HERRAMIENTAS BASICAS DEL ALGEBRA

HERRAMIENTAS BASICAS DEL ALGEBRA

Los dominios de las matemáticas son demasiado amplios, con proezas que datan desde hace

milenios, con grados de complejidad inigualables, con cuestiones filosóficas, es base importante

de la física contemporánea y de muchas otras disciplinas. Las matemáticas ocupan un lugar

privilegiado en las ciencias modernas y contemporáneas, sin que haya duda de ello. No obstante,

las encontramos hasta en las más recónditas civilizaciones arcaicas; la aritmética siempre fue una

importante práctica para todos aquellos pueblos que necesitaban organizar sus sociedades, la

organización de los cultivos, de la productividad de la agricultura, del trabajo, la administración de

propiedades, la construcciones monumentales, el cobro de impuestos, creación de calendarios con

su respectiva concepción del tiempo y una larga lista de prácticas que requiere por sí mismo la

formación de estas sociedades. Otra forma de hacer matemáticas es mediante la geometría, los

griegos fueron quienes lo llevaron a otro nivel, la geometría euclidiana fue durante milenios el

corpus por excelencia de la geometría con sus respectivos límites, eso demuestra la maestría

griega sobre la geometría. Por otro lado, tanto en la antigüedad de los griegos y otros pueblos, así

como en la Edad Media, las matemáticas se usan para fundamentar la metafísica e incluso para

hacer mística. Con el tiempo las nociones sobre la naturaleza de las cosas van mutando, cosas se

van quedando atrás, otras se conservan, las discusiones se tornan cada vez más excéntricas,

exigen trastrocamientos de los discursos y las prácticas. Ya para el siglo XVI-I, empezaba a haber

una exigencia para matematizar la realidad, es decir, describir la naturaleza mediante

matemáticas, crear módelos matemáticos. Los fenómenos de la phisis requieren un tratamiento

matemático para comprender las leyes de Dios. Se fundan nociones inauditas e impensables en

otras épocas en un sentido literal. Restorna un platonismo matemático frente al desprecio

aristótelico del discurso matemático sobre la naturaleza. Esta actitud es la que funda una disciplina

como la física de la mano de Galileo y otros de sus contemporáneos. Este proyecto, el cual está de

más decir que tuvo un enorme éxito y eficiencia, es el que le dio tantos frutos a estas disciplinas y

es justo la razón de su lugar central en la ciencia moderna. Resulto ser el abandono definitivo de la

cosmología, como Koyre sabe perfectamente. Si bien hay muchas discusiones, muchos

descubrimientos y muchos pasajes donde las matemáticas hacen su magia, no podemos hacer una

revisión histórica de esto, aunque ganas no nos faltan. Solo queremos remarcar que una filosofía

de las matemáticas, así como su revisión por parte de los historiadores de la ciencia puede decir

cosas muy interesantes acerca de cómo hacemos frente a nuestro contexto histórico y cómo las

condiciones a las que nos encontramos enfrentados dependen en cierta medida de cosas que

ignoramos a simple vista.

El álgebra, en particular, es un campo que empezó a ganar terreno en la Edad Media árabe, los

árabes son quienes dan las nociones de base y las pasan a occidente. Posteriormente, ya en la

modernidad, se empieza a aplicar álgebra para resolver muchos problemas y focalizar muchas

nociones. Si bien el nacimiento de la física moderna no hizo uso de las herramientas del álgebra,

cada vez más se fue viendo su incomparable eficacia y alcance. Mucha de la física posterior a su

inicio es representada mediante expresiones algebraicas. El álgebra permitió grandes avances, no

solo en física, el álgebra es la base para el cálculo diferencial y la geometría analítica, la cual ofrece

una comprensión aún más profunda de la geometría, entre otros logros importantes. Entonces,

con el tiempo este campo va ganando un lugar central, tanto que actualmente no se puede hacer

grandes cosas en las prácticas científicas sin la ayuda del álgebra. El álgebra incorpora todos el

corpus aritmético pero elevado a la abstracción total, lo que permite tener un grado alto de

predictibilidad con respecto a ciertas operaciones. Incluso permite conocer resultados que no se

conocen en primera instancia, así como su simplificación y manejo; prácticamente es la actividad

del desvelamiento. Nuestra intención aquí es tratar de comprender algunas herramientas básicas

del corpus algebraico, forjado con arduo esfuerzo durante siglos, para poder utilizarlo y

aprovecharlo. Lo que hace el álgebra, cabe destacar, para alcanzar la abstracción es implementar

números arbitrarios como x, y, z, a, b, c, es decir, variables, además de números constantes como

7, 8, 9. A estos se les implementa las leyes y las pautas que poseen todos los números.

Entonces, para empezar, debemos saber que hay una clasificación de números que va por

conjuntos sobre conjuntos. Aquellos números que van del 1 hacia adelante son los denominados

números naturales. Los números naturales están englobados por los números enteros, que

además de los naturales incluyen a los números negativos y al cero. 2,-5, 0, 32, -45, todos estos

son números enteros. Todo número entero puede ser el resultado de una multiplicación; por

ejemplo, si a = bc, un número arbitrario, tiene como factor ciertos números en una operación de

multiplicación. Los factores de 6 por ejemplo son 3,2,-2,-3,6,1,-1,-6; dado que la multiplicación de

dos de estos factores dan 6. Hay veces en que los factores de un número solo son dos, 1 y sí

mismo. A estos se les conoce como primos. 3 = 3*1, nada más. Lo curioso es que podemos

descomponer cualquier número entero en factores primos, sin importar de que número se trate:

140= 2*2*5*7. Esto nos va a servir, así no hay que olvidarlo jamás.

Todos los enteros pueden ser representados como números racionales. Un número racional posee

la forma a/b, donde b es desigual a 0. La forma a/0 carece de sentido y no designa ningún número,

ya veremos por qué. Cuando decimos que todos los enteros son, a la vez, números racionales,

queremos decir que 2 es, a su vez, 2/1 o se puede representar así; -45 es, a su vez, -45/1, y así con

todos. Todo número racional se puede representar como decimal, así 2/5 = 0.4. El número de

decimales puede ser finito, como en el caso anterior, pero hay veces que el número de decimales

es infinito de manera periódica. 1/3 = 0.33333…, esto es, presentan un patrón infinito, se les suele

poner una línea arriba de los decimales que se repiten para abreviar este carácter. Hay números

con la forma racional pero que presentan una secuencia decimal infinita que no se repite

periódicamente, estos son los números irracionales y difieren de los racionales por este carácter.

Desde la antigüedad se reconocen algunos; π es el ejemplo paradigmático, este es el resultado de

la razón de la circunferencia de un círculo y su diámetro, que es aproximadamente 3.1416. Las

raíces cuadradas de ciertos números también son irracionales como √2 y √3. Hay varios casos. El

conjunto de números racionales e irracionales es lo que se conoce como números reales. El

álgebra opera con todo número real. Existe todavía un conjunto que engloba a los números reales,

llamados números complejos, pero no los veremos todavía.

