1
1.Pojam identifikacije
Pod identifikacijom procesa se podrazumeva odreivanje matematikog modela procesa na osnovu eksperimentalnih podataka. U praksi se identifikacija najee vri na taj nain to se na osnovu podataka o ulaznim i izlaznim veliinama vri odreivanje matematikog modela koji, u skladu sa nekim kriterijumom, najbolje opisuje ponaanje procesa. Pri tome se matematiki model bira iz odreene klase modela, npr. linearni model sa konstantnim koeficijentima.Mozemo odrediti dva modela procesa. Pod strukturnim modelom se podrazumeva takav matematiki model koji opisuje fiziku strukturu procesa. Pod funkcionalnim modelom podrazumeva se matematiki model koji sa odreenom tanou, opisuje ponaanje procesa. Konkretnije, funkcionalni model ima priblino isti odziv na odreeni ulazni signal kao i realni proces. Pri tome se ne mora poznavati stvarna struktura procesa.
Efikasnost identifikacije dosta zavisi od uspeno izabranog tipa i strukture modela, koji se bazira na teorijskim, apriornim pretpostavkama. A od presudnog znaaja za uspeh identifikacije su i uslovi eksperimenta. Osnovni izvor informacija pri identifikaciji su podaci o ulaznim i izlaznim veliinama procesa. Zato je neophodno pre svega strogo planiranje eksperimenta, izbor odgovarajueg metoda, izbor adekvatne i kvalitetne opreme za eksperimentisanje.
Postoje dva osnovna naina identifikacije koji se meusobno sutinski razlikuju. To su pasivni i aktivni nain, odnosno pasivna i aktivna identifikacija.
Pasivna identifikacija procesa se sastoji u tome to se na ulaz dovodi poznati signal i snima se odgovarajui odziv. Tada se, nezavisno od procesa, korienjem odgovarajueg metoda vri odreivanje matematikog modela. Dakle, model se ne odreuje u relanom vremenu.
Aktivna identifikacija se vri u realnom vremenu, uz pomo podesivog fizikog modela. Ovaj model se vezuje paraleleno sa procesom, tako da se i u proces i u model dovodi isti signal. Na osnovu informacije o razlici izlaza iz procesa i modela, vri se korekcija modela, dok se njegov izlaz, u skladu sa izabranim kriterijumom, u najveoj meri ne poklapa sa izlazom iz procesa.
Dakle, da bi se izvrila uspena identifikacija potrebno je: obezbediti odgovarajue eksperimentalne uslove u cilju dobijanja to adekvatinijih informacija o procesu, izabrati odreenu strukturu modela,
izabrati kriterijum za ocenu kvaliteta identifikacije,
usvojiti adekvatan metod identifikacije i
vriti dijagnostiku proveru modela.
Osnovni uslov, da bi identifikacija mogla da se izvri, potrebno je da proces bude identifikabilan. 2. Identifikabilnost
Identifikabilnost procesa jeste mogunost odrediti matematiki modela procesa na osnovu rezultata merenja izlaznih veliina u toku nekog vremenskog intervala.
Parametarska identifikabilnost predstavlja mogunost odreivanja parametara matematikog modela sistema ili procesa, takoe na osnovu rezultata merenja odreenih izlaznih veliina.
Pri izuavanju identifikabilnosti, u prvoj etapi identifikacije, mozemo razmatrati idealne uslove, kada nema umova, i pretpostaviti da su parametri matematikog modela konstantni. Dok u sledeim etapama se sukcesivno uvode nove pretpostavke. Npr, pretpostavka o nelinearnostima, prisustvu umova itd.Time se u iteracijama formira matematiki model koji sve vie odgovara realnom procesu. Broj iteracija zavisi od sloenosti procesa a postupak se zavrava kada se dobiju rezultati sa zadovoljavajuom tanou. Vano je naglasiti da je osnovni uslov identifikabilnosti, opservabilnost objekta ija se identifikacija vri.
Za razmatranje problema parametarske identifikabilnosti kontinualnog procesa sa konstantnim parametrima jednaine se mogu zapisati u obliku:
U veini sluajeva, uslovi identifikabilnosti imaju vie teorijski, a manje praktian znaaj.
