Hidrokinematika

HIDROKINEMATIKA

Osnove za prouavanje ustaljenih teenja uporeujui stanja u dva poprena presekaPredpostavke:Prva pretpostavka:Prouavaju se zadaci gde razmatrano strujanje prolazi kroz povrinu normalno na pravac strujanja.To je struja koja prolazi kroz pop.presek.Uslov je da strujanje kroz pop.presek pravolinijsko i paralelno.

Kod posmatranog strujanja, moraju postojati minimum dva takva preseka, to stvara mogunost uporeenja strujanja izmeu tih preseka.Istie se da dati uslovi za popreni presek ne moraju biti ispunjeni du cele struje, dovoljno je pronai dva takva preseka koja nam omoguavaju uporeenje struja

Izmeu preseka I i II moe se primeniti dati uslov o uporeenju strujanja, dok presek III ne ispunjava uslov za pravolinijsko i paralelno strujanje

Druga pretpostavka:Prouava se samo strujanje nestiljivog fluida (=const.), uz delovanje teine kao jedine zapreminske sileTrei uslov hidrostatike vai samo za mirovanje tenosti, jer osim sfernih (pritisci) u hidrodinamici deluju tangencijalni (smiui) naponi.Ovi naponi se ostvaruju preko trenja izmeu delia fluida koji se kreu razliitim brzinama.

U praktinim zadacima vrlo esto se izostavlja tangencijalni napon i zadatak se reava za idealan fluid!Tako dobijena reenja se onda popravljaju shodno saznanjima dobijenim iz eksperimentalnih istraivanja.Procenjuje se zbirni uticaj izmeu dva posmatrana preseka, onoga to unosi devijatorski deo napona, a to je trenje izmeu delia fluida i izmeu fluida i vrste granice.

Trea pretpostavka:Posledica pretpostavljenog paralelnog strujanja je hidrostatiki zakon rasporeda pritisaka po poprenom profilu struje, odnosno za sve delie istog poprenog preseka pijezometarska kota je ista (odnosno za ceo presek)

Ako sa x1 oznaimo pravac strujanja, a sa x2 bilo koji pravac u ravni poprenog preseka, pod pravim uglom na x1 moe se napisati:

Pijezometarska kota za ceo jedan popreni presek struje je ista; gornji crte odnosi se na struju pod pritiskom (cev), a donja na struju sa slobodnom povrinom (kanal)

Ako su brzine normalno usmerene na presek, a strujanje je krivolinijsko, tada se pijezometarska kota poveava ka spoljanjoj strani krivine, jer postoji ubrzanje (centrifugalno) u pravcu normalnom na strujanje. Unoenje ovog ubrzanja remeti hidrostatiku raspodelu pritisaka)

etvrta pretpostavkaBrzina struje je po celom pop.preseku usmerena normalno na presek, pa se moe napisati.Proticaj kroz popreni presek strujeSrednja brzina za preseku

Peta pretpostavka:Kako je u naslovu napomenuto, razmatraju se ustaljena strujanja. Ovo znai da se vrednosti ne menjaju tokom vremena, ni brzina ni pijezokota.

esta pretpostavka:Naelo o nepromenljivosti mase i neprekidnosti (kontinuiteta) fluida, ukazuje da proticaj kroz dva poprena preseka mora biti isti. Ovo dovodi do toga da su jednake zapremine dVi i dVii koju posmatrana masa fluida za vreme dt napusti!

Nepromenljivost mase i neprekidnost fluida znae jednakost za vreme dt naputene zapremine dVi i istovremeno osvojene zapremine dVii

Qi = Qii(vA)i = (vA)ii

Jednaina nepromenljivosti mase ili jednaina neprekidnosti (kontinuiteta)Nepromenljivost mase i neprekidnost fluida uslovljavaju izjednaenje proticaja: zbir proticaj u obe sastavnice jednak je proticaju posle spajanja

Sedma pretpostavka:Izmeu dva poprena preseka struja je ograniena omotaem. Omota je vrsta nepokretna granina povrina. Izmeu njega i fluida nema razmene energije (nema rada). To ne znai da nema gubitaka energije vodnog toka.Gubi se na vrtloenju unutar cevi usled trenja delia, i ta energija se pretvara u toplotnu.

Kod kanala omota je delimino vrsta granica, a delimino slobodna povrina.Sile trenja izmeu vode i vazduha su zanemarljive u odnosu na trenje vode i vrste granice.Posebna vrsta zadataka: vrsti omota se kree i na taj nain se vri prenos energije izmeu njega i fluida.Misli se na pumpe kada se elektrina energija pretvara u mehaniku, a mehanika u energiju vodnog toka.

