Lassi Kurittu, Veli-Matti Hokkanen ja Lauri Kahanp ¨ a ¨ a 1 GEOMETRIA Sis ¨ allys I Historiaa 2 II Hilbertin aksioomaj ¨ arjestelm ¨ a 8 2.1. Aksiomaattisesta menetelm ¨ ast ¨ a 8 2.2. Hilbertin aksioomat (H1)–(H3) 9 2.3. Hilbertin aksioomat (H4)–(H7) 11 2.4. Hilbertin aksioomat (H8)–(H13) 25 2.5. Arkhimedeen aksiooma 43 Janamitan konstruktio 44 Kulmamitan konstruktio 51 2.6. Dedekindin aksiooma 67 III Paralleeliaksiooma 84 3.1. Alkeellista euklidista geometriaa 84 Eukleideen viides aksiooma 84 Vuorokulmat ja kolmion kulmasumma 86 Yhdensuuntaiset ja samanmuotoiset 88 Pythagoras ja trigonometria 94 Kolmioon liittyv ¨ at perusympyr ¨ at 98 Keh ¨ akulmat 100 Kolmion ala 104 Cevan lause 105 3.2. V ¨ ah ¨ an kehittyneemp ¨ a ¨ a euklidista geometriaa 111 IV Liikkeet ja Poincar´ en malli 121 4.1. Peilaukset 121 Peilaus suoran suhteen 121 Inversio ympyr ¨ an suhteen 125 Pisteen potenssi ympyr ¨ an suhteen 135 Ortogonaalisista ympyr ¨ oist ¨ a 137 4.2. Poincar´ en malli 146 4.3. Hyperbolista geometriaa 146 4.4. Lopuksi 177 Hilbertin tasogeometrioiden aksioomat 178 Hakemisto 179 1 c � Lassi Kurittu ja Jyv ¨ askyl ¨ an yliopisto. Typeset by A M S-T E X 1 2 GEOMETRIA I Historiaa Sana geometria on per ¨ aisin kreikasta, geo = maa, metrein = mitata. Yksi en- simm ¨ aisist ¨ a geometrisista ongelmista oli ympyr ¨ an keh ¨ an pituuden (2πr)m ¨ a ¨ arit- t ¨ aminen, siis π:n likiarvon arviointi. Babylonialaiset k ¨ ayttiv ¨ at kaavaa ”keh ¨ a=3× halkaisija” eli π ≈ 3. My ¨ os muinaiset juutalaiset k ¨ ayttiv ¨ at samaa π:n arvoa; se mainitaan jopa Raamatussa (1. Kuningasten kirja 7:28), mill ¨ a perusteella Rabbi Nehemiahin my ¨ ohempi π:n likiarvo 22 7 ≈ 3.14159 hyl ¨ attiin. Muinaiset egypti ¨ aiset k ¨ ayttiv ¨ at π:lle arviota ( 16 9 ) 2 ≈ 3.1604. Matematiikan kannalta n ¨ aiss ¨ a eri likiarvoissa ei ole oleellista arvion tarkkuus vaan se oivallus, ett ¨ a kaiken kokoisissa ympyr ¨ oiss ¨ a keh ¨ an ja halkaisijan suhde on t ¨ asm ¨ alleen sama. (Vasta vuonna 1768 Lambert 2 osoitti, ett ¨ a π ei ole rationaaliluku, ja 1882 Lindemann 3 osoitti sen olevan trans- kendenttiluku.) Egyptil ¨ aisten geometria ei ollut varsinaista matematiikkaa, vaan pikemminkin kokoelma perustelemattomia kaavoja ja laskulakeja. Joskus he arvasivat oikein: he osasivat esimerkiksi laskea puolisuunnikkaan alan ja jopa katkaistun pyramidin tilavuuden aivan oikein. Suoran kulman egyptil ¨ aiset virittiv ¨ at maastoon pingot- tamalla kolmioksi narulenkin, johon oli merkitty kolmen, nelj ¨ an ja viiden yksik ¨ on pituiset sivut. Kaksoisvirran maan asukkaat olivat egyptil ¨ aisi ¨ a aikalaisiaan etev ¨ am- pi ¨ a laskijota, mik ¨ a osittain johtui heid ¨ an k ¨ aytt ¨ am ¨ ast ¨ a ¨ an erinomaisesta numeroj ¨ ar- jestelm ¨ ast ¨ a. Babylonialaiset tunsivat paremmin matematiikkaa, jopa Pythagoraan teoreeman (c 2 = a 2 + b 2 ) yleisess ¨ a muodossa. Kuitenkin vasta kreikkalaiset astui- vat ratkaisevan askelen kohti nykyaikaista matematiikkaa vaatiessaan, ett ¨ a lasku- lait on jotenkin yleisp ¨ atev ¨ asti todistettava sen sijaan, ett ¨ a edett ¨ aisiin yrityksen ja erehdyksen tiet ¨ a. Ensimm ¨ ainen tuntemamme t ¨ am ¨ an perinteen matemaatikko oli my ¨ os kreikkalaisen filosofian perustajana pidetty Thales 4 , josta tuli kuuluisa ennustettuaan oikein auringonpimennyksen ajankohdan 585 e.a.a. Parin seuraavan vuosisadan johtavia matemaatikkoja oli Pythagoras 5 oppilaineen. H ¨ an oli l ¨ ahinn ¨ a uskonnollinen profeetta, jolle luvun √ 2 osoittautuminen irrationaaliseksi oli suuri j ¨ arkytys (t ¨ at ¨ a vaarallista tulosta yritettiin aluksi jopa salata). Pythagoralaisen kou- lukunnan tuottama systemaattinen tasogeometrian esitys julkaistiin n. 400 e.a.a. Nelj ¨ as vuosisata e.a.a. oli Platonin 6 aikaa. H ¨ an korosti ep ¨ asuoran todistuk- sen merkityst ¨ a; itse asiassa Sokrateen dialogit ovat ep ¨ asuoraa todistamista: osoite- taan v ¨ aite oikeaksi l ¨ ahtem ¨ all ¨ a liikkeelle p ¨ ainvastaisesta v ¨ aitteest ¨ a ja p ¨ a ¨ atym ¨ all ¨ a siit ¨ a mahdottomiin tai kelvottomiin johtop ¨ a ¨ at ¨ oksiin. Geometrian kannalta t ¨ arkein Pla- tonin oppilas oli Eukleides 7 , joka noin 300 e.a.a. julkaisi mahtavan 13-osaisen teok- sen Stoikheia (Alkeet), jossa h ¨ an k ¨ asitteli kreikkalaista geometriaa ja lukuteoriaa. Eukleideen aksiomaattinen esitystapa on nykyaikaisen matematiikan prototyyppi: siin ¨ a ei v ¨ aitteit ¨ a perustella mill ¨ a ¨ an mittauksilla tai piirroksilla, vaan ne todiste- taan oikeiksi loogisella p ¨ a ¨ attelyll ¨ a tietyist ¨ a perusolettamuksista l ¨ ahtien. Euklei- des perusti geometriansa viiteen perusolettamukseen eli aksioomaan. Esit ¨ amme 2 Johann Heinrich Lambert 1728–1777. Saksa. 3 Carl Louis Ferdinand von Lindemann 1852–1939. Saksa. 4 Mileton Thales n.640-546 eaa. Kreikka. 5 Samoksen Pythagoras n. 569–n. 475 eaa. Kreikka. 6 Platon n. 427–347 eaa. Kreikka. 7 Eukleides Aleksandrialainen n. 325–265 eaa. Egypti.