HRW1 - Mechanika

DAVID HALLIDAY ROBERT RESNICK JEARL WALKER

FYZIKA

Vysokokolsk uebnice obecn fyziky

Redakce eskho pekladu Petr Dub, Ji Komrska, Bohumila Lencov, Jana Musilov, Jan Obdrlek a Marian trunc

Vysok uen technick v Brn - Nakladatelstv VUTIUM a PROMETHEUS Praha -

JAK PRACOVAT S TOUTO KNIHOUPrv se poutte do neho, co se me stt nejzajmavjm a snad i dobrodrunm pedmtem prvnho ronku studia. Nabz se vm monost pochopit, jakmi zkony se d svt kolem ns. Poznte, jakou lohu hraje fyzika v kadodennm ivot. dn poznn nen ovem zadarmo, nco pro to udlat muste a tato kniha vm pi tom pome. Byla peliv pipravena s pihldnutm k problmm, se ktermi se studenti asto potkaj. Podvejme se nyn, jak je lenna.

Vstupn problmAtraktivn aplikace probran ltky vs jist zaujme a pilk ke studiu.V roce 1977 vytvoila Kitty ONeilov rekord v zvodech dragster. Doshla tehdy rychlosti 628,85 km/h za pouhch 3,72 s. Jin rekord tohoto typu zaznamenal v roce 1958 Eli Beeding ml. pi jzd na sanch s raketovm pohonem. Po klidovm startu doshly san rychlosti 116 km/h za dobu 0,04 s, kter pedstavuje v pravm slova smyslu okamik. Je toti krat ne mrknut oka. Meme njak porovnat tyto dva vkony, abychom mli pedstavu, kter z nich mohl pinst jezdci vt vzruen nebo dokonce strach? Mme srovnvat dosaenou rychlost, dobu jzdy nebo njakou jinou veliinu

tapp v r kovnk J. P. S Obr. 2.8 Plu e). uje od ten (zrychlen sm

?

x

2.6 PKLAD , dech dragster rekord v zvo v nejkratm v vytvoila /h eilo i 628,85 km (a) Kitty ON tomobilu? t rychlost hlen jejho au doshla nejv kdy rn zryc k bylo prm m (2.7): ase 3,72 s. Ja dno vztahe zrychlen je rmrn EEN: P 0) = (628,85 km/h vx = 0) (3,72 s ax = t 1 2 . 174,68 ms = 47 ms = = 3,72 s (Odpov ) . 4,8g . = n osy x .) m smr klad e zrychlen ho Beeli jsme, pi jzd Eli (Pedpoklda ychlen san prmrn zr /h za 0,04 s? (b) Jak bylo losti 116 km doshl rych er ): dinga ml., kt e vztahu (2.7 Opt pouijem EN:

Bo Vr n zr je k p

Odpov na vstupn problmNa vhodnm mst kapitoly, a u ve vkladu nebo formou eenho pkladu, je vstupn problm rozebrn a vyloen.

JAK PRACOVAT S TOUTO KNIHOU

xi

kolm sly F a F na obrzku KONTROLA 1: Dvesti rznmi zpsoby. Kter z nich jsou kombinovny1 2

sprvn uruj vslednici

F?

KontrolaF1 F1 F1

F2 (a) F2

F2 (b)

F2 (c)

F1

F1

F1

V textu narazte na slovan kontroln otzky, kter prbn ovuj, e jste ltku zvldli a e mete pokraovat dl. Pomohou vm vyhnout se astm nedorozumnm a chybnm pedstavm. Sprvn vsledek si mete zkontrolovat na konci knihy.

F2 (d) (e)

F2 (f )

5 4 HMOTNOST

9. Fotbalov m let po nkter z trajektori znzornnch na obr. 4.25. Sea te je podle (a) doby letu me, (b) svisl sloky jeho poten rychlosti, (c) vodorovn sloky poten rychlosti, (d) velikosti poten rychlosti. Volte vdy sestupn azen. Odpor prosted zanedbejte.

a

b Obr. 4.25 Otzka 9

c

10. Obr. 4.26 znzoruje ti mon okamit situace pi pohybu stice. Rozhodnte, ve kter z nich (a) velikost rychlosti stice roste, (b) kles, (c) nemn se. Ve kterm z ppad je skalrn souin (d) v a kladn, (e) zporn, (f) nulov?

OtzkyOtzky na konci kad kapitoly po vs vyaduj spe fyzikln uvaovn neli pouh uvn vzorc. Na konci knihy najdete odpovdi na vechny lich otzky.

v

v a a (1) (2) Obr. 4.26 Otzka 10

v

a (3)

xii

JAK PRACOVAT S TOUTO KNIHOU

PKLAD 4.1 Poten poloha stice je dna polohovm vektorem

PkladyV eench pkladech uvidte nzorn, jak pouvat prv vyloen fyzikln pedstavy. Pklady vychzej asto z kadodennch problm a pipravuj vs pitom na een otzek, cvien i kol na konci kad kapitoly.

r1 = 3i + 2j + 5k, koncov poloha je urena vektorem r2 = 9i + 2j + 8k (obr. 4.2). Urete posunut stice.y

O r1 r2 P trajektorie bodu P r x

Vb z . T Zem Obr. 4.2 Pklad 4.1. Posunut r = r2 r1 spojuje koncov body tan in TY vektor r1 a rv. kap. 2 RADY A NM bcch sil udl t z hlediska pso or lohy dobrou pedBod 5.1: Rozb rt, a zskme leso o h nkolikn lohy ny a jak jsou Peteme si zad daje jsou zad je situace, jak do tla sn. stavu o tom, jak si kali: Nk e u p. 5.1 jsme nulov. Vme, koly. Tak teba e zrychlen je ne na, v druh st se mn, tak d Jejich rychlo i lohy je sla za Vekto ar. V prv st ut druh pohyb je pmo tak, e je teba po ho pad to tedy rn it. Vy pad jednorozm sti ji mme ur likovat jej na p nv zkon a ap Newto k dle popohybu. ale nevme-li, ja k problm jde, (kde peteme zaJe-li jasn, o ja me a znovu si m prozatm odlo ho Newuh jako stupovat, probl pochopenm dr jisti sprvnm tudujeme n. Nejsme-li si l lnek. Pros d ovu ce . 5.1 je , peteme si zn rmulovan v p tonova zkona e problm fo kde ntn, ns vrac Skutenost, je konsta pklady. ice, ychlen pohybu zp a zr y rovn jednorozmrn sahujc vechn k tab. 2.1, ob iln vyk ke kap. 2 a spec bovat. d budeme pote kter zry j obrzky Jednm Bod 5.2: Dvo t dva obrzky. slo y je uiten m nj e do loh Pi een kad tuace. Zakreslm tme rt skuten si ums n o vektoru sly z nich je hrub to hm n bod kadh la psob. Dru piem pote sly, na n s (v sly pobjemu tlesa, kresleny na povrch i do , v nm jsou za j no bodem. silov diagram zorn obrzkem je je v nkresu zn n hoto bodu. din tleso, kter do to sobc na je l umstme prv n bod kad ze si Poten e? ustavu studujem so Bod 5.3: Jakou e si uvdomit, v zkon, musm druh Newton e. V p. 5.1 jsou Pouvme-li vu jej aplikujem vka. so nebo sousta . 5.3 je to plecho na kter tle nebo led). V p

Rady a nmtyRady a nmty vm pomohou pi een domcch kol i v pprav na zkouku. Pedstavuj jakousi esenci a zsobrnu praktickch zkuenost badatel a inenr.

JAK PRACOVAT S TOUTO KNIHOU

xiii

Tento symbol oznauje lnky i odstavce, kter mete pi prvnm ten peskoit. Nejsou nezbytn pro porozumn dalmu vkladu.

8.8 HMOTNOST A ENERGIEKlasick chemie byla zaloena na pedpokladu, e pi ch mickch reakcch se zachovv jak energie, tak hmotno V roce 1905 vak ukzal Albert Einstein v rmci sv sp il i l i i h l k i l jd

PEHLEDKonzervativn slySla psobc na stici je konzervativn, je-li celkov prce, kterou vykon pi pohybu stice po libovoln uzaven trajektorii, nulov. Ekvivalentn vyjden: Sla psobc na stici je konzervativn, jestlie prce, kterou vykon pi pemstn stice mezi dvma zadanmi body, nezvis na trajektorii, po kter se stice pohybovala. Thov sla a prun sla jsou konzervativn. Dynamick tec sla je nekonzervativn.

& SHRNUT

mon vyjdit zmnu potenciln energie vztahem Ep = xf

Pehled & shrnut(8.6)

F (x) dx,xi

kde xi je poten a xf koncov poloha stice.

Thov potenciln energiePotenciln energie soustavy s thovou interakc se nazv thov potenciln energie. Jedn-li se o soustavu zahrnujc Zemi a stici, kter se pohybuje v blzkosti jejho povrchu, hovome o thov potenciln energii. Pi pechodu stice mezi body lecmi ve vkch yi a yf nedaleko od povrchu Zem je zmna thov potenciln energie soustavy stice+Zem rovna Ep = mg(yf yi ) = mg y. (8.7)

Tento lnek shrnuje nejdleitj poznatky a vztahy z cel kapitoly.

Potenciln energiePotenciln energie souvis s kongurac soustavy, v n psob konzervativn interakn sly. Zmna potenciln energie soustavy je denovna jako zporn vzat prce, kterou konzervativn interakn sly vykonaj pi odpovdajc zmn kongurace soustavy (8.1) Ep = Wg . Je-li kongurace soustavy (poloha stice vzhledem ke zvolenmu bodu zbytku soustavy) urena jedinou skalrn promnnou x a zvis-li konzervativn sly F a F popisujc interakci stice se zbytkem soustavy pouze na tto promnn, je asto

Je-li referenn kongurace soustavy zvolena tak, e yi = 0, a je-li j pisouzena nulov hodnota thov potenciln energie Ep,i = 0, meme thovou potenciln energii soustavy v obecn konguraci (resp. thovou potenciln energii stice v obecn poloze vzhledem k Zemi) vyjdit vztahem Ep = mgy. (8.9)

Cvien a lohySetkte se s nimi na konci kad kapitoly. Jsou uspodny podle obtnosti, nejprve cvien (C), pot lohy (). Obtnj jsou oznaeny hvzdikou ( ). Odpovdi na vechny lich lohy a cvien najdete opt na konci knihy. Na zvr bv jet nkolik loh pro een s pomoc potae, ppadn i problmov lohy, v nich i sm postup een pin nov poznatky.

56. Kostka o hmotnosti 1,0 kg le na dokonale hladk podloce a je nenapjatou pruinou (k = 200 N/m) spojena se stnou (obr. 10.44). Hranol o hmotnosti 2,0 kg do n naraz rychlost 4,0 ms1 rovnobn s pruinou a pevn se s n spoj. Urete stlaen pruiny v okamiku, kdy je spolen rychlost tles nulov.2,0 kg 4,0 ms1 1,0 kg

62C. Atomov jdro, kter je v klidu, se nhle rozpadne na ti sti. Dv z nich jsou zachyceny deteknm zazenm, kter je schopno urit jejich rychlosti a hmotnosti (obr. 10.46). (a) Urete hybnost tet stice, jej hmotnost je 11,71027 kg, a vyjdete ji pomoc jednotkovch vektor kartzsk soustavy souadnic. (b) Jak je celkov kinetick energie stic po rozpadu?y 16,71027 kg x 6,00106 ms1 pvodn jdro

Obr. 10.44 loha 56

57. Dvoje stejn sn o hmotnostech 22,7 kg stoj tsn za sebou podle obr. 10.45. Koka o hmotnosti 3,63 kg, kter na jednch snch sedla, pesko najednou na druh sn a hned zase zpt. Pi obou skocch m rychlost koky vzhledem k zemi velikost 3,05 ms1 . Urete vsledn rychlosti sn.

8,351027 kg 8,00106 ms1 Obr. 10.46 Cvien 62

Obr. 10.45 loha 57

58. Automobil o hmotnosti 1 200 kg m nraznk konstruovn tak, aby eln nraz do zdi rychlost 5,00 km/h byl jet bezpen. Vz jede rychlost 70 km/h a zezadu naraz do druhho automobilu, kter jede rychlost 60 km/h stejnm smrem a m hmotnost 900 kg. Rychlost druhho vozu po srce je 70 km/h. (a) Jak je rychlost prvnho automobilu bezprostedn po nrazu? (b) Urete pomr ztrty kinetick energie soustavy dvou automobil pi popsan srce a kinetick energie, pi n je nraz prvnho automobilu do zdi jet bezpen. 59. Nkladn vagon o hmotnosti 32 tun jede rychlost 1,5 m/s. Naraz do jinho vagonu, kter m hmotnost 24 tun a jede stej1 Ob i j hl 0 9

63C. Bl kulenkov koule naraz do erven, kter je zpotku v klidu. Rychlost bl koule m po srce velikost 3,50 ms1 a svr s pvodnm smrem pohybu hel 22,0 . erven koule odlet rychlost o velikosti 2,00 ms1 . Urete (a) smr rychlosti erven koule po srce a (b) poten rychlost bl koule. (c) Je srka prun? 64C. Dva automobily A a B se bl ke stejnmu mstu v navzjem kolmch smrech. Pi srce se do sebe zakln. Vz A (hmotnost 1 200 kg) se ped srkou pohyboval rychlost 64 km/h a vz B (hmotnost 1 600 kg) rychlost 96 km/h. Urete velikost a smr spolen rychlosti obou vrak po srce. 65C. Kulenkov koule naraz rychlost V do tsn uspodan skupiny patncti stojcch koul. Dojde k srii srek koul mezi sebou i s obrubou stolu. Shodou okolnost m velikost rychlosti vech estncti koul v jistm okamiku stejnou hodnotu v. Vechny srky povaujeme za prun a zanedbvme vliv rotanho pohybu koul. Vyjdete v pomoc V . 66 l h i 20 0 k h b j kl d

Strun obsah

Jak pracovat s touto knihou x Podrobn obsah xiv Kapitoly 112 Mechanika1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Men 1 Pmoar pohyb 12 Vektory 39 Dvojrozmrn a trojrozmrn pohyb 58 Sla a pohyb I 88 Sla a pohyb II 118 Prce a kinetick energie 141 Potenciln energie a zkon zachovn energie 169 Soustavy stic 207 Srky 237 Rotace 263 Valen, moment sly a moment hybnosti 296

Elektrick pole 593 Gaussv zkon elektrostatiky 618 Elektrick potencil 640 Kapacita 668 Proud a odpor 693 Obvody 715 Magnetick pole 743 Magnetick pole elektrickho proudu 773 Elektromagnetick indukce 798 Magnetick pole v ltce, Maxwellovy rovnice 833 33 Elektromagnetick kmity a stdav proudy 859 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Kapitoly 3438 Elektromagnetick vlny Optika Relativita34 35 36 37 38 Elektromagnetick vlny 889 Obrazy 920 Interference 949 Difrakce 977 Relativita 1006

Kapitoly 1321 Mechanika Termodynamika13 14 15 16 17 18 19 20 21 Rovnovha a prunost 329 Gravitace 356 Tekutiny 384 Kmity 409 Vlny I 438 Vlny II 466 Teplota a teplo 495 Kinetick teorie plyn 526 Entropie 552

Kapitoly 3945 Modern fyzika39 40 41 42 43 44 45 Fotony a de Broglieho vlny 1033 Vce o de Broglieho vlnch 1055 Ve o atomech 1079 Veden elektiny v pevnch ltkch 1107 Jadern fyzika 1129 Energie z jdra 1154 Kvarky, leptony a Velk tesk 1174

Kapitoly 2233 Elektina a magnetismus22 Elektrick nboj 577

Dodatky Vsledky Rejstkix

1 Men

Lete na pli u moe. Hladina je pln klidn a vy pozorujete zpad Slunce. Mete ho dokonce pozorovat dvakrt: poprv vlee a podruh, kdy vstanete. Mon vs pekvap, e z doby, kter uplyne mezi tmito dvma zpady, lze odhadnout polomr Zem. Opravdu je mon zmit Zemi tak prostm pozorovnm

?

