal pada titik X (20 , 9)
dapat ditentukan, maka gaya geser, gaya normal dan momen pada titik
tersebut dapat dicari.
Gaya Geser (SFX)SFX = V cos H sin = (13,33)(0,9578)
(44,44)(0,2873) = 0 T
Gaya Normal (NFX) NFX = V sin + H cos = (13,33)(0,2873) +
(44,44)(0,9578) = 46,40 T Momen Lentur (MX)
MEKANIKA TEKNIK II
II-12
Sendi
Pelengkung Tiga
MX = RAV (20) RAH (9) - (0,5)(q)(20) = (13,33)(20) (44,44)(9)
(0,5)(1)(20) = 66,67 Tm Contoh (3) : Struktur pelengkung tiga sendi
A-S-B dan pembebanan seperti terlihat pada gambar II 4. Hitung
reaksi tumpuan, gaya geser, gaya normal dan momen pada titik X yang
berjarak 5 m di sebelah kiri dari tumpuan B. Penyelesaian :
Reaksi Tumpuan MB = 0 RAV (10) + RAH (5) (5)(4) = 0 10 RAV + 5
RAH = 20 (1) MA = 0 (5)(1) RBV (10) RBH (5) = 0 10 RBV + 5 RBH = 5
MS kanan = 0 (5)(2) RBV (L/2) RBH (6) = 0 (2)
Gambar II 4
MEKANIKA TEKNIK II
II-13
Sendi
Pelengkung Tiga
Untuk menghitung panjang bentang parabola dasar pada titik (10 ,
5) 4 h (x) ( L x ) y = --------------------L 5 L = 240 L 2400 )
L, dengan persamaan
4(6)(10)( L 10 ) 5 = ------------------------L 5L 240 L + 2400 =
0
L1&2 =
(240) (240) (4)(5)(2400)
-------------------------------------------------(2)(5)
L1 = 14,20 m, memenuhi L2 = 33,79 m, tidak mungkin (tidak
memenuhi)Persamaan MS kanan = 0 dapat dituliskan menjadi MS kanan =
0 (5)(2) RBV (L/2) RBH (6) = 0 10 RBV (7,1) RBH (6) = 0 7,1 RBV + 6
RBH = 10 . Dari persamaan (2) dan (3), maka (2) x 6 . . . . . . . .
. 60 RBV + 30 RBH = 30 (3)
(3) x 5 . . . . . . . . . 35,5 RBV + 30 RAH = 50
--------------------------------- 24,5 RBV = - 20 RBV = - 0,81 T (
) (2) . . . . . . . . . . . 10 RBV + 5 RBH = 5 5 RBH = 5 + 10
(0,81) = 13,16 RBH = 2,63 T () V = 0 RAV + RBV = 0 RAV + (- 0,81) =
0 RAV = 0,81 T ( )
MEKANIKA TEKNIK II
II-14
SendiH = 0 RAH + RBH 5 = 0
Pelengkung Tiga
RAH + 2,63 5 = 0 RAH = 2,37 T () Untuk h = 6 m dan L = 14,2 m,
maka persamaan parabola dasar berubah menjadi : (4)(6)(x)(14,2 x )
y = ------------------------(14,2) 340(x) 24(x) y =
--------------------201,64 24(x)(14,2 x) y =
-------------------201,64 y = 1,69 x 0,12 x
y/x = 1,69 0,24 x Untuk x = 5 m, lihat Gambar VI 4 maka nilai y
adalah : y = 1,69 x 0,12 x y = (1,69)(5) 0,12 (5) = 5,45 m titik X
(5 , 5,45)
Nilai y/x atau garis singgung pada titik X (5 , 5,45) adalah :
y/x = 1,69 0,24 x = 1,69 (0,24)(5) = 0,49 y/x = 0,49 atau tg = 0,49
= 26 6 sin = 0,44 cos = 0,89 Besarnya gaya vertikal V dan gaya
horizontal H pada titik X dapat dihitung : V = 0,81 T ( ) H = 2,37
T ( )
MEKANIKA TEKNIK II
II-15
Sendi
Pelengkung Tiga
Setelah gaya vertikal dan gaya horizontal pada titik X dapat
ditentukan, maka gaya geser, gaya normal dan momen pada titik
tersebut dapat dicari. Gaya Geser (SFX) SFX = V cos H sin =
(0,81)(0,89) (- 2,37)(0,44) = 1,7637 T Gaya Normal (NFX) NFX = V
sin + H cos = (0.81)(0,44) + (- 2,37)(0,89) = - 1,7529 T Momen
Lentur (MX) MX = RAV (20) RAH (9) - (0,5)(q)(20) = (- 0,81)(5) +
(2,63)(5,45) (5)(1,45) = 3,0335 Tm
MEKANIKA TEKNIK II
II-16