Las herramientas que emplea el álgebra son una serie de propiedades que presentan los números

reales. La operaciones adición y multiplicación siempre son cerradas, puesto que siempre dan un

número concreto, esto quiere decir que c (un número arbitrario) siempre es producto de una

suma c = a+b o de una multiplicación c = ab. Dado que en la división existe la posibilidad de formar

indefinidos como a/0, b/0 no posee este carácter, y la resta puede ser definida como una

particularidad de las sumas. Las propiedades con respecto a la adición de los números reales nos

dicen que:

La adición es conmutativa; a saber, no importa el orden de la adición el resultado es el

mismo, esto se muestra de la siguiente forma: a + b = b+a ; 3+2 = 2+3.

La adición es asociativa; a saber, no importa la agrupación que adopten tres o más términos

en la adición el resultado es el mismo: (a+b) + c = a + (c + b); (5 +7) + 10 = 5 + (7 + 10)

El aditivo neutro es el 0; esto quiere decir que todo número sumado con cero da sí mismo; a

+ 0 = a; 54 + 0 = 54

-a es el inverso aditivo o negativo aditivo de a; la suma de a y su negativo –a da como

resultado cero; 12 + -12 = 0

La multiplicación es conmutativa; a sabe, no importa el orden de multiplicación, el resultado

es el mismo: 5 * 7 = 7*5

La multiplicación es asociativa; a saber no importa el orden de la agrupación e resultado es el

mismo: (ab)c = a(bc); (2*3)5 = 2 (3*5)

La identidad multiplicativa es el 1, esto quiere decir que a multiplicada por 1 da a: a * 1 = a;

8*1 = 8

La multiplicación de a y su reciproco, el cual se define como 1/a, siempre da como resultado

1; a * 1/a = 1; esto si cumple si y solo si a no es igual a 0.

La multiplicación es distributiva con respecto a la adición; a saber, un número que multiplica

a números en adición siempre va a ser igual a la multiplicación del primer número por los términos

en adición y su posterior suma: a(b+c) = ab + ac. Ejemplo:

(p+r)(s+t)

= p(s+t) + r(s+t)

= ps + pt + rs + rt

Existen propiedades de igualdad sumamente importantes. Por ejemplo, si tenemos una igualdad

del tipo a = b, no va a afectar a la igualdad si se le adiciona o multiplica un número c a mabos lados

de la igualdad:

a = b

a + c = b + c

ac = bc

Este es el principio básico que se utiliza para despejar, esto es de uso cotidiano en cualquier

ciencia cuantitativa. Otra cosa básica, es reconocer que la multiplicación de un número a por 0

siempre va a dar 0; a*0= 0. Si la multiplicación de dos números es cero significa que por lo menos

uno de ellos es 0; ab = 0 si a = 0 o b= 0. Otra vez, esto es útil para eliminar ciertos términos. Las

propiedades de los negativos también son importantes; un signo siempre está multiplicando a un

número real como si este fuera la identidad multiplicativa; existen cuatro posibilidades:

– (-a) = a

(-a)b = -ab = a(-b) Si el signo negativo engloba dos términos quiere decir que al menos uno de ellos

posee el signo, y los podemos separar perfectamente, sin cambiar el sentido de la expresión.

(-a)(-b) = ab

-1(a) = -a

Si se multiplica un número par de signos negativos el resultado siempre es positivo, si el número

es impar siempre es negativo.

Una forma de representar el reciproco de un número real es mediante el exponente negativo -1,

a saber, el reciproco de a = a-1 (1/a); como ya vimos, a*a-1 = 1. Por otra parte, la resta y la división

se definen como un caso especial de adición y multiplicación. La resta se define como la suma de

un número más el negativo de otro: a – b = a + (-b). La división se define como la multiplicación de

un número por el reciproco de otro, a saber, a/b = a*1/b o b-1, tomando en cuenta que b es

desigual a 0. Según esto, los cocientes o divisiones presentan un par de propiedades importantes:

§ La suma o resta de cocientes con denominador idéntico es igual a la suma o resta de los

numeradores (la parte de arriba) sobre el denominador: a/b + c/b = a+c/b; 2/5 + 6/5 = 2+6/5.

§ La suma o resta de cocientes con denominador diferente es igual a la suma o resta de los

productos cruzados sobre el producto de los denominadores, a saber, a/b - c/d = ad - bc /bd; 3/5 -

7/9 = 3(9) - 5(7)/ 5(9) = 27 - 35/45 = 8/45.

§ Una igualdad entre cocientes solo es verdadera si sus productos cruzados son iguales; a saber

a/b = c/d = ad = bc; 5/6 = 10/12

§ La multiplicación de cocientes es simplemente el producto de los numeradores sobre el

producto de los denominadores: a/b(c/d) = ac/bd; 4/7(3/2) = 12/14 = 6/7 (simplificado).

§ El cociente de cocientes es igual al producto numerador del primer término por el denominador

del otro sobre el denominador del primer término por el numerador del segundo: a/b / c/d =

ad/bc; 5/11 / 4/7 = 35/44.

§ Si un cociente tiene un numerador y denominador con el mismo número se puede sacar de la

expresión porque a/a= 1; entonces, ad/bd = a/b; 5*3/2*3 = 5/2

§ Si hay un término en el cociente con signo negativo y uno positivo, todo el cociente puede ser

negativo: -a/b = a/-b = -a/b.

Todos los números reales se pueden representar como puntos en una recta. Cada número real

posee su propio punto en la recta. Se elige arbitrariamente un punto de origen O para el número

real 0. De ahí ir asignando puntos, a la derecha del origen van los positivos y a la izquierda los

negativos; así un punto 1 designa al número 1, el punto √2, al número √2. Esta es una relación

biunívoca. Esto nos da pauta para aclarar algo. Un número real puede ser -2, es decir nagativo,

pero el negativo de un número real es –a, por tanto el negativo de -2 es 2, ¿Por qué? Porque –(-2)

= 2, tal y como lo exige la definición del negativo de un número real. De este modo no hay que

confundir el hecho de que un número real pueda ser un número entero negativo, con el negativo

de cualquier número real. La recta construida nos ofrece una interpretación más gráfica de las

posibles relaciones entre los números reales. Según la ley de la tricotomía, un número real puede

o ser igual que otro (a=b), o ser mayor que otro (a>b), o menor que otro (a<b). Son relaciones

estrictas, porque no permiten más que una sola posibilidad. La determinación de estas relaciones

depende de la posición del punto de un número real con respecto al otro. Si un punto está más a

la derecha que otro quiere decir que ese número es mayor que otro. Si está a la izquierda con

respecto a otro quiere decir que es menor. Si ambos están en el mismo punto como 2 y 2/1,

entonces son iguales. Esto se puede comprobar con una resta. 6 > 3 porque la reste 6 – 3) = 3, es

decir un número positivo. Por otro lado, -7 < -2 porque la resta -7 – (-2) = -7 + 2 = -5, es decir, un

número negativo. Hay relaciones no estrictas como x >_ 0, es decir que x es mayor o igual que 7,

está en un rango de 7 para la derecha. También se pueden dar combinaciones de desigualdades

del tipo continuo como 3 < 7 < 10, que quiere decir que 7 es mayor que tres pero menor que 10.

La representación en una recta da la posibilidad de reconocer una peculiaridad interesante. 4 y – 4

tienen la misma cantidad de unidades con respecto al origen, a saber, 4 unidades, a pesar de

poseen signos opuestos y por lo tanto se oponen con respecto a su posición. Los matemáticos

toman esto para definir el valor absoluto de un número real. El valor absoluto es el número de

unidades que existe entre un número y el origen. Su definición nos dice que si se trata de un

número positivo, su valor absoluto es igual a sí mismo: a es positivo, entonces |a| = a. Si a es un

número negativo, entonces |a| = -a. Esto ejemplificado quiere decir que el valor absoluto de |-15|

= -(-15) = 15; tal y como lo exige la definición. Hay veces en que el valor absoluto involucra

adiciones y demás cosas, solo debemos fijarnos si el resultado es negativo para aplicar la

definición, ejemplo: |√2 – 2| = - (√2- 2) = 2 - √2, por el hecho de que raíz de dos es menor que 2 y

la resta es negativa.

Ahora bien, otra herramienta que se usa es la notación científica. Esta se usa principalmente como

un medio de hacer manejables cantidades muy pequeñas o muy grandes. En nuestros apuntes de

química hicimos uso de esta notación bastante así que nos limitaremos a decir que una cantidad

como 0.0000243 M de una sustancia también puede ser representada como 2.43 x 10-5. Con

nuestras nociones de propiedades ya sabemos que significa ese exponente negativo, quiere decir

2.43/105 lo que nos da el equivalente exacto del número original. Estos son exponentes del tipo

an donde a es la base y n el exponente. Que 10 tenga el exponente 5 quiere decir que se multiplica

cinco veces 10, lo que da 100000, en nuestro caso estamos dividiendo 2.43 sobre ese número. Por

eso es tan útl la notación científica. Si el exponente es 0 quiere decir que el número es equivalente

a 1; 20 = 1. Las reglas para hacer operaciones con esta notación son determinadas por las

propiedades de los exponentes y radicales que veremos a continuación.

Un exponente se define como un número real elevado a la n potencia: an. Como ya mencionamos,

a es la base y n el exponente. La n nos indica el número de veces que se va a multiplicar a por sí

mismo, a saber, a5 = a*a*a*a*a. A estos se les considera como sus factores. El exponente solo

afecta al número elevado, si hay un número multiplicándolo, este no es afectado, por ejemplo, en

3a2, el exponente solo afecta a “a” y no a 3. Los exponentes del tipo 1/a-n son exactamente los

recíprocos de an. El recíproco de 2/3-2 es 32/2; esto es verdadero puesto que el recíproco de todo

número es 1/a, entonces 1 / 2/32 = 32/2 por las propiedades de los cocientes. Ahora bien, cuando

dos números reales con exponente se multiplican, su resultado equivale a como si simplemente

los exponentes se hubieran sumado y la base se hubiera elevado a ese resultado de la suma:

an * am = an+m

= an*am = a*a*a*a*a*a… Puesto que n solo es el número de factores por los que se va a

multiplicar.

En el caso de un número real con exponente con un exponente adicional, el resultado es el mismo

que se daría si se multiplican los exponentes que afectan al número real. Esto simplemente quiere

decir, que el resultado de un número elevado a cierta potencia, se va a mutiplican un número n de

veces:

(am)n = amn

= (am)n = am*am* am* am |n veces

Cuando se dividen números con exponenciales, el resultado va a ser equivalente a como si

restáramos el exponente del denominador al exponente del numerador:

am / an = am-n Dado que n y m solo representa el número de factores y una división reduce los

factores, se expresa como una resta de exponentes.

Si m < n también se puede expresar como

am / an = 1 / an-m, ilustración: a2 / a3 = a2-3 = a-1= 1 / a = 1 / a3-2

Los exponentes son distributivos; si el exponente engloba a términos en multiplicación o división,

esto es:

(ab)2 = anbn

(a / b)2 = an / bn

Según esto, lo que llaman los algebras como simplificar una expresión es hacer de la expresión una

donde solo aparezcan una vez los mismo números, es decir, que no haya números con los mismos

exponentes, signos y demás. Por ejemplo, simplifique la siguiente expresión:

(u-3v3)-3 =

En primer lugar hay que aplicar el reciproco la una potencia negativa:

1/(u-2v3)3

Recordemos que la potencia es distributiva con respecto a multiplicación y división, a su vez, una

potencia elevada a cierta potencia es igual a su multiplicación así que:

1 / u-2*3v3*3 =

1 / u-6v9

Sacamos el reciproco para obtener una potencia positiva en u:

= u6 / v9

Esta es el nivel máximo de simplificación; pudimos seguir otro camino pero según las leyes

exponenciales antes vistas, el resultado será el mismo siempre.

El teorema de los exponentes negativos es demasiado útil, este nos dice que si tenemos un

cociente con exponentes negativos, su cociente simplemente va a ser el mismo que si tomáramos

el numerador por denominador y el denominador por el numerador pero con exponente positivo:

a-m / a-n = an / am

Se puede mostrar por las reglas de los recíprocos:

a-m / a-n = 1/am / 1 / an = 1an/1am = an / am

Los radicales de los números reales están fuertemente relacionados con las potencial de los

números reales. La raíz se define como n√a, donde “a” es un número real y “n”un entero positivo

mayor que 1. A “n” se le conoce como índice, a “a” como radicando y al símbolo “√” como

redicando. Hay varias posibilidades según esto; si a = 0, entonces n√a = 0. Si a > 0, entonces n√a es

un número real b tal que bn = a, confirmando así la relación que guardan las raíces y las potencias.

Por ejemplo √16 = 4, dado que 42 = 16. Ahora bien si n es un número par y a < 0, entonces n√a no

es un número real, puesto que no existe ningún número elevado a una potencia par tal que resulte

en un número negativo; √-2 no es un número real porque no hay b2 = -2. Necesitamos de números

que están fuera del alcance de los números reales, a estos se les llama números complejos. Pero,

en el caso de que n sea impar y a < 0, n√a es un b tal que bn = -a; 3√-27 = 3 porque -33 = -27

Según esto ya podemos presentar algunas propiedades de radicales:

· Si, como se menciono, b = n√a, es decir, si un radical es un número real, entonces su

potencia n es“bn = a”, y, por tanto, con justa razón se dice que (n√a)n = a. Una potencia n anula

un radical n.

· Por la misma razón n√an = a, si a es mayor o igual que 0, a su vez, si n es impar y a < 0, se

cumple lo estipulado. En el caso de que n sea par y a menor que cero, en este caso n√an = |a|,

ejemplo 2√-22 = |-2| = 2.

Existen, a su vez, leyes de radicales que nos dicen lo que pasa con los radicales en situaciones de

multiplicación y división de radicales:

· n√ab = n√a n√b; los radicales son distributivos con respecto a la mutltiplicación.

