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1. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) xxx 42)2(4)52(3 −≤−−−
2
3
6
996724242724284156 ≤⇒≤⇒≤⇒+≤+⇒−≤−⇒−≤+−− xxxxxxxxxx
Solución:
∞−∈2
3,x
b) 2
521
6
1
2
−−>−− xxx
⇒−⋅−⋅>−⋅−⇒−⋅−⋅>−⋅−
)52(3)1(6)1(136
)52(3)1(6
6
)1(13xxx
xxx
2
5
8
202081216221612156613 >⇒>⇒>⇒−>+⇒+−>+⇒+−>+−⇒ xxxxxxxxxx
Solución:
+∞∈ ,2
5x
c) 9
8
18
3
4
2
3
1 −−−≥+−+ xxx
⇒⋅−−⋅−≥+⋅−+⋅⇒⋅−−⋅−≥+⋅−+⋅
)4(8)3(2)2(9)1(1236
)8(4)3(2
36
)2(9)1(12xxx
xxx
4520
205626232626332621891212
−≥⇒
⇒−≥⇒−≥⇒+−≥+⇒−−≥−⇒−+−≥−−+⇒
x
xxxxxxxxx
Solución: ),4[ +∞−∈x
d) 2
15
3
26
3
12 −−<−− xx
⇒−⋅−<⋅−−⋅⇒−⋅−<⋅−−⋅
)15(3)26(2)12(26
)15(36
)26(2)12(2xx
xx
31957
57195431543155443155224 <⇒<⇒<⇒+<+⇒+−<−⇒+−<−−⇒ xxxxxxxxx
Solución: )3,(−∞∈x
e) 15
132
5
4
3
4 ++>−−+ xxx
⇒+⋅+⋅>−⋅−+⋅⇒+⋅+⋅>−⋅−+⋅
)13(1)15(2)4(3)4(515
)13(1)15(2
15
)4(3)4(5xxx
xxx
113231323133221330123205 <⇒−>−⇒−>−⇒+>+⇒++>+−+⇒ xxxxxxxxx Solución: )1,(−∞∈x
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f) 22
14
4
8
3
25 −+>−−− xxx
⇒⋅−+⋅>−⋅−−⋅⇒⋅−+⋅>−⋅−−⋅
)12(2)14(6)8(3)25(412
)12(2)14(6
12
)8(3)25(4xxx
xxx
⇒>⇒>⇒−>−⇒+>+⇒−+>+−−⇒1144
44111660617606161724846243820 xxxxxxxxx
4>⇒ x Solución: ),4( +∞∈x
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2. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 0122 ≥−+ xx
� Ceros:
−==
=±−=+±−=⇒=−+4
3
271
24811
0122
x
xxxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: ),3[]4,( +∞∪−−∞∈x
b) 032 2 >+− xx
� Ceros:
=⇒=+−
=⇒=+−⋅⇒=+−
23
032
0
0)32(032 2
xx
x
xxxx
� ∩⇒<−= 02a
Solución:
∈2
3,0x
c) 014 2 <−x
� Ceros: 2
1
4
114014 222 ±=⇒=⇒=⇒=− xxxx
� ∪⇒>= 04a
Solución:
−∈2
1,
2
1x
d) 01616 22 <−+⇒<+ xxxx
� Ceros:
−=
==±−=+±−=⇒=−+
21
31
1251
122411
016 2
x
x
xxx
� ∪⇒>= 06a
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Solución:
−∈3
1,
2
1x
e) 045081028102 2)2(:22 <++ →>−−−⇒>−− − xxxxxx ¡Cuidado al dividir por un número negativo
cambia el sentido de la desigualdad!
