Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk a kri3kus pontok vagy határciklusok stabilitását. Ilyen esetekben a Lyapunov függvény Használata, és a Lyapunov stabiltás analizís segíthet bennünket. 1. Hamilton rendszerekkel fogunk foglalkozni. 2. A Lyapunov stabilitás analizist tanuljuk meg.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás
Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek
Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk a kri3kus pontok vagy határciklusok stabilitását. Ilyen esetekben a Lyapunov függvény Használata, és a Lyapunov stabiltás analizís segíthet bennünket.
1. Hamilton rendszerekkel fogunk foglalkozni. 2. A Lyapunov stabilitás analizist tanuljuk meg.
A Hamilton rendszerek síkban
Egy kétdimenziós differenciálegyenlet rendszer egyszabadság fokú Hamilton Kpusú rendszer, ha a következő alakban írható:
€
dxdt
= ˙ x = ∂H(x, y)∂y
dydt
= ˙ y = −∂H(x, y)∂x
ahol H(x,y) mindkét változó szerint kétszer differenciálható függvény. Ezt nevezzük Hamilton függvénynek
Egy ilyen rendszer egy H(x,p) egyszabadsági fokú mechanikai rendszerrel ekvivalens.
A Hamilton függvény felírható mint:
€
H(x,y) = T(x,y) +V (x,y)
mozgási energia helyzeK energia
€
˙ x = ∂H∂p
€
˙ p = −∂H∂x
Egy Hamilton rendszer konzerva3v (az össz energia megmarad egy trajektórián a dinamika során )
€
dH[x(t),y(t)]dt
=∂H(x,y)∂x
dxdt
+∂H(x,y)∂y
dydt
=∂H∂x
∂H∂y
−∂H∂y
∂H∂x
= 0
€
H[x(t),y(t)] konstans a trajektóriák mentén
Példa: fizikai inga
€
L(θ, ˙ θ ) = T(θ, ˙ θ ) −V (θ, ˙ θ ) =m2ddt
lθ( ) −mgl 1− cos(θ)( )
€
θ
m
l
g
Euler-‐Lagrange egyenletek
€
ddt
∂L(θ, ˙ θ )∂ ˙ θ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = −
∂L(θ, ˙ θ )∂θ
€
ml2 ˙ ̇ θ +mglsin(θ ) = 0
€
˙ ̇ θ +gl
sin(θ) = 0
€
˙ θ = φ
˙ φ = −gl
sin θ( )
€
H(θ,φ) =φ 2
2−glcos θ( )
A fizikai inga, mint dinamikus rendszernek a tárgyalása
€
˙ θ = φ
˙ φ = −gl
sin θ( )KriKkus pontok:
€
(nπ,0)
€
π
€
2π
€
3π0
€
θ€
φ
€
−π
€
−2π
€
0 1−glcos(θ ) 0
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
€
0 1−gl0
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
€
0 1gl0
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
Jacobi mátrix
Ha n páros
Ha n páratlan €
λ1,2 = ±i gl
€
λ1,2 = ±gl
nemhperbolikus kriKkus pont
nyeregpontok
Trajektóriák:
€
H θ,φ( ) =φ 2
2−glcos θ( ) = C
görbék
nyeregpontok
nemhiperbolikus kriKkus pont
€
H(x,y) =y 2
2− cos x( )
nyeregpontok
nemhiperbolikus kriKkus pontok
Ha adoY az síkbeli dinamika, amelynek a Jacobi mátrixa J, akkor azt mondjuk, hogy a kriKkus pontok nemelfajultak, ha a J-‐nek nincs 0 sajátértéke. Ha J-‐nek 0 a sajátértéke, akkor a kriKkus pont elfajult.
€
˙ x = f ( x )
Tétel: Egy 2d Hamilton rendszer minden nemelfajult kriDkus pontja vagy nyeregpont vagy center.
Bizonyítás: Tételezzük fel, hogy a kriKkus pont az O(0,0) …origó. A Jacobi mátrix:
€
J(0,0) = J0 =
∂ 2H∂x∂z
0,0( ) ∂ 2H∂y 2
0,0( )
∂ 2H∂x 2
0,0( ) −∂ 2H∂y∂x
0,0( )
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
€
Tr(J0) = 0
€
det J0( ) =∂ 2H∂x 2
0,0( )∂2H∂y 2
0,0( ) − ∂ 2H∂x∂y
0,0( )⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
Ha
€
det(J0) < 0det(J0) > 0
nyeregpont center
Példák: Határozzuk meg a Hamilton függvényét a követlező dinamikai rendszereknek, és rajzoljuk fel a fázis-‐portréjukat
1.
€
˙ x = y˙ y = x + x 2
€
H(x,y) =y 2
2−x 2
2−x 3
3trajektóriák
€
H(x,y) = C
KriKkus pontok:
€
O(0,0)P(−1,0)
€
J =0 1
1+ 2x 0⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
JP =0 1−1 0⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
J0 =0 11 0⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
λ1,2 = ±1€
λ1,2 = ±i
nyeregpont
nemhiperbolikus center
€
v+1 =11⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
v−1 =1−1⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
center
nyeregpont
€
˙ x = y + x 2 − y 2
˙ y = −x − 2xy
2.
€
H(x,y) =x 2
2+y 2
2+ x 2y − y
3
3
KriKkus pontok:
€
O = (0,0)A = (0,1)
B = ( 32,− 12)
C = (− 32,− 12)
€
J =2x 1− 2y
−1− 2y −2x⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
J0 =0 1−1 0⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
JA =0 −1−3 0⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
JB =3 20 − 3
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
JC =− 3 20 3
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
λ1,2 = ±i center
€
λ1,2 = ± 3
€
λ1,2 = ± 3
€
λ1,2 = ± 3
nyeregpont
nyeregpont
nyeregpont
€
v 3 =1−1⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
v− 3 =
11⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
€
v 3 =10⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
€
v− 3 =
1− 3⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
v 3 =13
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
v− 3 =
10⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
€
H(x,y) =x 2
2+y 2
2+ x 2y − y
3
3= C
Trajektóriák:
nyeregpontok
center
Legyen egy kriKkus pont. Ha , akkor egy homoklinikus orbitál.
€
x0
€
Λ+(γ) = Λ−(γ) = x0Tekintsünk egy 2d dinamikus rendszert.
€
γ
homoklinikus orbitál
-‐egy homoklinikus orbitál egy kriKkus pontot önmagával köK össze -‐ Végtelen idejű dinamika kell, hogy az összekötés megvalósuljon
Tekintsünk egy 2d dinamikus rendszert.
Legyen és két krKkus pont. Ha és , akkor egy heteroklinikus orbitál.
€
x0
€
y0
€
Λ+(γ) = x0
€
Λ−(γ) = y0
€
γ
Heteroklinikus orbitálok
szeparatrix Egy olyan orbitál ami fázissíkot két dinamikailag kalitaKven különböző doméniumra ossza
A homoklinikus és heteroklinikus orbitálok példák szeparatrix-‐re
€
˙ x = −∂U∂x
˙ y = −∂U∂y €
U(x,y)
€
dUdt
=∂U∂x
dxdt
+∂U∂y
dydt
= −∂U∂x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ 2
+∂U∂y
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ ≤ 0
Potenciálmódszer a kriDkus pontok stabilitásának a viszgálatára
“potenciálfüggvény”
Egy trajektória mentén a potenciálfüggvény csökken.
kriKkus pontok:
€
˙ x = 0˙ y = 0
€
∂U∂x
= 0
∂U∂y
= 0
lokális maximumok vagy minimumai a potenciálfüggvénynek
lokális maximum instabil kriKkus pont lokális minimum stabil kriKkus pont
Példa
€
˙ x = x − x 3
˙ y = −yKriKkus pontok:
€
O(0,0)A(−1,0)B(1,0)
€
J =1− 3x 2 00 −1
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
JO =1 00 −1⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
JA =−2 00 −1
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
JB =−2 00 −1
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
λ1,2 = ±1
€
λ1 = −2λ2 = −1
€
λ1 = −2λ2 = −1
nyeregpont
stabil nodus
stabil nodus
€
V (x,y) = −x 2
2+x 4
4+y 2
2
dupla potenciálvölgy
KriDkus pontok stabilitása
Egy kriKkus pont stabil, ha minden -‐hoz létezik úgy, hogy ha , mikor .
€
˙ x = f ( x )
€
x 0
€
ε > 0
€
δ > 0
€
t ≥ t0
€
x (t) − x 0(t) < ε
€
x (t0) − x 0(t0) < δ
Ha egy trajektória a fenK dinamikában
€
x (t)
Egy kriKkus pont asszimptoDkusan stabil, ha stabil és létezik úgy, hogy
ha
€
x 0
€
η > 0
€
limt→∞
x (t) − x 0(t) = 0
€
x (t0) − x 0(t0) <η
Egy stabil kriKkus pont környezetében a trajektóriák a kriKkus pont közelében maradnak… Egy asszimptoKkusan stabil kriKkus pont környezetében a trajetóriák bekonvergálnak a KriKkus pontban
Lyapunov függvény és stabilitás vizsgálat
Nemhiperbolikus kriKkus pontok esetén a Lyapunov stabilitás vizsgálat használható, hogy a kriKkus pontok stabilitását vizsgáljuk
Lyapunov stabilitás tétele
Legyen egy dinamika és f folytonosan deriválható. Legyen egy kriKkus pont és egy nyílt halmaz amely tartalmazza az pontot. Tételezzük fel, hogy létezik egy folytonosan deriválható függvény amelyre
€
˙ x = f ( x )
€
E ⊂ℜ2
€
x 0
€
x 0
€
V ( x )
€
V ( x 0) = 0V ( x ) > 0ha x ≠ x 0Ilyen esetben, ha
€
ddt
V x (t)( ) ≤ 0,∀ x ∈ E
€
x 0akkor stabil
€
ddt
V x (t)( ) < 0,∀ x ∈ E akkor
€
x 0 asszimptoKkusan stabil
€
ddt
V x (t)( ) > 0,∀ x ∈ E akkor
€
x 0instabil
€
V ( x ) Lyapunov függvény
1.
2.
3.
€
ddt
V x (t)( )( ) = 0 a trajektoriák a görbék
€
V x t( )( ) = C4.
€
∀ x ∈ E
Példák:
€
˙ x = −y 3
˙ y = x 3
KriKkus pont: O(0,0) minden sajátérték 0
nemhiperbolikus kriKkus pont a klasszikus stabilitásvizsgálat nem müködik
€
V (x,y) = x 4 + y 4 megfelelő Lyapunov függvény
€
dVdt
=∂V∂x
dxdt
+∂V∂y
dydt
= 4x 3 −y 3( ) + 4y 3 x 3( ) = 0
A trajektóriák:
€
x 4 + y 4 = C Az O stabil, de nem asszimptoKkusan stabil
€
y > 0 → ˙ x < 0y < 0 → ˙ x > 0
1.
€
˙ x = y˙ y = −x − y(1− x 2)
2.
KriKkus pont: O(0,0)
€
JO =0 1−1 −1⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
λ1,2 = −12
± i 32
stabil fókusz
€
V (x,y) = x 2 + y 2Lyapunov függvény:
€
€
dVdt
=∂V∂x
dxdt
+∂V∂y
dydt
= 2y 2(x 2 −1)
Ha |x|<1
€
dVdt
≤ 0
€
dVdt
= 0
€
y = 0
€
˙ x = 0˙ y = −x
az y=0 egyenesről a trajektóriák távolodnak
Az O pont asszimptoKkusan stabil
3.
€
˙ x = −8x − xy 2 − 3y 3
˙ y = 2x 2y + 2xy 2Bizonyítsuk be, hogy O(0,0) asszimptoKkusan stabil kriKkus pont