-1- a b A D C B o HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng . + Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB). + Một vectơ xác định còn được kí hiệu là , , , ,... abxy (Chú ý: AB BA ) + Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ): Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0 Ví dụ: , MM AA ,.... + Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Còn vectơ không AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó. + Hƣớng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. + Hai vectơ cùng phƣơng là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Chú ý: + Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí hiệu là | a |, | | AB AB BA Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài Nếu a bằng b thì ta viết a = b . AA BB = 0 , | 0 |= 0. Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm a) Tất các vectơ khác 0 ; b) Các vectơ cùng phương; c) Các vectơ bằng nhau. Các kí hiệu thường gặp AB cùng phƣơng CD kí hiệu: AB // CD AB cùng hƣớng CD kí hiệu: AB CD AB ngƣợc hƣớng CD kí hiệu: AB CD A B
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
-1-
a b
A
D C
B o
HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB).
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là , , , ,...a b x y
(Chú ý: AB BA )
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0
Ví dụ: ,MM AA ,....
+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Còn vectơ
không AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó.
+ Hƣớng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ.
+ Hai vectơ cùng phƣơng là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.
Chú ý:
+ Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí
hiệu là | a |, | |AB AB BA
Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
Nếu a bằng b thì ta viết a =b .
AA BB = 0 , |0 |= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm
a) Tất các vectơ khác 0 ;
b) Các vectơ cùng phương;
c) Các vectơ bằng nhau.
Các kí hiệu thường gặp
AB cùng phƣơng CD kí hiệu: AB //CD
AB cùng hƣớng CD kí hiệu: AB CD
AB ngƣợc hƣớng CD kí hiệu: AB CD
A
B
-2-
A
D C
B o
EF
DB
A
C
KI
N
MD
A
C
B
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phƣơng cùng hƣớng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là ,AB BA
Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó.
Giải
Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E},
{D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho:
AM cùng phƣơng a
Giải
Gọi là giá của a
Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM//
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và //
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM cùng phương a
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa: | | | |
, cuøng höôùng
a ba b
a b
+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì
,AB DC BC AD ,…
(hoặc viết ngược lại)
+ Nếu ,a b b c a c
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Chứng minh: EF CD Giải
Cách 1: EF là đường trung bình của ABC nên EF//CD,
EF=1
2BC=CD EF=CD EF CD (1)
EF cùng hướng CD (2)
Từ (1),(2) EF CD
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=1
2BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hànhEF CD
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I
là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.
Chứng minh: ,AM NC DK NI
Giải
Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành
AM NC
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
của MD DK = KM . Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra NI = KM DK NI
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có
chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).
Giải
a
m
-3-
Giả sử AB AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng
góc A BC.
(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)
Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho:
a) AM = a ;
b) AM cùng phƣơng a và có độ dài bằng | a |.
Giải
Giả sử là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d//
(nếu A thuộc thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:
AM1=AM2=| a |
Khi đó ta có:
a) 1AM = a
b) 1AM = 2AM cùng phương với a
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối
xứng của B qua O. Chứng minh: 'AH B C .
Giải
BÀI TẬP §1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương
a và
b . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ
đó.
Bài 3: Cho ba vectơ
cba ,, cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai
véctơ trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm
trên hình vẽ các véctơ bằng PQ ,QR , RP .
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ;
b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ;
a
d
A
-4-
R
Q
P
B
A
C
NM
O
D
A
B
C
c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ;
d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB .
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ AB ; OB
b) Có độ dài bằng OB
Bài 9: Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB DC thì AD BC
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh : MQNPQPMN ;
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
b) AB và AC ngược hướng;
c) AB và AC cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
BCPQDCNPDAMNBAAM ,,, . Chứng minh 0AQ .
HD §1
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.
Bài 2: có, đó là vectơ-không
Bài 3: nếu
a ngược hướng
b và
a ngược hướng
a thì cùng hướng
Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7: a) , , , , , , , ,DA AD BC CB AO OD DO FE EF
b) , ,OC ED FO
c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
-5-
O
D
A
B
C
khi đó 'BB AB
* FO là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB 'CC AB
+ tương tự
Bài 8: a) AB DC ,OB DO
b) | | | | | | | |OB BO DO OD
Bài 9:
Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành
CDAB
CDAB //
* DCABCDAB
CDAB
//
Chứng minh chiều : * AB = DC AB , DC cùng hướng và DCAB
* AB và DC cùng hướng AB // CD (1)
* CDAB AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 10: AB DC AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành AD BC
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng 1
2AC
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
đpcm
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
b) AB và AC ngược hướng;
c) AB và AC cùng phương;
HD: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | khi C nằm giữa A và B
b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
+ cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C.
+ Ngược hướng thì theo b)
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
BCPQDCNPDAMNBAAM ,,, . Chứng minh 0AQ .
HD: Ta có ;AM BA NP DC AB
AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1)
Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)
-6-
Từ (1)&(2) AQ 0AQ
-7-
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR :
MQ =
NP
3. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với
MN
b/ Xác định các vectơ bằng
NP
4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ
EH và
FG bằng
AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
5. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ
CI =
DA . CMR :
a/ I là trung điểm AB và
DI =
CB
b/
AI =
IB =
DC
6. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng
MK =
CP và
KL =
BN
a/ CMR :
KP =
PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR :
AL = 0
-8-
A C
B
a
b
c
G
I CB
A
D
§2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Tóm tắt lý thuyết 1. Tổng các vectơ
Định nghĩa: Cho 2 véc tơ
a và
b . Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng
AB =
a ,
BC =
b .
Khi đó
a +
b =
AC
Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ .
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC
Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC
2. Vectơ đối
+ Cho vectơ
a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng
a được gọi là vectơ đối của vectơ
a , kí hiệu là -
a
a +(-
a )= 0
+ Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ AB có vectơ đối là BA nghĩa là
AB = - BA
+ vectơ đối của 0 là 0 .
3. Hiệu các vectơ (phép trừ)
Định nghĩa:
a - b
=
a +(- b
)
Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB OA AB (hoặc OA OB BA )hay AB OB OA
4. Tính chất : với , ,a b c bất kì ta có:
+ Giao hoán : a b = b a
+ Kết hợp ( a b ) + c = (a b + c )
+ a +0 = 0 + a = a
+ a +(a )=a + a =0
+ | a +b | ≤ | a |+|b |, dấu “=” xảy ra khi a ,b cùng hướng.
+ a b và |b | ≥ | a | | a +b |=|b || a |
+ a =b a + c =b + c
+ a + c =b a =b c , c =b a
+ a (b + c )= a b c ; a (b c )= a b + c
Ghi chú:
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB 0IA IB
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC 0GA GB GC
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tìm tổng ; ;NC MC AM CD AD NC
b) Chứng minh : AM AN AB AD
Giải:
a) + Vì MC AN nên ta có
A
B C
D
-9-
NC MC = NC AN = AN NC = AC
+Vì CD BA nên ta có
AM CD = AM BA = BA AM = BM
+Vì NC AM nên ta có
AD NC = AD AM = AE , E là đỉnh của hình bình hành AMED.
b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AM AN AC
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB AD AC
Vậy AM AN AB AD
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.
Chứng minh: 0OA OB OC OD OE OF
Giải
Vì O là tâm của lục giác đều nên:
0; 0; 0OA OD OB OE OC OF
đpcm
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.
a) Chứng minh rằng vectơ ;OA OB OC OE đều cùng phương OD
b) Chứng minh AB và EC cùng phương.
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa OD d là trục đối xứng của
ngũ giác đều. Ta có OA OB OM , trong đó M là đỉnh
hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự OC OE ON
, N d. Vậy OA OB và OC OE cùng phương OD
vì cùng giá d.
b) AB và EC cùng vuông góc d AB//EC
AB // EC
Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm ; ; ;AM AN MN NC MN PN BP CP .
b) Phân tích AM theo hai vectơ ;MN MP .
Giải
a) AM AN = NM
MN NC = MN MP = PN (Vì NC MP )
MN PN = MN NP = MP
BP CP = BP PC = BC
b) AM NP MP MN
Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính | |;| |;| |AB AD BA BC OB DC
Giải
Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD =600 nên AC= 3a
và BD=a. Khi đó ta có :
| | 3AB AD AC AB AD AC a
| | 3BA BC CA AB AD CA a
3| |
2
aOB DC DO DC CO OB DC CO
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo.
B
A C
D
-10-
Tính | |; | |;| |OA CB AB DC CD DA
Giải
Ta có AC=BD= 2a ; OA CB CO CB BO
Do đó 2
| |2
aOA CB BO
| | | | | | 2AB DC AB DC a (vì AB DC )
Ta có CD DA CD CB BD |CD DA |=BD= 2a
* Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì.
Chứng minh rằng:
CDAB
CBAD (theo 3 cách)
Giải
Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái
AB CD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB
Cách 2: (sử dụng hiệu)
AB AD CB CD DB DB
Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F.
Chứng minh: AB BE CF AE BF CD
Giải
VT = AB BE CF AE ED BF FE CD DF
= AE BF CD ED DF FE
= AE BF CD (vì 0ED DF FE )=VP đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
Chứng minh rằng: AC DE DC CE CB AB
Giải
Ta có ;DC CD CE EC nên
VT = AC DE DC CE CB = AC DE CD EC CB
= AC CD DE EC CB AB =VP đpcm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh
rằng với điểm O bất kì ta có:
OA OB OC OM ON OP
Giải
VT =OA OB OC
=OM MA ON NB OP PC
=OM ON OP MA NB PC
Mà NB NM NP
MA NB PC = 0MA NM NP PC NA NC
VT=OM ON OP =VP đpcm
BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
AC +
BD =
AD +
BC
-11-
2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
CMR :
AB +
CD +
EA =
CB +
ED
3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F.
CMR : AE BF CD AF BD CE
4. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
CMR :
AC +
BF +
GD +
HE =
AD +
BE +
GC +
HF
5. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/
DO +
AO =
AB b/
OD +
OC =
BC
c/
OA +
OB +
OC +
OD = 0
d/
MA +
MC =
MB +
MD (với M là 1 điểm tùy ý)
6. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR :
OD +
OC =
AD +
BC
7. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý
'AA ,
'BB ,
'CC
CMR :
'AA +
'BB +
'CC =
'BA +
'CB +
'AC .
8. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính
ADAB theo a
9. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính
ADAB b/ Dựng u
=
ACAB . Tính u
10. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng v
=
ACAB . b/ Tính v.
11. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ , , ,OA OB OC OD có độ dài bằng
nhau và OA OB OC OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
12. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
AB
CD =
AC +
DB
13. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/
CD +
FA
BA
ED +
BC
FE = 0
b/
AD
FC
EB =
CD
EA
FB
c/
AB
DC
FE =
CF
DA +
EB
14. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/
MA
MB +
MC = 0
b/
MB
MC +
BC = 0
c/
MB
MC +
MA= 0
d/
MA
MB
MC = 0
e/
MC +
MA
MB +
BC = 0
15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính
AD
AB b/ Dựng u
=
CA
AB . Tính u
16. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính
ACAB b/ Tính
BA
BI
17. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính
ACAB
BÀI TẬP THÊM
-12-
Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:
a) v AB DC BD CA
b) DABCCDABm
c) DBABCDBCn . d) p AB BC CD DE
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính BC + AB ; AB - AC theo a.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
a) AO - AD = MO
b) AC - AD = NB
Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a) AB + CD + EA = CB + ED
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử ONOBOAOMOBOA , . Khi nào điểm M nằm trên đường
phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OOEODOCOBOA
Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là
điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:
''' OCOBOAOCOBOA
Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 b) OA + OC + OE = 0
c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC+ ME = MB+ MD + MF ( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
a) Chứng minh rằng HB + HC = HD
b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH'
Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CA + CB = CA - CB
-13-
PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:
+ c cùng phương a
+ c cùng hướng a khi k>0
+ c ngược hướng a khi k<0
+ | c |=| k a |=|k|.| a |
Quy ước: 0 a = 0 ; k 0 = 0
2) Tính chất: Cho a ,b bất kì và k,h , khi đó
+ k( a +b )= k a +kb
+ (k+h) a = k a +hb
+ k(h a )= (kh) a
+ 1. a = a ; (1) a =a
* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:
2MA MB MI
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với mọi M ta có:
3MA MB MC MG
3) Điều kiện để hai vectơ cùng phƣơng
a ,b ; a cùng phương b ≠0 0≠k : a =kb
( a ,b ;b cùng phương a ≠ 0 0≠k : b =k a )
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB cùng phương AC 0≠k : AB k AC
5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phƣơng:
Cho hai a ,b khác 0 và không cùng phương. Khi đó x bao giờ cũng tìm được hai số m,
n sao cho: x = m a +nb .
G
I CB
A
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Xác định vectơ k a
PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất
1) Cho a AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
3 ; 4OM a ON a
Giải
Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O giá của a thì d là giá của a )
Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó 3OM a .
O
a
M N
Nếu G là trọng tâm
AG=2
3AI; GI=
1
3AI
AG=2GI
-14-
Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên 4ON a
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=1
5AB. Tìm k trong các
đẳng thức sau:
) ; ) ; )a AM k AB b MA kMB c MA k AB
Giải
A BM
a) | | 1
| |5| |
AM AMAM k AB k
ABAB , vì AM AB k=
1
5
b) k= 1
4 c) k=
1
5
3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3b , a 2b
Giải
a) 5 a =(1)(5 a )=((1)5) a = (5) a
b) (2 a +3b )= (1)( 2 a +3b )= (1) 2 a +(1)3b =(2) a +(3)b =2 a 3b
c) Tương tự
2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phƣơng
1) Cho ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và
I là giao điểm của AD và EF. Đặt ; u AE v AF . Hãy phân tích các vectơ , , ,AI AG DE DC theo
hai vectơ ,u v .
Giải Ta có 1 1 1 1
( ) )2 2 2 2
AI AD AE AF u v
2 2 2
3 3 3AG AD u v
0. ( 1)DE FA AF u v
DC FE AE AF u v
2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai
vectơ ,u AB v AC .
Giải
Ta có 2
3AM AB BM AB BC
mà BC AC AB
2 1 2
( )3 3 3
AM AB AC AB u v
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
+ A, B, C thẳng hàng AB cùng phương AC 0≠k : AB k AC
+ Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=1
3AC.
Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
C
A
-15-
N
M
A B
C
D
Ta có
12
2
4 2 (1)
BI BA BM BA BC
BI BA BC
Ta có
1
3
1 2 1( )
3 3 3
3 2 (2)
BK BA AK BA AC
BA BC BA BA BC
BK BA BC
Từ (1)&(2) 4
3 43
BK BI BK BI B, I, K thẳng hàng.
2) Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
0BC MA , 3 0AB NA AC . Chứng minh MN//AC
Giải
3 0
3 0 2
BC MA AB NA AC
hay AC MN AC MN AC
/ /MN AC . Theo giả thiết BC AM
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
M không thuộc AC MN//AC
4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
2MN AC BD
Giải
2
2
VP AC BD AM MN NC BM MN ND
MN AM BM ND NC
MN
2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: 2 3AB AC AD AC .
Giải
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB AD AC
VT= 2 3AC AC AC VP (đpcm)
3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
3 ' ' ' 'GG AA BB CC .
Giải
' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' '
3 ' ' ' ' ' ' '
3 ' (
VP AA BB CC
AG GG G A BG GG G B CG GG G C
GG AG BG CG G A G B G C
GG GA GB GC
) ' ' ' ' ' '
3 '
G A G B G C
GG
5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
+ 0AB A B
+ Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM a
+ ;AB AC B C AD BD A B
-16-
KI
A
B
C
D
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết 2AG GD .
Giải
2AG GD A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: 2 0IA IB .
