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Elementos de Hidrologia Aplicada 11. gua Subterrnea - Hidrulica
de Poos
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208
11. GUA SUBTERRNEA / HIDRULICA DE POOS
11.1. Introduo. Caractersticas dos meios porosos
Neste captulo, so estudados os escoamentos da gua atravs de
meios porosos, dando-se
particular nfase hidrulica de poos. Adverte-se que no se
aprofundam os estudos sobre a
interao entre as duas fases, lquida e slida, por ser esse
assunto mais ligado Mecnica dos
Slidos.
Os meios porosos podem ser naturais ou artificiais. Os meios
porosos naturais so
fundamentalmente os aluvies1, constitudos por material granular,
ou as rochas compactas
fissuradas. Os meios porosos artificiais so os aterros, dos
quais tm especial importncia as
barragens de terra.
Conceitos de homogeneidade e isotropia
Os conceitos de homogeneidade e isotropia so fundamentais para o
estudo terico do e a
compreenso do escoamento da gua em meio poroso.
Diz-se que um meio poroso homogneo quando, em qualquer ponto do
seu interior, a
resistncia ao escoamento, em relao a uma dada direo, a mesma.
Dadas s irregularidades
existentes nos meios porosos naturais, necessrio definir uma
escala de homogeneidade. Como
exemplo, pode-se dizer que um aluvio com gros de cerca de 1 mm
de dimetro ser
considerado homogneo escala do dm2; j um macio rochoso s poder
ser considerado
homogneo para dimenses da ordem de 100 vezes a maior dimenso dos
blocos.
Um meio poroso istropo quando a resistncia ao escoamento (ou
outra propriedade
fsica) for a mesma em todas as direes que se considere. Em
verdade, a maioria dos meios
porosos naturais so anistropos. Com efeito, no caso de rochas
fissuradas, as fissuras de origem
tectnica, isto , as fendas resultantes de deformaes da crosta
terrestre devidas s foras
internas, so, em geral, orientadas segundo direes paralelas,
perpendiculares s compresses
que lhes deram origem; assim, a rocha tem o aspecto de
paraleleppedos cortados por fissuras
paralelas, que constituem uma direo mais favorvel o escoamento o
regime do escoamento
depender da geometria das fissuras e do material de enchimento
das mesmas. Tambm nas
formaes sedimentares, a intercalao de camadas de diferentes
caractersticas e o prprio peso
das camadas permite, no seu conjunto, maior facilidade ao
escoamento no sentido horizontal,
sendo por isso, da mesma forma, anistropos. No entanto, esses
meios podero ser considerados
homogneos, desde que se estabelea, como visto acima, uma escala
de homogeneidade
suficientemente grande.
Um meio constitudo por material granular caracterizado, do ponto
de vista geomtrico,
por vrios parmetros, conforme indicados na seo 11.4.
1 Depsitos de cascalho, areia e argila que se formam junto s
margens ou na foz dos rios, como resultado do
trabalho de eroso.
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11.2. gua subterrnea
11.2.1 - Origem
No incio do presente curso, no estudo do ciclo hidrolgico, foi
explicada a origem da
gua subterrnea (Figura 11.1). Pela atual viso do ciclo
hidrolgico, a formao dos lenis
subterrneos tem origem na infiltrao e na percolao das guas
pluviais e superficiais, que se
faz atravs das camadas permeveis, das falhas existentes nas
estratificaes, das fendas, de
discordncias de camadas geolgicas, etc. Embora este seja o
conceito universalmente aceito,
nem sempre foi assim. Como curiosidade, apresentam-se algumas
teorias que j foram aceitas
em tempos remotos, mesmo antes de Cristo, para explicar a
ocorrncia da gua subterrnea.
Figura 11.1 Ciclo hidrolgico e a ocorrncia da gua subterrnea
Segundo Plato2 (sculo V a.C.), haveria um grande abismo no fundo
do mar,
estendendo-se sob a terra. Para explicar o ciclo hidrolgico e o
fato do nvel do mar manter-se
constante, por mais gua que para ele aflusse, o filsofo
justificava que do abismo a gua
penetraria terra adentro e seria sorvida pelo solo.
Para Descartes3 (1630 d.C.), existiriam cavernas subterrneas
que, recebendo a gua do
mar, permitiriam a sua evaporao. A gua evaporada, ao se
condensar, impregnaria as camadas
do subsolo para formar a gua subterrnea.
Foi no sculo I a.C., com Vitrvio4, que pela primeira vez se
considerou que as guas
subterrneas poderiam ter sua origem nas guas de chuva. Contudo,
a aceitao da teoria ocorreu
somente muito mais tarde, j no sculo XVII, a partir de
experincias e medies conduzidas por
Mariotte5, na Frana.
2 Filsofo grego (427 a.C. 347 a.C.)
3 Ren Descartes, filsofo e matemtico francs (1596 1650).
4 Marcus Vitruvius Pollio, arquiteto e engenheiro romano do sc.
I a.C.
5 Edme Mariotte, padre e cientista francs que se dedicou ao
campo da fsica (1620 1684).
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11.2.2 - Distribuio
Num balano esttico, pode-se dizer que a gua subterrnea
corresponde a
aproximadamente 0,6% de toda a gua presente no globo terrestre.
Contudo, considerada a sua
importncia para o uso humano, na forma de gua doce, a gua
subterrnea responde por 97% do
volume global da gua doce. Essa gua subterrnea constitui, em
muitas regies, a principal
forma de aproveitamento pelo homem, seno a nica.6
por meio da prospeco geofsica que a ocorrncia da gua subterrnea
conhecida.
Faz-se, a seguir, um breve estudo da distribuio da gua nas
formaes geolgicas situadas
abaixo da crosta terrestre.
A parte superior da crosta, denominada zona de fratura da rocha,
normalmente porosa
at certa profundidade. Seus poros ou aberturas podem estar total
ou parcialmente cheios de
gua.
A camada superior do solo, onde os espaos intergranulares esto
parcialmente ocupados
pela gua, denominada zona de aerao. camada situada imediatamente
abaixo se denomina
zona de saturao (Figura 11.2). Por efeito da capilaridade, a gua
eleva-se acima do nvel da
zona de saturao, formando a gua capilar (ou franja capilar). A
altura da elevao capilar
depende da dimenso dos interstcios e pode atingir valores desde
0,6m a 3,0m nas argilas, ou
apenas alguns milmetros de altura em areias grossas.
Figura 11.2 Representao esquemtica da distribuio da gua
subterrnea
Acima da gua capilar pode-se encontrar gua higroscpica ou gua
pelicular, fixada por
adsoro superfcie das partculas do solo. Mais acima, junto
superfcie, encontra-se a gua
de infiltrao (gua do solo, utilizada pelas plantas), com
ocorrncia posterior s chuvas e que
desce para o lenol pela ao da gravidade.
Para fins de aproveitamento hdrico, a zona de saturao a mais
importante. Ela pode
ser considerada como um vasto reservatrio, ou um conjunto de
reservatrios naturais, cuja
capacidade de armazenamento definida pelo volume total dos poros
existentes nas rochas que,
nesta zona, se encontram completamente cheios de gua.
6 A obteno da gua subterrnea para fins de aproveitamento
domstico, industrial, ou mesmo para irrigao,
assunto tratado como mais profundidade no estudo da captao ou
aproveitamento da gua subterrnea, nas
disciplinas de Saneamento para engenheiros civis e
ambientais.
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A espessura da zona de saturao variada, sendo funo de uma srie
de fatores. Para
determinar essa espessura requer-se o conhecimento da geologia
local, da disponibilidade de
poros nas formaes geolgicas e da capacidade de recarregamento e
movimento da gua, que se
processa na zona desde as reas de recarregamento at as reas ou
pontos de descarga.
11.3. Aquferos
Os aquferos so formaes ou camadas geolgicas que contm a gua no
seu interior
(zona saturada) em quantidade suficiente para permitir o seu
aproveitamento econmico. Assim,
uma unidade geolgica ser considerada um aqufero quando,
possuindo poros cheios de gua,
permitir que a gua se escoe pelos espaos intergranulares at poos
ou fontes, com uma vazo
de sada capaz de, por exemplo, suprir o abastecimento de gua de
uma comunidade. Neste
conceito, diferem de um outro tipo de armazenamento encontrado
nos espaos livres das rochas
(s vezes tambm denominado aqufero), como nas rochas calcrias,
onde a gua pode se mover
livremente atravs das fendas, cavernas, etc., que so
caractersticas destas rochas7.