· n√a / b = n√a / n√b; de la misma manera es distributiva en lo que se refiere a la división.

· Cuando un radical es el radicando de otro, los valores de los índices se multiplican: m√ n√a =

mn√a

· Algo sumamente importante de mencionar es que los radicales no son distributivos con

respecto a la adición y la resta, por lo que si nos encontramos con expresiones tales como √4 + 36,

esto no equivale a decir, √4 + √36 = 2 +6 = 8; primero se tiene que sumar y después sacar la raíz,

en este caso √40. Esto es importante recordarlo, puesto que en geometría analítica hay relaciones

que contienen radicales con sumas y restas. Lo mismo aplica para las potencias.

Una forma práctica de manejar radicales es descomponiendo su radicando en factores con

exponentes iguales a los del índice, de modo que se cumplan las propiedades de las radicales

antes mencionadas; n√a = n√cn*a = n√cn√a = c√a. Un ejemplo más concreto sería el siguiente:

√3a2b3√6a5b =

√18a7b4 (por la propiedad distributiva)

= √ 2 * 9 * a2*a2*a2*a*b2*b2 (Estos son algunos factores que nos convienen para poder anular

sus radicales)

= 3*a*a*a*b*b√2a

= 3a3b2√2a (De esta manera queda simplificada a su mínima expresión).

Para agilizar el proceso simplemente podemos decir que los radicandos que tengan exponente

igual al índice salen del radical como la base, en dado caso que doblen o tripliquen el índice, salen

en forma de radicando a la potencia 2 o 3 dependiendo del caso. En el ejemplo anterior, de √a7,

podeos hay tres veces el índice que es cuadrado, por esa justa razón salió como a3 y se quedo el

factor sobrante √a. Así podemos proceder sin escribir tanta notación, aquí se hace para seguir de

cerca la aplicación de las propiedades y leyes.

Algo interesante es la aplicación de los que se conoce como racionalización de un denominador.

Hay veces en las que tenemos un cociente en el cual hay un radical en el denominador, de la

forma 1 / n√ak, así mismo, hay casos en los que este radical estorba bastante, en cálculo, por

ejemplo. Podríamos salirnos del embrollo multiplicando ese radical por algo que permita igualar el

exponente con el índice “n”. Entonces, 1 / n√ak * n√an-k / n√an-k; el radical de arriba queda tal

cual, pero en el denominador la multiplicación n√ak * n√an-k = n√ak +n+ -k = n√an = a. Queda

demostrado que este es un excelente método para anular el denominador con un radical.

Ejemplo; si racionalizamos el denominador de 5√x/y2, entonces:

5√x / 5√y2 =

5√x / 5√y2 * 5√y3 / 5√y3 =

5√xy3 / 5√y5 =

5√xy3 / y

Ahora bien, existen un tipo de exponenciales bastante particulares en los cuales el exponente es

racional, del tipo am/n. Podemos utilizar la relación que poseen los exponenciales con los radicales

para definir equivalencias importantes. Para un exponencial del tipo a1/n = n√a, esto quiere decir

que todo radical sin exponente en el radicando posee una forma de exponencial 1/n. Aquí n o el

denominador del exponente va a ser el índice del radical, mientras que 1 va a ser el exponente de

a. Los mismo se puede decir de exponenciales am/n = n√am. Hagamos un ejemplo:

(x6/ 16y-4)-1/2

Primero que nada utilizamos la propiedad que nos permite pasar un exponente negativo a uno

positivo:

(x6y4/ 16)-1/2=

Aplicamos el teorema de los exponentes negativos:

(16 / x6y4)1/2

Multiplicamos exponentes según las reglas de potencias:

161/2 / x6/2y4/2

Simplificamos:

161/2 / x3y2

Aplicamos, por último propiedades de exponentes racionales am/n = n√am:

√16 / x3y2

= 4 / x3y2 He aquí la expresión buscada.

Un concepto que se debe manejar es el de expresión algebraica. Las expresiones algebraicas

utilizan al conjunto de los números reales y son el resultado de operaciones básicas como las que

acabamos de ver. El carácter algebraico tiene que ver con la utilización de variables como x, y, z,

a… como números reales arbitrarios. Al sustituir los valores de estas variables se puede hallar un

valor determinado. Por supuesto, se debe especificar el dominio de números que pueden ser

sustituidos en las variables. El dominio, pues, es el conjunto de números que ofrecen un valor al

sustituirlos por las variables. Las propiedades y operaciones que presentamos en lo que lleva el

apunte funcionan como expresiones algebraicas. El dominio regularmente es el conjunto de los

números reales y tiene una condición, la condición es que la expresión tenga sentido, es decir, que

efectivamente nos muestre un valor determinado, y, no indefinido. Ahora bien si x es una variable

entonces un monomio es un tipo de expresión algebraica de la forma axn, donde a es un número

real y n es un entero positivo. Podemos tener un binomio si se suman dos monomios, un trinomio

si se suman tres, y, en general, polinomios si se suman muchos monomios. Entonces la definición

de un polinomio nos dice que:

anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0.

La definición nos dice que un polinomio siempre va a tener como característica principal una suma

de términos o monomios con exponente en x que se va haciendo más pequeño hasta llegar a un

exponente 1 y una suma con un coeficiente sin la variable x. Dado que el exponente en x identifica

al polinomio, la gente de algebra nombra a los polinomios por grados. Aquel término con el

exponente en x más alto es el que caracteriza el polinomio, a su vez, el entero del exponente dice

que grado es. El valor de a con mayor grado va ser denominado como el coeficiente principal. Dos

polinomios son iguales si comparten el mismo grado y los mismos coeficientes. En el caso de solo

haber un coeficiente y no haber valores de x ni exponentes, este será el polinomio cero y tendrá

un grado indefinido. Todos conforman un gripo denominado como polinomios cerrados. Un

ejemplo de un polinomio sería: 5x5 + -2x4 + 6x3+ x2 -2x + 14; un polinomio cero simplemente es

de la forma a que puede ser 8 o 9. Algo importante a remarcar es que, si bien un polinomio puede

poseer las operaciones básicas, si la variable x está, en sí misma, afectada por una división o una

raíz, esto deja de ser un polinomio de la variable; 1 / x + 2 o √x / x+2 no son polinomios.

Entre polinomios se puede efectuar cualquier operación básica, y, por tanto, también se pueden

simplificar mediante las propiedades de los números reales y leyes que hemos visto. La suma de

polinomios no es gran cosa, simplemente hay que reducir términos afines, por ejemplo:

(3x3 + 4x2 – 7x + 1) + (9x3 – 4x2 – 6x) (simplemente se rompen paréntesis y sumamos los términos

semejantes)

= (3+9) x3 + (4 -4)x2 (se cancela) + (–7-6) x + 1

= 12x3 -13x +1 (como ya no hay términos semejantes ya no podemos hacer nada más)

Lo mismo pasa con las restas, solo que el polinomio que está restando tiene que ser afectado por

un signo negativo, así que los signos van a cambiar:

(4x3+ 5x -3) – (3x3+ 2x2 + 5x -8)

= 4x3+ 5x -3 -3x3- 2x2 -5x +8

= x3- 2x2+ 5

Cuando se trata de una multiplicación de polinomios, se hace uso de las propiedades distributivas.