HD
A BI
2 0 2 2IA IB IA IB IA IB
hay IA=2IB , IA IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=1
3AB
3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: 0GA GB GC GD
Giải
Ta có 2GA GB GI , trong đó I là trung điểm AB
Tương tự 2GC GD GK , K là trung điểm CD
2 2
0
GA GB GC GD GI GK
hayGI GK
G là trung điểm IK
BÀI TẬP Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
AM +
BN +
CP = 0
b/ CMR :
OA +
OB +
OC =
OM +
ON +
OP
Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho
BM = 2
MC
a/ CMR :
AB + 2
AC = 3
AM
b/ CMR :
MA +
MB +
MC = 3
MG
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :
AD +
BC = 2
EF
b/ CMR :
OA +
OB +
OC +
OD = 0
c/ CMR :
MA +
MB +
MC +
MD = 4
MO (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho
MA +
MB +
MC +
MD nhỏ nhất
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
AF +
BG +
CH +
DE = 0
b/ CMR :
MA+
MB+
MC+
MD =
ME+
MF+
MG+
MH
c/ CMR :
ACAB +
AD = 4
AG (với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
D
G
I CB
A
-17-
CMR :
AD +
BE +
CF = 3
GH
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/
OA +
OB +
OC +
OD = 0
b/
EA +
EB + 2
EC = 3
AB
c/
EB + 2
EA + 4
ED =
EC
Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho
AN = 2
1
NC .
Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR :
AK = 4
1
AB + 6
1
AC b/ CMR :
KD = 4
1
AB + 3
1
AC
Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho
AD = 2
DB ,
CE = 3
EA . Gọi M
là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
a/
AM = 3
1
AB + 8
1
AC
b/
MI = 6
1
AB + 8
3
AC
Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a
a) Phân tích AD theo AB và AF
b) Tinh 1 1
2 2AB BC theo a
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC).
Phân tích AM theo AB và AC
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung
điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC .
Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho
5JB = 2JC.
a) Tính , ,AI AJ theo AB AC
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2
AB + 3
AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho
MB= 3
MC;
NA +3
NC = 0
và
PA +
PB = 0
a/ Tính
PM ,
PN theo
AB và
AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là
điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các
trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
a/ MA MB . b/ MA MB MC O c/ | C
-18-
d/ C
e/ | C
-19-
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1.Trục tọa độ
Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ i có độ dài bằng
1. Ký hiệu trục (O; i ) hoặc x’Ox
O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ.
Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
+ Cho điểm M nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho OM mi . Số m gọi là
tọa độ của m đối với trục (O; i ) (nó cũng là tọa độ của OM ).
+ Cho vectơ u trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số x sao cho u xi . Số x gọi là tọa độ của
vectơ u đối với trục (O; i ).
Độ dài đại số của vectơ trên trục
Cho A,B nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i . Ta gọi số a là độ dài
đại số của AB đối với trục đã cho.
Kí hiệu: a= AB . Như vậy AB = AB i
*Nhận xét:
+ Nếu AB i thì AB = AB
+ Nếu AB i thì AB = AB
+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O; i ) có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB = ba
Tính chất:
+ AB CD AB CD
+ AB BC AC (hệ thức Salơ)
2. Hệ trục tọa độ
x
y
i
j
O
Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là
i , vectơ đơn vị trên Oy là j . Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j ).
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.
Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ
Đối với hệ trục (O; i ; j ), nếu a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a .
Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y)
Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho a = (x ; y), b = (x’;y’)
a =b '
'
x x
y y
Một số tính chất: Cho a = (x ; y), b = (x’;y’). Khi đó:
1) a b = (x x’; y y’)
2) k a =(kx ; ky) với k
3) m a + nb =(mx+nx’ ; my+ny’)
O Ii
'x x
-20-
4) a //b0 có số k thỏa a =kb '
'
x kx
y ky
' ' 0
' '
x yxy yx
x y
Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy,
cặp số (x ; y) là tọa độ của M OM =(x ; y)
Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M
+ M(x ; y) OM xi y j OM =(x;y)
x= 1OM ; y= 2OM
+ Gốc tọa độ là O(0;0)
Tọa độ vectơ MN khi biết tọa độ hai điểm M, N
Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có :
MN = (xM – xN ; yM – yN)
Tọa độ trung điểm: Nếu P( ;P Px y ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:
Px = 2
M Nx x ; Py =
2
M Ny y
Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm
G(xG;yG) được tính theo công thức:
xG = 3
A B Cx x x ; yG =
3
A B Cy y y
O
y
x
M2
M1
M(x;y)
1) |
u | = 22 yx với
u = (x;y)
2) |
AB | = 22 )()( ABAB yyxx với A(xA ; yA) , B(xB ; yB)
3) Cho hai ñieåm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Neáu ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k 1 thì M(xM ; yM) coù toaï ñoä laø:
k
kxxx BA
M
1 ;
k
kyyy BA
M
1 (nếu k= 1 thì M là trung điểm AB)
4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng
/ /AC AB C A C A
B A B A
x x y y
x x y y
ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi
C A C A
B A B A
x x y y
x x y y
-21-
BÀI TẬP CƠ BẢN
1) Biểu diễn vectơ a dưới dạng a xi y j
a) a =(1;1) b) a =(5;0) c) a =(0;2) d) a =(0;0)
2) Xác định tọa độ vectơ u , biết:
a) u =3 i 4 j b) u =2 i +1
3j c) u = 3 i d) u = j
3) Xác định tọa độ của vectơ c , biết:
a) c = a +3b ; với a (2;1), b (3;4). Tính độ dài của c
b) c =2 a 5b ; với a (1;2), b (2;3)
Đáp án: a) c =(11;11), | c |=11 2 b) c =(8;19)
4) Cho
a =(2;4);
b =(-3;1);
c =(5;-2). Tìm vectơ:
a)
cbam 532 b)
can 1424 .
Đáp án: a) m = (30;21) b) n =(118;68)
5) Cho hai điểm A(1;1), B(1;3)
a) Xác định tọa độ các vectơ ,AB BA .
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho (3;0)BM .
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho (1;1)NA .
Đáp án: a) (2;2), ( 2; 2)AB BA b) M(4;3) c) N(2;0)
6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A; ,i j ), trong đó i và AD cùng hướng,
j và AB cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung
điển N của BC và trung điểm M của CD.
Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0)
5 5 5 5
( ; ), ( ;5), (5; )2 2 2 2
I N M
7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc 060BAD . Chọn
hệ trục tọa độ (A; ,i j ), trong đó i và AD cùng hướng. Tìm tọa độ các véctơ , , , .AB BC CD AC
Đáp án: Kẻ BHAD, ta có
BH=3 AB=2 3 (vì HAB vuông và 060BAD )
AH= 3 . Do đó;A(0;0), B( 3 ;3), C(4+ 3 ;0), D=(4;0)
( 3;3), (4;0), ( 3; 3), (4 3;3)AB BC CD AC
8) Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và
AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác.
Đáp án: A(0;5), B(2;1), C(4;1)
9) Cho hình bình hành ABCD có A(1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D.
Đáp án: D(3;0)
10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8)
a) Xác định tọa độ của AB .Tính AB.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC.
d) A’ là điểm đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ A’.
Đáp án: a) AB =(12;5) b) I(7;11/2) c)
11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G.
-22-
b) Tính chu vi tam giác ABC.
Đáp án: a) b)
12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5). Tính tọa độ các
véc tơ AMGMAG ,, . Tính chu vi tam giác ABC.
Đáp án: , ,AG GM AM
13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng:
a) ACABCE 43 b) 2 4 0AF BF CF .
Đáp án:
14) Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1). Xaùc ñònh t ñeå
AB =
CD . Đáp án: t=1
15) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay không cùng phương
a)
a = (1;2) và
b = (3;6) b)
a =( 2 = -1) và
b = (-2; 2 ).
c)
a = (-1;4) và
b = (3;7) d)
a = (-1;-3) và
b =(1;2). 16) Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương
a) a =(2;3), b =(4;x) b) u =(0;5), v =(x;7)
c) m =(2;3), n =(1;x) d) a =( t+1;2) b =(3;4-t).
Đáp án: a) x= 6 b) x= 0 c) x= 3 d) t=1; t=2
17) Biểu diễn véctơ
c theo hai véctơ
a và
b
a)
c = (4;7) ;
a = (2;1) ;
b = (-3;4)
b)
c = (1;3) ;
a = (1;1) ;
b = (2;3)
c)
c = (0;5) ;
a = (4;3) ;
b = (2;1).
HD: Tìm các số m, n sao cho
c = m
a + n
b giải hệ 1 1
2 2
1
2
a
a
c m nb
c m nb
Đáp án: a) c = a +2
b b) c =3
5a
4
5
b c) c = a 2
b
18) Cho bốn điểm A(1;1), B(2;1), C(4;3) và D(16;3). Hãy biểu diễn AD theo ,AB AC .
Đáp án: AD =3 AB +4 AC
19) Cho ba điểm A(1;1), B(1;3), C(2;0). Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
HD: 2AB AC
20) Cho A(3;4), B(2;5). Tìm x để điểm C(7;x) thuộc đường thẳng AB.
Đáp án: A, B, C thẳng hàng / /AC ABx=14
21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chứng minh đường thẳng AB//CD.
Đáp án: ta có 2CD AB AB và CD song song hoặc trùng nhau
Ta 2 6
(2;6), (1;2)1 2
AC AB
AC không cùng phương AB C không thuộc AB CD//AB
22) Cho tam giác ABC có A(1;1), B(5;3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ đỉnh C.
Đáp án: C(0;4)
23) Cho A(2;1), B(4;5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC
là hình bình hành, O là gốc tọa độ.
Đáp án: I(1;3), C(2;6)
24) Cho ba điểm A(0;4), B(5;6), C(3;2)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
-23-
b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
HD: a) Cần chứng minh AB không cùng phương AC
b) G(1;4)
25) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O; ,i j ), trong đó O là trung điểm BC, i OC ,
j OA .
a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC.
c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đáp án: a) 3
(0; ), ( ;0), ( ;0)2 2 2
a a aA B C
b) 3
( ; )4 4
a aE c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G.
26) Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ tọa độ (O; ,i j ), trong đó O là tâm của lục giác đều, i OD ,
j EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều biết độ dài cạnh lục giác là 6.
Đáp án: A(6;0), D(6;0)
27) Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
a) AD – 2 BD + 3 CD = 0
b) AD – 2 AB = 2 BD + BC
c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD
28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm tọa độ của A, B
b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
29) Cho a =(2; 1) ; b =( 3 ; 4) và c =(7; 2)
a) Tìm tọa độ của vectơ u = 2 a - 3 b + c
b) Tìm tọa độ của vectơ x thỏa x + a = b - c
c) Tìm các số m ; n thỏa c = m a + n b
30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
31) Cho A(2;-3), B(5;1), C(8;5). Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
BÀI TẬP THÊM
1/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của
AB .
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2
MA + 5
MB = 0
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = 1
2/ Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho
MA +
MB
MC = 0
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
NA 3
NB =
NC
3/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA 2 MB = 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB
4/ Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
-24-
a/ CMR : AC
1 +
AD
1 =
AB
2
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR : 2
IAID.IC
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR : AJ.ABAD.AC
TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG
5/ Viết tọa độ của các vectơ sau : a
= i 3 j
, b
= 2
1i
+ j
;
c
= i
+ 2
3j
; d
= 3 i
; e
= 4 j
.
6/ Viết dưới dạng u
= x i
+ y j
, biết rằng :
u
= (1; 3) ; u
= (4; 1) ; u
= (0; 1) ; u
= (1, 0) ; u
= (0, 0)
7/ Trong mp Oxy cho a
= (1; 3) , b
= (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/ u
= 3 a
2 b
b/ v
= 2 a
+ b
c/ w
= 4 a
2
1b
8/ Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ
AB ,
AC ,
BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho :
CM = 2
AB 3
AC
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho :
AN + 2
BN 4
CN = 0
9/ Trong mp Oxy cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).
a/ CMR : ABC cân. Tính chu vi ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
10/ Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).
a/ CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC.
b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
11/ Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đường tròn đó.
12/ Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại
M.
13/ Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ABC.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ CMR : ABC vuông cân.
d/ Tính diện tích ABC.
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƢƠNG I
Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao
Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
-25-
a) ACABACAB
b) Vectơ ACAB vuông góc với vectơ CAAB
Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a) DCBCAC
b) DADCmDB
Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ sao cho
CAkBBBCkAA ',' . Tìm quĩ tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA . Chứng
minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm
Bài 5: :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ MCMBMAv 2 không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho vCD
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng
của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành
b) Chứng minh :
OHOCOBOA
HOHCHBHA
HOHDHA
2
2
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh OGOH 3 . Từ đó kết luận gì về 3 điểm
G, H, O.
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh :
a) 0''' DDCCBB
b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
ÔN TẬP CHƢƠNG I THÊM
1/ Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a/ CMR : 2
IA +
IB +
IC = 0
b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2
OA +
OB +
OC = 4
OI
2/ Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC.
a/ CMR : 2
AI = 2
AO +
AB
b/ CMR : 3
DG =
DA +
DB +
DC
3/ Cho ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho
BC = 3
BN . Tính
AN theo
AB và
AC
4/ Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a/ CMR :
AI = 2
1(
AD + 2
AB )
b/ CMR :
OA +
OI +
OJ = 0
-26-
c/ Tìm điểm M thỏa :
MA
MB +
MC = 0
5/ Cho ABC và 1 điểm M tùy ý.
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho
MD =
MC +
AB ,
ME =
MA +
BC và
MF =
MB +
CA . CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M.
b/ CMR :
MA +
MB +
MC =
MD +
ME +
MF
-27-
7/ Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/
MA =
MB
b/
MA +
MB +
MC = 0
c/
MA +
MB =
MA
MB
d/
MA +
MB =
MA +
MB
e/
MA +
MB =
MA +
MC
8/ Cho ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi
AD = 2
AB ,
AE = 5
2
AC
a/ Tính
AG ,
DE ,
DG theo
AB và
AC
b/ CMR : D, E, G thẳng hàng.
9/ Cho ABC. Gọi D là điểm xác định bởi
AD = 5
2
AC và M là trung điểm đoạn BD.
a/ Tính
AM theo
AB và
AC .
b/ AM cắt BC tại I. Tính IC
IB và
AI
AM
10/ Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm OAB.
d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các
tỉ số nào ?
e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.
-28-
Chƣơng II
TÍCH VÔ HƢỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1: GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 0
0 đến 180
0)
1/ Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM = và M(x0;y0). Khi đó ta
định nghĩa:
sin của góc là y0; ký hiệu sin = y0
côsin của góc là x0; ký hiệu cos = x0
tang của góc là 0
0
y
x( x0 0); ký hiệu tan = 0
0
y
x
côtang của góc là 0
0
x
y( y0 0); ký hiệu cot = 0
0
x
y
* Dấu của các tỉ số lƣợng giác:
00≤ ≤90
0 90
0< <180
0
sin + +
cos +
tan +
cot +
* Chú ý:
+ tan chỉ xác định khi 900
+ cot chỉ xác định khi 00 và 180
0
2. Tính chất : Hai góc bù nhau (tổng hai góc bằng 1800)
sin( 1800 ) = sin
cos ( 1800) = cos
tan (1800) = tan ( 90
0)
cot ( 1800 ) = Cot ( 0 < < 180
0)
3. Bảng giá trị lƣợng giác của các góc đặc biệt
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác của góc
a.45 0
b.1200
c. 1350
Giải:
a. Sin 450 =
2
2, cos 45
0 =
2
2, tan 45
0=1, cot 45
0 = 1
b. Sin 1200 =
2
3, cos 120
0 = -
2
1, tan120
0 = - 3 , cot120
0= -
3
3
c.
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức
A = Cos 200 + cos 80
0+ cos 100
0+ cos160
0
Giải: A = Cos 20
0+ cos 80
0 + (-cos 80
0) + ( - cos 20
0) = 0
4. Góc giữa hai vectơ
A
BO
b
a
Cho hai véctơ
a ,
b đều 0 . Từ điểm O tuỳ ý dựng
OA=
a ,
OB =
b . Góc 00≤ AOB ≤180
0 được
gọi là góc giữa hai véctơ
a ,
b . Kí hiệu là: (
a ,
b ).
Nếu (
a ,
b )= 900 thì ta nói
a vuông góc
b . Kí hiệu:
a
b
-29-
* Chú ý: :
+ (
a ,
b )= (
b ,
a )
+ (
a ,
b )= 00
a cùng hướng
b
+ (
a ,
b )= 1800
a ngược hướng
b
* Quy ƣớc: Nếu ít nhất một trong hai véc tơ
a và
b là véctơ
0 thì ta có thể xem góc bao nhiêu
cũng được.
