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I. Séries vectorielles et numériques I. SUITES DES SOMMES PARTIELLES
I Suites des sommes partielles
Soit (un)n∈N une suite à valeurs dans un espace vectoriel E. On appelle série de termegénéral un la suite (Sn)n∈N définie par :
∀n ∈ N, Sn = u0 + u1 + . . . + un.
• On notera∑
n∈N
un cette série.
• Pour tout n, un s’appelle le terme général de rang n et Sn la somme partielle derang n de la série
∑
n∈N
un.
• Lorsque (E, ‖ ‖) est un espace vectoriel normé, on dit que∑
n∈N
un converge (pour la
norme ‖ ‖) si la suite (Sn)n∈N converge.
— Sa limite s’appelle alors la somme de la série et on la note S =+∞∑
n=0
un.
— Pour tout n ∈ N, on appelle alors reste d’indice n l’élément Rn défini par :
Rn = S − Sn =+∞∑
k=0
uk −n∑
k=0
uk =+∞∑
k=n+1
uk.
Définition 1
Dans le cas de convergence, on peut remarquer que la suite (Rn)n∈Ntend vers 0. Le
reste d’ordre n représente l’erreur commise lorsque l’on remplace la somme S par la nème
somme partielle.L’ensemble des séries convergentes est trivialement un espace vectoriel : la somme de
deux séries convergentes ou le produit d’une série par un scalaire sont des séries conver-gentes de somme respectivement la somme des deux séries et la somme de la série multi-pliée par le scalaire. Pour le produit, c’est un peu plus compliqué.
I. Séries vectorielles et numériques I. SUITES DES SOMMES PARTIELLES
Correction :
1 ∀x > 1, f(x) =1
x(x + 1)(x + 2)=
a
x+
b
x + 1+
c
x + 2.
De plus, a = limx→0
xf(x) =1
2, b = lim
x→−1(x + 1)f(x) = −1 et c = lim
x→−2(x + 2)f(x) =
1
2.
Donc ∀x ∈]0, +∞[,1
x(x + 1)(x + 2)=
1
2
(1
x− 2
x + 1+
1
x + 2
)
.
2
∀n ∈ N∗, 2Sn = 2
n∑
k=1
1
k(k + 1)(k + 2)=
n∑
k=1
1
k− 2
n∑
k=1
1
k + 1+
n∑
k=1
1
k + 2
=n∑
k=1
1
k− 2
n+1∑
k=2
1
k+
n+2∑
k=3
1
k
=1
2+
1
n + 2− 1
n + 1−−−−−→n→+∞
1
2
Donc la série converge et on a :∑
n∈N∗
1
n(n + 1)(n + 2)=
1
4.
Cette méthode, consistant à se servir de la décomposition en éléments simples et d’unchangement d’indice, est assez générale pour trouver les sommes de séries de terme général unefraction rationnelle.
Exercice 3 : Soit α ∈ R∗+.
1 Montrer que∑
n∈N
(−1)n
αn + 1=∫ 1
0
dt
1 + tα.
2 En déduire :∑
n∈N
(−1)n
n + 1= ln 2 et
∑
n∈N
(−1)n
2n + 1=
π
4.
Correction :
1 ∀n ∈ N,
n∑
k=0
(−1)k
αk + 1=
n∑
k=0
(−1)k
∫ 1
0tαkdt =
∫ 1
0
n∑
k=0
(−tα)k dt
=
∫ 1
0
1
1 + tα− (−tα)n+1
1 + tαdt
D’où
∣∣∣∣∣
n∑
k=0
(−1)k
αk + 1−∫ 1
0
dt
1 + tα
∣∣∣∣∣6
∫ 1
0
tα(n+1)
1 + tαdt 6
∫ 1
0tα(n+1)dt 6
1
α(n + 1) + 1−−−−−→n→+∞
0.
Par passage à la limite sur n ∈ N,∑
n∈N
(−1)n
αn + 1=
∫ 1
0
dt
1 + tα.
2 • Pour α = 1,∑
n∈N
(−1)n
n + 1=
∫ 1
0
dt
1 + t= ln 2.
• Pour α = 2,∑
n∈N
(−1)n
2n + 1=
∫ 1
0
dt
1 + t2 =
[
arctan(t)
]1
0=
π
4.
Les amateurs pourront montrer le cas α = 3 :∑
n∈N
(−1)n
3n + 1=
1
3
(
ln 2 +π√3
)
.
