-
HANDOUT KULIAH
LISTRIK MAGNET II
Oleh:Dr. rer. nat. Ayi Bahtiar
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PADJADJARAN BANDUNG
2007
-
MATERI KULIAH
1. MEDAN MAGNET ARUS MANTAP Gaya Lorentz Momen dipol magnet Hukum Biot Savart Medan magnet dalam kawat lurus dan lengkung
2. HUKUM AMPERE Hukum Ampere Potensial vektor magnet Medan magnet dari sirkuit jauh Potensial skalar magnet Fluks magnetik
-
3. BAHAN MAGNETIK Sifat magnet bahan dengan model arus cincin mikroskopik Medan polarisasi magnet/magnetisasi Intensitas medan magnet Suseptibilitas magnet dan permeabilitas relatif bahan magnet Diamagnetik, paramagnetik, feromagnetik dan ferit Syarat batas dua bahan magnetik yang berbeda Hukum Ampere dalam medan magnet
4. INDUKSI ELEKTROMAGNETIK Hukum diferensial Faraday Induksi elektromagnetik Induktansi diri dan induktansi bolak-balik
5. ENERGI MAGNET Energi magnet dari pasangan sirkuit Rapat energi dalam medan magnet Gaya dan torque pada sirkuit pejal
-
6. PERSAMAAN MAXWELL Hukum Ampere dan persamaan kontinuitas arus listrik Persamaan Maxwell Energi elektromagnetik Persamaan gelombang elektromagnetik Syarat-syarat batas medan
7. RADIASI ELEKTROMAGNETIK Medan listrik dan magnet dalam bentuk potensial vektor dan
skalar Persamaan gelombang potensial vektor dan potensial skalar Vektor Poynting dalam perhitungan daya radiasi dipol dan
antena setengah gelombang.
-
Pustaka1. J. R. Reitz, Foundations of Electromagnetic Theory, Addison-
Wesley Publ., 19932. D. J. Griffith, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall Inc.,
1989.3. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons
Inc., 1991.
-
KOMPETENSI DASAR MATA KULIAH
1. MEDAN MAGNET ARUS MANTAP DAN GAYA LORENTZ Standar kompetensi : Merumuskan gaya Lorentz dan momen dipol magnet Merumuskan hukum Biot Savart Merumuskan medan magnet dalam kawat lurus, dan lengkung Menghitung fluks garis gaya medan magnet dan merumuskan
hukum divergensi nol.
2. HUKUM AMPEREStandar kompetensi : Mendeskripsikan arus listrik sebagai akibat gerak muatan listrik. Merumuskan hukum Ampere dan aplikasinya pada perhitungan
medan magnet oleh cincin arus, solenoida dan toroida.
-
3. HUKUM FARADAY DAN ARUS INDUKSI Standar kompetensi : Merumuskan hukum Faraday tentang perubahan fluks magnet
dan medan listrik induksi tak-konservatif Mendeskripsikan sistem induktor dan menghitung induktansi diri
serta induktansi timbal-balik.
4. BAHAN MAGNETStandar kompetensi : Mendefinisikan medan polarisasi magnet M, intensitas medan
magnet H, serta merumuskan hukum Ampere dinyatakandalam medan H.
Mendeskripsikan hubungan antara M dan H Mendeskripsikan tetapan suseptibilias magnet dan permeabilitas
relatif dari bahan magnetik. Mendeskripsikan perbedaan bahan magnet diamagnetik,
paramagnetik, feromagnetik, ferit. Merumuskan rapat enerlis listrik statik Menurunkan syarat batas B dan H pada batas dua bahan
magnet yang berbeda
-
5. PERSAMAAN MAXWELLStandar kompetensi : Memahami ketidaktaatan pada asas hukum Ampere dengan
persamaan kontinuitas arus listrik atau hukum kekekalanmuatan listrik.
Mendefinisikan arus pergeseran Maxwell dan merumuskanperluasan hukum Ampere.
Merangkumkan keempat hukum dasar listrik-magnet : Gauss untuk D, divergensi nol untuk B, hukum Ampere yang diperluasdan hukum Faraday (persamaan Maxwell).
Merumuskan energi elektromagnetik Menurunkan persamaan gelombang elektromagnetik dari
persamaan Maxwell. Menurunkan syarat-syarat batas medan B dan E pada
batas/interface dua media berbeda.
-
6. RADIASI ELEKTROMAGNETIKStandar kompetensi :
Merumuskan medan listrik dan magnet dalam potensialvektor A dan skalar
Merumuskan sifat simetri gauge untuk menerapkan syarat(gauge) Lorentz.
Merumuskan persamaan gelombang potensial dan A Mendeskripsikan medan potensial retardasi dari dan A Mendeskripsikan kasus radiasi dipol dan vektor Poynting
serta menghitung daya radiasi untuk kasus radiasi dipol danradiasi antena setengah-gelombang.
-
MEDAN LISTRIK ARUS MANTAP (STEADY CURRENT)
BAB I
-
MEDAN LISTRIK ARUS MANTAP (STEADY CURRENT)
Persamaan kontinuitas:
0t
J =+ rr dimana: = rapat arus
= rapat muatanJr
Disebut arus mantap, jika rapat muatan tidak berubah terhadap waktu, maka:
0J0t
== rr
-
A. INDUKSI MAGNET
Pandang dua buah muatan titik q dan q1, dimana q1 terletak ti titik O (titik asal koordinat) dan q terletak pada posisi r dari titik O.
x
z
y
Oq1
q
rr
Jika muatan-muatan q dan q1 diam, maka gaya pada muatan q yang diberikan q1 diungkapkan oleh gayaCoulomb:
1rr
rsearahsatuanvektorrr
rr
rqq
41F 2
1
0e
=
==
r
rr
rr
-
Sekarang pandang bahwa muatan q bergerak dengan kecepatandan q1 dengan kecepatan , maka muatan q akan memperoleh gayatambahan:
vr1vr
magnetgayarrxvxv
rqq
4F 12
10m
=
=
rrrr
Dalam listrik statik, medanelektrostatik didefinisikan :
qFErr =
Jadi medan elektrostatik yang ditimbulkan oleh muatan q1:
rr
rq
41E 2
1
0
rr=
Induksi magnet pada muatan q yang diakibatkan q1 di titik O:
=
rrxv
rq
4B 12
10rrr
Gaya magnet yang bekerja di q:
( )BxvqFm rrr =
2270 C/s.N104
=
-
Maka gaya total pada muatan q adalah:
( )( )[ ] LorentzgayaBxvEq BxvqEqFFF me
+=+=+=
rrrrrr
rrr
Implikasi gaya Lorentz :
1. Gaya Lorentz F selalu tegak lurus dengan kecepatan v.
2. Jika v . Fm = 0 untuk setiap medan B sembarang, maka medan magnet tidakbekerja pada partikel bermuatan.
Definisi : :maka,c1200 =
s/m10x9979.2c
rrx
cv
cv
rqq
41F
8
121
0m
=
=
rrrr
-
Medan magnet yang dihasilkan oleh partikel q1 yang bergerak secaraseragam adalah :
cEx
cvB 1rr =
Gaya magnet bergantung tidak hanya pada kecepatan relatif dari dua muatan, tetapi juga pada sistem koordinat.
B. GAYA PADA KONDUKTOR BERARUS
Pandang suatu kawat konduktor lurus yang diberi arus I. Di dalam kawat terdiridari muatan-muaatan q yang bergerak dengan kecepatan v.
I lr
dvr
q
Gaya pada muatan q yang bergerak dengan kecepatan dalam medanmagnet dengan induksi magnet adalah:
vrBr
( )BxvqFm rrr =
-
Misalkan di dalam kawat terdiri dari N jumlah pembawa muatan q per-satuan volume, A adalah luas penampang kawat dan setiap pembawamuatan q bergerak dengan kecepatan yang sama maka muatandalam elemen panjang :
vrlr
d
qdANdq lr=
Maka gaya pada elemen panjang :lr
d
( ) ( )( )
( )BxdIFdBxdvqANFdv//d
BxvqdANBxvdqFd
m
arusI
m
m
rlrr
rlr
43421rrrl
r
rrlrrrr
=
=
==
=
Gaya pada sirkuit tertutup:
BxdIFC
rlrr =
-
Jika medan magnet B seragam (tidak bergantung pada posisi), maka :
0BdIFC
=
= rlrr
C. TORQUE
Torque adalah momen gaya yang didefinisikan sebagai :
( )BdrIFdrd rlrrrrr ==Untuk sirkuit/lintasan tertutup :
( ) =C
BdrIr
lrrr
Jika medan magnet B uniform, maka :
( ) ( ) ( )xyzxyz dyBBdxkdxBBdzjdzBBdyiBd ++= rrrrlr
-
( )[ ]( )[ ]( )[ ]
)a.....(
yBdzyBdyyBdxxBdzxBdr
BdyxBdxxBdzzBdyzBdr
BdxzBdzzBdyyBdxyBdr
zzxz
xyyzy
zxxyx
+=+=+=
rlrr
rlrr
rlrr
Karena B diasumsikan uniform (tidak bergantung posisi r), maka komponen Bbisa dikeluarkan dari integral.
Untuk menghitung torque, maka kita definisikan dulu integral ruang :
ddandDimana adalah sistem koordinat dan juga sistem koordinat lain yang berbedadengan .
d adalah trivial karena menggambarkan integral dari nilai terendah1 dan nilai tertinggi 2 dari d ditambah integral dari 2 sampai1 dari d , sehingga akan mengeliminasi enam komponen daripersamaan (a) diatas.
-
d Melibatkan dua variabel dan sehingga tidak mengakibatkan perbedaanapakah integral diambil melalui lintasan riil C atau proyeksi lintasan tsbpada bidang - (lihat gambar dibawah).
Proyeksi lintasan C padabidang -
C
a
b ( )= 2( )= 1
Evaluasi integral d
-
Persamaan diatas menghasilkan suatu luas daerah yang dilingkupi proyeksikurva/lintasan (positif). Jika dan adalah urutan siklus dalam sistem koordinattangan-kanan maka arah dimana jika kontur adalah tertutup akan memberikanarah-.
( ) ( ) += ddda
b2
b
a1
= Ad dengan ,, dan adalah siklik permutasi x,y,z.( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )
BAI
BABAIBdrI
BABAIBdrI
BABAIBdrI
xyyxC
zz
zxxzC
yy
yzzyC
xx
rrr
rlrr
rlrr
rlrr
=
==
==
==
Dimana vektor A merupakan vektor yang komponen-komponennya adalah luasyang dilingkupi oleh proyeksi kurva C pada bidang-bidang yz, zx, dan xy.
-
Kuantitas IA merupakan momen dipol magnet sirkuit :
=
==
CC
drI21mAdr
21
AImlrrrr
lrr
rr
momen dipol magnetik
Untuk kawat yang berarus, maka :
dvJr21md
dvJdI
rrr
rlr
=
Sangat berguna untuk membahas sifatmagnetik dari bahan.
-
HUKUM BIOT-SAVART
-
HUKUM BIOT SAVART
Menggambarkan gaya interaksi antara dua sirkuit konduktor berarus.
O
1dlr
1rr
( )121 rrxd rrlr 2dlr
2rr
12 rrrr
( )212 rrxd rrlr
I1 I21 2
-
Hukum Ampere:Gaya yang bekerja pada sirkuit-1 akibat oleh sirkuit-2:
( )[ ] =1C 2C
321
212121
01
rrrrxdxdII
4F rr
rrlr
lrr
Gaya yang bekerja pada sirkuit-1 akibat oleh sirkuit-2:
( )[ ] =1C 2C
312
121221
02
rrrrxdxdII
4F rr
rrlr
lrr
Gaya-gaya diatas merupakan gaya aksi-reaksi, yaitu:
21 FFrr =
Buktikan !!
