Hipocrates - Lunulas

Hipócrates de QuíosAutor: Hernando Prado

Comentario de introducción:

Tales de Mileto y Pitágoras de Samos habían creado, 

respectivamente, los fundamentos de la Geometría y la Aritmética, y 

por ello, son los fundadores de la Matemática griega. Con ellos, los 

pitagóricos Hipassus de Metaponte (500­460?A.C.), Filolao de Tarento (480­400A.C.), el geómetra 

Hipias de Elis (460­400 A.C.), el atomista Demócrito de Abdera (460­370 A.C.), los eleatas (de Elea, 

ciudad al sur de Italia) Parménides de Elea (530­517 A.C.) y Zenón de Elea (490­430 A.C.) y más tarde, 

en Atenas, el griego Hipócrates de Quíos (470­410 A.C.), conformaron la Escuela griega.

Un segundo período de la Historia de la Matemática ocurrió entre 500 A.C y 400 A.C y está relacionado con 

Atenas, ciudad que alcanzó un lugar de preeminencia después de las victorias de los griegos a principios del 

siglo V A.C cuando vencieron a los persas en Maratón y Salamina. La ciudad se convirtió no sólo en el centro 

político y comercial, sino también en el centro intelectual del mundo griego. Sus filósofos afluyeron del este 

y del oeste, muchos de ellos notables matemáticos y astrónomos. Los más importantes fueron Hipócrates de 

Quíos (470­410 A.C.), Teodoro de Cirene (456­398 A.C), y los contemporáneos: Arquitas de Tarento 

(428­347 A.C.) el pitagórico, Platón de Atenas (427­347 A.C.), Eudoxo de Cnido (390­337 A.C.), 

Aristóteles de Estagira (384­322 A.C.), y Menecmo (375­325 A.C), quienes conformaron la Escuela 

Ateniense.

La Escuela de Atenas se vio envuelta en tres grandes problemas: 1) la “trisección del ángulo”, 2) la 

“duplicación del cubo” y 3) la “cuadratura del círculo”. Los primeros intentos para resolverlos condujeron 

indirectamente a resultados que parecían implicar dificultades mayores que los mismos problemas. Estos 

problemas exigieron un estudio sistemático de la Geometría pero a medida que pasaban los años y no se 

hallaban soluciones atrajeron su atención creciente, a tal punto que hasta el siglo XIX no se habían hallado 

respuestas satisfactorias a estos problemas.

Fuentes:

Sobre su vida y obra se tiene como fuente principal relatos indirectos de Aristóteles. Otros historiadores 

consultados son Eudemo, Proclo y Simplicio.

Nace:

Hipócrates de Quíos nació en 470 A.C. en la isla griega de Quíos del archipiélago de Dodecaneso, en el mar 

Egeo, situado próxima a la costa de Turquía.

No muy lejos se encuentra la isla griega de Cos, donde nació el también célebre médico, con quien no debe 

confundirse, Hipócrates de Cos (460­370 A.C.), el padre de la medicina griega y autor del código ético de 

la práctica de la profesión de la Medicina conocido como el “juramento hipocrático”.

Fallece:

No existen referencias acerca del lugar y la forma cómo murió Hipócrates de Quíos, aunque es muy 

probable que fuera Atenas en el año 410 A.C. a la edad de 60 años.

Biografía: 

Fue un célebre matemático griego, que se dio a conocer cuando ya era adulto en Atenas. Poco se sabe sobre 

sus vivencias afectivas, espirituales y las circunstancias personales de su vida. Solo lo conocemos por sus 

hallazgos en la Geometría. Por esta razón, su biografía personal se acalla enmudecida por su obra.

Según el comentarista Juan Filopono de Cesarea, teólogo y filósofo aristotélico, Hipócrates comenzó su 

vida como comerciante marítimo y cuando que se dirigía a Atenas para realizar actividades comerciales en 

esa ciudad, su barco fue asaltado en las proximidades de Bizancio (actual Estambul) y fue capturado por los 

piratas, perdiendo todos sus bienes por lo que se vio obligado a continuar su viaje a Atenas a fin de ejercer 

en los tribunales la acción penal para restituir sus bienes, por lo que se vio comprometido a permanecer un 

largo tiempo en esa ciudad. No parece sensato que Hipócrates instaurara una acción judicial para que le 

fueran restituidos sus bienes perdidos en un asalto perpetrado por delincuentes. Esta aseveración parece 

confirmarla Aristóteles: “Un buque de Hipócrates fue capturado por piratas atenienses durante la  

Guerra de Samos de 440 A.C. en la que Bizancio participó”.

Otra versión, relata que alrededor del año 430 A.C   .  , Hipócrates se dirigió para Atenas para trabajar como 

mercader, pero perdió todo su dinero víctima de un fraude cometido por los funcionarios aduaneros de 

Bizancio, recaudadores de impuestos, quienes le requisaron todo el dinero y lo despojaron de sus bienes. 

