LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 29 de Dezembro de 2004, ` as 13:20 Exerc´ ıcios Resolvidos de Dinˆ amica Cl´ assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ ısica te´ orica, Doutor em F´ ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ ısica Mat´ eria para a PRIMEIRA prova. Numerac ¸˜ ao conforme a quarta edic ¸˜ ao do livro “Fundamentos de F´ ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´ udo 4 Vetores 2 4.1 Problemas e Exerc´ ıcios ......... 2 4.1.1 Soma de vetores ........ 2 4.1.2 Somando vetores atrav´ es das suas componentes ........ 2 Coment´ arios/Sugest˜ oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam0.tex) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ agina 1 de 3
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
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4 Vetores
4.1 Problemase Exercıcios
4.1.1 Somadevetores
P 3-6 (3-??/6�
edicao)
Um vetor � temmodulo�
unidadese esta dirigido paraleste.Um outrovetor, � , esta dirigido para � ��� a oestedo nortee temmodulode � unidades.Construadiagra-masvetoriaisparacalcular � � e ��� � . Estimeomoduloeaorientacaodosvetores� � e ��� � apartirdessesdiagramas.� Para resolver esteproblemacomo o livro deseja,necessita-sedepapelmilimetrado,reguaeumtransferi-dor, paramedirangulos.Irei resolver o problema usando sua representac¸aoalgebrica.As componentesdosvetores� e � sao����� ��� ������� �e � ��� � � sen � � � � ����� �� � � �!� �#"%$�&�� � � � ���'�)(*�O sinalde
� � e negativo poisparafazera somaalgebri-camente,precisamosprimeirotransladaro vetor � paraa origem do sistemade coordenadas.E claro que taltranslac¸aonaoe necessariano processograficoutiliza-do paraa soma.Entendabemo queesta sendofeito, asdiferencasentreosdoismetodosdeobtera soma.Portanto,paraasoma+ �,�- � temos
cujomoduloeL � : L <� L <� �A@ . �9(*� � 0 < �. ��� � 0 < ��M � �4N 5 M �O anguloqueadiferenca G fazcomahorizontaleE1O � arctan
L �L � � arctan�4� ��9(*� � � �1�D� � � �
Dito de modoequivalente,o vetor G esta direcionadode um angulode �1�D� � � a Norte do Oeste.Ou ainda,a � � �2�1�4� � � � C � �7( � aOestedoNorte.
4.1.2 Somandovetoresatravesdassuascomponen-tes
P 3-29 (3-??/6�
edicao)
Umaestac¸aoderadardetectaumaviaoquevemdoLes-te. No momentoemquee observadopelaprimeiravez,o aviao esta a � ��� m de distancia, � � � acimado hori-zonte,O aviao e acompanhadopor mais N �3� � no planoverticalLeste-Oestee esta a M C � m dedistanciaquandoeobservadopelaultimavez.Calculeo deslocamentodaaeronaveduranteo perıododeobservacao.� Chamemosde P aorigemdosistemadecoordenadas,de Q a posicaoinicial doaviao,ede R asuaposicaofi-nal. Portanto,o deslocamentoprocuradoe��SQ�R � �DSP�RA� �)SP�QT�Para
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5 ForcaseMovimento – I
5.1 Questoes
Q 5-??
Cite bla-bla-bla...�
5.2 Problemase Exercıcios
5.2.1 SegundaLei deNewton
E 5-7 (5-7/6� edicao)
Nacaixade � kg daFig.5-36,saoaplicadasduasforcas,mas somenteuma e mostrada. A acelerac¸ao da cai-xa tambem e mostradana figura. Determinea segun-da forca (a) em notacao de vetoresunitariose (b) emmoduloesentido.� (a) Chamemosasduasforcasde ��� e ��� . Deacordocomasegundalei deNewton, ������� ���� , demodoque ���� ��������� . Na notacao de vetoresunitariostemos��� ������ e�� ������ sen ��"!����#���%$'&"() ��"!+*, ���-.�/���0�21 34*�1
Portanto
���5 67�98'6:��-"8)�;�6<��8=6:���0�21 3>8'*��?�@�.� AB�� "�%�/�C�;�9*=D N 1(b) O modulode ��� e dadoporE �� GF E ��IH E ��IJ GK 6:�� 9�98 � L6:��;�+8 � L �M N 1O anguloque ��� fazcomo eixo N positivo e dadopor
tan OP E �IJE �IH ��;��� "� ��21 -"Q@-;1O anguloeou � ! ou � ! R�0M9� ! L�;�0 ! . Comoambascomponentes
E �SH eE �IJ saonegativas,o valor corretoe�)�+ ! .
5.2.2 AlgumasForcasEspecıficas
E 5-11 (5-???/6� )Quaissaoa massae o pesode(a) um treno de -9 �� kg e(b) deumabombatermicade 3"�)� kg?� (a) A massae igual a -9 �� kg, enquantoqueo pesoeT U�WVX Y6Z-� 9�98=6Z[;1 M98% L-;�]\�3 N.(b) A massae igual a 3"�;� kg, enquantoqueo pesoeT U�WVX Y6^3"�;�+8=6Z[;1 M98% �32����Q)1 M N.
E 5-14 (5-11/6� )Umadeterminadapartıculatempesode ��� N numpon-to onde V� _[21 M m/s� . (a) Quaissao o pesoe a mas-sadapartıcula,seela for paraum pontodo espac¸o on-de V� _3/1 [ m/s� ? (b) Quaissao o pesoe a massadapartıcula,seelafor deslocadaparaum pontodo espac¸oondeaacelerac¸aodequedalivresejanula?� (a) A massae�` T V �9�[;1 M ��;1 � kg 1Num local ondeV� a321 [ m/s� a massacontinuara a ser�;1 � kg, maso pesopassaraasera metade:T b�WVX a6<�)1c��8=6^321 [98� a��� N 1(b) NumlocalondeVd L� m/s� amassacontinuaraaser�;1 � kg, maso pesoseraZERO.
E 5-18 (5-???/6� )(a)Um salamede ��� kg estapresoporumacordaaumabalanca demola,queesta presaaotetopor outracorda(Fig. 5-43a). Quala leituradabalanca? (b) Na Fig. 5-43b, o salameesta suspensopor umacordaquepassapor uma roldanae se prendea uma balanca de molaque,por suavez, esta presaa paredepor outracorda.Quala leiturana balanca? (c) Na Fig. 5-43c,a paredefoi substituıdapor outrosalamede ��� kg, a esquerda,eo conjuntoficou equilibrado.Quala leituranabalancaagora?
Em todosostrescasosa balanca naoesta acelerando,oquesignificaqueasduascordasexercemforca deigualmagnitudesobreela. A balanca mostraa magnitudedequalquerumadasduasforcasa ela ligadas. Em cadaumadassituacoesa tensao na cordaligadaao salametem queter a mesmamagnitudequeo pesodo salamepoiso salamenaoesta acelerando.Portantoa leituradabalanca e �WV , onde� e amassadosalame.Seuvalor eT G6:�9�+8=6ZM;1 [98% Y�0�9M N 1
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5.2.3 AplicacaodasLeis deNewton
P 5-21 (5-19/6� )Um foguete experimentalpode partir do repousoealcancar a velocidadede �+-��9� km/h em ��1 M s, comacelerac¸aoconstante.Qualaintensidadedaforcamedianecessaria,sea massado foguetee Q@�9� kg?� Bastausarmos
E `��e , ondeE
e a magnitudedaforca, e a acelerac¸ao,e � amassado foguete.A acelerac¸aoeobtidausando-seumarelacaosimplesdacinematica,a saber, f� ge"h . Para f� i�0-��9� km/h �0-9���>j] ;1 -k �3�393 m/s, temosque el �393�3)j>��1 Mk m�]3)\m/s� . Comistoa forca mediaedadaporE b��eX Y6<Q@���"8'6<�]3>\�8n Y��1c�Pop�+��q N 1E 5-23 (5-??/6� )
Seum neutronlivre e capturadopor um nucleo,elepo-deserparadono interiordonucleoporumaforca forte.Estaforcaforte,quemantemo nucleocoeso,enulaforado nucleo. Suponhaqueum neutronlivre comveloci-dadeinicial de �91 3po��0�9r m/s acabade ser capturadopor um nucleocomdiametrost u�+�)v �:w m. Admitindoquea forca sobreo neutrone constante,determinesuaintensidade.A massadoneutrone ��1 -"\xoy�0�;v � r kg.� A magnitudeda forca e
E z��e , onde e e aacelerac¸aodoneutron.Paradeterminaraacelerac¸aoquefazo neutronpararaopercorrerumadistancias , usamosa formula f � bf �{ #�@e>s/1Destaequac¸aoobtemossemproblemas
ed f � �pf �{�@s �|6:��1 3Xop�+��r=8 ��;6}�0� v �~w 8 ���[21 MXoy�0� � r m/s� 1A magnitudedaforca eE U��ed G6:��1 -"\xoy�0� v � r 8'67[;1 M�op�+� � r 8� Y�0-;1 3 N 1E 5-28 (5-15/6� )
Veja a Fig. 5-27. Vamosconsiderara massado blocoigual a M21 Q kg e o angulo OL � �� ! . Determine(a) atensao na cordae (b) a forca normalaplicadasobreobloco. (c) Determineo modulodaacelerac¸aodo blocosea cordafor cortada.
� (a) O diagramadecorpoisoladoemostradonaFig.5-27do livro texto. Comoa acelerac¸aodoblocoe zero,asegundalei deNewton fornece-nos� �y��V senO �� �y��V�$'&9(;O �;1A primeira destasequac¸oes nos permite encontraratensaonacorda:� ���V senOx a6ZM21 Q98'67[;1 M98 sen 9�9!� �3"� N 1(b) A segundadasequac¸oesacimafornece-nosa forcanormal:� b�WV�$=&9()OP Y6ZM;1cQ�8=6Z[21 M"8)$'&"() �� ! �\@� N 1(c) Quandoa cordae cortadaela deixade fazerforcasobreo bloco,quepassaaacelerar. A componenteN dasegundalei de Newton fica sendoagora ����V senOy ��e , demodoqueed a��� senOx Y�|6Z[21 M"8 sen �� ! Y��321 [ m/s� 1O sinalnegativo indicaqueaacelerac¸aoeplanoabaixo.
E 5-33 (5-???/6� )Um eletron e lancado horizontalmentecom velocida-dede ��1c�WoR�0�9r m/sno interior deum campoeletrico,que exercesobreele uma forca vertical constantede3/1 Qdo?�+�)v �:� N. A massado eletrone [21��9��o?�0�;v4� � kg.Determineadistanciaverticaldedeflexaodoeletron,nointervalodetempoemqueelepercorre �� mm,horizon-talmente.� A acelerac¸aodo eletrone verticale, paratodosefei-tos,aunicaforcaqueneleatuaea forcaeletrica;aforcagravitacionale muito menor. Escolhao eixo N no sen-tido davelocidadeinicial e o eixo � no sentidodaforcaeletrica. A origeme escolhidacomosendoa posicaoinicial do eletron.Comoa acelerac¸aoe forca saocons-tantes,asequac¸oescinematicassao
NW �f { h e �� �� e"h � �� E� h ���ondeusamos
E g��e paraeliminar a acelerac¸ao. Otempoqueo eletroncomvelocidadef { leva paraviajarumadistanciahorizontalde N# � �� mm e h| �N�j�f { esuadeflexaonadirecaodaforca e
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E jogandoeletronscontraum tubode imagensquesuaTV funciona...Isto sera estudadonoscapıtulos23 e 24do livro.
P 5-38 (5-29/6� )Umaesferademassa �o|�0�;v w kg estasuspensaporumacorda.Umabrisahorizontalconstanteempurraa esferademaneiraqueelafaca um angulode "\ ! coma verti-cal derepousodamesma.Determine(a) a intensidadedaforca aplicadae (b) a tensaonacorda.� (a) Suponhamosabrisasoprandohorizontalmentedadireita paraa esquerda.O diagramade corpo isoladoparaaesferatemtresforcas:a tensao
�nacorda,apon-
tandoparacima e paraa direita e fazendoum anguloO��i >\ ! com a vertical, o peso �WV apontandoverti-calmenteparabaixo, e a forca
Eda brisa, apontando
horizontalmenteparaa esquerda.Comoa esferanaoesta acelerada,a forca resultantede-ve sernula. A segundalei de Newton nosdiz queascomponenteshorizontaise verticaisdasforcassatisfa-zemasrelacoes,respectivamente,�
senO�� E � �� $'&"()O��y��V �;1Eliminando
�entreestasduasequac¸oesobtemosE U�WV tan O 67 Xop�+� v w 8'6Z[21 M"8 tan >\@! �;1 �;��oy�0� v4� N 1
(b) A tensaopedidae� ��V$'&9(;O 6Z top�+�)v w 8'6Z[21 M"8$'&9(2 "\ ! b 21 -9MPoy�0� v4� N 1Percebaque talvez fossemais simplester-se primeirodeterminado
�e,aseguir,
E, naordemcontrariadoque
pedeo problema.
P 5-39 (5-??/6� )Uma moca de 39� kg e um treno de M21 3 kg estao sobrea superfıcie deum lagogelado,separadospor ��Q m. Amoca aplicasobreo treno umaforca horizontalde Q)1c�N, puxando-oporumacorda,emsuadirecao.(a)Qualaacelerac¸aodotreno? (b) Qualaacelerac¸aodamoca?(c)A quedistancia,emrelacao a posicao inicial damoca,elessejuntam,supondonulasasforcasdeatrito?� (a) Comoo atrito e desprezıvel, a forca damoca notreno e a unicaforca horizontalqueexisteno treno. Asforcasverticais,a forca da gravidadee a forca normaldogelo,anulam-se.
A acelerac¸aodo treno e
e"�� E�W� Q;1 �M21 3 L�;1 -9� m/s� 1(b) De acordocoma terceiralei deNewton, a forca dotrenonamocatambemede Q;1 � N. A acelerac¸aodamocae,portanto,
e>�� E� � Q)1c�3"� ��21��+ m/s� 1(c) A acelerac¸aodo treno e damoca temsentidosopos-tos.Suponhamosqueamocapartadaorigememova-sena direcao positiva do eixo N . Suacoordenadae dadapor
N4�� �� e"��h � 1O treno partede Ny YN { ���Q m e move-seno sentidonegativo de N . Suacoordenadaedadapor
N � �N { � �� e � h � 1ElesseencontramquandoN4�� �N2� , ousejaquando�� e>��h � bN { � �� e"��h � �dondetiramosfacilmenteo instantedoencontro:
h� a� �]N {e � le � �quandoentaoa moca teraandadoumadistancia
N � �� e � h � N { e"�e>�#Re"� 6}�+Q98'6Z�21��+ 98�;1��0 �l�;1 -9� L�;1 - m 1
P 5-40 (5-31/6� )Doisblocosestaoemcontatosobreumamesasematri-to. Uma forca horizontale aplicadaa um dosblocos,como mostradona Fig. 5-45. (a) Se � � ��;1 kg e� � ��91 � kg e
E L ;1c� N, determineaforcadecontatoentreosdoisblocos.(b) Mostreque,sea mesmaforcaE
for aplicadaa � � , aoinvesde � � , a forca decontatoentreosdoisblocose �)1�� N, quenao e o mesmovalorobtidoem(a). Expliquea diferenca.� (a) O diagramadecorpoisoladoparaamassa��� temquatroforcas:navertical, �k�IV e
� � , nahorizontal,para
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a direita a forca aplicadaE
e, paraa esquerda,a forcadecontato�� que ��� exercesobre��� . O diagramadecorpoisoladoparaa massa��� contem tresforcas: navertical, ����V e
� � e, na horizontal,apontandoparaadireita,a forca � . Notequeo pardeforcas �� e � e umparacao-reac¸ao,conformea terceiralei deNewton.A segundalei deNewtonaplicadapara� � forneceE �?�� b���'e �onde e e a acelerac¸ao.A segundalei deNewtonaplica-dapara��� fornece �� b� � e41Observe que como os blocosmovem-sejuntos com amesmaacelerac¸ao, podemosusaro mesmosımbolo eemambasequac¸oes.Da segundaequac¸aoobtemose� Y��j���� quesubstitui-danaprimeiraequac¸aodosfornece� :
�� E � ����%R��� 6Z 21 �98'6}��1c��8�)1 �b�91 � a�91�� N 1(b) Se � for aplicadaem � � emvezde � � , a forca decontatoe
�� E � ����%R��� 6Z 21 �98'6<�)1 98�)1 �b�91 � L�;1�� N 1A acelerac¸aodosblocose a mesmanosdoiscasos.Co-mo aforca decontatoe a unicaforcaaplicadaa umdosblocos,parececorretoatribuir-seaqueleblocoa mesmaacelerac¸aoqueaoblocoaoqual � eaplicada.No segun-do casoa forca decontatoaceleraum blococommaiormassadoquenoprimeiro,demodoquedevesermaior.
P 5-44 (5-33/6� )Um elevador e suacarga, juntos, tem massade �0-��9�kg. Determinea tensao no cabode sustentac¸ao quan-doo elevador, inicialmentedescendoa ��� m/s,eparadonumadistanciade 3>� m comacelerac¸aoconstante.� O diagramade corpo isoladotem duasforcas: pa-ra cima, a tensao
�no cabo e, para baixo, a forca�WV da gravidade. Se escolhermoso sentidoparaci-
ondea velocidadefinal e fy �� , a velocidadeinicial ef { ������ e �� ���3"� , a coordenadado pontofinal.Comisto,encontramos
eX ��f �{�@� �|6}���+�98 ��;6:��3>��8 ���\ a�91c\)� m/s� 1Esteresultadopermite-nosdeterminara tensao:� b�C6�V,le)8� Y6}�0-9���98� Z[21 M����1¡\>�+¢� Y��1 Mdop�+� w N 1P 5-52 (5-35/6� )
Umapessoade M9� kgsaltadepara-quedaseexperimentaumaacelerac¸ao,parabaixo,de �)1cQ m/s� . O para-quedastem Q kg demassa.(a)Quala forcaexercida,paracima,peloar sobreo para-quedas?(b) Quala forca exercida,parabaixo,pelapessoasobreo para-quedas?� (a) O diagramadecorpoisoladoparaa pessoa+para-quedascontemduasforcas: verticalmenteparacima aforca
E � doar, e parabaixoa forca gravitacionaldeumobjetodemassa�m Y67M��%�Q�8% LM9Q kg, correspondenteasmassasdapessoaedopara-quedas.Considerandoo sentidoparabaixocomopositivo,A se-gundalei deNewtondiz-nosque
�WVx� E � U��e �ondee e a acelerac¸aodequeda.Portanto,E � U�C6�Vd�ye)8� G6ZM"Q�8'67[;1 M��C�;1 Q98� L-9��� N 1(b) Consideremosagorao diagramade corpo isoladoapenasparao para-quedas.Paracimatemos
E � , e parabaixo temosa forca gravitacionalsobreo para-quedasde massa��£ . Al em dela, parabaixo atuatambem aforca
E £ , dapessoa.A segundalei deNewton diz-nosentaoque �t£�V, E £,� E � b��£]e , dondetiramosE £ b� £ 6ZeP�¤V;8� E � 6<Q�8=67�)1cQ��y[21 M"8�R-"�@� Q�M�� N 1P 5-55 (5-???/6� )
Imagineum modulodeaterrisagemseaproximandodasuperfıcie de Callisto, uma das luas de Jupiter. Se omotor forneceumaforca paracima (empuxo)de 9��-��N, o modulodescecomvelocidadeconstante;seo mo-tor forneceapenas���@�9� N, o modulo descecom umaacelerac¸aode �;1 �[ m/s� . (a) Qualo pesodo modulode
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aterrisagemnasproximidadesdasuperfıciedeCallisto?(b) Quala massado modulo?(c) Quala acelerac¸aoemquedalivre,proximaa superfıciedeCallisto?� Chamemosde V a acelerac¸ao da gravidadepertodasuperfıciedeCallisto,de � amassadomodulodeater-risagem,de e a acelerac¸ao do modulo de aterrisagem,e de
Eo empuxo(a forca paracima). Consideremos
o sentidoparabaixo como o sentidopositivo. Entao�WV�� E ���e . Se o empuxoforE �R � "�@-9� N, a
acelerac¸aoe zero,dondevemosque
��Vx� E � b�21Seo empuxofor
E � ��9�@��� N, aacelerac¸aoe e � ���21 9[m/s� , e temos
�WVx� E � ���e"��1(a) A primeira equac¸ao forneceo pesodo modulo deaterrisagem: T ���Vd E �� � "�@-�� N 1(b) A segundaequac¸aofornecea massa:
�` T � E �e>� "�@-����?���@�9��;1 �[ ��)1¡\xop�+� � kg 1(c) O pesodividido pelamassafornecea acelerac¸aodagravidadeno local,ouseja,
Um blocodemassa���X � 21c\ kg esta sobreum planocom �� ! deinclinacao,sematrito,presoporumacordaquepassaporumapolia,demassaeatritodesprezıveis,e temnaoutraextremidadeum segundoblocodemas-sa ���� `�;1 kg, penduradoverticalmente(Fig. 5-52).Quaissao(a)osmodulosdasacelerac¸oesdecadablocoe (b) o sentidodaacelerac¸aode ��� ? (c) Quala tensaonacorda?� (a) Primeiro, fazemoso diagramade corpo isoladoparacadaumdosblocos.Para ��� , apontandoparacimatemosa magnitude
�da
tensao na corda,e apontandoparabaixo o peso ����V .Para �k� , temostres forcas: (i) a tensao
�apontando
paracima,aolongodoplanoinclinado,(ii) a normal�
perpendicularaoplanoinclinadoeapontandoparacimae paraa esquerda,e (iii) a forca peso�k�¥V , apontando
parabaixo,fazendoum angulo OW u �� ! como prolon-gamentodanormal.Para �k� , escolhemoso eixo N paraleloao planoincli-nadoe apontandoparacima, e o eixo � na direcao danormalaoplano. Para � � , escolhemoso eixo � apon-tandoparabaixo. Comestasescolhas,a acelerac¸aodosdoisblocospodeserrepresentadapelamesmaletra e .As componentesN e � da segundalei de Newton para� � sao,respectivamente,� �p� � V senO � � e �� �y�WV�$'&"()O �21A segundalei deNewtonpara� � fornece-nos� � Vx� � �� � e41Substituindo-se
� �� � edb� � V senO (obtidada pri-meiraequac¸aoacima),nestaultimaequac¸ao,obtemosaacelerac¸ao:
e 6^� � �p� � senO"8�V�k�%?��� A �;1 ��C ;1¡\ sen �� ! D�67[;1 M98 21c\¦#�)1 L�;1¡\] 9Q m/s� 1
(b) O valor de e acima e positivo, indicandoque aacelerac¸aode � � apontaparacimado planoinclinado,enquantoquea acelerac¸aode � � apontaparabaixo.(c) A tensao
�nacordapodeserobtidaoude� � � e�R� � V senO 6Z 21c\�8'A �;1¡\] "Q�l[;1 M sen 9�9!ID� L�@�21 M�3 N �
ou,ainda,daoutraequac¸ao:� � � V,?� � e 67�)1 98=A [21 M��C�;1¡\] "Q�D/ L���;1 M@3 N 1P 5-63 (5-47/6� )
Um macacode �+� kg sobeporumacordademassades-prezıvel, quepassasobreo galhode umaarvore, sematrito, e tem presana outraextremidadeumacaixade��Q kg, queesta no solo (Fig. 5-54). (a) Qualo modulodaacelerac¸aomınimaqueo macacodeveterparalevan-tar a caixadosolo?Se,aposlevantara caixa,o macacoparardesubireficaragarradoacorda,quaissao(b) suaacelerac¸aoe (c) a tensaonacorda?� (a) Consideremos“para cima” comosendoos sen-tidos positivos tantoparao macacoquantoparaa cai-xa. Suponhamosqueo macacopuxea cordaparabaixo
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comumaforca demagnitudeE
. De acordocoma ter-ceira lei de Newton, a cordapuxao macacocom umaforca demesmamagnitude,demodoquea segundaleideNewtonaplicadaaomacacofornece-nosE �y����VX b����e>� �onde ��� e e>� representama massae a acelerac¸aodomacaco,respectivamente.Comoacordatemmassades-prezıvel, a tensaonacordaeo proprio
E.
A cordapuxaacaixaparacimacomumaforcademag-nitude
E, demodoqueasegundalei deNewtonaplicada
a caixae E � �p��£+V� U��£@e�£ �onde �t£ e e�£ representama massae a acelerac¸ao dacaixa,respectivamente,e
(b) Para a caixa e para o macaco,a segundalei deNewtonsao,respectivamente,E �p� £ Vd b� £ e £ �E �p���VX U����e>�P1Agora a acelerac¸ao do pacotee parabaixo e a do ma-cacoparacima, de modoque e"�m ª��e £ . A primeiraequac¸aonosforneceE b� £ 6^V,#e £ 8� �� £ 6�VP�ye>�,8 �
Um balao de massa« , com ar quente,esta descendo,verticalmentecomumaacelerac¸ao e parabaixo(Fig. 5-59). Quequantidadedemassadeveseratiradaparaforadobalao,paraqueelesubacomumaacelerac¸ao e (mes-mo moduloe sentidooposto)?Suponhaquea forca desubida,devidaaoar, naovarieemfuncaodamassa(car-gadeestabilizac¸ao)queeleperdeu.� As forcasqueatuamnobalaosaoa forca ��¬ dagra-vidade,parabaixo,ea forca � � doar, paracima.Antesdamassadeestabilizac¸aoserfogadafora, a acelerac¸aoeparabaixoe asegundalei deNewtonfornece-nosE � �C«�VX a�«�e �ouseja
E � L«�6�Vx�Ce)8 . Aposjogar-seforaumamassa� , a massado balaopassaa ser «�C� e a acelerac¸aoe paracima, com a segundalei de Newton dando-nosagoraaseguinteexpressaoE � �U67«®�y��8~VX a6<«®�y��8:e41Eliminando
E � entreasduasequac¸oesacimaencontra-mossemproblemasque
�` ��«�ee�CV ��«��?V;j@e 1
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
P 6-2 (6-???/6� )Um jogadorde massa� � � . kg escorrega no cam-poe seumovimentoe retardadoporumaforca deatrito�!� ���5� N. Qual e o coeficientede atrito cinetico #%6entreo jogadoreo campo?� Nesteproblema,o diagramadecorpolivre temape-nastresforcas:Nahorizontal,apontandoparaaesquer-da,a forca � deatrito. Navertical,apontandoparacimatemosa forca normal � do solosobreo jogador, e parabaixoa forca �7� dagravidade.A forca de atrito esta relacionadacom a forca normalatravesda relacao
�8� #%6 � . A forca normal�
e ob-tida considerando-sea segundalei deNewton. Comoacomponeteverticaldaaceleraccaoezero,tambemo eacomponenteverticaldasegundalei deNewton,quenosdiz que ��� ��� � ���ouseja,que
Umapessoaempurrahorizontalmenteumacaixade �-�kg, paramove-lasobreo chao, com umaforca de
1,1 �N. O coeficientede atrito cinetico e ��� <-� . (a) Qual omodulo da forca de atrito? (b) Qual a acelelrac¸ao dacaixa?� (a) O diagramadecorpolivre temquatroforcas. Nahorizontal,apontandoparaadireitatemosaforca quea pessoafazsobrea caixa,e apontandoparaa esquerdaaforcadeatrito � . Navertical,paracimaaforcanormal� dopiso,eparabaixoa forca �7� dagravidade.A magnitudeda forca da gravidade e dadapor
�"�# 6 � , onde# 6 e o coeficientedeatritocinetico.Comoacomponenteverticaldaacelerac¸aoe zero,a segundaleideNewtondiz-nosque,igualmente,asomadascompo-nentesverticaisdaforcadeveserzero:
�=� ��� � � , ouseja,que
�"� ��� . Portanto��� #%6 �'� #%6 �3� �&( ��� <-�,+ ( �-�,+ (9. � 0-+ � >0 . N �(b) A acelerac¸ao e obtidadacomponentehorizontaldasegundalei deNewton. Como
N, respectivamente.(a)Determineo menorpeso(blocoC) quedeve sercolocadosobreo blocoA paraimpedi-lo dedeslizar, sabendoqueo coeficiente#%i entreA e a
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mesae ��� 1 . (b) Seo blocoC for repentinamenteretira-do, qualsera a acelerac¸aodo blocoA, sabendoque # 6entreA ea mesae �*�j�� ?� (a) Aqui temosDOISdiagramasdecorpoisolado.Odiagramaparao corpoB temapenasduasforcas: paracima, a magnitudeda tensao
]na corda,e parabaixo
a magnitudekml do pesodo bloco B. O diagramapa-ra o corpocompostopor A+C tem quatroforcas. Nahorizontal,apontandoparaa direita temosa tensao
]nacorda,eapontandoparaaesquerdaamagnitude
�da
forcadeatrito. Navertical,paracimatemosanormal�
exercidapelamesasobreosblocosA+C, eparabaixoopesokonqp , pesototaldeA+C.Vamossuporqueosblocosestaoparados(naoacelera-dos),e escolhero eixo � apontandoparaa direita e oeixo � apontandoparacima. As componentes� e � dasegundalei deNewtonsao,respectivamente,]r��� � �*���� kmnqp � �*�Parao blocoB tomamoso sentidoparabaixocomosen-dopositivo, obtendoque
kml �N]s� ���Portantotemosque
]=� kol e, consequentemente,que�7�s]t� kml . Temostambemque�"� k nqp .
Paraquenao ocorradeslizamento,e necessario que�
sejamenorque # i � , isto e que kml C # i k nqp . O me-norvalorque k nqp podetercomosblocosaindaparadose
kmnqp � k l# i � 1,1�*� 1 � ,>� N �Comoo pesodo bloco A e �-� N, vemosqueo menorpesodoblocoC e
k p � -u� � �-� � :-: N �(b) Quandoexistemovimento,asegundalei deNewtonaplicadaaosdoisdiagramasdecorpoisoladonosforne-ceasequac¸oes
]8��� � k n� ?g��J� k n � ���kml �N] � kol� ?g�
Alem destas,temos�v� # 6 � , onde
� � kon (dasegundaequac¸ao acima). Da terceiraacima tiramos
]=� k l �t( k lxw ��+y? . Substituindoasduasultimasex-pressoesnaprimeiraequac¸aoacimaobtemos
kol � k l� ? � #%6 k n � kon� ?g�Isolando? encontramos,finalmente,
? � � ( k l � # 6 konz+k n S kml � (/. � 0-+e{ 1-1;�8( ���|>�,+ ( �-�+~}�,� Sr1,1� 1 � < m/sB5�Percebabemondeentra# i e ondeseusa#%6 .6.2.2 Forca deViscosidadee a VelocidadeLimite
P 6-43 (6-33/6� )Calculea forca da viscosidadesobreum mıssil de �,<cm dediametro,viajandonavelocidadedecruzeirode1 �5� m/s,a baixaaltitude,ondea densidadedo ar e ,� 1kg/m� . Suponha� � �����5� .� UseaEq.6-18do livro texto:�m���'1 �W���Q� B �onde � e a densidadedo ar, � e a areada seccao retadomıssil, � e a velocidadedo mıssil,e � e o coeficien-te deviscosidade.A areaeadadapor � �F��� B , onde��� �*� �,< w 1�� �*� 1 :-� m eo raiodomıssil. Portanto,�m��� 1 ( �*�A�,�,+ ( ,� 1 + (�� + ( ��� 1 :�,+ B (91 �,�-+ B � :�� 1�� u� � N �6.2.3 Movimento Cir cular Uniforme
E 6-47 (?????/6� )Seo coeficientedeatritoestaticodospneusnumarodo-via e ��� 1 � , comquevelocidademaximaum carropodefazerumacurvaplanade ���Y� � m deraio,semderrapar?� A acelerac¸ao do carro quandofaz a curva e �B w � ,onde � e a velocidadedo carroe
�e o raio da curva.
Comoa estradae plana(horizontal),a unicaforca queevita comqueelederrapee a forca deatrito daestradacomospneus.A componentehorizontaldasegundaleideNewton e
�@� ����B w � . Sendo�
a forca normaldaestradasobreo carroe � a massado carro,a compo-nenteverticaldasegundalei nosdiz que
�"� �3� � � .Portanto,
��� �3� e #%i ��� #%i �3� . Seo carronao
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derrapa,�hC #%i �3� . Isto significaque ��B w �=C #%i � , ou
seja,que � Cs� #%i � � .A velocidademaxima com a qual o carro podefazera curva semdeslizare, portanto,quandoa velocidadecoincidir com o valor a direita na desigualdadeacima,ouseja,quando
E 6-55 (?????/6� )No modelodeBohr do atomodehidrogenio,o eletrondescreve umaorbitacircularemtornodo nucleo. Seoraioe �Y� < � u�Y����� m eo eletroncircula :�� : � u���y� vezespor segundo,determine(a) a velocidadedo eletron,(b)a acelerac¸aodo eletron(moduloe sentido)e (c) a forcacentrıpetaqueatuasobreele. (Estaforca e resultantedaatracaoentreo nucleo,positivamentecarregado,e oeletron,negativamentecarregado.) A massado eletrone. �|, � >�Y� � � kg.� (a)
(b)(c)
E 6-56 (???/6� )A massa� esta sobreumamesa,sematrito,presaaumpesodemassa� , penduradopor umacordaquepassaatravesdeum furo no centrodamesa(vejaFig. 6-39).Determineavelocidadeescalarcomque � devesemo-verpara � permaneceremrepouso.� Para � permanecerem repousoa tensao
]na cor-
da temqueigualara forca gravitacional �!� sobre � .A tensao e fornecidapelaforca centrıpetaquemantem� emsuaorbitacircular:
])� ���B w�� , onde � e o raioda orbita. Portanto,�!� � ��� B�w�� , dondetiramossemproblemasque
� �&� �!� �� �
P 6-62 (?????/6� )Um estudantede :-0 kg, numaroda-gigantecom velo-cidadeconstante,tem um pesoaparentede �,�5� N nopontomaisalto. (a) Qualo seupesoaparenteno pontomaisbaixo? (b) E no pontomaisalto, sea velocidadedaroda-gigantedobrar?
Atencao: observequeo enunciadodesteproble-manaquartaedicaodo livro falaem“pesoapa-rentede �5: kg”, fazendoexatamenteaquiloquenaosedevefazer:confundirentresi,pesoemas-sa.
A origemdoproblemaesta natraducaodo livro.
O livro originaldiz que“um estudantede >�5� li-bras”....“temumpesoaparentede 1 � libras”.
O tradutornaopercebeuque,comosepodefaci-lementever no ApendiceF, “libra” e tantoumaunidadede massa,quantode peso. E e precisoprestaratencaoparanaoconfundirascoisas.
Assim,enquantoqueas ��5� libras referem-seaumamassade :,0 kg, as 1 � librasreferem-seaumpesode �,�5� N.� (a) No topoo acentoempurrao estudanteparacima
comumaforcademagnitude�o�
, iguala �-�5� N. A Terrapuxa-oparabaixocomumaforcademagnitudek , iguala :,05� �F( :-0-+ (9. � 0-+ � :,:-: N. A forca lıquidaapontandoparao centroda orbita circular e k �8� � e, de acordocoma segundalei deNewton,deveserigual a ���B w � ,onde� eavelocidadedoetudantee
�eo raiodaorbita.
Portanto
� ��B� � k �@�%��� :,:,: � �,�,� � ,>: N �Chamemosde
���a magnitudedaforca do acentosobre
o estudantequandoeleestiver nopontomaisbaixo.Talforcaapontaparacima,demodoqueaforca lıquidaqueapontaparao centrodo cırculo e
����� k . Assimsendo,temos
���z� k � �3��B w � , dondetiramos
� � � � �B� S k � ,>: S :-:,: � �50 1 N �quecorrespondema umamassaaparentede
� � � ���� ���V01. � 0 � � . ��� kg �
(b) No topotemosk �@�o��� �3� B w � , demodoque� � � k � � ��B�2�Seavelocidadedobra,���B w � aumentaporumfatorde� , passandoaser ,>: � � � �-:5� N. Entao�%��� :,:,: � �-:,� �!1 � 1 N �correspondendoaumamassaefetivade
� � � �o�� �1 � 1. � 0 �21 �*� : kg �
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P 6-65 (6-45/6� )Um aviaoesta voandonumcırculohorizontalcomumavelocidadede �0,� km/h. Seasasasdoaviaoestaoincli-nadas��-Z sobrea horizontal,qualo raio do cırculo queo aviao faz?Vejaa Fig. 6-41. Suponhaquea forca ne-cessariasejaobtidada“sustentac¸aoaerodinamica”,quee perpendiculara superfıciedasasas.� O diagramade corpoisoladodo aviao contem duasforcas: a forca ��� da gravidade,parabaixo,e a forca�
, apontandoparaa direita e fazendoum angulode [com a horizontal. Como as asasestao inclinadas�-�Zcoma horizontal,a forca desutentac¸aoe perpendicularasasase,portanto,[ �2. � � �� � �,�-Z .Comoo centrodaorbitaestaparaadireitadoaviao,es-colhemoso eixo � paraa direita e o eixo � paracima.A componente� e � dasegundalei deNewtonsao,res-pectivamente,
� u<,< m/s,encontramos�!� ( u<-<-+yB. � 0 tan �5� Z �!1 � 1�� u� � m �P 6-70 (6-47/6� )
A Fig.6-42mostraumabolade ,� <5� kg presaaumeixogirantevertical por duascordasde massadesprezıvel.As cordasestao esticadase formam os lados de umtrianguloequilatero. A tensao na cordasuperiore de<-� N. (a) Desenheo diagramade corpoisoladoparaabola. (b) Qual a tensao na cordainferior? (c) Qual aforca resultantesobrea bola, no instantemostradonafigura?(d) Quala velocidadedabola?� (a) Chamede
Paraempurrarumcaixotede /�0 kg numpisosematrito,umoperarioaplicaumaforcade � � 0 N, dirigida � 0�1 aci-madahorizontal.Seo caixotesedeslocade 2 m, qualo trabalhoexecutadosobreo caixote(a) pelooperario,(b) pelopesodo caixotee (c) pelaforca normalexerci-dapelopisosobreo caixote?(d) Qualo trabalhototalexecutadosobreo caixote?
� (a) A forcaaplicadaeconstanteeo trabalhofeito porelae �3 ��4&576�� "98%:7;�<>= �onde 4 e a forca, 6 e o deslocamentodo caixote,e
=e
o anguloentrea forca 4 e o deslocamento6 . Portanto, �3 �?'@� � 0 *A' 2 * :A;B< � 0 1 � /�C�0 JD(b) A forca da gravidadeapontaparabaixo, perpendi-cularaodeslocamentodo caixote. O anguloentreestaforca e o deslocamentoe C�0 1 e, como
:A;�< C�0 1E� 0 , otrabalhofeito pelaforca gravitacionale ZERO.(c) A forca normalexercidapelopisotambematuaper-pendicularmenteao deslocamento,de modoqueo tra-balhoporelarealizadotambeme ZERO.(d) As tresforcasacimamencionadassaoasunicasqueatuamno caixote.Portantoo trabalhototal e dadopelasomadostrabalhosindividuaisrealizadosporcadaumadastresforcas,ouseja,o trabalhototal e /�C�0 J.
P 7-9 (???/6. )A Fig. 7-27 mostraum conjuntode poliasusadoparafacilitar o levantamentodeum pesoF . Suponhaqueoatrito sejadesprezıvel e queasduaspoliasdebaixo,asquaisesta presaa carga,pesemjuntas � 0 N. Uma car-gade G�H�0 N deve serlevantada
� � m. (a) Quala forcamınima 4 necessariaparalevantara carga? (b) Qualotrabalhoexecutadoparalevantara carga de
� � m? (c)Qualo deslocamentodaextremidadelivredacorda?(d)Qualo trabalhoexecutadopelaforca 4 pararealizarestatarefa?� (a) Supondoqueo pesodacordaedesprezıvel (istoe,quea massadacordasejanula),a tensaonelae a mes-ma ao longo de todo seucomprimento.Considerandoasduaspoliasmoveis(asduasqueestaoligadasaopesoF ) vemosquetaispoliaspuxamo pesoparacimacomumaforca
"aplicadaemquatro pontos,demodoquea
forca totalparacimaaplicadanaspoliasmoveise H " .Se"
for a forca mınimaparalevantara carga(comve-locidadeconstante,i.e.semacelera-la),entaoasegundalei deNewtonnosdiz quedevemosterH "JILKJM � 0 �ondeKJM
representao pesototal da carga maispoliasmoveis,ouseja,
KJM �N' G�HB0%O � 0 * N. Assim,encontra-mosque " � G�P�0H ��� � / N D
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(b) O trabalhofeito pelacordae � H "98 � KJMQ8 ,onde8
eadistanciadelevantamentodacarga.Portanto,o trabalhofeito pelacordae �N' G�P�0 *7' � ��*R� � 0�2 � 0 JD(A respostanatraducaodo livro esta incorreta.)(c) A cadametroquea carga sobe,cadasegmentodacordaentreo conjuntosuperiore inferior depoliasdi-minui deummetro.Ouseja,aextremidadelivredacor-daabaixode H metros.Portanto,no total a extremidadelivredacordamove-se' H *A' � ��*!� H�G m parabaixo.(d) O trabalhofeito pelapessoaquepuxaa cordapelaextremidadelivre e � "98 � KJMQ8 � H , onde
8e a
distanciaquea extremidadelivresemove. Portanto,
�N' G�P�0 * HBGH � � 0�2 � 0 JDObserve queos valoresencontradosnositens(b) e (d)devemcoincidir, o quenaoocorrecomasrespostasfor-necidasno livro.
P 7-12 (???/6. )Um blocode 2SDUT�/ kg epuxadocomvelocidadeconstan-te por umadistanciade H�D 0�P m em um piso horizontalpor umacordaqueexerceumaforca de TVD P�G N fazen-do um angulode
� /�1 acimada horizontal. Calcule(a)o trabalhoexecutadopelacordasobreo bloco e (b) ocoeficientedeatritodinamicoentreo blocoeo piso.� (a)A forcanacordaeconstante,demodoqueo traba-lho edadopor ��4$5W6�� "98%:A;B<>= , onde4 e a forcaexercidapelacorda,6 e a distanciado deslocamento,e=
e o anguloentrea forca eo deslocamento.Portanto �N' TVD P�G *7' H�D 0�P * :7;�< � / 1 � 2�0>D � JD(b) A respostapodeserobtidafacilmentefazendo-seumdiagramadecorpolivre ondeconstemtodasas(quatro)forcasaplicadas.Desenheumponto X representandoo bloco.Em X , de-senhea forca normal Y apontandoparacima, a forcapesoZE[ apontandoparabaixo. Apontandohorizontal-menteparaaesquerdadesenheaforca \ deatrito. Dese-nheaforca 4 quepuxao blocoapontandoparaadireitae paracima,fazendoumangulo
=comahorizontal,
Comistotudo,asegundolei deNewtonnosdizqueparaqueo blocosemovasemacelerardevemosterequilıbriotantonahorizontalquantonavertical,o quenosforneceasequac¸oes,respectivamente,"$:A;�<�=]I_^ � 0 �` O " sen
=aI Z M � 0SD
A magnitudedaforca deatrito e dadapor^ ��bdc ` �ebdcV' Z MfIL" sen= * �
ondeo valorde`
foi obtidodasegundaequac¸aoacima.Substituindoo valorde
^naprimeiradasequac¸oesaci-
maeresolvendo-aparab c encontramossemproblemasque
b c � "$:A;B<>=Z MgI$" sen=
� ' TQD P�G * :7;�< � / 1' 2>D /BT *7' CSD G * I ' TQD P�G * sen� / 1 � 0>D ��� D
7.2.2 Trabalho executadopor forca vari avel
P 7-16 (???/6. )A forca exercidanumobjetoe
" 'h�i*j� "lk 'm�i��� k9I � * .Calculeo trabalhorealizadoparadeslocaro objetode�n� 0 ate �&�o��� k (a) fazendoum graficode
" 'h�i* edeterminandoa areasobacurvae(b) calculandoa inte-gralanaliticamente.� (a) A expressaode
" 'h�i* diz-nosquea forca variali-nearmente com � . Supondo� k �p0 , escolhemosdoispontosconvenientespara,atravesdeles,desenharumalinhareta.Para�q� 0 temos
" � Ir" k enquantoquepara�s�J��� ktemos
" � " k , ousejadevemosdesenharumalinha re-ta quepassepelospontos ' 0 � Ir" k * e '@��� k � " k * . Faca afigura!Olhandoparaa figuravemosqueo trabalhototal e da-do pelasomadaareadedoistriangulos:um quevai de�E� 0 ate �q��� k , o outroindode �E�e� k ate �q���� k .Comoosdoistriangulostema mesmaarea,sendoumapositiva, a outranegativa, vemosqueo trabalhototal eZERO.(b) Analiticamente,a integralnosdiz que
� t �vu�wk " kyx �� 1 I �-z 8 �� " k{x � ���� k I � z}||| �vu wk � 0SD
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LISTA 2 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 17deOutubrode2003, as8:20a.m.
P 7-35 (7-17/6. )Um helicopterolevantaverticalmenteum astronautadeT � kg ate
� / m dealturaacimadooceanocomo auxıliodeum cabo. A acelerac¸ao do astronautae
M � � 0 . Qualo trabalho realizadosobreo astronauta(a) pelo he-licopteroe (b) pelo seuproprio peso?Quaissao (c) aenergiacineticae (d) avelocidadedoastronautanomo-mentoemquechegaaohelicoptero?
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� (a) Chamede"
a magnitudedaforca exercidapelocabonoastronauta.A forca docaboapontaparacimaeo pesoZ M doastronautaapontaparabaixo.Al emdisto,aacelerac¸aodoastronautae
M � � 0 , paracima.Deacordocoma segundalei deNewton,"JI Z M � Z M � � 0 �demodoque
" � ��� Z M � � 0 . Comoaforca 4 eo deslo-camento6 estaonamesmadirecao,o trabalhofeito pelaforca 4 e
3�� "98 � ��� Z M� 0 8 � ��� ' T ��*A' CSD G *A' � / *� 0� � D � P�� � 0�� JD(b) O pesotemmagnitudeZ M eapontanadirecaoopos-tadodeslocamento.Eleexecutaumtrabalho �� � I Z MV8 � I ' T ��*7' CSD G *7' � / *)� I � D 0�Pg� � 0�� JD(c) O trabalhototal feito e �� � ��� P�0�0 I � 0�P�0�0 � � 0�0�0 JDComo o astronautapartiu do repouso,o teoremadoTrabalho-Energiadiz-nosquesuaenergia cineticafinaldeveraseriguala �(d) Como
� � Zq� � ��� , avelocidadefinal doastronautasera
� � � � �Z � � �>' � 0�0�0 *T � � /QD � T m/s � � G>D C km/hDP 7-36 (7-19/6. )
LISTA 2 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 17deOutubrode2003, as8:20a.m.
A forcadoguindasteapontanomesmosentidoqueave-locidadedobloco,demodoqueapotenciadoguindastee X � " �
� Z M � x sen�(O b c :7;�< � z� ' � H�0�0 *7' CSD G *7' � D 2�H * x sen2BT 1 O�0SD H :A;B< 2BT 1 z� � T kW D
P 7-47 (???/6. )Umaforcade / N agesobreumcorpode
� D�/ kg inicial-menteemrepouso.Determine(a) o trabalhoexecutadopela forca no primeiro, segundoe terceirosegundose(b) a potenciainstantaneaaplicadapela forca no finaldo terceirosegundo.� (a) A potenciae dadapor X � " � e o trabalhofeitopor 4 entreo instante� ~ e � � e
� t� � � X 8 � �t� � � " � 8 ��D
Como 4 e a forca total, a magnitudeda acelerac¸ao e¡ � ^ � Z e a velocidadeem funcao do tempoe dadapor � � ¡ � � " � � Z . Portanto
� t � �" � �Z 8 � � �� " �Z x � �� I � � ~ z D
Para � ~�� 0 se � � � � s temos
~ � �� x / �� / z)¢ ' � * � I ' 0 * ��£ � 0SD G�2 JDPara � ~�� � se � � �e� s temos
� � �� x / �� / zR¢ '@��* � I ' � * ��£ ��� D / JDPara � ~��e� se � � � 2 s temos
� � �� x / �� / zR¢ ' 2 * � I '@��* ��£ � H�D � JD(b) Substitua� � " � � Z em X � " � obtendoentaoX � " � � � Z paraa potencianum instante� qualquer.Ao final do terceirosegundotemos
X � ' / * � ' 2 *� / � / W D
P 7-48 (7-35/6. )Um elevadordecargatotalmentecheiotemumamassatotal de
� � 0�0 kg e deve subir /�H m em 2 min. O con-trapesodo elevadortemumamassade C�/�0 kg. Calcu-le a potencia(emcavalos-vapor)queo motordo eleva-dordevedesenvolver. Ignoreo trabalhonecessarioparacolocaro elevador em movimento e parafrea-lo, istoe, suponhaquesemova o tempotodo com velocidadeconstante.� O trabalhototal e a somados trabalhosfeitos pelagravidadesobreo elevador, o trabalhofeito pelagravi-dadeno contrapeso,e o trabalhofeito pelomotorsobreo sistema: � � $¤�Oe �¥%Oe �¦ . Comoo elevadormove-secomvelocidadeconstante,suaenergiacineticanao mudae, de acordocom o teoremado Trabalho-Energia,o trabalhototal feito e zero. Isto significaque $¤RO� $¥)O� �¦ � 0 .O elevadormove-se/�H m paracima,demodoqueo tra-balhofeito pelagravidadesobreelee ¤r� I Z ¤ MV8 � I ' � � 0�0 *7' CSD G *7' /�H *l� I PSD 2�/f� � 0 � JDO contrapesomove-separabaixopelamesmadistancia,demodoqueo trabalhofeito pelagravidadesobreelee $¥ � ZE¥ MQ8 �N' C�/�0 *A' CSD G *7' /�H *�� /QD 0�2�� � 0 � JDComo � � 0 , o trabalhofeito pelomotore ¦J� I ¤ I ¥§� ' PSD 2�/ I /QD 0�2 * � � 0 �
� � D 2 � � � 0 � JDEste trabalhoe feito num intervalo de tempo ¨f� �2 min � � G�0 s e, portanto,a potenciafornecidapelomotorparalevantaro elevadore
X � �¦¨f� � � D 2 � � � 0��� G�0 � T�2�/ W DEstevalorcorrespondeaT�2�/ WT�H�P W/hp
� 0SD C�C hpDP 7-49 (???/6. )
A forca(masnaoapotencia)necessariapararebocarumbarcocomvelocidadeconstanteeproporcionalaveloci-dade.Sesaonecessarios
� 0 hpparamanterumaveloci-dadede H km/h, quantoscavalos-vaporsaonecessariosparamanterumavelocidadede
� � km/h?
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E 7-50 (???/6. )Um eletronsedeslocade /QD � cmem 0SD � / ns. (a) Qualearelacaoentreavelocidadedoeletroneavelocidadedaluz? (b) Qual e a energia do eletronem eletrons-volt?(c) Qualo erropercentualquevoce cometeriaseusas-sea formulaclassicaparacalculara energiacineticadoeletron?� (a) A velocidadedoeletrone
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8 Conservacaoda Energia
8.1 Questoes
Q 8-10
Cite algunsexemplospraticos de equilıbrio instavel,neutroe estavel.�
8.2 Problemase Exercıcios
8.2.1 Determinacaoda Energia Potencial
E 8-1 (8-??/6� edicao)
Uma determinadamola armazena��� J de energia po-tencialquandosofreumacompressaode ���� cm. Quala constantedamola?� Comosabemosqueaenergiapotencialelasticaarma-zenadanumamolae ��� ������� ������ , obtemosfacilmen-teque
E 8-6 (8-3/6� )Um pedacinhode gelo sedesprendeda bordade umataca hemisfericasematrito com � � cm deraio (Fig. 8-22). Com que velocidadeo gelo esta se movendoaochegaraofundodataca?� A unicaforca quefaz trabalhosobreo pedacinhodegeloea forcadagravidade,queeumaforcaconservati-va.Chamandode +-, aenergiacineticadopedacinhodege-lo na bordada taca, de +/. a suaenergia cinetica nofundodataca,de 0, suaenergiapotencialdabordaede1. suaenergiapotencialno fundodataca, temosentao
+/.3241.5�#+-,6240,7�Consideremosa energia potencialno fundodataca co-mo sendozero. Nestecasoa energia potencialno topovale 0,8�:9<;�= , onde = representao raio da taca e 9
representaa massado pedacinhodegelo.Sabemosque+/,>�?! poiso pedacinhodegelopartedorepouso.Cha-mandode @ a velocidadedo pedacinhodegeloaoatin-gir o fundo,temosentao,daequac¸aodaconservacaodaenergiaacimaque 9<;�=A�?9B@������ , o quenosfornece
Um caminhaoqueperdeuos freiosesta descendoumaestradaem declive a 'JI ! km/h. Felizmentea estradadispoedeumarampadeescape,comumainclinacaode'���K (Fig. 8-24). Qualo menorcomprimentoda rampaparaquea velocidadedo caminhao cheguea zeroan-tesdo final da rampa?As rampasdeescapesaoquasesemprecobertascom uma grossacamadade areiaoucascalho.Porque?Nota:usoo valor 'JI ! km/hdasextaedicaodolivro, emvezdos ')��! km/hdaquarta,ja quenaquartaedicaonaoe fornecidanenhumaresposta.� Desprezeo trabalho feito por qualquer forca defriccao. Nestecasoa unicaforca a realizartrabalhoea forcadagravidade,umaforca conservativa.Seja+ , aenergia cineticado caminhaono inıcio darampadees-capee + . suaenergia cineticano topodarampa.Seja1, e �. os respectivosvaloresda energia potencialnoinıcio eno topodarampa.Entao
+ . 24 . �#+ , 24 , �Setomarmosa energia potencialcomosendozero noinıcio da rampa,entao . �L9/;�M , onde M e a alturafinal do caminhaoemrelacaoa suaposicaoinicial. Te-mosque +-,N�#9B@������ , onde@ e a velocidadeinicial docaminhao,e +/./�O! ja queo caminhaopara.Portanto9<;�M-�?9B@������ , dondetiramosque
M<� @���P; � �Q')I�!�%R'J! * �PI S�!�!��Q��6��$6� "�� �TS S����I m �Sechamarmosde U o comprimentodarampa,entaote-remosque U sen '���K(�VM , dondetiramosfinalmenteque
UW� Msen ')� K � S S����I
sen ')� K ��������� !�S m �Areia ou cascalho,quesecomportamnestecasocomoum “fluido”, temmaisatrito queumapistasolida, aju-dandoa diminuir maisa distancianecessariaparapararo veıculo.
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E 8-10 (8-??/6� )Um projetil comumamassade �X� Y kg e disparadopa-ra cimado alto deumacolinade ')� � m dealtura,comumavelocidadede ')��! m/se numadirecaoquefazumangulode Y6'�K com a horizontal. (a) Qual a energiacinetica do projetil no momentoem que e disparado?(b) Quala energia potencialdo projetil no mesmomo-mento?Suponhaquea energia potenciale nulanaba-se da colina ( Z��[! ). (c) Determinea velocidadedoprojetil nomomentoemqueatingeo solo.Supondoquearesistenciadoarpossaserignorada,asrespostasacimadependemdamassadoprojetil?� (a) Se 9 for a massado projetil e @ suavelocidadeaposo lancamento,entaosuaenergiacineticaimediata-menteaposo lancamentoe
+-,>� '� 9B@ � � '� ����� Y�! �F�Q')��! � � �#� �X� !&%R'J!�* J�(b) Sea energia potenciale tomadacomozeroquandoo projetil atingeo soloesuaalturainicial acimadosolofor chamadade M , entaosuaenergiapotencialinicial e
1,>�?9<;�M-�\�]�X� Y��^��$�� " �F�Q')� ���G�#��� $�Y�%(')! * J�(c) Imediatamenteantesdeatingir o soloa energia po-tencial e zeroe a energia cineticapodeserescritaco-mo sendo +/._�`9B@��. ��� , onde @�. e a velocidadedoprojetil. A energiamecanicaeconservadaduranteo voodoprojetil demodoque +<.8�?9B@ �. ���A�T+-,a2�0, dondetiramosfacilmenteque
@�. � b ����+/,�2c1,��9� b ��de��� �X� !f2c�X� $�Y���%R'J! *hg�X� Y ! �i')��$ m/s�
Osvaloresde +-,kj7+/.6ja1, e �. dependemtodosdamas-sado projetil, porema velocidadefinal @�. naodependeda massase a resistenciado ar puderser consideradadesprezıvel.Observe queo tal angulode Y�')K naofoi usadoparana-da! Talvezsejapor isto queesteexercıcio ja naomaisaparec¸a nasedicoessubsequentesdo livro...
E 8-12 (8-17/6� )Umaboladegudede � g e disparadaverticalmentepa-ra cimapor umaespingardademola. A moladeve sercomprimidade " cm paraquea boladegudeapenasal-canceum alvo situadoa ��! m dedistancia. (a) Quala
variacao da energia potencialgravitacionalda bola degudeduranteasubida?(b) Qualaconstantedamola?� (a) Nesteproblemaa energia potencialpossuidoistermos:energiapotencialelasticadamolaeenergiapo-tencialgravitacional.Considereo zerodaenergia potencialgravitacionalco-mosendoaposicaodaboladegudequandoamolaestacomprimida.Entao,aenergiapotencialgravitacionaldaboladegudequandoelaesta no topoda orbita (i.e. nopontomaisalto) e GlE�?9<;XM , ondeM e aalturadopon-to maiselevado.Tal alturae M/�#��!f2W!6� ! "E����!6� ! " m.Portanto
Glm�D���&%R'J!�n * �F��$�� " �F����!�� !�" �0�#!�� $�Y�" J�(b) Comoa energia mecanicae conservada,a energiada mola comprimidadeve ser a mesmaque a ener-gia potencialgravitacional no topo do voo. Ou seja,�X ��)���o�p9/;�M��[Gl , onde � e a constanteda mola.Portanto,
I !����� N/m qTI��e'A%(')! � N/m �TI6�H' N/cmjquee a respostaoferecidapelolivro-texto.
E 8-13 (8-5/6� )Umabolademassa9 esta presaa extremidadedeumabarrade comprimentoU e massadesprezıvel. A outraextremidadeda barrae articulada,de modoquea bo-la podedescrever um cırculo planovertical. A barraemantidana posicao horizontal,comona Fig. 8-26, atereceberum impulso parabaixo suficienteparachegaraopontomaisalto do cırculo comvelocidadezero. (a)Quala variacaodaenergia potencialdabola? (b) Qualavelocidadeinicial dabola?� (a) Tomeo zeroda energia potencialcomosendoopontomaisbaixoatingidopelabola. Comoa bolaestainicialmentea umadistanciavertical U acimado pon-to maisbaixo,a energia potencialinicial e 0,r�\9<;XU ,sendoa energiapotencialfinal dadapor 1.s�?9<;��]��Ur� .A variacaodaenergiapotenciale,portanto,t ��_1.Euv0,N�T�P9<;XU(uR9<;�Uv�T9/;XUf�(b) A energia cinetica final e zero. Chamemosde+/,o�w9B@������ a energia cinetica inicial, onde @ e avelocidadeinicial procurada. A barranao faz traba-lho algum e a forca da gravidade e conservativa, de
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modoquea energia mecanicae conservada. Isto sig-nifica que
t +x�yu t ou, em outraspalavras, queuz9B@������A�iuz9<;XU demodoquetemos
@&� C �P;�Uz�P 8-17 (8-21/6� )
Umamolapodesercomprimida� cm por umaforca de� ��! N. Um bloco de '�� kg de massae liberadoa par-tir do repousodo alto deum planoinclinadosematritocuja inclinacao e I�! K . (Fig. 8-30). O bloco comprimea mola �X�� cm antesdeparar. (a) Quala distanciatotalpercorridapeloblocoate parar?(b) Quala velocidadedobloconomomentoemquesechocacoma mola?� A informacaodadanaprimeirafrasenospermitecal-culara constantedamola:
���|{ � � �P!!6� !�� �i'�� I �s%R'J!�} N/m �(a) Considereagorao blocodeslizandoparabaixo. Seele parte do repousoa uma altura M acimado pontoondeele paramomentaneamente,suaenergia cineticae zero e sua energia potencialgravitacional inicial e9<;XM , onde 9 e a massado bloco. Tomamoso zeroda energia potencialgravitacionalcomosendoo pontoondeo blocopara. Tomamostambema energia poten-cial inicial armazenadanamolacomosendozero. Su-ponhaqueo bloco comprimaa mola uma distancia antesde pararmomentaneamente.Nestecasoa ener-gia cineticafinal e zero,a energia potencialgravitacio-nal final e zero, e a energia potencialfinal da mola e�� ������ . O planoinclinadonaotematrito e a forca nor-mal que ele exercesobreo bloco nao efetuatrabalho(pois e perpendiculara direcaodo movimento),demo-do quea energia mecanicae conservada. Isto significaque 9<;XM-���� � ��� , dondetiramosque
M/� �X ���P9<; � �k'�� I �s%(')! } �^��!6� !���� �Q����k')���F��$6� "�� �T!6�H'P��Y m �Seo blocoviajasseumadistancia~ peloplanoinclinadoabaixo,entao ~ sen I�! Kz�#M , demodoque
~3� Msen I�! K � !6�H'P��Y
senI ! K �T!6� I�� m �(b) Imediatamenteantesde tocar a mola o bloco dis-ta !6� !���� m do pontoondeira estarem repouso,e as-sim esta a umadistanciaverticalde ��!6� !���� � sen I�!�K8�!�� ! ����� m acimada suaposicao final. A energia po-tencial e entao 9/;�M6�A���Q'����F��$�� " �F��!6� !�� ��� ����I����I J.
Por outro lado, suaenergia potencialinicial e 9<;XM?��k')� �^��$6� "��^��!��e'���Y��f����!6� � J. A diferenca entreestedoisvaloresfornecesuaenergiacineticafinal: +<.5�T��!���zuI6� ��IE�\'��X� � J.Suavelocidadefinal e,portanto,
@&� b ��+/.9 � b �6�Q'��X� � �'�� �i' �� m/s�
P 8-21 (8-??/6� )Umabalademorteirode � kg edisparadaparacimacomumavelocidadeinicial de 'J! ! m/se um angulode I�Y�Kemrelacao a horizontal. (a) Quala energia cineticadabalano momentodo disparo?(b) Qual e a variacaonaenergia potencialdabalaate o momentoemqueatingeo pontomaisaltodatrajetoria?(c) Qualaalturaatingidapelabala?� (a) Seja9 amassadabalae @P� suavelocidadeinicial.A energiacineticainicial e entao
+ , � '� 9B@ �� � '� ��� �^�k'J!�!�� � �#�X��&%(')! } J�(b) Tomeo zerodaenergiapotencialgravitacionalcomosendoo pontodetiro echamede 1. aenergiapotencialno topodatrajetoria. 1. coincideentaocoma variacaodaenergiapotencialdesteo instantedotiro ateo instan-te emqueo topodatrajetoria e alcancada.Nestepontoa velocidadedabalae horizontale temo mesmovalorquetinhano inıcio: @��-�_@P�>�F� �X��� , onde ��� e o angulodetiro. A energiacineticano topoe
A cordadaFig. 8-31tem U4�O')��! cm decomprimentoe a distancia � ate o pino fixo � e de ��� cm. Quandoa bolae liberadaemrepousonaposicao indicadanafi-gura,descrevea trajetoria indicadapelalinha tracejada.Qual e a velocidadeda bola (a) quandoesta passandopelopontomaisbaixoda trajetoria e (b) quandochegaaopontomaisalto datrajetoria depoisquea cordatocao pino?� Chamede � o pontomaisbaixo quea bola atingee de � o pontomaisalto da trajetoria apos a bola to-car no pino. Escolhaum sistemasde coordenadacomo eixo Z originando-seno ponto � e apontandoparaci-ma. A energia inicial da bola de massa9 no campogravitacionaldaTerraantesdesersoltavale �\�?9<;�U .Conservacaodaenergiafornece-nosentaoumaequac¸aoparaa velocidade@ dabolaemqualquerlugarespecifi-cadopelacoordenadaZ :
�\��9<;XUW� '� 9B@ � 2W9<;�Z��(a) Com Z��o�_! em 9<;XUc�p�� 9<@��� 2o9/;�Z�� , obtemosfacilmenteque
@ � � C �P;�Uv� C �]���F��$�� " �F�Q' � � �G�TY6� " m/s�(b) Importanteaquieperceberqueo tal pontomaisaltodatrajetoria depoisquea cordatocao pinonaoeopon-to U�u&� (comoafiguraparecequererindicar)massimoponto Z��o�#�6��UBu<��� , poisabolatemenergiasuficienteparachegarate ele! E nestedetalhezitoquemorao pe-rigo... :-) SubstituindoZ�� em 9<;�Uo� �� 9B@��� 2o9<;�Z�� ,obtemosentaofacilmenteque
@��o� C ��;������Eu�U���� C ����$6� "��^d ����!��������>u4'��� g� �X� Y m/s�
Qual a razao desteultimo valor sera metadedo ante-rior?...
P 8-25 (8-25/6� )Deixa-secair umblocode � kg deumaalturade Y�! cmsobreumamolacujaconstantee ���i'J$ S�! N/m (Fig.8-32). Determineacompressaomaximadamola.
� Seja 9 a massado bloco, M a alturada quedae acompressaodamola. Tomeo zerodaenergia potencialcomosendoaposicaoinicial dobloco.O blococaiumadistanciaM�2E esuaenergiapotencialgravitacionalfinale uz9/;���M�24 �� . Valorespositivosde indicamter ha-vido compressao damola. A energia potencialdamolae inicialmentezeroe �� � ��� nofinal. A energiacineticae zerotantono inıcio quantono fim. Comoa energia econservada,temos
� 9<;E� C ��9/;�� � 2o��9/;�M���� ')$�� Sf� C �Q')$�� S � � 2c���k'J$6� S��^�]��"�Y��')$�S !
quefornecedoisvalorespara : !6�H')! m ou uf!6� ! "�! m.Comoprocuramosumacompressao,o valor desejadoe!6�H')! m.
P 8-27 (8-27/6� )Duascriancasestao competindoparaver quemconse-gueacertarnumapequenacaixacom umabola de gu-le disparadapor umaespigardademolacolocadasobreumamesa.A distanciahorizontalentreabordadamesae a caixae de ��� � m (Fig. 8-34).Joaocomprimea mola' �H' cmeabolacai ��� cmantesdoalvo. DequandodeveMariacomprimira molaparaacertarnacaixa?� A distanciaque a bola de gudeviaja e determina-da pelasuavelocidadeinicial, quee determinadapelacompressaodamola.Seja M a alturadamesae a distanciahorizontalate opontoondea bola de gudeaterrisa. Entao ���@P�)� eM���;�� � ��� , onde @P� e a velocidadeinicial da bola degudee � e o tempoqueelapermanecenoar. A segundaequac¸aofornece
�0� C � M���; demodoque <�T � C � M���;��A distanciaate o ponto de aterrisageme diretamenteproporcionala velocidadeinicial pois O�[@ � � . Seja@ � � avelocidadeinicial doprimeirotiro e � adistanciahorizontalateseupontodeaterrisagem;seja@P� � avelo-cidadeinicial dosegundotiro e � adistanciahorizontalateseupontodeaterrisagem.Entao
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Quandoa mola e comprimidaa energia potencial e��~F���P� , onde ~ e a compressao. Quandoa boladegudeperdecontatoda molaa energia potenciale zeroe suaenergia cineticae 9B@��� ��� . Comoa energia mecanicaeconservada,temos
'� 9B@ �� � '� ��~ � jdemodoqueavelocidadeinicial daboladegudeedire-tamenteproporcionalacompressaooriginaldamola.Se~ � for a compressaodo primeirotiro e ~ � a do segundo,entao @P� � ��� ~ � ��~ � �¡@P� � . Combinandoisto como resul-tadoanteriorencontramos~ � �¢�� � �� � �£~ � . Tomandoagora � ����� ��!�u4!6� ���(��' � $ I m, ~ � �¢'��e'J! cm, e � �#��� � m, encontramosacompressao ~ � desejada:
P 8-31 (8-26/6� )Tarzan,quepesaS "�" N, decideusarum cipo de 'J" mdecomprimentoparaatravessarumabismo(Fig. 8-36).Do pontodepartidaateo pontomaisbaixodatrajetoria,desce I��� m. O cipo e capazde resitir a uma forcamaximade $���! N. Tarzanconseguechegaraooutrola-do?� Chamandode 9 a massado Tarzane de @ a suave-locidadenopontomaisbaixotemosque
'� 9B@ � �T9/;�M>jonde M e a altura que Tarzandesce. Destaexpressaotiramosque
P 8-32 (8-29/6� )Na Fig. 8-31mostrequesea bolafizer umavolta com-pletaem torno do pino, entao �#ªpI Ur��� . (Sugestao:A bolaaindadeve estarsemovendoquandochegaraopontomaisalto datrajetoria. Voce saberiaexplicar porque?)� Antesdemaisnada,esteproblemaeumacontinuac¸aodoproblema8-23.Releia-oantesdecontinuar.Useconservacaoda energia. A energia mecanicadeveseramesmanotopodaoscilacaoquantoo erano inıciodo movimento. A segundalei deNewton fornecea ve-locidade(energia cinetica)no topo. No topo a tensao¨ nacordae a forca dagravidadeapontamambasparabaixo,emdirecaoaocentrodo cırculo. Notequeo raiodo cırculo e =A�#U�u�� , demodoquetemos
¨v2v9/;��T9 @��U�u�� jonde @ e a velocidadee 9 e a massada bola. Quan-do a bola passapelo ponto mais alto (com a menorvelocidadepossıvel) a tensao e zero. Portanto,9<;4�9B@��)�X��U�uR��� e temosque @�� C ;���U�u���� .Tome o zero da energia potencialgravitacional comosendono pontomaisbaixodaoscilacao. Entaoa ener-gia potencialinicial e 9<;�U . A energia cineticainiciale ! pois a bola partedo repouso.A energia potencialfinal, no topo da oscilacao, e 9<;X�6��U�u���� e a energiacineticafinal e 9<@��)���8�T9<;���U�u����«��� . O princıpio daconservacaodaenergiafornece-nos
�&� I� Uf�Se � for maiordoque I Ur��� , demodoqueo pontomaisaltodatrajetoriaficamaisabaixo,entaoavelocidadedabolae maioraoalcancar tal pontoe podeultrapassa-lo.Se � for menora bolanaopodedara volta. Portantoovalor I Ur��� e um limite maisbaixo.
P 8-35 (8-33 /6� )Umacorrenteemantidasobreumamesasematritocomum quartodeseucomprimentopenduradoparafora da
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mesa,comona Fig. 8-37. Sea correntetem um com-primento U e umamassa9 , qualo trabalhonecessarioparapuxa-latotalmenteparacimadamesa?� O trabalhonecessario e igual a variacao da energiapotencialgravitacionala medidaque a correntee pu-xadaparacima da mesa. Considerea energia poten-cial como sendozero quandotoda a correnteestiversobrea mesa. Divida a parte penduradada correntenum numero grandede segmentosinfinitesimais,ca-da um com comprimento��Z . A massade um tal seg-mento e �]®T�PU��k��Z e a energia potencialdo segmen-to a umadistancia Z abaixodo topo da mesae �X[�u8��9¯�PUr�£;�Z5� Z . A energiapotencialtotal e
_�\u 9 U ;z°o±6² }� ZX��Z � u '� 9 U ;�¤ U Yf¦ �� u 'I�� 9<;XUf�
O trabalhonecessario parapuxara correnteparacimadamesae,portanto,u³��?9/;XUr��I � .P 8-37 (8-35 /6� )
Um menino esta sentadono alto de um monte he-misferico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebeumpequenıssimoempurraoecomecaaescorregarparabai-xo. Mostreque,seo atrito com o gelo puderserdes-prezado,eleperdeo contatocomo gelonumpontocujaaltura e � § �PI . (Sugestao: A forca normaldesapareceno momentoemqueo meninoperdeo contatocomoogelo.)� Chamede ´ a forca normalexercidapelo gelo nomeninoe desenheo diagramade forcasqueatuamnomenino. Chamandode � o anguloentrea vertical e oraioquepassapelaposicaodomeninotemosqueaforcaqueapontaradialmenteparadentroe 9<;��^���X�1u�´ que,deacordocoma segundalei deNewton, deve seriguala forcacentrıpeta9B@���� § , onde@ eavelocidadedome-nino. No pontoemqueo meninosedesprendedo gelotemosp�T! , demodoque
P 8-39 (8-37/6� )A energiapotencialdeumamoleculadiatomica(H � ouO� , porexemplo)edadapor
_� �= � � u �=P¶onde = e a distancia entre os atomosque formam amoleculae � e � saoconstantespositivas.Estaenergiapotencialsedevea forcaquemantemosatomosunidos.(a) Calculea distanciadeequilıbrio, isto e, a distanciaentreos atomosparaa quala forca a queestaosubme-tidose zero.Verifiquesea forca e repulsiva (osatomostendema seseparar)ouatrativa (osatomostendema seaproximar)sea distanciaentreelese (b) menore (c)maiordoquea distanciadeequilıbrio.� (a) A forca e radial (ao longo a line que une osatomos)e e dadapeladerivadade emrelacaoa = :
{ ��u �X� = � '����= � * u S��=P· �A separac¸ao = � deequilıbrio e a separac¸ao paraa qualtemos{ ��= � �1�T! , ouseja,paraaqual
'�����u�S��5= ¶� �#!��Portantoaseparac¸aodeequilıbrio e dadapor
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(b) A derivadada forca em relacao a = , computadanaseparac¸aodeequilıbrio vale
� {� = � u '��³¸�'JI �= � }� 2 Y����=P¹�� u �k')��S��4u(Y����5= ¶K �= � }�� u �����= � }� j
ondeusamoso fatoque,do item anterior, sabemosque= ¶� �����E�P� . A derivadae negativa, de modo que aforca e positiva se = for um poucomenorque = � , indi-candoumaforcaderepulsao.(c) Se = for um poucomaiorque = � a forca e negativa,indicandoquea forca e deatracao.
8.2.3 Conservacaoda Energia
8.2.4 Trabalho Executadopor ForcasdeAtrito
E 8-45 (8-48/6� )Aproximadamente��� �<%4'J! ¶ kg de aguacaempor se-gundonascataratasdeNiagaraapartirdeumaalturade��! m. (a) Qual a energia potencialperdidapor segun-do pelaaguaquecai? (b) Qualseriaa potenciageradapor umausinahidreletricase toda a energia potencialda aguafosseconvertidaem energia eletrica? (c) Seacompanhiadeenergiaeletricavendesseessaenergiape-lo preco industrialde ' centavo dedolar por quilowatt-hora,qualseriaasuareceitaanual?� (a) O decrescimona energia potencialgravitacionalpor segundoe
�]�X��&%(')! ¶ �F��$6� "��^����! �1�#�X���s%(')!�º J�(b) A potenciaseria
���D������5%R'J! º J�^�Q' s�1���X���5%(')! º W �(c) Comoa energiatotal geradaemumanoe
�\�?�E��� ���X���s%R'J! ¶ kW �^�k' ano�^��"���S�! h/ano�� �X� Y&%R'J! � � kW ¸ h jo custoanualseria
E 8-50 (8-??/6� )Um meninode ��' kg sobe,com velocidadeconstante,por umacordade S m em ')! s. (a) Qualo aumentodaenergia potencialgravitacionaldo menino?(b) Qual apotenciadesenvolvidapelomeninoduranteasubida?� (a) t ��?9<;�M-�\�]�X')�F��$6� "��^��S��0�TI6� !�%R'J! * J�(b)
�_� t � � I�! !�!')! �?I !�! W �
E 8-51 (8-??/6� )Umamulherde ��� kg sobecorrendoumlancedeescadade Y6�� m dealturaem I��� s. Quala potenciadesenvol-vidapelamulher?�
�i� �]�����F��$6� "��I6� � �#S�$ I W �
E 8-55 (8-??/6� )Um nadadorse deslocana aguacom uma velocidademediade !6� � � m/s.A forcamediadearrastoqueseopoeaessemovimentoede '�')! N. Qualapotenciamediade-senvolvidapelonadador?� Paranadacom velocidadeconstanteo nadadortemquenadarcontraa aguacomumaforca de ' 'J! N. Emrelacao a ele, a aguapassaa !6� � � m/s no sentidodosseuspes,nomesmosentidoquesuaforca. Suapotenciae
�i�?»4¸^¼(� {8½ �i�k'�')! �^��!����� �G�#�PY W �
E 8-64 (8-43/6� )Um ursode � � kg escorrega parabaixo num troco dearvore a partir do repouso.O tronco tem ')� m de al-turae a velocidadedo ursoaochegaraochao e de �X� Sm/s. (a) Quala variacaodaenergia potencialdo urso?(b) Qualaenergiacineticadoursonomomentoemquechegaaochao?(c) Qualaforcamediadeatritoqueagiusobreo ursodurantea descida?
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� (a) Considereaenergiapotencialgravitacionalinicialcomosendo0,��\! . Entaoa energia potencialgravita-cionalfinal e �.5�iuz9<;XU , ondeU eo comprimentodaarvore.A variacaoe,portanto,
+�� '� 9<@ � � '� ����� �^�]�X� S � � �TI�$�� J�(c) De acordocom a Eq. 8-26, a variacao da energiamecanica e igual a u3¾�U , onde ¾ e a forca de atritomedia.Portanto
¾B�iu t +¿2 t U ��u I�$��³u���$�Y !')� ���X'J! N �P 8-66 (8-51/6� )
Um bloco de I6� � kg e empurradoa partir do repousoporumamolacomprimidacujaconstantedemolae S�Y�!N/m (Fig. 8-45). Depoisquea mola seencontratotal-menterelaxada,o bloco viaja por umasuperfıcie hori-zontalcom um coeficientede atrito dinamicode !����� ,percorrendoumadistanciade ��� " m antesdeparar. (a)Quala energia mecanicadissipadapelaforca deatrito?(b) Qual a energia cineticamaximapossuıdapelo blo-co? (c) De quantofoi comprimidaa mola antesqueoblocofosseliberado?� (a) A magnitudedaforcadefriccaoe ¾B�?À>Á�´ , ondeÀ>Á e o coeficientedeatrito dinamicoe ´ e a forca nor-mal dasuperfıciesobreo bloco. As unicasforcasverti-caisatuantesno blocosaoa forca normal,paracima,ea forca dagravidade,parabaixo. Comoa componenteverticaldaacelerac¸aodo blocoe zero,a segundalei deNewtonnosdiz que ´p�?9<; , onde9 eamassadoblo-co. Portanto¾Â��À>Á�9<; . A energiamecanicadissipadae dadapor
t �[��¾�~Ã�¥À Á 9<;�~ , onde ~ e a distanciaqueo blocoandaantesdeparar. Seuvalor et �D�i��!����� �^��I6� � �^��$�� " �^�£��� " �0�?S S�� "�" J�(b) O bloco tem suaenergia cinetica maxima quandoperdecontatocoma molae entranapartedasuperfıcieondeafriccaoatua.A energiacineticamaximae igual aenergia mecanicadissipadapelafriccao,ou seja, S�S6� " "J.(c) A energia queaparececomoenergia cineticaesta-va ariginalmentearmazenadacomo energia potencial
B� b � t �� � b �6��S S�� "�" �S�Y ! �#!�� Y�� � m qTY S cm�
P 8-69 (8-55/6� )Dois montesnevadostem altitudesde "���! m e ����! memrelacaoaovalequeossepara(Fig. 8-47). Umapis-ta de esquivai do alto do montemaior ate o alto domontemenor, passandopelo vale. O comprimentoto-tal da pista e I��� km e a inclinacao media e I�! K . (a)Um esquiadorpartedorepousonoaltodomontemaior.Com que velovidadechegara ao alto do montemenorsemseimpulsionarcomosbastoes?Ignoreo atrito. (b)Qual deve seraproximadamenteo coeficientede atritodinamicoentrea neve e osesquisparaqueo esquiadorpareexatamentenoaltodopicomenor?� (a) Tomeo zerodaenergiapotencialgravitacionalco-moestandono valeentreosdoispicos.Entaoa energiapotenciale , �T9/;�M , , onde9 e amassadoesquiadore M , e a alturado pico maisalto. A energia potencialfinal e . �D9/;�M . , onde M . e a alturado pico menor.Inicialmenteo esquiadortemenergia cinetica + , �Ä! .Escrevamosaenergiacineticafinal como + . �T9<@��)��� ,onde@ e avelocidadedoesquiadorno topodopicome-nor. A forca normalda superfıcie dosmontessobreoesquiadornaofaztrabalho(poiseperpendicularaomo-vimento)eo atritoedesprezıvel, demodoqueaenergiamecanicae conservada: 0,�24+-,��D�.m24+/. , ou seja,9<;�M6,>�?9/;�M�.³2W9B@������ , dondetiramos
@��iŠ��;���M , u�M . �1� C ����$�� " �^��" ��!3uv����! �0��Y Y ms�
(b) Comosabemosdo estudode objetosquedeslizamem planosinclinados,a forca normalda superfıcie in-clinada dos montesno esquiadore dada por ´ �9<;o�^���X� , onde� e o angulodasuperfıcie inclinadaemrelacaoa horizontal,I ! K paracadaumadassuperfıciesemquestao. A magnitudedaforca deatrito e dadapor¾Æ��À>ÁP´���À>Á�9/;4�^� ��� . A energiamecanicadissipa-dapelaforca deatrito e ¾�~m�_À>Á�9<;�~Â�^� ��� , onde~ e ocomprimentototal do trajeto.Comoo esquiadoratingeo topodomontemaisbaixosemenergiacinetica,aener-giamecanicadissipadapeloatrito e igual adiferencadeenergia potencialentreos pontosinicial e final da tra-jetoria. Ouseja,
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dondetiramosÀ>Á :À>ÁÇ� M�,�u�M�.~B�F� �X�
� " ��!³uv����!��I6� �&%R'J! * �&�^���&I ! K �#!�� !�I�S6�
P 8-74 (8-??/6� )Umadeterminadamolanao obedecea lei deHooke. Aforca (em newtons) que ela exercequandodistendidade umadistancia (em metros)e de ���X� "� <2�I "�� Y� �� ,no sentidoopostoaodadistensao. (a) Calculeo traba-lho necessario paradistendera molade v��!6� � m ate \�`' � ! m. (b) Com umadasextremidadesda molamantidafixa, uma partıcula de �X�e'�� kg e presaa ou-tra extremidadee a molae distendidadeumadistancia c�È' � ! . Em seguida,a partıcula e liberadasemvelo-cidadeinicial. Calculesuavelocidadeno instanteemque a distensao da mola diminuiu para ��w!6� � m.(c) A forca exercidapelamola e conservativa ou nao-conservativa?Expliquesuaresposta.� (a) Paradistendera molaaplica-seumaforca, igualemmagnitudeaforcadamolaporemnosentidooposto.Comoa umadistensaono sentidopositivo de exerceumaforcanosentidonegativode , aforcaaplicadatemqueser { �\� �X� "� &24I "�� Y� �� , no sentidopositivo de .O trabalhoqueelarealizae
É � ° �aÊ �� Ê Ë ������� "� s2vI "�� Y� � �Q� � Ì ����� "� � 2 I�"�� YI *hÍ �hÊ �� Ê Ë �?I�' � ! J�
(b) A mola faz I�' J de trabalhoe estedeve sero au-mentodaenergia cineticadapartıcula. Suavelocidadee entao
@�� b ��+9 � b �6��I�' � !���X�e'�� �T�X� I � m/s�(c) A forca e conservativa pois o trabalhoque ela fazquandoa partıculavai deum ponto � paraoutropon-to � dependeapenasde � e � , nao dosdetalhesdomovimentoentre � e � .P 8-79 (8-61/6� )
UmapedradepesoÎ e jogadaverticalmenteparacimacomvelocidadeinicial @ � . Seumaforcaconstante¾ de-vido a resistenciadoaragesobreapedradurantetodoo
@��?@ ��¤ ÎTuW¾Î42c¾r¦ � ² � �� (a) Seja M a altura maxima alcancada. A energiamecanicadissipadanoarquandoapedrasobeateaaltu-ra M e,deacordocomaEq.8-26,
t �\�\u3¾�M . Sabemosque t �\�D��+ . 24 . �Nu���+ , 24 , �hjonde + , e + . saoasenergiascineticasinicial e final, e , e . saoasenergiaspoetenciaisinicial efinal. Esco-lha a energia comosendozerono pontodelancamentoda pedra. A energia cineticainicial e +-,m�Ä9B@��� ��� , aenergiapotencialinicial e 0,1��! , a energiacineticafi-nal e +/.��:! e a energia potencialfinal e 1.��:γM .Portantou3¾�M-��γM-u(9B@��K ��� , dondetiramos
M<� 9<@ ���6��Îo24¾�� � Îf@ ����;���Îo24¾�� � @ ���P;��k'�2o¾��Pγ� jondesubstituimos9 por Îm�); e dividimosnumeradoredenominadorpor Î .(b) Note quea forca do ar e parabaixo quandoa pe-dra sobee paracima quandoela desce.Ela e sempreopostaao sentidoda velocidade. A energia dissipadaduranteo trajetono ar todo e
t �V�¢u3� ¾�M . A ener-gia cineticafinal e + . �O9<@��)��� , onde @ e a velocida-de da pedrano instantequeantecedesuacolisao como solo. A energia potencialfinal e �.o��! . Portantou3� ¾�M��?9B@������6uf9B@��� ��� . Substituindonestaexpressaoaexpressaoencontradaacimapara M temos
u ��¾�@�����;��Q'�2c¾���γ� � '� 9B@ � u '� 9B@ �� �Desteresultadoobtemos
@ � ��@ �� u ��¾�@���9<;��Q'�2c¾���γ� � @ �� u � ¾�@���Î5�k'r2o¾��Pγ�� @ �� ¤ 'zu � ¾Îc2c¾r¦
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(a) A quedistanciao centrodemassado sistemaTerra-Lua se encontrado centroda Terra? (Use os valoresdasmassasda Terra e da Lua e da distanciaentreosdoisastrosqueaparecemno ApendiceC.) (b) Expressearespostadoitem(a)comoumafracaodoraiodaTerra.� (a) Escolhaa origem no centroda Terra. Entao adistancia����� docentrodemassadosistemaTerra-Luae dadapor
����� �� ����� ��������onde �� e a massadaLua, ��� e a massada Terra,a��� e a separac¸aomediaentreTerrae Lua. Taisvaloresencontram-senoApendiceC. Emnumerostemos,
E 9-12L (9-9/6� )Uma lata em forma de cilindro reto de massaM , al-tura N e densidadeuniformeesta cheiade refrigerante(Fig.9-30).A massatotaldorefrigerantee � . Fazemospequenosfuros na basee na tampada lata paradrenaro conteudo e medimoso valor de O , a distanciaverti-cal entreo centrodemassae a basedalata,paravariassituacoes. Qual e o valor de O para(a) a lata cheiae(b) a latavazia? (c) O queacontececom O enquantoalataesta sendoesvaziada?(d) Se
=e a alturado lıquido
querestaemum determinadoinstante,determineo va-lor de
=(emfuncaode M , N e � ) nomomentoemque
o centrodemassaseencontrao maisproximo possıveldabasedalata.� (a) Comoa lata e uniformeseucentrodemassaestalocalizadono seucentrogeometrico, a uma distanciaN�P * acimada suabase. O centrode massado refri-geranteesta no seucentrogeometrico,a umadistancia= P * acimadabasedalata. Quandoa lataesta cheiatalposicaocoincidecom NQP * . Portantoo centrodemassada latae como refrigerantequeelacontemesta a umadistancia
OR M � NQP *2& �G� � NQP *�&M �G� N *acimadabase,sobreo eixodocilindro.
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(b) Consideramosagoraa lata sozinha. O centrodemassaesta em NQP * acimadabase,sobreo eixo do ci-lindro.(c) A medidaque
e dadaporX OX = * � =*)� MVNZY � =[& Y � MVN $ ��� =W$�& �*;� MVN ��� =[& $ � $�=E$ � * M � N = YGM � N $*)� MVN ��� =[& $ �A solucaode � $B=E$ � * M � N = YGM � N $ # e= MVN� \ Y ! �^] ! � �M`_ �Usamosasolucaopositivapois
=e positivo.
Substituindo-seagorao valor de=
ne expressao de Oacima,ouseja,em
OQ MVN $ ��� =E$*;� MVN �G� =W& �e simplificando,encontramosfinalmenteque
OQ NaM� b ] ! � �M Y !�c��
E 9-14 (9-11/6� )Um velhoGalaxycomumamassade
* 5 #2# kg esta via-jandoporumaestradaretaa
1�#km/h. Ele eseguidopor
um Escortcom uma massade!���#�#
kg viajandoa�2#
km/h. Qual a velocidadedo centrode massadosdoiscarros?� Sejam��d e e d a massae a velocidadedo Galaxye��f e e f a massae velocidadedo Escort. Entao,con-forme a Eq. (9-19),a velocidadedo centrode massaedadapor
e<�� � d e d �G� f e f��d:�G��f �F* 5 #2#2&'�(1�#8& � �H!���#2#2&B�I��#8&* 5 #2# � !��2#�# �<* km/h
�Notequeasduasvelocidadesestaono mesmosentido,demodoqueambostermosnonumeradortemo mesmosinal. As unidadesusadasnao saodo SistemaInterna-cional.
E 9-20 (9-15/6� )Um projetil e disparadopor um canhaocomumavelo-cidadeinicial de
*<#m/s. O angulodo disparoe
�2#2gem
relacao a horizontal. Quandochega ao pontomaisal-to da trajetoria, o projetil explodeem dois fragmentosde massasiguais(Fig. 9-33). Um dosfragmentos,cu-ja velocidadeimediatamenteaposaexplosaoezero,caiverticalmente.A quedistanciado canhaoo outro frag-mentoatingeo solo,supondoqueo terrenosejaplanoearesistenciadoarpossaserdesprezada?� Precisamosdeterminarascoordenadasdo pontodeexplosaoe a velocidadedo fragmentoquenaocai retoparabaixo. Tais dadossao as condicoesiniciais paraum problemademovimentodeprojeteis,paradetermi-narondeo segundofragmentoaterrisa.Consideremosprimeiramenteo movimentodo projetiloriginal,ateo instantedaexplosao.Tomemoscomoori-gemo pontodedisparo,como eixo
=tomadohorizontal
e o eixo A vertical,positivo paracima. A componenteA da velocidadee dadapor ehieTj%k�Yml8n e e zeronoinstantede tempo nopeTj%k8P�l- � eTjTP�l & senqrj , onde eTje a velocidadeinicial e qrj e o angulode disparo. Ascoordenadasdopontomaisaltosao= seTjutTnv w eTjyx'z2{JqrjB|En
� e j &C$l senq j x'z2{Jq j �F*<#8&H$0;� 1 sen
��# g x'z2{ �2# g !T���}� m �e
A e j kTn�Y !* l8n $http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina3
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!* e $jl sen$ q j
!* �F*<#8&H$0;� 1 sen$ �2# g ! . � � m
�Comoentao nenhumaforca horizontalatua,a compo-nentehorizontaldo momentoe conservada. Comoumdosfragmentostemvelocidadezeroaposa explosao,omomentodo outrofragmentotemqueserigual aomo-mentodoprojetil originalmentedisparado.A componentehorizontaldavelocidadedo projetil ori-ginal e e j xBz2{)q j . Chamemosde M a massado projetilinicial e de ~)j a velocidadedo fragmentoquesemovehorizontalmenteaposaexplosao.Assimsendo,temos
�>= j �CA j & �C!r���}� � ! . � �8& m. SuacoordenadaA e dadapor A A j Y�l�n $ P * , e quandoele aterrisatemosA # . O tempoate a aterrisagemen��� * A jTP�l e a coordenada
=do pontodeaterrisagem
e = = j � ~;j'nv = j � ~)j ] * A jl !r���}� � *�# ] *;�H! . � �8&0)� 1 . � m
�E 9-21 (9-17/6� )
Doissacosidenticosdeacucarsaoligadosporumacor-dademassadesprezıvel quepassaporumaroldanasematrito, de massadesprezıvel, com . # mm de diametro.Os dois sacosestao no mesmonıvel e cadaum possuioriginalmenteuma massade . #�# g. (a) Determineaposicao horizontaldo centrode massado sistema.(b)Suponhaque
*<#g deacucarsaotransferidosdeumsaco
parao outro,masos sacossao mantidosnasposicoesoriginais. Determinaa nova posicaohorizontaldo cen-tro demassa.(c) Osdoissacossao liberados.Em quedirecao semove o centrode massa?(d) Qual e a suaacelerac¸ao?
mmdosacomaisleve,aolongodalinhaqueuneosdoiscorpos.(c) Quandosoltos,o sacomaispesadomove-separabai-xo e o sacomaisleve move-separacima,demodoqueo centrodemassa,quedeve permanecermaispertodosacomaispesado,move-separabaixo.(d) Comoossacosestaoconectadospelacorda,quepas-sapelarolsdana,suasacelerac¸oestema mesmamagni-tudemasdirecoesopostas.Se � e a acelerac¸aode � $ ,entao Y�� e a acelerac¸aode � ? . A acelerac¸aodocentrodemassae
� �� � ?T� Y�� & ��� $ �� ? ��� $ ^� � $ Y � ?� ? ��� $ �Precisamosrecorrersegundalei deNewtonparaencon-trar a acelerac¸ao de cadasaco. A forca da gravidade� ? l , para baixo, e a tensao � na corda, para cima,atuamno sacomais leve. A segundalei paratal sacoe � ? l�Y-�UVY � ? � �O sinal negativo apareceno lado direito porque � e aacelerac¸aodo sacomaispesado(queqao e o queesta-mosconsiderando!).As mesmaforcasatuamno sacomaispesadoe paraelea segundalei deNewtonfornece� $ l�Y"�� � $ � �A primeiraequac¸ao fornece-nos�� � ? l �h� ? � quequandosubstituidanasegundaequac¸aoproduz
�8��� l � � $ Y � ?B&C$� � ? ��� $ & $ �(0)� 12&'� . *<# Y-5 1�#2&C$� 5 12# �/. *<#2& $ #;� #;!�� m/s
$��A acelerac¸aoe parabaixo.
E 9-22 (9-19/6� )Um cachorrode . kg esta emum botede
*<#kg quese
encontraa�
mdamargem(queficaaesquerdanaFig.9-34a).Eleanda
*)� 5 m no barco,emdirecaoa margem,edepoispara.O atritoentreo boteeaaguaedesprezıvel.A quedistanciada margemesta o cachorrodepoisdacaminhada?(Sugestao: Veja a Fig. 9-34b. O cachorrosemove paraa esquerda;o botesedeslocaparaa di-reita; e o centrodemassado sistemacachorro+barco?Sera queelesemove?)� Escolhao eixo
=comosendohorizontal,coma ori-
gemna margem,e apontantoparaa direita na Fig. 9-34a.Seja��� a massadobotee
= �I� suacoordenadaini-cial. Seja��� a massadocachorroe
= ��� suacoordenadainicial. A coordenadadocentrodemassae entao= ��� ��� = �F�W����� = ���� � ��� � �Agora o cachorrocaminhaumadistancia
Xparaa es-
querdado bote. Comoa diferenca entrea coordenadafinal do bote
= �F� e a coordenadafinal do cachorro= ���
eX, ou seja
= ��� Y = ��� X , a coordenadado centrodemassapodetambemserescritacomo= �� ��� = ��������� = ���� � ��� �
� � = ��� ��� � X �G� � = ����������� �Comonenhumaforca horizontalexternaatuano siste-mabote-cachorro,a velocidadedo centrodemassanaopodemudar. Comoo botee o cachorroestavaminicial-menteem repouso,a velocidadedo centrode massaezero. O centrode massapermancena mesmaposicaoe,portanto,asduasexpressoesacimapara
�9� ! PJ� ! Y �I#)� 0�08& $ & vezesmenor:� � �E� �9.2.3 Conservacaodo Momento Linear
E 9-33 (9-27/6� )Um homemde
!�#�#kg,depeemumasuperfıciedeatrito
desprezıvel, da um chuteemumapedrade#)�}�T#
kg, fa-zendocomqueelaadquiraumavelocidadede
�;� 02#m/s.
Qualavelocidadedohomemdepoisdochute?�Comonenhumaforca comcomponentehorizontalatuano sistemahomem-pedra,o momentototal e conserva-do. Comotantoo homemcomoapedraestaoemrepou-so no inıcio, o momentototal e zeroantesbemcomodepoisdochute,ouseja�R e �����¡ e ¡ # �
ondeo subındice � refere-sea pedrae o subındice Orefere-seaohomem.Destaexpressaovemosque
e ¡ �Y � e � ¡ Y �I#)�}�T#2&'�(�;� 02#2&!�#2# Y #;� #8*2� m/s�
m/s. Ele saltaparafora dacarroca demodoa ficar comvelocidadehorizontalzero. Qual a variacao resultantenavelocidadedacarroca?� O momentolinear total do sistemahome-carroc¸a econservadopois nao atuamforcas externascom com-ponenteshorizontaisno sistema. Chamemosde � � amassada carroca, e a suavelocidadeinicial, e e � suavelocidadefinal (aposo homemhaverpuladofora). Se-ja � ¡ a massado homem. Suavelocidadeinicial e amesmadacarroca esuavelocidadefinal e zero.Portan-to a conservacaodomomentonosfornece� � ¡ �G� � & e � � e � �deondetiramosavelocidadefinal dacarroca:
e � e � ��¡������ &��� �F*J� �2&B��� .�� ��08&�20 �)�}� m/s
�A velocidadeda carroca aumentapor
�;�+� Y *)� � ¢5 � 5m/s. De modoa reduzirsuavelocidadeo homemfazcom que a carroca puxe-o para tras, de modo que acarroca sejaimpulsionadaparaa frente.
E 9-38 (9-33/6� )O ultimo estagiodeum fogueteesta viajandocomumavelocidadede
�T�2#�#m/s. Esteultimo estagio e feito de
duaspartespresaspor umatrava: um tanquede com-bustıvel com umamassade
*�0�#kg e uma capsulade
instrumentoscomumamassade! . # kg. Quandoa tra-
va e acionada,uma mola comprimidafaz com que asduaspartesseseparemcomumavelocidaderelativa de0;!�#
m/s. (a) Qual a velocidadedasduaspartesdepois
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queelasseseparam?Suponhaquetodasasvelocida-destemamesmadirecao. (b) Calculeaenergiacineticatotal dasduaspartesantese depoisde sesepararemeexpliqueadiferenca (sehouver).� (a) Suponhaquenenhumaforca externaatueno site-macompostopelasduaspartesnoultimoestagio.Omo-mentototal do sistemae conservado. Seja ��£ a massadotanquee ��� amassadacapsula.Inicialmenteambasestaoviajandocomamesmavelocidadee . Aposatravaseracionada,� £ tem umavelocidadee £ enquantoque��� tem umavelocidadee � . Conservacaodo momentofornece-nos� � £ �/��� & e¤ � £ e £ ����� e � �Aposatravasersolta,acapsula(quetemmenosmassa)viaja commaiorvelocidadeepodemosescrever
e � Ue £¥� e S�¦�§ �onde e S�¦�§ e a velocidaderelativa. Substituindoestaex-pressao na equac¸ao da conservacao do momentoobte-mos � �Q£@�G� � & e¤ ��£ e £¥��� � e � �G� � e S�¦�§ �demodoque
e � � ��£@��� � & e�Y � � e S%¦�§� £ ����� e�Y � £� £ �G��� e S�¦�§ �T��#2# Y ! . #*<02# � ! . # �I0)!�#8& ��*<0�# m/s
A energiacineticatotalaumentoulevemente.Istodeve-seaconversaodaenergiapotencialelasticaarmazenadanatrava(molacomprimida)emenergiacineticadaspar-tesdo foguete.
E 9-39 (9-39/6� )Uma caldeira explode, partindo-seem tres pedac¸os.Dois pedac¸os, de massasiguais,sao arremessadosemtrajetoriasperpendicularesentresi, coma mesmavelo-cidadede
��#m/s. O terceiropedac¸o tem uma massa
tresvezesa deum dosoutrospedac¸os. Qualo modulo,direcao e sentidode sua velocidadelogo apos a ex-plosao?� Suponhaquenaohajaforcaexternaatuando,demodoqueo momentolineardosistemadetrespecassejacon-servado.Comoo momentumantesdaexplosaoerazero,eletambemo eaposaexplosao.Istosignificaqueo ve-tor velocidadedostrespedac¸osestaotodosnummesmoplano.EscolhaumsistemadecoordenadasXY, como eixover-tical sendoo eixo A , positivo paracima. A partir daorigemdestediagrama,desenhenadirecaonegativadoeixo X o vetor
~� *� exBz8{Jq ? *� �(�2#2& x'z2{�5 . g ! 5 m/s�no sentidonegativo do eixo
=. O anguloentreo vetor
velocidadedopedac¸o maiorequalquerumdospedac¸osmenorese !�1�# g Y"5 . g !�� . g �
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9.2.4 SistemasdeMassaVari avel: Um Foguete
E 9-48 (9-41/6� )Uma sondaespacialde
�2#�02#kg, viajandoparaJupiter
comumavelocidadede!�# . m/semrelacaoaoSol,acio-
nao motor, ejetando1�#
kg degasescomumavelocidadede* . � m/s emrelacao a sonda.Supondoqueosgases
saoejetadosno sentidoopostoaodo movimentoinicialdasonda,quala suavelocidadefinal?� Ignorea forcagravitacionaldeJupitere usea Eq.(9-47) do livro texto. Se e � e a velocidadeinicial, M � e amassainicial, e � e velocidadefinal, M � eamassafinal,e ® e avelocidadedogasdeexaustao,entao
e � se � � ®�¯�° M �M � �NesteproblematemosM � ��#20�# kg e M � ��#�02# Y1�# ��#;!�# kg. Portanto
e � !�# .±� * . � ¯K° b ��#�02#��#)!�# c !�#21 m/s�
O consumodecombustıvel do motor e de 5 1�# kg/se avelocidadedeescapamentodosgasesede
�)�+*2�km/s.O
motor e acionadodurante* . # s. (a) Determineo em-
puxodo foguete.(b) Quale a massado foguetedepoisqueo motor e desligado?(c) Qual e a velocidadefinaldo foguete?� (a) Comoseve no texto logo abaixoda Eq. 9-46,oempuxodofogueteedadopor ³�U7´® , onde7 eataxade consumode combustıvel e ® e a velocidadedo gasexaustado.No presenteproblematemos7µ�5 1�# kg e®� �)�+*2���"!�# D m/s,demodoque³�^7´®Q � 5 1�#8&B�(�;� *8���-!�# D & !�� . ���"!�# 6 N
�(b) A massa do combustıvel ejetado e dada porM � g � � �7�¶�n , onde¶�n eo intervalodetempodaquei-madecombustıvel. PortantoM � g � � � 5 1�#8&B�I* . #8& !��+*<# �"!�# ² kg
�
A massado fogueteaposa queimae
M � ·M � YGM � g � � �I*)� .2. Y !2� *�#2&�-!�# ² !�� � . �"!�# ² kg
�(c) Comoa velocidadeinicial e zero,a velocidadefinaledadapor
e � ®¸¯K° M �M � �(�)�+*2���"!�# D & ¯K° b *J� .�. �-!�# ²!�� � . �-!�# ² c *J� #�1 �-!�# D
m/s�
E 9-56 (9-47/6� )Duaslongasbarcac¸asestaoviajandonamesmadirecaoe no mesmosentidoem aguastranquilas; uma comuma velocidadede
!�#km/h, a outro com velocidade
de*�#
km/h. Quandoestao passandouma pela outra,operariosjogamcarvaodamaislentaparaamaisrapida,a razaode
!�#�#2#kg por minuto; vejaa Fig. 9-38. Qual
a forca adicionalquedeve serfornecidapelosmotoresdasduasbarcac¸asparaquecontinuema viajar com asmesmasvelocidades?Suponhaquea transferenciadecarvaosedaperpendicularmenteadirecaodemovimen-to dabarcac¸a maislentae quea forca deatrito entreasembarcac¸oese a aguanaodependedoseupeso.�9.2.5 SistemasdePart ıculas: Variacoesna Energia
Cinetica
E 9-60 (9-55/6� )Umamulherde .2. kg seagachaedepoissaltaparacimanavertical. Na posicaoagachada,seucentrodemassaesta 5 # cm acimado piso; quandoseuspesdeixamochao,o centrode massaesta
02#cm acimado piso; no
pontomaisaltodosalto,esta!r*<#
cmacimadopiso. (a)Qual a forca mediaexercidasobrea mulherpelo piso,enquantoha contatoentreambos?(b) Quala velocida-demaximaatingidapelamulher?�
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,
Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica
Um taco de sinucaatinge uma bola, exercendoumaforca mediade ��� N em um intervalo de ��� ms. Seabola tivessemassade ����� kg, quevelocidadeela teriaaposo impacto?� Se for a magnitudedaforca mediaentaoa magni-tudedo impulsoe ���� ���� , onde ��� e o intervalo detempoduranteo quala forca e exercida(vejaEq.10-8).Esteimpulso iguala a magnitudeda troca de momen-tumdabolaecomoabolaesta inicialmenteemrepouso,igualaa magnitude��� do momentofinal. Resolvendoa euqac¸ao ���������� para� encontramos
Umaforcacomvalormediode �&���� N eaplicadaaumaboladeaco de �� '�� kg, quesedeslocaa �(' m/s,emumacolisao quedura *) ms. Sea forca estivesseno senti-do opostoao da velocidadeinicial da bola, encontreavelocidadefinal dabola.� Considerea direcao inicial do movimentocomopo-sitiva e chamede a magnitudedaforca media, ��� aduracao da forca, � a massada bola, ��+ a velocidadeinicial da bola, ��, a velocidadefinal da bola. Entao aforca atuanadirecaonegativa e o teoremado impulso-momentofornece- ����.�/�0� , - ��� + �
P 10-12 (10-9/6� )Um carrode ��'���� kg, deslocando-sea �� 6 m/s,esta ini-cialmenteviajandoparao norte,no sentidopositivo doeixo 7 . Aposcompletarumacurva a direitade 8���9 parao sentidopositivo do eixo : em ';� 4 s,o distraidomoto-rista investeparacimadeumaarvore,queparao carroem 6���� ms. Em notacao de vetoresunitarios,qual e oimpulsosobreo carro(a) durantea curva e (b) durantea colisao? Qual a intensidadeda forca mediaqueagesobreo carro(c) durantea colisao?(e) Quale o anguloentrea forca mediaem(c) e o sentidopositivo do eixo: ?� (a) O momentoinicial docarroe< + �=��>?� � ��'������ � �"� 6��A@B� � )C'���� kg Dm/s�A@eo momentofinal e
� )E'���� kg Dm/s�GF . O impulsoqueneleatuae igual a variacaodemomento:H � < , - < +I� � )E'���� kg Dm/s� � F - @C�J�(b) O momentoinicial do carroe < + � � )C'���� kg Dm/s�KFe o momentofinal e < , �L� . O impulsoatuandosobreelee H � < , - < +I� - � )C'���� kg Dm/s�KF(c) A forca mediaqueatuanocarroe
M �JN � � <��� � H���
� � )C'���� kg Dm/s� � F - @E�'O� 4� � � 4 ��� N � � F - @C�esuamagnitudee �PN � � � 4 ��� N �RQ 2�S�6���� N.(d) A forca mediae
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� � - "�T�2� ����U N �VFe suamagnitudee
M �PN �%"�T�W�?�&� U N.(e) A forca media e dadaacima em notacao vetorialunitaria. Suascomponentes: e 7 tem magnitudesiguais. A componente: e positiva e a componente7e negativa, de modoquea forca esta a '*� 9 abaixodoeixo : .P 10-13 (10-??/6� )
A forca sobreum objetode ��� kg aumentauniforme-mentedezeroa ��� N em ' s. Quale a velocidadefinaldoobjetoseelepartiudo repouso?� Tomeamagnitudedaforcacomosendo X�SY5� , on-de Y eumaconstantedeproporcionalidade.A condicaoque Z�S��� N quando���/' sconduzaYS� � ��� N �R[ � ' s�\�X�C"��� N/s�A magnitudedo impulsoexercidonoobjetoe
�]� ^ U_ %`��.� ^ U_ Y5�V`��a� � Y5�GbOccc U_� � � �C"����� � '*� b� ����� N D s�A magnitudedesteimpulso e igual a magnitudedavariacaodo momentodo objetoou, comoo objetopar-tiu do repouso,e igual magnitudedo momentofinal:�]�=��� , . Portanto
� , � �� � �&������ �X�&� m/s�P 10-14 (10-13/6� )
Uma armade ar comprimidoatira dezchumbinhosde g por segundocom umavelocidadede ����� m/s, quesao detidospor uma parederıgida. (a) Qual e o mo-mentolineardecadachumbinho?(b) Qual e a energiacineticadecadaum? (c) Quale a forca mediaexercidapelo fluxo de chumbinhossobrea parede?(d) Seca-dachumbinhopermaneceremcontatocomaparedepor�� 4 ms,qualsera a forca mediaexercidasobrea paredeporcadaum delesenquantoestiveremcontato?(e)Porqueestaforca e taodiferentedaforcaem(c)?� (a) Se � for a massadumchumbinhoe � for suave-locidadequandoele atingea parede,entaoo momentoe d �/����� � �� ��� !3# � � ���������Z� kg Dm/se
nadirecaodaparede.(b) A energiacineticadumchumbinhoe
f � � �0�gbB� � � �� ��� !3# � � �������Kb5�S���� J�(c) A forcanaparedeedadapelataxanaqualo momen-to e transferidodoschumbinhosparaa parede.Comoos chumbinhosnao voltam paratras,cadachumbinhotransfere
d �h��� � kg Dm/s. Se ��i chumbinhoscolidemnumtempo ��� entaoa taxamediacomqueo momentoe transferidoe
�PN �d ��i�1� � � ��� ��� � �&���.�Z�&� N �
A forca na paredetem a direcao da velocidadeinicialdoschumbinhos.(d) Se �1� e o intervalo de tempoparaum chumbinhoserfreadopelaparede,entaoa forca mediaexercidanaparedeporchumbinhoe
A forca tema direcaodavelocidadeinicial do chumbi-nho.(e) Na parte(d) a forca foi mediadaduranteo interva-lo emqueumchumbinhoestaemcontatocomaparede,enquantonaparte(c) elafoi mediadaduranteo intervalodetemponoqualmuitoschumbinhosatingemaparede.Na maior partedo temponenhumchumbinhoesta emcontatocom a parede,de modoquea forca medianaparte(c) e muitomenorquea mediaem(d).
