İ M MA AT TE EM MA AT T‹ ‹K K M MA AT TE EM MA AT T‹ ‹K K 8 8 8 8 . . . . S S› ›n n› ›f f S S› ›n n› ›f f

İLKÖĞRETİM

MMAATTEEMMAATT‹‹KKMMAATTEEMMAATT‹‹KK8888.... SS››nn››ffSS››nn››ff

Öğretmen Kılavuz KitabıÖğretmen Kılavuz KitabıYazar

Mehtap CANPEKEL

DİKEY YAYINCILIK

Bu kitap, Millî Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı’nın 18.12.2009 tarih ve281 sayılı kurul kararıyla 2010-2011 öğretim yılından itibaren 5 (beş) yıl süreyle ders kitabıolarak kabul edilmiştir.

ISBN: 978-975-9168-03-2

Editör:

Abdülkadir YILMAZ

Dil Uzmanı:

Hilal PAMUK

Görsel Tasarım Uzmanı:

Nurcan UĞURLU

Program Geliştirme Uzmanı:

Yusuf SARIGÜNEY

Ölçme Değerlendirme Uzmanı:

Deniz ONURAL

Rehberlik / Gelişim Uzmanı:

Filiz DİLMEN

DİKEY YAYINCILIK

Her hakkı saklıdır ve DİKEY EĞT. SAĞ. ARAŞ. BAS. YAY. SAN VE TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. İçinde-ki şekil, yazılı metin ve grafikler, yayınevinin izni olmadan alınamaz; fotokopi, teksir, film şeklinde ve baş-ka hiçbir şekilde çoğaltılamaz, basılamaz ve yayımlanamaz.

Kavacık Subayevleri mah. Fahrettin Altay cad. Nu.: 4/8 Keçiören /ANKARA

tel.: (0.312) 318 51 50 - 51 • Belgeç : 318 52 51

İSTİKLÂL MARŞI

Korkma, sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak;Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak;O benimdir, o benim milletimindir ancak.

Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilâl!Kahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl?Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helâl...Hakkıdır, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!

Ben ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım. Hangi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım!Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım.Yırtarım dağları, enginlere sığmam, taşarım.

Garbın âfâkını sarmışsa çelik zırhlı duvar,Benim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var.Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar,“Medeniyet!” dediğin tek dişi kalmış canavar?

Arkadaş! Yurduma alçakları uğratma, sakın.Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın.Doğacaktır sana va’dettiği günler Hakk’ın...Kim bilir, belki yarın, belki yarından da yakın.

Bastığın yerleri “toprak!” diyerek geçme, tanı:Düşün altındaki binlerce kefensiz yatanı.Sen şehit oğlusun, incitme, yazıktır, atanı:Verme, dünyaları alsan da, bu cennet vatanı.

Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki fedâ?Şühedâ fışkıracak toprağı sıksan, şühedâ!Cânı, cânânı, bütün varımı alsın da Huda,Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüdâ.

Ruhumun senden, İlâhi, şudur ancak emeli:Değmesin mabedimin göğsüne nâmahrem eli.Bu ezanlar -ki şahadetleri dinin temeli-Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli.

O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taşım,Her cerîhamdan, İlâhi, boşanıp kanlı yaşım,Fışkırır ruh-ı mücerred gibi yerden na’şım;O zaman yükselerek arşa değer belki başım.

Dalgalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hilâl!Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helâl.Ebediyen sana yok, ırkıma yok izmihlâl:Hakkıdır, hür yaşamış, bayrağımın hürriyet; Hakkıdır, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!

Mehmet Âkif ERSOY

ATATÜRK’ÜN GENÇLİĞE HİTABESİ

Ey Türk gençliği! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuriye-tini, ilelebet, muhafaza ve müdafaa etmektir.

Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, se-nin, en kıymetli hazinendir. İstikbalde dahi, seni, bu hazineden, mahrumetmek isteyecek, dahilî ve haricî, bedhahların olacaktır. Bir gün, istiklâlve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine düşersen, vazifeye atılmak için,içinde bulunacağın vaziyetin imkân ve şeraitini düşünmeyeceksin! Buimkân ve şerait, çok nâmüsait bir mahiyette tezahür edebilir. İstiklâl vecumhuriyetine kastedecek düşmanlar, bütün dünyada emsali görülmemişbir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatanın, bü-tün kaleleri zapt edilmiş, bütün tersanelerine girilmiş, bütün orduları da-ğıtılmış ve memleketin her köşesi bilfiil işgal edilmiş olabilir. Bütün buşeraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde,iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hıyanet içinde bulunabi-lirler. Hattâ bu iktidar sahipleri şahsî menfaatlerini, müstevlilerin siyasîemelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtapdüşmüş olabilir.

Ey Türk istikbalinin evlâdı! İşte, bu ahval ve şerait içinde dahi, va-zifen; Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktır! Muhtaç olduğun kud-ret, damarlarındaki asîl kanda, mevcuttur!

Mustafa Kemal ATATÜRK

MUSTAFA KEMAL ATATÜRK

6

Organizasyon Şeması................................................................................................................... 8Yeni Program Yaklaşımı ile İlgili Açıklamalar ................................................................................ 10

1. Ünite ........................................................................................................................................ 22

Üslü Sayılar .................................................................................................................................. 22İrrasyonal Sayılar ve Gerçek Sayılar ............................................................................................ 27Üslü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri ................................................................................... 36Kareköklü Sayılarla İşlemler.......................................................................................................... 41Ünite Değerlendirme Soruları........................................................................................................ 48

2. Ünite ........................................................................................................................................ 50

Örüntüler ve İlişkiler ...................................................................................................................... 50Cebirsel İfadeler ve Rasyonel Denklemler.................................................................................... 54Doğrusal Denklem Sistemleri........................................................................................................ 66Eşitsizlikler..................................................................................................................................... 73Ünite Değerlendirme Soruları........................................................................................................ 80

3. Ünite ........................................................................................................................................ 82

Üçgen ve Dörtgenlerin Kenar Açı Özellikleri................................................................................ 82Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik ...................................................................................................... 94Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı ..................................................................................................... 101Dik Üçgendeki Dar Açıların Trigonometrik Oranları ...................................................................... 104Eğim .............................................................................................................................................. 112Ünite Değerlendirme Soruları........................................................................................................ 116

4. Ünite ........................................................................................................................................ 118

Üçgen Prizmaların Özellikleri, Dik Prizmaların Yüzey Alanları ve Hacimleri ................................ 118Piramidin Özellikleri, Yüzey Alanı ve Hacmi ................................................................................. 127Koninin Özellikleri, Dik Koninin Yüzey Alanı ve Hacmi ................................................................. 133Kürenin Özellikleri, Yüzey Alanı ve Hacmi .................................................................................... 140Problem Çözme ve Kurma............................................................................................................ 145Ünite Değerlendirme Soruları........................................................................................................ 150

İ Ç İ N D E K İ L E Rİ Ç İ N D E K İ L E R

7

5. Ünite ........................................................................................................................................ 152

Bir Düzlem ile Bir Geometrik Cismin Ara Kesiti, Çok Yüzlüler...................................................... 152Örüntüler ve Fraktallar .................................................................................................................. 157Koordinat Düzleminde Yansıma, Öteleme, Dönme Hareketleri ve Cisimlerin Simetrileri ............. 161Perspektif ...................................................................................................................................... 167Ünite Değerlendirme Soruları........................................................................................................ 170

6. Ünite ........................................................................................................................................ 172

Kombinasyon................................................................................................................................. 172Bağımlı ve Bağımsız Olaylar, Olasılık Çeşitleri............................................................................. 176Histogram ve Standart Sapma...................................................................................................... 181Ünite Değerlendirme Soruları........................................................................................................ 188Ölçme Araçları............................................................................................................................... 193Sözlük............................................................................................................................................ 204Kaynakça....................................................................................................................................... 206

8

97Matematik 8. sınıf

3. Ünite

Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür. Bu ba-

ğıntı üçgen eşitsizliğidir.

İki kenarın uzunlukları farkının mutlak değeri ise üçüncü kenarın uzunluğundan küçüktür.

Üçgenin Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişkiler

Örnek: Geometri şeritlerini kullanarak istenilen üçgenleri oluşturmaya çalışalım:

Örnek: Kenar uzunlukları 0 = 4 cm, k = 3 cm ve s = 2 cm olan ni çizelim ve kenar uzunlukla-rı arasındaki ilişkileri gösterelim:

Önce olacak şekilde KS kenarını çizelim.o KS cm4= =

OKS&

a) 3 er birimlik iki geometri şeridini birleştirelim. 6 birimlikgeometri şeridini de birleştirdiğimiz parçalara 3. kenarolarak birleştirmeye çalışalım.

Bir üçgen elde edebildiniz mi? Neden?

b) 3 ve 7 birimlik geometri şeritlerini birbirine tutturalım. 11 birimlik geometri şeridini üçgen oluşturacak şekildebu parçalara tutturmaya çalışalım.

Üçgen oluşturabildiniz mi? Sizce neden üçgen oluşma-dı?

c) Tekrar 2 ve 3 birimlik geometri şeritlerini birleştirelim. 4 birimlik geometri şeridini kullanarak üçgen oluşturalım.

Üçgen oluştu mu? a ve b şıklarında üçgen oluşmadığıhâlde neden c şıkkında üçgen oluşmuş olabilir?

SK o = 4 cm

k = 3 cm

O

Yayların kesim noktasına O diyelimve noktaları ikişer ikişer birleştirelim.

Pergelin ayaklarını 3 cm aça-rak merkezi S, yarıçapı 3 cmolan bir çember yayı çizelim.

Pergelin ayaklarını 2cm aça-rak merkezi K, yarıçapı 2 cmolan bir çember yayı çizelim.

Oluşan nde iki kenarın uzunlukları topla-mını diğer kenar uzunluğunu karşılaştıralım:

2 + 3 > 4 3 + 4 > 2 4 + 2 > 3

s + k > o k + o > s o + s > kGörüldüğü gibi 2 kenarın uzunlukları toplamı

diğer kenarın uzunluğundan büyüktür.

OKS& Oluşan nde iki kenarın uzunlukları farkınınmutlak değerini diğer kenar uzunluğunu karşılaştıralım:

⎟3 – 2⎟ < 4 ⎟4 – 3⎟ < 2 ⎟4 – 2⎟ < 3

⎟k – s⎟ < o ⎟o – k⎟ < s ⎟o – s⎟ < kGörüldüğü gibi iki kenarın uzunlukları farkı diğer

kenarın uzunluğundan küçüktür.

OKS&

→ → → → → → → → → → → → → → → → → →

s = 2

cm

O R G A N İ Z A S Y O NO R G A N İ Z A S Y O N

Öğretmen kılavuz kitabı; ders ve öğrenci çalışma kitaplarıyla birlikte verilir. Bu kitap öğretmene kılavuz-luk etmesi amacıyla hazırlanmıştır. Aşağıdaki yönlendirmeler Öğretmen kılavuz kitabının kolaylıkla kullanı-labilmesi için verilmiştir.

Süre : 4 Ders saati Öğrenme Alanı : SayılarAlt Öğrenme Alanı : Üslü Sayılar

Kazanımlar1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve

rasyonel sayı olarak ifade eder. 2. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların

kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü olarak yazar vedeğerini belirler.

Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme

Yöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-me anlatım, soru-cevap, keşetme.

Araç-Gereç: kâğıt, kalem, hesap makinesi

Ön Kazanımlar: 1. Tam sayıların kendileri iletekrarlı çarpımını üslü nicelik olarak ifade eder.

Zorunlu Program Uyarıları [!] Üslü bir tam sayının işaretinin, tam sayı pozi-

tif ise pozitif; negatif ise kuvvetin çift veya tek olu-şuna göre pozitif veya negatif olacağı vurgulanır.

[!] n doğal sayı, a ! 0 olmak üzereolduğu vurgulanır.

Dikkat Çekme ve Motivasyon Öğrencilere, “Astronomide hangi birimlerin kul-

lanıldığını düşünüyorsunuz?”, “Çok büyük sayılarıgöstermenin farklı yöntemleri olabilir mi?” sorularısorulabilir.

Öğrenme Öğretme Süreci • Ders kitabının 10. sayfasındaki fotoğraf hak-

kında öğrencilere görsel okuma ve görsel sunuyaptırılır.

• Fotoğrafa ait metin öğrencilere okutulur. • Metnin sonundaki sorular öğrencilere yönel-

tilerek öğrencilerin konuya motivasyonu sağlanır. • Öğrencilerin sorulara verdikleri cevaplar

hakkında yorum yapılmaması önerilir. • Mümkünse cevapları defterlerine not etme-

leri sağlanmalıdır. İşleniş sonunda bu cevaplarıtekrar kontrol etmeleri istenebilir.

• Böylelikle öğrencilerin kendi öğrenme süreç-lerini kontrol etmeleri sağlanabilir. Ders kitabının10. sayfasındaki etkinlik öğrencilere yaptırılır.

a a1n

n=-

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Ders Kitabı

Tavsiye edilen ders saati süresi

Kazanım/kazanımlarla ilgili yöntem ve tek-nikler

Kazanımla ilişkili öğrenme alanı

Kazanımla ilişkili alt öğrenme alanı

Konuyla ilgili kazanım/ kazanımlar

Derse dikkat çekme bölümü

Matematikle ilgili beceriler

Program Kılavuz Kitabındaki ZorunluProgram Uyarıları

Konuda işlenen kazanımlarla doğrudan iliş-kili matematik dersi kazanım/ kazanımlar(Doğrudan ilişkili olmayan kazanımlarda önkazanım verilmemiştir.)

Kazanımı/ kazanımları hatırlatıcı sorular(Ön kazanım/ kazanımlar olmayan işleniş-lerde bu bölüme yer verilmemiştir.)

Kazanımı/ kazanımları keşfettirmeye yöne-lik işleniş bölümü

��

9

52 Matematik 8. sınıf

3. Ünite

ÜÇGENLERDE KENAR UZUNLUKLARI VE AÇI ÖLÇÜLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİLER

1. Atatürk’ün yazmış olduğu “Geometri” adlı kitabın matematik biliminin ülkemizdeki gelişimine negibi katkıları olmuştur? Paragraf hâlinde yazınız.

2. Atatürk’ün yazmış olduğu “Geometri” adlı kitabı araştırarak on matematiksel terimin eski ve ye-ni kullanımını bulunuz.

Ek Etkinlik : Termometreyi Tanıyalım.

Araç - gereçler: termometre, kâğıt, kalem. (1 kişi)

• Termometreyi inceleyiniz. Termometrenin üze-rinde görülen sayıları işaretleri ile birlikte not edi-niz.

• Termometrenin üzerinde bulunan “–” ve “+” işa-retleri ne anlama gelmektedir? Düşüncelerinizideftere yazınız.

• Termometre, “0”ın altındaki bir değeri gösterdi-ğinde hava sıcaklığında nasıl bir değişin söz ko-nusudur?

Etkinlikle öğrencilerin akıl yürüt-me, ilişkilendirme ve psikomotor becerilerini geliştir-meleri hedeflenmişitir.

Ş E M A S IŞ E M A S I

��

��

��

��

��

��

��

��

��

• Ders kitabının 26. sayfasındaki örnek öğren-cilerle birlikte incelenir.

Uygulamalar

Ders kitabının 26. sayfasındaki alıştırmalar öğ-rencilere yaptırılır. Çalışma kitabının 16, 17, 18,19, 20 ve 21. sayfalarındaki sorular çözdürülebilir.

Bireysel Farklılık Soruları:

1. 13, 81, 25, 128a) Yukarıda verilen kareköklü sayılardan han-

gileri tam karedir, hangileri tam kare olmayan ka-reköklü sayılardır? Sebebiyle açıklayınız.

b) Tam kare olmayan kareköklü sayıları en ya-kın onda birliklerine kadar tahmin ediniz.

2. , 7, 5, 1,09, 3,1246638 ...

Yukarıda verilen sayılar hangi sayı kümelerininelemanıdır?Açıklayınız.

Değerlendirme

Öğrencilerden, tam kare doğal sayılarla busayıların karekökleri arasındaki ilişkiyi modelle-riyle açıklamaları ve kareköklerini belirlemeleri;tam kare olmayan sayıların kareköklerini stratejikullanarak tahmin etmeleri; rasyonel sayılar ile ir-rasyonel sayılar arasındaki farkı görmeleri bekle-nir.

Ders ve çalışma kitabındaki soruların cevapla-rı kontrol edilir.

Çalışmalar süresince öğrenciler kontrol edile-rek öğrencilerin beceri ve duyuşsal özellik geli-şimleri gözlemlenir.

“Grup Değerlendirme Formu” kullanılabilir.

1—2

Çalışma Kitabı

İşlenen kazanımı/ kazanımları pekiştirmekamacıyla hazırlanmış bölümdür. Bireysel farklılıklar ortaya çıkarmak için “Bi-reysel Farklılık Soruları”na yer verilmiştir.

İşlenen kazanımlara ait ders ve çalışma ki-tabındaki alıştırma sayfalarını belirtir.

Edinilmesi beklenen kazanım ve beceri-lerin tekrarlandığı bölümdür.

“Alternatif Etkinlik” öğrencilerin konuyu farklı bir etkinlikte pekiştir-mesi amacıyla verilmiştir. Öğretmen tarafından gerekli görüldüğüdurumda uygulanabilir.

Etkinliğin uygulama basamakları

Yapılan etkinliğin sonuca bağlanması için öğren-meye sorulan soru

YENİ PROGRAM YAKLAŞIMI İLE İLGİLİ AÇIKLAMALAR

Dünyada bilginin önemi hızla artmakta, buna bağlı olarak "bilgi" kavramı ve "bilim" anlayışı da de-ğişmekte, teknoloji ilerlemekte, demokrasi ve yönetim kavramları farklılaşmakta, tüm bu değişimlereayak uydurabilmek için toplumların bireylerinden beklediği beceriler de değişmektedir. Her alanda oldu-ğu gibi eğitim alanında da değişim gerekmektedir.

Günlük yaşamda, matematiği kullanabilme ve anlayabilme gereksinimi önem kazanmakta ve sü-rekli artmaktadır. Değişen dünyamızda, matematiği anlayan ve matematik yapanlar, geleceğini şekil-lendirmede daha fazla seçeneğe sahip olmaktadır. Değişimlerle birlikte matematiğin ve matematik eği-timinin belirlenen ihtiyaçlar doğrultusunda yeniden tanımlanması ve gözden geçirilmesi gerekmektedir.

Yeni bilgiler ve teknolojiler, matematik yapmanın ve iletişim kurmanın yollarını sürekli değiştirmekte-dir. Örneğin; hesap makineleri önceleri çok pahalıydı fakat bugün ucuzladı ve yaygınlaştı. Önceden kâ-ğıt-kalem ile yapmak zorunda kaldığımız ve günlük yaşamda ihtiyaç duyduğumuz pek çok hesaplama-yı artık hesap makineleri ile daha kolay yapabilmekteyiz. Bu değişimin doğal sonucu olarak matematikeğitiminde kâğıt-kalem ile hesaplamaların önemi azalırken tahmin edebilme, problem çözme gibi be-ceriler önem kazanmıştır.

Matematik, örüntülerin ve düzenlerin bilimidir. Bir başka deyişle matematik sayı, şekil, uzay, büyük-lük ve bunlar arasındaki ilişkilerin bilimidir. Matematik, aynı zamanda sembol ve şekiller üzerine kurul-muş evrensel bir dildir. Matematik; bilgiyi işlemeyi (düzenleme, analiz etme, yorumlama ve paylaşma),üretmeyi, tahminlerde bulunmayı ve bu dili kullanarak problem çözmeyi içerir.

Matematik eğitimi, bireylere fiziksel dünyayı ve sosyal etkileşimleri anlamaya yardımcı olacak genişbir bilgi ve beceri donanımı sağlar. Deneyimlerini analiz edebilecekleri, karşılaştığı problemleri açıkla-yabilecekleri, tahminde bulunabilecekleri ve çözebilecekleri bir dil ve sistematik kazandırır. Ayrıca yara-tıcı düşünmeyi kolaylaştırır ve estetik gelişimi sağlar. Bunun yanı sıra, çeşitli matematiksel durumlarınincelendiği ortamlar oluşturarak bireylerin akıl yürütme becerilerinin gelişmesini hızlandırır.

YENİ MATEMATİK PROGRAMININ VİZYONU

Matematik programı; matematik eğitimi alanında yapılan millî ve milletlerarası araştırmalar, gelişmiş ül-kelerin matematik programları ve ülkemizdeki matematik eğitimi deneyimleri temel alınarak hazırlanmış-tır. Matematik programı, "Her çocuk matematiği öğrenebilir." ilkesine dayanmaktadır. Matematikle ilgili kav-ramlar, doğası gereği soyut niteliklidir. Çocukların gelişim düzeyleri dikkate alındığında bu kavramlarındoğrudan algılanması oldukça zordur. Bu nedenle matematikle ilgili kavramlar, somut ve sonlu yaşam mo-dellerinden yola çıkılarak ele alınmıştır. Programda, kavramsal öğrenme ile birlikte işlem becerilerine deönem verilmektedir. Programın önemli hedeflerinden bazıları öğrencilerin bağımsız düşünebilme ve kararverebilme, öz düzenleme gibi bireysel yetenek ve becerilerinin geliştirilmesidir.

Matematiği öğrenmek; temel kavram ve becerilerin kazanılmasının yanı sıra matematikle ilgili düşün-meyi, genel problem çözme stratejilerini kavramayı ve matematiğin gerçek yaşamda önemli bir araç oldu-ğunu takdir etmeyi de içermektedir. Hayatında matematiği kullanabilen, problem çözebilen, çözümlerinive düşüncelerini paylaşabilen, ekip çalışması yapabilen, matematikte öz güven duyabilen ve matematiğeyönelik olumlu tutum geliştiren bireyler yetiştirilmesi büyük önem taşımaktadır. Bu çerçevede matematikprogramında, matematiği öğrenmenin zengin ve kapsamlı bir süreç olduğu görüşü benimsenmiştir.

10

—————————————————————————* MEB, Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı, İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu 1-5.

Sınıflar, Ankara 2005.

PROGRAMIN YAKLAŞIMI

Bu program matematikle ilgili kavramları, kavramların kendi aralarındaki ilişkileri, işlemlerin altındayatan anlamı ve işlem becerilerinin kazandırılmasını vurgulamaktadır. Programın odağında kavram veilişkilerin oluşturduğu öğrenme alanları bulunmaktadır. Kavramsal yaklaşım, matematikle ilgili bilgilerinkavramsal temellerinin oluşturulmasına daha çok zaman ayırmayı; böylece kavramsal ve işlemsel bilgive beceriler arasında ilişkiler kurmayı gerektirmektedir.

Benimsenen kavramsal yaklaşımla; öğrencilerin somut deneyimlerinden, sezgilerinden matematik-sel anlamları oluşturmalarına ve soyutlama yapabilmelerine yardımcı olma amaçlanmıştır. Bu yaklaşım-la; matematiksel kavramların geliştirilmesinin yanı sıra, bazı önemli becerilerin geliştirilmesi de hedef-lenmiştir. Bu beceriler; problem çözme, iletişim kurma, akıl yürütme ve ilişkilendirmedir. Öğrenciler et-kin şekilde matematik yaparken problem çözmeyi, çözümlerini ve düşüncelerini paylaşmayı, açıklama-yı ve savunmayı, matematiği hem kendi içinde hem de başka alanlarla ilişkilendirmeyi ve zengin mate-matiksel kavramları öğrenirler.

Matematik programı, öğrencilerin matematik yapma sürecinde etkin katılımcı olmasını esas almak-tadır. Bu yaş grubundaki öğrenciler çevreleriyle somut nesnelerle ve akranlarıyla etkileşimlerinden ken-di düşüncelerini oluştururlar. Matematik öğrenme etkin bir süreç olarak ele alınmıştır. Programda; öğ-rencilerin araştırma yapabilecekleri, keşfedebilecekleri, problem çözebilecekleri, çözüm ve yaklaşımla-rını paylaşıp tartışabilecekleri ortamların sağlanmasının önemi vurgulanmıştır. Öğrencilerin matemati-ğin estetik ve eğlenceli yönünü keşfetmelerini ve etkinlik yaparken matematikle uğraştıklarının farkın-da olmalarını sağlamak büyük önem taşımaktadır.

Programda öğretmen ve öğrencilerin rollerinde farklılıklar vardır. Öğrencinin rollerinden bazıları; öğ-renme sürecinde zihinsel ve fiziksel olarak aktif katılımcı, öğrenmesinden sorumlu olan, konuşan, sorusoran, sorgulayan, düşünen, tartışan, anlayan, problem çözebilen ve kuran, birlikte çalışabilen ve de-ğerlendirendir.

Öğretmenin rollerinden bazıları ise kendini geliştiren, yönlendiren, motive eden, etkinlik geliştiren veuygulayan, sorgulayan, soru sorduran, düşündüren, tartıştıran, dinleyen, birlikte çalışabilen ve değer-lendirendir.

ÖĞRENME ALANLARI VE AMAÇLARI

Sayılar

• Sayıları tanır, anlamlarını bilir ve kullanır.• Basamak kavramını bilir ve kullanır.• Sayılarla işlem yapar.• Dört işlemi bilir ve problem çözmede kullanır.• Tahmin eder ve zihinden işlem yapar.• Kesirler, yüzdeler ve ondalık kesirler arasındaki ilişkileri bilir.• Sayı örüntülerinde yer alan sayılar arasındaki ilişkileri belirler ve bu ilişkileri problem durumlarına

uygular. Geometri

• Uzamsal (durum-yer, doğrultu-yön) ilişkilerle ilgili beceriler geliştirir ve kullanır.• Geometrik cisim ve şekillerin özelliklerini bilir ve bunları problem çözümlerinde kullanır. • Geometrik cisim ve şekiller arasındaki ilişkileri belirler ve çıkarımlarda bulunur.

11

• Geometrik araçları kullanır.• Geometrik cisim ve şekillerden, yeni cisim ve şekiller elde eder, bunlarla süslemeler yapar.• Geometrik cisim ve şekilleri oluşturur ve çizer.• Simetriyi bilir ve kullanır.• Şekillerle örüntüler oluşturur.Ölçme

• Standart birimlerin kullanımının gerekliliğini anlar.• Standart ve standart olmayan ölçme birimleriyle tahmin yapar ve ölçme yaparak tahminini kontrol

eder. • Günlük yaşamda ölçmenin önemini takdir eder.Veri

• Veri toplar, toplanan veriyi şema, grafik ve resimlerle temsil eder.• Tabloları, şemaları, resim, şekil, sütun ve çizgi grafiklerini okur ve yorumlar.• Olayların olma olasılıkları hakkında tahminlerde bulunur ve yorum yapar.

BECERİLER

Matematik programı, diğer derslerin programlarında (hayat bilgisi, Türkçe, fen ve teknoloji, sosyalbilgiler) olduğu gibi öğrencilerin aşağıda belirtilen ortak becerileri kazanmalarını hedeflemektedir:

• Türkçeyi doğru, etkili ve güzel kullanma• Eleştirel düşünme• Yaratıcı düşünme• İletişim• Problem çözme• Araştırma • Karar verme• Bilgi teknolojilerini kullanma• GirişimcilikMatematik programı, yukarıda belirtilen ortak becerilerle birlikte problem çözme, iletişim, ilişkilendir-

me ve akıl yürütme gibi temel matematik becerilerin üzerinde önemle durmaktadır. Bu becerilerin ma-tematik dersi için taşıdığı önem aşağıda açıklanmıştır.

Problem Çözme: Matematik dersinin ve etkinliklerinin ayrılmaz bir parçası problem çözmedir. Prob-lem, çözüm yolu önceden bilinen alıştırma ve soru olarak algılanmamalıdır. Bir matematiksel durumunproblem olabilmesi için çözüme ulaşma yolunun açık olmaması ve öğrencinin mevcut bilgileri ile akıl yü-rütme becerilerini kullanması gerekmektedir. Problem çözmeye algoritmik ve kural temelli yaklaşılma-malıdır. Problem çözme, başlı başına konu değil, bir süreçtir. Bu süreçte, problem çözme becerilerininöğrenilmesi ve kullanılması hedeflenmiştir.

Problem çözme kapsamlı bir şekilde ele alınmalıdır. Öğrencilerin problemleri farklı yollardan çözebi-leceği ve problem çözme ile ilgili düşüncelerini akran ve öğretmenleriyle rahatlıkla paylaşabileceği sınıfortamları oluşturulmalıdır. Ayrıca öğrenciler, problem çözme sürecinde farklı çözüm yollarına değer ver-meyi öğrenmelidir.

12

Matematik dersinde seçilen problemler, öğrencilerin günlük yaşamında gereksinim duyduğu konularve okulda yaptığı etkinliklerle ilgili ve ilginç olmalıdır. Bu durumda öğrencilerin, kazandıkları matematik-sel bilgi ve beceriler daha anlamlı olacak ve bu bilgiyi farklı durumlara uygulamaları kolaylaşacaktır.

Problem çözme sürecinde, problemin cevabından çok çözüm yoluna önem verilmelidir. Öğrencininproblemi nasıl çözdüğü, problemdeki hangi bilgilerin bu çözüme katkıda bulunduğu, problemi nasıl tem-sil ettiği (tablo, şekil, somut nesne vb.), seçtiği stratejinin ve temsil biçiminin çözümü nasıl kolaylaştırdı-ğı üzerinde durulmalıdır. Öğrenciler, problem çözerken farklı stratejiler kullanabilmelidir. Problemi anla-manın, plan yapmanın, kontrol etmenin ve farklı stratejiler kullanmanın önemini anlamaları sağlanmalı-dır. Problem çözme yolları öğrenciye doğrudan verilmemeli, öğrencilerin kendi çözüm yollarını oluştur-maları için uygun ortam sağlanmalıdır. Sınıf içi tartışmalarla en iyi ve en kolay çözüm yollarına birliktekarar verilmelidir.

Öğrenciler, problemi her zaman tam olarak çözmek zorunda bırakılmamalıdır. Örneğin; problemi an-layıp anlamadığı ile ilgili sorular sorulabilir. Problemde eksik veya fazla bilgi olup olmadığı, probleminfarklı biçimde ifade edilmesi vb. istenebilir. Ayrıca öğrencilerin benzer problemler oluşturmalarına fırsattanınmalıdır.

Öğrenciler, problem çözme sürecinde başarı kazandıkça kendi çözüm yollarına değer verildiğini his-settikçe kendilerinin de matematik yapabileceklerine ilişkin güvenleri artar. Böylece öğrenciler problemçözerken daha sabırlı ve yaratıcı bir tutum içine girerler. Matematiği kullanarak iletişim kurmayı öğrenir-ler ve üst düzey düşünme becerilerini geliştirirler.

Problem çözme becerisi kazandırılırken öğrencilerde aşağıdaki becerilerin de geliştirilmesi hedeflen-miştir:

1. Problem çözmeyi, matematiksel kavramları irdeleme ve anlama için kullanma2. Matematiksel ve günlük yaşam durumlarını kullanarak problem kurma3. Çözümlerin probleme uygunluğunu ve akla yatkınlığını kontrol etme ve yorumlama4. Matematiği anlamlı bir şekilde kullanmak için öz güven ve olumlu tutum geliştirebilme5. Değişik problemleri çözebilmek için farklı problem çözme stratejileri kullanabilme• Deneme-yanılma• Şekil, resim, tablo vb. kullanma• Materyal (malzeme) kullanma • Sistematik bir liste oluşturma• Örüntü arama• Geriye doğru çalışma• Tahmin ve kontrol etme• Varsayımları kullanma• Problemi başka bir biçimde ifade etme• Problemi basitleştirme• Problemin bir bölümünü çözme• Benzer bir problem çözme• Akıl yürütme• İşlem seçme

13

Problem çözme becerileri değerlendirilirken farklı stratejiler kullanılarak çözülebilecek problemlereyer verilmelidir. Problem çözmede, stratejiler bazen tek başına kullanılabileceği gibi birkaç strateji bir-likte kullanılabilir.

Uygun aralıklarla bir problemin çözümünden hemen sonra öğrencilerin problem çözme stratejileri ile il-gili öz değerlendirme yapmaları istenir. Böylece öğrenciler, değerlendirme sürecine katılmış olur ve prob-lem çözme stratejilerini ne kadar bildikleri ve uyguladıkları görülebilir. Bu çalışmayı ders yılının ilk dört ayın-da yapmak yeterli olabilir. Çünkü bu zaman diliminde öğrenciler stratejiler hakkında bilgi sahibi olurlar.

İletişim: Matematik, aralarında anlamlı ilişkiler bulunan, kendine özgü sembolleri ve terminolojisiolan bir sistemdir. Eğer öğrencilerin matematiksel dili doğru ve etkili bir şekilde kullanabilmesi amaçla-nıyorsa bu dil öğrenci için anlamlı olmalıdır. İletişim, öğrencilerin sezgiye dayalı bilgileriyle soyut mate-matik dili ve sembolleri arasında köprü kurmada önemli bir rol oynar. Aynı zamanda iletişim, matema-tiksel düşüncelerin fiziksel, resimsel, grafiksel, sözel, zihinsel ve sembolik temsilleri arasında önemlibağlar kurulmasını sağlar. Öğrenciler bir temsil biçiminin birden fazla durumu gösterdiğini anladığı za-man, matematiğin gücünü takdir etmeye başlar. Ayrıca bir problemi temsil etmenin bazı yollarının diğer-lerinden daha kolay ve etkili olduğunu gördüğünde matematiğin yararlarını ve esnekliğini takdir eder.Böylece öğrenciler, matematikte bir problemi çözmenin ve temsil etmenin birden fazla yolu olduğununfarkına varır.

Öğrencilerin matematiğe dayalı iletişim becerilerini geliştirmek için sınıf ortamında düşüncelerini ak-ranlarıyla rahatça paylaşabilmeleri gerekir. İletişim becerisini geliştirmenin bir diğer yolu ise matematikhakkında yazı yazmaktır. Bir problemin nasıl çözüldüğünü ve bir kuralın ne anlama geldiğini açıklamakamacıyla öğrencilere yazılar yazdırılabilir. Matematik hakkında konuşmak ve yazmak iletişim becerisinigeliştirirken öğrencilerin matematiksel kavramları daha iyi anlamalarına da yardımcı olur. Öğretmen, öğ-rencilerin düşüncelerini açıklayabileceği, tartışabileceği ve yazı ile anlatabileceği sınıf ortamları oluştur-malı ve öğrencilerin daha iyi iletişim kurabilmesi için uygun sorgulamalarda bulunmalıdır.

İletişim becerisinin kazanılabilmesi için öğrencilerde aşağıdaki alt becerilerin geliştirilmesi hedeflen-miştir:

1. Somut model, şekil, resim, grafik, tablo vb. temsil biçimlerini kullanarak matematiksel düşüncele-rini ifade etme

2. Matematik ve problemler hakkındaki düşüncelerini açık bir şekilde sözlü ve yazılı ifade etme3. Günlük dili, matematiksel dil ve sembollerle ilişkilendirme4. Matematik hakkında konuşma, yazma, tartışma ve okumanın önemini fark etmeAkıl Yürütme: Matematik eğitiminin önemli bir amacı da öğrencilerin matematik yapabileceklerine,

kendi başarı ve başarısızlıkları üzerinde kontrol sahibi olduklarına inanmalarını sağlamaktır. Bu inanç-la, akıl yürütmede ve düşüncelerini savunmada öz güvenlerini geliştirerek matematik öğrenmenin kuralve formülleri ezberlemekten ibaret olmadığını; matematiğin keyifli, anlamlı ve mantıklı bir uğraş olduğu-nu görürler. Matematiğe dayalı akıl yürütmenin değer verildiği böyle ortamlarda, öğrencilerin problemçözme ve iletişim becerileri de gelişir.

Matematik dersinde öğrencilerin ve öğretmenlerin ifadeleri, sınıftaki diğer öğrencilerin eleştirisine,sorgulamasına ve değerlendirmesine açık olmalıdır. Bunun sağlanabilmesi için karşılıklı saygının hâkimolduğu sınıf ortamları oluşturulmalıdır. Öğrencilere, matematikte akıl yürütebilmenin, düşüncelerini açık-layabilme ve savunabilmenin öneminin hissettirilmesi gerekmektedir. Bu amaçla bir problemin çözümükadar, nasıl çözüldüğünün de önemi vurgulanmalıdır.

14

Akıl yürütme becerisinin kazanılabilmesi için öğrencilerde aşağıdaki becerilerin geliştirilmesi hedef-lenmiştir:

1. Mantığa dayalı çıkarımlarda bulunma2. Kendi düşüncelerini açıklarken matematiksel modeller, kurallar ve ilişkileri kullanma3. Probleme ilişkin çözüm yollarını ve cevapları savunma4. Bir matematiksel durumu analiz ederken örüntü ve ilişkileri kullanma5. Matematiğin mantıklı ve anlamlı bir alan olduğuna inanma6. Matematikteki örüntü ve ilişkileri analiz etme7. Tahminde bulunmaTahmin Stratejileri: Hem günlük yaşantımızda hem de bilimsel süreçlerde tahmin sıkça kullanılır. Ör-

neğin; arkeolojik kazılarda bulunan nesnelerin ne kadar eski olduğunu belirlemede, ülkelerin ve şehir-lerin nüfuslarını belirlemede ve daha pek çok yerde tahmine başvurulur. Tahmin günlük yaşantımızdabazen gerçek ölçümler kadar kullanışlıdır.

Matematik Öğretim Programı’nda iki temel tahmin stratejisi ele alınmaktadır:İşlemsel tahmin ve ölçmeye dayalı tahmin İşlemsel Tahmin: Aritmetik işlemlerin sonuçlarının hesap yapılmadan yaklaşık olarak belirlenmesidir.

İşlemsel tahmin becerisi gelişmiş kişilerin, genel matematik becerilerinin de iyi olduğu gözlemlenmek-tedir. Tahmin yaparken birtakım stratejiler kullanılabilir. Bazı işlemsel tahmin stratejileri aşağıda verilmiş-tir. İşlemsel tahminde kullanılabilecek stratejiler burada verilenlerle sınırlı değildir. Ders sırasında bura-da sunulanlara benzer tahmin stratejileri kullanılabileceği gibi öğrencilerin geliştirebilecekleri tahminstratejileri de desteklenmelidir.

Yuvarlama: İşlemdeki sayıların uygun değerlere (ileriye veya geriye) yuvarlanarak sonucun tahminedilmesidir.

Örnek: 150+237 işleminin sonucu tahmin edilirken 237 sayısı 250’ye yuvarlanabilir ve sonra 150 iletoplanabilir. 237 sayısı 200’e yuvarlanabilir ve sonra 150 ile toplanabilir.

• 27x75 işleminin sonucunu tahmin etmek için sayılar yuvarlanır: 30x70=2100Burada dikkat edileceği gibi sayılardan bir tanesi yukarıdaki onluğa diğeri ise aşağıdaki onluğa yu-

varlanmıştır. Böylece daha iyi bir tahmin elde edilmiştir. Her ikisi de yukarı yuvarlanmış olsaydı dahauzak bir tahmin elde edilecekti.

Gruplandırma: İşlemdeki sayılar, belirli bir değere yakın ise sayılar bu değer/değerler bazında grup-landırılarak sonuç tahmin edilir.

Örnek : 330+330+330 işleminin sonucu tahmin edilirken 330x3=990 işlemi yapılabilir.• 4234+3971+4020+3840+4160 işlemindeki sayıların her biri 4000’e yakındır. 5 ile 4000 çarpılarak

işlemin sonucu 20 000 olarak tahmin edilir.Uyuşan Sayıları Kullanma: Zihinden hesaplanması kolay olan sayıların gruplandırılarak sonucun

tahmin edilmesidir.Örnek: 32+48+54+18+69 işleminde 32+69 işleminin sonucu 100; 48+54 işleminin sonucu da 100

olarak tahmin edilir. 18 de hesaba katılarak sonuç yaklaşık 218 olarak tahmin edilir. İlk veya Son Basamakları Kullanma: En soldaki veya en sağdaki basamakların toplanarak sonucun

tahmin edilmesidir.

15

Örnek: 1900+3050+609 işleminin sonucu tahmin edilirken verilen sayıların en soldaki basamak de-ğerleri toplanarak 1000+3000+600 = 4600 işlemin sonucu tahmin edilir.

• 3,4+4,7+3,2+6,8+9,2 sayılarını toplarken önce 3+4+3+6+9 toplamı bulunur. Bulunan sonuç en son-da bulunan basamaklar üzerinde çalışarak düzeltilir: 0,7 ile 0,4’ün toplamı yaklaşık 1; 0,8 ile 0,2’nin top-lamı da 1 ettiğinden 25’e 2 eklenerek işlemin sonucu 27 olarak tahmin edilir.

Dağılma: 76x89 işleminin sonucu tahmin edilirken (76 x100)–(76 x10)=7600–760 biçiminde dönüş-türülerek sonuç yaklaşık 6800 olarak tahmin edilir.

Düzenleme ve Düzeltme: Bu strateji elde edilen tahminsel sonucu gerçek sonuca daha uygun ve da-ha yakın hâle getirmek için kullanılır ve iki aşamada gerçekleşir:

• İşlemin ortasında yapılan düzenleme ve düzeltme• İşlemin sonunda yapılan düzenleme ve düzeltmeÖrneğin; 2124x13 işlemini bu stratejiyi kullanarak yapalım: 2124x13=(2100+24)x(10+3)2100x10=21 000 ise bu işlemdeki hata payı, (2100x3)+(24x13) olur. 2100 → 2000’e yuvarlanarak 2000x3=600021 000+6000=27 00024 → 30’a; 13 → 10’a yuvarlanarak 30x10=300 27 000+300=27 300 Ölçmeye Dayalı Tahmin: Ölçmeye dayalı tahmin herhangi bir ölçme aracı kullanmadan ölçülerin yak-

laşık olarak belirlenmesidir. Ölçmeye dayalı tahminde kullanılan en yaygın strateji belirli bir referansnoktasının dikkate alınmasıdır. Bu stratejide ölçüsü tahmin edilecek nesne, bilinen (zihindeki) bir refe-rans ölçüsü ile karşılaştırılır.

Öğrencilerin tahmin stratejileri kendiliğinden gelişmez. Öğrencilerden sıkça tahmin yürütmeleri, ölç-meleri ve tahminlerini kontrol etmeleri istenmelidir. Bu üçlü süreç hem stratejilerini pekiştirmeleri açısın-dan hem de tahmin becerilerinin gelişmesi açısından yararlı olacaktır.

İlişkilendirme: Öğrencilerin matematiğin yararlarını anlayabilmeleri için matematiksel kavram ve be-cerilerin hem birbirleriyle hem de okul içi ve okul dışı yaşantıları ile ilişkilendirilmesi gereklidir. Program-da, beş öğrenme alanı birbirinden bağımsız ele alınmış görünse de öğrenme alanlarının kendi içinde vediğer öğrenme alanlarıyla matematiksel kavramların ilişkilendirilmesinin gerekliliği vurgulanmaktadır.

Matematiksel kavramların geliştirilmesi bir ders saati ile sınırlandırılmadan süreç içinde gerçekleşti-rilmelidir. Matematiksel kavramlar arasındaki ilişkilerin araştırılması, tartışılması ve genelleştirilmesi deaynı süreç içinde ele alınmalıdır. Sınıfta ele alınan bir konunun, matematiğin diğer alanlarıyla ilişkisiaraştırılmalıdır. Öğrencilerden, kavram ve kurallar arasında karşılaştırmalar yapmaları istenmeli, onla-ra somut ve soyut temsil biçimleri arasında ilişkilendirme yapabilecekleri problemler çözdürülmelidir.

İlişkilendirme becerisinin kazanılabilmesi için öğrencilerde aşağıdaki alt becerilerin geliştirilmesi he-deflenmiştir:

1. Kavramsal ve işlemsel bilgiyi ilişkilendirme2. Matematiksel kavram ve kuralları çoklu temsil biçimleriyle gösterme3. Öğrenme alanları arasında ilişki kurma4. Matematiği diğer derslerde ve günlük yaşamında kullanma

16

Duyuşsal Özellikler : Programda, öğrencilerin olumlu duyuşsal gelişimi dikkate alınmıştır. Matema-tiksel kavram ve beceriler geliştirilirken öğrencilerde bu duyuşsal gelişim de göz önünde bulundurulma-lıdır. Tutum, öz güven ve matematik kaygısı duyuşsal boyutu içermektedir.

Duyuşsal boyutla aşağıdakiler hedeflenmektedir:1. Matematikle uğraşmaktan zevk alma2. Matematiğin gücünü ve güzelliğini takdir etme3. Matematikte öz güven duyma4. Bir problemi çözerken sabırlı olma5. Matematiği öğrenebileceğine inanma6. Matematikle ilgili olumlu tutum ve başarısını etkileyecek kaygılara kapılmama7. Matematikle ilgili konuları tartışma8. Matematik öğrenmek isteyen kişilere yardımcı olma9. Gerçek hayatta matematiğin öneminin farkında olma

10. Matematik dersinde istenenleri yerine getirme11. Matematik dersinde yapılması gerekenler dışında da çalışmalar yapma12. Matematik kültürünü yaşamına uygulama13. Matematikle ilgili çalışmalarda yer alma14. Matematiğin bilimsel ve teknolojik gelişmeye katkısının farkında olma15. Matematiğin kişinin yaratıcılığını ve estetik anlayışını geliştirdiğine inanma16. Matematiğin mantıksal kararlar vermeye katkıda bulunduğuna inanma17. Matematiğin zihinsel gelişime olumlu etkisi olduğunu düşünmeÖz Düzenleme Yeterlikleri: Programda, öğrencilerin öz düzenleme ile ilgili özelliklerinin gelişimi

önemli bir yer tutmaktadır. Öz düzenleme ile ilgili açıklamaların bir kısmı "beceriler" ve "duyuşsal boyut"ile ilgili bölümlerde yer almıştır.

Öz düzenlemede, gerekli yeterliğe sahip olunması için aşağıdakiler hedeflenmiştir:1. Matematikle ilgili konularda kendini motive etme2. Matematik dersi için hedefler belirleyerek bunlara ulaşmada kendini yönlendirme3. Matematik dersinde istenenleri zamanında ve düzenli olarak yapma4. Matematikle ilgili çalışmalarda kendi kendini sorgulama5. Gerektiğinde ailesinden, arkadaşlarından ve öğretmenlerinden yardım isteme6. Matematik dersine verimli bir şekilde çalışma7. Matematik sınavlarında heyecanlı ve panik hâlde olmama8. Matematik dersinde ilişkilerinde saygının, değer vermenin, onurun, hoşgörünün, yardımlaşmanın,

paylaşmanın, dürüstlüğün ve sevginin önemini takdir etme9. Matematik dersinde yapılan çalışmalarda temiz ve düzenli olma

10. Matematik dersinde eşyaları ve materyalleri kullanırken özen göstermePsikomotor Beceriler: Programda, öğrencilerin psikomotor becerilerinin gelişimine önem verilmektedir. Psikomotor becerilerin geliştirilebilmesi için aşağıdakiler hedeflenmiştir:1. Yüzlük tabloyu, onluk kartları, onluk taban bloklarını, yüzdelik daireyi, onluk ve yüzdelik kareleri,

şeffaf sayma pullarını, abaküsü etkin kullanma17

2. Kesir kartlarını, dairelerini ve takımlarını etkin kullanma3. Milimetrik, noktalı, kareli ve izometrik kâğıtları, geometri şeritlerini, geometri tahtasını, birim küple-

ri ve tangramı etkin kullanma4. Çarkı etkin kullanma5. Makas ve maket bıçağını etkin kullanma6. Pergel, cetvel, iletki ve gönyeyi etkin kullanma7. Grafikleri uygun bir şekilde çizme8. Kâğıtları katlayarak ve keserek geometrik şekiller, matematiksel ilişkiler, desenler, süslemeler

oluşturma 9. Hesap makinesini ve bilgisayar yazılımlarını etkin kullanma10. Litre ve mililitrelik kapları etkin kullanma11. Kilogram ve gram takımlarını etkin kullanma 12. Saat modelini etkin ve doğru biçimde kullanma13. Farklı modeller oluşturarak bu modelleri etkin biçimde kullanma

MATEMATİK ÖĞRETİMİ VE ÖĞRENME

Matematik programının, başarı ile uygulanmasında birtakım öğretim stratejileri dikkate alınmalıdır.Öğrenci, öğrenme sürecinde etkin katılımcı olmalıdır. Öğrencinin sahip olduğu bilgi, beceri ve düşünce-ler, yeni deneyim ve durumlara anlam yüklemek için kullanılmalıdır. Öğrencilerin kazandıkları yeni bil-gileri, eski bilgilerle ilişkilendirerek yorumlaması esas alınmalıdır. Bir başka ifadeyle, öğrencilerin birey-sel anlamalarını sağlayabilecek ortamlar oluşturulmalıdır. Sınıf içi tartışmalar, ortak matematiksel doğ-ruları ve anlamları oluşturmak için kullanılmalıdır. Bu nedenle öğretmen, sınıfa iyi yapılandırılmış etkin-likler planlayarak gelmelidir.

Öğretim Somut Deneyimlerle Başlamalıdır: Küçük yaştaki öğrenciler, bilgilerin somut modellerletemsil edildiği öğrenme ortamlarında daha anlamlı öğrenirler. Dolayısıyla matematik öğretiminde somutmodellerin kullanılması oldukça yararlıdır. Öğretimde bilginin farklı biçimlerde temsil edildiği durumlarkullanılmalıdır (semboller, somut araçlar, resimler, sözlü ve yazılı ifadeler vb.). Programın etkinlikler sü-tununda bu konuyla ilgili pek çok öneri sunulmaktadır.

Öğretimin somut deneyimlerle başlaması, öğrenci başarısını sağlamak için tek başına yeterli değil-dir. Öğretmen, dersini planlarken seçeceği etkinliklerin amaca uygunluğuna, güdüleyici olmasına ve öğ-rencinin akıl yürütme becerilerini kullanmasına dikkat etmelidir.

Anlamlı Öğrenme Amaçlanmalıdır: Öğrencilerin, bilgileri yalnızca hatırlamaları ve tanımaları değil;öğrendiklerinin arkasında yatan anlamı kavramaları hedeflenmelidir. Öğrencilerin anlamlı öğrenmeleri;bilgiyi farklı ortamlarda uygulayabilmeleri, kavramlar arası ilişkiyi kurabilmeleri, bilgiyi çeşitli temsil bi-çimlerine dönüştürebilmeleriyle yakından ilgilidir. Öğretimde bu becerilerin gelişmesine özel önem veril-melidir. Örneğin; öğrencilerin iki doğal sayıyı toplayabilmelerinin yanı sıra, hangi durumlarda toplamayapmanın uygun olacağını kavraması veya toplamada eldenin ne anlama geldiğini anlaması da önem-senmelidir.

Öğrenciler Matematik Bilgileriyle İletişim Kurmalıdır: Öğrenmede iletişimin önemli bir rolü vardır.İletişim kurmak, öğrencileri bildiklerini yeniden gözden geçirmeye, toparlamaya ve yapılandırmaya yö-neltecektir. İletişim, bir rapor veya hikâyenin hazırlanıp sınıfta sunulması, bir matematik probleminin ku-rulması, bir problemin çözümünün anlatılması gibi farklı biçimlerde olabilir. İletişim, öğrencilerin öğret-men tarafından daha iyi değerlendirilmesine de yardımcı olacaktır.

18

İlişkilendirme Önemsenmelidir: Matematik bilgilerinin, hem gerçek hayatla hem de diğer dersler-de öğrenilenlerle ilişkilendirilmesine önem verilmelidir. Günlük yaşamda, birçok durumda çeşitli zorlukderecelerinde matematiğe ait problemler karşımıza çıkmakta ve matematik pek çok meslek dalında kul-lanılmaktadır. Bu nedenle problemler, öğrencilerin matematiğin günlük hayattaki kullanımını açık biçim-de görmelerine yardımcı olacak şekilde seçilmelidir. Öğrenciler matematiğin diğer derslerde de kullanı-labildiğini gördüklerinde, kazanımları daha anlamlı olacaktır. Bu amaçla matematik dersi belli başlı aradisiplinlerle ilişkilendirilmiştir.

Programın kazanımlarıyla ilişkilendirilen ara disiplinler aşağıda sıralanmıştır:• Sağlık Kültürü• İnsan Hakları ve Vatandaşlık• Girişimcilik• Kariyer Bilinci Geliştirme• Rehberlik ve Psikolojik Danışma• Spor Kültürü ve Olimpik Eğitim• Afet Eğitimi ve Güvenli YaşamEtkinlikler planlanırken ve yürütülürken alt öğrenme alanlarındaki kazanımlar ile ara disiplinlerin ka-

zanımlarının aynı anda edinilmesine dikkat edilmelidir.Öğrenci Motivasyonu Dikkate Alınmalıdır: Öğrencilerin matematik dersinde istekli olmaları, moti-

vasyonları ile ilgilidir. Öğrencilerin derse yönelik motivasyonlarını yükseltmek için öğretmenin alabilece-ği çeşitli önlemler vardır. Her şeyden önce öğrencilerin matematiği anlamlı öğrenmeleri, onların derseyönelik tutumlarını olumlu yönde etkileyecektir. Öğrencilere verilecek ödevler, sınıf etkinlikleri ve ben-zeri çalışmaların öğrenci için anlamlı olması, bu açıdan oldukça önemlidir. Öte yandan bütün öğrenci-ler aynı biçimde motive edilemezler. Bazı öğrenciler başarı ile motive olurken bazıları oyun, bulmaca,ilginç problemler vb. etkinliklere daha çok ilgi duyabilir. Kimi öğrenciler ise öğrendiklerini uygulama şan-sı yakaladığı zaman derse daha çok ilgi duyar. Sonuç olarak öğrencilerin bireysel farklılıklarını dikkatealarak matematiği öğrenmeye yönelik motivasyonlarının geliştirilmesine önem verilmelidir.

Teknoloji Etkin Kullanılmalıdır: Günümüzde teknoloji büyük bir hızla gelişmekte ve anlamlı mate-matik öğretimi için yeni fırsatlar oluşturmaktadır. Bilgisayar teknolojisinin sürekli gelişmesi sonucunda;öğretim yazılımlarının hem niteliği hem de niceliği artmakta, alternatifler sürekli çoğalmaktadır. Örneğin;dinamik geometri yazılımları sayesinde öğrenciler geometrik çizimler oluşturabilmekte ya da öğretme-nin hazırladığı dinamik geometrik şekiller üzerinde etkileşimli incelemeler yapabilmektedir. Öte yandanİnternet üzerinde, öğretmenlerin yararlanabileceği kaynaklar da her geçen gün artmakta, Türkçe ve di-ğer dillerdeki çeşitli ders planlarına ve sınıfta kullanılabilecek etkileşimli uygulamalara erişilebilmektedir.Millî Eğitim Bakanlığı İnternet sitesinde öğretmenlerin yararlanabilecekleri kaynakların bir listesi bulun-maktadır (http://www.meb.gov.tr).

Hesap makineleri de matematik öğretiminde yararlanılabilecek bir diğer önemli araçtır. Hesap maki-neleri sayesinde öğrenciler daha gerçekçi matematik problemleri üzerinde çalışabilecek, uzun işlemler-den kazanacakları zamanı akıl yürütmede ve yaratıcı düşünmede değerlendirebileceklerdir. Hesap ma-kineleri öğrencilerin bütün hesaplamalarda başvurdukları bir araç olmamalıdır. Öğrencilerin hesap ma-kinesini yerinde kullanmayı öğrenmesine önem verilmelidir.

19

İş Birliğine Dayalı Öğrenmeye Önem Verilmelidir: İş birliğine dayalı öğrenme yöntemi, ortak biramacı başarmak için öğrencilerin bir ekip olarak çalışmasıdır. İş birliğine dayalı öğrenme yöntemininbeş önemli unsuru vardır:

• Ekip üyeleri, kendilerinden istenilenleri öğrenmekle ve bütün grup elemanlarının öğrenmesini sağ-lamakla sorumludur.

• Ekip üyeleri, diğer üyelerin başarılarını artırmada birbirlerine katkıda bulunmalı, destek olmalı, bir-birlerini cesaretlendirmeli ve üyelerin harcadıkları çabaları takdir etmelidir.

• Ekip olarak bireysel çabalarının ekip başarısını etkileyeceğinin farkında olmalı ve sorumluluklarınıyerine getirmelidir.

• Ekip üyeleri, aralarında iyi bir iletişim kurmalı ve grup içindeki çatışmaları en iyi şekilde çözümle-yebilmelidir.

• Ekip üyeleri, yapılan çalışma ve ürünler üzerinde hemfikir olmalıdır. Her ekip, kendi çalışmaları-nın değerlendirmesini yaparak çalışmaların sürekli ve etkili olmasını sağlamalıdır. İş birliğine dayalı öğ-renmede; öğrencilerin başarı düzeyleri, cinsiyetleri, kişilik özellikleri dikkate alınarak homojen veya he-terojen gruplar oluşturulmalıdır.

İş birliğine dayalı öğrenmenin birçok olumlu ürünü vardır. İş birliğine dayalı öğrenme; öğrencide eleş-tirel düşünme, problem çözme gibi becerileri geliştirir. Bu yolla öğrenilen bilgilerin kalıcılığı artar. Ayrıcaiş birliğine dayalı öğrenme, öğrencilerin duyuşsal ve sosyal gelişimine olumlu katkıda bulunur. Örneğin;bir gruba ait olma duygusu, başkalarının becerilerine ve yeteneklerine karşı duyarlı olma, liderlik ve ile-tişim becerileri, öğretmenden bağımsız olarak öğrenebilme duygusu, risk alabilme vb. becerilerin geli-şimine ortam sağlar.

İşlenişler Uygun Öğretim Aşamalarına Göre Düzenlenmelidir

Giriş: Öğrencinin işlenecek konuya yönelik merakını, motivasyonunu, ilgisini sağlamak ve ön bilgi-lerini ortaya çıkarmak amacıyla kısa süreli açık uçlu etkinlikler, sorular, resimler vb. ile yapılan hazırlıkçalışmalarıdır.

İnceleme/Araştırma: Öğretimin bu aşamasında öğrencilere inceleme, araştırma, vb. çalışmalar ya-pacakları, derse etkin katılacakları bir etkinlik yaptırılır. Bu etkinliğin girişle ilgili olmasına dikkat edilir.Bu aşamanın en önemli noktası öğrencilerin ve öğretmenin aldıkları rollerdir. Öğrencilerin mutlaka ken-di başlarına (grup ya da bireysel olarak) tamamlayacakları çalışmalar seçilmelidir. Öğretmen etkinlikler-de öğrencilere çok iyi bir yol gösterici olmalıdır. Fakat öğrencilerin kendi başlarına ulaşmaları gerekensonuçlar öğretmen tarafından önceden açıklanmamalıdır. Öğrencilerin etkinliğin sonucuna kendi başla-rına ulaşmasına yardımcı olacak sorular ve yönlendirmeler yapılmalıdır.

Açıklama: İlk iki aşamada yapılan çalışmalar ile ilgili açıklamalar yapılmalıdır. İlerleme: Konu ile ilgili öğrenilen/oluşturulan kavramların ve becerilerin pekişmesi ve geliştirilmesi

amacıyla yapılan etkinlikler vb. çalışmalardır. İnceleme etkinliğinde bir konuya giriş amacı taşıyan ça-lışmalar yapılırken burada konu ile ilgili daha üst düzey beceriler hedefleyen etkinlikler yapılmalıdır.

Değerlendirme: Hem öğrencilerin kendi performanslarını görebilecekleri hem de öğretmenin öğren-ci performansı hakkında çok yönlü bilgi alabileceği süreç ve sonucu değerlendirmeye yönelik çalışma-lardır. Değerlendirme yöntem ve tekniklerinde çeşitlilik sağlanması esas alınmalıdır.

20


1 Ünite

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

Süre : 4 Ders saati Öğrenme Alanı : SayılarAlt Öğrenme Alanı : Üslü Sayılar

Kazanımlar1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve

rasyonel sayı olarak ifade eder. 2. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların

kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü olarak yazar vedeğerini belirler.


Yöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-me, anlatım, soru-cevap, keşfetme.

Araç-Gereç: kâğıt, kalem, hesap makinesi

Ön Kazanımlar: 1. Tam sayıların kendileri iletekrarlı çarpımını üslü nicelik olarak ifade eder.

Zorunlu Program Uyarıları [!] Üslü bir tam sayının işaretinin, tam sayı pozi-

tif ise pozitif; negatif ise kuvvetin çift veya tek olu-şuna göre pozitif veya negatif olacağı vurgulanır.

[!] n doğal sayı, a ! 0 olmak üzereolduğu vurgulanır.

Dikkat Çekme ve Motivasyon Öğrencilere, “Astronomide hangi birimlerin kul-

lanıldığını düşünüyorsunuz?”, “Çok büyük sayılarıgöstermenin farklı yöntemleri olabilir mi?” sorularısorulabilir.

Öğrenme-Öğretme Süreci • Ders kitabının 10. sayfasındaki fotoğraf hak-

kında öğrencilere görsel okuma ve görsel sunuyaptırılır.

• Fotoğrafa ait metin öğrencilere okutulur. • Metnin sonundaki sorular öğrencilere yönel-

tilerek öğrencilerin konuya motivasyonu sağlanır. • Öğrencilerin sorulara verdikleri cevaplar

hakkında yorum yapılmaması önerilir. • Mümkünse cevapları defterlerine not etme-

leri sağlanmalıdır. İşleniş sonunda bu cevaplarıtekrar kontrol etmeleri istenebilir.

• Böylelikle öğrencilerin kendi öğrenme süreç-lerini kontrol etmeleri sağlanabilir. Ders kitabının10. sayfasındaki etkinlik öğrencilere yaptırılır.

• Etkinlikte öğrencilerin akıl yürütme, iletişimve ilişkilendirme becerilerini etkin kullanmalarısağlanmalıdır.

• Matematikle ilgili kavramlar, doğası gereğisoyut niteliklidir. Öğrencilerin gelişim düzeyleridikkate alındığında bu kavramların doğrudan algı-lanması oldukça zordur. Bu nedenle matematikleilgili kavramlar, somut ve sonlu yaşam modellerin-den yola çıkılarak ele alınmalıdır. Bunu sağlamakiçin üslü sayıların günlük yaşamda nerelerde kul-lanıldığına dair örneklerin bulunması konunun so-mutlaştırılması açısından etkili olabilir.

• Yapılan çalışmalarla öğrencilerin bağımsızdüşünebilme, karar verebilme ve öz düzenlemegibi bireysel yetenek ve becerileri geliştirilebilme-lidir.

• Öğrenciler, matematikle ilgili kavramları,kavramların kendi aralarındaki ilişkileri, işlemlerinaltında yatan anlamı ve işlem becerilerini kavra-yabilmeli ve kazanabilmelidirler.

a a1nn=-


1 Ünite


1. Ünite

ÜSLÜ SAYILAR

• Yanda gösterildiği gibi bir tablo oluşturunuz.• Tablonun birinci sütunun ilk satırına 54 üslü sayısını yazınız.�54 üslü sayısını 5’in tekrarlı çarpımı şeklinde nasıl yazar-

sınız? • Bu ifadeyi tablonun “Sayının Tekrarlı Çarpımı” bölümünün

ilk satırına yazınız.• 54 üslü sayısının değerini bulup tablonuzda ilgili yere ya-

zınız (İsterseniz bu işlem için hesap makinesi kullanabilir-siniz.).

• Aynı işlemi sayının tabanı aynı kalmak üzere üs sayısını0’a kadar (0 dâhil) indirerek tekrarlayıp tabloda ilgili yerle-ri doldurunuz.�54 sayısının sonucu ile 53 sayısının sonucu arasında na-

sıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.�53 sayısının değeri ile 52 sayısının değeri arasındaki iliş-

ki nedir? Açıklayınız.• Benzer şekilde diğer sayılar arasındaki ilişkileri de açıklayınız.�Sayılar arasında nasıl bir örüntü oluşmuştur?�Bu örüntüye göre bir sonraki adımda “çarpım” ne olmalıdır?�Hangi sayı kümesine ait bir sayı buldunuz?�Bu sayıyı tekrarlı çarpım hâlinde nasıl yazabilirsiniz?

Açıklayınız.�Bu örüntüye göre bulduğunuz çarpım üslü sayı olarak na-

sıl yazılabilir?

• Aynı işlemi 2 adım daha devam ettiriniz.

�Oluşan çarpımları üslü sayı olarak nasıl yazdınız?

�Oluşan çarpımları sayının tekrarlı çarpımı olarak nasıl yazdınız?

�Bu yapılan işlemi matematiksel olarak nasıl ifade edebilirsiniz? Açıklayınız.

Bir Tam Sayının Negatif Kuvvetini Belirleyelim

kâğıt, kalem, hesap makinesi

Üslü SayıSayının Tekrarlı

ÇarpımıÇarpım

Tuğla ve kiremit kullanımı insanoğlunun oluşumu kadar eskiyedayanmaktadır. İlk tuğla veya kiremit üretim tesisi belki de insanlartarafından yapılan ilk evdir diyebiliriz. Pişmiş tuğlanın endüstriyel an-lamda ilk üretimi MÖ 4. yüzyılda Babil Kulesi’nın yapımında kullanıl-mıştır. Tarihçiler bu kulede 85 milyon adet tuğla kullanıldığını hesap-lamışlardır. Tuğlaların üst üste konulması yapıları oluşturmaktadır.

� Sayıların kendisiyle çarpımında her zaman büyük sayılar olu-şur mu?

• Ders kitabının 11. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir.

• İşlenişe ön bilgiler doğrultusunda başlamanınyararlı olabileceği düşünüldüğünden sayfadaki ilkörnekte pozitif bir sayının karesi alınmıştır. Ayrıcabu örnekte taban ve üs kavramları tekrar edilmiştir.Gerek duyulursa örnek sayısı artırılabilir.

• İkinci örnekte bir sayının pozitif ve negatif ol-ması durumunda kuvvetleri tek sayı olduğu takdirdenegatif sayının işaretinin değiştiğine dikkat çekilmekistenmiştir.

• Üçüncü örnekte ise tam sayılarda örüntüler-den yararlanarak sayıların pozitif ve negatif kuvvet-leri arasındaki ilişkinin sezdirilmesine çalışılmıştır.

• Öğrencilerin kavrama düzeyleri dikkate alına-rak benzer örüntüler oluşturmaları istenebilir.

• Üslü tam sayılarda sayının kuvveti alınırkensayının işaretinin pozitif veya negatif olmasının işa-reti değiştireceği vurgulanmalıdır.


• Sayfadaki birinci örnekte bir sayının 4’e tekrar-lı bölümü ile bir örüntü oluşturulmuştur. Aynı örüntü-den yararlanarak bir sayının sıfırıncı kuvvetinin 1’eeşit olduğu keşfettirilmeye çalışılmıştır.

• Yine öğrencilerin kavrama düzeyleri dikkatealınarak benzer örüntüler oluşturmaları istenebilir.

• Aynı örneğin devamında örüntülerden yararla-narak bir tam sayının negatif kuvvetinin bir rasyonelsayı olduğu keşfettirilmeye çalışılmıştır.

• Sayfadaki son örnekte ise bir üslü ifadenin pay-dan paydaya ve paydadan paya alınması durumun-da üssün işaretindeki değişime dikkat çekilmiştir.


1 Ünite


1. Ünite

Bir Tam Sayının Negatif Kuvveti

� 3$3= 9 işlemini inceleyerek önceki yıllarda öğrendiğimiz bilgilerimizi hatırlayalım:

Bu çarpma işleminin iki çarpanı da eşittir ve 3’tür. 3 ile 3’ün çarpımı olan 9 sayısına 3’ün karesi denir.

3 3 = 32 = 9 şeklinde gösterilir.

üs

Taban 32 Burada 3 taban ve 2 üstür. “3 üssü 2” veya “3’ün karesi” şeklinde okunur.

� 33 = 3 3 3 = 27 , 54 = 5 5 5 5 = 625 , 70 = 1 , 61 = 6

Örnek: Aşağıdaki üslü sayıları inceleyelim:

42 = 4 4 = 16 ; (– 4)2 = (– 4) (– 4) = 16 ; 43 = 4 4 4 = 64 ; (– 4)3 = (– 4) (– 4) (– 4) = – 64

Örnek: Aşağıdaki örüntüleri inceleyelim:

1. Örüntü 2. Örüntü

25 = 2$2$2$2$2 = 32 (– 2)5 = (– 2)$(– 2)$(– 2)$(– 2)$(– 2) = – 3224 = 2$2$2$2 = 16 (– 2)4 = (– 2)$(– 2)$(– 2)$(– 2) = 1623 = 2$2$2 = 8 (– 2)3 = (– 2)$(– 2)$(– 2) = – 822 = 2$2 = 4 (– 2)2 = (– 2)$(– 2) = 421 = 2 = 2 (– 2)1 = (– 2) = – 2

1. örüntüde görüldüğü gibi üslü tam sayıların işareti pozitif tam sayı olduğunda üslü sayıların değe-rinin işareti de pozitiftir. 2. örüntüde ise negatif tam sayının üssü; tek tam sayı olduğunda sonuç nega-tif, çift tam sayı olduğunda sonuç pozitif çıkmıştır.

Örnek: (– 3)5 ve (– 7)6 üslü sayılarının sonuçlarının işaretini işlem yapmadan bulalım:

(– 3)5 → Seçilen (– 3) tam sayısı negatif ve kuvveti 5’tir. Bu tam sayı tek sayıda tekrarlı çarpılacağıiçin çarpımın işareti negatif olur.

(– 7)6 → Seçilen tam sayı negatif ve kuvveti 6’dır.

(– 7) tam sayısı çift sayıda tekrarlı çarpılacağı için çarpımın işareti pozitif olur.

$$$$$$

$$$$$

$

Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir.

a ≠≠ 0 , a0 = 1

Her sayının 1. kuvveti kendisine eşittir.

Üslü bir tam sayının işareti; tam sayı pozitif ise pozitif, negatif ise kuvvetin (üssün) çift veya

tek oluşuna göre pozitif veya negatif olur.

Tam sayı pozitif, sonu-cun işareti de pozitif.

Tam sayı negatif, sonucunişareti pozitif.

Tam sayı pozitif,sonucun işareti pozitif.

Tam sayı negatif, sonucun işareti denegatif.


1. Ünite

Örnek: Aşağıda verilen sayıları tabanları 4 olacak şekilde üslü sayılara çevirelim. Oluşan örüntüyüinceleyelim:

256 = 4$4$4$4 = 44

64 = 4$4$4 = 43

16 = 4$4 = 42

4 = 4 = 41

1 = 1 =

Örüntüyü devam ettirdiğimizde bir sonraki adımda sayı 1’in 4’e bölümü olur. Örüntüyü birkaç adımdevam ettirelim.

Örüntüden de görüldüğü gibi bir tam sayının negatif kuvvetirasyonel sayıdır.

Örnek: 331

91 1

211

12 32

551

51 1

411

14 16

881

641 1

511

15 125

661

361

331

271

271 1

211

12 4

22

44

55

22

22

5

5

11

2

2

22

3

3

22

33

55

22

33

22

= = = = = =

= = = = = =

= = = = = =

- =-

=

- =-

=-

=- =

-

=-

= =-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

2

2

]]

]]

]

]

]

gg

gg

g

g

g

...

1 4

41

41 4

161

4 41

41 4

641

4 4 41

41 4

2561

4 4 4 41

41 4

4 4 4 41

41 4n

n

n tane

0

11

22

33

44

=

= =

= = =

= = =

= = =

= =

$

$ $

$ $ $

$ $ $

-

-

-

-

-

_

`

a

bbbbbbbb

bbbbbbbb1 2 3444 444

40

:4

:4

:4

:4

:4

:4

:4

:4

:4

Örüntü incelendiğinde sayıların4’e bölünerek azaldığı dolayısıylatam sayıların üslerinin de buna bağlıolarak azaldığı görülür.

n ∈∈ N ve a sıfırdan farklı bir sayı olmak üzere, olur.a a1nn=-

Bir üslü ifade paydan paydaya veya paydadan paya alındığında üssünün işareti değişir.

...

a. Excell programında tablo ve grafiğin nasıl oluşturulduğunun incelenmesi


ÜSLÜ SAYILAR

A

4-2

3-4

2-5

5-2

(-2)-6

(-3)-3

6-4

-7-5

B

1. Aşağıda verilen A ve B sütunlarındaki ifadelerden birbirine eşit olanları eşleştiriniz.

2. Aşağıda verilen eşitliklerden doğru olanların yanındaki kutuya “D”, yanlış olanların yanındakikutuya “Y” yazınız.

a) 2-4 = �� b) 3-3 = ��

c) (-3)-2 = �� d) (-2)-5 = ��

e) (-4)-4 = �� f) (-1)-500 = -1 ��1—————4.4.4.4

1——321—9

1————3.3.31——16

3. a = 4-3; b = (-3)-4; c = (-2)-5; d = (-4)-3 sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

1——811——251——161——641——64

1- ——75-1——27

-3——25

1——32

Ders kitabının 13. sayfasındaki etkinlik öğren-cilere yaptırılır.

Ders kitabının 13. sayfasındaki örnekler öğ-rencilere inceletilir. Kavramsal bilgilerin işlemselbilgiye çevirebilmeleri sağlanır.

• Yeni matematik programında, kavramsal öğ-renme ile birlikte işlem becerilerine de önem ve-rilmektedir. Öğrencilerin bağımsız düşünebilmeve karar verebilme, öz düzenleme gibi bireyselyetenek ve becerilerinin geliştirilmesi programınönemli hedefleri arasındadır.

• Matematik programı, “Her çocuk matematiğiöğrenebilir.” ilkesine dayanmaktadır. Matematikleilgili kavramlar, doğası gereği soyut niteliklidir. Ço-cukların gelişim düzeyleri dikkate alındığında bukavramların doğrudan algılanması oldukça zor-dur. Bu nedenle matematikle ilgili kavramlar, so-mut ve sonlu yaşam modellerinden yola çıkılarakele alınmıştır. Etkinliklerle ve teknoloji kullanımıy-la (hesap makinesi vb.) matematiksel kavramlarve işlemler somutlaştırılmaya çalışılmıştır. Ayrıcaetkinlikler öğrencilerin duyuşsal özelliklerinin geli-şimi için önemli bir araç olarak kullanılabilir. Etkin-liklerde öğrencilerin etkinlik yaparken matematik-le uğraştıklarının farkında olmaları önem taşımak-tadır. Bu nedenle öğrenciler, aşağıdaki rolleri ger-çekleştirebilmelidir:

• Değerlendirme,• Öğrenme sürecine zihinsel ve fiziksel olarak

aktif katılma,• Öğrenmelerinden sorumlu olma,• Kendini ifade etme,• Soru sorma,• Sorgulama, düşünme, tartışma, • Tüm bunların etkili olabilmesi için öğretmenin

de aşağıdaki rolleri gerçekleştirmesi önemli ola-caktır:

• Öğrencilerin matematiğe yönelik tutum geliş-tirmelerini sağlama,

• Yönlendirme, rehberlik yapma, motive etme,• Etkinlik geliştirme ve uygulama,• Öğrenme-öğretme ortamını düzenleme, • Öğrenme-öğretme sürecinde zamanı etkin

kullanma.

Alternatif Etkinlik

•

5

5

5

5

1

2

3

0

-

-

-

_

`

a

bbb

bb

5

5 625

125

5 25

5 0

4

3

2

1

=

=

=

=

Z

[

\

]]]

]]

_

`

a

bbb

bb


1 Ünite


1. Ünite

Ondalık Kesirlerin ve Rasyonel Sayıların Kuvveti

• (0,2)2 üslü ifadesini kâğıda yazınız.

� Bu üslü ifadede hangi sayı tekrarlı çarpılmıştır?

• (0,2)2 üslü ifadesini tekrarlı çarpım ile gösterdikten sonraçarpımı hesap makinesi ile bulunuz.

� 0,2 ondalık sayısı hangi rasyonel sayıya karşılık gelir?

• 0,2 ondalık sayısını rasyonel sayı olarak yazdıktan sonra(0,2)2 üslü ifadesindeki tekrarlı çarpımı rasyonel sayılarlaçarpma işleminden yararlanarak yazınız.

� Rasyonel sayılarla yapılan bu işlemi üslü sayı olarak na-sıl gösterirsiniz? Açıklayınız.

� Bu ifadeyi rasyonel sayılarla çarpma işlemi yardımıyla na-sıl yaparsınız? Açıklayarak yapınız.

• Bulduğunuz sonuç ile hesap makinesiyle bulduğunuz so-nucu karşılaştırınız.

� Çarpımda pay kısmındaki tam sayı hangi üslü sayıyı ifa-de eder?

� Çarpımda payda kısmındaki tam sayı üslü sayı olarak nasıl yazılır?

� Yaptığınız bu çalışmalar ve bulduğunuz değerler sonucunda ondalık kesirlerin veya rasyonel sayı-ların kuvvetleri nasıl bulunur? Açıklayınız.

Ondalık Kesirlerin veya Rasyonel Sayıların Kuvvetlerini Bulalım


Örnek:

Örnek:

Örnek: (0.4)3 üslü ifadesinin sonucunu bulalım:

1. Yol

2. Yol

, ,0 4104

104

104

10 10 104 4 4

100064 0 064

104

1043

3= = = = = =$ $

$ $

$ $33

^ ch m

, , , , , , ,0 4 0 4 0 4 0 4 0 16 0 4 0 064,

3

0 16= = =$ $ $^ ^ ^ ^h h h h

1 2 3444 444

, , ( , ) ,0 01 0 01 0 01 0 00012= =$^ ^h h

53

53

53

53

5 5 5 53 3 3 3

53

53

62581

4

4

= = = =$ $ $$ $ $

$ $ $4

c m

olur.Q b 0ba

ba

ban

n

n=!! ] cg molmak üzere


4. ifadesinin sonucunu bulunuz.-2-3 - (-3)-2———————3-1 + (2)-4

5. a = -5 ; b = -3 için (ab + ba) ifadesinin eşitini bulunuz.

6. 3-3 < 2a ifadesini sağlayan en küçük a tam sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

A) -2 B) -3 C) -4 D) -5

7. [(- )-2]3 işleminin sonucu kaçtır?

A) - B) - C) 16 D) 641——321——16

1——2

Yanda verilen örüntüdekiüslü sayıların değerleri ara-sındaki ilişkiden yararlanarak;

Verilen örüntüdeki tam sayılarındeğerlerini belirleyiniz.

• Belirlediğiniz değerlerin paydasını, 5’in kuv-veti şeklinde yazınız.

• Yaptığınız işlemden yararlanarak tabanı tamsayı olan bir üslü sayının kuvveti negatif olduğun-da bu üslü sayı nasıl bir değer alır?

• İlk örüntüde yaptığınız işlemi aşağıda verilenörüntü içinde uygulayınız.

(0,2)3 = 0,008(0,2)2 = 0,04(0,2)1 = 0,2(0,2)0 = 1(0,2)–1 =(0,2)–2 =(0,2)–3 = � Bulduğunuz değerlerden yararlanarak on-

dalık kesirlerin negatif kuvvetleri için ne söyleye-bilirsiniz? Açıklayınız.

• Ders kitabının 14. sayfasındaki birinci örnek-te negatif bir rasyonel sayının ikinci ve üçüncükuvveti alındığında rasyonel sayının işaretindekideğişime dikkat çekilmiştir. Aynı sayfadaki diğerörnekler öğrencilere incelettirilerek onlara rasyo-nel sayıların ve ondalık açılımların üslü kuvvetle-riyle nasıl işlem yapıldığının kavratılması hedef-lenmiştir. Öğrenciler bu örnekte ön bilgilerini kulla-nabilmelidirler. Programda, öğrencilerin iletişimbecerilerinin gelişimine önem verilmektedir. Bu-nun için öğrencilere aşağıdakilerin kazandırılmasıhedeflenmiştir:

• Matematik öğrenirken ilişkilendirmeden ya-rarlanır.

• Matematikteki iç ilişkilendirmeleri yapar.• Matematikle diğer disiplinler ve yaşam ara-

sında ilişkilendirme yapar.• Matematiksel kavramların, işlemlerin ve du-

rumların farklı temsil biçimlerini ilişkilendirir.• Farklı temsil biçimleri arasında dönüşüm yapar.• İlişkilendirmede öz güven duyar.• İlişkilendirme ile ilgili olumlu duygu ve dü-

şüncelere sahip olur. Yapılan çalışmalarla öğren-cilerin duyuşsal özelliklerinin de gelişimine katkı-da bulunulabilir. Bunun için öğrencilerde aşağıda-ki duyuşsal özelliklerin kazandırılması hedeflen-melidir.

• Matematikle uğraşmaktan zevk alır.• Matematiğin gücünü ve güzelliğini takdir

eder.• Matematiğin zihinsel gelişime olumlu etkisi

olduğunu düşünür.• Matematik dersinde istenenleri yerine getirir.• Matematiğin mantıksal kararlar vermeye kat-

kıda bulunduğuna inanır.• Matematiğin eğlenceli yönünün farkında olur.• Matematiği öğrenebileceğine inanır.• Matematikle ilgili olumsuz tutum ve başarısı-

nı etkileyecek kaygılara kapılmaz.


1 Ünite

Örnek: çarpımını bulalım:

olarak elde edilir.( , ) ( , ) , ,49

100

100

49107 0 7

710 0 7 0 7

710 0 49 1

2

2

2

= = = =$ $ $ $ $-

22

c c ^m m h

( , )107 0 7

2

$-

2c m


1. Ünite

Örnek: üslü sayılarına karşılık gelen sayıları bulalım:

ifadesi negatif bir rasyonel sayının çift sayıda tekrarlı çarpımı olduğundan pozitif işaretlidir.

ifadesi ise negatif bir rasyonel sayının tek sayıda tekrarlı çarpımı olduğundan negatif işaretlidir.

Örnek:

Örnek: üslü sayılarına karşılık gelen sayıları bulalım:

, ve

34

341

341

43

43

6427

31 3

32

23

34

43

3

3

3

3 3

3 3

11

2 2 3

= = = = =

= = =

-

- - - 3

c

c

c

c c c c c

m

m

m

m m m m m

.olur32

321

321

23

23

492

2

2 2

2

= = = = =-

2

2

c

c

cm

m

m

ve32

342 3- -

c cm m

31

311 1

13

13 3

1

= = = =$-

c m

72 3-

c m

72- 2

c m

72

72

72

72

494

72

72

72

72

72

14783

2

3

3

-=

=

- -

-=

-=

=

- - -

-=

-

$ $ $

2

2

c c c

]

c c c c

]

m m m

g

m m m m

g

ve72

72 3- -2

c cm m

Örneklerden de görüldüğü gibi;

olmuştur.

n ∈∈ N olur.b 0Qba

ba

ab

abn

n= =!!

- n n] c bg m lolmak üzere

1

1

1

1

Örnek: işleminin sonucunu bulalım:

1 31

1 21

3221

232

2 32

34

1

1

1

1

-

-=

=

=

=$

-

-

-

-

c

c

c

c

m

m

m

m

1 1

121

3

1

1

-

-

-

-

c

c

m

m


8. Aşağıdakilerden hangisinin sonucu diğerlerinden farklıdır?

A) (-24) B) (-2)4 C) (-4)2 D) ( )-21——4

9. a = 2 ve b = -3 için - işleminin çözümü aşağıda verilmiştir. Kaçıncı adımda hata

yapıldığını bulunuz. İşlem hatasını düzeltip işlemin doğrusunu yapınız.

1. adım : 3. adım :

2. adım : 4. adım : -5(-1)5———5-1

-1———1—5

(2-3)2+3—————(2+3)2-3

(a-b)a+b—————(a+b)a-b

10. a = ( )3 ; b = (0, 3)2 ; c = (0, 7)2 ; d = ( )4 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.-1——21——3

Ders kitabının 15. sayfasındaki örnek öğrenci-lerle birlikte incelenir. Konunun kavranıp kavran-madığını kontrol etmek için öğrencilerden benzerörnekler düzenlemeleri istenebilir.

Uygulamalar

Ders kitabının 15. sayfasındaki alıştırmalar öğ-rencilere yaptırılır. Çalışma kitabının 12, 13, 14 ve15. sayfalarındaki sorular çözdürülebilir.

Bireysel Farklılık Soruları

1. Aşağıda verilen ifadelerin doğru veya yanlışolduklarını belirleyiniz.

a. (-7) . (-7) . (-7) . (-7) . (-7) = (-7)-5

b. ( ).( ).( ). ( ).( ).( )= 5-6

c. (-4)-3 = -(4)-3 ç. (-3)-4 = (3)-4

2. 32 m yükseklikten bırakılan bir top yere herdeğdiğinde düştüğü yüksekliğin yarısı kadar yük-seliyor. Buna göre;

a) 8 kez yere değdiğinde toplam kaç m yüksel-diğini üslü olarak ifade ediniz.

b) Kaçıncı kez yere değdiğinde m yükselir?

3. Aşağıda verilenlerden birbirine eş olanlarıeşleştiriniz.

A Grubu B Grubu

(0,3).(0,3).(0,3).(0,3).(0,3) ( )4

( ).( ).( ).( ).( ).( ) -( )6

Değerlendirme

Öğrencilerden, bir tam sayının negatif kuvveti-ni belirlemeleri ve rasyonel sayı olarak ifade et-meleri; ondalık kesirlerin veya rasyonel sayılarınkendileriyle tekrarlı çarpımını üslü olarak yazma-ları ve değerini belirlemeleri beklenir.


Çalışmalar süresince öğrenciler kontrol edile-rek beceri ve duyuşsal özellik gelişimleri gözlem-lenir. “Matematiye Yönelik Tutum Ölçeği” formukullanılabilir.

2—3-2—3

-2—3-2—3

-2—3-2—3

-2—3

35———105

1—7

1—64

1—51—5

1—51—5

1—51—5


1 Ünite


1. Ünite


ALIŞTIRMALAR

1) Aşağıda verilen işlemleri yapınız.

2) işleminin sonucunu bulunuz.

3) Aşağıda verilen ondalık sayıların karşılık geldiği sayıları bulunuz.

a) b) c) ç)

4) Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına “D”, yanlış olanların başına “Y” yazınız.

a) ( ) Üslü bir tam sayının işareti, tam sayı pozitif ise pozitiftir.

b) ( ) ’dir.

c) ( ) Bir tam sayının negatif kuvveti yine bir tam sayıdır.

ç) ( ) olur.

d) ( ) için x < 0 ve n çift tam sayı ise xn < 0 olur.

e) ( ) için x < 0 ve n tek tam sayı ise xn < 0 olur.


6) Aşağıdaki işlemleri yapınız.

a) b)

c) ç) 10 10 10

5 5 5 5102 2 2 2

2 2 2 2

+ + +

+ + +31

31

31

31

$ $ $

172 1

721

+ +$-

c cm m65

562 2

$- -

c cm m

( , )1

21

41

121

41

0 7

1

1

+ +

- -$

-

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO

+x Q ve n Z! !

x Q ve n Z! ! +

dc Q d

dc

cd0

n

n

n

=!!-

] cg m

aa1nn=

--

,3 21- 1-

c m,2 5- 2-^ h,0 3- 3-^ h,1 4 2^ h

31

272

41

312 1-

+ -$- -

c m ; E

.olur3 3 32 2 2

3 3

3 2

32

32

24332

5 5 5

5 5 5

5

5

5

5

+ +

+ += = = =

$

$ 5

c m

2 23 3 325 5 5

5 5 5

+ +

+ +

olmak üzere

12-15

a) b) c) ç) 121

-c m51

-c m9-] g73

c m2

23 4


11.

Yanda verilen işlemleri yapınız. İşlemlerin doğruya da yanlış olduğunu gösteren harfleri aşağıda çiz-gilerle belirtilen yerlere yazınız. Şifreyi bulunuz.

12. a = 0,9 ; b = ; c = 3 ; d =2 değerleri için ad – bc işlemini yapıp sonucu bulunuz.1—5

Doğru Yanlış1) ( )3 = T A

2) ( )2 = M S

3) ( )3 = A İ

4) (0,2)3 = 0,08 R K

5) (0,3)2 = 0,09 M T

6) (-0,4)2 = 0,016 A E

7) ( )2 = 25 Ü A

8) (0,1)2 = 0,01 A B

9) (-0,1)1 = 0,1 C T

-1—5

1——64-1—4

1—9-1—3

1—81—2

2 7 1 6 5 8 9 3 4

b. Çeşitli tabloların incelenmesi

(0,5)2

(7)-4

(-0,7)-4 ( )21—2

Süre : 6 Ders saati

Öğrenme Alanı : Sayılar

Alt Öğrenme Alanı : Kareköklü Sayılar,Gerçek Sayılar

Alt Öğrenme Alanı : Gerçek Sayılar

1. Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar ara-sındaki farkı açıklar. 2. Gerçek sayılar kümesinioluşturan sayı kümelerini belirtir.

Kazanımlar

1. Tam kare doğal sayılarla bu sayıların kare-kökleri arasındaki ilişkiyi modelleriyle açıklar vekareköklerini belirler. 2. Tam kare olmayan sayıla-rın kareköklerini strateji kullanarak tahmin eder.


Yöntem ve Teknikler: Anlatım, soru-cevap,keşfetme

Araç-Gereç: kâğıt, kalem, hesap makinesi,sayma pulu, kareli kâğıt, renkli kalem

Ön Kazanımlar: 1. Rasyonel sayıları açıklar vesayı doğrusunda gösterir. 2. Rasyonel sayılarıfarklı biçimlerde gösterir. 3. Rasyonel sayıları kar-şılaştırır ve sıralar.

HatırlayalımAşağıdaki rasyonel sayıların ondalık açılımla-

rını bulunuz.

a) b) c)

Zorunlu Program Uyarıları [!] Karekök sembolü “ ” olarak taratılır. Po-

zitif karekök sembolünün “ ” negatif karekök

sembolününde “– ” olduğu vurgulanır. [!] Kare-kökleri tam sayı olan doğal sayılara, tam kare sa-yılar denildiği vurgulanır. [!] Hesap makinesinde-ki “ ” tuşu tanıtılır. [!] Sayıların karekökleri enyakın onda birliklerine kadar tahmin ettirilir. [!]Gerçek sayılar kümesinin R ile gösterildiği belirti-lir. [!] Gerçek sayılar kümesinin sayı doğrusunutam olarak doldurduğu belirtilir.

Dikkat Çekme ve Motivasyon Öğrencilerin derse dikkatini çekmek ve moti-

vasyonlarını sağlamak için aşağıdaki metin öğ-rencilere okunabilir:

“Bir çember büyüdükçe çapının ve çevresininbirbirlerine oranının sabit kaldığının ilk olarak nezaman fark edildiğini bilme olanağı yoktur. Daha-sı, çemberin çevrelediği alan da bu orana dayalı-dır. Peki, bu sabit değer nedir? Bu oranın bilinenen eski kaydı, Ahmes adlı Mısırlı bir kâtip tarafın-dan MÖ 1650 sıralarında yazılmış olan ve RhindPapirüsü olarak bilinen yazıdır. Yazı şöyledir: “Ça-pın 1/9’unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz,bu alan daire alanının aynısıdır.”

Ahmes yazdığı papirüste neden doğal sayılarıveya tam sayıları kullanmamış da rasyonel sayı-ları kullanmış olabilir?

Öğrenme-Öğretme Süreci • Öğrencilerin ön bilgilerini açığa çıkarmak için

“Hatırlayalım” bölümündeki sorular öğrencilereyaptırılabilir.

3—82—5

1—3


1 Ünite


1. Ünite

İRRASYONEL SAYILAR VE GERÇEK SAYILAR

• Bir sayı doğrusu çiziniz.

• Sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayılarını işaret-

leyiniz.• Bu iki rasyonel sayıyı toplayıp yarısını alınız.� Sayı doğrusu üzerinde yeni bulduğunuz rasyonel sayı

hangi noktaya karşılık gelmiştir?� Bu rasyonel sayı, sayı doğrusu üzerinde hangi noktalar

arasındadır? Aynı şekilde yeni bulduğunuz rasyonel sayı-

yı sırayla rasyonel sayıları ile toplayıp yarısını alınız.

� Bulduğunuz rasyonel sayı, sayı doğrusu üzerinde hangi noktaya karşılık gelmiştir? Bulunuz.� Bu nokta sayı doğrusu üzerinde hangi noktalar arasındadır?� Bu şekilde devam edilirse rasyonel sayılar hakkında ne söyleyebilirsiniz?

• rasyonel sayının ondalık açılımını payı paydasına bölerek bulunuz.

• rasyonel sayının ondalık açılımını payı paydasına bölerek bulunuz.

� Bulduğunuz sayılar arasında nasıl bir fark vardır? Açıklayınız.� 0,3333 ... sayısı nasıl bir sayıdır? Bu sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir mi? Açıklayınız.

• rasyonel sayısının ondalık açılımını da aynı yolla bulunuz (Bu işlem için hesap makinesi kul-

lanabilirsiniz.).� Bu ondalık açılım devirli ondalık sayı olarak yazılabilir mi? Neden?� Her ondalık açılıma karşılık gelen bir rasyonel sayı bulunabilir mi? Açıklayınız.� Rasyonel sayılar, sayı doğrusunu tek başlarına doldurabilir mi? Açıklayınız.

722

32

52

ve21

31

ve21

31

Rasyonel Sayıları ve İrrasyonel Sayıları Tanıyalım


Doğum Gününüz ππ’de Gizli

Bilindiği gibi π, sonsuz bir rakamlar dizisidir. Belirli bir düzende kendisini tekrarlamayan sonlu birçokalt diziden oluşur. Bu sonlu alt dizilerin kümesi, hemen tahmin edebileceğiniz üzere, sonsuz eleman ta-şımakla kalmaz, aynı zamanda muhtemel bütün sonlu alt dizileri de içinde taşır. Bu özelliği nedeniylede sizin ya da sevdiğiniz birinin doğum gününü ggaayy veya ggaayyyy gibi bir dizin olarak yazdığınız-da, bunun π’nin içinde olduğundan emin olabilirsiniz. Şanslı iseniz doğum gününüzün dizisi π’nin halenbilinen basamakları arasındadır. Şüphesiz doğum gününüzü 6 haneli bir dizi olarak yazarsanız bulmaşansınız artar.

Aynı şekilde, istediğiniz başka dizileri π'nin içinde arama şansınız var. Ancak unutmayalım ki π’ninbilinen basamakları 1, 2 trilyon civarında ama bunlar ağ üzerinde çok fazla yer tuttuğundan, bulmak ko-lay değil. � Sadece π sayısının 1, 2 trilyondan fazla basamağı olduğuna göre bir sayı doğrusunu rasyonel sa-

yılarla doldurmak mümkün olabilir mi?� π ve 0,312476... gibi sayıları içinde bulunduran yeni bir sayı kümesine ihtiyaç var mıdır? Yoksa

rasyonel sayılar bu sayıları da kapsar mı?

• Ders kitabının 16. sayfasındaki metin öğren-cilere okutturulur. Öğrencilerin bu şekilde konuyamotivasyonu sağlanabilir. Metnin sonundaki soru,öğrenilecek kavrama dikkat çekmek ve vurguyapmak amacıyla hazırlanmıştır. Bu nedenle öğ-rencilerden mutlaka doğru cevabı vermeleri bek-lenmemelidir.

• Ders kitabının 16. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin ilişkilen-dirme, akıl yürütme ve psikomotor becerilerini et-kin kullanmaları sağlanmalıdır.

• Ders kitabının 16. sayfasındaki metin öğren-cilere okutturulur. Öğrencilerin bu şekilde konuyamotivasyonu sağlanabilir. Metnin sonundaki soru,öğrenilecek kavrama dikkat çekmek ve vurguyapmak amacıyla hazırlanmıştır. Bu nedenle öğ-rencilerden mutlaka doğru cevabı vermeleri bek-lenmemelidir.


• Ders kitabının 17. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. İkinci örnekte iki rasyo-nel sayının arasında mutlaka başka bir rasyonelsayı olduğuna, bu durumun rasyonel sayıların yo-ğunluğundan kaynaklandığına vurgu yapılmıştır.

• Gerek duyulursa aşağıdaki ek bilgi öğrenci-lerle paylaşılabilir:

“Kuşkusuz, bir konserve kutusu ve bir parça si-cim kullanarak bir çemberin çevresinin, çapınınüç katından biraz fazla olduğunu bulabilirsiniz. Mi-limetrenin onda birini ölçebilen iyi bir cetvel ilearadaki oranın 3,1415’ten az daha büyük olduğu-nu bile görebilirsiniz. Oranı daha büyük hassasi-yetle hesaplamanızı sağlayacak yöntemlerleonun 3,141592653… olduğunu bulabilirsiniz kiburada her yeni rakam, bir önceki hesaplamanınon katı daha hassas bir değeri temsil eder. Ancakne kadar çok hesaplarsanız hesaplayın, ölçümiçin yeni yöntemler bulmakta ne kadar usta olur-sanız olun, pi için hiçbir zaman tam bir değer bu-lamayacaksınız. Yine de tarih boyunca matema-tikçiler uzun yıllarını olabildiğince çok basamakbulmaya harcamışlardır. Günümüzde rekor, insanbeyni ve bilgisayarın inanılmaz gücünü kanıtlayan51 milyar basamaktır.

…


1 Ünite


1. Ünite

Rasyonel Sayıların Yoğunluğu

�

Sayı doğrusu üzerinde 2 ile 4 arasına 3 tam sayısını yazabiliriz. Ama 3 ile 4 tam sayısı arasına birbaşka tam sayı yazamayız. O hâlde ardışık iki tam sayı arasına üçüncü bir tam sayı yazılamaz.

Örnek: rasyonel sayılarını sayı doğrusu üzerinde gösterelim ve bu iki rasyonel sayı ara-

sındaki sayıyı bulalım:

Bu iki rasyonel sayının ortasındaki sayı;

olur.

Şimdi de ile 2 rasyonel sayıları ortasındaki sayıyı bulalım:

olur.

Aynı mantıkla rasyonel sayıları arasına bir rasyonel sayı yazalım:

olur.

Bu bulduğumuz sayıları sayı doğrusu üzerinde gösterelim:

Yukarıdaki örneklerden görüldüğü gibi iki rasyonel sayı arasında daima bir rasyonel sayı vardır.

! Siz de 1 ve 2 rasyonel sayıları arasına 3 tane rasyonel sayı yerleştiriniz.

: :35

34 2

39 2

39

21

69

23

+ = = = =$c m

ile35

34

21

34 2

21

34 2 3

21

34 6

21

310

610

35

+ =+

=+

= = =$ $ $ $$c]

cmg

m< F

34

: :34

38 2

312 2

312

21

612 2+ = = = =$c m

ve34

38

... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...

-1 0 1 2 338

34

0 1 2 3

23

34

35

38

Sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesine göre daha yoğundur.

Genel olarak;

’dir.Q,ba

dc ise

ba

ba

dc

dc

ba

dc

21

+1 1 1! $ c m(b ≠≠ 0, d ≠≠ 0) olmak üzere


İRRASYONEL SAYILAR VE GERÇEK SAYILAR

1. Aşağıda verilen cümlelerdeki noktalı yerleri doldurunuz.

a) Alanı 225 m2 olan karesel bölge şeklindeki bir bölgenin bir kenar uzunluğu ......................

b) Alanı 900 m2 olan karesel bölge şeklindeki tarlanın bir kenar uzunluğu ....................

c) Kendisi ile çarpıldığında 49 eden sayılar ............. ve ...............

ç) Kendisi ile çarpıldığında 36 eden sayılar .............. ve ....................; ............... sayısı herhan-gi bir karenin bir kenar uzunluğu olamaz.

3. Alanı 144 br2 olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğu aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) -12 B) -11 C) 11 D) 12

2. Aşağıda verilen sonuçları ait oldukları ifadelerle eşleyiniz.

a) 16 b) 81 c) -25

ç) 9 d) -49

(-4)2———-42

(-9)2———-92

-32———32

-72———72

(-5)2———-52

c. Çeşitli grafiklerin incelenmesi

KAYNAK: David, Blather, Pi Coşkusu, TÜBİTAK YAYINLARI, ANKARA, 2003.

Pi’yi en çok çember oranından tanırız ancakmatematiğin her alanında, fizikte, istatistikte, mü-hendislikte, mimarlıkta, biyolojide, astronomide,hatta güzel sanatlarda karşımıza hep pi çıkar. Pi,hem ses dalgalarının hem de okyanusun dalgala-rının ritminde gizlidir. Geometride olduğu gibi do-ğanın her yerinde gizlidir.”

• Ders kitabının 18. sayfasındaki örnekler öğ-

rencilerle birlikte incelenir.

• Örneklerden yararlanarak öğrenciler ilişki-

lendirme becerilerini etkin şekilde kullanabilmeli-

dirler. Yine öğrenciler devirli ondalık sayılara ait

ön bilgilerini kullanabilmelidirler.

• Rasyonel sayıların devirli ondalık açılımları-

nın öğrenciler tarafından daha net anlaşılabilmesi

için hesap makinesi ile işlem yaptırılabilir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: sayma pulu

• Şeffaf sayma pullarını kullanarak çeşitli kare-

sel bölgeler oluşturunuz.

• Her bir şeffaf sayma pulunun kenar uzunlu-

ğunu 1 br, alanını da 1 br2 olarak alınız.

• Oluşturduğunuz karesel bölgelerin alanlarını

ve kenar uzunluklarını belirleyiniz.

� Belirlediğiniz karesel bölgelerin alanları ile

kenar uzunlukları arasında nasıl bir ilişki vardır?

• Şeffaf sayma pulları ile alanı 1, 2, 3, ... 99,

100 br2 olan karesel bölgeler oluşturmaya çalışı-

nız.

• Şeffaf sayma pulları ile belirtilen alanlardan

hangilerini oluşturamadınız?

� Oluşturamadığınız bu karesel bölgelerin bir

kenar uzunlukları hakkında ne söyleyebilirsiniz?


1 Ünite

70 963 0,777...

07063070

6307 ...

rasyonel sayısının paydası 10 veya 10’un kuvveti şeklinde yazılamadığı için

rasyonel sayının payı paydasına bölünmüştür. 7 sayısı devretmektedir.

, ... ,97 0 777 0 7= =

97

10 66 0,1666...403604036040 ...

3604 ...

Bölümde görüldüğü gibi bölümün kesir kısmında 1 rakamından sonra 6 rakamı

devretmektedir. Böyle açılımlara devirli ondalık açılım denir.

olur., ... ,61 0 1666 0 16= =

9 28 4,51 01 00 0

Rasyonel Sayıların Ondalık Açılımı

Örnek: rasyonel sayısının ondalık açılımını bulalım:

1. yol: 2. yol:

Örnek: rasyonel sayılarının ondalık açılımlarını bulalım:



, ... ,

, ... ,

, ; , ; , ... ,

923 2 555 2 5

4531 0 6888 0 68

2 2 043

10075 0 750

31 0 333 0 3= = =

= =

= =

= =

61

97

,1253

100024 0 024= =,

85

10 625

000625

= =

ve85

1253

,29

55

2 59 5

1045 4 5= = =$

$

$

29

50 848 0,625

2016040

4000 a


1. Ünite

(8)(125)

300 125250 0,0240500

500000

Rasyonel sayılarınondalık açılımları ikiyoldan birisi ile eldeedilebilir.

olur.

Örnek:

Her rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı vardır.

(25)

devreden sayı

devreden sayı

devretmeyen sayı


4. Aşağıda verilen her bir kareköklü sayıya en yakın iki tam sayıyı yazınız.

a) ——< 7 < —— b) ——< 18 < —— c) ——< 33 < ——

5. a < - 30 eşitsizliğini sağlayan en büyük a tam sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

A) -4 B) -5 C) -6 D) -7

6. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğru, hangisi yanlıştır? Nedeni ile birlikte açıklayınız.

a) 7 < 68 < 8 �� b) -4 < - 15 < -3 ��

ç) ——< 65 < —— d) ——< - 10 < —— e) ——< - 40 < ——


• Sayfadaki ilk örnekte öğrencilerin ön bilgileriharekete geçirilmeye çalışılmıştır.

• Sayfadaki ilk üç örnekte rasyonel sayılarakarşılık gelen ondalık açılımların devirli olduğunadikkat çekilmiştir.

• Sayfadaki son örnekte ise ondalık açılımasahip olmayan sayıların rasyonel sayı olmadığınadikkat çekilmektedir.

• Ders kitabının 20. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin hesapmakinesi kullanmasına önem verilmiştir. Bununnedeni günümüzün gelişen teknolojisinin sınıf or-tamına yansıtılmasına katkıda bulunmaktır. Etkin-likte benimsenen kavramsal yaklaşım; öğrencile-rin somut deneyimlerinden, sezgilerinden mate-matiksel anlamları oluşturmalarına ve soyutlamayapabilmelerine yardımcı olmaktır. Bu yaklaşımlamatematiksel kavramların geliştirilmesinin yanı sı-ra, bazı önemli becerilerin geliştirilmesi de hedef-lenmiştir. Bu beceriler; iletişim kurma, akıl yürüt-me ve ilişkilendirmedir.

• Etkinlikte yapılan çalışmalarla öğrencilerinön bilgilerini kullanmaları ve konular arasında iliş-ki kurmalarının sağlanması hedeflenmiştir. Öğ-renciler, önceki sınıflarda edindikleri cebir bilgile-rini bu etkinlikte kullanabilmelidirler.

• Sayfadaki örnekte sayıların çarpanlarına ay-rılmasından yararlanılarak öğrencilerin ön bilgile-rinin harekete geçirilmesi ve ders içi ilişkilendirmeyapmalarının sağlanması hedeflenmiştir.

• Böylelikle, ilişkilendirme becerilerinden “Ma-tematiğin aralarında anlamlı ilişkiler bulunan, ken-dine özgü sembolleri ve terminolojisi olan bir dilolduğunu fark etme” becerisinin geliştirilmesi he-deflenmiştir.


1 Ünite


1. Ünite

Devirli Ondalık Açılıma Karşılık Gelen Rasyonel Sayıyı Bulma

Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

Devreden rakam “0” ise yazılmaz.

Örnek: devirli ondalık açılımına karşılık gelen rasyonel sayıyı bulalım:

1. yol 2. yol

Örnek: 4,5 3 devirli ondalık açılımını rasyonel sayı olarak bulalım:

1. yol 2. yol

x = 4,5 3 olsun.

I. 10x = 45,333...

II. 100x = 453,333...

Şimdi I ile II ifadelerini birbirinden çıkaralım:

100x = 453,33...

10x = 45,33...

Örneklerden de görüldüğü gibi 1. yollarda amaç sayıların ondalık kısımlarının aynı olmasını sağlamaktır.

Örnek: 0,03003000300003...0,102103104105...π = 3,142857...

, ...x x

x x

100 10 408 000

90 40890

408

45

2041568

- =

= = = =&

, , ...

,

, ...

, ...

, ...

, ...

.

x

x

x

x

x x

x x olur

0 4 0 4444

0 4

10 4 444

10 4 444

0 444

10 4 000

9 494

=

-

=

=

=

=

=

= =&

4

,40

Örnek:

sayısına x diyelim. Sayı 0,444... idi.

(Virgülden sonra gelensayı 1 basamaklı oldu-ğu için 10 ile çarptık.)

Taraf tarafa çıkarırsak,

, .

ba

olur

0 49

4 0

0 494

=

=-

=

(Sayının tamamı) – (Devretmeyen kısım)Devredenbasamak

sayısı kadar 9

Devretmeyen basamak

sayısı kadar 0( (( (Virgüldensonraki

kısım için

(Devretmeyen sayı birtane olduğundan önce 10 ileçarpıp virgülden kurtardık.)

(Devreden sayı 1 basa-maklı olduğundan tekrar heriki tarafı 10 ile çarptık.)

Devirli ondalık açılıma karşılık gelen bir rasyonel sayı vardır.

Her ondalık açılıma karşılık gelen bir rasyonel sayı bulunmayabilir. Devirli olmayan ondalık

açılımların gösterdiği sayılar “İrrasyonel Sayılar”dır ve “I” işareti ile gösterilir.

,90

453 454 53 =-

Sayının tamamıDevretmeyen kısım

Virgülden son-ra 1 basamakdevrediyor.

Virgülden son-ra 1 basamakdevretmiyor.

,4 5390

408

90

2041568

= = =

��

� Bu örneklerde görüldüğü gibi verilen sayılar devirli değildir. Buyüzden bu sayılara karşılık gelen bir rasyonel sayı bulunamaz.

, ... ,::

, , ... ,

0 2500 0 2510025

100 2525 25

41

0 430 0 43000 0 4310043

= = = =

= = =


1. Ünite

Tam Kare Doğal Sayıların Kareköklerini Bulma

• Alanı sırasıyla 1br2, 4br2, 9br2, 16br2, 25br2 ve 36br2 olan kareselbölgeleri kareli kâğıt üzerinde yan yana çiziniz.

• Çizdiğiniz karesel bölgelerin alanlarını altlarına yazınız.

• Bu karesel bölgelerin alanları yardımıyla bir kenar uzunluklarını bulunuz.

• Alanları, karenin alan formülü yardımıyla bulduğunuz kenar uzun-luklarının çarpımı şeklinde yazınız.

� Bu yazdığınız sayıları “kare” ifadesini kullanarak üslü sayı şeklindenasıl okursunuz?

• Hesap makinesinde önce 1 tuşuna sonra (karekök) tuşuna ba-sınız.

• Çıkan sonucu not alınız.

• Bu işlemleri her bir alan için uygulayınız.

� Bulduğunuz sonuçlar bu karesel bölgeler için ne ifade ediyor? Açık-layınız.

� Yapılan bu çalışmalardan sonra bir sayının karesi ile karekökü ara-sında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.

Tam Kare Doğal Sayıların Kareköklerini Bulalım

kareli kâğıt, renkli kalem, hesap makinesi

Örnek: Aşağıda noktalı zemin üzerinde verilen karesel bölgelerin alanları ile bir kenar uzunluklarınıbulalım ve inceleyelim:

49 sayısı 7.7 ve (–7).(–7) olmak üzere iki aynı sayının çarpımı şeklinde elde edilebilir. O hâlde ala-nı 49br2 olan karenin bir kenar uzunluğu 7 veya (-7) olabilir. Ancak uzunluk negatif sayılarla ifade edi-lemeyeceği için alanı 49 br2 olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğu 7br olur. Aynı özellik alanı 64br2,81br2, 100br2 olan karesel bölgeler için de geçerlidir.

Alan: 49br2 Alan: 64br2 Alan: 81br2 Alan: 100br2

49

7$7 (–7)$(–7)

64 81 100

8$8 (–8)$(–8) 9$9 (–9)$(–9) 10$10 (–10)$(–10)


• Karekök alma işleminde öğrenciler, akıl yü-rütme becerilerini etkin kullanabilmelidirler. Akılyürütme becerisini etkin kullanan öğrenciler “Birsayının karekökü, sayının karesini alırken yapılanişlemin tam tersi ile bulunur.” sonucuna ulaşabil-melidirler.

• Matematik çalışırken akıl yürütme (muhake-me) becerilerinin geliştirilmesi için ortamlar hazır-lanmalıdır. Matematikle ilgili bilgi ve becerilerinokul hayatını ve okul dışındaki hayatı kolaylaştır-mada, kazanılmış olunan akıl yürütme becerileri-nin değeri konusunda öğrencilerde farkındalık ya-ratmak büyük bir önem taşımaktadır.

• Akıl yürütme becerilerinin gelişimi için öğren-cilere aşağıdakilerin kazandırılması hedeflenmeli-dir:

• Öğrenme sürecinde akıl yürütmeyi kullanır.• Yaşantısında, diğer derslerde ve matematik-

te akıl yürütme becerisini kullanır.• Matematik öğrenirken genellemeler ve çıka-

rımlar yapar.• Matematikteki ve matematik dışındaki çıka-

rımlarının doğruluğunu savunabilir.• Yaptığı çıkarımların, sahip olduğu duygu ve

düşüncelerinin geçerliliğini sorgular.• Akıl yürütmede öz güven duyar.• Akıl yürütme ile ilgili olumlu duygu ve düşün-

celere sahip olur.


1 Ünite


1. Ünite

Örnek: Kendisi ile çarpıldığında 16, 25, 36 elde edilen sayıları bulalım:16 = 4$4 = 42 ; 25 = 5.5 = 52 ; 36 = 6$6 = 62

16 = (–4)$(–4) = (–4)2 ; 25 = (–5)$(–5) = (–5)2 ; 36 = (–6)$(–6) = (–6)2

4’ün karesi 16 olduğu gibi (– 4)’ün karesi de 16’dır. Bu durumda 16’nın karekökü hem +4 hem de(– 4) olur. x2 = 16 olduğunda olur. Ancak karekökün pozitif değeri ele alınır.

Örnek: 144 sayısının karekökünü bulalım:

1. yol: 144 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

144 = 24$32

= 22$3$22$3

= 4$3$4$3

= 12$12

2. yol: Sayıyı uzun bir karekök içine alıp sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayıralım. En solda tekbasamak kalabilir.

En soldaki sayının yaklaşık karekökü tahmin edilir. Buradaki sayıya en yakın tam kare sayı 1’dir. 1 sayısı en soldaki 1’in altına, 1’in karekökü olan 1 de karekök çizgisinin üstüne yazılır.

Çıkarma işlemi yapılarak 0’ın yanına 44 çift basamaklı sayısı indirilip yazılır.

Karekök çizgisinin altındaki sayıyı her zaman 2 ile çarpıp sonucunu yazarız. x144 1 2 2

1

044

=

144 11

0

144

x 16 4= =" "

36 6 6

36 6 6

2= =

= - =2] g

25 5 5

25 5 5

2= =

= - =2] g

16 4 4

16 4 4

2= =

= - =2] g

7 7 7 49 49 7

8 8 8 64 64 8

9 9 9 81 81 9

10 10 10 100 100 10

2

2

2

2

= = =

= = =

= = =

= = =

&

&

&

&

$

$

$

$

_

`

a

bbbb

bbbb

��

��

��

��

karekök 49

karekök 64

karekök 81

karekök 100

Alanı belli olan karesel bölgenin bir kenar uzunlu-ğunu hesaplamak için yapılan işlem karekök alma iş-lemidir.

Karekök alma işlemi verilen sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. “ ”

sembolü ile gösterilir.

Karekök alma işlemi, bir sayının karesi hesaplanırken yapılan işlemin tersidir. Karekökleri

tam sayı olan doğal sayılar, tam kare sayılardır.

Pozitif karekök sembolü “ ”, negatif karekök sembolü ise “– ” biçiminde gösterilir.

144 272 236 218 29 33 31

Karekök tanımından olacağı için

şeklinde elde edilir.144 12 122= =

;a a a 02 = H

1

1

7. Aşağıda verilen kareköklü sayıları en yakın onda birliğine kadar tahmin ediniz.

a) 11 b) 15 c) 29 ç) 32 d) 39

8. Aşağıda verilen eşitsizliklerden doğru olanların yanlarındaki kutucuklara “D”, yanlışolanlarınkine ise “Y” yazınız.

a) 17 < 4 �� b) 6 > 34 �� c) 50 > 7 ��

ç) - 8 > -3 �� d) -5 < - 23 �� c) 4 < 20 < 5 ��

9. Aşağıdakilerden hangisinin sonucu bir tam sayıdır?

A) B) C) D) 125———2536———6

20———225———25


• Ders kitabının 22. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikle öğrencilerde “Araştır-ma-Sorgulama Becerisi”nin gelişiminin sağlanma-sı hedeflenmiştir.

Araştırma-Sorgulama Becerisi: Araştırmabecerisi; doğru ve anlamlı sorular sorarak proble-mi fark etme ve kavrama, problemi çözmek ama-cıyla neyi ve nasıl yapması ile ilgili araştırma plan-laması yapma, sonuçları tahmin etme, çıkabile-cek sorunları göz önüne alma, sonucu test etmeve fikirleri geliştirmeyi kapsar. Anlamlı tahmindebulunma, uygun araştırma ortamına karar verme,araştırmada ne tip ve ne kadar delil toplaması ge-rektiğine karar verme, bilimsel yaklaşımı kullana-rak araştırmayı planlama, nasıl gözlem ve kıyasyapacağını belirleme, araç-gereç kullanma, doğruve hassas ölçümler yapabilme, sonuçları sunmayollarını belirleme, sonuçların tekrar incelenmesigerekip gerekmediğine karar verme, bulunanlarlaasıl fikrin bağlantısını kurma, bulunanları uygunbir dille ifade etme, verileri ortaya koyma, sonucudestekleyici verilerin yeterliliğine karar verme, bu-lunanların ilk beklentileri karşılayıp karşılamadığı-na karar verme gibi alt becerileri içerir.

Ders kitabının 23. sayfasındaki örnekte öğren-cilerin tahmin yaparken bir strateji kullanmalarıgerektiğine dikkat çekilmek istenmiştir.

• Öğrenciler tahmin yaparken tahmin strateji-lerinden uygun olan stratejiyi kullanabilmelidirler.Bu örnekte en uygun strateji “İşlemsel tahmin”stratejisidir.

