ـﻫ ﺱﺎﺴﻷﺍ ﺕﺍﺫ ﺔﻴﺴﻷﺍ لﺍﻭﺩﻟﺍ · ـﻫ ﺱﺎﺴﻷﺍ ﺕﺍﺫ ﺔﻴﺴﻷﺍ لﺍﻭﺩﻟﺍ:ﺔﻓﺩﻬﺘﺴﻤﻟﺍ ﺕﺍﺀﺎﻔﻜﻟﺍ

الدوال األسية ذات األساس هـ

:الكفاءات المستهدفة

.تعريف الدالة األسية ومعرفة الخواص المميزة لها -

.تعريف الدالة األسية ومعرفة الخواص المميزة لها -

.استعمال حاسبة لحساب قيم دوال تدخل في تعريفها الدالة األسية -

.لوغاريتماتحل معادالت ومتراجحات تتضمن -

xn ،lnx،exp(x) : حساب نهايات جداءات أو حواصل قسمة تدخل فيها -

uoexpدراسة دوال من الشكل -

uoexpدراسة دوال من الشكل -

ex استعمال الكتابة المألوفة -

=∞+معرفة و تفسير النهايتين - +∞→ x

ex

xlim 0و.lim =

−∞→

x

xex

=∞+معرفة و تفسير النهايتين - +∞→ x

ex

xlim 0و.lim =

−∞→

x

xex

و األسيات حل مشكالت متعلقة بتسديد أو إيداع تدخل فيها اللوغاريتمات -

الدرستصميم

نشاط تمهيدي -

تعريف، ترميز، اصطالح- 1

لدالة األسيةل خواص أولية ا- 2

ية اللدالة األسية خواص جبر- 3

. الدالة المشتقة األسية- 4

xالدالة المشتقة لدالة من الشكل - 5 eu(x)

نهايات قاعدية - 6

جدول تغيرات الدالة األسية و تمثيلها البياني - 7

التزايد المقارن للدالة األسية و الدوال قوى - 8

القوى ذات األس الحقيقي و األساس الموجب تماما - 9

a دالة األسية ذات األساسال - 10

.ومشكالت حول الدوال األسية والدوال اللوغاريتمية تمارين – 11

.التمارين الدالة األسية والدوال اللوغاريتمية حلول – 12

نشاط تمهيدي

تعريف الدالة األسية : هدف النشاط

:األسئلة*

.2 تساوي lnأثبت أنه يوجد عدد حقيقي موجب تماما وحيد صورته -1-

.ln بالدالة I صورة المجال ln(I) ،عين ]∞+; 0[نضع ) أ -2-

ln صورته بالدالة bدد حقيقي موجب تماما وحيد عددا حقيقيا كيفيا،أثبت أنه يوجد عaليكن ) ب

ثم aتساوي

);;( في المستوي المنسوب إلى معلم lnباستعمال المنحني الممثل للدالة - jiO أنشئ النقطة

B(b ;0) انطالقا من النقطة A(0 ;a).

. عدد صحيحn حيث a=n في الحالة b عين -

:األجوبة*

يعني إيجاد 2 تساوي lnعداد الحقيقية الموجبة تماما التي صورتها بالدالة إيجاد مجموعة األ-1-

)ln(x)=2)..... αمجموعة حلول المعادلة

*ℜ هو المجهول في xحيث *ℜ فيx و من أجل +

: لدينا +

)α ( تكافئln(x)=2.1

ln(x)=2ln(e) تكافئ

)lnمن خواص الدالة ( ln(x)=ln(e2) تكافئ

)lnمن خواص الدالة ( x=exتكافئ ) α: (و منه

{e2}هي ) α(منه مجموعة حلول المعادلة

: و عليه

.e2 و هذا العدد هو 2 تساوي lnيوجد عدد حقيقي موجب وحيد صورته بالدالة

]∞+; I=]0)أ-2-

]∞+; 0[ مستمرة و متزايدة تماما على lnلدينا

)ستمرة و رتيبة تماماحول صورة مجال بالدالة م( منه و حسب المبرهنة

ln[limln;lim])ln(0 ∞++

=Iو لدينا :+∞=lnو−∞=+

lnlim0

:و عليه

[);0ln(] [0;] صورة المجال ∞+ [;] هي المجال ln بالدالة ∞+ +∞∞−

عددا حقيقيا كيفياaليكن )ب

[)0ln;(] ينتمي إلى المجالa: لدينا +∞

ln [0;] مستمرة و رتيبة تمام على المجال +∞

ln(x)=aمنه و حسب مبرهنة القيم المتوسطة في حالة دالة مستمرة و رتيبة تماما على مجال، المعادلة

[0;] هو المجهول لها، في المجال x، حيث :الحل، يكون هذا b حل وحيد،و إذا سمينا ∞+

.a تساوي ln أي صورته بالدالة ln(b)=a يحقق bيوجد عدد حقيقي موجب تماما وحيد

);;( في المستوي المنسوب إلى معلم lnالمنحني الممثل للدالة ) G(ليكن jiO لدينا ln(b)=a

هو فاصلة النقطة من bمنه ) G( تنتمي إلى المنحني C(b ;a)منه النقطة

. منه الشكل aالتي ترتيبها يساوي )G(نحنيالم

ln(b)=n.ln(e) أيln(b)=n.1 أي ln(b)=nتصبح ) ln(b)=a).....β معرف بالمساواة bلدينا -

.ln(b)=ln(en)أي

ne=b ، صحيح عدد n حيث n=a لما: منه

:المالحظة

b العدد الحقيقي الموجب تماما aد حقيق الدالة التي ترفق بكل عد: من خالل هذا النشاط لقد عينا دالة

.ln(b)=aالذي يحقق

.exp التي رمزها "الدالة األسية"هذه الدالة هي بالتعريف

A

Bi→

j→

2 3 4 5 6 7 8

2

3

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

(0;a)

(b;0)

( G )

A

Bi→

j→

بالدالة األسية هي العدد الحقيقي الموجب تماما a صورة a ،exp(a)من أجل كل عدد حقيقي : هكذا

. a تساوي lnالذي صورته بالدالة

: n و من أجل كل عدد صحيح ln[exp(a)] و a: exp(a)>0حقيقي من أجل كل عدد : إذن

exp(n)=en.

:بيانيا

)G ( المنحني الممثل للدالةln بالنسبة إلى المعلم );;( jiO.

i→

j→

0 1

1

x

y

a1

exp(a1)

( G )

a2

exp(a2)i→

j→

تعريف ، ترميز ، اصطالح

.كل دالة معتبرة في هذا الدرس هي دالة عددية لمتغير حقيقي

.يحتوي مجاال مفتوحا غير خال-ℜمن –عدم التحديد، كل مجال معتبر هو مجال و في حالة

:تعريف، ترميز -أ-

: و المعرفة بما يليexpالدالة األسية هي الدالة المرمز إليها بالرمز

.ℜ هي expمجموعة تعريف الدالة *

yقيقي الموجب تماما ، هي العدد الحexp بالدالة x ، صورة x،exp(x)من أجل كل عدد حقيقي *

.ln(y)=xالمعرف بالمساواة

: اصطالح للترميز-ب-

نمدد هذه exp(n)=enإصطالحا، : nمن اجل كل عدد صحيح : لقد برهنا ، من خالل النشاط، أنه

.xالكتابة إلى كل عدد حقيقي

:اصطالح

بالدالة xصورة إلى العدد الحقيقي الموجب تماما ex ، يرمز بالرمزxمن أجل كل عدد حقيقي

.األسية

x: xe)=x(exp حقيقي عدد كل أجل من: اصطالحا: أي

expللدالة ) مقربة(استعمال حاسبة لتعيين قيم -جـ-

αحيث ( eαللعدد )مقربة(في أغلبية الحاسبات العلمية و كذلك الحاسبات البانية ،للحصول على قيمة

تستعمل اللمستان ) عدد حقيقي

و

باستعمال حاسبة علمية المراحل من اليسار إلى اليمين تكون كما 17eقيمة مقربة للعددلحساب : مثال

: يلي

61,7507194: يظهر على الشاشة

2ndF

LN 2ndF

LN

( √ 4 7 )( ) =

للدالة األسيةيةخواص أول

:من تعريف الدالة األسية

)ex>0)..... 1: عدد حقيقي موجب تماما منهx، exp(x)مهما يكون العدد الحقيقي *

+ℜ في y و ℜ في xمن أجل * *:y=exp(x) يعني x=ln(y) إذن :

y=ex يكافئx=ln(y))...... 2(

: منهln(y)=x يحقق y=exp(x): حيث y العدد الحقيقي الموجب تماما xمن أجل كل عدد حقيقي *

ln(exp(x))=x أي ln(ex)=x)...3.(

و بما x=et، )2( لدينا، باالعتماد على t=ln(x)ا وضعنا إذxمن أجل كل عدد حقيقي موجب تماما *

)x=eln(x))...4 يكون t=ln(x)أن

)5 ...(e1=e و e0=1 أي eln(e)=e و eln(1)) : 4(من

: و هكذا برهنا على الخواص التالية

:خواص

.x: ex>0من أجل كل عدد حقيقي )1

.(x=ln(y)) يكافئ (y=ex): اما من أجل كل عدد حقيقي موجب تمxمن أجل كل عدد حقيقي )2

.x : ln(ex)=xمن أجل كل عدد حقيقي )3

.x:eln(x)=xمن أجل كل عدد حقيقي موجب تماما )4

:أمثلة

)2...(xe≥7و المتراجحة ) xe)....1=2، المعادلة ℜلنحل في -

و مهما تكون .ℜهي ) 2( تعريف المتراجحة ، و كذلك مجموعةℜهي ) 1(مجموعة تعريف الدالة

: ℜ في xقيمة

)2ln()ln(تكافئ ) 1( =xe

2ln(=x( تكافئ

هي ) 1(منه مجموعة حلول المعادلة

{ })2ln(

)7ln()ln(تكافئ ) 2( ≤xe

7ln(≤x( تكافئ

هي ) 2(راجحة منه مجموعة حلول المت

] ])7ln(;∞−

المعرفة بالدستورfمجموعة تعريف الدالة -1

)(+

= x

x

eexf هي ℜألن :

+ℜ موجود في ℜ : ex في xمهما تكون قيمة ex+1>1 منه ex>0 و ℜ موجود في ex و بالتالي *

.ex+1≠0منه

في xمهما تكون قيمة : ألنℜي ه g(x)=ln(2ex+3) المعرفة بالدستورgمجموعة تعريف الدالة ) أ

ℜ 2ex+3و منه توجد له صورة بالدالة ( عدد حقيقي موجب تماماln.(

خواص جبرية للدالة األسية

:مبرهنات

:n، من أجل كل عدد صحيح b وaمن أجل كل عددين حقيقيين

1(ea+b=ea×eb)... الخاصية الجبرية األساسية للدالة األسية(

2(aa

ee 1=−،3 (b

aba

ee e=−،4 (( ) nana ee =،5 (aee

a=2

1

:البرهان

:exp وln عددا صحيحا من خواص الدالتين n عددين حقيقيين و ليكن b وaليكن

).•....(ln(eb×ea)=a+b: منه ln(eb×ea)=ln(ea)+ln(eb)و ....(*) ln(ea+b)=a+b: لدينا )1

ln(ea+b)=ln(eb×ea)و بالتغذية ) •(و (*) ين و من المساوت

.ea+b=ea×ebمنه

ln(1ln( و ln(e-a)=-a: لدينا ) 2 aa e

e−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛a منه

ea −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 1ln

ln(1ln(منه aa e

e−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛a منه

a

ee 1=−

ln()ln(ln( و ln(ea-b)=a-b: لدينا ) 3 bab

a

eeee

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba منه

ee

b

a

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ln منه

)ln(ln bab

a

eee −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ و عليه

b

aba

eee =−.

