HIGH FREQUENCY TRADING AND PROBABILITY …sgerhold/pub_files/sem17/s...Vorwort Die nachfolgende Arbeit basiert auf dem Werk High Frequency Trading and Probability Theory von Wang und

HIGH FREQUENCY TRADING AND

PROBABILITY THEORY

Matthias Remta

Betreuer:Associate Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Stefan Gerhold

20. Februar 2018

VorwortDie nachfolgende Arbeit basiert auf dem Werk High Frequency Trading and ProbabilityTheory von Wang und Zheng. Dabei habe ich mich auf die Kapitel IT System, StationaryProcess and Ergodicity und Stationarity and Technical Analysis beschränkt. Die Gliede-rung der Arbeit spiegelt diese Kapitel wieder. Ziel dieser Arbeit ist es, einen Einblick indie mathematische Theorie des Hochfrequenzhandels zu geben und Möglichkeiten auf-zuzeigen, wie dieser realisiert werden kann.

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 3

2 Ergodensatz und Trading-Strategien 32.1 Stationärität und Ergodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Ergodensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Preisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Eine heuristische Handelsstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Zeitreihenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Eine Handelsstrategie mit zwei Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 IT-System 103.1 Komponenten und Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Das Handelssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Technische Analysis 164.1 Stationärität überprüfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Technische Indikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2.1 Moving Average . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.2 Exponentielle Moving Average . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.3 Bollinger Bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.4 Moving Average Convergence-Divergence . . . . . . . . . . . . 194.2.5 Rate of Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.6 Relative Strength Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.7 Stochastische Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2.8 Directional Movement Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Zusammenfassung 23

6 Fazit 24

7 Literaturverzeichnis 25

1 EinleitungHochfrequenzhandel ist eine spezielle Art des Tradings an Kapitalmärkten. Es ist schwie-rig, diesen klar zu definieren, jedoch sind folgende Charakteristika typisch:

• Es ist eine automatische Form des Handelns. Das bedeutet, dass sämtliche Tra-des von einem Computer gemacht werden. Sobald eine Strategie läuft, sind keinemenschlichen Entscheidungen mehr notwendig.

• Positionen werden nur für kurze Zeit (meist Sekunden oder wenige Minuten) ge-halten.

• Der Handel findet nur über elektronische Handelssysteme statt.

• Es wird eine schnelle Anbindung an den Markt verwendet.

• Die Optimierung der Reaktionszeit des Systems ist entscheidend.

Ziel einer Handelsstrategie des Hochfrequenzhandels ist es, statistische Arbitrage zuerzielen. Im zweiten Kapitel wird der Ergodensatz besprochen, welcher hinreichendeBedingungen liefert, unter denen dieses Ziel erreicht werden kann. Außerdem werdenmögliche Strategien vorgestellt, die sich den Ergodensatz zu Nutze machen. Einewesentliche Aufgabe wird es sein, vorliegende Prozesse in stationäre Prozesse zutransformieren. Dabei werden Methoden aus der Zeitreihenanalyse zur Anwendungkommen.Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit der Erstellung eines geeigneten-IT Systems.Dabei werden notwendige Anforderungen und mögliche Komponenten angegeben.Zentrales Thema des Kapitels ist das Herzstück eines jeden IT-Systems, dasHandelssystem. Außerdem werden einige Möglichkeiten zur Optimierung desIT-Systems vorgeschlagen. In diesem Kontext wird auch die wichtigste Kenngröße, dieInternal Response Time, diskutiert.Im vierten Kapitel werden einige technischen Indikatoren vorgestellt, welche zurAbschätzung zukünftiger Preisentwicklungen dienen. In diesem Zusammenhang wirdder logarithmische Return eine wesentliche Rolle spielen, da es sich bei diesem umeinen stationären Prozess handelt. Außerdem wird erklärt, wie man Prozesse aufStationärität überprüfen kann.

2 Ergodensatz und Trading-Strategien

2.1 Stationärität und ErgodizitätIn diesem Abschnitt werden zwei wesentliche Definitionen aus der Stochastik wiederholt.Diese werden in weiterer Folge wesentlich für die Formulierung des Ergodensatzes sein.Wenn nicht explizit anders angegeben, sei in diesem Kapitel X := (Xt , t ≥ 0).

3

Definition 1. Einen Prozess X nennt man strikt stationär, wenn für beliebige a > 0 undt1 < · · ·< tn

{Xt1, . . . ,Xtn} und {Xt1+a, . . . ,Xtn+a}die gleiche Verteilung haben.

Definition 2. Einen Prozess X nennt man schwach stationär, wenn für beliebige c≥ 0 und∀s, t ≥ 0 gilt, dass

• E(X2t )< ∞

• E(Xt) = E(Xt+c)

• E(XsXt) = E(Xs+cXt+c).

Definition 3. Einen strikt stationären Prozess X nennt man ergodisch, wenn für beliebigea > 0 und Borelmengen G mit 0 < P(X(t) ∈ G)< 1 gilt:

P(X(t +a) ∈ G|X(t) ∈ G)< 1.

2.2 ErgodensatzDer Ergodensatz ist das zentrale Theorem dieser Arbeit. Auf Basis dieses Satzes werdenin weiterer Folge Handelsstrategien erarbeitet.

Satz 1. (Ergodensatz) Sei X ein ergodischer Prozess mit E(X0)< ∞. Dann gilt

N−1n∫

0

X(t)dt→n→∞ E(X(0)).

In dieser Arbeit sollen nunmehr jedoch Prozesse in diskreter Zeit betrachtet werden.Fasst man die stochastischen Prozesse als Informationen auf, beispielsweise alsAktienpreise, so wird schnell klar, dass diese Voraussetzung notwendig ist. Würdennämlich stetige Prozesse betrachtet werden, so wäre eine unendliche Menge an Datenvorhanden, die weder verarbeitet noch gespeichert werden kann. Deswegen wird nuneine Version des Ergodensatzes für Prozesse in diskreter Zeit betrachet.

Satz 2. (Ergodensatz in diskreter Zeit) Sei X := (Xn,n ∈N) ein strikt stationärer Prozessmit E(X1)< ∞. Dann konvergiert

1n(X1 + · · ·+Xn).