2

KAPITOLA 1

MEN

1.1 MENZkladem fyziky je men. Objevovat fyziku znamen tak poznvat monosti men veliin, kter jsou s n spjaty. Nazvme je fyziklnmi veliinami. Pat k nim napklad dlka, as, hmotnost, teplota, tlak nebo elektrick odpor. Abychom mohli fyzikln veliinu popsat, zavedeme nejprve jej jednotku, tj. takovou mru tto veliiny, kter pisoudme selnou hodnotu pesn 1,0. Pot vytvome standard, s nm budeme vechny ostatn hodnoty dan fyzikln veliiny porovnvat. Tak napklad jednotkou dlky je metr. Jeho standard je denovn jako vzdlenost, kterou uraz svtlo ve vakuu za pesn denovan zlomek sekundy. (K denici metru se jet vrtme.) Jednotku fyzikln veliiny i jej standard meme denovat naprosto libovolnm zpsobem. Dleit je jen to, aby nae denice byla natolik rozumn a praktick, aby mohla bt v odbornch kruzch veobecn pijata. Jakmile jsme denovali standard, eknme pro dlku, musme jet vypracovat metody, jak jej pouvat pro urovn rznch dlek, a ji jde o polomr atomu vodku, vzdlenost koleek skateboardu nebo mezihvzdnou vzdlenost. Meme napklad pouvat pravtka, kter piblin nahrazuj standard dlky. asto vak nelze pmo porovnat menou veliinu se standardem. Pravtkem nezmme ani polomr atomu, ani mezihvzdnou vzdlenost. Fyziklnch veliin je takov mnostv, e nen jednoduch je njakm zpsobem uspodat. Natst vak nejsou vechny navzjem nezvisl. Pkladem me bt rychlost, kterou lze vyjdit jako podl dlky a asu. Lze tedy vybrat, po mezinrodn dohod, celkem mal poet fyziklnch veliin, pro n denujeme jejich vlastn standardy. Dlka i as k nim pat. Vechny ostatn veliiny lze pak vyjdit pomoc tchto zkladnch veliin a jejich standard. Tak napklad rychlost je denovna pomoc dvou zkladnch veliin dlky a asu a jim odpovdajcch jednotek a standard. Standardy zkladnch veliin mus bt dostupn a pi opakovanm men nepromnn. Kdybychom teba denovali jako standard dlky star esk sh, tedy vzdlenost mezi prsty rozpaench rukou (cca 190 cm), zskali bychom bezpochyby standard snadno dostupn, avak pro kadho lovka jin. Vda a technika vak vyaduj pesnost, a proto je nepromnnost standardu mnohem dleitj ne jeho snadn dosaitelnost. Je tedy teba mt k dispozici dostaten poet jeho pesnch kopi i za cenu nronosti jejich zhotoven. V klasick fyzice (vetn teorie relativity) mlky pedpokldme, e men meme provdt tak, abychom pi nm menou hodnotu neovlivnili. (Nebo realistitji

tak, e vliv men je zanedbateln mal.) Tak nap. pi men prmru roubu mikrometrem stiskneme roub elistmi midla pesn denovanou silou. Tm jej nepatrn stlame a namme daj men. Tento rozdl je pro roub jist zanedbateln. Kdybychom vak mili gumov palk, u by byl vliv patrn. Lze vak jist najt jin, vhodnj zpsob men, kter prmr palku znateln neovlivn. V kvantov fyzice je problm men mnohem sloitj.

1.2 MEZINRODN SOUSTAVA JEDNOTEKV roce 1971 bylo na 14. generln konferenci pro vhy a mry vybrno sedm zkladnch veliin a odpovdajcch zkladnch jednotek, kter se staly zkladem Mezinrodn soustavy jednotek oznaovan zkratkou SI (z francouzskho Syst` me International des Units), nazvan t mee trick soustava. V tab. 1.1 jsou uvedeny jednotky t zkladnch veliin dlky, hmotnosti a asu, kter pouvme u v vodnch kapitolch tto knihy. Byly vybrny tak, aby byly blzk lidskm mtkm. Tabulka 1.1 Nkter zkladn jednotky SI VELIINAdlka as hmotnost

NZEV JEDNOTKYmetr sekunda kilogram

SYMBOLm s kg

Vechny tzv. odvozen jednotky soustavy SI jsou denovny pomoc jednotek zkladnch. Napklad jednotku vkonu watt (znaka W) lze vyjdit zkladnmi jednotkami hmotnosti, dlky a asu. V kap. 7 ukeme, e 1 watt = 1 W = 1 kgm2 s3 . (1.1)

Abychom jednodue a strun zapsali velmi velk nebo velmi mal hodnoty veliin, pouvme tzv. exponenciln tvar zpisu sel pomoc mocnin sla 10. Takto vyjdme napklad: 3 560 000 000 m = 3,56109 m nebo 0,000 000 492 s = 4,92107 s. (1.2)

(1.3)

S rozvojem pota se sla v exponencilnm tvaru zaala zapisovat jet jednodum zpsobem, napklad 3,56 E9 m nebo 4,92 E7 s. Psmeno E oznauje, e nsledujc slo m vznam mocnitele (exponentu) zkladu 10. Nkter kalkulaky zpis jet vce zjednoduuj a psmeno E nahrazuj mezerou.

1.3 PEVODY JEDNOTEK

3

Jinou monost vyjden velmi velkch a velmi malch hodnot je pouit vhodnch pedpon v nzvech jednotek. Jejich seznam uvd tab. 1.2. Kad pedpona zastupuje pslunou mocninu sla 10. Pedpona u kterkoli z jednotek SI signalizuje, e hodnotu veliiny je teba vynsobit odpovdajcm koecientem. Zadanou hodnotu elektrickho vkonu nebo dlku asovho intervalu meme zapsat napklad takto: 1,27109 watt = 1,27 gigawatt = 1,27 GW, (1.4) 2,35109 s = 2,35 nanosekundy = 2,35 ns. (1.5)

Vzhledem k tomu, e vynsoben libovoln veliiny jednikou nezmn jej hodnotu, meme takov pevody provdt, kdykoli to povaujeme za uiten. Zbavme se tak jednotek, kter nechceme pouvat: jednodue se vykrt. Chceme-li napklad pevst 2 min na sekundy, peme 2 min = (2 min)(1) = (2 min) 60 s 1 min = 120 s. (1.6)

Nkter jednotky s pedponami (nap. decilitr, centimetr, kilogram nebo megabajt) se pouvaj zcela bn.

1.3 PEVODY JEDNOTEKPi vpotech selnch hodnot fyziklnch veliin asto potebujeme mnit jednotky, v nich veliinu vyjadujeme. Tento pepoet nazvme pevod jednotek. Pevod meme snadno provst napklad tak, e vynsobme pvodn zadanou i zmenou hodnotu pevodnm koecientem. Tento koecient je ve skutenosti roven jedn, je vak vyjden ve tvaru zlomku, jeho itatel i jmenovatel udvaj tut hodnotu v rznch jednotkch. Uve me pklad: daje 1 min a 60 s pedstavuj stejn asov intervaly. Meme proto pst 1 min =1 60 s a 60 s = 1. 1 min

astou chybou pi pevodu jednotek je zmna itatele a jmenovatele v pevodnm koecientu. V tom ppad se nedouc jednotky nevykrt, a tak chybu snadno objevme. Pro potn s jednotkami plat stejn algebraick pravidla jako pro promnn a sla. V dod. D a na vnitn stran zadn oblky tto knihy jsou uvedeny koecienty pro pevody mezi soustavou SI a jinmi soustavami jednotek. Jednou z mla zem, kter nestanovily zkonem povinnost pouvat Mezinrodn soustavu jednotek, jsou i Spojen stty americk.PKLAD 1.1 Przkumn ponorka ALVIN se potp rychlost 36,5 sh za minutu. (a) Vyjdete tuto rychlost v metrech za sekundu. Jeden sh je roven pesn 6 stopm (ft). EEN: Jednotky pevdme nsledujcm zpsobem: 36,5 1 min sh sh = 36,5 min min 60 s 1m 6 ft = 1 sh 3,28 ft = 1,11 ms1 . (b) Jak je tato rychlost v mlch (mi) za hodinu? (Odpov )

1 Tento zpis neznamen, e by snad platilo 60 = 1 nebo 60 = 1. seln daj a odpovdajc jednotka tvo ve vrazu pro pevodn koecient neoddlitelnou dvojici.

Tabulka 1.2 Pedpony jednotek SI NSOBEK1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

PEDPONAyottazettaexapetateragigamegakilohektodeka-

ZNAKAY Z E P T G M k h da

NSOBEK1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

PEDPONAyoktozeptoattofemtopikonanomikromilicentideci-

ZNAKAy z a f p n

m c d

Nejuvanj pedpony jsou vytitny tun.

4

KAPITOLA 1

MEN

EEN: Stejn jako v pedchozm ppad dostaneme 36,5 60 min sh sh = 36,5 min min 1h 6 ft 1 mi = 1 sh 5 280 ft = 2,49 mi/h. (Odpov )

dn konen vsledek by obecn neml bt zapsn slem s vtm potem platnch mst, ne mly vchoz daje. V prbhu vpotu vedenho v nkolika postupnch krocch pracujeme s vtm potem platnch mst, ne mly vchoz daje. Jakmile vak dospjeme ke konenmu vsledku, zaokrouhlme jej podle vchozch daj. (Ve vsledcch eench pklad v tto knize pouvme zpravidla rovntko . = i tehdy, byl-li mezivsledek zaokrouhlen, a symbol = a u konenho zaokrouhlen.) Poet platnch mst v dajch 3,15 nebo 3,15103 je zejm. Jak je tomu vak u sla 3 000? Je zadno pouze na jedno nebo na tyi platn msta (tedy jako 3103 nebo 3,000 103 )? V tto knize budeme povaovat vechny nuly v slech typu 3 000 za platn msta. Pi studiu literatury je vak teba dt pozor, zda autoi neuvaj jinou dohodu. Nezamujme platn msta s msty desetinnmi. Uvaujme napklad daje 35,6 mm, 3,56 m a 0,003 56 km. Vechny jsou zadny na ti platn msta, i kdy prvn z nich m jedno, druh dv a tet dokonce pt desetinnch mst.

(c) Vyjdete tuto rychlost ve svtelnch rocch za rok. EEN: Jeden svteln rok (ly z angl. light year) je vzdlenost, kterou uraz svtlo ve vakuu za jeden rok. Je roven 9,461012 km. Uitm vsledku (a) dostaneme 1,11 ms1 = 1,11 m s 1 ly 9,461012 km 3,16107 s 1y = (Odpov )

1 km 1 000 m

= 3,71109 ly/y.

PKLAD 1.2 Kolik tverench metr m plocha o obsahu 6,0 km2 ? EEN: Obsahuje-li daj mocninu nkter jednotky, je vhodn ji nejprve rozepsat jako souin a pak pevst kad initel zvl : 6,0 km2 = 6,0 (km)(km) = 1 000 m = 6,0 (km)(km) 1 km = 6,0106 m2 .

1.4 DLKAV roce 1792 byl v mlad Francouzsk republice zaveden nov systm mr a vah. Jednotkou dlky byl stanoven metr, denovan jako jedna desetimiliontina vzdlenosti od severnho plu k rovnku. Z praktickch dvod se pozdji od vazby na tento zemsk standard upustilo a metr byl denovn jako vzdlenost mezi dvma tenkmi vrypy na tyi vyroben ze slitiny platiny a iridia, tzv. standardnm metru. Tento standard je dodnes uloen v Mezinrodnm adu pro vhy a mry v S` vres u Pae. Jeho pesn kopie, e nazvan druhotnmi standardy, byly rozeslny do metrologickch laborato po celm svt a jsou pouvny pi vrob dalch, mnohem snadnji dostupnch, standard. Kad zazen pro men dlky poskytuje daje odvozen od standardnho metru. V roce 1959 byl edn denovn yard jako 1 yard = 0,914 4 m (pesn). (1.7)

1 000 m 1 km

=

(Odpov )

RADY A NMTY Bod 1.1: Platn msta a desetinn msta Pi een p. 1.1a na kalkulace se na jejm displeji pravdpodobn zobrazilo slo 1,112 804 878. Pesnost, se kterou je toto slo vyjdeno, vak nem rozumn vznam. Proto jsme je rovnou zaokrouhlili na hodnotu 1,11, kter odpovd pesnosti vchozch daj. Zadan rychlost 36,5 sh za minutu je urena temi slicemi. kme, e je dna na ti platn msta. tvrtou slici du setin ji neznme, a proto pi pevodu jednotek nem smysl uvdt vce slic ne ti.** Tento zpsob potn s sly zadanmi s omezenou pesnost je jen velmi piblin. Tak napklad kad z sel 11 a 99 je zadno na dv platn msta. Nejistota obou daj je du desetin. Jedna desetina (0,1) vak pedstavuje zhruba 1 % hodnoty 11 a pouze 0,1 % hodnoty 99. Veliina s hodnotou 99 je zadna pesnji ne veliina, jej hodnota je 11. V odborn a vdeck prci zsadn opatujeme hodnotu kad namen nebo vypoten veliiny jej standardn odchylkou neboli chybou, kter vyjaduje kvantitativn pesnost tto veliiny.

Tato denice je ekvivalentn se vztahem pro palec (inch): 1 in = 2,54 cm (pesn). (1.8)

V tab. 1.3 jsou uvedeny zajmav daje o dlkovch rozmrech nkterch objekt, vetn velikosti viru, jeho mnohonsobn zvten obraz zskan v elektronovm mikroskopu vidme na obr. 1.1.