Dans le cas des espaces de Banach (ce qui sera le cas des espaces réels ou complexes),on va pouvoir commencer à travailler.
I. Séries vectorielles et numériques I. SUITES DES SOMMES PARTIELLES
I.2 Séries normalement convergentes
On dit qu’une série∑
n∈N
un à valeurs dans E est normalement convergente si∑
n∈N
‖un‖E converge dans R.
Définition 2
Dans le cas des séries numériques réelles ou complexes, on dira plutôt que∑
n∈N
un est
absolument convergente. La notion de convergence normale prendra tout son sens avecles séries de fonctions que nous verrons plus loin.
Dire qu’une série∑
n∈N
un à valeurs dans un espace vectoriel normé E vérifie le critère
de Cauchy est équivalent d’écrire :
∀ε ∈ R∗+, ∃N(ε) ∈ N, ∀n > N, ∀p ∈ N, ‖un + . . . + un+p‖ =
∥∥∥∥∥
n+p∑
k=n
uk
∥∥∥∥∥
< ε.
Proposition 4 (Critère de Cauchy pour les séries)
Dans tout espace vectoriel normé, une série convergente vérifie le critère de Cauchy.La réciproque n’est vraie que dans un espace complet. Ce critère a pour conséquenceextrêmement importante :
Soit (E, ‖ ‖) un espace de Banach.
∑
n∈N
‖un‖ converge dans R =⇒∑
n∈N
un converge dans E.
(Une série absolument convergente converge)
et on a :
∥∥∥∥∥
∑
n∈N
un
∥∥∥∥∥6∑
n∈N
‖un‖.
Corollaire 5
Preuve: Considérons une série∑
n∈N
un absolument convergente c.-à-d. que la suite des
sommes partielles
∑
n∈N
‖un‖
n∈N
, est convergente donc vérifie le critère de Cauchy.
D’après l’inégalité triangulaire, on a alors :
∀ε ∈ R∗+, ∃N(ε) ∈ N, ∀n > N, ∀p ∈ N,
∥∥∥∥∥
n+p∑
k=n
uk
∥∥∥∥∥6
n+p∑
k=n
‖uk‖ < ε.
La suite des sommes partielles
∑
n∈N
un
n∈N
vérifie à son tour le critère de Cauchy
dans un espace complet. Elle est donc convergente.
I. Séries vectorielles et numériques II. SÉRIES NUMÉRIQUES RÉELLES
La même inégalité triangulaire permet d’écrire pour tout n ∈ N :∥∥∥∥∥
n∑
k=0
uk
∥∥∥∥∥6
n∑
k=0
‖uk‖ .
Puis, en faisant tendre vers l’infini, on obtient :∥∥∥∥∥
+∞∑
k=0
uk
∥∥∥∥∥6
+∞∑
k=0
‖uk‖ .
Ce corollaire est d’importance puisqu’il ramène l’étude de la convergence des sériesà valeurs dans un Banach à celle des séries réelles à termes positifs. C’est le cadre desparagraphes suivants.
Mieux, le critère de Cauchy est intimement lié à la notion d’absolue convergencepuisque l’on peut montrer qu’un espace normé est complet si, et seulement si toute sérieabsolue convergente est convergente.
II Séries numériques réellesMême si le critère de Cauchy donne une place prépondérante aux séries absolument
convergentes, toutes ne le sont pas. Loin s’en faut. Les séries convergentes mais absolumentdivergentes sont dites semi-convergentes. C’est le sujet du paragraphe suivant .
II.1 Séries semi-convergentes
On appelle série alternée, toute série réelle de la forme∑
n∈N
(−1)nun où un > 0 pour
tout n.
Définition 3
Si (un)n∈N est une suite à termes positifs décroissante vers 0 alors∑
n∈N
(−1)nun converge
et on a :
∀n ∈ N, |Rn| =
∣∣∣∣∣∣
+∞∑
k=n+1
(−1)kuk
∣∣∣∣∣∣
6 un+1.
Proposition 6 (Critère spécial des séries alternées)
On retient généralement le dernier point sous la forme : « Le reste est majoré par lepremier terme négligé » en valeur absolue. Il est aussi bon de remarquer que la positivitédes un donne le côté alternée de la série puisque la somme est systématiquement encadréepar deux termes consécutifs de (Sn)n∈N
.Ce critère est souvent appelé « critère spécial des séries alternées » ou « critère de
Leibnitz ».