Ví dụ (SGKTr39): Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 500
5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lƣợng giác của một góc Xem SGK.Tr39+40
Các hệ thức cơ bản
a) Nếu cos 0 thì tansin
cos
b) Nếu sin 0 thì cos
cotsin
c) 2sin + 2cos = 1
d) tan .cot = 1
e) 1 + tan2 =
2
1
cos
f) 1 + cot2 =
2
1
sin
* Góc phụ nhau
Sin(900- ) = Cos
Cos(900- ) = Sin
tan(900- ) = Cot
cot(900- ) = tan . * Góc đối nhau
sin(- ) = - sin
cos(- ) = cos
* Chú ý: sin2 = (sin)
2 sin
2
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1/ Cho = 1350. Tính sin, cos, tan và cot.
HD: sin1350 = sin(180
045
0)= sin45
0
2/ Cho tam giác cân ABC có B C =150. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc A.
HD: vì 0180 ( )A B C sinA= sin(180030
0)
3/ Tính giá trị các biểu thức sau:
A= asin0o + bcos 0
o + c sin 90
o ;
B= acos90o + bsin 90
o + c sin180
o;
C= a2 sin90
o + b
2cos 90
o + c.cos18O
o;
4/Tính giá trị của biểu thức sau :
A= 3 sin2
90o + 2cos
2 90
o 3tan
245
o;
B= 4 a2 sin
2 90
o 3(a.tan
245
o )
2+ 2a.cos45
o.
5/ Tính giá trị các biểu thức sau:
A= sinx + cosx khi x = 0o, 45
o, 60
o.
B= 2sinx+ cos2x khi x = 60o, 45
o, 30
o.
C= sin2
x + cos2x khi x = 30
o, 45, 30
o,60
o,90
o,145
o.
-30-
6/ Biết cosx= 2
1, tính P = 3sin
2x + 4cos
2x. Kết quả:
7/ a) Cho góc nhọn mà sin=4
1.Tính cos và tan.
b) Cho góc mà cos= 3
1. Tính sin, tan,và cot.
c) Cho tanx= 2 2 . Tính cotx, sinx và cosx.
d) Cho cot = 1
2 . Tính tan, sin và cos.
8/ Chứng minh các hằng đẳng thức :
a) ( sin + cos)2 = 1 + 2sin.cos
b) ( sin cos)2 = 1 2sin.cos
c) sin4x cos
4x = 2sin
2x 1
c) sin4x + cos
4x = 1 - sin
2x cos
2x
d) sinx.cosx( 1+ tanx )( 1 + cotx ) = 1+ 2sinx.cosx.
9/ Đơn giản các biểu thức:
A = cosy + siny . tany; Đáp số: A=1/cosy
B = bcos1 . bcos1 Đáp số: B= sinb (vì sinb>0)
C = sina atg 21 Đáp số: C=
0 0
0 0
tan 0 a<90sin
| cos | tan 90 <a 180
aa
a a
D= sin1000+sin80
0+cos16
0+cos164
0
10/ Tính
a) cos212
0+cos
278
o+ cos
21
0+cos
278
o Đáp số: a) 2; b= 2
b) sin23
o+sin
215
o+ sin
275
o+ sin
287
o .
11/ Đơn giản các biểu thức:
A = sin( 90o x ) cos( 180
o x ) Đáp số: A=cos
2x
B = cos( 90o x ) sin ( 180
o x ) Đáp số: B= sin
2x
Bài 7 : Biết rằng sin15o =
6 - 2
4 Tính các tỉ số lượng giác của góc 15
o.
BÀI TẬP 1
Bài 1 : Tính các hàm số lượng giác (sin ,cos ,tg ,cotg ) của các góc sau
a. = -1500 b. = 135
0 c. = -60
0
d. = -450 e. = -180
0.
Bài 2 : Tính giá trị biểu thức
A = 2sin6 -cos4 +2
1tg( +45
0)+2cos6 , với = 45
0 . Kq
2 A = 0.
B = 3sin600-2cos30
0+3tg60
0-4cotg90
0 Kq
2 B =
2
37
C = 3-sin900 +2cos
260
0-3tg
245
0 Kq
2 C = -
2
1
D = 0
00
000
37sin56137cot
34cot53cos53sin
)tgg(
g)( Kq
2 D = 0
E = 0
000
144cos
54cos36cot126 )g(tg Kq
2 E = -2
Bài 3 : Cho sin =3
1 với 0
0< <90
0 .Tính cos ,tg ,cotg . Kq
2 cos =
3
22
-31-
Bài 4 : Cho cos =17
8 với 90
0< <180
0 . Tính sin ,tg ,cotg . Kq
2 sin =
17
15
Bài 5 : cho tg = 32 . Tính sin ,cos ,cotg ; Kq2 cos =
2)13(
1
Bài 6 : Cho cotg = 22 với 00 < <90
0 . tính sin ,cos ,tg . Kq
2 sin =
3
1
Bài 7 : Cho sin =5
4 . Tính cos ,tg ,cotg . Kq
2 cos =
5
3
Bài 8 : Cho cos = )13(4
2 . Tính sin ,tg ,cotg . Kq
2 sin =
4
26
Bài 9 : Cho sin =5
2 với 90
0< <180
0 .Tính cos ,tg ,cotg . Kq
2 cos =
5
21
Bài 10 : Cho biết
a) sin =3
2 , tính A =
tgαgα
tgαgα
cot
cot Kq
2 A =
9
1
b) tg = -2 , tính B =
sincos
sincos
Kq
2 B =
3
1
c) tg =3 , tính C =
2coscossin32sin2
2cos52sin
Kq2 C =
7
1
d) cos =3
2 , tính D =
gtg
gtg
cot
cot
Kq
2 D =
e) sin = 12 và 00< <90
0, tính E =
cos
cot2 gtg Kq
2 E =
2
324
f) cotg = 5 , tính F =
2sin
cossin2cos Kq
2 F = 20
Bài 11 : Rút gọn các biểu thức sau
A =(1+cos )cotg2 (1-cos ) Kq
2 A = cos
2
B = cos2a +cos
2acotg
2a Kq
2 B = cotg
2a
C =
cos1
sin
sin
cos1
Kq
2 C = 0
D = sin4x + cos
4x + 2sin
2xcos
2x-1 Kq
2 D = 0
E = gygx
tgytgx
cotcot
Kq
2 E = tgxtgy
F = (sin +cos )2-1-2sin cos Kq
2 F = 0
G = cos100 + cos20
0+ cos30
0+…+ cos170
0 + cos180
0 Kq
2 G = -1
H = )0180(cot)0180sin()090(cot
)090(cot)090cos(
g
g
g Kq
2 H = -1
I = cos200
+ cos400 +…+ cos160
0 + cos180
0 Kq
2 I = -1
J = sin(900- ) + sin(180
0- )-cos +sin Kq
2 J = 2sin
K = 2sin -3cos(900- )+tg90
0- )+2cotg(180
0- )+2sin -3cotg
Kq2 K = sin -4cotg
L = sin210
0+sin
220
0+sin
230
0+…+sin
270
0+sin
280
0+sin
290
0 Kq
2 L = 5
M = cos215
0+cos
225
0 + cos
245
0 + cos
265
0+cos
275
0 Kq
2 M =
2
5
-32-
Bài 12 : Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau
a) sin6 + cos
6 = 1 - 3sin2 cos
2
b)
sin1
cos
cos
sin1
c) tg2 - sin
2 = tg2 sin
2
d)
62cos2cot
2sin2tg
g
tg
e)
2sin12cos1
2cos2sin2
f)
2sin
12cot22cos
1 gtg
g) xx
x
x
x
sin
2
cos1
cos1
cos1
cos1
(00 < x < 90
0)
h) xgxxx
xxx 4cot4cos2cos2sin
4sin2sin2cos
i) xx
x
x
x
sin
2
sin
cos1
cos1
sin
j) atga
a 2212sin1
2sin1
k) a
tgaa
a
cos
1
sin1
cos
l) 1cot
12cot.
21
ga
ag
atg
tga
m)
gcot2
2sin
2)cos1(1
sin
cos1
n)
cossin
1
2cos
cot1
2sin1
tgg
o) )cos1(cos
1
3sin
sin
xxx
xtgx
p) xg
xg
xx
x
xx
x
2cot1
2cot1
sincos
cos
sincos
sin
q) 1+ tgx + tg2x + tg
3x =
x
xx
3cos
cossin
r)
x
x
x
x
x sin1
cos
sin1
cos
2
1
cos
1
s) xxtgxxgxx cossin)1(2cos)cot1(2sin
t)
cos1
1
cos1
1
2
cos
= cotg 0
0< <90
0
-33-
u)
gcot2
cos1
cos1
cos1
cos1
0
0< <90
0
v)
tg2
sin1
sin1
sin1
sin1
90
0< <180
0
w) sin3x(1+cotgx)+cos
3x(1+tgx) = sinx+cosx
x) xxxx
xxcos.sin21
2)cos(sin
2cos.2sin41
y) xtg
xxx
xxx 44sin2sin2cos
4cos2cos2sin
Bài 13 : Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc (độc lập với x )
A = cos6x+2sin
6x+sin
4xcos
2x+4sin
2xcos
2x-sin
2x
B = x
xtgxxxxtg 2sin
11)090(2sin)090cos()0180(2sin
21
1
C = sin(900-x)+cos(180
0-x)+sin
2x+sin
2xtg
2x-tg
2(180
0-x)
D = xx
xx
xx
xx
cossin
3cos3sin
cossin
3cos3sin
BÀI TẬP 2
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
a. A=( 2sin 300 + cos 135
0 – 3 tan 150
0)( cos 180
0 -cot 60
0)
b. B= sin290
0 + cos
2120
0- cos
20
0- tan
260
0+ cot
2135
0
Bài 2: Đơn gian các biểu thức:
a) A= Sin 1000
+ sin 800+ cos 16
0 + cos 164
0
b) B= 2 Sin (1800- ) cot - cos(180
0- ) tan cot(180
0- ) . (Với 0
0< <90
0)
Bài 3 : a) Chứng minh rằng sin2x +cos
2x = 1 ( 0
0 x 180
0)
b)Tính sinx khi cosx = 3
5
c) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx = 2
3
d) Chứng minh rằng 1 + tan2 x =
2
1
cos x ( Với x 90
0 )
e) Chứng minh rằng 1 + cot2 x =
2
1
sin x ( Với 0
0 < x < 1800
0 )
Bài 4 : Tính giá trị biểu thức:
A = cos 00 + cos10
0 + cos20
0 + . . . . . . + cos 170
0
B= cos2120
0 - sin
2150
0 +2 tan135
0
Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng
a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC
b) cos(A + C) + cos B = 0
c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0
Bài 6: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G . Tính góc giữa
a) AB và AC b) AB và BC c) AG và BC
d) GB và GC c) GA và AC
7/ Cho ABC. Chứng minh rằng :
-34-
a/ sinA = sin(B + C) b/ cosA = cos(B + C)
c/ sin2
BA = cos
2
C d/ sin
2
A = cos
2
CB
e/ sin2
CBA = cosC
-35-
§2 TÍCH VÔ HƢỚNG 2 VÉCTƠ
1/ Định nghĩa: Tích vô hướng của hai véctơ a và b là một số, kí hiệu là a . b , được xác định bởi:
),cos(. bababa =
Bình phương vô hướng a 2 = a 2
.
* Chú ý: +
a .
b = |
a |.|
b |
a cùng hướng
b
+
a .
b = - |
a |.|
b |
a ngược hướng
b
2/ Các tính chất: Cho a b c ; k R
+ a . b = b . a ( Tính giao hoán)
+ a . b = 0 <=> a b
+ (k a ) b = k ( a b )
+ a ( bc ) = a b a c (Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ )
+ (
a
b )2= |
a |2 2
a
b + |
b |2
+ (
a +
b )(
a -
b ) = |
a |2 - |
b |2
3/ Công thức hình chiếu
Tích vô hướng của hai véctơ
a và
b bằng tích vố hướng của véctơ a với hình chiếu
'b của véctơ
b
trên đường thẳng chứa véctơ
a
a .
b =
a .
'b
4/ Biểu thức toạ độ của tích vô hƣớng
Cho →
a = (x, y) , →
b = (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta có
→
a .→
b = x.x' + y.y'
|→
a | = 22 + yx
Cos (→
a ,→
b ) = 2222 '+'.+
'+'
yxyx
yyxx
→
a →
b xx' + yy' = 0
MN = |→
MN | = 22 )_(+)_( NMNM yyxx
5/ Phƣơng tích của một điểm đối với một đƣờng tròn
Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định, Một đường thẳng thay đổi,
luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B
Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu: P M/(O)
P M/(O) = MO2 – R
2 = .MA MB
Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì P M/(O) = MT2
* Bất đẳng thức vectơ
|
a .
b | |
a |.|
b |
|
a +
b | |
a | + |
b |
Ví dụ 1: Cho →
a = (1, 2), →
b = (-1, m)
a) Tìm m để →
a , →
b vuông góc
b) Tính độ dài →
a , →
b ; tìm m để |→
a | = |→
b |
-36-
Giải
a) →
a →
b -1 + 2m = 0 m = 2
1
b) |→
a | = 5=4+1
|→
b | = 2m+1
|→
a | = |→
b | 2+1=5 m m = 2±
Ví dụ2: cho đều ABC cạnh a và trọng tâm G; tính
AB. AC; AC.CB; AG . AB;GB .GC ; BG. AG ;GA. BC
Giải
AB. AC = a.a cos 600 =
2
1 a
2
AC.CB = a.a cos 1200 = -
2
1 a
2
AG . AB = 20
2
1=30cos
3
3aa
a
GB GC = =120cos3
3a
3
3a 0
6
a2
-
BG AG =6
=603
3
3
3 20 aaa
cos
GA BC=0 vì GABC
Ví dụ 3: Trong Mp(Oxy) cho 2 điểm M(-2;2),N(4,1)
a)Tìm trên trục ox điểm P cách đều 2 điểm M,N
b)Tính cos của góc MON
Giải a) p ox => P( xp,0)
MP = NP <=> MP2
= NP2
<=> (xp +2)2 + 2
2 = ( xp -2)
2 + 1
2
Vậy P (4
3,0)
b) )1,4(=ON),2,2(=OM -
Cos MON = cos(OM ,ON )=17.8
1.2+4.2-=
34
3 -
BÀI TẬP
1/ Cho ABC vuông tại A có AB = 3a, AC = 4a.
Tính
AB .
AC ,
CA .
AB ,
CB .
CA ,
AB .
BC
2/ Cho ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8
a/ Tính
AB
AC rồi suy ra góc A
b/ Tính
CA .
CB
c/ Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = 3. Tính
CD .
CB ,
AD .
AB
3/ Cho hình vuông ABCD cạnh a.
-37-
a/ Tính
AB .
AC
b/ Tính
AB .
BD
c/ Tính (
AB +
AD )(
BD +
BC )
d/ Tính (
AC
AB)(2
AD
AB)
4/ Cho ABC đều có cạnh bằng a và I là trung điểm BC. Tính các tích :
AB .
AI ,
AC .
BC ,
AI .
BC ,
AI .
CA
5/ Cho ABC biết AB = 2; AC = 3 và A = 120o
a/ Tính
AB .
AC
b/ Tính BC
c/ Tính độ dài trung tuyến AM
d/ Gọi I, J là 2 điểm xác định bởi 2
IA
IB = 0
;
JB 2
JC = 0
. Tính IJ
6/ Trong mp Oxy cho A(1; 5), B(1; 1), C(3; 4)
a/ CMR ABC vuông tại A
b/ Tính
BA .
BC
c/ Tính cosB
7/ Trong mp Oxy cho A(3; 1), B(1; 3), C(3; 5)
a/ CMR ABC vuông.
b/ Tính
AB .
AC
c/ Tính cosA
8/ Cho a
= (4; 3) , b
= (1; 7)
a/ Tính a
. b
b/ Tính góc giữa 2 vectơ a
và b
9/ Cho ABC có AB = 2 ; BC= 4 ; AC = 3
a) Tính
AB .
AC vâ suy ra cosA ?
b) Gọi G là trọng tâm . Tính
AG .
BC ?
ĐS: a) -2
3; -
4
1 b)
3
5
10/ Cho ABC có AB = 2 ; AC = 3 ; A = 120o
a) Tính
AB .
AC và suy ra độ dài BC ?
b) Tính độ dài trung tuyến AM ?
ĐS: a) BC = 19 b) 7 /2
11/ Cho ABC có AC 2 ; BC= 4 ; AB= 3 ; có AD là phân giác trong
a) Tính
AD theo
AB ;
AC b) Tính AD ?