Em geral, os aquferos podem ser classificados como freticos e
artesianos. Os aquferos
freticos8 originam-se das guas de chuva que se infiltram atravs
das camadas permeveis do
terreno at encontrar uma camada impermevel. Saturando as camadas
porosas logo acima, a
gua pode permanecer em repouso ou deslocar-se, de acordo com a
configurao geomtrica do
terreno. Nos aquferos freticos, tambm chamados aquferos livres,
a gua que enche os poros
da formao geolgica na regio que se situa no topo da parte
saturada est submetida presso
atmosfrica (Figura 11.3). Assim, tudo se passa como se a gua
estivesse ocupando um
reservatrio aberto. Pode ocorrer ainda, a formao de um aqufero
ou lenol suspenso, quando
uma formao impermevel aparece entre a zona saturada e a
superfcie do terreno, dando
origem reteno de guas de infiltrao acima desta formao.
Figura 11.3 Representao esquemtica da ocorrncia do aqufero
fretico e sua inter-relao com os cursos
dgua: num caso, recebendo a alimentao do curso dgua (tpico de
regio rida cortada por rio perene) e,
em outro, alimentando as nascentes do curso dgua (comum em
regies montanhosas).
Para qualquer camada que se considere dentro do aqufero fretico,
a carga hidrulica na
mesma ser igual profundidade medida a partir do nvel esttico
(nvel fretico). Assim,
quando um poo perfurado num aqufero fretico, o nvel dgua dentro
dele atingir o nvel
esttico do aqufero. O poo que retira a gua do lenol fretico dito
poo fretico (Figura
11.4).
7 Nestes casos de rochas calcrias, as guas superficiais podem
passar subitamente por estas formaes, formando
verdadeiros rios subterrneos que, por sua vez, podem aflorar
bruscamente, passando s correntes superficiais. 8 O termo fretico
vem da palavra grega phreatos, que significa poo, pelo fato de que
desse lenol que se
abastecem os poos comuns.
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Figura 11.4 Representao do poo fretico e da carga hidrulica em
um ponto do lenol.
Os poos freticos so normalmente escavados. So, tambm, chamados
de poos
ordinrios, isto , poos comuns ou domsticos. Em geral, so rasos e
de grandes dimetros: as
profundidades compreendidas entre 3 e 20 metros e os dimetros
entre 1 e 2 metros.9 A vazo
que eles so capazes de fornecer relativamente pequena, o que
sugere a sua utilidade apenas
para o consumo humano ou uso domstico e, raramente, para uso
industrial e irrigao. Embora
a gua possa ser de boa qualidade, h inmeros registros de
ocorrncia de gua salobra e,
mesmo, contaminada.
O aqufero dito confinado, ou artesiano10
, quando se situa entre camadas impermeveis.
Em consequncia, os aquferos confinados tm a gua submetida a
presso superior
atmosfrica. Nestes, a gua provm, geralmente, de infiltraes
distantes, ocorridas em regies
de cotas mais elevadas (brejos, lagos, rios, chuva ou neve nas
serras, etc.).
Na Figura 11.5, apresenta-se um esquema que permite classificar
e visualizar a
ocorrncia dos diferentes tipos de aquferos. V-se, por exemplo,
que o aqufero designado como
AQUFERO A fretico, pois o nvel da gua neste coincide com o nvel
atingido no poo de
observao: no aqufero fretico ou livre, superfcie livre
corresponde, sempre, presso igual
atmosfrica. A Figura 11.5 mostra, tambm, que o AQUFERO B,
inicialmente fretico na zona
(a), atinge, a jusante, uma regio compreendida entre duas
camadas impermeveis, zonas (b) e
(d), comportando-se, portanto, como artesiano ou confinado.
Quando uma das camadas que limita o aqufero semipermevel, este
pode perder ou
receber gua atravs dela. Este fenmeno denominado drenana11
e o aqufero correspondente
dito semiconfinado. O AQUFERO B da Figura 11.5 tambm se comporta
desta forma em duas
regies, indicadas como zonas (c) e (e).
Os poos que retiram gua de um aqufero artesiano so chamados de
poos artesianos.
Nestes, a gua ascende at atingir o nvel da linha piezomtrica. Se
a piezomtrica estiver acima
do terreno, a gua jorrar (poo jorrante). Caso contrrio, estando
a piezomtrica abaixo do nvel
do terreno, a gua no jorrar. Para alguns, o poo considerado
artesiano apenas quando ele
jorra e, sendo no jorrante, ele seria caracterizado como
"semiartesiano". Na Figura 11.5, so
visualizadas as ocorrncias dos poos artesianos jorrante e no
jorrante.
9 Atualmente, podem ser encontrados poos freticos tubulares
(pequenos dimetros) perfurados mecanicamente at
profundidades bem maiores. 10
O termo artesiano deriva do nome Artois, que uma regio da Frana
onde so frequentes as ocorrncias desse
tipo de aqufero. 11
Traduo tcnica do termo leakage, em ingls.
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Figura 11.5 Esquema para a visualizao da ocorrncia e classificao
dos aquferos
O lenol artesiano alcanado por meio de poos tubulares, que tm
pequeno dimetro
(geralmente entre 6 e 10 polegadas), podendo estar a pequenas
profundidades (algumas dezenas
de metros) ou a grandes profundidades (at centenas de metros).
Ao se fazer uma perfurao,
podem ser encontrados vrios lenis sobrepostos, com distintas
capacidades de armazenamento
e diferentes qualidades da gua. Quando se atinge um rico lenol
artesiano, a gua normalmente
suficiente para o abastecimento de bairros residenciais e/ou
indstrias e, at mesmo, para uso
na irrigao. Em geral essa gua de boa qualidade, embora, nos
casos de poos profundos,
possa apresentar-se como salobra.
11.4. Propriedades dos aquferos e parmetros que caracterizam a
relao solo - gua
Os aquferos desempenham duas diferentes funes: a de reservao e a
de conduo da
gua. Assim, os poros, em seu conjunto, se comportam ora como um
reservatrio, ora como um
conduto que transporta a gua entre dois pontos submetidos a um
gradiente hidrulico. A gua
contida num aqufero se desloca, consequentemente, em condies de
escoamento hidrulico
semelhantes s de um reservatrio em marcha.
A eficincia de um aqufero como fonte de suprimento de gua
depende de propriedades
intimamente ligadas s duas funes que ele desempenha. As
propriedades relacionadas com a
capacidade de reservao so a porosidade e a produo especfica (ou
suprimento especfico),
enquanto as propriedades associadas funo de conduo da gua so a
condutividade
hidrulica (ou permeabilidade) e a transmissividade. Definem-se,
a seguir, estes e alguns outros
parmetros importantes.
a) Porosidade
A porosidade, n, a percentagem de vazios (poros) existentes no
material, isto ,
%100V
V%100
totalvolume
vaziosdos volumen
t
p . (01)
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O volume total, Vt, dado pela soma do volume dos poros (vazios),
Vp, com o volume dos
gros, Vg, isto , Vt = Vp + Vg.
Quando um material se encontra saturado, todos os seus vazios
ficam preenchidos com
gua. Desse modo, o volume de gua de saturao obtido
multiplicando-se a porosidade pelo
volume do material, isto ,
(volume de saturao) = n (volume do material). (02)
A porosidade depende do tamanho, da forma, do grau de
uniformidade e da arrumao
dos gros que compem o material.
Quando a granulometria do material uniforme, a porosidade maior
que em se tratando
de partculas de tamanhos diferentes, pois neste caso as menores
ocupam os vazios deixados
pelas maiores. V-se, pois, que existe alguma ligao da porosidade
com aquilo que
conceituado como coeficiente de uniformidade.
De um modo geral, considera-se:
%
%
%
%
%
20 areia e pedregulho
25 pedregulho
35 areia
45 argila
20n grande, porosidade
%
%%%
5 denso calcreo
15 arenito 20n5 mdia, porosidade
%% 1 granito quartzito, 5n pequena, porosidade
Obs.: Os valores mdios de porosidade de uma srie de materiais so
apresentados na coluna (2)
da Tabela 11.1. O coeficiente de porosidade mdio determinado em
ensaios de laboratrio
realizados com amostra do solo do aqufero, adequadamente
coletada de acordo com
procedimento rotineiro.
b) Produo especfica ou suprimento especfico (ou porosidade
efetiva)
Embora a porosidade informe sobre a quantidade de gua que o
aqufero capaz de
armazenar, esta no representa a quantidade de gua que ele poder
fornecer, pois a ao da
gravidade incapaz de retirar de um material toda a sua gua da
saturao: uma parcela desta
gua ficar retida nos interstcios devido atrao molecular da
pelcula que envolve os gros.