Por ejemplo:

(x2 + 5x – 4) (2x3 + 3x – 1)

Lo que tenemos que hacer es multiplicar cada uno de los términos del primer conjunto por los del

otro como lo sugiere la propiedad:

x2(2x3 + 3x – 1) + 5x (2x3 + 3x – 1) + -4(2x3 + 3x – 1)

= (2x5 + 3x3 –x2) + (10x4 + 15x2 -5x) + (-8x3 -12x +4) Simplificamos

= 2x5 + 10x4 -5x3 + 14x2 - 17x +4

Por supuesto, puede haber más de dos variables como x, y o z, y se les da un tratamiento idéntico.

No obstante, algo que debemos de tener bien presente es que la reducción de términos por una

suma o resta siempre se efectúa por términos idénticos, uno no podría sumar, por ejemplo, x2y +

xy2 porque no son idénticos.

Las divisiones que con frecuencia nos encontramos es la de un polinomio entre un monomio, en

este caso, el monomio va a dividir cada uno de los términos del polinomio:

3u3v4-2u5v2 + (u2v2)2 / u3v2

= 3u3v4-2u5v2 + u4v4 / u3v2

= 3v2 -2u2 + uv2

Hay casos muy particulares pero sumamente importantes en los que hay producto de binomios

para formar trinomios o diferencias de cuadrados. Estos son muy importantes porque simplifican

demasiado el trabajo, son muy frecuentes y se pueden deducir muy rápidamente. Uno puede

utilizar las propiedades distributivas de la multiplicación para resolver estos productos pero

resulta muy tedioso y quita mucho tiempo, así que se usan más estas pautas. Una de estas el

producto de dos variables por sí mismas pero con signo opuesto, esto nos da una diferencia de

cuadrados, esto se cumple siempre:

(1) (x + y)(x-y) = x2 – y2; (x-5)(x+5) = x2-25

Otra es el producto de un conjunto al cuadrado, este siempre nos da un trinomio de la siguiente

forma:

(2) (x+y)2 = x2 +2xy + y2 o (x+y)2 = x2 -2xy + y2

Una última es un conjunto elevado al cubo:

(3) (x+y)3 = x3 +3x2y + 3xy2 + y3 o (x-y)3 = x3 -3x2y - 3xy2 + y3.

Otra modalidad importante es el proceso opuesto, a saber, deducir de un trinomio o de una

diferencia de cuadrados los productos de los polinomios que los forman. A esto se le reconoce

como factorización. Se sigue la misma intuición que lo que decíamos que todo número puede

descomponerse en factores primos o en factores irreductibles. Aquí, una gran parte de los

trinomios y diferencias de cuadrados o cubos, pueden ser descompuestas en polinomios con

factores primos, es decir, polinomios que ya no se pueden reducir o irreductibles. En los casos que

hemos visto de los productos, simplemente hay que hacer la operación inversa. También hay que

destacar que un polinomio irreductible es aquel que presenta un factor primo, por ejemplo, es

imposible reducir x2 + 25 o x2 + 1, estos no siguen la pautas, su naturaleza es de otro tipo y

requieren un tratamiento que involucra otro tipo de números. Muchas veces tenemos trinomios

con coeficientes, estos le agregan un grado de complejidad a la factorización, así que es

aconsejable, si es que todos los coeficientes son múltiplos, eliminarlos del trinomio por división del

máximo factor común de la siguiente manera:

25x2+ 25x -150 ( esto se le puede sacar el factor 25 por ser el máximo factor que deja libre al

término cuadrado)

25(25x2+ 25x -150) / 25 =

25 (x2 + x -6) A esto ya se le puede factorizar de manera más sencilla

25(x+3)(x-2)

Si se multiplican estos últimos factores por distribución nos va a dar exactamente el mismo

número del trinomio. Entonces se intuye que para sacar los factores simplemente debemos de

plantear números y variables que multiplicados nos den el trinomio original.

Algunas generalizaciones útiles son las siguientes:

x2 - y2 = (x+y)(x-y)

x3-y3= (x-y)(x2+ xy + y2)

x3+y3= (x+y)(x2- xy + y2)

Ejemplo; la factorización de la suma de dos cubos como el siguiente es:

a3 + 64b3= (a + 4b)3Este conjunto va a fungir como las variables x e y de las pautas mencionadas

anteriormente

(a + 4b) ((a)2 - 4ab + (4b)2)

= (a + 4b) (a2 - 4ab + 16b2)

No siempre se puede reducir un trinomio sacándole factor común, puesto que no siempre todos

los términos tienen son descompuestos por el mismo factor, por eso muchas veces tendremos que

hacer una estimación de los factores posibles a los que puede reducirse un trinomio de esta

forma. Una forma simple de explicar el procedimiento es suponer que tenemos un trinomio de la

forma px2 + qx + 7 = (ax + b) (cx + d), lo que hay que observar aquí es que el producto de bd = r, el

producto de ac = p y la suma de los productos de ad + bc = q, pónganoslo en práctica. A una

expresión como 6x2 -7x – 3. No se le puede sacar un factor común porque el 7 y los demás

números no presentan factor común. Aquí podríamos aplicar este método de tanteo.

Vamos a tener un producto de la forma (ax + b) (cx + d), por tanto ac deben ser igual a p, en este

caso debe ser un producto tal que nos dé como resultado 6x2, solo hay dos posibilidades, primero

que sea el producto de 3 y 2, o, segundo, el producto de 6 y 1, regularmente se busca que sean

números positivos, así que podemos prescindir aquí de los negativos. Ahora, el producto bd, en

este caso nos debe dar -3, los factores posibles para esto son 3 y -1 o -3 y 1. Así que tenemos

cuatro de los más probables escenarios:

(3x +3) (2x -1)

(3x + 1) (2x - 3)

(6x +3) (x-1)

(6x+1) (x-3)

Lo que nos da la respuesta es la suma de productos de ad + bc, en este caso nos debe dar -7x.

En el primer caso (3x)(-1) + 3(2x) = -3x + 6x = +3x; esta no es.

Segundo caso: 3x(-3) + 1(2x) = -9x + 2x = -7x. Hemos podido encontrar la factorización

correspondiente muy rápidamente, aunque no siempre es así, lo único que se quiere enfatizar es

que hay medios por los cuales hacerlo, y teniendo las nociones sobre el origen de las expresiones

resultantes, esto se puede hacer más ágil en la mente.

