Proceedings of the 19th International Conference on Machine Learning (ICML-2002), pp. 19-26, Sydney, Australia, July 2002
8/3/2019 ICML-Basu02-Semi Supervised Clustering by Seeding
http://slidepdf.com/reader/full/icml-basu02-semi-supervised-clustering-by-seeding 1/8
Proceedings of the 19th International Conference on Machine Learning
(ICML-2002), pp. 19-26, Sydney, Australia, July 2002
Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ý Ë Ò
Ë Ù Ø Ó × Ù × Ù Ø Ó × º Ù Ø Ü × º Ù
Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ë Ò × ¸ Í Ò Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ü × ¸ Ù × Ø Ò ¸ Ì ½ ¾
Ö Ò Ñ Ò Ö Ò Ö º Ù Ø Ü × º Ù
Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ð Ø Ö Ð Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ò Ò Ö Ò ¸ Í Ò Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ü × ¸ Ù × Ø Ò ¸ Ì ½ ¾
Ê Ý Ñ Ó Ò Å Ó Ó Ò Ý Ñ Ó Ó Ò Ý × º Ù Ø Ü × º Ù
Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ë Ò × ¸ Í Ò Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ü × ¸ Ù × Ø Ò ¸ Ì ½ ¾
× Ø Ö Ø
Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ù × × × Ñ Ð Ð
Ñ Ó Ù Ò Ø Ó Ð Ð Ø Ø Ó Ò × Ø
Ð Ù × Ø Ö Ò Ó Ù Ò Ð Ð Ø º Ì × Ô Ô Ö Ü ¹
Ô Ð Ó Ö × Ø Ù × Ó Ð Ð Ø Ø Ó Ò Ö Ø
Ò Ø Ð × Ð Ù × Ø Ö × ¸ × Û Ð Ð × Ø Ù × Ó
Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × Ò Ö Ø Ö Ó Ñ Ð Ð Ø Ø Ó
Ù Ø Ð Ù × Ø Ö Ò Ô Ö Ó × × º Á Ø Ò Ø Ö Ó Ù ×
Ø Û Ó × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ú Ö Ò Ø × Ó Ã Å Ò × Ð Ù × ¹
Ø Ö Ò Ø Ø Ò Ú Û × Ò × Ø Ò × Ó Ø
Å Ð Ó Ö Ø Ñ ¸ Û Ö Ð Ð Ø Ô Ö Ó Ú ×
Ô Ö Ó Ö Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ó Ù Ø Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × ¹
Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ó Ò Ø Ó Ö Ý Ð Ð × º Ü Ô Ö ¹
Ñ Ò Ø Ð Ö × Ù Ð Ø × Ñ Ó Ò × Ø Ö Ø Ø Ú Ò Ø × Ó
Ø × Ñ Ø Ó × Ó Ú Ö × Ø Ò Ö Ö Ò Ó Ñ × Ò
Ò Ç È ¹ Ã Å Ò × ¸ Ô Ö Ú Ó Ù × Ð Ý Ú Ð Ó Ô
× Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ð Ó Ö Ø Ñ º
½ º Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
Á Ò Ñ Ò Ý Ð Ö Ò Ò Ø × × ¸ Ø Ö × Ð Ö × Ù Ô Ô Ð Ý Ó Ù Ò Ð ¹
Ð Ø Ù Ø Ò × Ù Æ Ò Ø Ð Ð Ø × Ò Ø Ò
Ü Ô Ò × Ú Ø Ó Ò Ö Ø º Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ö Ò Ò Ó Ñ ¹
Ò × Ð Ð Ò Ù Ò Ð Ð Ø Ù Ö Ò Ø Ö Ò Ò Ø Ó
Ñ Ô Ö Ó Ú Ô Ö Ó Ö Ñ Ò º Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ö Ò Ò × Ô ¹
Ô Ð Ð Ø Ó Ó Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ò Ð Ù × Ø Ö Ò º Á Ò × Ù Ô Ö ¹
Ú × Ð × × ¬ Ø Ó Ò ¸ Ø Ö × Ò Ó Û Ò ¸ ¬ Ü × Ø Ó Ø ¹
Ó Ö × Ò Ø Ó Ö Ý ¹ Ð Ð Ø Ö Ò Ò Ø × Ù × Ø Ó Ò ¹
Ù Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò º Á Ò × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð × ¹
× ¬ Ø Ó Ò ¸ Ø Ö Ò Ò Ð × Ó Ü Ô Ð Ó Ø × Ø Ó Ò Ð Ù Ò Ð Ð
Ø ¸ Ö Õ Ù Ò Ø Ð Ý Ö × Ù Ð Ø Ò Ò Ñ Ó Ö Ù Ö Ø Ð × × ¬ ¹
Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ´ Ð Ù Ñ ² Å Ø Ð Ð ¸ ½ Ö Ñ Ò
² Â Ó Ö Ò ¸ ½ µ º Á Ò Ù Ò × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò ¸ Ò Ù Ò Ð ¹
Ð Ø × Ø × Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ó Ù Ô × Ó × Ñ Ð Ö Ü ¹
Ñ Ô Ð × ¸ Ø Ý Ô Ð Ð Ý Ý Ó Ô Ø Ñ Þ Ò Ò Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò
Ø Ø Ö Ø Ö Þ × Ó Ó Ô Ö Ø Ø Ó Ò × º Á Ò × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú ×
Ð Ù × Ø Ö Ò ¸ × Ó Ñ Ð Ð Ø × Ù × Ð Ó Ò Û Ø Ø
Ù Ò Ð Ð Ø Ø Ó Ó Ø Ò Ø Ø Ö Ð Ù × Ø Ö Ò º Ì × Ô ¹
Ô Ö Ü Ô Ð Ó Ö × Ø Ù × Ó Ð Ð Ø Ø Ó Ò Ö Ø ×
Ð Ù × Ø Ö × Ø Ø Ò Ø Ð Þ Ð Ù × Ø Ö Ò Ð Ó Ö Ø Ñ ¸ × Û Ð Ð
× Ø Ù × Ó Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × Ò Ö Ø Ö Ó Ñ Ø Ð Ð
Ø Ø Ó Ù Ø Ð Ù × Ø Ö Ò Ô Ö Ó × × º È Ö Ó Ô Ö × Ò
× × Ð Ù × Ø Ö Ò Ø Ó Û Ö × Ó Ó Ö Ó Ò Ó Ø × Ö
× Ô ¸ Ø Ö Ý Ö Ù Ò Ø Ò × Ó Ø Ø Ø Ò × Ø Ù
Ò Ô Ó Ó Ö Ð Ó Ð Ó Ô Ø Ñ ¸ Û Ð × Ñ Ù Ð Ø Ò Ó Ù × Ð Ý Ô Ö Ó Ù Ò
Ð Ù × Ø Ö Ò × Ñ Ð Ö Ø Ó Ø Ù × Ö ¹ × Ô ¬ Ð Ð × º
Á Ø Ò Ø Ð Ð Ð Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ð Ð Ø Ö Ð Ú Ò Ø
Ø Ó Ö × ¸ Ø Ò Ó Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ò
× Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ø Ñ × Ò Ù ×
Ó Ö Ø Ó Ö Þ Ø Ó Ò º À Ó Û Ú Ö Ò Ñ Ò Ý Ó Ñ Ò × ¸ Ò Ó Û Ð ¹
Ó Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ø Ó Ö × × Ò Ó Ñ Ô Ð Ø º Í Ò Ð
× Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð × × ¬ Ø Ó Ò ¸ × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö ¹
Ò Ò Ö Ó Ù Ô Ø Ù × Ò Ø Ø Ó Ö × Ò Ø Ò Ø Ð
Ð Ð Ø ¸ × Û Ð Ð × Ü Ø Ò Ò Ñ Ó Ý Ø Ü × Ø Ò
× Ø Ó Ø Ó Ö × × Ò Ø Ó Ö - Ø Ó Ø Ö Ö Ù Ð Ö Ø ×
Ò Ø Ø º
Ì × Ô Ô Ö Ò Ø Ö Ó Ù × Ø Û Ó × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ú Ö Ò Ø × Ó
Ã Å Ò × Ð Ù × Ø Ö Ò ´ Å É Ù Ò ¸ ½ µ Ø Ø Ù × Ò ¹
Ø Ð Ð Ð Ø Ó Ö × Ò º Ï Ñ Ó Ø Ú Ø Ø Ð ¹
Ó Ö Ø Ñ × Ù × Ò Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò Å Ü Ñ Þ Ø Ó Ò ´ Å µ
Ö Ñ Û Ó Ö ´ Ñ Ô × Ø Ö Ø Ð º ¸ ½ µ ¸ × Ó Û Ò Ø Ø × ¹
Ò Ò Ü Ô Ð Ò Ù × Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù ¹
Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ó Ö Ý Ð Ð × º Ï Ô Ö × Ò Ø Ö × Ù Ð Ø ×
Ó Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Ñ Ó Ò × Ø Ö Ø Ò Ø Ú Ò Ø × Ó Ó Ù Ö
Ñ Ø Ó × Ó Ú Ö × Ø Ò Ö Ö Ò Ó Ñ × Ò Ò Ç È ¹
Ã Å Ò × ´ Ï × Ø « Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ ¸ Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ú × Ñ ¹
× Ù Ô Ö Ú × Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ º
¾ º Ö Ó Ù Ò
Ã Å Ò × × Ð Ù × Ø Ö Ò Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ø Ö Ø Ú
Ö Ð Ó Ø Ó Ò Ø Ø Ô Ö Ø Ø Ó Ò × Ø × Ø Ò Ø Ó Ã Ð Ù × Ø Ö × ¸ Ð Ó ¹
Ð Ð Ý Ñ Ò Ñ Þ Ò Ø Ú Ö × Õ Ù Ö × Ø Ò Ø Û Ò
Ø Ø Ô Ó Ò Ø × Ò Ø Ð Ù × Ø Ö Ò Ø Ö × º Ó Ö × Ø Ó
8/3/2019 ICML-Basu02-Semi Supervised Clustering by Seeding
