i 028484388

Modul 6

Modul 10.

Regresi dan Korelasi Linear Sederhana

Persamaan matematika yang memungkinkan kita meramalkan nilai-nilai peubah tak bebas dari nilai-nilai satu atau lebih peubah bebas disebut Persamaan Regresi.

Untuk membuat peramalan, pertama-tama harus diperoleh contoh acak berukuran n yang diamati nilai peubah bebas dan tak bebasnya dari satuan yang sama diperoleh

[x1, y1], [x2, y2], ... , [xn, yn]

Dari nilai yang diperoleh data tersebut disebut atau diplotkan dalam gambar, sehingga manghasilkan apa yang disebut Diagram Pencar.

Dengan mengamati diagram pencar, apakah titik-titik mempunyai kecendrungan mengikuti garis lurus? Jika demikian, kedua peubah itu berhubungan secara linear.

Persamaan garis lurus dapat situluskan sebagai :

a menyatakan intersept dan b kemiringan garis.

Untuk mendapatkan dugaan titik bagi a dan b dapat digunakan berdasar prosedur Metode Kuadrat Terkecil. Dengan prosedur ini dalam memperoleh nilai a dan b membuat :

Dugaan Parameter

Bila diberikan data contoh {(xi,yi);I=1,2,,n}, maka nilai dugaan kuadrat terkecil bagi parameter garis regresi = a + bx, diperoleh dari rumusan.

Teladan :

Dari hasil penelitian mengenai banyaknya gula yang dihasilkan (y) dalam suatu proses pada suhu yang berlainan (x) disandikan sebagai berikut :

Suhu (x)1,11,21,31,41,51,61,7

Gula (y)7,89,89,58,910,29,310,5

Tentukan persamaan regresi dugaan = a + bx

Jawab :

Persamaan regresi dugaan = a + bx adalah

= 5,529 + 2,786x

Teladan :

Dalil

Suatu nilai dugaan tak bias bagi (2 dengan n-2 derajat bebas diberikan oleh rumus

Atau

Model Persamaan regresi yang sebenarnya :

yi = ( + xi + i

sedangkan a dan b merupakan nilai dugaan bagi parameter yang sesungguhnya ( dan pada n pengamatan contoh.

Peubah acaknya dilambangkan dengan A dan B.

Bila diasumsikan y1, y2, , yn bebas dan menyebar normal, maka peubah acak A juga menyebar normal dengan nilai tengah ( dan ragam

Biasanya simpangan baku ( tidak diketahui dan diganti oleh penduga Se, sehingga

Merupakan suatu peubah acak yang mempunyai sebaran t dengan n-2 derajat bebas.

Teladan :

Pada persamaan regresi dugaan = 5,529 + 2,786x telah diketahui/diperoleh bahwa n=7 dan Tentukan selang kepercayaan 95% bagi ( (intersept)

Jawab :

Selang kepercayaan 95% bagi parameter ( adalah :

Pada teladan sebelumnya telah diketahui dan diperoleh:

Selang kepercayaan 95% bagi parameter ( adalah

Selang Kepercayaan Bagi (Selang kepercayaan (1-()100% bagi parameter ( pada garis regresi y = ( + x adalah

Jika y1, y2, ,yn menyebar normal, maka peubah acak B juga menyebar normal dengan nilai tengah dan ragam

Dengan menggantikan ( dengan Se, diperoleh

Peubah acak yang menyebar t-student dengan n-2 derajat bebas

Selang Kepercayaan Bagi Selang kepercayaan (1-()100% bagi parameter pada garis regresi y = ( + x adalah

Teladan

Pengujian Hipotesis mengenai ( dan

H0:( = (oH1:( < (o , ( > (o atau ( (oStatistik ujinya adalah :

, dengan n-2 derajat bebas

dengan daerah kritisnya :

H1Wilayah kritis

( > (ot > t(

( < (ot < -t(

( (odan

Teladan

H0: = oH1: < o , > o atau oStatistik ujinya adalah :