Wenn X außerdem ergodisch ist, dann ist obiger Grenzwert E(X1).

4

Eine Folgerung dieses Satzes ist folgendes Gesetz der großen Zahlen für unabhängigidentisch verteilte Zufallsvariablen:

Satz 3. Sei (Xn)n∈N eine Folge unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen. WennE(X1)< ∞ gilt, so folgt

limn→∞

1n(X1 + · · ·+Xn) = E(X1)

Die für den Hochfrequenzhandel interessante Folgerung ist jedoch jene: Man betrachteeine Handelsstrategie mit ergodischem Gewinnprozess (Gn,n≥ 0). Nach demErgodensatz erfüllt dieser

1n(G1 + · · ·+Gn)≈ E(G1)

für hinreichend großes n. Findet man nun eine Handelsstrategie, deren Gewinnprozesspositive Erwartung hat, so wird man im Mittel auch Profit erzielen. Die nächstenAbschnitte dieser Arbeit werden sich der Konstruktion solcher Strategien widmen.

2.3 PreisprozesseUm geeignete Handelsstrategien erarbeiten zu können, müssen die zugrundeliegendenProzesse untersucht werden. Im Hochfrequenzhandel sind dies die Preisprozesse vonFinanzinstrumenten (z.B. Aktien, Derivate), aber auch von ganzen Bündeln an Finanzin-strumenten, in weiter Folge als Baskets bezeichnet. Dazu sei im Folgenden P := (Pn,n ∈N0) der Preisprozess eines Finanzinstruments.

Definition 4. Ein Prozess X heißt Semi-Martingal bezüglich der Filtration (Ft , t ≥ 0),wenn drei adaptierte Prozesse existieren, sodass

X(t,ω) = A+(t,ω)−A−(t,ω)+M(t,ω),

wobei A+ und A− in t wachsend sind und M ein Martingal ist. Man setzt A(t,ω) :=A+(t,ω)−A−(t,ω).

Ein einfaches Beispiel für ein Semi-Martingal findet man in der Signalverarbeitung:Sei X t eine Funktion mit

dX t = btdt

und Mt ein Martingal. Für die Inkremente von X t erhält man folgende Darstellung

X t−X0 =

t∫0

bsds.

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Man definiert nun einen neuen Prozess durch

Xt−X0 :=t∫

0

bsds+Mt .

Dabei handelt es sich um die Inkremente des ursprünglichen Prozesses, allerdings miteinem zusätzlichen Störfaktor M, bei dem es sich um ein Martingal handelt. DieserProzess ist ein Semi-Martingal, wie man unmittelbar zeigt, indem man

b+t := 0∨bt und b−t := 0∨−bt

setzt. Dadurch erhält man nämlich folgende Darstellung:

Xt−X0 =

t∫0

b+s ds−t∫

0

b−s ds+Mt .

In der Signalverarbeitung versucht man, aus Xt−X0 wieder auf X t−X0 zu schließen. ImHochfrequenzhandel geht man jedoch einer anderen Fragestellung nach.

2.4 Eine heuristische HandelsstrategieGesucht ist ein Basket, dessen Preisprozess P zerlegt werden kann in

Pn = Bn +Zn.

Dabei soll Z ein stationärer Prozess und wesentlich volatiler als B sein. Man nimmt an,dass P ein Semi-Martingal ist, also eine Darstellung

Pn = An +Mn

besitzt. Damit reduziert sich das Problem darauf, einen Prozess (Qn,n ∈ N0) zu finden,sodass

• Pn = [An−Qn]+ [Qn +Mn]

• [Qn +Mn] stationär und volatiler als [An−Qn] ist.

Findet man eine solche Darstellung, so wählt man ein Intervall [a,b], wobei Z häufig aunterschreitet beziehungsweise b überschreitet und die Inkremente von B beschränkt sinddurch k(b−a) mit einem k << 1. Nun besteht die Handelsstrategie darin, den Basket zukaufen, wenn Z(n,ω) kleiner als a ist und ihn zu verkaufen, wenn Z(n,ω) größer als bist. Sind die Transaktionskosten kleiner als (1− k)(b−a), so wird Profit erzielt.

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2.5 ZeitreihenanalyseSämtliche Daten, die im Hochfrequenzhandel betrachtet werden, liegen als diskrete Messwer-te vor, sind also aus mathematischer Sicht Zeitreihen. Um fundierte Aussagen über denzugrunde liegenden Prozess treffen zu können (z.B. Ergodensatz), benötigt man Statio-närität. Dieser Abschnitt beschäftigt sich damit, nicht-stationäre Daten in stationäre zutransformieren. Dazu benötigt man noch folgende Definition:

Definition 5. Ein Prozess ε heißt white-noise Prozess, wenn

• E(εt) = 0 ∀t ≥ 0

• V(εt) = σ2 < ∞ ∀t ≥ 0

• Cov(εs,εt) = 0 ∀s 6= t.

Man sieht unmittelbar, dass white-noise Prozesse schwach stationär sind. Nun betrachetman für eine Zeitreihe (Xn,n ∈ N0) die Darstellung

Xn = mn +Sn + εn.

Dabei bezeichnet mn die Trendkompenente, welche die langfristige Entwicklung derZeitreihe widerspiegelt. Sn ist die saisonale Komponente, welche saisonalenAbweichungen Rechnung trägt und dementsprechend periodisch mit Länge d ist.Schließlich ist εn die white-noise Komponente. Diese soll zufällige Schwankungenabbilden und wurde von einem white-noise Prozess erzeugt.Zunächst eliminiert man die saisonale Komponente. Dazu definiert man denDifferenzenoperator zum lag d durch

OdYn := Yn−Yn−d.

Wendet man nun diesen Operator auf die Zeitreihe X an, so erhält man eine neueZeitreihe X mit

Xn := OdXn = Odmn +Odεn.

