Hodnocení přesnosti měření a vytyčování

Hodnocení přesnosti měření a vytyčování

Ing. Rudolf Urban, Ph.D.

2013

Přednáška z předmětu SGE – letní semestr

O měřeních a chybách obecně

Opakuje-li se měření téže veličiny vícekrát, tak i při sebelepší pečlivosti jsou získávány obecně různé výsledky, neboť žádné měření nelze izolovat od rušivých vlivů.

Omezováním chyb např. využitím přesnějšího přístroje lze snížit jejich vliv, a tak zvýšit přesnost měřeni.

Rozdílnost výsledků měření vyplývá z fyzikální podstaty prostředí.

Při měření a jeho zpracování je hledána nejspolehlivější hodnota výsledku měření, odhadována její přesnost a meze její spolehlivosti.

Měřením či zpracováním měření NIKDY nezískáme skutečnou hodnotu veličiny, vždy se jedná o odhad.

Výsledek každého měření je nevyhnutelně zatížen skutečnou chybou ε, která je souhrnem působení jednotlivých vlivů.

X … skutečná hodnota veličiny, l … měřená hodnotai iX l

Chyby měření a jejich dělení

Omyly a hrubé chyby (nesprávné úkony měřiče)– „jedno měření = žádné měření“ – lze je vyloučit nezávislým opakováním měření.– nepatří mezi chyby nevyhnutelné a dále nebudou uvažovány

Nevyhnutelné chyby – systematické (ccii)

– náhodné (δδii).

Systematické chyby (c)– systematicky (soustavně) ovlivňují výsledky opakovaných měření– lze nalézt (?) závislost na určité příčině – konstantní (chybná délka pásma – stejná velikost a znaménko)– Proměnlivé (teplota atmosféry – různá velikost i znaménko)– Potlačení:

Kalibrací a rektifikací přístrojů metodikou měření.

i i ic

Náhodné chyby Náhodné chyby ( δ )

– jednotlivě nemají zákonitosti– ve větších souborech mají statistické zákonitosti– normální rozdělení pravděpodobnosti (stejný druh chyb)

Vlastnosti:- Pravděpodobnost vzniku kladné či záporné chyby určité velikosti je stejná- Malé chyby jsou pravděpodobnější (četnější) než velké- Chyby nad určitou mez se nevyskytují (resp. Považujeme je za hrubé)

Frekvenční křivka normálního rozdělení:

Pravděpodobnost P, že měření bude zatíženo

chybou o velikosti padnoucí do intervalu <A;B>

je rovna ploše vyšrafované v grafu.

(Gaussova křivka)

Zápis N(E(x), σ2) značí normální rozdělení (N) o charakteristikách E(x) a σ2, kde E(x) je tzv. střední hodnota, zde ona neznámá skutečná hodnota měřené veličiny, σ2 je tzv. variance (kvadrát směrodatné odchylky).

x E( x )

( x ) e , x ( , ).

2

221

2

Hodnoty pravděpodobnosti P pro interval mezi body A a B

A B P [%]

E(x) E(x) + 34,1

E(x) - E(x) + 68,2

E(x) E(x) + 2 47,7

E(x) - 2 E(x) + 2 95,4

E(x) E(x) + 3 49,9

E(x) - 3 E(x) + 3 99,7

E(x) - E(x) + 100,0

Chyby měření a jejich dělení, charakteristiky přesnosti

Směrodatná odchylka σ (střední kvadratická chyba)- Je to parametr popisující normální rozdělení- Ve vztahu k měření je to charakteristika přesnosti- Je vždy třeba jí interpretovat s ohledem na předchozí tabulku a uvědomit si, že v

intervalu <-2σ,2σ> od měřené hodnoty se vyskytuje hledaná hodnota geometrického parametru s pravděpodobností 95 procent (pokud se jedná o normální rozdělení)

Druhy směrodatných odchylek: Základní (z velkého souboru měření, kde počet měření je blízký nekonečnu) Výběrová (ze souboru menšího)