İşlemsel Tahmin: İşlemsel tahmin, aritmetikişlemlerin sonuçlarının hesap yapılmadan yakla-şık olarak belirlenmesidir. İşlemsel tahmin beceri-si gelişmiş kişilerin, genel matematik becerilerininde iyi olduğu gözlemlenmektedir. Tahmin yapar-ken birtakım stratejiler kullanılabilir. Bazı işlemseltahmin stratejileri aşağıda verilmiştir. İşlemsel tah-minde kullanılabilecek stratejiler burada verilen-lerle sınırlı değildir. Ders sırasında burada sunu-lanlara benzer tahmin stratejileri kullanılabileceğigibi öğrencilerin geliştirebilecekleri tahmin strate-jileri de desteklenmelidir.


• Öğrencilerin örnekleri inceledikten sonra“Sayı doğrusunda rasyonel sayılara karşılık gel-meyen noktalarda irrasyonel sayılar yer alır.” so-nucuna ulaşmaları sağlanmalıdır.


1 Ünite


1. Ünite

Tam Kare Olmayan Sayılar ve Gerçek Sayılar

• Bir sayma pulunun alanını 1 br2 olarak alınız.• Bu sayma pullarını kullanarak farklı büyüklüklerde karesel bölgeler

oluşturunuz. • Oluşturduğunuz karesel bölgelerin kenar uzunluklarını alanların ka-

rekökleri yardımıyla belirleyiniz.� Alanı 5 br2 olan karesel bölge oluşturulabilir mi?� Oluşturabilirse bu karesel bölgenin alanı herhangi iki tam sayının

çarpımı şeklinde yazılabilir mi? Neden? • Bu sayıları ve 5’i büyüklüklerine göre küçükten büyüğe doğru sıra-

layınız. Aynı sıralamayı bu sayıların karekökleri için de yapınız. � Yapılan bu işleme göre sayısı hangi sayılar arasında olur?

Açıklayınız.• Şimdi de sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin etmek için

5’in sıralamada uçlarda yer alan tam kare sayılara olan uzaklığınıbulunuz.

� sayısı hangi tam kare sayıya daha yakındır?� O hâlde sayısı hangi ondalık sayılar arasında yer alabilir?� sayısının yaklaşık değeri hangi ondalık sayı olabilir? Tahmin

ediniz.• Hesap makinesine 5 yazınız.• tuşuna basarak 5 sayısının karekök değerini bulunuz.• Bulduğunuz değeri ile tahmininizi karşılaştırınız.� sayısı devirli ya da sonlu bir ondalık kesir olarak yazılabilir mi? Açıklayınız.� O hâlde sayısı hangi sayı kümesine ait olur?� sayısı sayı doğrusu üzerinde herhangi bir noktaya karşılık gelir mi?� Sayı doğrusunu tamamen dolduran sayı kümeleri hangileridir?� Bu sayıların tamamına ne ad verilebilir? Tartışınız.

5

5

5

5

5

5

5

5

5

Tam Kare Olmayan Sayıların Kareköklerini Tahmin Edelim ve Gerçek Sayılar Kümesini Oluşturalım

kâğıt, kalem, hesap makinesi, sayma pulları

Bulduğumuz bu 2 sayısını en sağa yazıp yanına yaparız.

Kutunun içine öyle bir sayı yazmalıyız ki (aynı sayı olmak zorunda) bu sayıların çarpımı 44’e eşit veyayakın olsun.

Böylece olarak bulunur.144 12=

x144 1 2 2 2

1

044

44

00

=

x144 1 2 2 2

1

044

=1

22

x

x

4 4

1 2


1. Ünite

Örnek: 2 sayısının karekökünün hangi sayılar arasında olabileceğini tahmin edelim:olur. 2 sayısı herhangi iki aynı doğal sayının çarpımı olarak yazılamayacağı için

tam kare bir sayı değildir.2 sayısına en yakın tam kare sayılar 1 ve 4’tür.1 < 2 < 4 olarak sıralanırlar. Bu sıralama sayıların karekökleri için de yapılırsa;

elde edilir.1 1 2 22 4 $1 1 11

x x2 22 = =&

sayısı sayı doğrusunda 1 ile 2 tam sayısı arasında yer alır.

2 sayısının 1 < 2 < 4 sıralamasından uç noktalarda yer alan 1 ve 4 sayılarına uzaklıklarını bulalım.

2 – 1 = 1 ve 4 – 2 = 2 olduğu için 2 sayısı 1’e daha yakındır. 1,5 sayısının karesini bulursak;

(1,5)2 = (2,25) olur. Dolayısıyla aralığını geçer. sayısı 1’den büyük 1,5’ten küçük olur.

yazılır.

(1,4)2 = 1,96 olduğundan sayısının 1,4 ile 1,5 arasında olduğunu söyleyebiliriz.

O hâlde olarak tahmin edebilir ve bu sayının sayı doğrusu üzerinde bir görüntüsü vardır.

Hesap makinesi kullanarak sayısının yaklaşık değerini bulabiliriz.

Görüldüğü gibi sayısının yaklaşık değeri;

şeklinde bulunur. Buradan sayısının şeklinde bir rasyonelsayı olarak yazılamayacağını görürüz.

sayısı da irrasyonel sayılar kümesinin bir elamanıdır. 2

;ba b 0!] g2...,2 1 414213562,

2

2

,2 1 4.

, < < ,1 4 2 1 5

2

< < ,1 2 1 5

2< <1 2 2

2

0 1 2 3

0 1 1,4 1,5 2

sayısı bu aralıkta biryerdedir.2

Önce hesap makinesinde 2 yazılır. işaretine basılarak isteni-len 2 sayısının karekökü alınır.

Sonuç bulunur.

Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu hâlde,

gibi rasyonel sayıya çevrilemeyen sayılar “İrrasyonel

Sayılar”dır. “I” sembolü ile gösterilir.

; ; ; ; ; , ...π2 3 5 7 0 020020002

Sayı doğrusunda rasyonel sayılara karşılık gelmeyen noktalarda irrasyonel sayılar yer alır.

• Ders kitabının 24. sayfasındaki örnek, öğren-cilerle birlikte incelenir. Derslerin işlenişi sırasındaöğrencilerin aşağıdaki etkinlikleri yapmaları bek-lenir. Bu konuda öğrenciler cesaretlendirilmelidir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: hesap makinesi• Hesap makinesi ile aşağıda verilen sayıların

değerlerini bulunuz.

– , – , , , 2, 3, 5

� Hangi sayıların değerleri hesap makinesi ilebelirlenmektedir?

• Verilen sayılardan hangilerinin rasyonel sayı-lar kümesine ait olduğunu belirleyiniz.

� Rasyonel sayılar kümesine ait olmayanlarıiçinde bulunduran bir sayı kümesi var mıdır? Var-sa rasyonel sayı ve bu belirlediğiniz sayı kümesi-ni içine alan yeni bir sayı kümesine ihtiyaç duyu-lur mu? Açıklayınız.

1—320——1

9—720——5


1 Ünite

Örnek: 516 sayısının karekökünü yaklaşık olarak bulalım:

x x516 2 2 4 4 22 2 44 444

116

84

3200

= =

x x516 2 2 4 4 22 2 444

116

84

3200

= =

x516 2 2 4 44

116

84

3200

=

x516 2 2 4 44

116

84

32

=

x516 2 2 4 44

116

=

x516 2 2 44

116

=

516 24

516


1. Ünite

Önce sayı büyükçe bir karekök içine alınıp sağdan sola doğru ikişerli gruplara ay-rılır. En soldaki grup 1 basamaklı olabilir.

En solda bulunan 5 sayısı tam kare değildir. 5’e en yakın tam kare sayı 4 olupkarekökü 2’dir. 4 sayısını 5 sayısının altına, 4’ün karekökü olan 2’yi de yandaki gibikarekök işaretinin üstüne yazarız.

5’ten 4’ü çıkarırız, kalan 1 sayısının yanına grupladığımız 16 sayısını indi-ririz. Karekök işaretinin içine yazdığımız sayının yani 2’nin her zaman 2 katı-nı alarak yanda görüldüğü gibi çizginin altına yazarız.

Elde ettiğimiz 4 sayısının yanındaki kutuya öyle bir sayı yazalım kioluşan sayıyı bu sayıyla çarptığımızda 116 ya da 116’ya yakın bir sayıelde edelim. O hâlde kutuya 2 sayısını yazmalıyız. 3 yazarsak 43 x 3 = 129 olur. Bu da 116 sayısını geçer.

42 x 2 = 84 olarak elde ettiğimiz sayıyı daha önce yaptığımız gibi116’dan çıkarırız. Kutu içerisine yazdığımız sayıyı da yeni bulduğumuziçin karekök üzerine yazdığımız 2 sayısının yanına alırız.

32 sayısının yanına grupladığımız sayı kalmadığı için iki tane“0” yazarız.

Karekök işaretinin üzerinde oluşturduğumuz 22sayısının yine 2 katını alırız. Benzer işlemleri yap-maya devam ederiz.

44’ün yanına hangi sayıyı yazalım ki çarptı-ğımızda 3200’e eşit veya yakın bir sayı eldeedelim? içine yazacağımız sayı 7 olmalıdır.8 yazarsak 448 x 8 = 3584 buluruz. Bu da3200 sayısını geçer.

2

2

2aax

→

2222x

→

→

→

→

8 4

22

22

22x

8 4

22x

x x

8 4

22

8 4

22→


10. Aşağıda verilen ifadelerin doğru ya da yanlış olduklarını belirtiniz.

a) Her devirli ondalık açılım, ondalık kesirdir.

b) Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı belirtir.

c) Tam sayılar 0 devreden ondalık açılımlardır.

ç) Her rasyonel sayının devirli bir ondalık açılımı vardır.

11. 3n . 0,2 = 54 ise n kaçtır?

12. x = 1,1 ve y = 5,5 ise - farkının değerini bulunuz.1—x1—y


• Örneklerdeki çözümler hesap makinesi ilede yaptırılır bulunan sonuçların karşılaştırılmasıistenebilir.

• Matematik programı, matematiği etkin bir sü-reç olarak ele almaktadır. Bu yaş grubundaki öğ-renciler çevreleriyle ve akranlarıyla etkileşimlerin-den kendi düşüncelerini oluştururlar. Programdaöğrencilerin araştırma yapabilecekleri, keşfedebi-lecekleri, problem çözebilecekleri, çözüm ve yak-laşımlarını paylaşıp tartışabilecekleri ortamlarınsağlanmasının önemi vurgulanmıştır. Bu anlamdamatematiğin estetik ve eğlenceli yönünün keşfe-dilmesi ve öğrencilerin öğrenme süreci boyuncamatematikle uğraştıklarının farkında olmalarıönem taşımaktadır.

• Yapılan çalışmalarla öğrencilerin yaratıcı dü-şünme becerilerinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Yaratıcı Düşünme: Yaratıcı düşünme beceri-si; öğrencilerin bir temel fikri ve ürünü değiştir-meyi, birleştirme yeniden farklı ortamlarda kullan-mayı ya da tamamen kendi düşüncelerinden yolaçıkarak yeni ve farklı ürünler ve bilgiler üretmeyi,olaylara farklı bakabilmeyi, küçük çaplı da olsabazı buluşlar yapabilmeyi kapsar. Ayrıntılı fikirlergeliştirme ve zenginleştirme, sorunlara benzersizve kendine özel çözümler bulma, fikirler ve çö-zümler ortaya çıkarma; bir fikre, ürüne çok farklıaçılardan bakma, bütünsel bakma alt becerileriniiçerir.

• Sayfadaki son örnekte şekilden yararlanarak“Gerçek Sayılar Kümesi” kavramı oluşturulmayaçalışılmıştır. Bu çalışma problem çözme becerile-rinden “Şekil, resim, tablo vb. kullanma” stratejisi-nin geliştirilmesi için düzenlenmiştir. Örnekler bil-ginin yapılandırılması ve problem çözme becerile-rinin geliştirilmesi için yol gösterici kılavuzlardır.


1 Ünite

O hâlde olarak bulunur.

� Bildiğimiz tüm sayı kümelerini bir şema ile gösterelim:

,1165 34 1.

x x1165 3 2 6 6 34 2 68 689

265

256

00900

= =

Örnek: sayısının yaklaşık değerini bulalım:

x1165 3 2 6 69

265

=

1165

x x516 2 2 4 4 22 2 44 444

116

84

32

3129

0071

00

= =

x1165 3 2 6 69

265

256

009

=


1. Ünite

Bulunan 7 sayısını yine karekök üzerindeyazdığımız 22 sayısının yanına taşırız. Ancak22 ile 7 arasına bir virgül yazarız. Çünkü 32sayısının yanına iki tane 0 eklemiştik. İşlemebenzer şekilde istenildiği kadar devam edilebi-lir. Buna göre olur. sayı-sının da sayı doğrusunda bir görüntüsü vardır.

516,516 22 7.

68’in yanına 1 yazıp çarptığımızda 900’eyakın bir sayı buluruz.

Şekilden de görüldüğü gibi rasyonelsayılar ile irrasyonel sayılar kümelerininbirleşiminden GERÇEK SAYILAR kümesioluşur.

x x

22

8 4 3129

2277

,7

3 3444x

2 5 6

→ 44x

2 5 6

→

11’e en yakın tam kare sayı9 olduğu için 9’un kareköküolan 3 karekök işaretinin üstüneyazılır. 3 sayısı 2 ile çarpılır.

9’un yanına 2 sıfır yazılır.

34 sayısının 2 katı alınır.

6 sayısının yanındaki kutu-ya 4 yazarsak 265’e en yakınsayıyı elde ederiz.

Bulunan 4 sayısı karekökişareti üzerindeki 3 sayısınınyanına taşınır.

34 ,1

44x

2 5 6x

6 8 1

11

Gerçek sayılar kümesi R sembolü ile gösterilir. Q ∪∪ ΙΙ == R olur.

RasyonelSayılar

TamSayılar

Z

Q Ι

N

İrrasyonelSayılar

��Gerçek Sayılar

DoğalSayılar


13. N = Doğal Sayılar Kümesi, Z = Tam Sayılar Kümesi, Q = Rasyonel Sayılar Kümesi, I = İrras-yonel Sayılar Kümesi R = Gerçek Sayılar Kümesi olmak üzere, aşağıda verilen eşitliklerin yanlarında-ki kutulara doğru olanlar için “D”, yanlış olanlar için “Y” yazınız.

a) Q ∩ Qı = Ø �� b) Q ∪ Qı = I ��

c) Z ⊂ Qı �� ç) N ∪ Z = Q ��

d) Q ∪ Qı = R �� e) Qı ⊂ R ��

14. Aşağıda verilen ifadelerin yanlarındaki kutulara doğru olanlar için “D”, yanlış olanlar için “Y” ya-zınız.

a) İki rasyonel sayının toplamı irrasyonel sayı olamaz. ��

b) Tam sayı ile irrasyonel sayının toplamı rasyonel sayı olabilir. ��

c) Rasyonel sayı ile irrasyonel sayının farkı rasyonel sayı olamaz. ��

ç) Doğal sayı ile rasyonel sayının çarpımı irrasyonel sayı olabilir. ��

16. Aşağıda verilen sayılardan rasyonel olanların yanlarındaki kutucuğa “R”, irrasyonel olanların-kine ise “I” yazınız.

a) �� b) -2 �� c) 3 �� ç) π ��

d) 0 �� e) - 8 �� f) 9 ��

3—5

17. Aşağıda verilen her bir rasyonel sayı çifti arasında yer alan 3 tane rasyonel sayı bulunuz.

a) , b) , c) - , - ç) 0, - 1—34—5

3—55—6

4—51—4

1—3

15. -1, 3, , - , 7, 16, - 3, π sayılarını aşağıda verilen şekilde uygun bölgelere yerleştiri-

niz.

4—37—2

İrrasyonel

Sayılar Doğal Sayılar

Tam Sayılar

Rasyonel Sayılar

Gerçek Sayılar


Uygulamalar

Ders kitabının 26. sayfasındaki alıştırmalar öğ-rencilere yaptırılır. Çalışma kitabının 16, 17, 18,19, 20 ve 21. sayfalarındaki sorular çözdürülebilir.

Bireysel Farklılık Soruları:

1. 13, 81, 25, 128a) Yukarıda verilen kareköklü sayılardan han-

gileri tam karedir, hangileri tam kare olmayan ka-reköklü sayılardır? Sebebiyle açıklayınız.

b) Tam kare olmayan kareköklü sayıları en ya-kın onda birliklerine kadar tahmin ediniz.

2. , 7, 5, 1,09, 3,1246638 ...

Yukarıda verilen sayılar hangi sayı kümelerininelemanıdır?Açıklayınız.

Değerlendirme

Öğrencilerden, tam kare doğal sayılarla busayıların karekökleri arasındaki ilişkiyi modelle-riyle açıklamaları ve kareköklerini belirlemeleri;tam kare olmayan sayıların kareköklerini stratejikullanarak tahmin etmeleri; rasyonel sayılar ile ir-rasyonel sayılar arasındaki farkı görmeleri bekle-nir.



“Grup Değerlendirme Formu” kullanılabilir.

1—2


1 Ünite

16-21


1. Ünite

Sayı doğrusunu rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar oluşturur.

Örnek: Aşağıda verilenleri inceleyelim:

yazılamaz. +1 ve (–1) sayılarının kareleri –1 değildir.

yazılamaz. +2 ve (–2) sayılarının kareleri –4 değildir.

Bu yüzden gerçek sayı değildir.ve1 4- -

veya4 2 4 2- = - =-

veya1 1 1 1- = - =-

Q ∪∪ ΙΙ == R olduğu için gerçek sayılar kümesi sayı doğrusunu tam olarak doldurur.

gibi sayılar gerçek sayılar değildir., , , , , ...1 4 9 16 25- - - - -

ALIŞTIRMALAR

1) Aşağıda verilen ifadelerden doğru olanların başına “D”, yanlış olanların başına “Y” yazınız.a) ( ) Tam sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesine göre daha yoğundur.

b) ( ) sayısı devirli olmayan bir sayıdır.

c) ( ) Her devirli ondalık açılıma karşılık gelen bir rasyonel sayı vardır.ç) ( ) Her ondalık açılıma karşılık gelen bir rasyonel sayı vardır.d) ( ) Karekök alma işlemi bir sayının karesinin hesaplanmasının ters işlemidir.e) ( ) Karekökleri tam sayı olan doğal sayılar tam kare sayılardır.f) ( ) Ν ⊂ Z ⊂ Q ⊂ Ι

2) Aşağıda verilen rasyonel sayılara karşılık gelen ondalık açılımları bulunuz.

a) b) c) ç)

3) Şıklarda verilen boşluklara “⊃ ”, “∩ ”, “∪ ”,“⊂ ”, işaretlerinden uygun olanları yerleştiriniz.

a) N ..... R b) Q ..... Ι = R c) Q ..... Z = Z ç) R ..... Ι d) R ..... Z ..... Q ..... N

4) Aşağıda verilen tam kare ifadelerin kareköklerini bulunuz.

a) b) c) ç) d)

5) Aşağıda verilen karekök işlemlerinin sonuçlarını en yakın onda birliklerine kadar tahmin ediniz.

a) b) c)

6)

17956741425

196625400225169

1921

2012

321

52

313

Yandaki şemaya N, Z, Q ve I kümelerinin isimleriniuygun şekilde yerleştiriniz.


18. Aşağıda verilen sayıları (a, b birer tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere) şeklinde yazmaya çalı-

şınız; bu şekilde yazamadığınız sayılar olursa bu biçime getirememenizin sebeplerini açıklayınız.

a) 3 b) -2 c) 5 ç) 16 d) 0

a—b

19. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) 2 < 22 B) 36 – 6 = 0 C) 37 = 73 D) 16 < 25

20. 384, 500, 616

Yukarıda verilen kareköklü sayıları en yakın onda birliklerine kadar bulunuz.

ç. Projenin zaman analizinin belirlenmesi

Süre : 4 Ders saatiÖğrenme Alanı : SayılarAlt Öğrenme Alanı : Üslü SayılarKazanımlar3. Üslü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini

yapar. 4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bi-

limsel gösterimle ifade eder.Becerilerİletişim, ilişkilendirme, akıl yürütmeYöntem ve Teknikler: Anlatım, soru-cevap,

keşfetme.Araç-Gereç: kâğıt, kalem, hesap makinesiHatırlayalımAşağıdaki üslü sayıların değerlerini bulunuz ve

işlemleri yapınız.

a) 23 . 33 b) c)

Zorunlu Program Uyarıları [!] Üslü sayılarla yapılan çarpma ve bölme iş-

lemlerindeki kurallar, sözel ve cebirsel olarak ifa-de ettirilir.

[!] “a” bir gerçek sayı, 1 ≤ a < 10 ve n ∈ Z olmaküzere a x 10n gösterimi “bilimsel gösterim” dir .

Dikkat Çekme ve Motivasyon: Öğrencilerin önbilgilerini açığa çıkarmak için “Hatırlayalım” bölü-mündeki soru çözdürülebilir.

Öğrenme-Öğretme Süreci • Ders kitabının 27. sayfasındaki fotoğrafla il-

gili olarak görsel okuma ve görsel sunu yaptırılır.• Fotoğrafa ait metin okutularak konuya moti-

vasyon sağlanabilir. Metnin sonundaki soru, öğre-nilecek kavrama dikkat çekmek ve vurgu yapmakamacıyla hazırlanmıştır. Bu nedenle öğrenciler-den mutlaka doğru cevabı vermeleri beklenme-melidir.


• Sınıfa mümkün olursa otomatik olarak üsalabilen hesap makinesi getirilmesi dikkat çekiciolabilir.

• Öğrencilerden gelecek tepki ve istekler doğ-rultusunda gerek duyulursa nanoteknoloji ile ilgiliolarak 37. sayfadaki ek bilgi kullanılabilir.

• Ders kitabının 27. sayfasındaki örnek, öğ-rencilerle birlikte incelenir. Örnek, öğrencilerin önbilgilerinin açığa çıkarılmasını, öğrenilecek bilgile-rin bunun üzerine inşa edilerek yeni bilgilerin ya-pılandırılması hedeflenmiştir.

• 10’un pozitif ve negatif kuvvetlerinin kullanı-mının gerekliliği konusunda sınıfta tartışma orta-mı oluşturulabilir.

• Tartışmada öğrenciler, sorular yardımıylaçok büyük ve çok küçük sayılarla yapılacak işlem-lerde bu bilimsel gösterimin ve kullanımın kolay-lık sağlayacağı düşüncesine yönlendirilmelidir.

• Bu bilimsel gösterimin matematikten başkahangi bilim dallarında kullanıldığının araştırılmasıile ilgili bir araştırma ödevi verilebilir. Ödevle ilgiliolarak araştırma yapılacak alanlar fizik, kimya, bi-yoloji ve astronomi olarak sınırlandırılabilir. Aynışekilde günümüzün önemli buluşlarından olan“Nanoteknoloji” ile ilgili araştırma ödevi verilebilir.

54—252

26—42


1 Ünite

256 2128 264 232 216 28 24 22 21 a

sayısını asal çarpanlarına ayırırsak;16 16 16 256

2 2 256256

2

2

4 4 4

= =

= =

$

$2

] g4

V


1. Ünite

ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

Uluslarası Astronomi Birliği 1976 yılında aldığı bir kararla, 1 as-tronomik birimi, kütlesi sıfır kabul edilen bir taneciğin 1 Gauss yılı(365,256898300 gün) sürede çizdiği düzgün dairesel yörüngeninyarıçapı olarak kabul ederek kesinleştirmiştir. Buna göre 1 Astrono-mik birim 149 597 870 691 ± 30 metredir (Matematiksel işlemlerdeyaklaşık 150 000 000 000 metre alınır.).

Astronomik birim, evrendeki büyük uzaklıkları belirtmek için kul-lanılır. Örneğin, Güneş'e en yakın yıldız sistemi olan Alfa Centauriyıldız sistemi, güneş sisteminden yaklaşık 25 astronomik birim, yani 3,75 milyar km uzaktadır.

� Bu mesafeyi m olarak ifade etmeye kalksak bol bol sıfır kullanmadan bunu nasıl yapabiliriz?

• işleminin sonucunu hesap makinesi ile bulunuz. Bul-duğunuz sonucu not ediniz.

• işleminin sonucunu da hesap makinesi ile bulunuz ve notediniz.

• Bulduğunuz iki sonucu karşılaştırınız.

• 96 işleminin sonucunu hesap makinesi ile bulunuz.

� Bulduğunuz bu sonuç ile işleminin sonucu arasında na-sıl bir ilişki vardır?

� Üslü sayılarla yapılan bu çarpma işlemini matematiksel olaraknasıl ifade edersiniz? Açıklayınız.

• 105 işleminin sonucunu bulunuz.

• 102 işleminin sonucunu bulup 105 sayısını 102 sayısına bölünüz.

� Bölümü üslü sayı olarak nasıl ifade edersiniz?

� Üslü sayılarla yapılan bu bölme işlemini matematiksel olarak na-sıl ifade edersiniz? Açıklayınız.

9 92 4$

9 92 4$

81 6561$

Üslü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemlerini Yapalım


Örnek:

⇒ 256 = 28 olarak bulunur.

O hâlde olur.2 2 284 24= =$2] g


1 Ünite

NANOTEKNOLOJİ: Nanoteknoloji, nanomet-re (Metrenin milyarda biri, milimetrenin milyondabiri) ölçeğindeki fiziksel, kimyasal ve biyolojikolayların anlaşılması, kontrolü ve üretimi amacıy-la, fonksiyonel materyallerin, cihazların ve sistem-lerin geliştirilmesidir. Nano ölçekteki olayların ma-nipulasyonu (etkileme) ile bilim ve teknolojide ye-ni ufuklar açılmaya başlamıştır.

Nanoteknolojinin Amaçları:

* Nano hassasiyetli cihazların geliştirilmesi,

* Nano ölçekli cihazların geliştirilmesi,

* Uygun yöntemler bulunarak nanoskobik vemakroskobik dünya arasındaki bağın kurulması,

* Nanometre ölçekli yapıların imalatı,

* Nanometre ölçekli yapıların analizi,

* Nanometre boyutunda yapıların fiziksel özel-liklerinin anlaşılması.

* Nanoteknolojinin Kullanım Alanları:

* Endüstriyel alanda; mikrosensörlerin, mikro-makinelerin, optoelektronik elemanların imalatı veuygun şekilde bir araya getirilmesinde kullanılır.

* Medikal alanda; mikro cerrahide (göz, beyinvb.), diagnostik kitlerde, bilimsel araştırmalarda,yüzey karakterizasyonu ve modifikasyonunda,mikroorganizmaların taşınmasında, ilaç salınımsistemlerinde, DNA modifikasyonunda ayrıca ha-vacılıkta kullanılır.

• Kavram oluşumundan emin olunamamasıdurumunda öğrencilerden sayfadaki örneklerebenzer örnekler düzenlemeleri istenebilir.

• Ders kitabının 28. sayfasındaki örnekler ince-letilir.

• Üslü sayılarla yapılan çarpma ve bölme iş-lemlerinde kuralların sözel ve cebirsel olarak ifa-de ettirilmesine önem verilmelidir.

• Sayfadaki örneklerde öğrencilerin ilişkilendir-me becerilerinden “Matematiksel kavramları, iş-lemleri ve durumları farklı temsil biçimlerini kulla-narak ifade etme” becerisinin geliştirilmesi hedef-lenmiştir.

Örnek:

Örnek:

Örnek: sayısının sayısına eşit olup olmadığını inceleyelim:

Örnek: (75)3 sayısını üslü sayıların çarpımı şeklinde yazalım:

olur.

Örnek: Aşağıdaki tabloyu inceleyelim ve çarpma işleminin kuralını belirleyelim:

7 23^ h

2 4 4 4 4 64 2

2 2 2

2 3 6

2 2 3 6

= = = =

= =

$ $

$

3

3

]

]

g

g

5 5 5 5 52 2 3 6 3 6 3 18= = = =$ $3 3 3] ] ]g g g6 @

72 3] g


1. Ünite

Üslü bir ifadenin tekrar üssü alınırsa üsler çarpılır. x ∈ Z olmak üzere x xm mn n

!] ]g g

75 3 25 3 5 3 5 3 5 3 52 32 3 3 2 3 3 3 6= = = = =$ $ $ $ $$3 3] ] ] ]g g g g

Üsleri aynı, tabanları farklı olan üslü ifadeler çarpılırken önce tabanlar çarpılır. Sonra ortak

üs aynen yazılır. a b a b=$ $n n n] g

Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanıp ortak tabanın üssü olarak yazılır.

ax $ ay = ax+y

Tabloya göre çarpılan sayıların tabanları aynıdır. Tabanları aynı olduğundan üslü sayılar çarpılırkenüsler toplanıp üs olarak yazılır.

Örnek: 8$32$4 işlemini yapalım:

8$32$4 = 23$25$22 = 23+5+2 = 210 =1024

Çarpma İşlemi Çarpım Çarpımın Üslü Gösterimi

100 $ 100 1 $1 = 1 100 = 100+0

100 $ 101 1 $10 = 10 101 = 100+1

101 $ 101 10 $10 = 100 102 = 101+1

101 $ 102 10 $100 = 1000 103 = 101+2

102 $ 102 100 $100 = 10 000 104 = 102+2

102 $ 103 100 $1000 = 100 000 105 = 102+3

103 $ 103 1000 $1000 = 1 000 000 106 = 103+3

. . . . . . . . .

Tablo: Tabanları Aynı Olan Üslü Sayılarla Çarpma İşlemi

7 7 7

7 7 7 72

2 2 3 6

8 6 83

= =

= & !

$3]

^

g

h


ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

1. Aşağıda verilen eşitliklerin yanlış ya da doğru olduklarını belirleyerek yanlarına yazınız.

a) 22 . 43 (-8)2 = 47 ...................... ç) 2x-4 . 2x+4 =4x ......................

b) (-a)2 . (-a2) = a4 ...................... d) 3x ÷ 3-x = 1 ......................

c) 4-3 . (-4)-3 . (-4)6 = 1 ...................... e) 5x-3 ÷ 5x-4 = 5 ......................

2. işleminin sonucunu bulunuz.27 + 23—————24 +2

3. 2a+3 = 64 ise 3a-5 in değerini bulunuz.

a. Excell tablosunu ve grafiği oluşturulacak kuralın belirlenmesi

Ders kitabının 29. sayfasındaki örnekler öğ-rencilere inceletilir.

• Ders kitabının 30. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Yine bu örnekte kavra-mın somutlaştırılması ve öğrenme alanları arasın-daki ilişkilerin daha iyi kavranması için tablo kul-lanılmıştır. Öğrencilerin ders içi ve dersler arasıilişkileri kurabilmelerine önem verilmelidir.

• Matematik bilgilerinin, hem gerçek hayatlahem de diğer derslerde öğrenilenlerle ilişkilendiril-mesine önem verilmelidir. Günlük yaşamda, bir-çok durumda çeşitli zorluk derecelerinde matema-tiğe ait problemler karşımıza çıkmakta ve mate-matik pek çok meslek dalında kullanılmaktadır.Bu nedenle problemler, öğrencilerin matematiğingünlük hayattaki kullanımını açık biçimde görme-lerine yardımcı olacak şekilde seçilmelidir. Öğren-ciler matematiğin diğer derslerde de kullanılabildi-ğini gördüklerinde, kazanımları daha anlamlı ola-caktır. Bu amaçla matematik dersi belli başlı aradisiplinlerle ilişkilendirilmiştir.

• Öğrenmede iletişimin önemli bir rolü vardır.İletişim kurmak, öğrencileri bildiklerini yenidengözden geçirmeye, toparlamaya ve yapılandırma-ya yöneltecektir. İletişim, bir rapor veya hikâyeninhazırlanıp sınıfta sunulması, bir matematik prob-leminin kurulması, bir problemin çözümünün anla-tılması gibi farklı biçimlerde olabilir. Aynı şekildebenzer çalışmalar yeni örnekler düzenletilmesiyleveya örneklerin açıklatılmasıyla da yapılabilir. İle-tişim, öğrencilerin öğretmen tarafından daha iyideğerlendirilmesine de yardımcı olacaktır.


Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: hesap makinesi

• 33 ve 35 üslü sayılarının değerlerini hesapmakinesinden yararlanarak belirleyiniz.

• Belirlediğiniz değerleri de hesap makinesi ileçarpınız.


1 Ünite


1. Ünite

Örnek: olur.

Örnek: işlemini yapalım.

! Yapılan işlemi sözel ve cebirsel olarak ifade ediniz.

Örnek: Aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri tamamlayıp tablonun 1 ve 3. sütunlar arasındaki iliş-

kiyi sözel olarak açıklayınız.

Örnek: 25 : 23 işlemini yapalım:

Örnek: Aşağıdaki işlemleri inceleyelim:

Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi bölünen üslü sayıların tabanları aynıdır. Dolayısıyla bölümdebulunan üs, üslerin birbirinden çıkarılmasıyla elde edilmiştir.

77

7 7

7 7 7 7

33

3 3

3 3 3 3 3

1010

10 10

10 10 10 10 10 10

7 7 3 3 3 10 10 10 10

7 3 10

49 27 10 000

2

4

2

5

2

6

2 3 4

= = =

= = =

= = =

= = =

$

$ $ $

$

$ $ $ $

$

$ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

:2

2 222

2 2 2

2 2 2 22 2 2 45 3

3

52= = = = =

$ $

$ $ $ $$

5 25 125 5 5 5 5 5 5 5 5 5

5

5 625

4 3 2 4 2 3 4 2 3 3 2 4 6 6

4 6 6

4

= = =

=

= =

$ $ $ $ $ $ $ $- - -

+ - +

$$3 2-] ] ]

]

g g g

g

5 25 1254 3 2$ $-

3 3 3 3 3315 13 3 5 1 1= = =$ $- - + -

olur.

Bölme İşlemi Bölüm Bölümün Üslü Gösterimi

100 : 100 1 : 1 = 1 100

101 : 100 10 : 1 = 10 101

102 : 101 100 : 10 = 10 101

103 : 101 1000 : 10 = 100 102

104 : 101 10 000 : 10 = 1000 103

105 : 101 100 000 : 10 = 10 000 104

106 : 101

107 : 101

108 : 101

Tabanları aynı olan üslü ifadeler birbirine bölünürken payın üssünden paydanın üssü

çıkarılır. Bulunan sonuç ortak tabana üs olarak yazılır. xx xn

mm n= -

Tablo: Üslü Sayılarla Bölme İşlemi


1. Ünite

Örnek: işlemini yapalım:

Örnek:


10’un Pozitif ve Negatif Kuvvetleri ile Bilimsel Gösterim

� Aşağıda 10’un (pozitif) kuvvetleri çarpım şeklinde gösterilmiş ve sonuçları yazılmıştır. İnceleye-lim:

100 = 1

101 = 10 (10’un 1. kuvveti)

102 = 10 . 10 = 100 (10’un 2. kuvveti veya 10’un karesi)

103 = 10 . 10 . 10 = 1000 (10’un 3. kuvveti veya 10’un küpü)

104 = 10 . 10 . 10 . 10 = 10 000 (10’un 4. kuvveti)...

10n = 10 . 10 . 10 . .... 10 = 100...00 (10’un n. kuvveti)

Örnek: Aşağıda verilen sayıları 10’un (pozitif) kuvveti şeklinde yazalım:

50 000 = 5 $104 = 0,5 $105

820 000 000 = 82 $107 = 8,2 $108

3 750 000 = 375 $104 = 3,75 $106

96 430 = 9643 $101 = 9,643 $104

.olur55 5 5 5 5 5x

xx x x x

2 2

2 12 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1= = = = =

-

-- - - - - + - +] g

55

x

x

2 2

2 1

-

-

.olur2

1684

22 2

22 2 22

5

3

2 5

3 2

2 5

6

1010 6 4= = = = = =-

$

$

2]

]

g

g

.

ya da

olarak elde edilir

1010

10110

10110

10110 10 10 10 10

1010 10

10

10

3

6 6

3

3

6

3

66 3 6 3 9

3

66 3

6 3

9

= = = = = = =

=

=

$-

+

-

- -

+

3

c

]

m

g

1010

3

6

-

�� n tane n tane

10’un (pozitif) kuvveti şeklinde verilen bir sayının değeri “1” in sağına üs sayısı kadar sıfır yazıla-

rak bulunur. 10’un kuvveti olan n tam sayısının (pozitif) olduğu sayılara çok büyük sayılar denir.

��4 adet

��

4 adet��

��7 adet

n∈N olmak üzere bir ondalık kesri 10n ile çarpmakaradaki virgülü n basamak sağa kaydırmaktır. Kaydırıla-cak basamak sayısı yeterli değilse eksik kalan basamaksayısı kadar “0” ilave edilir.

• Bulduğunuz sonucu asal çarpanlarına ayırıpüslü sayı olarak yazınız.

• Bulduğunuz üslü sayı ile 33 . 35 üslü sayısı-nın tabanları ve üsleri arasında nasıl bir ilişki oldu-ğunu belirleyiniz.

� Yaptığınız işlemden yararlanarak tabanlarıaynı olan üslü sayıların çarpımları için ne söyleye-bilirsiniz?

• Aynı şekilde 35 ve 33 üslü sayılarının değer-lerinin birbirine oranını hesap makinesinden ya-rarlanarak bulunuz.

• Bulduğunuz sonucu asal çarpanlarına ayırıpüslü sayı olarak yazınız.

• Bulduğunuz üslü sayı ile 35 ÷ 33 üslü sayısı-nın tabanları ve üsleri arasında nasıl bir ilişki oldu-ğunu belirleyiniz.

� Yaptığınız işlemden yararlanarak tabanlarıaynı olan üslü sayıların bölümleri için ne söyleye-bilirsiniz?


1 Ünite


1. Ünite

Örnek: 1 gün kaç saniyedir?

1 gün = 24 sa. = dk. = sn. = 86 400 sn. = sn.

Örnek: Astronomide gezegenler ve yıldızlar arasındaki uzak-lıklar ışık yılı veya astronomi birimi gibi birimlerle ifade edilir.

Işık yılı ışığın 1 yılda aldığı yola denilir. Işık yılının kaç km ol-duğunu hesaplayalım:

Işığın hızı yaklaşık olarak saniyede 300 000 km’dir.

1 yıl ≈ 365 gün 6 sa. = 365,25 gündür.

1 gün = 86 400 sn. dir. Buna göre;

1 yıl ≈ 365,25 . 86 400 = 31 557 600 sn. dir. Bunu ışık hızıile çarparsak;

1 ışık yılı ≈ 31 557 600 · 300 000

= 9 500 000 000 000

= 95 . 1011

= 9,5 . 1012 km olur.

Örnek: 13 000 000 000 sayısını bilimsel şekilde yazalım:

13 000 000 000 = 13 . 109 = 1,3 . 1010 olur. Çünkü 1 1,3 < 10 ve 10 ∈ Z dır.

Örnek: Aşağıda verilen örnekleri inceleyelim:

Örnek: Güneş’in Dünya’mıza olan uzaklığı astronomi birimi (A.B.) ile gösterilir. 1 A.B. 150 000 000 km’dir. 1 A.B. bilimsel olarak gösterelim.

1 A.B. = 150 000 000 km = 15 · 107 km = 1,5 · 108 km’dir.

,

,

,

,

..., ...

10101

101 0 1

10101

1001 0 01

10101

10001 0 001

10101

10 0001 0 0001

10101

100 01 0 000 01

tantan

n en e

nn

11

22

33

44

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

-

-

-

-

-

\\

#

,8 64 104$24 60 60$ $24 60$

.

.

. 10’un kuvveti olan n tam sayısının negatif olduğu

sayılar çok küçük sayılardır.

Genellikle astronomide, kimyada ve fizikte kullanılan çok büyük sayılar a.10n (n ∈∈ Z, a ∈∈ R ) şek-

linde yazılır. Burada a gerçek sayısı 1 ile 10 arasında (1 dâhil) değişir. Bu şekildeki yazılış işlemle-

rin daha kolay yapılmasını sağlar. Bu gösterim çok büyük pozitif sayıların bilimsel gösterimidir.


4. işleminin sonucunu bulunuz.92 . (-3)5 . 3-2—————————34 . (-27)2

5. 9x+2 = 34x-6 eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?

a) 2 B) 3 C) 4 D) 5

7. ifadesinin eşiti nedir?

A) B) C) 1 D) 21—21—4

5x + 5x + 5x + 5x———————————5x + 5x

6. işleminin sonucunu bulunuz.(-25) . ( )31—2

(-4)3 . ( )21—8


8. işleminin sonucunu bulunuz.93 . 34 . 27————————37 . 34 ÷ 92

9. işleminin sonucu kaçtır?56 ÷ 34——————252 ÷ 272

10. Aşağıda verilen sayıları büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

a) d = 3 .104; e = 2,7 . 103; f = 4,2 . 104 ; g = 0,4 .105

—— > —— > —— > ——

b) j = 7 . 106; k = 9,5 . 105; l = 8,1 . 106 ; m = 32 . 105

—— > —— > —— > ——

b. Araştırma yapılacak alanın belirlenmesi


1 Ünite

Uygulamalar

Ders kitabının 32. sayfasındaki alıştırmalar öğ-rencilere yaptırılır. Çalışma kitabının 22, 23, 24,ve 25. sayfalarındaki sorular çözdürülebilir.


1. Aşağıda verilen işlemlerde bilinmeyenleribulunuz.

a. = 6.3x b. 24.42.16.1285 = 2y

c. 625.(0,002)4 = 10m ç. = -2n

2. 0,000073 ve 0,0000008 sayılarının bilimselgösterimi sırasıyla m.10n ve p.10r olduğuna göreaşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) m > p C) p bir doğal sayıdır.B) n > r D) n ve r birer tam sayıdır.

Değerlendirme

Öğrencilerden, üslü sayılarla çarpma ve bölmeişlemlerini yapmaları, çok büyük ve çok küçük po-zitif sayıları bilimsel gösterimle ifade etmeleri bek-lenir.



Yapılan çalışmalarla ilgili olarak 203. sayfada-ki “Matematiğe Yönelik Tutum Ölçeği Formu” dol-durtulabilir.

(64)-3.(-32)2———————(256)-7

64.37—————25.243


1. Ünite

Örnek: Aşağıdaki ondalık açılımları 10’un kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazalım.0,7 = 7$0,1 = 7$10-1 ; 0,002 = 2$0,001 = 2$10-3 ; 0,009 = 9.10-3

Örnek: Aşağıdaki rasyonel sayıları 10’un kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazalım:

Örnek: 0,16 . 10-8 işleminin sonucunu bulalım:

0,16$10-8 = 16 $10-2 $10-8 = 16 $10-2+(-8) = 16 $10-10 = 1,6 $10-9

Örnek: sayısını bilimsel gösterim ile yazalım:

,10 000 000

10310103 103 10 1 03 107

7 5= = =$ $- -

10 000 000103

; ;105 5 10

101 1 10

1017 17 103

36

63

3= =-

=-$ $ $- -

-

Çok küçük sayıların bilimsel gösterimi n ∈∈ Z ve a sayısı 1 ile 10 arasında (1 dâhil) bir gerçek

sayı olmak üzere a $10-n şeklindedir.

1 a = 1,03 < 10; n = –5 ∈ ZG

a,bc 10-n ifadesinde virgül sağa kayar-

ken n küçülür.

ALIŞTIRMALAR

1) Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.

a) b) c) ç) d)

2) Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) 102 $102 $102 $102 = 108 B) 102 $102 $102 $102 = 4 $102

C) 102 +102 +102 +102 = 108 D) 102 +102 +102 +102 = 4 $108

3) Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) 0,19 = 19 $10-2 B) 1 453 000 = 1,453 $106

C) 1500 = 15 $102 D) 0,2 = 0,0002 $102

4) işleminin sonucunu bulmak için yapılan işlemler aşağıda adımlar hâlinde ve-

rilmiştir. Kaçıncı adımda hata yapıldığını ve doğru sonucu bulunuz.

I. adım

II. adım

III. adım

IV. adım

V. adım 5 $103

2551 10 102 1$ $ $

25 1051 102 1$ $ $

3 1075 10

5 101 10

2

4

14

15

$

$$

$

$-

-

:3 1075 10

1 105 10

2

4

15

14

$

$

$

$-

-

,,

:0 030 0075

105 10

15

14$

34

215

8$c m3

3 39

6 4$

1010

9

7

-7 7 73 2 1- -

$ $662

4

22-25


c) p = 3,7 . 10-6; r = 96 . 10-5; s = 0,6 . 10-7 ; t = 865 . 10-4

—— > —— > —— > ——

ç) u = 4,5 . 10-3; v = 6 . 10-4; y = 120 . 10-6 ; z = 3400 . 10-6

—— > —— > —— > ——

11. Aşağıdaki A tablosunda yer alan sayıları B tablosundaki bilimsel gösterimlerden uygun olanlarıile eşleştiriniz.

A

430000000

70000000000

0,00003

0,00000082

0,0000000017

10900000

5700000000

0,000000002

0,00000305

0,000001

B

2 . 10-9

5,7 . 109

3,05 . 10-6

3 . 10-5

1 . 10-6

8,2 . 10-7

4,3 . 108

7 . 1010

0,2 . 1010

1,09 . 107

1,7 . 10-9

8,2 . 10-7

0,7 . 1010

3,05 . 10-7

Süre : 4 Ders saatiÖğrenme Alanı : SayılarAlt Öğrenme Alanı : Kareköklü Sayılar, Kazanımlar3. Kareköklü bir sayıyı a b şeklinde yazar ve

a b şeklindeki ifadede kat sayıyı kök içine alır.4. Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma iş-

lemlerini yapar.5. Kareköklü sayılarla çarpma ve bölme işlem-

lerini yapar.6. Ondalık kesirlerin kareköklerini belirler.Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme Yöntem ve Teknikler: Anlatım, soru-cevap,

keşfetme.Araç-Gereç: kâğıt, kalem, makas, yapıştırıcı,

cetvel, ipHatırlayalımAşağıdaki üslü sayıların değerlerini bulunuz ve

işlemleri yapınız. a) 121 b) 169 c) 625Zorunlu Program Uyarıları [!] Kök içleri aynı olan terimlerle toplama ve çı-

karma işlemi yapıldığı vurgulanır.[!] Kesir olarak ifade edildiğinde payı ve payda-

sı tam kare olan ondalık kesirlerin karekökleri bul-durulur.

Dikkat Çekme ve Motivasyon• Öğrencilere “Şimdiye kadar hangi sayı çeşit-

lerini öğrendiniz? Neden farklı sayı çeşitleri kulla-nılıyor olabilir?”, “Her sayı çeşidinde işlemler aynışekilde mi yapılmaktadır?” soruları sorularak der-se dikkat çekilebilir.

• Ders kitabının 33. sayfasındaki metin öğren-cilere okutulur. Metnin sonundaki soru ile öğrenci-lerin derse motivasyonları sağlanır.

• Öğrencilerin dikkatlerini farklı sayı çeşitleri-nin gerekliliğine çekmek derse motivasyonun sağ-lanması açısından önemli olabilir.

Öğrenme-Öğretme Süreci• Ders kitabının 33. sayfasındaki etkinlik öğ-

rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin akıl yü-rütme, ilişkilendirme ve psikomotor becerilerini et-kin kullanmaları sağlanır.

• Etkinliklerde öğrencilerin materyal kullanma-sına önem verilmelidir. Ancak materyal kullanır-ken şunlara dikkat etmek gerekir.

• Materyal kullanılarak tamamlanan etkinlikle-rin sonucunda öğrenciler edindikleri bilgi ve dene-yimleri sınıf ile paylaşmalıdır.


1 Ünite

18 29 33 31


1. Ünite

KAREKÖKLÜ SAYILARLA İŞLEMLERSayılar gerek rasyonel gerekse irrasyonel olabilir fakat geometri bu ayrımı birleştirir. Bir dairenin ya-

rıçapı rasyonel veya tam sayı prensibine uyarken çevresi uymayabilir. Bu durumda dairenin çevresi ir-rasyonel sayı olur. Bir kare ve köşegeni de benzer durum gösterebilir. Örneğin; kenar uzunlukları bir bi-rim olan karenin köşegen uzunluğu 2’nin karekökü olabilir. Kök kelimesi (karekök gibi) antik bir kavram-dır ve doğadan gelmektedir. Bir bitkinin kökü toprak altında gizlidir ama toprağın üzerinde yetişen şeyiortaya çıkarır ve hisseder. Aynı şekilde, sayıların karekökleri gizlidir ama içlerinde gizlidir. Örneğin; 16'nınkarekökü 4'tür (4x4= 16). Ama 15'in karekökü irrasyonel bir sayıdır ve kolayca hesaplanamaz. Sayıların ka-reköklerini bulmak, antik matematikçiler için önemli bir konuydu. Ama bir sayının karekökü sayısal olarakhesaplanamıyorsa geometrik olarak ortaya çıkarılabilirdi. Böylece geometrinin gücü antik zihinlerde yerleş-meye başladı.�Antik matematikçiler kareköklü sayıların varlığını keşfettiler. Neden böyle gösterimlere ihtiyaç duy-

muş olabilirler?� Kareköklü sayılarla yapılan işlemlerde nelere dikkat edilmesi gerektiğini düşünüyorsunuz?

Kareköklü Bir Sayıyı a Şeklinde Yazma

Örnek: Alanı 18 br2 olan bir karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu bulalım:

b

• Alanı 5 cm2 olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğunuen yakın onda birliklerine kadar tahmin edip not alınız.

• Bulduğunuz kenar uzunluğundan yararlanarak kâğıttanalanı 5 cm2 olan 4 eş karesel bölge kesiniz.

• Bu 4 eş karesel bölgeyi birleştirerek alanı 20 cm2 olan birkaresel bölge oluşturunuz.

• 20 sayısını asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazıp kare-kök içine alınız.

• Karekök içerisinde yazılan üslü sayılardan tam kare ola-nını karekök dışına çıkarıp karekök içerisinde kalan sayı-ya kat sayı olarak yazınız.

� Bulduğunuz kareköklü sayıyla karesel bölgenin kenaruzunlukları arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.

� Sizce bir sayının karekökü nasıl alınır?

Kareköklü Sayılarla İşlemler Yapalım

kâğıt, kalem, makas, yapıştırıcı

��

�

��

a

Karesel bölgenin bir kenar uzunluğu a birim olsun.

1. yol 2. yol18 23 3 22= =$18 2 29 3 3 22= = =$ $

.a a olur18 182 = =&

32 → 3

18br2

→

Karekök içerisindekisayı asal çarpanlarınaayrılır. Karekök içerisin-deki tam kare sayı kare-kök dışına çıkarılıp kare-kök içinde kalan sayıyakat sayı olarak yazılır.

Karekök içerisindeki sayı, çar-panlarından birisi bir doğal sayınınkaresi olacak şekilde iki sayınınçarpımı biçiminde yazılır.


KAREKÖKLÜ SAYILARLA İŞLEMLER

1. Aşağıda verilen iki tabloda yer alan değerlerden eşit olanları eşleştiriniz.

2. 50 = a b, 63 = c d , 96 = e f eşitliklerini sağlayan a, b, c, d, e ve f sayıları ile aşağıdakiişlemleri yapınız.

a) cd - ea b) c) fd + ac ç) a . c - e . daf + be————da

A

2 2

3 2

2 5

4 3

2 6

3 5

4 2

B

24

32

8

48

45

18

20

75

c. Verilerin elde edileceği kişi ve kuruluşların belirlenmesi

• Öğrenciler, materyalle yaptığı etkinlik sonucun-da ulaşılan bilgileri kendi cümleleri ile ifade etmelidir-ler. Bu sınıftaki öğrenciler ulaştıkları sonucu veya so-nuçları matematik cümlesi olarak yazmalıdırlar.

• Öğrenciler, materyalleri kullanmayı sadeceoyun olarak görmemelidir. Bu süreçte matematik-le uğraştıklarının ve bunun matematiği daha iyiöğrenmelerini sağladığının farkına varmalıdırlar.

• Öğrencilere, materyalleri kullanırken özenliolma ve materyallerin kaybolmamasına dikkat et-me becerileri kazandırılmalıdır.

• Ders kitabının 33. sayfasındaki örnek, öğ-rencilere inceletilir. Örnekte iki farklı strateji kulla-nılmıştır. Her iki stratejide de ön bilgilerle ilişkilen-dirme yapılmıştır.


• Sayfadaki ilk üç örnekte sayıların çarpanlarınaayrılmasından yararlanılmıştır. Gerek duyulursa ka-reköklü bir sayıyı şeklinde yazma çalışmala-rından önce sayıların çarpanlarına ayrılması ile ilgi-li ön bilgileri hatırlatıcı örnek çalışmalar yapılabilir.

• Öğrenciler bir taraftan şeklindeki birifadede, kat sayıyı karekök içine alma çalışmalarıyaparken diğer taraftan akıl yürütme becerilerinikullanıp bir önceki sayfada yaptıkları çalışmalarıntersini yapabilmelidirler. Matematik dersinde yapı-lan çalışmalar sırasında öğrencilerin akıl yürütme(muhakeme) becerilerinin geliştirilmesi için ortam-lar hazırlanmalıdır.

• Bunun için programda öğrencilere aşağıdaki-lerin kazandırılması hedeflenmiştir:

• Öğrenme sürecinde akıl yürütmeyi kullanır.• Yaşantısında, diğer derslerde ve matematik-

te akıl yürütme becerisini kullanır.• Matematik öğrenirken genellemeler ve çıka-


rımlarının doğruluğunu savunabilir.• Yaptığı çıkarımların, duygu ve düşünceleri-

nin geçerliliğini sorgular.• Akıl yürütmede öz güven duyar.• Akıl yürütme ile ilgili olumlu duygu ve düşün-

celere sahip olur.• Ders kitabının 35. sayfasındaki etkinlik öğ-

rencilere yaptırılır. Aynı sayfadaki örnek, öğrenci-lere inceletilerek kavramsal bilgilerini işlemsel bil-giye çevirmeleri beklenir.

a b

a b


1 Ünite

90 245 315 35 51

216 2108 254 227 39 33 31


1. Ünite

Örnek: sayısını karekök dışına çıkaralım:

Bir başka yolla olarak da bulunabilir.

Örnek: sayısını şeklinde yazalım:

Örnek: sayısını karekök dışına çıkaralım:

Şeklindeki Bir İfadede Kat Sayıyı Karekök İçine Alma

Örnek: sayısının kat sayısını karekök içine alalım:

olur.

2 11 2 11 4 11 44

3 7 3 7 9 7 63

5 5 5 5 25 5 125

21 5

21 5

21 5

41 5

45

41 2

41 2

41 2

161 2

162

81

31 3

31 3

31 3

91 3

93

31

2

2

2

2

2

2

= = =

= = =

= = =

= = = =

= = = = =

= = = = =

$ $

$ $

$ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

2

2

2

c

c

c

m

m

m

4 2 4 2 16 2 322= = =$ $

4 2

a b

2 216 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3

12 2 3

12 6

2 2= =

=

=

$ $ $ $ $ $ $

$

\

2 216

2 5 5 1090 3 3 2 32= = =$ $ $

a b90

8 2 2 228 144 12 122= = =$ $

288 2 2 3 2 2 2 3 2 12 2 12 22 2 2= = = =$ $ $ $ $ $

288

288 2144 272 236 218 29 33 31

22

22

32

12 sayısı ’nin kat sayısıdır.2

olmak üzere dir.ba a b2 =$a 0H

32 → 3

22

32

Karekök dışına çıkmayan(tam kare olmayan) sayılar kökiçerisinde kendi aralarında çarpı-lıp yazılır.

Karekök dışındaki sayı karekök içerisine tam

kare sayı olacak şekilde alınır.

Örnek:

5 br2 5 br2 5 br2 5 br2

5 br2 5 br2 5 br2 5 br2

5 br2 5 br2 5 br2 5 br2

5 br2 5 br2 5 br2 5 br2

5 br2 5 br2 5 br2

5 br2 5 br2 5 br2

5 br2 5 br2 5 br2

K A

LE

�A AY E br

a a

a

a

a br

AY

80

80 80

16 5

4 5

4 5

5 5 5 5 4 5

2

2

2

=

= =

=

=

=

= + + + =

&

$

$

^ h

Örnek: Alanı 5 br2 olan eş karesel bölgelerle aşağıda oluşturulan karesel bölgelerin kenar uzunluk-larını inceleyelim:

olduğundan bu uzunluğa uygun karesel bölgeler oluşturalım:

. ,a a olur br br5 5 5 2 22 = =& .

5 br2 5 br2

5 br2 5 br2

A B

CD

��

�

��

�

��

��

��

�

��

br5

br5 br5

br5 br5

br5

A Y

Ş

E ŞA ABCD br

a a

a

a

a br

AD

20

20 20

4 5

2 5

2 5

2 5 5 5

2

2

2

=

= =

=

=

=

= = +

&

$

$

] g A KALE br

a a

a

a

a br

AL

45

45 45

9 5

3 5

3 5

5 5 5 3 5

2

2

2

=

= =

=

=

=

= + + =

&

$

$

] g


1. Ünite

Kareköklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri

• Kâğıttan alanı yaklaşık 5 cm2 olan 9 eş karesel bölge kesiniz.• 5 sayısını karekök içine alarak karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu

belirleyiniz.• Bu karesel bölgeleri bir araya getirerek alanı 45 br2 olan bir karesel

bölge oluşturunuz. • Oluşturduğunuz karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu, 45 sayısının

asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazıp karekökünü alarak bulunuz.• Bu karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu küçük karesel bölgelerin

kenar uzunluklarının toplamından yararlanarak belirleyiniz.• Elde ettiğiniz kareköklü sayıları karşılaştırınız.� Yaptığınız bu işlemden yararlanarak kareköklü sayılarla toplama işle-

mini matematiksel olarak nasıl ifade edersiniz? Açıklayınız.• Kestiğiniz 9 eş karesel bölgenin 8 tanesini kullanarak alanı 40 cm2

olan bir dikdörtgensel bölge elde ediniz.� Bu dikdörtgensel bölgenin uzun kenar uzunluğu ile kısa kenar uzunluğu arasındaki fark için ne söy-

leyebilirsiniz? Açıklayınız.� Yapılan bu işlemi matematiksel olarak nasıl gösterirsiniz? Yazınız.

Kareköklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri Yapalım

kâğıt, kalem, makas

Ders kitabının 36. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte çözülerek kavramsal ve işlemselbilgilerinin pekiştirilmesi sağlanır.


1. 7 sayısı aşağıdakilerden hangisi ile çarpılır-sa sonuç bir tam sayı olur?

A) 7 B) 14C) 21 D) 49

2. Aşağıda verilen toplama ve çıkarma işlem-lerini yapınız.

a) 8 + 50 - 72b) 27 + 149 - 75c) 20 + 45 + 80ç) 200 - 162 - 72


1 Ünite

2 br2 2 br2 2 br2

2 br2 2 br2 2 br2

2 br2 2 br2 2 br2 2 br2

2 br2 2 br2 2 br2 2 br2

Örnek:

Örnek: kuralının olup olmadığını inceleyelim:

a = 4 ve b = 16 olsun.

Görüldüğü gibi her iki tarafın sonuçları eşit değildir. O hâlde dir.



Önce karekök içindeki sayıları şeklinde yazalım:

Örnek: Alanı 2 br2 olan eş karesel bölgelerle çeşitli diktörtgensel bölgeler elde edip kenar uzunluk-ları farkını inceleyelim:

21 5 125 75

21 5 25 5 25 3

21 5 5 5 5 3

21 5 5 5 3

211 5 5 3

+ + = + +

= + +

= + + = +

$ $

c m

18 32 9 2 16 2 3 2 4 2 3 4 2 7 2+ = + = + = + =$ $ ] g

a b

18 32+

6 2 2 7 3 2 5 7

9 2

6 3 2 2 5 7

7 7

+ + +

=

= + + +

+

] ]g g

6 2 2 7 3 2 5 7+ + +

a b a b+ +!

a b

a b

4 16 2 4 6

4 16 20 5 2 5

6 2 5

22+ = + = + =

+ = =+ = =$

!

a b a b+ = +

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 3 33 2 66 tane 3

+ + = + + + + + = + + =^ ^ ]h h g1 2 34444444444 4444444444

BD br

DC br

DC BD

br

2 2 2 2

2 2 2 3 2

3 2 2 2 2 2 2 2 2

2

= + =

= + + =

- = - = + + - -

=

RA br

AZ br

AZ RA

br

2 2 2 2

2 2 2 2 4 2

4 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

= + =

= + + + =

- = -

= + + + - -

=


1. Ünite

br2

Karekök içindeki sayıları farklı olan kareköklü sayılar toplanamaz. Ancak karekök içindeki

sayıları aynı olan kareköklü sayılar toplanabilir.

karekök içlerindeki sayılar aynı

karekök içlerindeki sayılar aynı

Karekök içleri aynı olan kareköklü sayılar toplanırken önce kat sayılar toplanır ve toplam or-

tak kareköke katsayı olarak yazılır. Sonra ortak kök, kat sayıya çarpım olarak yazılır.

Örnek:

Karekök içindeki sayılar aynı olmadığından işleme devamedilemez.

A B

DC

��

�

��

��

�

br2 br2

br2

br2

br2R I

ZA

br2 br2 br2

br2

br2

��

��

��

��

��


3. 6 2, 5 3, 4 5, 3 7, 7 2 sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

—— > —— > —— > —— > ——

4. ifadesinin değerini bulunuz.52 + 52 + 52—————————

32 + 32 + 32

5. işleminin sonucu nedir?

A) 1 B) 15 C) 20 D) 25

144 + 169—————————81 – 64

6. olduğuna göre (a + b)2 ifadesinin değerini bulunuz.,a b3 2 3 3 2 3= + = -


7. Aşağıda verilen ifadelerdeki noktalı yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

a) 4 2 + 7 2 - 3 2 = ..... 2 b) 8 2 + .... + 8 = 13 2

c) 48 - 75 + 12 = ............ ç) 2 5 + ....... + 80 - 24 = 6 5 + 3 6

8. A = 3 ise aşağıda verilen ifadelerin A türünden eşitlerini bulunuz.

a) 75 + 48 - 27 b) 108 - 12

c) 192 + 27 ç) 108 + 3 + 147

9. a = 7 + 3, b = 7 - 3 ise ( )2 ifadesinin değerini bulunuz.a - b————a + b

10. ( 7 + 5) ( 7 - 5) işleminin sonucu kaçtır?

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2


Aşağıda verilen işlemlerin sonucunu bulunuz.

a. 5 + 7 + 81 b. 32 . 64

c. 7 - 11 - 4 ç. 243 ÷ 27 ÷ 9

1—2


OLASI YANILGI

Öğrenciler, 37. sayfadaki ikinci örnekte ilk ba-kışta her iki tarafın da birbirine eşit olduğu yanıl-gısına düşebilir. Bunu önlemek için örneğe bağlıolarak yapılan uyarıya dikkat çekilmesi faydalıolacaktır.

• Öğrencilerden benzer örnekler düzenleme-leri istenebilir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: ip, makas• İpten, 5 br uzunluğunda olduğunu kabul etti-

ğiniz bir parça kesiniz.• Kestiğiniz uzunluğun aynısından bir parça

daha kesiniz.• Kestiğiniz parçaları uç uca getirerek toplam

uzunluğun kaç br olduğunu belirleyiniz.• Aynı şekilde uzunluğu 3 5 br ve 4 5 br olan

parçalar keserek uç uca getiriniz.• Uç uca getirdiğiniz parçaların toplam uzunlu-

ğunun kaç br olduğunu belirleyiniz.• Aynı şekilde uzunluğu 7 5 br olan bir ip ke-

siniz ve bu ipin 3 5 br uzunluğundaki parçasınıda tekrar kesiniz.

• Elinizde kalan ip parçasının uzunluğunun kaçbr olduğunu belirleyiniz.

� Yukarıdaki işlemlerden yararlanarak kare-köklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerininnasıl yapıldığını açıklayınız.

Öğrenciler toplama işlemini yaparken karekökiçindeki sayıları toplayarak yanılgıya düşebilir. Buyanılgıya düşen öğrencilerden 5 ’i bir elma ola-rak düşünmeleri ve aşağıdaki sorulara cevap ve-rerek bir bağlantı kurmaları istenebilir.

• 1 elma,1 elma daha kaç elma eder?• 3 elma, 4 elma daha kaç elma eder?• 7 elmanın, 3’ ünü yersem kaç elmam kalır?


1 Ünite

98 249 77 71

72 236 218 29 33 31

50 225 55 51


olur.

Örnek: “ ” eşitliğinin olup olmadığını inceleyelim:a = 16, b = 4 olsun.




21 2 3 3

31 2 3

21

31 2 3 3 3

63 2 2 3 1 3

61 2 2 3

- - + = - - +

=-

+ - + = -

c

]

m

g

8 12 48 98+ - -

50 18 72+ -

6 7 3 2 6 3 1 2 6 7 3 3

3 6 7 1 3

3 6 8 3

- + - = + - -

= - +

= -

]

]

g

g

125 2 20 25 5 2 4 5 5 5 2 2 5 5 5 4 5 5 4 5 5- = - = - = - = - =$ $ $ ] g

125 2 20-

a b a b- = -

5 3 3 3 3 5 3 1 3 1 3 3- - = - - = =] g

5 3 3 3 3- -


1. Ünite

Örnek:

Karekök içindeki sayıları

farklı olan kareköklü sayılar

birbirinden çıkarılamaz.

karekök içlerindeki sayılar aynı Karekök içindeki sayılar farklı ol-duğundan işleme devam edilemez.

Kareköklü sayılarla çıkarma işlemi yapılırken kat sayılar çıkarılır, fark ortak kareköke kat sa-

yı olarak yazılır.

��

�

52

18 29 33 31

��

�

32

��

�

22

��

�

32

48 224 212 26 23 31

��

�

22

��

�

22

.olur

50 18 72 5 2 3 2 2 3 2

5 2 3 2 6 2

5 3 6 2

2 2

+ - = + -

= + -

= + -

=

$

] g

8 12 48 98 4 2 4 3 7 2

2 2 2 3 4 3 7 2

2 4 3 2 7 2

2 3 5 2

16 3$ $ $+ - - = + - -

= + - -

= - + -

=- -

] ]g g

��

�

72

Örnek:

2 2 3!a b

a b

16 4 4 2 2

16 4 12 2 3 2 32

- = - = - =

- = - = = =$

Örnek: 7 7 3 5 2 7 7 2 7 3 5 5 7 3 5- - = - - = -] g

(3) (2)


11. ifadesinin değeri nedir?

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1

48 + 32———————12 + 8

12. x = 3, y = 5 ise 135 sayısının x ve y türünden eşitini bulunuz.

13. A = 6, B = 8, C = 12 olduğuna göre aşağıda verilen ifadelerden doğru olanların yanındakikutucuğa “D”, yanlış olanlarınkine ise “Y” yazınız.

a) 4A = B . C �� b) A . B . C = 2C2 ��

c) B . C = A . B2 �� ç) = ��A2

———B.C

B——C

14. Aşağıdakilerden kaç tanesi irrasyonel sayıdır?

I. 27

II. 54 . 6

III.

IV.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

18 . 27——————6

48———6

Ders kitabının 38. sayfasındaki etkinlik öğren-cilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin akıl yürütmebecerilerini etkin kullanmaları sağlanır. Ayrıca öğ-renciler alan ölçme ve geometri bilgilerini de kul-lanarak ders içi ilişkilendirme yapabilmelidirler.Sayfadaki etkinlikte ve örnekte benimsenen yak-laşımla; öğrencilerin somut deneyimlerinden, sez-gilerinden matematiksel anlamları oluşturmaları-na ve soyutlama yapabilmelerine yardımcı olmakamaçlanmıştır. Bu yaklaşımla; matematiksel kav-ramların geliştirilmesinin yanı sıra, bazı önemlibecerilerin geliştirilmesi de hedeflenmiştir. Bu be-ceriler; problem çözme, iletişim kurma, akıl yürüt-me ve ilişkilendirmedir.

• Ders kitabının 39. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Öğrencilerden benzerörnekler düzenlemeleri istenebilir.

• Kareköklü sayılarla yapılan işlemlerde öğ-renciler, ön bilgilerini kullanarak farklı stratejilergeliştirmeleri konusunda cesaretlendirilmelidirler.Yeni stratejiler geliştirmek için ön bilgileri kullan-mak ve ders içi ilişkilendirmeler yapabilmekönemlidir.

• Gerek duyulursa aşağıdaki ek örnekler kulla-nılabilir.


1. Aşağıda verilen işlemlerin sonucunu bulu-nuz.

a.

b.

c.

2.

işleminin sonucunu bulunuz.

3. Aşağıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdeğildir?

A) ( 6)2 B)

C) 2 16 - 3 9 D) 5 25

3——3

1,44 - 0,49 + 0,04——————————————0,25 - 0,16 + 0,36

98 + 32————————242

3 10 . 5 . 72 . 27—————————————2 . 18 . 3

48 . 18————————6


1 Ünite

�

�

��

� �

A MAV br

M br

V brA MAV br

M V

18

2 3

3 318

182 3 3 3 18

2 3 3 3 186 3 3 186 3 3 18

6 3 186 3 1818 18

2

2

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

$

$

$ $ $

$ $

$ $

$

$

^

^

h

h

İİ

İİ

İ İ

Matematik 8. sınıf

,

�

�

�

�

A EK M br

EK br K br

A EK M br

EK K

36

4 3 3 3

36

36

4 3 3 3 36

4 3 3 3 36

12 3 3 36

12 3 3612 3 36

36 36

2

2

2

=

= =

=

=

=

=

=

=

=

=

$

$

$ $ $

$ $

$

$

^

^

h

h

İİ

İİ

3br2 3br2 3br2 3br2

3br2 3br2 3br2 3br2

3br2 3br2 3br2 3br2

Örnek: Alanı 3 br2 olan eş karesel bölgelerle oluşturulan aşağıdaki karesel ve dikdörtgensel bölge-leri inceleyelim:

3br2 3br2 3br2

3br2 3br2 3br2

38

1. Ünite

• Kâğıttan alanı 5 br2 olan 9 eş karesel bölge kesiniz.• Bu eş karesel bölgelerin hepsini kullanarak bir karesel bölge elde ediniz. • Elde ettiğiniz karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu bulunuz.• Karesel bölgenin alanını eş karesel bölgelerin alanlarının toplamı yardı-

mıyla bulunuz.• Karesel bölgenin alan formülü yardımıyla bu karesel bölgenin alan eşitliği-

ni yazınız.� Kareköklü sayılarla yaptığınız bu işlemi matematiksel olarak nasıl ifade

edersiniz? Açıklayınız.• Elde ettiğiniz eş karesel bölgelerden 8 tanesini kullanarak bir dikdörtgen-

sel bölge elde ediniz.• Bu dikdörtgensel bölgenin uzun ve kısa kenar uzunluklarını belirleyiniz.• Dikdörtgensel bölgenin alanını eş karesel bölgelerin alanlarının toplamı yardımıyla bulunuz.• Dikdörtgensel bölgenin alan formülünü kullanarak bu dikdörtgensel bölgenin alan eşitliğini yazınız.� Yapılan bu işlemi matematiksel olarak nasıl ifade edersiniz? Açıklayınız.• Dikdörtgensel bölgenin uzun kenarının kısa kenarına oranını yazınız. � Yaptığınız işlemi matematiksel olarak nasıl ifade edebilirsiniz? Açıklayınız.

Kareköklü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri Yapalım

kâğıt, kalem, makas

Kareköklü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri

3br2 3br2

3br2 3br2

S

I R

A M A

İ V��

��

��

�

��

�

��

��

��

��

�

��

�

��

�

br3

br3 br3

br3 br3

br3

br3

br3

br3 br3br3br3

E K

İMbr3br3br3br3A SARI br

a AR br

a

12

2 3

12

2 3 2 3 12

2 2 3 3 12

4 3 3 12

4 3 124 3 12

12 12

2

2

2

=

= =

=

=

=

=

=

=

=

$

$ $ $

$ $

$

$

] g

12 26 23 31

22


Örnek: işlemini yapıp en sade şekliyle yazalım:


1. yol 2. yol

Örnek:

Örnek: kareköklü sayısının x ve y cinsinden değerini bulalım:

olur.


5 3 5 3 5 5 3 3 5 3

5 5 5 3 3 5 3 3

5 5 3 3 5 3

5 15 15 3 5 15 15 3 5 3 2

- + = + - +

= + - +

= + - +

= + - + = + - - = - =

$ $

$ $ $ $

$ $

^ ^ ^ ^

^ ^

^

^

h h h h

h h

h

h

7 A

5 3 5 3- +^ ^h h

y x40 2 2 5 2 2 5 24 10y x

$ $ $ $ $ $ $= = = =V V

x ve y ise5 2 40= =

52 3

56

1110

511

53

11

10

5

1153

= ==$ $ $ $$

5 12 60 5 2 3 2 15

2 2 5 3 15

4 5 3 15 4 15 15 4 15 60

=

=

= = = =

$ $ $ $

$ $ $ $

$ $ $ $ $

5 12 60$ $

3 11 4 11 5 11 11- + $^ h


1. Ünite

veya

veya

2 2 2 2 2 2

7 7 7 7 7 7

2 3 2 3 6

5 15 5 15 75 25 3 25 3 5 3

5 15 5 3 5 5 3 5 5 3

3 12 3 12 36 6 6

3 12 3 4 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 6

2

2

2

= = =

= = =

= =

= = = = =

= = =

= = = =

= = = = = =

$ $

$ $

$ $

$ $ $ $

$ $ $ $ $

$ $

$ $ $ $ $ $ $ $

Karekök içleri aynı olan iki kareköklü sayının çarpımı karekök içindeki sayıya eşit olur. Ka-rekök içleri farklı olan kareköklü sayılarla çarpma işleminde ise sayılar bir karekök içine yazı-lıp birbiriyle çarpılır.

3 11 4 11 5 11 11 3 4 5 11 11 4 11 11 4 11 11 4 11 4 11 442- + = - + = = = = =$ $ $ $ $$^ ]h g6 @

5 12 60 5 12 60

60 60

60

60

2

=

=

=

=

$ $ $ $

$

2

11

1

40 220 210 25 51

olur.

• Ders kitabının 40. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Birinci örnekte bölmeişleminde karekök ifadesinin pay ve paydaya da-ğıldığına vurgu yapılmıştır. Öğrencilerin dikkatlerinin bu konu üzerine çekilmesi faydalı olacaktır.

• Sayfadaki ikinci örnekte iki farklı strateji kul-lanılmıştır. Örnekler, öğrencilerin öğrenilecek ko-nuları somutlaştırarak öğrenebilmelerini sağlama-da ve farklı stratejilerin nasıl kullanıldığının kavra-tılmasında önemli olabilir.

• Öğrencilerin eleştirel düşünme becerileriningeliştirilmesi de son derece önemlidir.

• Eleştirel düşünme: Kuşku temelli, sorgula-yıcı bir yaklaşımla konulara bakma, yorum yapmave karar verme becerisidir. Sebep-sonuç ilişkileri-ni bulma, ayrıntılarda benzerlik ve farklılıkları ya-kalama, çeşitli ölçütleri kullanarak sıralama yap-ma, verilen bilgilerin kabul edilebilirliğini, geçerlili-ğini belirleme, analiz etme, değerlendirme, an-lamlandırma, çıkarımda bulunma gibi alt becerile-ri içerir.

• Öğrencilere sayfadaki örnekler inceletilerek,öğrencilerin yukarıda belirtilen alt becerileri geliş-tirmelerine katkı sağlanabilir. Ayrıca örnekler öğ-rencilerin problem çözme becerilerinin geliştiril-mesine önemli katkılar sağlayabilir. Çünkü prob-lem çözmede, stratejiler bazen tek başına kullanı-labileceği gibi birkaç strateji birlikte kullanılabilir.Problem çözme becerileri değerlendirilirken farklıstratejiler kullanılarak çözülebilecek problemlereyer verilmelidir. Örnekler bu anlamda düşünüldü-ğünde problem çözme becerilerinin geliştirilmesi-ne katkı sağlayacaktır.

• Ders kitabının 41. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin akıl yü-rütme ve ilişkilendirme becerilerini etkin kullanma-ları sağlanmalıdır. Öğrencilerin ondalık kesirler verasyonel sayılarla ilgili ön bilgilerini harekete ge-çirmek, yeni konu ile ilişkilendirmek, yeni bilgile-rin yapılandırılmasında ve öğrenilmesinde fayda-lı olacaktır.

• Ders kitabının 41 ve 42. sayfalarındaki ör-nekler öğrencilerle birlikte incelenir. Konunun kav-ranıp kavranmadığını kontrol etmek için öğrenci-lerden benzer örnekler düzenlemeleri istenebilir.Bu çalışma iki kişilik gruplarla yaptırılabileceği gi-bi daha fazla kişiden oluşan gruplarla da yaptırıla-bilir.


1 Ünite


1. Ünite


İşlemlerden de görüldüğü gibi bölme işle-minde karekök ifadesi pay ve paydadakisayılar için ayrı ayrı kullanılabilir.


1. yol 2. yol 612

612 2= =

612

2 33 4

2 3

2 3

22

= = =$

$

$

612

2536

2536

5 56 6

56

56

2781

2781 9 9

3 39

3 3

9

33

1675

1675

4 45 5 3

45 3

45 3

3 3 3

2

2

2

2

2

2

$

$

$ $

$

$

$

$ $ $

= = = =

= = = = =

= = = =

_

`

a

bbbbb

bbbbb

gibi paydası irrasyonel sayı olan bir kesrin paydasını rasyonel sayı yapmak için

kesir ile genişletilir .ba

ba

b ba b

ba b

bbb

= = =$

$

$

$ $J

L

KKK ^

N

P

OOOh

b

>ba b 0] g

O hâlde dir. Görüldüğü gibi yapılan iki yolla da işle-

min sonucu aynı bulunmuştur.

Örnek: Aşağıda paydası kareköklü olarak verilen sayıları, paydaları tam sayı olacak şekilde gösterelim.


Örnek: işlemini yapalım.

.olur5 20

121 8 65 20

11 11 64 36100

11 10010 10

11 10 1010

11 101012 2

$ $

$

$

$- +=

- +=

-=

-=

-=

5 20121 8 62 2

$

- +

2724

5 354

-

-

62

6 62 6

6

2 636

6$

= = =

^ h

;21

2 22

22

3 32 2

3 3 32 2 3

3 32 6

92 6

2 3$ $ $

$ $

$= = = = =

^ ^h h

22

22 22

2 22 2

2

2 222

= = = =$ $

^ h

8 86 62 2 2 2+ +!

3

27 5 324 54

3 3 5 32 6 3 6

2 36

2 36

2 3 36 3

618

69 2

6

3 222

3

$

$ $

-

-=

-

-=

-

-=

= = = = =

^ h

24 212 26 23 31

22 27 39 33 31

3254 227 39 33 31

32

olur.2

1

��

��

��

��

��


1. Ünite

Örnek: Aşağıda verilen ondalık kesirlerin kareköklerini belirleyelim:



, , , ,

, ,

, ,

, .olur

2 0 02 0 08 2 0 02 2 0 08

2 0 02 2 0 08

0 04 0 16

1004

10016

1004

10016

102

104

106 0 6

+ = +

= +

= +

= +

= + = + = =

$ $ $

$ $

_ _ _i i i

, ,2 0 02 0 08+$ _ i

, , , .olur0 64 0 0110064

1001

100 10064 1

10064

1008 0 08= = = = =$ $

$

$

, ,0 64 0 01$

, , ,

, , ,

0 3 0 3103

103

10 103 3

10 103 3

103 0 3

0 1 0 4101

104

10 101 4

10 104

102 0 2

= = = = =

= = = = =

$ $$

$

$

$

$ $$

$

$

,10 10

,

, ,

, ,

,100 100

,

0 011001

1001 1 1

101 0 1

0 3610036

10036

10 106 6

106 0 6

0 008110 00081

10 00081

100 1009 9

1009 0 09

0 014410 000144

10 000144 12 12

10012 0 12

= = = = =

= = = = =

= = = = =

= = = = =

$

$

$

$

$

$

$

$

_

`

a

bbbbbbb

bbbbbb

• Kâğıttan 10 cm x 10 cm boyutunda bir parça kesiniz.

• Kestiğiniz parçayı 100 eş parçaya bölünüz.

• Oluşturduğunuz 100’lük kart üzerinde karesel bölge şeklin-deki 49 parçayı boyayınız.

• Boyadığınız bölgenin alanını ondalık açılım ile gösteriniz.

� Bu ondalık açılımı rasyonel sayı olarak nasıl yazarsınız?

• Kareköklü sayılarla bölme işleminden yararlanarak oluşanrasyonel sayının karekökünü alınız.

� Yapılan işlemi matematiksel olarak nasıl ifade edersiniz? Açıklayınız.

Ondalık Kesirlerin Kareköklerini Belirleyelim

kâğıt, makas, kalem, cetvel

Ondalık Kesirlerin Karekökleri

Örnek:

Örneklerden de görüldüğügibi ondalık kesirlerin kareköküalınırken ondalık kesirler rasyo-nel sayıya çevrilmiştir.

26-30

450 2225 375 325 55 51

Örnek: ise a’nın değerini bulalım:

100

a a a a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

200 450 100 2 100 2 3 5 100

10 2 3 5 2 100

10 2 15 2 100

10 15 2 100

25

25 2

2 4

2 4

2

2216

8

25

2 2

2

+ = + =

+ =

+ =

+ =

=

=

=

=

=

&$ $ $ $ $ $ $

$ $ $ $

$ $ $

$

$

$

$

$

2

]

^

g

h

a a200 450 100+ =$ $


1. Ünite

ALIŞTIRMALAR


2) işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) C) D)


4) Aşağıdaki ifadelerde yer alan boşlukları uygun şekilde tamamlayınız.

a) Karekök içlerindeki sayıları .................................. kareköklü sayılar toplanabilir.

b) Kareköklü sayılarla çıkarma işlemi yapılırken .......................... çıkarılır, ........................ ortak kareköke kat sayı olarak yazılır.

c) Bölme işlemlerinde .......................... pay ve paydaya dağılabilir.

5) Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) B) C) D)

6) Aşağıdaki şıklarda verilen kareköklü sayıların kat sayılarını karekök içine alınız.

a) b) c) ç)


8) işleminin sonucunu bulunuz., , ,0 16 0 25 1 44+ -

18 25200

- $

12 55 711 28 3

5 5- =2

^ h5 33 5= $$2 63 =2 5 20- = -

24 54 96+ +

9 3204

9 33

12522 1

41 1

1613

- + - - -

: : ::2 1 3 13 2-2 2

^ ^h h

(Karekök alma işlemi ile bir sayının karesinialma işlemi birbirinin tersi işlemler olduğundan

ifadesini karekökten çıkarmak için her ikitaraftaki ifadenin karesi alınmıştır.)

a2 $

olur.

Uygulamalar:

Ders kitabının 43. sayfasındaki alıştırmalaröğrencilere yaptırılır.

Çalışma kitabının 26, 27, 28, 29 ve 30.sayfalarındaki sorular çözdürülebilir.

Değerlendirme:

Öğrencilerden, kareköklü bir sayıyı a b şeklin-de yazmaları, a b şeklindeki ifadede kat sayıyıkök içine almaları, kareköklü sayılarla toplama, çı-karma, çarpma, bölme işlemleri yapabilmeleri veondalık kesirlerin kareköklerini belirlemeleri bek-lenir.



Yapılan çalışmalarla ilgili olarak “Akran Değer-lendirme Formu” doldurtulabilir.

Ders kitabının 44 ve 45. sayfasındaki ünite de-ğerlendirme soruları öğrencilere yaptırılır.

!

!


1 Ünite

576 2288 2144 272 236 218 29 33 31

225 375 325 55 51

32

52

, , ,

, , , , , , ,

, ,

, .olur

5 76 1 21 2 25100576

100121

100225

100576

100121

100225

1024

1011 11

1015

2 41011

1015 2 4 1 1 1 5 2 4 1 1 1 5

1 3 1 5

2 8

- - = - -

= - -

= - -

= - - = - - = - +

= +

=

$

_ c

e

d

c ^

i m

o

n

m h



, ,

.olur

0 363

0 162

100363

100162

100363

162

1063

1042

63 10

42 10

5 5 0

100

$ $

- = - = -

= -

= -

= - =

, ,0 363

0 162

-

, , ,5 76 1 21 2 25- -_ i

22

22

22

32

144 272 236 218 29 33 31 a

��

� 22

��

� 22

��

� 32

Örnek: ise a’nın değerini bulalım:

, ,

, ,

2,89

,a

0 25 1 44

0 16 2 25 1 21

10025

100144

10016

100225

100289100121

10025

100144

10016

100225

100289100121

105

1012

104

1015

10171011

1019

1710

1011

1710

1719

1711

1730

=+

++ =

+

++

=

+

+

+ =+

++

= +

= + =

$ $

,

, ,

,

,,

a0 25

0 16 1 21

1 44

2 252 89

++

+=


Bu şekilde iç içe verilen kareköklü işlemlerde, işleme en sağdaki karekök içinden başlanır.

21 13 11 5 1 21 13 11 5 1

21 13 11 4

21 13 11 2

21 13 9 21 13 3 21 16 21 4

25 5

1

+ + - - = + + - -

= + + -

= + + -

= + + = + + = + = +

= =

V

21 13 11 5 1+ + - -


1. Ünite

olur.

olur.


15. x = 0,1 ve y = 0,4 ise ifadesinin değerini bulunuz.x . y—————x + y

16. işleminin sonucu nedir?0,81 - 0,36——————————1,44 + 1,69

17. ( 0,0004 + - 0,49) . 0,16 işleminin sonucunu bulunuz.1—4

18. 15 sayısının yaklaşık değeri 3,87 olduğuna göre ( 12 + 27) . 20 işleminin sonucunun yak-laşık değerini hesaplayınız.

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


1 Ünite


1. Ünite

ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI

1) Ardışık Sayılar ve Kareleri Tablosu

Ardışık iki doğal sayı ile kareleri arasında oluşan örüntüyü model üzerinde gösterip sözel olarakifade ediniz.


A) 108 B) 2 .10 C) 5 .102 D) 7 .102

3) A = 22n . 51+2n sayısı dokuz basamaklı olduğuna göre A sayısını bulunuz.

4) x ∈ Z+ olmak üzere değerini

bulunuz.

5)

olduğuna göre 180x sayısının a, b, c türünden eşitini bulunuz.

6) Aşağıda verilen tablolarda sonuçları eşit olan ifadeleri eşleyiniz.

7) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

, , ,5 1 0 36 4 1 0 75 3 1 0 7- + - - +

a

b

c

2

3

5

x

x

x

=

=

=

_

`

a

bb

bb

... ...A x x x x ve x x x x iseBAB3 2 2 2

x tane 2x tane

3 3 3 2

2

= + + + + = + + + +1 2 344444 44444 1 2 344444 44444

,,

0 01 105 10 0 2 10

8

7 7

$

$ $ $

Sayılar 1 2 3 4 5 6 7 8 .....

Kareleri 1 4 9 16 25 36 49 64 .....

Aradaki Fark .....3 5 7 9 11 13 15

Yandaki tabloda sa-yılara ve kareleri ara-sındaki farka dikkatediniz.

(– 2) (– 2) (– 2) (2) (2) (2)

(– 3) (3) (– 3) (3) (– 3)

(– 32) (– 3)2 (– 3)3 (– 33)

4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4

(– 2) (2) (– 2) (2) (– 2) (2)

–9.27

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . (– 2)

(– 16) (16) (– 16)

– 95

4. (–4 ) .4

– 46

500 000 000

a2 b2 c

21


1. Ünite

Ali KUŞÇU

Türk dünyasının büyük matematik bilgini olan Ali Kuş-çu, 15. yüzyıl başlarında Semerkant’ta doğdu. BabasıMuhammed, ünlü Türk Sultanı Uluğ Bey’in kuşçusu oldu-ğu için ailesi “Kuşçu” lakabıyla meşhur oldu. Küçük yaş-tan itibaren matematiğe ilgi duyan Ali Kuşçu, devrin enbüyük âlimlerinden matematik dersi aldı.

Ali Kuşçu, kendi bambaşka bir mana taşıyan hocasıHer şeyden önce hocasıydı. Ondan matematik derslerialmış, eserlerini uzun uzun incelemiş, sohbetlerinde bu-lunmuştu. Uluğ Bey, kendi kurduğu rasathaneye de tec-

rübesiz olmasına rağmen Ali Kuşçu'yu müdür olarak görevlendirmişti.

Uluğ Bey Rasathanesi, gök bilgisi araştırmaları için en doğru sonuçları alıyordu.Rasathanenin genç müdürü Ali Kuşçu, gece gündüz demeden çalışıyor, bilimsel ger-çeklere yenilerini katmak için uğraşıp didiniyordu.

Ali Kuşçu, Uluğ Bey’in ölümünden sonra Semerkant’tan ayrıldı ve Akkoyunlu hü-kümdarı Uzun Hasan’ın yanına gitti. Daha sonra Uzun Hasan’ın elçisi olarak İstan-bul’a geldi. Osmanlı padişahı Fatih Sultan Mehmet onu ilgiyle karşıladı ve bilimsel ça-lışmalarına İstanbul’da devam etmesini istedi. Bu teklif, Ali Kuşçu için beklenmedik biriltifattı. Ama kendisine verilen elçilik görevini yerine getirdikten sonra İstanbul’a gelebi-leceğini söyledi.

Ali Kuşçu'nun bu mazereti, Fatih'e son derece akla yakın göründü. Bu sebeple onubir müddet daha misafir ettikten sonra kendisine izin verdi. Değerli matematik bilginiAli Kuşçu, sözünü tuttu. İki yıl sonra ailesini de alarak İstanbul’a geldi. Kendisine bü-yük bir karşılama töreni yapıldı. Daha sonra Ali Kuşçu, Ayasofya’da matematik ve ast-ronomi dersleri vermeye başladı. Bu alanlarda yaptığı çalışmalar ilgiyle izlendi.

Ali Kuşçu, İstanbul’un enlem ve boylamını ölçmüş ve güneş saatleri yapmıştır.Okullarda matematik dersine daha fazla önem verilmesini sağlamıştır.

Ali Kuşçu’nun matematik ve astronomi ile ilgili iki eseri vardır. Bunlardan biri “Fet-hiye” adlı astronomi kitabı, diğeri ise “Muhammediye” adlı matematik kitabıdır.

Ali Kuşçu, 1474’te İstanbul’da vefat etti.

http://tr.wikipedia.org

8) N = Doğal sayılar,

Ζ = Tam sayılar,

Q = Rasyonel sayılar,

Ι = İrrasyonel sayılar,

R = Gerçek sayılar kümesini göstermektedir. Buna göre aşağıda verilen ifadelerin yanındaki ku-tulara doğru olanlar için “D”, yanlış olanlar için ise “Y” yazınız.

a) b) c)

ç) d) e)

9) x, y pozitif gerçek sayılar olmak üzere aşağıda verilen ifadelerden daima doğru olanları işaretleyiniz.

a) b) c)

ç) d) e)

10) Aşağıdaki işlemlerden hangisinin sonucu tam sayıdır?

I) II) III) IV)

A) I ve II B) I, II ve III C) Yalnız IV D) I, II, III, IV

11) 600 sayısının karekökünü bir ondalık basamak yürüterek yaklaşık sonucu bulunuz.

12) 200 000$50 000 işleminin sonucunu bilimsel gösterimi ile gösteriniz.

13) 2,5$105 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz?

A) 0,025$107 B) 25$104 C) 0,25$104 D) 2500$102



A) B) C) D)

16) işleminin sonucunu bulunuz.a

bise

a ba b3

3

5

5

=

=

+

- +- 2

c m4

55 55 1012 3

1 16

27 3 52

+

- - - +3

^ ^h h

:349

43

34 3

$ $

1 2- -

c cm m< F

1 4+116925

-2 3 5 27$ $3 2 18-

yx

yx

=x xx x3 = $ $x y x y+ = +2

_ i

x y x y2 2- = -xx x2 = $x y x y- = -

1I FZ N 0=+RN =+ jF F] g

R QQ =+N 0=+F ! +Q1I


1. Ünite

Y Y D

Y

X

X

1010

,600 24 5b

34

35

X

X

YD

Ζ

Ζ Ζ ΖΖ

NOTLARIM

• Ders kitabının 46. sayfasındaki Ali Kuşçuhakkındaki bilgi öğrencilerle beraber paylaşılır.

Çalışma kitabının 132 ve 133. sayfalarındaki“1. Ünite Değerlendirme Soruları” öğrencilere yap-tırılır.


2 Bölüm

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

Süre : 3 Ders saati Öğrenme Alanı : CebirAlt Öğrenme Alanı : Örüntüler ve İlişkilerKazanımlar1. Özel sayı örüntülerinde sayılar arasındaki

ilişkileri açıklar. Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme Yöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-

me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: kâğıt, kalem, ip, makasÖn Kazanımlar: 1. Tam sayıların kendileri ile

tekrarlı çarpımını üslü nicelik olarak ifade eder. 2. Sayı örüntülerini modelleyerek bu örüntülerde-ki ilişkiyi harflerle ifade eder.

HatırlayalımAşağıdaki üslü sayıların değerlerini bulunuz. a) 35 b) 63 c) 44 ç) (–2)4

Zorunlu Program Uyarıları [!] Karesel sayılar, üçgensel sayılar, aritmetik

ve geometrik diziler , Fibonacci dizisi gibi öğrenci-lerin düzeyine uygun ve ilgisini çekebilecek özelsayı örüntüleri inceletilir.

[!] Aritmetik dizide ardışık iki terimin farkının ar-dışık eklenen/ çıkarılan sayı olduğu ve bu sayıya“dizinin ortak farkı” denildiği vurgulanır.

[!] Geometrik dizide ardışık terimin oranının,ardışık çarpılan/bölünen sayı olduğu ve bu sayıya“dizinin ortak çarpanı” denildiği vurgulanır.

Dikkat Çekme ve Motivasyon • Öğrencilerin önceki yıllara ait ön bilgilerini

açığa çıkarmak için “Hatırlayalım” bölümündekisoruların cevaplanması istenebilir.

Öğrenme-Öğretme Süreci • Öğrencilere ders kitabının 48. sayfasındaki

fotoğrafla ilgili görsel okuma ve görsel sunu yap-tırılır. Fotoğrafa ait metin öğrencilere okutulur vemetnin sonundaki soru yöneltilir.

• Öğrencilerin sorulara verdikleri cevaplarhakkında yorum yapılmaması önerilir.

• Mümkünse cevapları defterlerine not etme-leri sağlanmalıdır. İşleniş sonunda bu cevaplarıtekrar kontrol etmeleri istenebilir. Böylelikle öğren-cilerin kendi öğrenme süreçlerini kontrol etmelerisağlanabilir.

Soruya verilen cevaplardan yararlanılarak öğ-renciler etkinliğe yönlendirilebilir.

Ders kitabının 48. sayfasındaki etkinlik öğren-cilere yaptırılır.

Etkinlikte öğrencilerin akıl yürütme, ilişkilendir-me, iletişim ve psikomotor becerilerini etkin kul-lanmaları sağlanmalıdır.

Öğrenciler, öğrenme sürecinde kümeler ve örün-tüler konularına ait ön bilgilerini kullanabilmelidirler.


2 Bölüm


2. Ünite

ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLERLiber Abaci(Liber Abaki)’de yer alan bir problem metnini alarak konu-

ya başlangıç yapalım;"Bir köylü, dört bir yanı duvarla çevrili yere bir çift tavşan koymuş. Her

çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan doğurduğu, her yeni çiftin deerginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği varsayılırsa, 100ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?"

Fibonacci(Fibonaçi) bu problemi kitabına biyoloji biliminde bir uygulama olsun diye ya da nüfus patlamasısorununa bir çözüm getirsin diye koymamıştır, muhtemelen toplama alıştırması olarak düşünmüştür. Biraz dü-şününce tavşan çiftlerinin aylara göre şöyle çoğalacağı ortaya çıkıyor: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Budurumda her ay sonundaki tavşan çifti sayısı o aydan hemen önceki iki aydaki sayıların toplamına eşit olur. 100ayın sonunda ise 354 224 848 179 261 915 075 tane tavşan oluşur. Fibonacci dizisi nerelerde görülüyor?

1) Ayçiçeği: Ayçiçeğinin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldı-ğında çıkan sayılar Fibonacci dizisinin ardışık terimleridir. Benzer şekillerde çam kozalağı, tütün bitkisi ve eğ-relti otunda da Fibonacci dizilimi mevcuttur.

2) MİMAR SİNAN: Mimar Sinan'ın da birçok eserinde Fibonacci dizisi görülmektedir. Mesela Süleymani-ye ve Selimiye Camisi’nin minarelerinde bu dizi mevcuttur.� Peki, matematikte başka hangi alanlarda benzer örüntüler ve ilişkiler olabilir?� Matematikte örüntüler ve ilişkilerin özelliklerini bilmenin size neler kazandıracağını düşünüyorsunuz?

• Verilen tabloyu kâğıdınıza çiziniz. • Tabloyu verilen örneklerde olduğu gibi doldurunuz. • Eleman sayılarına göre alt küme sayılarını gösteren bu tablodaki sayı örüntülerini boş kümeden

başlayarak yazınız.• Eleman sayılarına göre alt küme sayılarının oluşturduğu bu çizelgeye Pascal üçgeni denilmektedir.� Pascal üçgeninin her satırının (ilk satırdan başlamak üzere) alt kümelerle nasıl bir ilişkisi vardır?

Açıklayınız.� Bu örüntüde her satır hangi sayıyla başlayıp hangi sayıyla bitmektedir? Açıklayınız.� Pascal üçgeninde arada oluşan sayılar nasıl bir kurala göre devam etmektedir?• Pascal üçgenini bulduğunuz kurala göre 3 satır daha ilerletiniz.� Her satırda oluşan hangi sayılar birbirine eşittir? Neden?

Özel Sayı Örüntülerinden Birini Tanıyalım

kâğıt, kalem

Verilen KümeKümelerin Alt Kümeleri Alt

KümelerinSayısıBoş Küme Bir

Elemanlıİki

ElemanlıÜç

ElemanlıDört

ElemanlıBeş

Elemanlı{ } ∅ – – – – – 20 = 1{a} ∅ {a} – – – – 21 = 2

{a, b}{a, b, c}

{a, b, c, d}{a, b, c, d, e}

Tablo: Kümeler, Kümelerin Alt Kümeleri ve Alt Küme Sayıları


ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER

1. Aşağıdaki sayılar bir kurala göre dizilmiştir. Bu kurala göre soru işaretinin yerine gelmesi gere-ken sayıyı bulunuz.

1 5 3 7 5 9 7 11 9 ?

2. Aşağıdaki sayı dizisinde � yerine gelmesi gereken sayıyı bulunuz.

2 6 4 12 10 30 28 84 �

3. Aşağıdaki sayı dizisinde � yerine gelmesi gereken sayıyı bulunuz. Bu diziyi uygun şekilde mo-delleyiniz.

8 4 12 6 18 9 �

4. 1 7 25 79 � 727 dizisinde terimler belli bir kurala göre dizilmiştir. Buna göre �yerine gelmesi gereken sayıyı bulunuz.

a. Verilerin elde edilmesi, planlanan kişi ve kuruluşlarla görüşmelerin yapılması

Ders kitabının 49. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Bilim insanı Pascal ileilgili ek bilgiye gerek duyulacak olursa aşağıdakibilgi kullanılabilir:

“Matematik dersi almayan 12 yaşındaki BlaisePascal (Bleyz Paskal), bir gün, matematiğin ne ol-duğunu sorarak babasını şaşırttı. Bu bilimin, me-sela şekillerin doğru çizilmesine yaradığı cevabı,çocuğu döşemeye geometrik şekiller çizmeye it-mişti. Bilimsel ifadeleri henüz bilmediği için kendi-sinin verdiği adlardan yararlanıyordu. Ona göredaire ‘yuvarlak’, doğru da ‘çubuk’tu. Babası birkaçay sonra bu tuhaf şekillerin ne anlama geldiğinisorduğunda, Pascal’ın daha önce hiç okumamışolmasına rağmen Öklid geometrisindeki ilk 32 te-oriyi bildiğini şaşkınlıkla gördü. Blaise ilk ilmî ese-rini 16 yaşındayken yazdı ve bununla elips, para-bol ve hiperbolün bir ve aynı dairenin projeksiyon-ları olarak görülebileceğini ispatladı. Böyleliklefarkında olmadan, konik kesitler öğretisini kur-muştu. Büyük Fransız filozofu Descartes (Dekart)mantık ve derin matematik bilgisi izleri taşıyan bumakalenin 16 yaşındaki bir genç tarafından yazıl-mış olduğuna inanmak istememişti. Genç Pascalbundan birkaç yıl sonra daha da şaşırtıcı olanbaşka bir buluşa öncülük yaptı. Haftalarca sürenbir çalışmanın sonucunda aritmetik işlemleri, me-kanik olarak yapan bir hesap makinesi icat etti.Daha sonraki deneylerinde fiziksel ‘iletişen tüpleryasası’nı, ‘hidrostatik paradoksu’nu ve ‘hidrolikbasınç ilkesi’ni geliştirmiştir. Yine yazı tura oyunu-nu matematik yönünden inceleyerek ‘ihtimal he-sapları teorisi’ni ortaya çıkarmıştır.”

http://tr.wikipedia.org

Ders kitabının 50. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Örneklerin sonlarındabulunan bilgi kutularına dikkat çekilir.

Birinci örnekte öğrencilerin ardışık sayılar vesayı örüntüleri ile ilgili ön bilgilerinin açığa çıkarıl-ması yararlı olacaktır.

İkinci örnekte ise kareli kâğıt kullanılarak sayı-lar arasındaki ilişki somutlaştırılmaya çalışılmıştır.Öğrencilerden kavram oluşumunun gelişip geliş-mediğini kontrol etmek için benzer örnekler dü-zenlemeleri istenebilir.


2 Bölüm

1. satırdaki üçgen sayısı 1’dir. Buna göre örüntü,

1 3 5 7 9 2n–1

şeklinde devam etmektedir.

2. satır – 1. satır = 3 – 1 = 2

3. satır – 2. satır = 5 – 3 = 2

4. satır – 3. satır = 7 – 5 = 2

5. satır – 4. satır = 9 – 7 = 2

. . . . . .

Örnek: 1 sayısına 3 sayısının ard arda eklenmesi ile oluşan örüntüyü inceleyelim:

1 1+3 1+(3+3)=1+2.3 1+(3+3+3)=1+3.3 ... 1+(3+3+...+3)=1+(n-1).3

Bu örüntüde seçilen ilk sayı 1’dir.

2. terim – 1. terim = 4 – 1 = 3

3. terim – 2. terim = 7 – 4 = 3

4. terim – 3. terim = 10 – 7 = 3. .. .. .

Görüldüğü gibi bu dizide ardışık iki terim farkı sabittir. Belirlenen sabit 3 sayısının ardışık eklenme-si bu aritmetik dizinin ilişkisidir.

n terim n terim n n n n1 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 3 6 3- - = + - - + - = + - - - + =$ $ $ $] ] ]g g g6 @


2. Ünite

1. satır2. satır3. satır4. satır5. satır6. satır7. satır

...

Yanda izometrik kâğıtta verilen örüntüde ar-dışık iki satır arasındaki eşkenar üçgenlerinoluşturduğu örüntüyü inceleyelim:

Görüldüğü gibi her satırda bir önceki satırdan 2 tane fazlaeşkenar üçgen bulunmaktadır. Ardışık iki satırdaki eşkenar üç-gen sayıları farkı sabittir.

11. terim

�� 1+2.12. terim

�� 1+2+2=1+2.23. terim�� 1+2+2+2=1+3.2

4. terim�� 1+2+2+2+2=1+4.2

5. terim1+2+2+...2=1+2.(n-1)��

2. terim1. terim 3. terim 4. terim n. terim

(n-1) tane��

(n-1)tane

��n. terim��

��

�

Bir sayıya, belirlenen başka bir sayının art arda eklenmesi veya çıkarılması sonucunda bu-

lunan sayıların sıralanmasıyla oluşan örüntü aritmetik dizidir.

Aritmetik dizinin ilişkisine dizinin kuralı denilir ve bu kural n. terim ve genel terimin ifadesi

ile belirlenir.

. . .

Örnek:

...


2. Ünite

Örnek: Seçilen sayı 3 ve ardışık eklenen sayı (–5) ise oluşan aritmetik diziyi belirleyelim:

3 3–5 3–(5+5)=3–2$5 3 – (5+5+5)=3–3$5 ... 3–(5+5+...+5)=3–(n–1)$5

2. terim. 1.terim = – 2 – 3 = – 5

3. terim. 2.terim = – 7 – (–2) = – 5

4. terim. 3.terim = – 12 – (–7) = – 5

5. terim. 4.terim =– 17 – (–12) = – 5 . . . . . .

Bu aritmetik dizinin kuralı seçilen 3 sayısına ardışık (–5) sayısının eklenmesidir.

Örnek:

Yukarıda kareli kâğıt zemininde birim kareler ile oluşturulan örüntüyü ve kuralını inceleyelim:

1. satırda 2 tane birim kare vardır. Buna göre örüntü şöyle olur:

2 4 8 16 32 64 ... 2n

Görüldüğü gibi bu örüntüde ardışık iki terimin oranı sabit bir sayıdır.

.

...

.

.

.

...

..

terimterim

terimterim

terimterim

terimterim

terimterim

n terimn terim

12

24 2

34

816 2

56

3264 2

23

48 2

45

1632 2

1 22 2n

n

1

= = = = = =

= = = =-

= =-] g

2. terim1. terim 3. terim 4. terim n. terim

2. terim1. terim 3. terim 4. terim 5. terim 6. terim n. terim

(n-1) tane��

Bu aritmetik dizide ardışık eklenen sayı da (–5) tir.

Aritmetik dizide ardışık iki terimin farkı, ardışık eklenen / çıkarılan sayıdır ve dizinin ortak

farkı olarak adlandırılır.

2 2$2 2$(2$2)=2$22 2$(2$2$2)=2$23 2$(2$2$2$2)=2$24 2$(2$2$2$2$2)=2$25 2$(2$2...2)=2$2n-1

(n–1) tane��

Ardışık olarak aynı sayıyla çarpma / bölme işlemi yapılarak elde edilen sayı örüntüsü bir

geometrik dizidir.

Ders kitabının 51.sayfasındaki örnekler öğren-cilerle birlikte incelenir.

Sayfadaki birinci örnekte verilen örüntüde te-rimlere ait üslü ifadelere ve örneğin sonundaki bil-gi kutusuna dikkat çekilir.

Matematik etkin bir süreç olarak ele alınmalı-dır. Bu yaş grubundaki öğrenciler çevreleriyle veakranlarıyla etkileşimlerinden kendi düşüncelerinioluştururlar. Öğrencilerin araştırma yapabilecek-leri, keşfedebilecekleri, problem çözebilecekleri,çözüm ve yaklaşımlarını paylaşıp tartışabilecekle-ri ortamlar sağlanmalıdır. Bu anlamda matemati-ğin estetik ve eğlenceli yönünün keşfedilmesininsağlanması öğrencilerin duyuşsal özellikleriningelişimi için katkı sağlayıcı olabilir.

Öğrenciler yeni bilgiler elde ederken yaratıcıdüşünme becerilerini etkin kullanabilmelidirler.Yaratıcı düşünme becerisi; öğrencilerin bir temelfikri ve ürünü değiştirme, birleştirme, yenidenfarklı ortamlarda kullanma ya da tamamen kendidüşüncelerinden yola çıkarak yeni ve farklı ürün-ler ve bilgiler üretme, olaylara farklı bakabilme,küçük çaplı da olsa bazı buluşlar yapabilmeyikapsar. Ayrıntılı fikirler geliştirme ve zenginleştir-me, sorunlara benzersiz ve kendine özel çözüm-ler bulma, fikirler ve çözümler ortaya çıkarma; birfikre, ürüne çok farklı açılardan bakma, bütünselbakma alt becerileri içerir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: ip, makas• İpten 5 cm uzunluğunda bir parça kesiniz.• 5 cm uzunluğundaki parçanın yanına koymak

için ipten her seferinde 2 cm uzunluğunda iplerkesiniz.

• Kestiğiniz parçaları bir doğru boyunca uç ucabirleştiriniz.

• Elde ettiğiniz örüntüyü sıra sayısından yarar-lanarak n. terim için matematiksel olarak yazınız.

� Nasıl bir örüntü elde ettiniz? Açıklayınız.• Şimdi de 5 cm uzunluğundaki parçanın 2 ka-

tı alan 10 cm daha sonra elde ettiğiniz parçanın ikikatı olacak şekilde 20 cm olan ip parçaları kesiniz.

• Kestiğiniz parçaları 5 cm uzunluğundaki ipparçası ile doğru boyunca uç uca ekleyiniz.

• Elde ettiğiniz örüntüyü sıra sayısından yarar-lanarak n. terim için matematiksel olarak yazınız.

� Nasıl bir örüntü elde ettiniz? Açıklayınız.


2 Bölüm


2. Ünite

1. terim 2. terim 3. terim 4. terim 5. terim n. terim

12 22 32 42 52 n2...

Örnek: Aşağıda verilen ve ardışık çarpma işlemi yapılarak elde edilen sayı örüntüsünü inceleyelim:

Bu örüntüde seçilen sayı 4’tür.

terimterim

terimterim

terimterim

n terimn terim

12

4

4 11

23

4 1

4 1

1

1 11

34

4 1

4 11 1

1 4 1

4 11 1 1n n

2

21 2 1 2

=-

= -

=-

-=

-

- -= -

=-

-= - = -

-=

-

-= - = - = -

$

$ $

$

$

$

$ $

$

$

$

$

$

$

$

$

-

- - - - - +

n

n

1

1

2

2

3

1

-

-

n n

3

]]

]

]

]

] ]]

]

]] ]

] ]

]] ] ]]

gg

g

g

g

g gg

g

gg g

g g

gg g gg

... ...

4 4 1 4 1 1 4 1

4 1 1 1 4 1 4 1 1 1 4 1 1

- - - = -

- - - = - - - - = -

$ $ $ $

$ $ $ $ $ $ $-

1 2

3 n

] ] ] ]

] ] ] ] ] ] ] ]

g g g g

g g g g g g g g

Görüldüğü gibi bu örüntüdeardışık iki terimin oranı sabittir.Belirlenen (–1) sabit sayısınınardışık çarpılması bu geometrikdizinin ilişkisi, yani kuralıdır.

Geometrik dizinin ilişkisine dizinin kuralı denilir ve bu kural n. terim ve genel terimin ifade-

si ile belirlenir.

Geometrik dizide ardışık iki terimin oranı ardışık çarpılan / bölünen sayıdır ve bu sayı dizi-

nin ortak çarpanıdır.

Bu dizinin kuralı terim sayısının karesinin alınmasıyla elde edilmiştir. Bu tür sayı örüntüleri-

ne karesel sayılar denir.

...

1. terim

4. terim 5. terim

2. terim 3. terim

Yukarıda noktalı kâğıt zemininde karesel bölgelerle oluşan örüntüyü inceleyelim:

1 4 9 16 25 ... n.n

Örnek:


5.

dizisinde ? yerine hangi sayının geleceğini bulunuz.

6.

Yandaki şekilde ardışık iki dilimdeki sayıların toplamı birsonraki dilimde olan sayıyı vermektedir. Buna göre Δ yerinehangi sayı gelmelidir?

7.

Yandaki taloda � yerine hangi sayı gelmelidir?

6 10 15

8 7 ?

20 17 5

301

27

186

17

10Δ

7

71

3

44

5 6 8 9 11

40 72 128 � 264

Ders kitabının 52. sayfasındaki örnek, öğrenci-lerle birlikte incelenir. Örnekte sayıların oluşturdu-ğu üçgene dikkat çekilir. Öğrencilerden bu üçge-nin hangi özelliğinin dikkatlerini çektiğini açıkla-maları istenebilir. Öğretmenler için verilen aşağı-daki bilgi, meraklı ve matematiksel yönü güçlüöğrencilere -gerek duyulursa- sınıf seviyesi gözönünde bulundurarak araştırma konusu olarakverilebilir.

Pascal üçgeni ile ilgili bağlantılar : Binom dağı-lımı, kombinasyon, Taylor serisi

Uygulamalar


Çalışma kitabının 32, 33 ve 34. sayfaların-daki sorular öğrencilere çözdürülebilir.


1. Pascal üçgenindeki karesel ve üçgensel sa-yıları gösteren örüntüleri bulunuz.

2. 8 13 18 23 28 33 ...Yukarıdaki sayı örüntüsü hangi diziye karşılık

gelir? Bu dizinin kuralını ve 23. sırada hangi sayı-nın yer alacağını bulunuz.

3. Bir konferans salonunda birinci sırada 15sandalye, ikinci sırada 18 sandalye ve üçüncü sı-rada 21 sandalye vardır. Salonda bu şekilde de-vam eden 33 sıra bulunduğuna göre;

a) Her sıradaki sandalye sayısını yazarak ara-larındaki örüntüyü belirleyiniz.

b) Örüntü yardımıyla nasıl bir dizi oluştuğunubelirleyip dizinin genel terimini n doğal sayısı yar-dımıyla ifade ediniz.

c) Toplam sandalye sayısını bulunuz.

Değerlendirme

Öğrencilerden tam sayıların kendileri ile tek-rarlı çarpımını üslü nicelik olarak ifade etmeleri,sayı örüntülerini modelleyerek bu örüntülerdekiilişkiyi harflerle ifade etmeleri beklenir.


Çalışmalar süresince öğrenciler kontrol edile-rek öğrencilerin beceri ve duyuşsal özellik geli-şimleri gözlemlenir. Yapılan grup çalışmaları için“Grup Değerlendirme Formu” doldurtulabilir.

!

!


2 Bölüm

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1


2. Ünite

Örnek: Aşağıda verilen örüntüyü inceleyelim:

• Bu örüntünün her satırı 1 ile başlayıp 1 ile bitmektedir.

• Aradaki sayılar ok işaretleriyle de gösterildiği gibi yan yana bulunan iki elemanın toplamının bir altsatıra yazılmasıyla elde edilmiştir.

• Her satırda baştan ve sondan aynı uzaklıktaki sayılar birbirine eşittir. Örneğin;

4. satır

5. satır

6. satır vb. dir.

• Herhangi bir satırdaki 1. sayı bir kümenin 0 elemanlı, 2. sayı 1 elemanlı, 3. sayı 2 elemanlı, ... altküme sayısını gösterir.

• Pascal üçgeni harfli ifadelerin binom açılımı yapılırken kat sayılarını bulmak için kullanılır.

ALIŞTIRMALAR

1) –4 –1 2 5 8 11 ...

Yukarıda verilen dizinin kuralını bulup adını belirleyiniz ve ortak farkını bulunuz.

2) –1 –3 –27 –81 –729

Yukarıda verilen sayı örüntüsü bir geometrik dizi oluşturur mu? Nedenini açıklayınız.

3) Doğada da pek çok örneği bulunan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... şeklinde devam eden Fibonacci di-zisinin kuralını Pascal üçgenini kullanarak elde ediniz.

4)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1. satır

2. satır

3. satır

4. satır

5. satır

6. satır......

Yanda verilen Pascal üçgeninde;

a) Kırmızı ve mavi renkte çizilen sayılar bi-rer örüntü oluştururlar mı? Bu örüntüle-rin kuralını belirleyiniz.

b) Benzer şekilde daha başka hangi sayıörüntüleri elde edebilirsiniz?Açıklayınız.

32-34


8.

Yukarıdaki dizide ? yerine hangi sayı gelmelidir?

8——?7——36

6——255——16

4——93——4

9. Aşağıda verilen boşlukları uygun kelimelerle doldurunuz.

a) Aritmetik dizinin ilişkisine .............................................. denilir.

b) Ardışık olarak aynı sayıyla çarpma / bölme işlemi yapılarak elde edilen sayı örüntüsü bir.................................. dizidir.

c) Dizinin kuralı terim sayısının ............................. alınmasıyla elde edilen sayı örüntüleri kare-sel sayılardır.

ç) Eleman sayılarına göre alt küme sayılarının oluşturduğu üçgen şeklindeki bir örüntüye....................... denir.

d) Aritmetik ve geometrik dizilerin kuralı ............................. ifadesi ile belirlenir.

10. sayısına;

a) Ardışık olarak 3 sayısının eklenmesiyle oluşan sayı örüntüsünü bulunuz. Bu sayı örüntüsü-nün özel adını yazınız. Örüntünün kuralını genel terim ifadesiyle belirleyiniz.

b) Ardışık olarak 4 sayısının çarpılmasıyla oluşan sayı örüntüsünü bulunuz. Bu sayı örüntüsü-nün özel adını yazınız. Örüntünün kuralını genel terim ifadesiyle belirleyiniz.

1——2

Süre : 8 Ders saati Öğrenme Alanı : CebirAlt Öğrenme Alanı : Cebirsel İfadeler,

Denklemler KazanımlarCebirsel İfadeler: 1. Özdeşlik ile denklem arasındaki farkı açıklar. 2. Özdeşlikleri modellerle açıklar. 3. Cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırır. 4. Rasyonel cebirsel ifadelerle işlem yapar ve

ifadeleri sadeleştirir.Denklemler: 3. Bir bilinmeyenli rasyonel denklemleri çözer. Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme Yöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-

me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: kâğıt, kalem, cebir karoları, onluk

taban bloklarıÖn Kazanımlar • İki cebirsel ifadeyi çarpar. • Cebirsel ifadeleri sadeleştirir. • Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemle-

ri çözer. • Denklemi problem çözmede kullanır. Ders içi ilişkilendirme:

�DenklemlerHatırlayalım

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bu-lunuz.

a) 2x + 5 = 3 b) 3y – 2 = y + 4Zorunlu Program Uyarıları

[!] Özdeşliklerin, içerdikleri değişkenlere verile-cek bütün gerçek sayılar için; denklemlerin ise ba-zı gerçek sayı veya sayılar için doğru olduğu vur-gulanır.