http://slidepdf.com/reader/full/icml-basu02-semi-supervised-clustering-by-seeding 2/8
Ø Ô Ó Ò Ø × Ü
½
¡ ¡ ¡ Ü
Æ
Ü
¾ Ê
¸ Ø Ã Å Ò ×
Ð Ó Ö Ø Ñ Ö Ø × Ã ¹ Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò
½
Ð
Ã
Ð ½
Ó × Ó
Ø Ø
½
¡ ¡ ¡
Ã
Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ã Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ø Ö × ¸
Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò
Â
Ñ Ò ×
Ã
Ð ½
Ü
¾
Ð
Ü
Ð
¾
´ ½ µ
× Ð Ó Ð Ð Ý Ñ Ò Ñ Þ º
¾ º ½ Ç È ¹ Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ
Ç È ¹ Ã Å Ò × ´ Ï × Ø « Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ × × Ñ ¹
× Ù Ô Ö Ú × Ú Ö Ò Ø Ó Ã Å Ò × ¸ Û Ö Ò Ø Ð ¹
Ö Ó Ù Ò Ò Ó Û Ð ¸ Ô Ö Ó Ú Ò Ø Ó Ö Ñ Ó Ó Ò × Ø Ö Ò Ø ×
Ø Û Ò Ò × Ø Ò × Ò Ø Ø × Ø ¸ × Ù × Ò Ø Ð Ù × ¹
Ø Ö Ò Ô Ö Ó × × º Ì Ö Ö Ø Û Ó Ø Ý Ô × Ó Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × ¸
Ñ Ù × Ø ¹ Ð Ò ´ Ø Û Ó Ò × Ø Ò × Ú Ø Ó Ø Ó Ø Ö Ò Ø
× Ñ Ð Ù × Ø Ö µ Ò Ò Ò Ó Ø ¹ Ð Ò ´ Ø Û Ó Ò × Ø Ò × Ú Ø Ó
Ò « Ö Ò Ø Ð Ù × Ø Ö × µ ¸ Û Ö Ù × Ò Ø Ð Ù × ¹
Ø Ö Ò Ô Ö Ó × × Ø Ó Ò Ö Ø Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ø Ø × Ø × ¬ × Ð Ð
Ø Ú Ò Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × º Á Ò Ø × Ô Ô Ö ¸ Û Ú Ú Ð Ó Ô
Ø Û Ó × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ú Ö Ò Ø × Ó Ã Å Ò × Ò Ó Ñ Ô Ö
Ø Ñ Ø Ó Ç È ¹ Ã Å Ò × º
¾ º ¾ Ë È Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ
Á Ò Ø Ë Ô Ö Ð Ã Å Ò × ´ Ë È Ã Å Ò × µ Ð Ó Ö Ø Ñ ¸
× Ø Ò Ö Ã Å Ò × × Ô Ô Ð Ø Ó Ø Ú Ø Ó Ö × Ø Ø Ú
Ò Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ú Ù Ò Ø Ä
¾
Ò Ó Ö Ñ ¸ º º ¸ Ø Ø
Ô Ó Ò Ø × Ð Ó Ò Ù Ò Ø × Ô Ö ´ Ð Ð Ó Ò Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ º × ¹
× Ù Ñ Ò Ü
Ð
½ Ð Ò Õ Ò º ½ ¸ Û Ø
Ü
Ð
¾
¾ ¾ Ü
Ì
Ð
º Ì Ò ¸ Ø Ð Ù × Ø Ö Ò Ô Ö Ó Ð Ñ
Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý Ó Ö Ñ Ù Ð Ø × Ø Ø Ó Ñ Ü Ñ Þ Ò
Ø Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò
Â
× Ô Ñ Ò ×
Ã
Ð ½
Ü
¾
Ð
Ü
Ì
Ð
´ ¾ µ
Ì Ë È Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ Ú × Ð Ó Ð Ñ Ü Ñ Ù Ñ Ó
Ø × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò º Ì Ë È Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ ×
Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ó Ò Ð Ú Ò Ø × Ó Ö × Ô Ö × Ñ Ò × Ó Ò Ð
Ø Ú Ø Ó Ö × ¸ Û Ö Ú Ö Ý Ó Ñ Ñ Ó Ò Ò Ó Ñ Ò × Ð
Ø Ü Ø Ð Ù × Ø Ö Ò º Ó Ö Ø × Ö × Ó Ò ¸ Û Ú Ù × Ë È ¹
Ã Å Ò × Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × º
¿ º Ð Ó Ö Ø Ñ ×
Á Ò Ø × × Ø Ó Ò ¸ Û Ü Ô Ð Ò Ó Û × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ò
Ò Ó Ö Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ Ý × ¹
Ò Ò Ô Ö Ó Ô Ó × Ø Û Ó Ú Ö Ò Ø × Ó Ø Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ
Ø Ø Ù × Ø × × Ø Ò Û Ú Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ó ¹
Ø Ú Ø Ó Ò Ò Ø Ø Û Ó Ô Ö Ó Ô Ó × Ð Ó Ö Ø Ñ × º
Ð Ó Ö Ø Ñ Ë ¹ Ã Å Ò ×
Á Ò Ô Ù Ø Ë Ø Ó Ø Ô Ó Ò Ø × Ü
½
¡ ¡ ¡ Ü
Æ
Ü
¾ Ê
̧
Ò Ù Ñ Ö Ó Ð Ù × Ø Ö × Ã ¸ × Ø Ë
Ã
Ð ½
Ë
Ð
Ó Ò Ø Ð × ×
Ç Ù Ø Ô Ù Ø × Ó Ò Ø Ã Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò
Ð
Ã
Ð ½
Ó × Ù Ø Ø
Ã Å Ò × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ô Ø Ñ Þ
Å Ø Ó
½ º Ò Ø Ð Þ
´ ¼ µ
½
Ë
È
Ü ¾ Ë
Ü Ó Ö ½ Ã Ø ¼
¾ º Ê Ô Ø Ù Ò Ø Ð Ó Ò Ú Ö Ò
¾ º × × Ò Ð Ù × Ø Ö × × Ò Ø Ô Ó Ò Ø Ü Ø Ó Ø
Ð Ù × Ø Ö
£
´ º º × Ø
́ Ø · ½ µ
£
µ ¸ Ó Ö
£
Ö Ñ Ò
Ü
́ Ø µ
¾
¾ º × Ø Ñ Ø Ñ Ò ×
́ Ø · ½ µ
½
́ Ø · ½ µ
È
Ü ¾
́ Ø · ½ µ
Ü
¾ º Ø ́ Ø · ½ µ
Ù Ö ½ º Ë ¹ Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ
Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò ×
Á Ò Ô Ù Ø Ë Ø Ó Ø Ô Ó Ò Ø × Ü
½
¡ ¡ ¡ Ü
Æ
Ü
¾ Ê
̧
Ò Ù Ñ Ö Ó Ð Ù × Ø Ö × Ã ¸ × Ø Ë
Ã
Ð ½
Ë
Ð
Ó Ò Ø Ð × ×
Ç Ù Ø Ô Ù Ø × Ó Ò Ø Ã Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò
Ð
Ã
Ð ½
Ó × Ù Ø Ø
Ø Ã Å Ò × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ô Ø Ñ Þ
Å Ø Ó
½ º Ò Ø Ð Þ
´ ¼ µ
½
Ë
È
Ü ¾ Ë
Ü Ó Ö ½ Ã Ø ¼
¾ º Ê Ô Ø Ù Ò Ø Ð Ó Ò Ú Ö Ò
¾ º × × Ò Ð Ù × Ø Ö Ó Ö Ü ¾ Ë ¸ Ü ¾ Ë
× × Ò Ü Ø Ó Ø
Ð Ù × Ø Ö ´ º º ¸ × Ø
́ Ø · ½ µ
µ º Ó Ö Ü ¾ Ë ¸ × × Ò Ü Ø Ó Ø
Ð Ù × Ø Ö
£
´ º º × Ø
́ Ø · ½ µ
£
µ ¸ Ó Ö
£
Ö Ñ Ò
Ü
́ Ø µ
¾
¾ º × Ø Ñ Ø Ñ Ò ×
́ Ø · ½ µ
½
́ Ø · ½ µ
È
Ü ¾
́ Ø · ½ µ
Ü
¾ º Ø ́ Ø · ½ µ
Ù Ö ¾ º Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ
¿ º ½ Ë Ò
Ú Ò Ø × Ø ¸ × Ô Ö Ú Ó Ù × Ð Ý Ñ Ò Ø Ó Ò ¸ Ã Å Ò ×
Ð Ù × Ø Ö Ò Ó Ø Ø × Ø Ò Ö Ø × Ã ¹ Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò
Ð
Ã
Ð ½
Ó × Ó Ø Ø Ø Ã Å Ò × Ó Ø Ú × Ð Ó Ð Ð Ý
Ñ Ò Ñ Þ º Ä Ø Ë ¸ Ð Ð Ø × × Ø ¸ Ø × Ù ¹
× Ø Ó Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Û × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò × Ô Ö Ó Ú ×
Ó Ð Ð Ó Û × Ó Ö Ü
¾ Ë ¸ Ø Ù × Ö Ô Ö Ó Ú × Ø Ð Ù × Ø Ö
Ð
Ó Ø Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ø Ó Û Ø Ð Ó Ò × º Ï × × Ù Ñ
Ø Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ø Ó Ò
Ð
Ó ¸ Ø Ö ×
Ø Ý Ô Ð Ð Ý Ø Ð × Ø Ó Ò × Ô Ó Ò Ø Ü
¾ Ë º Ó Ø Ø Ø Û
Ø × Ó Ò Ø Ã ¹ Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ë
Ð
Ã
Ð ½
Ó Ø × × Ø
Ë ¸ × Ó Ø Ø Ð Ð Ü
¾ Ë
Ð
Ð Ó Ò × Ø Ó
Ð
Ó Ö Ò Ø Ó Ø
× Ù Ô Ö Ú × Ó Ò º Ì × Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ó Ø × × Ø Ë Ó Ö Ñ ×
Ø × Ð Ù × Ø Ö Ò Ò × Ù × Ø Ó Ù Ø Ã Å Ò ×
Ð Ó Ö Ø Ñ º
¿ º ¾ Ì Û Ó Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ ×
Á Ò Ë ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø × Ð Ù × Ø Ö Ò × Ù × Ø Ó Ò ¹
Ø Ð Þ Ø Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ º Ì Ù × ¸ Ö Ø Ö Ø Ò Ò ¹
Ø Ð Þ Ò Ã Å Ò × Ö Ó Ñ Ã Ö Ò Ó Ñ Ñ Ò × ¸ Ø Ñ Ò Ó
Ø Ð Ø Ð Ù × Ø Ö × Ò Ø Ð Þ Û Ø Ø Ñ Ò Ó Ø Ð Ø
Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ë
Ð
Ó Ø × × Ø º Ì × Ð Ù × Ø Ö Ò × Ó Ò Ð Ý
½
Ã × Ó Ò Ø × Ù × Ø × Ó ¸ Û Ó × Ù Ò Ó Ò ×
8/3/2019 ICML-Basu02-Semi Supervised Clustering by Seeding
