i Semestre Raz. Matemat

RAZ

IEP SAN AGUSTIN

RAZ. MATEMTICO 5 AO SECUNDARIA

CONTEO DE FIGURAS GEOMTRICASConsiste en hallar el numero mximo de figuras pedidas tales como: Segmentos, tringulos, cuadrilteros, pentgonos, etc. Estos a su vez se encuentran cruzadas, intersectadas o superpuestas.Mtodos para resolver: Se emplean dependiendo del tipo de grafico que se presenta, pues las figuras pueden estar ordenadas o desordenadas.

1.- Mtodo analtico: Se enumeran todos los espacios del grafico y luego se contabilizan figuras de un espacio, de dos espacios, de tres espacios, etc. ( se emplea para figuras desordenadas)

(s de 1# : (1), (2); (4). : 3 s

(s de 2#s: (1;2), (3; 4); (1;3), (2;4): 4s

(s de 4#s : (1; 2; 3;4). : 1s

Total: 8s

2.- Mtodo practico: Se emplean formulas especficas para distintos tipos de figuras.

(Se emplea para figuras ordenadas)

a) Tringulos consecutivos:

# (s =

n = # espacios en la base

#(s =

n = # de espacios en la base

h =# de horizontales

b) Cuadrilteros consecutivos:

1 2 3 n #(s =


m= # de espacios en la altura

* Para contar segmentos se emplea:

= segmentos

N = # de segmentos individuos

1. Cuntos tringulos hay en la figura?

Solucin:2. Cuantos tringulos hay en la figura?

Solucin:

3. Cuntos segmentos hay en la figura? Considera segmentos como unin de dos puntos

Solucin:

4. Cuntos cuadrilteros hay en la figura?

Solucin:

5. Cuntos cuadrilteros hay en la figura?

Solucin:

1. Decir cuantos tringulos hay en la figura?A) 17B) 19C) 21D) 23

E) N.A.

2. Decir cuantos hexgonos hay en la figura?A) 22B) 24C) 27D) 29

E) 30

3. Si consideramos el segmento como la unin de dos puntos. Decir cuantos segmentos hay en total en la figura?A) 48B) 53C) 55D) 45

E) 36

4. Decir cuantos cuadrilteros hay en la figura?A) 10B) 17C) 12D) 21

E) 23

5. Decir cuantos tringulos hay en la figura?A) 21B) 23C) 24D) 28

E) 18

6. Decir cuntos sectores hay en la figura?A) 12B) 21C) 31D) 34

E) 36

7. Cuntos tringulos hay en la figura?A) 8B) 12C) 14D) 16

E) 20

8. Cuntas letras L hay en la figura?A) 9B) 12C) 15D) 18

E) 10

9. Cuntos semi-crculos hay en la figura?A) 10B) 15C) 20D) 18

E) N.A.

10. De la figura mostrada. Hallar el valor de la expresin:E=

A) E=4 B) E=6C) E=8D) E=10E) E=12

11. Decir cuantos tringulos rectngulos hay en la figura?A) 14B) 18C) 12D) 26

E) 28


E) 16

13. Cuntos cuadrilteros hay en la figura?A) 19B) 23C) 21D) 18

E) 15


E) 18

15. Si consideramos el segmento como la unin de dos puntos. Decir cuantos segmentos hay en total en la siguiente figura?A) 24B) 31C) 36D) 41

E) 40

16. Cuntos cuadrilteros hay en la figura?A) 12B) 14C) 18 D) 16

E) 20

17. Cuntos cuadrilteros hay en la figura?A) 15B) 16C) 17D) 18

E) N.A.


E) 9


E) 16

CONTEO DE CUBOS I

Consiste en hallar el mximo nmero de cubos que hay en un bloque o slido geomtrico, teniendo en cuenta que siempre un cubo alto tiene otros cubos debajo, a menos que el problema o grafico presente lo contrario. Debes emplear el mtodo que te parezca ms sencillo y conveniente.

Ejemplo # 1: Cuntos cubos hay en la figura?

Total = 4 +4+ 2 = 10 cubosEn 1 Se observa que hay dos columnas de dos cubos cada una; lo mismo sucede en 2; por ltimo en 3 hay dos columnas de un cubo cada una.

hay 10 cubos

Ejemplo # 2: Cuntos cubos hay en la figura?

Total = 3 + 2+ 2 +1 +1 +1 =

1. Cuntos cubos hay en la siguiente figura?

a) 12b) 15c) 18

d) 21e) 14


a) 12b) 20c) 16

d) 24e) 18


a) 15b) 21c) 22

d) 25e) 18


a) 15b) 12c) 18

d) 20e) 21


a) 27b) 36c) 40

d) 42e) 29


a) 20b) 24c) 30

d) 32e) 28


a) 30b) 45c) 36

d) 47e) n.a


a) 60b) 62c) 64

d) 68e) n.a


a) 48b) 50c) 54

d) 56e) 52

10. Cuntos cubos faltan?

a) 12b) 14c) 16

d) 19e) 21


a) 20b) 24c) 28

d) 30e) 32


a) 23b) 25c) 27

d) 28e) 21


a) 14b) 34c) 28

d) 32e) 36


a) 48b) 64c) 72

d) 36e) 29


a) 15b) 18c) 20

d) 29e) 35


a) 28b) 30c) 33

d) 32e) 34

5. Cuntos cubos hay en la siguiente figura? Cuntos cubos se ven a simple vista?

a) 28 y 35d) 82 y 35

b) 82 y 36e) 70 y 38

c) 80 y 37

e) 36

6. Cuntos cubos se ven a simple vista?

a) 34b) 37c) 35

d) 39e) 40

7. Si un cubo de 2cm de arista se pinta por todas sus caras y luego se le corta en cubos de 1cm de arista Cuntos cubos se obtienen y cuntas caras tendrn pintadas cada uno de ellos?

a) 4 y 2b) 4 y 3c) 8 y 2

d) 8 y 3e) 12 y 3

8. Se colocan 27 cubos como se muestra en la figura y se le pinta cada cara del cubo grande. El numero de cubos que tienen 1, 2 y 3 caras pintadas en cada caso.a) 7-8-10b) 9-12-8c) 9-3-7

d) 5-11-9e) 6-12-8

CONTEO DE CUBOS II

(Caras pintadas)

Consiste en analizar y contar caras o superficies pintadas de un bloque formado por cubos. Es necesario emplear la imaginacin para poder resolver problemas de este tipo.