� Ceros:
−=−=
=±−=−±−=⇒=++4
1
235
216255
0452
x
xxxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: ( )1,4−−∈x
f) 012 2 <++ xx
� Ceros: realsolución 2
811012 2 ∃/⇒
−±−=⇒=++ xxx
� ∪⇒>= 02a
Solución: La inecuación no tiene solución
g) 0932 >++ xx
� Ceros: realsolución 2
36930932 ∃/⇒
−±−=⇒=++ xxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: ℜ
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h) 0962 ≤++ xx
� Ceros:
−=−=
=±−=−±−=⇒=++3
3
206
236366
0962
x
xxxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: 3−=x
i) 03737 22 >−⇒> xxxx
� Ceros:
=⇒=−
=⇒=−⋅⇒=−
7
3037
0
0)37(037 2
xx
x
xxxx
� ∪⇒>= 07a
Solución:
+∞∪−∞∈ ,7
3)0,(x
j) 06565 22 >−+−⇒>+− xxxx
� Ceros:
==
=−
±−=−
−±−=⇒=−+−3
2
215
224255
0652
x
xxxx
� ∩⇒<−= 01a
Solución: )3,2(∈x
k) 0740254425)2( 222 ≤+−⇒≤−++−⇒≤+− xxxxx
� Ceros: realsolución 2
281640742 ∃/⇒
−±=⇒=+− xxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: La inecuación no tiene solución
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l) ⇒−<−⇒−<−
⇒−<−
⇒−<− 2
222
2412610
2410
12610
2410
)63(210
245
63xxx
xxxxxxxxx
0601222 22 :2 <−+→<−+⇒ xxxx
� Ceros:
−==
=±−=+±−=⇒=−+3
2
251
22411
062
x
xxxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: )2,3(−∈x
m) ⇒−+−−−≥++−⇒−+−−≥+− )842(1344)2)(4(13)2( 222 xxxxxxxxxx
03272484214 22222 ≥−+⇒+−−≥+−⇒+−+−−≥+−⇒ xxxxxxxxxxx
� Ceros:
−=
==±−=+±−=⇒=−+
23
1
451
42411
032 2
x
x
xxx
� ∪⇒>= 02a
Solución: [ )+∞∪
−∞−∈ ,12
3,x
n) ⇒>++−−⇒>+−−−
⇒>+−−−1020
101026105
1020
1010)13(2)2(5
25
132
2 222 xxxxxxx
xx
028452084510
20
10
845 222
>−+⇒>−+⇒>−+⇒ xxxx
xx
� Ceros:
−=
==±−=+±−=⇒=−+
5
14
2
10
244
10
56016402845 2
x
x
xxx
� ∪⇒>= 05a
Solución: ( )+∞∪
−∞−∈ ,25
14,x
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2
3. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 3:
a) 043 >− xx
� Ceros:
∗=−=
⇒=−⋅⇒=−)( 04
00)4(04
2
23
x
xxxxx
=−=
⇒±=⇒=⇒=−∗2
24404 )( 22
x
xxxx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(2(043 >+−⇔>− xxxxx
−=−−−⇒−= ))()((3x
+=+−−⇒−= ))()((1x
−=+−+⇒= ))()((1x
+=+++⇒= ))()((3x
Solución: ),2()0,2( +∞∪−∈x
b) 0233 ≤−− xx
� Ceros: 0233 =−− xx Posibles raíces = {divisores de 2− }= }2 ,1{ ±±
2 3 0 1 −−
2 4 2 +++
0 1 2 1 ++ 2
notable Identidad
23 )1)(2()12()2(23 +−=++−=−−⇒ xxxxxxx43421
−=⇒=+
=⇒=−⇔=+−⇔=++−
(doble) 10)1(
2020)1)(2(025159
2
223
xx
xxxxxxx
Por tanto, los ceros del polinomio son:
(doble) 1y 2 −== xx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)1)(2(023 23 ≤+−⇔≤−− xxxx
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−=+−⇒−= ))((2x −=+−⇒= ))((0x +=++⇒= ))((3x
Solución: ]2,(−∞∈x
c) 014 ≥−x
� Ceros:
−=⇒=+=⇒=−
⇔=++−⇔=+−⇔=− 101
1010)1)(1)(1(0)1)(1(01 2224
xx
xxxxxxxx
Por tanto, los ceros del polinomio son:
1y 1 =−= xx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)1)(1)(1(01 24 ≥++−⇔≥− xxxx
+=+−−⇒−= ))()((2x −=++−⇒= ))()((0x +=+++⇒= ))()((2x
Solución: ),1[]1,( +∞∪−−∞∈x