منهln[(ea)n]=na منه ln[(ea)n]=n.ln(ea) و ln(ena)=na: لدينا ) 4

ln[(ea)n]=ln(ena) و عليه (ea)n=ena.

)ln(: لدينا )521ln aa ee =⎟

⎠⎞⎜

⎝aea منه ⎛

21ln =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

aeو a

21ln 2

1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟ منه

⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= aa

ee lnln 21

aaو عليه ee =2

1

:أمثلة تطبيقية

) ℜ في xمهما تكون قيمة - ) 312312 +++ =× xx eee

42 += xe

)42(

21

+=

xe

2312 : لدينا ،ℜ في x قيمة تكون مهما: منه ++ =× xx eee

. هو المجهولxحيث ) 5e2x+9ex-2=0)..... 1: ، المعادلةℜلنحل، في -

:ℜ فيxو مهما تكون قيمة ℜهي ) 1(وعة تعريف المعادلةمجم

2+9(ex)-2=0(ex)5تكافئ

)2....(5X2+9X-2=0تصبح ) X=ex) 1: بوضع

.121=∆ بحيث ∆معادلة من الدرجة الثانية مميزها) 2(

: حيث X2 و X1ما ) 2(حال 51

1 =X وX2=-2.

تكافئ ) 1(منه 5

1=xe 2 أو−=xe و من الخواص الدالة األسية ، ال يوجد أي عدد حقيقي

x 2 يحقق−=xe.

تكافئ ) 1: (و عليه 5

1=xe تكافئ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=5

1lnx

5ln(−=x( تكافئ

.}-ln)5({ هي )1(المعادلة حلول مجموعةمنه

)5e2x-9ex-2≤0).... 2، المتراجحة ℜلنحل، في -

(X-X2)(X-X1)5 يحلل إلى 9X2-9X-2كثير الحدود

):ℜ في xمنه مهما تكون قيمة )25

1xe52-9e-5e x2x +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−= xe

أي إشارة الجداء ℜ فيx حسب قيم 5e2x-9ex-2، ندرس إشارة )2(و لكي نحل المتراجحة

( )25

1xe5 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− xe

لدراسة إشارة 0<(ex+2)5 منه ℜ ،ex>0 في xمهما تكون قيمة5

1−xe 0، نقارن هذا الفرق مع.

05

1=−xe يكافئ

5

1=xe و يكافئ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=5

1ln)ln( xe 5( و يكافئln(−=x.

05

1>−xe يكافئ

51

>xe و يكافئ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

>5

1ln)ln( xe 5( و يكافئln(−>x.

05

1<−xe يكافئ

5

1<xe و يكافئ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

<5

1ln)ln( xe 5( و يكافئln(−<x.

:و اإلشارات تلخص في الجدول التالي

+∞ -ln(5) -∞ x (ex+2)5إشارة + +

+ - ⎟إشارة

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

51xe

(5e2x-9ex-2)إشارة - +

[ln(5)-; ∞-[هي ) 2(مجموعة حلول المتراجحة : منه

الدالة المشتقة للدالة األسية

:مبرهنة

.ℜالدالة األسية قابلة لالشتقاق على ) 1

.الدالة المشتقة للدالة األسية هي الدالة األسية نفسها)2

xالدالة المشتقة للدالة : بعبارات أخرى * exعرفة على ، المℜ هي الدالة ،x ex ، المعرفة

.ℜعلى

.من المبرهنة السابقة) 1نقبل بدون برهان الشطر

):2البرهان على الشطر

.ℜ قابلة لالشتقاق على exp الدالة

.ℜ ، exp(x)>0 في x و مهما تكون قيمة

xالشكل أي من (uolnمنه وحسب المبرهنة حول مشتقة دالة من الشكل ln[u(x)].(

،ℜ قابلة لالشتقاق علىf(x)=ln(exp(x)): المعرفة بالدستورfالدالة

: بالدستورℜ معرفة على′′f و دالتها المشتقة )exp()(pex)(

xxxf

′=′.

ℜ في x منه مهما تكون قيمة ℜ، f(x)=x في xو لنا مهما تكون قيمة

f′′(x)=1 منه مهما تكون قيمة x في ℜ، 1)exp()(pex

=′

xx

.

.ℜ :exp′(x)=exp(x) في xمهما تكون قيمة : و عليه

:استنتاجات

. ℜ فإنها مستمرة على ℜ قابلة لالشتقاق علىexpبما أن الدالة

هي واحدة من الدوال األصلية ، exp فإن الدالة exp هي الدالة expبما أن الدالة المشتقة للدالة

. exp ، للدالة ℜعلى

ex>0 و ℜ :exp′(x)=ex في xكون قيمة مهما ت: لدينا

.ℜ متزايدة تماما على exp منه الدالة ℜ exp′(x)>0 في xمنه مهما تكون قيمة

:مبرهنة

xالدالة ex ) المعرفة علىℜ (مستمرة علىℜ.

xالدالة ex ) المعرفة علىℜ (هي واحدة من الدوال األصلية

x للدالة ℜ على ex ) المعرفة علىℜ. (

:رهنة مب

.ℜ على تماما متزايدة )ℜ على المعرفة ( xex الدالة

:مثاالن

:،بالدستور ℜ الدالة المعرفة على f لتكن -12

2)(

+

+= xe

xxexf

:لدينا v

uf : بالدستورين ℜ الدالتان المعرفتان على v وu أين =

u(x)=ex+2x و v(x)=2ex+1.

.ℜ : u′(x)=ex+2 في x و مهما تكون قيمة ℜ قابلة لالشتقاق على uالدالة

.ℜ : v′(x)=2ex في x و مهما تكون قيمة ℜ قابلة لالشتقاق على vالدالة

قابلة لالشتقاقf منه الدالة ℜ ،v(x)≠0 في xو مهما تكون قيمة

: ، بالدستور ℜ معرفة على ′ fو دالتها المشتقة ℜ على

2))(()().()().()(

xvxvxuxuxvxf

′−′=′

)12(2: أي 2).2()2).(12()(

++−++

=′x

xxxx

eexeeexf

)ex.ex=e2x منه ex.ex=(ex)2مع األخذ باالعتبار ( و بعد إنجاز الحسابات

.ℜ : u′(x)=ex+2 في x و مهما تكون قيمة ℜ قابلة لالشتقاق على uالدالة

2)12(245)(

++−

=′x

xx

exeexf

+ℜ المعرفة على g الدالة -:، بالدستور *

xxexg x 13)( 2 ++=

المعرفة على G و الدالة ]∞+; 0[ منه هي تقبل دواال أصلية على ]∞+; 0[مستمرة على المجال

)ln(: بالدستور ]∞+; 0[3

3)(3

xxexG x هي واحدة من الدوال األصلية للدالة =++

g 0[ على المجال ;+∞[ .

xالدالة المشتقة لدالة من الشكل eu(x)

:مبرهنة

.Iحتوي المجال دالة مجموعة تعريفها تu مجال و لتكن Iليكن

.I قابلة لالشتقاق على المجال uإذا كانت الدالة

قابلة لالشتقاق على f(x)=eu(x): المعرفة بالدستورfفإن الدالة

: I في x بحيث، مهما تكون قيمة ′ f و دالتها المشتقة Iالمجال

f ′(x)=u′(x).eu(x).

:البرهان

: و معطيات النص السابق و فرضيته سائدة

I ، f(x)=eu(x) ي xما تكون قيمة مه=exp(u(x))

)(exp))(( منه xuxf o=

من x0و منه مهما يكون العنصر ℜ قابلة لالشتقاق على exp و الدالة Iقابلة لالشتقاق على uو الدالة

I الدالة ، exp قابلة لالشتقاق عند u(x0)نة حول اشتقاق دالة مركبة الدالة منه و حسب المبره

exp)( المركبة uo قابلة لالشتقاق على المجالI و دالتها المشتقة )(exp ′uo مهما : بحيث

: I في xتكون قيمة

)()]([pex)(exp xuxuu ′×′=′o

)()](exp[ xuxu ′×=

I :f في xمهما تكون قيمة : بحيث ′ f و دالتها المشتقة I قابلة لالشتقاق على fمنه الدالة ′(x)=u′(x).eu(x)

:مثال

xxx: بالدستور]∞+;0 [ الدالة المعرفة على المجالfلتكن eeexxf ××+=1

2)ln()(

: ]∞+;0 [ في xمهما تكون قيمة x

xx

exxf++

+=1

2)ln()(

x: و بوضع x

xxu ++=1

′uشتقة و دالتها الم]∞+;0 [ قابلة لالشتقاق على u الدالة )(2

بحيث xx

xu2

112)(

2+−=′

: كذلك منه ln و الدالة ]∞+;0 [ قابلة لالشتقاق على fمنه الدالة

: بالدستور]∞+;0 [ معرفة على ′ f و دالتها المشقة ]∞+;0 [ قابلة لالشتقاق على المجال fالدالة

xx

xe

x xxxf

++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+=′

12

2 2

12

1)(

1

:استنتاج

:مبرهنة

.Iمجموعة تعريفها تحتوي المجال دالة u مجاال و لتكن Iليكن

.I قابلة لالشتقاق على المجال Uإذا كانت الدالة

هي G(x)=eu(x): بالدستور I المعرفة على المجال Gفإن الدالة

g(x)=u′(x).eu(x): المعرفة بالدستورg، للدالة Iواحدة من الدوال األصلية ،على المجال

:البرهان

ف x و مهما تكون قيمة I قابلة لالشتقاق على Gرضيته سائدة، الدالة و معطيات النص السابق و ف

I،G′(x)=g(x).

x بتطبيق المبرهنة حول اشتقاق دالة من الشكل( eu(x)(

.I، على المجال g هي واحدة من الدوال األصلية للدالة Gمنه

): ، بالدستورℜ الدالة المعرفة علىfلتكن :مثال ) xx eexxf 22

)1()( نحسن تعيين ال=+×

.f(x)دالة أصلية لجداء لذا نقوم بتحويل عبارة

)ℜ ،)2 في xمن أجل 2

)1()( xxexxf ++=.