3. Aktivna identifikacija procesaAktivna identifikacija se vri tako to se paralelno sa procesom povezuje podeljivi fiziki model. Kad je najoptijem sluaju kod modela se mogu menjati i struktura i parametri. Meutim, u praksi se najee radi sa modelom definisane strukture iji se parametri podeavaju.
Stepen poklapanja izlaznih signala moe se definisati u ebievljevom smislu, tj.:
ili, jo ee kao srednje kvadratno odstupanje:
U sluaju multivarijabilnog procesa:
Ako se radi o diskretnom multivarijabilnom sistemu:
Postupak identifikacije je prikazan na slici 1. Na osnovu informacije o vred. J(e) i eventualno o samom odstupanju e(t), vri se podeavanje modela sve dok J(e) ne bude minimalno.
U optem sluaju moe se vriti podeavanje strukture i parametara modela. U praktinim primenama se najee pretpostavlja struktura modela, dok se vri samo podeavanje parametara. Pri aktivnoj identifikaciji posebno treba obratiti panju oko izbora ulaznog signala u(t), strukturu podeljivog modela i algoritam podeavanja.
Promenljivi fiziki model moe se realizovati u obliku elektrine mree sa promenljivim, odnosno podeivim parametrima. Npr, klasina RLC mrea sa promenljivim otpornicima ili kondenzatorima sa promenljivim kapacitivnostima. U optem sluaju, moe biti mrea ija je funkcija prenosa:
Odnosno mreza cija je diferencijalna jednacina:
pri emu se koeficijenti ak i bk mogu podeavati. Takva mrea na slici 2.
Moe se pokazati da ovakav postupak nije optimalan. Naime, korienjem specijalnih mrea za realizaciju modela, moe se postii vea tanost identifikacije, nego li primenom modela, a da se pri tom koristi isti broj promenljivih parametara. To se postie sintezom takozvanih ortogonalnih filtra, baziranih na primeni pojedinih klasa ortogonalnih funkcija. Jedan od naina formiranja takvih filtara prikazan je na slici 3.
Model je dobijen primenom Jakobijevih fja, ortogonalnih na intervalu(0,). Koeficijenti a0, a1 ...an se mogu podeavati. Pomou Lagerovih, Leandrovih ili ebievljevih polinoma, se takoe postie relativno dobra identifikacija, to je posledica ortogonalnosti.
Pri formiranju algoritma za podeavanje mogu se koristiti klasini optimizacioni metodi. Problem podeavanja parametara u cilju minimiziranja identifikacione performanse, moe se svesti na sledei klasini problem:
Neka je dat vektor a=(a1, a2, ...ak) ije su koordinate ai, promenljivi parametri podeivog modela. Odrediti vektor a tako da funkcional
ima min vred. Pri tome, parametre ai treba tretirati kao skup promenljivih od kojih zavisi funkcional J(a) odnosno indeks performanse. Problem je ekvivalentan problemu traenja ekstremuma kod ekstremalnih sistema sa vie ulaza. Za reenje ovog problema koriste se postojei metodi razvijeni za reavanje optimizacionih problema.
Najprimitivniji metod, koji se moe primeniti u datu svrhu je metod sluajnog pretraivanja. U koracima se vri diskretna promena parametara i to u sluajno izabranom pravcu. Za tako izabrani skup parametara meri se odgovarajui efekat u smislu primene identifikacione performanse. Za minimiziranje identifikacione performanse razvijeno je vie efikasnih metoda. To su uglavnom iterativni algoritmi kod kojih se u koracima vri pribliavanje minimumu funkcionala J(a). Postoji Gaus-Zajdelov metod. Mnogo bri metod za minimizaciju indeksa performanse bio bi metod najbreg spusta.
4. Metod gradijenta
Podjimo od cilja identifikacije procesa je odrediti vrednosti parametara a tako da J(a) bude minimalno. Pod uslovom da J(a) nema lokalnih ekstremuma i da su parcijalni izvodi po pojedinim elementima vektora a neprekidni, potreban i dovoljan uslov za minimum je:
pri emu k-dimenzionalni vrsta vektor
predstavlja gradijent identifikacione performanse u pravcu vektora parametara a.