1.5 AS

5

Tabulka 1.3 dov velikosti a rozmry DLKAk nejvzdlenjmu kvazaru (1996) k mlhovin v Andromed k nejbli hvzd (Proxima Centauri) k nejvzdlenj planet (Pluto) polomr Zem vka Mount Everestu vka lovka tlou ka tto strnky vlnov dlka svtla typick velikost viru polomr atomu vodku polomr protonuV METRECH

21026 21022 41016 61012 6106 9103 2100 1104 5107 1108 51011 11015

jim u ani kryptonov atomy nedokzaly vyhovt. V roce 1983 byl v historii vvoje standardu dlky zaznamenn vrazn pokrok. Metr byl nov denovn jako vzdlenost, kterou uraz svtlo ve vakuu v pesn stanovenm asovm intervalu. Sedmnct generln konference pro vhy a mry pijala tuto denici metru: Jeden metr je vzdlenost, kterou uraz svtlo ve vakuu za dobu 1/299 792 458 sekundy. Tato konkrtn volba dlky asovho intervalu v denici metru uruje pesn hodnotu rychlosti svtla ve vakuu c = 299 792 458 ms1 . Rychlost svtla u dokeme mit velmi pesn a tak men asovch interval pat v souasnosti k nejpesnjm menm vbec. Jejich vyuit pro novou denici metru je proto velmi dobe odvodnn.PKLAD 1.3 Sprintersk tra mvala vedle dlky 100 m, bn v souasnm atletickm sportu, tak dlku 110 yard. (a) Kter tra je del? EEN: Z (1.7) snadno zjistme, e vzdlenost 110 yard je 100,58 m. Sprint na 110 yard je tedy del. (b) O kolik stop (ft)? EEN: Ozname L rozdl dlek beckch trat. (Symbol velk eck delta zna rozdl veliin.) Pak L = 110 yard 100 m = = 100,584 m 100 m = 0,584 m = 3,28 ft = = (0,584 m) 1m . = 1,916 ft = 1,9 ft. (Odpov )

Obr. 1.1 Obarven elektronov obraz chipkovho viru. Lipoproteiny hostitele (obarveny lut) obklopuj jdro viru (zelen). Celkov prmr tvaru je men ne 50 nm.

Pozdji vyadovala modern vda a technika jet pesnj standard, ne je vzdlenost mezi dvma jemnmi vrypy na kovov tyi. Proto byl v roce 1960 pijat nov standard metru, kter vychzel z vlnov dlky svtla. Metr byl denovn jako 1 650 763,73 nsobek vlnov dlky oranov ervenho svtla, kter pi vboji emituj atomy kryptonu 86.* Tento zvltn poet vlnovch dlek byl vybrn proto, aby nov standard byl co nejbli dosavadnmu metru. Atomy kryptonu 86, pouit pro denici standardu dlky, jsou dostupn kdekoli, jsou identick a vechny vyzauj svtlo pesn stejn vlnov dlky. V kadm z nich je tak standard uschovn lpe a bezpenji ne v Mezinrodnm adu pro vhy a mry (P. Morrison, MIT). Poadavky na pesnost vak stle rostly, a doshly takovho stupn, e* slo 86 v oznaen atomu (asto uvanm oznaenm je i 86Kr nebo 86 36 Kr) identikuje jeden z pti stabilnch izotop (stabilnch nuklid) kryptonu a nazv se hmotnostnm nebo nukleonovm slem.

1.5 ASPojem as meme chpat dvma rznmi zpsoby. V bnm ivot a asto i ve vd potebujeme znt denn as (obr. 1.2), abychom mohli popsat sled udlost. Ve vdeck prci je zase vtinou dleit, jak dlouho dan udlost trvala. Kad standard asu tedy mus umoovat odpov na dv otzky: Kdy se to stalo? a Jak dlouho to trvalo? tab. 1.4 uvd pehled nkterch asovch interval. Standardem asu me bt jakkoli jev, kter se pravideln opakuje. Po stalet slouilo tomuto elu oten Zem, kter urovalo dlku dne. I kemenn hodiny, ve kterch osciluje kemenn krystal v elektronickm obvodu, lze

6

KAPITOLA 1

MEN

pomoc astronomickch pozorovn cejchovat vzhledem k rotaci Zem a pouvat pak v laboratoch pro men asovch interval. Tato kalibrace vak neme bt provedena s pesnost odpovdajc poadavkm souasn vdy a techniky.

mi, pisuzujeme nepravidelnosti rotace Zem a vme, e chod cesiovch hodin je pravidelnj. Kolsn je pravdpodobn zpsobeno slapovmi jevy (vliv Msce) a rozshlm proudnm vzduchu v atmosfe. Tinct generln konference pro vhy a mry (1967) pijala standard sekundy, odvozen od frekvence kmit atom cesiovch hodin: Jedna sekunda je doba trvn 9 192 631 770 period svtelnho zen, emitovanho pi pechodu atomu cesia 133 mezi dvma konkrtnmi hladinami jeho velmi jemn struktury. Pesnost cesiovch hodin je takov, e by trvalo 6 000 let, ne by se dvoje hodiny rozely o vce ne 1 s. I tato pesnost je vak mal ve srovnn s hodinami, kter se vyvjej v souasnosti. Maj doshnout pesnosti 1 : 1018 , kter odpovd odchylce pouh 1 s za 1018 s (asi 31010 let).PKLAD 1.4* Pedstavme si, e pozorujeme zpad Slunce vlee na behu klidnho moe. Spustme stopky prv v okamiku, kdy Slunce zcela zmiz. Pot vstaneme a zvme tak polohu svch o o 1,70 m. Stopky zastavme v okamiku, kdy nm Slunce zmiz podruh. Jak je polomr Zem, ukazuj-li stopky 11,1 s? EEN: Z obr. 1.5 vidme, e pi pozorovn vlee se zorn paprsek smujc k hornmu okraji slunenho kotoue dotk povrchu Zem v mst, ve kterm se prv nachzme, tj. v bod A. Pi druhm pozorovn zpadu Slunce je zorn paprsek tenou v bod B. Ozname symbolem d vzdlenost mezi bodem B a polohou o stojcho pozorovatele. Vzdlenosti bod A a B od stedu Zem jsou rovny polomru Zem r. Z Pythagorovy vty dostaneme d 2 + r 2 = (r + h)2 = r 2 + 2rh + h2 , tj. d 2 = 2rh + h2 . (1.9) Vka h je ovem zanedbateln vzhledem k polomru Zem r. Proto je len h2 mnohem men ne len 2rh a rov. (1.9) lze pepsat ve tvaru d 2 = 2rh. (1.10)

Obr. 1.2 V nvrhu metrick soustavy z roku 1792 byla hodina denovna tak, aby den ml 10 hodin. Tato mylenka se neujala. Tvrce tchto desetihodinovch hodinek byl prozrav a opatil je jet malm cifernkem ukazujcm tradin dvanctihodinov as. Ukazuj oboj hodinky stejn as?

Tabulka 1.4 dov doby vybranch dj ASOV INTERVALdoba ivota protonu (pedpov ) st Vesmru st Cheopsovy pyramidy prmrn vk lovka dlka roku dlka dne tep lidskho srdce doba ivota mionu nejkrat svteln pulz (r. 1989) doba ivota nejnestabilnjch stic Planckv as*

SEKUNDY11039 51017 11011 2109 3107 9104 8101 2106 61015 11023 11043

* nejkrat doba po Velkm tesku, po kter ji plat zkony fyziky v takov podob, v jak je znme nyn.

Snaha o zskn lepho standardu asu vedla ke konstrukci atomovch hodin. Na obr. 1.3 vidme jeden typ takovch hodin, umstn v Nrodnm stavu pro standardy a technologii (NIST) v USA. Vyuv charakteristick frekvence izotopu cesia 133 a uruje jednotn as UTC. Jeho asov signly je mon zskat z krtkovlnnho rozhlasovho vysln (stanice WWV a WWVH) nebo telefonicky (v R na lince 14 122). (Pokud bychom chtli sedit njak mstn hodiny s mimodnou pesnost, museli bychom uvit dobu en signlu z vyslac stanice k nm.) Na obr. 1.4 je zznam kolsn dlky dne v prbhu tyletho obdob zskan srovnnm s cesiovmi hodinami. Zjitn rozdly, zejm souvisejc s ronmi obdob-

Symbolem jsme oznaili hel mezi tenami v bodech A a B (obr. 1.5). O stejn hel se za zmenou dobu 11,1 s* Pevzato z lnku Dennise Rawlinse Doubling Your Sunsets, or How Anyone Can Measure the Earths size with a Wristwatch and Meter Stick, American Journal of Physics, Feb. 1979, Vol. 47, pp. 126128. Metoda dv nejlep vsledky na rovnku.

1.5 AS

7

oto Slunce na sv zdnliv drze kolem Zem. Za cel den, tj. piblin za 24 hodin, se Slunce kolem Zem oto o 360 . Pak meme pst t . = 360 24 h Dosadme-li t = 11,1 s, dostaneme = (360 )(11,1 s) = 0,046 25 . (24 h)(60 minh1 )(60 smin1 )

Z obr. 1.5 vidme, e d = r tg . Dosazenm do rov. (1.10) dostaneme r 2 tg2 = 2rh, tj. r= 2h . tg2

Pro seln hodnoty = 0,046 25 a h = 1,70 m mme konen r= 2(1,70 m) = 5,22106 m. tg2 0,046 25 (Odpov )

Tento vsledek se li od znm hodnoty polomru Zem (6,378106 m) o 20 %.zorn paprsek k hornmu okraji slunenho kotoue

Obr. 1.3 Cesiov frekvenn norml v Nrodnm stavu pro standardy a technologii v Boulderu (Colorado). Je standardem jednotky asu pro Spojen stty americk. asov signly Nmon observatoe lze zskat na adrese http://tycho.usno.navy.mil /time.html; telefonicky v USA na lince (001)-303-499 7111, v R na lince 14 122.+4

prvn zpad posuv Slunce B

d A

h

r r

druh zpad

sted Zem rozdl mezi dlkou dne a pesn 24 hodinami (ms) +3 Obr. 1.5 Pklad 1.4. Zvedne-li se pozorovatel z polohy vlee (bod A) a zv tak polohu svch o do vky h, oto se zorn paprsek vychzejc z hornho okraje slunenho kotoue o hel . (Velikosti vky h i hlu jsou v obrzku mnohem vt, ne odpovd skutenosti.)

+2

+1

1980

1981

1982

1983

Obr. 1.4 Kolsn dlky dne v prbhu tyletho obdob. Vimnte si, e rozsah svisl stupnice je pouh 3 ms (= 0,003 s).

8

KAPITOLA 1

MEN

1.6 HMOTNOST Standardn kilogramStandardn jednotkou hmotnosti v soustav SI je kilogram. Pvodn byl denovn jako hmotnost jednoho litru (tj. 1 dm3 ) vody. Nyn je podle mezinrodn mluvy uren hmotnost vlce vyrobenho ze slitiny platiny a iridia (obr. 1.6), kter je uloen v Mezinrodnm stavu pro vhy a mry v S` vres u Pae. Pesn kopie tohoto etalonu e byly rozeslny do laborato pro standardy v ostatnch zemch. Hmotnost jinch tles pak meme mit porovnnm s hmotnost kterkoli z tchto kopi. V tab. 1.5 jsou uvedeny hmotnosti nkterch objekt.

Tabulka 1.5 dov hmotnosti vybranch objekt OBJEKTznm vesmr nae Galaxie Slunce Msc asteroid Eros hora zaocensk parnk slon lovk zrnko hroznu prachov steka molekula penicilinu atom uranu proton elektron

KILOGRAMY11053 21041 21030 71022 51015 11012 7107 5103 1102 3103 71010 51017 41025 21027 91031

Je jm atom uhlku 12 C, jemu byla mezinrodn mluvou 6 pisouzena hmotnost dvancti tzv. atomovch hmotnostnch jednotek (u). Hmotnost atomov jednotky souvis s hmotnost standardnho kilogramu vztahemObr. 1.6 Mezinrodn hmotnostn standard 1 kg m tvar vlce, jeho vka i prmr jsou 39 mm.

1 u = 1,660 540 21027 kg.

(1.11)

Bval eskoslovensko vlastnilo dva standardy hmotnosti ze slitiny platiny a iridia, kter byly porovnvny s etalony v Mezinrodnm stavu pro vhy a mry kadch 15 a 20 let. Po rozdlen sttu zstaly oba nrodn etalony na Slovensku. esk republika zskala vlastn kopii standardnho kilogramu na jae roku 1999. Pi poslednm ven v noru 1999 byla namena hmotnost eskho nrodnho kilogramu 1 kg + 0,165 mg. Procedury srovnvn nrodnch kilogram budou jist jednou nahrazeny spolehlivjm a pesnjm postupem, vychzejcm z hmotnosti atomu jakoto zkladnho standardu.

Posledn dv desetinn msta jsou zatena chybou 10. Tak lze s pimenou pesnost porovnvat hmotnosti rznch atom s hmotnost atomu uhlku 12 C. Zatm nm vak 6 chyb spolehliv zpsob, jak doshnout stejn pesnosti i pi men bnch hmotnost, srovnatelnch s hmotnost kilogramu.

1.7 MNOSTVZatmco standardn kilogram je typicky makroskopickou jednotkou, pat atomov hmotnostn jednotka do oblasti mikrosvta. Pi vyjden makroskopickch veliin pomoc mikroskopickch jednotek lze pout jednotku mol, udvajc pesn denovan poet kus (napklad atom, molekul, apod.). Jeden mol m hodnotu 6,0221023 . Pvodn byl zaveden jako poet atom v 1 g nejjednoduho prvku, vodku. Nyn je denovn pomoc izotopu uhlku 12 C. 6 I kdy se ho vtinou uv pro vyjden ltkovho mnostv, me bt pouiteln i jinak (nap. pro poet dvojnch vazeb i valennch elektron).

Jin standard hmotnostiPorovnvat hmotnosti atom mezi sebou dokeme mnohem pesnji, ne je srovnvat pmo se standardnm kilogramem. Proto uvme jet dalho standardu hmotnosti.

CVIEN & LOHY

9

PEHLEDFyzikln menZkladem fyziky je men fyziklnch veliin. Nkter fyzikln veliiny byly vybrny za zkladn (napklad dlka, as a hmotnost). Kad z nich byla denovna prostednictvm standardu a dan zkladn jednotky (napklad metr, sekunda, kilogram). Jednotky ostatnch fyziklnch veliin nazvme odvozen a denujeme je pomoc jednotek zkladnch.

& SHRNUTDlkaJednotkou dlky je metr. Je denovn jako vzdlenost, kterou uraz svtlo ve vakuu za pesn stanoven asov interval. Jin dlkov jednotky, kter se v nkterch zemch stle pouvaj (napklad mle, yard, palec), jsou nyn denovny pomoc metru (1 mle = 1 609,344 m).

as Soustava SIV tto knize (a na vjimky v nkterch lohch) pouvme mezinrodn soustavu jednotek (SI). V vodnch kapitolch vystame jen se temi zkladnmi veliinami, kter jsou uvedeny v tab. 1.1. Mezinrodn dohodou byly pro tyto veliiny stanoveny standardy, kter mus bt dostupn a nemnn. Pomoc nich se vyjaduj vsledky vech fyziklnch men zkladnch i odvozench veliin. Zpis velmi velkch nebo velmi malch hodnot lze zjednoduit pouitm pedpon (viz tab. 1.2) nebo uitm exponencilnho tvaru. Jednotkou asu je sekunda. Pvodn byla odvozena z rotace Zem. Souasn denice vyuv frekvence svtla vyzenho atomy cesia 133 Cs. Pesn asov signl se z laborato pro stan55 dardy vysl rdiem do celho svta.

