MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (o) XXIII (1)(2017), 49-60 ISSN 1986-5828 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 10.7251/МК1701049S Heuristika i generalizacija Heronove formule u dva smjera Petar Svirčević Zagreb, Hrvatska e-mail:[email protected]Sažetak. U ovome članku ćemo pomoću heurističke metode izvesti, a onda strogo dokazati sljedeće formule: Heronova formula kao funkcija duljina stranica trokuta, Heronova formula kao funkcija duljina visina trokuta i Heronova formula kao funkcija duljina težišnica trokuta. Nakon toga ćemo sve tri formule kumulirati u jednu, koja ćemo zvati Kumulativna formula za površinu trokuta, i to bi bila generalizacija u prvom smjeru. Još ćemo izvesti i Heronovu formulu kao funkcija duljina polumjera trokutu pripisanih kružnica, koja je „slična“ prethodnim Heronovim formulama, ali se s njima ne može kumulirati. Nadalje, generalizacijom u drugom smjeru ćemo heuristički izvesti Kumulativnu formulu za površinu tetivnoga poligona, i pokazat ćemo, da ona općenito vrijedi samo za trokut i tetivni četverokut. Ključne riječi: kumulativna formula, površina trokuta, površina tetivnog poligona Heuristics and The Generalization of Heron's Formula in two Directions Abstract. In this article we will be using heuristic methods to construct, and then rigorously prove the following formula: Heron's formula as a function of the length of the sides of the triangle, Heron's formula as a function of the length of the altitudes of the triangle and Heron's formula as a function of the length of the medians of the triangle. All three formulas we will cumulate into a single one, which we call the cumulative formula for the area of a triangle, and it would be a generalization in the first direction. We will also formulate Heron’s formula as a function of the length of
12
Embed
Heuristika i generalizacija Heronove formule u dva smjera · MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (o) XXIII (1)(2017), 49-60 ISSN 1986-5828 (o)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Na osnovi toga, po zakonu analogije istovremeno vrijede ove tri nejednakosti:
𝑠 − 𝑎 > 0, 𝑠 − 𝑏 > 0, 𝑠 − 𝑐 > 0 ; koje su sada nužan i dovoljan uvijet za postojanje trokuta. Naslućujemo, da će veličine:
𝑠 − 𝑎, 𝑠 − 𝑏, 𝑠 − 𝑐 ; tvoriti formulu za površinu trokuta, odnosno bit će zastupljen
njihov produkt, jer su one međusobno „ravnopravne“. No, ((𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐))𝐷 =𝐿3 , a to znači da bi trebali „ubaciti“ još jedan „neutralni“ varijabilni faktor, tako da
korjenovanjem toga izraza dobijemo dimenziju površine. Za očekivati je, da bi taj
faktor mogao biti poluopseg s. Na osnovi iznesenog naslućujemo, da je formula za
površinu trokuta dana u obliku
𝑃 = 𝑘 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) 1
2, (7)
gdje je k konstanta koju moramo odrediti. No, ona se najjednostavnije određuje, da se
izvrši specijalizacija za jednakostranični trokut, za koji je: 𝑃 =𝑎2 3
4, 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, 𝑠 =
3𝑎
2. Ako te vrijednosti uvrstimo u (7), tada slijedi da je 𝑘 = 1, dakle naslućujemo da je
(1) točno. No, ovu formulu ipak nećemo strogo izvoditi, jer ona spada u standardno
srednjoškolsko gradivo, i može se izvesti na više načina.
Napomenimo, da smo mi mogli „naslutiti“ da formula za površinu trokuta
izgleda npr. ovako 𝑃 = 𝑘 (𝑠 − 𝑎)4 + (𝑠 − 𝑏)4+(𝑠 − 𝑐)4) 1
2. No, to nije točno, jer bi
već za dva posebna slučaja kod određivanja konstante k vjerojatno dobili različite
vrijednosti, a to bi bila kontradikcija, dakle ova formula općenito nema smisla.
Svakako, da bi mogli ispitati, da li postoje i specijalni slučajevi za ovaj oblik formule.
Izvedimo sada formulu za površinu trokuta kao funkciju duljina visina. Ako je
𝑎 duljina visine na stranicu duljine a, itd.,..., tada je 𝑃 =1
2𝑎𝑎 =
1
2𝑏𝑏 =
1
2𝑐𝑐 , a
odatle slijedi
𝑎 =2𝑃
𝑎, 𝑏 =
2𝑃
𝑏, 𝑐 =
2𝑃
𝑐. (8)
Vidimo, da nam ove zadnje jednakosti sugeriraju uz uvažavanje (2), da bi formula za
površinu trokuta pomoću duljina visina mogla biti u obliku
𝑃 = 𝑘 (𝑎−1 + 𝑏
−1+𝑐−1)(𝑏
−1 + 𝑐−1−𝑎
−1)(𝑐−1 + 𝑎
−1−𝑏−1)(𝑎
−1 + 𝑏−1−𝑐
−1) −
1
2.
(9)
Ako opet uzmemo, da je 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, onda je 𝑃 =𝑎2 3
4 i 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =
𝑎 3
2.
Uvrstimo li te vrijednosti u (9), tada dobivamo da je 𝑘 = 1, dakle sada naslućujemo da
je točna ova formula
𝑃 = (𝑎−1 + 𝑏
−1+𝑐−1)(𝑏
−1 + 𝑐−1−𝑎
−1)(𝑐−1 + 𝑎
−1−𝑏−1)(𝑎
−1 + 𝑏−1−𝑐
−1) −
1
2.