http://slidepdf.com/reader/full/icml-basu02-semi-supervised-clustering-by-seeding 3/8
Ù × Ó Ö Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò ¸ Ò Ø × × Ö Ò Ó Ø Ù × Ò
Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò × Ø Ô × Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ º Ì Ð Ó Ö Ø Ñ ×
Ô Ö × Ò Ø Ò Ø Ð Ò º ½ º
Á Ò Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø × Ð Ù × Ø Ö Ò × Ù ×
Ø Ó Ò Ø Ð Þ Ø Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ × × Ö Ó Ö
Ø Ë ¹ Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ º À Ó Û Ú Ö ¸ Ò Ø × Ù ¹
× Õ Ù Ò Ø × Ø Ô × ¸ Ø Ð Ù × Ø Ö Ñ Ñ Ö × Ô × Ó Ø Ø
Ô Ó Ò Ø × Ò Ø × × Ø Ö Ò Ó Ø Ö ¹ Ó Ñ Ô Ù Ø Ò Ø
× × Ò Ð Ù × Ø Ö × Ø Ô × Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ ß Ø Ð Ù × Ø Ö
Ð Ð × Ó Ø × Ø Ö Ô Ø Ù Ò Ò ¸ Ò Ó Ò Ð Ý
Ø Ð Ð × Ó Ø Ò Ó Ò ¹ × Ø Ö Ö ¹ × Ø Ñ Ø º Ì
Ð Ó Ö Ø Ñ × Ú Ò Ò Ø Ð Ò º ¾ º
Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × × × Ø Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ
Û Ø Ø Ù × Ö ¹ × Ô ¬ Ð Ð Ø Ò Ô × Ø Ø
Ð Ð Ò Ù Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ø Ø Ð Ó Ö Ø Ñ º Á Ò
Ë ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø Ù × Ö ¹ × Ô ¬ Ð Ð Ò Ó Ø ×
Ø Ñ Ý Ò Ò Ø Ó Ù Ö × Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ º
Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × × Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Û Ò Ø Ò Ø Ð
× Ð Ð Ò × Ò Ó × ¹ Ö ¸ Ó Ö Ø Ù × Ö Ó × Ò Ó Ø Û Ò Ø
Ø Ð Ð × Ó Ò Ø × Ø Ø Ó Ò ¸ Û Ö × Ë ¹
Ã Å Ò × × Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ò Ø Ô Ö × Ò Ó Ò Ó × Ý × × º
Ì × Ò Ó Ø Ö × Ô Ø × Ó Ø × Ø Û Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ö
× Ø Ù Ò Ø Ð Ø Ö Ó Ù Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Ò Ë º º
¿ º ¿ Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ã Å Ò × × Å
Ì Å Ð Ó Ö Ø Ñ × Ú Ö Ý Ò Ö Ð Ñ Ø Ó Ó ¬ Ò ¹
Ò Ø Ñ Ü Ñ Ù Ñ ¹ Ð Ð Ó Ó × Ø Ñ Ø Ó Ø Ô Ö Ñ ¹
Ø Ö × Ó Ò Ù Ò Ö Ð Ý Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò ¸ Ó Ö ¸ Ñ Ó Ö Ò Ö Ð Ð Ý ¸
Ô Ö Ó Ð × Ø Ø Ò Ö Ø Ó Ò Ô Ö Ó × × ¸ Ö Ó Ñ × Ø Ó
Ó × Ö Ú Ø Ø Ø × Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ó Ö Ñ × × Ò Ú Ð Ù × º
Á Ò Ó Ø × Ø Ó × Ö Ú Ø ¸ ¢ Ò Ó Ø × Ø Ù Ö ¹
Ö Ò Ø × Ø Ñ Ø Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ð Ù × Ò Ò Ó Ø ×
Ø Ñ × × Ò Ø ¸ Ø Ò ¸ Ò Ø ¹ × Ø Ô ¸ Ø Å Ð Ó ¹
Ö Ø Ñ Ó Ñ Ô Ù Ø × Ø Ü Ô Ø Ú Ð Ù Ó Ø Ó Ñ Ô Ð Ø ¹
Ø Ð Ó ¹ Ð Ð Ó Ó Ð Ó Ô ́ ¢ µ Ó Ú Ö Ø × Ø Ö Ù Ø Ó Ò
Ô ́ ¢ µ ´ Ð Ñ × ¸ ½ µ º × Û × Ð Ð Ñ Ó Ò × Ø Ö Ø ¸
Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ô Ö Ó Ú Ø Ó Ø Ã Å Ò × Ð Ó ¹
Ö Ø Ñ × × Ò Ø Ð Ð Ý Ø Ö Ñ Ò × Ø × Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù ¹
Ø Ó Ò Ó Ú Ö Û Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò × Ó Ñ Ô Ù Ø º Ï × Ð Ð
Ø Ð Ó × Ö Ð Ó Ó Ø Ø × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × Ó Ò Ñ × Ó Ò
Ø × × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ò Ø Å Ö Ñ Û Ó Ö Ó Ö × Ó Ð Ú Ò Ø
Ã Å Ò × Ô Ö Ó Ð Ñ × Ó Ø Ø Ø « Ø Ó × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò
Û Ð Ð Ó Ñ Ú Ò Ø º
Ì Ã Å Ò × Ð Ù × Ø Ö Ò Ð Ó Ö Ø Ñ × × × Ò Ø Ð Ð Ý Ò Å
Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ò Ñ Ü Ø Ù Ö Ó Ã Ù × × Ò × Ù Ò Ö Ö Ø Ò
× × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × º Ì Ø ¹ Ò Ö Ø Ó Ò Ô Ö Ó × × Ò Ã Å Ò ×
× × × Ù Ñ Ø Ó × Ó Ð Ð Ó Û × ß ¬ Ö × Ø ¸ Ó Ò Ù × × Ò ×
Ó × Ò Ó Ù Ø Ó Ø Ã Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ö Ô Ö Ó Ö Ô Ö Ó Ð ¹
Ø Ý × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ø Ò ¸ Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × × Ñ Ô Ð Ó Ð ¹
Ð Ó Û Ò Ø × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ò Ù × × Ò º Ä Ø
Ü
½
¡ ¡ ¡ Ü
Æ
Ø × Ø Ó Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Û Û Ò Ø
Ø Ó Ð Ù × Ø Ö Û Ø Ü
¾ Ê
º Ì Ñ × × Ò Ø × Ø
Ð Ù × Ø Ö × × Ò Ñ Ò Ø Ó Ø Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × º Á Ø Ø × Ú Ð Ù ×
Ò ½ ¡ ¡ ¡ Ã Ò × Ð Û Ý × Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ø ¹
Ô Ó Ò Ø Ù Ò Ö Ó Ò × Ö Ø Ó Ò º Ï Ò Ó Ø ´ Ð µ Ý Þ
Ð
º
Ó Ö Ö Ú Ò Ã Å Ò × ¸ Û × × Ù Ñ Ø Ø Ø Ô Ö Ó Ö × Ø Ö ¹
Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ù × × Ò × × Ù Ò Ó Ö Ñ ¸ º º ¸
Ð
½ Ã Ð ̧
Ò Ø Ø Ù × × Ò × Ò Ø Ø Ý Ó Ú Ö Ò º Ì Ò ¸
Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø ¢ Ó Ò × × Ø × Ó Ù × Ø Ø Ã Ñ Ò ×
½
¡ ¡ ¡
Ã
º Ï Ø Ø × × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × ¸ Ó Ò Ò × Ó Û
Ø Ø ´ Ð Ñ × ¸ ½ µ
¢
Ð Ó Ô ́ ¢ µ
Ã
Ð ½
Æ
½
Ð Ó ´
Ð
¡
½
´ ¾ µ
¾
Ü
Ð
¾
µ Ô ́ Þ
Ð
Ü
¢ µ
Ã
Ð ½
Æ
½
Ü
Ð
¾
Ô ́ Þ
Ð
Ü
¢ µ · ´ ¿ µ
Û Ö × Ó Ò × Ø Ò Ø º Ù Ö Ø Ö × × Ù Ñ Ò Ø Ø
Ô ́ Þ
Ð
Ü
¢ µ
½ Ð Ö Ñ Ò
Ü
¾
¼ Ó Ø Ö Û × ¸
´ µ
Ò Ö Ô Ð Ò Ø Ò Õ Ò º ¿ ¸ Û Ò Ó Ø Ø Ø Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò
Ø Ö Ñ Ó Ñ × Ó Ù Ø Ø Ó Ø Ò Ø Ú Ó Ø Û Ð Ð ¹ Ò Ó Û Ò
Ã Å Ò × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø Ò Ø Ú Ó Ò × Ø Ò Ø º
¾
Ì Ù × ¸ Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ñ Ü Ñ Þ Ò Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò Ó
Ø Ó Ñ Ô Ð Ø ¹ Ø Ð Ó ¹ Ð Ð Ó Ó Ù Ò Ö Ø × × × Ù Ñ Ô ¹
Ø Ó Ò × × × Ñ × Ø Ø Ó Ñ Ò Ñ Þ Ò Ø Ã Å Ò × Ó ¹
Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò º Ã Ô Ò Ò Ñ Ò Ø × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò Ò
Õ Ò º ¸ Ø Ã Å Ò × Ó Ø Ú Ò Û Ö Ø Ø Ò ×
Â
Ñ Ò ×
Ã
Ð ½
Æ
½
Ü
Ð
¾
Ô ́ Þ
Ð
Ü
Ð
µ ´ µ
Ì Ó Ò Ð Ý Ñ × × Ò Ø Ó Ö Ø Ã Å Ò × Ô Ö Ó Ð Ñ Ö
Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ô ́ Þ
Ð
Ü
Ð
µ º Ã Ò Ó Û Ð
Ó Ø × × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × × Ó Ð Ú × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ù Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý
Ø Ö × Ò Ó Û Ý Ø Ó Ó Ñ Ô Ù Ø Ø º Á Ò Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú ×
Ð Ù × Ø Ö Ò Ö Ñ Û Ó Ö ¸ Ø Ù × Ö Ô Ö Ó Ú × Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò
Ó Ù Ø × Ó Ñ Ó Ø Ø Ô Ó Ò Ø × Ø Ø × Ô ¬ × Ø
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × º
Ü Ñ Ô Ð Á Ü
Ò Ü
Ö Ø Û Ó Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Û Ø
Ñ Ù × Ø ¹ Ð Ò Ó Ò × Ø Ö Ò Ø Ø Û Ò Ø Ñ ´ Ë º ¾ º ½ µ ¸ Ø Ò
Ô ́ Þ
Ð
Ü
Ð
µ Ò Ô ́ Þ
Ð
Ü
Ð
µ Ö Ò Ø Ð Ð Ý × Ø Ö Ù Ø º
Á Ò Ø ¸ Ð Ð Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ú Ð Ó × Ù Ö Ó
Ó Ò Ò Ø × Ø Ó Ñ Ù × Ø ¹ Ð Ò Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × Û Ð Ð
Ò Ø Ð Ð Ý × Ø Ö Ù Ø º
Ì Ù × ¸ × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò × × Ò Ø Ð Ð Ý Ô Ö Ó Ú × Ò Ó Ö Ñ ¹
Ø Ó Ò Ó Ù Ø Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ô ́ Þ
Ð
Ü
Ð
µ º
¾
Ì × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò Ò Õ Ò º Ò Ð × Ó Ö Ú Ý × ¹
× Ù Ñ Ò Ø Ó Ú Ö Ò Ó Ø Ù × × Ò × Ø Ó ̄ Á Ò Ð Ø Ø Ò
̄ ¼
·
´ Ã Ö Ò × Ø Ð º ¸ ½ µ º
8/3/2019 ICML-Basu02-Semi Supervised Clustering by Seeding
http://slidepdf.com/reader/full/icml-basu02-semi-supervised-clustering-by-seeding 4/8
Á Ò × Ø Ò Ö Ã Å Ò × Û Ø Ó Ù Ø Ò Ý Ò Ø Ð × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò ¸
Ø Ã Ñ Ò × Ö Ó × Ò Ö Ò Ó Ñ Ð Ý Ò Ø Ò Ø Ð Å ¹
× Ø Ô Ò Ø Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Ö × × Ò Ø Ó Ø Ò Ö × Ø
Ñ Ò × Ò Ø × Ù × Õ Ù Ò Ø ¹ × Ø Ô º × Ü Ô Ð Ò Ó Ú ¸
Ú Ö Ý Ô Ó Ò Ø Ü
Ò Ø Ø × Ø × Ã Ô Ó × × Ð Ó Ò ¹
Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × × × Ó Ø Û Ø Ø ´ × Ø × Ý Ò
Õ Ò º µ Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ã Ñ Ò × Ø Ó Û Ø Ò
Ð Ó Ò º Ì × × × Ò Ñ Ò Ø Ó Ø Ô Ó Ò Ø Ü
Ø Ó Ö Ò Ó Ñ
Ð Ù × Ø Ö Ò Ø ¬ Ö × Ø ¹ × Ø Ô × × Ñ Ð Ö Ø Ó Ô Ò Ó Ò Ó Ò ¹
Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ñ Ö Ó Ñ Ø Ã Ô Ó × × Ð
Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × º
Á Ò Ë ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø Ò Ø Ð × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò × Õ Ù Ú Ð Ò Ø
Ø Ó × Ô Ý Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ô ́ Þ
Ð
Ü
Ð
µ
Ó Ö Ø × Ô Ó Ò Ø × Ü
¾ Ë º Ì × Ô ¬ Ó Ò Ø Ó Ò Ð
× Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ó Ø × Ø Ö Ù × Ø Ù × Ò Ø Ò ¹
Ø Ð Å ¹ × Ø Ô Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ ¸ Ò Ô ́ Þ
Ð
Ü
Ð
µ × Ö ¹
× Ø Ñ Ø Ó Ö Ð Ð Ü
¾ Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò ¹ × Ø Ô × Ó
Ø Ð Ó Ö Ø Ñ º
Á Ò Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø Ò Ø Ð Å ¹ × Ø Ô × × Ñ ×
Ë ¹ Ã Å Ò × º Ì « Ö Ò × Ø Ø Ó Ö Ø ×
Ø Ô Ó Ò Ø × ¸ Ø Ò Ø Ð Ð Ð × ¸ º º ¸ Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × ¹
Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ô ́ Þ
Ð
Ü
Ð
µ ¸ Ö Ô Ø Ù Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ø
Ø Ð Ó Ö Ø Ñ ¸ Û Ö × Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ö
Ø Ò Ó Ò ¹ × Ô Ó Ò Ø × Ö Ö ¹ × Ø Ñ Ø Ø Ú Ö Ý ¹ × Ø Ô º
Á Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × ¸ Û Û Ð Ð Ù × Ò Ø Ë È Ã Å Ò ×
Ö Ñ Û Ó Ö ´ Ë º ¾ º ¾ µ º Á Ò Ø × Ö Ñ Û Ó Ö ¸ × Ò Ú Ö Ý
Ô Ó Ò Ø Ð × Ó Ò Ø Ù Ò Ø × Ô Ö × Ó Ø Ø Ü
Ð
½ ̧
Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò Ø Ö Ñ Ò Õ Ò º ¿ Ó Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ó
¢
Ð Ó Ô ́ ¢ µ
Ã
Ð ½
Æ
½
Ü
Ì
Ð
Ô ́ Þ
Ð
Ü
¢ µ ·
Ë Ó ¸ Ñ Ü Ñ Þ Ò Ø Ë È Ã Å Ò × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò
× Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ó Ñ Ü Ñ Þ Ò Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò Ó Ø
Ó Ñ Ô Ð Ø ¹ Ø Ð Ó ¹ Ð Ð Ó Ó Ò Ø ¹ × Ø Ô Ó Ø Å
Ð Ó Ö Ø Ñ º
º Ü Ô Ö Ñ Ò Ø ×
Á Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × ¸ Û Ù × ¾ Ø × Ø × ß Å Í
¾ ¼ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø Ò Ó Ó Û × Ø º Ó Ö
Ø × Ø ¸ Û Ö Ò Ð Ó Ö Ø Ñ × ß Ë ¹ Ã Å Ò × ¸
Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × ¸ Ç È ¹ Ã Å Ò × ¸ Ò Ê Ò Ó Ñ ¹
Ã Å Ò × º Á Ò Ê Ò Ó Ñ ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø Ã Ñ Ò × Û Ö Ò ¹
Ø Ð Þ Ý Ø Ò Ø Ñ Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ò Ö Ò ¹
Ó Ñ Ð Ý Ô Ö Ø Ù Ö Ò Ø Ã Ø Ñ × ´ Ý Ý Ø Ð º ¸ ½ µ º
Ì × Ø Ò Õ Ù Ó Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò × Ú Ò Ó Ó Ö × Ù Ð Ø ×
Ò Ù Ò × Ù Ô Ö Ú × Ã Å Ò × Ò Ô Ö Ú Ó Ù × Û Ó Ö ´ Ð Ð Ó Ò
Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ º Ï Ó Ñ Ô Ö Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ó
Ø × Ñ Ø Ó × Ó Ò Ø ¾ Ø × Ø × Û Ø Ú Ö Ý Ò × Ò
Ò Ò Ó × Ð Ú Ð × ¸ Ù × Ò ½ ¼ ¹ Ó Ð Ö Ó × × Ú Ð Ø Ó Ò º Ó Ö
Ø × Ø ¸ Ë È Ã Å Ò × Û × Ù × × Ø Ù Ò Ö Ð Ý Ò
Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ö Ð Ð Ø Ã Å Ò × Ú Ö Ò Ø × º
º ½ Ø × Ø ×
Ì ¾ ¼ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø × Ø ´ ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × µ × Ó Ð ¹
Ð Ø Ó Ò Ó ¾ ¼ ¸ ¼ ¼ ¼ Ñ × × × ¸ Ó Ð Ð Ø Ö Ó Ñ ¾ ¼ « Ö ¹
Ò Ø Í × Ò Ø Ò Û × Ö Ó Ù Ô × ß ½ ¼ ¼ ¼ Ñ × × × Ö Ó Ñ Ó
Ø ¾ ¼ Ò Û × Ö Ó Ù Ô × Û Ö Ó × Ò ¸ Ò Ø Ø × Ø Û ×
Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ý Ò Û × Ö Ó Ù Ô Ò Ñ º
¿
Á Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × ¸
Û Ù × Ø Å Ø Ó Ó Ð Ø
Ó Ö Ö Ø Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ô
Ñ Ó Ð Ó Ö Ø Ü Ø Ó Ù Ñ Ò Ø × º Ó Ö Ø ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô ×
Ø × Ø ¸ Å Ò Ö Ø Ú Ó Ù Ð Ö Ý Ó ¾ ½ ¸ ¿ ½ Û Ó Ö ×
ß Ñ × × × Ö Ô Ö × Ò Ø × ´ × Ô Ö × µ Ú Ø Ó Ö Ò
¾ ½ ¸ ¿ ½ Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ô ¸ Û Ø Ì Á Û Ø Ò º
Ì Ó Ó Û × Ã ¹ × Ö × ´ Ó Ó Æ Û × µ Ø × Ø
×
Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó ¾ ¿ ¼ Ó Ó Ò Û × Ö Ø Ð × Ð Ó Ò Ò
