Matemtica na Babilnia e Antigo Egito
Prof
a
Mnica
Instituto de Cincias Exatas, Naturais e Educao
UFTM
Maro de 2015
Histria da Matemtica
O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
Introduo
Vamos enfocar o sistema de numerao utilizado pelos
escribas babilnios que habitaram a Mesopotmia por volta de
2000 a 1600 a.E.C., durante o perodo babilnio antigo, sem
nos preocuparmos com seus antecedentes, que remontam a
pocas bem mais antigas.
Histria da Matemtica
O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
Introduo
Histria da Matemtica
O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
Introduo
Como podemos observar, o nmero sessenta era representado
pelo mesmo smbolo usado para representar o nmero um. Por
isso dizemos que o sistema dos antigos babilnios usa uma
notao posicional de base sessenta.
Ou seja, um sistema sexagesimal. Na verdade, eles usavam
uma combinao de base sessenta e de base dez, pois os
smbolos at cinquenta e nove mudam de dez em dez.
Ainda hoje, o sistema que usamos para representar as horas,
minutos e segundos um sistema posicional sexagesimal.
Assim, 1h 4min 23s igual a
1 60 60+ 4 60+ 23 = 3863sHistria da Matemtica
O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
Introduo
Nosso sistema de numerao em base dez tambm
posicional. Temos smbolos diferentes para os nmeros de 1 a
9, e o dez representado pelo prprio 1, mas em posio
diferente.
Por isso dizemos que nosso sistema um sistema posicional de
numerao de base dez.
Os egpcios, os gregos e os romanos, por exemplo, no
adotavam sistemas posicionais. Seus sistemas eram aditivos,
isto , somavam-se todos os smbolos usados na representao
de um nmero para se obter este nmero.
Outra grande vantagem de um sistema posicional, como o
nosso, que nele possvel desenvolver algoritmos ecientes
para realizar operaes.
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Introduo
Em nosso sistema de numerao, no nmero decimal 125, o
algarismo 1 representa 100, o 2 representa o 20 e o 5
representa o 5. Assim, podemos escrever
125 = 1 102 + 2 101 + 5 100.O mesmo vlido para um nmero que, alm de uma parte
inteira, contenha tambm uma parte fracionria. Por exemplo,
no nmero 125, 38 os algarismos 3 e 8 representam3 101 + 8 102.
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Introduo
Generalizando, dado um nmero real qualquer, r , temos que:
r = an
10
n + an110n1 + . . .+ a0100 + a1101 + . . .+at10t + . . . , n, t N
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Introduo
Escrevemos, ento, que:
r = an
a
n1an2 . . . a0, a1a2 . . .
que a representao decimal de r , e dizemos que:
r = an
10
n + an110n1 + . . .+ a0100
a parte inteira e
a1101 + . . .+ at10t + . . .
a parte fracionria de r .
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Babilnia
Introduo
possvel representar o nmero real r em um sistema de
numerao posicional cuja base um nmero natural b
diferente de 1. Para isso, escrevemos:
r = an
b
n+ an1bn1+ . . .+ a0b0+ a1b1+ . . .+ atbt + . . .Isto signica que
a
n
b
n + an1bn1 + . . .+ a0b0
a parte inteira e
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Babilnia
Introduo
a1b1 + . . .+ atbt
a parte fracionria deste nmero.
Logo, o nmero ser escrito, na base b, como
a
n
a
n1an2 . . . a0, a1a2 . . .
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Babilnia
Introduo
Qual a vantagem de se utilizar a base sessenta, ou seja, um
sistema sexagesimal?
Introduo
Uma das vantagens que o nmero 60 divisvel por todos os
inteiros entre 1 e 6, o que facilita o clculo dos inversos
multiplicativos dos nmeros expressos nesta base.
Os babilnios no conheciam representaes sexagesimais
innitas. Eles trabalhavam simplesmente com representaes
nitas, que podiam ser exatas, ou aproximadas.
Em geral, dado um nmero real r e um sistema posicional b, a
representao de r neste sistema nita ou uma dizma
peridica se e somente se r um nmero racional.
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Babilnia
Introduo
Uma importante caracterstica do sistema posicional que
usamos o papel do zero, que um nmero usado para
indicar tambm a posio vazia. Sabemos que 1 diferente de
10 porque usamos o 0 para designar que o 1 est na posio
das dezenas, e no das unidades.
