Hm-3 9 Ws 19/20 16.12.19 Übungsaufgaben 1 Sei f (z) = e -z 2 1 + e -2↵z , ↵ 2 C. a. Bestimmen Sie ↵ so, dass f (z) - f (z + ↵) = e -z 2 . b. Bestimmen Sie alle Residuen von f . c. Zeigen Sie Z 1 -1 e -x 2 dx = p ⇡ , indem Sie über Quadrate in der oberen komplexen Halbebene mit einer Seite [-R, R] integrieren. 2 Untersuchen Sie, ob f (z) = z 2 - 1 z 3 + 4z 2 + z außerhalb seiner Polstellen eine Stammfunktion besitzt. Schriftaufgaben 3 Bestimmen Sie die Residuen der folgenden Funktionen a. z + 1 z b. 1 z 4 (z 2 + 1) c. 1 cos z d. sin z z e. 1 - cos z z 5 f. z 2 - 2z sin(⇡ z) 4 Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale. a. Z |z-2|=1 z 2 ln(z 2 ) dz b. Z |z|=⇡ tan z z dz c. Z |z|=3 e ↵z 1 + z 2 dz . 5 Berechnen Sie: a. Z 1 -1 e i t 4 + t 2 dt b. Z 1 -1 x + 1 x 4 + 1 dx c. Z 2⇡ 0 sin z 2 + cos z dz . Hm-3 Ws 19/20 Pöschel Blatt 9 vom 16.12.19 Seite 1 von 2