Hay veces que se tiene más de tres términos en la suma, lo que se hace regularmente para estos

casos es identificar grupos de términos que contengan un factor común, se aprovecha eso y de ahí

se puede efectuar la factorización. Una suma como 3x3 + 2x2 -12x -8, se puede resolver agrupando

términos:

Hay que fijarse bien, 3 y 12 son múltiplos de 3, así que este es un factor común, y estos se

agrupan, a su vez 2 y 8 poseen factores comúnes:

(3x3 -12x) + (2x2 -8)

3x(x2 - 4) + 2(x2-4)

Nótese que se ha llegado un punto en que hay dos conjuntos idénticos, esto debemos

interpretarlo como uno de los factores de la suma original, debemos, por consiguiente agrupar los

otros factores en un conjunto de la siguiente forma:

(3x + 2) (x2 -4)

Se puede reducir aún más el término de la derecha, puesto que se trata de la diferencia de dos

cuadrados, así que procedemos a esto:

(3x + 2) (x -2)(x+2)

Si multiplicamos estos conjuntos nos van a dar exactamente la suma original.

Como vemos el abanico de soluciones es demasiado extenso, sin importar que tan voluminoso o

difícil que sea. Todas estas pautas nos dan herramientas para resolver casi cualquier expresión

algebraica. Y no es poca cosa, cuando entremos al tema de las ecuaciones y funciones, la

factorización, la deducción de trinomios y demás aptitudes nos servirán muchísimo, cabe destacar

además que es parte del trabajo de cualquier físico contemporáneo, sin lugar a dudas, puesto que

son ellos quienes tienen modelos matemáticos basados en ecuaciones y expresiones de carácter

algebraico.

Hay aún más grado de complejidad, ya que existen expresiones fraccionarias, que no se refiere

más que al cociente de polinomios, el caso más sencillo es el del cociente de un polinomio y otro,

es decir, una expresión racional, ni más ni menos. Las variables pueden ser muchas, no obstante

consideraremos cocientes con solo una variable. Dado que son números reales, podemos aplicar

las leyes de los cocientes sin temor a error, se respetan los mismos principios. Si hay términos

idénticos, podemos utilizar la propiedad que dice que ad/bd = a/b, es decir, se cancelan los

términos idénticos. Como se trata de polinomios en cada componente del cociente, necesitamos

factorizarlos y así encontrar términos idénticos divisibles más evidentes, la simplificación llega a su

máximo nivel cuando se agotan los términos comunes.

Es común encontrarnos tanto productos como cocientes de expresiones fraccionarias y también se

aplican las mismas pautas de siempre. En estos casos es de suma importancia primero factorizar y

después realizar las operaciones indicadas. Evidentemente tenemos que ilustrarlo:

Multiplicación de expresiones racionales;

x2 -6x +9 / x2-1 * 2x -2 / x-3

Como dijimos lo primero es factorizar, en este caso no es muy difícil para el primer cociente, en el

segundo solo el numerador se puede factorizar:

(x-3)(x-3) / (x-1)(x+1) * 2(x-1) / x-3

Se procede a realizar la operación indicada como multiplicación, no se requiere hacer la operación

en sí, simplemente se deja fatorizado todo pero se agrupan segpun la propiedad de la

multiplicación a / b * c / d = ab /cd

(x-3) x-3) 2(x-1) / (x-1)(x+1) (x-3)

Ahora simplemente se simplifica por la propiedad de cocientes que ya hemos visto, a saber, los

términos idénticos se cancelan:

2(x-3) / ( x+1)

Este es nivel máximo de simplificación.

Con cociente de cocientes de expresiones pasa algo similar, solo que aquí se utiliza la propiedad

que dice que a / b / c / d = ad / bc:

x + 2 / 2x - 3 / x2 - 4 / 2x2 – 3x; primero factorizar:

= x + 2 / 2x – 3 / (x + 2) (x-2) /x(2x -3)

Ahora aplicamos la propiedad de cocientes antes descrita, no es necesario hacer las operaciones,

solo agruparlas según la propiedad, lo que se busca es simplicidad:

= (x + 2) x(2x-3) / 2x -3 (x +2) (x – 2)

= x / (x-2) voila.

Lo mismo para sumas y restas de expresiones racionales pero se usa sus propiedades a saber a / b

+ c / d = ad + bc / bd. Estos procedimientos suelen ser bastante tediosos y complejos porque se

tienen que aplicar demasiadas propiedades y pautas y los errores pueden ser factibles a cualquier

distracción, un método alternativo es sacar el máximo común divisor, es decir, el factor que pueda

igualar todos los denominadores de tal manera que la suma o resta se haga como si fuera la suma

de cocientes con el mismo denominador a/d + b/d = a + b / d, evidentemente debemos de hacer

esta multiplicación sin que se modifique la expresión, por eso la multipliación se hace por un

tpermino de la forma z/z, que equivale a 1, por eso en general, la expresión no pierde su igualdad.

Cualquiera de los métodos es válido, depende de la comodidad o de la complejidad de la

expresión. El primer método se puede usar cuando solo es una suma o resta de cocientes, el

segundo método se usa cuando son más de tres, puesto que ofrece mayor facilidad:

6 / x(3x – 2) + 5 / 3x -2 – 2 / x2

Aquí el segundo método es el más sencillo, así que debemos de encontrar un factor capaz de

igualar los denominadores, este es claramente x2(3x -2), lo que debemos hacer es multiplicar cada

término de la suma con el factor que haga que su denominador sea igual:

6 / x(3x – 2) * x / x + 5 / 3x -2 * x2 / x2 – 2 / x2* (3x -2) / (3x-2)

= 6x / x2(3x – 2) + 5x2 / x2(3x – 2) - 2(3x -2) / x2(3x – 2)

Según la propiedad antes mencionada:

= 6x + 5x2 - 2(3x -2) / x2(3x – 2) Simplificando

= 5x2 + 6x -6x + 4 / x2(3x – 2)

= 5x2 + 4 / x2(3x – 2)

Y este sería el máximo nivel de simplificación.

A este punto a nadie debería sorprender que esto se pueda complejizar mucho más, existen

expresiones de cocientes complejos. Que no es más que la integración de una multiplicación,

división, suma o resta de una expresión racional en otra. Como es de suponer las de suma y resta

son las más agotadoras y difíciles pero con las herramientas que poseemos ahora, al menos

tenemos con qué defendernos. Estos genuinamente se presentan en campos como el cálculo

diferencial, así que es necesario saber manejarlos:

2 / x +3 – 2 / a + 3 / x – a

= Primero debemos simplificar la resta de coeficientes del numerador, como solo son dos términos

lo más sensato es aplicar la propiedad de las sumas y restas de cocientes, a saber, a/d + b/d = a + b

/ d:

2(a + 3) – 2(x + 3) / (x +3) (a +3) / x –a;

En este caso es necesario realizar las operaciones del primer cociente integrado para poder

simplificar los términos

= 2a + 6 -2x – 6 / (x +3) (a +3) / x –a

= 2a – 2x / (x +3) (a +3) / x –a

= / (x +3) (a +3) / x –a

Procedemos a aplicar propiedades de cocientes:

/ (x +3) (a +3) / x –a / 1 =

2 (a-x) (1) / (x +3) (a +3) (x – a)

Tornamos negativo el numerador

= -2 (x-a) / (x +3) (a +3) (x – a)

Simplificamos

= -2 / (x +3) (a +3)

Helo aquí; en lo personal estas expresiones son muy tediosas y confusas, así que requieren de una

concentración sólida.