HmotnostJednotkou hmotnosti je kilogram. Je denovn pomoc prototypu, vyrobenho ze slitiny platiny a iridia a uloenho v Mezinrodnm stavu pro vhy a mry. Pro men hmotnost elementrnch stic, atom a molekul se obvykle pouv atomov hmotnostn jednotka u. Zkladem jej denice je hmotnost atomu uhlku 12 C. 6

Pevod jednotekPi pevodu jednotek postupn nsobme pvodn hodnotu jednotkovmi pevodnmi koecienty. Vrazy meme upravovat pomoc bnch algebraickch pravidel.

MnostvJeden mol je roven potu 6,021023 (atom, molekul, ). Uv se zejmna pro ltkov mnostv.

CVIENODST. 1.2 Mezinrodn soustava jednotek 1C. Pette s pouitm pedpon z tab. 1.2: (a) (b) 109 nt, (c) 106 fon, (d) 1012 la, (e) 103 on, (f) 101 dent, (g) 1012 sa, (h) 106 fon, (i) 1015 rda, (j) 102 r, (k) 1018 mintor. 106 klima,

& LOHYcentimetru pedstavuje 1 m? (c) Kolik mikrometr je jeden yard? 6C. Zem m piblin tvar koule s polomrem 6 378 km. (a) Vypotte jej obvod v m. (b) Jak m povrch v m2 ? (c) Jak je jej objem v m3 ? 7C. Peve te 20 mil na km jen s pouitm nsledujcch pevodnch vztah: 1 mle = 5 280 stop, 1 stopa = 12 palc, 1 palec = 2,54 cm, 1 m = 100 cm a 1 km = 1 000 m. 8C. Najdte pevodn vztahy mezi (a) tverenm yardem a tverenou stopou, (b) tverenm palcem a tverenm centimetrem, (c) tverenou ml a tverenm kilometrem, (d) krychlovm metrem a krychlovm centimetrem. 9C. Pro uren velikosti pozemk se asto pouv jednotka plochy zvan ar (zkratka a), kter je roven 102 m2 , a jednotka hektar (zkratka ha), pedstavujc 102 a. Povrchov uheln dl odebr kad rok 75 ha pdy do hloubky 26 m. Jak objem pdy je kadoron odstrann? Vyjdete jej v km3 . 10C. Staroesk ltro pedstavovalo podle nkterch pramen objem ezanho deva srovnanho do tvaru kvdru o dlce 8 stop, ce 4 stopy a vce rovn 4 stopy. Kolik lter deva je v 1 m3 ? Kolik je tisc lter v SI?

2C. (a) Nkter pedpony soustavy SI se staly soust hovorovho jazyka, i kdy nejsou vdy pouvny sprvn. Pj mi ti kila (mylen jist obnos penz). Kolik je to korun? V jinch ppadech pouvme pro oznaen mnostv jen pedponu bez uveden jednotky. O jakou hodnotu kter veliiny se jedn v nsledujcch vtch? (b) Kup asi kilo. (c) Dv deci, prosm. (d) Deset deka bude stait. (e) Pevn disk potae m kapacitu 650 mega. Je-li pro uloen jednoho slova poteba prmrn 8 bajt, kolik slov me bt na tomto pevnm disku uloeno? (Zpravidla vak mega v ppad megabajtu znamen 1 048 576 (= 220 ), nikoli 1 000 000 a kilobajt je 1 024 (210 ) bajt.) ODST. 1.4 Dlka 3C. Raketopln obh kolem Zem ve vce 300 km. Vypotte jeho vku v (a) mlch, (b) milimetrech. 4C. Jak je vae vka ve stopch? 5C. (a) Kolik mikrometr m jeden kilometr? (b) Jakou st

10

KAPITOLA 1

MEN

11C. Pokoj je dlouh 20 stop 2 palce, irok 12 stop 5 palc a vysok 12 stop 2,5 palce. Jak je plocha podlahy v (a) tverench stopch a (b) tverench metrech? Jak je objem pokoje v (c) krychlovch stopch a (d) krychlovch metrech? 12C. Antarktida m piblin plkruhov tvar o polomru 2 000 km (obr. 1.7). Je pikryta ledem, jeho prmrn tlou ka je 3 000 m. Kolik krychlovch centimetr ledu je v Antarktid? (Zakiven zemskho povrchu neuvaujte.)2 000 km 3 000 m Obr. 1.7 Cvien 12

m pi danm objemu nejmen povrch. Tm lze omezit zmnu hmotnosti tlesa pi jeho otru nebo zneitn povrchu. ODST. 1.5 as 19C. Vyjdete rychlost svtla 3108 ms1 (a) ve stopch za nanosekundu, (b) v milimetrech za pikosekundu. 20C. Enrico Fermi kdysi poznamenal, e standardn doba vyuovac hodiny (45 min) je piblin rovna jednomu mikrostolet. Vyjdete jedno mikrostolet v minutch a vypotte procentn odchylku vsledku od Fermiho odhadu. 21C. Pro piblin vpoty se asto hod odhad, e rok (365,25 dne) m asi 107 sekund. Jak je tento odhad pesn? 22C. Jist kyvadlov hodiny (s dvanctihodinovm cifernkem) se zrychluj o 1 minutu za den. Nastavme-li hodiny v uritm okamiku sprvn, za jak dlouho ukou sprvn as znovu? 23C. Vyjdete st vesmru ve dnech (viz tab. 1.4). 24C. (a) eho je vc: sekund v tdnu nebo minut v roce? b) lovk na Zemi existuje piblin 106 let a st vesmru je odhadovno na 1010 rok. Kolik sekund by byla Zem osdlena lovkem, kdybychom za st Vesmru povaovali jeden pomysln den? 25C. Maximln rychlost, kter jsou schopna doshnout rzn zvata, meme vyjdit v mlch za hodinu takto: (a) hlem : 3,0102 ; (b) pavouk: 1,2; (c) lovk: 23; (d) gepard: 70. Peve te tyto hodnoty na metry za sekundu. (Pro vechny tyi vpoty vystame s jedinm pevodnm koecientem. Je vhodn spotat si jej pedem a pro dal vpoty uloit do pamti kalkulaky.) 26C. Vyjdete rychlost svtla (3,0108 ms1 ) v astronomickch jednotkch za minutu (viz cvi. 16). 27C. A do roku 1883 se kad msto ve Spojench sttech dilo svm vlastnm asem. Cestujeme-li dnes, posouvme si hodinky jen tehdy, je-li asov posuv roven* cel hodin. Kolik stup zempisn dlky a jakou vzdlenost na 45. rovnobce je teba v prmru pekonat, abychom museli posunout sv hodinky prv o jednu hodinu? 28C. Dlka pozemskho dne se rovnomrn zvyuje o 0,001 s za kad stolet. O kolik sekund se prodlouil den za dvacet stolet uplynulch od zatku naeho letopotu? (Zpomalovn rotace Zem bylo zjitno sledovnm zatmn Slunce bhem poslednch dvou tiscilet.) 29C. Na dvou rznch stadionech byly podny zvody v bhu na jednu mli. Vtzov doshli as 3 min 58,05 s a 3 min 58,20 s. Dlka beck trati vak byla zmena jen s omezenou pesnost. Jak me bt maximln rozdl skutench dlek obou trat, abychom mohli s jistotou tvrdit, e bec, kter doshl kratho asu, byl doopravdy rychlej? 30C. V laboratoi byly testovny patery rzn hodiny. V jednom tdnu byly kad den pesn v poledne zaznamenny daje* asov psma nejsou pesn urena zemskmi polednky, ale z praktickch dvod respektuj sttn tvary.

13C. Mal kostka cukru m tvar krychle s hranou dlky 1 cm. Jak by musela bt dlka hrany krychlov krabice, do kter bychom chtli uloit jeden mol kostek cukru? 14C. Meteorologov asto vyjaduj mnostv srek v milimetrech vodnho sloupce. Na msto o rozloze 26 km2 spadlo pi siln boui 50 mm srek. Vyjdete objem spadl vody v litrech. 15C. Vrobce barev udv vydatnost vnjho laku 11,3 m2 /l. Vyjdete tuto hodnotu (a) ve tverench stopch na galon, (b) v jednotkch SI. (c) Jak je fyzikln vznam pevrcen hodnoty tohoto sla? 16C. Astronomick vzdlenosti jsou v porovnn s pozemskmi tak obrovsk, e je vhodn pro n pouvat jinch dlkovch jednotek. Astronomick jednotka (AU z angl. Astronomical unit) je rovna stedn vzdlenosti Zem od Slunce, tj. 1,49108 km. Jeden parsek (pc, z angl. parsec) je vzdlenost, ze kter bychom vidli astronomickou jednotku pod zornm hlem jedn hlov vteiny (obr. 1.8). Svteln rok (ly, z angl. light year) je vzdlenost, kterou uraz svtlo ve vakuu za jeden rok. (a) Vyjdete vzdlenost ZemSlunce v parsecch a svtelnch rocch. (b) Vyjdete 1 pc a 1 ly v kilometrech. I kdy astronomov dvaj pednost jednotce pc, v populrn literatue se astji pouvaj svteln roky.jedna hlov vteina, pesn 1 pc 1 pc Obr. 1.8 Cvien 16 1 AU

17C. Pi plnm zatmn Slunce je slunen kotou tm pesn zakryt Mscem. (a) Urete pomr prmr Slunce a Msce, vte-li, e Slunce je od Zem asi 400krt vzdlenj ne Msc. (b) V jakm pomru jsou jejich objemy? (c) Pidrujte ped oima korunovou minci tak, aby prv zakryla msn kotou, a zmte zorn hel, pod kterm ji vidte. Z vsledku men a ze znalosti vzdlenosti ZemMsc (3,8105 km) odhadnte prmr Msce. 18 . Standardn kilogram m tvar vlce, jeho vka (39 mm) je rovna jeho prmru (obr. 1.6). Ukate, e vlec tohoto tvaru

CVIEN & LOHY

11

vech hodin do nsledujc tabulky. Sea te hodiny podle pesnosti jejich chodu, od nejlepch po nejhor. HODINYA B C D E

molekuly vody? (b) Kolik molekul vody je ve vech svtovch ocenech, obsahuj-li piblin 1,41021 kg vody? 34C. Zem m hmotnost 5,981024 kg. Prmrn hmotnost atom, z nich se skld, je 40 u. Z kolika atom je Zem sloena? 35C. Jak je hmotnost vody, kter napr na msto bhem siln boue (viz cvi. 14)? 36C. Pi redukn diet meme ztratit za tden a 2,3 kg tlesn hmotnosti. Kolik miligram v prmru ztrcme kadou sekundu? 37C. (a) Vyjdete hustotu vody v kgm3 , vte-li, e je rovna 1,0 gcm3 . (b) Ndr o objemu 5 700 m3 se napln za 10 h. Ptok vody je stl. Jak je hmotnostn prtok vody v pvodnm potrub (v kilogramech za sekundu)? 38C. Jemn kemenn zrnka psku (SiO2 ) z kalifornskch pl maj piblin tvar kuliek o polomru 50 m. Hustota kemene je 2 600 kgm3 . Kolik kg psku m stejn povrch jako krychle o hran 1 m? 39C. elezo m hustotu 7,87 gcm3 . Hmotnost jednoho atomu eleza je 9,271026 kg. (a) Jak je objem jednoho atomu eleza? (b) Jak je vzdlenost mezi stedy sousednch atom za pedpokladu, e atomy jsou krychlov a tsn uspodan?

NE

PO

T

ST

T

P

SO

12:36:40 12:36:56 12:37:12 12:37:27 12:37:44 12:37:59 12:38:14 11:59:59 12:00:02 11:59:57 12:00:07 12:00:02 11:59:56 12:00:03 15:50:45 15:51:43 15:52:41 15:53:39 15:54:37 15:55:35 15:56:33 12:03:59 12:02:52 12:01:45 12:00:38 11:59:31 11:58:24 11:57:17 12:03:59 12:02:49 12:01:54 12:01:52 12:01:32 12:01:22 12:01:12

31C. Siderick msc je doba, za kterou Msc zaujme pi pozorovn ze Zem tut polohu vzhledem k hvzdnmu pozad. Lunrn msc je doba mezi stejnmi msnmi fzemi. Lunrn msc je del ne siderick. Pro a o kolik? ODST. 1.6 Hmotnost 32C. S pouitm daj uvedench v textu tto kapitoly urete, kolik je atom v jednom kilogramu vodku. Hmotnost jednoho atomu vodku je 1,0 u. 33C. Molekula vody H2 O je tvoena dvma atomy vodku a jednm atomem kyslku. Hmotnost atomu vodku je 1,0 u a hmotnost atomu kyslku je piblin 16 u. (a) Jak je celkov hmotnost

2 pohyb Pmoar

V roce 1977 vytvoila Kitty ONeilov rekord v zvodech dragster. Doshla tehdy rychlosti 628,85 km/h za pouhch 3,72 s. Jin rekord tohoto typu zaznamenal v roce 1958 Eli Beeding ml. pi jzd na sanch s raketovm pohonem. Po klidovm startu doshly san rychlosti 116 km/h za dobu 0,04 s, kter pedstavuje v pravm slova smyslu okamik. Je toti krat ne mrknut oka. Meme njak porovnat tyto dva vkony, abychom mli pedstavu, kter z nich mohl pinst jezdci vt vzruen nebo dokonce strach? Mme srovnvat dosaenou rychlost, dobu jzdy nebo njakou jinou veliinu

?