Suprotan sluaj je kada se energija vodnog toka preko obrtanja lopatica turbine pretvara u elektrinu energiju.U ovom sluaju se svega 70-75% energije vodnog toka pretvara u elektrinu, a ostalo su gubici.

Dinamika jednaina ili jednaina o koliini kretanjaNa masu koja u odreenom vremenskom trenutku zauzima prostor zapremine V, izmeu poprenih preseka I, II primenie se stav:Prirataj koliine kretanja posmatranemase u jedinici vremenaRezultanti sila kojena tu masudeluju

Posmatrana masa fluida koja u trenutku t zauzima prostor izmeu preseka I i II, za vreme dt pomerila se shodno slici.Zapremina koju je ta masa napustila u preseku I mora biti jednaka zapremini koju je ta masa u isto vreme osvojila u preseku II, jer je masa nepromenljiva, a gustina konstantna.

V=Qdt; m=V= QdtKoliina kretanja je proizvod mase i brzine. Odatle prirataj koliine kretanja posmatrane mase za vreme dt iznosi: - Qdt*vI + Qdt*vII = Q(vI-vII)

Shodno poetnom stavu ovog poglavlja: Q(vI-vII)=G+K+PI+PII Dinamika jednaina

Prirataj koliine kretanja u jedinici vremena formalno se prihvata kao sila (fiktivna inercijalna sila) i onda se dinamika jednaina posmatra kao jednaina ravnotee sila, s tim da se ukupna inercijalna sila moe podeliti na komponente po presecima.I=II+IIIII=QvIIII=QvII

Konano, dinamika jednaina moe se predstaviti kao jednaina ravnotee, gde je zbir svih sila jednak nuli.II+III+G+K+PI+PII=0

Sa praktinog stanovita kao upustvo za reavanje zadataka: sila pritiska na granini presek odreuje se na osnovu hidrostatikih naela, jednaka je povrini poprenog preseka i pritiska u teitu pop.preseka. Deluje ispod teita pop.preseka, ukoliko je pijezokota iznad teita odnosno obratno. U praksi vrlo retko kod cevovoda raunamo ekscentricitet jer je mali.Komponenta inercijalne sile za bilo koji presek deluje uvek ka masi vode (unutra) i u teitu preseka

Jednaina mehanike energijeKao u prethodnim poglavljima analiziraemo masu fluida izmeu dva poprena preseka.Vae isti uslovi: Da je strujanje pravolinijsko i paralelno.Zapremina tenosti koju napusti za vreme dt iz preseka (I) je Qdt, je ista zapremini koju osvoji u preseku (II).Za posmatranu zapreminu primenie se stav iz elementarne fizike

Prirataj kinetike energije posmatrane mase tenosti=Radu sila na toj masi, umanjen za energiju koja iz mehanike pree u drugu vrstuPo istom principu iz prethodnog poglavlja kada je istaknuto da je koliina kretanja jednaka proizvodu mase i brzine i dobili prirataj koliine kretanja posmatrane mase,Qdt(vII-vI),i ovde dolazimo do rezultata

Treba znati da je kinetika energija skalarna veliina, a koliina kretanja vektorska veliina.

Posmatramo rad sila koje deluju na analiziranu masu vode. To je zapreminska sila teine G, povrinske sile Pi i Pii i sila K vrste granice.Rad sile teine je jednak radu premetanja zapremine (Qdt) sa poloajne kote zi, na poloajnu kotu zii, s tim da se posmatra teina mase G=V= Qdt

Jasno je da se ne premeta ista zapremina Qdt iz preseka (I) u presek (II), ve se pomeranjem cele mase tenosti izmeu ta dva preseka dolazi do date zavisnosti.Rad povrinskih sila se definie kao skalarni proizvod vektora sile i vektora pomeranja tela na koje sila deluje. Arad=P*sPomeranje se moe izraziti i preko brzine i vremena dt, s=v*dt, pa se rad povrinskih sila moe izraziti kao: Pi*si-Pii*si=Pividt-Piiviidt

P=pi*A pi*Ai*vidt-pii*Aii*viidt=(pi-pii)Qdt Ai*vi=Aii*vii=Q to se tie rada sile K kojom vrsta granica deluje na tenost on je O (nula), jer je vrsta granica nepokretna.Treba imati na umu da je rad povrinskih sila Pi i Pii u stvari mehanika energija.Izvestan deo tog rada iz mehanike energije se pretvara i prelazi u toplotnu.