Para reclamarlos judicialmente se trasladó a Atenas, cuyos ciudadanos se burlaron de él por la ingenuidad 

que suponía que un extranjero pudiera confiar que se le iba a hacer justicia. En esta versión, parece tener 

más sentido su acción judicial en Atenas buscando la recuperación de sus bienes.

No encontrando otra cosa nada mejor que hacer mientras esperaba la evolución de su litigio se hizo 

matemático. Qué tal que todos los arruinados del mundo hiciesen lo mismo ¡!

Este incidente hizo que Hipócrates, que contaba con unos 40 años de edad, se interesara por el estudio de la 

Geometría durante su permanencia en Atenas.

Su curiosidad le acercó a la escuela filosófica pitagórica, donde descubrió sus capacidades para la Geometría 

y las Matemática. He attended lectures and became so proficient in geometry that he tried to square the 

circle.Asistió a conferencias de Matemática llegando a ser muy competente en Geometría. La creencia de que 

Hipócrates comulgaba con la tradición pitagórica se apoya en lo que se conoce de sus teorías astronómicas, 

que tienen afinidades muy estrechas con las de Pitágoras y sus seguidores. He was, in Timpanaro Cardini’s 

phrase, a para­Pythagorean, or, as we might say, a fellow traveler. 10

Muy pronto se dedicó a la enseñanza de la Geometría y realizó algunos descubrimientos. Asistió a las 

escuelas de filósofos y abrió una escuela de Geometría donde propuso las bases de su “método de 

reducción del análisis” que consiste en resolver un problema transformándolo en otro ya resuelto.

Según Simplicio, Hipócrates fue expulsado de la escuela pitagórica por recibir salarios por sus clases de 

Geometría. Si en su juventud sufrió la ruina económica, de viejo fue expulsado por haber cobrado por 

“enseñar Geometría”, convirtiéndose en el primer docente de matemática que se remunera con su saber.

Hipócrates hizo progresos notables. Fue el primer autor conocido que haya escrito un tratado de 

Matemática elemental en el que dedicó especialmente su atención a las propiedades del círculo.

Proclo relata esta obra de su autoría, “Elementos de Geometría”, producida más de un siglo antes de la 

famosa obra de la antigüedad “Los Elementos” de Euclides de Atenas. Esta obra de Hipócrates aunque 

perdida, fue conocida por Aristóteles. Aunque no nos ha llegado su obra directamente, sabemos de ella a 

través de los escritos de Eudemo en 335 A.C., resumidos en un fragmento de texto copiado por Simplicio 

alrededor de 520 A.C., donde describe una parte del trabajo de Hipócrates sobre la ”cuadratura de lunas”, 

que son figuras planas limitadas por dos arcos circulares de radios diferentes. En ese fragmento encontramos 

un teorema atribuido al matemático de Quíos: “segmentos de círculo semejantes están en la misma razón 

que los cuadrados de sus bases ( diámetros)”.

La tendencia de abstracción y sistematización de la Geometría encontró un fuerte impulso en la obra de 

Hipócrates de Quios, el geómetra más importante del siglo V A.C..

Hipócrates presentó con su obra de carácter enciclopédico “Elementos de Geometría”, la primera 

exposición sumaria de la Geometría de su época siguiendo un procedimiento original: partiendo de un 

sistema de axiomas o verdades a priori, que tenían carácter intuitivo, utilizó por primera vez la secuencia 

lógica, consecuente y novedosa de: hipótesis à teorema ó tesis à demostración, que se convertiría en un 

esquema clásico del procedimiento matemático. Introdujo en su obra la representación de las figuras 

geométricas – puntos, segmentos – superficies y ángulos – mediante letras y presentó con detalle el “método 

de la reducción al absurdo” como un procedimiento lógico de demostración que al parecer fue aplicado 

por los pitagóricos, aunque muchos historiadores le atribuyen su invención a Hipócrates. Su obra sería 

desplazada un siglo después por un tratado más completo y exhaustivo, “Los Elementos” de Euclides, no 

obstante, los libros I, II, III y IV de esta obra podrían provenir de la obra de Hipócrates.

Hipócrates conocía la relación entre ángulos inscritos y sus arcos correspondientes. Utilizaba el concepto de 

semejanza en sus demostraciones y sabía que las figuras semejantes guardan entre sí la misma proporción 

que los cuadrados de sus lados respectivos u homólogos. Conocía la generalización de las “figuras 

construibles” del teorema de Pitágoras para figuras poligonales semejantes construidas sobre los lados de un 

triángulo rectángulo, tomados como base de la escala o de la semejanza, en el sentido de que el área de la 

figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las mismas figuras semejantes 

construidas sobre los catetos, extendiendo la construcción a cualquier figura poligonal diferente a la de un 

cuadrado. Hipócrates descubrió la generalización del “triángulo base” del Teorema de Pitágoras para 

triángulos no necesariamente rectángulos, demostrando que siempre es construible un paralelogramo sobre 

un lado de un triángulo, cuya área sea igual a la suma de las áreas de sendos paralelogramos arbitrarios que 

puedan ser construidos sobre los otros dos lados de cualquier triángulo oblicuángulo.