Als Linearkombination schwach stationärer Prozesse ist Odεn ebenfalls schwachstationär.Nun muss nur noch die Trendkomponente eliminiert werden. Dazu sucht man einenschwach stationären Prozess (m′n,n ∈ N0), der Odmn hinreichend genau approximiert.Man verwendet beispielsweise die Methode der zweiseitigen Moving-Average:

m′n :=Xn−q + · · ·+Xn+q

2q+1

Mit dieser Definition gilt Xn−m′n ≈ Odεn, womit eine Chance besteht, dass die Zeitreiheschwach stationär ist. Dies kann mit statistischen Methoden überprüft werden. Es seijedoch angemerkt, dass Xn+1, . . . ,Xn+q zum Zeitpunkt n nicht bekannt sind. ZweiseitigeMoving-Average ist in diesem Kontext also kein guter Ansatz.Eine interessante Kenngröße eines schwach stationären Prozesses X ist die Korrelationvon Xt und Xt+k. Diese wird durch die Autokorrelationsfunktion beschrieben:

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Definition 6. Für schwach stationäre Prozesse X definiert man die Autokorrelationsfunk-tion ρ durch

ρX(k) :=Cov(X0,Xk)

V(X0).

Für eine schwach stationäre Zeitreihe (Y,n ∈ N0) setzt man analog

ρY (k) :=Cov(Y0,Yk)

V(Y0).

Betrachet man die Autokorrelationsfunktion von Zeitreihen, die im Zusammenhang mitHochfrequenzhandel auftreten, so weist diese häufig stark negative Werte bei 1 auf:

Bei Asset Preisen spricht man hier von einer „pulling-back- Tendenz“. Dies bedeutet,dass fallende Preise die Tendenz haben, kurz darauf wieder zu steigen und vice versa.Dieses Phänomen ist äußerst wichtig, wenn man Hochfrequenzhandel betreiben möchte,da dadurch die in Abschnitt 2.4 vorgestellte Strategie realisierbar ist.

2.6 Eine Handelsstrategie mit zwei AssetsIn diesem Abschnitt soll nun eine konkrete Handelsstrategie angegeben werden. Dazuwird noch folgende Definiton benötigt:

Definition 7. Zwischen zwei Zeitreihen (X ,n ∈ N0) und (Y,n ∈ N0) besteht eine Kointe-grationsbeziehung, wenn

• die Trendkomponenten von X und Y proportional zueinander sind

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• die Linearkombination ihrer white-noise Komponenten ebenfalls ein white-noiseProzess ist.

Dann existiert eine Konstante c, sodass

[Xn− cYn]− [X0− cY0] = ξn,

wobei ξn eine stationäre Zeitreihe mit E(ξn) = 0 ist.

Ist zum Zeipunkt n der Preis eines Baskets ξn, so kann man diesen kaufen, wenn ξ

niedrig ist und verkaufen, wenn ξ hoch ist, um Profit zu erzielen.Konkret seien nun A und B zwei Assets, wobei die Zeitreihe (Xn,n ∈ N0) den Preis vonA beschreibt und die Zeitreihe (Yn,n ∈ N0) jenen von B. Außerdem bestehe eineKonintegrationsbeziehung zwischen X und Y .Zum Zeitpunkt t1 bietet man nun a1 für den Kauf von A und bietet B zum Preis b1 zumVerkauf an. Es können nun folgende Fälle auftreten:

(a) Beide Orders wurden ausgeführt

(b) A wurde gekauft, B nicht verkauft

(c) A wurde nicht gekauft, B verkauft

(d) Weder A noch B konnten gehandelt werden.

Im Fall (a) bietet man zu einem späteren Zeitpunkt t2 A zum Preis a2 an und versucht, Bzum Preis b1 zu kaufen. Analog zu vorher ergeben sich die Fälle:

(aa) Beide Orders wurden ausgeführt

(ab) A wurde verkauft, B nicht gekauft

(ac) A wurde nicht verkauft, B gekauft

(ad) Weder A noch B wurden gehandelt.

Wenn a2−a1 +b1−b2 > 0 gilt, dann wurde Profit erzielt. Nur der Fall (aa) ist alsvorteilhaft zu erachten. Im Fall (d) bleibt der Ausgangszustand erhalten. Im Fall (ad)kann man später erneut versuchen, A zu verkaufen und B zu kaufen. In allen anderenFällen ist der Ausgang zufällig.Dies wirft eine wichtige Frage auf: Wie kann man sicherstellen, dass alle Ordersausgeführt werden? Dazu müssen Orders möglichst schnell gesetzt und die zukünftigePreisentwicklung abgeschätzt werden. Mit dem ersten Punkt beschäftigt sich das nächsteKapitel ausführlich.

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3 IT-System

3.1 Komponenten und AnforderungenDa Hochfrequenzhandel nur automatisiert möglich ist, benötigt es ein geeignetes IT-System. Wie im vorherigen Kapitel erwähnt, ist es essentiell, dass sämtliche Orders einerStrategie auch ausgeführt werden. Verschärfend kommt hinzu, dass Handelsstrategien, dieim Hochfrequenzhandel eingesetzt werden, wohlbekannt sind. Versuchen mehrere Trader,die gleiche Strategie anzuwenden, so erzielt nur der schnellste Profit. GrößtmöglicheGeschwindigkeit ist jedoch nicht die einzige Anforderung. Das System muss auch in derLage sein, einen steten Strom an Daten zu verarbeiten, ohne einen Rückstau zu verursa-chen. Schließlich muss das System flexibel an neue Gegebenheiten anpassbar sein, da dieFinanzmärkte häufigen Veränderungen unterliegen.Eine wichtige Kenngröße für ein System ist die Internal Response Time. Diese misstsozusagen die „Reaktionszeit“des System, also die Dauer vom Eingang neuer Informa-tionen bis zum Treffen einer Entscheidung. Jedes IT-System besteht aus mehreren Kom-ponenten. Zentraler Bestandteil ist das Handelssystem. Andere Komponenten könntenbeispielsweise ein Marktdaten-System zur Verarbeitung von Informationen oder ein Si-mulationssystem zur Durchführung von Tests sein. Je nach Anforderungen des Marktesund individuellen Vorstellungen des Traders sind auch weitere Komponenten denkbar. Indieser Arbeit soll allerdings nur das Handelssystem betrachtet werden.