PR
270 A/N104
=
-
Bukti:
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )( )[ ]
( ) ( ) ( )211C 2C
312
1221
01
1C 2C3
12
21221
02
122121211212
ddrrrrII
4d
rrdrrII
4F
rrdddrrdrrxdxd
BACCABCxBxA.1
lr
lr
rrrr
lr
rrlrrrr
rrlr
lr
lrrrl
rrrlr
lr
rrrrrrrrr
=
==
Suku pertama:
( )
2
1C 2C 1221
12
1C 2C 1221
1C 2C3
12
212
drr
1d
ddrr
1drr
drr
lr
rrr
lr
lr
lr
rrr
lr
rrlrrr
=
=
-
Dalil Stokes:
( )( ) 0dan
rr1xdd
rrdrr
danFxdF
1C 2C0x
122211
1C 2C3
12
212
C S
=
=
=
=
r
44 344 21rr
rrlr
lr
rrlrrr
rrrlrr
rr
( ) ( ) )1(..................ddrrrrII
4F 21
1C 2C3
12
1221
02 l
rlr
rrrrr
=
-
( )[ ]( )[ ] ( ) ( )21
1C 2C3
21
2121
0
01C 2C
321
211221
0
1C 2C3
21
212121
01
ddrrrrII
4rrrrddII
4
rrrrxdxdII
4F.2
lr
lr
rrrr
444 3444 21rr
rrlr
lr
rrrrl
rlrr
=
=
=
( ) ( ) )2........(....................ddrrrrII
4F 21
1C 2C3
21
2121
01 l
rlr
rrrrr
=
Karena: ( ) ( )2112
2112
rrrrrrrrrrrrrrrr
==
-
( ) ( )( ) ( )
21
21
1C 2C3
12
1221
02
21
1C 2C3
12
1221
01
FF
:bahwaterbuktiMaka
ddrrrrII
4F
ddrrrrII
4F
rr
lr
lr
rrrrr
lr
lr
rrrrr
=
=
=
Maka:
Bagaimana dengan induksi magnetnya?
=
==
2C2222
1C1111
C
BxdIF
BxdIFBxdIF
rlrr
rlrrr
lrr
-
Maka diperoleh Hukum Biot-Savart:
( ) ( )
( ) ( )
=
=
1C3
12
1211
02
2C3
21
2122
01
rrrrxdI
4rB
rrrrxdI
4rB
rrrrl
rrr
rrrrl
rrr
Induksi magnet di sirkuit-1
Induksi magnet di sirkuit-2
Untuk arus yang merupakan distribusi kontinu digambarkan oleh rapat arus ( )rJ rr
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1V
321
12102
2V
321
21201
dvrr
rrxrJ4
rB
dvrr
rrxrJ4
rB
=
=
rrrrrrrr
rrrrrrrr
-
Dalam medan magnet bahwa kutub-kutub magnet selalu berpasangan/dipol (kutub-kutub magnet tidak berdiri sendiri, tidak monopol), makaharus berlaku:
0B = rr
Bukti !!
( ) ( )
( ) ( ) ( )GxFFxGBxFrr
rrxdI4
rB2C
321
21212
011
rrrrrrrrrrrrrl
rrrrr
=
=
( )
( ) ( )
( ) )terbukti(0rBrr
1xI4
dxrrrrI
4rB
rr1
rrrrG
dFanadim
11
2C0x
21112
0
021
2C3
21
212
011
2113
21
21
2
=
+
=
==
=
=
=
rrr44 344 21rr
rr43421 lrr
rrrrrrr
rrr
rrrrr
lrr
rr
-
Dengan menggunakan cara yang sama, maka dapat dibuktikan juga bahwa:
( ) 0rB 22 = rrr
Secara umum
( ) 0rB = rrr
-
APLIKASI HUKUM BIOT-SAVART
-
1. Kawat konduktor panjang lurus
Suatu kawat panjang lurus tak hingga sejajar dengan sumbu-x diberi arus I. Tentukan induksi magnet di titik P sejauh a dari kawat tersebut.
Solusi:
( ) ( )ksinrrdx
rrxidxrrxd
idxd
12
1212 rrrrrrrrl
rr
lr
==
=
x
z
y
+I
P
a
1rr dx
12 rrrr
2rr
( )12 rri rrr
-
xz
y
+I
P
a
1rr dx
12 rrrr
2rr
( )=
==
3
33
12
12
sinarr
sina
180sinarr
rr
rr
Berapakah nilai:
ksinrrdx 12rrr
( )
=
=
=
==
dsin
adsin
cossinadx
sincosax
tan180tanxa
22
22
Maka:
kdsin
a
kdsin.sin
a.sin
aksinrrdx
2
2
212
r
rrrr
=
=
-
Induksi magnet di titik P adalah:
( )
( )kI
a2
coskIa4
kdsinI4
asinkdsinaI
4
)rr()rr(xidxI
4aB
0
00
0
0
032
320
312
120
v
r
r
rrrrrrr
=
=
=
=
=
+
-
2. Kawat konduktor melingkar yang berpusat di titik 0 dan berjejari R, diberi arus I
x
z
y
-x
d
lr
d1rr
I
P
2rr 12 rr
rr z ( )
( )jdcosRidsinRd
zRrr
kzjsinRicosRrr
kzr
jsinRicosRr
2/1222
12
2
1
rrlrrr
rrrrrrr
rrr
+=+=
+==
+=
( )idcosRzkdcosR
jdsinRzkdsinRrrxd22
2212 rr
rrrrlr
+++=
Maka induksi magnet di titik P adalah:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
++
++
+
=
=
2
0
2
02/322
2
02/3222/322
20
2
03
12
1202
izR
dcosRzizR
dsinRzkzR
dRI4
rrrrxdI
4rB
rrr
rrrrl
rrr
-
( ) ( ) ( )( )( ) kzR R2I
cosjzR4
RzI
sinizR4
RzIkzR4
IRrB
2/322
20
2
02/322
0
2
02/322
02
02/322
20
2
r
r
rrrr
+=
+
+
++
=
Arah induksi magnet sejajar dengan sumbu-z
z
x
y
RP
z
( ) ( ) kzR R2IzB 2/3222
0rr
+=
Bila kawat terdiri dari N buahlilitan, maka induksi magnet menjadi:
( ) ( ) kzR R2NIzB 2/3222
0rr
+=
-
Lilitan Helmholtz
Dua buah kawat melingkar yang sesumbu, masing-masing terdiri dari N-buah lilitan dan diberi arus I yang searah.
Jika titik P berada ditengah-tengahkumparan (z = b), makakarena arusnya searah, induksi magnet di titik P sama dengan nol.
x
y
RP
z z
R
y
I I
x
N-lilitan N-lilitan
2b
Induksi magnet di titik P:
( ) ( ) ( )[ ]
++
+= 2/3222/322
20
zRzb2
1
zR
12
NIRzB
-
( ) ( ) ( )[ ]
++
+= 2/3222/322
20
zRzb2
1
zR
12
NIRzB
Turunan pertama dari Bz terhadap z adalah:
( ) ( )( )[ ]
+
+= 2/5222/522
20z
Rzb2
b2z223
zR
z223
2NIR
dzdB
Di z = b, turunan ini sama dengan nol.
Turunan kedua dari Bz terhadap z adalah:
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )[ ]
+
++
+
+= 2/722
2
2/5222/722
2
2/522
20
2z
2
Rzb2
b2z225
Rzb2
1
zR
z225
zR
12NIR3
dzBd
Di z = b, maka:
( )
+=
= 2/722
2220
bz2z
2
zR
b8R22NIR3
dzBd
-
( )
+=
= 2/722
2220
bz2z
2
zR
b8R22NIR3
dzBd
Turunan ini menjadi nol, jika R2 - 4b2 = 0, maka jarak kedua kumparan adalah:
Rb2 =Berarti bahwa jarak antara kedua kumparan harus sama dengan jari-jarikumparan. Sehingga induksi magnet di titik P menjadi:
2/30
z 58
RNIB =
Dalam eksperimen penentuan muatan spesifik dari elektron, diketahui bahwahubungan antara medan magnet dan arus listrik adalah:
I.constB =Maka besarnya konstanta adalah:
RN72.0.const 0=
-
Setup eksperimen untuk penentuan muatan spesifik elektron menggunakan lilitan Helmholtz
-
Diagram lintasan elektron dalam eksperimen penentuan muatanspesifik elektron dengan lilitan Helmholtz
Lilitan Helmholtz
Tabung gelas
lintasan elektron
Teganganfilamen
Fokuselektron
Teganganpemfokusanelektron
Anoda
Teganganpemercepat elektron
datas
dbawah
FsentrifugalFLorentz
ve
-
Berdasarkan kesetimbangan gaya, bahwa gaya Lorentz harus samadengan gaya putaran (sentrifugal).
B.rv
mq
rvmB.v.q
FF
e
2e
lsentrifugaLorentz
=
==
Kecepatan elektron v akibat dipercepat oleh anoda menjadi :
2ek vm2
1UE ==Dengan kombinasi kedua persamaan diatas, maka :
2e2
BU.
qm2r =
-
Dengan menggambarkan grafik hubungan r2 dengan U/B2 , diperolehgradien b, sehingga muatan spesifik elektron menjadi :
emq
b2 =
dimana:
==
qm2b
I.constB
e
m
15 20 25 30 35 40
20
25
30
35
40
45
r
2
[
1
0
-
4
m
2
]
U/B2 [107 V/T2]
-
Solenoida
Suatu silinder berjari-jari R dan panjang L, diberikan lilitan sebanyak N-lilitan dandiberi arus listrik I. Berapakah induksi magnet di titik P di dalam selenoida ?
L
R
dz
R P
L
1 2z0
Induksi magnet di titik P (z0) diperoleh dengan membagi panjang silinder L menjadielemen-elemen panjang dz, dimana setiap dz mengandung Ndz/L lilitan.
( )[ ] +=L
02/322
0
20
0zRzz
dz2
RLNI)z(B
-
( )[ ] +=L
02/322
0
20
0zRzz
dz2
RLNI)z(BR
P
L
1 2z0
dz
( )
( )[ ] 32/32202
0
20
10
sinRRzz
dsin
Rdz
cotRzztanzLR
tanzR
=+
===
= ( )( )
( )[ ]
+=
+=
=
=
2coscos
LNI
coscosL2NI
dsinL2NI
dsin/Rsin/R
2R
LNI)z(B
210
210
1
2
0
2
13
220
0z
Maka induksi magnet di titik P:
z
-
Jika panjang solenoid lebih besar dibandingkan dengan jari-jari dan z0 tidakmendekati nol atau L, maka sudut 1 dan 2 kesil dan bisa didekati dengan :
02
01 zL
R;zR
Sehingga :
( ) ( )
2
0
2
20
20
0z zL4R
z4R1
LNIzB
Jika radius solenoida kecil, maka medan magnet menjadi :
( )LNIzB 00z
-
BAB IIHUKUM SIRKUIT AMPERE
-
Untuk arus mantap: 0J = rr
mempunyai nilai tertentu yang dapat dinyatakan sebagai:Bxrr
( ) ( )rJrBx 0 rrrrr =Dalam Hukum Biot-Savart, induksi magnet di sirkuit-1 akibat pengaruh sirkuit-2 adalah:
( ) =2c
321
2122
01
rrrrxdI
4)r(B rr
rrlr
rr
Dengan mengubah ( ) 2222 dV.rJdI rlr = maka:( ) ( )
2
2V3
21
21201 dV
rrrrxrJ
4)r(B = rr
rrrrrr
-
Nilai Curl dari B, diperoleh:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) )....(#..............................GFFG)GxF(x :sehinggarr
1rJrr
1rJGF
rr1rJrJ
rr1FG
:maka
rr1
rrrrG
rJF
GFGFFGFG)GxF(x
:Ingat
dVrr
rrx)r(Jx4
rBx
111
21
212
211211
21
21221
2111
2113
1
21
2
11111
2
2V3
1
2121
011
rrrrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrrrrr
rrrr
rrr
rrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrr
=
===
=
==
=+=
=
-
Dengan demikian maka:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )10
22
2V21
0
22
2V 21
21
0
22
2V 2111
0
2321
211
2V2
022
2V3
21
211
011
rJ
dVrJrr44
dVrJrr
14
0dVrJrr
14
dVrrrrrJ
4dVrJ
rrrr
4rBx
rr
rrr
rrr
r
rrr
rr
rrrrrrrr
rrrrrrrr
=
=
=
=
=
Sehingga diperoleh Hukum Sirkuit Ampere:
( ) ( )1011 rJrBx rrrrr =
-
Hukum Ampere dalam bentuk lain:
( )
=
=
S0
C
S0
S
danJdB
danJdanBx
rrlrr
rrrrr
Dalil Stokes
-
Contoh:
I lr
drd
Hukum Ampere:
=
==
drBdB
rdd;danJdB
C C
SC0
rlrr
lrr
lrr
Pada kasus kawat panjang lurus, diperoleh:
( )
r2IB
ka2IaB
0
0
=
=
r
rr
Maka:
r2IB
IBr2
Idrr2IdB
0
0
0C
2
0
0
=
=
==
lrr
1. Suatu kawat lurus panjang yang diberi arus listrik I, diletakkan dalam suatusirkuit tertutup, berapakah induksi medan magnet di dalam sirkuir tersebut ?