[!] a2 – b2 = (a-b) (a+b) (a±b)2 =a2± 2ab+ b2

gibi özdeşlikler modelletilir. [!] Cebir karoları ile modellenebilen ax2 + bx + c bi-

çimindeki (a, b, c kat sayıları özel seçilir.) cebirsel ifa-deleri çarpanlarına ayırma ile ilgili işlemler yaptırılır.

[!] Cebirsel ifadeler çarpanlara ayrılırken ortakçarpan parantezi gruplandırma, özdeşlikler, üç te-rimlerin çarpanlarına ayrılmasından yararlanılır.

[!] Bu sınıf sınırlılıkları içinde kalan cebirsel ifa-deler seçilir.

[!] Rasyonel denklemler çözdürülürken, bu sı-nıfa uygun cebirsel ifadeler seçtirilir.

[!] Paydayı “0” yapan değerlere dikkat edilir.Dikkat Çekme ve Motivasyon:

• Önceki yıllara ait ön bilgileri açığa çıkarmakiçin öğrencilerden “Hatırlayalım” bölümündeki so-ruyu cevaplamaları istenebilir.


2 Bölüm

• Kâğıttan bir karesel bölge kesiniz. Bu karesel bölgenin bir ke-nar uzunluğunu “a + b” olarak gösteriniz.

• Bu karesel bölgenin köşelerini isimlendiriniz.

• Karesel bölgenin üstte kalan kenarı üzerinde bir nokta işaret-leyiniz. Bu noktanın yakın olduğu köşeye uzaklığını “b” olarakgösteriniz.

• İşaretlediğiniz noktadan karesel bölgenin karşı kenarına dikinecek şekilde doğru parçasını çiziniz. Doğru parçalarındankısa olanı “b”, uzun olanı “a” olarak isimlendiriniz.

� Yaptığınız işlemden yararlanarak elinizdeki karesel bölgeninalanını hangi cebirsel ifadeyle belirleyebilirsiniz?

• Bu cebirsel ifadenin açılımını çarpma işleminin toplama işle-mi üzerine dağılma özelliğinden yararlanarak elde ediniz.

• b kenar uzunluğuna sahip doğru parçasını şekildeki gibi kat-layarak alanı b2 olacak şekilde bir karesel bölge elde ediniz.

• Katladığınız kenarı açınız.

• Oluşan karesel ve dikdörtgensel bölgelerin kenar uzunluklarını a ve b cinsinden yazınız.

• Bu karesel ve dikdörtgensel bölgelerin alanlarını a ve b cinsinden şeklin içine yazınız.

• Yazdığınız alanların toplamı ile çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğinden ya-rarlanarak elde ettiğiniz karesel bölgenin alanını karşılaştırınız.

� Buradan nasıl bir sonuç elde edersiniz? Açıklayınız.

• Elde ettiğiniz eşitlikte a yerine 3, b yerine 2 yazınız.

� Eşitlik bozuldu mu? Açıklayınız.

� a ve b yerine başka hangi sayıları yazarsanız eşitlik bozulmaz? Açıklayınız.

� 1. şekilde oluşturduğunuz karesel bölgenin alanını, dikdörtgensel bölgenin alanına oranladığınız-da sadeleştirme yapılabilir mi? Neden?


2. Ünite

CEBİRSEL İFADELER VE RASYONEL DENKLEMLERDünyanın ilk cebir kitabını 8. yüzyılda Abdülhamit İbn Türk yazmış, ikinci dere-

ceden cebirsel denklemlerin gerçek değerli köklerini bulmuştur. Abdülhamit İbnTürk, denklem çözümlerini geometri kullanarak açıklamıştır. 8. yüzyılda yaşamışbaşka bir Türk bilgini olan Harezmi, “El-Cebr” kitabını yazmıştır. Bugün Batı dille-rinde “Algebra” denilen matematik dalının adını bu kitaptan almıştır. Günümüz ma-tematik terminolojisinde yaygın olarak kullanılan “algoritma” terimi de Harezmi’ninadından türetilmiştir.� Harezmi’nin temelini attığı cebirin ve cebirsel ifadelerin, rasyonel denklemle-

rin çözümüne ne gibi bir katkısı olabileceğini düşünüyorsunuz?

Özdeşlikleri Tanıyalım

kâğıt, kalem

E

M R

KF

L

a + b

b

Temsilî resim

��

�

��

SAL a b c

A SAL b h2

= + +

=$

_

_

i

i

&

&


2. Ünite

Harfli İfadeler ve Harfli İfadelerle Yapılan İşlemler

�Aşağıdaki geometrik şekillerin çevre uzunluklarını ve alanları gösteren harfli ifadeleri yazalım:

Örnek: 7 y 2 – 5 y + 4 → 3 terimli bir harfli ifadedir. 3 a 4 + 2 a – 7 → sabit terimdir.

Örnek: Aşağıda verilen harfli ifadelerde benzer terimleri bulalım:

–2a2 + 3ab + 4a2 – 5ba

–2a2 ve 4a2

3ab ve – 5ba

m2n teriminin benzer terimi yoktur.

Örnek: Aşağıda verilen harfli ifadelerin benzer terimlerini toplayıp sonuçlarını en sade şekilde yaza-lım:

a)

b)

c)

a a a a7 3 7 3 42 2 2 2- + = - + =-] g

m x m nn x mn21

21

212 2 2 2 2+ - - +

A LE R

K AS

ca a a a

a M İ

İ

b

E Kba

b

ha

Ç KARE a a a a

a

KARE a a a

42

= + + +

=

= =$

]

]

g

g

Ç

A

�

�

EK M a b a ba b

a b

A EK M a b

2 2

2

= + + +

= +

= +

= $

^

]

^

h

g

h

Ç

Bazı değerleri harflerle gösterilmiş olan matematik işlemleri harfli ifadelerdir. 4x2 – 5x + 6 bir

harfli ifadedir. Harfli ifadelerin “+” veya “–” işaretleri ile ayrılmış her bölümü bir terimdir.

Terimin kat sayısı: 7 Değişken : y

Terimin kat sayısı: 3Değişken: a

Terimin kat sayısı: 2Değişken: a

Terimin kat sayısı: –5 Değişken : y sabit terim

ve

ve

mn mn

x x

21

21

21

2 2

2 2

-

-

benzer terimlerdir.

benzer terimlerdir.

Verilen harfli ifadelerde benzer terimler toplanırken ifadelerin kat sayıları toplanır, harfli bö-lümleri ve kuvvetleri aynı kalır.

mn a x mn a x mn mn a x a x

mn a x

mn a x

10 7 26 10 26 7

10 26 7 1

16 8

2 2 2 2

2

2

+ - + = - + +

= - + +

=- +

] ]g g

x b xb xb xb xb x b x b x b xb xb xb xb

x b xb xb

x b xb xb

3 2 4 6 5 3 2 6 4 5

3 1 2 6 4 5

2 8

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

+ - + + - = - + + - +

= - + + + - +

= + +

] ] ]g g g

İ

İ

Öğrenme-Öğretme Süreci

Ders kitabının 53.sayfasındaki fotoğrafla ilgiligörsel okuma ve görsel sunu yaptırılır. Fotoğrafaait metin okutulur. Metne dönük sorunun cevap-lanması sağlanır. Soruya verilen cevaplar hakkın-da yorum yapılmaması ve işleniş sonunda aynısorunun tekrar okunarak yeniden cevaplanması-nın istenmesi önerilir. Böyle bir uygulama ile öğ-rencilerin işleniş sonunda kendilerinde oluşankavramsal gelişimi görmeleri sağlanabilir. Bu tipbir çalışma bir nevi öz değerlendirme olacaktır.Ders kitabının 53. sayfasındaki etkinlik öğrencile-re yaptırılır.

• Ders kitabının 54, 55, 56 ve 57. sayfaların-daki örnekler öğrencilerle birlikte incelenir.

• Örneklerden yararlanarak öğrenciler ilişki-lendirme becerilerini etkin şekilde kullanabilmeli-dirler.

Alternatif Etkinlik

• Aşağıda verilen eşitliklerde bilinmeyenleredeğerler veriniz.

• 2x + 5 = –8 • 5x + 3x = 8x• (x -2) (x – 1)=x2 – 3x+ 2 • x - 8 = 2• (x-3) (x+3) =x2 – 9 • x + 6 = 3x

� Yukarıda verilen eşitliklerin hangilerinindenklem, hangilerinin özdeşlik olduğunu belirleyi-niz.

� Yaptığınız işlemden yararlanarak denklemve özdeşlik arasında ne gibi farklılıklar olduğunuaçıklayınız.

• Şimdi de aşağıda verilen cebirsel ifadelerdebilinmeyenleri birbiri ile sadeleşecek biçimde ya-zınız.

, ,

• Sadeleşme işlemini yaparken üslü sayılardannasıl yararlandığınızı belirleyiniz.

15a2b3c5——————3ab4c2

6m.n3——————2m2n

28x2 . y3——————37xy2


2 Bölüm


2. Ünite

Örnek: Aşağıda verilen harfli ifadelerin çarpımlarını bulalım:

a)

b)

c)

ç)

Rasyonel Cebirsel İfadelerle Yapılan İşlemler

Örnek: Aşağıda harfli ifadelerle verilen bölme işlemlerini yapalım:

Örnek: Aşağıda harfli ifadelerle verilen bölme işlemlerini yapalım:

Örnek: işleminin sonucunu en sade biçimde yazalım:


y

y

y

y

y

y y

y

y3 9

19

3 1 9

93 9

11 6 1

2

2 2

2 2

2

2

+ - =+ -

=- +

^ ^h h

y

y3 91 12+ -

:xa b

xa b

x

a b

a bx

xx

xx x x

3 2 3

23

2 23

23

23

5 2 5

2

5

2

5

22 5 3- -

=-

-= = = =$ $ $ - -] ] _

_

g g i

i

:xa b

xa b3 2

5 2

- -] ]g g

: : :aba b

aba b a b a b a b a b

a ba b

a b

a

48

48 2 2

2

2

3

4 2

2

34 1 2 3 3 1 1 2 3 1 2 1

2 1

3 1

3 2 1 1

-=

-= - =

-

=-

=-

- - - - - -

-

-

- - - -

c ] ] ]

]

m g g g

g

::

ab a ba b ab

a bababa b

a ba b

a ba b

a ba

ba

ba

44 2 3

3 2 2

2 3

2

3 2

1 2 4 3

3 1 2 2

1

2 0

1

2 2 1 3

= = = = = =$

$- -

- -

- -

- -] g

;aba b

aa

bb a b a b

xy

xyx y y

mn zm n z m n z m n z

39

39 3 3

2

525

25

336

336 12

3 2 3 23 1 2 1 2

2

31 1 3 2

4 2

4 2 34 1 2 4 3 2 3 2

= = =-

-=

--

=

-=

-=-

$ $ $ $ $

$ $ $

- - - -

- - - -

$

x y x y x x x y y x y y x xy xy y x y2 2 2 2- + = + - - = + - - = -$ $ $ $ $^ ^h h

y a b y a y b a y y b ay yb2 3 2 2 3 2 2 3 2 6+ = + = + = +$ $ $ $ $ $ $ $] g

a bc ab c a a b b c c a b c2 3 2 3 6 3 32 2 2 2 2= =$ $ $ $ $ $ $ $

a b a b a b a a b b a b a a a b b a b b a ab ab b

a ab b2

2 2

2 2

+ = + + = + + + = + + + = + + +

= + +

$ $ $ $ $ $ $2] ] ] ] ]g g g g g

��

��

Bir terimi, diğer terime bölmek için işlem bir kesir gibi düşünülüp sadeleştirme yapılır.


CEBİRSEL İFADELER VE RASYONEL DENKLEMLER

1. Aşağıda verilen eşitliklerin yanlarındaki kutulara özdeşlik olanlar için “Ö”, denklem olanlar içinise “D” yazınız.

a) x- 4 = 0 �� b) 3x + 5 = -2 ��

c) (x + y)2 = (x - y)2 + 4xy �� ç) 3a + 2b =4 ��

d) (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab - bc - ac) �� e) m3 - n3 = (m - n) (m2 + mn + n2) ��

f) 6k - 4 = 3 + 2k �� g) 4x - 2y + 1 = 2x + y - 2 ��

2. Aşağıda verilenlerden hangisi özdeşliktir?

A) a2 + 3a = a(a + 1) B) (a + b) (a - b) = a - b2

C) a2 + b2 = (a +b)2 - 2ab C) a3 + b3 = (a +b) (a2 - b2)

3. (3x - 2y)2 = 9x2 + K + M eşitliğinin özdeşlik olması için K ve M yerine gelecek ifadeleri bulunuz.

b. Görüşmelerde elde edilen verilerin kaydedilmesi


Örneklerin incelemesiyle matematiksel kav-ramların geliştirilmesinin yanı sıra, bazı önemlibecerilerin geliştirilmesi de hedeflenmiştir. Bu be-ceriler; iletişim kurma, akıl yürütme ve ilişkilendir-medir.

• Ders kitabının 58. sayfasındaki 2. örnektesayıların çarpanlarına ayrılmasından yararlanıla-rak öğrencilerin ön bilgilerinin harekete geçirilme-si ve ders içi ilişki kurmasının sağlanması hedef-lenmiştir. Böylelikle ilişkilendirme becerilerinden“Matematiğin aralarında anlamlı ilişkiler bulunan,kendine özgü sembolleri ve terminolojisi olan birdili olduğunun farkına varır.” becerisinin geliştiril-mesi hedeflenmiştir.


2 Bölüm

�

�

�

��

��

�

�

�

��

��

�

�

�

�

.

x x x x

x x

x x x x br olur

1 1 1 1 1

3 3 2

3 2 3 2 121

+ + + = + + + +

+ = +

- = - = = =& &


2. Ünite

Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler

�

Verilen denklem sistemleri birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir.

Örnek: bilinmeyen kütle ve 1 birimlik kütleler olmak üzere aşağıda yer alan denge durumun-daki teraziyi kullanarak bilinmeyen cismin kütlesini bulalım:

= x olsun.

Örnek: Yanda verilen cismin kütlesi bilinmektedir ve bölmelerden oluşmaktadır.Aşağıdaki terazide verilen denge durumunu kullanarak bu cismin kütlesini bulalım:

( → 1 birimlik kütleleri temsil etmektedir.)

Cisminin tüm kütlesi a birim olsun.

= a ise

= ve = olur.

Terazinin denge durumunu yazalım:

Örnek: bir birimlik bölünebilen bir kütle ve bilinmeyen bölünebilen kütle olmaküzere aşağıdaki terazide verilen denge durumunun denklemini kurup bilinmeyen cismin kütlesini bulalım:

bilinmeyen cisminin kütlesi y olsun. O hâlde

t= ve = olur. = br ve br olur.

Denge durumunun denklemini yazalım:

y y y y y y

y

y y br

3 21

4 43

3 4 43

21

124 3

43 2

12 41

4 12 3

4 3 1 2

& &

&

& &

+ = + - = --

=-

=

= =

] ] ] ]g g g g

43

21y

4y3

a a a a a

a

a

21

63 2 1

65

11

5 6

56

3 2

3+ =

+= =

=

=

& &

] ]g g

a3

a2

; ;x x x x x a a5 3 83 5

1 2 4 3 2 2+ = - + = - + = -] ]g g

Eşitliğin her iki yanından en az birinde bir bilinmeyen bulunan iki sayı ifadesinin eşitliği bir

bilinmeyenli denklemdir.

�

�

� �

��

�

�

��

�

�

(İçler – dışlar çarpımını kullanalım.)

br olarak elde edilir.=

→→

olarak elde edilir.→→

�

�

�


A

3x - 12 = 0

x2 = 9

x (x - 3) =x2 - 3x

m2 + 3 = 0

(p - r)2 = p2 - 2pr + r2

x2 – 25 = 0

4c - 3 = 1 - 2c

B

R

{ }{ }

R

{-3, 3}

{-5, 5}

{4}

{-3, -2, -1, 1, 2, 3}

4. Aşağıda verilen A tablosundaki ifadelerden denklem olanları B tablosundaki çözüm kümeleriile, özdeşlik olanları ise gerçek sayılarla eşleştiriniz.

5. İki sayının küpleri farkı, aşağıdakilerden hangisi ile daima tam bölünür? Deneyerek bulunuz.

A) Bu iki sayının toplamı ile

B) Bu iki sayının kareleri farkı ile

C) Bu iki sayının çarpımları ile

D) Bu iki sayının farkı ile

2—3

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

• Matematik yaparken akıl yürütme (muhake-me) becerilerinin geliştirilmesi için ortamlar hazır-lanmalıdır.

• Akıl yürütme becerilerinin gelişimi için öğren-cilere aşağıdakilerin kazandırılması hedeflenmeli-dir:

• Öğrenme sürecinde akıl yürütmeyi kullanır. • Yaşantısında, diğer derslerde ve matematik-

te akıl yürütme becerisini kullanır. • Matematik öğrenirken genellemeler ve çıka-


rımlarının doğruluğunu savunabilir. • Yaptığı çıkarımların, sahip olduğu duygu ve

düşüncelerin geçerliliğini sorgular. • Akıl yürütmede öz güven duyar. • Akıl yürütme ile ilgili olumlu duygu ve düşün-

celere sahip olur.


2 Bölüm


2. Ünite

Örnek: denkleminin çözüm kümesini bulalım:

Böylece denklemin çözüm kümesi Ç olarak elde edilir.

Örnek: denkleminin çözüm kümesini gerçek sayılarda bulalım:

“Çözüm kümesi – 3’tür.” diyemeyiz. Önce sağlamasını yapmamız gerekir. Çünkü verilen denkleminpaydasında bilinmeyen bulunmaktadır. Bulunan değer denklemde yerine yazıldığında herhangi bir pay-dayı “0” yapabilir. Dolayısıyla bu durumda çözüm kümesi boş küme olur.

Sağlaması: x = – 3 değerini denklemde yerine yazıp eşitliğin doğru olup olmadığını görelim:

Paydalarda bulunan x, x – 1 ve x2 – x cebirsel ifadelerinde x yerine – 3 yazdığımızda paydaların değer-leri sırasıyla – 3, – 4 ve 12 olur. Bu durumda x = – 3’ün çözüm kümesinin elemanı olduğu söylenebilir.

O hâlde Ç tür.3= -! +

4

2

x x x x3

12 6

33

3 12

36

142

9 36

21

21

3

12

6

2-

+-

=- -

-+

- -=

-

- =+

=

=

- -& 2] ]g g

.

x x x x x x x x

x xx

x xx

x x

x x

x x

x

x

x

x olur

x x

31

2 6 31

21

6

13 1

12

16

3 1 2 6

3 3 2 6

3 6

6 3

3

3

1 1

2-

+-

=-

-+

-=

-

-

- -+

-=

-

- - + =

- + + =

- + =

- = -

- =

=-

-

&

$

]

]

]

] ]

]

] ] ]

g

g

g

g g

g

g g g

x x xx3 6

12

2-

-=

-+

23

=-' 1

x x x x x x

x x x

x x

x x

x x

x

x x

x

23

25 3 1

23

25 3 1

23 5 3 1

22 8 3 1

2 8 3 1 2

2 8 6 2

8 6

6 446

23

2 2

2 2

--

--

= --

+-

= -

- + -= -

-= -

- = -

- = -

- =

- = =-

=-

+ -

&

&

&

$

$

$]

]

g

g

x x x23

25 3 1-

---

= -

olur.

(Bir eşitliğin her iki yanı aynı sayı ileçarpılır veya bölünürse eşitlik bozul-maz.)

(x2 –x) = x$(x – 1) olur. Denklemin heriki tarafındaki paydalar, x (x – 1) oldu-ğundan işleme dâhil edilmez.)

1 1

2 2


2. Ünite

Örnek: denkleminin çözüm kümesini gerçek sayılarda bulalım:

Örnek: denkleminin çözüm kümesini bulalım:

Paydada bulunan x – 1 ve x +5 ifadelerinde x = 7 değerini yerine yazalım.

x = 7 ⇒ x –1 = 7 –1 = 6 ; x = 7 ⇒ x + 5 = 7 + 5 = 12 olur.

x = 7 değeri paydaları “0” yapmadığı için denklemin çözüm kümesi Ç = { 7 } olarak elde edilir.

! Siz de verilen denklemde x = 7 değerini yerine yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrolediniz.

xx

xx

xx

xx

x xx x

x xx x

x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x

x

x

x

x x

15

53

15

53

1 55 5

1 53 1

5 5 3 1

5 5 25 3 3

25 4 3

4 3

0 4 28

4 28

7

25

5 1

2 2

2 2

2 2

--

=+-

-

-=

+

-

- +

- +=

- +

- -

- + = - -

+ - = - - +

- = - +

- =- +

=- +

=

=

+

+ -

-

&

] ]

] ]

] ]

] ]

] ] ] ]

] ]

g g

g g

g g

g g

g g g g

g g

xx

xx

15

53

--

=+-

x xx x

x

xx

xx x x

11 11 2 1

11 2 1 1

12

11

2

12 1 1

0 1

++

= ++

= ++

=

++

=

+= - - =

& &

&

!

$

x

11 11 2++

=

Ç = " ,

DİKKAT : rasyonel ifadesinde x = 0 oldu-

ğunda cebirsel ifadenin tanımsız olacağına

dikkat ediniz. Bu yüzden x ≠≠ 0 olmalıdır.

x1

Bir denklemin çözümünde bilinmeyen harfli ifade eşitliğin her iki tarafında kalmadığında;

a) Her iki tarafta aynı sayı kalırsa çözüm kümesi gerçek sayılar,

b) Her iki tarafta farklı sayılar kalırsa çözüm kümesi boş küme olur.

(Paydaları eşitleyip işleme dâhil etmeyelim.)


6. Aşağıda verilenlerden kaç tanesi doğrudur?

I. a2 - b2 = (a - b)2 + 2ab

II. (a - b)2 - (a + b)2 = -4ab

III. a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab

IV. a2 - 6a = a(a - 6)

7. Aşağıdakilerden kaç tanesi bilinmeyenlerin tüm değerleri için doğrudur?

I. (a +b)3 = a3 + b3

II. a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

III. a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab +bc +ac)

IV. a2 + b2 = (a +b)2 - 2ab

8. A + B = (5x2 + 2y3)2 - 20x2y3 eşitliğinin özdeşlik olması için A ve B yerine aşağıdakilerden han-gisi gelmelidir?

A) A = 5x2, B = 2y3 B) A = 25x4, B = 4y6

C) A = 25x2, B = 4y3 D) A = -25x4, B = -4y6

Araştırma-Sorgulama Becerisi: Doğru veanlamlı sorular sorarak problemi fark etme vekavrama, problemi çözmek amacıyla neyi ve na-sıl yapması ile ilgili araştırma planlaması yapma,sonuçları tahmin etme, çıkabilecek sorunları gözönüne alma, sonucu test etme ve fikirleri geliştir-meyi kapsar. Anlamlı tahminde bulunma, uygunaraştırma ortamına karar verme, araştırmada netip ve ne kadar delil toplaması gerektiğine kararverme, bilimsel yaklaşımı kullanarak araştırmayıplanlama, nasıl gözlem ve kıyas yapacağını belir-leme, araç-gereç kullanma, doğru ve hassas öl-çümler yapabilme, sonuçları sunma yollarını belir-leme, sonuçların tekrar incelenmesi gerekip ge-rekmediğine karar verme, bulunanlarla asıl fikrinbağlantısını kurma, bulunanları uygun bir dille ifa-de etme, verileri ortaya koyma, sonucu destekle-yici verilerin yeterliliğine karar verme, bulunanla-rın ilk beklentileri karşılayıp karşılamadığına kararverme gibi alt becerileri içerir.

• Ders kitabının 59. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki ilk örnekteöğrencilerin Pascal üçgeninden yararlanarak (a + b)n (n ∈ Z) şeklindeki cebirsel ifadelerin açılı-mının nasıl yapıldığını görmeleri sağlanır. Sayfa-daki ikinci örnekte ise öğrencilerin (a + b)2 cebir-sel ifadesinin açılımının nasıl modellendiğini gör-meleri hedeflenmiştir.


2 Bölüm

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Örnek: (a + b)4 ifadesinin açılımını Pascal üçgeni yardımıyla bulalım:

Kat sayılar : 1 4 6 4 1

1. terimin dizilişi : a4 a3 a2 a1 a0

2. terimin dizilişi : b0 b1 b2 b3 b4

(a + b)4 = 1 a4 b0 + 4 a3 b1 + 6 a2 b2 + 4 a1 b3 + 1 a0 b4

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 olur.

(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4 olur.


2. Ünite

Özdeşlikleri Modelleme

Örnek: eşitliğini modelle açıklayalım:a b aba b22 2+ + +=2] g

Karesel bölge şeklinde birkâğıt alıp köşelerini K, A, R, Eolarak isimlendirelim.

Katladığımız kenarı tekrar aça-lım. Şekildeki karesel ve dikdört-gensel bölgelerin kenar uzunluk-ları aşağıda görüldüğü gibi olur.

KARE karesel bölgesi içindekikaresel ve dikdörtgensel bölgele-rin alanlarını bulalım:

A (KDΙH) = a.bA (DIFE) = b2

A (HAGI) = a.a = a2

A (IGRF) = a.b

Karesel bölge şeklindeki kâğıdın[KE] üzerinde bir D noktası işaretle-yelim. [KD] = a ve [DE] = b olsun.

[DE] nı, kesikli çizgiboyunca katlayalım.

K A

E R

K A

E R

K A

D E

F R

��

�

��

�

��

�

a+ba

bD

K A

E F

H

R

a.b

a.b

a2

b2D Ι GK A

E F

H

R

b

b

b

a

b b b

a a

a

a

a

D Ι G Buradan A (KARE) = A (KDΙH) + A (DΙFE) + A (HAGΙ) + A (ΙGRF)(a + b).(a + b) = a$b + b2 + a2 + a.b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 olur.

Toplamın açılımı yapılırken bütün terimlerin işaretleri (+) olarak yazılır.

Farkın açılımı yapılırken “–” işaretli terimin tek sayılı kuvvetlerinin önüne “–” işareti, diğer-

lerinin önüne “+” işareti yazılır.


9. Aşağıda verilen özdeşlikleri modeller üzerinde göstererek açıklayınız.

a) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

b) a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) c) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab

10. Aşağıda verilen ifadelerden tam kare olanların yanlarındaki kutucuklara “x” işareti koyunuz.

a) x2 - 6x + 3 �� b) x2 - 8x + 2 ��c) 4x2 + 4x + 1 �� ç) 9x2 -12x + 4 ��d) 2x2 + 4x + 1 �� e) x2 - 16 ��

11. A tablosunda verilen cebirsel ifadeleri B tablosunda yer alan çarpanlarına ayrılmış biçimleriyleeşleştiriniz.

A

x2 + 5x + 6

2x2 + 3x + 1

3x2 - 2x - 1

x2 - 2x - 8

x2 + 7x + 10

2x2 - x - 6

x2 - 25

4x2 - 4x - 3

B

(x - 5) (x + 5)

(3x+1) (x - 1)

(x -4) (x +2)

(2x +1) (x + 1)

(x + 3) (x + 2)

(2x + 1) (2x -3)

(2x + 3) (x - 2)

(x + 2) (x + 5)

(x + 2) (x - 5)

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

Ders kitabının 60. sayfasındaki örnek öğrenci-lerle birlikte incelenir. Derslerin işlenişi sırasındaöğrencilerin aşağıdaki etkinlikleri yapmaları bek-lenir. Bu konuda öğrenciler cesaretlendirilmelidir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: cebir karoları• Cebir karolarından 2 tane x2, 3 tane x ve 1 ta-

ne 1’i temsil eden modeli kullanarak dikdörtgenselbir bölge oluşturunuz.

• Oluşturduğunuz dikdörtgensel bölgenin ala-nını cebir karolarının alanları yardımıyla belirleyi-niz.

• Oluşturduğunuz dikdörtgensel bölgenin ala-nını kenar uzunluklarının çarpımı cinsinden yazı-nız.

• Oluşturduğunuz dikdörtgensel bölgenin ala-nını, kenar uzunluklarının çarpımı şeklinde yazdı-ğınız cebirsel ifade ile eşitleyiniz.

� Yazdığınız eşitlik hakkında ne söyleyebilirsi-niz? Açıklayınız.


2 Bölüm


2. Ünite

Karesel bölge şeklinde bir kâ-ğıdın köşelerini A, B, C, D olarakisimlendirelim. Karesel bölgeninbir kenar uzunluğu a br olsun.

Kareli kâğıtta bir kenaruzunluğu 8 br olan bir kareselbölge keselim.

Elde ettiğimiz parçaları şekildeki gibi birleştiripbir dikdörtgensel bölge oluşturalım.

Bu dikdörtgensel bölgenin alanı; (8 + 5) ( 8 – 5) br2 dir. 3 ve 4. şekildeki alanlar

aynı dikdörtgensel bölgeyi temsil ettiğinden;(64 – 25) = ( 82 – 52) olur.

Bu karesel bölge üzerindekenar uzunluğu 5 br olan ka-resel bölge belirleyip keserekçıkaralım.

Kalan bölgenin alanı (64 - 25) br2 dir. Kalanbölgeyi işaretlenen yer-den keselim.

Karesel bölgenin D köşesinişekildeki gibi katlayalım.

Oluşan boyalı karesel ve dikdörtgensel bölgelerin alanları üzerlerindeyazılmıştır.

Boyalı olmayan karesel bölgenin alanını bulalım:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A GBHI A ABCD A AGIF A FIED A IHCE

a b a b a a b b b a b b

a b a ab b b ab b

a b a ab b a ab b2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

= - + +

- - = - - + + -

- = - - + + -

- = - - = - +

$ $ $

2

2

] ] ] ]

]

]

g g g g

g

g

6

6

7

6

@

@

A

@

Kâğıdı tekrar açtığımızda kü-çük bir karesel bölge elde et-miş oluruz. Bu karesel bölgeninbir kenar uzunluğu b br olsun.

��

�

A B

F D

E C

A B

D C

A B

D E

G

C

b

b

b b b

a – b

a – b

��

��

��

��

a br ��

a – b

F

��

�

A B

D E

G

C(a –b).b

(a –

b).b

b2

b

b

b b

a – b

��

�

��

� 5 br

��

�

��5 br

8 br

��8 br

8 br ��

a – b

��

��

��

��

a – b��

a – b

F HΙ

olarak elde edilir.

Örnek: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 eşitliğini modelle açıklayalım:

Örnek: Kareli kâğıt kullanarak (64 – 25) ifadesini modelleyelim:

1. şekil

��

�

��

�

��

��

� 5 br

5 br

8 br

8 br ��

2. şekil (8-5) br

(8-5) br

(8-5) br

8 br ��

3. şekil

4. şekil

5 br

5 br


12. ÷ ifadesinin en sade biçimini bulunuz.x———x - 1x2 + 2x +1———————x2 - 1

13. - - ifadesinin en sade biçimini bulunuz.2———3+m1———3-m

6—————9 - m2

14. ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D) k——32———-k-3

3-k———2k + 3————2

36 - 12k—————6k2 -54

15. ÷ ifadesinin en sade şeklini bulunuz.a2 + 4a + 4———————a2 - a - 6a2 - 4——————a2 + a - 6

c. Kaydedilen verilerin tablo hâline getirilmesi


• Matematik programı, matematiği etkin bir sü-reç olarak ele almaktadır. Bu yaş grubundaki öğ-renciler çevreleriyle ve akranlarıyla etkileşimlerin-den kendi düşüncelerini oluştururlar. Programdaöğrencilerin araştırma yapabilecekleri, keşfedebi-lecekleri, problem çözebilecekleri, çözüm ve yak-laşımlarını paylaşıp tartışabilecekleri ortamlarınsağlanmasının önemi vurgulanmıştır. Bu anlamdamatematiğin estetik ve eğlenceli yönünün keşfe-dilmesi ve öğrencilerin öğrenme süreci boyuncamatematikle uğraştıklarının farkında olmalarıönem taşımaktadır.

• Yapılan çalışmalarla öğrencilerin yaratıcı dü-şünme becerilerinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Yaratıcı Düşünme: Yaratıcı düşünme beceri-si; öğrencilerin bir temel fikri ve ürünü değiştirme,birleştirme yeniden farklı ortamlarda kullanma yada tamamen kendi düşüncelerinden yola çıkarakyeni ve farklı ürünler ve bilgiler üretme, olaylarafarklı bakabilme, küçük çaplı da olsa bazı buluşlaryapabilmeyi kapsar. Ayrıntılı fikirler geliştirme vezenginleştirme, sorunlara benzersiz ve kendineözel çözümler bulma, fikirler ve çözümler ortayaçıkarma; bir fikre, ürüne çok farklı açılardan bak-ma, bütünsel bakma alt becerilerini içerir.

• Sayfadaki son örnek öğrencilerin eşitlikle öz-deşlik arasındaki farkı görmelerini sağlamak içinverilmiştir.


2 Bölüm


2. Ünite

Örnek: Cebir karolarını kullanarak aşağıda yapılan işlemi inceleyelim:

C ve D dikdörtgensel bölgelerinin oluşturduğu dikdörtgensel bölgenin ala-nını kenar uzunluklarının çarpımı ile bulalım.

Görüldüğü gibi sonuçlar aynı çıkmıştır. Buradan eşitliği elde edilir.

� 5a + 1 = 16 ve 2a + 3a = 5a şeklinde iki eşitlik alalım. Bu eşitlikleri çeşitli değerler vererekkarşılaştırıp yorumlayalım:

x x x1 1 12- + = -$] ]g g

.A x x x x x x olur1 1 1 12 2= + - = - + - = -$] ]g g

Alanı x2 br2 ve x br2 olan ce-bir karolarını şekildeki gibi yer-leştirelim.

Oluşan şeklin kenar uzunluk-ları yandaki gibi olur. Oluşan Cve D bölgelerinin alanlarınıntoplamını bulalım.

.

C x x x x

D x x

C D x x x x olur

1

1 1 1

1 1

2

2 2

= - = -

= - = -

+ = - + - = -

$

$

]

]

g

g

11

1 1

şeklindeki eşitlikler “iki kare farkı” olarak adlandırılır.a b a b a b2 2- = - +$] ]g g

5a + 1 = 16 5a + 1 – 1 = 16 – 1

5a = 15a = 3

2a + 3a = 5aa = 1 ⇒ 2$1 + 3$1 = 5.1

2 + 3 = 5a = 2 ⇒ 2$2 + 3$2 = 5$2

4 + 6 = 1010 = 10

a = –1 ⇒ 2$(–1) + 3$(–1) = 5$(–1)–2 + (–3) = –5

–5 = 5

Eşitlik sadece a = 3 ol-duğunda sağlanır. Diğerdurumlarda sağlanmaz.

Görüldüğü gibi eşitlik her a∈R değeri için doğrudur(sağlanır). Çünkü bu eşitlik benzer terimlerin toplanma-sıyla elde edilmiştir.

5a + 1 = 16 → Bu eşitlikte a değeri bilinmeyendir ve eşitlik bir denklemdir.

2a + 3a = 5a → Bu eşitlikte ise a değeri değişkendir ve eşitlik özdeşliktir.

Örneğin a = 1 ⇒ 5a + 1 = 5$1 + 1 = 66 ≠16 olur.

Değişkenlerinin tüm değerleri için doğru olan eşitlikler özdeşliktir. Özdeşlikler, içerdikleri

değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için; denklemler ise bazı gerçek sayı veya sayılar

için doğrudur.

x2

x

x

C D

��1

��

��

�

x

x –

1 C D

��1

��

��

�

x

x –

1

C D

��1

��

��

�

x

x –

1 C D

��1

��

��

�

x

x –

1

C D

��1

��

��

�

x

x –

1 C D

��1

��

��

�

x

x –

1


16. ÷ ifadesinin en sade şeklini bulunuz.x2+ 3x———————-x2+ 3x + 44x - x2

——————x2+ 4x +3

17. + - işleminin sonucunu bulunuz.2————a2 - 1a————a - 1

a————a + 1

18. + ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) x + y B) C) D) 2————y + x2————x - y

1————x + y

2y————y2 - x22x————x2 - y2

19. a+ + ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) b B) -b C) -a D) -1

b————aa————b —- 1a —- 1b

Ders kitabının 62. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki örnek, gerekduyulursa cebir karoları veya onluk taban bloklarıkullanılarak etkinlik formatına dönüştürülebilir.Tüm öğrencilerin öğrenme stilleri ve öğrenme şe-killerinin aynı olmadığı göz önünde bulundurulma-lıdır. Bu nedenle mümkün olduğu kadar kavramla-rın somutlaştırılması farklı öğrenme stillerine sa-hip öğrencilerin öğrenmelerine yardımcı olacakortamların hazırlanmasına katkı sağlayacaktır.

Etkinlikler öğrencilerin şu becerilerini geliştiricinitelikte olmalıdır:

1. Eleştirel Düşünme

2. Yaratıcı Düşünme

3. İletişim

4. Araştırma-Sorgulama

5. Problem Çözme Becerisi

6. Bilgi Teknolojilerini Kullanma

7. Girişimcilik

8. Türkçeyi Doğru, Etkili ve Güzel Kullanma

Ders kitabında düzenlenmiş olan etkinliklermümkün olduğunca öğrencilerin yukarıda belirti-len özelliklerini geliştirmeyi hedeflemektedir. An-cak yapılabilecekler bu etkinliklerle sınırlı değildir.Akademik eğitim almış olan tüm öğretmenler ben-zer etkinlikler düzenleyebilecek yeterliktedir.Önemli olan husus düzenlenecek etkinliklerin öğ-renciler tarafından bir oyun ve zaman kaybı ola-rak düşünülmesine neden olmayacak, öğrenciler-de kavram oluşumunu sağlayacak ve yukarıdabelirtilen becerilerin en az birini veya birkaçını ge-liştirici nitelikte hazırlanmış olmasıdır.


2 Bölüm


2. Ünite

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

özdeşliğinde a ve b harfleri birer değişken olup yerinebaşka harfli ifadeler veya sayılar gelebilir.

Örnek: ifadesinin açılımını bulalım:

Görüldüğü gibi bu cebirsel ifadede a değişkeni yerine 3x, b değişkeni yerine 2 gelmiştir.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 özdeşliğinde de yine a ve b harfleri birer değişkendir. Bu harfler yerine baş-ka harfli ifadeler veya sayılar gelebilir.

a = 2y ; b = 3 değerlerini özdeşlikte yerine yazalım:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(2y – 3)2 = (2y)2 – 2 .2y .3 + 32

(2y – 3)2 = 4y2 – 12y + 9 olarak elde edilir.

� a, b ∈ R olmak üzere (a + b) ve (a - b) birer iki terimlidir. a + b ≠ 0 olmak üzere bu ifadelerinherhangi bir doğal sayı olan kuvvetleri alınabilir.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ; (a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 ; (a – b)4 = a4 – 4a3 b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

(a + b)0

(a + b)1

(a + b)2

(a + b)3

(a + b)4

x3 2+ 2] g

a b a b aba b a b22 2+ + + += + =$2] ] ]g g g

Bir kenar uzunluğu (3x +2)br olankare şeklinde bir kâğıdın köşeleriniM, E, R ve T olarak adlandıralım.

MERT karesel bölgesi içerisinde oluşan karesel ve dikdört-gensel bölgelerin alanları yandaki gibidir. Buradan;

( 3 x + 2 ) 2 = 3 x $ 3 x + 3 x $ 2 + 3 x $ 2 + 2 $ 2

= 9 x 2 + 1 2 x + 4 olarak elde edilir.

M EC

E

D

F

T R2

2 2

3x

3x.2 2.2

3x.23x.3x

2

��

��

�

��

�

3x

3x3x

M C

T

E F

RD

M E

T R

M CE

DT R

��

(3x

+ 2)

3x 2

A MERT x3 2= + 2] ]g g

n ∈∈ N olmak üzere cebirsel ifadesinin a ile b terimlerinin kuvvetlerinin toplamı (far-

kı) ve çarpımı şeklinde yazılmasına binom açılımı denir.

a b"n] g


20. . (1 + ) işleminin sonucunu bulunuz.1 - a————a + 416 - a2————a - 4

22. x + y = 7 ve x . y = 10 olduğuna göre x2 + y2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 18 B) 24 C) 29 D) 43

23. ifadesini çarpanlarına ayırıp en sade şeklini bulunuz.3x2 + 12x + 9—————————3x3 - 3x

21. . işleminin sadeleşmiş biçimi nedir? 1 - x————2

x - 1——x

- x1——x

Ders kitabının 63. sayfasındaki etkinlik öğren-cilere yaptırılır. Etkinliğin altındaki örnek öğrenci-lere inceletilir.

Ders kitabının 64. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. İşleniş sırasında gerekduyulursa aşağıdaki ek örnekler kullanılabilir:


1. Aşağıdaki ifadelerin en sade hâllerini bulu-nuz.

a. b.

c. ÷

2. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm küme-sini doğal sayılar kümesinde bulunuz.

a. =

b. + = 2x

c. + + 3 = x

ç. + 2 = - 1

3. Aşağıda verilen ifadelere uygun problem ku-rup çözünüz.

a. 38 + x = 4(8 +x)

b. 3x - 1 = x + 3

c. x = 4 + x——9

x——2x+1——3

x—2x—3

1—3x - 2————2

3———x - 12————x + 1

4m -8—————2m+4

m2-4m+4——————m2-4

(a - 3) (a + 3)—————————a2-9


2 Bölüm


2. Ünite

• Cebir karolarından 1 tane alanı x2 br2, 3 tane alanı xbr2

ve 2 tane alanı 1 br2 olan parça alınız.

• Alanı x2 br2 olan büyük parçanın sağ ve sol yanı ile üstkısmına alanı x br2 olan parçaları yerleştiriniz.

• Boşlukta kalan yerlere ise alanı 1 br2 olan cebir karola-rını yerleştiriniz.

• Şekli oluşturan parçaların alanları toplamını bulup yazı-nız.

• Oluşan şeklin kenar uzunluklarını not ediniz.

• Meydana gelen dikdörtgensel bölgenin alanını kenar uzunlukları yardımıyla bulunuz.

� Elde ettiğiniz alanlar için ne söyleyebilirsiniz?

� Yaptığınız işlemden yararlanarak x2 + 3x + 2 cebirsel ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli için nesöyleyebilirsiniz? Açıklayınız.

Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım

cebir karoları (Taban blokları da olabilir.), kâğıt, kalem

Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayırma

Örnek: 24 sayısının çarpanlarını inceleyelim:

1.24 = 24

2.12 = 24

3.8 = 24

4.6 = 24

24 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24 sayılarıdır.

Bu kurala benzer bir uygulama cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırmak için de kullanılır. Cebirsel ifa-delerde sayılar yerine harfli ifadeler veya sayılar gelebilir.

��

� 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24 sayıları verilen işlemlerdeki gibi çarpımı 24 sayısınıvermektedir.

1

11

x2

x

x x


24. - = eşitliğini sağlayan x sayısını bulunuz.x + 1————64x - 2————2

2x - 1————3

25. + = + x - 1 denkleminin çözüm kümesini gerçek sayılar kümesinde bu-

lunuz.

5x + 2————83x - 4————2

3 - 2x————4

27. + - = denklemini sağlayan x değeri 2 ise k’yi bulunuz.3x————6k + 1————3

2x - k————2x - 2————6

26. = 2 - 0,476 olduğuna göre x kaçtır?x———900

ç. Tablo gösterimlerinde çeşitliliğin sağlanması

11+—x11-——x2

Ders kitabının 65. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir.

Sayfadaki birinci örnekte öğrencilerin cebirselifadelerin nasıl ortak çarpan parantezine alındığı-nı kavrayabilmelerini görmeleri hedeflenmiştir. Yi-ne bu örnekte öğrencilerin ön bilgilerinin açığa çı-karılması ve bu bilgilerin kullanılarak yeni bilgile-rin yapılandırılması hedeflenmiştir. Bu nedenle ilkbilgilerle yeni bilgilerin ilişkilendirilmesi, yapılan-dırma sürecinin olumlu sonuçlanmasına önemlikatkı sağlayacaktır.

Sayfadaki çarpanlara ayırma ile ilgili ikinci ör-nek öğrencilerle birlikte incelenir.

Matematiksel kavram ve beceriler geliştirilir-ken öğrencilerde duyuşsal gelişimin de göz önün-de bulundurulması gerekmektedir. Bunun için iş-leniş boyunca yapılan çalışmalarla yani etkinlik veörneklerle öğrencilerin aşağıdaki duyuşsal özel-liklerinin geliştirilmesi hedeflenmiştir:

• Matematikle uğraşmaktan zevk alma,• Matematiğin gücünü ve güzelliğini takdir et-

me,• Bir problemi çözerken sabırlı olma,• Matematiği öğrenebileceğine inanma,• Matematikle ilgili olumsuz tutum ve başarısı-

nı etkileyecek kaygılara kapılmama,• Matematikle ilgili konuları tartışma,• Matematik öğrenmek isteyen kişilere yar-

dımcı olma,• Gerçek hayatta matematiğin öneminin far-

kında olma,• Matematik dersinde istenenleri yerine getir-

me,• Matematikle ilgili çalışmalarda yer alma,• Matematiğin mantıksal kararlar vermeye kat-

kıda bulunduğuna inanma,• Matematiğin eğlenceli yönünün farkında ol-

ma.


2 Bölüm

Örnek: Cebir karolarını (veya taban bloklarını) kullanarak x2 + 5x + 6 cebirsel ifadesini çarpanlarınaayıralım:

x2 + 5x + 6 cebirsel ifadesine karşılık gelen cebir karolarını seçelim.

1 adet alanı x2 br2, 5 adet alanı x br2 ve 6 adet de alanı 1br2

olan parça alalım.

Bu yerleştirmede dikkat edilmesi gereken konu en büyükparça veya parçaların sol üst köşede olmasıdır.

Oluşturduğumuz dikdörtgensel bölgenin kısa kenar uzunlu-ğu (x + 2), uzun kenar uzunluğu (x + 3) br’dir.

O hâlde x2 + 5x + 6 = (x + 3) . (x + 2) olarak elde edilir. Bu-radan x2 + 5x + 6 cebirsel ifadesinin çarpanlarından biri (x + 3),diğeri (x + 2) olarak elde edilir.

Örnek: 2x2 + 7x +3 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım:

Cebir karolarından 2 tane alanı x2 br2, 7 tane alanı x br2 ve 3 tane alanı 1 br2 olan parça alalım.

Oluşturduğumuz büyük dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklarını küçük parçaların kenar uzunluk-ları cinsinden yazalım.

A = 2x2 + 7x + 3 = (2x + 1) . (x + 3) olur.Buradan 2x2 + 7x + 3 cebirsel ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hâli ; (2x +1) . (x + 3) şeklinde elde

edilir. (2x2 + 7x + 2) cebirsel ifadesinin çarpanlarından biri (2x + 1), diğeri ise (x + 3)’ tür.


2. Ünite

Oluşan karesel bölgenin kenar uzunlukları (x + 1) br’dir.A(ABCD) = (x + 1)(x + 1) = x + 2x + 1 olarak elde edilir.

Örnek: Cebir karolarından alanı x2br2 olandan bir tane, alanı xbr2 olandan 2 tane ve alanı 1br2 olan-dan 1 tane alalım ve aşağıdaki gibi birleştirelim. Oluşan cebirsel ifadeyi ve çarpanlarını bulalım.

A B

CD


2. Ünite

Örnek: Aşağıda verilen cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayıralım:

• 2 (a + b) = 2a + 2b ⇒ 2a + 2b = 2 (a + b)

2 (a + b) cebirsel ifadesinin çarpanlarından biri 2 sayısı, diğeri ise (a + b) ifadesidir.

• n (x + y) = nx + ny ⇒ nx + ny = n (x + y)

n (x + y) cebirsel ifadesinin çarpanlarından biri n, diğeri (x + y) ifadesidir.

•

olarak elde edilir.

cebirsel ifadesinin çarpanları 3, y2, a ve terimleridir.

Örnek: x3 + 4x2 + 4x cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım:

Önce tüm terimlerde x çarpanı ortak olduğundan ortak çarpan parantezine alalım.

x3 + 4x2 + 4x = x (x2 + 4x + 4) olarak elde edilir.

x2 + 4x + 4 cebirsel ifadesinin tekrar çarpanlarına ayrılıp ayrılamayacağını bulalım.

x2 + 4x + 4 x2 + 4x + 4

Cebir karolarından 1 tane x2 br2, 4 tane alanı x br2 ve 4 tane 1 br2 olan parçalardan şekilde görül-düğü gibi

elde edilir.

O hâlde;

olarak bulunur. cebirsel ifadesi-

nin çarpanları x, (x + 2) olur.

x x x4 43 2+ +] gx x x xx x x x x4 4 4 4 2 23 2 2+ + = + + = + +$] ] ]g g g

x x x x4 4 2 22+ + = + +$] ]g g

y a2 3 2+^ hy a y a3 2 32 2+^ h

y a y a y a y a6 9 3 2 33 2 223 + = +^ h

x2 x x

x 1 1

x 1 1

��

�

��x + 2

x + 2

y a y a y y a y a a y a y a6 9 2 3 3 3 3 2 33 2 3 2 2 2 22$ $ $ $ $ $ $ $+ = + = +^ h

Ders kitabının 66 ve 67. sayfalarındaki örnek-ler öğrencilerle birlikte incelenir.

Ders kitabının 68. sayfasındaki örnekler öğ-rencilere inceletilir. Öğrencilerin kavramsal bilgile-rini işlemsel bilgiye çevirebilmeleri sağlanır.


2 Bölüm


2. Ünite

Örnek: rasyonel cebirsel ifadesini en sade hâline getirelim:

a2 – 4 cebirsel ifadesi cebirsel ifadesine yani iki kare farkına benzemektedir.

a2 – 4 = (a – 2) (a + 2) olarak çarpanlarına ayrılır.

olur.

olarak en sade şekliyle elde edilir.

Örnek:

A(KULE) = a2 ve A(ADEM) = b2 dir. Boyalı alanlar toplamı;

olur. olur.

Örnek: cebirsel ifadesini çarpanlarına ayırıp sonucu en sade şekliyle elde edelim:

olarak bulunur.mxmx my

x y

x ym x

m x y

x y x y

x yx

x y

x y x1 1

2 2

-

-

+=

-

- +

+=

-

-=$

$$

$$

^

^ ^

^

^

h

h h

h

h

y x yx x y2 2- = - +^ ^h h

mxmx my

x y

x y2 2

-

-

+$

a b a b a b a ab b

a b a b ab

ML

ML

ML ML ML ML

2

2

116 2 40

116 80

196 196 14 14 14

2 2

2 2

+ + = + = + +

+ = + +

= +

= +

= = = =

&

&

&

& & & &

$

$

$

2

2

2

2

2

] ] ]

]

^

^

^

g g g

g

h

h

h

ME EL M ML b a L+ = + =&a b 1162 2+ =

ax ay x y a

a ax yaa

x y2 24

2

2 2 22

+ + +-

=+

- +=

+-

+^ ]

] ]

h g

g g

ax ay x y a x y x y x y a2 2 2 2+ + + = + + + = + +^ ^ ^ ]h h h g

a b a b a b2 2- = - +$] ]g g

ax ay x ya

2 242

+ + +-

a a 2 2

A D

M E

K U

L

a

b KULE ve ADEM birer karesel bölgedir. Boyalı alanlar toplamı116 br2 ve a$b = 40 ise ⎥ML⎥ nun kaç birim olduğunu bulalım:

br olarak elde edilir.

x x y y


2. Ünite

.

x x

a a

x x

a a olur

7 10 2

7 10 2 5

52

2

+ + = +

+ + = + +

+

&

] ]

] ]

g g

g g

x 1 1 1 1 1

x2 x x x x x

x 1 1 1 1 1

Örnek: olduğuna göre x – y değerini bulalım:

x – y ifadesini iki kare farkı şeklinde yazmaya çalışalım:

olur.

Örnek: cebirsel ifadesinin en sade şeklini bulalım:

1. yol 2. yol

Örnek: cebirsel ifadesinin en sade şeklini bulalım:

4 a + 14 = 2 (2a + 7)

olarak düşünülüp aşağıdaki gibimodellenirse;

a a xx7 10 7 102 2+ + + +"

5a aaa

a aa a

a aa1

5

1

22 5 2

2 52 52 7

++

+

++

=+ +

+ + +=

+ +

+

$] ]

] ] ] ]

g g

g g g g

:a a a a

a5

12

17 10

4 142+

++ + +

+c m

.

x yy x

yy xx y

xx y y x

y y x x x y

x y y xy xy x xy

xy x y yxy xy x

x xy yy x y x

x xy y

y x

x y

y xolur

2

2

2

1

22

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

-

-

+ -

-

=- -

- + -

=- -

- + -

=- - -

- +

=- + -

- -

=- - +

-

=- -

-=-

^ ^^ ^

^ ^

^ ^

^ ^

^

^

^

^

h hh h

h h

h h

h h

h

h

h

h

x yy

y xx

- + -

x y

x yx xy y

x y x y

x yx y

x yx y x y x y

2

1

2 22 2

-

-+ + =

- +

-+

=+

+ + = +

$ $

$ $

2^^ ^

^

^^ ^

hh h

h

hh h

x y x y x y x y 3 5 153 5

- = - = - + = =$2 2

^ _ _ _h i i i1 2 344 44 1 2 344 44

x y ve x y3 5- = + =

x x y y

Örnek:

x – y ifadesini “–” parantezine aldık.

.

x yy

y xx

y xy

y xx

y xy

y xx

y xy x

y xx y

y x

y xolur1

- + - =- -

+ -

= -

-+ -

= -

- +

= -

-

=-

- -=-

^

_

h

i

.

x y x y

y x olur

- =- - +

=- -

^

^

h

h

olduğunu

unutmayalım.

x y y x- -=2 2^ ^h h

benzer terimler

��

�

��

�

��x + 5

x +

2

:a a a a

a

a a

a

a

a a

51

21

7 104 14

2 5

2 7

2 2 7

2 5

21

2++

+ + +

+

=+ +

+

+

+ +

=

$

c

] ] ]

] ]

m

g g g

g g

olur.


2. Ünite

, ,

, ,

x y x y

x y x y

16 0 09 4 0 3

4 0 3 4 0 3

2 2- = -

= - +

2 2] ^

^ ^

g h

h h

Örnek: Aşağıdaki cebirsel ifadeleri iki kare farkı kuralını kullanarak çarpanlarına ayıralım:

Örnek: eşitliğinin doğru olup olmadığını belirleyelim:

Görüldüğü gibi dir.

! Siz de pascal üçgeninden yararlanarak olup ol-madığını gösteriniz.

Örnek:rasyonel cebirsel ifadesinin en sade şeklini bulalım:

olur.

Örnek: cebirsel ifadesinin sadeleştirilmiş şeklini bulalım:

Önce benzer terim parantezine alalım:

Örnek: x = 5784 y = 5782 olduğuna göre (x + y)2 – 4xy cebirsel ifadesinin değerini bulalım:

olarak elde edilir.

x = 5784 ve y = 5782 ⇒ (x – y)2 = (5784 – 5782)2 = 22 = 4 olur.

x y xy xy x xy y x yxy x y2 4 24 2 2 2 2+ + - = - + = -+ - =2 2^ ^h h

a a

ab

a b

a b

ab

b

abb

abab

ab

ab ab1 1

1

1 1 11

1

1 12 2 2 2 2

=-

- - -

= +

+

+=

-=

-=

-

- +2

]

] ] ] _ ]

]

_

_

g

g g g i g

g

i

i

a b ab a ba b a b a b

a b a ba b a b

ab a ba a b

aba b

a bb a b

2 2

3 2 2 3 2 22 2

+ - -

+ - -=

+ - -

+ - -=

+

+

- +

- +

]

]

]

]

]

]

g

g

g

g

g

g

a b ab a ba a a bb b

2 2

3 2 2 3

+ - -

+ - -

x yyx

xy

x y

yx

xy

x yxy

x xy y

xyx y x y

x y xyx yx xy y2

12

21

2 2

+

+ +

=+

+ +

=+

+ +

=+ +

+=

+$$

^ ^] ^ ^ h hg h h

x yyx

xy

2

+

+ +

a b b a3 3= --] ]g g

b aa b- = -2 2] ]g g2 2

2 2

a b b a

a ab b b ab a

a ab b a ab b

2 2 2 2

2 2 2 2

- = -

- + = - +

- + = - +

2 2] ]g g_

`

a

bb

bb

a b b a- = -2 2] ]g g

a aa a81 25 9 59 5 9 52 2- = - = - +2] ] ]g g g

y y y y3 3 3 32 2- = - = - +2

^ _ _h i ixx x x9 33 32 2 2- = - = - +] ]g g

3 3 x x

9 9 5a 5a

y y

4x 4x 0,3y 0,3y

3 3

–a – b ifadesi (–) parantezine alınmıştır. Böylece harfli ifade-lerde benzer terimler elde edilmiştir.

olarak elde edilir.

Uygulamalar


Çalışma kitabının 35, 36, 37, 38, 39, 40,41, 42, ve 43. sayfalarındaki sorulara geçilebilir.


1. Aşağıda verilenlerden kaç tanesi doğrudur?I. (5x-y)2 + 4xy ifadesi bir özdeşliktir.II. (x + y)2x = 2x2 + 2xy ifadesi bir denklemdir.III. Bazı özdeşliklerin çözüm kümesi boş küme

(∅) dir.IV. Her denklem aynı zamanda bir özdeşliktir.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

2. Aşağıda verilen işlemlerin sonucunu özdeş-likleri kullanarak bulunuz.

a. 151.149 b. 1532 - 1472

3. Cebir karelerini kullanarak 3x2 + 4x + 1 ifa-desini çarpanlarına ayırınız.

Değerlendirme

Öğrencilerden özdeşlik ile denklem arasındakifarkı açıklayabilmeleri, özdeşlikleri modellerleaçıklamaları, cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayıra-bilmeleri rasyonel cebirsel ifadelerle işlem yapa-bilmeleri ve ifadeleri sadeleştirebilmeleri, bir bilin-meyenli rasyonel denklemleri çözebilmeleri bekle-nir.


Çalışmalar süresince öğrenciler gözlemlene-rek, öğrencilerin beceri ve duyuşsal özellik geli-şimleri incelenir.

Yapılan çalışmalarla ilgili olarak “Akran De-ğerlendirme Formu” doldurtulabilir.

!

!


2 Bölüm

35-43


2. Ünite

ALIŞTIRMALAR

1) ifadesinin sonucu aşağıdaki problemlerden hangisinin so-

nucuna eşittir?

A) 3-1 sayısının küpü kaçtır? B) 6 sayısının 4. kuvveti kaçtır?

C) – 6-1 sayısının karesi kaçtır? D) 256 sayısının karekökü kaçtır?

2) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D)

3) özdeşliğinden yararlanılarak 10004.9996 çarpma işleminin çözümü aşa-ğıda verilmiştir. Kaçıncı adımda hata yapılmıştır?

I. adım : (10000 + 4) (10000 - 4) III. adım : 106 –16

II. adım : (10000)2 – 42 IV. adım : 999 984

A) I B) II C) III D) IV

4) 3x2 + 8x + 4 cebirsel ifadesini cebir karolarını (veya onluk taban bloklarını) kullanarak modelle-yiniz ve çarpanlarına ayrılmış hâlini yazınız.

5) a + b = 10 ve a.b = 16 olduğuna göre a2 + b2 cebirsel ifadesinin değerini bulunuz.

6)


( )

( ) eşitliği bir denklem olup her x∈R için doğru olur.

( ) eşitliği bir özdeşliktir.

( ) özdeşliğinin çarpanlarından biri (x + 6) dır.

8) cebirsel ifadesinin en sade şeklini bulunuz.

9) rasyonel denkleminin çözümünü gerçek sayılar kümesinde bulunuz.x x x10

3 15

4 1 1++

-= +

] g

m mm m

m mm

4 45 6

6 99

2

2

2

2

+ +

+ +

+ +

-$

xx 8 122+ +

a aba b b22 2= - +- 2] g

x3 1 6+ =

xx x4 1 2 1 2 12- = - -] ]g g

a a b a bb2 2- = - +] ]g g

x y3-2x y2 3+^ hx y3+

x yx y

32 1622 2

-

-

x ve y ise xyx y31

21 22 2= = - +

O C

K a

b

A

OCAK dikdörtgensel bölgesinin alanı 32 br2 olup a2 + b2 = 80 br’dir.Bu dikdörtgensel bölgenin uzun kenar uzunluğunun kısa kenaruzunluğundan farkını bulunuz.


28. “-3” sayısı aşağıdaki denklemlerden hangisinin çözüm kümesi değildir?

A) = + 1 C) + =

B) +1 = D) – 1 = 0x - 1————4x + 5————2

x——4

2 – x————4x——3

x + 5————2x——3

2x + 6————3

29. Aşağıda verilen denklemlere uygun problemler kurunuz.

a) - = 12 b) + = x - 9x——22(x - 15)——————5

x——53x——4

30. Aşağıda verilen ifadelerin yanlarındaki kutulara doğru olanlar için “D”, yanlış olanlar için “Y”yazınız. Doğru ya da yanlış olma sebeplerini açıklayınız.

a) Rasyonel denklemlerin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir. ��

b) = ve = ise . = . ��

c) = ise = ��c——da——b

c2

——d2a2

——b2

e——fc——d

g——ha——b

g——he——f

c——da——b

Süre : 5 Ders saati

Öğrenme Alanı : Cebir

Alt Öğrenme Alanı : Denklemler

Kazanımlar

4. Doğrusal denklem sistemlerini cebirsel yön-temlerle çözer. 5. Doğrusal denklem sistemlerinigrafikleri kullanarak çözer.


Yöntem ve Teknikler: Anlatım, soru cevap, işbirliğine dayalı öğrenme

Araç-Gereç: kareli kâğıt, kalem, dosya kâğıdı,baskül, ders ve çalışma kitapları

Zorunlu Program Uyarıları

[!]Doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde,yerine koyma veya yok etme yöntemleri kullanılır.

Dikkat Çekme ve Motivasyon

Öğrencinelere; 1 kalem ile 1 silginin fiyatı 2 TL,2 kalem ile 3 silginin fiyatı 4,5 TL olduğunda 1 ka-lem ve 1 silginin fiyatının nasıl bulunacağı sorula-rak derse giriş yapılabilir.


• Ders kitabının 70. sayfasındaki fotoğrafla il-gili görsel okuma ve görsel sunu yaptırılır.

• Fotoğrafa ait metin öğrencilere okutulur.Metnin sonundaki soru ile öğrencilerin derse mo-tivasyonları sağlanır.

• Öğrencilerin dikkatlerinin farklı sayı çeşitleri-nin gerekliliğine çekilmesi derse motivasyonunsağlanması açısından önemli olabilir.

• Ders kitabının 70. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin akıl yü-rütme, ilişkilendirme ve psikomotor becerilerini et-kin kullanmaları sağlanır.

• Etkinlikte öğrencilerin cebir ve denklemler ileilgili ön bilgilerini kullanmalarına önem verilmelidir.Ayrıca koordinat sistemleri ile ilgili ön bilgilerin kul-lanılması yeni bilgilerin yapılandırılmasında etkiliolacaktır.


2 Bölüm


2. Ünite

• Kareli kâğıt üzerine bir koordinat düzlemi çiziniz. • 7. sınıfta öğrendiğiniz bilgileri kullanarak çizdiğiniz koordinat

düzlemi üzerine x + y = 1 ve x – y = 1 doğrusal denklemleriningrafiklerini çiziniz.

� Çizdiğiniz grafiğe göre iki doğrunun kesişimi hangi noktadır?Koordinatları ile belirtiniz.

� Bu noktanın koordinatları verilen x + y = 1 ve x – y = 1 denk-lemlerini sağlar mı? Açıklayınız.

• Dosya kâğıdına verilen denklemleri alt alta yazınız.• Aynı değişkenleri kendi aralarında alt alta toplayınız.� Elinizde hangi değişken kaldı? Buna göre bu değişkenin değe-

rini kaç buldunuz?• Bulduğunuz bu değişkeni denklemlerden birinde yerine yazınız.� Bu işleme göre diğer değişkeni kaç buldunuz?� Son yaptığınız işlemlerin sonucuna göre 2. değişkenin değerinin

bulunmasıyla ilgili nasıl bir yorum yapabilirsiniz? Açıklayınız.• Bulduğunuz değişken değerlerini (x, y) sıralı ikilisi şeklinde ya-

zınız.� Hangi noktayı elde ettiniz?• Bulduğunuz noktayı grafikte bulduğunuz kesim noktası ile karşılaştırınız.� Nasıl bir sonuç elde ettiniz?� Bulduğunuz kesim noktası ile bu iki denklem arasında nasıl bir ilişki vardır?� Her seferinde denklem çiftlerinin kesim noktasını bulmak için grafik çizmek mi yoksa diğer uygula-

dığınız yol mu kolaydır? Açıklayınız.

Doğrusal Denklem Sistemlerini Çözelim

Kareli kâğıt, kalem, dosya kâğıdı

DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

Doğada birçok sistem, hareket yasaları, kimyasal denk-lemler, ısı yasaları, akım-gerilim yasaları, birbirine bağlı ola-rak değişen değişkenlerle ve bunların oluşturduğu denklem-lerle ifade edilir. Çok bileşenli sistemlerin, eş zamanlı olarakçözülmesi gerekir. Çünkü sistemin bir parçası diğer parçala-rından da etkilenir.

Beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin yalnızcacebirsel işlemler içeren formüller yardımıyla çözülmesininolanaksızlığını ilk kez Paolo Ruffini (Pol Raffini) öne sürdü veNorveçli matematikçi Niels Henrik Abel(Nils Henrik Abel) be-şinci dereceden denklemler için bunu kanıtladı (1824).

� Birçok matematikçi denklem çözümleri ile ilgilenmiştir. Bunun nedeni ne olabilir?


1. Aşağıdaki denklemlerin çözümünü yok etme veya yerine koyma metodu ile yapınız.

a) x- y =3 b) 2x + y = 4

x+ y = 5 3x - 2y = 5

2. ax - by = 3

ax + by = 7denklem sisteminin çözümü olan (x, y) sıralı ikilisi (-1, 2) ise a . b kaçtır?

c) x + 4y = 6 ç) 3x - 2y = 6

2x+ 3y = 4 2x - 3y = -4

��

�

3. 2x - y + 9 = 0 ve 3x + 2y = 4 denkleminin ortak çözümleri için aşağıdaki ifadelerin doğru ya dayanlış olduklarını yanlarındaki kutulara yazınız.

a) Çözüm kümesi R’dir. �� b) Çözüm kümesi Ø’dir. ��

c) Çözüm kümesi iki elemanlıdır. �� d) Çözüm kümesi bir elemanlıdır. ��

DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

d. Tablo hâlinde gösterilen veriler için uygun grafiğin seçilmesi


Bireysel öğrenme farklılıkları dikkate alındığın-da birinci örnek gerek duyulursa etkinlik formatı-na dönüştürülebilir.

Dersler planlanırken öğrencilerin öğrenmestillerinin ve öğrenme hızlarının aynı olmadığı gözönünde bulundurulmalıdır. Bu nedenle sınıflardafarklı öğrenme ortamlarının oluşturulması faydalıolacaktır.

Matematik; örüntülerin ve düzenlerin bilimidir.Bir başka deyişle matematik sayı, şekil, uzay, bü-yüklük ve bunlar arasındaki ilişkilerin bilimidir. Ma-tematik, aynı zamanda sembol ve şekiller üzerinekurulmuş evrensel bir dildir. Matematik; bilgiyi iş-lemeyi (düzenleme, analiz etme, yorumlama vepaylaşma), üretmeyi, tahminlerde bulunmayı vebu dili kullanarak problem çözmeyi içerir. Bu ne-denle matematiğin ve özellikle de cebirin hangi ih-tiyaçlardan doğduğunu, hangi alanlarda kullanıl-dığını araştırmaları konusunda öğrenciler yönlen-dirilebilir. Matematiğin yukarıda belirtilen özellikle-rinin kullanılabilmesi için bir bütün olarak düşünül-mesinin ve bu disipline ait alt öğrenme alanlarıarasında ilişki kurularak bu evrensel dilin kullanıl-masının önemi üzerinde durulması yararlı olacak-tır. Bu işlenişte dikkat edildiğinde denklemlerin çö-zümünde cebirin nasıl kullanıldığı ile ilgili bilgilerbulunduğu görülecektir. Ders kitabının 72. sayfa-sındaki örnek öğrencilerle birlikte incelenir.

Ders kitabının 72. sayfasındaki örneğin çözü-münde grafiklerle ve koordinat ekseni ile nasıl birilişki kurulduğuna dikkat çekilebilir.

Sayfanın sonundaki bilgi kutucuğuna dikkatçekilmelidir.


2 Bölüm

Örnek: Aşağıda terazilerde dengelenmiş hâlde bulunan bilinmeyen kütlelerin değerlerini bulalım: ( = 1br kütle)

1. Terazi 2. Terazi

Bilinmeyen kütleleri � = x ve = y olarak alalım.

1 terazideki denge durumunu 3x + y = 5 ;

2. terazideki denge durumunu ise x + y = 3 olarak yazarız.

2. Terazi 2. Terazi

2. terazinin kefelerindeki kütleler yer değiştirdiğindeki denge durumu denklemlerden hatırlanacağıgibi –x – y = –3 olarak ifade edilir. Şu durumda elimizde 2 denklem ve 2 bilinmeyen bulunmaktadır. El-de ettiğimiz denklemleri alt alta yazalım.

3x + y = 5– x – y = –3

Bu iki denklemdeki bilinmeyenleri ve sayıları kendi aralarında toplayalım.

lenin değeri 1 birim kütledir.Elde edilen x = 1 değerini denklemlerde yerine yazalım:

Sonuçlar aynı çıktığı için x değeri denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyendeğeri bulunur. Denklemlerin çözümünden;

x = � = 1 birim kütle y = = 2 birim kütle olarak bulunur.

x yx y

yy

1 13322

- -

= - -

-

=

=

=

=

-

-

-

&

x yx y

yy

31 3 1

3

5552

+

= +

+

=

=

=

=

& $

x x y yx

x

32 0

5 321

+ - + + -

+

=

=

=

+ -] ^ ]g h g


2. Ünite

Bu yazılışta aynı bilinmeyen değerlerin alt alta geldiğine dik-

kat ediniz.

Kefelerdeki kütleler yer değiştirdiğinde

��

�

olarak bilinmeyen değerlerden biri elde edilir. O hâlde � birimlik küt-

��

�

�

�

��


2. Ünite

Örnek: y = 4 – x ile y = x – 2 doğrusal denklemlerinin grafiklerini aynı koordinat düzleminde çizelimve inceleyelim:

y = 4 – x Doğrusal Denkleminin Tablosu y = x – 2 Doğrusal Denkleminin Tablosu

7. sınıf bilgilerinden hatırlanacağı gibi bir doğrusal denklemin grafiğini çizebilmek için denklemi sağla-yan 2 nokta çifti yani sıralı ikili bulmak yeterlidir. Kolaylık olması açısından grafikleri eksenleri kestiği nok-talara göre çizelim.

x 4 – x y (x, y)

– 1 4 – (–1) 5 (–1,5)

0 4 – 0 4 (0,4)

1 4 – 1 3 (1,3)

2 4 – 2 2 (2,2)

3 4 – 3 1 (3,1)

4 4 – 4 0 (4,0)

. . . . . . . . . . . .

x x – 2 y (x, y)

– 1 –1 –2 – 3 (–1, –3)

0 0 – 2 – 2 (0,–2)

1 1 – 2 – 1 (1, –1)

2 2 – 2 0 (2,0)

3 3 – 2 1 (3,1)

4 4 – 2 2 (4,2)

. . . . . . . . . . . .

Grafikler ine k s e n l e r ikestiği nok-talar

İki bilinmeyenli denklemin çözüm kümesini bulabilmek için iki tane denkleme ihtiyaç vardır.

Bu iki denklem iki bilinmeyenli denklem sistemini oluşturur. Birinci dereceden iki bilinmeyen-

li iki denklemin ikisini de sağlayan ikili bu denklem sisteminin çözümüdür.

İki doğrunun kesiştiği nokta A (3, 1) noktasıdır.

O hâlde denklem sisteminin çözüm kümesi Ç = , .olur3 1^ h" ,4

2

x y

x y

+ =

- + =-4

y = 4 – x ve y = x – 2 doğrusal denklemlerini x = 3 ve y = 1 değerleri aynı anda sağlar.

4

3

2

1

54(4,0)

(0,4)

(0,-2)

(2,0)

A(3,1)

y = 4 – x

y = x

– 2

32104

x-1-2-3

-1

-2

-3

y

Bu örnekle bir önceki sayfada verilen örnekilişkilendirilerek bir karşılaştırma yaptırılabilir.

Ders kitabının 73. sayfasındaki örnek öğrenci-lerin “Yok Etme Metodu“ ve “Yerine Koyma Meto-du” ile denklem sistemlerinin nasıl çözüldüğünügörebilmeleri için verilmiştir.

Ek Bilgi

“MÖ 2000'lerde Mezopotamyalılar ikinci dere-ceden denklemlerin pozitif kökünü (çözümünü)bulmak için algoritma kullanmışlardı. Mısırlılarında MÖ 2160-1700 tarihleri arasında ikinci derece-den denklemlerin kökünü bulmayı bildikleri Berlinpapirüsünden anlaşılıyor. Ama o zamanlar daha‘denklem’ kavramı gelişmemişti ve gerçek yaşam-dan alınan problemlerde ortaya çıkan, dolayısıylapozitif kökleri (genellikle bir uzunluk) olan denk-lemlerle uğraşılırdı.

Yunanlılar MÖ 300 yıllarında ikinci derecedenbir denklemi geometrik yöntemlerle çözebiliyorlar-dı. Yunanlılar için de bir sayı daha çok bir uzun-luktu. Yunanlı Diofantus ikinci dereceden denk-lemleri çözebiliyordu ama köklerden sadece birinibuluyordu, köklerin her ikisi de pozitif olduğu za-man bile.

Hintli Aryabhata her iki kökü birden bulmasınıbiliyordu. Ama bu bilgi daha sonra unutulmuşabenziyor, çünkü Brahmagupta köklerden sadecebirini bulabiliyormuş gibi bir intiba bırakmıştır. Ma-havira en azından pozitif kökü bulmayı mutlakabiliyordu, Sridhara da öyle.

Türk Harezmi ve İranlı Ömer Hayyam da pozi-tif kökü bulmayı biliyorlardı. Ömer Hayyam ayrıcaüçüncü dereceden bir denklemin birden fazla kö-kü olabileceğini de biliyordu.

İspanyol Abraham bar Hiyya-Ha-Nasi ya daSavasorda ikinci dereceden denklemlerin çözü-münü Batı'da ilk kez yayımlayan kişi olarak bilinir(Liber Embadorum (Libe Embadrum) kitabında.).Viéte (Vayt) (1540-1603), geometrik yöntemleryerine cebirsel yöntemleri kullanan ilk Batılı mate-matikçi olmuştur. Al-Harezmi bunu çok daha ön-ceden biliyordu.”

www.matematikkulubu.org


2 Bölüm


2. Ünite

Örnek: Bir önceki soruda verilen denklem sisteminin çözüm kümesini grafik kullanma-

dan cebirsel yöntemlerle bulalım:y

xx

y 42

=

=

-

-3

I. Yöntem

Her iki denklemde bilinmeyen x ve y değerleri-ni alt alta gelecek şekilde yazalım:

Benzer terimleri kendi aralarında toplayıpdenklem sistemini tek denklem hâline getirelim:

Denklemlerde y = 1 değerini yerine yazalım:

Görüldüğü gibi sonuçlar aynı çıkmıştır. O hâldebulunan bilinmeyen değerini denklemlerden her-hangi birinde yerine yazarak diğer bilinmeyen de-ğeri bulunabilir.

42

x yx y

+

- +

=

= -3

y x yx

x x

11

2

3 32

= - +

- +

-

=

=

=

-

- =

-

&

&

y x yx

x

11

443

= +

+

=

=

=

&

x yx y

x x y yyy2

42

4 221

+

- +

+ - + +

=

=

=

=

=

-

+ -] ]g g

x yx y

42

+

- +

=

= -

II. Yöntem

Denklem sistemlerinin birinde bilinmeyenindeğerini diğer bilinmeyen cinsinden yazalım:

olur.

Diğer denklemde bu x değerini yerine yaza-lım:

Denklemlerden herhangi birinde bulunan y = 1değerini yerine yazalım:

O hâlde42

x yx y

+

- +

=

= -3

y x

x

x

y1 4

1 4

3

= = -

= -

=

&

x yx y y y

y yyyyy

4 444 2

4 4 22

22222 421

- +

= - - - +

- + +

- +

- + +

=

=

=

=

=

=

=

-

-

-

-

- +

& ^ h

x yy x 44 = -= - &

olarak elde edilir.

olur.

olur.

olarak elde edilir.

olarak elde edilir.

denklem sisteminin çözüm

kümesi Ç olarak elde edilir.,3 1= ^ h" ,

denklem sisteminin çözüm kü-

mesi Ç olur.,3 1= ^ h" ,

(x-x = 0 olduğundan xbilinmeyeni yok olur.)

Denklemi taraf tarafa toplayarak veya çıka-

rarak (ya da küçük bir düzenlemeden sonra)

değişkenlerden birini sadeleştirme yöntemi

yok etme metodudur.

Denklemlerden birinde bilinmeyenlerden

birini diğeri cinsinden yazarak yapılan iş-

lem ise yerine koyma metodudur.


4. Toplamları 75 olan öyle iki sayı çifti bulalım ki büyük sayının ’ü ile küçük sayının ’si-nin farkı 5 olsun.

Yukarıdaki problemin çözümünü veren denklem çifti aşağıdakilerden hangisidir?

A) x + y = 75 B) x + y = 75 C) x + y = 75 D) x - y = 75

21x - 16y = 280 x - = 5 16x + 21y = 355 x + = 52y——73——8

7y——28——3

2——73——8

6. = ise aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?

I. x, y’nin ’dir.

II. x, y’nin 8 katıdır.

III. y = 2 iken x = 16’dır.

IV. y = 6 iken x = y2 dir.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

1——8

9——7x + y————x –y

5. (x - 2y) = 5

= 3——55x+y————10

1——2Yanda verilen denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

Günlük yaşamda, matematiği kullanabilme veanlayabilme gereksinimi önem kazanmakta vesürekli artmaktadır. Değişen dünyamızda, mate-matiği anlayanlar, geleceğini şekillendirmede da-ha fazla seçeneğe sahiptir. Değişimlerle birliktematematiğin ve matematik eğitiminin belirlenenihtiyaçlar doğrultusunda yeniden tanımlanması vegözden geçirilmesi gerekmektedir.

Matematik eğitimi, bireylere, fiziksel dünyayıve sosyal etkileşimleri anlamaya yardımcı olacakgeniş bir bilgi ve beceri donanımı sağlar. Matema-tik eğitimi bireylere, çeşitli deneyimlerini analizedebilecekleri, açıklayabilecekleri, tahminde bulu-nacakları ve problem çözebilecekleri bir dil ve sis-tematik kazandırır. Ayrıca yaratıcı düşünmeyi ko-laylaştırır ve estetik gelişimi sağlar. Bunun yanı sı-ra, çeşitli matematiksel durumların incelendiği or-tamlar oluşturarak bireylerin akıl yürütme beceri-lerinin gelişmesini hızlandırır. Bunu sağlamak içinsayfadaki örnekte öğrenilecek konu ile günlük ya-şam arasında ilişki kurulmaya çalışılmıştır.

Öğrencilerden benzer problemler düzenleme-leri istenebilir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: baskül, ders ve çalışma kitapları• Basküle 2 ders, 3 çalışma kitabı koyup top-

lam kütleyi belirleyiniz.• Daha sonra basküle 1 ders, bir de çalışma ki-

tabı koyup toplam kütleyi belirleyiniz.• Ders ve çalışma kitabının kütleleri yerine bi-

linmeyenler yazarak bu kütlelere karşılık gelentoplamı matematiksel olarak yazınız.

• Ders kitabı sayısını eşitlemek için eşitlikleriuygun sayılarla çarparak yeni denklemler eldeediniz.

• Ders kitabı sayısı eşit olan denklemlerde ta-raf tarafa çıkarma işlemi yaparak bir bilinmeyenlidenklem elde ediniz.

• Elde ettiğiniz bir bilinmeyenli denklemi çöze-rek bir çalışma kitabının kütlesini belirleyiniz.

• Elde ettiğiniz çalışma kitabının kütlesinidenklemlerden birinde yerine koyarak ders kitabı-nın kütlesini belirleyiniz.

� Ders ve çalışma kitabının kütlelerini bulmakiçin farklı yöntemler belirleyebilir misiniz?

• Ders kitabının kütlesini çalışma kitabının küt-lesi cinsinden belirleyiniz.


2 Bölüm


2. Ünite

Örnek: Kaan’ın 4 yıl önceki yaşı, Mert’in bugünkü yaşının2 katıdır. Kaan’ın 5 yıl sonraki yaşı, Mert’in bugünkü yaşının 3katı olacaktır. Buna göre Kaan ve Mert’in yaşlarını bulalım:

Kaan’ın yaşı a ve Mert’in yaşı da b olsun.

Kaan’ın 4 yıl önceki yaşı : a – 4,

Mert’in bugünkü yaşının 2 katı : 2b,

Kaan’ın 5 yıl sonraki yaşı : a + 5,

Mert’in bugünkü yaşının 3 katı : 3b’dir. Bu cebirsel ifadelerle istenilen denklem sistemini oluşturalım.

a – 4 = 2b ⇒ a – 2b = 4

a + 5 = 3b ⇒ a – 3b = – 5 olur. Bu iki denklemi alt alta yazıp yok etme metodu ile denklem sis-

temini çözelim.

O hâlde Kaan’ın yaşı 22’dir. 1. denklemde a = 22 değerini yerine yazalım.

Demek ki Mert’in yaşı da 9’dur.

Çözümün Kontrolü:

Kaan 22 ve Mert 9 yaşında ise bu değerleri ikinci denklemde yerlerine yazalım:

! Siz de aynı denklem sisteminde Kaan’ın yaşını yani a bilinmeyenini yok ederek denklem sistemi-ni çözünüz.

a b3 5 22 3 9 5 22 27 5

5 5

- =- - =- - =-

- =-

& &$

.

a b b b

bb bulunur

2 4 22 2 4 22 4 2

218

2

29

- = - = - =

= =

& &

&

a ba b

a a b baa

6

3 2 6 6 12 1022

22

32 6

1210

+

-

- + + -

-

=

=

=

=

=

- + -

-

- -

-

] _ ]g i g

/

/

/

/

a b

a b

2

3

4

5

3

2

3

2

-

-

=

= -

- -

olur.

elde edilir.

Denklem sisteminde bilinmeyen b değerinin kat sa-yıları farklı olduğu için kat sayılarını eşitledik. Bununiçin 1. denklemi “–3” ile 2. denklemi ise “2” ile çarptık.Böylece bilinmeyenlerin kat sayıları aynı, işaretleri zıtoldu.

Yok etme metoduyla çözümleme için aşağıdaki adımlar izlenir.

• İki denklemde de bilinmeyenlerden birinin kat sayıları eşit olmalıdır. Denklemlerde aynı bi-

linmeyenin kat sayıları eşit değilse bu kat sayıları eşitlemek için denklemlerden biri veya

her ikisi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılarak kat sayılar eşitlenir.

• Taraf tarafa toplama veya çıkarma işlemi yaparak bilinmeyenlerden biri yok edilip bir bilin-

meyenli bir denklem elde edilir.

• Bir denklem sisteminin çözümünde bilinmeyenlerden birinin değeri bulunduğunda bu de-

ğer denklem sistemindeki denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinme-

yenin değeri bulunur.


7. Aşağıda verilen denklem sistemlerini grafik kullanarak çözünüz.

a) y = 4x b) x - y = 8 c) 2x + y = 4

x + y =15 2x =3y x - 2y = -2

8. x ekseni, y ekseni ve x+ y = 4 doğrusunun sınırladığı bölgenin alanını bulunuz.

9. x ekseni, y ekseni, y = -5 doğrusunu ve 8x - 6y =48 doğrusunun sınırladığı bölgenin alanınıbulunuz.

• Belirlediğiniz değeri ikinci denklemde yerinekoyarak bir bilinmeyenli denklem elde ediniz.

• Elde ettiğiniz bir bilinmeyenli denklemi çöze-rek çalışma kitabının kütlesini belirleyiniz.

• Çalışma kitabının kütlesinden yararlanarakders kitabının kütlesini belirleyiniz.

� Verilen iki yol arasında ne gibi farklılıklarvardır? Açıklayınız. Verilen yöntemlerden yararla-narak x+ y =5 ve x – y =1 denkleminde x ve y de-ğerlerini bulunuz.

• Kâğıdınıza bir koordinat düzlemi oluşturunuz.• Oluşturduğunuz koordinat düzleminde x+y=5

ve x – y =1 denklemlerinin grafiklerini çiziniz.• Çizdiğiniz grafiklerin kesiştiği noktanın x ve y

değerini belirleyiniz.� Bulduğunuz x ve y değerinin x + y = 5 ve

x – y =1 denklem sisteminin çözümünde elde etti-ğiniz x ve y değerleri ile arasında nasıl bir ilişkivardır?

� İki bilinmeyenli denklem sisteminin çözümün-de hangi yollardan yararlanırsınız? Açıklayınız.

Ders kitabının 74. sayfasındaki örnek, öğrenci-lerle birlikte incelenir. Yine sayfadaki örnekte gün-lük yaşam problemleri ile ilişki kurulmaya çalışıl-mıştır.

Ders kitabının 75. sayfasındaki örnek öğrenci-lerle birlikte incelenir.

Sayfadaki örneğin çözümünde kullanılan yön-temle ilgili sayfa sonunda yapılan açıklamaya dik-kat çekilmelidir. Örneğin çözümünde kullanılantablo yöntemine vurgu yapılmalıdır. Çözümdetablo kullanılmasının nedeni, bir problemin çözü-münde birden fazla yöntemin kullanılabileceğininvurgulanmasına yöneliktir.

Yine bu örnekte de günlük yaşamla ilişki kurul-maya çalışılmıştır.

Bireysel Farklılık Sorusu

a) x + 3y = 0 b) a – 2b = 7

= 5 3a + b = 12

Yukarıda verilen denklem sistemlerinden a şık-kındaki denklem sistemini yok etme, b şıkkındakidenklem sistemini de yerine koyma metodu ile çö-zünüz.

x y2

-


2 Bölüm

Denklemdekicebirsel ifadeler

KızÖğrenciSayısı

Erkek Öğrenci Sayısı

Denklem

Erkek öğrenci-lerin sayısı, kızöğ renc i l e r i nsayısının 2 ka-tına eşittir.

2x y y = 2x


2. Ünite

Örnek: Bir sınıftaki erkek öğrencilerin sayısı, kız öğrencilerinsayısının 2 katıdır. Erkek öğrenci sayısı 4 azaltılır, kız öğrencisayısı 6 artırılırsa erkek öğrenci sayısı kız öğrenci sayısınaeşit oluyor. Buna göre sınıfta kaç kız ve kaç erkek öğrenci ol-duğunu bulalım:

Sınıftaki kız öğrenci sayısı x ve erkek öğrenci sayısı da yolsun.

y = 2x değeri y – 4 = x + 6 denkleminde yerineyazılırsa,

y = 2x denkleminde bulunan değer yerine yazılırsa;

elde edilir.

O hâlde bu sınıfta 10 kız, 20 erkek öğrenci vardır.

! Siz de verilen denklemleri yok etme metodu ile çözünüz.

y x y y2 2 10 20= = =& &$

y x xx x

x

x4 6 2 42

66 410

- = + -

-

=

=

=

+

+

&

olarak kız öğrenci sayısı bulunur.

Denklemleri alt alta yazalım.

denklem sistemini elde ederiz.2

4 6

y x

y x

=

- = +4

Denklemdekicebirsel ifadeler

KızÖğrenciSayısı

Erkek Öğrenci Sayısı

Denklem

Erkek öğrencisayısı 4 azaltılır. x y – 4 –

Kız öğrenci sa-yısı 6 artılır. x + 6 y – 4 –

Kız öğrenci sa-yısı erkek öğ-renci sayısınaeşit olur.

x + 6 y – 4 x + 6 = y – 4

Yerine koyma metodu ile çözüm yaparken aşağıdaki sıra takip edilir:

• Denklemlerden uygun olanında bilinmeyenlerden biri diğeri cinsinden yazılır.

• Bilinmeyenin bu değeri diğer denklemde yerine yazılarak elde edilen bir bilinmeyenli denk-

lem çözülür. Böylece bilinmeyenlerden biri bulunur.

• Bulunan bilinmeyen değeri denklemlerden herhangi birinde yerine yazılıp diğer bilinmeyen

bulunur.

Tablo: İlk Durumda Sınıftaki Öğrenci Sayısı Tablo: İkinci Durumda Sınıftaki Öğrenci Sayısı

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Ders kitabının 76. sayfasındaki örnek, öğrenci-lerle birlikte incelenir. Yine bu sayfadaki örneklergünlük yaşamdan seçilmiştir.

Matematik programı, “Her çocuk matematiğiöğrenebilir.” ilkesine dayanmaktadır. Matematikleilgili kavramlar, doğası gereği soyut niteliklidir. Ço-cukların gelişim düzeyleri dikkate alındığında bukavramların doğrudan algılanması oldukça zor-dur. Bu nedenle, matematikle ilgili kavramlar, so-mut ve sonlu yaşam modellerinden yola çıkılarakele alınmıştır. Programda, kavramsal öğrenme ilebirlikte işlem becerilerine de önem verilmektedir.

İşte tüm bu nedenler göz önünde bulundurula-rak örneklerin günlük yaşamdan seçilmesineönem verilmiştir. Öğrencilerden günlük yaşamla-rında karşılaşabilecekleri benzer durumlar belirle-yerek bu durumlara ait örnekler düzenlemeleri is-tenebilir.


2 Bölüm

Grafiklerin kesiştiği A (2,3) noktası bu iki doğrusal denklemin çözüm kümesidir. O hâlde, denklem sisteminin Ç olup,2 3= ^ h" ,

1

5

y x

x y

- =

+ =4


2. Ünite

Örnek: Bir kırtasiyede bir kalemin fiyatı bir silginin fi-yatından 1 TL fazladır. Bir kalem ile bir silginin fiyatları-nın toplamı 5 TL’dir. Bir kalem ve bir silginin fiyatını gra-fik çizerek bulalım:

Bir kalemin fiyatı y, bir silginin fiyatı x olsun.

Bir kalemin fiyatı bir silginin fiyatından 1 TL fazla ise 1. denklem y = x + 1 olur.Bir kalem ile bir silginin fiyatları toplamı 5 TL ise 2. denklem x + y = 5 olur.y = x + 1 denkleminde x ve y bilinmeyenlerine değerler verelim.

şeklinde elde edilir.

x + y = 5 denkleminde x ve y’ ye sırayla “0” değeri verelim. Grafiğin eksenleri kestiği noktaları bulalım.

elde edilir.. , ,

. , ,

x y y olur x y

y x y x x olur x y

x y0 5 5 0 5

0 5 5 5 5 0

0

0

5= + + = = =

= + = + = = =

=& & &

& & &

^ ^

^ ^

h h

h h4

. , ,

. , ,

x y x y y olur x y

y y x x x olur x y

0 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 0

0

0

= = + = + = =

= = + = + =- = -

& & &

& & &

^ ^

^ ^

h h

h h4

= y TL = x TL

y= 3 TL x = 2 TL olarak elde edilir.

x y = x + 1 y (x, y)

0 y = 0 + 1 1 (0, 1)

– 1 0 = x + 1 0 (– 1, 0)

x x + y = 5 y (x, y)

0 0 + y = 5 5 (0, 5)

5 x + 0 = 5 0 (5, 0)

y = x + 1 Doğrusal Denkleminin Tablosu x + y = 5 Doğrusal Denkleminin Tablosu

5

4

3

2

1

10-1-2-3-4-5 2 3 4 5 6-1

-2

-3

(-1,0)

(0,1)

A(2,3)

(0,5)

x + y = 5

y = x

+ 1

y

x

x

A

t

B

V2 = 90km/sa (10-t)

V1 = 60km/sa


2. Ünite

Örnek: Bir su tankının içinde bir miktar su vardır. Tanka 200 L su ilave edilirse tankın ’i doluyor.

Tanka su ilave etmeyip tanktan 100 L su boşaltılırsa tankın ’i dolu kalıyor. Buna göre tan-

kın tamamının kaç litre su aldığını bulalım:

Tankın içinde m litre su olsun. Boş tank ise n litre su alsın. Verilenlere uygun denklemleri yazalım:

Taraf tarafa toplarsak

O hâlde boş tank 1500 L su alır.

Örnek: Bir hareketli, A şehrinden B şehrine 60km/sa hızla gidip B şehrinde hiç beklemeden 90km/sahızla A şehrine dönmüştür.

Gidiş dönüş toplam 10 saat sürdüğüne göre gidişin kaç saat sürdüğünü bulalım:

.n n n n n L olur3005

2 3005

300 5 1500=-

= = =& & &$

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

200

100

200

100

200

100

52

51

52

5

52

5

1 1

+

-

+

-

+

=

=

=

=

=

=

-

- +

-

-

$

$

$ $]] ]gg g

51

52

��

�

Denklem sistemini yok etme metoduyla çözelim.

Denklem sisteminde m bilinmeyenlerinin kat sayılarını eşitlemekiçin denklemin her iki tarafını (-1) ile çarptık.

A şehri ile B şehri arası x km olsun. Hareketli bu yolu t saatte giderse (10 – t) saatte döner.Yol = Hız · Zaman olduğundan denklemleri buna göre yazalım:

I numaralı denklemdeki x değerini II numaralı denklemde yerine yazalım:

t t

t t t t t t

60 90 10

60 900 90 60 90 900 150 900 6

= -

= - + = ==& & &

] g

x V t x t

x V t x t

60

90 10

1

2

= =

= = -

&

&

$ $

$ $ ] g

.................... I.......... II olur.

saat olarak bulunur.

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM


Uygulamalar


Çalışma kitabının 44, 45, 46 ve 47. say-falarındaki sorular çözdürülebilir.


x + 2y = 5x – y = 1

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesinigrafik kullanarak çözünüz.

Değerlendirme

Öğrencilerden, doğrusal denklem sistemlerinicebirsel yöntemlerle, doğrusal denklem sistemle-rini grafikleri kullanarak çözmeleri beklenir.


İşleniş boyunca öğrenciler gözlemlenerek du-yuşsal özelliklerindeki değişim ve gelişimler de-ğerlendirilir.

!

!


2 Bölüm


2. Ünite

y

x

5

4

3

2

1

01

5

5(y = 0)

x = 5

A(5,5)

y = x

4321-1-2-3

2

3

5

Örnek: x ekseni, y = x doğrusu ve x = 5 doğrusunun sınırladığı üçgensel bölgenin alanını bulalım:

Taralı dik üçgensel bölgenin alanı;

olur.,A a h br2 2

5 5225 12 5 2= = = =

$ $

x y = x y (x, y)

– 2 y = – 2 – 2 (– 2, – 2)

– 1 y = – 1 – 1 (– 1, – 1)

0 y = 0 0 (0, 0)

1 y = 1 1 (1, 1)

2 y = 2 2 (2, 2)

y = x Doğrusal Denkleminin Tablosu

ALIŞTIRMALAR

1) Aşağıda verilen problemleri yok etme metoduyla çözünüz.

a) Yaşları farkı 6 olan 2 kardeşin 4 yıl sonraki yaşları toplamı 32 olacağına göre küçük kardeşin

şimdiki yaşı kaçtır?

b) Necla’nın yaşı, Merve’nin yaşının 5 katından 4 yıl eksiktir. Merve 2 yıl daha genç olsaydı ya-

şı Necla’nın yaşının sekizde biri olacaktı. Necla ve Merve kaç yaşındadır?

2) Aşağıdaki denklem sistemlerini yerine koyma metodu ile çözünüz.

a) b) c)

3) y = 3x, y = 3, x ekseni ve x = 2 arasında kalan dik yamuksal bölgenin alanını grafik çizerek bulunuz.

4) Yanda verilen denklem sistemine göre y kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

5)

11

11 1

x

x y

y+

+-

=

= 4

xx

yy

52

63 6

=

= -

xx y

y3

319

=

=

-

--

54 3

28

x yx y

-

+

=

=

-

-

y = -3

x = 2

y = 2 – x

0

y

x

Yandaki şekilde boyalı alanlartoplamı kaç br2 dir?

44-47


10. Aşağıda verilen doğrular ve belirtilen eksenlerin sınırladıkları bölgenin belirttiği geometrik şek-li karşılarındaki tablodan bularak eşleştiriniz.

11. A tablosundaki denklemlerin ait olduğu doğruları aşağıdaki grafikten bularak yanlarındaki kutu-cuklara yazınız.

x ekseni, y ekseni, x = -3 doğrusu, y = 2 doğrusu

x ekseni, y ekseni, x = -2 doğrusu, y = 2 doğrusu

x ekseni, y ekseni, x + y = 1 doğrusu

x ekseni, x= -2 doğrusu, y = 2x doğrusu,

y = 2x +4 doğrusux ekseni, y ekseni,

y = 4 doğrusu, x + y = 6 doğrusu

Üçgen

Kare

Dikdörtgen

Eşkenar dörtgen

Yamuk

Paralelkenar

A

y = 5x – 5

2x - 5y + 10 = 0

4x - 3y + 12 = 0

2y - 5x = 10

y = -x

y = -5x - 5

y = 3x

5x - 2y = 10

y = x - 1

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

d1

d2d3 d4 d5

d6

d7

d9d8

y

x

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

Süre : 5 Ders saati Öğrenme Alanı : Cebir Alt Öğrenme Alanı : EşitsizliklerKazanımlar1. Eşitlik ve eşitsizlik arasındaki ilişkiyi açıklar

ve eşitsizlik içeren problemlere uygun matematikcümleleri yazar.

2. Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik-lerin çözüm kümesini belirler ve sayı doğrusundagösterir.

3. İki bilinmeyenli doğrusal eşitsizliklerin grafi-ğini çizer.

Beceriler: Akıl yürütme, iletişim, ilişkilendirmeYöntem ve Teknikler: Anlatım, soru cevap, iş

birliğine dayalı öğrenmeAraç-Gereç: ağırlık takımı, eşit kollu teraziZorunlu Program Uyarıları [!] En çok iki işlem gerektiren eşitsizlikler seçilir.[!] Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile

çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yön değiştire-ceği vurgulanır.

[!] Grafikteki doğrunun hangi durumlarda çözümkümesine dahil olup olmadığı açıklanır.

Ders İçi İlişkilendirme� Denklemler Dikkat Çekme ve Motivasyon “Öğrencilere ‘Eşitsizlik’ sözcüğü size ne çağ-

rıştırıyor?” sorusu yöneltilir. Terazinin dengede ol-ması durumunun bir eşitlik olduğu belirtilerek eşit-sizliğin ne olabileceği sorusu yöneltilebilir.

Ders kitabının 79. sayfasındaki fotoğrafla ilgiligörsel okuma yaptırılır. Fotoğrafa ait metin öğren-cilere okutulur. Metne ait soru öğrencilere yönelti-lerek öğrencilerden soruyu cevaplamaları istene-bilir. Öğrencilerin soruya verecekleri cevaplarhakkında yorum yapılmaması önerilir. Soruya ve-rilen cevapların not ettirilmesi sağlanır. İşleniş so-nunda öğrencilere öğrenilenlerle ilk cevaplarınkarşılaştırılması yaptırılabilir.

Öğrenme-Öğretme Süreci Metnin sonundaki soruya verilen cevaplardan

yararlanılarak öğrenciler etkinliğe yöneltilir. Etkinlikte öğrencilerin akıl yürütme, ilişkilendir-

me ve psikomotor becerilerini etkin kullanmalarısağlanmalıdır.


Birinci örnekte günlük yaşamla ilişkilendirmeyapılmıştır.


2 Bölüm

EŞİTSİZLİKLER

Türkiye Cumhuriyeti Devleti’nin kurucu-su Ulu Önder Mustafa Kemal Atatürk sade-ce askerî alanda değil, siyasi alanda da bü-yük başarılar göstermiştir. Yaptığı devrim-lerle çok sevdiği Türk milletinin daha mutluyaşamasını sağlamıştır. Bunlardan biri deTBMM’nin kurulmasıdır. Halkın seçtiği mil-letvekilleri halk için yasaları TBMM’de çıka-rır. Yasaların uygulanması ise bağımsızmahkemelerce yapılır. Atatürk’ün “Adaletmülkün temelidir.” sözü adalette eşitliğin nekadar önemli olduğunu anlatmaktadır. Yargı karşısında ülke-mizde yaşayan tüm insanlar eşittir. Zaten adaletin simgesi deterazidir. Bu da adalette eşitliğin ve dengenin sembolü olarakkabul edilmiştir.

� Yargıda eşitlik ilkesi olmasaydı ne gibi karışıklıklar olur-du? Matematikte sizce eşitsizlik nasıl olur? Açıklayınız.


2. Ünite

• Eşit kollu terazinin sağ kefesine 1 kg’lık 2 kütle, sol kefesine ise 500 g’lık 3 kütle yerleştiriniz.

� Terazinin denge durumu için ne söylersiniz?

� Bu terazinin denge durumunu uygun matematik cümlesi ile nasıl ifade edersiniz?

� Eşit kollu terazi üzerindeki kütlelerin durumunu “<” sembolünü kullanarak nasıl yazabilirsiniz?

• Eşit kollu terazinin bir kefesine 2 kg’lık, diğer kefesine 500 g’lık 2 kütle yerleştiriniz.

� Kütlelerin şimdiki durumunu “>” sembolü kullanarak nasıl ifade edersiniz? Yazınız.

• Eşit kollu terazinin bir kefesine kütlesi bilinmeyen bir cisim ve diğer kefesine de 500 g’lık kütle yer-leştirdiğinizi düşününüz.

� Kütlesi bilinmeyen cismin bulunduğu kefe, yere yakın durup 500 g’lık kefe havaya kalkarsa terazi-nin bu durumunu sembol kullanarak nasıl ifade edersiniz? Açıklayınız.

Eşitsizlikleri Tanıyalım

ağırlık takımı, eşit kollu terazi, kâğıt, kalem


2. Ünite

Eşitlik ve Eşitsizlik Arasındaki İlişki Örnek:

(Denge durumu yok.) (Denge durumu var.)

Örnek: Aşağıdaki eşit kollu terazilerin denge durumlarını inceleyelim: = 2 br kütle, = 1 br kütle

Yandaki sayı doğrusu için:

şeklinde bazı ifadeler yazılabilir. Görüldüğü gibi bu matematiksel ifadeler arasında eşitlik yoktur. Buifadelerin her biri eşitsizlik durumunu belirtilir.

Yukarıdaki sayı doğrusu için 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0, ... ayrıca ... –3 < 0, –2 < 0, –1 < 0 yazılır.

0’ın sağında kalan herhangi bir sayı x ise x > 0 yazılabilir.

0’ın solunda kalan herhangi bir sayı y ise y < 0 yazılabilir.

2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 +1

4 = 4

Terazi denge durumundadır. Terazininkolları arasında eşitlik durumu vardır.

Terazi denge durumunda değildir. Terazi-nin kolları arasında eşitsizlik durumu vardır.

2 2 1 1 25 35 3

+ + +

2

!

!

–1 0 1–2–3

25

- 31

-43

2

0–1–2–3 1 2 3

, , ,

, , ,

, ,

325

3

23 2 1 1 0

13 4

3 03

3

2 0 1 1

5

1 1

1 1

2 2 1

1 2 2

!- - - -

- - -

- - - -

Karşılaştırılan nicelikler arasında eşitlik olmadığı durumlar eşitsizlik belirtir.

Ders kitabının 81. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki bilgi kutu-cuklarına vurgu yapılır.

Örneklerde denklemlerle ders içi ilişkilendirmeyapılmıştır.

İkinci örnekte tablo ile ilişkilendirme yapılmış-tır. Öğrencilerin farklı zamanlarda öğrendikleri bil-gileri birlikte kullanmasına önem verilmeli ve bukonuda öğrenciler yönlendirilmelidirler. Matema-tikle ilgili kavramlar, doğası gereği soyut nitelikli-dir. Çocukların gelişim düzeyleri dikkate alındığın-da bu kavramların doğrudan algılanması oldukçazordur. Bu nedenle, matematikle ilgili kavramlar,somut ve sonlu yaşam modellerinden yola çıkıla-rak ele alınmıştır. Öğrencilerin bağımsız düşüne-bilme ve karar verebilme, öz düzenleme gibi bi-reysel yetenek ve becerileri geliştirilmelidir. Kav-ramsal öğrenme ile birlikte işlem becerilerine deönem verilmelidir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: kâğıt, kalem• Bir sayı doğrusu çiziniz.• Çizdiğiniz sayı doğrusu üzerinde aşağıda is-

tenenlerin hangi değerleri alabileceğini belirleyi-niz.

• Bilinmeyen değer 3 br’den fazladır.• Bilinmeyen değer en az 3 br’dir.• Bilinmeyen değer en fazla 3 br’dir.• Bilinmeyen değer 3 br’den küçüktür.• Verilen basamaklardan bilinmeyenin alabile-

ceği tam sayı değerlerinin kümesini belirleyiniz.� Elde edilen değerleri <, >, ≤ ve ≥ işaretlerin-

den faydalanarak matematiksel olarak nasıl ya-zarsınız? Açıklayınız.

• Aşağıda verilen eşitsizliği matematiksel ola-rak yazınız:

3 katının 2 fazlası 8’den büyük olan tam sayı-lar

• Matematiksel olarak yazdığınız eşitsizliğidenklem çözme metotlarından faydalanarak çö-zünüz.

� Verilen eşitsizliğin çözümünde denklem çö-zümündeki yazıma göre fark ne olabilir? Açıklayı-nız.


2 Bölüm


2. Ünite

Örnek: Aşağıdaki tam sayı çiftlerini “<” veya “>” sembollerini kullanarak karşılaştıralım:

(– 3) ve (–4) ⇒ –3 > –4 olur. Ayrıca (–3) – (–4) > 0 1 > 0 bulunur.

3 ve 1 ⇒ 3 > 1 olur. Ayrıca 3 – 1 > 0 2 > 0 bulunur.

5 ve 2 ⇒ 5 > 2 olur. Ayrıca 5 – 2 > 0 3 > 0 bulunur.

6 ve 7 ⇒ 6 < 7 olur. Ayrıca 6 – 7 < 0 –1 < 0 bulunur.

(–2) ve (–1) ⇒ (–2) < (–1) olur. Ayrıca (–2) – (–1) < 0 (–1) < 0 bulunur.

(–8) ve (–5) ⇒ (–8) < (–5) olur. Ayrıca (–8) – (–5) < 0 (–3) < 0 bulunur.

Örnek: Aşağıdaki eşitsizlik içeren problemlere uygun matematik cümleleri yazalım:

Farkı pozitif olan iki sayıdan eksilen çıkandan büyüktür.

Farkı negatif olan iki sayıdan eksilen çıkandan küçüktür.

Eşitsizlik içeren problemler Matematik cümleleri

–4’ten küçük olan tam sayılar x < (–4) (x∈Z)

2’den büyük olan doğal sayılar x > 2 (x∈N)

3’ten küçük veya eşit olan doğal sayılar x G 3 (x∈N)

–1’den büyük veya eşit olan tam sayılar x H –1 (x∈Z)

2’ye eşit olmayan doğal sayılar x 2 (x∈N)!

5’ten küçük olmayan tam sayılar x H 5 (x∈Z)

–3’ten büyük olmayan tam sayılar x G –3 (x∈Z)

6’ya eşit ve küçük olmayan doğal sayılar x > 6 (x∈N)

–2’den büyük ve eşit olmayan tam sayılar x < –2 (x∈Z)

8 fazlası 10’dan büyük olan doğal sayılar x + 8 > 10 (x∈N)

3 eksiği 7’ye eşit veya küçük olan doğal sayılar x – 3 G 7 (x∈N)

Tablo: Eşitsizlik içeren problemler


EŞİTSİZLİKLER

1. x ∈ Z ve -3 < x ≤ 4 ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) 9 < x2 ≤ 16 B) 9 ≤ x2 ≤ 16

C) 0 ≤ x2 ≤ 16 D) 0 < x2 < 9

2. a, b ∈ Z ve -3 < a < 5, -2 < b < 3 olduğuna göre b - a farkının en büyük değerini bulunuz.

3. x, y ∈ R ve -2 < x ≤ 4, -5 ≤ y ≤ 2 ise 2x - y ifadesinin en büyük değerini bulunuz.

4. 2x - 6 ≤ 4

4 - x < 1eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.

��

�

e. Excell grafiğine verilerin girilmesi ve grafiklerin oluşturulması

Ders kitabının 82. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Birinci örneğin altında-ki bilgi kutucuğuna dikkat çekilir. Örnekler birey-sel öğrenme farklılıkları göz önünde bulundurula-rak hazırlanmıştır. Gerek duyulursa ikinci örnekmodeller kullanılarak somutlaştırılabilir ve etkinlikformatına dönüştürülebilir.

Öğrencilerden benzer örnekler düzenlemelerive düzenledikleri örnekleri modelleyerek somut-laştırmaları istenebilir. Matematiği öğrenmek; te-mel kavram ve becerilerin kazanılmasının yanı sı-ra matematikle ilgili düşünmeyi, genel problemçözme stratejilerini kavramayı ve matematiğingerçek yaşamda önemli bir araç olduğunu takdiretmeyi de içermektedir.

Bu nedenle öğrencilerin yaşamlarında mate-matiği kullanabilen, problem çözebilen, çözümle-rini ve düşüncelerini paylaşabilen, ekip çalışmasıyapabilen, matematikte öz güven duyabilen vematematiğe yönelik olumlu tutum geliştiren birey-ler olarak yetiştirilmeleri büyük önem taşımakta-dır.

Ders kitabının 83. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayı doğrusu üzerindebelirlenen sayının üzerindeki yuvarlağın içinin boşya da dolu olmasına öğrencilerin dikkati çekilebi-lir. Yuvarlağın içinin boş ya da dolu olmasının be-lirtilen sayının çözüm kümesine dâhil edilmesiniya da dâhil edilmemesini belirttiği keşfettirilmelidir.Örneklerde çözüm kümeleri sayı doğrusundagösterilmiştir. Çözümlerde görüldüğü gibi bir bi-linmeyenli denklemin çözüm kümesinin bir elema-nı olduğu hâlde eşitsizliğin çözüm kümesinin ele-man sayısının sınırsız olduğu vurgulanmalıdır.


2 Bölüm

Örnek: Aşağıdaki eşitsizliklerdeki değişkenleri inceleyelim.

Yukarıdaki eşitsizlikleri incelediğimizde hepsinde bir değişken bulunduğunu ve değişkenlerin üssü-nün 1 olduğunu görürüz.

Örnek: 7 > 2 eşitsizliğinin her iki tarafına “+ 3” ilave edelim:

• 7 + 3 > 2 +3

10 > 5 eşitsizlik yine doğru oldu.

– 5 < – 2 eşitsizliğinin her iki tarafına – 2 sayısını ekleyelim:

• – 5 + (– 2) < – 2 + (– 2)

– 5 – 2 < – 2 – 2

– 7 < – 4 eşitsizlik doğrudur.

Örnek: 9 > 5 eşitsizliğinin her iki tarafından 4’ü çıkaralım:

• 9 – 4 > 5 – 4

5 > 1 eşitsizlik doğrudur.

Örnek: – 7 < 3 eşitsizliğinin her iki tarafından – 3’ü çıkaralım:

• – 7 – (– 3) < 3 – 3

– 7 + 3 < 0

– 4 < 0 eşitsizlik doğrudur.

Örnek: Aşağıdaki örnekleri inceleyelim:

– 1 < 4 (Eşitsizlik doğrudur. Bu eşitsizliğin her iki tarafını 3 ile çarpalım.)

(– 1).3 < 4.3

– 3 < 12

Eşitsizlik doğrudur. Eşitsizliğin işaretinde birdeğişme olmamıştır.

, , >< ,a d x y8 4 68 5 2 7 3 2 3 11 1 1 1+ + - -+ - - - -H G


2. Ünite

İçinde bir tane bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin üssü bir olan eşitsizlikler birinci derece-

den bir bilinmeyenli eşitsizliklerdir.

Bir eşitsizliğin her iki tarafına (yanına) aynı sayıyı ilave etmek ya da her iki tarafından aynı

sayıyı çıkarmak eşitsizliğin yönünü değiştirmez.

Bir eşitsizliğin her iki yanı aynı pozitif sayı ile çarpılırsa eşitsizliğin yönü değişmez.

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir.

– 2 < 3 (Eşitsizlik doğrudur. Bu eşitsizliğin her iki tarafını (–3) ile çarpalım.)

– 2.(–3) < 3 .(–3)

6 < – 9

Eşitsizlik yanlıştır. Doğrusu 6 > – 9’dur.

Yandaki sayı doğrusundaki gösterim – 2 dâhil oldu-ğu için – 2 ve – 2’den küçük sayıların bulunduğu çö-züm kümesini göstermektedir.

O hâlde verilen eşitsizlik y G – 2 olmalıdır.


2. Ünite

Örnek: “3’ten küçük tüm sayılar” ifadesine uygun eşitsizliği yazalım ve sayı doğrusu üzerinde gös-terelim:

Örnek: x > – 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini sayı doğrusu üzerinde gösterelim:

Örnek: y H 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim:

Örnek: “3 fazlası 5’ten küçük sayılar” ifadesine uygun eşitsizliği yazalım. Çözüm kümesini sayı doğ-rusu üzerinde gösterelim:

Ç = { 2’den küçük tüm gerçek sayılar }

Eşitsizlik ifadesinde eşitlik bulunmadığından çözüm kümesine 2 dâhil edilmemiştir.

<<<

xx

x

33 3

55 32

+

+ - -

Örnek: Sayı doğrusu üzerindeki eşitsizliği inceleyelim.

43210-1-2

43210-1-2-3

3210-1-2

10-3 -2 -1-4

3210-1

x < 3 eşitsizliği 3’ten küçük tüm sayılar demektir.Eşitsizlik ifadesinde eşitlik bulunmadığından 3 sayısıbu kümeye dâhil değildir. Bu yüzden sayı doğrusuüzerinde içi boş olarak işaretlenmiştir.

x > – 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi – 1’den büyüktüm sayılar demektir. Eşitlik ifadesi bulunmadığından– 1 kümeye dâhil edilmez.

Eşitsizlik ifadesinde eşitlik bölümü yer aldığındançözüm kümesine 0 dâhil olmalıdır.

Ç = { 0 ve 0’dan büyük gerçek sayılar }

(Eşitsizliğin her iki tarafını 3’ün toplama işlemine göre tersi olan – 3 ile toplayalım.)

Çözüm kümesi Ç harfi ile gösterilir.

Ders kitabının 84. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki örneklerdeçözüm kümeleri sayı doğrusu üzerinde gösteril-miştir. Bu gösterimlerden hareketle çözüm küme-lerinin birden fazla elemanı bulunduğu somutlaş-tırılarak gösterilmek istenmiştir.


1. 2x - y < 4 eşitsizliğine uygun bir problem ku-runuz ve eşitsizliğin çözüm kümesini koordinatdüzleminde gösteriniz.

2. Aşağıda verilen eşitlik ve eşitsizlik içerenproblemlere uygun matematik cümleleri yazınız.

a) 5 eksiğinin yarısının 3 fazlası 4’ten küçükgerçek sayılar.

b) 3 katının 4 eksiği, 7’ye eşit olan sayılar.c) Ahmet’in parasının 10 TL eksiğinin yarısı,

80 TL’den küçük veya eşittir.


2 Bölüm


2. Ünite

Örnek: x – 5 > – 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulup sayı doğrusunda gösterelim:

Ç = { 4’ten büyük gerçek sayılar }

>>>

xx

x

55 5

11 5

4

-

-

-

- ++ ] g

Örnek: eşitsizliği çözüp çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim:

Ç = { 0 ve 0’dan büyük gerçek sayılar }

yy

yy

3 52

2 2

222 20

- +

+

+ - -

H

H

H

H

y 3 5 2- + H

Örnek: birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğini çözüp çözüm kümesini sayıdoğrusunda gösterelim:

Ç = { –1 ve –1’den küçük tüm gerçek sayılar }

aa

aa

2 46

6 6

777 61

- -

-

- +

-

-

- +

-

G

G

G

G

a 2 4 7- - -G

Örnek: 4 eksiği 5’ten küçük doğal sayıları bulup çözüm kümesini yazalım:

Bilinmeyen sayılar x olsun. Eşitsizliği oluşturalım.

x doğal sayılar kümesinde olduğu için Ç = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } dir.

<<<

xx

x

544 4 5 4

9

-

- ++

3 4 5 6210–1

1 2 30–3 –2 –1

3210–1

(Eşitsizliğin her iki yanına – 5’in toplama işlemine göre tersi olan + 5 eklenmiştir.)

(Eşitsizliğin her iki yanına (– 2) ilave ettik.)

(Eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir veya her iki yanından aynısayı çıkarılırsa eşitsizlik bozulmaz.)

(Her iki yana – 4’ün toplama işlemine göre tersi olan +4 ekledik.)

Örnek: eşitsizliklerini aynı anda sağlayan doğal sayıları bulalım:

Ç = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ... } Ç = { 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, ..., 0 }

O hâlde iki eşitsizliğin çözüm kümesi olan ortak doğal sayıların oluşturduğu küme A = {8, 9, 10, 11, 12, 13}şeklinde elde edilir.

! Siz de aynı eşitsizliklerin çözüm kümelerini gerçek sayılarda bulunuz. Ortak çözüm kümesini sayıdoğrusunda nasıl gösterirdiniz? Açıklayınız.

xx

x

44 4

171713

4+

+ - -

G

G

G

xx

x

33 3

55 38

-

- + +

H

H

H

x ve x3 5 4 17- +H G

Eşitlik durumu da olduğundan – 1 çözüm kümesine dâhiledilmiştir.


5. 3 - x > 2

x + 1 < 4eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.

��

�

6. 2x + y = 6 ve -1 ≤ x < 2 olduğuna göre (y tam sayı) y için aşağıdaki ifadelerin yanlarındaki kutu-lara doğru olanlar için “D”, yanlış olanlar için “Y” yazınız.

a) 6 farklı tam sayı değeri vardır. ��

b) En büyük tam sayı değeri 8’dir. ��

c) En küçük tam sayı değeri 2’dir. ��

ç) x’in değeri azaldıkça y’nin değeri artar. ��

7. Aşağıda verilen eşitsizliklerin grafiklerini çiziniz.

a) x - y ≤ 3 b) y ≥ 2x + 6 c) y + 3x < 3 c) y < 4-x

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

Ders kitabının 85. sayfasındaki etkinlik öğren-cilere yaptırılır. Etkinlikte öğrenciler koordinat sis-temi ve grafiklerle ilişkilendirme yapabilmelidirler.Ayrıca etkinlik soyut düşünebilmeyi gerektirmek-tedir. Bu nedenle öğrenciler akıl yürütme beceri-lerini etkin ve doğru kullanabilmelidirler.

Öğretme-öğrenme etkinliklerinde öğrenci dü-zeyi, eğitim ortamı ve çevre etkenleri göz önündebulundurularak öğrencileri aktif kılan öğretme-öğ-renme yöntem, teknik ve stratejileri kullanılmalı-dır.

Kazanımlar işlenirken ortak ve alana özgü be-cerilerin, duyuşsal özelliklerin, öz düzenleme vepsikomotor becerilerin de kazandırılmasına önemverilmeye çalışılmıştır.

Ders kitaplarının ve öğretmen kılavuzlarınınbirer yardımcı kaynak olduğu ve dolayısıyla kaza-nımların verilmesinde yapılabileceklerin sadecebu materyallerde bulunan çalışmalardan ibaretolmadığı göz önünde bulundurulmadır.

Ders kitaplarının ve diğer yardımcı materyalle-rin hazırlanmasında, sınıf içi etkinliklerin planlan-masında ve gerçekleştirilmesinde güncel ve gün-lük yaşamla ilişkili durumlar ele alınmaya çalışıl-mıştır. Programda yukarıda belirtilen durumlarüzerinde özellikle durulmuştur. Bu nedenle sınıfiçinde düzenlenen öğrenme-öğretme etkinliklerin-de belirtilen durumlara dikkat edilmelidir.

Öğretme-öğrenme etkinliklerinde kazanımlarınedinilmesine yardımcı olabilecek uygun görsel,işitsel ve basılı araç-gereçlerin kullanılmasınaönem verilmelidir. Öğretme-öğrenme sürecinde,süreç ve ürün değerlendirilmelidir. Bu nedenle et-kinliklerin sonunda mutlaka öğrencilerin ne öğ-rendiklerini ifade etmeleri sağlanmalıdır.

Ders kitabının 85. sayfasındaki örnek, öğrenci-lere incelettirilerek eşitsizlik durumunu görmelerisağlanır.

Ders kitabının 86 ve 87. sayfalarındaki örnek-ler öğrencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki ikinciörnekte günlük yaşamla ilişkilendirme yapılmıştır.Ayrıca yine aynı örnekte grafiklerle de ilişkilendir-me yapılmıştır. Ders içi ilişkilendirmede süreklili-ğin olması edinilmiş bilgilerin güncel tutulmasınısağlayacaktır.


2 Bölüm

3= x br kütleyi � = y br kütleyi temsil etmek üzere yandabulunan terazide x = 3, y = 4 değerlerinin eşitsizlik durumunuinceleyelim:


2. Ünite

• 500 g’lık kütlelerin �, 1 kg’lık kütlelerin � ile temsil edil-diğini düşününüz.

• A4 kâğıdına bir terazi modeli çiziniz.

• Bu modelin sağ kefesine 1 kg’lık kütle, sol kefesine 500 g’lıkkütle yerleştirdiğimizde oluşacak eşitsizlik durumuna gö-re çizdiğiniz terazi modelini düzenleyiniz.

• Bu eşitsizlik durumunu matematik cümlesi kullanarak ifa-de ediniz.

• � sembolün yerine x, � sembolü yerine y yazarak oluşaneşitsizlik durumunu “>” veya “<” işaretlerinden uygun biriyle ifade ediniz.

• Kareli kâğıda bir koordinat düzlemi çiziniz.

• Sembol kullanarak yazdığınız iki bilinmeyenli eşitsizlik ifadesinin grafiğini arada “=” varmış gibi dü-şünerek koordinat düzlemine çiziniz.

• Çizdiğiniz doğru grafiğinin üst bölgesinde bir nokta belirleyiniz. Bu noktanın koordinatlarını sembolkullanarak oluşturduğunuz eşitsizlik ifadesinde yerine yazınız.

� Eşitsizlik ifadesi sağlandı mı?

• Eşitsizlik ifadesi sağlanmadıysa grafiğin diğer bölgesinde bir nokta belirleyiniz.

• Belirlediğiniz noktanın x ve y değerlerini eşitsizlikte yerine yazınız.

� Eşitsizliğinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol ediniz.

� Eşitsizlik ifadesinin sağlandığı bölgeden aldığınız tüm noktalar bu eşitsizliği sağlar mı? Neden?

� Yaptığınız bu işlemlere göre eşitsizliğin sağlandığı grafiğin üst veya alt bölgesindeki tüm noktalarıgöstermek için ne yapmak gerekir? Açıklayınız.

• Grafik üzerinde bir nokta alınız.

• Bu noktanın koordinatlarını eşitsizlik ifadesinde yerine yazınız.

� Eşitsizlik ifadesi sağlandı mı?

� Aynı işlemi grafik üzerindeki başka noktalar için de denerseniz eşitsizlik ifadesi sağlanır mı? Neden?

� Bu durumda doğru grafiği üzerindeki noktaları eşitsizlik gösterimine dâhil etmemek için ne yapma-mız gerekir? Açıklayınız.

İki Bilinmeyenli Doğrusal Eşitsizliklerin Grafiklerini Çizelim

A4 kâğıdı, kalem, kareli kâğıt

3�

Örnek:

y < x olur. x = 3, y = 4 değerlerinin eşitsizliği sağlayıp sağlamadığına bakalım.

x = 3, y = 4 ⇒ 4 < 3 olduğundan eşitsizlik sağlanmaz.

�

�

Örnek: iki bilinmeyenli eşitsizlik ifadesini aşağıda verilen seçeneklerdeki noktalardanhangilerinin sağladığını, hangilerinin sağlamadığını bulalım:

a) (5,1) b) (–2, –1) c) (0,3) ç) (4,0)

a) yazalım: (doğru)

Görüldüğü gibi eşitsizlik ifadesi (5,1) noktası için doğru olmuştur.

b) yazalım: (yanlış)

Görüldüğü gibi eşitsizlik bu nokta için sağlanmamıştır.

c) yazalım: (yanlış)

Eşitsizlik ifadesi bu nokta için de doğru değildir.

ç) yazalım: (doğru)

Eşitsizlik ifadesi (4,0) noktası için sağlanmıştır.

Örnek: “Aysun’un yaşı, Orkun’un yaşının 2 eksiğinden küçüktür.” Bu ifade ile ilgili iki bilinmeyenli eşit-sizliği yazıp grafiğini çizelim:

Aysun’un yaşı � y

Orkun’un yaşı � x

y = x – 2 doğrusal denkleminin grafiğini çizelim.

;x y y

y x x

0 0 2 2

0 0 2 2

= = - =-

= = - =

& &

& &

0 4 3 0 1- &G G, ,x y4 04 0 = ="^ h

3 0 3 3 3- -&G G, ,x y0 3 0 3= ="^ h

1 2 3 1 5- - - - -&G G, ,x y 12 1 2= =-- - -"^ h

1 5 3 1 2- &G G, ,x y5 1 5 1= ="^ h

y x 3-G

y x 3-G


2. Ünite

��

�

olsun. Eşitsizlik y < x – 2 şeklinde olur.

olur. Böylece grafiği çizmek için A(0,–2) ve B(2,0) şeklinde en az ikinokta elde edilmiştir.

Şekilden de görüldüğü gi-bi grafik bir koordinat düzle-mini iki bölgeye ayırır. Bubölgeleri 1. bölge, 2. bölge;üst bölge, alt bölge vb. şek-linde isimlendirebiliriz. Grafiküzerinde olmayan üst bölge-den herhangi bir nokta ala-lım. C(1,1) noktası olsun. Bunoktayı eşitsizlik ifadesindeyerine yazalım:

Eşitsizlik sağlanmamıştır.

<

<

<

y x 2

21 1

1 1

-

-

-

3

2

1

-1

0

-2

-3

-4

2 31-1-2-3

D(-1,2)

C(1,1)

E(3,-2)

F(2,-3)

H(1,-1)

G(1,-4)

A(0,-2)

B(2,0)

2. Bölge(alt bölge)

1. Bölge(üst bölge)

x

y

y = x

– 2

(yanlış)

Eşitsizliklerin oluşturduğu doğruların koordinatdüzleminde ayırdığı bölgelere dikkat çekilir. Ör-neklerdeki doğruların çözüm kümesine dâhil oldu-ğu durumlarda veya çözüm kümesine dâhil olma-dığı durumlarda nasıl gösterildiğine vurgu yapıl-malıdır. Öğrencilere doğruların bir çizgi hâlindeya da kesik çizgilerle gösterilmesinin bir anlamıolduğunun keşfettirilmesi sağlanmalıdır.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: kareli kâğıt• Kareli kâğıt üzerinde bir koordinat düzlemi

oluşturunuz.• Oluşturduğunuz koordinat düzleminde x+y=1

denkleminin grafiğini çiziniz.� Çizdiğiniz grafiğin hangi bölgesinin x+ y > 1

olduğunu düşünüyorsunuz?• Koordinat düzleminde bu bölgelerin birinden

bir nokta belirleyiniz.• Belirlediğiniz noktanın x ve y değerini x+y>1

eşitsizliğinde yerine yazınız.• Aldığınız noktadaki x ve y değerlerinin eşit-

sizliği sağlayıp sağlamadığını belirleyiniz.• Aldığınız nokta eşitsizliği sağlıyorsa bu böl-

geyi sağlamıyorsa diğer bölgeyi tarayınız.� Eşitsizlik x + y ≥ 1 biçiminde olsaydı eşitsiz-

liğin çözüm kümesi olarak nereyi tarardınız?� Bu eşitsizliğin diğer eşitsizlikten farkı ne ola-

bilir? Açıklayınız.


2 Bölüm

Başka bir nokta alalım. D (–1,2) için (yanlış) olur. Görüldüğü

gibi D noktası için de eşitsizlik sağlanmamıştır. Grafiğin alt bölgesinden birkaç nokta alalım.

E, F, G noktaları için eşitsizlik doğru olmuştur.

Grafiğin alt bölgesinden alınan tüm değerler için eşitsizlik sağlandığından bu bölge çözüm kümesiolarak taranmalıdır.

H (1,–1), A (2,0), B (0,–2) gibi grafiğin üzerinde olan değerler için eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadı-ğını kontrol edelim.

Eşitsizlik sağlanmamıştır.

Sayı doğrularında eşitsizlik ifadelerinin çözüm kümeleri bulunurken eşitsizlik ifadesinde “>” veya “<”sembolleri olduğunda ilgili nokta çözüm kümesine dâhil edilmiyordu. Bu yüzden y = x – 2 doğrusunun grafiği üzerindeki noktalar eşitsizlik ifadesini sağlamadığından çözüm kümesine ait değildir. y < x – 2 eşit-sizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur:

, < < <

, < < <

, < < <

H y x

B y x

y xA

1 1 2 1 1 2 1 1

2 0 2 0 2 2 0 0

0 2 2 2 0 2 2 2

- - - - - -

- -

- - - - - -

& & &

& & &

& & &

^

^

^

h

h

h

_

`

a

bb

bb

, < < <

, < < <

, < < <

y x

F y x

G y x

E 3 2 2 2 3 2 2 1

2 3 2 3 2 2 3 0

1 4 2 4 1 2 4 1

- - - - -

- - - - -

- - - - - -

& & &

& & &

& & &

^

^

^

h

h

h

_

`

a

bb

bb

< < <y x 2 2 1 2 2 3- - - -& &


2. Ünite

İki bilinmeyenli doğrusal eşitsizliklerin grafikleri çizilirken önce grafik doğru grafiği gibi dü-

şünülüp koordinat düzlemine çizilir. Daha sonra bu grafiğin koordinat düzleminde ayırdığı

bölgelerden birinden bir nokta alınır. Bu nokta eşitsizliği sağlarsa noktanın bulunduğu bölge,

sağlamazsa diğer bölge çözüm kümesi olduğu için taranır. Eşitsizlikte “H” veya “G” sembol-

leri olduğunda grafik, çözüm kümesine dâhil edilir. Aksi durumda çözüm kümesine dâhil edil-

mediği için kesik çizgilerle belirtilir.

3

2

1

-1

0

-2

-3

-4

2 31-1-2-3x

y

y = x

- 2

(yanlış)

(yanlış)

(yanlış)


2. Ünite

Örnek: eşitsizliğinin grafiğini çizelim:

Bu eşitsizliği y = 2x + 4 şeklinde eşitlik olarak yazalım. Eşitsizlik ifadesinde “H” sembolü olduğun-dan y = 2x + 4 doğrusu çözüm kümesine dâhil olacaktır. Kesik çizgilerle belirtilmeyecektir.

x = 0 için olur.

y = 0 için olur.x x x0 2 4 2 4 2= + =- =-& &$

y y2 0 4 4= + =&$

y x2 4+H

Örnek: y – 3x + 1 > 0 eşitsizliğinin grafiğini çizelim: Önce denkleminin grafiğini çizelim.

olur.

,x y y

y x x x

0 3 0 1 1

0 0 3 1 3 131

= = - =-

= = - = =

& &

& & &

$

y x y x3 1 0 3 1- + = = -&

y

x

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

0

y =

2x +

4

A(-1,1)

4321-1-2-3-4

-5

A (–1,1) noktasını eşitsizlikte yerine yazalım:

Eşitsizlik sağlanmamıştır. Bu yüzden A nokta-sının bulunduğu bölge değil, diğer bölge eşitsizli-ğin çözüm kümesi olur.

y x2 4

1 2 1 4

1 2 4

1 2

+

- +

- +

$

H

H

H

H

] g

3

2

1

-1

0

-2

-3

2 3 41-1-2-3

A(1,-1)

x

y

y=

3x–1

1/ 3

A(1,–1) noktasını eşitsiz-likte yerine yazalım:

Eşitsizlik sağlanmadığıiçin A noktasının bulunduğubölge taranmaz. Diğer bölgetaranır.

>>>>

y x3 11 3 1 1

1 3 13

0000

- +

- - +

- - +

-

& $

! Eşitsizliğin grafiğinde doğrunun “>” sembolünden dolayı kesik çizgilerle gösterildiğine dikkat ediniz.

(yanlış)

(yanlış)


Uygulamalar


Çalışma kitabının 48, 49 ve 50. sayfaların-daki sorular çözdürülebilir.


1. (1,3) noktası 3x - ay < 6 eşitsizliğini sağladı-ğına göre a’nın alabileceği en küçük tam sayı de-ğerini bulunuz.

Değerlendirme

Öğrencilerden eşitlik ve eşitsizlik arasındakiilişkiyi açıklamaları ve eşitsizlik içeren problemle-re uygun matematik cümleleri yazmaları, birincidereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümkümesini belirlemeleri ve sayı doğrusunda göster-meleri, iki bilinmeyenli doğrusal eşitsizliklerin gra-fiğini çizmeleri beklenir.


!

!


2 Bölüm

48-50

10


2. Ünite

Örnek: y G 2 eşitsizliğinin grafiğini koordinat düzleminde çizelim:

321-1 0

-1

1

2

-2

-2-3

y = 2 doğrusunun altında kalanalandaki tüm noktalar eşitsizliğinçözüm kümesidir.

! Siz de x > 1 eşitsizliğinin çö-züm kümesini koordinat düzle-minde çiziniz.

x

y = 2

y

ALIŞTIRMALAR

1) Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına “D”, yanlış olanların başına “Y” yazınız. Yanlış ifa-

deleri düzeltiniz.

a) ( ) “a G –4” ifadesi bir denklemdir.

b) ( ) Sayı doğrusunda gösterilen çözüm kümesi x > 1 eşitsizliğine aittir.

c) ( ) “Ahmet’in parasının 3 eksiğinin 2 katı, Veli’nin parasından azdır.” ifadesine ait eşitsizlik2(x – 3) < y şeklinde gösterilebilir.

ç) ( ) “2(y + 1) = 5” ifadesi bir denklemdir.

2) Aşağıdaki noktalardan hangileri x – y – 2 H 0 eşitsizliğinin çözüm kümesine aittir?

a) 0(0,0) b) A(3,0) c) B(–1,1) ç) G(0,2)

3) x + 3y – 3 > 0 eşitsizliğinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D)

4) Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini ayrı ayrı sayı doğrusunda gösteriniz.

a) b) c) ç) >y

y31

51+

-m m2 241

- +G<a3 1 4+] gx21 1 5- H

3x

y

1

0 3x

y

1

0 3x

y

1

03x

y

1

0


8. 3x + 2y > -4 doğrusal eşitsizliğini aşağıdaki noktaların sağlayıp sağlamadığını bulunuz.

a) (0, -1) b) (2, 3) c) (-1, 2)

ç) (4, -2) d) (0, 0) e) (-5, 5)

9. Aşağıda verilen eşitsizlikleri ilişkilendireceğiniz birer problem kurunuz ve bu problemleri çözü-nüz.

a) x + y < 0 b) x - 2y ≥ 4

10. Eşitlik ve eşitsizlik arasındaki ilişkiyi açıklayınız. Birer örnek üzerinde gösteriniz.

11. Yandaki koordinat düzleminde verilen grafikhangi eşitsizliğin çözüm kümesidir? Bulunuz.3

21

-1-2-3 1 2 3

y

x0-1-2-3

1—2

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

Ders kitabının 90 ve 91. sayfalarındaki “ÜniteDeğerlendirme Soruları” öğrencilere yaptırılır.



2 Bölüm


2. Ünite


1) –5 sayısına art arda –3 sayısının eklenmesiyle oluşan aritmetik diziyi ve kuralını bulunuz. Bu di-zinin 15. terimi ne olur? Hesaplayınız.

2) cebirsel ifadesinin en sade şeklini yazınız.

3) Aşağıda verilen ifadelerden doğru olanların başına “D”, yanlış olanların başına “Y” yazınız.a) ( ) 3y + 6 = 3 (y + 2) ifadesi bir denklemdir.

b) ( ) Özdeşlik bilinmeyenin her değeri için doğrudur.

c) ( ) Bir harfli ifadeyi çarpanlarına ayırmak demek, toplamları o harfli ifadeyi veren çarpanları bul-mak demektir.

ç) ( ) “ ”, “ ”, “ ”, “ ” sembollerinden biriyle yazılan bir ifade denklem belirtir.

d) ( ) Bir eşitsizliğin çözüm kümesi sayı doğrusunda gösterilirken eşitsizlik ifadesinde “ ” veya“ ” sembollerinden biri varsa koyu ve kalın çizginin başladığı noktanın içi boş bırakılır.

4) eşitsizliğinin reel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) { –11 veya –11’den büyük reel sayılar}

B) { –11 veya –11’den küçük reel sayılar}

C) { –11’den küçük reel sayılar}

D) { –11’den büyük reel sayılar}

5) a ve b birer tam sayı olmak üzere;ise a – b nin en büyük değeri nedir?

A) – 5 B) – 2 C) 2 D) 3

6) Aşağıda verilen ifadeleri çarpanlarına ayırarak en sade şekilde yazınız.

a) b)

c) ç)

7) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

8) ifadesini kareli kâğıtta modelleyerek gösteriniz.13 102 2-

xx4 12 5

31

+-

=

:a b aba b ab

ab2 1

3 3+

- +2] g

x xx

aa

6 23 1

23 6

2+

+++

$

1208404 2002 2-:

x yx y

xyx y

2 34 9 4 62 2

+

- -

a ve b5 0 5 3- -G G H H

x x10

3 15

2 5- +G

G

H

GH12

x xx x3 3

3 12 93

2

-

+ +

– 5 + (n – 1 )$(–3)– 47

x xx

13

-

+] g

Y

Y

Y

D

D

xy2

x23

102

1

Ç = {8}


2. Ünite

9) Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.

a) b)

10) denklem sisteminin çözüm kümesini grafik kullanarak çözünüz.

11) eşitsizliğinin grafiğini çiziniz.

12) eşitsizliğinin reel sayılardaki çözüm kümesini sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.

13) Aşağıdaki noktalardan hangileri eşitsizliğinin çözüm kümesine aittir?

a) O(0, 0) b) A(3, 0) c) B(3, 1) ç) C(–1, 1)

14) Aşağıdaki şıklarda verilen problemlere uygun eşitsizlik cümlelerini yazınız.

a) Yarısının 5 fazlası –2’den küçük sayılar

b) 8 eksiğinin 4 katı 7’den büyük veya eşit olan sayılar

15) olduğuna göre x doğal sayısı kaçtır?

A) 1 B) 5 C) 7 D) 11

16) ifadesine göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) a = 3 için b gerçek sayısı bulunamaz.

B) a = 4 için b gerçek sayısı bulunamaz.

C) b = 4 için a gerçek sayısı bulunamaz.

D) b = 5 için a gerçek sayısı bulunamaz.

17) eşitsizliğini sağlayan kaç tane pozitif tam sayı değeri vardır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9

18) Yanda verilen denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

<x x2

33

3+-

ba b

4 72

-+

=

aa

ve a a x4 1 53 1 222+ = - =

x y 2 0- - H

x3 1 8- H

x y2 6+ G

x y

x y

5

3

+ =

- =4

x yx y

7 3 137

+

+

=

=

x yx y42 3

97

+

+

=

=Ç = {(–2, 9)} Ç = {(2, 1)}

Ç = {(4, 1)}

x2

5 2+ -1

x4 8 7- H] g

,12 10^ h" ,

0 1 2 3 4 5 . . .

x y

x y

5 6

2 3 6

=

= -

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM


3. Ünite

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

Süre : 8 Ders saatiÖğrenme Alanı : Geometri Alt Öğrenme Alanı : Üçgenler

Kazanımlar1. Atatürk’ün matematik alanında yaptığı çalış-

maların önemini açıklar. 2. Üçgenin iki kenar uzunluğunun toplamı ve-

ya farkı ile üçüncü kenarının uzunluğu arasındakiilişkiyi belirler.

3. Üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarlarınkarşısındaki açıların ölçüleri arasındaki ilişkiyi be-lirler.

4. Yeterli sayıda elemanının ölçüleri verilen birüçgeni çizer.

5. Üçgende kenarortay, kenar orta dikme, açı-ortay ve yüksekliği inşa eder.

Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütmeYöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-

me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: geometri şeritleri, açı ölçer, cet-

vel, dosya kâğıdı, tel, keski, makas (Keski ve ma-

kas kullanımında öğrencilere uyarı yapılmalı) Ön Kazanımlar • Çokgenlerin iç ve dış açılarının ölçülerinin

toplamını hesaplar.• Dörtgenlerin kenar, açı ve köşegen özellikle-

rini belirler.Hatırlayalım:1. Bir çokgen çiziniz. Bu çokgende dış açıları

belirleyerek dış açıların ölçüleri toplamını bulu-nuz.

2. Aşağıdaki 15 eş kibrit çöpü ile beş eş kare-den oluşan düzenden;

a) Öyle üç çöp alınız ki geriye üç eş kare kalsın. b) Öyle iki çöp alınız ki geriye eş olmayan üç

kare kalsın.

Zorunlu Program Uyarıları: [!] Atatürkçülük ile ilgili konular (Konu 1).[!] İki kenar uzunluğunun toplamının, üçüncü

kenarın uzunluğundan büyük olduğu bağıntısına“üçgen eşitsizliği” denildiği vurgulanır.

[!] Dik üçgende dik kenarlar ve hipotenüs(uzun kenar) tanıtılıp açı ölçüleriyle kenar uzun-lukları arasındaki ilişki bulunur.

[!] Dinamik geometri yazılımları kullanılabilir.[!] Kenarortayın, bir köşeyi karşı kenarın orta-

sına birleştiren doğru parçası olduğu ve bu yüz-den üçgenin iç bölgesinde kaldığı vurgulanır.

[!] Yüksekliklerin, köşelerin karşılarındaki ke-nara olan uzaklık veya köşelerden bu kenara ini-len dikme (doğru parçası) olduğu vurgulanır. Ayrı-ca paralel doğruların eş uzaklıklı doğrular olduğuhatırlatılarak söz konusu köşeden geçen ve karşıkenara paralel olan doğrunun üzerindeki herhan-gi bir noktadan inen dikmenin veya bu dikmeninuzunluğun da yükseklik olabileceği vurgulanır.Bundan dolayı geniş açık üçgenlerde köşelerdençizilen yüksekliklerden ikisinin, üçgenin dışındakalacağı vurgulanır.

[!] Bir üçgendeki kenarortay, kenar orta dikme,açıortaylar ve üçgen dar açılı ise yüksekliklerinüçgenin içinde noktadaş (aynı bir noktadan ge-çen) oldukları vurgulanır. Yüksekliklerin dik üç-genlerde, dik açının köşesinde; geniş açılı üçgen-lerde ise üçgenin dışında kesiştikleri vurgulanır.


3. Ünite


3. Ünite

ÜÇGEN VE DÖRTGENLERİN KENAR, AÇI ÖZELLİKLERİ

Atatürk’ün Geometriye Kazandırdıkları

Atatürk, gençlik yıllarından beri akılcı düşünceye, bilimve teknolojiye büyük önem vermiştir. Ölümünden bir buçukyıl kadar önce kendi el yazısı ile yazdığı “Geometri Kılavu-zu” adlı kitap (1936-1937) dil, bilim, kültür ve eğitim açısın-dan çok önemli, çok değerli bir çalışmadır. O yıllarda geo-metri hendese, açı zaviye, artı zait, bölüm taksim, çap ku-tur gibi terimlerle öğretilirdi. “Zaviyetan-ı müteakibiletan-ıdahiletan” ve “müselles-i mütesaviyül adla” gibi tamlamalarkullanılırdı. Atatürk, geometri öğretimindeki bu tıkanıklığı vezorluğu aşmak için bu tamlamalar yerine, Türkçe kök ve ek-

lerden yapılmış “iç ters açı” ve “eşkenar üçgen” terimlerini kullandı.

“Geometri Kılavuzu” okununca anlaşılacaktır ki Atatürk, bilimsel konu ve araştırmalarda da bilgili, yet-kin bir siyaset ve devlet adamıdır. Çünkü Atatürk’ün bu kitapla birlikte türettiği açı, alan, artı, beşgen, bo-yut, bölü, çap, çarpı, çember, dikey, dörtgen, düşey, eğik, eksi, eşit, eşkenar, ikizkenar, kesit, konum, kö-şegen, oran, orantı, paralelkenar, taban, toplam, uzay, üçgen, varsayı, yamuk, yatay gibi terimlerden ço-ğunu bugün severek kullanmaktayız. Bu güzel Türkçe kelimelerin tümünü Atatürk, Türkçe köklere Türk-çe ekler getirerek türetmiştir.� Atatürk’ün yazdığı geometri kitabı hakkında neler biliyorsunuz?

• Farklı boyutlardaki 3 geometri şeridi ile bir çeşitkenar üç-gen oluşturunuz.

• Üçgenin belirlediğiniz bir kenarının uzunluğunu not edi-niz (Geometri şeridi üzerindeki ardışık iki pim yuvası ara-sını 1 birim alınız.).

• Diğer kenarların uzunlukları toplamı ve farkını hesaplayı-nız.

� Belirlediğiniz kenarın uzunluğu ile diğer iki kenar uzunlu-ğunun toplamı ve farkını karşılaştırdığınızda aralarındanasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.

• Elinizdeki üçgenin açılarını açıölçer yardımıyla ölçünüz.

� Üçgenin en uzun kenarının karşısında bulunan açı kaçderecedir?

� Üçgenin en kısa kenarının karşısında bulunan açı kaçderecedir?

� Ölçtüğünüz açılar ile karşılarında bulunan kenarlar arasında nasıl bir ilişki vardır?

Üçgenin Kenar ve Açı Bağıntılarını Keşfedelim

geometri şeritleri, açıölçer

Ders İçi İlişkilendirme� Eşitsizlikler � Üçgenlerde ÖlçmeDikkat Çekme ve Motivasyon:• Önceki yıllara ait ön bilgileri açığa çıkarmak

için öğrencilerden “Hatırlayalım” bölümündeki so-ruları cevaplamaları istenebilir.


Ders kitabının 94. sayfasındaki metin öğrenci-lere okutulur. Metnin sonundaki soru öğrencilerinderse motivasyonlarını sağlamak için düzenlen-miştir. Öğrencilerden bu sorulara doğru cevapvermeleri beklenmemelidir. Metnin sonundaki so-ruya verilen cevaplardan yararlanarak öğrencileretkinliğe yönlendirilir.

Etkinlikte öğrencilerin ilişkilendirme, akıl yürüt-me ve psikomotor becerilerini etkin kullanmalarıbeklenir. Ders kitabının 95. sayfasındaki örneköğrencilerle birlikte incelenir. Örnekler öğrencile-rin dersin işlenişinde verilmek istenen kavramlarısomutlaştırarak öğrenmeleri için düzenlenmiştir.Gerek duyulursa örnekler bazı araç-gereçler (kâ-ğıt, makas, açıölçer, cetvel) kullandırılarak etkinlikformatına dönüştürülebilir.


Yeni matematik programı, matematikle ilgilikavramları, kavramların kendi aralarındaki ilişkile-ri, işlemlerin altında yatan anlamı ve işlem beceri-lerinin kazandırılmasını vurgulamaktadır. Progra-mın odağında kavram ve ilişkilerin oluşturduğuöğrenme alanları bulunmaktadır. Kavramsal yak-laşım, matematikle ilgili bilgilerin kavramsal te-mellerinin oluşturulmasına daha çok zaman ayır-mayı; böylece kavramsal ve işlemsel bilgi ve be-ceriler arasında ilişkiler kurmayı gerektirmektedir.Bu nedenle sayfadaki örnekler gerek duyulduğutakdirde öğrencilerin bireysel öğrenme farklılıklarıgöz önüne alınarak etkinlik formatına dönüştürü-lebilir.


3. Ünite


3. Ünite

Üçgenin Kenar Uzunlukları ile Açı Ölçüleri Arasındaki İlişkiler

Örnek: Aşağıdaki işlemleri takip ederek bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındabulunan açıların ölçüleri arasındaki ilişkiyi belirleyelim:

nde;

En uzun kenar olan AB kenarının karşısındaki en büyük açı ölçüsüne sahiptir.

En kısa kenar olan BC kenarının karşısındaki en küçük açı ölçüsüne sahiptir.AW

CX

ABC&

Kâğıdı ikiye katlayıpüzerine bir çeşitkenarüçgen modeli çizelim.

Kâğıdı açmadan ke-narlarından keserek bir-birine eş iki üçgen mo-deli oluşturalım. Bu mo-dellerin köşelerini A, B,C olarak isimlendirelim.

Üçgenlerden birininC köşesini [BA] üzerineşekildeki gibi katlayıp[BC] kenarı ile [AB] ke-narının uzunluklarınıkarşılaştıralım.

Aynı şekilde B köşe-sini de [AC] kenarı bo-yunca katlayıp [AB] ile[AC] nın uzunluklarınıkarşılaştıralım.

En uzun kenarı c,ortanca kenarı b, en kı-sa kenarı da a olarakisimlendirelim. O hâldebu karşılaştırmaya gö-re; |AB| > |AC| > |BC|

a > b > c olur.

Diğer nin kö-şelerindeki iç açılarınınolduğu yeri keserek veçıkaralım (Karışıklık ol-maması için kestiğimizaçının iç bölgesine kö-şe adını yazalım.).

ABC& Bu üç açıyı bir doğru üzerinde yan yana ge-

tirelim. Görüldüğü gibi en büyük açıdır.

ile sı üst üste yerleştirilip karşılaştırma yapı-

lırsa nın ndan büyük olduğu görülür.

O hâlde açı ölçüleri arasındaki sıralamaşeklinde olur.s C s B s A> >^ ^ ^h h hX W W

AWBVBV

AWCW

Bir üçgende en büyük açı karşısında en uzun kenar, en küçük açı karşısında ise en kısa ke-

nar bulunur.

LE

T

olur.

<

<

s s sL E T

ET TL EL=

=_ _ _i i iU V W


3. Ünite

Örnek:

Örnek: Yanda verilen BEN dik üçgenin kenar uzunlukları ve açı

ölçülerini karşılaştıralım:

dir. Cetvel kullanarak kenar

uzunlukları ölçüldüğünde

> >

> > .

EN

s B

BE

s N

BN

s E bulunur___ iii VWV

,,s B s sE N 5337 90= == c cc_ _ _i i iV V W

Yanda verilen HAN üçgeninin iç açılarını ölçerek açılarlaaçıların karşısında bulunan kenarlar arasındaki bağlantıyı ku-ralım:

Açıölçer kullanarak ölçüm yaptığımızda olduğunu görürüz.

Cetvel kullanarak kenar uzunluklarını ölçtüğümüzde ise

> >s H s sA N_ _ _i i iW W W

Örnek:

Yukarıda üçgenler için verdiğimiz açı–kenar ilişkisiniyandaki TEL ikizkenar üçgeni için uygulayalım:

H

A N

NE

LE

T

B

olarak buluruz. Üçgenin en uzun kenarı olan AN kenarının

karşısında bulunan H açısı, nin en büyük açısıdır. Aynı mantıkla en kısa kenar olan AH kenarı-

nın karşısında bulunan açının, üçgenin en küçük açısı olduğu görülür.

HAN&, , ,AN cm HN cm AH cm4 3 2 5= = =

Bu üçgende BE ve EN doğru parçaları üçgenin dik kenarlarıdır. 90° nin karşısında bulunan BN ke-narı dik üçgenin en uzun kenarı olup hipotenüs (uzun kenar) olarak adlandırılır.

53°

35°35°

110° 3 cm

5 cm

3 cm

110° 3 cm

5 cm

3 cm

37°

Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

Alternatif Etkinlik:

Araç-Gereç: geometri şeritleri ve pimleri, cet-vel, dosya kâğıdı, açıölçer

Grup sayısı: 4 kişi• Farklı uzunluklarda iki geometri şeridi ile bir

açı modeli oluşturulması istenir. • Açı modeli istenilen büyüklükte çizdirilir.• Açı modelinin önüne cetvel konularak üçüncü

bir kenar ile üçgen oluşturmaları sağlanır.• Oluşturulan üçüncü kenarın uzunluğunu be-

lirlemeleri istenir. • Bu kenarın karşısındaki açının ölçüsü açıöl-

çer ile ölçtürülerek bulunur.• Belirlenen uzunluk ve açı ölçüsü kaydedilir.• Öğrencilerden açı modelinin kollarını açarak

veya kapayarak açının ölçüsünü değiştirmeleri is-tenir.

• Tekrar cetvelden yararlanarak üçüncü bir ke-nar ile üçgen oluşturmaları istenir.

• Yine aynı işlemi yaparak hem yeni oluşturu-lan üçüncü kenarın uzunluğunu belirlemeleri hemde bu kenarın karşısındaki açının ölçüsünü belir-lemeleri istenir.

� Yapılan çalışmalardan yararlanarak öğren-cilerden “Bir üçgendeki açı ile bu açının karşısın-daki kenarın uzunluğu arasında nasıl bir ilişki ol-duğunu düşünüyorsunuz?” sorusuna cevap ver-meleri istenir.

Ders kitabının 97. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Örneklerde öğrencilerüçgenlerdeki açılar ile bu açıların karşılarında bu-lunan kenarların uzunlukları arasında bir ilişki ku-rabilmelidirler.

Öğrencilerin bireysel öğrenme stillerindekifarklılıklar göz önünde tutulduğunda gerek duyu-lursa bir önceki sayfada bulunan ek etkinlik öğ-rencilere yaptırılabilir. Ek etkinlikte yapılan çalış-ma bu sayfada verilen örneklerde kavratılmak is-tenen üçgenlerin köşelerindeki açılar ile bu açıla-rın karşılarında bulunan kenarların uzunluklarıarasındaki ilişkinin somutlaştırılarak ve denemeyanılma yöntemi kullanılarak öğrenilmesini hedef-lemiştir. Öğrenciler yaptıkları çalışmalarla sayfa-daki ikinci örneğin sonunda bulunan bilgi kutucu-ğundaki sonuca ulaşabilmelidirler.


3. Ünite


3. Ünite

Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür. Bu ba-

ğıntı üçgen eşitsizliğidir.

İki kenarın uzunlukları farkının mutlak değeri ise üçüncü kenarın uzunluğundan küçüktür.

Üçgenin Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişkiler

Örnek: Geometri şeritlerini kullanarak istenilen üçgenleri oluşturmaya çalışalım:

Örnek: Kenar uzunlukları 0 = 4 cm, k = 3 cm ve s = 2 cm olan ni çizelim ve kenar uzunlukla-rı arasındaki ilişkileri gösterelim:

Önce olacak şekilde KS kenarını çizelim.o KS cm4= =

OKS&

a) 3 er birimlik iki geometri şeridini birleştirelim. 6 birimlikgeometri şeridini de birleştirdiğimiz parçalara 3. kenarolarak birleştirmeye çalışalım.

Bir üçgen elde edebildiniz mi? Neden?

b) 3 ve 7 birimlik geometri şeritlerini birbirine tutturalım. 11 birimlik geometri şeridini üçgen oluşturacak şekildebu parçalara tutturmaya çalışalım.

Üçgen oluşturabildiniz mi? Sizce neden üçgen oluşma-dı?

c) Tekrar 2 ve 3 birimlik geometri şeritlerini birleştirelim. 4 birimlik geometri şeridini kullanarak üçgen oluşturalım.

Üçgen oluştu mu? a ve b şıklarında üçgen oluşmadığıhâlde neden c şıkkında üçgen oluşmuş olabilir?

SK o = 4 cm

k = 3 cm

O

Yayların kesim noktasına O diyelimve noktaları ikişer ikişer birleştirelim.

Pergelin ayaklarını 3 cm aça-rak merkezi S, yarıçapı 3 cmolan bir çember yayı çizelim.

Pergelin ayaklarını 2cm aça-rak merkezi K, yarıçapı 2 cmolan bir çember yayı çizelim.

Oluşan nde iki kenarın uzunlukları topla-mını diğer kenar uzunluğunu karşılaştıralım:

2 + 3 > 4 3 + 4 > 2 4 + 2 > 3

s + k > o k + o > s o + s > kGörüldüğü gibi 2 kenarın uzunlukları toplamı

diğer kenarın uzunluğundan büyüktür.

OKS& Oluşan nde iki kenarın uzunlukları farkınınmutlak değerini diğer kenar uzunluğunu karşılaştıralım:

⎟3 – 2⎟ < 4 ⎟4 – 3⎟ < 2 ⎟4 – 2⎟ < 3

⎟k – s⎟ < o ⎟o – k⎟ < s ⎟o – s⎟ < kGörüldüğü gibi iki kenarın uzunlukları farkı diğer

kenarın uzunluğundan küçüktür.

OKS&

→ → → → → → → → → → → → → → → → → →

s = 2

cm


ÜÇGENLERDE KENAR UZUNLUKLARI VE AÇI ÖLÇÜLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİLER

1. Atatürk’ün yazmış olduğu “Geometri” adlı kitabın matematik biliminin ülkemizdeki gelişimine negibi katkıları olmuştur?

2. Atatürk’ün yazmış olduğu “Geometri” adlı kitabı araştırarak on matematiksel terimin eski ve ye-ni kullanımını bulunuz.

a. Proje konusunun ne olduğunun açıklanması

Ders kitabının 98. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Öğrencilerin bireyselöğrenme farklılıkları göz önünde bulunduruldu-ğunda sayfadaki örneklerde verilmek istenen kav-ramlar somutlaştırılmak istenirse aşağıdaki ek al-ternatif etkinlik kullanılabilir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç : tel, keski, cetvelGrup sayısı: 4 kişi

Telin uzunluğu: 5 cm, 7c m, 12 cm, 2cm, 9 cm

• Cetvel ve keski kullandırılarak yukarıda veri-len uzunluklarda teller kestirilir.

• Öğrencilere aşağıdaki çalışmalar yaptırılır. • Bir tane 5 cm bir tane 2 cm tel parçası alarak

bir açı oluşturunuz. Kullandığınız tellerin uzunluk-larını toplayarak not ediniz. Üçgen oluşturmak içinüçüncü bir tel kullanınız.

• Kullandığınız üçüncü telin uzunluğu ile diğeriki telin uzunluğunun toplamını karşılaştırınız.

• Bir tane 12 cm uzunluğunda tel alınız. Aldığı-nız teli üçgenin bir kenarı olarak düşününüz. Üç-gen oluşturmak için iki tane daha tel kullanmalısı-nız.

� Hangi uzunluklardaki telleri kullanmanız ge-rekecek? Deneyerek bulunuz.

• Üçgeni oluşturduktan sonra diğer iki kenarıoluşturan tellerin uzunluklarının toplamı ile enuzun kenar olan 12 cm uzunluğundaki telin uzun-luğunu karşılaştırınız.

� İlk telin (yani üçgenin uzun kenarının) uzun-luğu ile diğer iki kenarın (yani üçgenin kısa iki ke-narının) uzunlukları toplamı arasında nasıl bir iliş-ki olduğunu söyleyebilirsiniz?

• Kesmiş olduğunuz telleri kullanarak farklıuzunluklarda kenarlara sahip üçgenler oluşturu-nuz.

� Yapmış olduğunuz çalışmalardan yararlana-rak bir üçgenin kenarlarının uzunlukları arasındanasıl bir ilişki olduğunu söyleyebilirsiniz? Açıklayı-nız.

Not: Etkinlikte kullanılan kesici alatlerin

kullanımında öğrencilere gereken uyarı yapıl-

malı


3. Ünite

nde; nde;30° < 60° < 90° dir. Bu durumda 30° < 70° < 80° dir. Bu durumda|BE| < |EL| < |BL| olur. |BL| < |AB| < |AL| olur.

Bu iki eşitsizlik ifadesini birleştirirsek|BE| < |EL| < |BL| < |AB| < |AL| elde ederiz.

ABL&BEL&

s A

s A

0 0 180

0

8 7

3

+ + =

=

c c c

c

_

_

i

i

W

Ws

s BEL

BEL 0 0

0

60 3 18

9

+ =

=

+ c c c

c

_

_

i

i

%

%

70°

80°

E

A

L

B

30°60°


3. Ünite

Örnek: Kenar uzunlukları a = 6 cm ve c = 8 cm olan CAN üçgeninin n kenar uzunluğunun doğal sa-yı ile ifade edilen en büyük değerinin kaç cm olduğunu bulalım:

Örnek:

Örnek:

O hâlde n’nin alabileceği en büyük değer 13 olup n = 13 cm’dir. Bu iki ifadeyi birleştirip üçgen eşitsiz-liğini de kullanabiliriz.

|a – c| < n < a + c|6 – 8| < n < 6 + 8

| – 2| < n < 142 < n < 14 olduğundan n = 13 cm olur.

NA

C

a = 6 cm

c = 8 cm

nn < c + a n > c – a

n < 8 + 6 n > 8 – 6

n < 14 n > 2

n’nin alabileceği değerler kümesi, {3, 4, 5, 6, ..., 13} olur.

Şekilde

dir.

Şekildeki kenarların uzunluklarını küçükten büyüğedoğru sıralayalım:

s BLE 30= c_ i%

, , ,s ABL s ALB s EBL80 70 60= = =c c c_ _ _i i i% % %

Şekildeki nde |OY| = 3 cm ve |YL| = 5 cm’dir.

ise |OL| nun alabileceği değerlerin han-

gi aralıkta olacağını bulalım:

>s sOYL YOL_ _i i% %

YOL&

verildiği için |OL| > |YL| olmalıdır.

O hâlde |OL| > 5 olur. Üçgen eşitsizliği kuralını uygularsak

|5 – 3| < |OL| < 5 + 3

2 < |OL| < 8 olur. 5 < |OL| olduğu için |OL| nun alabileceği değerler aralığı 5 < |OL| < 8 olmalıdır.

>s s YOLOYL_ _i i%%

O L

Y

5 cm

3 cm

70°

80°

E

A

L

B

30°60°


3. Aşağıda verilen ifadelerin “doğru” ya da “yanlış” olduklarını belirtiniz.

a) Üç açısının ölçüsü verilen bir üçgen çizilemez.

b) İki kenar uzunluğu ve herhangi bir açısının ölçüsü verilen bir üçgen çizilebilir.

c) Kenar uzunlukları 3 cm, 5 cm ve 6 cm olan bir üçgen çizilemez.

ç) En az üç elemanı verilen ve bunların en az biri açı ölçüsü olan bir üçgen çizilebilir.

4. Aşağıda kenar uzunlukları ve açı ölçüleri verilen üçgenlerden çizilebilecek olanları belirleyinizve çiziniz.

a) a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm

b) a = 4 cm, b = 4 cm, c = 4 cm

c) a = 5 cm, b = 4 cm, s(C) = 70°

ç) s(A) = 50°, s(B) = 60°, s(C) = 70°

5. Yandaki şekilde |AB| = 6 cm, |BC| = 9 cm ise |AC| nunalabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinibulunuz.

C

A

B 9 cm

6 cm

Ders kitabının 99. sayfasındaki etkinlik öğren-cilere yaptırılır. Etkinlikte öğrenciler akıl yürütme,ilişkilendirme ve psikomotor becerilerini etkin ola-rak kullanabilmelidirler. Öğrencilerin psikomotorbecerilerini geliştirmek için aşağıdakiler yapılmalı-dır:

• Psikomotor Beceriler

Programda, öğrencilerin psikomotor becerileri-nin gelişimine önem verilmektedir. Bunun için öğ-rencilere aşağıdaki psikomotor becerilerin kazan-dırılması hedeflenmiştir:

• Yüzlük tabloyu etkin kullanır,• Onluk taban bloklarını etkin kullanır,• Yüzdelik daireyi etkin kullanır,• Onluk ve yüzdelik kareleri etkin kullanır,• Kesir çubuklarını etkin kullanır,• Şeffaf kesir kartlarını etkin kullanır,• Kâğıt çeşitlerini etkin kullanır,• Kâğıtları katlayarak geometrik şekiller, ma-

tematiksel ilişkiler, desenler, süslemeler oluştu-rur,

• Kâğıtları keserek geometrik şekiller, mate-matiksel ilişkiler, desenler, süslemeler oluşturur,

• Örüntü bloklarını etkin kullanır, • Simetri aynasını etkin kullanır, • Geometri şeritlerini etkin kullanır, • Karesel geometri tahtasını etkin kullanır, • Dairesel geometri tahtasını etkin kullanır, • Birim küpleri etkin kullanır, • Çok küplüleri etkin kullanır, • Hacim takımlarını etkin kullanır, • Cebir karolarını etkin kullanır, • Çok karelileri etkin kullanır, • Tangramları etkin kullanır, • Çarkı etkin kullanır, • Makas ve maket bıçağını etkin kullanır, • Pergeli etkin kullanır, • Cetveli etkin kullanır, • Gönyeyi etkin kullanır, • İletkiyi etkin kullanır, • Grafikleri uygun bir şekilde çizer, • Hesap makinesini etkin kullanır, • Bilgisayar yazılımlarını etkin kullanır, • Ders araç-gereçleri geliştirir ve etkin kullanır, • Çevresinden doğrudan alıp kullanabileceği

malzemeleri etkin kullanır, • Kaslarını etkinlik yaparken etkin kullanır,


3. Ünite


3. Ünite

Örnek: Bir kenar uzunluğu 6 cm, iki açısının ölçüsü sırayla 40° ve 70° olan üçgeni cetvel ve açıöl-çer yardımıyla çizelim:

Cetvelle önce 6 cm’lik bir doğru parçası çizilir. Doğru parçasının uç noktaları isimlendirildikten sonraaçıölçer B noktasına yerleştirilir. 40° nin bulunduğu yernokta ile işaretlenerek bu nokta isimlendirilir. çizilir.BC5

Sonra açıölçer A noktasına yerleştirilerek aynı yolla70° lik bir açı oluşturulur. Oluşturulan açıda çizilir.AD5

Bu iki ışının kesim noktası L ile işaretlendiğindeçizilmiş olur.BAL&

O hâlde ikizkenar üçgendir. nin kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım..AL LBA B olur=1

BAL&BAL&.

BAL nde s B s s

s s L olur

A L

Y0 0 80 0

180

4 7 1 7

+

+ + =

+ =

= &c c c c

c_ _ _

_ _

i i i

i i

V W UW U

&

• Kâğıda 7 cm uzunluğunda bir doğru parçası çizip doğruparçasının uç noktalarını A ve B olarak isimlendiriniz.

• Açıölçeri A noktasına yerleştirip açıölçer üzerinde 45° ninbulunduğu noktayı işaretleyiniz.

• Cetvelinizi kullanarak işaretlediğiniz nokta ile A noktasınıbirleştiriniz.

• Çizdiğiniz doğru parçasını 5 cm olacak şekilde uzatınız.• Elde ettiğiniz doğru parçasının isimlendirilmemiş noktasını

C olarak adlandırınız.• C noktası ile B noktasını cetvelle birleştiriniz.• Elde ettiğiniz üçgenin iç açılarını ölçerek bu üçgenin çizilip çizilemeyeceğini kontrol ediniz.� Yaptığınız çalışmalara göre bir üçgenin çizilebilmesi için kenar uzunlukları ve açı ölçülerinden han-

gilerinin bilinmesi yeterlidir?

Üçgen Çizelim

cetvel, kalem, kâğıt, açıölçer

6 cm 6 cmA B

C

6 cmA B

C

D

6 cmA B

C

D

L


6. Yandaki şekilde verilenlere göre en uzun ve en kısa kenarhangisidir?

7. Şekilde verilenlere göre |BC| nun alabileceği en küçük ve enbüyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) 16 B) 15 C) 14 D) 13

8. Yandaki şekilde verilen açılara ve kenar uzunluklarına göreaşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) c = d’dir. B) En küçük açı d’dir.

C) En büyük açı b’dir. D) En büyük açı e’dir.

C

A

B

D

d

a

e

bc 80°

60°70°

50°

60°40°

C

A

B

D

8 cm

7 cm

4 cm

5 cm

C

A

B

D

fcd

b

e

6 cm

4 cm

8 cm

5 cm4 cm

Ders kitabının 100. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrenciler akıl yürüt-me, ilişkilendirme ve psikomotor becerilerini etkinkullanabilmelidirler.

Geometri ile ilgilenen bilim insanlarıyla ilgiliaraştırma ödevi verilebilir. Bu araştırma ödevindealan daraltılarak “Thales” (Tales) ile ilgili araştırmayapmaları istenebilir. Gerek duyulursa Thales ileilgili aşağıdaki ilginç bilgi verilebilir.

Thales, bir geminin kıyıdan ne kadar uzak ol-duğunun ölçülmesi ile de ilgilenmiştir. Bu ölçümü,iki dik üçgenin kenarları arasındaki orantıdan ya-rarlanarak yapmıştır.


1. Aşağıdaki şıklarda verilen uzunluklardanhangileri bir üçgenin kenar uzunlukları olabilir?

A) 3 cm, 3 cm, 7 cm B) 5 cm, 6 cm, 7 cmC) 1 cm, 4 cm, 6 cm D) 7 cm, 8 cm, 15 cm

2. Yandaki verilen ABCüçgenine göreaşağıdaki sıralamalardanhangisi doğrudur?

A) |BC| > |AB| > |AC|B) |BC| > |AC| > |AB|C) |AB| > |AC| > |BC|D) |AB| > |BC| > |AC|


3. Ünite


3. Ünite

• Kâğıda bir üçgen çiziniz. Kenarlarından kesip çıkarınız.

• Elde ettiğiniz üçgensel bölgenin köşelerini A, B, C olarak isim-lendiriniz.

• nı açıölçerle ölçüp not ediniz.

• AB kenarı AC kenarı üzerine gelecek biçimde katlayınız.

• Kâğıdı açıp kat izini kalemle belirginleştiriniz.

• Oluşan açıları açıölçerle ölçünüz.

� Yeni oluşan açılar ve A açısı arasında nasıl bir ilişki vardır?Açıklayınız.

• Aynı işlemleri BC kenarını AB kenarı üzerine ve BC kenarınıda AC kenarı üzerine katlayarak tekrar ediniz.

� Her seferinde nasıl bir sonuç elde ettiniz?

� 6. sınıfta öğrendiğiniz bilgileri dikkate alarak oluşturduğunuzdoğru parçalarının nasıl adlandırabileceğini açıklayınız.

� Bu üç doğru parçası üçgenin hangi bölgesindedir?

� Aynı doğru üzerinde bulunan noktalara doğrudaş noktalar de-nir. Aynı düşünceyle aynı noktadan geçen doğrulara ne adverilebilir?

• Kâğıda dar açılı bir üçgensel bölge çiziniz. Bu üçgeni de ke-narlarından kesip çıkarınız.

• Elde ettiğiniz üçgenin köşelerini K, L, M olarak adlandırınız.

• K noktasından [LM] üzerine dikme ininiz.

• Aynı şekilde M ve L noktalarından karşılarındaki kenarlaradikmeler ininiz.

� Bu dikmelerin ortak özelliği nedir? Açıklayınız.

• Kâğıda başka bir üçgen çizip kenarlarından keserek çıkarınız.

• Bu üçgensel bölgeyi de olarak isimlendiriniz.

• [PR] nın orta noktasını bulunuz ve E olarak isimlendiriniz.

• E noktasını S noktası ile birleştiriniz.

� Çizdiğiniz doğru parçası, kenarı kaç eş parçaya ayırmış oldu?

• [SP] ve [SR] nın orta noktalarını bulup karşı köşelerindeki noktalarla birleştiriniz.

� Bu doğru parçaları üçgenin hangi bölgesinde kesişmektedir?

PRS&

AW

Üçgenin Yardımcı Elemanlarını Tanıyalım

kâğıt, kalem, cetvel, makas, açıölçer

Üçgende Kenarortay, Açıortay, Yükseklik ve Kenar Orta Dikme


9. ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b ve c’dir.

c < b < a ve m(C) = 48° olduğuna göre m(A)’nın en kü-

çük tam sayı değeri kaçtır?

10. Aşağıda verilen ifadelerde noktalı yerleri doldurunuz.

a) Bir dik üçgenin dik kenarlarından her biri aynı zamanda o üçgenin ........................ .

b) Bir üçgende a ≤ b ≤ c ise ......≥ .... ≥ ...... .

11. Kenar uzunlukları verilmeyen bir eşkenar üçgen çizilebilir mi? Neden?

12. Şekilde s(DAB) = 68°, s(ABD) = 56°, s(BDC) = 49°

ve s(BCD) = 63°dir. Bu şekilde en uzun doğru parçası

aşağıdakilerden hangisidir?

A) [BD] B) [DC]

C) [BC] D) [AD]

C

A

B a

bc

48°A) 67° B) 66° C) 65° D) 49°

C

AB

D49° 63°

68° 56°

70°

A

B C60°


Dar açılı üçgende yükseklikleri oluşturan doğ-ru parçalarının üçgenin içinde bir noktada kesişti-ği, geniş açılı üçgende ise köşelerden çizilen yük-sekliklerden ikisinin üçgenin dışında kaldığı vur-gulanır.

Öğrenciler önceki sınıflarda öğrendikleri doğ-rular ile ilgili bilgileri burada kullanabilmelidirler.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: geometri şeritleri, açıölçer• Geometri şeritleri ile kenar uzunlukları 4 br,

6 br ve 7 br olan bir üçgen oluşturunuz.• Geometri şeritleri ile kenar uzunlukları 6 cm

ve 8 cm ve bu uzunluklar arasındaki açı 90° olanbir üçgen çiziniz.

• 10 br uzunluğundaki bir geometri şeridininköşelerinden 53° ve 37°’lik açılarla şeritler birleş-tirerek bir üçgen oluşturunuz.

• Oluşturduğunuz üçgen modellerini kâğıda çi-ziniz.

� Çizdiğiniz üçgenleri üçgenin hangi ölçülerin-den faydalanarak elde ettiniz? Açıklayınız.

• Geometri şeritlerinden elde ettiğiniz üçgenle-rin kenarlarına ait yükseklikleri oluşturunuz.

• Geometri şeritlerinden elde ettiğiniz üçgenle-rin kenarlarının orta noktalarını belirleyiniz.

• Geometri şeritleri ile belirlediğiniz orta nokta-lardan geçen dikmeler oluşturunuz.

� Oluşturduğunuz dikmeler üçgenin neyini ifa-de eder?

• Geometri şeritlerini oluşturduğunuz üçgenle-rin köşelerinden karşı kenarlarının ortak noktaları-na birleştiriniz.

� Birleştirdiğiniz geometri şeritleri üçgeninhangi elemanını temsil etmektedir?


3. Ünite


3. Ünite

Üçgenlerde YükseklikÖrnek:

A

IR

Yanda kareli kâğıt üzerinde verilen ninyüksekliklerini çizelim:

ARI&

Aşağıda geniş açılı nin iki köşesindençizilen yükseklik gösterilmiştir. İnceleyelim:

BAL&

Üç şekli birleştirdiğimizde yandaki şekli eldeederiz. dar açılı üçgen olduğundan yüksek-likler üçgenin içinde aynı noktada (noktadaş) ke-sişmektedir.

ARI&

A köşesinden [RI] = a ke-narına inilen dikme a kenarı-na ait yüksekliktir.

R köşesinden r = [AI] kena-rına inilen dikme r kenarına aityüksekliktir.

I köşesinin ı = [AR] kenarı-na olan uzaklığı ı kenarına aityüksekliktir.

nin L köşesinde geçendoğruyu d ve [AB] nın üzerindebulunduğu doğruyu da f olarakisimlendirelim.

BAL& Paralel doğrular eş uzaklıklıdoğrulardır. Bu yüzden L köşesin-den f doğrusu üzerine inilen dikmeveya bu dikmenin uzunluğu nin AB kenarına ait yüksekliğidir.

BAL&

nin B köşesinden d doğru-su üzerine inilen dikme de yine ABkenarına ait yüksekliktir. AB kenarı-na ait yükseklik üçgenin dışındadır.

BAL&

a

�

�

�

��

r

Bir üçgende bir köşeden karşı kenara çizilen dik doğru parçası o kenara ait yüksekliktir.

Yükseklik h sembolü ile gösterilir.

Görüldüğü gibi geniş açılı üçgenlere köşelerden çizilen yüksekliklerden ikisi üçgenin dışında kalır.

AB

L

AB

d

f

d

f

d

f

L

AB

L

h h

AB

L

Örnek:

A

IRA

IR

A

IR�

�

�ı

A

IR B

KC

E

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Ders kitabının 102. sayfasındaki örnek öğren-cilerle birlikte incelenir.

Öğrencilere dik üçgende neden dik kenarlarınbirer yükseklik olduğu sorulabilir.

Sayfanın sonunda bulunan bilgi kutucuğunda-ki bilgiye dikkat çekilmelidir.

Öğrenciler burada daha önceki yıllarda öğren-dikleri oran ve orantı ile ilgili bilgileriyle ilişkilendir-me yapabilmelidirler.

Yapılan çalışmalarda öğrencilerin öz düzenle-me yeterlik gelişimleri de dikkate alınmalıdır.

Öz Düzenleme Becerileri

Programda, öğrencilerin öz düzenleme ile ilgi-li becerilerinin gelişimi önemli bir yer tutmaktadır.

Öğrencilere aşağıdaki öz düzenleme becerile-rinin kazandırılması hedeflenmiştir:

• Matematikle ilgili konularda kendini motiveeder.

• Matematik dersi için hedefler belirleyerekbunlara ulaşmada kendini yönlendirir.

• Matematik dersinde istenenleri zamanındave düzenli olarak yapar.

• Matematikle ilgili çalışmalarda kendini sor-gular.

• Gerektiğinde ailesinden, arkadaşlarından veöğretmenlerinden yardım ister.

• Matematik dersine verimli bir şekilde çalışır. • Matematik sınavlarında heyecanlı ve panik

hâlde olmaz. • Matematik dersinde ilişkilerinde saygının,

değer vermenin, onurun, hoşgörünün, yardımlaş-manın, paylaşmanın, dürüstlüğün ve sevgininönemini takdir eder.

• Çalışmalarda temiz ve düzenli olur, eşyalarıve materyalleri kullanırken özen gösterir.


I. İki kenar uzunluğu ve bu kenarların arasın-daki açı ölçüsü verilen üçgenler çizilebilir.

II. İki açı ölçüsü ve bu açıların arasındaki ke-nar uzunluğu verilen üçgenler çizilebilir.

III. Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenlerçizlebilir.

IV. Üç açı ölçüsü verilen üçgenler çizilebilir.

Yukarıda verilenlerden kaç tanesi doğudur?

A) 1 B) 2C) 3 D) 4


3. Ünite


3. Ünite

Örnek: Aşağıda noktalı kâğıt üzerinde verilen SÖZ dik üçgeninin yüksekliklerini inceleyelim (Nokta-lı kâğıt 1cm’liktir.):

Bir üçgende yükseklik bir köşeden karşı kenara çizilen dikdoğru parçası olduğu için SÖZ dik üçgenin ÖZ kenarına ait yük-sekliği SÖ kenarıdır. Aynı şekilde SÖ kenarına ait yüksekliği dedik üçgenin ÖZ kenarıdır.

SZ kenarına ait yüksekliği ise Ö köşesinden SZ kenarına inilen dikmedir.

hs, hö ve hz yüksekliklerini nin kenar uzunluklarını dikkate alarak sıralayalım.

|SÖ| = 3 cm, |ÖZ| = 4 cm ve |SZ| = 5 cm’dir.

SÖ kenarına ait yükseklik hz olup hz = 4 cm’dir.

ÖZ kenarına ait yükseklik hs olup hs = 3 cm’dir.

SZ kenarına ait yükseklik hö olup hö 2,5 cm’dir.

|SZ| > |ÖZ| > |SÖ| olduğu hâlde hö < hs < hz bulunur.

.

�S Z&

S

Ö Z

S

Ö Z

�

�

�

��

�

� ö

s

z hs

hz

S

Ö Z

ö

s

z

S

Ö Z

ö

hö

s

z

Dik üçgenlerde yükseklikler dik açının bulunduğu köşede kesişir.

Üçgenin kenar uzunlukları ile kenarlara ait yükseklikleri ters orantılıdır.

Ö

�

�

�

��

�

�

�

�

�

��

�

�

Ders kitabının 103. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Üçgenlerle ilgili dahaönce öğrenilen bilgiler öğrencilere hatırlatılabilir.

Üçgenlerin özelliklerini bilmenin ne gibi yarar-lar sağlayabileceği üzerine tartışma ortamı oluştu-rulabilir veya bu konu ile ilgili araştırma ödevi ve-rilebilir.

Sayfadaki örnek, öğrencilerin bireysel öğren-me farklılıkları dikkate alınarak kinestetik (dokun-sal) öğrenme stiline sahip öğrenciler için etkinlikformatına dönüştürülebilir. Ders kitabının 104.sayfasındaki örnekler, öğrencilerle birlikte incele-nir. Birinci örneğin sonunda bulunan bilgi kutusu-na dikkat çekilir.

Öğrencilerden sayfada verilen örneklere ben-zer örnekler düzenlemeleri istenebilir. Örneklerinnoktalı kâğıt üzerinde yapılması açıortayın belir-lenmesini kolaylaştıracağından çalışmalarda nok-talı ya da izometrik kâğıt kullanılması önerilir.

Sınıfta düzenlenecek örneklerde farklı duruş-larda üçgenlerin çizilmesi ve bu üçgenlerin açıor-taylarının belirlenmesi ile ilgili çalışmaların yapıl-ması önerilir. Sayfanın sonundaki bilgi kutusundaverilenlere dikkat çekilir. Oran ve orantı konusun-daki ön bilgiler de dikkate alınarak açıortayın ayır-dığı kenar uzunlukları ile üçgenin kenar uzunluk-ları arasındaki oranı, örneklerde verilen bir üçge-nin ölçülerinden yararlanarak göstermeleri istene-bilir.


3. Ünite


3. Ünite

�

Üçgende bir iç açıyı iki

eş açıya ayıran ışın o açı-

nın açıortayıdır.

Üçgenlerde AçıortayÖrnek:

Kâğıda K açısı 50° olan KLMdar açılı üçgenini çizelim. niK köşesinden LK kenarı MK ke-narı üzerine gelecek şekilde kat-layalım.

KLM&Işının [LM] nı kestiği noktayı

E olarak isimlendirelim.

nde K iç açısına ait açıortayın uzunluğu |KE| dur. nK ile gösterebiliriz.KLM&

Oluşan LKE ve EKM açılarını açıölçerleölçelim.

olduğu görülür.Bu arada [KA açıyı iki eş parçaya ayırdığı içinaçıortay ışınıdır. |KE| da açıortay uzunluğudur.

s LKE s EKM 25== c_ _i i% %

nin açıortaylarını çizelim:ABC&

Kâğıdı açıp K köşesindenbaşlayan ışını kalemle belirgin-leştirelim. Bu ışın [KA olsun.

B C

A

s BAD s DAC

s s

s CF s

EBC EBA

A FCB

=

=

=_ _

_ _

_ _

i i

i i

i i

% %

% %

% %B C

A

D

F E

olur. Dolayısıyla;

|AD|, |BE| ve |CF| sırasıyla A, B ve C iç açıları için açıortayuzunluğudur. |AD| = nA , |BE| = nB , ve |CF| = nC olarak gösterile-bilir.


3. Ünite

Örnek:

Örnek:

B

KAB

KA E

CD

BAK geniş açılı üçgenin açıortaylarını çizip inceleyelim:

Yandaki nin A iç açısının açıortayını çizelim.Açıortayın [BC] nı kestiği noktadan üçgenin diğer kenar-larına dikmeler inelim. Oluşan şekli inceleyelim:

ABC&

dür.

|AC| = nA ; ve |BE| = nB ; |KO| = nC dır.

s ABE s EBK

s BAC s CAK

s B s DKAKD

=

=

=_ _

_ _

_ _

i i

i i

i i

% %

% %

% %

Bir üçgende açıortay doğru parçaları üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişirler yani nokta-

daştırlar.

Üçgenlerde bir açıortayın ayırdığı kenar uzunlukları ile üçgenin kenarları arasında bir oran vardır.

A

B C

AD açıortayı üzerindeki D noktasından [AB] ve [AC] nadikme inilmiştir. Şekilden de görüldüğü gibi bu dikmelerinuzunlukları eşittir.

|AD| = nA ve |ED| = |DF| dur.

nde [DG] açıortaydır.

|DG| = nD dir.

|DE|, |EG|, |GF| ve |DF| nu ölçtüğümüzde;

olduğu görülür.EGDE

GFDF

=

DEF&

D

GE F

A

D

E F

B C

nA

nA

nD

nB

nC

Öğrencilerin derse ilgisini çekmek dışında vemotivasyonunu sağlamak için ara motivasyon ça-lışması yapmak gerekebilir. Bu nedenle aşağıda-ki sorular öğrencilere sorulabilir:

Üçgenlerin kenar ve açı özellikleri ile ilgili bir-çok özellik hakkında bilgi edindiniz.

Üçgenlerin açı ve açıortayları dışında kenarla-rı ile ilgili başka, özellikleri olabilir mi?

Bu soru kitabın 105. sayfasındaki başlıktan ya-rarlanarak “Üçgenlerin kenarortay özellikleri deolabilir.” cevabını almaya yönelik olacaktır. Bu ce-vap doğrultusunda “Üçgenlerin kenarortay özellik-lerini bilmenin sizlere ne gibi faydalar sağlayaca-ğını düşünüyorsunuz?” sorusu yöneltilerek konuile ilgili beyin fırtınası yaptırılabilir.


Araştırma Ödevi

Çevrenizde mimar veya mühendislik mesleği-ne sahip kimseler varsa imkânlarınız ölçüsündebu kimselerle görüşünüz. Görüşmenizde aşağı-daki sorulara cevaplar arayınız:

1. Mesleğinizde geometriden nasıl yararlanı-yorsunuz?

2. Çalışmalarınızda en çok hangi geometrikşekilleri kullanıyorsunuz?

3. Geometrik şekillerin özelliklerini bilmek sizene gibi yararlar sağlıyor?

4. Üçgenin ağırlık merkezini belirleyebilmek veüçgenin bu özelliklerini bilmek mesleğinizde han-gi kolaylıkları sağlıyor?

Yukarıda verilen araştırma ödevi performansgörevine de dönüştürülebilir. Öğrencilerin her üç-gende ağırlık merkezinin farklı olduğunu belirleye-bilmeleri için dinamik geometri yazılımlarındanyararlanarak denemeler yapmaları sağlanabilir.


Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Bir üçgende yükseklik bir köşeden karşısın-daki kenara veya bu kenarın uzantısına indirilendikmedir.

B) Bir üçgende kenarortaylar üçgenin içindekibir noktadan kesişirler.

C) Bir üçgende yükseklikler üçgenin içindekibir noktada kesişirler.

D) Eşkenar üçgende bir köşeden çizilen yük-seklik, kenarortay, açıortay ve kenar orta dikmeaynı doğrudur.


3. Ünite


3. Ünite

Üçgende bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçası kenarortaydır. Bu

yüzden üçgenin iç bölgesinde kalır ve kenarortay doğru parçasının uzunluğu “V” sembolü ile

gösterilir. Üçgenin kenarortayları üçgenin iç bölgesinde aynı noktada kesişirler. Bu nokta

ağırlık merkezi olup “G” sembolü ile gösterilir.

Üçgenlerde Kenarortay

Örnek: Yanda verilen fotoğraftaki cam üçgen modelini kareli kâğıda çizip özelliklerini inceleyelim:

Örnek:

|AL| = |EL| = 4 br’dir.

Üçgen cam mode-lini kareli kâğıda çizdi-ğimizde K köşesindenAE kenarına inilendoğru parçasının ke-narı iki eş parçayaayırdığı görülür.

Yandaki nde [SL], [AL] ve [AS] nın orta nok-talarını bulalım ve karşı köşelere birleştirelim:

SAL&

Şimdi bu üç şekli yandaki gibi aynı nde birleştirelim.

[SB] ; AL kenarını iki eş parçaya,

[CL] ; AS kenarını iki eş parçaya,

[AD] ; SL kenarını iki eş parçaya ayırmıştır.

[SB] → AL kenarına ait kenarortay olup VS ile,

[CL] → AS kenarına ait kenarortay olup VL ile,

[AD] → SL kenarına ait kenarortay olup VA ile, gösterilir.

SAL&

EA

K

LA

S

L

6 cm

8 cm

5 cm

LA

S

6 cm

4 cm 4 cm

5 cm

2,5 cm

2,5 cm

LA

C

B

S

6 cm

8 cm

5 cm

��

��

�

��

�

LA

S

D

3 cm

3 cm

8 cm

��

�

��

�

LA

S

D

4 cm 4 cmB

G

2,5 cm

2,5 cm

C

3 cm

3 cmVA

VS

VL


13. Şekilde ABC üçgeninde |AB| = |AC| = 5 cm ise

|BC| ile ilgili olarak hangisi doğrudur?

A) 0 < |BC| < 9 B) 1 < |BC| < 10

C) 1 < |BC| < 9 D) 0 < |BC| < 10

14.

15. Aşağıdaki taslak üçgenlerden hangisinde verilen elemanlar, o üçgenin çizilebilmesi için yeterli

olamaz?

A) B) C) D)

Şekilde s(A) < s(B) < s(C) ve a, b, c uzunlukları bi-

rer tam sayı olmak üzere Ç(ABC) = 63 cm ise c kenar

uzunluğu en az kaç cm’dir?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23

C

A

B

5 cm5 cm

C

6 cm

6 cm

3 cm

A

B

6 cm

3 cm 7 cm

6 cm

3 cm

30°

30°

b. Niçin bu proje konusunun seçildiğinin açıklanması

Ders kitabının 106. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki örnekler öğ-rencilerin bireysel öğrenme farklılıkları göz önün-de bulundurularak düzenlenmiştir. Gerek duyulur-sa kareli veya noktalı kâğıt üzerinde dik üçgenlerçizdirilip kestirilerek öğrencilerden bilgi kutucu-ğunda verilen bilginin doğruluğunu deneme yanıl-ma yöntemini kullanarak test etmeleri istenebilir.


3. Ünite


3. Ünite

�

Örnek: Noktalı kâğıda kenar uzunlukları 6br, 8br, 10 br olan DAL dik üçgenini çizelim ve hipotenü-se ait kenarortay uzunluğunu inceleyelim:

�

B C

A

E

S

S

D

G

F

|AD| → Va ; |BE| → Vb ve |CF| → Vc

olmak üzere nin ağırlık merkezi G noktasıdır.

olur.

; ;

; ;

AG V BG V CG V

GD V GE V GF V

32

32

32

31

31

31

a b c

a b c

= = =

= = =

ABC&

DAL dik üçgeninde [AL] hipotenüstür ve |AL| = 10 br’dir.

[BD] ; hipotenüse ait kenarortaydır. Uzunluğu cetvel ile öl-

çülürse 5 br olduğu görülür.

|AB| = |BL| = |DB| = 5 br olur.

ikizkenar üçgendir. Bu üçgende tepe açı-

sına göre yüksekliği belirleyip özelliklerini inceleye-

lim:

ABC&

A3

A2

A1A6

A5A4

Bir üçgenin üç kenarortayı üçgeni alanları eşit olan altı eş üçgene ayırır.

A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6 olur.

LA B

D

5 br��

5 br

6 br 8 br

��

Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına

eşittir.

A

B C

ABC ikizkenar üçgeninde A tepe açısından A

köşesine inilen yükseklik, BC taban kenarını 2 eş

parçaya ayırmıştır. Bu yüzden yükseklik aynı za-

manda kenarortaydır. olduğun-

dan yükseklik tepe açısı için açıortay olmaktadır.

s BAH s CAH=_ _i i% %

A

H

ha

B C5br��

5br��


ÜÇGENDE KENARORTAY, AÇIORTAY, YÜKSEKLİK VE KENAR ORTA DİKME

1.ABC üçgenide [AN] açıortay, |AB|= 4 cm, |AC| = 6 cm,

|BN| = 2 cm olduğuna göre |NC| kaç cm’dir?

2. ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. Buna göre aşağı-dakilerden hangilerinin daima doğru olduğunu, yanlarında-ki kutucuklara “�” işareti koyarak belirtiniz.

a) |BC| = |BE| ��

b) |CG| = 2 |GF| ��

c) |BG| = |AG| ��

ç) |AD| = 3 |GD| ��

2—3

3. Aşağıdaki ifadelerde noktalı yerleri doldurunuz.

a) Bir üçgende yükseklik o üçgendeki .................. açıya veya ................ kenara yakındır.

b) Bir üçgende açıortay üzerinde alınan bir noktadan kenarlara inilen dikmelerin uzunlukları.................... .

c) Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün .................... eşittir.

C

A

B N

6 cm

4 cm

2 cm

C

A

B D

F EG

c. Araştırmanın nerede yapıldığı hakkında bilgi verilmesi

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM


Uygulamalar

Ders kitabının 107. sayfasındaki alıştırma-lar öğrencilere yaptırılır.

Çalışma kitabının 52, 53, 54, 55, 56, 57 ve58. sayfalarındaki sorular çözdürülebilir.


I. İkişer kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısıeş olan üçgenler eştir.

II. Üç kenarı da aynı olan üçgenler eştir.III. Üç açısı da aynı olan üçgenler eştir.IV. İki açısı ve bir kenarı eş olan üçgenler eş-

tir.

Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?A) I-II B) I-II-IIIC) II-III-IV D) I-II-III-IV

Değerlendirme

Öğrencilerden; Atatürk’ün matematik alanındayaptığı çalışmaların önemini açıklamaları, üçgeniniki kenar uzunluğunun toplamı veya farkı ile üçün-cü kenarının uzunluğu arasındaki ilişkiyi belirleme-leri, üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarlarınkarşısındaki açıların ölçüleri arasındaki ilişkiyi be-lirlemeleri, yeterli sayıda elemanının ölçüleri veri-len bir üçgeni çizmeleri, üçgende kenarortay, ke-nar orta dikme, açıortay ve yüksekliği inşa etmele-ri beklenir.



!

!


3. Ünite

52-58


3. Ünite

�

İzometrik kâğıt üzerinde verilen KLM eşkenar üçgeni için her-hangi bir köşeden yükseklik çizip üçgeni inceleyelim:

İkizkenar dik üçgende tepe noktasından inilen yükseklik aynı zamanda açıortay ve kenaror-

tay olur.

Eşkenar üçgende yükseklikler aynı zamanda açıortay ve kenarortaydırlar.

Bir üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortay görevi yaptığında kenar orta dikme olarak

adlandırılır.

K köşesinden [LM] na inilen yükseklik K açısını ve LM kena-rını iki eş parçaya ayırmıştır. Bu yüzden hk aynı zamanda açıor-tay ve kenarortaydır. Benzer şekilde hl ve hm de açıortay ve ke-narortay olur.

hk , hl , ve hm üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişir.

Şekildeki nde |AB| = 2 cm, |AC| = 6 cm ve

ise |BC| nun alabileceği değerler hangiaralıkta olur?

>s BAC s ABC_ _i i% %

ABC&

ML

K

hk

ML

K

H 3 br��

3 br��

60° 60°

30°30°

ALIŞTIRMALAR

1) Aşağıda verilen üçgenler için her bir köşeden inilen yükseklik, kenarortay, açıortay (varsa kenarorta dikme) doğru parçalarını çiziniz.

2)

A) 2 < |BC| < 8 B) 3 < |BC| < 8 C) 4 < |BC| < 8 D) 6 < |BC| < 8

C E F KIH L

DA

B

5 br 5 br

8 br

3 br

3 br

6 br

4 br

5 br

C

A

B

2 cm

6 cm

JG

4br

4br 4br

4br


4. Aşağıda verilen üçgenlerin çeşitlerini altlarına belirttikten sonra yüksekliklerini cetvel kullanarakçiziniz.

5. Cetvel kullanarak kenar uzunlukları 2 cm olan bir eşkenar üçgen çiziniz. Bu eşkenar üçgeninyüksekliklerini, açıortaylarını, kenarortaylarını çiziniz. Bulduğunuz doğru parçalarını kullanarak bireşkenar üçgende kenarortay, açıortay ve yükseklik arasındaki ilişkiyi açıklayınız.

6. Kenar uzunlukları |AB| = 3 cm, |AC| = 3 cm ve |BC| = 5 cm olan bir ikizkenar üçgen çiziniz. Buikizkenar üçgenin kenar orta dikmelerini, yüksekliğini, kenarortay ve açıortaylarını çiziniz. Kenar ortadikme ile kenarortay arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.

7. Şekildeki ABC dik üçgeninde;

[KC] = Va (kenarortay) ise aşağıdaki eşitliklerden hangisidoğrudur?

A) 2 |KC| = |AB| C) Va =

b) = D) Va . c = b.a|KA|———|KB|b——a

c——2

L

A

AA

C

c

B

K

Va

a

b

B

D

EM

�

�

�

Süre : 3 Ders saatiÖğrenme Alanı : Geometri, ÖlçmeAlt Öğrenme Alanı : Üçgenler, Üçgenlerde

ÖlçmeKazanımlar6. Üçgenlerde eşlik şartlarını açıklar.7. Üçgenlerde benzerlik şartlarını açıklar. Üçgenlerde Ölçme1. Üçgenlerde benzerlik şartlarını problemler-

de uygular.Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütmeYöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-

me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: kâğıt, kalem, makas, açı ölçer,

kareli kâğıt (Makas kullanımına dikkat edilmeli)

Ön Kazanımlar: 1. Çokgenleri karşılaştırarakeş olup olmadıklarını belirler ve bir çokgene eşçokgenler oluşturur. 2. Çokgenleri karşılaştırarakbenzer olup olmadıklarını belirler ve bir çokgenebenzer çokgenler oluşturur.

Hatırlayalım: 1. Sekiz eş üçgen kullanarak birçokgen oluşturunuz. 2. Bir kareyi dört eş parçaya,en az dört farklı şekilde bölünüz.

Zorunlu Program Uyarıları [!] Bu dört etkinlikte verilen üçgen eşlik şartla-

rının sırasıyla;• Kenar-Açı-Kenar (KAK)• Açı-Kenar-Açı (AKA)• Kenar-Kenar-Kenar (KKK)• Kenar-Açı-Açı (KAA) şeklinde adlandırıldığı

vurgulanır.[!] Etkinliklerdeki benzerlik şartlarının sırasıyla; • Açı – Açı (AA), • Kenar – Kenar – Kenar (KKK), • Kenar – Açı – Kenar (KAK) şeklinde adlandı-

rıldığı vurgulanır. [!] Program kitabının giriş bölümünde yer alan

problem çözme ile ilgili açıklamalar dikkate alınır.Ders İçi İlişkilendirmeler� Üçgenlerde ÖlçmeDikkat Çekme ve Motivasyon Öğrencilere; “Eşlik ve benzerlik kavramları siz-

lere neler çağrıştırıyor? Eşlik ve benzerlik kav-ramlarını matematik dersinde nasıl kullandınız?”soruları sorulabilir. Öğrencilerin bu sorulara doğ-

ru cevaplar vermelerinden ziyade sorular hakkın-da yorum yapabilmeleri üzerinde durulmalıdır.

Öğrenme-Öğretme SüreciÖnceki yıllara ait ön bilgileri açığa çıkarmak

için öğrencilerden “Hatırlayalım” bölümündeki so-ruları cevaplamaları istenebilir. Öğrencilere derskitabının 108. sayfasındaki fotoğrafla ilgili görselokuma ve görsel sunu yaptırılır.

Ders kitabının 108. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrenciler psikomo-tor becerilerini doğru ve etkin kullanabilmelidirler.Ayrıca etkinlik öğrencilerin akıl yürütme ve ilişki-lendirme becerilerini etkin kullanabilmeleri için dü-zenlenmiştir.


3. Ünite


3. Ünite

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

Matematik her zaman bir hesap işi değildir. Bilimselçalışmalar dışında birçok alanda da matematik ile karşı-laşırız ama çoğu zaman bunun farkında bile olmayız.Nerelerde mi? Örneğin sanatta, müzikte, eğlencede vs.Yandaki çizimde de eğlenirken öğrenilebilecek bir mate-matik sorusu görülmektedir. Bu bir dikkat sorusudur. Ya-nılgıyı artırmak ve dikkat yoğunluğunu azaltmak için bir-birinin aynı ve birbirine benzeyen geometrik şekillerdenyararlanılmıştır.� Şekle ilk baktığınızda dikkatinizi çeken şey nedir?� Bu çizimde hangi geometrik şekiller vardır?� Şekildeki geometrik şekillerin hangilerinin birbirleri-

nin aynı ya da benzeri olduğunu belirlemek için neler ya-pılabilir?

� Üçgenlerde eşlik ve benzerlik şartları nasıl oluşabilir? Belirtiniz.

• Kâğıdı şekildeki gibi ikiye katlayıp üzerineüçgen modelini çiziniz.

• Bu üçgeni katlanmış kâğıttan keserek çıka-rınız.

• Üçgenleri ve biçiminde isim-lendiriniz.

• ’inde [AB], [AC] ve nü, ’inde

nü belirleyiniz.

� Belirlediğiniz uzunluklar ve açı ölçülerindenyararlanarak iki üçgen için ne söyleyebilirsiniz?

• ’de , ve , ’de ’ni belirleyiniz.

� Belirlediğiniz ölçülerden yararlanarak iki üçgen için ne söyleyebilirsiniz?

• Üçgenlerin eş olan iki açısını belirleyiniz.

� Üçgenlerin eş açılarından herhangi birinin iki yanındaki kenar uzunlukları için ne söyleyebilirsiniz?Açıklayınız.

� Yaptığınız bu çalışmalardan sonra iki üçgenin hangi şartlara göre eş olduğuna nasıl karar verirsi-niz?

,m D m F ve DF^ ^h hX WDEF&ABm C^ hXm A^ hWABC&

,DE DDF ve M ^ hX

DEF&m A^ hWABC&

DEF&ABC&

Üçgenlerde Eşlik Şartlarını Belirleyelim

kâğıt, kalem, makas, açıölçer

Ders kitabının 109. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki ilk örnektenyararlanarak öğrenciler akıl yürütme becerilerinikullanıp üçgenlerin duruşlarındaki farklılıkların üç-genlerin eşlik ve benzerliklerinde önemli olmadığısonucuna varabilmelidirler.

“Eşlik ve benzerlik kavramlarıyla günlük ya-şantımızda nerelerde karşılaşırız? Örnek veriniz.”sorusu öğrencilere yöneltilebilir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: kareli kâğıt, kalem, makas, açıöl-çer, cetvel

• Kareli kâğıda bir dikdörtgen çizip kenarların-dan kesiniz.

• Oluşturduğunuz dikdörtgensel bölgeyi bir kö-şegeninden kesiniz.

• Elde ettiğiniz eş üçgensel bölgeleri aşağıdaverilen yönergelere göre karşılaştırınız.

1) Kenar uzunluklarına,2) İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasında-

ki açı ölçüsüne,3) İki açı ölçüsü ve bu iki açının ortasındaki ke-

nar uzunluğuna göre karşılaştırınız.� Yaptığınız karşılaştırmalardan yararlanarak

üçgende eşlik şartlarının neler olabileceğini açık-layınız.


3. Ünite


3. Ünite

Üçgenlerde Eşlik Şartları

Örnek: Aşağıda verilen üçgenleri inceleyelim:

Örnek: Aşağıdaki üçgenleri inceleyelim:

Örnek: Aşağıdaki üçgenlerin köşeleri arasında bire bir eşleme yapalım:

Örnek: Aşağıdaki üçgenlerin inceleyelim:

olur.

s B s R

s C s S

BC RS cm

ABC PRS

67

33

7

= =

= =

= =

c

c ,

_ _

_ _

i i

i i

_

`

a

bb

bb

V WW W & &

Bu iki üçgenin 2 kenarı ve kenarları arasında kalan açıları eştir. O hâlde olur.�BEN AL i,& &

E N İ L

BA

4 cm

6 cm

4 cm

6 cm

�

s B s L

BE AL cm

BN L cm

80

4

6

= =

= =

= =

c_ _i iV U80°

80°

İki üçgen arasında bire bir eşleme yapıldığında bu üçgelerin iki kenarı ve kenarları arasın-

daki açıları eş ise üçgenler Kenar - Açı - Kenar (K.A.K) kuralına göre eş üçgenlerdir.

İki üçgen arasında bire bir eşleme yapıldığında bu üçgenlerin ikişer açısının ölçüleri ve bu

açılar arasında kalan kenarlarının uzunlukları birbirine eşit ise bu iki üçgen eştir. Bu eşlik şar-

tı Açı - Kenar - Açı (A.K.A) olarak adlandırılır.

İki üçgen arasında bire bir eşleme yapıldığında bu üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları bir-

birine eşit ise bu iki üçgen eştir. Bu eşlik şartı Kenar - Kenar - Kenar (K.K.K) olarak adlandırılır.

İki üçgen arasında bire bir eşleme yapıldığında bu üçgenlerin birer kenar uzunlukları eşit ve

ikişer açısı eş ise bu iki üçgen eştir. Bu eşlik şartı Kenar – Açı – Açı (K.A.A) olarak adlandırılır.

B 7 cm C

A

67°33°

R 7 cm S

P

67°33°

E

FI

3 cm

7 cm5 cm

3 cm

7 cm

5 cm

DG

H

bulunur.DE HI

DF HG

EF IG

DEF HIG

=

=

=

,

_

`

a

bb

bb

& &

.s A s

s s

bulunur

BC EF

D

C F

ABC DEF,

=

=

=

^ ^

^ ^

h h

h h

_

`

a

bb

bb

W X

X W

& &

İ

İ

A

B C4 cm

40°

D

E F4 cm

40°

Bu iki üçgenin iki açı ölçüsü ve bilinen ölçüsü arasında kalan kenar uzunlukları eşittir.

3.

2. Aşağıda verilen ifadelerin yanlarındaki kutucuklara doğru olanlar için “D”, yanlış olanlar için “Y”yazınız.

a) Eş iki üçgene aynı kenar ve köşelere ait açıortay, kenarortay ve yükseklikler eştir. ��

b) İkişer kenar uzunlukları ve birer açılarının ölçüleri eşit olan iki üçgen eştir. ��

c) KLM ≅ PRS ise |KL| = |PS| dur. ��

ç) Eş iki üçgenin tüm açıları eştir. ��

d) Karşılıklı tüm açıları eş olan iki üçgen eş üçgenlerdir. ��


1. ABC ≅ DEF, s(B) = 47°, s(F) = 59° ve |AC| = 5 cm olduğuna göre s(A), s(C), s(D), s(E) ve |DF|değerlerini bulunuz.

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

Şekilde m(LKN) = m(KMN) olduğuna göre aşağıdaverilen hangi iki üçgen kesinlikle benzerdir?

A) KNM ve KLM

B) KLN ve MLK

C) KLN ve KNM

D) NLK ve NMK

MN

K

L

ç. Araştırmada verilerin kimlerden veya hangi kuruluşlardan elde edildiğinin

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM


Ders kitabının 110. sayfasındaki etkinlik öğren-cilere yaptırılır. Etkinlikte öğrenciler akıl yürütme,ilişkilendirme ve psikomotor becerilerini etkin ola-rak kullanabilmelidirler.

Bu etkinlikte öğrencilerin oran ve orantı ile ilgi-li ön bilgilerini kullanmaları beklenir. Etkinlik so-nunda öğrenciler üçgenlerde benzerlik şartlarıiçin, benzerlik aranan üçgenlerde açı özelliklerin-den yararlanılabileceği sonucunu çıkarabilmelidir-ler.

Öğrencilere; “Üçgenlerde eşlik şartları nelerdi?” “Üçgenler-

de benzerlik için de etkinlik sonunda belirlediğinizşartlardan başka şartlar olabilir mi? Varsa bunlarnelerdir?” soruları yöneltilebilir. Öğrencilerin ce-vaplarını not etmeleri istenir. Sorulara verilen ce-vaplar hakkında yorum yapılmaz. Üçgenlerin ben-zerlik şartları öğrenildikçe “Böyle bir şart olabile-ceği öngörüsünde bulunan var mı?” sorusu yönel-tilerek öğrencilerin akıl yürütme, ilişkilendirme vetahmin becerilerinin geliştirilmesi sağlanabilir.


3. Ünite


3. Ünite

Örnek:

Örnek: İzometrik kâğıda bir kenar uzunluğu 6 cm olan bir eşkenar üçgen çizelim. Bu eşkenar üçge-nin bir kenarına ait yüksekliğini çizelim. Oluşan üçgenlerin eş olup olmadıklarını belirleyelim:

Üçgenlerde Benzerlik Şartları

elde edilir.

AB AC br

s C s B

CH HB br

ACH ABH

6

60

3

= =

= =

= =

c ,_ _i i

_

`

a

bb

bb

W V & &

100°

30°

120°

• Kâğıda kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan bir üç-gen çiziniz.

• Bu üçgenin yanına kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cmolan başka bir üçgen çizip iki üçgeni de keserek çıkarınız.

• Üçgenlerden küçük olanı, ; büyük olanı olarakisimlendiriniz.

• Üçgenlerin karşılıklı kenar uzunluklarını oranlayınız.

� Bu orandan yararlanarak bu üçgenlerin nasıl üçgenler ol-duğunu açıklayınız? Açıklayınız.

• Ölçme yapmadan iki üçgenin de eş olan açısını bulunuz.

� Üçgenlerin açılarına göre çeşidi hakkında ne söyleyebilirsiniz?

• Bu eş açıların yanlarında bulunan kenarları oranlayınız.

� Bu orana göre bu üçgenlerin benzerliğinin şartı ne olabilir? Açıklayınız.

• İki üçgenin de iç açılarını ölçünüz.

� Kenar uzunluklarını dikkate almayarak sadece açı ölçülerine göre bu üçgenlerin benzerlik şartı neolabilir? Açıklayınız.

DEF&ABC&

Üçgenlerde Benzerlik Şartlarını Bulalım

kâğıt, kalem, açıölçer, makas

A

B C

E

D

2 cm

2 cm

Şekilde verilen ile nin eş üçgenler olup olmadık-larını inceleyelim:

(ters açı) ve ’dir.

Yani dür. Bu yüzden eş üçgenlerdeğildir.

ABC ile DCE& &s A s E!_ _i iW VAC CE cm2= =s ACB s DCE=_ _i i% %

DCE&ABC&

A

HB C60°60°

30°30°

6 br

6 br

3 br 3 br

4. ABC ∼ DEF ise aşağıda verilen ifadelerin yanlarındaki kutulara doğru olanlar için “D”, yanlışolanlar için “Y” yazınız.

a) = �� b) m(C) = m(F) ��

c) = �� ç) m(B) = m(D) ��|AC|———|DF|

|AB|———|DE|

|BC|———|DE||AC|———|DF|


5.

6. Şekilde [DE] // [BC] dir. |AD| = 3 cm, |AE| = 4 cm ve |DB| = 5 cm olduğuna göre |AC| kaç cm-

dir?

DEF üçgeninde m(DGH) = m(DEF), |DH| = 3 cm,

|DG| = 4 cm ve |GF| = 2 cm olduğuna göre aşağıda-

kilerden hangisinin uzunluğu bulunabilir?

A) |GH| B) |EH|

C) |EF| D) Hiç biriF

D

E

HG

4 cm

3 cm

2 cm

C

A

B

ED

5 cm

3 cm 4 cm

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM


Sayfadaki örneklerde öğrencilerin ön bilgileriharekete geçirilmelidir. Öğrencilere ilk olarak üç-genin iç açılarının ölçüleri toplamının 180 dereceolduğu hatırlatılabilir. Bu ön bilgiden hareketleöğrenciler bir üçgende iki iç açının eş olması du-rumunda üçüncü açının da eş olması gerektiği so-nucuna ulaşabilmelidirler.

Öğrencilerde bilginin yapılandırılmasındaki so-runlardan en önemlilerinden biri, öğrencilerin önbilgilerini kullanarak yeni bilgilere ulaşamaması-dır. Bu olumsuz durumu ortadan kaldırmak içinöğrencilerin ön bilgilerini sık sık tekrarlamalarınısağlayacak çalışmalar yapılmalıdır. Bunu sağla-mak için 7. sınıf “GEOMETRİ” öğrenme alanı,“DOĞRULAR VE AÇILAR” alt öğrenme alanı ka-zanımlarından 5 ve 6. kazanımlarla ilgili olarakaşağıda kazanımların hemen altında verilen çalış-malar veya bu çalışmalara benzer çalışmalar ya-pılabilir (5. kazanım: Yöndeş, iç, iç ters, dış ve dışters açıları belirleyerek isimlendirir. 6. kazanım:Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açıların eşolanlarını ve bütünler olanlarını belirler.). Ağacıngövdesi ile dalları, birbirine paralel veya paralelolmayan iki düz yolu kesen üçüncü bir düz yol vb.model alınarak; yöndeş açıların, en az birer kenardoğruları aynı veya paralel olan açılar,

İç açıların, herhangi iki doğruyu üçüncü birdoğru kestiğinde bu doğrular arasında ve keseninher iki tarafında olan açılar ve iç ters açıların isebu iç açılardan kesenin ters tarafında komşu ol-mayan açılar,

Dış açıların, herhangi iki doğruyu üçüncü birdoğru kestiğinde doğruların arasında olmayan herbirinin kesenle yaptığı açılar ve dış ters açılarınise bu dış açılardan kesenin ters tarafında komşuolmayan açılar olduğu fark ettirilir.

Kâğıdın katlanması istenir, paralel iki doğru ilebu doğruları kesen üçüncü bir doğru inşa ettirilir.Oluşan ters, yöndeş, iç ters, dış ters açılardan eşolan çiftler üst üste çakıştırılarak fark ettirilir. Derskitabının 112. sayfasındaki örnekler öğrencilerlebirlikte incelenir.


3. Ünite


3. Ünite

Örnek:

Örnek:

Yanda verilen üçgenlerinbenzer olup olmadıklarınıinceleyelim:

Yandaki şekilde

’dir. nu bulalım.ONve MO cm6=

; ,s KLM s MON KL cm LM cm3 4= = =_ _i i% %

KM M MO =+5 5? ? ! +

ABC ve DEF üçgenlerinde

dir. Aralarında bire bir eşleme yapılan iki üçgenin karşılıklı açıları eş ise bu iki

üçgen benzer üçgen olur. O hâlde dir. O hâlde olur.DEAB

EFBC

DAFC

= =ABC DEF+& &

s A s x

s s E

s s

D

B y

C F z

=

= =

= =

=_ _

_ _

_ _

i i

i i

i i

W W

V V

W V

B C

A

y z

x

E F

D

y z

x

Üç iç açı ölçüsü de eş olan üçgenlerde benzerlik şartı açı-açı-açı (A.A.A) dır. İkişer açıları eş

olan üçgenlerin üçüncü açıları da eş olacağından ikişer açının eşliğinden benzerlik görülür.

Bu kural açı-açı (A.A) benzerlik şartıdır.

ile ni karşılaştıralım.

veriliyor. ile ters açılar olduğundan ölçüleri eşittir. O hâlde

olur.

İki üçgen için iç açıların ölçüleri toplamı 180° ve ikişer açıları eş olduğundan dür.Bu durumda üçgenler AA benzerlik kuralına göre benzerdir. Bu iki üçgenin benzerlik durumu için üç-genlerdeki benzerlik oranını kullanalım.

olur.

olur.

oranını kullanırsak;

ONON

ON

364 4 3 6

418

29

= =

= =

& $ $

NOKL

OMLM

=

KLOMLM

NKM

NO M= =

KLM NOM+& &

s LKM s MNO=_ _i i% %

s KML s NMO=_ _i i% %

NMO%KML%s KLM s MON=_ _i i% %

NOM&KLM&

cm olarak bulunur.

K

L

3 cm

4 cm

6 cm

M N

O


3. Ünite

Örnek:

Örnek:

Şekildeki [ŞU] [AU], [ŞT] = 6 cm, |AT| = 4 cm,|AB| = 5 cm’dir.

Bu verilere göre |BU| nu bulalım:

=

A açısı her iki üçgende deortak açıdır.

ALİ ve CAN üçgenlerinin kenar uzunluklarını karşılaştıralım. Benzer olup olmadıklarını bulalım.

ve ni ayrı ayrı çizelim.TAB&�UA&

nin ile nin dik açı olduğundan bu açıların ölçüleri eşittir. dür. O hâlde

nin ile nin da eş açılar olur. A.A.A benzerlik şartından;

elde edilir. Benzerlik oranını kullanalım:

olur.

bulunur.

UA BA BU

BU BU BU cm8 5 8 5 3

= +

= + = - =& &

�

BT

U UA UA UAUA cm

4 510

4 5

104

2 8= = = = =& & &1

2

� �

BT

U

TAUA

BA

A= =

�UA ABT+& &

BVTAB&�W�UA&

s U s T=_ _i iW WTWTAB&UW�UA&

Üçgenlerin karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı olduğundan olur.

�AL CAN+& &�

�

CAAL

CNA

ANL

510 2

1224 2

1326 2

= =

= =

= =

_

`

a

bbbb

bbbb

Ş

Ş

Ş Ş

Ş Ş

Ş

olarak elde edilir.

İ

İ

İ

A

İL 26 cm

10 c

m

24 cmC

NA 13 cm

5 cm

12 cm

Ş

5 cm

4 cm

6 cm

Ş

UB

T

A

10 cm

Ş

UA 5 cm

4 cm

B

T

A


Örneğin çözümünde kenar uzunluklarının bü-yükten küçüğe doğru sıralandığına dikkat çekile-bilir. Bunun bir sistematik olduğuna vurgu yapıla-bilir.

Ders kitabının 114. sayfasındaki örnek, öğren-cilerle birlikte incelenir.

Öğrencilerden örneklerdeki ilişkileri kendicümleleri ile açıklamaları istenebilir. Problem çöz-me basamaklarının ilkinin problemi anlama oldu-ğu göz önünde bulundurulduğunda örneklerin an-laşılıp anlaşılmadığının belirlenebilmesinde deaynı basamak kullanılabilir. Eğer öğrenci örnekteyapılan çalışmayı kendi cümleleri ile açıklayabili-yorsa örnekte verilmek istenenleri (kavramsal bil-ginin işlemsel bilgiye dönüştürülmesi) kavramış-tır. Yine daha önceden de belirtildiği gibi öğrenci-lerden benzer örnekler düzenlemeleri istenebilir.Bu çalışma grup çalışması şeklinde de yapılabilir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: kareli kâğıt, makas, cetvel, ka-lem, açıölçer

• Kareli kâğıttan kenar uzunlukları farklı olacakşekilde iki adet karesel bölge kesiniz.

• Elde ettiğiniz karesel bölgeleri birer köşegen-lerinden kesiniz.

• Elde ettiğiniz üçgensel bölgelerden birer ta-nesini alınız.

• Elinizdeki üçgensel bölgeleri aşağıdaki yö-nergelere göre karşılaştırınız.

1) Her iki üçgensel bölgenin aynı oranda olankenar uzunluklarına göre,

2) Açı ölçülerine göre,3) Verilen üçgensel bölgeleri iki kenar uzunlu-

ğu ve bu kenarlar arasındaki açı ölçülerine görekarşılaştırınız.

� Yaptığınız çalışmalara göre benzer üçgen-lerde benzerlik şartlarının neler olabileceğini açık-layınız.


3. Ünite


3. Ünite

Kenar-kenar-kenar (KKK) benzerlik kuralı araştırılırken; üçgenlerden birinin kenar uzunlukları kü-çükten büyüğe doğru sıralanır. Aynı şekilde diğer üçgenin de kenar uzunlukları küçükten büyüğe doğ-ru sıralanır. Hepsinde de aynı oran varsa KKK şartı sağlanır.

ile için bunu uygularsak bulunur. O hâlde K.K.K kuralı vardır.

Buna göre;

10 cm’nin karşısındaki İ noktası ile 5 cm’in karşısındaki N noktası,

24 cm’nin karşısındaki L noktası ile 12 cm’nin karşısındaki A noktası,

26 cm’nin karşısındaki A noktası ile 13 cm’nin karşısındaki C noktası, karşı karşıya getirilerekyazılır.� �LA NAC veya AL CAN+ +

& & & &

k510

1224

1326 2= = =&CAN&�AL

&

İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları karşılaştırıldığında bu kenarlarının uzunlukları oran-

tılı ise bu iki üçgen benzer üçgenler olarak adlandırılır.

Bu benzerlik şartı da Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K) benzerlik şartı olur.

Karşılıklı ikişer kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarların arasındaki açıları eş olan üçgen-

ler benzer üçgenlerdir. Bu özellik kenar-açı-kenar (K.A.K) benzerlik şartıdır.

Örnek:

Örnek:

İki üçgenin benzer olup ol-madıklarını araştıralım:

Yandaki şekilde dir.

’dir.

nu bulalım:�M

ES

�L cm ve EL cm7 14= =

, ,SL cm LM cm10 5= =

SL LM L=+5 5? ? ! +

ile nin birer açısı eş ve bu açılara göre kenar uzunlukları oranı

olduğundan olur.ABC DEF+& &

31

DEF&ABC&

s A s D

DEAB

DFAC

65

93

31

155

31

= =

= =

= =

c_ _i i_

`

a

bbbb

bbbb

W W dir.

’tür.

’tür.

İ

İ İ

İ

İ

9 cm

15 cm

D

E F

65°

9 cm

15 cm

F

D

E

65°

S

E

10 cm

14 cm 7 cm5 cm

L

İ

M

yazılır. Buradan;

elde edilir.

bulunur.

olur.

yy

yy

y y

y y

155

8 31

8

8 3

8 2 4

=+

=+

+ =

= =

&

&

15

x x15

3 93

= =&

BC ADAD5 3

15 8= =

+

E EABA

BCD

ACAD

= =


3. Ünite

ile nin birer açıları eştir. (Ters açılar)

Eş açıların karşılarındaki kenar uzunluklarını oranlayalım. Oranlama yaparken uzun kenarla uzunkenarı, kısa kenarla da kısa kenarı oranlayalım.

ile nu karşılaştırırsak eşitliğini elde ederiz. Bu durumda olur.

dur. bulunur.� �M

SE

M

SE714

510 2= = =&

� �M

SE

L

ELMLSL

= =

�SEL M L+& &

714

510

=MLSL

�L

EL

�s SLE s LM=_ `i j% %�M L

&SEL&

Örnek:

Yandaki şekilde dır. Veri-lenlere göre x ve y uzunluklarını hesapla-yalım:

ED BC'5 5? ?

(ortak açı)

(yöndeş açılar)

(yöndeş açılar)

O hâlde bu iki üçgen (A.A) veya (A.A.A)benzerlik kuralına göre benzerdir. Karşılıklıeş olan açıları aynı hizada yazmak şartı ileiki üçgen arasındaki benzerliği ifade ede-lim.

olur. Benzerlik oranındanA ABCED+& &

s D s C=_ _i iW WE ss B=_ _i iV V

s sA A=_ _i iW W

eşeş

eş

İ

İ İ İ İ

İ

İ

İ

A

B

E D

C

5

10

3

x

y

8

A

B

E D

C

5

10

3

x

y

8

Ders kitabının 115. sayfasındaki problemin çö-zümünde problem çözme basamaklarının kullanı-mına dikkat çekilmelidir.

Problem çözme becerisi; öğrencinin yaşamın-da karşısına çıkacak problemleri çözmek için ge-rekli olan beceriyi kapsar.

Problemin anlaşılması, gerekirse alt basamak-ların ya da problemin köklerinin bulunması, prob-lemi uygun şekilde çözmek için planlama yapıl-ması, işlemler sırasında çalışmaların gözlenmesi,gerektiğinde stratejilerin ve planların değiştirilme-si, yöntemlerin sınanması, çözüm aşamasında el-de edilen veri ve bilgilerin değerlendirilmesi, çözü-me ulaşılınca çözümün anlamlılığının ve işe ya-rarlılığının değerlendirilmesi ve yeni problemlerifark etmesi alt beceriler olarak sıralanabilir.

Problem çözme matematik dersinin ayrılmazbir parçasıdır. Problem, çözüm yolu önceden bili-nen alıştırma ve soru olarak algılanmamalıdır.Problem, öğrenci yaşantısıyla ilgili olmalı, ilgiçekmeli ve ihtiyaç hissettirmelidir. Bu durumdaöğrencilerin, kazandıkları matematiksel bilgi vebeceriler daha anlamlı olacak ve bu bilgiyi farklıdurumlara uygulamaları kolaylaşacaktır. Matema-tik dersinde açık uçlu problemlere de yer verilme-lidir. Bu problemler birden fazla strateji kullanarakçözülebilen veya farklı sonuçlar elde edilen tür-dendir. Problem çözmeye algoritmik ve kural te-melli yaklaşılmamalıdır. Öğrencilere problem üze-rinde uğraşmaları için fırsat tanınmalı ve yaratıcıolmaları için ortam düzenlenmelidir. Problem çöz-me, başlı başına konu değil bir süreçtir. Bu süreç-te, problem çözme becerilerinin kazandırılmasıve kullanılması hedeflenmiştir ve büyük önem ta-şımaktadır. Problem çözme kapsamlı bir şekildeele alınmalıdır. Öğrencilerin problemleri farklı yol-lardan çözebileceği ve problem çözme ile ilgili dü-şüncelerini akran ve öğretmenleriyle rahatlıklapaylaşabileceği sınıf ortamları oluşturulmalıdır.Ayrıca öğrenciler, problem çözme sürecinde fark-lı çözüm yollarına değer vermeyi öğrenmelidir.Öğrencinin problemi nasıl çözdüğü, problemdekihangi bilgilerin bu çözüme katkıda bulunduğu,problemi nasıl temsil ettiği (tablo, şekil, nesnevb.), seçtiği stratejinin ve temsil biçiminin çözümünasıl kolaylaştırdığı üzerinde durulmalıdır.


3. Ünite


3. Ünite

Benzerlik Problemleri

Problem:

Problem:

Problemi anlama: veriliyor. Veri-lenlere göre x ve y uzunluklarını bulacağız.

Plan yapma: Benzerlik şartını oluşturup buna göre kenar uzunlukları arasındaki oranı bulacağız.

Çözüm stratejisi:

, ,BA cm AC cm s ABC s DAC ve BC cm6 8 12= = = =_ _i i% %

Kontrol basamağı:

olduğundan yapılan çözüm doğrudur.k23

=

816

DAAB

ACBC

DCAC

46

23

812

23

3168 3

23

= =

= =

= = =2

$1

_

`

a

bbbbb

bbbbb

ABC C iseDA+& &

ise x ve y kaç cm’dir?s ABC s DAC=_ _i i% %

ortak açıdır. veriliyor.

O hâlde olur.

(A.A.A)

olur.

DAAB

ACBC

DCAC

y x6

812 8

= =

= =&

ABC DAC+& &

s BAC s ADC=_ _i i% %

s ABC s DAC=_ _i i% %CW

.

y y

y

y cm olur

6812 8 6 12

48 12

4

= =

=

=

& $ $

.

x x

x

x cm olur

812 8 12 8 8

12 64

1264

316

= =

=

= =

& $ $

vedır. Şe-

kilde verilenlere gö-re x uzunluğu nedir?

CD DE=5 5? ?

AB BC=5 5? ?

A

B C D

E

x

15 cm

9 cm

12 cm 8 cm

6 cm

��

A

B CD

y

x

8 cm

12 cm

6 cm

��

A

B CD

y

x

8 cm

12 cm

6 cm


7. Şekilde [AB] // [DE]’dir. |AB| = 4 cm, |AC| = 5 cm, |DE| = 6 cm,

|DC| = 7 cm olduğuna göre Ç(ACB)+ Ç(CDE) =?

8. Yandaki şekilde, [AB] ⊥ [BD], [AC] ⊥ [CE], [ED] ⊥ [BD], |AB| = 10 cm, |BC|= 6 cm ve |DE| = 4 cm

ise |CD| = x kaç cm’dir?

Yandaki şekilde A noktasına adamın uzaklığı

3 m, ağacın uzaklığı ise 7,5’dir. Adamın boyu 2 m

olduğuna göre ağacın boyu kaç metredir.

9.

C

A

B D

A

E

4 cm

6 cm

4.5 m 3 m

x

10 c

m

C

A B

D E6 cm

7 cm

5 cm

4 cm

Uygulamalar:




1.

Yukarıda verilen şekle uygun bir problem ku-rup çözerek ağacın boyunu bulunuz.

2. Şekilde|AD| = 2 cm|DB| = 6 cm|DE| = 3 cm|EB| = 4 cm|EC| = 8 cm ve

ABC ~ EBD olduğu bilindiğine göre |AC| kaçcm’dir?

3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başı-na “D” , yanlış olanların başına “Y” yazınız.

a) ( ) İki üçgenin de ikişer kenar uzunluğu vebu kenarlar arasındaki açı ölçüleri eşit ise bu ikiüçgen benzer üçgendir.

b) ( ) İki üçgenin de tüm iç açı ölçüleri eşit isebu üçgenler A.A.A. kuralına göre eştir.

Değerlendirme

Öğrencilerden, üçgenlerde eşlik şartlarınıaçıklamaları, üçgenlerde benzerlik şartlarını açık-lamaları beklenir.



Yapılmak istenen ölçmenin niteliğine göre ya-pılan problem çözme çalışmaları için “ProblemÇözme İçin Öğrenci Raporu, Problem Çözme İçinBütüncül Dereceli Puanlama Anahtarı, ProblemÇözme İçin Analitik Dereceli Puanlama Anahtarı”formlarından biri veya birkaçı kullanılabilir.

!

!


3. Ünite


3. Ünite

Problemi anlama: ABC ve EDC dik üçgenleri veriliyor.

dır. |AB| = 9 cm, |BC| = 12 cm, |AC| = 15 cm, |ED| = 6 cm, |CD| = 8 cm,ise x uzunluğu soruluyor.

Plan yapma: Benzerlik şartını bulup buna uygun oranı yazacağız. Böylece x uzunluğunu bulacağız.


olur.

O hâlde (K.A.K.)

cm olarak bulunur.

Kontrol basamağı: olduğundan yapılan çözüm doğrudur.EDAB

CDBC

ECAC

69

812

1015

23

= = = = =&

EDAB

CDBC

ECAC

x x x

x

69

812 15 15

23 3 30

10

= = = = = =

=

& & &

ABC EDC+& &

9

8

12

EDAB

CDBC ED

ABCDBC2

3

23 2

36= =

= =

= =

3

3

2

2

_

`

a

bbb

bbb

s B s D 90== c_ _i iV W

AB BC CDve DE= =5 5 5 5? ? ? ?

ALIŞTIRMALAR

1)

2)

3)

4)

D

B5 br

6 br

7,5 br9 br

x

A

A

DA

D

BB C

F

x

x

E

B C

C

Yandaki verilenlere göre x uzunluğunu bulunuz.

’dir. BCFD kare ise x uzun-luğunu bulunuz.

AD cm ve DE cm9 12= =

Yandaki şekilde

’dir.

Buna göre x ve y kaç birimdir?

,AB br BD br ve B brC4 6 8= = =

, ,s BAD s DBC s ABD s BDC= =_ _ _ _i i i i% % % %

Yandaki şekilde ise aşağıda-kilerden hangisi yanlıştır?

A)

B)

C)

D) s ABD s ACD=_ _i i% %

s BAC s BDC=_ _i i% %

s ACB s BCD=_ _i i% %

s ABC s CBD=_ _i i% %

A D AC CDB B ve ==

59-62

B4 br

6 br

8 br

yC

D

A

x

��

�

��

�


10. Yandaki şekilde merdivenin uzunluğu

6 metre, duvarın yüksekliği 3 metre, merdi-

ven altındaki desteğin uzunluğu ise 1 met-

redir. Buna göre merdivenin duvar ile des-

tek arasındaki uzunluğu kaç metredir?

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

11.

Yandaki şekilde |KL| = 6 cm, |ON| = 3 cm,

|LM| = 8 cm ve |MN| = 4 cm’dir.

[KL] ⊥ [LM] ve [ON] ⊥ [MN] olduğuna göre

= ?|KM|———|OM|

12. Yanda verilen üçgenler arasındaki benzerlikaşağdakilerden hangisidir?

A) DFE ≈ KLM B) FDE ≈ KLM

C) FDE ≈ LKM D) EFD ≈ LKM

K

4 cm

6 cm

ML

8 cm

E

D

F4 cm

3 cm2 cm

��

��

��

�

3 m

6 m

1 m

?

K

L M N

3 cm

6 cm

O

A

A B

E

D

C

2 cm

6 cm

8 cm

3 cm4 cm

160 cm 480 cm

120 cm

B C

D

E

Süre : 2 Ders saatiÖğrenme Alanı : Geometri, ÖlçmeAlt Öğrenme Alanı : Üçgenler Kazanımlar8. Pythagoras bağıntısını oluşturur. 2. Pythagoras bağıntısını problemlerde uygular.Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütmeYöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğrenme,

anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: geometri şeritleri, açıölçer, kareli kâğıt,

kalem makas (Makas kullanımına dikkat edilmelidir)

Ders İçi İlişkilendirmeler: CebirZorunlu Program Uyarıları [!] Program kitabının giriş bölümünde yer alan

problem çözme ile ilgili açıklamalar dikkate alınır.[!] Karenin, dikdörtgenin köşegenleri; eşkenar,

ikizkenar üçgenin yüksekliği; küpün cisim köşegenibulurulur.

Dikkat Çekme ve Motivasyon Öğrencilere “Matematikle ilgilenen insanlarından

hangilerinin isimlerini biliyorsunuz? İsmini bildiğinizbilim insanları matematikle ilgili nasıl çalışmalar yap-mıştır? Siz bilim insanı olsaydınız matematikle ilgilihangi alanlarda çalışmalar yapmak isterdiniz?” soru-ları sorulur. Bu şekilde öğrencilerin derse dikkati çek-ilebilir.

Öğrenme-Öğretme SüreciDers kitabının 117. sayfasındaki fotoğrafla ilgili

görsel okuma yaptırılır. Fotoğrafa ait metin öğrenci-lere okutulur. Metnin sonundaki sorulardan yararla-narak öğrenciler sayfadaki etkinliğe yönlendirilir.