Ejemplo # 1: Si un cubo de 2cm de arista es pintado por todas sus caras y luego se corta en cubos de 1 cm. de arista. Cuntos cubos se obtienen y cuantas caras pintadas tendrn cada uno de ellos?Solucin: Pintado y cortado el cubo de 2 cm. de arista.

Se observa que el cubo grande queda cortado en 8 cubos de 1 cm. de arista y cada uno de ellos con 3 caras pintadas.

Ejemplo # 2: Se colocan 27 cubos pequeos y se pinta cada cara del cubo grande. Cuntos cubos tienen 2 caras pintadas?

Como se observa en cada cara hay 4 cubitos con 2 caras pintadas.

Cubos c/2 caras pntadas. = 6.2 = 12

1. En la figura se tiene una sucesin de cubos iguales.Cuantas reas del cubo 4, estn en contacto con los dems?A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

2. De la figura del ejercicio anterior. Cuntas reas del cubo 8, estn en contacto con los dems?A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 53. De la figura del ejercicio 1. Cuntas reas del cubo 10, estn en contacto con los dems?A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

4. De la figura del ejercicio 1. Cuntas reas del cubo 1, estn en contacto con los dems?A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

5. En la figura, se tiene una sucesin de cubos iguales. Cuntas reas del cubo 4, estn en contacto con los dems?A) 1B) 2 C) 3

D) 4

E) 5

6. De la figura del ejercicio anterior Cuantas reas del cubo 8, estn en contacto con los dems?A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

7. De la figura del ejercicio 5 Cuantas reas del cubo 9, estn en contacto con los dems?A) 1B) 2 C) 3

D) 4

E) 5

8. De la figura del ejercicio 5. Cuntas reas del cubo 12, estn en contacto con los dems?A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

9. En la figura, se tiene una sucesin de cubos iguales Cuantas reas del cubo 7 estn en contacto con los dems?A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

10. De la figura del ejercicio anterior. Cuantas reas del cubo 9, estn en contacto con los dems?A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

11. De la figura del ejercicio 9 Cuntas reas del cubo 5, estn en contacto con, los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

12. En la figura de tiene una sucesin de cubos iguales Cuantas reas del cubo 4 estn en contacto con los dems?A) 1B) 2 C) 3

D) 4

E) 513. De la figura del ejercicio anterior? Cuantas reas del cubo 6, estn en contacto con los damas?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

14. De la figura del ejercicio 12. Cuntas reas del cubo 11, estn en contado con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

15. De la figura del ejercicio 12. Cuantas reas del cubo 11, estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E)5

16. En la figura se tiene una sucesin de cubos iguales cuantas reas del cubo 7 estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

17. De la figura del ejercicio anterior. Cuntas reas del cubo 9, estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5


A) 1B) 2 C) 3

D) 4

E) 5


A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

20. De la figura del ejercicio 16. Cuntas reas del cubo 23, estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

21. De la figura del ejercicio 16. Cuantas reas del cubo 10 estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

22. En la figura, se tiene una sucesin de cubos iguales. Cuantas reas del cubo 6 estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

23. De la figura del ejercicio anterior. Cuantas reas del cubo 8 estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

24. De la figura del ejercicio 22. Cuantas reas del cubo 11 estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5


A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

26. En la figura se tiene una sucesin de cubos iguales.Cuantas reas del cubo 9, estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

27. De la figura del ejercicio anterior. cuantas reas del cubo 9, estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5


A) 2B) 3C) 4

D) 5

E) 6

29. En figura tiene un sucesin de cubos iguales.Cuantas reas del cubo 5, estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5

30. De la figura del ejercicio anterior. Cuantas reas del cubo 12, estn en contacto con los dems?

A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5


A) 1B) 2C) 3

D) 4

E) 5


A) 2B) 3C) 4

D) 5

E) 6

ORDENAMIENTO DE INFORMACIN

Este tipo de problemas presentan datos e informacin que es necesaria para ordenar los elementos o sujetos de quienes se habla en un problema determinado. La solucin se encuentra relacionando todos los datos entre si para encontrar una correspondencia.

Tipos de ordenamiento:

a) Horizontal: Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente (oeste este)

b) Vertical: Se puede ordenar usando casilleros recordando que cada uno se ubica en

cada piso segn corresponda.

c) Circular: Se ordena tomando un punto de referencia y un sentido determinado

constante.

1. En un examen, Lus obtuvo menos puntos que Beto, Daniel menos puntos que Lus, Clark mas puntos que Liana. Si Liana obtuvo ms puntos que Beto. Quien obtuvo el puntaje intermedio? Solucin:

2. Si Jean es mayor que Mario y que Peter, pero este ultimo es mayor que Julio y que Mara. Cul de las personas que antecede en edad a Mario?

Solucin: 3. Sabiendo que:

- A es mayor que B

- B es menor que C

- C es mayor que D

- D es mayor que A

Quines estn entre el mayor y el menor?

4. Noel, Miky, Ins y Lalo, se sientan alrededor de una mesa circular que tiene 5 asientos. Si se sabe que:

Junto a Miky e Ins hay un asiento vaci Lalo no se sienta junto a Ins. Es falso que:a) Miky se sienta junto a Noel

b) Lalo se sienta junto a Noel

c) Noel se sienta junto a Ins.