, dengan n-2 derajat bebas

dengan daerah kritisnya :

H1Wilayah kritis

> ot > t(

< ot < -t(

o dan

Teladan

Peramalan

Persamaan = a + bx dapat digunakan untuk meramalkan respon nilai tengah (y/x pada x = x0Penduga bagi :

(y/x0 = ( + x0 dalah y0 = A + x0dimana sebaran penarikan contoh 0 adalah normal dengan nilai tengah (y/x dan ragam

dalam prakteknya, (2 digantikan dengan nilai dugaannya Se2, sehingga statistik selang kepercayaan (1-()100% bagi (y/x0 diberikan oleh

Teladan

Berdasarkan sembarang nilai tungal y0 : selang kepercayaan (1-()100% bagi nilai tunggal y0 bila x = x0 diberikan menurut rumus

Teladan

Korelasi Linear

Masalah disini adalah pengukuran hubungan antara dua peubah X dan Y. analisis Korelasi mencoba mengukur kekuatan hubungan antara dua peubah melalui sebuah bilangan yang disebut Koefisien Korelasi.

Koefisien korelasi linear didefiisikan sebagai ukuran hubungan linear antara dua peubah X dan Y, dan dilambangkan dengan r.

Bila titik-titik bergelombang mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan positif, maka ada korelasi positif yang tinggi.

Bila titik-titik bergelombang mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan negatif, maka ada korelasi negatif yang tinggi.

Gambar. Diagram pencar berbagai derajat korelasi

Jika r = 0, berarti tidak adanya hubungan linear, tetapi bukan antara kedua peubah pasti tidak terdapat hubungan. Misalnya pada gambar (d).

Ukuran korelasi linear antara dua peubah yang paling banyak digunakan adalah Koefisien Pearson atau Koefisien Korelasi Contoh.

Ukuran hubungan linear antara dua peubah X dan Y diduga dengan koefisien korelasi contoh r yaitu

r bernilai dari 1 sampai +1

Teladan

Teladan : Regresi Linear Sederhana

Data besar keluarga dan pengeluaran

x(orang)4335244365

y(1000rp)705045904580656010080

a. Tentukan persamaan regresi dan koefisien korelasinya

b. Berapa besar rmalan pengeluaran suatu keluarga yang besar anggota keluarganya = 8 orang

Lembar olahan untuk menjawab pertanyaan :

No.xiyixiyixi2yi2

1.470280164900

2.35015092500

3.34513592025

4.590450258100

5.2459042025

6.480320166400

7.465260164225

8.36018093600

9.61006003610000

10.580400256400

39685286516550175

Persamaan regresi dilambangkan dengan

= a + bx

Persamaan regresinya = 10 + 15x

Koefisien korelasi =

atau

a. Persamaan regresi = 10 + 15x

koefisien korelasi : r = 0,94

b. Bila besar keluarga x = 8

= 10 + 15(8) = 10 + 120 = 130

( Bila besar keluarga = 8 maka ramalan pengeluaran 130.000 rupiah

SIDIK RAGAM

Sumber KeragamanJumlah KuadratDerajat BebasKuadrat TengahF hitung

a = b0JK(a) = JK(b0)1KT(b0)-

b|a = b1|b0JK(b|a) = JK(b1|b0)1KT(b1|b0)

GalatJK galatn-2KT galat

JumlahJK jumlahn-

Bentuk Lain :

SKJKdbKTF hitung

b1|b0JK(b1|b0)1

GalatJK galatn-2

TotalJK Totaln-1

Menguji keberartian regresi dengan Sidik Ragam

SKJKdbKTF hitF 0,05F0,01

b|a2.902,512.902,5066,345,3211,26

Galat350,0843,75---

Total3.252,59--

No.xiyii = 10 + 15xi(yi-i)2

1.470700

2.3505525

3.34555100

4.5908525

5.2454025

6.48070100

7.4657025

8.3605525

9.61001000

10.5808525

(yi-i)2=350

Karena nilai xi ada yang sama maka data di atas dapat diuji kecocokannya dengan regresi linear.