Opta rekurentna relacija kojom je reiran iterativni proces identifikacije ima oblik:
n-vektor pravca u parametarskom prostoru, dok je h-pozitivni skalar.
Skalarom h(i) se regulie "korak" iteracije. Pravac vektora n(i) i skalar h(i) treba birati tako da budu zadovoljni sledei uslovi:
M -veliki ceo brojGradijent identifikacije moe se realizovati na dva naina metodom varijacija i pomou funkcija osetljivosti. Metoda funkcija osetljivosti je u osnovi pouzdanija i tanija od metode varijacija.
Parcijalni izvod kriterijuma identifikacije po parametru ai vektora a se moe napisati u obliku:
Ako sa ya(t,a) obeleimo vrsta vektor
tada se za gradijent kriterijuma identifikacije dobija
Blok dijagram iterativnog procesa identifikacije predstavljen je na slici 4.
Veliki nedostatak metode gradijenta je to to se u izvesnim sluajevima identifikacije iterativni proces ne moe ni na kakav nain ubrzati.
5. Metod jednaine grekeSutina ovog metoda se sastoji u tome to se prema sl.5, formiraju funkcije potrebne za identifikaciju. Po ovom metodu identifikacija se sastoji u minimiziranju odstupanja e*(t,a) koje se generie prema sl.5, a predstavlja razliku dva u osnovi proizvoljna signala. Polinom D(s) na ovoj slici je proizvoljnog reda rn, kako bi se obezbedila fizika ostvarljivost odgovarajuih funkcija prenosa, odnosno potrebnih izvoda merenih veliina. Koeficijenti se u ovom polinomu biraju proizvoljno.
6. Regresiona analizaRegresiona analiza je odreivanje algebarskih relacija na osnovu numerikih podataka, u smislu najmanjeg kvadratnog odstupanja. Matematiki model, dobijen ovako naziva se regresioni model. Ukoliko se odreivanje koeficijenata u matematikom modelu svodi na reavanje sistema linearnih algebarskih jednaina onda se radi o linearnoj regresionoj analizi, a ako ne, onda je to nelinearna regresiona analiza.
U sluaju linearne regresije, matematiki model se odreuje u obliku:
Ova relacija ima aproksimatiovni karakter, i njena tanost zavisi od izbora broja k, kao i oblika funkcije fi(x). Cilj identifikacije je da se izvri estimacija (ocena) koeficijenata ai, odnosno odrediti skup {ai} da model najbolje opisuje zadati objekat. Neka je kriterijum optimalnosti, srednje kvadratno odstupanje, odreen funkcionalom:
pri emu su: N-broj parova eksperimentalnih podataka, yj- izmerene vrednosti izlaznih veliina a sraunate vrednosti izlaznih veliina date sa:
Iz uslova za minimum J(a)
dobija se
Sistem jna je lineran po koeficijentima ai, te se u ovom sluaju radi o linearnoj regresionoj analizi. Pomenuti sistem jednaina se reava primenom klasinih metoda ili primenom odgovarajueg softverskog paketa za reavanje sistema linearnih algebarskih jednaina.
7. Identifikacija korienjem nelinearne regresije
Postoje sluajevi kad nije mogue izvriti identifikaciju statikih karakteristika procesa korienjem modela za linearnu regresiju sa zadovoljavajuom tanou. U tim sluajevina je neophodno koristiti sloeniju zavisnost u odnosu na parametre a, tj.nelinearni model. U ovom sluaju se radi o nelinearnoj regresiji
Vrednost ulaznih veliina, se u tom sluaju moe predstaviti sa
U smislu najmanjeg srednje-kvadratnog odstupanja potrebno je minimizirati sledei izraz po parametrima a:
Ukoliko se u ovom sluaju primeni prethodni postupak, reavanje problema se svodi na reavanje sistema nelinearnih jednaina. Reavanje ovakvih sistema je veoma sloeno, pa se u praksi umesto toga vri direktna minimizacija funkcionala J(a) korienjem neke od poznatih optimizacionih metoda. Od negradijentnih metoda najee se koriste metod sluajnog pretraivanja i simpleksni metod, a od gradijentnih metod Gaus-Njutna.