Etkinlikte öğrencilerin ilişkilendirme (ön bilgileriile yeni öğreneceği bilgileri), akıl yürütme ve psiko-motor becerilerini etkin kullanmaları sağlanmalıdır.

Ayrıca etkinlikten yararlanarak öğrencilerin du-yuşsal özelliklerinin gelişimine katkı sağlanabilir. Bu-nu sağlamak amacı ile öğrencilerden Pisagor’un ha-yatını, matematikten başka nelere ilgi duyduğunu,matematik bilgilerini yaşamında ve ilgi duyduğualanlarda nasıl kullandığını (özellikle müzikte) araş-tırmaları istenebilir. Öğrencilerin araştırma yaparkenbaşvurabilecekleri İnternet kaynaklarından biri aşa-ğıda verilmiştir.

KAYNAK: http://www.istanbul.edu.tr/fen/mate-matik/mtmtkclr.htm#pisagor

Alternatif Etkinlik:

Araç-Gereç: geometri şeritleri, açıölçer• Kenar uzunlukları 3 br ve 4 br olan iki geometri

şeridi ile üçüncü bir geometri şeridini kullanarak üç-gen elde etmeye çalışınız.

• Elde ettiğiniz üçgenin iç açı ölçülerini açıölçerlebelirleyiniz.

• Aynı açı ölçülerine sahip üçgeni kenar uzunlukları6 br ve 8 br olan geometri şeritleri ile de yapınız.

• Elde ettiğiniz dik üçgenlerde dik kenar uzunluk-larının kareleri toplamı ile hipotenüs uzunluğununkaresini karşılaştırınız.

� Yaptığınız işlemlerden yararlanarak dik üçgen-lerde kenar uzunlukları arasında nasıl bir bağıntıvardır? Açıklayınız.


3. Ünite


3. Ünite

PYTHAGORAS (PİSAGOR) BAĞINTISI

Pythagoras (Pisagor), MÖ 580 - MÖ 500 tarihleri arasındayaşamış olan Yunan filozof ve matematikçidir. En iyi bilinenönermesi, adıyla anılan Pisagor önermesidir. "Sayıların babası"olarak bilinir. Doğum yeri olan Sisam Adası’ndan MÖ 529 daGüney İtalya’ya, Crotona (Kraton)’a göç etti. Crotona bu yöre-nin zengin liman kentlerinden biriydi. Pisagor burada biraz kişi-sel çekiciliği, kendinde var olduğunu iddia ettiği kehanet gücü,biraz da etrafında yarattığı gizemli havasıyla zengin ve soyludelikanlılardan üç yüz kadarını bir çatı altında topladı ve okulkurdu. Pisagor, öğrencileri iki bölüme ayırıyordu : Dinleyiciler vematematikçiler. Okula dinleyicilik ile başlanıyor başarılı olunur-sa matematikçiliğe geçiliyordu. “Pisagor bağıntısı” adıyla bili-nen bağıntının kaynağı olan kişi Pisagor’dur.

� Hipotenüsün uzunluğunu belirlemek neden önemli olabilir?

• Alanı 9 br2, 16 br2 ve 25 br2 olan karesel bölgeleri karelikâğıttan kesip çıkarınız.

• Karesel bölgeleri şekildeki gibi yerleştiriniz.

• Karesel bölgelerin ortasında oluşan üçgen şeklinin açıla-rını ölçünüz.

� Bu üçgen açılarına göre ne çeşit bir üçgendir?

• Bu üçgenin kenar uzunluklarını belirleyiniz.

• 9 br2 lik karesel bölgenin bir kenar uzunluğunun karesinialınız.

• 16 br2 lik karesel bölgenin bir kenar uzunluğunun karesi-ni alınız.

• Bu iki sayıyı toplayınız.

• Dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu belirleyiniz.

• 25 br2 lik karesel bölgenin bir kenar uzunluğunun karesini alınız.

� Bulduğunuz hipotenüs uzunluğu ile karelerini alıp topladığınız sayılar arasında nasıl bir ilişki vardır?

� Bu yapılan işlemlerden sonra dik üçgenlerde hipotenüs uzunluğu dik kenarlar yardımıyla nasıl he-saplanabilir? Açıklayınız.

Pythagoras (Pisagor) Bağıntısını Oluşturalım

kareli kâğıt, kalem, makas, açıölçer

Temsilî Resim

ABC dik üçgeninde m(A) = 90°, |BC| = 2 5 cm ve|AC| = 2. |AB| olduğuna göre |AB| kaç cm’dir?


1. ABC dik üçgeninde m(B) = 90°, |AB| = 4 cm,|AC| = 41 cm ise |BC| =x kaç cm’dir?

2.

3.

Yandaki şekilde [AB] ⊥ [AC], [BD] ⊥ [DC],|AC| = 6 cm, |AB| = 8 cm, |BD| = 5 cm ise |DC|kaç cm’dir?

PİSAGOR BAĞINTISI

C

A

B

41 cm

4 cm

C

A

B

C

A

B

D

8 cm

6 cm

5 cm

d. Araştırma boyunca kullanılan tekniklerin neler olduğunun açıklanması

Ders kitabının 118. sayfasındaki örnekler öğren-cilerle birlikte incelenir.

Birinci örnekte Pisagor bağıntısının oluşturulma-sına dikkat çekilmelidir. Burada öğrenciler bağıntınınoluşmasında kenarların isimlendirilmesinin etkili ol-duğunu keşfedebilmelidirler. Bunun başarılması öğ-rencilerin formüle bağlı kalmasını değil formülün olu-şumunun mantığını kavramalarını sağlayacaktır.

Öğrencilerden “Pisagor matematik biliminde ne-den bu kadar önemli bir yer tutuyor?“ sorusu gelebilir.Bu soru için aşağıdaki bilgiler kullanılabilir:

“Pisagor, MÖ altıncı yüzyılda, Dünya’nın, Güneşetrafında hareket ettiğini ileri sürdüğü zaman olduk-ça sert bir tepkiyle karşılaşmıştır. O tarihlerde kâğıtolmadığı için bu buluşlarını nasıl elde ettiği, yine budevirlerdeki bilgilerin hangisinin Pisagor’a ait olduğukesin olarak bilinmemektedir. Hatta okuldaki öğretimaraçlarının masa üzerindeki ıslak kum olduğu söyle-nir. Bu koşullar altındaki ilmî gerçeklerin tümü o za-man yazıya geçmediği için, birçoğu da zamanla kay-bolup gitmiştir. Pisagor'un okulu ve öğrencileri ile bir-likte yanmalarından dolayı da eser bırakıp bırakma-dığı kesin olarak belli değildir.

Pisagor’un müzik üzerine de çalışmaları vardır.Müzik tonlarının, telin uzunluğunun oranlarına bağlıolduğunu keşfetmiş ve bunun tüm sayılara yorum-lanmasını düşünmüştür. Bu düşünce bugün kullan-dığımız gerçek eksenin sayı sisteminde kullanılma-sından başka bir şey değildir. Fakat, eski Yunan ma-tematikçileri gerçek sayıları bilmiyorlardı. O zaman-lar, rasyonel sayıları uzunlukları ölçmek için kullanı-yorlardı. Bunun için belli bir birim alıyorlar ve bu biri-me oranlayarak iki nokta arasındaki uzunluğu ölçü-yorlardı. Rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunluğunkeşfi 2600 yıl önce Yunan matematikçileri tarafındanolmuştur. Bu sonuçta, hâlen değerini koruyan ve ko-ruyacak olan ünlü Pisagor teoremine dayanır. Pisa-gor teoremi, matematikteki en büyük buluşlardan bi-ridir. Hele zamanımızdan 2600 yıl önce bulunduğugöz önüne alınırsa bundan daha büyük bir buluş dü-şünülemez

KAYNAK:http://www.istanbul.edu.tr/fen/matema-tik/mtmtkclr.htm#pisagor


Yanda verilen şekilde |AB| = 4 cm,|ED| = 6 cm, |BC| = 3 cm [AC] ⊥ [EC]

s(D) = 90° ve s(B)=90° dir.

Verilenlere göre =?|AC|———|EC|


3. Ünite

bulunur.AB BC AC AC AC AC cm6 8 100 100 102 2+ = + = = = =& & &2 2 2 2 2


3. Ünite

�

Örnek:

Örnek:

3cm

a = 4cm

b = 5cm

A25 cm 2

16 cm2

9 cm2

CB

Yandaki ABC dik üçgeninde a = 4 cm alındığı için a2 = 42 vea2 = 16 cm2, c = 3 cm alındığı için c2 = 32 ve c2 = 9 cm2, b = 5 cmalındığı için b2 = 52 ve b2 = 25cm2 dir.

olduğundan dik üçgendir. Buradan;16 + 9 = 25

a2 + c2 = b2 olduğu görülür. ABC dik üçgeninde bağıntısı Pisagor bağıntısıdır.

b a c2 2 2= +

ABC&s B 90= c_ iV

Yanda 1 cm’lik noktalı kâğıt üzerinde verilen ABC diküçgeninde hipotenüs uzunluğunu bulalım:

ABC dik üçgeninde [AC] hipotenüstür. Cetvel yardı-mıyla ölçme yapıldığında |AC| = 10 cm olduğu görülür.Cetvelle ölçme yapmadan;

→ → →

Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenar uzunluklarının kareleri toplamına

eşittir. Bu bağıntı Pisagor bağıntısıdır.

Karenin köşegen uzunluğu kenarlardan birinin katına eşittir.2

B 8 cm

6cm

A

C

ABCD karesi ve KTRM dikdörtgeninin birer köşegenini çizelim ve bu köşegenlerin uzunluklarını bulalım.

ABCD karesinde [AC] köşegendir. Kareyi ABC ve ADC olmaküzere iki eş dik üçgene ayırmıştır. ni dikkate alırsak;

olarak elde edilir.

AD DC

AC

AC

AC AC

AC

cm

5 5

25 25

50 50 25 2 5 2

2 2

=

+ =

+ =

=

+

= = =& $

2 2 2

2

2

2

ADC&

KTRM dikdörtgeninde [KR] köşegendir.KR KM MR

KR

KR KR KR cm

9 12

81 144 225 15

2

2

2 2

2 2

2 2& &

=

+

= + = =

+

=

olarak elde edilir.

12 cm

9 cm

T

R

K

M

12 cm

9 cm

T

R

K

M

A

5 cm

5 cm

5 cm

5 cmB

D C

A

5 cm

5 cm

5 cm

5 cmB

D C


4.

C

A

B

x

4 cm

10 cm

Yandaki üçgende m(A) > 90° ise |AC| = x enbüyük hangi doğal sayı değerini alabilir?

5.Yandaki şekilde [AB] ⊥ [BC], |AB| = 12 cm,

|AD| = 13 cm ve |AC| = 20 cm olduğuna göre|DC| = x kaç cm’dir?

A) 16 B) 13

C) 11 D) 9

6.A

Yandaki şekilde Ali’nin vurduğu top üst kale dire-ğinde A noktasına isabet etmiştir. Topun kaleye olanuzaklığı 5 metredir (top ile B arasındaki uzaklık).Kale direğinin yerden yüksekliği 3 (A ile B arasında-ki uzaklık) metre olduğuna göre top üst kale direği-ne çarpana kadar kaç metre yol katetmiştir?

C

A

B D x

20 cm13 cm12 c

m

B

A

C

E

D

4 cm 6

cm

3 cm


7. Yandaki şekilde |OB| = 3 cm, |BC| = 4 cm’dir.

A(OTC) kaç cm2 dir?

8.Yandaki fotoğrafta olta ile ip arasındaki açı-

nın ölçüsü 90° dir. Oltanın uzunluğu ise 3 m’dir.Olta ipinin uzunluğu 1,4 metredir. Buna göre ol-tanın başlangıç noktasıyla ipin sudaki ucu ara-sındaki uzaklığı kaç m’dir?

9.

Şekildeki ABCD dik yamuktur. Verilenlere göreyamuğun alanını bulunuz.

C

A B

D

16 cm

10 cm

10 cm

O BC

T

A 3 cm 4 cm

3 m

��

e. Araştırma boyunca hangi zorluklarla karşılaşıldığının açıklanması

Ders kitabının 119 ve 120. sayfalarındaki ör-nekler öğrencilerle birlikte incelenir. 119. sayfada-ki bilgi kutusuna dikkat çekilir.

Uygulamalar


Çalışma kitabının 63, 64 ve 65. sayfaların-daki sorular çözdürülebilir.


Şekilde ABC eşkenar üçgen ve BEC ikizkenardik üçgendir. Buna göre boyalı bölgenin alanınıbulunuz.

Değerlendirme:

Öğrencilerden Pisagor bağıntısını oluşturma-ları beklenir.


!

!


3. Ünite

dik üçgen olduğundan |BC| nu Pisagor bağıntısından bulabiliriz.

BAC dik üçgensel bölgesinin alanı dik kenarların uzunlukları yardımıyla olarak elde edilir.

BAC dik üçgensel bölgesinin alanını; taban uzunluğu·yükseklik alan bağıntısı yardımıyla hesaplayalım.2Burada yüksekliktir.

.

A BAC a h A BACBC AD AD

AD cm olur

2 212

2

2 13

1312

= = =

=

& &

&

$ $ $_ _i i& &

AD5 ?

A BA cmC2

4 6224 12 2= = =$_ i&

BC

BC

BC B cmC

4 6

16 36

52 52 2 13

2 2

&

= +

= +

= = =

2

2

2

BAC&

olur.

4 cm 6 cm

A

BD

C


3. Ünite

Örnek:

Örnek:

Örnek:

ABC eşkenar üçgeninde bir kenara ait yüksekliği çizelim ve buyüksekliğin uzunluğunu hesaplayalım:

Şekilde verilen küpün cisim köşegeni bulalım.

Yandaki şekilde ile dik üçgenlerdir.|AD| nu hesaplayalım:

ADC ve BAC& &BDA&

! Siz de [AC] ve [AB] na ait yükseklikleri çizerek uzunluklarını hesaplayınız.

[BC] na ait yüksekliği çizdiğimizde ha, |BC| nu iki eş parçaya ayırır.Aynı zamanda için açıortaydır.

ADC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayalım.

Aynı za-

manda ADC dik üçgeninde ’dir. DCAC

br2 2

6 3= = =

.

h

h

h

h h br olarak elde edilir

3 6

9 36

36 9

27 27 3 3

a

a

a

a a

2 2 2

2

2

2

+ =

+ =

= -

= = =&

AW

30°° −− 60°° −− 90°° dik üçgeninde 30°° karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına,

60°° nin karşısındaki kenar uzunluğu da hipotenüs uzunluğunun yarısının katına eşit olur.3

A

CB

6 br

6 br

60°

60° 60°

A

CDB

6br

3 br

6 br

3 br

6br

30° 30°

60° 60°

ha

��

A B4 cm

4 cm

CD

Dı

AıBı

Cı

A B4 cm

4 cm

D C |DB|2 = 42 + 42

|DB|2 = 16 + 16

|DB|2 = 32

|DB| = = 4 232

4 cm

8 cm

3 cmA

C

2)

3)

Örnek: Kâğıda dik kenar uzunlukları 1 br olan dik üçgensel bölge çizelim. Bu dik üçgensel bölge-nin hipotenüs uzunluğunu bulalım. Dik kenarlarından birinin uzunluğu bulunan hipotenüs uzunluğunaeşit olan başka bir dik üçgensel bölge çizelim. Bu şekilde devam ederek üçgensel bölgeler oluşturalım.Bu üçgensel bölgelerle oluşturulan örüntüyü inceleyelim:

AC

AC

AC br

1

2

1

2

2 2= +

=

=

2

2

2DC

DC

DC

DC br

1

1 2

3

3

2 2= +

= +

=

=

2

2

2

^ h

3EC

EC

EC

EC br

1

1 3

4

2

2 2= +

= +

=

=

2

2

2

^ h

6

...

HC

HC

HC

HC br

1

1 6

7

7

2= +

= +

=

=

2

2

2

^ h Benzer şekilde devam edilirse yandakişekle benzer bir şekil elde edilir. Hipotenüsuzunlukları da karekök içerisinde birer birimartarak bir örüntü oluşturur.

Şekilde BAD dik üçgeninde |BA| = 4 cm, |AC| = 3 cm ve|BC| = |CD| dur. Verilenlere göre |BD| kaç cm’dir?

A) 2 A) 8 C) 4 D) 1255

Şekildeki O merkezli çembere [PT, Tnoktasında teğettir. |OT| = 6 cm, |PT| = 8cm ise |BP| kaç cm’dir?

FC

FC

FC

FC br

1 2

1 4

5

5

2 2= +

= +

=

=

2

2

2

5GC

GC

GC

GC br

1

1 5

6

6

2= +

= +

=

=

2

2

2

^ h

A D

C

A

B1br

1 br

br2

1br

C

ALIŞTIRMALAR

1) Dar açılarının ölçüleri 45° – 45° ve 30° – 60° olan dik üçgenler var mıdır? Birer tane çizerek gös-teriniz.

B

A B

6 cm

PO

T

D


3. Ünite

63-65

K ...

J

I

H

G

FE D

A

BC

DDB üçgeni dik üçgendir. Bu dik üçgenin hipotenüsü küpün cisim köşegenidir.

|BDI|2 = 42 +

|BDI|2 = 16 + 32

|BDI| =

|BDI| = 4 3

48

4 22

^ h

Küpün cisim köşegeni bir ayrıtının katıdır.3

A B4 cm

424

cm

4 cm

CD

Dı

AıBı

Cı

A

E

8 cmB C

Süre : 3 Ders saatiÖğrenme Alanı : Geometri Alt Öğrenme Alanı : Üçgenler, Üçgenlerde

ÖlçmeKazanımlar9. Dik üçgendeki dar açıların trigonometrik oran-

larını belirler.3. Dik üçgendeki dar açıların trigonometrik oran-

larını problemlerde uygular.Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütmeYöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğrenme,

anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: izometrik kâğıt, kareli kâğıt, trigono-

metri cetveli, makas, kalem, açıölçer, hesap makine-si (Makas kullanıma dikkat edilmeli)

Zorunlu Program Uyarıları [!] Bir açının tanjantı ve kotanjantı arasındaki iliş-

ki vurgulanır.[!] Program kitabının giriş bölümünde yer alan

problem çözme ile ilgili açıklamalar dikkate alınır.[!] Hesap makinesi kullandırılarak ya da trigono-

metri tablosundan, açıların trigonometrik oranlarıbuldurulur.

Dikkat Çekme ve Motivasyon Öğrencilere “Daha önce trigonometri sözcüğünü

duydunuz mu?”, “Bu sözcüğün anlamı ne olabilir?”soruları yöneltilebilir. Öğrencilerden cevaplarını def-terlerine yazmaları istenebilir. Verilen cevaplardanbirkaç tanesi okutulabilir. Verilen cevaplar doğrultu-sunda neden böyle bir düşüncenin oluştuğunu açık-lamaları istenebilir. Sınıftaki diğer öğrencilerin tartış-maya katılımı sağlanarak bir beyin fırtınası yaptırıla-bilir. Bu çalışmanın süresi ders için önerilen süre degöz önünde bulundurularak düzenlenmelidir.

Ögretme Öğrenme SüreciDers kitabının 121. sayfasındaki metin öğrencile-

re okutulur. Metnin sonundaki soru öğrencilere yö-neltilir.

Soruya verilen cevaplardan yararlanılarak öğren-ciler etkinliğe yönlendirilir.

Etkinlikte öğrenciler akıl yürütme, iletişim, iliş-kilendirme ve psikomotor becerilerini etkin kullana-bilmelidirler. Öğrencilerden trigonometri ile ilgili araş-tırma yapmaları istenebilir.

Aşağıda bu konu ile ilgili eserlerin bir kaynakçasıverilmiştir. Öğrencilere kaynak listesi verilebilir.

1- Tahsin ÇİZENEL, Geometri Lise II Fen Kolu, 4.Baskı, İstanbul 1961, Turan TANIN, Geometri Ders-leri, Lise II Fen kolu, 9. Baskı, İnkılap Kitabevi, 1958.

2- C. H. Jr EDWARDS ve D. E PENNEY, Mate-matik Analiz ve Analitik Geometri, Çeviri EditörüÖmer Akın, Palme Yayıncılık, 2001.

3- Ahmet ERDEM, Trigonometri ve ÇözümlüProblemleri, I. baskı, Kutulmuş Matbaası, İstanbul,1968.

4- Hilmi HACISALİHOĞLU, Mustafa BALCI, FikriGÖKDAL, Temel ve Genel Matematik, Cilt I, II, III,Seldem Ofset, Ankara, 1985.

5- Seyfettin AYDIN, Analize Giriş, Başarı Yayınla-rı, 6. Baskı, Ankara, 1975.

6- George B Jr. THOMAS, Üniversite Matemati-ği, Diferansiyel İntegral Hesabı ve Analitik Geometri,Çevirenler: Murat ALEV, Aytaç BALER, Serhat Çakır,

ODTÜ, Arkadaş Yayınevi.7- İsmail GÖKMEN, Hasan Fehmi ERGİN, Trigo-

nometri Problemleri, Şafak Kitabevi, 1960, İstanbul.8- Ekrem ULSOY, Düzlem ve Küresel TRİGONO-

METRİ, Fen Fakültesi Döner Sermaye Basımevi, İs-tanbul, 1969.

9- Ali DÖNMEZ, Matematiğin Öyküsü ve Serüve-ni-Matematik. Ayrıca aşağıdaki İnternet adresindende yararlanılabilir.

http://w3.gazi.edu.tr/web/gtuluk/trigo_web/kay-nak.htm

Alternatif EtkinlikAraç-Gereç: geometri şeritleri, açıölçer, trigono-

metri cetveli• Geometri şeritlerinden farklı boyutlarda dik üç-

genler oluşturunuz.• Oluşturduğunuz dik üçgenlerin açı ölçülerini

belirleyiniz.• Belirlediğiniz açılara göre aşağıda istenenleri

bulunuz.• Karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunlu-

ğuna oranı, karşı dik kenar uzunluğunun komşu dikkenar uzunluğuna oranı, komşu dik kenar uzunluğu-nun hipotenüs uzunluğuna oranını belirleyiniz.

• Belirlediğiniz oranların yaklaşık değerlerini tri-gonometri cetvelinden karşılaştırarak hangi trigometrik oranlara karşılık geldiğini bulunuz.

� Trigonometrik oranlardan sin, cos, tan ve cotiçin ne söyleyebilirsiniz? Açıklayınız.


3. Ünite


3. Ünite

DİK ÜÇGENDEKİ DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARIGeçmişten günümüze Türk bilim insanlarının matematik bilimine büyük katkıları olmuştur. Dünyanın

ilk cebir kitabını 8. yüzyılda Abdülhamit İbn Türk yazmış, ikinci dereceden cebirsel denklemlerin gerçekdeğerli köklerini bulmuştur. Abdülhamit İbn Türk, denklem çözümlerini geometri kullanarak açıklamış-tır. 8. yüzyılda yaşamış başka bir Türk bilgini olan Harezmi, “El-Cebr” kitabını yazmıştır. Bugün Batı dil-lerine “Algebra” denilen matematik dalının adını bu kitaptan almıştır. Günümüz matematik terminoloji-sinde yaygın olarak kullanılan “algoritma” terimi de Herezmi’nin adından türetilmiştir. 940-998 yıllarıarasında yaşamış Horasanlı bir Türk olan Ebul Vefa, bir trigonometri dehası olarak bilime damgasınıvurmuştur.� Trigonometri ne olabilir?� Trigonometri ve geometri arasında nasıl bir ilişki ve farklılık olabilir?

• Kareli kâğıda bir kenarı 10 br olan bir kare çizip keserek kâğıttanayırınız.

• Elde ettiğiniz karesel bölgeyi köşegeninden kesiniz.

� Elde ettiğiniz dik üçgensel bölgenin açı ölçüleri kaçar derecedir?

• İzometrik kâğıda bir kenarı 10 br olan eşkenar üçgen çizip kâğıttanayırınız.

• Eşkenar üçgensel bölgenin bir kenarına ait yüksekliğini çiziniz.

• Bu yükseklik boyunca kâğıdı keserek dik üçgen elde ediniz.

� Elde ettiğiniz dik üçgensel bölgenin açı ölçüleri kaçar derecedir?

• Karesel bölgeden elde ettiğiniz dik üçgensel bölgenin dik olmayanaçılarından birini işaretleyiniz.

• Bu açının karşısındaki kenarın uzunluğunu, hipotenüsün uzunluğu-na oranlayınız.

• Aynı açının komşusundaki kenar uzunluğunu karşısındaki kenar uzunluğuna oranlayınız.

• Aynı açının karşısındaki kenar uzunluğunu komşusundaki kenar uzunluğuna oranlayınız.

• Bu açının komşu kenar uzunluğunu hipotenüs uzunluğuna oranlayınız.

• Eşkenar üçgensel bölgeden elde ettiğiniz dik üçgensel bölgenin dik olmayan açılarından birini işa-retleyiniz.

• Aynı işlemleri bu açı için de tekrarlayınız.

• ve ün yaklaşık değerlerini dikkate alarak bulduğunuz bu oranları hesap makinesi yardımıy-la yaklaşık olarak hesaplayınız.

• Bulduğunuz sayıların sayfa 122’de verilen trigonometri cetvelinde karşılıklarını bulunuz.

� Trigonometri cetvelinden de yararlanarak açıların sinüs, cosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri içinne söyleyebilirsiniz?

32

Trigonometrik Oranları Belirleyelim

izometrik kâğıt, kareli kâğıt, trigonometri cetveli,makas, kalem, açıölçer, hesap makinesi

Ders kitabının 122. sayfasında trigonometricetveli verilmiştir.

Ders kitabının 123. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki birinci örneköğrencilerin trigonometri ile günlük yaşamın ilgisi-ni kurmaları için düzenlenmiştir.

TRİGONOMETRİ: Eski Yunanca "üçgen" ve"ölçü" sözcüklerinden meydana gelir. Trigonomet-ri üçgenlerin kenar ve açılarının hesap yolu ile çö-zümünü konu eder. Üçgenlerin 6 elemanı arasın-daki (3’ü açı 3’ü kenar) bağıntıları ele alır. Bir üç-genin 6 elemanından en az biri kenar olmak üze-re 3’ü bilindiğinde diğer elemanları hesaplayabili-riz. Bulunan sonuçlar çok kenarlı şekiller için dehesaplama sağlar. Bunun için trigonometrik fonk-siyonlardan yararlanır.

Geometride ise verilen elemanlar kullanılarakçizim yapılır. Bilinmeyen elemanların sayı değer-lerini belirlerken uzunlukları cetvelle, açıları iletkiile ölçerek bulabiliriz. Bu ise çok büyük ve çok kü-çük uzunlukların veya açıların hesaplanmasında

doğru sonuca ulaşmayı zorlaştırır. Bu durumdageometri ile trigonometri çözüm yolları bakımın-dan ayrılır. Trigonometride şeklin diğer elemanla-rını hesap yoluyla bulabilmek için; açı ile uzunluk-lar arasındaki bağıntıların bilinmesi gerekir.

17. yy. da cebirsel gösterimlerle matematiğegiren trigonometrinin kökeni oldukça eskidir. MÖ2000’li 3000’li yıllarda hesaplamalarda kullanıl-maya başlanmıştır. Örneğin; Mezopotamya'daBabilliler, daireyi astronomi bilimi ile ilgili olarak60’a bölmüşler, bir yılda 360 gün olduğunu hesap-lamışlardır. Mevsimlerin tekrarı da bu periyot için-de gerçekleşir.

Trigonometri, astronomi (güneş saati) ve arazihesaplamalarında (haritacılık) Eski Mısır’da dakullanılmıştır. Adı trigonometri olarak ifade edil-memekle beraber Ahmes papirüsünde (MÖ 550)piramitlerin ölçümüyle ilgili beş problemin trigono-metri kullanılarak çözüldüğü anlaşılmaktadır.

İlk çağlarda yapılan çalışmalarda; Yunan bilgi-ni Astronom Hipparchus bir kiriş cetveli kullanmış-tır. Menelaos küresel trigonometri alanında Hip-parchus'un çalışmalarını genişletmiştir. İskenderi-yeli Ptolémee büyük eseri Almagest’te yaptığı ça-lışmaları yazmıştır. Anaximander'in (MÖ 575) gü-neş saatini Isparta’da yaptığı söylenir

Thales (MÖ 650 - Söke-Milet) ölçümlerinde tri-gonometriden yararlanmıştır. Yunanlılar hesapla-malarda kirişten yararlanıyorlardı. Hintliler bununyerine sinüsü kullanmışlardır. Sinüs kelimesi,Sanskritçe kelimenin Arapçaya yanlış tercümesive daha sonra 12. yy. da Tivolili Plato tarafındanLatinceye aynen çevrilmesi sonucu oluşmuştur.Cosinüs ise 15. yy ortalarında kullanılır hâle gel-miştir. 9. yy. da Arap bilgin El Battani, batıya sinü-sü tanıtmış, tanjant, kotanjant fonksiyonlarını veküresel üçgendeki kosinüs teoremini bulmuştur. 9.yy. da aynı şekilde Ebulvefa, tanjant cetvelini ha-zırlamıştır. 13. yy. da trigonometri İranlı bilgin Na-siriddin-i Tusi ile bir bilim dalı hâline gelir. 15. yy. dabu çalışmaların benzerini Regiomonatus yapmayabaşlar.


3. Ünite


3. Ünite

45° kadar olan trigonometrik değerler üstte belirtilen sin. tan. cot ve cos değerlerinden bakılır. 45°den büyük olan trigonometrik değerler için altta verilen sin, tan, cot ve cos değerlerinden bakılır.


Örnek, öğrencilerin bireysel öğrenme farklılık-ları göz önünde bulundurularak etkinlik formatınadönüştürülebilir. Sayfadaki ikinci örnekte ise trigo-nometrik değerlerin soruların çözümünde nasılkullanıldığı belirtilmek istenmiştir. Öğrencilerin ko-nuya olan ilgilerini devam ettirmek için aşağıdakibilgiler kullanılabilir.

Türk-İslam Dünyasında Trigonometri

İçinde bulunduğumuz yüzyılda yapılan bilimselaraştırmalar göstermiştir ki trigonometriye ait te-mel bilgiler, 8 ile 16. yüzyıl Türk-İslam dünyasımatematikçileri tarafından ortaya konulmuş vebelli bir noktaya kadar da geliştirilmiştir. Bununnedenini, şu şekilde açıklamak mümkündür:

Bilindiği gibi, 8 ile 16. yüzyılda Türk-İslam dün-yasının hemen her yöresinde astronomi (gök bi-lim) çalışmaları ve bunun sonucu olarak da yoğunbir rasathane (gözlemevi) kurma çalışmaları var-dı. Bu rasathanelerdeki bilimsel çalışmalarda, as-tronomiye yardımcı olarak trigonometri kullanıl-maktaydı.

Astronominin temelini teşkil eden küreselastronomi, doğrudan doğruya, küresel trigonomet-rinin astronomiye uygulanmasından doğmuştur.Gezegen ve uydu ile yıldızların gök küresindekiyerleri (koordinatları) ve hareketleri ile ilgili hesap-lamalar; küresel üçgenin, küresel trigonometriyeuygulanmasıyla elde edilebilmektedir. Dolayısıyla,o devir Türk-İslam dünyasında trigonometri müsta-kil bir bilim hâline gelmiş ve oldukça gelişmiştir.

8 ile 16. yüzyıl Türk-İslam dünyası matematikve astronomi bilginlerinin hazırlamış oldukları"Ziyc" adlı eserin hepsinde, bugünkü trigonomet-rinin temel bilgileri, ilk olarak ortaya konulmuştur.Gene bu dönem Türk-İslam Dünyası bilginleri vesonraki tarihlerde diğer matematik ve astronomibilginleri tarafından Batlamyos’un ünlü eseri Mı-cıstı (Al-Magesti) adıyla şerh edilmiştir. Bu şerh-lerde de yer yer trigonometri bilgileri zenginleştiri-lip geliştirilmiştir.

Batı’da objektif olarak hazırlanmış matematiktarihi ve astronomi tarihi ile ilgili eserlerde, trigo-nometriyle ilgili temel bilgilerin açık olarak belirtil-diğini görmek mümkündür.


3. Ünite


3. Ünite

Örnek:

Resimde verilen dik üçgen biçimindeki yelkenin açı-larının trigonometrik oranlarını bulalım:

Yandaki nde C ve N açıları dar açı, dik açıdır.

’dır. nın;

Karşı dik kenar uzunluğu

Hipotenüs uzunluğu

NW, ,CA n CNA c N a= = =

AWCAN&

N A

n =

4 m

a = 5

m

c = 3 m

C

,CNCA

an

54

= = =

Komşu dik kenar uzunluğu


Karşı dik kenar uzunluğu Komşu dik kenar uzunluğu

Komşu dik kenar uzunluğu Karşı dik kenar uzunluğu

olur.

! için benzer oranları da siz bulunuz.CW

,CNNA

ac

53

= = =

,NACA

cn

34

= = =CANA

nc

43

= = =

4 m

3 m

5 m

�

Yandaki ABC dik üçgeninde ise – xolur. B ve C açılarının trigonometrik oranları arasındaki iliş-kiyi bulalım:

s C 90= c_ iWs B x=_ iV

sin sin

cos cos aC b=WB a

c=V

acC =WB a

b=V

A

bc

a90° – xx

B C

��

� sin

sin .cosC B ac olur= =W V

,cosB C ab

= =V W

tan tan

cot cot bC c=WBbc

=V

Cbc

=WB bc=V

��

� tan

cot .tanC c olurBb

= =V W

,cotB C bc= =V W

Bir dik üçgende dar açılardan birinin sinüsü diğer dar açının cosinüsüne, birinin tanjantı da

diğer dar açının kotanjantına eşit olur.


3. Ünite

Örnek: ; sin ise cosx, tanx ve cotx değerlerini bulalım:x135

=< <s A0 90c c_ iW

cosx =

tanx = ve cotx = olarak elde edilir.

DAL dik üçgeninde tanx . cotx değerini bulalım.

tanx .cotx = ’dir.5

112 5

12=$

512

125

,1312

sinx =

|DL| = 5 ve |DA| = 13 olabilir.

Dik üçgende Pisagor bağıntısı kullanılarak;

olarak elde edilir.

AL DL DA

AL

AL

AL AL

5 13

169 25

144 12

2 2

+ =

+ =

= -

= =&

2 2 2

2

2

2


Hipotenüs uzunluğuolduğundan

135

=

Dik üçgende bir dar açının tanjantının çarpma işlemine göre tersi o açının kotanjantına eşittir.

D

Lx

A

135

�

�

�

�

�

�

��

��

��

D

Lx

A

13

12

5

��

Yandaki ABC dik üçgeninde |AB| = 6 br ve |BC| = 8 br |CA|nu bulup nın trigonometrik oranlarını belirleyelim:

için;

sinüs = sin =

cosinüs = cos =AWAW

AWAWAW

.

BA BC CACACA CA br olur

6 8100 10

2 2

+

+

=

=

= =&

2 2 2

2

2

AW

tanjant = tan =

kotanjant = cot =

! Benzer şekilde nın sin, cos, tan ve cot değerlerini de siz bulunuz.CW

AWAW

AWAW

A

BC









,108

54

= =

,8 46 3

= =

’tür.86

43

= =

,106

53

= =

Örnek:

Ders kitabının 125. sayfasındaki örnekler öğrenci-lerle birlikte incelenir.

Sayfanın ortasında bulunan bilgi kutusuna dikkatçekilir. Sayfadaki ikinci örnek görsel - uzamsal zekâyasahip öğrenciler düşünülerek hazırlanmıştır.

Görsel - uzamsal zekâya sahip öğrenciler için aşa-ğıdaki bilgilerin göz önünde bulundurulması faydalı ola-caktır:

“Bu zekâ alanı sadece sanatçıların sahip olduğu birzekâ alanı değildir. Bu zekâ alanı, harita okumaya, birodayı düzenlemeye, bir eşyayı nereye koyduğunu ha-tırlamaya, bir adresi bulmaya, bir başkasının beden di-lini yorumlamaya, bir taslak çıkarmaya ya da kendinisözel olmayan bir şekilde ifade etmeye yarar.

Bu zekâ alanı sadece nesneleri görsel-uzamsal ola-rak kavrama yeteneği ile sınırlı değildir. Örneğin bir in-san yüksek düzeyde görsel - uzamsal zekâya sahipolabilir. Bu alanın ana elemanı, zihisel imajlar yaratmayeteneğidir. İmajlar şeklinde düşünme yeteneğine sa-hip olma, diğer zekâ alanlarını da geliştirir. Hayal gücüyeteneği, bireylerin eğitimsel kariyerini doğrudan etkile-mektedir. Üniversite, fen lisesi, anadolu lisesi sınavları-nı görsel öğrencilerin kazanma olasılığı daha yüksektir.Çünkü görseller görüntülerle düşünme, resimsel oku-ma, geleceği kestirme gibi özelliklere sahiptir.

Günümüzde öğrenciler tv, bilgisayar, video, play -station vb. görsel araçlarla çok yoğun karşılaşmaktadır-lar. Ancak okul ortamında öğrenciler işitsel bir zemineçekilmektedirler. Bu durum konsantrasyon ve dikkat ko-nusunda ciddi sorunlara yol açmaktadır. Öğrenciler sonderece hızlı akan görsel uyarıcılara alıştıkları için ders-lerde benzer uyarıcıları beklemektedir. Yeterli uyarıcıalamadıklarında problemli davranışlar gösterebilmek-tedirler. Görsel zekânın gelişebilmesi için muhakkaksurette pahalı araç-gereçlere ihtiyaç yoktur. Araç - ge-recin sınırlı olduğu ortamlarda da görsel uyarıcılar veri-lebilir. Örneğin sınıfta dersini sunan bir öğretmen“27+32=?” ifadesini eğer aynen okuyarak öğrencilereaktarırsa işitsel bir uyarı vermiş olur. Ancak bunun yeri-ne “Şu sayıyla bunu topladığımızda kaç yapar?” dersegörsel - işitsel bir uyarı vermiş olur. Sınavları yüksekpuanlarla kazanan öğrenciler bilgileri belleklerine gör-sel kodlayanlar olduğuna göre öğretmenlerin görselkodlama stratejilerine önem vermesi gerekir. Beyin ha-yal edilen zihinsel imgelere anında karşılık verir. Dünyaçapında birçok sporcu ve aktris, fiziksel antrenmanları-nı artırmak için hayallerinde tekrar tekrar atlarlar. Bu türçok sayıda sınıf içi görsel stratejiler çoklu zekâ kuramı-nı sınıfta kullanmak için son derece değerli araçlardır.Çünkü bu tür etkinlikler, sekiz zekâ alanını da zateniçermektedir. Uzamsal ve görsel imgeler problem çöz-mede genellikle anahtar olarak kullanılır.”

KAYNAK:Prof.Dr. SELÇUK, Ziya, KAYILI, HüseyinOKUT, Levent, Çoklu Zekâ Uygulamaları, Nobel YayınDağıtım, Ankara, Ağustos 2004,s. 53- 54.


3. Ünite


3. Ünite

Örnek:

T Ü

İ

Bir kenar uzunluğu 8 br olan bir eşkenar üçgeni kullanak30° ve 60° nin trigonometrik oranlarını bulalım:

sin cos sin cos

tan cot tan cot .olur604 34

31

33

= = =c,0 4 3 364

= =c,30 4 3 34

= =c,304 34

31

33

c = = =

,084

216 = =c,0

84 3

26 3

= =c,308

4 323

= =c,3084

21

= =c

TA

8 br

4 br 4 br

8 br

Ü

İ İ köşesinden TÜ kenarına ait yüksekliği indirelim.

İAÜ dik üçgeni için Pisagor bağıntısını uyguladığımızda;

İAT dik üçgeninde;

hhh

h

h br

64 164848

4 8

4 3

2 2

2

2

2+ =

=

=

=

-

=&

�

�

�

�

�

�

��

��

�

�

�

�

�

�

�

��

30°30°

60° 60°

h 4 3=

Örnek: Kâğıdı katlayarak önce bir kare, ardından da bir ikizkenar dik üçgen elde edelim. 45° nin tri-gonometrik oranlarını bu dik üçgenden yararlanarak bulalım:

Bir dik üçgende 30°° lik açının karşısındaki dik kenar uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına,

60°° lik açının karşısındaki dik kenar uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısının katına eşittir.3

Kâğıdın bir köşesini şekilde-ki gibi katlayalım. Fazlalık ola-rak kalan dikdörtgensel bölgeyikeserek çıkaralım.

Böylece dik kenar uzunluk-ları 1 br olan ikizkenar dik üç-gensel bir bölge elde etmiş olu-ruz.

Oluşan karesel bölgenin birkenar uzunluğunu 1 br kabuledelim. Karesel bölgeyi köşe-geni boyunca katlayıp keselim.

sin

cos olarak elde edilir., cot4521

22 45

11 1= = = =c c

, ,tan 14521

22 45

11

= = = =c c

45°

45°

A

B1 br

1 br

C

br2

olur.

ABC ikizkenar dik üçgeninde;

.

AC

AC

AC br bulunur

1 1

2

2

2 2= +

=

=

2

2


1.

2. 0° < x < 90° olmak üzere, sinx = ise cosx . tanx değerini bulunuz.5——13

3. - tan 54° . cot 54° ifadesinin eşiti kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) -1

sin 42°—————cos 48°

DİK ÜÇGENDEKİ DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

1. Yandaki ABC dik üçgeninde |BC| > |AC| olduğuna göreaşağıda verilen ifadelerin yanlarındaki kutulara doğru olanlar için“D”, yanlış olanlar için “Y” yazınız.

a) cos A < cos B �� ç) tan A > 1 ��

b) sin A < sin B �� d) sin A < 1 ��

c) sin A = cos B �� e) tan B > 1 ��C

A

B

f. Zorlukları aşmak için kimlerden hangi yardımların alındığının açıklanması

Ders kitabının 126. sayfasında problemlerin çö-zümünde kullanılan problem çözme basamakları-na dikkat çekilir. Öğrencilerin problem çözme basa-maklarını doğru ve etkin kullanmaları beklenir.

Problem çözme stratejilerinin seçilmesi ve uy-gulanması sırasında aşağıdakilere dikkat edilme-lidir.

Değişik problemleri çözebilmek için öğrencile-re farklı problem çözme stratejileri kullanma bece-rileri kazandırılmalıdır.

• Deneme-yanılma • Şekil, resim, tablo vb. kullanma• Materyal (malzeme) kullanma • Sistematik bir liste oluşturma• Örüntü arama• Geriye doğru çalışma• Tahmin ve kontrol etme• Varsayımları kullanma• Problemi başka bir biçimde ifade etme • Problemi basitleştirme • Problemin bir bölümünü çözme• Benzer bir problem çözme• Akıl yürütme• İşlem seçme• Denklem kullanma• Canlandırma vb. • Öğrencilerin, problem çözme süreçlerindeki

uğraşları sorgulatılmalı, bu süreçte ve sonrasında-ki yaşantıları hakkındaki duygu ve düşünceleri ifa-de ettirilmelidir. Problem çözme becerilerinin geli-şimi için öğrencilere aşağıdakilerin kazandırılmasıhedeflenmiştir:

• Matematiği öğrenmek için problem çözme-den yararlanır.

• Problem çözmenin öğrenmeye katkı sağla-yacağına ilişkin farkındalık geliştirir.

• Yaşantısında, diğer derslerde ve matematik-te karşılaştığı yeni bir durumda problem çözmebecerisini kullanır.

• Problem çözme adımlarını anlamlı bir şekil-de uygular.

• Problem çözmenin yanı sıra kendi problem-lerini de kurar.

• Problem çözmede öz güven duyar. • Problem çözme ile ilgili olumlu duygu ve dü-

şüncelere sahip olur.


3. Ünite


3. Ünite

30°, 45° ve 60° nin trigonometrik oranlarını bir tablo üzerinde gösterelim.

Örnek: olur.

Problem, Bir merdivenin uzunluğu 5 m’dir. Bu merdiven yer düzlemi ile aşağıda verilen açılardan han-gisini oluşturacak biçimde duvara yaslanırsa merdivenin uç noktasının yerden yüksekliği en fazla olur?

a) 25° b) 45° c) 65°

Problem anlama: Bir merdivenin boyu 5 m’dir. Bu merdiven duvara 25°, 45° ve 65° lik açılarla yas-landığında merdivenin uç noktasının yerden yüksekliğinin hangi durumda en fazla olacağı soruluyor.

Plan yapma: 25°, 45° ve 65° nin sinüs değerlerini trigonometri cetvelinden bulup merdivenin boyunaoranlayarak merdivenin uç noktasının yerden yüksekliğini buluruz.

Çözüm stratejisi: Trigonometri cetvelini kullanarak sin25°, sin45° ve sin65° yi bulalım.

sin25° = 0,4226 ; sin45° = 0,7071 ; sin65° = 0,9063

sin cos30 60 21

21 1+ = + =c c

30° 45° 60°

sin 21

22

23

cos23

22

21

tan 33

1 3

cot 3 1 33

sin sin sin

olarak bulunur. O hâlde merdiven duvara 65° lik açıyla yaslandığında merdivenin uç noktasının yerdenyüksekliği en fazla olur.

,a m4 5315=,a m3 5355=,a m2 113=

, a05

9063 =, a05

7071 =, a0 42265

=

a55

6 =ca55

4 =ca255

=c

Trigonometrik Oranlar Tablosu

45° 65°25°

5 m5 m 5 m

a��

�

��

�

��

�

�

�

�

�

�

�

��

�

aa


4.

Yandaki ABC dik üçgeninde |AC| = 4 cm, cotx =

olduğuna göre |BC|’nu bulunuz.

1——2

5. Yandaki ABCD dikdörtgeninde [BD] köşegendir.

|BD| = 3 cm ve sinx + siny = olduğuna göre dikdört-

genin çevresi kaç cm’dir?

5—4

6. 2 sinx + 5 cosx = 4 sinx - 2 cosx ise cotx değerini bulunuz.

C

A

Bx

4 cm

C

A

B

D

b

a

x

y

Ders kitabının 127. sayfasındaki problemlerinçözümleri öğrencilerle birlikte incelenir.

Öğrencilerin matematiğe karşı ön yargı oluş-turmalarının nedenlerinden birinin de matematikdersinde öğrendikleri bilgileri yaşamın neresindekullanacakları hakkında bir bilgiye sahip olmama-larından kaynaklandığı bilinmektedir. Öğrendikleribilgilere nerede ihtiyaç duyacaklarını bilmemekkonunun gerekliliğine olan inancı etkilemektedir.Bu nedenle ders kitabında konu anlatımında ko-nuların elverdiği ölçüde günlük yaşamla konularınilgisi kurulmaya çalışılmıştır. Öğretmen kitabındada öğrencilerin başvurabilecekleri basılı ya da in-teraktif kaynaklar belirtilmiştir. Bu anlamda düşü-nüldüğünde öğrenciler trigonometri ile ilgili ya-şamda nerelerde hangi alanlarda bir kullanım ol-duğunu merak edebilirler. Gerek duyulursa aşa-ğıdaki bilgi öğrencilerle paylaşılabilir.

Trigonometri, geometride ve fizikte büyükönem taşır. Günümüzün duyarlı ölçü aletleri geliş-tirilmeden önce, yer ölçümünde, astronomide vebüyük uzaklıkların hesaplanmasında trigonomet-riden yararlanılmaktaydı.

Daha önce de belirtildiği gibi özellikle fizik bili-minde bu hesaplamaların önemli bir yer tuttuğutekrar vurgulanabilir. Öğrencilerin konuyu kavra-ma düzeylerini belirlemek için öğrencilerden say-fadaki örneklere benzer örnekler düzenlemeleriistenebilir.


3. Ünite


3. Ünite

Kontrol etme: Duvarın uzunluğu 2,113 m olduğunda;

sin25° bulunur.

Duvarın uzunluğu 3,5355 m olduğunda,

sin45° bulunur.

Duvarın uzunluğu 4,5315 m olduğunda ise sin65° bulunur.

O hâlde yaptığımız çözüm doğrudur. Problem doğru anlaşılmış ve doğru çözülmüştür.

Problem: Bir balıkçı, teknesine yelkenli yapabilmek için yandaki taslağıçiziyor. Bu taslağa göre yelkeni yapabilmek için kaç m2 lik kumaşa ihtiyacıvardır?

Problem anlama: Balıkçı, teknesine yelkenli yapabilmek için hipotenüsuzunluğu 10 m ve bir açısı 53° olan bir yelkenli taslağı çiziyor. Yelkenlininyapılabilmesi için kaç m2 lik kumaşa ihtiyaç olduğunu bulmalıyız.

Plan yapma: Yelkenlinin dik kenar uzunluklarını trigonometri tablosun-dan 53° nin kosinüs ve sinüs değerlerini bularak hesaplayabiliriz. Dahasonra üçgensel bölgenin alan bağıntısından yararlanarak yelkenli için kul-lanılması gereken kumaş miktarını bulabiliriz.

Çözüm stratejisi

,,

54 5315

0 9063= =

,,

53 5355

0 7071= =

,,

52 113

0 4226= =

�

�

�

53°

A

B a

c10m

C

cos sin

a = 6,018m , c = 7,986m olur.

, c0 798610

=, a0 601810

=

c5310

=ca5310

=c

Yelkenlinin yapılabilmesi için;

lik kumaşa ihtiyaç vardır.

Kontrol etme: Üçgensel bölgenin alan formülünü kullanalım.



O hâlde çözümümüz doğrudur. Problem doğru anlaşılmış ve çözülmüştür.

,, , , , .

aa a olur

27 986

24 03 7 986 48 06 6 018& &. . .$$

, ,,a c m

2 26 018 7 986

24 03 2= .$ $24,029874

bulunur.,, cos

106 018

0 618 53= = = c

��

�

53°

10 m


7. 0 ≤ x ≤ 90° olmak üzere kesrinin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulu-

nuz.

3 sinx - 1——————2

8. Aşağıda verilenlerden hangisi doğrudur (Trigonometrik oranlar cetvelini kullanarak bulunuz.)?

A) sin 20° < cos 80° < sin 40° B) cos 55° > cos 50° > cos 45°

C) tan 75° > cot 40° > cot 80° D) sin 20° > tan 20° > cot 20°

9. Yandaki ABC üçgeninde |AB| = |AC| = 30 cm ve |BC| = 36 cm

olduğuna göre tan C aşağıdakilerden hangisidir?

A) B)

C) 1 D) 4——3

3——23——2

C

A

B


1. Bir kenarının uzunluğu 20 cm olan eş kenarüçgen şeklindeki bahçenin alanı kaç m2 dir?

A) 100 m2 B) 100 3 m2

C) 200 m2 D) 200 3 m2

2. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) sin50°= cos40°

B) tan70° = cot20°

C) tan38° . cot52° = 1

D) 66cossin24 1

cc

=


3. Ünite

A

30°

120 m


13.

Şekildeki dik üçgende s(C) = 60° dir.

[AH] ⊥ [BC] ise x, y, z ve t uzunluklarını

bulunuz.

14. Şekildeki gibi bir kayık içinde bulunan bir

kişinin köprü üzerindeki A noktasına olan uzaklığı

120 m’dir. Bu kişi A noktasına 30° lik yatay açı ile

baktığına göre köprünün yüksekliği kaç metredir

?

A) 80 B) 60 3

C) 60 D) 50

sin30 21

c =b l

15. 0° < s(A) < 90° ve 3 sin2A = cos2A ise s(A) kaç derecedir?

A) 90 B) 60 C) 45 D) 30

C

A

BH

y

z

t

x

4 cm60°


10.

Şekilde s(BCA) = 120°, |BC| = 6 cm ve

|AC| = 12 cm ise A(ABC) kaç cm2 dir?

11.

12. tan (5x+3) = cot (4x- 12) olduğuna göre x kaç derecedir?

A) 12 B) 11 C) 8 D) 5

Yandaki şekilde merdivenin uzunluğu

10 2 metre, merdiven ile zeminin yaptığı

açının ölçüsü ise 45° dir. Duvarın yüksek-

liğini bulunuz.

120°B C6 cm

12 cm

A

10 2

45°

��

��

��

��

��

��

��

��

��

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Gerek duyulursa kullanılması için “Dik Üçgen-lerde Bazı Açıların Trigonometrik Oranları”nı gös-teren tablo, ders kitabının 122. sayfasında veril-miştir.

Uygulamalar


Çalışma kitabının 66, 67, 68, 69, 70 ve 71.sayfasındaki sorular çözdürülebilir.

Değerlendirme

Öğrencilerden dik üçgendeki dar açıların tri-gonometrik oranlarını belirlemeleri beklenir.


Çalışmalar süresince öğrenciler kontrol edilir.Bu sayede beceri ve duyuşsal özellik gelişimlerigözlemlenerek değerlendirilir.

!

!


3. Ünite


3. Ünite

A

D C

B

a

ALIŞTIRMALAR

1) ve tanx = 0,5 ise cotx kaçtır?

A) 1 A) 2 A) 3 A) 4

2)

< <s x0 90c c_ iV

A) B) ve sina değeri

C) ve sina değeri D)

3) ?

4)

cotansin t

cos40 5040 05

=$

$

c cc c

DC ve BCDB

BCDC BC$

Yandaki şekilde ABCD dikdörtgendir. Aşağıda verilenlerinhangisi ile nin çevresi bulunamaz?DAB&

Şekildeki merdiven yer düzlemi ile x derecelik bir açı

oluşturmuştur. Merdivenin tepe noktasının yerden yüksekliği

2 metre ve sinx ise merdivenin boyu kaç metredir?54

=

5) Trigonometri bilgilerinden “Tümler iki açıdan birinin sinüsü diğerinin cosinüsüne eşittir.” kuralınıbilen bir öğrenci aşağıdaki işlemlerden hangisini çözemez?

A) B)

C) D)

6) Aşağıdaki işlemleri yapınız.

a) b)

c) ç) 45 45

cosco

cotsin s

45 60+

$c cc c

2] gcotan

sin s45

30 60$

cc c

sin costan cot45 4545 45

$

$

c cc c?sin cos45 452 2+ =c c

sin ssin cos

co 3852 3753 +

+

c cc c

cos sinsin cos3 5

50 400 2 40

+

-

c cc c

cossin cos

sin5 52 65

65 3 225

-

+

$

$

c cc ccos

cos sinsin

538 352 37

$

$

c cc c

x

Yer

Duv

ar

66-71


16.

Şekilde verilenlere göre x, y ve z

uzunluklarını bulunuz.

17. ifadesinin değeri kaçtır?3 sin 50° . tan 35°—————————————cos 40° . cot 55°

18. = ?sin10° . tan30° . cos20° . sin30°——————————————————————cos80° . cot60° . sin70°

19. A

B C D30°

Yandaki şekilde |AB| = |AC|, s(ADC) = 30° ve |AC| = |CD|

ise tan B = ?

C

A

B

D

E

x 60°

zy

6 cm

8 cm

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Süre : 5 ders saatiÖğrenme Alanı : CebirAlt Öğrenme Alanı : Denklemler

Kazanımlar:1. Doğrunun eğimini modellerle açıklar.2. Doğrunun eğimi ile denklemi arasındaki iliş-

kiyi belirler.Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütmeYöntem ve Tekniklerİş birliğine dayalı öğrenme, anlatım, soru ce-

vap, keşfetme.Araç-Gereç: geometri şeritleri, trigonometri

cetveli, hesap makinesi, eş boyda çıtalarZorunlu Program Uyarıları [!] y = ax+ b biçimindeki bir denklemde x’in kat

sayısı ile grafiğinin eğimi arasındaki ilişki vurgulanır.Ders İçi İlişkilendirme�Üçgenlerle ÖlçmeAra Disiplinlerle İlişkilendirmeÖzel Eğitim (Kazanım 4) Engellilere yönelik

çevresel düzenlemelerin amacına uygun kullanıl-masına özen gösterir.


3. Ünite


3. Ünite

Örnek:

Örnek:

Yandaki alışveriş merkezinde normal merdivenlerin yanısıra alışveriş arabalarının veya pusetlerin kolaylıkla taşın-masını sağlayan yürüyen rampalar bulunmaktadır. Bu ram-palar aynı zamanda engelli insanların da rahat bir şekildebu merkezleri gezmelerine imkân sağlar.

Aracın çıktığı rampanın eğimini hesaplayalım:

sin cos

,c m1 15=&

,a

2 2 303

=,c

21

2 30=

,a30

2 30=c

,c30

2 30=c

Rampanın boyu 2,30 m ve rampanın yer düzlem ile yaptığı açı ölçüsü 30° dir.

%30 olur.,tanx103 0 3= = =

Bu rampanın yerden yüksekliği 3 m, yer düzlemi 10 m olduğundan rampanın eğimi;

,

, ,

,

a

a

a m

3 1 15

1 7 1 15

1 96

=&

.

.

$

$

A

B C

Eğim yüzde cinsinden veya ondalık kesirle ifade edilir.

Bu takozun eğimi na göre

%75

olarak bulunur.

,tanC4030

43 0 75= = = =W

CW

eğim30cm

40cm

30°°

2,30 mc

a


EĞİM

1. Yandaki şekilde yer alan merdiveninve çatının eğimini bulunuz.

2. Aşağıda verilen ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz.

a) y = denkleminin grafiğinin eğimi ................... .

b) 4x + y + 2 = 0 denkleminin grafiğinin eğimi ...................... .

c) y = ax - 2 denkleminin grafiğinin eğimi -2 ise a’nın değeri ....................... .

ç) y = denkleminin grafiğinin eğimi 4 ise k’nın değeri ........................ .3x+2————k

x - 1————2

3. Aşağıda verilen noktalardan geçen doğruların eğimlerini bulunuz.

a) A(2,3) ve B(3,4) b) A(0,5) ve B(2,-4)

c) A(2,4) ve B(0, -3) ç) A(2, -3) ve B(-1, 1)

5 m

3 m

5 m2 m

3 m

g. Çalışmanın eğlenceli taraflarının sınıf ortamında sunulması129Matematik 8. sınıf

3. Ünite

• Geometri şeritlerinden 3 tanesini uygun şekilde kullanarak bir diküçgen modeli oluşturunuz.

• Geometri şeridindeki iki nokta arasını 1br alınız.

• Oluşturduğunuz dik üçgende dar açılardan birinin karşı dik kenarı-nın komşu dik kenara oranını bulunuz.

• Bulduğunuz oranın değerini hesap makinesi ile belirleyiniz.

� Bu sayı trigonometri cetvelinde tanjantın hangi değerine karşılıkgelir? Belirleyiniz.

Eğimi Belirleyelim

geometri şeritleri, trigonometri cetveli, hesap makinesi

Örnek:

Takozun arabanın altına ne için yerleştirildiğini inceleyelim:

Takoz arabanın eğimli yolda düz bir şekilde durmasınısağlar. Böylece yokuş yukarı veya aşağı duran arabalarınkaymasını önler. Bu takozun eğimi dikey uzunluğunun yatayuzunluğuna oranlanmasıyla bulunur.

Takozun dikey ve yatay uzunluklarını ölçüp kâğıda tako-zun oluşturduğu üçgeni çizelim.

EĞİM

Ülkemizde ve dünyada sakatların sorunlarına dikkat çek-mek amacıyla her yılın 10-16 Mayıs tarihleri arası SakatlarHaftası olarak ilan edilmiştir. Ülkemizde yürüme engelli va-tandaşların fazla oluşu, onların sorunlarına eğilmeyi kaçınıl-maz kılmaktadır. Yürüme engelli vatandaşların karşılaştığıönemli sorun binaları rahat kullanamama sorunudur. Bu du-rumu ortadan kaldırmak üzere okul ve hastane gibi kamu bi-nalarına ve özel binalara giriş çıkış kolaylığı sağlayacak şe-kilde merdiven yanlarına rampalar yapılmaktadır.

� Rampalardan rahat çıkmak ve inmek için sizce rampa-lar nasıl yapılmalıdır? Tartışınız.

Dikkat Çekme ve MotivasyonÖğrencilere kış mevsiminde kayak pistlerinin

niçin dağların yamaçlarında yapıldığı sorularakderse giriş yapılabilir.

Öğrenme-Öğretme SüreciÖğrencilerin derse ilgisini çekmek için ders ki-

tabının 129. sayfasındaki metin öğrencilere okut-turulur. Metne ait soru öğrencilere sorularak konuhakkındaki fikirleri alınır. İlgili motivasyon bölümüözel eğitim (kazanım) ara disiplinine yönelik ola-rak verilmiştir. Aynı sayfadaki etkinlik öğrencilereyaptırılarak konunun öğrenciler tarafından keşfe-dilmesi beklenir. Ders kitabının 129 ve 130. sayfa-sındaki örnekler öğrencilere incelettirilir. Öğrenci-lerin eğim konusunu işlemsel olarak kavrayabil-meleri sağlanır. Örnekler günlük hayattan verile-rek öğrencilerin konuyu daha iyi anlayabilmelerihedeflenmiştir. Ders kitabının 131. sayfasındakietkinlik öğrencilere yaptırılır. Yapılan etkinlikle öğ-rencilerin doğrunun eğimini keşfedebilmeleri bek-lenir.


3. Ünite

Orijinden geçen bir doğru üzerindeki orijin hariç her noktanın ordinatının apsisine oranı bu

doğrunun eğimidir ve “m” sembolü ile gösterilir. Orijinden geçen doğrunun denklemi y = mx

olarak ifade edilir.

Orijinden geçmeyen doğruların denklemi olmak üzere

ya da ’dir.by ax c yba x

bc

=- - =- -&ax by c 0+ + =

,a veb c0 0 0! ! !

Örnek: denkleminin belirttiği doğrunun eğimi ; denkleminin belirttiği doğrunun

eğimi y = –4x denkleminin belirttiği doğrunun eğimi ise – 4’tür.

Örnek: Denklemi 3y – x = 0 olan doğrunun eğimini bulalım:

olur. O hâlde bu doğrunun eğimi olur.

Örnek: A(8,4) noktasından ve orijinden geçen bir doğrunun eğimini bulalım:

ve A(8,4) olduğundan bulunur.

Orijinden geçen bir doğrunun denklemi y = mx şeklinde olduğuna göre y = olur.

Örnek: Orijinden geçen bir doğru üzerindeki herhangi bir nokta olduğuna göre bu doğru-nun eğimini, denklemini ve eğim açısının ölçüsünü bulalım:

olduğundan ve doğru başlangıç noktasından geçtiğinden şeklin-de doğrunun denklemi elde edilir.

olur. Eğim açısı tan a olarak bulunur.m a33 30= = =& cm

33

=

xy

y x33

33

= =&,A 3 3_ i

,A 3 3_ i

x21

m84

21

= =m xy

=

m31

=y x y x y x3 0 331

- = = =& &

;21

-

y x21

=-52y x

52

=

Elde edilen 2 sayısı aynı zamanda AOH, BOM ve CON dik üçgenlerdeki a açısının tanjant değeri-ne eşittir.

nde tan a ’dir.

nde tan a ’dir.

nde tan a ’dir.ONCN

236

= = =OC N&

OMBM

224

= = =OB M&

HAHO 1

2 2= = =AOH&


3. Ünite


3. Ünite

Örnek:Yanda verilen y = 2x doğrusunun grafiğini

inceleyelim:

y = 2x doğrusu başlangıç noktasından (ori-jinden) geçmektedir.

A(1,2) için y = 2x ⇒ 2 = 2.1 ⇒ 2 =2,

B(2,4) için y = 2x ⇒ 4 = 2.2 ⇒ 4 = 4,

C(3,6) için y = 2x ⇒ 6 = 2.3 ⇒ 6 = 6 olmak-tadır.

Doğru üzerindeki her noktanın koordinatla-rı doğru denklemini sağlamaktadır.

• Kareli kâğıdınıza bir koordinat düzlemi çiziniz. • Bu koordinat düzlemine denklemi y = 3x olan doğruyu

çiziniz. � Bu doğrunun grafiği koordinat düzleminin hangi nokta-

sından geçmektedir?• Bu doğru üzerinde, koordinat düzleminin 1. bölgesin-

den olmak üzere, orijin hariç 3 nokta belirleyip B, C, Dolarak isimlendiriniz.

• Bu noktalardan x eksenine kesikli çizgiler indirip bu çiz-gilerin x eksenini kestiği noktaları E, F, G olarak isim-lendiriniz.

• Doğrunun x ekseni ile yaptığı açıyı belirleyip “a” olarakisimlendiriniz.

• B, C, D noktalarının koordinatlarını kullanarak ayrı ayrı oranları oluşturunuz.

� Bu oranlar için ne söyleyebilirsiniz?

• Oluşturduğunuz nde tana değerlerini belirleyiniz.

� tana değeri ile oranı arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.xy

,BOE veCOF DOG& & &

xy

Doğrunun Eğimini Bulalım

kareli kâğıt, kalem

6

5

4

3

2

1

0

y = 2x

C(3,6)

A(1,2)

B(2,4)

x

y

1

a H M N

2 3

Doğru üzerindeki herhangi 3 nokta olan A, B, C’nin koordinatları (0 noktası hariç) oranlanırsa;

olur.xy

12

24

36 2= = = =

Rampanın eğimi; Başka bir şekilde rampanın eğimini

olarak da bulabiliriz.,

,tan3031

1 71 0 59=c ..

,,

, .tanC ac olur

1 961 15

0 59= = .W


4.

Şekildeki direğin eğimini bulunuz.

5. Yandaki resimde görülen evin çatısının eğiminibulunuz.

6. Aşağıda verilen denklemlerdeki m ve k değerlerini bulunuz. Doğruların eğimlerini belirleyiniz.

a) mx + (m + 1)y -2 = 0 denkleminin belirttiği b) kx + 2ky + 3 = 0 denkleminin belirttiği

doğru (-2, -1) noktasından geçmektedir. doğru (-1, -3) noktasından geçmektedir.

5 m 13 m

10 m

6 m

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: eş boyda çıtalar• Çıtaların bir köşesini sıraya değecek şekilde

diğer köşesini ise farklı yüksekliklerde havaya kal-dırınız.

• Çıtaların sıra düzlemi ile yaptığı açıları belir-leyiniz.

� Çıtaların sıra düzlemi ile sıra düzlemineolan eğiklikleri arasında nasıl bir ilişki vardır?

• Çıtaların sıra düzlemi ile yaptığı açıların tan-jant değerini belirleyiniz. Belirlediğiniz değerleriyüzde olarak yazınız.

� Çıtaların eğiklikleri ile bulduğunuz yüzdelerarasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.

ALIŞTIRMALAR

1) Aşağıda verilen doğruların eğimlerini bulunuz.

a) y = –x + 1 b) –2y = 3 – 4x c) 2x +y – 3 = 0

ç) d) e) y – 5x = 0

2)

3) doğrularının grafiklerini çizerek eğimlerini ve eğim açılarını bulunuz.

4) A(0, –4) ve B(3, 0) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

5) A(0, 0) ve B(2, 1) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

6) noktasını orijine birleştiren doğrunun eğim açısının ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 30° B) 45° C) 50° D) 60°

7) Aşağıda verilen doğruların eğimlerini ve doğru denklemlerini bulunuz.

a) b)

,A 3 3_ i

y x ve y1 21= + =

x y21

32

94

- =-x y32

23 1 0+ - =

Yandaki fotoğrafta verilenrampanın eğimini bulunuz.

3. Ünite

Matematik 8. sınıf134

15 m

12 m

1234

-1-2-3-4

0

1 2 3 4

-1-2-3-4x

y

1234

-1-2-3-4

0 1 2 3 4

-1-2-3-4x

y

72-75


3. Ünite


3. Ünite

Denklemi şeklinde olan ve orijinden geçmeyen doğruların denklemlerinde x’in

kat sayısı olan değeri bu doğrunun eğimidir. ve alınırsa y = mx +n şek-

linde genel olarak orijinden geçmeyen doğruların denklemi elde edilir.

nbc

=-mba

=-ba

-

yba x

bc

=- -

Örnek: Aşağıdaki doğruların eğimlerini bulalım:

a) 2x + 3y = 6 b) x – 2y – 1 = 0

Önce verilen doğru denklemlerini y = mx + n şeklinde yazalım. x’in kat sayısı olan m değerleri doğ-ruların eğimleri olur.

a) b)

Bu doğrunun eğimi; Bu doğrunun eğimi;olur. olur.

Örnek: y = x doğrusunun grafiğini çizip eğimini bulalım:

x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ O(0,0) x = 1 ⇒ y = 1 ⇒ A(1,1)

m = 1 ve eğim açısı 45˚ dir.

1 45 1⇒αtan tanm 11

= = = =c

m21

=m32

=-

x y

y x

y x

y x

2 3 6

3 6 2

32

36

32 2

+ =

= -

=- +

=- +

x y

y x

y

y x

x

2 1

2

0

1

21

2

21

21

- - =

- = -

=

=

--

-

-

Örnek: A(0,4) ve B(–2,0) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım:

Verilen noktalardan geçen doğruyu çizelim.

A(0,4) ve B(–2, 0) noktalardan geçen doğrunun eğimi 2 dir.

m = tanα = = 224

x

y = x

1

1

1

α0 ��

�

��

y

xα

0

y

(0,4)

(-2,0)


7. Aşağıda verilen ifadelerin yanlarındaki kutulara doğru olanlar için “D”, yanlış olanlar için “Y”yazınız.

a) 4x + 3y = 5 denkleminin grafiğinin eğimi - tür. ��

b) y = ax + b denkleminin grafiğinin eğimini bulabilmek için a ve b değerlerini bilmemizgerekir. ��

c) y = denklemi ile 2x - 3y +1 = 0 denkleminin grafiklerinin eğimleri eşittir. ��2x - 3————3

4—3

8. A tablosunda verilen denklemlerin ait oldukları grafiklerin eğimini B tablosundan bularak tablo-lardaki ifadeleri birbiri ile eşleştiriniz.

9. Aşağıda verilen denklemlerin grafiklerinin eğimlerini büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

a) 3x - y + 5 = 0 b) x + 2y = 0 c) 4x + 9y - 2 = 0

ç) y =4 + 6x d) y = e) 2x + y - 4 =0

......... > ......... > ......... > ......... > ......... > .........

-x + 2————5

A

y = -3x + 2

y = x - 4

2y = 3x + 1

2x - y + 3 = 0

5x + 2y = 0

y = -x

4x = 5y - 2

y = 4 - 6x

B

-6

2

- 1

- 3

-

1

- 2

3——24——5

5——2

Ders kitabının 132 ve 133. sayfalarındaki ör-nekler incelenerek konunun işlemsel olarak öğre-nilmesi sağlanır.


Çalışma kitabının 72, 73, 74 ve 75. sayfaların-daki sorular öğrencilere yaptırılır.

Değerlendirme

Öğrencilerden; doğrunun eğimini modelleri ileaçıklamaları, doğrunun eğimi ile denklemleri ara-sındaki ilişkiyi belirlemeleri beklenir. Ders ve çalış-ma kitabındaki konu ile ilgili soruların cevaplarıkontrol edilebilir.


1. y = x ve 2y + 3x= 5 doğrularının eğimlerinibulup karşılaştırınız.

2. y = x – 1 doğrusunun grafiğini çizerek eğimi-ni bulunuz. Eğim açısının kaç derece olduğunubelirtiniz. Bu doğru A(2,1) noktasından geçer mi?Belirtiniz.


3. Ünite


3. Ünite


1) Atatürk’ün geometri alanında yaptığı yenilikler nelerdir?

2) Bir kenar uzunluğu 7 cm olan eşkenar üçgeni, cetvel ve iletki yardımıyla çiziniz. (Çizilebilir mi?Çizilebilirse çizimini yapınız ve anlatınız.)

3) Aşağıda bazı elemanlarının ölçüleri verilen dik üçgenleri çiziniz.

a) a = 3 cm b) c)

b = c = 5 cm

b = 4 cm

4)

5) Bir kenar uzunluğu a br olan karenin, bir köşegeninin uzunluğunu a cinsinden hesaplayınız.

6) Bir ışık kaynağından 8 m uzakta bulunan 4 m boyundaki bir direğin ışık kaynağından 16 m,direkten 8 m uzaktaki düz duvara düşen gölgesinin boyu kaç metre olur?

7)

s C 90= c_ iWs B 38= c_ iVs C 90= c_ iWa cm6=s A 90= c_ iW

K

H

D M C

N

BL4 cm

3 cm

5 cm

A

K

L

Yandaki şekilde olduğunagöre ağacın boyunu hesaplayınız.

KL m ve HL KH5 5 2= =

Yandaki şekilde ABCD eşkenar dört-gen ve // .KL MN dir

MC cm

NC cm ve

AL cm ise AK

3

5

4

=

=

=

5 5? ?

kaç cm’dir?

5

8

320

a 2


10. Aşağıda A tablosunda verilen doğruların eğimlerini B tablosundan bularak eşleştiriniz.

11. Aşağıda verilen doğruların eğimlerini bulunuz.

a) y = b) 6x - 4y = 12 c) -8y + 12x = 243x - 6————2

12. Aşağıda verilen doğru denklemlerinden hangisinin eğimi en büyüktür?

A) y - x = 1 B) y + x = 1 C) 2x + 3y = 3 D) 3x - y = 41——2

A

y = -x + 1

x + 4y + 3 = 0

y =

5x + 4y + 3 = 0

3y = 5x + 1

y = 3 - 2x

y =

4x - 2y + 5 = 0

5x - 5y + 3 = 0

3x - y = 0

B

2

1

-1

-

-

3

-

-2

-3

2x+5———3

4 - x———3

5——3

5——42——3

1——3

1——4

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Ders kitabının 135 ve 136. sayfalarındaki “Üni-te Değerlendirme Soruları” öğrencilere yaptırılır.

Çalışma kitabının 136, 137, 138 ve 139. say-falarındaki “3. Ünite Değerlendirme Soruları” öğ-rencilere yaptırılır.


3. Ünite


3. Ünite

8) Birbirene eş olan XYZ ve KLM üçgenleri çiziniz. Bu üçgenlerin elemanları arasındaki eşlemeyisembol kullanarak yazınız.

9)

10) Bir nde ve cos olduğuna göre eşitliğinin sonucunubulunuz.

11) Kartal yer düzlemiyle 30° lik açı yaparak 300 metre uçup yerdeki tavşanı yakalamıştır. Kartalıninişe geçmeden önceki yüksekliğini bulunuz.

12) olduğuna göre

değerlerini yazınız.

, , , , ,sin cos tan co tan cotsB B B C C CV V V W W Wsins olan bir ABC CA 90135

c= =^ hW X&

cot

in cos s

P

M P+

VW V

M1312

=Ws N 90= c_ iWMNP&

14)

A

B D

C

33° 33°

62° 62° Yandaki şekilde ABC ve ADC üçgenleri eş üçgenler midir?Açıklayınız. Burada ve olduğunu gös-teriniz.

AB AD=BC DC=

Şekildeki ABC üçgeninde;

açıortay, yüksekliktir.

ise kaç derecedir?s BCA_ i%s HAD 7= c_ i%

s ABC ve50= c_ i%AH5 ?AD5 ?

B H D C

A

Verilen üçgenlerin kenar ortadikme ve keranortaylarını çiziniz.Kenarortay ve kenar orta dikmearasındaki benzerlik ve farklılık-ları açıklayınız.

B5 cm 4

4 4

3 cm

4 cm

A

K

L MC

13)

1324

sin coo tan coo tan cotC512

=WC125

=WC1312

=WB512

=VB135

=VB1312

=V

150

36°


PERFORMANS ÖDEVİ 1

Ödevin Konusu: Alan ve hacim arasındaki bağıntıyı açıklama ve bu konuyla ilgili çalışmalar yapma

Çalışmayı Hazırlama Süresi : 1 hafta

Yönerge: Sizlerden;

a. Alan ve hacim arasındaki bağıntıyı açıklamak için farklı şekillerde ve büyüklüklerde kutular topla-manız,

b. Topladığınız kutuların hacimlerini hesaplamanız,

c. Kutuların açınımlarını yaparak alanlarını hesaplamanız,

ç. Verileri bir tablo yaparak tabloda göstermeniz,

d. Elde ettiğiniz verilerden yararlanarak bir rapor hazırlamanız ve hazırladığınız raporu sınıfa sun-manız istenmektedir.

Not : Bu çalışma 3 ve 5. ünite için geçerlidir.

Rapor için notlar :

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM


4. Ünite

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

Süre : 6 Ders saati Öğrenme Alanı : Geometri, Ölçme Alt Öğrenme Alanı : Geometrik Cisimler,

Geometrik Cisimlerin Yüzey Alanları, GeometrikCisimlerin Hacimleri

Kazanımlar1. Prizmayı inşa eder, temel elemanlarını belir-

ler ve yüzey açınımını çizer. 1. Dik prizmaların yüzey alanının bağıntılarını

oluşturur. 1. Dik prizmaların hacim bağıntılarını oluşturur. Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme Yöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-

me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: cetvel, kâğıt, makas, selobant,

hacim takımlarından üçgen prizma, çubuk makar-na, elişi kâğıdı, oyun hamuru, yapıştırıcı dikdört-gen prizma şeklinde ilaç kutusu (Makas kullanı-

mına dikkat edilmeli)

Ön Kazanımlar: 1. Prizmaların temel eleman-larını belirler (6.sınıf “Geometri” öğrenme alanı,“Geometrik Cisimler” alt öğrenme alanı).

Zorunlu Program Uyarıları [!] Tabanların karşılıklı köşelerini birleştiren ay-

rıttan tabanlara dik ise “dik prizma” eğik ise “eğikprizma” olduğu hatırlatılır.

[!] Yüksekliğin tabanlar arasındaki uzaklık ve-ya tabanlardan birinin bir noktasından diğer taba-na inen dikme olduğu vurgulanır.

[!] Eşkenar üçgen prizmanın tabanlarının mer-kezinden geçen doğrunun “ekseni” olduğu, buueksen etrafında 120° lik dönme değişmez kaldığıyani dönme simetrisine sahip olduğu vurgulanır.

[!] Üçgen prizmanın yanal ayrıtlarının tabanla-ra dik veya eğik oluşuna göre sırayla dik veyaeğik olduğu belirtilir.

[!] Küp, kare prizma ve dikdörtgenler prizması-nın yüzey alanı bağıntıları hatırlatılır.

[!] Dik veya eğik prizmaların karşılıklı paralelyüz çiftlerini(tabanlarına) göre isimlendirildiklerihatırlatılır.

[!] Prizmaların “Karşılıklı paralel yüz çiftlerin-den (tabanlarından) birinin kare, dikdörtgen, üç-gen, eşkenar dörtgen, paralelkenar olmasına gö-re sırasıyla kare, dikdörtgen, üçgen, … prizma”olarak adlandırıldığı hatırlatılır. Ayrıca bütün yüz-leri dikdörtgensel bölge olan dik prizmaya dikdört-genler prizması denildiği vurgulanır.

Ders İçi İlişkilendirme �Üçgenlerde ölçme

Dikkat Çekme ve Motivasyon: Öğrencilere ”Çevrenizden prizmalara örnekler

verebilir misiniz? sorusu yöneltilir. Daha sonra on-lardan çevrelerindeki prizmaları özelliklerine göresınıflandırmaları istenir.

Üçgen prizmaları diğer prizmalardan ayıranözelliklerin neler olduğunu düşünüyorsunuz?Prizmaların temel özellikleri neler olabilir?” sorula-rı yöneltilerek öğrencilerin derse dikkatleri çekilir.Öğrencilerin sorulara mutlaka doğru cevap ver-meleri beklenmemelidir. Bu soruların asıl hedefi-nin öğrencilerin konuya motivasyonunun sağlan-ması olduğu göz önünde bulundurulmalıdır.

Öğrenme-Öğretme Süreci Öğrencilere ders kitabının 138. sayfasındaki

fotoğrafla ilgili görsel okuma ve görsel sunu yap-tırılır. Sorulara verdikleri cevaplardan yararlana-rak öğrenciler etkinliğe yönlendirilebilir. Öğrencileretkinlik sırasında akıl yürütme, ilişkilendirme vepsikomotor becerilerini etkin kullanabilmelidirler.Etkinlik, özellikle kinestetik öğrenme stiline sahipöğrencilerin öğrenme stilleri göz önünde bulundu-rularak düzenlenmiştir.

Sınıfta kinestetik öğrenme stiline sahip öğren-ciler için öğrenme ortamı düzenlenirken diğersayfada verilen bilgilerden yararlanılabilir.


4. Ünite


4. Ünite

PRİZMALARIN ÖZELLİKLERİ, DİK PRİZMALARIN YÜZEY ALANLARI VE HACİMLERİ

Promosyon; bir firmanın markalaşmasında, kurumsal kimliğini ta-nıtmada, bir ürünün akılda kalıcı, elden düşmeyecek hâle getirilme-sinde en büyük unsurdur. Promosyon ürünleri kadar, promosyonürünlerinin kullanım alanları ve zamanları da geniş bir yelpazeye ya-yılmıştır. Son yıllarda pastane ve kafelerde kullanılan en yaygın pro-mosyon malzemesi kibrit kutularıdır. Değişik şekillerdeki kibrit kutu-ları insanların dikkatini çekmektedir.

� Yanda görülen kibrit kutusunun şekli hakkında ne söyleyebilir-siniz?

• Kâğıdı ikiye katlayıp bir üçgen çiziniz.

• Çizdiğiniz üçgeni katlı kâğıt üzerinden keserek iki üçgensel bölgeelde ediniz.

� Elde ettiğiniz üçgensel bölgeler eş mi yoksa benzer midir?

• Üçgenlerin kenarlarını sırayla a, b, c olarak isimlendiriniz.

• Kısa kenar uzunluğu üçgenlerin a kenarına eş ve uzun kenaruzunluğu 10 cm olan bir dikdörtgensel bölge kesiniz.

• Aynı işlemi uzun kenar uzunluğunu değiştirmemek şartıyla b ve ckenarları için de uygulayınız.

� Kaç dikdörtgensel bölge elde ettiniz?

• Bu dikdörtgensel bölgeleri birbirine eş olan kenarlar boyunca se-lobant ile yapıştırınız.

• Elde ettiğiniz yüzeyin açık olan iki ucuna eş üçgenleri kapak ola-rak yapıştırınız.

� Elde ettiğiniz prizma modelinin ismi nedir?

� Bu prizmanın kaç köşesi vardır?

� Bu prizmanın kaç yüzeyi ve kaç ayrıtı vardır?

� Tabanları hangi çeşit üçgenden oluşmaktadır?

� Bu prizmanın yüksekliği kaç cm’dir?

• Tabanları arasındaki eşlik bağıntısını tabanları isimlendirerek yazınız.

• Bu prizmanın tabanını sabit tutup yüksekliğini eğerek sağa doğru hafifçe bükünüz.

� Elde ettiğiniz prizma modelini nasıl isimlendirebilirsiniz? Açıklayınız.

Üçgen Prizmayı İnşa Edelim

cetvel, kâğıt, makas, selobant

“Gardner, kinestezinin altıncı duyumuz oldu-ğunu söyler. Kinestezi, nazikçe hareket edebilme,diğer insanların ve nesnelerin hareketlerini doğru-dan kavrayabilmekle ilgilidir. Bir başka sınıflandır-maya göre görsel ve işitsel öğrenicilerin yanı sıraüçüncü grubu kinestetik öğreniciler oluşturmakta-dır. Bu gruptaki öğreniciler akademik konulardaen düşük başarı gösterenlerdir. Bunun başlıca ne-deni bu tip öğrencilerin akademik konulara yatkınolmamalarıdır. Bir başka neden ise kinestetik öğ-rencilere uygun öğretim stratejilerinin göz ardıedilmesidir. Sınıflarımızda öğretim büyük ölçüdeişitsel temelli yapılmaktadır. Öğrenciler okuldanayrıldıklarında kitaplarını, defterlerini çantalarındabırakırlar, fakat nereye giderlerse gitsinler beden-lerini yanlarında taşırlar. Öğrencilerin öğrenmeoranlarını artırmak, dikkatlerini toplamak, moti-vasyonlarını artırmak için bedensel - kinestetikstratejileri muhakkak surette sıklıkla kullanmakzorundayız. Bedensel - kinestetik zekânın üç anaboyutu vardır.

Bunlar;

1. Bedensel hareketlerini ustalıkla denetleye-bilme,

2. Nesneleri yetkin bir şekilde yönlendirebilme,

3. Beden ve akıl arasında bir uyum ve ahenkoluşturmaktır. Bu yetenekler akademik giriş sınav-larında çok önemli olmadığı için eğitim sistemi-mizde bunlara pek önem verilmez. Birçok öğret-men bu zekâ alanının beden eğitimi öğretmenininilgi alanına girdiğini zannetmektedir. Bedensel ki-nestetik zekâ matematik, sosyal ya da fen konu-larıyla ilişkilendirilmez. Öğretmenler kinestetik öğ-rencileri “sorun çıkaran” ya da “vasat öğrenci” ola-rak sınıflamaya yatkındırlar. Kinestetik öğrencile-rin durumu araba kullanma becerisini geliştirmekiçin bir kitap okumak yerine araba kullanan sürü-cüden öğrenmekten farklı değildir. Bu öğrencilerinkitaptan öğrenmedikleri için suçlanmaları elbettegariptir. Bu tür öğrenciler, sözel - dilsel ya damantıksal - matematiksel öğrenicilerden farklı birsınıf ortamı isterler. En azından konuların bazenharekete dayalı olarak işlenmesini beklerler. Be-densel - kinestetik öğrenciler sınıftaki duygusaltona daha fazla önem verirler, çünkü onların be-denlerine ve çevrelerine olan farkındalık düzeyle-ri çok yüksektir. Duygusal ortam onlar açısındanolumsuzsa öğrenme de olumsuz olacaktır.”

Ders kitabının 139. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfada bulunan bilgikutusuna dikkat çekilir.


4. Ünite

A

C

hh

B

köşe

E

FD ��

�

üst tabanüst taban

yan ayrıtyan ayrıt

yükseklik hyükseklik

yan yüzeyyan yüzey

alt tabanalt taban

Aı Bı

Cı Dı Aı

A B C

D A

A B

C

Aı Bı

CıDı

D

E

D F E D

D F

B A

c

b

hh

c ��

Yandaki prizmanın karşılıklı iki yüzünde paralel ve eş olarak du-ran ABC ve FDE üçgenleri prizmanın tabanlarıdır. Yan yüzleri iseDECB, EFAC ve DFAB dikdörtgensel bölgeleridir. Bu üç dikdörtgen-sel bölgenin birleştirilmesi ile elde edilen yüzey ise yanal yüzeydir.


4. Ünite

�

�

D F

B A

E

C

A

B

a

a b

hh

c

Yanda verilen prizmala-rin yan ayrıtları tabanlarınadik olduğu için yer düzle-mine dik olduğu için dikprizmalardır. Bu dik priz-maların açınımılarını çize-lim ve tabanları ile yanyüzlerini görelim:

Tabanları üçgensel bölge ve yan yüzeyleri dikdörtgensel

bölge olan prizma üçgen prizmadır.

C

A

B C A B

h

h

E

FD

��

�

h

��

�

Üçgen prizmanınaçınımı

Görüldüğü gibi yükseklik, tabanlar arasındaki uzaklık veya tabanlardan birinin bir nokta-

sından diğer tabana inilen dikmedir.

köşe

A B

C

Aı Bı

CıDı

D

Ders kitabının 140. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Öğrencilerin dikkati üç-gen prizmaların çeşitlerine çekilmelidir. Bununlailgili olarak 140. sayfanın ortasındaki ve sonunda-ki bilgi kutularına dikkat etmeleri sağlanır.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: hacimler takımından üçgen priz-ma, çubuk makarna, el işi kâğıdı, oyun hamuru,makas, yapıştırıcı

• Üçgen prizma modelinin ayrıtlarını belirleyi-niz.

• Belirlediğiniz ayrıtların uzunluğunda çubukmakarnalar kesiniz.

• Kestiğiniz çubuk makarnaları oyun hamuruile birleştirerek üçgen prizmanın ayrıtlarını oluştu-runuz.

• El işi kâğıdından üçgen prizmanın yüzlerineeş olan geometrik şekilleri kesiniz.

• Kestiğiniz geometrik şekilleri ayrıtları göste-ren çubuk makarnalara yapıştırarak üçgen prizmamodelini inşa ediniz.

• İnşa ettiğiniz üçgen prizmanın taban, köşe veyüz sayılarını belirleyiniz.

� Yaptığınız işlemlerden yararlanarak üçgenprizmanın en belirgin özelliklerinin ne olduğunuaçıklayınız.

� Üçgen prizmanın yüzleri hangi gemotrik şe-killerden oluşmaktadır?

• Üçgen prizmayı inşa ederken yüzleri oluştur-duğunuz geometrik şekillerin alanlarından fayda-lanarak üçgen prizmanın yüzey alanını bulunuz.

� Yaptığınız işlemlerden yararlanarak üçgenprizmanın yüzey alanı için nasıl bir bağıntı oluştu-rursunuz?

� Oluşturduğunuz üçgen prizmanın taban ala-nı ile yüksekliğin çarpımı hangi bağıntıyı verir?Açıklayınız.


4. Ünite

�

��


4. Ünite

A B

D E

ayırt

C

c

F

A

E

D

B C

F

a b

a a

Yandaki üçgen prizmanın tabanları ikizkenar üçgenlerdenoluşmaktadır. İkizkenar üçgen prizmanın yüksekliği tabana diktir.Bu yüzden yandaki prizma ikizkenar üçgen dik prizma olur.

Üçgen dik prizmanın altı taban ayrıtı ve üç yanal ayrıtı olmaküzere dokuz ayrıtı vardır. Üçgen prizmanın üç ayrıtının birleştiği 6köşesi vardır.

Yandaki ikizkenar üçgen dik prizmada;

|AB| = c taban ayrıtı,

|AC| = a taban ayrıtı,

|CB| = b taban ayrıtı,

|DA| = h yüksekliktir.

A, B, C, D, E ve F noktaları köşelerdir.

Yandaki prizmaların eksenleri tabana dik olmadığı için bu prizmalar eğik prizmalardır. Yanal ayrıtla-rı tabana göre eğik durmaktadır.

Eğik üçgen prizma

�

c

h

��

�

h

��

�

ayırt

ayırt

ayırt

Üçgen dik prizması eşkenar üçgen dik prizma, ikizkenar üçgen dik prizma ve çeşitkenar üç-

gen dik prizma gibi tabanlarındaki üçgenlerin çeşidine göre adlandırılır.

Prizmalar tabanların karşılıklı köşegenleri birleştiren ayrıtlar tabanlara dik ise “dik prizma”,

eğik ise “eğik prizma” olarak adlandırılır. Dik veya eğik prizmalar karşılıklı paralel yüz çiftleri-

ne (tabanlarına) göre isimlendirilir.


PRİZMALAR, DİK PRİZMALARIN YÜZEY ALANLARI VE HACİMLERİ

1. Tabloda verilen boşlukları doldurunuz.

Tablo: Dik Prizmaların Köşe ve Ayrıt Sayıları

2. Ayrıtlarının uzunlukları sırasıyla 3 cm, 4 cm ve 6 cm olan dikdörtgenler prizmasının cisim kö-şegeninin uzunluğunu bulunuz.

3. Şekildeki PRS üçgeninin kenarları küpün yüzeyi üzerin-dedir. Küpün bir ayrıtının uzunluğu 4 cm dir. Buna göre,s(RPS) kaç derecedir?

4. Bir ayrıtının uzunluğu 5 cm olan küpün içerisine bir ayrıtının uzunluğu 1 cm olan küplerden kaçtane sığar?

A) 25 B) 64 C) 100 D) 125

Dik prizma Köşe sayısı Ayrıt sayısıÜçgen dik prizma

10 15Ongen dik prizma

14 21

R

S

P

a. Altın oran hakkında bilgi toplanması

Ders kitabının 141. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Örnekler öğrencilerinbireysel öğrenme farklılıkları dikkate alınarak dü-zenlenmiştir. Birinci örnek gerek duyulursa etkin-lik formatına dönüştürülebilir. Karton, alçı gibimalzemeler kullanılarak öğrencilerden üçgenprizma oluşturmaları istenebilir.

Öğrencilerden oluşturdukları üçgen prizma-dan yararlanarak bu üçgene ait temel elemanlarıüç boyutlu model üzerinde göstermeleri istenebi-lir. Yapılan çalışmadan ve sayfadaki örnekten ya-rarlanarak üçgenlerin temel elemanları ve üçge-nin açınımının nasıl olacağı ile ilgili bilgilerin yapı-landırılması sağlanabilir. Eğer bir üst basamaktaoluşturulan üçgen prizma modeli kartondan yapı-lırsa bu modelden yararlanarak üçgen prizmanınaçınımı ile ilgili bir model de elde edilmiş olur. Do-layısıyla aynı modeli kullanarak hem üçgen priz-manın temel elemanları hem de üçgen prizmanınaçınımı ile ilgili somut model çalışmaları yapılabi-lir.


4. Ünite

Aı

Bı

GıCı

AG

C

B


4. Ünite

� Aşağıdaki dik üçgen prizmanın açınımını çizelim:

Üçgen prizmanın 6 köşesi, 5 yüzü, 9 ayrıtı vardır. Prizmaların temel elemanları taban, yan yüz, ayrıt,köşe ve yüksekliktir.

Örnek: Eşkenar üçgen prizmanın tabanlarının merkezi arasından geçen doğruyu inceleyelim. Budoğru etrafında eşkenar üçgen prizmayı döndürelim.

Eşkenar üçgen prizmayı bu eksen etrafında döndürelim.

Eşkenar üçgenin tabanlarının merkezlerini G ve Gı olarak ad-landıralım. Köşeleri G ve Gı noktaları olan doğru, eşkenar üçgenprizmanın eksenidir.

Görüldüğü gibi eşkenar üçgen prizma ekseni etrafındaki 120° lik dönmelerde değişmez kalır.

D

E F

A

B C

üst taban

a

c b

c

c bh1

b

c

c b

b

a

a

c

a

b

h (yükseklik) h h

alt taban

Aı

Bı

GıCı

AG

C

120°B

Dı

Cı

GıAı

BG

A

C

Cı

Aı

GıBı

CG

B

A120°


5. Taban uzunlukları 5 cm ve yüksekliği 6 cm olan eşkenar üçgen dik prizmayı cetvel yardımıylaçiziniz. Bu prizmanın temel elemanlarını belirleyiniz.

6. Bir dikdörtgenler prizmasının aynı köşeden çıkan ayrıtlarından ikisinin uzunluğu yarıya indirili-yor. Prizmanın hacminin değişmemesi için üçüncü kenarı hakkında söylenenlerden hangisi doğrudur?

A) 2 katı alınmalıdır. B) katı alınmalıdır.

C) 4 katı alınmalıdır. D) 8 katı alınmalıdır.

72

7.

Şekildeki küpte K ve L, BE ve CG kenarlarınınorta noktalarıdır. |BC| = 8 cm ise taralı KLHF dört-gensel bölgesinin alanını bulunuz.D

F

A

B C

K

E G

L

H

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Ders kitabının 142. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlik öğrencilerin kolay te-min edebileceği malzemelerle kolay yapılabilecekşekilde tasarlanmıştır. Bu şekilde bir çalışma ileayrıca matematiğin günlük yaşamda farkında ol-madan birçok alanda kullanıldığına dikkat çekile-bilir.

Derslerde yapılan etkinliklerde iş birliğine da-yalı öğrenme çalışmalarına yer verilmesi önemli-dir. Yeni matematik programı iş birliğine dayalı öğ-renme çalışmalarına büyük önem vermektedir.Çünkü sosyal bir varlık olan insan birçok birey ilebirlikte yaşamaktadır. Dolayısıyla yaşamında birçok insanı etkilemekte ve birçok insandan da etki-lenmektedir. Aynı zamanda sosyalleşme sürecin-de birçok şeyi de toplumdan öğrenmektedir. Dola-yısıyla iş birliği yapmayı becerebilen bir toplumunoluşturulması gelecek nesiller için son dereceönemlidir. İş birliğine dayalı öğrenme yöntemi, or-tak bir amacı başarmak için öğrencilerin bir ekipolarak çalışmasıdır.

İş birliğine dayalı öğrenme yönteminin beşönemli unsuru vardır ( Johnson, Johnson ve Ho-lubec, 1990):

• Ekip üyeleri, kendilerinden istenilenleri öğ-renmekle ve bütün grup elemanlarının öğrenme-sini sağlamakla sorumludur.

• Ekip üyeleri, diğer üyelerin başarılarını artır-mada birbirlerine katkıda bulunmalı, destek olma-lı, birbirlerini cesaretlendirmeli ve üyelerin harca-dıkları çabaları takdir etmelidir.

• Ekip olarak bireysel çabalarının ekip başarı-sını etkileyeceğinin farkında olmalı ve sorumluluk-larını yerine getirmelidir.

• Ekip üyeleri, aralarında iyi bir iletişim kurma-lı ve grup içindeki çatışmaları en iyi şekilde çö-zümleyebilmelidir.

• Ekip üyeleri, yapılan çalışma ve ürünler üze-rinde hemfikir olmalıdır. Her ekip, kendi çalışma-larının değerlendirmesini yaparak çalışmalarınsürekli ve etkili olmasını sağlamalıdır. İş birliğinedayalı öğrenmede; öğrencilerin başarı düzeyleri,cinsiyetleri, kişilik özellikleri dikkate alınarak ho-mojen veya heterojen gruplar oluşturulmalıdır.

Ders kitabının 142. sayfasındaki örnek öğren-cilere incelettirilerek küpün alan ve hacim bağıntı-larını hatırlamaları sağlanır.


4. Ünite


4. Ünite

Dik Prizmaların Alan ve Hacim Bağıntıları

• İlaç kutusunun yüksekliğini cetvelle ölçüp bir kenara not edi-niz.

� Elinizdeki ilaç kutusu hangi prizma modeline örnektir?

• İlaç kutusunu ayrıtlarından keserek açınız.

• Açınımını yaptığınız ilaç kutusunu kâğıt üzerine yerleştiripayrıtlarından kâğıda çiziniz.

� Kaç tane yüzey elde ettiniz?

• Her bir yüzeyin kenar uzunluklarını cetvelle ölçünüz.

• Yaptığınız ölçme sonucunda oluşturduğunuz her bir bölgenin alanını hesaplayınız.

� Açınımını yaptığınız ilaç kutusunun tüm yüzey alanını nasıl hesaplarsınız? Açıklayınız.

� İlaç kutusunun ayrıtlarının uzunluklarını a, b, c olarak isimlendirirseniz bu prizmanın alan bağıntı-sını a, b, c harflerini kullanarak nasıl yazarsınız? Açıklayınız.

• İlaç kutusunun tabanında bulunan bölgenin alanını bulunuz.

� Bu alan ile yüksekliğin çarpımı prizmalarda bildiğiniz hangi bağıntıyı verir? Açıklayınız.

Dik Prizmaların Alan ve Hacim Bağıntılarını Keşfedelim

kâğıt, kalem, cetvel, makas, selobant, dikdörtgen prizma şeklinde ilaç kutusu

Örnek:

Yanda verilen küp şeklindeki kutunun bir ayrıt uzunluğu5 cm’dir. Alan ve hacim bağıntılarını bulalım:

Küpün açınımı incelendiğinde tüm alanının6 tane karesel bölgenin alanları toplamı olduğugörülür. Bu kutunun bir ayrıtının uzunluğu 5 cmolduğuna göre küpün yüzey alanı ;

.

A

A

A A cm dir

5 5 5 5 5 5

6 5

6 25 150

adet

2 2 2 2 2 2

2

2

6= + + + + +

=

= =&

$

$

1 2 34444444 4444444

Küpün karşılıklı paralel yüz çiftlerinden her biri karesel bölgedir. Bütün yüzeyleri karesel bölge vebütün ayrıtları eş olan dik prizma, küptür.

5 cm 5 cm

5 cm5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

Alt taban

Üst taban


8. Tabanı ikizkenar dik üçgen olan dik prizmanın yüksekliği 18 cm, tabanını oluşturan üçgenin hi-potenüs uzunluğu 10 2 cm olduğuna göre prizmanın hacmi kaç cm3 tür?

9. Taban alanı 196 cm2 olan kare dik prizma içine, taban alanı 32 cm2 olan üçgen dik prizma yer-leştiriliyor. Bu iki prizmanın yükseklikleri eşit olduğuna göre boş kalan kısmın hacminin üçgen dik priz-manın hacmine oranını bulunuz.

10. Hacmi 2160 3 cm3 olan düzgün altıgen dik prizmanın yüksekliği 10 cm ise yanal alanını bulu-nuz.

11. Taban çevresi 14 cm, yanal alanı 112 cm2 ve hacmi 96 cm3 olan üçgen dik prizmanın taban ala-nı kaç cm2 dir?

Ders kitabının 143. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki örnekte karedik prizmanın alan ve hacim bağıntıları işlenmiş-tir. Aşağıda çoklu zekâ uygulamaları ile ilgili uygu-lamalı bir bilgi verilmiştir. Bu uygulamalı bilgi ince-lendikten sonra hemen bu bilginin altında verilensorular ve bu sorulara benzer sorular üretilereköğrencilerin ters düşünme becerileri geliştirilebilir.

“...Öğrenciler beyinlerini kullanmaları için fırsat-

larla karşı karşıya bırakılmadıklarında, dendritleruyarılamazlar. Bu durum sınıflarda ciddi bir sorunolarak karşımıza çıkabilir. Öğretmenler, uygunuyarıcılar vermediğinde neural budanmaya nedenolabilirler ya da bilgiyi algılamak için gerekli olanyeteneklerini köreltebilirler.

...Neural dallanmayı cesaretlendirmek amacıyla

öğrencilerimizin varsayımsal düşünmelerini geliş-tirmelerine yardımcı olabiliriz. ‘Atatürk 80 yaşınakadar yaşasaydı ülkemizin gidişatı nasıl olurdu?’gibi sorularla öğrencilerimizin hipotetik düşünme-

lerine yardımcı olabiliriz. Ters düşünme stratejileribu konuda iyi bir öneri olabilir. Örneğin, ‘Gününüztamamen ters olsaydı, yani, sabahleyin akşamyemeği yeseydiniz, akşam ise kahvaltı yapsaydı-nız nasıl olurdu? Kediniz sizden büyük olsaydı yada altın sıvı bir madenden olsaydı gündelik hayat-ta neler değişirdi? Niçin? Niçin değil?’ gibi sorularters düşünme stratejilerinin örnekleri olabilir. ...”

Öğrencilere ilk olarak “Küpün hacmini ve ala-nını hesaplamasını bilmeseydik bunun yaşamı-mıza ne gibi etkisi olurdu?” sorusu yöneltilereköğrencilerin ters düşünmeleri sağlanabilir. İkinciolarak da “Küpün hacim bağıntılarını bilmek yaşa-mınızda size ne kazandırır?” sorusu öğrencilereyöneltilir. Bu tip sorularla öğrencilerin akıl yürütmeve yorumlama becerilerinin geliştirilmesi sağlana-bilir.


4. Ünite

Yanda resimde verilen hediye kutusu hangi tür prizmaya ör-nek olduğunu bulalım ve yüzey açınımını çizip alan ve hacimbağıntılarını oluşturalım:


4. Ünite

�

Bu küpün bir ayrıtının uzunluğuna a dersek A köşesi ile F köşesinibirleştiren doğru parçası cisim köşegeni olur. Aynı şekilde B ile E, C ileH köşeleri de birleştirildiğinde yine cisim köşegeni oluşur.

’dir. ise yüz köşegenidir yani Oluşan dik üç-gendir.

EFGH kare ve bir kenar uzunluğu a br olduğundan HEF dik üçgenin-de pisagor bağıntısından;

olur.a a HF

a HF HF a HF a br2 2 2

2 2

2 2

+ =

= = =& &2

2

2

AHF&HF5 ?AF br2 3=

Dik prizmaların hacim bağıntısı “taban alanı · yükseklik” ile bulunduğundan bu küpün hacmi;

V = olur.

Örnek: Cisim köşegeninin uzunluğu olan bir küpün yüzey alanını ve hacmini bulalım:br2 3

a5 5 5T

3

A

=$ $Y

A

D

E F

Ha

a

a

B

G

yüz köşegeni

cisim köşegeni

C

br’dir. AHF dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygularsak;

Küpün yüzey alanı

Küpün hacmi ; olur.a brV V 2 83 3 3= = =&

,a br6 6 2 6 4 242 2 2= = = =$ $

AHaa

HFa

a

FA22

2 34 3

2

2 2

+

+

+

=

=

= $

2

2 2 2

2^ ^h h

AH a=

bulunur.a a a br3 12 4 22 2= = =& & &

a

aa a

a

2

1 3

4

5 6

a a a a

a a a

h h h h h

üst taban

(yükseklik) h

a

Dikdörtgenler prizması, kare prizma ve küpte cisim köşegeni, bir yüz köşegeni ve bir yan ay-

rıtın oluşturduğu dik üçgendeki hipotenüstür.

Bir kenar uzunluğu a br olan küpün yüzey alanı = 6a2 br2;

hacmi (V) = a$a$a = a3 br3 olur.

Verilen hediye kutunun şekli aşağıdaki gibi olup alt ve üst tabanı karesel bölgeden oluşmaktadır.Yan yüzeyleri dikdörtgensel bölgelerden oluşan dik prizma, kare dik prizmadır. Kare dik prizmanın açı-nımını çizelim:

alt taban

��Taban çevresi = 4.a

Yanal Alan = Taban çevresi x h = 4.a.h

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Ders kitabının 144. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Örnekten yararlanaraksınıfta prizmaların hacmini bulmanın ne gibi ya-rarları olabileceği ile ilgili bir tartışma ortamı oluş-turulabilir. Öğrencilerin duyuşsal özelliklerinin ge-liştirilmesi son derece önemlidir. Matematikselkavram ve beceriler geliştirilirken öğrencilerde buduyuşsal gelişimin de göz önünde bulundurulma-sı gerekmektedir. Bunun için öğrencilerde aşağı-daki duyuşsal özelliklerin kazandırılması hedef-lenmelidir.

• Matematikle uğraşmaktan zevk alır. • Matematiğin gücünü ve güzelliğini takdir

eder.• Matematikte öz güven duyar. • Bir problemi çözerken sabırlı olur. • Matematiği öğrenebileceğine inanır. • Gerçek hayatta matematiğin öneminin far-

kında olur. • Matematik dersinde yapılması gerekenler dı-

şında da çalışmalar yapar. • Matematik kültürünü yaşamına uygular. • Matematikle ilgili çalışmalarda yer alır. • Matematiğin kişinin yaratıcılığını ve estetik

anlayışını geliştirdiğine inanır. • Matematiğin mantıksal kararlar vermeye kat-

kıda bulunduğuna inanır. • Matematiğin eğlenceli yönünün farkında

olur.


4. Ünite

1 numaralı dikdörtgensel bölgenin alanı ; a$h br2 ;

2 numaralı karesel bölgenin alanı ; a$a = a2 br2 ;


4 numaralı karesel bölgenin alanı ; a$a = a2 br2 ;


6 numaralı dikdörtgensel bölgenin alanı ; a$h; br2 olur.

Kare dik prizmanın yüzey alanı bağıntısı = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = a$h + a2 + a$h + a2 + a$h + a$h

= 2a2 + 4$a$h = 2a (a + 2h) br2 elde edilir.

Kare dik prizmanın hacim bağıntısı; V = Taban alanı$Yükseklik (V = a2 $ h) dir.

Örnek: Tabanının bir kenar uzunluğu 6 cm ve yüksekliği 10 cm olan kare dik prizmanın yanal alanı-nı, tüm yüzey alanını ve hacmini bulalım:


4. Ünite

2a2

a = 6 cm

h =

10 c

m

a = 6 cm

a =

6 cm

a =

6 cm

Tabanın bir kenar uzunluğu 6 cm ise tabanının çevresi;Ç = 4$a ⇒ Ç = 4$6 = 24 cm olur. Yanal alan ; taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. YA = Ç$h ⇒ YA = 24$10 ⇒ YA = 240 cm2 olarak bulunur.Tüm yüzey alanı = YA + 2TA olduğundan;

= 240 + 2$62 = 240 + 2$36= 240 + 72= 312 cm2 dir.

Hacmi ; V = Taban alanı$hV = 6$6$10V = 36$10 ⇒ V = 360 cm3 olarak elde edilir.

Örnek: Boyutları 60 cm ve 40 cm olan dikdörtgen karton katlanarak yüksekliği 40 cm ve tabanlarıaçık kare dik prizma elde ediliyor. Buna göre kare dik prizmanın hacmini bulalım:

Karton katlanarak tabanları açık kare dik prizma el-de ediliyorsa bu karton dik prizmanın yanal alanıdır. Olu-şan kare dik prizmanın yüksekliğinin 40 cm olması içinkarton yandaki şekilde verilen kesik çizgili noktalardankatlanmalıdır. Bu durumda tabanın bir kenar uzunluğu;

cm olur.4

60 15=

V = Taban alanı$yükseklik olduğundan;

V = 152 $40

V = 225$40 ⇒ V = 9000 cm3 bulunur.

��60 cm

15 cm

40 c

m

40 c

m

15 cm 15 cm 15 cm

Taban ayrıtı a ve yüksekliği h olan kare pirzamanın;

Yüzey alanı = 2a2 + 4ah = 2a(a + 2h) Hacmi = a2h dır.

Ayrıtları a, b ve c olan dik-

dörgenler prizmasının:

Yüzey alanı = 2(ab + ac + bc)

Hacmi = a . b . c dir.


12. Tabanı; bir kenar uzunluğu 12 cm olan eşkenar üçgenden meydana gelen prizmanın yüksekliği6 3 cm’dir. Bu prizmanın yüzey alanı kaç cm2 dir?

13.Yandaki şekilde görülen prizma bir küptür. ABFG

dikdörtgensel bölgesinin alanı 16 2 cm2 ise küpünalanı kaç cm2 dir?

A) 96 B) 90 C) 84 D) 64

14. Tüm yüzleri benzer olan iki dikdörtgenler prizmasının ayrıtları arasındaki benzerlik oranı ’dir.Bu iki dikdörtgenler prizmasının yüzey alanları oranı aşağıdakilerden hangisidir.

A) B) C) D) 27———816——9

2——34——9

2——3

A

H

E

D

F

B C

G

a. Araştırma yapılacak yerin belirlenmesi

r

G D

C

B

EF

A

Ders kitabının 145. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki örnek öğren-cilerin öğrenecekleri konunun günlük yaşamla iliş-kisini kurmaları için düzenlenmiştir. Öğrencilerinbireysel öğrenme farklılıkları göz önüne alındığın-da gerek duyulursa bu örnek, etkinlik formatınadönüştürülebilir. Sınıfa getirilecek bir karton kutu-nun boyutları cetvel ile ölçtürülerek öğrencilerdenbu kutunun alanı ile hacmini hesaplamaları iste-nebilir.

Ambalaj kâğıdı, gazete vb. malzemeler ile ko-linin yüzeyi kaplatılır. Daha sonra bu kaplamamalzemesinin alanı hesaplatılabilir. Eğer mümkünolursa üzerinde hacmi yazılı olan bir karton kutusınıfa getirilerek bu kutunun hacmi hesaplatılabi-lir. Öğrencilerden yapılan hesaplamanın sonucuile kutunun üzerinde yazan hacmi karşılaştırmala-rı istenebilir. Ders kitabının 146. sayfasındaki ör-nekler öğrencilerle birlikte incelenir.Yine bu sayfa-daki örnekler de öğrencilerin bireysel farklılıklarıgöz önünde bulundurularak hazırlanmıştır. Örnek-ler gerek duyulduğu takdirde etkinlik formatınadönüştürülebilir.


1. I. Üçgen eğik prizmanın yanal yüzeyleri pa-ralelkenarsal bölgelerden oluşur.

II. Üçgen dik prizmada ayrıt sayısı köşe sa-yısına eşittir.

III. Üçgen dik prizmalarda yanal yüzler birbi-rine eş dikdörtgensel bölgelerden oluşur.

IV. Eşkenar üçgen dik prizmalar eksen etra-fında 120°’lik dönmelerde değişmez kalır.

Üçgen prizmalarla ilgili yukarıdakilerden han-gileri doğrudur?

A) I-II B) I-II-IIIC) II-III-IV D)I-III-IV

2.

Elif, oyun hamurlarıyla boyutları |AB|=|BC|=10 cm,|FA| = 5 cm olan dikdörtgenler prizması biçiminde biryapı oluşturuyor. Şekildeki gibi prizmanın tam ortasın-dan silindir şeklinde bir parça çıkarıyor. Kesilen silindi-rin yarıçapı 3 cm olduğuna göre kalan şeklin tüm yü-zey alanını bulunuz (π ≈ 3).


4. Ünite


4. Ünite

Örnek: Kısa kenar uzunluğu 5cm, uzun kenar uzunluğu 6 cm ve yüksekliği 2 cm olan dikdörtgenlerprizmasının yanal alanını, tüm yüzey alanını ve hacmini bulalım:

Yandaki dik prizmanın açınımını yapalım. Alan ve hacimbağıntılarını elde edelim:

Prizmanın açınımını çizdiğimizde tüm yüzlerinin dikdörtgensel bölge olduğunu görünüz. Bu prizmadikdörtgenler prizmasıdır. Bu prizmanın kısa kenar uzunluğuna b, uzun kenar uzunluğuna a ve yüksek-liğine c dersek;

A2 = A4 = a$b (alt ve üst taban alanları)A1 = A5 = b$c (yan yüz alanları)A3 = A6 = a$c (yan yüz alanları) olur.Tüm yüzey alanlarını toplarsak dikdörtgenler prizmasının alanı ;A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 ⇒ A = b$c + a$b + a$c + a$b + b$c + a$c

A = 2 (a$b + a$c + b$c) olur.

c = 2 cm, b = 5 cm ve a = 6 cm alırsak;YA = A(ADHG) + A(BFEC) + A(AGFB) + A(DCEH)

= 2$5 + 2$5 + 6$2 + 6$2= 10 + 10 + 12 + 12 ⇒ YA = 44 cm2 olur.

Yüzey alanı = 2TA + YA= 2$[A(GFEH)] + YA= 2$6$5 + 44 = 60 + 44 = 104 cm2 olur.

V = Taban alanı$YükseklikV = A(HGFE)$h ⇒ V = 6$5$2 ⇒ H = 60 cm3 olarak bulunur.

�

A B

C

DE

FG

H

ab

c

D C

H E

B

FG

A

6cm

2cm

5cm

c c c c c

b b a

b a

b

a

a

Üst tabanA2

Alt tabanA4

A1 A3 A5 A6

a

a

b

bb b


4. Ünite

Yandaki kibrit kutusunun karşılıklı paralel yüz çiftlerin-den (tabanlarından) birisi üçgen olduğundan üçgen dikprizma modeline örnektir. Üçgen dik prizmanın yüzey açı-nımını çizip yüzey alanı ve hacim bağıntılarını elde edelim:

Şekilde verilen dik üçgen dik prizmada ’dir. Bu prizmanın yanal alanını, bütün yü-

zey alanını ve hacmini bulalım:ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısından;

AB BC AC

AC

AC AC AC cm

3 4

9 16 25 5

2 2

+ =

+ =

+ = = =& &

2 2 2

2

2 2

BC cm ve AD cm4 6= =

; ,AB BC AB cm3==5 5? ?

h prizmanın yüksekliğini, h1 ise üçgenlerin yüksekliğini göstermek üzere üçgen prizmanın yanal alanı;

YA = A1 + A3 + A5 = a·h + c·h + b·h

YA = h (a + b + c) ⇒ YA = taban çevresi · h olur.

Örnek:

Örnek:

C

B Ac

ba

EF

F

E

D

A

6cm

3cm

4cm

C

B

D

h

Üçgen dik prizmanın alanı;

A = A1 + A3 + A5 + A2 + A4 ⇒ A = YA + 2TA ⇒ A = h.(a + b + c) + ⇒ A = h(a + b + c) + c.h1olarak elde edilir.

Üçgen dik prizmanın hacmi ise olarak bulunur.V T hc h

hV2

1= =&A $

$$d n

c h2

21

$$

f p

bulunur.

YA = Taban çevresi.h ⇒ YA = (3 + 4 + 5).6 = 12.6 = 72 cm2 olur.

Yüzey alanı = YA + 2.TA = 72 + = 72 + 12 = 84 cm2 olarak elde edilir.

V = TA.h ⇒ V = .6 ⇒ V = 6$6 = 36 cm3 olarak bulunur.2

3 4$

22

3 4$

$

a

A1 A3A5

A4

A2a

a b

b

b

c

c

a b

Taban çevresi

h h h h

��

h1

h1

3. Tabanı eşkenar üçgen olan, üçgen dik priz-ma biçimindeki su deposunun uzunluğu 6 cm veyüksekliği 8 3 cm’dir. Deponun içinde 108 cm3 subulunduğuna göre depoya en fazla kaç cm3 sudoldurulabilir?


Sayfada bulunan bilgi kutusuna dikkat çekilir.

Uygulamalar



Değerlendirme

Öğrencilerden üçgen prizmayı inşa etmeleri,temel elemanlarını belirlemeleri ve yüzey açınımı-nı çizmeleri beklenir.


!

!


4. Ünite


4. Ünite

Yandaki şekil tabanı paralelkenar olan bir dik prizmadır.dir. Verilenlere göre bu paralelkenar dik priz-

manın hacmini bulalım:s FEH 30= c_ i%

Prizmanın tabanı paralelkenarsal bölgedir. çizelim. FEI dik üçgeninde;

sin ’dir.