Por último nos gustaría presentar lo que ya habíamos visto con los radicales, pero ahora en el caso

de un cociente con radicales en una operación de suma. Aquello que llamamos racionalización

también se puede aplicar en expresiones fraccionarias, pero en este caso, lo que se multiplica

debe tener invertidos los signos para que la racionalización sea efectiva. Mostrémoslo. Una

expresión como 1 / √x + √y, se puede racionalizar.

Se multiplica un factor que individualmente sería equivalente a 1 y que no afectaría la identidad de

la expresión, pero puesta en práctica, nos permite acceder a otra modalidad de la expresión, como

dijimos es necesario invertir los signos:

1 / √x + √y * √x - √y / √x - √y

Esta expresión individualmente es simplemente 1, así que no altera la identidad de la expresión

original, esto es brillante así que se puede usar en cualquier caso

= √x - √y / (√x + √y) * (√x - √y)

Este último producto se considera como el producto de una diferencia de cuadrados, así que la

solución es previsible.

= √x - √y / x - y

Y eso es todo, logramos quitar los radicales del denominador o racionalizar el denominador.

Con esto concluimos nuestra introducción a los principios básicos del algebra, es decir a las

propiedades de los números reales impregnadas por la notación algebraica e implementadas a

expresiones propiamente algebraicas. Aquí resolveremos una veintena de ejercicios, con el fin de

practicar y aplicar estos principios, desarrollaremos los pasos para que cualquiera pueda ver que

es lo que se hizo y por qué.

(1) Exprese un número racional de esta expresión: 5/8 – 9/7

Esto deduce de la propiedad a/b – c/d = ad + bc /bd

= 5(7) - 8(9) / 8(7)

= 35 - 72 / 56

= -37 / 56;

37es primo por lo que no se puede simplificar más

(2) Exprese como desigualdad la siguiente sentencia; a está entre 1/2 y 1/3 y el valor absoluto de

x no es menor que 4:

1/3 < a < 1/2

|x| > o = 4

(3) Rescriba sin usar el símbolo del valor absoluto y simplifique las siguientes expresiones |-5|/5,

|3-1 – 2-1 |, |(x-2)(x-3)| en este último 2< x < 3; el valor absoluto se define como |a| = a si es de

un número positivo y como = -a, si se trata de un negativo; lo que debemos averiguar en este caso

es que los números dentro de las barras sean negativos o positivos:

(a) |-5| / -5 = -(-5) /- 5 = 5 / -5 = -1

(b) |3-1 – 2-1 | = |1 / 3 – 1 /2| = |2 – 3 / 6| = |-1/6| = -(-1/6) = 1/6

(c) |(x-2)(x-3)|; en este caso x puede ser cualquier número entre 2 y3 tres pero no estos números

así que podemos deducir que uno de los factores va a ser positivo, es decir, el factor x-2, y el factor

x-3 va a ser un número negativo, luego el producto de un número positivo y uno negativo va a dar

negativo, así que los que salga de la operación pasa por la definición negativa

= -((x-3)(x-2)

(4) Exprese los siguiente números en notación científica; 93 700 000 000 y 0.00000402 :

9.37 x 1010 y 4.02 x 10-6

(5) Exprese el siguiente número en forma de cociente; 1/20+ -12 + 16-3/4:

Veámoslo por partes:

1/2;; una potencia elevada a 0 es lo mismo que 1.

12 = 1

16-3/4; en primer lugar esto se puede expresar como 16/1-3/4; por teorema de los exponentes

negativos, se invierte el cociente 1/163/4; según la pauta de los exponentes fraccionarios am/n =

n√am; por tanto 1 /( 4√16)3 =1 / 23 = 1 /8.

Entonces la operación global es

1 – (1) + 1/8 = 1/8

(6) Simplifique la siguiente expresión; (3a2b)2 (2ab3)

Primero se resuelve la potencia, no debemos olvidar que anam = am+n y ( am)n = amn:

(9a4b2)(2ab3) = 18a5b5

(7) Simplifique; (3x2y-3)-2/ x-5y:

Lo que se recomienda es primero hacer positivos los exponentes de que aparece entre paréntesis

por teorema de exponentes negativos así que

= (3x2/y3)-2/ y/x5,

una vez más aplicamos el teorema

= (y3 / 3x2)2 / y / x 5 = y6 / 9x4 / y / x5

Aplicamos propiedad de los cocientes a/b / c/d = ad / bc:

x5y6 / 9x4y = xy5/ 9

(8) Simplifique; (xy-1/ √z )4/ ( x1/3y2/z)3=

Aplicamos teorema para la única potencia negativa:

(x / y√z)4 / ( x1/3y2/z)3

Pasamos a radicales los exponentes racionales:

(x / y√z)4 / ( 3√x*y2/z)3

Procedemos a elevar por las potencias indicadas:

= x4 / y4 (√z)4/ ( 3√x)3y6/z3)

Simplificar

= x4 / y4z2 / xy6/z3

Aplicar propiedad de cocientes a/b / c/d = ad / bc

= x4z3 / xy10z2

Simplificando

= x3z / y10

(9) Simplifique; s5/2 s-4/3 s-1/6

En este caso no necesitamos pasarlo inmediatamente a su forma de radical, es más conveniente

aplicar la propiedad de los exponente el cual dice anam = an+m

s5/2 – 4/3 – 1/6

Una manera sencilla de hacer esta operación es encontrar un factor máximo divisor y multiplicar

por los factores que hagan iguales los denominadores sin que se perturbe la identidad de la suma:

5/2 * 3/3 – 4/3 * 2/2 – 1/6 *1/1

= 15 /6 -8/6 -1/6 = 6/6 = 1

= s6/6 = s

(10) Simplifique; 3√(x4y-1)6

Sacar exponentes negativos por el teorema de estos

= 3√(x4 / y)6

= 3√x24 / y6

Aprovechar las propiedades de los radicales que dicen que n√an = a, es decir si los índices y los

exponentes son iguales se cancela el radical; dado que 24 es 8 veces 3 o 3x8 y 6, 2 veces 3;

entonces

= x8/ y2

(11) Racionalice el denominador de la siguiente expresión; 81x2 - y2 / 3√x + √y :

En estos casos lo que se busca es eliminar los radicales del denominador por lo que se usa la

propiedad que dice n√ak * n√an-k = n√ak- k+n = n√an = a; en este caso lo más sensato es factorizar

el numerador y después racionalizar el denominador:

(9x - y)(9x + y) / 3√x + √y

(9x - y)(9x + y) / 3√x + √y * 3√x - √y / 3√x - √y

(9x - y)(9x + y) 3√x - √y / ( 3√x + √y )(3√x - √y)

El denominador en este caso se considera como un producto que desemboca en una diferencia de

cuadrados, elevamos el primer y segundo término al cuadrado:

(9x - y)(9x + y) (3√x - √y) / 9x - y

Hay un término común en el numerador y el denominador así que se simplifica:

(9x + y) (3√x - √y)

(12) Exprese como un polinomio; (x+3)(x+4) – (2x-3)(x-5):

Hay que realizar primero los productos para saber cuáles son los términos semejantes:

x2 + 7x +12 – (2x2 -13x +15)

Nunca olvidar que el signo negativo, que indica que es una resta, afecta a todo el conjunto de la

derecha:

x2 + 7x +12 –2x2 +13x -15

Simplificar términos semejantes:

-x2 +20x -3

Regularmente se busca que el coeficiente principal sea positivo así que se multiplica por -1:

x2 -20x +3.

