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I. Fundamentos I. Fundamentos matemáticosmatemáticos
1 C d d ilí1 C d d ilí1. Coordenadas curvilíneas1. Coordenadas
curvilíneas
Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos® Gabriel Cano
Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11
Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III
(U. Sevilla)
Campos ElectromagnéticosCampos ElectromagnéticosIngeniero de
TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación
I. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticosI.
FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticos
1.1. Coordenadas Coordenadas curvilíneascurvilíneas
Introducción.Descripción del espacio físicoCoordenadas curvilíneas:
propiedadesLíneas y superficies coordenadas
El d í dif i lElementos de geometría diferencial2.2. Sistemas de
coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales33 C lC
l3.3. Campos escalaresCampos escalares4.4. Campos vectorialesCampos
vectoriales
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
5.5. Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional6.6.
Operadores diferencialesOperadores diferenciales
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
2
-
IntroducciónIntroducciónMagnitudes físicasMagnitudes físicas
descripción cuantitativa de las propiedades de
IntroducciónIntroducciónTemperatura (T) y
velocidad (v) en un fluido descripción cuantitativa de las
propiedades de los fenómenos (electromagnéticos)susceptibles de
medida
velocidad (v) en un fluido en movimiento
correspondencia con entes matemáticos necesidad de un
álgebra
tipos de magnitudes: tipos de magnitudes:escalarvectorial
T T v 33
tensorial Campos escalares y vectorialesCampos escalares y
vectoriales
d ib i d l di i
W 3333 P
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11 describen magnitudes con valores distintos en
cada punto del espacio (P3)se pueden expresar como funciones de
la
TT((PP;;tt)) vv((PP;;tt))Z
vv((PP))
r
vvTT((PP))TT
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
p pposición:
T=T(r); v=v(r) (estacionarios) y también del tiempo: T=T(r;t);
v=v(r;t) OX Y
r
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
3
…y también del tiempo: T=T(r;t); v=v(r;t) OX Y
Descripción del espacio (I)Descripción del espacio (I)
{x,y,z}: Coordenadas cartesianas
Descripción del espacio (I)Descripción del espacio (I)
33 Z
P r , tal que r = OP3
1
Z
zP(x,y,z)2 P q1q2=y
=x
3
q2
q3rP
3r(x,y,z)
y
=z
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
O 21O
2q3 z
xP1
P2 Yy
x
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
1
y1
X
3
r =x+y+z=x 1+y 2 +z 3
x
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
4
1 X r x+y+z x 1+y 2 +z 3
-
Descripción del espacio (II)Descripción del espacio (II)
{,,z}: Coordenadas cilíndricas
Descripción del espacio (II)Descripción del espacio (II)
3P r , tal que r = OP
Z
33
1=
Z
zq2 P
= P(,,z)
q1
=z r z3q3 r(,,z)
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
O 2z
x Y21
O
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
31
= Xr =x+y+z= cos 1
yq2
+sen 2+z 3Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I.
Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I.
Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
5
1 r x+y+z cos 1+sen 2+z 3
Descripción del espacio (III)Descripción del espacio (III)
{r,,}: Coordenadas esféricas
Descripción del espacio (III)Descripción del espacio (III)
33P r , tal que r = OPZ3
1
Z
2 P=q2 r
P(r,)=
=r z3q1
q2(r,,)r
r
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
O 2r
Oz
x21 Y
q1
r sen
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
31
=yX
q3
r =x+y+z
=rsen cos 1+rsen sen 2+r cos 3Campos Electromagnéticos (I.
Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I.
Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
6
1 r x+y+z rsen cos 1+rsen sen 2+r cos 3
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Coordenadas curvilíneas. Propiedades (I)Coordenadas curvilíneas.
Propiedades (I)¿Qué son?¿Qué son?{q q q }: terna de números reales
(q )
Coordenadas curvilíneas. Propiedades (I)Coordenadas curvilíneas.