Preuve: La démonstration repose essentiellement sur le théorème des suites adjacentesen considérant les deux suites extraites (S2n)n∈N
Donc |R2n| est inférieur à la valeur absolue de son premier terme u2n+1.On procède de même pour (R2n+1)n∈N à partir de S2n+1 6 S 6 S2n+2. en montrantque |R2n+1| 6 |u2n+2|.Conclusion, ∀n ∈ N, |Rn| 6 un+1.
Exemple:∑
n∈N∗
(−1)n
n= − ln 2.
Preuve: Trivialement,1n
−−−−→n→+∞
0 en décroissant donc le critère spécial des séries
alternées entraîne la convergence de∑
n∈N∗
(−1)n
n.
Pour calculer sa somme, on utilise le même raisonnement que précédemment :
∀n ∈ N,n∑
k=1
(−1)k
k=
n∑
k=1
(−1)k∫ 1
0tk−1 dt = −
∫ 1
0
n∑
k=1
(−t)k−1 dt
= −∫ 1
0
n−1∑
k=0
(−t)k dt = −∫ 1
0
11 + t
− (−t)n
1 + tdt.
D’où∣∣∣∣∣
n∑
k=1
(−1)k
k+∫ 1
0
dt
1 + t
∣∣∣∣∣6
∫ 1
0
tn
1 + tdt 6
∫ 1
0tndt 6
1n + 1
−−−−→n→+∞
0.
Par passage à la limite sur n ∈ N∗,
∑
n∈N∗
(−1)n
n= − ln 2.
Cette série, dite série harmonique alternée donne un premier exemple de série conver-gente mais non absolument convergente. Un contre-exemple à garder en tête.
Exercice 4 : Montrer que la série de Riemann alternée∑
I. Séries vectorielles et numériques II. SÉRIES NUMÉRIQUES RÉELLES
Correction : Pour α 6 0, le terme général ne tend pas vers 0 donc la série diverge grossière-ment.
Pour α > 0,(
n
n + 1
)α
=
(
1 − 1
n + 1
)α
6 1. La suite(
1
nα
)
n∈N
est décroissante vers 0
donc le critère des séries alternées entraîne la convergence.
Remarque : Ce résultat n’est en fait réellement remarquable que pour 0 < α 6 1. Les séries deRiemann alternées étant absolument convergentes pour α > 1.
Exercice 5 :
1 Montrer que la suite (In)n∈N définie par ∀n ∈ N, In =∫ π
2
0cosn(x)dx est décrois-
sante vers 0.
2 En déduire que la série de terme général un = (−1)n∫ π
2
0cosn(x)dx est convergente
et calculer sa somme.
Correction :
1 ∀n ∈ N, In+1 =
∫ π
2
0cosn(x) × cos xdx 6
∫ π
2
0cosn(x) = In. La suite (In)n∈N est décrois-
sante.
Comme 0 6 cosn(x) 6 1 sur[
0,π
2
]
, 0 6 In. Pour trouver un majorant efficace à In, il
est nécessaire de faire apparaître les contributions de l’intégrale et de cosn(x) lorsque x
est proche deπ
2.
Soient n > 1 et ε ∈]0,π
2[. La décroissance de x 7−→ cosn(x) sur ]
ε
2,
π
2[ entraîne
0 6 cosn(x) 6 cosn
(ε
2
)
< 1,
puis
0 6 In 6
∫ ε
2
0cosn(x)dx +
∫ π
2
ε
2
cosn(x)dx 6ε
2+
π
2cosn
(ε
2
)
.
Á ε fixé, il existe alors un rang nε tel que n > nε entraîneπ
2cosn
(ε
2
)
6ε
2.
La suite (In)n∈N est donc convergente en décroissant vers 0.
2 D’après la question précédente, toutes les conditions sont réunies pour appliquer le critère
I. Séries vectorielles et numériques II. SÉRIES NUMÉRIQUES RÉELLES
Il ne reste alors qu’à calculer
∫ π
2
0
1
1 + cos tdt =
∫ π
2
0
1
2cos2(
t2
) dt =
[
tan
(t
2
)]π
2
0= 1.
Donc∑
n∈N
(−1)n
∫ π
2
0cosn(t)dt = 1.
Exercice 6 : Déterminer la nature de la série de terme général un =(−1)n
√n + (−1)n
.