-
2. Medan magnet dari suatu kawat konduktor koaksial dengan jari-jari bagiandalam a dan bagian luar b.
a
b
Untuk lingkaran yang berjejari r, maka :
Br2dB = lrr
Maka medan magnet masing-masing daerah adalah :
br;0rB2bra;IrB2 0
>=
-
POTENSIAL VEKTOR MAGNET
-
Untuk memudahkan perhitungan induksi magnet, kita kembali ke permasalah listrikstatik, dimana :
0Ex = rrDi dalam medan magnet, kita ketahui bahwa: 0Bx rr namun 0B = rr
Sehingga secara umum, bahwa:
0Fx = rrr dimana F adalah vektor sembarangDengan demikian dapat didefinisikan bahwa:
AxB
0)Ax(rrrrrr
==
Dengan syarat bahwa:
( )( ) )1.....(....................JAA
JAxx
JBx
02
0
0
rrrrrrrrrr
rrr
==
=
-
Telah kita ketahui bahwa:
( ) 0Ax0B = = rrrrr
Dengan mendefinisikan bahwa 0A = rr maka:
JA 02 rrr =
Dimana A adalah potensial vektor magnet. Pertanyaannya adalah bagaimanaformula untuk A:
Solusi:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1121V
210
1V13
12
1210
1C3
12
1211
02
dVrr
1xrJ4
dVrr
rrxrJ4
rrrrxdI
4rB
rrrrr
rrrrrr
rrrrl
rrr
=
=
=
-
Ingat:JFdan
rr1;FFxFx
12
rrrr
rrrrrr ==+=( ) ( ) ( )1
12212
1212
12 rJxrr
1rJxrr
1rr
rJx rr
rrrrrrrrrr
rrr+=
Maka: ( ) ( ) ( )
=
= 1V
112
102
1V1
12
12
02 dVrr
rJ4
xdVrr
rJx4
rB rrrrr
rrrrrrr
Potensial vektor magnet didefinisikan sebagai:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 22V 21
201
1
1V 12
102
222
dVrr
rJ4
rA
dVrr
rJ4
rA
:maka;rAxrB
=
=
=
rrrrrr
rrrrrr
rrrrr
-
MEDAN MAGNET PADA RANGKAIAN JARAK JAUH
I1rr
2rr
Sirkuit jauh artinya: 12 rrrr >>
( )
112
1
2222
2/1
22
122
21
2
2/121
21
22
112
12
rrr
rrr
rr
rrr21
r1
rr2rrrrrr
1
rrrr
rrr
rrrrrr
==
+=
+==
Diuraikan dalam bentukderet Binomial
-
Deret Binomial:
( ) n22n1nnn b...ba!2
)1n(nba!1
naba ++++=+
Dengan harga-harga:21ndan;
rrr2b;1a 2
2
21 ===rr
32
21
222
21
212 rrr
r1
rrr2
211
r1
rr1 rrrrrr +=
+=
( ) 1111 rdIdVrJ rrr Maka potensial vektor magnet:
( )sirkuitluasrxrd
21S;SxrI
r4
rrrdI
4rA
112132
0
C 12
11
02
===
=
rrrrr
rrrrr
Penurunan rumus dapat dilihat di buku J.R. Reitz dkk,Dasar Teori Listrik-Magnet. hal. 221.
-
( )
( ) 232
02
1232
02
rxmr4
rA
magnetmomenSIm;mxrr4
rA
rrrr
rrrrrr
=
===
Artinya bahwa untuk di titik jauh dari sirkuit, potensial vektor magnet bergantung padamomen magnetnya
Bagaimana dengan induksi magnetnya ?
( ) ( )
==
32
22
0
222
rrxmx
4
rAxrBrrr
rrrrr
Gunakan: ( ) ( ) ( ) ( )32
2
22222
rrG
mF:anadim
GFGFFGFG)GxF(x
rrrr
rrrrrrrrrrrrrrr
==
+=
-
( ) ( )( )
( ) 32
22
32
22
32
223
2
223
2
2223
2
232
22
rrm
0rrm00
rrm
rrmm
rrm
rr)
rrxm(x
rrr
rrr
rrrrrrrrrrrrrrr
=
+=
+
=
( ) ( ) 32
252
232
22
22
22
2223
2
22
rmr
rrm3
rrm
0rjika;0r1
r1
rr
rrrrrrr
rrrrr
+=
===
Maka induksi magnet di sirkuit jauh (dipol magnet) adalah:
( ) ( )
= 3
225
2
202 r
mrr
rm34
rBrrrrrr
-
Induksi magnet di titik dari sebuah dipol magnet yang terletak di titiknol (0):
rr
( ) ( )
= 350 rmr
rrm
34
rBrrrrrr
Dalam medan magnet, kita mempunyai 2 (dua) potensial yakni: potensialvektor dan potensial skalar magnet. Sedangkan dalam elektrostatik, kitahanya mempunyai potensial skalar saja.
-
POTENSIAL SKALAR MAGNET
-
JBx 0rrr =
POTENSIAL SKALAR MAGNET
Persamaan diatas menunjukkan bahwa curl dari induksi magnet sama dengannol, jika rapat arusnya nol. Sehingga induksi magnetnya dapat diungkapkansebagai gradien dari potensial skalar.
*0B =rr
0x
0Bx
==
rrrr
Dimana * adalah potensial skalar magnet.Disisi lain bahwa:
( )0*
0**
0B
2
200
=
===
r
rrrrr
Dalam daerah yang tidak mempunyai rapat arus, potensial skalar magnet memenuhi persamaan Laplace. Sehingga solusinya sama dengan dalam problem listrik statik.
-
Namun, kita harus hati-hati dalam menerapkan syarat batas. Nilai * dari suatulintasan/sirkuit yang membawa arus bukan merupakan fungsi yang berhargatunggal.
Ungkapan potensial skalar dari suatu dipol magnet sangat berguna.
( ) ( )
= 3
225
2
202 r
mrr
rm34
rBrrrrrr
Dapat ditulis dalam bentuk :
( )( )
( ) 32
22
02
32
202
r4rmr*
:maka*rB
r4rmrB
=
=
=
rrr
rrr
rrrrr
untuk suatu dipol magnet m.
-
POTENSIAL SKALAR DARU SUATU DIPOL MAGNET
Pandang suatu sirkuit besar C yang dibagi-bagi menjadi elemen-elemen kecil(sirkuit C1), dimana setiap elemen kecil mengalirkan arus yang sama seperti yang diberikan oleh sirkuit C, maka pada daerah yang berbatasan, arusnya akan salingmenghilangkan, sehingga muatan hanya mengalir (arus) pada sirkuit C saja.
I
C
P
C1
rr
Potensial skalar magnet di titik nol:
( ) ( )
30
350
rrm
4
rmr
rrm
34
rB
rrr
rrrrrr
=
=
yang memenuhi:
( ) ( )( ) ( )GxxFGF FxxGFG)GF( rrrrrrrrrrrrrrr
+++=
-
Maka potensial skalar magnet untuk sirkuit kecil C1:
3*m r4
rmdd =rr
Dalam satu sirkuit kecil, arus saling menghilangkan sehingga setiap sirkuit dapatdianggap sebagai sebuah dipol magnet dengan momen dipol:
danImd rr = dasirkuitelemennormalvektorn =r
Jadi potensial skalar untuk satu sirkuit :
dar4
rnId 3*m
=rr
Sehingga potensial skalar untuk sirkuit besar C adalah:
( ) dar
rn4Ir 3
*m
rrr =
Potensial skalar magnet dapat digunakanuntuk menghitung medan magnet yang ditimbulkan oleh rangkaian berarus atauoleh lapisan dipol magnetik (menanganibahan-bahan magnet).
-
FLUKS MAGNET
=S
danB rr
Identik dengan fluks listrik , fluks magnet [Weber, Wb] didefinisikan sebagai banyaknya garis-garis gaya magnet yang melewati suatupermukaan dengan luas A.
== danEAd.Eel rrrr
Karena semua garis-garis gaya magnet adalah tertutup, maka total fluks magnet yang melalui suatu permukaan tertutup A dari suatu volume V harus nol. Hal ini akibat dari jumlah garis-garis medan yang masuk sama dengan jumlah garis-garis medan yang keluar dari suatu permukaan tertutup A.
Adr
Ad.Bdrr=a)
Adr
== 0Ad.B rrb)
N S
c) 0=
-
Untuk permukaan tertutup berlaku:
===S V
0daBdanBrrrr
Sehingga:
0B = rr yang merupakan bentuk matematik dari fenomena fisika, bahwa tidak ada magnet satu kutub; selalu ada dua kutub yaitu kutub Utara dan kutub Selatan.
-
BAB IIISIFAT MAGNET DARI BAHAN
-
Setiap bahan tersusun dari atom-atom. Setiap atom terdiri dari elektron yang dapat bergerak. Elektron-elektron ini bergerak dalam suatu atom tunggal sehinggamenghasilkan arus yang disebut arus atom (arus sirkulasi).
Elektron-elektron yang bebas atau ion-ion bermuatan bergerakmenimbulkan arus yang disebut arus transport.
Arus atom dan arus transport akan mengakibatkanmedan magnet.
-
A. MAGNETISASI
Setiap arus atom dapat dianggap sebagai dipol magnet secara makroskopissehingga setiap atom dapat dinyatakan dengan momen dipolnya:
ikedipolmomenmi =r
Maka momen dipol dari suatu elemen volume V ditulis:
Vmeliputiyangmi rMagnetisasi didefinisikan sebagai momen dipol magnet per-satuan volume:
= i imV1
0Vlim
M rr
Secara makroskopis, V sangat kecil akan tetapi secara statistik mengandungbanyak atom.
-
1. Jika bahan tidak dimagnetisasi, arah dari momen dipol bersifat acak, sehingga:
==i
i 0M0mrr
2. Untuk bahan yang dimagnetisasi:
i
i 0mr
Magnetisasi merupakan fungsi dari posisi.
-
Model sederhana dari bahan yang dimagnetisasi segaram
Arus di perbatasan akan saling menghilangkan (takada arus). Arus hanya akan ada di permukaan saja. Arus permukaan ini mengakibatkan medan magnet.
-
Bahan dimagnetisasi tak-segaram
IM
Bila bahan dimagnetisasi tak-segaram, kerapatannya berbedasehingga terdapat resultan arusIM (arus magnetisasi).
-
Hubungan antara magnetisasi dan rapat arus magnetisasi
x
y
z
x
z
y
(x,y,z)
1 2
Magnetisasi dalam elemenvolume 1:
( )'z,'y,'xMrMagnetisasi dalam elemenvolume 2:
( )
( )
+
++
+
yyM'z,'y,'xM
...yyMy
yM'z,'y,'xM 22
2
r
rr
-
Momen magnet elemen volume 1:
zyxM r
Momen magnet elemen volume 2:
zyxyyMM
+rr
Komponen-x dari momenmagnet elemen volume 1:
zya'IzyxMx =Komponen-x dari momenmagnet elemen volume 2:
zy"Iazyxyy
MM xx =
+
Ia Ia
xM
+ y
yMM xx
-
Ia Ia
xM
+ y
yMM xx
Arus magnetisasi ke atas:
yxy
M
xyy
MMxM"Ia'Ia
x
xxx
=
+=
-
Dengan cara yang sama, kita dapat mengambil elemen volume dalamarah sumbu-y, sehingga arus magnetisasi keatas adalah:
yxx
My
Kedua arus tersebut menimbulkan arus magnetisasi keatas sebesar:
yxy
Mx
MI xya
=
Dimana xy adalah luas yang dilalui arus Ia.