V = TA$h ⇒ V = (4$1,5)$6 ⇒ V = 6$6 = 36 cm3 olur.

,FEFI h h cm30

21

31 5= = =& &c

EH FI=5 5? ?

Örnek:

6c m

3 cm

3 cm

4 cm

A

D C

B

G

H

F

E30°

4 cm

G

A

B C

F

D E

F

IE H

h30°

60°

��

4 cm

4 cm

4 cm A

H

h

B C

4cm

2cm 2cm

4cm

4 cm

10 c

m

��

Prizmalar karşılıklı paralel yüz çiftlerinden (tabanlarından) birinin kare, dikdörtgen, üçgen

eşkenar dörtgen, paralelkenar olmasına göre sırasıyla kare, dikdörtgen, üçgen prizma olarak

adlandırılır. Bütün yüzleri dikdörtgensel bölge olan dik prizma ise dikdörtgenler prizmasıdır.

Örnek: Tabanının bir kenar uzunluğu 4 cm olan eşkenar üçgen dik prizmanın yüksekliği 10 cm isebu prizmanın yüzey alanını ve hacmini bulalım:

Yüzey alanı = YA + 2$TA = (Taban çevresi.h) + 2.TA

= (4 + 4 + 4)$10 +

= 120 + cm2 olur.

V = Taban alanı$h ⇒ V = TA$h

V =

V = V = cm3 olarak elde edilir.40 3

4 3 10$

2

4 2 310

$$

2

8 3

22

4 2 3$

$

Prizmanın tabanı eşkenar üçgensel bölgedir.

cm olur.

A

h

h h

h HC C

h16 12 12

2 4

4 2 3

2

2 2 2

2 2

+ =

+ =

+ = = = =& &

2 2

Eşkenar üçgende bir köşeden indirilen yük-seklik tabanı iki eş parçaya ayırır.

AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygu-layalım.


4. Ünite

ALIŞTIRMALAR

1)

2)

3)

5)

4) Kâğıda üçgen dik prizma, dikdörtgenler prizması, kare prizma, düzgün altıgen dik prizma çiziniz.Bu prizmaların hepsinin ayrı ayrı köşe sayılarını, yüzey sayılarını ve ayrıt sayılarını bulunuz. Bu priz-maların her biri için “yüzey sayısı + köşe sayısı – ayrıt sayısı” işlemini yapınız. Nasıl bir sonuç elde et-tiniz? Bu özellik tüm prizmalar için geçerli midir? Bu özelliğe ne ad verildiğini araştırınız.

E

B

F

F

BA

D C

E

L K

C DA

Yandaki şekil bir kutunun yüzeylerinin açını-mıdır. Buna göre kutunun hangi yüzleri birbirineparaleldir?

A) A ile C B) B ile CC) A ile D D) E ile F

Yandaki şekilde verilen küpün yüzey alanı 24 cm2 dir. ci-sim köşegeni ise küpün hacmini bulunuz.

BL5 ?

Yandaki şekilde bir dikdörtgenler prizmasının açı-nımı verilmiştir. Verilen uzunluk değerlerine göre budikdörtgenler prizmasının hacmi kaç cm3 tür?

A) 32 B) 36 C) 48 D) 64

Şekilde verilen dik üçgen dik prizmanın açınımını çiziniz.

olduğuna göre bu dik üçgen dik prizmanın yanal alanını ve hacminihesaplayınız.

, ,DF cm FE cm AD cm5 12 15= = =,,DF FE AC BC==5 5 5 5? ? ? ?

D

F

E

C

BA

15 c

m5 c

m 12 cm

��

��

��

�

3 cm

5 cm

8 cm

78-82


15. Tabanı eşkenar üçgen, yanal yüzü kare olan bir dik prizmanın yanal alanının, taban alanlarıtoplamına oranını bulunuz.

16. Bir ayrıtının uzunluğu 12 cm olan küpün hacmi, taban ayrıtlarının uzunlukları 8 cm ve 9 cm olandikdörtgenler prizmasının hacmine eşittir. Bu dikdörtgenler prizmasının yüksekliğinin uzunluğunu bulu-nuz.

17. Bir küpün hacminin yüzey alanına oranı, başka bir küpün hacminin yüzey alanına oranının 3katına eşittir. Buna göre küplerin kenar uzunluklarının çarpımını bulunuz.

18. Taban alanı 150 cm2, yüksekliği 14 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir deponun yarısısu ile doludur. Verilen bu bilgilere göre, aşağıdakilerden hangilerinin bulunup bulunamayacağını yan-larındaki kutulara belirtiniz.

a) Deponun hacmi ��

b) Depoda kaç litre su bulunduğu ��

c) Deponun taban köşegeninin uzunluğu ��

ç) Deponun dolması için kaç litre suya gerek olduğu ��

d) Deponun cisim köşegeninin uzunluğu ��

e) Depodaki suyun ne kadar sürede boşalacağı ��

Süre : 6 Ders saati Öğrenme Alanı : Geometri, Ölçme Alt Öğrenme Alanı : Geometrik Cisimler, Geometrik Cisimlerin Hacimleri, Geometrik Ci-

simlerin Yüzey Alanları

Kazanımlar2. Piramidi inşa eder, temel elemanlarını belir-

ler ve yüzey açınımını çizer. 2. Dik piramidin yüzey alanının bağıntısını

oluşturur. 2. Dik piramidin hacim bağıntısını oluşturur. Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütmeYöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-

me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: kâğıt, kalem, cetvel, makas, ip,

selobant, hacimler takımından piramit maddeleri,çubuk makarna, oyun hamuru, elişi kâğıdı, pirinç,kare piramit modeli, dik kare prizma modeli (Ma-kas kullanımına dikkat edilmeli)

Zorunlu Program Uyarıları[!] Tepe noktasından taban düzlemine inen dik-

menin veya bunun uzunluğunun “piramidin yük-sekliği” olduğu vurgulanır. Piramitte yükseklik ay-nı zamanda tepenin taban düzlemine olan uzaklı-ğıdır.

[!] Tepe noktasını taban merkezine (ağırlıkmerkezi) birleştiren doğru parçası tabana dik isepiramide “dik piramit”, eğik ise “eğik piramit” denil-diği vurgulanır.

[!] Dik piramidin tabana paralel olmayan, taba-nı kesmeyen ve tepe noktasından geçmeyen düz-lemle kesildiğinde elde edilen iki parçasından te-penin bulunduğu parçanın eğik piramit olduğuvurgulanır.

[!]Piramitlerin tabanlarına göre isimlendirildik-leri, modellerle gösterilir.

[!] Piramidin tabanına göre “kare piramit, dik-dörtgen piramit, beşgen piramit” gibi isimlendiril-diği hatırlatılır.

[!] Benzer etkinlikler, eşkenar üçgen piramit ileeşkenar üçgen prizma; paralel yüz ile paralelke-nar dik piramit; eşkenar dörtgen piramit, düzgünaltıgen piramit ile düzgün altıgen prizma için deyaptırılır.

Dikkat Çekme ve Motivasyon Öğrenciler, “Mısır piramitleri hakkında bilgisi

olan var mı? Çevrenizde piramitlere benzeyen ya-pılar var mı? Piramitlerin özellikleri ile ilgili nelersöyleyebilirsiniz?” soruları yöneltilerek öğrencile-rin konu ile ilgili ön bilgileri harekete geçirilebilir.

Ders kitabının 149. sayfasındaki fotoğraf ileilgli görsel okuma ve görsel sunu yaptırılır. Fotoğ-rafa ait metin öğrencilere okutulur. Metnin sonun-daki soru öğrencilere yöneltilerek öğrencilerin dik-kati konu üzerine çekilir.

Öğrenme-Öğretme Süreci Ders kitabının 149. sayfasındaki etkinlik öğ-

rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin akıl yü-rütme, ilişkilendirme ve psikomotor becerilerini et-kin kullanmaları sağlanmalıdır. Etkinliğin grup ça-lışması şeklinde yaptırılması önerilir.



4. Ünite

• Kâğıda bir çokgensel bölge çiziniz.

• Bu çokgensel bölgenin köşelerine ip bağlayınız.

• Bu ipleri çokgensel bölgenin üstünde bir yerde (tepe noktası) birleştiriniz.

� Oluşturduğunuz bu cismin yan yüzleri hangi geometrik şekillerden oluşmaktadır?

• Oluşan cismin yan yüzlerini kâğıtla kaplayınız.

• Oluşturduğunuz geometrik cismin yan yüzlerindeki iplerin uzunluğunu ve iplerin arasında kalan çok-genin bir kenar uzunluğunu cetvelle ölçerek bu ölçülere uygun geometrik cisimleri kâğıda çiziniz.

• Çizdiğiniz çokgensel bölge modellerini kâğıttan keserek çıkarınız.

• Elde ettiğiniz çokgensel bölge modellerini iplerin yerine yapıştırınız.

• Yan yüzleri oluşturan çokgensel bölge modellerinin uç noktalarını bir noktada birleştiriniz.

� Oluşturduğunuz geometrik cisim taban düzlemine dik midir? Neden?

� Oluşturduğunuz geometrik cisim taban düzlemine dik değilse nasıl adlandırabilir? Açıklayınız.

� Yaptığınız modelin yüksekliği nerededir? Açıklayınız.

� Yaptığınız modelin ayrıtları kaç tanedir?

� Yaptığınız modelin açınımını çizdiğinizde cismin kaç yüzü olacaktır? Bunlar hangi geometrik şekil-lerdir? Açıklayınız.


4. Ünite

PİRAMİDİN ÖZELLİKLERİ, YÜZEY ALANI VE HACMİ

Piramitlerle ilgili birçok araştırma yapılmıştır.Bu araştırmalarda çok ilginç sonuçlar elde edil-miştir. Piramitlerle ilgili şu gerçeklere de kısacabir göz atalım: Keops Piramidi'nin gerçek tabankenar uzunluğunun (230,3465 m) 8 katı ya daçevre uzunluğunun iki katı, boylamlar arasında-ki 1 dakikalık açının ekvatordaki uzunluğunuvermektedir. Piramidin kenar uzunluğunun ek-vatordaki 1 dakikalık mesafenin 1/8 ine eşittir.Piramidin kenar uzunluğunun 230,3465 m ol-ması tamamen tesadüf de olabilir. Fakat karşı-lıklı ilişkiler yenilerini doğuruyor ve bunlara ye-nileri ekleniyorsa bu ilişkilerin kasti düzenlen-miş olduğu ihtimali de ciddi olarak dikkate alınmalıdır.

� Peki piramitlerin alan ve hacimlerinin nasıl hesaplanacağını düşünüyorsunuz?

Piramidin Özelliklerini Belirleyelim

kâğıt, kalem, cetvel, makas, ip, selobant

Ders kitabının 151. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Okulda bulunan mate-matik takımından piramit örnekleri sınıfa getirilipöğrencilerin bu piramitlerden yararlanarak pira-mitlerin tabanlarına göre isimlendirildiklerini ken-dilerinin keşfetmeleri sağlanabilir. Yine aynı şekil-de öğrencilerin piramitte bulunan yan yüz sayısıile piramidin tabanını oluşturan çokgensel bölgearasındaki ilişkiyi keşfetmeleri sağlanabilir.


4. Ünite


4. Ünite

� Verilen geometrik cisimleri inceleyelim:

�

Yukarıdaki geometrik cisimlerin tabanları birer çokgensel bölge ve yan yüzleri de üçgensel bölge-lerden oluşmaktadır.

Tabanı ABCD karesi olan yandaki kare piramidi inceleyelim:

ABCD tabanlı kare piramidin yan yüzlerini oluşturan üçgensel bölge-ler T noktasında birleşmiştir. T noktası piramidin tepe noktasıdır. Tepenoktasını taban köşelerine birleştiren doğru parçaları yanal ayrıtlardır.

yanal ayrıtlardır.

Yanal ayrıtları arasında kalan üçgenler piramidin yanal yüzleridir.

yanal yüzlerdir. Karenin 4 kenarı vardır. Karepiramidin yanal yüz sayısı da 4’tür.

, , ,ATD DT T ATC B C B& & & &

, , ,TA TD TB TC5 5 5 5? ? ? ?

Buna göre;

I numaralı piramit, üçgen piramit,

II numaralı piramit, dörtgen piramit,

III numaralı piramit, beşgen piramit,

IV numaralı piramit, altıgen piramit olarak adlandırılır.

D E

F G

J

K L

M P

R S

T

Y

V UN

O

I H

AA C

B

T

A B

D C

I II III IV

Tabanı çokgensel bölge ve yan yüzleri üçgensel bölge olan geometrik cisimler piramitlerdir.

Piramitler tabanlarındaki çokgensel bölgelere göre adlandırılırlar.

T

A B

D C

Tepenoktası

Yanalayrıt

Taban ayrıtı


4. Ünite

� Aşağıdaki piramitleri inceleyelim:

�

Tabanı BDC eşkenar üçgeni olan piramit ⇒ düzgün üçgen piramit,

Tabanı FJIHG düzgün beşgeni olan piramit ⇒ düzgün beşgen piramit,

Tabanı LMNOPR düzgün altıgeni olan piramit ⇒ düzgün altıgen piramit olarak adlandırılır.

Şekillerden de anlaşılacağı gibi düzgün piramitlerin yanal ayrıtları eştir, yan yüzleri ise birbirine eşikizkenar üçgenlerdir.

Üçgen piramidin taban ayrıtı sayısı 3, yanal yüz sayısı da 3’tür.

Beşgen piramidin taban ayrıtı sayısı 5, yanal yüz sayısı da 5’tir.

Yandaki düzgün piramidi inceleyelim:

Yandaki piramitte H noktası ABCD karesinin köşegenlerinin kesimnoktası yani ağırlık merkezidir. yani piramidin yüksekliği tabanınmerkezine (ağırlık merkezi) diktir.

TH

Piramit kare piramit olduğundan yan yüzlerini oluşturan üçgenler ikizkenar üçgenlerdir ve birbirleri-ne eştir. Bu yüzden bu üçgenlerin yan yüz yükseklikleri na eşittir.TE

Yandaki piramidin tabanı karesel bölgedir. Piramidin tepe noktasın-dan tabana inen dikme veya bunun uzunluğu piramidin yüksekliğidir.

Piramidin yüksekliği

Piramidin yan yüz yüksekliği

dir.ATB T T TB C C D D A, , ,& & & &

TE "

TH h= "

A

B ab

b

bc

c c

c

c

cbb

a aC

DF

G H

I L

M N

O

K

R PJ

E

Bir piramitte yanal yüz sayısı tabanı oluşturan çokgensel bölgenin kenar sayısına eşittir.

Piramitte yükseklik aynı zamanda tepe noktasının tabana olan uzaklığıdır.

Tepe noktasını taban merkezine (ağırlık merkezi) birleştiren

doğru parçası tabana dik ise piramit dik piramittir.

EH

H

Yan yüzyüksekliği

piramidin yüksekliği

T

A B

D C

T

A B

D C

T

A B

D C

D)


1.

A)

Şekildeki kare dik piramidin tam tepe-sinden bakıldığında aşağıdaki şekillerdenhangisi görülür?

2. Bir düzlem ile bir dik kare piramidin kesişimi aşağıdaki çokgensel bölgelerden hangisi olamaz?

A) Yamuk B) Kare C) Beşgen D) Altıgen

3. Aşağıda verilen piramitlerin dik ya da eğik piramit olduklarını altlarındaki kutucuklara yazınız.

C)

B)

DİK PİRAMİT, YÜZEY ALANI VE HACMİ

b. Araştırma yapılacak materyalin belirlenmesi

Üçgenlerin yüksekliklerinin belirlenmesi ile ilgiliön bilgiler öğrencilere hatırlatılabilir. Tahtaya bir ge-niş açılı üçgen çizilerek bu üçgenin yüksekliğini be-lirlemeleri istenebilir. Yapılan bu çalışmadan yararla-narak ders kitabının 152. sayfasındaki birinci örneğedikkat çekilir ve eğik piramidin yüksekliğinin nasıl be-lirleneceği ile ilgili verilen birinci örnek öğrencilerlebirlikte incelenir. Böyle bir çalışma ile öğrencilerin önbilgilerini ve akıl yürütme becerilerini etkin kullanma-ları sağlanmış olacaktır.

Ders kitabının 152. sayfasında bulunan bilgi içe-rikli diğer örnekler öğrencilerle birlikte incelenir. Say-fadaki tüm örnekler öğrencilerin bireysel öğrenmefarklılıkları dikkate alınarak hazırlanmıştır. Gerek du-yulduğu takdirde sayfadaki tüm örnekler etkinlik for-matına dönüştürülebilir.

Sayfada bulunan son bilgi içerikli örnek için öğ-rencilerden kartondan bir piramit hazırlamaları iste-nebilir. Hazırlanan piramidin açınımı yaptırılarak bil-gileri bu piramit açınımı üzerinde edinmeleri sağla-nabilir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: hacimler takımından piramit modelle-ri, çubuk makarna, oyun hamuru, makas, yapıştırıcı,el işi kâğıdı

• Hacimler takımından bir piramit modeli seçiniz.• Seçtiğiniz piramidin ayrıtları uzunluğunda çu-

buk makarnalar kesiniz.• Kestiğiniz çubuk makarnaları oyun hamuru ile

birleştirerek seçtiğiniz piramidin ayrıtlarını oluşturu-nuz.

• El işi kâğıdından seçtiğiniz piramidin yüzlerineeş olan geometrik şekilleri kesiniz.

• Kestiğiniz geometrik şekilleri ayrıtları gösterençubuk makarnalara yapıştırarak seçtiğiniz piramidinmodelini inşa ediniz.

• İnşa ettiğiniz piramidin taban, köşe ve yüz sayı-larını belirleyiniz.

� Yaptığınız işlemlerden yararlanarak piramitle-rin en belirgin özelliklerinin neler olduğunu açıklayı-nız.

� Seçtiğiniz piramidin yüzleri hangi geometrikşekillerden oluşmaktadır?

• Seçtiğiniz piramidi inşa ederken yüzleri oluştur-duğunuz geometrik şekillerin alanlarından faydala-narak piramidin yüzey alanını bulunuz.

� Yaptığınız işlemlerden yararlanarak piramidinyüzey alanı için nasıl bir bağıntı oluşturursunuz?

• Seçtiğiniz piramidin içine su doldurtunuz. Taba-nı ve yüksekliği, bu piramide eş olan prizmanın içe-risine bunu doldurunuz.

� Prizma kaç seferde dolmaktadır?� Prizmanın hacim bağıntısından yararlanarak

piramit için nasıl bir hacim bağıntısı oluşturursunuz?Açıklayınız.


4. Ünite


4. Ünite

Örnek: Aşağıdaki piramitleri inceleyelim:

� Tabanının bir kenar uzunluğu a br olan kare piramidin açınımını çizelim:

� Taban uzunlukları 2 cm olan eşkenar üçgen piramidi ve açınımını çizelim:

T

F

T

E

A

B C

T

K M

h

J

h

DG

I

H

T

F

L

G

I

Yukarıdaki beşgen pira-mitte piramidin tepe noktasınıtaban merkezine birleştirendoğru parçası yani piramidinekseni tabana dik değildir.

Yeni oluşan piramidin yük-sekliği taban merkezine dikdeğildir. Bu yüzden oluşan bupiramit eğik piramittir.

T tepe noktasını nınağırlık merkezine birleştiren

tabana dik olduğundanbu piramit dik piramittir.TH

FGI& Dik piramit tabana paralel ol-mayan, tabanı kesmeyen ve te-pe noktasından geçmeyen bir Ldüzlemi ile kesilmiştir. Piramidintepe noktasının bulunduğu par-çayı aşağıya çizelim:

Tepe noktasını taban merkezine (ağırlık merkezi) birleşti-

ren doğru parçası tabana eğik ise piramit eğik piramittir.

T

T

M

K L

K L

M

2cm

2 cm

2 cm

2 cm

T

D C

A B

A B

D C

a

a

a

aa

a

aa

h1a

2

a2

yan yüzey yüksekliğiyan yüz

taban ayrıtı

yanal ayrıt


4. Aşağıdaki cümlelerde verilen noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz.

a) Dik piramit, tabana paralel, tabanı kesmeyen ve tepe noktasından geçmeyen düzlemle kesil-diğinde, elde edilen iki parçasından tepenin bulunduğu parça bir ........................... .

b) Dik piramit, tabana paralel olmayan, tabanı kesmeyen ve tepe noktasından geçmeyendüzlemle kesildiğinde, elde edilen iki parçasından tepenin bulunduğu parça bir ...................... .

5. Taban alanı 144 cm2, cisim yüksekliği 8 cm olan kare dik piramidin yüzey alanını bulunuz.

6. Tabanının bir ayrıtının uzunluğu 6 cm olan kare dik piramitte, bir yanal yüzün tabanla yaptığıaçının ölçüsü 60° dir. Bu piramidin alanı kaç cm2 dir?

7. Taban alanı 64 cm2, yan yüz yüksekliği 9 cm olan kare dik piramidin yüzey alanı kaç cm2 dir?

A) 148 B) 164 C) 172 D) 208

c. Altın oranla ilgili önceden yapılmış olan çalışmalar hakkında bilgi toplanması

Ders kitabının 153. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin akıl yü-rütme, ilişkilendirme ve psikomotor becerilerinietkin kullanmaları sağlanmalıdır.

Matematik sadece kurallar, semboller, şekillerve işlemlerden ibaret değildir. İçinde bir anlam bü-tünlüğü olan düzenler ve ilişkiler ağından oluş-maktadır. Ayrıca, matematikle diğer disiplinler veyaşam arasında da ilişkiler bulunmaktadır. Sözüedilen ilişkilerin kullanılması için oluşturulan or-tamlar, öğrencilerin matematiği daha rahat ve da-ha anlamlı öğrenmelerini sağlayacaktır.

Bunun yanı sıra edinilen bilgi ve becerilerin ka-lıcılıkları artacak, matematiğin gücünün takdiredilmesi sağlanacak, matematikte öz güvenleriartabilecek ve matematiğe yönelik olumlu tutumasahip olabileceklerdir.

Matematiksel kavramların geliştirilmesi birders saati ile sınırlandırılmadan süreç içinde ger-çekleştirilmelidir. Matematiksel kavramlar arasın-daki ilişkilerin araştırılması, tartışılması ve genel-leştirilmesi de aynı süreç içinde ele alınmalıdır.Sınıfta ele alınan bir konunun, matematiğin diğeralanlarıyla ilişkisi araştırılmalıdır. Öğrencilerden,kavram ve kurallar arasında karşılaştırmalar yap-maları istenmeli, onlara somut ve soyut temsil bi-çimleri arasında ilişkilendirme yapabilecekleriproblemler çözdürülmelidir. Bu nedenlerden dola-yı kazanımların elde edilmesi için düzenlenen et-kinlikler ve örnekler öğrencilerin ön bilgilerini kul-lanmalarını, bu bilgileri kullanarak yapacaklarıilişkilendirmeler ile yeni bilgileri yapılandırmalarınısağlamak için düzenlenmiştir. Öğrenciler bu konu-da cesaretlendirilmeli ve yönlendirilmelidir. Örnek-lerin tamamı daha önce de belirtildiği gibi (öğren-cilerin bireysel öğrenme farklılıkları göz önündebulundurulduğunda) gerek duyulduğu takdirde et-kinlik formatına dönüştürülebilir.

Ders kitabının 153. sayfasındaki örnek öğren-cilere incelettirilerek onların eşkenar üçgen dikpiramidin alan ve hacim bağıntılarının nasıloluşturulduğunu görmeleri sağlanır.


4. Ünite


4. Ünite

�

TD

C

a

a a

A

E F

B

h1

A B

C

a

T

A B

C

a

• Dik kare piramit modelinin yan yüzlerinin ve tabanının kenar uzunluklarını cetvelle ölçünüz. • Bu uzunluklara uygun karesel bölgeyi ve üçgensel bölgeleri kâğıda çiziniz.� Açınımını çizdiğiniz dik kare piramidin alanını prizmalardaki alan bağıntısını kullanarak nasıl he-

saplarsınız? Açıklayınız.� Yaptığınız çalışmadan yola çıkarak herhangi bir piramidin alan bağıntısının nasıl oluşturulacağını

açıklayınız.• Kare piramit ile kare prizma modelinin taban uzunluklarını ve yüksekliklerini karşılaştırıp sonucu

not ediniz. • Üstü açık dik kare prizmanın içine pirinç taneleri doldurunuz.• Açınımını çizdiğiniz dik kare piramidin yan ayrıtlarını kesiniz.• Yan ayrıtları selobantla yapıştırarak piramidin yan yüzlerini oluşturunuz.• Piramidi tam kapatmadan içini pirinç taneleri ile doldurunuz.• Dik kare prizmanın içini dolduran pirinç miktarı ile kare piramidin içini dolduran pirinç miktarını kar-

şılaştırınız.� Bu karşılaştırmadan yola çıkarak dik kare piramidin hacim bağıntısı ile ilgili düşüncelerinizi açıkla-

yınız.

Dik Piramitlerin Alan ve Hacim Bağıntılarını Oluşturalım

kâğıt, kalem, pirinç, hacimler takımındaki kare piramit modeli, dik kareprizma modeli, selobant

Yandaki eşkenar üçgen dik piramidin taban ayrıtlarından birisininuzunluğu a br’dir. Bu eşkenar üçgen dik piramidin alan ve hacim bağın-tılarını oluşturalım:

Eşkenar üçgen dik piramidin açınımını çizdiğimizde yan yüzlerini oluşturan EAC, ADB ve CBF üç-genleri taban uzunlukları a br olan ikizkenar üçgenlerdir.

olur.

Yan yüz alanları toplamı; olarak elde edilir.

tür. (Bir kenar uzunluğu a br olan eşkenar üçgensel bölgenin alan bağıntısıdır.)

O hâlde piramidin yüzey alanı olarak elde edilir.T Y a a hbr

43

23

A A

221

= + = +$ $

A ABC aT4

32

A = =_ i&

Ya h

32A

1= $

$

A BCF A C Aa

EA ADBh

21

= ==$_ _ _i i i& & &

eşkenar üçgen dikpiramidin açınımı


8. Yanal alanı 520 cm2, taban alanı 100 cm2 olan kare dik piramidin cisim yüksekliği kaç cm’dir?

10. Bir yan yüzünün alanı 15 cm2 taban alanı 36 cm2 olan kare dik piramidin hacmini bulunuz.

11. Hacmi 245 cm3 ve yüksekliği 5 cm olan kare dik piramidin taban çevresi kaç cm’dir?

9. Bir kenarının uzunluğu x olan küpün içine, taban ayrıtının veyüksekliğinin uzunluğu yine x olan kare dik piramit yerleştiriliyor.Bu iki cisim arasında kalan boşluğun hacmi için aşağıdaki ifade-lerin doğru ya da yanlışlıklarını yanlarındaki kutucuklara belirti-niz.

a) Boşluğun hacmi piramidin hacminin iki katıdır. ��

b) Boşluğun hacmi piramidin hacmine eşittir. ��

c) Boşluğun hacmi piramidin hacminin üç katıdır. ��

ç) Boşluğun hacmi küpün hacminin yarısına eşittir. ��

d) Boşluğun hacmi küpün hacminin sine eşittir. ��2—3

Ders kitabının 154 ve 155. sayfalarındaki ör-nekler öğrencilerle birlikte incelenir.

Yine sayfalardaki örneklerde öğrencilerin önbilgileri ile ilişkilendirme yapılmıştır. Matematikdersinde öğrencilerin öz düzenleme becerileriningeliştirilmesinin önemi daha önce de belirtilmiş-ti.Yapılan etkinliklerden ve incelenen örneklerdenyararlanarak bu becerilerden aşağıda belirtilenle-rin geliştirilmesi sağlanabilir.

• Matematikle ilgili konularda kendini motiveeder.

• Matematik dersi için hedefler belirleyerekbunlara ulaşmada kendini yönlendirir.

• Matematik dersinde istenenleri zamanındave düzenli olarak yapar.

• Matematikle ilgili çalışmalarda kendi kendinisorgular.

• Gerektiğinde ailesinden, arkadaşlarından veöğretmenlerinden yardım ister.

• Matematik dersinde ilişkilerinde saygının,değer vermenin, onurun, hoşgörünün, yardımlaş-manın, paylaşmanın, dürüstlüğün ve sevgininönemini takdir eder.

• Matematik dersinde yapılan çalışmalarda te-miz ve düzenli olur.


4. Ünite


4. Ünite

A

E

B C

D F

aa

a

a��

T

A B

C

6 cm

h = cm

33

Tabanı oluşturan eşkenar üçgensel böl-genin bir kenarının uzunluğu a br olan eşke-nar üçgen dik prizma ile eşkenar üçgen dikpiramidin hacimleri oranı 1/ 3’tür.

Primadin taban alanı; ,

Piramidin yanal alanı; dir.

Eşkenar üçgen dik piramidin yüzey alanı ola-

rak elde edilir.

Eşkenar üçgen dik piramidin hacmi;

tür.V T h V cm31

31 3 33 119 9 3

A &= = =$ $ $ $

T Y cm9 3 54 2A A= + = +^ h

Ya h

cm32 2

3 6 6 54 2A

1= = =$

$ $ $

T a cm4

34

3 9 36A

2 22= = =

Taban alanı ile yüksekliğin çarpımı prizmaların hacim bağıntısını verir. O hâlde eşkenar üçgen dikpiramidin hacim bağıntısı;

olarak elde edilir.T h a h brV V31

31

43

A

23= =&$ $ $ $

Dik piramitlerde taban alanı ile yüksekiliğin çarpımının üçte biri piramidin hacmini verir.

Örnek: Tabanının bir kenar uzunluğu 6 cm, yan yüz yüksekliği 6 cm ve piramit yüksekliği cmolan eşkenar üçgen dik piramidin tüm yüzey alanını ve hacmini hesaplayalım:

33

Kare dik piramidin tepe noktası, tabanın ortanoktası ve taban ayrıtının orta noktasını birleştire-rek elde ettiğimiz THE dik üçgeninde;

piramidin yüksekliği

yan yüz yüksekliği ve

taban ayrıtının yarısı olduğundan;HE "

TE "

TH "

Örnek: Tabanının bir kenar uzunluğu 6 cm ve yan yüz yüksekliği 5 cm olan kare dik piramidin ala-nını ve hacmini bulalım:

bulunur. (3 – 4 – 5 dik üçgeni)

TH HE TE

TH TH TH

TH cm

26 5 9 25 16

4

2 2 2

22

2 2 2

+ =

+ = + = =

=

& &

&

c m

E

6 cm

3 cm

5 cm

H EH

T

A B

D C

5 cm

T

T

A B

C

h1

a


4. Ünite

T

K L

M

2 cm

4 cm

T

C

A B

D

H E

h1h =

3 cm

8 cm

8 cm ��

�

Yüzey alanı;

Hacim(V) a h cmV V V V3 3

6 43

36 4 12 4 482 2

3= = = = =& & & &$ $ $

$

A Y A

A A cm

T2

60 36 96

4 6 5 6A A2

2

= + = +

= + =

&

& &

$$

olarak elde edilir.

Örnek: Bir kenar uzunluğu 2 cm ve prizma yüksekliği 3 cm olan düzgün altıgen dik piramidin hacmi-nin aynı kenar uzunluğuna ve yüksekliğe sahip eşkenar üçgen dik piramidin hacmine oranını bulalım:

Örnek: Kare dik piramidin taban ayrıtlarından birinin uzunluğu 8 cm ve hacmi 64 cm3 ise kare dikpiramidin yanal alanını bulalım:

THE dik üçgeninde olur. (3 – 4 – 5 dik üçgeni)

.

Ya

Y

Y

Y cm olarak elde edilir

h4

24

28 5

16 5

80

A A

A

A

1

2

= =

=

=

&$$

$$

$

h TE cm51 = =

V T h

h h h cm

31

6431 8 64

31 64 3

A

2

=

= = =& &

$ $

$ $ $ $

Düzgün altıgen dik piramidin hacmi;

Düzgün altıgen dik piramidin hacmi

Eşkenar üçgen dik piramidin hacmi

.T h cm bulunurV V31

31 6 3 3 6 3A

32 2= = =&$ $ $ $

Düzgün altıgensel bölge karşılıklı köşeleri köşegenler yardımıyla birleştirildi-ğinde 6 eşkenar üçgensel bölgeye ayrılır. Bir eşkenar üçgensel bölgenin alanı;

olduğundan bir kenar uzunluğu

2 cm olan düzgün altıgensel bölgenin alanı; şeklinde elde edilir.

A A A cm6 6 3 21= =&$ $

cmA a4

34

34

4 3 322 22

1 = = = =

Eşkenar üçgen dik piramidin hacmi;

.

V T h

V V cm olur

31

31

42 3 3 3

A

23

1

1 1

=

= =&

$

$ $A

A D

B C

F E

B C

D

h = 3 cmY

F E

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm 2 cm

h = 3 cm

olarak elde edilir.VV

36 3 6

1

2= = =

’dir.

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Ders kitabının 156.sayfasındaki alıştırma-lar öğrencilere yaptırılır.


Değerlendirme

Öğrencilerden piramidi inşa etmeleri, temelelemanlarını belirlemeleri ve yüzey açınımını çiz-meleri beklenir.


Çalışmalar süresince öğrenciler gözlemlene-rek “Genel Öğrenci İzleme Formu” doldurulabilir.

Önerilen grup çalışmaları yapıldığı takdirdeyapılan çalışmalarla ilgili olarak “Grup Değerlen-dirme Formu” doldurtulabilir.


1. I. Piramitlerde yükseklik, tabanın merke-zinden geçer.

II. Yüz sayısı taban ayrıt sayısından bir faz-ladır.

III. Tabanları çokgensel bölge olmalıdır.IV. Yüzleri üçgensel bölgelerden oluşur.

Piramitlerle ilgili yukarıda verilenlerden kaç ta-nesi doğrudur?

2. Yanda verilen kare dik piramidin taban alanı 36 cm2 ve |PH|=10 cm olduğunagöre piramidinyüzey alanını bulunuz.

3.

Şekilde kare dik prizmanın içine iki eş kare dikpiramit konulmuştur. Kare dik prizmanın hacmi360 cm3 olduğuna göre prizmanın içindeki boşkısmın hacmi kaç cm3 tür?

A) 120 B)180 C) 240 D) 260

!

!


4. Ünite

83-86


4. Ünite

ALIŞTIRMALAR

1) Yan yüz yüksekliği 13cm ve piramit yüksekliği 12cm olan kare dik piramit için aşağıdakilerdenhangileri doğrudur?I.Taban ayrıt uzunluğu 10 cm’dir.II. Taban yüzeyinin köşegen uzunluğu cm’dir.III. Hacmi 0,4 dm3’tür.IV. Taban alanı 50 cm2 dir.

A) I ve II B) II ve III C) I ve III D) III ve IV

2) Tabanının bir ayrıtının uzunluğu 16 cm, yüksekliği 9 cm olan eşkenar üçgen dik piramidin hacmikaç cm3 tür?

3)

5 2

H

BA

G C

F

E DYandaki şekilde bir ayrıtının uzunluğu 3cm olan küpün içi-

ne tabanı küpün tabanı, tepesi E noktası olan bir piramit yer-leştirilmiştir. Küp ile piramidin arasında kalan boşluğun hacmikaç cm3 tür?

A) 9 B) 12 C) 18 D) 21

4) Uzun kenar uzunluğu 7cm, kısa kenar uzunluğu 5 cm olan bir paralelkenar dik piramit çiziniz. Yü-

zey açınımını kâğıda çizerek temel elemanlarını gösteriniz.

5) a = 6cm, b = 8cm, c = 12cm, üçgen yüksekliği ha = 10cm ve prizma yüksekliği 20cm olan üçgen

dik prizmanın alanı kaç cm2 dir?

6) Bir silindirin taban alanının, bir kare piramidin taban alanına oranı ’tür. Silindir ile kare pirami-

din yükseklikleri eşit olduğuna göre kare piramidin hacminin, silindirin hacmine oranı aşağıdaki-

lerden hangisidir?

A) B) C) D)

7) Tabanı düzgün yedigen olan dik primatte kaç köşe vardır?

A) 8 B) 10 C) 14 D) 15

8) Taban alanı 25cm2 ve yan yüz yüksekliği 12cm olan kare dik piramidin yanal alanı kaç cm2 dir?

9) Aşağıda hacimleri ve cisim yükseklikleri verilen kare dik piramitlerin taban ayrıtlarının uzunlukla-

rını bulunuz.

a) V = 120 cm3, h = 10 cm

b) V = 36 cm3, h = 12 cm

23

43

21

52

32


12. Taban çevresi 12 cm, yüksekliği 8 cm olan eşkenar üçgen dik piramidin hacmini bulunuz.

13. Bir kare dik piramidin yüksekliği 2 katına çıkarılıp tabanının bir kenar uzunluğu yarıya indirili-yor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Hacmi değişmez. C) Yüzey yarıya iner.

B) Hacmi yarıya iner. D) Yanal alanı değişmez.

14. Hacmi 30 cm3, yan yüz yüksekliği 10 cm olan bir kare dik piramidin taban ayrıtının uzunluğukaç cm’dir?

A) 3 B) 4 C) 2 D) 5

15. Hacmi 162 cm3 olan bir dikdörtgenler prizmasının boyutları arasında a = = bağıntısıvarsa bu prizmanın bütün alanı kaç cm2 endir?

A) 84 B) 96 C) 162 D) 198

c—3b—2

P

C

HBA

P

h

Süre : 6 Ders saati Öğrenme Alanı : Geometri, ÖlçmeAlt Öğrenme Alanı : Geometrik Cisimler,

Geometrik Cisimlerin Hacimleri, Geometrik Cisim-lerin Yüzey Alanı

Kazanımlar 3. Koninin temel elemanlarını belirler, inşa eder

ve yüzey açınımını çizer. 3. Dik dairesel koninin yüzey alanının bağıntısı-

nı oluşturur. 3. Dik dairesel koninin hacim bağıntısını oluştu-

rur. Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme Yöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-

me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: kâğıt, makas, pergel, cetvel, selo-

bant, kalem, hacimler takımından koni ve silindirmodeli, elişi kâğıdı, yapıştırıcı (Makas kullanımınadikkat edilmeli)

Zorunlu Program Uyarıları [!] Sadece dairesel koniler incelenir. [!] Ekseni tabana dik olmayan koniye “eğik ko-

ni” denildiği vurgulanır. [!] Ekseni tabana dik olan koniye “dik koni” ve-

ya “dönel koni” denildiği ve dik konilerin eksen et-rafındaki dönmelerde dönme simetrisine sahip ol-duğu vurgulanır.

Ders İçi İlişkilendirme� Geometrik Cisimlerin Yüzey Alanları� Dönüşüm Geometrisi

Dikkat Çekme ve Motivasyon Sınıfa mümkün olursa koni şeklinde yapılmış

bir şapka getirilebilir ya da sınıfta öğrencilerdenkarton kullanarak böyle bir şapka yapmaları iste-nebilir.

Öğrencilere aşağıdaki çalışma yaptırılır: Özelliklerini bildiğiniz bir geometrik şeklin adı-

nı söyleyiniz. Adını söylediğiniz geometrik şeklinözelliklerini belirtiniz. Daha sonra koni şeklindekişapka öğrencilere gösterilerek “Bu geometrik cis-min adı nedir?” sorusu yöneltilir. Öğrencilerden önbilgilerini ve günlük yaşam bilgilerini kullanarak“Koni” cevabını vermeleri beklenir. Bu yaş grubuöğrenciler, beklenen cevabı verebilmelidirler.Eğer beklenen cevap alınamazsa öğrenciler dü-zenlenecek sorularla bu cevaba yönlendirilirler.Öğrencilere ders kitabının 157. sayfasındaki fo-toğrafla ilgili görsel okuma ve görsel sunu yaptırı-lır. Fotoğrafa ait metin öğrencilere okutulur. Metneait soru öğrencilere yöneltilerek öğrencilerin konu-ya motive olmaları sağlanır. Öğrencilerin her işle-nişin başında bulunan dikkat çekici ve motivasyo-nu sağlamaya yönelik olarak düzenlenmiş metninsonunda bulunan ve hem fotoğraf hem de metin-le ilgisi bulunan sorulara doğru cevaplar vermele-ri beklenmemelidir. Bu soruların amacı öğrencile-rin konuya motive olmalarını sağlamaktır.


4. Ünite

• Kâğıt üzerine pergelle yarıçapı 15 cm olan bir çember çi-ziniz. Çemberi kenarından keserek bir daire elde ediniz.

• Daireyi 4 eş parçaya ayırınız.

• Ayırdığınız 1/4’lük sektörü kâğıttan kesip çıkarınız.

• Sektörü yarıçapları birbiri üzerine gelecek şekildekıvırarak katlayıp selobantla yapıştırınız.

• Oluşan cismi kâğıt üzerine yerleştirip kalemle tabanında-ki geometrik şekli kâğıda çiziniz.

� Nasıl bir şekil elde ettiniz?

� Önceki bilgilerinizden yararlanarak bu şeklin yüksekliğininneresi olacağını açıklayınız.

� Bu geometrik cisim dik mi yoksa eğik midir? Açıklayınız.

� Bu geometrik şekli eğik model hâline nasıl getirebilirsiniz?

• Elde ettiğiniz şeklin tabanında oluşan şekli ayırınız.

• Kalan şekli bantladığınız yerden keserek ayırınız.

� Hangi geometrik şekiller elde ettiniz?

� Bu geometrik şekillerin alan bağıntıları nasıl hesaplanır?

� Yaptığınız işlemlerden yola çıkarak koninin alan bağıntısının nasıl yazılacağını açıklayınız.


4. Ünite

KONİNİN ÖZELLİKLERİ, DİK KONİNİN YÜZEY ALANI VE HACMİ

Dünya’da birçok mimari yapı bulunmaktadır. Mimariyapıların şekilleri farklı olmakla birlikte hepsinin benzertarafı geometrik özellikte olmasıdır. Bu mimari yapılarıngeometrik özellikleri de farklı farklıdır. Bazı yapılar prizmaşeklindedir. Bazıları da koniye benzemektedir. Özellikle es-ki dönemlerde Avrupa’da inşa edilmiş binalardaki kulelerdekoniye benzeyen mimari şekillere rastlamak mümkündür.

� Yandaki resimde restore edilmekte olan eski bir yapıgörülmektedir. Bu yapı hangi geometrik şekle benzemekte-dir?

� Yer düzlemine dik olan bu koni şeklindeki kulelerinalanını ve hacmini hesaplamanız istense nasıl bir çalışmayapardınız?

Koni Oluşturalım, Alanını Hesaplayalım

kâğıt, makas, pergel, cetvel, selobant, kalem

15 cm

15 cm

Öğrenme-Öğretme Süreci Öğrencilerin sorulara verdikleri cevaplardan

yararlanarak öğrenciler etkinliğe yönlendirilir. Et-kinlikte öğrencilerin akıl yürütme, ilişkilendirme vepsikomotor becerilerini etkin kullanmaları sağlan-malıdır. Öğrencilerin derslerde düzenlenen öğren-me etkinlikleri ve ortamlarında psikomotor bece-rilerini etkin ve doğru kullanmaları önemlidir. Öğ-rencilerde geliştirilmesi hedeflenen psikomotorbeceriler matematik program kılavuzunda belirtil-miştir. Psikomotor beceriler birçok alt becerileriiçermektedir. Her öğrenme ortamında ve etkinlik-te farklı alt becerilerin geliştirilebileceği göz önünealındığında ders kitabının 157. sayfasında verilenve yapılması önerilen etkinlik ve 158. sayfada dü-zenlenen örneklerden yararlanarak aşağıdaki altbeceriler öğrencilere kazandırılabilir.

• Kâğıtları katlayarak geometrik şekiller, mate-matiksel ilişkiler, desenler, süslemeler oluşturur.

• Kağıtları keserek geometrik şekiller, mate-matiksel ilişkiler, desenler, süslemeler oluşturur.

• Makas ve maket bıçağını etkin kullanır. • Pergeli etkin kullanır. • Cetveli etkin kullanır. • Gönyeyi etkin kullanır. • İletkiyi etkin kullanır. • Ders araç-gereçleri geliştirir ve etkin kullanır, • Çevresinden doğrudan alıp kullanabileceği

malzemeleri etkin kullanır, • Etkinlik yaparken sahip olduğu kasları doğru

kullanır. Derse, okulda bulunan matematik takımından

dik ve eğik koni getirilmesi önerilir. Eğer bu müm-kün değilse karton, plastik vb. malzemeler kullanı-larak modeller oluşturulması ve derste örneklerincelenirken bu modellerden yararlanılması öneri-lir. Yine örnekler kinestetik ve görsel öğrenme sti-line sahip öğrencilerin öğrenme farklılıkları gözönünde bulundurulduğunda etkinlik formatına dö-nüştürülebilir ya da sınıfta somut modellerin kulla-nıldığı öğrenme ortamları düzenlenebilir. Sayfadabulunan bilgi kutularına dikkat çekilmelidir.


4. Ünite


4. Ünite

� Aşağıda verilenleri inceleyelim:

� Aşağıdaki koni modellerini inceleyelim:

h

r rO

AA

yanalyüzey

B

P

a aP

A B

aa

rOD

tabanyarıçapı taban

eksen

yükseklik(cisim yüksekliği)

tepe noktası

tepe noktası tepe

açısı

ana doğru

r rO

r rO

C D

TP

A B

anadoğru

taban

tabanyarıçapı

2πrAB =%

yanalyüzey

α

Yukarıdaki açınımdan da görülebileceği gibi şekil, tabanı daire olan birpiramittir. Daire düzleminin dışındaki bir P noktasının bu dairenin bütünnoktalarıyla birleşmesi sonucu bu şekil meydana gelmiştir.

Tepe noktası P olan koninin eksenitaban düzlemine diktir.

Tepe noktası T olan koninin eksenitaban düzlemine dik değil, eğiktir.

ana doğru

Tepe noktasını taban merkezine birleştiren doğru parçası iseeksendir. koninin ekseni, aynı zamanda yüksekliğidir. Üstte-ki şekillerden de görüldüğü gibi koninin ana doğrusu yanal alanıoluşturan daire diliminin yarıçapıdır.

PO5 ?

PA PC PD PB a= = = = "

Taban dairesinin çevresi üzerinde alınan noktaları tepe noktasına birleştiren doğru parçaları konininana doğrularıdır. Bu ana doğruların uzunlukları birbirine eşittir.

Tabanı daire, tepesi bir nokta ve yanal yüzü sektör olan cisim konidir.

Ekseni taban düzlemine dik olan koni dik koni (dönel koni), ekseni tabana dik olmayan ko-

ni eğik konidir.

r rO

BA

D C

P

a aaa

eksen

eksen


KONİ, DİK KONİNİN YÜZEY ALANI VE HACMİ

1.

Şekildeki ABC eşkenar üçgeni ile aşağıdaki işlemler yapılı-yor. Bu işlemlerin hangisi ya da hangileri sonucunda bir konioluşacağını yanlarındaki kutucuklara “ � ” işareti ile belirtiniz.

a) AH kenarı etrafında 90° döndürülürse ��

b) BC kenarı etrafında 180° döndürülürse ��

c) BC kenarı etrafında 360° döndürülürse ��

ç) AB kenarı etrafında 80° döndürülürse ��

d) AC kenarı etrafında 360° döndürülürse ��

e) AH kenarı etrafında 180° döndürülürse ��

Yandaki şekilde ABC ve CDE dik üçgen-leri [BD] etrafında 360° döndürülüyor. Bunagöre aşağıdaki cisimlerden hangisi oluşur?

A) İki tane üçgen piramit

B) İki tane dik üçgen prizma

C) İki tane dik koni

D) İki tane yarım küre

2.

C

A

BH

C

A

BD

E

a. Altın oranla ilgili önceden yapılmış olan çalışmaların incelenmesi

Ders kitabının 159 ve 160 . sayfalarındaki ör-nekler öğrencilerle birlikte incelenir.

159. sayfadaki örnekler ile matematik dersi“Geometri” öğrenme alanı, “Dönüşüm Geometrisi”alt öğrenme alanı “Düzlemde bir nokta etrafındave belirtilen bir açıya göre şekilleri döndürerek çi-zimini yapar.” (3. kazanım); “Geometri” öğrenmealanı, “Örüntü ve Süslemeler” alt öğrenme alanı“Yansıma, öteleme ve dönme hareketleri ile süs-leme yapar.” (3. kazanım ); “Dönüşüm Geometri-si” alt öğrenme alanı, “Dönme hareketini açıklar.”(2. kazanım),“Düzlemde bir nokta etrafında ve be-lirtilen bir açıya göre şekilleri döndürerek çiziminiyapar.” ( 3.kazanım) ile ilişkilendirme yapılabilir.

Yine öğrencilerin akıl yürütme becerilerinin ge-lişimi için öğrencilere “Piramit ile koninin benzerve farklı yönleri nelerdir?” sorusu yöneltilerek sı-nıfta bir beyin fırtınası ortamı oluşturulabilir.


4. Ünite


4. Ünite

�

�

Örnek:

Görüldüğü gibi ABC ikizkenar üçgeninin etrafında 180° döndürülmesiyle taban çapı veyüksekliği olan dik koni elde edilmiştir.AH5 ?

BC5 ?AH5 ?

Yandaki ABC dik üçgeninin etrafında 360° döndürülmesiy-le oluşan şekli inceleyelim:

AB5 ?

ABC dik üçgeninin etrafında yani dik kenarlarından biri et-rafında 360° döndürülmesiyle dik koni oluşmaktadır. ve (yükseklik) olan dik koni elde edilmiştir.AB c h= =

BC a r= =

AB5 ?

Yanda açınımı verilen dik konide yanal alanı oluşturan daire dili-minin merkez açısının ölçüsü y, ana doğru uzunluğu a ve taban yarı-çapı r’dir. Verilenlere göre dik koninin alan bağıntısını elde edelim:

Yanda verilen nde dur. ABC ikizkenar üçgeninietrafında 180° döndürelim ve oluşan şekli görelim:AH5 ?

AB AC=ABC&

Dik koniler ekseni etrafında dönmelerde dönme simetrisine sahiptir.

A

B H C

A

BH

C

A

BH

C

A

B

bc

a C

A

BC

h

180° döndürelim.bu ikizkenar üçge-

nin simetri eksenidir.AH5 ?

T

BA

ay

a

rO

Yüzey alanı = Yüzey alanı rππ ay

3602 2= +

c$Y TA A+ &


4. Ünite

Dik konide ana doğru uzunluğu biliniyor ise daire diliminin alan bağıntı-

sında, yanal alan olarak bulunur.

Taban alanı (dairenin alanı) olduğundan verilen dik konininyüzey alan bağıntısı;

πT rA2=

πY ay

360A2=

c$^ h

Taban yarıçapı ve yüksekliği verildiğinden ana doğru uzunluğunubulabiliriz.

.

a h r

a

a

a

a cm olur

8 6

36

100

10

64

2 2 2

2 2 2

2

2

= +

= +

= +

=

=

Piramitlerde yanal alanın bulunmasında kullanılan “taban çevresi ile yan yüz yüksekliğinin çarpımı-nın yarısı” bağıntısını konide de kullanabiliriz. Yan yüz yüksekliği yerine ana doğru uzunluğunu alırsak;

Taban çevresi olduğundan olarak elde edilir.π πY r a r a21 2A = =$ $ $ $πr2=

ay

a

rO

Dik koninin alanı; bağıntısıyla elde edilir.ππA r a r2= +$ $

Örnek: Taban yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 8cm olan dik koninin bütün yüzey alanının kaç cm2 oldu-ğunu bulalım: π 3.] g

Bütün yüzey alan = Yanal alanı + taban alanı

.

π πr a r

cm olarak bulunur

3 6 10 3 6

180 108

288

2

2

2

= +

= +

= +

=

$ $ $

$ $ $

T

O BA

a8 cm

6 cm

Örnek:

A B

T

60°

12 cm12 cm

Yarıçapı 12 cm ve merkez açısı 60° olan sektör kıvrılarak koni eldeediliyor. Koninin taban alanı, yanal alanı ve bütün yüzey alanını bula-lım:

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM


Mantıksal matematiksel zekâ ile içsel zekâarasında yakın bir ilişki olduğu göz önünde bulun-durulmalıdır. Buna en güzel örnek “Ömer Hay-yam”dır. Prof. Dr. Ziya SELÇUK “Çoklu Zekâ Uy-gulamaları” isimli kitabında Ömer Hayyam’ı içselzekâya sahip kimseler kategorisinde değerlendir-mektedir. Aynı zamanda Ömer Hayyam’ın mate-matik alanındaki çalışmaları dikkate alındığındaiki zekâ alanı arasındaki ilişkinin önemi anlaşıla-caktır. Bu nedenle sınıfta içsel zekâya sahip öğ-rencilerin bulunup bulunmadığının tespit edilerekyapılan çalışmalarda bu zekâya sahip öğrencile-rin bireysel farklılıkları desteklenmelidir. Aşağıda-ki bilgiler yapılacak çalışmalar için önemli olabilir.

“Gardner’in açıklamalarına göre, içsel zekânınüç temel ögesi vardır:

1. Kişinin kendi iç dünyasının ve sahip olduğukaynakların farkında olmak,

2. Düşünce ve duyguları ayırt etmek, 3. Bütün bunları davranışları anlama ve yön-

lendirme amacıyla kullanmak. ...İçsel zekânın gelişmesi için öğretmenlerin ba-

zı ortamsal düzenlemeler yapması gerekmekte-dir.

Bunu kolaylaştırabilecek bazı etkinlikler şöylesıralanabilir:

1. Kişisel görüşlerin ifade edilmesine olanaksağlayacak açık uçlu sorular sormak,

2. Öğrenilenlerin içsel değerlendirilmesi içinderslerde zaman ayırmak,

3. Kişisel düşünme ve bağımsız çalışma içinzamana sahip olmak,

4. Kütüphane gibi sessiz çalışma alanlarınasahip olmak,

5. Konsantrasyon ve odaklaşma etkinlikleriyapmak.

6. Serbest çağrışım yapmak, 7. Düşündüklerini değerlendirmek, 8. Duygusal olarak öğrendikleri şeylere katıl-

malarını sağlamak, 9. Zaman yönetimi çalışmaları yapmak.Bu gibi etkinlikler öğrencilerin içsel süreçleri-

nin, duygularının ve değerlerinin farkında olmala-rını kolaylaştırır.”


4. Ünite


4. Ünite

Örnek:

Şekilden görüldüğü gibi elde edilen koni dik konidir. Daire dilimininyarıçapı koninin ana doğrusudur. Daire diliminin yay uzunluğu ise tabandairesinin çevresidir.

Taban çevresi ’dir.π π cm2 1236060 4

cc

= =$ $

Şekildeki CAN dik üçgeninde ’dir.CAN dik üçgeninin etrafında 360° döndürülmesiyle elde edi-lecek dik koninin yüzey alanını bulalım:

CA5 ?

CA cm ve AN cm6 5= =

CAN dik üçgeninin [CA] etrafında 360° döndürülmesiyle yarı-çapı 5 cm ve yüksekliği |CA| = 6 cm olan dik koni elde edilir.

bulunur. CAN diküçgeninden yararlanarak ana doğru uzunluğu;

olarakbulunur.

Yüzey alanı = olarak elde edilir.Y T mπ π c615 25 2A A+ = +

.Y Yπ π π olurY r a cm5 615 61 2A A A= = =& &$ $$ $

a 6 5 a 36 25 a 61 a 61 cm2 2 2 2 2= + = + = =& & &

T r T T cmπ π π5 252 2 2A A A& &= = =$

Taban yarıçapına r dersek;

Taban çevresi

Yanal alanı; olarak elde edilir.

Taban alanı = bulunur.

Bütün yüzey alanı = şeklinde elde edilir.π π πY T cm24 4 28 2A A+ = + =

π π πr T T cm2 4A A2 2 2= =& &$

π π πY r a Y Y cm2 12 24 2A A A& &= = =$ $ $ $

.π π r r cm bulunur4 2 2= =&

πr2=

h

rO B

T

A

12 c

m

12 cm

2

AN

N

C

a

6 cm

5 cm

A

C

6 cm

5 cm


Aşağıda birer kenarları paralel olan levhalar verilmiştir. Bulevhalardan hangisinin değişik konumlarda döndürülmesiyle,yandaki cisme benzeyen bir cisim elde edilemez?

4. Aşağıdakilerden hangisi köşegeni etrafında 180° döndürülürse iki tane koni oluşmaz?

A) Deltoid B) Kare C) Eşkenar dörtgen D) Dikdörtgen

5. Taban alanı 225 π cm2 ve ana doğrusunun uzunluğu 17 cm olan dik koninin cisim yüksekliğinibulunuz.

3.

Şekilde bir dik koninin açınımı verilmiştir. |AB| = 6 cmve s(BAC) = 90° olduğuna göre bu koninin yanal alanınıbulunuz (π ≈ 3).

6.

A) B) C) D)

C

A

B

Ders kitabının 162. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır.

Etkinlikte öğrencilerin akıl yürütme,iletişim, ilişkilendirme ve psikomotor becerilerinietkin kullanmaları sağlanmalıdır.

Öğrencilerin matematikle günlük yaşam bağ-lantısını kurabilmeleri matematiğe karşı bakış açı-larını önemli derecede etkileyecektir. Bu nedenleöğrencilerin derslerde öğrendikleri bilgileri ya-şamlarında nerede kullanacaklarını sorgulamala-rını sağlamak önemli olacaktır. Öğrencilerden sı-nıfa silindir şeklinde imal edilmiş konserve kutula-rı, salça kutuları, koni şeklinde imal edilmiş mal-zemeler (dondurma külahı vb.) getirmeleri ve so-mut ve günlük yaşamda sıkça karşılaşılan malze-melerin bulunduğu öğrenme öğretme ortamları-nın hazırlanması önemli olacaktır.

Sayfadaki örnekler öğrencilerle birlikte incelenir. Gerek duyulduğu takdirde ikinci örnek de ki-

nestetik öğrenme stiline sahip öğrencilerin birey-sel öğrenme farklılıkları dikkate alınarak etkinlikformatına dönüştürülebilir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: hacimler takımından koni ve silin-dir modeli, el işi kâğıdı, makas, yapıştırıcı

• Hacimliler takımındaki koni modelinin yüzey-lerine uygun el işi kâğıtları kesip bunları koni mo-deline uygun olarak yapıştırarak koni modeli inşaediniz.

• El işi kâğıdı ile inşa ettiğiniz koninin yüksekli-ğini, tabanını, tepe noktasını ve yan yüz yüksekli-ğini belirleyiniz.

� El işi kâğıdını açtığınızda koninin yan yüzü-nün açınımı hangi geometrik şekle benzemekte-dir?

• Yan yüzün açınımından yararlanarak alanınıbelirleyiniz.

• Koninin tabanının alanını belirleyiniz.� Belirlediğiniz alanlardan yararlanarak koni-

nin yüzey alan bağıntısını nasıl oluşturursunuz?Açıklayınız.

• Hacimler takımındaki koninin içerisine su dol-durunuz. Tabanı ve yüksekliği koniye eş olan silin-dirin içerisine bunu doldurunuz.

� Silindir kaç seferde dolmaktadır?� Silindirin hacim bağıntısından yararlanarak

koni için nasıl bir hacim bağıntısı oluşturursunuz?Açıklayınız.


4. Ünite


4. Ünite

• Hacimler takımındaki dik koni modelinin içini pirinçle doldurunuz.

• Bu pirinçleri silindir modelinin içerisine aktarınız.

� Silindir modeli doldu mu?

• Silindir modeli tam dolana kadar işleme devam ediniz.

� Silindir modeli kaç seferde doldu?

• Silindir modelinin taban yarıçapını ve yüksekliğini cetvelle ölçünüz.

• Bu verilere göre silindir modelinin hacmini hesaplayınız.

� Silindirin hacim bağıntısından yararlanarak dik koninin hacim bağıntısı nasıl oluşturulabilir? Açıklayınız.

� Elinizdeki yarıçap ile yükseklik verilerine ve bulduğunuz hacim bağıntısına göre dik koni modelinin hac-mi ne olur? Hesaplayınız.

Dik Koninin Hacmini Bulalım

hacimler takımından eş taban dairesine ve yüksekliğine sahip silindirve dik koni modelleri, yeteri kadar pirinç, kâğıt, kalem, cetvel

� Aşağıda verilenleri inceleyelim:

Şekilde verilen dik koninin yüksekliği 12 cm ve ana doğru uzunluğu13 cm’dir. Verilenlere göre bu dik koninin hacmini bulalım:

h = 12 cm ve a = 13 cm olan dik koninin yarıçap uzunluğuna r der-sek TOB dik üçgeninden;

Dik koninin hacmi;

olarak elde edilir.π ππr h cmV V

35 12

1003

2 23

4

= = =&$ $

1

.

h r a

r

r r r cm olarak bulunur

12 13

144 169 25 5

2 2 2

2 2 2

2 2

+ =

+ =

+ = = =& &

Örnek:

Dik Koninin Hacim Bağıntısı

Yanda yükseklikleri ve taban yarıçap-ları eş, dik dairesel silindir ve dik koni ve-rilmiştir.

Silindirin hacmi = TA$h = πr2$h idi. Dikkoninin hacmi silindirin hacminin üçte bi-ridir. O hâlde dik koninin hacim bağıntısı;

olarak elde edilir.π r hV3

2

=$ $

h

r

T

E F

h

rO

r

C D

A B

T

OBA

12 c

m 13 cm

T

OBrA

12 c

m 13 cm


7. Bir dik koninin yanal alanı taban alanının 3 katıdır. Bu koninin taban yarıçapı 6 cm ise yüzeyalanını bulunuz.

Şekildeki ABC dik üçgeninde |AB| = 13 cm,|BC| = 12 cm’dir. ABC üçgeni AC kenarı etrafında360° döndürülüyor. Oluşan cismin tüm yüzey ala-nını bulunuz.

8.

Bir dik koninin yüksekliği 8 cm, tabanının yarıça-pı 6 cm’dir. Bu koninin yanal alanını bulunuz (π ≈ 3).

9.

C

A

B

13 cm

12 cm

C

A BO 6 cm

8 cm


Sayfada bulunan birinci örnek incelenirken öğ-rencilerin yamuk ile ilgili ön bilgilerini açığa çıkar-mak hem bilgilerin tekrar hatırlanmasını hem debilgiler arasında ilişkilendime yapılmasını sağla-yacaktır.

Yine sayfadaki birinci örnek için kartondan biryamuk modeli kesilir. Kesilen modelden yararla-narak bir silindir modeli oluşturulabilir. Elde edilenmodellerden yararlanarak somut modellerin kulla-nıldığı bir öğrenme ortamı oluşturulabilir.

Ders kitabının 163. sayfasındaki ikinci örnekise dik koni oluşturmaya yöneliktir.

Sayfadaki ikinci örnekte öğrenciler akıl yürüt-me ve ilişkilendirme becerilerini etkin kullanabil-melidirler. Öğrencilerin bir dersin öğrenme alanıveya alt öğrenme alanında öğrendikleri bilgileriniaynı dersin diğer alanlarında veya başka dersler-de kullanmalarını sağlamak son derece önemlidir.Bu nedenle sık sık bilgiler arasında ilişkilendirmeyapmalarını sağlayıcı sorularla öğrencileri yönlen-dirmek önemlidir. Bu şekilde bir çalışma öğrenci-lerin öz düzenleme becerilerini geliştirmelerinisağlayacak ve matematik kültürünü de yaşamları-na uygulamalarına yardımcı olacaktır.


1. Aşağıdaki seçeneklerden hangisinde dik ko-ninin açınımı doğru olarak verilmiştir?

A) B)

C) D)


4. Ünite


4. Ünite

Dik silindirin hacmi;

Dik koninin hacmi;

V r V

V V m .

π π

ππ

h

c bulunur

3

36

24

2 3 6

12

22

1

23

2 2

2 2

&

&

$ $

$ $

= =

= =

^ h

V r V

V

V .

π π

π

π

h

bulunurcm132

2 3 11

4 3 11

2 21 1

1

13

= =

=

=

& $ $

$ $ $

^

]

h

g

Şekildeki ABCD dik yamuğunda |DC| = 5 cmcm’dir. ABCD ya-

muğunun [DC] etrafında 360° döndürülmesiyleoluşan cismin hacminin kaç cm3 olacağını bulalım:

DA cm ve AB2 3 11= =

ABCD dik yamuğunun [DC] etrafında 360°

döndürülmesiyle oluşan cisim yandaki gibi olur.Bu cismin hacmi silindirin hacminden sağdaki ko-ninin hacminin çıkarılmasıyla elde edilir. Buradaoluşan dik silindirin taban yarıçapı, cm; yüksekliği |DG| = |AB| = 11 cm olur.

r 2 3=

KOİ dik üçgeninde [OK] = [Oİ], |KO| = 3 cm, |ON| = 1 cm, |İN| = 2 cm’dir.KOİ dik üçgenininin [OK] etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cisimde bo-yalı bölgenin hacmini bulalım:

KOİ dik üçgeninin [OK] etrafında 360° döndürülmesiyle yarı-çapları 1 cm, 3 cm olan ve yükseklikleri eş iki dik koni elde edi-lir. Bu dik konilerde h = 3 cm’dir.

[OA] yarıçaplı koninin hacmi,

[ON] yarıçaplı koninin hacmi;

tür.

Boyalı bölgenin hacmi;V V V .π π π olurV cm9 81

32 = - == - &

V r V mπ ππh c3 3

312 23

2 2= = =&$ $

V r V3

m .π ππh c olur3 3

39

2 23

1 1= = =&$ $

Örnek:

Örnek:

D C

A B11 cm

5 cm

D C G

FE

r

r

A B11 cm

N 2 cm1 cm

3 cm

O

K

İ

3 cm

N 2 cm1 cmO İBA

K

Taban yarıçapı olandik koninin yüksekliği;

Döndürülme sonunda oluşan cis-min hacmi;

V = V1 – V2V = 132π – 24π

V = 108π cm3 olarak elde edilir.

.

h GC

GC

GC

DG DC

cm olur

11 5

6

= = -

= -

=

r cm2 3=

cm2

3cm

23

5 cm


10. Yüksekliği taban yarıçapına eşit bir dik koninin taban alanı A, hacmi B ile gösterilirse ora-nını bulunuz.

A—B

11. Bir dik koninin yanal alanı taban alanının 2 katıdır. Bu koninin taban yarıçapı 4 cm ise hacminibulunuz (π ≅ 3 alınız.).

12. Yandaki şekilde, |AD| = 10 cm, |BD| = 5 cm,|DC| = 20 cm’dir. ABC dik üçgeni [BC] kenarı et-rafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hac-mini bulunuz (π ≈ 3).

C

A

BD

b. İnternetten altın oranla ilgili araştırma yapılması

2. Ahmet Bey, köpeği Cino için evinin bahçe-sinde yarıçapı 1 m olan bir dairesel bölgenin çev-resine 3 m uzunluğundaki borularla dik koni biçi-minde bir köpek kulübesi yapıyor. Kulübeyi dış et-kilerden korumak için kulübenin kapısı dâhil dışcephesini su geçirmez çadır beziyle kaplamak is-tiyor. Bunun için Ahmet Bey’in kaç m2 çadır bezi-ne ihtiyacı vardır?

3. Yanda verilen ABC üçgeni [AB] kenarı etrafında 360° döndürüldüğünde oluşan cismin yüzeyalanını ve hacmini hesaplayınız (π ≈ 3).

Uygulamalar



Değerlendirme

Öğrencilerden koninin temel elemanlarını be-lirlemeleri, inşa etmeleri ve yüzey açınımını çiz-meleri beklenir.


Çalışmalar süresince öğrenciler gözlemlene-rek öğrencilerin beceri ve duyuşsal özellik geli-şimleri değerlendirilir.

Önerilen grup çalışmaları yapıldığı takdirdeyapılan çalışmalarla ilgili olarak öğrencilere “GrupDeğerlendirme Formu” doldurtulabilir.

Öğrencilere “Matematiğe Yönelik Tutum Ölçe-ği” doldurtulabilir.

!

!


4. Ünite

Tabanlarının yarıçapları ile yükseklikleri aynı olan dikkoni ve dik silindir şeklinde iki kap vardır. Konideki suyuntamamı silindire boşaltıldığında silindirin bir kısmı şekilde-ki gibi boş kalıyor. Buna göre silindirle ilgili aşağıdakiler-den hangisi doğrudur?


4. Ünite

ALIŞTIRMALAR

1)

2)

3)

4)

5) Taban yarıçapı 30 cm ve yüksekliği 40 cm olan dik koninin yüzey alanını ve hacmini bulunuz.3π .] g

B

A

C D

EYandaki şekilde , ve

dır. Şekil etrafında 360° döndürülüyor.Buna göre aşağıdaki cisimlerden hangisi oluşmaz?

BD5 ?BDED =5 5? ?

AB BD=5 5? ?AE BD C=+5 5? ? ! +

Yandaki şekilde dik koninin açınımı verilmiştir. Daire diliminin mer-kez açısının ölçüsü x° ve taban yarıçapı r’dir. Dik koninin yüzey ala-nı bulunmak istendiğinde aşağıdakilerden hangisinde verilenler bu-nun için yeterli olmaz?

A) B)

C) açı ölçüsü D) ve x açı ölçüsüBTAB ve x%

BT ve rAB ve r%

Yandaki şekilde dir. Bu dik koninin taban yarıçapı6 cm olduğuna göre dik koninin yüzey alanını ve hacmini bulunuz.

3π .] g

s PBO 60= c_ iV

A) Tepeleri C noktası olan iki tane dik koniB) Taban merkezleri B ve D noktaları olan iki tane dik koniC) Taban yarıçapı olan dik silindirD) Yükseklikleri ve olan iki tane dik koniCD5 ?BC5 ?

DE5 ?

A) Boş kısmın hacmi, suyun hacminin üç katıdır.B) Boş kısmın hacmi, suyun hacminin iki katıdır.C) Silindirin yarısı doludur.D) Silindirin dörtte biri doludur.

T

BA

x°

rO

P

A BO

60°

87-91


13. Yükseklikleri arasında h1 = 2h2, taban yarıçapları arasında r2 = 2r1 şeklinde ilişki bulunan iki

dik koninin hacimleri arasındaki olan aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D) 12—31—2

1—4

V1———V2

14. Şekildeki dik konide, |AC| = 12 cm ve ABCüçgeninde s(ACB) = 60° olduğuna göre dik konininhacmi kaçtır (π ≈ 3)?

C

A

OB60°

12 cm

15. Bir dik koninin yarıçapı 12 katına çıkarılır, yüksekliği oranında indirilirse hacmindeki deği-şiklik ne olur?

A) 36 katına çıkar. B) 12 katına çıkar.

C) 24 kat artar. D) 24 kat azalır.

1—4

C

4 cm

3 cmB

A

Süre : 4 Ders saati Öğrenme Alanı : Geometri, ÖlçmeAlt Öğrenme Alanı : Geometrik Cisimler,Geometrik Cisimlerin Hacimleri, Geometrik Ci-

simlerin Yüzey AlanlarıKazanımlar4. Kürenin temel elemanlarını belirler ve inşa eder. 4. Kürenin hacim bağıntısını oluşturur. 4. Kürenin yüzey alanının bağıntısını oluşturur. Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütmeYöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğrenme,

anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: yuvarlak taş, oyun hamuru, kâğıt,

küre modeli, pinpon topu, şırınga, su, kartonZorunlu Program Uyarıları [!] En büyük dairenin yarıçapının, kürenin yarıça-

pına eşit olduğu vurgulanır. Kürenin büyük dairesi,kürenign merkezini içine alan veya merkezinden ge-çen dairedir.

[!] Özel bir kürenin, merkezi ve yarıçapı ile belir-lenebileceği vurgulanır.

[!] Merkezden geçen düzlemlerle kürenin ara ke-siti olan dairenin çapının, kürenin çapı olduğu vurgu-lanır. [!] Merkezinden geçen düzlemlerle küre yüzeyi-nin ara kesitine büyük çemberler denildiği vurgulanır.

Ara Disiplinlerle İlişkilendirme: Spor Kültürü veOlimpik Eğitim (Kazanım 1) “Hareket ve spormalzemelerini sıralar.”

Dikkat Çekme ve Motivasyon Sınıfa bir dünya modeli getirilir. Öğrencilere

“Dünyamızın şekli hangi geometrik cisme benziyor?Bu geometrik cismin özellikleri ile ilgili neler söyleye-bilirsiniz? Bu geometrik cismin özelliklerinden neleriöğrenmek istersiniz? Neden?” soruları yöneltilir. Öğ-rencilerin ön bilgilerine dayanarak geometrik cisminadının küre olduğu cevabını vermeleri beklenir. Ayrı-ca yukarıdaki sorulardan ve düzenlenecek benzersorulardan yararlanarak öğrencilerde kürenin alanıve hacminin hesaplanması ile ilgili merak uyandır-mak öğrenmeye motivasyon sağlamak açısındanönemlidir.

Ders kitabının 165. sayfasındaki fotoğrafla ilgiligörsel okuma ve sunu yaptırılır. Bu çalışma görselöğrenme stiline sahip öğrencilerin konuya motivas-yonunu sağlamak için önemlidir. Daha sonra fotoğ-rafla ilgili olarak düzenlenmiş olan metin öğrencilereokutulur. Metnin okunması ve dinlenmesi sözel-dil-sel zekâya sahip öğrenciler için önemlidir. Sayfadayapılan düzenleme (konunun dünyamızın şekli ileilişkilendirilmesi) doğacı zekâya sahip öğrencilerinderse motive olmalarının sağlanması açısındanönemlidir. Sınıfta düzenlenecek örneklerde benzerçalışmalar yapılması önerilir. Metnin sonundaki soruöğrencilere yöneltilir. Öğrencilerin verecekleri cevap-


4. Ünite


4. Ünite

KÜRENİN ÖZELLİKLERİ, YÜZEY ALANI VE HACMİ

Gök cisimlerinin gökyüzündeki hareketleri, eski çağlardan be-ri anlamlandırılmaya çalışılmıştır. Mezopotamyalılar gök cisimle-rinin hareketlerini aritmetik ve cebir esasına göre açıklamayı ba-şarabilmiş ancak astronomiyi geometri ile temellendirebilen vegeometrik modellerle gökyüzündeki hareketleri açıklayan ilk uy-garlık Eski Yunan uygarlığı olmuştur. Bu dönemde, Eudoxus(Edoks) (yaklaşık MÖ 400-350) ve Aristoteles (MÖ 384-322), ge-zegen hareketlerinin hesabını verebilmek için “Ortak MerkezliKüreler Sistemi”ni benimsemişlerdir.

� Eski çağlardan beri ilgi duyulan kürenin ne gibi özellikleriolabilir?

� Kürenin alan ve hacmini hesaplamanın ne gibi yararları ola-bilir?

� Kürenin alan ve hacminin nasıl hesaplanabileceğini düşü-nüyorsunuz?

• Yuvarlak tasların içini oyun hamuru ile doldurup üst yüzeylerini düzleyiniz.

• Hamurları taslardan çıkarıp üst üste yerleştiriniz.

� Nasıl bir şekil elde ettiniz?

� Çevrede bu geometrik cisme benzer örnekler var mıdır?

� Bu cismin merkezi neresi olur? Açıklayınız.

� Cismin merkezinin oyun hamurunun üst yüzeylerine uzaklıkları hakkında ne söyleyebilirsiniz?

• Kâğıdı bir düzlem modeli olarak düşününüz.

• Kâğıdı taslardan çıkardığınız oyun hamurlarının ortasına yerleştiriniz.

� Oluşan şekli nasıl yorumlarsınız?

� Kâğıt, cismin hangi bölgesinden geçmektedir?

� Oyun hamurları cismin hangi bölgesini oluşturmaktadır?

� Kâğıdı cismin kutuplarına doğru yere paralel olarak yerleştirdiğinizi düşünürseniz bu düzlem mo-deli ile cismin ara kesiti ne olur? Açıklayınız.

Küreyi Tanıyalım, Özelliklerini İnceleyelim

yuvarlak iki tas, oyun hamuru, kâğıt


1.

Aşağıda verilen işlemlerden hangisi ya dahangileri yapılırsa yandaki şekilde verilen çeyrekdaire yardımıyla küre elde edilebileceğini bulu-nuz. Çizerek gösteriniz.

a) Önce y ekseni etrafında 180°, sonra x ekseni etrafında 180° döndürülüyor.

b) Önce y ekseni etrafında 360°, sonra x ekseni etrafında 180° döndürülüyor.

c) Önce y ekseni etrafında 90°, sonra x ekseni etrafında 180° döndürülüyor.

ç) Önce x ekseni etrafında 360°, sonra y ekseni etrafında 180° döndürülüyor.

d) Önce x ekseni etrafında 90°, sonra y ekseni etrafında 360° döndürülüyor.

e) Önce x ekseni etrafında 180°, sonra y ekseni etrafında 360° döndürülüyor.

KÜRE, YÜZEY ALANI VE HACMİ

y

xO

c. Kütüphaneden altın oranla ilgili araştırma yapılması


rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin akıl yü-rütme, ilişkilendirme ve psikomotor becerilerini et-kin kullanmaları sağlanmalıdır.


Örnek, sınıfta gruplar oluşturularak etkinlik for-matına dönüştürülebilir. Her gruptan bir madenîparayı çevirerek örnekte belirtilenleri somut uygu-lama üzerinde göstermeleri istenebilir. Bu işleniş-te öğrencilerin öğrenecekleri konu doğacı zekâyasahip öğrencilerin bireysel farklılıklarını destekle-mek açısından önemli bir fırsat olabilir. Bu neden-le sınıfta düzenlenecek öğrenme ortamlarındaaşağıdaki bilgiler aydınlatıcı olabilir:

“Doğa zekâsı her türlü doğal olgu üzerinde his-setmeyi, düşünmeyi ve eylem yapmayı içerir. Bit-kilere, hayvanlara, çevreye karşı iyi, araştırma is-teği bu zekânın en belirgin özellikleridir. Mantıksal- matematiksel ve içsel zekâyla bağlantılıdır. Ma-tematikte nesneleri, durumları kategorize etmekledoğal olanı kategorize etmek arasında benzerlikvardır. İçsel zekâdaki toplumsal uyarıcılardanuzak olma, yalnız ve bağımsız olma isteği doğazekâsı baskın bireylerde de görülebilmektedir. Bi-reyin kendisine dönme ve önleme isteğiyle doğa-ya dönme isteği çoğu zaman örtüşmektedir. İnsandoğadan ve doğasından uzaklaştıkça kendisineve kâinata yabancılaşmaktadır. Çağdaş yaşam bi-zi doğadan uzaklaştırmakla kalmıyor, içsel doğa-mızı da bozuyor. Çıplak ayakla toprağa basmak,toprakla yağmurun buluşmasını izlemek, dilimizetemiz bir kar tanesi değdirmek, ufkun sonsuzlu-ğunda önemimizi ve önemsizliğimizi kavramaknadiren yaşanılan şeylerse doğal olmamız da na-dir olacaktır.

... Okul, kurum olarak doğal bir ortam olmadığı

için çocukların doğasını bozan bir diğer etkendir.Buna bir de apartman hayatının sıkıcılığı eklendi-ğinde ruh sağlığı yerinde çocuk yetiştirmek istatis-tiksel olarak zor görünüyor. Her şeye rağmen sıksık çocuklarımızı doğayla buluşturarak sınıfa do-ğadan örnekler getirerek okulu doğaya yakınlaş-tırarak bazı önlemler alabiliriz.”


4. Ünite


4. Ünite

Örnek: Bir madenî parayı masanın üzerinde dik durdurarak döndürdüğümüzde oluşan şekli inceleyelim:

� Aşağıda verilen küre modelini inceleyelim:

�

Görüldüğü gibi bir müddet sonra madenî para sabit olan (dik tuttuğunuz yerden) noktadan eşit uzak-lıkta noktalardan oluşan bir şekil meydana getirmiştir.

çaplı yarım dairenin çapı etrafında 360° döndürülmesiyle elde edilen katı cisim küredir.AB r2=

Sabit O noktası kürenin merkezidir. Kürenin merke-zinden yüzeyine olan uzaklıklar birbirine eşittir. Buuzaklıklar kürenin yarıçapıdır. Merkezden geçen kürenin çapıdır.

AB5 ?

Kürenin ortadan ikiye bölünmüş hâli yarım küredir. Yarım kü-renin yüzeyindeki daire, kürenin en büyük dairesidir.

Yandaki şekilde görülen çaplı yarım daireyi çapı etrafında 360°

döndürelim. Oluşan cismi inceleyelim:AB r2=

A

B

O

r

r

A

B

O

r

r

360° döndürelim

OA

yarıçap

Br r

Küre yüzeyi

En büyük daire

Yarım küre

OA Br r

Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların

oluşturduğu cisim küredir.

A

B

O

r

r


2. Aşağıdaki cümlelerde verilen noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz.

a) Kürenin ....................., kürenin yüzeyindeki her bir noktaya olan uzaklığı eşittir.

b) Özel bir küre, ................... ve ................ ile belirlenebilir.

c) ....................... geçen düzlemlerle, kürenin ...................... olan dairenin çapının, kürenin çapıolduğu vurgulanır.

ç) Merkezinden geçen düzlemlerle küre yüzeyinin ara kesitine ................... denir.

3. En büyük çemberin uzunluğu 18 π cm olan kürenin alanını bulunuz.

4. Şekilde yer alan küre içerisindeki eş konilerin taban yarıçapla-

rının uzunluğu 3 cm, ana doğrularının uzunluğu 5 cm’dir. Buna

göre kürenin yüzey alanı kaç cm2 dir (π ≈ 3)?

5. Bir küre, bir küpün içine küpün bütün yüzeylerine teğet olacak biçimde yerleştiriliyor. Küpün yü-

zey alanı 150 cm2 ise küpün hacmi küreninkinden kaç cm3 daha fazladır? Hesaplayınız (π ≅ 3 alınız.).

rO


Sayfadaki ikinci örnek sınıfta somut öğrenmemateryallerinin kullanılacağı bir ortam oluşturul-ması için bir fırsat olarak kullanılabilir. Örnekte ve-rilen bilgiler sınıfa getirilecek bir portakal ve ma-ket bıçağı kullanılarak elde edilecek portakal ke-sitleri ile somutlaştırılabilir. Yine bu örneğin so-mutlaştırılmasında öğrencilerin gösterecekleriperformans gözlemlenerek öğrencilerin öğrenmedurumları ile ilgili gözleme dayalı ölçme yapılıpöğrenciler değerlendirilebilir.

Ders kitabının 168. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin psikomo-tor, ilişkilendirme ve akıl yürütme becerilerini etkinkullanmaları sağlanmalıdır.

Öğrencilere “Kürenin alan ve hacim bağıntıla-rını bilmek size nasıl bir yarar sağlar? Küreninalan ve hacim bağıntılarını nerede kullanabilirsi-niz? Hangi hesaplamaları yapabilirsiniz?” sorularıyöneltilerek sınıfta bir tartışma ortamı oluşturula-bilir. Ayrıca bu konu ile ilgili bir araştırma ödevi yada performans ödevi verilebilir.

Öğrencilerden hangi bilim dallarında bu bilgi-den yararlanıldığı ile ilgili bir çalışma yapmaları daistenebilir.

Ek Etkinlik

Araç-Gereç: hacimler takımından küre ve silin-dir modeli, kâğıt, makas, su, dereceli kap

• Hacimler takımından küre modelini inceleyiniz.• Kürenin merkezini ve yarıçap uzunluğunu be-

lirleyebilir misiniz?• Küre modelinin kapağını açarak iki yarım kü-

re elde ediniz.• Yarım kürenin arasına kâğıt koyarak birleşti-

rip tekrar küre modeli elde ediniz.• Kürenin dışında kalan kâğıdı kesiniz.� Kürenin içinde kalan kâğıt hangi geometrik

şekle benzemektedir?� Bu geometrik şeklin merkezi ile kürenin ya-

rı çapı arasında nasıl bir ilişki vardır?


4. Ünite

III IV

OA 3 cm B

�


4. Ünite

�

Örnek: Aşağıda verilenleri inceleyelim:

O merkezli ve 3 cm yarıçaplı küre O merkezli ve 1,5 cm yarıçaplı küre

Yukarıdaki fotoğraflarda verilen portakalı bir küre modeli, bıçağı ise bir düzlem modeli olarak düşü-nelim. II. fotoğrafta bıçak tam merkezden geçecek şekilde portakalı kesmiştir. III ve IV. fotoğraflardabıçak portakalı merkezden geçmeyecek şekilde kesmiştir.

II. şekilde de görüldüğü gibi kürenin yarıçapı ile dairenin yarıçapı eşit uzunluktadır.

Yandaki şekilde E düzlemi kürenin merke-zinden geçmektedir. E düzlemi ile kürenin arakesiti olan daire kürenin en büyük dairesidir.Bu daireyi sınırlayan çember ise kürenin enbüyük çemberidir.

OA B

E

r

Kürenin merkezinden geçmeyen düzlemlerin ara kesiti, küçük dairelerdir.

Merkezden geçen düzlemlerle kürenin ara kesiti olan dairenin çapı, kürenin de çapıdır.

Bir küre, merkezi ve yarıçapı ile belirlenir.

En büyük çember Merkez

I II

OC

1,5 cmD


4. Ünite

• Hacimler takımındaki yarım küre modelinin tabanını kâğı-da çiziniz.

• Kâğıda çizdiğiniz çemberi kenarlarından keserek bir daireelde ediniz.

• Daireyi 8 eş dilime ayırınız. Daire dilimlerini kesiniz ve çı-karınız.

• Hacimler takımındaki küre modelinin yüzeyini bu daire di-limleri ile kaplayınız.

� Kapladığınız alan küre modelinin yaklaşık ne kadarıdır?• Bu bilgiden yola çıkarak kürenin yüzey alanının nasıl hesaplanacağını açıklayınız.• Kartondan pinpon topunun içine sığacağı ve teğet olacağı, karton bir silindir model inşa ediniz.• Pinpon topunu delerek içine toz şeker doldurunuz.• Pinpon topunun içindeki toz şekeri silindir modeline boşaltınız.• Bu işleme silindir modeli tamamen doluncaya kadar devam ediniz.� Pinpon topunun hacminin silindirin hacmine oranı nedir?� Bu yaptığınız işlemden yola çıkarak kürenin hacmini silindirin hacmini kullanarak nasıl elde edebi-

lirsiniz? Açıklayınız.

Kürenin Alan ve Hacim Bağıntılarını Bulalım

Hacimler takımındaki küre ve modeli, pinpon topu, toz şeker, kâğıt,kalem, makas, karton

� Kürenin alan bağıntısını oluşturalım:

Kürenin en büyük dairesi kürenin merkezini içinealan veya merkezden geçen dairedir. Dairenin yarıça-pı aynı zamanda kürenin de yarıçapıdır. Bu yarıçapar diyelim.

Kürenin yüzeyi, merkezinden geçen dairenin büyüklüğünde bir kâğıt ile örtüldüğünde yüzeyin ’ünün

kaplandığı görülmektedir. O hâlde kürenin yüzey alanı merkezden geçen dairenin alanının 4 katıdır.

14

A

B

A

B

Or rC D

Kürenin yüzey alanı = 4ππr2 dir.

E

• Küre modelinin üzerinde bulunan küçük kapa-ğı açarak su ile doldurunuz. Doldurduğunuz suyudereceli kapa boşaltarak kürenin hacmini ölçünüz.

• Hacimler takımından silindir modelinin içinesuyu boşaltınız. Boşalttığınız su miktarını derece-li kap ile ölçünüz.

� Silindir modelinin hacmi ile küre modelininhacmi arasında nasıl bir ilişki olduğunu su miktar-larından yararlanarak nasıl bulursunuz?

Ders kitabının 169 ve 170. sayfalarındaki ör-nekler öğrencilerle birlikte incelenir.

Sayfalardaki örneklerde özel küreler ile ilgilihesaplamalar yapılmaktadır. Öğrencilerden ben-zer örnekler düzenlemeleri istenebilir.


4. Ünite


4. Ünite

Örnek: Yarıçapı 3 cm olan kürenin yüzey alanını bulalım: 3π .] g

OA r = 3 cm B

.

πA r

A

A A cm olarak bulunur

4

4 3 3

4 27 108

2

2

2

=

=

= =&

$ $

$

Örnek: Yüzey alanı 100 π cm2 olan kürenin yarıçap uzunluğunu bulalım:

OA r B

.

π

π π

A r

r

r

r cm olur

4

100 4

25

5

2

2

2

=

=

=

=

Örnek: Yarıçapının uzunluğu 5 cm olan bir küre merkezinden 3 cm uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor.Meydana gelen dairenin alanının kaç cm2 olduğunu bulalım: 3π .] g

Örnek:

OA

C E D

r = 5 cm

3 cm

5 cm B

OED dik üçgeninde;

kezli dairenin alanı;olarak elde edilir.πA r A A cm3 4 482 2 2= = =& &$

ED OE OD

ED

ED ED cm

3 5

25 9 4

2 2 2

2 2 2

2

+ =

+ =

= - =&

Yandaki şekilde verilen 4 cm yarıçaplı çeyrek daire dilimininetrafında 360° döndürülmesi ile elde edilen cismin bütün

alanının kaç cm2 olduğunu bulalım:OA5 ?

Çeyrek daire diliminin etrafında 360° döndürülmesi ileyarım küre elde edilir. Cismin alanı, yarım kürenin yüzey alanı ilebüyük dairenin alanının toplamıdır.

.

π π

π π

π

π

π

A r r

A r r

A r

A

A cm olarak bulunur

24

2

3

3 4

48

22

2 2

2

2

2

= +

= +

=

=

=

$

OA5 ?

olarak bulunur. E mer-

O

A

B

O 4 cm

4 cm

4 cm

A

B

Cismin yüzey alanı;


4. Ünite

Örnek: Yarıçapı 3cm olan kürenin hacmini bulalım:

olarak bulunur.πV r V V cm34

34 3 3 1083 3 3= = =& &$ $

3π .] g

Örnek: En büyük dairelerinden birinin alanı 314 cm2 olan kürenin hacminin kaç cm3 olduğunu bula-lım: 3,14π .^ h

Örnek: Kâğıttan aynı büyüklükte külahlar yapalım. Bu külahları sivri uçlarından birleştirerek bir kü-re oluşturalım. Böylece “n” tane koninin tabanı ile bir küre meydana gelir. Bu eş konileri kullanarak kü-renin hacim bağıntısını bulalım:

Örnek: Hacmi 256 cm3 olan küre şeklindeki portakalın yarıçap uzunluğunu bulalım:

.

πr r

r

r

r cm bulunur

V34 256

34 3

256 4

64

4

3 3

3

3

= =

=

=

=

& $

3π .] g

Eş konilerin taban alanına T denirse n tane koninin taban alanları toplamı kürenin yüzey alanına eşitolur. Koninin yüksekliği ile kürenin yarıçap uzunluğu birbirine eşittir.

Buna göre kürenin hacmi olarak

bulunur.

... π πH Tr Tr Tr Tr n Tr nT r r r r3 3 3 3 3 3

43 3

4

tann e

2 3= + + + + = = = =$ $c ]m g

1 2 344444 44444

.πn T r olur4 2=$

Kürenin hacim bağıntısı, tür.πH r34 3=

O r

,

πA r

r

r

r

r cm

4

314 4 3 14

100 4

25

5

2

2

2

2

=

=

=

=

=

$ $

,

, .

πr

cm olarak bulunur

V

V

V

34

34 3 14 5

523 3

3

3

3

=

=

,

$ $


7. Alanı 36 π cm2 olan bir küre içine hacmi en büyük olan bir küp yerleştiriliyor. Küpün yüzey ala-nını bulunuz.

8. Alanı 100 π cm2 olan kürenin;a) Yarıçap uzunluğunu b) Hacmini hesaplayınız.

9. O merkezli daire içindeki ABC ikizkenar olup |AB| = |AC| ve|BC| = 6 cm’dir. ABC üçgensel bölgesi ve O merkezli daire, [AO]etrafında 360° döndürüldüğünde oluşan küre ve koninin hacim-leri farkını bulunuz (π ≈ 3).

CO

A

B

6. Hacimleri oranı olan iki kürenin yüzey alanları oranını bulunuz.125———27


Uygulamalar


Çalışma kitabının 92, 93, 94 ve 95. sayfa-sındaki sorular çözdürülebilir.


1. Küre ile ilgili aşağıda verilenlerden hangisidoğrudur?

A) Kürenin temel elemanları merkez, yarıçapve yüzeyidir.

B) Kürenin 7 tane temel elemanı vardır.C) Kürenin merkezini yüzeyi ile birleştiren doğ-

ru parçası kürenin çapıdır.D) Küre yüzeyi ile bir düzlemin kesişimi kare-

sel bölgedir.

2. Aşağıda verilenlere göre istenenleri bulu-nuz.

A) Yarıçapı 4 cm olan kürenin yüzey alanınıbulunuz (π ≈ 3).

B) Büyük dairelerden birinin alanı 26,5 cm2

olan kürenin yüzey alanınu bulunuz.C) Yüzey alanı 628 cm2 olan kürenin yarıçapı-

nı bulunuz (π ≈ 3).

3. Taban yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 10 cmolan dik silindir biçimindeki içi su dolu boru içineyarıçapı 3 cm olan 4 tane bilye atıldığında kaptane kadar su kalır (π ≈ 3)?

Değerlendirme

Öğrencilerden kürenin temel elemanlarını be-lirlemeleri ve inşa etmeleri beklenir.


Çalışmalar süresince öğrenciler gözlemlene-rek beceri ve duyuşsal özellik gelişimleri değer-lendirilir.

!

!


4. Ünite

92-95


4. Ünite

Yandaki boyalı bölge etrafında 360° döndürüldüğünde boyalı ala-nın oluşturduğu cismin hacminin kaç cm3 olduğunu bulalım: 3π ,] g

BO5 ?

Boyalı bölgenin hacmi yarım kürenin hacminden koninin hacminin çıkarılması ile elde edilir.Boyalı bölgenin hacmi; H = 250 – 125 = 125 cm3 olarak bulunur.

Verilen cisimlerden hangileri bulundukları düzleme paralel bir düzlemde iki parçaya ayrılacak şekil-de kesiştirildiğinde ara kesit daima bir daire olur?

A) Yalnız küre B) Koni ve küre C) Yalnız silindir D) Silindir, küre ve koni

Yandaki yarım daire etrafında 360° döndü-rüldüğünde elde edilen cismin hacmi kaç cm3 olur?

3π .] g

AB5 ?

2) Hacmi 113,04 cm3 olan kürenin alanını hesaplayınız:

3) Yarıçapının uzunluğu 13 cm olan bir küre, merkezine uzaklığı 5 cm olan bir düzlemle kesiliyor.Ara kesit dairesinin alanını ve kürenin hacmini hesaplayınız.

4)

3π .] g

3,14π .^ h

Döndürülen şekilden bir koni ve yarım küre elde edilir.

Kürenin hacmi;

Yarım kürenin hacmi;

Koninin hacmi; .πH r h cm olur31

31 3 5 5 1252 2 3

2 = = =$ $ $

.cm bulunur2

500 250 3=

.

πH r

H H cm olur

34

34 3 5 500

3

3 3

1

1 1

=

= =&$ $

Örnek:

ALIŞTIRMALAR

1)

O

5 cm

5 cm

r

B

A

A

O

5 cm

5 cmB

A

Dik silindir Dik koni Küre

A

18cm

B


10. Şekilde O merkezli çeyrek dairenin yarıçapı 4 cm’dir. Buşeklin [OB] etrafında 90° döndürülmesi ile elde edilen cisminhacmi kaç cm3 tür (π ≈ 3)?

A) 8 B) 16

C) 32 D) 64

11. En büyük dairelerinden birinin alanı 36 π cm2 olan kürenin hacmi kaç cm3 tür?

O

A

B

12. Yarıçapı 4 cm olan metal bir küre eritilerek bundan 8 tane eş küre elde ediliyor. Elde edilen eşkürelerin yüzey alanları toplamı ilk kürenin yüzey alanından kaç cm2 fazladır?

A) 64 π B) 48 π C) 36 π D) Değişme yoktur.

ç. Elde edilen bilgilerin derlenip tasnif edilmesi

Süre : 4 Ders saatiÖğrenme Alanı : ÖlçmeAlt Öğrenme Alanı : Geometrik Cisimlerin

Hacimleri, Geometrik Cisimlerin Yüzey AlanlarıKazanımlar: 5. Geometrik cisimlerin yüzey

alanları ile ilgili problemleri çözer ve kurar. 6. Geo-metrik cisimlerin yüzey alanlarını strateji kullana-rak tahmin eder. 5. Geometrik cisimlerin hacimle-ri ile ilgili problemleri çözer ve kurar, bu cisimlerinhacimlerini strateji kullanarak tahmin eder.


me, anlatım, soru cevap, keşfetmeZorunlu Program Uyarıları [!] Program kitabının giriş bölümünde yer alan

problem çözme ile ilgili açıklamalar dikkate alınır. [!] Program kitabının giriş bölümünde bahsedi-

len tahmin stratejilerinden yararlanılır. Dikkat Çekme ve Motivasyon: Öğrencilere “Geometrik cisimlerin alan ve ha-

cimlerini hesaplayabilmenin nasıl bir yarar sağla-yacağını düşünüyorsunuz?” sorusu yöneltilereköğrencilerin dikkati derse çekilebilir.

Öğrenme-Öğretme SüreciDers kitabının 172, 173 ve 174. sayfalarındaki

problemler öğrencilerle birlikte incelenir. Örneklerüzerinde öğrencilerin yorum yapmaları sağlanma-lıdır. Problem çözme ve kurma çalışmalarındaaşağıdaki açıklamalar dikkate alınmalıdır.

Problem Çözme: Problem çözme matematikdersinin ayrılmaz bir parçasıdır. Problem, çözümyolu önceden bilinen alıştırma ve soru olarak algı-lanmamalıdır. Bir matematiksel durumun problemolabilmesi için farklı bilgi ve becerilerin birlikte kul-lanılmasına ihtiyaç duyulmalı ve alışagelmiş çö-züm yolu olmamalıdır. Problem, öğrenci yaşantı-sıyla ilgili olmalı, ilgi çekmeli ve ihtiyaç hissettir-melidir. Bu durumda öğrencilerin, kazandıklarımatematiksel bilgi ve beceriler daha anlamlı ola-cak ve bu bilgiyi farklı durumlara uygulamaları ko-laylaşacaktır. Matematik dersinde açık uçlu prob-lemlere de yer verilmelidir.

Bu problemler birden fazla strateji kullanarakçözülebilen veya farklı sonuçlar elde edilen tür-dendir.

Problem çözmeye algoritmik ve kural temelliyaklaşılmamalıdır. Öğrencilere problem üzerindeuğraşmaları için fırsat tanınmalı ve yaratıcı olma-ları için ortam düzenlenmelidir. Problem çözme,başlı başına konu değil bir süreçtir. Bu süreçte,problem çözme becerisinin kazandırılması vekullanılması hedeflenmiştir ve büyük önem taşı-maktadır. Problem çözme kapsamlı bir şekilde elealınmalıdır. Öğrencilerin problemleri farklı yollar-dan çözebileceği ve problem çözme ile ilgili dü-şüncelerini akran ve öğretmenleriyle rahatlıklapaylaşabileceği sınıf ortamları oluşturulmalıdır.Ayrıca öğrenciler, problem çözme sürecinde fark-lı çözüm yollarına değer vermeyi öğrenmelidir.Öğrencinin problemi nasıl çözdüğü, problemdekihangi bilgilerin bu çözüme katkıda bulunduğu,problemi nasıl temsil ettiği (tablo, şekil, somutnesne vb.), seçtiği stratejinin ve temsil biçimininçözümü nasıl kolaylaştırdığı üzerinde durulmalı-dır.


4. Ünite


4. Ünite

PROBLEM ÇÖZME VE KURMA

Örnek:

Farklı üç ayrıtının uzunlukları 5 cm, 20 cm ve 40 cmolan dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan birküp yapılacaktır.

a) Bu iş için en az kaç tuğla gerekir?

b) Oluşturulan küpün yüzey alanı nedir?

Problemi anlama: Boyutları 5 cm, 20 cm ve 40 cm uzunluğunda olan dikdörtgenler prizması şeklin-deki tuğlalar kullanılarak bir küp oluşuturulacaktır. Bu küpün oluşturulması için en az kaç tuğla kullanıl-dığını ve küpün yüzey alanını bulacağız.

Plan yapma: En az tuğla kullanılması istendiğinden dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlaların bo-yutlarının en küçük ortak katı (ekok) nı bularak küpün bir ayrıtının uzunluğunu elde edebiliriz. Küpünve bir tuğlanın hacmini birbirine oranlayarak kullanılması gereken tuğla sayısını bulabiliriz. Küpün yü-zey alanını da yüzey alanı bağıntısından bulabiliriz.


EKOK(5, 20, 40) = 2$2$2$5

= 40 cm (küpün bir ayrıtının uzunluğu)

a) Küpün hacmine V, bir tuğlanın hacmine V1 dersek en az sayıda kullanılacak tuğla sayısı:

olarak elde edilir.

b) Oluşturulan küpün yüzey alanı elde edilir.

Kontrol etme:

Kullanılacak tuğla sayısı ile bir tuğlanın hacmini çarpalım. Bulduğumuz sonucu küpün hacmi ile kar-şılaştırarak kullanılın tuğla sayısının doğruluğunu kontrol edelim:

elde edilir.

Küpün Hacmi = a3 = 403 = 64 000 cm3 tür.

Elde edilen sonuçlar eşit olduğundan küpün oluşturulmasında 16 tane tuğla kullanılmıştır.

V cm16 16 5 20 40 16 4000 64 000 31 = = =$ $$ $ $] g

a cm6 6 0 6 1600 960042 2 2= = = =$$

VV

5 20 0

016

4

40 40 4

1

8 2

= =$ $

$ $

5 20 40 2

5 10 20 2

5 5 10 2

5 5 5 5

1 1 1

Problem çözme sürecinde öğrenci problemidikkatli okumalı, problemi anlamalı (verilenleri, is-tenenleri belirlemeli, kendi cümleleri ile problemiaçıklamalı, ne sorulduğunu belirlemeli), plan yap-malı (plan yaparken eksik veri olup olmadığınadikkat etmeli, kullanacağı stratejilere karar verme-li), planı uygulamalı ve ulaştığı sonucun doğrulu-ğunu veya anlamlılığını kontrol etmelidir. Kontrolsadece sonda değil, süreç boyunca yapılmalıdır.

Ayrıca çözülmüş problemlerin varyasyonlarışeklinde problemlerin oluşturulmasına fırsat ta-nınması büyük önem taşımaktadır. Problem çö-züldükten sonra verilerden biri veya birkaçı değiş-tiğinde neler olacağı üzerinde durulmalıdır. Prob-lem çözümü genelleme yapmaya uygunsa genel-leme yapılmalıdır. Problem farklı strateji kullana-rak çözmeye uygunsa buna göre çözülmelidir.Problem çözme becerileri kazandırılırken izlenenadımlar öğrenciler için anlamsız hâle getirilmeme-lidir.

Öğrenciler, problem çözerken farklı stratejilerkullanabilmelidir. Problem çözme yolları öğrenci-ye doğrudan verilmemeli, onlara kendi çözüm yol-larını oluşturmaları için uygun ortam sağlanmalı-dır. Sınıf içi tartışmalarla en iyi çözüm yollarınabirlikte karar verilmelidir.

Problem kurma, problem çözmenin adımların-dan biri olabileceği gibi bağımsız olarak da kulla-nılabilir. Bireysel olarak, grupça veya sınıfça prob-lem kurma çalışmaları yaptırılabilir. Öğrenciler,problemi her zaman tam olarak çözmek zorundabırakılmamalıdır. Problemin farklı biçimde ifadeedilmesi, istenenlerin farklı biçimde ifade edilmesivb. sorular sorulabilir. Problemde eksik veya faz-la bilgi olup olmadığı sorulabilir. Eğer eksik bilgivarsa bunu tamamlayıp çözmesi istenebilir. Prob-lem çözümünde hangi verilerin kullanılacağı veyaplanla ilgili sorular sorulabilir. Problemin cevabı-nın bulunması ile ilgili sorular sorulabilir. Cevabındoğruluğu veya anlamlı olup olmadığı sorgulana-bilir.


4. Ünite

Örnek : Bir laboratuvarda bulunan dik koni ve silindir şeklindekicam kaplar yanda verilmiştir. Koni şeklindeki cam kap sıvı ile dolu-dur ve hacmi 36 cm3 tür. Dik koni ve silindirin taban daireleri eştir.Yükseklikleri koninin tepe noktasına göre aynıdır. Koninin taban ya-rıçapı 3 cm’dir.

a) Bir deney için dik koni şeklindeki cam kabın içinde bulunan sı-vı, silindir şeklindeki cam kaba boşaltılacaktır. Silindir şeklindeki ka-bın ne kadarının boş kalacağını önce tahmin ediniz, sonra bulunuz.

b) Dik koni ve silindir kapların yüzey alanlarını bulunuz.

Problemi anlama : Taban daireleri eş ve taban yarıçap uzunlukları 3 cm olan silindir ve dik koni şek-linde cam kaplar vardır. Bu cam kaplardan dik koni şeklinde olanın içinde 36 cm3 sıvı vardır. Kaplarınyükseklikleri koninin tepe noktasına göre aynıdır.

a) Sıvı silindir kaba boşaltıldığında silindir şeklindeki kabın ne kadarının boş kalacağını önce tah-min edeceğiz, sonra işlem yaparak bulacağız.

b) Dik koni ve silindir biçimindeki kapların yüzey alanlarını bulacağız.

Plan yapma : Dik koninin taban yarıçapı ve hacmi verildiğinden önce dik koninin ve silindirin yük-sekliğini bulacağız.

a) Dik silindirin hacminin ne olduğunu bulup dolu kısmın hacmini çıkararak boş kalan kısmın hac-mini bulacağız.

b) Dik koninin açınımını çizip yanal alan ve taban alanından yararlanarak dik koninin yüzey alanınıbulacağız. Silindirin alan bağıntısını kullanarak da silindirin yüzey alanını bulacağız.


3π .] g


4. Ünite

h

3 cm

T

A B

h

3 cmO O

O

E F

C D Kaplar dik koni ve dik silindir şeklindedir. Dik koninin

hacmi; bağıntısıyla elde edilir.

h

h h3

3 3

9

36

36 4

2

&

=

= =

$ $

$

πV r h3

2

=

(dik koni ve dik silindirin yüksekliği)

a) Dik silindirin hacmi dik ko-

ninin hacminin 3 katı olduğun-

dan konideki sıvı silindire bo-

şaltıldığında silindirin 1/3’ü

dolar. Silindirin 2/3’ü boş kalır.

’ü 36 cm3 ise

’ü x cm3 olur.

D.O32

31

(Silindirin boş kısmının hacmi- olarak tahmin edilir.)

x

x cm

32 36

31

72 3

=

=

$ $

⇒

Silindirin boş kısmının hacmi tahminen;

3 cm

2πr = 2$3$4

4 cm

3 cm


4. Ünite

’ü 72 cm3 ise

’ü x

D.O

b) Silindirin yüzey alanı 126 cm2 ve yarıçap uzunluğu 3 cm ise yüksekliğini bulalım:

.

h

h

h cm olur

2 3 3 2 3 3

54 18

126

126

4

2= +

= +

=

$ $ $ $ $

33

32

Dik silindirin yüzey alanı ;

.

π πr rh

cm olarak bulunur

2 2

2 3 3 2 3 3

54 18

54

4

4

72

126

2

2

2

$ $ $ $ $

$

= +

= +

= +

= +

=

Kontrol etme:a) Dik silindirin boş kalan kısmının hacmi 72cm3 ise

dir.π πT Y r ra cm3 3 3 3 275 45 72A A2 2 2+ = + = + = + =$ $ $

olarak elde edilir. Su da silindirin

hacmi olduğundan yapılan çözüm doğrudur.

⇒

x

x cm32 72 1

108 3

=

=

$ $

O

a2 = 42 + 32

a2 = 16 + 9a2 = 25a = 5 cm

Dik koninin yüzey alanı =

Sektörün alanı = π . r . a45 = 3 . 3 . a ⇒ a = ⇒ a = 5 cm bulunur.

945

Silindirin hacmi,

Silindirin içinde 36 cm3 sıvı bulunduğundan silindirin 108 – 36 = 72 cm3 lük kısmı boş kalır.b)

.

πV r h

V

V V cm olarak bulunur

3 3 4

27 4 108

2

2

3&

=

=

= =

$ $

$

O

5 cm

T

A B

Öğrenciler, problem çözme sürecinde başarıkazandıkça kendi çözüm yollarına değer verildiği-ni hissettikçe kendilerinin de matematiği başara-bileceklerine ilişkin güvenleri artar. Böylece öğ-renciler problem çözerken daha sabırlı ve yaratıcıbir tutum içine girerler. Matematiği kullanarak ile-tişim kurmayı öğrenirler ve üst düzey düşünmebecerilerini geliştirirler.

Problemler sadece problem çözme becerileri-ni kazandırmak için değil motivasyon sağlamakve matematik öğrenilmesini gerçekleştirmek içinde kullanılmalıdır.

Matematiksel akıl oyunları, bağıntıya ulaşma,verilen bilginin doğruluğunu gösterme, geometrikçizimleri kullanarak isteneni gerçekleştirme, birsorunu çözmek için araç-gereç geliştirme, origamietkinlikleri vb. kullanılarak öğrencilerin problemçözme becerileri geliştirilebilir. Öğrencilerin, prob-lem çözme süreçlerindeki uğraşları sorgulatılmalı,bu süreçte ve sonrasındaki yaşantıları hakkındaduygu ve düşünceleri ifade ettirilmelidir.

Ders kitabının 175. sayfasındaki problem öğ-rencilere inceletilir. Öğrencilerin çözüm aşamala-rına dikkat etmeleri sağlanır.


4. Ünite


4. Ünite

Problem: Taban yarıçapı 4 cm olan dik silindir biçiminde yarıya kadar su dolu kabın içine yarıçapı1 cm olan küre şeklinde metal bilye atılıyor. Bilye suyun içine tam olarak battığına göre bilyenin atılma-sı ile silindirdeki su kaç cm yükselmiştir?

Problemi anlama: Taban yarıçapı 4 cm olan dik silindir biçimindeki kabın yarısı su ile doludur. Bukabın içine yarıçapı 1 cm olan küre şeklinde metal bir bilye atılıyor. Bilye tam olarak suya batıyor. Si-lindirdeki suyun kaç cm yükseleceğini bulacağız.

Plan yapma: Suyun yüksekliğindeki değişim batan bilyenin hacmi kadar olacağı için önce küreninhacmini bulacağız. Silindir içindeki suyun yükselen kısmının hacmini bulup kürenin hacmine eşitleye-rek yükselme miktarını bulacağız.


Suyun yüksekliğindeki değişim batan bilyenin hacmi kadardır. Bilyenin yarıçapı 1 cm olduğundan;

Sudaki yükselme miktarına “h” dersek suyun yükselen kısmının hacmi, bilyenin hacmine eşit olur.Suyun yükselen kısmının hacmi;

Hacim (V)

Bu iki hacim birbirine eşit olacağından;

Kontrol etme:

ise kürenin hacmi olarak elde edilir.

bulunur. Bu da atılan küre şeklindeki metal bilyenin yarıçapıdır.

Yaptığımız çözüm doğrudur. Problem doğru anlaşılmış ve çözülmüştür.

π π rr r cm

3

4

3

41 1

33= = =& &

π π16 93

4123

=$ $4h cm

121

=

164

π πh

h

3

121

=

=

$4

.π πh h olurV 1642= =&$ $ $

.π πV V cm bulunur3

4 1343

3= =&$ $

cm olur.

10 cm

10 cm

10 c

m

4,8 cm 4,8 cm

8 cm

Örnek: Yanda bir ayrıtının uzunluğu 10 cm olan küp içerisine tabanayrıtının uzunluğu 4,8 ve yan ayrıtı 8 cm olan bir kare prizmabulunmaktadır. Küpün içerisinde boşluğun hacmini tahmin edelim.

Küpün hacmi = 10 . 10 . 10 = 1000 cm3

Kare prizmanın bir taban ayrıtını 4,8 5 olarak alalım.

Kare prizmanın hacmi tahminen 5 . 5 . 8 = 200 cm3

Küp içerisindeki boşluğun hacmi tahminen;

1000 – 200 = 800 cm3 tür.

.


GEOMETRİK CİSİMLERİN HACİMLERİ VE ALANLARINI TAHMİN ETME,

PROBLEM ÇÖZME VE KURMA

1. Boyutları 6 cm, 8 cm, 12 cm olan dikdörtgenler prizmasının içine hiç boşluk kalmayacak şekil-de, hacmi en büyük eş küpler yerleştirilecektir. Bunun için kaç tane küpe ihtiyaç vardır?

2.Yandaki şekilde verilen dik silindirin yüksekliği 18 cm’dir. İçin-

deki koni su ile doldurulup silindire boşaltılınca suyun silindirdekiseviyesi h kadar oluyor. Buna göre h değerini bulunuz.

3.Şekilde [OB] kenarının yüksekliği, |BC| = |BO| dur. Koninin

taralı kısmı su ile dolu olup su ile dolu kısmın hacmi 36 cm3 tür.

Koninin üstteki boş kısmının hacmini bulunuz (π ≈ 3).

2—3

18 c

m

h

O

AO

B

c

Problem çözmede, stratejiler bazen tek başınakullanılabileceği gibi birkaç strateji birlikte kullanı-labilir. Problem çözme becerileri değerlendirilirkenfarklı stratejiler kullanılarak çözülebilecek prob-lemlere yer verilmelidir.

Ders kitabının 176. sayfasındaki örnek incele-tilir. Bu örnekte artık çözüm aşamaları verilmemiş-tir. Çözüm aşamalarını bulmaları öğrencilerden is-tenebilir.

Ders Kitabının 177. sayfasındaki problem kur-maya yönelik çalışmalar öğrencilere inceletilir. On-ların da benzer problemler kurmaları istenebilir.

Uygulamalar


Çalışma kitabının 96, 97, 98 ve 99. sayfa-sındaki sorular çözdürülebilir.

Değerlendirme

Öğrencilerden geometrik cisimlerin yüzeyalanları ile ilgili problemleri çözmeleri ve kurmala-rı; geometrik cisimlerin yüzey alanlarını stratejikullanarak tahmin etmeleri; geometrik cisimlerinhacimleri ile ilgili problemleri çözmeleri ve kurma-ları; geometrik cisimlerin hacimlerini strateji kulla-narak tahmin etmeleri beklenir.


Yapılan çalışmalarla ilgili olarak problem çöz-me için analitik dereceli puanlama anahtarı kulla-nılabilir.

Ders kitabının 178. sayfasındaki “Ünite Değer-lendirme Soruları” öğrencilere yaptırılır.


!

!


4. Ünite

Oluşan cismin yüzey alanı;

İşlem yaparak tahminimizin doğruluğunu kontrol edelim.

ABC dik üçgensel bölgesinin alan bağıntısını kullanalım.

Oluşan cismin yüzey alanı

Yaptığımız tahmin sonuca yakındır.

.A

AH

H cm olur5 12 132 2 13

60= =&$ $

min

,

.

π π

π π π

Y Y

r a r a

r a a

A cm olarak tah edilebilir

3 14 3

3 5 5 12

15 17 255

1 2

1 2

1 2

3

&

&

$ $ $ $

$

$ $

$

. .

.

. .

= +

= +

= +

+

] ^

]

g h

g

, .

π

π

Y Y

r a a

cm bulunur

1360 5 12

1360 3 14 17 246 2

1 2

1 2

.

= +

= +

= +

=

$ $

$

$ $

]

]

g

g

alalım.


4. Ünite

Örnek: Dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan dik üçgen, hipotenüsü etrafında 360° döndürüldüğündeoluşan cismin yüzey alanının kaç cm2 olabileceğini tahmin edelim, işlem yaparak gerçek sonucu bula-lım: ,π 3 14.^ h

A

5 cm

12 cm

B C360° döndürülürse

A

a 1 =

5 cm

h1 h2

a2 = 12 cm

B

D

HC��

BAC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygular-sak;

.

AB AC BC

BC

BC BC cm bulunur

5 12

169 13

2 2

+ =

+ =

= =&

2 2 2

2

2

BAC dik üçgeni hipotenüsü etrafında 360° dön-dürüldüğünde oluşan cisim, tabanları çakışık, yük-seklikleri h1 ve h2 olan iki dik koni olur.

(BAC dik üçgeninin hipotenü-süne ait yüksekliği)

AH HD r= =

.

.

A ABCAB AC BC AH

olur

AH

AH cm olur

2 2

25 12

213

5

= =

=&

.

$ $

$ $

_ i&

(12 ve 13 cm en yakın onluğayuvarlandığında birbirini götü-recektir.)

A

5 cm

12 cm

B H 13C


4. Kare prizma şeklindeki bir havuzun tabanının bir kenarı 20 m, yüksekliği 10 m’dir. Bu havuzun% 70’i kaç cm3 su alır?

5. Bir grup arkadaş yandaki şekilde görüldüğü gibi taban ayrıtı8 metre, yüksekliği 5 metre olan kare piramit şeklinde bir çadıryaptırmak istiyorlar. Bu çadır için toplam kaç metre çadır kumaşıharcanır (Tabanda kumaş olacaktır.)?