Solucin:

5. Seis personas juegan Pocker alrededor de una mesa redonda, Lus no esta sentado al lado del Elas ni de Juan, Flix no esta al lado de Gianfranco ni de Julio, Pablo esta al lado de Elas a su derecha. Quin esta sentado a la derecha de Pablo?

Solucin:

1. En una fuente de soda, 5 personas se sientan alrededor de una mesa circular de 5 sillas y piden una gaseosa para cada uno; 3concordias y 2 cielos. Si se sabe: Los que piden cielo no se sientan juntos.

Betty no se sienta junto a Olga pero ambas piden concordia.

Oscar que no pide cielo se sienta junto a Betty pero no junto a Manuel.

Mientras los otros conversan Cesar terminaba su gaseosa.

Podemos afirmar que: a) Oscar se sienta junto a Olga

b) No es cierto que Olga no se sienta junto a Manuel

c) No es cierto que Betty no se sienta junto a Cesar.

d) No es cierto que Manuel se sienta junto a Betty.

e) Ms de una es correcta.

2. Sabiendo que:

Nataly no es mayor que Vicela

Karla no es mayor que Saul

Saul no es mayor

Juan es mayor que Nataly

Sal es mayor que Juan.

Cul o cuales de las siguientes afirmaciones son correctas?

I. Vicela es mayor

II. Nataly es la menor

III. Juan es mayor que Karla.

3. Si se sabe que Miguel es mayor que Susy y que Alan, pero este ultimo es mayor que Vctor y que Susy. Cul de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

a) Susy es menor que Alan

b) Vctor es menor que Alan

c) Miguel es menor que Alan

d) Susy es menor que Miguel

e) Vctor es menor que Miguel

4. Si tiene un edificio de seis pisos en el cual viven seis personas: A, B, C, D, E y F cada uno en un piso diferente. Si se sabe que: E vive adyacente a C y B

Para ir de la casa E a la F hay que bajar tres pisos

A vive en el segundo piso.

Quin vive en el segundo piso?

a) Bb) Cc) D

d) E

e) F

5. Cuatro amigos: Aid, Carmen, Juan y Elas, se sientan alrededor de una mesa circular de 4 asientos distribuidos simtricamente.

Carmen se sienta a la izquierda de Elas.

Dos personas del mismo sexo no se sientas juntas.

Podemos afirmar:

a) Elas se sienta a la derecha de Aidb) Juan se sienta a la derecha de Carmen

c) Aid se sienta frente a Juan

d) Carmen se sienta a la izquierda de Juan

e) Aid se sienta a la izquierda de Juan

6. Tres amigos con nombres diferentes, tienen cada uno un animal diferente. Si se sabe que:

Ruly le dice al dueo del gato que el otro amigo tiene un canario. Julin le dice al dueo del gato que este quiso comerse al canario.

Julin le dice a lucho que su hijo es veterinario.

El gato y el perro peleaban.

Qu animal tiene Lucho?

a) Perrob) Gatoc) Canariod) Loroe) F.D.

7. Leo, Miguel, Carlos, Edgar, Koko, Walter viven en un edificio de 6 pisos, una en cada piso. Si se sabe: Edgar equidista tantos pisos de Carlos como de Koko, Leo vive en 5 piso; Miguel le dice a Carlos que le tiene pavor a la altura, cuando esta le comenta lo hermoso que se ve la ciudad desde su ventana. Cul de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I. Koko viven en el 2do. Piso

II. Edgar vive en el 4to. Piso

III. Walter vive en el 3er. Piso.a) Solo Ib) Solo IIc) Solo IIId) Todase) N.A.

8. Un edificio tiene 6 pisos, 6 compaas: A, B, C, D, E y F ocupan los 6 pisos. Solo una compaa en cada piso. Si se sabe que:

C esta a tantos pisos de B como B esta de A.

B y E no estn en pisos juntos

F esta mas arriba que D

A esta en el quinto piso.

Cul de las siguientes afirmaciones son verdaderas?I. B debe estar en el tercer o cuarto piso

II. D debe estar en el primer piso o segundo piso.

III. F debe estar en el cuarto piso.

a) I y IIb) II y IIIc) I y IIId) Solo Ie) Solo II

9. Cinco amigas: Marilu, Jessica, Hilda, Patty y Marlene viven en un edificio de seis pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que:

El departamento del cuarto piso esta desocupado.

Patty vive adyacente a Marilu e Hilda Marlene no vive en el ltimo piso.

Se afirma:I. Jessica no vive en el quinto piso

II. Marilu no vive en el tercer piso.

III. Hilda vive mas arriba que Marilu.

a) Solo Ib) I y IIc) I y IIId) II y IIIe) Todas

10. Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso distinto. Cirilo vive ms abajo que Beto, pero ms arriba que Daniel, Fredy vive 3 pisos mas abajo que Cirilo, Antonio vive 2 pisos mas arriba que Cirilo y a 4 pisos de Enrique. El tercer piso lo ocupa.

a) Betob) Danielc) Fredyd) Ciriloe) Enrique

CUADRO DE DECISIONES

En este tipo de problemas se presentan una serie de datos, parecidos a un rompecabezas, que al ser ledo para resolver se deben identificar las relaciones que hay entre uno y otro. Es recomendable ordenar los datos en cuadro de doble entrada e ir descontando posibilidades a medida que se avanza en el ordenamiento.

Ejemplo # 1: Si las letras A, B, C y D corresponden a los nombres: Roberto, Carlos, Manuel y Jess; no en ese orden y se sabe que:

I) Roberto; C y A fueron al teatro el domingo pasado.

II) Carlos; A y B trabajan en la misma fabrica.

III) A; C y Manuel, concurren a los juegos mecnicos con regularidad.

IV) D Y B y Jess juegan en el mismo equipo.

V) C es pobre, en cambio Carlos es adinerado.