d) 0623 >−− xxx
� Ceros:
∗=−−=
⇒=−−⋅⇒=−−)( 06
00)6(06
2
223
xx
xxxxxxx
−==
=±=+±=⇒=−−∗2
3
251
22411
06 )( 2
x
xxxx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(3(0623 >+−⇔>−− xxxxxx
−=−−−⇒−= ))()((3x
+=+−−⇒−= ))()((1x
−=+−+⇒= ))()((1x
+=+++⇒= ))()((4x
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1− 3+
Solución: ),3()0,2( +∞∪−∈x
e) 0365365 2424 ≥−−⇒≥− xxxx
� Ceros: 0365 24 =−− xx
1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
03652 =−− tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
−==
=±=+±=⇔=−−4
9
2315
2144255
03652
t
tttt
3) Deshacemos el cambio de variable
3999 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt
realsolución existe no444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
Por tanto, los ceros del polinomio son:
3y 3 =−= xx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)4)(3)(3(0365 224 ≥+−+⇔≥−− xxxxx
36 0 5 0 1 −−
36 12 9 3 ++++ 0 12 4 3 1 +++ 12 0 3 −−
0 4 0 1 + )4)(3)(3(365 224 ++−=−−⇒ xxxxx
Es decir, tenemos que resolver la inecuación: 0)4)(3)(3( 2 ≥+−+ xxx
+=+−−⇒−= ))()((4x −=+−+⇒= ))()((0x +=+++⇒= ))()((4x
Solución: ),3[]3,( +∞∪−−∞∈x
3−
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21
f) 0122021
21 23)2(23 ≤−+−→≤−+− ⋅ xxxxxx
� Ceros: 01223 =−+− xxx Posibles raíces enteras = {divisores de 1− }= }1{±
Posibles raíces fraccionarias =
±=
−
2
1
2 de divisores
1 de divisores
1 2 1 2 −+− 1 0 1 ++
0 2 0 2 + )22(21
122 223 +
−=−+−⇒ xxxxx
∃/⇒−=⇒=+
=⇒=−⇔=+
−⇔=−+−realsolución 1022
21
021
0)22(21
012222
223
xx
xxxxxxx
Por tanto, el cero del polinomio es:
2
1=x
� Luego, factorizando, tenemos: 0)22(2
10122 223 ≤+
−⇔≤−+− xxxxx
−=+−⇒= ))((0x +=++⇒= ))((1x
Solución:
∞−∈21
,x
g) 03520332233)1(2 23432243222 <+−−+⇒<−++−−⇒+−−<−− xxxxxxxxxxxxxx
Tenemos que resolver la inecuación: 0352 234 <+−−+ xxxx
� Ceros: 0352 234 =+−−+ xxxx
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1−
3 1 5 1 2 +−−+
3 4 1 2 −++−
0 3 4 1 2 +−− )342)(1( 23 +−−+⇒ xxxx
3 1 2 −++
0 3 1 2 −+ )32)(1)(1( 2 −+−+⇒ xxxx
∗=−+=⇒=−
−=⇒=+⇔=−+−+⇔=+−−+
)( 032
101
101
0)32)(1)(1(03522
2234
xx
xx
xx
xxxxxxxx
−=⇒−=
=⇒==±−=+±−=⇒=−+∗
2
3
4
6
14
4
4
51
4
2411032 )( 2
xx
xxxxx
Por tanto, los ceros del polinomio son:23
y 1 )doble(1 −=−== xxx
� Luego, factorizando, tenemos:
02
3)1()1( 0
2
3)1()1(20352 2
2 :
2234 <
++−⇔<
++−⇔<+−−+ xxxxxxxxxx
+=−−+⇒−= ))()((2x
−=+−+⇒−= ))()((25,1x
+=+++⇒= ))()((0x
+=+++⇒= ))()((4x
Solución:
−−∈ 1,2
3x
h) 025159 2345 ≤++− xxxx
� Ceros:
∗=++−
=⇒=⇔=++−⋅⇔=++−
)( 025159
(doble) 00
0)25159(02515923
2
2322345
xxx
xx
xxxxxxxx
025159 )( 23 =++−∗ xxx Posibles raíces = {divisores de 25}= }25,5 ,1{ ±±±
1+
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5
1−
25 15 9 1 ++− 25 20 5 −−+
0 5 4 1 −− )54)(5(25159 223 −−−=++−⇒ xxxxxx
∗∗=−−
=⇒=−⇔=−−−⇔=++−
)( 054
505
0)54)(5(0251592
223
xx
xx
xxxxxx
−==
=±=+±=⇒=−−∗∗1
5
264
220164
054 )( 2
x
xxxx