.u′(x)=2(x+1) منه u′(x)=2x+2 لدينا u(x)=x2+2x: لنضع

)(: منه 2

1)1( xux ).()(: و هكذا+=′

2

1)( xuexuxf ′=

xو الدالة eu(x) من الدوال األصلية للدالة هي واحدةx u′(x).eu(x) على ℜ و ،2

1الدالة عدد ثابت منه

F المعرفة على ℜبالدستور :)(

2

1)( xuexF .ℜ علىfهي واحدة من الدوال األصلية للدالة =

)2( ،بالدستورℜ المعرفة على Fالدالة : و عليه 2

2

1)( xxexF هي واحدة من الدوال األصلية =+

.ℜ على fللدالة

من الشكل " عناصر" تشمل f(x) حيث عبارة x لمتغير حقيقي fعيين دالة أصلية لدالة عددية لت

eu(x) نعين ،u′(x) و نحاول إبراز الجداء u′(x).eu(x)نطبق النتائج العامة حول الدوال ) أو( و

.األصلية

نهايات قاعدية

⎟:من تعريف العدد المشتق لدينا⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

→x

xx )0exp()0exp(lim0

exp′(0)=1منه exp′(x)=e0و

⎟⎟: و عليه ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −→

xex

x 1lim0

).....1(

: *ℜ من xو من أجل ( ) 11

+×−

= xx

eex

x

): و لدينا ) 0lim0

=→ xx)...2 ( و من)باستعمال المبرهنات حول النهايات ) 2(و ) 1:

( ) 10111lim0

+×=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+×−

→44 344 21

xx

exx

)و عليه ) 1lim0

=→ xex....(I)

ℜ ،a في xهما تكون قيمة عددا حقيقيا،مaليكن

xax

eee =−

axaxمنه eee ) و لدينا=×− ) 0lim =−→ axxa

) و ) 1lim0

=→ xex من (I)

)منه و حسب المبرهنة حول نهاية دالة مركبة ) 0lim =→ −ax

aex

lim.1: و عليه ×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→ − aaxa

aeeex 321

): إذن ) ax

aeex =→lim) α(

: بالدستورين ]∞+; 1] الدالتين المعرفتين على المجال g و fلتكن

f(x)=ex-2x و g(x)=ex-x2

.]∞+; 1] قابلتان لالشتقاق على المجال g و fالدالتان

.ex≥e1 منه x≥1 و f ′(x)=ex-2 ]∞+; 1] في xمن أجل -

منهe-2>0 و ex-2≥e-2منه ) ℜ متزايدة على expألن الدالة (

f ′(x)>0 . منه الدالةf 1] متزايدة على ;+∞[

: منه f(x)≥f(1) منه x≥1 : ]∞+; 1] من xمن أجل كل عنصر

f(x)≥e-2 منه f(x)>0 .

g منه الدالة g′(x)>0 منه g′(x)=f(x) منه g′(x)=ex-2x : ]∞+; 1] من xمن أجل كل عنصر -

.]∞+; 1]متزايدة تماما على

g(x)≥e-1 منه g(x)≥g(1)منه x≥1 ، ]∞+; 1] من x من أجل كل عنصر -

ex-x2>0 منه g(x)>0منه

)•.....( ex>x2 : ]∞+; 1] في xو عليه من أجل

): و لدينا ) +∞=→∞+

2lim xx) ••(

ex

:و حول المبرهنات حول النهايات بالمقاربة ) ••(و ) •(من

( ) +∞=→∞+

xexlim) β(

x ]∞+; 1] في xمن أجل ) •(و منxex

>) •••(

)و ) +∞=→∞+

xxlim)••••(

: و حسب المبرهنات حول النهايات بالمقاربة ) ••••(و) •••(و من

+∞=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ →∞+ x

exx

lim) γ(

ℜ ،x في xمن أجل x

ee

−=

1

): و لدنيا ) +∞=−→∞−

xxlim و ( ) +∞=→∞+

xexlim منه

( ) +∞=−→∞−

xexlim 01 منهlim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ →

−∞− xex و عليه

( ) 0lim =→∞−

xex) δ(

ℜ* : x في xمن أجل x

exxe−

منه =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−=

−

xe

xe xx 1

): و لنا ) +∞=−→∞−

xxlim و+∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

∞+ xex

x

lim

⎟⎟=∞+منه ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

→−

∞− xex

x

lim

ex

01منه lim =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

→∞−

x

xex و عليه ( ) 0lim =→

∞−

xxex) ζ(

: و هكذا لقد برهنا على المبرهنات التالية

:مبرهنات

) : aمن أجل كل عدد حقيقي ) ax

aeex =→lim

( ) +∞=→∞+

xexlim

( ) 0lim =→∞−

xex

+∞=→∞+ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛x

xexlim

( ) 0lim =→∞−

xxex

:أمثلة

: الدالة المعرفة بالدستورfلتكن 125)(

−+

= x

x

eexf

Df تعريف الدالة مجموعةf هي مجموعة األعداد الحقيقية x 2 التي تحققex-1≠0.

يكافئ 2ex-1: و لدينا 21

=xe يكافئ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21ln)ln( xe

أيDf=ℜ-{-ln2} منه 2ln−=xو يكافئ ]-∞ ;-ln2 ;[∪]-ln2 ;+∞[

lim)(0و لدينا - =→∞−

xexنه م⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21ln)ln( xe

-0)12(lim2ln

=−→−

xex و 2

11)5(lim2ln

=+→−

xex

xex

2ex-1ندرس إشارة

2ex-1=0 يعني x=-ln2 ، 2ex-1>0 يعني 21

>xe يعني ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>

21ln)ln( xe يعني

2ln−>x x<-ln2 يكافئ 2ex-1<0و بالتالي

:منه اإلشارات تلخص في الجدول+∞ -ln2 -∞ x

إشارة - +2ex-1

=∞−: منه −−

f2ln

lim

+∞=+−

f2ln

lim

و كذلك نهاية + ∞نهاية البسط هي ( هي، في الوهلة األولى ، حالة عدم تعيين f، نهاية +∞عند -

، ℜ في xمهما تكون قيمة ).المقام

( )( )x

x

xx

eeee

xf 12

51)(

−

+ منه =

x

x

e

exf 12

51)(

−

+=

→=∞+: و لدينا ∞+

)(lim xex 5(0 منه(lim =→∞+ xe

x

lim)1(0 و =→∞+ xe

x

: منه21lim =

∞+f

g(x)=(x+1).ex+2: بالدستور ℜ الدالة المعرفة على gلتكن

→=∞+: لدينا ∞+

)(lim xex و +∞=+→∞+

)1(lim xx منه

+∞=∞+

glim.

ℜ :g(x)=xex+ex+2 في xمن أجل

lim)(0و =→∞−

xex ،0)(lim =→∞−

xxex 2 منهlim =∞−

g

جدول تغيرات الدالة األسية و تمثيلها البياني من النتائج حول مجموعة تعريف الدالة األسية و اتجاه تغيرها -

: راتها كما يلي و نهاياتها يكون جدول تغي-∞ +∞ x

+∞ 0

ex

xالمنحني الممثل للدالة ) Cf(ليكن - ex ) المعرفة علىℜ(

lim)(0: لدينا * =→∞−

xex منه المستقيم ذو المعادلة y=0 ) لفواصلاأي حامل محور (

.-∞بجوار ) Cf(هو مستقيم مقارب للمنحني

: لدينا Cعند ) Cf( المماس للمنحني (′d)و إذا سمينا ) Cf( تنتمي إلى C(0 ;1)النقطة *

(d′) :y=exp′(0)(x-0)+exp(0) أي (d′) :y=x+1.

لدينا Dعند ) Cf( المماس للمنحني (″d)و إذا سمينا ) Cf( تنتمي إلى D(1 ;e)النقطة *

(d″) :y=exp′(1).(x-1)+exp(1)أي y=e(x-1)+e

. مبدأ المعلم 0 يشمل النقطة (″d) منه y=e.x: (″d)منه

:و منه الشكل

)Cf ( المنحني الممثل للدالة األسية بالنسبة إلى المعلم);;( jio

التزايد المقارن للدالة األسية و الدوال قوى

. عددا طبيعيا غير معدومnليكن

: الدستورين المعرفتان بg و fلنعتبر الدالتين

n

x

xexf xn و )(= exxg .)( =

fالهدف من هذه الفقرة هو حساب النهايتين ∞+

lim و giml∞−

: هما في الوهلة ، حالتا عدم تعيين ألن

i→

j→

C

D

2 3 4-1-2-3-4

2

3

4

-1

0 1

1

x

y

( Cf )

( d') (d'')

i→

j→

C

D

+∞=→∞+

)(lim xex 0 و)(lim =→∞−

xex

)(lim nxx →∞−

+∞هي

n حسب شفعية - ∞ أو

ℜ* : n في x من أجل -

nxn

xexf

.1

)( منه =( )

n

xx

xexf =)(

منه

nx

x

xexf ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟ و قصد االقتراب من الوضع)(=

⎠

⎞⎜⎝

⎛ →∞+ X

eXX

lim نقوم بالتحويل

التالي

nn

x

nnx

exf ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

×=)(

⎟منه ⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= n

nx

x

nnxexf nn و لدينا )(1

1 . ثابت موجب تماما

⎟=∞+و ⎠⎞

⎜⎝⎛ →

∞+ nxxlim +∞=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ →∞+ x

exx

lim منه

+∞=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛→

∞+

xnex

nx

lim

=∞+منه ∞+

flim

+∞=→∞+

)(lim nxx

:ℜ في xمن أجل -

n

xx

ex ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= .

nxnn exxg

..1

.)( =

n

xx

n enxn ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ..

n

xx

ennx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ...

⎟=∞−دينا و ل⎠⎞

⎜⎝⎛ →

∞− nxxlim و ( ) 0lim =→

∞−

xxex

lim.0منه =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ →

∞−

nx

enxx

0limمنه =∞−

g

.و هكذا لقد برهنا على مبرهنة

:مبرهنة

. عددا طبيعيا غير معدومnليكن

+∞=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ →∞+ n

x

xexlim ( ) 0.lim =→

∞−

xn exx

:حوصلة نتائج،مالحظة

xيعيا غير معدوم الدالة عددا طبnليكن xn ) المعرفة علىℜ ( الدالة قوة ذات األس " تسمىn"

: بقيم موجبة تماما0 إلى xلما يؤول

X و 0 يؤول إلى ln(x) ألول -∞ يؤول إلى

هي حالة عدم xn.ln(x)وهلة نهاية الجداء

.تعيين

+:∞ يؤول إلى xلما

xn و + ∞ يؤول إلىex ألول +.∞ يؤول إلى

nوهلة ، نهاية حصل القسمة

x

xe

.

و بعد إزالة حالة عدم التعيين، وجدنا أن xnln(x)0 يؤول إلى

x) هو نهاية 0و xn) .××ln(x) على’يتفوق ‘ xnإذن

+∞ إلى xلما يؤول Xn و + ∞ يؤول إلىln(x) يؤول إلى ∞+

ألول وهلة ، نهاية حاصل القسمة

nxx)ln(

أي نهاية الجداء

)ln(.1 xxnهي حالة عدم التعيين.

و بعد إزالة حالة عدم التعيين وجدنا أن

)ln(.1 xxn0 يؤول إلى.

⎟ هو نهاية 0و ⎠⎞

⎜⎝⎛ → nx

x 1 الجزء حيث

xn هنا آذلك xn' على ' يتفوقln(x) ××.

xأي نهاية الجداءn e

x×

1هي حالة عدم

.عيين ت

و بعد إزالة حالة عدم التعيين، وجدنا أن

n

x

xe

+ ∞يؤول إلى

)(هي نهاية+ ∞و xex →.

×× xnعلى ' يفوق 'exإذن

:-∞لما يؤول إلى

Xn ن حسب شفعية -∞أو إلى + ∞ يؤول إلى

n و ،ex0 يؤول إلى.

هي حالة عدم xn.exألول وهلة نهاية الجداء

.يينتع

xn.exو بعد إزالة حالة عدم التعيين، وجدنا أن

.0يؤول إلى

x) هو نهاية 0و ex).