Qu afirmacin es correcta?

a) Roberto es C

b) Jess es D c) Carlos no es D

d) A y B es la misma persona

e) Manuel es B

Solucin: Construimos el cuadro de datos:

ABCD

Roberto(XXX

ManuelX(XX

JessXX(X

CarlosXXX(

Leamos las condiciones y descartemos posibilidades poniendo X o (, segn corresponda.

De I): Se entiende que Roberto no es C ni D; pues van juntos al teatro. Roberto aun puede ser A o B.De II): Se entiende que Carlos no es A ni B, pues trabajan en la misma fabrica.

Carlos aun puede ser C o D.

De III): Se entiende que Manuel no es A ni C, pues van juntos a los juegos

mecnicos. Manuel aun puede ser B o D.

De IV): Se entiende que Jess no es D ni B, pues juegan en el mismo equipo. Jess aun puede ser A o C.

De V): Se entiende que Carlos no es C. Como Carlos poda ser C o D, se obtiene

la primera respuesta: Carlos es D.

Luego, si Carlos = D; D no puede ser los dems, se descarta esa posibilidad y se completa el cuadro.

La afirmacin correcta es: e) Manuel es B.

1. Marcos, Jos, Ral y Ernesto, son: atleta, futbolista, obrero e ingeniero, pero no necesariamente en ese orden. El atleta que es primo de Marcos y ms que joven de todos, siempre va al cine con Jos. Ral que es mayor que todos, es vecino del futbolista, que aun a su vez es millonario. Marcos que es pobre, es cinco aos menor que el ingeniero. Quin es el ingeniero y que hace Jos?

Solucin:

2. En un pueblo al pie de montaa, se realizo un juicio donde haban 3 acusados, de los cuales uno es culpable y siempre miente y los otros dos dicen la verdad. Uno de ellos es de un lugar lejano y no habla el quechua del pueblo y el juez decide tomar como interprete a los otros dos acusados. Si el juez al preguntarle al que no habla quechua Es usted culpable? Y los intrpretes contestan: El segundo acusado: ha dicho que No

El tercer acusado: ha dicho que Si

Quin es el culpable?

Solucin:

3. Seis maestros dictan clase de 1 a 6 de primaria y son: Abel, Carlos, Diego, Laura, Mario y Silvia.

I. El maestro de 6 es padre del de 5

II. El de 1 es suegro del de 4

III. Laura en aos anteriores estuvo en 3 pero ahora no.

IV. Abel es novio de Laura. Carlos tiene 26 aosV. Mario es amigo del maestro de 6

Qu grado dicta cada uno de los seis?

Solucin:

1. Se ha cometido un hecho delictivo los sospechosos son Andrs Arnaez, Bonifacio Benites, Carlos Corso y Daro Daz. En la defensa Arnaez dice que el en momento del hecho estuvo con Carlos y Benites. Bonifacio dice que estuvo con Corso y Andrs, Carlos dice que estuvo con Daro y Daz dice que estuvo con Andrs. Si dos afirmaciones coinciden se da por cierto. Quien o quienes fueron los culpables; si sabe que intervinieron dos o menos personas?

a) Andrs y Carlosd) Bonifaciob) Carlose) Daro

c) Bonifacio y Carlos

2. En un campo deportivo; Saavedra, Ocaa y Casas son el arquero delantero y el medio campista de un equipo pero no necesariamente en ese orden. En el campo se encuentran espectando tres hinchas del equipo con esos mismos tres apellidos que se identificaran anteponindose a sus nombres la abreviatura Sr.

I. El Sr. Casas vive en San Martn de Porras.

II. El delantero vive en Lince.

III. El Sr. Ocaa hace tiempo que aprendi toda la Qumica.

IV. El hincha del equipo cuyo apellido es el mismo que el del delantero vive en Surquillo.

V. Saavedra derroto al medio campista en una pelea de box.

VI. El delantero y uno de los hinchas, un distinguido fsico-qumico asisten a la misma Iglesia todos los domingos.

a) Quin es el arquero?

a) Casasb) Ocaac) Saavedrad) no se sabe e) Faltan datos.

b) El apellido del seor Fsico-Qumico es:

a) Ocaab) Saavedrac) Casasd) Ocaa y Casas e) ninguna.

3. Tres amigos estn sentados en una reunin de cumpleaos comentando ancdotas de su vida estudiantil, entre ellos se encuentra sus novias.

I. El joven que estudia medicina esta a la izquierda del novio de Armen.

II. El estudiante de ingeniera esta a la derecha del seor Prez.

III. Vctor tiene a su derecha al seor Fernndez.

IV. El novio de Julia tiene a su izquierda a Luis.

V. El estudiante de derecho esta a la derecha de Paula.

VI. El novio de Raquel esta a la izquierda del seor Melndez.

Determinar usted con estos datos las preguntas:

A) Cmo se llama el estudiante de medicina?

a) Paulo Melndez

b) Vctor Prez c) Luis Fernndez

d) Vctor Melndez

e) Luis Prez.

B) La novia de Vctor es:

a) Julio

b) Carmen

c) Raquel

d) no tiene novio

e) No se sabe

C) A la derecha de Paulo se encuentra?

a) Luis

b) Raquel

c) Carmen

d) Vctor

e) N.A.D) El seor Fernndez estudia?

a) medicina

b) derecho

c) ingeniera

d) educacin

e) No estudia

E) Indique el orden en que se encuentran los estudiantes:

a) Paulo, Vctor y Luis

b) Luis, Vctor y Paulo

c) Vctor, Paulo y Luis

d) Luis, Paulo y Vctor

e) N.A.

F) Qu afirmacin es correcta?

a) Vctor con Carmen

b) Luis con Raquel

c) Paulo con Juli d) Todas las anteriores son correctase) N.A.