Por tanto, los ceros del polinomio son:
1y (doble) 5 (doble) 0 −=== xxx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)1()5(025159 222245 ≤+−⇔≤++− xxxxxxx
−=−++⇒−= ))()((2x
+=+++⇒−= ))()((5,0x
+=+++⇒= ))()((1x
+=+++⇒= ))()((4x
Solución: }5,0{]1,( ∪−−∞∈x
i) 03452035523)1(52 23233 ≤+−−⇒≤++−−⇒−−≤+− xxxxxxxxxxx
Tenemos que resolver la inecuación: 03452 23 ≤+−− xxx
� Ceros
3 4 5 2 +−− 3 7 2 −+−
0 3 7 2 +− )372)(1(3452 223 +−+=+−−⇒ xxxxxx
∗=+−
−=⇒=+⇔=+−+⇔=+−−
)( 0372
1010)372)(1(03452
2
223
xx
xxxxxxxx
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=
==±=−±=⇒=+−∗
2
1
3
457
424497
0372 )( 2
x
x
xxx
Por tanto, los ceros del polinomio son:
21
y 3 , 1 ==−= xxx
� Luego, factorizando, tenemos:
02
1)3)(1(0
2
1)3)(1(203452
)2(:
23 ≤
−−+⇔≤
−−+⇔≤+−− xxxxxxxxx
−=−−−⇒−= ))()((2x
+=−−+⇒= ))()((0x
−=+−+⇒= ))()((2x
+=+++⇒= ))()((4x
Solución:
∪−−∞∈ 3,2
1]1,(x
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4. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:
a) 012
25 ≥+−
x
x
� Ceros
5
2025 =⇒=− xx
� Polos
21
012 −=⇒=+ xx
+=−−
⇒−=)(
)(1x −=
+−
⇒=)()(
0x +=++
⇒=)(
)(1x
Solución:
+∞∪
−∞−∈ ,5
2
2
1,x
b) 02
12
≤+−
x
x
� Ceros:
=−=
⇒=⇒=−1
1101 22
x
xxx
� Polos: 202 −=⇒=+ xx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)2(
)1)(1(0
2
12
≤+
+−⇔<+−
x
xx
x
x
−=−
−−⇒−=
)(
))((3x
+=+
−−⇒−=
)(
))((5,1x
−=+
+−⇒=
)())((
0x
+=+
++⇒=
)())((
2x
Solución: ( ) [ ]1,12, −∪−∞−∈x
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1
c) 065
452
2
≥+−+−
xx
xx
� Ceros:
==
=±=−±=⇒=+−1
4
235
216255
0452
x
xxxx
� Polos:
==
=±=−±=⇒=+−2
3
215
224255
0652
x
xxxx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(3(
)1)(4(0
65
452
2
≥−−−−⇔≥
+−+−
xx
xx
xx
xx
+=−−−−
⇒=))(())((
0x
−=−−+−
⇒=))((
))((5,1x
+=+−+−
⇒=))(())((
5,2x
−=+++−
⇒=))((
))((5,3x
+=++++
⇒=))((
))((4x
Solución: ( ] [ )+∞∪∪∞−∈ ,4)3,2(1,x
d) 093535
23
23
≤−+++−+
xxx
xxx
� Ceros: 03523 =+−+ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 3} = }3 ,1{ ±±
3 5 1 1 +−+ 3 2 1 −++ 0 3 2 1 −+ )32)(1(35 223 −+−=+−+⇒ xxxxxx
Luego
∗=−+
=⇒=−⇔=−+−⇔=+−+
)( 032
1010)32)(1(035
2
223
xx
xxxxxxxx
−==
=±−=+±−=⇒=−+∗3
1
2
42
2
1242032 )( 2
x
xxxx
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1
Por tanto, 3 (doble)1 −==→ xxCeros
� Polos: 0935 23 =−++ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 9− } = }9,3 ,1{ ±±±
9 3 5 1 −++ 9 6 1 +++ 0 9 6 1 ++ )96)(1(935 223 ++−=−++⇒ xxxxxx
Luego
−=⇒=+⇒=++
=⇒=−⇔=++−⇔=−++
(doble) 30)3(096
1010)96)(1(0935
22
223
xxxx
xxxxxxxx
Por tanto, 1 (doble)3 =−=→ xxPolos
� Luego, factorizando, tenemos: 0)1()3(
)3()1(0
935
352
2
23
23
≤−++−⇔≤
−+++−+
xx
xx
xxx
xxx
+=−+−+
⇒−=))(())((
4x −=−+++
⇒=))(())((
0x +=++++
⇒=))(())((
2x
Solución: )1,3( −−∈x
e) 02
322
2
<−+−−
xx
xx
� Ceros:
−==
=±=+±=⇒=−−1
3
2
42
2
12420322
x
xxxx
� Polos:
−==
=±−=+±−=⇒=−+2
1
2
31
2
811022
x
xxxx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(1(
