I. PENDAHULUAN 1.2 Latar Belakang dan Masalah Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun 1800. Aljabar yang dibicarakan sebelum abad kesembilan belas disebut aljabar klasikal, sedangkan aljabar sesudah abad kesembilan belas (hingga sekarang) disebut aljabar modern atau aljabar abstrak (struktur aljabar). Aljabar klasik mempunyai karakteristik bahwa setiap simbol yang dimaksud selalu mempunyai pengertian suatu bilangan tertentu. Misalnya bilangan bulat, bilangan real, atau bilangan kompleks. Tujuan pokok dari aljabar klasik adalah menggunakan manipulasi aljabar untuk menyelesaikan suatu permasalahan polinom dan untuk memecahkan suatu persoalan tentang beberapa problema ilmiah, teknik, dan ilmu pengetahuan sosial . (Wahyudin , 1989) Rubik’s Cube merupakan sebuah alat permainan yang berbentuk kubus besar yang tersusun dari 27 kubus kecil dengan masing-masing sisinya memiliki warna yang berbeda yaitu merah, kuning, hijau, putih, biru dan oranye. Cara memainkan alat
23
Embed
I. PENDAHULUAN 1.2 Latar Belakang dan Masalahdigilib.unila.ac.id/20281/3/SKRIPSI.pdf · definisi grup beserta dengan sifat-sifatnya. Definisi 2.1.4 Grup ... 1 = 1, diperoleh tabel
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
I. PENDAHULUAN
1.2 Latar Belakang dan Masalah
Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis
aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun 1800.
Aljabar yang dibicarakan sebelum abad kesembilan belas disebut aljabar klasikal,
sedangkan aljabar sesudah abad kesembilan belas (hingga sekarang) disebut
aljabar modern atau aljabar abstrak (struktur aljabar).
Aljabar klasik mempunyai karakteristik bahwa setiap simbol yang dimaksud
selalu mempunyai pengertian suatu bilangan tertentu. Misalnya bilangan bulat,
bilangan real, atau bilangan kompleks. Tujuan pokok dari aljabar klasik adalah
menggunakan manipulasi aljabar untuk menyelesaikan suatu permasalahan
polinom dan untuk memecahkan suatu persoalan tentang beberapa problema
ilmiah, teknik, dan ilmu pengetahuan sosial .
(Wahyudin , 1989)
Rubik’s Cube merupakan sebuah alat permainan yang berbentuk kubus besar yang
tersusun dari 27 kubus kecil dengan masing-masing sisinya memiliki warna yang
berbeda yaitu merah, kuning, hijau, putih, biru dan oranye. Cara memainkan alat
2
ini adalah dengan cara kita diharuskan menyusun sedemikian rupa sehingga setiap
sisi dari kubus besar terdiri dari kubus kecil dengan warna sisi yang sama.
Rubik’s Cube ditemukan oleh pemahat dan arsitek dari Hongaria bernama
Profesor Erno Rubik, dan dalam perkembangannya Rubik’s Cube terus mengalami
perubahan dan penyempurnaan. Douglas Hofstadter adalah orang yang pertama
kali mengenalkan Rubik’s Cube dalam aljabar abstrak pada bulan Maret tahun
1981. Kemudian penjabaran tentang Rubik’s Cube mulai banyak ditemui dalam
beberapa buku, seperti Inside Rubik’s Cube and Beyond karangan Christoph
Bandelow.
(Darmawan, 2010)
Pada penelitian ini akan dibahas tentang konstruksi Rubik’s Cube ke dalam
bentuk grup.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membuktikan bahwa himpunan sebarang
gerakan M pada Rubik’s Cube dapat dikonstruksikan ke dalam bentuk grup.
1.3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Memahami sifat-sifat grup dan aksi grup.
2. Mengenalkan Rubik’s Cube dan hubungannya dalam dunia Aljabar Abstrak.
3. Memberikan motivasi bagi pembaca dan peneliti untuk mengkaji lebih dalam
permasalahan yang berhubungan dengan struktur aljabar.
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup dan subgrup yang
akan digunakan dalam hasil dan pembahasan.
2.1 Grup
Sebelum definisi grup disajikan, di bawah ini diberikan definisi operasi biner ∗ .
Definisi 2.1.1 Operasi Biner
Operasi biner ∗ pada suatu himpunan S adalah suatu aturan yang memasangkan
setiap pasangan terurut (𝑎,𝑏) dengan 𝑎,𝑏 ∈ S.
(Fraleigh, 1975)
Dari definisi di atas dapat diperoleh hal-hal berikut:
1. Suatu operasi biner ∗ pada S harus terdefinisikan untuk setiap pasangan
terurut (𝑎,𝑏) dengan 𝑎,𝑏 ∈ S.