Sabía construir con el uso exclusivo de la regla y el compás el hexágono regular y la circunferencia 

circunscrita a un triángulo; igualmente conocía cómo construir un cuadrado con igual superficie que la de 

cualquier rectángulo, triángulo y, en general, cualquier polígono, es decir, conocía la “cuadratura del 

polígono”. También conocía la construcción de un cuadrado de doble área de otro dado, es decir, la 

“duplicación del cuadrado”.

Entre los mayores logros de Hipócrates está el haber demostrado que las áreas de dos círculos se hallan 

entre sí en la misma razón que los cuadrados de sus diámetros. Esto es equivalente a haber descubierto que 

el área de un círculo es , sin determinar el valor de . Es posible que llegara a esta conclusión considerando el 

círculo como el límite de un polígono regular. Presentándose aquí un primer ejemplo de lo que más tarde 

sería el” método exhaustivo”. Para ello se valió del teorema que afirma que “la razón entre el área de dos  

círculos es la misma que la razón entre el cuadrado de sus radios”, el cual Hipócrates generalizó al establecer 

que: “segmentos de círculo semejantes están en la misma razón que los cuadrados de sus bases”. Esta importante 

conclusión generalizar las “figuras construibles” sobre los lados de un triángulo rectángulo del Teorema de 

Pitágoras a figuras semejantes no poligonales, como semicírculos o lúnulas.

Nadie había conseguido la cuadratura de una figura bordeada con líneas curvas y empezaba a intuirse que 

resultaría imposible. A partir de su teorema sobre los círculos, Hipócrates consiguió fácilmente la primera 

cuadratura rigurosa con regla y compás de una figura curvilínea en la historia de la matemática. Con este 

conocimiento fue el primero que pudo lograr la cuadratura de la lúnula, llamada Lúnula de Hipócrates, una 

figura plana limitada por dos arcos de circunferencia de radios distintos, donde parece evidente, que el 

problema de la “cuadratura de las lúnulas” debió surgir del de la “cuadratura del círculo”.

Hipócrates llegó a ser famoso en la historia de la Geometría por los siguientes hechos:

1). Proclo en el llamado sumario de    Eudemo    dice que fue el primero en escribir unos “Elementos de 

Geometría”, en el que recopila los conocimientos geométricos de su época y sus descubrimientos 

presentándolos con el inédito esquema clásico de hipótesis à teorema  à  demostración.

2). Fue el creador del “método de reducción al absurdo”, una de las armas de razonamiento más temibles 

de la lógica. Permite establecer la verdad de una proposición demostrando que la proposición contraria 

conduce a un absurdo inadmisible como “un número que es par es impar al mismo tiempo”, o “dos rectas 

paralelas se cortan” o “un triángulo isósceles tiene todos sus lados de diferente longitud”. Se parte de una 

suposición falsa para llegar a una conclusión verdadera, como quien dice “con una mentira aflorará la 

verdad”. Si se quiere demostrar que una proposición es verdadera, se toma su opuesta y se le considera 

verdadera, y mediante razonamientos secuencialmente lógicos se llega a una conclusión que por inadmisible 

resulta evidentemente falsa, probando que la hipótesis inicial “falla”. Entonces la hipótesis que se supuso 

verdadera al ser falsa, su contraria es verdadera, que es lo que exactamente quería demostrarse.

3). Propuso el método de la “reducción del análisis”. Hipócrates, lo dice Proclo, es el primero en efectuar 

la reducción geométrica de problemas de difícil solución por reducción a otros ya resueltos.

Proclo explica que este método significa “una transición de un problema o teorema a otro, que se conoce o 

ya ha sido resuelto, facilitando su solución. Proclo cita como ejemplo del “método de la reducción del 

análisis” la solución de Hipócrates propuesta al problema de la “duplicación del cubo” cuando aborda la 

solución de su construcción reduciéndolo al problema analítico de encontrar dos medias proporcionales 

entre las longitudes de dos segmentos, uno de ellos, el lado dado del cubo original y el otro, un segmento de 

doble longitud.  Este método de resolución de problemas se le atribuye a Hipócrates por una carta que 

pretendía ser de Eratóstenes, dirigida a Ptolomeo I, primer gobernador de Alejandría (Egipto), que es 

preservada por Eutocio, en la cual se hace referencia específica a este descubrimiento de Hipócrates.