Taj rad je za mehaniku energiju izgubljen, zbog toga se taj deo rada mora oduzeti iz bilansa mehanike energije. Uobiajeno je da se taj rad (izgubljeni) obeleava sa: Eizg*G=Eizg**V=Eizg**Qdt, gde je Eizg-veliina energije po jedinici mase koja se gubi iz mehanike energije kroz rad povrinskih sila Pi i Pii. To je u stvari rad napona trenja izmeu delia fluida.Konano se moe napisati jednaina shodno izreenom stavu na poetku:

Jednaina mehanike energije

Uobiajeno je da se gornja jednaina u hidraulikoj praksi naziva Bernulijeva jednaina. Za idealan fluid nema otuenja mehanike energije, pa je za njega Ei=Eii.

U hidraulici je uobiajeno da se energija predstavlja visinskom kotom.Kao to je to pijezokota odnosno potencijalna energija. Zbog toga se vrlo esto kinetika enegija (v/2g) naziva brzinskom visinomKada je cev istog prenika onda su linije potencijalne energije i linije ukupne energije paralelne, du cele posmatrane struje.

Osnove za reavanje praktinih zadataka jednolikih strujaPosmatra se pravolinijska struja konstantnog poprenog preseka, shodno tome strujanje je kroz sve poprene preseke ne samo pravolinijsko i paralelno, nego u svim presecima i istovetno.Kaemo da je strujanje jednoliko a srednja brzina (v=const.)Napisaemo za bilo koja dva preseka takve struje dinamiku jednainu s tim da emo izostaviti inercijalnu silu jer su njene komponente jednake ali suprotnog smera, pa se potiru (Ii=Iii)

Kako smo kod dinamike jednaine rekli, sve sile (povrinske i zapreminske) treba da su u ravnotei.

Zapreminska sila teine: G=*A*x Gx= *A*(zi-zii)Sile pritiska: Pi=pi*Ai Pii=pii*Aii----------------- Pi-Pii=A(pi-pii)

Dinamika jednaina:

deljenjem sa *A

ili uvoenjem pijezometarske kote i korienjem izraza za silu trenja:

Ranije izvedena energetska jednaina je definisala da je:

Za kanalske tokove moe se smatrati da je sila trenja po slobodnoj povrini zanemarljiva u odnosu na silu trenja o vrstu granicu (bokovi i dno kanala). Trenje se rauna samo o vrstu povrinu, iz toga se za obim (O) uzima samo okvaen obimPoto se u prethodnim jednainama pojavljuje odnos A/O, uvodimo jedan novi pojam a to je hidrauliki radijus (R=A/O)

Od dva provodnika sa istom povrinom poprenog preseka veu propusnu mo ima onaj koji ima vei hidrauliki radijus, jer ima manju povrinu trenja.Uvoenjem hidraulikog radijusa uz prelazak na neizmerno mali prirataj dx dobijamo:Jednaina jednolike ustaljene struje

to se tie strujanja u otvorenim tokovima vai ista jednaina s tim da se du toka javlja ista dubina koju nazivamo normalna dubina:

Kod otvorenih tokova pijezometarska linija je ujedno i linija nivoa tenosti.Poto se dubina ne menja, to je pijezometarska linija paralelna sa linijom dna, pa se za otvorene kanale moe napisati:

Kod jednolikog stacionarnog strujanja u otvorenim tokovima, strujanje se uspostavlja izjednaavanjem sile trenja i komponente sile teine u pravcu struje (x), naime sile pritiska se potiru.Dubina koja se uspostavlja u zavisnosti od pada dna kanala i sile trenja po obodu kanala nazvana je normalnom.Jednaina za jednoliko stacionarno strujanje u otvorenim tokovima

Pito-cev i zaustavni pritisak

Postavljanjem ove dve cevi u vodu uoiemo da u pito-cevi imamo vii nivo.Ovaj nivo (c) predstavlja pijezo kotu mase vode koja se nalazi u cevici , odnosno njenu ukupnu energiju. Druga cev je postavljena upravno na pravac struje, odnosno brzine i stoga nije pod njenim uticajem, odnosno ova cev pokazuje potencijalnu energiju u datom preseku, a to je pijezokota pa se stoga ona naziva pijezometarska cev (pijezo-cev)

Postavljanjem jednaine energije za strujnicu, izmeu preseka o i c uz zanemarivanje gubitaka energije na tako maloj duini (idealan fluid) dobija se:

Brzina u taki C je nula (uc) jer je zaustavljeno strujanje u toj taki, pa je

Kada bi se ovo isto napisalo za presek u taki o i u taki b, videlo bi se da su pijezokote u preseku u i b iste.Iz prethodno proizilazi da je razlika kota c i b u stvari u/2g, odnosno kinetika energija. Iz ovog razloga se pito-cev u hidraulikim laboratorijama koristi za merenje brzine u taki.S druge strane pritisak u taki c sa pc. Shodno prethodnoj jednaini mee se napisati:

po-pc=pu zaustavni pritisak jer ga je napravila brzina u koja je zaustavljena u taki c. On je bitan kod udara mlaza vode u zid kad se odreuje sila udara.

Uobiajeno je da se tangencijalni napon () meri u odnosu na zaustavni pritisak, (/pu) a to se izraava sa bezdimenzionalnom veliinom:Koeficijent tangencijalnog napona

Prethodno izvedenu jednainu za jednoliko strujanje moemo sada izraziti kao:

Pogodno je uvesti:

Za krune preseke umesto R moe se napisati:

Jednaina za IE izraena sa D i glasi

Eizg.= IE x L

Uobiajeno je da se izgubljena energija za cev krunog preseka, a na duini L na osnovu predhodnog izraava kao:

Iz datog izraza se vidi da za istu cev iste duine i prenika izgubljena energija je srazmerna kvadratu brzine.Ovo se naziva kvadratni zakon otpora (1)

Za provodnike koji nisu kruni, moe se koristiti isti obrazac s tim da se umesto D koristi 4R!Za betonske cevi hrapavost se procenjuje k=0.5-3(mm) u zavisnosti od oplate koja se koristila za betoniranje.Za eline i gvozdeno-livene cevi zbog mogue korozije k=0.2-2(mm), a kod PVC cevi, azbestnih cevi i ostalih savremenih materijala k=0.01-0.1(mm)

Za neobloene zemljane kanale u zavisnosti od odravanja povrine k=2-20(mm)U hidraulikoj praksi uobiajeno je da se za otvorene tokove gde se sa sigurnou moe rei da se ostvaruje kvadratni zakon otpora, rasprostranjena je upotreba Szezi-Manning-ove formule (Manning formule)

(2)

Jednaina (1) se koristi kod prorauna provodnika pod pritiskom (cevi), a jednaina (2) se koristi kod prorauna otvorenih tokova (kanali, reke) u sutini se sa obe izraunava pad linije reke.Izjednaavanjem jednaine (1) i (2) s tim da za uvrstimo pun izraz dobiemo odnos Maningovog koeficijenta i apsolutne hrapavosti.

Ako pogledamo da smo ranije naznaili da se k kod otvorenih tokova kree izmeu 2 i 20(cm) videemo da je: n=0.012-0.03 Napominje se da u prethodnom obrascu za imamo samo uticaj hrapavosti cevi, to je u redu, ako su cevi izrazito hrapave, a ako su cevi glatke (PVC) korienje datog obrasca moe dati znatno manje gubitke energije nego to su stvarni.Naime, u tom sluaju znatan deo gubitaka moe nastati kao posledica lepljivosti, odnosno viskoznosti tenosti.

Date uticaje izraavamo preko koeficijenta viskoznosti pa se koeficijent trenja rauna kao:

Ako prihvatimo da se izrauna sa tanou do 2% onda se uticaj viskoznosti moe zanemariti, ako je:

Gde koeficijent viskoznosti zavisi od vrste tenosti (voda, nafta, med...) i temperature tenosti. to je temperatura vea, to je viskoznost manja. U koliko je uticaj viskoznosti mali pa se taj lan zanemaruje, takva cev se zove hrapava cev, suprotno u koliko je uticaj hrapavosti mali takva cev se zove glatka cev.

( Re=vd/) =/d ( ). , , Re .

: , .

=64/Re. , 2000

Kratki objekti i lokalne promene u strujanjuIzraavanje gubitaka energije u lokalnom poremeaju struje u cevi

Opti naziv za koncentrisani gubitak energije na manjem prostoru (u mestu) izazvan lokalnim poremeajem strujanja zove se lokalni gubitak energije.

Sa praktinog stanovita treba pre svega oceniti iznos tog gubitka, koji ulazi u energetski obraun struje, odnosno u jednainu energije primenjivu za struju izmeu dva preseka:

Kao to smo konstatovali ranije desna strana ove jednaine izraava izgubljenu energiju po jedinici teineizmeu preseka ( I i II).U izgubljenu energiju e osim linijskog gubitka na trenje o zidove cevi ui i lokalni gubitak, ako ima nekog poremeaja u strujanju izmeu ta dva posmatrana preseka.