.×× xnعلى ' يتفوق 'exهنا كذلك

:المالحظة

عنى مد الالنهاية ، بعن: أمام حالة عدم تعيين

تؤول إلى xn و lnxالقيمة المطلقة لواحد من

∞.+ nx'على ' يتفوقln(x)

:المالحظة

عند الالنهاية ، بعنى : أمام حالة عدم تعيين

تؤول إلى xn و exلقة لواحد من القيمة المط

∞.+ xe'على ' يتفوقxn

.تمكننا من التخمين" ثقافة"المالحظات أعاله جد مثيرة لالهتمام ألنها تجعلنا نكسب

lim)(لنحسب النهاية :مثال 325 +

∞+−→ xexx

→=∞+ألن (ألول وهلة، حالة عدم تعيين∞+

)(lim 5xx

→−=∞−و +

∞+)(lim 32 xex(

ذات األس الطبيعي غير المعدوم و في مثالنا هذا، نهاية الجزء " قوة"على كل دالة" تتفوق"الدالة األسية

.-∞حيث األسية هي

→−=∞−: إذن نخمن +

∞+)(lim 325 xexx

:البرهان

)(325لنضع +−= xexxf 2 و لنحاول إبرازxex

. *ℜ في xمن أجل

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ××−= 35

5 1 eexex x

x

35 ..)( eeexxf xx−=

+∞ يؤول إلى x5+: ∞ إلى xلما يؤول

5xex

3eexو +∞يؤول إلى +∞يؤول إلى ×

+)∞ يؤول إلى ex و e3>0ألن (

3منه 51 ee

xe x

x

-∞يؤول إلى −××

): و عليه ) −∞=−→ +

∞+

325lim xexx

القوى ذات األس الحقيقي و األساس الموجب تماما

منه ln(an)=n.ln(a): ،لدينا n عددا حقيقا موجبا تماما، من أجل كل عدد صحيح aليكن an=exp(n.ln(a))

.و بالتعريف، تمدد هذه الكتابة an=enln(a)منه

: تعريف-أ-

. عددا حقيقيا موجبا تماماaليكن

α :aα=eαln(a)جل كل عدد حقيقي من أ: بالتعريف

:قواعد الحساب-ب-

:مبرهنات

: ، لدينا β و α و من أجل كل عددين حقيقيين bمن أجل كل عددين حقيقيين موجبين تماما و

1(ln(aα)=αln(a) 2(aα+β=aα×aβ

3(α

α

aa 1

=− 4(β

αβα

aaa =−

5((aα)β=aα.β 6((a.b)α=aα.bα

7 (α

αα

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+a∈ℜمن أجل ( aα=eαlnaالبرهان على المساويات السابقة يتم باالعتماد على التعريف : البرهان

*

lnو على خواص الدالتين ) α∈ℜو

. سنكتفي بالبرهنة على البعضexpو

+ℜ عنصرين من b و aليكن . عددين قيقيينβوαليكن و *

ln(aα)=ln(eαlna) و ln(ex)=xكل عدد حقيقي من أجل x.

).1 و هكذا تم البرهان على المساواة ln(aα)=αlnaو عليه

( ) )ln( αββα aea )من التعريف ( =

)ln( ae αβ= ) 1من((

ae lnαβ=

αβa= )من التعريف(

)5و هكذا تم البرهان على المساواة )ln()( abeab αα )من التعريف ( =

)ln(ln bale += α ) من خواصln( bae lnln αα +=

ba ee lnln αα )expمن خواص ( =×αα ba )من التعريف ( =×

)6و هكذا تم البرهان على المساواة

+ℜمن القوى و هي القوى ذات األساس في " جديد"لقد عرفنا نوعا:مالحظة و نالحظ ℜألس في و ا *

.أن هذه القوى لها نفس الخواص الحسابية مع القوى ذات األس الصحيح

. هو المجهولxحيث ) 10x=7).... 1المعادلة ℜلنحل في :مثال

ln(10x)=ln(7)تكافئ ) ℜ ، )1 في xمن اجل

x.ln(10)=ln(7)تكافئ

تكافئ )10ln()7ln(

=x

x=log(7)تكافئ

{log(7)}هي ) 1(جموعة حلول المعادلةو عليه م

a الدالة األسية ذات األساس a≠1 و a>0 عدد حقيقي بحيث a حيث -

: تعريف -أ-

a≠1 و a>0 عددا حقيقيا بحيث aليكن

x هي، بالتعريف، الدالة aالدالة األسية ذات األساس ax،

.ℜ المعرفة على

:ات األساس و استنتاجاتاتجاه تغير الدالة األسية ذ-ب-

.1 عددا حقيقيا موجبا تماما و يختلف عن aليكن

. الدالة األسية ذات األساس expaلنسمي

expa=ax،بالدستور ℜمعرفة ، على expaالدالة

expa(x)=exln(a): أي بالدستور

u(x)=x.ln(a): ، بالدستورℜ، المعرفة على uالدالة

قابلة expa منه u′(x)=ln(a)بالدستور ℜ معرفة على ′uتها المشتقة ، ودالℜقابلة لالشتقاق على

exp′a و دالتها المشتقة ℜلالشتقاق على

exp′a(x)=ln(x) .axأي بالدستور exp′a(x)=ln(a).exln(a): بالدستورℜمعرفة ، على

.ln(a) هي إشارة exp′a(x) منه إشارة ax>0 أي ℜ ،exln(a)>0 في xمهما تكون قيمة

:رهنة و استنتاجاتمب

.a≠1حقيقيا موجبا تماما بحيث عدداaليكن

:a>1في الحالة

منه ln(a)>0ون يك

x: الدالة ax المعرفة على ℜ متزايدة تماما ،

.ℜعلى

و αمن أجل كل عددين حقيقيين

β.

α=β يكافئ aβ=aα

β>α يكافئ aβ>aα

β≥α يكافئ aβ≥aα

:a<1>0في الحالة

منه ln(a)<0يكون

x: الدالة ax المعرفة على ℜ متناقصة تماما ،

.ℜعلى

و αمن أجل كل عددين حقيقيين

β.

α=β يكافئ aβ=aα

β>α يكافئ aβ<aα

β≥α يكافئ aβ≤aα

x) نهايات الدالة - جـ- ax) حيث،a>0 و a≠1 و عند -∞ ، عند ∞-

a≠1: عددا حقيقيا موجبا تماما بحيثaليكن

ℜ:ax=exln(a) في xمهما تكون قيمة

xجدول تغيرات الدالة -د- ax حيث ، aقيقي بحيث عدد حa>0 وa≠1

x: في ما يلي، جدول تغيرات الدالةa≠1 و a>0 عددا حقيقيا بحيث aليكن ax المعرفة على، ℜ ،

:و تمثيلها البياني

: a>1في الحالة -∞ +∞ x

+∞ 0

ax

x جدول تغيرات الدالة ax

:a>1في الحالة ln(a)>0

+ ∞ يؤول إلى x.lna، +∞ يؤول إلى xلما

+.∞ يؤول إلى ex.lnaمنه

:a<1>0في الحالة ln(a)<0

منه -∞ يؤول إلى x.lna، +∞ يؤول إلى xلما

ex.lna 0 يؤول إلى.

منه -∞ يؤول إلى x.lna، -∞ى يؤول إلxلما

ex.lna 0 يؤول إلى.

→=∞+منه∞+

)(lim xax

0)(lim =→∞−

xax

+ ∞ يؤول إلى x.lna، -∞ يؤول إلى xلما

+.∞ يؤول إلى ex.lnaمنه

lim)(0منه =→∞+

xax

−∞=→∞−

)(lim xax

)γa( المنحني الممثل للدالةx ax بالنسبة إلى المعلم );;( jio

:a>0<1في الحالة -∞ +∞ x

+∞ 0

ax

xجدول تغيرات الدالة ax

)γa( المنحني الممثل للدالةx ax بالنسبة إلى المعلم );;( jio

: مالحظة

ℜ ،exln(e)=ex في xمن أجل

e هي الدالة األسية ذات األساس ( exp )سية منه الدالة األ

i→

j→

2 3 4-1-2-3-4

2

3

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

( γ a )

i→

j→

i→

j→

2 3 4-1-2-3-4

2

3

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

( γa)

i→

j→

تمارين و مشكالت حول الدوال األسية و الدوال اللوغاريتمية

:معادالت، متراجحات

:01التمرين

: هو المجهول ،التاليةx، كل واحدة من المعادالت ،حيث ℜحل ، في

172 23 =−xe)......1(،1235 +−+ = xx ee.....)....2(،0)23)(5( =−− xx ee..

)....3(،3)log(9 −=x)........4(،

)(log2)(log5 28 xx ==)...5(،

2log)12()(log 2 =−− xx)...6(،xxxxxxxe 432322 5555333 ×××=×××)..........7(

:02التمرين

: هوالمجهول ،التالية x، كل واحدة من المتراجحات ، حيث ℜحل، في

2ex≥5)....1(،2-3e-x<0)....2(،e-2x+1>103)....3(،(lnx)2<2)..4(

(logx)2≥3)... 5(،e2x-2ex+1≤0)...6(،(0,5)x≤(0,5)3x+1)...7(،

7.3x>6x)...8.(

:03التمرين

: هو المجهول ، التاليةx، كل واحدة من المعادالت ، حيث ℜحل، في

3e2x-28ex+9=0)....1(،5ex+10e-x-51=0)...2(، 0153110 2 =+−x

x ee)....3(

:04التمرين

، بحيث x، للمتغير الحقيقي P(x)أنشر و بسط عبارة كثير الحدود -1P(x)=(x+1)(3x-2)(2x-3)

:، بالدستورℜ الدالة المعرفة ،على f لتكن -2- f(x)=6e3x-7e2x-7ex+6 . هو المجهولx حيث f (x)=0،المعادلة ℜ حل، في -أ -

.ℜ في x تبعا لقيم f (x)أدرس إشارة - ب -

:05التمرين

: هو المجهول ، التاليةx، المتراجحات ، حيث ℜحل، في

5e2x+10≥51ex)....1(،3.49x-4.7x+1+9<0)....2(،

6(0,25)x-13(0,5)x+6>0)..... 3(،e3x-4e2x-ex+4≤0)... 4(

:مجموعات تعريف و مشتقات

:06التمرين

ي كل حالة من الحاالت فf الدالة المشتقة للدالة ′ و الدالةfدالة مجموعة تعريف الDعين المجموعة

:التالية

1(f معرفة بالدستور :xexxxf 22)( 2 −+=

2(f معرفة بالدستور :xexx

xf .31)( 2+=

3(f معرفة بالدستور :xexxf 53)( +

=

4(f معرفة بالدستور :xexxxf ).25,0()( 2 +=

5(f معرفة بالدستور :323)(

++

= x

x

eexf

6(f معرفة بالدستور :1

52)(−

−= x

x

eexf


−+

= xexxf

8(f 5: معرفة بالدستور)( 2 ++= xexf x

9(f 1532: معرفة بالدستور 2

153)( −++−+= xxexxxf

10(f 102: معرفة بالدستور )135()( ++= xx eexf

11(f معرفة بالدستور :)53)(13()( 522 +−+= − xx eexxxf


2)( 2

2

−+

= xexxxf

13(f معرفة بالدستور :xxxf 3ln)( +=

14(f 1: معرفة بالدستور1

2)( −+

+= xx

exxf

:دوال أصلية و تكامالت

:07التمرين

: في كل حالة من الحاالت التاليةI على المجال fعين الدوال األصلية للدالة

1(f 151: معرفة بالدستور)( 2 +++= xx

exf x وI=]-∞ ;0[

2(f معرفة بالدستور :xexf x 72)( 5,0 I=ℜو =+

3(f معرفة بالدستور :xx exexf 535)(2

I=ℜو =+

4(f معرفة بالدستور :xxexxf 32 3

)2()( I=ℜو =++

5(f 2: معرفة بالدستور

1

)(xeexf

xx += ]∞+; I=]0و −

6(f معرفة بالدستور :)3)(1()( 32 −++= − xxx eeexf وI=ℜ

7f معرفة بالدستور :x

xx

eeexf 6

2 153)( ++ I=ℜو =


)(+

= x

x

eexf وI=ℜ

9(f معرفة بالدستور :x

x

exexxf

−

−

−+

=3

)( 3

2

]I=]-∞ ;0و

10(f 102: معرفة بالدستور )12.()( ++= xxx eeexf و I=ℜ

11(f 7: معرفة بالدستور)(1)(xe

exf x

x

++

I=ℜ و =


2)(25

5

+++

=xe

xexfx

x

I=ℜ و

:08التمرين

: ، بالدستورℜ المعرفة ، على fعين الدالة المشتقة للدالة -1f(x)=(x2-x+1).ex

: استنتج-2 -

xالدالة األصلية للدالة ) أ (x2+x)ex على ،ℜ للمتغير0 من أجل القيمة 2، التي تأخذ القيمة .

