1 I. NOŢIUNI DE TEORIA ELASTICITĂŢII I.1. Introducere Teoria elasticităţii are ca obiect determinarea tensiunilor şi deformaţiilor, cu alte cuvinte a stării de solicitare formată din starea de tensiune şi starea de deformaţie, care se produc în interiorul elementelor de rezistenţă aflate sub acţiunea încărcărilor. O clasificare a metodelor utilizate pentru determinarea stării de solicitare din elementele de rezistenţă este prezentată schematic în fig. I.1. Fig. I.1 În principiu, aplicarea teoriei elasticităţii poate rezolva orice stare de tensiune şi deformaţie, în realitate însă, integrarea ecuaţiilor cu derivate parţiale ale teoriei elasticităţii conduce, chiar şi pentru cazuri particulare, la complicaţii matematice mari. Teoria elasticităţii stă la baza unor discipline dezvoltate ulterior, respectiv are legături strânse cu discipline cum ar fi: rezistenţa materialelor, mecanica ruperii, analiza experimentală a tensiunilor, metode numerice de determinare a stării de solicitare, termoelasticitate, ştiinţa materialelor.
33
Embed
I. NOŢIUNI DE TEORIA ELASTICITĂŢII - mec.upt.ro Teoria elasticitatii.pdf · 2 I.2. Teoria tensiunilor I.2.1. Ecuaţiile diferenţiale de echilibru ale lui Navier-Cauchy Se consideră
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
I. NOŢIUNI DE TEORIA ELASTICITĂŢII
I.1. Introducere
Teoria elasticităţii are ca obiect determinarea tensiunilor şi deformaţiilor, cu alte cuvinte a
stării de solicitare formată din starea de tensiune şi starea de deformaţie, care se produc în
interiorul elementelor de rezistenţă aflate sub acţiunea încărcărilor.
O clasificare a metodelor utilizate pentru determinarea stării de solicitare din elementele de
rezistenţă este prezentată schematic în fig. I.1.
Fig. I.1
În principiu, aplicarea teoriei elasticităţii poate rezolva orice stare de tensiune şi deformaţie, în
realitate însă, integrarea ecuaţiilor cu derivate parţiale ale teoriei elasticităţii conduce, chiar şi
pentru cazuri particulare, la complicaţii matematice mari.
Teoria elasticităţii stă la baza unor discipline dezvoltate ulterior, respectiv are legături strânse
cu discipline cum ar fi:
rezistenţa materialelor,
mecanica ruperii,
analiza experimentală a tensiunilor,
metode numerice de determinare a stării de solicitare,
termoelasticitate,
ştiinţa materialelor.
2
I.2. Teoria tensiunilor
I.2.1. Ecuaţiile diferenţiale de echilibru ale lui Navier-Cauchy
Se consideră un corp solid deformabil, secţionat printr-un punct din interiorul lui cu ajutorul
unui plan oarecare (fig. I.2). În planul secţiunii, în jurul punctului, se izolează un element de
suprafaţă cu aria dA, orientat spaţial prin normala exterioară n care face unghiurile ,, cu
axele sistemului xOyz.
Tensiunea totală np va avea proiecţiile pe axele de coordonate notate cu nznynx p,p,p . O altă
variantă de descompunere a tensiunii totale np este reprezentată prin componentele normală n
şi tangenţială n la planul secţiunii.
Fig. I.2
Pentru cazul particular în care planul de secţionare este luat perpendicular pe una din axele de
coordonate, de exemplu pe axa x, normala n va fi orientată după această axă, respectiv x, iar
proiecţiile tensiunii totale np vor fi xzxyxx ppp ,, . Se observă că tensiunea xxp reprezintă o
tensiune normală, notată cu x . Celelalte două componente reprezintă tensiunile tangenţiale,
notate cu xzxy , , ce acţionează în secţiunea perpendiculară pe axa de coordonate x , şi sunt
paralele cu axele de coordonate y , respectiv z . În mod analog, construind o secţiune
perpendiculară pe axa y (respectiv z ) se introduc şi celelalte componente yzyyx ,, (respectiv
zzyzx ,, ).
3
Pentru studiul variaţiei stării de tensiune dintr-un punct M al corpului solicitat (reprezentat în
fig. I.2) la trecerea într-un punct infinit apropiat, se decupează din jurul punctului M un
paralelipiped de laturi infinit mici dz,dy,dx . Feţele acestui paralelipiped cu muchiile
MCMBMA ,, se aleg drept plane de coordonate (reprezentarea elementului de volum, cu
tensiunile care acţionează pe feţele lui, este dată în fig. I.3).
Fig. I.3
Asupra elementului de volum acţionază două tipuri de forţe elementare:
forţele superficiale date de produsul dintre tensiuni, considerate uniform distribuite pe
feţele elementului de volum, şi ariile suprafeţelor elementare; astfel aceste forţe superficiale
lucrează în centrele de greutate ale suprafeţelor.
forţele masice (forţe de volum) de tipul forţelor gravitaţionale, ale căror componente care
acţionează asupra unităţii de volum se notează cu ZYX ,, .
Dacă solidul este în echilibru static, pentru volumul elementar trebuie să fie satisfăcute şase
ecuaţii scalare de echilibru:
0M0Z
0M0Y
0M0X
z
y
x
(I.1)
4
Din prima ecuaţie de echilibru se obţine:
0dzdydxXdydxdydxdzz
dzdxdzdxdyy
dzdydzdydxx
0X
zxzx
zx
yxyx
yxxx
x
(I.2)
unde se reduc termenii asemenea şi se simplifică cu 0dVdzdydx . Procedând în mod analog
şi pentru celelalte două ecuaţii de proiecţii de forţe se obţin ecuaţiile:
0Zzyx
0Yzyx
0Xzyx
zyzxz
zyyxy
zxyxx
(I.3)
denumite ecuaţiile diferenţiale de echilibru ale lui Navier-Cauchy.