2.2 POLOHA A POSUNUT

13

2.1 POHYBCel svt a vechno v nm se pohybuje. Dokonce i vci, kter se zdaj bt v klidu, jako napklad silnice, se pohybuj spolu s otenm Zem, jejm obhnm kolem Slunce, s pohybem Slunce kolem stedu na Galaxie i pohybem cel Galaxie vzhledem ke galaxim ostatnm. st fyziky, kter se zabv popisem pohybu tles i tdnm a porovnvnm pohyb, se nazv kinematika. Kter charakteristiky pohybu vlastn mme mit a jak je budeme srovnvat? Ne se pokusme na tyto otzky odpovdt, vimnme si nkterch obecnch vlastnost pohyb. Nae vahy budou prozatm omezeny temi poadavky: 1. Pohyb se dje vi Zemi (kterou pokldme za nehybnou) vhradn po pmce. Ta me bt svisl (pd kamene), vodorovn (jzda automobilu po dlnici), nebo libovoln sklonn. Vdy to ale mus bt pmka. Takov pohyb nazvme pmoar. (Zatmco svt kolem ns je trojrozmrn, pedstavuje pohyb po pmce pouze jednorozmrnou lohu.) 2. A do kap. 5 se nebudeme zabvat pinami pohybu, pouze se budeme snait pohyb popsat. Budeme zji ovat, zda tleso zvyuje i sniuje svou rychlost, zda se zcela zastavilo, nebo se zaalo pohybovat opanm smrem. Pjde prost o sledovn zmn pohybu v prbhu asu. 3. Pohybujc se tleso nahradme hmotnm bodem. Hmotn bod je nejjednodu mysliteln objekt, kter zastupuje skuten pohybujc se tleso v ppadech, kdy pro popis jeho pohybu nejsou rozhodujc jeho vlastn rozmry. Tento ppad nastv zejmna tehdy, pohybuj-li se vechny sti tlesa stejn rychle a ve stejnm smru. Jako hmotn bod si meme pedstavit i dt, kter sjd po pm skluzavce na dtskm hiti. Pedstava hmotnho bodu vak ji nen vhodn pro otejc se koloto, nebo jeho rzn sti se v danm okamiku pohybuj rzn rychle a v rznch smrech. Hmotn bod je asto uvanm a velmi funknm fyziklnm modelem nejen pi pouhm popisu pohybu tles, ale i v vahch o pinch jeho zmn (kap. 5 a 6). Z tohoto obecnjho pohledu nahrazuje hmotn bod skuten tleso v ppadech, kdy je podstatn jeho celkov hmotnost a nikoli jeho vlastn rozmry, tvar apod. Vstinmi vrazy zastupujcmi pojem hmotn bod jsou stice nebo bodov objekt. Zadn pklad a loh v jednotlivch kapitolch jsou vtinou formulovna nikoli pro abstraktn hmotn body, stice, bodov objekty, ale pro konkrtn tlesa, s nimi se setkvme pi fyziklnch experimentech i pi kadodennm dn (kostky, krabice, bedny, zvata, lid). V kapitolch 1 a 8, v nich se jedn vhradn o posuvn pohyby tles, je vechna povaujeme za hmotn body. S vdomm,

e jsme prv pistoupili na tuto dohodu, se nebudeme zkostliv dret terminologick pesnosti a budeme pouvat jak nzvy konkrtnch objekt, tak termny tleso i objekt.

2.2 POLOHA A POSUNUTPolohu objektu urujeme vdy vzhledem k njakmu vztanmu bodu, nejastji potku souadnicov osy (napklad osa x na obr. 2.1). Za kladn smr osy povaujeme smr rostouc souadnice. Na obr. 2.1 je kladn smr orientovn vpravo. Opan smr nazvme zporn. M-li napklad hmotn bod souadnici x = 5 m, znamen to, e je ve vzdlenosti 5 m od potku, men v kladnm smru. Pokud by ml souadnici x = 5 m, byl by od potku stejn daleko, ale na opan stran. Souadnice 5 m je men ne souadnice 1 m a ta je men ne souadnice +5 m.kladn smr zporn smr 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x

potek

Obr. 2.1 Polohu bodu na ose zadvme ve vyznaench dlkovch jednotkch. Stupnici lze libovoln rozit v obou smrech.

Zmnu polohy objektu z bodu o souadnici x1 do bodu o souadnici x2 nazvme posunutm a zname x. Plat x = x2 x1 . (2.1)

(Podobn jako v p. 1.3 z kap. 1 oznaujeme symbolem zmnu veliiny, denovanou jako rozdl jej koncov a poten hodnoty.) Dosadme-li za x1 a x2 konkrtn sla, pak posunut v kladnm smru (na obr. 2.1 doprava) bude vdy kladn a posunut v opanm smru (na obr. 2.1 doleva) vdy zporn. Pemst-li se stice teba z polohy x1 = 5 m do polohy x2 = 12 m, je x = (12 m) (5 m) = = (+7 m). Kladn hodnota posunut nm k, e se tleso pohnulo v kladnm smru. Vrt-li se tleso zpt do polohy x = 5 m, bude celkov posunut nulov. Pi vpotu posunut nen dleit, kolik metr tleso skuten urazilo. Podstatn je pouze vchoz a koncov poloha. Nen-li v dan loze dleit znamnko (tj. smr) posunut, hovome o velikosti posunut | x|. Ta je vdy nezporn (tj. kladn anebo nula). Posunut je pkladem vektorov veliiny, i kdy zatm jen jednorozmrn. Jako kad vektor je charakterizovno jak velikost, tak smrem. Vektorm je vnovna cel kap. 3. V tuto chvli posta, uvdomme-li si, e posunut

14

KAPITOLA 2

PMOAR POHYB

po pmce m dv charakteristiky: (1) velikost, tj. vzdlenost mezi potenm a koncovm bodem (napklad poet metr) a (2) smr uren souadnicovou osou orientovan od poten ke koncov poloze a vyjden znamnkem plus i minus. Nsleduje prvn z kontrol, jich v tto knize najdete celou adu. Kad obsahuje jednu nebo vce otzek, vyadujcch jednoduchou vahu i vpoet (asto jen z hlavy). Mete si pomoc nich jednodue ovit, zda jste probranou ltku pochopili. Sprvn odpovdi jsou uvedeny na konci knihy. jsou dna nsleduKONTROLA 1: Ti rzn posunutpolohami na ose x. jcmi potenmi a koncovmi (a) 3 m, +5 m; (b) 3 m, 7 m; (c) 7 m, 3 m. Kter z nich jsou zporn?5 0 1

x (m) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 2

x(t) 3 4 t (s)

poloha v ase t = 0 (a)

0 3 (b)

2 4

x (m) as t (s)

Obr. 2.3 (a) Graf asov zvislosti polohy x(t) bcho krlka. (b) Obrzek skuten drhy krlka. Na stupnici pod osou x je vdy uveden okamik, kdy krlk dorazil do vyznaen polohy x.

2.3 PRMRN RYCHLOSTPehlednou informaci o poloze tlesa zskme, zakreslme-li do grafu zvislost jeho polohy x(t) na ase t. Zvlt jednoduchm pkladem je graf na obr. 2.2, pedstavujc zvislost x(t) pro krlka,* kter sed v poloze x = 2 m. Mnohem zajmavj situaci znzoruje graf na obr. 2.3a. V tomto ppad se toti krlk pohyboval. Poprv jsme si jej vimli v poloze x = 5 m v ase t = 0. Pohyboval se smrem k potku soustavy souadnic x = 0, kterm probhl v okamiku t = 3 s a pokraoval v bhu v kladnm smru osy x.x (m) +1 1 0 1 1 2 3 4 t (s)

Na obr. 2.3b je zakreslen pmoar pohyb krlka, jak bychom ho mohli vidt ve skutenosti. Graf na obr. 2.3a je samozejm abstraktn: nic takovho nememe pmo pozorovat. Obsahuje vak bohat informaci o pohybu krlka. Umouje napklad zjistit, jak rychle se pohyboval. Ve skutenosti je s otzkou jak rychle spojeno nkolik rznch fyziklnch veliin. Jednou z nich je tzv. prmrn neboli stedn rychlost vx , kterou denujeme jako podl posunut x v uritm asovm intervalu t a dlky tohoto intervalu: vx = x x2 x1 . = t t2 t1 (2.2)

x(t)

Obr. 2.2 Graf asov zvislosti x(t) polohy krlka sedcho v bod o souadnici x = 2 m. Jeho poloha se s asem nemn.* Krlka povaujeme za hmotn bod.

Oznaujeme* ji vx . V grafu x(t) je prmrn rychlost vx dna smrnic pmky, kter spojuje dva vybran body kivky: polohu x1 v ase t1 (v grafu bod [t1 , x1 ]) a polohu x2 v ase t2 (bod [t2 , x2 ]). Podobn jako posunut m i prmrn rychlost velikost i smr. (Je tedy dalm pkladem vektorov veliiny.) Je-li hodnota vx kladn, pak kivka zleva doprava stoup (funkce x(t) je rostouc). Je-li zporn, pak kivka zleva doprava kles (funkce x(t) je klesajc). Prmrn rychlost vx m vdy stejn znamnko jako posunut, nebo hodnota t ve vztahu (2.2) je vdy kladn.* Pruh nad libovolnou veliinou bude vude v tto knize znamenat jej stedn hodnotu.

2.3 PRMRN RYCHLOST

15

Obr. 2.4 dv nvod, jak urit prmrnou rychlost vx bcho krlka z obr. 2.3 v asovm intervalu od t = 1 s do t = 4 s. Jej hodnotu vx = 6 m/3 s = +2 ms1 jsme vypoetli jako smrnici spojnice dvou bod na kivce grafu: prvn odpovd zatku a druh konci asovho intervalu, bhem kterho jsme krlka sledovali.*x (m) 4 3 2 1 1 0 1 2 3 4 5 t = 4s1s = 3s 1 2 3 4 t (s)

prav a dosazen dostaneme: t = x (10,4 km) = 0,121 h, = vx (86 km/h)

tj. asi 7,3 min. Jako x = 10,4 km jsme oznaili vzdlenost, kterou dodvka ujela do okamiku, kdy dolo palivo. Celkov doba cesty idie (jzda i chze) je tedy t = 0,121 h + 0,450 h = 0,571 h.

vx = smrnice pmky x = t

Nakonec dosadme za vx =

xa

t do rovnice (2.2):

(12,8 km) x = = t (0,571 h) . = 22,4 km/h = 22 km/h.

(Odpov )

x = 2 m (4 m) = 6 m

Obr. 2.4 Vpoet prmrn rychlosti v asovm intervalu od t = 1 s do t = 4 s. Prmrn rychlost je urena jako smrnice pmky spojujc dva body grafu, kter odpovdaj potenmu a koncovmu okamiku danho intervalu.

Prmrnou rychlost vx zjistme jet gracky. Nejprve narsujeme graf funkce x(t) (obr. 2.5). Vchoz bod grafu splv s potkem a koncov bod je oznaen psmenem P . Prmrn rychlost je smrnic pmky spojujc tyto dva body. Z dlek peruovanch ar je zejm, e smrnice m hodnotu vx = 12,8 km/0,57 h = +22 km/h.x erpac 14 stanice 12 msto odstaven 10 dodvky 8 poloha (km) 6 4 2 0 0 t (= 34 min, tj. 0,57 h) 10 20 30 as (min) 40 t

chze

P

PKLAD 2.1 Nkladn dodvka jede po pm silnici stlou rychlost 86 km/h. Po ujet 10,4 km nhle dojde palivo. idi pokrauje pky v pvodnm smru. Po 27 minutch (0,450 h) dojde k erpac stanici, vzdlen od odstaven dodvky 2,4 km. Jak je prmrn rychlost idie od chvle, kdy vyjel s dodvkou z vchozho msta, a do okamiku pchodu k erpac stanici? ete vpotem i gracky. EEN: Pro vpoet prmrn rychlosti vx musme znt celkov posunut x a dobu t. Je vhodn poloit potek souadnicov osy x do msta, odkud automobil vyrazil (tedy x1 = 0) a orientovat osu tak, aby smr jzdy byl kladn. Poloha erpac stanice na takto zvolen ose je x2 = = 10,4 km + 2,4 km = +12,8 km, a tedy x = x2 x1 = = +12,8 km. Dobu jzdy t urme z rovnice (2.2), po jej* V geometrii je smrnice pmky denovna jako tangenta hlu, kter tato pmka svr s njakou vztanou pmkou. Pedstavuje-li vak pmka napklad graf zvislosti x(t) polohy tlesa x na ase t, rozumme smrnic podl prstku souadnice x a odpovdajcho prstku asu t, vetn uven pslunch jednotek. Je-li poloha mena v metrech a as v sekundch, vyjde smrnice v jednotkch ms1 . Tangent hlu mezi pmkou grafu a asovou osou (kter v tomto ppad hraje roli vztan pmky) bude rovna tehdy, zvolme-li na osch t a x stejn dlouh jednotky. Pokud by jedna sekunda na asov ose byla reprezentovna teba sekou o dlce 1 cm, museli bychom na ose poloh zvolit jako 1 m rovn seku o dlce 1 cm.

jzda

x (= 12,8 km)

Obr. 2.5 Pklad 2.1. Pmkov seky s oznaenm jzda a chze pedstavuj grack znzornn asov zvislosti polohy idie dodvky bhem jzdy, resp. bhem chze k erpac stanici. Smrnice pmky spojujc potek soustavy souadnic s bodem P uruje jeho prmrnou rychlost.

PKLAD 2.2 Pedpokldejme, e nvrat k dodvce trv idii 35 min. Mus toti nst ndobu s palivem, a proto jde pomaleji. Jak je prmrn rychlost idie na cel trati od okamiku vjezdu z vchozho msta a po nvrat od erpac stanice? EEN: Stejn jako v pedchozm ppad musme urit celkov posunut x a vydlit je celkovou dobou t. idiova cesta nyn kon nvratem k automobilu. Jej poten bod m opt souadnici x1 = 0, koncov bod je dn polohou odstavenho automobilu x2 = 10,4 km. Dostvme

16

KAPITOLA 2

PMOAR POHYB

x = 10,4 km 0 = 10,4 km. Celkov doba jzdy a chze k erpac stanici a zpt je t= (10,4 km) + (27 min) + (35 min) = (86 km/h) = 0,121 h + 0,450 h + 0,583 h = 1,15 h.

za dobu 1,15 h. Prmrn velikost jeho rychlosti m tedy hodnotu v= (15,2 km) = 13,2 km/h. (1,15 h) (Odpov )

Je tedy vx = (10,4 km) x = = t (1,15 h) . = 9,04 km/h = 9,0 km/h.

RADY A NMTY Bod 2.1: Rozumme dobe zadanmu problmu? Spolenm problmem vech, kte se teprve zanaj zabvat eenm fyziklnch loh, je sprvn pochopit zadn. Zda jsme zadn skuten pochopili, si nejlpe ovme tak, e se je pokusme vyloit nkomu jinmu. Vyzkouejte si to. Kdy teme zadn, zapeme si hodnoty znmch veliin i s jednotkami a ozname je obvyklmi symboly. Rozmyslme si, kterou veliinu mme spotat a rovn ji ozname obvyklm symbolem. V pkladech 2.1 a 2.2 je neznmou veliinou prmrn rychlost, kterou zname vx . Pokusme se najt fyzikln vztahy mezi neznmou veliinou a veliinami zadanmi. V pkladech 2.1 a 2.2 je to denice prmrn rychlosti, zapsan vztahem (2.2). Bod 2.2: Pouvme sprvn jednotky? Vnujme vdy pozornost tomu, abychom do vzorc dosadili vechny veliiny v odpovdajcch jednotkch. V pkladech 2.1 a 2.2 je pirozen potat vzdlenost v kilometrech, as v hodinch a rychlost v kilometrech za hodinu. Nkdy musme ped dosazenm jednotky pevst. Bod 2.3: Je zskan vsledek rozumn? Nad vsledkem se nakonec zamysleme a zvaujme, dv-li smysl. Nen zskan hodnota pli velk nebo naopak pli mal? M sprvn znamnko a jednotky? Sprvn odpov v p. 2.1 je 22 km/h. Kdyby nm vylo teba 0,000 22 km/h, 22 km/h, 22 km/s nebo 22 000 km/h, mli bychom hned poznat, e jsme ve vpotu udlali chybu. Bod 2.4: Umme dobe st z graf? Mli bychom bt schopni dobe rozumt takovm grafm, jak jsou napklad na obr. 2.2, 2.3a, 2.4 a 2.5. U vech vynme na vodorovnou osu as (jeho hodnoty rostou smrem vpravo). Na svisl ose je poloha hmotnho bodu x vzhledem k potku soustavy souadnic. Poloha x roste smrem vzhru. Pozorn si vmejme jednotek, v nich jsou veliiny na osch vyjdeny (sekundy i minuty, metry nebo kilometry), nezapomnejme na znamnka promnnch.

