Biografía de Euclides Euclides (fl. 300 a.C.), matemático griego, cuya obra principal, Elementos de geometría , es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como geometría plana , proporciones en general, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio . Probablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría y allí fundó una escuela de matemáticas. Los Cálculos (una colección de teoremas geométricos), los Fenómenos (una descripción del firmamento), la Óptica, la División del canon (un estudio matemático de la música) y otros libros se han atribuido durante mucho tiempo a Euclides. Sin embargo, la mayoría de los historiadores cree que alguna o todas estas obras (aparte de los Elementos) se le han adjudicado erróneamente. Los historiadores también cuestionan la originalidad de algunas de sus aportaciones. Probablemente las secciones geométricas de los Elementos fueron en un principio una revisión de las obras de matemáticos anteriores, como Eudoxo, pero se considera que Euclides hizo diversos descubrimientos en la teoría de números . Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín. Geometría plana, rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas geometrías no euclídeas en el siglo XIX.
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Biografía de Euclides
Euclides (fl. 300 a.C.), matemático griego, cuya obra principal,
Elementos de geometría, es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como geometría plana, proporciones en general, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. Probablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría y allí fundó una escuela de matemáticas. Los Cálculos (una colección de teoremas geométricos), los Fenómenos (una descripción del firmamento), la Óptica, la División del canon (un estudio matemático de la música) y otros libros se han atribuido durante mucho tiempo a Euclides. Sin embargo, la mayoría de los historiadores cree que alguna o todas estas obras (aparte de los Elementos) se le han adjudicado erróneamente. Los historiadores también cuestionan la originalidad de algunas de sus aportaciones. Probablemente las secciones geométricas de los Elementos fueron en un principio una revisión de las obras de matemáticos anteriores, como Eudoxo, pero se considera que Euclides hizo diversos descubrimientos en la teoría de números.
Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín.
Geometría plana, rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría
hasta la aparición de las llamadas geometrías no euclídeas en el siglo XIX.
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Historia:La geometria como palabra tiene dos raíces griegas:geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa”medida de la tierra”. Su origen, unos tres mil añosantes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, enparticular al Antiguo Egipto, en que se necesitabamedir predios agrarios y en la construcción depirámides y monumentos. Esta concepcióngeométrica se aceptaba sin demostración, eraproducto de la práctica.
Estos conocimientos pasaron a los griegos y fuéThales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de
Cristo inició la geometría demostrativa. Laspropiedades se demuestran por medio derazonamientos y no porque resulten en la práctica.Las demostraciones pasan a ser fundamentales yson la base de la Lógica como leyes delrazonamiento.
Euclides fué otro gran matemático griego, del sigloIII antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada”Los Elementos”, recopila, ordena y sistematizatodos los conocimientos de geometría hasta suépoca y, salvo algunas pequeñas variaciones, sonlos mismos conocimientos que se siguen enseñandoen nuestros días.
Euclides, usando un razonamiento deductivo partede conceptos básicos primarios no demostrablestales como punto, recta, plano y espacio, que sonel punto de partida de sus definiciones, axiomas ypostulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstosservirán para demostrar otros teoremas. Creanuevos conocimientos a partir de otros ya existentespor medio de cadenas deductivas de razonamientológico. Esta geometría, llamada geometría euclidianase basa en lo que históricamente se conoce como 5ºpostulado de Euclides: “por un punto situado fuerade una recta se puede trazar una y sólo una paralelaa ella”.
Existen otras geometrías que no aceptan dichopostulado euclidiano, sino que aceptan otrosprincipios que dan origen a las llamadas “geometríasno euclidianas”, como la creada en el siglo XIX porel ruso Lobatschevsky.
Como se mencionó, los conceptos básicos primariospunto, recta, plano y espacio no se definen sino quese captan a través de los sentidos. Puede darsemodelos físicos para cada uno de ellos. Por ejemploun punto puede estar representado por la huella quedeja sobre un papel la presión de la punta de un alfilero por una estrella en el firmamento. Una recta estásugerida por un hilo a plomo, un plano está sugeridopor la superficie de un lago quieto o bien por lasuperficie de un espejo. El espacio euclidiano puedeconsiderarse constituido por todos los puntosexistentes, o sea, el espacio en que nos movemos.