Propiedades (I)
Z{q1, q2, q3}: terna de números reales (qi )valores de
parámetros geométricos:
( ) + ( ) +r=r (qq qq qq )r
Z
r(q q q )
P
P'
{1 ; 2 ;3}, vectores ortogonales unitarios fijos
= x(qq1, q, q22, q, q33) 1 + y(qq1, q, q22, q, q33) 2++z(qq1, q,
q22, q, q33) 3
r=r (qq1, q, q22, q, q33)
3
r(q1,q2,q3) Pr(q'1,q'2,q'3 )
z{1 ; 2 ;3}, vectores ortogonales unitarios
fijosRequisitosRequisitosdescripción continua del espacio:
O2
1
XY
z
xdescripción continua del espacio:
sólo si x (q1,q2,q3), y (q1,q2,q3), z (q1,q2,q3) P OP=r 3
X y( 1, 2, 3)0i iq 0 r
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11 1 2 3 1 2 3 1 2 3
son funciones continuas y derivablesdescripción de todo entorno
de P: ( ) li l i d di
P 3 OP=r
r q q q r r r
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G ei(P)=[r/qi]P linealmente independientes
(no coplanarios):
r 1 2 31 2 3P P P
q q qq q q
0q q q
r r r i i iq q q
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
7
1 2 3q q q
Coordenadas curvilíneas. Propiedades (II)Coordenadas
curvilíneas. Propiedades (II)Base natural. Sistema de referencia
localBase natural. Sistema de referencia local
t t li l t i d di t ( ev
Coordenadas curvilíneas. Propiedades (II)Coordenadas
curvilíneas. Propiedades (II)
tres vectores linealmente independientes (no coplanarios) son
basebase de 3
Z r r r
e2e1e'3
e'2Pl
r(q1 q2 q3)
1 2 3
1 2 3; ; ; ; PPq q q
r r r e e e e3e'1P'P
31 1 2 2 3 3
tal que ;v v v v e e e v
en particular, dr=dq1e1+dq2e2+dq3e3 base natural y punto P
forman sistema localsistema local O
3
21 Y
r(q1,q2,q3)r(q'1,q'2,q'3)3 3
2X
1 2 3( , , )ii P
q q qq
r e 1 2 3( , , )ii P
q q qq
re
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
Base físicaBase física:Coordenadas ortogonalesCoordenadas
ortogonales su base natural es ortogonal en todo P
2 0h( , , ) ( , , )i i iq q q q q q hu e
1 2 3 tal que; ; Pu u u
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
vectores ortogonales unitarios
f t d l
1 2 3 1 e e e e
( ) 1h
2 00;
i i i
i j
hi j
e ee e
1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) i i iq q q q q q hu e
1; 0i i i i j u u u u u
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
8
factor de escala: 1 2 3( , , ) 1i ih q q q e;i i i i j
-
Líneas y superficies coordenadas (I)Líneas y superficies
coordenadas (I)Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)03
P(q1,q2,q3)03
Líneas y superficies coordenadas (I)Líneas y superficies
coordenadas (I)
LíneaLíneacoordenadacoordenada
RectaRectatangentetangente
1
reC d d C d d
1
1Pq
eCoordenadas Coordenadas ortogonalesortogonales P(a,b,c)
PlanoPlanotangentetangente
e 3e
Z
2e 3e
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
r(q1=a;q2=b;q3=c)3
Z
[ ] [ ]i iP P SuperficieSuperficie
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
O
321
XY
[ ] [ ]i iP P SuperficieSuperficiecoordenadacoordenada
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
9
X
Líneas y superficies coordenadas (II)Líneas y superficies
coordenadas (II)Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)03
P(q1,q2,q3)03
Líneas y superficies coordenadas (II)Líneas y superficies
coordenadas (II)
Coordenadas Coordenadas ortogonalesortogonaleso togo aleso togo
ales
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
10
-
Elementos de geometría diferencial (I)Elementos de geometría
diferencial (I)Elementos geométricosElementos geométricos estudio
local de magnitudes
Elementos de geometría diferencial (I)Elementos de geometría
diferencial (I)
estudio local de magnitudes en torno a P3
1 2 3i i i iq q dq elementos geométricos de
dicho entorno
1,2,3i i i iq q q
Diferencial de caminoDiferencial de camino variación
infinitesimal de
vector posición, “dr”ddrr
1 1 2 2 3 3d dq dq dq r e e e ddrrdsds
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
elemento de arco ds:longitud de dr
ddrr22ddrr11
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G o g ud de d
ddrr33ds d d d r r r
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
11
Elementos de geometría diferencial (II)Elementos de geometría
diferencial (II)Diferencial de superficieDiferencial de
superficieparalelogramo con lados “dri”
Elementos de geometría diferencial (II)Elementos de geometría
diferencial (II)
paralelogramo con lados dri y “drj”; descrito por:
1 2 3d d d S r r1 2 32 3 1d d d S r r3 1 2d d d S r r
área y orientación: ddrr11dd3 1 2
ddSSsini j k id d d S r r
ddrr33ddrr
ddSS11sin
,i j k i
i j k
i j kd d d
d
S r r
S e e
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
Diferencial de volumenDiferencial de volumenparalelepípedo con
aristas “d ” “d ” “d ”
ddrr2211
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G “dr1”, “dr2” y “dr3”:
i id d d r S d d d d
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos
matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
12
1 2 3d d d d r r r