4. Un nmero esta formado por 6 cifras siguientes: 1, 3, 4, 6 7 y 8 pero no en ese orden. El 7 sigue al 1. el 3 y el 4 no son vecinos al 1 ni tampoco al 7. el 4 y el 1 no son vecinos al 8. el 6 esta a continuacin del 8 Cul es el numero buscado?

a) 438,617b) 134,678c) 743,186d) 348,176e) 871,364

Orden de

EntradaPrimeraSegundaTerceraCuarta

Nombre

Seora

Peluquera

Servicio

Veces que

va al mes

Cuatro seoras entran, una tras otra, a una peluquera. Con los datos que le damos a continuacin, y si los mecanismos de su lgica funcionan bien, tendr que deducir la colocacin en las correspondientes casillas, del nombre de cada una de ellas, el orden en el que entra en la peluquera, el nombre de la peluquera que la atiende, el servicio que esta hace y las veces al mes que suele ir a la peluquera.

1) La Sra. De abad se tie el pelo

2) La primera seora en entrar suele ir tres veces al mes a la peluquera y no es la Sra. de Gmez.

3) Toi peina a la seora que va dos veces al mes a la peluquera.4) El servicio de la Sra. De Quesada es cortar el pelo.

5) Araceli peina a la seora que entra inmediatamente antes que va a la peluquera dos veces al mes.

6) La Sra. De Abad entra inmediatamente antes que la seora que corta el pelo.

7) La cuarta seora en entrar se hace la permanente y no la atiende Maria.

8) La Sra. de Doriga va cuatro veces al mes a la peluquera y entra en esta inmediatamente despus que la seora que va tan solo una vez al mes.9) A la seora de Abad no la atiende Juana.

10) Juana atiende a la seora que entra inmediatamente antes que la que solo se lava y se peina.11) a) Nombre: Abad; Quesada; Doriga; Gmez

Peluquera: Maria; Juana; Araceli; Toi

Servicio: Tinte; Corte pelo, lavado y peinado;

permanente.

Veces al mes que va: Tres; una, cuatro, dos.

b) Nombre: Quesada, Abad, Gmez, Abad

Peluquera: Juana; Maria; Araceli; Toi

Servicio: Tinte, corte pelo, lavado y permanente

Veces al mes que va: Cuatro, dos, una, tres.

c) Faltan datos para resolver este problema d) Puede ser la alternativa a y b. e) Ninguna de las anteriores.

ANALOGIAS Y DISTRIBUCIONES

Analogas numricas: Son series numricos ordenadas en filas y columnas, donde el numero intermedio esta encerrado entre parntesis y la relacin matemtica en una fila es anloga a las dems.

Ejemplo 1: Halla X en:

f1 : 20 (50) 30

f2 : 15 (x) 8

Solucin: en f1 : 20 + 30 = 50f2 : 15 + 8 = X

X = 23(

Ejemplo 2: Halla X en :

t1 t2Solucin: En f1 : (8 + 2) (4 + 1) = 5f2 : (9 + 7) (8 +2) = X

X= 6( Distribuciones numricas: Son series de dos; tres; o cuatro filas de nmeros sin parntesis, pero si una relacin matemtica entre las filas o columnas que se repite en los dems.

Ejemplo: Halla X en :

4 9 20 f1

8 5 14 f2

10 3 X fBSolucin: En f1 : + 9 x 2 = 2+ 18 = 20

f2 : + 5 x 2 = 4 + 10 = 14

f3 : + 3 x 2 = 5 + 6 = X

X = 11(

1. Halla el numero que falta:18 (6) 16

25 (15) 204 (() 3

Solucin:

2. Halla X en:

2

(4) 8

3

(12) 27

12

(X) 3

Solucin:

3. Halla X en :

5 7 8 4

8 5 7 69 4 X 5

Solucin:

4. Halla X en :

7 5 23

9 8 285 4 X

Solucin:

5. Halla el numero que falta:

Solucin:

6. Halla X en :

Solucin:

Halla X en los siguientes analogas y distribuciones.

1.-

12 (14) 5

17 (26) 4

19 (X) 11

2.-

7 ( 5 ) 6

14 (10) 12

42 ( X ) 363.-

32 ( 20 ) 5

64 ( X ) 3

4.-

14 ( 77 ) 11

12 ( 72 ) 12

10 ( X ) 13

5.-

4 5 7

8 10 14

24 X 42

6.-

1 4 17

3 2 7

5 3 X

7.-

7 12 11

8 15 13

5 27 X

8.-

4 5 15

5 2 9

7 8 X

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

SUMATORIA

Si n es un numero entero y positivo y a1; a2; a3; .; an, son nmeros entonces:

i = a1 + a2 + a3 + +an

A esta expresin se le denomina Sumatoria. Donde:

Es la letra griega Sigma, equivalente a la S mayscula en nuestro

idioma.

i : Es el ndice de variacin que indica el inicio de los valores que toma.

n : Es el numero final de elementos de la sumatoria.

ai : Es el elemento cuyo valor esta determinado por i.

Por tanto:

ai ; se leer: Sumatoria de los elementos ai, desde i = 1 hasta i

Ejemplos:

Sumatoria de los a; desde i = 1 hasta i = 6

= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 Sumatoria de los K2 desde K = 3 hasta K= 6

K2 = 32 + 42 + 52 + 62Propiedades de las Sumatorias1.- Numero de trminos de la sumatoria:

ai # trminos = Q p + 1

2.- Sumatoria de una constante:

C = (Q p + 1 ). C

3.- Sumatoria de un trmino general por una constante:

C. ak =

C ak

4.- Sumatoria de un trmino compuesto

5.- Sumatoria de ndices consecutivos:

Representa simblicamente:

1. Sumatoria de los ak, desde K =1 hasta K = 15

Solucin:

2. Sumatoria de los K3, desde K= 3 hasta K=7

Solucin:

3. Representa en lenguaje comn:

Solucin:

4. Escribe los trminos de:

Solucin:

5. Escribe los trminos de

Solucin:

6. Aplica la propiedad que corresponda:

Solucin:

Escribe los trminos de:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Aplica las propiedades de las sumatorias en:6.-

7.-

8.-

9.-

Simplifica (Propiedades #5) :

10.-

+

11.-

12.-

13.-

14.-

15.- Calcula:

PROBLEMAS SOBRE SUMATORIAS

Debes conocer las siguientes para resolver problemas:1.- .. Sumatoria de los n primeros nmeros consecutivos.