4). Hipócrates fue el primero en lograr la cuadratura de figuras no poligonales. En la búsqueda de la 

solución a la “cuadratura del círculo” demostró que determinadas lúnulas de formas curvilíneas son 

cuadrables.

Cuando Hipócrates llegó a Atenas, tres problemas especiales constituían el centro de atención principal de 

los matemáticos griegos: la “trisección de un ángulo”, la “duplicación del cubo”, y la “cuadratura del 

círculo”. Hipócrates se dedicó a examinar al menos en los dos últimos, de donde surgieron sus más 

resonantes logros.

Para comprender con mayor claridad los enormes aportes de Hipócrates a la Geometría, estos logros que 

hemos mencionado, y la trascendencia de su legado se hace necesario discurrir sobre las nociones que han 

sido recurrentes hasta ahora en este relato, tales como: El “problema de la cuadratura”, la “clásica 

construcción griega con regla y compás”, la “cuadratura de la lúnula”, y los “Problemas clásicos de la 

construcción”: la “trisección de un ángulo”, la “duplicación del cubo” y la “cuadratura del círculo”,

Examinemos cada uno de estos tópicos:

El “problema de la cuadratura”:

El “problema de la cuadratura” es obvio que le interesara a los griegos para mostrar la simplicidad y 

belleza del Universo pues de ese modo el cálculo del área de una figura, incluso de forma irregular, podía 

quedar reducido al problema de hallar el área de un cuadrado, convirtiendo lo asimétrico en simétrico, lo 

imperfecto en perfecto, lo complejo en simple.

La “cuadratura” era uno de los problemas más importantes para los matemáticos griegos. La cuadratura de 

una figura plana es la construcción con regla y compás de un cuadrado con la misma superficie de la figura 

plana original. Una superficie es “cuadrable” cuando, a partir de ella, es posible obtener geométricamente, 

mediante la construcción con el uso exclusivo de la regla y el compás, un cuadrado que tenga la misma área 

que aquella.

Se pretendía simplificar el cálculo del área de una figura irregular intentando reducirlo al simple cálculo del 

área de un cuadrado que tuviera la misma área de la figura dada. Debe tenerse presente que la construcción 

geométrica sólo debía realizarse con el uso exclusivo de una regla y un compás, ambos instrumentos 

idealizados.

Se comenzaría por obtener, sucesivamente, la cuadratura de un rectángulo, la de un triángulo, un polígono 

regular, uno irregular, un círculo, y finalmente, el caso general de cualquier figura plana limitada por curvas 

coplanares.

Y antes de intentar la “cuadratura del círculo” ,la figura curvilínea más sencilla, resolvieron con éxito la 

construcción de los casos más sencillos como la cuadratura del rectángulo, del triángulo y del polígono 

regular.

Los matemáticos de la Grecia clásica pronto se interesaron por cuadrar superficies irregulares limitadas por 

poligonales. Desde un punto de vista práctico, cuadrar superficies irregulares permitía simplificar el cálculo 

de sus áreas ya que, mientras podía ser fatigoso calcular el área de una superficie no regular, el cálculo del 

área de su cuadrado equivalente sería trivial. En la época de Hipócrates ya se habían conseguido cuadrar los 

polígonos más irregulares, construidos con segmentos rectilíneos. La “cuadratura del polígono” estaba ya 

resuelta. Nadie había conseguido la cuadratura de una figura con líneas curvas y empezaba a intuirse que 

resultaría muy difícil si no imposible.

Entonces, la “cuadratura del círculo”, podría ilustrarse gráficamente del modo siguiente:

Sin embargo, Hipócrates de Quíos fue el primero en “cuadrar”, mediante regla y compás, una figura con 

lados curvados, conocida como lúnula, y fue reconocido como el autor de la “cuadratura de una lúnula” de 

características muy específicas construida especialmente por el mismo Hipócrates.

Formalmente, una lúnula L es la diferencia lógica entre los dos conjuntos circulares de puntos, situados de 

forma que ambos se intersecan, pero ninguno es un subconjunto del otro. En geometría plana una “lúnula” 

es un área cóncava limitada por dos arcos circulares. La correspondiente forma convexa se denomina 

“lente”.

Más tarde Hipócrates consiguió cuadrar otros dos casos particulares de lúnula. En 1711, el matemático 

suizo Leonhard Euler encontró otros dos casos de lúnulas “cuadrables”. Ya en el siglo XX , N.G. 

Tschebatorew y A.W. Dorodnow demostraron que sólo cinco lúnulas eran las únicas que se podían 

“cuadrar” con regla y compás. Si a lo anterior se le agrega la demostración realizada por el matemático 

alemán Ferdinand Lindemann , en 1882, de la imposibilidad de “cuadrar” el círculo, podemos concluir que 

la primera intuición de los matemáticos griegos era cierta, y que la cuadratura de figuras curvilíneas con 

regla y compás era imposible salvo algunas raras excepciones.