Ia
Ia
yM
+ xx
MM yy
-
Rapat arus magnetisasi didefinisikan sebagai:
( )( )( )
=
=
==
yM
xM
J
xM
zMJ
zM
yM
yxIaJ
xyzM
zxyM
yzxM
Sehingga rapat arus magnetisasi total adalah curl dari magnetisasi:
MxJMrrr =
-
B. INDUKSI MAGNET DARI BAHAN DIMAGNETISASI
V
V0
Titik medan
Mr
'rr rr
rr
'rr
: Vektor posisi titik pengamatrr
'rr : Vektor posisi titik/sumber medan
Momen magnet dari elemen volume V
( ) ( ) 'V'z,'y,'xM'z,'y,'xm = rr
-
1. Kita tentukan dahulu potensial vektor magnetnya.
Potensial vektor magnet dari dipol magnet diberikan oleh:
rxmr4
A 30 rrr=
Potensial vektor magnet dari elemen volume V:
( ) ( )
( )( )
'dV'rr
1'xM4
'dV'rr
'rrxM4
A
'V'rr'rrxM
4'rr'rrxm
4A
'V
0
'V3
0
30
30
=
=
=
=
rrrr
rrrrrr
rrrrr
rrrrrr
-
Ingat !!!
'rr1'xMMx'
'rr1
'rrMx'
xFFxFx
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
=
=
Maka: ( )
( ) 'da'rrnxM
4'dV
'rrMx'
4rA
:Maka
danxFdaFxndVFx
:vektorKesamaan
'dV'rr
Mx4
'dV'rr
Mx'4
rA
S
0
'V
0
SV S
'V
0
'V
0
+
=
==
=
rrrr
rrrr
rr
rrrr
rrrr
rrrr
rr
-
Dengan mendefinisikan rapat arus magnetisasi permukaan (arusmagnetisasi per-satuan panjang yang mengalir melalui permukaan):
nxMjmrrr =
Maka potensial vektor magnet menjadi:
( ) 'da'rr
j4
'dV'rr
J4
rAS
m0
'V
M0 += rrr
rrr
rr
2. Kita tentukan induksi magnetnya.
( ) ( )( )
( ) ( ) 'dV'rr
1xMx4
rAxrB
'dV'rr
1xM4
'dV'rr
'rrxM4
rA
'V
0
'V
0
'V3
0
==
=
=
rrrrrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
-
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )r'dV'rr'rrM
41
'dV'rr
1xxM4
'dV'rr'rrM
4'dV
'rr1M
4B
M'dV'rr4M4
'dV'rr
1M4
B
'dV'rr
1M4
'dV'rr
1M4
'dV'rr
1xMx4
rAxrB
*0
magnetskalarpotensial
'V30
'V0
0
'V3
0
'V
02
0'V
02
'V
01
1B
'V
0
1B
2
'V
0
'V
0
rr
444 3444 21rrrrrr
43421rr
rrrrrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrrr
4444 34444 21rr
rrr
444 3444 21rr
rr
rrrrrrrrrr
rr
=
=
==
==
=
=
==
=
-
Untuk bahan yang tidak dimagnetisasi:
( ) ( )rrB0M *0 rrrrr ==
( ) ( ) ( )[ ]rrMrB *0 rrrrrr =Maka induksi magnet dari bahan yang dimagnetisasi
3. Kita tentukan potensial skalar magnetnya.
( ) ( )
( )MF;
'rr1
FFF:Gunakan
'dV'rr
1'M41'dV
'rr'rrM
41r
'''
'V'V3
*
==+=
==
rrr
rrrrrr
rrrr
rrrrrr
-
( )
='V
'
'V
'* 'dV'rr
M41'dV
'rrM
41r rr
rrrrrrr
Teorema divergensi: =V S
danFdVF rrrr
( ) ( ) +='V
'
'S
* 'dV'rrM
41'da
'rrnM
41r rr
rrrrrrr
Definisikan:
nM
M'
M
M rrrr
== = Rapat kutub magnet
= Rapat permukaan kuat kutub magnet
Maka potensial skalar magnet menjadi:
( ) +='S
M
'V
M* 'da'rr4
1'dV'rr4
1r rrrrr Analog dengan potensiallistrik statik (elektrostatik)
-
Sehingga induksi magnetnya menjadi:
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+
+=
+=
=
'S3M
0
'V3M
00
'SM
'VM
00
*0
'da'rr'rr'r
4'dV
'rr'rr'r
4M
'da'rr
1'r'dV'rr
1'r4
M
rrMrB
rrrrr
rrrrrr
rrrrrr
rrr
rrrrrr
-
Contoh:Suatu bahan berbentuk silinder yang dimagnetisasi segaram searahpanjangnya.
Mr M
rMr
nr
nr
nr
ntidakMjika0nM
nMjika0nM
0M'
M
M
rrrrrrrr
rr
===
==
Jadi di selubung permukaan tak ada medan magnet. Kutub magnet hanyaterletak di ujung kiri dan kanan dari bahan.
N S
-
C. INTENSITAS MAGNET; SUMBER MEDAN MAGNETMedan magnet dapat bersumber dari: arus transport dan bahan yang dimagnetisasi. Jika kedua sumber tersebut ada, maka induksi magnet dapatdinyatakan sebagai:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]444 3444 21 rrrr4444 34444 21
rrrrrrrr
agnetisasidimyangbahandari
*0
transportarusdari
'V3
0 rrM'dV'rr
'rrx'rj4
rB +
=
Jika arus transport dan sudah ditentukan, maka induksi magnet dapatdihitung.
Jika diketahui, maka rapat kutup magnet M dan rapat permukaan kutubmagnet M dapat dihitung, sehingga potensial skalar magnet dapat ditentukan.
( )'rj rr ( )'rM rr
( )'rM rr
Dalam realita, magnetisasi merupakan fungsi dari medan luar, sehingga:
( )BMM rrr =
-
Maka induksi magnet sulit dihitung, karena magnetisasinya sendirimerupakan fungsi dari medan luar. Karena itu dibuat definisi, bahwa:
( ) ( ) ( )rHrMrB10
rrrrrr =adalah intensitas magnet. Dengan demikian maka:( )rH rr
( ) ( ) ( ) ( )r'dV'rr
'rrx'rjrH *
'V3
rrrr
rrrrrr =
-
Persamaan medan:
0B = rr berlaku umum, jadi sumbernya tidak hanya dari arus transport)totalarusJ(JBx 0 ==
rrrr
{ {
( )M0imagnetisasarus
Mtransportarus
jjBx
jjJ
rrrr
rrr
+=
+=
D. PERSAMAAN MEDAN
Sehingga:
( ) HxjHxjjjBx
M00
M00
=+=+=
rrrrrrrrr
-
Maka: ( )
)sajatransportarus(jHx
jMBx 0H0
0
rrr
r43421rrr
r
=
=
Dalam bentuk integral:
( )
=
=
C
SS
dH
danjdanHx
lrr
rrrrr
Teorema Stokes
-
CC adalah lengkungan yang membatasipermukaan S
Sda
nr
ldIdH
:Maka
)Smelaluiyangtransportarus(danjI
danjdH
C
S
SC
=
=
=
lrr
rr
rrlrr
Untuk induksi magnet:
=S
0danB rr
Persamaan-persamaan medan menjadi:
=
=
=
=
C
S
IdH
0danB
jHx
0B
lrr
rr
rrr
rr
-
SUSEPTIBILITAS DAN PERMEABILITAS MAGNET
-
I. SUSEPTIBILITAS DAN PERMEABILITAS MAGNET
Diperlihatkan hubungan antara induksi magnet dan intensitas magnet serta jugamagnetisasi untuk memecahkan persoalan dalam teori magnet. Hubungan inibergantung pada bahan magnetnya yang dapat diperoleh dari eksperimen.
Dalam kuliah ini kita batasi pada bahan magnet isotrop dan linier, yaitu:
HM mrr =
m adalah suseptibilitas magnet bahan (besaran tidak berdimensi)
Ada tiga kelompok bahan menurut nilai suseptibilitas magnetnya:
1. m < 0 : bahan diamagnetik2. m > 0 , namum m 0 , dan m >> 1 : bahan ferromagnetik
-
Bila magnetisasi linier terhadap intensitas magnet:
HM mrr =
Maka induksi magnet juga linier terhadap intensitas magnet, melalui:
( )H
H1
HH
MHB
m0
m00
00
rrrr
rrr
=+=
+=+=
disebut permeabilitas magnet bahan.
Permeabilitas nisbi (relatif) diberikan oleh:
m0
m 1K +==
-
100
M
H
ferromagnetik
paramagnetik
diamagnetik
M
0.01
Magnetisasi M sebagai fungsi dari kuat medan H
Mr
iBr
Br
0m
-
A. BAHAN DIAMAGNETIK
Bahan diamagnetik terdiri atas atom-atom atau molekul-molekul yang tidak memiliki dipol magnet permanen.
Jika bahan tsb di dalam medan magnet, sehingga terinduksi momendipol sedemikian rupa sehingga meda magnet di dalam bahan Bi lebihkecil daripada medan luar B.
HM mrr =
Mr
iBr
Br
0m
-
Contoh beberapa bahan diamagnetik (memperlemah medan magnet)
-1.19 x 10-8Karbondioksida (1 atm)
-0.67 x 10-8Nitrogen (1 atm)
-0.22 x 10-8Hidrogen (1 atm)
-3.5 x 10-5Emas
-2.4 x 10-5Perak
-2.8 x 10-5Air raksa (Hg)
-2.2 x 10-5Intan
-0.98 x 10-5Tembaga
-16.4 x 10-5BismutmBahan
Suseptibilitas magnet diperoleh pada temperatur kamar
-
B. BAHAN PARAMAGNETIK
Atom-atom dalam bahan paramagnetik memiliki momen dipol magnet permanen, namum arahnya dalam bahan bersifat acah, jika tak ada medan magnet luar, sehingga:
0mV1M
ii == rr
Jika diberikan medan magnet luar, sebagian dari dipol magnetnya akanterorientasi, sehingga magnetisasinya menjadi:
Bi
i ekT3Bmm.NMrrrr =
adalah vektor satuan dari medan magnet dan N adalah jumalah dipol per m3. Suseptibilitas magnetnya :
Be
kT3Nm
BM 20
0m== r
r
-
Arah orientasi momen dipol magnet bahan (a). Tanpa medan magnet luar, (b). Dengan magnet luar.
0mV1M
ii == rr
0B =r 0B >r
Bi
i ekT3Bmm.NMrrrr =
-
Contoh beberapa bahan paramagnetik(memperkuat medan magnet)
193.5 x 10-8Oksigen (1 atm)
7.6 x 10-5Tungsten
18 x 10-5Titan
0.84 x 10-5Natrium
1.2 x 10-5Magnesium
603 x 10-5GdCl3
2.1 x 10-5AlumuniummBahan
Nilai suseptibilitas diukur pada suku kamar
-
C. BAHAN FERROMAGNETIK Ada kemungkina terjadi magnetisasi permanen. Artinya walaupun tak adamedan luar (tak ada magnetisasi), bahan tersebut bersifat magnetik.
Hubungan antara magnetisasi dan intensitas magnet, serta antara induksimagnet dan intensitas magnet tidak linier.
berlakutidakHM
HB
m
== rrrr
Untuk bahan ferromagnetik, permeabilitas magnet , tidak lagi konstan tetapimerupakan fungsi dari intensitas magnet.