ĐS: a)
AD = 5
3
AB + 5
2
AC ; -2
3 b)
5
36
-38-
C. BÀI TẬP:
A. Trắc nghiệm :
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a ; BC = 2a
* Tính tích vô hướng CA .CB
a) a2 b) 3a
2 c) a2
3
d) 1
2 a
2
* Tính tích vô hướng BA . BC
a) a2 b) a2
3
c) - a2
d) 1
2 a
2
Câu 2: Cho a =(3; -1) và b =(-1; 2). Khi đó góc giữa a và b là
a) 300 b) 45
0 c) 135
0 d) 90
0
Câu 3:Cho a =( 2 ; 5) và b = (3 ; -7). Khi đó góc giữa a và b là
a) 450 b) 30
0 c) 135
0 d) 120
0
Câu 4: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4). Tìm giá trị của m để A ; B ; C thẳng hàng
a) m = 2 b) m = 3 c) m = -2 d) m = 1
Câu 5: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D để ABDC là hbh
a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
Câu 6: Cho tam giác ABC với A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4). Tam giác ABC là tam giác gì
a) Cân b)Vuông cân c) Vuông d)Đều
Câu 7: Cho AB =(2x - 5 ; 2) ; AC =(3 – x; -2). Định x để A , B , C thẳng hàng
a) x = 2 b) x = -2 c) x = 1 d) x = -1
Câu 8: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Phát biểu nào đúng
a) AB = AC b) AG = 3
2AC c) AG . AB = AG AC d) GA 2
+GB 2 + GC 2
= 0 2
Câu 9:Cho (O,5), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 9, IB = 16
a) IO= 13 b) IO= 12 c) IO= 10 d) IO= 15
C âu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4). Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp ABC:
a) I(2;5) b) I(2
3; 2) c)I(9; 10) d)I(3;4)
Câu 11:Đường tròn qua 3 điểm A(1;2) ; B(5;2) C(1 ; -3) có tâm I là :
a) I( 2; 1) b) I( -2; 1) c) I( 3; -0.5) d) I( 2; -0.5)
Câu 12: Phát biểu nào là sai
a) Nếu AB = AC thì AB = AC b) Nếu a b = a . c thì b = c
c) AB . AC = BA .CA d) AB -CD = DC - BA
Câu 13: Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng
a) AB = AC b) AB + AC = 2a c) AB . AC = a2 d) AG . BC = 0
-39-
Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh a .Kết quả nào đúng
a) AB . AC = a2 b) AB . AD = a
2 c) AC . BD = 2a
2 d) AB .CD = 0
Câu 15:Cho (O,30), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 54, IB = 96
a) IO= 69 b) IO= 78 c) IO=84 d) IO=81
Câu 16:Chỉ ra công thức đúng
a) a2
= a b) a2
= a c) a2
= a d ) a2
= a
Câu 17 : Cho tam giác đều ABC cạnh a.Tích vô hướng AB . BC nhận kết quả nào
a) a2
2
3 b) -
2
2
a c) 2
2
a d) a2
Câu 18:Cho AB .CD = AB. CD thì phát biểu nào sau đây là đúng:
a) AB ngược hướng CD b) A, B, C, D thằng hàng
c) AB cùng hướng CD d) AB = CD
Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vuông tại C thì giá trị của m là :
a) m = 1 hay m = 6 b) m = 0 hay m = 7 c) m = 0 hay m = -7 d) m = 1 hay m = 7
Câu 20: Cho a =(m2 -2m+2 ; 3m-5), b =(2;1) . Tìm giá trị của m để a b
a) m = 1 b)m = -1
2 c)m = 1 hoặc m = -
1
2 d) Cả a ; b ; c đều đúng
Câu 21: Cho a =(4;3) và b =(1;7). Khi đó góc giữa 2 vec tơ ( a , b ) là :
a) 300 b) 45
0 c) 60
0 d) Kết quả khác
Câu 22: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm:
*. Phương tích của G với đường tròn đường kính BC
a) -
2a
6 b)
2a
4 c) -
2a
3 d) -
2a
2
*. Phương tích của A với đường tròn đường kính BC
a)
2a
2 b)
2a
4 c) a
2 d)
23a
4
Câu 23: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a:
*. Phương tích của A với đường tròn đường kính CD
a) a b)a2 c)2a
2 d)
a
2
*. Phương tích của A với đường tròn tâm C có bán kính = a
a)
2a
2 b)
2a
4 c) a
2 d) 2a
2
B.Tƣ luận Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1).
a) Chứng minh rằng tam giác vuông
b) Xác định tâm đương tròn ngoại tiếp
c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác
-40-
Bài 2: Cho A (-1 ; -1) và B (5; 6)
a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM cân tại M
b) Tìm N y’Oy để tam giác ABN vuông tại N
c) Xác định H,K để ABHK là hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm
d) Xác định C thỏa 3 AC - 4 BC = 2 AB
e) Tìm G sao cho O là trọng tâm tam giác ABG
f) Xác định I x’Ox để IA + IB+ IN đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho A(-2;1) và B(4;5)
a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM vuông tại M
b) Tìm C để OACB là hình bình hành
Bài 4: Cho a =(1
2; -5) và b =( k ; -4). Tìm k để:
a) a cùng phương b
b) a vuông góc b
c) a = b
Bài 5: Cho a =(-2; 3) ; b =( 4 ; 1)
a) Tính cosin góc hợp bởi a và b ; a và i ; a và j ; a + b và a - b
b) Tìm số m và n sao cho m a +n b vuông góc a + b
c) Tìm d biết a . d = 4 và b . d = -2
Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2).
a) Tam giác ABC là tam giác gì . Tính diện tích tam giác
b) Gọi G , H , I là trọng tâm , trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Tính G, H , I và CMR GH +2 GI = 0
Bài 7: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2)
a) Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng
b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành
c) Tìm điểm M trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B
d) Tam giác ABC là tam giác gì ?
e)Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
Bài 8: Cho ABC có AB=7, AC=5, Â = 1200
a) Tính AB. AC, AB. BC
b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC)
Bài 9: Cho 4 điểm bất kỳ A,B,C.D: chứng minh rằng:
DA BC+ DB CA+ DC AB=0
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lý “3 đường cao của một tam giác đồng quy”
Bài 10: Cho ABC có 3 trung tuyến AD, BE,CF; CMR:
BC AD +CA BE+ ABCF=0
Bài 11 : Cho ABC có AC= b, AB= c, góc BAC = và AD là phân giác
của góc BAC ( D thuộc cạnh BC)
a) Hãy biểu thị AD qua AB, AC
b) Tính độ dài đoạn AD
5) Cho 2 điểm M,N nằm trên đường tròn đường kính AB= 2 R, AM∩BN =I
a) Chứng minh: AM AI = AB AI
BN BI = BA BI
b) Tính AM AI + BN BI theo R
Bài 11: Cho đoạn AB cố định, AB= 2a, k IR, Tìm tập hợp điểm M sao cho:
a) MA MB = k
b) MA2 - MB
2 = k
2
-41-
Bài 12: Từ điển M ở ngoài đt (0) vẽ các tuyến MAB với đt (0) (A,B (0) ; 2 tiếp tuyến tại A,B của
đường tròn (0) cắt nhau tại I, IO AB tại D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO tại H và lần lượt
cắt AB tại C; cắt đường tròn (0) tại E, F
Chứng minh :
a. MD.MC=MB.MA
b. OF2 = OM.OH
c. IH.IC=FI.IE
d. PM/(ICD) + PI/(MCH) = IM2
( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: : ICD, MCH)
Bài 13:. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc
một đường tròn khi và chỉ khi MD.MC=MB.MA
Bài 14:. Trong mặt phẳng toạ độ cho →→→
j 5-i2
1=u và
→→→
ik= j4-v
Tìm các giá trị của k để :
a. →→
⊥vu b. →→
v=u
Bài 15:. Cho →
a = (-2, 3), →
b = (4,1)
a. Tim côsin của góc giữa mỗi cặp vectơ sau :
* →
a và →
b , →
a và →
i , →
a + →
b và →
a - →
b
b. Tìm các số k và l sao cho →
c = k→
a + l→
b Vuông góc với →
a + →
b
c. Tìm vectơ d biết .ad 4
b.d 2
Bài 16:. Cho hai điểm A (-3,2) B(4,3) tìm toạ độ của
a. Điểm M ox sao cho MAB vuông tại M
b. Điểm N oy sao cho NA = NB
c. Điểm K oy sao cho3 điểm A,K,B thẳng hàng
d. Điểm C sao cho ABC vuông cân tại C
Bài 17:. Cho 3 điểm A (-1,1) B(3,1), C(2,4)
a. Tính chu vi và diện tích ABC
b. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC; tìm toạ độ A’
c. Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC; từ đó chứng
minh 3 điểm I,H,G thẳng hàng.
Bài 18:. Cho 4 điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một
đường tròn
Bài 19:. Biết A(1,-1), B (3,0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD; tìm toạ độ các đỉnh C và D.
Bài 20: Cho M cố định ngoài dường tròn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB và 2 tiếp tuyến CT và CT’. Gọi D là
giao điểm của TT’ và AB. H và I lần lượt là trung điểm của của TT’ và AB
a) CMR : MA . MB = MO MH = MI MD
b) Cho AB = 8 cm. Gọi (C1) là đường tròn tâm A, bán kính = 4 cm, (C2) là đường tròn tâm B,
bán kính = 3cm. Tìm tập hợp N thoả P N/(C1) + P N/(C2) = 15
Bài 21: Cho (O;7), điểm I thỏa OI =11. Qua I vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD
Cho IA = 12, tính IB
Cho CD = 1; tính IC ; ID
Bài 22: Điểm I nằm trong (O;R), qua I vẽ 2 dây AB và CD. Tính IC ; ID
a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32
-42-
b) IA =12 ; IB = 18 ; 3
8
IC
ID
Bài 23: Cho (O;20) OM = 30, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB . Cho AB = 5
a) Tính MT ; MA ; MB
b) Đường tròn ngoại tiếp AOB cắt MO tại E. Tính OE
Bài 24: Cho (O;30); I ở ngoài đường tròn , vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD ; tiếp tuyến IT. Đường thẳng IO cắt
đường tròn tại E và F . Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64. Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF
Bài 25: Cho tam giác ABC có 3 đường cao AA’ ; BB’ ; CC’ đồng quy tại H
CMR : . 'HA HA = . 'HB HB = . 'HC HC
Bài 26:Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. M là 1 điểm trên cạnh AB kéo dài. Qua M lần
lượt vẽ 2 tiếp tuyến MT, MT’, 2 cát tuyến MCD, MC’D’ đối với (O) và (O’)
CMR MT = MT’ và CDD’C’ nội tiếp
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy điểm
M ( không ở trên đường BC kéo dài). CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM)
Bài 28: tam giác ABC nội tiếp trong (O), M là trung điểm BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt
đường thẳng BC tại 1 điểm thứ 2 là E và cắt (O) tại D. AD cắt BC tại F.Chứng minh rằng:
a) .FB FC = .FE FM
b) .EB EC = .EF EM
c) EA tiếp xúc với (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF
Bài 29: Cho P nằm ngoài (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động,tiếp tuyến với (O) vẽ từ A và B cắt nhau M. Vẽ
MH vuông góc với OP.
a) CMR : 5 điểm O , A , B, M , H ở trên 1 đường tròn
b) Tìm tập hợp M khi PAB quay quanh P
c)Gọi I là trung điểm AB, N là giao điểm của PAB và MH . CMR .PA PB = .PI PN
Bài 30: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm M ở ngoài (O) sao
cho MA = 3
2
R. Từ M vẽ tiếp tuyến MT
a) Tính MT theo R
b) Gọi TH là đường cao trong TMO. Chứng minh rằng : .MH MO = .MA MB
c) Tính H/(O)
d)Vẽ cát tuyến MCD, CMR tứ giác CDOH nội tiếp
e) AD và BC cắt nhau tại N. CMR : .AN AD + .BN BC = 4R2
Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) và (B,3). Tìm tập hợp M thỏa M/(A) +M/(B) = 15
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . M, N là 2 điểm cùng phía trên tiếp tuyến kẻ từ B. AM và AN
cắt (O) tại M1 và N1.
a) CMR tứ giác MNN1M1 nội tiếp
b) Giả sử AB = BN = 10; BM = 5. Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1
Bài 32: M là 1 diểm trên nửa đường tròn đường kính AB . H là hình chiếu của M xuống AB . Đường tròn
đườg kính MH cắt MA ; MB tại P,Q và cắt nửa đường tròn tại E
a) CMR tứ giác APQB nội tiếp
b) CMR 3 đường AB ; PQ ; ME đồng quy
Bài 33: Cho 3 điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự. AB = 5 ; BC = 7. Đường tròn di động qua A , B có
tâm là O. Vẽ 2 tiếp tuyến CT ; CT’. Gọi D là giao điểm TT’ với AB. Gọi H; I lần lượt là trung điểm của
đọan TT’, AB
a) Tìm tập hợp T; T’
b) CMR : .CA CB = .CO CH = .CI CD
c) CMR : Điểm D cố định. Suy ra tập hợp H
Bài 34 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 4; A ngoài (O), AB = 6 ; AC = 5. AC , AB cắt (O) tại D
và E
a) Tính AO , AE , AD
b) Qua A vẽ AH BC và cắt (O) tại F ; K. Lấy M (O). Gọi BMAH = I ; CMAH = J
-43-
Chứng minh rằng .IF IK = .IH IJ
Bài 35: Cho 2 đường tròn (O;10) ; (O’;20) tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung BB’ cắt OO’ tại I và cắt
tiếp tuyến chung qua A tại M
a) Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’
b) CMR: IA2 = IB.IB’. Suy ra OO’ tiếp xúc đường tròn đường kính BB’
c) CMR : IM2 = IO.IO’. Suy ra BB’ tiếp xúc đường tròn đường kính OO’
-44-
A
B C H1 M1
H2 H3
b
a
c
B
A
CH
§3 HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Các kí hiệu trong tam giác
BC = a; AC = b; AB = c
ha = AH1; hb = BH2; hc = CH3
ma = AM1; mb = BM2; mc= CM3
R : bán kính đường trón ngoại tiếp tam giác.
r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
p = 2
cba nửa chu vi.
* Các góc ở đỉnh A,B,C được kí hiệu là A, B, C.
* ma là đường trung tuyến nối từ đỉnh A.
2. Định lý cosin trong tam giác
Với mọi tam giác ABC ta có:
a2 = b
2+ c
2 - 2bcCosA ; b
2 = a
2 + c
2 - 2acCosB ; c
2 = a
2 + b
2 - 2abCosC
Ví dụ: Cho tam giác ABC có b= 32 , c = 5 và cosA=5
3. Tính cạnh còn lại.
3. Định lý sin trong tam giác
Trong tam giác ABC ta có: a=2RsinA; b= 2RsinB;c= 2RsinC
hay RSinC
c
SinB
b
SinA
a2
Ví dụ: Tìm R biết A = 600; b=8cm; c = 5 cm.
4. Định lý trung tuyến
42
2222 acb
ma
42
2222 bca
mb
42
2222 cba
mc
5. Các công thức tính diện tích
Cho tam giác ABC thì diện tích S được tính theo một trong các công thức sau:
. SABC = aah2
1= cb chbh
2
1
2
1
. SABC = BacCab sin2
1sin
2
1 = Abcsin
2
1
. SABC = R
abc
4
. SABC = pr
. SABC = ))()(( cpbpapp
VI DỤ : Cho ABC có a = 7, b = 8, c = 5; tính : Â, S, ha, R, r, ma
Giải :
a2 = b
2 + c
2 - 2bc cosA 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos Â
Cos A = ½ Â = 600
S = ½ 8.5. 310=2
3; ha =
7
320=
a
S2; R =
3
37=
4S
abc; r = 3=
p
S; ma =
2
129
* Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông
Cho ABC vuông tại A, đường cao AH
Ta có các hệ thức sau:
-45-
2 2 2 2 2
2
2 2 2
; . ; .
AH . ; . .
1 1 1
AH
sin ;cos
BC AB AC AB BH BC AC CH CB
HB HC AH BC AB AC
AB AC
doi ke
huyen huyen
-46-
BÀI TẬP HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH.
Tính AH; CH; BH; BC nếu biết AB = 3; AC = 4.