La clásica construcción griega con regla y compás 

Los griegos, influidos por la preeminencia de la Geometría en sus descubrimientos matemáticos, buscaron 

procedimientos puramente geométricos para hallar la “cuadratura” de las distintas superficies. Esto 

implicaba limitarse al uso de dos elementos tecnológicos simples como el compás y la regla. Ha de añadirse 

que, para los griegos, era impropio usar el compás o la regla como instrumentos para transportar distancias: 

el compás sólo para trazar circunferencias y la regla sólo para trazar segmentos.

Mediante los métodos de cuadratura del rectángulo y del triángulo, así como mediante la descomposición de 

los polígonos en triángulos, los griegos cuadraban cualquier superficie de contorno poligonal, esto es, 

conformado por segmentos rectilíneos.

La Geometría clásica griega impuso la norma de usar en las construcciones geométricas sólo la regla y el 

compás “idealizados.

A la “regla” se le supone longitud infinita, carente de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y 

sólo tiene un borde , cosa insólita en las reglas mundanas que tienen  dos bordes paralelos, por lo que 

permiten trazar rectas paralelas. Puede usarse sólo con un fin modesto: trazar un segmento entre dos puntos 

que ya existan en el papel, o bien prolongarlo tanto como se desee.

El ”’compás”’ puede trazar circunferencias de cualquier radio dado, pero a diferencia de la mayoría de 

compases reales, no tiene ninguna marca que permita repetir una abertura predeterminada. Sólo puede 

abrirse entre puntos que hayan sido previamente construidos, así que en realidad su única función es trazar 

una circunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y un radio también determinado por un 

punto prefijado. Además, se trata de un compás “flácido”, porque se supone que se cierra súbitamente 

cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, pues 

“olvida” la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia y, por supuesto, el 

recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de trazar.

Estos instrumentos son en realidad conceptos matemáticos abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y 

no son instrumentos físicos.

Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer construcciones ideales. Los dibujos del 

mundo real tienen imperfecciones: los puntos son en realidad manchas tridimensionales, los segmentos de 

recta son en realidad cuasi­paralelepípedos o “franjas” algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. pero 

las construcciones con regla y compás de la geometría clásica se hacen en la mente, más que en el papel, y 

son tan idealmente precisas como el Algebra.

A cualquiera puede parecerle que tales construcciones ideales con regla y compás son un simple juego o 

pasatiempo interesante, más que una disciplina científica seria, pero el verdadero interés científico, que 

estuvo abierto durante más de dos mil años hasta ser resuelto en el siglo XIX, coincidiendo con la 

demostración de los teoremas fundamentales sobre ecuaciones polinómicas, con la comprensión profunda de 

los números irracionales y trascendentes y con la aparición del álgebra abstracta, está en establecer cuáles 

son los problemas de construcción que no se pueden hacer con el uso de la regla y compás ideales, esto es, 

cuáles desbordan los límites de lo factible con estos dos instrumentos del trazado lineal y circular.

Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco construcciones básicas, 

usando en cada una los puntos, líneas y círculos que se hayan creado en fases anteriores. Estas cinco únicas 

construcciones básicas son:

1. Crear el segmento de recta que une dos puntos.

2. Crear el círculo con centro en un punto dado y cuya circunferencia toca otro punto dado.

3. Crear el punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas.

4. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) una línea y una circunferencia.

5. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) dos circunferencias.

Por ejemplo, partiendo de dos puntos dados, se puede crear una recta, o bien se pueden crear dos círculos, 

tomando cada punto de centro y el otro de extremo. La intersección de los dos círculos, dará lugar a dos 

nuevos puntos. Si trazamos segmentos de recta entre los puntos originales y uno de los nuevos puntos, 

habremos construido un triángulo equilátero, o si tomamos los dos nuevos, tendremos un rombo . Así pues, 

el problema: “Construir un triángulo equilátero dado uno de sus lados (o los puntos extremos de uno de sus 

lados)” o “Construir un rombo dada una de sus diagonales (o sus puntos extremos )” son trivialmente 

resolubles o construibles con el uso exclusivo de la regla y el compás.

Cualquier punto que sea construible usando regla y compás puede conseguirse también usando únicamente 

compás; lo que evidentemente no se puede hacer es trazar el segmento de recta entre dos puntos 

previamente construidos. Algunos problemas de Geometría plana clásica imponen la restricción de “sólo 

compás”.

Es posible, de acuerdo con el teorema de Mohr­Mascheroni obtener sólo con compás cualquier construcción 

que pueda hacerse con regla y compás, con la única excepción, el hecho de trazar una recta. Una raíz 

cuadrada se obtiene con regla y con compás, así que puede obtenerse sólo con compás, pero es imposible 

con sólo regla de modo que muchas construcciones factibles con compás no lo son con regla. Sin embargo, el 

teorema de Poncelet­Steiner demuestra que basta con disponer previamente trazados un único círculo y su 

punto central para que todo lo construible con compás lo sea también sólo con regla.