( )( )HHB
H
rrr
r
==
-
Pandang suatu bahan ferromagnetik yang semula tidak dimagnetisasi, diletakkandalam medan magnet yang besarnya dapat diubah-ubah.
Jika intensitas magnet yang awalnya nol, dinaikkan secara monoton, makahubungan induksi magnet dan intensitas magnet ditunjukkan dalam gb. dibawahini:
Kurva magnetisasi bahan
Br
Hr
0
0
Magnetisasi jenuh ( )MHB 0 rrr +=
-
Kurva Histeresis
Intensitas magnet H diperbesar dari nolsecara kontinu, maka harga B akanmengikuti lengkungan magnetisasi hinggamencapai H maksimum.
Kemudian jika nilai H diperkecil, makanilai B tidak mengikuti lengkunganmagnetisasi semula, sehingga untuk nilaiH yang sama, nilai permeabilitas ada dua.
Walaupun intensitas magnet H = 0, nilai B 0 (tetap ada).
Untuk menghilangkan B, maka diperlukanintensitas magnet balik (-H) titik c. Jikaintensitas magnet balik diperbesar, makamagnetisasi M dan juga B akan berubaharah (-M dan B) dan kembali ke titik awal(simetris).
0
B
H-H
r
c
-
Contoh beberapa bahan ferromagnetik
-1.19 x 10-8Karbondioksida (1 atm)
-0.67 x 10-8Nitrogen (1 atm)
-0.22 x 10-8Hidrogen (1 atm)
-3.5 x 10-5Emas
-2.4 x 10-5Perak
-2.8 x 10-5Air raksa (Hg)
-2.2 x 10-5Intan
-0.98 x 10-5Tembaga
-16.4 x 10-5BismutmBahan
-
Mayoritas bahan ferromagntik adalah elemen logam transisi, seperti besi, nikelatau kobal.
Jika bahan ferromagnetik dipanaskan diatas temperatur tertentu (TemperaturCurie, TC), maka sifat magnetinya akan hilang.
N
T < TCT > TC
magnet
-
Suseptibilitas magnet bahan ferromagnetik hanya dapat diamati pada temperaturdiatas temperatur Curie.
CC TT >>( )
Cm T
CT =
Dimana C konstanta bahan (Konstanta Curie)
784.770EuO
6500.59627Nikel (Ni)
11002.221033Besi (Fe)
14152.241395Kobal (Co)
C (K)C (K)TC (K)Bahan
-
D. ANTIFERROMAGNETIK
Bahan antiferromagnetik dapat digambarkan oleh struktur krital dengan kisi-kisiyang diisi oleh dua jenis atom dengan momen magnet yang berlawanan arah(anti-parallel). Jika tak ada medan luar, besarnya momen magnet yang anti-parallel seimbang sehingga magnetisasi total sama dengan nol (M = 0).
Contoh bahan antiferromagnetik MnO, MnF2 dll.
A
A A
A
A
A
A
AA
A
BB
B B
-
E. FERRIMAGNETIK DAN FERRIT
Dalam bahan ferrimagnetik, momen magnet masing-masing atom tidak sama, sehingga memiliki magnetisasi spontan M, walaupun tanpa adanya medanmagnet luar.
Contoh bahan ferrimgnetik adalah Fe3O4. Jika atom Fe diganti dengan atom lain, seperti Mg atau Al, maka menjadibahan Ferrit.
A
A A
A
A
A
A
AA
A
BB
B B
m
T0- TN
m
+= TC
m
Kurva magnetisasi bahan ferrimagnetik
-
Jika dipanaskan diatas temperatur kritis (Temperatur Nel, TN), bahanantiferromagnetik dan bahan ferrimagnetik akan berubah menjadi bahanparamagnetik.
Suseptibilitasnya digambarkan dengan:
Nm T
C+=
N : temperatur Nel paramagnetik.C : konstanta Curie
-520NiO
330291CoO
570195FeO
8267MnF2
4824FeCl2
N (K)TN (K)Bahan
Jika dibandingkan dengan ahan ferromagnetik, maka jelas bahwa TN < TC.
-
m
T0- TN
m
Kurva magnetisasi bahan antiferromagnetik
Pada T < TN, bahan antiferromagnetikmembentuk suatu struktur domain-domain momen magnet, sehingga suseptibilitasnyabergantung pada sejajar atau tegak lurusmedan magnet luar.
Br
-
SYARAT BATAS UNTUK VEKTOR-VEKTOR MEDAN
-
Mengetahui sifat perubahan vektor medan pada batas dua medium atau bahan. Pandang dua buah medium yang mempunyai permeabilitas berbeda (yang satuboleh hampa/udara)
1
2
12
Pada umumnya jika mediumnya berlainan, maka medan magnetnya jugaberbeda.
Syarat batas dari medan Br
=
==
S
V
0danB
0dVB
0B
rr
rrrr
-
Perubahan medan B pada permukaan medium-1 dan medium-2
1
2
12
S
S
1nr
2nr
2Br
1Br
=S
0danB rr
Kita ambil permukaan tertutup itupada permukaan batas, dimanaS = permukaan selubung silinderdan tinggi silinder 0. ( )
0BB
0nBB
:makannkarena
0SnBSnB
n1n2
212
21
2222
==
=
=+
rrrrr
rr
rrrr
-
t2t2
n1n2
n1n2
BB
BB
0BB
rrrr
rr
=
=
Komponen normal dari B kontinu pada bidangbatas, sedangkan komponen tangensial tidak.
Syarat batas dari medan Hr
==C A
danjIdH rr
lrr
1
2
12
lr
lr
2Hr
1Hr
Integral garis melaluilengkungan tertutupA B
CD
Persegi panjang, dimana AD 0 dan BC 0
lrr
lrr
lrr
lrr == njHHdH 1
C2
-
lrr
lrr
lrr
lrr == njHHdH 1
C2
Dimana:
'nj rr : arus yang melalui bidang persegi-panjang per-satuan jarak.jr
: vektor satuan sepanjang
: normal yang masuk ke dalam bidang
: arus permukaan (transport) persatuan panjang.
: normal pada bidang persegi panjang2nr
'nr
0lr
lr
02
0
xn'n lrrrlr
llr
==
2nr
0, lr
l ( )( ) ( )( ) 2t12
02012
020102
nxjHH
nxjHH
xnjHH
rrrr
lrrrl
rrrll
rrrllrr
llrr
=
==
-
Salah satu sifat penting dari induksi magnet B adalah bahwa fluks magnet bersifatkontinu disemua posisi.
Pandang suatu tabung dari induksi magnet yang dibatasi permukaan S1 dan S2.
2Br
S1
S22nr
1nr
'1nr
Teorema divergensi :
( ) ( )121S2S
V
SS
da'nBdanB
0dVB
=
=
=
rrrr
rr
Fluks magnet yang masuk tabungmelalui S1 sama dengan yang keluar melalui S2.
-
Jika tidak ada arus transport pada bidang batas (j = 0), maka medan H juga:
t1t2 HHrr =
Artinya bahwa komponen tangensial dari medan H kontinu pada bidang batas.
( ) 2t12 nxjHH rrrr =
-
PERSOALAN NILAI BATAS YANG MELIBATKAN MATERIAL MAGNET
Karena medan B dan H memenuhi syarat batas seperti halnya medan-medan D dan E, maka persoalan-persoalan yang menyangkut medium linier atau yang dimagnetisasi secara khusus sama seperti persoalan dielektrik (lihat LM I).
Dalam bahasan ini, dihitung medan magnet didalam material magnet dimana tidakada arus transport (indentik dalam dielektrik, tanpa rapat arus luar).
Jika tidak ada arus, J = 0, maka persamaan medan menjadi:
0Hx
0B
==rrrr
Sehingga medan H merupakan gradien dari suatu fungsi skalar *:
*H = rr
Dimana fungsi skalar * disebut potensial skalar magnet akibat dari semuasumber.
-
00HHB
*2 =
===r
rrrrrr
Jadi jika tidak ada arus tranport, potensialskalar magnet memenuhi pers. Laplace.
Terdapat dua tipe bahan magnet dimana medan magnet dapat dihitung denganpersoalan nilai batas yang sederhana :
1. Linier atau bahan magnetik hampir linier : B = H.2. Material yang dimagnetisasi seragam : M = 0
Untuk kedua material tadi, berlaku :
Medan H dapat dihitung sebagai minus gradien dari potensial magnet dan medanB diperoleh dari :
( )MHBatauHB
0
rrr
rr
+=
=
-
Contoh pemakaian syarat batas1. Sebuah bahan magnet linier berbentuk bola berjejari a dan mempunyai
permeabilitas , diletakkan di dalam medan magnet yang semulaseragam . Hitung induksi magnet di dalam dan di luar bola.0B
r
Solusi :
Persoalan ini sama dengan persoalan yang telah dibahas dalam kasus bola dielektrik yang diletakkan dalam medan listrik seragam.
Solusinya adalah dengan persamaan Laplace dalam koordinat bola :
(a). Untuk daerah diluar bola
( ) += cosrCcosrA,r 211*1(b). Untuk di daerah bahan magnet
( ) += cosrCcosrA,r 222*2Konstanta-konstanta A1, A2, C1 dan C2 ditentukan oleh syarat batas.
-
Pada jarak yang jauh dari bola, medan magnet bernilai konstan :
( )[ ]( )[ ]
konstcosrB
konstzBdzH,r
kB,rB
0
0
0
0r
*1
0r
+
=
+===
r
rr
Maka :
= 0
01
BA
Medan magnet dan potensial skalar magnet tidak berharga tak-hingga padasetiap titik, maka C2 = 0.
Pada permukaan bola, medan-medannya bersifat kontinu di permukaan (r = a):
t1t2 HHrr =
n1n2 BBrr =
arr2arr1
ar2ar1
BB
HH
==
====
-
)1(......................sinAsinaCsinB
sinaAsinaCsinaB
HH
231
0
0
221
0
0
ar
*2
ar
*1
ar2ar1
=+
=+
=
=
==
==
)2........(..........cosAcosaC2cosB
rr
BB
231
00
ar
*2
ar
*1
0
r2r1
=+=
=
==
-
Kombinasi persamaan (1) dan (2) menghasilkan : (PR!!!)
( )( )0
30
01
0
02
2aB1C
2B3A
+
=
+=
Induksi medan magnet di dalam bola:
+
=0
02
21
kB3Brr
Induksi medan magnet di luar bola:
( )+
+
+= asinacos3Bra
2
1kBB r0
3
0
001
rrrr
-
1. Sebuah bahan magnet linier berbentuk bola berjejari a dimagnetinasisecara seragan M. Jika tidak ada medan magnet yang lain, tentukanmedan magnet akibat magnetisasi tersebut.
(Solusinya lihat Reitz, Foundation of electromagnetic theory, 4th edition, hal. 240-242).
-
ARUS-ARUS DALAM LINTASAN BAHAN MAGNET
Dalam pembahasan sebelumnya, telah dihitung medan magnet yang dihasilkanoleh arus didalam ruang vakum.
Sekarang, kita bahas sebagai contoh toroid dimana bahannya adalah material feromagnetik yang diasumsikan homogen, isotropik dan asalnya tidakdimagnetisasi.
r
II
Berdasarkan hukum Ampere, medan H sama di setiap titik:
l
lINH
INH
t
t
==
Ht = komponen tangensial
= panjang lintasanr2=lMedan magnet :
t00
tt0t MNI)MH(B +=+= l
Jadi ada penambahan 0Mt dibandingdengan kasus dalam vakum.
-
Jika cincin toroida dipotong sebesar d, maka :
r
II
Berdasarkan hukum Ampere, medan H sama di setiap titiksebelum ada celah d:
lINH1 =
d
Diasumsikan bahwamagnetisasi M seragaramsepanjang bahan feromagnetik :
)titiksetiapdi(0H)celahdalamdi(MH
2
2
==
Namun hal diatas tidak konsisten dengan hukum sirkuit Ampere, karena :
( ) NIMdNIdHHdH 21 +=+= llrrKecuali jika d kecil. Sehingga pendekatan yang benar adalah :
)bahandalamdi(dMH
)celahdalamdi(d1MH
2
2
l
l
=
= Pendekatan ini tidak hanyamemenuhi hukum sirkuit Ampere, namun kontinuitas komponennormal B pada muka-muka kutub.