Výpočet:

ε je skutečná chyba měření (vliv nahodilých a systematických chyb)

n je počet měření

v je oprava měření od aritmetického průměru hodnoty (měření stejné přesnosti)

n

2i

i=1

n n

n

2i

i=1

vvv

sn - 1 n -1

n

ii

ll

ln n

1

i iv l l

Zpracování měření Zpracování měření-Stejná přesnost (pokud známe směrodatnou odchylku jednoho měření a bylo měřeno vícekrát, tak směrodatná odchylka průměrné hodnoty je dána jako podíl směrodatné odchylky měření a odmocniny z počtu měření – vše dle zákonu hromadění směrodatných odchylek)

-Různá přesnost ( pokud měření nemají stejnou přesnost a tato přesnost je známa, je nutno nejprve vypočítat hodnotu výsledku váženým průměrem, kde se váhy p jednotlivých měření určují jako podíl konstanty a kvadrátu směrodatné odchylky)

Další postup při určení směrodatné odchylky je dle vzorce:

(v je oprava měření od váženého průměru)

Metoda nejmenších čtverců1809 K. F. GaussMetoda vyrovnání geodetických měřeníSuma kvadrátů oprav musí být minimální a tedy směrodatné odchylky jsou z předpisu výpočtu také minimalizovány. (nejlepší jednostranný odhad)

)1(

np

pvvl

l n

i

i

cp

2

n

i iin

ii

p lpl

lp

p

1

1

i iv l l

Příklad zpracování měření stejné přesnosti

Délka byla měřena opakovaně 5x za stejných podmínek a stejnou metodou (= se stejnou přesností). Měřené hodnoty v m jsou: 5,628; 5,626; 5,627; 5,624; 5,628. Vypočtěte průměrnou délku, směrodatnou odchylku jednoho měření a směrodatnou odchylku průměru.

(Uvažujeme, že měřené hodnoty jsou zatíženy jen náhodnými chybami.)

i l / m v / m vv / m2

1 5,628 -0,0014 1,96E-06

2 5,626 0,0006 3,60E-07

3 5,627 -0,0004 1,60E-07

4 5,624 0,0026 6,76E-06

5 5,628 -0,0014 1,96E-06

28,133 0,000 1,12E-05

= 5,6266 m; = 0,0017 m; = 0,00075 ml ils ls

n

2i

i=1

vvv

sn - 1 n -1

l n

n

ii

ll

ln n

1

Příklad zpracování měření nestejné přesnosti

Délka byla měřena opakovaně 5x různými metodami (s různou přesností). Měřené hodnoty jsou uvedeny se svými směrodatnými odchylkami v závorce (oboje v m): 5,628 (0,0030); 5,626 (0,0020); 5,627 (0,0025); 5,624 (0,0035); 5,628 (0,0025). Vypočtěte průměrnou délku a směrodatnou odchylku průměru.

i l / m / m p l . p v / m

1 5,628 0,0030 0,6944 3,908 -0,0013

2 5,626 0,0020 1,5625 8,791 0,0007

3 5,627 0,0025 1,0000 5,627 -0,0003

4 5,624 0,0035 0,5102 2,869 0,0027

5 5,628 0,0025 1,0000 5,628 -0,0013

4,767 26,823

Volba c = 0,00252

(aby váhy vycházely okolo 1) = 5,6267 m

= 0,00062 m

l

li

i

cp

2

n

i iin

ii

p lpl

lp

p

1

1

)1(

np

pvvl

Určuje hranici, jakou “maximální“ odchylku měření může mít

Koeficient spolehlivosti up (normovaná hodnota normálního rozdělení)

– Volí se podle významu prací– up = 2 ~ 95% pravděpodobnost, že náhodná chyba nepřekročí

– up = 2,5 ~ 99% pravděpodobnost, že náhodná chyba nepřekročí

– up = 3 ~ 99,7% pravděpodobnost, že náhodná chyba nepřekročí

Mezní odchylka

·M pu

MMM

Zákon hromadění směrodatných odchylek a skutečných chyb

V mnoha případech nelze nebo není výhodné přímo měřit určovanou hodnotu, a tato se určuje zprostředkovaně. (výpočtem z jiných hodnot)

Potřebujeme nejen vypočítat hledanou hodnotu, ale také její směrodatnou odchylku.