Algunos polígonos regulares, por ejemplo el pentágono, son fácilmente construibles con regla y compás; 

otros no. Significa que aun cuando los polígonos, regulares o nó,  son “cuadrables”  cuando se dan de 

antemano para hallar por construcción del cuadrado que iguala su área, ellos mismos como entes 

geométricos no son “construibles” con sólo regla y compás. Esto nos lleva a la pregunta: ¿es posible 

construir cualquier polígono regular con regla y compás?

El primer avance relevante para resolver este problema se debe a Carl Friedrich Gauss, que mostró en 1801 

que un polígono regular de ”n” lados puede construirse con regla y compás siempre que los factores primos 

impares de ”n” sean distintos. Gauss conjeturó que esta condición debía ser también necesaria, pero no 

aportó una demostración de este hecho, que fue lograda por Pierre Wantzel en 1837.

La “cuadratura de las lúnulas”,

A Hipócrates se le recuerda por el descubrimiento y cuadratura de las lúnulas, regiones exteriores a uno de 

dos círculos que se intersecan sin que uno de ellos sea subconjunto del otro. Eran las primeras figuras 

curvilíneas que resultaban “cuadrables” con el uso de la regla y el compás. Hoy se sabe que sólo existen 5 

tipos de lúnulas cuadrables de las que Hipócrates consiguió la cuadratura de dos de ellas.:

La primera lúnula “cuadrable” por Hipócrito fue la siguiente:

Una vez hallado el triángulo ABC de igual área al de la lúnula, una sencilla construcción a regla y compás 

lograba obtener el cuadrado de área equivalente.

Hipócrates en un intento de conseguir la cuadratura del círculo extendió el resultado anterior al esquema 

siguiente:

En el esquema anterior, aun cuando no se presenta una “cuadratura”, se establecen equivalencias entre las 

lúnulas y una región curvilínea irregular:

Los “Problemas clásicos de la construcción”

Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución “con regla y compás” son la proverbial 

“trisección del ángulo”, la “duplicación del cubo” y la “cuadratura del círculo”. Tienen en común ser de 

resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede “trisecar el ángulo”, ni “duplicar el 

cubo”, ni “cuadrar el círculo”, usando exclusivamente la regla y el compás idealizados de la Geometría 

griega.

Los tres problemas clásicos no son los únicos cuya solución se ha demostrado imposible. La construcción de 

determinados (infinitos) polígonos regulares, como por ejemplo el heptágono (polígono regular de 7 lados) 

el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de crear con regla y compás, o el endecágono 

(polígono regular de 11 lados) también imposible de construir con regla y compás. Así que tampoco se 

puede “trazar un heptágono regular” o “dibujar un endecágono regular”.

Pese a esa “imposibilidad lógica” insalvable, muchos persisten en el intento de resolver estos famosos 

problemas quizás, porque no aciertan a explicarse su imposibilidad, dado que son resolubles si se permiten 

algunas salvedades. El matemático norteamericano Underwood Dudle ha trabajado en la recopilación de 

falsas demostraciones “con regla y compás”, así como de otras excentricidades matemáticas, que ha 

compilado en varios libros.

Los problemas de construcción con regla y compás tienen esencialmente una traducción algebraica: plantean 

geométricamente la resolución de una ecuación. Por ejemplo, los problemas de la “trisección del ángulo” y 

la “duplicación del cubo” desembocan en una ecuación de tercer grado.

Estos tres problemas insolubles clásicos de construcción con regla y compás se enuncian así:

La “Trisección del ángulo”:

”Trisección del ángulo”: Debe dividirse un ángulo dado en tres ángulos más pequeños, los tres del mismo 

tamaño, cuya suma sea igual al ángulo dado. Se aporta como dato el ángulo a trisecar (las dos rectas que lo 

forman, o puntos que permitan trazarlas) y se consideraría resuelto el problema cuando se traza un ángulo 

cuya apertura es un tercio de la del ángulo dado.

La imposibilidad de la trisección del ángulo fue obtenida en 1837 por el joven matemático francés Pierre 

Laurent Wantzel ( 1814­1848) quien en lugar de intentar resolver el problema se enfocó más bien a buscar 

una prueba de que tenía solución influido por la obra Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, publicada 

en1801, en la que el matemático alemán afirma, sin demostrarlo que un ángulo de 120° no puede ser 

trisecado solamente con regla y compás. El mismo Wantzel demostró la imposibilidad de la construcción del 

problema de la duplicación del cubo.

La ”Duplicación del cubo”:

”Duplicación del cubo”: Ha de dibujarse el lado de un cubo cuyo volumen duplique al de otro cubo del que 

se da el segmento que es su lado como dato de partida. Se considera resuelto el problema cuando se 

consigue trazar el segmento de recta que es el lado del cubo de doble volumen de aquel cuyo lado fue dado.