2.- ..Sumatoria de los n primeros nmeros pares consecutivos.

3.- .. Sumatoria de los n nmeros impares consecutivos.

4.- ..Sumatoria de los cuadrados de los n nmeros

consecutivos.

5.- ..Sumatoria de los cubos de los n nmeros consecutivos.Adems de las formulas, debes tener muy en cuenta las propiedades de la sumatoria en los problemas que se presentan.

Recomendacin:

Primero aplica las propiedades pertinentes y luego la formula a la expresin obtenida.

Ejemplo # 1 : Halla el valor numrico de:

Aplicando la propiedad #4, de manera inversa:

P =

Aplicando la propiedad # 3:

P=

Por ultimo, aplicamos la formula # 1:

P = 3

P = 63( Ejemplo # 2: Resuelve:

E =

Aplicando la propiedad # 4:

E =

Aplicando formulas:

W =

E = 90 + 10

E = 100

1.- Calcula: 3X

Solucin:

2.- Calcula:

Solucin:

3.- Calcula:

3-5)

Solucin:

4.- Calcula:

Solucin:

5.- Si:

Solucin:

1.- Calcula:

2.- Calcula:

3.- Calcula:

4.- Calcula:

5.- Halla n en:

6.- Halla el equivalente de:

.. (en funcin de n )

7.- Calcula:

8.- Si:

9.- Halla el equivalente de:

10.- Si:

PROGRESIONES

Se denomina progresin a toda sucesin, en la que entre dos trminos consecutivos cualquiera hay una misma relacin. Una progresin puede ser de dos tipos, dependiendo de la relacin existente entre sus trminos.

P. Aritmtica: Cuando entre cada par de trminos consecutivos hay una diferencia constante. A esta diferencia se le llama Razn Aritmtica.

As tenemos:

a1; (a1 + r ); (a1 + 2r ); . [a + (n- 1) r]

Termino n-simo (an):

an = a1 + (n - 1) r

Donde:

a1 = Primer trmino

n: nmero de trminos

r = Razn Aritmtica

an: termino ensimo.

Ejemplo: Cul es el trmino de lugar 20 en la P.A.? : 3; 7; 11; 15; 19; .

Aplicando la formula para: a1 =3 ; n= 20; r = (7-3) = 4

Suma de los n primeros trminos de una P.A.: Se aplica la siguiente formula:

Sn =

Donde: n = nmero de trminosEjemplo: Calcula la suma de los 20 primeros de una P.A. si a1 = 3; r =4

Aplicando la formula para n= 20

S20 =

P. Geomtrica: Cuando entre cada par de trminos consecutivos hay una razn constante llamada Razn Geomtrica.

As tenemos:

A1; a1.r; a1r3; .; a1 rn-1

Termino n-simo:

an= a1 rn-1Donde:

a1 : Primer termino

n = numero de trminos

r : razn geomtrica

an = termino ensimo.

Ejemplo: Halla el quinto termino de la P.G : ( 2; 4; 8; .

Aplicando la formula para: a1 =2 ; n= 5; r= 2

an= 2.2(5-1) = 2.24

= 32Suma de los n primeros trminos de una P.G.: Se aplica la siguiente formula:

Sn =

Ejemplo: Calcula la suma de los 8 primeros trminos de una P.G. si: a1 =1; r= 2

Aplicando la formula para n =8:S8 =

=

S8 = 255( * Para sumar infinitos trminos de una P.G. decreciente:Sn =

1. Hallar a11, si a5 = 26; r = 6 son elementos de una P.A. Solucin:

2. En una P.A. y r = 3; halla el termino que corresponde a a20.

Solucin:

3. Cuantos trminos de una P.A. suman 304 si a1 = 4 y r = 2

Solucin:

4. Calcula la razn de la P.G. cuyo a1 = 5 y a4 = 135

5. Halla el termino 15 de una P.G. si a1 = 3 y r = 46. Calcula la suma de los 5 primeros trminos de la P.G. 4; 16; 64; ..

Solucin:

1. Halla el decimoquinto trmino de una P.A. si a1 = 40 y r =

2. Qu lugar ocupa el numero 109 en la P.A.:-15; -11; -7;

3. Calcula la suma de la P.A. cuyos a1 = -4 y a7 =8

4. El sptimo termino de una P.A. es 29 y el decimoctavo es 73. Halla el primer trmino y la razn.

5. En una P.A. el tercer trmino es cuatro veces el primero, y el sexto es igual a 17. Cul es la suma de los diez primeros trminos?

6. Si en una P.G. a1 = 2 y a6 = 64. Halla r; a4 y a7.

7. Calcula la razn y el primer termino de una P.G. si a3 = 3; a7 =3/168. Calcula la suma de la P.G. cuyos a1 =1/9 y a6 = -27

9. Calcula la fraccin equivalente al numero decimal 1, 3210. Halla x para que estn en P.G. de como respuesta la suma de x con la razn ( x+r =?).

PLANTEO DE ECUACIONES

Una ecuacin no es mas que la simbolizacin en trminos matemticos (variables y operadores) de un problema en lenguaje comn o verbal. Debes tener muy en cuenta que para traducir del lenguaje verdad al lenguaje matemtico es necesario interpretar correctamente lo que esta escrito, esto se consigue haciendo una lectura detallada del problema propuesto. Aqu tienes algunos ejemplos de traduccin a lenguaje matemtico o simblico:

Forma Verbal

Forma Simblica- La suma de tres #s pares es 42

2 x + 2y + 2z = 42

- La cuarta parte de un nmero

- Un numero aumentado en sus dos quintos

a + a- El doble de un numero aumentado en uno

2 ( x + 1)

- El doble de un nmero, amentado en uno

2 x + 1

* Observa la diferencia que existe entre el ultimo y penltimo anunciado. La coma

hace que la operacin sea diferente Por que?