Correction : Dans le cas proposé ici, on ne peut pas appliquer le critère spécial des séries
alternées puisqu’on vérifie que la suite (un)n∈N définie par un =(−1)n
√n + (−1)n
n’est pas décrois-
sante.On a recours ici à un développement limité pour établir la nature de la série :
un =(−1)n
√n + (−1)n
=(−1)n
√n
× 1
1 +(−1)n
√n
=(−1)n
√n
×(
1 − (−1)n
√n
+1
n+ o
(1
n
))
=(−1)n
√n
− 1
n+
(−1)n
n√
n+ o
(1
n√
n
)
︸ ︷︷ ︸
vn
.
Étudions chacun des termes de ce développement limité :
⋄ (−1)n
√n
est le terme d’une série alternée convergente.
⋄ 1
nest le terme d’une série divergente.
⋄ (−1)n
n√
nest le terme d’une série absolument convergente.
⋄ vn = o(
1
n√
n
)
est le terme d’une série convergente d’après les critères de comparaison
qui seront développés au paragraphe (III).
Par somme de séries convergentes avec une série divergente, on en déduit que la série∑
un
diverge.
Pour les cas où le critère de Leibnitz ne s’applique pas, on a cependant un résultatimportant dû à Abel mais au prix de quelques efforts supplémentaires :
I. Séries vectorielles et numériques II. SÉRIES NUMÉRIQUES RÉELLES
II.2 Les transformations d’Abel
Cette transformation que l’on peut considérer comme une intégration par parties dis-crète sera surtout utile lors de l’étude des séries trigonométriques.
soient (αn)n∈N, (un)n∈N deux suites numériques et (An)n∈N
la suite définie par :
∀n ∈ N, An =n∑
k=0
αk.
Pour tous entiers q > p > 1, on a :
q∑
k=p
αkuk = Aquq − Ap−1up −q−1∑
k=p
Ak (uk+1 − uk) .
Lemme 7 (Transformation d’Abel)
Preuve: En écrivant que αk = Ak − Ak−1, pour tout entier k > 1, on a :
q∑
k=p
αkuk =q∑
k=p
(Ak − Ak−1) uk =q−1∑
k=p
Akuk −q∑
k=p
Ak−1uk
=q∑
k=p
Akuk −q−1∑
k=p−1
Akuk+1 = Aquq − Ap−1up +q−1∑
k=p
Ak (uk − uk+1)
= Aquq − Ap−1up −q−1∑
k=p
Ak (uk+1 − uk) .
L’analogie avec la formule d’intégration par parties :
∫ b
af ′(t)g(t)dt = f(b)g(b) − f(a)g(a) −
∫ b
af(t)g′(t)dt,
peut se faire comme suit :
— la suite (αn)n∈Nest identifiée à la fonction f ′.
— la suite (An)n∈Nest identifiée à la fonction f .
— la suite (un)n∈N est identifiée à la fonction g′.
— la suite ((un+1 − un)n∈Nest identifiée à la fonction g.
— la somme
q∑
k=p
αkuk
n∈N
est identifiée à l’intégrale∫ b
af ′(t)g(t)dt.
— la sommeq−1∑
k=p
Ak (uk+1 − uk) est identifiée à l’intégrale∫ b
af(t)g′(t)dt.
En utilisant cette transformation, on obtient le résultat suivant.
I. Séries vectorielles et numériques III. SÉRIES À TERMES POSITIFS
La suite des sommes partielles est donc majorée. Elle converge vers un réel inférieur à2. ⌊2⌋
Soient∑
n∈N
un et∑
n∈N
vn deux séries à termes positifs.
(i) Si ∀n ∈ N,
un 6 vn
ou
un =n→+∞
O (vn)
ou
un =n→+∞
o (vn)
alors
∑
n∈N
un diverge =⇒∑
n∈N
vn diverge.
∑
n∈N
vn converge =⇒∑
n∈N
un converge.
(ii) Si un ∼n→+∞
vn,∑
n∈N
un et∑
n∈N
vn sont de même nature (d’un point de vue de la
convergence).
(iii) Si ∀n ∈ N,
un ∼n→+∞
vn
ou
un =n→+∞
O (vn)
ou
un =n→+∞
o (vn)
alors
• En cas de DIVERGENCE les relations de comparaison sont conservéespour les SOMMES.
• En cas de CONVERGENCE les relations de comparaison sont conservéespour les RESTES.