(13) Exprese como un polinomio; (3y3-2y2 + y + 4)(y2-3)

Aquí se tienen que multiplicar cada uno de los términos de un conjunto por el otro, según la

propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición; lo más fácil es multiplicar los dos

términos del lado derecho por los del izquierdo

(y2)(3y3) + (y2) (-2y2) +(y2)(y) + (y2)(4) + (-3)(3y3) + (-3)(-2y2) + (-3)(y)+ (-3)(4)

= 3y5 +-2y4+ y3 + 4y2 -9y3 + 6y2 + -3y -12

= 3y5 +-2y4-8y3 + 10y2 -3y -12

(14) Exprese como polinomio; 9p4q3 -6p244+ 5p3q2 / 3p2q2

Se puede dividir el denominador por cada uno de los términos

9p4q3 / 3p2q2 -6p2q4 / 3p2q2 + 5p3q2 / 3p2q2

= 3p2q - 2q2 + 5/3 p

(15) Exprese como polinomio; (13a2+ 5b)(13a2 – 5b)

Claramente se trata de un producto que deriva en una diferencia de cuadrados; basta con elevar al

cuadrado el primer y segundo término, después expresarlo como una diferencia o resta:

(13a2)2 (5b)2

169a4- 25b2

(16) Exprese como polinomio; (2a + b)3

El producto de una suma de cubos resulta en (x+y)3 = x3 +3x2y + 3xy2 + y; aplicamos lo mismo

8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3

(17) Exprese como polinomio; (3a – 5b)(4a + 7b)

12a2 +21ab -20ab -35b2

=12ª2 +ab -35b2

(18) Factorice la expresión; 60xw + 50w

Aquí se tiene que buscar un factor común para que haga que la expresión ya no se pueda

factorizar más

10w(6x + 5)

(19) Factorice la expresión; 2wy + 3yx -8wz -12zx

Esto requiere de factorización agrupación, hay que recordar que lo que se busca aquí es reunir

grupos que al factorizarse ofrezcan un factor común, ese se toma como un conjunto y los factores

que quedan se dan como el otro conjunto

(2wy – 8wz)(3yx - 12zx)

Sacamos factores comunes

2w(y-4z) 3x(y-4z)

Se cumple la condición de que haya un conjunto idéntico, ahora se toma lo restante

(2w + 3x)(y-4z)

(20) Factorice la expresión; 8x3+64y3

La factorización de una suma de cubos siempre es (x + y)(x2 -xy + y2); aquí se cumple eso

= (2x + 4y)(4x2 - 8xy + 16y2)

(21) Factorice la expresión; x5-4x3 +8x2 -32

Aunque aparenta ser una expresión muy compleja podemos factorizarla por agrupación de

términos, gracias a que presentan factores comunes

(x5 + 8x2)(-4x3-32)

Sacamos los factores

x2(x3 + 8) -4(x3 +8)

Se cumple la condición de identidad de uno de los conjuntos así que

(x2-4)(x3+8)

(22) Simplifique la expresión; 6x2-7x -5 / 4x2+4x +1

Un cociente de polinomios no se puede dividir directamente, así que se factorizan los

componentes del cociente, algunos de ellos se hacen al tanteo, y se simplifican al haber términos

idénticos, o sea, ad/bd = a/b

(3x-5)(2x+1) / (2x+1)(2x+1)

=3x-5 / 2x+1

(23) Simplifique la expresión; 6x2-5x -6/ x2-4 / 2x2-3x / x+2

Lo más sensato es factorizar y después aplicar propiedades de cocientes a/b / c/d = ad/bc

(3x+2)(2x-3) / (x+2)(x-2) / x(2x-3) / x+2

Aplicamos la propiedad antes mencionada

(3x+2)(2x-3) (x+2) / (x+2)(x-2) x(2x-3)

Eliminamos términos comunes

3x+2 / x(x+2)

(24) Simplifique la expresión; 1/ x - 2/x2+x -3/x+3

En una suma de más de dos cocientes de polinomios, lo indicado es sacar el máximo común

divisor, es decir, hacer que todos los denominadores sean iguales multiplicándoles un factor de la

forma a/a para que no altere la identidad del cociente; el factor que todos los denominadores

deber tener es x(x+1)(x+3) cabe destacar que el denominador del término 2 se debe factorizar

primero

1/ x - 2/x(x+1) -3/x+3

= 1/x * (x+1)(x+3)/ (x+1)(x+3) – 2/x(x+1) * x+3/x+3 -3/ x+3 * x(x+1)/ x(x+1)

1*(x+1)(x+3)/ x(x+1)(x+3) – 2* x+3/ x(x+1)(x+3) -3* x(x+1) / x(x+1)(x+3)

= 1*(x+1)(x+3) -2* x+3 -3* x(x+1) / x(x+1)(x+3)

Hacemos las operaciones para captar los términos comunes

x2+4x+3 –(2x+6) – (3x2+3x) / x(x+1)(x+3)

= x2 +4x +3 –2x -6 –3x2 -3x / x(x+1)(x+3)

= -2x2 -x -3 / x(x+1)(x+3)

(25) Simplifique; x+2 - 3/x+4 / x/ x+4/ +1/ x+4

Estas expresiones complejas son de las más tediosas, básicamente tenemos que aplicar

propiedades de suma de fracciones y propiedades de cocientes, factorizar y simplificar un par de

veces, al parecer ya todo está factorizado, así que lo primero es aplicar la propiedad de los

cocientes que dice que la suma o resta de cocientes a/b +c/d = ad + bc /bd;

x+2 - 3/x+4 / x/ x+4/ +1/ x+4

(x+2)(x+4) – 3(1) / x+4 / x(x+4) + (x+4)(1) / (x+4)2

Resolvemos operaciones

x2+6x +8 -3 / x+4 / x2 + 4x + x + 4 / (x+4)2

x2+6x +5 / x+4 / x2 + 5x + 4 / (x+4)2

Factorizamos una vez más

(x+5 )(x+1) / x+4 / x2 + 5x + 4 / (x+4)2

(x+5 )(x+1) / (x+4) / (x+4) (x+1)/ (x+4)2

Aplicamos propiedades de cocientes

(x+5 )(x+1) (x+4)2 / (x+4)(x+4) (x+1)

Eliminamos los elementos idénticos

Así que el máximo nivel es

x+5

Difícil, tedioso y frustrante pero no imposible.