A produo especfica (ou porosidade efetiva), Pe, de um material
granular justamente
a percentagem de sua gua de saturao que se liberta pela ao da
gravidade:
%% 100amostra da Volume
saturada amostra da livremente drenado gua de Vol.100
V
VPe
t
d . (03)
O volume drenado, Vd, corresponde parcela do volume de vazios
ocupada pela gua circulvel
(removvel) sob a ao da gravidade. Assim, Pe mede a porcentagem
do volume de um solo
disponvel para o armazenamento temporrio da gua.
Para calcular a produo especfica, coloca-se o material seco num
cilindro de fundo
afunilado e provido de torneira (inicialmente fechada) que, em
seguida, saturado. Abrindo-se
totalmente a torneira, a gua comea a escoar-se com vazo
decrescente, at formar um
escoamento em gotas. Quando as ltimas se distanciarem muito umas
das outras no tempo, mede
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o volume de gua liberada sob a ao da gravidade. Dividindo-se o
volume de gua liberada sob
a ao da gravidade pelo volume total tem-se:
Pe = (volume libertado) (volume total) x 100%
Pelos valores lanados nas colunas (2) e (3) da Tabela 11.1,
observa-se, que a argila, que
tem a maior porosidade mdia (em torno de 45%), possui produo
especfica de somente 3%. A
principal razo para justificar este fato est associada ao
diminuto tamanho dos gros e,
consequentemente, dos poros da argila que retm grande parcela de
gua de saturao.
c) Reteno especfica
A reteno especfica, Re, tambm expressa em porcentagem, a parcela
da gua de
saturao que no consegue se libertar da unidade de volume do
material saturado, sob a ao da
gravidade. , portanto, a diferena entre a porosidade e a produo
especfica do material. Ou
eRPen . (04)
A reteno especfica tanto maior quanto menor for o tamanho das
partculas pois,
assim sendo, maior ser a superfcie total das mesmas e,
consequentemente, maior tambm ser a
ao molecular de reteno da gua.
d) Coeficiente de permeabilidade experincia de Darcy
A propriedade interligada com a funo de conduo da gua do aqufero
a
permeabilidade, K, que pode ser definida como a capacidade do
meio poroso transmitir a
gua. A grandeza que informa sobre a capacidade do meio poroso
transmitir a gua o
coeficiente de permeabilidade que, por definio, representa a
quantidade de gua que, na
unidade de tempo, passa pela seo do material de rea unitria,
quando perda de carga por
unidade de comprimento (perda de carga unitria) corresponde
unidade. Esta definio deriva
da prpria equao de Darcy.
Na Tabela 11.1 apresentam-se valores mdios do coeficiente de
permeabilidade K de
diferentes materiais, juntamente com a porosidade e a produo
especfica.
Tabela 11.1 Valores mdios de algumas propriedades ligadas s
funes de reservao e de conduo dos
aquferos
(1) (2) (3) (4)
Materiais Porosidade, n
(%)
Produo especfica,
Pe
(%)
Coeficiente de
permeabilidade, K
(m/dia)
Argila 45 3 0,04
Areia 35 25 35
Pedregulho 25 22 200
Pedregulho e areia 20 16 80
Arenito 15 8 30
Calcrio denso 5 2 0,04
Quartzito, granito 1 0,5 0,004
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Da hidrulica, sabe-se que o movimento da gua de um ponto a outro
do aqufero
ocorrer quando existir uma diferena de carga entre estes pontos.
A experincia de Darcy12
(1856) mostrou que no escoamento laminar da gua em um meio
poroso a velocidade aparente
proporcional perda de carga unitria: V i. Ou,
iKV , (05)
sendo V = velocidade mdia aparente da gua atravs do material; K
= coeficiente de
permeabilidade (com dimenso LT-1
); e i = perda de carga unitria (adimensional). Portanto, K
tem dimenso de velocidade13
.
A vazo atravs de uma seo de rea A transversal ao escoamento Q =
VA. Ou
AiKQ (06)
sendo a perda de carga unitria (gradiente hidrulico) i dada
por
x
hi
. (07)
O coeficiente de permeabilidade K medido em laboratrio com o uso
de um
permemetro, cujo princpio est representado na Figura 11.6. Esse
permemetro, que reproduz a
experincia de Darcy, permite a obteno da perda de carga unitria,
i. Essa perda de carga
obtida da leitura dos piezmetros, h1 e h2, cujas tomadas de
presso encontram-se separadas pela
distncia L: i = (h1 h2) / L.
Figura 11.6 Esquema ilustrativo da experincia de Darcy
(permemetro de carga constante)
12
Henry Philibert Gaspard Darcy (1803 1858), engenheiro francs.
13
Escreve-se [K] = [V] = LT-1
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Obs.: O coeficiente de permeabilidade funo das propriedades do
fluido e do meio poroso.
Esta dependncia pode ser mostrada rapidamente recorrendo-se
equao de Navier-Stokes, da
Mecnica dos Fluidos para o escoamento laminar entre duas placas
paralelas, que uma equao
correspondente de Hagen-Poiseuille e que pode escrita na
forma:
2Ab
Q12
dx
dhi
, (08)
sendo = viscosidade dinmica do fluido; = peso especfico do
fluido; b = distncia entre as
placas; e A = rea da seo transversal ao escoamento, cuja vazo Q.
Como, segundo Darcy,
AKQi , resulta
12
gb
12
bK
22
. (09)
De maneira alternativa, esta demonstrao poderia ser feita com o
uso da frmula
universal para a perda de carga no escoamento laminar (tambm
conhecida como equao de
Darcy-Weisbach). Por esta equao,
g2
V
d
1fi
2
, (10)
sendo f o fator de atrito e d um dimetro caracterstico dos
poros. Para o regime laminar,
Recf , sendo c = constante e Re = nmero de Reynolds dV . Da, a
expresso para a
perda unitria se reescreve como:
2gd2
cVi
, ou i
c
gd2V
2
. (11)
Donde,
g2
Kc
dg2K 0
2
, (12)
sendo
220 dccdK . (13)
O termo K0 denominado permeabilidade intrnseca.
A medio do coeficiente K em laboratrio pode ser feita, ainda,
com o emprego do
permemetro de carga varivel, particularmente para solos
argilosos. Esquematicamente,
representa-se o permemetro de carga varivel na Figura 11.7.
Conforme o esquema, aplicando-
se a lei de Darcy para um tempo genrico t:
LthAKtQ . (14)
Mas,
dtdhatQ , (15)
o que permite escrever:
L
hAK
dt
dha , ou .dt
La
AK
h
dh
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Figura 11.7 Esquema ilustrativo do funcionamento do permemetro
de carga varivel
Integrando, deste o tempo t1, onde h = h1, at um instante t2 =
t1 + t, em que h = h2, ou seja,
2
1
2
1
t
t
h
h
dt La
AK
h
dh
obtm-se
tLa
AK
h
h
1
2
ln ,
que permite obter o coeficiente de permeabilidade14
:
2
1
2
1
h
h
tA
La3032K ou
h
h
tA
LaK log
,ln
. (16)
e) Armazenamento especfico e coeficiente de armazenamento
- Coeficiente de armazenamento, S
O volume de gua liberado por um aqufero, que se caracteriza pela
sua produo
especfica, avaliado atravs do seu coeficiente de armazenamento,
S, que a parcela de gua
libertada por um prisma vertical de base unitria e com a mesma
altura do aqufero, quando a
altura piezomtrica reduzida de um comprimento unitrio. O
coeficiente de armazenamento S
adimensional.
14
Valores mdios de K para alguns tipos de materiais so dados na
Tabela 11.1.
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(a) aqufero fretico
(b) aqufero artesiano
Figura 11.8 Visualizao dos prismas de base unitria para a
definio dos coeficientes de armazenamento
em aquferos fretico (figura a) e artesiano (figura b)
O coeficiente de armazenamento S expressa a capacidade de
armazenamento til de um
aqufero, por unidade de rea horizontal. Nos lenis freticos, S
aproxima-se do valor da
produo especfica (ou porosidade efetiva), conforme ilustram os
dados da Tabela 11.1. Valores
mdios tpicos deste parmetro em aquferos freticos esto
compreendidos na faixa
0,01
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Desta equao, define-se T como a vazo que escoa atravs de uma seo
vertical do
aqufero com largura de 1 metro, quando a perda de carga unitria
igual unidade. A ttulo de
ilustrao, a Figura 11.9 mostra a relao entre os coeficientes de
transmissividade e
permeabilidade.