(10)
A sada dokažimo (10). Naime, ako (8) uvrstimo u (2), tada dobivamo da je (10)
točno. Nadalje, vidimo da vrijede nejednakosti
𝑏−1 + 𝑐
−1 > 𝑎−1 , 𝑐
−1 + 𝑎−1 > 𝑏
−1 , 𝑎−1 + 𝑏
−1 > 𝑐−1,
koje baš i nisu evidentne bez slijedeće analize.
MAT-KOL, XXIII (1)(2017) P.Svirčević
52
Naime, uvedimo veličinu 𝑠 čija je recipročna vrijednost jednaka poluzbroju
recipročnih vrijednosti duljina visina, tj.
𝑠−1 =
1
2(𝑎
−1 + 𝑏−1+𝑐
−1), (11)
tada pomoću (10) i (11) dobivamo vezu
𝑃 =1
4 𝑠
−1(𝑠−1 − 𝑎
−1)(𝑠−1 − 𝑏
−1)(𝑠−1 − 𝑐
−1) −
1
2, (12)
a odatle se lako dobije modificirani oblik
𝑃 = (𝑎−2 + 𝑏
−2 + 𝑐−2)2 − 2(𝑎
−4 + 𝑏−4 + 𝑐
−4) −
1
2. (13)
Analogoni relacijama: od (4) do (6), osim (5); sada za duljine visina vrijede
ekvivalencije:
(𝑃 > 0) ⟺ ((𝑏− 1 + 𝑐
− 1 > 𝑎− 1) ∧ (𝑐
− 1 + 𝑎− 1 > 𝑏
− 1) ∧ (𝑎− 1 + 𝑏
− 1 > 𝑐− 1)),
(𝑃 = 0) ⟺ ((𝑎 = 0) ∨ (𝑏 = 0) ∨ (𝑐 = 0)), (14)
(𝑃 ∉ ℝ) ⟺ ((𝑏− 1 + 𝑐
− 1 < 𝑎− 1) ∨ (𝑐
− 1 + 𝑎− 1 < 𝑏
− 1) ∨ (𝑎− 1 + 𝑏
− 1 < 𝑐− 1)).
Dakle, evivalencija
(𝑃 = 0) ⟺ ((𝑏− 1 + 𝑐
− 1 = 𝑎− 1) ∨ (𝑐
− 1 + 𝑎− 1 = 𝑏
− 1) ∨ (𝑎− 1 + 𝑏
− 1 = 𝑐− 1)),
ako formalno gledamo, bi trebala odgovarati ekvivalenciji (5). No, to nije istina, jer bi
tada iz (5) slijedilo da je 𝑃 = ∞, a mora biti 𝑃 = 0. Prema tome je jasno, da duljina
bilo koje visine mora biti jednaka nuli, da bi trokut degenerirao u dužinu, tako da mu je
površina jednaka nuli, dakle (14) je točno.
Konačno, izvedimo formulu za površinu trokuta kao funkciju duljina njegovih
težišnica uz uobičajene oznake. Naime, ako pogledamo (3) i (13), tada je logično da
očekujemo, da tražena formula ima oblik
𝑃 = 𝑘 (𝑡𝑎2 + 𝑡𝑏
2 + 𝑡𝑐2)2 − 2(𝑡𝑎
4 + 𝑡𝑏4 + 𝑡𝑐
4) 1
2. (15)
Svakako, da ćemo i ovdje izvršiti specijalizaciju 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, pa dobivamo da je
𝑡𝑎 = 𝑡𝑏 = 𝑡𝑐 =𝑎 3
4 i 𝑃 =
𝑎2 3
4, a pomoću tih vrijednosti iz (15) dobivamo 𝑘 = 1/3.
Dakle, heurističkom metodom dobivamo da je
𝑃 =1
3 (𝑡𝑎
2 + 𝑡𝑏2 + 𝑡𝑐
2)2 − 2(𝑡𝑎4 + 𝑡𝑏
4 + 𝑡𝑐4)
1
2. (16)
Da bi (16) strogo dokazali, tada se moramo prisjetiti, kako pomoću
kosinusovog poučka možemo dobiti, da su kvadrati duljina težišnica:
𝑡𝑎2 =
1
4(2𝑏2 + 2𝑐2 − 𝑎2), 𝑡𝑏
2 =1
4(2𝑐2 + 2𝑎2 − 𝑏2), 𝑡𝑐
2 =1
4(2𝑎2 + 2𝑏2 − 𝑐2). (17)
Iz tih relacija dobivamo, da je:
𝑎2 =4
9(2𝑡𝑏
2 + 2𝑡𝑐2 − 𝑡𝑎
2), 𝑏2 =4
9(2𝑡𝑐
2 + 2𝑡𝑎2 − 𝑡𝑏
2), 𝑐2 =4
9(2𝑡𝑎
2 + 2𝑡𝑏2 − 𝑡𝑐
2).
(18)
Sumiramo li jednakosti (18), tada dobivamo da je
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 =4
3(𝑡𝑎
2 + 𝑡𝑏2 + 𝑡𝑐
2). (19)
A ako te iste jednakosti kvadriramo i zbrojimo, tada nakon sređivanja (ispis je malo
duži) slijedi
𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 =16
9(𝑡𝑎
4 + 𝑡𝑏4 + 𝑡𝑐
4). (20)
Uvrstimo li (19) i (20) u (3), tada dobivamo (16).
Jasno je, do po analogiji (2) i (3) iz (16) slijedi