-
Maka secara umum medan magnet didalam celah dan didalam bahanferomagnetik adalah:
( )
+=+=
ll
rrr
d1MNIB
MHB
00
0
Dimana :
( )HHM m=Untuk besi lunak, m adalah konstanta.
-
BAB IVINDUKSI ELEKTROMAGNETIK
-
Persamaan medan listrik statik:
0dEEx == lrrrrGaya gerak listrik (ggl) dari suatu rangkaian tertutup didefinisikan sebagai:
dtddE == lrr
F adalah fluks yang melewati suatu lintasan tertutup C. Untuk medan statikE dan B, maka gaya gerak listrik ini nol.
INDUKSI ELEKTROMAGNETIK
-
Sedangkan fluks magnet dalam suatu rangkaian adalah:
( )
tBEx
dantBdanEx
Stokesteorema
danBdtddE
danB
SS
SC
S
=
=
=
=
rr
rr
rr
rrlrr
rr
Bentuk diferensial dari Hukum Faraday
Tanda negatif mengindikasikan arah dari ggl untuk melawan perubahan yang menghasilkan ggl tsb.
-
Pandang suatu kawat konduktor lurus dengan panjang l berberak dalam arahtegak lurus terhadap panjang kawat tsb dengan kecepatan v. Kemudian berikanmedan magnet B tegak lurus terhadap bidang dimana kawat bergerak (lihatgambar).
Utara, N
Selatan, S
Br
+
a
b c
d
vr V
Muatan-muatan bebas didalam kawat akan mengalami gaya Lorentz :( )BvEqF rrrr +=Gaya ini akan mendorong muatan positif dan negatif bergerak berlawanan arahmenuju ujung-ujung kawat karena qv x B.
-
Dalam keadaan mantap, jika muatan-muatan bebas tidak bergerak , maka gayatotal pada muatan adalah nol, yaitu medan magnet di setiap titik dalam kawatdiimbangi oleh gaya listrik yang melawan akibat dari pemisahan muatan-muatan.
vBE =Jika medan B seragam, maka E konstan sepanjang kawat, sehingga bedapotensial ujung kawat :
==b
a
EdE llrr
Jika beda potensial ini disebut V, maka :
vBl=VJika B tak-bergantung waktu, maka :
==
0dE
0E
lrr
rr
-
Integral tak-bergantung lintasan, khususnya jika kita bayangkan lintasanabcda diperluas sapai diluar medan magnet, sehingga V juga merupakan bedapotensial sepanjang lintasan bcda. Kenyataannya jika b dan c juga d dan adihubungkan oleh kawat konduktor secara sempurna, maka V adalah bedapotensial antara terminal c dan d diluar medan magnet.
lrr dE
vBl dapat diungkapkan dalam bentuk lain. Fluks yang melalui sirkuit abcda berubah berdasarkan :
vBdtdxB
dtdAB
dtd ll ===
Maka :
dtd=V Bentuk lain hukum Faraday
-
Jika v terorientasi sembarang terhadap panjang kawat , maka hanya komponenv yang tegak lurus terhadap saja yang berkontribusi terhadap V. Karena itu :
ll
vrlr V
Untuk B sembarang, hanya komponen yang tegak lurus terhadap bidangyang berkontribusi pada V.
Karena , maka :
vdan rlr
vbidangv rlrrl
r
( )vB rlrr =V motional emf
-
INDUKTANSI DIRI
Dalam suatu sirkuit yang terisolasi, ada hubungan antara fluks yang melalui sirkuitdengan arus dalam sirkuit tersebut. Jika dalam sirkuit tsb terdapat bahan-bahanyang linier ( = konstan), maka nilai fluks berbanding lurus dengan arus listrik:
IMisalkan sirkuit tersebut stasioner dan pejal, maka perubahan fluks hanyaditimbulkan oleh perubahan arus saja, melalui:
dtdI
dId
dtd =
Untuk bahan linier:
dIdL
IdId == Induktansi diri sirkuit
Sehingga gaya gerak listrik (ggl):
dtdIL=
-
Contoh: Induktansi diri dari suatu kumparan toroida (dalamnya udara)
Dari hukum sirkuit Ampere, magnet induksi didalam lilitantoroida :
R2
NIB 0
=
=l
l
Fluks yang melalui tiap lilitan:
l
rr
AINAIn
ABdanB
00
S1
==
==
N = jumlah lilitan
= panjang lilitanl
Fluks total:l
IAN20=
Induktansi diri:
lAN
IL
20==
-
INDUKTANSI BOLAK-BALIK
21 = fluks yang melalui sirkuit-2 yang ditimbulkan oleh sirkuit-1
Jika ada N-buah sirkuit yang salingberinteraksi, maka:
ij : fluks yang melalui sirkuit ke-i yang ditimbulkan oleh sirkuit ke-j
Fluks yang melalui sirkuit ke-i didefinisikan:
=
==
=N
1j
iji
N
1jiji
dtd
dtd
I1I2
1 2
-
Perubahan fluks yang disebabkan oleh perubahan arus adalah:
dtdI
dId
dtd
dtdI
dId
dtd
jN
1j j
iji
j
i
ijij
=
=
=
Maka induktansi bolak balik antara sirkuit ke-I dan ke-j adalah:
dtdI
Mdt
d
dId
M
jN
1jij
i
j
ijij
=
=
=
Jika semua sirkuit terletak di dalam medium linier, maka Mij tidak bergantungpada arus-arus, namun tergantung pada geometri sirkuit saja).
iii
ijji
LM
MM
==
-
Contoh perhitungan indukstansi bolak-balik dalam kumparan toroida. Sebuahtoroida mempunyai 2-lapisan lilitan (lilitan dalam dan lilitan luar).
Jika N1 = jumlah lilitan dalam dan I1 adalah arus lilitan dalam, sedangkan N2: jumlah lilitan luar dengan arus I2, maka induktansi bolak-balik adalah:
1
2121 I
M =
Induksi magnet yang ditimbulkan oleh lilitan dalam:
toroidarataratakelilingINB 110 == ll
simetrisANNM
ANNM
AINNNAB
21012
21021
1210221
=
=
==
l
l
l
-
Induktansi diri masing-masing lilitan adalah:
toroidadalamLLMM
ANL;ANL
212112
220
2
210
1
==
== ll
Persamaan diatas menyatakan bahwa induktansi bolak-balik antara dua sirkuitselalu lebih kecil atau sama dengan akar dari perkalian induktansi diri masing-masing sirkuit. Karenanya secara umum, sering ditulis:
1k;LLkM 2112 =
Dimana k adalah koefisien gandeng.
|k| = 1 seluruh fluks dari sirkuit-1 masuk melalui sirkuit-2. |k| < 1 tidak semua fluks dari sirkuit-1 melalui sirkuit-2 k > 0 atau k < 0 tergantung dari bertambah besar atau kecilnya fluks yang
melalui lititan.
-
RUMUS NEUMANN
Untuk dua sirkuit dalam medium linier, induktansi bolak-balik dinyatakan dengan:
1
2121 I
M =Induksi magnet di sirkuit-2:
( ) ( ) =1C
32
121102
rrrrxd
4IrB rr
rrlr
rr
( )2
1C3
2
121
2
10
2S221
danrr
rrxd4
I
danB
rrrrrl
r
rr
=
=
-
( )
( )
2
2S 1C2
12
10
2
1C 2
12
2S
1021
221
012
22
12
2213
2
121
2
1C3
2
121
2
1021
danrr
dx4
I
danrr
dx4
I
rr1xddx
rr1
rrdxdari
rr1xd
rrrrxd
danrr
rrxd4
I
rrr lrr
rrr lrr
rrr
lr
43421 lrr
rrrr lrr
rrr
lr
rrrrl
r
rrrrrl
r
=
=
=
=
=
=
-
22S 1C2
12
1021 danrr
dx4
I rrr lrr
=
Teorema Stokes: ( )
=
=
2C 1C 12
212
2S 1C 12
12
CS
rrdddan
rrdx
dEdanEx
rr lr
lr
rrr lrr
lrrrrr
Maka induktansi bolak-balik menjadi:
=
=
1C 2C'
22
'220
2
2C 1C 12
21021
rrdd
4L
rrdd
4M
rrlr
lr
rr lr
lr
Rumus Neumann
-
INDUKTANSI RANGKAIAN SERI
R1 L1 L2 R2
dtdI,I
M
V
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
dtdIM2LLRRIV
dtdIML
dtdIMLRRIV
RRIV
2121
2121
2121
++++=
+++++=+=++
Sehingga rangkaian menggambarkan suatu resistor denganresistansi/tahanan R1 + R2 seri dengan suatu induktansi L1 + L2 + 2M.
-
Besarnya induktansi :
1. L1 + L2 + 2|M| untuk kopoling positif ( fluks akibat I1 dan I2 dalam masing-masing koil searah).
2. L1 + L2 - 2|M| untuk kopoling negatif.
Induktansi bolak balik :
1k1;LLkM 21 =Induktansi efektif dari rangkaian seri :
2211eff LLLk2LL ++=
-
INDUKTANSI RANGKAIAN PARALEL
dtdIM
dtdILV
dtdIM
dtdILV
122
211
+=
+=
R1 L1
L2R2
M
V
1I
2I
Dalam kasus rangkaian paralel, tidak mungkin untuk mendefinisikan induktansiefektif dan resistansi efektif sebagai fungsi dari R1 , R2 , L1 dan L2 .
Namun bila R1 dan R2 diabaikan, maka :
-
Dengan mengeliminasi dI1/dt kemudian dI2/dt, diperoleh :
( )( ) dt
dIM2LL
MLLV
dtdIMLL)ML(V
dtdIMLL)ML(V
21
221
22211
12212
+=
=
=
Sehingga induktansi efektif dari dua induktor paralel :
M2LLMLLL
21
221
eff +=
Dimana tanda dari M bergantung pada cara dari kedua konduktor dihubungkan.
-
BAB VENERGI MAGNET
-
Jika suatu sumber tegangan V diberikan pada suatu sirkuit, secara umum arusyang melalui sirkuit adalah :
V + = IRDimana adalah induksi emf (ggl) dan R adalah resistansi.Kerja yang dilakukan V dalam pertambahan muatan dq = I dt melalui sirkuit :
V dq = V Idt = - I dt + I2R dt= I d + I2R dt
Suku I2R dt menggambarkan konversi irreversible dari energi listrik menjadipanas oleh sirkuit, suku ini juga menyerap seluruh kerja jika tak ada perubahanfluks (d = 0).Suku I d adalah kerja untuk melawan ggl dalam sirkuit, yang merupakanbagian kerja yang dilakukan V dalam pergantian struktur sifat magnet.
dWb = I dDimana indeks b menunjukkan kerja dilakukan oleh sumber energi listrik luar(misalnya batere). Kerja ini berharga positif, jika perubahan fluks yang melaluisirkuit d searah dengan fluks yang dihasilkan oleh arus I.
-
Untuk sirkuit stasioner (tak ada kebocoran energi selain panas), maka suku dWbsama dengan perubahan energi magnet dalam sirkuit.
A. ENERGI MAGNET DARI SIRKUIT TERGANDENG
Jika ada n buah sirkuit dimana arusnya saling berinteraksi, maka kerja listrikyang dilakukan untuk melawan ggl (induksi emf) adalah :
i
n
1iib dIdW =
=Jika di dihasilkan oleh perubahan arus dalam n sirkuit itu sendiri, makaperubahan fluks menjadi :
j
n
1jijj
n
1j j
iji dIMdIdI
dd
====
Untuk sirkuit stasioner, maka tidak ada kerja mekanis yang berkaitan denganperubahan fluks di sehingga dWb sama dengan perubahan dalam energimagnet dU dari sistem.
-
Jika nilai arus akhir dari sirkuit-sirkuit ini adalah I1, I2, , In maka :
Dimana a adalah fraksi dari arus dan fluks total, maka :
i
n
1ii
1
0i
n
1ii
1
0i
n
1i
'ib
I21
dIIddW
=
==
=
==
Sehingga energi magnet dari n-sirkuit yang tergandeng :
j
n
1jiji
n
1ii dIMI2
1U ==
==
==
ddII
ii
i'i
-
Untuk rangkaian/sirkuit pejal dan medium magnetnya linier, maka :
n1nn,1n3223
n1n131132112
2nn
211
211
j
n
1i
n
1jiij
IIM...IIMIIM...IIMIIM
IL21...IL
21IL
21
IIM21U
= =
+++++++
+++=
=
Dimana : Mij = MjiMii = Li
Jika hanya dua rangkaian yang tergandeng, maka energi magnetnya :
MM
IL21IIMIL
21U
12
22221
211
=++=
-
Jika didefinisikan :
( ) 0LMx2xLI21U
IIx
22
122
2
1
++=
=
Nilai x yang menghasilkan U minimum (maksimum) diperoleh dengan :
1
1
LMx
0MxL
0dxdU
==+
=
Energi magnet U 0 untuk sembarang nilai x, khususnya nilai minimum U adalah lebih besar atau sama dengan nol.
221
21
2
1
2
MLL
0LLM2
LM
+
-
Untuk rangkaian/sirkuit tunggal :
L21LI
21I
21U
LI2
2 ====
B. RAPAT ENERGI DALAM MEDAN MAGNET
Pandang suatu kelompok rangkaian berarus diletakkan dalam medium dengansifat magnet linier.
Jika diasumsikan masing-masing rangkaian hanya terdiri dari satu loop saja, maka fluks I diungkapkan sebagai :
==iS iC
ii IdAdanBrrrr
Dimana A adalah potensial vektopr lokal. Energinya :
ii iC
i dIAI21U = r
-
Untuk sejumlah sirkuit Ci, maka :
=
Vi iC V
ii
dvAJ21U
dvJIdI rrrr
( ) ( ) ( )( ) ( ) =
==
V S
danHA21dvAH
21U
:makaHAAHHA
JH
rrrrrr
rrrrrrrrrrrr
Dimana S adalah permukaan yang dilingkupi oleh volume V.
Kontribusi integral permukaan menjadi hilang, jika S menjadi tak-hingga, sehingga :
( )ABdvBH
21U
V rrr
rr
=
=
-
Rapat energi di dalam medan magnet :
BH21u
rr =Untuk kasus bahan magnet isotropik dan linier (B = H), maka :
==2
2 B21H
21u
C. GAYA DAN TORQUE PADA SIRKUIT PEJAL
Pandang salah satu bagian dari sistem membuat perpindahan dr akibatpengaruh gaya-gaya magnet yang bekerja padanya, semua arus tetap konstan.
Kerja mekanis oleh gaya F yang bekerja pada sistem :
dUdWrdFdW b == rr
Dimana dU adalah perubahan energi magnet dalam sistem dan dWb adalahkerja oleh sumber energi luar untuk melawan induksi emf (ggl) sehingga arustetap konstan.
-
Jika geometri sistem diubah oleh pergerakan satu bagian dari sistem atau lebih, tetapi arusnya konstan, maka :
Ix
b
ii
ib
ii
i
dxdUF
UF
rdFdU
dU2dWdIdW
dI21dU
==
=
=
=
=
rrrr
Gaya pada sirkuit adalah gradien dari energimagnet, jika I dijaga konstan.
-
Jika gerak sirkuit dibuat sedemikian rupa sehingga ia berotasi disekitarsumbunya, maka :
332211 dddddW ++==rr
Dimana adalah torque magnet pada sirkuit dan d adalah pergeseran sudut. Dalam kondisi ini :
I33
I22
I11
U;U;U
=
=
=
Kedua persamaan diatas untuk arus konstan adalah analog dengan kasus listrikstatik untuk potensial konstan, dimana kerja batere diperlukan untuk menjadaagar potensial konstan.
Fluks yang melewati sirkuit dapat dijaga konstan, maka dWb = 0 dan sistemdikatakan terisolasi, akibatnya :
=
=
==
11x
U;xUF
dUdWrdF rr
-
BAB VIPERSAMAAN MAXWELL
-
A. GENERALISASI HUKUM AMPERE
Medan magnet akibat distribusi arus memenuhi hukum Ampere :
= danJdH rrlrrNamun hukum Ampere terkadang tidak dapat digunakan, karena itu perlugeneralisasi yang selalu berlaku.
Pandang suatu sirkuit yang terdiri dari suatu kapasitor pelat sejajar yang kecildiberi arus konstan I.
S1
S2
( )tI
Kontur C
kapasitor
-
Jika hukum Ampere diterapkan pada kontur C dan permukaan S1 :
)1........(IdanJdHC 1S == rrlrr
Namun jika hukum Ampere diterapkan pada kontur C dan permukaan S2 :
)2.......(0danJdHC 2S == rrlrr
Kedua persamaan diatas kontradiktif, karena itu keduanya salah. Persamaan (1) dianggap benar, karena ia tidak bergantung pada kapasitor, sedangkanpersamaan (2) perlu dimodifikasi karena kehadiran pelat kapasitor.
Jika permukaan S2 dan S1 membentuk suatu permukaan tertutup S, maka n disetiap titik dibuat keluar dari permukaan S, sehingga :
=S
IdanJ rr
Dimana tanda minus datang dari perubahan arah normal. Disisi lain, integral permukaan dari persamaan (1) dan (2) sama dengan integral garis H disekitarkurva C yang sama.
-
Dengan pendekatan ini, maka :
==CS C
0dHdHdanJ lrr
lrrrr
Tanda minus timbul dari perubahan C dalam kasus permukaan S1. Sekarangkontradiksi timbul dari bentuk arus I yang diasumsikan mengalir kedalam volume yang dilingkupi permukaan S menjadi nol. Inilah ketidakkonsistenan denganhukum Ampere. Arus yang mengalir kedalam volume kenyataannya tidak samadengan nol, namun sama dengan laju perubahan muatan pada keping kapasitor(hukum kekekalan muatan).
Ketidakkonsistenan ini dapat diselesaikan dalam formulasi hukum Ampere yang lain :
JHrrr =
Namun divergensi dari curl sembarang vektor itu nol, sehingga :
( ) 0H = rrrDisisi lain dari hukum kekekalan muatan (kontinuitas arus listrik ) :
0t
J =+ rr
-
Sehingga ada ketidakkonsistenan antara hukum Ampere dengan persamaankontinuitas arus listrik, karena :
( )t
J
0JH
=
==rr
rrrrrHukum Ampere
Kontinuitas arus listrik
Sangatlah sulit untuk memodifikasi agar kedua persamaan diatas konsisten. Cara untuk memodifikasi adalah dengan mengubah suku sebelah kanan darihukum Ampere dengan suatu vektor yang divergensinya nol.
Dengan menggunakan hukum Gauss :
( )0
tDJ
0Dt
J
D
=
+
==
=
rrr
rrrr
rr
Sehingga persamaan kontinuitas arus listrik menjadi :
Disini diasumsikan bahwa D adalahfungsi kontinu dari ruang dan waktudimana turunannya dapat ditukar.
-
Sehingga hukum Ampere dapat ditulis :
=+=
DtDJH
r
rrrr
pergeseran arus
B. PERSAMAAN MAXWELL
Persamaan Maxwell merupakan generalisasi dari keempat hukum dalam listrikdan medan magnet :
0B
DtBE
tDJH
===+=
rrrr
rrr
rrrrHukum Ampere
Bentuk diferensial hukum Faraday
Hukum Gauss
Medan magnet bersifat dipol
-
C. ENERGI ELEKTROMAGNETIK
Energi potensial listrik statik dari sistem muatan yang menghasilkan medan listrik :
=V
E dvDE21U
rr
Energi yang disimpan dalam medan magnet :
=V
M dvBH21U
rr
Dari hukum Ampere yang diperluas dan bentuk diferensial hukum Faraday :
( ) ( ) JEtDE
tBHHEEH
rrrrrrrrrrrr
=Suku kiri dapat dikonversi dengan bantuan persamaan identitas :
( ) ( ) ( )( ) JE
tDE
tBHHE
GFFGGF
rrrrrrrrr
rrrrrrrrr
=
=Menghasilkan :
-
BH21
tH
t21H
tH
tBH
DE21
tE
t21E
tE
tDE
2
2
rrrrrrr
rrrrrrr
=
==
=
==
Jika persamaan diatas diterapkan dalam medium, dimana D(t) sebanding denganE(t) dan B(t) sebanding dengan H(t) [konstanta-konstanta pembandingnya takbergantung waktu], maka :
Sehingga persamaan sebelumnya menjadi :
( ) ( ) EJHBDE21
tHE
rrrrrrrrr +=
Turunan waktu dari jumlahrapat energi listrik dan magnet
Dalam banyak kasus J = gEadalah negarif laju pemanasanpersatuan volume (g adalahkonduktivitas listrik).
-
Bentuk integrasi terhadap volume V yang dilingkupi permukaan S :
( ) ( ) dvEJdvHBDE21
dtddvHE
VVV
rrrrrrrrr += Dengan menerapkan terome divergensi pada suku sebelah kiri, maka :
( ) ( )
( ) ( ) danHEdvHBDE21
dtddvEJ
dvEJdvHBDE21
dtddanHE
SVV
VVS
rrrrrrrrr
rrrrrrrrr
++=
+=
Sehingga jelas bahwa bagian J E terdiri dari dua bagian :1. Laju perubahan energi elektromagnetik yang disimpan dalam volume V
2. Integral permukaan.
-
( ) ( ) danHEdvHBDE21
dtddvEJ
SVV
rrrrrrrrr ++= Suku sebelah kiri merupakan daya yang ditransfer kedalam medanelektromagnetik melalui gerakan muatan-muatan bebas dalam volume V. Jikatidak ada sumber emf/ggl dalam V, maka suku sebelah kiri berharga negatif dansama dengan minus produksi panas Joule persatuan waktu. Namun dalamkasus tertentu bisa berharga positif.
Pandang partikel bermuatan q bergerak dengan kecepatan konstan v dibawahpengaruh kombinasi gaya mekanis, listrik dan magnet, maka laju dimana kerjamekanis bekerja pada partikel :
( ) vEqvBvEqnFm rrrrrrrr =+=Rapat arus dapat didefinisikan :
iii
i vqNJrr =
Maka laju dimana kerja mekanik persatuan volume (rapat daya) ditransferkedalam medan elektromagnetik :
JEvFN imi
i
rrrr =
-
Karena integral permukaan hanya meliputi medan listrik dan medan magnet, inimemungkinkan untuk mengintrepetasikan bagian ini sebagai laju energi yang melalui permukaan tertutup. Sehingga persamaan :
( ) ( ) dvHEdvHBDE21
tdvEJ
VVV
rrrrrrrrr ++=
Menggambarkan kekekalan energi dalam volume tertentu V.
Jika didefinisikan :
( )
EJtuS
HBDE21u
HES
rrrr
rrrr
rrr
=+
+==
Maka :
= vektor Poynting
jelas J E = kerja yang dilakukanoleh medan lokal pada partikel-partikel bermuatan persatuan volume.
Jika S = 0 merupakan hukum kekekalan energi lokal : laju perubahan energimedan sama dengan disipasi daya persatuan volume persatuan waktu di setiaptitik.
= rapat energi listrik dan magnetik
-
Jika S 0 tetapi J E = 0, maka :
0tuS =+ rr Persamaan kontinuitas untuk muatan, kecuali jika rapat energi u berperan
dalam rapat muatan .
Jika persamaan diatas menggambarkan kekekalan energi, maka Smerupakan divergensi dari suatu rapat arus energi atau laju aliran energipersatuan luas.
Umumnya:
HESrrr = merupakan aliran energi lokal persatuan waktu dan luas.
-
D. PERSAMAAN GELOMBANG
Salah satu konsekuensi penting dari persamaan Maxwell adalah persamaanpropagasi gelombang elektromagnetik dalam medium linier. Persamaangelombang untuk H :
tDJH
tDJH
+=
+=
rrrrrrr
rrrr
Dengan bantuan :
EgJ
EDrrrr
==
Maka :
tEEgH +=rrrrrrr
-
tH
tBE
==
rrrrDengan bantuan persamaan Maxwell dan B = H, maka :
)1.(....................0tHg
tHH
tH
tHgHH
tH
tHgH
2
22
2
22
0
2
2
=
=
=
=
rrrr
rrrr321rrr
rrrrr
-
22
tE
tEg
tDJ
tBE
==
=rr
rrrrrrrrrUntuk medan E, juga berlaku :
)2.(....................0tEg
tEE 2
22 =
rrrr
Kedua persamaan gelombang (1) dan (2) merupakan persamaan gelombang yang dibangun medan elektromagnetik dalam medium linier dan homogen dimana rapatmuatannya nol tanpa memperdulikan apakah mediumnya konduktor atau bukankonduktor. Persamaan (1) dan (2) merupakan konsekuensi penting daripersamaan Maxwell (persamaan Maxwell dipenuhi).
Untuk menyelesaikan persamaan gelombang tsb, perlu diperlukan perhatiankhusus dalam menyelesaikan persamaan Maxwell.
-
E. GELOMBANG MONOKROMATIK
Gelombang monokromatik adalah gelombang dimana medan-medannya dicirikanoleh frekuensi tunggal.
( ) ( ) ( ) ( )+== tcosrEerEt,rE ti rrrrrrJika disubstitusikan ke dalam persamaan gelombang :
{ } 0EgiEEe0
tEg
tEE
22ti
2
22
=++=
rrrr
rrrr
1. Dalam ruang hampa (vakum)
Dalam vakum, g = 0, = 0, dan = 0. Jika medan E(r) berubah hanya dalam1-dimensi (misalnya arah-z), maka persamaan gelombang menjadi :
( )
200
2
2
2
c1
0Ecdz
zEd
==
+ r
r
-
Persamaan gelombang diatas disebut persamaan Helmholtz secara matematissama dengan persamaan osilator harmonik dengan solusinya :
( ) ( )c
tankonsvektorE
ziexpEzE
0
0
==
=r
rr
Secara lengkap : ( ) ( ){ }( ) ( )( ) ( )c/ztcosEt,rE
realbagianztcosEt,rE
ztiexpEt,rE
0
0
0
mrrr
mrrr
mrrr
=
==
Menggambarkan perambatan gelombang sinusoidal ke arah kanan atau kiridalam arah-z (bergantung tanda minus dan plus yang digunakan). Kecepatanpropagasi gelombang adalah c. Jika cahaya adalah suatu bentuk radiasielektromagnetik, maka persamaan Maxwell memperkirakan bahwa kecepatancahaya dalam vakum:
s/m10x9979,21c 800==
-
Frekuensi gelombang dan panjang gelombang didefinisikan :
=
= 2;2
f
2. Dalam medium dielektrik non-magnetik dan non-kondukting
Dalam medium ini, g = 0, = 0 dan = K0, maka persamaan gelombangnyasama dengan dalam vakum, kecuali :
c/K=Dengan mendefinisikan , persamaan gelombang E sama denganvakum kecuali kecepatan propagasi gelombang menjadi c/n. Besaran n disebut indeks bias dari medium dielektrik (untuk vakum n = 1).
Kn =
3. Dalam medium kondukting
0EgiEE 22 =++ rrrr
Dalam medium ini, g > 0, sehingga suku ketiga dalam persamaan diatas eksis. Jika g kecil, maka gelombang dikatakan teredam.
-
Jika nilai g kecil, maka suku ketiga lebih kecil dibandingkan dengan suku kedua, maka :
-
Dari tracing penurunan persamaan :
0EgiEE 22 =++ rrrr
Dari persamaan Maxwell, suku kedua atau 2E/t2 diturunkan dari pergeseranarus D/t, sedangkan suku ketiga atau E/t diturunkan dari arus transport J. Sehingga eksistensi propagasi gelombang elektromagnetik bergantung padapergeseran arus dalam persamaan Maxwell. Tanpa pergeseran arus, hanya adamedan yang meluruh secara eksponensial.
F. SYARAT-SYARAT BATAS
Syarat-syarat batas yang harus dipenuhi oleh medan-medan listrik dan magnet pada interface antara dua media diturunkan dari persamaan Maxwell.
0B = rr
Pada sembarang interface antara dua media dapat digambarkan oleh suatupermukaan silinder (lihat gambar).
1. Syarat batas medan magnet induksi B
-
AS1
S2
h
1nr
2nr
1
2
=++=
==
S 3S3
2S2
1S1
V S
0danBdanBdanBdanB
0danBdvB
rrrrrrrr
rrrr
S33nr
Teorema divergensi :
Jika h 0, maka suku ketiga menjadi nol, dan secara geometris S1~ S2. Karena normal n1 berlawanan arah dengan normal n2, maka berlaku :
n2n1 BB = Komponen normal dari medan magnet Badalah kontinu pada interface
-
Komponen tangensial dari medan listrik dapat diperlakukan dengan cara yang sama. Hal ini sekali lagi berdasarkan persamaan Maxwell :
( ) ==
+
S S
dantBdanE
0tBE
rr
rrr
rrr
1
2
l1h
2h
Dengan menerapkan teorema Stokes, maka :
=++S
n22n11n22n11t2t1 dantB'Eh'EhEhEhEE rr
ll
Jika loop dibuat tipis (h1 0 dan h2 0), maka keempat suku terakhir dalamruas kiri dan ruas kanan adalah nol, sehingga :
t2t1
t2t1
EE
0EE
=
= ll
Komponen tangensial dari medan listrik E haruskontinu pada interface
2. Syarat batas medan listrik E
-
3. Syarat batas pergeseran listrik D
Syarat batas pada komponen normal pergeseran listrik lebih kompleks, namunjuga dapat diturunkan dari salah satu persamaan Maxwell :
= DrrDengan cara yang sama seperti dalam penurunan syarat batas medan B dapatditurunkan dengan silinder tipis pada permukaan batas dua media yang berbeda
dvdvDVV
= rrDengan menerapkan teorema divergensi, dan h 0, maka :
( ) = n2n1 DDDimana adalah rapat muatan permukaan pada interface. Umumnya 0, sehingga syarat batas menjadi kompleks, namun muatan listrik harus kekal :
tJ
= rr
Sehingga dapat dibuat penyederhanaan.
-
Dengan mengintegralkan persamaan kekekalan muatan listrik dan silinder dibuattipis h 0, maka :
( )t
JJ n2n1 =
Jika hanya radiasi monokromatik yang ditinjau, rapat muatan permukaan harusberubah dengan e-it sehingga ruas kanan persamaan diatas menjadi i.Dengan substitusi D = E dan J = gE, maka diperoleh :
==iEgEg
EE
n22n11
n22n11
Beberapa kasus khusus :
(a). Jika = 0, maka :
2
2
1
1
gg=
benar jika dipilih material yang sesuai atau jika g1 = g2 = 0 atau . Kondisi g1= g2 = 0 dapat direalisasi pada interface antara dua dielektrik yang baik.
-
(b). Jika 0 (kasus umum), maka :
0EgiEgi n222n111 =
+
+(c). Jika salah satu konduktivitasnya tak-hingga, g2 = , maka :
1n1
n2
E
0E
=
=
4. Syarat batas intensitas magnet H
Syarat batas komponen tangensial juga dapat diturunkan denganmengintegralkan persamaan Maxwell terhadap permukaan yang ditutupi olehloop, seperti dalam kasus komponen tangensial medan listrik:
tDJH +=rrrr
-
Jika loop dibuat tipis, maka kondisi batas menjadi :
= jHH t2t1Dimana j adalah komponen rapat arus permukaan yang tegak lurus terhadaparah komponen-H yang sesuai. Ide rapat arus permukaan adalah analog dengan rapat muatan permukaan yang menggambarkan suatu arus berhinggadalam suatu lapisan tak-hingga. Rapat arus permukaan menjadi nol, kecualijika konduktivitasnya tak-hingga, karenanya untuk konduktivitas berhinggaberlaku :
t2t1 HH =Artinya komponen tangensial H bersifat kontinu, jika salah satu medium memiliki konduktivitas tak-hingga.
Jika g2 = , maka E2n = 0.Bentuk umum untuk medium-2 berdasarkan persamaan Maxwell :
22
2 JtDH
rrrr =
-
Dengan menggunakan hubungan D2 = E2 dan J2 = gE2, dan diasumsikan E2berubah terhadap waktu sesuai e-it menghasilkan :
( )222
2 Hig1E
rrr =
Persamaan diatas mengimplikasikan bahwa E2 = 0 dalam medium yang konduktivitasnya tak-hingga.
Dengan asumsi yang sama, maka :
Sehingga jika E2 = 0 , maka H2 = 0. Dengan demikian syarat batas padakomponen tangensial H pada interface dimana konduktivitas salah satumediumnya tak-hingga, maka :
( )22
2 Ei1H
rrr =
= jH t1
-
Tabel. Syarat-syarat medan medan listrik, pergeseran listrik, medan magnet induksi dan intensitas medan magnet untuk kasus g = 0, g = dan g sembarang.
B2n = 0B1n = 0
H2t = 0H1t = j
D2n = 0D1n =
E2t = 0E1t = 0
g2 =
B1n = B2nH1t = H2tE1t = E2tg1 , g2sembarang
B1n = B2nH1t = H2tD1n = D2nE1t = E2tg1 = g2 = 0
BnHtDnEtg
n11
1 Egi
+
n22
2 Egi
+=
-
BAB VIIRADIASI ELEKTROMAGNETIK
-
A. PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN SUMBER
Dalam pembahasan persamaan gelombang elektromagnetik monokromatik, sebelumnya diasumsikan bahwa rapat muatan di dalam medium nol dan hanyaada sumber arus J yang timbul dari respon pasif suatu medium ohmik terhadapgedan listrik dari gelombang.
Dalam pembahasan kali ini, akan diturunkan persamaan gelombang EM dimanaterdapat sumber muatan dan arus yang diberikan oleh distribusi muatan (r, t) dandistribusi arus J (r,t).
Karena divergensi induksi magnetik B adalah nol, maka dapat diungkapkan dalamsurl suatu potensial vektor. ( )
)1...(....................AB
0ABrrr
rrrrr
===
Dengan menerapkan salah satu persamaan Maxwell :
( ) 0At
E
tBE
=+=
rrrr
rrr
-
Dengan mengasumsikan bahwa turunan medan dalam ruang dan waktu dapatditukar, maka :
0tAE =
+rrr
Maka medan E dapat diungkapkan dalam gradien suatu skalar :
)2......(....................tAE =rrr
Persamaan (1) dan (2) merupakan bentuk medan magnet dan medan listrikdalam potensial vektor dan skalar. Dengan substitusi pers. (1) dan (2) kedalampersamaan Maxwell, dengan bantuan D = E dan B = H :
JtA
tA1
tDJH
rrrrrr
rrrr
=
+
+
+=
-
Dengan menggunakan hubungan :
( ) Jtt
AAA
JtA
tA
2
22 rr
rrrrrr
rrrrrr
=+
+
=
+
+
Defisinikan kondisi Lorentz (gauge Lorentz) :
JtAA
0t
A
2
22 r
rrr
rr
=
=+
Maka :
Dengan bantuan persamaan (2) dan persamaan Maxwell, diperoleh :
=
+
tArrrr
Persamaan gelombang tak-homogen dari potensial vektor.
-
Pertukaran urutan divergensi dan turunan waktu pada A dan denganmenggunakan kondisi (gauge) Lorentz, menghasilkan :
=
22
2
tPersamaan gelombang tak-homogen dari potensial skalar.
Solusi untuk persamaan gelombang tak-homogen analog dengan solusi umumpersamaan Poisson, yang terdiri dari solusi umum persamaan homogen dansolusi khusus persamaan tak-homogen.
Persamaan gelombang potensial skalar tak-homogen dikuran
