1 SAN MARCOS GEOMETRÍA TEMA 1 GEOMETRÍA TEMA 1 TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOTABLES DESARROLLO DEL TEMA TRIÁNGULO A B C Elementos: • Vértices: A, B, C • Lados: AB, BC, AC Definición: Perímetro = 2p 2p = AB + BC + AC. Nótese: parte sombreada es la región interior Observación: (Región interior) ∪ ( iABC) = Región triangular ABC I. CLASIFICACIÓN 1. Por la medida de sus lados: a ≠ b ≠ c c a b Escaleno b a a Isósceles a a a q q q q = 60° Equilátero 2. Por la medida de sus ángulos interiores A) Oblicuángulos 0< a, b, f < 90° a f b a, b, f: agudos Acutángulos 90° < q < 180° q q: obtuso Obtusángulos B) Rectángulos q = 90° f f: ángulo recto
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A. Lado-Ángulo-Lado (L. A. L.)Dostriángulossoncongruentessitienenunángulointerior de igualmedida y, ademas, los lados quedeterminanadichosángulosson,respectivamente,deiguallongitud.
Nota:Paralacongruenciadedostriángulos,existensiempretrescondiciones.Deestasnuncadebefaltarunpardeladoscorrespondientescongruentes.Solo cuando se demuestra que dos triángulos soncongruentes, se puede afirmar que a los ladoscongruentes se oponen ángulos congruentes yviceversa.
CA
c a
B
b
qC'A'
c a
B'
b
q
Sim\BAC = m\B'A'C' AB =A'B',AC= A'C'
→ i ABC ≅ iA'B'C'
B. Ángulo-lado-ángulo (A. L. A.) Dostriángulossoncongruentessitienenunladode
igual longitudy,además, losángulosadyacentesadichosladosson,respectivamente,deigualmedida.
CA
B
b
b qC'A'
B'
b
b q
SiAC= A'C'm\BAC = m\B'A'C' m\ACB = m\A'C'B'
→ i ABC ≅ iA'B'C'
C. Lado-lado-lado (L. L. L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados son,
respectivamente,deiguallongitud.
CA
c a
B
b
qC'A'
c a
B'
b
q
SiAB= A'B' BC = B'C' → i ABC ≅ iA'B'C' AC = A'C'
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
66 SAN MARCOS REGULAR 2015 – IIGEOMETRÍATEMA 2
III. APLICACIONES DE LA CONGRUENCIAA. Teorema de la bisectriz
Problema 1Larelaciónentrelasmedidasdelángulointerior y exterior de un polígonoregulares3/2.Calcularsunúmerodediagonales.A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
Resolución:
Dato:
i 32e
=
180⇒
(n 2)3n
360 2n
–=
1
n(n 3) 5(5 3)D 2 2– –= =
Piden: 1n(n 3) 5(5 3)D 2 2
– –= =
DT = 5
Respuesta: DT = 5
Problema 2En un polígono convexo, desde 3vértices consecutivos se han trazado8 diagonales. Calcular la suma de losángulosinternosdedichopolígono.A) 700° B) 710° C) 720°D) 730° E) 740°
Resolución:1.ervértice:n–32.dovértice:n–33.ervértice:n– 4Entotal:3n–10=8 3n=18 n =6Piden: Si =180(6–2) Si =720°
Respuesta: Si = 720º
Problema 3EnuntrapezoideABCD,secumple:AB = BC = CD; calcula m∠ABC sim∠BCD =60ºym∠BAD =50º.
UNMSM 1998NIVEL FÁCIL
A) x=160° B) x=140°C) x=120° D) x=100°E) x=90°
Resolución:
A
Bx
C
D50°
60°80°
60°
50°60°
Piden:m∠B =xUnimos BD para que el DBCD seaequilátero,porloquem∠CBDes60º.El DABDesisósceles(AB=BD).
Nota:Todo triángulo tiene una circunferencia inscrita asu centro, sedenomina incentro y sedeterminaalintersectarselasbisectricesinteriores,ademáselradiosedenominainradio.
Problema 2EnuntriánguloABC,setrazalabisectrizexteriorBP(PenlaprolongacióndeCA),eneltriánguloPABsetrazalabisectrizinteriorPL, talque laprolongacióndeCLintersecaaPBenE.CalcularPE,siBL=3,PC=10yBC=8.