)1)(3(0
2
322
2
<+−+−⇔<
−+−−
xx
xx
xx
xx
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+=−−−−
⇒−=))((
))((3x
−=+−−−
⇒−=))((
))((5,1x
+=+−+−
⇒=))((
))((0x
−=+++−
⇒=))((
))((2x
+=++++
⇒=))((
))((4x
Solución: )3,1()1,2( ∪−−∈x
f) 03
40
331
03
)3(1101
31 >
+−
⇒>+
−−−⇒>
++⋅−−
⇒>−+−
xx
xx
x
xx
x
x
� Ceros: No tiene
� Polos: 303 −=⇒=+ xx
+=−−
⇒−=)()(
4x
−=+−
⇒−=)()(
2x
Solución: )3,( −−∞∈x
g) 02
40
2
420
2
)2(202
22
2 2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
≤−+−
⇒≤−
+−⇒≤
−−−
⇒≤−−
⇒≤− x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
� Ceros:
=−=
⇒=⇒=+−2
2404 22
x
xxx
� Polos:
=
−=⇒=⇒=−
2
2202 22
x
xxx
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1−
� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(2(
)2)(2(0
)2)(2(
)2)(2(10
24 )1(:
2
2
≥+−+− →≤
+−+−−⇔≤
−+− −
xx
xx
xx
xx
x
x
+=−−−−
⇒−=))(())((
3x
−=−−+−
⇒−=))(())((
5,1x
+=+−+−
⇒=))((
))((0x
−=+++−
⇒=))(())((
5,1x
+=++++
⇒=))(())((
3x
Solución: ( ] ( ) [ )+∞∪−∪−∞−∈ ,22,22,x
h) 03
530
3
350
3
)3(50
3
5
3
52
23
2
32
2
22
2
2
2
2
<+
−−+−⇒<
+−−−
⇒<+
+−−⇒<−
+−
⇒<+−
x
xxx
x
xxx
x
xxxx
x
xx
x
x
� Ceros: 05323 =−−+− xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 5− } = }5 ,1{ ±±
5 3 1 1 −−+− 5 2 1 +−+ 0 5 2 1 −+− )52)(1(53 223 −+−+=−−+−⇒ xxxxxx
Luego
=−+−
−=⇒=+⇔=−+−+⇔=−−+−
(*) 052
1010)52)(1(053
2
223
xx
xxxxxxxx
realsolución 2
2042052 )( 2 ∃/⇒
−−±−=⇒=−+−∗ xxx
Por tanto, 1−=→ xCeros
� Polos: realsolución 303 22 ∃/⇒−=⇒=+ xx
Por tanto, tieneNo→Polos
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19
� Luego, factorizando, tenemos: 03
)52)(1(0
353
2
2
2
23
<+
−+−+⇔<+
−−+−x
xxx
x
xxx
+=+
−−⇒−=
)())((
2x
−=+
−+⇒=
)())((
0x
Solución: ( )+∞−∈ ,1x
i) 0)4)(1(
60
)4)(1(224
0)4)(1(
)1(2)4(10
42
11
42
11 <
+−−
⇒<+−+−+
⇒<+−
−−+⇒<
+−
−⇒
+<
− xx
x
xx
xx
xx
xx
xxxx
Por tanto, hay que resolver la inecuación: 0)4)(1(
6 <+−
−xx
x
� Ceros: 606 =⇒=− xx
� Polos:
−==
⇒=+−4
10)4)(1(
x
xxx
� 0)4)(1(
6 <+−
−xx
x
+=−−
+⇒−=
))((
)(5x
−=+−
+⇒=
))((
)(0x
+=++
+⇒=
))((
)(2x
−=++
−⇒=
))((
)(7x
Solución: ),6()1,4( +∞∪−∈x
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20
j) ⇒≥+−
−−−+−−+−⇒≥
+−−−
−−
⇒+−≥−
−−
0)1)(1(
)1)(12()1)(1()1)(23(0
1
121
1
23
1
121
1
23
xx
xxxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
⇒≥+−
+−−−−−−−+⇒ 0
)1)(1(
)122()1()2233( 222
xx
xxxxxxx
0)1)(1(
240
)1)(1(
12212233 222
≥+−
−⇒≥
+−−++−+−−−+
⇒xx
x
xx
xxxxxxx
Por tanto, hay que resolver la inecuación: 0)1)(1(
24 ≥+−
−xx
x
� Ceros: 2
1024 =⇒=− xx
� Polos:
−==
⇒=+−1
10)1)(1(
x
xxx
� 0)1)(1(
24 ≥+−
−xx
x
−=−−
−⇒−=
))((
)(2x
+=+−
−⇒=
))((
)(0x
−=+−
+⇒=
))((
)(75,0x
+=++
+⇒=
))((
)(2x
Solución: ),1(2
1,1 +∞∪
−∈x
k) 0)3)(3(
120
)3)(3(
3130
3
1
)3)(3(
1
3
1
3
1
9
1
3
12
≤+−
−⇒≤
+−++−−
⇒≤−
++−
−+
⇒−
−≤−
−+ xx
x
xx
xx
xxxxxxx
Por tanto, hay que resolver la inecuación: 0)3)(3(
12 ≤+−
−xx
x
� Ceros: 2
1012 =⇒=− xx
� Polos:
−==
⇒=+−3
30)3)(3(
x
xxx