Ø Ó Ó Ò Ó ¾ ¼ « Ö Ò Ø Ó Ó Ø Ó Ö × º Ì Ú ¹
Ø Ó Ö × Ô Ñ Ó Ð Ó Ø Ã ½ × Ø Ö Ó Ñ Ø Ó Ó Ã ¹
× Ö × × ½ ¾ ¸ ¾ ¾ Û Ó Ö × ß Ø Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Ö × Ò
½ ¾ ¸ ¾ ¾ Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ô Ò Ö Ì Á Û Ø º
Ó Ö Ø Ø Ü Ø Ø × Ø × ¸ Ò Ó Ò ¹ Ó Ò Ø Ò Ø ¹ Ö Ò × Ø Ó Ô ¹
Û Ó Ö × ¸ ¹ Ö Õ Ù Ò Ý Û Ó Ö × Ò Ð Ó Û ¹ Ö Õ Ù Ò Ý Û Ó Ö ×
Û Ö Ö Ñ Ó Ú ¸ Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ñ Ø Ó Ó Ð Ó Ý Ó Ð Ð Ó Ò Ø
Ð º ´ ¾ ¼ ¼ ½ µ º
Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ò Ð ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø × Ø ¸ × Ó Ñ Ó Ø Ö
Ø × Ø × Û Ö Ò Ö Ø ´ ½ µ Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô ×
ß Ó Ò Ø Ò × Ö Ò Ó Ñ × Ù × Ñ Ô Ð Ó ½ ¼ ¼ Ó Ù Ñ Ò Ø ×
Ö Ó Ñ Ó Ø ¾ ¼ Ò Û × Ö Ó Ù Ô × ´ ¾ µ Ö Ò Ø ¹ ¿
Æ Û × Ö Ó Ù Ô × ß × Ð Ø × ¿ Ú Ö Ý « Ö Ò Ø Ò Û × Ö Ó Ù Ô ×
Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ò Ð ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø × Ø ´ Ð Ø º Ø × Ñ ¸
Ö º × Ô Ó Ö Ø º × Ð Ð ¸ × º × Ô µ ´ ¿ µ Ë Ñ ¹ ¿ Æ Û × Ö Ó Ù Ô ×
ß × Ð Ø × ¿ Ú Ö Ý × Ñ Ð Ö Ò Û × Ö Ó Ù Ô × Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ò Ð
¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø × Ø ´ Ó Ñ Ô º Ö Ô × ¸ Ó Ñ Ô º Ó × º Ñ × ¹
Û Ò Ó Û × ¸ Ó Ñ Ô º Û Ò Ó Û × º Ü µ º Ì Ø × Ø Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼
Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Û × Ö Ø Ø Ó × Ø Ù Ý Ø « Ø Ó
Ø × Ø × Þ Ó Ò Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ × º
Ö Ò Ø ¹ ¿ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ò Ë Ñ ¹ ¿ Æ Û × Ö Ó Ù Ô ×
Û Ö Ò Ö Ø Ø Ó × Ø Ù Ý Ø « Ø Ó Ø × Ô Ö Ð Ø Ý
Ó Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ × º
º ¾ Ú Ð Ù Ø Ó Ò Å × Ù Ö ×
Ï Ú Ù × Ø Û Ó Ú Ð Ù Ø Ó Ò Ñ × Ù Ö × Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö ¹
Ñ Ò Ø × º Ç Ò × Ø Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ã Å Ò × ß
Ó Ö Ë È Ã Å Ò × ¸ Ø Ö Ø Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò ¸ Ø
Ø Ø Ö × Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ò º Ì × Ñ × Ù Ö Ó × Ò Ó Ø
Ø Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ø Ø Ù × Ö ¹ Ð Ð Ò Ó Ø Ø º Ì
Ó Ø Ö Ñ × Ù Ö × Ñ Ù Ø Ù Ð Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ´ Å Á µ ¸ Û ¹
Ø Ö Ñ Ò × Ø Ñ Ó Ù Ò Ø Ó × Ø Ø × Ø Ð Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ö
Ý Ø Ö Ò Ó Ñ Ú Ö Ð × Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ø Ð Ù × Ø Ö Ò
Ø ´ Ù × Ö ¹ Ð Ð µ Ð × × × × Ò Ñ Ò Ø × Ó Ø Ø Ô Ó Ò Ø × º
Á Ò Ø × Û Ó Ö ¸ Å Á × Ó Ñ Ô Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ñ Ø Ó Ó Ð ¹
Ó Ý Ó Ë Ø Ö Ð Ø Ð º ´ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º
¿
Ø Ø Ô » » Û Û Û º º Ñ Ø º Ù » Ô Ó Ô Ð » Ö Ò Ò » ¾ ¼ Ò Û × Ö Ó Ù Ô ×
Ø Ø Ô » » Û Û Û º × º Ù Ø Ü × º Ù » Ù × Ö × » Ò » Ñ
Ø Ô » » Ø Ô º × º Ù Ñ Ò º Ù » Ù × Ö × » Ó Ð Ý » È È Ø
8/3/2019 ICML-Basu02-Semi Supervised Clustering by Seeding
http://slidepdf.com/reader/full/icml-basu02-semi-supervised-clustering-by-seeding 5/8
0.48
0.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
0.64
0.66
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
M I m e t r i c
Seed fraction
Seeded-KMeansConstrained-KMeans
COP-KMeansRandom-KMeans
Ù Ö ¿ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò ¾ ¼
Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼
º ¿ Ä Ö Ò Ò Ù Ö Ú × Û Ø Ö Ó × × Ú Ð Ø Ó Ò
Ó Ö Ð Ð Ø Ð Ó Ö Ø Ñ × ¸ Ó Ò Ø × Ø ¸ Û Ú Ò Ö ¹
Ø Ð Ö Ò Ò Ù Ö Ú × Û Ø ½ ¼ ¹ Ó Ð Ö Ó × × ¹ Ú Ð Ø Ó Ò º Ó Ö
× Ø Ù Ý Ò Ø « Ø Ó × Ò ¸ ½ ¼ ± Ó Ø Ø × Ø ×
× Ø × × Ø Ø × Ø × Ø Ø Ò Ý Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ó Ð º Ì
Ø Ö Ò Ò × Ø × Ø « Ö Ò Ø Ô Ó Ò Ø × Ó Ø Ð Ö Ò Ò Ù Ö Ú
Ö Ó Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ö Ñ Ò Ò ¼ ± Ó Ø Ø Ý
Ú Ö Ý Ò Ø × Ö Ø Ó Ò Ö Ó Ñ ¼ º ¼ Ø Ó ½ º ¼ Ò × Ø Ô × Ó ¼ º ½ ¸
Ò Ø Ö × Ù Ð Ø × Ø Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ð Ö Ò Ò Ù Ö Ú Ö
Ó Ø Ò Ý Ú Ö Ò Ó Ú Ö ½ ¼ Ó Ð × º Ì Ð Ù × Ø Ö Ò Ð ¹
Ó Ö Ø Ñ × Ö Ù Ò Ó Ò Ø Û Ó Ð Ø × Ø ¸ Ù Ø Ø Å Á Ñ ¹
× Ù Ö × Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ø × Ø × Ø º Ó Ö × Ø Ù Ý Ò Ø
« Ø × Ó Ò Ó × Ò Ø × Ò ¸ × Ñ Ð Ö Ð Ö Ò Ò Ù Ö Ú ×
Ö Ò Ö Ø Ý Ô Ò ¬ Ü Ö Ø Ó Ò Ó × Ò
Ò Ú Ö Ý Ò Ø Ò Ó × Ö Ø Ó Ò º
º Ë Ò Æ Ó × Ò Ö Ø Ó Ò
Á Ò Ë ¹ Ã Å Ò × Ò Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø
× × Ø Ò Ý Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ð Ö Ò Ò Ù Ö Ú Û Ö × ¹
Ð Ø Ö Ó Ñ Ø Ø × Ø Ó Ö Ò Ø Ó Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò
× Ö Ø Ó Ò º Á Ò Ç È ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø Ñ Ù × Ø ¹ Ð Ò Ò Ø
Ò Ò Ó Ø ¹ Ð Ò Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × Ö Ò Ö Ø Ö Ó Ñ Ø × Ô ¹
¬ × × º Ì Ã Ð Ù × Ø Ö Ò Ø Ö × Ö Ó × Ò Ö Ò Ó Ñ Ð Ý ¸
Ù Ø × Ó Ò × Ó × Ò ¸ Ò Ý Ñ Ù × Ø ¹ Ð Ò Ó Ò × Ø Ö Ò Ø ×
Ø Ø Ø Ô Ö Ø Ô Ø × Ò Ö Ò Ó Ö ¸ º º ¸ Ð Ð Ø Ñ × Ø Ø
Ø Ó × Ò Ò × Ø Ò Ñ Ù × Ø Ð Ò Ø Ó Ö × × Ò Ø Ó Ø
Ò Û Ð Ù × Ø Ö ¸ × Ó Ø Ø Ø Ý Ò Ò Ó Ø Ð Ø Ö Ó × Ò × Ø
Ò Ø Ö Ó Ò Ó Ø Ö Ð Ù × Ø Ö ´ Ï × Ø « Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ º
Á Ò Ö Ð ¹ Ð Ô Ô Ð Ø Ó Ò ¸ × Ò Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò
Û Ð Ð Ô Ö Ó Ú Ý Ù Ñ Ò Ù × Ö ¸ Ø Ö × Ò
Ø Ø Ø × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ñ Ý Ö Ö Ó Ò Ó Ù × Ò × Ó Ñ × × º
Ï × Ñ Ù Ð Ø × Ù Ð Ð Ò Ò Ó × Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Ý
Ò Ò Ø Ð Ð × Ó Ö Ø Ó Ò Ó Ø × Ü Ñ Ô Ð ×
Ø Ó Ö Ò Ó Ñ Ò Ó Ö Ö Ø Ú Ð Ù º
º Ò Ð Ý × × Ó Ê × Ù Ð Ø ×
Å Á Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó × Ò Ó Ö Ø Þ Ö Ó ¹ Ò Ó ×
× ¸ Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ó Ö Ø Ñ × Ô Ö Ó Ö Ñ Ø Ø Ö