Izgubljena energija na lokalnom poremeaju odreuje se eksperimentalno, samo se u retkim sluajevima do nje moe doi analitiki.Uobiajeni izraz za obeleavanje lokalnog gubitka energije usled lokalnog poremeaja je:

Lokalni gubitak se obino prikazuje naglim (skokovitim) sputanjem linije energije, iako se faktiki taj gubitak ne ostvaruje striktno u jednom preseku, nego na izvesnoj duini.

Svaki lokalni gubitak se obraunava posebno, osim kad su neposredno jedan pored drugog, i tada se njihovi uticaji ne mogu razdvojiti, pa se uraunavaju zajedno.

Prvo se crta energetska linija a posle pijezo linija-punom linijom!Kada je brzina konstantna (nema promene poprenog preseka) du toka, energetska i pijezo linija su paralelne.Jednaina energije se moe napisati:

Neki primeri lokalnih gubitaka energijePromena poprenog presekaNaglo proirenjeZa ovaj oblik lokalnog poremeaja postoji analitiko reenje, koje se zasniva na teoremi Borda i izvodi se postavljanjem dinamike jednaine ravnotee sila.

Naglo proirenje Borda-Carnot-ov gubitak

Naglo suenjekontrakcija mlaza:A1,v1As,vsA2,v2

-

Naglo suenje otupljivanje otrih rubova smanjuje gubitke na 50%, a obli rubovi na 25%!

.

Postepeno suenje (difuzor)gubici dolaze samo od trenja i maleni su. Za uglove manje od 30o ih zanemarujemo, a kod uglova veih od 60o suenje vie nije postepeno!A1A2

30o45o60o20,020,040,07

- . . . 900 . , 450.

- . . r/D, 900 . . , 450. r/D , .

, .

- : , ( ). (, , ).

- - ()- -

-

, . 1, .

ZatvaraiUloga zatvaraa na cevnoj mrei je da osim u sluaju havarije, kada zatvaraju tok mogu i da reguliu proticaj u cevnoj mrei.Naime, deliminim zatvaranjem poveavamo koeficijent lokalnog gubitka a sa tim i gubitak energije.Kao posledica, javlja se smanjenje proticaja u sistemu.

Jedan od mnogobrojnih zatvaraa je tzv. tablasti zatvaraSlobodan otvor za proticanje odreuje poloaj zatvaraa, on se podie, odnosno sputa na onaj poloaj kojim se ostvaruje zahtevani proticaj

Na narednoj slici, sa (I) nacrtane su linije energije i pijezometarska za potpuno otvoren zatvara, pri emu je izgubljena energija minimalno mogua, a proticaj maksimalno mogu za raspoloivu visinsku razliku H izmeu nivoa u rezervoaru.Na istoj slici, sa (II) prikazane su linije energije i pijezometarska za delimino otvoren zatvara kojim se ostvaruje izgubljena energija ba onolika koliko zahteva proticaj koji se proputa.Na istoj slici takastom linijom prikazana je pijezometarska linija za hidrostatiko stanje pri potpuno zatvorenom zatvarau!

Regulisanje proticaja zatvaraem

Prethodna razmatranja dozvoljavju da se izvedu sledei zakljuci: Zatvara je lokalni poremeaj sa promenljivim vrstim granicama strujanja, pa to namee i promenljivost koeficijenta lokalnog gubitka energije.Za praktino reenje zadatka merodavno je stanje potpune otvorenosti zatvaraa, odgovarajui gubitak energije obezbeuje maksimalno moguu propusnu moTreba obratiti panju na to da li pritvoreni zatvara stvarajui velike lokalne brzine ne stvara nedozvoljene sniene pritiske

Za odreivanje proticaja moe da poslui suenje u cevi-to je tzv. Venturijev vodomer (VENTURI)

Jednaina energije za presek ispred suenja (gde su povrina i brzina A i v) i presek u suenju (gde su Ao, vo):

Ovaj gubitak sutinski nije lokalni nego je uglavnom trenje i stoga nije uzet uobiajeni koeficijent lokalnog gubitka, nego je data druga oznaka.

Jednaina energije nakon zamene, svodi se na:Ako se mere proticaj Q i visinska razlika H, prethodna jednaina utvruje vrednost koeficijenta brzine Cv (Cv=0.98).Napominje se da kod Venturijevog vodomera nema skupljanja mlaza.