A korlátozott síkbeli háromtestprobléma 1
A korlátozott síkbeli háromtestprobléma
1
Newton II. axiómája• A test mozgásmennyiségének megváltozása
arányos a rá ható erővel, és annak az egyenes vonalnak az irányában megy végbe, amelyben az erő hat.
Ha a tömeg állandó az egyenlet F = ma –ra egyszerűsödik.2
A mozgásegyenlet megoldásaNéhány egyszerű erőtörvény esetében a
mozgásegyenlet analitikusan is megoldható
Általában csak numerikusan
Ha ismerjük az erőtörvényt, egy adott helyen és pillanatban kiszámítható a gyorsulás
Ha a testnek gyorsulása van, akkor egy kis idő múlva megváltozik a sebessége
Ha test mozog, egy kis idő múlva máshol lesz.
Az új helyet és időpontot visszaírva az erőtörvénybe a mozgás nyomon követhető
Numerikus módszerek pl.: Euler, leapfrogging (Feynman), Runge-Kutta
Newton általános tömegvonzási törvénye
4
Nem lineáris
A kéttest probléma
Határozzuk meg két, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle
kölcsönös gravitációs vonzóerő hat!
A feladat megoldható(centrális erőtér => síkmozgás,
megmaradó mennyiségek: energia és impulzusnyomaték)
5
A háromtest probléma
Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle
kölcsönös gravitációs vonzóerő hat!
(A több mint két évszázados kutató munka ellenére a lehetséges megoldások összességét ma sem ismerjük.)
6
A korlátozott síkbeli háromtest probléma
Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle
kölcsönös gravitációs vonzóerő hat, az alábbi korlátozó feltételek mellett:
• Két test körpályán kering a közös tömegközéppont körül.• A harmadik test – az előző kettő keringési síkjában mozog– tömege olyan kicsi, hogy az semmilyen hatást nem fejt ki a
másik két testre
7
Elrendezés és jelölések
8
Együtt forgó vonatkoztatási rendszer
Dimenziótlanítás* után
9
Marad egy paraméter:
* ld. pl. Tél Tamás - Guiz Márton: Kaotikus dinamika, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Budapest, 2002., 285.-289. o.
A forgó rendszer potenciáltere
10
= 0,2
Lagrange-pontok
11
L1, L2 és L3 instabil (nyeregpontok), L4 és L5 stabil (egyenlő szárú háromszögek csúcspontjai)
12
13
A potenciálteret kirajzoló Matlab kód%% Két, egymás körül körpályán mozgó tömeg közös potenciálja együtt forgó vonatkoztatási rendszerben%[x,y]=meshgrid(-2:0.01:2);mu2 = 0.2; % a kisebbik tömegmu1 = 1 - mu2;s1 = sqrt((x + mu2).*(x + mu2) + y.*y); % a vonzócentrumoktóls2 = sqrt((x - mu1).*(x - mu1) + y.*y); % való távolságokfor i=1:401 % a zéróval való osztás elkerülése for j=1:401 if s1(i,j)<0.01 s1(i,j)=0.01; end; if s2(i,j)<0.01 s2(i,j)=0.01; end; endendz=-mu1./s1-mu2./s2-(x.*x+y.*y)/2-mu1.*mu2/2; % a potenciál értékefor i=1:401 % a szintvonalak sûrûségének beállítása for j=1:401 if z(i,j) < -3 z(i,j) = -3; end; endendsurfc(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z');shading flat
14
Futtatási eredmények
• Rendszer: Nap – Jupiter ( = 0,001)• Az L1 pont energiája E1 = -1,5198• Kaotikus tartományok jelennek meg, ha
-1.55 < E < E1, ahol E a próbatest összenergiája
• A következő futtatási eredmények az E = -1,525 értékre vonatkoznak
15
#1: (x;y)=(0.2;0), (vx;vy) = (0;2.633211)
• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: -1,52422
16
#2: (x;y)=(0.3;0), (vx;vy) = (0;1. 918786075)
• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: -1,52486
17
#3: (x;y)=(0.4;0), (vx;vy) = (0;1. 44806)
• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: -1,52499
18
#4: (x;y)=(0.5;0), (vx;vy) = (0;1. 092264)
• A kiszámított pontok száma: 2000x50• Összenergia a számolás végén: -1,52499
19
#5: (x;y)=(0.6;0), (vx;vy) = (0;0. 800299944)
• A kiszámított pontok száma: 2000x200• Összenergia a számolás végén: -1, 52471
20
#6: (x;y)=(0.7;0), (vx;vy) = (0;0. 545802162)
• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: -1,52500
21
#7: (x;y)=(0.8;0), (vx;vy) = (0;0.30893365)
• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: - 1,52500
22
#8: (x;y)=(0.85;0), (vx;vy) = (0;0. 186386695)
• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: - 1,52500
23
A futtatások összesítése
24
Néhány érdekes pályagörbe - 1
25
(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0;1.3)Összenergia= -1,28000
Néhány érdekes pályagörbe - 2
26
(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (1.4; 0.7)Összenergia= -0.90000
Néhány érdekes pályagörbe - 3
27
(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0.2; 0.96)Összenergia= -1.64420
Néhány érdekes pályagörbe - 4
28
(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0;1.16)Összenergia= -1.45220
Néhány érdekes pályagörbe - 5
29
(x;y)=(0.499;0.8), (vx;vy) = (0; 0.2008)Összenergia= -1.48484