(Odpov )

Prmrn rychlost je v tomto ppad men ne v pkladu 2.1. Je to pochopiteln, celkov posunut je toti men a celkov doba del.

doplnn KONTROLA 2:x Porychlost 80paliva se dodvka vrac zpt do bodu km/h. Jak je prmrn1

rychlost na cel cest? Jinou pedstavu o tom, jak rychle se hmotn bod pohybuje, lze zskat pomoc tzv. prmrn velikosti rychlosti v. Zatmco pro vpoet prmrn rychlosti vx , kter je vektorovou veliinou, je rozhodujc vektor posunut x, je prmrn velikost rychlosti veliinou skalrn a je urena celkovou drhou, kterou hmotn bod uraz nezvisle na smru pohybu.* Je tedy v= celkov drha . celkov doba pohybu (2.3)

Prmrn velikost rychlosti v neobsahuje, na rozdl od prmrn rychlosti vx , informaci o smru pohybu. Je vdy nezporn. V nkterch ppadech me bt v = |vx |, obecn to vak neplat. Vsledek nsledujcho pkladu to jasn dokumentuje.

PKLAD 2.3 Urete prmrnou velikost rychlosti pohybu v pkladu 2.2. EEN: Od potku jzdy a po nvrat zpt k vozu od erpac stanice urazil idi celkovou vzdlenost 10,4 km + 2,4 km + 2,4 km = 15,2 km* Je teba rozliovat velikost vektoru prmrn rychlosti |vx | a prmrnou velikost rychlosti v. Prvn veliinu urme prost jako velikost vektoru denovanho vztahem (2.2) (viz tak kap. 3), druh je vsledkem stedovn velikosti rychlosti nezvisle na jejm smru, napklad z daje rychlomru automobilu.

2.4 OKAMIT RYCHLOSTPoznali jsme ji dv rzn veliiny, kter popisuj, jak rychle se urit tleso nebo stice pohybuje: prmrnou rychlost vx a prmrnou velikost rychlosti v. Ob urme z men provdnch v asovm intervalu t. Otzkou

2.4 OKAMIT RYCHLOST

17

jak rychle? vak mme obvykle na mysli rychlost stice v danm okamiku. Je popsna veliinou vx , zvanou okamit rychlost, nebo jednodue rychlost. Okamitou rychlost zskme z prmrn rychlosti tak, e budeme asov interval (neboli dobu) t, men od okamiku t, zmenovat bez omezen k nule. S poklesem hodnoty t se prmrn rychlost men v intervalu od t do t + t bl jist limitn hodnot, kter pak denuje rychlost v okamiku t: vx = lim dx x = . t dt (2.4)poloha (m)

x 25 20 15 x(t) 10 5 0 0 x = 4 m pro t = 3,0 s A 1 2 B 3 4 t 5 6 as (s) (a) 7 8 9 t D

x = 24 m pro t = 8,0 s

C

x

t 0

Okamit rychlost je dal vektorovou veliinou, se kterou se setkvme. Obsahuje toti informaci i o smru pohybu stice. Uruje, jak rychle se v danm okamiku mn poloha stice s asem. Nzornou geometrickou pedstavu o limitnm pechodu od prmrn k okamit rychlosti meme zskat z obr. 2.4. Budeme-li bez omezen pibliovat bod uren koncovm okamikem uvaovanho asovho intervalu t k bodu potenmu, pejde erven pmka v tenu ke kivce grafu, vedenou potenm bodem. Matematicky je okamit rychlost rovna smrnici teny ke grafu funkce x(t). Velikost okamit rychlosti neboli velikost rychlosti ji postrd informaci o smru pohybu a m vdy nezpornou hodnotu. Rychlosti +5 ms1 a 5 ms1 maj stejnou velikost 5 ms1 . Rychlomr v automobilu m jen velikost rychlosti, protoe nen schopen urit smr pohybu.Anglit studenti jsou na tom lpe. Obecn etina uv slova rychlost ve tech rznch smyslech, pro kter m anglitina ti rzn slova, toti velocity (vektor rychlosti), speed (velikost vektoru rychlosti) a rate (obecn zmna v ase, nap. rychlost hoen). Vechna tato slova jsou v anglitin zcela bn. Ve fyzice uvme slova rychlost pro vektorovou veliinu. Tam, kde by mohlo dojt k nedorozumn, radji uijeme souslov, jako je rychlost o velikosti . Slova rychlost namsto velikost rychlosti lze ut pouze tam, kde je opravdu zarueno, e na smru nezle (vroky typu Rychlost svtla ve vzduchu je vt ne ve vod.) anebo kde je smr jasn dn a neme se mnit (rychlost vlaku).

vx 4 rychlost (m/s) 3 2 1 0 A 0 1 2 3 4 5 6 as (s) (b) B

smrnice pmky x(t) vx (t) C

D 7 8 9

t

smrnice pmky v(t) 3 2 1 0 1 2 3 4 ax zrychlen

zrychlen (m/s2 )

A 1 2

B 3

4

ax (t) 5

6

7

C 8

D 9

t

zpomalen

(c) Obr. 2.6 Pklad 2.4. (a) asov zvislost x(t) polohy kabiny vtahu pohybujc se svisle vzhru po ose x. (b) asov zvislost jej rychlosti vx (t). Vimnte si, e vx (t) je derivac funkce x(t), tj. vx (t) = dx . (c) asov zvislost zrychlen kabiny ax (t) je deridt vac funkce vx (t), tj. ax (t) = dvx . Schematick nkresy postaviek dt v doln sti obrzku naznauj pocity pasara pi urychlovn kabiny.

PKLAD 2.4 Na obr. 2.6a je zakreslena asov zvislost x(t) polohy kabiny vtahu. Kabina nejprve stoj v dolnm pate, pak se zan pohybovat vzhru (kladn smr souadnicov osy) a opt se zastav. Nakreslete zvislost rychlosti kabiny na ase.

EEN: seky grafu obsahujc body A a D odpovdaj situaci, kdy je kabina v klidu. Grafem funkce x(t) v tchto secch jsou pmky rovnobn s asovou osou. Smrnice teen, a tedy i rychlost kabiny, je nulov. V seku mezi body B a C se sklon kivky nemn a souadnice kabiny stle roste. Kabina se pohybuje konstantn rychlost. Smrnici teny

18

KAPITOLA 2

PMOAR POHYB

(tedy rychlost) urme jako podl (24 m 4,0 m) x = vx = = +4,0 ms1 . t (8,0 s 3,0 s) Kladn znamnko ukazuje, e se vtah pohybuje v kladnm smru. Hodnoty rychlosti vx = 0 a vx = 4 ms1 jsou pro pslun asov intervaly vyznaeny v grafu na obr. 2.6b. Pi rozjezdu a optovnm zastaven, tj. v asovch intervalech od 1 s do 3 s a od 8 s do 9 s se rychlost kabiny mn, napklad podle obr. 2.6b. (K diskusi o obr. 2.6c pistoupme a v l. 2.5.) Meme eit i obrcenou lohu, kdy potebujeme ze znalosti funkce vx (t) (graf na obr. 2.6b) urit x(t) (obr. 2.6a). Jej een vak nen jednoznan. Graf funkce vx (t) dv toti informaci pouze o zmnch polohy, nikoli o poloze samotn. Abychom urili zmnu polohy v libovolnm asovm intervalu, vypoteme obsah plochy pod kivkou grafu vx (t) omezenou potenm a koncovm bodem asovho intervalu.* Mezi tet a osmou sekundou se kabina pohybuje dejme tomu konstantn rychlost 4 ms1 . Zmnu jej polohy urme jako obsah plochy pod kivkou vx (t) odpovdajc tomuto asovmu intervalu: Obsah plochy pod kivkou = (4,0)(8,0 3,0) = +20. (Tato hodnota je kladn, protoe pslun st kivky vx (t) le nad asovou osou.) Zskan seln daj opatme sprvnou jednotkou**, v tomto ppad (ms1 ) s = m. Obr. 2.6a potvrzuje, e hodnota souadnice urujc polohu kabiny se v uvaovanm asovm intervalu skuten zvtila o 20 m. Z obr. 2.6b vak nememe poznat, jak byla jej poloha na zatku a konci tohoto intervalu. K tomu bychom potebovali dal daj.

Pro t = 3,5 je vx = 9,2 (6,3)(3,5)2 = 68, vx = 68 ms1 . (Odpov )

V okamiku t = 3,5 s se hmotn bod pohybuje v zpornm smru osy x a m tedy rychlost 68 ms1 (o smru pohybu vypovd zporn znamnko). Na prav stran vztahu (2.6) vystupuje as a rychlost vx se tedy s asem mn.

Nsledujc tyi vztahy pedstavuj KONTROLA 3: zvislosti polohy stice na ase. V kamon ppady dm z nich je poloha x zadvna v metrech, as t v sekundch a vdy plat t > 0. (1) x = 3t 2, (2) x = 4t 2 2, (3) x = 2/t 2 , (4) x = 2. (a) Ve kterch z uvedench ppad je rychlost vx stice konstantn? (b) Kdy je zporn? (c) Kdy se pohyb stice zpomaluje?

RADY A NMTY Bod 2.5: Derivace a sklon kivky Derivace funkce je urena sklonem kivky (grafu funkce) v danm bod. Pesnji vyjdeno je derivace rovna smrnici teny ke kivce v tomto bod. Ukzkou me bt pklad 2.4: Okamit rychlost vtahu v libovolnm okamiku (vypoten jako derivace funkce x(t) podle (2.4)) je rovna smrnici teny ke kivce na obr. 2.6a sestrojen v odpovdajcm bod. Ukeme si, jak je mon urit derivaci funkce gracky. Na obr. 2.7 je graf funkce x(t) pro pohybujc se hmotn bod. Pi grackm uren jeho rychlosti v okamiku t = 1 s budeme postupovat takto: Nejprve na kivce ozname bod, kter tomuto asu odpovd. V tomto bod narsujeme tenu ke kivce grafu. Pracujeme co nejpelivji. Dle sestrojme pravohl trojhelnk ABC, jeho odvsny jsou rovnobn se souadnicovmi osami. Jeho konkrtn volba je libovoln, nebo pepony vech takovch trojhelnk maj stejn sklon. Zvolme tedy trojhelnk co nejvt, abychom smrnici zmili co nejpesnji. Pomoc mtek na souadnicovch osch urme x a t. Smrnice teny ke kivce je dna podlem x/ t. Z obr. 2.7 dostaneme smrnice teny = (5,5 m 2,3 m) x = = t (1,8 s 0,3 s) 3,2 m = +2,1 ms1 . = 1,5 s

PKLAD 2.5 Hmotn bod se pohybuje po ose x a jeho poloha je v zvislosti na ase urena vztahem x = 7,8 + 9,2t 2,1t 3 . (2.5)

Jak je jeho rychlost v okamiku t = 3,5 s? Je jeho rychlost stl, nebo se spojit mn? EEN: Zadn pro jednoduchost neobsahuje jednotky. Meme si je vak k selnm koecientm doplnit takto: 7,8 m, 9,2 ms1 , 2,1 ms3 . Rychlost urme pomoc rovnice (2.4), kde za x na prav stran dosadme zvislost (2.5): d dx = (7,8 + 9,2t 2,1t 3 ). vx = dt dt Dostaneme tak vx = 0 + 9,2 (3)(2,1)t 2 = 9,2 6,3t 2 .* Tento postup zdvodnme v lnku 2.7. ** Jej rozmr je uren souinem veliin na osch grafu.

(2.6)

Podle rovnice (2.4) je tato smrnice rovna rychlosti stice v okamiku t = 1 s. Kdybychom zmnili mtko na nkter souadnicov ose, zmnil by se sice jak tvar kivky, tak velikost hlu , ale rychlost uren popsanm zpsobem

2.5 ZRYCHLEN

19

by byla stejn. Znme-li matematick vyjden funkce x(t) (pklad 2.5), je vhodnj stanovit rychlost stice pmo, vpotem jej derivace. Grack metoda je pouze piblin.x C 5 4 poloha (m) 3 A 2 1 0 t B t (= 1,5 s)

x (= 3,2 m)

0

1 as (s)

2

Obr. 2.7 Derivace kivky v libovolnm bod je smrnic teny v tomto bod. Smrnice teny (a tedy i okamit rychlost dx/dt) v ase t = 1,0 s je x/ t = +2,1 m/s.