Ø Ò Ø Ù Ò × Ù Ô Ö Ú × Ð Ó Ö Ø Ñ Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø Å Á
Ñ × Ù Ö ´ × º ¿ ¸ ¸ µ ¸ Ö Ö × Ô Ø Ú Ó Ø × Þ Ó Ø
Ø × Ø º Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ô Ö Ó Ö Ñ × Ø Ð × Ø ×
Ó Ó × Ø Ë ¹ Ã Å Ò × ¸ × Ò Ø Ó Ö Ñ Ö Ù × × Ø
Ó Ö Ö Ø Ù × Ö × Ò Ø Ö Ó Ù Ý Ø Ù × Ö ¹ Ð Ð × ×
Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ø Ø Ü Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ò Ø Þ Ö Ó ¹
Ò Ó × × º Ì Ó Ù Ó Ø Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ò
Ç È ¹ Ã Å Ò × Ø Ö Ø Ø × × × Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × ¸ Ø Ø
Ø Ø Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ù × × Ð Ð Ø × × Ø Ó Ò Ø Ð ¹
Þ Ð Ù × Ø Ö × ¸ × Ó Ô Ô Ó × Ø Ó Ç È ¹ Ã Å Ò × Û Ó ×
Ò Ó Ø Ò × × Ö Ð Ý Ó Ø Ø ¸ Ö × Ù Ð Ø × Ò Ø Ó Ö Ñ Ö Ú Ò
Ø Ø Ö Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ò Ñ Ó × Ø × × ¸ Û Ø Þ Ö Ó ¹ Ò Ó × º Á Ò
Ø ¸ Ø « Ø Ó × Ò × Ñ × Ø Ó × Ó Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø
Ø Ø Ò × Ó Ñ × × ´ º µ ¸ Ë ¹ Ã Å Ò × Ô Ö Ó Ö Ñ ×
× Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ø Ø Ö Ø Ò Ç È ¹ Ã Å Ò × º
Ç Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó × Ò
Ì Ó Ù Ø Å Á Ñ × Ù Ö Ò Ö × × Û Ø Ò Ò Ö ×
Ò × Ö Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ó Ö Ø Ñ × ¸
Ø Ú Ó Ö Ó Ø Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Û Ð Ð Ô Ò Ó Ò
Û Ø Ö Ø Ù × Ö × Ô Ö Ó Ú Ý Ø Ù × Ö ¹ Ð Ð
× × × Ó Ò × × Ø Ò Ø Û Ø Ø × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × Ó Ã Å Ò × º Á
Ø Ø Ó Ö Ý × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ö Ø Ý Ø Ù × Ö ¹ Ð Ð Ò Ó
Ø Ø × Ø × Ø × ¬ × Ø Ã Å Ò × × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × ¸ Ø Ò Ø
Ø Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ù Ý × Ò Û Ð Ð Ð Ó × Ø Ó Ø
Ó Ô Ø Ñ Ð Ô Ö Ø Ø Ó Ò ¸ Ò Ã Å Ò × × Ò Ó Û Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ö
Ø Ó Ó Ó Ð Ó Ð Ó Ô Ø Ñ Ù Ñ Ò Ø × × ´ º µ ´ Ú Ö Ó Ý
Ø Ð º ¸ ½ µ º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸ Ø Ù × Ö × ×
Ò Ó Ò × × Ø Ò Ø Û Ø Ø Ã Å Ò × × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × ¸ Ø Ò Ó Ò ¹
× Ø Ö Ò × Ò Û Ð Ð Ö × Ù Ð Ø Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ó × Ù ¹
Ó Ô Ø Ñ Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ º µ º Ó Ø Ø Ø × Ò Ë ¹
Ã Å Ò × Ó × Ò Ó Ø Ò × × Ö Ð Ý Ñ Ò Ø Ò Ø × Ñ × ¹
× Ò Ñ Ò Ø × Ó Ö Ø × Ô Ó Ò Ø × Ò × Ù × Õ Ù Ò Ø Ø Ö Ø Ó Ò × ¸
Ø × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Ó × Ò Ó Ø Ö × Ù Ø Ó Ó Ò - Ø
Ò × Ó Û Ú Ö ¸ × Ò Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ò Ç È ¹
Ã Å Ò × Ô Ø × × × Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × ¸ Ø Ö Ó ¹
Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Ö × × Û Ø Ò Ö × Ò × Ò º Ë Ò
Ê Ò Ó Ñ ¹ Ã Å Ò × Ò Ú Ö Ù × × Ø × × ¸ Ø × Ú Ó Ö ×
Ò Ô Ò Ò Ø Ó Ø × Ó Ò - Ø º
Ø × Ø × Ô Ö Ð Ø Ý Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ú × × Ù ¹
× Ø Ò Ø Ð Ñ Ô Ö Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ú Ö Ù Ò × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ó Ö
Ø × Ø × Ø Ø Ö Æ Ù Ð Ø Ø Ó Ð Ù × Ø Ö ¸ Ò Ø × Ò ×
Ø Ø Ø Ö × Ð Ó Ø Ó Ó Ú Ö Ð Ô Ø Û Ò Ø Ð Ù × ¹
Ø Ö × ¸ º º ¸ Ë Ñ ¹ ¿ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × ¸ ´ º µ ¸ Û Ö × Ó Ö
Ø × Ø × Ø Ø Ö × Ð Ý × Ô Ö Ð ¸ º º ¸ Ö Ò Ø ¹ ¿
Æ Û × Ö Ó Ù Ô × ´ º µ ¸ Ø Ñ Ô Ö Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ú Ö Ê Ò Ó Ñ ¹
Ã Å Ò × × Ñ Ö Ò Ð º Á Ø Ø × Ø × × Ð Ý × Ô Ö Ð ¸
Ø Ò Ø Ö Ö Ò Ó Ø Ñ Ò Ý Ð Ó Ð Ñ Ò Ñ Ò Ú Ò
Ê Ò Ó Ñ ¹ Ã Å Ò × Ò × Ð Ý ¬ Ò Ø Ð Ù × Ø Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö º
À Ó Û Ú Ö ¸ Ó Ö Ø × Ø × Û Ø Ó Ú Ö Ð Ô Ô Ò Ð Ù × Ø Ö × Ø Ö Ù ¹
8/3/2019 ICML-Basu02-Semi Supervised Clustering by Seeding
http://slidepdf.com/reader/full/icml-basu02-semi-supervised-clustering-by-seeding 6/8
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
M I m e t r i c
Seed fraction
Seeded-KMeansConstrained-KMeans
COP-KMeansRandom-KMeans
Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼
Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
M I m e t r i c
Seed fraction
Seeded-KMeansConstrained-KMeans
COP-KMeansRandom-KMeans
Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ó Ó Ø ¸
Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼
Ø Ù Ö ¸ × Ò × Ñ × Ø Ó Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ø Ó Ö Ò Ð Ô ¹
Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ ¬ Ò Ó Ó Ð Ù × Ø Ö Ò º Ì Å Á Ñ ¹
× Ù Ö Ó Ö Ø × Ô Ö Ð Ø × Ø × Ò Ò Ö Ð Ñ Ù Ö
Ø Ò Ó Ö Ø Ó Ú Ö Ð Ô Ô Ò Ø × Ø Ú Ò Û Ø × ¹
Ò ¸ Ù × Ø Ð Ø Ø Ö Ó Ò × Ö Ö Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó × Ó Ð Ú º
È Ö Ó Ö Ñ Ò Û Ø Ò Ó Ñ Ô Ð Ø × Ò Ï Ð × Ó
Ö Ò Ò Ø Ð Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Û Ø Ò Ó Ñ Ô Ð Ø × Ò ¸ Û Ö
× × Ö Ò Ó Ø × Ô ¬ Ó Ö Ú Ö Ý Ð Ù × Ø Ö ß Ö Ó Ñ º ½ ¼ ¸
Ø Ò × Ò Ø Ø Ø Å Á Ñ Ø Ö Ò Ó Ø Ö ×
× Ù × Ø Ò Ø Ð Ð Ý Û Ø Ò Ö × Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ù Ò ×
Ø Ó Ö × ¸ × Ó Û Ò Ø Ø Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò
Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ù Ð Ü Ø Ò Ø × Ð Ù × Ø Ö × Ò Ò Ö Ø
Ñ Ó Ö Ð Ù × Ø Ö × ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó ¬ Ø Ø Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ø Ø º
È Ö Ó Ö Ñ Ò Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ò Ó × × Ò Ó × × Ò ¹
Ö × ¸ Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ó Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ò
Ç È ¹ Ã Å Ò × × Ø Ö Ø × Ø Ó Ö Ó Ñ Ô Ö Ø Ó Ë ¹
Ã Å Ò × º Ç È ¹ Ã Å Ò × Ò Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò ×
Ô Ù × Ò Ø × Ñ Ò Ó × Ý × × Ò Ú Ö Ý × Ù × Õ Ù Ò Ø