Bài 2 : Cho hình thang ABCD với đường cao AB. Biết rằng AD = 3a; BC = 4a;
góc BDC = 900. Tính AB; CD; AC.
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại C, CD là đường cao, DA = 9; DB = 16.
Tính CD ; AC ; BC.
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, AH là đường cao (HBC).
Gọi I là điểm thuộc AB sao cho AI = 2BI, CI cắt AH tại E. Tính CE .
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A , 3
2
AC
AB. Đường cao AH = 6.
Tính HB ; HC ; AB ; AC.
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao , BH = 1, AC = 52 .
Tính AB ; BC ; AH.
Bài 7 : Cho tam giác ABC. Tính ha , R , r nếu biết :
a) AC = 8 ; AB = 5 ; góc A = 600.
b) BC = 21 ; CA = 17 ; AB = 8 .
c) BC = 2 ; AC = 3 ; AB = 4 .
d) a = 6 ; b = 2 ; c = 3 + 1.
e) a = 7 ; b = 5 ; c = 8 .
f) a = 2 3 ; b = 2 2 ; c = 26 .
g) a = 4 17 ; b= 6 ; c = 8 .
Bài 8 : Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 3. Trên đoạn AB,BC lần lượt lấy các
điểm M, K sao cho BM = 2, BK = 2. Tính MK.
Bài 9 : Cho tam giác ABC có cosA =9
5 ,D thuộc cạnh BC sao cho ABC = DAC,
DA = 6 , BD = 3
16. Tính chu vi tam giác ABC.
Bài 10 : Cho tam giác ABC biết a = 4, b = 3, c = 2 , M là trung điểm AB. Tính bán
kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM.
Bài 11 : Tính góc A của tam giác ABC , biết rằng: b(b2-a
2) = c(a
2-c
2).
Bài 12 : Cho tam giác ABC có b = 4, c = 3 , S= 33 . Tính cạnh a.
Bài 13 : Cho tam giác ABC có b = 6, c = 7 , C = 600. Tính cạnh a.
Bài 14 : Cho tam giác ABC vuông ở B, kéo dài AC về phía C một đoạn CD=AB=1
góc CBD = 300 . Tính AC.
Bài 15 : Cho tứ giác ABCD có ABC = ADC = 900, AB = a, AD = 3a, BAD = 60
0
Tính AC.
Bài 16 : Cho tam giác ABC có A = 600, hc= 3 , R = 5. Tính a, b, c.
Bài 17 : Cho tam giác ABC có B < 900, AQ và CP là hai đường cao và PQ= 22
9
1
)(
)(
ABCdt
BPQdt. Tính cosB và R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Bài 18 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, M là trung điểm AC. Tính
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM.
Bài 19 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3 . Một điểm M nằm trên cạnh BC
sao cho BM = 1
a) Tính độ dài đoạn thẳng AM và Cosin của góc AMB.
b) Tính bk đường tròn ngoại ,nội tiếp tam giác ABM.
c) Tính độ dài trung tuyến vẽ từ C của tam giác ACM.
-47-
Bài 20 : Cho tam giác ABC với A=600 bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 3/7
và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 3 . Tính diện tích và chu vi tam giác.
Bài 21 : Cho tam giác ABC, biết sinA =3
2 ( 0
0 < A < 90
0 ), b = 3 , c = 54 .
Tính bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác.
Bài 22 : Cho tam giác ABC cân có AB =AC =5a;BC = 5a. Gọi M là trung điểm BC,
Gọi NAB và AN = a.
a) Tính MN.
b) Tính bán kính đường tròn nội ,ngoại tiếp tam giác AMN.
Bài 23 : Cho tam giác ABC đều có cạnh 4a ,lấy DBC ; EAC ; FAB sao cho
BD = x ( 0 < x <4a ) , AE = a ; AF = 3a
a) Tính EF.
b) Xác định x để tam giác DEF vuông tại F.
Bài 24* : Cho tam giác ABC vuông tại C, AD là đường phân giác trong, BD = 4 ,
CD = 3 . Tính AB ; BC ; AC.
Bài 25 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Vẽ đường cao AH, BK.
Tính BK biết BC = 4 ; AH = 2.
Bài 26 : Cho hình thang vuông ABCD ( đường cao AB ) ngoại tiếp đường tròn
đường kính r , cho góc C = 600. Tính các cạnh của hình thang.
Bài 27:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong AD chia cạnh huyền
thành những đoạn thẳng có độ dài bằng 7
15 và
7
20 . Tính các cạnh góc vuông
và đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.
Bài 28 : Cho hình vuông ABCD. Đường thẳng qua A cắt BC tại M và đường thẳng
cắt CD tại I. Tính AB biết AM = 3, AI = 2.
Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh BC. Tính
MA biết MB = 1, MC = 4.
Bài 30 :Cho tam giác ABC có góc A = 600,đường cao AH (H nằm khoảng giữa BC)
Tính AH biết BH = 2a, CH = a.
Trắc Nghiệm
Câu1 : Cho tam giác ABC có a= 6 cm ; b= 2cm ; c= ( 3 + 1) cm ;
*. Khi đó số đó góc A là
a) 600 b) 45
0 c) 120
0 d) 30
0
*. Khi đó số đó góc B là
a) 600 b) 45
0 c) 90
0 d) 30
0
*. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R là :
a) 2 cm b) 3 cm c) 2 cm d) 3 cm
*. Chiều cao ha là :
a) (1 3)
2
b)
(1 3) 2
2
c)
(1 2)
2
d)
3
2
Câu2 : Cho tam giác ABC có b= 4 ; c = 5 ; góc A = 1200 thì diện tích là
a) S = 10 3 b) S = 5 3 c) S =5 d)S = 20 3
Câu3 : Cho tam giác ABC có b= 2 ; c = 3 ; a = 19 thì giá trị góc A là :
a) 450 b) 60
0 c) 90
0 d)120
0
Câu 4: Cho tam giác ABC có a= 8 ; c= 3 ; góc B = 600. Độ dài cạnh b là bao nhiêu
a) b = 49 b) b= 61 c) b = 7 d)b= 97 Câu 5: Cho tam giác ABC có a= 3 ; b= 7 ; c= 8 ; góc B bằng bao nhiêu
-48-
a) 600 b) 30
0 c) 45
0 d) 72
0
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có a= 10 cm ; c= 6cm ; bán kính đường tròn nội tiếp r là
a) 2 cm b) 1 cm c) 2 cm d) 3 cm
Câu 7: Cho tam giác ABC có a= 10 cm ; b= 6cm ; c= 8 cm ; đường trung tuyến AM có độ dài
a) 4 cm b) 5 cm c) 6cm d) 7 cm
Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có AB = a ; BC = a 2 và góc BAC = 450 .
Diện tích hình bình hành là
a) 2a2 b) a
2 c) a
2
2
2 d) a
2 2
Câu 9: Cho tam giác ABC có b= 8 cm ; c= 5cm và góc A = 600 .
*. Cạnh BC là
a) 14cm b) 7cm c) 12cm d) 10cm
*. Diện tích tam giác :
a) S = 10 2 b) S = 5 2 c) S = 10 3 d) S = 10
*. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R là :
a) R= 27
3 b) R =
7 3
3 c)R =
27
2 d) R = 7 3
*. Chiều cao ha là :
a) ha= 20 3
7 b) ha=
20 3
3 c) ha =
10 3
7 d) ha =
10 3
3
TỰ LUẬN Bài 1: Cho tam giác ABC
1) a=5 ; b = 6 ; c = 7. Tính S, ha, hb , hc . R, r
2) a= 2 3 ; b= 2 2 ; c= 6 - 2 . Tính 3 góc
3) b=8; c=5; góc A = 600. Tính S , R , r , ha , ma
4) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , ha , ma
5) A = 600; hc = 3 ; R = 5 . tính a , b, c
6) A=1200;B =45
0 ;R =2. tính 3 cạnh
7) a = 4 , b = 3 , c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC ( I trung điểm AB)
8) Cho góc A nhọn, b = 2m 2 ,c = m , S = m2. Tính a . la
9) C = 3 , b = 4 ; S = 3 3 . Tính a
10) Nếu A = 900. CMR:
*. la =
2
sin
( )sin
bc A
Ab c
*.r = 2 21
2(b c b c ) *.
1 1 1 1
a b cr h h h
*. M BC; góc BAM = . CMR: AM = .cos .sin
bc
b c
11) Cho A=1200. CMR :
1 1 1
a b cl
12) CMR : *. cotA + cotB + cotC = 2 2 2
a b cR
abc
-49-
*. 2 2 2
2 2 2
tan
tan
A a c b
B b c a
13)
3 3 32
2 .cos
b c aa
b c a
a b C
. Tam giác ABC là tam giác gì
14) S = p(p – c) . Tam giác ABC là tam giác gì
15) S = 1
4(a + b – c)(a + c - b). Tam giác ABC là tam giác gì
16) acosB = bcosA. Tam giác ABC là tam giác gì
17) mb2 +mc
2 = 5ma
2 . Tam giác ABC là tam giác gì
18) 2sin
.cossin
AC
B . Tam giác ABC là tam giác gì
19) Cho AB = k . Tìm tập hợp M thỏa MA2 + MB
2 =
25
2
k
20) Gọi G là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng
*.GA2 + GB
2 + GC
2 = 1/3 (a
2+ b
2+ c
2)
*. ma2 +mb
2 +mc
2 =
3
4(a
2 +b
2 +c
2)
*. 4ma2= b
2 + c
2 + 2bc.cosA
21) CMR S =2R2sinA.sinB.sinC
S=Rr(sinA + sinB + sinC)
a =b.cosC + c.cosB
ha = 2RsinBsinC
sinB.cosC +sinC.cosB = sinA
22) Chứng minh rằng 2 2 2
2a b c
pb c a . Nếu dấu “=” xảy ra thì ABC là tam giác gì ?
2 2 2
1b c a
a b c
h h h
rh h h
23) Cho b + c = 2a . Chứng minh rằng 2 1 1
a b ch h h
24) Định x để x2+x+1 ; 2x+1 ;x
2 -1 là 3 cạnh tam giác. Khi đó CMR tam giác có góc = 120
0
25) Đường tròn nội tiếp tiếp xúc 3 cạnh tam gíac tại A1;B1;C1. CMR : SA1B1C1 =
2
2
pr
R
26) 2 trung tuyến BM = 6, CN = 9 và hợp với nhau 1 góc 1200 tính các cạnh của ABC
Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi là góc hợp bởi 2 đường chéo AC và BD.
-50-
a) CMR SABCD = 1
2AC.BD.sin
b) Vẽ hình bình hành ABDC’. Chứng minh rằng : SABCD = SACC’
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của 2 đường chéo AC và BD.
Chứng minh rằng : AB2 + BC
2 +CD
2 + DA
2 = AC
2 + BD
2 + 4 IJ
2
-51-
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
-52-
........................................................................................................................................................................
-53-
CHƢƠNG III
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
I. Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng-Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
1/ Véctơ chỉ phương của đường thẳng
ĐN: Vectơ u được gọi là vectô chỉ phương (vtcp) của đường thẳng d nếu 0u và giá của
u song song hoặc trùng với d.
NX: + Vectơ k u cũng là vtcp của đường thẳng d (k 0). Do đó d có vô số vtvp.
+ Một đường thẳng được xđ nếu biết vtcp và moät điểm trên đường thẳng đó.
d
2/ Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng d qua M0(x0;y0) và có véctơ chỉ phương u =(u1;u2)
là:
0 1
0 2
x x u t
y y u t
( t: là tham số)
Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong trường hợp sau:
d đi qua M(2;1) và có vtcp u =(3;4)
3/ Hệ số góc của đƣờng thẳng
+ Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u =(u1;u2), u10. Khi đó hệ số góc k là: k = 2
1
u
u
+ Phương trình đường thẳng d qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k là:
yy0 = k(xx0)
Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(3;5) và B(6;2). Tìm hệ số
góc của đường thẳng?
Giải
Ta có vtcp là (3; 3)AB .
Vậy phương trình tham số của d đi qua A, B có vtcp (3; 3)AB là: 3 3
5 3
x t
y t
Hệ số góc k=3/3 k= 1
* Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có một véctơ chỉ phương là u =(1;k)
4/ Phương trình chính tắc của đường thẳng (10NC)
+ Nếu u10, u20 thì phương trình chính tắc của đường thẳng d là:
0 0
1 2
x - x y - y=
u u
+Nếu u1=0 hoặc u2=0 thì đường thẳng không có phương trình chí tắc.
( Nhưng 0 0
20 u
x x y y , với quy ước xx0=0 thì pt này gọi là pt chính tắc của d)
II/Véctơ pháp tuyến của đƣờng thẳng, Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
1/ Véctơ pháp tuyến của đường thẳng (pháp véctơ)
ĐN: Vectơ n được gọi là vectô pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng d nếu 0n và giá của
n nằm trên đường vuông góc với d ( nd).
NX: + Vectơ k n cũng là vtpt của đường thẳng d (k 0). Do đó d có vô số vtpt.
u
-54-
+ Một đường thẳng được xđ nếu biết vtpt và moät điểm trên đường thẳng đó.
2/ Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
Phương trình tổng quát của dường thẳng d có dạng: ax+by+c=0 (a2+b
20)
d có véctơ pháp tuyến là n =(a;b)
* Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M0(x0,y0) có vtpt n =(a;b) là:
a(xx0)+b(yy0)= 0
* Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA), B(xB;yB) là:
Ta tìm VTCP AB VT pháp tuyến n pttq đia qua A và có vtpt n
* Nhận xét: Tọa độ của hai véctơ chỉ phương và véctơ pháp tuyến của một đường thẳng là
đổi chỗ cho nhau và đổi dấu ở một vị trí (hoành độ hoặc tung độ)
Nếu đường thẳng d có vtpt là n =(a ; b) thì d có vtcp là u =(b ; a) hoặc u =(b ; a)
Ví dụ: n =(5;1) thì u =(1; 5) hoặc u =(1; 5)
u =(4;6) thì n =(6;4) hoặc n =(6;4)
(Vì u là vtcp thì k u cũng là vtcp, n vtpt thì k n cũng là vtpt)
Ví dụ: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d biết
a) d đi qua M(2;3) và có vtpt n =(5;1). Đáp số: 5x+y+7= 0
b) d đi qua M(2;4) và có hệ số góc k=2. Đáp số: 2xy=0
c) d đi qua hai điểm A(3;5), B(6;2). Đáp số: x+y8=0
* Cách chuyển từ pt tổng quát sang pt tham số:
Đặt x= t, từ pt tổng quát y theo t
* Cách chuyển từ pt tham số sang pt tổng quát
Từ pt của x t= , thế t vào y pt tổng quát.
Ví dụ 1: Cho d có pt tham số là 2 3
1 4
x t
y t
, tìm pt tổng quát của d?
Đáp số: 4x3y5= 0
Ví dụ 2: Cho d có pt tổng quát là : x+y8=0. Tìm pt tham số của đường thẳng?
Đáp số: 8
x t
y t
* Các dạng đặc biệt:
+ Đường thẳng by+c=0 song song hoặc trùng trục Ox.
+ Đường thẳng ax+c=0 song song hoặc trùng trục Oy.
+ Đường thẳng ax+by=0 di qua góc tọa độ.
+ Đường thẳng đi qua A(a;0), B(0;b) có phương trình 1x y
a b (a0, b0) gọi là
phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
3/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng quát
1 1 1 1 2 2 2 2: a 0; : a 0x b y c x b y c
Số điểm chung của hai đường thẳng chính là số nghiệm của hệ: 1 1 1
2 2 2
a 0
a 0
x b y c
x b y c
Nếu a20,b20, c20 thì
1 cắt 2 1 1
2 2
a
a
b
b ; 1 // 2
1 1 1
2 2 2
a
a
b c
b c ; 1 2
1 1 1
2 2 2
a
a
b c
b c
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cạp đường thẳng sau:
a) d1: 4x10y+1=0 và d2: x+y+2= 0 cắt nhau
-55-
b) d3: 12x6y+10=0 và d4: 2xy+5= 0 song song
c) d5: 8x+10y12=0 và d6: 4x+5y6= 0 trùng nhau
-56-
4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng có pt tổng quát là ax+by+c= 0 và một điểm M0(x0;y0). Khi đó khoảng
cách từ M0 đến được xác định:
0 0
02 2
( , )a
ax by cd M
b
* Nếu M0 thuộc thì d(M0,)=0
Ví dụ: Tính khoảng các từ điểm đến các đường thẳng sau
a) A(3;5), 1: 4x+3y+1= 0 Kết quả : 28/5
b) B(1;-2), 2: 3x-4y-26= 0 Kết quả :3
c) I(3;-2), 3:3x+4y-11=0 Kết quả : 2
5/ Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng quát
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
: a 0 (a ; )
: a 0 (a ; )
x b y c vtpt n b
x b y c vtpt n b
Khi đó, góc giữa hai đường thẳng (00 ≤ ≤ 90
0) được tính:
1 2 1 21 2
2 2 2 21 2 1 1 2 2
a .a .| . |cos cos
| | . | | a . a
b bn n
n n b b
* Chú ý: +Khi hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau ta quy ước góc giữa chúng là 00
+ 1 2k1.k2= -1 ( 1 2n n a1.a2+b1.b2= 0)
Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1: 4x2y+6= 0; d2: x3y+1=0. Tìm số đo góc tạo bởi hai
đường thẳng d1, d2.
