himpunan, bilangan, dan induksi matematika (baru).ppt (3238Kb)

MATEMATIKA DASAR I

Dosen : Asri Nur Chiquita

Himpunan bilangan dan skemanya

Skema Himpunan Bilangan

• Himpunan bilangan asliadalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

Ex: N = {1,2,3,4,5,6,......}

• Himpunan bilangan primaadalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

Ex: P = {2,3,5,7,11,13,....} 

• Himpunan bilangan cacahadalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

Ex: C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

• Himpunan bilangan bulatadalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

Ex: B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 

• Himpunan bilangan rasionaladalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:p/q dimana p,q  bulat dan q 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.Contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

• Himpunan bilangan irasionaladalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: log 2, e, 7

• Himpunan bilangan riiladalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3

• Himpunan bilangan imajineradalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru.

contoh: i, 4i, 5i

• Himpunan bilangan kompleksadalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b R, i² = -1,

dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.contoh: 2-3i, 8+2

Bilangan bulat

• Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :

Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …) Nol : 0 Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1) Himpunan Bilangan bulat A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

Garis bilangan bulat

0-1-2-3 1 2 3 4-4

bilangan bulat positif

bilangan bulat Negatif

Bilangan nol

Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil : Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … } Bilangan yang habis dibagi dengan 2 Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … } Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

Operasi Hitung Bilangan Bulat

• Penjumlahan Sifat Asosiatif ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Sifat Komutatif a + b = b + a Unsur Identitas terhadap penjumlahan a + 0 = 0 + a Unsur invers terhadap penjumlahan a + (-a) = (-a) + a Bersifat tertutup a dan b ∈ bilangan bulat

maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat

• Pengurangan Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : a – b = a + (-b) a – (-b) = a + b Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku a – b ≠ b - a (a – b ) – c ≠ a – ( b – c ) Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat : a – 0 = a dan 0 – a = -a Bersifat tertutup a dan b ∈ bilangan bulat

maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat

• Perkaliana x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = abSifat Asosiatif (a x b) x c = a x (b x c)Sifat komutatif a x b = b x aSifat distributif a x (b+c) = (a x b ) + (a

x c)Unsur identitas untuk perkalian a x 0 = 0

atau a x 1 = 1 x a = a Bersifat tertutup a x b = c a, b, c ∈ bilangan bulat

• Pembagian Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah

bilangan positif (+) : (+) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah

bilangan positif (-) : (-) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda

adalah bilangan negatif (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-)

Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi a : 0 (~) atau 0 : a 0 (nol)

Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif a : b ≠ b : a atau (a:b):c ≠ a : (b:c) Bersifat tidak tertutup

Pemangkatan bilangan bulat

Contoh : 34 = 4 x 4 x 4 = 64 53 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

Akar pangkat dua• Akar kuadrat (akar pangkat dua)

Akar kubik (akar pangkat tiga)

Bilangan Riil

• Notasi dari himpunan bilangan riil adalah • dinyatakan sebagai garis lurus x є

dibaca x (sembarang bilangan) anggota dari Jika x є dinyatakan sebagai suatu titik di garis

x

Bilangan x terletak antara -a dan a dengan titik pusatnya 0

0-a a

xx

Urutan Pada Garis Bilangan Riil

Misalkan: x < y dibaca x berada di sebelah kiri y

atau x lebih kecil dari y x > y dibaca x berada di sebelah

kanan y atau y lebih kecil dari x

• dibaca “ jika dan hanya jika”• x < y y-x positif

Sifat–sifat bilangan real • Sifat-sifat urutan :

Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti

berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y

Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < zPerkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz <

yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Penambahan x<y x+z <y+z Relasi urutan dibaca “kurang dari atau

sama dengan” dibaca “lebih dari atau

sama dengan” x y y - x positif atau nol

Untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku sifat urutan berikut:

• a < b a + c < b + c• a < b a - c < b – c• a < b, c > 0 ac < bc• a < b, c < 0 ac > bc• a > 0

• Jika a dan b bertanda sama maka

1 0a1 1

a b b a

Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.

Interval bilangan real

Untuk setiap x, a, b, c R,

1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup

atau terbuka3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka

atau tertutup4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka

Selang (interval)Penulisan Penulisan himpunan Grafik(a,b) {x є | a < x < b}

[a,b] {x є | a ≤ x ≤ b}

[a,b) {x є | a ≤ x < b}

(a,b] {x є | a < x ∞ b}

(a,∞) {x є | x > a}

[a, ∞) {x є | x ≥ a}

(-∞,b) {x є | x < b}

(-∞,b] {x є | x ≤ b}

(-∞, ∞)

a

ba

b

a b

a b

a

a

b

b

himpunan bilangan real tertentu yang didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut:

Ketidaksamaan• Menyelesaikan ketidaksamaan dalam x berarti mencari

interval atau interval-interval dari bilangan yang memenuhi ketidaksamaan tersebut.

• Cara menyelesaikan ketidaksamaan :1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi tanda ketidaksaman berubah

Contoh:Selesaikan ketidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya pada garis bilangan real!a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x

b. c. (x – 1)2 ≤ 4x

x

24

2

Nilai Mutlak• Definisi nilai mutlak :

• Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.