2. Suatu operaasi biner ∗ pada S harus memasangkan setiap pasangan terurut
(𝑎,𝑏), 𝑎,𝑏 ∈ S dengan elemen yang juga berada di S, artinya S tertutup
terhadap operasi biner ∗.
3. Suatu operasi biner ∗ harus terdefinisi dengan tunggal (well-defined).
4
Contoh-contoh:
1. Operasi penjumlahan biasa (+) pada himpunan bilangan real adalah operasi
biner.
2. Misalkan R* = .
Penjumlahan biasa (+) bukan operasi biner pada R*, sebab 2 + (-2) = 0 bukan
elemen R*.
Setelah definisi operasi biner diberikan, selanjutnya diberikan definisi sifat-sifat
operasi biner sebagai berikut:
Definisi 2.1.2 Operasi Biner Komutatif
Operasi biner ∗ pada S dikatakan komutatif jika
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
untuk semua 𝑎,𝑏 ∈ S.
(Fraleigh, 1975)
Definisi 2.1.3 Operasi Biner Asosiatif
Operasi biner ∗ pada S dikatakan asosiatif jika dan hanya jika
( 𝑎 ∗ 𝑏)∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐).
untuk semua 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ S.
(Fraleigh, 1975)
5
Setelah definisi dan sifat-sifat operasi biner diberikan, berikut ini disajikan
definisi grup beserta dengan sifat-sifatnya.
Definisi 2.1.4 Grup
Suatu grup ⟨𝐺,∗⟩ adalah himpunan 𝐺 yang dilengkapi dengan operasi biner ∗ pada
𝐺 yang memenuhi aksioma berikut:
1. Asosiatif, yaitu ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 berlaku:
( 𝑎 ∗ 𝑏)∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐).
2. Terdapat elemen identitas e untuk operasi ∗ pada 𝐺 yaitu ∃ 𝑒 ∈ 𝐺
sedemikian sehingga berlaku
𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝐺.
3. Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺 mempunyai invers 𝑎’, yaitu terdapat 𝑎’ ∈ 𝐺
sedemikian sehingga
𝑎 ∗ 𝑎’ = 𝑎’ ∗ 𝑎 = 𝑒.
(Herstein, 1975)
Definisi 2.1.5 Grup Komutatif (Abelian)
Grup ⟨𝐺,∗⟩ merupakan grup komutatif (abelian) jika,
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 , ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺.
(Dumit & Forte, 2004)
6
Definisi 2.1.6
Misalkan himpunan G = { 𝑔1., 𝑔2, … , 𝑔n} merupakan grup terhingga dengan
𝑔1 = 1, diperoleh tabel grup dengan operasi perkalian terhadap himpunan G
merupakan suatu matriks Mnxn dengan i dan j adalah indeks pada elemen grup
𝑔i𝑔j.
(Dumit & Forte, 2004)
Teorema 2.1.7
Jika ⟨𝐺,∗⟩ grup, maka berlaku :
1. (∀ 𝑎 ∈ 𝐺) (𝑎-1)-1 = 𝑎
2. (𝑎 ∗ 𝑏)-1
= 𝑏-1 ∗ 𝑎-1
(Herstein, 1975).
Teorema 2.1.8
Jika ⟨𝐺,∗⟩ adalah sebuah grup , maka berlaku :
(i) 𝑐 ∈ 𝐺 dan c∗c = c → c = 𝑒.
(ii) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎∗ 𝑐 ⇒ 𝑏= 𝑐 dan 𝑏∗ 𝑎= 𝑐∗ 𝑎 ⇒ 𝑏= 𝑐
(kanselasi kiri dan kanan).
(iii) (∀ 𝑎 ∈ 𝐺) (𝑎-1)-1 = 𝑎.
(iv) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 , maka persamaan 𝑎 x = 𝑏 dan y 𝑎 = b memiliki
penyelesaian yang unik pada G , yaitu x = 𝑎-1 𝑏 dan y = b 𝑎-1.
(Hungerford, 1974)
7
Bukti :
Jika 𝑒’ adalah elemen identitas sedemikian sehingga 𝑒 = 𝑒 𝑒’ = 𝑒’. Diperoleh,
(i) cc = c ⇒ c-1 (c c) = c-1 c
⇔ (c-1 c) c = c-1 c
⇔ 𝑒 𝑐 = 𝑒
⇔ 𝑐 = 𝑒
Dengan cara yang sama, juga diperoleh pembuktian terhadap aksioma (ii) ,
(iii) dan (iv). ∎
Definisi 2.1.9 Subgrup
Diberikan grup ⟨𝐺,∗⟩ dan himpunan 𝑆 ⊂ 𝐺
Gambar 1. 𝑆 subgrup 𝐺 (𝑆 ⊂ 𝐺)
Himpunan S disebut subgrup jika untuk operasi biner yang sama pada G yaitu ∗,
S juga merupakan grup. Jadi S subgrup dalam ⟨𝐺,∗⟩, jika: