Halliday 3

LISTA 1 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 18deNovembrode2002, as12:09p.m.

ExercıciosResolvidosdeTeoria Eletromagnetica

JasonAlfr edoCarlson Gallas

ProfessorTitular deFısicaTeorica

Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica

MateriaparaaPRIMEIRA prova. Numeraçaoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.

Estae outraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallasclicando-seem‘ENSINO’

Conteudo

1 CampoEletrico – [Capıtulo 24,pagina32] 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

1.2.1 Linhasdecampoeletrico . . . . 2

1.2.2 O campo eletrico criado porumacargapuntiforme . . . . . 3

1.2.3 O campocriadopor um dipoloeletrico . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 O campocriadopor umalinhadecargas . . . . . . . . . . . . 7

1.2.5 O campoeletricocriadoporumdiscocarregado . . . . . . . . . 9

1.2.6 Carga puntiforme num campoeletrico . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.7 Um dipolonumcampoeletrico. 12

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1 Campo Eletrico – [Capıtulo 24,pagina32]

1.1 Questoes

Q 24-2. Usamosumacargatestepositivaparaestudaros camposeletricos. Poderıamoster usadoumacarganegativa?Porque?� Nao.Tal usoseriaextremamenteanti-naturaleincon-venientepois,paracomecar, terıamoso � e � apontan-doemdirecoesdiferentes.�

Tecnicamente,poderıamosusarcargasnegativassim.Mas isto nosobrigariaa reformularvariosconceitoseferramentasutilizadasnaeletrostatica.

Q 24-3.

As linhasde forca deum campoeletriconuncasecru-zam.Porque?� Seaslinhasdeforca pudessemsecruzar, nospontosdecruzamentoterıamosduastangentesdiferentes, umaparacadalinha quesecruza. Em outraspalavras,emtal pontodo espaço terıamosdoisvaloresdiferentesdocampoeletrico,o queeabsurdo.

Q 24-5.

Umacargapuntiforme� demassa� e colocadaemre-pousonumcamponaouniforme. Sera queelaseguira,necessariamente,a linha deforca quepassapelopontoemquefoi abandonada?� Nao.A forcaeletricasemprecoincidiracomadirecaotangentea linhadeforca.A forca eletrica,emcadapontoondeseencontraa car-ga,e dadapor �� , onde � e o vetorcampoeletriconopontoondeseencontraa carga. Comoa cargapartedorepouso,a direcaodesuaaceleraçaoinicial e dadapeladirecaodocampoeletriconopontoinicial. Seo campoeletricofor uniforme(ouradial),atrajetoriadacargade-vecoincidircomadirecaodalinhadeforca. Entretanto,paraum campoeletrico nao uniforme (nem radial), atrajetoria dacarganaoprecisacoincidir necessariamen-te coma direcaoda linha de forca. Semprecoincidira,porem,comadirecaotangentea linhadeforca.

Q 24-20.

Um dipoloeletricoe colocadoemrepousoemumcam-poeletricouniforme,comonosmostraaFigura24-17a,pg.30,sendosoltoa seguir. Discutaseumovimento.� Sematrito,nasituacaoinicial mostradanaFigura24-17a, o movimentodo dipolo eletrico sera periodico eoscilatorio emtornodoeixo eemtornodaposicaodealinhamentode � com � .

Q 24-3extra.

Umabolacarregadapositivamenteestasuspensaporumlongofio deseda.Desejamosdeterminar� numpontosituadono mesmoplanohorizontaldabola. Paraisso,colocamosumacargade prova positiva � � nestepontoe medimos�� . A razao �� sera menor, igual oumaiordoque � nopontoemquestao?� Quandoa carga de prova e colocadano ponto emquestao,elarepelea bolaqueatingeo equilıbrio numaposicao em que o fio de suspensao fica numadirecaoligeiramenteafastadada vertical. Portanto,a distanciaentreo centroda esferae a cargade prova passaa sermaiorquedoqueadistanciaantesdoequilıbrio. Dondeseconclui queo campoeletrico no pontoconsiderado(antesde colocara carga de prova) e maior do que ovalor �� medidopormeiodareferidacargadeprova.

1.2 ProblemaseExercıcios

1.2.1 Linhas decampoeletrico

E 24-3.

Trescargasestaodispostasnumtrianguloequilatero,co-mo mostraa Fig. 24-22. Esboceaslinhasde forca de-vidasascargas �� e �� e, a partir delas,determinea direcaoe o sentidoda forca queatuasobre�� , devi-do a presença dasoutrasduascargas.(Sugestao: VejaaFig. 24-5)� Chamando-sede de �� e �� asforcasna carga ��devidasascargas�� e �� , respectivamente,podemosverque,emmodulo, � �� poisasdistanciasbemco-moo produtodascargas(emmodulo)saoosmesmos.�� !



As componentesverticaisde � � e � � secancelam.Ascomponenteshorizontaissereforcam,apontandodaes-querdaparaa direita.Portantoa forca resultantee hori-zontalcommoduloiguala� � � �#"%$'&)( * �+� �,"%$-&�( *.�/� �� !E 24-5.

Esbocequalitativamenteaslinhasdocampoeletricopa-raumdiscocircularfino,deraio 0 , uniformementecar-regado. (Sugestao: Considerecomocasoslimites pon-tos muito proximosao disco,ondeo campoeletrico eperpendiculara superfıcie,e pontosmuito afastadosdodisco,ondeo campoeletrico e igual ao de umacargapuntiforme.)� Empontosmuitoproximosdasuperfıciedodisco,pa-radistanciasmuitomenoresdoqueo raio 0 dodisco,aslinhasdeforcasaosemelhantesaslinhasdeforcadeumplanoinfinito comumadistribuicaodecargasuniforme.Comoa cargatotal � do discoe finita, a umadistanciamuito grandedo disco,as linhasde forca tendema seconfundircom as linhasde forca de umacarga punti-forme � . Nafiguraabaixo,esboçamosapenasaslinhasdeforca dapartesuperiordodiscoe consideramosumadistribuicaodecargaspositivas.

1.2.2 O campoeletrico criado por uma carga pun-tif orme

E 24-7.

Qualdevesero modulodeumacargapuntiformeesco-lhidademodoa criarumcampoeletricode 1 ! N/C empontosa 1 m dedistancia?� Da definicao de campoeletrico, Eq. 24-3, sabemosque � � �2�4365 (87 �%9 �;: . Portanto,� � 3<5 (87 � : �=9 � � 1 ! 1>1�?@1ACB �D� � ! 1>1'1 nC!E 24-9.

� Comoa magnitudedo campoeletricoproduzidoporumacargapuntiforme� e � � �>�4365 (FE � 9 �;: , temosque� � 5 (FE � 9 � �� 36 ! G : 3IH ! :J ! K?@1A'L� G4! M ?@1A B �N� C !E 24-10.

Duascargaspuntiformesdemodulos� �O� H ! P?21; BFQ Ce � ��/R ! G ?@1A BTS C estaoseparadasporumadistanciade 1UH cm. (a) Qualo modulodocampoeletricoqueca-dacargaproduznolocaldaoutra?(b) Queforcaeletricaatuasobrecadaumadelas?� (a) O modulodocamposobrecadacargaediferente,poiso valordacargae diferenteemcadaponto.� �O�/� � �9 � � 3 J ! V?@1A L : H ! V?@1A BFQ36 ! 1UH : �� 1 ! H G ?@1A'W N/C X� ��/� � �9 � � 3 J ! V?@1A L : R !YG ?@1A BFS36 ! 1UH : �� !YG * ?@1A W N/C !(b) O modulodaforca sobrecadacargaeo mesmo.Pe-la*-Z

lei de Newton (acao e reacao): ��D� � � ��[� e,portanto,��D� � ��\� � �;� �� 3 R !YG ?@1A4BFS : 3]1 ! H G ?@1A W :� 1 ! K?@1ACB � N !Note quecomonao sabemosos sinaisdascargas,naopodemosdeterminaro sentidodosvetores.

E 24-11.

Duas cargas iguais e de sinais opostos(de moduloH ! ^?.1; BTQ C) saomantidasa umadistanciade 1 G cmumada outra. (a) Quaissao o modulo, a direcao e osentidodeE no pontosituadoa meiadistanciaentreascargas?(b) Queforca (modulo,direcaoe sentido)atua-ria sobreumeletroncolocadonesseponto?� (a) Como o modulo dascargase o mesmo,estan-do elas igualmentedistantesdo ponto em questao, omodulodocampodevido acadacargaeo mesmo.� �O� � �_� � �36`4��H : �



� 3 J ?@1A L : H ! V?@1A BTQ3I ! 1 G �>H : �� * ! HK?a1; W N/C !Portanto,o campototal e��bFcDd � � � �.� �� HC3 * ! HK?@1; W : � MC! 5V?a1; W N/C Xnadirecaodacarganegativa �� .(b) Comoo eletrontemcarganegativa,a forcasobreeletemsentidoopostoaodocampo.O modulodaforca e� � � eletron� bTc]d� � eletron 36�e�)�+�� :� 3]1 ! M ?a1; B � L : 3 Mf! 5g?@1A W N, :� 1 ! h?@1ACB �]i N

nosentidodacargapositiva.

E 24-12.� Comoa cargaesta uniformementedistribuidanaes-fera,o campoeletriconasuperfıcie e o mesmoquequeterıamossea carga estivessetodano centro. Isto e, amagnitudedocampoe� � �5 (FE � 0 � Xonde� eamagnitudedacargatotale 0 eo raiodaesfe-ra.A magnitudedacargatotal e j�k , demodoque� � j�k5 (FE � 0 �� 3 J ?a1; L : 3 J 5 : 3]1 ! M ?a1; B � L :Mf! M 5h?@1A B � W� * ! mlK?a1; �[� N/C !P 24-17.� Desenhesobreuma linha retadois pontos, � � e �;� ,

separadosporumadistancia , com � � aesquerdade �;� .Parapontosentreasduascargasoscamposeletricosin-dividuaisapontamnamesmadirecaonaopodendo,por-tanto,cancelarem-se.A carga �A� temmaiormagnitudeque �;� , demodoqueum pontoondeo camposejanulodeveestarmaispertode �U� doquede �A� . Portanto,deveestarlocalizadoadireitade �;� , digamosemponto n .Escolhendo� � comoa origemdo sistemadecoordena-das,chamede o adistanciade � � ateo ponto n , o ponto

ondeo campoanula-se.Comestasvariaveis,a magni-tudetotal docampoeletricoem n e dadapor� � 15 (FE � p � �o � � � �3<oq�r` : �4s Xonde� � e � � representamasmagnitudesdascargas.Paraqueo camposeanule,devemoster� �o � � � �3<ot�@` : � !A raiz fısica (das duas raızes possıveis) e obtidaconsiderando-sea raiz quadradapositivade ambosla-dosdaequaçaoacima.Isto fornece-nosu � �o � u � �3<oq�r` : !Resolvendoagoraparao obtemoso �wv u � �u �A�x� u �U�4y ` � v u 5-� �u 5'� � � u � � y `� v HH��z1 y `� H�`� HC3I !YG cm:� 1A' cm!O ponto n esta a G cma direitade �U� .P 24-21.

Determineo modulo, a direcao e o sentidodo campoeletriconoponto n daFig. 24-30.

� A somadoscamposdevidosasduascargas �� e nu-la poisno ponto n oscampostemmoduloscoinciden-tesporemsentidosopostos.Assimsendo,o campore-sultanteem n deve-seunicae exclusivamentea carga��H>� , perpendicularadiagonalquepassapelasduascar-gas �� , apontadopara‘fora’ dacarga ��H>� . O modulodocampoe� �/� H��3 Z { �� : � �/� 5'� � � 1(87 � � � !



P 24-22

Qualo modulo,a direcaoe o sentidodo campoeletricono centrodo quadradodaFig. 24-31,sabendoque � �1 ! V?@1A BFS C e � G cm.

� Escolhamosumsistemadecoordenadasnoqualo ei-xo o passepelascargas�� e ��H�� , eo eixo | passepelascargas� e H�� .No centro do quadrado,os camposproduzidospelascargas negativas estao ambossobreo eixo o , e ca-da um delesapontado centroem direcao a carga quelhe da origem. Comocadacarga estaa umadistancia` � u H>�>H � � u H do centro,o campolıquidoresul-tantedevidosasduascargasnegativase��} � 15 (FE � p H>� � �>H � � � H-��H s� 15 (FE � � � ��H� 3 J ?@1A L : 1 ! h?@1A S36 ! G : � ��H� l ! 1 J ?a1;�~ N/C !Nocentrodoquadrado,oscamposproduzidospelascar-gaspositivasestaoambossobreo eixo | , apontandodocentroparafora, afastando-seda carga quelhe da ori-gem.O campolıquidoproduzidonocentropelascargaspositivase �� 15 (FE � p H�� H � � � H'�>H s� 15 (FE � � � ��H� l ! 1 J ?a1; ~ N/C !Portanto,a magnitudedocampoe� � � � �} �+� ��

� � HC3�l ! 1 J ?a1; ~ : �� 1 ! -H2?@1A W N/C !O anguloquetal campofazcomo eixodos o e� � ��>� B � � �� }� ��>� B � 3D1 :� 5 G c !Tal anguloapontado centrodo quadradoparacima,di-rigido parao centrodo ladosuperiordoquadrado.

1.2.3 O campocriado por um dipolo eletrico

E 24-23.

Determineo momentodedipoloeletricoconstituıdoporum eletrone um protonseparadospor umadistanciade5 ! * nm.� O modulodacargadasduaspartıculase � � 1 ! M ?1; B � L C. Portanto,temosaqui um belo exemplo deexercıcio demultiplicacao:� � ��` � 3D1 ! M ?@1A4B � L : 3<5 ! * ?@1ACB L :� MC! R>R ?a1; B � S C m !E 24-25

Na Fig. 24-8,suponhaqueambasascargassejamposi-tivas.Mostreque � noponto n , considerando�2��` , edadopor: � � 15 (87 � H�� 8!� Usandoo princıpio desuperposiçaoe doistermosdaexpansao3]1��o : B �e� 1O��H�oK� * o i �@5>of~x� !A! ! Xvalidaquando� o��4��1 , obtemos� � 15 (87 � p �3I�=�r`m�>H : � � �36��.`4��H : �4s� 15 (87 � �� p\� 1O� `H�� B � � � 1�� `H��,� B � s� 15 (87 � �� p v 1O�rHf3D� `H�� : � !A! ! y� v 1O�rHf3 `H�� : � !A! ! y s� 15 (87 � H�� 8!



E 24-26.

Calculeo campoeletrico (modulo, direcao e sentido)devido a um dipolo eletricoemum ponto n localizadoa umadistancia ��` sobrea mediatrizdo segmentoqueuneascargas(Figura24-32).Expressesuarespostaemtermosdemomentodedipolop.

� Obtem-seocampo � resultantenoponton somando-sevetorialmente � � �� B !A magnitudedosvetoresedadapor:� �.� � B �� 9 � �.` � ��5 !As somadas componentessobrea mediatrizse can-celamenquantoascomponentesperpendicularesa elasomam-se.Portanto,chamando-se

�o anguloentreo

eixododipoloea direcaode �� (oude � B ), segue� � H>� �V"%$-& � Xonde,dafigura, " $'& � � `m�>H� 9 � �+` � ��5 !Comistosegue� � H � �9 � �+` � ��5 `4��H� 9 � �+` � �U5� � ��`3<9 � �.` � ��5 : i�� 3<9 � : i\�N� ��`� 1��+` � �4365>9 � :�� i\�� !Como o problemanos diz que 9��_` , podemosdes-prezaro termo ` � �4365>9 �A: no ultimo denominadoracima,obtendoparao modulodocampoo valor� �/� ��`9 i !Em termosdo momentode dipolo � �x� � ��` , umavezque � e � temsentidosopostos,temos� � � � �9 i�!

O vetor � apontaparabaixo.

24-27�Quadrupoloeletrico. A figura abaixomostraum qua-drupoloeletricotıpico.

Ele e constituıdopordoisdipoloscujosefeitosempon-tos externosnao chegam a se anular completamente.Mostrequeo valor de � no eixo do quadrupolo,parapontosaumadistancia� doseucentro(supor�2��` ), edadopor: � � * �5 (87 � � ~ Xonde�g3 � H>��` �;: echamadodemomentodequadrupolodadistribuicaodecargas.� A distanciaentreo ponto n easduascargaspositivassao dadaspor 3I�g��` : e 36�V�/` : . A distanciaentre ne ascargasnegativassao iguaisa � . De acordocomoprincıpio desuperposiçao,encontramos:� � �5 (87 � p 136�=�r` : � � 136�e�+` : � � H�� 4s� �5 (87 � � � p 13D1O�r`m�� : � � 13]1��.`4�� : � ��H sExpandindoem serie comofeito no livro-texto, paraocasododipolo [verApendiceG],3]1��o : B �e� 1O��H�oK� * o i �@5>of~x� !A! ! Xvalidaquando� o��4��1 , obtemos� � �5 (87 � � � p\� 1�� H>`� � * ` �� ! !A! �� 1O� H�`� � * ` �� ! !A! � ��H s X



deondeseconcluique,considerando-seostermosateasegundaordem,inclusive,temos� � �5 (87 �A� � p M ` �� s � * �5 (87 �A� ~ Xondeo momentode quadrupoloe definidocomo � �H��` � !Em contrastecom a derivacao apresentadano livro-texto, observe que aqui foi necessario usarmoso ter-mo quadratico na expansao em serie, uma vez que acontribuicaodevidaaotermolineareranula.

1.2.4 O campocriado por uma linha decargas

P 24-30.

Um eletrontemseumovimentorestritoaoeixo do aneldecargasderaio 0 discutidonasecao24-6.Mostrequea forca eletrostaticasobreo eletronpodefaze-looscilaratravesdo centrodo anel,comumafrequenciaangulardadapor: ¡ �£¢ k;�5 (87 � �¤0 i !� Como visto no livro-texto, a magnitudedo campoeletriconum pontolocalizadosobreo eixo deum anelhomogeneamentecarregado,a umadistancia � do cen-tro doanel,e dadopor (Eq.24-19):� � ��5 (87 �>3I0 � �.� � : i�� Xonde � e a cargasobreo anele 0 e o raiodoanel.Paraquepossahaver oscilacao a carga � sobreo aneldevesernecessariamentepositiva. Paraumacarga � po-sitiva, o campoapontaparacima na partesuperiordoanele parabaixo na parteinferior do anel. Se tomar-mosa direcaoparacimacomosendoadirecaopositiva,entaoa forca queatuanumeletronsobreo eixo doanele dadapor� � ��k�� kU��5 (87 � 3I0 � �.� � : i\�� Xonde k representaamagnitudedacargadoeletron.Paraoscilacoesdepequenaamplitude,paraasquaisva-le ��¥¦0 , podemosdesprezar� no denominadordaexpressaodaforca,obtendoentao,nestaaproximaçao,� � � kU�5 (87 � 0 i �2§£��¨P� !Desta expressao reconhecemosser a forca sobre oeletronumaforca restauradora: elapuxao eletronem

direcao ao pontode equilıbrio � � . Al em disto, amagnitudeda forca e proporcionala � , com umacon-tantedeproporcionalidade � kU�>�4365 (87 � 0 iA: , comoseo eletron estivesseconectadoa uma mola. Ao longodo eixo, portanto,o eletron move-senum movimentoharmonico simples,com umafrequenciaangulardadapor (revejao Cap.14,casonecessario)¡ � ¢ ¨� �©¢ kU�5 (87 � �¤0 i Xonde� representaa massadoeletron.

P 24-32.

Uma barrafina de vidro e encurvadana forma de umsemicırculo de raio 9 . Uma carga �� esta distribuıdauniformementeaolongodametadesuperior, eumacar-ga �� , distribuıdauniformementeaolongodametadeinferior, comomostraa Fig. 24-35.Determineo campoeletricoE noponto n , o centrodosemicırculo.

� Paraa metadesuperior:`-� � �� `-�9 � ��ª `�«9 �onde ª � �2�C3IH ( 9��5 : � H>� �C3 ( 9 : e `�« � 9�` � . Portan-to `'� � �� H>�( 9 9�` �9 � � H � �( 9 � ` � !O modulodacomponente� �} docampototal e,portan-to, � �} �¬ `'� �} � ¬ `'� � "%$'& �� H � �( 9 � ¬+® �� "%$-& � ` �� H � �( 9 � p sen

� s ® �� H � �( 9 ��!http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7


Analogamente,� �� ¬¯`'� �� ¬°`-� � sen�� H � �( 9 � ¬ ® �� sen

� ` �� H � �( 9 � p � " $'& � s ® �N�� H � �( 9 ��!Usandoargumentosdesimetria: Usandoasimetriadoproblemavemosfacilmentequeascomponenteshori-zontaiscancelam-seenquantoqueasverticaisreforcam-se. Assim sendo,o modulo do campototal e simples-mente � � H�� =� 5 � �( 9 �como vetorcorrespondenteapontandoparabaixo.Usando‘f orca-bruta’: Podemosobtero mesmoresul-tadosemusarasimetriafazendooscalculos.Mastemosque trabalharbem mais (perdermais tempoduranteaprova!!). Vejaso:Tendoencontradoque ��} � �� N±O²®�³�´ , vemosqueomodulodocampo�� devido ascargaspositivasedadopor �� } � �.�� u H H � �( 9 �formando�O5 G c como eixodos o .Paraa metadeinferior o calculoe semelhante.O resul-tadofinal e � � B � � � �� u H H � �( 9 ��!O campo � B forma com o eixo dos o um angulode� 3 J c �.5 G c : � �=1 * G c .Portanto,o modulodocampototal � � � � � � B apon-taparabaixoe temmagnitudedadapor� � � � �� +� �B� u H�� u H�� B� u H v u H H � �( 9 � y� 5 � �( 9 ��!Conclusao: Terminamaisrapido(e com menoserro!)quemestiver familiarizadocoma exploracaodassime-trias. Isto requertreino...

P 24-35.

NaFig. 24-38,umabarranao-condutora“semi-infinita”possuiumacargaporunidadedecomprimento,devalorconstanteª . Mostrequeo campoeletrico no ponto nformaum angulode 5 G c coma barrae queesteanguloe independentedadistancia0 .

� Considereumsegmentoinfinitesimal `>o dabarra,lo-calizadoa umadistancia o a partir da extremidadees-querdada barra,como indicadona figura acima. Talsegmentocontem uma carga `'� � ª `>o e esta a umadistancia 9 do ponto n . A magnitudedo campoque `-�produznoponto n e dadapor`-� � 15 (87 � ª `'o9 �°!Chamando-sede

�o anguloentre 0 e 9 , a componente

horizontalo docampoe dadapor`'� }2� � 15 (87 � ª `>o9 � sen� X

enquantoquea componentevertical | e`-�� 15 (87 � ª `>o9 � " $'& � !Os sinaisnegativos em ambasexpressoes indicam ossentidosnegativosdeambasascomponentesemrelacaoaopontodeorigem,escolhidocomosendoaextremida-deesquerdadabarra.Vamos usar aqui o angulo

�como variavel de

integracao.Paratanto,dafigura,vemosque"%$'& � � 0 9 X sen� � o 9 X o � 0 ��>� � X

e,portanto,que`'o � 0 &]µ;" � � ` � � 0 1" $'& � � ` � !http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina8


Oslimitesdeintegracaovaode ate ( ��H . Portanto��} � ¬+® �� `-��} � � ª5 (87 � 0 ¬+® �� sen� ` �� ª5 (87 � 0 " $'& �,¶¶¶ ® �� ª5 (87 � 0 X

e,analogamente,� ��¬ ® �� `'� �·� � ª5 (87 � 0 ¬ ® �� " $'& � ` �� ª5 (87 � 0 sen� ¶¶¶ ® �� ª5 (87 � 0 !

Destesresultadosvemosque ��} � �� , sempre,qual-querquesejao valor de 0 . Al emdisto,comoasduascomponentestem a mesmamagnitude,o camporesul-tante � fazum angulode 5 G c como eixo negativo doso , paratodososvaloresde 0 .

1.2.5 O campoeletrico criado por um discocarre-gado

P 24-38.

A quedistancia,aolongodoeixocentraldeumdiscodeplasticoderaio 0 , uniformementecarregado,o modulodocampoeletricoe igual ametadedoseuvalornocen-tro dasuperfıciedodisco?� A magnitudedo campoeletrico num pontosituadosobreo eixo de um discouniformementecarregado,aumadistancia � acimado centrodo disco, e dadopor(Eq.24-27) � � ¸H 7 � p 1x� �u 0 � �+� � s Xonde0 e o raiododiscoe ¸ asuadensidadesuperficialde carga. No centrodo disco( � � ) a magnitudedocampoe ��¹ � ¸ �C3IH 7 � : .O problemapedeparadeterminaro valor de � tal quetenhamos�K�� ¹�� 1U��H , ouseja,tal que1O� �u 0 � �+� � � 1H Xou,equivalentemente, �u 0 � �+� � � 1H !

Destaexpressao obtemos� � � 0 � ��5q�º� � �U5 , isto e� ��» 0 � u * .Observequeexistemduassolucoespossıveis:uma‘aci-ma’, outra‘abaixo’ doplanododiscodeplastico.

1.2.6 Cargapuntif orme num campoeletrico

E 24-39.

Um eletron e solto a partir do repouso,num campoeletricouniformedemodulo H ! t?z1A ~ N/C. Calculeasuaaceleraçao(ignoreagravidade).� O modulodetal aceleraçaoe fornecidopelasegundalei deNewton: � �� * !YG 1�?@1A � W m/s

� !E 24-43.

Um conjunto de nuvens carregadasproduz um cam-po eletrico no ar proximo a superfıcie da Terra. Umapartıculadecarga ��H ! V?@1A B L C, colocadanestecam-po, fica sujeitaa umaforca eletrostaticade

* ! q?+1A BF¼N apontandoparabaixo. (a) Qual o modulo do cam-po eletrico? (b) Qual o modulo, a direcao e o sentidoda forca eletrostaticaexercidasobreum protoncoloca-do nestecampo?(c) Quala forca gravitacionalsobreoproton?(d) Quala razaoentrea forca eletricae a forcagravitacional,nessecaso?� (a) Usandoa Eq.24-3obtemosparao modulode � :� � � � � * ! V?@1A BT¼ NH ! V?a1; B L C

� 1 G ' N/C !A forca apontaparabaixoe a cargae negativa. Logo,ocampoapontadebaixoparacima.(b) O modulodaforca eletrostetica �¾½ exercidasobreoprotone ��½ � �� H ! 5'h?@1ACB � ¼ N !Comoo protontemcargapositiva,a forcasobreeleteraamesmadirecaodocampo:debaixoparacima.

(c) A forca gravitacionalexercidasobreo protone��¿ � �tÀ � 3D1 ! M lK?a1;4B � Q : 3 J ! R :� 1 ! M 5V?@1A B � ¼ N Xhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina9


apontandodecimaparabaixo.

(d) A razaoentreasmagnitudesdasforcaseletricaegra-vitacionale �¾½� ¿ � 1 ! 5 M ?a1; �D� !Portanto,vemosque o peso � ¿ do proton pode sercompletamenteignoradoem comparaçao com a forcaeletrostaticaexercidasobreo proton.

E 24-45.

(a) Qual e a aceleraçao de um eletron num campoeletrico uniformede 1 ! 5Á?Â1; ¼ N/C? (b) Quantotem-po leva parao eletron,partindodo repouso,atingir umdecimodavelocidadedaluz? (c) Quedistanciaeleper-corre?Suponhavalidaa mecanicaNewtoniana.� (a) Usandoa lei deNewton obtemosparao modulodaaceleraçao: � �� ½ � kU�� ½ � 3]1 ! M ?a1; B � L : 3D1 ! 5g?@1A ¼ :J ! 1=?a1; B i\�� H ! 5 M ?@1A � Q m/s� !(b) Partindo-sedo repouso(i.e. com Ã�� ) e usandoaequaçao Ã � Ã � � -Ä obtemosfacilmentequeÄ ��Å �41A � * ?a1; S �41AH ! 5 M ?@1A � Q� ! 1UH>H2?a1; B L s!(c) A distanciapercorridae` � 1H -Ä � � 1H 3IH ! 5 M ?@1A � Q : 36 ! 1UH>HK?@1A4B L : �� 1 ! R * ?a1; B i m !E 24-46.

Uma armade defesaque esta sendoconsideradope-la Iniciativa de DefesaEstrategica(“GuerranasEstre-las”) usafeixesde partıculas. Por exemplo,um feixede protons,atingindoum mıssil inimigo, poderiainu-tiliz a-lo. Tais feixes podemser produzidosem “ca-nhoes”,utilizando-secamposeletricosparaaceleraraspartıculascarregadas. (a) Queaceleraçao sofreriaumprotonseo campoeletriconocanhaofossede H ! e?q1A ~N/C. (b) Quevelocidadeo protonatingiriaseo campoatuasseduranteumadistanciade 1 cm?� (a) Usandoasegundalei deNewtonencontramos:

� �� kU�� 1 ! J HK?@1A �D� m/s� !

(b) UsandoaEq.15doCap.2, encontramos:Ã �º� H 36og�aoÆ� : � 1 J M km/s!�E precisolembrar-sedasformulasaprendidasnocur-

sodeMecanicaClassica(FısicaI).

E 24-47.

Um eletroncom umavelocidadeescalarde G4! Ç?Â1A Scm/s entranum campoeletrico de modulo 1 ! @?�1A iN/C, movendo-separalelamenteao campono sentidoqueretardaseumovimento.(a) Quedistanciao eletronpercorrera no campoantesde alcancar (momentanea-mente)o repouso?(b) Quantotempolevara paraisso?(c) Se,em vez disso,a regiaodo camposeestendessesomentepor R mm (distanciamuito pequenaparapa-rar o eletron),quefracao daenergia cineticainicial doeletronseriaperdidanessaregiao?� (a) Primeiro,calculemosa aceleraçaodo eletronde-vidaaocampo: � kU�� ½ � 3D1 ! M ?@1A B � L : 3D1 ! V?@1A i :J ! 1=?@1A B i[�� 1 ! l M ?a1; � ~ m/s� !Portanto,usandoo fato que Ã � � Ã �� /H 3<o��o � : edefinindo � oq�@o � temos,paraadistanciaviajada:` � Ã ��H � 3 G4! V?a1; ¼ :]�HO3D1 ! l M ?a1; � ~ : � l ! 1UHK?a1;4B � m !(b) Usandoo fatoque Ã � Ã � � 'Ä e que Ã � , temosÄ � Ã � � G4! h?a1; ¼1 ! l M ?a1; � ~ � H R ! 5-2?@1ACB L s!(c) Bastadeterminara velocidadedo eletronquandoocampoterminar. Paratanto,usamosÃ � � Ã �� /H 4È ,onde È ��R ?a1; B i m e aextensaodocampo.Ã � � Ã �� +H 4È� 3 GC! V?@1A'¼ : � �rHO3]1 ! l M ?@1A � ~ : 3 R ?@1A4B i :� H>H ! HK?@1A �D� m/s� !Portanto,a fracaodaenergiacineticaperdidaedadapor� � � ��q� � Ã � �aÃ ��Ã �� H'H ! He�rH GH G � �� ! 1>1UHouseja,perde 1>1 ! H'É dasuaenergiacinetica.



Sevocegostade trabalharmais,podecalcularasener-giasexplicitamentee determinaro mesmopercentual.A energiacinetica � perdidaedadapor�Ê� 1H �Ç½\Ã � � 1H 3 J ! 1=?a1;4B i\� : 3IH'H ! Hh?a1; �]� :� 1 ! f1�?@1ACB � Q J!A energiacineticainicial �q� era� � � 1H � ½ Ã �� 1H 3 J ! 1=?a1; B i[� : 3 GC! V?@1A ¼ : �� 1 ! 1 * R ?a1;4B � Q J!E 24-49.

Na experienciadeMilikan, umagotaderaio 1 ! M 5eË m ededensidade ! R G 1 g/cmi ficasuspensanacamarainfe-rior quandoo campoeletricoaplicadotemmoduloiguala 1 ! J H�?¤1A W N/C. Determineacargadagotaemtermosde k .� Para a gota estarem equilıbrio e necessario que aforca gravitacional (peso)estejacontrabalançadapelaforca eletrostaticaassociadaao campoeletrico, ou se-ja, eprecisoter-se �tÀ � �� , onde� eamassadagota,� e a carga sobrea gotae � e a magnitudedo campoeletricono quala gotaesta imersa.A massada gotaedadapor � �ÍÌrÎt� 365 ( � * : 9 i Î , onde9 e seuraio e Îe a suadensidadedemassa.Comisto tudo,temos� � �^À�� 5 ( 9 i Î À* �� 5 ( 3D1 ! M 5h?@1A BT¼ m:]i 3 R G 1 kg/mi : 3 J ! R m/s�A:* 3D1 ! J H ?@1A W N/C:� R ! h?@1A B � L C Xe,portanto,Ï � � k � R ! 'H M ?a1; B � L C1 ! M ?@1A B � L C

� G Xouseja,� � G k .P 24-54.

Duasgrandesplacasdecobre,paralelas,estaoseparadaspor G cmeentreelasexisteumcampoeletricouniformecomoe mostradona Fig. 24-39. Um eletron e libera-do daplacanegativa aomesmotempoqueum protone

liberadodaplacapositiva. Desprezea forca queexisteentreaspartıculase determinea distanciadecadaumadelasate a placapositiva no momentoemqueelaspas-samumapelaoutra. (naoe precisoconhecero modulodo campoeletricopararesolver esteproblema.Issolhecausaalgumasurpresa?)� A aceleraçaodoprotone >Ð � kU�K�U� Ð eaaceleraçaodo eletrone ½ � ��k;�h�U�Ç½ , onde � e a magnitudedocampoeletrico e � Ð e �¤½ representamas massasdoprotone doeletron,respectivamente.Consideremosa origem de referenciacomo sendonaposicao inicial do proton na placaa esquerda.Assimsendo,a coordenadado protonnuminstanteÄ qualquere dadapor o Ð � >ÐUÄ � ��H enquantoque a coordenadado eletron e oT½ �ÒÑ � ½ Ä � ��H . As partıculas pas-samuma pela outra quandosuascoordenadascoinci-dem, o Ð � o ½ , ou seja,quando Ð Ä � ��H �ÓÑ � ½ Ä � �>H .IstoocorrequandoÄ � � H Ñ �43 Ð � ½ : , quenosforneceo Ð � Ð �Ð � ½ Ñ� kU�K�� Ðk;�h�U� Ð �.kU�K��¤½ Ñ� � ½�¤½��.� Ð Ñ� J ! 1'1�?@1A B i[�J ! 1>1�?a1; B i\� �/1 ! M l2?@1A B � Q 3I ! G m:� H ! l ?@1ACB W m� H ! l ?@1A B i cm!Portanto,enquantoo eletronpercorreos G cm entreasplacas,o protonmal conseguiumover-se!

P 24-55.� (a) Suponhaqueo pendulofaca um angulo�

comavertical. Desenhado-seo diagramadeforcastemos�tÀparabaixo, a tensao no fio, fazendoum angulo

�para

a esquerdado vetor �� , queapontaparacima ja queacargae positiva.Consideremoso anguloassimdefinidocomosendopo-sitivo. Entaoo torquesobrea esferaemtornodo pontoondeo fio estaamarradoaplacasuperioreÔ � � 36�tÀK�@�� : « sen

� !Se �^À.ÕÓ�� , entaoo torquee um torquerestaurador:eletendeaempurraro pendulodevoltaasuaposicaodeequilıbrio.



Sea amplitudedeoscilacao e pequena,sen�

podesersubstituidopor

�emradianos,sendoentaoo torqueda-

dopor Ô � � 36�tÀK�@�� : « � !O torquee proporcionalao deslocamentoangulare opendulomove-senum movimentoharmonico simples.Suafrequenciaangulare¡ �£� 3<�^À2�r�� : «;��ÖfXonde Ö e o momentode inerciarotacionaldo pendulo.Comoparaumpendulosimplessabemosque Ö � �t« � ,segueque ¡ � ¢ 3<�^À2�@�� : «�^« �� ¢ À2�@��h�U�«e o perıodoe× � H (¡ � H ()Ø «À2�r��K�U� !Quando �� ÕÙ�^À o torque nao e restauradore opendulonaooscila.

(b) A forca do campoeletricoesta agoraparabaixoe otorquesobreo penduloeÔ � � 3<�^À��.�� : « �seo deslocamentofor pequeno.O perıododeoscilacaoe × � H ( Ø «À��z��K�U� !P 24-56.

NaFig.24-41,umcampoeletrico � , demodulo H�?g1A iN/C, apontandoparacima, e estabelecidoentreduasplacashorizontais,carregando-sea placainferior posi-tivamentee a placasuperiornegativamente.As placastem comprimentoÑÚ� 1; cm e separaçao ` � H cm.Um eletrone, entao,lancadoentreasplacasa partir daextremidadeesquerdada placainferior. A velocidadeinicial tem um modulode M ?+1; ¼ m/s. (a) Atingira oeletronumadasplacas?(b) Sendoassim,qualdelase aquedistanciahorizontala partir daextremidadeesquer-da?

� Considerea origem comosendoo pontoemqueoeletrone projetadoparao interior do campo.Seja >o oeixohorizontale >| o eixoverticalindicadonaFig.???-36. Oriente �o daesquerdaparaa direitae >| debaixoparacima, comoa cargado eletrone negativa, a forcaeletricaesta orientadade cima parabaixo (no sentidoopostoaosentidodo campoeletrico). A aceleraçaodoeletrone dadapor � �� k;�� * !YG 1 * ?@1A � ~ m/s

� !Parasaberseo eletronatingeou nao a placasuperior,devemoscalcularinicialmenteo tempo Ä necessario pa-ra queeleatingaa altura | � ! -H m daplacasuperior.Podemosescreveraseguinterelacao:| � 36Ã�� sen

� : Ä � -Ä �H !Temos:Ã � sen

� � 3 MC! V?@1; ¼ : m/s sen5 G � � 5 ! H�5 * ?1; BFS m/s.Substituindoosvaloresadequadosnarelacaoanteriore resolvendoa equaçaodo segundograuem Ä ,encontramos:Ä � � Mf! 5mH�h?a1; B L s e Ä � � 1 ! l'lU5V?@1A BFS s!O menorvalor de Ä e o quenosinteressa(o outro cor-respondeaotrechodescendentedatrajetoria). Nestein-tervalodetempoÄ � o eletronsedeslocouumadistanciao dadaporo � 3<Ã ��" $'& � : Ä �Û� 3<5 ! H�5 * ?a1;>¼ : 3 Mf! 5mH�h?a1;4B L :� ! 'H'l>H m !� H ! l�H cm!Como H ! l>H��Ü1A cm, concluimosque: (a) o eletronatingea placasuperior, e, (b) numpontosituadoa H ! l>Hcmdaextremidadeesquerdadaplacasuperior.

1.2.7 Um dipolo num campoeletrico

P 24-60.

Determine a frequencia de oscilacao de um dipoloeletrico,demomentodedipolo � e momentodeinerciaÖ , parapequenasamplitudesdeoscilacao,emtornodesuaposicaodeequilıbrio, numcampoeletricouniformedemodulo � .� A magnitudedo torquequeatuano dipolo eletricoedadapor Ô � � � sen

�, onde� e a magnitudedo mo-

mentode dipolo, � e a magnitudedo campoeletrico



e�

e o anguloentreo momentode dipolo e o campoeletrico.O torquee sempre‘restaurador’:elesempretendeagi-rar o momentodedipolo emdirecaoaocampoeletrico.Se�

e positivo o torquee negativo e vice-versa: Ô �� sen�.

Quandoa amplitudedo movimento e pequena,pode-mos substituir sen

�por

�em radianos. Nestecaso,Ô � � � � � . Como a magnitudedo torque e pro-

porcional ao angulo de rotacao, o dipolo oscila nummovimentoharmonicosimples,demodoanalogoa um

pendulodetorsaocomconstantedetorsao Ý � � � . Afrequenciaangulare dadapor¡ � � Ý Ö � � �Ö Xonde Ö e o momentode inercia rotacionaldo dipolo.Portanto,a frequenciadeoscilacaoeÞ � ¡H ( � 1H ( ¢ � �Ö !


LISTA 3 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 27deFevereirode2003, as10:10p.m.


JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,



MateriaparaaTERCEIRAprova. Numeraçaoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.

Estaeoutraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallas

Conteudo

1 O Campo Magnetico – [Capıtulo 30, pagina175] 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 3

1.2.1 DefinicaodeB – 1/8 . . . . . . 31.2.2 A DescobertadoEletron– 9/13 61.2.3 O EfeitoHall – 14/18. . . . . . 6

1.2.4 Movimento Circular de umaCarga– 19/37 . . . . . . . . . . 7

1.2.5 Cıclotronse Sincrotons– 38/42 9

1.2.6 Forcamagneticasobrefio trans-portandocorrente– 43/52 . . . 9

1.2.7 Torque sobre uma Bobina deCorrente– 53/61 . . . . . . . . 10

1.2.8 O Dipolo Magnetico– 62/72 . . 12


(lista3.tex)



1 O CampoMagnetico– [Capıtulo 30,pagina175]

1.1 Questoes

Q 30-1.

Dos tres vetoresna equaçao��

, que pa-ressao sempreortogonaisentresi? Queparespodemformarumanguloarbitrarioentresi?� Estaquestaoeapenasumarevisaodealgebravetorial:o vetorqueresultadeumprodutovetorialdedoisoutrosvetoresdevesempreserortogonalaosvetoresdosquais“descende”.Portantoosvetores

�e�

podemfazerumanguloarbitrarioentresi. Mas

��seranecessariamente

perpendiculartantoa�

quantoa�

.

Q 30-3.

Imaginequevoceestejasentadonumasalacomascos-tasvoltadasparaa parede,daqualemergeum feixe deeletronsquesemovehorizontalmentenadirecaodapa-redeemfrente.Seo feixe deeletronsfor desviadoparaa suadireita,qual sera a direcaoe o sentidodo campomagneticoexistentenasala?� Vertical,parabaixo. Poisfazendoo produtovetorial��

vemosquea forca magneticaapontaparaa es-querda,fornecendoadirecaoparaondepartıculascarre-gadaspositivamentesaodesviadas.Eletronsdesviam-separaa direita.

Q 30-4.

Comopodemosdescartara hipotesede asforcasexis-tentesentreımasseremforcaseletricas?� Bastacolocarosımasemcontatoe,depoissepara-los:as forcasnao seneutralizame suamagnitude,direcaoe sentidonao se alteraapos ter havido o contatoe aseparaçao.

Q 30-6.

Seum eletronemmovimentofor desviadolateralmenteaoatravessarumacertaregiaodoespaço, podemosafir-marcomcertezaqueexisteum campomagneticonessaregiao?

� Nao. Tal afirmativa sera valida apenasseo eletronandaremcırculossemvariarsuaenergiacinetica.

Q 30-11.

Quais sao as funcoes fundamentaisdo: (a) campoeletricoe (b) campomagneticonociclotron?� (a) Estabelecera ddp queaceleraascargas[i.e. au-mentasuaenergia]; (b) Estabelecermovimentocircu-lar quepermitea aceleraçaodasmesmas,aoseremre-injetadasnocampoeletrico.

Q 30-12.

Qual e o fato central que possibilita a operaçao deum ciclotronconvencional?Ignoreconsideraçoesrela-tivısticas.� O fato centralquepermitea operaçao de um ciclo-troneachamadacondicaoderessonancia, expressape-la Eq.(30-22):�

circulacao� �

osciladoreletrico�Q 30-17.

Um condutortemumacargatotal nula,mesmoquandopercorridoporumacorrente.Porque,entao,umcampomagneticoe capazdeexercerumaforcasobreele?� Numa correnteeletrica os eletrons possuemumamobilidade grandeao passoque os protons pratica-mentenao se movem (porqueestao rigidamenteliga-dos na rede cristalina). Portanto, surge uma forcamagneticamacroscopicaemvirtudedestesmovimentosmicroscopicosdoseletrons.

Q 30-19.

Uma espira retangularocupa uma posicao arbitrarianum campomagnetico externo. Que trabalhoe ne-cessario paragirar a espiraem torno de um eixo per-pendicularaoseuplano?� Nenhum.Justifique!



Dica: A energia potencial magnetica de um dipolomagnetico �� colocadonum campomagnetico externo�

e �� Q 30-21.

Mostramos,no exemplo 9, que o trabalhonecessariopara inverter uma espira de corrente, num campomagneticoexterno,a partir daposicaoemqueesta ali-nhadacomo campovale �"! . Esteresultadoe validoparaqualquerrotacaode #%$'&)( quepartadeumaposicaoarbitraria?� Nao.* � ��+�-,/.0� � �1�+�� "!3254�6 �+�7,/.0� �98)� �"!/254)6 ��;:� �"!3254)6 ��=<pois 254�6 �+�>,?.0� � 254)6 �� 254)6 ��.0� �@� 2A4�6 �� Destaex-pressaovemosqueo resultadofinal dependedo angulo�, doqualpartimos,aofazera rotacaode #B$�&�( .Q 30-22.

Imaginequenoaposentoemquevoceestasentadoexis-ta um campomagnetico uniforme

�apontandoverti-

calmenteparacima. Umaespiracirculartemseuplanohorizontal.Paraquesentidodacorrente(vistadecima)estaraaespiraemequilıbrioestavel emrelacaoasforcase torquesdeorigemmagnetica?� Anti-horario,poisminimiza

��.

1.2 Problemase Exercıcios

1.2.1 DefinicaodeB – 1/8

E 30-1

Expressea unidadedeum campomagnetico ! emter-mosdasdimensoesC , D , E e F (massa,comprimento,tempoecarga).� Uma maneirasimplesdesefazeristo e usando-seaEq.30-6,

�G�H��3I�, queforneceJ !LK � J M KJ � K J N K � CODQPE-R� F �A� DSPTE � � CFUE �

E 30-2

Quator partıculas seguem as trajetorias mostradasnaFig. 30-28 quandoelaspassamatraves de um campomagnetico. O que se podeconcluir sobrea carga decadapartıcula?� O quepodemosconcluir sobreo sinal da carga e oseguinte,considerando-sea atuacaodaforca magnetica�V�V��/�

: A partıcula 1 tem carga positiva, poisdesloca-seno mesmosentidoemqueatua

�. Analoga-

mente,aspartıculas2 e4 temcarganegativa.Paraapartıcula3 podemosconcluirmaisdoqueapenasseusinal:apartıcula3 naotemcargapois,comoseper-cebeclaramenteda figura, a possibilidadedo produtovetorialserzero(isto e, termosW //

�) esta excluida.

Em outraspalavras,percebaqueumapartıculacarrega-da poderiaatravessarum campomagnetico semsobredeflexao, desdeque viajasseparalelamenteao campo.Isto e umaconsequenciadiretado produtovetorialquedefine

�.

E 30-3

UmeletronnumtubodeTV estasemovendoa X � #%&'Ym/s num campomagnetico de intensidade$�Z mT. (a)Sem conhecermosa direcao do campo, quais sao omaior e o menor modulo da forca que o eletron po-de sentirdevido a estecampo?(b) Num certopontoaaceleraçaodoeletrone [ � \ #B&^]`_ m/sR . Qualeo anguloentrea velocidadedoeletrone o campomagnetico?� (a) As forcasmaximae mınima ocorrempara a �\ &�( e a � &�( , respectivamente.PortantoM

max

� � N ! sen \ & (� � # � b #B&dc ]fe �5� X � #%& Y �5� $�Z #%&gcih �� \d�kjlb #B& c ]m_ N �Mmin

� � N ! sen & (� & N �(b) Como n � M PToqp � � � N ! sen

�� Porp temosque� �senc ]ts o p n� N !�u�senc ]ts � \t� #�# #%& cvh ] �A� [ � \ #B&^]`_ �\d�kjlb #B& c ]m_ u� & � b X ( �



E 30-4

Um protonquesemovenumangulode lZ)( emrelacaoaumcampomagneticodeintensidade � b mT experimen-taumaforcamagneticade bd�kj #B& c ]fw N. Calcular:(a)avelocidadeescalare(b) aenergiacineticaemeletrons-volt doproton.� (a) A magnitudedaforcamagneticanoprotonedadapor

M � ��x N ! seny , ondeN

e a velocidadedo proton,! e a magnitudedo campomagnetico,e y e o anguloentrea velocidadedapartıculae o campo.PortantoN � M �x ! seny� bd�kj #%& c ]mw N� # � b #B& c ]fe C

�5� � b #B& cih T�

sen lZ (� [ #%&'z m/s

(b) A energiacineticadoprotone{ � # o N R� # � # � b X #%& c R|w kg�5� [ #%&'z m/s

� R� # � Zl[ #%& c ]mY J<

energiaestaqueequivalea# � Zl[ #%& c ]mY J# � b #%& c ]fe J/eV� $'Z j eV �

P 30-5

Um eletronquetemvelocidade�� #B&'Y m/s

�m}~,� Z #B&�Y m/s��

penetranum campomagnetico�� & � &�Z'&'E �m},�� & � # j E �� . (a)Determineo modulo,direcao

eo sentidodaforcasobreo eletron.(b) Repitao calculoparaumprotontendoamesmavelocidade.� (a) A equaçaoquefornecea forca e

��G��.

Portanto,bastacalcularo produtovetorial:

� � ��} � � #B&�Y � Z #B&�Y � && � &'Z'& � & � # j & �� & � # j �A� #B& Y � � � � � & � &'Z'& �5� Z #B& Y � � ��<

onde��Vx �� # � b #B& c ]fe C. Fazendoas contas,

obtemos, �G� , bd� b [ #%& c ]`_ � �

(b) Nestecasoo calculo e identicoao anterior, poremusando-seagora

�U� , # � b #%& c ]me C:�G�� bd� b [ #B& c ]m_ � �P 30-6

Um eletronnum campomagnetico uniformetem umavelocidade

�� [)& km/s�f}�,�� Z j km/s

��. Ele experi-

mentaumaforca�G�� [ � fN

�f}�,�� [ � $ fN��

. Sabendo-seque !�� & , calcularo campomagnetico [que daorigema forca].� Nota:o prefixo

�= femto= #B& c ] z .

Como ! � � & , escrevemos�� !�� , !�� e tratamos

dedescobriro valor dasduascomponentesdesconheci-das, !7� e !�� . Com estecampoobtemosparaa forcamagnetica:� � � � W q�� N � }t, N � �� !�� >, !7� �0�� M � }t, M � ��<onde

M � �� [ � #%& c ] z N eM � � [ � $ #B& c ] z N.

Efetuandoo produtoe simplificandoencontramosqueM � �� N � ! � < M � �O�� N ��! � < � N �'! � � & <e,portanto,que !7� � & . Assimsendo,temos�9� ! � � � M �� N � �� [ � #B& c ] z� � # � b #B& c ]fe �5� Z j #B& h � �� & � X j �0� E �Sera quea relacao

M � �� N �T!7� , quenaofoi usadanoscalculosacima,tambemfica satisfeita?E facil verificarquetal relacaotambemeobedecida,consistentemente:M �M � �O� [)$[^ �@� $X �O� [)&Z j �O� N �N � �P 30-7

Os eletronsde um tubo de televisao tem uma energiacineticade # � keV. O tuboesta orientadodemodoqueoseletronssemovamhorizontalmentedosulmagneticoparao nortemagnetico.A componenteverticaldocam-po magneticodaTerraapontaparabaixoe temmodulode j�j � T. (a) Em que direcao o feixe sera desviado?(b) Qual a aceleraçao de um eletrondevida ao campo



magnetico? (c) Qual sera o desviosofrido pelo feixeaposter percorrido l& cmatravesdo tubodetelevisao?� (a) Desenheumalinha retaverticale, sobreela,su-ponhaqueo o Sul magnetico ( � nortegeografico)es-teja localizadona parte superiorda figura e o Nortemagnetico � ( � sulgeografico)naparteinferior. Entao,nestediagrama,o oesteesta aesquerda,o lestedireita.Conformeos dadosdo problema,o vetor velocidade�

doseletronstera a mesmadirecao da linha vertical,apontandodecimaparabaixo(dadodo problema),en-quantoqueo campomagneticodaTerraapontara sem-pre paradentro dapaginaondeestiver desenhadaa li-nhareta.Istoposto,aregradamaodireitanosforneceque

�I��apontaparaa direita (Leste). Porem,comoa cargadoeletrone negativa,a forca magneticasobreeleapontaraparaa esquerda(Oeste).Estarespostacontradizarespostadolivro. Masaminharespostaparece-mesera correta.

(b) UseM � oqn , onde

M ��x N ! sen a . Nestaex-pressao

Ne a magnitudedavelocidadedo eletron, ! a

magnitudedo campomagnetico, e a e o anguloentrea velocidadedo eletrone o campomagnetico,ou seja,a � \ &)( . Portanto,n � x N ! sen \ &�(o � x N !o �Para podermosdeterminar o valor numerico destaaceleraçao falta-nosaindaobtero valor de

N, quepode

serfacilmenteobtidodaenergiacinetica:N � � {o� � � #% #%& h eV�5� # � b #%& c ]me J/eV

�\d� #'# #B& cih ] kg� bt� [ \ #B& w m/s�

Portanton � x N !o� � # � b & #%& c ]fe �A� bd� [ \ #B&�w �5� j'j #B& c Y �\d� #'# #B& cvh ]� bd� �X #B& ]`_ m/sR �(c) A orbitado eletrone circular. Comoa aceleraçao edadapor

N RPT� , onde � e o raio daorbita,encontramosque � � N Rn� � bd� [ \ #B&�w � Rbt� )X #%& ]m_ � bd� Xl m �

O pedaço de cırculo percorridopelo eletronsubenten-de um angulo

�a partir do centro. O comprimento� � & � l& m que foi andadono tubo implica numa

reducao � (“defleccao”) do raio � . O triangulocurvocuja hipotenusae a trajetoria curva do eletron,o ladomaiore

�e o ladomenorea deflexao � nosfornece� 254)6 � � � � � < e � sen

� � � �Elevandoambasequaçoesaoquadradoesomandoo re-sultadoobtemos��R � � � � � � R , � R , ouseja,� � �� H¡ � R � � R �O sinal“mais” correspondeaumangulode #B$'& ( � � . Osinal“menos”correspondea solucaofisicamentecorre-ta.Como

�e muitomenorque � , podemosusaro teorema

da expansao binomial e expandir ¢ � R � � R . Os doisprimeirostermosde tal expansaosao � � � RP � '� � deondeobtemosfinalmentequea defleccao(“diminuicaode � ”) edadapor

�¤£ � R l� � & � &�&� \ $ m� � \ $ mm�

P 30-8¥Um eletron tem uma velocidadeinicial

� #% km/s��,� # j km/s

�`�e umaaceleraçaode

� #B&^]mR km/sR �f} nu-ma regiao em que estao presentesum campoeletricoe um campomagnetico uniformes. Sabendo-seque�� [)&'& � T

�m}, determineo campoeletrico ¦ .� Chamandoaaceleraçaode § e partindo-sedarelacao�� ¦ , �/I� � � o p § <

encontramossemdificuldadesque¦ � orp�¨§ , ��I� <ondeo sinalnegativo foi usadoparatrocara ordemdosfatoresnoprodutovetorial.

¦ � � � #'# � [ } � bd� & �S, [ � $ �0� V/m �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina5


1.2.2 A Descobertado Eletron – 9/13

E 30-10

Umeletroncomenergiacineticade � j keVsemoveho-rizontalmenteparadentrodeumaregiaodoespaço ondeexisteum campoeletricodirecionadoparabaixoe cujomodulo e igual a #%& kV/m. (a) Quaissao o modulo,adirecaoe o sentidodo (menor)campomagneticocapazdefazercomqueoseletronscontinuemasemoverhori-zontalmente?Ignoreaforcagravitacional,queebastan-tepequena.(b)Serapossıvel,paraumproton,atravessarestacombinaçaode campossemserdesviado?Sefor,emquecircunstancias?� (a) Usamosaenergiacineticaparadeterminaravelo-cidade:N � � {o� � � �kj #B& h eV

�5� # � b & #B& c ]fe J/eV�

\d� #'# #B& cih ] kg� � \'b #%& w m/s�UsandoaEq.30-10,obtemos:

! �ª© N � #%& #%& h V/m � \'b #B& w m/s� Z � Z)X #B& c _ T �

O campomagneticotemqueserperpendiculartantoaocampoeletricoquantoa velocidadedoeletron.

(b) Um protonpassarasemdeflexaocasosuavelocidadesejaidenticaavelocidadedoeletron.Devido acargadoprotonter sinalpositivo, observequeasforcaseletricase magneticasrevertemsuasdirecoes,poremcontinuama cancelar-se!

E 30-11

Um campoeletricode # �kj kV/m eumcampomagneticode & � [ T atuamsobreumeletronemmovimentodemo-do a produzirumaforca resultantenula. (a) Calculeavelocidadeescalarmınima

Ndo eletron. (b) Desenhe

vetores¦ < � e�

.� Como a forca resultantee nula, o modulo da forcaeletrica e igual ao modulo da forca magnetica:

x © �x N ! . Portanto(a) N �ª©! � # �kj #%& h& � [ � Z � X j #%&'h m/s�

(b) Umapossibilidadee: com�

saindoperpendicular-menteao plano da paginae ¦ apontandoparabaixo,temosum desvioparacima quandoo eletronentrardaesquerdaparaa direita, no planoda pagina. Faca estedesenho!

P 30-13

Umafonte de ıonsesta produzindoıonsde Y Li (massa= b u), cadaum comumacarga

, x. Os ıonssaoacele-

radosporumadiferencadepotencialde #B& kV eentramnumaregiao ondeexiste um campomagnetico unifor-mevertical ! � # � T. Calculea intensidadedo menorcampoeletrico,a serestabelecidonamesmaregiaoquepermitiraaosıonsde Y Li a passagemsemdesvios.� Paraqueaforcatotal

�� , x � ¦ , �1U� � seanule,ocampoeletrico ¦ temqueserperpendiculara velocida-de�

dosıonseaocampomagnetico�

. O campoeper-pendicularavelocidadedemodoque

��«�temmagni-

tudeN ! , sendoamagnitudedocampoeletricodadapor© � N ! . Comoosıonstemcarga

, xe saoacelerados

porumadiferenca depotencial¬ , temoso N R%Pl �Hx ¬ ,ouseja

N � ¡ x ¬>Po . Portanto,© � ! � x ¬o� � # � 7E � � � # � b & #%& c ]fe� �5� #B& #B& h ¬ �� bd� &�® �A� # � b'b # #%& c R|w�¯)° P® �� bt� $ #B& z ¬>Po �Note quea massa,dadaem ® , precisouserconvertidaparakg.

1.2.3 O Efeito Hall – 14/18

E 30-15

Mostreque,em termosde do campoeletrico Hall © edaintensidadedecorrente± , o numerodeportadoresdecargaporunidadedevolumeedadopor² � ± !x © �� Chamandoo campoeletricoHall de ©�³ , temosqueM �´� M¶µ �·x ©�³ ou seja,

x ©-³ �Vx N'¸ ! . Comoavelocidadede deriva e dadapor

N'¸ � ±¹P � ² x � , bastasubstitui-lanaequaçaoanteriorparaseencontrarque² � ± !x © ³ �



1.2.4 Movimento Cir cular deuma Carga– 19/37

E 30-19.

Camposmagneticos sao frequentementeusadosparacurvar um feixe deeletronsemexperimentosde fısica.Quecampomagnetico uniforme,aplicadoperpendicu-larmenteaumfeixedeeletronsquesemovea # � Z #B&�Ym/s,enecessarioparafazercomqueoseletronspercor-ramumatrajetoriacircularderaio & � Z j m?� Sabemosque

x N ! � o N R%PTº . Portanto º �o N P � x ! � . Destaultima equaçaoobtem-sesemdificul-dadesque! � o Nx º � � \t� #�# #%& cvh ] Kg

�5� # � Z #%&'Y m/s�� # � b #%& c ]fe C

�A� & � Z j m�� #'# #B& c z T �

E 30-20.

(a) Num campomagnetico com ! � & �kj T, qual e oraio da trajetoria circular percorridapor um eletron a#B&^» davelocidadeescalardaluz? (b) Quala suaener-gia cinetica em eletrons-volt? Ignore os efeitos rela-tivısticos.� (a) Usea Eq.30-17paracalcularo raio:º � o p N� !� � \t� #�# #B& cvh ] �5� & � # �A� Z � & #B&'¼ �� # � b & #B& c ]fe �A� & �kj & �� Z � [ #%& c _ m �(b) { � # orp N R� � \t� #�# #B& cvh ] �5� Z � & #%&'w � R � # � b #B& c ]me J/eV

�� b #%& h eV �E 30-21.

Quecampomagnetico uniformedeve serestabelecidono espaço de modo a fazerum proton, de velocidadeescalar# #B&'w m/s,mover-senumacircunferenciadotamanhodoequadorterrestre.

� UseaEq.30-17:! � o¾½ N� º� � # � b X #B& c R|w �A� # � & #B&'w �� # � b & #B& c ]fe �5� bd� Z)X #B& Y �� # � b Z #%& c ¼ T �E 30-22.� (a) N � � {o� � � # � '& #B& h �5� # � b & #B& c ]fe �\t� #�# #%& cvh ]� � & j #B& w m/s�

(b) UseaEq.30-17:! � o p N� º� � \d� #'# #B& cvh ] �5� � & j #B&'w �� # � b & #B& c ]fe �5� jg� & #B& c R �� [ � b X #%&gc _ T �(c) � � N . º � � & j #%&'w .�� jg� & #%& c R �� # � Zd# #%& w Hz�(d) E � #� � ## � Zt# #%& w� X � b Z #%& c ¼ s�E 30-24.� O perıodo de revolucao do ıon de iodo e E � . º'P N � . o¿P � � ! � , o quenosfornece

o � � ! E .� � # � b & #B& c ]fe �5� [ jg� & #B& cih �5� # � \ #B& cih �X � .0�A� # � b'b #B& c R|w kg/u�� # �X u �

P 30-31.



� O ıon entrano espectrometrocomumavelocidadeN

relacionadacomo potencialpor*À��{��H� ¬ , assim:# o N R �� ¬ �

Dentrodoinstrumento,o ıonrealizaummovimentocir-cular comvelocidade

Ninalteradausando,entao,a Se-

gundaLei deNewton:o N Rº �H� N ! �Mas da primeiraequaçao,

N R � R|Á|ÂÃ e º � � R , substi-tuindoestesvalores,temos:ÃRÄÁ�ÂdÅ ÃÆ P' �� ! �Portanto, o � ! R � Æ R$)¬ �P 30-33.� (a) Resolvendoa equaçao encontradano Problema

30-31parao campo! , substituindoÆ � m nela:

! � � $�¬�o� Æ R� � $ � #B&'& #B& h ¬ �5� Z � \ #%& c R z ¯)° �� Z � '& #%& c ]fe� �5� � &�o � R� & � [ \�j E �(b) Seja � o numerode ıonsseparadospelamaquinapor unidadede tempo. A correntee entao Ç �V� � ea massaquee separadapor unidadede tempoe C �oq� , ondeo eamassadeumunicoıon. C temo valor

C � #B&�&�o ° PlÈ � #B&'& #B& c Y ¯)°Z b &'&�É� � XT$ #%&gc ¼ ¯^° P'É �Como � � C�PTo temos

Ç � � Co � � Z � l& #B& c ]me �A� � XT$ #B& c ¼ ¯)° PlÉ �Z � \ #B& c R z ¯)°� � )X #%& c RQÊ �(c) Cadaıon depositauma energia de

� ¬ na taca, demodoquea energia depositadanum tempo Ë�Ì e dadapor © � � � ¬/Ë�Ì � Ç� � ¬@Ë�Ì � Çm¬3Ë�Ì <

ondeasegundaexpressaofoi obtidasubstituindo-seÇfP �no lugarde � . Para Ë�Ì � # hora,temos© � � � �X #B& c RQÊ �5� #B&�& #%& h ¬ �A� Z b &'&UÉ �� $ � #TX #%& Y ± �P 30-35.� (a) Vero Exemplo4. O perıodoe dadopor

E � . ºNseny � .N

sen y s o N sen y� ! u �Í . o� ! �O positrone umeletronpositivo, assimnoSIE � Z � j $ #%&gc ]`Î s�(b) O passoÏ � � N 254�6 y � E , entao,temosprimeiroqueachar

Natravesdaenergiacinetica.Ouseja,N � � {o � � b�j # #B& w m/s�

Portanto, Ï � � N 254�6 y � E � & � # b'b mm�(c) O raio e

º � o N sen y� ! � # �kj # mm�P 30-37.� (a) O raio º daorbitacircularedadopor º � ÏiP � x ! � ,

onde ! e a magnitudedo campomagnetico. A ex-pressaorelativısticaÏ � o N P ¡ # � N R PTÐ R deveserusa-daparaa magnitudeÏ domomentum.Aqui,

Ne a mag-

nitudedavelocidadedo proton, o e suamassa,e Ð e avelocidadedaluz. Portantoº � o Nx ! ¡ # � N R PTÐ R �Elevando-seestaexpressaoaoquadradoe resolvendo-apara

NobtemosN � º x ! Ð¢ o R Ð R , º R x R ! R �

Subsitutindo-seº � bd� Z)X #B&�Y�o (raio da terra),x�� # � b &) ' #B& c ]fe (a carga do proton), ! �[¹# #B& c YqE , o � # � b Xl b #B& c R�w ¯^° (a massade



um proton),e Ð � � \�\ X \ #B&�¼¤orP'É obtem-se,final-mente, N � � \�\ X'X #B& ¼ o¿PlÉ �(b) Desenhodosvetores:vejano livro!

1.2.5 CıclotronseSincrotons– 38/42

P 30-42.

Faca uma estimativa da distancia percorridapor umdeuteronnociclotrondoExemplo30-5(pagina169)du-ranteo processode aceleraçao. Suponhaum potencialaceleradorentreosdesde $'& kV.� Aproximeadistanciatotalpelonumeroderevolucoesmultiplicado pela circunferenciada orbita correspon-denteaenergiamedia.Istoeumaboaaproximaçaopoiso deuteronrecebea mesmaenergia a cadarevolucao eseuperıodonaodependedasuaenergia.O deuteronaceleraduplamenteem cadaciclo e, cadavez,recebeumaenergia de

� ¬ � $�& #B& h eV. Comosuaenergia final e # bd� b MeV, o numerode revolucoesqueelefaze ² � # bd� b #%&'Y eV � $'& #B& h eV

� � #B&'[ �Suaenergia mediaduranteo processode aceleraçao e$ � Z MeV. O raio da orbita e dadopor º � o N P � � ! � ,onde

Neavelocidadedodeuteron.Comotal velocidade

e dadaporN � ¡ { Po , o raio e

º � o� ! � {o � #� ! ¢ { o �Paraa energiamediatemos{Ñ� � $ � Z #%& Y eV

�5� # � b #%& c ]fe J/eV� �

Portanto,º � ¡ { � Z � Zl[ #B& c R�w �� # � b & #%& c ]fe �A� # � j X � � & � Z^X j m �A distanciatotalviajadae,aproximadamente,² . º � � #B&l[ �5� .0�5� & � Z)X j � � l[ j m �

1.2.6 Forca magneticasobrefio transportando cor-rente– 43/52

E 30-44.

Um condutorhorizontalnumalinha deforca transportaumacorrentede j &�&'& A do sul parao norte. O cam-po magneticodaTerra( b & � T) esta direcionadoparaonortee inclinadoparabaixodeum angulode Xl& ( coma linha horizontal. Determineo modulo,a direcao e osentidoda forca magneticadevida ao campoda Terrasobre#%&'& m docondutor.� A magnitudeda forca magneticasobreo fio e dadapor M � � Ç`D ! seny <onde Ç e a correnteno fio, D e o comprimentodo fio,! e a magnitudedo campomagnetico,e y e o anguloentrea correntee o campo.No presentecaso,y � XT&)( .PortantoM � � � j &'&�& �A� #B&�& �A� b & � & #%& c Y � sen Xl& (� '$ � N �Apliquearegradamaodireitaaoprodutovetorial

�� Ç`Ò q� paramostrarquea forcaapontaparao oeste.

E 30-45.

Um fio de # � $'& m decomprimentotransportaumacor-rentede #BZ A e faz um angulode Z j ( com um cam-po magnetico uniforme ! � # �kj T. Calculara forcamagneticasobreo fio.� M � Ç;D ! senZ j (� � #BZ �5� # � $ �5� # �kj � senZ j (� l& � #BZ�Z'� �P 30-46.� Como

��G� Ç;Ò ¿� , a correntetemquefluir daes-querdaparaa direita. A condicao de equilıbrio requerquetenhamos M � ��Ó <



isto e,que Ç`D ! � o ° �PortantoÇ � o °D ! � � & � &d#%Z'& ¯)° �A� \t� $�o¿PlÉ%R �� & � b l&7o �A� & � ['[)&�E � � & � [ b X Ê �P 30-48.� A forca e dadapor

�V� Ç`Ò Ô� , e apontaparaoladoesquerdodafigura,sendoestaa direcaodaveloci-dade.O modulodaforca e

M � Ç ! � , sendoportantoaaceleraçaosofridapelofio dadapor n � M PTo . Comoofio partedo repouso,suavelocidadeeN � n)Ì � Mo Ì � Ç ! Ìm�o �P 30-52.

Umabarradecobrede # kg esta emrepousosobredoistrilhos horizontaisquedistam # m um do outro e per-mite a passagemdeumacorrentede j & A deum trilhoparao outro. O coeficientedeatrito estatico e de & � b & .Qualeo menorcampomagnetico(naonecessariamentevertical)quedariainıcio aomovimentodabarra?� Escolhendoumaorientacaoarbitrariaparao campo,vemosque a forca magnetica tera tanto uma compo-nentehorizontalquantouma componentevertical. Acomponentehorizontaldevera atuarde modoa vencera forca de atrito

� � �0Õ � , onde � representaa forcanormalqueostrilhos (parados)exercemsobrea barrae�0Õ e o coeficientedeatrito estatico.A componentever-tical daforcamagneticaatuanosentidodereduzirtantoo pesodabarraquantoa forca deatrito.

Seja�

o angulo que ! faz com a vertical. A forcamagneticae

M �´� Ç`D ! , pois ! faz \ &'Î com a barrahorizontal.Comoa barraesta prestesa deslizar, usandoa Eq. 1 do Cap.6, obtemosparaascomponenteshori-zontais:

Ç`D !3254)6 � � �0Õ � � & �Equilibrandoascomponentesverticais,obtemos:

� , Ç`D ! sen� � o ° � & �

Eliminando� dasduasequaçoes,encontramos:

Ç`D !3254)6 � � �0Õ � o ° � Ç`D ! sen�� & <

ouseja, ! � Öl× Ã>ØÙ�Ú2A4�6 �7, � Õ sen� �

O menorvalor de ! ocorrequandoo denominadordaexpressaoacimafor maximo.Paradeterminao valorde�

quemaximizatal denominadorbastacalculara deri-vadaemrelacaoa

�dodenominadore iguala-laazero:

& � �� s 2A4�6 �7, � Õ sen� u� �

sen�-, � Õ 254)6 � �

Portanto,o denominadortera um extremo [que e ummaximo. Verifiqueisto!] quando� Õ � sen

� P 254)6 � � tg�t<

ouseja,quando� � Ì ° c ] � Õ � Ì ° c ] & � b & � Zd# ( �Substituindoestevalorde

�naexpressaopara! , acima,

encontramoso valormınimopedido:!min

� & � b & � # � & kg�5� \d� $ m/sR �� j & A

�A� # � & m�A� 2A4�6 Zt# ( , & � b & senZt# ( �� & � #B& T �

1.2.7 Torque sobre uma Bobina de Corr ente –53/61

E 30-54.