3.2 Das HandelssystemDas Handelssystem verarbeitet Daten, die vom Markt zur Verfügung gestellt werden undplatziert dann anhand dieser automatisch Orders. Ein sinnvolles Handelssystem könntebeispielsweise wie in der nachfolgenden Abbildung aussehen:

Das Trading Interface ist die Schnittstelle zwischen dem Handelssystem und demMarkt. Um Hochfrequenzhandel optimal betreiben zu können, ist es wichtig, direktenZugang zum Markt zu erhalten, also Umwege über das Kontrollsystems eines Brokers zuvermeiden. Dies ist gewöhnlich mit strengen Auflagen verbunden, da der Broker Ordersnun nur mehr im Nachhinein kontrollieren kann, aber erstrebenswert. Üblicherweisewird ein Trading Interface zur Verfügung gestellt, dass die grundlegenden Funktionen,also das Platzieren von Limit-Orders und das Löschen dieser, beinhaltet.

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Es ist jedoch durchaus sinnvoll, ein internes Trading Interface zu programmieren. Diesbietet den Vorteil, dass das Handelssystem relativ problemlos an verschiedenen Märkteneingesetzt werden kann, indem die Funktionen des internen Interface mit jenen desMarktes verlinkt werden. Außerdem können so Orders simuliert werden, die das fremdeInterface nicht zur Verfügung stellt. Dies könnten beispielsweise folgende Orders sein:

• Changing Order: Verändert den Preis oder das Volumen einer bereits bestehendenOrder. Dies kann simuliert werden, indem die bestehende Order gelöscht wird undeine neue platziert wird. Hier ist jedoch Vorsicht geboten, da sich die Position derOrder im Order-Book verändert.

• Fill and Kill: Es wird versucht, ein bestimmtes Volumen eines Assets zu einemfesten Preis zu handeln. Sämtliche Trades, die sofort abgeschlossen werdenkönnen, werden durchgeführt. Danach wird die Order sofort gelöscht, auch wenndas (volle) gewünschte Volume nicht gehandelt werden konnten. Um dies zusimulieren, platziert man Limit-Orders und löscht diese, sobald dieEingangsbestätigung vom Markt kommt.

• Market order: Es wird ein bestimmtes Volumen zu aktuellen Marktpreisengehandelt. Dies kann durch Limit-Orders in unterschiedlicher Höhe nachgestelltwerden.

Der Sinn von Trading Process Control ist es, den Überblick über die zahlreichenOrders zu behalten, die im Zuge der Handelsstrategien platziert werden. Dies wird durchsogenannte Strategy Orders realisiert. Strategy Orders können aus mehreren realenOrders und Bedingungen bestehen. Beispiele sind:

• Tentative Order: Man versucht, einen Handel zu einem bestimmten Preis zumachen und bricht ab, wenn es nicht möglich ist.

Der Unterschied zu einer Fill and Kill Order liegt hier in der Abbruchbedingung.So kann die Order zum Beispiel nach einer festgesetzten Zeit oder nach einerÄnderung des Marktpreises gelöscht werden.

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• Mandatory Order: Wird verwendet, um für eine Strategie notwendige Assets zukaufen, und wenn möglich einen guten Preis zu erzielen.

Beispielsweise könnte man zunächst versuchen, zum aktuellen Bid-Price zukaufen und das Gebot dann schrittweise zum Ask-Price steigern, wenn dasnotwendige Volumen noch nicht gekauft werden konnte.

• Waiting Order: Ziel ist es, einen Handel zu einem bestimmten Preis abzuschließen.Ist dies nicht sofort möglich, so wird zugewartet.

Eine Handelsstrategie setzt sich dann wiederum aus mehreren Strategy Orderszusammen.

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Eine äußerst wichtige Komponente jedes Handelssystem sollte Risk Control andSurveillance sein. Da das System automatisch handelt, werden ohne KontrollfunktionFehler oft viel zu spät entdeckt. Zu diesem Zeitpunkt könnten bereits große Verlusteentstanden sein.Die tatsächlichen Regeln und Einschränkunge, die implementiert werden, hängen vomFinanzinstrument, das gehandelt wird, und vom Markt ab. Hier sollen einige Beispieleangeführt werden, die in den meisten Fällen sinnvoll sind:

• Position limit: Die obere Grenze, welche maximal von einer Position oder inSumme gehalten werden darf.

• Single-order limit: Das maximale Volumen einer einzelnen Order. Manchmal mussauch ein minimales Volumen eingehalten werden, und die Order muss dannentsprechend ein Vielfaches von diesem sein.

• Money control: Die Positionen dürfen nicht das Kapital des Traders überschreiten.

• Illegal price detection: Stellt sicher, dass Preise nicht unrealistisch weit vomaktuellen Marktpreis entfernt sind.

• Self trading detection: Da unter Umständen verschiedene Strategien gleichzeitiglaufen, muss vermieden werden, dass diese gegenseitig Positionen austauschen.

• Order cancellation rate: Stellt sicher, dass beim Löschen von Orders dieBegrenzung des Marktes nicht überschritten wird.

• Flow control: Vermeidet, dass mehr Anfragen an das übergeordnete System desMarktes gestellt werden als zulässig.

Die meisten dieser Regeln liefern ein Order volume limit und einen Order volumemultiplier. Dabei soll Li das Order volume limit und Mi der Order volume multiplier deri-ten Regel sein. Naheliegenderweise kombiniert man diese dann folgendermaßen(wobei I die Menge der Regeln notiert):

• Combined order volume limit: L := min(Li, i ∈ I)

• Combined order volume multiplier: M := kgV (Mi, i ∈ I)

Das höchste zulässige Order volume berechnet man dann wie folgt:

bL\Mc ·M.

Es ist wesentlich, zu überlegen, wann diese Regeln geprüft werden. Zwei Möglichkeitenwären vor beziehungsweise nach der Berechnung der Strategie, in jedem Fall aber nochvor dem Platzieren von Orders. Die dritte wäre erst nach dem Platzieren der Orders zuprüfen und dann diese eventuell noch zu verändern. Diese Option ist zwar riskanter, hataber keine Auswirkungen auf die Internal Response Time. Sinnvoll ist es wohl, einenMittelweg zu gehen und einige wichtige Regeln vor dem Platzieren zu prüfen. Diesesollten nach dem Berechnen der Strategie geprüft werden, da diese in vielen Fällensowieso ausgibt, dass keine Trades notwendig sind.