UNMSM 1992NIVEL INTERMEDIO
A) 18 B) 6 C) 10D) 12 E) 13
Resolución:
8 L
B qq
3 E
aa
3n5n
AC10
EnlafiguranospidenPE=x,enDCBL,por teorema de la bisectriz exteriortenemos:
Problema 2Los radios de dos circunferenciastangentesexternasestánenlarelacióndeunoatres.Lastangentescomunesexterioresmiden4 3uysecortanenE.CalculaladistanciaentreelcentrodelamayoryE.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
DESARROLLO DEL TEMA
GEOMETRÍATEMA 8
I. TEOREMA DE EUCLIDESA. Teorema 1
Entodotriángulosecumplequelamedidadelladoopuestoaunánguloagudoes iguala la sumadeloscuadradosdelasmedidasdelosotrosdoslados,menoseldobleproductoentrelasmedidasdeunodeestosladosylaproyeccióndelotrosobreél.
B. Teorema 2En todo triángulo obtusángulo se cumple que elcuadradodelamedidadel lado,opuestoalánguloobtuso es iguala a la suma de los cuadrados delasmedidas de los otros dos ladosmás el dobleproductoentrelasmedidasdeunodeestosladosylaproyeccióndelotrosobreél.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
2323SAN MARCOS GEOMETRÍA TEMA 8
B. Teorema de la mediana
A
c mba
B
M Cb
SiBMesmediana(BM= mb)secumplelosiguiente:
c2 +a2 =2(mb)2 +b2
2
Observación Siendolasmedidasdelasotrasmedianasma y mc se
cumpleque:
(ma)2 +(mb)2 +(mc)2 + = (a2 +b2 +c2)3
4
C. TeoremadeHerón
A C
B
c a
H
hb
b
BHesaltura(BH=hb):p= a+b+c2
p(p–a)(p–b)(p–c)2
bhb =
D. Teorema Ptolomeo Entodocuadriláteroinscritooinscriptible,elproducto
de las longitudes de sus diagonales es igual a lasumadelosproductosdelaslongitudesdesusladosopuestos.
DA
B
C
c
nma
b
d
C
lABCD:inscritoenlacircunferenciaC. AB =a;BC=b,CD= c,AD=d AC = m y BD = n Secumple: m.n=a.c+b.d
III. RELACIONES MÉTRICAS EN EL CUA-DRILÁTEROA. Teorema de Euler Entodocuadriláteroconvexoonoconvexoseverifica
alasiguienterelación.
B
A D
NM
C
(AB)2 +(BC)2 +(CD)2 +(AD)2 =(AC)2 +(BD)2 +4(MN)2
B. Teorema de Viette(Segundo Teorema de Ptolomeo)En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible en unacircunferencia,larazóndelaslongitudesdiagonalesesigualalarazóndelasumadelosproductosdelaslongitudesdelosladosqueocurrenalosextremosdecadadiagonalrespectivamente.
DA
B
C
cn
ma
b
d
Secumple:mn
ad+bcab+cd=
C. Teorema de ArquímedesEsuncuadriláterodediagonalesperpendicularesseverificaque:
A
BC
D
AB2 + CD2 = BC2 + AD2
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
2424 SAN MARCOSGEOMETRÍATEMA 8
D. Teorema de ChadúEn todo cuadrilátero inscrito enuna circunferenciao inscriptible, talque tresvértices son losvérticesdeuntriánguloequilátero,entoncesladistanciadelcuartovérticemásalejadoesigualalasumadelasdistanciasdeestealosotrosdosvérticesdeltriánguloequilátero.
A C
BP
ac
b
l
l
l
Secumple: PA= PC + PB
→ C =a+b
E. Teorema de MarlenEsunrectángulo, lasumade loscuadradosde lasdistancias de un punto cualquiera a sus vérticesopuestossoniguales.1.
A D
Bb c
da
P
C
P:puntointeriordelrectánguloABCD.
Secumple: a2 +c2 =b2 +d2
2.
A D
B C
P
x n
m y
P:eselpuntoexteriordelrectánguloABCD. Secumple:
x2 + y2 = m2 + n2
Observación:ElteoremadeMarlentambiénsepuedeaplicarauncuadrado.El punto P puedeubicarse en cualquier parte delplanoquecontienealrectángulo,inclusoelteoremasesiguecumpliendosiPestáenelespacio(fueradelplanoquecontienealrectángulo).