330
340
350
360
370
380
390
400
410
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
O b j
e c t i v e f u n c t i o n
Seed fraction
Seeded-KMeans
Constrained-KMeansCOP-KMeansRandom-KMeans
Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ð Ó Ö Ø Ñ ×
Ó Ò Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼
480
500
520
540
560
580
600
620
640
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
O b j e c t i v e f u n c t i o n
Seed fraction
Seeded-KMeansConstrained-KMeans
COP-KMeansRandom-KMeans
Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ð Ó Ö Ø Ñ ×
Ó Ò Ó Ó Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼
Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ ¸ Û Ö × Ë ¹ Ã Å Ò ×
Ò Ò Ó Ò Ò Ó × Ý × Ð Ð × Ò × Ù × Õ Ù Ò Ø Ø Ö Ø Ó Ò ×
´ º ½ ½ µ º Ë Ó Ë ¹ Ã Å Ò × × Õ Ù Ø Ö Ó Ù × Ø Ò × Ø
Ò Ó × Ý × Ò ¸ Ò Ò Ø Ù Ð Ð Ú Ò Ø Ó Ø × ¹
Ò Ø Ú × Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ó Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò º
Ì × Ø Ø × Ø Ð × Ò ¬ Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ù × Ó Ò × Ò Ø ×
× Ø Ó Ò Ú Ò Ø × Ø Ö Ó × × Ú Ö Ó Ù × Ø × Ø × º Ó Ö
Ü Ñ Ô Ð ¸ Ó Ò Ø Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô Ø × Ø ¸ Ø
Ó Ò Ð Ù × Ó Ò × Ö × Ò ¬ Ò Ø Ó Ö × Ö Ø Ó Ò ¼ ¾
́ Ô ¼ ¼ ¼ ½ µ Ó Ö Ø ¬ Ö × Ø Ø Ö × Ô Ø × × Ù × × Ó Ú ¸
Ù × Ò Ø Û Ó ¹ Ø Ð Ô Ö Ø ¹ Ø × Ø º Ó Ö Ø Ò Ó × Ü Ô Ö ¹
Ñ Ò Ø × ¸ Ø Ó Ò Ð Ù × Ó Ò × × Ò ¬ Ò Ø Ó Ö Ò Ó × Ö Ø Ó Ò
¼ ́ Ô ¼ ¼ ¼ ½ µ º
º Ê Ð Ø Ï Ó Ö
Ë Ú Ö Ð × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ø Ñ × Ú
× Ó Û Ò Ñ Ô Ö Ó Ú Ñ Ò Ø × Ò Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ù Ö Ý Ó Ú Ö
8/3/2019 ICML-Basu02-Semi Supervised Clustering by Seeding
http://slidepdf.com/reader/full/icml-basu02-semi-supervised-clustering-by-seeding 7/8
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
M I m e t r i c
Seed fraction
Seeded-KMeansConstrained-KMeans
COP-KMeansRandom-KMeans
Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ë Ñ ¹ ¿
Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼
0.76
0.78
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
M I m e t r i c
Seed fraction
Seeded-KMeansConstrained-KMeans
COP-KMeansRandom-KMeans
Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ö Ò Ø ¹ ¿
Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼
Ô Ù Ö Ð Ý × Ù Ô Ö Ú × Ð Ó Ö Ø Ñ × ¸ º º Ó ¹ Ø Ö Ò Ò ´ Ð Ù Ñ
² Å Ø Ð Ð ¸ ½ µ ¸ Ø Ö Ò × Ù Ø Ú Ë Ù Ô Ô Ó Ö Ø Î Ø Ó Ö Å ¹
Ò × ´ Ë Î Å × µ ´ Â Ó Ñ × ¸ ½ µ ¸ Ò × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú ×
Å ´ Ö Ñ Ò ² Â Ó Ö Ò ¸ ½ Ñ Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º
Á Ò × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò ¸ Ô Ö Ú Ó Ù × Û Ó Ö × Ò
Ó Ò Ó Ò Ø Ù × Ó Ð Ð Ø Ø Ó Ð Ù × Ø Ö Ò Ý
Ñ Ó Ý Ò Ð Ù × Ø Ö Ò Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ó Ò Ó Ö Ô Ó ¹
Ö Ø Ð Ð Ø ´ Ñ Ö Þ Ø Ð º ¸ ½ µ ¸ Ø Ö Ø Ú Ù × Ö
´ Ó Ò Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ¼ µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö ¹
Ù Ø Ó Ò × Ò Ò Ù Ü Ð Ö Ý × Ô ´ Ë Ò Ó Ò Ò ² Ã × ¸
¾ ¼ ¼ ¼ µ º È Ö Ú Ó Ù × Û Ó Ö Ó Ò Ð Ù × Ø Ö Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò Ò Ð Ù ×
Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò × Ó Ø ¹ Ô Ò Ò Ø Ò Ø ¹ Ò Ô Ò Ò Ø
Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò Ø Ò Õ Ù × ´ Å Ð ² À Ö Ñ Ò ¸ ½ µ ¸
Ò × Ø Ñ Ø Ó Ò Ó Ø Ñ Ó × Ó Ø Ø × Ø Ö Ù Ø Ó Ò
Ó Ö Ó Ó Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò ´ Ý Ý Ø Ð º ¸ ½ µ º
0.48
0.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
M I m e t r i c
Number of Unseeded Categories
Constrained-KMeansSeeded-KMeans
COP-KMeansRandom-KMeans
Ù Ö ½ ¼ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò ¾ ¼
Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ × Ö Ø Ó Ò ¼ º ½
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
M I m e t r i c
Noise fraction
Seeded-KMeansConstrained-KMeans
COP-KMeansRandom-KMeans
Ù Ö ½ ½ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼
Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ × Ö Ø Ó Ò ¼ º
º Ù Ø Ù Ö Ï Ó Ö
Ì Ó Ò Ò Ø Ó Ò Û Ø Ø Ò Ö Ð Å Ö Ñ Û Ó Ö Ò
Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ò Ø Ö Ñ × Ó Ó Ò ¹
Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Û Ò × Ø Ô Ô Ð Ð Ø Ý Ó Ø
Ô Ö Ó Ô Ó × Ñ Ø Ó × Ø Ó Ú Ö Ø Ý Ó Ð Ù × Ø Ö Ò Ô Ö Ó Ð Ñ × º
Ì Ñ Ó × Ø Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ø × × Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ô Ö Ó ¹
Ð × Ø Ó Ö × Ó Ø × Ò ß Û Ö × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ú ×
Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ø Ô Ö Ó Ð Ø × Ó Ø × × Ð Ó Ò ¹
Ò Ø Ó Ø Ú Ö Ó Ù × Ð Ù × Ø Ö Ð Ð × ¸ Ö Ø Ö Ø Ò Ü Ô Ð Ø Ð Ý
× Ø Ø Ò Û Ð Ù × Ø Ö Ø Ð Ó Ò × Ø Ó º Á Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø
Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò ¸ Û Ó Ò Ó Ø Ò Ø × × Ù Ñ Ô ¹
Ø Ó Ò Ò Õ Ò º Ò Ý Ñ Ó Ö ¸ × Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù ¹
Ø Ó Ò × Ò Ò Ó Û Ò Ý Ñ Ù Ð Ø Ò Ó Ñ Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò ¬ Ò
Ó Ú Ö Ø Ã Ð Ù × Ø Ö Ð Ð × º Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ý Ô Ö Ó ¹
Ð × Ø × Ò Ó Ù Ð Ô Ô Ð Ð Ø Ó Ñ Ò Ý Ð Ö Ò Ò
Ø × × ¸ × Ù × Ú Ó Ð Ò Ó Ø Ø Ó Ò Ò Ô Ð Ò Ø ¹ × Ù Ö Ñ ¹
× ´ Ë Ñ Ý Ø Ø Ð º ¸ ½ µ º
8/3/2019 ICML-Basu02-Semi Supervised Clustering by Seeding
http://slidepdf.com/reader/full/icml-basu02-semi-supervised-clustering-by-seeding 8/8
º Ó Ò Ð Ù × Ó Ò
Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ù × × × Ó Ñ Ð Ð Ø Ø Ó
× Ö Ò × Ø Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ó Ù Ò Ð Ð