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Die Strategy Implementation ist jene Komponente des Systems, welche die Logik zumHandeln enthält. Zusätzlich sollte hier der Überblick behalten werden, welche StrategyOrders gerade aktiv sind und welche Positionen gehalten werden.Das Herzstück ist natürlich der Algorithmus zum Handeln. Man steht vor derEntscheidung, ob dieser in einer Script Language oder einer komplexenProgrammiersprache implementiert werden soll. Script Languages sind flexibler undeinfacher als komplexe Sprachen, jedoch deutlich langsamer. Deswegen sollte derAlgorithmus immer in einer komplexen Sprache implementiert werden. Es spricht jedochnichts dagegen, eine Script Language in der Entwicklung und Simulation zu verwenden.

Auch wenn Hochfrequenzhandel automatisch abläuft, sollte der Trader regelmäßig dieErgebnisse selbst prüfen. Dazu dient das Monitoring. Dieses sollte Informationenkompakt zusammenfassen und jederzeit zur Verfügung stellen können. Dabei gilt eshauptsächlich zu beachten, dass die Internal Response Time nicht darunter leidet. Dieskann erreicht werden, indem Log-Daten nicht während des Handelns gespeichertwerden.

3.3 OptimierungWie bereits erwähnt ist die Minimierung der Internal Response Time eine essentielle Auf-gabe, wenn man Hochfrequenzhandel betreiben möchte. Allerdings muss natürlich dieGesamtzeit vom Abschicken der Marktdaten bis zum Treffen einer Entscheidung (oderbis zum Platzieren einer Order) betrachtet werden. Dieser Abschnitt soll Ansätze aufzei-gen, diese Zeit zu minimieren.

Zunächst betrachtet man die Netzwerk-Umgebung. Handelt man nur an einem Markt, soist eine direkte Verbindung via Kabel an den Server des Marktes die beste Lösung. Oftwerden in diesem Zusammenhang verschiedene Bandbreiten angeboten. Für denHochfrequenzhandel ist die größtmögliche Bandbreite zu wählen, da diekommunizierenden Systeme eine Nachricht erst verarbeiten können, wenn das gesamtePackage empfangen wurde und dies mit steigender Bandbreite schneller geschieht.Benötigt eine Strategie Zugang zu mehr als einem Markt, so sollte eine Positiongefunden werden, die möglichst exakt in der Mitte der beiden Märkte liegt.

Hat man die Anbindung optimiert, so sollte man sich nun mit der Internal ResponseTime auseinandersetzen. Zunächst muss man eine geeignete Programmiersprachewählen. Wie bereits diskutiert, kommen nur komplexe Sprachen in Frage. PopuläreBeispiele sind Folgende:

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• C

• C++

• Java

• Assembly Language.

Assembly Languages bieten kaum Abstraktion, wodurch diese wohl am schnellsten sind.Allerdings ist es dadurch auch schwierig, komplizierte Algorithmen zu implementieren.C ist näher an Assembly Languages als C++ und wird daher manchmal als schnellerangesehen. C++ ist jedoch strukturierter und einfacher zu verstehen. Außerdem ist esnicht völlig klar, ob C++ tatsächlich langsamer als C ist. Aktuell ist C++ eine beliebteWahl. Java kompiliert Source-Code zu Byte-Code, welcher dann von einem Interpreterausgeführt wird. Dies ist langsamer als C/C++, welche zu Maschinen-Code kompilieren.Allerdings wird aktuell an neuen Kompilierern für Java gearbeitet, die deutlich schnellerarbeiten. Dies macht Java zu einer interessanten Option für die Zukunft.

Viele Programme werden in mehrere Prozesse unterteilt. Dies ist grundsätzlich auch imHochfrequenzhandel möglich, zum Beispiel könnte das Programm in Trading Interface,Risk Control and Surveillance, etc. unterteilt werden. Allerdings müssen diese einzelnenProzesse über ein Netzwerk kommunizieren. Dies kostet weit mehr Zeit, als es erspart.Daher sollte das Programm stets als ein einzelner Prozess realisiert werden.

Code-Optimierung ist immer ein sinnvoller Prozess. Da Hochfrequenzhandel allerdingsderart abhängig von Geschwindigkeit ist, ist sie hier besonders wichtig. GenerelleRegeln sind auch hier gültig. Beispielsweise sollten große Schleifen vermieden werdenund stattdessen Rekursionen verwendet werden. Dadurch können bereits errechneteWerte weiter genutzt werden.

Üblicherweise gestaltet man das Speicher-Management dynamisch und versucht,möglichst wenig Speicher (unnötig) zu reservieren. Da Handelsprogramme weniger als24 Stunden laufen, ist unnötig reservierter Speicher kein großes Problem. DynamischesAllokieren und Freigeben von Speicherplatz kostet hingegen Zeit. Deswegen versuchtman, bereits zum Start des Programms möglichst viel des später benötigtenSpeicherplatzes zu allokieren. Muss zwischendurch dennoch Speicher allokiert werden,so sollte nicht schrittweise mehr allokiert werden, sondern auf einmal. Zusätzlich solltenObjekte stets referenziert werden und dadurch Copy Constructors vermieden werden.

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4 Technische Analysis

4.1 Stationärität überprüfenDie Prozesse, die untersucht werden, müssen stationär sein, unter anderem um den Er-godensatz anwenden zu können. Jedoch ist stets nur ein Pfad des Prozesses bekannt. ImAllgemeinen ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Pfad auftritt, 0. Aus dem Pfad lässtsich also nicht auf die Stationärität des zugrundeliegenden Prozesses schließen. DiesesProblem lässt sich mit einer Methode aus der Statistik lösen, dem Hypothesen Test:

Definition 8. (Hypothesen-Test) Sei H0 die Nullhypothese und ε das Signifikanz-Niveau(z.B. ε = 0.01). Solange bei Tests keine Ereignisse A auftreten mit

PH0 < ε,

nimmt man die Gültigkeit von H0 an.

Auch wenn für den Ergodensatz strikt stationäre Prozesse notwendig sind, überprüft manin der Praxis nur auf schwache Stationärität. Diese hat den Vorteil, dass sie wesentlicheinfacher nachzuprüfen ist.