No.xiyi

1.245

2.345

3.350

4.360

5.465

6.470

7.480

8.580

9.590

10.6100

Sidik Ragam

SKJKdbKTF hitF 0,05F0,01

b/a2.902,51

Galat350,08

TC66,66322,220,355,41

Sisa283,34556,67--

Total3.252,59---

Fhit = 0,39 < F0,05 = 5,41 maka regresi linear adalah cocok digunakan untuk data ini.

Data dan Himpunan Rumus-rumus Regresi Data : (x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn)

Persamaan regresi Linear : = a + bx

Sy.x2 = ragam dugaan simpangan regresi

Sy2 = ragam y

Sx2 = ragam x

Sb2=ragam koefisien regresi b

Sa2=ragam koefisien regresi a

Bila persamaan regresi yang diduga oleh = a + bx adalah y = ( + x + maka selang kepercayaan (1-()100% bagi :

(y.x=rata2 y bila x diketahui

y=individu y bila diketahui

Pengujian Hipotesis :

H0:( = (oH1:( > (o

( < (o

(o

Statistik uji

H0:( = (oH1:( > (o

( < (o

( (o

Statistik uji

H0:(y.x = (oH1 :( y.x (o

Statistik uji

Uji ( dan ( serentak :

H0:( = (odan( = (oH1 :( (odan ( (oStatistik uji :

Wilayah kritis : F((2, n-2)Tugas Latihan

1. Perhatikan data berikut :

XYXY

10,018,713,522,4

10,521,514,023,3

11,018,514,519,6

11,519,615,023,8

12,018,215,521,7

12,520,816,023,2

13,021,6

a. Taksirlah garis regresi linear

b. Gambarlah garis itu pada diagram pencar

c. Hitunglah suatu titik taksiran (y/122. Dilakukan suatu penelitian mengenai banyak gula yang dihasilkan dalam suatu proses pada suhu yang berlainan. Data (setelah disandi) adalah sebagai berikut :X, temperaturY, gula dihasilkan

1.08.1

1.17.8

1.28.5

1.39.8

1.49.5

1.58.9

1.68.6

1.710.2

1.89.3

1.99.2

2.010.5

a. Taksirlah garis regresi linear

b. Taksirlah banyak gula yang dihasilkan bila suhu (setelah disandi) 1.75

3. Dalam suatu pengujian sejenis bahan, tekanan normal atas bahan tersebut diketahui berkaitan secara fungsional dengan tahanan. Berikut ini adalah data percobaan mengenai kedua peubah itu setelah disandi.X, tekanan normalY, tahanan

26.826.5

25.427.3

28.924.2

23.627.1

27.723.6

23.925.9

24.726.3

28.122.5

26.921.7

27.421.4

22.625.8

25.624.9

a. Taksirlah garis regresi Y / X = x

b. Taksir tahanan bila tekanan normal 24.5 kg/cm24. Data berikut menyatakan banyak zat yang tidak bersenyawa () dari enam reaksi kimia yang sejenis sesudah X menit :X (menit)Y (mg)

123.5

216.9

217.5

314.0

5

58.9

a. Cocokkanlah kurva berbentuk Y / X = x dengan menggunakan persamaan regresi non linear sampel = cdx

Petunjuk : tulis

log = log c + (log d) x

= a + bx

dengan a = log c dan b = log d, kemudian taksir a dan b dengan rumus pada pasal 8.2 menggunakan titik-titik sampel (xi,, log yi)

b. Taksirlah jumlah zat yang tidak bersenyawa dalam reaksi seperti ini sesudah 4 menit