Veremos que, no caso dos Babilnios, em um primeiro
momento, esta distino no era feita.
Observamos que a leitura mais fcil deve ser feita da direita
para a esquerda e que este sistema d margem a algumas
ambiguidades.
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Babilnia
Introduo
Usaremos o smbolo ; como separador dos algarismos tanto
da parte inteira quanto da parte fracionria; e o smbolo ,
para a separao entre a parte inteira e a parte fracionria.
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Babilnia
Exemplo
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Babilnia
Ambiguidades
Por exemplo, com duas cunhas, que representavam cada uma
delas o nmero um, temos o nmero 2 ou o nmero 61. Na
representao do nmero 2, este problema resolvido
unindo-se bem os dois smbolos. Mas como diferenciar 1 de
60?
Neste ltimo caso, houve uma poca em que se usava o
smbolo de 1 com tamanho diferente para representar 60.
Quando os smbolos se tornaram padronizados, para facilitar os
registros, a diferenciao entre o nmero 1 e as potncias de
60 dependia do contexto, que permitia determinar a ordem de
grandeza dos nmeros com que se lidava em cada problema.
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Babilnia
Exerccios
1
Como escrever os nmeros 3601 e 7200 no sistema dos
babilnios?
2
Escreva, no sistema de base 60, o nmero representado
em nossa base decimal por 234, 572.
3
Escreva, em nosso sistema decimal, os seguintes nmeros,
representados, na base 60, por:
(a) 23; 15, 4; 17; 9; 45(b) 1; 1; 1, 1; 1; 1(c) 1; 1; 1; 1; 1; 1
4
Como os babilnios representariam o nmero, dado em
nosso sistema, por 0, 4321? (lembre-se de que eles noconheciam o 0).
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Babilnia
Operaes
Os babilnios sabiam, somar, subtrair, multiplicar, dividir e
extrair razes quadradas.
Eram feitos tabletes para auxiliar. Um exemplo como segue:
1 (vezes 25 igual a) 25
2 (vezes 25 igual a) 50
3 (vezes 25 igual a) 1; 154 (vezes 25 igual a) 1; 405 (vezes 25 igual a) 2; 056 (vezes 25 igual a) 2; 30.
.
.
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Babilnia
Operaes
Para calcular, por exemplo, 37 p suciente somar 30 pcom 7 p.A adio feita de maneira anloga nossa adio usual em
base 10.
Exemplos:
(a) 1; 30, 27; 50+ 0; 29, 38; 13 = 2; 0, 6; 3(b) 2; 30, 4; 38 40, 5; 15 = 1; 49, 59; 23.As divises eram feitas com o auxlio de tabletes de inversos,
que listavam os nmeros e seus inversos multiplicativos.
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O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
O clculo da raiz quadrada
Alm das operaes de adio, subtrao, multiplicao e
diviso, h indcios de que os babilnios tambm calculavam
potncias e razes quadradas, que eram registradas em
tabletes.
O exemplo mais conhecido de clculo de razes quadradas
pelos babilnios encontra-se no tablete YBC7289, produzido
entre 2000 e 1600 a.E.C.
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O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
O clculo da raiz quadrada
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O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
O clculo da raiz quadrada
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O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
O clculo da raiz quadrada
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O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
O clculo da raiz quadrada
O tablete, de forma grosseiramente circular, tem um dimetro
de aproximadamente 7cm. Prximo a um dos lados do
quadrado vemos o nmero, escrito no sistema sexagesimal
babilnio, 30. Perto de uma das diagonais, encontram-se os
nmeros 1, 24; 51; 10 e 42, 25; 35. Como sempre, os nmerosso escritos sem indicao de seus valores absolutos. Isso tinha
de ser deduzido do contexto do problema, essencial no que
expomos a seguir.
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O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
O clculo da raiz quadrada
De acordo com Fowler e Robson, os valores absolutos desses
trs nmeros so, respectivamente, 30, 1, 24; 51; 10 e42; 25; 35. Com efeito, se multiplicarmos 1, 24; 51; 10 por 30obtemos 42, 25; 35. (Verique!!!)
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O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
O clculo da raiz quadrada
Assim, usando l = 30, o lado do quadrado, obtemos suadiagonal d = 42, 25; 35. Segundo Fowler e Robson, aconstante 1; 24; 51; 10 encontra-se na tabela de coecientes e chamda de diagonal do quadrado.