P 10-26 (10-15/6� )Umaespac¸onave e separadaemduaspartesdetonando-seasligacoesexplosivasqueasmantinhamjuntas. Asmassasdaspartessao �&���� e �&k���� kg; o modulodo im-pulsosobrecadaparteede 6���� N D s. Comquevelocida-derelativaasduaspartesseseparam?� Consideremosprimeiro a partemais leve. Suponhaqueo impulsotenhamagnitude� eestejanosentidopo-sitivo. Seja�ml , ��l amassaeavelocidadedapartemaisleve aposasligacoesexplodirem. Suponhaqueambasaspartesestao em repousoantesda explosao. Entao,n �/� l � l , demodoque
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O impulsonapartemaispesadatema mesmamagnitu-de masno sentidooposto,de modoque - �%�h� b � b ,onde � b , � b sao a massae a velocidadeda partemaispesada.Portanto
� b � - �� b � - 6�����&k���� � - ��T� 4 ) m/s�A velocidaderelativadaspartesaposa explosaoe
A espac¸onave Voyager 2 (de massa� e velocidade�relativaaoSol)aproxima-sedoplanetaJupiter(demas-san
e velocidadeo relativa ao Sol) como mostraaFig. 10-33. A espac¸onave rodeiao planetae partenosentidooposto.Quale a suavelocidade,emrelacaoaoSol,aposesteencontrocomefeitoestilingue?Conside-ra �p�q�C km/s e or�q��6 km/s (a velocidadeorbitaldeJupiter). A massadeJupiter e muito maiordo queadaespac¸onave;
nts � . (Parainformacoesadicionais,veja“The slingshoteffect: explanationandanalogies”,de Albert A. Bartlett e CharlesW. Hord, The PhysicsTeacher, novembrode1985.)� Considereo encontronumsistemadereferenciafixoem Jupiter. Quandoeventuaisperdasdeenergia foremdesprezıveis, o encontropodeser pensadocomo umacolisao elasticana qual a espac¸onave emerge da “co-lisao” comumavelocidadedemesmamagnitudequeavelocidadequepossuiaantesdo encontro.Comoa ve-locidadeinicial daespac¸onavee
E 10-29 (10-35/6� )OsblocosdaFig. 10-34deslizamsematrito. (a) Qualea velocidade> do bloco de ��� 4 kg aposa colisao? (b)
Suponhaqueavelocidadeinicial doblocode "� ' kg se-ja opostaa exibida. Aposa colisao,a velocidade> doblocode ��� 4 kg podeestarnosentidoilustrado?� (a) Seja � l , � lK+ e � lR, a massae a velocidadeiniciale final do bloco a esquerda,e � b , � b + e � b , ascorres-pondentesgrandezasdo blocoa direita. O momentodosistemacompostopelosdois blocose conservado, demodoque
�mlx��lK+Ouy� b � b +z�/�]lP��lK,wuy� b � b ,Oedondetiramosque
��lR, � �mlx��lK+3u{� b � b + - � b � b ,� l� �� �5u "� '��� 45| "��� - 'O� 8*}B�X��� 8 m/s�O blococontinuaandandoparaa direitaaposa colisao.(b) Paraverseacolisaoe inelastica,comparamososva-loresdaenergiacineticatotal antese depoisdacolisao.A energiacineticatotal ANTES dacolisaoef + � � � l � blG+ u � � b � bb +� � � ��� 4 � � �� ��� b u � � � 'g� � "����� b �=6����) J�A energiacineticatotal DEPOIS dacolisaoef , � � � l � blR, u � � b � bb ,
� � � ��� 4 � � ��� 8�� b u � � "� '*� � 'O� 8*� b �=6;���~) J�Como
f + � f , , vemosquea colisaoeelastica,(c) Agora � b + � - "��� m/se
��lR, � �]lP��lG+$uy� b � b + - � b � b ,� l� �"���5u � '� � | - � � - ';� 8 } � - �"� 4 m/s�Comoo sinal indica,a velocidadedeve opor-seaosen-tido mostrado.
E 10-33 (10-37/6� )Um carrode 6�'�� g demassa,deslocando-seemum tri-lho dear linearsematrito, a umavelocidadeinicial de��� m/s, atingeum segundocarrode massadesconhe-cida, inicialmenteem repouso. A colisao entreeleseelastica.Aposa mesma,o primeirocarrocontinuaemseusentidooriginal a �� 4�4 m/s. (a) Qual e a massadosegundocarro?(b) Qual e a suavelocidadeaposo im-pacto? (c) Qual a velocidadedo centrode massadosistemaformadopelosdoiscarrinhos?
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� (a) Seja� l , � lK+ , � lR, a massae asvelocidadesiniciale final do carroqueoriginalmentesemove. Seja � b e� b , a massae a velocidadefinal do carrooriginalmenteparado( � b + ��� . Entao, de acordocom a Eq. 10-18,temos
��lR,1� �]l - � b� l u{� b ��lG+R�Destaexpressaoobtemospara� b :� b � � lK+ - � lR,��lR,�u{��lK+ � l� ��� - �� 4�4��� 5u��� 4�4 � 6�'*� g�\�=8�8 g �(b) A velocidadedosegundocarroedadapor
� b , � E�ml� l u{� b � lG+ � � �;� 6�'������ 6�'*��u��� ��8�8 � ������� ��� 8 m/s�(c) A velocidadedocentrodemassadosistemaformadopelosdoiscarrinhossatisfaza equac¸ao� � � � l uy� b �G���z����� l � lK+ u{� b � b + �Lembrandoque � b + �/� , temos
���z��� � l � lK+�ml.uy� b �� 6�'*��� � ������6�'��5u�8�8 �=�� 8�6 m/s�
Observequeusamosgramasemvezdekilogramas.
E 10-34 (10-41/6� )Um corpode "� � kg demassacolideelasticamentecomoutro em repousoe continuaa deslocar-se no sentidooriginal comum quartodesuavelocidadeoriginal. (a)Qual e a massado corpoatingido? (b) Qual a veloci-dadedocentrodemassadosistemaformadopelosdoiscorpossea velocidadeinicial docorpode "� � kg erade';� � m/s?� (a) Sejam� l , � lG+ , � lR, amassaeasvelocidadesantese depoisdacolisaodo corpoquesemove originalmen-te. Sejam� b e � b , amassaeavolcidadefinal docorpooriginalmenteemrepouso.De acordocoma Eq.10-18temos
��lR,1� � l - � b� l u{� b ��lG+R�Resolvendopara� b obtemos,para��lK,1�=��lK+�[E' ,
� b � ��lK+ - ��lK,� lR, u{� lG+ � l � � - �E[C'�C[C'Bu=� � � l �
� 6 � � "� �����X��� kg �(b) A velocidadedocentrodemassadosistemformadopelosdoiscorpossatisfazaequac¸ao� � � �ml�u{� b ��� �z� ���mlP��lK+Ou{� b � b +R�Resolvendopara� ��� com � b +z�S� encontramos
������� �mlx��lK+� l u{� b �� � �*� � 'O� �*�"� �Bu/��� �=� � m/s�
E 10-37 (10-43/6� )Duasesferasdetitanioseaproximamfrontalmentecomvelocidadesdemesmomoduloecolidemelasticamente.Aposa colisao,umadasesferas,cujamassae de 6���� g,permaneceemrepouso.Qualeamassadaoutraesfera?� Seja �]l , ��lK+ , ��lK, a massae asvelocidadesantesedepoisdacolisaodeumadaspartıculase � b , � b + , � b , amassaeasvelocidadesantesedepoisdacolisao,daou-trapartıcula.Entao,deacordocomaEq.10-28,temos
� lR, � �]l - � b� l uy� b � lK+ u E� b� l u{� b � b + �Suponhaqueaesfera� estejaviajandooriginalmentenosentidopositivo efiqueparadaaposacolisao.A esferaesta viajandooriginalmenteno sentidonegativo. Subs-tituindo ��lK+���� , � b +�� - � e ��lK,���� na expressaoacima,obtemos���/�ml - 6�� b . Ou seja,
� b � � l6 � 6���� g6 �X����� g �E 10-40� (10-??/6� )
ATENCAO: ESTE PROBLEMA FOI MAL TRADUZIDO
NO LIVRO TEXTO. USE A TRADUCAO QUE SEGUE:Um elevadoresta deslocando-separacimanumpoco a4 ft/s ( ��� k�6 m/s). No instanteem queo elevadorestaa 4 � ft ( ��k;� 4 m) do topo, larga-seumabolado topodopoco. A bola quicaelasticamentedo teto do elevador.(a) A quealturaela podeelevar-seem relacao ao topodo poco? (b) Faca o mesmoproblemasupondoqueoelevadorestejadescendoa 4 ft/s ( ��� k�6 m/s). (Dica: avelocidadedabolaemrelacaoaoelevadoremeramenterevertidapelacolisao.)Nota: no sistemadeunidadesemquestao,a acelerac¸aodagravidadevale ���/6* ft/sb .� (a)
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10.2.3 ColisoesInelasticasemUma Dimensao
E 10-41 (10-23/6� )Acredita-seque a Cratera do Meteoro, no Arizona(Fig. 10.1),tenhasidoformadapeloimpactodeumme-teorocoma Terraha cercade20.000anos.Estima-seamassado meteoroem ������� l _ kg e suavelocidadeem)����� m/s.Quevelocidadeummeteoroassimtransmiti-ria aTerranumacolisaofrontal?� Seja��� amassadometeoroe ��� amassadaTerra.Seja ��� a velocidadedo meteoroimediatamenteantesda colisao e � a velocidadeda Terra (com o meteoro)aposa colisao. O momentodo sistemaTerra-meteoroeconservadodurantea colisao. Portanto,no sistemadereferenciaTerraantesdacolisaotemos
� � � � � � � � uy� � ���3edemodoqueencontramospara���� � � � �����uy��� � � )������� � ��� ��� l _ ��"� 8�k��?�&� b U u���� ��� l _� 4 �?�&� ! l�l m/s�
E 10-42 (10-21/6� )Um treno emformadecaixade 4 kg estadeslocando-sesobreo geloa umavelocidadede 8 m/s,quandoumpa-cotede �& kg e largadodecimaparadentrodele.Quale a novavelocidadedotreno?� Precisamosconsiderarapenasacomponentehorizon-tal domomentodotreno edopacote.Seja�0� , �E� amas-sae a velocidadeinicial do treno. Seja ��� , a massadopacotee � velocidadefinal do conjuntotreno u pacote.A componentehorizontaldo momentodesteconjuntoconserva-sedemodoque
P 10-53 (10-29/6� )Umvagaodecargade 6*� t colidecomumcarrinhoauxi-liar queestaemrepouso.Elesseuneme *)�� daenergiacineticainicial edissipadaemcalor, som,vibracoes,etc.Encontreo pesodocarrinhoauxiliar.� Seja� N e � N amassaeavelocidadeinicial dovagao,�]� a massado carrinhoauxiliar e � a velocidadefi-nal dosdois, depoisde grudarem-se.Conservacao domomentototal do sistemaformado pelos dois carrosfornece-nos� N � N � � � N u{� � ��� dondetiramos
��� � N � N� N u{�]� �A energia cinetica inicial do sistemae
f + ��� N � bN [�enquantoquea energiacineticafinal ef , � � � � N uy� � ��� b
� � � � N uy�]�x�� � N � N � b� � N uy� � � b� � � bN � bN� N u{��� �
Como �)�� daenergiacineticaoriginal eperdida,temosf , �=�;��)�6 f + , ouseja,
� � bN � bN� N uy� � �S��~)E6 � � N � bN eque,simplificada,fornece-nos� N [ � � N u�� � � �¡�;��)�6 .Resolvendopara� � encontramos
� � � ����)��~)E6 � N �=�;� 6g)C� N � � �� 6*)�� � 6*���� �C"� 8�� toneladas� �C"� 8����?�&� # kg �A razaodasmassase, obviamente,a mesmarazaodospesose,chamandode
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10.2.4 ColisoesemDuasDimensoes
E 10-63 (10-49/6� )Em um jogo de sinuca,a bola brancaatingeoutraini-cialmenteemrepouso.Aposacolisao,abrancadesloca-sea 6;� � m/saolongodeumaretaemangulode ��9 coma suadirecaooriginaldemovimento,eo modulodave-locidadeda segundabola e de m/s. Encontre(a) oanguloentrea direcaodemovimentodasegundabolaea direcaodemovimentooriginal dabolabrancae (b) avelocidadeoriginal dabranca.(c) A energia cineticaseconserva?� (a) Usea Fig. 10-20do livro texto e considerea bo-la brancacomosendoa massa�ml e a outrabolacomosendoamassa� b . Conservacaodascomponentes: e 7do momentototal do sistemaformadopelasduasbolasnosforneceduasequac¸oes,respectivamente:����lG+t� ����lK,\¢J£�¤¥�l\uy��� b ,\¢J£*¤"¥ b� � - ����lK, sen¥�l.u{�0� b , sen¥ b �Observe queasmassapodemsersimplificadasemam-basequac¸oes.Usandoa segundaequac¸aoobtemosque
sen ¥ b � � lR,� b , sen ¥ l � 6;� �� � sen � 9 �S�� 4 � 4 �
Portantoo anguloe ¥ b ��'O�&9 .(b) Resolvendoaprimeriadasequac¸oesdeconservacaoacimapara��lG+ encontramos
� lG+ � � lR, ¢(£�¤"¥ l u{� b , ¢J£�¤¥ b� � 6;� ���"¢J£*¤;� 9 u � "� ���"¢(£�¤"'O� 9 ��'O��)�� m/s�(c) A energiacineticainicial e
f +I� � ��� b+ � � � � ';�~)���� b �Z����� 6�� �A energiacineticafinal e
f , � � �0� blR, u � ��� bb ,� � �S¦ � 6;� ��� b u � � �*� bP§ �Sk�T�(� �Portantoaenergiacineticanaoeconservada.
10.2.5 ProblemasAdicionais
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ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica
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(listam2.tex)
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11 ROTACAO
11.1 Questionario
Q11-3.
O vetorquerepresentaa velocidadeangularderotacaodeumarodaemtornodeum eixo fixo temdeestarne-cessariamentesobreesteeixo?� Sim, o vetor velocidadeangulardefineo eixo derotacao. Mesmoquandoo eixo nao e fixo, o vetorestadirigido ao longo desseeixo, comono casodo movi-mentodeum piao. A velocidadeangularde precessaotambem e um vetor dirigido ao longo da direcao emtornodaqualo eixodopiaoprecessiona.
Q11-8.
Por que e convenienteexpressar� em revolucoesporsegundoaoquadradonaexpressao ������� ���� �� � enaonaexpressao ��������� ?� Porquenaequac¸ao ����� � ���� ���� , � e � � tambemsao quantidadesmensuraveis em revolucoes e revo-lucoespor segundo,respectivamente.Masna equac¸ao��� �!�"� , paraseobtera acelerac¸ao linearemm/s
�, �
deveserexpressaemradianos/s�.
Q11-9.
Um corporıgido podegirar livrementeemtornodeumeixo fixo. E possıvel que a acelerac¸ao angulardestecorposejadiferentede zero,mesmoquea suaveloci-dadeangularsejanula(talvez,instantaneamente)?Qualo equivalentelinear destasituacao? Ilustre ambasassituacoescomexemplos.� Sim. Se o corpo rıgido for submetidoa umadesacelerac¸ao, sua velocidadeangular eventualmentesera nula, e depoiscomecra a crscerno sentidocon-trario. O equivalentelineardessasituacaopodesera deumcorpojogadoverticalmenteparacima;suavelocida-dezeranopontomaisaltodatrajetoriaeeletornaacair.
Q11-13.
Imagineumarodagirandosobreo seueixo e considereum pontoemsuaborda.O pontotemacelerac¸aoradial,quandoa roda gira com velocidadeangularconstan-te? Tem acelerac¸ao tangencial?Quandoela gira com
acelerac¸ao angularconstante,o ponto tem acelerac¸aoradial?Temacelerac¸ao tangencial?Osmodulosdessasacelerac¸oesvariamcomo tempo?� Sim, a acelerac¸ao radial e �$#%�&� � � . A acelerac¸aotangenciale nula nessecaso. Girandocom acelerac¸aoangularconstante,o pontodabordatemacelerac¸ao ra-dial �$#(')+*,�-')��+* � � e acelerac¸ao tangencial���.�&��� ,constante.
A Fig. 0(021 3245� mostraumabarrade 0 m, sendometadede madeirae metadede metal,fixadapor um eixo noponto O da extremidadede madeira. Uma forca F eaplicadaao pontoa da extremidadede metal. Na Fig.020(163(427 , a barrae fixadapor um eixo em 8 9 naextremi-dadedemetaleamesmaforca eaplicadaaoponto ��9 daextremidadedemadeira.A acelerac¸aoangulare a mes-maparaosdoiscasos?Senao,emquecasoelaemaior?� A densidadedos metaise maior do que das ma-deiras,tal que na situacao (b), o momentode inerciada barraem relacao ao ponto 8 9 e maior do que nocaso (a). Assim, pela relacao :;�=<>� , vem que<@?BADC$�E?FADC/�G<H?BIJC$�E?FIKC . As acelerac¸oes angularesnaosaoiguaisnosdoiscasos,sendo�E?BALC>M/�E?FIKC .11.2 ExercıcioseProblemas
Secao11-2As Vari aveisdeRotacao
11-6P.
Umarodagira comumaacelerac¸aoangular� dadapor���ON2��QP RTS27D � , ondet e o tempo,e a e b sao cons-tantes.Se � � e a velocidadeinicial da roda,deduzaasequac¸oespara(a) a velocidadeangulare (b) o desloca-mentoangularemfuncaodo tempo.