Ø Ò Ø Ó Ó Ò Ô Ø Ù Ð Ö Ó Ù Ô × º Ë ¹ Ã Å Ò × Ò
Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ö × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò
Ð Ó Ö Ø Ñ × Ø Ø Ù × Ð Ð Ø Ø Ó Ó Ö Ñ Ò Ø Ð Ð Ù × Ø Ö ×
Ò Ó Ò × Ø Ö Ò × Ù × Õ Ù Ò Ø Ð Ù × Ø Ö × × Ò Ñ Ò Ø º Ó Ø
Ñ Ø Ó × Ò Ú Û × Ò × Ø Ò × Ó Ø Å Ð Ó ¹
Ö Ø Ñ ¸ Û Ö Ð Ð Ø Ô Ö Ó Ú × Ô Ö Ó Ö Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò
Ó Ù Ø Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ó Ò Ø Ó Ö Ý
Ð Ð × º Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ð Ö × Ù Ð Ø × Ñ Ó Ò × Ø Ö Ø Ø Ú Ò ¹
Ø × Ó Ø × Ñ Ø Ó × Ó Ú Ö × Ø Ò Ö Ö Ò Ó Ñ × Ò
Ò Ç È ¹ Ã Å Ò × ´ Ï × Ø « Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ ¸ Ò Ð Ø Ö Ò ¹
Ø Ú × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸
× Ò Û Ø Ó Ù Ø Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × × Ö Ó Ù × Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú ×
Ñ Ø Ó Ø Ø × Ð × × × Ò × Ø Ú Ø Ó Ò Ó × Ò Ñ Ô Ö Ø Ó Ò ×
Ò Ø × Ù Ô Ö Ú × Ø º
º Ò Ó Û Ð Ñ Ò Ø
Ì × Ö × Ö Û × × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ý Ë Ö Ò Ø × Á Á Ë ¹
¼ ½ ½ ¿ ¼ Ò Ë ¹ ¼ ¼ ¿ ¿ ¸ Ò Ý Ò Å Ð Ð Ó Û × Ô
Û Ö Ý Ø Í Ò Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ü × Ø Ù × Ø Ò º
Ê Ö Ò ×
Ð Ñ × ¸ Â º ´ ½ µ º Ò Ø Ð Ø Ù Ø Ó Ö Ð Ó Ò Ø Å Ð Ó ¹
Ö Ø Ñ Ò Ø × Ô Ô Ð Ø Ó Ò Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø Ñ Ø Ó Ò
Ó Ö Ù × × Ò Ñ Ü Ø Ù Ö Ò Ò Å Ö Ó Ú Ñ Ó Ð ×
´ Ì Ò Ð Ê Ô Ó Ö Ø Á Ë Á ¹ Ì Ê ¹ ¹ ¼ ¾ ½ µ º Á Ë Á º
Ð Ù Ñ ¸ º ¸ ² Å Ø Ð Ð ¸ Ì º ´ ½ µ º Ó Ñ Ò Ò Ð Ð
Ò Ù Ò Ð Ð Ø Û Ø Ó ¹ Ø Ö Ò Ò º È Ö Ó º Ó ½ ½ Ø
Ò Ò Ù Ð Ó Ò º Ó Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ó Ò Ð Ä Ö Ò Ò Ì Ó Ö Ý º
Ó Ò ¸ º ¸ Ö Ù Ò ¸ Ê º ¸ ² Å Ð Ð Ù Ñ ¸ º ´ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º
Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Û Ø Ù × Ö ¹
º Í Ò Ô Ù Ð × Ñ Ò Ù × Ö Ô Ø º Ú Ð Ð Ø
Ø Ø Ô » » Û Û Û ¹ ¾ º × º Ñ Ù º Ù » Ñ Ð Ð Ù Ñ » º
Ñ Ö Þ ¸ º ¸ Ò Ò Ø Ø ¸ Ã º ¸ ² Ñ Ö Ø × ¸ Å º ´ ½ µ º
Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ù × Ò Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ × º
Ö Ø ¬ Ð Æ Ù Ö Ð Æ Ø Û Ó Ö × Ò Ò Ò Ö Ò ´ Æ Æ Á µ º
Ñ Ô × Ø Ö ¸ º È º ¸ Ä Ö ¸ º Å º ¸ ² Ê Ù Ò ¸ º º ´ ½ µ º
Å Ü Ñ Ù Ñ Ð Ð Ó Ó Ö Ó Ñ Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ø Ú Ø
Å Ð Ó Ö Ø Ñ º Â Ó Ù Ö Ò Ð Ó Ø Ê Ó Ý Ð Ë Ø Ø × Ø Ð Ë Ó ¹
Ø Ý ̧ ¿ ¸ ½ ß ¿ º
Ú Ö Ó Ý ¸ Ä º ¸ Ý Ó Ö ¬ ¸ Ä º ¸ ² Ä Ù Ó × ¸ º ´ ½ µ º Ô Ö Ó ¹
Ð × Ø Ø Ó Ö Ý Ó Ô Ø Ø Ö Ò Ö Ó Ò Ø Ó Ò º Ë Ô Ö Ò Ö Î Ö ¹
Ð º
Ð Ð Ó Ò ¸ Á º Ë º ¸ Ò ¸ Â º ¸ ² Ù Ò ¸ º ´ ¾ ¼ ¼ ½ µ º Æ Ò Ø
Ð Ù × Ø Ö Ò Ó Ú Ö Ý Ð Ö Ó Ù Ñ Ò Ø Ó Ð Ð Ø Ó Ò × º Á Ò
Ø Ñ Ò Ò Ó Ö × Ò Ø ¬ Ò Ò Ò Ö Ò Ô Ô Ð ¹
Ø Ó Ò × º Ã Ð Ù Û Ö Ñ È Ù Ð × Ö × º
Ý Ý ¸ Í º Å º ¸ Ê Ò ¸ º ¸ ² Ö Ð Ý ¸ È º Ë º ´ ½ µ º
Á Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ø Ú Ö ¬ Ò Ñ Ò Ø Ð Ù × Ø Ö Ò Ð ¹
Ó Ö Ø Ñ × º È Ö Ó Ò × Ó Ø Ó Ù Ö Ø Á Ò Ø Ö Ò Ø Ó Ò Ð
Ó Ò Ö Ò Ó Ò Ã Ò Ó Û Ð × Ó Ú Ö Ý Ò Ø Å Ò ¹
Ò ´ Ã ¹ µ ´ Ô Ô º ½ ß ½ µ º
Ö Ñ Ò ¸ º ¸ ² Â Ó Ö Ò ¸ Å º Á º ´ ½ µ º Ë Ù Ô Ö Ú ×
Ð Ö Ò Ò Ö Ó Ñ Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ø Ú Ø Å Ô Ô Ö Ó º
Ú Ò × Ò Æ Ù Ö Ð Á Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò È Ö Ó × × Ò Ë Ý × Ø Ñ ×
´ Ô Ô º ½ ¾ ¼ ß ½ ¾ µ º
Â Ó Ñ × ¸ Ì º ´ ½ µ º Ì Ö Ò × Ù Ø Ú Ò Ö Ò Ó Ö Ø Ü Ø
Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ù × Ò × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ú Ø Ó Ö Ñ Ò × º È Ö Ó º
Ó ½ Ø Á Ò Ø Ð º Ó Ò º Ó Ò Å Ò Ä Ö Ò Ò ´ Á Å Ä ¹ µ º
Ã Ö Ò × ¸ Å º ¸ Å Ò × Ó Ù Ö ¸ º ¸ ² ¸ º º ´ ½ µ º Ò
Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ¹ Ø Ó Ö Ø Ò Ð Ý × × Ó Ö Ò × Ó Ø × ¹
× Ò Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó × Ó Ö Ð Ù × Ø Ö Ò º È Ö Ó º Ó ½ ¿ Ø Ó Ò º
Ó Ò Í Ò Ö Ø Ò Ø Ý Ò Ö Ø ¬ Ð Á Ò Ø Ð Ð Ò ´ Í Á ¹ µ
´ Ô Ô º ¾ ¾ ß ¾ ¿ µ º
Å É Ù Ò ¸ Â º ´ ½ µ º Ë Ó Ñ Ñ Ø Ó × Ó Ö Ð × × ¬ Ø Ó Ò
Ò Ò Ð Ý × × Ó Ñ Ù Ð Ø Ú Ö Ø Ó × Ö Ú Ø Ó Ò × º È Ö Ó º Ó
Ø Ö Ð Ý Ë Ý Ñ Ô Ó × Ù Ñ Ó Ò Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ø Ø × Ø ×
Ò È Ö Ó Ð Ø Ý ´ Ô Ô º ¾ ½ ß ¾ µ º
Å Ð ¸ Å º ¸ ² À Ö Ñ Ò ¸ º ´ ½ µ º Ò Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ð
Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó × Ú Ö Ð Ð Ù × Ø Ö Ò Ò Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò
Ñ Ø Ó × ´ Ì Ò Ð Ê Ô Ó Ö Ø Å Ë Ê ¹ Ì Ê ¹ ¹ ¼ µ º Å ¹
Ö Ó × Ó Ø Ê × Ö º
Ñ ¸ Ã º ¸ Å Ð Ð Ù Ñ ¸ º Ã º ¸ Ì Ö Ù Ò ¸ Ë º ¸ ² Å Ø Ð Ð ¸
Ì º ´ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º Ì Ü Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ð Ð Ò Ù Ò Ð ¹
Ð Ó Ù Ñ Ò Ø × Ù × Ò Å º Å Ò Ä Ö Ò Ò ̧ ¿ ̧
½ ¼ ¿ ß ½ ¿ º
Ë Ò Ó Ò Ò ¸ Â º ¸ ² Ã × ¸ Ë º ´ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º Ë Ñ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × ¹
Ø Ö Ò × Ó Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ò Ò Ù Ü ¹
Ð Ö Ý × Ô ´ Ì Ò Ð Ê Ô Ó Ö Ø ¼ µ º À Ð × Ò Í Ò ¹
Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ò Ó Ð Ó Ý º
Ë Ñ Ý Ø ¸ È º ¸ Ý Ý ¸ Í º ¸ Ù Ö Ð ¸ Å º ¸ ² È Ö Ó Ò ¸ È º ´ ½ µ º
Á Ò Ö Ö Ò Ö Ó Ù Ò Ø Ö Ù Ø Ö Ó Ñ × Ù Ø Ú Ð Ð Ð Ò Ó
Î Ò Ù × Ñ × º Ú Ò × Ò Æ Ù Ö Ð Á Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò È Ö Ó ¹
× × Ò Ë Ý × Ø Ñ × º
Ë Ø Ö Ð ¸ º ¸ Ó × ¸ Â º ¸ ² Å Ó Ó Ò Ý ¸ Ê º ´ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º Á Ñ ¹
Ô Ø Ó × Ñ Ð Ö Ø Ý Ñ × Ù Ö × Ó Ò Û ¹ Ô Ð Ù × Ø Ö Ò º
Ï Ó Ö × Ó Ô Ó Ò Ö Ø ¬ Ð Á Ò Ø Ð Ð Ò Ó Ö Ï Ë Ö
´ Á ¾ ¼ ¼ ¼ µ ´ Ô Ô º ß µ º
Ï × Ø « ¸ Ã º ¸ Ö ¸ º ¸ Ê Ó Ö × ¸ Ë º ¸ ² Ë Ö Ó Ð ¸ Ë º
´ ¾ ¼ ¼ ½ µ º Ó Ò × Ø Ö Ò Ã ¹ Å Ò × Ð Ù × Ø Ö Ò Û Ø ¹
Ö Ó Ù Ò Ò Ó Û Ð º È Ö Ó º Ó ½ Ø Á Ò Ø Ö Ò Ø Ó Ò Ð Ó Ò ¹
Ö Ò Ó Ò Å Ò Ä Ö Ò Ò ´ Á Å Ä ¹ ¾ ¼ ¼ ½ µ º