Ф.Р.Гантмахер ТЕОРИЯ МАТРИЦ Содержание Предисловие автора к первому изданию 7 Предисловие редактора ко второму издания 10 ЧАСТЬ I ОСНОВЫ ТЕОРИИ Глава I. Матрицы и действия над ними 13 § 1. Матрицы. Основные обозначения 13 § 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц 15 § 3. Квадратные матрицы 24 § 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы 30 § 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица 32 Глава II. Алгоритм Гаусса и некоторые его применения 41 § 1. Метод исключения Гаусса 41 § 2. Механическая интерпретация алгоритма Гаусса 45 § 3. Детерминантное тождество Сильвестра 47 § 4. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители 49 § 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными матрицами. Обобщенный алгоритм Гаусса 55 Глава III. Линейные операторы в n-мерном векторном пространстве 65 § 1. Векторное пространство 65 § 2. Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в m- мерное 70 § 3. Сложение и умножение линейных операторов 71 § 4. Преобразование координат 73 § 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра 74 § 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в себя 79 § 7. Характеристические числа и собственные векторы линейного оператора 82 § 8. Линейные операторы простой структуры 84 Глава IV. Характеристический и минимальный многочлены матрицы 87 § 1. Сложение и умножение матричных многочленов 87 § 2. Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу 89 § 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица 92 § 4. Метод Д. К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы 96 § 5. Минимальный многочлен матрицы 98 Глава V. Функции от матрицы 103 § 1. Определение функции от матрицы 103 § 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра 108
581
Embed
I. 13 II.lib.brsu.by/sites/default/files/books/Гантмахер Ф.Р. - Теория... · ортогональные матрицы 313 § 1. Некоторые формулы
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Ф.Р.Гантмахер ТЕОРИЯ МАТРИЦ
Содержание Предисловие автора к первому изданию 7 Предисловие редактора ко второму издания 10
ЧАСТЬ I ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Глава I. Матрицы и действия над ними 13 § 1. Матрицы. Основные обозначения 13 § 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц 15 § 3. Квадратные матрицы 24 § 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы 30 § 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица 32 Глава II. Алгоритм Гаусса и некоторые его применения 41 § 1. Метод исключения Гаусса 41 § 2. Механическая интерпретация алгоритма Гаусса 45 § 3. Детерминантное тождество Сильвестра 47 § 4. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители 49 § 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными
матрицами. Обобщенный алгоритм Гаусса 55
Глава III. Линейные операторы в n-мерном векторном пространстве 65 § 1. Векторное пространство 65 § 2. Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в m-
мерное 70
§ 3. Сложение и умножение линейных операторов 71 § 4. Преобразование координат 73 § 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра 74 § 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в
себя 79
§ 7. Характеристические числа и собственные векторы линейного оператора
82
§ 8. Линейные операторы простой структуры 84 Глава IV. Характеристический и минимальный многочлены матрицы 87 § 1. Сложение и умножение матричных многочленов 87 § 2. Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщенная теорема
Безу 89
§ 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица 92 § 4. Метод Д. К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов
характеристического многочлена и присоединенной матрицы 96
§ 5. Минимальный многочлен матрицы 98 Глава V. Функции от матрицы 103 § 1. Определение функции от матрицы 103 § 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра 108
§ 3. Другие формы определения f(А). Компоненты матрицы A 111 § 4. Представление функций от матриц рядами 115 § 5. Некоторые свойства функций от матриц 119 § 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
124
§ 7. Устойчивость движения в случае линейной системы 130 Глава VI. Эквивалентные преобразования многочленных матриц.
§ 4. Эквивалентность линейных двучленов 148 § 5. Критерий подобия матриц 149 § 6. Нормальные формы матрицы 151 § 7. Элементарные делители матрицы f(А) 155 § 8. Общий метод построения преобразующей матрицы 159 § 9. Второй метод построения преобразующей матрицы 162 Глава VII. Структура линейного оператора в n-мерном пространстве
(геометрическая теория элементарных делителей) 171
§ 1. Минимальный многочлен вектора пространства (относительно заданного линейного оператора)
171
§ 2. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами
173
§ 3. Сравнение. Надпространство 175 § 4. Расщепление пространства на циклические инвариантные
подпространства 177
§ 5. Нормальная форма матрицы 182 § 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители 184 § 7. Нормальная жорданова форма матрицы 188 § 8. Метод акад. А. Н. Крылова преобразования векового уравнения 190 Глава VIII. Матричные уравнения 199 § 1. Уравнение AX = XB 199 § 2. Частный случай: А = В. Перестановочные матрицы 203 § 3. Уравнение AX — XB = С 207 § 4. Скалярное уравнение f(X)=0 207 § 5. Матричное многочленное уравнение 209 § 6. Извлечение корня m-й степени из неособенной матрицы 212 § 7. Извлечение корня m-й степени из особенной матрицы 215 § 8. Логарифм матрицы 219 Глава IX. Линейные операторы в унитарном пространстве 222 § 1. Общие соображения 222
§ 2. Метризация пространства 222 § 3. Критерий Грама линейной зависимости векторов 225 § 4. Ортогональное проектирование 227 § 5. Геометрический смысл определителя Грама и некоторые неравенства 229 § 6. Ортогонализация ряда векторов 233 § 7. Ортoнормированный базис 237 § 8. Сопряженный оператор 239 § 9. Нормальные операторы в унитарном пространстве 243 § 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов 245 § 11. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы
§ 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве 254 § 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом
пространстве 260
§ 15. Коммутирующие нормальные операторы 263 § 16. Псевдообратный оператор 265 Глава X. Квадратичные и эрмитовы формы 267 § 1. Преобразование переменных в квадратичной форме 267 § 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции 269 § 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов.