2.5 ZRYCHLENJestlie se vektor rychlosti stice mn, kme, e se stice pohybuje se zrychlenm. Prmrn zrychlen ax v asovm intervalu t je denovno podlem ax = v2x v1x vx = . t t2 t1 (2.7)

Okamit zrychlen (nebo prost jen zrychlen) je ureno derivac rychlosti: ax = dvx . dt (2.8)

vektorovou veliinou. Pi pohybu podl osy x sta k uren smru zrychlen zadat pouze pslun znamnko, podobn jako u posunut a rychlosti. Na obr. 2.6c je graf asov zvislosti zrychlen vtahov kabiny z pkladu 2.4. Porovnejme grafy ax (t) a vx (t): kad bod grafu ax (t) je uren derivac (tj. smrnic teny) grafu vx (t) v odpovdajcm bod. Je-li rychlost vx konstantn (bu 0 ms1 nebo 4 ms1 ), je jej derivace nulov. Zrychlen kabiny je rovn nulov. Pi rozjezdu kabiny je derivace rychlosti kladn, kladn je tedy i zrychlen ax (t). Pi zpomalovn m rychlost zpornou derivaci a zrychlen je zporn. Porovnejme nyn sklon dvou pmch sek grafu vx (t), kter odpovdaj rozjezdu a brzdn vtahu. Sklon kivky odpovdajc brzdn je strmj ne sklon pi rozjezdu. Brzdn toti trvalo jen polovinu doby potebn k rozjezdu. Velikost zrychlen vtahu pi brzdn byla vt ne pi rozjezdu, co je zejm i z obr. 2.6c. Jzda vtahem je doprovzena nepjemnmi pocity, jak vmluvn napovdaj schematick kresby postaviek v doln sti obr. 2.6. Pi rozjezdu kabiny jsme jakoby tlaeni smrem dol, pi zastavovn naopak nadlehovni. V mezidob nic zvltnho nepoci ujeme. Svmi smysly meme vnmat zrychlen, nikoli rychlost. Jedeme-li autem rychlost 90 km/h nebo letme letadlem rychlost 900 km/h, nae tlo si pohyb vbec neuvdomuje. Pokud by vak nhle auto i letadlo zaalo mnit svou rychlost, poci ujeme tuto zmnu velmi intenzivn a nepjemn. Siln vzruen, kter zavme pi jzd na horsk drze v lunaparku, je sten zpsobeno prv prudkmi zmnami rychlosti pohybu naeho tla. Ukzka reakce lidskho tla na velk zrychlen je na fotograch obr. 2.8, kter byly pozeny pi prudkm urychlen a nslednm brzdn raketovch san. Velk zrychlen nkdy vyjadujeme v tzv. jednotkch g, kde . 1g = 9,806 65 ms2 = . = 9,8 ms2 (jednotka g).

te

na

(2.10)

Podle vztahu (2.8) je zrychlen v danm okamiku rovno smrnici teny ke kivce vx (t) v bod urenm tmto okamikem. Spojenm rovnic (2.8) a (2.4) dostaneme ax = d dvx = dt dt dx dt = d2 x . dt 2 (2.9)

Zrychlen hmotnho bodu je tedy v kadm okamiku dno druhou derivac polohy x(t) podle asu. Nejuvanj jednotkou zrychlen je ms2 . V pkladech a cviench se meme setkat i s jinmi jednotkami, vechny vak budou mt tvar dlkaas2 . Zrychlen m velikost i smr, je tedy dal

Tato hodnota byla pijata jako normln thov zrychlen na 2. generln konferenci pro vhy a mry v r. 1901. Odpovd severn zempisn ce 45 na rovni mosk hladiny. (V l. 2.8 se dovme, e g je velikost zrychlen tlesa voln padajcho v blzkosti zemskho povrchu.) Pi jzd na horsk drze dosahuje velikost zrychlen krtkodob hodnoty . a 3g, tj. 3 9,8 ms2 = 30 ms2 .

20

KAPITOLA 2

PMOAR POHYB

Obr. 2.8 Plukovnk J. P. Stapp v raketovch sanch pi urychlovn na vysokou rychlost (zrychlen smuje ke teni) a pi brzdn (zrychlen smuje od tene).

PKLAD 2.6 (a) Kitty ONeilov vytvoila rekord v zvodech dragster, kdy doshla nejvt rychlosti 628,85 km/h v nejkratm ase 3,72 s. Jak bylo prmrn zrychlen jejho automobilu? EEN: Prmrn zrychlen je dno vztahem (2.7): ax = (628,85 km/h 0) vx = = t (3,72 s 0) 174,68 ms1 . = 47 ms2 = = 3,72 s . (Odpov ) = 4,8g.

RADY A NMTY Bod 2.6: Znamnko zrychlen Vra me se k pkladu 2.6 a vimnme si znamnka vypotenho zrychlen. Ve vtin bnch situac mv znamnko zrychlen nsledujc vznam: tleso m kladn zrychlen, jestlie se jeho rychlost zvyuje, zporn zrychlen odpovd klesajc rychlosti (tleso brzd). Tento vklad vak nememe pijmout bezmylenkovit v kad situaci. M-li napklad automobil rychlost vx = 27 ms1 (= 97 km/h) a zcela zastav za 5 s, je jeho prmrn zrychlen pi brzdn ax = +5,4 ms2 . Toto zrychlen je kladn, i kdy se pohyb vozu zpomaloval. Rozhodujc je, e zrychlen m opan znamnko ne poten rychlost. Sprvn interpretace znamnka zrychlen je nsledujc: M-li zrychlen stice stejn znamnko jako okamit rychlost, roste velikost jej rychlosti a jej pohyb se zrychluje. M-li zrychlen opan znamnko ne okamit rychlost, kles velikost rychlosti stice a jej pohyb se zpomaluje. Tato interpretace zsk nleit vznam v kap. 4, kde se budeme podrobnji vnovat vektorov povaze rychlosti a zrychlen.

(Pedpokldali jsme, e zrychlen m smr kladn osy x.) (b) Jak bylo prmrn zrychlen san pi jzd Eliho Beedinga ml., kter doshl rychlosti 116 km/h za 0,04 s? EEN: Opt pouijeme vztahu (2.7): ax = (116 km/h 0) vx = = t (0,04 s 0) 32,22 ms1 . = 806 ms2 = 80g. = 0,04 s

(Odpov )

Nyn se meme vrtit k otzce, kterou jsme si poloili v vodu kapitoly, kde jsme se o obou rekordnch vkonech poprv zmnili: Jak rozhodneme, kter jzda mohla pinst jezdci vt vzruen? Mme porovnvat vslednou rychlost, dobu jzdy nebo njakou jinou veliinu? Odpov ji znme: protoe lidsk tlo vnm zrychlen a ne rychlost, mli bychom porovnvat prv zrychlen. V tomto srovnn vtz ska Beeding, i kdy jeho vsledn rychlost byla mnohem men ne rychlost automobilistky ONeilov. Zrychlen, ktermu byl Beeding vystaven, by bylo smrteln, kdyby trvalo del dobu.

znamnko m KONTROLA 4: Pes b podl osy x. Jakkladnm smru jeho zrychlen, pohybuje-li se pes (a) v osy x a velikost jeho rychlosti roste, (b) v kladnm smru osy x a velikost jeho rychlosti kles, (c) v zpornm smru osy x s rostouc velikost rychlosti a (d) v zpornm smru osy x s klesajc velikost rychlosti?

2.6 ROVNOMRN ZRYCHLEN POHYB: SPECILN PPAD

21

PKLAD 2.7 Poloha stice pohybujc se podl osy x (obr. 2.1) zvis na ase takto: x = 4 27t + t 3 . seln koecienty jsou vyjdeny v metrech, metrech za sekundu a v metrech za sekundu na tet. (a) Urete vx (t) a ax (t). EEN: Rychlost vx (t) urme jako derivaci polohy x(t) podle asu: vx = 27 + 3t 2 . ax = 6t. (Odpov ) (Odpov ) Zrychlen ax (t) je asovou derivac rychlosti vx (t):

2.6 ROVNOMRN ZRYCHLEN POHYB: SPECILN PPADVelmi asto se setkvme s pohyby, jejich rychlost se (alespo piblin) mn tak, e zrychlen je konstantn. Nazvme je rovnomrn zrychlen. Pkladem me bt automobil, kter se na kiovatce rozjd na zelenou. (Grafy asov zvislosti polohy, rychlosti a zrychlen, odpovdajc takov situaci, jsou schematicky zakresleny na obr. 2.9.) Stejn tak me bt zrychlen automobilu konstantn i pi brzdn.x x(t) poloha

(b) Je v nkterm okamiku rychlost stice nulov? EEN: Polome-li vx (t) = 0, dostaneme rovnici 0 = 27 + 3t 2 , jej een je t = 3 s. (Odpov ) (c) Popite pohyb stice pro t 0. EEN: Provedeme rozbor zvislost x(t), vx (t) a ax (t). V ase t = 0 je stice v bod o souadnici x = +4 m a pohybuje se doleva rychlost 27 ms1 . Jej zrychlen je nulov. V asovm intervalu 0 s < t < 3 s se stice stle pohybuje doleva, jej pohyb se vak zpomaluje. Jej zrychlen je toti kladn a smuje tedy doprava. Toto tvrzen ovme tak, e do vztah pro vx (t) a ax (t) zkusmo dosadme nkter okamik lec v uvedenm asovm intervalu (prove te nap. pro t = 2 s). Zrychlen stice s asem roste, jej pohyb smrem vlevo je m dl pomalej. V okamiku t = 3 s m stice nulovou rychlost (vx = = 0). Prv doshla nejvzdlenjho bodu lecho vlevo od potku (x = 50 m). Zrychlen zstv kladn a jeho velikost neustle roste. Pro t > 3 s narst kladn zrychlen. Rychlost, kter nyn smuje doprava, velmi prudce roste. (Vimnme si, e nyn m zrychlen stejn znamnko jako rychlost.) stice neustle pokrauje v pohybu smrem doprava.

x0 O

smrnice = vx (t) (mn se v ase) t (a)

v vx (t)

Obr. 2.9 (a) asov zvislost polohy x(t) stice pohybujc se rovnomrn zrychlen. (b) asov zvislost jej rychlosti vx (t) je v kadm bod urena smrnic kivky x(t) na obrzku (a). (c) Zrychlen stice ax (t) je stl a je dno (konstantn) smrnic grafu vx (t).

rychlost

smrnice = ax (je konstantn) O (b) a t

v0x

zrychlen

ax (t) smrnice = 0 O (c) t

Podobn ppady jsou tak ast, e je vhodn mt pro jejich popis zvltn rovnice. Se dvma monmi zpsoby jejich odvozen se postupn seznmme v tomto a nsledujcm lnku.

22

KAPITOLA 2

PMOAR POHYB

Pi studiu obou lnk i pi een loh a cvien je teba mt neustle na pamti, e tyto rovnice plat jen pro ppad konstantnho zrychlen (nebo zrychlen, kter lze v dobrm piblen za konstantn povaovat). Pi rovnomrn zrychlenm pohybu je okamit zrychlen shodn se zrychlenm prmrnm. S malou zmnou oznaen tak meme rovnici (2.7) pepsat do tvaru ax = vx v0x . t 0

Symbolem v0x je oznaena rychlost v okamiku t = 0 (poten rychlost), a vx je rychlost v libovolnm pozdjm ase t. Rovnici meme jet upravit takto: vx = v0x + ax t. (2.11)

Vimnme si, e pro t = 0 vede tento vztah k oekvan rovnosti vx = v0x . Derivovnm rovnice (2.11) podle asu dostaneme dvx /dt = ax , v souhlasu s deninm vztahem pro zrychlen ax . Tmito jednoduchmi kontrolnmi vpoty jsme ovili sprvnost odvozen rovnice. Na obr.2.9b je graf funkce vx (t) dan rovnic (2.11). Obdobn lze pepsat rovnici (2.2): vx = a odtud x = x0 + vx t. (2.12) x0 je poloha stice v okamiku t = 0 (poten poloha), vx je prmrn rychlost v asovm intervalu od t = 0 a do obecnho okamiku t. Snadno zjistme, e grafem funkce vx (t) dan vztahem (2.11) je pmka. Prmrn rychlost v libovolnm asovm intervalu (a tedy i v intervalu od t = 0 po obecn okamik t) je v tomto ppad urena aritmetickm prmrem poten a koncov rychlosti (v0x a vx ). Meme ji tedy zapsat ve tvaru vx = 1 (v0x + vx ). 2 (2.13) x x0 t 0

Pro kontrolu meme dosadit t = 0 a dostvme oekvan vsledek x = x0 . Derivac vztahu (2.15) podle asu zskme, opt podle oekvn, vztah (2.11). Graf funkce x(t) dan vztahem (2.15) je na obr. 2.9a. Uvdomme si, e funkn pedpis (2.15) pro x(t) obsahuje veker dostupn informace o rovnomrn zrychlenm pmoarm pohybu. Je-li zadno zrychlen ax (stl v prbhu celho dje) a hodnoty x0 a v0x , urujc poten stav stice, je mon urit v libovolnm okamiku t (1) jej polohu x z rovnice (2.15), (2) jej rychlost vx z rovnice (2.11). Vztah (2.15) lze z (2.11) jednodue zskat integrac, a obrcen vztah (2.11) vznikne z (2.15) derivovnm. Pi een nkterch loh sloucch k procvien problematiky rovnomrn zrychlenho pohybu je vak vhodnj jin pohled na vztahy (2.11) a (2.15). asto se objevuj zadn, kter nesmuj k jejich vyuit jako pedpis pro funkce, ale tkaj se jednotlivho okamiku. V takovch ppadech pak bv vhodn hledt na tyto vztahy jako na soustavu dvou rovnic, obsahujcch est veliin t, x, x0 , vx , v0x a ax . tyi z nich mus bt zadny, abychom dv zbvajc mohli urit eenm soustavy. Tab. 2.1 shrnuje krom rovnic (2.11) a (2.15) dal ti rovnice, kter lze zskat jejich pravou. Spolenm rysem vech pti rovnic je neptomnost nkter z veliin t, x x0 , vx , v0x a ax . Soupis me bt snad uiten tm, kte neradi provdj algebraick pravy a daj pednost pmmu dosazen zadanch selnch hodnot do rovnice, kterou vhodn vyberou podle typu zadn. Tabulka 2.1 Rovnice pro rovnomrn zrychlen pohyb SLOROVNICE

CHYBJC ROVNICEvx x x0 2 vx x x0 x x0 = v0x + ax t = v0x t + 1 ax t 2 2 2 = v0x + 2ax (x x0 ) = 1 (v0x + vx )t 2 = vx t 1 ax t 2 2VELIINA

(2.11) (2.15) (2.16) (2.17) (2.18)

x x0 vx t ax v0x

Dosadme-li za vx pravou stranu rovnice (2.11), zskme po malch pravch vztah vx = v0x + 1 ax t. 2 Po dosazen z (2.14) do (2.12) nakonec dostaneme x x0 = v0x t + 1 ax t 2 . 2 (2.15) (2.14)

Ped pouitm tabulky se ujistme, e se loha opravdu tk rovnomrn zrychlenho pohybu. Vzpomeme si, e funkce (2.11) je derivac funkce (2.15). Zbvajc ti rovnice vznikly algebraickou pravou spovajc ve vylouen nkter z vyjmenovanch veliin z rovnic (2.11) a (2.15).

Nsledujc tyi popisuj KONTROLA 5: polohy hmotnhofunkce x(t): (1) asovou zvislost bodu x =

= 3t 4; (2) x = 5t 3 + 4t 2 + 6; (3) x = 2/t 2 4/t; (4) x = 5t 2 3. Ve kterm z tchto ppad meme pout rovnice z tab. 2.1?

2.7 ROVNOMRN ZRYCHLEN POHYB: JIN PSTUP

23

PKLAD 2.8 idi spat policejn vz a zane brzdit. Na drze 88 m zpomal z rychlosti 75 km/h na 45 km/h. (a) Urete zrychlen automobilu za pedpokladu, e bylo bhem brzdn konstantn. EEN: Veliiny v0x , vx a x x0 jsou zadny, potebujeme urit ax . as se v zadn lohy neobjevuje. Z tab. 2.1 proto vybereme rovnici (2.16) a vypoteme z n neznm zrychlen ax .2 v 2 v0x (45 km/h)2 (75 km/h)2 = = ax = x 2(x x0 ) 2(0,088 km) . = 2,05104 km/h2 = 1,6 ms2 . (Odpov )

EEN: V loze nevystupuje poten rychlost. Pouijeme proto rovnici (2.18). Dosadme vx = 0 (v okamiku t automobil zastavil) a rovnici eme vzhledem k neznm t: t= 2(x x0 ) ax = 16 s.1/2

=

2(200 m) 1,6 ms2

1/2

= (Odpov )

RADY A NMTY Bod 2.7: Rozmrov zkouka Jednotkou rychlosti je ms1 , jednotkou zrychlen ms2 apod. Stat i odtat meme jen ty leny, kter maj stejnou jednotku (stejn fyzikln rozmr). Pokud se chceme ujistit, e jsme pi odvozovn rovnice neudlali chybu, provedeme tzv. rozmrovou zkouku, tj. zkontrolujeme fyzikln rozmry vech len v rovnici. Napklad na prav stran rovnice (2.15) (x x0 = = v0x t + 1 ax t 2 ) mus mt kad len rozmr dlky, ve shod 2 s rozmrem posunut na lev stran. len v0x t m jednotku (ms1 )(s) = m a len 1 ax t 2 jednotku (ms2 ) (s2 ) = m. 2 Oba leny tedy maj sprvn rozmr a rovnice je podle rozmrov zkouky v podku. seln konstanty, jako napklad 1 2 nebo , jsou bezrozmrov (maj rozmr 1).