� 0)3)(3(
12 ≤+−
−xx
x
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21
−=−−
−⇒−=
))((
)(4x
+=+−
−⇒=
))((
)(0x
−=+−
+⇒=
))((
)(1x
+=++
+⇒=
))(()(
4x
Solución:
∪−−∞∈ 3,2
1)3,(x
l) 4
16
2
1
2 2 −+−
++≤
−−
x
x
x
x
x
x⇒≤
−−
++−
+−+
⇒ 022
1
)2)(2(
16
x
x
x
x
xx
x
0)2)(2(
)2()1)(2(16 ≤+−
+−+−−+⇒
xx
xxxxx0
)2)(2(
22216 22
≤+−
−−+−+−+⇒
xx
xxxxxx0
)2)(2(
352 2
≤+−
++−⇒
xx
xx
Por tanto, hay que resolver la inecuación: 0)2)(2(
352 2
≤+−
++−xx
xx
� Ceros: 0352 2 =++− xx
=
−==
−±−=
−+±−=
−⋅⋅−⋅−±−
=3
21
475
424255
)2(2
3)2(4)5(5 2
x
xx
� Polos:
−==
⇒=+−2
20)2)(2(
x
xxx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(2(
)3(2
12
0)2)(2(
352 2
≤+−
−
+−⇔≤
+−++−
xx
xx
xx
xx
−=−−
−−−⇒−=
))((
))()((3x
+=+−
−−−⇒−=
))((
))()((1x
−=+−
−+−⇒=
))((
))()((0x
+=++
−+−⇒=
))((
))()((5,2x
−=++
++−⇒=
))((
))()((4x
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22
Solución: ),3[2,2
1)2,( +∞∪
−∪−−∞∈x
m) ⇒−≥− 1264
22
xx ⇒≥+− 012
642
2
xx 0
12642
24
≥+−x
xx0
64122
24
≥−+⇒
x
xx
Por tanto, hay que resolver la inecuación: 06412
2
24
≥−+x
xx
� Ceros: 06412 24 =−+ xx
1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
064122 =−+ tt 2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
−==
=±−=+±−=⇔=−+16
4
22012
225614412
064122
t
tttt
3) Deshacemos el cambio de variable
2444 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt
realsolución tieneno161616 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
� Polos: 002 =⇒= xx
� 06412
2
24
≥−+x
xx
+=++
⇒−=)(
)(3x
−=+−
⇒−=)(
)(1x
−=+−
⇒=)(
)(1x
+=++
⇒=)(
)(3x
Solución: ),2[]2,( +∞∪−−∞∈x
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23
1−
n) ⇒++−
−+≤
−−
1
2
1
17
1
33 2
2 x
x
x
x
x
x
0)1)(1(
)1)(2()17()1)(33(0
1
2
)1)(1(
17
1
33 22
≤+−
−+++−+−⇒≤
+++
+−+−
−−
⇒xx
xxxxx
x
x
xx
x
x
x
0)1)(1(
6520
)1)(1(
22173333 23232
≤+−
−−+⇒≤
+−−+−+−−−−+
⇒xx
xxx
xx
xxxxxxx
Por tanto, hay que resolver la inecuación: 0)1)(1(
652 23
≤+−
−−+xx
xxx
� Ceros: 0652 23 =−−+ xxx
6 5 2 1 −−+ 6 1 1 +−−
0 6 1 1 −+ )6)(1(652 223 −++=−−+⇒ xxxxxx
∗=−+
−=⇒=+⇔=−++⇔=−−+
)( 06
1010)6)(1(0652
2
223
xx
xxxxxxxx
−==
=±−=+±−=⇒=−+∗3
2
2
51
2
241106 )( 2
x
xxxx
Por tanto, los ceros del polinomio son:
3y 2 , 1 −==−= xxx
� Polos:
−==
⇒=+−1
10)1)(1(
x
xxx
� Luego, factorizando, tenemos: )1)(1(
0)3)(2)(1(0
)1)(1(
652 23
+−≤+−+⇔≤
+−−−+
xx
xxx
xx
xxx
−=−−
−−−⇒−=
))((
))()((4x
+=−−
+−−⇒−=
))((
))()((2x
+=+−
+−+⇒=
))((
))()((0x
−=++
+−+⇒=
))((
))()((5,1x
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24
+=++
+++⇒=
))((
))()((3x
Solución: ]2,1(]3,( ∪−−∞∈x
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1
5. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:
a)
+≤+<−+623
7)1(32
xx
xx
� Primero resolvemos cada una de las inecuaciones del sistema de forma independiente:
I) 210573327)1(32 <⇒<⇒<−+⇒<−+ xxxxxx
Solución: )2,(−∞∈x
II) 242263623 ≤⇒≤⇒−≤−⇒+≤+ xxxxxx Solución: ]2,(−∞∈x