Proposition 11 (Sommation des relations de comparaison)
Preuve:(i) Simpe application du théorème (10) :
— Si la série∑
vn converge alors la suite des sommes partielles(
Sn =n∑
k=0
uk
)
n∈N
est majorée donc converge et on a même∑
n∈N
un 6∑
n∈N
vn.
Si l’inégalité un 6 vn n’est vraie qu’à partir d’un certain rang, la convergenceest toujours assurée mais l’on perd, bien sûr, la comparaison des sommes.De la même manière mais plus simplement, si
∑
un diverge alors la suite des
sommes partielles(
Sn =n∑
k=0
vk
)
n∈N
est minorée par une suite qui diverge vers
+∞ donc diverge également vers +∞. L’inégalité peut être vraie à partir d’uncertain rang sans changer le résultat.
— Si un =n→+∞
O (vn) alors il existe un réel (positif) M tel que, à partir d’uncertain rang, un 6 Mvn et il suffit d’appliquer le point précédent.
I. Séries vectorielles et numériques III. SÉRIES À TERMES POSITIFS
⋄ Enfin si un ∼n→+∞
vn alors un − vn =n→+∞
o (vn) et il suffit d’appliquer lesrésultats précédents pour obtenir :
n∑
k=0
(
uk − vk
)
=n→+∞
o(
n∑
k=0
nk
)
⇐⇒n∑
k=0
uk −n∑
k=0
vk =n→+∞
o(
n∑
k=0
nk
)
⇐⇒n∑
k=0
uk ∼n→+∞
n∑
k=0
vk.
• Comparaison des restes en cas de convergence : Supposons donc∑
vn converge
c.-à-d. S =+∞∑
n=0
vn existe et limn→+∞
+∞∑
k=n
vk = 0.
On sait déjà que∑
un converge et, en particulier que+∞∑
k=n
uk existe ∀n ∈ N.
⋄ Si un =n→+∞
O (vn), il existe n0 ∈ N et M ∈ R∗+ tel que ∀n ∈ N,
n > n0 =⇒ un 6 Mvn.
∀m > n > n0, on am∑
k=n+1
ukM 6
m∑
k=n+1
vk.
En faisant tendre m ver +∞, avec la convergence des deux séries, on a :+∞∑
k=n+1
uk 6 M+∞∑
k=n+1
vk.
Cette inégalité étant vraie pour tout n > n0, on a bien :+∞∑
k=n
uk =n→+∞
O(+∞∑
k=n
vk
)
.
⋄ De la même manière que pour la divergence, on peut aisément remplacerles O par des o :
un =n→+∞
o (vn) =⇒+∞∑
k=n
uk =n→+∞
o(
+∞∑
k=n
vk
)
.
⋄ Le raisonnement est encore identique en considérant que un ∼n→+∞
vn alors
un − vn =n→+∞
o (vn) et il suffit d’appliquer les résultats précédents engardant à l’esprit que les restes sont convergents donc les écritures licites,pour obtenir :
+∞∑
k=n
(
uk − vk
)
=n→+∞
o(+∞∑
k=n
nk
)
⇐⇒+∞∑
k=n
uk −+∞∑
k=n
vk =n→+∞
o(+∞∑
k=n
nk
)
⇐⇒+∞∑
k=n
uk ∼n→+∞
+∞∑
k=n
vk.
Exemple: Pour illustrer la proposition (11) , donnons un développement asymptotiqueà l’ordre 3 de la série harmonique définie par :
I. Séries vectorielles et numériques III. SÉRIES À TERMES POSITIFS
— On sait que1n
∼n→+∞
ln(
1 +1n
)
. Équivalence entre termes généraux de séries à
termes positifs divergente donc
Hn ∼n→+∞
n∑
k=1
ln(
1 +1k
)
=n∑
k=1
ln
(
k + 1k
)
= ln
(n∏
k=1
k + 1k
)
= ln(n + 1).
Donc Hn ∼n→+∞
ln(n).
— Considérons alors la suite (un)n∈N définie ∀n ∈ N∗ par un = Hn − ln(n). Alors :
un+1 − un =1
n + 1− ln(n + 1) + ln(n) =
1n + 1
− ln(
1 − 1n + 1
)
=n→+∞
1n + 1
−( 1
n + 1+ O
( 1n2
))
=n→+∞
O( 1
n2
)
.