8. Identifikacija statikog sistema sa vie ulaza i jednim izlazomPodjimo od pretpostavke da je statiki sistem linearan. On se tada moe predstaviti sledeim matematikim modelom
Ukoliko imamo n merenja ulaznih i izlaznih veliina, onda se moe napisati
gde indeks u zagradi oznaava redni broj merenja.
Srednje kvadratno odstupanje je tada
Nalaenjem izvodai izjednaavanjem sa nulom dobija se
sistem jednaina
Ovo je sistem od (k+1) linearnih jednaina, sa (k+1) nepoznatih, ijim se reavanjem odreuju nepozanti koeficijenti a0, a1 ...ak.
9. Identifikacija linearnog statikog sistema sa vie ulaza i vie izlazaNeka je dat sistem sa k ulaza i r izlaza, kao na slici 6.
Sistem se moe predstaviti skupom jednaina
Kao i ranije, pretpostavimo da imamo n merenja, odnosno n skupova ulaznih veliina i n skupova izlaznih veliina. Skup vrednosti m-tog izlaza oznaimo sa:
a skup vrednosti j-tog ulaza sa
Srednje kvadratna odstupanja za pojedine izlaze imaju oblik
Diferenciranjem Jm po amj, (j=1, 2,...,k) i izjednaavanjem sa nulom dobija se sledei skup jednaina
Na taj nain smo dobili r sistema od po k jednaina sa k nepoznatih, ijim se reavanjem odreuju svi nepoznati koeficijenti.
Na slian nain, kao u sluaju jednog ulaza, sve jednaine se mogu prikazati u matrinom obliku.
ije je reenje
10. Identifikacija statikih karakteristika korienjem polinomijalne aproksimacije
Ako disperzija eksperimentalnih podataka nije velika, pri identifikaciji statikih karakteristika, sa zadovoljavajuom tanou se moe koristiti polinomijalna aproksimacija.
U najoptijem sluaju, ukoliko su za odreene vrednosti ulaza x0,x1,...xn
izmerene vrednosti izlaza f(xo)..f(xn). onda se odgovarajui aproksimacioni polinom moe odrediti Lagranovom formulom:
Ukoliko je korak (interval aproksimacije) konstantan i jednak h, moe se koristiti Njutnova aproksimacija:
Gde je
Neka je X={X1...XN} skup ulaznih podataka a Y={Y1...YN} skup izmerenih izlaza. Ova aproksimacija se sastoji u tome da se odredi takav polinom P(x) tako da je zadovoljena relacija
Za odreivanje polinoma P(x), najprostiji je sledei algoritam. Pretpostavimo polinom oblika:
Sukcesivnom zamenom, x=x1, x=x2,... x=xN, , dobija se sledei trougaoni sistem jednaina
ijim se reavanjem, metodom zamene, nalaze koeficijenti ai11. Odreivanje statikih karakteristika na osnovu tipinih dijagramaU praksi se esto sreu odreene statike karakteristike koje imaju prepoznatljiv oblik, kao na primer eksponencijalni, parabolini, logaritamski, monotono opadajui itd. Ova injenica se moe iskoristiti za brzu identifikaciju statikih karakteristika pojedinih procesa. Pri tome se koristi tabela odreenog broja poznatih elementarnih fja ili katalog njihovih grafika, a najee i jedno i drugo. Ovaj nain se nekad naziva i metod odreivanja empirijskih formula.Identifikacija ovom metodom se vri u nekoliko koraka.
Na osnovu eksperimentalnih rezultata, odnosno izmerenih vrednosti za ulaznu veliinu x i izlaznu y, crta se grafik zavisnosti y od x.
Korienjem kataloga grafika tipinih fja bira se onaj koji najvie odgovara eksperimentu.
Odreuje se analitika, strukturna formula koja odgovara izabranom grafiku. Pri tome su koeficijenti u funkciji jo nepoznati.
Vri se izravnavanje k-ka (krivih) uvoenjem smena
Izbor funkcija (x,y) i (x,y) vri se zavisno od oblika krive. Najee je u tabelama i katalozima namenjenih za ovu vrstu identifikacije, naveden i nain smene, odnosno funkcije i . Na primer, ako je usvojena strukturna formula:
uvodi se smena
pa se dobija sledeci oblik
odnosno prava linija.