Figura 11.9 - Relao entre os coeficientes de transmissividade,
T, e de permeabilidade, K.
Exemplo 11.1 (Equao de Darcy)
Um lenol fretico tem espessura mdia de 3,6m e constitudo de
areia com coeficiente de
permeabilidade igual a 40m/dia. Dois poos perfurados neste
lenol, afastados entre si de 20m e
situados ao longo de uma mesma linha de corrente permitiram que
se constatasse um desnvel de
1,20m na superfcie do lenol, conforme indica a Figura 11.10. Com
base nessas informaes,
calcular:
a) a vazo de escoamento do lenol, por metro linear de
largura;
b) o comprimento mnimo que dever ter uma galeria de infiltrao,
instalada transversalmente
s linhas de corrente, de modo a se poder captar a vazo de 6/s,
supondo-se que se aproveite totalmente a gua em escoamento.
Soluo:
a) Da equao de Darcy, iAKQ .
Como A = mw, ento iwmKQ .
Ou, imKw
Qq . Conhecidos,
K = 40 m/dia = 40/(243600) m/s,
m = 3,6m e i = 1,2/20 m/m, vem
ms
m101
20
2163
360024
40q
34
,, ,
ou q = 0,1 /(ms).
Figura 11.10 - Esquema para o problema exemplo 11.1
-
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221
b) para Q = 6/s L = Q/q = 6/0,1 L=60m.
Exemplo 11.2
Estabelecer a expresso da vazo, por unidade de largura, para o
escoamento horizontal num
aqufero artesiano em direo a uma vala, sendo m a espessura mdia
do aqufero e K o
coeficiente de permeabilidade. (V. Figura 11.11)
Soluo:
Da equao de Darcy, iAKQ .
Como A = mw, xHi ,
x
HmK
w
Qq
, ou
x
HTq
.
Figura 11.11 - Esquema para o problema exemplo 11.2
11.5. Hidrulica de poos
Neste subcaptulo, o tratamento dado ao problema da hidrulica
subterrnea
fundamentalmente voltado para o seu aproveitamento.
A captao da gua subterrnea pode ser feita longitudinalmente,
atravs de galerias
como no caso do problema exemplo 11.1, ou radialmente, por meio
de poos. Esta ltima forma
de captao se caracteriza por provocar o escoamento que se
processa radialmente no interior do
macio poroso que contm o aqufero (ou lenol dgua subterrneo).
A captao feita por meio de poos pode ser realizada: a) com o
aproveitamento do
aqufero fretico, que o primeiro a ser encontrado quando se faz
uma escavao e que,
conforme j visto, contm a gua no interior do macio poroso
sujeita presso atmosfrica; ou
b) com o aproveitamento do aqufero artesiano, onde a presso da
gua superior atmosfrica
por se encontrar confinada entre camadas impermeveis. De acordo
com o aqufero que se utiliza
como fonte de suprimento, o poo ento denominado fretico ou
artesiano.
A ttulo de ilustrao, na Figura 11.12 apresenta-se um poo fretico
sofrendo a ao de
um bombeamento com a vazo constante Q. Nesta figura, nota-se que
na vizinhana do poo o
nvel dgua do lenol fretico apresenta-se rebaixado. A primeira
quantidade de gua retirada
por meio do bombeamento proveniente do armazenamento existente
no aqufero em volta do
poo. medida que o bombeamento prossegue, uma quantidade maior de
gua procedente de
regies cada vez mais afastadas removida, produzindo-se depresses
no nvel dgua do
aqufero que constituem o que se denomina cone de depresso.
A profundidade de um poo de captao varia de acordo com a situao
do aqufero em
relao superfcie do solo.
-
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222
Figura 11.12 Rebaixamento e curva de depresso devido ao
bombeamento em poo fretico
11.5.1 Terminologia
Na hidrulica de poos utilizada a terminologia abaixo, com suas
definies:
a) Nvel esttico do poo: o nvel de equilbrio da gua no poo quando
este no est sob a ao de bombeamento, nem sob a influncia de
bombeamento anterior, e nem sob a
influncia da ao de bombeamento que se processa (ou se processou)
nas suas imediaes.
Observaes:
i) nos poos freticos, o nvel esttico corresponde ao nvel do
lenol.
ii) nos poos artesianos, o nvel esttico situa-se sempre acima do
nvel do lenol e,
mesmo, acima do nvel do terreno quando o poo jorrante.
b) Nvel dinmico do poo: o nvel da gua no poo quando este est
sendo bombeado, ou sofrendo a ao de um bombeamento anterior ou de
um bombeamento nas suas imediaes.
Observaes:
i) Em qualquer poo (fretico ou artesiano), o nvel dinmico fica
abaixo do nvel
esttico, tanto mais quanto maior for a vazo de bombeamento.
ii) O nvel dinmico de maior importncia o que corresponde vazo de
projeto (vazo
a ser fornecida pelo poo). Sua determinao constitui um dos
aspectos importantes a
considerar na hidrulica de poos.
c) Regime de equilbrio: aquele em que o nvel dinmico fica
estacionrio depois de determinado tempo de bombeamento, por
tornar-se a vazo do poo igual da bomba.
d) Regime no-equilibrado: o que se inicia com o bombeamento,
prosseguindo com o abaixamento do nvel dinmico at ser atingido o
regime de equilbrio. Cessado o
bombeamento, reinicia um novo regime no-equilibrado, que dura at
a recuperao total do
poo, quando novamente atingido o nvel esttico.
e) Tempo de recuperao: o tempo decorrido, desde que cessado o
bombeamento, at o instante em que o nvel dinmico, que vai sempre
subindo, atinge a posio do nvel esttico.
f) Profundidade do nvel esttico: a distncia medida a partir da
superfcie do terreno at o nvel esttico do poo.
-
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223
Observao: Pela definio acima, no caso de poo jorrante, a
profundidade do nvel esttico
ser negativa.
g) Profundidade do nvel dinmico: a distncia que se mede do nvel
do terreno at o nvel dinmico do poo.
h) Depresso, abaixamento ou rebaixamento de nvel: a diferena de
cota entre o nvel esttico e o nvel dinmico do poo.
i) Superfcie de depresso: nos poos freticos, a superfcie que
resulta da depresso de nvel do lenol em decorrncia de bombeamento.
Sua forma aproximada a da superfcie lateral
de um tronco de cone invertido, cuja base menor a seo do poo na
posio do nvel
dinmico.
Observaes:
i) Nos poos artesianos, a superfcie de depresso imaginria e
constitui o lugar
geomtrico dos pontos piezomtricos que sofrem depresso em
decorrncia de
bombeamento.
ii) A superfcie de depresso funo da vazo de bombeamento.
j) Curva de depresso: a curva que se obtm da interseo da
superfcie de depresso com um plano vertical que passa pelo eixo do
poo.
Os dois ramos da curva de depresso so geralmente assimtricos,
assimetria que mais
acentuada no plano vertical paralelo ao deslocamento da gua
subterrnea, sobretudo em
lenis freticos.
Observao: possvel traar a curva de depresso de um poo, desde que
sejam abertos outros
poos com ele alinhados e que em todos seja determinado o nvel
dinmico de equilbrio,
por ocasio do bombeamento no poo em estudo.
k) Zona de influncia: a zona abrangida pela superfcie de
depresso de um poo. tanto maior quanto maior for a vazo de
bombeamento.
Observao: Qualquer outro poo que seja aberto nesta zona de
influncia ficar com seu nvel
deprimido, em decorrncia do bombeamento do primeiro, depresso
essa tanto maior quanto
mais prximo ficar um poo do outro.
11.5.2 Bombeamento em poos freticos e artesianos
Conforme visto, de acordo com o aqufero do qual se promove o
bombeamento da gua,
o poo pode ser denominado fretico ou artesiano. O bombeamento
produz as depresses do
nvel dgua do aqufero (ou da superfcie piezomtrica, em caso de
artesiano), constituindo o
chamado cone de depresso. O raio desse cone, denominado raio de
influncia, uma funo
da vazo de bombeamento, e tambm varia com o tempo de
bombeamento. O raio de influncia,
bem como a depresso de nvel, cresce com o tempo de bombeamento,
em taxas decrescentes,
at que a capacidade de recarregamento do aqufero se equilibre
com a vazo de bombeamento.