(V poslednm kroku vpotu je teba vnovat pozornost pevodu jednotky h2 na s2 .) Vimnme si, e rychlosti jsou kladn a zrychlen zporn. Pohyb automobilu se opravdu zpomaluje. (b) Jak dlouho idi v tto fzi pohybu brzdil? EEN: Nyn je neznmou veliinou as a zrychlen se naopak v zadn nevyskytuje. Z tab. 2.1 volme rovnici (2.17) a eme ji vzhledem k neznm t: t= 2(x x0 ) 2(0,088 km) = = v0x + vx (75 + 45) km/h (Odpov )

= 1,5103 h = 5,4 s.

(c) idi dle brzd se zrychlenm urenm v sti (a). Za jak dlouho od zatku brzdn se automobil zcela zastav? EEN: Pi een tto sti lohy nepotebujeme uvaovat o posunut x x0 . Pouijeme tedy rovnici (2.11) a vyjdme t: t= vx v0x 0 (75 km/h) = = ax (2,05104 km/h2 ) (Odpov )

2.7 ROVNOMRN ZRYCHLEN POHYB: JIN PSTUPlnek je uren tenm obeznmenm se zklady integrlnho potu.

= 3,7103 h = 13 s.

(d) Jakou drhu uraz vz od potku brzdn do plnho zastaven? EEN: Hledan drha je pmo rovna posunut. Uijeme rovnici (2.15): x x0 = v0x t + 1 ax t 2 = 2 = (75 km/h)(3,7103 h) +1 + 2 (2,05104 kmh2 )(3,7103 h)2 = . = 0,137 km = 140 m. (Odpov )

V pedchozm lnku jsme odvodili vztahy (2.11) a (2.15) na zklad skutenosti, e pi rovnomrn zrychlenm pohybu splv prmrn zrychlen stice v libovolnm asovm intervalu s jejm okamitm zrychlenm v libovolnm okamiku. Pesvdili jsme se, e vztah (2.15) obsahuje plnou informaci o prbhu rovnomrn zrychlenho pohybu, jsou-li zadny hodnoty x0 , v0x a ax . Vztah (2.11) je jeho derivac. Zvislosti (2.11) a (2.15) lze odvodit i jinm zpsobem, jeho pednost je monost zobecnn i na ppady pohybu s libovolnm zrychlenm, zvislm na ase. Postup spov v integraci zrychlen ax , kter je pi rovnomrn zrychlenm pohybu konstantn. Podle deninho vztahu (2.8) plat ax = tj. dvx = ax dt. dvx , dt

(Je teba dbt na to, abychom zrychlen ax dosazovali se sprvnm znamnkem!) (e) Pi dal jzd idi opt potebuje zastavit. Zpomaluje se stejnm zrychlenm jako v sti (a), poten rychlost je vak nyn takov, e automobil zcela zastav na drze 200 m. Jak dlouho trv brzdn?

24

KAPITOLA 2

PMOAR POHYB

Integrac obou stran rovnice dostvme dvx = ax dt.

2.8 SVISL VRHPedstavme si nsledujc pokus: V blzkosti povrchu Zem vrhme njak tleso svisle vzhru nebo dol (svisl smr udv nap. voln visc olovnice) a njak pi tom zajistme, aby se neuplatnil vliv odporu prosted. Zjistme, e se tleso s velkou pesnost pohybuje se stlm zrychlenm, smujcm svisle dol. Nazvme je thov zrychlen a zname psmenem g. Z experimentu vme, e thov zrychlen nezvis na vlastnostech tlesa (hmotnosti, hustot, tvaru, ) a je pro vechna tlesa stejn. Zvltnm ppadem svislho vrhu je voln pd, pi kterm tleso prost upustme. Vypoutme ho tedy s nulovou poten rychlost. Na obr. 2.10 vidme fotograck zznam soubnho volnho pdu dvou rznch tles, prka a jablka, ve vakuu. (Fotograe byly pozeny v rznch okamicch s vyuitm stroboskopickho efektu.) Pi pdu obou tles se jejich rychlost zvyuje se stejnm zrychlenm g.

Zrychlen je konstantn, take je meme vytknout ped integrl a peme dvx = ax tj. vx = ax t + C. (2.19) Integran konstantu C urme z poten podmnky pro rychlost stice: v okamiku t = 0 je rychlost vx = v0x . Dosadme tyto hodnoty do vztahu (2.19), kter plat pro libovoln okamik, a tedy i pro t = 0. Dostaneme v0x = ax 0 + C = C. Zjitnou hodnotu konstanty C dosadme do (2.19) a zskvme asovou zvislost rychlosti (2.11). Stejnm postupem odvodme zvislost (2.15). Z denice rychlosti (2.4) pmo plyne dx = vx dt. Integrac lev i prav strany dostaneme dx = vx dt. dt,

Z pedchozch vsledk vme, e rychlost vx zvis na ase podle (2.11). Nememe ji tedy vytknout ped integrl a pesn zopakovat postup pouit pi integraci zrychlen. Msto vx vak dosadme do integrlu funkci (2.11): dx = (v0x + ax t) dt.

Poten rychlost v0x je konstantn, take integrl na prav stran meme rozepsat do tvaru dx = v0x dt + ax t dt.Obr. 2.10 Prko a jablko se pi volnm pdu ve vakuu pohybuj se stejnm zrychlenm g. Nasvduje tomu rostouc vzdlenost po sob nsledujcch fotograckch obraz objekt, kter byly zaznamenny v rovnomrn rozloench okamicch.

Integrace obou stran rovnice vede k vsledku x = v0x t + 1 ax t 2 + C , 2 (2.20)

kde C je dal integran konstanta. Urme ji opt z poten podmnky, tentokrt pro polohu stice: v ase t = 0 je x = x0 . Dosazenm do (2.20) zjistme, e hodnota konstanty C je C = x0 . Vztah (2.20) tak pejde na tvar (2.15).

Thov zrychlen se mrn mn se zempisnou kou a nadmoskou vkou. Pi hladin moe ve stednch zempisnch kch m hodnotu zhruba 9,8 ms2 , viz vztah (2.10) a text za nm. Budeme jej pouvat v pkladech a cviench.

2.8 SVISL VRH

25

Rovnice popisujc rovnomrn zrychlen pohyb uveden v tab. 2.1 plat i pro svisl vrh v blzkosti* zemskho povrchu. Meme je tedy pi een loh o svislm vrhu tles pouvat, pokud je odpor vzduchu zanedbateln. Tab. 2.1 pizpsobme nov situaci provedenm dvou drobnch zmn: (1) Se svislm smrem, v nm se nyn odehrv pohyb tlesa, spojme souadnicovou osu y tak, aby smovala vzhru. (Osa x bv astji vyhrazena pro popis pohybu ve vodorovnm smru.) Pro rychlost budeme pouvat oznaen vy a pro zrychlen ay . Tato zmna usnadn i pozdj popis sloitjch pohyb v rovin nebo v prostoru. (2) Thov zrychlen je pi zvolen orientaci osy y zporn, a tak meme ve vech rovnicch zamnit ay za g. Po proveden popsanch prav zskme obmnu tabulky 2.1 pro svisl vrh. Mjme na pamti: Pi zvolen orientaci osy y je thov zrychlen svislho vrhu ay = g = 9,8 ms2 . Jeho velikost je vak g = 9,8 ms2 . Do rovnic (2.21) a (2.25) dosazujeme kladnou hodnotu g. Dejme tomu, e vyhodme jablko svisle vzhru poten rychlost v0y a ped dopadem je opt chytme. Voln let jablka (od vyhozen po zachycen) se d rovnicemi v tab. 2.2. Zrychlen je konstantn a smuje dol, tj. ay = g = 9,8 ms2 . Rychlost se bhem letu mn podle vztah (2.21) a (2.23). Pi stoupn jablka velikost (kladn) rychlosti kles a k nule. V okamiku zastaven je jablko ve sv nejvy poloze. Pi pdu velikost (zporn) rychlosti roste. Tabulka 2.2 Rovnice pro svisl vrh SLOROVNICE

PKLAD 2.9 Oprav upustil kl do vtahov achty vysokho domu. (a) Jak bude poloha kle za 1,5 s? EEN: Ze zadn je znma doba t, velikost zrychlen g a poten rychlost v0y , o kter meme pedpokldat, e byla nulov. Chceme urit posunut, chybjc veliinou je tedy rychlost vy , kter nen zadna a jej zjitn se v zadn nepoaduje. Tto situaci odpovd rovnice (2.22) z tab. 2.2. Potek souadnicov osy y zvolme v mst, kde oprav kl upustil. Do rovnice (2.22) pmo dosadme y0 = 0, v0y = 0 a t = 1,5 s. Dostaneme . y = 0(1,5 s) 1 (9,8 ms2 )(1,5 s)2 = 2 . (Odpov ) = 11 m. Zporn znamnko vsledku odpovd oekvan skutenosti, e se kl po 1,5 s pdu nachz pod rovn msta, kde opravi vypadl. (b) Jak je rychlost kle v okamiku 1,5 s? EEN: Rychlost je dna rovnic (2.21) . vy = v0y gt = 0 (9,8 ms2 )(1,5 s) = . (Odpov ) = 15 ms1 . Zporn znamnko ukazuje, e rychlost kle smuje dol. Tento vsledek opt nen pekvapiv. V obr. 2.11 jsou shrnuty zkladn daje o letu kle a do okamiku t = 4 s.t (s) y vy ay

(m) (m/s) (m/s2 ) 0 0 9,8

CHYBJC ROVNICEvy = v0y gt y y0 = v0y t 1 gt 2 2 2 2 vy = v0y 2g(y y0 ) y y0 = 1 (v0y + vy )t 2 y y0 = vy t + 1 gt 2 2VELIINA

0

0 1

(2.21) (2.22) (2.23) (2.24) (2.25)

y y0 vy t g v0y

4,9 9,8 9,8

2

19,6 19,6 9,8

3

44,1 29,4 9,8

* Pro ty nejpelivj tene: do vek h zanedbateln malch proti zemskmu polomru, tedy h 6103 km.

4

78,4 39,2 9,8

Obr. 2.11 Pklad 2.9. Poloha, rychlost a zrychlen voln padajcho tlesa.

26

KAPITOLA 2

PMOAR POHYB

PKLAD 2.10 V roce 1939 se Joe Sprinz z baseballovho klubu v San Francisku pokusil pekonat rekord v chytn baseballovho me padajcho z co nejvt vky. Rok pedtm doshli hri klubu Cleveland Indians rekordnho vkonu, kdy chytili baseballov m po jeho pdu z vky 210 m. Sprinz se pokusil zachytit mek padajc z letadlka letcho piblin ve vce 240 m. Budeme pedpokldat, e mek padal pesn z vky 240 m a zanedbme vliv odporu prosted. (a) Urete dobu letu mku. EEN: Zvolme potek svisl osy y v mst, kde byl mek vyputn a orientujme ji smrem vzhru. Poten poloha je y0 = 0, poten rychlost v0y = 0. V zadn lohy nevystupuje veliina vy , pouijeme proto rovnici (2.22): y y0 = v0y t 1 gt 2 , 2 4,9t 2 = 240, t = 7 s. (Odpov )

m V nejvym bod je vy = 0.

y

240 m = 0t 1 (9,8 ms2 )t 2 , 2

Obr. 2.12 Pklad 2.11. Hr vrh m svisle vzhru. Rovnice pro svisl vrh plat jak pro vzestup me, tak pro jeho pd za pedpokladu, e vliv odporu vzduchu lze zanedbat.

Pi vzestupu je ay = g, velikost rychlosti kles a (kladn) hodnota rychlosti se zmenuje.

Pi pdu je ay = g, velikost (zporn) rychlosti roste.

y =0

Pi vpotu druh odmocniny musme vsledku piadit kladn nebo zporn znamnko. Vybrali jsme kladn znamnko, protoe m dopadl pot, co byl vyputn. (b) Jak byla rychlost me tsn nad zem? EEN: Pro vpoet rychlosti pmo ze zadanch daj (nikoliv z vsledku pkladu (a)) pouijeme rovnici (2.23):2 2 vy = v0y 2g(y y0 ) =

EEN: V nejvym bod letu je rychlost me nulov. Z rovnice (2.21) dostaneme t= (12 ms1 ) 0 v0y vy = = g (9,8 ms2 ) = 1,2 s. (Odpov )

(b) Jak je maximln vka letu? = 0 2(9,8 ms )(240 m) = = 4,7103 m2 s2 , . vy = 69 ms1 (= 250 km/h). (Odpov )2

EEN: Potek osy y polome do msta vyhozen me. Do rovnice (2.23) dosadme y0 = 0 a vyjdme z n y: y=2 2 v0y vy

Znamnko vsledku je nyn zporn, nebo mek let smrem dol, v zpornm smru osy y. V popisovanm skutenm ppad nebyl samozejm vliv odporu prosted zanedbateln. Kdybychom jej zapotali, zjistili bychom, e let mku trval dle a vsledn rychlost byla men, ne jsme vypoetli pro ideln situaci. I tak vak byla rychlost mku pi dopadu znan. Kdy jej toti Sprinz pi ptm pokusu konen zachytil do rukavice, byl nraz tak obrovsk, e ho ruka s rukavic udeila do tve, zlomila mu horn elist na dvancti mstech a vyrazila pt zub. Sprinz upadl do bezvdom.

2g = 7,3 m.

=

(12 ms1 )2 (0)2 = 2(9,8 ms2 ) (Odpov )

V tto sti lohy jsme tak mohli s vhodou pout vsledku (a) a maximln vku urit z rovnice (2.25). Ovte si to! (c) Za jak dlouho po vyhozen doshne m vky 5 m? EEN: Pouijeme rovnici (2.22), kter obsahuje pouze zadan veliiny a neznm as. Dosazenm y0 = 0 dostaneme y = v0y t 1 gt 2 , 2 a tedy 5,0 m = (12 ms1 )t 1 (9,8 ms2 )t 2 . 2

PKLAD 2.11 Nadhazova vyhod baseballov m svisle vzhru rychlost 12 ms1 (obr. 2.12). (a) Z