Assim, a concluso inevitvel que a diagonal d do quadrado
igual a l 1, 24; 51; 10 em que l o lado do quadrado, nonosso caso 30(12
).
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O sistema sexagesimal posicional na antiga
Babilnia
O clculo da raiz quadrada
Vemos portanto que os escribas babilnios sabiam que
l d 1, 24; 51; 10.De fato, (1, 24; 51; 10)2 = 1.999998305 que uma boaaproximao de
2.
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Problemas de segundo grau na Babilnia
Verso em livros mais antigos
Problema #1, traduzido usualmente da seguinte maneira:
Procedimento: Adicionei a rea e o lado de um quadrado:
obtive 0,45. Qual o lado?
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Problemas de segundo grau na Babilnia
Verso em livros mais antigos
Soluo:
1
Tome 1
2
Fracione 1 tomando a metade (: 0, 30)
3
multiplique 0, 30 por 0, 30(: 0, 15)
4
some 0, 15 a 0, 45(: 1)
5
1 a raiz quadrada de 1
6
Subtraia os 0, 30 de 1
7
0, 30 o lado do quadrado.
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Problemas de segundo grau na Babilnia
Verso em livros mais recentes
Procedimento: A superfcie e a minha confrontao acumulei:
obtive 0, 45 (Estaria suposto que o objetivo era encontrar aconfrontao - o lado)
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Problemas de segundo grau na Babilnia
Verso em livros mais recentes
Soluo:
1
1 a projeo
2
quebre 1 na metade (obtendo 0,30) e retenha 0,30,
obtendo 0,15
3
agregue 0,15 a 0,45
4
1 o lado igual
5
retire do interior de 1 os 0,30 que voc reteve
6
0,30 a confrontao
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Problemas de segundo grau na Babilnia
Uma interpretao geomtrica
Primeiro se faz uma projeo do lado, obtendo 1, o que
permite interpretar a medida do lado procurado, que
chamaremos de l , concretamente como um retngulo de lados
1 e l .
Figura: Passo (1): Projeo do lado
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Problemas de segundo grau na Babilnia
Uma interpretao geomtrica
Figura: Enunciado: A superfcie e a minha confrontao acumulei
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Problemas de segundo grau na Babilnia
Uma interpretao geomtrica
Figura: Passo (2): quebre 1 no meio
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Problemas de segundo grau na Babilnia
Uma interpretao geomtrica
Figura: Passo (2): quebre 1 no meio
Histria da Matemtica
Exerccios
Exerccios
1
Verique, trabalhando no sistema sexagesimal dos
babilnios, que o produto de 37; 28 por 19 igual a11; 51; 52.
2
Verique os resultados das operaes indicadas, usando o
sistema sexagesimal dos babilnios, sem converter os
nmeros para a base 10.
1
59; 27+ 59; 40 = 1; 59; 72
48; 32 3 = 2; 25; 363
48; 32 3, 2 = 2; 27; 12, 644
2; 1; 1 1; 2; 2 = 58; 59
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Operaes e problemas no Antigo Egito
Exemplo 1.6
Como repartir a quantidade de gros contida em 5 sacos de
feijo por 8 pessoas?
Histria da Matemtica
Operaes e problemas no Antigo Egito
Exerccios
1
Dividir 58 por 87.
2
Expressar
3
7
como uma soma de fraes com numerador 1.
Histria da Matemtica
Operaes e problemas no Antigo Egito
A regra da falsa posio
Exemplo 1.11) Uma quantidade, com
1
7
dela adicionado,
torna-se: 19.
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Operaes e problemas no Antigo Egito
A regra da falsa posio
Exemplo 1.11) Uma quantidade, com
1
7
dela adicionado,
torna-se: 19.
Soluo apresentada no Papiro de Ahmes
/1 7
/7 1
Soluo apresentada no Papiro de Ahmes
1 8
/2 16
2 4
/4 2
/8 1
Histria da Matemtica
Exerccios
Soluo apresentada no Papiro de Ahmes
/1 248
/2 424
/4 92
Histria da Matemtica
Conhecimentos Geomtricos na Babilnia e no
Egito
Babilnia
A Geometria era essencialmente mtrica, isto preocupada em
calcular comprimentos, reas e volumes.
Para isso, eram utilizadas algumas propriedades geomtricas
de guras planas e de slidos geomtricos, sem que saibamos
como chegaram a estes resultados.
Clculo de reas na Babilnia
Encontram-se em muitos tabletes problemas de geometria.