� Ahora hallamos la solución del sistema:
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de las dos inecuaciones anteriores, es decir,
Solución del sistema: ( ) ( ][ ] ( )2,2,2, ∞−=∞−∩∞−∈x
b)
+>−+
<−
2)1(32
22
2
xxx
xx
� Primero resolvemos cada una de las inecuaciones del sistema de forma independiente:
I) 34
4324
24
22
2 <⇒<⇒<−⇒<− xx
xxxx
Solución:
∞−∈3
4,x
II) 45
5423322)1(32 >⇒>⇒+>−+⇒+>−+ xxxxxxxx
Solución:
+∞∈ ,4
5x
� Ahora hallamos la solución del sistema:
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de las dos inecuaciones anteriores, es decir,
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2
Solución del sistema:
=
+∞∩
∞−∈34
,45
,45
34
,x
c)
≥≤
+<−−≤−−−
0
5
332
32)3(3
x
x
xx
xx
� Primero resolvemos cada una de las inecuaciones del sistema de forma independiente:
I) 5
12125329332)3(3 ≥⇒−≤−⇒−≤−+−⇒−≤−−− xxxxxx
Solución:
+∞∈ ,5
12x
II) 6332332 <⇒+<−⇒+<− xxxxx Solución: ( )6,∞−∈x
III) 5≤x Solución: ( ]5,∞−∈x
IV) 0≥x Solución: [ )+∞∈ ,0x
� Ahora hallamos la solución del sistema:
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de las cuatro inecuaciones anteriores, es decir,
Solución del sistema: ( ) ( ] [ )
=
+∞∩∞−∩∞−∩
+∞∈ 5,5
12,05,6,,
512
x
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3
d)
>
<<−
1
332x
x
� Primero resolvemos cada una de las inecuaciones del sistema de forma independiente:
I) 33 <<− x Solución: ( )3,3−∈x
II) 011 22 >−⇒> xx
� Ceros:
=−=
⇒=−1
1012
x
xx
� ∪⇒>= 01a
Solución: ( ) ( )+∞∪−∞−∈ ,11,x
� Ahora hallamos la solución del sistema:
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de las dos inecuaciones anteriores, es decir,
Solución del sistema: ( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ) ( )3,11,3,11,3,3 ∪−−=+∞∪−∞−∩−∈x
e)
−≥−−≤+−
<−
1733
01
13
1
2
x
x
x
� Primero resolvemos cada una de las inecuaciones del sistema de forma independiente:
I) 03
40
3
3101
3
11
3
1 <−−
⇒<−
+−⇒<−
−⇒<
− x
x
x
x
xx
Por tanto, hay que resolver la inecuación: 03
4 <−−
x
x
� Ceros
404 =⇒=− xx
� Polos
303 =⇒=− xx
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4
� 03
4 <−−
x
x
−=−+
⇒=)(
)(0x +=
++
⇒=)(
)(5,3x −=
+−
⇒=)(
)(5x
Solución: ),4()3,( +∞∪−∞∈x
II) 012 ≤+− x
� Ceros
11101 22 ±=⇒±=⇒=⇒=+− xxxx
� ∩⇒<−= 01a
Solución: ),1[]1,( +∞∪−−∞∈x
III) 3
143
1414331731733 ≤⇒
−−≤⇒−≥−⇒+−≥−⇒−≥−− xxxxx
Solución:
∞−∈3
14,x
� Ahora hallamos la solución del sistema:
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de las tres inecuaciones anteriores, es decir,
Solución del sistema:
∪∪−−∞∈3
14,4)3,1[]1,(x
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25
6. Una fábrica de Getafe paga a sus viajantes 10 euros por artículo vendido más una cantidad fija de 400 euros. Otra fábrica de la competencia paga 15 euros por artículo vendido más una cantidad fija de 300 euros. ¿Cuántos artículos debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?