dtettJ: حيث Jالقيمة المضبوطة للتكامل )ب t .)1(2ln

0

2 ++= ∫

:09التمرين

: ، بالدستورℜ الدالة المعرفة ، على f لتكن

21053)(

+++

= x

xx

eeexf

: بحيث يكون a،b،c أعدادا حقيقية أوجد-1-

: ℜ، في xمن أجل كل قيمة للمتغير2

)(+

++= x

xx

ecebaexf

: حيث K أعط القيمة المضبوطة للتكامل -2-

∫ −=5ln

3ln

)5)(( dxxxfK

:10التمرين

: ، بالدستورينℜ الدالتين المعرفتين ، على gوfلتكن xexxxf )73()( 2 )()( و =−+ 2 cbxaxxg أعداد a،b،c، حيث =++

.مفروضة

ℜ علىf دالة أصلية للدالةg حتى تكون a،b،cأوجد -1-

∫: حيث Iأعط القيمة المضبوطة للتكامل -2-−

=1

0

)( dxxfI

:مجموعات التعريف و النهايات

:11التمرين

، على شكل مجال أو اتحاد f مجموعة تعريف الدالة Dعين المجموعة

عند كل حد من fمجاالت، ثم أحسب النهاية، أو النهاية على اليمين أو النهاية على اليسار، للدالة

:حدود هذه المجاالت في كل حالة من الحاالت التالية

1(f 235: معرفة بالدستور)( 2 ++= xexf x

2(f 2: معرفة بالدستور

1)(x

xexf x +=

3f معرفة بالدستور :xxexxxf +−+

=112)(

4(f معرفة بالدستور :xexxf −+= 12)(

5(f معرفة بالدستور :xexxf )73()( 2 −=

6(f معرفة بالدستور :xexxxf −+−= 975)( 2


−+

= x

x

eexf


23)( 8

4

++

=x

exxfx

9(f بالدستور معرفة :2

2)(3

−−

= x

x

exexf

10(f 12: معرفة بالدستور)( 235 +−= +xexxf


x

exexxxxf 22

23

4253)(

+−++

=

12(f 1: معرفة بالدستور)1()( −−= xx

exxf


exfx 1)( −

=

:قراءات بيانية

:12التمرين

هو المنحني الممثل ) Cg(و ) ℜمعرفة على ( fهو المنحني الممثل لدالة ) Cf(، واليالمفي الشكل

);;(،بالنسبة إلى المعلم المتعامد و المتجانس )ℜمعرفة على ( gلدالة jiO و ،(d) هو المماس

.0 التي فاصلتها هعند النقطة من نقط) Cg( للمنحني

.ℜ فيx ، من أجل f(x) بداللة g(x) أعط عبارة بقراءة بيانية-1-

.استنتج مساحة الحيز المستوي المظلل-2-

معرفة بدستور من الشكل f في الواقع، -3-

22 )()(x

ecbxaxxf−

++=

. x و a،b بداللة f′(x)أحسب -أ-

و f(x) ثم أكتب عبارة c و a،bباالعتماد على معلومات موجودة في الشكل، عين كال من -ب-

.x بداللة g(x)عبارة

:13التمرين

بالنسبة إلى المعلم المتعامد و ) ℜمستمرة على ( fهو المنحني الممثل لدالة ) Cf(في الشكل الموالي

);;(المتجانس jiO و (t)للمنحني هو المماس)Cf ( و 2في النقطة من نقطه التي فاصلتها

.حامل محور الفواصل) Cf(تي يقطع فيها هي النقطة الوحيدة الAالنقطة

g(x)=ln(f(x)): المعرفتان بالدستورينh و gنعتبر الدالتين

.h(x)=ef(x)و

i→

j→

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0 1

1

x

y

( Cg )

( Cf )

( d )

i→

j→

i→

j→A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1-2-3-4-5

2

3

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

0 1

1

x

y

( Cf )

(t)

i→

j→A

.باالعتماد على الشكل و مع إعطاء التعاليل، أجب على األسئلة الموالية

.h، و مجموعة تعريف الدالة g عين مجموعة تعريف الدالة -1-

.h(1) ،h(2) ،g(2) عين -2-

العدد المشتق g′(2) و 2 عند h العدد المشتق للدالة h′(2) عين -3-

.2 عند g للدالة

:مسائل

:14التمرين

في fالمنحني الممثل للدالة ) Cf( و ليكن f(x)=(x+2)e-x، بالدستور ℜ الدالة المعرفة ، على fلتكن

المستوي المنسوب إلى معلم متعامد

);;( و متجانس jiO.

.fأدرس تغيرات الدالة -1-

.مع حاملي محوري المعلم) Cf(عين نقط تقاطع المنحني -2-

.يقبل مستقيما مقاربا) Cf( أثبت أن المنحني -3-

.0عند النقطة من نقطه التي فاصلتها) Cf( المماس للمنحني (d)أكتب معادلة للمستقيم -4-

).Cf( المنحني ثم(d) أنشئ المستقيم -5-

f هي واحدة من الدوال األصلية للدالة g(x)=(-x-3)e-x المعرفة بالدستورgأثبت أن الدالة )أ-6-

.ℜعلى

.و حاملي محوري المعلم) Cf(أحسب مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحني ) ب

:15التمرين

: الدالة المعرفة بالدستورfلتكن /161

1)(

−

+=

x

x

ee

xf

تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد) Cf(و ليكن


.f مجموعة تعريف الدالة D عين المجموعة -1-

. فرديةf أثبت أن الدالة -2-


.أدرس الفروع الالنهائية للمنحني-4-

) .Cf( أنشئ المنحني-5-

، يكون D في المجموعة xأثبت أنه مهما تكون قيمة -6-x

x

ee

xf−

−

−+=

12

ثم عين مجموعة )(1

على fالدوال األصلية للدالة

.]∞+; 0[المجال

، x=ln2و المستقيمات ذات المعادالت ) σf( أحسب مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحني -7-

x=ln8،y=1.

:16التمرين

xexxf: معرفة بالدستور الدالة الfلتكن −+= 2)2()(

تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد) Cf(و ليكن



.يقبل مستقيما مقاربا) Cf(أثبت أن -2-

).Cf( أنشئ المنحني-3-

xecbxaxxg الدالة المعرفة بالدستورg لتكن -4- −++= )()( أعدا a،b،c أين 2

.حقيقية مفروضة

.ℜ على f دالة أصلية للدالة g بحيث تكون الدالة a،b،cأوجد -أ-

، y=0و المستقيمات ذات المعادالت ) Cf( أحب مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحني-ب-

x=0،x=-2.

)mex+x2+4x+4=0).....1: لتكن المعادلة -5-

. عدد حقيقي معلومm ، وℜمجهول ، في هو الxحيث

.f(x)=mتكافئ المعادلة ) 1(أثبت أن المعادلة )أ

).1(استنتج تفسيرا بيانيا لحلول المعادلة ) ب

؟)في حالة وجودها( ؟ و ما هي إشارة هذه الحلول )1(،عدد حلول المعادلة mما و،حسب قيمة ) جـ

17التمرين

: الدالة المعرفة بالدستورfلتكن 1

21)(−

−−= x

x

eexxf

);;( في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد و متجانسfالمنحني الممثل للدالة ) Cf(و ليكن jiO

).1cmوحدة الطول هي ( j=1 و i=2حيث


. مقاربا موازيا لحامل محور التراتيبيقبل مستقيما) Cf(أثبت أن •-2-

-∞عند) Cf( هو مستقيم مقارب للمنحني y=- 2x+1 أثبت أن المستقيم ذو المعادلة •

+.∞عند ) Cf( هو مستقيم مقارب للمنحنيy=-2x أثبت أن المستقيم ذو المعادلة •

).Cf(أنشئ -3-

، المقدرة بالسنتيمتر المربع Aالنقصان للمساحة ب2-10أعط القيمة المضبوطة ثم قيمة مقربة إلى -4-

) Cf(المحدد بالمنحني (D)للحيز المستوي

.x=-ln2 ،x=-ln16 ، y=-2x+1و المستقيمات ذات المعادالت

⎟ حيثω أثبت أن النقطة -5-⎠⎞

⎜⎝⎛

21;0ω هي مركز تناظر للمنحني )Cf.(

:18التمرين

)(12: بالدستور[1; 0]مجال الدالة المعرفة على الfلتكن −= xxf

المنحني الممثل لها في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد) C(و ليكن

);;( و متجانس jiO

).C( و أنشئ fأدرس تغيرات الدالة -1-

.هو منحني للورنز) C( اثبت أن -2-

.توزيع ثروات بالد على مواطني هذا البالدهو المنحني للورنز الممثل ل) C( نفرض أن -3-

.أحسب مؤشر جيني المرفق بهذا التوزيع) أ

ما هو تعليقك حول هذه النتيجة؟)ب

:19التمرين

: النسبة الشهرية المكافئة لها معرفة بالمساواةt نسبة سنوية فإن Tفي ميدان القرض، إذا كانت

(1+t)12=1+T.

⎟ %7,1الشهرية المكافئة لنسبة سنوية قدرها أعط قيمة عشرية مقربة للنسبة -1-⎠⎞

⎜⎝⎛

=100

1,7%1,7

علما أن المصرف يتعامل بنسبة سنوية 500000DAاقترض شخص من مصرف، مبلغا قدره -2-

و أن مدة التسديد هي سنتين%6قدرها

و أن التسديد يتم شهريا فما هو المبلغ الثابت، الذي يدفعه الشخص شهريا إلى المصرف؟

حلول التمارين الدالة األسية و الدوال اللوغارتمية

:1التمرين

: ، لكل معادلة من المعادالت المعطاةℜالحلول، في

1/172 23 =−xe)......1(

.ℜ عنصرا في xليكن

تكافئ ) 1(الجملة 2

1723 =−xe

و هذا يكافئ 2

17ln23 =−x

و هذا يكافئ 2

17ln31

32

+=x

}هي ) 1(و منه مجموعة حلول المعادلة }2

17ln31

32

+

4/3)log(9 −=x)........4(

+ℜ عنصرا في xليكن *.

تكافئ ) 4(الجملة 31)log( −=x

3و هذا يكافئ 1

10−

=x

}هي ) 4(لمعادلةو منه مجموعة حلول ا }31

10−

5/)(log2)(log5 28 xx ==)...5(

+ℜ عنصرا في xليكن *.

تكافئ ) 5(الجملة )2ln()ln(2

)8ln()ln(5 xx

=

و هذا يكافئ )2ln()ln(2

)2ln(3)ln(5 xx

=

)ln(0و هذا يكافئ =x

x=1و هذا يكافئ

}هي ) 5( منه مجموعة حلول المعادلةو }1

)4( و استفد من المعادلة y=log(x)يمكننا وضع) 6(بالنسبة للمعادلة*

xxe: تكافئ) 7(الجملة * 1062 53 =×

5ln103ln62و هذا يكافئ xx eee =×

)و هي تكافئ ) ( )5ln103ln62 lnln xx eee =×

:2التمرين

: ، لكل متراجحة من المتراجحات المعطاةℜحلول، في ال

1/2ex≥5)....1(

.ℜ عنصرا من xليكن

تكافئ ) 1(الجملة 25

≥xe

⎟و هذا يكافئ ⎠⎞

⎜⎝⎛≥

25lnx ) الدالةlnمتزايدة تماما (

;]هي ) 1(و منه مجموعة حلول المتراجحة25[ln +∞⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

3/ e-2x+1>103)....3(


310ln12تكافئ ) 3(الجملة >+− x ) الدالةlnمتزايدة تماما (

10ln312و هذا يكافئ +−>− x

10lnو هذا يكافئ 23

21

−<x) حسب خواص المتباينات(

4 /(lnx)2<2)..... 4 (

متزايدة تماماlnالدالة

]∞+; 0[على

+ℜا من عنصرxليكن *.