Takoe se polazna funkcija moe napisati u obliku
Smenom ,dobija se takodje prava linija:
Dakle u pojedinim sluajevima, isti cilj se moe postii razliitim smenama.
Koristei usvojene smene vri se preraunavanje eksperimentalnih podataka odnosno sraunavanje vrednosti za X i Y.
Na osnovu metoda najmanjih kvadrata, ili nekog drugog metoda odreuju se nepoznati parametri u transformisanoj formuli.
12. Identifikacija korienjem deterministikog ulazaIdentifikacija procesa na osnovu deterministikog ulaza sastoji se u tome to se na ulaz dovede poznati, standardni signal i snimi odgovarajui odziv. Na osnovu tih podataka se, primenom odgovarajuih metoda vri odreivanje matematikog modela procesa. Kao standardni ulazi naje se koriste sledei signali:
odskoni ulaz (Hevisajdova funkcija),
impulsni ulaz konanog trajanja i
modifikovani odskoni ulaz.
Odskoni ulaz se opisuje izrazom x(t)=Ah(t), agraficka predstava je na sl.
Impulsni ulaz konanog trajanja opisuje se sa:
ili graficki
Modifikovani odskoni ulaz dat je saa grafik
13. Identifikacija procesa korienjem odskonog odziva
Mnogi industrijski procesi se mogu predstaviti matematikim modelom niskog reda, prvog, drugog ili treeg. U tim sluajevima celishodno je pri identifikaciji primeniti neki od elementarnih metoda. Ukoliko je na ulazni signal x(t)=Ah(t), odziv kao na slici 14
tada se proces moe predstaviti modelom u obliku sledee funkcije prenosa:
gde je
a vremenska konstanta T se odreuje iz odskonog odziva sa sl 14.
U sluaju priguenog oscilatornog odziva (sl15) fja prenosa se odreuje u obliku:
Ukoliko je odziv oblika kao na sl 16, tj. ako je proces astatiki, funkcija prenosa se odreuje u obliku:
Parametri K i T se odreuju povlaenjem kose asimptote u odnosu na odziv y(t) kao to je na slici prikazano.
praksi su vrlo esti procesi iji je odziv oblika kao na slici 17.
Funkcija prenosa se odreuje u obliku
Parametri T1 i T2 se odreuju na osnovu sledeih relacija
Prethodni izrazi su dati u relativnim jedinicama. Analitiki se ne mogu odrediti T1 i T2. Najlake ih je odrediti iz nomograma .
Ukoliko je odziv kao na slici 19a vri se razlaganje odziva na dva, kao na slici 19b.
Prenosna
Ako je odziv kao na sl 20
takoe se vri razlaganje odziva (slika 20b) pa se funkcija prenosa odreuje u obliku
Prenosna
Ukoliko se kod bilo kog od navedenih sluajeva, odziv pojavi sa odreenim vremenskim kanjenjem , tada se identifikacija vri na sledei nain: izvri se translacija koordinatnog sistema u pravcu vremenske ose za interval , tako da se poetak odziva smeta u koordinatni poetak. Tada se vri odreivanje funkcije prenosa kao u sluaju bez istog vremenskog kanjenja na jedan od pomenutih naina. Nakon toga se tako dobijenoj funkciji prenosa pridruuje faktor e-sT.
14. Aproksimativno odreivanje funkcije prenosaU odreenim sluajevima se moe vriti identifikacija procesa vieg reda na taj nain to se model odreuje u obliku funkcije prenosa nieg reda sa istim vremenskim kanjenjem.
Eksperimentalno snimljen odziv y(t) se najpre normira tj. deli say(). Tako se dobija dijagram kao na sl 21.