La série de terme général un+1 − un est donc convergente. La suite (un)n∈N étant dela même nature, elle converge également.Notons, comme il est d’usage, γ sa limite. En conséquence, on a montré que :
Hn =n→+∞
ln(n) + γ + o (1) .
— Posons alors, ∀n ∈ N∗, vn = Hn − ln n − γ. La suite (vn)n∈N converge vers 0.
De plus,
vn+1 − vn =1
n + 1+ ln
(
1 − 1n + 1
)
∼n→+∞
− 12n2
.
Comme1n2
est le terme général (positif) d’une série convergente, il en est de même
de la sérien∑
k=1
(
vk+1 − vk
)
= vn+1 − v1 et, pour les restes cette fois, on a :
−vn ∼n→+∞
+∞∑
k=n
(
vk+1 − vk
)
∼n→+∞
12
+∞∑
k=n
1k2
.
Pour obtenir un équivalent de ce dernier terme, le moyen le plus simple, en anticipantles résultat du paragraphe (III.2), d’écrire :
I. Séries vectorielles et numériques III. SÉRIES À TERMES POSITIFS
• un ∼n→+∞
vn.
•∑
n∈N
un converge d’après le critère des séries alternées.
•∑
n∈N
vn diverge comme somme d’une série convergente et de la série∑
n∈N
1n ln(n + 1)
divergente.
De même, dans l’ exercice (6) , on avait un =(−1)n
√n + (−1)n
∼n→∞
(−1)n
√n
et pourtant
les séries∑
un et∑ (−1)n
√n
sont de natures différentes. On a montré que la première
divergeait alors que la seconde est une série alternée convergente.
Exercice 8 : On considère la suite (un)n∈N définie par :
∀n ∈ N, un =nne−n
√n
n!.
1 Donner la nature de la série de terme général vn = ln(
un+1
un
)
.
2 En déduire l’existence d’un réel k > 0 tel que :
n! ∼n→+∞
k√
nnn
en.
Correction :
1 vn = ln
[(n + 1
n
)n+ 12
e−1
]
= −1 +
(
n +1
2
)
ln
(
1 +1
n
)
=n→+∞
−1 +
(
n +1
2
)(1
n− 1
2n2 + O
(1
n3
))
=n→+∞
O
(1
n2
)
.
La série∑
n∈N
vn à termes positifs est donc convergente.
2 D’après la question précédente, la suite (ln(un)), de même nature que la série de termesln (un+1) − ln (un) = vn est donc convergente vers un réel λ. Par continuité de l’exponen-tielle, la suite (un)n∈N converge donc vers un réel k > 0 d’où l’équivalence demandée. ⌊4⌋
Exercice 9 : Etudier la série de terme général un = ln
(
1 +(−1)n
√n + 1
)
.
Correction : Si l’on ne prend pas garde au fait que un n’est pas de signe constant on pourrait
écrire des bêtises en écrivant ln
(
1 +(−1)n
√n + 1
)
∼n→+∞
(−1)n
√n + 1
et en essayant de conclure avec
le critère de Leibnitz.
⌊4⌋. En calculant k au moyen des intégrales de Wallis, par exemple, on retrouve la formule de Stirling :
I. Séries vectorielles et numériques III. SÉRIES À TERMES POSITIFS
Il est nécessaire ici de pousser un peu le développement asymptotique :
un =(−1)n
√n + 1
− 1
2(n + 1)+
(−1)n
3(n + 1)32
+ o
(
1
(n + 1)32
)
.
Comme les séries de terme(−1)n
√n + 1
(alternée) et(−1)n
3(n + 1)32
(absolument convergente) sont
convergentes, la série considérée est donc de la même nature que celle de terme1
n + 1, donc
divergente.
III.2 Comparaison série-intégrale
Soient a un réel et f une fonction décroissante de [a; +∞[ sur R+.
∑
n>a
f(n) et∫ +∞
af(x)dx sont de même nature.
Théorème 12
Preuve: Sans rien changer à l’idée de la preuve, on peut supposer a = 0. La fonctionf est localement intégrable au sens de Riemann car elle est monotone.De plus, comme f est décroissante, on a :
∀k ∈ N, f(k + 1) 6∫ k+1
kf(x)dx 6 f(k).
Par sommation, on en déduit :
n−1∑
k=0
f(k + 1) 6∫ n
0f(x)dx 6
n−1∑
k=0
f(k).
Comme f est à valeurs positives,∑
n>0
f(n) converge si et seulement sin∑
k=0
f(k) est
majorée.