5. Tekanan (P) dari gas menurut isi (V) yang berlainan adalah sebagai berikut :V (cm3)50607090100

P (kg cm2)64.751.340.525.97.8

Hukum gas ideal diberikan oleh persamaan PV= C, dengan dan C tetapan

a. Dengan mengikuti cara kerja seperti pada soal 4, hitunglah taksiran kuadrat terkecil dari dan C dari data di atas

b. Taksir bila V = 80 cm36. Buatlah selang kepercayaan 95% untuk banyak-nya gula yang dihasilkan pada nilai x = 1.6 dalam soal 27. a.Hitunglah taksiran kuadrat terkecil untuk parameter dalam persamaan linear Y / X = x

b.Taksirlah garis regresi yang melalui titik asal untuk data berikut.

x0.51.53.24.25.16.5

y1.33.46.78.010.013.2

8. Misalkan pada soal 7 tidak diketahui apakah garis regresi sesungguhnya melalui titik asal atau tidak. Taksirlah model regresi linear umum Y/X = ( + (x dan ujilah hipotesis bahwa ( = 0 pada taraf keberartian 0.10 lawan alternatif bahwa (0.

9. Gunakanlah pendekatan analisis variansi untuk menguji bahwa = 0 lawan alternatif 0 pada soal 2 gunakan taraf keberhasilan 0.05 sebelumnya telah dihitung.

10. Banyaknya suatu senyawa kimia y yang larut dlm 100gr air pada suhu yang berlainan dicatat seperti pada tabel berikut :

X (C)Y (gram)

0868

15121014

30252124

4513328

60443942

75485144

a. Carilah persamaan garis regresi.

b. Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100gr air pada 500 C.

c. Ujilah hipotesis bahwa ( = 6 pada taraf keberatan 0,01 lawan alternatif (6

d. Ujilah kesesuaian model linear.

11. Berat yang berkurang bila suatu bahan dikeringkan pada jangka waktu yang berlainan adalah sebagai berikut :X (jam)Y (gram)

4.413.114.2

4.59.011.5

4.810.411.5

5.513.814.8

5.712.715.1

5.99.912.7

6.313.816.5

6.916.415.7

7.517.616.9

7.818.317.2

a. Taksirlah persamaan garis regresi

b. Ujilah kesesuaian model linear

c. Buatlah selang kepercayaan 90% untuk koefisien 12. Hitung dan tafsirkan koefisien korelasi untuk data berikut :

x45914182224

y162211167317

13. Hitung dan tafsirkan koefisien korelasi untuk nilai enam siswa yang dipilih secara acak sebagai berikut :

Nilai Matematika709280746583

Nilai Sejarah748463877890

14. Hitunglah koefisien korelasi untuk peubah acak pada soal no 7 dan ujilah hipotesis bahwa = 0 lawan alternatif 0. Gunakan taraf keberartian 0,05.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Visio.Drawing.6

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE 27

_1136378765.unknown

_1136964140.unknown

_1136968013.unknown

_1136975709.unknown

_1137996663.unknown

_1137997145.unknown

_1137996562.unknown

_1136968147.unknown

_1136967634.unknown

_1136967870.unknown

_1136964861.unknown

_1136964221.unknown

_1136384903.unknown

_1136385527.unknown

_1136385850.unknown

_1136807641.unknown

_1136813069.unknown

_1136963990.unknown

_1136812236.unknown

_1136386270.unknown

_1136385593.unknown

_1136385293.unknown

_1136379604.unknown

_1136381341.unknown

_1136382854.vsd

_1136383776.unknown

_1136384857.unknown

_1136381508.unknown

_1136379701.unknown

_1136380874.unknown

_1136379682.unknown

_1136379532.unknown

_1136379567.unknown

_1136379413.unknown

_1136374968.unknown

_1136376508.unknown

_1136377221.unknown

_1136378168.unknown

_1136376607.unknown

_1136376081.unknown

_1136376253.unknown

_1136375227.unknown

_1136374117.unknown

_1136374586.unknown

_1136374593.unknown

_1136374569.unknown

_1136374548.unknown

_1136370815.unknown

_1136370935.unknown

_1136373118.unknown

_1135404177.unknown

_1136364023.unknown