El nombre de Hipócrates rememora el célebre problema clásico de la Matemática, conocido como la 

“duplicación del cubo”, o también como el “problema Délico” o “Deliano”.

Con relación a los orígenes de este famoso problema existe una leyenda que cuenta que en 427 A.C   .   

Péricles, gobernador de Atenas, murió víctima de la peste que azotó a Grecia alrededor del 433 A.C. junto 

con un cuarto de la población de Atenas. Según un estudio publicado a principios del 2006, realizado por la 

Universidad de Atenas, la peste antes mencionada fue una fiebre tifoidea, pues el ADN extraído de unos 

dientes hallados en un entierro griego, en el cementerio de Cerámico, donde se hallaron 150 cuerpos, vasijas 

y ofrendas, es semejante al de la Salmonella entérica serotipo Typhi, organismo causante de esta fiebre.

Consternados por esa enorme pérdida, los habitantes de Delos consultaron su oráculo de Apolo sobre cómo 

combatir la epidemia. La respuesta fue que el altar de Apolo, que poseía la forma de un cubo, debería ser 

duplicado en volumen sin cambiar su forma. Eratóstenes en su obra “Platonicus”, obra perdida atribuida al 

matemático de Cirene, que trataba de las matemáticas que subyacen a la filosofía de Platón, relata que los 

artesanos al consultar a Platón les respondió que los dioses habían impuesto tal tarea para avergonzar a los 

griegos por su descuido en el estudio de la Matemática y su desprecio por la Geometría. Los atenienses 

duplicaron diligentemente las dimensiones del altar pero pese a sus esfuerzos no se alejó la peste pues los 

artesanos quedaron perplejos con al descubrir que el volumen había aumentado ocho veces al duplicar la 

longitud de la arista y no por dos veces como lo exigía el oráculo.

Entonces, conocida la arista L del cubo, se debía construir sólo con regla y compás la arista de un segundo 

cubo teniendo el doble del volumen del primero, el cual se reducía al problema de construir un segmento X 

tal que, simbólicamente:

Sin duda, los pitagóricos sabían resolver el problema de la “duplicación del cuadrado” que consistía en 

cómo construir un cuadrado de doble área que otro dado empleando la regla y el compás, tal como lo ilustra 

la construcción siguiente:

Pero la construcción del cubo de doble volumen que como ahora se 

sabe es imposible realizarla con el uso exclusivo de la regla y el 

compás, no había podido ser resuelta por los matemáticos que 

habían acudido a Delos intentando dar repuesta, a este problema, 

pero como, es evidente, sus esfuerzos fueron vanos. Aunque el 

objetivo principal de la construcción es imposible ha servido para 

crear numerosas construcciones que han puesto de manifiesto 

propiedades muy interesantes de las figuras geométricas y a proponer curvas como instrumento para su 

solución, como las cónicas de Menecmo y la Cisoide u hoja de hiedra de Diocles.

El primero en abordar el problema sin éxito fue Hipócrates; luego lo intentaron otros matemáticos griegos 

posteriores como Arquitas de Tarento, Menecmo, Eratóstenes, quienes hallaron soluciones aproximadas 

pero no encontraron el procedimiento de construcción que arrojara resultados exactos.

En relación con la duplicación del cubo probó que esta era posible siempre que pudieran encontrarse 

medias proporcionales entre un número y su duplo.

Hipócrates demostró que el problema de la “duplicación del cubo” o “problema délico” podía reducirse a 

la construcción de hallar dos medias proporcionales sucesivas X , Y , una de ellas al segmento L y la otra al 

segmento 2L, es decir: X :Y=L:X  y X:Y=Y:2L .

De la primera:   X:Y=L:X   à  X2 =Y.L       à  Y = X2/L  , 

De la segunda:  X:Y=Y:2L  à   Y2 =2.L.X

Sustituyendo la primera:    Y2 =2.L.X   à  (X2/L )2 =2.L.X    à  X3 =2.L3  à 

De modo equivalente, a partir de de tales medias proporcionales se obtienen las dos parábolas:       Y = X2/L 

y   Y2 =2.L.X  , que pasan por el origen y con ejes de simetría en los ejes coordenados Y y X respectivamente. 

La abscisa x del punto de intersección de las parábolas cumple: X3=2L3   después de eliminar Y , que indica 

que el cubo de lado X tiene el doble de volumen que el cubo de lado L, y la solución será entonces el 

segmento  X = (2L )1/3 =  el punto de intersección de las dos parábolas:

La ”Cuadratura del círculo”

”Cuadratura del círculo”: Se trata de dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo 

dado. Se aporta como dato de partida el círculo a cuadrar (su centro y uno de los puntos de su 

circunferencia), y se considera resuelto el problema cuando consigue trazarse el segmento de recta que es un 

lado del cuadrado que iguala el área de dicho círculo.