1. Expresa en forma verbal:

(2 x +1)2 = 25

Solucin: 2. Expresa en forma simblica: La raz cbica de un numero elevado al cuadrado, aumentado en sus tres quintos

Solucin: 3. Tres veces la suma de un numero con 2 es igual a 24 Halla el nmero?

Solucin: 4. El segundo de dos nmeros es 20 menos que cuatro veces el primero. Su suma es 15. Halla los dos nmeros.

Solucin: 5. El triple de un nmero disminuido en uno es a 4 como el doble del mismo, aumentado en uno es a 3. Halla dicho nmero.

Solucin:

1. La diferencia entre el cubo de un nmero y 3 es igual a 24. Cul es el nmero?

2. Si al triple de lo que tengo, le quito 6, obtengo el doble de lo que tengo aumentado en uno.

3. El cubo de un numero es igual al doble del cuadrado del mismo.Cual es el duplo del nmero?

4. El duplo de un numero, mas 3 es igual al cudruplo del mismo, menos 7. Halla el nmero.

5. La tercera parte de un nmero disminuido e 3, es igual a 5. Halla el nmero. 6. La mitad de un nmero disminuido en 7, es igual a la tercera parte del mismo aumentado en 3. Halla el nmero.

7. El triple de la tercera parte de un nmero aumentado en 5 es igual a 22. Halla el nmero.

8. La sptima parte de un nmero, disminuido en uno es igual a seis. Halla la raz cuadrada de dicho nmero.

9. El doble de un nmero, aumentado en 4 es a 6 como el triple del mismo nmero disminuido en 2 es a 7. Calcula la suma del nmero con su cuadrado.

10. La suma de los nmeros es 180 y su diferencia es 40. Halla el menor de los nmeros.

11. Si a la mitad del triple de un numero, se le suma 8, resulta igual al doble del nmero, aumentado en 3. Halla el nmero.

12. Si a los dos tercios de un nmero se le quita sus dos tercios resulta 16. Halla el nmero.

PROBLEMAS SOBRE NMEROS CONSECUTIVOS

Son problemas de planteo de ecuaciones donde intervienen nmero consecutivos. Numero consecutivos son aquellos que estn en progresin aritmtica de razn 1.

Ejemplo: Tres numero consecutivos:

A; a + 1; a + 2

Como puedes observar la P.A es de razn 1 y para cualquier valor de a, los tres nmeros son consecutivos.A; a + 1; a +2Como puedes observar la P.A es de razn 1 y para cualquier valor de a, los tres nmeros son consecutivos.

Casos particulares: Puedes encontrar dos casos dentro de los nmeros consecutivos:

a) Pares consecutivos: Son nmeros de una P.A de razn 2:

Ejemplo:

4; 6; 8; .

Para encontrar un trmino general y estar seguros de que origine nmeros pares:

2 (n)

Ejemplo: Tres nmeros pares consecutivos:

2n; 2(n+1); 2(n+2); .

b) Impares consecutivos: Son nmeros de una P.A de razn 2:Ejemplo:5; 7; 9;

De la misma manera que en los pares consecutivos:

2n 1

Ejemplo: Tres impares consecutivos:

2n 1; 2(n+1) -1; 2(n+2)-1

1. La suma de tres nmeros consecutivos es 174. Dar como respuesta la suma de cifras del menor.

Solucin:

2. Se tiene 3 nmeros consecutivos de tal manera que 5 veces el primero, aumentado en 3 veces el segundo es 515. Cul es el mayor de los nmeros?

Solucin:

3. La suma de cuatro nmeros consecutivos es 76. Cul es el promedio del mayor y el menor de ellos?

Solucin:

4. Si tres nmeros consecutivos suman 47. Cunto suman los tres consecutivos siguientes?

Solucin:

5. De tres nmeros consecutivos, 8 veces el primero menos el tercero es 488. Cul es el nmero de ellos?

Solucin:

1. La diferencia de los nmeros pares consecutivos es igual al triple del menor, disminuido en 16. Halla el menor:

2. De 5 nmeros consecutivos, el quntupla del mayor, menos el duplo del menor es igual a 47. Halla el promedio de los 5 nmeros.

3. La suma de seis nmeros consecutivos es 27 veces la diferencia entre el mayor y el menor. Halla el mayor:

4. La diferencia de dos nmeros pares consecutivos es igual al doble del menor disminuido en 15. Halla el promedio de ambos.

5. El quintuple del nmero mayor de 3 pares consecutivos, excede al triple de la suma de los dos nmeros en 10. Halla el mayor de ellos.

6. Si a un numero entero se le suma los dos quintos de su consecutivo, se obtiene 13. Cul es el nmero?

7. Se tienen 7 nmeros impares consecutivos. La diferencia entre la tercera parte del mayor y la mitad del menor es . Halla el nmero intermedio.

8. La suma de tres pares consecutivos es igual a dos veces el mayor, aumentado en 10. Halla el nmero intermedio.9. La suma de 3 impares consecutivos es (2K + 7). Halla el triple del intermedio, disminuido en 7.

10. La suma de cuatro enteros consecutivos es (2a + 8 ). Calcula la suma de los cuatro consecutivos siguientes:

PROBLEMAS SOBRE EDADES

Son problemas sobre planteo de ecuaciones, donde intervienen las edades de personas y lapsos de tiempo determinado. La accin o condicin del problema puede desarrollarse en tiempos diferentes:

Pasado: Cuando se presentan con frases: tuviste; hace n aos; tenas; etc.