6. Yandaki şekilde görülen futbol topunun yarıçapı 15 cm’dir.Bu futbol topunun yapımında kaç cm2 deri kullanıldığını bulu-nuz (π ≈ 3).

8 m

5 m

Bireysel Değerlendirme Soruları

1. Aşağıda açınımları verilen dik prizmalarınyüzey alanlarını bulunuz.

a)

b)

c)

2. Yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 5 cm olan birkurşun koni eritilip yarıçapı 1 cm ve yüksekliği 5 molan koniler yapılmak isteniyor. Kaç tane koni el-de edilir?

3. Aşağıda verilen geometrik cisimlerin alan-larını ve hacimlerini tahmin ediniz. Tahmininizi iş-lem yaparak kontrol ediniz.

a) b)

c)

4. Aşağıda verilenlerle ilgili birer problem ku-rup çözünüz.


4. Ünite

T

AA B

C


4. Ünite

Problem:

Problem:

Yandaki şekille ilgili bir problem kuralım:

Yandaki şekilde bir ayrıtının uzunluğu 5 cm olan küpüniçine, tabanı küpün tabanı, tepesi A noktası olan bir piramityerleştirilmiştir. İki cismin arasında kalan boşluğun hacmikaç cm3 tür? π 3.] g

Şekilde görüldüğü gibi bir dik koni içine bir dik silindir yerleştiriliyor.olduğuna göre silindirin hacminin dik koninin hacmine

oranı kaçtır?EB ED3=

O merkezli küre, merkezinden 12 cm uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor.Oluşan daire düzleminin alanı ise kürenin yüzey alanı kaç cm2

dir?

A) 524π B) 676π C) 690π D) 725π

π cm25 2

Şekildeki dik üçgen dik piramitte dur. Bu pirami-din hacmi 36 cm3 ise kaç cm’dir?BC

TC CA CB= =

Yandaki cisimlerle ilgili bir problem kura-lım:

Yarıçapının uzunluğu 4 cm olan bir kü-renin yüzey alanının, bir ayrıtının uzunluğu4 cm olan küpün yüzey alanına oranı kaç-tır? π 3.] g

Siz de yukarıda verilenleri ve şekilleri başka türlü yerleştirerek kuracağınız bir problemi çözünüz.

G

DE

H

5 cm

C

F

A B

4cm

4 cm

ALIŞTIRMALAR1)

2)

3)

4) Yandaki şekil ile ilgili bir problem kurup problemi çözünüz. π 3.] g

O

O1

E

A

C D

B

O

AB C

96-99

T

A B

a = 24 cm

30°

rO

4 cm

3 cm4 cm 3 cm

7 cm

3 cm

1cm

5 cm

2 cm

4 cm

4 cm

4 cm4 cm

h=7

cm

r=3cm

A

D

HCB

E |BC| = 6 cm|AH| = 4 cm

4 cm

6 cm

a)

4 cm r=2 cm

A

|AC|=5 cm

CB

r=6 cm


4. Ünite


4. Ünite


1) Boyutları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu kaçcm’dir?

2) Bir dikdörtgenler pirizmasının farklı üç yüzeyinin alanları; 8 cm2, 10 cm2 ve 20 cm2 dir. Bu priz-manın hacmi kaç cm3 tür?

3) Tabanın dik kenar ayrıtları 10 cm olan ikizkenar dik üçgen prizmanın yüksekliği 8 cm’dir. Bu priz-manın tüm yüzey alanı kaç cm2 dir?

4) Taban alanı 144 cm2, yanal yüzlerinden birinin alanı 60 cm2 olan kare dik piramidin hacmi kaçcm3 tür?

5) Hacmi 48 cm3 ve yüksekliği 9 cm olan kare dik piramidin tabanının bir ayrıtının uzunluğu kaçcm’dir?

6) İki dik koninin hacimleri arasında ve yükseklikleri arasında biçiminde bir iliş-

ki bulunmaktadır. Bu konilerin yarıçapları oranı kaçtır?

7) Yan yüz yüksekliği 20 cm ve cisim yüksekliği 16 cm olan dik kare piramit için aşağıdakilerdenhangileri doğrudur?

I) Taban kenar uzunluğu 24 cm’dir.

II) Taban yüzeyinin köşegen uzunluğu 12 cm’dir.

III) Hacmi 3,072 dm3 tür.

IV) Taban alanı 288 cm2 dir.

8)

2

rr

1

2

hh 21 2=V V41 2=

Şekilde bir dik koninin açınımı verilmiştir. cm

ve olduğuna göre bu dik koninin hacminin kaç

cm3 olacağını önce tahmin ediniz, sonra işlem yapıp sonucu

bulunuz.

BACs 60= c_ i%

AB 36=

Yandaki verileri kullanarak bir problem kurup bu problemi çözünüz.

9) Alanları oranı olan iki kürenin hacimleri oranını bulunuz.

10) Dikdörtgenler prizması biçimindeki bir havuzun ayrıt uzunlukları 10 m, 14 m ve 20 m’dir. Bu ha-vuzun %40’ı kaç m3 su alır?

11)

916

8 cm

8 cm

8 cm

A B

CD

E F

GH

cm10 2

40 cm3

384 cm3

a = 4 cm

1120 m3

I ve III

cmπ105 3

6427

2

cm2260 80 2+

A

B

63

C

60°



Ödevin Konusu: Bir olayın olma olasılığı ile ilgili deney düzenlenmesi.

Çalışmayı Hazırlama Süresi: 1 hafta

Yönerge: Sizlerden;a. Bir olayın olma olasılığını inceleyeceğiniz bir çalışma belirlemeniz,b. Deneyi yaparak yaptığınız deneyde izlediğiniz yöntemi, kullandığınız malzemeleri ve deney so-

nucunuzu raporlaştırıp sınıfa sunmanız istenmektedir.



Ödevin Konusu: Türkiye’de ödenen vergiler ve bu vergilerin yüzde oranları hakkında araştırma ya-pılması.

Çalışmayı Hazırlama Süresi: 1 hafta

Yönerge: Sizlerden;

a. Türkiye’de ödenen vergileri belirlemeniz,

b. Belirlediğiniz vergileri tablo ile göstermeniz,

c. Yaptığınız çalışma ile ilgili olarak bir rapor hazırlamanız ve raporunuzu sınıfa sunmanız istenmek-tedir.



7. Emre’nin şapkası koni şeklinde ve yarıçapı 6 cm’dir. Şapkaiçin toplam kaç cm2 karton kullanılmıştır (π ≅ 3 alınız.)?

Sınıfa bir kutu getirerek hacmini tahmin etmeye çalışınız. Butahmini yaparken öncelikle kutunun ayrıtlarının uzunluğunu tahminediniz.

a) a = .............. b = ................... c= ......................

Tahmin ettiğiniz ayrıt uzunlukları yardımıyla kutunun hacmineulaşmaya çalışınız.

Şimdi, kutunun ayrıt uzunluklarını cetvelle ölçerek hacmini he-saplayınız. Tahmininiz ile kutunun hacmini karşılaştırınız.

8.

Sınıfa koni şeklinde bir şapka getirerek hacmini tahmin etmeye çalışınız.

Bu tahmini yaparken öncelikle şapkanın yüksekliğini ve taban yarıçapınıtahmin ediniz.

h = .................. r = ..................

Tahmin ettiğiniz yükseklik ve yarıçap yardımıyla şapkanın hacmine ulaş-maya çalışınız.

Şapkanın ayrıt uzunluklarını cetvelle ölçerek hacmini hesaplayınız. Şapka-nın hacmi ile tahmininizi karşılaştırınız.

9.


10. Bir portakalın yüzey alanını tahmin ediniz.

Bu tahmini yaparken;

- Portakalın hangi geometrik cisme benzediğini,

- Portakalın yaklaşık çap uzunluğunu ve yarıçap uzunluğunu dü-şününüz.

Portakalı ortadan ikiye ayırarak yarıçap uzunluğunu ölçünüz veyüzey alanını hesaplayınız. Tahmininiz ile portakalın yüzey alanınıkarşılaştırınız.

11. Dikdörtgenler prizması şeklindeki bir ilaç kutusunun alanınıtahmin etmeye çalışınız.

Bu tahmini yaparken öncelikle kutunun ayrıtlarının uzunlu-ğunu tahmin ediniz.

a = ............. b= .............. c= ...............

Tahmin ettiğiniz ayrıt uzunlukları yardımıyla kutunun yüzeyalanına ulaşmaya çalışınız.

Şimdi, kutunun ayrıt uzunluklarını belirleyerek tüm yüzeyalanını hesaplayınız. Tahmininiz ile kutunun yüzey alanını kar-şılaştırınız.

d. Bilgilerin sunumunda kullanılacak yardımcı görsel unsurların belirlenmesi


5. Ünite

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

Süre : 6 Ders saatiÖğrenme Alanı : Geometri Alt Öğrenme Alanı : Geometrik Cisimler Kazanımlar:5. Bir düzlem ile bir geometrik cismin ara kesi-

tini belirler ve inşa eder. 6. Çok yüzlüleri sınıflandırır. 7. Çizimleri verilen yapıları çok küplülerle oluş-

turur, çok küplülerle oluşturulan yapıların görü-nümlerini çizer.


me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: karton, makas, yapıştırıcı, kâğıt,

kalem, oyun hamuru, bıçak, hacimler takımı, çokküplüler takımı, izometrik kâğıt (Kesici aletlerinkullanımına dikkat edilmelidir.)

Ön Kazanımlar:1. Dairesel silindirin temel ele-manlarını belirler, inşa eder ve açınımını çizer. 2.Yüzlerinin farklı yönlerden görünümlerine ait çi-zimleri verilen yapıları, birim küplerle oluşturur veizometrik kâğıda çizer.

Zorunlu Program Uyarıları [!] Dikdörtgen, kare, dik üçgenin dik kenarların-

dan biriyle ve yarım çemberin uçlarından geçençap, çeyrek çemberin uçlarından geçen yarıçap-larından biri etrafında döndürülmesi ile oluşacakcisim veya yüzüylerle ilgili etkinlikler yaptırılır.

[!] Çok yüzlülerin etkinliklerinde çok küplü mal-zemelerden yararlanılır.

[!] Çok yüzlülerin; • Yüzlerinin birer çokgensel bölge, ayrıt ve kö-

şelerinin ise bu çokgensel bölgelerin kenar ve kö-şeleri olduğu vurgulanır.

• Yüz sayılarına göre isimlendirildiği belirtilir.Örneğin; “dört yüzlü”, dört tane yüzü olan bir üç-gen piramit vb.

[!] Bütün yüzleri ve bütün ayrıtları eş olan çokyüzlülere, “düzgün çok yüzlü” denildiği vurgulanır.

[!] Çokgenlerde olduğu gibi çok yüzlülerin de içbükey ve dış bükey durumları vurgulanır.

Dış bükey İç bükey

Herhangi iki noktasını birleştiren doğru parça-sının tamamı, çok yüzlünün yüzeyinde (bir yüzün-de) veya içinde kalıyorsa dış bükey, aksi hâlde içbükeydir. Bir çok yüzlünün yüzeyinin, yüzleriyleayrıtlarının birleşiminden oluştuğu vurgulanır.


5. Ünite


5. Ünite

BİR DÜZLEM İLE BİR GEOMETRİK CİSMİN ARA KESİTİ, ÇOK YÜZLÜLER

Çok yüzlüler içinde özellikle düzgün olanlar insan-ların ilgisini çekmiştir. Bazı arkeolojik kazılarda binler-ce yıl öncesine ait düzgün çok yüzlüler bulunmuştur.Bunca yıl uğraşılmasına karşın sadece beş tane çokyüzlü bulunabilmiştir. Yeni çok yüzlüler bulabilme yö-nündeki çabalar Öklid’in “Elemanlar” adlı kitabındabunun başarılamayacağını ispatlamasıyla son bul-muştur.

� Yanda verilen çok yüzlülerden yararlanarak düz-gün çok yüzlülerin yüz sayısı hakkında ne söyleyebi-lirsiniz?

• Kartondan koni, kare piramit ve küp modelleriinşa ediniz.

• İnşa ettiğiniz koni modelini ekseni boyunca ma-kasla kesiniz.

• Elde ettiğiniz geometrik cisimlerden birini kâğıtdüzlemi üzerine yerleştiriniz.

• Kâğıt düzlemi ile geometrik cismin kesişimini çi-ziniz.

� Ne tür bir bölge elde ettiniz? Açıklayınız.

• İnşa ettiğiniz küp modelini tam ortasından makasla ayırınız.

• Oluşan iki cisimden birisini kâğıt düzlemi üzerine yerleştiripkalemle kenarlarından çiziniz.

� Hangi tür bir geometrik şekil elde ettiniz? Açıkla-yınız.

� Oluşan geometrik cisimlerin kaç yüzü, kaç ayrıtı,kaç köşesi vardır? Belirtiniz.

• Yaptığınız kare dik piramit modelini tabanına pa-ralel olacak şekilde makasla kesiniz.

• Oluşan iki parçanın arasına kâğıt düzlemi yerleş-tiriniz.

� Kâğıt düzlemi ile kare dik piramidin kesişimini bulunuz?

� Yaptığınız işlemleri matematiksel olarak nasıl açıklarsınız?

� Kâğıtla ayırdığınız kare dik piramit modelinin küçük kısmını çıkardıktan sonra elde edilen cisminkaç köşesi, kaç ayrıtı, kaç yüzü olduğunu belirtiniz.

Bir Düzlem ile Bir Geometrik Cismin Ara Kesitini Belirleyelim, Çok Yüzlü Oluşturalım

karton, makas, yapıştırıcı, kâğıt, kalem


1. Aşağıdaki çokgensel bölgelerden hangisi bir silindir ile bir düzlemin kesişimi ile elde edilebilir.

2. Bir dik koni tabana dik bir düzlemle kesiştiğinde ara kesit aşağıdakilerden hangisi olur? Çize-rek gösteriniz.

A) Daire B) Dikdörtgensel bölge C) Üçgensel bölge D) Doğru parçası

GEOMETRİK CİSİMLERİN ARA KESİTLERİ, ÇOK YÜZLÜLER

a) b) ç)

d)c)

e. Belirlenen yardımcı unsurların toplanması

[!] Etkinliklerde birli, ikili, üçlü, dörtlü ve beşliçok küplüler kullanılır. (Program kitapçığı Ek-3)Kullanımda kolaylık sağlamak amacıyla şekillerharflerle eşleştirilmiştir.

[!] Etkinliklerde, aynı veya farklı türden en faz-la dört çok küplü kullanılır.

Dikkat Çekme ve Motivasyon Okulumuzun, evimizin veya çevremindeki bi-

naların şekilleri öğrencilere sorulur. Bu şekillerinhangi geometrik cisimlere benzediği hakkından fi-kirleri alınarak motivasyon sağlanır. Bu geometrikcisimlerin yüzlerine göre nasıl adlandırılabileceğisorulur.

Ders kitabının 180. sayfasındaki fotoğrafla ilgi-li görsel okuma ve görsel sunu yaptırılır. Fotoğra-fa ait metin öğrencilere okutulur, metne ait soruöğrencilere yöneltilir. Sorulara verilen cevaplar-dan yararlanılarak öğrenciler etkinliğe yöneltilir.

Öğrenme-Öğretme Süreci Öğrencilerin sorulara verdikleri cevaplar de-

ğerlendirilir. Bu cevaplardan yararlanılarak öğren-ciler etkinliğe yöneltilir. Etkinlikte öğrencilerin akılyürütme, ilişkilendirme ve psikomotor becerilerinietkin kullanmaları sağlanmalıdır. Öğrenciler önbilgilerini kullanarak yeni bilgileri yapılandırabil-melidirler. Ayrıca ders içi bilgiler arasında ilişkikurabilmelidirler.

Ders kitabının 181 ve 182. sayfalarındaki ör-nekler öğrencilerle birlikte incelenir. Örnekler öğ-rencilerin bireysel öğrenme farklılıkları göz önün-de bulundurularak düzenlenmiştir. Öğrencilerinöğrenme stillerine göre gerek duyulduğu takdirdeörnekler etkinlik formatına dönüştürülebilir. Örnek-lerin etkinlik formatına dönüştürülmesi ile oluştu-rulacak eğitim ortamı özellikle kinestetik öğrenmestiline sahip öğrenciler için yararlı olacaktır. Aynızamanda doğacı zekâya sahip öğrencilerin birey-sel farklılıkları da yapılan çalışmalarla desteklene-bilir ya da bu yönlerinin geliştirilmesi için öğrenci-lere araştırma ödevleri öğrencilere verilebilir.


5. Ünite


5. Ünite

Örnek:

Yukarıdaki resim ve fotoğraf günlük hayatta görebileceğimiz bir geometrik cismin bir düzlemle arakesitinden (kesişiminden) oluşan geometrik şekillere örnektir. 1. fotoğrafta bir küre modelinin, 2. resim-de ise bir koni modelinin bir düzlemle ara kesiti gösterilmiştir.

� O merkezli bir kürenin bir düzlemle kesilmesi sonucu oluşan şekilleri inceleyelim:

Kürenin bir düzlemle kesilmesi sonucu oluşan kesit alanı daima dairedir. Düzlem merkeze yaklaş-tıkça ara kesit olan daire büyür. Düzlem merkezden geçerse ara kesit olan dairenin yarıçapı, küreninyarıçapına eşit olur.

O

O

E

G

kesikküre

O

O

kesikküre

düzlem

düzlem

kesitalanı

kesitalanı

G

E

O

F

O merkezli küre, mer-kezine paralel olacak şe-kilde E ve G düzlemleriile kesilmiştir. Oluşan arakesit dairedir.

O merkezli küremerkezinden geçe-cek şekilde bir Fdüzlemi ile kesil-miştir. Oluşan arakesit bir dairedir.

F


5. Ünite

� Bir kare dik piramidin bir düzlemle ara kesitinin ne tür bölge olduğunu bulalım, kesik kare dikpiramidi inceleyelim:

Dik kare piramit tabana paralel bir düzlemle kesildiğinde ara kesit bölgesi karesel bölge olur.Kesik kare dik piramidin köşeleri A, B, C, D, K, L, M, N noktalarıdır. Kesik kare dik piramidin 6 yüzü

vardır. Bu yüzler; ABCD karesel bölgesi, KLMN karesel bölgesi, KADN dörtgensel bölgesi, NDCM dört-gensel bölgesi, MLBC dörtgensel bölgesi ve BAKL dörtgensel bölgesidir.

Kesik kare dik piramit çok yüzlüdür ve bu çok yüzlüyü altı yüzlü olarak adlandırırız.

T

A B

C

E

D

düzlem

T

A B

C

GH

FE

D

N M

K L

A B

CD

karesel bölge

kesik kare dikpiramit

Çok yüzlülerin yüzleri birer çokgensel bölgedir. Ayrıt ve köşeleri ise bu çokgensel bölgele-

rin kenar ve köşeleridir. Çok yüzlüler yüz sayılarına göre isimlendirilir.

Tüm yüzeyleri düzlemsel bölge olan şekiller bir düzlemle ke-

sildiğinde düzlem, şeklin kaç ayrıtını kesiyor ise oluşan kesit

alanının da o sayıda kenarı olur.

T

A B

CH

G

EN

D

T

C

G

H

F

E

Yandaki kare dik pirami-di E, F, G, H noktalarındangeçecek şekilde bir düz-lemle keselim:

Dik kare piramidin E, F, G, H noktalarından geçen bir düzlemle ke-silmesi sonucu oluşan kesit alanı dörtgensel bölge olur.

Yeni oluşan cisim, bir çok yüzlüdür. Cismin 6 yüzü vardır.

1 2 3

L

Z

D

V

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: oyun hamuru, bıçak, hacimler ta-kımı, çok küplüler, izometrik kâğıt.

• Oyun hamurunu hacimler takımındaki küp,kare piramit, koni ve küre içerisine doldurarak bumodellerden inşa ediniz.

• Oluşturduğunuz modellerde küpü karşılıklıbirer köşegeni boyunca, koniyi ekseninden geçe-cek şekilde, kare piramidi tabana paralel ve küre-yi de iki eş parçaya ayıracak şekilde bıçakla kesi-niz (Bıçakla yapılan işlemlerde öğrencilerin dik-katli olmasına önem veriniz.).

� Yapılan işlemlerde oluşan geometrik cisim-lerin ara kesitleri hangi geometrik şekillere benze-mektedir?

• Çok küplüler takımını kullanarak farklı geo-metrik cisimler oluşturunuz.

• Oluşturduğunuz geometrik cisimlerin yüz, kö-şe ve ayrıt sayılarını belirleyiniz.

� Oluşturduğunuz geometrik cisimleri isimlen-dirmek isterseniz hangi özelliğinden faydalanırsı-nız? Açıklayınız.

• Oluşturduğunuz geometrik cisimlerin iç bü-key ve dış bükey olan yüzlerini belirleyiniz.

� Oluşturduğunuz geometrik cisimleri iç bükeyveya dış bükey olarak tanımlamak isterseniz bu-nu geometrik cisimlerin hangi özelliğinden fayda-lanarak yaparsınız? Açıklayınız.


5. Ünite

Ekesit alanı

kesikkoni


5. Ünite

� Bir küpün bir düzlemle ara kesitinin ne tür bölge olabileceğini inceleyelim:

� Dik koninin bir düzlemle ara kesitini inceleyelim:

Küp tabanına paralel olacak şekilde bir düzlemle kesildiğinde oluşan şeklin 4 köşesi bulunduğun-dan ve ayrıt uzunlukları eşit olduğundan kesit alanı karesel bölgedir. Yarım küp bir çok yüzlüdür. 6 yü-zü, 8 köşesi ve 12 ayrıtı vardır.

yarımküp

kesit alanı

Prizmaların bir düzlemle ara kesitinde oluşan yeni şekillerin ne olduğunu anlayabilmek için

şekillerin köşe sayısına bakılır.

Şekilde verilen küpüAB, BF ve BC ayrıtların-dan geçecek şekilde birL düzlemi ile keselim:

Oluşan çok yüzlünün köşeleri A, K, J, C, D, E, F, G, H, I noktaları-dır. Çok yüzlünün 10 köşesi vardır. Kesilen bölgede JKI üçgensel böl-gesi yer almaktadır.

Dik koni tabanaparalel bir düzlemlekesilirse ara kesitbölgesi (kesit alanı)daire olur.

Dik koni, tepe noktasın-dan geçen ve tabana dikbir düzlemle kesildiğindeara kesit bölgesi ikizkenarüçgensel bölge olur.

TC TD a= =

B

FE

H G

A

D C

R

FE

HGP

T S

B

F

L

E

A

D C

FE

H G

A

D C

J

K

I

B

FE

H G

A

D

L

C

OBA

ara kesitbölgesi

CO

T

D

! Dik konide ana doğru uzunluğu çapa eşit olursa ara kesit bölgesi ne tür bir bölge olur?


3. Bir dik piramit tabanına dik bir düzlemle kesiştiğinde ara kesit aşağıdaki çokgensel bölgelerdenhangisi olur?

A) Karesel bölge B) DaireC) Üçgensel bölge D) Yamuksal bölge

4. Aşağıdaki A tablosunda bazı geometrik cisimler ve nasıl bir düzlemle kesildikleri, B tablosundaise bu geometrik cisimler ile düzlemlerin ara kesitleri verilmiştir. Uygun eşlemeleri yapınız.

5. Bir üçgen prizma ile bir düzlemin kesişiminde kaç farklı ara kesit ortaya çıkabileceğini ve bun-ların neler olabileceğini bulunuz, çizerek gösteriniz.

6. Aşağıda verilen geometrik cisimleri yüz sayılarına göre isimlendiriniz.

A

Küre - Merkezinden geçen bir düzlem

Küp - Tabanına dik bir düzlem

Dik beşgen piramit - Tabanına paralel bir düzlem

Küre - Yüzeyine teğet geçen bir düzlem

Silindir - Tabanına paralel bir düzlem

B

Nokta

Daire

Karesel bölge

Daire

Beşgensel bölge

a) b) c)

C D

A O

O

B

C D

A

D

AA

D

A A

C

4 cm 2 cm 4 cm

3 cm

C

B

C

B

B

G

F

D

H

E

G

I

ara kesit bölgesi kesik silindir

O

O

O

O C DO

• Çok küplüler takımındaki L şeklinde olan malzemelerden 3 tanesini kullanarak bir cisim oluşturunuz.� Bu cismin kaç köşesi, kaç ayrıtı, kaç yüzü vardır? Belirtiniz.� Bu çok yüzlü nasıl isimlendirilebilir?� Bu çok yüzlünün bütün yüzleri ve ayrıtları eş midir? Açıklayınız.� Çok küplüler takımındaki malzemeleri kullanarak bütün yüzleri ve ayrıtları eş olan bir çok yüzlü ya-

pılabilir mi? Açıklayınız.• L şeklindeki çok küplülerle oluşturduğunuz yapının görünümünü izometrik kâğıda çiziniz. Çizimini-

zi diğer gruplarla karşılaştırınız.� Çizimi yaparken nelere dikkat ettiniz? Açıklayınız.


5. Ünite

Örnek: Dik silindirin taban düzlemine paralel, eksenlerinden geçecek veya paralel olacak şekilde birdüzlemle ara kesiti alındığında oluşacak bölgeleri inceleyelim:

Örnek: Şekilde verilen dikdörtgen, kareve dik üçgeni [AB] etrafında 360°döndürülmesi ile oluşacak cisimleriinceleyelim.

Taban yarıçapı 2 cm ve yük-sekliği 4 cm olan silindir oluşur.

Taban yarıçapı 2 cm ve yük-sekliği 2 cm olan silindir oluşur.

Taban yarıçapı 3 cm ve yük-sekliği 4 cm olan bir koni oluşur.

Dik silindir, ekseninden geçecek bir düzlemlekesildiğinde ara kesiti dikdörtgensel bölge olur.

Dik silindirin eksenine paralel olacak şe-kilde bir düzlemle ara kesiti alındığında olu-şan bölge yine dikdörtgensel bölge olur.

Dik silindir tabana paralel birdüzlemle kesildiğinde kesit alanıdaire olur.

Çok Yüzlüleri Sınıflandıralım

çok küplüler takımı

2 cm

2 cm

B

D

A

D

A A

C

2 cm

4 cm

3 cm

3 cm

C

DI DICI CI

CI

B

C

B

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

B

4 cm

E

A

B

CO

O ara kesit bölgesi

O

O

• Oluşturduğunuz geometrik cisimleri izometrikkâğıda çiziniz.

� Oluşturduğunuz geometrik cisimleri hangiçok küplüleri kullanarak oluşturdunuz?

Ders kitabının 183. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Örneklerden hareketle,sayfada verilen bilgilerin nerede ve nasıl kullanıla-bileceği konusunda öğrenciler arasında (beyin fır-tınası yöntemi kullanılarak) tartışma ortamı oluş-turulabilir. Öğrenilen bilgilerin günlük yaşamdakullanıldığının farkında olunması öğrencilerin der-se yaklaşımını olumlu etkilemektedir. Bu nedenlesınıfta düzenlenecek öğrenme ortamlarında bunamutlaka dikkat etmek faydalı olacaktır. Ayrıca öğ-rencilerin öğrendikleri bilgileri yaşamda bulmaları-nı sağlayacak araştırma ödevleri, performansödevleri vb. öğrencilerin duyuşsal gelişimleriniolumlu yönde etkileyecek çalışmalar olacaktır.Ders kitabının 184. sayfasındaki örnekler öğrenci-lerle birlikte incelenir. Öğrencilerin dikkatleri heriki sayfada bulunan bilgi kutularına çekilir. Öğren-cilerin bireysel öğrenme farklılıkları dikkate alındı-ğında gerek duyulduğu takdirde sınıfa getirilecekkoli vb. malzemelerden de yararlanılarak bilgilerinsomutlaştırılabileceği, görsel ve kinestetik öğren-me stiline sahip öğrencilerin desteklenebileceğiöğrenme ortamları oluşturulabilir.

Ders kitabının 184. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır.

Ders kitabının 185. sayfasındaki örnekden ya-rarlanarak öğrencilerin ön bilgilerini kullanmalarısağlanmalıdır. Öğrenciler ders içi ilişkilendirmeyaparak düzgün çok yüzlüler konusu için düzgünçokgenler ile ilgili bilgilerini temel olarak kullana-bilmelidirler. Yine aynı şekilde eşlik, benzerlik veçokgenlerde eşlik ve benzerlik konuları ile ilgili önbilgilerini burada kullanabilmelidirler. Öğrencilerbu ön bilgilerinden yararlanarak sayfada verilenbilgi kutusundaki bilgiye kendileri ulaşabilmelidir-ler. Ancak öğrencilerin zekâ alanları dikkate alındı-ğında mantıksal-matematiksel zekâya sahip öğ-rencilerin akıl yürütme becerilerini daha etkin kul-lanarak bilgi kutusunda verilen bilgiyi daha kolayyapılandırabilecekleri dikkatten kaçmamalıdır. Bil-ginin yapılandırılmasını diğer zekâ alanlarına sa-hip öğrencilerden de aynı şekilde beklemek doğruolmayacaktır.

Ders kitabının 186. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki ilk örnek ileön bilgilerden iç bükey ve dış bükey bilgileri ilişki-lendirilmelidir. Aynı şekilde ikinci örnek ile de eşküplerle yapılar oluşturma ve kodlama bilgileri iliş-kilendirilmelidir.


5. Ünite


5. Ünite

�

�

Bütün ayrıtları ve yüzleri birbirine eş olan eşkenar üçgen dik piramitdüzgün dört yüzlüdür. Bütün yüzeyleri eşkenar üçgensel bölgedir.

A B

C

G

E H

F

a

a

b

D

A B

C

G

E H

F

a

BH

A

D

C

a a

aa

a

b

D

A B

C

G

Z

E H

F

a

a a

b-a

D

Yandaki kare dik prizmanın taban uzunluğu a br ve yüksekliğib br’dir. Kare dik prizma yüksekliği taban uzunluğuna eşit olacakşekilde taban düzlemine paralel bir düzlemle iki parçaya ayrılıyor.Oluşan parçaları inceleyelim:

1. şekilde oluşan çok yüzlüde;

olur. Oluşan çok yüzlü kare dik prizmadır. Bütün yüzleri ve ay-rıtları eş değildir. Bu çok yüzlü, düzgün çok yüzlü değildir.

2. şekilde oluşan çok yüzlüde;

olur. Tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olduğundan bu çok yüz-lü küptür. Küpün bütün yüzleri ve ayrıtları eştir. Dolayısıyla küp, düzgün çok yüzlüdür.

,

,

EH HG FG EF a

KL LM MN NK a

KE LH MG NF a

= = = =

= = = =

= = = =

,

,KL

a

DK CL M AN b a

LM NM NK a

AD DC CB BA

B

= = = =

= = = = -

= = = =

��

��

��

A B

C

a

ab-aD

N

K L

M

��

�

GL

E H

FK

N M

a

a a

��

�

Şekil 1

Şekil 2

Bütün yüzleri ve ayrıtları eş olan çok yüzlülere düzgün çok yüzlü denilir.

Örnek: Verilen yapının görünümü izometrik kâğıda çizelim.

3


5. Ünite

�Aşağıda bazı çok yüzlülerin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçaları çizilmiştir. İnceleyelim:

Örnek:

Yapıda kullanılan çok yüzlülerin kodları V, 1 ve 3’ tür.

R

B

FE

AP C

DN

M

G

H

I J L

K

Çok yüzlünün herhangi iki noktasını birleş-tiren doğru parçalarının tamamı çok yüzlününyüzeyinde (bir yüzünde) veya içinde kalmıştır.Bu yüzden çokgenlerde olduğu gibi bu çokyüzlü dış bükeydir.

Bu yapıda kullanılan çok yüzlülerin kodları D ve L’dir.

Yanda çizimi verilen yapının görünümünü izometrik kâğıdaçizelim:

Çok yüzlünün herhangi iki noktasını birleş-tiren doğru parçalarından çok yüzlününyüzeyinde veya içinde kalmamıştır. Bu yüz-den bu çok yüzlü iç bükey çok yüzlüdür.

MN5 ?

D L

DL

V

V13

1


Örnekte görsel olarak verilen yapı, öğrencilereçok yüzlü küpler kullandırılırak oluşturtulabilir. Ya-pının oluşumu sağlandıktan sonra kodları açıklan-abilir. Gerek duyulursa öğrencilerden çok yüzlüle-ri kullanarak yapılar oluşturmaları ve oluşturdukla-rı yapıların kodlarını belirlemeleri istenebilir. Buçalışma grup çalışması şeklinde de yaptırılabilir.Sınıf ortamında oluşturulan gruplardan çok yüzlü-ler ile yapılar oluşturmaları, oluşturdukları yapıla-rın kodlarını belirlemeleri ve belirledikleri kodlarıbir yere not etmeleri istenir. Daha sonra gruplar-dan kendilerine bir eş grup seçmeleri ve seçtikle-ri grup ile yer değiştirerek diğer grubun oluşturdu-ğu yapının kodunu belirlemeleri istenir. Ardındanbelirlenen kodları karşılaştırmaları ve bu çalışma-nın değerlendirmesini yapmaları istenir. Böyle birçalışma ile öğrencilerin iletişim becerilerinin etkinkullanımı ve geliştirilmesi sağlanabilir.

Uygulamalar


Çalışma kitabının 102, 103, 104 ve 105.sayfasındaki sorular çözdürülebilir.


I. Herhangi iki noktasını birleştiren doğru par-çasının tamamı, çok yüzlünün içinde ise çok yüz-lü dış bükeydir.

II. Çok yüzlüler yüz sayılarına göre isimlendirilir.III. Bütün yüzleri ve bütün ayrıtları eş olan çok

yüzlülere düzgün çok yüzlü denir.Çok yüzlülerle ilgili yukarıda verilenlerden han-

gileri doğrudur?A) I-I B) I-III C) II-III D) I-II-III

Değerlendirme

Öğrencilerden, bir düzlem ile bir geometrikcismin ara kesitini belirlemeleri ve inşa etmeleri;çok yüzlüleri sınıflandırmaları; çizimleri verilenyapıları çok küplülerle oluşturmaları, çok küplü-lerle oluşturulan yapıların görünümlerini çizmeleribeklenir.


Yapılan çalışmalarla ilgili olarak “Grup Değer-lendirme Formu” doldurtulabilir.

!

!


5. Ünite

E

102-105


5. Ünite

Yandaki silindirin içerisine en büyük hacimli kare dik piramityerleştirilerek tabana paralel bir E düzlemi ile kesiliyor. Alttakalan parçanın üstten görünümünü çiziniz.

Yandaki eşkenar üçgen dik prizma G, H, I noktalarına ge-çecek bir düzlemle kesilirse oluşacak şekli çiziniz. Oluşan buçok yüzlünün kaç köşesi, kaç ayrıtı ve kaç yüzü olduğunu bu-lunuz. Oluşan çok yüzlü düzgün çok yüzlü müdür? Açıklayınız.

Yanda çizimi verilen yapının görünümünü izometrik kâğıda çizelim:

Yapıda kullanılan çok küplülerin kodları 1 tane Z ve 1 tane 2’dir.

Örnek:

ALIŞTIRMALAR

1) Aşağıdaki şekillerde bir küp ile bir düzlemin farklı konumlardaki kesişimleri boyalı olarak verilmiştir.Hangi küp belirtilen boyalı düzlem boyunca kesilirse oluşan kesik parçalar iki üçgen prizma olur?

A) B) C) D)

2)

3) Çok küplüler takımından kodu L, D ve Z olan 3 parçayı kullanarak bir yapı oluşturunuz. Bu yapı-yı izometrik kâğıda çiziniz.

4)

B

E D

C

F

I

G

H

A

Z 2 Z2


ç) d)

7. Aşağıda verilen geometrik cisimlerden hangilerinin kesinlikle düzgün çok yüzlü olduğunu yan-larındaki kutucuklara “x” sembolü ile belirtiniz.

a) Dikdörtgenler prizması �� b) Silindir ��

c) Küp �� ç) Dik kare piramit ��

d) Eşkenar dik piramit �� e) Üçgen dik prizma ��

8.

Yukarıda verilen çok yüzlülerin iç bükey mi, yoksa dış bükey mi olduğunu altlarında verilen noktalıyerlere yazınız.

a. Proje konusunun ne olduğunun açıklanması

Süre : 2 Ders saati Öğrenme Alanı : GeometriAlt Öğrenme Alanı : Örüntü ve Süslemeler

Kazanımlar:

1. Doğru, çokgen ve çember modellerindenörüntüler inşa eder, çizer ve bu örüntülerden frak-tal olanları belirler.


Yöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-me, anlatım, soru cevap, keşfetme

Araç-Gereç: kareli kâğıt, renkli kalemler, cetvel

Ön Kazanımlar

1. Çokgensel bölge modelleriyle bir bölgeyidöşeyerek süsleme yapar.

2. Düzgün çokgensel bölge modelleriyle oluş-turulan süslemelerdeki kodları belirler, verilenkodlara uygun süslemeler yapar.

3. Yansıma, öteleme ve dönme hareketleri ilesüsleme yapar.

Zorunlu Program Uyarıları

[!] Örüntü ve süslemeler çeşitli geometri yazı-lımlarıyla da yaptırılabilir.

[!] Fraktalın, bir şeklin orantılı olarak küçültül-müş ya da büyütülmüşleri ile de inşa edilen örün-tüler olduğu vurgulanır.

Ders İçi İlişkilendirme

� Eşlik ve Benzerlik

� Geometrik Cisimler

Dikkat Çekme ve Motivasyon

“Örüntü ve süsleme kavramları size ne çağrış-tırıyor? Çevrenizden ya da doğadan örnekler ve-rebilir misiniz?” soruları yöneltilir. Öğrencilerin ce-vapları dinlenir.


Öğrencilere ders kitabının 188. sayfasındakifotoğrafla ilgili görsel okuma ve görsel sunu yap-tırılır. Fotoğrafa ait metin okutturularak öğrencile-rin dikkati metnin sonundaki sorulara çekilir. Busorulara öğrencilerin verecekleri cevaplar dinlenir.


5. Ünite


5. Ünite

ÖRÜNTÜLER VE FRAKTALLARDoğadaki harikalar insanı

hayrete düşürmektedir. Bu hari-kaların matematiksel yönlerininbilinmesi ve keşfedilmesi ise in-sana başka bir keyif vermekte-dir. Doğadaki bu keşif insanlarınçalışmalarında da yönlendiricietkiler yapmaktadır. Yanda gö-rülen resimlerden ilki doğadakiharika bir görüntüyü, ikinci re-

sim ise bu görüntünün matematiğini çözen insanoğlunun bundan yararlanarak ne gibi güzelliklere im-za atabileceğinin bir göstergesidir.� Çevrenizden benzer örnekler verebilir misiniz?� Sizce resimlerdeki örüntüler arasında nasıl bir ilişki vardır? Belirtiniz.

• Kareli kâğıdınıza cetvelle bir kenar uzunluğu 12 br olan bir kare çiziniz.

• Karenin kenarlarının orta noktalarını belirleyiniz.

• Karenin kenarlarının orta noktalarını renkli kalemle birleştirerek yeni birkare oluşturunuz.

� Yeni oluşturduğunuz karenin kenar uzunlukları ile ilk çizdiğiniz karenin ke-nar uzunlukları arasındaki benzerlik oranı nedir?

• Renkli kalemle çizdiğiniz karenin kenarlarının orta noktalarını belirleyiniz.

• Bu noktaları başka renk bir kalemle birleştiriniz.

� Hangi geometrik şekli elde ettiniz?

� Bu geometrik şeklin kenar uzunlukları ile ikinci çizdiğiniz karenin kenaruzunlukları arasında nasıl bir oran vardır?

• Bu işleme birkaç adım daha devam ediniz.

� Hangi tür geometrik şekilleri oluşturuyorsunuz?

� Bu şekillerin büyüklükleri için ne söyleyebilirsiniz?

� Bu geometrik şekillerin kenar uzunlukları arasındaki oran için ne söyleye-bilirsiniz?

� Bu işleme ne kadar devam edebilirsiniz?

� Elde ettiğiniz şekil örüntüsünün kuralı nedir? Açıklayınız.

Fraktal Oluşturalım

Kareli kâğıt, renkli kalemler, cetvel


9.

Yandaki şekilde önden bakıldığında hiçgörülmeyen kaç tane küp olduğunubulunuz.

10. Kodu DLZ ve LLD olan cisimleri çok küplüler ile oluşturup izometrik kâğıda çizimlerini yapınız.

Öğrencilerin sorulara verdikleri cevaplardanyararlanarak öğrenciler etkinliğe yönlendirilebilir.Öğrenciler etkinlik sırasında akıl yürütme, ilişki-lendirme ve psikomotor becerilerini etkin kullana-bilmelidirler.

Ders kitabının 189. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Öğrencilere günlük ya-şamlarında benzer şekiller görüp görmedikleri so-rulur. Gazete ve dergilerden, fotoğraflardan ör-nekler bulup sınıfa getirmeleri istenebilir. Fraktal-ların doğada çok bulunduğuna dikkat çekilerekyaşamdan örnekler bulmaları konusunda öğrenci-ler yönlendirilebilir.


5. Ünite


5. Ünite

Örnek: 8 br x 8 br’lik bir karesel bölge çizelim ve bu karenin içerisinde küçük kareler oluşturalım:

Örüntüde kullanılan dikdörtgensel bölgenin biçim ve boyutu değişmemiştir. Örüntü hep eş dikdört-gensel bölgelerin kullanılmasıyla elde edilmiştir.

Örnek: Yandaki dörtgensel bölgeyi kullanarak bir örüntü oluşturalım:

Karesel bölgenin sol üst ve sağ altbölgesinde kalan parçaları düşünmedendiğer karesel bölgeleri yine 4 eş parçayaayıralım.

Karesel bölgeyi 4 eş parçaya bölelim.

Dikdörtgensel böl-geleri şekildeki gibi biraraya getirelim.

Oluşan şeklin altınave sağına dikdörtgen-sel bölgeleri ekleyelim.

Örüntüyü birkaç adım devam ettirelim.

8 br

8 br

4 br

4 br 4 br

4br 4 br

4 br

4 br 4 br

1. Şekil 2. Şekil


ÖRÜNTÜLER VE FRAKTALLAR

1. Aşağıda bir doğru parçasının oranında küçültülmüş modelleriyle genişleyen bir fraktalın

çizgi modeli verilmiştir. Bu modeli 3 adım ilerletiniz.

1——2

2. Bir geometrik şekli kullanarak kenarlarının oranında küçültülmesiyle oluşan bir fraktal

çiziniz.

1——3

1. adım 2. adım 3. adım


b. Niçin bu proje konusunun seçildiğinin açıklanması

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: cetvel, dosya kâğıdı• Kâğıdınıza düzgün altıgen çiziniz. Çizdiğiniz

düzgün altıgenin kenarlarının orta noktalarını be-lirleyiniz.

• Belirlediğiniz orta noktaları ardışık olarak bir-leştiriniz.

� Hangi geometrik şekli elde ettiniz?• İlk geometrik şekille elde ettiğiniz ikinci geo-

metrik şeklin kenar uzunluklarını oranlayınız.• Elde ettiğiniz ikinci şeklin kenarlarının orta

noktalarını belirleyip ardışık olarak birleştiriniz.• Aynı işlemi elde ettiğiniz şekil ve daha sonra-

ki şekiller için de devam ettiriniz.• Elde ettiğiniz örüntüde her seferinde oluşan

şekil ile bir sonraki şeklin kenar uzunluklarını bir-birine oranlayınız.

� Elde ettiğiniz örüntüde ardışık olarak belirle-diğiniz şekillerin kenar uzunluklarının oranı hak-kında ne söyleyebilirsiniz?

� Oluşan örüntüdeki şekiller için ne söyleyebi-lirsiniz?

Ders kitabının 190 ve 191. sayfasındaki örnek-ler öğrencilerle birlikte incelenir.

Uygulamalar:


Çalışma kitabının 106, 107 ve 108. sayfa-sındaki sorular çözdürülebilir.

!

!


5. Ünite

Örnek: Koch kar tanesi fraktalını oluşturalım:Bir eşkanar üçgen çizelim.

Çizilen küçük eşkenar üçgenle-rin, büyük eşkenar üçgen üzerinde-ki doğru parçalarını silelim.

Bu eşkenar üçgenin ke-narlarını 3 eş parçaya ayıra-lım.

Kenar üzerinde ayrılan eş doğruparçalarının ortasındaki doğru par-çasının uzunluğuna eşit kenar uzun-luğa sahip eşkenar üçgenler çizelim.


5. Ünite

Oluşan yeni karesel bölgelerin de yine solüst ve sağ alt köşelerindeki parçalarını düşün-meden 4 eş parçaya ayıralım.

Bu işleme sonsuza kadar devam edebiliriz.Son şekildeki örüntüden de görüldüğü gibi büyükkaresel bölgenin içerisinde küçük karesel bölge-ler oluşturulmuştur.

1br

1br

1 br2 br

2 br

2 br

2 br

2 br

2 br

1 br 1 br3. Şekil 4. Şekil

Görüldüğü gibi şekiller hep birbirlerinin belli bir oranda küçültülmüş olarak devam etmektedir.

1. şekildeki karesel bölgenin kenar uzunluğu

2. şekildeki bir karesel bölgenin kenar uzunluğu

2. şekildeki bir karesel bölgenin kenar uzunluğu

3. şekildeki bir karesel bölgenin uzunluğu



Fraktallar, bir şeklin orantılı olarak küçültülmesi ya da büyütülmesi ile inşa edilebilen örün-

tülerdir.

48 2= =

224

= =

...212

= =

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM


Aşağıda verilen örüntüleri inceleyerek şekillerarasında nasıl bir ilişki olduğunu belirleyiniz.Örüntülerin fraktal olup olmadığını açıklayınız.

a) b)

Değerlendirme

Öğrencilerden doğru, çokgen ve çember mo-dellerinden örüntüler inşa etmeleri, çizmeleri vebu örüntülerden fraktal olanları belirlemeleri bek-lenir.


Yapılan çalışmalarla ilgili olarak öğrencilergözlemlenerek öğrencilerin duyuşsal özellik geli-şimleri değerlendirilir.

Fraktalla ilgili gazete, dergi vb. kaynaklardanfaydalanılarak poster çalışması yapılabilir.


5. Ünite

106-108


5. Ünite

�

ALIŞTIRMALAR

1) Bir kenar uzunluğu 12 cm olan bir eşkenar üçgeni kareli kâğıda çiziniz. Bu eşkenar üçgenin ke-narlarının orta noktalarını birleştirerek yeni bir şekil oluşturunuz. Aynı işlemi orta kısım hariç di-ğer kısımlarda oluşan şekiller için birkaç kez tekrarlayınız. Oluşan örüntü fraktal mıdır? Nedeni-ni açıklayınız.

2)

Yukarıda verilen örüntü bir fraktal örneği midir? Açıklayınız.

Bu işlemleri aynı adımları takipederek birkaç aşama ilerletelim.

Bu fraktal ilk kez Helge Van Koch tarafından 1904’te tanımlanmıştır. Şekillerden de görüldüğü gibiher seferinde oluşan eşkenar üçgenler bir önceki eşkenar üçgenin üçte biri boyutundadır. Bu işleme sü-rekli devam edersek kenar uzunluğu sonsuz, alanı maksimum eş merkezli bir daire kadar olan kar ta-nemiz olur.

Yukarıda verilenler de bilinen belli bazı fraktal örnekleridir.

3. Aşağıda bir eşkenar üçgenin kenarlarının oranında küçültülmesiyle oluşan fraktalın çizgi

modeli verilmiştir. Bu fraktalı 3 adım ilerletiniz.

1——2

4. Bir geometrik şekli kullanarak kenarlarının 2 oranında büyütülmesiyle oluşan bir fraktal çiziniz.




........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Süre : 6 Ders saati Öğrenme Alanı : GeometriAlt Öğrenme Alanı : Dönüşüm GeometrisiKazanımlar:1. Koordinat düzleminde bir çokgenin eksen-

lerden birine göre yansıma, herhangi bir doğruboyunca öteleme ve orijin etrafındaki dönme al-tında görüntülerini belirleyerek çizer.

2. Geometrik cisimlerin simetrilerini belirler. 3. Şekillerin ötelemeli yansımasını belirler ve

inşa eder. Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme Yöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-

me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: kareli kâğıt, kalem, renkli kalem,

cetvel, kopya kalemi, makas, izometrik kâğıt, kü-re modeli, oyun hamuru, hacimler takımı, bıçak(Kesici aletlerin kullanımına dikkat edilmeli)

Ön Kazanımlar: 1. Yansımayı açıklar. 2. Dön-me hareketini açıklar. 3. Düzlemde bir nokta etra-fında ve belirtilen bir açıya göre şekilleri döndüre-rek çizimini yapar. 4. Yansıma, öteleme ve dönmehareketleri ile süsleme yapar.

Zorunlu Program Uyarıları[!] Doğruya göre öteleme yaptırılırken, x ve y

eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen bi-rim kadar, bütün noktaların paralel öteleneceğivurgulanır.

[!] Dinamik geometri yazılımları kullanılabilir.[!] Küpün ekseni etrafındaki 90° lik dönmeler-

de değişmez kaldığı vurgulanır. [!] Düzgün beşgen, düzgün altıgen prizmaların

simetrileri ile değişmez kaldıkları dönme ve dön-me eksenleri, gereksinim duyulursa işlenir.

[!] Eşkenar üçgen prizma ile eşkenar üçgen pi-ramidin simetrileri ve dönmelerde değişmez kal-dıkları belirlenir.

[!] Ötelemeli yansımada hiçbir noktanın veyansıma doğrusundan başka hiçbir doğrunun sa-bit kalmadığı vurgulanır.

[!] Bir şeklin, bir doğru boyunca yansımasın-dan sonra ötelenmişi ile ötelenmişinden sonrayansımasının aynı olduğu vurgulanır.

Ders İçi İlişkilendirme� Cebirsel ifadeler� Eşlik ve benzerlik Dikkat Çekme ve Motivasyon Öğrencilere satranç ve satranç tahtası hakkın-

da kısa bilgi verilir. Satranç tahtasındaki kareselbölgelerden bahsederek siyah ve beyaz kareselbölgelerin nasıl sıralandığı öğrencilere sorulurakderse giriş yapılabilir.


5. Ünite


5. Ünite

KOORDİNAT DÜZLEMİNDE YANSIMA, ÖTELEME, DÖNME HAREKETLERİ VE CİSİMLERİN SİMETRİLERİ

Simetrik yansımalar doğada çok güzel görüntüler oluşturur. Su ke-narlarında, yansımalardan oluşan görüntüleri izlemek insanı dinlendirirçoğu zaman. Bu yansımalardan birçok alanda yararlanılır. Örneğin mi-maride yapılan çizimlerin simetrik görüntülerinden yararlanılarak tasa-rımlar yapılır. Matematikte de yansımalardan yararlanılır.

� Matematikte yansımalardan nasıl yararlanılıyor olabilir?

� Bir düzlemde yansıma kullanılarak geometrik cisimlerin simetrileri nasıl belirleniyor olabilir?

• Kareli kâğıtlarınızdan bir kenar uzunluğu 30 br olan 3 adet kareselbölge kesiniz.

• Karesel bölge şeklindeki kâğıtlarınızdan birini önce ortadan ikiye, son-ra tekrar ortadan ikiye katlayınız.

• Dörde katladığınız kâğıdın üzerine kopya kalemi ile bir kare çiziniz.

• Kâğıdı açıp kat yerlerini kalemle belirginleştirerek bir koordinat düzle-mi oluşturunuz.

� Çizdiğiniz kare ve kopyaları koordinat düzleminizin hangi bölgesindeoluşmuştur?

• Oluşan karelerin köşe noktalarının koordinatlarını sıralı ikililer cinsin-den yazınız.

� Bu karelerden 1 ve 2. bölge üzerinde olanların ortak özelliği nedir?

� 2 ve 3. bölge üzerinde olanların ortak özelliği nedir?



• 2 ve 3. karesel bölge şeklindeki kâğıdınızı da dörde katlayıp koordinat düzlemi oluşturunuz.

• Koordinat düzlemlerinden birinin üzerine bir kenarı x ekseni üzerinde ve bir köşesi orijin noktasın-da olan bir üçgen çiziniz.

• Bu üçgenin köşelerinin “O” noktasına göre simetriğini alınız.

� Oluşan şekil hangi bölgededir?

� Yeni oluşan üçgen kaç derecelik dönme hareketi yapmıştır?

• Koordinat düzleminin 1. bölgesinin üzerine bir dikdörtgen çiziniz.

• Bu dikdörtgeni x eksenine paralel olacak şekilde 3 br aşağıya öteleyiniz.

� Hangi şekli elde ettiniz? Şeklin özelliklerinde bir değişme oldu mu? Açıklayınız.

Yansıma, Dönme ve Öteleme Hareketlerini Koordinat Düzleminde Uygulayalım

3 adet kareli kâğıt, kalem, renkli kalem, cetvel, kopya kalemi


5. Aşağıda bir karenin kenarlarının oranında küçültülmesiyle oluşan fraktalın çizgi modeli

verilmiştir. Bu fraktalı 4 adım ilerletiniz.

1——2

6.Yandaki örüntü bir fraktal olur mu? Se-

bepleriyle açıklayınız.

1. adım1. adım 2. adım 3. adım


Öğrenme-Öğretme SüreciDers kitabının 192. sayfasındaki fotoğrafla ilgi-

li görsel okuma ve görsel sunu yaptırılır. Fotoğra-fa ait metin öğrencilere okutulur, metne ait soruöğrencilere yöneltilir. Sorulara verilen cevaplar-dan yararlanarak öğrenciler etkinliğe yöneltilir.

Ders kitabının 192. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin iletişim,ilişkilendirme, akıl yürütme ve psikomotor beceri-lerini etkin kullanmaları sağlanmalıdır. Öğrencilerbu derste öğrenecekleri konularla önceki yıllardaöğrenmiş oldukları “cebirsel ifadeler” ve “eşlik vebenzerlik” konuları arasında ilişki kurabilmelidirler.


Örnekler incelenirken öğrenciler bilgiler ara-sında ilişkilendirme yapabilmeleri konusunda yön-lendirilmelidirler.Koordinat düzleminde bir geo-metrik şeklin yansıma simetriğinin belirlenebilme-sinin yararlarının ne olabileceği konusunda sınıftabir tartışma ortamı oluşturulabilir. Tartışma beyinfırtınası ya da grup tartışması şeklinde düzenle-nebilir. Bu öğrenme ortamında yapılacak çalışmaile doğacı zekâya ya da mantıksal-matematikselzekâya sahip öğrencilerin bireysel farklılıklarınındesteklenmesi sağlanabilir.

Öğrencilerin dikkatleri ders kitabının 193. say-fasındaki bilgi kutularına çekilebilir.

Öğrencilerden benzer örnekler düzenlemeleriistenebilir.


5. Ünite


5. Ünite

Örnek: Aşağıda kareli kâğıt zemininde verilen koordinat düzlemi üzerinde çizilen dikdörtgenin x vey eksenlerine göre simetriğini alalım:

Örnek:

(–1)$y

A(4,5) → Aı(4,–5)B(8,5) → Bı(8,–5)C(8,3) → Cı(8,–3)D(4,3) → Dı(4,–3)A, B, C, D noktalarının x ek-

senine göre simetriği alınmıştır.

ABCD dikdörtgenin x ekseni-ne göre yansıması alınmıştır. xeksenine göre yansıma alınırkennoktaların y eksenindeki koordi-natlarının işaretleri değişir.

A(4,5) → Aı(–4,5)B(8,5) → Bı(–8,5)C(8,3) → Cı(–8,3)D(4,3) → Dı(–4,3)

(–1)$xA, B, C, D noktalarının y

eksenine göre simetriği alın-mıştır. A′ B′ C′ D′ dikdörtgeniABCD dikdörtgenin y ekseninegöre yansımasıdır. y ekseninegöre yansıma alınırken nokta-

y

x9876543210-1-2

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-3-4-5-6-7

7

6

5

4

A(4,5) B(8,5)

D(4,3) C(8,3)

Dı(4,-3) Cı(8,-3)

Aı(4,-5) Bı(8,-5)

3

2

1

y

x9876543210

O

-1-1-1

-2

-3

-4

-5

-6

-3-4-5-6-7-8

7

6

5

4

A(4,5) B(8,5)

D(4,3) C(8,3)3

2

1

Bı(-8,5) Aı(-4,5)

Cı(-8,3) Dı(-4,3)

Yansıma, doğruya göre

simetridir.

(x, y) →→ (x, –y)

(x eksenine göre yansıma)

(x, y) →→ (–x, y) (y eksenine göre yansıma)

ların x eksenindeki koordinatlarının işareti değişir.

y

x(0,0) B(3,0)

A(3,2)Koordinat düzleminde verilen nin oriji-

ne göre simetriğini alalım:AOB&


b) Koordinatları A(4, 5), B(2, 5), C(5, 2) ve D(-1, 2) olarak verilen ABCD yamuğunun x ekseninegöre yansıma altındaki görüntüsünü çiziniz.

3. a) Koordinatları A(-2, 3), B(-3, 2) ve C(-1, 2) olarak verilen ABC üçgenini x ekseninde 2 birimsağa ve y ekseninde 1 birim yukarıya öteleyerek üçgenin görüntüsünü çiziniz.

b) Koordinatları A(0, 3), B(0, 1), C(2, 1) ve D(2, 3) olarak verilen ABCD karesini x ekseninde 1birim sola ve y ekseninde 3 birim aşağıya öteleyerek karenin görüntüsünü çiziniz.

1. a) Koordinatları A(1, 2), B(2, 3) ve C(2, 2) olarak verilen ABC üçgeninin x eksenine göre yan-sıma altındaki görüntüsünü çiziniz.

b) Koordinatları D(-4, -3), E(0, -4), F(-1, -3) olarak verilen DEF üçgeninin y eksenine göre yan-sıma altındaki görüntüsünü çiziniz.

2. a) Koordinatları A(2, -1), B(2, 2), C(1, 2) ve D(1, -1) olarak verilen bir ABCD dikdörtgeninin yeksenine göre yansıma altındaki görüntüsünü çiziniz.

DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ


c. Araştırmanın nerede yapıldığının söylenmesi

Ders kitabının 194. sayfasındaki örnek öğren-cilerle birlikte incelenir. Örneklerden hareketle öğ-rencilerin örüntü-süslemeler ve fraktal görüntülerile koordinat düzleminde geometrik şekillerinyansıması, dönmesi ve simetrikleri arasında ilişki-lendirme yapmaları sağlanabilir.

Öğrencilerden benzer örnekler düzenleyereksüslemeler yapmaları, bu süslemeler ile örüntüoluşturmaları istenebilir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: kareli kâğıt, makas (Makas kul-

lanımına dikkat edilmeli)

• Kareli kâğıdınızdan bir kenarı 30 br olan ka-resel bir bölge çıkarınız.

• Kareli kâğıdın karşılıklı kenarları üst üste ge-lecek şekilde 4’e katlayınız.

• Kareli kâğıdın kat izlerinden geçecek şekildekoordinat eksenleri çiziniz.

• Koordinat ekseninin birinci bölgesinde bir üç-gen çiziniz.

• Kâğıdı koordinat eksenlerinden katlayayarakçizdiğiniz üçgeni diğer katları da içerecek şekildekesip kâğıdı açınız.

� Kâğıtta oluşan üçgensel pencerelerdenhangisi birinci bölgedeki pencerenin x ekseninegöre simetriğidir.

� Hangi pencere birinci pencerenin orijine gö-re simetriğidir?

• Kareli kâğıdınıza yatay bir sayı doğrusu çizi-niz.

• Sayı doğrusunun üst tarafında herhangi birgeometrik şekil belirleyiniz.

• Belirlediğiniz şekli her seferinde 5 br sağaöteleyip simetriğini alınız.

• Oluşan örüntüyü çiziniz.� Örüntüdeki her bir şeklin birbirine göre du-

rumları için ne söyleyebilirsiniz?


5. Ünite


5. Ünite

O

y

x(0,0) B(3,0)

A(3,2)

B’(-3,0)

A’(-3,-2)

A(3,2) → A′(–3,–2)O(0,0) → O(0,0)B(3,0) → B′(–3,0)

(–1)x, (–1)y,Herhangi bir çokgenin orijine göre simetriği alın-

dığında koordinatlarının işaretleri değişir.

nin orijine göre simetriği alındığında görül-

düğü gibi orijin etrafında 180°lik dönme ha-

reketi yapmıştır. eş üçgenlerdir.AOB ile A OBI I& &

AOB&

AOB&

O

y

x(0,0) N(3,0)

S(5,3)

O

y

x(0,0) N(3,0)

S(5,3)Nı(0,3)

Sı(-3,5)

Nıı(-3,0)

Sıı(-5,-3) Nııı(0,-3)

Sııı(3,-5)

Örnek: Yanda koordinat düzleminde verilenni orijin etrafında 90°, 180°, 270° döndüre-

lim, oluşan şekilleri ve koordinatları inceleyelim: SON&

S(5,3) → Sı(–3,5) → Sıı(–5,–3) → Sııı(3,–5)

O(0,0) → O(0,0) → O(0,0) → O(0,0)

N(3,0) → Nı(0,3) → Nıı(–3,0) → Nııı(0,–3)

90°döndürelim

90° döndürülünce



180°

döndürelim

270°döndürelim

90° döndürülünce 90° döndürülünce

(x, y) sıralı ikilisinin koordinatları orijin etrafında;

90°° lik dönmede (x, y) →→ (–y, x),

180°° lik dönmede (x, y) →→ (–x, –y),

270°° lik dönmede (x, y) →→ (y, –x) olur.


4. Koordinatları A(0, 4), B(-1, 2) ve C(1, 1) olarak verilen ABC üçgeninin orijin etrafında 180° dön-me altındaki görüntüsünü çiziniz.

5. Koordinatları A(-2, 2), B(-2, 1), C(0, 2) ve D(0, 1) olarak verilen ABCD dikdörtgeninin orijin et-rafında 270° dönme altındaki görüntüsünü çiziniz.

Ders kitabının 195. sayfasındaki örnekler öğrenci-lerle birlikte incelenir. Buradaki örneklerde öğrencileröteleme ile ilgili ön bilgilerini kullanabilmelidirler. Sayfa-daki örnekler öğrencilerin bireysel öğrenme farklılıklarıgöz önünde bulundurularak etkinlik formatına dönüştü-rülebilir. Bir kâğıt üzerine çizdirilecek koordinat eksenive bu eksenin ayırdığı düzlemler üzerinde örüntü blok-larında bulunan geometrik şekillerin ötelenmesi ile ça-lışmalar yapılabilir. Yine sınıfta oluşacak ortama göreyapılacak çalışmalarda grup çalışması yöntemi kullanı-labilir. Gruplardan yukarıda belirtildiği gibi çalışmalaryapmaları, yaptıkları çalışmalara ait kodları belirleyereknot etmeleri ve eş bir grup seçerek seçtikleri gruptanyaptıkları çalışmaya ait kodları belirlemeleri istenebilir.Bu tür çalışmalar ile öğrenme hem kolektif hâle getiril-miş olur hem de öğrencilerin duyuşsal özelliklerinin ge-lişimine katkı sağlanmış olur.

Ders kitabının 196. sayfasındaki örnek öğrencilerlebirlikte incelenir.

Örneklerden yararlanarak öğrencilere “Bir mimar ol-saydınız bu bilgilerden nasıl yararlanabilirdiniz?” soru-su yöneltilebilir. Böyle bir çalışma görsel, uzamsal ze-kâya sahip öğrencilerin bireysel farklılıklarının destek-lenmesi açısından yararlı olabilir.


5. Ünite


5. Ünite

Örnek: Yanda koordinat düzleminde verilen kareyi xekseninde 4 br sağa, y ekseninde de 5 br aşağıya öte-leyelim ve görüntüsünü çizelim:

Örnek:

y

0

A(2,4) B(4,4)

D(2,2) C(4,2)

y

x

A(2,4) B(4,4)

D(2,2) C(4,2)

y

0 x

A

C B

A

d

B

D C

Aı Bı

Dı

4br sağa

5br aşağıya

Cı

Aıı Bıı

Dıı Cıı

y

0 x

A(2,4) B(4,4)

D(2,2) C(4,2)

Aıı(6,-1) Bıı(8,-1)

Dıı(6,-3) Cıı(8,-3)

→

A(2,4) → Aıı(6,–1)B(4,4) → Bıı(8,–1)C(4,2) → Cıı(8,–3)D(2,2) → Dıı(6,–3)

ABCD karesi ile Aıı Bıı Cıı Dıı karesi eştir.

+4 sağa

–5 br aşağıya

Doğruya göre öteleme yaptırılırken, x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim

kadar bütün noktalar paralel ötelenir.

x ekseninde a br ötelemede; (x, y) →→ (x a, y) olur.

y ekseninde b br ötelemede (x, y) →→ (x, y b) olur."

"

a) ni önce 5 br sağa öteleyip sonra d doğrusu boyunca simetriğini alalım. Elde edilen şekiliçinde aynı işlemi devam ettirerek örüntü oluşturalım.

b) nin d doğrusuna göre önce simetriğini alalım sonra 3 br sağa öteleyelim. Elde edilen şekiliçinde aynı işlemi tekrar ettirerek örüntü oluşturalım.

ABC&

ABC&

Ötelenen şeklin yeni koordinatları;(x, y) → (x + a, y + b)(x, y) → (x + 4, y + (–5)) olur.


6. Koordinatları A(3, -4), B(2, 2), C(-1, 3) ve D(-3, -3) olarak verilen ABCD dörtgenini x ekseninde2 birim sağa ve y ekseninde 3 birim yukarıya öteleyerek dörtgenin görüntüsünü çiziniz.

7. Aşağıda verilen cümlelerdeki noktalı yerleri doldurunuz.

a) .................. ekseni etrafında 90° lik dönmelerde değişmez kalır.

b) ................. ve .......................... simetrileri dönmelerde değişmez kalır.

c) Eşkenar üçgen, ................, kare, ...................... ve düzgün sekizgen piramit, eksenleri etra-fındaki dönmelerde değişmez kalır.

ç) Küp ve dikdörtgen prizma, karşılıklı yüzlerin merkezlerinden geçen doğrular ve her bir köşe-genleri etrafındaki ....................... dönmelerde değişmez kalır.

8.Yanda verilen dikdörtgenler prizmasının

p düzlemine göre simetriğinin görüntüsünüçiziniz.

C

G

PA

B

D

E

F

H


5. Ünite

C B

d

C B

A

C

A

B C

A

B C

A

B

A

C B

A

C B

A

d

C B

A

C B

A

C B

A

C B

A

a)

b)

5br sağaöteleme

yansıma

yansıma

C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B

a ve b şıklarında da görüldü-ğü gibi iki şekildeki gösterimlerbirbirinin aynıdır.

a ve b şıklarında yapılan iş-lemler ötelemeli yansımadır.

Yandaki ABCD yamuğunu ddoğrusuna göre 8 br sağa öteleyipyansımasını çizelim: Elde edilenşekil içinde işlemi devam ettirerekoluşan örüntüyü inceleyelim.

ABCD yamuğunun ötelemeli yansıması çizilmiştir.

Ötelemeli yansımada A, B, C, D noktaları sabit kalmamıştır. Sadece d doğrusu sabit kalmıştır.

! Siz de ABCD yamuğunun önce d doğrusuna göre simetriğini alıp sonra 8 br sağa öteleyiniz. Olu-şan şekil ile yukarıda çizilen şekilleri karşılaştırınız.

Bir şeklin, bir doğru bo-

yunca yansımasından son-

ra ötelenmesi ile ötelenme-

sinden sonra yansıması

aynıdır.

Ötelemeli yansımada yansıma doğrusundan başka hiçbir nokta ve doğru sabit kalmaz.

Örnek:

D C

A B

d

D C

A B

d

D C

D C

A B

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

5br sağaöteleme

Ders kitabının 197. sayfasındaki etkinlik öğrenci-lere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin psikomotor, akılyürütme, ilişkilendirme ve iletişim becerilerini etkinkullanmaları sağlanmalıdır. Öğrencilerin iletişim be-cerilerini geliştirmek için etkinliğin grup çalışmasışeklinde yapılması önerilir. Öğrencilere yapılacakgrup çalışmalarından sonra grup değerlendirmesiyapılacağının duyurulması ve bu değerlendirmeninyapılması öğrencilerin etkinlik sırasında gösterecek-leri performansı olumlu yönde etkileyecektir. Ders ki-tabının 197. sayfasındaki örnekler öğrencilerle birlik-te incelenir. Örnekler gerek duyulması hâlinde geo-metrik cisimler takımından araç-gereçler kullandırı-larak etkinlik formatına dönüştürülebilir.

Yapılan çalışmalar sonunda öğrenciler, sayfadabulunan bilgi kutularından gerekli bilgileri, çıkarım-larda bulunarak edinebilmelidirler. Örneklerin etkinlikformatına dönüştürülmesi ya da materyal kullanarakdersin desteklenmesi öğrenmenin ezberden uzak vekalıcı olmasına katkı sağlayacaktır.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: oyun hamuru, hacimler takımı ve bı-çak (Bıçak kullanımına dikkat edilmeli.)

• Oyun hamuru ile hacimler takımından faydala-narak küp, dikdörtgenler prizması, kare piramit vekoni modellerini oluşturunuz.

• Elde ettiğiniz modelleri uygun şekilde keserek 2eş parçaya ayırınız.

� Oluşturduğunuz geometrik cisimleri kaç farklışekilde keserseniz 2 eş parçaya ayırmış olursunuz?

� Hangi geometrik cisimlerin simetrileri diğerleri-ne göre daha fazladır?

� Simetrisi olmayan geometrik cisim var mıdır?Çizerek göstermeye çalışınız.


1. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?A) Küre bir düzlemle kesildiğinde elde edilen par-

çalar simetriktir.B) Dik koni, bir düzlemle kesildiğinde elde edilen

parçalar simetriktir.C) Kare dik piramit, taban merkezinden ve tepe

noktasından geçen bir düzlemle kesildiğinde eldeedilen parçalar simetriktir.

D) Küp, bir düzlemle kesildiğinde elde edilen par-çalar simetriktir.

2. I. Dairesel silindir, ekseni etrafında her dönme-de değişmez kalır.

II. Düzgün altıgen ve düzgün sekizgen piramitlereksenleri etrafında dönmelerde değişmez kalırlar.

III. Dikdörtgenler prizması, köşegenleri etrafında180° lik dönmelerde değişmez kalır.

IV. Küp, ekseni etrafında her dönmede değişmezkalır.

Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4


5. Ünite


5. Ünite

Küp ekseni etrafında 90°° lik dönmelerde değişmez kalır.

Eşkenar üçgen dik prizma ekseni etrafındaki 120°°lik dönmelerde değişmez kalır.

• İzometrik kâğıdınıza bir küp çiziniz.• Küpün eksenini belirleyiniz.• Bu eksen etrafında küpün 90° lik dönme sonucu oluşan şeklini çiziniz.• Yeni şekil ile ilk küp modelini karşılaştırınız.� Nasıl bir sonuç elde ettiniz? Açıklayınız.• Küre modelini çapı etrafında 90°, 180° ve 270° döndürünüz.� Dönme hareketi sonucu küre modelinin biçiminde ve boyutunda bir değişiklik oldu mu? Açıklayınız.� Yaptığınız çalışmalara göre dairesel silindir hangi düzleme göre simetrik olur? Açıklayınız.

Geometrik Cisimlerin Simetrilerini Belirleyelim

izometrik kâğıt, kalem, küre modeli

Örnek: Bir küpü ekseni etrafında 90° döndürelim, oluşan şekli inceleyelim:

Örnek:

Yandaki eşkenar üçgen dik prizmayı ve eşkenarüçgen dik piramidi eksenleri etrafında döndürelim.

90° döndürelim.

120° döndürelim. 120° döndürelim.

90° döndürelim.

A

B C

F

EEE Da

a a

T

B CaA

B C

F

EEE Da

a a

B

C A

E

D Fa

a a

C

A B

D

F Ea

a a

Geometrik Cisimlerin Simetrileri


9. Aşağıda verilen geometrik cisimlerin ilgili düzlemlere göre simetrilerini çiziniz.

a)

b)

10.

1

2

y

x-1

-2

C

A

B

D

E F

P

P

-1 0-2-3-4-5-6

Yukarıda koordinat sisteminde verilen üçgenin x eksenine göre sağa doğru 1 birim ötelemeli yansı-masını 10 adım ilerletiniz.


Uygulamalar:


Çalışma kitabının 109, 110, 111, 112, 113,114 ve 115. sayfasındaki sorular çözdürülebilir.


1. Aşağıdaki şıklardan hangisinde ötelemeliyansıma vardır?

A) B)

C) D)

Değerlendirme:Öğrencilerden, koordinat düzleminde bir çok-

genin eksenlerden birine göre yansıma, herhangibir doğru boyunca öteleme ve orijin etrafındakidönme altında görüntülerini belirleyerek çizmeleribeklenir. Geometrik cisimlerin simetrilerini belirle-meleri, şekillerin ötelemeli yansımasını belirleme-leri ve inşa etmeleri istenir.



!

!


5. Ünite

109-115


5. Ünite

T

A

B C

T

B

C A

T

C

A B

Örnek: Dönel dairesel koniyi ekseni etrafında döndürelim:

Dönel (dairesel) koni ekseni etrafında her bir dönmede değişmez kalır.

Dönel dairesel koni, şekilden de görüldüğü gibi eksenine göre simetriktir. Ayrıca ekseninden geçenher bir düzleme göre de simetriktir.

Yanda kareli kâğıt zemininde verilenABCD yamuğunun;

a) x eksenine göre yansımasını,

b) y eksenine göre yansımasını,

c) Orijin etrafında 90° dönmüş hâlini,

ç) x ekseni boyunca sağa 5 br, y ekse-ni boyunca yukarıya 2 br ötelenmişhâlini çiziniz.

Noktalı kâğıt zemininde ve-rilen ABCD paralelkenarının d doğrusu boyunca 7 br sağaötelemeli yansımasını çiziniz.

T

BA BA BA

T T

90° döndürelim.

120° döndürelim. 120° döndürelim.

eksen

180° döndürelim.

ALIŞTIRMALAR

1) Dairesel silindiri eksen etrafında 90°, 180° döndürünüz. Oluşan şekilleri kâğıda çiziniz. Daireselsilindir hangi düzleme göre simetriktir? Çizerek belirleyiniz.

2)

3)

0x

yA(-3,4)

A

D Cd

B

D(-4,2)

B(-2,4)

C(-1,2)

4

2

-1-3 -2-4

Eşkenar üçgen dik prizma ekseni etrafındaki 120° dönmelerde değişmez kalır.


x

y

mc) �

�

kç)

14.Yanda koordinat sistemi üzerinde

verilen dik üçgenin y eksenine göreaşağıya doğru 2 birim ötelemeliyansımasını 4 adım ilerletiniz.

15.Yanda koordinat düzleminde veri-

len AOB üçgensel bölgesini orijin et-rafında;

a) 90°,

b) 180°,

c) 270° döndürerek yeni oluşanşekilleri çiziniz. Yeni üçgensel bölge-lerin köşe noktalarının koordinatlarınıbelirleyiniz.

6

4

2

21-2 -1 0

A(2,0)

B(4,0)0

y

x


11. Bir şeklin bir doğruya göre ötelemeli yansıması ile yansıdıktan sonra ötelenmesi arasındaki iliş-kiyi açıklayınız.

12.

13. Verilen şekillerin doğrulara göre ötelemeli yansımalarını sekizer adım ilerletiniz.

Yanda koordinat sistemi üzerin-de verilen dikdörtgenin y ekseninegöre aşağıya doğru 1 birim ötele-meli yansımasını 8 adım ilerletiniz.

6

5

4

2-2-4 4x

y

0

da)

��

��

lb) P

P

ç. Araştırmada verilerin kimlerden veya hangi kuruluşlardan elde edildiğinin söylenmesi

Süre : 2 Ders saati Öğrenme Alanı : Geometri Alt Öğrenme Alanı : İz Düşümü Kazanımlar:1. Bir küpün, bir prizmanın belli bir mesafeden

görünümünün perspektif çizimini yapar. Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme Yöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-

me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: kâğıt, kalem, cetvelÖn Kazanımlar: 2. Yüzlerinin farklı yönlerden

görünümlerine ait çizimleri verilen yapıları, birimküplerle oluşturur ve izometrik kâğıda çizer.

Zorunlu Program Uyarıları [!] “Kaybolunan nokta” ve “kaybolunan doğru”

kavramları sırasıyla; tren yolu raylarının kesişiyor-muş gibi oldukları nokta ve rayların kendileri mo-del alınarak verilebilir.

[!] Cismin ön yüzünün perspektif çiziminin ya-pıldığı kâğıdın düzlemine paralel olması, cisminön yüzü ile taban yüzlerinden biri hariç diğer hiç-bir yüzün görülmemesi anlamındadır.

[!] Çizim düzlemine paralel olan yatay ve di-key doğruların, kaybolunan noktaya çizilmedikle-rine dikkat edilir.

[!] Küp veya prizma modeli kutusunun ön yü-zü, resmin (çizginin) düzlemine paralel olan pers-pektif çiziminin tipine “bir nokta perspektifi” denil-diği belirtilir.

[!] Çizim-kutu sağdan veya soldan gözlendi-ğinde kaybolunan nokta sırayla ufuk çizgisininüzerinde, sağda ve soldadır. Bu durum, cisme alt-tan veya üstten bakıldığında değişmez.

[!] “C” etkinliğindeki perspektif çiziminde ikikaybolunan nokta bulunduğundan bu tekniğe “ikinokta perspektifi” denildiği belirtilir. (C Etkinliği: İkinokta perspektif çizimi)

C. Eğer kutunun ön yüzü, resmin (çizimin)düzlemine paralel değilse kutunun aynı köşedenkesişen üç yüzünün (ön yüz, sağ veya sol yanyüz, alt veya üst taban yüzü) görünmesi söz ko-nusudur. Bu durumda kutunun en öndeki kısmı,sağ ve sol yüzlerinin kesiştiği dikey ayrıtıdır. Kutu-nun perspektif çizimi, aşağıdaki akış şemasıylagerçekleştirilir:

1. adım: En önde görünen kutunun ayrıtı içindikey bir doğru çizdirilir. Bu doğrunun yukarısındaveya aşağısında bir yatay doğru çizdirilip üzerin-de iki kaybolunan nokta seçtirilir.

2. adım: Dikey doğru parçasının uçları, her ikikaybolunan noktaya kaybolunan doğrular ile bir-leştirilir.

3. adım: Kutunun genişliği ve uzunluğu içinher iki kaybolunan noktaya, kaybolunan doğrulararasına dikey doğru parçaları çizdirilir.

4. adım: Kutunun arka tarafını belirleyen yokolunan doğrular çizdirilir.

5. adım: Gereksiz çizgiler sildirilerek çizim ta-mamlanır.


5. Ünite


5. Ünite

PERSPEKTİF

Şirketler reklam yapmak, kendilerini tanıtmakiçin tabelalara şirket isimlerini yazarlar. Tabelalar-daki yazıları çeşitli karakterde yazarak ilginç hâlegetirirler. Böylece insanların şirketlerin ismini lo-golar ve yazı karakterleriyle daha kolay hatırla-maları sağlanır.

� Yanda verilen resimde reklam için harf verakamların değişik perspektif görünümleri veril-miştir. Bundan yararlanarak prizmaların perspek-tif görünümleri hakkında neler söyleyebilirsiniz?

• Okulunuzun koridorlarından birinin başında durunuz.

� Buradan koridorun bittiği yere doğru bakınız.

• Koridorun kenarları uzağa gittikçe nasıl gözükmektedir?

• Sınıfınıza geçip kâğıda koridorun gördüğünüz şeklini çiziniz.

• Koridorun sonuna bir çizgi çiziniz.

• Bu çizgiyi 4 eş parçaya ayırınız.

• Koridorda durduğunuz yeri temsil eden bölüme de bir çizgi çiziniz.

• Bu çizgiyi de 4 eş parçaya ayırınız.

• Eş parçaların karşılıklı noktalarını birleştiriniz.

� Elde ettiğiniz doğru parçalarının birbirine göre durumları nasıldır? Bu doğru parçalarının uç nokta-larına bakıldığında başlangıç noktaları arasındaki mesafeye göre doğru parçaları neden birbirinedaha yakın görünmektedir?

• Koridorun başlangıç noktasından 5 m ilerisine düz şekilde bir koli yerleştiriniz.

� Koridorun sonuna doğru bakıldığında bu kolinin görüntüsü nasıl olur? Açıklayınız.

• Şimdi de koliyi koridorun başlangıç noktasından 10 m ileriye yerleştiriniz.

� Koliye baktığınızda kolinin görüntüsü nasıl olmaktadır? Açıklayınız.

• Koliyi koridorun başlangıcından 5 m ileriye çapraz olarak yerleştiriniz.

� Koliye koridorun başından sonuna doğru düz bir çizgi boyunca baktığınızda kolinin görüntüsü na-sıl olur? Açıklayınız.

Yapıların Perspektiflerini Çizelim

kâğıt, kalem

Dikkat Çekme ve Motivasyon Öğrencilere bir yapının ya da bir aracın uzaktan

ve yakından çekilmiş fotoğrafları sınıfın imkânlarıdoğrultusunda gösterilir ya da tepegöz, slayt maki-nesi vb. yansıtıcılarla yansıtılır. İki görüntü arasında-ki farkları ve benzerlikleri açıklamaları istenir. Cevap-ları dinlendikten sonra öğrencilere “Perspektif sözcü-ğü size ne çağrıştırıyor?” sorusu yöneltilir. Öğrencile-rin cevapları dinlenir. Cevaplarını not etmeleri istenir.Cevaplar hakkında yorum yapılmaz. Dersin işlenişin-den sonra aynı soru tekrar öğrencilere yöneltilir vecevaplarını not etmeleri istenir. Verdikleri cevaplarıkarşılaştırarak kendilerindeki gelişmeyi görüp değer-lendirmeleri istenir. Ders kitabının 199. sayfasındakifotoğrafla ilgili görsel okuma ve görsel sunu yaptırılır.Fotoğrafa ait metin öğrencilere okutulur, metne aitsoru öğrencilere sorulur. Sorulara verilen cevaplar-dan yararlanarak öğrenciler etkinliğe yöneltilir.

Öğrenme-Öğretme Süreci Ders kitabının 199. sayfasındaki etkinlik öğrenci-

lere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin iletişim, ilişkilen-dirme, akıl yürütme ve psikomotor becerilerini etkinkullanmaları sağlanmalıdır.

Öğrencilerden öğretmen masasının üzerine ko-nulacak bir nesnenin bulundukları açıdan görünü-münü çizmeleri istenir. Daha sonra nelere dikkat et-tiklerini açıklayarak çizimlerini sınıfta sunmaları iste-nebilir. Bu çalışma öğrencilerin perspektif görünümile ilgili günlük yaşamdan elde ettikleri birikimleri açı-ğa çıkarabilir. Daha sonra ders kitabının 200 ve 201.sayfalarındaki örnekler öğrencilerle birlikte incelenir.Öğrencilerden matematik ve perspektif ile ilgili her-hangi bir formal bilgi edinmeden önceki çalışmalarıile örnekleri karşılaştırmaları istenebilir. Buradaki ör-nekler öğrencilerin günlük yaşamlarında sıkça karşı-laştıkları örneklerden seçilmiştir. Öğrencilere günlükyaşamlarından başka örnekler verip veremeyecekle-ri sorulur. Konunun günlük yaşamla ilişkilendirilmesive günlük yaşamdan örneklerin bulunması derse il-ginin yoğunlaşmasına kolaylık sağlayacaktır. Bu ko-nuda görsel, uzamsal zekâya sahip öğrencilerin önplana çıkması olağan bir durum olabilir. Bu zekâ tü-rüne sahip öğrencilerden performanslarını ortayakoyabilecekleri çalışmalar yapmaları istenebilir. Butür çalışmalar öğrencilerin duyuşsal özelliklerinin ge-lişimine önemli katkılar sağlayabilir. Ayrıca tüm öğ-rencilerden bir araştırma yapmaları istenebilir. Pers-pektif görünümün hangi meslek dallarında nasıl kul-lanıldığını araştırmaları istenebilir. “Marangozlar, ta-sarımcılar, mühendisler ve mimarlar; moda, inşaatve otomotiv gibi sektörlerde perspektifi nasıl kullan-maktadır?” sorusu öğrencileri yönlendirmeye katkısağlayabilir. Ayrıca sözel-dilsel zekâya sahip öğren-cilere “Bir fakültede öğretim üyesi olduğunuzu düşü-nün. Genç mühendis adayı olan öğrencilere pers-pektif görünüm ile ilgili kısa bir bilgi vermek istiyorsu-nuz.Vereceğiniz kısa ön bilgi ne olurdu?” sorusu yö-neltilerek bu öğrencilerin performanslarını gösterme-lerine olanak sağlanabilir.


5. Ünite


5. Ünite

Örnek:

Örnek: Yandaki kutunun perspektif görünümünü çizelim:

Yukarıdaki fotoğrafların birincisinde kırmızı renk ile belirtilen doğru ufuk çizgisidir. Geminin ufukçizgisine yakın olan kısmı daha küçük görünürken ufuk çizgisine uzak olan kısmı daha büyük görün-mektedir. Ufuk çizgisine yaklaşmaktadır. Dolayısıyla geminin ön kısmı büyük, arka kısmı küçük görün-mektedir.

İkinci fotoğrafta ise tren rayları birbirine paralel olmasına rağmen uzağa gidildikçe kesişiyormuş gi-bi görünmektedir.

Tren rayları “kaybolunan doğru” kavramına, rayların kesişiyormuş gibi oldukları nokta da “kaybolu-nan nokta” kavramına örnektir.

Cismin ön yüzü olandikdörtgeni çizelim. Bu dik-dörtgenin alt ve üst taban-larına paralel bir yataydoğru çizelim. Dikdörtge-nin tabanının tam ortasınınhizasında bir noktayı doğ-runun üzerinde (kaybolu-nan nokta) belirleyelim.


Dikdörtgenin köşelerin-den kaybolunan noktayadoğrular (kaybolunan doğ-rular) çizelim. Bu doğrularismini, cismin kaybolunannoktaya doğru küçülmesin-den alır.

Cismin arkasında taba-na paralel olan ayrıtınıoluşturmak için yatay doğ-ruya paralel ve kaybolunandoğruları kesecek biçimdebir doğru parçası çizelim.

d d d


5. Ünite

Örnek: Yandaki kutunun fotoğrafına bu sefer sağ üst taraftan baka-lım ve cismin perspektif çizimini bu şekilde yapalım:

4. adım

Prizmanın arkada saklıduran diğer dikey ve yataydoğru parçalarını da çize-lim.

1. adım 2. adım

Cismin ön yüzü olan dik-dörtgeni çizelim. Bu dikdört-genin alt ve üst tabanlarınaparalel bir yatay doğru çize-lim. Bu çizimde kutuya sağ-dan ve üstten bakılmaktadır.Bu yüzden ufuk çizgisi çizim-den yüksekte ve kaybolunannokta sağda işaretlenmiştir.

Cismin köşelerinden kay-bolunan noktaya kaybolunandoğrular çizelim.

Kaybolunan doğruların faz-lalıklarını ve d doğrusunu sile-lim. Bu şekilde istenilen kutu-nun önden görünümünün pers-pektifi çizilmiş olur.

5. adım

Cismin ön yüzünün perspektif çiziminin yapıldığı kâğıdın düzlemine paralel olması, cismin ön

yüzü ile taban yüzlerinden biri hariç diğer hiçbir yüzünün görülmemesi anlamındadır.

Çizim düzlemine paralel olan yatay ve dikey doğrular, kaybolunan noktaya çizilmez.

d d

d

ALIŞTIRMALAR

1) Bir küp modeline önden, sağ alttan ve iki nokta perspektifi tekniğineuygun bakarak bu küpün perspektif çizimlerini yapınız.

2) Okulunuzun önden görünümünü çiziniz.

3)

Verilen kibrit kutularının perspektif görünümlerini çiziniz.


a) ( ) Küp veya prizma modeli kutusunun ön yüzü resmin düzlemine paralel olan perspektif çi-

zim tipi iki nokta perspektifidir.

b) ( ) Çizim düzlemine paralel olan yatay ve dikey doğrular koybolunan noktaya çizilmez.


5. Ünite

İki kaybolunan noktada bulunan teknik “iki nokta perspektifi” dir.

4. adım

Kutunun arka tarafını be-lirleyen yok olunan doğrularçizelim.

5. adım

Gereksiz çizgiler silinerekistenilen kutunun perspektifçizimi tamamlanmış olur.

116

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: cetvel• Öğretmen masasını sınıf tahtasının önüne

çekiniz.• Her öğrenci bulunduğu yerden öğretmen ma-

sasına baksın.� Hangi öğrenciler öğretmen masasını önden

ve üstten, hangi öğrenciler ise öğretmen masası-nı önden, yandan ve üstten görmekte olduğunubelirlesin.

• Sınıftaki herkes öğretmen masasının ön yü-zünü kâğıtlarına çizsin.

• Öğretmen masasının ön yüzünden ileride birufuk çizgisi ve bu ufuk çizgisi üzerinde kaybolu-nan nokta belirleyiniz.

• Öğretmen masasının ön yüzünün köşegenle-rinden kaybolunan noktaya uzanan kaybolunandoğrular çiziniz.

• Kaybolunan doğrulardan yararlanarak öğret-men masasının üst yüzünü belirleyiniz.

• Ufuk çizgisini, kaybolunan noktayı ve kaybo-lunan doğrulardan fazlalıkları siliniz.

� Çizmiş olduğunuz cisim, öğretmen masası-nın hangi şekildeki görünümüdür? Açıklayınız.


Sayfalardaki bilgi kutularına dikkat çekilir.


5. Ünite


5. Ünite

3. adım

1. adım

Kutunun arkasında tabanaparalel olan ayrıtını oluşturmakiçin yatay doğruyu paralel ve 3kaybolunan doğruyu kesecekşekilde bir doğru parçası çizelim.

En önde görünen kutununayrıtı için dikey bir doğru par-çası çizelim. Bu doğru parça-sının yukarısında bir yataydoğru çizip üzerinde iki tanekaybolunan nokta seçelim.

Arkada saklı duran diğerdikey ve yatay doğru parçala-rını çizelim.

Kaybolunan doğrularınfazlalıklarını ve d doğrusunusilince istenilen cismin sağüstten perspektif çizimi ta-mamlanmış olur.

4. adım 5. adım

Küp veya prizma modeli kutusunun ön yüzü, resmin (çizginin) düzlemine paralel olan pers-

pektif, çizim tipi “bir nokta perspektifi”dir.

Çizim-kutu sağdan veya soldan gözlendiğinde kaybolunan nokta sırayla ufuk çizgisinin üze-

rinde, sağda veya soldadır. Bu durum cisme alttan veya üstten bakıldığında değişmez.

Örnek: Yandaki kutunun fotoğrafının perspektif çizimini yapalım:

Bu fotoğrafta kutunun ön yüzü resmin (çizimin) düzlemine paralel değildir.Kutunun aynı köşeden kesişen üç yüzü (ön yüz, sağ ve sol yan yüz) görünmek-tedir. Bu durumda kutunun en öndeki kısmı sağ ve sol yüzlerinin kesiştiği dikeyayrıtıdır. Kutunun perspektif çizimini yapalım.

2. adım

Dikey doğru parçasının uçnoktalarından her iki kaybolu-nan noktaya kaybolunan doğ-rular çizelim.

3. adım

Kutunun genişliği ve uzunlu-ğu için her iki kaybolunan nok-tayla kaybolunan doğrular ara-sına doğru parçaları çizelim.

d

d d d

d


1. Aşağıda verilen geometrik cisimlerin genel görünümlerinin perspektif çizimlerini yapınız. Çİzim-lerinizi adım adım anlatınız.

a) Küp b) Dikdörtgenler prizması

c) Üçgen dik prizma ç) Beşgen dik prizma

PERSPEKTİF

d. Araştırma boyunca kullanılan tekniklerin neler olduğunun açıklanması


5. Ünite


5. Ünite


1) Çok küplüler takımından yararlanarak kodu ZL1 olan bir yapı oluşturunuz. Bu yapıyı izometrikkâğıda çiziniz.

2) Aşağıdaki şıklarda verilen ifadelerden doğru olanların başına “D”, yanlış olanların başına “Y” ya-zınız.

a) ( ) Prizmaların bir düzlemle ara kesitinde oluşan yeni şekillerin ne olduğunu anlayabilmek için

şekillerin ayrıt sayısına bakılır.

b) ( ) Dik koni tabana paralel bir düzlemle kesilirse ara kesit bölgesi daire olur.

c) ( ) Çok yüzlülerin yüzleri birer dörtgensel bölgedir.

ç) ( ) Bütün yüzleri ve ayrıtları eş olan çok yüzlülere düzgün çok yüzlü denir.

3)

4) Aşağıda verilen boşlukları uygun kelimelerle tamamlayınız.

a) Fraktallar bir şeklin ...................... olarak büyütülmesi veya küçültülmesi ile elde edilir.

b) (x, y) sıralı ikilisinin koordinat düzleminde y eksenine göre yansımasının koordinatları ............ olur.

c) (x, y) sıralı ikilisi orijin etrafında 270° lik dönme yaptığında yeni noktanın koordinatları ........... olur.

ç) Eşkenar üçgen dik prizma ekseni etrafında ...................... dönmelerde değişmez kalır.

d) Dönel koni .............. etrafında her bir dönmede değişmez kalır.

5)

Y

DY

D

orantılı

(-x, y)

(y, -x)120° lik

ekseni

Fraktaldır.

6) Sıranızı uygun şekilde yerleştirerek sıranızın perspektif görünümünü;

a) İki nokta perspektifini,

b) Bir nokta perspektifini kullanarak çiziniz.

Yanda verilen örüntü bir fraktal mıdır?Sebepleri ile açıklayınız.

d

Yanda verilen şekli d doğrusuna göre;

a) 5 br sola öteleyip yansımasını alınız.

b) Şeklin önce yansımasını alıp sonra 5 br sola öteleyiniz.

c) Oluşan şekilleri karşılaştırınız.


5. Ünite

GAUSS

Fakir bir Alman ailenin çocuğu olan ve “Matematiğin Prensi” olarak anı-lan Gauss (1777 - 1855)’un dehası çok erken yaşlarda kendini göstermiştir.konuşmayı öğrenmeden önce toplama ve çıkarma yapmayı öğrenmiştir.

Güç koşullar altında sürdürdüğü eğitimini, 14 yaşındayken ailesinin sağ-ladığı destekle güvence altına alabilmiştir. 16 yaşında “Eukleides (Öklit)Geometrisi’’nin alternatifi olacak yeni bir geometri tasarlamış ve 18 yaşın-dayken Lagrange (Larınç) ve Newton (Nivton)’un eserlerini incelemiştir.

Üniversitede öğrenciyken sadece pergel ve cetvel kullanarak 17 kenarlıdüzgün bir çokgenin çizilmesi metodunu bulmuştur. Bu buluşundan çok mut-lu olmuş ve mezarının üzerine bu çokgenin oyulmasını istemiştir. Archime-

des (Arşimet) tarafından başlatılan bu geleneğin birçok matematikçiyi etkilediği anlaşılmaktadır.

Sayılar teorisi üzerine yazmış olduğu ilk büyük eseri “Disguistiones Arithmeticae” (Aritmetik Araştır-maları) ona şimdiki ününü kazandırmıştır. Eseri okuyan Lagrange, Gauss’a şunları yazmıştır. “Eserinizsizi bir anda birinci sınıf matematikçiler arasına yükseltmiştir. Uzun zamandan beri yapılmış en güzelanalitik keşfi ihtiva eden son bölümü çok önemli kabul ediyorum.”

Gauss’un bu yapıtı modern sayılar teorisine temel olmuştur. Ona göre, sayılar teorisi çok önemli-dir: “Matematik, bilimlerin kraliçesi olduğu gibi, sayılar teorisi de matematiğin kraliçesidir.” Yeni yüzyılınilk gününde (1 Ocak 1801) Ceres adı verilen gezegenciğin bulunması, Gauss’un astronomiye ilgisiniuyandırmıştır; az sayıda gözlemden yararlanarak bu gezegenciğin yörüngesini hesaplama sorununu,Gauss, 8. dereceden bir denklem yardımıyla çözmüştür.

1802’de bulunan diğer bir gezegencik olan Pallas ile de ilgilenmiştir. İkinci eseri, bu iki gezegenci-ğin hareketleriyle ilgilidir. 1821 yılında Gauss, resmî bir jeodezi araştırmasına bilim danışmanı olmuşve bu görevi ona yüzeyler ve haritacılıkla ilgili yeni teoriler ilham etmiştir.

Yıllar geçtikçe Gauss’un ilgisi matematiksel fiziğe ve karmaşık geometri araştırmalarına yönelmiş-tir. Bu dönemde yerin manyetik alanı üzerinde deneysel çalışmalar yapmış ve uzaklığın karesiyle tersorantılı olarak etkileyen kuvvetler kuramını ileri sürmüştür.

1833 yılında Waber ile birlikte bir elektrik telgrafı kurmuş ve bununla düzenli mesajlar göndermiştir.Onun elektromanyetizma ile ilgili araştırmaları 19. yüzyılda fizik biliminin gelişmesine büyük katkı sağ-lamıştır.

Günlüklerinin ve mektuplarının ortaya çıkması, bazı önemli düşüncelerini kendisine saklamış oldu-ğunu göstermiştir. Bu belgelerden, Gauss’un 1800 gibi erken bir tarihte, eliptik fonksiyonları keşfetmişolduğu ve 1816’da Eukleides-dışı geometriyi bildiği anlaşılmaktadır. Eukleidesçi uzay kavramının apio-ri (önsel) olduğunu savunan Kant’ın görüşünden kuşkulanmış ve uzayın gerçek geometrisinin ancakdeneyle bulunabileceğini düşünmüştür.

Gauss sadece bilimsel konularla ilgilenmemiştir; Avrupa edebiyatı, Yunan ve Roma klasikleri, dün-ya politikası, botanik ve mineroloji gibi konular da ilgi alanına girmektedir. Ana dili Almanca ile birlikte,Latince, İngilizce, Danimarkaca ve Fransızca okuyabildiği ve yazabildiği bilinmektedir; 62 yaşında budillere Rusçayı da eklemeye karar vermiş ve iki yıl içinde bu dili de öğrenmiştir.

tr.wikipedia.org


5. Ünite

8)

9) Bir koninin içerisene en büyük hacimli küre şeklinde bir cisim yerleştirilip koni eksenine paralelolacak şekilde kesiliyor. Oluşan kesik şeklin görünümünü kâğıda çiziniz.

10) Aşağıda A sütununda verilen noktaları yönergelere uygun olarak B sütunundakiler ile eşleştiriniz.

7)

0x

y

Yanda verilen düzgün altıgen şeklinin;

a) x eksenine göre yansımasını,

b) y eksenine göre yansımasını ötelenmişini çizi-niz.

Yanda verilen örüntünün fraktal olup olmadığınısebepleriyle açıklayınız.

B

(3,3)

(4,3)

(7,0)

(2,1)

(-7,0)

(-1,-2)

(3,-7)

(-4,3)

A

(0,7) 90° lik dönmede

(1,2) 180° lik dönmede

(-3,4) 270° lik dönmede

(3,-2) y eksenine göre 5 birim yukarı öteleme-si ile

Fraktal değildir. Eş karelerle oluşmuştur.

Uygulamalar

Ders kitabının 203. sayfasındaki alıştır-malar öğrencilere yaptırılır.

Çalışma kitabının 116. sayfasındaki soru-lar çözdürülebilir.

Bireysel Etkinlik Sorusu

Bir kolinin;a) İki nokta perspektifine,b) Bir nokta perspektifine uygun olarak çizimi-

ni yapınız.Değerlendirme

Öğrencilerden, bir küpün, bir prizmanın bellibir mesafeden görünümünün perspektif çiziminiyapmaları beklenir.

Ders ve çalışma kitabındaki soruların cevap-ları kontrol edilir.

Yapılan çalışmalarla ilgili olarak “Genel Öğ-renci İzleme Formu” doldurulabilir.

Ders kitabının 204 ve 205. sayfasındaki “Üni-te Değerlendirme Soruları” öğrencilere yaptırılır.

Ders kitabının 206. sayfasındaki Gauss hak-kındaki bilgi öğrencilerle paylaşılır.


!

!


6. Ünite

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

NOTLARIM

Süre : 4 Ders saati Öğrenme Alanı : Olasılık ve İstatistikAlt Öğrenme Alanı : Olası Durumları Belir-

leme Kazanımlar: 1. Kombinasyon kavramını açık-

lar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyonarasındaki farkı açıklar.


me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: kâğıt, kalem, silgi, kalemtraş, kır-

mızı kalem, kurşun kalemÖn Kazanımlar: Olası Durumları Belirleme

1. Permütasyon kavramını açıklar ve hesaplar. Zorunlu Program Uyarıları [!] Gerçek yaşam olaylarına da yer verilmeli-

dir.[!] Sıralanışın permütasyonda önemli, kombi-

nasyonda ise önemsiz olduğu belirtilir. Dikkat Çekme ve Motivasyon Öğrencilere “Bir geziyi organize etmekle gö-

revli olduğunuzu varsayın. Gezi 45 kişilik bir oto-büs ile yapılacak. Bu organizasyonda boş koltukkalmayacak şekilde katılım var. Otobüse binecek-lerin yerlerini belirleme görevi size verildi. 45 kişi-yi otobüste kaç farklı şekilde oturtacağınızı nasılbelirleyebilirsiniz? Bu sorunu çözmek için mate-matikten nasıl yararlanabilirsiniz?” sorusu yönelti-lebilir.

Öğrencilerden ders kitabının 208. sayfasında-ki fotoğrafla ilgili görsel okuma ve görsel sunuyapmaları istenir. Fotoğrafa ait metin öğrencilereokutulur. Metnin sonundaki soru öğrencilere yö-neltilerek öğrencilerin cevapları dinlenir. Verilencevaplardan yararlanarak öğrenciler etkinliğeyönlendirilir.


rencilere yaptırılır. Öğrenciler etkinlik sırasındaakıl yürütme, iletişim ve ilişkilendirme becerileri-ni etkin kullanabilmelidirler.

Konu, doğası gereği günlük yaşamda sıkçakarşılaşılan ve gerek önceki yıllarda edindikleri

bilgiler gerekse yaşamdan edindikleri birikimlernedeniyle öğrencilerin günlük yaşamla kolay ilişki-lendirme yapabilecekleri bir konudur. Sınıfta oluş-turulacak öğrenme ortamlarında öğrencilere yö-neltilecek yönlendirici sorularla öğrencilerin gün-lük yaşamlarından örnekler vermeleri sağlanmalı-dır. Örneğin, “Bir kitaplığınız var ve bu kitaplıktaaynı ebatlarda kitaplarınız var. Bu kitapları kaçdeğişik şekilde raflara dizebilirsiniz? Üçerli grupla-malar oluşturmak için ne yapmalısınız?” gibi soru-lar yönlendirici olabilir.


6. Ünite


6. Ünite

KOMBİNASYON

Futbol günümüzde en popüler spor hâlinegelmiş ve en fazla seyirci toplayan oyun ol-muştur. Türkiye süper liginde 18 takım oyna-maktadır. Bu takımlar her yıl karşılıklı 34 maçyapar. 34 maç sonunda en yüksek puanı top-layan takım şampiyon olurken en az puantoplayan 3 takım ise bir alt lige düşer.

� Türkiye süper liginde küme düşecekolan takımlar kaç farklı şekilde seçilebilir?

• 4 arkadaşınız yan yana dizilsin (4 arkadaşınızı bir kümenin elemanları olarak düşününüz).

� Bu kümenin 1 elemanlı kaç alt kümesi olur? Sırada dizilerek gösteriniz.

� İki elemanlı kaç alt kümesi vardır?

� Üç elemanlı kaç alt kümesi vardır?

� Dört elemanlı kaç alt kümesi vardır?

• 5. arkadaşınızdan bu dizilişleri küme olarak göstermesini isteyiniz.

� Bu kümenin üç elemanlı alt kümelerini göstermek için seçme mi, sıralama mı yapmalıyız? Açıkla-yınız.

� Arkadaşlarınızın diziliş sayılarını sadece permütasyon kullanarak bulabilir misiniz (Örneğin P(4,3)gibi)?

• P(4,3) elde ettikten sonra bu sayıyı 3 elemanlı alt kümeleri temsil etmek üzere 3! sayısına bölünüz.

� 4 arkadaşınızın 3’lü dizilişlerinin sayısı ile bulduğunuz bu sayı arasında nasıl bir ilişki vardır? Açık-layınız.

� Yaptığınız işlemler sonucunda permütasyon ile arkadaşlarınızın dizilişleri arasında nasıl bir fark ol-duğunu açıklayınız.

Olası Durumları Belirleme

kâğıt, kalem

Ders kitabının 209 ve 210. sayfalarındaki ör-nekler öğrencilerle birlikte incelenir. Konu sporlailişkilendirilebilir. Öğrencilerin merak ve ilgilerinegöre değişik spor dallarından örnekler verilebilir.Örneğin, futbol, basketbol, voleybol, hentbol lig-lerinde bulunan takım sayılarından yararlanarakbu takımların birbirleriyle yapacakları karşılaşma-ların fikstürünün belirlenmesi gibi çalışmalar yap-tırılabilir. Yine aynı şekilde resmî bayram törenle-rine katılacak okulların tören alanlarında dizilişle-ri, sinema, tiyatro vb. yerlerde kişilerin ya da grup-ların dizilişleri, belli sayıda kişi arasından belli sa-yılara sahip takım oluşturmaları gibi örnekler dü-zenlenebilir. Yine yönlendirici sorular sorularaköğrencilerden benzer örnekler düzenlemeleri iste-nebilir.

Sayfadaki örneklerin öğrencilerin bireysel öğ-renme farklılıkları ve farklı zekâ tipleri göz önündebulundurularak düzenlendiği dikkatten kaçırılma-malıdır. Dolayısıyla gerek duyulduğu takdirdesayfalarda bulunan örnekler etkinlik formatına dö-nüştürülebilir. Öğrencilerden örnekleri modellerleaçıklamaları istenebilir.


6. Ünite


6. Ünite

Örnek: Necla’nın tabağında her birinden birer tane olmak üzere elma, armut, şeftali ve kayısı vardır.

a) Necla bu meyvelerden 3 tanesini sıra ile yemek istiyor.Necla meyveleri kaç değişik sırada yiyebilir?

b) Necla bu meyvelerden üçünü sıra gözetmeksizin seçipyemek istiyor. Necla bu meyvelerin üçünü kaç değişik şekil-de seçip yiyebilir? Bulalım:

a) Necla’nın 4 meyve arasından 3 tanesini kaç farklı sıra-da yiyebileceğini bulmak için kutulama yöntemini kullanalım:

3 meyve için 3 kutu çizelim:

Bu durumda;

4$3$2 = 24 değişik sırada bu 4 meyvenin üçünü yiyebilir. Bu işlemde sıralama yapılacağındanP(4,3) şeklinde de bulunabilir.

şeklinde de elde edilebilir.

b) Necla bu meyvelerden üçünü sıra gözetmeden yiyeceği için bu soruda sıralama önemli değildir. 4meyveden üçünü yiyeceği için seçim önemlidir. Bu yüzden permütasyon değil kombinasyon kullanılmalıdır.

,!

!!!P 4 3

4 34

14 1 2 3 4 24=

-= = =$ $ $^

]h

g

r, n ∈∈ N ve r G n olmak üzere n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her bi-

rine A kümesinin r’li kombinasyonu denir.

n elemanlı kümenin r’li kombinasyonlarının sayısı; sembollerinden biriyle gös-

terilir.

şeklinde elde edilir. ,! !

!C n rn

r n r rn

= =-

^ e]

h og

, ,C n rn

r^ eh o

4 3 2

1. meyveyi yerken Nec-la’nın 4 seçeneği vardır.

1 meyve yediğinden 2.meyveyi yerken 3 seçeneğivardır.

Necla 2 meyve yediği içinyiyebileceği 2 meyve kalmış-tır. Yani 2 seçeneği vardır.

O hâlde Necla’nın yiyeceği meyvelerin sayısı 4 olduğundan n = 4 ve 3 meyve seçip yiyeceği içinr = 3 olur.

olarak bulunur. , ! 3!3!

! !!

!!C 4 3 3

44

3 4 3 34

14 4= =

-= = =

$

$^ e]

h og


PERMÜTASYON ve KOMBİNASYON

1. Bir okulda masa tenisi takımındaki 6 oyuncudan 3’ü turnuvada oynayacaktır. Bu 3 kişi kaç fark-

lı şekilde seçilebilir?

2. 8 kişilik bir topluluktan 6 kişilik bir ekip seçilecektir. Seçilecek 2 kişi belli olduğuna göre geriye

kalan elemanlar kaç farklı biçimde seçilebilir?

3. Bir spor kafilesinde ikisi kaleci toplam 15 futbolcu vardır. Bu futbolculardan kaç farklı futbol ta-

kımı kurulabilir?

e. Araştırma boyunca hangi zorluklarla karşılaşıldığının açıklanması


4. 10 kişilik okul kurulundan 6 kişilik yönetim kurulu oluşturulacaktır. Yönetim kuruluna girecek 3kişi belli olduğuna göre yönetim kurulu kaç değişik şekilde oluşturulabilir?

A) 210 B) 120 C) 35 D) 20

5. 4 doktor, 3 hemşire arasından 2 doktor, 1 hemşireden oluşan 3 kişilik ekip kaç farklı şekilde se-çilebilir?

A) 35 B) 21 C) 18 D) 9

6. 5 seçmeli dersin 3 tanesini seçecek olan bir öğrenci seçimini kaç farklı biçimde yapabilir?

Ders kitabının 211. sayfasındaki örnekler öğ-rencilerle birlikte incelenir. Sayfadaki örnekler zo-runlu program uyarıları doğrultusunda günlük ya-şamdan seçilmiştir. Ayrıca öğrencilere “Sizce buhesaplamalardan nerelerde yararlanılıyor olabilir?Eğer bir bilgisayar oyunu tasarlayacak olsaydınızbu bilgilerden nasıl yararlanırdınız?” gibi yönlendi-rici sorular sorulabilir. Sayfadaki son örnekten ya-rarlanarak öğrencilerin geometri bilgileri ile ilişki-lendirme yapmaları sağlanabilir. Bu örnek mantık-sal-matematiksel zekâya sahip öğrenciler için dü-zenlenmiştir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: silgi, kalemtraş, kırmızı kalem,kurşun kalem

• Silgi, kalemtraş, kırmızı kalem ve kurşunkalem yan yana farklı şekillerde diziniz.

• Silgi, kalemtraş, kırmızı kalem ve kurşunkalem birer birer kaç farklı şekilde dizilebileceğinibelirleyiniz.

• Aynı şekilde silgi, kalemtraş, kırmızı kalemve kurşun kalem ikişer, üçer ve dörder kaç farklışekilde dizilebileceğini belirleyiniz.


6. Ünite

A


6. Ünite

Örnek: E, L, A, Z, I, Ğ noktaları aynı düzlemde ve herhangi üçü bir doğru üzerinde olmayan nokta-lardır. Köşeleri bu noktalar üzerinde olan üçgenlerin kaçında E noktası köşe olur? Bulalım:

Çizilecek üçgenlerin bir köşesi E noktası olacaktır. Diğer iki köşe, kalan 5 nokta arasından;

farklı şekilde seçilebilir. Buna göre bir köşesi E noktası

olan 10 farklı üçgen çizilebilir.

! Siz de bulunan sonucu çizerek gösteriniz.

,3!3!

! !!

!C 5 2

5

2 3 25

24 5

220 10= = = = =$^ eh o

� Kombinasyonla permütasyon arasındaki farkı matematiksel olarak açıklayalım:

Örnek: Aynı düzlemde bulunan 6 doğrunun en çok kaç noktada kesişebileceğini bulalım:

O hâlde 6 doğru en çok;

noktada kesişir. ,! !!

! !!

! !

!C 6 2

6 2 26

4 26

4 2

4 5 6230 15=

-= = = =

$ $ $

$ $^

]h

g

Örnek: Bir düzgün beşgenin kaç tane köşegeni olduğunu bulalım:

Çokgenlerin köşegen sayısı formülüyle elde ediliyordu. Beşgenin köşegen sayısı,

tanedir.

Bunu çizerek gösterelim:

[AC], [AD], [BE], [BD], [CE]; ABCDE beşgeninin köşegenleri-dir. Toplam 5 tanedir.

Şimdi bir beşgenin köşegen sayısını çizmeden ve formül kul-lanmadan kombinasyon yardımıyla bulalım.

2⇒n n n5 2

32

5 5 32

55=

-=

-= =$ $] ]g g

n n23-] g

olur., !! , ! !

,! !

!!

C n rn rn

r P n r r rP n r

n r rn 1 1

-= ==

-= $ $^

] ]^

^h

g gh

h

n elemanlı bir kümenin r’li permütasyon sayısı; n elemanlı bir kümenin r’li kombinasyonlarının sayısı;

,!

!P n rn rn

=-

^]

hg

,! !

!C n rn r rn

=-

^]

hg

A

B

C D

E

d e

Farklı 2 doğru en çok 1 noktada kesişir.


7. Aşağıda verilen iki problemin biri kombinasyon, diğeri permütasyon kullanılarak çözülecektir.Problemleri çözerek kombinasyon ile permütasyon arasındaki farkı açıklayınız.

a) 10 kişilik komisyonda bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?

b) 10 kişilik toplulukta 2 kişilik bir ekip kaç farklı biçimde seçilebilir?

8. P(6, 2) ve C (6, 2) değerlerini hesaplayınız ve permütasyon ile kombinasyon arasındakimatematiksel farkı belirtiniz.

9. Aşağıda verilen ifadelerde yer alan noktalı yerleri <, >, = sembollerinden uygun olanı ile dol-durunuz.

a) P (5, 3) …….... C (5,3) b) C (6, 4) ……….. C (6, 2)

c) C (7, 2) ………. P (7, 2) ç) P (6, 3) ………. P(5, 3)


6. Ünite

Sıralanış permütasyonda, seçme kombinasyonda önemlidir. Kombinasyonda sıralanış

önemli değildir.

Örnek: 4$C(n,1) = C(n,2) + 4 olduğuna göre n değerini bulalım.

⇒ (n – 1) = 0 ⇒ n = 1 veya (n – 8) = 0 ⇒ n = 8 olur.

n = 1 olduğunda C(1,2) tanımlı olmadığından n, 1 olamaz. Buna göre n = 8’dir.

⇒n n n n

n

n

n n

n n

n n

n4 21 4 4

8

0

0

28

8

9 8

1 8

2

2

2

=-

+ =

=

=

=

- +

- +

- +

- -

$]

] ]

g

g g

,

! !!

!!

,

! !!

! !!

C n

nn

nn n

C n

nn

nn n n

4 1

41 1

411

2 4

2 24

2 21 2

4

-

-

-

=

=

=

+

-+

-

- -+

$

$

$$

^

]

]

]

^

]

]

] ]

h

g

g

g

h

g

g

g g

Necla 4 meyve arasından seçeceği 3 meyveyi 4 farklı şekilde yiyebilir.

Örnek: Bir iş yerine müracaat eden aynı özelliklere sahip 3 bay ve 4 bayan arasından 3 kişilik bir gru-bun kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulalım:

n = 3 + 4 = 7 olur. 3 kişilik bir grup seçileceğinden r = 3 olur.

olur.

7 kişilik bir ekip içinden 3 kişilik bir grup 35 farklı şekilde seçilebilir.

,4! 2 34! 6

! !!

! !!C 7

15 7

37 3 37

4 37 35=

-= = =

$ $ $

$ $ $^]

hg

• Şimdi de madenî paraları birer, ikişer, üçerve dörder olacak şekilde diziniz.

• Madenî paraların birer, ikişer, üçer ve dör-der kaç farklı şekilde dizilebileceğini belirleyiniz.

� Madenî paraların sıralanması ile seçimiarasında nasıl bir fark vardır? Açıklayınız.

Ders kitabının 212. sayfasındaki bilgi içerikliörnek öğrencilere inceletilir.

Uygulamalar


Çalışma kitabının 118, 119, 120 ve 121.sayfalarındaki sorular çözdürülebilir.


1. Bir futbol takımı sahaya çıkacağı zaman 18kişilik kadroyla çıkar. Bu sporcuların içinden 11 ki-şiyle oyuna başlanır. 18 kişilik kadrodan sahayaçıkacak 11 kişi kaç değişik şekilde belirlenir?

2. Bir özel okul, matematik ve geometri dersle-ri için iki öğretmeni işe alacaktır. Bu iş için okula20 matematik öğretmeni çalışmak için başvur-muştur. Buna göre;

a) Okul bu 20 kişiden 2 kişiyi kaç farklı biçim-de seçebilir?

b) Bu kişiler matematik ve geometri dersini kaçfarklı biçimde okutabilirler?

Değerlendirme

Öğrencilerden, kombinasyon kavramını açık-lamaları ve hesaplamaları; permütasyon ve kom-binasyon arasındaki farkı açıklamaları beklenir.


Öğrencilere “Matematiğe Yönelik Tutum Ölçe-ği” doldurtulabilir.