Giải
cos(d1,d2)=2 2 2 2
| 4.1 ( 2).( 3) | 1 2
224 ( 2) . 1 ( 3)
Vậy góc giữa hai đường thẳng là 450.
6/ Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng quát
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
: a 0 (a ; )
: a 0 (a ; )
x b y c vtpt n b
x b y c vtpt n b
Khi đó pt đường phân giác có dạng:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a a
a a
x b y c x b y c
b b
Phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù
Đặt 1 1 1 2 2 2
1 22 2 2 2
1 1 2 2
a at ; t =
a a
x b y c x b y c
b b
1 2.n n =a1.a2+b1.b2 Pt đường phân giác
góc nhọn
Pt đường phân giác
góc tù
t1=t2 t1= t2
+ t1= t2 t1=t2
(phương trình đường phân giác của góc tù lấy theo dấu của 1 2.n n )
Ví dụ: Lập phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng:
a) d1: 3x4y+12= 0 d2: 12x+5y7= 0
b) d1: xy+4= 0 d2: x+7y12= 0
Giải
-57-
a) Ta có 1 2.n n =16>0 t1= t2 99x27y+121= 0
b) Ta có 1 2.n n = 6<0 t1=t2 x3y+8= 0
* Chú ý:
+ Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ pháp tuyến (cùng vectơ chỉ phương).
+ Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ chỉ
phương của đường thẳng kia và ngược lại.
BÀI TẬP
1/ Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng d trong mỗi
trường hợp sau:
a) d đi qua M(1;4)và có vectơ chỉ phương u =(2;3);
b) d đi qua góc tọa độ và vtcp a =(1;2);
c) d đi qua I(0;3) và vuông góc với đường thẳng có pt tổng quát là: 2x5y+4=0;
d) d đi qua hai điểm A(1;5) và B(2;9);
e) d đi qua M(5;2) và có vectơ pháp tuyến n =(4;3);
f) d đi qua M(5;1) và có hệ số góc k=3.
Đáp số: a) 1 2 1 4
: ; ptct: 4 3 2 3
x t x yptts
y t
b) : ; ptct:
2 1 2
x t x yptts
y t
c) 2 3
: ; ptct: 3 5 2 5
x t x yptts
y t
d)
1 3 1 5: ; ptct:
5 4 3 4
x t x yptts
y t
e) 5 3 5 2
: ; ptct: 2 4 3 4
x t x yptts
y t
f)
5 5 1: ; ptct:
1 3 1 3
x t x yptts
y t
2/ Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau
a) d đi qua M(3;4) và có vtpt n =(2;1)
b) d đi qua N(2;3) và có vtcp a =(4;6)
c) d đi qua A(5;8) và có hệ số góc k= 3
d) d đi qua hai điểm A(2;1), B(4;5)
e) d đi qua M(3 ;4) và có vtpt n =(1;2)
f) d đi qua B(3;2) và có vtcp a =(4;3)
Đáp số: a) 2xy2= 0 b) 3x2y12= 0 c) 3x+y+23=0 d) 2x+3y7=0 e) x+2y-11=0 f) 3x-4y-17=0
3/ Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp
sau
a) d đi qua M(2;1) và có vtcp a =(3;4);
b) d đi qua N(2;3) và có vtpt n =(5;1);
c) d đi qua A(2;4) và có hệ số góc k=2;
d) d đi qua hai điểm A(3;5) và B(6;2).
Đáp số: a) 2 3
: ; : 4 3 5 01 4
x tptts pttq x y
y t
b)
2: ; : 5 7 0
3 5
x tptts pttq x y
y t
c) 2
: ; : 2 04 2
x tptts pttq x y
y t
d)
3 3: ; : 8 0
5 3
x tptts pttq x y
y t
4/ Cho tam giác ABC biết A(1;4), B(3;1), C(6,2)
a) Lập phương trình các cạnh AB, BC, CA.
b) Lập phương trình đường cao AH và phương trình đường trung tuyến AM.
Đáp số: a) AB: 5x+2y13= 0 BC: xy4= 0 CA: 2x+5y22= 0
b) AH: x+y5= 0 AM: x+y-5=0
-58-
5/ Cho tam giác ABC biết các cạnh AB: 4x+y12= 0, đường cao BH: 5x4y15=0, đường cao
AH: 2x+2y9= 0. Hãy viết phương trình hai cạnh và đường cao còn lại.
Đáp số: Tìm A(5/2;2) AC: 4x+5y20=0
Tìm B(3;0) BC: xy3=0
Tìm H(11/3;5/6) CH: 3x12y1= 0
6/ Cho đường thẳng d: x2y+4=0 và điểm A(4;1)
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d.
b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua d Đáp số: a) qua A và vuông góc d là, : 2x+y9=0 H(14/5;17/5)
b) H là trung điểm AA' A'(8/5;29/5)
7) Xét vị trí tƣơng đối của các cặp đường thẳng sau
a) d1: 2x5y+6=0 và d2: x+y-3=0
b) d1: 3x+2y-7=0 và d2: 6x4y7=0
c) d1: 2 x+y3=0 và d2: 2x+ 2 y3 2 =0
d) d1: (m1)x+my+1=0 và d2: 2x+y4=0
8/ Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau
a) d : 1 5
2 4
x t
y t
và d’ : 6 5
2 4
x t
y t
b) d : 1 4
2 2
x t
y t
và d’ : 2x+4y-10= 0
c) d : x+y-2= 0 và d’ : 2x+y-3= 0
9/ Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau vuông góc
1 : mx+y+q=0 và 2 : xy+m=0
Đáp số : m= 1
10/ Cho hai đường thẳng d1 : x2y+5=0 và d2 :3xy=0
a) Tìm giao điểm của d1 và d2
b) Tìm góc giữa d1 và d2
Đáp số: a) (1;3) b) 450
11/ Tìm góc giữa hai đường thẳng d1: x+2y+4=0 và d2: 2x-y+6=0
Đáp số: 900
12/ Lập phương trình đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng
1: 2x+4y+7= 0 và 2: x2y3=0
Đáp số: 3 13 0
4 1 0
y
x
13/ Tính bán kính đường có tâm là điểm I(1;5) và tiếp xúc với đường thẳng : 4x3y+1=0.
Đáp số: R=2
* Tìm điểm đối xứng của M qua đường thẳng d:ax+by+c=0
B1: Tìm hình chiếu H vuống góc của M xuống d:
Viết phương trình qua M và vuông góc d
Giải hệ d tọa độ H
B2: H là trung của MM' tọa độ M'
* Tìm phương trình của ' đối xứng với : ac+by+c=0 qua I
+ Do // ' ': ax+by+c'=0
+ d(I, ) = d(I,') tìm hệ số c'
-59-
5*/ Cho điểm M(1;2). Lập phương trình đường thẳng đi qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng
nhau.
Đáp số: phương trình đoạn chắn có dạng 1x y
a b
TH1: nếu a=b0 a=3 d1: x+y3=0
TH2: nếu a= b0 a= 1 d2: xy+1=0
TH3: nếu a=b=0 d qua O có dạng y=kx k=2 d3: 2xy= 0
Vậy có 3 đường thẳng thỏa điền kiện bài toán.
6/ Tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 5x3y+2=0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là: 4x3y+1= 0;
7x+2y22= 0.
Lập phương trình hai cạnh và đường cao còn lại.
7/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết B(-4 ;-5) và hai đường cao có phương trình : 5x+3y-4=0 và
3x+8y+13=0.
-60-
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÕN
I. Phƣơng trình đƣờng tròn (C) có tâm và bán kính cho trƣớc:
Đường tròn tâm I(a,b) và bán kính R có dạng: (x-a)2 + (y-b)
2 = R
2
Ví dụ: Đường tròn có tâm I(1;-2) bán kính R=2 có dạng :
(x-1)2 + (y+2)
2 = 4
Đặc biệt : Ñường tròn tâm O(0;0) , bán kính R có dạng: x2
+ y2 = R
2
*Nhận xét:
Phương trình đường tròn còn viết được dưới dạng: x2 +y
22ax2by+c=0
với c=a2+b
2-R
2
Ngược lại, phương trình x2 +y
22ax2by+c=0 được gọi là phương trình đtròn (C) khi và chỉ
khi a2+b
2c>0. Khi đó (C) có tâm I(a;b) và bán kính R= 2 2a b c
Ví dụ: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của đường tròn, tìm tâm và
bán kính của đường tròn đó.
a) x2 +y
2+2x4y+9=0 b) x
2 +y
26x+4y13=0 c) 2x
2 +2y
28x4y6=0
Đáp số: a) Không phải b) Tâm I(3;2), R= 26 c) Tâm I(2;1), R=2 2
* Điều kiện để đường thẳng : ax+by+c=0 tiến xúc với đường tròn (C) là:
d(I, )= R
2/ Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn:
a) Cho M(x0; y0) thuộc đường tròn (C) tâm I(a;b) .Pt tt của (C) tại M(x0;y0) có dạng:
+ Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và có vtpt
0 0( ; )IM x a y b . Đặt A=x0a ;B =y0b
Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
(x0a)(xx0)+(y0b)(yy0)= 0
hay A(xx0)+B(yy0)= 0
B1: Xác định tâm I vecto pháp tuyến 0 0( ; )n IM x a y b
B2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và có vtpt n
+ Cách 2
* Nếu (C): (x-a)2 + (y-b)
2 = R
2 thì pttt có dạng:
(x0a)(xx0) + (y0b)(yy0) = R2
* Nếu (C): x2 +y
22ax2by+c=0 thì pttt có dạng:
x0x+y0ya(x0+x)b(y0+y) + c= 0
Ví dụ 1 :Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : (x-1)2 + (y-2)
2 = 4 tại M(-1;2)
Giải
Thế M vào (C) M (C).
Tâm I(1;2) vtpt n IM =(2;0)
Phương trình tiếp tuyến đi qua M và có vtpt n IM =(2;0) có dạng:
2(x+1) + 0(y-2) = 0 -2x – 2 = 0 hay x +1= 0
b) Tiếp tuyến xuất phát từ A(xA;yA) cho sẵn ở ngoài đường tròn
B1: Xác định tâm I và bán kính R
B2: Lập phương trình đường thẳng qua A có hệ số góc k, có dạng:
yyA= k(xx0) : kxy+yAmxA=0
B3: Để tiếp xúc d d(I, )= R giải tìm k thế vào
+ Nếu tìm được 2 giá trị k thì kết thúc.
+ Nếu tìm được 1 giá trị k thì tiếp tuyến thứ 2 là đường thẳng ' đi qua A
và //Oy có dạng xxA =0.
-61-
Ví dụ 2: Cho đường tròn có phương trình x2 +y
24x+8y5=0. Viết phương trình tiếp tuyến của
đường tròn đi qua A(3;11).
Giải
Ta có tâm I(2;4), bán kính R=5
Xét IA= 2 2(3 2) ( 11 4) 50 >R A nằm ngoài đường tròn.
Viết phương trình qua A và có hệ số góc k có dạng:
y+11= k(x3) : kxy3k11= 0
Để tiếp xúc d d(I, )= R 2 2
| (2) ( 4) 3 11|5
1
k k
k
|k7|= 5 2 1k |k+7|= 5 2 1k
k2+14k+49= 25k
2+25
24k214k24= 0 12k
27k12=0
4
3
3
4
k
k
Vậy có hai tiếp tuyến là:
k=4/3 1: 4x3y45= 0
k=3/4 2: 3x+4y+35= 0
Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): (x1)2+(y1)
2=1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi
qua điểm M(2;3).
Giải
Ta có tâm I(1;1), bán kính R=1
Xét IM= 2 2(2 1) (3 1) 5 >R=1 M nằm ngoài đường tròn.
Viết phương trình qua M và có hệ số góc k có dạng:
y3= k(x2) : kxy2k+3= 0
Để tiếp xúc d d(I, )= R 2 2
| 1 2 3 |1
1
k k
k
|2k|= 2 1k 44k+k2 = k
2+1 k= ¾
Vậy : phương trình tiếp tuyến thứ 1 là 1:
Pt Tiếp tuyến thứ hai: 2: xxM =0 x2= 0
-62-
BÀI TẬP 1
Vấn đề 1: Nhận diện phương trình bậc hai là phương trình đường tròn
Cách 1: Đưa phương trình về dạng x2+y
22ax2by+c= 0 (1)
+ Xác định a, b, c như sau: 2a= A, 2b=B, c= C
+ Xét dấu m = a2+b
2c
+ Nếu m>0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R= m
Nếu m< 0 thì (C) không là đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng 2 2( ) ( )x a y b m (2)
Nếu m>0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R= m
VD1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính
nếu có:
a) x2+y
26x+8y+100= 0 b) x
2+y
2+6x6y12= 0 c) 2x
2+2y
24x+8y2= 0
Đáp số: a) Không phài b) Tâm I(2;3), R= 5 c) Tâm I(1;2), R= 2( 6)
VD2: Cho phương trình x2+y
22mx+4my+6m1= 0 (1)
a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn?
b) Nếu (1) là phương trình của đường tròn hãy tìm tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn
đó theo m.
HD: a2+b
2c>0 5m
26m+1>0 m<1/5 hoặc m>1; tâm I(m;2m), R=
Vấn đề 2: Lập phương trình đường tròn (C)
Cách 1: Tìm tọa độ tâm I(a;b) và bán kính R của (C) 2 2 2( ) ( )x a y b R
Chú ý:
+ (C) đi qua A, B IA2=IB
2=R
2
+ (C) đi qua A và tiếp xúc đường thẳng tại A IA= d(I,)
+ (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2 d(I,1)= d(I,2)= R.
Cách 2: Gọi phương trình đường tròn (C): x2+y
22ax2by+c= 0
+ Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình theo ẩn a, b, c.
+ Giải hệ phương trình tìm a, b, c.
VD1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng : x2y+7=0;
b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(7;5);
c) (C ) có tâm I(2;3) và đi qua M(2;3)
Đáp số: a) (x+1)2+(y2)
2=4/5 b) (x4)
2+(y3)
2= 13 c) tìm c= 39
VD2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1;2), B(5;2), C(1;3).
Đáp số: x2+y
26x+y1= 0
Vấn đề 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
+ Nếu biết tiếp điểm M(x0;y0) thuộc (C), khi đó pt tiếp tuyến có dạng:
(x0a)(xx0)+(y0b)(yy0)= 0
+ Nếu chưa biết tiếp điểm thì dùng điều kiện tiếp xúc : d(I,) = R.
VD1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x1)2+(y+2)
2=25 tại M(4;2) thuộc (C).
Đáp số: 3x+4y20= 0
VD2: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2+y
24x2y= 0. Biết tiếp tuyến đi qua
điểm A(3;2).
Đáp số: 2xy8=0 hoặc x+2y+1= 0
VD3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2+y
24x+6y+3= 0 biết rằng song
song với d: 3xy+2006=0.
-63-
Đáp số: 3xy+1= 0 hoặc 3xy19= 0.
-64-
BÀI TẬP
2.15. Trong mpOxy, lập phương trình đường tròn (C) có tâm là (2;3) và thỏa các điều kiện sau:
a) (C) có bán kính là 5;
b) (C) đi qua góc tọa độ;
c) (C) tiếp xúc trục Ox;
d) (C) tiếp xúc trục Oy;
e) (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4x+3y12=0.