4.2 Technische IndikatorenIn diesem Abschnitt sollen Indikatoren für die zukünftige Preisentwicklung gefundenwerden. Zunächst benötigt man dafür den logarithmischen Return:

Definition 9. Sei P ein Preisprozess und p(t) := ln(P(t)), so definiert man den logarith-mischen Return für die Periode a durch

∆a p(t) := p(t)− p(t−a).

Der logarithmische Return ∆a p hat gegenüber dem Preisprozess P den Vorteil, dass ersich bei Hypothesen-Tests als stationär herausgestellt hat. In weiterer Folge werden dieIndikatoren auf Funktionen des logarithmischen Returns zurückgeführt. Da nichtbewiesen werden kann, dass der logarithmische Return stationär ist, mussten dieIndikatoren natürlich ebenfalls auf Stationärität überprüft werden. Um andauerndeWiederholungen zu vermeiden, sei hier angemerkt, dass sämtliche Indikatoren dieseTests bestanden haben.

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4.2.1 Moving Average

Der erste Indikator basiert auf Moving Average Prozessen:

Definition 10. Sei Y ein Prozess in diskreter Zeit, so ist der zugehörige, n-periodischeMA-Prozess gegeben durch

MA [Y,n] (t) :=Y (t)+ · · ·+Y (t−n+1)

n.

Für Y (t) := P(t) ist dieser Prozess jedoch nicht stationär. Den Indikator definiert mandeswegen durch

X(1, t) : =MA [Y,n] (t)

P(t)

=1+ exp(p(t−1)− p(t))+ · · ·+ exp(p(t−n+1)− p(t))

n.

4.2.2 Exponentielle Moving Average

Der Moving Average Indikator hat jedoch den Nachteil, dass er bei kurzfristigenPreisänderungen verhältnismäßig langsam nachzieht. Deswegen verwendet manExponentielle Moving Average (EMA):

Definition 11. Sei Y ein Prozess in diskreter Zeit, so ist der zugehörige, n-periodischeEMA-Prozess gegeben durch

EMA [Y,n] (t) :=nY (t)+(n−1)Y (t−1)+ · · ·+Y (t−n+1)

n(n+1)2

.

Ähnlich wie zuvor ist dieser Prozess nicht stationär. Daher definiert man

X(2, t) : =EMA [P,n] (t)

P(t)

=n+(n−1)exp(p(t−1)− p(t))+ · · ·+ exp(p(t−n+1)− p(t))

n(n+1)2

.

Die Exponentielle Moving Average bietet noch einen weiteren Vorteil. Man kann sienämlich auch wie folgt definieren:

Definition 12. Sei Y ein Prozess in diskreter Zeit, so definiert man den zugehörigen,n-periodischen EMA-Prozess durch

EMA [Y,n] (t) :=2

n+1

t

∑k=0

(n−1n+1

)kY (t− k).

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Diese Definition ist mit Vorsicht zu genießen. Betrachtet man zum Beispiel denkonstanten Prozess Y (t) := c, so folgt

EMA [Y,n] (t) = (2c

n+1

t

∑k=0

(n−1n+1

)k = c(1− (n−1n+1

)t+1).

Da n−1n+1 < 1, konvergiert EMA [Y,n] (t) für t→ ∞ zwar gegen c, man würde jedoch

erwarten, dass das Mittel eines konstanten Prozesses eben jene Konstante ist. Dafür kannman nun folgende Rekursionsformel herleiten:

EMA [Y,n] (t) =2

n+1

t

∑k=0

(n−1n+1

)kY (t− k)

=2

n+1Y (t)+

2n+1

t

∑k=1

(n−1n+1

)kY (t− k)

=2

n+1Y (t)+

2n+1

t−1

∑k=0

(n−1n+1

)k+1Y (t−1− k)

=2

n+1Y (t)+

n−1n+1

2n+1

t−1

∑k=0

(n−1n+1

)kY (t−1− k)

=2

n+1Y (t)+

n−1n+1

EMA [Y,n] (t−1).

4.2.3 Bollinger Bands

Als nächstes soll ein Tool aus der Technischen Analysis betrachtet werden, die BollingerBands. Diese bestehen aus

• Einem n-periodischen EMA-Prozess

• Einem upper band (EMA [P,n] (t)+Kσ )

• Einem lower band (EMA [P,n] (t)−Kσ ).

Typische Parameter sind n = 20 und K = 2,5. In obiger Definition steht σ für dien-periodische Standardabweichung:

σ [Y,n] :=1

n−1

√√√√n−1

∑k=0

(Y (t− k)−MA [Y,n] (t))2

18

Der zugehörige Indikator ist gegeben durch

X(3, t) : =P(t)−EMA [P,n] (t)

σ

=

P(t)−EMA[P,n](t)P(t−n)

σ

P(t−n)

=exp(p(t)− p(t−n))− 2(n·exp(p(t)−p(t−n))+···+exp(p(t−n+1)−p(t−n)))

n(n+1)

1n−1

√n−1∑

k=0(exp(p(t− k)− p(t−n))− exp(p(t)−p(t−n))+···+exp(p(t−n+1)−p(t−n))

n )2

.

Man verifziert unmittelbar die Äquivalenz

EMA [P,n] (t)−Kσ < P(t)< EMA [P,n] (t)+Kσ ⇔ −K < X(3, t)< K.

Es hat sich gezeigt, dass sich die Asset-Preise tatsächlich meist innerhalb der BollingerBands bewegen. Allerdings konnte kein Profit erzielt werden, indem gehandelt wurde,wenn die Preise die untere beziehungsweise obere Schranke erreicht haben.

4.2.4 Moving Average Convergence-Divergence

Der vierte Indikator ist der Moving Average Convergence-Divergence Indikator. Dieserwird mittels der Differenz eines n-periodischen und eines m-periodischenEMA-Prozesses definiert:

MACD [m,n,k] :=2(kZ(t)+ · · ·+Z(t− k+1)

k(k+1),

wobei Z(t) := 2m(m+1)

m−1∑

i=0(m− i)ep(t−i)− 2

n(n+1)

n−1∑

i=0(n− i)ep(t−i).