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� (a) Paraobtera velocidadeangular, bastaintegraraacelerac¸aoangulardada:UWVV$XZY �>[\� U �] � Y Q[�^R_���.���`bacR^7� P�d'�+*E�e� � �f�> a Rg7� P(b) O deslocamentoangulare obtidointegrandoa velo-cidadeangular: Ufhh X Y � [ � U �] � Y [
Umarodatemoito raiosde S2n cm. Esta montadasobreum eixo fixo e gira a 3poq4 rev/s. Voce pretendeatiraruma flechade 35n cm de comprimentoatraves da ro-da,paralelamenteao seueixo, semquea flechacolidacom qualquerraio. Suponhaque tantoa flechaquan-to os raios sejammuito finos; veja a Fig. 0(021 3(r . (a)Qual a velocidademınima que a flechadeve ter? (b)A localizacaodo pontoquevoce mira, entreo eixo e abordada roda, tem importancia? Em casoafirmativo,quala melhorlocalizacao?� (a) O anguloentredoisraiosconsecutivose s�tHN e otemponecessarioparapercorre-loeE� �� � s�tHN4@s ��nmoun�4 s.
A velocidademınimadaflechadeveserentaov �-w � npox35nnpoqn24 �eN\oun m/s.
(b) Nao,seavelocidadeangularpermanececonstante.
11-15E.
O volantedeummotorestagirandoa 3(4poun rad/s.Quan-doo motoredesligado,o volantedesaceleraaumataxaconstanteate pararem 35nmoun s. Calcule(a) a acelerac¸ao
angulardo volante(emrad/s�), (b) o angulopercorrido
(emrad)ateparare(c) o numeroderevolucoescomple-tadaspelovolanteate parar.� (a)Sendo� � �y3(4zoqn rad/s,tem-se�W�e��{R^��E��n
�j� � � � 324zoqn3(npoqn �|0(ox3(4 rad/s� 1
(b) O angulopercorridoe���e��� Rj� �3���y3245n rad.
Um disco gira em torno de um eixo fixo, partin-do do repousocom acelerac¸ao angularconstanteatealcancar a rotacaode 0�n rev/s. Depoisdecompletarr2nrevolucoes,suavelocidadeangulare 0�4 rev/s. Calcule(a) a acelerac¸ao angular, (b) o temponecessario paracompletaras r2n revolucoes,(c) o temponecessarioparaalcancaravelocidadeangularde 0�n rev/se(d) o numerode revolucoesdesdeo repousoate a velocidadede 0�nrev/s.� (a) A velocidadeangulardo disco aumentade 0�nrad/spara 0H4 rad/sno intervalonecessarioparacomple-taras r(n revolucoes.� � �/� �� �f3E�i�
�^�/� � R � ��3� ��02oun(N rev/s� 1
(b) O temponecessarioparaas r(n voltase�� �^R���� ��Nm1 � s.
(c) O tempoatealcancar 0�n rad/se [ � ���� ���m1 r�3 s.
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(d) E o numerodevoltasdadasno intervalo e�"� � ��3(� ��N2� revolucoes.
Secao11-5As Vari aveisLinearese Angulares
11-29E.
Umaturbinacom 0(ox35n m dediametroestagirandoa 35n2nrev/min. (a) Qual a velocidadeangularda turbinaemrad/s?(b) Quala velocidadelineardeum pontonasuaborda?(c) Queacelerac¸aoangularconstante(rev/min
�)
aumentaraasuavelocidadepara 0�n2n(n rev/min em r2n s?(d) Quantasrevolucoescompletaraduranteesseinterva-lo de r(n s?� (a)A velocidadeangularemrad/se�g� 'K35n2n2*�'K3@s�*r(n �y35nm1 �(N rad/s.
(b) Qualquerpontodabordadaturbinamove-seavelo-cidade v ���E����'K3(np1 �5N$*L')nm1 r2n2*��0H3z1645r m/s.
(c) A acelerac¸aoangularnecessariae��� �jR�� � � 0�n(n2n R^3(n(n021 n ���2n(n rev/min�.
(d) O numerodovoltasno intervalode 021 n minutoe�"� � � R�� ��35� ��r2n(n rev.
11-34E.
Uma certa moeda de massaM e colocadaa umadistanciaR do centrodo prato de um toca-discos.Ocoeficientedeatritoestaticoe ��� . A velocidadeangulardotoca-discosvai aumentandolentamenteate ��� , quan-do,nesteinstante,amoedaescorregaparaforadoprato.(a)Determine�� emfuncaodasgrandezasM, R,g e ��� .(b) Faca um esboc¸o mostrandoa trajetoria aproximadadamoeda,quandoe projetadaparaforado toca-discos.� (a)A moedaesta soba acaodaforca centrıpeta� �y��� ��� 1Quandoo prato atingea velocidade��� , a forca cen-trıpetae igual amaximaforca deatritoestatico:��� �L� ��� o ���
� o �|� � o ��(b)A moedaeprojetadatangencilamente,seguindoumatrajetoria retilınea.
11-36P.
A turbinadeum motora vaporgira comumavelocida-de angularconstantede 0�4(n rev/min. Quandoo vapore desligado,o atrito nosmancaise a resistenciado arparamaturbinaem 3zoq3 h. (a)Qualaacelerac¸aoangularconstantedaturbina,emrev/min
�, duranteaparada?(b)
Quantasrevolucoesrealizaantesde parar? (c) Qual acomponentetangencialdaacelerac¸aolineardapartıculasituadaa 45n cm do eixo de rotacao, quandoa turbinaestagirandoa �(4 rev/min?(d) Emrelacaoapartıculadoıtem(c), qualo modulodaacelerac¸aolinearresultante?� (a) O intervalo dado correspondea 0�S23 min. Aacelerac¸aoangulare�j� � o ��0(1B0�S2r rev/min
�.
(b) O numerodevoltasateparare��� � �o3(� �e�2�(n(S rev.
(c) Para obter a acelerac¸ao linear tangencialem uni-dadesSI, a acelerac¸ao angulardeve estarexpressaemrad/s
�. Fazendoaconversao,obtemos���|0(1 �(����0�np��P
rad/s�
e � t �y�����y�p1 �p0���0�n � a m/s�.
(d) A velocidadeangular�W���54 rev/min correspondea�z1 ��4 rad/se � r �/� � �i��S(nm1 �m0 m/s�.
Quatropoliasestao conectadaspor duascorreiascon-formemostradonaFig. 0(0 RWS(n . A polia A ( 0�4 cm deraio) e a polia motriz e gira a 0�n rad/s. A B ( 0�n cm deraio) esta conectadaa A pelacorreia 0 . A � [ ( 4poun cmde raio) e concentricaa B e esta rigidamenteligadaaela. A polia C ( 324 cm deraio) esta conectadaa � [ pela
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correia 3 . Calcule(a) a velocidadelinear deum pontona correia 0 , (b) a velocidadeangularda polia B, (c) avelocidadeangulardapolia � [ , (d) a velocidadelineardeum pontonacorreia 3 e (e) a velocidadeangulardapoliaC.� (a) A velocidadelineardequalquerpontodacorreia0 e v � �/� A � A �|0(164 m/s.
(b) A velocidadev � e a velocidadedospontosdabordadapolia � , cujavelocidadeangulare entao� B � v �� B
�|0�4 rad/s.
(c) As polias � e � [ giramemtornodomesmoeixo,demodoque � B’ �/� B �|0�4 rad/s.
(d) A velocidadelineardequalquerpontodacorreia3 ev � �/� B’ � B’ �ynp1��54 m/s.
(e)Ospontosdabordadapolia � temvelocidadelinearv � . Portanto, � C � v �� C
�eSm1 n rad/s.
Secao11-6Energia CineticadeRotacao
11-46P.
A molecula de oxigenio, 8 � , tem massatotal de4z1 S��.0�np� �q� kgeummomentodeinerciade 0(1 �5N �.0�np� a �kg �m� , emrelacaoaoeixo queatravessaperpendicular-mentea linha dejuncaodosdois atomos.Suponhaqueessamoleculatenhaemumgasavelocidadede 45n2n m/se quesuaenergiacineticaderotacaosejadoistercosdaenergiacineticadetranslac cao. Determinesuaveloci-dadeangular.� Comarelacaodadaentreasenergiascineticas,temos�
rot. � 3S � trans.03 <�� � � 3S-� 03%� v ���Introduzindoos valoresde � , < e v , obtemos���rp1��54"�j0�n � � rad/s.
Secao11-7Calculo do Momento de Inercia
11-49E.
As massase ascoordenadasdequatropartıculassaoasseguintes: 45n g, ¡�¢3zoqn cm, £¤�¢3poun cm; 3(4 g, ¥��n ,£¤�eN\oun cm; 3(4 g, ��&R^Spoqn cm, £Z�&RjSmoun cm; S(n g, ��|R¦3zoqn cm, £%��Nmoqn cm. Qualo momentodeinerciado conjuntoem relacao (a) ao eixo x, (b) ao eixo y e(c) aoeixo z? (d) Seasrespostaspara(a) e (b) forem,respectivamente,A e B, entao qual a respostapara(c)emfuncaodeA e B?� Esteexercıcio e umaaplicacao do teoremadosei-xos perpendiculares,nao apresentadodentrodo texto.Esteteoremae valido paradistribuicoesdemassacon-tidasnum plano,comoplacasfinas. Aqui temosumadistribuicaodiscretadamassanoplano \£ . Vamosindi-carasmassaspor � i ecoordenadas i e £ i naordememqueaparecemnoenunciado.(a) Momento de inercia em relacao ao eixo : adistanciadaspartıculasaoeixo e medidanoeixo £< x � §
i� i £ �i� � � £ �� � � � £ �� � � P £ �P � � a £ �a� 021 S2n24"�j0�n � a kg � m� 1
(b) Parao calculo do momentode inerciaem relacaoaoeixo £ , a distanciadapartıculaaoeixo e medidaaolongodoeixo :< y � §
i� i �i� � � � � � � � �� � � P �P � � a �a� 4z1 N�4"�j0�n � � kg � m� 1
(c) Parao eixo ¨ , temos< z � §i� i � �i o com � �i �e �i �W£ �i 1
Oscalculosfornecem< z ��021 �Z�j0�np� a kg � m� .(d) Somandoos valoresobtidospara < x e < y, confirma-mosarelacao < z ��< x �f< y oquepodemosidentificarcomoo teoremadoseixosper-pendiculares.
11-51E.
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(a) Mostre que o momentode inercia de um cilindrosolido, demassaM e raio R, emrelacaoa seueixo cen-tral e igual ao momentode inerciade um aro fino demassaM eraio
� t(ª 3 emrelacaoaseueixocentral.(b)Mostrequeo momentode inerciaI deum corpoqual-querdemassaM emrelacaoa qualquereixo e igual aomomentodeinerciadeumaro equivalenteemrelacaoaesseeixo,seo arotiveramesmamassaM eraiok dadopor « � ª <� 1O raio k do aro equivalente e chamadode raio degiracaodocorpo.� (a) Os momentosde inercia,em relacao aoseixosmencionados,doaroedocilindro sao< A �y� � � e < A � 03 � � � 1Paraqueestesmomentosdeinerciasejamiguais,o arodeve terumcertoraio
NaFig. 0(0�R¡S(r , o corpoestafixadoaumeixonopontoO. Tresforcassaoaplicadasnasdirecoesmostradasnafigura:nopontoA, a �moun m deO,
� ¬ ��0�n N; nopontoB, a Nmoqn m deO,
� �-0�r N; no pontoC, a Spoun m deO,��® ��0�� N. Qualo torqueresultanteemrelacaoaO?� Calculamoso torqueproduzidopor cadauma das
forcasdadas:: A � � A
�A ¯�°�± N$4 � �y4(rp1642� N �m, anti-horarioo: B � � B
�B ¯�°�± �2n � �yr5N N �m, horarioo: C � � C
�C ¯�°�± 3(n � �|0��p1645n N �m, anti-horario1
Tomando o sentido positivo para fora do plano dapagina,somamosos valoresobtidosacimaparater otorqueresultante:: R � : A R�: B �g: C� 0�3p1 n$� N �m, anti-horario
Secao11-9A SegundaLei deNewtonpara a Rotacao
11-70P.
Umaforca e aplicadatangencialmentea bordade umapolia quetem 0�n cm de raio e momentode inerciade02ounj�¢0�nz�²P kg �m� em relacao ao seueixo. A forcatem modulo variavel com o tempo,segundoa relacao� �enmoq4(n�2��npoqS(n� � , comF emNewtonse t emsegun-dos.A poliaesta inicialmenteemrepouso.Em >��Spoqn
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Uma chamine alta, de forma cilındrica, cai se houverumarupturanasuabase.Tratandoa chaminecomoumbastao fino, de alturah, expresse(a) a componentera-dial daacelerac¸aolineardotopodachamine,emfuncaodo angulo � queela fazcoma vertical,e (b) a compo-nentetangencialdessamesmaacelerac¸ao. (c) Em queangulo� a acelerac¸aoe iguala g?� (a) A componenteradial da acelerac¸ao do topo dachamine e � r �µ� ��¶ . Podemosobter � usandooprincıpio da conservacao da energia. Paraum angulo� qualquer, temos� � ¶ 3 � � � ¶ 3�·L¸ ¯ �,� 03 <5� � 1Com <"� � ¶\� t5S , obtemos� � � S5�²'+0cR ·�¸ ¯ �2*¶ oeacelerac¸aoradialdo topoentaoe� r �eS5�²'+0cR ·�¸ ¯ �2*L1(b) Paraobteracomponentetangencialdaacelerac¸aodotopo,usamosagoraasegundaLei naformarotacional:: � <��� � ¶ 3 ¯�°�± � � 0S%� ¶ � �Com ���yS@� ¯�°�± ��t53 ¶ , chegamosaacelerac¸aopedida� t �y� ¶ � S 3 � ¯�°�± �p1(c) A acelerac¸aototal do topoe� � ���5� � '+0.R ·L¸ ¯ �2* � � �N � � ¯�°�± � �p1
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Fazendo �¹� � , e alguma algebra, obtemosumaequac¸ao do segundograu paraa variavel ·L¸ ¯ � , cujaraiz fornece�"�eS(Nm164 � .Secao 11-10 Trabalho, Potencia e Teorema doTrabalho-Energia Cinetica
11-82P.
Umaregua,apoiadano chaoverticalmenteporumadasextremidades,cai. Determinea velocidadedaoutraex-tremidadequandobatenochao,supondoqueo extremoapoiadonao deslize. (Sugestao: considerea reguaco-mo um bastaofino e useo princıpio deconservacaodeenergia.)� Seguindoasugestaodada,temos
� �dw3 � 03 � 0SZ� w � � � � oquefornece�e� � S5�pt w . Portanto,a velocidadedaex-tremidadedaregua,quandobatenochao,ev ��� w �&� S5� w 111-83P.
Um corpo rıgido e compostopor tres hastesfinas,identicas,deigualcomprimentol, soldadasemformadeH (vejaFig. 020�R�N\0 ). O corpogira livrementeemvoltade um eixo horizontalquepassaao longo de umadaspernasdoH. Quandoo planodeH ehorizontal,o corpocai, a partir do repouso.Qual a velocidadeangulardocorpoquandoo planodoH passapelaposicaovertival?� O momentode inerciado corporıgido parao eixomencionadoe<"� 0S � w � � � w � � N S � w � 1Usandoo princıpio daconservacaodaenergia,temosS � � w3 � 03 � N SZ� w � � � � oe, tirandoavelocidadeangular, resulta�g� S3 � � w 111-86P.
Umacascaesfericauniforme,demassaM e raioR, girasobreum eixo vertical,sematrito (vejaFig. 020,RfN�3 ).Uma corda,de massadesprezıvel, passaem volta doequadordaesferaeprendeumpequenocorpodemassam, quepodecair livrementesoba acaodagravidade.Acordaprendeo corpoatravesdeumapoliademomentodeinerciaI eraio r. O atritodapoliaemrelacaoaoeixoenuloea cordanaodeslizanapolia. Qualavelocidadedo corpo,depoisde cair de umaalturah, partindodorepouso?Useo teoremado trabalho-energia.� Seguindoa sugestao do enunciado,o trabalhorea-lizado pelagravidadesobrea massa� e º � � � ¶ .Comoo sistemapartedo repouso,avariacaodaenergiacineticae » � � 03 � v � � 03 <(� �p � 03 < C � �C oonde � p e a velocidadeangularda polia e < C e � C saoo momentode inerciae a velocidadeangularda cascaesferica. A velocidadede � e tambema velocidadeli-neardospontosdabordadapoliaedospontosdoequa-dor dacascaesferica. Entaopodemosexpressarasve-locidadesangularesem termosda velocidadelinear damassa� : � p � v � e � C � v� 1Aposessasconsiderac¸oes,temos,finalmenteº � » �� � ¶ � 03%� v � � 03 < v �� � � 03 � 3S � ���D� v �� �� 03 �z� � <� � � 3S � � v �
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11.3 ProblemasAdicionais
11-91.
Uma polia de npox35n m de raio esta montadasobreumeixo horizontalsematrito. Uma corda,de massades-prezıvel, esta enroladaem volta da polia e presaa umcorpode 3poun kg, quedeslizasematrito sobreumasu-perfıcie inclinada de 3(n � com a horizontal, confor-me mostradona Fig. 11-43. O corpodescecom umaacelerac¸aode 3poun m/s
Dois discosdelgados,cadaum de Nmoqn kg de massaeraio de npouN2n m, saoligadosconformemostradonaFig.11-44 paraformar um corpo rıgido. Qual o momen-to deinerciadessecorpoemvolta do eixo A, ortogonalaoplanodosdiscosepassandopelocentrodeumdeles?� Temosaquiumaaplicacaodo teoremadoseixospa-ralelos.O momentodeinerciado conjuntoescrevemoscomo <%�e< � �W< � oonde< � � � � � t53 eo momentodeinerciadodiscopeloqual passao eixo. Paraobtero momento< � do outrodiscoemrelacaoa esseeixo,usamoso teorema:< � � 03%� � � � � 'J3@�5* �
Um cilindro uniformede 0�n cmderaioe 3(n kg demas-sa esta montadode forma a girar livrmenteem tornode um eixo horizontalparaleloao seueixo longitudi-nal e distando 4zoun cm deste. (a) Qual o momentodeinerciado cilindro emtornodo eixo derotacao?(b) Seo cilindro partir do repouso,com seueixo alinhadonamesmaalturado eixo derotacao,quala suavelocidadeangularao passarpelo pontomaisbaixo da trajetoria?(Sugestao: useo princıpio deconservacaodaenergia.)� (a) Usamoso teoremadoseixosparalelosparaobtero momentodeinercia:< � < CM � � ¶ �� 03%� � � � �½¼ �3�¾ �� np1B0�4 kg �m�(b) Colocandoo referencialdeenergiapotencialnulanopontomaisbaixopeloqualpassao centrodemassadocilindro, temos ¿ � � � �