2.16. Cho ba điểm A(1;4), B(7;4), C(2;5)
a) Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC;
b) TÌm tâm và bán kính (C).
2.17. Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1;2), B(2;3) và có tâm trên đường thẳng :
3xy+10=0.
a) Tìm tọa độ tâm của (C);
b) Tính bán kính R của (C);
c) Viết phương trình của (C).
2.18. Cho ba đường thẳng 1: 3x+4y1=0; 2: 4x+3y8=0; d: 2x+y1=0
a) Lập phương trình đường phân giác của các góc hợp bởi 1 và 2.
b) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn (C) biết rằng tâm I nằm trên d và (C) tiếp xúc với
1 và 2.
c) Viết phương trình của (C).
2.19. Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1;2), B(3;4) và tiếp xúc với đường
thẳng : 3x+y3=0.
2.20. Lập phương trình đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau:
a) A(1;1), B(5;3);
b) A(1;2), B(2;1).
2.21. Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm M(4;2).
2.22. Cho đường tròn (C): x2+y
2x7y=0 và đường thẳng d: 3x+4y3=0.
a) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và (d).
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó.
c) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến.
2.23. Cho đường tròn (C): x2+y
26x+2y+6=0 và điểm A(1;3).
a) Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C).
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A.
2.24. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2+y
26x+2y=0. Biết rằng vuông góc
với đường thẳng d: 3xy+4=0.
2.25. Cho đường tròn (C): (x+1)2+(y2)
2=9 và điểm M(2;1).
a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến 1 và 2. Hãy viết phương trình của 1
và 2.
b) Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của 1 và 2 với (C), hãy viết phương trình
đường thẳng d đi qua M1 và M2.
2.26. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có phương trình x2+y
28x6y=0 biết rằng
tiếp tuyến đó đi qua gốc tọa độ.
2.27. Cho hai đường tròn (C1): x2+y
26x+5=0 và (C2): x
2+y
212x6y+44=0
a) Tìm tâm và bán kính của (C1) và (C2).
b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
-65-
BÀI 3
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG ELIP
1/ Định nghĩa
2/ Phương trình chính tắc của elip:
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.Ta có:
M (E) MF1+MF2=2a. Phương trình chính tắc của elip:
2 2
2 21
x y
a b (1) với a
2=b
2 + c
2 c
2 = a
2b
2
(a>b>0)
3/ Các thành phần của elip:
+ Hai tiêu điểm F1(-c;0),F2(c;0)
+ Bốn đỉnh A1(a;0),A2(a;0), B1(0;-b),B2(0;b)
+ Độ dài trục lớn A1A2 = 2a
+ Độ dài trục nhỏ B1B2= 2b
+ Tiêu cự F1F2= 2c
+ Tâm sai e= c
a (e < 1)
• Chú ý: Hai tiêu điểm của elip nằm trên trục lớn.
* Nếu trục lớn nằm trên Oy thì b>a>0
4/ Hình dạng của elip:
+ (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và tâm đối xứng là gốc tọa độ.
+ Mọi điểm của elip (E) đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các
đường thẳng x= a, y= b. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.
+ nếu a=b thì elip trở thành đường tròn.
Ví dụ : Cho (E): 2 2
125 9
x y
a) Xác định tọa độ các đỉnh của elip.
b) Tính độ dài trục lớn , trục nhỏ của elip.
c) Xác định tọa độ tiêu điểm và tiêu cự.
d) Vẽ hình elip trên.
Giải
a=5, b=3
A1(-5;0),A2(5;0),B1(0;-3),B2(0;3)
A1A2=2a=10
B1B2=2b = 6
c2 = a
2-b
2= 25-9=16
c = 4
Caùc tieâu ñieåm F1(-4;0), F2(4;0) F1F2 = 2c = 8
-66-
-67-
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó
Để lập phương trình chính tắc ta cần biết 2 trong 4 yếu tố a, b, c, e khi đó ta tính được hai
yếu tố còn lại.
Bài tập: Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau
a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6;
b) Một tiêu điểm ( 3;0) và điểm (1;3
2);
c) Độ dài trục lớn bằng 6, tiêu cự bằng 4;
d) Một tiêu điểm F1(2;0) và độ dài trục lớn bằng 10;
e) Đi qua hai điểm M(1;0) và N(3
2;1);
f) Độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai 7
4;
g) Tiêu điểm F1(4;0), F2(4;0), tâm sai e= 2
3;
h) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3;0) và một tiêu điểm là điểm (2;0).
k) (E) đi qua hai điểm M(0;1) và N(1;3
2)
Đáp số: a) a=5; c=3;b2 = 16 b) c= 3 ; a
2=4; b
2 =1 c) a= 3; c= 2; b
2 = 5
d) c=2; a= 5; b2 = 21 e) a
2=1; b
2 =2 a< b nên không tồn tại pt chính tắc (E)
f) a=4; c= 7 ; b2=9 g) c=4; a=6; b
2 = 20
h) a= 3; c=2; b2= 5 k) a
2=4; b
2 =1
HD: b) c= 3 giải hệ 2 2 2
( )
=b +c
M E
a
Vấn đề 2: Xác định các thành phần của elip khi biết phương trình chính tắc
Ta cần xác định: a; b; c; Trục lớn, trục nhỏ; Hai tiêu điểm; Tiêu cự; Bốn đỉnh; Tâm sai;
Hình chữ nhật cơ sở.
Bài 1: Xác định tọa độ các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, tâm sai và vẽ elip (E) có
phương trình
a) 2 2
125 9
x y b) 4x
2+9y
2= 36
c) x2+4y
2= 4 d) 4x
2+4y
2= 16
Đáp số: a) a=5; b=3; c=4 b) a=3; b=2; c= 5 c) a= 2; b= 1; c= 3
d) Là đường tòn tâm O, R=2 elip có a=b=2, 1 2F F O , e=0
Bài 2: Cho elip (E) có phương trình 2 2
1100 36
x y . Hãy viết phương trình đường tròn (C) có
đường kính F1F2 trong đó F1, F2 là hai tiêu điểm của (E).
Đáp số: Tâm là gốc tọa độ O, bán kính R=c=8
-68-
BÀI TẬP 1
3.28. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và có tiêu cự bằng 16;
b) Một tiêu điểm là (12;0) và điểm (13;0) nằm trên elip.
3.29. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau:
a) 4x2+9y
2= 36 b) x
2+4y
2= 4
3.30.
3.31.
3.32. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số c
a bằng
5
13;
b) Tiêu điểm F1(6;0) và tỉ số c
a bằng
2
3.
3.33. Viết phương trình chính tắc của elip(E) có hai tiêu điểm F1, F2 biết:
a) (E) đi qua hai điểm M(4;9/5) và N(3;12/5);
b) (E) đi qua M3 4
;5 5
và tam giác MF1F2 vuông tại M.
3.34. Cho elip (E): 9x2+25y
2= 225
a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm F1, F2 và các đỉnh của (E);
b) TÌm điểm M thuộc (E) sao cho M nhìm F1F2 dưới một góc vuông.
3.35. Cho elip (E):2 2
2 2
y1
a b
x (0<b<a). Tính tỉ số
c
a trong các trường hợp sau:
a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ;
b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông;
c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.
3.36. Cho elip (E): 4x2+9y
2= 36 và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và
cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm AB.
-69-
BÀI TẬP ELIP DẠNG 1:
BÀI 1: Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : x2 + 4y
2 = 4
a/ Tìm tọa độ các đỉnh , tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip .
b/ Đường thẳng đi qua tiêu điểm F2 của elip và song song với trục 0y cắt elip tại 2 điểm M,N .Tính
độ dài đoạn thẳng MN .
BÀI 2: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1425
4 22
yx
.
a/ Tìm tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip .
b/ Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với elip trên .
BÀI 3: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 12449
22
yx
a/ Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho : MF1 = 12
b/ Tìm tọa độ điểm N thuộc (E) sao cho : NF2 = 2NF1 .
BÀI 4: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 126
22
yx
a/ Xác định độ dài các trục và tiêu cự.
b/ Tìm những điểm M thuộc (E) sao cho nó nhìn hai tiêu điểm của (E) dướ một góc vuông.
BÀI 5: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1914
22
yx
a/ Tìm độ dài tiêu cự và tính tâm sai của (E).
b/ Khi M chạy trên (E). Khoảng cách MF1 có giá trị nhỏ nhất và Gía trị lớn nhất bằng bao nhiêu ?
BÀI 6: : Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 3649 22 yx
a/ Viết phương trình hai đường chuẩn của (E).
b/ Tìm điểm M thuộc (E) sao cho: MF1 = 3MF2
BÀI 7: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 11625
22
yx
, tiêu điểm F1,F2
a/ Cho điểm M (3; m) thuộc (E) , Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M khi
m > 0
b/ Cho A,B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF1 + BF2 = 8. Tính AF1 + BF2 .
DẠNG 2,3
BÀI 8: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) có khoảng cách giữa các đường chuẩn là 36 và bán kính
qua tiêu điểm của điểm M thuộc (E) là 9 và 15.
a/ Viết phương trình chính tắc (E).
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M.
BÀI 9: Trong mp tọa độ 0xy cho (E) đi qua điểm M (2; 3
5) và 1 tiêu điểm F1 ( -2; 0).
a/ Lập phương trình chính tắc của (E).
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua M (4; 0).
BÀI 10:Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho M ( 2; - 2 ) và N ( - 6 ; 1)
a/ Lập phương trình chính tắc của elip đi qua M và N.
b/ Tính khoảng cách giữa hai đường chuẩn của elip trên.
BÀI 11: Trong mp tọa độ 0xy . Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 2 5 và tiêu
cự bằng 2. Viết phương trình 2 đường chuẩn của elip nói trên.
BÀI 12: Trong mặt phẳng 0xy cho M (- 5 ; 2).
a/ Lập phương trình chính tắc của elip có trục lớn nằm trên 0x đi qua M và khoảng cách giữa 2 đường
chuẩn là 10.
b/ Viết phương trình các tiếp tuyến của elip trên biết tiếp tuyến song song đường thẳng (d): x + y +
2008 = 0.
-70-
BÀI 13: Trong mp tọa độ 0xy cho (E): 149
22
yx
.
a/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip (E) tại các giao điểm của elip với đường thẳng y = 3
2x.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip đi qua M (3; 5).
BÀI 14: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E):
.149
22
yx
a/ Tìm tọa độ đỉnh và tiêu điểm .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng d:
3x – y + 1 = 0.
BÀI 15: Trong mp tọa độ 0xy . Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự 2 15 và tiếp xúc với
đường thẳng d : x + y – 5 = 0.
BÀI 16 : Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho họ đường thẳng (dt ) :
3xcost – 4ysint + t2cos5 , t : tham số .Khi t thay đổi (dt) luôn tiếp xúc với 1 elip (E) cố định
.Tìm pt ct của elip đó , tính tâm sai của elip .
BÀI 17: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 18x2 + 32y
2 = 576.
a/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm M(4;3)
b/ Tiếp tuyến đó cắt 0x,0y lần lượt tại A,B .Tính diện tích tam giác 0AB (0là gốc tọa độ )
DẠNG 4:
BÀI 18: Cho A, B,C cố định theo thứ tự này trên đường thẳng d cố định. Đường tròn (O) lưu động tiếp
xúc với d tại A. Từ B và C kẻ những tiếp tuyến với (O). Hai tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Tìm tập hợp
điểm M.
BÀI 19: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E): 4x2 + 9y
2 = 36 .A1 , A2 là 2 đỉnh trên trục kớn.Điểm
Mdi động trên(E) .Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác MA1A2 .
BÀI 20: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E): x2 + 4y
2 = 4. M(-2;m ) , N(2;n) ,
m khác n .
a/ A1 ,A2 là các đỉnh trên trục lớn của (E) . Viết phương trình các đường thẳng A1N , A2M .Xác định tọa
độ giao điểm I của chúng .
b/ Đường thẳng MN thay đổi nhưng luôn luôn tiếp xúc với (E) . Tìm tập hợp các điểm I .
ĐÁP ÁN BÀI 1:
a/ 114
22
yx
Đỉnh A1 ( -2; 0 ) và A2 ( 2; 0) , B1(0; 1) , B2 (0; 1)
Tiêu điểm F1 (- 3 ; 0 ) , F2 ( 3 ; 0)
Tâm sai e = 2
3
b/ (0,75) MN = 2MF2
M, N có hoành độ x = 3
MF2 = 2 - 3.2
3 =
2
1
MN = 1
BÀI 2:
a/ (1 đ) a2 =
4
25, b
2 = 4 c
2 = a
2 – b
2 =
4
9 c =
2
3
F1 ( 0;2
3) , F2 (
2
3; 0 ) , e =
5
3
a
c
-71-
b/ (1 đ ) Phương trình hoành độ giao điểm : 41x2 + 50bx + 25b
2 – 100= 0
Đường thẳng có điểm chung với elip khi và chỉ khi
2
41
2
41
4
410)10025(41)25( 222
bbbb
BÀI 3:
a/ ( 1 điểm ) : a = 7 , b = 2 6 c = 5
MF1 = 7 + 7
5xM.MF2 = 12 xM = 7
yM = 27497
62 = 0 và yM = - 2749
7
62 = 0 M ( 7; 0 ) trùngA1(0;5 )
b/ (1 đ ) M (x0 ; y0) . MF1 = 7 + 0207
57,
7
5xMFx ,
NF2 = 2NF1 )7
57(2
7
57 00 xx
giải ra : x0 = 15
668
15
490
y và y0 = -
15
668 .
vậy : M1 ( 15
668;
15
49) M2 (
15
668;
15
49 )
BÀI 4 :
a/ 2a = 2 6 ; 2b = 2 2 ; 2c = 4
b/ M(x; y) (E) : 2x2 + 6y
2 = 12
M nhìn F1F2 dưới 1 góc vuông nên M thuộc đường tròn . Tâm O bán kính R= 2.
(C) : x2+ y
2 = 4
tọa độ điểm M thỏa mãn hệ pt :
1262
4
22
22
yx
yx giải ra
1
3
y
x
kl : 4 điểm M
BÀI 5: a/ 2c = 52 tâm sai e = 14
52
b/ MF1 = a + xa
c , M( x;y ) thuộc elip nên : -a x a
suy ra : a - c MF1 a + c
vậy : 514514 1 MF . KL :
BÀI 6:
a/ (0,5) 5
9:,
5
9: 21 xx
b/ M(x;y) thuộc elip xMFxMF3
53,
3
53 21
MF1 = 3MF2 giải ra : x = 52
9
suy ra : y = 53
109 .KL: có 2 điểm M1, M2
BÀI 7:
a/ Tính ra m = 16/5 ( do m > 0 )
dùng công thức viết pttt tại điểm thuộc elip viết được :
3x + 5y - 25 = 0
b/ có : AF1 + AF2 = 10 Và BF1 + BF2 = 10
giải ra : AF2 + BF1 = 12
-72-
BÀI 8 :
a/ giả sử x > 0 ptct có dạng : 12
2
2
2
b
y
a
x , a > b > 0
MF1 = a + xa
c và MF2 = a - x
a
c
MF1 = 15 và MF2 = 9 suy ra : a = 12
khoảng cách 2 đường chuẩn bằng 36 suy ra : c = 8
b2 = 144 – 64 = 80 . KL :
b/ dùng 12 - 912
8x giải tìm x sau đó tìm y , suy ra 2 điểm M1 , M2
Viết pttt tại M1 ,M2
BÀI 9:
a/ Dạng ptct elip . theo đề :
4
1254
22
22
ba
ba giải ra : a2 = 9 , b
2 = 5 . KL :
b/ gọi d qua M nhận );( BAn
làm véc tơ pháp tuyến , A2 + B
2 0
d: Ax + By - 4A = 0 d tiếp xúc elip 9A2 + 5B
2 = 16A
2 7A
2 -5B
2 = 0
Lí luận giải ra A = 5 suy ra : B = 7 .KL : 2 PTTT
BÀI 10:
a/ (1 đ) dạng ptct M,N thuộc elip nên :
116
124
22
22
ba
ba giải ra : a
2 = 8 và b
2 = 4 .KL ptct
b/ Tính c = 2 khoảng cách 2 đường chuẩn bằng : 8
BÀI 11:
Tính được a = 5 , c = 1 suy ra : b2 = 4
ptct :
pt 2 đường chuẩn : x = 5
BÀI 12 :
a/ (1 đ ) dạng ptct . Theo đề ta có :
145
102
22
2
ba
c
a
(0,5) giải ra : a2 = 15 , b
2 = 6 .KL ptct
b/ ( 1 đ)
d’ song song với d có pt : x + y + C = 0
d’ tx với elip 15 + 6 = C2 suy ra C = 21
KL : x + y 21 = 0
BÀI 13:
a/ (1 đ ) Tìm x = 2
3
pttt tại M1 : 014
2
23
yx
pttt tại M2 : 014
2
23
yx
b/ (1 đ) d : Ax + By -3A -5B = 0
-73-
d tiếp xúc ( E) 9A2 + 4B
2 = ( 3A + 5B )
2
B = 0 ; B = -7
10A
giải ra có 2 tt : x – 3 = 0 ; 7x – 10y +15 = 0
BÀI 14:
a/ đỉnh , tiêu điểm đúng
b/ d’: x + 3y + C = 0
d’ tiếp xúc (E) 9 +36 = C2
giải ra có 2 tt : x + 3y 53 = 0
BÀI 15: Dạng ptct
c = 15 a2 b
2 = 15 (1)
d tiếp xúc (E) a2 + b
2 =25 (2)
(1) và (2) suy ra : a2 = 20 b
2 = 5
KL:
BÀI 16: Dạng ptct :
(dt) tiếp xúc (E) 9cos2t.a
2 +16sin
2t.b
2 = 5 + cos2t
3cos2t(a
2 – 2 ) + 4sin
2t(4b
2 - 1 ) = 0 với mọi t
a2 = 2 và b
2 = ¼
KL:
c2 = 2 - ¼
2
7 c
kl : F1,, F2
BÀI 17: a/ Chứng tỏ M thuộc (E)
PTTT tại M : 6x + 8y - 48 = 0
b/ (1 đ)
tìm A(8;0) B(0;6)
S = ½ 0A.0B = 24 (đvdt )
BÀI 18: Gọi T,T’ tiếp điểm của elip kẻ từ B,C ( Vẽ hình )
MB = MT + TB = MT + AB
MC = CT’ - T’M = CA - MT’
suy ra : MB + MC = AB + AC ( hằng số )
KL: Tập hợp điểm M là elip có tiêu điểm B,C và đỉnh A
BÀI 19: M(x;y) thuộc (E) và MP vuông góc A1A2 .