Zákon hromadění směrodatných odchylek vychází ze zákona hromadění skutečných chyb, který je založen na totálním diferenciálu funkčního vztahu.

Zákon hromadění ve vzorcích

Máme dán funkční vztah:

Platí:

Vzhledem k tomu, že skutečné chyby jsou oproti měřeným hodnotám velmi malé, lze rozvinout pravou stranu vztahu podle Taylorova rozvoje s omezením pouze na členy prvního řádu.

Zákon hromadění skutečných chyb:

Skutečné chyby měřených veličin zpravidla neznáme, ale známe jejich směrodatné odchylky.

Zákon hromadění směrodatných odchylek:

),,,,( 54321 kxxxxxxfy

),,,,(54321 54321 kxkxxxxxy xxxxxxfy

kxk

xky x

f

x

fxxfy

1

11 ),(

kxk

xy x

f

x

f

1

1

kx

k

xy x

f

x

f 2

2

2

2

1

21

Zákon hromadění směrodatných odchylek

Zákon hromadění skutečných chyb platí za následujících podmínek:

1.Jednotlivé měřené veličiny, a tedy i skutečné chyby, musí být nezávislé.

2.Skutečné chyby mají náhodný charakter, jejich znaménko a velikost se řídí normálním rozdělením.

3.Chyby jsou oproti měřeným hodnotám malé, parciální derivace musí zůstat prakticky konstantní, změní-li se měřené hodnoty o hodnotu chyb.

4.Jednotlivé členy musí mít sejný fyzikální rozměr.

Zákon hromadění směrodatných odchylek - příklad

Jsou známy dvě délky v obecném trojúhelníku a = 34,352 m a b = 28,311 m a jimi sevřený úhel = 52,3452°. Délky byly obě změřeny se stejnou směrodatnou odchylkou s = 0,002 m a úhel = 0,0045°. Určete směrodatnou odchylku plochy trojúhelníku.

Funkční vztah:

Skutečné chyby:

Směrodatné odchylky:

Pokud jsou směrodatné odchylky délek stejné, lze úpravou dostat:

Po dosazení: P = 0,043 m2 , P = 384,983 m2.

sin..2

1baP

180

180cos..

2

1sin.

2

1sin.

2

1

baab baP

2

222

22

22

)(cos..

2

1sin.

2

1sin.

2

1

baab baP

2

2222222

)()cos.(

4

1sin)(

4

1

baab sP

Vybrané pojmy z geometrické přesnosti staveb

Základní hodnotageometrického parametru (g.p.)

Hodnota uvedená v projektovédokumentaci.

Skutečná hodnota g.p. Hodnota ve skutečnosti.

Mezní hodnoty g.p. Základní hodnota geometrického parametru ± mezní odchylka („horní“ a „dolní“).

Skutečná odchylka Rozdíl mezi projektovanou a měřenou hodnotou.

Mezní odchylka Největší přípustná odchylka pro výsledky měření (dle rozboru chyb).

Přesnost kontrolníhoměření

Odvíjí se od požadované přesnosti určení geometrického parametru.

Tolerance

Součet absolutních hodnot dolní a horní mezní stavební odchylky, rozdíl mezi horní a dolní mezní hodnotou geometrického parametru.

Vytyčovací odchylky ve výstavbě

Vytyčovací odchylkaRozdíl mezi vytyčenou hodnotou a základní hodnotou parametru.

Mezní vytyčovací odchylka

Hodnota, která teoreticky může být překročena pouze se stanovenou (malou) pravděpodobností; při vytyčení být překročena nesmí.

Požadovaná směrodatná odchylka

Směrodatná odchylka, s jakou má být provedeno vytyčení.