11.5.2.1 Regime de equilbrio
De acordo com o que j foi mencionado, o cone de depresso pra de
crescer quando se
estabelece uma situao de equilbrio: a vazo de bombeamento
iguala-se capacidade de
recarregamento.
Thiem, estudando as variaes do cone de depresso dentro do regime
de equilbrio,
estabeleceu as expresses que correlacionam estas variaes com a
vazo de bombeamento dos
poos freticos e artesianos. As frmulas de Thiem, adiante
demonstradas, pressupem que a
-
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224
granulometria do aqufero invarivel, bem como a sua espessura, e
que o poo atinge o limite
inferior do aqufero (caso em que denominado poo completo). As
frmulas de Thiem
admitem, ainda, que a gua no aqufero se desloca em regime
laminar segundo linhas radiais que
tm por centro o eixo do poo.
11.5.2.1.1 Regime de equilbrio Poo fretico
A Figura 11.13 representa um poo fretico completo durante
bombeamento sob vazo
constante. A figura contm os elementos necessrios para a obteno
da equao de Thiem.
Figura 11.13 Poo fretico sob a ao de bombeamento com vazo
constante
-
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225
Na ilustrao, o regime o de equilbrio: o rebaixamento s invarivel
no tempo. Em
volta do poo, o aqufero mostra-se rebaixado em forma de funil
(cone de depresso).
A obteno da curva que traduz o rebaixamento do lenol dentro da
zona de influncia do
bombeamento pode ser feita com base na equao de Darcy. Para
isto, considera-se uma
superfcie cilndrica imaginria situada distncia genrica r do eixo
do poo, atravs da qual
escoa a gua bombeada do aqufero. Para essa superfcie, pode-se
escrever:
hr2A
drdhi AiKAVQ
hdhK2r
drQ
dr
dhhrK2Q (21)
A Eq. (21) a equao diferencial da superfcie de depresso (ou do
cone de depresso).
Ela pode ser integrada entre dois limites quaisquer, tais como
(R0, h0) e (r, h):
h
h
2r
R
h
h
r
R 0
000
2
hK2 r Q hdh K2
r
drQ ln
2
h
2
hK2
R
rQ
2
0
2
0
ln
202
0
2
0
2
0
hh
R
r3032
Khh
R
r
KQ
log,ln
. (22)
A Eq. (22) pode, ainda, ser escrita em termos das depresses de
nvel, s. Para tal, faz-se:
smh e 00 smh , donde
202
0
2
0
2
0
smsm
R
r3032
Ksmsm
R
r
KQ
log,ln
. (23)
Expresso para o raio de influncia, Ri (aqufero fretico)
Para obter uma expresso para o raio de influncia Ri, a Eq. (21)
integrada desde (R0,
h0) at (Ri, m):
202
0
i
2
0
2
0
i
smm
R
Rln
Khm
R
Rln
KQ
donde,
002020
i ssm2Q
Ksmm
Q
K
R
R
ln , e
000i ssm2Q
KRR
lnln , (24)
expresso que permite obter Ri, a partir de valores conhecidos de
R0, Q, K, m, s0.
Expresso para o coeficiente de permeabilidade, K (aqufero
fretico)
Considere-se o bombeamento do poo fretico com a vazo Q, e os
rebaixamentos s1 e s2
no regime de equilbrio, medidos nos poos de observao PO1 e PO2
(Figura 11.14). A
integrao da Eq. (21) entre os limites (R1, h1) e (R2, h2)
permite escrever:
-
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226
2122
1
2
hh
R
R
KQ
ln
, ou
212212
2
1
2
2
12
2
1
2
2
12
smsm
RRlogQ303,2
smsm
RRlnQ
hh
RRlnQK
, (25)
que a expresso de clculo do coeficiente K em aqufero fretico,
com base nos rebaixamentos
em dois poos de observao (que funcionam como piezmetros).
Caso o poo PO1 se confunda com o poo sendo bombeado, a distncia
R1 passa a ser o
raio do poo R0 e a depresso s1 transforma-se na depresso do nvel
dinmico de equilbrio s0
para a vazo Q. Nesse caso, calcula-se K segundo a expresso
2020
smsm
RRQ3032K
log,, (26)
na qual R e s so referidos ao poo nico de observao.
Figura 11.14 Bombeamento de poo fretico obteno do coeficiente de
permeabilidade com base nas
leituras em dois poos de observao
Observaes:
i) Os valores do coeficiente de permeabilidade K so geralmente
mais precisos quando
definidos pelas determinaes relativas a dois poos de observao, j
que ocorre uma perda de
carga na entrada do poo bombeado. Todavia, a utilizao de um s
poo de observao, ao
invs de dois, mais cmoda e econmica. Esta observao aplica-se
tambm para o caso de
poos em aquferos artesianos.
ii) A boa prtica sugere a obteno de um coeficiente de
permeabilidade mdio, K . Para
isso, so necessrios vrios piezmetros (poos de observao)
dispostos como na Figura 11.15.
No caso de utilizao de 4 piezmetros, recomenda-se que eles sejam
dispostos com os seguintes
-
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227
afastamentos: o primeiro a 1m do eixo do poo bombeado; o segundo
a 2m do primeiro
piezmetro; o terceiro a 5m de afastamento do segundo; e o quarto
a 10m do terceiro piezmetro.
Figura 11.15 Esquema ilustrativo do uso de 4 poos de observao
para a obteno de um coeficiente de
permeabilidade mdio do aqufero.
Aplicando-se sucessivamente a Eq. (25) para os pares de
piezmetros i e j (1 e 2, 1 e 3, 1
e 4, 2 e 3, 2 e 4, 3 e 4), pode-se determinar vrios valores de
Ki,j que permitem a obteno do
coeficiente de permeabilidade mdio. Para os quatro piezmetros do
esquema da Figura 11.15,
434232413121 KKKKKK6
1K ,,,,,, , (27)
Generalizando, para N de poos de observao,
j,iK
!2N!2
!N
1K . (28)
11.5.2.1.2 Regime de equilbrio Poo artesiano
A Figura 11.16 representa, agora, um poo artesiano durante o
bombeamento com uma
vazo constante Q, em regime de equilbrio: o rebaixamento da
superfcie piezomtrica, em cada
posio r, mantm-se invarivel no tempo. O cone de depresso
representado na figura constitui,
na verdade, uma superfcie imaginria (embora esta superfcie possa
ser materializada por meio
da instalao de piezmetros cravados no aqufero: os piezmetros
permitem a obteno dos
nveis virtuais acima do aqufero, de modo semelhante ao do poo
fretico).
-
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228
Figura 11.16 Poo artesiano sob bombeamento com vazo
constante
De acordo com a lei de Darcy aplicada a uma superfcie cilndrica
situada a uma distncia
r do eixo do poo (Figura 11.16), atravs da qual a gua escoa com
a vazo igual de
bombeamento (regime de equilbrio), pode-se escrever:
AiKAVQ , onde mr 2A ;dr
dhi ,
ou
dhmk2r
drQ
dr
dhmrk2Q . (29)
-
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229
Se a Eq. (29) integrada entre os limites do poo, (R0, h0), e uma
regio que sofre a
influncia do bombeamento, (r, h), tem-se
00
h
0h
r
0R hhmK2
R
rlnQ dh mk2
r
drQ .
Em termos das depresses da superfcie piezomtrica:
00 sHh ; sHh sshh 00 .
Da,
ss
R
rlog303,2
mK2ss
R
rln
mK2Q 0
0
0
0
. (30)
A Eq. (30) a conhecida equao de Thiem para aquferos
artesianos.
Expresso para o raio de influncia, Ri (aqufero artesiano)
Para a Eq. (29) integrada entre os limites (R0, h0) e (Ri,
H):
0
0
i
hH
R
Rln
mK2Q
.
Mas, Hh0 = s0, que corresponde ao rebaixamento do nvel dinmico
de equilbrio. Logo,
0
0
i
s
R
R
mK2Q
ln
, (31)
expresso que mostra que a vazo que se pode extrair de um poo
artesiano proporcional ao
desnvel s0 = (H h0 ). Esta equao, todavia, s aplicvel para
desnveis (depresses)
relativamente fracos e inferiores a 1/4(Hm), isto , para s0 <
(Hm)/4.