Um den Indikator als Funktion des logarithmischen Returns darstellen zu können, setztman

X(4, t) : =MACD [m,n,k]

P(t−n− k)

=2(kY (t)+ · · ·+Y (t− k+1)

k(k+1)

mit Y (t) := 2m(m+1)

m−1∑

i=0(m− i)ep(t−i)−p(t−n−k)− 2

n(n+1)

n−1∑

i=0(n− i)ep(t−i)−p(t−n−k).

19

Dieser Indikator schwankt um die Nulllinie. Die EMA-Prozesse können konvergieren(MACD→ 0), einander überkreuzen (MACD wechselt das Vorzeichen) und auchdivergieren. Diese Zustände können vom Trader als Signale interpretiert werden.

4.2.5 Rate of Change

Der nächste Indikator, die sogenannte Rate of Change, misst die prozentuelle Änderungüber die letzten n Perioden:

ROC(t) :=P(t)−P(t−n)

P(t−n)

Dies ist bereits eine Funktion des logarithmischen Returns, man setzt also einfach

X(5, t) := ROC(t) = ep(t)−p(t−n)−1.

Dieser Indikator wird oft verwendet, um zu identifizieren, ob ein Asset overbought (zuhoher Preis aufgrund starker Nachfrage) beziehungsweise oversold (zu niedriger Preisaufgrund zahlreicher Verkäufe) ist. Dabei deuten hohe Werte der ROC auf overboughtund niedrige Werte auf oversold hin.

4.2.6 Relative Strength Index

Der Relative Strength Index misst die Geschwindigkeit und Veränderung von Preisbewe-gungen. Er nimmt Werte zwischen 0 und 100, wobei Werte über 70 als overbought undWerte unter 30 als oversold interpretiert werden können. Die Definiton lautet wie folgt:

RS(t) : =

n−1∑

k=0[P(t− k)−P(t−1− k)]1{P(t−k)>P(t−1−k)}

n−1∑

k=0[P(t−1− k)−P(t− k)]1{P(t−k)<P(t−1−k)}

RSI(t) : = 100RS(t)

1+RS(t)

Der Relative Strength Index ist eine Funktion des logarithmischen Returns, da RS(t) eineFunktion des logarithmischen Returns ist. Dies kann man beispielsweise so zeigen:

20

RS(t) =

n−1∑

k=0[P(t− k)−P(t−1− k)]1{P(t−k)>P(t−1−k)}

n−1∑

k=0[P(t−1− k)−P(t− k)]1{P(t−k)<P(t−1−k)}

=

n−1∑

k=0[P(t− k)−P(t−1− k)]1{P(t−k)>P(t−1−k)}

1P(t−n)

n−1∑

k=0[P(t−1− k)−P(t− k)]1{P(t−k)<P(t−1−k)}

1P(t−n)

=

n−1∑

k=0(ep(t−k)−p(t−n)− ep(t−1−k)−p(t−n))1{P(t−k)>P(t−1−k)}

n−1∑

k=0(ep(t−1−k)−p(t−n)− ep(t−k)−p(t−n))1{P(t−k)<P(t−1−k)}

.

Daher setzt man nun X(6, t) := RSI(t).

4.2.7 Stochastische Oszillatoren

Ein stochastischer Oszillator ist ein Impuls-Indikator für den zugrunde liegenden Prozess.Dieser Indikator wird durch zwei Graphen dargestellt. Dafür definiert man zunächst

L(t) := min{P(t), . . . ,P(t−n+1)} und H(t) := max{P(t), . . . ,P(t−n+1)}.

Diese Definitionen verwendet man nun, um die Graphen zu beschreiben:

%K(t) := 100P(t)−L(t)H(t)−L(t)

%D(t) := EMA [%K(t),m] .

Man kann auch hier zeigen, dass es sich um Funktionen des logarithmischen Returnshandelt. Da

%K(t) = 100P(t)−L(t)H(t)−L(t)

= 100(P(t)−L(t)) 1

P(t−n)

(H(t)−L(t)) 1P(t−n)

= 100ep(t)−p(t−n)− emin{p(t)−p(t−n),...,p(t−n+1)−p(t−n}

emax{p(t)−p(t−n),...,p(t−n+1)}− emin{p(t)−p(t−n),...,p(t−n+1)}

eine Funktion des logarithmischen Returns ist, ist es auch %D(t). Diese Indikatorenbewegen sich in [0,100]. Üblicherweise werden Werte über 80 als overbought und Werteunter 20 als oversold interpretiert.

21

4.2.8 Directional Movement Index

Der Directional Movement Index setzt sich aus vier Kurven ([+DI] , [−DI], ADX undADXR) zusammen. Man wählt zunächst k ∈ N und definiert den maximalen Preis H(n)beziehungsweise den minimalen Preis L(n) der n-ten Periode:

H(n) : = max{P(nk), . . . ,P((n−1)k+1)}L(n) : = min{P(nk), . . . ,P((n−1)k+1)}.

Nun seien die Inkremente von H und L gegeben durch ∆H(n) := H(n)−H(n−1)beziehungsweise ∆L(n) := L(n)−L(n−1). Man definiert weiter

[+DM] (n) : =

{∆H(n) wenn ∆H(n)≥ 0 und ∆H(n)> ∆L(n)0 sonst

[−DM] (n) : =

{∆L(n) wenn ∆L(n)≥ 0 und ∆H(n)< ∆L(n)0 sonst

und damit die Average Directional Movement (ADM) Indikatoren:

[+ADM] (n) := EMA [[+DM] ,h] (n) und [−ADM] (n) := EMA [[−DM] ,h] (n).

Nun benötigt man noch die True Range (TR) und die Average True Range (ATR):

Tr(n) : = max{H(n)−L(n), |H(n)−P(k(n−1))|, |L(n)−P(k(n−1)|}AT R(n) : = MA [T R,m] (n).

Mithilfe der vorangegangen Definitionen erhält man nun die Direction Indices

[+DI] (n) := 100[+ADM] (n)

AT R(n)und [−DI] (n) := 100

[−ADM] (n)AT R(n)

.

Der Directional Movement Index und der Average Directional Movement Index sindgegeben durch

DX(n) := 100| [+ADM] (n)− [−ADM] (n)|[+ADM] (n)+ [−ADM] (n)

respektive ADX(n) := EMA [DX ,h] .