!

!


6. Ünite

ALIŞTIRMALAR

1) Aynı özellikteki 4 mendil 5 öğrenciye dağıtılacaktır. Her öğrenci en çok 1mendil alacağına göre dağıtım kaç farklı şekilde yapılabilir?

2) Bir onikigenin köşegen sayısını kombinasyon yardımıyla bulunuz.

3) 10 öğrenci arasından 8 kişilik bir folklor grubu kaç değişik biçimdeoluşturulabilir?

4) Nesrin, Fatma ve Rıza’dan oluşan 3 kişilik bir arkadaş grubu yan yanakaç değişik şekilde sıralanabilir?


6. Ünite

Beşgenin 5 tane köşesi ve 5 tane kenarı vardır. İki noktadan bir doğru geçtiğine göre 5 noktadan;

tane doğru geçer. Bu doğrulardan 5 tanesi kenar

olduğundan beşgenin köşegen sayısı 10 – 5= 5 olarak elde edilir.

,3!

3!! !

!! !!C 5 2

55 2 25

3 25

24

220 10=

-= = = =$^

]h

g

� C(4,0) ; C(4,1) , C(4,2) ; C(4,3) ve C(4,4) nü hesaplayalım ve aralarındaki ilişkiyi bulalım:

,! !

!! !!

!

,! !!

! !!

! !!

,! !

!! !!

! !!

,! !!

! !!

!!

,! !

!! !!

!!

C

C

C

C

C

4 04 0 04

4 04

01

11 1

4 14 1 14

3 14

3 13 4

4

4 24 2 24

2 24

2 22 3 4

212 6

4 34 3 34

1 34

33 4

4

4 44 4 44

0 44

1 44

1

=-

= = = =

=-

= = =

=-

= = = =

=-

= = =

=-

= = =

$

$

$

^]

^]

^]

^]

^]

hg

hg

hg

hg

hg

C(n,0) = C(n,n) = 1 olur.

C(n,x) = C(n,y) ⇒⇒ x = y ya da

n = x + y’dir.

118-121


10. C (n, 3) = 6 C(n, 2) ise n değerini bulunuz.

11. Anne baba ve 4 çocuktan oluşan 6 kişilik bir aile, bir masadaki 6 sandalyeye anne ile baba yanyana olmak şartıyla en çok kaç farklı şekilde oturabilirler?

12. Bir yarışmaya katılan 8 kişi içerisinde 1. gelen belli olduğuna göre yarışmayı kazanan ilk üç kişikaç farklı şekilde oluşabilir?

A) 40 B) 42 C) 56 D) 186

f. Zorlukları aşmak için kimlerden hangi yardımların alındığının söylenmesi

Süre : 6 Ders saati Öğrenme Alanı : Olasılık ve İstatistik Alt Öğrenme Alanı : Olay Çeşitleri, Olasılık

ÇeşitleriKazanımlar1. Bağımlı, bağımsız olayları açıklar.2. Bağımlı ve bağımsız olayların olma olasılık-

larını hesaplar.Kazanım: 1. Deneysel, teorik ve öznel olasılığı

açıklar. Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme Yöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-

me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: aynı boyutlarda 3 sarı, 2 kırmızı,

4 mavi, 1 gri minik top, renkli tarla, kâğıt, kalem, 5limonlu şeker, 4 portakallı şeker, poşet, 3 maviboncuk, 5 siyah boncuk, 2 sarı boncuk

Ön Kazanımlar1. Geometri bilgilerini kullanarak bir olayın ol-

ma olasılığını hesaplar. 1. Ayrık ve ayrık olmayan olayın deneyini, ör-

nek uzayını ve olayını belirler. 2. Ayrık ve ayrık olmayan olayları açıklar. 3. Ayrık ve ayrık olmayan olayların olma olası-

lıklarını hesaplar. Zorunlu Program Uyarıları[!] Koşullu olasılığa girilmeyecektir.[!] Bağımlı ve bağımsız olaylarda ağaç şeması

kullanılabilir.[!] Teorik olasılığın hesaplanmasında her bir

çıktının eş olumlu olması gerektiği vurgulanır.[!] Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık de-

ğerinin, teorik olasılık değerine yaklaştığıyla ilgiliçalışmalar yaptırılır.

[!] Eğer deneydeki her bir çıktı eş olasılıklı değil-se deneysel olasılıktan yararlanılır.

Ara Disiplinlerle İlişkilendirmeRehberlik ve Psikolojik Danışma (Kazanım 14)

“Karar verme sürecinde ortaya çıkabilecek çeşitlialternatifleri belirtir.”

Girişimcilik (Kazanım 7)“Herkesin ilgi alanını bir ekonomik işleve çevir-

me olasılığı olduğunu fark eder.”Afetten Korunma ve Güvenli Yaşam (Kazanım

13): Heyelan oluşumundaki nedenleri sorgular.


6. Ünite


6. Ünite

BAĞIMLI VE BAĞIMSIZ OLAYLAR, OLASILIK ÇEŞİTLERİ

Bütün zamanların en bilinen gemi kazası Titanik adlıgeminin battığı kazadır. White Star Denizcilik, Titanik'i vekardeşi Olympic'i denizlerde seyreden en büyük, en iyi veen güvenilir gemiler olarak yapmıştı. Titanik'in yapımı, 11 300 kişiden oluşan Harland & Wolff Tersanesi çalışan-larının 26 ayını aldı.Titanik devasa boyutlu, lüks bir gemiy-di; 21 deniz mili hıza ulaşabilen bu geminin batmasınınmümkün olmadığı düşünülüyordu.Titanik'in muhabere sis-temi, ticari gemilerde o zamana kadar kullanılan en güçlüsistemdi. Ayrıca karanlıkta 2000 millik bir alanı tarayabili-yordu.Titanik'in teknesinin alt tarafında ikili bir yapı sistemi ve 16 adet su geçirmez bölümü vardı. Bubölümlerden herhangi ikisine su girse dahi geminin su üstündeki dengesi bozulmazdı. Bu da gemininemniyetini bir kat daha artırmaktaydı. Olası bir olumsuz durum için bütün olasılıkların hesaplandığı dü-şünülüyordu. Ama ön görülerin dışında bir olay gerçekleşti ve Titanik bir buz dağının su altındaki uzan-tısına yanlamasına çarparak battı. Gemi tasarlanırken bu olasılık hiç hesap edilmemişti.

Gemideki 2228 kişiden sadece 705’i kurtarılabildi. Cankurtaran sandallarına binenler, olay yerine enkısa sürede ulaşan Carpathia gemisi tarafından kurtarıldı. Buna rağmen Carpathia gemisi bile buz gi-bi suya fazla dayanamayanlar için çok geç kalmıştı.

� Olası durumları belirlemek neden önemli olabilir?

� Olası durumları belirlemede matematikten nasıl yararlanılabileceğini düşünüyorsunuz?

• Topları renkli torbaya atınız.

• Torbadan bir top çekme deneyinde oluşacak örnekuzayı belirleyiniz.

� Örnek uzayın eleman sayısı nedir?

� Torbadan çektiğiniz topun sarı olma olasılığı nedir?Hesaplayınız.

• Torbadan bir top çekiniz ve bu topu bir daha torbayaatmayınız. Torbadan tekrar bir top çektiğinizde ilkçektiğiniz topun renginde olmayan bir topu çekmeolasılığını hesaplayınız.

• Bu hesaplarınızı ağaç şeması ile gösteriniz.

� Çektiğiniz topu torbaya geri attığınızda mı, yoksa atmadan mı yaptığınız çekilişte mavi top gelmeolasılığı daha yüksek olur? Açıklayınız.

� Torbadan 2. topu çektiğinizde gelebilecek kırmızı top olayı, ilk çekilişte gelen sarı top olayına bağ-lı mıdır? Bu soruyu ikinci çekilişte ilk topu torba içine geri atmak şartı ile tekrar yorumlayınız.

Olasılık Hesaplayalım

aynı boyutlarda 3 sarı, 2 kırmızı, 4 mavi, 1 griminik top, renkli torba, kâğıt, kalem

Temsilî resim


OLAY ÇEŞİTLERİ

1. Bir zar ile bir madenî para atılıyor. Paranın tura gelmesi olayı ile zarın çift sayı gelmesi olayla-rının bağımlı ya da bağımsız olaylar olup olmadığını belirtiniz.

2. Bir torbada 4 mavi, 3 kırmızı, 2 siyah top vardır.

a) Torbadan bir bilye çekiliyor ve atılıyor, ardından torbadan bir bilye daha çekiliyor. İlk çekilen bil-yenin kırmızı olması ile ikinci çekilen bilyenin siyah olması olayları bağımlı mıdır, bağımsız mıdır? Açık-layınız.

b) Torbadan bir bilye çekiliyor ve tekrar torbaya konuluyor, ardından bir bilye daha çekiliyor. İlk çe-kilen bilyenin kırmızı olması ile ikinci çekilen bilyenin siyah olması olayları bağımlı mıdır, bağımsız mı-dır? Açıklayınız.

3. Bağımlı ve bağımsız olaylara günlük yaşantınızdan örnek olabilecek durumlar belirtiniz.

g. Çalışmanın eğlenceli taraflarının söylenmesi

Dikkat Çekme ve Motivasyon Öğrencilere “Bu gün yağmur yağma olasılığı

sizce nedir? Freni sağlam bir otomobil ile freni arı-zalı bir otomobilin trafik kazası yapma olasılığı ay-nı mıdır?” soruları yöneltilerek derse dikkat çekile-bilir. Daha sonra ders kitabının 213. sayfasındakifotoğrafla ilgili görsel okuma ve görsel sunu yap-tırılır. Metne ait soru öğrencilere yöneltilerek öğ-rencilerin sorulara verecekleri cevaplar dinlenir.Öğrencilerin sorulara verecekleri cevaplardan ya-rarlanılarak öğrenciler etkinliğe yönlendirilir. Etkin-likte öğrencilerin akıl yürütme, ilişkilendirme, ileti-şim ve psikomotor becerilerini etkin kullanmalarısağlanmalıdır.


rencilere yaptırılır. Etkinliğin grup çalışması şek-linde yaptırılması önerilir. Etkinlik sırasında öğren-cilerin ön bilgilerini kullanmaları son dereceönemlidir. Ayrıca öğrenciler etkinlik sırasında önbilgilerinden “ağaç şeması” bilgileri ile ilişkilendir-me yaparak yeni bilgileri yapılandırabilmelidirler.


Ders kitabının 214, 215 ve 216. sayfalarındakiörnekler inceletilerek gerek duyulduğu takdirdeetkinlik formatına dönüştürülebilir. Öğrencilerin bi-reysel öğrenme farklılıkları dikkate alındığında buörneklerin etkinlik formatına dönüştürülmesi sağ-lanır.

Öğrenilecek konunun özelliği gereği günlükyaşamdan örnekler bulunması oldukça kolaydır.Öğrencilerden yaşamlarından örnekler gösterme-leri istenebilir. 215. sayfadaki bilyelerle düzenle-nen örnek farklı malzemeler kullanılarak sınıftaetkinlik şeklinde düzenlenebilir. Belirtilen sayfalar-da bulunan bilgi kutularına dikkat çekilmelidir. Sı-nıfta düzenlenecek öğrenme ortamlarında ara di-siplin kazanımı ile ilişkilendirme yapılmalıdır. Afetkavramına vurgu yapılarak afetlerin neden olduğuyıkımlar hakkında sınıfta tartışma ortamı oluşturu-labilir. Öğrenciler “Depremin şiddeti ile yaptığı yı-kım arasında nasıl bir ilişki var?” gibi sorularlayönlendirilerek, tartışmanın konusu depremin şid-detinin artması ile artan şiddetin neden olduğu yı-kım arasındaki olasılık durumları üzerine yoğun-laştırılabilir.


6. Ünite


6. Ünite

Örnek: Bir madenî para ile bir zar birlikte atılıyor. Aşağıdaki olayla-rı inceleyelim:

a) Paranın tura gelmesi

b) Zarın 1, 2, 4 veya 5 gelmesi

Paranın tura gelmesi A olayı, zarın 1, 2, 4 veya 5 gelmesi de B olayı olsun. Bu deneyde paranın tu-ra gelip gelmemesi yani A olayının gerçekleşip gerçekleşmemesi B olayını etkilememektedir. Aynı şekil-de B olayının gerçekleşmesi de A olayını etkilemez. Bu olayların olma olasılıkları birbirine bağlı değildir.

İki veya daha çok olayın gerçekleşmesi birbirine bağlı değilse böyle olaylar “bağımsız olay-

lar” dır.

Buna göre A ve B olayının birlikte olma olasılığını yani O(A ve B) yi bulalım.

Önce ağaç şemasını kullanalım.

Para

Zar

Deney

Bu deneyde oluşabilecek örnek uzayı yazalım.

Ö = {(T,1) , (T,2) , (T,3) , (T,4) , (T,5) , (T,6) , (Y,1) , (Y,2) , (Y,3) , (Y,4) , (Y,5) , (Y,6)}

s(Ö) = 12 olur.

Şemadan da görüldüğü gibi A ve B olayının olasılığı;

’tür.O A veB 124

31

= =] g

T

1 2 3 4 3 5 6

Y

1 2 3 4 5 6


6. Ünite

Şimdi de A ve B olayının olasılıklarını yazalım.

’dır.

’tür.

A ve B olayının olasılığı olan ; A ve B olaylarının ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir.

O hâlde O(A ve B) = O(A)$O(B) dir.

124

31

=

21

64

124

31

= =$

O A ve O B21

64

= =] ]g g

Bağımsız olayların birlikte olma olasılığı, bu olaylarının ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına

eşittir. A ve B olayları bağımsız olaylar ise;

O(A ve B) = O(A ∩∩ B) = O(A)$O(B)’dir.

Örnek: Bir torbada 3 kırmızı, 4 mavi renk bilye vardır. Torbadan birbilye çekilip rengine bakılıyor. Tekrar torbaya atılıyor. Torbadan tekrar birbilye çekilip yeniden rengine bakılıyor. Bu durumda aşağıda istenenolayların olasılıklarını bulalım:

a) Birinci bilyenin kırmızı, ikinci bilyenin mavi renk olma olasılığı,

b) Birinci bilyenin mavi, ikinci bilyenin kırmızı renk olma olasılığı,

c) Her iki bilyenin de mavi renk olma olasılığı,

ç) Her iki bilyenin de aynı renk olma olasılığı.

Birinci çekilen bilye tekrar torbaya atıldığından ikinci bilyenin çekilme olayı, birinci bilyenin çekilmeolayından bağımsızdır. s(Ö) = 3 + 4 = 7’dir. Kırmızı bilyelerin çekilme olayı K, mavi bölgelerin çekilmeolayı M olsun.

’ dir. O Kss K ve O M

ss M

73

74

= = = =]]

]]

]

]g

g

gg

g

g

a ve b seçeneklerindeki olayların olma olasılıkları birbirine eşittir.

)

.

)

.

a O O K ve M O K O M

olur

b O O M ve K O M O K

olur

73

74

4912

74

73

4912

= =

= =

= =

= =

$

$

$

$

] ] ] ]

] ] ] ]

g g g g

g g g g

Ö Ö

önce K sonra M

önce M sonra K

Ders kitabının 217. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin akıl yü-rütme, ilişkilendirme, iletişim ve psikomotor bece-rilerini etkin kullanmaları sağlanmalıdır. Sayfadakiörneğin etkinlik formatına dönüştürülerek bir öğ-renme ortamının oluşturulması önerilir. Böyle birçalışma farklı zekâ tiplerine sahip öğrencilerin bi-reysel öğrenme farklılıklarının desteklenmesinisağlayacaktır.

Sayfadaki örnek sınıftan seçilecek öğrencigruplarının öznel olasılık tahminleri alınarak tek-rar düzenlenebilir. Yine aynı şekilde sınıfa getirile-cek bir zar ya da her yüzü farklı renklerde olanküplerle düzenlenecek etkinliklerle farklı öğrenmeortamları düzenlenebilir.

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: 5 limonlu, 4 portakallı şeker, po-şet

• Şekerleri poşetin içerisine koyunuz.• Poşetten art arda 2 şekeri, poşete geri atıl-

maksızın çekiniz.• Çektiğiniz şekerlerin gelme olasılıklarını ağaç

şeması ile gösteriniz.• Şimdi de poşete geri konulmak şartıyla 2 şe-

ker çekiniz.• Çektiğiniz şekerlerin gelme olasılıklarını ağaç

şeması ile gösteriniz.�Her iki çekilişte şekerlerin gelme olasılıkları

arasında nasıl farklılıklar oluşmaktadır? Açıklayı-nız.

� Hangi çekilişteki olaylar birbirine bağımlıhangisinde bağımsızdır? Açıklayınız.


6. Ünite


6. Ünite

)

.

.

c O M ve M O M O M

olur

O iki ayn renk O K ve K veya O M ve M

O K ve K O K ve K

O K O K O M O M

olur

74

74

4916

4

73

73

74

74

499

4916

4925

$

$ $

=

= =

=

=

=

=

=

+

+

+

+ =

$

$ $

] ] ]

^ ] ]

] ]

] ] ] ]

g g g

h g g

g g

g g g g

Örnek: Bir torbada 3 mavi, 2 sarı renk bilye vardır. Torbadan bir bilye çekili-yor. Çekilen bilye torbaya atılmadan ikinci bir bilye daha çekiliyor. Bu çekiliş yön-temine göre;

a) İlk çekilişte mavi ikinci çekilişte sarı,

b) İlk çekilişte sarı ikinci çekilişte mavi,

c) Her iki çekilişte de sarı renkli bilyelerin gelme olasılıklarını bulalım:

a) S(Ö) = 3 + 2 = 5 olur. Önce mavi renk bilye çekersek torbada 2 mavi, 2 sarı renk bilye kalır. Bu du-rumda ilk çekiliş öncesi torbada 3 mavi, 2 sarı olmak üzere toplam 5 bilye varken ikinci çekiliş öncesinde2 mavi, 2 sarı toplam 4 bilye olacaktır. Çekilişlerdeki toplam bilye sayısı birbirine bağlıdır. O hâlde;

b) Önce sarı, sonra mavi renk bilye çekme olasılığını hesaplarken de a seçeneğindeki gibi düşün-memiz gerekir.

Görüldüğü gibi a ve b seçeneğindeki olayların olma olasılıkları eşit çıkmıştır. ! Bu durum her zaman geçerli olur mu? Tartışınız.

.

O O S O M

olur

52

43

103

1

=

=

=

$

$

2

] ] ]g g g

.

O O M O S

olur

53

4

103

2

=

=

=

$

$

1

2

] ] ]g g gönce mavi ve sonra sarı

önce sarı ve sonra mavi

ıHer iki bilyenin de aynı renk olma

olasılığı, her iki bilyenin de kırmızı veyamavi olma olasılığı demektir.


4. Bir madenî para ile bir zar atılıyor. Madenî paranın tura ve zarın 5 gelme olasılığı kaçtır?

5. Bir takımın her bir maçı kazanma olasılığı , berabere kalma olasılığı ve kaybetme

olasılığı ’dir. Bu takımın oynadığı 3 maçın ilkini kaybetme, ikincisinde berabere kalma,

üçüncüsünde ise kazanma olasılığı kaçtır?

1—6

1—21—3

6. Bir torbada 4 siyah, 3 beyaz bilye bulunmaktadır. Torbadan bir bilye çekiliyor, rengine bakılaraktekrar torbaya konuluyor. Ardından torbadan bir bilye daha çekiliyor. İlk çekilen bilyenin siyah, ikincisininbeyaz olma olasılığı kaçtır?

A) B) C) D) 9——4912——49

16——492—7

Alternatif Etkinlik

Araç-Gereç: 3 mavi, 5 siyah, 2 sarı boncuk,poşet

• Boncukları poşetin içerisine koyunuz.� Poşetten çekilecek bir boncuğun sarı gelme

olasılığı sizce kaçtır?� Poşetten çekilecek bir boncuğun sarı gelme

olasılığını matematiksel olarak belirleyiniz.� Sarı boncuğun size göre gelme olasılığı ile

matematiksel olarak gelme olasılığı arasında negibi farklılıklar vardır?

• İçinde farklı renklerde 10 boncuk olan bir po-şetten bir boncuk çekiniz. Daha sonra bu boncu-ğu tekrar torbaya koyunuz. 10 defa bu işlemi tek-rarlayınız.

• Hangi boncuktan kaç kere geldiğini belirleyiniz.• Gelen her bir boncuk sayısının toplam çekiliş

sayısına oranını belirleyerek deneysel olasılıkları-nı yazınız.

• Aynı işlemi 20, 30 ve 40 kez çekerek yapınız.� Çekiliş sayısı arttıkça deneysel olasılıklarda

ne gibi farklılıklar olduğunu açıklayınız.Uygulamalar


Çalışma kitabının 122, 123, 124 ve 125.sayfalarındaki sorular çözdürülebilir.


1. Ali “Annem örgü makinesini kullanmayı öğ-rendikten sonra babam arabamızı yeniledi. Bende üniversiteyi kazanmıştım. O yıl kardeşim ilko-kula başladı. Ailece mutlu bir yıl yaşıyorduk.”

Yukarıdaki metinde geçen bağımlı ve bağım-sız olayları belirleyiniz.

2. Bir bisiklet firması ürettiği bisikletlerin tanıtı-mına yönelik bir kompozisyon yarışması düzenle-miştir. Kampanya sonunda beğenilen iki eserinsahibi iki çocuktan birine üç tekerlekli, diğerinedört tekerlekli olmak üzere kurayla iki bisiklet he-diye edilecektir. Bunun için aynı boyda 5 karta 4tekerlekli bisiklet, 5 karta 3 tekerlekli bisiklet yazıpbir torbaya atılıyor. Kazanan çocuklardan Ayşeçektiği kartı torbaya geri atarak Metin ise çektiğikartı torbaya geri atmadan art arda iki kart çeke-ceklerdir. Üst üste iki tane 4 tekerlekli bisiklet ya-zan kartı çeken, 4 tekerlekli bisikleti kazanacaktır.Bu metinde anlatılanlara göre;

a) Her ikisinin de 4 tekerlekli bisikleti kazanmaolasılıklarını bulunuz.

b) Hangisinin daha şanslı olduğunu belirleyiniz.

!

!


6. Ünite


6. Ünite

.

O O S O S

olur

52

41

101

1

=

=

=

$

$

2

] ] ]g g gönce sarı ve sonra sarı

İki veya daha fazla olayın gerçekleşmesi birbirine bağlı ise bu tür olaylar “bağımlı olaylar” dır.

� Bir madenî parayı 10 kez attığınızda her seferinde tura gelme ola-sılığı sizce ne olur? Tahmin ediniz.

� Madenî para 10 kez atıldığında her seferinde tura gelme olasılığınınasıl hesaplarsınız? Açıklayınız.

• Madenî parayı 10 kez atıp bir tablo oluşturarak sonuçları not ediniz.

• Tablodan yararlanarak para 10 kez atıldığında tura gelme olasılığını hesaplayınız.

� Bulduğunuz sonuç tahmininize yakın mı? Açıklayınız.

� Deneyerek bulduğunuz sonuç ile teorik olarak bulduğunuz tura gelme sonucu hangi durumlardabirbirine yakın olur? Açıklayınız.

� Yaptığınız etkinlikten yararlanarak olasılık çeşitleri hakkında ne söyleyebilirsiniz? Açıklayınız.

Olasılık Çeşitlerini Belirleyelim

madenî para, kâğıt, kalem

� Deneysel, teorik ve öznel olasılığı açıklayalım.

Bir madenî parayı 7 kez havaya atalım:

Öznel olasılık: “Madenî para 7 kez havaya atıldığında 3’ünde yazı gelebilir.” Böylece yapılan yorum

kişiye göre değişeceği için bu olasılık öznel olasılıktır.

Teorik olasılık: Madenî para havaya atıldığında yazı gelme olasılığı ’dir. Bu olasılık teorik

olasılıktır. Ö = {T,Y} Yazı gelme olasılığı Y olursa O

Deneysel olasılık: Madenî parayı 7 kez havaya atalım. Sonuçları tablo üzerinde gösterelim.

.�

Yss olurY

21= =]

^

]g

h

g21

53

4

2103

53

4

2103

52

41

103

52

41

101

1

1

1

=

=

=

=

$

$

$

$

2

2

2

2

f

f

f

f

p

p

p

p

MM → MM

M → SM

S → MS

S → MS

S

53

42

42

43

41

52

Ö

Olasılık Çeşitleri

1. çekiliş

2. çekiliş

c)

Teorik olasılığın hesaplanmasında herbir çıktı eş olumlu olmalıdır.


7. Bir torbada 5 yeşil, 3 mavi top bulunmaktadır. Torbadan çekilen bir top yine aynı torbaya atılı-yor. Ardından torbadan bir top daha çekiliyor. Birinci çekilen topun mavi, ikincisinin ise yeşil olma ola-sılığını hesaplayınız ve ağaç şeması kullanarak gösteriniz.

8. Birincisinde 3 elma, 2 portakal; ikincisinde 2 elma, 4 portakal bulunan 2 sepetin birincisindenrastgele bir meyve seçiliyor ve ikinci sepete konuyor. Daha sonra ikinci sepetten rastgele bir meyve çe-kiliyor. İkinci sepetten alınan meyvenin portakal olma olasılığını bulunuz.

9. Okçuluk yarışmasında Sedat’ın hedefi vurma olasılığı , Ahmet’in hedefi vurma olasılığı ’dir.

Birer kez atış yaptıklarında Ahmet’in hedefi vurup Sedat’ın vurmama olasılığı nedir?

A) B) C) D) 1——152——15

4——158——15

2—31—5

10. 8 limondan 3’ü çürüktür. Bu limonlardan seçilen bir limonun sağlam olma olasılığı kaçtır?

A) B) C) D) 5——83——5

1——23——8

Aşağıdaki gazete haberini dikkatle okuyunuzve haberle ilgili soruyu cevaplayınız.

3. I. Bayındırlık ve İskan Bakanlığı Afet İşleriGenel Müdürlüğü Deprem Araştırma Dairesi “Or-ta Marmara fayı üzerinde depremin yinelenmearalığı 250-300 yıldır. En son 1766’da depremlerolduğuna göre bir dahaki depremin oluş tarihi tah-minî 2016-2060 yıllarıdır.” Milliyet Gazetesi22.08.2007

II. Ebru: “Ali derslerine çalışırsa yüzde doksansınıfını geçer.”

III. Bir zar havaya atıldığında üste gelen sayı-

nın çift olma olasılığı ’dir. Çühmü sonra 2,4 ve

6 sayıları çifttir. = dir.

Yukarıda verilen olasılıkların çeşidini belirleyiniz.

Değerlendirme

Öğrencilerden deneysel, teorik ve öznel olası-lığı açıklamaları beklenir.


Öğrenciler yapılan çalışmalar boyunca göz-lemlenir. Öğrencilerin duyuşsal gelişim özellikle-rindeki değişme ve gelişmeler yapılan gözlemlerdoğrultusunda değerlendirilir.

1—23—6

1—2


6. Ünite


6. Ünite

Madenî Paranın 7 Kez Havaya Atılmasının Sonuçları ile İlgili Tablo:

Madenî para 7 kez havaya atıldığında 4 kez yazı gelmiştir. O hâlde bu olayın deneysel olasılığı’dir.

, , .olur74 0 57

21 0 5

74

21

= & 2.

74

Atış sayısı 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Sonuçlar

ALIŞTIRMALAR

1) Bir sınıfta 13 kız, 17 erkek öğrenci vardır. Sınıfta-ki her öğrencinin adı aynı büyüklükteki ayrı kartlara yazı-lıp bir torbaya konuluyor. Çekilen kart torbaya geri kon-mamak şartı ile torbadan iki kart seçiliyor. İki kartta dakız ismi çıkma olasılığı nedir?

2) Ahmet Ankara’dan Dolmabahçe Sarayı’na gitmesi olayı ile İstanbula gitmesi olayanın bağımlı ve-ya bağımsız olaylar olup olmadığını inceleyiniz.

3) Ahmet şu anda 8. sınıf öğrencisi ve ilerde öğretmen olmak istiyor. Ahmet hangi tür liseye giderseüniversite sınavında istediği meslek ile ilgili bir bölüme girebilme şansı yüksek olur? Açıklayınız.

4) A köyünde yeterince ağaçyoktur. Toprak işleme yöntemleri deyanlıştır. B köyü ise bol yeşil alanasahiptir ve A köyündeki olumsuz-luklar yoktur.

Bu durumda A ve B köylerinde toprak kayması olma olasılığı sizce ne olur? Bulduğunuz olasılığı han-gi olasılık çeşidinden yararlanarak belirlediğinizi açıklayınız.

A B

Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri teorik olasılık değerine yaklaşır.

122-125


11. Aşağıda verilen olasılık ifadelerinin deneysel, teorik ya da öznel olasılık kavramlarından hangi-sine uyduğunu yanlarındaki kutucuklara belirtiniz.

a) Galatasaray – Fenerbahçe maçını Galatasaray’ın kazanma olasılığı bence % 50, Mehmet’e gö-re % 60’tır. ��

b) Bir hilesiz zar atıldığında 4 gelme olasılığı ’dir. ��

c) Japonya’da deprem olma olasılığı Almanya’da deprem olma olasılığından daha yüksektir. ��

ç) 2 mavi, 1 beyaz bilyenin bulunduğu bir torbada rastgele çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı

’dir. ��2—3

1—6

12. Bir zarı 10 kez atınız. Kaç tanesinde tek sayı, kaç tanesinde çift sayı geldiğini not ediniz ve teksayı gelme olasılığını hesaplayınız. Aynı işlemi zarı 15 ve 20 kez atarak tekrarlayınız.

Deney sayısı arttıkça zarın tek sayı gelme olasılığının hangi sayıya yaklaşacağını söyleyiniz.

ğ. Elde edilen verilerden nasıl bir yorum çıkarıldığının açıklanması

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Süre : 6 Ders saati Öğrenme Alanı : Olasılık ve İstatistikAlt Öğrenme Alanı : Tablo ve Grafikler,Merkezî Eğilim ve Yayılma Ölçüleri Kazanımlar: 1. Histogram oluşturur ve yorumlar. 1.Stan-

dart sapmayı hesaplar. 2. Uygun istatistiksel temsil biçimlerini, merke-

zî eğilim ölçülerini ve standart sapmayı kullanarakgerçek yaşam durumları için görüş oluşturur.

Beceriler: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme Yöntem ve Teknikler: İş birliğine dayalı öğren-

me, anlatım, soru cevap, keşfetmeAraç-Gereç: kâğıt, kalemÖn Kazanımlar: 1. Birden fazla ölçüte göre sü-

tun ve çizgi grafiklerini oluşturur ve yorumlar. 2.Daire grafiğini oluşturur ve yorumlar. 3. İstatistik-sel temsil biçimleri oluşturarak ve yorumlayarakgerçek yaşam durumları için görüş oluşturur. 4. Ve-rilere dayalı tahminler yürütür. 5. Çizgi, resim veyaşekil grafiklerinin yanlış yorumlara yol açabileceğidurumları açıklar. 1. Ortanca , tepe değeri ve çey-rekler açıklığını hesaplar. 2. Verilerin merkezî eği-lim ölçülerini ve çeyrekler açıklığını yorumlar.

Zorunlu Program Uyarıları [!] Verileri gruplamak için uygun grup genişliği

belirlenir. [!] Veri gruplarının sayısının 10 civarında ol-

ması uygundur. [!] Grup genişliğinin bulunmasıyla ilgili açıkla-

malar programın giriş bölümündeki “Olasılık ve is-tatistik Öğrenme Alanı ve Etkinlik Örnekleri” bölü-münde yer almaktadır.

[!] Etkinlikte yatay eksende, 1-10 aralığındahiç veri olmadığından yanlış yorumlara yol açma-mak için “zikzak” kullanılmıştır.

[!] Grafikte uygun ölçekler kullanılır. [!] Tabloya başlık yazılır. [!] Grafiklerin başlıkları yazılmalı ve eksenleri

isimlendirilmelidir. [!] Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) vb. çeşitli

kurum ve kuruluşların arşivlerinden yararlanılabilir.[!] Histogram içeren gazete küpürleri inceletile-

bilir ve yorumlatılabilir. [!] Teknoloji kullanma imkânı olmadığında

standart sapma hesaplamalarında rahatlıkla iş-lem yapılacak miktarda ve büyüklükte sayılar ve-rilmelidir.

[!] Standart sapma sadece aritmetik ortalamaiçin yapılacak yorumlarda kullanılmalıdır.

[!] “∑” işareti kullanılmamalıdır. [!] Açıklık ve çeyrek açıklığı hatırlatılır. [!] Gruplar karşılaştırılırken açıklık, çeyrekler

açıklığının doğru yorum yapılmasına olarak ver-meyen veya yanlış yoruma yol açan verilerdenyararlanarak standart sapmaya neden ihtiyaç du-yulduğu hakkında tartışma yaptırılır.

[!] Açıklığın, çeyrek açıklığın, standart sapma-nın yayılma ölçüsü olduğu vurgulanır.

[!] Standart sapmaya neden ihtiyaç duyulduğuvurgulanır.

[!] Standart sapma formülü;

olarak verilir.[!] Tabloların, histogramın, çizgi ve sütun gra-

fiklerinin istatistiksel temsil biçimleri olduğu vur-gulanır.

[!] Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değeri-nin merkezî eğilim ölçüleri olduğu vurgulanır.

[!] Bir sorunla ilgili araştırma soruları üretilerekuygun örneklem seçilerek veri toplatılmasına ola-nak sağlamalıdır.

...

nP ORT P ORT P ORT

11

2 2 2n2

-

- + - + + -] ] ]g g g


6. Ünite


6. Ünite

• Sınıftaki her öğrenciden iki basamaklı iki-şer sayı söylemesini isteyiniz ve bunlarıtahtaya yazınız.

• Elde ettiğiniz verilerin açıklığını bulunuz.

• Birbirine yakın verileri aynı grupta topla-mak için verilere ait uygun grup sayısı be-lirleyiniz. Belirlediğiniz her bir grup aralığı-nı birbirine eşit tutunuz.

� Bunun için nasıl bir işlem yapmalısınız?Arkadaşlarınızla tartışınız.

� Bu grupların genişliğinin eşit olmaması durumunda oluşturacağınız tablo ve grafiklerde doğru so-nuçlar elde edilebilir mi? Neden?

• Her bir grup içinde kaçar tane veri bulunduğunu tespit ediniz.

• Verilere ait çetele ve sıklık tablosunu oluşturunuz.

• Bu verileri, birbirlerine paralel, yatay eksene dik ve eşit genişlikte dikdörtgenlerle grafikte gösteri-niz.

� Bu grafiğin sütun grafiğinden farkı ne olabilir? Açıklayınız.

Histogram Oluşturalım

kâğıt, kalem

HİSTOGRAM VE STANDART SAPMA

İstatistik başlangıçta teknik bir disiplin olarak ele alınır-ken günümüzde bir bilim dalı olarak kendini kabul ettirmiş,ulusal ve uluslararası boyutta gelişmelerin temelini oluş-turmuştur. Bilgi çağı olarak adlandırılan gelişmeler istatis-tiği evrensel bir konuşma dili konumuna getirmiştir.

Günümüzde ulusal ve uluslararası sosyal ve ekonomikgelişme hedeflerinin belirlenmesi ve bu hedeflerin başarı-sı güncel, güvenilir istatistiklerle sağlanmaktadır. Doğru bilgi, doğru yorum ve doğru karar sürecindearaştırmacılar, politikacılar, karar alma süreçlerinde etkili olanlar ve tüm bireyler çalışmalarında istatis-tiki bilgileri etkin olarak kullanmaktadırlar.

� İstatistiki terimlerden hangilerini duydunuz ya da biliyorsunuz?

� İstatistiki verilerin kullanımında nelere dikkat edilmesi gerektiğini düşünüyorsunuz?

Ders İçi İlişkilendirme� Tablo ve Grafikler� Kareköklü Sayılar

Ara Disiplinlerle İlişkilendirmeGirişimcilik (Kazanım 6) “Hedef kitleye sorula-

cak sorulara karar verir, ankete uygular.”

Dikkat Çekme ve Motivasyon Öğrencilere fotoğraf makinelerinden bahsedile-

rek, çekilen fotoğrafın netliğini ayarlamak için çıkangrafiklerin sizce ne işe yaradığı sorusuyla derse gi-riş yapılabilir. Bu grafiklerin çekilen her fotoğraftaniçin değiştiği sorulur. Bu grafiklerin ve fotoğraflarınbirer histogramı olduğundan söz edilir.

Öğrenme-Öğretme SüreciDers kitabının 219. sayfasındaki fotoğrafla ilgi-

li görsel okuma ve görsel sunu yaptırılır. Fotoğra-fa ait metin öğrencilere okutulur. Metnin sonunda-ki soru öğrencilere yöneltilir. Öğrencilerin sorularaverecekleri cevaplardan yararlanarak öğrencileretkinliğe yönlendirilir.

Ders kitabının 219. sayfasındaki etkinlik öğ-rencilere yaptırılır. Etkinlikte öğrencilerin akıl yü-rütme ve ilişkilendirme becerilerini etkin kullanma-ları sağlanmalıdır.

Öğrencilere “Günlük yaşamınızda sizin de ista-tistik tuttuğunuz zamanlar olur mu? En çok neler-le ilgili istatistikler tutarsınız? İstatistiğin ne gibi ya-rarları olduğunu düşünüyorsunuz? İstatistiksel ve-rilerin kolay ifade edilmesi için hangi temsil biçim-lerini kullanmak işleri daha kolay kılar?” gibi yön-lendirici sorular sorularak istatistiksel temsil biçim-leri, tablo ve grafikler üzerine dikkat çekilir. Öğren-cilerin istatistiksel sonuçların gösterimi ile tablo vegrafikler arasındaki ilişkiyi belirleyebilmeleri içinöğrencilere yönlendirici sorular sorulmalıdır.

Öğrencilere televizyonlardaki programların iz-lenme oranları (reyting ) ile ilgili istatistiklerin belir-lenmesinin yayıncı kuruluşlar için neden önemliolduğu sorulabilir. Yine öğrencilere “Bir firmanınyönetim kurulunda yetkili bir personel olsaydınızistatistikten ve istatistiksel verilerin grafiklerle gös-terilmesinden nasıl yararlanmayı düşünürdünüz?”sorusu yöneltilebilir. Kara yolundan geçen araçla-rın sayısının belirlenmesi için yerleştirilmiş olansayım araçlarının elde ettiği verilerden nasıl ya-rarlanılabileceği ile ilgili sorular yöneltilebilir. Öğ-rencilere “Bu verilerin size sunulması durumundabunlardan nasıl yararlanırdınız?” sorusu da yö-neltilebilir.

Ders Kitabının 220. sayfasındaki örnekler öğ-rencilere inceletilir.


6. Ünite


6. Ünite

oranına grup genişliği denir. Veriler tam sayı olduğunda grup genişliğini tam

sayı almak işimizi kolaylaştırır. Grup genişliği tam sayı alındığında kolaylık sağlandığından

genişlik tam sayı çıkmazsa çıkan sayıdan büyük, en küçük tam sayı grup genişliği olarak ka-

bul edilir.

50 ile 100 arasındaki veriler için grup sayısının 10 civarında olması uygundur.

Örnek: Bir site yöneticisi, site sakinlerinin bir aylık elektrik tüketimini belirlemek için bir araştırma yap-mış ve her bir ailenin aylık elektrik tüketimini aşağıdaki gibi kw olarak tespit etmiştir.

Bu verileri uygun grafik üzerinde gösterelim:

Önce verilerin açıklığını bulalım.

Açıklık = En büyük değer – en küçük değer

= 370 – 131 = 239 bulunur.

Verilerde grup sayısını 10 kabul ederek her bir grup genişliğini bulalım. Bunun için açıklığı grup sa-yısına bölelim.

elde edilir.,10239 23 9= =

Açıklık

Grup sayısı

AçıklıkGrup Sayısı

360, 340, 161, 131, 370, 243, 211, 205, 178, 135, 143, 352, 347,365, 275, 265, 249, 158, 167, 173, 205, 290, 180, 195, 160, 260, 148,163, 157, 135, 183, 348, 325, 311, 333, 304, 201, 140, 167, 176, 157,233, 273, 261, 283, 290, 301, 176, 148, 133, 138, 141, 157, 211, 223,255, 270, 270, 293, 285, 303, 340, 160, 142, 137, 141, 173, 242, 251,202, 295, 311, 348, 148, 160, 273, 365, 165, 282, 230, 243, 251, 198,183, 177, 283, 275, 301, 303, 148, 173, 273, 232, 240, 161, 137.


HİSTOGRAM VE STANDART SAPMA

1. Sınıfınızdaki öğrencilerin doğum yerlerinin bulundukları bölgelere yönelik çetele ve sıklık tab-losu oluşturunuz. Buna uygun bir grafikle gösteriniz.

2. Okulunuzdaki öğretmenlerin mezun oldukları üniversitelere yönelik çetele ve sıklık tablosuoluşturarak uygun bir grafik çiziniz.

h. Elde edilen verilerden nasıl yararlanılabileceğinin düşünüldüğünün sınıf ortamında sunulması


6. Ünite

Örnek: Bir okulun kütüphane memuru birinci dönem sonunda, kütüphanedeki kayıt defterine bakarakokulun açık olduğu günlerde kütüphaneyi ziyaret eden günlük öğrenci sayısını aşağıdaki gibi tespit et-miştir.

Bunun için önce açıklık, grup sayısı ve grup genişliğinibelirleyelim:

Açıklık = 70 – 11 = 59

Grup sayısını 10 kabul edelim.

Grup genişliği olduğundan

grup genişliğini 6 olarak alalım.

Verilere ait çetele ve sıklık tablosunu oluşturalım.

,1059 5 9= = =

11, 15, 15, 30, 20, 25, 20, 17, 28, 27, 30, 33, 40, 37, 35, 43, 48,

50, 53, 70, 70, 65, 63, 60, 68, 58, 61, 53, 49, 52, 60, 60, 63, 66, 70,

45, 40, 41, 43, 40, 50, 60, 63, 67, 59, 51, 49, 69, 65, 65, 65, 49, 58,

55, 57, 56, 54, 50, 41, 39, 35, 37, 36, 40, 34, 29, 33, 28, 25, 22, 18,

17, 13, 17, 12, 18, 16, 15, 15, 12.

Tablo: Kütüphaneyi Ziyaret Eden Öğrenci Sayısı

Öğrenci sayısı Gün sayısı Gün sayısı

11 – 16 I I I I I I I I 9

17 – 22 I I I I I I I 8

23 – 28 I I I I 5

29 – 34 I I I I I 6

35 – 40 I I I I I I I I 10

41 – 46 I I I I 5

47 – 52 I I I I I I I 9

53 – 58 I I I I I I I 8

59 – 64 I I I I I I I I 9

65 – 70 I I I I I I I I I 11

AçıklıkGrup Sayısı

Buna göre verilere ait histogramı oluşturalım:

Alternatif Etkinlik

• Bir ilçedeki 50 sınıf, TEMA VAKFI iş birliği ileağaç dikme kampanyasına katılmışlardır. Bu sı-nıflardaki öğrencilerin diktikleri ağaç sayıları aşa-ğıda verilmiştir:

• 21, 35, 22, 82, 67, 39, 21, 35, 73, 67, 67, 82,22, 22, 39, 90, 42, 55, 36, 31, 79, 82, 90, 73, 83,76, 35, 39, 65, 49, 44, 29, 54, 87, 36, 81, 49, 42,55, 31, 73, 67, 22, 39, 35, 49, 90, 38, 26, 38

• Yukarıdaki verileri en uygun grafikle gösterelim.• Verilerin açıklığını bulunuz.• Bu verilerin içinde bulunacağı 10 grup belirle-

yiniz.• Açıklığı grup sayısına bölerek grupların ge-

nişliğini belirleyiniz.• Grupların hangi veri aralığında olacağını be-

lirleyiniz.• Hangi grupta kaç tane veri olduğunu çetele

ve sıklık tablosu ile gösteriniz.• Çetele ve sıklık tablosunda belirlediğiniz

grupları grafik üzerinde sütunlarla gösteriniz.• Oluşturduğunuz grafiği isimlendiriniz.• Elde ettiğiniz grafikten faydalanarak sınıfların

hangi çoklukta ağaç diktiğini yorumlayınız.� Elde ettiğiniz grafiğin çizgi ve sütun grafiği-

ne göre farklılıkları nelerdir? Açıklayınız.


6. Ünite


6. Ünite

O hâlde grup genişliğini 24 olarak alalım. Verilere ait çetele ve sıklık tablosunu oluşturalım.

Şimdi de verilere ait grafiği oluşturalım.

Grafikten de görüldüğü gibi en fazla elektrik tüketimi 131 kw – 178 kw arasında (36 aile) ve227 kw – 298 kw arasında (29 aile) dır.

Örnekte 1 – 131 aralığında hiç veri olmadığından yanlış yorumlara yol açmamak için grafikte “zik-zak” kullanılmıştır.

Tablo: Site Sakinlerinin Bir Aylık Elektrik Tüketimine Ait Çetele ve Sıklık Tablosu

Bir aylık elektrik tüketimi (kw) Aile sayısı Aile sayısı

131 – 154 I I I I I I I I I I I I I 16

155 – 178 I I I I I I I I I I I I I I I I 20

179 – 202 I I I I I I 7

203 – 226 I I I I 5

227 – 250 I I I I I I I 8

251 – 274 I I I I I I I I I 11

275 – 298 I I I I I I I I 10

299 – 322 I I I I I I 7

323 – 346 I I I I 4

347 – 370 I I I I I I I 8

Histogram oluştururken grafiklere başlıklar yazılmalı, eksenler isimlendirilmelidir.

2

131

– 15

415

5 –

178

179

– 20

220

3 –

226

227

– 25

025

1 –

274

275

– 29

829

9 –

322

323

– 34

634

7 –

370

Aile s

ayıs

ı

468

101214161820

Elektrik tüketimi (kw)

Grafik: Site Sakinlerinin Bir Aylık Elektrik Tüketimi

0

Bu şekildeki grafiklere histogram denir.


3.

Yandaki grafikte, 7 saat hareket ederek 70 kmyol alan bir hareketlinin yol-zaman grafiği görül-mektedir.

Bu hareketli hangi saatler arasında en hızlıhareket etmiştir?

4.

Yandaki grafikte, bir dükkâna gelenmüşterilerin günlere göre bir haftalık dağılımıverilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisidoğrudur?

A) Pazartesiden itibaren pazara kadar müşteri sayısında devamlı artış vardır.

B) Haftanın son üç gününde gelen toplam müşteri sayısı, haftanın ilk üç gününde gelen toplammüşteri sayısından fazladır.

C) Perşembe ve cuma günleri gelen toplam müşteri sayısı cumartesi ve pazartesi gelen toplammüşteri sayısından daha azdır.

D) En az müşteri çarşamba günü gelmiştir.

A) 1-2 B) 2-3 C) 3-5 D) 5-7

Yol-Zaman Grafiği

10

1 2 3 4 5 6 7 Zaman(saat)

20

30

40

50

60

70

80

Yol (km)

Müşterilerin Bir Haftalık Dağılımı

5

0

0

Pzt.

Salı

Çar

ş.

Perş

.

Cum

a

C.te

si

Paza

r Günler

10

15

20

25

30

Müşteri sayısı

Öğrencilerin ilgisini çekmek amacıyla istatisti-ğin önemi ile ilgili aşağıdaki kısa bilgi verilebilir.Ayrıca konu ile ilgili araştırma ödevi verilebilir.Kaynak olarak aşağıdaki İnternet adresinden ya-rarlanılabilir.

TÜRKİYE İSTATİSTİK KURUMU VE İSTATİS-

TİĞİN TARİHÇESİ

İstatistik başlangıçta teknik bir disiplin olarakele alınırken günümüzde bir bilim dalı olarak be-nimsenmiş, ulusal ve uluslararası boyutta geliş-melerin temelini oluşturmuştur. Bilgi çağı olarakadlandırılan gelişmeler istatistiği evrensel bir ko-nuşma dili konumuna getirmiştir. Günümüzde ulu-sal ve uluslararası sosyal ve ekonomik gelişmehedeflerinin belirlenmesi ve bu hedeflerin başarı-sı güncel, güvenilir istatistiklerle sağlanmaktadır.Doğru bilgi, doğru yorum ve doğru karar sürecin-de araştırmacılar, politikacılar, karar alıcılar vetüm bireyler çalışmalarında istatistiki bilgileri etkinolarak kullanmaktadırlar.

İlk Çağda bile insanlar bazı toplu olayları belir-leme ihtiyacı duymuşlardır. Devletlerin kurulmasıile birlikte insanlar sınır belirleme, vergi toplama,toprak dağılımına yönelik amaçlarla kayıt tutmayabaşlamışlardır. Büyük bir coğrafyada, farklı ırklar,diller, dinler ve kültürler üzerindeki hâkimiyetin de-vam ettirilmesinin koşullarından birisi şüphesiz ka-yıt sistemlerinin iyi olmasından kaynaklanmıştır.

Ders kitabının 221 ve 222. sayfalarındaki ör-nekler öğrencilerle birlikte incelenir. Örnekler öğ-rencilerin günlük yaşamlarından seçilmiştir. Sınıf-ta gruplar oluşturarak öğrencilere konu ile ilgiliperformanslarını sergileyecekleri çalışmalar yap-tırılabilir. Öğrencilerden yapacakları grup çalışma-larında bir alan belirlemeleri istenir. Öğrencilerebelirlenen alanlarda araştırmalar yaparak elde et-tikleri verileri düzenlemeleri ve düzenledikleri veri-lerin tablo ve grafiklerini oluşturarak verilerin his-togramını belirlemeleri söylenir. Bu konu ile ilgili öğ-rencilerin tek başlarına ya da grupla yapacakları(önerilen) performans ödevleri düzenlenebilir. Buödevlerin düzenlenmesinde konunun ya da çalış-ma alanının öğrencilerin tercihlerine bırakılması-nın öğrencilerin sorumluluk duygusunun gelişme-sinde etkili olacağı dikkatten kaçırılmamalıdır.


6. Ünite


6. Ünite

Örnek: Bir futbol kulübü golcü bir oyuncu almak isti-yor. Bu kulübe önerilen aynı futbol disiplinine sahip ikioyuncunun son 7 sezon içinde atmış oldukları gol sayı-ları aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Sezon

Oyuncu2006 - 2007 2005-2006 2004-2005 2003-2004 2002-2003 2001-2002 2000-2001

A 18 8 35 14 20 30 8

B 20 15 18 20 21 16 23

Bu bilgilerden yararlanarak histogramı oluşturalım.

Grafiğe baktığımızda kütüphanenin ziyaretçi sayısının en az olduğu gün sayısının 5 (23 – 28 ve 41 -46 arasında öğrenci), ziyaretçi sayısının en çok olduğu gün sayısının ise 11 (65 – 70 arasında öğ-renci) olduğunu söyleyebiliriz.

2

0

11 –

16

17 –

22

23 –

28

29 –

34

35 –

40

41 –

46

47 –

52

53 –

58

59 –

64

65 –

70

Gü

n s

ay

ısı

4

6

8

10

12

Öğrenci sayısı

Grafik: Kütüphaneyi Ziyaret Eden Öğrenci Sayısı

Tablo: 2 Futbolcunun Yıllara Göre Attıkları Gol Sayısı


5.Yandaki dairesel grafik bir çiftlikteki hayvan-

ların sayılarına yöneliktir. Çiftlikte toplam 180tane hayvan olduğuna göre kaç tane koyunvardır?

6. 8 tane tam sayının aritmetik ortalaması 50’dir. Bu sayılara hangi sayı eklenmeli ki tüm sayıla-rın aritmetik ortalaması 60 olsun?

A) 140 B) 120 C) 100 D) 90

7. Melike dört sınava girmiştir. İlk üç sınavdan aldığı notların aritmetik ortalaması 64, dört sınavnotunun aritmetik ortalaması ise 68’dir. Melike’nin dördüncü sınavdan aldığı notu bulunuz.

A) 28 B) 35 C) 50 D) 70

120°

70°60°90°

20°

Tavuk

Koyun

Keçi

İnek

At


6. Ünite

değerine o veri grubunun standart sapması denir.

• Veriler birbirlerine ne kadar yakınsa standart sapma o kadar küçük olur.

• Veriler ortalama etrafında ne kadar çok yayılıma sahip ise standart sapma o kadar büyük

olur.

• Bütün veriler birbirlerine eşit ise standart sapma sıfır olur.

Her bir verinin aritmetik ortalamadan farkının karelerinin toplamı

Veri sayısının bir eksiği

Yukarıda her iki oyuncuya ait verilerin açıklığına bakarak A oyuncusuna ait verilerin, B oyuncusunaait verilere göre daha fazla yayılıma sahip olduğunu gözlemlemiştik. Bu nedenle A oyuncusuna ait veri-lerin standart sapması, B oyuncusuna ait verilerin standart sapmasından daha büyük çıkmıştır.

A oyuncusuna ait verilerin standart sapması, B oyuncusuna ait verilerin standart sapmasından dahabüyük olduğu için, B oyuncusunun sezonlara göre attığı gol sayıları birbirlerine daha yakındır. O hâldeB oyuncusu, A oyuncusuna göre daha istikrarlı bir oyun sergilemiştir.

Örnek: Bir okuldaki 8-A ve 8-B sınıflarından rastgele seçilen 11 öğrencinin matematik dersine aitnotları aşağıdaki gibidir. Tablodaki verilere göre 8-A ve 8-B sınıfındaki öğrencilerin matematik dersinde-ki başarılarını karşılaştıralım:

8-A sınıfına ait verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

10, 25, 35, 40, 50, 50, 60, 70, 70, 100, 100

8-B sınıfına ait verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

30, 40, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 70

8-A sınıfının verilerine ait;

8 - A sınıfı 10 40 70 35 25 70 60 100 100 50 50

8 - B sınıfı 60 50 60 70 30 50 60 50 60 50 40

açıklık ; 100 – 10 = 90,

çeyrekleraçıklığı ; 70 – 35 = 35,

aritmetikortalama ; ,

1110 25 35 40 50 50 60 70 70 100 100

11610 56+ + + + + + + + + +

= .

Tablo: 11 Öğrencinin Matematik Dersine Ait Notları

Standart sapma, açıklık ve çeyrekler açıklığı gibi bir yayılma ölçüsüdür.

Alternatif Etkinlik

• Sınıftaki öğrencileri dörder kişilik gruplaraayırınız.

• Her gruptaki öğrencilerin, matematik dersininbirinci yazılısından aldıkları notun aritmetik ortala-masını bulunuz.

• Her bir grup için grubun aritmetik ortalama-sından gruba ait verileri çıkarıp kareleri toplamınıbelirleyiniz.

• Belirlediğiniz toplamları veri sayısının 1 eksi-ğine bölüp karekökünü alınız.

• Elde edilen sonuçlar grupların standart sap-masıdır.

• Grupların standart sapmalarını büyükten kü-çüğe karşılaştırarak hangi gruptaki öğrencilerinbirbirine daha yakın olduğunu belirleyiniz.


6. Ünite


6. Ünite

Bu oyuncuları sezonlara göre atmış oldukları goller bakımından karşılaştıralım:

Önce her bir oyuncuya ait verilerin, veri açıklığını ve aritmetik ortalamalarını bulalım.

Her iki oyuncunun attığı gol sayılarının aritmetik ortalaması aynıdır. A oyuncusuna ait verilerin açık-lığı, B oyuncusuna ait verierin açıklığından daha büyüktür. Bunun için A oyuncusuna ait veriler, B oyun-cusuna ait verilere göre daha fazla yayılıma sahiptir.Şimdi her bir oyuncuya ait verilerin, o oyuncununattığı gollerin aritmetik ortalamalarına göre farklarını bulup bu farkların karelerini alarak toplayalım.

A oyuncusu

Açıklık = En büyük değer – En küçük değer

= 35 – 8 = 27

B oyuncusu

Açıklık = En büyük değer – En küçük değer

= 23 – 15 = 8

Aritmetik ortalama 720 15 18 20 21 16 23

7133 19

=

=

+ + + + + +

=

Aritmetik ortalama 718 8 35 14 20 30 8

7133 19

=

=

+ + + + + +

=

A oyuncusu için;

(19 – 18)2 + (19 – 8)2 + (19 – 35)2 + (19 – 14)2 + (19 – 20)2 + (19 – 30)2 + (19 – 8)2

= 12 + 112 + (–16)2 + 52 + (–1)2 + (–11)2 + (11)2

= 1 + 121 + 256 + 25 + 1 + 121 + 121

= 646 olur.

B oyuncusu için;

(19 – 20)2 + (19 – 15)2 + (19 – 18)2 + (19 – 20)2 + (19 – 21)2 + (19 – 16)2 + (19 – 23)2

= (–1)2 + 42 + 12 + (–1)2 + (–2)2 + 32 + (–4)2

= 1 + 16 + 1 + 1 + 4 + 9 + 16

= 48 olur.

Her iki oyuncu için elde ettiğimiz bu değerleri, oyunculara ait veri sayısının bir eksiğine bölerek çı-kan değerin karekökünü bulalım.

A oyuncusu için B oyuncusu için

, .olarak elde edilir7 148

648 2 8

-= ., .olur7 1

6466646 10 3

-= .


8. Bir öğrenci beş ayrı dersten sınava girmiştir. İlk dört dersin sınav sonuçlarının aritmetik ortala-ması 3, beş dersin sınav sonuçlarının aritmetik ortalaması da 3 tür. Buna göre, aşağıda verilen ifade-lerden kesinlikle doğru olanları yanlarındaki kutulara belirtiniz.

a) Öğrenci, ilk dört dersin her birinden 3 almıştır. ��

b) Öğrenci, beşinci dersten 4 almıştır. ��

c) Öğrenci beşinci dersten 5 almıştır. ��

ç) Öğrencinin 3’ün altında sınav sonucu yoktur. ��

9. Sınıfınızdaki öğrencilerin birinci matematik yazılı sınavından aldıkları notları belirleyiniz. Bunotlara ait çetele ve sıklık tablosu oluşturup histogramını oluşturunuz.

10. 12 tane doğal sayının aritmetik ortalaması 14’tür. Bu sayıların içinden 10, 8 ve 6 olan sayılarçıkarılırsa geriye kalan sayıların aritmetik ortalaması kaç olur?

Ders kitabının 223 ve 224. sayfalarındaki örnek-ler öğrencilerle birlikte incelenir. Örnekler öğrencile-rin günlük yaşamlarında sıkça karşılaştıkları bir alanolan spordan seçilmiştir. Çevre imkânları göz önün-de bulundurularak çevrede profesyonel spor kulübüvar ise bu kulüplerin transfer ile ilgili birimleriyle gö-rüşmeler yapılıp transfer çalışmalarında örnektebelirtilen kriterleri uygulayıp uygulamadıklarınınaraştırılması istenebilir. Öğrencilerden spor dergile-rinde verilen sporla ilgili istatistiklerden yararlanabi-lecekleri çalışmalar düzenlemeleri söylenebilir. Be-lirtilen konu ile ilgili araştırma yapmak için aşağıda-ki resmî İnternet sitesinin istatistik bölümünden ya-rarlanılabilir.

Kaynak: http://www.tbl.org.tr/beko/index.asp(Türkiye Basketbol Federasyonu)

Ders kitabının 225 ve 226. sayfalarındaki ör-nek öğrencilerle birlikte incelenir. Bu örnek öğren-cilerin günlük yaşamlarından seçilmiştir. Öğrenci-lerden gruplara ayrılıp çeşitli derslerden aldıklarınotları kullanarak sayfalarda açıklanan örneğebenzer bir çalışma yapmaları istenebilir. Öğrenci-lerden yaptıkları çalışma sonucunda elde ettikleriveriler doğrultusunda sonuçlara ait tahminde bu-lunmaları istenebilir. Böyle bir çalışma ile olasılık-larla ilgili tahmin yapılırken belli araştırmaların ya-pıldığı ve araştırma sonuçlarında elde edilen veri-lerden yararlanıldığı vurgulanmış olur. Olasılıklailgili tahminlerin sonuçlara yaklaşmasının doğruverilerin doğru şekilde kullanılması ile mümkün ol-duğu üzerinde durulmalıdır. Öğrenciler yapılanistatistiki çalışmaların bu amaca hizmet ettiğinikavrayabilmelidirler.

Uygulamalar


Çalışma kitabının 126, 127, 128, 129, 130ve 131. sayfalarındaki sorular çözdürülebilir.

Değerlendirme

Öğrencilerden, histogram oluşturmaları ve yo-rumlamaları; standart sapmayı hesaplamaları; is-tatistiksel temsil biçimlerini, merkezî eğilim ölçüle-rini ve standart sapmayı kullanarak gerçek ya-şam durumları için görüş oluşturmaları beklenir.



!

!


6. Ünite


6. Ünite

standart sapma;

.olur

1046 6 14 21 31 14 4 44 44 6 6

107906 791 28

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=+ + + + + + + + + +

. .

(56–10)2+(56–40)2+(56–70)2+(56–35)2+(56–25)2+(56–70)2+(56–60)2+(56–100)2+(56–100)2+(56–50)2+(56–50)2

11–1

8-B sınıfının verilerine ait;

açıklık ; 70 – 30 = 40,

çeyrekleraçıklığı ; 60 – 50 = 10,

aritmetikortalama ; ,

1130 40 50 50 50 50 60 60 60 60 70

11580 53+ + + + + + + + + +

= .

standart sapma;

8-A sınıfındaki 11 öğrencinin notlarının standart sapması, 8-B sınıfındaki öğrencinin notlarının stan-dart sapmasından büyüktür.

8-B sınıfındaki 11 öğrencinin aldığı notlar birbirine daha yakındır. O hâlde 8-A sınıfındaki öğrencileregöre konuları daha iyi kavramış olabilirler.

.olur

1023 13 3 3 3 3 7 7 7 7 17

101219 122 11

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=+ + + + + + + + + +

. .

(53–30)2+(53–40)2+(53–50)2+(53–50)2+(53–50)2+(53–50)2+(53–60)2+(53–60)2+(53–60)2+(53–60)2+(53–70)2

11–1

ALIŞTIRMALAR

1) Marketlerdeki değişik markalara ait ürünlerin fiyatları arasındaki farklılıklarla ilgili bir araştırma yapı-nız. Bu araştırmanın sonuçlarını farklı istatistiksel temsil biçimleri ile gösteriniz. Bu verilerin merkezî eği-lim ölçülerini ve standart sapmasını hesaplayınız. Bunları kullanarak nasıl bir yorum yapabilirsiniz? Açık-layınız.

2) Sınıfınızdaki öğrencilerin bir günde kaç saat uyudukları ile ilgili bir araştırma yapınız. Bulunan verile-re ait histogram oluşturup yorumlayınız.

126-131

Standart sapma sadece aritmetik ortalama için yapılacak yorumlarda kullanılır.


11. 6 sporcudan oluşan halter takımında sporcuların kaldırabildikleri en yüksek kütlelerin aritmetikortalaması 130 kg’dır. Kaldırabildiği maksimum kütle 134 kg olan halterci takımdan ayrıldığında geriyekalan sporcuların kaldırabildikleri maksimum kütlelerin aritmetik ortalaması kaç kg olur?

12. Bir aile ile aylık giderleri konusunda yapılan anket sonucunu histogramla nasıl gösterirsiniz?

13. 6 ve 7. sınıf sene sonu karne notlarınızın ayrı ayrı standart sapmasını hesap ediniz. Bu hesap-larınıza göre başarı durumunuzu yorumlayınız.


1. Bir okulda seçilen velilerin çocuklarına ver-dikleri günlük harçlıklar ile ilgili bir araştırma yapıl-mıştır ve toplanan verilere ait histogram aşağıda-ki gibidir:

Günlük Harcamalar İçin Histogram

Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.a) Toplam kaç veli seçilmiştir?b) Kaç öğrencinin harçlığı 11 TL’den azdır?c) En az ve en çok harçlık alan öğrenci sayısı-

nı belirleyiniz.ç) Seçilen öğrencilere düşen ortalama harçlığı

belirleyiniz.

2. A ve B liselerinin son sınıflarında son yediyılda aynı sayıda öğrenci vardır ve her yıl eşit sa-yıda öğrenci mezun olmuştur. Son yedi yılda heriki okulda da yıllara göre üniversite sınavını kaza-nan öğrenci sayıları aşağıdaki gibidir:

A Lisesi: 40, 30, 40, 45, 40, 35, 50B Lisesi: 10, 70, 20, 50, 60, 50, 20Buna göre bu verilerin aritmetik ortalamasını,

açıklığını, çeyrekler açıklığını ve standart sapma-sını bulunuz. Hangi lisede okumak isterdiniz? Ne-den?

3. Ülkemizde 2001-2005 yıllarına ait çay üreti-mi sırasıyla 100 ton, 300 ton, 400 ton, 500 ton ve400 ton olduğuna göre;

a) Bu verilere ait çizgi ve sütun grafiğini oluş-turunuz.

b) Bu verilerin standart sapmasını bulunuz.


6. Ünite


14. Aile bireylerinizin (dayı, hala, amca, kuzen, yeğen dâhil) ve akrabalarınızın günde ortalama kaçdakika uyudukları ile ilgili bir araştırma yapınız. Bu araştırma sonuçlarını bir histogram üzerinde göste-riniz.

15. Bir apartman sakinlerinin daire başına düşen aylık tüketim miktarlarını öğrenip bunun çetele vesıklık tablosunu düzenleyiniz. Bu verilere uygun histogramı çiziniz.

18

16

14

12

10

8

6

4

4

2

0

1-2

3-4

5-6

7-8

9-10

11-1

2

13-1

4

15-1

6

17-1

8

Günlük Harçlık(YTL)

VeliSayısı

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM


6. Ünite


6. Ünite


1) Fenerbahçe ve Galatasaray futbol takımları hakkında sorular oluşturunuz ve ilgili verileri İnternettentoplayınız.

2) Örneklemini sanatçıların oluşturduğu bir araştırma sorusu oluşturunuz.

3) Sınıfınızdaki arkadaşlarınızın dinledikleri müzik türlerine yönelik çetele ve sıklık tablosu oluşturarakuygun bir grafik çiziniz.

4)

Yandaki dairesel grafik bir sınıftaki öğrencilerin tuttukları fut-bol takımlarına yöneliktir. Sınıfta toplam 36 öğrenci olduğuna gö-re Galatasaraylı kaç öğrenci vardır?

5) 12 tane doğal sayının aritmetik ortalaması 64’tür. Bu sayılara kaç sayı eklenmeli ki tüm sayıların arit-metik ortalaması 66 olsun?

6) Farklı branşlardaki profesyonel sporcuların, profesyonel spor yaşamlarına son verdikleri ortalamayaşlar ile ilgili bir hipotez oluşturarak veri toplayınız.

7) 9 kişilik bir gruptan 5 kişilik bir koro oluşturulacaktır. Bu koro kaç farklı biçimde seçilebilir?

A) 56 B) 70 C) 84 D) 126

8) 5 matematik, 4 fen bilgisi öğretmeninin olduğu bir toplulukta 1 matematik ve 1 fen bilgisi öğretme-ninden oluşan komisyon kurulacaktır. Bu komisyon kaç farklı biçimde kurulabilir?

A) 1 B) 2 C) 20 D) 36

9) Aşağıda verilen ifadelerde yer alan noktalı yerleri <, >, = sembollerinden uygun olanları ile doldu-runuz.

a) P(4,2) ... P(3,2) c) C(5,1) ... P(5,1)

b) P(6,2) ... C(6,2) ç) C(6,3) ... C(9,2)

10) Bir takımın oynadığı her bir maçı kazanma olasılığı ’dir. Bu takımın art arda oynadığı iki maçı da

kazanması olaylarının bağımlı ya da bağımsız olaylar olup olmadığını belirtiniz.21

90°

40°50°

DiğerTB

GS

BJK

FB 110°

70°

Tutulan Futbol Takımları Grafiği

90

Bağımsız olaylar

9

>

>

=

<


6. Ünite

11) İki zar atılıyor. Her ikisinin de 3 gelme olasılığı kaçtır?

A) B) C) D)

12) Bir torbada 2 kırmızı, 4 sarı top vardır. Torbadan bir top çekiliyor ve rengine bakılarak atılıyor. Ardın-dan torbadan bir top daha çekiliyor. Her iki topun da sarı olma olasılığı kaçtır?

A) 0 B) C) D)

13) Bir zar ile bir madenî para aynı anda atılıyor. Zarın çift sayı ve madenî paranın yazı gelme olasılığı-nı bulunuz.

14) İki madenî para atılıyor. İkisinin de tura gelme olasılığını bulunuz.

15) “Yarın bize misafir gelebilir.” ifadesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Deneysel olasılık ifadesidir.

B) Teorik olasılık ifadesidir.

C) Öznel olasılık ifadesidir.

D) Hiçbiri değildir.


a) ( ) A ve B olayları bağımsız olaylar ise O (A ve B) = O (A)$O (B)’dir.

b) ( ) İki veya daha fazla olayın gerçekleşmeleri birbirine bağlı ise bu tür olaylara bağımsız olay-

lar denir.

c) ( ) Atış sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri öznel olasılık değerine yaklaşır.

ç) ( ) Anket oluştururken çevre faktörü önemlidir.

d) ( ) Açıklık oranına grup genişliği denir.Grup sayısı

e) ( ) İki veri grubu karşılaştırılırken veriler birbirine eşitse standart sapma yüz olur.

f) ( ) C (6,1) = 1’dir.

g) ( ) C (4,1) > P (3,1)’dir.

94

52

151

21

31

61

361

D

14

14

Y

Y

D

D

Y

Y

D

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

Ders kitabının 227 ve 228. sayfalarındaki“Ünite Değerlendirme Soruları” öğrencilere yaptı-rılır.



6. Ünite

1. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrudur?

A) 3–2 = (–2)3 B) 50 = 05 C) 42 = 24 D) 23 = 32

2. 5–2 . 5–1 . 50 . 51 . 52

işleminin sonucu kaçtır?

A) –1 B) 0 C) 1 D) 5

3.


A) 0 B) 1 C) 2 D) 4

4. Aşağıdakilerden kaç tanesinin sonucu bir irrasyonel sayıdır?

I. II. III. IV.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

5. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi yanlıştır?

I. II.

III. IV.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

6. Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi irrasyonel sayıdır?

I. π II. III.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

, ,0 6 0 4+21

72 50 2- =50 5 2=

6 5 1- =1 2 21 1

801253 2 2 2-

123

850

22 2 22

2

2 2 2 2+ + +-

- - - -


1. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI

7. Dünyanın kütlesi 6 594 000 000 000 000 000 000 tondur.

Dünyanın kütlesinin bilimsel gösterimle yazılışı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

A) 6594.1015 B) 65,94.1020 C) 659,4.1019 D) 6,594.1021

8.


A) B) 2 C) 2 D) 3

9.


A) 02 B) 2 C) 3 D) 3

10.


A) B) C) D)

11.


A) 1,9 B) 1,8 C) 0,8 D) 0,4

, , ,0 36 1 21 1 69- +

441

1641

23

32

1 1 169

+ +

23

3 9 8 4

222

32 2 50 3 18- +


1.

Yukarıda modellenen cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 + 2x + 1 B) 2x2 + 3x + 1 C) x2 + 3x + 2 D) x2 + 3x + 1

2.

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) –1 D) 1

3. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi bir özdeşlik belirtir?

I. 2a + 1 = 5 II. a(a + 3) = a2 + 3a

III. a2 – (5 + a2) = 5 IV. 3a – (1 + 2a) = 2a

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

4. x – y = 3x + y = 7 olduğuna göre, x2 – y2 kaçtır?

A) 21 B) 27 C) 31 D) 33

5. Yandaki şekilde bir kenarı b birim olan karenin içinden, bir kenarı a birimolan karelerden 2 tane çıkarılmıştır.

Buna göre, kalan alan aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilebilir?

A) b2 – 2a B) b2 – a2 C) 2b – a2 D) b2 – 2a2

a

a

b

x 51-x 5

1+

xx

xxx

2510 25

55

2

2

$-

- +-+

x

x 1 1

x

x1 1

1 1



2

–3

A) y

x 3

–2

B) y

x

3

–2

C) y

x

2

–3

D) y

x

A)

2

y

x–3

B

x

B)3

y

x–2

D) y

C)

2

y

x

3

D D)

2

y

x3

6.

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 32 B) 42 C) 51 D) 62

7.

doğrusunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D)

8. 3 katının 5 eksiği, –4 katının 4 fazlasından büyük veya eşit olan sayıları bulunuz.

Bu problemin çözümünü veren eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3x – 5 < –4x + 4 B) 3x – 5 ≥ 4x – 4 C) 3x + 5 ≤ –4x + –4 D) 3x – 5 ≥ –4x + 4

9. 2y – 3x + 6 = 0

doğrusunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D)

y x23

=-

x x32

42 5-

--

=



6. Ünite

B

A4 m4 mIşık

8. ABC dik üçgen,

BDE dik üçgen,

[BA] ⊥ [AC]

[BE] ⊥ [ED]

|BE| = 3 cm

|EA| = 6 cm

|ED| = 5 cm

Verilenlere göre, |AC| kaç cm’dir?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18

9. ABCD dörtgen

[BC] // [AD]

s(BëAC) = s(AëDC)

|AB| = |AD|

|BC| = 8 cm

|AC| = 12 cm

Verilenlere göre, |CD| kaç cm’dir?

A) 18 B) 20 C) 24 D) 27

10.

Yukarıda verilen üçgenler arasındaki benzerlik için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) AÿBC ~ FÿED B) AÿBC ~ DÿEF C) AÿBC ~ EÿFD D) AÿBC ~ EÿDF

11.

Şekildeki gibi çocuğun AB duvarı ve ışık kaynağına uzaklığı 4 m iken duvarda oluşan gölgenin bo-yu 3 m oluyor.Çocuk duvara 1 m yaklaştırılırsa gölge nasıl değişir?

A) Gölgenin boyu 1 m artar. B) Gölgenin boyu 0,6 m artar.C) Gölgenin boyu 1 m azalır. D) Gölgenin boyu 0,6 m azalır.

A

B C

58°

62°

D

E F

60°

62°

A

B C

80°

57°

72°

e

27°cb

d

D

a

A

B C

6

3

E

D

5


12. ABCD dörtgen,[AB] ⊥ [BC][AC] ⊥ [DC]|AB| = 5 cm|BC| = 12 cm|DC| = 13 cm

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) ABC üçgeninin çevresi bulunabilir. B) AC uzunluğu bulunabilir.C) AD uzunluğu bulunabilir. D) ADC üçgeninin çevresi bulunamaz.

13. 0° < x < 90° ve olduğuna göre,

ifadesinin değeri kaçtır?

A) B) C) D)

14. [AB] ⊥ [BC]

Yukarıdaki şekilde bir bayan ve gölgesi görülmektedir.Bayanın gölgesinin uzunluğu 80 cm olduğuna göre, bayanın boyu kaç

cm’dir?

A) 140 B) 150 C) 160 D) 170

15. Aşağıdaki verilen doğruların hangilerinin eğimleri birbirine eşittir?

I. 2x – 3y + 4 = 0 II.

III. IV. y = 3x – 4

A) I ve II B) II ve III C) I ve IV D) I ve III

1x y3 2-

+ =

x y32

23 1- =

sin A 178

=W

A

BC

103

401

51

-403

-

cos sinsin tan

x xx x

2+-

tanx 43

=

A

B C

D

5

12

13


1.

Şekildeki ABCD dörtgeni, üzerinde verilen ölçülere uygun çizilirse en uzun kenar, han-

gi kenar olur?

A) [DC] B) [DB ] C) [BC] D) [AB]

2. ABC üçgen

BDC üçgen

s(BëAC) = 80°

s(AëBC) = 57°

s(BëCD) = 72°

s(BëDC) = 27°

Verilenlere göre; a, b, c, d, e uzunlukları arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

A) a < b < e < c < d B) d < a < e < b < c C) a < d < e < b < c D) b < c < d < e < a

3.

Şekilde; ABC üçgen, DCE üçgen, |AB| = 6 cm,|AC| = 9 cm, |DC| = 12 cm, |DE| = 15 cmolduğuna göre, |BE| nun en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 40 B) 41 C) 42 D) 43

A

B C E

12

96

15

D

A

B C

80°

57°

72°

e

27°cb

d

D

a

A

B

C

D

73°

27°

43°

67°




4. Yandaki karesel zemin üzeride [AB] ve C, D, E, F noktaları veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki üçgenlerden hangisinin en az bir yüksekli-

ği üçgenin dışındadır?

A) ABE B) ABF C) ABC D) ABD

5. ABC üçgen|AB| = |AC| D ∈ [BC]

[AD] kenarortay olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?

I. |BD| = |DC|

II. [AD] ⊥ [BC]

III. s(BëAD) = s(DëAC)

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

6. Şekilde eşit aralıklarla çizilen noktalar birleştirilerek ABE ve BCD üçgen-leri oluşturuluyor.

Buna göre, A ÿÿBE de AE kenarına ait yükseklik B ÿÿDC de CD kenarı-

na ait yüksekliğin kaç katıdır?

A) B) 1 C) 2 D) 4

7.

Verilenlere göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) B) C) D) ABC DEF+& &BAC EFD+

& &ABC FDE+& &BC

DE2=

A

3

D

E

B C

F

8

6

16

21

A D

B

CE

A

B D C

D

C

E

F

A B


6. Ünite

1.

"Yukarıda verilen iki üçgen prizmadan; A ……… prizma, B ……… prizmadır."Buna göre, boşluklara yazılması gereken uygun kelimeler sırasıyla aşağıdaki şıklardan

hangisinde verilmiştir?

A) Dik; eğik B) Taban; dik C) Dik, ayrıt D) Eğik, dik

2.

Şekildeki dik üçgen dik prizmanın tabanının dik kenarlarından birinin uzunluğu4 cm’dir.

Prizmanın taban alanı 6 cm2 ve yüksekliği 6 cm olduğuna göre, yanal alanı kaç cm2’dir?

A) 36 B) 40 C) 48 D) 72

3. Düzgün altıgen dik prizmanın taban ayrıtı 3 cm ve hacmi 81ññ3 cm3 olduğuna göre, yüksek-

liği kaç cm’dir?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8

4. Hacmi 2125 cm3 olan bir küpten 17 tane eşit hacimli küp yapılıyor. Elde edilen her bir kübün alanı kaç cm2’dir?

A) 125 B) 150 C) 160 D) 225

5. Taban ayrıtının uzunluğu 8 cm olan bir düzgün kare piramidin yanal alanı 80 cm2 olduğuna

göre, bu piramidin hacmi kaç cm3’tür?

A) 64 B) 60 C) 54 D) 40

A B



4


6.

Yukarıdaki daire dilimi (I) ve daire (II) kullanılarak bir geometrik şekil oluşturuluyor.Buna göre, oluşturulan şekil aşağıdakilerden hangisidir?

A) Koni B) Küre C) Piramit D) Prizma

7. Yandaki silindirin içindeki 3 eş küre, silindirin tabanlarına ve yan yüzlerine teğettir.Kürelerin yarıçapı 1 cm olduğuna göre, silindirle küreler arasında kalan kısmın

hacmi kaç cm3’tür? (π = 3 al›n›z)

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6

8.

Şekilde çapı 4 cm olan dairenin çeyreği verilmiştir.

Bu daire diliminin [BC] etrafında 360° döndürülmesiyle meydana ge-

len cismin hacmi kaç cm3’tür?

A) B) C) D)

9. Alanı S olan bir kürenin yarıçapı iki katına çıkarılırsa, oluşan yeni kürenin alanı kaç S olur?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

10. Şekilde, yükseklikleri birbirine eşit, iç içe iki silindir verilmiştir. İki silindir arasın-

daki boşluğun, büyük silindirin hacmine oranı dur.

Büyük silindirin taban yarıçapı 18 cm olduğuna göre, küçük silindirin ta-

ban yarıçapı kaç cm’dir?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 15

95

π3

16π3

30π3

64128π3

A B

C

III

A) B) D)

1.

Yukarıdaki şekli oluşturan geometrik cisimler aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

A) Dikdörtgenler prizması – üçgen piramit B) Kare prizma – kare piramitC) Dikdörtgen piramit – dikdörtgenler prizması D) Kare piramit – üçgen prizma

2. Aşağıdaki şekillerden hangisi dış bükeydir?

A) B) C) D)

3.

Yukarıdaki şekil bir dik konidir.Düzlemle kesilen bu şeklin ara kesiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D)

4.

Bir küpün herhangi bir yönde döndürülmesiyle elde edilen görünümleri yukarıda verilmiştir.Buna göre, aşağıdakilerden hangisi küpün diğer bir görünüşü olabilir?

A) B) C) D)



A)

Silindir

B)

Koni

C)

Küre

Koni

D)

KesikKoni

) ) )

5. Koordinat eksenlerinde verilen karenin orjine göre simetriği aşağı-

dakilerden hangisidir?

6. Aşağıdaki yapılardan hangisi çok küplü sayısı bakımından farklıdır?

A) B) C) D)

7. Aşağıdaki eşleştirmeler geometrik şekil ve eksen etrafında dönmesi ile ilgilidir.Buna göre, hangisinde şekil değişmez kalır?

I. Küp; 90°II. Dikdörtgenler prizması; 90°III. Silindir; 180°

A) Yalnız I B) I ve II B) I ve III D) I, II ve III

8. Yandaki şekil için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) 9 yüzü vardır.B) 9 tane köşesi vardır.C) Dikdörtgenler prizması ve üçgen piramitten oluşmuştur.D) Şekle tam üstten bakan birisi şekli dikdörtgen olarak görür.

9. Aşağıdaki şekillerin hangisinde düzlemle kesilen cisimlerin ara kesiti daire olamaz?

A) B) C) D)

x

x

y

O


x

xx

x

x

A) B) C) D)


6. Ünite



1. Aşağıdakilerden hangisi olasılık çeşitlerinden değildir?

A) Deneysel olasılık B) Olası olasılıkC) Teorik olasılık D) Öznel olasılık

2. Engin, bir metal parayı atarak yazı gelme olasılığını hesaplamak istiyor. Parayı 20 kez atıyor ve 15kez yazı geliyor.

Buna göre, Engin'in yaptığı bu olasılık hesabı aşağıdakilerden hangisidir?

A) Teorik olasılık B) Deneysel olasılıkC) Bağımsız olasılık D) Öznel olasılık

3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine yaklaşır.B) Olasılık çeşitleri üç tanedir.C) Teorik olasılık kişiden kişiye değişir.D) Öznel olasılık tahmine dayalıdır.

4. Bir kutuda 5’i bozuk olmak üzere 12 ampul vardır. Geriye atılmamak üzere kutudan arka arkaya çekilen 3 ampulün de sağlam olma olasılığı

kaçtır?

A) B) C) D)

5. Madeni bir parayı, arka arkaya üç kez havaya attığımızda, en az bir yazı gelme olasılığı kaçtır?

A) B) C) D) 87

85

83

81

447

127

125

445

6. Bir otobüsteki 40 yolcunun 15’i bayandır. Bayanların 3’ü, erkeklerin 9’u gözlüklüdür. Rastgele bir ki-şi seçiliyor. Bu kişinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır?

A) B) C) D)

7. Bir kutudaki 20 kalemden 11’i sağlam, geri kalanı da kırıktır. Kutuya geri atmamak şartıyla, arka arkaya çekilen iki kalemin de kırık olma olasılığı kaçtır?

A) B) C) D)

8. Ali’nin 5 dersten aldığı notlar: 5, 2, 3, 4, 1 Ayşe’nin 5 dersten aldığı notlar: 4, 3, 3, 3, 2 iseverilenlere göre,

a) Ali ve Ayşe’nin aldığı notların standart sapmalarını bulunuz.

b) Ali ve Ayşe’nin aldığı notlara göre başarılarını karşılaştırınız.

9518

3811

207

209

109

107

169

259


........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

NOTLARIM

1. x pozitif bir sayı ise, aşağıdakilerden kaç tanesi negatiftir?

I. –x–2 II. x–1 III. (–x)–2 IV. –x–1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

2. olduğuna göre, (a – 1)–1 ifadesinin değeri kaçtır?

A) –1 B) 0 C) 1 D) 2

3.

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) –210 B) –25 C) 25 D) 210

4. Aşağıdaki eşitliklerden kaç tanesi yanlıştır?

I. 150000 = 1,5 x 105 II. 0,85 = 8,5 x 10–1

III. 285 = 2,85 x 102 IV. 0,0005 = 5 . 10–3

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

5.

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 10–4 B) 10–3 C) 10 D) 100

.. : .

10 1010 10

1010 10

7 0

3 2

6

5 3-

-

- -

. .21

32

315 55

- - -- -

b b bl l l

a 211 =-


6. Ünite



6. Ünite

6. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?

I. II. III. IV.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4


I. II. III. IV.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

8.


A) 1 B) 0,9 C) 0,3 D) 0,03

9.


A) B) C) D) 15

10.


A) 6 B) 5 C) 4 D) 3

.80

40 72

51

154

151

1 161 9 16

9 2

- + -c m

, , ,0 4 0 06 0 09+ +

150 5 6=45 3 5=50 5 2=8 2 2=

49 72 =6 62- =-] g81 9 6- =64 8=


6. Ünite

1.

ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 B) 2 C) x D) x + 6

2.

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x B) 2 C) 1 D) –1

3.

ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 B) x C) x – 1 D) x + 1

4. Aşağıdakilerden kaç tanesi özdeşlik değildir?

I. x4 – 16a2 = (x2 – 4a).(x2 + 4a) II. (3x – 1).(x – 5) = 3x2 – 16x + 5

III. x2 + 4x – 45 = (x + 9).(x – 5) IV. x2 + x – 12 = (x – 4).(x + 3)

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

5. Aşağıdakilerden hangisinin açılımı 4x2 – 20x + 25’tir?

A) (5x – 2)2 B) (4x – 5)2 C) (2x – 5)2 D) (2x – 1)2

.xax ax

ax ax x

12 1

2

22

--

++ +

xx

xx

22

22

-

-

.x

x xxx

3612 36

66

2

2

-- +

-+



6. Ünite

6.

denkleminde x kaçtır?

A) B) C) D)

7.

eşitliğinin çözüm kümesinde kaç tane doğal sayı vardır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

8.

eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır?

A) –8 B) –9 C) –10 D) –11

9. 2x + 3y = 12

x + 2y = 7doğrularının kesim noktası aşağıdakilerden hangisidir?

A) (3, 2) B) (–3, 2) C) (3, –2) D) (–3, –2)

10. Denklemi x – 2y + 4 = 0 olan doğrunun koordinat eksenlerini kestiği noktalar arasındaki

uzaklık kaç birimdir?

A) 2ñ5 B) 6 C) 2ñ2 D) 3ñ2

x34 22

-+

x x2 4 11-

43

-31

-113

-73

-

x x x31

3+

+ =


6. Ünite

1.

a bir tam sayı olmak üzere, şekilde verilen ölçülere göre, ABC üçgeninin çevresinin uzunlu-

ğu en fazla kaç cm olur?

A) 35 B) 43 C) 51 D) 53

2.

ABC üçgen, |BC| > |AC| > |AB| ve s(AéBC) = 70° olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğ-

rudur?

A) s(AéCB) = 40° B) s(BéAC) = 70° C) s(AéCB) > 40° D) s(BéAC) > 70°

3.

fiekildeki üçgenlerde en uzun kenar afla¤›dakilerden hangisidir?

A) [BD] B) [AD] C) [DC] D) [BC]

A

B

C66°

D

60°

68° 40°

A

CB

70°

A

B

C

9 cm

17 cm

a cm



6. Ünite

4.

Şekilde ADB açısının ölçüsü kaç derecedir?

A) 64 B) 66 C) 71 D) 74

5. Aşağıda verilen sayı üçlülerinden hangisi bir üçgenin kenar uzunlukları olabilir?

A) (5, 11, 5) B) (2, 3, 5) C) (2, 3, 6) D) (4, 5, 7)

6. ABC dik üçgen

s(ëA) = 90°

a2 + b2 + c2 = 32

Verilenlere göre, a kaçtır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3

7. [AD] ⊥ [DE][AB] ⊥ [BE]|AB| = 8 cm|BC| = 6 cm|CE| = 5 cm

Şekilde, |DE| kaç cm’dir?

A) 3 B) 4 C) 7 D) 9

8. doğrusununun eğimi kaçtır?

A) B) C) D) 94

32

97

117

x y32

23

1- =

A

BC

8

65

D

E

A

B Ca

bc

A

B CD

ABC üçgen

m(BéAD) = m(DéAC) 40°

m(B) = m(C) + 38°

C


6. Ünite

1.

"Boyutları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tahtanın her köşesinden, yu-karıda bir tanesinin gösterildiği gibi bir kenarı 1 cm olan küp şeklinde 8 parça çıkartılıyor. Kalan kısmın alanı kaç cm2 dir?

A) 376 B) 354 C) 336 D) 296

2. Bütün alanı 216 cm2 olan bir küpün, cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm dir?

A) 12ñ3 B) 12ñ2 C) 6ñ3 D) 6ñ2

3.

Şekildeki dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 4 cm 3 cm ve 3 cm dir.Bu dikdörtgenler prizmasının bütün yüzeyi boyandıktan sonra şekildeki gibi bir kenarı 1 cm

olan küçük küplere bölündüğünde, kaç tane kübün sadece bir yüzeyi boyalı olur?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12

4. Bir ayrıtı 8 cm olan bir kübün içerisine yerleştirilebilen en büyük hacimli silindirin tüm alanı

kaç cm2 dir?

A) 64π B) 72π C) 81π D) 96π

1

1

tahtadan dikdörtgenler prizmas›küçük küp



6. Ünite

5. Çapı 12 cm olan bir dairenin 120° lik bir dilimi kesilerek bir koni yapılıyor.Bu koninin hacmi kaç cm3 tür? (π = 3 alınız.)

A) 16ñ2 B) 24 C) 48ñ2 D) 72

6. Hacmi 2048 cm3 olan küre şeklindeki bir balonun alanı kaç cm2 dir? (π = 3 alınız.)

A) 480 B) 536 C) 672 D) 768

7.

Yukarıdaki dik üçgen, [BC] kenarı etrafında 360° döndürüldüğünde, elde edilen cismin hac-

mi kaç cm3 tür? (π = 3 al›n›z.)

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18

8. Taban yarıçapının uzunluğu 9 cm, yüksekliğinin uzunluğu 12 cm olan bir dik koninin yanal

alanı kaç cm2 dir? (π = 3 al›n›z.)

A) 405 B) 256 C) 225 D) 189

A

CB 2 cm

3 cm

B

C

A E

F

D

LK

M

y

y'

xx'


6. Ünite

1.

Yukarıdaki şekilde II nolu doğruya göre hangi şekiller simetriktir?

A) Yalnız N ile L şekilleri B) N ile K ve M ile L şekilleriC) K ile M ve N ile L şekilleri D) K ile L ve M ile N şekilleri

2. I. 4 kenarlı düzgün çokgenin 4 simetri doğrusu vardır.II. Düzgün altıgenin 6 simetri doğrusu vardır.III. Düzgün çokgenlerin simetri doğrusu sayısı, kenar sayısına eşittir.

Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A) I, II ve III B) I ve II C) II ve III D) Yalnız I

3. Aşağıdaki şekillerden hangisinin hem yatay, hem de dikey simetri doğrusu vardır?

4.

K N

LM

IK N

M L

II

A) B) C) D)


Yandaki şekilde ABC üçgeni önce sağa doğru 7 birim öte-lenerek DEF üçgeni elde edilmiştir. Sonra da DEF üçgenininxx' eksenine göre yansıması alınarak KLM üçgeni elde edil-miştir.Buna göre, aşağıdaki tabloyu doldurunuz.

A(–4,1) D(3, 1) K(3, –1)

B(–1, 1)

C(–1, 5)

öteleme Yans›ma

öteleme


6. Ünite

5. Aşağıdaki şekilde ABC üçgeni O noktası etrafında 90° döndürülerek DEF üçgeni elde edilmiştir.Tekrar 2. defa 90° döndürülerek KML üçgeni elde edilmiştir. Siz de bir defa daha döndürünüz (3.dönme).

Yukarıdaki şekle göre aşağıdaki tabloyu doldurunuz.

6. Yandaki A şeklini 8 birim sağa öte-leyiniz, sonra d simetri ekseninegöre simetriğini çiziniz. Bu işlemi 3defa tekrarlayınız.

A

d

A(2,1) D(1, –2)

B(6, 1)

C(2, 6)

1. dönme 2. dönme

1. dönme

3. dönme

2. dönme 3. dönme

1. dönme 2. dönme 3. dönme

A B

C

D F

EL

KM

1. dönme

2. dönme

3. dönmeO

y

y'

xx'


6. Ünite


I. Bir madeni parayı 10 defa atarak yazı gelme olasılığını hesaplamak deneysel olasılıktır.II. Deneysel olasılıkta bir deney yaparak teorik olasılık kesinlikle bulunur.III. Deneysel olasılıkta ne kadar çok deney yapılırsa teorik olasılığa o kadar yakın bir sonuç elde

edilir.

IV. Arzu'nun hilesiz bir zar atıldığında asal sayı gelmesi olasılığının olduğunu söylemesi öznel

bir olasılıktır.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

2. Selim, bir maçta en az 10 faul olma olasılığının %40 olduğunu söylüyor.

Bu ne tür bir olasılıktır?

A) Deneysel B) Öznel C) Teorik D) Olasılık değil

3. Bir kutudaki 10 kalemin 5 tanesi kırmızı, diğerleri siyah renklidir.

Kutuya geri atmamak şartıyla kutudan art arda çekilen iki kalemin de kırmızı renkli olma ola-

sılığı kaçtır?

A) B) C) D)

4. 10 yarışmacı, bir yarışmadaki 3 ödülü kaç farklı biçimde kazanabilirler?

A) 540 B) 600 C) 720 D) 764

122

92

52

21

61



6. Ünite

5. Bir ilde 6 gün ortalama sıcaklıklar,

1°C, 7°C, 6°C, 3°C, 1°C, 0°C olmuştur.

Bu değerlerin standart sapması yaklaşık olarak kaçtır?

A) 2 B) 2,89 C) 3 D) 3,5

6. Bir dersin sınavında alınan notlar

3, 3, 3, 3,4 , 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10 şeklindedir.Bu soruda verilere ait histogramı çiziniz.


ÖLÇME ARAÇLARI

ÖĞRENCİ ÜRÜN DOSYASI DERECELİ PUANLAMA ANAHTARI

Öğrencinin Adı ve Soyadı : .................................................. Sınıfı: ...............

Aşağıda yer alan ifadeleri Ürün Dosyası’nın bütününü dikkate alarak doldurunuz. Ürün Dosyasıölçütlerinin çok azı gerçekleştirilmişse 1’i, kısmen gerçekleştirilmişse 2’yi, çoğu gerçekleştirilmişse 3’ü vetamamı gerçekleştirilmişse 4’ü işaretleyiniz.

ÖLÇÜTLER 1 2 3 4

1. Çalışmaların tam olması

2. Çalışmalardaki çeşitlilik

3. Yeterli miktarda çalışmayı içermesi

4. Çalışmaların amaçları karşılaması

5. Çalışmaların amaca uygunluğu

6. Çalışmaların doğruluğu

7. Dosyanın düzenliliği

8. Harcanan çabaları gösterme

9. Kaliteliliği gösterme

10. Yaratıcılığı gösterme

11. Çalışmaların seçiminde risk alma

12. Öğrencinin gelişimini gösterme

13. Kendini değerlendirme

YORUMLAR VE ÖNERİLER

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................


ÖZ DE⁄ERLEND‹RME

Öğrencinin adı ve soyadı : Tarih:

Sınıfı :

Numarası:

Bu çalışmada neler yaptım?......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

Bu çalışmadan neler öğrendim?......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

Bu çalışmada başarılı olduğum bölümler nelerdir?......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

Bu çalışmada en çok zorlandığım bölümler hangileridir?......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

Çalışmamı yaparken karşılaştığım zorluklar.......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

Bu çalışmayı tekrar yapsaydım şu şekilde yapardım:......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................


PROJE DE⁄ERLEND‹RME FORMU

Grup adı: ....................................... Projenin adı : ........................................ Sınıfı : ..............

Aşağıda yer alan ifadeleri projenin bütününü dikkate alarak doldurunuz. Proje ölçüt-lerinin çok azı gerçekleştirilmişse 1’i, kısmen gerçekleştirilmişse 2’yi, çoğu gerçekleşti-rilmişse 3’ü ve tamamı gerçekleştirilmişse 4’ü işaretleyiniz.

ÖLÇÜTLER 1 2 3 4

Hazırlama Süreci

1. Amaca uygun plan yapma

2. Grup üyelerinin görevlerini belirleme

3. Farklı kaynaklardan bilgi toplama

4. Projeyi plana göre gerçekleştirme

İçerik

5. Ünite kazanımlarını projede kullanma

6. Projeden beklenenleri gerçekleştirme

7. Özgün özelliklere sahip bir ürün ortaya koyma

8. Proje konusunu yaşamla ilişkilendirme

Rapor Yazma

9. Düzgün, akıcı ve anlaşılır bir dille yazma

10. Türkçe yazım kurallarına uyma

11. Rapor yazma aşamalarına dikkat etme

12. Raporu düzenli ve temiz hazırlama

Sunum Yapma

13. Düzgün, akıcı bir Türkçe ile konuşma

14. Proje sürecinde yapılanları anlatma

15. Projeyi ilgi çekici bir biçimde sunma

16. Sunuyu verilen sürede tamamlama

17. Sorulara cevap verebilme

18. Yaptığı çalışmadan sonuçlara ulaşma

19. Vardığı sonuçlara uygun önerilerde bulunma


PERFORMANS ÖDEV‹ DE⁄ERLEND‹RME FORMU - 1(Çal›flma Kitab›’ndaki 1. Performans Ödevi için kullan›lacakt›r.)

BECERİLER

ÖLÇÜTLER

PUANI

İÇERİK

1) ORTA 2) İYİ 3) ÇOK İYİ

• Geometrik şekil-leri ayrı ayrı kar-tonlara çizdi.

• Geometrikşekillerden oluşanresmi çizdi.

• Geometrikşekilleri ayrı ayrıkartonlara çizdi.

• Geometrikşekillerdenoluşan resmiçizdi ve boyadı.

• Ödevinihazırlayıp teslimetti.

• Geometrik şekilleriayrı ayrı kartonlaraçizdi.

Geometrik şekillerdenoluşan resmi çizdi veboyadı. Ödevinidüzenli bir şekildehazırlayıp teslim etti.

MATERYAL

• Ödevini bir ikigeometrik cisimkullanarakoluşturdu.

• Ödevinin içeri-sine bütüngeometrik şekileriyerleştirdi.

• Ödevinin içerisinebütün geometrikcisimleri, renkli karton-ları, farklı farklı resim-leri yerleştirdi.

SUNUM

• Çalışmasınısunarkenarkadaşlarınınilgisini çekemedi.

• Zamanını etkilikullanamadı.

• Çalışmasını su-narken sınıftakibirçok öğrencinindikkatini çekti.Zamanını kısmenetkili kullandı.

• Çalışmasınısunarkenarkadaşlarının ilgisiniçekti ve bütün arka-daşları onu dinledi.

• Zamanını etkilişekilde kullandı.


BECERİLER1 2 3 4

Zayıf Orta İyi Pekiyi

İÇERİK

1. Ödevin başlığı oluşturulmuştur ve amaçlarını yansıtmaktadır.2. Ödevle ilgili yaratıcı, eleştirel sorular üretilmiştir.3. Yapılan araştırmalar etkili ve yeterlidir.4. Kullanılan materyaller yeterlidir.5. Materyaller etkili bir şekilde kullanılmıştır.6. Ödev için toplanan bilgiler ödevin amacına uygundur.7. Yapılan işlemler ve grafikler anlamlıdır.8. Toplanan bilgiler doğru olarak aktarılmıştır.9. Ödevin kalıcılığı fotoğraf ya da kamera vb. ile sağlanmıştır.

10. Ödevin konusu ile varılan sonuçlar birbirini tamamlar.11. Ödevdeki çalışmalar doğrudur.12. Ödev, öğrencinin kendisi tarafından hazırlanmıştır ayrıca ya-kınlarından yardım almıştır.

DÜZEN

1. Türkçe dil bilgisi kurallarına uyulmuştur.2. Ödev genel olarak titiz çalışılmıştır.3. Ödev düzgün bir el yazısı ile veya bilgisayarda yazılmıştır.

ZAMAN

1. Ödev alındıktan sonra ilk görüşme zamanına kadar içerikbelirlenmiş, plan yapılmıştır.2. Ödev, zamanında tam olarak teslim edilmiştir.3. Öğrenci, öğretmeniyle ödevin planlaması ve geliştirilmesi

aşamasında iş birliği yapmıştır.

SUNU

1. Ödev, etkili bir şekilde açık ve net olarak sınıfa sunulmuştur.2. Ödevin başında istenen sorulara net cevaplar verilmiştir.3. Sunu zamanında tamamlanmıştır. 4. Sunumun sonunda konu özetlenmiştir.5. Öğrenci ödevi anlamış ve anlatabilmiştir.6. Sunuda etkili bir iletişim kurulmuştur.7. Sunuda tepegöz, televizyon, bilgisayar, resim vb. araçlar kul-

lanılmıştır.

PERFORMANS ÖDEV‹ DE⁄ERLEND‹RME FORMU - 2(Çal›flma Kitab›’ndaki 2, 3, 4, 5 ve 6. Performans Ödevleri için kullan›lacakt›r.)


GRUP DE⁄ERLEND‹RME FORMU

Grubun adı: ....................................... Sınıfı: ..............

Grup çalışması ölçütlerinin çok azı gerçekleştirilmişse 1’i, kısmen gerçekleştirilmişse2’yi, çoğu gerçekleştirilmişse 3’ü ve tamamı gerçekleştirilmişse 4’ü işaretleyiniz.

ÖLÇÜTLER 1 2 3 4

1. Grup üyelerinin birbirlerinin düşüncelerini dinlemesi

2. Grup üyelerinin birbirlerine saygı göstermesi

3. Grubun kendi içindeki çatışmaları grup içinde çözmesi

4. Grup üyelerinin görüşlerini rahatlıkla ifade etmesi

5. Grup üyelerinin bireysel sorumluluklarını yerine getirmesi

6. Grup üyelerinin, bilgileri birbirleri ile paylaşması

7. Grup üyelerinin birbirlerine güvenmesi

8. Grup üyelerinin ihtiyaç duyduklarında birbirinden yardım istemesi

9. Grup üyelerinin birbirlerine destek olması

10. Grup üyelerinin birbirlerini cesaretlendirmesi

11. Grup üyelerinin birbirlerini takdir etmesi

12. Grup üyelerinin birbirlerinin duygularını anlaması

13. Grup üyelerinin birbirlerinin haklarını koruması

14. Grup üyelerinin birlikte çalışmaktan hoşlanması

15. Grubun verimli bir şekilde çalışması


.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................


PROBLEM ÇÖZME ‹Ç‹N ANAL‹T‹K DERECEL‹ PUANLAMA ANAHTARI

Aşağıdaki problem çözme aşamalarının her birinin ne kadar gerçekleştiği göz önün-de bulundurularak problem çözme becerisi değerlendirilebilir.

PROBLEMİ ANLAMA

ÖLÇÜTLER PUAN

1. Problemi tamamen yanlış anlamış.2. Problemin bir kısmını yanlış anlamış veyayanlış yorumlamış.3. Problemi anlamış.

PLAN YAPMA

1. Probleme uygun olmayan plan yapmış.2. Çözüm için kısmen doğru plan hazırlamış.3. Hazırladığı planı gerektiği gibiuyguladığında doğru sonuca ulaşmış.

PROBLEMİ ÇÖZME

1. Çözüm yanlıştır ya da uygun olmayanplan yaptığı için yanlış cevap bulmuştur.2. İşlem hatası yapmıştır. Soruyu yanlışanladığı için yanlış cevap bulmuştur, sorununbir kısmını çözebilmiştir.3. Doğru cevabı bulmuştur.

KONTROL ETME

BENZER BİR

PROBLEMİ KURMA

1. Cevabın doğruluğunu kontrol etmemiş.2. Cevabı kısmen kontrol etmiş.3. Cevabın doğruluğunu kontrol etmiş.

1. Benzer bir problemi kuramamış.2. Benzer bir problemi kısmen kurmuş.3. Benzer bir problemi kurabilmiş.


PROBLEM ÇÖZME ‹Ç‹N BÜTÜNCÜL DERECEL‹ PUANLAMA ANAHTARI

Çalışma aşağıdaki özellikleri taşıyorsa 0 puan verilecektir:• Hiçbir çalışma yapılmamış,• Sadece yanlış sonuç yazılmış,• Problemdeki veriler sadece kopyalanmış veya problemi anlama izleri bulunmamaktadır.

Çalışma aşağıdaki özellikleri taşıyorsa 1 puan verilecektir:• Problemin alt amaçlarından sadece birine ulaşılmaya çalışılmış ve bu çalışma sonuçlandı-

rılmamış,• Çözüm bulmaya başlangıç yapılmasına karşın bu başlangıç doğru cevaba neden olmamış,• Uygun olmayan strateji ile başlangıç yapılmış veya bu strateji ile çözmeye çalışılmış fakat

çalışma sonuçlandırılamamıştır.

Çalışma aşağıdaki özellikleri taşıyorsa 2 puan verilecektir:• Problem anlaşılmamış, ve uygun olmayan strateji ile başlangıç yapıldığı için yanlış sonuca

ulaşılmış,• Doğru sonuç olmasına karşın çözüm anlaşılmıyor,• Sadece doğru sonuç var,• Sadece problemin alt amaçlarından birinin çözümü doğru,• Uygun strateji ile sadece başlangıç yapılmış,• Uygun strateji seçilmesine karşın bu strateji yanlış uygulanmıştır.

Çalışma aşağıdaki özellikleri taşıyorsa 3 puan verilecektir:• Problem yanlış anlaşıldığı için veya kısmen anladığı için uygun strateji kullanılmasına kar-

şın yanlış sonuca ulaşılmış,• Uygun strateji uygulanırken anlaşılmayan nedenlerden dolayı yanlış sonuca ulaşılmış,• Uygun stratejinin uygulandığının anlaşılmamasına karşın doğru cevap verilmiş,• Uygun strateji uygulanmış fakat sonuç yazılmamıştır.

Çalışma aşağıdaki özellikleri taşıyorsa 4 puan verilecektir:• Uygun stratejiyi kullanılırken hata yapılmış, bu da problem anlaşılmadığında veya kavram

yanılgısından dolayı olmuş,• Uygun strateji uygulanmış ve doğru sonuca ulaşılmıştır.


PROBLEM ÇÖZME ‹Ç‹N Ö⁄RENC‹ RAPORU

Öğrencinin adı ve soyadı : .......................................... Sınıfı: ..................... Tarih: ..............Ders:............................................... Konu : ...............................................................................

Problem:

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

Problem çözerken yaptıklarınızı ve hissettiklerinizi açıklamak için aşağıdaki soruları cevap-layınız.1. Problemle uğraşmaya başladığınızda ilk defa ne yaptınız? Ne düşündünüz?.................................................................................................................................................... 2. Problemi çözerken hangi aşamaya gelebildiniz? Neden?.................................................................................................................................................... 3. Problemi çözerken hangi stratejiyi kullandınız veya kullanmaya çalıştınız? Neden?.................................................................................................................................................... 4. Problemi çözerken kullandığınız veya kullanmaya çalıştığınız stratejiden başka problem çöz-meye uygun strateji var mı? Varsa bu stratejinin ne olduğunu açıklayınız..................................................................................................................................................... 5. Problemi çözerken bir zorlukla karşılaştınız mı? Karşılaştıysanız bu zorluk nedir?.................................................................................................................................................... 6. Cevabınızın doğru olduğundan emin misiniz? Neden?.................................................................................................................................................... 7. Cevabınızı kontrol etmenin önemli olduğunu düşünüyor musun? Neden?.................................................................................................................................................... 8. Problem çözümünü nasıl yaptığınızı açıklar mısınız?.................................................................................................................................................... 9. Problem çözerken neler hissettiğinizi nedenleriyle yazar mısınız?.................................................................................................................................................... 10. Problemi çözdüğünüzde ne hissettiniz? Neden?....................................................................................................................................................


PROBLEM ÇÖZME BECER‹LER‹N‹ DE⁄ERLEND‹RME FORMU

Öğrencinin adı ve soyadı : .................................................... Sınıfı: .....................

Aşağıda yer alan ifadeleri doldururken “Problem Çözme için Öğrenci Raporu”ndaki cevap-lardan yararlanılabilir.


.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ÖLÇÜTLER Nadiren Bazen Sık sık Her zaman

1. Problemi anlama

2. Problem çözme stratejilerini kullanma

3. Problemi çözme

4. Sonucun doğruluğunu kontrol etme

5. Problem çözümünü analiz etme

6. Problem kurma

7. Problemi genişletme

8. Problemi çözmek için çaba harcama

9. Problem çözmede kendine güvenme

10. Problem çözmeyi sevme

MATEMAT‹⁄E YÖNEL‹K TUTUM ÖLÇE⁄‹

Öğrencinin adı ve soyadı : .................................................... Sınıfı: .....................

Aşağıda matematik dersine ilişkin tutumlarınızı belirlemeye yönelik cümleler ve bu cümle-lerin karşısında “Hiç katılmıyorum.”, “Katılmıyorum.”, “Kararsızım.”, “Katılıyorum.” ve “Tama-men katılıyorum.” olmak üzere beş seçenek verilmiştir. Dikkatlice okuduktan sonra her cümleiçin kendinize uygun seçeneği işaretleyiniz.

1. Matematik ilgimi çekmez.

2. Matematik tartışmaktan hoşlanırım.

3. Matematiği günlük yaşamımda kullanırım.

4. Matematiği öğrenebilirim.

5. Çalışma zamanımın çoğunu matematiğe ayır-mak isterim.

6. Matematik sınavlarında kafam karışır.

7. Matematikten korkmam.

8. Matematiği severim.

9. Matematikten sıkılmam.

10. Matematik gerçek yaşamda kullanılmaz.

11. Matematikle ilgili ileri düzeyde bilgi edinmekisterim.

12. Matematikten rahatsız olurum.

Hiç

kat

ılmıy

orum

.

Katıl

mıy

orum

.

Kara

rsız

ım.

Katıl

ıyor

um.

Tam

amen

kat

ılıyo

rum

.


SÖZLÜK

Matematik 8. sınıf216

A

açı: Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşimi.açıortay: Bir açıyı, ölçüleri birbirine eşit olan iki açısal bölgeye ayıran doğru.açısal bölge: Açı ile iç bölgesini oluşturan noktalar kümesi.aritmetik ortalama: Bir toplamın, o toplamı oluşturan terim sayısına bölümüyle bulunan sa-

yı.asal sayı: Sadece 1 ve kendisine bölünen 1'den büyük doğal sayılar.

B

basamak tablosu: Sayıyı oluşturan rakamların basamak adlarıyla gösterildiği tablo.basit kesir: Payı paydasından küçük olan kesir.bileşik kesir: Payı paydasından büyük ya da payı paydasına eşit olan kesir sayısı.bütünler açı: Ölçüleri toplamı 180° olan iki açı.

D

dikme: Dikey olan doğru veya düzlem.doğru: İki nokta arasındaki en kısa çizgi.doğrudaş noktalar: Aynı doğru üzerinde bulunan noktalar.doğru parçası: Bir doğru üzerinde bulunan farklı iki noktayla bu noktalar arasında bu-

lunan noktaların kümesi.doğru simetrisi: Bir şeklin bir doğruya göre görüntüsüyle oluşan eş simetrisi.

E

eleman: Kümeye ait varlıklardan her biri.eş: Birbirinin aynı olan veya birbirine çok benzeyen iki nesneden her biri.eşit: Birbirinden eksik veya fazla olmayan iki nesneden her biri.etkisiz (birim) eleman: İşlemde etkisi olmayan eleman.

I-İ

ışın: Bir noktadan çıkıp sonsuza giden yarım doğrulardan her biri.istatistik: Bilimsel araştırma kurallarını veren bir bilim dalı.

K

karşılaştırma: Birden fazla sayıyı, ondalık kesri büyüklük, küçüklük veya eşitlik yönün-den inceleme.

komşu açılar: Köşeleri ve birer kenarları ortak, diğer kenarları ortak kenarın farklı yan-larında bulunan açılar.

komşu bütünler açılar: Komşu ve bütünler olan iki açı.komşu tümler açılar: Komşu ve tümler olan iki açı.kroki: Bir konu veya nesnenin başlıca özelliklerini yansıtacak biçimde hazır-

lanmış taslak.küme: Birbirine benzer veya aynı cinsten olan varlıkların oluşturduğu bütün,

takım, grup.

Matematik 8. sınıf 217

N

nicelik: Bir şeyin sayılabilen, ölçülebilen veya azalıp çoğalabilen durumu, miktar.nokta: Hiçbir boyutu olmayan işaret.

O-Ö

oran: İki büyüklük, iki nicelik arasındaki bağıntı.orantı tablosu: Doğru orantılı niceliklerle ilgili veriler alınarak oluşturulan tablo.ortak bölen: İki veya daha çok sayıyı bölen sayı.ortak kat: Birtakım tam sayıların katı olabilecek sayı.öge: Birleşik bir şeyi oluşturan basit şeylerden her biri, unsur, eleman.ölçek: Bir harita veya resimde görülen uzaklıklarla bunların işaret ettiği, karşı-

landığı gerçek uzunluklar arasındaki oran.örneklem: Bir araştırmada bütünü anlamak için bütünden seçilen araştırma teknik-

lerinin uygulanacağı grup.örüntü: Nesnelerin belli bir düzen içinde yerleştirilmesi.öteleme: Bir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde kayma

hareketi.öteleme simetrisi: Bir şeklin kendisiyle öteleme altındaki görüntüsüyle oluşan eş simetrisi.

P

prizma: Alt ve üst tabanları birbirine paralel ve eşit iki çokgenden, yanal yüzeyle-ri de eşit ve paralel doğrulardan oluşan çok düzlemli cisim.

T

tam sayı: Kesirsiz sayı.tam sayılı kesir: Bir sayma sayısı ve basit kesirle yazılan kesir sayıları.ters açılar: Köşeleri aynı, kenarları doğrudaş fakat ters yönlü açılar.tümler açılar: Ölçüleri toplamı 90° olan iki açı.

U-Ü

uzay: Bütün varlıkların içinde bulunduğu sonsuz boşluk.üçgensel bölge: Üçgen ile iç bölgesinin birleşimi.

V-Y

Venn şeması: Küme elemanlarının nokta veya şekillerle temsil edildiği düzlem parçası.veri: Bir problemde bilinen, belirtilmiş anlatımlardan bilinmeyeni bulmaya yara-

yan şey. Bir araştırmanın, bir tartışmanın temeli olan ana öge.yanal yüzey: Yanda olan yüz.


KAYNAKÇA

David, Blather, Pi Coşkusu, Tübitak Yayınları, Ankara, 2003.

Denise KIERNAN, Great Graphs, Charts & Tables That Build Real Life Math Skills, ScholasticProfessional Books, USA, 2001.

Herbert P. GINSBURG, Deborah B. GUSTAFSON, Larry P. LEUTZİNGER, SILVER BURDETT &

GINN MATHEMATICS, USA, 1994.

MEB, İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu 6-8. Sınıflar, Ankara, 2005.

MEB, İlköğretim Türkçe Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu 6-8. Sınıflar, Ankara, 2005.

MEB, İlköğretim Fen ve Teknoloji Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu 6-8. Sınıflar, Ankara,2005.

MEB, İlköğretim Sosyal Bilgiler Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu 6-8. Sınıflar, Ankara, 2005.

M. Jose PARRAMON, Çizim ve Resim Sanatı, Remzi Kitabevi.

Paul BRITEN, Mastermaths, Oxford. OUP Oxford, 2004.

Prof. Dr. SELÇUK, Ziya, KAYILI, Hüseyin OKUT, Levent, Çoklu Zekâ Uygulamaları, Nobel YayınDağıtım, Ankara, Ağustos 2004, s. 63.

Robert E. EICHOLZ, Phares G. O’DAFFER , Charles R. FLEENOR, Addison - Wesley Mathema-

tics, USA, 1999.

Scolastic Real - Life Math, Sholastic Profesional Books, USA, 2001.

T.C. Başbakanlık Devlet İstatistik Enstitüsü, Türkiye İstatistik Yıllığı 2004, Ankara, 2005.

TDK Yazım Kılavuzu, Türk Dil Kurumu Yayınları, Ankara, 2005.

TDK Türkçe Sözlük, Türk Dil Kurumu Yayınları, Ankara, 2005.

TÜİK, Türkiye İstatistik Yıllığı, Ankara, 2005.

Vincent J. ALTAMURO, Sandra Pryor CLARKSON, Exploring With Pattern Blocks, Learning Reso-urces Inc. USA, 2003.

İnternet Adresleri :

www.kultur.gov.tr

www.cankaya.gov.tr

www. inonu.edu.tr

http://w3.gazi.edu.tr/web/gtuluk/trigo_web/index.h

http://www.tuik.gov.tr

İ M MA AT TE EM MA AT T‹ ‹K K M MA AT TE EM MA AT T‹ ‹K K 8 8 8 8 . . . . S S› ›n n› ›f f S S› ›n n› ›f f

Documents