A expresso para o raio de influncia, com base na Eq. (31),
d:
00i0
0
i sQ
mK2RR s
Q
mK2
R
Rexpln (32)
Expresso para o coeficiente de permeabilidade, K (aqufero
artesiano)
Na Figura 11.17 representam-se o poo artesiano sob bombeamento e
dois poos de
observao (piezmetros), PO1 e PO2, que distam R1 e R2 do eixo do
poo bombeado. Os
rebaixamentos da superfcie piezomtrica correspondentes aos poos
PO1 e PO2 so,
respectivamente, s1=Hh1 e s2=Hh2, sendo H a altura do plano de
carga esttico referida
camada impermevel inferior do aqufero artesiano.
Para a Eq. (29) integrada entre os limites (R1, h1) e (R2, h2)
obtm-se:
12
21
12
21
12
12
RRlog303,2
ssmK2
RRln
ssmK2
RRln
hhmK2Q
(33)
pois (h2 h1) = (H s2) (H s1) = (s1 s2).
-
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230
Figura 11.17 Bombeamento de poo artesiano obteno do coeficiente
de permeabilidade com base nas
leituras em dois poos de observao
Explicitando em termos de K:
21
12
21
12
ssm2
RRlogQ303,2
ssm2
RRlnQK
(34)
que a expresso para o clculo do coeficiente de permeabilidade K
do aqufero artesiano com
base nos rebaixamentos em 2 poos de observao.
Novamente, aqui so vlidas as mesmas observaes feitas no estudo
da permeabilidade
do aqufero fretico. So vlidas, tambm, as Eqs. (27) e (28) para a
obteno de um coeficiente
de permeabilidade mdio quando se utilizam vrios poos de
observao.
11.5.2.1.3 Interferncia de poos
A interferncia de dois poos ocorre quando, estando ambos
submetidos ao
bombeamento, suas zonas de influncia coincidem parcialmente. Na
prtica, para que no haja
interferncia entre dois poos que funcionaro simultaneamente com
a mesma vazo Q, procura-
se determinar a distncia mnima que deve existir entre eles. Para
tanto, utilizam-se as equaes
de Thiem para obter o raio de influncia Ri, na forma das Eq.
(24) ou (32), conforme o aqufero
seja fretico ou artesiano. Para que um poo no esteja localizado
na regio de influncia do
outro, a distncia mnima entre eles ser ento 2xRi. Se os poos se
distanciarem um do outro de
um valor inferior a 2xRi, forosamente haver interferncia.
11.5.2.2 Regime no equilibrado
O regime no equilibrado (regime no permanente), que se inicia
com o bombeamento,
caracteriza-se pelo rebaixamento do nvel dinmico e termina
quando o regime de equilbrio
atingido: o nvel dgua do poo, inicialmente no nvel esttico,
estabiliza-se no nvel dinmico
de equilbrio sob a vazo de bombeamento constante.
-
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231
Para escoamentos permanentes, admitindo-se a gua incompressvel e
a estrutura do
aqufero indeformvel, pode ser mostrado que o laplaciano da carga
hidrulica nulo: 2h = 0
(aqufero de espessura e permeabilidade constantes). Ou, em
coordenadas cartesianas,
0y
h
x
h2
2
2
2
.
Em coordenadas polares,
0r
h
r
1
r
h2
2
.
Na realidade, ao se iniciar a explotao da gua de um aqufero
artesiano, uma parcela
importante da alimentao do poo provm da descompresso da gua na
zona de reduo de
presso e de compactao do estado saturado. Essa ao atinge
gradualmente as regies mais
afastadas do local de bombeamento na medida em que se prolonga
no tempo o processo de
extrao da gua. Em um aqufero de extenso infinita, as condies de
equilbrio no podero
ser atingidas em um tempo finito.
Para as condies de escoamento no permanente (regime no
equilibrado) em um
aqufero compressvel, a aplicao da equao da continuidade a um
volume de controle
concntrico com um poo, produz a equao diferencial
thShT 2 (35)
Em coordenadas cilndricas:
t
h
T
S
r
h
r
1
r
h2
2
(36)
em que S = coeficiente de armazenamento, adimensional; T =
coeficiente de transmissividade,
T= L2 T
-1; e h a carga hidrulica (h = z + p/), h= L.
A Eq. (36) pode, ainda, ser escrita em termos do rebaixamento s
(s = H h, para o
aqufero artesiano). Assim:
t
s
T
S
r
s
r
1
r
s2
2
(37)
Frmula de Theis
O resultado da integrao, que exprime o rebaixamento da superfcie
piezomtrica em um
poo de observao situado distncia r do ponto de bombeamento
(Figura 11.18), em funo do
tempo, conhecido como frmula de Theis15
, obtido da analogia entre o escoamento da gua
subterrnea e a conduo de calor, considerando as condies iniciais
e de contorno:
T2
Q
r
srlim iii
0t,s (ii)
00,rs i
0r
(38)
A clssica soluo apresentada por Theis do tipo:
15
Frmula obtida por Charles Vernon Theis em trabalho desenvolvido
para o US Geological Survey, em 1935,
apoiando-se na literatura existente para a transferncia de
calor, com o auxlio matemtico de C. I. Lubin.
-
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du u
e
T4
QhHs
u
u
(39)
ou
uWT4
Qs
(40)
onde
uW funo do poo duu
e
u
u
(41)
sendo
Tt4
Sru
2
. (42)
Os valores de W(u) podem ser encontrados pelo desenvolvimento da
srie convergente:
!44
u
!33
uuuuln5772,0du
u
e)u(W
432
u
u
(43)
Com base nesta srie, podem ser construdas tabelas de valores da
funo do poo W(u) em
funo da varivel u, definida pela Eq. (42). Uma tabela muito
utilizada a Tabela 11.2 de
Wenzel.
Figura 11.18 Poo artesiano submetido a bombeamento sob vazo
constante e rebaixamento s observado
em poo de observao localizado distncia r do eixo do poo
bombeado.
-
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Tabela 11.2 - Tabela de Wenzel (1942) para os valores da funo do
poo, W(u), em termos de u.
u 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
x 1 0,219 0,049 0,013 0,0038 0,00114 0,00036 0,00012 0,000038
0,000012
x 10-1 1,82 1,22 0,91 0,70 0,56 0,45 0,37 0,31 0,26
x 10-2 4,04 3,35 2,96 2,68 2,48 2,30 2,15 2,03 1,92
x 10-3 6,33 5,64 5,23 4,95 4,73 4,54 4,39 4,26 4,14
x 10-4 8,63 7,94 7,53 7,25 7,02 6,84 6,69 6,55 6,44
x 10-5 10,95 10,24 9,84 9,55 9,33 9,14 8,99 8,86 8,74
x 10-6 13,24 12,55 12,14 11,85 11,63 11,45 11,29 11,16 11,04
x 10-7 15,54 14,85 14,44 14,15 13,93 13,75 13,60 13,46 13,34
x 10-8 17,84 17,15 16,74 16,46 16,23 16,05 15,90 15,76 15,65
x 10-9 20,15 19,45 19,05 18,76 18,54 18,35 18,20 18,07 17,95
x 10-10 22,45 21,76 21,06 20,84 20,66 20,66 20,50 20,37
20,25
x 10-11 24,75 24,06 23,65 23,36 23,14 22,96 22,81 22,67
22,55
x 10-12 27,05 26,36 25,95 25,66 25,44 25,26 25,11 24,97
24,86
x 10-13 29,36 28,66 28,26 27,97 27,75 27,56 27,41 27,28
27,16
x 10-14 31,66 30,97 30,56 30,27 30,05 29,87 29,71 29,58
29,46
x 10-15 33,96 33,27 32,86 32,58 32,35 32,17 32,02 31,88
31,76
Tt4Sru 2
Frmula de Theis modificada por Jacob
Estudos realizados por C. E. Jacob (1940) em torno da equao de
Theis (Eq. 40) para o
regime no equilibrado levaram-no a concluir que, para valores
suficientemente pequenos de u,
pode-se considerar, com boa aproximao, a Eq. (43) limitada aos
seus dois primeiros termos:
u57720duu
euW
u
u
ln,
. (44)
Assim, para um tempo suficientemente longo (o que equivale a u
pequeno), Jacob reescreveu a
equao de Theis na forma aproximada:
u57720T4
QuW
T4
Qs ln,
. (45)
Fazendo-se 0,5772 = ln x, tem-se x = 0,56147. Logo,
u561470u561470u57720 ,lnln,lnln, .
