Matemática 2014 Página 1 HIPÉRBOLA Definición: Se llama hipérbola al conjunto de puntos del plano que cumplen con la condición de que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. ' f p f p - = constante La recta que contiene a los focos se llama eje real o focal. Ecuación de la hipérbola Centrada en el origen Con traslación Eje mayor coincidente con el eje x Eje mayor paralelo al eje x
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Matemática 2014
Página 1
HIPÉRBOLA
Definición: Se llama hipérbola al conjunto de puntos del plano que cumplen con la condición de
que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
'fpfp − = constante
La recta que contiene a los focos se llama eje real o focal.
Ecuación de la hipérbola
Centrada en el origen Con traslación
Eje mayor coincidente con el eje x Eje mayor paralelo al eje x
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La ecuación canónica correspondiente, en cada caso, es:
1b
y
a
x2
2
2
2
=− 1b
h)(y
a
k)(x2
2
2
2
=−
−−
Centro c (0, 0) Centro c (k, h)
Vértices v (a, 0) v ' (– a, 0) Vértices v (k + a, h) v ' (k – a, h)
v1 (0, b) v1' (0, – b) v1 (k, h + b) v1' (k, h – b)
Focos f (c, 0) f ' (– c, 0) Focos f (k + c, h) f ' (k – c, h)
Longitud del eje real o focal Longitud del eje real o focal
v v' = 2 a v v' = 2 a
Ecuación de la recta que contiene al eje Ecuación de la recta que contiene al
real o focal y = 0 eje real o focal y = h
Longitud del eje imaginario v1 v'1 = 2 b Longitud del eje imaginario
v1 v1' = 2 b
Ecuación de la recta que contiene al eje Ecuación de la recta que contiene al
imaginario x = 0 eje imaginario x = k
Ecuaciones de las asíntotas Ecuaciones de las asíntotas
xa
by ;x
a
by −== h k) x(
a
by +−=
h k) x(a
by +−−=
Las asíntotas de la hipérbola son las rectas que unen los vértices opuestos del rectángulo cuyo
centro está en el centro de la hipérbola y sus lados tienen longitud 2 a y 2 b.
Distancia focal f f ' = 2 c Distancia focal f f ' = 2 c
Dominio Dom R = (– ∞, – a] ∪ [a, ∞) Dominio
Dom R = (– ∞, k – a] ∪ [k + a, ∞)
Codominio Cod R = (– ∞, ∞) Codominio Cod R = (– ∞, ∞)
Relación entre a, b y c
Consideremos el triángulo rectángulo o v p, llamando la hipotenusa c y los catetos a y b.
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La relación pitagórica entre ellos es: c 2 = b 2 + a 2
Excentricidad
Denotamos a la excentricidad con ε y definimos como εεεε = c / a y como c > a ⇒ ε > 1
Ejemplo:
Dada la expresión 9 x 2 – 36 y
2 – 324 = 0
a) ¿Cómo se denomina la gráfica?
b) Determine sus elementos.
c) Represente.
a) Como A ≠ C y de diferentes signos ⇒ se trata de una hipérbola.
b) 9 x 2 – 36 y
2 = 324 dividiendo en 324 ⇒⇒⇒⇒ obtenemos la ecuación canónica
19
y
36
x 22
=−
Centro c (0, 0)
a 2 = 36 ⇒ a = 6 Vértices v (6, 0) v ' (– 6, 0)
b 2 = 9 ⇒ b = 3 v1 (0, 3) v1' (0, – 3)
c 2
= a 2
+ b 2 ⇒
c
2 = 36 + 9
c 2
= 45 ⇒ c = 45 Focos f ( 45 , 0) f ' (– 45 , 0)
Excentricidad ε = c / a ⇒ ε = 45 / 5 > 1
Longitud del eje real o focal v v' = 12
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Longitud del eje imaginario v1 v1' = 6
Ecuación de la recta que contiene al eje real o focal y = 0
Ecuación de la recta que contiene al eje imaginario x = 0
Ecuaciones de las asíntotas x2
1yx
6
3ye x
2
1y x
6
3y −=⇒−==⇒=
c)
Ecuación de la hipérbola
Centrada en el origen Con traslación
Eje real coincidente con el eje y Eje real paralelo al eje y
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La ecuación canónica correspondiente, en cada caso, es:
1
b
x
a
y2
2
2
2
=− 1b
h)(y
a
k)(x2
2
2
2
=−
−−
Centro c (0, 0) Centro c (k, h)
Vértices v (0, a) v' (0, – a) Vértices v (k, h + a) v' (k, h – a)