La geometría euclidiana puede dividirse en geometría plana y en geometría del espacio o estereometría. La plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano.
La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.
El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.
Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de ( de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.
También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de (=3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.
Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas, fundándose escuelas por todo el Imperio.
Destacaremos como avance anecdótico, pero no por ello carente de valor, la obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circunferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de 150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálculo de Kashi.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.
Podemos considerar la obra de Fibonacci "Practica Geometriae" como el punto de arranque de la geometría renacentista. Esta obra está dedicada a resolver determinados problemas geométricos, especialmente medida de áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos.
Otro contemporáneo, aunque no tan excepcionalmente dotado fue Jordano Nemorarius (1237-?) a quien debemos la primera formulación correcta del problema del plano inclinado.
El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) llegó a utilizar en una de sus obras coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representación gráfica de ciertos fenómenos físicos.
Ya en el siglo XV, época de las grandes navegaciones, la trigonometría fue separada de la astronomía, alzándose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano (1436-1474), que trató de una manera sistemática todos los problemas sobre la determinación de triángulos planos y esféricos. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.
Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos consecuentemente organizado, estableciendo en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la goniometría.
Para hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos desarrollaron ciertos procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones trigonométricas, lo que llevó a la confección de numerosas tablas trigonométricas. En la elaboración de tablas trabajaron, por ejemplo, Copérnico (1473-1543) y Kepler (1571,1630). Semejantes métodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el nombre de "prostaferéticos". Ellos fueron utilizados por los matemáticos de Oriente Medio, Viète, Tycho Brahe, Wittich, Bürgi y muchos otros. Estos métodos siguieron utilizándose incluso después de la invención de los logaritmos a comienzos del siglo XVII, aunque sus fundamentos, basados en la comparación entre progresiones aritméticas y geométricas, comenzaron a fraguarse mucho antes.
Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose en lo que a la geometría se refiere el nacimiento de la geometría analítica.
Sin duda los dos grandes en esta materia y época fueron René Descartes (1596-1650) y Pierrede Fermat (1601-1655).
La última parte de la famosa obra de Descartes "Discurso del Método" denominada "Géometrie",
detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de coordenadas.
Ya en el siglo XVIII se completó el conjunto de las disciplinas geométricas y, excluyendo sólo las geometrías no euclideanas y la apenas iniciada geometría analítica, prácticamente todas las ramas clásicas de la geometría, se formaron en este siglo. Así además de la consolidación de la geometría analítica, surgieron la geometría diferencial, descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometría. Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal.
LOS ORÍGENES DE LA GEOMETRÍA
Se piensa, sobre la base de los documentos e
xistentes, que fueron los caldeos los primeros en preocuparse d
e algunos tópicos que pertenecen al ámbito de la geometría insp
irados en quehaceres de carácter práctico. Esto revela un espír
itu de observación; conocían, por ejemplo, la propiedad del tri
ángulo rectángulo en el caso particular de las longitudes 3, 4
y 5 unidades para los catetos y la hipotenusa. Sin embargo, fue
ron los egipcios los creadores de la geometría como tal, motiva
dos por la necesidad de restablecer los límites de sus campos,
que periódicamente eran borrados por las inundaciones del Nilo.
En consecuencia, tuvieron necesidad de MEDIR.
Existen document
os que ratifican que los egipcios en el tercer milenio antes de
Cristo, construyeron diques paralelos, para encauzar el río; d
espués construyeron otro dique perpendicular con lo cual convi
rtieron el valle de Delta en un verdadero reticulado, que dio o
rigen a la medida de superficie.
Estos conocimientos de los egi
pcios nos han sido transmitidos en varios papiros. El más notab
le, quizás sea el papiro llamado "de Moscú", que data del siglo
XX antes de Cristo. En él encontramos resuelto un problema ref
erente al volumen de la pirámide truncada, además de otro sobre
el área de una semiesfera, acorde con la regla de Arquímedes.
No sabemos de ninguna cuestión geométrica tan complicada como
estos dos problemas, que haya sido abordada por los caldeos. El
hecho de haberse desarrollado ambas culturas, la caldea y la e
gipcia, paralelamente, además de la intensa comunicación entre
ellos, nos mueve a pensar que el oficio de "arpedonapta" o "ten
dedor de cuerda" no es genuinamente egipcio como afirma el hist
oriador Heródoto, pues que los asirios conocían el Teorema de P
itágoras para el caso particular antes mencionado y el oficio d
e arpedonapta consistía precisamente en la construcción práctic
a de ángulos rectos, por el método de doblar una cuerda dividid
a en nudos separados por intervalos de 3, 4 y 5 unidades.