Schließlich definiert man den ADXR als

ADXR(n) :=DX(n)+DX(n− c)

2.

Nun möchte man [+DI] , [−DI], ADX und ADXR als Funktionen des logarithmischenReturns darstellen. Ist ADX eine Funktion des logarithmischen Returns, so ist esnatürlich auch ADXR. Man betrachtet zunächst

[+DI] (n) = 100[+ADM] (n)

AT R(n)

= 1001

P(nk) [+ADM] (n)1

P(nk)AT R(n).

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Für [−DI] findet man natürlich eine analoge Darstellung. Da ADX(n) = EMA [DX ,h] (n)gilt, lässt sich ADX als Funktion des logarithmischen Returns darstellen, wenn DX eineFunktion des logarithmischen Returns ist. Für DX gilt:

DX(n) = 100| [+ADM]− [−ADM] |[+ADM]+ [−ADM]

= 1001

P(nk) | [+ADM] (n)− [−ADM] (n)|1

P(nk)([+ADM] (n)+ [−ADM] (n))

Insgesamt sieht man nun, dass es reicht zu zeigen, dass [+ADM](n)P(nk) , [−ADM](n)

P(nk) und AT R(n)P(nk)

Funktionen des logarithmischen Returns sind. Da

H(n)P(nk)

= max{1,ep(nk−1)−p(nk), . . . ,ep((n−1)k+1)−p(nk)}

gilt, ist [+DM](n)P(nk) und damit auch [+ADM](n)

P(nk) eine Funktion des logarithmischen Returns.

Analog zeigt man dies für [−ADM](n)P(nk) . Schließlich folgt aus

T R(n)P(nk)

= max{ H(n)P(nk)

− L(n)P(nk)

, | H(n)P(nk)

− P((n−1)k)P(nk)

|, | L(n)P(nk)

− P((n−1)k)P(nk)

|},

dass auch AT R(n)P(nk) eine Funktion des logarithmischen Returns ist. Man definiert nun

X(9, t) : = [+DI] (t)X(10, t) : = [−DI] (t)X(11, t) : = ADX(t)X(12, t) : = ADXR(t).

5 ZusammenfassungHochfrequenzhandel ist eine automatische Form des Tradings, mit dem Ziel, statistischeArbitrage zu erzielen. Aus mathematischer Sicht stützt man sich dabei auf denErgodensatz. In der diskreten Formulierung sagt dieser aus, dass die arithmetischenMittel eines Prozesses X gegen den Erwartungswert von X1 konvergieren. Kann maneine Handelsstrategie mit ergodischem Gewinnprozess, dessen Erwartungswert positivist, konstruieren, so wird man aufgrund dieses Satzes Profit erzielen. Allgemein versuchtman Baskets zu bilden, deren Preisprozesse häufig eine gewisse Untergrenzeunterschreiten und dann eine gewisse Obergrenze überschreiten. Diese kann man dannhandeln, um Profit zu erzielen.

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Dabei gilt es die Anzahl der Finanzinstrumente in einem Basket zu beachten. Mitsteigender Anzahl dieser steigt auch das Risiko, nicht sämtliche Orders durchführen zukönnen. Um die Chancen zu erhöhen, versucht man, die schnellstmögliche Anbindungan den Markt zu erhalten. Ist diese gegeben, so widmet man sich der Internal ResponseTime des Handelssystems. Diese beschreibt die Zeit, die vom Eintreffen neuerInformationen bis zum Fällen einer Entscheidung verstreicht. Die Internal ResponseTime kann durch die Wahl der richtigen Programmiersprache, das Vermeiden mehrererProzesse, effizientes Coding und geeignetes Speicher-Management minimiert werden.Man kann seine Chancen ebenfalls verbessern, indem man die zukünftigePreisentwicklung abschätzt. Dazu verwendet man technische Indikatoren, welche sogewählt werden, dass es sich um Funktionen des logarithmischen Returns handelt. BeiHypothesen-Tests hat sich herausgestellt, dass dieser stationär ist. Da dies jedoch keinBeweis ist, müssen die technischen Indikatoren ebenfalls auf Stationärität überprüftwerden. Nachfolgende Indikatoren haben beispielsweise die Überprüfung bestanden:

• Moving Average (MA): Dabei handelt es sich um das arithmetische Mittel einerbestimmten Anzahl vergangener Werte des zugrundeliegenden Prozesses.

• Exponential Moving Average (EMA): Ein gewichtetes Mittel der vergangenenWerte, wobei neuere Werte stärker gewichtet werden.

• Bollinger Bands: Besteht aus einem EMA-Prozess, aus dem durch Addierenbeziehungsweise Subtrahieren eines Vielfachen der n-periodischenStandardabweichung zusätzlich ein upper-band und ein lower-band erzeugtwerden.

• Moving Average Convergence-Divergence: Differenz zweier EMA-Prozesse mitverschiedener Periodenlänge.

• Rate of Change: Die prozentuelle Änderung der letzten n Perioden.

6 FazitDurch Hochfrequenzhandel lässt sich statistische Arbitrage erzielen. Zumindest auf langeSicht wird also Profit erzielt. Allerdings ist Hochfrequenzhandel auf einen dereguliertenMarkt angewiesen. Einschränkungen, wie hohe Transaktionskosten oder das Verbot, Ak-tien am Tag das Kaufs weiterverkaufen zu dürfen, machen diesen praktisch unmöglich.Es muss zudem sichergestellt werden, dass alle Orders ausgeführt werden. Dazu benötigtman eine schnelle Anbindung an den Markt und eine geringe Reaktionszeit, was auchKosten verursacht (für Hardware, größtmögliche Bandbreite, etc). Außerdem sind Stra-tegien, die zum Einsatz kommen, wohlbekannt. Um tatsächlich Profit zu erzielen, mussman auch schneller als die Konkurrenz sein, was die Kosten zusätzlich in die Höhe treibt.Tatsächlich ist es notwendig, kontinuierlich nach Verbesserungsmöglichkeiten zu suchen,um seine Position nicht zu verlieren.

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7 LiteraturverzeichnisWang, Zheng: High Frequency Trading and Probility Theory, World Scientific 2015

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