Problema 1ABCDesunrombo,BM=MC,AM=9yDM=13.CalculaAB.
AD
C BM
A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12
Resolución:
Ax
D
C
13 xx
T
B
x9
M
Calculodelamediana:132 +92 =2x2 + x
22
x=10
Respuesta: C) 10
Problema 2EnuntriánguloABC,AB= C; BC =ayAC =b.Sia2 = b2 +c2 – bc.Calculelamedianadeunodelosángulosinteriores.A) 45° B) 53° C) 37°D) 30° E) 60°
Resolución:
A
B
C
c a
bq
PROBLEMAS RESUELTOS
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
2525SAN MARCOS GEOMETRÍA TEMA 8
Teoremadecosenos:a2 =b2 +c2 –2bcCosq
Dato:a2 =b2 +c2 –bc
⇒ 2bcCosq =bc⇒ q =60°
∴ Cosq = 12
Respuesta: E) 60°
Problema 3EsuncuadradoABCDexterioryrelativoaBCseubicaelpuntoP.Sim]BPC =90°y PB + PC =10 2siOescentrodelcuadrado,calcule:PO
A) 6 B) 10 C) 14D) 8 E) 12
Resolución:
A
Ba b
P
x
m m
D
C
O
m 2
mBPCO(Ptolomeo)
xm 2 = ma+ mb
x 2 =10 2
x=10
Respuesta: B) 10
2626SAN MARCOS GEOMETRÍA TEMA 9
GEOMETRÍATEMA 9
ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES Y SUS RELACIONES
DESARROLLO DEL TEMA
I. REGIONES POLIGONALES Unaregióntriangularesunconjuntodepuntos,reunión
Las líneas punteadas en las figuras anteriores indicancómo se podría representar cada una de las dosregionespoligonalesmediantetalreunión.Lasregionestriangularesdecualquierdescomposiciónasísellamanregionestriangularescomponentesdelaregiónpoligonal.
A. Postulados1. Dada una unidad de área, a cada región le
correspondeunnúmeroúnico,llamadoáreadelaregión.
2. El áreadeuna regiónpoligonal es la sumadelas áreas de cualquier conjunto de regionescomponentesenelcualpuededividirse.
3. Sidospolígonossoncongruentes,entonces lasregionespoligonalescorrespondientes tienen lamismaárea.
Problema 2SetienelostriángulosequiláterosABCyPBQ,dondePestáenlaregióninterioryQenlaregiónexterioryrelativaaBC,si:(AP)(CQ) =k.CalculeeláreadelaregiónnoconvexaBACP.
NIVEL INTERMEDIO
A) k 23
B) k 32
C) k 34
D) k 32 4
E) 2 34
PROBLEMAS RESUELTOS
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES Y SUS RELACIONES
3232 SAN MARCOSGEOMETRÍATEMA 10
Resolución:
B
A CP
Q
a ab
qWW
aa
b
b
Segúnelgráficoyporteoremageneral.
Luego: ABP CBQD ≅ D (L– A –L)m BAP w ym BCQ w
⇒ ==
B R
CAw +60°= q + wq =60°Reemplazando:
Respuesta: C) k 34
/4
Problema 3En la figura semuestra un triángulorectángulo isósceles ABC. Calcular eláreadelacoronacircularsi CT 2 3= yM,NyTsonpuntosdetangencia.
Significaubicarloofijarloenundeterminadolugar.Para que se entiendamejor, demanera análoga,citaremos un ejemplo real: Si deseamos que lapizarraquedafijaenlapared,debemosapoyarlaenlapareddondequeramosfijarlayclavarentresdesusesquinas.
A continuación veamos qué es necesario paradeterminarunplano:
SeaC∉ L (A y B ∈ L)EntoncesconCyL sedeterminael P.
Teorema 2Condosrectassecantessedeterminaunplano.
P
AB
C
L1
L2
Como A y B ∈ L1,AyC∈L2.
EntoncesconL1 y L2sedeterminael P.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
3737SAN MARCOS GEOMETRÍA TEMA 12
Teorema 3Condosrectasparalelassedeterminaunplano.
P
AB
C
L1
L2
Como A y B ∈L1 C ∈L2 y ∈L2//L1
EntoncesconL1//L2 sedeterminael P.