Funkcija prenosa se moe odrediti u obliku
Na dijagramu se odredjuju dva vremenska trenutka t1 i t2 i to tako da y(t1)=max, odnosno u okolini prevojne tacke, dok se t2 bira tako da bude y(t2)(0.8-0.9)y(), a ostalo se racuna:
15. Metod povrina
Metod povrina predstavlja opti grafoanalitiki metod za odreivanje koeficijenata diferencijalne jednaine, tj. funkcije prenosa na osnovu eksperimentalno snimljenog odskonog odziva. Oblik matematikog modela kojim se moe opisati veina tehnolokih procesa je diferencijalna jednaina:
Pretpostavke koje su nam jo potrebne su:
Poetni i krajnji uslovi ove dif jne:
Ostaje da se odrede koeficijenti
Koeficijent ao odredjujemo iz t cime dobijamo
Korienjem gornjeg uslova poslednja jednaina postaje
Oduzimanjem jednaina dobija se
Ako je x(t) odskona funkcija, tada je:
pa nakon integraljenja od 0 do , dobija se:
U opstem slucaju imamo:
Gde je
Vaze za
Sukcesivnom primenom parcijalne integracije na prethodni izraz dobija se:
Cime smo visestruki integral sveli na jednostruki
16. Identifikacija na osnovu impulsnog odzivaIdentifikacija na osnovu impulsnog odziva zahteva primenu impulsnog ulaza (delta funkcija) na proces koji treba identifikovati, pa je zato ova tehnika "off-line" identifikacija. Impulsna (delta) funkcija se definie kao pravougaoni impuls beskonano malog vremena trajanja i beskonano velike amplitude, ija je povrina jednaka jedinici. Oigledno je da se delta funkcija ne moe praktino realizovati zbog beskonane amplitude.
Realna impulsna funkcija je data na slici 49a. Ako je ona dovedena na ulaz nekog procesa, tada je najei oblik impulsnog odziva kao na slici 49b
Pretpostavimo da je na neki proces dovedena impulsna funkcija x(t), trajanja i amplitude A (slika 23a), koja na izlazu daje odziv y(t) (slika 23b). Neka je matematiki model koji opisuje dati proces predstavljen diferencijalnom jednainom:
Pocetni i krajnji uslovi su:
Vazi i
Ostaje da se odrede koeficijenti
Ako se primeni t sledi
Ako ovo oduzmemo od jednaine, dobijamo izraz koji Integralimo i dobijamo a0.
U opstem slucaju
Gde
A sukcesivnom parcijalnom integracijom
17. Odreivanje matematikog modela procesa u obliku funkcije prenosa na osnovu odskonog odziva
Najoptija funkcija prenosa je:
Najpre se uvode normalizovane promenljive (bezdimenzione):
Funkcija prenosa se trai u obliku:
Tj
Koeficijente odredjujemo iz
18. Odreivanje amplitudno-fazne karakteristike na osnovu odskonog odziva - metod Ajzermana
Ako je za analizu i sintezu sistema automatskog upravljanja procesom potrebna amplitudno-fazna karakteristika procesa, ona se moe odrediti nalaenjem funkcije prenosa procesa, korienjem neke od izloenih metoda i zamenom s=j. Amlitudno-faznu karakteristiku je mogue odrediti direktno iz odskonog odziva procesa. Jedan od naina je predloio Ajzerman. Metoda se sastoji u sledeem: Izvri se izbor konanog broja taaka na odzivu kao to je prikazano na slici
Podela po vremenskoj osi ne mora da bude ravnomerna. Bolje je uzeti veu gustinu taaka pri veem nagibu odziva. Najpre je potrebno izmeriti vrednosti yi i ti , a zatim sraunati odgovarajue diference:
Na osnovu ovih vrednosti, sraunavanju se sledee veliine, za odreenu krunu uestanost k
Izraz za amplitudno-faznu karakateristiku odreuje se u sledeem obliku
Ili u eksponencijalnom obliku
Treba napomenuti da se do navedenih izraza dolazi aproksimacijom odskonog odziva modelom prvog reda.