)ln(2تكافئ ) 4(الجملة <x)طرفا المتباينة موجبان(

ln(2(2و هذا يكافئ <<− x ) خواص المتباينات(

22و هذا يكافئ exe )ℜالدالة األسية متزايدة تماما على (−>>

[;]هي ) 4(و منه مجموعة حلول المتراجحة 22 ee−

:تعتمد على الخاصية) 5(المعادلة *

: لدينا +ℜ من a و ℜ من xمن أجل

ax )( تكافئ ≤ ax )( أو ≥− ax ≥

6 /e2x-2ex+1≤0)......6(

+ℜ عنصرا من xليكن *

)1(0تكافئ ) 6(الجملة 2 ≤−xe

01ئ و هذا يكاف ≤−xe

01و هذا يكافئ =−xe

x=0و هذا يكافئ

}هي ) 6(و منه مجموعة حلول المتراجحة }0

7 /(0,5)x≤(0,5)3x+1)...7(

ℜ عنصرا من xليكن

1)5,0(12تكافئ ) 7(الجملة +≤ x) (0,5)ألنx>0(

)5,0ln()12(1و هذا يكافئ ee x ≤+

)5,0ln()12(1و هذا يكافئ ≤+x

)2ln)(12(1و هذا يكافئ ≤−+x

و هذا يكافئ 2ln

1)12( −≥+x )خواص المتباينات(

و هذا يكافئ 2ln2

121

−−≥x

الدالتان األسية و اللوغاريتمية

متزايدتان تماما

;]هي ) 7(حلول المتراجحةو منه مجموعة 2ln2

121[ +∞−−

).7(، أنظر التمرين األول ، المعادلة) 8(المتراجحة *

:3التمرين

: ، لكل معادلة من المعادالت المعطاةℜالحلول، في

1/3e2x-28ex+9=0)....1(


3)(0928: تكافئ ) 1(الجملة 2 =+− xx ee

و هذا يكافئ

0

09283 2

>

=

=+−

y

ey

yyx

)و هذا يكافئ )9=y أو⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=3

1y

0>

=

y

ey x

)و هذا يكافئ )9=xe أو⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

31xe

)و هذا يكافئ ))9ln(=x أو( ))3ln(−=x

}هي ) 1(و منه مجموعة حلول المعادلة })9ln();3ln(−

2 /5ex+10e-x-51=0)...2(

)تكافئ ) 2(المعادلة ) 051105 =−+ − xxx eee

010515و هذا يعني 2 =+− xx ee

.ثم بكيفية مماثلة للمعادلة السابقة

3 /0153110 2 =+−x

x ee)....3(

yeيمكننا وضع x

y2=ex: عندئذ نجد2=

).1(ثم بكيفية مماثلة للمعادلة

:4التمرين

:P(x)نشر و تبسيط /1

ℜ عنصرا من xليكن

P(x)=(x+1)(3x-2)(2x-3) :لدينا=(x+1)(6x2-13x+6) =6x3-7x2-7x+6

f(x)=0دلة ، للمعاℜالحلول ، في ) أ/ 2


=3-7(ex)2-7ex+6(ex)6 0 تكافئf(x)=0لدينا الجملة

6y3-7y2-7y+6=0و هذا يكافئ y=ex y>0

و هذا يكافئ

0

)32)(23)(1( 0

>

=

=−−+

y

ey

yyyx

⎟ و هذا يكافئ ⎠⎞

⎜⎝⎛

=2

3y أو⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=3

2y أو( )1−=y

0>=

yey x

⎟و هذا يكافئ ⎠⎞

⎜⎝⎛ =

23xe أو⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =

32xe

⎟ و هذا يكافئ ⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=2

3lnx أو⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=3

2lnx

23ln

32ln

هي f(x)=0و منه مجوعة حلول المعادلة ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

3ln;

3

2ln

:x تبعا لقم f(x)دراسة إشارة ) ب


f(x)=(ex+1)(3ex-2)(2ex-3)) 1(الستفادة من السؤال لدينا با

.، في الجدول التاليℜ في x ، تبعا لقيم f(x)نلخص إشارة +∞ ∞x

ex+1: إشارة + + +

3ex-2: إشارة - + +

2ex-3: إشارة - - +

f(x):إشارة + - +

:5التمرين

).4(و التمرين ) 3(نستفيد من التمرين

3.72x-28.7x+9<0تكافئ ) 2(الجملة *

7x=yثم نضع

2x-13(0,5)x+6>0(0,5)6تكافئ ) 3(الجملة *

x=y(0,5)ثم نضع

إلى P(y) و يحلل كثير الحدود y=exنضع ) : 4(بالنسبة للجملة* P(y)=(y-1)(y2-3y-4)

P(y)=y3-4y2-y+4حيث

:6التمرين

ي كل حالة من فf الدالة المشتقة للدالة ′ fو الدالة f مجموعة تعريف الدالة Dتعيين المجموعة

:الحاالت التالية

2/xexx

xf .231

)( +=

ℜ-{0} هي fمجموعة تعريف الدالة

: عندئذD عنصرا من xليكن

xexxexx

xf −+−+−=′2

3621

)(

xexxx

)2(321

++−=

3/xe

xxf

53)(

+=

ℜي هfمجموعة تعريف الدالة


( ) xx

xx

ex

exeexf 23)53(.3)( 2

−−=

+−=′

5/323)(

++

= x

x

eexf

D={x,x∈ :ex+3≠0}: لدينا


2)3(

)233(2)3(

)23()3(.3)(

+

−−+=

+

+−+=′

xe

xexexexe

xexexexexf

)3(2 و منه

11

+= xe

xe

7/42

32)(

−

+= xe

xxf

D={x,x∈ℜ :2ex-4≠0}: لدينا ={x,x∈ℜ :x≠ln(2)} =ℜ-{ln(2)}


( ) ( )( ) ( )224

8422

42

322422)(

−

−−−=

−

+−−=′

xe

xxexexe

xxexexf

و منه( )222

4)21()(

−

−+=′

xe

xexxf

8/5)( 2 ++= xexf x D={x,x∈ℜ :ex+5≥0}: لدينا

=ℜ : عندئذD عنصرا من xليكن

522)(

2 ++

+=′

xexexf

x

x

10/102 )135()( ++= xx eexf

ℜ هي fمجموعة تعريف الدالة


( ) ( )xxxx eeeexf 310.13510)( 292 +++=′

( )( )92 13531010)( +++=′ xxxx eeeexf

12/4

2)( 2

2

−+

= xexxxf

D={x,x∈ℜ :e2x-4≠0}: لدينا ={x,x∈ℜ :2x≠ln4} =ℜ -{ln(2)}


( )( ) ( )22

222

)4(22422)(

−+−−+

=′x

xx

exxeexxf

13/xxxf 3ln)( +=

D={x,x∈ℜ (x<0)و {(x≥0):لدينا =]0 ;+∞[


)3ln(.

2

)3ln(1)( xe

xxxf +=′

xxx

32

)3ln(1+=

14/11

2)( −+

+= xx

exxf

D={x,x∈ℜ :x-1≠0} لدينا =ℜ-{1}


11

2)1(22)( −

+

−−=′ x

x

ex

xxf

:7التمرين

: في كل حالة من الحاالت التاليةI على المجال f تعيين الدوال األصلية للدالة

.ℜ ثابت من λ في كل ما يلي حيث ثابت I على fلدوال األصلية للدالة ا Fλنسمي

1/151)( 2 +++= xx

exf x وI=]-∞ ;0[

: عندئذI عنصرا من xليكن

λλ +++−= xxx

exF x 2

251)(

.I مستمرة على fمع المالحظة أن الدالة

2/xexf x 72)( 5,0 I=ℜو =+

.I مستمرة على fالدالة

: عندئذIرا من عنصxليكن

xexf x 7.5,0.5,0

2)( 5,0 +=

xe x 7.5,0.4 5,0 +=

λλ و منه ++= 25,0

27.4)( xexF x

ا على كون اعتمدن)3ln(.3 xx e=

3/xx exexf 535)(2

I=ℜو =+



xx exexf 5.532.

25)(

2

+=

λλ و منه ++= xx eexF 5

53

25)(

2

4/xxexxf 32 3

)2()( I=ℜو =++



( ) xxexxf 32 3

3331)( ++=

λλ و منه += + xxexF 33

31)(

5/2

1

)(xeexf

xx += ]∞+; I=]0و −



( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−−= − xx e

xexf

1

2

1)(

λλ و منه +−−= − xx ex

exF1

2

1)(

6/)1)(3()( 32 −++= − xxx eeexf وI=ℜ



333)( 325 +++++= − xxxxx eeeeexf

( ) ( ) 333551 35 +−−++= −xxxx eeee

λλ و منه ++−++= − xeeeexF xxxx 3351)( 35

7/x

xx

eeexf 6

2 153)( ++ I=ℜو =



( )153)( 26 ++= − xxx eeexf xxx eee 645 53 −−− ++=

( ) ( ) ( )xxx eee 645 6614

455

53 −−− −−−−−−=

λλ و منه +−−−= −−− xxx eeexF 645

61

45

53)(

8/12

)(+

= x

x

eexf وI=ℜ



122.

21)(

+= x

x

eexf

λλ و منه ++= )12ln(21)( xexF ) 2ألنex+1>0(

9/x

x

exexxf

−

−

−+

=3

)( 3

2

]I=]-∞ ;0و



x

x

exexxf

−

−

+−−−

+=

33.

31)( 3

2

λλ و منه ++−= − )3ln(31)( 3 xexxF )ألن x3-3e-x<0(

10/102 )12.()( ++= xxx eeexf و I=ℜ



( )101)( += xx eexf

)منه و ) λλ ++= 111111)( xexF

)10(نفس الفكرة بالنسبة للفرع/ 11

12/25

2)(25

5

+++

=xe

xexfx

x

I=ℜ و



25105

51)(

25

5

+++

=xe

xexfx

x

252105.

52

25

5

+++

=xe

xex

x

λλ و منه +++= 2552)( 25 xexF x

:8التمرين

: ′ fتعيين الدالة /1

.ℜ، ألنها جداء دالتين كالهما قابلة لالشتقاق على ℜ قابلة لالشتقاق على fالدالة

: عندئذℜ عنصرا من xليكن xx exxexxf )1()12()( 2 +−+−=′

xexx )( 2 +=

xاستنتاج الدالة األصلية للدالة ) أ/2 (x2+x)ex على ، ℜ 0 من أجل القيمة2، التي تأخذ القيمة

.للمتغير

xالدالة (x2+x)ex مستمرة علىℜ.