Ento,
u
561470
T
Q
4
3032
e
u561470
T4
Q
u
561470
T4
Qs
,log
,
log
,log,ln
.
Lembrando que Tt4Sru 2 , vem
-
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234
Sr
tT5614704
T
Q1830s
2
,log
,
ou
Sr
tT252
T
Q1830s
2
,log
, . (46)
A Eq. (46) a frmula de Theis simplificada por Jacob para o
rebaixamento em um poo de
observao distncia r do poo sob bombeamento. A frmula vlida para
t suficientemente
grande (ou u pequeno). Na prtica, para u < 0,01, os valores
da Eq. (46) so praticamente
idnticos aos da Eq. (39).
11.5.2.2.1 Determinao dos coeficientes de transmissividade (T) e
armazenamento (S) com
base na frmula de Theis simplificada por Jacob
Processo tempo-abaixamento
As caractersticas de um aqufero podem ser determinadas a partir
do levantamento de um
conjunto de pares de valores do rebaixamento e tempo
correspondente, (si, ti), sendo o tempo
contado a partir do incio do bombeamento. Este mtodo de
determinao das caractersticas do
aqufero conhecido como processo tempo-abaixamento.
Para uma representao grfica conveniente, os rebaixamentos
observados em funo do
tempo so plotados em papel monolog: os valores dos rebaixamentos
s so lanados em
ordenada, na escala aritmtica, e os valores dos tempos de
observao t em abscissa, na escala
logartmica. Para grandes perodos de durao (que implica em
pequenos valores de u), os dados
dispem-se segundo uma reta.
Com efeito, reescrevendo-se a Eq. (46),
Sr
T252
T
Q1830t
T
Q1830s
2
,log
,log
, (47)
que do tipo y = ax + b. Pela Eq. (47), a declividade da reta em
grfico de s versus log t igual a
0,183Q/T. O coeficiente de transmissividade pode ser calculado a
partir de dois pares de valores
de s e t, situados sobre a reta s = f (log t):
- para o instante t1, Sr
T252
T
Q1830t
T
Q1830s
211
,log
,log
,
- para o instante t2, Sr
T252
T
Q1830t
T
Q1830s
222
,log
,log
, .
Fazendo s2 s1, resulta
1
212
t
t
T
Q1830ss log
,
e
1
2
12 t
t
ss
Q1830T log
,
. (48)
Se, por convenincia, escolhido t2 = 10t1,
12 ss
Q1830T
,. (48.1)
-
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235
Na Figura 11.19 so representados os rebaixamentos s1 e s2 no poo
de observao,
correspondentes aos instantes t1 e t2 como acima indicado.
Figura 11.19 Rebaixamentos observados em um poo de observao em
dois instantes sucessivos.
O coeficiente de armazenamento tambm pode ser estimado com base
em construo
grfica de s versus log t (ou de s versus t, em papel monolog).
Por exemplo, no grfico em papel
monolog (Figura 11.20), extrapola-se a tendncia linear para
obter o tempo t0 correspondente ao
rebaixamento s = 0. Assim, com base na Eq. (46), para s = 0
(rebaixamento nulo), tem-se
1Sr
Tt2522
0 ,
,
uma vez que Q0. Conhecido o coeficiente T, pode-se escrever
2
0
r
Tt252S
, . (49)
Figura 11.20 Construo da curva rebaixamento versus tempo em
papel monolog para a obteno dos
coeficientes de transmissividade, T, e armazenamento, S.
-
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236
Pela sua simplicidade, as Equaes (48) e (49) devidas a Jacob
constituem uma
ferramenta til para a determinao das caractersticas do aqufero.
Numa alternativa
construo grfica, pode-se tambm empregar a anlise de regresso
para obter os coeficientes T
e S, contanto que se utilizem valores suficientemente grandes de
t que garantam u < 0,01.
11.5.2.2.2 Determinao dos coeficientes de transmissividade (T) e
armazenamento (S) com
base na expresso geral de Theis
Quando o tempo de durao do bombeamento no suficientemente longo
para permitir
a definio da assntota logartmica (V. Figura 11.20), deve-se
fazer uso da expresso geral de
Theis, dada pela Eq. (39) ou Eq. (40).
Para essa condio, Theis desenvolveu um mtodo grfico baseado na
proporcionalidade
entre W(u) e s e entre u e r2/t:
t
rCu
T4
S
t
ru
sCuW uWT4
Qs
2
2
2
1
(50)
O mtodo consiste em comparar a curva descritiva do comportamento
de W(u) em funo
de u (chamada curva-tipo), traada em papel log-log (ou papel
bi-log), com a curva
experimental de s em funo de r2/t, desenhada na mesma escala.
Assim, ao trmino do teste de
bombeamento, com os pares de valores dos rebaixamentos em funo
do tempo obtidos no poo
de observao, procede- se da seguinte forma:
a) em papel loglog transparente, plotam-se os pares de valores
de s e r2/t, onde r a distncia entre os eixos dos poos de observao
e de bombeamento e t o tempo em que medido o
rebaixamento s;
b) em papel loglog opaco, lanam-se os pares de valores de W(u) e
u, isto , constri-se a curva tipo. (Observar que o tamanho de cada
ciclo do papel log-log deve ser igual ao
correspondente do grfico anterior);
c) em seguida, sobrepem-se os dois grficos (naturalmente, com o
papel transparente sobre o papel opaco), mantendo-se os eixos W(u)
e s(t) paralelos. Ajusta-se o papel transparente at
que a maioria dos rebaixamentos observados caia sobre a curva
tipo. (Observar que os
eixos correspondentes devem manter-se paralelos durante o
deslocamento em busca do
melhor ajuste);
d) seleciona-se um ponto arbitrrio (no necessariamente sobre a
curva tipo) e anotam-se, para este ponto, os valores de u e W(u) do
papel opaco, e os correspondentes r
2/t e s do papel
transparente. Esses pontos so designados u0 e W0(u), e (r2/t)0 e
s0;
e) finalmente, calculam-se os coeficientes de transmissividade,
T, e armazenamento, com o uso das Equaes (40) e (42) e as
coordenadas acima determinadas:
uWs4
QT 0
0 (51)
e
0
2
0
tr
uT4S . (52)
-
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237
Cumpre observar que os mtodos de Theis e Jacob aplicam-se, a
rigor, a aquferos
artesianos. A sua utilizao em aquferos livres (poos freticos)
poder fornecer valores
aceitveis se os rebaixamentos de nvel forem pequenos
relativamente espessura do lenol.
Exemplo 11.3
Ao lado de um poo artesiano (A), com o dimetro de 8 pol (200mm),
foi instalado um poo de
observao (B), situado distncia entre eixos de 110m. Posta uma
bomba a funcionar no poo
(A) com vazo constante de 120m3/h, o nvel dinmico no poo de
observao sofreu os
rebaixamentos indicados na Tabela 11.3. Pelo processo de
tempo-abaixamento, determinar: a) os
coeficientes de transmissividade e armazenamento; e b) a
depresso de nvel do poo (A) para
uma vazo de projeto de 180m3/h.
Tabela 11.3 Valores de depresso do nvel de gua no poo de
observao (B)
tempo
(min)
depresso
(cm)
tempo
(min)
depresso
(cm)
tempo
(min)
depresso
(cm)
1,0 4,3 9,0 29,3 50,0 54,0
2,0 10,2 10,0 31,2 60,0 57,2
3,0 14,3 12,0 32,8 80,0 60,5
4,0 18,0 15,0 36,2 100,0 64,4
5,0 22,7 20,0 40,3 120,0 67,3
6,0 23,5 25,0 43,7 240,0 78,0
7,0 25,2 30,0 45,9
8,0 26,8 40,0 50,8
Soluo:
Dados: R0 = 100 mm = 0,1 m
r = 110 m
Qb = 120 m3/h
Rebaixamento s, em funo do tempo, conforme a Tabela 11.3.
Pede-se: coeficientes de transmissividade (T) e armazenamento
(S);
sp = ? para Q = 180 m3/h (de projeto)
Calcula-se, inicialmente, o coeficiente de transmissividade,
T:
- para t = t1 Sr
Tt252
T
Q1830ss
2
1b1
,log
,
- para t = t2 Sr
Tt252
T
Q1830ss
2
2b2
,log
,
- 1
2
12
b
1
2b
12t
t
ss
Q1830T
t
t
T
Q1830ss log
,log
,
.