19. Aproksimacija odziva pomou ortogonalnih funkcija
Za aproksimaciju odziva se najee koriste klasini ortogonalni polinomi, i to: Leandrovi, Lagerovi, Ermitovi, ebievljevi, Jakobijevi, kao i ortogonalne funkcije, generisane pomou ovih polinoma. Postupak identifikacije se sastoji u tome to se snimljeni odziv y(t) aproksimira na sledei nain:
gde je skup ortogonalnih funkcija. Zatim se, nekim od metoda, poznatim iz numerike analize odreuju aproksimacije koeficijenata. Primenom Laplasove transformacije se odreuje:
Poto je odziv snimljen za odgovarajui, poznati ulaz x(t), odnosno X(s) se dobija:
Ukoliko je snimljen jedinini impulsni odziv, onda je:
dok je za jedinini odskoni odziv
U praktinim primenama, pri aproksimaciji odziva, esto se koriste ortogonalne funkcije, dobijene od klasinih ortogonalnih polinoma, zamenom:
Time dobijene funkcije imaju konanu vrednost pri 0, to je potrebno pri aproksimaciji odziva koji imaju ustaljeno stanje. Dobrim izborom funkcije mogu se dobiti pogodni izrazi za W(s), tako da je realizacija ortogonalnih filtara jednostavna. Ovom transformacijom, se takoe oblast ortogonalnosti uvek transformie u interval (0,). 20. Primena splajnova u identifikaciji procesaAko imamo identifikaciju procesa sa relativno velikim konstantama, onda se odziv sistema moe sa visokom tanou aproksimirati splajnovima odreene klase. Pri tome se lako moe proceniti greka koja nastaje pri identifikaciji. U tu svrhu se najee primenjuju kubni ili B splajnovi. Ovaj metod je naroito praktian za direktno odreivanje AFF karakteristike.Bazine splajnove nultog, prvog, drugog i treeg stepena promenljive x oznacimo sa Mo(x), M1(x), M2(x), M3(x), respektivno za koje vazi Mi(x)=Mi(-x).Za x0 ovi spajnovi se mogu:
Za aproksimaciju odziva se koriste serije bazinih splajnova, odnosno niz pomerenih bazinih splajnova.
Cvorovima spalajna nazivamo tacke u kojima postoji prekid i-tog izvoda fje Mi(x), oznacimo ih sa xi . vorovi interpolacije xi kod splajnova neparnog reda poklapaju se sa vorovima splajnadok za splajnove parnog reda lee izmeu vora splajna:
Pri aproksimaciji, vorovi splajnova i interpolacije mogu biti rasporeeni ravnomerno ili neravnomerno. Skupovi bazicnih spajmova Mik obrazuju linearno nezavisne bazine funkcije. Na osnovu tih funkcija vri se aproksimacija funkcije f(x) na odsecku [a,b] na sl.nacin:
Pri tome vazi
Pri apromaksciji je potrebno za odredjivanje vred xi poznavati odgovarajuce vred.fje f(xi). Na osnovu tih poznatih vred. Se odredjuju nepoznati koef. Ck. Ako sa F obelezimo vektor kolonu, cije su komponente f(xi), a sa C vektor kolonu sa komponentama Ck onda se nepoznate velicine Ck odredjuju resavanjem jne
, A je jedinicna matrica za spajnove prvog i nultog reda, a za spajnove drugog i treceg reda je data
Jedna od dobrih osobina ovakve aproksimacije je mogunost ocene tanosti aproksimacije. Takoe je vano istai da se pri ovoj aproksimaciji u velikoj meri (zavisno od vrste splajna), ouvava glatkost krive, to je uostalom i osnovna osobina splajnova. I odziv sistema (najee impulsni ili odskoni)aproksimira splajn-funkcijom.21. Direktni metod za primenu splajnovaSplajnovi se mogu odreivati i direktnim nainom. Algoritam za ovaj nain sastoji se u sledeem: Neka je dat niz tacaka x0, x1,x2,...xn i y0, y1,...yn. Ove vred su izmerene vred iz procesa. Posmatracemo k-ti interval. Ako su svi spajnovi do intervala k odredjeni, onda se splajn u intervalu k odredjuje na sl.nacin. Neka se radi o kubnom splajnu. Tada splajn u k-tom intervalu odrejuje na osnovu vred u tacki k i k+1 i to (xk, yk) i (xk+1, yk+1) kao i prvog i drugog izvoda u tacki (xk, yk), odnosno y'k i y''k koji su odredjeni u prethodnom intervalu.
22. Identifikacija primenom linearne regresijeLinearni diskretni sistem u prisustvu uma (k) moe se predstaviti u obliku (ARMAX):
Gde je m broj taktova cistog kasnjenja.
Model u vektorskom obliku je:
Gde je
Primenom linearne regresije dobija se