Solución: x = nº de artículos vendidos � Ganancias del viajante de la fábrica de Getafe = 40010 +⋅ x � Ganancias del viajante de la fábrica de la competencia = 30015 +⋅ x Queremos hallar el valor de “x” para qué:
Ganancias del viajante de la fábrica de la competencia > Ganancias del viajante de la fábrica de Getafe
205
100100530040010154001030015 >⇒>⇒>⇒−>−⇒+>+ xxxxxxx
Luego el viajante de la competencia ha de vender más de 20 artículos para ganar más que el viajante de la fábrica de Getafe.
7. Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determina en qué período de sus vidas la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad de su hijo.
Solución: Edad del hijo = x Edad del padre = x + 22 Queremos saber cuándo la diferencia entre la edad del padre y el doble de la edad de su hijo es mayor que 6, es decir,
62)22( >−+ xx
Resolvemos la inecuación: 1616622262)22( <⇒−>−⇒>−+⇒>−+ xxxxxx
Por tanto, la diferencia entre la edad del padre y el doble de la edad de su hijo es mayor que 6 cuando el hijo tiene menos de 16 años.
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26
8. Halla los valores de m para que las dos raíces de la ecuación 0)5()12(2 =++⋅++ mxmmx sean reales.
Solución:
� Una ecuación de segundo grado tiene soluciones reales (dos distintas o una doble) 042 ≥−=∆⇔ acb
En nuestro caso: )5( )12( 0)5()12(2 +=+==⇒=++⋅++ mcmbmamxmmx
⇔≥−−++⇔≥+−+⇔≥−=∆ 02041440)5(4)12(04 2222 mmmmmmmacb161
116 ≤⇔−≥− mm
Por tanto,
La ecuación tiene solución real 16
1≤⇔ m
9. Halla la condición que tienen que verificar los coeficientes de la ecuación
0)10()2(22 =−−⋅+− mxmmx , para que tenga raíces reales.
Solución:
� Una ecuación de segundo grado tiene soluciones reales (dos distintas o una doble) 042 ≥−=∆⇔ acb
En nuestro caso: )10( )2(2 0)10()2(22 −−=+−==⇒=−−⋅+− mcmbmamxmmx
⇔≥−+++⇔≥−−⋅⋅−+−⇔≥−=∆ 0)10(4)44(40)]10([4)]2(2[04 222 mmmmmmmacb
023016248040416164 2
)8(:
222 ≥+−⇔≥+−⇔≥−+++⇔ mmmmmmmm
Tenemos que resolver la inecuación: 0232 ≥+− mm
Ceros:
==
=±=−±=⇒=+−1
2
213
2893
0232
m
mmmm
Por tanto,
La ecuación tiene solución real ),2[]1,( +∞∪−∞∈⇔ m
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27
10. ¿Para qué valores de m, la ecuación de segundo grado 07)1(8 2 =−+⋅−− mxmx no tiene solución?
Solución:
� Una ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales 042 <−=∆⇔ acb
En nuestros caso: )7( )1( 80)7()1(8 2 −=−−==⇒=−+⋅−− mcmbamxmx
⇔<+−+−⇔<−⋅⋅−−−⇔<−=∆ 022432120)7(84)]1([04 222 mmmmmacb 0225342 <+− mm
Tenemos que resolver la inecuación: 0225342 <+− mm
Ceros:
==
=±=−±=⇒=+−9
25
21634
2900115634
0225342
m
mmmm
Por tanto,
La ecuación no tiene solución real )25,9(∈⇔ m