A Fig. 30-39mostraumabobinaderetangular, com '&voltasdefio, dedimensoes #%& cm [pr j cm. Ela trans-portaumacorrentede & � #B& A e podegirar emtornodeum lado longo. Ela esta montadacom seuplano fa-zendoum angulode Z�&�( com a direcao de um campomagnetico uniforme de & �kj & T. Calcularo torquequeatuasobrea bobinaem torno do eixo que passapeloladolongo.



� No planodeumafolha depapel,escolhaum sistemade coordenadasXY com o eixo Û na horizontal,cres-cendoparaa direita, e o eixo Æ na vertical, crescendoparabaixo.Comtal escolha,o eixodegiro estara sobrea vertical &'Ü , enquantoqueo campoestara na mesmadirecaohorizontalde Û .Chamede n e Ý os comprimentoscurtose longosqueformamo retangulodabobina.Seja

�o angulode Z'&)(

entreo lado n eo campo(supostoaolongodoeixo &lÛ ).Na bobinaatuarao quatroforcas, uma sobrecadaumdosladosdo retangulo.Porem,a unicaforca quepodeproduzirumtorqueemrelacaoaoeixoverticaleaquelaexercidasobreo ladodecomprimentoÝ opostoaoeixodeapoio.O modulodetal forca e:M � Ç`Ý ! sen\ & Î � ÇmÝ ! <estandoeladirigidaaolongodoeixo Æ (isto e,parabai-xo).De acordocoma figura indicadanasolucaodestepro-blema,vemosqueamenordistanciaentrea forca

Me o

eixodegiro (ooseja,o chamado“braco dealavanca”)e( n 2A4�6 � ). Portanto,o torquepara � espirassera:Þ � � � ÇmÝ ! �A� n 254)6 �� [ � Z'Z #%& cih N �m �Pelaregradamaodireitao sentidoe

� Ü , ou seja,o tor-queesta orientadodecimaparabaixo.� Uma outra maneira(mais formal porem bem maisdireta) e calcular o torque a partir da sua definicao�Þ � �� ! , onde � �àß �� ß�� ¿Ç Ê � �rÇ � n^Ý � . Nes-tadefinicaoeprecisocuidarparausaro angulocorreto!Notando-sequeo anguloentre �! e �� (cujadirecao e adanormala espira)ede \ & � � graus,temosÞ � �"! sen

� \ & � �� "!/254)6 �� rÇ`ngÝ � !/254)6 �+�)� � [ � Z�Z #B& cvh N �m �Percebaqueasduasexpressoesusadaspara Þ contemexatamenteosmesmoselementos,poremordenadosdemododiferente,com interpretaçoesum poucodiferen-tes:numcasoo fator n 254)6 � dao braco dealavanca,nooutroo 254)6 � aparecedevido aoprodutoescalar.

P 30-56.� Se � espirascompletassao formadaspor um fiodecomprimentoD , a circunferenciadecadavolta e deDSP5� , e o raio e de

ÚR�álâ . Portanto,a areadecadaespiravale:

Ê � .�� D . � � R � DãR[ . � _ �

Parao torquemaximo, orientamoso plano de espirasparalelamenteaslinhasdocampomagnetico;assim,se-gundoa Eq.27,

� � \ &lÎ , temos:Þ � �¿Ç Ê ! � �¿Ç s D>R[ . � R u ! � Ç;D>R ![ . � �Como � apareceno denominador, o torque maximoocorrequando� � # :Þ Ã�ä � � Ç`DãR ![ . �P 30-59.

A Fig. 30-40mostraum anelde aramede raio n per-pendiculara direcaogeraldeum campomagneticodi-vergente,radialmentesimetrico.O campomagneticonoaneltememtodososseuspontoso mesmomodulo ! efazum angulo

�coma normalaoplanodo anel.osfios

de ligacao,entrelaçados,nao tem efeitoalgumsobreoproblema.Determineo modulo,adirecaoe o sentidodaforca queo campoexercesobreo anelseestefor per-corridoporumacorrenteÇ comomostraa figura.� Considereum segmento infinitesimal do laco, decomprimento�^É . O campomagnetico e perpendicularao segmentode modoquea forca magneticasobreeletem umamagnitude� M � Ç ! �^É . O diagramaabaixomostraa direcao da forca parao segmentona extremadireitado laco:

A componentehorizontal da forca tem magnitude� Mæå � � Ç !/254)6 �� ^É e apontaparadentrodo centrodo laco. A componentevertical temmagnitude� M¶ç �� Ç ! sen

�� )É e apontaparacima.Agora,somemosasforcasemtodossegmentosdo laco.A componentehorizontaldaforcatotalanula-sepoisca-dasegmentodofio podeserpareadocomoutrosegmen-to, diametralmenteoposto.As componenteshorizontaisdestasforcasapontamambasem direcao ao centrodolaco e,portanto,emdirecoesopostas.A componenteverticaldaforca total eM ç � Ç ! sen

�>è �)É � Ç ! sen�� . n � �



NotequeÇ , ! , e�

temo mesmovalorparacadasegmen-to eportantopodemserextraidosparaforadaintegral.

P 30-60.� (a) A correnteno galvanometrodeveria serde # � b mA quando a ddp atraves da combinaçao resistor-galvanometroe de # V. A ddpatravesdo galvanometroapenaseÇ`é � � # � b #B& cih �5� X jd� Z � � & � #% � V

de modoqueo resistordeve estarem serie com o gal-vanometroe addpatravesdeledeveser# � & � & � #% � � & � $)Xl$ V �A resistenciadeveser� � & � $^XT$# � b #B& cvh � j [) �ê �(b) A correnteno galvanometro deveria ser de # � b mA quandoa correnteatravesda combinaçao resistor-galvanometroe de j & mA. O resistordeve estarempa-ralelocomo galvanometroeacorrenteatravesdeledeveser j & � # � b � [)$ � Z'$ mA �A ddpatravesdo resistore a mesmaquea ddpatravesdo galvanometro, & � #% � V, de modo que a resistenciadeveser � � & � #% � [�$ � $ #B& cih � �kj ãê �P 30-61.

A Fig. 30-41mostraum cilindro demadeiracommas-sa o � & � j & kg e comprimentoD � & � #%& m, com� � #B& voltas de fio enroladoem torno dele longi-tudinalmente,de modoqueo planoda bobina,assim,formada,contenhao eixodocilindro. Quale a correntemınima atravesda bobinacapazde impedir o cilindrode rolar parabaixono planoinclinadode

�emrelacao

a horizontal,napresença deum campomagneticouni-formeverticalde & �kj T, seo planodosenrolamentosforparaleloaoplanoinclinado?� Se o cilindro rolar, tera como eixo instantaneoderotacao o ponto

Ó, ponto de contatodo cilindro com

o plano.Nemaforcanormalnemaforcadeatritoexer-cemtorquessobre

Ó, poisaslinhasdeacaodestasduas

forcaspassampelopontoÓ

. As duasunicasforcasque

exercemtorqueem relacao aÓ

sao (i) o pesoe (ii) aforca devidaaocampomagnetico.

Dadefinicaodetorque[Eq. 12-21daquartaedicaoHal-liday] temos �Þ ��ë¤q� <onde

�� oIì no casogravitacionalemquestao. Por-tanto,o modulo do torquedevido a acao gravitacionalvale Þ Ø ��ß ë� oqì ß�� o ° � sen

�d<onde � representao raio do cilindro. O torquedevidoaocampomagneticosobrea espiravale:Þ Ã � �"! sen

� � �¿Ç Ê ! sen� � �rÇ � l��D � ! sen

� �Para que nao haja rotacao, os dois torquesdevem seriguais(ou, equivalentemente,a somadostorquesdevesernula): �rÇm l��D ! sen

� � o ° � sen� �

Portanto, Ç � o ° l� ! D � � [ j A �1.2.8 O Dipolo Magnetico– 62/72

E 30-62.� (a) A magnitudedo momentodedipolo magneticoedadapor � � �¿Ç Ê , onde � e o numerodevoltas, Ç e acorrenteemcadavolta,e Ê e a areado laco. Nestecasooslacossaocirculares,demodoque Ê � . ºR , ondeº eo raiodeumavolta. Protanto,Ç � �� . º R � �kj &� # b & �A�+.0�A� & � &d# \ & � R� #% � X A �(b) O torquemaximoocorrequandoo momentodedi-poloestiverperpendicularaocampo(ouo planodolacofor paraleloaocampo).O torqueedadoporÞ � �"!� � � Z'& �5� Z jg� & #%& cih � � $ � & j #%& c R N �m �



P 30-63.

O momentode dipolo da Terravale $'R|R J/T. Suponhaqueelesejaproduzidoporcargasfluindononucleoder-retidodaTerra.Calcularacorrentegeradaporestascar-gas,supondoqueo raio da trajetoria descritapor elassejaZ j &'& km.� Da equaçao � � �¿Ç Ê � Ç . ºTR obtemossemproble-mas Ç � �. º R � $ � & #B&�R�R.�� Z j &'& #B& h � R� � &'$ #%& e A �P 30-67.

Umaespiracirculardecorrente,deraio $ cm, transpor-taumacorrentede & � A. Um vetorunitario,paraleloaomomentodedipolo �� daespiraedadopor & � b & } � & � $'& � .A espiraesta imersanum campomagnetico dadopor�í� � & � j E ��}¶,�� & � ZîE �� . Determine(a) o torquesobrea espira(usandonotacaovetorial)e (b) a energiapotencialmagneticadaespira.� Conforme dado, o vetor momento de dipolomagneticoe �� & � b & } � & � $'& ��5<onde � � �rÇ Ê � �¿Ç . º R� # � & � '& �5��.0�5� & � &'$'& � R� [ � &) g# #B&dcvh A �mR �

Nestaexpressao, Ç e a correntenaespira,� e o numerodeespiras,Ê a areadaespira,e º e raiodaespira.

(a) O torquee

�Þ � �� I�� & � b & } � & � $'& �%� � & � j }d, & � Z�& �0�� 8 � & � b & �A� & � j �5�ï} }ï�,¤� & � b & �5� & � Z�& �A��} �0�� & � $'& �5� & � j �A� � }ï�� & � $'& �5� & � Z�& �A� � �0�;:� � 8 � & � #%$ �Q, & � l& � � & � T[ } : <ondeusamoso fatoque} � �� '<¨� } �� <¨� � � }f<ð} } � & �Substituindoo valorde � obtemosÞ � J � & � \'b�j } � X � lZ �S, $ � &l[ � K #B& c _ N �m �(b) A energiapotencialdodipolo e dadapor� � � �� !� � � � & � b & } � & � $'& �� & � j }t, & � Z�& �0�� & � b & �5� & � j �� & � # j �� bd� & #B&dc _ J

<ondeusamos

} � } � # , } � � � & e� � � � & .



ExercıciosResolvidosdeTeoria EletromagneticaJasonAlfr edoCarlson Gallas




MateriaparaaSEGUNDA prova. Numeraçaoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.


Conteudo

1 Capacitancia– [Capıtulo 27,pagina106] 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 3

1.2.1 Capacitancia . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Calculodacapacitancia. . . . . 41.2.3 Capacitoresemparaleloeemserie 51.2.4 Armazenamento de energia

numcampoeletrico . . . . . . . 81.2.5 Capacitorcomumdieletrico . . 101.2.6 Osdieletricose a lei deGauss . 11


(lista2.tex )



1 Capacitancia– [Capıtulo 27,pagina106]

1.1 Questoes

Q 27-3.

Uma folha de alumınio de espessuradesprezıvel e co-locadaentreas placasde um capacitor, como mostraa Fig. 27-18. Que efeito ela produzira sobrea capa-citanciase(a) afolhaestivereletricamenteisoladae (b)a folhaestiver ligadaa placasuperior?� (a) Como a folha e metalica, aparecerao cargasin-duzidasem ambosladosdela, transformandoassimocapacitororiginal em umaassociaçaoem serie de doiscapacitorescujadistanciaentreasplacase a metadedadistanciaoriginal “d”:�

c/folha � �� !�"�� $#

Esta capacitancia coincide com a capacitancia origi-nal. Logo, nao existe alteracao da capacitanciapelaintroducaodafolhametalicaameiadistancia.

(b) O efeitoe reduzira distancia�, entreasplacas,pela

metade.Ouseja,duplicar a capacitanciaoriginal.

Q 27-6.

Considereum capacitordeplacasparalelas,complacasquadradasde area � e separaçao

�, no vacuo. Qual e

o efeitoqualitativo sobresuacapacitancia,decadaumadasseguinteoperaçoes: (a) Reduzir

�. (b) Introduzir

umaplacadecobreentreasplacas,semtoca-las.(c) Du-plicar a areadeambasasplacas.(d) Duplicara areadeapenasumadasplacas.(e) Deslizarasplacasparalela-menteumaaoutra,demodoquea areadesuperposiçaoseja,digamos,% &!' doseuvalororiginal. (f) Duplicaradiferenca depotencialentreasplacas.(g) Inclinar umadasplacasdemodoquea separaçaopermaneça

�numa

dasextremidades,maspassea��

naoutra.� (a) A capacitanciaaumenta.Paraverificaristo,usearelacao

� �)( � � �*�.

(b) A capacitancia aumenta. Para verificar estaafirmacao, note que a nova capacitancia dada pelarelacao

� �+( � � �-,.�0/213, onde

�e a distanciaentre

asplacase1

e a espessuradaplacaintroduzida.O efei-to e pequenoquando

1for muito menorque

�. Tudo

sepassacomosea nova distanciaentreasplacasfosse,��4/513.

(c) A capacitanciadobra.

(d) A cargasobreaplacamaiorsedistribuiranumaareamaior. Portanto,a densidadede carga sobrea placamaiore 6 � � , onde6 e adensidadedecargasobreapla-camenor. O campoeletricodeixara deseruniformee,comoaslinhasdeforcaficamafastadas,concluımosqueo campoeletricotorna-semenorea diferencadepoten-cial tambemdiminui. Como

� �87 �"9 , concluımosquea capacitancia aumenta. Contudoesteefeito e muitopequeno.

(e)Comoa areatorna-seigual � � �, sendo� a areaini-

cial, concluımosquea capacitanciasereduzaproxima-damentea %"&:' do valor inicial (a capacitancianao sereduzexatamentea %"&:' dovalor inicial devido aoefei-to deborda).

(f) O valorde�

permaneceinalterado.A cargatambemdobra.

(g) A capacitanciaaumenta.Pensenumaassociaçaoemparalelode capacitores,sendoqueparacadacapacitora distanciaentreasplacasvai diminuindode

�ate

�!�"�.

Ao diminuir a distanciaentreasplacas,a capacitanciade cadacapacitorvai aumentando.Dondese concluiquea capacitanciatotal e bastantemaiordoquea capa-citanciadocapacitordeplacasparalelas.

Q 27-14.

Um objeto dieletrico experimentauma forca lıquidaquandoesubmetidoaumcampoeletriconao-uniforme.Porquenaohaumaforca lıquidaquandoo campoeuni-forme?� Num campoeletricouniformea polarizacaotambeme uniforme,demodoqueo dieletricofuncionacomosefosseum corpocarregadoapenasna suasuperfıcie ex-terna.A cargatotal enula,ouseja,ascargassuperficiaissao iguaise contrarias. Portanto,a forca total queagesobreo dieletricoe iguala zero.

Q 27-17.



Um capacitordeplacasparalelase carregadopor meiode uma bateriaque, logo a seguir, e retirada. Umalaminadieletrica e, entao, introduzidaentreas placasdo capacitor. Descreva qualitativamenteo queacontececoma carga,a capacitancia,a diferenca depotencial,ocampoeletrico,a energiaarmazenadae coma lamina.� A carga 7 nasplacaspermaneceinalteradaquandoabateriae removida(Lei daConservacaodaCarga).Sendo

� � o valordacapacitanciaantesdeseintroduziro dieletrico,o novo valor dacapacitanciasera dadopor� �<; � � . Se ;>= �

, entaoa capacitanciaira aumentar.Se ;@? �

, entaoa capacitanciairadiminuir.Como 7 permanececonstante(aposaretiradadabateria)e devemossempresatisfazera relacao 7A� � 9

, vemosqueumaalteracaopara

� �8; � � dacapacitanciaimpli-cananecessidadedanovadiferencadepotencialpassara ser

9 � 9 � � ; , onde9 � representao valor do poten-

cial antesde introduzir-seo dieletrico. Somenteassimiremosgarantirqueo produto

� 9permaneça constan-

te. Notequeo potencialpodera tantoaumentarquantodiminuir, dependendose ;B? �

ou ;B= �, respectiva-

mente.O campoeletrico resultante CD entreasplacasdiminui:CD � CD � / CD4E

, onde CD4Eeo campoopostoa CD � produzido

pelascargassuperficiais7 E induzidasnodieletrico.O dieletricofica polarizado.O livro-texto discutebemisto...Dito de outro modo: As cargasde polarizacao na su-perfıcie do dieletrico sao negativas para a superfıcieproxima da placapositiva. Sendoassim,concluımosque o campoeletrico entreas placasdiminui. Comoa diferenca depotenciale igual

D �, a diferenca depo-

tencial tambem diminui. Como� �F7 � 9 , e a carga7 permanececonstante,concluımosquea capacitancia�

aumenta.Conformesabemos,a energia eletricaar-mazenadaentreasplacasde um capacitore dadapor:G �H7 � � � � . Portanto,concluımos que a energiaeletricaarmazenadaentreasplacasdo capacitordimi-nui. Paraentenderqualitativamenteestadiminuicaodeenergia,facao seguinteraciocınio: a placae atraıdapa-ra o interiordo capacitordemodoqueo agenteexternoprecisarealizarum trabalhonegativo sobrea placapa-ra introduzi-lano interior do capacitorcomvelocidadeconstante.

Q 27-18.

Enquantoum capacitorpermaneceligado a umabate-ria, umalaminadieletricae introduzidaentreasplacas.Descrevaqualitativamenteoqueacontececomacarga,acapacitancia,adiferencadepotencial,o campoeletrico,

e a energia armazenada.E necessario a realizacao detrabalhoparaintroduzira lamina?� A carga 7 livre nas placasaumentapois a bateriaesta ligada; a capacitanciaaumentapara

� �+; � � ; adiferencadepotencialnaomudapoisemantidaconstan-te pelabateria.O campoeletrico CD resultantetambempermanececonstantepois

9 � /JI CDLK � CM , ou seja,9 � D �, onde

9e�

(quee a distanciaconstanteentreasplacas)sao constantes.A energia

G �N7 � ��,�� 3 �� 9 � �"� �87 9O� � aumentapois9

e constantemas�

e 7aumentam.A forca externarealizaum trabalho[para introduzir odieletricocomvelocidadeconstante]:P � Q CR ext

K � CM � Q Rext

�:SUT�VXW �ZY &:[\ ]�^ _`ba � ? &-cdemodoqued

Energiatotal � d Gcapacitor\ ]e^ _f � � P>g

ext\ ]e^ _h � � &-cprincıpio daconservacaodaenergia.


1.2.1 Capacitancia

E 27-1.

Um eletrometroeuminstrumentousadoparamedircar-gaestatica:umacargadesconhecidaecolocadasobreasplacasdo capacitordo medidore a diferenca depoten-cial e medida.Quecargamınimapodesermedidaporum eletrometrocomumacapacitanciade %"& pF e umasensibilidadea voltagemde & # � % V?� 7i� � 9 � % &Aj � & a � � j@& # � % � k # %0j � & a � � C� k # % pC#Comoamagnitudedacargaelementare l � � # m j � & a �nC, vemosquea cargamınimaacimacorrespondea ter-mos o � k # %pj � & a � �� # m j � & a �qn� r m j � &"s� r m milhoesdecargaselementares

sobreas placasdo capacitor. Mesmosendoum valor‘mınimo’, o numerodecargasaindae enorme!



E 27-3.

O capacitorda Fig. 27-22tem umacapacitanciade� %

pFeesta inicialmentesemcarga.A bateriaforneceumadiferencadepotencialde

� � & V. Aposachave t terfica-do fechadapor um longotempo,quantacargatera pas-sadoatravesdabateria?� Darelacaoentrecargae ddp,Eq.1, encontramos:

74� � 9 � � %uj � & a s j � � & �wv j � & ayx C �wv mC#1.2.2 Calculo da capacitancia

E 27-5.

Um capacitordeplacasparalelaspossuiplacascircula-resde raio

Y # � cm e separaçao� # v mm. (a) Calculea

capacitancia.(b) Quecargaaparecerasobreasplacassea ddpaplicadafor de

� � & V?� (a)� � �� Y # Y %pj � & a � �pz , Y # � j � & a � 3 �� # v j � & a{x� � # r"r j � & a � � � � rXr pF#(b)7|� � 9 � � r"r j � & a � � j � � & � � # k*v j � & ay}� � k # v nC#E 27-7.

A placae o catodode um diodo a vacuotem a formadedoiscilindrosconcentricoscoma catodosendoo ci-lindro central. O diametrodo catodoe de

� # m mm e odiametroda placae de

��Ymm; os dois elementostem

comprimentode� # r cm. Calcularacapacitanciadodio-

do.� Paraum capacitorcilındrico (com ~ ?�� ) temosdaEq.27-14oudaTabela1:� � � z �� , � � ~ 3 � % # % � j � & a � x F� & # %X% � pF#

P 27-12.

Calculamos,naSecao27-3,a capacitanciadeum capa-citor cilındrico. Usandoa aproximaçao

��, � �� 3�� ,quando��

(vejao ApendiceG), mostrequeelaseaproximadacapacitanciadeumcapacitordeplacaspa-ralelasquandoo espaçamentoentreos dois cilindros epequeno.� A capacitanciaemquestaoe dadapor� � � z � � ��"��-� #Chamando-sede

�o espaçamentoentreos dois cilin-

dros,temosque �� ~ � �.� � � z �� X��-�� z � � �� z � � �� -�� z � � ��!� ~ � � � � z ~ �� c

onde�B� � z ~ � ea areadasplacaseaaproximaçaofoifeitasupondo-seque ~u� �

.

P 27-13.

Suponhaqueasduascascasesfericasde um capacitoresfericotenhamaproximadamenteraiosiguais.Sobtaiscondicoes,tal dispositivo seaproximadeum capacitordeplacasparalelascom � / ~ � �

. MostrequeaEq.27-17sereduz,defatoa Eq.27-9,nessecaso.� A capacitanciadocapacitoresfericoemquestaoe� �8r z �� ~ �� / ~ #Chamando-sede � os dois raiossupostosaproximada-mente iguais, segue que ~ � � � � . Por outro lado,� / ~ � �

. Portanto,� �wr z � � ~ �� / ~ � � � r z � �� conde�B� r z � � e a areadasplacas.

P 27-14.



Um capacitorfoi construidoparaoperarcomumacapa-citanciaconstante,emmeioaumatemperaturavariavel.ComosedemonstranaFig. 27-23,o capacitore do tipodeplacasparalelascom“separadores”deplasticoparamanterasplacasalinhadas. (a) Mostreque a taxadevariacaodacapacitancia

�coma temperatura� e dada

por � �� J� �� / �� conde � e a areadecadaplacae � a separaçaoentreasplacas.(b) Seasplacasforemdealumınio, qualdeverasero coeficientedeexpansaotermicadosseparadoresafim dequea capacitancianaovariecoma temperatura?(Ignoreo efeitodosseparadoressobreacapacitancia.)� (a) A capacitancia

�e umafuncaodeduasvaraveis:

(i) da area � dasplacase (ii) da distancia � entreasplacas: � � �� #Portanto,a disciplina de Calculo nos ensinaque asvariacoesda capacitancia

�com a temperatura� sao

determinadaspelaequaçao� ��

� �� #Calculando-seasderivadasparciais,encontramos� �� c

� �� / � � �� / � � cque,substituidasdaexpressaopara

� � � � � acima,nosfornecem � ��

� �� / � � � �� J� �� / �� c

quee o resultadopedido.

(b) DaEq.19-9sabemosqueavariacaod � deumcom-

primento� qualquerquandosubmetidoa umavariacaod � detemperaturaedadopelaequaçaod � � �� d ��conde � e o chamado‘coeficientedeexpansaotermica’do materialemquestao.Estaequaçaopodetambemserre-escritacomo �� d �d � � ��

onde � � ja representaagorao valor do coeficientedeexpansaotermicadoseparador.Analogamente(vejao Exercıcio 19-37),a variacao

d �deumaarea� emfuncaodeumavariacao

d � detem-peraturapodeserescritacomo�� d �d � � � � Al conde � Al ��r m j � & a s / [ C representao coeficientedeexpansao termicado alumınio (veja a Tabela19-3) dequesaofeitasasplacas,eo fator

�levaemcontaabidi-

mensionalidadedasareas.Para que a capacitancianao varie com temperaturaeprecisoque

� � �*� � � & , ouseja,que�� / �� Al

/ � � � &�condeconsideramosvariacoes

d � ed � infinitesimais.

Da igualdademais a direita vemos que, para evitarvariacoes de

�com � , o coeficientede expansao

termicadosseparadoresdeveraserescolhidotal que� � � � � Al �B � j � & a s / [ C #1.2.3 Capacitoresemparalelo e emserie

E 27-15.

Quantoscapacitoresde��¡

F devemserligadosempa-raleloparaacumularemumacargade

�C comum po-

tencialde�"� & V atravesdoscapacitores?� Para poderarmazenar

�C a

�X� & V a capacitanciaequivalentedoarranjoaserconstruidodeveraser:�£¢q¤ � 79 � ��"� & � & �U¡

F #Paraumaconexaoemparalelosabemosque

� ¢q¤ � o �onde

�e a capacitanciaindividual decadacapacitora

serusado.Portanto,o numerototaldecapacitoressera:o � �£¢q¤� � & �¥¡F�i¡

F �8 & � #E 27-16.

Na Fig. 27-24,determinea capacitanciaequivalentedacombinaçao. Suponha

� � � � & ¡F,

� � � % ¡F e� x �8r ¡

F.



� Oscapacitores� � e

� � estaoemparalelo,formandoum capacitorequivalente

� � � que,por suavez,esta emseriecom

� x . Portanto,a capacitanciaequivalentetotale dadapor�

eq � � � � j � x� � � � � x � , � & � % 3 j r, � & � % 3 � r � m &� � v # � % ¡ F #E 27-17.

Na Fig. 27-25,determinea capacitanciaequivalentedacombinaçao. Suponha

� � � � & ¡F,

� � � % ¡F e� x �8r ¡

F.� Oscapacitores� � e

� � estaoemserie.Portanto� � � � �� ¦ � � &v ¡F #

O capacitorequivalentetotal edadopelaligacaoempa-ralelode

� � � e� x :� ¢q¤ � � &v � rp� � &v � � �v � �"�v � k # v"v ¡ F #

E 27-18.

Cadaum dos capacitoresdescarregadosna Fig. 27-26tem umacapacitanciade

� % ¡F. Uma diferenca de po-

tencialde r � &X& V eestabelecidaquandoachaveefecha-da.Quantoscoulombsdecargapassamentaoatravesdoamperımetro � ?� Bastausara formula 75� �O¢¤ 9

, onde�£¢q¤

e o ca-pacitorequivalenteda ligacaoemparalelo,

�£¢q¤ �§v � ,onde

� � � % ¡F, e

9 �¨r � &X& Volts. Portanto,a cargatotalmedidae7i�8v j � %pj � & a s j r � &X& �Bv � % mC#P 27-19.

Uma capacitancia� � � m ¡

F e ligada em serie comumacapacitancia

� � �+r ¡F e umadiferenca de po-

tencialde� &X& V e aplicadaatravesdo par. (a) Calcule

a capacitanciaequivalente.(b) Qual e a cargaemcadacapacitor?(c) Quala diferenca depotencialatravesdecadacapacitor?� (a) A capacitanciaequivalentee� ¢¤ � �� m � � � r � � rr � m � � �% ¡

F #

(b) A carganocapacitorequivalentee7|� �£¢q¤ 9 � � � j � & a s% j � &"& � & # r Y j � & ayx C #Como os capacitoresestao em serie, este valor e omodulo da carga que esta sobrecadauma dasplacasdosdoiscapacitores.Ouseja,7 � �B7 � � & # r Y mC.(c)9 � � 7 �� & # r Y j � & a{xm j � & a s � Y & Voltsce 9 � � 7 �� & # r Y j � & a{xr j � & a s � � � & Volts#P 27-26.

A Fig. 27-28 mostradois capacitoresem serie, cujasecao central, de comprimento � , podeser deslocadaverticalmente. Mostre que a capacitanciaequivalentedessacombinaçao em serie e independenteda posicaodasecaocentrale e dadapor� � ��~ / � #� Chamando-sede

�a distanciaentreasplacasdapar-

te superiorda figura, obtemosasseguintesexpressoesparaascapacitanciasindividuaisde cadaum dosdoiscapacitores:� � � � � �� c � � � � � �~ / � /5�©#Ligando-osemserieobtemos�£¢q¤ � ��ª{« � �ªy¬ � �� a � a �� ~ / � #Destaexpressao vemosquea capacitanciaequivalentenaodependede

�, ou seja,nao dependeda posicao da

secaoretacentral.

P 27-28.

Na Fig. 27-29,oscapacitores� � � ��¡

F e� � �v ¡

Fsaoamboscarregadosa um potencial

9 � � &"& V mascompolaridadesopostas,comoe mostrado.As chavest � e t � sao,entao fechadas.(a) Qual e a diferenca depotencialentreospontos~ e � ? (b) Qualeacargasobre� � ? (c) Qualea cargasobre

� � ?� (a) Apos aschavesseremfechadasasdiferencasdepotencialsaoasmesmase osdoiscapacitoresestaoemparalelo. A ddp de ~ ate � e

9 � � �+® � �£¢q¤, one ® e



a carga lıquidana combinaçao e�£¢q¤

e a capacitanciaequivalente.A capacitanciaequivalentee� ¢q¤ � � � � � � �8r j � & a s F #A cargatotal nacombinaçaoe a cargalıquidasobreca-dapardeplacaconectadas.A cargasobreo capacitor

�e 7 � � � � 9� , � j � & a s 3e, � &"& V

3 � � j � & a°¯ C

e a cargasobreo capacitor�

e7 � � � � 9� , v j � & a s 3�, � &"& V3 �Bv j � & ay¯ C c

de modo que a carga lıquida sobrea combinaçao e, v / � 3 j � & ay¯ C � � j � & a°¯ C. Portanto,a diferencadepotencialpedidae9 � � � � j � & ay¯ Cr j � & a s F � %"& V #(b) A carganocapacitor

�e agora7 � � � � 9 � � � , � j � & a s 3�, % & 3 � %uj � & a ¦ C #

(c) A carganocapacitor�

e agora7 � � � � 9 � � � , v j � & a s 3e, %"& 3 � � # %uj � & ay¯ C #P 27-29.

Quandoachave t , naFig.27-30,egiradaparaaesquer-da,asplacasdocapacitorC, adquiremumadiferencadepotencial

9 � . Oscapacitores� � e

� � estaoinicialmentedescarregados.A chave e, agora,giradaparaa direita.Quaissaoascargasfinais 7 � , 7 � e 7 sobreoscapacitorescorrespondentes?� As cargasnoscapacitores

�e v sao asmesmas,de

modoqueelespodemsersubstituidosporumcapacitorequivalentedadopor��

eq� �� x � � � � � x� � � x #

Portanto�

eq � � � � x �-, � � � � x 3 # A carganocapacitorequivalentee amesmaqueemqualquerumdoscapaci-toresda combinaçao. A diferenca depotencialatraves

do capacitorequivalentee 7 � � � eq. A diferenca depo-tencialatravesdocapacitor

�e 7 � � � � , onde7 � eacarga

em� � .

A diferenca depotenciaatravesdacombinaçaodosca-pacitores

�e v temqueseramesmadiferencadepoten-

cial atravesdocapacitor�, demodoque7 �� 7 ��

eq# , ~ 3

Quando fechamosa chave pela segunda vez, par-te da carga originalmenteno capacitor

�flui para a

combinaçao de�

e v . Sendo 7 � e a carga original, alei daconservacaodacarganosfornece7 � � 7 � �87 � � � � 9 � c , � 3onde

9 � e a diferenca de potencialoriginal atravesdocapacitor

�.

DaEqs.(b) tiramosque7 � � � � 9 � / 7 �que,quandosubstituidanaEq.(a), fornece7 �� 9 � / 7 ��

eqc

que,finalmente,nosfornece7 � :7 � � � �� 9 ��eq � � �� 9 �ªy¬ªy±ª ¬ � ª ± � � �� , � � � � x 3�9 �� x � � � � x #

As cargasnoscapacitores�

e v sao7 � �B7 x � � � 9 � / 7 �� 9 � / � �� , � � � � x 39 �� x � � � � x� � � � � � x 9 �� x � � � � x #�Segunda soluç ao: Considerea figuraabaixo:

As cargasiniciaisestaoindicadasaesquerdadecadaca-pacitor. As cargasfinaisestaoindicadasa direitadeca-



dacapacitor. Inicialmente,podemosescreveraseguinterelacao: 74� � � 9 � #De acordocoma Lei daConservacaodaCarga,aoco-nectarmosos capacitores

� � e� x , a carga total

/ 7 nocondutor, ² indicadonafiguradasolucaodesteproble-ma,devepermanecerconstante.Logo,/ 7|� / 7 � / 7 xDondeseconcluique

7 � � 7 x � � � 9 �Aplicandoa Lei daConservacaodaCargano condutor³

indicadonafiguradesolucaodesteproblema,encon-tramos:& � / 7 � � 7 x . Dondeseconcluique 7 � �w7 x .Aplicandoa Lei da Conservacao da Carga parao con-dutor ´ , indicadona figura do problema,nao conduza nenhumaequaçao nova. Sabemosqueo campoele-trostatico e conservativo. Entao,assomasdediferencade potencialao longo da malhafechadadeve sernula(Lei dasMalhas).Portanto,

& � 7 �� 7 x� x / 7 �� As relacoes(1), (2) e (3) formamum sistemade tresequaçoese tresincognitas7 � , 7 � e 7 x . A solucaodestesistemafornecearesposta7 � � � � � � � � � � x� � � � � � � � x � � � � x � � 9 � c

7 � �B7 x � � � � x� � � � � � � � x � � � � x � � 9 � #1.2.4 Armazenamento de energia num campo

eletrico

E 27-34.

Quecapacitanciaenecessariaparaarmazenarumaener-giade

� & kWKh sobumadiferencadepotencialde

� &"&X&V?� Comosabemosquea energiaarmazenadanumcapa-citor e

G � � 9 � � �, a‘dificuldade’doproblemaconsis-

teapenasemdeterminarquantosJoulescorrespondema� & kWKh.

Lembrandoque�

J � �Watt

Ksegundo, simplesmen-

te precisamosmultiplicar, � & x W

� µ P 3e, v m &X& s/h3

paraobterque

� & kWKh �wv # m j � &"¶ J.Portanto� � � G9 � � �-, v # m j � &X¶ 3, � &X&"& 3 � ��k � F #

E 27-37.

Dois capacitores,de capacitancia� ¡

F e r ¡ F, sao liga-dosem paraleloatravesde umadiferenca de potencialde v &X& V. Calcularaenergiatotalarmazenadanoscapa-citores.� A energiatotaleasomadasenergiasarmazenadasemcadacapacitor. Comelesestaoconectadosemparalelo,a diferenca de potencial

9a queestao submetidose a

mesma.A energia total e,portanto,G � �� , � � � � � 394�� j � & a s � r j � & a s � , v &X& 3 x� & # � k J#

P 27-47.

Umcapacitorcilındricotemraiointerno ~ eraioexterno� (comoindicadonaFig.27-6,pag.95). Mostrequeme-tadedaenergia potencialeletricaarmazenadaesta den-tro deumcilindro cujo raio e� �<· ~ � #� A energia acumuladanumcampoeletricoqueocupaum volume ¸ e obtidaintegrando-se,sobretodo o vo-lume ¸ , a densidadedeenergia ¹yº do campoeletrico.Portanto,G , � 3 � Q ¹ º � ¸ � � �� Q�»� D � � ¸Uconde

�:9 � � z � � � � e o elementodevolumedagaus-sianacilındricaderaio � considerada(verFig. 27-6).Usandoa Eq.27-12,encontramosqueo campoeletricoentreas placasde um capacitorcilındrico de compri-mento� contendoumacarga 7 e deraio � e dadoporD , � 3 � 7� z �� #



Substituindo-seestevalornaequaçaoparaG , � 3 , acima,

encontramosaseguinterelacaoparaaenergiaacumula-da no campoeletrico dentrodo volumecompreendidoentreo cilindro deraio ~ e o cilindro deraio � :G , � 3 � �� Q »� � 7� z � � � �{� � � z � � � �� 7 �r z � � � Q¼»� � �� 7 �r z �� ~ � #A energiapotencialmaxima

G¾½e obtidapara� � � :G¾½ � G , � 3 � 7 �r z �� ~ � #

Para obter o valor de � pedido precisamossimples-mentedeterminaro valor de � parao qual tenhamosG , � 3 � G�½ �"�

. Substituindo-senestaequaçao os va-loresde

G , � 3 eG�½

acima,encontramossemnenhumadificuldadeque � �<· ~ � #P 27-49.

Mostrequeasplacasdeumcapacitordeplacasparalelasseatraemmutuamentecomumaforca dadaporR � 7 �� #Obtenhao resultadocalculandoo trabalhonecessarioparaaumentara separaçaodasplacasde � para�u� � � ,coma carga 7 permanecendoconstante.� O trabalhofeito numcampoeletricoe definidopor� P � R � �� 7 �!9 �87 D � � #Portanto,por comparaçao destasformulas,obtemosamagnitudedaforca e

R � l D .Para um capacitorde placasparalelassabemosque amagnitudedo campo e dada por

D � 6 � � � � onde6 �w7 � � . PortantoR �87 D �B7 6� �� 87 7� �� 7 �� #Modo alternativo, nao supondo 7 constante: Consi-dereuma carga infinitesimal

� 7 sobreuma dasplacas

do capacitor. O modulo� R

da forca infinitesimalde-vida aocampoeletrico CD existenteno capacitore dadapor � R � D � 7 #A Eq. 27-7 nos diz que modulo do campoeletrico CDexistentenocapacitoreD � 7� � � #PortantoR � Q � R � Q D � 74� �� Q ¤� 7 � 7|� 7 �� #P 27-50.

Usandoo resultadodo Problema27-49, mostreque aforcaporunidadedearea(a tensaoeletrostatica) atuan-do sobrecadaplacae dadapor � � D � � �

. (Na realida-de, esteresultadoe geral, valendoparacondutoresdequalquerformato,comum campoeletrico ¿ nasuasu-perfıcie.� De acordocom o problema27-49,a forca em cadaplacado capacitore dadapor

R �À7 � ��,Á� �� 3, onde 7

e a cargasobrea placae � e a areadaplaca.O campoeletrico entreasplacase

D �Â7 �-, � � � 3, de modoque7i� � � � D

eR � 7 �� D �� D � #Assimsendo,a forca porunidadedeareaeR � � �� D � #P 27-51Ã .

Umacarga 7 ecolocadalentamentenasuperfıciedeumabolhade sabao, de raio Ä � . Devido a repulsao mutuaexistenteentreascargassuperficiais,o raio aumentali-geiramenteparaÄ . Porcausadaexpansao,apressaodoar dentroda bolhacai para ¸ �Å � ¸ onde Å e a pressaoatmosferica, ¸ � e o volumeinicial e ¸ e o volumefinal.Mostreque 7 � �8v � z �� Å Ä , Ä x£/ Ä x� 3 #(Sugestao: Considereforcasqueatuamsobreumape-quenaareadabolhacarregada.Forcasdecorrentesde(i)pressaodo gas;(ii) a pressaoatmosferica;(iii) a tensaoeletrostatica.Vero Problema50.)



� Conformeo Problema27-50,aforcaeletrostaticaqueatuanumapequenaarea

d � eR ¢ � � � D � d � � �

. Ocampoeletriconasuperfıcie e

D �Æ7 �-, r z � � Ä � 3, onde7 e acarganabolha.PortantoR ¢ � �� 7 � d �� m z � � �� Ä ¯ � 7 � d �v � z � � �� Ä ¯ c

apontandoparafora. A forca do gasdentroe o produtodapressaodentropelaarea,ouseja,RÈÇ � Å ¸ �¸ d � � Å ¯ x z Ä x�¯ x z Ä x d � � Å Ä x�Ä x d � capontandoparafora. A forca do ar fora e

R � � Å d � ,apontandoparadentro.Comoa superfıcie dabolhaestaemequilıbrio, a somadastresforcasdeveanular-se:

R ¢ � RÈÇ / R � � & . Estaequaçaofornece-nos7 �v � z � � � Ä ¯ � Å Ä x�Ä x / Å � &-cdeondetiramosfacilmenteque7 � �8v � z � � Ä ¯ Å � � / Ä x�Ä x � �Bv � z � � �Å Ä , Ä x£/ Ä x� 3 #�

Em outras palavras:

As forcasqueatuamsobreo elementodeareadabolhacarregadasaocausadaspelasseguintespressoes: (a) Apressaodo gasÅ Ç do interiordabolha(atuandodeden-tro parafora), (b) A pressaoatmosferica Å (atuandodeforaparadentro),(c) A tensaoeletrostaticamencionadano Problema27-12(atuandode dentroparafora). Noequilıbrio, comoa somadasforcase igual a zero,can-celandoa areacomumconsiderada,podemosescrever:Å Ç � � � D �� Å # ,ÁÉ 3Deacordocomo enunciadodoproblema,temos:Å Ç � ¸ �¸ Å � ¯ x z Ä x�¯ x z Ä x Å � Ä x�Ä x Å #O campoeletricodadistribuicaodecargasesfericamen-tesimetricaexistentenasuperfıciedabolhae dadoporD � �r z � � 7Ä � #Substituindo-seÅ Ç e

DnaEq.(*) acimaobtemosÄ x�Ä x Å � � �� m z � � �� 7 �Ä ¯ � � Å

deondesetira facilmentequeo valorpedidoe7 � �Bv � z � � �Å Ä , Ä x / Ä x� 3 #

1.2.5 Capacitor comum dieletrico

E 27-53.

Dado um capacitorde k # r pF, cheio de ar, pedimosconverte-lo num capacitorque armazenek # r ¡

J comumadiferenca depotencialmaximade m % � V. QualdosdieletricoslistadosnaTabela27-2poderiaserusadopa-rapreenchera lacunadeardocapacitor?� Com o dieletrico dentro,a capacitanciae dadapor� �Ê; � � , onde

� � representaa capacitanciaantesdodieletricoserinserido.A energiaarmazenadaedadaporG � �� 90� � �� ; � � 90� #Portanto,

;Ë� � G� � 9 � � �A, k # r j � & a s 3, k # r j � & a � � 3e, m % �X3 � �wr # k #Da Tabela27-2 vemosquepoderıamosusarpirex parapreenchera lacunadocapacitor.

E 27-56.

Um cabocoaxialusadonumalinha detransmissaotemum raio interno de & # � mm e um raio externo de & # mmm. Calculara capacitanciapor metrodecabo.Supo-nhaqueo espaço entreos condutoressejapreenchidocompoliestireno.� UsandoasEqs.27-14e 27-30encontramosquea ca-pacitanciadocaboe� ��; �

ar ��; � z � � ��, � � ~ 3-#Portanto,porunidadedecomprimentotemosÌ� � � � �B; � z � ��È, m � � 3 � Y & # k pF/m#ondeusamos;Í� � # m (quecorrespondeaopoliestireno,vejaTabela27-2,pag.101).

P 27-57.



Uma certasubstanciatem umaconstantedieletricade� # Y e umarigidezdieletricade��Y

MV/m. Sea usarmoscomomaterialdieletriconumcapacitordeplacaspara-lelas,qualdeverasera areamınimadasplacasparaquea capacitanciasejade k j � & a � ¡ F e paraqueo capa-citor sejacapazderesistira umadiferenca depotencialde r kV?� A capacitanciae

� �Æ; � � �Æ; �� , onde

� � e acapacitanciasemo dieletrico, ; e a constantedieletricadomeio, � a areadeumaplacae

�aseparaçaodaspla-

cas.O campoeletricoentreasplacaseD � 9O�*�

, onde9e adiferenca depotencialentreasplacas.

Portanto,� � 9O� D

e� �B; � � � D � 9

, dondetiramos� � � 9; � � D #Paraqueestaareasejamınima,o campoeletrico devesero maiorpossıvel semquerompao dieletrico:� � , k j � & ay} F

3e, r j � & x V3� # Y , Y # Y %pj � & a � � F/m

3�, ��Y j � & s V/m3

� & # m v m� #

P 27-64.

Um capacitorde placasparalelas,de area � , e preen-chidocomdoisdieletricoscomomostraa Fig. 27-35napag.111. Mostrequenestecasoa capacitanciae dadapor� O valor pedidocorrespondea capacitancia

�do ca-

pacitorequivalentedaligacaoem serie de� � �8; � � � �� e� � ��; � � � �� c

cujaunicadiferenca eo dieletrico:�� !�"�; � ��Z� � �!�"�; � ��Z� � �� ; � � ; �; � ; � #Portanto � � � �� ; � ; �; � � ; � � #Solucaoalternativa:� O campoeletricouniformeparacadaumadascama-dasdieletricasentreasplacasdocapacitore dadapor

D � � 7 � �; � �� eD � � 7 � �; � �� #

Sabemosque� �B7 � 9 , onde9 � 9 � � 9 � � � � D � � � � D � #

Portanto � � 7�� , D � � D � 3� � 7� � ¤ �ÎÏ « � � � ¤ �ÎÏ ¬ � � �� ; � ; �; � � ; � � #Note que, no caso de um capacitorno ar (sem osdieletricos),temos ; � �L; � � �

e a relacao acimasereduza

� � � � � � �, conformeesperado.Quandoos

doisdieletricosforemiguais,isto e,para ; � �Ð; � �Ð; ,a relacaoanteriortambemforneceo resultadoesperado:� ��; �� *�

.

1.2.6 Osdieletricose a lei deGauss

E 27-66

Um capacitordeplacasparalelastemumacapacitanciade

� &"& pF, placasdeareaiguala� &X& cm

�eusamicaco-

modieletrico( ;Ë� % # r ). Praumadiferencadepotencialde % & V, calcule:(a)

Dnamica; (b) o modulodacarga

livresobreasplacas,e (c) o modulodacargasuperficialinduzida.� (a) O campoeletrico na regiao entre as placaseD � 9©� �

, onde9

e a diferenca de potencialentreasplacase

�a separaçaodasplacas.Como

� �Ð; � � � �*�,

onde� e a areadeumaplacae ; a constantedieletrica,temosque

� �8; � � � � �e,portanto,queD � 9 � � 9 �; � � �� % & , � &"&pj � & a � � 3% # r , Y # Y %pj � & a � � 3e, � &"&Aj � & a°¯ 3� � j � & ¯ V/m #

(b) A cargalivrenasplacase7�ÑO� 9 � � , � &X&uj � & a � � 3�, % & 3 � %uj � & a n C #(c)Ocampoeletricoeproduzidoporambascargas,livreeinduzida.Comocampodevidoaumacamadagrandeeuniformedecargae 7 ��,Á� �� 3

, o campoentreasplacase D � 7�Ñ� ��Z� � 7�Ñ� �� / 7�Ò� �� / 7�Ò� �� #



O primeiro termodeve-secarga livre positiva em umadasplacas,o segundodeve-sea cargalivre negativa naoutraplaca,o terceirodeve-sea cargainduzidapositivaemumadassuperfıciesdo dieletricoo quartodeve-seacargainduzidanegativanaoutrasuperfıciedodieletrico.Observe queo campodevido a cargainduzidae opostoaocampodevido acargalivre,demodoqueelestendema cancelar-se.A cargainduzidae,portanto,7�ÒÓ� 7�Ñ / � � � D� %uj � & a n C/4, Y # Y %pj � & a � � 3e, � &"&Aj � & ¯�3e, � j � & ¯Z3 C� r # � j � & a n C� r # � nC#P 27-71

Umalaminadieletricadeespessura� e introduzidaen-tre as placasde um capacitorde placasparalelasdeseparaçao

�. Mostrequeacapacitanciae dadapor� � ; ��Z�; �0/Ô, ; / � 3 � #

(Sugestao: Deduzaa formula seguindo o modelodo Exemplo 27-10.) Esta formula preve o resultadonumerico corretodo Exemplo27-10? Verifiquequeaformulaesta de acordocom os casosespeciaisquando�� & , ;Ë� �

e �£� �.

� SejaD

umcampoeletriconaregiaovaziaeD � o cam-

poeletricono interiordodieletrico.DaEq.27-32sabe-mosque

D � � D � ; . Portanto,observandoa Fig. 27-17quecorrespondea situacaodesteproblema,vemosqueadiferenca depotencialatravesdocapacitore dadapor9 � � D � � D � � ,.�0/ � / � 3 D couseja 9 � ,.�4/ � � �; 3 D #Comosabemosque

D �87 �-, �U� � 3 (vejaEq.27-7),segueque 9 � 7�U�� ;ÍÕ ; �i/), ; / � 3 ��Ö cdondetiramossemdificuldadesque,realmente,� � 79 � ; ��Z�; �0/Ô, ; / � 3 � #Note queesteresultadonao dependeda posicao exatada laminadentrodo dieletrico. A laminatantopoderaestartocandoqualqueruma dasplacascomo estarnomeiodelas,semquesealtereo valoracima.Tantopara �0� & quantopara ;×� �

a relacaoanteriorfornececorretamentea capacitanciano vacuo,ou seja,� � ��Z� � �

.Quando�Í� �

, situacao em queo dieletrico preenchetotalmenteo espaço entreasplacasdo capacitor, a ex-pressaoacimatambemforneceo resultadocorreto,asa-ber,

� �B; �Ø�� *� .










Conteudo

1 CargaEletrica – [Capıtulo 23,pagina12] 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 3

1.2.1 Lei deCoulomb . . . . . . . . 31.2.2 A CargaeQuantizada . . . . . 81.2.3 A CargaeConservada . . . . . 91.2.4 As Constantesda Fısica: Um

Aparte. . . . . . . . . . . . . . 10


(lista1.tex)



1 Carga Eletrica – [Capıtulo 23,pagina12]

1.1 Questoes

Q 23-1

Sendodadasduasesferasdemetalmontadasemsupor-teportatil dematerialisolante,inventeummododecar-rega-lascom quantidadesde cargasiguais e de sinaisopostos.Vocepodeusarumabarradevidro ativadacomseda,masela nao podetocarasesferas.E necessarioqueasesferassejamdomesmotamanho,parao metodofuncionar?� Um metodosimplese usarinducaoeletrostatica: aoaproximarmosa barradevidro dequalquerumadases-ferasquandoambasestiverememcontatoiremosindu-zir (i) naesferamaisproxima,umamesmacarga iguale opostaa cargadabarrae, (ii) naesferamaisafastada,umacarga igual e de mesmosinal quea da barra. Sesepararmosentaoasduasesferas,cadaumadelasira fi-carcomcargasdemesmamagnitudeporemcomsinaisopostos. Esteprocessonao dependedo raio dasesfe-ras. Note,entretanto,quea densidadede cargassobreasuperfıciedecadaesferaaposaseparaçaoobviamentedependedo raiodasesferas.

Q 23-2

Na questaoanterior, descubraum modode carregarasesferascomquantidadesdecargaiguaisedemesmosi-nal. Novamente,e necessario queasesferastenhamomesmotamanhoparao metodoa serusado?� O enunciadodo problemaanteriornao permitequetoquemoscom o bastao nasesferas. Portanto,repeti-mosa inducao eletrostaticadescritano exercıcio ante-rior. Porem,mantendosemprea barraproximadeumadasesferas,removemosa outra,tratandodeneutralizara carga sobreela (por exemplo,aterrando-a).Seafas-tarmoso bastaodaesferaeacolocarmosnovamenteemcontatocomaesferacujacargafoi neutralizada,iremospermitir que a carga possaredistribuir-sehomogenea-mentesobreambasasesferas.Destemodogarantimosqueo sinaldascargasemambasesferaseo mesmo.Pa-ra quea magnitudedascargassejatambem identicaenecessarioqueasesferastenhamo mesmoraio. E queadensidadesuperficialcomumasduasesferasquandoemcontatoira sofreralteracoesdiferentesem cadaesfera,

aposelasseremseparadas,casoosraiossejamdiferen-tes.

Q 23-3

Umabarracarregadaatraifragmentosdecorticaque,as-simquea tocam,saoviolentamenterepelidos.Expliqueacausadisto.� Comoosdoiscorposatraem-seinicialmente,deduzi-mosqueelespossuemquantidadesdecargascomsinaisdiferentes. Ao tocarem-seaquantidadedecargasmenoreequilibradapelascargasdesinaloposto.Comoacargaquesobrareparte-seentreosdoiscorpos,estespassamarepelir-seporpossuirem,entao,cargasdemesmosinal.�

Note que afirmar existir repulsao apos os corpostocarem-seequivale a afirmarserdiferentea quantida-dedecargasexistenteinicialmenteemcadacorpo.

Q 23-4

As experienciasdescritasnaSeccao23-2poderiamserexplicadaspostulando-sequatrotiposdecarga,a saber,adovidro,adaseda,adoplasticoeadapeledoanimal.Qualeo argumentocontraisto?� E facil verificarexperimentalmentequeosquatroti-pos‘novos’ decarganaopoderiamserdiferentesumasdasoutras. Isto porquee possıvel separar-seos quatrotiposdecargaemdoisparesdeduascargasquesao in-distinguıveisumdooutro,experimentalmente.

Q 23-6

Um isolantecarregadopodeserdescarregadopassando-o logoacimadeumachama.Expliqueporque?� E quea altatemperaturaacimadachamaionizao ar,tornando-ocondutor, permitindoo fluxo decargas.

Q 23-9

Porqueasexperienciasemeletrostaticanaofuncionambememdiasumidos?� Em dias umidos existe um excessode vapor deaguano ar. Conformesera estudadono Capıtulo 24, amoleculadeagua,�� , pertencea classedemoleculasque possuio que se chamade ‘momento de dipoloeletrico’, isto e, nestasmoleculaso centrodascargaspositivas nao coincidecom o centrodascargasnega-tivas. Estedesequilıbrio faz com que tais moleculassejameletricamenteativas, podendoser atraidasporsuperfıciescarregadas,tanto positiva quantonegativa-mente. Ao colidirem com superfıcies carregadas,as



moleculasagemno sentidodeneutralizarpartedacar-ga na superfıcie, provocandodestemodoefeitosinde-sejaveisparaosexperimentosdeeletrostatica.Isto por-quenaosetemmaiscertezasobrequala quantidadedecargaquerealmenteseencontrasobrea superfıcie.

Q 23-13

Umapessoaempesobreumbancoisoladotocaumcon-dutortambemisolado,mascarregado.Havera descargacompletadocondutor?� Nao.Haveraapenasumaredistribuicaodacargaentreo condutorea pessoa.

Q 23-14

(a)Umabarradevidropositivamentecarregadaatraiumobjeto suspenso.Podemosconcluir que o objeto estacarregadonegativamente?(b) A mesmabarracarregadapositivamenterepeleo objetosuspenso.Podemoscon-cluir queo objetoesta positivamentecarregado?� (a) Nao. Poderıamosestarlidandocom um objetoneutroporem metalico, sobreo qual seriapossıvel in-duzir umacarga, quepassariaentao a seratraidopelabarra. (b) Sim, poisnaosepodeinduzir cargademes-mosinal.

Q 23-16

Teria feito algumadiferenca significativa seBenjaminFranklin tivessechamadoos eletronsde positivos e osprotonsdenegativos?� Nao. Tais nomes sao apenasuma questao deconvencao.�

Na terceiraedicao do livro, afirmava-seque Fran-klin, alemde‘positivo’ e‘negativo’, haveriaintroduzidotambemasdenominaçoes‘bateria’ e ‘carga’. Na quar-ta edicao a coisaja mudoude figura... Eu tenhoa im-pressaoque‘positivo’ e ‘negativo’ devemseranterioresa Franklin masnao consegui localizarreferenciasade-quadas.Ofereco umagarrafadeboachampanhaaquemporprimeiromemostrara solucaodestepuzzle!

Q 23-17

A Lei deCoulombpreve quea forca exercidapor umacargapuntiformesobreoutrae proporcionalaoprodutodasduascargas.Comovoce poderiatestarestefatonolaboratorio?� Estudandodequemodovariaa forca necessariaparalevar-secargasdedistintosvaloresate umadistancia � ,constante,deumaoutracargafixa noespaço.

Q 23-18

Um eletron(carga � � ) gira ao redorde um nucleo(carga �� ) de um atomo de helio. Qual daspartıculasexercemaiorforca sobrea outra?� Serealmentevoce naosoubera respostacorreta,oufaze entendeo Exercıcio E 23-2ou trancao cursobemrapido!

Q 23-15extra A forca eletricaqueumacargaexercesobreoutrasealteraaoaproximarmosdelasoutrascar-gas?� A forca entreduascargasquaisquerdependeunicae exclusivamentedasgrandezasque aparecemna ex-pressaomatematicadalei deCoulomb. Portanto,e facilconcluir-sequeaforcapre-existenteentreumpardecar-gasjamaispoderadependerdaaproximaçaodeumaoumaiscargas.Observe,entretanto,quea ‘novidade’queresultada aproximaçao de cargasextras e quea forcaresultantesobrecadacargapre-existentepoderaalterar-se, podendotal resultanteser facilmentedeterminadacomo princıpio desuperposiçao.


1.2.1 Lei deCoulomb

E 23-1Qual seriaa forca eletrostaticaentreduascargasde �Coulombseparadasporumadistanciade(a) �� m e (b)�� km setal configuraçaopudesseserestabelecida?� (a) �� !��"$#&%!'�%%)( *�� +�,�-��" N.

(b) �./�� !��"$# %-'0%1 %3254768( *�9� ��,�-��: N.

E 23-2

Uma cargapuntiformede �<;9� �=�>�-�9?A@ C dista �!� cmde umasegundacarga puntiformede B��DCE�F�-�G?H@ C.Calcularo modulodaforca eletrostaticaqueatuasobrecadacarga.� Deacordocoma terceiraLei deNewton,a forca queuma carga I % exercesobreoutra carga I-� e igual emmodulo e de sentidocontrario a forca que a carga I-�exercesobrea carga I % . O valordestaforca e dadopela



Eq.23-4. Conformea convencaodo livro, usamosaquiosmodulosdascargas.Portanto

� �J�KML 2 I % I-�N � �O�9� ��,�-� " # ��;��,�-�9?A@$#$�)��DC��,�-�G?H@$#�7�!��,�-� ? � # � �9� �� N �E 23-3

Qualdevesera distanciaentreduascargaspuntiformesI % P��Q R C e I$�ST JVU R C paraqueo modulodaforcaeletrostaticaentreelassejade CG� U N?�� W �� !� " #$�O��Q��,�-� ?A@ #X� JGU � �!� ?H@ #CG� UY �� J metros�

E 23-4Na descargade um relampagotıpico, umacorrentede�G�DC��Z�!��[ Amperesflui durante��<R s. Quequantidadedecargae transferidapelorelampago?[Note: AmpereeaunidadedecorrentenoSI; estadefinidanaSeccao28-2 do livro; maso capıtulo 23 fornecemeiosderesolvero problemaproposto.]� Usamosa Eq.(23-3):

�\I�P]^��_`T�O�9� C��,�-� [ #X�a��,�-� ?A@ #bc�9�DC C ��

Tal cargaegrandeoupequena?Comparecomascar-gasdadasnosExemplosresolvidosdo livro.

E 23-5

Duaspartıculasigualmentecarregadas,mantidasa umadistancia ;�� d�P�!�G?A: m uma da outra, sao largadasapartir do repouso. O modulo da aceleraçao inicial daprimeirapartıculaede

U � � m/s� e o dasegundaede �9� �m/s� . Sabendo-sequeamassadaprimeirapartıculava-le Q9� ;e�*�-� ?Af Kg, quaissao: (a) a massada segundapartıcula?(b) o modulodacargacomum?� (a) Usandoa terceiralei de Newton temos g %$h9% g � h � , demodoque

ge�SPg % hG%h � Q9� ;�� !� ?Hf � U� J � �� !� ?Hf kg �

(b) Comotemos��cI �!i � J�KHj 2 N � #kFg % h % segueque

Il NBm J�KHj 2 g % h % ;9�D�+� �!� ?A: � W ��Q9� ;��,�-� ?Hf #X� U #��,�-� " U �n�� !� ? %o% C �

E 23-7

Duasesferascondutorasidenticase isoladas,� e � , pos-suemquantidadesiguaisdecargae estaoseparadasporuma distanciagrandecomparadacom seusdiametros(Fig. 23-13a).A forca eletrostaticaqueatuasobrea es-fera � devida a esfera � e p . Suponhaagoraqueumaterceiraesferaidentica ; , dotadadeum suporteisolan-te e inicialmentedescarregada,toqueprimeiroa esfera� (Fig. 23-13b),depoisa esfera� (Fig.. 23-13c)e, emseguida,sejaafastada(Fig. 23-13d). Em termosde p ,quale a forca prq queatuaagorasobrea esfera� ?� Chamemosde I a carga inicial sobreasesferas� e� . Apossertocadapelaesfera; , a esfera� retemumacargaiguala I i � . Apossertocadapelaesfera; , aesfera� ira ficar comumacargaigual a ��IS�sI i ��# i ��;�I i J .Portanto,teremosemmodulo

� q ctvu I�Mw u ;�IJ w ;� txI � ;� �vyonde t e umaconstante(queenvolve

J�KHj 2 bemcomoadistanciafixaentreasesferas� e � , masquenaovemaocasoaqui)e �.z{t�I � representao modulode p .

P 23-8

Trespartıculascarregadas,localizadassobreumalinhareta, estao separadaspela distancia � (como mostraaFig. 23-14). As cargas I % e I$� sao mantidasfixas. Acarga I : , queesta livre paramover-se,encontra-seemequilıbrio (nenhumaforca eletrostaticalıquidaatuaso-breela).DetermineI % emtermosde I$� .� Chamede �}| a forca sobreI : devidaa carga I$| . Ob-servandoa figura, podemosver que como I : esta emequilıbrio devemoster � % c�^� . As forcas � % e �^� temmodulosiguaismassentidosopostos,logo, I % e I$� temsinaisopostos. Abreviando-se~�� i � J�KML 2 # , temosentao

� % ~ I % I :�O��V# �� ~ I � I :� � �



Substituindoestesvaloresna equaçao � % ��}� , obte-mos � I % �� J � I$�� . Como as cargasdevem ter sinaisopostos,podemosescrever I % � J I$� , quee a respostaprocurada.Observe queo sinal da carga I � permanecetotalmentearbitrario.

P 23-12

Duas esferas condutorasidenticas, mantidas fixas,atraem-secomumaforca eletrostaticademodulo iguala ��!�� N quandoseparadaspor umadistanciade C��9� �cm. As esferassao entao ligadaspor um fio condutorfino. Quandoo fio e removido, as esferasse repelemcomumaforca eletrostaticademoduloiguala �9� ��;�Q N.Quaiseramascargasiniciaisdasesferas?� SejamI % e I � ascargasoriginaisquedesejamoscal-cular, separadasdumadistancia N . Escolhamosum sis-temade coordenadasde modoque a forca sobre I � epositiva seela for repelidapor I % . Nestecasoa magni-tudedaforca ‘inicial’ sobreI$� e

� | T �J�KML 2 I % I �N � yondeo sinal negativo indica queasesferasseatraem.Em outraspalavras,o sinal negativo indica queo pro-duto I % I$�F� J�KML 2 N � � | e negativo, pois a forca � | ,�� |b� ��# , e forca deatracao.Comoasesferassaoidenticas,aposo fio haversidoco-nectadoambasterao umamesmacarga sobreelas,devalor ��I % �dI$��# i � . Nestecasoa forcaderepulsao‘final’e dadapor ��+ �J�KML 2 ��I % ��I � #

�J N � �Dasduasexpressoesacimatiramosa somae o produtode I % e I � , ouseja

I % I$�ST J�KML 2 N � � | �� C�# � �O�9�n�-��#�� !� " ;�� !� ? % � C�e

I % ��I-�� NG� J � J�KML 2 #)�� C�# W J �� ;�Q�#�� !� " �� !� ?H@ C �Conhecendo-sea somae o produtode dois numeros,conhecemosna verdadeos coeficientesda equaçao dosegundograuquedefineestesnumeros,ouseja,

��,I % #$�8��I$�!#b*� � F��I % ��I-�-#3�x��I % I-��

Dito deoutraforma,sesubstituirmos

I-�S�&�O;�� !� ? % � # i I % �a��#naequaçaodasomaacimatemosduaspossibilidades:

I % ;9� �� !�G? % �I % {�,�+�,�-� ?H@ y �O�\#ou I % ;9� �� !�G? % �I % ��+�,�-� ?H@ � ��\�\#Considerando-sea Eq. � , temos

I �% ��,�-� ?A@ I % ,;��,�-� ? % � c�9ydeondetiramosasduassolucoes

I % S�� !�G?A@b�c� �a��,�-� ?H@ # � � J ��;��,�-� ? % � #� �O sinal � fornece-nos

I % .�B�,�-� ?A@ C e I-��. ;��,�-� ?A@ C yenquantoqueo sinal fornece-nos

I % . ;��,�-� ?A@ C e I-�S��B�,�-� ?A@ C yondeusamosaEq.(*) acimaparacalcularI-� apartirdeI % .Repetindo-sea analise a partir da Eq. �\� percebemosqueexisteoutropardesolucoespossıvel, umavezquerevertendo-seos sinaisdascargas,as forcaspermane-cemasmesmas:

I % .B�B�,�-� ?A@ C e I-�SP;��,�-� ?A@ C you

I % *;��,�-� ?A@ C e I-��.B�B�,�-� ?A@ C �P 23-15

Duascargaspuntiformeslivres �<I e � J I estao a umadistancia � umadaoutra. Umaterceiracargae, entao,colocadade tal modo que todo o sistemafica emequilıbrio. (a) Determinea posicao,o moduloe o sinaldaterceiracarga.(b) Mostrequeo equilıbrio e instavel.� (a) A terceiracargadeve estarsituadasobrea linhaqueunea carga �<I coma carga � J I . Somentequan-do a terceiracarga estiver situadanestaposicao, serapossıvel obter uma resultantenula, pois, em qualquer



outra situacao, as forcas serao de atracao (casoa ter-ceiracargasejanegativa)ouderepulsao(casoaterceiracargasejapositiva).Poroutrolado,aterceiracargadevesernegativa pois,seelafossepositiva,ascargas �<Ie � J I naopoderiamficar emequilıbrio, poisasforcassobreelasseriamsomenterepulsivas.Vamosdesignaraterceiracargapor S� , sendo� maiorquezero.Seja�a distanciaentre �<I e S� . Paraquea carga S� estejaem equilıbrio, o moduloda forca que �<I exercesobreS� deve serigual aomoduloda forca que � J I exercesobreS� . Portanto,

�J�KML 2 I�� J�KML 2 � J I�#��,�A# �ouseja �O�� H# � J � � �As solucoes da equaçao do segundo grau sao � e� i ; , sendoqueapenasestaultimasolucaoefisicamenteaceitavel.Para determinaro modulo de � , use a condicao deequilıbrio duascargasdo sistema. Por exemplo,paraquea carga �<I estejaemequilıbrio, o modulodaforcaque S� exercesobre�<I deveigualaramodulodaforcade � J I sobre�<I :

�J�KML 2 I�� J�KML 2 �J I�#7I� � �

Dai tiramosque �� J I�� !i � � que, para �� i ; ,forneceo valorprocurado:

�� J� IV�(b) O equilıbrio e instavel; estaconclusaopodeserpro-vadaanaliticamenteou,demodomaissimples,podeserverificadaacompanhando-seo seguinteraciocınio. Umpequenodeslocamentodacarga S� desuaposicaodeequilıbrio (paraaesquerdaouparaadireita)produzumaforca resultanteorientadaparaesquerdaouparaa direi-ta.

P 23-16

(a) QuecargaspositivasiguaisteriamdesercolocadasnaTerrae naLua paraneutralizara atracaogravitacio-nalentreelas?E necessarioconheceradistanciaentreaTerraeaLuapararesolveresteproblema?Explique.(b)Quantosquilogramasdehidrogenioseriamnecessariosparafornecera cargapositivacalculadano item (a)?� (a) A igualdadedasforcasenvolvidasfornecea se-guinteexpressao:

��Z�}�Z�N � �J�KML 2 I�N � y

onde� � eamassadaTerrae � � amassadaLua. Por-tanto,usando-seasconstantesfornecidasno ApendiceC, temos

IB � � J�KML 2 � � � � PC9� U �,�-� % : C �Comofoi possıvel eliminar N entreosdoismembrosdaequaçao inicial, vemosclaramentenao ser necessarioconhecer-seo valor de N .(b) Um atomode hidrogeniocontribui com umacargapositiva de �� Qd�P�-�9? % " C. Portanto,o numero � deatomosdehidrogenionecessariosparaseigualara car-gado item(a) e dadopor

�� C9� U �,�-� % :�� Q��,�-� ? % " P;9�DC�� !� : � C �Portanto,a massade hidrogenio necessaria e simples-mente� ��g= , onde g= e a massadeum atomodehidrogenio(emkilogramas)[vejao valordaunidadedemassaunificadanoApendiceB, pag.321]

� ��;�� C+�,�-� : � #X�)�� U #X�7�� Q�Q��CB�,�-� ? � f # CG� �� !��¡ Kg �P 23-18

Umacarga � e dividida emduaspartesI e �¢�I , quesao,a seguir, afastadaspor umacertadistanciaentresi.Qual deve ser o valor de I em termosde � , de mo-do quea repulsaoeletrostaticaentreasduascargassejamaxima?� A magnitudedarepulsaoentreI e �{,I e

�. �J�KML 2 �O�{�I�#)IN � �A condicaoparaque� sejamaximaemrelacaoa I equesejamsatisfeitassimultaneamente asequaçoes£ �£ I P�9y e

£ � �£ I �P¤ �9�A primeiracondicaoproduz£ �£ I �J�KML 2 �N �

££ I}¥ �BI��I �§¦ �{��IJ�KML 2 N � P��ycujasolucaoe I�c� i � .



Como a segundaderivadae sempre menor que zero,a solucao encontrada,I�l� i � , produzira a forcamaxima.�

Observequearespostadoproblemae IBc� i � enao��c��I .P 23-19

Duas pequenasesferascondutorasde massag estaosuspensaspor um fio desedadecomprimento� e pos-suema mesmacarga I , conformee mostradonafiguraabaixo.Considerandoqueo angulo e taopequenoque©oª�« ¨ possasersubstituidapor sen ¨ : (a) mostrequeparaestaaproximaçaonoequilıbrio teremos:

�= u I � �� KML 2 g�¬`w %7 : yonde� eadistanciaentreasesferas.(b) Sendo��T�!��cm, g®��!� g e �E{CG� � cm,quantovale I ?� (a) Chamandode ¯ a tensaoemcadaum dosfios ede � o modulodaforcaeletrostaticaqueatuasobrecadaumadasbolastemos,paraquehajaequilıbrio:

¯ sen �¯±°$²�³G¨ g�¬H�Dividindo membroa membroasduasrelacoesanterio-res,encontramos: ©5ª�« ¨& �gE¬ �Como ¨ e um angulo pequeno, podemos usar aaproximaçao

�g�¬ ©oª�« ¨ Y sen+ � i �� Poroutrolado,a forca eletrostaticaderepulsaoentreascargase dadapor

�� J�KML 2 I��

Igualando-seas duasexpressoespara � e resolvendopara� , encontramosque

�e u �� KML 2 I� �gE¬<w %7 : �

(b) As duascargaspossuemo mesmosinal. Portanto,daexpressaoacimapara� , obtemos

IBc� W � : � KML 2 g�¬� ��G� J � �!� ?A´ �� J �,�-� ?H" C �� J nC�

P 23-20

No problemaanterior, cujasesferassaocondutoras(a)O queaconteceraaposumadelasserdescarregada?Ex-plique suaresposta. (b) Calculea nova separaçao deequilıbrio dasbolas.� (a) Quandoumadasbolasfor descarregadanaopo-deramaishaver repulsaoCoulombianaentreasbolase,consequentemente,asbolascairao sobacao do campogravitacionalatesetocarem.Ao entrarememcontato,acarga I queestava originalmentenumadasbolasira serepartirigualmenteentreambasbolasque,entao,pores-taremnovamenteambascarregadas,passaraoa repelir-seateatingirumanovaseparaçaodeequilıbrio,digamos�Aq .(b) A novaseparaçaodeequilıbrio � q podesercalculadausando-seI§qAPI i � :� q u ��I§qµ# � �� KML 2 g�¬�w %7 : u �J w %� : ¶M·!¸ ¡ cm¹ º¼» ½u I � �� KML 2 g�¬`w %7 :

u �J w %� : �e�9� ��C m

;9�n�� !� ? � m ;9�n� cm��

E possıvel determinaro valor datensaono fio dese-da?

P 23-21

A Fig. 23-17mostraumalongabarranaocondutora,demassadesprezıvel e comprimento� , presapor um pi-no no seucentroe equilibradacomum peso ¾ a umadistancia � desuaextremidadeesquerda.Nasextremi-dadesesquerdae direitadabarrasaocolocadaspeque-nasesferascondutorascomcargaspositivas I e ��I , res-pectivamente.A umadistancia ¿ diretamenteabaixodecadaumadessascargasestafixadaumaesferacomumacargapositiva � . (a) Determinea distancia � quandoabarraesta horizontale equilibrada.(b) Qualvalordeve-ria ter ¿ paraquea barranaoexercessenenhumaforcasobreo mancalnasituacaohorizontale equilibrada?� (a) Comoa barraestaem equilıbrio, a forca lıquidasobreelae zeroe o torqueemrelacaoa qualquerponto



tambeme zero.Pararesolvero problema,vamosescre-veraexpressaoparao torquelıquidonomancal,iguala-la a zeroe resolverpara� .A carga � a esquerdaexerce uma forca para cimade magnitude �7� i9À J�KHj 2XÁ #$��I�� i ¿ � # , localizadaa umadistancia � i � do mancal. Considereseutorquecomosendo,por exemplo,positivo. O pesoexerceumaforcaparabaixo demagnitude¾ , a umadistancia �Âs� i �a partir do mancal. Pelaconvencao acima,seutorquetambem e positivo. A carga � a direita exerceumaforca paracima de magnitude�)� i9À J�KHj 2 Á #$�O��I�� i ¿ � # , aumadistancia� i � domancal.Seutorquee negativo.Para que nao haja rotacao, os torque sacimadevemanular-se,ouseja

�J�KHj 2 I��¿ � � � �Ã¾ u �� vw �J�KHj 2 ��I��¿ � � � P��Portanto,resolvendo-separa� , obtemos

�= � � u �Ä� �J�KHj 2 I��¾�¿ � w �(b) A forca lıquidanabarraanula-se.Denotando-sepor� amagnitudedaforcaparacimaexercidapelomancal,entao

¾Å �J�KHj 2 I��¿ � �J�KHj 2 ��I��¿ � c�9�Quandoa barranaoexerce nenhumaforca, temos�Æ� . Nestecaso,aexpressaoacima,fornece-nosfacilmen-teque

¿� W �J�KHj 2 ;�I��¾ ��

Observe que e essencialusarsempreum valor po-sitivo parao braco de alavanca,paranao seinverterosentidodo torque.Nesteproblema,o braco dealavancapositivo e �x,� i � , enao � i �� !1.2.2 A Carga e Quantizada

E 23-24

QualeacargatotalemCoulombsdeU C kg deeletrons?� A massado eletrone gÇÈ�9�n��+��-�9?A: % kg dema-

neiraqueaquantidadedeeletronsem � U C kg e

�É � g U C��<�,�-� ?A: % P�� ;+�,�-� : % eletrons�

Portanto,a cargatotal e

IB� �.�Ê &��9�D��;��,�-� : % #$�)�� Q�� !� ? % " # B�� ;�� !� % : C �

E 23-26

O modulodaforcaeletrostaticaentredoisıonsidenticosqueestaoseparadospor umadistanciade CG� �=�>�-�9? %)2m vale ;9� U �,�-�9?A" N. (a) Quala cargadecadaıon? (b)Quantoseletronsestao“f altando”emcadaıon(o quedaaoıonsuacarganaoequilibrada)?� (a) DaLei deCoulombtemos:

IB N � � J�KML 2 #7�.¢�*;�� ,�-� ? % " C �(b) Cadaeletronfaltanteproduzumacargapositiva de�� Q��Z�!�G? % " C. Usandoa Eq.23-10, I�¢ËM� , encontra-moso seguintenumeroË deeletronsquefaltam:

Ëe ;9�D�� !� ? % "�� Q�� !� ? % " P� eletrons�E 23-27

Duaspequenasgotasesfericasde aguapossuemcargasidenticasde B�� Z�!�G? % @ C, e estaoseparadas,centroa centro,de �� cm. (a) Qual e o moduloda forca ele-trostaticaqueatuaentreelas?(b) Quantoseletronsemexcessoexistememcadagota,dandoa elaa suacarganaoequilibrada?� (a) Aplicandodiretamentea lei de Coulombencon-tramos,emmagnitude,

� ��,�-��"!#X�7�B� �!�G? % @-#�)�B�,�-� ? � # � �� !� ? % " N �(b)A quantidade� deeletronsemexcessoemcadagotae

�� I� �� ,�-� ? % @�� Q��,�-� ? % " *Q��CG�P 23-31

Pelofilamentodeumalampadade �-�� W, operandoemumcircuitode �!�� V, passaumacorrente(supostacons-tante)de �� ; A. Quantotempoe necessarioparaque �mol deeletronspassepelalampada?



� De acordocoma Eq. 23-3,a correnteconstantequepassapelalampadae ]�{Ì�I i Ì+_ , ondeÌ�I eaquantida-dedecargaquepassaatravesdalampadanumintervaloÌ+_ .A carga Ì�I correspondentea � mol de eletronsnadamaise doque Ì�I&{��Í,� , onde�+Í�{Q�� \��;�� !� � : eo numerodeAvogadro.Portanto

Ì+_b � Í �] �OQ9� ��;+�,�-� � :-#X�)�� Q�� !�G? % "$#�� ; �� ,�-� ¡ segundos

��D�� !� ¡� J �=Q��=Q�� T�� ;�� dias�P 23-34

Na estrturacristalina do composto ÎBÏ�Î�Ð (cloreto decesio),os ıonsCsÑ formamos verticesde um cuboeum ıon deCl ? esta no centrodo cubo(Fig. 23-18). Ocomprimentodasarestasdo cuboe de �9� J � nm. Emca-da ıon CsÑ faltaum eletron(e assimcadaum temumacargade �<� ), e o ıon Cl ? tem um eletronem excesso(e assimumacarga � ). (a) Qual e o moduloda forcaeletrostaticalıquidaexercidasobreo ıon Cl ? pelosoitoıonsCsÑ nosverticesdo cubo?(b) Quandoesta faltan-doumdosıonsCsÑ , dizemosqueo cristalapresentaumdefeito; nestecaso,qualseraaforcaeletrostaticalıquidaexercidasobreo ıon Cl ? pelosseteıonsCsÑ remanes-centes?� (a) A forca lıquidasobreo ıon Cl ? e claramenteze-ro poisasforcasindividuaisatrativasexercidasporcadaumdosıonsdeCsÑ cancelam-seaospares,porestaremdispostassimetricamente(diametralmenteopostas)emrelacaoaocentrodocubo.

(b) Em vez de remover um ıon de cesio,podemospo-demossuperporuma carga � na posicao de tal ıon.Isto neutralizao ıon local e, paraefeitoseletrostaticos,e equivalentea removero ıon original. Destemodove-mosqueaunicaforcanaobalanceadapassaaseraforcaexercidapelacargaadicionada.Chamandode h a arestado cubo,temosquea diagonaldo cuboe dadapor m ; h . Portantoa distanciaentreosıonse �� m ; i ��# h ea magnitudedaforca

� �J�KHj 2 � ��O; i J # h ��,�-� " # �)�� Q�� !�G? % "-# ��O; i J #X�O�9� J �+� �!� ?A" # �� !� ?H" N �

1.2.3 A Carga eConservada

E 23-37

Nodecaimentobetaumapartıculafundamentalsetrans-forma em outra partıcula, emitindo ou um eletron ouum positron. (a) Quandoum proton sofre decaimen-to betatransformando-senum neutron,quepartıcula eemitida? (b) Quandoum neutronsofredecaimentobe-ta transformando-senum proton, qual daspartıculaseemitida?� (a)Comoexisteconservacaodecarganodecaimento,apartıculaemitidaprecisaserumpositron.(b) Analogamente,a partıculaemitidae umeletron.�

As reacoescompletasdedecaimentobetaaquimen-cionadossao,naverdade,asseguintes:

ÒEÓ Ë�� Ñ �ÃÔGy Ë Ó®Ò �>� ? �>Ô9yonde Ô representauma partıcula elementarchamadaneutrino. Interessados,podemler mais sobreDecai-mentoBetanaSeccao47-5do livro texto.

E 23-38

Usandoo Apendice D, identifique Õ nas seguintesreacoesnucleares:

��Ö\# % �×� %¼Ø � Ó ÕÙ�ZË`Ú�oÛ-# % � ÎF� % � Ó Õ�Ú�oÜ-# % ¡ �×� % � Ó [ ��Ä��Õ�� Comonenhumadasreacoesacimainclui decaimen-to beta, a quantidadede protons, de neutronse deeletronse conservada. Os numerosatomicos(protonse deeletrons)e asmassasmolares(protons+ neutrons)estaonoApendiceD.

(a) % H tem � proton, � eletrone � neutronsenquantoqueo " Be tem

Jprotons,

Jeletronse �+ J ×C neutrons.

PortantoÕ tem �� J ÝC protons, �B� J eletronse� �ÃC<Ã�S J neutrons.Um dosneutronse liberadonareacao.Assimsendo,Õ devesero boro, " B, commassamolariguala C � J P� g/mol.

(b) % � C tem Q protons,Q eletronse ��S�Q&PQ neutronsenquantoqueo % H tem � proton, � eletrone � neutrons.PortantoÕ tem Q<�{�& U protons,Q��P�� U eletronse Q��P�e×Q neutronse, consequentemente,deve seronitrogenio, % : N, quetemmassamolar

U ��QBT�-; g/mol.



(c) % ¡ N temU

protons,U

eletronse �!CÞ U P� neutrons,o % H tem � proton, � eletrone � neutronse o [ He tem� protons,� eletronse

J �� neutrons.PortantoÕtemU �P�SZ��¢Q protons,Q eletronse ��Ã�B��¢Q

neutrons,devendosero carbono,% � C,commassamolarde QS��Q�T�!� g/mol.

1.2.4 As Constantesda Fısica: Um Aparte

E 23-41

(a) Combineasquantidades¿ , � e ß paraformarumagrandezacom dimensao de comprimento. (Sugestao:combineo “tempodePlanck”coma velocidadedaluz,conformeExemplo23-7.)(b)Calculeeste“comprimen-to dePlanck”numericamente.� (a)Usando-seo ApendiceA, fica facil verqueastrescontantesdadastemasseguintesdimensoes:

À à Á �á ¿� Kvâ ãÂÏ�c�®g±Ï� kg g �Ï[�

] g=:Ï � kgy

[ ß ] g Ï �Portanto,o produto À à Á À � Á naocontemkg:

À à Á À � Á g ¡Ï : �Atravesdedivisaodo produtoacimapor umapotenciaapropriadade À ß Á podemosobtereliminarfacilmenteoug ou Ï doproduto,ouseja,À à Á À � ÁÀ ß Á ¡ g ¡Ï : Ï ¡g ¡ PÏ � yÀ à Á À � ÁÀ ß Á : g ¡Ï : Ï :g : Fg � �

Portantoä Planck � à � i ß : .(b) O valor numerico pedido e, uma vez que à ¿ i �a� K # ,

ä Planck W ¿ �� K ß : .�� Q��<�,�-� ?A: ¡ m �

P 23-42

(a) Combineas grandezas¿ , � e ß paraformar umagrandezacomdimensaodemassa.Nao incluanenhumfator adimensional.(Sugestao: Considereasunidades¿åy � e ß comoemostradonoExemplo23-7.)(b) Calcu-le esta“massadePlanck”numericamente.� A respostapode ser encontradafazendo-seumaanalisedimensionaldasconstantesdadase de funcoessimplesobtidasapartir delas:

g Planck W à ß� W Q9� Q�;��,�-� ?A:�[ �e;��,�-� ´� K Q9� Q U �,�-� ? %�% �9�� U � �!� ?A´ kg �

Pode-severificarqueestarespostaestacorretafazendo-seagorao ‘inverso’daanalisedimensionalquefoi usa-da paraestabelece-la,usando-seo convenienteresumodadonoApendiceA:À à Á À ß ÁÀ � Á ãeÏ�æ çæ 4ç ( kg

.ã Ï � kgg � P�Âg Ï � kgg � kg

g �Ï � Ï � kgg � kg� �

Portanto,extraindo-sea raiz quadradadesteradicandovemosque,realmente,acombinaçaodasconstantesaci-matemdimensaodemassa.�

E seusassemos¿ emvezde à ?...Emoutraspalavras,qualdasduasconstantesdevemostomar?


LISTA 2 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 13deMarco de2003, as4:14p.m.







Conteudo

1 Cir cuitosEletricos– [Capıtulo 29,pag. 133] 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

1.2.1 Trabalho,energiaeFEM . . . . 21.2.2 Diferencasdepotencial. . . . . 21.2.3 Circuitosdemalhasmultiplas . 41.2.4 Instrumentosdemedidaseletricas 71.2.5 CircuitosRC . . . . . . . . . . 9


(lista2.tex)



1 Cir cuitosEletricos– [Capıtulo 29,pag. 133]

1.1 Questoes

Q 29-1.� Nao. O sentidoconvencionalda fem e sempredoterminalnegativo parao terminalpositivo dabateria,in-dependentementedosentidodacorrentequeatravessaabateria.

Q 29-4.� Para medir a fem useum voltımetro com uma re-sistenciaelevadae ligue os terminaisdo aparelhoaosterminaisdabateriasemnenhumoutrocircuito conec-tadoa bateria.Paramedira resistenciainternadabate-ria, utilize umapequenaresistenciaemseriejuntamentecomumamperımetro(tambememserie).A seguirmecaa ddp � atravesdosterminaisdabateriae a corrente� ,quepassano circuito serie considerado.Calculea re-sistenciainternadabateriamediantea seguinterelacao:

�� 1.2 Problemase Exercıcios

1.2.1 Trabalho, energia eFEM

E 29-2.

Uma correntede � A e mantidanum circuito por umabateriarecarregavel cujafem e de � V, durante� minu-tos. De quequantidadediminui a energia quımica dabateria?� A energiaquımicadabateriae reduzidadeumaquan-tidade�� , onde� eacargaquepassaatravesdelanumtempo�� minutose � e a femdabateria.Se �for a corrente,entao �� e

�� !�#"%$& '��$( !� min$*) �,+ segmin -� ., /.102.3+54167

Note quefoi necessario convertero tempode minutosparasegundosparaasunidadesficaremcorretas.

P 29-4.

Uma determinadabateriade automovel cuja fem e de.�8 V tem umacarga inicial de .�85+ A 9 h. Supondoqueadiferencadepotencialentreseusterminaispermaneçaconstanteatequeabateriaestejacompletamentedescar-regada,porquantashoraselapoderafornecerenergianataxade .:+;+ W?� Se < e a taxacoma quala bateriaentregaenergia e�� e o tempo,entao ��=�><?�� e a energia entreguenumtempo�� . Se � eacargaquepassaatravesdabate-ria notempo�� e � eafemdabateria,entao ��@�� .Igualando-seasduasexpressoespara� eresolvendo-separa�� , temos

��A� ��< � B.38,+ A 9 h$( B.38 V $.3+,+ W��.&CD C horas

1.2.2 Diferencasdepotencial

P 29-5.

Na Figura29-18, �DE#�F.38 V e �HGI�KJ V. Qual e o sen-tido da correnteno resistor? Quefem esta realizandotrabalhopositivo?Queponto, " ou L , apresentao maisaltopotencial?� O sentidodacorrenteeanti-horario,determinadope-lo sentidodafonte“resultante”defem: � res �� E �� G �.�8%��J��C V.A fontequerealizatrabalhopositivo eaquetemo mes-mo sentidoda fonte “resultante”;nestecasoe a fonte� E . Setivessemosmaisfontesno circuito, todasasquetivessemo mesmosentidoda fonte “resultante”e quefariamtrabalhopositivo.Chamandode �DM e �DN o potencialnoponto " e L , res-pectivamente,temos,pela“regradafem”, aoir doponto" aoponto L passandoatravesdasfontes

� MPO .38#�QJI�@� NSRouseja � M �?� N �K�TCVUW+ Ro queimplicaser � N�X � M .

E 29-8.

Suponhaqueasbateriasna Fig. 29-19ao lado tenhamresistenciasinternasdesprezıveis.Determine:(a) a cor-renteno circuito; (b) a potenciadissipadaem cadare-sistore (c) a potenciade cadabateriae sea energia efornecidaouabsorvidaporela.



� (a) Seja � a correnteno circuito e suponhamosqueela sejapositiva quandopassamosdadireitaparaa es-querdade Y E . Usandoa lei de Kirchhoff dasmalhas:� E ��Y G ��Y E �� G ��+ . Ou seja

�Z� � E �2� GY�E O Y#G � .�8 V �� VC\[ O J][ ��+D � A O fato de termosobtido um valor positivoparaa cor-renteindica queo sentidoarbitradoinicialmentefoi osentidocorretodacorrente.

(b) A potenciadissipadapeloresistorY E e

<AET�� !+7 ^� A $ G _C\[T$��`. W Renquantoquea dissipadapeloresistorY G e

<aGb�� !+7 ^� A $ G 'J][T$��@8 W (c) Se � representara correntequepassaatravesdeumabateriacom � defem,entaoa bateriaforneceenergia aumataxa <F�K�� desdequea correntee a fem estejamnamesmadirecao. A bateriaabsorve energia a umata-xa <>�K�� sea correntee a fem estiverememdirecoesopostas.Para � E apotenciae

<ZET�� '+D � A $& �.�8 V $�� W

e para� G elae

< G �� '+D � A $& '� V $]��c W Nabateria. acorrenteestanamesmadirecaoqueafemdemodoqueestabateriaforneceenergiaparao circuito.A bateriaestadescarregando-se.A correntenabateria8flui nadirecaocontrariada fem, demodoquea bateriaabsorveenergia. Portanto,elaesta carregando-se.

E 29-9.

Umabateriadeautomovel comumafemde12V eumaresistenciainternade +D +;+5CS[ estasendocarregadacomumacorrentede �5+ A. (a) Qualadiferencadepotencialentreseusterminais?(b) A quetaxaaenergiaestasendodissipadacomocalornabateria?(c) A quetaxaa ener-gia eletricaesta sendoconvertidaem energia quımica?(d) Quaissao asrespostasdos itens(a), (b), (c) quan-do a bateriae usadaparasuprir �5+ A parao motor dearranque?� (a)

�V� � �� .�8#�W d�5+*$( '+D +,C*$A�K.3+ Volts

(b)

< � � G � d�5+*$ G !+7 +5Ce$Z��.:+;+ Watts (c)

< � �f�� .38;$( d�5+;$A�@�,+;+ Watts (d) Parecem-seserasmesmas.Mas achoquenao en-tendia questao...Naoparecefazersentidoperguntar-seisto. Pensar...

E 29-10.

Na Figura 29-20 o potencialno ponto < e de .:+;+ V.Qualeo potencialnoponto g ?� Precisamosdeterminarprimeiramenteo sentidoe ovalor da correnteno circuito, paraentao poderdeter-minar a quedade potencialdevida a cadaumadasre-sistencias.O sentidodacorrentee aqueleimpostopelabateriamaisforte: a de .3�5+ V: sentidoanti-horario. Ovalor da correntee obtido usandoa lei dasmalhas,deKirchhoff. Partindodo ponto g e seguindono sentidoanti-horariotemos:

.��5+]�h8i�e�h�5+]�Vc,�j��+ R ouseja �A�@8,+ A Tendoestevalor, partimosnovamentedo ponto g nosentidoanti-horario,descobrindofacilmenteque

�Dk O .3�,+#�Q8�085+I�l�DmonK.3+,+ V Portanto � k �`��.3+ V Sugestao: refaca o problemaindo de g para < , poremaplicandoa lei de Kirchhoff das malhasno sentidohorario. Sera quesuasrespostasfinaispoderaodepen-derdosentidoescolhido?

E 29-11.

Na Fig. 29-21,o trechode circuito "bL absorve �,+ Wdepotenciaquandoepercorridoporumacorrente�Z�`.A no sentidoindicado. (a) Qual a diferenca de poten-cial entre" e L ? (b) O elementop naotemresistenciainterna.Qualea suafem?(c) Quale asuapolaridade?� (a) Como <K�� MqN , temos:

�jMqNr� < � � �,+ W. A�l�5+ Volts



(b) Chamando-sede s umpontoqualquerquefiqueen-tre o resistorY eo elementop , temos

� Mqt �@� M �?� t ��Yu�`. A 08�[W�@8 Volts Portantoa femdoelementop sera

�v�@� MqN �?� Mqt ��,+1�Q8��C;J Volts (c) Subtraiaesome�Dt aovalorde �jMv�?�jN obtendo

� M �?� Nw xzy {|~} �@� M �?� tw xzy {G O � t �Q� Nw x(y {4�� Portanto� t�X � N , ou seja,o terminal L e o terminalnegativo.

P 29-15.

(a) Na Fig. 29-23,quevalor deve ter Y paraquea cor-renteno circuito sejade . mA? Considere� E ��8 V,� G �lc V e E �� G �lc#[ . (b) Comquetaxaa energiatermicaapareceem Y ?� (a) Supondoqueumacorrente� circulanocircuitonosentidoanti-horarioeaplicandoalei dasmalhasnosen-tido horario, a partir de um ponto“a” localizadoentreosdoisterminaispositivosdasfontesdefem,obtemos

��%�2� G\O �� G\O ��Y O �d E�O � E � �� G\O �� E�O ��Y � � G �2� E B.:+H��:$& 'c O c;$ O .:+H��&Y � c1�?81��..:+ �� Y � +7 �,�,CY � �,�,C%[# (b)

<a�b�� G Yl�� B.:+ �� $ G !�,�5Ce$A��D �,C�0�.:+ �j4 Watts P 29-20.� (a) Sendo� a correnteno circuito, a ddp na bateria. e ��E��o��E e paraquesejanula e precisoque�BE��Z��E . A lei deKirchhoff dasmalhasdiz-nosque8i�?�W��E#�W��:G��W��Y��+ . Substituindo-se��=�a�i�E

nestaexpressaonosforneceYu��E��:G .(b) Como Y temqueserpositivo, precisamoster E�X G . A ddp atravesda bateriacom a maior resistenciainternapodeseranuladaatravesde umaescolhaapro-priadade Y . A ddpatravesdabateriacoma menorre-sistenciainternanaopodeseranulada.

P 29-22.

(a) Na Fig. 29-5a,mostrequea taxana quala energiae dissipadaem Y comoenergia termicae um maximoquandoY��= . (b) Mostrequeestapotenciamaximavale <K�� G �H _C;5$ .� (a) A correntenocircuito e dadapelarelacao

�A� � O Y Comelavemosquea expressao <� !Y1$ queda a energiatermicaliberadaemfuncaode Y e:

<� 'Y�$�� G Yl� � G Y _ O Y�$ G Para encontraro valor procuradode Y vamosprocu-rar o ponto maximo da curva <� 'Y�$ . O ponto de in-flexaode <� !Y�$ eobtidocomoraizdaprimeiraderivada:� <b� � Yu��+ . Ouseja,daequaçao

� <� Y � � G _ O Y�$ G � 8i� G Y ' O Y�$ �� G _ O Y�$ �� O Y��?85Y%��+D Destaequaçao ve-sefacilmentequea raiz procuradaeYF�� . NOTA: paragarantirquea potenciasejareal-mentemaximae precisoaindainvestigar-sea segundaderivadade <� 'Y�$ ! Faca isto.

(b) A potenciamaximaliberadae:

<� 'Yu��5$]�� G �� G _ O 5$ G � � GC;

1.2.3 Cir cuitosdemalhasmultiplas

E 29-29.

NaFig. 29-24determinea correnteemcadaresistore adiferenca depotencialentre � e � . Considere� E �u� V,�HGb�@� V, � � ��C V, Y�ES�K.3+,+b[ e Y#Gb�@�,+%[ .� Aplicandoa Lei dasMalhas,no sentidoanti-horario,nasduasmalhasindicadasobtemos:

� E �� G �2� � �� G Y G � + R�T� E Y E�O � G � + Rhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina4


quefornecem

� E � � GY�E � �.3+,+ ��+D +*� A

� G � �1�?�#�2C�5+ ��S+7 +,� A Note que ��G tem sentidocontrario ao que foi arbitra-do inicialmente no problema. Para encontrarmosadiferenca de potencialentreos pontos � e � computa-mosasquedasdetensaodesde� ate � :

�j� O C O ��l� � Deondedescobrimosque: �j�%�?� � �� Volts.

E 29-33.

Duaslampadas,umade resistencia Y�E e a outradere-sistencia Y%G , Y�E X Y%G estaoligadasa umabateria(a)em paraleloe (b) em serie. Que lampadabrilha mais(dissipamaisenergia)emcadacaso?� (a) Seja� a fem dabateria.Quandoaslampadassaoconectadasemparaleloa diferenca depotencialatrevesdelase a mesmae e a mesmaquea fem dabateria.Apotenciadissipadapela lampada. e < E �� G �5Y E e apotenciadissipadapelalampada8 e � G �� G �iY G . Co-mo Y E e maior que Y G , a lampada8 dissipaenergia aumataxamaior do quea lampada. , sendoportantoamaisbrilhantedasduas.(b) Quandoas lampadassao conectadasem serie acorrentenelase a mesma. A potenciadissipadapelalampada. e agora <ZE2�� G Y�E e a potenciadissipadapelalampada8 e <aG#�@� G Y#G . Como Y1E e maiordo queY#G , maispotenciaedissipadapelalampada. doquepe-la lampada8 sendoagoraa lampada. a maisbrilhantedasduas.

E 29-35.

Novefiosdecobredecomprimento� ediametro�

estaoligadosemparaleloformandoum unicocondutorcom-postoderesistenciaY . Qualdeverasero diametros deum unico fio de cobrede comprimento� , paraqueeletenhaa mesmaresistencia?� DeacordocomaEq.15doCap.28,a resistenciados9 fios juntose

YK�� ," � � ��5� � G �iC Ronde " e a areadecadafio individual.A resistenciadeum fio unicoequivalente,commesmocomprimento� e

Y#�T� � ��fs G �iC ParaquetenhamosY��Y � vemosquee precisoter-ses��c � , quee a respostaprocurada.

P 29-39.

Dispoe-sede um certo numerode resistoresde .:+ [ ,cadaum delescapazde dissiparsomente . W. Quenumeromınimodetaisresistoresprecisamosdispornu-ma combinaçao serie-paralelo,a fim de obtermosumresistorde .3+%[ capazdedissiparpelomenos� W?� Dividaosresistoresem ¡ gruposemparalelo,sendocadaumdestesgruposformadoporumarranjoemseriede ¢ resistores.Comotodosos resistoressao iguais,aresistenciaequivalentee.Y total

� ¡¢fY Comodesejamosque Y total �KY , precisamosescolher¢£��¡ .A correnteemcadaresistoreamesmaetemosumtotalde ¢ G deles,de modoquea potenciatotal dissipadae< total ��¢ G < , sendo< apotenciadissipadaporapenasum resistor. E pedidoque < total X �,< , onde <¤��.W. Portanto,precisamosque ¢ G sejamaior que � . Omenornumerointeiro satisfazendoestacondicaoe c , oqueforneceo numeromınimoderesistoresnecessarios:¢ G �� , ouseja,tresramosemparalelo,cadaramocon-tendotresresistoresemserie.

P 29-40.� (a) Estandoconectadasemparalelo,naoapenasaddpsobreasduasbateriase a mesmacomotambema cor-rente� (positivaparaa esquerda)quecirculapor elase,portanto, 8i� a correntequecircula em Y . A regra dasmalhasnosfornece��2��#�Q85��Yu��+ , demodoque

�A� � O 8,Y A potenciadissipadae

<`�� G Yl� � G Y _ O 8,Y1$ G O valor maximo e obtido colocando-seigual a zero aderivadade < emrelacaoa Y :� <� Y � � G _ O 85Y�$ G � C;� G Y _ O 85Y�$ � � �

G '%�?85Y�$ _ O 8,Y�$ � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina5


Destaultimaexpressaoverificamosque < emaximapa-ra Yl��,�58 .(b) A taxa maxima de dissipaçao de energia e obtidasubstituindo-seYu��5�,8 naexpressaodapotencia:

< max � � G ,�,8 d8i5$ G � � GJ5 P 29-46.

Na Fig. 29-33, � E ��c V, � G �¥. V, Y E ��[ ,Y G ��8�[ , Y � ��C¦[ e asduasbateriassao ideiais.(a) Qual e a taxadedissipaçaodeenergia em Y E ? EmY#G ? Em Y � ? (b) Qual e a potenciadabateria . ? e dabateria8 ?� (a) Usandoalei dasmalhasea lei dosnosobtemososistemade tresequaçoesenvolvendoastresincognitas� E , � G e � � :

� E �� Y � �� E Y E � + R� G]O � G Y G �� E Y E � + R� � � � EAO � G Resolvendoestasequaçoes,encontramos:

� E � � E Y G\O � G Y �Y�EzY#G O Y1E(Y � O Y#G&Y � � �.3� A R� G � � E Y E �2� G 'Y E�O Y � $Y�EzY#G O Y1E(Y � O Y#G&Y � � c.3� A R� � � � E 'Y E�O Y G $Z�� G Y EY E Y G\O Y E Y � O Y G Y � � J.3� A

A potenciadissipadaemcadaresistore

<ZEb�� GE Y�E§� +D c,C;� W R<¨G#�� GG Y#G©� +D +*�5+ W R< � �� G� Y � � +D ^ª5+,� W (b) As potenciasfornecidassao:

< E � O � � � E �K.; 8,�,c W< G � �W� G � G �K�S+D «.��5J W O resultadoparaa segundafonte e negativo poisa cor-rente � G percorre-ano sentidocontrario ao sentidodesuafem.Observeque .; 8,�,c��+D c,C;� O +D +*�5+ O +7 /.3�5J , comode-veriaser.

P 29-50.

� (a) O fio decobree a capadealumınio estaoconec-tadosem paralelo,de modoque a ddp sobreelese amesmae,portanto,

��¬�Y#¬o�� M Y M�Ronde o subındice ‘C’ refere-seao cobre e ‘A’ aoalumınio. Para cadaum dos fios sabemosque Y��e® �(" , ouseja,

Y#¬?�¯� ¬ ®�f� G R Y M � � M ®�� !� G �Q� G $ Rquesubstituidasem � ¬ Y ¬ ��MZY%M fornecem

��¬ � ¬� G � � M � M� G �Q� G Resolvendo estaequaçao juntamentecom a equaçao�Z��¬ O � M , onde� e a correntetotal,obtem-se

� ¬ � � G � ¬ � !� G �Q� G $ � ¬ O � G � M��M � d� G �Q� G $ � ¬ � !� G �Q� G $ � ¬ O � G � M Numericamente,encontramosparao denominadoro va-lor de c7 /.:+�0�.:+ � E | [o9:¡ � , e

��¬?��., /.,. A R � M ��+D J;�,c A (b) Considereo fio de cobre. Sendo �°�°.�8 Volts addp,usamosa expressao

��¬AY%¬o� ��¬ � ¬ ®�f� G Rdeondeobtemos

® � �f� G �� ¬ Y ¬ �`.38,� metros

P 29-51.� Primeiro, devemos obter uma funcao Y1E, _±�$ queforneca o valordaresistenciadopedaço de Y } queestaem paralelocom Y , bem como Y#G, _±�$ , que forneca aresistenciado pedaço restantede Y } , de modoquete-nhamossempreY } n²Y E '±�$ O Y G '±�$ , qualquerquesejao valorde ± .O enunciadodo problemainformaquea resistencia Y }euniforme, istoe,varialinearmentede + a Y } . Portanto,

Y�Ei '±�$³� ±® Y } R



Y#G, _±�$³� Y } �QY1E, _±�$]�´);.T� ±® - Y } Ronde ± deve sermedidonamesmaunidadeque ® , porexemplo,emcentımetros.Chamando-sede YSµ o paralelode Y com Y�E temosYSµ��¶Y#Y�E&�7 'Y O Y�E($ e, consequentemente,a re-sistenciaequivalentetotal Yb· docircuito e

Y · ��Y µbO Y G ��Y µSO�¸ .T� ±®�¹ Y } Comoa correntefornecidapelabateriae a mesmacor-rentequepassatantoatravesde Y#G quantodo paraleloYSµ , vemosfacilmentequea diferenca depotencial �jºsobre Y (que obviamentecoincidecom � E sobre Y E )podeserobtidadarelacao

�a� �Y · � �DºY µ �� EY µ $ Rouseja,

�Dº?� YSµY · �� A potenciapedidae entao:

< º � � GºY� .YK» �Ÿ#Y E �7 'Y O Y E $ �.T��±�� ® $BY } O Y1Y E �H !Y O Y E $�¼

G Rque,simplificada,forneceo resultadofinal

< º � .3+,+;Y� '�f±��5Y } $ G B.:+;+,YI�iY } O .3+5±��± G $ G Ronde± devesermedidoemcentımetros.

P 29-52.

A Fig.29-11a(pg.143)mostra.38 resistores,cadaumderesistencia Y , formandoum cubo. (a) DetermineY E � ,a resistenciaequivalenteentreasextremidadesda dia-gonal de uma face. (b) Determine Y EB½ , a resistenciaequivalenteentreasextremidadesdadiagonaldo cubo.(Vejao Exemplo29-4,pg.143.)� (a) Ao aplicar-seumaddp entreos pontos . e c , o‘truque’ e perceberquetemosospontos8 e C no mes-mopotencial,bemcomoospontos� e J estaonomesmopotencial.Portantoo circuitopodeserdistorcidodemo-doafazertaispontoscoincidirem,semquetal distorcaoaltereascorrentes......Longoscalculos....:Y E � ��c,YI��C .

(b) Ao aplicar-seumaddpentreospontos. e ª , o ‘tru-que’ e perceberquetemosos pontos C e � no mesmopotencial,bemcomoos pontos c e � estao no mesmopotencial.Portantoo circuitopodeserdistorcidodemo-doafazertaispontoscoincidirem,semquetal distorcaoaltereascorrentes......Longoscalculos....:Y�E�½%�@�5YI�i� .1.2.4 Instrumentos demedidaseletricas

P 29-56.

Qual e a corrente,em termosde � e Y , indicadape-lo amperımetro " na Fig. 29-41? Suponhaque a re-sistenciadoamperımetrosejanulaeabateriasejaideal.� Chamemosdea o terminalpositivo dabateria,deb oterminalnegativo, dec o terminaldo amperımetroqueesta ligadoentre 85Y e Y e, finalmente,ded o terminaldoamperımetroqueesta ligadoentreY e Y .Chamemosde � E a correntequeflui atravesde 8,Y dea parac. Analogamente,de ��G a correntefluindo de aparad. Finalmente,chamemosde ��M a correntequefluiatravesdoamperımetro,indoded parac. Assim,a cor-rentedec parab sera �BE O ��M , enquantoquea correnteded parab sera ��G%�o��M . Estasinformacoesdevemsercolocadassobrea Figurado problema,parasimplificaro usodalei dasmalhas.Verifiquequea correntequesaie queentranostermi-naisda bateriatem o mesmovalor, � ETO � G , comonaopoderiadeixardeser.Da lei dasmalhas,aplicadaaoscircuitosbacbe badbobtemosduasequaçoesindependentes:�� 8,Y%� EZO Y� '� EAO � M $� Y#� G]O YV '� G �� M $z Alemdisto,temosque� �(¾ � 8,Y#��E� �(¿ � Y#��G5 Porem, como a resistencia do amperımetro (supostoideal aqui) e nula, sabemosque � M nÀ��¾�¿��Á+ , ouseja,que �j�(¾�n@��(¿; Estastresultimasequaçoesimplicamtermos��Gb��8i�BEque,substituidonaexpressaoacimapara�� nospermi-tedeterminarque � E �l8i�Z�H dª5Y�$ eque,finalmente,

��M�� ªiY http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7


P 29-58.� A correnteem Y#G e � . Seja �BE a correnteem Y�E esuponha-aparabaixo. De acordocoma lei dosnos,acorrentenovoltımetroe �q�v� E , parabaixo.Aplicandoalei dasmalhasno laco daesquerdaobtemos

��Y%GÂ��BEzY�E��d��+D Aplicandoa mesmalei no laco dadireitatemos

� E Y E �� _�¨�2� E $�Y�Ão��+D Resolvendoestasequaçoesencontramos

�a� Y E�O Y1ÃY1Ã �BE Rquequandosubstituidanaprimeiradasequaçoesacimafornece-nos

�� !Y1E O Y Ã $& 'Y#G O i$Y1Ã ��E O Y�E��BET��+ Rouseja

� E � �ÄY�Ã 'Y�E O Y Ã $( 'Y#G O 5$ O Y1E(Y Ã A leiturano voltımetrosera,portanto,� E Y E , quee dadapor

'c7 + V $& !�7 +V0�.:+ � $( d8,�,+;$ !c,+,+ O .:+;+;$& !8,�,+ O �H +�02.3+ � $ O d8,�5+*$( d�H +�0�.:+ � $expressaoestaquenosforneceo valor

�BEzY�E§� ., /.38 Volts A correntenaausenciadovoltımetropodeserobtidadaexpressaode �BEzY�E no limite Y Ã?ÅÇÆ :

� E Y E � �ÄY EY�E O Y%G O � 'cD + V $( !8;�5+#[T$8,�,+%[ O c;+,+b[ O .:+;+b[� ., /.3� Volts O errofracionale

Erro � ., /.3�%�W., /.38., /.3� ��+D +;c,+ Rouseja,c#È .

P 29-63.A pontedeWheatstone. NaFig.29-44ajustamoso valorde Y1É ate queos pontos � e � fiquemexatamentecom

o mesmopotencial. (Verificamosestacondicao ligan-do momentaneamenteum amperımetrosensıvel entre �e � ; se estespontosestiveremno mesmopotencial,oamperımetronaodefletira.) Mostreque,aposessaajus-tagem,a seguinterelacaoe valida:

Y#Ê��@Y#É Y GY�E � Chamandode ��Ë a correntequepassade Y E para Y Ge de ��¿ a correntequepassade Y#É para Y%Ê , temos,su-pondo��1�@� � :

��Ë*Y E ��¿:Y#É e ��Ë*Y G ��¿&Y#Ê7 Portanto,darazaoentreestasduasexpressoesencontra-moso resultadopedido.� Procedimentosugeridopor um aluno: Seja �BE a cor-renteem Y�E e Y%G econsidere-apositivaquandoapontarnadirecaodoponto“a” aopassarpor Y E . Seja� G acor-renteem Y1É e Y#Ê , considerando-apositiva quandoelaapontarnadirecaodoponto“b” aopassarpor Y#É . Comestaconvencaoaregradamalhasfornece

'Y�E O Y%G3$��BE\�W !Y Ê O Y É $��Gb��+7 dÌ,$Comoos pontos“a” e “b” estao no mesmopotencial,temos � E Y E �Í� G Y#É . Esta ultima equaçao nos da��G��>�BEzY�E3�iY É , quequandosubstituidanaequaçao (*)acimaproduz

'Y E�O Y G $e� E �` !Y%Ê O Y1Éz$ Y1EY G � E dondetiramosfacilmenteY Ê ��Y É Y%Gi�iY�E .P 29-64.

Seospontos� e � naFig. 29-44foremligadospor umfio deresistencia , mostrequea correntenofio sera

�A� �] 'Y É ��Y Ê $ !Y O 8i5$( !Y#É O Y%Ê*$ O 8,Y#É�Y#Ê Ronde � e a fem da bateriaideal. Suponhaque Y E �Y G �lY e que Y } �u+ . Estaformulae consistentecomo resultadodoProblema63?e do56?�



1.2.5 Cir cuitosRC

E 29-66.

Quantasconstantesdetempodevemdecorreratequeumcapacitoremumcircuito Y�p estejacarregadocomme-nosde . % desuacargadeequilıbrio?� A equaçaoqueregea cargadeumcapacitore

�1�lp#�] B.S��ÎbÏ,ÐÑ*Ò $��lp#�] B.T��Î¨Ï,ÐÓ $onde Ô e a constantedetempo.A cargadeequilıbrio eatingidapara�� Æ , valendoentao ��p#� . Portanto

.3+,+#�Õ..:+,+ p#�2�lp#�] B.T��Î¨Ï,ÐÓ $ Rouseja, Ö/× � .T��+D �;�i�j�`�TCj �;+;�1�K�T�~�iÔ , fornecendo

��Cj �;+;�ZÔ7 E 29-68.� (a) Bastaigualar-seasduasexpressoesparaa carga

numcapacitor:

�Ø� p�� p#� ) .T��Î � ·'Ù~Ú - R

deondetiramosque

��?�� Î;� ·'Ù~Ú Rouseja

� �Ô � ln ) .�8#�Q�.38Û- � lnª.38Ü �S+D �,c,�D

Destaexpressao,para�A��., cI0.3+ ��Ý segundos,encon-tramos Ô�� ., c�02.3+ ��Ý+7 ^�5c;� Ü 8H CD.�8ÂÞ s (b)

p`� ÔY � 87 Cj.38�02.3+ ��Ý.��0�.:+ � �@+7 /.:�D.%0Q.3+ ��ß F P 29-69.

Um capacitorcomumadiferencadepotencialde .:+;+ Ve descarregadoatravesdeum resistorquandoumacha-ve entreelese fechadano instante��+ . No instante

��.3+ s a diferenca de potencialatravesdo capacitore . V. (a) Qual e a constantedetempodo circuito? (b)Qual e a diferenca depotencialatravesdo capacitornoinstante��K.iª s?� (a) A diferenca depotencial� atravesdasplacasdocapacitorestarelacionadaacarga � naplacapositivape-la relacao ��,�,p , onde p e a capacitancia.Comoacarga em um capacitorquesedescarrega e controladapor ��`� } Î � ·'Ù�Ú , onde � } e a cargano instante�T��+ eÔ e aconstantedetempo,istosignificaque

�� '�B$]�� } �*� ·'Ù�Ú Ronde � } n�� } �5p e a diferenca depotencialexistentenoinstanteinicial. Portanto

Ô��`� �ln !��5� } $ �� .3+

ln � .i�e.:+;+i� Ü 87 «.iª s (b) Para ��`.iª s, �~��Ô��`.iª,�,8H /.�ª Ü ªe J,c e obtemos

��l� } Î � ·'Ù�Ú �� B.:+;+;$HÎ � ½&à �� Ü c7 �,�V0�.:+ � G V P 29-71.

Um capacitorde .bÞ F comumaenergia inicial armaze-nadade +7 ^� J e descarregadoatravesde um resistorde. M [ . (a) Quala carga inicial no capacitor?(b) Qualo valor dacorrenteatravesdo resistorno momentoemquea descarga inicia? (c) Determine�j¬ , a voltagematravesdo capacitor, e � º , a voltagematravesdo resis-tor, emfuncaodotempo.(d) Expresseataxadegeracaodeenergiatermicano resistoremfuncaodo tempo.� (a) A energia armazenadanum capacitore áA¬²�� G} �H d8,p�$ , onde p e a capacitanciae � } e a cargainicialnaplaca.Portanto

� } ��â 8;pIá ¬ � â 87 B.�02.3+ ��Ý F$& '+7 ^� J$� .�0�.:+ �� C� . mC (b) A cargaemfuncaodotempoe �� } Î � ·'Ù�Ú , ondeÔeaconstantedetempo.A correnteeaderivadadacargaemrelacaoaotempo:

�a�`� � �� }Ô Î;� ·'Ù�Ú [O sinalnegativo enecessariopoisacorrentededescar-gaflui nosentidoopostoaosentidodacorrentequefluiuduranteo processodecarga.]



A correnteinicial e dadapelaexpressaoacimano ins-tante�A��+ : � } �@� } ��Ô . A constantedetempoe

Ôh�@Y�pu�� .I0�.:+ ��Ý F$( �.�0�.:+ Ý [T$��`. s Portanto � } � .�0�.:+ �� C. s

��. mA (c) Substitua�1�@� } Î � ·_Ú em �j¬o��,�,p obtendoentao

�D¬b _�B$]� � }p Î;� ·'Ù~Ú � .�02.3+ �� C.�02.3+ ��Ý FÎ,� ·'Ù&ãäE så

� �.�0�.:+;�:$ZÎ;� · V Ronde� e medidoemsegundos.Substitua�Z�� '� } �iÔD$HÎ � ·'Ù�Ú em �DºQ��Y , obtendo

� º '�B$³� � } YÔ Î;� ·'Ù�Ú� B.I0�.:+ �� C$& �.�0�.:+ Ý [T$ B. s$ Î � ·'Ù&ãäE så� B.I0�.:+ � $HÎ � · V R

com � medidoemsegundos.(d) Substitua�A�� !� } ��ÔD$HÎ � ·'Ù�Ú em <`�� G Y , obtendo

<� _�B$³� � G} YÔ G Î,� GB·'Ù�Ú� �.�0�.:+ �� C$ G B.�02.3+ Ý [T$ B. s$ G Î � G~·'Ù&ãäE så� �.3$7Î � GB· W R

novamentecom � medidoemsegundos.

P 29-72.

Um resistorde c M [ eumcapacitorde .TÞ F estaoliga-dosemum circuitodeumaunicamalhacomumafontedefem com ��@C V. Apos . s defeitaa ligacao,quaissaoastaxasnasquais:(a) a cargado capacitoresta au-mentando;(b) a energia esta sendoarmazenadano ca-pacitor;(c) aenergiatermicaestaaparecendonoresistore (d) a energiaesta sendofornecidapelafontedefem?� (a) A carganaplacapositivadocapacitore dadapor

��p#� » .T�QÎ � ·'Ù�Ú ¼ Ronde � e a fem da bateria, p e a capacitancia,e Ô e aconstantedetempocapacitiva. O valorde Ô e

Ô��@Y�pu�� 'cV0�.:+ Ý [T$( �.�02.3+ ��Ý F$��@c s

Para �A�`. s temos

�Ô � . sc s Ü +D c;c,cea taxacomaquala cargaesta aumentandoe� �� p#�Ô Î;� ·'Ù�Ú � B.�02.3+ ��Ý F$& _C V $c s

Î;� } à �~��Ü �D �;��02.3+H� ½ C/s

Observe que ‘Coulombs/segundo’ e a definicao deAmpere,aunidadedecorrente.(b) A energiaarmazenadanocapacitoredadapor áA¬?�� G �H d8,p�$ esuataxa decargae� á ¬� � � �p

� �� Para �A�`. s temos

�¶� p#� » .T�QÎ � ·'Ù�Ú ¼� �.�02.3+ ��Ý F$( 'C V $ » .T��Î � } à ��~� ¼Ü ., /.:c�0�.:+ ��Ý C R

demodoque� á�¬� � � ) ., /.:c�0�.:+ ��Ý C.�0�.:+ ��Ý F - '�D �;��02.3+H� ½ C/s$Ü ., +,J�0�.:+7��Ý W

(c) A taxa com a qual a energia esta sendodissipa-da no resistor e dadapor <©�³� G Y . A correntee�D �;��02.3+ � ½ A, demodoque

<K�� '�D �;��0�.:+ � ½ A $ G 'cV0�.:+ Ý [T$ Ü 8H æª�CV0�.:+ ��Ý W (d) A taxacoma quala energia e fornecidapelabateriae

��v�` !�7 ^�,��0�.:+7� ½ A $& _C V $ Ü cD J*8�0�.:+7��Ý W A energia fornecidapela bateriae ou armazenadanocapacitorou dissipadano resistor. O princıpio daconservacaodaenergiarequerque

�d�v� � á�¬\� � � O � G Y� http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina10


Os valoresnumericosacimasatisfazemo princıpio deconservacao,comosepodeverificarfacilmente.

P 29-78.

No circuitodafigura abaixo,�2�K.; 8 kV; p`��7 ^�%Þ F;Y E ��Y G �Ý � ��+D ^ª5c M [ . Com p completamentedescarregado,a chave ç e subitamentefechada( �]�l+ ).(a) Determineascorrentesatravesdecadaresistorpara��+ e �� Æ . (b) Traceumgraficoquedescrevaquali-tativamenteaquedadopotencial�DG atravesde Y#G desde�%��+ a �b� Æ . (c) Quaissaoosvaloresnumericosde�jG em ��=+ e �� Æ . (d) De o significadofısico de�� Æ nopresenteproblema.

� (a) Em ��+ o capacitoresta completamentedes-carregadoe a correnteno ramo do capacitore a queterıamosseo capacitorfossesubstituidofor umfio con-dutor. Seja�BE acorrenteem Y�E ; tome-apositivaquandoapontaparaadireita.Seja��G a correnteem Y%G , positivaquandoapontarparabaixo. Seja � � a correnteem Y � ,positivaquandoapontarparabaixo.Usandoa lei dosnose a lei dasmalhasobtemos

Lei dosnos è � E �� G]O � � RMalhaesquerdaè ��2� E Y E �� G Y G ��+ R

Malhadireita è � G Y G �2� � Y � �@+7 Como todasas resistenciassao iguais, podemosdes-prezaros subındices,escrevendoapenasY , onde Y�nY E ��Y G ��Y � .A ultima dastresequaçoesacimanosdiz que � � �´� Gresultadoque,substituidonaprimeiradasequaçoesaci-ma,nosda ��Gb��BE&�,8 . Comisto tudo,naoedifıcil agorausar-seaequaçaodomeioparaobter-seque

� E � 85�c,Y � 87 �.; 8�0�.:+ � V $cj '+7 æªic�0�.:+ Ý [T$ Ü ., /.�0�.:+ �� A

e,consequentemente,que

��Gb�� c;Y � ., ^8�0�.:+ � VcD '+D ^ª5c�0�.:+ Ý [T$ Ü �7 ��0�.:+ �j4 A

Em �� Æ o capacitorestara completamentecarrega-do sendoportantozero a correnteno ramoquecontemo capacitor. Entao � E �� G e a lei dasmalhasfornece

�� E Y E �� G Y G ��+ Ro quenosfornecea solucao

� E �� G � �85Y � ., ^8�02.3+ � V87 !+7 æªic�02.3+ Ý [T$ Ü J7 ^8�02.3+H�j4 A (b) Considerea placasuperiordo capacitorcomosen-do positiva. Isto e consistentecom a correntequeflui em direcao a estaplaca. As leis dos nos e dasmalhassao � E �� G�O � � , �l�`� E Y��`� E Yé�³+ , e�I !�,�5p�$b�� Y O � G Y��Ç+ . Use a primeiraequaçaoparasubstituir� E nasegundaeobter �¦�28i� G Y��v� � Yl�+ . Portanto � G � _�K�� Y�$~�H d85Y�$ . Substituaes-ta expressao na terceiraequaçao acimaobtendoentao�I !�,�5p�$Â�` '� � Y�$ O _�a�,8,$Â�` '� � YI�58,$��¤+ . Substituaagora� � por

� �,� � � obtendo

� � �� Äê c,Y8

� �� O �p � � 8 Comonao e difıcil de reconhecer, estae a equaçao deumcircuito Y�p emserie,excetoqueaconstantedetem-po e Ô?�>c,Y�p1�58 e a diferenca depotencialaplicadae�Z�58 . A solucaoe,portanto,

�H '�B$�� p#�8 » .T�QÎ � G~·'Ù&ã � º ¬ å ¼ A correnteno ramoquecontemo capacitore

� � '�B$]�� c,Y Î;� G~·'Ù(ã � º ¬ å

A correnteno ramodocentroe

� G _�B$�� 85Y � � �8 � �85Y � ��,Y Î;� G~·'Ù(ã � º ¬ å� ��,Y » c1�QÎ � G~·'Ù(ã � º ¬ å ¼

enquantoquea diferenca de potencialao atravessar-seY G e

�DG; _�B$]��G&Yu� � ��» c1��Î � GB·'Ù&ã � º ¬ å ¼ Graficode � G '�B$ : faca-ovocemesmo,usandoaequaçaoacima!! E umacurvaquepartedovalor ë G ��a�ic , cres-cendoassimptoticamenteparao valor �a�,8 .(c) Para ��l+ , o fatorexponencialÎ � GB·'Ù&ã � º ¬ å e iguala. e �DG%� � c � .; 8�0�.:+ � Vc ��C;+;+ V



Para �� Æ , o fatorexponencialÎ � G�Ù&ã � º ¬ å e zeroe

�jGb� � 8 � ., ^8�02.3+ � V8 �@�,+;+ V (d) O significadofısicode“tempo infinito” e um certo

intervalo de temposuficientementegrandeparaquesepossaconsiderarcomosendozeroo valor da correntequecirculano ramocontendoo capacitor. Tal intervalodetempodeverasermuitasvezesmaiorqueaconstantedetempocaracterısticadocircuitoemquestao.








Estaeoutraslistasencontram-seem: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas

Conteudo

1 Corr ente e Resistencia – [Capıtulo 28,pag. 113] 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

1.2.1 Correnteeletrica . . . . . . . . 2

1.2.2 Densidadedecorrente . . . . . 2

1.2.3 Resistenciae resistividade . . . 3

1.2.4 Energia e potenciaemcircuitoseletricos. . . . . . . . . . . . . 6


(lista2.tex)



1 Corr enteeResistencia– [Capıtulo 28,pag. 113]

1.1 Questoes

Q 28-1.� No estadoestacionarionaopodeexistir nenhumacar-ga livre no interior da superfıcie fechada. Portanto,ataxadevariacaodacargaqueentra(correntequeentra)deve ser exatamenteigual a correnteque sai. Ou se-ja, a integral de �� ao longo da superfıcie externado corpoe igual a zero. Isto sera sempreverdade,in-dependentementedo numerodecondutoresqueentramou quesaemdasuperfıcieconsiderada.Comoa Lei deGausstambempodeseraplicadanoestadoestacionario,concluımosqueo fluxo eletricotambemnaopodevariaratravesdasuperfıcieexternadocorpo.

Q 28-19.� Esteaparenteparadoxopossuisolucao trivial. Vocenao podecompararsituacoesdiferentes,ou seja,vocedeve especificara(s) grandeza(s)que permanece(m)constante(s)em cadasituacao concreta. Mantendo-se

fixo, a potencia varia de acordocom a relacao�� . Mantendo-se� fixo, a potencia varia

de acordocom a relacao �� . Casoocorraumavariacaosimultaneade � e de

, a potencia so pode

serdeterminadamedianteo calculointegral;nestecaso,voce naopodera usarnenhumadasduasrelacoesante-riores.


1.2.1 Corr enteeletrica

E 28-1.

Umacorrentede � A percorreum resistorde �� du-rante � minutos. (a) Quantoscoulombse (b) quantoseletronspassamatravesda seccao transversaldo resis-tor nesteintervalodetempo?� (a) A carga que passaatraves de qualquerseccaotransversale o produtoda correntee o tempo. Como� minutoscorrespondema �� "!#�� segundos,te-mos $%�&�(')�*�+��!��%�,�-!#�� C.(b) O numerode eletronse dadopor $"�/.10 , on-de 0 e a magnitudeda carga de um eletron. Portanto

.2�3$ � 0��"45�-!6�6� C7 � 45�68 �6�9��;:=<5> C7?�A@B8 �C�D�-� <eletrons.

E 28-3.

Uma esferacondutoraisoladatem um raio de �� cm.Um fio transportapara dentro dela uma correntede��EF��6�6��!6� A. Um outrofio transportaumacorrentede��EF��6�6��6�� A paraforadaesfera.Quantotempolevariaparaqueo potencialdaesferasofresseum aumentode�-�6�� V?� Suponhaquea cargana esferaaumentede GH$ numtempo G+' . Entao nestetemposeupotencialaumentade G �IGH$ � 4J�6KMLON�P�7 , onde P e o raio daesfera.Istosignificaque GH$%�Q�6KMLONMP)G .Porem GH$R�"4J� entra S � sai7TGU' . Portanto

GU'V� GH$� entra S � sai� ��KMLFN�P#G � entra S � sai� 4W�;8X�� m7Y4Z��6� V 74W[C�D�� > F/m7\4Z��8 ��6��6��!6� A S � A 7� �;8 �9�D�� :^] s8

1.2.2 Densidadedecorrente

E 28-5.

Um feixecontem !_�U��` ıonspositivosduplamentecar-regadospor cm] , todosmovendo-separao nortecomvelocidadede ��a��b m/s. (a) Quaissao o modulo,a direcao e o sentidoda densidadede corrente� ? (b)Podemoscalculara correntetotal � nestefeixe de ıons?Em casonegativo, queinformacoesadicionaissao ne-cessarias?� (a) A magnitudedadensidadedecorrentee dadaporc �&dM$�e6f , onded eo numerodepartıculasporunidadede volume, $ e a carga de cadapartıcula, e e6f e a ve-locidadede deriva daspartıculas. A concentraçao daspartıculase d��3!g�h��` cm:i]j�3!g�h��k<ml m :^] acargae $9�,!#0U�,!;4Z��8 ��9�n��;:=<5> C7o�qpT8 !6�9�n��B:M<Z> C, e avelocidadedederiva e �%�D��b m/s.Portantoc � 4W!H�D�� <Zl m :i]�7Y4rp;8s!H�D�� :M<Z> C7#tF�%�u�-� bTv w�x� �;8 � A/m

8Como as partıculasestao carregadaspositivamente,adensidadede correnteesta na mesmadirecao do mo-vimento:parao norte.



(b) A correntenaopodesercalculadaamenosqueaareadaseccaotransversalsejaconhecida.Seo for, podemosdeterminaracorrentetotalusandoa equaçao �y� c%z .

E 28-7.

Um fusıvel numcircuito eletricoe um fio cujo objetivoederreter-see,destaforma,interrompero circuito,casoa correnteexcedaum valor predeterminado.Suponhaqueo materialquecompoeo fusıvel sederretasemprequea densidadede correnteatingir �� A/cm

. Qual

o diametrodo condutorcilındricoquedevera serusadopararestringira correntea �T8 � A?� A magnitudedadensidadedecorrentee

c �A� �{z �� 4rK=P 7 , ondeP e o raiodofio. Portanto

P|� } �K c� ~ �;8s� AKC4J��H�D�� l A/m 7� �68 [+�D�� :�l m 8

O diametroe ��a!#P%�ap;8 �9�u�-�B:�l m.

P 28-14.

Um feixe estacionario de partıculas alfa ( $��!#0 ),deslocando-secom energia cinetica constantede !6�MeV, transportauma correntede �T8 !�� A. (a) Se ofeixe for dirigido perpendicularmentecontrauma su-perfıcie plana, quantaspartıculas alfa atingirao a su-perfıcie em p segundos? (b) Num instantequalquer,quantaspartıculasexistem em !#� cm de comprimen-to do feixe? (c) Qual foi a diferenca de potencialne-cessariaparaacelerarcadapartıculaalfa,a partir do re-pouso,levando-aa umaenergiade !#� MeV?� (a) A correntetransportadaedadapor �)�a!B8s��H��B:i�C/s. Uma vezquecadapartıcula transportaumacargaigual a !#0 , o numero d departıculasqueatingema su-perfıcieemtressegundose dadopor

d�� '!60 � �;8s!6�+�u�-�B:i�R�hp!H�D�68 �9�D�� :M<Z> �*!B8 p#�9�u�-� < partıculas8(b) Seja. o numerodepartıculasexistentesnocompri-mento ��3!6� cmdo feixe. A correntee dadapor

�� $ ' � !60�.� � e � !#0-e�.�

e,portanto,

.�� m�!60�e 8Paradeterminarestevalor de . falta-nosapenasdeter-minar a velocidadee . Paratanto,notequea massadeumapartıcula � edadapor v �Q� v � , ondev�� eamas-sado proton. Usandoo fatordeconversaodo apendiceF parapassarMeV paraJoules,temos:� �,4W!#��7\45�68 �6��!+�D�� :=<5] 7�� v e !Explicitandoe esubstituindoosdadosnumericos,obte-moso seguinteresultadoe9�ap;8 �6[��)�%�� m/s.Notequenestescalculosusamosas formulasclassicas;se vocedesejaraplicarasformulasrelativısticas,deveraconsul-tar o Capıtulo 42 do livro-texto. Substituindoestevalornaexpressaode . acima,encontramosfacilmente:.��a�;8 ��U�D�� ] partıculasno feixe8(c) Como

� �a� , o potencial

solicitadoedadopor � � � � !6��10 !#0� !#�9�D�68 �6�H�D�� :=<5]!H�D�68 �H�u�-� :M<Z>� �� M Volts81.2.3 Resistenciae resistividade

E 28-17.

Um fio condutortem diametrode � mm, um compri-mentode ! m e umaresistenciade �#� v � . Qual e aresistividadedomaterial?� A areadaseccaotransversalez �QKRP �aKC4r�;8s�H�D�� :i] m7 �*@B8 ��U�D�� :^� m

8Portanto,a resistividadee� � �Dz�� 4��#�9�D�� :i] �o7\4�@B8 ��H�u�-� :i� m

7! m� !H�D�� :^` �� m 8E 28-18.



Uma pessoapodesereletrocutadaseumacorrentetaopequenaquanto�#� mA passarpertodoseucoracao.Umeletricistaquetrabalhacomasmaossuadasfazumbomcontatocomosdoiscondutoresqueesta segurando.Sea suaresistenciafor igual a !6�6�6�� , de quantosera avoltagemfatal?� Como a diferenca de potencial

e a corrente �

estao relacionadaspor � � � , onde

�e a re-

sistenciado eletricista,a voltagemfatal e ��4W�6��;:^] A 7\4W!6�6��R�o7��,�� V.

E 28-19.

Umabobinae formadapor !6�6� voltasdeum fio deco-bren� 16(comdiametrode �68 p mm)isoladonumaunicacamadadeformacilındrica,cujo raio mede �-! cm. De-terminea resistenciada bobina. Desprezea espessuradomaterialisolante.� A resistenciadabobinae dadapor

� � � � �{z , onde� e o comprimentodo fio, � a resistividadedo cobre,ezeaareadaseccaotransversaldofio. Comocadavolta

dofio temcomprimento!�K=P , ondeP e o raiodabobina,��,4W!��#��7Y4W!#K=P�7_�q4W!��#��7\4W!#K�7\4W�;8X�-! m7��q��;8s� m 8SendoP�� o raio do fio, a areadasuaseccaotransversalez �,K=P � �qK�4W�;8 ��C�n�-�B:i] m7 ��68 p6p �n��B:i� m

.

Da Tabela28-1 tiramosquea resistividadedo cobree�68 �6[H�D��;:^`�� m. Portanto,finalmente,� � � �z�� 45�68 �6[H�u�-� :i` �� m7Y4Z�-�6�;8s� m7�68 p6pH�D�� :^� m �*!B8 ��g8

E 28-27.

Um fio cuja resistenciae igual a �D� e esticadode talformaqueseunovo comprimentoe tresvezesseucom-primentoinicial. Supondoquenao ocorravariacao naresistividadenem na densidadedo materialduranteoprocessode esticamento,calculeo valor da resistenciadofio esticado.� Comoamassaeadensidadedomaterialnaomudam,seuvolumetambempermaneceo mesmo.Se � N repre-sentaro comprimentooriginal, � o novo comprimento,z N a areaoriginal daseccao transversal,e

za areada

novaseccaotransversal,entao ��N z NR�a� z ez � ��N z N� � ��N z Np��N � z Np 8A novaresistenciae� � � �z � � p��Nz N � p �a[ � ��Nz N �a[ � N E

onde� N e a resistenciaoriginal. Portanto� �a[9�h��&�a�#�U�g8

P 28-30.

Dois condutoressao feitos do mesmomateriale temomesmocomprimento.O condutor

ze um fio solido e

tem � mm de diametro. O condutor � e um tudo ocodediametrointernode � mmedediametroexternode !mm. Quantovalea razaoentreasresistencias

�g ��g¡medidasentreassuasextremidades?� A resistenciadocondutor

ze dadapor�¢ � � �K=P E

ondeP e o raio docondutor. SendoP-£ e P-¤ osraiosin-terno e externo, respectivamente,docondutor� , temosparasuaresistenciaaequaçao�¢¡ � � �K�4JP ¤ S P £ 7 8A razaoprocuradae,portanto,� � ¡ � P ¤ S P £P � 4Z�68 � mm7 S 4W�;8s� mm7 4W�;8s� mm7 � �;8¥@#��;8s!6� �apT8P 28-36.

Quandoumadiferencadepotencialde �6�� V eaplicadaatravesde um fio cujo comprimentomede �� m e cu-jo raio e de �;8 p mm, a densidadede correntee igual a��8 �%��-�#l A/m

. Determinearesistividadedocondutor.� Use

c �§¦ � � , onde ¦ e a magnitudedo campoeletriconofio,

ce amagnitudedadensidadedecorren-

te,e � e a resistividadedo material.O campoeletricoedadopor ¦¨� �� , onde

e a diferenca depotencial

ao longo do fio e � e o comprimentodo fio. Portantoc � �� 4r� � 7 e� � � c� �� V4Z�-� m7\45�68 �C�u�-� l A/m )� �;8s!H�u�-� :^l �� m 8



P 28-41.

Quandoumabarrametalicaeaquecida,varianaoso suaresistencia,mastambem seucomprimentoe a areadesuasecao transversal. A relacao

� � � � �{z sugereque todosos tres fatoresdevem ser levadosem contana medidade � em temperaturasdiferentes.(a) Quaissao, paraum condutorde cobre,as variacoespercen-tuaisem

�, � a

zquandoa temperaturavariade � grau

centıgrado. (b) Queconclusoespodemostirar daı? Ocoeficientede dilatacao linear do cobree �68¥@��a�-�B:^bporgraucentıgrado.� (a) Seja G+© a variacao de temperaturae ª o coe-ficiente de expansao linear do cobre. Entao, G+�«�ª��GU© eGH�� ª¬G+©� 4Z��8s@+�D�� :^b 7o��G+©a�q��8 �+�D�� :ib� �;8 �6�T��@g�8Agora,comosabemosqueaarea

zeproporcionala � ,

qualquerquesejao valordaconstantedeproporcionali-dade,temossemprequeG zz � !6��GH�� *! G+�� 3!�ª¬G+©�8Como

� � � 4 � EF��E z 7 , umavariacaoarbitrariade�

edadapor

G � �¯® �® � G �%° ®�® � G+� ° ®

�® z�G z 8

Darelacao� � � � �{z obtemosfacilmenteque

® �® � � �z � � � E® �® � � �z¨� � � E® �® z � S � �z � S � z�8

Alem disto, da Eq. 28-16, pg. 120, sabemosqueG � � � �±��G+© , onde � e o coeficientedetemperaturada resistividadedo cobreque,segundoa Tabela28-1,pg.119,e dadopor ��&��8 p9�D��;:^] porgrau.PortantoG �� ° GH�� S G zz� 4r� ° ª S !�ªy75G+©� 4r� S ª¬75G+©

� 4r�T8 p9�u�-� :i] S �;8 �;��@U�u�-� :^] 7?�u�� T8 �k!#�%² �T8 ��pR�8(b) A mudança percentualna resistividade e muitomaior quea mudança percentualno comprimentoe naarea.Mudancasno comprimentoe naareaafetama re-sistenciamuito menosdo quemudançasnaresistivida-de.

P 28-42.

Um resistor tem a forma de um tronco circular reto(Fig. 28-20). Os raiosdabasesao ³ e ´ e a alturae � .Paraumainclinacaosuficientementepequena,podemossuporque a densidadede correntee uniformeatravesdequalquersecaotransversal.(a) Calculara resistenciadesteobjeto. (b) Mostre que suarespostase reduza� � �\z parao casoespecial?�3³ .� (a) Em cadaseccaodo conecirculaumamesma cor-rente� , porema densidade

ce diferente.Chamandodeµ a distanciaa partir da facesuperiordo cone,pode-

mosexpressaro campoeletrico ¦ 4 µ 7 em cadaseccaoemfuncaodacorrente� e usa-lo paraachara diferencadepotencialtotal

atravesdocone.Entao,aresistencia

sera� � _� � .

Assumindoquea densidadec

decadaseccaoe unifor-me podemosescrever �C�2¶ c � z �·K=P �c , onde Pe o raio da seccao. Sabemosaindaque

c �·¦�4 µ 7 � � .Portanto,��aK=P ¦ 4 µ 7 � � , deondeobtemos¦�4 µ 7��&� � � 4JK=P 7{8O raio P crescelinearmentecoma distanciaµ , de P%�a³para µ �¸� , ate Pu�¸´ para µ �¹� . Assim sendo,daequaçao da retaquepassapor estespontos,encontra-mos PB4 µ 7_�3³ ° ´ S ³� µque,realmente,paraµ �a� forneceP��3³ enquantoqueparaµ �1� fornecePH�,´ . Substituindoestevalor de Pnaexpressaoacimaparao campotemos

¦ 4 µ 7_� � �K¸º ³ ° ´ S ³� µT» : 8A diferenca depotenciale entaodadapor � S½¼n¾N ¦ 4 µ 7)� µ

� S � �K¿º ³ ° ´ S ³� µ » : � µhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina5


� � �K �´ S ³ º ³ ° ´ S ³� µ;» :=<BÀÀÀ ¾N� � �K �´ S ³ º �³ S �´ »� � �K �´ S ³ ´ S ³³B´� � � �KM³B´ 8Comisto tudo,seguefacilmentequea resistenciae� � � � � �KM³B´ 8(b) Para ó�Q³ temos� � � �KM³ � � �z Eonde

z �ÁKM³ e a areado cilindro ao qual o conese reduz,coincidindonestecasocom a Eq. 28-15 dapag.119,comoeradeseesperar.

1.2.4 Energia epotenciaemcircuitoseletricos

E 28-44.

Um estudandedeixouseuradio portatil de [ V e @ Wligadodas[ horasas �Y� horas.Quequantidadedecargapassouatravesdele?� A correntequecirculounoradioerade

�� @[ �a�;8¥@�� Amperes8Portanto,a quantidadede carga quepassouatravesdoradioem � horase$%�Q�(')� @[ 4W�C�hp��6�6� segundos7��q�Y� kCoulombs8E 28-45.

Um determinadotuboderaios-Xoperanacorrentede @mA e nadiferenca depotencialde �� kV. QuepotenciaemWattse dissipada?� A potenciadissipadapelotuboderaios-Xeq�Q� �3@+�D�� :i] �D4W�6�9�D�� ] 7��3�6�6� W 8E 28-46.

A taxadedissipaçaodeenergia termicanumresistoreiguala �� W quandoacorrenteede p A. Qualeo valordaresistenciaenvolvida?� Da formula ¹�I� � obtemosquea resistenciaen-volvida e � � � � �-�6�p �1��68X�6�o�g8E 28-48.

Uma diferenca de potencialde ��!#� V e aplicadaa umaquecedorcuja resistenciae de �� , quandoquente.(a) A quetaxaa energia eletricae transformadaemca-lor? (b) A � centavospor kW � h, quantocustaparaope-raressedispositivo durante� horas?� (a) A taxade transformaçao de energia eletricaemcalore 1� � � � �-!6� �Y� �q�-��!6� W ² � kW 8(b) o custodeoperaçaododispositivo e

Custo � � kW �Â� horas � � centavoskW � hora� !6� centavos8

P 28-56.

Um aquecedorde �-!6�6� W e cosntruidoparaoperarsobumatensaode �6�� V. (a) Qualsera a correnteno aque-cedor?(b) Qualearesistenciadabobinadeaquecimen-to? (c) Quequantidadedeenergiatermicaegeradapeloaquecedorem � hora?� (a) A correntenoaquecedore�y� � �-!��#��6�� q�-�;8 ��@ A 8(b) A resistenciadabobinadeaquecimentoe� � � � ��-��T8 �k@ �,��T8 �6�g�gÃ� � � � �-!6�6�4Z��!6�#� � ��-�67 � ��-� �-!��#� � � � ��T8 �6�g�g8(c) A quantidadedeenergia termicageradae¦,�a*')�q�-!��#�H�hp��6��R�a�T8s�+�u�-� � J8



P 28-58.

Um aquecedorde Nicromo dissipa �#�� W quandoadiferenca de potencialaplicadae de �6�-� V e a tempe-raturado fio e ��6�� C. Qual sera o valor da potenciadissipadaseatemperaturadofio for mantidaem !#�6�� Cpelaimersaonumbanhodeoleo?A diferencadepoten-cial permanecea mesmae o valor de � parao Nicromoa �6�6�� C e �C�u�-�B:^l � � C.� Seja

�¢Äaresistencianatemperaturamaisalta( �6�� )

e seja� ¾ a resistencia na temperaturamais baixa

( !#�6� � ). Como a ddp e a mesmaparaas duastempe-raturas,a potenciadissipadanatemperaturamaisbaixae ¾ � U -�� ¾ e,analogamente, Ä � U -�#�¢Ä . Mas� ¾ � �¢Ä ° � �gÄ G+© , ondeG+©a�Q© ¾ S © Ä � S ��6�� .Portanto ¾ � �¢Ä�¢Ä ° � �gÄ G+© Ä � Ä� ° ��GU©� �#�� ° 4r� �D�� :^l 7\4 S �6��7 �Q��6� W 8P 28-60.

Um aceleradorlinear produz um feixe pulsado deeletrons.A correntedopulsoede �T8 � A easuaduracaoe de �T8Å�-�H� s. (a) Quantoseletronssao aceleradosporpulso? (b) Qual e a correntemedia de uma maquinaoperandoa �#�� pulsospor segundo?(c) Seoseletronsforem aceleradosate uma energia de �#� MeV, quaisseraoaspotenciasmediae depicodesseacelerador?

� (a) A carga $ aceleradaem cadapulso e dadapor$U�3�('_�*�;8s�H�n4r�;8X��;:^�Y7��1�H��B:i` C. Portanto,o numero. deeletronsaceleradose. � $ 0 � ��'0� �H�D��;:^` C�68 �H�u�-� :=<5> C� p;8X�-!��D�� <F< eletrons8(b) A cargatotalquepassanumaseccaoqualquerdofei-xeduranteum intervalodetempoÆ e �1�adM$�Æ , ondedeo numerodepulsosporunidadedetempoe $ eacargaemcadapulso.Assim,acorrrentemedia �mÇ porpulsoe

� Ç � � Æ �&d�$R�"4W�6�6� w :=< 7\4W�C�u�-� :^` C7��3!��o� A 8(c) A voltagemaceleradorae

� �h� 0 , onde�

e aenergiacineticafinal deumeletron.Portanto � � 0 � �#� MeV�-0 �a�#� M Volts8Comisto,a potenciaporpulsoe1�Q� �a�;8s�H�D4��#�9�D�� 7��3!�� MW Equee a potenciade pico. A potenciamediapor pulso(i.e.por segundo)e Ç �Q� Ç � !6�+�D�� :i� ��6�9�u�-� �� -!��#� W ² ��8 p kW 8


LISTA 4 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 18deDezembrode2003, as7:28a.m.





MateriaparaaQUARTA prova. Numeraçaoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.


Conteudo

36 Corr entesAlter nadas 236.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 Problemase Exercıcios: . . . . . . . . . 2

36.2.1 Trescircuitossimples– (1/12) . 236.2.2 O circuito

��serie– (13/28) 4

36.2.3 Potenciaemcircuitosdecorren-tealternada– (29/43) . . . . . . 7

36.2.4 O transformador– (44/48) . . . 9


(lista4.tex)

http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina1 de11


36 Corr entesAlternadas

36.1 Questoes

Q 36-2. De que modoum fasordifere de um vetor?Sabemos,por exemplo,quefems,diferencasdepoten-cial e correntesnao sao grandezasvetoriais. De quemodo,entao,sepodejustificarconstruçoescomoasdaFig. 36-6?� A d.d.p.,a femeacorrentenaosaovetorese,portan-to, naoseguemasregrasdasomavetorial. A utilizacaode fasoresparadescrever estasgrandezase util emvir-tudedapossibilidadedaexistenciadadiferenca defaseentrea correntee a tensao, a qual se traduzem efei-tos fısicos(lembre-se,por exemplo,de queo fator depotenciae dadopor �� , onde � e a diferenca de fa-se entrea correntee a fem). A direcao do fasor naocorrespondea nenhumadirecaono espaço. Contudo,aprojecao do fasor sobreum eixo possuia mesmafasedegrandezafısicaa eleassociada.Um diagramadefa-sores e muito util porqueele indicaasrelacoesde faseentreasgrandezasrepresentadasporestesfasores.

Q 36-8. Suponha,comoenunciadonaSecao36-4,queum dadocircuito seja“mais indutivo que capacitivo”,isto e, que �� . (a) Isto significa, paraumafrequenciaangularfixa, que

�e relativamente“grande”

e�

relativamente“pequeno”ou que�

e�

sao relati-vamente“grandes”? (b) Paravaloresfixos de

�e de�

, significaque � e relativamente“grande”ou relativa-mente“pequeno”?� (a) � � �� significaque �� . Paraum va-lor de � fixo, o produto

��deveserelativamentegran-

de.(b) Para

�e�

fixos,o valor de � e quedeveserrelati-vamentegrande.

36.2 ProblemaseExercıcios:

36.2.1 Tr escircuitossimples– (1/12)

E 36-1. Suponhaquea Eq.36-1descrevaa fem efeti-va disponıvel nasaidadeum geradorde �� Hz. Qualafrequenciaangular� correspondente?Comoa compa-nhiadeenergiaeletricaestabeleceessafrequencia?

�E 36-2. Um capacitorde ��! #" F esta ligado, como

naFig. 36-4a,a um geradordecorrentealternadacom$&%('*) � V. Qualseraaamplitudedacorrentealternadaresultantesea frequenciada fem for (a) � kHz; (b) +kHz?� (a) Useo fatoque , '*$.- ��/ ' � � $ . Portanto, ' � � $&%('(0#132 � $&%4' � � 0 + ) A �(b) Se

2e + vezesmaior, tambemo e acorrente:, ' +657�8� 0 + )9'40 � 0 � A �

E 36-3. Um indutor de :� mH esta ligado, comonaFig. 36-5a, a um geradorde correntealternadacom$&%;'<) � V. Qual sera a amplitudeda correntealter-nadaresultanteseafrequenciadafemfor (a) � kHz; (b)+ kHz?� (a) A amplitudeda correntee dadapelaEq. 36-18com � '40:132 , onde

2=' � kHz:, � ';> �� ' $?%@ 0:132 ��A ' �8� ��B� � A �(b) Para

2C' + kHz areatanciaindutivae + vezesmaiore,portanto, ,D� ' �8� ��BE � A+ ' �8� �8��FB A �Observacao: os numerosdadosno final do livro estaoerrados.

E 36-4. Um resistor de :��G esta ligado, como naFig. 36-3a, a um geradorde correntealternadacom$&%;'<) � V. Qual sera a amplitudeda correntealter-nadaresultanteseafrequenciadafemfor (a) � kHz; (b)+ kHz?� As respostasdositens(a)e(b) saoidenticaspoisparaumresistoracorrentenaodependedafrequencia:, ' $ %� ' ) � :� ' �8� �� A �



E 36-5.� (a) Use � � ' � � '(0#132 � paraobter2=' � �0:1 � ' �� ) �65H�F��I@ 0:1 A @KJ 65H�F�&L I A ' J � ��65M�N� I Hz �(b) Use � � ' @ � �OA LQP ' @ 0#132 �OA LRP paraobter� ' �0:132 �S� ' �0:1 @TJ � �S5H�F� I A @ �� ) 5M�N� I A' 0 � ��S5M�N� LVU F' 0 �8� � nF�(c) Como ��XW 2

enquantoque ��YW 2 LQP , vemosqueosnovosvaloresserao:�[Z� ' 0 � � '40 � ��65M�N� I G� Z� ' �� -:0O' � � ��65M�N� � G��E 36-6.� (a) 2=' �0#1 � �� ' �0:1 @ �� \5H�F�&LV] A @ � 0 � � A' + � + J 5M�N� I Hz' + � + J kHz �

(b) Dobrando-sea frequenciatemosa reatanciafica di-vididapor

0: � Z� ' ��0 ' �EG��

E 36-7.� (a) Paraqueasreatanciassejamasmesmasdevemoster �� ' �� ou,equivalentemente,� � ' � - @ � �OA , ouseja� ' � -�^ �� . Portanto,nestasituacaoencontramos2_' �0:1 ' �0#1 ^ ��' �0#1a` @ �S5H�F�&L I A @ �F�S5H�F�8Lb] A' �� :� Hz �(b) � � ' � � '(0 J G e,obviamente� � ' � � .(c) Comoa frequencianaturaldeoscilacaoe2#cd' �0:1 ^ ��He

comparando2

com2 c

vemosqueambassaoidenticas.

P 36-10. A saıda de um geradorde CA e dadapor$�'f$?%sen

@ �agah 1i- J A , onde$&%j'k) � V e � 'k) ��

rad/s.A correntee dadapor l @ g A ' , sen@ �agmh )�1i- J A ,

onde , ' � 0 � mA. (a) Quando,apos g ' � , a femdo geradoratingepelaprimeiravez um maximo? (b)Quando,apos g ' � , acorrenteatingepelaprimeiravezummaximo?(c) O circuitocontemapenasumelementoalemdogerador. Ele e um capacitor, um indutorou umresistor?Justifiquesuaresposta.(d) Qual e o valor dacapacitancia,da indutanciaou daresistencia,conformesejao caso?� (a) A fematingeo maximopara�agVh 1i- J '*1i-:0 , ouseja,para g ' )�1J � ' �8�on ) ms�(b) Analogamente,a correntemaximo ocorrequando�ag.h ):1i- J 'p1i-:0 , ouseja,

g ' 1J � ' �� 0 ms�(c) Comparandoositens(a) e (b) vemosquea correnteesta atrasadade

1i-:0radianosemrelacaoa fem,demo-

doqueo elementonocircuito ecertamenteum indutor.

(d) A amplitude , da correnteesta relacionadacom aamplitude> davoltagematravesdarelacao > � ' ,�� ,onde� � ' � � eareatanciaindutiva.Comoadiferencade fasee exatamente

1i-:0radianos,temoscertezaque

existeapenasumelementonocircuitoque,comodeter-minadoacima,e um indutor. Assimsendo,a diferencadepotencialatravesdetal elementodevecoincidir comaamplitudedogeradordefem,ouseja,>8q 'p$ . Portan-to$[' ,:� � e� ' $?%,:� ' ) �@ � 0 �S5H�F�8L I A @ ) �� A ' �8�r� ) + H �

P 36-12.�http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina3 de11


36.2.2 O circuito��

serie – (13/28)

P 36-13. (a)Calculenovamentetodasasgrandezaspe-didasno Exemplo36-3,pag.298,supondoqueo capa-citor tenhasido retiradoe todosos outrosparametrostenhamsidomantidos.(b) Desenheemescalaum dia-gramadefasoressemelhantesaoindicadonaFig. 36-6cparaestanovasituacao.� (a) Supondo� � ' � emantendoinalterados

�e � �

temoss 'ut � ��v � �� ' ` @ �F�� A ��v @ +?n?� � A � ' �F+ 0 G e, ' $ %s ' ) ��N+ 0 ' � �w�NB�+ A

� ' xzy�{ LRP}| � � hM� �� ~' xzy�{ LRP | +��8�on�hH��F�� ~ '*0 +8�! ��(b) Diagramadefasores:

P 36-14. (a)Calculenovamentetodasasgrandezaspe-didasnoExemplo36-3,pag.298,supondoqueo indutortenhasidoretiradoe todososoutrosparametrostenhamsidomantidos.(b) Desenheemescalaum diagramadefasoressemelhantesaoindicadonaFig. 36-6cparaestanovasituacao.� (a) Supondo�S� ' � emantendoinalterados

�e ��

temoss '�t � ��v � �� ' ` @ �F�� A ��v @ �#n�n A � '*0�) BdG e, ' $ %s ' ) �0�) B ' � �w�� &� A

� ' xzy:{ LRP | ��ChM�� ~

' xzy�{ LRP | �9h��n�n�F�� ~ ' h J n&� B � �(b) Diagramadefasores:

P 36-15. (a)Calculenovamentetodasasgrandezaspe-didasno Exemplo36-3,pag.298,para

� ' n:�O" F, osoutrosparametrossendomantidosinalterados.(b) De-senheemescalaumdiagramadefasoressemelhantesaoindicadonaFig. 36-6cparaestanovasituacaoecompa-reosdoisdiagramas.� (a) A reatanciacapacitiva e� � ' �� ' �0#132 �' �0#1 @ �� A @ n#�65H�F�8Lb] A' ) n?� B�G��A reatanciaindutiva continuasendo+��8�onSG , enquantoquea nova impedanciapassaasers ' ` � � v @ ��hH�� A �' ` �F�� @ ) n?� B�hH+��8�on A � ' �F�?n�G��A amplitudedecorrentee, ' $ %s ' ) ��N�En ' �8� 0 �F� A �Finalmente,o novo angulodefasee� ' xzy�{ LRP | ��ChM�� ~' xzy�{ LRP�| +��8�on�h ) n?� B�F�� ~ ' ��n��(b) As amplitudesdevoltagemsao>�� ' , � ' @ �8� 0 �N� A @ �F�� A '*) J � � V e



> � ' ,�� ' @ �8� 0 �F� A @ +��8�on A ' �F+8�on V e> � ' ,�� ' @ �8� 0 �N� A @ ) n&� B A ' +8�r�FB V �Observe que � � �� , demodoque

$&%esta a frente

de , nodiagramadefasoresmostradoaqui:

P 36-17.� Da Fig. 36-11 vemosque as componentesda im-pedanciasao

sm� ' �e

sm� ' � � hM� � . Portantos ' t s �� v s �� ' ` � � v @ ��HhM�� A �e xzy�{ � ' h s �sa� ' ��ChM�� equecoincidemcomasEqs.36-23e36-26.

P 36-18 A amplitudedavoltagematravesdeumindu-tor numcircuito

�9��podesermaior do quea ampli-

tudeda fem do gerador?Considereum circuito��

em serie com:$&%<' �F� V;

� ' �F�CG ;� ' � H e� ' �}" F. Determinea amplitudedavoltagematraves

do indutornaressonancia.� A amplitudeda voltagematraves do indutor numcircuito

�9��em serie e dadapor > � ' ,�� , com�� ' � � . Na ressonanciatemos� ' � - ^ �� e, por-

tanto,� � ' �^ �� ' �� ` @ �� A @ �� 65H�F�8Lb] A ' �F��G��Na ressonanciatemos � � ' � � que,de acordocoma Eq. 36-23, nos forneceuma impedancia

s ' �e,

consequentemente,, ' $&%s ' $&%� ' � A �Assim,temos> � ' ,�� ' @ �� A @ �N�� A ' �N�� V �

P 36-19.� A resistenciadabobinasatifazxzy�{ � ' ��hH�S�� ' � � h�� - @ � �OA� edeondesetira facilmenteque� ' �x�y:{ � | � � h �� _~' �x�y:{ n: �� 0#1 @ B ) � A @ �8� ��+�+ Ah �0#1 @ B ) � A @ �8� B J 5M�N�&Lb] A��' +�B�G��P 36-20.� (a) A voltagematraves do geradore

) � Volts, pordefinicao.(b)> � ' , � �� ' @ �8�r�FB�� A @ �F�� A �D�E 0 B8� J � '(0 n?� ) V �(c) Considereo diagramadefasoresabaixo:

destediagramavemosfacilmenteque> � ' ,�� sen �' @ �8�r�FB�� A @ ��n�n A sen0 B8� J �' ��n?� � V �

(d) Analogamente:> � ' h},�� sen �' h @ �8�r�FB�� A @ +�� !n A sen0 B � J �' h}+ � ) V �

(e)> � v > � v > � '40 n?� ) v �#n?� ��hH+ � )�'*) �8� � V � $ % edemodoquea lei dasmalhase satisfeita.



P 36-21 Num circuito�9��

como o da Fig. 36-2,� ' SG ,� '�0 �\" F,

� ' �� H e$&%�'�) � V. (a)

Paraquefrequenciaangular� c acorrenteteraseuvalormaximo,comonascurvasderessonanciadaFig. 35-6?(b) Qual e estevalor maximo? (c) Quaissao asduasfrequenciasangulares� P e � � paraasquaisaamplitudeda correntee igual a metadedessevalor maximo? (d)Qual e a meia-largurafracional [

' @ � P h�� A - � c ] dacurvaderessoancia?� (a) Paraumadadaamplitude

$8�do geradordefem,

a amplitude, dacorrentee, ' $&%t � ��v @ � � h P� � A � �Para encontraro valor maximo de , , resolveremosaequaçao ��, - �� ' � , ouseja,��,�:� ' h $&%s I��z� � � � h �� C� � � v �� C� ' � �O unicofatorquepodeanular-see � � h�� - @ � �OA o queacontecepara � ' � - ^ �� . Parao circuito dadoen-contramos � ' � c ' �^ �� '(0�0 J

rad/s�(b) Paratal valor (ressonancia!)a impedanciae

s ' �e o maximodacorrentee, ' $?%� ' ) � ' � A �(c) Queremosdeterminarosvaloresde � paraosquais, '*$&%9- @ 0 �OA , ouseja,paraosquais$ %t � ��v @ � � h P� � A � ' $ %0 � eouseja, � � v | � � h �� _~ � ' J � � �Destaequaçaoobtemos| � � h �� ~ � '4) � �que,apos extrairmosa raiz quadradae multiplicarmospor � � , fornece�� ^ ) �9� ��h�� ' � e

onde � indicaosdoispossıveissinaisdaraizquadrada.Comotemosduasequaçoesquadraticas,em princıpiotemos

Jraızes. Entretanto,somenteadmitimosraızes

positivaso quenosforneceentaoduassolucoes.A me-nor raiz e� � ' h ^ ) �9� v ^ ) � � � ��v J ��0 �� '*0 �NB rad/seenquantoquea maiorraiz e� P ' v ^ ) �9� v ^ ) � � � ��v J ��0 �� '*0�0 + rad/se(d) Comisto tudo,a meia-largurafracionalpodeagoraserfacilmentedeterminada:� P hM� �� c ' 0�0 +�h 0 �FB0�0 J ' �8� � ) B��P 36-23� (a) O angulodefasee� ' xzy�{ LRP}| > � h > �>�� ~' xzy�{ LRP}| > �Ch > � -:0> � -:0 ~' xzy�{ LRP �� ' J �

(b) Como$?% �D�� ' , � , obtemos� ' $ % �� , ' ) �M�� J �� ) ' n#�8�on�G��

P 36-26.� Comoa impedanciado voltımetroe elevada,elenaoiraafetaraimpedanciadocircuitoquandoligadoempa-raleloemcadaumdoscasos.Portanto,aleiturasera �F��Voltsemtodostrescasos.

P 36-27. Mostrequea meia-largurafracionaldeumacurvaderessonancia(vejao Problema21) e dadaapro-ximadamentepor � �� c 'u� ) �� eonde � e a frequenciaangularnaressonanciae

� � e alarguradacurvaderessonancianametadedaamplitudemaxima.Noteque

� � - � c diminui com�

, comomos-traaFig.35-6.UseestaformulaparaconferirarespostadoProblema21d.



� Usando� P e � � obtidosno Problema21,determina-mosque� �� c ' � P hM� �� c ' 0 ^ ) �9� ^ ��0 ��' � � ) ��' @ 8� � A � ) @ 0 �8� �\5H�F�8Lb] A�� ' �8� � ) +En��4�8� � J �P 36-28*. O geradordeCA naFig. 36-12fornece� 0 �

V (rms) a �� Hz. Com a chave aberta,comono dia-grama,a correnteesta avancadade

0 � � sobrea fem dogerador. Comachavenaposicao1, acorrenteesta atra-sadade �N� � , sobrea fem do gerador. Quandoa chaveesta naposicao2 a correntee de

0A (rms). Determine

osvaloresde�

,�

e�

.� Saopedidastresgrandezase saodadastressituacoesdiferentes. A tarefa, portanto, consisteem usar astresposicoesda chave paraobterum sistemacom tresequaçoese resolve-lo.Chaveaberta: Temosumcircuito“serie” contendo

�,�

e�

, parao qualsabemosquexzy�{ � '�> � h > �� ' � � h�� - @ � �OA� 'pxzy:{ @ h 0 �E� A �@ � AChavena posicao1: Nestecasocontinuamosa terumcircuitoserie,poremagoracontendoumcapacitorequi-valente

�eq

'*0 �. Portantoxzy�{ � P ' � � h�� - @ � 0 �OA� 'pxzy:{ �N�� @ 0 A

Chave na posicao 2: Nestecasoo circuito e um osci-lador

��, parao qualtemos,conformea Eq.(36-22),, ' $&%s ' � 0 �` @ � ��A ��v � - @ � �OA � '40 � @ ) A

Resolucaodastr esequacoes: Usandoasduasprimei-rasequaçoes,vemosque� x�y:{ � P h � x�y:{ � ' �0 � �� xzy�{ � P h �0 � x�y:{ � ' � �0 �Taisexpressoesnosfornecem�� ' 0 � | xzy�{ � P h x�y:{ �b~7�*� �

� � ' 0 � | x�y:{ � P h �0 xzy�{ �b~ �p¡ � eondeintroduzimosasabreviacoes� � 0Q¢�x�y:{ � P h xzy:{ �V£' 0 ¢ x�y:{ �F�E��h x�y:{ @ h 0 �� A £ ' �� +�� :B¡ � 0 ¢ x�y:{ � P h �0 xzy:{ � £' 0 ¢ x�y:{ �F� � h �0 x�y:{ @ h 0 � � A £ ' �8�on?�N�� 0

As expressoesacimanosmostramqueassimqueconhe-cermos

�, conheceremos

�e�

tambem. Da equaçao(3) obtemos $ �%, � '

s � ' � � ¢ � � v ¡ � A eexpressaodaqualtiramos

�facilmente:� ' $&%, ^ � � v ¡ � ' J �8� 0 n�G

Tendoo valor�

, dasexpressoesacimavemosque� ' �� ' �@ �� A � � '9¤�¤�¤�¤� ' ¡ �� ' ¡ �� '9¤�¤N¤�¤

Faltarevisare terminaro calculodosnumeros...:-))

36.2.3 Potenciaem circuitos de correntealternada– (29/43)

E 36-29. Qualo valormaximodeumavoltagem,numcircuito de CA, cujo valor medio quadratico e de �F��Volts?� DaEq.(36-30)vemosque> max

' ^ 0 > rms' ^ 0 �F�� ' � J � V �

E 36-30. Quecorrentecontınuaproduzira, numcertoresistor, umaquantidadedecalor igual a produzidaporumacorrentealternadacujovalormaximoe de

0 � � A.



� A potenciamediadissipadaem�

por umacorren-te alternadae dadapelaEq. 36-29: ¥ med

' ,E�rms

�. Co-

mo , med

' , - ^ 0 , onde , e a amplitudede corren-te, podemosescrever, de acordocom a Eq. 36-30,que¥ med

' ,E� � -:0 � A potenciadissipadanomesmoresistorporumacorrentecontınua l e ¥ ' l¦� � e,consequente-mente,igualando-seosdoisvaloresdapotenciae resol-vendoparal obtemosl ' ,^ 0 ' 0 � �^ 0 ' �� + J A �E 36-34.� (a) DaEq.36-23obtemoss ' ` � ��v @ � � hM� � A � ' � 0 �r��G��

(b) DasEqs.36-31e 36-32,temos:¥ med

' $ �rms

s �D�E � eque,usandorelacoesdaSecao36-5,fornece�D�E � ' � s ' � 0� 0 �r� ' � � B�B8��n&�Portanto, ¥ med

' � 0 �� 0 �r� @ �8� B�B8�#n A ' ��w�N+ kW �E 36-35.�

, rms

' $ rms

s ' $rms` � ��v � ��' J 0 �` @TJ A ��v @ )E0 A �' n?� �8� A �

P 36-36. Mostre matematicamente,em vez de grafi-camentecomo na Fig. 36-8b, que o valor medio desen� @ �agVh � A sobreumnumerointeirodeciclose iguala � -:0 .� O valormediopedidoe§ sen� � � �¨R© -�09ª�«F¬c sen� @ �ag®h¯� A ��g

' 0¨R© ªu«N¬c ��h��D�E @ 0 �ag.h 0 � A0 ��g' 0¨R© � g0 h �J � sen@ 0 �agih 0 � A � «N¬c

' �0 h sen@ ¨ � © h 0 � A v sen

@ 0 � A0 ¨ � © �Como ¨ � © ' ¨ � @ 0#1i- � A '40 ¨ 1 , e facil verque

sen@ ¨ � © h 0 � A ' sen

@ 0 ¨ 1 h 0 � A ' h sen@ 0 � A e

eque,portanto,sen@ ¨ � © h 0 � A v sen

@ 0 � A ' � , o quefornece,finalmente,§ sen� � ' �0 �P 36-39. Na Fig. 36-13mostrequea taxamediacom

que a energia e dissipadana resistencia�

e maximaquando

� '*°, onde

°ea resistenciainternadogerador

de CA. Ate o momento,tınhamosconsideradotacita-menteque

°±' � .� Como ¥ � ' l � � ' | $&%° v �_~ � � eparaminimizar ¥ � precisamosigualar �E¥ � - � � a zero,ouseja,�E¥ �� ' $ �%�² @ ° v �OA � h 0 @ ° v �OA³��´@ ° v �OA¶µ' $ �% @ ° h �OA@ ° v �OA I ' � eo quefornece

� '*°.

Nota: certifique-seque� '(°

realmentemaximiza¥ � ,verificandoque �E�F¥ � - � � � § � .P 36-40. A figura abaixomostraum geradorde

� �ligadoa uma“caixa-preta”atravesdedoisterminais.Acaixa-pretacontemumcircuito

�9��, possivelmenteate

mesmoum circuito commuitasmalhas,cujoselemen-toseligacoesnaoconhecemos.Medidasrealizadaspelaparteexternadacaixarevelamo seguinteresultado:$ @ g A ' @ n� V

Asen�agl @ g A ' @ �� 0 A

Asen

@ �ag v J 0 � A �(a)Calculeo fatordepotenciadocircuito. (b) A corren-te esta atrasadaou adiantadaemrelacaoa fem? (c) No



circuito da caixa-pretaa predominanciae indutiva oucapacitiva?(d) O circuitodacaixaestaemressonancia?(e) Devehaver um capacitornacaixa?um indutor?umresistor?(f) Qualeapotenciaqueo geradorfornecepa-raacaixa-preta?(g) Porquenaoseprecisasabero valorde � pararespondera todasestasquestoes?� (a) � ' h J 0 � , o queda �� ' � �!n J ) ;(b) Como � § � , temosque �ag®h·�M��ag e,portanto,acorrenteesta nafrentedafem;(c) tg � ' @ ��[h�� A - � '

tgJ 0 � ' h}� � J B . Por-

tanto �S�Y�k�� , sendoo circuito predominantementeCAPACITIVO.(d) Em ressonanciaterıamos � � ' � � , implicandoquetg � ' � , ou seja,que � ' � . Como �X¸' � , naoexisteressonancia;(e) Comoo valor da tangentede � e negativo e finito,temos� � ¸' � bemcomo

� ¸' � , o valor de � � naoprecisaserzero.Poremelepodeeventualmenteserzero.Seexistir � � ¸' � entaoe necessarioque � � § � � !!(f) ¥ med

' �0 $?% ,�� ' $rms, rms �D�E �' $ %^ 0 ,^ 0 �� ' �0 n� 65 @ �� 0 A 5 @ �8�on J ) A®¹ )�) � J W �

(g) E queasgrandezasdependemde � apenasatravesde � , queeDADO. Setivessemsidodadosvalorespara�

,�

,�

entaosim irıamosprecisarter � paracalcularofatordepotencia.

36.2.4 O transformador – (44/48)

E 36-44. Um geradorfornece �F�� V ao enrolamen-to primario, com �� espiras,de um transformador.Sabendo-seque o enrolamentosecundario possui :��espiras,quala voltagemnosecundario?� Use >bº�»9¼ ' >&¼:»6º paraobter>bº ' >&¼ | » º» ¼ ~ ' �F�� | :�� :� ~ ' �F�� Volts�E 36-45. Um transformadorpossui :�� espirasno

primarioe �F� espirasnosecundario. (a) Sabendo-seque>&¼ e � 0 � V (mrs),qual e o valorsde >�º , supondoo cir-cuito aberto?(b) Ligando-seo secundario a umacarga

resistivade �N �G , quaisseraoascorrentesnoprimarioenosecundario?� (a) >�º ' >?¼ | » º»9¼ ~ ' � 0 � | �F� :�� ~ '40 � J V �(b) , º ' >bº� º ' 0 � J V�N dG ' �8�r�F� A �e , ¼ ' , º | »\º»9¼ ~ ' �8�r�F� | �N� �� ~ 'p) � 0 5H�F� L I A �E 36-46. A Fig. 36-17 mostraum “autotransforma-

dor”. Ele e formadopor uma unica bobina(com umnucleode ferro). Tres “derivacoes” sao estabelecidas.Entreasderivacoes © P e © � existem

0 �� espirase en-tre as derivacoes © � e © I existem +�� espiras. Duasderivacoesquaisquerpodemser consideradasos “ter-minaisdoprimario” eduasderivacoesquaisquerpodemserconsideradasos“terminaisdo secundario”. Escrevatodasasrelacoespelasquaisa voltagemprimariapodesertransformadanumavoltagemsecundaria.� Conexoesqueaumentama voltagem:(1) Usando © P © � como primario e © P © I como se-cundario: > P I> P � ' +�� v 0 ��0 �� ' .(2) Usando © P © � como primario e © � © I como se-cundario: > �zI> P � ' +��0 �� ' J.(3) Usando © � © I como primario e © P © I como se-cundario: > P I> �zI ' +�� v 0 ��+�� ' �� 0 .Conexoesquediminuem a voltagem:Intercambiamdo-seo primario e o secundario paraca-daum doscasosacimaobtemososseguintesfatoresdetransformaçao: (1) � - ' � � 0 ; (2) � - J ' �8� 0 ; e (3)� - �� 0 ' �8� + .



P 36-47. Um geradorde CA fornece energia paraumacarga resistiva numafabricalongınquaatravesdeumalinha de transmissaocom dois cabos.Na fabrica,um transformadorquereduztensaodiminui a voltagem(rms)dalinhadetransmissaodovalor > ½ paraumvalormenor, seguroe convenienteparaserusadonafabrica.A resistenciada linha detransmissaovale � � ) ��G /caboeapotenciae

0 :� kW. Calcularaquedadevoltagemaolongodalinhadetransmissaoe a taxaemquea energiae dissipadana linha comoenergia termicaquando(a)> ½ ' +�� kV, (b) >8½ ' + kV e (c) > ½ ' �8� + kV. Comentea aceitabilidadedecadaescolha.� (a) A correntermsnocaboe, rms

' ¥> ½ ' 0 ��65M�N� L I+��S5M�N� I '*) �r� 0 A �A quedarmsdevoltageme� > ' , rms

� ' @ ) �w� 0 A @ 0 A @ �8� ) � A ' �� B V eenquantoquea taxadedissipaçaoe¥®¾ ' , �rms

� ' @ ) �w� 0 A � @ 0 A @ �8� ) � A ' &� +� W �(b) Nestecasoa correntermsnocaboe, rms

'O' 0 :�65H�F� L I+S5H�F� I '*) �� 0 A �demodoqea quedarmsdevoltageme� > ' @ ) �� 0 A @ 0 A @ � � ) � A ' �NB V ee a taxadedissipaçaoe¥ ¾ ' @ ) �� 0 A � @ 0 A @ �8� ) � A ' �8�! :+E kW �(c) Agoraa correntermsnocaboe, rms

'O' 0 :�65H�F� L I�8� +\5H�F� I '*) � 0 � A �demodoqea quedarmsdevoltageme� > ' @ ) � 0 � A @ 0 A @ �8� ) � A ' �8�r�FB kV ee a taxadedissipaçaoe¥ ¾ ' @ ) � 0 � A � @ 0 A @ �8� ) � A ' :+ � kW �Destenumerosfica claroquetantoa taxadedissipaçaodeenergiaquantoaquedadevoltagemaumentamame-dida que > ½ decresce.Portanto,paraminimizar estesefeitos,amelhorescolhadentreastresoferecidaseusar-se > ½ ' +�� kV.

P 36-48. Casamentode Impedancias.Na Fig. 36-13,suponhaquea caixaretangularda esquerdarepresentea saıda de um amplificadorde audio(alta impedancia)com

°S' �F��9G . Suponhaque� ' �N�9G representea

bobinadeumalto-falante(baixaimpedancia).Sabemosquequea transferenciamaximadeenergiaparaa carga�

ocorrequando� '*°

, masistonaoeverdadeironestecaso.Entretanto,umtransformadorpodeserusadopara“transformar”resistencias,fazendocomquesecompor-temeletricamentecomosefossemmaioresou menoresdo querealmentesao. Projeteasbobinasprimariae se-cundariadeum transformadorquedeveserintroduzidoentreo “amplificador”e o “alto-falante”,naFig. 36-13,paraquehajao “casamentodasimpedancias”.Qualde-vesera razaoentreosnumerosdeespiras?� Temosqueo amplificadore conectadono primariodo transformadorenquantoqueo resitor

�e conectado

no secundario. Sendo, º a correntermsno secundario,temosquea potenciamedia fornecidaao resistor

�e¥ med

' ,E�º � . Sabemosque , º ' @ »O¼ - »\º A , ¼ , onde»O¼ e»6º representamo numerodevoltasdoprimarioedose-cundario,respectivamente., ¼ representaacorrentermsnoprimario. Portanto¥ med

' | , ¼ » ¼»6º ~ � � �Agoradesejamosdeterminaracorrentenoprimario,queconsistedeum geradorcomduasresistenciasemserie.Uma dasresistenciase a resitencia

°do amplificador,

enquantoquea outraa resistenciaequivalente�

eq querepresentao efeito do circuito secundario no circuitoprimario. Portanto, , ¼ '¿$.- @ ° v � eq

A, onde

$e a

fem rms do amplificador. De acordocoma Eq. 36-38,�eq

' @ »O¼ - »\º A � � , demodoque, ¼ ' $° v @ »O¼ - »\º A � �e ¥ med

' $ � @ » ¼ - » º A � �² ° v @ »O¼ - »\º A � �d´ � �Desejamosencontraro valor de »O¼ - »\º para o qual¥ med sejamınimo. Introduzindouma variavel auxiliarÀ ' @ » ¼ - » º A � , temos¥ med

' $ � À �@ ° v À �OA � �demodoque ��¥ med� À ' $ � � @ ° h À �OA@ ° v À �OA I e



quee zeropara À 'Y°�- � ' �F�� - �F� ' �F�� . Obser-ve quepara À pequeno,¥ med crescelinearmentecom Àe quepara À grande¥ med decresceproporcionalmentea� - À . PortantoÀ 'f°�- � e defatoum maximo,naoummınimo.

Como À ' @ »9¼ - »\º A � , vemosquea potenciamaximaealcancadapara

@ »9¼ - »\º A � ' �F�� , ouseja,quando»9¼» º ' �N�8�


LISTA 3 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 6 deJaneirode2004, as13:27

ExercıciosResolvidosdeOptica Fısica




MateriaparaaTERCEIRAprova. NumeraçaoconformeaSEXTA edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.


Conteudo

37 Difrac ao 237.1 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 Difracaoporumafenda:posicoesdosmınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Determinaçaodaintensidadedaluz difratadaporumafenda— metodoquantitativo . . . . . . . . 337.4 Difracaoporumaaberturacircular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.5 Difracaoporduasfendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.6 Redesdedifracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.7 Redesdedifracao:dispersaoeresolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.8 Difracaoderaios-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7


(listaq3.tex)



37 Difrac ao


37.2 Difrac ao por uma fenda: posicoesdosmınimos

E 37-1 (41-3/4�

edicao)

Um feixedeluz decomprimentodeondade��

nmin-cideemumafendaestreita.O anguloentreo primeiromınimo dedifracaodeum ladodo maximocentrale oprimeiromınimo do outroladoe �� . Quale a larguradafenda?� Bastausara formula � sen �� , com �� e �� . Portanto

�� sen �

��! �"�$#&%sen �� ')( m �

E 37-4 (41-5/4�

edicao)

A distanciaentreo primeiroe o quintomınimo deumafiguradedifracaodeumafendae �� * mm, coma telaa '�� cm dedistanciadafenda,quandoe usadaumaluzcomumcomprimentodeondade

*�* � nm. (a)determinea largurada fenda. (b) Calculeo angulo do primeiromınimodedifracao.� (a) Chamandode + a posicao do primeiro mınimo( ��,-�.� ) na tela, e de +0/21�+ a posicao do quintomınimo( �435� * ), temosque

687�9 , � +:<; 687�9 3 � +�/=1�+: �quenosfornecem

6>7�9 3@? 687�9 , � 1A+: �Como +CBD1A+ , podemosaproximar

687�9 3 � +E/F1A+: G 1�+: � �� *'H�� I��KJ *� �L� #NM �Estenumeropequenonosinformaquevaleaaproxima-cao687�9 35G 3 e,como ,@O 3 , que

687�9 ,@G , .Nestasaproximaçoespodemosescrever

6>7�9 P3 ? 6>7�9 �, G P3 ? �,)��1� �� 1�+:Q�

Poroutrolado,sabemosque

� sen �,@�<��,R� e � sen P35�S�43)� ;dondetiramosfacilmente

sen 3R? sen ,@G 3@? , �T1� A� U � 3@? � ,WV �� Comparandoasduasexpressoespara 1� vemosque

1�+: � U � 3@? � ,�V �� U 1�� V �� Portanto

�!� : � U � 3)? � ,�V1�+ � U '�� V U *�* � �"�$#&X V U * ? � V�Y� �H*� �� * mm�

(b) Para �Z�2�sen A� �� U � V U *�* � �"�$#&X V�$� * �T�$�� "� #[M ;

e,portanto,o angulopedidoe

A� sen# , U �$�� L� #[M V �� "� #NM rad�P 37-6 (41-9/4

�edicao)

Ondassonorascomumafrequenciade� �� Hz e uma

velocidadede� ' � m/spassampelaaberturaretangular

deumacaixadesome seespalhampor um grandeau-ditorio. A abertura,quetemumalargurahorizontalde� � cm, esta voltadaparaumaparedequefica a �"�� mde distancia(Fig. 37.32). Em quepontodestaparedeum ouvinte estara no primeiro mınimo de difracao e,portanto,tera dificuldadeparaouvir o som?(Ignoreasreflexoes.)� Suponhaque o primeiro mınimo esteja a umadistancia + a partir do eixo central, perpendicularaoalto-falante.Nestecaso,para�Z�� temos

sen E� +\ : 3 /=+ 3 � �4�� Resolvendoestaequaçaopara+ obtemos

+�� :\ U �� V 3 ? � � :\ U �$]^�`_�a V 3 ? �� L��\ b U �� V U � �� V � � ' ��c 3 ? �� '[�� m �



37.3 Determinacao da intensidadeda luzdifratada por uma fenda — metodoquantitati vo

E 37-9 (41-13/4�

edicao)

Quandoa largurade uma fendae multiplicadapor � ,a intensidadedo maximo centralda figura de difracaoe multiplicadapor ' , emboraa energia quepassapelafendasejamultiplicadapor apenas� . Expliquequanti-tativamenteo quesepassa.�E 37-10 (41-12/4

�edicao)

Uma luz monocromaticacom um comprimentode on-dade

*�� I nmincideemumafendacomumalargurade�� * mm. A distanciaentrea fendae a tela e� � * m.

Considereum pontona tela a ��d� cm do maximo cen-tral. (a) Calculeo valor de nesteponto. (b) Calculeovalor de e . (c) Calculea razaoentrea intesidadenestepontoe a intensidadenomaximocentral.� (a)

�� sen# ,[f ��d�� *hg ��d�"I �(b) DaEq.37.6temosque

ei� f�j �� g sen � j U �Y� �H� * V*�� I sen �Y�k�LI � �� ' * I rad�

(c) DaEq.37.5tiramosquel U VlWm � f sen ee g 3 � f sen �� ' * I�Y� ' * I g 3 �S�� n � �$�

37.4 Difrac aopor uma abertura circular

E 37-15 (41-18/4�

edicao)

Osdoisfaroisdeumautomovel queseaproximadeumobservadorestaoseparadosporumadistanciade �� ' m.Quale (a) a separaçaoangularmınimae (b) a distanciamaxima paraque o olho do observadorsejacapazderesolve-los?Suponhaqueo diametrodapupilado ob-servadorseja

*mme queuseumcomprimentodeonda

deluzde*�* � nmparaaluzdosfarois.Suponhatambem

que a resolucao seja limitada apenaspelosefeitosda

difracaoe portantoqueo criterio deRayleighpossaseraplicado.� (a) Useo criteriodeRayleigh,Eq.37.14.Pararesol-verduasfontespuntiformeso maximocentraldafiguradedifracaodeumpontodevecairsobreoualemdopri-meiromınimo dafiguradedifracaodo outroponto. Is-to significaquea separaçaoangulardasfontesdeve serpelomenos Pop�q�� &�Pr , onde� e o comprimentodeondae r e o diametrodaabertura.Portanto

òs� �� U *�* � �"�$#&% V*! �L� #&t �u�� ' �L� #NM rad�(b) Sendov a distanciados farois ao olho quandoosfarois puderemserpelaprimeiravez resolvidos,e

:a

separaçaodosfarois,entao: �<v 687�9 Posw<vx Po ;onde foi feita a aproximaçao de angulos pequenos687�9 Poyw� Po , valida se Po for medidoem radianos.Portanto

v=� : o � �� '�� ' �L� #[M �u�"�Y� ' km �

E 37-19 (41-23/4�

edicao)

Estimea separaçao linear de dois objetosno planetaMartequemal podemserresolvidosemcondicoesini-ciais por um observadorna Terra. (a) a olho nu e (b)usandoo telescopiode �� polegadas(=

* �k� m) doMon-tePalomar. Useosseguintesdados:distanciaentreMar-te e Terra= I �L��z km; diametroda pupila =

*mm;

comprimentodeondadaluz =*�* � nm.� (a) Useo criterio de Rayleigh,Eq. 37.14: dois ob-

jetospodemserresolvidossesuaseparaçaoangularnaposicao do observador for maior que o �{��&�Pr ,onde� eo comprimentodeondadaluz e r eo diametrodaabertura(doolhoouespelho).Se v for adistanciadoobservadoraosobjetos,entaoa menorseparaçao + queelespodemter e aindaserresolvidose +|�Tv 6>7�9 òpwv} Po , onde Po e medidoemradianos.Portanto,

+~� �� v��r � �� U I �L� ,�� V U *�* � �"��#N% V*! �"� #Nt� ��d� �L� z m �u��d� �"� M km �Estadistanciaemaiordoqueo diametrodeMarte.Por-tanto, nao e possıvel resolver-se totalmentea olho nudoisobjetosdiametralmenteopostossobreMarte.



(b) Agora r�� * �d� m e

+�� v��r � �� U I �"� ,�� V U *�* � �"��#N% V* �d�� d� �"� M m �� km �Estae a separaçao mınimaentreobjetosparaquepos-samserperfeitamenteresolvidoscomo telescopio.

E 37-20 (41-25/4�

edicao)

O sistemade radarde um cruzadoremitemicroondascomum comprimentodeondade �� cm, usandoumaantenacircularcom �$� � m dediametro.A distanciade� �� km, qual e a menorseparaçao entreduaslanchasparaquesejamdetectadascomoobjetosdistintospeloradar?�+ min � v} o ��v f ��r g

� U � �� L� t V �� U �� ! �L�$# 3 V�� *�� m �

P 37-22 (41-29/4�

edicao)

Em junho de 1985, a luz de um laser foi emitida daEstacao OpticadaForca Aerea,em Maui, Havaı, e re-fletida pelo onibus espacialDiscovery, que estava emorbita a uma altitude de

�H* ' km. De acordocom asnotıcias,o maximocentraldo feixe luminosotinhaumdiametrode n��d� m na posicao do onibus espaciale ocomrpimentode ondada luz usadafoi

* �� nm. Qualo diametroefetivo da aberturado laserna estaçao deMaui? (Sugestao: O feixedeumlaserso seespalhaporcausadadifracao;suponhaqueasaıdadolasertemumaaberturacircular.)� A equaçao queo primeiro mınimo de difracao paraaberturascircularese

sen A�u�� ronde� eo comprimentodeondadaluz e r eo diametrodaabertura.A largura + do maximo central e definida como adistanciaentreosdoisprimeirosmınimos.Portanto,te-mos

687�9 A� +Y��: ;

onde:

e a distanciaentreo lasere o onibusespacial.Como ~B�B�� , podemosaproximar

687�9 !w sen �w� o quenosfornece

+Y��: �2�� r ;dondetiramos

r � �� :+Y�� U * �� "�$#&% V U ��* ' �L��t VnY�k�P�� S'Y�KJ cm�

37.5 Difrac aopor duasfendas

E 37-27 (41-35/4�

edicao)

A envoltoria central de difracao de uma figura dedifracao por duas fendascontem �� franjas claraseosprimeirosmınimosdedifracaoeliminam(coincidemcom) franjasclaras. Quantasfranjasde interferenciaexistementreo primeiro e o segundomınimosda en-voltoria?� Franjasclarasde interferenciaocorremparaangulos dadospor � sen -��4� , onde r e a separaçao dasfendas,� e o comprimentodeonda,e � e um inteiro.Paraasfendasdesteproblemar��2��"�� , demodoque� sen E�T�P��&�� .O primeiro mınimo do padrao de difracao ocorrenumangulo , dadopor � sen , �� e o segundoocorreparaum angulo 3 dadopor � sen 3 �� , onde � e alarguradafenda.Desejamoscontaros valoresde � paraos quais , B �B� 3 ou,o quee amesmacoisa,osvaloresde � paraosquaissen , B sen �B sen 3 . Isto implica termos

��B �� BD� ;quee satisfeitapara

�Z� � ; J ; I ; n ; �"� ;fornecendo-nosumtotaldecinco franjasclaras.

P 37-31 (41-40/4�

edicao)

(a) Quantasfranjasclarasaparecementreos primeirosmınimosdaenvoltoriadedifracaoadireitae aesquerdado maximo centralem umafigura de difracao de duasfendasse �� *�* � nm, r!��d� * mme �~� � �)( m? (b)



Qual e a razao entreas intensidadesda terceirafranjaclarae dafranjacentral?� (a) A posicao angular dasfranjasclarasde inter-ferenciaedadapor r sen ��D�� , onder e aseparaçaodasfendas,� e o comprimentodeonda,e � e umintei-ro.O primeiromınimo dedifracaoocorreparaum angulo �, dadopor � sen �,0�� , onde � e a largurada fen-da. O pico de difracao extende-sede ? �, ate /� �, , demodoqueprecisamosdeterminaro numerode valoresde � paraos quais ? �,SB� qB�/� �, ou, o que e amesmacoisa,o numerode valoresde � paraos quais? sen , B sen ~BD/ sen , .Estaultima relacao significa termos ? �P�P�<B��Pr�B�`�� , ouseja,

? r� B��B r� ;onde

r� � ��d�*! �"�$#&t� � �"� #NX � * �

Portanto,osvalorespossıveisde � sao

�Z� ? ' ;�? � ;�? � ;"? � ; � ; /�� ; /�� ; / � ; /�' ;perfazendoumtotaldenove franjas.

(b) A intensidadenatelae dadapor

l � l m��W�� 3h��0f sen ee g 3 ;onde

e�� j �� sen ; � � j r� sen ;el m

e a intensidadenocentrodopadrao.Para a terceira franja clara de interferencia temosr sen 0� � � , demodoque

� � � j rade�W�H� 3 � �� .

Analogamente,e�� j ��PrS� � j � * �� j rad, demodoquellWm � f sen ee g 3 � f sen �� j�� j g 3 �<�� *�* �

P 37-32 (41-41/4�

edicao)

Umaluz decomprimentodeondade '�'H� nm passaporduasfendas,produzindouma figura de difracao cujograficodeintensidade

lemfuncaodaposicaoangular

aparecenaFig. 37.36.Calcule(a)a larguradasfendase

(b) a distanciaentreasfendas.(c) Calculeasintensida-desdasfranjasdeinterferenciacom �� e �� ecompareosresultadoscomosqueaparecemnafigura.

� (a) Da figura vemosqueo primeiro mınimo do pa-draaodedifracaoocorrepara

* , demodoque

�!� �sen � �Y� '�'��@( m

sen* � * � � * ( m �

(b) Da figura vemostambem quea quartafranja claraestaausentee,portanto,

r��S'H��<' U * � � * ( mV �T��R( m �(c) Paraa franja claracom �� temos D�� * (vejaa figura),ea Eq.37.18nosdiz que

e � j �� sen A� j U * � � * V�� '�' sen�� * ��KJPIHJ rad;� � j r� sen �� j U �� V�� '�' sen�� * � � �k�"' �� rad�

NOTE:paramaximossempreteremosU �� V 3 �u� pois

entao r sen T�Q�� , de modo que� �� j , isto e,�� U ? � V m e,portanto,

U �� V 3 �� qualquerquesejao valor de � . Na verdade,poderıamosusaro fa-to que

U �W�H� � V 3 �� paradeterminarcom precisao nograficoo valorde ondeocorremosmaximosdeinten-sidade.Percebaqueacimaobtivemos

� � � �k�"' �� emvezde

� � j � � �d��'Y� * por havermosusado !�q�� * emvezdovalorexatodaposicaodomaximonografico.

Da figuravemosquea intensidadel m

do maximocen-tral vale

l m �TJ mW/cm3 , demodoquea intensidadel

dafranjacom �Z�� e dadapor

l � l m U �� 3h� V f senee g 3 � U J V U � V f sen��KJPI�J�Y�J�IHJ g 3� * �KJ mW/cm3 ;

queconcordacomo quea Fig. 37.36mostra.

Analogamente,para � � � a figura nos diz que q��$� * , de modo que e�� * J � , [� � � ��nY�� ,�� ] e

l �� I � mW/cm3 , tambem de acordocoma Fig. 37.36.



37.6 Redesdedifrac ao

E 37-33 (41-43/4�

edicao)

Uma redede difracao com �� mm de largura possui� �� ranhuras. (a) Calculea distancia r entreranhu-rasvizinhas.(b) Paraqueangulos ocorreraomaximosdeintensidadeemumateladeobservacaosea radiacaoincidentenaredededifracao tiver um comprimentodeondade

* I�n nm?� (a)

r�� S�� mm � � � �� ( m �(b) Para determinaras posicoes dos maximos de in-tensidadeusamosa formula r sen F��4� , determi-nandotodosos valoresde � queproduzemvaloresde� � � �N��r|BT� . Explicitamente,encontramos

para�Z��!� ��<� para�Z�u�� sen# ,~� �r� sen# ,~� �� * I�n� � � � � �L�� para�Z�T�� sen# , � � U �Y� * I�n V� � � � � ��KJ para�Z� � � �� sen# ,~� � U �Y� * I�n V� � � � � � �$�� para�Z�<'�� sen# ,~� ' U �Y� * I�n V� � � � � ' * para�Z� * � �� sen# , � * U �Y� * I�n V� � � � � � �$��

Para �� obtemos� � � �&�PrT �� , indicandoqueos

maximosacimasaotodosospossıveis.

E 37-37 (41-49/4�

edicao)

Uma luz de comprimentode ondade� �� nm incide

normalmente(perpendicularmente!!)em umaredededifracao. Dois maximosdedifracaosaoobservadosemangulosdadospor sen S�� e sen D�� . Osmaximosde quartaordemestao ausentes.(a) Qual e adistanciaentreranhurasvizinhas? (b) Qual e a menorlargurapossıvel destaredededifracao?(c) Queordensde maximosde intensidadesao produzidaspela rede,supondoqueosparametrosdaredesejamoscalculadosnositens(a)e (b)?� (a) Os maximosde um padrao de interferenciadeduasfendasocorremparaangulos dadospor r sen A�� , onde r e a separaçaodasfendas,� o comprimento

de onda,e � em inteiro. As duaslinhassao adjacen-tes,demodoquesuasordensdiferemdeumaunidade.Seja � a ordemda linha com sen ��Z�� e �Z/2� aordemda linha comsen 4�� . Entao �Y� ��r4�� e�Y� � r0� U �¡/�� V � . Subtraindoambasequaçoesencon-tramos��d�"r�� , ou

r�� d� �� "� #&%��d� � � ( m �

(b) Mınimosdeum padraodedifracaopor fendaunicaocorremparaangulosdadospor � sen ~�T�4� , onde �e a largurada fenda. Comoo maximode interferenciadequartaordemencontra-seausente,eledevecair numdestesangulos.Se� e a menorlargurada fendaparaaqual estaordemestaausente,o angulodeve ser dadopor � sen A�� , sendotambemdadapor r sen ��S'H� ,demodoque

�� r' �� "�$#&X' �2�� * ( m �

(c) Primeiro,coloque p�Zn��H paraencontraro maiorvalorde � parao qual ��4B�r sen . Estaeamaioror-demdifratadanatela. A condicaoequivalea ��BTr$��e como r��-� U �0 �"�$#&X V � U � �� "��#N% V �¢�L� , a or-demmaisalta quesepodever e ��yn . A quartaea oitava ordemestao ausentes,de modoqueasordensobservaveissaoosordens

�¢�<� ; � ; � ; � ; * ; � ; J ; n��37.7 Redesde difrac ao: dispersao e reso-

lucao

E 37-47 (41-62/4�

edicao)

Uma fonte contendouma mistura de atomosde hi-drogenioe deuterio emiteluz vermelhacomdoiscom-primentos de onda cuja media e

�H*�� nm e cujaseparaçao e ��d�"I nm. Determineo numeromınimo deranhurasnecessariasparaqueumaredededifracaopos-saresolverestaslinhasemprimeiraordem.� Seagradeapenasconsegueresolverdoiscomprimen-tosdeondacujamediae � ecujaseparaçaoe 1�� , entaoseupoderderesolucaoedefinido(vejaEq.37.28)comosendo£2��&��1�� . Sabemos(Eq.37.29)que £��¤�� ,onde ¤ e a quantidadederanhurase � e a ordemdaslinhas.Portanto�N��1��C�<¤�� , dondetiramos

¤�� 1�� H*�� U � V U ��d�"I V � ��* � ranhuras�



E 37-48 (41-61/4�

edicao)

Umaredededifracaotem� �� ranhuras/mme

*mm de

largura. (a) Qual e o menorintervalo decomprimentosde ondaquea redee capazde resolver em terceiraor-dempara �<� * �� nm? (b) Quantasordensacimadaterceirapodemserobservadas?� (a) Usandoo fatoque �&��1��C��¤�� , obtemos

1!�0� �¤�� * �� "�$#&%U � V U � �� V U * V � *�* � *� �L� # ,�3 m �(b) A posicaodosmaximosnumaredededifracaoede-finidapelaformula

r sen ��S�4� ;deondeobtemosque

sen �� r �Naoobservarmosdifracaodeordem� equivalea dizerqueparatal � obtemos ��Sn�� , ouseja,quetemos

sen n�� w � max�r �Isolando-se� max, esubstituindoosdadosdoproblemaemquestaoencontramosque

� max � r� � �"�$#&t"� � ��* �� "� #N% � � � � �Tal resultadonosdiz queamaiorordemobservavelcomtal gradeeaterceira,poisestaeaultimaordemquepro-duzumvalorfisicamentesignificativo de .Portanto,naosepodeobservar nenhumaordemsupe-rior a terceiracomtal grade.

37.8 Difrac aoderaios-X

E 37-53 (41-70/4�

edicao)

RaiosX de comprimentode ondade ��d�L� nm sofremreflexaodesegundaordememum cristaldefluoretodelıtio paraumangulodeBraggde ��I� . Qualeadistanciainterplanardosplanoscristalinosresponsaveispelare-flexao?

� A lei de Bragg fornece a condicao de maximo,Eq.37.31,comosendo

��r sen ��D�� ;onde r e o espaçamentodosplanosdo cristal e � e ocomprimentode onda. O anguloe medidoa partir danormalaosplanos.Parareflexaodesegundaordemusa-mos �Z�� , encontrando

r�� sen �U � V U �Y�k�`� �"��#N% V� sen ��I �S�� nm�

P 37-60 (41-80/4�

edicao)

Na Fig. 37.40,um feixe deraiosX decomprimentodeonda��d�L� * nmincideemumcristaldeNaCla ' * coma facesuperiordo cristal e comumafamılia de planosrefletores.O espaçamentoentreosplanosrefletoreseder0�2�� * � nm. De queanguloo cristaldeve sergiradoemtornodeumeixoperpendicularmenteaoeixodopa-pel paraqueestesplanosrefletoresproduzammaximosdeintensidadeemsuasreflexoes?� Os angulosde incidencia que correspondema in-tesidademaxima do feixe de luz refletida satisfazem��r sen E�<�� , ou

sen �� r � �U ��d�L� * V� U �� * � V � �'[� � � � �

Comoe precisoter�sen � Bu� , vemosqueosvalores

permitidosde � sao

�Z�u� ; � ; � ; ' ;aosquaiscorrespondemosangulos

A�2�"'Y� ' ; ��n��KJ ; '�IY�k� ; I�� I �Portantoo cristaldevesergiradono

sentidoanti-horariode � '�IY�k� ? ' * � � �d� ;I�� I ? ' * � � J$� I ;sentidohorariode � ' * ? ��'[� ' � � �Y� � ;' * ? ��nY�J �� * � � �









Conteudo

1 As Equacoes de Maxwell – [Capıtulo 37,pagina316] 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

1.2.1 As EquacoesdeMaxwell: UmaListaProvisoria– (1/2) . . . . . 2

1.2.2 CamposMagneticosInduzidos– (3/5) . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3 Corrente de Deslocamento–(6/15) . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.4 Equacoesde Maxwell: a ListaCompleta– (16/20) . . . . . . . 4


(lista3.tex)



1 As EquacoesdeMaxwell – [Capıtulo 37,pagina316]

1.1 Questoes

Q 37-3.

Por quee tao facil mostrarque“um campomagneticovariavel produzum campoeletrico”, mase tao difıcilmostrarde um modosimplesque“um campoeletricovariavel produzumcampomagnetico”?� Porqueos camposmagneticos devidos a camposeletricosvariaveissaoextremamentefracos. Isto deve-se ao coeficiente�� do termo �� na leide Ampere-Maxwellsermuito pequenoem relacao aooutrotermodaequaçao. A constante� representaa ve-locidadedaluz.


1.2.1 As Equacoes de Maxwell: Uma Lista Pro-visoria – (1/2)

E 37-1.

Verifiqueo valornumericodavelocidadeescalardaluzusandoa Eq. 37-1e mostrequea equaçaoesta dimen-sionalmentecorreta.(Vejao ApendiceB.)� No ApendiceB, pag.321,encontramosque

�� ! �"$#&%� '�)(*",+-��%/.10 H/m 23 � � 4'� 4*�5(6��4$#&4'�7#& *�8+-��%/. :9 F/m�Portanto,

�;� < �� =�/� >�>�#?>�"$�6+-��%*@ m/s�O ApendiceB informaqueo valorexperimentalde � e

�;�A�'� >*>$#?>$�5(B��4,+C�D%�@ m/s�Naodeixedefazeraanalisedimensionalpedida!

E 37-2.

(a) Mostre que E � � �5� � �F"$#�#HG . (Estagrandezaechamadade“impedanciado vacuo”.) (b) Mostrequeafrequenciaangularcorrespondentea *% Hz e iguala "$#*#rad/s.(c) Compareositens(a)e (b). Voceachaqueestacoincidenciatenhainfluido maescolhade �% Hz paraosgeradoresde correntealternada?Lembre-sede quenaEuropausam��% Hz.� (a)< � �� < �� ! �"$#;%� I�J(*"8+-��% .10 H/m4'� 4*��(K��4�#?4'�5#? *�8+-��% . L9 F/m

� "�#5 '�M#5"*%;GN�(b) O 0 �N�A��PNQ�=�5PR �%K�="$#� '� >�>I� Hz � Poroutrolado,O�SL�B�T"'�U(V�W�7��> Hz �(c) Espaço reservadoparasuaresposta:

1.2.2 CamposMagneticosInduzidos – (3/5)

E 37-3.

Para a situacao do Exemplo 37-1, quais as possıveisdistanciasondeo campomagnetico induzidosereduzametadedoseuvalormaximo?� Seja X o raio daplacado capacitore Y a distanciaapartir do eixo do capacitor. Parapontostaisque Y[ZAXamagnitudedocampomagneticoe dadapor

\H] Y�^�� D��_Y� �$`��enquantoqueparaY8abX elae dadapor

\[] Y5^�� X 9�5Y �$`�� O campomagneticomaximoocorrenospontosemqueYR�TX sendoentaoseuvalordadoporqualquerumadasformulasacima: \

max � ��X� �$`�� http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina2


Existem dois valores de Y para os quais\H] Y�^c�\

max�� : um menordo que X e um maior. O valormenordo que X podeserencontradoresolvendo-seemtermosde Y aequaçao\H] Y�^)� � � � � Y� �$`�*� � � � � � X( �*`�*�ed �

\max� f �

O resultadoe Y-�gXK��h�i�*�*��h�i�*#/� � mm� O valorquee maior do que X e obtido resolvendo-separa Y aequaçao

\H] Y�^)� ��X 9�5Y �*`�*� � ��X( �$`�� O resultadoe YR�A��X=�=�8+j��R�k�*��% mm�1.2.3 Corr entedeDeslocamento– (6/15)

E 37-6.

Provequeacorrentededeslocamentonumcapacitordeplacasparalelaspodeserescritacomol:m �An ��o�� A correntededeslocamentoedadaporlpm �T��q �*`�*� 2onde q e a areade uma dasplacase ` e a magnitu-dedo campoeletricoentreasplacas.O campoentreasplacase uniforme,demodoque `r�so��5� , onde o e adiferenca depotencialentreasplacase � e a separaçaodasplacas.Portantol m � ��Dq� ��o�� Tn ��o�*� 2umavezque ��DqN�5� e a capacitancia n deumcapacitordeplacasparalelas“cheiodevacuo”.

E 37-7.

Dispoe-sedeumcacitordeplacasparalelasde �t� F. Co-mo seriapossıvel obterumacorrentede deslocamento(instantanea)de � A noespaço entreasplacas?� Paratantobastavariar o potencialentreasplacasaumataxade��o��

l:mn � � A��% .u0 F

�v��% 0 V/s �

E 37-8.

ParaasituacaodoExemplo37-1,mostrequeadensida-de de corrente de deslocamento w m para Y[ZxX , e dadapor w m �T�� *`�*� �� Considereumaarea q , normala um campoeletricoy

. A densidadedecorrentededeslocamentoeuniformee normala area.Suamagnitudee dadapor w m � l m �zq .Nestasituacaotemos

l:m �T��Dq �$`�� 2demodoque

w m � �q ��q �*`�� A�� $`�� P 37-14.

Em1929,M.R. VanCauwenbergheconseguiumedirdi-retamente,pelaprimeiravez,acorrentededeslocamen-tol:m

entreasplacasdeumcapacitordeplacasparalelas,submetidoaumadiferencadepotencialalternada,comoesta sugeridona Fig. 37-1. Ele usouplacascircularescujo raio efetivo erade (*% cm e cuja capacitanciaerade �D%�% pF. A diferenca de potencialaplicadatinha umvalor maximo oI{ de �5#7( kV na frequenciade ��% Hz.(a) Qualfoi a correntededeslocamentomaximaobtidaentreasplacas?(b) Porquefoi escolhidaumadiferencadepotencialtaoelevada?(A delicadezadestasmedidase tal queelasso foram realizadasdiretamentemaisde60 anosdepoisde Maxwell ter enunciandoo conceitodecorrentededeslocamento!)� (a) Useos resultadosdo Exercıcio 37-6, com oc�o { sin

] �5P|Ou�L^ . A derivada em relacao ao tempo e��o��c� ��P|O�o {C}_~$� ] ��P|Ou�L^ , de modo quel:m ��P|O�nRo {C}_~$� ] ��P|Ou�L^ , sendoa correntede deslocamen-

to maximadadaporl mmax � �5P|O�nRoV{� �5P ] ��%*^ ] �D%�%�+C�D%/. L9 ^ ] �7#5(�+C�D%��U^� �/� (�#6+-��% .1� A �

(b) A correntededeslocamentomaximae diretamenteproporcionala maximadiferenca depotencialaplicada.Umvalorgrandede o { produzumvalorde

l:mmaxmais

facilmentemensuravel doquecom oV{ menor.

P 37-15.



O capacitornaFig. 37-8consistindoemduasplacascir-cularesde raio Xi��D4 cm esta ligadoa umafonte defem ��F�/{ senQJ� , onde ��{��% V e Q��e��"*%rad/s. O valor maximo da correntede deslocamentoel:m ��#�� A. Desprezea distorcao do campoeletriconasbordasdasplacas. (a) Qual e o valor maximo dacorrente

l? (b) Qualeo valormaximode ��?�5�*� , onde�� eo fluxo eletriconaregiaoentreasplacas?(c) Qual

e a separaçao � entreasplacas?(d) Determineo valormaximodomodulode � entreasplacasaumadistanciaYK�k�*� cmdocentro.� (a) Paraqualquerinstante� , a correntede desloca-mento

l:mexistenteno espaço entre as placase igual

a correnteconducaol

nos fios. Portanto � max �l mmax �=#/� �� A.

(b) Comol:m �T�� ] �/��L^_2

d �/� �� f max� l m max� � � #�� ,+C�D% .u0 A4'� 4*��+-��% . :9 F/m� 4'��>8+-��% S V �m/s�

(c) Deacordocomo Exercıcio 37-6

l:m � ��q� �$o�*� �Nasituacaoemquestao,adiferencadepotencialatravesdo capacitorcoincide em magnitudecom a fem dogerador, de modo que o �� { senQJ� e ��o��5�*��QJ�/{ }U~*� QJ� . Portanto

l:m � � � q&QJ�/{�� z� ��[��max

}U~*� QJ�z�dondesetira facilmenteque

� � � � q&QJ�/{l mmax� ] 4'� 4*�8+-��% . L9 ^�P ] %'��4$^ 9 ] ��"*%*^ ] ��%*^#/� 8+-��% .u0� "I� "*>8+C�D% .u� m 2

ondeusamoso fatoque q=��P�X 9 .(d) Usea lei deAmpere-Maxwellnaforma �8�s�D�$�K�� m , ondeo caminhode integracao e um cırculo deraio Y entreas placas,paraleloa elas. � m e a corren-te de deslocamentoatraves da arealimitada pelo ca-minho de integracao. Como a densidadeda corren-te de deslocamentoe uniformeentreas placas,temos

� m � ] Y 9 ��X 9 ^ l m , ondel m

e a correntede deslocamen-to total entreas placase X e o raio da placa. As li-nhasdecamposaocırculosnoeixodasplacas,demodoqueB e paraleloao vetor �*� . A magnitudedo campoe constanteaolongodatrajetoriacircular, demodoque�8�k�D�*�N�T�5P�Y \ . Logo,

��P�Y \ �� d Y9X 9 f l:m

dando \ � � � l m Y��P�X 9 �O campomagneticomaximoe dadopor\

max � � � l m max Y��P�X 9� ] (�P-+-��% .1� ^ ] #�� ,+-��% .10 ^ ] %'��7^�5P ] %'��4$^ 9� �/�� 8+C�D% . :9 T �

1.2.4 Equacoes de Maxwell: a Lista Completa –(16/20)

P 37-20.

Uma longabarracilındricacondutora,de raio X , estacentradaaolongodo eixo � comomostraa Fig. 37-11.A barrapossuiumcortemuitofino em ��T . Umacor-rentedeconducao

l, aumentandono tempoe dadaporl �k¡¢� , percorrea barradaesquerdaparaa direita; ¡ e

umaconstantedeproporcionalidade(positiva). No ins-tante�J�A% naoexistecargasnasfacesdocorteproximoa �h�x . (a) Determineo modulodacarganessasfacesem funcao do tempo. (b) Usea Eq. I da Tabela37-2paradeterminar no intervaloentreasfacesemfuncaodo tempo.(c) Esboceaslinhasde � para YH£=X , ondeY eadistanciaaoeixo � . (d) UseaEq.IV daTabela37-2 paradeterminar

\[] Y�^ no intervalo entreasfacesparaYCZsX . (e) Comparea respostado item (d) com\[] Y�^

nabarra paraY�Z¤X .� (a) No instante� a carganafacedireitaedadapor

¥ �A¦§� l �*�)�A¦§� ¡¢�¨�*�J� �� ¡¢� 9 �Parao mesmoinstante,o valordacarganafaceesquerdae ©;¡|� 9 �� .(b) Useumasuperfıcie Gaussianacom a forma de umcilindro, concentricacom a barracondutora,com umextremodentrodointervaloondeexisteo corteeo outro



dentrodabarraa esquerdado corte,(conformeilustra-donafiguraa direita).O campoeletricoesta nadirecaopositivadoeixo � demodoqueprecisamosapenascon-sideraras facesdo cilindro. A magnitudedo campoeletriconafaceesquerdae dadopor ªIw , onde ª e a re-sistividadedabarrae w e adensidadedecorrente.

Denotemospor ` amagnitudedocamponafacedireita.Al emdisto,suponhamosquea densidadedecorrenteeuniformenafaceesquerdaequeo campoeletricoeuni-formenafacedireita.Nestecaso,« y �D�*¬r�v©&ªIw�q®®`KqK2onde q e a areadeumadasfaces.Nossupomosaindaquea resistividadee taopequenaquenospermitades-prezaro termoacimanoqualelaaparece.A lei deGaussfica `Kqx�A¯��5�� , onde e a carganabarrae dentrodasuperfıcie Gaussiana.A areada facedo cilindro Gaus-sianoe q°�sP�Y 9 , onde Y e o raio, e a cargaenglobadapelaGaussianae ¯�� ] Y 9 �5X 9 ^ ¥ , onde ¥ e a carganafacedabarra.Portanto

`v� ¥P�� X 9 � ¡¢� 9�5P��±X 9 2ondeo resultadoobtidono item(a), ¥ �A¡|� 9 �� , foi usa-do.

(c) As linhasdecampomagneticoformamcırculosquesaoconcentricoscomo eixo dabarra(eixo � ), estandoemplanosparalelosasfacesdabarra.

(d) Usea lei deAmpere-Maxwell:« �v�U�$�B�T�� l ²��D�³� �� *� �

Como caminhode integracao escolhaum cırculo quecoincidacomumalinhadecampomagnetico.Suponhaqueo raiodocaminhodeintegracaosejaY (com Y�£�X )eque

\sejaamagnitudedocampoparapontossobreo

caminho.Entao ��x��*�B� \ ��P�Y . Na regiaodocorteacorrenteezeroeapenasacorrentededeslocamentocon-tribui no lado direito da equaçao de Ampere-Maxwell.Comotemos

�/��*� �Tq �*`�*� ��P�Y 9 ¡¢�P�� X 9 � ¡¢�pY 9� � X 9 2aequaçaodeAmpere-Maxwellnosfornece

\ ��P�Y´�T�� ¡|�pY 9� � X 9 �Portanto \ � ��¡¢�pY��P�X 9 �O campomagneticodentrodabarra,a umadistancia Ydo seueixo, e dadoexatamentepelamesmaexpressao.Nestecaso,somentea correntede conducao contribuino ladodireito dalei deAmpere-Maxwell.Tomeo ca-minho de integracao comosendoum cırculo centradono eixo e paraleloasfacesdabarra.A correnteatravesdo cırculo e

] Y 9 �5X 9 ^ l e a equaçaodeAmpere-Maxwellfornece \ ��P�Y´�T� � Y 9X 9 l 2demodoque

\ � � � l Y��P�X 9 � � � ¡¢�pY�5P�X 9 2ondesubstituimos

lpor ¡¢� .









Conteudo

1 A Lei da Inducao,deFaraday – [Capıtulo 32,pagina220] 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

1.2.1 Lei daInducaodeFaraday– 1/21 21.2.2 Inducao: Um EstudoQuantita-

tivo – 22/39 . . . . . . . . . . . 51.2.3 CampoEletricoInduzido– 40/47 81.2.4 O Betatron– 45/46 . . . . . . . 81.2.5 ProblemasAdicionais– 48/51 . 8


(lista3.tex)



1 A Lei da Inducao,deFaraday – [Capıtulo 32,pagina220]

1.1 Questoes

Q 32-14.

Um solenoidepercorridopor umacorrenteconstanteeaproximadodeumaespiracondutora,comoe mostradonafiguraaolado.Quale o sentidodacorrenteinduzidanaespiravisto peloobservadorqueaparecenafigura?� Sentidohorario. Masvocedeve sabercomodeduziristo...

Q 32-17.�1.2 Problemase Exercıcios

1.2.1 Lei da InducaodeFaraday – 1/21

E 32-2

Umacorrente�� sen�� percorreumsolenoideex-tensoquepossui� espiraspor unidadedecomprimen-to. Uma espiracircular de area � esta no interior dosolenoidee seueixo coincidecomo eixo do solenoide.Achea fem induzidanaespira.� Bastaaplicaradefinicaode � :

�� ! � ��#"� �� !�%$ sen�� &�%$')(+*-,�� .� � (/*0,��'1onde� ��2 � � �&�3$4 .

P 32-4.

Um campomagneticouniforme, 5 , e perpendicularaoplanode umaespiracircular de raio 6 . O modulo docampovaria com o tempo de acordocom a relacao�7�8� �:9<;>=!?4@ , onde � � e A saoconstantes.Encontreafeminduzidanaespiraemfuncaodo tempo.� Chamandode �B�DC&6FE a areadaespira,temos�G�� H� �� .C&6 E �� I � �J9 ;>=!?4@LK

� C&6FEM� �N9<;>=!?4@A OP 32-5.

Na figura ao lado, o fluxo magnetico que atravessaaespiraindicadacrescecom o tempode acordocom aexpressao �� P�BQL� EPRTS �'1onde

��e dadoem miliweberse � em segundos. (a)

Calculeo modulo da fem induzidana espiraquando��DU s; (b) Acheo sentidodacorrenteatravesde V .� (a) W �P�� W � �� XJUL� RTS�P��P�YU< Z� XJU�[JU RTS �D\]X VoltsO(b) O sentidodacorrenteinduzidanaespirae o sentidohorario,comacorrentepassandoem V dadireitaparaaesquerda.

P 32-8.

Um campomagneticouniformeeortogonalaoplanodeumaespiracirculardediametroigual a XM^ cm, feita defio de cobre(diametro �_U O ` mm). (a) Calculea re-sistenciado fio (Vejaa Tabela1 do Cap.28). (b) A quetaxadeve o campomagneticovariarcomo tempoparaqueumacorrenteinduzidade XM^ A sejaestabelecidanaespira?



� (a) V � a Cu b�� X O Q<ced�XJ^ ;gf &��ULC# &�!^ O ^ ` C��!^ O ^-^hXNU ` E� X O X mi O(b) Para XM^ A temos �8�jVk�l�m�3X O X)dnXJ^ ;go /��XM^- e�X<X mV O Poroutrolado,sabemosqueW � W � �� !�G�e P�� donde tiramos que

� � � W � W � �qp'� . Portanto,integrando-se,obtemos� 2 �r�� P�Ys � �t�

W � W� s � �u�W � W� �� U<UFvwXx� O

P 32-10.

Na figura ao lado umabobinade XNUL^ espiras,de raioX O y cm e resistencia `hO \)i e colocadana parteexternadeumsolenoidesemelhanteaoindicadonoExemplo1.Seacorrentenosolenoidevariacomo tempodomesmomodoindicadonoExemplo1: (a) quale a correntequesurge na bobinaenquantoa correntedo solenoide estavariando?(b) Comooseletronsdeconducaodabobina“recebemamensagem”dosolenoidedequeelesdevemsemover paracriar a corrente?Afinal decontas,o flu-xo magneticoesta inteiramenteconfinadono interiordosolenoide.� (a) A magnitudedo campomagneticodentrodo so-lenoide e �Z� �J�&�3z , onde � e o numerode voltaspor unidadede comprimentoe �%z e a correnteno so-lenoide. O campoe paraleloao eixo do solenoide, demodo que o fluxo atraves da secao transversaldo so-lenoidee

�� z �{� � C&6 Ez �&� z , onde � z �|��C&6 Ez ea areadasecaotransversaldo solenoide. Comoo cam-pomagneticoe zeroforadosolenoide,estetambeme ovalor do fluxo atravesdabobina.A fem nabobinatema magnitude �G�B} �H�� C&6 Ez }~� � �3z� �e a correntenabobinae�3�P� �V � � C&6FEz }G�V � � z� � 1onde } e o numerode voltas na bobinae V e a re-sistenciadabobina.

De acordocom o Exemplo1, a correntevaria linear-mente de \ A em ` ^ ms, de modo que

� � z p � �7��\ A 4pH� ` ^�dYXJ^ ;go s ��Q<^ A/s. Portanto,com ��U-ULêd�XM^<E espiras/m(vejaExemplo1),� � � �v-C�d�XM^ ;>� HC��!^ O ^hX y �EF�3XJU<^- +��U<U<êd�XJ^<E+ `hO \�i Q-^� \<^ O U�d�XM^ ; E A OP 32-11.

Um solenoidelongocomraio de U ` mm possui XJ^<^ es-piras/cm.Umaespiracircularde ` cmderaioecolocadaemtornodo solenoidede modoqueo seueixo coinci-da com o eixo do solenoide. A correnteno solenoidereduz-sede X A para ^ O ` A a umataxauniformenumintervalodetempode XM^ ms. Quale a fem queaparecenaespira?� Chamandode �j�{C&6FE a areade cadaumadases-piras,relembrandoque,conformeaEq.31-21,o campodentrodeumsolenoidee �� , equenosolenoideo fluxo magneticoatravesdecadaespirae

� � �� ,temos

�k�� &� " �� &C&6 E � �� OPortanto,com

� ��X O U<Q�d�XM^ ;>� T [A/m, obtemos� � � � I XM^-^XJ^ ; E K �!C# /�|U ` d�XM^ ;>o E ��^ O�` �nX O ^0 XJêd�XJ^ ;>o� X O UL\ S d�XM^ ;>o V ��X O U mV OP 32-12.

Deduzauma expressao para o fluxo atraves de umtoroide com } espirastransportandouma corrente � .Suponhaque o enrolamentotenhauma secao reta re-tangularderaio interno � , raioexterno � , altura � .� Sabemosqueo campodo toroidee� = � �N}~��UFC&6mOPortanto,observandoque

�-�e paraleloaocampo5 e

queemmodulo,� �B�B� � 6 , temos� � � s 5�[ �0�� }~� � �UFC s �� 66� �N}~��M�UFC ln

��Ohttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina3


P 32-13.

Um toroidetemumasecaoretaquadradade lado iguala ` cm, raio internode X ` cm, ` ^-^ espirase transportaumacorrenteigual a ^ O y A. Calculeo fluxo magneticoatravesdasecaoreta.� Do problemaanteriorsabemosque�� N}~��M�UFC ln

�� OTemosaquique �� ` cm, �)��X ` cm, �.�D� R ��BU<^cm, � � �m^ O y A e }�� ` ^<^ espiras. Portanto,bastasubstituirosvaloresnumericosparaseobtero resultadodesejado:�� !v<C�d�XJ^ ;g� /� ` ^<^0 /��^ O y /��^ O ^ ` ULC ln � UL^X ` � X O X ` d�XM^ ;>� Wb OP 32-14.� Temosque b �B^ O ` m, 6l�D^ O ` mm � ` d�XM^ ;>� m e

que� �ep � ��XJ^ mT/s ��XJ^ ; E T/s.VY�Da b� ��3X O Q-ced�XJ^ ;>f ^ O `C�� ` d�XJ^ ;w� E �D^ O ^hX<X�i

O raiodofio naoedifıcil deserdeterminado:6N�� bULC � ^ O�ÙLCt� ^ O ^ y m 1dondesaique � � �D��Y��r�C&6 E� �H�� DC&6 E� � �� C��!^ O ^ y E �3XM^ ; E ��DU O ^hX�d�XM^ ;w� V

Portanto �G�BU O ^hX�d�XM^ ;w� V

dondesai �� V �B^ O ^hX y \ A OComisto, a taxadeproducaodeenergia termicanaes-pira e � �D� E VY�B\ O Q S ` d�XM^ ;>� W OP 32-16.

A figura ao lado mostraduasespirasde fio em for-ma de anel, que tem o mesmoeixo. O anel menor

esta acimado maior, a uma distancia � , que e gran-de em comparaçao com o raio V , do anelmaior. Emconsequencia,com a passagemda corrente� pelo anelmaior(vejaa figura),o camomagneticocorresponden-te e aproximadamenteconstanteatravesda areaplanaC&6FE , limitada pelo anel menor. Suponhaagoraque adistancia� naosejafixa, masquevariea razaoconstan-te� �&p � ��8� . (a) Determineo fluxo magneticoatraves

daarealimitadapeloanelmenor. (b) Calculea fem ge-radanoanelmenor. (c) Determineo sentidodacorrenteinduzidano anelmenor. (Sugestao: Veja a Eq. 25 docapıtulo 31.)� (a) Na regiao da espiramenoro campomagneticoproduzidopelaespiramaiorpodeserconsideradocomosendouniformee igual aoseuvalor no centrodaespiramenor, sobreo eixo. A Eq.31-24,com �l�D� e �r ¡V ,forneceo modulode � :

�� +�%V�EUF� o OO campoesta dirigido para cima na figura. O fluxomangneticoatravesdaespiramenoredadopeloprodutodocampopelaareadaespiramenor, ouseja,�� C � ��6NEMV�EUF� o O(c) A forca eletromotrize dadapelalei deFaraday:

� � � �� C �M��6FE+V�EU �� I X� o K� � C � ��6FE+V�EU I � \� � � �� K� \LC � ��6NEMV�E/�UL� � O(c) O campodaespiramaiorapontaparacimaedecres-cecoma distanciaa espira.A medidaquea espirame-nor afasta-seo fluxo atravesdeladecresce. A correnteinduzidadevera ser tal a produzir um campodirigidotambem paracima, de modoa compensaro decresci-modocampodaespiramaior(queinduza corrente).Acorrentefluirano sentidoanti-horarioquandoa espiraevista de cima, na mesmadirecao da correntena espiramaior.

P 32-19.� �r�� P�D^ O ^Lv�U��^ O y S � .http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina4


(a) Chamando� a areadoquadradotemos�� U�� Uh¢ ^ O ^Lv0U��^ O y S ��£�H� �� ~U�[J^ O y S ��X O S v V OPortanto

W � W ��X O S v V, anti-horaria; �H¤��8U<^ R X O S v��UHX O S v V.(b) ��¥ e anti-horaria.

1.2.2 Inducao: Um EstudoQuantitati vo – 22/39

E 32-22.�E 32-23.�

(a) O fluxo varia porque a area limitada pela barrametalica e os trilhos aumentaquandoa barrasemove.Suponhaque num certo instantea barraestejaa umadistancia � daextremidadea direitadostrilhos e tenhavelocidade� . Nestecasoo fluxo atravesdaareae� � �D��Y�D� b �:1onde b e a distanciaentreostrilhos.De acordocom a lei de Faraday, a magnitudeda feminduzidae� � �H� �� D� b � �� D� b �� ^ O \ ` ^ T /��^ O U ` ^ m /�!^ O `-` ^ m/s � v O y X¦d�XM^ ; E V O(b) Usea lei de Ohm. Sea resistenciada barrafor V ,entaoa correntenabarrae�Z� �V� v O y X�d�XJ^ ; E VX y i� U O Q S d�XJ^ ;>o A OE 32-24.� (a) Seja � a distanciaa partir daextremidadedireita

dostrilhosateabarra.A areademarcadapelabarraeos

trilhos e b � e o fluxo atravesdaareae�� b � . A

feminduzidae�k� �� B� b � �� B� b �w1onde� e a velocidadedabarra.Portanto� � ��X O U T +�!^ O XM^ m /� `HO ^ m/s � ^ O Q-^ V O(b) SendoV a resistenciadabarra,a correnteno laco e

�§� �V � ^ O Q<^ V^ O v-^�i ��X O ` A OComoa barramove-separaa esquerdano diagrama,ofluxo aumenta.A correnteinduzidadeve produzirumcampomagneticoqueentranapaginanaregiaodelimi-tadapelabarrae trilhos. Paraqueassimseja,a correntedevefluir nosentidohorario.(c) A taxadegeracaodeenergiatermicapelaresstenciadabarrae � � �#EV � �!^ O Q<^0 3E^ O v-^ �D^ O c<^ W O(d) Comoa barramove-secomvelocidadeconstante,aforca total sobreela deve sernula. Isto significaqueaforcadoagenteexternotemqueteramesmamagnitudequea forcamagneticamasnadirecaooposta.A magnitudedaforca magneticae¨§� �©� b ��3X O ` /��^ O XM^- +�3X O U- ��D^ O X y N OComo o campoapontapara fora da pagina e a cor-renteesta dirigida paracima atraves da barra,a forcamagneticaestadirigidaparaadireita.A forcadoagenteexternotemqueser, portanto,de ^ O X y N paraa esquer-da.(e) Quandoa barramove-seumadistanciainfinitesimal� � o agenteexternofaz um trabalho

�0ª � ¨ � � , on-de¨

e a forca do agente.A forca esta na direcao domovimento,demodoqueo trabalhofeito peloagenteepositivo. A taxanaqualo agenterealizatrabalhoe��ª� � � ¨ � �� ¨ �e��!^ O X y /� `HO ^- ��D^ O c-^ W 1quecoincidecomataxacomqueaenergiatermicaege-rada.A energia termicafornecidapeloagenteexternoeconvertidaintegralmenteemenegia termica.

P 32-27.



Dois trilhos retilineosformamum anguloretonopontode juncao de suasextremidades.Uma barracondutoraem contatocom os trilhos partedo verticeno instante��«^ e semove comvelocidadeconstantede ` 14U m/sparaa direita, comomostraa Fig. 32-42. Um campomagneticode ^]1q\ ` T apontaparaforadapagina.Calcu-lar (a)o fluxo atravesdo trianguloformadopelostrilhose a barrano instante��«\ segundose (b) a fem indu-zidano triangulonesteinstante.(c) Dequemodoa feminduzidano triangulovariacomo tempo?� (a) Apos um tempo � o segmentovertical tera an-dadouma distanciahorizontal �0� , o que forneceparaa area �� do trianguloem questao o valor �� ¬��0�� /�|UF�0�� qp<U��E+�3E . Portanto,o fluxo seradadopor�� !\ O ^- Z� ��l��\ O ^- � �!^ O \ ` /� `HO UL^0 E ��\ O ^- E� y-`hO U T mE O(b) Paraobtera fem induzida:

� � � �� l�!�� !�0EM�3EM � �� UL�l� E �� Uh��^ O \ ` +� `hO U- E �!\ O ^0 �� ` Q O y V O(c) Como se podebem ver da expressao acima �®��UL�l�0E+� , a femvaria linearmenteemfuncaodo tempo.

P 32-28.� (a) A frequenciada fem induzidacoincidecom afrequenciacomqueasemicircunferenciaegirada: ¯ .(b) A amplitudea fem induzidaedadapor

�k�� H� �� 1de modoqueprecisamosdeterminarcomoo fluxo va-ria com o tempoa medidaquea semicircunferenciaegirada.Dadefinicaodefluxo temos�� s°5�[ �0�� G(/*0,+�|UFC#¯>�� Cx��EU (/*0,M�|UFC#¯>�� '1

onde� e a areadasemicircunferencia.Portanto� � � �� Cx��EU � (/*0,+��ULC#¯>�� Cx��EU ULC#¯ sen ��ULC#¯>�� C E � E ¯ sen �|UFC#¯>�� '1dondereconhecemosfacilmentequeaamplitudedafeme �H± 2 �C E � E ¯ OComoo circuito contemumaresistencia V , vemosqueaamplitudedacorrentealternadaquecircularanaespirae � ± � � ±V � �lC E � E ¯V 1sendoqueparaum instantedetempo � qualquer, a cor-rentenocircuitosera�� ± sen�|UFC#¯>�� OP 32-29.� (a) A areadabobinae �B�B�H� . Suponhaquenumda-

doinstantedetempoanormalabobinafacaumangulo²como campomagnetico.A magnitudedofluxo atravesdabobinasera entao� � �D}G�H�'��(/*0,H²ea fem induzidanabobinae� � � �� ¢ }G�H�'�¬(+*-,H²F£� �� ¢ }k��/� sen²F£ � ²� � OEmtermosdafrequencia derotacaoedo tempo� , ² edadopor ²��8ULC#¯>� . Portanto,temosque

� ²0p � ��8UFC#¯ .Comisto,a femedadapor�G�YUFC#¯g}k��/� sen��ULC#¯>�� '1expressaoquepodeserescritacomo �k�� sen��UFC#¯>�� ,onde� ��2 ULC#¯g}G�H�'� O(b) A bobinadesejadadevesatisfazer� ��2 UFC#¯g}k��/��X ` ^ V O



Isto significaque}G�H�³� ��ULC#¯g�� X ` ÛLC��!Q<^ rev/s /�!^ O ` ^ T � ÙLC� ^ O S c<Q mE OQualquerbobinaparaa qual tenhamos}G�H�k�¡^ O S c-QmE satisfara o pedido. Um exemplosimplese usar-se}��XJ^<^ voltase �)�B�´� yhO c-U cm.

P 32-34.�P 32-36.� Usealei deFaradayparaencontrarumaexpressaopa-

ra a fem induzidapelocampomagneticovariavel. Pri-meiro,encontreumaexpressaoparao fluxo atravesdaespira.Comoo campodependede µ masnaode � , divi-daa areaemtirasdecomprimentob e largura

� µ , para-lelasaoeixo � . E claroque b e o propriocomprimentodeumdosladosdoquadrado.Numinstante� o fluxo atravesdumatira comcoordena-da µ e

�H� � �8� b � µ��8v b �3E'µ � µ demodoqueo fluxototal atravesdoquadradoe�� 8s�¶� v b � E µ � µ)�DU b o � E ODe acordocomalei deFaraday, a magnitudea fem in-duzidanoquadradoe�G� �H�� U b o � E "��Dv b o � OPara ��YU O�` sencontramos�k�Dvw��^ O ^-UL^0 o �|U O�` ·� y d�XJ^ ;>¸ V OO campoexternoapontaparafora da paginae crescecom o tempo. A correnteinduzidana espiraquadradadeve produzirum campoqueentranapagina,demodoquetal correntedeve fluir no sentidohorario. A fem etambeminduzidanosentidohorario.

P 32-38¹ .� (a) Comoa variacao do fluxo magnetico atravesdaareadelimitadapelabarraeostrilhosinduzumacorren-te, o campomagneticoexerceumaforca sobrea barra.

A forcamagneticaehorizontaleapontaparaaesquerdana projecao da figura 32-49. Ela tendea parara bar-ra, enquantoque a forca gravitacionalsobrea barraaacelera-la parabaixo. Comoa forca magneticae zeroquandoa barraestaparadae aumentacom a velocida-de da barra,a velocidadeterminale atingidaquandoaforca resultanteatuandonabarrafor zero.Primeiro, supomosque a barratenhauma velocidade� e calculamosa forca magneticasobreela. Seja � adistanciaentrea barradeslizantee a porcao horizontaldo trilho, na parteinferior do planoinclinado. A areadelimitadapelabarrae os trilhos e �¡�®º/� , ja queanormala areafazumangulo² como campomagnetico,sendoqueo fluxo magneticoatravesdaespirae� � �D��º/��(+*-,H² ODe acordocoma lei deFaraday, a fem induzidanaes-pira e �¬�8��º/��(+*-,H² . SendoV a resistenciadabarra,acorrenteinduzidasera�� V � ��º/�V (+*-,H²]1ea magnitudedaforca magneticasera¨:� �D�|º+�� E'º+E/�V (/*0,H² OTal forca e perpendiculartanto ao campomagneticoquantoa corrente.Ela ehorizontal,paraa esquerda.As componentesdasforcasaolongodoplanoinclinado(i.e.aolongodadirecao � ) sao»r¼ sen²�� ¨§� (/*0,H²�� » �>1onde � e a aceleraçaodabarra. Ter-seumavelocidadeterminalconstantesignificater-se �e�B^ , ouseja,ter-se¨ � (/*0,H²l� »r¼ sen²h1que,aosubstituirmos

�, nosfornece

�e� »r¼ V sen²� E º E (/*0, E ² O(b) A energia termicae geradana barracom umataxa� ¤k�D��EMV , ouseja,como �§��!��º/�hpFV� H(+*-,�² ,� ¤k� ��E'º+E+�0EV (+*-,H²�� » E ¼ EMV senE/²� E º E (/*0, E ² OSuponhaquea barraestejaa umaaltura � acimadaba-se do plano inclinado. Suaenergia potenciale entao



½ � »�¼ �� »�¼ � sen² . A perdadeenergia potencialocorrea umataxa�:¾ � � ½� � � »�¼ � �� sen²l� »�¼ � sen² OSubstituindo-senestaexpressaoavelocidadeterminal �encontramos � ¾ � » E ¼ E V senE ²� E º E (/*-, E ² 1quee a mesmaexpressaocomquea energia termicaegerada. Note que a expressao da velocidadeterminalprecisaserusada.Ate atingir-sea velocidadeterminalexiste transformaçao de energia potencialem energiacinetica,a medidaquea barraganhavelocidade.(c) Seo campomagneticoapontarparabaixoa direcaodacorrentesera invertidamasa forcamagneticaperma-neceranamesmadirecao,fazendocomqueo movimen-to dabarrapermaneça inalterado.

P 32-39¹ .�1.2.3 CampoEletrico Induzido – 40/47

E 32-40.� (a) O pontoondesedesejao campoesta dentrodosolenoide,de modoquesepodeaplicara Eq. (32-24).A magnitudedocampoeletricoinduzidoe¿ � XU � �� 6� XU �!Q O ` d�XM^ ;>o +�!^ O ^-U-UL^0 � S O X ` d�XJ^ ;>¸ V/m O(b) Nestecasoo pontoesta fora do solenoide, de mo-do quepodemosaplicara Eq. (32-25).A magnitudedocampoeletricoinduzidoe¿ � XU � �� V E6� XU �!Q O ` d�XM^ ;>o �!^ O ^-Q<^<^0 3E^ O ^ y UL^� X O v-\ed�XM^ ;>� V/m O

P 32-44.� Usea lei deFaradaynaformaÀ°Á [ �0Â �� H�� OIntegre em torno da trajetoria pontilhadamostradanaFig. (32-53).Em todospontosdos ladossuperiore inferior da tra-jetoria o campoeletrico ou e perpendicularou e zero.Suponhaqueele seanuleem todospontosdo lado di-reito (fora do capacitor).No lado esquerdoo campoeparaleloa trajetoriae temmagnitudeconstante.Portan-to umaintegracaodiretaforneceÀ°Á [ �0Â � ¿ b 1ondeb eo comprimentodoladoesquerdodoretangulo.O campomagneticoe zeroe permanecezero,demodoque

�H� � p � ��B^ .Seisto tudoestivessecerto,a lei deFaradaynoslevariaaumacontradicaopoisdeverıamoster

¿ b �B^ semquenem

¿nem b fossemzero. Portanto,deve existir um

campoeletricoaolongodo ladodireito datrajetoria deintegracao.

1.2.4 O Betatron – 45/46

P 32-46.�1.2.5 ProblemasAdicionais – 48/51









Conteudo

1 33: Indut ancia 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

1.2.1 Indutancia– (1/8) . . . . . . . . 21.2.2 Auto-Inducao– (9/13) . . . . . 5

1.2.3 Circuitos��

– (14/28) . . . . . 6

1.2.4 Energia Armazenada numCampoMagnetico– (29/37) . . 9

1.2.5 Densidadede Energia de umCampoMagnetico– (38/46) . . 11

1.2.6 IndutanciaMutua– (47/53) . . 12


(lista4.tex)



1 33: Indut ancia

1.1 Questoes

Q 33-2.

Quandoo fluxo magnetico que atravessacadaespirade umabobinae o mesmo,a indutanciada bobinapo-de ser calculadapor

�� (Eq. 33-2). Como

poderıamoscalcular�

de uma bobinaparaa qual talhipotesenaoe valida?� Bastacomputara fem paracadauma das espiras,soma-las,edepoisusar� �� paraobtero valorde�

.

Q 33-4.

Desejamosenrolarumabobinade modoqueela tenharesistencia mas essencialmentenenhumaindutancia.Comofazeristo?� Uma maneirade fazere enrolaro fio quecompoeabobinaemduascamadas,demodoqueacorrentepassenelasemsentidoscontrarios. Destemodoa indutanciatenderaparazero.


1.2.1 Indut ancia – (1/8)

E 33-1.

A indutanciade umabobinacompactade �� espirasvale � mH. Calculeo fluxo magneticoatravesdabobinaquandoacorrenteede � mA.� Como

�� !�"�, onde

�e o numerodeespiras,

�e

a indutanciae�

acorrente,temos�#� �$�� % �'&()�+*-, H . % �'&/(0�+*-, A .�� (1&/(0� *32 Wb 4E 33-2.� (a)� �5�7698 � �76 %;:=<�> .� %@? ��. %@A 4 BC&/(0� *-, . %D: ()�9&/(0� * > . >

� A 4 �E�9&()� *3, Wb 4(b) �F� � � � A 4 �E�9&()�+*3,? 4 �� BG4 �E�9&()� *IH H/m 4Presteatencaonasunidadesenvolvidas.

E 33-3.

Um solenoidee enroladocomumaunicacamadadefiodecobreisolado(diametro

� A 4J� mm). Eletem � cmdediametroeumcomprimentode A m. (a) Quantasespiraspossuio solenoide?(b) Qualeaindutanciapormetrodecomprimento,naregiaocentraldo solenoide?Suponhaqueasespirasadjacentessetoqueme quea espessurado isolamentosejadesprezıvel.� (a) O numero

�de espiras multiplicado pelo

diametrode cadaespiradeve ser igual ao comprimen-to dofio. Portanto,temos�K�ML�

fio

� AA 4J�C&/(0� *-, � �� espiras4(b)�N��F�O��6P8!� %DQ L . %DR=STQ � . % 8 . �O�U� 4 Portan-

to, simplificandoacorrente,segue� L � R=S)Q > 8 � % � : &/(0� *32 .WV ��AYX > :/% �Z4 � A . >� A 4J� ? &/(0� *IH H/m 4P 33-4.

Um solenoidelongoeestreito,podesercurvadodemo-doa formarum toroide.Mostreque,paraum solenoidesuficientementelongoe estreito,a equaçaoqueda a in-dutanciado toroide(Eq.33-7)assimformadoe equiva-lenteadeumsolenoide(Eq.33-4)comumcomprimen-to apropriado.� Paraum solenoide muito comprido,com o qual de-sejamosconstruirum toroide,escrevemosa indutanciaem funcao do numero total de espiras,

�, e nao deQ �[�U� L , adensidadedeespirasporunidadedecompri-

mento.As expressoesdaindutanciaparaum solenoideeumtoroidesao,respectivamente,�]\ � R S QT> L 8^� R S � >L 8`_



�]a � R S � >0bA�: ced Vgfh X 4Parapodercompararestasformulas,expandimoso lo-garıtmoqueapareceem

�$a. Paraqueistosejapossıvel

assumimosque o toroide tenhadimensoessuficiente-mentegrandestais que i � f � hkj ( , ou seja,tal quef j^h . Calculando(ou simplesmenteolhandonumaTabelaqualquer),vemosque paraum valor arbitrarioi7l!( � A o logarıtmopodeserrepresentadopelaseguin-teseriedepotencias:cmd i � V i � (i XUn (A V i � (i X > n (? V i � (i X , nOopo0oConsiderandoapenaso primeiro termona serie acima,segue,parai � f � h :cmd i j i � (i � f � h � (f � h � f � hf _demodoque � a j R S � >0b % f � h .A�: f 4Observandoagoraque b % f � h . �q8 e que A�: f j Lobtemos,nestascondicoes,que,realmente,��\ j �]a 4Como paraum toroide sempretemos f!r h , da ex-pansao do logarıtmo acimavemosque a aproximaçaofeita ebastanteboa.

P 33-5.

Indutores em serie. Dois indutores��s

e� > estao li-

gadosem serie e separadospor uma distancia gran-de. (a) Mostrequea indutanciaequivalentee dadapor�

eq

�K� s n � > . (b) Por quea separaçao entreos in-dutorestemdesergrandeparaquea relacaoacimasejavalida? (c) Qual e a generalizaçao do item (a) para

�indutoresemserie?� (a) Nascondicoesdiscutidasabaixo,no item (b), aconservacaodaenergiarequerquea quedadetensaoE,ao atravessarmosos dois indutores,sejaigual a somadasquedasaoatravesarmoscadaindutorseparadamen-te: � � � s n � > 4Como a correnteque atravessaos tres indutoresemquestao e exatamentea mesma,da definicao de in-dutancia,podemosescrever� �t�� eq

�� _ � s�� s �� _ � > �� > ��+4

Substituindoestesvaloresnaequaçaoacimae simplifi-candoobtemos �

eq

�5� s n � > 4(b) A expressao acima sera valida sempre que ofenomenode inducao mutuapuderserdesprezado.Pa-ra tantoe precisoque

��se� > estejambemafastados,

como requeridopelo problema. O casoem que a in-dutanciamutuanaopodeserdesprezadae tratadoexpli-citamentenoProblema33-49,adiante.(c) Quandotivermos

�indutoresem serie (e sema

presença de inducao mutua!), vemos facilmenteque� � uOvwyx s � w e, consequentemente,que�

eq

�u v wyx s � w 4P 33-6.

Indutoresem paralelo. Dois indutores� s

e� > estao

ligadosemparaleloeseparadosporumadistanciagran-de.(a) Mostrequea indutanciaequivalentee dadapor(�

eq

� (��s n (� > 4(b) Por quea separaçao entreos indutorestem de sergrandeparaquea relacaoacimasejavalida?(c) Qualageneralizaçaodo item(a)para

�indutoresseparados?� Esteproblemae analogoe suarespostatema mesma

fundamentaçaoteoricadoProblema33-5.(a) Dadefinicaodeligacaoemparalelovemosqueago-ravale

�z�O� s n � > , sendoqueaquedadetensaonostrescomponentesemquestaoe amesma,� . Portanto� �� eq

�� _ � �{�� s �� s�� _ � �{�� > �� >�� 4Substituindoestesvaloresnarelacao�� s�� n �� >�� _obtidaderivando-se

�|�O��s n � > , seguefacilmenteque(�eq

� (� s n (� > 4(b) A justificativa e identicaa do item (b) do Problema33-5.(c) Para

�indutoresemparalelo,extendendoo calculo

feito no item(a)acima,obtemos(�eq

� v}wyx s (� w 4http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina3


P 33-7.

Umatira largadecobre(largura ~ ) e curvadaforman-do um tubo de raio

�com duasextensoesplanas,co-

mo mostraa Fig. 33-14. Umacorrente�

flui atravesdatira, distribuidauniformementesobresualargura. Fez-se, destemodo, um “solenoide de uma unica espira”.(a) Deduzauma expressao para o modulo do campomagnetico � napartetubular (longedasbordas).(Su-gestao: Suponhaqueo campomagneticofora desteso-lenoidedeumaunicaespirasejadesprezıvel.) (b) Deter-minea indutanciadestesolenoidedeumaunicaespira,desprezandoasduasextensoesplanas.� (a) Aplicando-sea lei deAmperea partetubular, talcomofeito nocasodosolenoide,produz��6 o � �L �56 ~ � R S ��_dondetiramos 6P� R S �~ 4(b) O fluxo e � �O6�8!��R S �~ : � > 4Sabemosque

��Y�� 4 Comotemosumaunicaes-pira,

�K� ( , e,portanto,�t� � R=S �~ : � > �O��o queimplicaque �F��R S : � >~ 4P 33-8.

Dois fios longose paralelos,cadaum comraio h , cujoscentrosestao separadospor uma distancia

�, sao per-

corridospor correntesiguaismasemsentidosopostos.Mostre que, desprezandoo fluxo dentrodos propriosfios, a indutanciaparaum comprimentoL destepar defios e dadapor: �F��R=S L: ced �`� hh 4Veja o Exemplo31-3, pag.188. (Sugestao: calculeofluxo atravesdeum retanguloquetemosfios comola-dos).

� A area de integracao para o calculo do fluxomagneticoe limitadapelasduaslinhastracejadasnaFi-guraabaixoe pelasbordasdofio.

Seaorigemfor escolhidacomoestandosobreo eixodofio a direita e < medir a distanciaa partir desteeixo, aintegracaoseestenderadesde< � h ate < �5�`� h .Considereprimeiramenteo fio a direita. Na regiao deintegracao o campoque ele produzentra na paginaetemmagnitude

6�� R S �� A�:=< . Divida a regiaoemtiri-nhasdecomprimentoL e largura

� < , comoindicado.Ofluxo atravesdatirinhaa umadistancia< do eixo dofioe�E�#�56 L � < eo fluxo atravesdaregiaotodae�#��R=S � LA�: �F� *=�� << ��R=S � LA�: ced V �`� hh X 4

O outrofio produzo mesmoresultado,demodoqueofluxo totalatravesdoretangulotracejadoe�

Total� A �F� R=S � L: ced V �`� hh X 4

Portanto,temosparaa indutanciatotal�F� � Total� � R S L: cmd V �� hh X 4� A indutancia�

tambem pode ser encontradacombinando-sea lei da inducaodeFaradaye a Eq. 33-11,demodoque �� {� �E� �� 4O fluxo ecalculadopelaseguinteintegral:� � � � o �� 4A areadeintegracaoparao fluxo ea areadeumaespiraformadapor doisfios imaginariosadicionadosparaco-nectarosdoisfiosdados,fechandoo circuito. Ocompri-mentodosnovosfiosemuitopequenocomparadocomocomprimentodosfiosiniciais;assim,podemosignoraracontribuicaodaqueles.Entao,o campomagnetico

6ea



somadosdoiscamposmagneticosdosfios iniciais. No-te queosdoiscampospossuemo mesmosentido(paradentrodapagina)e,portanto,segundoaLei deAmpere(Eq.17doCap.31,pag.191),temos:6 %D< . � R S �A�:=< n R S �A�:"% �`� < . 46 %D< . naovarianadirecaoparalelaaosfios e, portanto,para�W8

utilizamosumretangulomuitoestreitodecom-primento L e largura

� < ; escolhendoo sentidode��8

paradentrodapagina(o mesmosentidode6

), temos:�� 6 %D< . L � <��W� � S� R S � LA�: �� (<�n (�`� <-� � <� R=S � L: cmd V �`� hh X 4Dondeseconcluique�+�� R=S L: �� ced V �`� hh X �O� �� 4Portanto,semlevar emconsideraçao o fluxo dentrodofio, encontramos:�F� R=S L:�cmd V �`� hh X 41.2.2 Auto-Inducao– (9/13)

E 33-9. Num dadoinstante,a correntee a fem indu-zidanumindutortemossentidosindicadosnaFig. 33-15. (a) A correnteesta crescendoou decrescendo?(b)A fem vale (�� V e a taxade variacao dacorrentee A �kA/s; qualeo valordaindutancia?� (a) Como � aumenta

�, acorrente

�deveestardecres-

cendo.(b) De � �O�]�� obtemos�F� �� (��A 4 �9&/(0� , � BZ4 �'&()� *3H H 4E 33-10.

Um indutorde ( A H transportaumacorrenteconstantede A A. De que modo podemosgeraruma fem auto-induzidade B�� V no indutor?� Como � �� % �� . , bastafazercomqueacorren-tevarieaumataxade�� B�� V( A H

� � A/s 4

E 33-11.

Um solenoidecilındricolongocom (0�� espiras/cmtemum raio de (�4 B cm. Suponhaqueo campomagneticoqueeleproduzsejaparaleloaoeixodosolenoidee uni-formeem seuinterior. (a) Qual e a suaindutanciapormetrodecomprimento?(b) Sea correntevariara umataxade ( ? A/s, qualsera a fem induzidapormetro?� (a) O “dif ıcil” aqui e converter corretamenteonumerodeespiras:Q � (0�� espiras/cm

� (0�� espiras/(()�+* > m)� (0� H espiras/m4� L � R S QT> 8!� % � : &()� *-2 . % (0� H . >p:"% �Z4 �Z()B�. >� �Z4e( H/m 4(b) Desprezandoo sinal,temos� L � � L �� Z4e( H/m &( ? A/s

� (�4 ? V/m 4E 33-12.

A indutanciadeumabobinacompactaetal queumafemde ? mV e induzidaquandoa correntevaria a umata-xa de � A/s. Umacorrenteconstantede � A produzumfluxo magneticode �W� R Wb atravesdecadaespira.(a)Calculea indutanciadabobina.(b) Quantasespirastemabobina?� (a) A menosdosinal,temos�� ? &/(0�+*-, V� A/s

� B'&/(0� *IH H 4(b) Dadefinicaodofluxo concatenadoobtemos�K� �� K% B�&/(0� *IH H . % � A .��'&/(0� *3� Wb

� ( A � espiras4P 33-13.� Use � �5�$�� extraindo

��dograficodado.

(a) Para �'� � � A ms:� �O�'� �� G4 B �+4 � � �Z4 �%�A 4 � � �G4 �W.�&()� *-, � (�4 BC&()� H V 4http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina5


(b) Para A ms � � �[� ms:� �[� � �� G4 B �Z4 � � �E4 �% �+4 � � A 4 ��.]&()� *-, �� ? 4e(�&()� , V 4(c) Para � ms � � �#B ms:� �[�'� �� G4 B �G4 � � �+4 �% BZ4 � � �+4 ��.]&()� *-, �� A 4 ? &()� H V 4Observe queo sinal dastensoesreproduza inclinacaodascurvasno graficodado,apesardeestarmosaquiig-norandoo sinalnegativo dafem induzida.

E 33-14.

A correntenumcircuito��

atingeum terco deseuva-lor de equilıbrio em � segundos. Calculea constanteindutivadetempo.� Nestasituacaodecarga,a correnteno circuito e de-terminadapelaequaçao� % � . � ��OV�( �k� *-�- D¡£¢ X 4O valor de equilıbrio, � �� , “ e atingido” em

�¤�¦¥.

Consequentemente,aequaçaoquefornecearespostadoproblemae (? �� OV�( �k� *3§£�T¡£¢ X _ouseja, � � �� ced V�( � (? X �{� �Z4 ��W��+4Portanto, ¨ ¢¤© �� G4 �W�� ( A 4 ?�? s41.2.3 Cir cuitos

��– (14/28)

E 33-15.

Em termosda constantede tempo

¨ ¢ , quantotempodevemosesperarparaquea correntenum circuito

��crescaficandoa �G4m(�ª doseuvalordeequilıbrio?� Usandoa Eq.33-18,obtemos:�� [V�( �/� *3 D¡¬«¬ X 4

Desejamosdeterminaro valor de�

para o qual�#��G4 ®�®�®¯� �� . IstosignificaV�( � �Z4e((0�� X �� G4 ®�®�® �� OV�( �k� *I D¡£« X _

isto e �Z4 ®�®�® � ( �k� *3 D¡£« ouseja � *I D¡£« � �Z4 ��G(�4Calculandoo logarıtmo naturalobtemosentao, facil-mente, �°�¬� ¨ ¢ � ced % �Z4 ��Z(�. �{� BG4 ®�� _ouseja,

�"� BG4 ®�� ¨ ¢ , quee a respostaprocurada.

E 33-16.

A correntenumcircuito��

cai de ( A para ()� mA noprimeirosegundoaposaremocaodabateriadocircuito.Sendo

�F� ()� H, calculea resistencia�

docircuito.� A correntenocircuito edadapor� % � . �O� S � *I D¡£« _onde

� S e acorrente(no instante�"� � ) e

¨ ¢ % �5�� . eaconstantedetempoindutiva.Destaequaçaoobtemos¨ ¢ � � �ced²± �³�� Sy´� � ( sced²± % (0�'&/(0� *3, A . � % ( A . ´ � �G4 A (�� s4Portanto

�!�5�� ¨ ¢ � % (0� H . � % �Z4 A (�� s. � ��BWµ .

E 33-17.

Quantotempo,apos a remocao da bateria,a diferencade potencialatravesdo resistornum circuito

��(com�� A H,

�!� ? µ ) decaia ()�Wª deseuvalor inicial?� A correntedurantea descarga e controladapelaequaçao

� % � . �·¶� � *3�- D¡£¢ _ sendoque,comosempre,adiferenca depotenciale dadapor ¸ � % � . �t�� % � . . Por-tanto,o problemaconsisteemdeterminar-seo onstante�

quesatisfaza condicao�Z4e( ¸ � % ��. � ¸ � % � . _ouseja�Z4e(T� � � � *-,� D¡ > , deondetiramoscmd �G4m( � � ? �¬� A�¹� (�4J�� s4



E 33-19.

Um solenoidede indutanciaigual a BG4 ?1R H esta ligadoem serie a um resistorde (�4 A k µ . (a) Ligando-seumabateriade (0� V aessepar, quantotempolevaraparaquea correnteatravesdo resistoratinja ��Wª deseuvalorfi-nal?(b) Qualeacorrenteatravesdoresistorno instante�"� ¨ ¢ ?� (a) Se a bateriafor ligada ao circuito no instante�"� � , a correntenuminstante

�posteriore dadapor�� [V ( �/� *3 D¡¬« X _

onde ¢ �O� �� . O problemapedeparaacharo instante�parao qual

�z� �Z4 �� . Istosignificatermos�Z4 � � ( �k� *I D¡£« ouseja � *I D¡£« � �Z4 A 4Portanto,�º� � cmd % �Z4 A .

¨ ¢ � (�4 B��® ¨ ¢ � (�4 B��® �� (�4 B��®C&»BG4 ? &/(0�+*-� H(�4 A &/(0� *-, µ � �G4 �E�9&()� *3¼ s4(b) Para

�"� ¨ ¢ a correntenocircuito e�z� �� % ( �/� * s . � V (p� V(�4 A &/(0� , µ X % ( �k� * s .� �+4 ? ��&()� *3, A 4E 33-20.� (a) A indutanciapedidae�F� � � ��A BC&()�+*-,�+4J� � �G4½�9&/(0� *-, H 4

(b) Isolando-se�

daEq. (33-18),queda o crescimentodacorrente,temos�º� � ¨ ¢ cmd V�( � �¾�� X �� ced V�( � �¾�� X� � �I4J��&/(0� *-,�G4J�� cmd V ( ��%@A 4 ��. % �G4J��.BZ4 � X� A 4 �'&/(0� *-, s4P 33-21.

� Usandoa regradasmalhasobtemos� �k� �� O�¾�C_ouseja � � � �� n �¾�� T¿ ? n � ��À n %@? n � � . �� % BG4 �W. % �+4 ��. n %D? n � � . % �G4 ��.� % � A n A � � . V 4P 33-22.� A equaçaoqueregea tensaono indutoreÁGÂg� � � *I ;Ã@¡¬«¬ _

ondeo subındice�|� ( _ A _ 4p404 _ � , serveparaindicarcon-

venientementeo instantedetempoquequeremosconsi-derar. UtilizandoagoradoispontosquaisquerdaTabeladada,porexemplo

�$� ( mse�� A ms,vemosque:Á s � � � *I @Ä�¡¬« _ Á > � � � *I ;Å£¡£« _

ouseja,queÁ >Á s �[��Æ *I Å *²Ç;*3 Ä¾ÈÊÉ ¡£«� �O� Çm Ä *I Å£È ¡£«� 4Portanto ced V Á >Á s X � �¬s]�/� >¨ ¢ _deondeobtemosque¨ ¢ � � s �� >ced % Á > ��Á s . � (�4 � ms

� A 4 � mscmd % ( ? 4 � � ()�Z4 A . � ? 4 B ms4Agora, paraobtero valor de � , bastausaro fato queÁ Â � � � *I ;Ã@¡¬«¬ , substituindo-senestaformulaqualquerumdospontosdaTabela.Porexemplo,usando-seo pri-meiro pontodaTabelaobtemos:� �5Á3sp� *I D¡£«� � % ()�Z4 A . � * s�Ë S ¡£, Ë � � A � V 4Observe quena expressaoacimausamosmilisegundoscomounidadedetempo,paraabreviar oscalculos.E facil conferiragoraqueaequaçaoÁ Â � A � � *I ;ÃD¡pÇm, Ë ��Ì s S0Í�Î È Volts

permiteobter-secorretamentequalquerum dosoutrospontosnaTabela.

P 33-23.



� Paraobtero resultadopedido,bastacomputara deri-vadadeambosladosdaEq.(33-18):�� V ( �/� *-�- D¡¬¢ X �� *3� a ¡£¢� V �W�Z4 ��Z4 �C&()� *-, X � ÍWÏ ÄDÐ@ÑÓÒ Ï ÄÓÔ Å�Ñ£Õ�ÄDÑ Í�Î ÒÖ Ñ�Ô Ñ�Õ�ÄDÑ Í�Î� ( A 4 � A/s 4P 33-24.� (a) Comoa circunferenciainternado toroide e L �A�: h � A�:"% (0� cm. � B A 4 � cm, o numerodeespirasdo

toroide e aproximadamente�×� B A 4 � cm

� (�4 � mm�B A � . Portanto,daEq.(33-7),temos� � R S � >0bA�: ced fh� % � : (0� *32 . % B A ��. > % �G4m( A � �G4m()��.A�: ced ( A(0�� A 4 ®'&/(0� *3H H 4

(b) Como o comprimento total do fio e L �% B A �W. % �E. %�A 4 �7&O()�+* > . � �� m, a resistenciado fio e�� % �� m. % �Z4 � A µ /m. � ()µ . Portanto,¨ ¢ � �� A 4 ®C&/(0�Z*IH( � A 4 ®'&/(0� *IH s4P 33-25.

Na Figura33-17, � � (0�� V,�1s1� ()��µ ,

� > � A �1µ ,� , � ? �Øµ e�K� A H. Determineos valoresde

�³se� > (a) imediatamenteaposo fechamentodachave Ù ;

(b) muito tempodepoisdo fechamentode Ù ; (c) ime-diatamenteapos Ù serabertaoutravez;(d) muitotempodepoisdaaberturade Ù .� (a) O indutor impedeum crescimentorapidodacor-renteatravesdele,de modoqueimediatamenteapos achave Ù serfechadaa correnteno indutore zero(

�cir-

cuitoaberto).Istosignificaque� s � � > � �� s n � > � (0�� V(0�1µ n A �1µ � ? 4 ?�? A 4(b) Muito tempodepoisdofechamentodocircuitoacor-renteatravesdo indutor atingeo valor de equilıbrio epraticamentenao maissealtera. A fem atravesdo in-dutor e zeroe ele comporta-secomoseestivessesido

substituidopor um pedaço defio. A correnteem� , e� s �/� > . A lei deKirchhoff paraasmalhasfornece� �/� s � s �� > � > � � _� �� s � s � % � s �/� > . � , � �Z4

Portanto� s � � % � > n � , .� s � > n � s � , n � > � ,� (0��9& %@A � n ? ��.(0�'& A � n (0�'& ? � n A �'& ? � � �I4 �� A_� > � � � ,�1s�� > n �1sp� , n � > � ,� (0��C& ? �(0�'& A � n (0�'& ? � n A �'& ? � � A 4J� ? A 4

(c) Nestecasoamalhadoladoesquerdoestaaberta.Co-mo a indutanciadestamalhae nula,a correntenelacaiimediatamenteparazeroquandoa chave e aberta.Ouseja,

� s � � . A correnteem� , varia lentamenteape-

naspoisexisteum indutornestamalha.Imediatamenteapos a chave serabertaa correntetem o mesmovalorquetinhanomomentoanterioraofechamentodachave.Estevalor e �G4J�� A 4½� ? A = (�4 � A A. A correnteem

� >e identicaacorrenteem

� , , (�4 � A A.(d) Nestasituacao nao existemmaisfontesde fem nocircuito de modo que eventualmentetodas correntesteraodecaidoparazero.

P 33-26.

No circuito mostradona Fig. 33-18, � � ()� V,� s ��µ � > � ()�1µ e

�[� � H. Considereassituacoes:(I)a chave Ù acabade ser fechadae (II) a chave Ù ficoufechadadurantemuito tempo. Calculeparaestasduassituacoes:(a) acorrente

��satravesde

��s, (b) acorrente� > atravesde

� > , (c) a corrente�

atravesdachave, (d) adiferenca depotencialatravesde

� > , (e) a diferenca depotencialatravesde

�, (f)�� > �� .� (I) Chave Ù acabade ser fechada:nesteinstantea

reacaodo indutor a variacaodacorrente(queeranula)e maxima,atuandodemodoa tentarmantera corrente(nula)naqueleramo.Portanto:(a)� s �[�z� � �� s � (0� � � � A A 4

(b)� > � � , poisno instanteemquea chave e fechadao

indutorseopoeaomaximoa passagemdecorrente.(c)�z�O��s°� A A 4

(d)Á > � � > � > � �'& A � � V 4

(e)Á ¢ � � ¢ � (0� V

_opostaa � .

(f) � Â Å� �Ú¶¢ �s S§ � A A/s 4



(II) Um longotempoaposo fechamentodachave Ù o in-dutorestara carregado,prontoparareagircasoapareçaalgum

�� > ��Û� � . Entretanto,enquantonao houvervariacaodecorrenteatravesdo indutorelesecomportacomoum curto circuito, ou seja,naoreagea passagemdacorrente.(a)� s �K¶� � A A 4

(b)�� > �� A/s e

� > �×¶�=Å � s Ss S � ( A 4(c)�|�O�³s n � > � ? A 4

(d)Á > �O� > � > � (1&/(0� � ()� V 4

(e)Á ¢ �{�� Â Å� � � V 4

(f) � Â Å� � � A/s 4P 33-28Ü .

No circuito mostradonaFig. 33-20,a chave Ù e fecha-dano instante

�1� � . A partir dessemomento,a fontede correnteconstante,atravesda variacao da suafem,mantem umacorrenteconstante

�saindode seutermi-

nal superior. (a) Deduzaumaexpressaoparaa correnteatravesdo indutoremfuncaodo tempo.(b) Mostrequea correnteatravesdo resistore igual a correnteatravesdo indutorno instante

�� % �� . cmd A .� (a) Suponhaque�

flui da esquerdapara a direitaatravesda chave fechada. Chamede

� sa correnteno

resistor, supostafluindo parabaixo. A lei dosnos for-nece

�Ý�·� s n � > enquantoque a lei das malhasda� s �5�/� % �� > �� . � � .De acordocom a lei dos nos, uma vez que

��/�� pois�

e constante,encontramosque��sp�� % �� > �� . . Substituindoesteresultadonaequaçaoob-

tida pelalei dasmalhassegue� �� s�� n ��s3�� Z4Estaequaçao e semelhantea dadana seccao 33-4, umpoucoantesdaEq.33-20,e suasolucaoea Eq.33-20:� s �[� S � *3�- D¡£¢ _onde

� S e a correnteatravesdo resistorem�¯� � , ime-

diatamenteapos a chave ser fechada. Imediatamenteapos o fechamentoda chave o indutor agede modoaevitar o rapidocrescimentodacorrentenamalhaqueocontem,demodoquenaqueleinstantetemos

� > � � e� s �[�. Portanto

� S �[� , demodoque� s �[�z� *3�- D¡£¢e � > �O�²�/� s �O� � ( �k� *3�- D¡£¢ � 4

(b) Quando� > �O� s ,� *-�- D¡£¢ � ( �/� *3�- D¡£¢ _

demodoque� *3�- D¡£¢ � (A _ ouseja,�� ced A 4

1.2.4 Energia Armazenadanum CampoMagnetico– (29/37)

E 33-29.

A energiaarmazenadanumcertoindutore A � mJquan-do a correntee B�� mA. (a) Calculara indutancia. (b)Quecorrentee necessariaparaa energia magneticaar-mazenadaserquatrovezesmaior?� (a) Como Þ F� s> �$� > � A � mJ,obtemosfacilmente�Ý��A Þ � > �ßA & A �9&/(0�+*-,% B'&()� *-, . > � ( ? 4 ��® H 4(b) ParaquetenhamosÞ�à � �+Þ 5� (0�� mJ, precisa-mosdeumacorrenteiguala�z�Pá A Þ à� � á A &/(0��9&/(0� *3,( ? 4 ��®� �Z4e( A A

� ( A � mA 4E 33-31.

Uma bobina com uma indutancia de A H e uma re-sistenciade ()�âµ e subitamenteligada a uma bateriaderesistenciadesprezıvel com � � (0�� Volts. (a) Qualsera a correntede equilıbrio? (b) Que quantidadedeenergiaestaraarmazenadanocampomagneticoquandoestacorrentefor atingida?� (a)

�z� � �� ()� A 4(b) Þ � (A �"� > � % �Z4J��. %�A . % (0�W. > � (0�� J4E 33-32.

Uma bobina com uma indutancia de A H e uma re-sistenciade (0��µ e subitamenteligadaa umabateriaderesistenciadesprezıvel com � � ()�� V. Apos �G4m( s dea ligacao ter sido feita, quaissao astaxascom que(a)a energia esta sendoarmazenadano campomagnetico,



(b) aenergiatermicaestaaparecendoe(c) aenergiaestasendofornecidapelabateria?� Duranteacarga,acorrenteecontroladapelaequaçao� % � . � �� V ( �k� *3�- D¡£¢ X � (0� V ( �k� *3§¬ X 4(a) Þ % � . � (A � ± � % � . ´ >� (0�� V ( �k� *3§¬ X >� (0�� V ( � A � *-§� n � * s S X 4ã

campo

� � Þ ��Päää x S Ë s s� (0��zV�(0� � *3§�Ì S Ë s � ()� � * s S Ì S Ë s Xj A�? �Z4 B��+( J/s4(b) A potenciadissipadapela resistenciaem qualquerinstante

�eã � % � . � ± � % � . ´ > � e,portanto,ã � % �� Z4e(). � V�(0��åæ( �k� *3§�Ì S Ë s¬ç X > &()�j ()��I4 �G(0� W 4

(c) A potenciafornecidapelabateriaem qualquerins-tante

�eã

bat % � . � � � % � . . No instante�"� �G4m( s temosã

bat % �$� �Z4e(). � � >�ÚV�( �k� *3§�Ì S Ë s X j ? ® ? 4 ��B�® J/s4Tendocalculadoestetresvalores,podemosverificarseexisteounaoconservacaodaenergia:

ãcampon ã � �[ã bat 4

Verificamosquerealmenteexiste: (��I4 �G(0� n A�? �Z4 B��Z( �? ® ? 4 ��B�® .P 33-33.

Suponhaquea constantede tempoindutiva parao cir-cuito da Fig. 33-6 sejade ? � ms e que a correntenocircuito sejazerono instante

�¯� � . Em queinstanteataxadedissipaçao deenergia no resistore igual a taxacomqueaenergiaesta sendoarmazenadano indutor?� Dizer-sequea dissipaçaono resitore igual a taxadearmazenamentodeenergia no indutorequivalea dizer-seque �[� > � � ¢ � 4

A correntequeobedecea condicaoinicial e�� OV ( �/� *-�- D¡¬¢ X 4Comosabemosque� ¢ �5�Ý�� , podemosre-escreveraprimeiradasequaçoesacima,ja tendoeliminadoo fa-tor�

comumaosdoismembrose lembrandoque

¨ ¢ �� , como �5�è� � �� ^V ( �k� *-�- D¡£¢ X � � V � �� X V �� X � *3�- D¡£¢( �k� *-�- D¡£¢ � � *-�- D¡£¢( � A � *3 D¡£« cmd V (A²X � � �¨ ¢ 4

Consequentemente,�º� � ¨ ¢ ced V (A²X� � ? ��& % � �Z4 B�® ? (). � A �+4 B ms4P 33-34.

Umabobinaesta ligadaemseriecomum resistorde ()�k µ . Quandoumabateriade �� V e ligadaaocircuito,a correnteatingeo valor de A mA apos � ms. (a) De-terminea indutanciadabobina. (b) Quequantidadedeenergiaesta armazenadanabobinanestemomento?� (a) Seabateriaeaplicadanoinstante

�$� � , acorren-te e dadapor �� V ( �k� *I D¡£« X _onde� ea femdabateria,

�ea resistenciae

¨ ¢ �O��e a constantedetempoindutiva.Portanto� *3 D¡¬« � ( � �W��dondesai � �¨ ¢ � ced � ( � �E�� 4Numericamentetemos

cmd V ( � �W�� X � ced V ( � %@A &/(0�Z*3,). % ()�'&()��,p.�� X� � �Z4J�+()�� _http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina10


fazendocom que a constantede tempo indutiva sejadadapor

¨ ¢ �é�¬� �Z4J�+()�� % �ê&O()�+*3, s. � �G4 �Z(0�� ®Z4½��®C&/(0�Z*3, se,finalmente,�F�O� ¨ ¢ � % ®G4J��®9&/(0� *3, s. % (0�'&/(0� , µ°.� ®W�+4 ® H 4(b) A energiaarmazenadanabobinaeÞ F� (A �$� > � (A % ®E�E4 ®�. %@A &/(0� *-, . >� (�4 ®�BC&/(0� *3H J4P 33-37.

Prove que,quandoa chave Ù da Fig. 33-5 e giradadaposicao h paraa posicao f , todaenergiaarmazenadanoindutoraparececomoenergia termicano resistor.� Suponhaquea chave tenhaestadona posicao h porumtempolongo,demodoqueacorrentetenhaatingidoseuvalor deequilıbrio

� S . A energiaarmazenadano in-dutore Þ ��$� >S � A . Entao,no instante

� � � , a chavee colocadanaposicao f . A partir deentaoa correnteedadapor ��[� S � *I D¡£«� _onde

¨ ¢ e a constantede tempo indutiva, dada por

¨ ¢ �O� �� . A taxacomaqualaenergia termicaegera-dano resistoreã��[� > ��[� >S �� * > D¡£« 4Duranteumperıodolongodetempoaenergiadissipadae ë � �FìS ã/��×� � >S � �FìS � * > D¡£« �� (A � >S �

¨ ¢ � * > D¡£«� äää ìS� (A � >S �¨ ¢ 4

Substituindo-se ¢ �O�� nestaexpressaotem-seë � (A �$� >S _quee identicaa energia Þ originalmentearmazenadano indutor.

1.2.5 Densidade de Energia de um CampoMagnetico– (38/46)

E 33-38.

Um solenoidetemum comprimentode �W� cm e seccaotransversaldeareaigual a (�� cm> . Existem®�� espirasdefio transportandoumacorrentede BG4 B A. (a)Calculeadensidadedeenergiadocampomagneticonointeriordosolenoide. (b) Determine,nessaregiao,a energia totalarmazenadano campomagnetico. (Desprezeosefeitosdasextremidades.)� (a) Em qualquer ponto, a densidadede energiamagnetica e dadapor í �î6 > � %@A�R S . , onde

6e a

magnitudedo campomagneticonaqueleponto.Dentrodo solenoide

6ï� R S Q � , onde Q e o numerodeespiraspor unidadede comprimentoe

�e a corrente.No pre-

sentecaso,Q � % ®W��. � % �Z4 �� m. � (�4e(�(0�¯&U()��, m * s 4 Adensidadedeenergiamagneticaeí � (A R S Q > � >� (A % � : &/(0� *32 . % (�4m(�(0�C&()� , . >�% BZ4 B�. >� ? �G4 A J/m,�4(b) Comoo campomagneticoe uniformedentrodeumsolenoide ideal, a energia total armazenadae Þ �í Á , onde

Áe o volumedo solenoide.

Áe igual ao

produtoda seccao transversalpelo comprimento.Por-tantoÞ F� %@? �G4 A . % (��`&/(0� *IH . % �G4 �W��. � �I4 ®��&()� * > J4E 33-39.

Um indutor toroidal de ®�� mH delimita um volumede�G4 � A m, . Seadensidademediadeenergianotoroideforde �� J/m, , qual sera a correntequecirculano indutortoroidal?� A energia magnetica armazenadano toroide podeser escritade dois modosdistintos: Þ q�¦�"� > � A ouÞ � í Á , onde í e a densidademediadeenergiaeÁ

o volume. Portanto,igualandoasduasexpressoesobtemos�|� á A í Á� � ð AZ% �� J/m,). % �Z4 � A m,).®��C&()� *3, H� �Z4 �� A 4P 33-44.



(a) Determineumaexpressaoparaa densidadedeener-gia em funcao da distancia radial para o toroide doExemplo33-1. (b) Integrandoa densidadede energiapor todoo volumedo toroide,calculea energia totalar-mazenadano toroide;suponha

�]� �Z4J� A. (c) UsandoaEq. 33-24,calculea energia armazenadano toroidedi-retamentedaindutanciaecompareo resultadocomo doitem (b).� (a) A densidadede energia e dadapela Eq. 33-26,í �º6 > � %�A�R S . , sendoo campomagnetico de umtoroidedadopelaEq.31-22:

6P� R S �¾�� A�:=< . Portantoí � 6 >A�R=S ��%DR S �¾�U� A�:=< . >A�R=S ��R S � > � >� : > < > 4(b) Calculea integral Þ {�òñ í ��WÁ sobreo volumedo toroide. Considerecomoelementodevolumeo vo-lumecompreendidoentredoistoroidescoaxiaisderaios< e < n � < , comseuseixoscoincidindocomo eixo dotoroidedado.Nestecasotemosentao

�WÁt� A�:=< b � < , demodoque Þ � � í Ý�WÁ� �Fó� R=S � > � >� : > < > A�:=< b � <� (� : R S � > � > b ced Vgfh X 4Explicitamente,Þ � % � : &()� *32 . % �G4 ��. > % ( A ��W. > % ( ? &/(0� *-, .� : && cmd V ®�� ATX� ? 4 ��B9&/(0� *IH J4(c) A indutancia

�e fornecidapelaEq.33-7:��R S � >0bA�: cmd V fh X 4

Portanto,usandoa Eq.33-24,temosÞ � (A �$� > � R=S � > � >0b� : ced V fh X 4Como nao poderia deixar de ser, esta expressao eidenticaa encontradanaparte(b).

1.2.6 Indut anciaMutua – (47/53)

E 33-47.

Duasbobinasestaoemposicoesfixas.Quandonabobi-na ( naoha correntee nabobina A existeumacorrentequecrescenumataxaconstantede ()� A/s, a femnabo-bina ( vale A � mV. (a) Qualea indutanciamutuadestasbobinas?(b) Quandonao ha correntena bobina A e abobina ( e percorridaporumacorrentede ? 4 B A, qualeo fluxo atravesdabobinaA ?� (a) A indutanciamutua ô e dadapor� s � ô �� >�� _onde � s e a fem nabobina ( devida a correntequeestavariandonabobinaA . Portanto,ô � �� > �� ßA �9&()�+*3,()� � (�4 BW��&/(0� *-, H 4(b) O fluxo concatenadonabobina A e� > � > s � ô � s � % (�4 BW��&/(0� *3, . %D? 4 BW.� BZ4 �Z(�&()� *-, Wb 4P 33-49.

Duasbobinasestao ligadasconformemostraa Fig. 33-21. Suasindutanciasvalem

� se� > . O coeficientede

indutanciamutuae ô . (a) Mostrequea combinaçaopodesersubstituıdaporumaunicabobinadeindutanciaequivalentedadapor�

eq

�O� s n � > n A ô�4(b) ComoasbobinasdaFig. 33-21deveriamserligadasparaquea indutanciaequivalentefossedadapor�

eq

�O� s n � > � A ô�4(Esteproblemae uma extensao do Problema5, tendosido eliminadaa exigenciade quea distanciaentreasbobinasdeveriasermuitogrande.)� (a) Suponhaquea correnteestejavariandoa umata-xa��³��

e calculea fem total atravesde ambasbobi-nas.Considereprimeiroa bobinaa esquerda.O campomagnetico devido a correntenestabobinaapontaparaa esquerda.Tambem paraa esquerdaapontao cam-po magnetico devido a correntena bobina A . Quando



a correnteaumentaambososcamposaumentame am-basvariacoesno fluxo contribuemcomfem namesmadirecao.Portantoa femnabobina ( e� s �� % � s n ô{. �� 4O campomagneticonabobina A devido a correntenelaapontaparaaesquerda,comotambemo fazo camponabobina A devido a correntenabobina ( . As duasfontesde fem estao novamentena mesmadirecao e a fem nabobinaA e � > �� % � > n ô{. �� 4A femtotalatravesdeambasbobinase� � � s n � > �{� % � s n � > n A ô{. ��+4Estae exatamentea mesmafem queseriaproduzidaseas bobinasfossemsubstituidaspor uma unica bobinacomindutancia

�eq

�[� s n � > n A ô .(b) RevertaosterminaisdabobinaA demodoqueacor-renteentrepelapartede trasda bobinaem vez de en-trarpelafrentecomomostradonodiagrama.Nestecasoo campoproduzidopelabobina A no local ondeesta abobina ( opoe-seao campogeradopelabobina ( . Osfluxos tem sinaisopostos. Uma correntecrescentenabobina ( tendea aumentaro fluxo nelamasumacor-rentecrescentena bobina A tendea diminui-lo. A fematravesdabobina ( e� s �� % � s � ô{. �� 4Analogamente,a femnabobina A e� > �� % � > � ô{. �� 4A femtotalatravesdeambasbobinaseagora� � � s n � > �{� % � s n � > � A ô{. �� 4Estae exatamentea mesmafem queseriaproduzidaseas bobinasfossemsubstituidaspor uma unica bobinacomindutancia

�eq

�[� s n � > � A ô .

P 33-52.

A Fig. 33-24 mostra,em secao transversal, dois so-lenoides coaxiais. Mostre que o coeficientede in-dutancia mutua ô para um comprimento L destacombinaçaosolenoide-solenoidee dadoporô � : � >s L R S Q s Q > _onde Q s e o numerodeespiraspor unidadedecompri-mentodo solenoide ( e Q > e o numerode espiraspor

unidadedecomprimentodosolenoide A . � s e o raiodosolenoideinterno. Expliquepor que ô dependede

� smasnaodependede

� > , o raiodosolenoideexterno.� Assumaquea correnteno solenoide ( e�

e calculeo fluxo concatenadono solenoide A . A inducaomutuae igual a estefluxo dividido por

�. O campomagnetico

dentrodosolenoide ( e paraleloaoeixoe temmagnitu-de6Y� R S � Q s uniforme,ondeQ s e o numerodeespiras

por unidadede comprimentodo solenoide. A areadasecaoretado solenoidee : � >s e, comoo campoe per-pendiculara umasecao reta,o fluxo atravesda secaoretae �#�[8¯6Y� : � > s R=SpQ sy� 4Comoo campomagneticoenuloforadosolenoide,estee tambemo valor do fluxo atravesdeumasecaodo so-lenoide A . O numerodeespirasnumcomprimentoL dosolenoide A e

� > � Q > L eo fluxo concatenadoe� > �õ� Q > L : � > s R S Q s � 4A indutanciamutuae,portanto,ô � � > �� : � > s L R S Q s Q > 4ô nao dependede

� > porque nao existe campomagneticona regiaoentreossolenoides.Mudando

� >naosealterao fluxo atravesdosolenoide A ; masmudan-do� s

, o fluxo altera-se.� Usandoa Eq.33-33, ö > �Y� ô �� s �� . O fluxo entreo solenoidededentroeo defora e:� s > � � � s o �W�onde

6 seo campogeradopelacorrente

� sdosolenoide

dedentroe a integral e sobrea areadasecao transver-saldo solenoidede fora. Mas

61s'� R=SpQ sy�³s dentrodosolenoide ( e zerodo lado de fora. Assim, nao existecontribuicaoparaa integral na areaentreossolenoides(e, portanto,o tamanhodo solenoide A nao importa);entao, � > s �O6 s %D: � > . � R S Q s : � > s � s 4Comoexistem Q > L espirasno solenoide A numcompri-mentoL , segundoaLei deInducaodeFaraday, podemosescreveraseguinterelacao:

ö > �t� Q > L �E� > s�� Q > L R S Q s : � > s �� s�� t� ô �� s�� 4Portanto,comparandooscoeficientes,obtemosô � R S Q s Q > : � > s L 4



ExercıciosResolvidosdeOptica Fısica




MateriaparaaTERCEIRAprova. NumeraçaoconformeaSEXTA edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.


Conteudo

36 Interfer encia 236.1 A luz comoumaonda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 O experimentodeYoung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Intensidadedasfranjasdeinterferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.4 Interferenciaemfilmesfinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.5 O interferometrodeMichelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9


(listaq3.tex)



36 Interfer encia

36.1 A luz comouma onda

E 36-1 (40-1/4�

edicao)

O comprimentodeondada luz amarelado sodio no are de

��nm. (a) Qual e a frequenciada luz? (b) Qual

e o comprimentodeondada luz emum vidro comumındicede refracao de �� ? (c) Useos resultadosdositens(a)e(b) paracalcularavelocidadedaluz novidro. (a) �� Hz �(b) �"! �$# �% �&(' � �' � ��

nm�� nm�(c) # � �"! � ) � �� * ) � � � � � �� *� �� + � �� m/s�P 36-7 (40-11/4

�edicao)

Na Fig. 36.3, duasondasluminosasno ar, de compri-mentodeondade ,�� nm, estao inicialmenteemfase.A primeiraatravessaum blocodevidro deespessura-e ındicede refracao ' � � �� .�� . A segundaatravessaum bloco de plasticocom a mesmaespessurae ındicederefracao '0/ � �� . (a) Qual e o (menor)valor de -paraqueasondassaiamdosblocoscomumadiferencadefasede

� � . � rad?(b) Seasondasforemsuperpostasemumatela,qualserao tipo deinterferenciaresultante? (a) Suponhaa fasede ambasondascomosendoze-ro antesdeatingir a superfıcie dosmeioscomdiferen-tesındicesdedifracao. A fasedaprimeiraondanasu-perfıcie de trasdo vidro e dadapor 1 � �32 � -547698 ,onde

2 � ):� ��; & � � * e o numerodeondae� � e o com-

primentode ondano vidro. Analogamente,a fasedasegundaondana superfıcie de trasdo plasticoe dadapor 1 / �<2 / -=4>698 , onde

2 / ):� ��; & � / * e o numerodeondae

� / e o comprimentodeondanoplastico.As frequenciasangularessaoasmesmaspoisasondastemo mesmocomprimentodeondanoareafrequencia

daondanaomudaquandoela entraemoutromeio. Adiferencadefasee

1 � 4>1 / �?)@2 � 4 2 / * - � �A;CB�� 4 �� /�D -E�Temosque

� � � �ar &A' � , onde

�ar e o comprimentode

ondano ar e ' � e o ındicederefracaodo vidro. Analo-gamente,

� / � �ar &(' / , onde ' / e o ındicederefracao

doplastico.Isto tudofornece-nosumadiferencadefase

1 � 4>1 / � �A;�ar

) ' � 4 ' / * -E�O valorde - quetornatal diferenca iguala

� � . � e

- � ) 1 � 4=1 / * � ar�A; ) ' � 4 '0/ *� � � . � ) ,�� *�A; ) �� .F4G�� * � � � . � �� IH m �(b)

� � . � rad e menordo que�A; � .�� rad, que e

a diferenca de fasepara interferencia completamenteconstrutiva,emaiordoque

; � � �J��, rad,adiferencadefaseparainterferenciacompletamentedestrutiva. A in-terferenciaeportantointermediaria,nemcompletamen-te construtiva,nemcompletamentedestrutiva. Ela esta,entretanto,maispertodesercompletamenteconstrutivadoquedesercompletamentedestrutiva.

P 36-8 (40-12/4�

edicao)

As duasondasna Fig. 36.3 tem um comprimentodeondade

� �� nm no ar. Determinea diferenca de faseem comprimentode onda,depoisde asondasatraves-saremos meios � e

�, se (a) ' � � �� e '0/ � �� . e- � � � �LK

m; (b) ' � � �� . � e '0/ � �� +�� e - � � � �LKm;

(c) ' � � �� e '0/ � �� +�� e - � � � ��MKm; (d) Su-

ponhaqueem cadaumadestastressituacoesasondassejamsuperpostasnumatela. Descreva os tipos de in-terferenciaresultantes. A solucao do problemabaseia-sena seguinte ex-pressaoparaa diferencadefase:N 1 � �A;OQPPP -# / 4 -# � PPP � �A;OQPPP - �&(' / 4 - �&(' � PPP� �A; -� R '0/ 4 ' � R �(a) N 1 ��A; � � � � � �� H� �� ) �� .F4G�� * � �� +



(b) N 1IS�A; � � � � � �� H� �� ) �� +�� 4G�� . � * � �� +(c) N 1IT�A; �Q� � �� H� �� ) �� +A� 4U�� * � �� (d) Como

N 1IS � N 1 � , a intensidadedeveseramesmanassituacoes(a)e (b). Poroutrolado,como

N 1IT & ) �A; *e

N 1 � & ) ��; * diferemambasde um numerointeiro por�� , a intensidadeno caso(c) tambem coincide comaquelade(a)e (b).Surpreendentea interpretaçao e utilidadeda partefra-cionariadosnumeros,nao?Poise!... :-)

P 36-9 (40-14/4�

edicao)

Duasondasluminosasno ar, de comprimentode on-da .�� nm, estao inicialmenteem fase. As ondaspas-sampor camadasdeplastico,comonaFig. 36.28,com- � � , K

m, - / � � � �FKm, ' � � �� , e '0/ � �� . . (a)

Qualsera a diferenca defase,emcomprimentosdeon-da,quandoasondassaıremdosdoisblocos?(b) Seasondasforem superpostasnumatela, que tipo de inter-ferenciasera observada? (a) O comprimentode onda

��V � .�� nm fora dascamadasde plastico(i.e. no ar ou, aproximadamente,novacuo)esta relacionadocomo comprimentodeonda�"W

num meio com ındicede refracao ' atravesda ex-pressao

�"W � � V &A' . Portanto,a diferenca de faseemtermosdocomprimentodeondaedadapor

1 � BX- /�YV &A' /[Z - � 4\- /��V D 4 BX- ��YV &A' � D� �� V B - / ) ' / 4G� * Z - � ) �L4 ' � * D� � Km.�� nm ] ) � � � * ) �� .F4U� * Z ) , * ) �E4U�� , *_^� �� H.�� I� ) �� * � �. � �Y� � � �

(b) A interferenciaobservadasera intermediaria, maispertodedestrutiva,umavezquea diferenca defaseemtermosdocomprimentodeondae �Y� � � , queemaisper-to de � (interferenciaconstrutiva pura) do que de �� (interferenciadestrutivapura).

P 36-10 (40-13/4�

edicao)

Na Fig. 36.3, duasondasluminosasde comprimentodeonda . � � nm estao inicialmentedefasadasde

;rad.

Os ındicesde refracao dos meios sao ' � � �� , � e'0/ � �� . � . (a) Qual o menorvalor de - paraqueasondasestejamem fasedepoisde passarempelosdoismeios?(b) Qualo segundomenorvalor de - paraqueistoaconteça? (a) Para resolver esteproblemausamosa mesmaformuladerivadana solucao do problema36-8 acima.Seja N 1 � �A; -� R ' � 4 '0/ R �?) � ' Z � * ;a`' � � ` � `b�c` �d�� , quefornece

- min� - R W�e V � �� R ' � 4 '0/ R� . � �� R �� , � 4U�� . � R� � �� nm

� �� fKm �

(b) O proximo valor paraestaremem faseocorrepara' � � , o quefornece

- � � � �� R ' � 4 ' / R � � ) �� fKm* � ,"� . �fK

m �36.2 O experimentodeYoung

E 36-11 (40-15/4�

edicao)

Duasfendasparalelas,a+ � +gK

m dedistanciaumadaou-tra,saoiluminadascomumaluz verdemonocromatica,decomprimentodeondade

�� nm. Calculea posicaoangular( h naFig.36.8[40-9]) dafranjaclaradeterceiraordem( i � � ) (a)emradianose(b) emgraus. (a) DaEq.36.14[40-12]obtemosparai � �

h �sen� � B"i �j D�sen� � B � ) �� *+ � + � ��H D � �� . rad�

(b)

h �?) �Y� � ��. rad* Bf� � ��k;radD � � � � � + k �



E 36-13 (40-18/4�

edicao)

O experimentode Young e executadocom luz azul-esverdeadade comprimentode onda de

� �� nm. Adistancia entre as fendase de �� mm e a tela deobservacao esta a

� � , m das fendas. Qual e oespaçamentoentreasfranjasclaras? A condicaodemaximoe

jsenh � i �

, ondej

e aseparaçaodasfendas,

�o comprimentodeonda,i eum

inteiro,e h eo angulofeitopelosraiosqueinterferemeoeixoperpendicularasuperfıciecontendoasfendas.Sehe pequeno,senh podeseraproximadopor h , emradia-nos. Nestecasotemosh j � i �

e a separaçaoangulardosmaximosadjacentes,umassociadoaointeiro i e ooutroassociadoaointeiro i Z � , edadapor

N h � � & j .Comisto,aseparaçaosobreumatelaaumadistanciale dadaporN[m � l N h � � lj � ) � �� I� * ) � � , *�� c�In� � � �� In m

� � � �� mm�E 36-14 (40-21/4

�edicao)

Em um experimentodeYoung,a distanciaentreasfen-dase de �� vezeso valor do comprimentodeondadaluz usadaparailumina-las. (a) Qual e a separaçao an-gularemradianosentreo maximodeinterferenciacen-tral e o maisproximo? (b) Qual e a distanciaentrees-tesmaximossea teladeobservacaoestiver a

� � cm dedistanciadasfendas? (a) O maximoadjacenteao maximocentrale o quecorrespondea i � � demodoque

h � �sen� � B"i �j D PPP o e ��sen� � B ) � * ) � *�� D � �� rad�

(b) Comom � � l sen h � �<) � � cm* sen) �Y� �Y� rad* � �

mm

a separaçaoeNpm � m � 4 m VC� m � 4\� � �mm�

P 36-19 (40-24/4�

edicao)

Em um experimentodeYoung,a distanciaentreasfen-dase

�mmeasfendasestaoa � m dateladeobservacao.

Duasfigurasde interferenciapodemservistasna tela,umaproduzidapor umaluz comcomprimentodeondade , � � nmeoutraporumaluz decomprimentodeondade .�� nm. Qual e a distanciana tela entreasfranjasde terceiraordem( i � � ) dasduasfigurasde inter-ferencia? Osmaximosdeum padraode interferenciadefendaduplaaparecememangulosh dadospor

jsen h � i �

,onde

je a separaçao dasfendas,

�o comprimentode

onda,e i um nunerointeiro. Se h for pequeno,sen hpodesersubstituidopor h emradianos.Nestecaso,te-mosmaissimplesmenteque h j � i �

.[PercebaqueEVITAMOS escrever

j h � i �paramini-

mizara possibilidadedeconfusaocomalgumelementodiferencialdeangulo

j h . Umanotacaocoerenteeapro-priadasalvamuitagentenahoradaprova....:-) ]A separaçaoangulardosdoismaximosassociadoscomcomprimentosdeondadiferentesmascomo mesmova-lor de i e N h � i j ) � / 4 � � *easeparaçao

Npmobservadanumatelalocalizadaauma

distancial eNpm � l tanN h[q5l N h � B"i�lj D ) � / 4 � � * �

Comousamosa aproximaçaotan h�q N h , observe queN h deveestaremradianos.Emnumeros,temos,Npm � ] � ) �� *� � ��c��n ^ ) .��F4r, � � * � �� + � � � �� Is m

� �� +�� mm� +��LK

m �P 36-20 (40-27/4

�edicao)

Na Fig. 36.29, t � e t / sao fontesqueproduzemondasemfase,demesmaamplitudee como mesmocompri-mentodeonda

�. A distanciaentreasfontese

j � � � .Determinea maiordistanciaa partir de t � , aolongodoeixo u , paraa qualasduasondasseanulamtotalmentepor interferenciadestrutiva. Expresseestadistanciaemcomprimentosdeonda. Chamemostal distanciade u . Entao

R N 1 R � ��;�wvyx j / Z u /o 4ru oFz �{) � i Z � * ;a`http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina4 de10


ondei � � ` � `|�c` �d�d� . Consequentemente,

u o � j /) � i Z � * � 4 ) � i Z � * �, �O maiorvalorde u o e obtidoparai � � :

u VC� j /� 4 � , � ) � � * /� 4 � , � � � +�� P 36-21 (40-28/4

�edicao)

Um fino floco de mica ( ' � �� ) e usadoparacobrirumadasfendasemum experimentodeYoung. O pon-to centralda tela passaa ser ocupadopelo que era asetimafranjaclara( i � +

) quandoa fendaestava livre.se

� � �� nm, qual e a espessurado floco de mica?(Sugestao: Considereo comprimentodeondadaluz nointeriordoflocodemica.) Considereasduasondas,umadecadafenda,quepro-duzema setimafranjaclaranaausenciada mica. Elasestao em fasenasfendase viajam distanciasdiferen-tesate a setimafranjaclara,ondea diferenca de fasee�A; i � �d, ; . Quandoum floco demicadeespessuraue colocadana frentedeumadasfendase asondasnaoestao maisem fasenasfendas.Nasfendas,suasfasesdiferemde1 � �A; u� o 4 �A; u� � �A; u� ) ' 4U� * �onde

� o eo comprimentodeondanamica, ' eo ındicede refracao da mica, e usamosrelacao

� o � � &(' ,�

sendoo comprimentodeondanovacuo.Comoasondasestaoagoraemfasenatela,devemoster�A; u� ) ' 4U� * � �d, ;a`dondetiramosque} � + �' 4G� � + ) �� *�� 4U�� .�� .�, � �� IH m

� .Y� .�, Km �

P 36-22 (40-32/4�

edicao)

A luz deum lasercomcomprimentodeondade . � � � �nmpassaporduasfendaslocalizadasemumtelanapar-te da frentedeumasaladeaula,e refletidapor um es-pelhosituadoa

� � m de distancia,no fundo da sala,eproduzumafigura de interferenciana mesmatela que

contem as fendas. A distanciaentreduasfranjascla-ras adjacentese �� cm. (a) Qual e a distanciaentreas fendas? (b) O queacontececom a figura de inter-ferenciaquandoo professorcobreumadasfendascomum pedaço de celofane,aumentandode

� � � o numerodecomprimentosdeondapercorridospelaluz no traje-to quepassapelocelofane? (a) Aqui, use

N[m � l � & j obtendoj � � lNpm � ) . � � � � � �� * ) � � � � *��~�� Y� �� mm�Observe o fator

�acima:ele e devido ao fatoda luz ir

e voltar atravesda sala! O “D” refere-seao caminhoopticototal.(b) Nestecasoa figurade interferenciasera deslocado.Porexemplo,comono localdomaximocentraloriginaladiferenca defaseeagoraN 1 � N ):2 - * ��2 N - � ��;� ) � � � � * � �A;aèxistira ali ummınimoemvezdeummaximo.

36.3 Intensidade das franjas de inter-ferencia

E 36-24 (40-41/4�

edicao)

Determineasomam ) 8 * dasseguintesfuncoes:m � ) 8 * � �� sen698 e

m / ) 8 * � �sen

) 698 Z � � k * �[Nota: percebaquenesteenunciadoescrevemosexplici-tamentea dependenciatemporaldecadagrandeza,como intuito dedistinguirmaisclaramenteasgrandezasquevariamno tempodaquelasquenaovariam.] Seguimosaquio problemaresolvido36.3. Num ins-tantedetempo8 qualquertemosm ) 8 * � m � ) 8 * Z m / ) 8 * �Escolhendo

m � ) 8 * comoreferencia,para8 � � temosasseguintescomponenteshorizontale verticalde

m ) � *m�� 9��c� k Z � �� k � �� Z .�� .�� `m�� sen� k Z �sen� � k � � Z , � ,"�

A ondaresultantetem umaamplitudem��

[que e cons-tanteno tempo]dadaporm�� x ) ��.�� * / Z , / � � + � , `



e um angulode fase � em relacao ao fasorm � ) 8 * dado

por

� �tg � � B m��m � D �

tg � � B�,��.�� D � � � � �� k �Portanto,a somadesejadaem ) 8 * � � + � , sen

) 698 Z � � � �� k * �P 36-27 (40-40/4

�edicao)t � e t / naFig. 36.29sao fontespuntiformesdeondas

eletromagneticascomumcomprimentodeondade � m.As fontesestao separadaspor umadistancia

j � , me as ondasemitidasestao em fasee tem intensidadesiguais.(a)Seumdetectorfor colocadoparaadireitaaolongodo eixo u a partir dafonte t � , a quedistanciadet � seraodetectadasostresprimeirosmaximosdeinter-ferencia? (b) A intensidadedo mınimo maisproximoe exatamentezero? (Sugestao: O queacontececom aintensidadeda ondaemitidapor umafonte puntiformequandonosafastamosdafonte?) (a) Paraatingiro detector, aondaquevemde t � via-ja umadistanciau , enquantoquea ondaquevemde t /viaja � j / Z u / . A diferenca defasedasduasondaseN 1 � �A;� B x j / Z u / 4\u D ònde

�e o comprimentode onda. Para se ter um

maximo de intensidade,talN 1 deve ser um multiplo

de�A;

, o quenosfornecea condicaox j / Z u / 4\u � i � ònde i e um numerointeiro. Escrevendoa equaçaoacimasoba forma � j / Z u / � u Z i �

, elevando-aaoquadradoe simplificandoo resultado,obtemos

u � j / 4\i / � /� i � �O maiorvalorde i queproduzumvalorde u positivo ei � � . Tal valorcorrespondeaomaximomaisproximode t � , localizadoem

u � , / 4 � / ) � * /) � * ) � * ) � * � +. � ��~� + m �O proximo maximo( i � �

) estalocalizadoem u � �m. O maximo seguinte ( i � � ) estalocalizadoemu � + � � m.

(b) Mınimosde intensidadeocorremondea diferencadefasee

;rad.A intensidadenolocaldomınimonaoe

nulapoisasamplitudesdasondassaodiferentes.Embo-ra asamplitudessejamasmesmasnasfontes,asondasviajamdistanciasdiferentesparachegaraopontodein-tensidademınima,comcadaamplitudedecrescendonaproporcaoinversadadistanciaviajada.

36.4 Interfer enciaemfilmesfinos

E 36-31 (40-47/4�

edicao)

Umaondaluminosadecomprimentodeondade��

nmincide perpendicularmenteem uma pelıcula de sabao( ' � �� ) de espessura�� K

m, suspensano ar. Aluz refletidapelasduassuperfıciesdo filme sofreinter-ferenciadestrutivaouconstrutiva? A reflexaonasuperfıcieanteriormudaafasede

;, en-

quantoquea reflexaonasuperfıcieposteriornaomuda-a. Portantoanaturezadainterferenciadependeraapenasdamudançadefasesofridadentro dapelıculadesabao.Sabemosquea naturezada interferenciae regidapelasequaçoes:

construtiva � � - � v i Z �� z �"� `destrutiva � � - � i �� `

onde��

e o comprimentode ondadentrodo filme desabao, queobedece

�� &A' , onde ' e o ındice derefrecao da pelıcula de sabao e

�e o comprimentode

ondano vacuo. Em outraspalavras, equivalentemen-te asexpressoesacima(e ja emtermosdasquantidadesqueo problemanor fornece),temosque

construtiva � � - ' � v i Z �� z � `destrutiva � � - ' � i � `

Destasexpressoesvemosclaramentequea naturezadainterferenciae determinadapelovalordaquantidade� - '� � � ) �� H * ) �� *�� f`quenosdiz ser i � �

e a interferenciaconstrutiva. Eisaquiumamaneiratalvezumpoucomaistrabalho-sadeobtero mesmoresultado.A onda refletida pela superfıcie anterior sofre ummudança defasede

;pois incidedo ar sobreum meio

de maior ındice de refracao. A faseda ondarefletida



pelasuperfıcieposteriornaomudanareflexao,umavezqueo meioforadelaeo ar, cujoındicederefracaoeme-nor doqueo ındicedapelıculadesabao.Chamandode- a espessuradapelıcula, tal ondaviaja umadistancia� - amaisdoqueaondarefletidanasuperfıcieanterior.A diferencadefasee

� - ) ��; & � � * 4 ;, onde

� �eo com-

primentodeondano filme. Sendo�

o comprimentodeondano vacuoe ' o ındicede refracao da pelıcula desabao,entao

� � � � &A' e adiferenca defasee

1 � � ' - B �A;� D 4 ;� � ) �� * ) �� H * B ��;�� D 4 ;� �� ; rad�

Comoa diferenca defasee um multiplo parde;

, a in-terferenciae completamenteconstrutiva.Noteque �� ; � � � ) ��; * , fornecendo-nosi � �

, comoacimaobtido.

Percebaque as duas maneirasde tratar o problemaprovem de podermoscolocara enfaseou na diferencadefaseou nadiferenca entre asdistanciaspercorridas,conformea Eq.36.28[Eq. 40-25]do livro texto:�

diferencadefase � � �A;� �

diferenca entreasdistanciaspercorridas� �

E 36-33 (40-48/4�

edicao)

Umaondaluminosadecomprimentodeondade . � , nmincide perpendicularmenteem uma pelıcula de sabao(com ' � �� ) suspensano ar. Quaisasduasmeno-resespessurasdo filme paraasquaisasondasrefletidaspelofilme sofreminterferenciaconstrutiva? ParainterferenciaconstrutivausamosaEq.36.34[40-27]: � '0/ - �{) i Z �� * � �Os dois menoresvaloresde - sao aquelescorrespon-dentesa i � � e i � � , ouseja,

- V � � & �� '0/ � . � , nm, ) �� * � �� + nm� �Y�J�� +�K

m`

e,parai � � ,- � �Q� � & �� ' / � � - V�� ) �Y�J�� +�K

m* � �� Km �

Percebaa utilidade e conveniencia de estabelecer-seanaliticamenteque - � � � - V

: evita-se refazercon-tasja feitas,reduz-sea possibilidadedeerrar, e ganha-senocaodamagnituderelativa dasgrandezasemjogo.Acostume-sesemprea fazeralgebra(treinarseusneu-ronios!!) antesdeprecipitar-separaa calculadora!

E 36-34 (40-50/4�

edicao)

Uma lentecom ındicede refracao maior do que �� erevestidacom um filme fino transparentede ındicederefracao �� paraeliminarpr interferenciaareflexaodeumaluz decomprimentodeonda

�queincideperpen-

dicularmentea lente. Quala menorespessurapossıvelparao filme? Comoa lentetemum ındicederefracaomaiorqueofilme fino, existeum deslocamentode fasede

;na re-

flexaoda interfacelente-filme,quecancelacomo des-locamentode fasede

;devido a reflexao da interface

filme-ar. Portantonaoexiste nenhumdeslocamentodefaseefetivoe a condicaoparainterferenciadestrutiva e� ' / - �?) i Z �� * � �O menorvalorde - e obtidoparai � � :- min

� �, '0/ � �, ) �� * � �Y� � � �E 36-35 (40-52/4

�edicao)

Osdiamantesdeimitacaousadosemjoiassaofeitosdevidro com ındicede refracaode �� . Paraquereflitammelhora luz, costuma-serevesti-loscom umacamadademonoxido desilıcio de ındicede refracao igual a

�.

Determinea menorespessurapossıvel da camadaparaqueumaondadecomprimentodeondade

� .�� nme in-cidenciaperpendicularsofrainterferenciaconstrutivaaoserrefletidapelassuasduassuperfıcies. A reflexaonasuperfıcieanteriormudaafasede

;, en-

quantoquea reflexaonasuperfıcieposteriornaomuda-a. Portantoanaturezadainterferenciadependeraapenasdamudança defasesofridadentro dapelıculadereves-timentocujo ındicede refracao e ' � �

, menorqueoındice �� do ‘diamante’.Reconhecemosque o problemae semelhanteao pro-blema36-31 (40-47) acima,com a naturezada inter-ferenciasendoregidapelasexpressoes

construtiva � � - ' � v i Z �� z � `http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7 de10


destrutiva � � - ' � i � `Paratermosinterferenciaconstrutiva, com i � � ve-mosquea espessuradorevestimentodeveserdadopor

- � �, ' � � .�� , ) � � � * � + � �� m� + � nm�

Percebaquea situacaomudariaradicalmenteseemvezde lidar com um diamantefalso, com '�� , esti-vessemoslidandocomum diamantereal,paraosquais'\� � � � . A luz refletidapelasuperfıciefrontaldorevestimentosofreumamudançadefasede

;rad,enquantoquealuz

refletidapelasuperfıciedetrasnaomudaa fase.Sendo- a espessurado revestimento,a luz refletidapelasu-perfıcie de trasviaja umadistancia

� - a maisdo quealuz refletidapelasuperfıcie frontal.A diferenca de fasedasduasondase

� - ) ��; & �"� * 4 ;,

onde�"�

eo comprimentodeondadaluz norevestimen-to. Se

�for o comprimentode ondano vacuo,entao� �C� � &(' , onde' e o ındicederefracaodorevestimen-

to. Portantoadiferenca defasee� - B �A; '� D 4 ; �Parainterferenciatotalmenteconstrutivataldiferencadefasedeveserummultiplo de

�A;, ouseja,� - B �A; '� D 4 ; � � i ;a`

onde i e um numerointeiro. Estaequaçao e um rear-ranjodaEq.36.34[40-27]. A solucaoprocuradae

- � ) � i Z � * �, ' �Paradeterminaramenorespessuradorevestimentobas-ta tomar i � � . Nestecaso,obtemos

- � �, ' � � .�� , ) � � � * � + � �� m� + � nm�

Percebaque as duas maneirasde tratar o problemaprovem de podermoscolocara enfaseou na diferencadefaseou nadiferenca entre asdistanciaspercorridas,conformea Eq.36.28[Eq. 40-25]do livro texto:�

diferencadefase � � �A;� �

diferenca entreasdistanciaspercorridas� �

P 36-43 (40-65/4�

edicao)

NaFig.36.33,umafontedeluz (decomprimentodeon-dade . � � nm) ilumina perpendicularmenteduasplacasdevidrode � � � mmdelarguraquesetocamemumadasextremidadeseestaoseparadasporumfio de �Y� ��, � mmdediametronaoutraextremidade.O ar entreasplacassecomportacomoum filme fino. Quantasfranjascla-rassao vistaspor um observadorque olha parabaixoatravesdaplacasuperior?[Nota: na , � edicaodo livrousa-se

� � . � � nm.] Considerea interferenciadasondasrefletidaspelassuperfıciessuperiore inferior do filme de ar. A ondarefletidapelasuperfıciesuperiornaomudaa fasenare-flexao,masaondarefletidapelasuperfıciedebaixomu-daafaseem

;rad.Numlugarondeaespessuradofilme

dear e - acondicaoparainterferanciatotalmentecons-trutivae

� - �?) i Z � & � * � , onde�

eo comprimentodeondae i e umnumerointeiro.O maiorvalorde i parao qual - emenordoque �Y� ��, �mm (

� , �MKm) e i � �d,�� , pois paratal valor de i

encontramos

- � ) i Z � & � * �� ) ��,�� * ) . � �p� �� *�� ,Y� +A� � �� Is m� , + � �EK

m �Para i � ��,Y� ja encontramosmais que �� , � mm(� , �EK

m):

- � ) i Z � & � * �� ) ��,Y�� * ) . � �p� �� *�� ,Y� � �M� �� Is m� , � � � K

m �Naextremidademaisfinadofilmedearexisteumafran-ja brancaassociadacom i � � e,assimsendo,no totaltemos��,�� Z � � �d,"� franjasclaras.

P 36-49 (40-72/4�

edicao)

A Fig. 36.34amostraumalentecomraio de curvatura�pousadaemumaplacadevidro e iluminadadecima

por umaluz decomprimentode onda�. Associadasa

espessuravariavelj

dofilme dear, aparecemfranjasdeinterferenciacirculares(oschamadosaneisdeNewton),comomostraaFig.36.34b. Determineosraios� doscir-culosquecorrespondemaosmaximosde interferencia,supondoque � & �� . Considereo padrao de interferenciaformadopelasondasrefletidasnassuperfıciessuperioreinferiordacu-nhadear. A ondarefletidadasuperfıcie debaixosofreumamudança defasede

;radenquantoquea ondare-

fletida pelasuperfıcie superiornao mudaa fase. Num



localondeaespessuradacunhaej, acondicaoparaum

maximodeintensidadee� j �?) i Z � & � * � , onde

�e o

comprimentodeondano ar e i e um inteiro. Portanto,j �<) � i Z � * � & , .Da geometriadaFig. 36.34temos

j � � 4 � � / 4r� / ,onde

�e o raio decurvaturadalentee � e o raiodeum

aneldeNewton. Portanto) � i Z � * �, � � 4 x � / 4\� / òu,rearranjando,x � / 4\� / � � 4 ) � i Z � * �, `dondeobtemosfinalmenteque

� �<� ) � i Z � * � �� 4 ) � i Z � * / � /��. �Quando

�e muito maior do queum comprimentode

onda,o primeirotermodominao segundoe temos

� �?� ) � i Z � * � �� P 36-53 (40-84/4

�edicao)

Na Fig. 36.35,um transmissordemicroondassituadoaumaaltura � acimado nıvel da aguadeum lago trans-mitemicroondasdecomprimentodeonda

�emdirecao

a um receptorna margemoposta,situadoa umaalturau acimado nıvel da agua. As microondasquesao re-fletidasna aguainterferemcom asmicroondasquesepropagamdiretamenteatravesdoar. Supondoquealar-gura l dolagosejamuitomaiorque � e u , eque

�� ,paraquevaloresde u o sinalquechegaaoreceptortemomaximodeintensidadepossıvel? (Sugestao: A reflexaoproduzumamudança defase?)

Considereo diagramaacima. Comoseve, dois cami-nhosconduzemdafonte t ate o receptor

�: o caminho

� , direto de t para�

, e o caminho�, quesofre uma

reflexao num ponto � sobrea superfıcie da agua. Talreflexaocausaumamudança de

;nafase,demodoque

acondicaopararecepçaomaximae dadapor

- / 4>- � � v i Z �� z � ` i � � ` � `|�c` ��d� ònde - � � R t � R � x l / Z ) �p4ru * / e - / � R ta� R ZR � � R . Da figura vemosque R ta� RC��R � � R , onde � ea imagemda fonte t quandorefletidadentroda agua.Obviamente,ospontos� , � e

�estaotodossobreuma

mesmalinhareta.Portanto,- / � R � � R Z R � � R � R � � R ,onde R � � R pode ser calculadousando-seo trianguloretangulo“dentro da agua”, com catetosl e u Z � ehipotenusaR � � R :R � � R � x R �� pR / Z R � MR / � x l / Z ) � Z u * / �Quandol%¡ ) �£¢¤u * podemosusara aproximaçao

x l / Z ) �F¢¤u * / q¥l ] � Z �� B��F¢=ul D / ^ `demodoqueacondicaopararecepçaomaximareduz-sea

- / 4\- � � l ] � Z �� B"� Z ul D / ^4El ] � Z �� BY�[4rul D / ^

q � ��ul � v i Z �� z � `dondeobtemosque

u � v i Z �� z � l� � �36.5 O interfer ometro deMichelson

E 36-55 (40-78/4�

edicao)

Se o espelho¦ / de um interferometrode Michelson(Fig. 36.17)e deslocadode �� mm,isto fazcomqueasfranjassedesloquemde

+A��posicoes.Qualeo com-

primentodeondadaluz usada? Um deslocamentodeumafranjacorrespondea umamudança de um comprimentode ondano tamanhodocaminhooptico. Quandoo espelhoe deslocadodeuma



distanciaj, ocaminhoopticomudade

� jpoisaluzatra-

vessaduplamenteo braco quecontemo espelho.Cha-memosde § a quantidadedefranjasdeslocadas.Entao� j � § �

, dondetiramos� � � j§ � � ) �� p� �� n *+A�� ¨ m� ��

nm�P 36-57 (40-80/4

�edicao)

Umacamaraselada,com�

cm decomprimentoe jane-lasdevidro e colocadaemum dosbracosdeum inter-ferometrodeMichelson,comonaFig. 36.36. Umaluzde comprimentodeonda

� � � �� nm e usada.Quan-do a camarae evacuada,asfranjassedeslocamde .��posicoes. A partir destesdados,determineo ındicederefracaodoar a pressaoatmosferica. Seja1 � adiferencadefasedasondasnosdoisbracosquandoa camaracontiver ar e 1 / a diferenca de fasequandoacamaraeevacuada.Estasquantidadessaodis-tintaspoiso comprimentodeondano ar e diferentedo

comprimentono vacuo.Sendo�

o comprimentodeon-danovacuo,o comprimentodeondano ar e

� &(' , onde' e o ındicederefracaodoar. Istosignificaque

1 � 4>1 / � � - ] �A; '� 4 �A;� ^ � , ; ) ' 4G� * -� ònde - e o comprimentodacamara.O fator

�aparece

poisa luz atravessaacamaraduplamente,primeiroindoparao espelhoe depoisvoltando,aposa reflexao.Cada deslocamentode � franja correspondea umamudança na fasede

�A;rad. Assim,seo padraode in-

terferenciadesloca-sede § franjasquandoa camaraeevacuada,temos, ; ) ' 4U� * -� � � § ;a`dondetiramos

' 4G� � § �� - � .�� ) � �� *� ) � � ��c� / * � �� Portanto' � �� .










Conteudo

1 Lei deGauss– [Capıtulo 25,pagina55] 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 3

1.2.1 Fluxodocampoeletrico . . . . 3

1.2.2 Lei deGauss . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Um condutorcarregadoisolado 4

1.2.4 Lei deGauss:simetriacilındrica 5

1.2.5 Lei deGauss:simetriaplana . . 7

1.2.6 Lei deGauss:simetriaesferica . 8


(lista1.tex)



1 Lei de Gauss – [Capıtulo 25,pagina55]

1.1 Questoes

Q 25-4.

Considereuma superfıcie gaussianaenvolvendoparteda distribuicao de cargasmostradana Fig. 25-22. (a)Qualdascargascontribui parao campoeletriconopon-to�

? (b) O valor obtido parao fluxo atraves da su-perfıciecirculada,usando-seapenasoscamposeletricosdevidosa �� e �� , seriamaior, igualou menorqueo va-lor obtidousando-seo campototal?

� (a) Todasascargascontribuemparao campo.Ouse-ja, o campoe devido a todasascargas.(b) O fluxo totale sempreo mesmo.Por estaremfora da gaussiana,ascargas �� e �� naocontribuemefetivamenteparao flu-xo totalumavezquetodofluxo individualaelasdevidoentra poremtambemsaidasuperfıcie.

Q 25-5.

Umacargapuntiformee colocadanocentrodeumasu-perfıcie gaussianaesferica. O valor do fluxo � mudarase (a) a esferafor substituıda por um cubode mesmovolume?(b) asuperfıcie for substituidaporumcubodevolumedezvezesmenor? (c) a carga for afastadadocentrodaesferaoriginal, permanecendo,entretanto,noseuinterior?(d) acargafor removidaparaforadaesferaoriginal? (e) umasegundacargafor colocadaproxima,e fora, da esferaoriginal? (f) uma segundacarga forcolocadadentrodasuperfıciegaussiana?� (a) Nao. O fluxo total so dependeda carga total nointerior da superfıcie gaussianaconsiderada.A formadasuperfıciegaussianaconsideradanaoe relevante.

(b) Nao. O fluxo total so dependedacargatotal no in-terior da superfıcie gaussianaconsiderada.O volumeenglobadopelasuperfıcie gaussianaconsideradanao erelevante.

(c) Nao. O fluxo total so dependedacargatotal no in-terior da superfıcie gaussianaconsiderada.A posicaodascargasnao alterao valor do fluxo total atravesdasuperfıcie gaussianaconsiderada,desdequeo o valordestacarga total naosejamodificado.

(d)Sim. Nestecaso,comoacargatotalnointeriordasu-perfıciegaussianaconsideradae nula,o fluxo total seraiguala zero.

(e)Nao.O fluxo totalso dependedacargatotalno inte-rior dasuperfıcie gaussianaconsiderada.Colocando-seumasegundacarga fora da superfıcie gaussianacon-siderada,naoocorrera nenhumavariacaodo fluxo total(que e determinadoapenaspelascargasinternas). Ascargasexternasproduzemumfluxo nuloatravesdasu-perfıciegaussianaconsiderada.

(f) Sim. Nestecaso, como a carga total no interiordasuperfıcie gaussianaconsideradapassaa serigual a� �� , o fluxo total e iguala �� .Q 25-7.

Suponhaquea cargalıquidacontidaemumasuperfıciegaussianasejanula. Podemosconcluirda lei deGaussque � e igual a zero em todosos pontossobrea su-perfıcie? E verdadeiraa recıproca,ou seja,seo campoeletrico � emtodosospontossobreasuperfıcie for nu-lo, a lei de Gaussrequerquea carga lıquidadentrodasuperfıciesejanula?� Seacargatotalfor nulapodemosconlcuirqueo fluxototalsobreagaussianaezeromasnaopodemosconcluirnadasobreo valorde � emcadapontoindividualdasu-perfıcie. Paraconvencer-sedisto,estudeo campogera-doporumdipolosobreumagaussianaqueo envolva.Ocampo� sobrea gaussiananaoprecisaserhomogeneoparaa integralsobreasuperfıciedarzero.A recıprocae verdadeira,poisnestecasoa integral seracalculadasobreo produtodedoisvetores,umdoisquaise identicamentenulosobretodaa gaussiana.

Q Extra – 25-8da terceira edicaodo livro

Nalei deGauss,

�� ! #"$�&%o campo� e necessariamentedevido acarga � ?



� Nao. O fluxo total atraves da gaussianadependedo excessode carga (i.e. da carganao-balanceada)ne-la contida. O campoeletrico � em cadapontoda su-perfıcie gaussianadependede todasas cargasexisten-tes, internasounao.O queocorreeque,comodemons-tradonoExemplo25-1do livro texto, o fluxo totaldevi-doaqualquercargaexternaserasemprezeropois“todocampoqueentranagaussiana,tambemira sairdagaus-siana”.RevejaosdoisparagrafosabaixodaEq.25-8.


1.2.1 Fluxo do campoeletrico

E 25-2.

A superfıciequadradadaFig. 25-24,tem ')(+* mmdela-do. Ela esta imersanum campoeletricouniformecom, ".-0/2131 N/C.As linhasdocampoformamumangulode '5426 com a normal “apontandoparafora”, como emostrado.Calcularo fluxo atravesdasuperfıcie.� Emtodosospontosdasuperfıcie,o modulodocampoeletricovale -/3121 N/C, eo angulo7 , entre� eanormaldasuperfıcied , edadopor 78"9�:-/3136<;='3426 � ">-?5426 .Note que o fluxo esta definido tanto para superfıciesabertasquantofechadas.Sejaa superfıcie comofor, aintegraldevesersemprecomputadasobreela.Portanto,@BA " � ��C5

" D ,FE�G3H 7IC5J" , J E�G3H 7" �K-/2131 N/C� �L1)( 1213'3* m� � E�G3H -?54 �" ;M1N( 1N-04O- N.m� /C (

Notequeo objetivo destaquestaoe relembrarcomofa-zercorretamenteum produtoescalar:antesdemediroanguloentreos vetorese precisoquecertificar-sequeambosestejamaplicadosaomesmoponto, ou seja,queambasflechaspartamdeummesmopontonoespaço (enaoqueumvetorpartada‘ponta’ dooutro,comoquan-do fazemossuasoma).

1.2.2 Lei deGauss

E 25-7.

Umacargapuntiformede -3( /QP C encontra-seno centrodeumasuperfıciegaussianacubicade 424 cm dearesta.Calculeo valor � A atravesdestasuperfıcie.� Usandoa Eq. 9, encontramoso fluxo atravesda su-perfıcie gaussianafechadaconsiderada(que, no casodesteexercıcio, e umcubo):

@BA " � ��C5 " �� " -2( /8RS-1)TBU C/N( /54VRS-1 T �K� C� /(N m� )" *)( 13'8RS-13W N m� /C (P 25-11.

Determinou-se,experimentalmente,queo campoeletri-co numacertaregiaodaatmosferaterrestreesta dirigi-do verticalmenteparabaixo. Numaaltitudede '3121 mo campotemmodulode X21 N/C enquantoquea *�121 ocampovale -0121 N/C. Determineacargalıquidacontidanumcubode -0121 m dearesta,comasfaceshorizontaisnasaltitudesde *�131 e '3121 m. Desprezea curvaturadaTerra.� Chamemosde J a areade umafacedo cubo,

,ZYa

magnitudedocamponafacesuperiore,M[

a magnitudena faceinferior. Comoo campoapontaparabaixo, ofluxo atravesdafacesuperiore negativo (poisentra nocubo)enquantoqueo fluxo nafaceinferior epositivo. Ofluxo atravesdasoutrasfacesezero,demodoqueo flu-xo totalatravesdasuperfıciedocuboe �\"$J8� , [ ; , Y � .A cargalıquidapodeagoraserdeterminadafacilmentecoma lei deGauss:�I" � �� " � �0JV� , [ ; , Y �" ��/)( /34]RS-1 T �K� � �K-121 � � �:-131^;SX31 �" 'N( 4�?_R`-01 TaU C" 'N( 4�?ZP C (P 25-13.

Umacargapuntiforme� e colocadaemumdosverticesdeum cubodearestab . Quale o valor do fluxo atravesdecadaumadasfacesdocubo?(Sugestao: Usea lei deGausse osargumentosdesimetria.)



� ConsidereumsistemadereferenciaCartesianoced8fnoespaço, centradonacarga � , esobretal sistemacolo-queo cubodemodoa ter tresdesuasarestasalinhadascom os eixos, indo de �L1N%�1)%�1 � ate os pontos �LbB%�1N%�1 � ,�L1N%�bB%�1 � e �L1N%�1)%�b � .

Usandoa lei deGauss:O fluxo eletricosobrecadaumadastresfacesqueestaosobreosplanosc`d , cSf e d]fe igual a zero pois sobreelasos vetores � e C5 saoortogonais(i.e. seuprodutoescalare nulo). Comosepodeperceberdasimetriado problema,o fluxo eletricosobrecadaumadastresfacesrestantese exatamenteomesmo. Portanto,paradeterminaro fluxo total, bas-ta calcularo fluxo sobreuma qualquerdestastres fa-cesmultiplicando-setal resultadopor tres. Paratanto,consideremosafacesuperiordocubo,paralelaaoplanoced , esobreelaumelementodeareaC5Jg"hC2iBC2j . Paraqualquerponto

�sobreestafaceo modulo do campo

eletricoe, " -?3k � � �l � " -?2k � � �b � i � j � (Chamandode 7 o angulo que a direcao do campoeletrico em

�faz com o eixo f percebemosqueeste

angulocoincidecomo anguloentrea normal e � e,ainda,que

E�G5H 7V"$b � l . Portanto,o fluxo eletricoedadopelaseguinteintegral:@

face " � ��0C3 " D ,mE�G3H 7IC3inC2j" b&�?2k �� Dpo� Dqo� C3irC3j�Lb � i � j � � ��s�� (

Observe que a integral e sobreuma superfıcie aberta,pois correspondeao fluxo parcial, devido a uma dasarestasapenas.Integrandoemrelacaoa i e depoisin-tegrandoemrelacaoa j comauxılio dasintegraisdadasnoApendiceG, encontramoso fluxo eletricosobreafa-ceemquestaocomosendodadopor@

face " �*�? �� (

Portanto,o fluxo total sobretodoo cuboe�\"$' @ face " �/ � � (Usando argumentosde simetria: E a maneiramaissimplesde obtera resposta,pois prescindedanecessi-dadedacalculara integral dupla. Porem,requermaiormaturidadenamateria. Observandoa figurado proble-ma,vemosquecolocando-se8 cubosidenticosaoredordacarga � poderemosusara lei deGaussparadetermi-narqueo fluxo totalatravesdos8 cubose dadopor@

total " �� (Devido a simetria,percebemosqueo fluxo � sobreca-daumdos8 cubosesempreo mesmoeque,portanto,ofluxo � sobreumcubovale

�\" @ total/ " �/ �� %que,emparticular, e o fluxo sobreo cubodo problemaemquestao.Simplese bonito,nao?

1.2.3 Um condutor carregadoisolado

E 25-16.

Umaesferacondutorauniformementecarregada,de -2(+*m dediametro,possuiumadensidadesuperficialdecar-gade /)(t-uP C/m� . (a) Determinea cargasobrea esfera.(b) Qualeo valordofluxo eletricototalqueestadeixan-doa superfıciedaesfera?� (a) A cargasobrea esferasera

�v"hwxJg"$wy?3k l � "�'N( X3X8RS-1 T W C "h'2XN( X$P C ((b) Deacordocoma lei deGauss,o fluxo edadopor@BA " �� "$?N(t-�?zRS-1 U N m� /C (P 25-19.

Um condutorisolado,de forma arbitraria, possuiumacargatotal de -01zR{-1OTaU C. Dentrodo condutorexis-te umacavidadeoca,no interior da qualha umacargapuntiforme�I" 'VR|-1OTaU C. Qualeacarga: (a) sobre



a parededacavidadee (b) sobrea superfıcieexternadacondutor?� (a) O desenhoabaixoilustra a situacao propostanoproblema.

Considereumasuperfıciegaussiana} envolvendoaca-vidadedocondutor. A carga � encontra-senointeriordacavidadeeseja~V� acargainduzidanasuperfıcieinternadacavidadedo condutor. Lembrequeo campoeletrico,

no interior dapartemacica deum condutore sempreiguala zero.Aplicandoa lei deGauss,encontramos:@ A " � ��C5 #" � ~V�� (Como

, "�1 , devemoster �L� ~V� �� n"�1 , ou seja,que ~8��">;M�I".;M'N( 18P C �(b) Comoa cargatotal do condutore de -1�P C, vemosquea carga ~ � sobrea superfıcie externada condutordeveraserde~I�Z".-1v;m~V��">-01v;\�K;M' � " -0'$P C (1.2.4 Lei deGauss:simetria cilındrica

E 25-21.

Umalinha infinita decargasproduzumcampode ?N(+4^R-1 N/C a umadistanciade * m. Calculea densidadelineardecargasobrea linha.� Usandoa expressao parao campodevido a umali-nhadecargas,

, "$� � ��*�k � � l � , Eq.25-14,encontramosfacilmenteque�y".��*�k � � l � , "h4)( 1N-qP C/m(P 25-23.� UseumasuperfıcieGaussianaJ cilındricaderaio l e

comprimentounitario,concentricacomo tudometalico.Entao,porsimetria,�O� ��0C3 #"g*�k l , " � dentro� � (

(a)Para l8�\� , temos� dentro "$� , demodoque, " �*�k l � � ((b) Para l�� , a carga dentroe zero,o que implicatermos , "$1.Parapodermosfixar a escalaverticaldafigura,precisa-mosdeterminaro valornumericodocamponopontodetransicao, � "�' cm:, " �*�k l � �" *O( 1zR`-01OTa�*�k{�L1N( 13'21 � �L/N( /54�RS-1 T �K� �" -2(+*]RS-1 N/C (

P 25-24.� Useumasuperfıcie GaussianaJ cilındricaderaio le comprimentounitario, concentricacom amboscilin-dros.Entao,a lei deGaussfornece-nos� � ��0C3 #"g*�k l , " � dentro� � %deondeobtemos , " � dentro*�k � � l ((a)Para l8� b acargadentroezeroe,portanto

, "h1 .(b) Para b �pl]�\� acargadentroe ;Z� , demodoque� , � " �*�k � � l (P 25-26.



A Fig. 25-32mostraumcontador deGeiger, dispositi-vo usadoparadetectarradiacaoionizante(radiacaoquecausaa ionizacao de atomos).O contadorconsisteemum fio central,fino, carregadopositivamente,circunda-do por um cilindro condutorcircular concentrico,comumacarga igual negativa. Dessemodo,um forte cam-po eletricoradial e criadono interior do cilindro. O ci-lindro contem um gas inertea baixapressao. Quandouma partıcula de radiacao entrano dispositivo atravesdaparededo cilindro, ionizaalgunsatomosdo gas.Oseletronslivresresultantessaoatraidosparao fio positi-vo. Entretanto,o campoeletricoe taointensoque,entreas colisoescom outrosatomosdo gas, os eletronsli-vresganhamenergiasuficienteparaioniza-lostambem.Criam-seassim,maiseletronslivres,processoquesere-peteate oseletronsalcancaremo fio. A “avalanche”deeletronsecoletadapelofio, gerandoumsinalusadopararegistrara passagemdapartıculaderadiacao. Suponhaqueo raiodofio centralsejade *24�P m; o raiodocilindrosejade -2( ? cm; o comprimentodo tubosejade -X cm.Seo campoeletriconaparedeinternadocilindro for de*O( ��Rq-01 N/C, qual sera a carga total positiva sobreofio central?� O campoeletrico e radial e apontaparafora do fiocentral. Desejamosdescobrirsuamagnitudena regiaoentreo fio e o cilindro, emfuncaodadistancia l a par-tir do fio. Paratanto,usamosumasuperfıciaGaussianacoma formadeum cilindro comraio l e comprimento�, concentricacomo fio. O raioemaiordoqueo raiodo

fio e menordo queo raio internoda paredecilındrica.Apenasa cargasobreo fio esta localizadadentrodasu-perfıcieGaussiana.Chamemo-lade � .A area da superfıcie arredondadada Gaussianacilındricae *�k l � e o fluxo atravesdelae ��"�*�k l � , .Sedesprezarmoso fluxo atravesdasextremidadesdoci-lindro, entaoo � sera o fluxo total e a lei deGaussnosfornece�I"h*�k � � l � , . Comoa magnitudedocamponaparededocilindro econhecida,suponhaqueasuperfıcieGaussianasejacoincidentecoma parede.Nestecaso,le o raiodaparedee��" *�k��/)( /348R{-1 T �K� � ��1)( 1)-�? � ��1)(t-X � ��*)( �8R`-01 �" ')( XzRS-1 Ta� C (P 25-30.

Uma carga esta uniformementedistribuida atraves dovolumede um cilindro infinitamentelongo de raio � .(a) Mostreque

,a umadistancial do eixo do cilindro

( l8�\� ) edadopor , "�� l* �� %

onde � e a densidadevolumetricadecarga. (b) Escrevaumaexpressaopara

,aumadistancial]�p� .� (a) O cırculo cheio no diagramaabaixo mostra

a seccao reta do cilindro carregado, enquantoque ocırculo tracejadocorrespondea seccao retadeumasu-perfıcieGaussianadeformacilındrica,concentricacomo cilindro de carga, e tendoraio l e comprimento

�.

Queremosusara lei de Gaussparaencontrarumaex-pressaoparaa magnitudedo campoeletricosobrea su-perfıcieGaussiana.

A cargadentrodaGaussianacilındricae�I" �&� " � ��k l � � � %onde � "�k l � � e o volumedocilindro. Se � e positivo,as linhasde campoeletrico apontamradialmenteparafora, sao normaisa superfıcie arredondadado cilindroe estaodistribuidasuniformementesobreela. Nenhumfluxo atravessaasbasesdaGaussiana.Portanto,o fluxototal atravesdaGaussianae �h" , J9".*�k � � , , ondeJh"hb5k l � eaareadaporcaoarredondadadaGaussiana.A lei deGauss( �� \"�� ) nosforneceentao *�k �� l � , "k l � � � , deondetira-sefacilmenteque, "�� l* �� ((b) nestecasoconsideramosa Gaussianacomo sendoum cilindro de comprimento

�e com raio l maior que� . O fluxo enovamente�\"$*�k l � , . A cargadentroda

Gaussianae a carga total numaseccaodo cilindro car-regadocom comprimento

�. Ou seja, �{"�k � � � � . A

lei deGaussnosforneceentao *�k �� l � , "�k � � � � , demodoqueo campodesejadoedadopor, " � � �* � � l (Observe que os valoresdadospelasduasexpressoescoincidemparal " � , comoeradeseesperar.Um graficodavariacaode

,emfuncaode l e bastante

semelhanteaomostradonaFig. 25-21,porem,apresen-tandopara l\�� um decaimentoproporcionala - � l(emvezde - � l � comonaFig. 25-21).



1.2.5 Lei deGauss:simetria plana

E 25-32.

Umaplacametalicaquadradade / cm deladoe espes-suradesprezıvel temumacargatotal dede X_RS-1)TBU C.(a) Estimeo modulode

,docampoeletricolocalizado

imediatamenteforadocentrodaplaca(aumadistancia,digamos,de 1N( 4 mm), supondoquea cargaestejauni-formementedistribuidasobreasduasfacesdaplaca.(b)Estimeo valor do campoa umadistanciade '21 m (re-lativamentegrande,comparadaao tamanhoda placa),supondoquea placasejaumacargapuntiforme.� (a) Paracalcularo campoeletriconum pontomuitopertodo centrodeumaplacacondutorauniformemen-te carregada,e razoavel substituirmosa placafinita porumaplacainfinita contendoamesmadensidadesuperfi-cial decargae considerara magnitudedo campocomosendo

, "9w �� , onde w e a densidadedecargadasu-perfıciesobo pontoconsiderado.A cargaestadistribui-dauniformementesobreambasfacesdaplacaoriginal,metadedelaestandopertodo pontoconsiderado.Por-tantow|" �*�J " XzR`-01OTaU*N�L1)( 12/ � � "$?N( X2�]RS-1 T C/m� (A magnitudedocampoe, " w� � " ?N( X2�]RS-1OT /)( /348R`-01 T �:� "g4O( '21]R`-012� N/C ((b) Paraumadistanciagrandedaplacao campoeletricosera aproximadamenteo mesmoque o produzidoporuma partıcula puntiformecom carga igual a carga to-tal sobrea placa. A magnitudede tal campoe

, "� � �L?2k � � l � � , ondel e a distanciaaplaca.Portanto, " �L�_RS-1 � � ��X_R`-01 TaU �'31 � "$X31 N/C (P 25-34.

Na Fig. 25-36, uma pequenabola, nao-condutora,demassa- mg e carga �h"�*`R$-01OTB� C uniformemen-te distribuida,esta suspensapor um fio isolantequefazumangulo7V"h'2136 comumachapanao-condutora,ver-tical, uniformementecarregada. Considerandoo pesodabolae supondoa chapaextensa,calculea densidadesuperficialdecarga w dachapa.� Tresforcasatuamnapequenabola: (i) umaforcagra-vitacionaldemagnitude�n� , onde � e a massadabo-la, atuana vertical,de cima parabaixo, (ii) umaforca

eletrica de magnitude� , atuaperpendicularmenteaoplano, afastando-sedele, e (iii) e a tensao no fio,atuandoao longo dele,apontandoparacima, e fazen-doumangulo7 ( "�'3136 ) coma vertical.Como a bola esta em equilıbrio, a forca total resul-tante sobre ela deve ser nula, fornecendo-nosduasequaçoes,somadascomponentesverticaisehorizontaisdasforcas,respectivamente: E�G3H 7v;S�n� " 1)%¡�£¢ vertical�� , ;` sen7 " 1)(¤�£¢ horizontal�Substituindo-se " � , � sen7 , tirado da segundaequaçao,naprimeira,obtemos� , "��y� tan 7 .O campoeletrico por um planograndee uniformedecargase dadopor

, "¥w � ��* ��0� , onde w e a densidadesuperficialdecarga.Portanto,temos��w* �� "$�n� tan 7deondeseextrai facilmentequew " * �� n� tan 7�" *N�L/)( /34VRS-1OT �:� � �K-IR`-01OTBU � �L�N( / � tan '3136*]RS-1 TB� C" 4)( 1]RS-1 Ta� C/m� (P 25-35.

Um eletron e projetadodiretamentesobreo centrodeuma grandeplaca metalica, carregadanegativamentecom uma densidadesuperficial de carga de modulo*¦RM-01OTBU C/m� . Sabendo-sequeaenergiacineticainicialdoeletronede -121 eV equeelepara(devido arepulsaoeletrostatica)imediatamenteantesdealcancaraplaca,aquedistanciadaplacaelefoi lancado?� A carganegativa sobrea placametalica exerceumaforca de repulsao sobreo eletron, desacelerando-oeparando-oimediatamenteantesdeletocarnasuperfıciedaplaca.Primeiramente,vamosdeterminarumaexpressao paraa aceleraçao do eletron,usandoentaoa cinematicapa-ra determinara distanciade paragem. Consideremosa direcao inicial do movimento do eltron como sen-do positiva. Nestecasoo campoeletrico e dadopor, "hw �� , ondew e adensidadesuperficialdecarganaplaca.A forca sobreo eletrone §>"9;M¨ , ".;M¨�w �� eaaceleraçaoe bz" §� "9; ¨�w�� %



onde� e amassadoeletron.A forca e constante,de modo que podemosusar asformulasparaaceleraçao constante.Chamandode ©��a velocidadeinicial do eletron, © suavelocidadefinal,e i a distanciaviajadaentreasposicoesinicial e final,temosque © � ;�© �� "ª*�b5i . Substituindo-se©h"F1 ebn"«;M¨�w � � �� nestaexpressaoe resolvendo-aparaiencontramosiy"9; © ��*�b " � ��© ��*2¨�w " � �¬_�¨�w %onde ¬ �Z ��© �� * e aenergiacineticainicial.Antesdeaplicara formula,e precisoconvertero valordadode ¬ � parajoules. Do apendiceF do livro tira-mos que - eV "®-2( X21eR$-1)T � � J, donde -0121 eV "-2( X21]RS-1 T � � J.Portantoi " �L/N( /548R`-01OT �K� � �:-2( X21zRS-1)T � � ��:-3( X31zR`-01 T � � � ��*]RS-1 TaU �" ?N( ?zR`-01 T m (P 25-39 .

Uma chapaplana,de espessuraC , tem umadensidadevolumetricade carga igual a � . Determineo modulodo campoeletricoemtodosospontosdo espaço tanto:(a) dentrocomo (b) fora da chapa,em termosde i , adistanciamedidaa partir doplanocentraldachapa.� Suponhaquea cargatotal ~ estejauniformementedistribuidaao longodachapa.Considerandoumaareamuitogrande(oumelhor, parapontosproximosdocen-tro dachapa),podemosimaginarqueo campoeletricopossuaumadirecaoortogonalaoplanodasuperfıcieex-ternada placa; a simetriadestachapauniformementecarregadaindica queo modulo do campovaria com adistancia i . No centroda chapa,a simetriado proble-ma indicaqueo campoeletricodeve sernulo, ou seja,, "°1 , para i>"°1 . Na figura da solucao destepro-blemamostramosumasuperfıciegaussianacilındrica }cujasbasessaoparalelasasfacesdachapa.

Seja J a areadabasedestasuperfıciegaussiana} . Co-mo as duasbasesda superfıcie gaussianacilındrica }estao igualmenteafastadasdo plano central i�"�1 e

lembrandoqueo vetorE e ortogonalaovetordA nasu-perfıcielateraldasuperfıciegaussianacilındrica } , con-cluımosqueo fluxo totalatravesdasuperfıciegaussianacilındrica } e dadopor@ A " � ��C5 #"h* , Jonde

,e o modulodo campoeletricoa umadistanciai do planocentral i$"±1 . A carga � [t²�³ englobadano

interior dasuperfıcie gaussianacilındrica } e dadape-la integral de � C � no volume situadono interior dasuperfıciegaussianacilındrica } . Comoa densidadedecarga � econstante,acargatotalnointeriordasuperfıcie} e dadapor � [t²�³ " � ��*�irJ � (Portanto,aplicandoalei deGaussparaasuperfıciecon-siderada,encontramosfacilmentea seguinteresposta:, " � i� � ((b) Construanovamenteumasuperfıciegaussianacilın-dricacontendotodaa chapa,isto e,construanovamenteumasuperfıciesemelhanteagaussianacilındrica } indi-cadanafiguradasolucaodesteproblema,onde,agora,a areadabaseJ esta situadaa umadistancia i´"�C � *doplanocentrali="g1 . Deacordocoma figura,vemosfacilmenteque,nestecaso,temos:� [t²�³ " � JZCr(Portanto,aplicandoa lei de Gausspara a superfıciegaussianacilındrica considerada,encontramosfacil-mentea seguinteresposta:, "�� C* � � (1.2.6 Lei deGauss:simetria esferica

P 25-40.Umaesferacondutorade -1 cmdaraiopossuiumacar-ga de valor desconhecido.Sabendo-seque o campoeletrico a distanciade -�4 cm do centroda esferatemmoduloigual a 'yRm-1 � N/C e apontaradialmenteparadentro,quale cargalıquidasobrea esfera?� A carga esta distribuida uniformementesobrea su-perfıcie da esferae o campoeletrico que ela produzem pontos fora da esferae como o campo de umapartıcula puntiformecom carga igual a carga total so-brea esfera.Ouseja,a magnitudedocampoe dadopor



, "«� � �L?2k � � l � � , onde � e magnitudedacargasobreaesferae l e a distanciaa partir do centroda esferaaopontoondeo campoemedido.Portanto,temos,�I"�?3k � � l � , " ��1)(t-04 � � ��'zR`-01 � ��zR`-01 � "¶µ&(+4]R`-01 Ta� C (Comocampoapontaparadentro,emdirecaoa esfera,acargasobreaesferae negativa: ;Qµ&(+4VRS-1 TB� C (E 25-41.� (a) O fluxo continuariaa ser ;Qµ24�1 N �m� /C, poisele

dependeapenasdacargacontidanaGaussiana.

(b) A cargalıquidae��" � ��" ��/)( /348R`-01 T �:� � �:;Qµ24�1 � "9;MX)( X�?zRS-1 T �·� C

E 25-42.� (a)Para l8�\� , temos, "�1 (vejaEq.25-18).

(b) Para l umpoucomaiorde � , temos, " -?3k � � �l � ¸ -?3k � � �� " ��/)( �2�zRS-12� � ��*)( 1zRS-1)T � ��1)(+*24 � �" *)( �zRS-1 N/C ((c) Para lS�¥� temos,aproveitandoo calculo do itemanterior, , " -?2k � � �l �" ��*)( �]R{-1 �3¹ 1N( *34'N( 1yº �" *�131 N/C (E 25-45.

Num trabalhoescritoem 1911,ErnestRutherforddis-se: “Para se ter algumaideia das forcas necessariaspara desviar uma partıcula » atraves de um grandeangulo,considereum atomocontendoumacargapun-tiforme positive fZ¨ no seu centrooe circundadaporumadistribuicao de eletricidadenegativa ;QfZ¨ , unifor-mementedistribuıdadentrodeumaesferaderaio � . Ocampoeletrico

, (�(�( a umadistancia l do centroparaumpontodentro do atmoe, " fZ¨?3k � � ¹ -l � ; l� � º ( ¼ ¼

Verifiqueestaexpressao.� Usamosprimeiramentea lei deGaussparaencontraruma expressao paraa magnitudedo campoeletrico aumadistancia l do centrodo atomo. O campoapontaradialmenteparafora e e uniformesobrequalqueres-feraconcentricacomo atomo. EscolhaumasuperfıcieGaussianaesfericade raio l com seucentrono centrodo atomo.Chamando-sede

,a magnitudedo campo,entaoo flu-

xo total atravesda Gaussianae �F"½?2k l � , . A car-gacontidanaGaussianae a somadacargapositiva nocentrocome partedacarganegativaqueesta dentrodaGaussiana.Umavezquea carganegativa e supostaes-tar uniformementedistribuida numaesferade raio � ,podemoscomputara carganegativa dentrodaGaussia-na usandoa razao dosvolumesdasduasesferas,umaderaio l e a outraderaio � : a carganegativadentrodaGaussiananadamaisedoque ;QfM¨ l � � � � . Comistotu-do,acargatotaldentrodaGaussianae fZ¨¾;SfZ¨ l � � � � .A lei deGaussnosforneceentao,semproblemas,que

?2k � � l � , "¶fZ¨ ¹ -�; l �� º %deondetiramosfacilmenteque,realmente,, " fM¨?2k � � ¹ -l � ; l� � º (P 25-47.

Umacascaesferica,fina e descarregada,temumacargapuntiforme� nocentro.Deduzaexpressoesparao cam-po eletrico: (a) no interior dacascae (b) fora dacasca,usandoa lei de Gauss. (c) A cascatem algum efeitosobreo campocriadopor � ? (d) A presença da carga� tem algumainfluenciasobrea distribuicao de cargassobreacasca?(e)Seumasegundacargapuntiformeforcolocadado ladodeforadacasca,elasofrera a acaodealgumaforca? (f) A cargainternasofrea acaodealgu-maforca?(g) Existealgumacontradicaocoma terceiralei deNewton?Justifiquesuaresposta.�

COMPLETAR...

P 25-48.

A Fig. 25-38 mostrauma esfera,de raio b e carga � uniformementedistribuıda atraves de seuvolume,concentricacom umacascaesfericacondutorade raiointerno � eraioexterno¿ . A cascatemumacargalıquida



de ;M� . Determineexpressoesparao campoeletricoemfuncao do raio l nasseguinteslocalizacoes: (a) den-tro da esfera( l�� b ); (b) entre a esferae a casca( b �Àl>�½� � ��Á �:ÂÄÃ�Å�ÂxÆ ¨ l Å·Ã l C3b&¿�bOÇ0¿�ba� b¡r¡c); (d) forada casca( l`� ¿ ). (e) Quaissao ascargassobreassu-perfıciesinternae externadacasca?� Para comecar, em todospontosondeexiste campoeletrico,eleapontaradialmenteparafora. Emcadapar-tedoproblema,escolheremosumasuperfıcieGaussianaesfericae concentricacom a esferade carga � e quepassepelo pontoondedesejamosdeterminaro campoeletrico. Como o campoe uniformesobretoda a su-perfıcie das Gaussianas,temossempreque, qualquerquesejao raio l daGaussianaemquestao,� ��C5 È"�?2k � � l � , ((a) Aqui temos l>� b e a carga dentroda superfıcieGaussianae �O� l � b � � . A lei deGaussfornece-nos?3k l � , "±¹ �� º ¹ lb!º � %dondetiramosque , " � l?2k � � b � ((b) Agora temos b �Àlg�ª� , com a carga dentrodaGaussianasendo � . Portanto,a lei deGaussaquinosdiz que ?2k l � , " �� %demodoque , " �?3k � � l � ((c) Comoa cascae condutora, e muito facil saber-seocampoeletricodentrodela:, "$1N((d) Foradacasca,i.e.paral]� ¿ , acargatotal dentrodasuperfıcieGaussianae zeroe, consequentemente,nestecasoa lei deGaussnosdiz que, "$1N((e) TomemosumasuperfıcieGaussianalocalizadaden-tro dacascacondutora.Comoo campoeletrico e zerosobretodasuprfıcie,temosque�\" � ��C5 #"$1

e, deacordocoma lei deGauss,a cargalıquidadentrodasuperfıcie e zero. Em outraspalavras,chamandode~ [ a cargasobrea superfıcie internadacasca,a lei deGaussnosdiz quedevemoster � ~ [ "$1 , ouseja,~ [ "9;M�&(Chamandoagorade ~�É acarganasuperfıcieexternadacascae sabendoquea cascatem umacarga lıquidade;M� (dadodo problema),vemosquee necessario ter-seque ~ [ ~ É "9;M� , o queimplica termos~�É�">;M�^;m~ [ ".;M�Q;��:;M� � "�1N(P 25-51.

Um protondescreve um movimentocircularcomvelo-cidade©|"9'nRm-1 W m/saoredore imediatamenteforadeumaesferacarregada,de raio l "Ê- cm. Calculeovalordacargasobrea esfera.� O protonesta emmovimentocircularuniformeman-tido pelaforca eletricadacarganaesfera,quefuncionacomo forca centrıpeta. De acordocom a segundaleideNewtonparaummovimentocircularuniforme,sabe-mosque §!ËÌ"h�y© � � l , onde§ÍË e a magnitudedaforca,© e a velocidadedo proton e l e o raio da suaorbita,essencialmenteo mesmoqueo raiodaesfera.A magnitudeda forca eletricasobreo proton e §ÍÉ`"¨�� ?2k � � l � � , onde� e a magnitudedacargasobrea es-fera.Portanto,quando§ÍÉÌ"h§ Ë , temos-?2k � � ��¨l � " ��© �l %demodoquea cargaprocuradasera dadapor

� " ?2k � ��© � l¨" �:-2( X5µVRS-1 T � � kg� �L'ÎR`-01 W m/s� � ��1)( 1)- m��L�zRS-1 � N m� /C� � �:-2( X21]RS-1 T � � C�" -2( 1�? nC(P 25-53

Na Fig. 25-41,umacascaesfericanao-condutora,comraio interno b e raio externo � , tem umadensidadevo-lumetricadecargadadapor � "�J � l , onde J e cons-tantee l e a distanciaaocentrodacasca.Al emdisso,umacargapuntiforme� esta localizadano centro.Qual



deve sero valor de J paraqueo campoeletriconacas-ca( beÏ l Ï � ) tenhamoduloconstante?(Sugestao: Jdependede b masnaode � .)� O problemapedeparadeterminarumaexpressaopa-ra o campoeletrico dentroda cascaem termosde J eda distanciaao centroda cascae, a seguir, determinaro valor de J de modoque tal camponao dependadadistancia.Paracomecar, vamosescolherumaGaussianaesfericaderaio lÐ , concentricacomacascaesfericae localizadadentroda casca,i.e. com b �ÈlÐp�°� . Usandoa leide Gausspodemosdeterminara magnitudedo campoeletricoa umadistancialÐ a partirdocentro.A cargacontidasomentesobrea cascadentrodaGaus-sianaeobtidaatravesdaintegral � Ë "hÑ � C � calculadasobrea porcao da cascacarregadaque esta dentrodaGaussiana.Comoa distribuicaodecargatemsimetriaesferica,po-demosescolherC � comosendoo volumedeumacascaesfericade raio l e largurainfinitesimal C l , o quedosforneceC � "�?3k l � C l . Portanto,temos�ËÒ" ?2kVDqÓKÔo � l � C l" ?2kVD Ó Ôo J l l � C l

" ?2kÄJ DqÓ Ôo l C l" *�kÄJ8� l �Ð ;{b � � (Assim,a cargatotal dentrodasuperfıcieGaussianae� � Ë "h� *�kÄJV� l �Ð ;Sb � � (O campoeletricoe radial,demodoqueo fluxo atravesdasuperfıcieGaussianae �p"$?2k l �Ð , , onde

,eamag-

nitudedo campo.Aplicandoagoraa lei deGaussobte-mos ?2k � � , l �Ð "�� *�kÄJV� l �Ð ;{b � � %deondetiramos, " -?3k � �^Õ �l �Ð *�kÄJ�; *�kÄJZb �l �Ð Ö (Paraqueo camposejaindependentede l�Ð devemoses-colher J de modoa que o primeiro e o ultimo termoentrecolchetesse cancelem. Isto ocorrese tivermos�^;{*�kÄJZb � "h1 , ouseja,paraJh" �*�kÄb �

quandoentaoteremosparaamagnitudedocampo, " J* � � " �?3k � �b � (P 25-55 .

Mostrequeo equilıbrioestavel e impossıvelseasunicasforcas atuantesforem forcas eletrostaticas. Sugestao:Suponhaqueumacarga � fiqueemequilıbrio estavelaosercolocadanumcertoponto

�numcampoeletrico� . DesenheumasuperfıcieGaussianaesfericaemtorno

de�

, imaginecomo � deve estarapontandosobreestasuperfıcie, e apliquea lei deGaussparamostrarqueasuposiçao[deequilıbrioestavel] levaaumacontradicao.Esseresultadoe conhecidopelo nomede TeoremadeEarnshaw.� Suponhaquenaoexistacarganavizinhacamaisime-diatade � masque a carga � estejaem equilıbrio de-vido a resultantede forcas provenientesde cargasemoutrasposicoes.O campoeletriconaposicao

�de � e

zeromas � ira sentirumaforca eletricacasoela venhaa afastar-sedo ponto

�. O queprecisamosmostrare

quee impossıvel construir-seem torno de�

um cam-poeletricoresultanteque,emtodasdirecoesdoespaço,consiga“empurrar” � de volta parao ponto

�quando

eladestepontoafastar-se.Suponhaque � estejaem

�e envolva-acom umasu-

perfıcieGaussianaesfericaextremamentepequena,cen-tradaem

�. Desloqueentao � de

�paraalgumponto

sobrea esferaGaussiana.Se uma forca eletrica con-seguir empurrar � de volta, devera existir um campoeletrico apontandopara dentroda superfıcie. Se umcampoeletricoempurrar� emdirecaoa

�, nao impor-

tandoondeisto ocorrasobrea superfıcie, entaodeveraexistir umcampoeletricoqueaponteparadentroemto-dospontosdasuperfıcie. O fluxo lıquidoatravesdasu-perfıcie nao sera zeroe, de acordocom alei de Gauss,deveexistir cargadentrodasuperfıcieGaussiana,o quee uma contradicao. Concluimos,pois, que o campoatuandonumacarganaopodeempurra-ladevolta a

�paratodosdeslocamentospossıveis e que, portanto,acarganaopodeestaremequilıbrio estavel.Seexistiremlocaissobrea superfıcieGaussianaondeocampoeletricoaponteparadentroe empurre� devoltaparasuaposicaooriginal, entaodeveraoexistir sobreasuperfıcieoutrospontosondeo campoaponteparaforaeempurre� paraforadasuaposicaooriginal.









Conteudo

1 Lei deAmpere– [Capıtulo 31,pagina197] 2

1.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2


1.2.1 CalculodoCampoMagnetico–1/26 . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 DoisCondutoresParalelos– 27/39 41.2.3 Lei deAmpere– 40/52 . . . . . 61.2.4 Solenoidese Toroides– 53/73 . 61.2.5 Problemasextras . . . . . . . . 7


(lista3.tex)



1 Lei deAmpere– [Capıtulo 31,pagina197]

1.1 Questoes

Q 31-7.

A Fig.31-23mostraumavistadecimadequatrofiospa-ralelostransportandocorrentesiguaise demesmosen-tido. Qualeadirecaoeo sentidodaforcasobreo fio daesquerda,causadapelascorrentesnosoutrostresfios?� Fios com correntesparalelasatraem-se.Portantoaforca atuara nadiagonalhorizontal,daesquerdaparaadireita.As componentesverticaiscancelam-se.

Q 31-12.� Tendera paraumaespiracircular, poisfios comcor-rentesanti-paralelasrepelem-se.


1.2.1 Calculo do CampoMagnetico– 1/26

E 31-3.

Um topografoesta usandouma bussolaa � m abaixodeumalinhadetransmissaonaqualexisteumacorren-te constantede �� A. (a) Qual e o campomagneticono local dabussolaemvirtudedalinhadetransmissao?(b) Issoira interferir seriamentena leitura da bussola?A componentehorizontaldocampomagneticodaTerrano local e de �� T.� (a) A magnitudedo campomagneticodevido a cor-rentenofio, a umadistancia� dofio e dadapor�� Para � � � � m encontramos� �� ! � �"��#!��$� % � % ��"� � & % � % T �

(b) O valoracimaeaproximadamente�('(� damagnitudedo campoterrestre.Portanto,ele ira afetara leituradabussola.

E 31-7.

Em umalocalidadenasFilipinas, o campomagneticoda Terrade

%#) T e horizontale apontaparao norte.Exatamentea * cmacimadeumfio retilıneolongo,quetransportaumacorrenteconstanteo camporesultanteezero.Quaissao(a) a intensidadee (b) o sentidodacor-rente?� (a) O campodevido aofio, numpontoa * cm do fiodeve valer

%�) T e deve apontarparao sul, demodoacancelaro campodado. Comoo

�+ � �,' � ��! , en-contramos � �� #*��#! � %#) �� &�!� ��"� � � �"� A �(b) A correntedeve fluir do oesteparao lestedemodoa produzirum campodirecionadoparao sul empontosabaixodofio.

P 31-11.

O fio mostradonaFig. 31-31transportaumacorrente� .Quecampomagnetico - e produzidono centro . dosemicırculo (a) por cadasegmentoretilıneodecompri-mento/ , (b) pelosegmentosemicircularderaio 0 e (c)pelofio inteiro?� (a) O campoproduzidopor cadasegmentoretilıneoe nulo pois o produtovetorial de 132 com 4 e nulo, aolongodeambossegmentos,umavezqueosdoisvetoressaoparalelosaolongodossegmentos.(b) Conformeo Exemplo31-1,pagina186,o campode-vido aosegmentosemicircularedirigido paradentrodapaginae temumamagnitudedadapor (VejaaEq.31-5,napag.184): 1 �� 5136 sen

) �37098 :http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina2


onde 136 091�; . Portanto�� =< 1 � <?>� ��"�� 091#;098 � �� $0 <?>� 1#; � �� $0A@ �CBD�#E � �� 0 �(c) O campototaldevido aofio inteiro easomadostrescamposdeterminadosnosdoisitensanteriores,ou seja,coincidecomo valordeterminadono item(b) acima.

P 31-13.

Use a lei de Biot-Savart para calcular o campomagnetico - em . , o centrocomumdos arcossemi-circularesFHG e IKJ na Fig. 31-33. Os dois arcosderaio 0 8 e 0ML , respectivamente,formampartedocircuitoFHGNJ�IOF transportandoumacorrente� .� Usandoo resultadoobtidono Problema31-11,con-cluimos sem grandesproblemasque o campoem .apontaparadentrodapaginae temmagnitudedadapor�� QP �0 L B �0 8SR �P 31-16.

Considereo circuito daFig. 31-36. Ossegmentoscur-vossaoarcosde cırculosde raios T e U . Ossegmentosretilıneosestao ao longo de raios. Determineo cam-po magneticoB em V , considerandoumacorrente� nocırculo.� Conformea Lei deBiot-Savart,acontribuicaoparaocampomagnetico 1 � devido asecao 1#2 dofio e13- � �� 132W�C4�(X �Ostrechosradiaisnaocontribuempoisnelaso produtovetoriale zeropor termossempre1#2 paraleloa 4 .Ao longodequalquertrechocircularderaio � amagni-tudede 1 � e dadapor1 �� (8 sen

) � 7 136 ��"�� Y8 136 �Portanto,lembrandoa relacaoentrearcoe angulo, 6 �Y; , temos � � �� (8 < 136 � �� Y8 6 �� ; �

Considerandocomo ‘positivo’ o campo que sai dapagina,seguefacilmenteque� �9Z B �\[ � �];� � P �U B �T R :direcionadoverticalmenteparaforadopapel.NOTA: para ; � o resultadoacimarecaino do pro-blema31-13.

P 31-17.

Um segmentoretilıneodefio, decomprimento/ , trans-porta uma corrente � . Mostre que o modulo do cam-po magnetico - produzidopor estesegmento,a umadistancia0 dosegmentoaolongodesuamediatriz(ve-ja a Fig. 31-37),e�� 7 ��$0 /^ / 8`_ � 0 8 �Mostrequeestaexpressaosereduza um resultadoes-peradoquando/badc .� Suponhaqueo fio estejasobreo eixo e , comaorigemlocalizadanomeiodofio. A lei deBiot eSavart1 �� gfff � �� 13hi�j4�(X fff � �� sen;�(8 13e �Observandoque � k e38 _ 0\8

sen; 0 � 0^ e38 _ 0\8 :encontramossemmuito trabalhoque� � �� 0 <blnm 8� lnm 8 13e� e38 _ 0\8"!oX m 8 ��"�� 0 �098 e� e#8 _ 098�! L m 8 fff lnm 8� lnm 8 ��$0 /^ /`8 _ � 098 �Para /dp 0 , podemosignorar o termo 0 8 obtendo�q sr(tvu8 >�w , quee o campode um fio muito comprido.Parapontosmuitoproximosdofio, elecomporta-seco-moumfio muitocomprido.



P 31-18.

Umaespiraquadradadefio defio, de lado T , transpor-ta umacorrente� . Mostreque,no centroda espira,omodulodocampomagneticoproduzidopelacorrentee�� ^ �x��$T �(Sugestao: Vejao Problema31-17.)� O campono centrodaespiraquadradasera dadope-la somadasquatrocontribuicoesindividuaisdosquatrosegmentosqueformamosladosdoquadrado.A contribuicao devida a um lado do quadradopo-de ser obtida da expressao de

�do Problema31-17,

substituindo-se0 T�'�� e / T . Portanto,o cam-ponocentrodaespirae dadopor� � � ��(� � T�'��! Tk Ty8 _ �S� Tz'��!,8 � ^ �x � ��$T �P 31-20.� O campodevido ao quadradoe a somavetorial dos

camposdevidosaosquatroladosdo quadrado.Consi-dere,entao,apenasumlado.O pontoemquedesejamoso campoesta soba retamediatrizperpendiculara esselado,aumadistancia0 quee dadapor

0 k { 8 _ Ty8"' � �� k � { 8 _ T38 �Logo, com / T no resultadodo Problema31-17ob-temos: �� |��(�$0~} T^ Ty8 _ � 098z� �Substituindoo valor de 0 encontradoacima,chegamosaoseguinteresultado�� } T^ � { 8 _ Ty8 ^ � { 8 _ Ty8�� A direcaodestecampoeortogonalaoplanoquecontemo ladoconsideradoparao calculofeito acimae perpen-dicularaobissetordesselado. Pelasimetriado proble-ma, vemosque a componentedessecampoperpendi-cular a normaldo quadradodeve seanular. Assim, o

camporesultantee dadopor�\�� K��#� ; � � T�'��0 � � �� } T 8�� { 8 _ Ty8"! ^ � { 8 _ T38�� Comoesperado,para

{ � (centrodoquadrado),obte-moso resultadodoProblema31-18.

P 31-22.� A solucaoeanalogaadoProblema31-17,poremcom0 G e trocando-seoslimitesdeintegracao:<blnm 8� lnm 8 a < �� l �Comistoobtemosfacilmenteque� � ��G� � < �� l 1 {� { 8 _ G�8�!,X m 8 ��G� � �G�8 {^ { 8 _ G�8 fff � � l ��"�� $G /^ /`8 _ G�8 �1.2.2 DoisCondutoresParalelos– 27/39

E 31-28.

Dois fios paralelos,retilıneose longos,separadospor� �� cm estao perpendicularesao planoda pagina,co-mo e mostradona Fig. 31-43. O fio � transportaumacorrentede � �� A paradentrodapagina.Qualdeve sera corrente(intensidadee sentido)no fio � paraque ocampomagneticoresultantenoponto V sejazero?� No ponto V , o campodevido acorrentenofio � apon-tadadireitaparaaesquerda.Portanto,paraequilibra-lo,precisamosdeumcampoapontandodaesquerdaparaadireita,ou seja,a correnteno fio � deve estarsaindodapagina. Paradeterminarseumodulousamosacondicao



� L �� 8 onde� L � �,L� ��! � � � �n� � _ � � �� ! �� ! � � � �n� � _ � � �� ! �z�� T :� 8 � � 8� ��! � � � �n� � ! �Portanto,de

� 8 �� L , obtemossemdificuldadesque� 8 � � �� _ � � �� L �%�� L � � %#% A �E 31-30.

A Fig. 31-44 mostracinco fios longose paralelosnoplano

{n�. Cadafio transportaumacorrente� �%

A nosentidopositivo do eixo

{. A separaçao entrefios ad-

jacentesvale 1 * cm. Determinea forca magneticapor metroexercidasobrecadaum doscincofios pelosoutrosfios.� Consideremosa forca no fio bemdaesquerda.Parasimplificar, enumeremosos � fios a direitadele,conse-cutivamente,daesquerdaparaadireita,comosnumeros� , � , % e � . Temosentao- L ��$��$1 � B��! :- 8 ��$�� 13! � B��! :- X � �� % 13! � B��! :-�� $�� 13! � B��! :onde � �%

A e 1 � � ��* m. Note queestescamposmagneticosapontamnomesmosentido,asaber, nosen-tido negativo de e .Portantoa forca total nofio bemdaesquerdae�

esq

��A� � - L`_ - 8 _ - X _ -��Y! �Procedaanalogamentepara os outros fios, prestandosempreatencao ao definir as distanciasrelativas entreosfios.Note quedevido a simetriado problema,a forca totalnofio domeiosera nula, enquantoquea forca totalnos

fios equidistantesdo fio centralsera igual em modulomasapontandoemsentidoscontrarios.

P 31-36.

Na Fig. 31-46,qual e a forca por unidadede compri-mento,em modulo,direcao e sentido,atuandosobreofio inferior a esquerda?As correntesidenticas� temossentidosindicadosnafigura.� Chamandode - o campototal resultanteno fio in-ferior a esquerdae de

�a forca total resultante,temos�� D- . Partindodo fio localizadono cantosu-

perioresquerdoenumerando-osnosentidohorariocomrotulos � , � e

%temos- -�L _ - 8 _ - X �

As componenteshorizontal(x) e vertical (y) sao, res-pectivamente,� � � L¡B � 8 ��3� � � 7 :�\¢£ � 8 sen� � 7 _ � X �Considerandoa figura e a expressao do campogeradoporumfio obtemos� L ¤� X ¥��$T : � 8 �� ^ �¦T �Portanto,observandoque

��#� � � 7 ^ �3'�� , temos�\� � ��(�$T P ��B ^ �� ^ � R � �� MT� ¢ ��(�$T P ^ �� ^ � _ � R % �� \TO modulodocamporesultantee�� § � 8� _ � 8¢ � � ^ �� \T :estandoestecampolocalizadosobreumaretaquefazum angulo ; , contadono sentidoanti-horario a par-tir da horizontal,onde tg ; ¨�\¢ ' �\�¤ ©%

, ou seja,; arctg%�ª � �"7 . « ¬ � � 8 ^ �� MT :

perpendicularaovetor - , apontandoparaaesquerda.

P 31-37.



� (a) O campo�9

devido ao fio queesta na partesu-periordaFig. 31-47e tangenteaocırculoderaio � cen-tradono fio e quepassapeloponto V . Levando-seemcontaaregradamaodireita,ve-sequetal campoapontaparacimae paraa direita,e fazum angulo; coma ho-rizontal, anguloquee identicoao anguloformadopelosegmento1 e o raio � e cujocossenoe dadopor��3� ; 1y'��k 098 _ 138(' � �Comoascorrentessaoiguaise a distanciadosdoisfiosao ponto V e a mesma,o campo

� u devido ao fio queesta na parteinferior e umasimplesreflexaoespeculardo campo

�\, apontandoparabaixoe paraa direita,no

mesmoangulo; . Em V , amagnitudedeambososcam-pose a mesma: �9¯®�� u ��"�� Assim sendo,as componentesverticais de

�9e� u

cancelam-seenquantoque suas componenteshori-zontais (ambasdirigidas da esquerdapara a direita)reforcam-se.Portanto,a magnitudedocampoem V e� � ��3� ; _ � u ��#� ; � � �� k 098 _ 1#8(' � 1y'��k 098 _ 138"' �° ±³² ´µ�¶¸·Y¹ ��1�� 098 _ 1#8Y' � ! ��1� �� 098 _ 1#8"! �(b) Comojadissemos,o campoapontahorizontalmente,daesquerdaparaa direita.

1.2.3 Lei deAmpere– 40/52

E 31-40.

Cadaum dosoito condutoresmostradosna Fig. 31-50transportaumacorrentede � A paradentroouparaforadapagina.Dois caminhossao indicadosparaa integralde linha º�-¼»(132 . Qual e o valor da integral para(a) ocaminhopontilhadoe (b) parao caminhotracejado?� (a) Duasdascorrentessaemdapaginaenquantoqueuma entra,de modoque a correntelıquidaenglobadapelatrajetoria pontilhadae de � A. Comoa trajetoria e

percorridano sentidohorario, ascorrentesqueentramna paginasao tomadaspositivas enquantoque as quesaemsaonegativas,conformea regradamaodireitaas-sociadacoma lei deAmpere.Portanto½ -�»�1#2 B�� B � ��! �� "� �� ! BH� � � �� & T »m �(b) Comoacorrentelıquidaezeronestecaso,o valordaintegral tambeme zero.

E 31-41.� Analogamenteaocasoanterior, temos½ -�»"1#2 �� P �]� _ % �]� _ � �]��B��¾� R _ � � � � �P 31-45.� Usealei deAmpere: º¿-O»À1#2 � � , ondeaintegrale

aoredordeumlaco fechadoe � e acorrentelıquidaqueflui atravesdo laco. Parao laco tracejadomostradonaFig. 31-54temos� � . A integral e zeroaolongodostrechossuperior, a direitae inferior do laco. Ao longodotrechoadireitao campoezero,enquantoquenosou-trosdois trechoso campoe perpendicularao elemento132 . Seo comprimentodo trechoa esquerdafor

¬, entao

umaintegracaosimplesforneceº -Á»�132 �� ¬, onde

�e a magnitudedocampono ladoesquerdodo laco.Uma vez que nem

�nem

¬sao nulos, temos uma

contradicaodalei deAmpere.Concluimosportanto que a geometriadas linhas decampomagnetico esta errada. Na realidadeas linhascurvam-separafora nasextremidadese suadensidadedecrescegradualmente,naoabruptamentecomoa figu-ra fazcrer.

1.2.4 Solenoidese Toroides– 53/73

E 31-54.� �¼ ��Â � � �� ! P ��#�� R � � � % ! % ��"� � �¯Ã �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina6


P 31-55.� O camponumsolenoidee�g � � ��Ä ' ¬ ! , onde Ä e

o numerodeespirase¬

e o comprimentodo solenoide.Como cadaespiratem um comprimento�$1 , obtemosparao comprimentototal / dofio/ �� 1 � � ¬ � � �� "�z� 8 ! � � % ��z� X !Å�� %�� "� � � !Å��"* �"� �y� ) ��Æ ª ��* Æ��E 31-56.� Paraumtoroidetemos

�� "� 7 Ä ' � �(��! . Portanto(a) para� � � � � m temos

�� z� %�% ��"�z� � Ã ;(b) para� � � �� m temos

�¼ � � �� Ã .

P 31-62.� (a) A forca magneticadeve estardirecionadaparaocentroda orbita. Para a partıcula da orbita mostradaa forca Ç��- esta direcionadaparafora do centrodaorbita,demodoquea partıculadevesernegativa.

(b) Usandoa Eq.16doCap.30,obtemos:0 ÆCÈÉ � :onde É e o valor dacarga. Agora,o campomargneticonao realizatrabalhosobrea partıcula,peloTeoremadaConservacaodaEnergia,asuaenergiacineticadeveper-manecerconstante;portanto,suavelocidadenao devevariar. Nos pontos1 e 2 da trajetoria temos 0 �Ê Ë¯ÌÍ �Î�Ï Â 6�ÐoT Â ÐoÑ , entao0 L � L 0 8 � 8 �Paraumtoroide,pelaEq.31-22,�� P � � � Ä�� R ��onde� e a distanciadapartıculaaoeixodo toroide.As-sim, 0ML� L 0 8� 8 �Portanto,0 8 �) � ��* cm.

E 31-63.

Qual e o momentodedipolo magnetico do solenoidedescritonoexercıcio 31-54?

� Ä ��F Ä �¾�� 8 ��#�� % �C� � � � � � ! 8 � � � � F�» Æ 8 �E 31-66.� (a) Ä ��F Ä �]�$0 8 % ��¿�� C�� #� � ! 8 � � % � A » m8 �

(b) DaEq.31-25temosque�� (� e#X �Portanto,e P ��(� � R L m X P � ��z�� % �� & R L m X � � cm�1.2.5 Problemasextras

Coletamosaquialgunsproblemasda3[

edicaodo livroquenao aparecemmais na 4

[edicao masque podem

aindaseruteis.

P 31-74ÒUm discode plasticofino de raio 0 tem umacarga Éuniformementedistribuidasobresuasuperfıcie. O dis-co gira comumafrequenciaangularÓ emtornodo seueixo. Mostreque: (a) o campomagneticono centrododiscoe �¼ ��Ó É�(�$0�:(b) o momentodedipolomagneticododiscoe Ó É 0 8� �(Sugestao:O discogirandoeequivalenteaumconjuntodeespirasdecorrente.)



� (a) Considereum pequenoanelderaio � e espessura1#� , contendoumacarga 1 É dadapor1 É É�$098 � �(��(1��! :ouseja,acargaporunidadedeareavezesaareadoanel.Num tempo

Ã �(�5'"Ó todaa cargado anelpassaporumpontofixo pertodoanel,logoacorrenteequivalentee: 1#� 1 ÉÃ �� É �Y1#��' � �$0 8 !�(�5'"Ó É Ó¦�(1��$098 �PelaEq.24,com e � (reparenadiferencadenotacao),esseanelgerano centrodo discoum campo 1#- cujamagnitudeedadapor1 �� "1�� (� P É Ó¦�Y1#��$098 R �

Assim,o campototal e:�� < 1 �� É Ó�(�$098 <?w� 1#� � É Ó��$0 �(b) O momentodedipoloseradadopor

< FÔ1#� < w� � �� 8 ! Ó É �(1#��$098 Ó É098 < w� � X 1#� Ó É 0 8� �









Conteudo

1 35: OscilacoesEletromagneticas 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

1.2.1 Oscilacoes��

: EstudoQuali-tativo – (1/6) . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Analogiacomo MHS – (7/8) . . 31.2.3 Oscilacoes

��: EstudoQuanti-

tativo – (9/30) . . . . . . . . . . 31.2.4 Oscilacoes Amortecidas num

RLC – (31/36) . . . . . . . . . 6


(lista4.tex)



1 35: OscilacoesEletromagneticas

1.1 Questoes

Q 35-1. Porqueo circuito��

daFig. 35-1naoparasimplesmentedeoscilarno instanteemqueo capacitorficacompletamentedescarregado?� E queapesardetermos�� , temossimultaneamen-te �� . A situacao,portanto,e analogaa deumpenduloque passapor um extremoou da energia po-tencial [quando �� ou �� max mas �� ]ou daenergia cinetica[quando�� ou �� max mas�� !��" ].As situacoesnao correspondema equilıbrios estaveis.Notea enfasenapalavra extremo e quetal palavra im-plica maiscoisasdo queasacimarapidamentemencio-nadas...



: EstudoQualitativ o – (1/6)

E 35-1. Qual e a capacitancia de um circuito RC,sabendo-sequea cargamaximado capacitore #�$ %�'& Ce a energiatotal e #)(�*& J?� Usea formula +,�-/.0 2143 �/5 paraobter� � - .3�+ � 16#�$ %�879#:2;=< 5 .3216#:(�>79#: ;�< 5 �?2$@#)(�7A#0 ;�B F $E 35-2. Num circuito LC, um indutorde #�$DC� mH ar-

mazenaumaenergiamaximade #:E& J.Qualeo picodecorrente?� Use +�� F . �3 paraobterF � G 3�+�H� G 3216#02$ >7A#0 ;=< 5#�$ C�879#: ;=I �JK$L#�#0C A $E 35-3. Num circuito LC oscilante

� �M#�$@#: mH e� �(K$ N& F. A cargamaximado capacitorvale O2$ N& C.Determineacorrentemaxima.

� Dasigualdades+P�RQ. ��F . �RQ. - . � temosF � -S �� O2$ >7A#0 ;=<T 16#�$L#0>7A#0 ;=I 5 1U(V$ �79#: ;=< 5� (V$ C�387A#0 ; . A $E 35-4. Um circuito

��consistenum indutor de W�C

mH e num capacitorde O2$ %8& F. Sabendo-sequea car-gamaximado capacitore de 3 $ ?!& C, (a) quala energiatotalnocircuitoe (b) qualea correntemaxima?� (a) +,� - .3 � �X#�$@#YWZ79#: ;�< J[(b) F � G 3�+�H�C2$ C�?879#: ;=I A $E 35-5. Para um certo circuito LC a energia total e

transformadadeenergiaeletricanocapacitoremenergiamagneticanoindutorem #�$DC�& s. (a) Qualeo perıododeoscilacao?(b) Quala frequenciadeoscilacao?(c) Numcertoinstante,a energia magneticae maxima. Quantotempodepoissera maximanovamente?� (a) \J�](^79#�$DC�N& s �%2$ *& s.(b) _`�J\/; Q �a1b%K$ �79#:2;=< 5 ; Q �X#�$ %�WZ7A#0�c Hz.(c) Aposmeioperıodo,ousejaOK$ d& s.

P 35-6. A frequenciadeoscilacaodeumcertocircuitoLC e 3�� kHz. No instante�*�, , a placaA do capaci-tor temcargapositivamaxima.Emquaisinstantes��ef(a) aplacaA teranovamentecargapositivamaxima,(b)a outraplacado capacitortera cargapositiva maximae(c) o indutortera campomagneticomaximo?� Considerando-sea dinamicamostradana Fig. 35-1temos(a) A cargasera maximae positivanaplacaA para�hg/�"ij\"� i_ � i3�� "i�14C��*& s

5lkondeim��# k 3 k O k $:$)$ .(b) Primeiramente,observe que e precisoesperar-semeioperıodoparaqueaacargaatinjaseuvalormaximopositivo na outra placapela primeira vez. Depoisdeatingi-lo,elavoltaarepetir-seacadaperıodoquepassa,ouseja,para�hno� \ 3qp ij\"� # p 3�i3>7m3�� X1r3�i p # 5 1432$ CN& s

5skhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina2


ondeit� k # k 3 k $)$:$ .(c) E necessario \N Y( paraqueo campomagnetico noindutoratinjaseuvalor maximopelaprimeiravez,pas-sandoentaoa repetir-seacadameioperıodo:�hu�� \ ( p ij\3 � �hn3 �X1r3�i p # 5 16#�$ 3�C*& s

5lkondeit� k # k 3 k $)$:$ .1.2.2 Analogia como MHS – (7/8)

P 35-7. Um blocode 2$DC� kg oscilapresoa umamolaque,quandodistendidade 3 $ mm,apartirdoequilıbrio,tem uma forca restauradorade v2$ N. (a) Qual e afrequenciaangularde oscilacao? (b) Qual e o perıodode oscilacao? (c) Qual sera a capacitanciado sistemaLC analogo,sea indutancia

�valer C $ H?� (a) w � G xy � G z Y�y� { v2$ 1432$ >7�#: ;=I 5 1b2$DC� 5� v�? rad/s$

(b) \"� 3�|w � 3�|v�? �PW}$ �7A#0 ; . s$(c) Usandoadefinicaode

w �a1 ��/5 ; Q , temos� � #w . � � #1bv�? 5 . 14C2$ 5 �J3 $DC>79#: ;�c F $P 35-8. Um circuito

��com um indutor de #�$ 3�C H

possuiumaenergia de C $~W8& J. A carga maximaarma-zenadano capacitore igual a #YW�C�& C. Determine(a)a massa,(b) a constanteda mola, (c) o deslocamentomaximoe (d) a velocidadeescalarmaximaparao siste-mamecanicoan’alogo.� (a) Comoa massay correspondea indutancia

�, te-

mos y �X#�$D3�C Kg.(b) Temos

x ��#Y � . Como� ��- . 1r3�+ 5 ��3 $ %�?�7#: ;=I F, segueque

x �X#Y � �O�W�3 N/m.(c) O deslocamentomaximo �=� correspondea cargamaxima,demodoque�=�P��#�W�C879#: ;�< m $

(d) A velocidademaxima �� correspondea correntemaxima.A correntemaximaeF �- w � -S �� #YW�CZ79#:2;=<T 1h#�$D3�C 5 1432$ %�?Z79#: ;=I 5� O2$ �387A#0 ;�I A $Portanto ��,�"O2$ �3879#: ;=I m/s$Alternativamente,podemostambem usar a equaçao+�� F . �3 , paraobterF � G 3�+�� kqueforneceo mesmoresultadonumericoacima.


: EstudoQuantitativ o – (9/30)

E 35-9. OsosciladoresLC saousadosemcircuitosli-gadosa alto-falantesparacriar algunssonsda musicaeletronica. Queindutanciadeve serusadacomum ca-pacitorde %2$~W8& F paraproduzirumafrequenciade #0kHz, aproximadamenteo meiodafaixaaudıvel?� Use _��X1r3�| S ��/5 ; Q paraobter� � #(�| . _ . � � #(�| . 16#0�7A#0 I 5 . 14%2$~W87A#0 ;=< 5� O2$ v�79#: ;�c H $E 35-10.� Use _��X1r3�| S ��/5 ; Q paraobter� � #(�| . _ . � � #(�| . 1bO2$DC>79#: I 5 . 1h#�$ O�7A#0 ;�I 5� #�$DC�?>79#: ;�< F $E 35-11.

Num circuito��

com� ��C� mH e

� �X(/& F, a cor-rentee inicialmentemaxima. Quantotempodepoisocapacitorestaracomcargaplenapelaprimeiravez?� Sendo\ o perıodo de oscilacao do circuito, o tem-po solicitado sera �]��\* �( . O perıodo e dado por



\��3�|� w ��3�| S ��, onde

we a frequenciaangu-

lar deoscilacao,�

e a indutancia,e�

e a capacitancia.Portanto�� \ ( � 3�| S ��(� 3�| T 142$ �C 5 1U(�79#: ;=< 5(� W879#: ;V� s$E 35-12.� Com a chave � Q fechadae asoutrasabertas,o que

temose um circuito � � comconstantedetempo�)�]�� . Quando � . e fechadae as outrassao abertasocapacitorestara fora do circuito e o quesobrae um cir-cuito � � comconstantedetempo�)�� . Quando� I esta fechadae asoutrasestaoabertaso resistorestafora do circuito e o quesobrae um circuito queoscilacomperıodo \J�3�| S �� .Substituindo-se

� �a�!�)� e� ��:�� obtemosfacil-

menteque \"�P3�| S �)��:��$E 35-13. Deduzaaequaçaodiferencialdeumcircuito

LC (Eq.35-10),usandoa leisdasmalhas.� Aplicandoa lei dasmalhasa um circuito LC encon-tramos �

total � � � p � �q� � ��*p �� 2$Como �N�� e, portanto,��h ��*�� . �� . , vemosqueaigualdademaisadireitaforneceaequaçaopedida:� � . �� . p ��J2$E 35-14.� Aplicandoa lei dasmalhasa todoo circuito temos�

total � � �V� p � �� p �}� � p $)$:$� �� V� p � �=� p �}� �� p �� p ��

� � ��dp �� p �¡��J konde� �P�� k #� �P�� #� � k ��a� � $Defato,a associaçaomostradanaFig. 35-11aeequiva-lenteadaFig. 35-11b.

P 35-18.� (a) Apossermovida paraa posicao ¢ temosum cir-cuito

��cuja frequenciaangulare

w �£#� S �� e afrequenciae_�� w

3�| � #3�| S �� #3�| T 1rC�(�7�#: ;=I 5 1b%2$D3>79#: ;�< 5� #�W�3�v2$D3�C�3�v3�|� 3�W�C Hz $(b) No instantedo fechamentodachaveacorrenteeze-ro,sendoqueo capacitorestacarregadocomumatensao¤ �¥O�( V. Portantoa carga maxima no capacitore-£� ¤8� ��O�(¦7q%2$D3t7"#:2;=<��§3 $@#�#�7f#0 ;=� C. Aamplitudedacorrentee,consequentemente,F � w - � 3�|¨_j-� 3�|�1r3�W�C 5 1r3 $@#�#!7A#0 ;=� 5� 2$ O�%�C A $P 35-21.� (a) Em qualquerinstante,a energia total + no cir-

cuito e a somada energia +�© no campoeletrico docapacitore a energia + � no campomagnetico do in-dutor. Quando +�©§�ª2$DCo+ � , temos + � �«3�+�© e+¬�«+�© p + � �MO�+�© . A energia +�© e dadapor� . 1r3 �/5 , onde � e a carga no capacitore

�e a ca-

pacitancia. A energia total + e dadapor - . 2143 �/5 ,onde - e a carga maximano capacitor, de modoque- . 1r3 �/5 �O�� . 2143 �/5 ouseja��P-Z S OZ"K$ C�W�W�- .

(b) Seo capacitoresta totalmentecarregadopara ��entao suacarga e datapor � 1U� 5 �®-�¯s°�±:1 w � 5 onde

we a frequenciada oscilacao. A condicao �A�RK$ C�W�W�-e satisfeitaquando ¯)°�±01 w � 5 �²K$ C�W�W , ou seja, para

w �^�³K$ ?�C�C radianos.Como

w ��3�|� �\ , onde \ e operıododeoscilacao, ��"K$ ?�C�C�\N 1r3�| 5 �JK$L#YC�3�\ .



P 35-24.� (a)Comosabemosque _`�X#Y 2143�| S ��/5 , quantome-nor

�, maiorsera _ . Portanto,_ max ��#Y 2143�| S �� min

5, e_ min �,#Y 2143�| S �� max

5, fornecendo_ max_ min

� S �maxS �min

� S O�%�CS #0 �"%2$ �3�(/%2$(b) Queremosescolhera capacitancia

�adicionalde

modoquearazaodasfrequenciasseja´ � #�$ %� MHz2$DC�( MHz�P3 $ ?�%8$

Comoacapacitancia�

adicionalecolocadaemparale-lo aocapacitorvariavel, suacapacitanciasoma-sea dacapacitanciadesintonia,ousejaS � p O�%�CS � p #: �3 $ ?�% kcujasolucaoe� � O�%�C'µ]1432$ ?�% 5 . 16#0 51432$ ?�% 5 . µf# �JO�% pF$Para termosa menor frequencia devemosusar

� �O�%�C p O�%/�J(�K# pF e _t�JK$ C�( MHz. Portanto� � #143�| 5 . � _ . �P3 $D3Z79#: ;V� H $P 35-25.� (a)+ � +�© p + � � ��.3 � p �¡. �3� 1bOK$ v�79#:2;=< 5 .321rW $ v>79#: ;=< 5 p 1b?K$ 3>79#:2;=I 5 . 1r3�C>79#: ;�I 53� #�$ ?�v>7A#0 ;�< J$

(b) A carga - maximapodeserobtidadovalor total daenergia,assim:-,� S 3 � + � T 321�W}$ v>7A#0 ;=< 5 16#�$ ?�v�7A#0 ;�< 5� C2$ C�%>7A#0 ;=< Coulombs$

(c) Analogamente,acorrentemaximaF

tanbemeobtidadovalor total daenergia:F � G 3�+� � G 321h#�$ ?�v87A#0 ;=< 53�C879#: ;�I� #�$ 3�%879#: ; . Amperes$(d) Chamando-sede �)¶ a cargano capacitorem �'�� ,temos�)¶'�-�¯)°�±2· e·��¯s°�± ; Q � � ¶- � ¯s°�± ; Q � OK$ v�879#:2;=<C2$ C�%879#: ;=< � ¸'(�%2$ ?�¹0$Para ·"� p (�%2$ ? ¹ a cargano capacitoresta decrescen-do, enquantoque para ·��¥µ*(�%2$ ? ¹ ela esta crescen-do. Verifica-seisto calculando-sea derivadade � emrelacaoaotempoecomputando-apara�� . Obtem-seµ w - sen· . Queremosqueestaquantidadesejapositi-va o quenos leva a escolher·,�ºµ*(�%2$ ? ¹ , pois entaosen16µ*(�%K$ ? ¹ 5E» .(e) Nestecasoa derivadadeve ser negativa. Portantodevemostomar ·`� p (�%K$ ? ¹ .P 35-26.� (a) A carga e dadapor � 1U� 5 �®- sen1 w � 5 , onde -

e a carga maxima no capacitore

we a frequenciada

oscilacao. Escolheu-sea funcao senoparaquetenha-mos �� no instante�'�� . Assimsendo,a correntee �¼1b� 5 � �� w -�¯s°�±:1 w � 5e para �t�£ temos

F � w - . Como

w �«#Y S �� ,encontramos- � F S �� 3 T 14O�7A#0 ;=I 5 1432$DW879#: ;=< 5� #�$ v�>7A#0 ;=� Coulombs$(b) A energiaarmazenadanocapacitore+ © � � .3 � � - . sen. 1 w � 53 �esuataxadevariacaoe� +�©�� - . w sen1 w � 5 ¯s°�±01 w � 5� $Usandoa identidades°�±)1b½ 5 sen1b½ 5 � Q. sen1r3�½ 5 obte-mos � +�©�� w - .3 � sen1r3 w � 5 $



A maiorvariacaoocorrequandosen143 w � 5 ��# , ouseja,para 3 w ��"|� �3 radianos,resultadoquenosfornece�� |( w � |j\(=143�| 5 � \ v konde \ e o perıodo da oscilacao, e usamoso fato que

w �3�|� Y\ .(c) Substitua

w ��3�|� �\ e sen143 w � 5 �¾# naexpressaode �}+o¿) �� obtendoassim:� �}+ ©��

max� 3�|¨- .3�\ � � |¨- .\ � $

Como \"�P3�| S �� C $ %�C�C879#:2;V� s,encontramos� �}+ ©�� max

�J%�%2$~W Wattsk

um valor positivo, indicandoquea energiano capacitoresta realmenteaumentandopara��"\* �v .P 35-30À .� A energiaoriginalmentenocapacitorde ?��*& F e#3 � B ¶Á¶ ¤ . � #3 1b?��>7A#0 ;�< 5 1h#:� 5 . �J(K$DC J$

A energia necessaria para se carregar o capacitorde#:�N& F a O�� V e#3 � Q ¶Á¶ ¤ . � #3 16#0�>7A#0 ;�< 5 14O�� 5 . �J(K$DC J$Portanto,vemosquea energiaoriginalmentenocapaci-tor de ?��>& F deve ser transferidaparao capacitorde#:�/& F, o quesepodefazerfacilmentearmazenando-atemporariamenteno indutor.Paratanto,deixe a chave � Q abertae fechea chave � . ,esperandoate queo capacitorde ?��*& F estejacomple-tamentedescarregado,comacorrentenamalhaadireitasendoentaomaxima.Tal maximoocorrenumquartodoperıododeoscilacao.Como\ B ¶Á¶'�3�| T �� B ¶Á¶'�JK$ C�?�% s

kprecisamosporatntoesperar1bK$ C�?�% 5 Y(^��K$L#:(�? segun-dos. Nesteinstante,feche � Q e abra � . demodoqueacorrenteestejaagoranamalhaa esquerda.Espereago-ra um quartodo perıododeoscilacaodo circuito

��a

esquerdae abraa chave � Q . Tal perıodoe\ Q ¶Á¶ �3�| T �� Q ¶Á¶ �JK$L#0?�? sk

indicando ser preciso manter-se � Q fechadadurante1bK$L#0?�? 5 Y(,�ª2$ �(�?}W segundosantesde abri-la nova-mente.

1.2.4 OscilacoesAmortecidasnum RLC – (31/36)

E 35-31.� O temponecessariopara C� ciclose��C�!\"�PC� 3�|w �PC�/3�| S �� 2$DC #0�( s$A cargamaximanocapacitordecaideacordocom� max �-�Â ; ��ÃbÄ)Å . �KÆ konde- e acargaem �� e � e a resistenciadocircui-to. Portanto� � µ 3 �� ln � � max-

� µ 3K143�3�>7A#0 ;=I 52$DC #:�( ln 142$ ?�? 5� v2$ %�%>7A#0 ;�I�Ç $P 35-33.� Comoaenergiamaximanocapacitoremcadaciclo e

dadapor � .max 2143 �/5 , onde � max e a cargamaximacargaa�e acapacitancia,deseja-seo instantedetempoparao

qual ��.max3 � � #3 -/.3 � ko quesignificaque � max �-Z S 3 .Comotemosque � max �-�Â ; ��ÃbÄ)Å . �KÆ konde � e a resistencia e

�a indutanciado circuito.

Resolvendo-separa� obtemos�È� µ 3 �� ln � � max- � µ 3 �� ln � #S 3 � �� ln 3 k

onde usamoso fato que ln 1h#Y S 3 5 � µ lnS 3®�µ Q. ln 3 .

P 35-36À .http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina6


Num circuito��

amortecido,mostreque a fracao daenergia perdidapor ciclo de oscilacao, É^+N �+ , e da-da com boaaproximaçao por 3�|Ê�/ 21 w ��5 . A grandeza

w � �� e frequentementedenominadade fator de quali-dade “Q” docircuito( - , porseraletrainicial dapalavra‘qualidade’).Um circuitode“alto - ” possuiresistenciabaixaeumaperdarelativa tambembaixadeenergiaporciclo ( �P3�|� �- ).� Seja� uminstantedetemponoqualo capacitoreste-ja carregadocompletamentenum ciclo qualquere seja� max1 a cargaentaono capacitor. A energia no capacitornestemesmoinstantee+^1U� 5 � � .max13 � � - .3 � Â ; ��ÃbÄ � kondeusamoso fatoque � max1 ��-�Â�; ��ÃbÄ)Å . �2Æ , sendo-a cargapara��J .Um ciclo maistardea cargamaximae� max2 �P-PÂ ; �ËÅÌÃUÍÊÎ Æ Ä)Å . �2Æe a energiae+�1b� p \ 5 � � .max23 � � - .3 � Â ; �ËÅÌÃUÍÊÎ Æ Ä � k

onde \ e o perıododaoscilacao. A perdafracionaldaenergiaporciclo e,portanto,É^++ � +�1U� p \ 5 µ�+�1b� 5+�1U� 5� Â�; ��ÃbÄ � µ�Â�; �ËÅÌÃUÍÊÎ Æ Ä �Â ; ��ÃbÄ �� #*µ9Â ; �jÎVÄ � $Supondoser �!\* ��Ï # (a resistenciae pequena)eusandoo teoremabinomial[“expansaodaexponencial”,apendiceG, pag.334]encontramosfacilmentequeÂ ; �jÎKÄ � �#*µ �!\� $Substituindo-se\ por 3�|� w , onde

we a frequenciaan-

gulardaoscilacao,temosÉ^++ Ð #*µX��#*µ �'\� � �!\� � 3�|Ê�w � $









Conteudo

1 35: OscilacoesEletromagneticas 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2


: EstudoQuali-tativo – (1/6) . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Analogiacomo MHS – (7/8) . . 31.2.3 Oscilacoes

��: EstudoQuanti-

tativo – (9/30) . . . . . . . . . . 31.2.4 Oscilacoes Amortecidas num

RLC – (31/36) . . . . . . . . . 6


(lista4.tex)



1 35: OscilacoesEletromagneticas

1.1 Questoes

Q 35-1. Porqueo circuito��

daFig. 35-1naoparasimplesmentedeoscilarno instanteemqueo capacitorficacompletamentedescarregado?� E queapesardetermos�� , temossimultaneamen-te �� . A situacao,portanto,e analogaa deumpenduloque passapor um extremoou da energia po-tencial [quando �� ou �� max mas �� ]ou daenergia cinetica[quando�� ou �� max mas�� !��" ].As situacoesnao correspondema equilıbrios estaveis.Notea enfasenapalavra extremo e quetal palavra im-plica maiscoisasdo queasacimarapidamentemencio-nadas...



: EstudoQualitativ o – (1/6)

E 35-1. Qual e a capacitancia de um circuito RC,sabendo-sequea cargamaximado capacitore #�$ %�'& Ce a energiatotal e #)(�*& J?� Usea formula +,�-/.0 2143 �/5 paraobter� � - .3�+ � 16#�$ %�879#:2;=< 5 .3216#:(�>79#: ;�< 5 �?2$@#)(�7A#0 ;�B F $E 35-2. Num circuito LC, um indutorde #�$DC� mH ar-

mazenaumaenergiamaximade #:E& J.Qualeo picodecorrente?� Use +�� F . �3 paraobterF � G 3�+�H� G 3216#02$ >7A#0 ;=< 5#�$ C�879#: ;=I �JK$L#�#0C A $E 35-3. Num circuito LC oscilante

� �M#�$@#: mH e� �(K$ N& F. A cargamaximado capacitorvale O2$ N& C.Determineacorrentemaxima.

� Dasigualdades+P�RQ. ��F . �RQ. - . � temosF � -S �� O2$ >7A#0 ;=<T 16#�$L#0>7A#0 ;=I 5 1U(V$ �79#: ;=< 5� (V$ C�387A#0 ; . A $E 35-4. Um circuito

��consistenum indutor de W�C

mH e num capacitorde O2$ %8& F. Sabendo-sequea car-gamaximado capacitore de 3 $ ?!& C, (a) quala energiatotalnocircuitoe (b) qualea correntemaxima?� (a) +,� - .3 � �X#�$@#YWZ79#: ;�< J[(b) F � G 3�+�H�C2$ C�?879#: ;=I A $E 35-5. Para um certo circuito LC a energia total e

transformadadeenergiaeletricanocapacitoremenergiamagneticanoindutorem #�$DC�& s. (a) Qualeo perıododeoscilacao?(b) Quala frequenciadeoscilacao?(c) Numcertoinstante,a energia magneticae maxima. Quantotempodepoissera maximanovamente?� (a) \J�](^79#�$DC�N& s �%2$ *& s.(b) _`�J\/; Q �a1b%K$ �79#:2;=< 5 ; Q �X#�$ %�WZ7A#0�c Hz.(c) Aposmeioperıodo,ousejaOK$ d& s.

P 35-6. A frequenciadeoscilacaodeumcertocircuitoLC e 3�� kHz. No instante�*�, , a placaA do capaci-tor temcargapositivamaxima.Emquaisinstantes��ef(a) aplacaA teranovamentecargapositivamaxima,(b)a outraplacado capacitortera cargapositiva maximae(c) o indutortera campomagneticomaximo?� Considerando-sea dinamicamostradana Fig. 35-1temos(a) A cargasera maximae positivanaplacaA para�hg/�"ij\"� i_ � i3�� "i�14C��*& s

5lkondeim��# k 3 k O k $:$)$ .(b) Primeiramente,observe que e precisoesperar-semeioperıodoparaqueaacargaatinjaseuvalormaximopositivo na outra placapela primeira vez. Depoisdeatingi-lo,elavoltaarepetir-seacadaperıodoquepassa,ouseja,para�hno� \ 3qp ij\"� # p 3�i3>7m3�� X1r3�i p # 5 1432$ CN& s

5skhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina2


ondeit� k # k 3 k $)$:$ .(c) E necessario \N Y( paraqueo campomagnetico noindutoratinjaseuvalor maximopelaprimeiravez,pas-sandoentaoa repetir-seacadameioperıodo:�hu�� \ ( p ij\3 � �hn3 �X1r3�i p # 5 16#�$ 3�C*& s

5lkondeit� k # k 3 k $)$:$ .1.2.2 Analogia como MHS – (7/8)

P 35-7. Um blocode 2$DC� kg oscilapresoa umamolaque,quandodistendidade 3 $ mm,apartirdoequilıbrio,tem uma forca restauradorade v2$ N. (a) Qual e afrequenciaangularde oscilacao? (b) Qual e o perıodode oscilacao? (c) Qual sera a capacitanciado sistemaLC analogo,sea indutancia

�valer C $ H?� (a) w � G xy � G z Y�y� { v2$ 1432$ >7�#: ;=I 5 1b2$DC� 5� v�? rad/s$

(b) \"� 3�|w � 3�|v�? �PW}$ �7A#0 ; . s$(c) Usandoadefinicaode

w �a1 ��/5 ; Q , temos� � #w . � � #1bv�? 5 . 14C2$ 5 �J3 $DC>79#: ;�c F $P 35-8. Um circuito

��com um indutor de #�$ 3�C H

possuiumaenergia de C $~W8& J. A carga maximaarma-zenadano capacitore igual a #YW�C�& C. Determine(a)a massa,(b) a constanteda mola, (c) o deslocamentomaximoe (d) a velocidadeescalarmaximaparao siste-mamecanicoan’alogo.� (a) Comoa massay correspondea indutancia

�, te-

mos y �X#�$D3�C Kg.(b) Temos

x ��#Y � . Como� ��- . 1r3�+ 5 ��3 $ %�?�7#: ;=I F, segueque

x �X#Y � �O�W�3 N/m.(c) O deslocamentomaximo �=� correspondea cargamaxima,demodoque�=�P��#�W�C879#: ;�< m $

(d) A velocidademaxima �� correspondea correntemaxima.A correntemaximaeF �- w � -S �� #YW�CZ79#:2;=<T 1h#�$D3�C 5 1432$ %�?Z79#: ;=I 5� O2$ �387A#0 ;�I A $Portanto ��,�"O2$ �3879#: ;=I m/s$Alternativamente,podemostambem usar a equaçao+�� F . �3 , paraobterF � G 3�+�� kqueforneceo mesmoresultadonumericoacima.


: EstudoQuantitativ o – (9/30)

E 35-9. OsosciladoresLC saousadosemcircuitosli-gadosa alto-falantesparacriar algunssonsda musicaeletronica. Queindutanciadeve serusadacomum ca-pacitorde %2$~W8& F paraproduzirumafrequenciade #0kHz, aproximadamenteo meiodafaixaaudıvel?� Use _��X1r3�| S ��/5 ; Q paraobter� � #(�| . _ . � � #(�| . 16#0�7A#0 I 5 . 14%2$~W87A#0 ;=< 5� O2$ v�79#: ;�c H $E 35-10.� Use _��X1r3�| S ��/5 ; Q paraobter� � #(�| . _ . � � #(�| . 1bO2$DC>79#: I 5 . 1h#�$ O�7A#0 ;�I 5� #�$DC�?>79#: ;�< F $E 35-11.

Num circuito��

com� ��C� mH e

� �X(/& F, a cor-rentee inicialmentemaxima. Quantotempodepoisocapacitorestaracomcargaplenapelaprimeiravez?� Sendo\ o perıodo de oscilacao do circuito, o tem-po solicitado sera �]��\* �( . O perıodo e dado por



\��3�|� w ��3�| S ��, onde

we a frequenciaangu-

lar deoscilacao,�

e a indutancia,e�

e a capacitancia.Portanto�� \ ( � 3�| S ��(� 3�| T 142$ �C 5 1U(�79#: ;=< 5(� W879#: ;V� s$E 35-12.� Com a chave � Q fechadae asoutrasabertas,o que

temose um circuito � � comconstantedetempo�)�]�� . Quando � . e fechadae as outrassao abertasocapacitorestara fora do circuito e o quesobrae um cir-cuito � � comconstantedetempo�)�� . Quando� I esta fechadae asoutrasestaoabertaso resistorestafora do circuito e o quesobrae um circuito queoscilacomperıodo \J�3�| S �� .Substituindo-se

� �a�!�)� e� ��:�� obtemosfacil-

menteque \"�P3�| S �)��:��$E 35-13. Deduzaaequaçaodiferencialdeumcircuito

LC (Eq.35-10),usandoa leisdasmalhas.� Aplicandoa lei dasmalhasa um circuito LC encon-tramos �

total � � � p � �q� � ��*p �� 2$Como �N�� e, portanto,��h ��*�� . �� . , vemosqueaigualdademaisadireitaforneceaequaçaopedida:� � . �� . p ��J2$E 35-14.� Aplicandoa lei dasmalhasa todoo circuito temos�

total � � �V� p � �� p �}� � p $)$:$� �� V� p � �=� p �}� �� p �� p ��

� � ��dp �� p �¡��J konde� �P�� k #� �P�� #� � k ��a� � $Defato,a associaçaomostradanaFig. 35-11aeequiva-lenteadaFig. 35-11b.

P 35-18.� (a) Apossermovida paraa posicao ¢ temosum cir-cuito

��cuja frequenciaangulare

w �£#� S �� e afrequenciae_�� w

3�| � #3�| S �� #3�| T 1rC�(�7�#: ;=I 5 1b%2$D3>79#: ;�< 5� #�W�3�v2$D3�C�3�v3�|� 3�W�C Hz $(b) No instantedo fechamentodachaveacorrenteeze-ro,sendoqueo capacitorestacarregadocomumatensao¤ �¥O�( V. Portantoa carga maxima no capacitore-£� ¤8� ��O�(¦7q%2$D3t7"#:2;=<��§3 $@#�#�7f#0 ;=� C. Aamplitudedacorrentee,consequentemente,F � w - � 3�|¨_j-� 3�|�1r3�W�C 5 1r3 $@#�#!7A#0 ;=� 5� 2$ O�%�C A $P 35-21.� (a) Em qualquerinstante,a energia total + no cir-

cuito e a somada energia +�© no campoeletrico docapacitore a energia + � no campomagnetico do in-dutor. Quando +�©§�ª2$DCo+ � , temos + � �«3�+�© e+¬�«+�© p + � �MO�+�© . A energia +�© e dadapor� . 1r3 �/5 , onde � e a carga no capacitore

�e a ca-

pacitancia. A energia total + e dadapor - . 2143 �/5 ,onde - e a carga maximano capacitor, de modoque- . 1r3 �/5 �O�� . 2143 �/5 ouseja��P-Z S OZ"K$ C�W�W�- .

(b) Seo capacitoresta totalmentecarregadopara ��entao suacarga e datapor � 1U� 5 �®-�¯s°�±:1 w � 5 onde

we a frequenciada oscilacao. A condicao �A�RK$ C�W�W�-e satisfeitaquando ¯)°�±01 w � 5 �²K$ C�W�W , ou seja, para

w �^�³K$ ?�C�C radianos.Como

w ��3�|� �\ , onde \ e operıododeoscilacao, ��"K$ ?�C�C�\N 1r3�| 5 �JK$L#YC�3�\ .



P 35-24.� (a)Comosabemosque _`�X#Y 2143�| S ��/5 , quantome-nor

�, maiorsera _ . Portanto,_ max ��#Y 2143�| S �� min

5, e_ min �,#Y 2143�| S �� max

5, fornecendo_ max_ min

� S �maxS �min

� S O�%�CS #0 �"%2$ �3�(/%2$(b) Queremosescolhera capacitancia

�adicionalde

modoquearazaodasfrequenciasseja´ � #�$ %� MHz2$DC�( MHz�P3 $ ?�%8$

Comoacapacitancia�

adicionalecolocadaemparale-lo aocapacitorvariavel, suacapacitanciasoma-sea dacapacitanciadesintonia,ousejaS � p O�%�CS � p #: �3 $ ?�% kcujasolucaoe� � O�%�C'µ]1432$ ?�% 5 . 16#0 51432$ ?�% 5 . µf# �JO�% pF$Para termosa menor frequencia devemosusar

� �O�%�C p O�%/�J(�K# pF e _t�JK$ C�( MHz. Portanto� � #143�| 5 . � _ . �P3 $D3Z79#: ;V� H $P 35-25.� (a)+ � +�© p + � � ��.3 � p �¡. �3� 1bOK$ v�79#:2;=< 5 .321rW $ v>79#: ;=< 5 p 1b?K$ 3>79#:2;=I 5 . 1r3�C>79#: ;�I 53� #�$ ?�v>7A#0 ;�< J$

(b) A carga - maximapodeserobtidadovalor total daenergia,assim:-,� S 3 � + � T 321�W}$ v>7A#0 ;=< 5 16#�$ ?�v�7A#0 ;�< 5� C2$ C�%>7A#0 ;=< Coulombs$

(c) Analogamente,acorrentemaximaF

tanbemeobtidadovalor total daenergia:F � G 3�+� � G 321h#�$ ?�v87A#0 ;=< 53�C879#: ;�I� #�$ 3�%879#: ; . Amperes$(d) Chamando-sede �)¶ a cargano capacitorem �'�� ,temos�)¶'�-�¯)°�±2· e·��¯s°�± ; Q � � ¶- � ¯s°�± ; Q � OK$ v�879#:2;=<C2$ C�%879#: ;=< � ¸'(�%2$ ?�¹0$Para ·"� p (�%2$ ? ¹ a cargano capacitoresta decrescen-do, enquantoque para ·��¥µ*(�%2$ ? ¹ ela esta crescen-do. Verifica-seisto calculando-sea derivadade � emrelacaoaotempoecomputando-apara�� . Obtem-seµ w - sen· . Queremosqueestaquantidadesejapositi-va o quenos leva a escolher·,�ºµ*(�%2$ ? ¹ , pois entaosen16µ*(�%K$ ? ¹ 5E» .(e) Nestecasoa derivadadeve ser negativa. Portantodevemostomar ·`� p (�%K$ ? ¹ .P 35-26.� (a) A carga e dadapor � 1U� 5 �®- sen1 w � 5 , onde -

e a carga maxima no capacitore

we a frequenciada

oscilacao. Escolheu-sea funcao senoparaquetenha-mos �� no instante�'�� . Assimsendo,a correntee �¼1b� 5 � �� w -�¯s°�±:1 w � 5e para �t�£ temos

F � w - . Como

w �«#Y S �� ,encontramos- � F S �� 3 T 14O�7A#0 ;=I 5 1432$DW879#: ;=< 5� #�$ v�>7A#0 ;=� Coulombs$(b) A energiaarmazenadanocapacitore+ © � � .3 � � - . sen. 1 w � 53 �esuataxadevariacaoe� +�©�� - . w sen1 w � 5 ¯s°�±01 w � 5� $Usandoa identidades°�±)1b½ 5 sen1b½ 5 � Q. sen1r3�½ 5 obte-mos � +�©�� w - .3 � sen1r3 w � 5 $



A maiorvariacaoocorrequandosen143 w � 5 ��# , ouseja,para 3 w ��"|� �3 radianos,resultadoquenosfornece�� |( w � |j\(=143�| 5 � \ v konde \ e o perıodo da oscilacao, e usamoso fato que

w �3�|� Y\ .(c) Substitua

w ��3�|� �\ e sen143 w � 5 �¾# naexpressaode �}+o¿) �� obtendoassim:� �}+ ©��

max� 3�|¨- .3�\ � � |¨- .\ � $

Como \"�P3�| S �� C $ %�C�C879#:2;V� s,encontramos� �}+ ©�� max

�J%�%2$~W Wattsk

um valor positivo, indicandoquea energiano capacitoresta realmenteaumentandopara��"\* �v .P 35-30À .� A energiaoriginalmentenocapacitorde ?��*& F e#3 � B ¶Á¶ ¤ . � #3 1b?��>7A#0 ;�< 5 1h#:� 5 . �J(K$DC J$

A energia necessaria para se carregar o capacitorde#:�N& F a O�� V e#3 � Q ¶Á¶ ¤ . � #3 16#0�>7A#0 ;�< 5 14O�� 5 . �J(K$DC J$Portanto,vemosquea energiaoriginalmentenocapaci-tor de ?��>& F deve ser transferidaparao capacitorde#:�/& F, o quesepodefazerfacilmentearmazenando-atemporariamenteno indutor.Paratanto,deixe a chave � Q abertae fechea chave � . ,esperandoate queo capacitorde ?��*& F estejacomple-tamentedescarregado,comacorrentenamalhaadireitasendoentaomaxima.Tal maximoocorrenumquartodoperıododeoscilacao.Como\ B ¶Á¶'�3�| T �� B ¶Á¶'�JK$ C�?�% s

kprecisamosporatntoesperar1bK$ C�?�% 5 Y(^��K$L#:(�? segun-dos. Nesteinstante,feche � Q e abra � . demodoqueacorrenteestejaagoranamalhaa esquerda.Espereago-ra um quartodo perıododeoscilacaodo circuito

��a

esquerdae abraa chave � Q . Tal perıodoe\ Q ¶Á¶ �3�| T �� Q ¶Á¶ �JK$L#0?�? sk

indicando ser preciso manter-se � Q fechadadurante1bK$L#0?�? 5 Y(,�ª2$ �(�?}W segundosantesde abri-la nova-mente.

1.2.4 OscilacoesAmortecidasnum RLC – (31/36)

E 35-31.� O temponecessariopara C� ciclose��C�!\"�PC� 3�|w �PC�/3�| S �� 2$DC #0�( s$A cargamaximanocapacitordecaideacordocom� max �-�Â ; ��ÃbÄ)Å . �KÆ konde- e acargaem �� e � e a resistenciadocircui-to. Portanto� � µ 3 �� ln � � max-

� µ 3K143�3�>7A#0 ;=I 52$DC #:�( ln 142$ ?�? 5� v2$ %�%>7A#0 ;�I�Ç $P 35-33.� Comoaenergiamaximanocapacitoremcadaciclo e

dadapor � .max 2143 �/5 , onde � max e a cargamaximacargaa�e acapacitancia,deseja-seo instantedetempoparao

qual ��.max3 � � #3 -/.3 � ko quesignificaque � max �-Z S 3 .Comotemosque � max �-�Â ; ��ÃbÄ)Å . �KÆ konde � e a resistencia e

�a indutanciado circuito.

Resolvendo-separa� obtemos�È� µ 3 �� ln � � max- � µ 3 �� ln � #S 3 � �� ln 3 k

onde usamoso fato que ln 1h#Y S 3 5 � µ lnS 3®�µ Q. ln 3 .

P 35-36À .http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina6


Num circuito��

amortecido,mostreque a fracao daenergia perdidapor ciclo de oscilacao, É^+N �+ , e da-da com boaaproximaçao por 3�|Ê�/ 21 w ��5 . A grandeza

w � �� e frequentementedenominadade fator de quali-dade “Q” docircuito( - , porseraletrainicial dapalavra‘qualidade’).Um circuitode“alto - ” possuiresistenciabaixaeumaperdarelativa tambembaixadeenergiaporciclo ( �P3�|� �- ).� Seja� uminstantedetemponoqualo capacitoreste-ja carregadocompletamentenum ciclo qualquere seja� max1 a cargaentaono capacitor. A energia no capacitornestemesmoinstantee+^1U� 5 � � .max13 � � - .3 � Â ; ��ÃbÄ � kondeusamoso fatoque � max1 ��-�Â�; ��ÃbÄ)Å . �2Æ , sendo-a cargapara��J .Um ciclo maistardea cargamaximae� max2 �P-PÂ ; �ËÅÌÃUÍÊÎ Æ Ä)Å . �2Æe a energiae+�1b� p \ 5 � � .max23 � � - .3 � Â ; �ËÅÌÃUÍÊÎ Æ Ä � k

onde \ e o perıododaoscilacao. A perdafracionaldaenergiaporciclo e,portanto,É^++ � +�1U� p \ 5 µ�+�1b� 5+�1U� 5� Â�; ��ÃbÄ � µ�Â�; �ËÅÌÃUÍÊÎ Æ Ä �Â ; ��ÃbÄ �� #*µ9Â ; �jÎVÄ � $Supondoser �!\* ��Ï # (a resistenciae pequena)eusandoo teoremabinomial[“expansaodaexponencial”,apendiceG, pag.334]encontramosfacilmentequeÂ ; �jÎKÄ � �#*µ �!\� $Substituindo-se\ por 3�|� w , onde

we a frequenciaan-

gulardaoscilacao,temosÉ^++ Ð #*µX��#*µ �'\� � �!\� � 3�|Ê�w � $


LISTA 2 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 17deJunhode2003, as10:30a.m.







Conteudo

26 PotencialEletrico 226.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 3

26.2.1 O potencialeletrico . . . . . . . 326.2.2 Calculodo potenciala partir do

campo. . . . . . . . . . . . . . 326.2.3 Potencialcriadopor umacarga

puntiforme . . . . . . . . . . . 626.2.4 Potencialcriadopor um dipolo

eletrico . . . . . . . . . . . . . 7

26.2.5 Potencialcriado por distribui-caocontınuadecargas . . . . . 8

26.2.6 Calculo do campoa partir dopotencial . . . . . . . . . . . . 8

26.2.7 Energiapotencialeletricadeumsistemadecargaspuntiformes . 10

26.2.8 Um condutorisolado . . . . . . 12

26.2.9 O aceleradordevandeGraaff . 13

26.2.10Problemasdaterceiraedicaodolivro-texto . . . . . . . . . . . . 13


(lista2.tex)



26 PotencialEletrico

26.1 Questoes

Q 26-1.

Podemosconsideraro potencialda Terraigual a��

Volts em vez de igual a zero? Queefeito tera estaes-colha nos valoresmedidospara: (a) potenciaise (b)diferencasdepotencial?� Sim. O potencialeletrico num pontopodeassumirqualquervalor. Somenteadiferenca depotencial equepossuisentidofısicodeterminado.Porrazoesdecomo-didade,podemosadmitir queo potencialda Terra(oudequalqueroutro referencialequipotencial) sejaiguala zero. Qualqueroutro valor escolhidotambem serve,pois o quesera fisicamenterelevantee a diferenca depotencial.

Q 26-2.

O queaconteceriaa umapessoa,depe sobreumapla-taforma isolada, se o seu potencial fosseaumentado��

Voltsemrelacaoa Terra?� Nao acontecerianadade grave: comoa pessoaestaisolada,ela apenasteria seupotencialaumentadoem��

Volts. Mas casoa pessoaresolvessedescerdatal plataformadeveriafaze-locommuitocuidado...

Q 26-3.

Por que o eletron-volt e frequentementeuma unidademaisconvencionalparaenergiadoqueo joule?� Espaço reservadoparaa SUA resposta.....

Q 26-13.

O fato de so conhecermos� , num dadoponto torna

possıvel o calculo de � nestemesmoponto? Senao,queinformacoesadicionaissaonecessarias?� Nao.DeacordocomaEq.26-8,parasecalcularumadiferenca de potencial,torna-senecessario o conheci-mentode E ao longo de um dadopercursoligandoosdois pontostomadosparao calculo destadiferenca depotencial.

Q 26-14.

Na Fig. 26-2 do Halliday, o campoeletrico�

e maiordo ladoesquerdooudo ladodireito?� O modulo do campoeletrico podeser estimadodaa razao �� , onde � e a distanciaentreduassu-perfıciesequipotenciais.Notequedo ladoesquerdodafigura26-2adistanciaentreduassuperfıciesequipoten-ciais e menordo quea distanciaentreduassuperfıciesequipotenciaisdoladodireito. Sendoassim,concluımosqueo valorde

naextremidadeesquerdadafigura26-2

emaiordoque

naextremidadedireitadafigura26-2.Lembreque

e proporcionala densidadede linhasde

forca (asquaissaoortogonaisassuperfıciesequipoten-ciaisemcadaum dospontosdestassuperfıciesequipo-tenciais).

Q 26-24.

Vimosnasecao26-10queo potencialno interiordeumcondutoreo mesmoqueo dasuasuperfıcie. (a)Enoca-so de um condutorcom umacavidadeirregularno seuinterior? (b) E no casoda cavidadeter uma pequena“brecha” ligando-acom o lado de fora? (c) E no casoda cavidadeestarfechadamaspossuirumacargapun-tiforme suspensano seuinterior? Discutao potencialno interior do materialcondutore emdiferentespontosdentrodascavidades.� (a) Teriao mesmovalor �� .(b) Se o condutoresta isolado e carregado, terıamosigualmente

� � e � � constanteno interior ena superfıcie, masnao poderıamosdeterminaro valornumericodaconstante.

(c) Idemaoitem (b), inclusive dentrodacavidadeirre-gular.

A cargapuntiformeira induzir cargasdesinalcontrarioe demesmovalor absolutonasuperfıciedacavidadee,consequentemente,demesmovalornasuperfıcieexter-na do solido irregular. No solido, nestecaso,devido apresença da carga ! , o potencialmudara de valor masaindaseraconstantee o campoeletriconulo,poistrata-sedeumcondutorcarregadoe isolado.




26.2.1 O potencialeletrico

E 26-1.

A diferencadepotencialeletricoentrepontosdedescar-gaduranteumadeterminadatempestadee de

�#"%$&��'V. Qual e o modulo da variacao na energia potencialeletricadeumeletronquesemoveentreestespontos?� Use o conceitode potenciale, subsequentemente,umaconversaodeunidades,deJoulesparaeV, confor-meo ApendiceF, paraobtera respostado livro:�)( � *+�� , � -�$&��/. � ' C01, �� "%$&�� ' V 0� �� 23"4$&��/. �65 J� , � 2�"�$7�8� . �95 J0:, -/#"<;="4$&�� 6> eV/J0� �� 2?�$7�8� > eV @ �#" GeV

E 26-2.

Uma bateriade carrode�8"

Volts e capazde fornecerumacargade

?A;AmperesB hora.(a) QuantosCoulombs

decargaisto representa?(b) Setodaestacargafor des-carregadaa

�8"Volts,quantaenergiaestaradisponıvel?� (a) Como�

A � � C/s,encontramos:!C��DFEG��, ?A; 0:,IH -�� 0G��H �3"<;�$&��J C (b) Usandoa Eq. 4, encontramosparaa energia solici-tadao seguintevalor:K ��!A��LH ��"A;�$&��J�$7�M" @NH -3" M J

P 26-3.

Em um relampagotıpico,a diferenca depotencialentrepontosdedescargae cercade

��'V e a quantidadede

cargatransferidae cercade H � C. (a) Quantaenergia eliberada? (b) Se toda a carga que foi liberadapudes-seserusadaparaacelerarum carrode

��kg a partir

do repouso,qual seriaa suavelocidadefinal? (c) Quequantidadedegeloa

� 5 C seriapossıvel derretersetodaa energia liberadapudesseserusadaparaestefim? Ocalordefusaodogeloe OP�LH H $7�8� J J/kg.� (a)UsandoaEq.4,encontramoso seguintevalorparaa energia: (Q�N!A��LH �%$&�� ' J

(b) Igualandoa energia solicitadano item (a) com aenergia cinetica do carro, encontramos: (R�TS �UWV=X � " e,portanto,V � Y " SU �LZ ZA[ $&��\ m/s

(c) A energia ( forneceo calor ] necessarioparafundirumacertamassa degelo. Fazendo]_�QO e usandoaEq.5 doCap.20,encontramoso seguintevalorparaamassa :^T� ( O � H ��$&�� ' JH H $&�� J J/kg

� 2�`�8��$&�� kg

P 26-5.

Quandoum eletronsemove de a ate b aolongodali-nhadecampoeletricomostradonaFig. 26-24(pg.82),o campoeletricorealizaum trabalhode H 2;%$c�8� . � ' Jsobreele. Quaissaoasdiferencasdepotencialeletrico(a) ��dPec�gf , (b) �ghcei��f e (c) �ghcei��d ?� (a)� d ei� f ��e K fjd! 5 �ke H 2A;�$7�8� . � '� -%$7�8� . � ' ��e "l ;�- V Nota: ! 5 e umacarga-testepositiva e

K fjd o trabalhofeito pelocampoeletrico. Observe daslinhasdecam-ponafiguraqueo ponto a esta maisproximodecargasnegativasdo queo ponto b . (O vetorcampoE apontaparaascargasnegativas.)(b) A ddpea mesmaqueado itemanterior.(c) Zero,poisospontosb e m estaosobreumaequipo-tencial.

26.2.2 Calculo do potenciala partir do campo

E 26-9.

A densidadedecargadeum planoinfinito, carregadoen � �/o��qp C/mX . Qualeadistanciaentreassuperfıciesequipotenciaiscujadiferencadepotencialede [ � Volts?� De acordocom a Tabela1, paraum plano infinitouniformementecarregado,podemosescrevera seguinterelacao: ��L� 5 e nsr"t 5



Dondeseconclui queparaduassuperfıciesequipoten-ciais separadaspor uma distancia � r , a diferenca deenergiapotenciale dadapor:��ke n"t 5 � r Portantoconsiderandoapenaso modulode � r , encon-tramosa resposta:� r � "At 5 ��n � ?/ ? [ mm

P 26-11.

Ocampoeletricodentrodeumaesferanao-condutoraderaio u , comcargaespalhadacomuniformidadeportodoseuvolume,esta radialmentedirecionadoe temmodulodadopor � !Mv;�wyx 5 u \ Nestaexpressao, ! (positiva ou negativa) e a cargatotaldaesferae u e a distanciaaocentrodaesfera.(a) To-mando�� nocentrodaesfera,determineo potencial�z,�vA0 dentrodaesfera.(b) Quale a diferenca depoten-cial eletricoentreum pontodasuperfıcie e o centrodaesfera?(c) Sendo! positiva,qualdestesdoispontostemmaiorpotencial?� (a) Como a expressao do campo e dada, paradeterminar-seo potencialbastacalculara integral�{,|vA0+ei�z, � 0}�ke�~P�5 �v � e !;�wyx 5 u \ ~P�5 v��v� e !?wyx 5 v Xu \ Como �z, � 0}� � , temos�z,�vA0��Qe !?wyx 5 v Xu \ (b) Nasuperfıcie( v��u ) a diferenca depotenciale��L�z,�uC0+ei�z, � 0}��e !?Awyx 5 �u (c) Como a diferenca acimae negativa, o centro tempotencialmaior.

P 26-12.

Um contadorGeigerpossuium cilindro metalico com"l �cmdediametro,tendoestendidoaolongodoseuei-

xo umfio de� H $s�8� . � cmdediametro.Seaplicarmos

? [ � V entreeles,calculeo campoeletriconasuperfıcie:(a) do fio e (b) do cilindro. (Sugestao: Useo resultadodoProblema24,Cap.25.)� Usandoo resultadodo problema25-24,pag.58, en-contramosparao campoeletrico entreo fio e o cilin-dro a expressao

��y�l, "<w�t 5 vA0 . Usandoa Eq. 26-11,pag.68,encontramosparaadiferencadepotencialentreo fio e o cilindro a seguinteexpressao:��L��Cei��e�~ �� v � ~ � �� "<w�t 5 v ��v� �"<w�t 5��|�� v8�v ��onde v8� e v8� representamos raios do fio e do cilin-dro, respectivamente.Destaequaçaoobtemosfacilmen-teque �s� "<w�t 5 ��}� vM��<v8�A�8�e,portanto,que ,|vA0�� "<w�t 5 v � �%�v �|�}� v8��MvM�<� � ?�?/o��-A; Voltsv Portanto:(a) Nasuperfıciedofio, temos: � ??�`�8-A; Volts-/ [ $&�� .�� m � � H - M V/m �(b) Nasuperfıciedocilindro: � ?�?/o��-; Volts��

m� ?/ ?�" kV/m

P 26-13*.

Umacarga ! esta uniformementedistribuıdaatravesdeum volumeesfericode raio u . (a) Fazendo�� noinfinito, mostreque o potenciala uma distancia v docentro,ondev��u , e dadopor�� !l,�H�u X e7v X 0?Awyx 5 u \ (Sugestao:Vero exemplo25-7.) (b) Porqueesteresul-tado difere daqueledo item (a) do Problema11? (c)Qual a diferenca de potencialentreum ponto da su-perfıciee o centrodaesfera?(d) Porqueesteresultadonaodiferedaqueledo item(b) doProblema11?� (a) Fora da distribuicao de cargasa magnitudedocampoeletrico e

��!�l, ;�wyx 5 v X 0 e o potencial e��!�/, ;�wyx 5 vA0 , onde v e a distanciaa partir do cen-tro dadistribuicaodecargas.



Dentrodadistribuicao,usamosumasuperfıcieGaussia-na esfericade raio v concentricacoma distribuicaodecargas. O campoe normala superfıcie e suamagnitu-de e uniformesobreela, de modoqueo fluxo atravesdasuperfıcie e

;w v X . A cargadentrodaGaussianae!Mv \ �Au \ .Comisto,a lei deGaussfornece-nos;wyx 5 v X � !Mv \u \que,simplificando,mostrasero campofora daGaussia-nadadopor � !Mv;�wyx 5 u \ Sechamarmosde �g� o potencialsobrea superfıcie dadistribuicaodecargas,entaoo potencialnumpontoin-ternolocalizadoaumadistanciav docentrosera� � �g��eP~P�� v� �g��e !;wyx 5 u \ ~ �� v��v� � � e !Mv X?Awyx 5 u \ � !?Awyx 5 u O valorde �g� podeserencontradocolocando-sev4�¡unaexpressaodopotencialempontosforadadistribuicaodecargas,o quefornece-nos��q�N!�l, ;wyx 5 uC0 . Portanto�� !;wyx 5�¢ �u e v X" u \ � �" u{£ � !?Awyx 5 u \�¤ H�u X e&v X8¥ (b) No Problema11 o potencialeletricofoi tomadoco-mosendozeronocentrodaesferaenquantoqueaqui,ozeroesta no infinito.De acordocoma expressaoderivadanaparte(a), o po-tencialno centroda esferae ��{�¦H!�l, ?Awyx 5 uC0 . Por-tanto, �§e¨� � �©eª!Mv X �/, ?Awyx 5 u \ 0 , que e o resultadoencontradonoProblema11.(c) A diferenca depotenciale��L� � ec� � � " !?Awyx 5 u e H!?Awyx 5 u ��e !?Awyx 5 u Estevalor o mesmodadopelaexpressaoobtidano Pro-blema11,comonaopoderiadeixardeser.(d) Moral dahistoria toda:apenasasdiferencasdepo-tencial temsignificadofısico,naoimportandoqualo va-lor do potencialnum so ponto. Analogamenteao casogravitacional,mudar-seo pontode referenciade lugarnaoaltera asdiferencasdepotencial.

P 26-14*.

Umacascaesfericaespessadecarga ] e densidadevo-lumetricade carga « , esta limitada pelosraios v � e v X ,onde v X�¬ v � . Com �� no infinito, determineopotencialeletrico � emfuncaodadistanciav aocentrodadistribuicao,considerandoasregioes(a) v ¬ v X , (b)v � �®v)�®v X , (c) v��®v � . (d) Estassolucoesconcordamem vC��v X e v��Nv � ? (Sugestao:Vero exemplo25-7.)� (a) Para v ¬ v X o campoe como o de uma cargapuntiformee o potenciale�� ;�wyx 5 ] v �ondeo zerodopotencialfoi tomadono infinito.(b) Paradeterminaro potencialno intervalo v � �¯v��v X usamosalei deGaussparacalcularo campoeletrico,integrando-oposteriormenteaolongodeumatrajetoriaradial,de v X ate v . A melhorGaussianaeumasuperfıcieesfericaconcentricacom a cascaem questao. O cam-po e radial, normal a superfıcie, com magnitudeuni-forme sobrea superfıcie, de modoqueo fluxo atraves

da superfıcie e °�� ;w v X . O volume da cascae;�w ,|v \X e&v \� 0��<H , demodoqueadensidadedecargae«�� H3];w ,�v \X e&v \� 0 Assim,a cargaenglobadapelaGaussianaderaio v e!�� ;wH ,|v \ e7v \� 0+«%�N] � v \ e&v \�v \X e&v \� � A lei deGaussfornece-nos;wyx 5 v X �¨] � v \ e&v \�v \X e&v \� � �dondeobtemosa magnitudedocampoeletrico: � ];wyx 5 v \ e7v \�v X ,|v \X e7v \� 0 Sendo�g� o potencialeletrico na superfıcie externadacasca( vs�±v X ), entaoo potenciala umadistancia v docentroedadopor� � �g��eP~ ��6² ��v� �g��e ];wyx 5 �v \X e&v \� ~ ��³² � v�e v \�v X � �v� �g��e ];wyx 5 �v \X e&v \� � v X" e v XX" � v \�v e v \�v X �



O valor da constante�g� nasuperfıcie externae encon-trado substituindo-sev��´v X na expressao parao po-tencialquefoi determinadano item (a) acima,ou seja,��c�µ]4�l, ;wyx 5 v X 0 . Substituindo-seestevalor na ex-pressaoacimae simplificando-a,obtemos�� ];wyx 5 �v \X e&v \� � Hv XX" e v X" e v \�v%� Como «��¯H�]4� � ;�w ,|v \X e v \� 0F� , o potencialpodeseres-crito deumamaneiramaissimplese elegantecomo�� «H x 5q� HAv XX" e v X" e v \�v�� (c) O campoeletricoanula-senacavidade,demodoqueo potencialsera sempreo mesmoem qualquerpontoda cavidade,tendoo mesmovalor queo potencialdeum pontoqualquersobrea superfıcie internadacasca.Escolhendo-sev��Nv � noresultadodoitem(b) esimpli-ficando,encontramos�� ];�wyx 5 H�,�v XX e7v X� 0" ,�v \X e7v \� 0l�ouainda,emtermosdadensidadedecarga « ,�� «"Mx 5 ,|v XX e7v X� 0 (d) As solucoesconcordamparav��v � e vC��v X .26.2.3 Potencialcriado por uma cargapuntif orme

E 26-19.

Grandepartedo materialcompreendidopelosaneisdeSaturno(Fig. 26-27 na terceiraedicao do Halliday,ou Fig. 26-28 na quarta)tem a forma de minusculaspartıculasde poeiracujosraiossao da ordemde

�8� .�¶m. Estespequenosgraosestaonumaregiaoquecontemum gasionizadoe diluıdo, e adquiremeletronsemex-cesso.Seo potencialeletriconasuperfıcie deum graofor de e ;3�� V, quantoseletronsemexcessoforamad-quiridos?� Usandoo resultadodo Exemplo26-3, encontramosparao potencialdaesferaa seguinteexpressao:�� !;w�t 5 u Sendo� o numerode eletronsem excesso,temos !·�� * e,portanto,

� � ;w�t 5 �Cu* � "l Z ?%$&�� J eletrons

P 26-24.

Um campoeletrico de aproximadamente��

V/m efrequentementeobservadoproximo a superfıciedaTer-ra. Se estecampofosserealmenteconstantesobreasuperfıcie total, qualseriao valor do potencialeletriconumpontosobrea superfıcie?(VejaExemplo26-5;su-ponha�� no infinito.)� Usandoo resultadodo Exemplo26-5, encontramosparao potencialda esferaa seguinteexpressao: �µ�!�/, ;�w�t 5 v<0 . UsandoaEq.25-16,verificamosqueo cam-poeletricodeumaesferae dadopor � �;�w�t 5 !v X Portanto,usando-seo valor parao raio medio da terravC� -� H=Z $7�8� ¶ m, dadonoApendiceC, temos�� v�� - H3Z M V

P 26-26.

Uma gotaesfericade aguatem umacarga de H � pC eo potencialnasuasuperfıcie e de [ �� V. (a) Calculeoraiodagota.(b) Seduasgotasiguaisaesta,commesmacargae o mesmoraio, sejuntaremparaconstituirumaunicagotaesferica,qual sera o potencialna superfıciedestanovagota?� (a) Usandoa Eq. 26-12,temos �´�¸!�/, ;�w�t 5 uC0��[ �� V, ouseja,uQ� !;w�t 5 � � �/ [AH 2 mm

(b) O raio v danovagotaesfericapodeserobtidodaex-pressao

;w v \ � " , ;�w u \ 0 � ou seja,v%� " ��¹ \ u A cargatotalsobreanovagotaedadapor

" !�� -%$c�� . �� C Supondoque haja uma distribuicao uniforme, vemosqueo potencial��º procuradoe dadopor� º � " !;w�t 5 v � " !;w�t 5 , " ��¹ \ uC0 �¨Z 2A; V



26.2.4 Potencialcriado por um dipolo eletrico

P 26-32.

Uma cargapuntiforme ! � � - * esta fixa na origemdeumsistemadecoordenadasretangulares,eumasegundacargapuntiforme ! X �»e �� * esta fixa em ¼&� ?� - nm,½ � � . O lugargeometricodetodosospontos,no pla-no ¼ ½ com �¸� � , e um cırculo centradosobreo eixo¼ , comomostraa Fig. 26-31. Determine(a) a posicao¼�� do centrodo cırculo e (b) o raio u do cırculo. (c) Asecao transversalno plano ¼ ½ da superfıcie equipoten-cial de [ V tambeme umcırculo?� (a) e (b) As equaçoesquedeterminam¼y� e u saoasseguintes,chamandode a o pontoem u � ¼�� e de bo pontoem uQei¼�� , ondeo cırculo intersectao eixo ¼ ,temos:;w�t 5 � f � ! �u � ¼ � � ! X¼ X e�,IuNe&¼ � 0 � �;w�t 5 � d � ! �uLe7¼ � � ! X¼ X e�,Iu � ¼ � 0 � �Resolvendoestesistemade equaçoespara u e ¼y� en-contramos¼��¾� ! X� ¼ X! X� e&! XX � , - *<0 X , ?� - 0, - *M0 X e�,³e �� *M0 X �ke ;g ? nmu � ! � ! X ¼ X! X� e&! XX � , - *<0:,³e �� *M01, ?� - 0, - *M0 X e�,³e �� *M0 X � ?�`� nm

(c) Nao.A unicaequipotencialqueeumcırculoeaque-la para �� .P 26-33.

Para a configuraçao de cargas da Fig. 26-32 abaixo,mostreque �z,�v<0 paraos pontossobreo eixo vertical,supondoque vC¿�� e dadopor�� ;w�t 5 !v � �� " �vW� (Sugestao: A configuraçaodecargaspodeservistaco-moa somadeumacargaisoladae umdipolo.)

� ��L� � � � X onde� � � potencialdacargadocentroe � X � potencialdodipolo.

� � � S�!v �� X � S !vÀe&� � S eª!v � �� S�! v � �4e7v � �v X ec� X� S " !<�v X ec� X ��N� � � � X � S � !v � " !<�v X e&� X � Para v�¿Á� temos,finalmente,��S � !v � " !<�v X � E 26-34.� Temosque,umacarga eÂ[A! estaaumadistancia

" � deÃ, umacarga eÂ[! esta a umadistancia � de

Ã, e duas

cargas� [! estaocadaumaa umadistancia � de

Ã, de

modoqueo potencialeletricoemÃ

e�� !;wyx 5�¢ e [" � e [� � [� � [�Ä£ �Qe [A!?Awyx 5 O zerodo potencialfoi tomadocomoestandono infini-to.

E 26-39.� (a) Toda carga esta a mesmadistancia u de m , demodoqueo potencialeletricoem m e�� ;wyx 5N¢ ]u e - ]u±£ �ke [];�wyx 5 u �ondeo zerodopotencialfoi tomadono infinito.(b) Todaa cargaesta a mesmadistancia Å u X � r X deÃ

demodoqueo potencialeletricoe� � �;wyx 5Â¢ ]Å u X � r X e - ]Å u X � r X £� e [];wyx 5 Å u X � r X http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7


26.2.5 Potencial criado por distribuicao contınuadecargas

E 26-40.

Um discode plasticoe carregadosobreum lado comuma densidadesuperficialde carga n e, a seguir, tresquadrantesdo discosaoretirados.O quadrantequeres-ta, e mostradona Fig. 26-39,pg. 85. Com �´� � noinfinito, quale o potencialcriadopor essequadrantenopontoÃ

, queestasobreo eixocentraldodiscooriginal,a umadistanciar docentrooriginal?� Comoo discofoi uniformementecarregado,isto im-plicaquequandoo discocompletoestavapresentecadaquadrantecontribuiademodoigualparao potencialemÃ

, de modoqueo potencialemÃ

devido a um unicoquadrantee igual a um quarto do potencialdevido aodiscotodo.Vamos,portanto,determinaro potencialdevidoaodiscocompleto.Consideremosum anel de carga com raio v e largu-ra ��v . Sua areae

"<w v_�v e ele contem uma carga�3!i� "<w n vc��v . Todaestacarga esta a umadistanciaÅ v X � r X deÃ

, de modoqueo potencialdevido a talanele �3�� ;wyx 5 "Aw n vÀ��vÅ v X � r X � n vÀ��v"Mx 5 Å v X � r X O potencialtotalem

Ãeasomadospotenciaisdetodos

aneis:�� n"Mx 5 ~ �5 v��vÅ v X � r X � n"Mx 5ÄÆ v X � r X/ÇÇÇ �5� n"Mx 5Â¢ Æ u X � r X e r £ O potencial�gÈ � , devido a meioquadrante,em

Ãe� È � � � ; � n?Ax 5Â¢ Æ u X � r X e r £

26.2.6 Calculo do campoa partir do potencial

E 26-45.

Na secao 26-8, vimos que o potencialparaum pontosobreo eixocentraldeumdiscocarregadoera�� n"t 5 � Æ u X � r X e r � Usea Eq. 26-34e a simetriaparamostrarque

para

umtal pontoedadopor

� n"At 5�� e rÅ u X � r X � � � � � e �3�{,|vA0��v �vÉ �v É� e n"At 5 ��v � ,I! X � v X 0 ��¹ X e&v�� e n"At 5Â¢ �" ,IÊ X � v X 0 . �³¹ X B " v�e � £� n"At 5 � � e v,�Ê X � v X 0 ��¹ X � Portanto,

Se v�¿�Ê Ë �NS !v X � onde !C� n w Ê X �Se v�Ì�Ê Ë � n"At 5

P 26-48.

(a) Mostre,calculandodiretamentea partir da Eq. 26-25, queo potencialeletrico,num pontodo eixo de umanelcarregado,deraio u , e dadopor�� ;w�t 5 !Å r X � u X (b) Partindo desteresultado,obtenhauma expressaocorrespondentepara

, nos pontosaxiais, e compare

como resultadodo calculodiretode

apresentadonasecao24-6doCap.24.� (a) Seja�Í umelementodelinhadoanel.A densida-dedecargalineardo anele �7�Q!�l, "<w uC0 . O potencial�=� produzidopor um elementoinfinitesimalde carga�3!C�L�g�AÍ e dadopor�=� � �;�w�t 5 �3!v� �;�w�t 5 ,�!� "Aw uC06�Í,Iu X � r X 0 �³¹ X O potencialnoponto

Ãconsideradoedadopelaintegral�� ~ �3�¯� ~ �;�w�t 5 !"<w u �AÍ,�u X � r X 0 �³¹ X

Note que u e r permanecemconstantesao longo doanel,fazendocomquea integralsereduzaa�� ;w�t 5 ,�!� "<w uC0,�u X � r X 0 ��¹ X ~��Í



Comoaintegralde �Í e iguala ÍÂ� "Aw u , o comprimen-to doanel,obtemos�k� �;w�t 5 !,�u X � r X 0 ��¹ X (b) Analisandoa simetriadoproblema,concluımosqueo campoeletrico nao possuinenhumacomponenteor-togonalao eixo do anel. Portanto,o campoeletrico eorientadoaolongodo eixo do anel(parafora do anel),sendodadopor �ke �=�� r � �;�w�t 5 ! r,�u X � r X 0 \ ¹ XP 26-49.

A barrafina comcargapositiva daFig. 26-42temumadensidadelinear de carga uniforme � e seencontraaolongodeum eixo ¼ comoe mostrado.(a) Com �»� �noinfinito, determineo potencialdevido abarranopon-toÃ

sobreo eixo ¼ . (b) Useo resultadodoitemanteriorparacalculara componentedo campoeletricoem

Ãao

longo do eixo ¼ . (c) Usea simetriaparadeterminaracomponentedocampoeletricoem

Ãnumadirecaoper-

pendicularaoeixo ¼ .� (a) Suponhaa origemdos ¼ comosendoa extremi-dadedireita da barrae considereum elementoinfini-tesimalda barralocalizadonumacoordenadanegativa¼��¨¼gº , comum comprimento��¼gº e contendoumacar-ga ��!C�L�g��¼gº . Suadistanciade

Ãe ¼4eW¼�º eo potencial

quetal elementocriaemÃ

e�=�Î� �;�wyx 5 ��!,|¼ze&¼ º 0 � �;wyx 5 �g��¼gº,�¼{e&¼ º 0 Paraencontraro potencialtotalem

Ã, integramossobre

todaa barra:�� ;wyx 5 ~ 5.yÏ ��¼ º¼ze&¼ º � e �;wyx 5 ln ,|¼{e7¼ º 0 ÇÇÇ 5 .yÏ� �;wyx 5 ln¼ � O¼

(b) Encontramosa componente¼ do campoeletricoatravesda derivadado potencialeletrico com respeitoa ¼ : ªÐ � ezÑ �Ñ ¼ �ke �;wjwyx 5 ÑÑ ¼ ln

¼ � O¼� e �;wyx 5 ¼¼ � O � �¼ e ¼ � O¼ X �

� �;wyx 5 O¼�,|¼ � O�0 (c) Consideredoispontosa iguaisdistanciasdeambosladosde

Ã, ao longo da linha que e perpendicularao

eixo ¼ . A diferenca no potencialeletricodividida pelaseparaçaodosdoispontosda a componentetransversaldo campoeletrico. Como os dois pontosestao situa-dossimetricamenteemrelacao a barra,seuspotenciaiscoincidemsendo,portanto,zeroa diferenca de poten-cial. Consequentemente,a componentetransversaldocampoeletricotambemezero.

P 26-50.

Na Fig. 26-43,umabarrafina de comprimentoO car-regada positivamente,colocadaao longo do eixo ¼com uma extremidadena origem ,|¼Ò� � 0 , tem umadistribuicao de carga linear dadapor �¨�ÔÓ=¼ , onde Óe constante. (a) Considerandoo potencialno infinitoigual a zero,calculeo valor de � no ponto

Ãsobreo

eixodos ½ . (b) Determineacomponentevertical ªÕ

, daintensidadedocampoeletricoem

Ã, apartirdoresulta-

do do item(a), bemcomoatravesdeum calculodireto.(c) Por quenao podemoscalcularo componentehori-zontal(

Ð) docampoeletricoem

Ãusandoo resultado

do item(a)?� (a) Temosque �3!��¨�g�¼ e,portanto,que�� ~ �=� � S ~ ��!v� S ~ Ï5 �g��¼,|¼ X � ½ X 0 ��¹ X� S�Ó ~ Ï5 ¼g��¼,|¼ X � ½ X 0 ��¹ XSabendoque ÖW�®¼ X � ½ X , ��ÖW� " ¼g��¼ eque ×�Ö�Øl��Ös�ÙMÚ8Û3ÜØAÝ � , temos

� � S�Ó �" ~ Ï5 " ¼g��¼,|¼ X � ½ X 0 ��¹ X� S&Ó �"ßÞ ,�¼ X � ½lX 0 . Ü² Ý �es�X �N� à Ï5� S�Ó � ,|¼ X � ½ X 0 ��¹ X � Ï5� S�Ó ¢ ,�O X � ½ X 0 ��¹ X e ½ £ http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina9


(b) � Õ � e �� ½ �), ½ 0 �á� eªS�Ó7â �" ,�O X � ½ X 0 Ü² . � B " ½ e �:ã �á� S�Ó ¢ � e ½ ,�O X � ½ X 0 . ��¹ X £ �á O calculodiretodomodulodacomponente

Õpodeser

feito daseguintemaneira: ÂÕ �LS7Ó ~ Ï5 ¼Âä1å�ælç½ X � ¼ X �¼ (c) Quandocalculamoso potencial �{, ½ 0 no item (a),a variavel ¼ foi integrada.Assim,naopodemosusararelacao dadapor * Ð �èe�éé Ð � �D paracalcular

� Ð. Is-

to seriapossıvel somentese soubessemoso potencial�z,�¼ � ½ 0 .26.2.7 Energia potencial eletrica de um sistemade

cargaspuntif ormes

E 26-52.

Duascargas!4� ��"l ��$c�� .�¶ C estaofixasno espaço,separadaspeladistancia �{� "l � cm,comoesta indica-do nafiguraabaixo. (a) Qual e o potencialeletrico noponto m ? (b) Umaterceiracarga !·� ��"/ �s$P�� .�¶ Ce trazidalentamentedo infinito ate o ponto m . Quan-to trabalhofoi realizado?(c) Qual a energia potencial( daconfiguraçaoquandoa terceiracargaesta no lugardesejado?

� (a) A distanciav entreo ponto m e qualquerumadasduascargase dadaporv�� Y � � " � X � � � " � X � �Å " Comoascargasestaoamesmadistancia,deacordocomo Princıpio deSuperposiçao,bastacalcularo potencial

devido aqualquerumadelasemultiplicarpordois.Por-tanto,o potencialem m e�� "%$ ¢ �;�w�t 5 !vy£ � "/ [ ; M Volts

(b) Sabendo-seo potencialnoponto m ficafacil calcularo trabalhoparadeslocaracarga ! \ ,ê�L!A0 ate tal ponto:K �¡( \ �N! \ �g��k, "�$7�8� .y¶ 0:, "l [ ;)$&�� ¶ 0}�L[ ��? JAlternativamente,usandoa tecnicaindicadano Exem-plo 26-10,encontramosparaaenergiapotencialdocon-juntodastrescargasa seguinterelacao:

( � � �;w�t 5N¢ ! X� � ! X�l�Å " � ! X�=��Å " £� ! X;w�t 5�¢ �� Å "� � Å "�N£� ! X;w�t 5 � , ��ß" Å " 0}@ -/ ??; JAntesdetrazerdoinfinito aterceiracarga,aenergiapo-tencialinicial doconjuntodasduascargase dadopor:(GëÄ� �;w�t 5 ! Xv Substituindoosdadosnumericos,obtemosparaa ener-gia potencialinicial ( � � � Z 2�? J O trabalhoque oagenteexternodeverealizarparadeslocaraterceiracar-ga do infinito ate o ponto m e numericamenteigual avariacaodaenergiapotencialdosistema,ouseja,K �¡(}��eP(GëÄ� -/ ??; e � Z 2�? �N[ �?�- J(c) A energiapotencialdoconjuntodastrescargasja foicalculadano item (b), ouseja,(��4� -� ?�?A; JE 26-56.

Determineumaexpressaoparao trabalhonecessariopa-racolocarmosasquatrocargasreunidascomoesta indi-cadonafiguraabaixo.



� A energiatotaldaconfiguraçaoeasomadasenergiascorrespondentesacadapardecargas,asaber:( � ( � X � ( � \ � ( � � � ( X \ � ( X � � ( \ �� Sß, eª! XÊ � ! XÊ/Å " e ! XÊ e ! XÊ � ! XÊlÅ " e ! XÊ 0� S7! XÊ ,³e ;�� Å " 0��ke �/#"l� ! Xt 5 Ê E 26-59.� (a) Seja Í,ê� �/o� [ m0 o comprimentodo retangulo

e ìÂ,ê� �� [ � m0 sualargura. A carga ! � esta a umadistanciaÍ do ponto a e a carga ! X esta a umadistanciaì , demodoqueo potencialeletricoem a e��fi� �;�wyx 5�¢ ! �Í � ! Xí £ � -/ ��$7�8� � Volts

(b) Analogamente,� d � �;�wyx 5Â¢ ! �í � ! XÍ�£ �ke�Z ?�$&��J Volts

(c) Comoa energia cinetica e zerono inıcio e no fimdaviagem,o trabalhofeito peloagenteexternoe iguala variacao da energia potencialdo sistema.A energiapotenciale dadapeloprodutodacarga ! \ e o potencialeletrico. Sendo(}f a energia potencialquando! \ estaem a e (Gd quandoesta em b , o trabalhofeito paramover-se ! \ de b paraa eK � (Gf7ei(}d� ! \ ,I�gf�ei�gd�0� ,�H ��$&�� .�¶ 0 � -/ ��$7�8� � � Z ?�$&�� J �� "l [ J(d) O trabalhofeito pelo agenteexterno e positivo e,portanto,aenergiadosistemadetrescargasaumenta.(e)e (f) A forca eletrostaticae conservativa.Portanto,otrabalhoe sempreo mesmo,independentementedatra-jetoriapercorrida.

P 26-61.

Umapartıculadecarga ] (positiva)emantidanumpon-toÃ

fixo. Uma segundapartıculade massaU e carga(negativa) eª! move-secomvelocidadeconstante,numcırculo de raio v � , cujo centroe o ponto

Ã. Obtenha

umaexpressaoparao trabalhoK

quedeve serrealiza-do por um agenteexternosobrea segundapartıcula afim deaumentaro raiodestecırculoparav X .� Seja

K&îo trabalhorealizadocontraas forcas ele-

trostaticas.Entao,sendo� ë ��]4�l, ;wyx 5 v ë 0 numpontov ë devido a carga ] , temosK7î �Qeª!l,ê� X ec� � 0}� ]C!;w�t 5�¢ �v � e �v X £ Como o movimento e circular uniforme, igualandoaforca centrıpetacoma forca eletrostatica,obtemosumarelacao que nos fornece UsV X e, portanto, a energiacinetica: ï � �;w�t 5 ]C!v X � UWV=Xv Comisto,a energiacineticadacarga eª! eS¦� UWV=X" � �" �;�w�t 5 ]C!v A variacaodaenergia cineticaentreasorbitasderaiosv � e v X e S � e&S X � �" ]C!;w�t 5Â¢ �v � e �v X £ P 26-64.

Uma partıculade carga ! e mantidafixa num pontoÃ

e umasegundapartıculademassaU coma mesmacar-ga ! esta inicialmenteemrepousoaumadistanciav � deÃ

. A segundapartıculae,entao,liberada,sendorepeli-dapelaprimeira.Determinesuavelocidadeno instanteemqueelaseencontraaumadistanciav X de

Ã. Dados:!��§H o��p C; U � "� mg; v � � �/ 2� mm e v X � "l [

mm.� Pelalei daconservacaodaenergia,temos:�;�w�t 5 ! Xv � �P� � �;w�t 5 ! Xv X � UsV=X" DondeseconcluiqueV X � "U ! X;�w�t 5�¢ �v � e �v X £ Substituindoos dadosnumericos,obtemosa seguinteresposta: V � "l ;�?%$&��\ m/s

P 26-65.



Duaspequenasesferasde metalde massaU � �§[ g emassaU X � �� g tem cargaspositivas iguais, !i�¦[p

C. As esferasestao ligadaspor uma cordade massadesprezıvel e de comprimento�N� � m, que e muitomaiorqueo raio dasesferas.(a) Calculea energia po-tencialeletrostaticado sistema.(b) Quale a aceleraçaodecadaumadasesferasno instanteemquecortamosofio? (c) Determineavelocidadedecadaumadasesferasmuito tempodepoisdofio tersidocortado.� (a) A energiapotencialinicial e dadapor( inicial � �;�w�t 5 ! X� � �� "�" [ J(b) A forca

ïexistentedepoisdofio sercortadoe dada

pelaforca deinteracaoCoulombiana.Portanto,ï � �;w�t 5 ! X� X � �� "�"<; ZA[ N Deacordocoma TerceiraLei deNewton,estaforca e amesma(emmodulo)paraasduasesferas.Portanto,asmagnitudesdasaceleraçoessaodadasporÊ � �

ïU � � ; [ � m/sX �Ê X �ïU X � ""/ [ m/sX

(c) Muito tempodepoisdo fio ser cortado,as esferasestao suficientementeafastadasde modo que a ener-gia potenciale igual a zero. Nestecaso,pela Lei daConservacaodeenergia,temos:( final � �" U � V X� � �" U X V XX Da conservacao do momentolinear sabemosque

� �U � V � e U X V X e, comotemosU � � U X � " , seguequeV � � " V X . Substituindo-seestevaloresde V � e U � naexpressaodaenergia final ( final acimaencontramosfi-nalmenteque( final � H " U X V XX �¡( inicial � �� "�" [ Portanto,V X �LH ? ZAH m/s� V � � " V X �LZ Z ;�- m/s

P 26-70.� Considereaenergiapotencialcomosendozeroquan-

do o eletron que se move estiver muito distantedos

eletronsfixos e useo princıpio deconservacaodaener-gia.A energia potencialfinal e ( � � " * X �/, ;�wyx 5 �30 , onde �e a metadedadistanciaentreoseletrons.A energia cinetica inicial e Szë�� UWV3X � " , onde V e avelocidadeinicial e U a massado eletronquesemove.A nergiacineticafinal e zero.Portanto,S{ëð�L(�� ou,istoe, UWV X � " � " * X �l, ;wyx �=0 � deondeseobtemV ��ñ ; * X;�wyx 5 U � �NH "�$&�� X m/s

26.2.8 Um condutor isolado

P 26-75.

Qual e a carga sobre uma esferacondutorade raiovc� �/o� [ m sabendo-sequeseupotenciale� [ �� V e

que �� no infinito?� Sendozeroo potencialno infinito, o potencialnasu-perfıcie da esferae �´�¸!�/, ;�wyx 5 vA0 , onde ! e a cargasobrea esferae v o seuraio. Portanto!C� ;�wyx 5 �� , �/o� [ m0:, � [ �� V 02/ ��$&�� '7ò B U X �Am X � "l [ $)�� . > C P 26-79.

Duasesferasmetalicastem raio de H cm e cargasde��%$ �8� . > C e eªH $ �� . > C. Suponhaqueestascar-gasestejamdistribuıdasde maneirauniformee queoscentrosdasesferasestejamafastados

"metrosum do

outro. Sendoassim,calcule: (a) o potencialdo pontosituadoa meiadistanciaentreos centrosdasesferase(b) o potencialdecadaesfera.� (a) No pontosituadoa meiadistancia,o potencialedadopor� � �;�w�t 5Â¢ ��$7�8� . >�

m� eªH $7�8� . >�

m £� 2�$&�� ' $ ,³e " 0 $&��/. >ª�Qe �8?� V (b) Como � e muito maior que v , paracalcularo po-tencialde cadaesferapodemosdesprezara influenciamutuaentreasesferas.Portanto,



� � � �;�w�t 5 ! �v � 2�$7�8� ' , ��$&�� . > 0H $&�� . X� H �� V �� X � �;�w�t 5 ! Xv � 2�$7�8� ' ,6eªH $&�� . > 0H $7�8� . X� e 2�� V 26.2.9 O aceleradordevan deGraaff

P 26-84.� (a)S¦� " Êl�� " , � -%$7�8� . � ' C0:, �� $&�� ¶ V 0� H #"%$&�� . � X J(b) Só�NÊl�%� � , �� -�$&�� . � ' C01, � ��$&�� ¶ V 0� � -�$&�� . � X J(c) Como Só� UsV=X � " , temosV � Y " SU � Y " !A��U Comoa partıcula ô temo dobrodacargadeum protone;

vezesmaismassa,a razaodasvelocidadesfinais eV8õ � Vö � Å " . Para �� ¶ Volts, temosV8õ � � ;)$&�� m/s Vö � 2� ?�$&�� ¶ m/s

P 26-86.

Um eletrodode alta voltagemde um aceleradorele-trostaticoe umacascaesfericametalica,carregada,quepossuium potencial �÷� �À2� � MV. (a) Descargaseletricasocorremno gas destamaquinanum campo � �� MV/m. Que restricao a respeitodo raio vda cascadeve ser feita paraevitar que tais descargasaconteçam?(b) Umalongacorreiadeborrachaemmo-vimentotransportacargasparaa cascaa H ��Cp C/s,e opotencialda cascapermanececonstantedevido ao es-coamento. Qual e a potenciamınima necessaria paratransportara carga?(c) A correiatemlargura í � �� [ �m e semovimentacomvelocidadeV �¯H � m/s. Deter-minea densidadesuperficialdecargasobrea correia.

� O potencialdaesferae dadopor �_�¡!�l, ;�w�t 5 vA0 e ocampoeletriconasvizinhancasdasuperfıcieexternadaesferaedadopor

��!�l, ;w�t 5 v X 0 . Portanto, �N��<v .

Paraumvalor � �8� > V/m, enecessarioque

v�� ó�Î, 2�$&��¶ 0:, ��l. >�0}� �/ �2 m � 2 cm

(b) O trabalhorealizadopelaforcaexternaparacarregara esferacomumacargatotal ] e dadopor

K �»]4� .Portanto,a potencia

Ãfornecidaparao geradorele-

trostaticodeveserdadaporÃ � � K��E �N� �3]��E � " Z �� W � "/ Z kW

(c) Sendon adensidadesuperficialdecargase ¼ o com-primentodacorreia,encontramos]�� n aÒ� n , í ¼y0 Comisto �=]�E � n ��¼�E � n íÂV Dondeseconcluiquen � �3]��<��EíªV � "%$7�8� . J C/mX � "A�Gp C/mX 26.2.10 Problemasda terceira edicaodo livro-texto

E 26-64.

Duasesferascondutoras,identicas,de raio vL� ��`� [cm, estaoafastadaspor umadistancia Êø� �� m. Quale a cargade cadaesferaseo potencialde umadelase�� [ �� V eo daoutra e � [ �� V? Quesuposiçoesforamfeitas?� Comov�Ì�Ê , podemossuporqueasduasesferaspos-suemumadistribuicaouniformedecargas,umavezquepodemosdesprezaraacaodocampoeletricodeumadasesferassobrea outraesfera.Portanto,�� ;�w�t 5 !v �¨ù � [ �� V DondeseconcluiqueparavC� �/o� [ m, ascargasvalem!C�Lù " [ nC.

P 26-29ú .Uma grossacamadaesferica,com densidadede cargauniforme,e limitadapelosraios v � e v X , onde v Xz¬ v � .Calculeo potencialeletrico � emfuncaodadistanciavaocentrodadistribuicao,considerandoasregioesonde:



(a) v ¬ v X ; (b) v X&¬ v ¬ v � e (c) vP��v � . (d) Estassolucoesconcordamse vC��v X e se v��®v � ?� (a) Seja ] a cargatotal contidanacamadaesferica.Para v ¬ v X e claroqueo potencial� e dadopelopo-tencialdeumacargapuntiforme,portanto,�� ];w�t 5 v A carga total tambem podeserexpressaem funcao dadensidadedecargas« deseguintemodo:

]¡� ~ «=�=� � « $ , volumedacamadaesferica0� « $ ; H w ,�v \X e7v \� 0 Sobrea superfıcie da camadaesferica, o potencial �calculadoacimafornece� � ² � ];w�t 5 v X � «H t 5�¢ v XX e v \�v X £ (b) Paradeterminaro potencial� � naregiaoentre v � ev X , e convenienteutilizar a Eq.26-8,��Cei�gëð�ke�~ �ë_û B8��ü Considereum caminhoretilıneoligado a um pontodasuperfıcieaumpontosituadoa umadistanciav docen-tro da esfera. Logo, integrandoa Eq. 26-8 entreesteslimites,encontramos:� � ei� �³² �Qe�~ �� ² û B ��ü Paradeterminaro campoeletricoentrev � e v X e conve-nienteutilizar a Lei deGauss.Construaumasuperfıciegaussianaesfericade raio igual a v . De acordocom afigura indicadana solucao desteproblema,vemosqueexiste uma carga total ] � no interior destasuperfıciegaussianaesferica.Portanto,aplicandoa Lei deGauss,podemosescreveraseguinterelacao: , ;w v X 0�� ] �t 5 � «t 5 $ � camada�onde � camadarepresentao volumedacamadaesfericaquecontemacarga ] � .Portanto,podemosescrever a seguinte relacao paraomodulodocampoeletrico:

� «H t 5 v X ,�v \ e&v \� 0 Paraintegrar � � eß� X �Òe × ��³² û B ��ü notequeo campoeletricoE eorientadoparaforaenquantoqueo percursoescolhido(de v X ate v ) esta orientadoparadentro.No-te tambemque �=ý%�»eª�v (porquequandoý aumentaadistanciaate o centro v diminui). Portanto,levandoemcontaa relacaotiradadaEq.8 e aacimacitada,temos:

� � � � � ² e ~ ��³² ¢ «H t 5 v X ,|v \ ecv \� 0 £ ��v �� ² e «H t 5À¢þ� v X" e v XX" � � v \� � �v e �v X ��£ Substituindoo resultadoencontradoanteriormentepara� X na relacao acima,encontramosa seguinte respostaparao potencial� � emfuncaode v paraa regiaoentrev � e v X : � � � «H t 5�¢ Hv XX" e v X" e v \�v4£ Casovoce desejeobter � � em termosda carga total ]da camadaesferica,bastasubstituir « por ] usandoarelacaoencontradaentreestasgrandezasno item (a).

(c) Emtodosospontosdacavidade,comonaoexistene-nhumacarganestaregiaoe levandoemcontaasimetriaesferica,concluimosqueo potenciale constantee igualao potencialna superfıcie esfericade raio v � . Em ou-traspalavras,concluimosquetodoo volumedelimitadopelasuperfıcieesfericaderaio v � e umvolumeequipo-tencial. Estepotencialcomum e igual aopotencialnasuperfıcie esfericade raio v � , ou seja,fazendov��§v �narelacaoencontradapara � � encontramosaresposta:� � Ü � «"t 5�¢ v XX e7v X� £Casovoce desejeobter � � em termosda carga total ]dacamadaesferica,bastausararelacaoparaela,encon-tradano item (a).

(d) Faca vs��v X naexpressaopara � � , item (b), e voceencontrarao potencialnasuperfıcieesfericaderaio v X ,ouseja,voceencontrarao potencialnasuperfıcieexter-nadacamadaesfericapelarelacao � X [item (a)]. FacavP�óv � na expressao para � � e voce encontrara o po-tencialna superfıcie esfericade raio v � , ou seja,voceencontrarao resultado� � (item (c)).









Conteudo

1 34: PropriedadesMagneticasda Materia 2

1.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2


1.2.1 O Magnetismoe o Eletron– (1/5) 2

1.2.2 A Lei deGaussdoMagnetismo– (6/9) . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3 O MagnetismodaTerra– (10/17) 31.2.4 Paramagnetismo– (18/25) . . . 51.2.5 Diamagnetismo– (26/27) . . . 61.2.6 Ferromagnetismo– (28/38). . . 61.2.7 ProblemasExtras . . . . . . . . 8


(lista4.tex)



1 34: PropriedadesMagneticasda Materia

1.1 Questoes

Q 34-1. Duasbarrasde ferro tem aparenciasexata-menteiguais. Uma delasesta imantadae a outranao.Comoidentifica-las?Naoepermitidosuspendernenhu-ma delascomo se fosseagulhade bussola,nem usarqualqueroutroaparelho.� Segure com a mao esquerdauma dasbarrasnumadirecaohorizontal(por exemplo,apoiando-asobreumamesa). Com a outra mao, segure a outra barranumaposicaoortogonalaprimeira.Coloqueumadasextremi-dadesdasegundabarraencostadasobrea barrafixa nadirecaohorizontal.A seguir, percorracoma extermida-dedasegundabarraaperiferiadaprimeirabarradesdeaextremidadeate o meiodestaprimeirabarra.Duascoi-saspodemocorrer:(a) Sea barrafixa namaoesquerdafor o ima, voce sentira umaatracaoforte naextremida-de;porem,estaatracaoiradiminuir amedidaqueabarradamaodireitaseaproximardo centrodabarradamaoesquerda(quesupostamenteeo ima). Portantovocepo-deriaidentificarasduasbarrasnestecaso.(b) Seabarrafixa namaoesquerdanaofor o ima,vocesentirasempreamesmaatracao,pois,nestecaso,abarradamaodireitasera o imae,comovocesabe,aextremidadedeumimaatraisemprea barradeferro (emqualquerposicao).


1.2.1 O Magnetismoeo Eletron – (1/5)

P 34-3. Umabarraimantadaesta suspensapor um fiocomomostraa Fig. 34-19. Um campomagneticouni-forme � apontandohorizontalmenteparaa direita e,entao,estabelecido.Desenhea orientacaoresultantedofio edo ıma.� O conjuntoıma+fioiradeslocar-separaadireita,per-manecendoinclinadonumcertoangulo� .Paraentenderporqueistoocorre,bastacalcularo torque��

queatuara no ıma devido aoseumomentodedipolomagnetico

�� .

ComosepodeperceberdaFig. 34-3 (pag.259),o mo-mentomagneticodo ıma e dadopor um vetorcentradonocentrodemassadoıma,apontandodeSulparaNorte(isto e, parabaixo,antesdo camposerligado). O pro-dutovetorialnosdiz queo torquemagneticoeumvetorqueapontaparaforadoplanodapagiando livro e,por-tanto,queo ıma delosca-seum certo angulo � paraadireita.

P 34-5. Uma carga � esta uniformementedistribuıdaemtornodeumfino anelderaio . O anelgiracomve-locidadeangular� emtornodeumeixocentralortogo-nal aoseuplano.(a) Mostrequeo momentomagneticodevido a cargaemrotacaoedadopor:

� � �� (b) Quais sao a direcao e o sentidodestemomentomagnetico,sea cargae positiva.� (a) No instante� � �� scorrentequepassanoanele: � � � � � �� Dondeseconcluiqueo modulodomomentomagneticoedadopor

� �� ! �#" �%$'& ��)( " � � $ � �� % � �(b) Pela regra da mao direita, o vetor momentomagnetico

�� e paraleloaovetorvelocidadeangular�� .

1.2.2 A Lei deGaussdo Magnetismo– (6/9)

P 34-7. O fluxo magnetico atravesde cinco facesdeum dadovale *,+ �.-/� Wb, onde � ( � �

a 0 ) ea quantidadedos pontosescuros[que representamosnumeros]sobrecadaface.O fluxo epositivo (parafora)para� parenegativo (paradentro)para� ımpar. Qualeo fluxo atravesdasexta facedodado?



� Comonaoseconhecemonopolosmagneticos,asomaalgebricado fluxo sobretodo o dadodever serZERO.Portantoo fluxo *,1 pedidoe

*,1 �324"52 ��67� 2�8 69 2 0 $ � 6 8 Wb �P 34-8. UmasuperfıcieGaussianatema formadeum

cilindro circular reto, de raio igual a�%�

cm e compri-mentode :�; cm. Atravesdeumadesuasextremidades,penetraum fluxo magneticode

� 0 � Wb. Na outraex-tremidadeexisteum campomagneticouniformede

� � <mT, normalasuperfıcieeorientadoparaforadela.Quale o fluxo magneticolıquidoatravesdasuperfıcie lateraldocilindro?� Usandoalei deGaussdomagnetismo,=>�7?!@BA � ; ,podemosescrever = �C?B@BA � *ED 6 * � 6 *,F , onde*ED eo fluxo magneticoatravesdaprimeiraextremidademencionada,* � e o fluxo magneticoatravesdasegun-daextremidademencionada,e *,F e o fluxo magneticoatravesdasuperfıcie lateral(curva)docilindro. Sobreaprimeiraextremidadeexisteum fluxo direcionadoparadentro,demodoque * D �G2 � 0 � Wb. Sobrea segundaextremidadeo campomagnetico e uniforme,normalasuperfıciee direcionadoparafora,demodoqueo fluxoe * � � � � � � � , onde

e a areadaextremidadee e o raiodocilindro. Portanto,

* � � � " ;H� ��$ � " � � < � ;JILK $ � 6NM � ��9 � ;HILO Wb �Comoa somadostresfluxosdeveserzero,temos

*,F �32 *ED 2 * � � � 0 2 M�� 9 �#2 9JM � 9 � Wb �O sinalnegativo indicaqueo fluxo estadirecionadoparadentro dasuperfıcie lateral.

1.2.3 O Magnetismoda Terra – (10/17)

E 34-10. EmNew Hampshire,acomponentehorizon-tal media do campomagetico da Terra, em 1912, erade� < � T e a inclinacao mediaerade

M 8�P .Qual eraomodulodocampomagneticodaTerracorrespondente?� Vejao Exemplo3. O modulo

�docampomagnetico

da Terrae a suacomponentehorizontal�RQ

estao rela-cionadospor �RQ � �SUT'VXWLYonde

We a inclinacao,vejafigura10. Portanto,

� � �/QSUT'VXW Y � 0 9 � M � T �P 34-13. O campomagneticodaTerrapodeserapro-

ximadocomoo campode um dipolo magnetico, comcomponenteshorizontalevertical,numpontodistante docentrodaTerra,dadaspor,�/Q � � P �9'� K SZT'V\[X]>^_�/` � � P �� K sen

[X]aônde

[\]e a latitude magnetica (latitude medida a

partir do equadormagnetico na direcao do polo nortemagnetico ou do polo sul magnetico). Suponhaqueomomentodedipolomagneticoseja� � : � ; �b� A ?m� .(a) Mostre que, na latitude

[\], o modulo do campo

magneticoe dadopor� � � P �9�� K�c �d6 8 sen� [\] �(b) Mostrequeainclinacao

WLYdocampomagneticoesta

relacionadacoma latitudemagnetica[X]

porebf�g W Y � � ehf�g [ ] �� (a) O modulodocampomagneticoe dadopor� � i � �Q 6 � �`� j & � P �9�� K SZTBVX[\] ( � 6k& � P �� K sen

[\] ( �� mlZ�9�� Knc SUT'V � [X] 6o9 sen� [\]� �mlZ�9�� K c �d6 8 sen � [ ] ^

ondeusamoso fatoqueSUT'V � [X]qp � 2 sen� [\] .

(b)ebf�g W Y � �/`�RQ �sr � P � � " �� K $ut sen[\]

r � P � � " 9�� K $!t SZTBVX[\] � � ebf�g [ ] �

P 34-14. UseosresultadosdoProblema13paracalcu-lar o campomagneticodaTerra(moduloe inclinacao):(a) no equadormagnetico; (b) num ponto de latitudemagneticaiguala <�; l ; (c) nopolo nortemagnetico.� Como sugeridono exercıcio anterior, suponhaqueo momentode dipolo magnetico da Terra seja � �: � ; �v� A ?m� .



(a) No equadormagneticotemos[X] � ; l , portanto

�eq

p � P �9'� K � " 9'� � ; ILw $ " :X� ; � ; �v� $9�� " <X� 8 M � ; 1 $ K� 8 � � ; � ;HILO T �A inclinacaoe dadaporWLY � ebf�g I D " � ehf�g [\] $ � ebf�g I D ; l � ; l �Observe queo coeficientequeaparecenafrentedaraizquadradae naverdade

�eq. Portanto,umavezdetermi-

nado,tal valor podeser ‘reciclado’ em todoscalculosposteriores.(b) Para

[\] � <'; l temos� � �eq c �d6 8 sen� [X]� "x8 � � ; � ; ILO $ c �d6 8 sen� <�; l� 0H� < � ; ILO T �

A inclinacaoe dadaporW Y � ebf�g I D " � ehf�g <'; l $ � M%9 l �(c) No polo nortemagneticotemos

[\] ��y ; l :� � "z8 � � ; � ;HILO $ c �d6 8X" � � ; $ �� <H� � ; � ;JI{O T �A inclinacaoe dadaporWLY � ebf�g I D " � ehf�g y ; l $ ��y ; l �P 34-15. Calculea alturaacimadasuperfıciedaTerra

ondeo modulodocampomagneticodaTerracaiameta-dedovalornasuperfıcie,namesmalatitudemagnetica.(Usea aproximaçao do campodo dipolo fornecidanoProblema13.)� Do Problema13 temosque� � �|� P9�� K|} ~ ônde,paraabreviar, definimos~ p �d6 8 sen� [X] .Na superfıciedaTerra �� , ondeR e o raio daTerra.A umaaltura � , faremos �� 6 � ; assim,�|� P9�� "x� 6 � $ KL} ~ �

�� |� P9'� � K{} ~ �

Dondeseconcluique� 6 � � � Dv� K �q� � <�;'; km�P 34-16. Usandoa aproximaçao do campodo dipolo

parao campomagneticodaTerradadanoProblema13,calculea intensidademaximado campomagnetico nafronteirado revestimentodo nucleo,queseencontraa� y ;'; km abaixodasuperfıciedaTerra.� Usandoa expressao obtida na parte(a) do proble-ma13, observandoqueo maximode

�ocorrequando

sen[ ] � � , eque � < 8 M ; 2 � y ;'; ��8 9JM ; km, temos� � �ml��9'� K�c �d6 8 sen� [ ]

� " 9�� ; I{w $ " : � ; �b� $9'� "z8 � 9�M � ; 1 $ K } �d6 8� 8 � : 8 � ;JI\� T �P 34-17. Useos resultadosdo Problema13 paracal-

cular o modulo e o angulo de inclinacao do campomagneticodaTerranopolo nortegeografico.(Sugestao:o anguloentreo eixo magneticoe o eixo derotacaodaTerrae iguala

�� 0 l .) Porqueosvalorescalculadosnaoconcordamcomosvaloresmedidos?� O anguloentreo eixo magneticoe o eixo derotacaoda Terrae

�� 0 l , de modoque[\] ��y ; l 2 �� 0 l �M :H��0 l no polo nortegeograficodaTerra.Portanto,com ��/�� < 8 M ; km obtemos� � �ml��9�� K� c �d6 8 sen� [X]

� " 9'� � ; ILw $ " : � ; �v� $9�� " <X� 8 M � ; 1 $ K c �d6 8 sen� M :H��0 l� <H� �� ;JI{O T^

e W � tanI D " � tanM :H��0 l $ � : 9 � � l �

Uma explicacao plausıvel paraa discrepanciaentreosvalorescalculadoemedidodocampomagneticoterres-tre e queasformulasobtidasno Problema34-13estaobaseadasna aproximaçao dipolar, que nao representaadequadamentea distribuicao real do campoterrestreperto da superfıcie. (A aproximaçao melhorasignifi-cativamentequandocalculamoso campomagneticoter-restrelongedoseucentro.)



1.2.4 Paramagnetismo– (18/25)

E 34-18. Um campomagneticode ;H��0 T e aplicadoaum gasparamagneticocujosatomostem um momentodedipolomagneticointrınsecode

� � ; I � K J/T. A quetemperaturaa energia cineticamediade translaçaodosatomosdogasseraigualaenergianecessariaparainver-ter completamenteestedipolonestecampomagnetico?� A equaçaoa sersatisfeitae aseguinte:� � 8 �� 3� �� ? �� 2�"�2 �� ? �� $ �� ônde� � � � 8 : � ; I � K J/K eaconstantedeBoltzmann.Destaexpressaoobtemossemproblemasque

� � 9 � �8 � � 9 " � � ; I � K $ " ;X� 0�; $8X" � � 8 : � ; I � K $� ;X� 9 : l K �E 34-19. Umabarramagneticacilındricatemcompri-

mentode 0H� ; cm e um diametrode� � ; cm. Ela possui

umamagnetizaçaouniformade 0J� 8 � ; K A/m. Qualeo seumomentodedipolomagnetico?� A relacao entre a magnetizaçao � e o momentomagnetico � e:

� � ��onde

�e o volumedabarra.Portanto,� � � � � � " � %�%� $ � � ;H� : mJ/T�

P 34-21. O sal paramagnetico a que a curva demagnetizaçao da Fig. 34-11seaplicadeve ser testadoparaverificar seobedecea lei de Curie. A amostraecolocadanum campomagnetico de ;H��0 T queperma-nececonstantedurantetoda a experiencia. A seguir,a magnetizaçao � e medidana faixa de temperaturade� ; ate 8 ;�; K. A lei de Curie sera obedecidanestas

condicoes?� Paraasmedidassendofeitasa maior razao entreocampomagneticoe a temperaturae " ;H��0 T

$b� " � ; K$ �;H� ;'0 T/K. Verifique na Fig. 34-11 se estevalor esta

na regiaoondea magnetizaçao e umafuncao lineardarazao

� � � . Comoseve,o valor esta bempertodaori-geme,portanto,concluimosqueamagnetizaçaoobede-cea lei deCurie.

P 34-24. Um eletroncomenergiacinetica �� desloca-senumatrajetoria circularquee ortogonala um campomagneticouniforme,submetidosomenteaacaodocam-po. (a) Mostrequeo momentodedipolomagneticode-vido aoseumovimentoorbital temmodulo � � � � � �e sentidocontrario ao de � . (b) Calculeo modulo, adirecaoeo sentidodomomentodedipolomagneticodeum ıon positivo quetem energia cinetica � Y nasmes-mascircunstancias.(c) Um gasionizadotem 0J� 8 � ; � Deletrons/mK e o mesmonumerode ıons/mK . Conside-re a energia cineticamediadoseletronsigual a <H� � � ; I � P J e a energia cinetica media dos ıons igual aM � < � ; I � D J. Calculea magnetizaçaodo gasparaumcampomagneticode

� � � T.� (a) Usandoa Eq. 34-9 e a Eq. 30-17 (Cap. 30,pag.165),obtemos:

� �� J� &\� �� (� �� ¡raio

� �� & �� ¢( � �£�� Um eletron circula no sentidohorario em um campomagneticodirecionadoparadentrodo papel,por exem-plo. O vetorvelocidadeangularresultante

�� e tambemdirecionadopara dentro do papel. Mas a carga doeletron e negativa; assim,

�� e antiparaleloa�� e, por-

tanto,antiparaleloa � .

(b) O valordacargacancela-seno calculode � no item(a). Assim,paraum ıonpositivo, amesmarelacaovale:

� � � Y� �Um ıon positivo circula no sentidoanti-horario numcampo magnetico direcionadopara dentro do papel.Portanto,

�� tem sentidoparafora do papel. Como oıon temcargapositiva,

�� e paraleloa�� e,portantoanti-

paraleloa � , comoo eletron.

(c) Os dipolosmagneticosdevidos aoseletronse, aosıonspossuemo mesmosentido.Portanto,

� �¤� � � � 6 � Y � Y � �� 6 � Y � Y �onde � � e � Y sao, respectivamente, o numero deeletronseo numerototaldeıons.Como � � �� Y �� ,obtemosparaa magnetizaçao:

� � �� & � � ( " �� 6 � Y $ ��8 ; M A/m �



1.2.5 Diamagnetismo– (26/27)

P 34-26.

Umasubstanciadiamagneticae fracamenterepelidaporum polo de um ıma. A Fig. 34-22apresentaum mo-deloparao estudodestefenomeno.A “substanciadia-magnetica” e umaespirade corrente¥ , queesta colo-cadanoeixodeumımaenasproximidadesdoseupolonorte. Comoa substanciae diamagnetica,o momentomagnetico

�� daespirasealinhara antiparalelamenteaocampo� do ıma. (a) Faca um esboço daslinhasde �em virtude do ıma. (b) Mostreo sentidoda corrente

�na espiraquando

�� estiver antipareleloa � . (c) Usan-do @B¦ � � @'§ � , mostrea partir de (a) e (b) queaforca resultantesobre¥ apontano sentidoqueseafastadopolo nortedo ıma.�P 34-27 .

Um eletronde massa� e carga de modulo � semovenumaorbita circular de raio ao redorde um nucleo.Um campomagnetico � e, entao,estabelecidoperpen-dicularmenteaoplanodaorbita.Supondoqueo raiodaorbitanaovariee quea variacaodavelocidadeescalardo eletronemconsequenciado campo� sejapequena,determineumaexpressao paraa variacao do momentomagneticoorbitaldoeletron.� Um campoeletrico com linhasde campocircularese induzidoquandoo campomagneticoe ligado. Supo-nhamosque o campomagnetico aumentelinearmentede ; ate

�numtempo � . De acordocoma Eq.32-24a

magnitudedocampoeletriconaorbitaedadapor� � � @ �@'� � � � � ônde e o raio da orbita. O campoeletrico induzidoetangentea orbitae mudaa velocidadedoeletron,sendotal mudança dadapor© � ��ª � � ��

� �� & � � � ( � � �� A correntemediaassociadacom cadavolta do eletroncirculandonaorbitae� � ©

carga©tempo

� �" �� $v� � � �¢��

demodoqueo momentodedipolocorrespondentee

� � «� �3" � � $ & �¢�� ( � �� L�Portanto,variacaodomomentodedipolo e

© � � �� ¢ © � � �� & �� ( � � � � �9 � �1.2.6 Ferromagnetismo– (28/38)

E 34-28. Medicoesrealizadasem minase em furosdeprospecçaomostramquea temperaturanaTerraau-mentacoma profundidadenataxamediade 8 ; l C/km.Supondoque a temperaturana superfıcie sejade

� ; lC, a que profundidadeo ferro deixaria de ser ferro-magnetico? (A temperaturaCuriedo ferro variamuitopoucocoma pressao.)� A temperaturadeCuriedoferroe

M'M ; l C.Sechamar-mosde ¬ a profundidadena qual a temperaturaatingeestavalor, entao

� ; l C6 "x8 ; l C/km

$ ¬ � M'M ; l C, ouseja,isolando-seo valorde ¬ ,

¬ � M�M ; l C 2 � ; l C8 ; l C/km� � 0 km �

E 34-29. O acoplamentode troca mencionadonaseccao 34-8 como responsavel pelo ferromagnetismonao e a interacao magneticamutua entredois dipolosmagneticoselementares.Paramostraristo, calcule:(a)o campomagneticoa umadistanciade

� ; nm aolongodo eixo do dipolo deum atomocommomentodedipo-lo magnetico igual a

� � 0 � ; I � K J/T (cobalto)e (b) aenergiamınimanecessariaparainverterumsegundodi-polo identiconestecampo. Comparecom o resultadodoExemplo34-4.O quesepodeconcluir?� (a) O campode um dipolo ao longo do seueixo edadopelaEq.31-25: � � � P�� K ônde� e o momentodedipolo e e a distanciaa partirdomeiododipolo. Portanto� � " 9�� ; I{w T ?m/A

$ " � ��0 � ; I � K J/T$�� " � ; � ; IL® m

$ K� 8 � ; I 1 T �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina6


(b) A energia de um dipolo magnetico�� num campo

magnetico��

e ¯ � �� ? �� SZTBVXW , ondeW

e oanguloentreo momentodedipolo e o campo.A ener-gia necessariaparainverte-lo(de

W � ; l ateW � � :'; l )

e © ¯ � � � �� " � ��0 � ;JI � K JT$ "x8 � ;JI 1 T

$� y � ; I � ® J� 0H� < � ;JI D P eV �

A energia cinetica media de translaçao a temperaturaambienteedaordemde ;H� ; 9 eV (vejao Exemplo34-4).Portantoseinteracoesdo tipo dipolo-dipolofossemres-ponsaveispeloalinhamentodosdipolos,colisoesiriamfacilmente“randomizar” [id est, tornar aleatorias] asdirecoesdosmomentose elesnao permaneceriamali-nhados.

E 34-30. A magnetizaçaonasaturaçaodo nıquelvale9 � M � ; O A/m. Calculeo momentomagneticode umunico atomode nıquel. (A densidadedo nıquel e :X� y ;g/cmK e suamassamoleculare 0�:H� M�� g/mol.)� A magnetizaçaodesaturaçaocorrespondeaocomple-to alinhamentodetodososdipolos,dadopor

� ]E°�± � � ��.�Fazendo

� � �mK , a massado nıquel em 1 mK e" :X� y ; g/cmK $ ? " � ; 1 m8 $ � :H� y ; � ; 1 g; portanto,

² � :X� y ; � ; 10�:H� M�� g/mol� � ��0 � 0 y � ;�O mol �

AtravesdaEq.2 doCap.21,temos:�s� ² �a³´��y � �%� < � ; �bµ atomos/mK �Assim,

� � � ]E°�±'�� 0J� � 0 � ; I � � A ?m� �P 34-32. O momentodedipolo magneticodaTerrae: � ; �b� J/T. (a) Sea origemdestemagnetismofos-

seumaesferadeferro magnetizada,no centrodaTerra,qualdeveriasero seuraio? (b) Quefracaodo volumedaTerraestaesferaocuparia?Suponhaumalinhamentocompletodosdipolos. A densidadedo nucleoda Ter-ra e

�U9g/cmK . O momentodedipolo magneticodeum

atomode ferro e� � � � ; I � K J/T. (Nota: considera-

mosa regiaomaisinternado nucleoda Terraformadadeparteslıquidaesolidaeparcialmentedeferro,poremohipotesedeumımapermanentecomofontedomagne-tismodaTerrafoi completamenteafastadapor diversasrazoes.Umadelase quea temperaturaesta certamenteacimadopontodeCurie.)� (a) Sea magnetizaçaodaesferaesta saturada,o mo-mentodedipolo total e � total

�� , onde� e o numerodeatomosdeferro naesferae � e o momentodedipo-lo deum atomodeferro. Desejamosdeterminaro raiodeumaesferade ferro contendo� atomosdeferro. Amassade tal esferae � � , onde � e a massade umatomodeferro. Ela tambeme dadapor

9��|¶ � K � 8 , onde¶e adensidadedo ferroe � e o raiodaesfera.Portanto� � � 9'�|¶ � K � 8 e

�� 9��|¶ � K8 � �Substituaistonarelacao � total

�¤� � paraassimobter

�total� 9'�|¶ � K �8 � ^

ouseja, �� & 8 � � total9'�|¶ � ( Dv� K �A massadeumatomodeferro e

� � 0�<�· � " 0�<�· $ " � � <�< � ;JI � w kg/u$� y � 8 � ;HI � 1 kg �

Comisto,obtemos

� � & 8\"zy � 8 � ; I � 1 $ " : � ; �v� $9'� " �U9 � ; K $ " � � � � ; I � K $�( Dv� K� � � : � ; O m �(b) O volumedaesferae� � � 9��8 � K� 9��8 " � � : � � ;�O m

$ K� � ��0 8 � ; D 1 mKeo volumedaTerrae� �� 9��8 " <X� 8 M � ; 1 m

$ K � � � ;': � ;�� D mK ^demodoqueafracaodovolumedaTerraqueeocupadopelaesferae� �� 0 8 � ; D 1 mK� � ;': � ; � D mK � � � 8 � ;HILO��



� (a) Seja� amassadonucleoe o seuraio. A massadeum ıon, � , e o numerode ıonsno nucleo, � . Con-siderandoquea esferasejadeferro, temos�¸� � � � ,mas � � ¶ � ; assim,

�s� � � � ¶ �� Comoa massaatomicado ferro e 0�< , � � 0�<�· . Por-tanto,se � e o momentomagneticodeum ıon deferro,� � sera o momentomagneticodo nucleo,consequen-temente

: � ; �v� � ¶ " 9�� K � 8 $0�<�· " � $ �Dondeseconcluique � � : � km.(b) A fracaosera:¹ � & � ( K � � � 8�8 � ; I{O �P 34-34.

Um anel de Rowland e formado de material ferro-magnetico. Suasecao transversale circular, com umraio internode 0 cm,um raio externode < cm e seuen-rolamentotem

9 ;�; espiras.(a)Quecorrentedeveseres-tabelecidanoenrolamentoparaqueo campomagneticono interior do toroideatinjao valor

� P � ;H� � mT?(b)Uma bobinasecundaria de 0�; espirase resistenciade:�º e enroladaem torno do toroide. Sabendo-seque,paraestevalor de

� P , temos�/» � :';�; � P , determi-

neaquantidadedecargaquesemoveatravesdabobinasecundariaquandoa correntenoenrolamentoe ligada/� (a) O campodeum toroide e

� �½¼�¾ YÀ¿�bÁ�Â , onde � eo numerototaldeespiras.Essee umcamponaounifor-me,maspodemosconsideraro campoaproximadamen-te uniformee igual aovalor do campono meiodo tubodo toroide.Portanto,� P � � P � �� Dondeseconcluiquea corrente

�vale ;H� �U9 A.

(b) Com a presença do ferro no interior do toroide, ocampoe

� ] 6 � P � :'; � � P . Seja

a areada secaotransversaldo toroide. Do Problema17 do Cap.32, acargainduzidaemumaespirade �>Ã espiraseresistencia� e:

� � �>Ã r *,+ " final$ 2 *,+ " inicial

$ut�� Ã " � P 6 � ] $� �RÃ

� M :H� < � C �

1.2.7 ProblemasExtras

Coletamosaquialgunsproblemasda3°

edicaodo livroquenao aparecemmais na 4

°edicao masque podem

aindaseruteis.

P 34-??? Analisequalitativamenteo aparecimentodemomentode dipolosmagneticosinduzidosnum mate-rial diamagneticosobo pontodevistadaLei deFaradaydainducao.(Sugestao: Vejafigura

� ;'Ä doCap.32. Notetambemque,paraeletronsemorbita,osefeitosinduti-vos(qualquermudançanavelocidadeescalar)persistemaposo campomagneticoterparadodevariar;estesefei-tosso terminamdepoisqueo campomagneticoe remo-vido.)Nota: esteproblematem muito a ver como problema34-27.� Um campoeletricocomlinhasdecampocirculareseinduzidoquandoseliga umcampomagnetico.Suponhaqueo campomagnetico cresca de ; ate

�num tempo� . De acordocoma Eq. 32-24,a magnitudedo campo

eletriconaorbitae dadapor� � � @ �@�� ônde e o raio da orbita. O campoeletrico e tangen-te a orbita e mudaa velocidadedo eletron, sendotalmudança dadapor© � ��Å � � �� A correntemediaassociadacomo eletronquecirculanaorbitae

� � �¢� �� eo momentodedipolo e

� � Æ� �Ç" � � $ & �� ( � �� B ��Comisto tudo,amudança nomomentodedipolo e

© � � �� ¢ © � � �� 9 � �� Usandoa Eq.21doCap.32,obtemos:

� � � @ �@'� �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina8


AQUI FIGURA

Assim,oseletronssofrema acaodeumaforca eletricarepresentadana figura acima. Suponhaque o campomagnetico aumentede uma quantidade

�num tempo� . Portanto,cadaeletrontemumamudança develoci-

dadedadapor© � ��Å � � &�È� (L� � &L� �� ({� � �� &\ � � � (\�� e asnovasvelocidadessao:� � � P - �¢ ��

(6

) paravero sentidohorarioe ( 2 ) parao sentidoanti-horario. Dividindo � por e supondoque naovarie,temos:

� � � P - � �� Essanovavelocidadeangularpermitefazeraumentaroudiminuir o momentomagnetico orbital. A existenciade um efeito diamagnetico num campo magneticoconstantepode ser “explicada”, observando que oseletronscirculantescontinuamcortandoaslinhasdeflu-xo magnetico.


Halliday 3

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