Escolhendo se, da reta traada no papel mono-log (Figura 11.21),
t1 e t2 tais que t2 = 10 t1 (log
t2/t1 = 1)
m3450cm534ss cm 564s min 100t
cm 030s min 10t12
22
11,,
,
,
Logo,
-
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238
Figura 11.21 Curva rebaixamento versus tempo, em papel monolog,
construda com os dados da Tabela
11.3, para a obteno dos coeficientes de transmissividade, T, e
de armazenamento, S.
m
hm6563T
3450
1201830
ss
Q1830T
3
12
b ,,
,,
.
Pode-se, agora, determinar o coeficiente de armazenamento,
S:
- Com base no modelo matemtico aproximado, para s = 0 t = t0
2
0
2
0
2
0b
r
Tt252S 1
Sr
Tt252
Sr
Tt252
T
Q18300s
,,,log
, ,
que a Eq. (49) anteriormente obtida. Do grfico da Figura 11.21
construdo em papel mono-log,
encontra-se t0 1,4min = 0,02333h. Ento,
0002760S 110
0233306563252
r
Tt252S
22
0 ,,,,,
.
Obtidos os valores de T e S, emprega-se a equao de Theis
simplificada por Jacob para estimar
o rebaixamento no poo para a vazo de projeto de 180m3/h:
000276010
t6563252
6563
1801830
Sr
Tt252
T
Q1830s
22
p
projeto
p,,
,,log
,
,,log
,
t5175099253sp log,, .
Atribuindo-se valores crescentes a t, a partir de t=2h,
constri-se a Tabela 11.4. Por estes
resultados, pode-se tomar, por segurana,
m05sp , .
-
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239
Tabela 11.4 Evoluo da depresso de nvel em funo do
bombeamento
tempo
(h)
depresso, sp
(m)
tempo
(h)
depresso, sp
(m)
tempo
(h)
depresso, sp
(m)
tempo
(h)
depresso, sp
(m)
2 4,15 12 4,55 22 4,69 32 4,77
4 4,30 14 4,59 24 4,71 34 4,79
6 4,40 16 4,62 26 4,73 36 4,80
8 4,46 18 4,64 28 4,74 38 4,81
10 4,51 20 4,67 30 4,76 40 4,82
BIBLIOGRAFIA
LEME, Franclio Paes (1984). Engenharia do Saneamento Ambiental.
Rio de Janeiro: LTC Livros
Tcnicos e Cientficos Editora.
DAKER, Alberto (1983). Captao, Elevao e Melhoramento da gua. A
gua na Agricultura 2o
volume, 6a edio. Livraria Freitas Bastos.
LENCASTRE, Armando (1983). Hidrulica Geral. Edio
Luso-Brasileira. Hidroprojecto. Coimbra,
Portugal.
TUCCI, Carlos E. M. organizador (1993). Hidrologia: Cincia e
Aplicao. Coleo ABRH de Recursos
Hdricos. Porto Alegre: Ed. da UFRGS; ABRH; EDUSP.
VILLELA, Swami Marcondes & MATTOS, Arthur (1975). Hidrologia
Aplicada. S. Paulo: McGraw-Hill do
Brasil.
HAMMER, Mark J., (1986). Water and Wastewater Technology. John
Wiley & Sons.
-
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240
EXERCCIOS
11.1) Um poo est sendo utilizado para rebaixar o nvel do lenol
fretico. Sabe-se que o
aqufero tem 20 metros de espessura mdia, permeabilidade
K=15m/dia e armazenamento
S=0,005. Estimar o valor do rebaixamento a 7m de distncia do poo
bombeado ao final de um
dia de bombeamento ininterrupto. Dado: vazo de bombeamento,
Q=2.725m3/dia.
11.2) Um poo bombeado por um perodo muito longo com uma taxa de
74/s de um aqufero confinado. Uma diferena de elevao da superfcie
piezomtrica de 1,42m observada em dois
piezmetros localizados s distncias de 6m e 46m do poo bombeado.
Calcule a
transmissividade do aqufero.
11.3) Para o abastecimento de gua de uma cidade esto previstos
trs poos artesianos, cada um
devendo fornecer a vazo de 36m3/h. Determinar a menor distncia
que deve existir entre eles
para que no haja interferncia mtua. Considere os seguintes
dados: coeficiente de
permeabilidade, K=0,13m/h; espessura mdia do lenol, m=19,20m;
depresso do nvel
dinmico de equilbrio para a vazo dada, s0 = 15,70m; dimetro do
poo, d0 = 150mm. R: 140m.
11.4) Para a determinao dos coeficientes de transmissividade (T)
e armazenamento (S) de um
aqufero confinado, foi realizado um teste de bombeamento sob
vazo de 2,0m3/min. Em um
poo de observao, cujo eixo dista do eixo do posto bombeado de
110m, foram medidos os
rebaixamentos ao longo do tempo, conforme a tabela abaixo.
Calcular T e S pelo mtodo do
tempo-rebaixamento. R: T=1,06m2/min; S=2,76x10-4.
Tabela Valores da depresso do nvel dgua no poo de observao
tempo
(min)
depresso
(cm)
tempo
(min)
depresso
(cm)
tempo
(min)
depresso
(cm)
1 4,3 8 26,8 30 45,9
2 10,2 9 29,3 40 50,8
3 14,3 10 31,2 50 54,0
4 18,0 12 32,8 60 57,2
5 22,7 15 36,2 80 60,5
6 23,5 20 40,3 100 64,4
7 25,2 25 43,7 120 67,3
240 78,0
11.5) Durante um teste em um aqufero livre, foram obtidos os
valores abaixo do rebaixamento
em funo do tempo em um poo de observao localizado a 20m do poo
bombeado. Estimar
os coeficientes de transmissividade e armazenamento do aqufero,
sabendo-se que a vazo de
bombeamento de 31,2/s. R: T=0,814m2/min; S=5,3x10-2
Tabela Valores da depresso do nvel dgua no poo de observao
tempo
(min)
Rebaixamento
(m)
tempo
(min)
Rebaixamento
(m)
tempo
(min)
Rebaixamento
(m)
4,5 0,025 26,5 0,180 258,0 0,530
7,5 0,050 36,0 0,220 408,0 0,620
8,5 0,055 64,0 0,300 488,0 0,640
16,0 0,110 97,0 0,370 513,0 0,650
24,0 0,170 162,0 0,450
11.6) Um aqufero foi ensaiado com a vazo de bombeamento do poo,
Q=0,050m3/s. Em um
poo de observao, cujo eixo dista 100 metros do eixo do poo
bombeado, registraram-se os
seguintes rebaixamentos ao longo do tempo de ensaio:
-
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241
tempo Rebaixamento tempo Rebaixamento tempo Rebaixamento
5s 2,0mm 5min 0,29m 1h 0,58m
1min 0,12m 10min 0,37m 2h 0,66m
2min 0,19m 20min 0,45m 12h 0,87m
3min 0,23m 30min 0,50m 24h 0,95m
a) Determinar os coeficientes de transmissividade e
armazenamento do aqufero. b) Caso se deseje rebaixar o lenol de
1,5m a uma distncia de 20 metros do local de
explorao, bombeando-se a mesma vazo, quanto tempo seria
necessrio esperar desde o
incio do bombeamento?
11.7) Uma vazo constante de 4/s extrada de um poo artesiano. O
rebaixamento num poo de observao situado distncia de 150m do poo de
extrao foi medido como mostra a tabela
seguinte:
tempo (min) 0 10 15 30 60 90 120 rebaixamento (m) 0 0,16 0,25
0,42 0,62 0,73 0,85
Calcular os coeficientes de transmissividade e de armazenamento
do aqufero:
a) com o uso da expresso geral de Theis; b) com a frmula
simplificada de Jacob. c) Discutir os resultados.
11.8) Uma vazo constante de 3,14/s extrada de um poo artesiano
num aqufero com coeficientes de transmissividade e armazenamento,
respectivamente, T=0,0025m
2/s e S=0,0010.
Calcular o rebaixamento num poo de observao distante 100m do poo
bombeado, aps
decorrido um intervalo de tempo, contado a partir do incio do
bombeamento, de:
a) 1.000s; b) 10.000s; c) 100.000s. R: a) 0,022m; b) 0,182m; c)
0,404m
11.9) Para os mesmos dados de vazo, transmissividade e
armazenamento do problema anterior,
obter os rebaixamentos aps decorrido um intervalo de tempo de
10.000s, para os poos de
observao distantes do poo de extrao de:
a) 10m; b) 200m. R: a) 0,633m; b) 0,070m