Формула Якоби 271
§ 4. Положительные квадратичные формы 276 § 5. Приведение квадратичной формы к главным осям 279 § 6. Пучок квадратичных форм 281 § 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка
форм 286
§ 8. Малые колебания системы с n степенями свободы 293 § 9. Эрмитовы формы 297 § 10. Ганкелевы формы 301
ЧАСТЬ II СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Глава XI. Комплексные симметрические, кососимметрические и ортогональные матрицы
313
§ 1. Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных матриц
313
§ 2. Полярное разложение комплексной матрицы 317 § 3. Нормальная форма комплексной симметрической матрицы 319 § 4. Нормальная форма комплексной кососимметрической матрицы 322 § 5. Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы 327 Глава XII. Сингулярные пучки матриц 331 § 1. Введение 331
§ 6. Сингулярные пучки квадратичных форм 345 § 7. Приложения к дифференциальным уравнениям 348 Глава XIII. Матрицы с неотрицательными элементами 352 § 1. Общие свойства 352 § 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц 354 § 3. Разложимые матрицы 365 § 4. Нормальная форма разложимой матрицы 372 § 5. Примитивные и импримитивные матрицы 377 § 6. Стохастические матрицы 381 § 7. Предельные вероятности для однородной цепи Маркова с конечным
числом состояний 385
§ 8. Вполне неотрицательные матрицы 394 § 9. Осцилляционные матрицы 398 Глава XIV. Различные критерии регулярности и локализации
собственных значений 406
§ 1. Критерий регулярности Адамара и его обобщения 406 § 2. Норма матрицы 409 § 3. Распространение критерия Адамара на блочные матрицы 412 § 4. Критерий регулярности Фидлера 414 § 5. Круги Гершгорина и другие области локализации 415 Глава XV. Приложения теории матриц к исследованию систем
линейных дифференциальных уравнений 419
§ 1. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Общие понятия
419
§ 2. Преобразование Ляпунова 422 § 3. Приводимые системы 423 § 4. Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина 426 § 5. Матрицант 429 § 6. Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление
Вольтерра 433
§ 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства 437 § 8. Мультипликативный интеграл в комплексной области 439 § 9. Изолированная особая точка 443 § 10. Регулярная особая точка 448 § 11. Приводимые аналитические системы 461 § 12. Аналитические функции от многих матриц и их применение к
исследованию дифференциальных систем. Работы И. А. Лаппо-Данилевского
465
Глава XVI. Проблема Рауса — Гурвица и смежные вопросы 468 § 1. Введение 468 § 2. Индексы Коши 469 § 3. Алгоритмы Рауса 472 § 4. Особые случаи. Примеры 476 § 5. Теорема Ляпунова 479 § 6. Теорема Рауса — Гурвица 483 § 7. Формула Орландо 488 § 8. Особые случаи в теореме Рауса — Гурвица 490 § 9. Метод квадратичных форм. Определение числа различных
вещественных корней многочлена 493
§ 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного ранга 495 § 11. Определение индекса произвольной рациональной дроби через
коэффициенты числителя и знаменателя 498
§ 12. Второе доказательство теоремы Рауса — Гурвица 504 § 13. Некоторые дополнения к теореме Рауса — Гурвица. Критерий
устойчивости Льенара и Шипара 508
§ 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стильтьеса. Представление многочленов Гурвица при помощи непрерывных дробей
512
§ 15. Область устойчивости. Параметры Маркова 518 § 16. Связь с проблемой моментов 521 § 17. Связь между определителями Гурвица и определителями Маркова 525 § 18. Теоремы Маркова и Чебышева 526 § 19. Обобщенная задача Рауса — Гурвица 533 Добавление. Неравенства для собственных и сингулярных чисел
300 - - сингулярная 298 - - дискриминант 298 - - закон инерции 299 - - приведение к главным осям 300 - - формула Якоби 299 Формула Бине — Коши 20 - Орландо 488 Формула основная для функции от
матрицы 111 - Чебыщева — Маркова 532 - Якоби для квадратичной формы 272 - - для эрмитовой формы 299 Формулы Кэли 252 - - в евклидовом пространстве 261 Функция от матрицы 103 - - основная формула 111 - от многих матриц аналитическая