: عندئذℜ عنصرا منx الدالة األصلية المطلوبة و ليكن Gنحسب

2)()(0

2 ++= ∫ dtettxG tx

2])1[( 02 ++−= xtett) 1(باالستفادة من حل السؤال((

1)1( 2 ++−= xexx

dtettJ : حيث Jاستنتاج القيمة المضبوطة للتكامل ) ب t .)1(2ln

0

2 ++= ∫

.ℜ في xلدينا من أجل

2)()(0

2 ++= ∫ dtettxG tx

)ln)2(()(2و منه 2ln

0

2 ++= ∫ dtettG t

( )( ) 11)2ln()2ln( 2ln2 ++−= e

32ln2)2(ln2 2 +−=

:و من جهة أخرى

dtedtettJ tt ∫∫ ++=2ln

0

2ln

0

2 .)(

dteG t∫+−=2ln

0

2)2(ln

( ) 2ln0

2 ][232ln22ln2 te+−+−=

( ) 22ln22ln2 2 +−=

:9التمرين

f الدالة المعرفة ، على ℜبالدستور ، :2

1053)(+

++= x

xx

eeexf

: ℜ فيx بحيث يكون من أجل كل قيمة للمتغيرa،b،cإيجاد حقيقية / 1

2)(

+++= x

xx

ecebaexf

. أعداد حقيقية مفروضةa،b،c، و لتكن ℜ عنصرا من xليكن

:لدينا ( )( )

22

2 ++++

=+

++ x

xxx

x

xx

eceebae

ecebae

:ذعندئ2

2)2(+

++++= x

xx

ebecbaae

: لحل 2

)(+

++= x

xx

ecebaexf

: يكفي أن يكون

.(c=-6) و (b=5) و (a=3)و منه

∫: حيثKإعطاء القيمة المضبوطة للتكامل / 2 −=5ln

3ln

)5)(( dxxfK


):1(لدينا باالستفادة من حلول السؤال

26

53)(+

−+=x

xx

ee

exf

:و منه 2

635)(

+−=−

x

xx

ee

exf

5ln: عندئذ3ln)]2ln(63[

5ln

3ln)

2

63( +−=∫

+−= xexedxxe

xexeK

a=3 2a+b+c=5 2b=10

)5ln(633())7ln(653(( :أي أن −×−−×=K )5ln7(ln66 −−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=5

7ln16

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=5

7lnln6 e

7

5ln6

e=

:10التمرين

ℜ علىf دالة أصلية للدالة g حتى تكون a،b،cإيجاد / 1

.ℜ ألنها جداء دالتين كلتاهما قابلة لالشتقاق على ℜ قابلة لالشتقاق عند كل عنصر منgالدالة

: عنصرا من عندئذxليكن xx ecbxaxebaxxg )()2()( ++++=

xecbxbaax ))2(2( ++++=

g دالة أصلية للدالة f على ℜ يعني أن :g′(x)=f(x)

: و هذا يعني أن

: و هذا يعني

: آان إذا و فقط إذاℜ على f دالة أصلية للدالة gو منه (a=3)و(b=-7) و (c=14).

∫: حيث Iة للتكامل إعطاء القيمة المضبوط/ 2−

=1

0

)( dxxfI

: عندئذℜ عنصرا منx ليكن

10

210

1

0

])1473[()]([)( −−−

+−=== ∫ xexxxgdxxfI

a=3 2a+b=-1 b+c=7

a=3 b=-7 c=14

24)114(1424: أي أن 11 −=×−= −− eeI

و منه e

eI

1424 −=

:11التمرين لمجموعة ،ثم حساب النهايات عند آلحد من حدود مجاالت اf مجموعة تعريف الدالة Dتعيين المجموعة

D: 1/235)( 2 ++= xexf x

D=ℜ ]∞+; ∞-[=:لدينا =∞+: و لدينا

+∞→)(lim xf

x

: يكون x→∞− :ألنه لما يكون

=∞+: و لدينا +∞→

)(lim xfx

: يكون x→∞+ :ألنه لما يكون

2/2

1)(x

xexf x +=

D={x ;x∈ℜ :x2≠0}:نا لدي =]-∞ ;0[∪]0 ;+∞[

lim)(0: و لدينا =−∞→

xfx

0lim :ألن =−∞→

x

xxe01 وlim 2 =

−∞→ xx

=∞+: و لدينا +∞→

)(lim xfx

=∞+ :ألن+∞→

x

xxelim01 وlim 2 =

+∞→ xx

=∞+: و لدينا →

)(lim0

xfx

0lim :ألن0

=→

x

xxeو +∞=

→ 20

1limxx

3/xxexxxf +−+

=112)(

+∞→+→

)23(05

2xex

+∞→++∞→)23(

52x

ex

+∞→

→

xex

x

01

D={x ;x∈ℜ :x-1≠0}:لدينا =]-∞ ;1[∪]1 ;+∞[

=∞+: و لدينا +∞→

)(lim xfx

2 :ألن112lim =

−+

+∞→ xx

x=∞+ و

+∞→

x

xxelim


xfx

2 :نأل112lim =

−+

−∞→ xx

x0lim و =

−∞→

x

xxe

=∞+: و لدينا >→

)(lim11

xfxx

=∞− و <→

)(lim11

xfxx

1lim :ألن1

=→

x

xxeو +∞=

−+

>→ 1

12lim11 x

x

xx

=∞− و−+

<→ 1

12lim11 x

xxx

4/xexxf −+= 12)(

]∞+; ∞-[=D:لدينا

=∞−: و لدينا −∞→

)(lim xfx


⎟⎟=∞−: و لدينا ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=+∞→+∞→ x

ex

xxfx

xx

12lim)(lim


5/xexxf )73()( 2 −=

]∞+; ∞-[=D:لدينا =∞+: و لدينا

+∞→)(lim xf

x


−∞→+→

)12(0

xex

+∞→+∞→−

xex )73( 2

⎟: و لدينا ⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−∞→

=−∞→

xexx

xx

xfx

2.2723

lim)(lim

13×=

0=

6/xexxxf −+−= 9725)(

]∞+; ∞-[=D:لدينا

=∞+: و لدينا −∞→

)(lim xfx


⎥: و لدينا ⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

−∞→=

−∞→ 2297

52lim)(limx

xe

xxx

xxf

x

−∞=

7/1

23)(

−

+= xe

xexf

D={x ,x∈ℜ :ex-1≠0}:لدينا =]- ∞;0[∪]0 ;+∞[

lim)(2: و لدينا −=−∞→

xfx

xe→0 : يكون x→∞− :لما يكون ألنه


)(lim00

xfxx

=∞− و <→

)(lim00

xfxx

: و لدينا ( )( )xexe

xexex

xfx −−

−++∞→

=+∞→ 1

23lim)(lim

xe

xex −−

−++∞→

=1

23lim

3=

0)975( 2

→+∞→+−

xexx

0limألن =−

+∞→

x

xe

8/68

243)(

+

+=

x

xexxf

D={x ,x∈ℜ :x8+6≠0}:لدينا =]- ∞;+∞[


xfx


: و لدينا

86

1

82

4.3

lim)(lim

x

xx

xe

xxf

x+

+

+∞→=

+∞→

+∞=

=∞+ألن +∞→ 4lim

x

xex

9/2

2)(3

−−

= x

x

exexf

D={x ,x∈ℜ :ex-2≠0}:لدينا =]- ∞;ln2[∪]ln2 ;+∞[


)(lim2ln2ln

xfxx

=∞− و <→

)(lim2ln2ln

xfxx

=∞−: و لدينا −∞→

)(lim xfx

0limألن ( =−∞→

x

xe(

: و لدينا ( )( )xx

xx

xx eeexexf

−

−

+∞→+∞→ −−

=21

2lim)(lim3

x

x

x eex

−

−

+∞→ −−+

=21

)(2lim3

2=

+∞→+→)6(

038

4

xex x

10/12)( 235 +−= +xexxf

D={x ,x∈ℜ :e3x+2+1≥0}:لدينا =]- ∞;+∞[

=∞−: و لدينا −∞→

)(lim xfx

0limألن ( 23 =+

−∞→

x

xe(

): و لدينا )( )xxx

xxeeexxf 22252lim)(lim −+

+∞→+∞→+−=

( )xxx

xeeex 2252lim −+

+∞→+−=

( )xxxx

xeeexe 2252lim −+−

+∞→+−=

( )xxxx

xeeexe −+−

+∞→+−−−= 25)(2lim

−∞=

11/x

x

exexxxxf 22

23

4253)(

+−++

=

D={x ,x∈ℜ :x2+4e2x ≠0}:لدينا =]- ∞;+∞[

: و لدينا

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++

−∞→=

−∞→

2

2412

32

215

33

lim)(lim

x

xex

x

xe

xxx

xxf

x

2

2.41

32215

3

lim

x

xe

x

xe

xxx

x+

−++

−∞→=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∞=

: و لدينا ( )

( )xexexxe

xxexexxexxex

xfx 42

22533lim)(lim

+−−−+−+−

+∞→=

+∞→

xexex

xxexexxexx 42

22533lim

+−−−+−+−

+∞→=

0=

12/1)1()( −−= xx

exxf

D={x ,x∈ℜ :x-1 ≠0}:لدينا =]- ∞;1[∪]1 ;+∞[

=∞+: و لدينا +∞→

)(lim xfx

=∞− و −∞→

)(lim xfx

:و لدينا

1

.lim)(lim1

11

11

−

=−

>→

>→

xx

exxfxx

xx

xx

+∞=

=∞+ألن +∞→ y

ey

ylim ) في هذه الحالةy هو

1−xx

(

lim)(0 :و لدينا 11

=<→

xfxx

=+ألن −∞→

y

yelim) y في هذه الحالة هو

1−xx

(

13/x

exfx 1)( −

=

D={x ,x∈ℜ :x ≠0}:لدينا =]- ∞;0[∪]0 ;+∞[

⎟: و لدينا ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=+∞→+∞→ xx

exfx

xx

1lim)(lim

+∞= lim)(0 :و لدينا =

−∞→xf

x

:و لدينا x

eexfx

xx

0

00lim)(lim −

=→→

)0(pex ′=

1=(exp′(x)=ex)

:12التمرين

، بقراءة بيانيةℜ فيx ، من أجل f(x) بداللة g(x)إعطاء عبارة / 1

: يبدو من القراءة البيانية و كأن xمن أجل g(x)=f(x)+3

j3 باالنسحاب الذي شعاعه (Cg) هو صورة (Cf)أي أن

:استنتاج مساحة الحيز المستوي المظلل/ 2

: المساحة المعتبرة عندئذAلتكن

∫−

−=1

1

))()(( dxxfxgA

1: أي أن 1

1

1

]3[3 −−

== ∫ xxdxA

A=6 ومنه

3/f 22 : معرفة بالدستور من الشكل )()(x

ecbxaxxf−

ثوابت c و a،b حيث =++

.ℜمن

x و a،b بداللة f ′(x)حساب ) أ

: عندئذℜ عنصرا من xليكن

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−++++=′

−−222

21)()2()(

xx

ecbxaxebaxxf

22 221

21

21 x

ebaxcbxax−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−−−=

0101

=+−=++

baba

01

=−=

ba

22

1)

2

12(2

2

1x

ecbxbaax−

−+−+−= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

)0(1: دينا و لكن من القراءة البيانية ل =f

C=1: و عليه

2: و منه 2

1)

2

12(2

2

1)(

xebxbaaxxf

−−+−+−=′ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

بداللة g(x) و f(x) ثم كتابة b و aباالعتماد على معلومات موجود في الشكل ، نعين كال من ) ب

x.

f(-1)=0 و f(1)=0: من الشكل دينا

: و منه

12

12

( 1) 0

( 1) 0

a b e

a b e

−⎧+ + =⎪

⎨⎪ − + =⎩

: أي أن : أي أن

: لدينا ℜ فيxو منه من أجل كل

:13التمرين

.باالعتماد على الشكل و مع إعطاء التعاليل،نجيب عن األسئلة التالي

: و مجموعة تعريف الدالةgتعيين مجموعة تعريف الدالة /1

.hف الدالة مجموعة تعريDh و لتكن gمجموعة تعريف الدالة Dgلتكن

.ℜ ألنها مستمرة علىℜ معرفة علىfالدالة

.f(1)=0 و [1; ∞-[ منx يقع تحت حامل محور الفواصل من أجل كل (Cf)المنحني

]∞+;1] من x يقع فوق حامل محور الفواصل من أجل(Cf)و المنحني

3)1()(

)1()(22

22

++−=

+−=−

−

x

x

exxg

exxf

Dy={x,x∈ℜ (x∈Df)و {(f(x)>0)عندئذ=]1 ;+∞[

} Dy={x,x∈ℜ (x∈Df) =ℜ

h(1)،h(2)،g(2)تعيين / 2

h(1)=ef (1)=e0=1: لدينا

h(2)=ef (2)=e3: و لدينا

g(2)=ln(f(2))=ln(3): و لدينا

g′(2) و h′(2)تعيين / 3

و A2(-1 ;0) و A1(2 ;3) يشمل النقطتين (t) و المماس(t)هو معامل توجيه المماس′f: لدينا

:عليه

112

03

)1(2

)1()2()2( =

+

−=

−−

−−=′

fff

f ′(2)=1و منه

: عندئذx قابلة لالشتقاق عندh بحيث ℜ عنصرا من xليكن h′(x)=f ′(x).ef(x)

h′(2)=f ′(2).ef(2) و منه

=1×e3

=e3 : عندئذx قابلة لالشتقاق عند g بحيث ]∞+; 1[ عنصرا من xن و ليك

)(

)()(

xf

xfxg

′=′

و منه )2(

)2()2(

f

fg

′=′

3

1=

i→

j→

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1-2-3-4-5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1

-2

0 1

1

x

y

(Cf)

i→

j→

:16التمرين

fالدالة المعرفة بالدستور :11)(

−+

= x

x

eexf

:fدراسة تغيرات الدالة /1

: يتمثل في التاليfبعد المرور بالمراحل المألوفة لدراسة تغيرات الدالة نجد أن جدول تغيرات الدالة +∞0 -2 -∞ x

- + - f ′(x)

4 +∞ 0 0

f′(x)

f ′(x)=-x(x+2)e-x: لدينا ℜ من xمن أجل

: يما مقاربا يقبل مستق(Cf)اإلثبات أن / 2

lim)(0: لدينا =+∞→

xfx

معادلة له و مستقيم مقارب للمنحني y=0و منه المستقيم الذي

(Cf)

: و لدينا x

exxxf x

xx

−

−∞→−∞→

+=

2)2(lim)(lim

.فرع مكافئ منحاه هو منحى حامل محور التراتيب) ∞-( ف جوار(Cf)و منه للمنحني

(Cf)إنشاء المنحني / 3

xecbxaxxg الدالة المعرفة بالدستور g لتكن/ 4 −++= )()( أعداد a،b،cحيث 2

.حقيقية مفروضة

.ℜ على f دالة أصلية للدالة g بحيث تكون الدالة a،b،cإيجاد )أ

ℜ ألنها جداء دالتين كلتاهما قابلة لالشتقاق على ℜ قبلة لالشتقاق على gالدالة


xx: لدينا ecbxaxebaxxg −− ++−+=′ )()2()( 2 xecbxbaax −−+−+−= ])2([ 2

g′(x)=f(x): معناه ℜ على f دالة أصلية للدالة gعندئذ

:و هذا يعني

:و هذا يعني

: تحقق مسألتنا إذا و فقط إذا كانت g و عليه xexxxg −−−−= )106()( 2

لمعادالت و المستقيمات ذات ا(Cf)حسب مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحنى )ب

y=0،x=0،x=-2:

: المساحة المطلوبة عندئذAلتكن

02

20

2

])106[()( −−

−

−−−== ∫ xexxdxxfA

A=-10+2e2: أي أن

عدد حقيقي m، و ℜ هو المجهول، في x،حيث ) mex+x2+4x+4=0).....1لتكن المعادلة /5

.معلوم

:f(x)=mتكافئ المعادلة )1(اإلثبات أن المعادلة )أ


e-x(-mex+x2+4x+4)=0تكافئ ) 1(لمعادلة لدينا ا

-a=1 2a-b=4 b-c=4

a=-1 b=-6 c=-10

m+(x2+x4+x) e-x=0–و هذا يكافئ

m= (x2+x4+x) e-xو هذا يكافئ

f(x)=mو هذا يكافئ

)1(استنتاج تفسير بياني لحلول المعادلة)ب

: معادلة له ن عندئذ y=mالذي )∆(ليكن المستقيم

) ∆( المستقيم و(Cf)هو فواصل نقاط تقاطع المنحني ) 1(حلول المعادلة

:و كذا إشارة هذه الحلول في حالة وجودها ) 1( ، لعدد حلول المعادلةmالتعيين، حسب قيمة ) جـ

: نجد أن (Cf)باالستفادة من الفرعين السابقين و كذا من إنشاء المنحني

.ℜليست لها حلول في )1( ، المعادلةm<0لما *

لفة ممكن حتى إثبات منها سالبان تماما و الثالث لها ثالثة حلول مخت) 1( ، المعادلةm<4>0لما *

.موجب تماما

لها حالن متمايزان أحدهما سالب تماما) 1(، المعادلة m=4لما *

. و الثاني معدوم

.لها حل وحيد سالب تماما) 1( ، المعادلةm>4لما *

.لها حل وحيد سالب تماما) 1( ، المعادلة m=0لما *

:17التمرين

: المعرفة بالدستور الدالة fلتكن 1

21)(−

−−= x

x

eexxf

:fدراسة تغيرات الدالة

: يتمثل في التاليfبأتباع المراحل المألوفة لدراسة تغيرات دالة نجد أن جدول تغيرات الدالة +∞ ln(2) 0 -ln(2) -∞ x

- + + - f ′ (x) -1-2ln(2)

-∞ -∞

+∞ +∞

2+2ln(2)

f (x)

ℜ-{0} من xمن أجل كل

2:لدينا

2

)1(252)(

−−+−

=′x

xx

eeexf

i→

j→

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

2

3

4

5

6

7

8

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x

y

(Cf)

i→

j→

. يقبل مستقيما مقاربا موازيا لحامل محور التراتيب(Cf) اإلثبات أن •/2

=∞−: لدينا >→

)(lim00

xfxx

=∞+و <→

)(lim00

xfxx

.يوازي حامل محور التراتيب ، (Cf) معادلة له هو مستقيم مقارب للمنحني x=0ومنه المستقيم الذي

.∞- عند (Cf) هو مستقيم مقارب للمنحني y=-2x+1اإلثبات أن المستقيم ذو المعادلة •

)لدينا ) 01

lim)12()(lim =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=+−−−∞→−∞→ x

x

xx eexxf

معادلة له هو مستقيم مقارب للمنحني y=-2x+1و منه و حسب التعريف نجد أن المستقيم الذي (Cf).

.+ ∞ عند (Cf) هو مستقيم مقارب للمنحني 1اإلثبات أن المستقيم ذو المعادلة

)لدينا ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+∞→

=−−+∞→ 1

1lim)2()(limx

x

x ee

xxxf

1

1lim

−

−+∞→

= xex

0= عند (Cf)معادلة له هو مستقيم مقارب للمنحني y=-2xو منه و حسب التعريف نجد أن المستقيم الذي

∞+

:(Cf) إنشاء/3

المقدرة بالسنتيمتر Aللمساحة بالنقصان2-10إعطاء القيمة المضبوطة ثم قيمة مقربة إلى /4

-=x=-ln2 ،x و المستقيمات ذات المعادالت (Cf) المحدد بالمنحني (D)المربع للحيز المستوي

ln16 ، y=-2x+1

f(x)-(-2x+1)>0: لدينا ]0; ∞-[ في xمن أجل كل

: ، عندئذ]0; ∞-[ مستمرة على المجالfلة و الدا

∫−

− −−∫

−

−=+−−=

2ln

16ln 1

2ln

16ln))12(()( x

x

ee

dxxfxA

: أي أن

( ) 2ln16ln

2ln

16ln

]1ln[1

−−

−

−

+−−=+−

−∫−= x

x

x

ee

eA

: أي أن 16

71

16

11

2

1=+−++−−= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛A

21: و بالسنتيمتر المربع هي 16

7××=A

: أي هي 8

7 .0,87و التقريب المطلوب هو

⎟ حيثωاإلثبات أن النقطة /5⎠⎞

⎜⎝⎛

2

1;0ω هي مركز تناظر للمنحني )Cf.(

: و منه 0 متناظرة بالنسبة للعددℜ-{0}المجموعة

ℜ-{0}. تكون في (x-) فإن قيمة ℜ-{0} في xمهما تكون قيمة

: أي أنه

.ℜ-{0} تكون في (x-(0)2) فإن قيمة ℜ-{0} في xمهما تكون قيمة

ℜ-{0} عنصرا من xليكن

(:أن لنبين 2

1(2)())0(2( −=+− xfxf

)2)0(()()()(: لدينا xfxfxfxf +−=+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−+−−

−−+=

121

121 xe

xexxe

xex

11

2−−

−−

−−

−−= xe

xexe

xe

11

2−

−−−

−×−= xe

xexe

xexe

xe

11

12

−−

−−= xe

xexe

1

12

−

−+= xe

xe

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=2

12

1=

⎟ ذات اإلحداتيتينωالنقطة النقطة ⎠⎞

⎜⎝⎛

2

1 ).Cf(هي مركزتناظر 0;

:19التمرين

7,1%هرية المكافئة لنسبة سنوية قدرها إعطاء قيمة عشرية مقربة للنسبة المئوية الش/1

: النسبة الشهرية المكافئة لها معرفة بالمساواة t نسبة سنوية تكون Tلدينا من أجل

(1+t)12=1+T).......1(

:تعني ان ) 1(المساواةln(1+t)12=ln(1+T)

: و هذا يعني أن 12ln(1+t)=ln(1+T) :و هذا يعني أن

)1ln(121)1ln( Tt +=+

: و هذا يعني أن )1ln(

121

1T

et+

=+

: و هذا يعني أن )1ln(

121

1T

et+

+−=

أي T=7,1%من أجل 100

1,7=T

يكون ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−= 1001,107ln

121

1 et

بمعنى 0,0057 هي tأي أن قيمة مقربة لـ 100

57,0 %0,57 أي

: الذي يدفعه الشخص شهريا إلى المصرفالمبلغ الثابت/ 2

(%6: قدرها Tلدينا النسبة المئوية 100

6%6 =(

:عندئذ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−= 100106

ln121

1 et

هي %6و منه قيمة عشرية مقربة للنسبة الشهرية المكافئة لـ100

49,0

: المبلغ المطلوب عندئذpليكن

24

500000.

100

49,0

24

500000+≈p

⎟ :أي أن ⎠⎞

⎜⎝⎛

+≈100

49,01

3

62500p

:أي أن 100

49,100

3

62500×≈p

:أي أن 3

49,100625 ×≈p

42,20935≈p

ـﻫ ﺱﺎﺴﻷﺍ ﺕﺍﺫ ﺔﻴﺴﻷﺍ لﺍﻭﺩﻟﺍ · ـﻫ ﺱﺎﺴﻷﺍ ﺕﺍﺫ ﺔﻴﺴﻷﺍ لﺍﻭﺩﻟﺍ:ﺔﻓﺩﻬﺘﺴﻤﻟﺍ ﺕﺍﺀﺎﻔﻜﻟﺍ

Documents