În continuare se scriu ecuaţiile de echilibru de momente:
0Mx , de unde rezultă:
.02
dzdzdydxY
2
dzdzdydxZ
2
dzdzdydx
x2
dydzdydx
x
4.I2
dydzdy
2
dzdzdydydzdxdy
ydzdydxdz
z
2
dzdzdx
2
dzdzdxdy
y2
dydydx
2
dydydxdz
z
xyxy
xzxz
xzxyyz
yzzy
zy
yy
yzz
z
În ecuația (I.4) se neglijează infiniţii mici de ordinul 4 şi se reduc termenii asemenea, rezultând:
zyyz (I.5)
egalitatea fiind cunoscută ca legea dualităţii tensiunilor tangenţiale. Din ultimele două ecuaţii de
momente se obțin relațiile:
zxxzyxxy ; (I.6)
Ecuațiile de echilibru static conduc la trei ecuaţii diferenţiale care conţin şase funcţii
necunoscute, tensiunile: xzzxzyyzyxxyzyx ,,,,, .
În concluzie, problema teoriei elasticităţii este de trei ori static nedeterminată, rezolvarea ei
presupunând analiza deformaţiilor care se produc în corp şi utilizarea relaţiilor dintre deformaţii şi
tensiuni, care exprimă proprietăţile fizice ale solidului elastic.
5
I.2.2. Tensiuni în secţiuni înclinate. Tensorul tensiunilor.
Starea de tensiune dintr-un punct al unui corp solid deformabil solicitat este reprezentată de
tensiunile normale şi tangenţiale care acționează pe infinitatea de elemente de suprafaţă trec prin
punctul respectiv. Se poate demonstra că starea de tensiune dintr-un punct presupune cunoaşterea
tensiunilor care acționează pe trei elemente de suprafaţă ortogonale.
În acest scop, în punctul considerat M, se decupează un volum infinit mic sub forma unei
piramide triunghiulare elementare MABC (fig. I.4). Pe feţele cuprinse în planele de coordonate
sunt cunoscute tensiunile normale şi tangenţiale, urmând a se determina tensiunile care lucrează
pe suprafaţa înclinată ABC.
Fig. I.4
În fig. I.4 s-au reprezentat următoarele:
,,n este normala exterioară la faţa înclinată;
dA este aria feţei înclinate, ariile celorlalte feţe se determină proiectând dA pe cele trei
plane de coordonate
.cos,cos
cos,cos
cos,cos
dAzndAdydx2
1dA
dAyndAdzdx2
1dA
dAxndAdzdy2
1dA
z
y
x
(I.7)
6
np este tensiunea totală care lucrează pe suprafaţa de arie dA, ale cărei componente după
axele de coordonate sunt nznynx ppp ,, ; componentele după normala și tangenta la fața ABC sunt
nn , .
Cu aceste notaţii, pentru volumul elementar din fig. I.4, se scriu ecuaţiile de echilibru (I.1),
prima ecuație 0X conducând la:
06
dzdydxXdApdydx
2
1dzdx
2
1dzdy
2
1nxzxyxx . (I.8)
Dacă se neglijează infiniţii mici de ordinul al treilea (forţele masice 6
dzdydxX ), ţinând cont de
(I.7), relația devine:
dA0dApdAdAdA nxzxyxx :coscoscos ,
Prin scrierea și a celorlalte două ecuaţii de proiecţii de forţe, rezultă:
coscoscos
coscoscos
coscoscos
zyzxznz
zyyxyny
zxyxxnx
p
p
p
. (I.9)
Așadar, proiecţiile pe axe ale tensiunii totale sunt funcţii liniare de componentele stării de tensiune.
Între aceste proiecții avem și relația:
2nz
2ny
2nx
2n pppp . (I.10)
Pentru scrierea ecuaţiilor de momente se alege un sistem de axe paralel cu primul, având
originea în centrul G al suprafeţei înclinate dA (fig. I.5), de coordonate
3
dz
3
dy
3
dx,, . Proiecţiile
punctului G pe planele de coordonate sunt centrele de greutate ale feţelor laterale.
7
Fig. I.5
În acest alegere a sistemului de coordonate, nu toate componentele tensiunilor produc momente
faţă de axele ,,, ,, zyx ; de exemplu pentru ecuaţia de momente în raport cu axa ,z rămân diferiţi
de zero doar doi termeni (fig. I.5):
03
dxdzdy
2
1
3
dydzdx
2
10M xyyxz
, (I.11)
xyyx (I.12)
obţinându-se în final relaţia care exprimă principiul dualităţii tensiunilor tangenţiale. Din celelalte
două ecuaţii de momente rezultă relaţiile xzzxzyyz , .
În concluzie, relaţiile (I.9) permit determinarea tensiunilor care lucrează pe un element de
suprafaţă înclinat faţă de axele de coordonate, dacă se cunosc tensiunile care lucrează pe trei
elemente de suprafaţă ortogonale care trec prin punctul considerat.
Starea de tensiune dintr-un punct al unui corp solicitat, definită de tensiunile din planele de
coordonate (componentele stării de tensiune), reprezintă o mărime tensorială, denumită în