Posiciones relativas entre rectas y/o planos en el espacioEn el espacio se pueden analizar las posicionesrelativasentreunarectayunplano,entredosrectasyentredosplanos,lasqueexplicaremosacontinuación.
Entre una recta y un planoPuedenserunarectacontenida,secanteoparalelaalplano.
Recta contenida en el planoSilospuntosdelarectapertenecenalplano.
P
AB L1
SiA;B;...∈L yA,B...∈ P.
→ L ⊂ P.
Recta secante al planoSilarectayelplanotienenunsolopuntoencomún.
P
A
L
SiL ∩ P = {A}
→ L y Psonsecantes
Recta paralela al planoSi larectayelplanonotienenunpuntoopuntosencomún.
P
A BL
SiA,B∈ L yA,B ∉ P
→ L y Psonparalelos
Entre dos rectas:Puedenserparalela,secantesoalabeadas(cruzadas)
Recta perpendicular a un planoUnarectaperpendicularaunplanosedefinecomoaquella que es perpendicular a todas las rectascontenidasendichoplano.
H
L
L4
L5
L3L2
L1
SeanL1, L2, L3... Lncontenidasen
H y L ⊥ H→ L L1 L L2
L L3
. . .
. . . . . . L Ln
Condición para que una rceta sea perpendicular a un plano. La condición necesaria y suficiente para que unarectaseaperpendicularaunplanoesquedebeserperpendicularados rectas secantes contenidasendicho plano. Luego de esto podemos decir que larectaseráperpendicularatodaslasrectascontenidasendichoplano.
H
L
Q
L1
L2
SeanL1 y L2 ⊂ HSiL ⊥ L1 y L ⊥ L2
→ L ⊂ H
Luego L será perpendicular a todas las rectascontenidasendichoplano.
Ángulo entre dos rectas alabeadas o cruzadas.Elánguloentredosrectasalabeadasesaquelscuyamedidasedeterminaaltrazar,porunpuntocualquieradelespacio,dosrayosquesonparalelosalasrectasalabeadas.
SesabequeP∈ L2 Luego:PR //L1Porlotanto,xeslamedidadelánguloentreL1 y L2.
Teorema de las tres perpendiculares Siporelpiedeunarectaperpendicularaunplanosetrazaotrarectaperpendicularysecanteaunadelasrectascontenidasenelplano,entoncesporelpiedeestaúltimarectayunpuntocualquieradelaprimerarectasedeterminaotrarectaperpendicularadicharectacontenidaenelplanomencionado.
H
L1L3
L2 x
d
P
SeaL1 ⊥ Hd ⊂ H
SiL2 ⊥d
(L1∩L2={P})
→ L3 ⊥ d (x=90°)
Ángulo diedroElángulodiedroosimplementediedroes lafigurageométrica que se forma por la unión de dossemiplanosquetienenencomúnlarectadeorigen(lacualsedenominaarista).
L
B
Lx
Scara
caraA
arista
OH
M
Notación
•ÁngulodiedroAB oángulodiedro.
H–AB –M
•∠SOL:ánguloplanoorectilíneodelángulodiedroAB .
•x.medidadelángulodiedroAB
(OS ⊥ L y OL ⊥ L , ademásOS ⊂ H ∧ OL)⊂ M)
Planos perpendiculares
N
S
LM
O a
Sea M⊥ N. → ∠ SOLesrecto (a=90°)
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
4040 SAN MARCOSGEOMETRÍATEMA 12
Proyección ortogonal de un punto un segmento y una recta respecto a un plano.
H
A
BP
P'
Proyectante
A'B'
M'
M
N'
NL
L1
• P'proyecciónortogonaldePsobre H• A'yB':proyeccionesortogonalesdeAyBsobre H.• M'yN'proyeccionesortogonalesdeMyNsobre H.• A'B':proyeccionesortogonalesdeABsobre H.• L1:proyecciónortogonaldeL sobre H.
Ángulo entre una recta y un plano.El ángulo entre una recta y un plano se define comoaquelquedeterminalarectaconsurespectivaproyecciónortogonalsobreelplano.
H
S
L
L1
x
SeaL secanteal HyS.L1:proyecciónortogonaldeL sobre Hx:medidadelánguloentreL y H.
Proyeccón ortogonal de una región plana respecto a un plano.Eláreadelaproyecciónortogonaldeunaregiónplanasobreunplanodadoes igualalproductodeláreadedicharegiónyalcosenodelángulodediedrodeterminadopor el plano que contiene a dicha región y al planodado.
sobre H.• a:medidadelángulodiedrodeterminadoporel N y H.
Nota:Cuando N ∧ Hsonparalelas,entoncesAproy = ARP
Distancia entre dos rectas alabeadas.La distancia entre dos rectas alabeadas es la longitud delsegmentoderectacomúnqueespependicularadichasrectas.
S
T
L1
L2
Sean:L1 y L2 alabeadoocruzadas.
SiST ⊥ L1 ∧ ST ⊥ L2 entonces:STesladistanciaentreL1 yL2.
Método para hallar la distancia entre dos rectas alabeadas.Para hallar la distancia entre dos rectas alabeadas, sedebe trazar un plano perpendicular a una de las rectas yluegoproyectarlasortogonales sobreelplanomencionado.Finalmenteladistanciaentrelasproyecciones(puntoyrecta)seráladistanciaentrelasrectasalabeadas.
L1
L2
SeanL1 y L2 alabeadas
jhsf
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
4141SAN MARCOS GEOMETRÍA TEMA 12
Setrazael HdemaneraperpendicularaL1.
H
L1
L2
L2
S
planodeproyección
H ⊥ L1.L2:proyecciónortogonaldeL2 sobre H.S:proyecciónortogonaldeL1sobre H.
H
L2
S d
planodeproyección
SetrazalaperpendicularSTaL2.
ST = d:distanciaentreL1 y L2
Nota:
Si L1 y L2 son ortogonales, entonces el llamadoplanodeproyecciónpodríaserelplanoquecontieneaunodedichasrectas.
Problema 2En un rectángulo ABCD se traza BK perpendicular al plano del rectángulo,luegoseubicanlospuntosmediosLySdeAD y DC,AB
3 = BC4 = BK
2 .
Calculelamedidadelángulo LS y AK .
NIVEL INTERMEDIO
Resolución:
xA D
S
BC
K
L4l 4l
4l
6l
3l
3l
8l
Nospidenlamedidadel∠entre LS y AK =x.ComopodemosverAK y LS son alabeados, para lo cual se trazaAC//LS.
PROBLEMAS RESUELTOS
(4l)2
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
4242 SAN MARCOSGEOMETRÍATEMA 12
ABK: = + → =l l l
2 2AK (4 ) (6 ) AK 2 13
ABK: 2 2CK (4 ) (8 ) CK 4 5= + → =l l l
ABK: AC =10l
AKC:porteore,adecosenos.2 2 2(4 5 ) (2 13 ) (10 ) – 2(2 13 )(10 )Cosx= +l l l l l
80 52 100 – 40 13Cosx40 13Cosx 72
9Cosx5 139 13Cosx659 13x Ar cos65
= +
=
=
=
=
Respuesta: 9 13x Ar cos65
=
Problema 3Del gráfico, el cuadrado ABCD y lasemicircunferencia de diámetro AB seencuentran en plano perpendiculares,BL = LC= 5 y mAC = mSB.CalculeeláreadelaregióntriangularSLD.
A
BL
C
D
S
UNMSM 2001–INIVEL INTERMEDIO
Resolución:
A
B nL
C
22
55 m
D
S
5
55
55
55
510
Nospiden:ASLD.Dato:lasemicircunferenciadediámetroAB y el cuadrado se encuentran enplanosperpendiculares.Como SO ⊥ ABCD→ SO ⊥ OD ∧ SO ⊥ OL
SOD: m2 = 52 + 52
m = 30SOL:n2 = 52 + 102
n = 15
Teorema de Euclides:
h
S
D La
1530
5
302 = 152 + 52 –2(5)a
→a= 1∧h= 14
ASLD = (5) 142
Respuesta: ASLD = (5) 142
43SAN MARCOS GEOMETRÍA TEMA 13
GEOMETRÍATEMA 13
POLIEDROS REGULARES
DESARROLLO DEL TEMA
Objetivos:• Estudiar la formade lospoliedros,y reconocer
A. Tetraedro regular.Esaquelpoliedroregularquesecaracterizaportener4carasquesonregionestriangularesequiláteras.
a
C
B
A
D
a
h
O
a
a
Notación:TetraedroregularABCDCálculo de la longitud de su altura.
a 6h 3=
POLIEDROS REGULARES
4444 SAN MARCOS GEOMETRÍATEMA 13
Área de la superficie total (AST)
A a 32=
Cálculo del volumen (V)
a 2V 123
=
• Desarrollo de la superficie de un tetraedro regular: En la figura semuestra un tetraedroregularcuyascarassondecartón.Aldesplegarsuscarasyubicarlassobreunplanoseobservauna superficie triangular equilátero, la cual sedenominadesarrollodesurespectivasuperficie.
A
AA
B
A
C
D
C
B. Hexaedro regular o cuboEsaquelpoliedroregularlimitadoporseisregionescuadradascongruentesentresi.
HaE
a
A
B C
DO
F
aG
Notación:HexaedroregularABCID– EFGHDiagonaldelhexaedro:AG,BH,CE y DFa:longituddelaaristaO:centrodelhexaedroregular
Cálculo de la diagonal
AG BH CE DF a 3= = = =
Área de la superficie total (AST)
AST =6a2
Cálculo del volumen (V)
V =a3
• Desarrollo de la superficie de un hexaedro regular: En la figura semuestra una caja decartón cuya forma es cúbica. Al despejar suscarasyubicarlasenunplanoseobtieneloquesedenominaeldesarrollodesurespectivasuperficie.
C. Octaedro regularEsaquelpoliedroregularlimitadoporochoregionestriangularesetquiláteras.
A
Q
O
P
C
a
aa
a
a D
B
a
Notación:OctaedroregularP– ABCD – QDiagonaldeloctaedroregular:AC,BD y PQa:longituddelaaristaO:centrodeloctaedroregular
Cálculo de la diagonal
AC BD PQ a 2= = =
Área de la superficie total (AST)
A 2a 32ST =
Cálculo del volumen (V)
a 2V 33
=
Enunoctaedroregular,sisuscarassondecartón,entoncessepodrándesplegar,yalubicarlassobreunamesa(talcomoseharealizadoconeltetraedroregularyelhexaedroregular)seobtendránochocartonestriangulares equiláteras. A dicho procedimiento seledenominadesarrollodelasuperficiedeloctaedroregular.Sugerimosallectorrealizarelprocesoinversopara el tetraedro regular, hexaedro regular y eloctaedroregular.Estos procesos se pueden realizar también con eldodecaedroregularyelicosaedroregular.
POLIEDROS REGULARES
4545SAN MARCOS GEOMETRÍA TEMA 13
Problema 1Setieneuncubodearistaa,desdeunvérticesetrazaunadesusdiagonalesyunade lasdiagonalesdesuscaras.Calculeelsenodelánguloqueformandichasdiagonales.
UNMSM 2004–I
Resolución:
C
DbA
b
Pb
Q R
Sl
B
a
Nos piden Sena
Donde es lamedida del ángulo queforman las diagonales de una cara ydelcubo.ABCD –PQRSesuncubo.
Sabemos que por el teorema delas tres perpendiculares
QB ⊥ dABCID (1.a⊥)BA ⊥ AD (2.a⊥)AQ ⊥ AD (3.a⊥)
Porlotantoseno( QAD)Sena = AD
QD
Sena = bl
(I)Peroporelteoremadelcubo.
l =b 3
Reemplazandoen(II)en(I)bsenb 3
a =
3sen 3a =
Problema 2Enuncubode2mdearistaseunen3 vértices demodo que se forma untriánguloequilátero.Determineeláreadedichotriángulo.
I. PRISMAEsunpoliedroenelcualdosdesuscarassonregionespoligonalescongruentesparalelas(sonlasdenominadasbases)ylasdemáscarassonregionesparalelográmicas(sonlasdenominadascaraslaterales).Losprismasseclasificansegúnlainclinacióndesuaristalateralconrespectoalplanodesubase.
Nota:El cilindro equilátero es aquel cilindro recto cuyasecciónaxialesunaregióncuadrada.