En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann (1852­1939) en un artículo titulado “Über die Zahl 

”π , probó que N es un número transcendente si no existe un polinomio con coeficientes enteros o racionales 

no todos nulos de los cuales N sea una raíz. Si es así, es imposible expresar N con un número finito de 

números enteros, de fracciones racionales o sus raíces, y con esta conclusión, establece que π es un número 

trascendente y con ello la imposibilidad de construir, solamente con una regla y un compás, un cuadrado 

cuya área sea rigurosamente igual al área de un determinado círculo, es decir, resolver la construcción de la 

cuadratura del círculo es imposible

La “solución de los Problemas clásicos de la construcción griega”

Estos problemas resistieron durante 2000 años los incontables intentos de encontrar construcciones que los 

resolvieran con regla y compás, de acuerdo con las normas antes indicadas. A mediados del siglo XIX se 

demostró matemáticamente que es imposible hacerlo.

Arquímedes y Apolonio de Pérgamo realizaron construcciones con “regla marcable“, una regla en la que 

se puedan dibujar rayas para guardar memoria exacta de distancias. Esto les permitía realizar una operación 

llamada “neusis”, por ejemplo, trazar un segmento que tuviera sus puntos extremos en contacto con otro 

punto y una curva, o con dos puntos cada uno de una curva de modo que entre ellos quedara trazado un 

segmento de longitud igual al segmento marcado en la regla o construir  un segmento de recta de tamaño 

prefijado, que cumple la condición de tocar en sus extremos a dos rectas dadas, y además pasar por un 

punto dado, al que suele llamarse “polo”. Con el uso de la “regla marcable“, es decir, si se permite la 

práctica de la“neusis”, pueden resolverse constructivamente ecuaciones de tercer y cuarto grado, con lo cual 

es construible la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Algunos polígonos regulares no 

construibles con regla y compás clásicos, como el heptágono lo son con “regla marcable“.

La cuadratura del círculo, en cambio, sigue siendo imposible. Aun con “neusis”, sigue siendo imposible 

construir muchos (de hecho, infinitos) polígonos regulares, empezando por el endecágono, de once lados.

Muchas otras construcciones imposibles con regla y compás, como la trisección del ángulo y la duplicación 

del cubo, pueden realizarse fácilmente con una modalidad más potente, aunque físicamente muy sencilla, el 

doblado de hojas de papel, que resulta más potente que la regla y compás clásicos, denominado el arte 

”origami” o “papiroflexia”. Los axiomas de Humiake Huzita son tipos de operaciones de doblado del papel 

que permiten resolver ecuaciones matemáticas hasta de cuarto grado y polinómicas y construir extensiones 

cubicas de un segmento, esto es, el segmento que es la raíz cúbica de otro dado, en tanto que con regla y 

compás sólo pueden construirse extensiones cuadráticas (raíces cuadradas).

Igual que la “regla marcable“, el ”origami” o “papiroflexia” permite resolver ecuaciones cúbicas, lo que a 

su vez abre la resolución de cuárticas, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Se ha 

demostrado que los puntos construibles por “papiroflexia” son exactamente los mismos que con “regla 

marcable” y compás; en particular, tampoco el ”origami” permite resolver la cuadratura del círculo.

Personalidad:

Según Aristóteles, aunque Hipócrates fue destacado como geómetra, era “tonto, estúpido” y falto de 

sentido común en otros aspectos. Aunque hace la observación que la persona estúpida en un aspecto no lo 

es, en absoluto, en otros. “Thus Hippocrates, though a competent geometer, seems in other respects to have 

been stupid and lacking in sense; and by his simplicity, they say, he was defrauded of a large sum of money 

by the customs officials at Byzantium.” Plutarch confirms that Hippocrates, like Thales, engaged in 

commerce 4 .

Hipócrates como Maestro: 

Cuando Hipócrates perdió su fortuna en su actividad de comercio marítimo, debió ganarse la vida mediante 

la divulgación su saber recibiendo remuneración como intermediario del saber, lo que demuestra que existía 

un gran interés de la sociedad por el saber que le permitió tener una posición económica independiente. Así 

que fue el “primer docente matemático” de la historia.

Hipócrates como Sabio : Sus citas. A Hipócrates de Quíos se le acreditan las sentencias siguientes:

“La vida es breve, el arte largo, la ocasión fugaz, el experimento peligroso, el juicio difícil”.

“ Que la comida sea tu alimento y el alimento tu medicina”. 

“La naturaleza obra sin maestros”. 

“Que tu alimento sea tu única medicina”. 

“La guerra es la mejor escuela del cirujano”. 

“El vino es una cosa maravillosamente apropiada para el hombre si, en tanto en la salud como en la  

enfermedad, se administra con tino y justa medida”.