IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS Ing. Fredy Ruiz Ph.D. [email protected]Maestría en Ingeniería Electrónica Pontificia Universidad Javeriana Pontificia Universidad Javeriana 2013 2013 SISTEMAS LINEALES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS SISTEMAS LINEALES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS
23
Embed
IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS SISTEMAS LINEALES Y ...IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS Ing. Fredy Ruiz Ph.D. [email protected] Maestría en Ingeniería Electrónica Pontificia Universidad
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
IDENTIFICACIÓN DE SISTEMASIDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
Maestría en Ingeniería ElectrónicaPontificia Universidad JaverianaPontificia Universidad Javeriana
20132013
SISTEMAS LINEALES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOSSISTEMAS LINEALES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Sistema• Un sistema S es un operador que relaciona una señal
u(t) denominada entrada con una señal y(t) denominada salida.
y(t)=S(u(t))
• El sistema es lineal si:
S(a u1(t) + b u
2(t) + .. ) = a S(u
1(t) + b S(u
1(t)) + ...)
Sistema• El sistema es invariante con el tiempo si su
respuesta a una entrada no depende del instante en el cual viene aplicada.
y(t-t')=S(u(t-t'))
• El sistema es causal si su respuesta al instante t depende solo de los valores de la entrada para
t' ≤ t
Sistemas LTI
• Un sistema lineal e invariante con el tiempo relaciona entrada-salida como:
• Donde g(t') es la respuesta al impulso de S.• Si S es causal g(t')=0 para t'<0.• g(t') contiene toda la información del sistema.
Sy(t)u(t)
y(t)=∫−∞
∞g (t ' )u (t−t ' )dt '
Sistemas LTI en tiempo discreto
• En el curso trabajamos únicamente con sistemas en tiempo discreto.
• En la práctica las señales son muestreadas.• En este caso
• Si el sistema es causal:
y(t)=∑k=−∞
∞g (k )u (t−k )
y(t)=∑k=0
∞g (k )u (t−k )
Modelos con perturbacionesConsideramos dos tipos de señales no manipulables
– Ingresos no medibles, e.g.• Torque de carga en un motor• Rafagas de viento en un avion
– Ruido de medida• Ruido térmico, deriva y otros efectos de la
instrumentación
Sy(t)u(t)
+
v(t)
Modelos con perturbacionesConsideramos dos tipos de señales no manipulables
– Ingresos no medibles, e.g.• Torque de carga en un motor• Rafagas de viento en un avion
– Ruido de medida• Ruido térmico, deriva y otros efectos de la
instrumentación
y(t)=∑k=0
∞g (k )u (t−k )+v (t )
Modelos de perturbaciones– Señales desconocidas. Se describen por sus
propiedades estadísticas.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Modelos de perturbaciones
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
– Señales desconocidas. Se describen por sus propiedades estadísticas.
– v(t) es un proceso estocástico:Secuencia de variables aleatorias!!!
Modelos de perturbaciones
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
– Señales desconocidas. Se describen por sus propiedades estadísticas.
– v(t) es un proceso estocástico:Secuencia de variables aleatorias!!!
Cómo se describe ??????Cómo se describe ??????
Modelos de perturbaciones– Señales desconocidas. Se describen por sus
propiedades estadísticas.– v(t) es un proceso estocástico:
Secuencia de variables aleatorias!!!
– Cómo se describe ??????
F (X (t1) ,... , X (t k))(x1, x2,... , xk)→ fdp conjunta
Procesos estocásticos
– Esta representación es muy compleja– Se requieren infinitas fdp, una por cada valor k
Primeros momentos:– Valor medio
– Autocorrelación
F ( X (t1) , ... , X (tk))(x1, x2,... , xk)= fdp conjunta
RXX (t k , t l)=∫−∞
∞
∫−∞
∞xk xl F ( X (t k) , X (t l))
( xk , x l ; t k , t l)dxk dxl
μX (t k)=E X (t k )=∫−∞
∞x F X (t k)
(x ; t k)dx
Procesos estacionariosSi las propiedades estadísticas no cambian al desplazar el tiempo, el proceso es estrictamente estacionario:
– Esto es imposible de verificar:• Para todo τ• Para todas las combinaciones de tiempo:
t1, t
2, …, t
k
F (X (t1) , ... , X (tk))(x1, x2,... , xk)=F ( X (t1+τ) , ... , X (t k+τ))( x1, x2,... , xk )
Procesos estacionariosProceso estacionario en sentido amplio:• El valor medio es constante:
• La autocorrelación depende de la diferencia entre los tiempos de observación:
E X (t k )=∫−∞
∞x F X (t k)
(x ; t k)dx=μX
RXX (t k , t l)=RX (t k−t l)=RX (τ)
Procesos estacionariosProceso estacionario en sentido amplioAdemás:
RX (0)=E [ X 2(k )]
RX ( τ)=RX (−τ)
∣RX (τ)∣⩽RX (0)
Ergodicidad
Un proceso estacionario es ergódico de primer orden si:– La media temporal converge a la media
estadística:
limT →∞ E [μX (T )]=μx
μX (T )= 1T ∑0
T −1x(t)
limT →∞ var [μX (T )]=0
ErgodicidadUn proceso estacionario es ergódico de segundo orden
si: -: La correlación temporal converge a la correlación
estadística:
Se puede definir ergodicidad de cualquier orden.
limT →∞ RX ( τ ,T )=RX ( τ)
RX ( τ ,T )= 1T ∑t=0
T−1x (t+τ) x (t)
limT →∞ var [RX (τ ,T )]=0
Ruido blanco
• Secuencia de variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas (i.i.d.), con media cero y varianza conocida.
• No se especifica la distribución, puede ser– Gausiana: N(0,λ) útil para obtener resultados
formales– Uniforme: Buena representación del ruido de
medida– Arbitraria
Sea v(t) P.E. estacionario en sentido amplio, con:– E{v(t)} valor esperado– E{v(t)v(t-t')} Autocorrelación
¿Qué sucede al aplicar v(t) como entrada a un sistema LTI con respuesta impulso g(t)?
Procesos estocásticos a través de sistemas lineales
g(t)y(t)v(t)
• Valor esperado de y(t)– Condiciones para su existencia?
• Covarianza de y(t)
Propiedades de y(t)
• Densidad espectral de potencia
Propiedades de y(t)
• Relaciones entrada-salida en frecuencia
Propiedades de y(t)
EjerciciosDado un sistema
y(t)=G(z)e(t)
con respuesta impulso
g(0)=1, g(1)=-0.5, g(t)=0 para t<0 y t>1.
– Escribir la ecuación de diferencias
– Calcular la función de transferencia
– Graficar la respuesta en frecuencia
– Si e(t) es ruido blanco con varianza 1, obtener analíticamente Ry(t') y el espectro de potencia de y(t).
– En matlab:• Generar un vector e(t) de longitud N=100. distribuido gausaino con media cero.• Obtener su función de correlación y su espectro de potencia (ver funciones idinput, covf,
spa, idpoly)• Simular el sistema.• Obtener la función de correlación y el espectro de potencia de y(t) y confrontar con el
obtenido teóricamente• Repetir para N=1000, N=10000 y analizar las diferencias.