HISTORIA DE LA GEOMETRÍAGeometría antes de los griegos
El origen de la Geometría coincide con el origen de la humanidad. El pensamiento precientífico apoyado sobre el monoteísmo naturalista de Amenhotep IV funda en el siglo XIV aC culto a la nueva imagen del dios Ra representado con un círculo dorado. La abstracción del pensamiento mágico representa el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la Geometría. Anteriormente, en el siglo XXVII a.C., el emperador chino Hoang-Ti mandó construir un observatorio astronómico con el fin principal de corregir el calendario.Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco conocimientos geométricos de carácter muy práctico basados en fórmulas -mejor dicho, algoritmos expresados en forma de recetario-, para calcular áreas y longitudes. La finalidad era práctica al pretender con ello calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra después de las inundaciones. El conocimiento geométrico tanto de egipcios como de las culturas mesopotámicas pasa íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, la secta de los pitagóricos, y esencialmente de Euclides.
La Geometría antes de EuclidesTales visita Egipto una larga temporada y aprende de los sacerdotes y escribas egipcios lo referente a sus conocimientos en general. Impresiona ahora -tanto como a los egipcios- que fuera capaz de razonar y medir entonces la altura de la pirámide de Keops y de predecir un eclipse solar con asombrosa precisión.La Geometría griega es la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámicas, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo...- que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.La figura de Pitágoras y de la secta de seguidores pitagóricos tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número, arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este momento inicial de la historia de la Matemática aún no existe distinción clara entre Geometría y Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de demostración formal como única vía de establecimiento de la verdad en Geometría.Esta actitud permitió la medición de la tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la luna, y la invención de la palanca por Arquímedes, varios siglos después.En el seno de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la aparición de los inconmensurables aunque esta crisis es de carácter más filosófico y aritmético que geométrico.Surge entonces un problema a nivel lógico: una demostración parte de una o varias hipótesis para obtener una tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.
Euclides y los ElementosVinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, Euclides zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre los Elementos, modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en XIII volúmenes, perdura como única verdad geométrica hasta el siglo XIX.Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad está fuera de toda duda, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros 4, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.
Después de EuclidesEuclides cierra la etapa de Geometría griega -a excepción de Pappus en el 350 aC-, y por extensión la etapa del mundo antiguo y medieval-, a excepción también de las figuras de
Arquímedes y Apolonio.Arquímedes estudió ampliamente las secciones cónicas, introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.Apolonio trabajó en varias construcciones de tangencias entre círculos, así como en secciones cónicas y otras curvas.
Geometría1. Introducción 2.Reseña histórica 3.Geometría 4.Euclides 5.Los Elementos de Euclides 6.Reseña Histórica de la Evolución de las Geometrías no Euclideanas 7.Geometría de Lobatchevsky 8.El significado Real de la Geometría de Lobatchevsky 9.Conclusión 10. Anexos 11. Bibliografía
Introducción
La geometría fue, primero, la ciencia de la medida de las extensiones (geo =
tierra; metrón = medida). Lo que se aprendió a medir (con los geómetras
griegos) fue la extensión de una línea, recta o curva; de una superficie limitada
por líneas y de un volumen limitado por superficies. Pero rápidamente la
expresión medir adquirió entre los griegos un sentido muy general de
"establecer relaciones". Estas relaciones eran de dos clases:
Relaciones de posición que se enuncian por proposiciones tales como " La
recta D es paralela a la recta D’", " la recta D es tangente al círculo C", etc.
Relaciones métricas, tales como "el segmento AB es triple del segmento
AC", "la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un
número que ninguna fracción puede definir", etc.
Para establecer estas relaciones tan numerosas y variadas, los geómetras de la
antigüedad pusieron a punto un método que se convertiría más adelante en el
método matemático por excelencia: la demostración.
Todo el arte de los geómetras griegos consistió en reunir un conjunto importante
de teoremas enlazados mediante largas cadenas de razones - como dijo
Descartes- a algunos principios primeros. Este "corpus" es la geometría