• |x| dapat juga didefinisikan sebagai:

• Secara Geometri: |x| menyatakan jarak dari x ke titik asal. |x – y| = jarak diantara x dan y

0,

0,xxxx

x

2x x

Sifat nilai mutlak• |-a| = |a|• |ab| = |a||b|

• |a + b| ≤ |a| + |b|• |x|2 = x2

• |x| < a jika dan hanya jika - a < x < a • |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a• |x| < |y| jika dan hanya jika x2 < y2

aa

b b

Contoh :

• Selesaikan persamaan berikut: |2x – 5|=9• Tentukan solusi dari ketaksamaan berikut:

x 5 9

5 12 x

SOAL

1. 5 2 6x x

2. 2 11 1x x

3. Berapakah nilai a dan t yang memenuhi persamaan

?t a a t

INDUKSI MATEMATIKA

• Induksi matematika adalah : Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat.

• Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.

1. Proposisi Perihal Bilangan Bulat.

• Pernyataan perihal bilangan bulat mengkaitkan suatu masalah yang dihubungkan dengan bilangan bulat.

• Untuk memberikan ilustrasi mengenai pernyataan yang dimaksud, diperlihatkan dengan memberikan contoh berikut :

Contoh 1 :

Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan : ”Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n (n+1) / 2.”

Buktikan bahwa p(n) benar!

Jika dicoba dengan beberapa nilai n, memang timbul dugaan bahwa p(n) benar, misalnya untuk n = 5,

p(5) adalah : “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai 5 adalah 5 (5+1)/2.

Terlihat bahwa :1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = 5 (6) / 2

Contoh 2 :

Jika ingin menemukan rumus jumlah dari n buah bilangan ganjil positif yang pertama. Misalnya untuk n = 1, 2, 3, 4, 5, perhatikan jumlah n bilangan ganjil positif pertama ,

n = 1 1 = 1n = 2 1 + 3 = 4n = 3 1 + 3 + 5 = 9n = 4 1 + 3 + 5 + 7 = 16n = 5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Dari nilai-nilai penjumlahan, bahwa jumlah n buah bilangan ganjil yang pertama adalah n2

Contoh-contoh proposisi perihal bilangan bulat yang lainnya :

1. Setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

2. Untuk semua n ≥ 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3.

3. Untk membayar biaya pos sebesar n sen dolar (n ≥ 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan 5 sen dolar.

4. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekali. Jika ada n orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n – 1)/2.

5. Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari sebuah himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2.

2. Prinsip Induksi Sederhana

• Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukan bahwa :

1. p(1) benar, dan2. jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat positif n 1.

Basis Induksi dan Langkah Induksi

• Langkah 1 dinamakan Basis Induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan Langkah Induksi.

• Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar.

• Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.• Bila kedua langkah tsb benar, maka sudah

dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

• Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil.

• Langkah induksi harus memperlihatkan bahwa p(n) p(n+1) benar untuk semua bilangan bulat positif.

Contoh 4.1 :Tunjukkan bahwa untuk n 1, 1+2+3+…+n = n(n+1)/2

melalui induksi matematika

(i) Basis induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1 kita peroleh1 = 1(1+1)/2 = 1(2)/21 = 1

(ii) Langkah induksi :kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar,

1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /2

1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /2

1+2+3+…+n+(n+1) = (1+2+3+…+n) + (n+1) = [n(n+1)/2n(n+1)/2] + (n+1)

= [(n(n2 2 +n)/2+n)/2] + (n+1)= [(n(n22 +n)/2 +n)/2] + [(2n+2)/2]

= (n2 + 3n + 2)/2 = (n+1)(n+2)/2

= (n+1) [(n+1)+1] /2

Karena langkah (i) dan (ii) telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n, terbukti bahwa untuk semua n 1, 1, 1+2+3+…+n = n(n+1)/2

sama

Contoh 4.3 :Tunjukkan bahwa untuk n 1, bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3

melalui induksi matematika

(i) Basis induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1,13 + 2(1) = 3 adalah kelipatan 3

(ii) Langkah induksi :kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar,

(n+1)3 + 2(n+1) adalah kelipatan 3

Hal ini dapat kita tunjukkan sbb:

(n+1)3 + 2(n+1) = (n3 + 3n2 + 3n + 1) + (2n + 2) = (n3 + 2n) + (3n2 + 3n + 3) = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1)

kelipatan kelipatan 33

1

111

11

11

111

23

641010 55

34

(x+y)0 = 1(x+y)1 = x + y(x+y)2 = x2 + 2xy + y2

(x+y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

(x+y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5x y4 + y5

segitiga Pascal

3. Prinsip Induksi yang Dirampatkan.

• Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan p(n) benar untuk semua bilangan bulat n0 , prinsip induksi sederhana dapat dirampatkan untuk menunjukkannya, dengan cara sebagai berikut : 1. p (n0) benar, dan2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat n n0

Contoh 4.5 :Untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan induksi matematika bahwa 20+21+22+…+2n = 2n+1-1

Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, 20+21+22+…+2n = 2n+1-1

(i) Basis induksi : p(0) benar, karena untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh :

20 = 1 = 20+1 – 1= 21 – 1=2 – 1= 1

(ii) Langkah induksi : misalkan p(n) benar, yaitu proposisi

122222 1210 nn

Diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu

1222222 111210 nnn

Hal ini kita tunjukkan sbb :

12

12

122

122

212

2222222222

11

2

1

11

11

12101210

n

n

n

nn

nn

nnnn

sama