Presente: Cuando se presentan con frases: tengo; tienes, etc.

Futuro: Cuando se presentan con frases: tendrs; dentro de n aos; etc.

Es recomendable y practico presentar el problema en un cuadro de doble entrada:

TiemposPersonas PasadoPresenteFuturo

A

B

C

El tamao del cuadro depende de la cantidad de personas que intervengan en el problema. Recuerda que para resolver debes tener en cuenta en que momentos (tiempos) se da la condicin.

Ejemplo: Hace 55 aos la edad de Luisa era la sexta parte de la edad que tiene ahora. Halla la edad que tendr en seis aos.

- 55 aosHoy+ 6 aos

LuisaX - 55XX + 6

Usando la condicin:

X 55 =

6X 6 (55) = X

X = 6

X = 66

tendr x+6=66+6

= 72 aos.

1. Dos veces el producto de ladead de Antonio disminuido en uno, con su edad aumentado en cuatro es igual a 72. Cul es su edad?

Solucin:

2. Dentro de quince aos la edad de Alberto ser el doble de Flor. Hace 6 aos la edad de Alberto era el triple de la de Flor. Qu edad tiene Flor?

Solucin:

3. Hace C aos la relacin entre las edades de un padre y su hijo, que naci hace 27 aos, era de 10 a 1. Dentro de C-1 aos ser de 5 a 2. Halle C

Solucin:

4. En 1976, la edad de una persona coincide con la suma de cifras del ao de su nacimiento. Calcula su edad en al ao 2007.Solucin:

1. Hace 66, Lidia tena la sptima parte de la edad que tiene ahora. Entonces la suma de las cifras de su edad actual es.a) 12b) 4c) 13

d) 16e) 14

2. Dentro de 60 aos Martn tendr el cudruple de su edad actual. Hace 5 aos tena.

a) 25 aos

b) 20 aos

c) 85 aosd) 16

e) 14

3. Dentro de 65 aos tendr 6 veces la edad que tena hace 10 aos. Cuntos aos me faltan para cumplir 49 aos?

a) 25b) 24c) 15

d) ya los cumple) n.a

4. Cuando transcurran m+n aos a partir de hoy, tendr el triple de la edad que tena hace m-n aos. Actualmente tengo:a) (2m+n) aos

b) 2(m+n) aos

c) (2m-n) aos

d) n-2m

e) 3m-2n

5. Hace p+q+r aos tena 3p-2q Aos. Qu edad tendr dentro de 5r+q aos?a) (6r+4p) aosb) (6p+4r) aos

c) (2p-2q+4r) aos

d) (2q-2p+4r) aos

e) (6r-4p) aos

6. La edad de Mara es la mitad de la edad de Miguel pero hace 20 aos la edad de Miguel era el triple de la edad de Mara. Qu edad tiene Mara, en aos?

a) 40b) 20c) 60

d) 80e) n.a

7. La edad de Juan es el triple de la edad de Juana, pero dentro de 50 aos, ella tendr 7/11 de lo que l tenga. Qu edad tena Juan cuando Juana tena 10 aos?

a) 60b) 50c) 70

d) 110e) 20

8. Paula tienen el cudruple de la edad de Paulo que tiene 15 aos. Cuntos aos pasarn para que la primera tenga el doble de la edad del segundo?

a) 60b) 15c) 30

d) 90e) n.a

9. Un padre tienen 44 aos de edad y tiene 3 hijos, uno de 16 aos, otro de 14 aos y el tercero de 12 aos. Hace cuntos aos la edad del padre fue el doble de la suma de las edades de sus hijos?

a) Hace 10 aos b) Hace 6 aos

c) Hace 12 aos

d) Hace 8 aos

e) N.a

10. Dentro de 15 aos la edad de Tefilo ser el doble de la edad de Aniceto. Calcular las edades actuales de cada uno si hace 6 aos la edad de Tefilo ser el triple de la edad de Aniceto. Dar la suma de las edades actuales de ambos.

a) 69b) 27c) 86

d) 96e) n.a

11. Hace 15 aos mi edad era de 16/3 de la tuya, pero si contamos 45 aos a partir de hoy suceder que t tendrs 15/28 de la edad que yo tenga. La edad del menor, es actualmente:a) 80 aosb) 15 aosc) 95 aosd) 75 aose) 30 aos

12. Hace a+b+c aos tu edad era a+b veces la ma. Cuando t slo tengas b+c veces mi edad, habrn transcurrido a partir de hoy c+b-a aos. Entonces yo tena (en aos):a)

b)

c)

d)

e)

13. Cuando Jos tena a veces la edad de Josefa, faltaban para llegar al presente ao a-b aos. Pero cuando Josefa tenga la b sina parte de lo que tenga Jos ya habrn transcurrido a partir de hoy a+b aos. Qu edad tena Jos?a)

b)

c)

d)

e) n.a

14. T tienes la mitad de lo que tenas y tendrs el triple de lo que tienes; si tuvieras lo que tienes, tenas y tendrs, tendras lo que yo tengo que es 9 soles ms de lo que t tendrs. Cunto tenemos entre ambos?

a) 18 solesb) 21 solesc) 36 solesd) 30 solese) Faltan datos

15. Jorge le dice a Luis: La suma de nuestras edades es 46 aos y tu edad es el triple de la edad que tenas cuando yo tena el triple de la edad que tuviste cuando yo nac. Entonces Luis tienen actualmente:

a) 12 aosb) 34 aos c) 48 aosd) 24 aose) Faltan datos

16. Actualmente nuestras edades suman 140 aos. Yo tengo la edad que t tenas cuando yo tena la edad que t tenas cuando yo tena la tercera parte de la edad que tengo ahora. Qu edad tienes actualmente?

a) 60 aosb) 20 aos c) 40 aosd) 10 aose) 80 aos

# (s = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3


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1

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i Semestre Raz. Matemat

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