Tam giác A1PH đồng dạng với tam giác MPA2: MP
PA
PA
PH 1
2
PH2.PM
2 = PA1
2.PA2
2 yH
2.y
2 = ( 9 – x
2 )
2
mà y2 =
9
4 ( 9 – x
2)
yH2.
9
4(9 – xH
2 ) = (9 – xH
2)2 1
4
819
22
HH yx (1)
Vậy tập hợp điểm H là đường elip có pt (1)
BÀI 20:
a/ A1N : nx -4y + 2n = 0
A2M: mx + 4y -2m = 0
Tìm giao điểm I(nm
mn
nm
nm
;
)(2)
b/ (1 đ )
-74-
MN: (n- m )x – 4y + 2(m + n ) = 0
MN tiếp xúc (E) mn = 1
Tọa độ điểm I:
nm
mny
nm
nmx
)(2
khử m,n giữa x,y ta có: 11
4
4
22
yx
-75-
ĐƢỜNG HYPEBOL
2/ Phƣơng trình chính tắc
2 2
2 2
y1
x
a b với c
2 = a
2+ b
2
3/ Các thành phần của Hyperpol (H)
+ Trục thực A1A2 (nằm trên Ox); Trục ảo B1B2 (nằm trên Oy);
Độ dài trục thực: A1A2 = 2a
Độ dài trục ảo: B1B2 = 2b
+ Hai tiêu điểm F1 (c;0), F2(c;0) nằm trên Ox
+ Tiêu cự: F1F2 = 2c
+ Tâm sai: e= c
a (e>1)
+ Đường chuẩn: x= a
e ; Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là:
22a
c
+ Hình chữ nhật cơ sở: là hình chữ nhật giới hạn bởi 4 đường x= a, y=b
+ Đường tiệm cận: y= b
xa
(là hai đường chéo của HCNCS)
Nếu a= b thì hai đường tiệm cận vuông góc nhau
+ Bán kính qua các tiêu điểm:
Muốn bỏ dấu | | ta xét M thuộc nhánh phải (x>0) hoặc trái (x<0)
* Chú ý: Nếu tiêu điểm nằm trên Oy thì (H'): 2 2
2 2
y1
x
b a
Khi đó trực thực là B1B2 , trục ảo A1A2 ; Tâm sai e= c
b với c
2 = a
2+ b
2
B1
B2
(Không học)
-76-
Đường tiệm cận: y= b
xa
-77-
VÍ DỤ
-78-
Ví dụ 6:
-79-
-80-
-81-
BÀI TẬP HYPEPOL
Bài 1/ Xác định tọa tiêu điểm, tọa độ các đỉnh; tìm tiêu cự, tâm sai, độ dài các trục, phương trình
đường tiệm cận của các (H) sau:
a) 2 2
19 4
x y b)
g) h) 149
22
yx
i) 1916
22
yx
j ) 145
22
yx
k) 4x2y2=4
Bài 2: Lập phương trình chính tắc của Hyperbol (H) (tiêu điểm trên Ox), biết:
a) Nửa trục thực là 4, tiêu cự bằng 10;
b) Tiêu cự bằng 2 13 , một tiệm cận y=2
3x;
c) Tâm sai e= 5 , (H) đi qua điểm M( 10 ;6);
d) Độ dài trục thực là 8, tâm sai e= 5
4;
e) Độ dài trục ảo là 12, tâm sai e= 5
4;
f) (H) đi qua điểm M(2;5), một đường tiệm cận có phương trình 5 x+y= 0;
g) Độ dài trục thực và trục ảo lần lượt là 10 và 8;
h) Độ dài trục thực là 8, tâm sai e= 5
3;
i) Độ dài tiêu cự là 20 và một đường tiệm cận có phương trình 4y+3y= 0;
Đáp số: a) a=4; c= 5; b= 3; b) c= 13 ;a2= 9; b
2= 4; c) a
2= 1; b
2= 4
d) a= 4; c= 5; b=3; e) a=8; b= 6 f) a= 5 ; b=1
g) a=5; b= 4 h) a=4; b= 3 i) a= 6; b= 8
Bài 3: Lập phương trình chính tắc của Hyperbol (H)
a. có tâm sai e = 5 và (H) đi qua M ( 10 ;5)
b. đi qua điểmM ( 15 ;-1) v à N(4;3
2)
c. qua hai điểm A( 4; 6 ), B( 6; 1 ).
d. có tiêu cự bằng 62 ,và một tiệm cận có pt là: x-y 2 =0.
e. Biết (H) đi qua điểm A( 4 2 ;3) và có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của Elíp (E): 2 2x y
135 10
.
f. qua điểm M(24;5) và có hai đường tiệm cận là 5x + 12y = 0 và 5x –12y = 0
g.. chứa điểm M(4 34 9
;5 5
). Biết rằng M nhìn hai tiêu điểm F1 và F2 dươi một góc bằng
một vuông .
-82-
Bài 4: Cho hypebol có phương trình : 4x29y
2= 36
a) Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và tâm sai;
b) Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua M(7 3
2;3) và có chung các tiêu điểm
với (H).
Đáp số: a) a= 3; b= 2; c= 13 ; b) a= 7; b= 6
Bài 5: Trong mpOxy cho (H) đi qua M(5;9
4) và nậhn điểm F1(5;0) là tiêu điểm của nó.
a) Viết phương trình chính tắc của (H);
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
5x+4y1= 0
Đáp số: a) c= 5; a= 4; b= 3; b) 5x+4y 16= 0
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (H) : 1124
22
yx
a. Tìm toạ độ các tiêu điểm và các đỉnh của (H). Tìm Điểm M nằm trên (H) sao cho
12 2MFMF .
Bài 7: Cho (H) 1425
22
yx
. Đường thẳng (d): 2x+15y -10 = 0 cắt (H) tại hai điểm phân biệt A,B
(với điểm A có hoành độ dương ).Tìm tọa độ điểm C thuộc (H) sao cho tam giác ABC cân tại A..
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (H): 179
22
yx
a. Tìm tâm sai của (H).
b. Tìm toạ độ Điểm M thuộc (H) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông
-83-
ĐƢỜNG PARABOL (P)
-84-
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol (P) sau:
a) y2 = 8x b) y= x
2 c) y
2 + 6x = 0 d) 3x
2+ 12y=0
e) y2 = 4x f) 5y
2 = 12x g) 2y
2 x=0 h) y
2 = ax (a>0)
Đáp số: a) p= 4 b) p= ½ c) p= 3 d) p= 2
Bài 2: Lập phương trình chính tắc của (P) biết:
a) (P) có tiêu điểm F(3;0);
b) (P) đi qua M(1;1);
c) (P) có tham số tiêu p= 1
3.
Đáp số: a) y2 = 12x ; b) y
2 = x c) y
2 =
2
3x
Bài 3: Lập phương trình chính tắc của (P) biết:
a) (P) có tiêu điểm F(1;0);
b) (P) có tham số tiêu p=5;
c) (P) nhận đường thẳng d: x= 2 làm đường chuẩn;
d) Một dây cung của (P) vuông góc trục Ox có độ dài bằng 8 và khoảng cách từ đỉnh O
của (P) đến dây cung này bằng 1.
Đáp số: a) y2 = 4x b) y
2 = 10x c) y
2 = 8x d) y
2 = 16x
Bài 3: Lập phương trình chính tắc của (P), biết (P) có:
a) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(4;0);
b) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(2;0);
c) Tiêu điểm F(2;0);
d) Đường chuẩn có phương trình x= 3;
e) Tiêu điểm là F(0;1) và đường chuẩn là y= 1;
f) Trục (P) là trục OY và khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là 1.
Đáp số: a) p=8 y2= 16x b) p= 4 y
2= 8x c) p= 4 y
2= 8x
d) p= 6 y2= 12x e) x
2= 4y f) x
2= 2y
-85-
CẤU TRÖC ĐỀ THI HK1 THAM KHẢO. (2010-2011)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH (7.0 điểm)
Câu I ( 1,0 điểm) (thông hiểu)
Các phép toán tập hợp
Câu II (2,0 điểm)
1) Vẽ đường thẳng y= ax+b (nhận biết)
2) Tìm phương trình Parabol (2 hệ số) (thông hiểu)
3) Tìm giao điểm của hai hàm số (1 hàm bậc nhất) (nhận biết)
Câu III ( 3,0 điểm)
1) Giải phương trình chứa căn, phương trình chứa giá trị tuyệt đối, phương trình trùng phương.
(nhận biết)
2) Biện luận phương trình bậc nhất hoặc nghiệm của phương trình bậc hai
(thông hiểu).
Câu IV ( 2,0 điểm)
Hệ trục tọa độ và các phép toán trên hệ trục tọa độ
1) ý 1: (nhận biết)
2) ý 2:
(thông hiểu)
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
1. Theo chƣơng trình chuẩn
Câu Va ( 2,0 điểm)
1) Phương trình quy về bậc hai (thông hiểu)
2) Bất đẳng thức (vận dụng)
Câu VIa (1,0 điểm)
Tích vô hướng và ứng dụng (vận dụng)
2. Theo chƣơng trình nâng cao
Câu Vb ( điểm)
1) Hệ phương trình bậc hai (vận dụng)
2) Phương trình quy về bậc hai (thông hiểu)
Câu Vb ( 1,0 điểm)
Tích vô hướng hoặc hệ thức lượng trong tam giác (vận dụng).
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
-86-
........................................................................................................................................................................
-87-
TRẬN ĐỀ KIỂM TRA
TOÁN 10 HỌC KÌ 2
(Dùng cho loại đề kiểm tra TL)
Ma trận 1
Chủ đề -
Mạch KTKN
Mức nhận thức Cộng
1 2 3 4
Phần chung Phƣơng trình –
Bất phƣơng trình
1
1,0
1
1,0
2
2,0
Thống kê 1
1,0
1
1,0
Lƣợng giác 1
1,0
1
1,0
2
2,0
PP Toạ độ trong MP 1
1,0
1
1,0
2
2,0
Tổng phần chung 2
2,0
3
3,0
2
2,0
7
7,0
Phần riêng PT, Bất PT
1
1,0
1
1,0
2
2,0
HTL trong tam giác
PP Toạ độ trong MP
1
1,0
1
1,0
Tổng phần riêng 2
2,0
1
1,0
3
3,0
Tổng toàn bài
2
2,0
5
5,0
3
3,0
10
10,0
Diễn giải:
1) Chủ đề – Hình học: 3,0 điểm
– Đại số: 7,0 điểm
2) Mức nhận biết:
– Chuẩn hoá: 7,0 điểm (hoặc 8,0 điểm)
– Phân hoá: 3,0 điểm (hoặc 2,0 điểm)
Mô tả chi tiết:
I. Phần chung:
Câu 1: Giải bất phương trình qui về bậc hai: dạng tích, chứa ẩn ở mẫu, chứa ẩn trong dấu
GTTĐ (gồm 2 câu nhỏ)
Câu 2: Tìm các số đặc trưng của bảng số liệu.
Câu 3: Chứng minh hệ thức lượng giác; tính giá trị biểu thức lượng giác (gồm 2 câu nhỏ)
Câu 4: Viết phương trình đường thẳng, đường tròn (gồm 2 câu nhỏ)
II. Phần riêng:
1) Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: – Giải phương trình chứa căn thức
– Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm (có nghiệm; vô
nghiệm; có 2 nghiệm cùng dấu, trái dấu)
Câu 6a: Giải tam giác; Đường tròn; Elip.
2) Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: – Giải PT, BPT chứa căn thức.
– Tìm điều kiện của tham số để phương trình dạng bậc hai có nghiệm (có nghiệm,
vô nghiệm, có 2 nghiệm cùng dấu, trái dấu)
Câu 6b: Đường tròn; Elip; Hypebol; Parabol.
-88-
TOÁN 10 HỌC KÌ 2
Ma trận 2
Chủ đề -
Mạch KTKN
Mức nhận thức Cộng
1 2 3 4
Phần chung Phƣơng trình –
Bất phƣơng trình
2
2,0
1
1,0
3
3,0
Thống kê 1
1,0
1
1,0
Bất đẳng thức 1
1,0
1
1,0
PP Toạ độ trong MP 1
1,0
1
1,0
2
2,0
Tổng phần chung 2
2,0
3
3,0
2
2,0
7
7,0
Phần riêng Lƣợng giác
1
1,0
1
1,0
2
2,0
HTL trong tam giác
PP Toạ độ trong MP
1
1,0
1
1,0
Tổng phần riêng 2
2,0
1
1,0
3
3,0
Tổng toàn bài
2
2,0
5
5,0
3
3,0
10
10,0
Diễn giải:
1) Chủ đề – Hình học: 3,0 điểm
– Đại số: 7,0 điểm
2) Mức nhận biết:
– Chuẩn hoá: 7,0 điểm (hoặc 8,0 điểm)
– Phân hoá: 3,0 điểm (hoặc 2,0 điểm)
Mô tả chi tiết:
I. Phần chung:
Câu 1: Giải bất phương trình qui về bậc hai: dạng tích, chứa ẩn ở mẫu, chứa ẩn trong dấu
GTTĐ, chứa ẩn trong dấu căn (gồm 2 câu nhỏ)
Câu 2: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm (có nghiệm; vô
nghiệm; có 2 nghiệm cùng dấu, trái dấu)
Câu 3: Tìm các số đặc trưng của bảng số liệu.
Cấu 4: Chứng minh bất đẳng thức.
Câu 5: Phương trình đường thẳng, đường tròn (gồm 2 câu nhỏ)
II. Phần riêng:
1) Theo chương trình chuẩn
Câu 6a: Chứng minh hệ thức lượng giác; tính giá trị biểu thức lượng giác (gồm 2 câu nhỏ)
Câu 7a: Giải tam giác; Đường tròn; Elip.
2) Theo chương trình nâng cao
Câu 6b: Chứng minh hệ thức lượng giác; tính giá trị biểu thức lượng giác (gồm 2 câu nhỏ)
Câu 7b: Đường tròn; Elip; Hypebol; Parabol.
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
-89-
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
-90-
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
Related Documents