Um dos mais famosos o YBC 7289, o qual j conversamos
quando discutimos a raiz quadrada.
Outro tablete YBC 7302, encontramos os nmeros, em
representao sexagesimal, 3 (a circunferncia do crculo), 9 e
45 (a rea do crculo).
Histria da Matemtica
Conhecimentos Geomtricos na Babilnia e no
Egito
Babilnia
Histria da Matemtica
Conhecimentos Geomtricos na Babilnia e no
Egito
Babilnia
Para os babilnios, o crculo era concebido como a gura
limitada por uma circunferncia, assim, mesmo quando
conheciam o dimetro do crculo, eles calculavam sua rea
usando o comprimento da circunferncia.
Se A a rea do crculo de circunferncia S e raio r , ento,
A = pir 2, S = 2pir . Assim,
r =S
2pi
A = pi S2
4pi2=1
4piS
2
Histria da Matemtica
Conhecimentos Geomtricos na Babilnia e no
Egito
Babilnia
Se zermos pi = 3, teremos
A =1
12
S
2
Como, no sistema sexagesimal,
1
12
= 5, veremos que, de fato,a rea do crculo do tablete foi encontrada dessa maneira.
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Conhecimentos Geomtricos na Babilnia e no
Egito
Babilnia
Os babilnios calculavam volumes de vrios slidos, como, por
exemplo, o de um cilindro circular reto e de prismas retos, com
bases retangulares ou triangulares.
Os problemas que envolvem estes clculos de volume so
contextualizados em situaes agrcolas, construes civil ou
militar, ou outras atividades.
So calculados os volumes dos muros, muralhas e barragens e
o nmero de operrios necessrios para constru-los.
Histria da Matemtica
Conhecimentos Geomtricos na Babilnia e no
Egito
Babilnia. Exemplo 1.12
Procedimento para um tronco (cilndrico) com 0, 05 dedimetro.
Em primeiro lugar, calculava-se a rea de uma seo
transversal, de forma circular:
Triplique a linha divisria 0,05 tal que 0,15 aparecer. A
circunferncia do tronco 0,15. Combine (faa o quadrado)
de 0,15 tal que 0,03;45 aparecer. Multiplique 0,03;45 por
0,05 e ters 0,00;18;45, a rea, aparecer.
Em seguida, basta multiplicar esta rea da base circular pela
altura. A altura era considerada implicitamente como igual ao
dimetro.
Histria da Matemtica
Conhecimentos Geomtricos na Babilnia e no
Egito
Babilnia
Na gura abaixo, tablete YBC 7290, vemos um trapzio.
Histria da Matemtica
Conhecimentos Geomtricos na Babilnia e no
Egito
Babilnia
Sua base maior e um dos lados so iguais a 2,20 (no sistema
sexagesimal), e a base menor igual a 2. O escriba supe que
o trapzio reto e, ento, sua rea calculada fazendo:
A = 2, 20[1
2
(2, 20+ 2)]
Histria da Matemtica
A Geometria no Antigo Egito
Falar de geometria no Antigo Egito falar de procedimentos
de clculos de reas e volumes. Por exemplo, a rea de um
retngulo era calculada multiplicando sua base por sua altura.
O problema n
o
6 do Papiro de Moscou ilustra bem o
procedimento empregado:
Histria da Matemtica
A Geometria no Antigo Egito
Exemplo 1.13
Se lhe dito, um retngulo de rea [igual a] 1224 do
comprimento.
Para o comprimento. Calcule 24 at obter 1. Resultado 13.
Calcule com estes 12, 13 vezes. Resultado 16.
Calcule [sua raiz quadrada]. Resultado [:] 4 para o
comprimento.
24[da largura] [igual a] 3 para a largura.
Histria da Matemtica
A Geometria no Antigo Egito
Exemplo 1.14
Suponha que lhe dito, qual a rea de um tringulo de lado
10 khet e base 4 khet?
1 400
2 200
1 1000
2 2000
Sua rea 20 setat.
Retire
1
2
de 4, a m de obter seu retngulo. Multiplique 10
vezes 2, isso a rea.
Histria da Matemtica
A Geometria no Antigo Egito
Exemplo 1.15
Fazer um celeiro (ou um cilindro) redondo de 9 por 10.
Subtraia
1
9
de 9 de 9, o que vai ser igual a 8.
Multiplique 8 por 8 = 64A rea do crculo de base seria, portanto, 64.
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