PRISMA Y CILINDRO
5050 SAN MARCOSGEOMETRÍATEMA 14
Problema 1Sireselradiodelabasedeuncilindro,contapa,devolumen100cm3,eláreadelmaterialusadoenlaconstruccióndelenvase,expresadoenfunciónder,es:
UNMSM 1997NIVEL FÁCIL
Resolución:
r
r
g
NospidenAmat:áreadelmaterial
Amat =2prg+2pr2 ...(1)
Del dato100=Vcil
= pr2g100grp 2=
Reemplazandoen(1)100A 2 r 2 rr
p p
p 2
mat 2= × +
100A 2 r cmr p
2 2mat = + +
Problema 2Alrotarlaregiónsombreadaunángulode 360° alrededor de la recta LL' seobtieneunsólidocuyovolumenes:
UNMSM 2000
5 m
5 m
L L'
3m
Resolución:5 m
5 m3m 3m
4 m
NospidenVsolido generado:VSG
VSG =Vcono + Vcilindro
VSG = p(3)3 ×(4/3)+ p(3)2 ×(5)
VSG =12p + 45p
∴VSG = 57p m3
Problema 3Lasdimensionesdeunparalelepípedoestánenprogresiónaritméticaysuman24u.Sielvolumenes440°u3,calculeladimensióndemayorlongitud.
UNMSM 2006–I
Resolución:
b
acc
Nos piden la dimensión de mayorlongitud.Datos:a+b+c=24 a×b×c=440Como las dimensiones están enprogresiónaritmética.a= l –rb= l C = l +rl –r+ l + l +r=24l =8Delsegundodato(8–r)(8)(8+r)=440(8–r)(8+r)= 5 ×11→r=3Ahorapodemosdecirqueladimensióndemayorlongitudescc=8+3
• Identificar la similitud entre estos dos sólidosgeométricos, tantoparacalcularsuvolumencomoparacalculareláreadelasuperficiequeloslimita.
ÁNGULO POLIEDRO
Esaquellafigurageométricaformadaportresomásregionesangulares(sitomamosdosregionesadyacentesnodebensercoplanares),quetienenvérticeencomúnycomparteunladodedosendos.Losnombresdelosángulospoliedrossedebealascantidadesde regiones angulares, las cuales se denominan caras deángulopoliedro.
Gráficamente
C
CaraCara
Cara
A
O abq B
Notación:ángulotriedroO–ABCa,b y q:medidasdelascaras
bq
gO
A B
C
D
Notación:ángulotetraedroO–ABCDa,b,q y gmedidasdelascaras
A. Porcionesnotablesdesuperficiesesféricas1. Zona esféricaEslasuperficiegeneradaporunaporcióndearcodeunasemicircunferenciacuandosehacegirar360°alrededordesudiámetro.
A. Porcionesnotablesdelaesfera(Sólidos de revolución)1. Sector esféricoEselsólidoquesegeneracuandosehacegirar360°unsectorcircularalrededordeldiámetrodesurespectivocírculo.(Segúnelgráfico)
A. ÁreadelasuperficiegeneradaEláreadelasuperficiegeneradaporunalíneafinitacuandosehacegirar360°alrededordeejecoplanar,esigualalproductodelalongituddelacircunferenciaquedescribesucentroideporlalongituddelalínea.
ESFERA Y PAPPUS-GULDIN
5959SAN MARCOS GEOMETRÍA TEMA 16
Ejedegiro
360°A
B
C.G xx
Área de la superficie generada
( )S.G.A 2 X .Lp=
: DistanciadelC.G.aleje L : LongituddelalíneacurvaAB. C.G.: Centroidedelalínea
B. VolumendelsólidogeneradoEl volumen del sólido generado por una regiónplana, cuando sehacegirar360°alrededordeun
Problema 1Hallar el volumen de un segmentoesférico, cuyo casquete tiene área 40pm2yelradiodelaesferamide10m.
Resolución:
Scasq =40p
Pero:2pRh=40p
Como R =10,entoncesh=2
Vsegmesf:2/3pR2h
V=400p/3m3
Problema 2En una esfera da radio R una zonaesfétr ica t iene a l tura R/4 y esequivalenteaunhuso.Hallarelángulocorrespondientealhuso.
Resolución:
Szona = 2pR R4NOP
NOP
= pR2
2
Aruso = pR2
90 a
Comosonequivalentes.
pR2
90a = pR2
2
dedondea =45°
Problema 3ElladodeuncuadradoABCDmide10.Hallarelvolumendelsólidoalgirarelcuadrado una vuelta alrededor de unejequepasaporDhaciendounángulode8°demaneraexterioralcuadrado.