De même pour∫ +∞
0f(x)dx et
∫ n
0f(x)dx.
On en déduit le résultat.
Exemple: Comme∫ n
2
1t ln(t)
dt ∼n→+∞
ln(
ln(n))
−−−−→n→+∞
+∞, la série∑
n∈N
1n ln(n)
diverge.
Ce résultat est intéressant car il montre qu’il y a de la place entre les séries de terme
général1n
,1
n ln(n)divergentes et
1n1+ε
, ε > 0 convergente. La proposition suivante montre
I. Séries vectorielles et numériques III. SÉRIES À TERMES POSITIFS
• un =xn
1 + xn, x > 0.
On aun+1
un
=x2n+1 + x
x2n+2 + 1−−−−→n→+∞
1x
si x > 1 :∑
n∈N
un converge,
1 si x = 1 : dans ce cas un =12
et∑
n∈N
un diverge,
x si x < 1 :∑
n∈N
un converge.
• un =n!nn
, x > 0.
On aun+1
un
=(
n
n + 1
)n
−−−−→n→+∞
1e
< 1 donc∑
n∈N
un converge.
En prime, on en déduit que :
n!nn
−−−−→n→+∞
0
Preuve: [Critère de Cauchy] Le raisonnement est identique à celui du critère deD’Alembert en remarquant que comparer n
√un et un réel k revient à comparer un et
kn.• Si λ < 1 alors il existe dons un réel k ∈]λ, 1[ et un rang n0(k) au delà duquel
0 6 un 6 kn terme général d’une série géométrique convergente.• Si λ > 1 ou λ = 1 + ◦(1) alors il existe dons un réel k ∈]1, λ[ et un rang n0(k) audelà duquel 0 6 kn
6 un terme général d’une série géométrique divergente.Les critères de comparaison assurent respectivement la convergence et la divergence de lasérie
I. Séries vectorielles et numériques III. SÉRIES À TERMES POSITIFS
• Le critère de D’Alembert, séduisant à priori par sa simplicité d’utilisation, tombetrès souvent sur le cas douteux. Il s’utilise principalement quand on se trouve enprésence de factorielles ou de termes de nature géométrique du type an et a fortiorisera bien adapté à l’étude des séries entières que l’on rencontrera plus tard.
• De plus, il est « facile » de vérifier que le critère de d’Alembert entraîne celui deCauchy, on s’efforcera donc de montrer la convergence en utilisant d’abord le critèrede d’Alembert puis celui de Cauchy pour essayer de se sortir des cas douteux.
Soit (un)n∈N une suite de nombres réels strictement positifs.
Siun+1
un
−−−−→n→+∞
ℓ alors n
√un −−−−→
n→+∞ℓ.
Proposition 16
Preuve: Supposons queun+1
un
−−−−→n→+∞
ℓ c.-à-d. que :
∀ε ∈ R∗+, ∃n0 (ε) ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 ⇒ ℓ − ε 6
un+1
un
6 ℓ + ε.
Si ℓ = 0, la dernière inégalité s’écrit 0 <un+1
un
6 ℓ + ε, sinon, pour un ε bien
choisi, on peut toujours considérer que 0 < ℓ−ε. Quoiqu’il en soit, on peut toujoursconsidérer que pour tout n > n0, ces inégalités sont strictement positives. Commeun > 0 par hypothèse, on peut multiplier ces n − n0 inégalités entre elles :
0 < (ℓ − ε)n−n06
n−1∏
k=n0
uk+1
uk
6 (ℓ + ε)n−n0
0 < (ℓ − ε)n−n06
un
un0
6 (ℓ + ε)n−n0
0 < (ℓ − ε)n−n0 un0 6 un 6 (ℓ + ε)n−n0 un0
0 < (ℓ − ε)n−n0
n n
√un0 6 n
√un 6 (ℓ + ε)
n−n0n n
√un0
Comme limn→+∞
(ℓ − ε)n−n0
n n
√un0 = ℓ − ε et lim
n→+∞(ℓ + ε)
n−n0n n
√un0 = ℓ + ε, il existe
un rang n1 > n0 au delà duquel :
0 < ℓ − ε 6 n
√un 6 ℓ + ε, c.-à-d. lim
n→+∞n
√un = ℓ.
Enfin, dans certains cas décidément récalcitrants, le critère suivant pourra s’avéreraussi d’un grand réconfort.